宿迁中考数学压轴题解题技巧

中考整体都是精品，而数天是二零二五年的第二十七题更是精品中的精品。下面我们一起来看题。本题是一个新定义加函数的综合题。 首先给出了一个新的定义，在平面直角坐标系中到两个坐标轴的距离都小于或等于 k 的 点，给他一个定义叫做 k j 近轴点， 所有的 k j 近轴点组成的图形记作图形 w， 如图所示，所有的一阶净作点，这就是一个例子， k 等于一，一阶净作点组成的图形就是以圆点为中心，二为边长的正方形七叶， 然后改错三个小题。下面依次看第一小题。下列函数图像上存在一节进度点的是， 那么根据一节进度点，它的图形就是一个以边长为二， 圆点为中心的这么一个正方形企业。所以我们就要看这些函数跟这个正方形企业有没有公共部分或者是公共点。 下面先来看第一个， y 等于 x 分 之一，显然它是一个反比例函数。 我们看反比例函数， x 等于 y 等于 x， 等于负一， y 等于负一，所以它经过了两个点，一一负一，负一，而这两个点 就是这个正方形的这两个顶点，所以它是存在着两个正方形的这两个顶点，所以它是存在两个一节进度点 一负的条件。再来看二， y 等于负 x 加三，显然它是一个一次函数，我们画出它的图像，显然它跟正方形没有公共部分，所以不存在。 下面看三，这是一个二次函数，那么我们配方得到 y 等于 x 减一方加二，所以它的顶点是一二。 开口向上，大概是这么一个图像，所以它跟正方形也没有公共部分，所以本题应该是一符合条件。 下面看第二题。若依次函数 y 等于二 x 加 m 的 图像上存在三界近度点，求实数 m 的 起始范围。一方面我们注意到三界近度点， 他从定义来看到中位数的距离小于等于 k， 从图形来看，他就是一个以圆点为中心，边长为六的一个正方形企业。 就这么一个奇，那么我们先来看一个最特殊的， m 等于零，那么 y 等于二 x， 此时我们发现这一部分公共部分，从这里到这里就是三节进驻点， 所以当 m 等于零的时候，它是存在的。下面我们看把这条直线向上移动， 当移动到经过 a 点时，此时恰好有一个公共点，也就是存在着一个三级建筑点。 而此时的 m， 我 们只要将 a 点坐标代入，就可以求出，它就是 m 的 最大值。如果向下移动经过 c 点，同理它就是一个 m 的 最小值。 所以我们只要把 y 等于二 x 加 m， 用 a 点 c 点的注标代入，就可以求作 m 的 最大和最小。这样子 m 的 范围就出来了。 首先我们写出 a 点 c 点的坐标，第一个，它过 a 点，求出 m 等于九。第二，它过 c 点，我们求出 m 等于负九，所以 m 的 十是大于等于负九，小于等于九。 好，下面我们看第三题。第三题他又给出了一个新的概念，当 p 在 图形 w 上， 且很注标，是总注标的 k 倍，那么这样子的点我们称为图形 w 的 k 界完美点。 所以实质上这里包含着两层意思，首先，它要在图形 w 上，也就是说它要在某一个正方形界内，同时又要满足很注标是总注标的 k 倍， 那么这样子的点就叫完美点。现在看，若二次函数图像上有且只有一个二界完美点， 求 a 的 起测范围。首先明确二界，那么这个 k 倍应该等于二，这个图形的 k 界净数点的 k 也等于二。 下面我们先根据第一句话，很注标是总注标的 k 倍，根据这句话我们就可以知道，它一定在这一条 叫做一次函数，严格的讲是正比例函数上， y 等于二分之一 x， 它才能是很注标总注标的二倍。再来看，由于它是一个 在图形 w 上，我们这个图形 w 是 一个中心在圆点 边长为四，所以它的横坐标、总纵坐标都应该在负二到二之间，所以 x 应该在负二到二之间， 同时它又是这个图像上的点，所以第二句话，又因为这个点在这个图像上是二阶文脉点， 那么我们就可以得到一个结论，就是说既要在一次函数上，又要在二次函数上，所以这个点就是这两个函数的焦点，而且他们是有且只有一个点， 这个点就是完美点。那么我们就进一步想了，既然这个焦点是由这两个函数 组成的焦点，那么实质上就是一个方程的思想，就是这两个组成一个方程组，这个方程组有解，只有一组解， 那么方程这个方程我连列方程组就是这两个相等，他的设置就是这么一个一元二次方程， 我们整理一下，就是这个一元二次方程，那他就变成了这个一元二次方程，在这个基叶有且只有一个，且， 那么我们进一步转化，我们把这一个左边看作一个新的二次函数， 也就是说它转变成这个二次函数，跟 x 轴在这一个负二到二的范围内有一个焦点。下面我们继续来看 二次函数。以 x 为焦点，那么有焦点实际上只有两种情况，一是两个公共点，二是相切，只有一个公共点。下面先来看第一种情况，如果两个公共点， 那么 x 等于二十，它对入函数则等于一，恰好大于零。我们这图像来看，当 x 等于二十，它刚好经过二一这个点， 那么要是它以 x 轴在这一个范围有焦点，那么这个图像必定是穿过这一段， 必定是穿过这的。以 x 等于负二，交在 x 轴下方，或者刚好在 x 轴上，那么此时就是 x 等于负二， y 应该小于等于零。 由此我们代入得到这个不等式，解出 a 小 于等于四分之三，也就是 a 等于小于等于四分之三，满足条件。下面我们继续看第二种情况，如果相切， 我们看相切是长这样子，这种情况它下来，但是它有可能就是相切又回上去，所以此时 x 等于负二呢？它也有可能大一点，但是它这里是一个公共点， 也就是说这个顶点实际上就是抛物线的顶点，所以此时德尔塔等于零，那么我们解出两个特殊的 a， 但是这个 a 是 不是符合条件，我们关键还要看在这两个 a 的 情况下，它跟 x 轴的焦点是不是一定在负二到二之间，它有可能是这样子的， 就是说它这个点跑到这个区间负二到二的外侧了，所以我们要看 a 等于这两个数是十，它们对应的 这个焦点坐标就是公共点。坐标是什么？显然代他等于零的时候， x 就 等于负的二倍分子 b。 所以 我们把这两个 a 代入， 求出第一个横坐标四减根号十，那么他大概等于零点几，因为根号十等于三点几，那零点几肯定在这个范围符合条件。而第二个 a 做出来四加根号十，大概是七点几，所以他就不在这个范围了。 所以我们说服务条件的 a 是 两部分， a 小 于等于四分之三，或者 a 等于十八分之七加二，根号三。同学，你听懂了吗？本题就讲到这里，再见。

我这给大家选了一道代数题，里面可以说是历史上最恶心的一个题了，来自江苏省的中考压轴题，说，我已知 m 等于它，然后我要求什么？ m 三次方，然后减去多少倍的 m， 然后整体在四次方，恶心死了是吗？ 但是遇见这恶心题的时候，你冷静分析一下，请问大家，这道题真正的困难在哪？ 真正困难第一个是在这吗？不是，是在已知条件上。为什么？如果已知条件， m 这数就得一就得二，你往里带谁？不会是吧？人人都会，但是你这个数一点也不可爱， 它不仅不是个整数，它甚至都不是个分数，它都不是一个干净的二次函数，而是一个复合的东西，对吗？所以，第一个困难在哪？是不是就意意味着我这里面有根号啊？ 跟号就是咱们的难点，如果我能把跟号给干掉呢？这个东西是不是一下就变简单了，对吧？哦，所以一问困难，二问什么？二就找帮手呗，各位，哪个帮手能让我们把跟号干掉啊？ 嘿，平方呢？你把根号这里边平方一下，他就没了哈，啊，帮手找到了，所以大家第一个条件会处理了，已知条件是他那么两倍的 m， 自然就等于根号。二零二一， 再加一，你加上一，整体平方完以后还有根号吧？我不想要根号啊，所以我要把这个加一从右边挪到 左边去，一项变号完事了，邓老师说清楚了没？这个时候两边平方啊，左边呢，就是二 m 的 平方，也就是四倍的 m 方啊，两项乘积的二倍，也就是减去四倍 m， 再加上负一的平方，就是正一，右边得谁？二零 二一啊，毕老师，说清楚了吗？再化简一下，那我四倍的 m 方减四倍的 m 是 不是等于二零二零啊？嘿，四倍太大了，把它再除以四，所以一倍的 m 方减去一倍的 m 最终等于多少？ 五零五吗？这不就完事了吗？所以开窍就这么简单，你有病，我有药，你有困难我有帮手，毕老师，说清楚了吗？说清楚了哈，那紧接着请问大家， m 方减 m 等于这个？我这里面有 m 方向 m 吗？ 没有吧。哦，那这个东西又变复杂了，又不会了，又卡住了，对吗？继续干嘛开窍？我就问你这道题的困难在哪？ 各位，他跟咱平时练那个题相比，咱平时练的都是 m 二次方一次方的这种数吧，你给我来个三次方，次数怎么样？ 太高了，并且你整体还得来个四次方，次数怎么样？太高了对吗？所以次数太高了就是咱们的困难，明白了吗？次数太高怎么办？你不用想别的 啊，次数太高我就不会，次数低下来我就会了，对吗？所以本质原理直接就出来了，就叫做降次。那降次的方法是什么呢？就是用低次项去表示我的高次项，比如说我现在这个条件已经有了，对吗？谁是高次项 啊？二次级以上叫高，对吗？ m 方是高次项，那剩下的都叫低次项，剩下都扔等号右边去，负 m 扔到等号右边变成正 m。 五零五本来就在等号右边，是不是就等他了啊？那接下来，那我这个次数高的怎么办？不断的往里带入啊，大家来了啊， 所以原式咱们就等于看好了。我第一部分是不是 m 的 三次方啊？ 三次方里面就相当于是二次方，乘以一次啊，没问题吧？哦，一次这部分我不动，二次那部分我用它换一下，你看 我换完以后就是它吧，没问题吧？哦，那这块我一旦把它展开， m 乘以 m 就 得 m 方， m 乘五零五，那就得五零五 m， 你 看原来的三次，通过一次降次是不是就降成了二次了？哈哈，那有人说，老师，那二次怎么办？二次继续降啊，二次就变成啊， m 加一个五零五，所以一个 m 再加五零五 m 等于多少？ 五零六 m 吧。五零六 m 后边是不是减掉五零六 m 没了？哎，我这块有一个五零五，再减去你这五零三还剩几？还剩二二的四次方，直接得十六。 中考题变成口算题了好吗？啊，这块没跟上呢，毕老师给大家详细的写一下， 小括号变中括号， m 三次方换成 m 乘以 m 方， m 方换成它。好，后边抄下来，减去五零六倍的 m， 再减去五零三， 整体的四次密啊，把它括展开啊，这就出现了一个 m 方加上五零五 m 减去五零六 m 再减去五零三啊，整体的四次方又遇见高次，遇见高次咱就降次，你看， 没有你算不出来的东西啊，再加上五零五 m 减掉五零六 m 再减掉五零三。 来了啊， m 加五零五， m 减五零六， m 是 不是没了啊？五零五减五零三，是不是还剩了二？所以整个括弧里面剩二二的四次方，直接答案就是十六，毕老师说清楚了吗？

难得一见的好题目，这是一道非常经典，难度适中、知识量非常多的题目，通过学习这道题目，我能够在里面学到多少东西？我们来看整个这道题目， 读完题目我们会发现他这里边其实还是比较干净明了、简单的，这里边其实就在考你一个相似三角形的存在性问题， 然后是包括一个等腰三角形的存在性，那在这里边我会用不同的三种方法跟你们讲一下等腰三角形存在性问题的具体的解法。第一题 两个相乘，其实就可以转换成两个比相等，那因为第一题比较简单，我们就直接过去了啊，在这里边他说有一个什么角呢？就这个角等于角比，对吗？像这种情况我们见得多了，那就是外角和公式，对吧？那这个等于这个加这个，那其中又有这个相等，所以这个角等于这个角了。来，在这里边 我们马上就能知道这个角等于这个角，对吧？然后又因为是它等腰三角形，所以这两个角相等，所以两个三角形相似，那就能对应边相比。然后一个转换，就是第一小题，那第二小题，他说 当在这个转换过程中， d 在 移动过程中， d 在 只能是边上了啊，那我们看它不会在一个射线上，对吧？其中有一个特殊情况， d f 平行于 a d c， 那 我们来看具体的情况， 这个是我们两个三角形相似，对吗？好在这种情况下，我们说存在性问题，我们一种方法，最最 比较巧妙的办法就是他你要找到他这种特殊情况下隐身开来的或者是隐含的条件，你要把它能够找到你，比如说我们在这里啊，他就说他是角平分线，我们来告诉你，这个是角平分线，那我们又说其实角二跟角一永远是相等的，对吗？那所以 角一这两个角所有的这四个角全部相等的，对吗？对吧？因为这这这这个跟，这个是角一，跟角是天然相等，然后这一个角三，那角二、角三等于角一加角四，对吗？所以角三角四全部相等了啊。来，在这里我们就说 好，那推出这个来以后有什么用处呢？那你看看啊，既然这两个三角形又是相似的，对吧？ 那这个三角形是等腰三角形，所以这个三角形也是等腰三角形，对吗？所以说在这里面，那既然这个是等腰三角形，我们就简单了呢？这是第二题，我直接大字写一下就行了啊。第二题对吗？那我们说我要求的是 b d 吧，我记得好像是，对吧？ 求的是 b d， 你 看在这里，那这个就是三相似，嗯，是等腰了，对吗？那就太简单了。整个这个是，我记得是十的，下面是十六，我再看一下这个 s， 那 b 级 就等于五了，对吗？然后呢？ b d、 b d 等于什么？如果你再用比例关系的话，是可以，但是有点慢了，对吧？ b d 其实就是 b d 除以它的分数是四，然后乘上 b d 的 五，那所以就等于四分之五。 b d、 b d， 对 吗？等于四分之二十五，当然了，你用 b d 比上 b d 等于五比四，对吗？那推出的 b d 等于四分之二十五也是可以的，只不过速度稍微慢一点， 特别是做填空题的时候，你再去这么比的话，呃，速度上面有点慢啊，这个就是我说的一种方法，存在性问题里面的一种方法，就是你要通过他特定的条件下的特定的隐身的隐含条件，你把这些东西找出来以后，你看非常简单，对吗？ 我们来看第三小题，第三小题就是一个三角形的存在性问题，那既然这样的话，我们就分三个顶点各自的讨论，对吗？那 a 顶点的时候， 那就是 a、 e 等于 f， 在 这种情况下，我们也是用它的最最最特征的，在这种情况下我们能推出什么东西来我们看一下啊？既然我在我这里就直接比划了啊， 这个等于这个，对吗？那这个就等于这个，对吧？那就是说，哎，我们点了这个角就等于角 f 了，对吗？那我们说角 f 其实就是角 f， 其实就是啥？角 f 其实是啥？ 角 f， 其实它跟这个角是互余的，对吗？那这个角跟这个角又是相等的，对吗？所以这两个角也是互余的。 在这里边我重新再讲一遍啊，因为在这里，因为这个角 f 跟它是相等的，那我们这就角一吧，那角二跟这个角角三是互余的，那角三跟这个角 c 又是相等的，所以这个角角一加这个角应该是互余的，所以 这个角我们就推出来了，推出这个是九十度了，对吧？那既然这个是九十度，这个三角形跟这个三角形相似呢，所以角一也是九十度，对吗？ 同学们看看这里比划一下啊，自己把这里边的逻辑都讲清楚，所以这样的话我比底就特别简单了，对吗？那我们这里用的是方法一啊，那比底 就等于四分之五倍的 b 级，四分之五乘以十，对吗？等于二分之二十五， b 级就出来了，这是用特定条件下的 隐含的我推出来的条件把它求出来了，那我们看用第二种方法，当然这个方法找到这个特征点以后，它的计算是超级简单的，对吧？那第二种方法我们就用纯粹的相似去做了，你看，在这里，我们说，你看这里边就有点水平了啊，这个三角形，我们知道整个这个三角形它的比例关系 永远是三四五，对吗？所以我是 a f 等于三 x， 这里就是四 x， 当然了， f d 就是 五 x， 对 吗？那因为这是三 x， 所以 我们在这里边来比划一下，我们去把 f 一 求出来，对吧？ f 一 等于多少？这个五 等于，所以 f， 我 这里 g， 我 这里 h 吧，对吧？你看 f h 应该等于五分之三倍的 af 等于五分之九 x， 所以 f 一 等于五分之十八 x， 所以 ed 等于五 x 嘛？五分之七 x 对 𠲎 是 五 x 减五分之十八， ed 出来了， ed 出来以后，我们通过两个三角形相似来 ed 比上 ed， 唉，这里应该是 g d 对 𠲎， g d 对 𠲎， g d， g d 跟 g d 啊，这个，这个，这，呃是 a d 在 这里是 a d 啊，因为即使我在别的地方的一个中线啊， a d 等于拿 d c 比上 ab， 对 吗？ 在这里我们可以推下来， e d， e d 多少？五分之七 x a d 呢？我们已经设了，就四 x， 对 吧？等于 d c 要求的要求的 ab 就是 十，对吗？那 x x 约掉，所以 c d 等于四分之 五分之七乘以十，对吧？二乘五等于二，哎， 等于二分之七，对吧？所以 b、 d 等于十六减二分之七等于二分之二十五，对吧？这两种方法你们看哪一种方法简单？ 那肯定是前面一种，但是前面一种有个缺点，就是你要能够找得到他的一个特征点才能去做，而且这缺点还是比较明显的，你做了这个一个第二个第二种情况，你要重新再去找他的 这种点来，我们再来看一下第二种情况，来三里边的二，第二种情况，我们就一为顶点，那就是 e、 a 等于 f， 对 吗？在这里边我们看一下啊。有了这个以后，我们说因为在这里边比划一下啊，这个角等于这个角， 那你看这个角跟这个角跟他是互余的，然后这个角跟他又互余，所以角三跟这个角又相等了，那角三跟这个角相等，那这个角跟天的角四相等，所以角三跟角四又 相等了，所以整个这个是个等腰三角形，对吧？那这个等腰三角形的话，那我们接下来求 a、 d 怎么办呢？其实也很好办，对吧？那我们还是来放放一 还是找特征点的啊？整个这里的话，我们就直接来，因为它是等腰了，对吧？那所以这一段本身这一段是几啊？这一段是十，那这里变成五了，对吗？那 通过这个五来 c、 d 应该等于多少呢？是五除以四，它的分数在这里是四 x， 这里是五 x， 这里是三 x， 对 吧？那所以五除以四再乘以五，对吗？等于四分之二十五， c、 d 出来了， 四分之二十五，那所以比例也能是多少？我又忘了，是十六，是吧？十六减四分之二十五等于六十四，那三十九，对吧？ 这个方法你看他的，他的计算有多简单，对吧？好了，我们把它磨掉，重新再来看一遍，我们还是用刚刚才我们的方法二，我们再去做一遍， 有了这个以后，我们还是刚才按照同样的办法，对吗？那我们来在这里我们说这还是四 x， 这还是三 x， 那 这个一半就是二分之三 x， 对 吧？那二分之三 x 推出 e f 来， e f 等于多少呢？它是五份的，对吗？哎，这个我写的有点丑了，对吧？这个 f 它是五份的，对吗？然后呢，我要弄的是三份的二分之三 x， 那 再除以三，对吗？来，这个这个约掉 等于二分之五 x， 对 吧？好， e f 出来了，那 e f 是 二分之五，那我们说 e d 呢？ e d 整个这个是五 x 啊，那也是二分之五 x， 对 吧？所以这个它其实也是终点的，对吧？那我们在这里通过相似来， e、 d 还是比上 a d 等于 c、 d 比上 ab， 对 吗？来，在这里 e、 d 二分之五 x， a、 d 是 十，对吧？ x x 约掉 c、 d 等于四分之一二五，再乘以十，这里五等于四分之二十五，对吗？所以 b、 d 等于十六，减四分之二十五等于四分之三十九。答案当然是肯定一样的了，那这个计算 跟原来的计算，对吧？我们也可以比较一下，至于他们的各自的优缺点，我刚才说了，我们到最后我们再总结啊，好，第三种情况，第三种情况，其实你要用我第三种情况看看我是怎么标的三三，对吧？ 要去找特征点的话，就非常难，或者说就没有特征点，为什么会这么说呢？我们以前面两个的特征点，你看啊，都是通过这个角是知道的，对吗？然后找另外一个角，另外一个角跟他一模一样，对吗？你看这个，这个角其实他的正切子也是知道的， 在这里你看同样的这个角正切值知道的，然后我又产生了个新的正切值，这个角也是正切值知道的，所以他才能有特征点。但是在这里以后，你看，我通过这个角正切值知道的，然后求出两个角各自相等，但是这两个角的各自的正切值 他是一下子找不到，所以他的特征点就很难找。那我们通过这个思路的话，是不是也能我把这两个角的正切值把它求出来， 然后也能算？所以说我把这个方法还是当做方法一，但是跟原来的方法一理论上是一样的，但是做法还还是有区别的，这个我放到后边讲，那我们先做方法二，好吗？那方法二放到这边了， 方法二我们刚才说的还是相似，对吗？在这里就比较简单了，你看这里是三 x， 那 这个当然是三 x 了，那这边就是四 x， 对 吗？那我们在这里边呢， d 一 比上 a d 等于 c， d 比上 a b， 这个就比较简单了，对吧？ d e 是 二 x， a d 是 四 x， 那 一比二，那 c d、 a b 是 十，所以 c d 就 等于五了，对吧？ c d 等于五，那 b d 当然是是是，是十六，是吧？减五，那就等于十一，比较简单，对吧？好了，那我们接着回头看 方法一，我们的逻辑是要求他的正切值，那我们求他的正切值的话，我们肯定是这样，对吗？这样的话，其实就是我只要求出角 f 一 半的正切值，我就能求出这个。我们假设是角 f 角 f 的 正切值，因为这个跟他的一半是正切，是互为 倒数的倒数，对吧？所以说我们来求这个，那当然了，我们说这个角 f 角 f， 它的正切是多少啊？在这里，对吗？就这个角，对吧？它的正切是四比三，对吗？那我们来看这是 四四比三，这是角 f 啊，我要求它的一半，怎么求啊？这个是有正常的一种套路的啊，求它的一半是这样把它延长这里三，这里四，这里是五，对吗？ 唉，我这里延长五，那这个不就是角一了吗？那这个角 f 是 不是等于两倍的角一啊？因为这两个相等嘛，那所以正切角一等于几啊？四除以八嘛，那就是一比二，那所以这个正切贴近的二法， 这个这个不不需要再角了，对吧？有了这个正切等于二了以后，那，那那不超级简单勒嘛？这 我们我们先把它弄掉啊，弄掉以后我们我们可以截图啊，这个角来这个角， 这个角，这个角，这个角，对吧？它们的角都是正确贴切的啊，那我们说这个角对应的是哪个角啊？那不就这个角吗？对吧？ 对吧？所以这个角正确就是二，那我们在这里来比划一下，二就比较简单了啊，这里是多少十，对吧？所以这个是多少六，这个是八，对吧？既然这个六了，这个角正确是二，那所以这段是三，对吗？所以呢？ b d 等于八加三就等于十一。同样的道理，所以说这道题目他的信息量非常大，能够把这道题目掌握了，我觉得好多负面讨论的存在性问题，你都能游刃犹豫。 讲到这里，三三以后其实还有一种情况，其实三我们前面的一二三都是建立在什么情况呢？都是建立在这个这个这个这个这个这个这个 f 啊，是在 d e 射线的 e 以外的这个点上，你看整个这道题目还有点小瑕疵的啊，如果做完这些的话，还是有小瑕疵的。他说你看这里过 a 交于射线 d f， 对 吗？那还有种情况是什么情况？那我在这里就直接这样写了啊。还有种是 你看这是 e， 对 吗？这是 a， 这是 d， 这是 f， 呃，不不，这画错了，对吧 对吧？像这种情况，这种情况的时候，其实你要去证明它是不存在的，那我们怎么去证明？ 你实在在考试的话，你如果实在不行的话，我觉得你应该写一下，显然，对吧？你完全可以说显然这个是不存在的，那就看评分标准了，当然如果你正规的话，应该是这么做的，对吧？我在这里其实还是，这里是三 x， 对 吗？ 对吧？这里是三 x， 这里是四 x， 这里是五 x， 那 当然这个两个像的话，这里就是三 x。 其他的可能性，因为这个是钝角啊，因为这个是，你看这个是钝角，所以这个三角形 a e f， 如果是等腰的话，那只能是 a f 等于 e f， 不 存在第三种可能性的。 所以在这种情况下的话，那 d e， 那 d e 就是 八 x， 对 吧？比上我们刚才说的 d e， 应该 d e 是 多少？四 x， 对 吧？那等于呢？ ab， 这里是八 x， 八 x 的 话应该是 ab 下边，对吧？我这里 cd 应该是 cd， 那 cd 等于多少？ cd 等于两倍的 ab 对 吗？ cd 等于两倍的 ab 是 不可能的，对吗？因为这个 ab 是 十 cd， 最长只能是十六，对吗？所以这个是不存在的，所以说这个比较难。所以说整个这道题目里边，第三种里边其实是分一个是在射线的， 就是在 d 一 的延长线上，一个是在 d 一 边上，对吗？边上先要去把它否定掉是不存在，如果这个你不弄的话，我觉得应该是会扣分的。还有一个就在 d 一 的延长线上，是我们说的三种情况， 对吧？所以整个这道题目考的知识点非常多，我觉得能够真正得到满分的同学一定是出类拔萃的，而且百分比估计不会到一啊。这道题目希望同学们能够好好掌握，多看几次，然后呢？好好做几遍。

要想考试考得好，你就得会做压轴题，哎，这次我手里有二十个压轴题，各位家长，要不要？ 这压轴题我给总结好了，初一、初二、初三就在这，来，全网来找我要是不是就喜欢听这些话， 是不是一听到压轴题难点题，各位家长就走不动道了？甚至我看到这个各位家长居然真的有去付钱的，包括以前还有人来问我呢，我说你， 哎，愁死了，他是什么呢？他是就一个本子，可能还有一个本子上面有一个标题，比如中考压轴题密集，甚至有一个标题，比如什么初一期末考试压轴题密集，就这一个，就，就就这一个封面 让我卖钱，可能卖个卖卖，卖多少钱我忘了，反正卖多少钱，家长居然趋之若鹜的去买， 居然还有家长问我，老师，你这有没有这个？我是不是要买点这个做做？我说你连里面内容你连看都没看一下，对吧？而且有那个学生家长问我，你，你家小孩平时考 一百零几分，考九十几分，你算那眼熟题，我就不说，我就不给你弄，哎，你打我，你是不是不会教？对，我不会教，我之前说过的。行行行，我不教，我不教， 不是的，各位家长，我一再跟你强调，一再一再一再一再强调，不管是什么时候，包括到高中也一样，但高中基础题少一点，但你基础不牢，地动山摇 这句话不知道吗？我先给初一小孩上课，上到最后给他们理了理，我又再给你们强调一次，我，我来上我的课，不仅是带你做题啊，我不是说光光带你做题， 我们学习数学，其实就你给这两步做好，你题目没有太大问题，对吧？第一步，你要有自己的知识体系，我一直说知识体系对吧？ 我提到什么知识点我问你你都不清楚，我让你自己总结这个章节，你自己总结不出来，然后你说你能给题做出来呢？你做个 鬼，你看到一个重点，看到重点你压根不知，你压根想不到任何的知识点， 你做拿什么做的对不对？首先第一点一定要有知识体系 一定要有啊，某一块提到，比如提到平行四边形，提到三角形，你能想到任何的点，任何的点，从三角形开始，从一开始最简单开始，三边关系，大边对大角一点点，慢慢慢慢来，都有，都在你的脑子里， 你先储备好，这是最基础的才到第二步，这学生为什么问到我说到这个话了呢？他问，我说错题记，他说我能不能用打印机打，或者把题目拆下来发的印在本上，我说不行， 我关键就在于第二步，你抄题目的时候，当然不是说让你的题目整个那废话也抄关键点，抄关键条件，抄每一个条件，通过这个条件联想到链接到你知识体系里面的知识点， 这是关键，这个过程是不断的锻锻炼各位所谓的家长朋友们比较喜欢说的数学思维的过程，这叫数学思维，你天天搁那说，哎，锻炼孩子数学思维。我通过去什么？弄点益智游戏通点，通过弄点什么？呃，什么什么什么 什么什么培养什么的能培养出来？培养个屁，我天天做点什么压轴题，搁那弄弄，弄什么？弄 你基础的一项战术好不好？你通过的每一个条件来链接到你的知识体系，如果第一步知识体系你没有，你先别忙链接，你怎么链接的？你都没有，你怎么链接？你准备炒西红柿炒鸡蛋，你没有西红柿，你怎么炒的呢？我愁死了好不好。各位， 真的不是说朱老师不讲，朱老师讲压轴题时候习惯更好，可以给你分享一下。我讲压轴题，讲难题，我喜欢讲那种复杂性难题，具体涉及的知识点特别多，我会把每一个我把题目抄下来，我会把甚至把题目抄下来 重要，当然我也是超重要条件，我怎么可能废话都说，每一个条件，我会跟孩子们共同探讨这个条件，你想到什么？把知识点丰富的写在旁边，很丰富每个条件，每个条件，孩子们自己看完，老师你把这些知识点整个写在旁边之后，这些答案好像出来了，嘿，我，你们真聪明，就是这样的 对不对？所以家长朋友们不要一听到压轴题就兴奋了对不对？先看看自己知识题准备好没有，看看自己通过的条件能不能练习到这知识体系对不对？基础要打好，一定要打好，好不好？再见！

这道题堪称学霸终结者！一个运动中的三角形角 a 始终为一百二十度，让我们去求它的周长的最大值。聪明的你一定会发现， b、 c 长度为定值，我们只需要求另外两条边 a、 b 加 a、 c 的 最大值。 看到角 a 为一百二十度，我们很容易联想到将线段 a、 b 绕点 a 逆时针旋转六十度，得到线段 a、 d。 此时我们只需要求 a、 d 加 ac 的 最大值。又因为点 c、 a、 d 三点共线 a、 d 加 ac 其实就是线段 c、 d 的 长度， 两边相等，加角为六十。当我们连接 b、 d 之后，三角形 abd 为等边三角形，角 d 也等于六十度。此梯最关键的点来了， 角 d 为六十，为定角，它所对的边 bc 为三，为定弦。定弦定角得引圆顶 d 的 运动轨迹就是一个圆，此时它是圆内的一条弦。我们知道当这条弦为直径的时候，它的长度能取得最大值， 此时角 d、 b、 c 是 它所对的圆，周角等于九十度。那么三角形 b、 c、 d 就是 一个含有三十度、 六十度、九十度的特殊三角形 b、 c 长度为三，我们根据特殊三角形三边关系可轻松求出此时 c、 d 长度为二倍根号三。但最后答案不要忘了，加上 b、 c 的 长，所以最终答案二倍根号三加三，你学会了吗？

今天分享的是二零二五年宿迁市中考第二十八大题几何压轴题。 下面我们一起来看题。如图，一、在矩形 a、 b、 c、 d 中， a、 b 等于三， b、 c 等于三，根号三，而点 m 是 边 b、 c 上的一个动点点 m 在 射线 c、 d 上 角 m a、 m 等于六十度。而 a、 m 的 垂直平分线以实线 a、 b、 a m、 a m、 c、 d 分 别交于 e、 f、 g、 h。 这里我们要注意的是，以这一些实线相交。 第一小题实际写出角 a、 c、 b 的 度数，那么这个应该很简单，我们看三角形 abc 是 一个直角三角形，这个直角三角形当中已知 a、 b 三， b、 c 三根号三，所以角 a、 c、 b 的 正切就等于三比三根号三化简三分之根号三，所以这个角 a、 c、 b 就 等于三十度。 注意，有这个度数，有了我们这些填三十。下面第二 e、 h 比上 a、 m 等于多少？那么这个我们只要考虑 b 的 转化。我们通常用相似三角形。 这里我们要构造一个直角三角形，因为 a、 m 在 直角三角形 a、 b、 m 中，而 e、 h 我 们必须要添辅助线过 e 点做 e t 平行于 b c 角 d、 c、 t， 那 么它就构成了一个直角三角形 e、 h、 t。 显然我们不难证明它跟三角形 a、 b、 m 是 相似的， 所以有这一对相似三角形，那么 e h、 b a、 m， 它就等于 e t b a、 b， 而 e t 它所在的矩形 e t、 c b e t 就 等于 b c， 那 么 e h b a m 就 等于 e t b a b 就 等于 b c b a b 就 等于根号三。所以结论，根号三。 下面我们看第二题。当 b m 等于一时，求 e f 加 g h 的 时，由于 b m 等于一，我们在这个直角三角形 a b m 中不能求得 a m 等于二。 有第一小题 e h 跟 a m 的 比是根号三，所以我们得到 e h 就 等于根号三的 a m。 事实上 e h 就 等于二倍的根号三。下面我们注意看题目告诉我们，角 m a m 等于六十度，这里又是垂直平分，所以这个直角三角形中 a g f 就 等于三十度。所以在这个三十度的直角三角形中，我们就得到 f g 就 等于 a f 的 根号三倍， 所以 f g 就是 a m 的 二分之根号三。好，从这里我们可以看到 e h 跟 f g 的 关系。 我们说 f g 就 等于 e h 的 一半，所以我们 e f 加 g h 就 等于 f g 就 等于 e h 的 一半， e h 等于根号三。 a m a m 又等于二，所以我们可以求的 e f 加 g h 就 等于根号三。 这里我们特别要注意这个结论， f g 就 等于 e f 加 g h。 好， 下面我们看第三小题的两个问题。如图二，连接 m g 并延长交直线 c d e p。 第一小题求证 m g 等于 p g， 那 么证明线段相等。我们最常用的方法就是构建全等三角形。我们过 m 点作 m l 平行于 a b， 那么根据 a f 等于 m f， 因为 e h 是 垂直平分线，所以我们就可以得到这一对三角形。全等我们就可以得到 e f 跟 f l 相等。 由于 e f 跟 f l 相等，我们在上一题正得了 f g 等于 e f 加 g h， 我 们现在 f g 当中去掉 f l， 剩下 l g 应该跟 g l 相等。 那么接下来我们就可以证得这两个三角形全的理论当然简单， l g 跟 h g 相等，在对顶角相等，在 l m 平行于 a b 就 平行于 p c， 所以 内错角相等 好。有这两个三角形圈的，我们就正的 m g 等于 p g 好。 下面我们看第三小题的第二小题。 如图三过 p 点作直线， e， h 的 垂线分别交 e， h， e t 交 a m e q 连接 d q， 求线段 d q 的 最小值。 本题我们首先注意到，我们在前面知道 m g 跟 g p 的 最小值。本题我们首先注意到 m g 跟 g p 的 最小值。本题我们首先注意到 m g 跟 g p 的 最小值。本题我们 而同时我们注意到 ga 等于 g m 角 m a g 是 等于六十度，所以这个三角形 a m g 是 一个等边三角形， 同样我们在这个地方，所以 am 跟 pg 是 多垂直于一体的，所以它们平行。我们不难证的这两个三角形是全的， 所以三角形 g b q， 它也是一个等边三角形好，同时我们继续来看 a g， 它就等于 g q 了。 下面我们看这个三角形都是等边三角形。之后我们看这个三角形我们连接 c g， 由于 m g 等于 p g， 所以 这条斜边上的中线就等于 m g g p 好。 下面继续来看，由于 a g 等于 g q 等于 g， m 等于 g p， 所以 它也等于 c g， 所以我们连接 c q， 就 会发现三角形 a c q 当中 a g 等于 g， q 等于 g c， 所以 三角形 a c q 就是 一个直角三角形， 这个三角形 a c q， 它就是一个直角三角形。由于这个三角形是直角三角形，我们就知道 a c q 就 等于九十度，但是 a c d 我 们有第一小题，它是三十度，这个直角它就是六十度，所以这个 d， c， q 就是 三十度。 好，我们证得 n c q 等于三十度，那说明什么呢？说明这个 q 点应该在这个三十度角的一条边上， 也就是说这个 q 点的轨迹是跟 a c 垂着的，这一条垂线上，我们把它做出来啊。 c w 垂着于 a c， 也就是 n c q， 那么现在问题就解决了，要是 n q 最小，我们这要过第一点，做 d q p 垂直于 c w， 那 这 d q p 就是 d q 的 最小值。 我们注意到这个三角形 d， c q p 这个角三十度，所以 d q p 的 最小值就是 d c 的 一半， 那么就等于二分之一， c d 就 等于二分之三。好，本题我们注意到，关键是能够分出 q 是 在过 c 点垂直于 a c 的 实线上， 所以这个角 n c q 就 等于三十。同学你听懂了吗？本题就讲到这里，再见！

好，各位同学，大家好，我们来说一下今天的每日一列，来看一下今天我们来说一下这个第二题啊，直角三角形 a、 b、 c 当中啊，这个角 a、 c、 b。 九十 角三角形 a、 b、 c 的 角平分线啊， a、 d 和 b、 e 是 角平分线，相交于点 o， 然后 o、 f 呢，是垂直于 a、 d 交 b、 c 于什么 与点 f 啊，这里交点 f， 交 a、 c 于 g 点。好，接下来有三个结论，我们看一下正确的是什么。那么第一个角 b、 o、 d 等于四十五度，我们看这个角啊，角 b、 o、 d 等于四十五度吗？怎么来判断呢？我们来看第一个 啊，那么要熟悉角平分线模型的呀，就是角平分线模型， 三角形的角平分线模型，它这个两两个角平分线的这个假角是不是应该等于什么九十加上二分之一角 c 啊，所以我们这个角 a、 o、 b 等于九十度，加上二分之一角 a、 c、 b 那角 a、 c、 b 刚好等于九十度，所以这不就九十度加四十五度吗？是不等于一百三十五度？ a、 o、 b 一 百三十五，那 b、 o、 d 是 不等于四十五啊，所以这个角 b、 o、 d 等于四十五度是对的。 好，这里啊，可能有学人会说，老师你怎么直接就是这里写成这样，我怎么没看懂啊？啊，没看懂说明你这个角平分线的模型就是不太熟悉，自己回去找找资料，自己去搞明白。角平分模型啊，这里老师应该说过啊，这里我不细说啊。 第二个，三角形 boa 全等于三角形 bof b、 o、 a 这个角啊，这个三角形和三角形 b、 o、 f 这两个三角形是全等。好，我们来观察一下全等 这个能能不能证明了，我们来试试看。他们有一条公共边 ob， 然后又有两个角，是因为角平分线，两个角相等，所以你看上来一边一角 对不对？那么接下来我们可以去思考第三个元素，就是还差什么，对吧？还差，那可能是一个角或者一个边，那一个边的话应该是 ab 等于 b f， 但是根据题啊，这里不太好办， 所以我们就想角，那么根据这里这么多的角平分线，我们想一想，那这个角如果和这个角相等不就行了吗？那是不是就形成两个角和其中一角的对边？所以我们琢磨着 a a s 行不行？那么这两个角就是角一和角二能不能相等呢？ 哎，那么角二和这个角三其实相等的，我们用一个等量代换就行了。角二为什么得角三？那这里有一个八字倒角，看到了吗？这里有个八字倒角啊，这两个角都是九十度，所以二等于三啊，注意，这里，我重新画一下啊，这里有个八字倒角啊， 来，这里有个半字倒角啊，这个角是等于这个角的，这角二是等于角三的，哎，角二等于角三，自然也就等于角一了，对吧？角二和角一相等，是不是这里就成立了？所以第二个也是对的啊。 最后一个 b d 加上 a g 等于 ab， 我 们可琢磨一下这个怎么办？ b d 加上 ab， d 在 这里，它等于 ab， ab 在 这里。我们这个怎么想呢？ 也很简单，因为这里有角平分线，这里又有垂直，那我们是不是构造一个什么对称型，我们把 ag 怎样？我们可以这样啊，延长 g o 是 什么？ 呃，延长 g、 o 和 ab 相交啊，相交于点 h， 那 么因为这两个角相等，这两个角都是直角，再加上 a、 o 等于 a、 o， 这两个三角形肯定是全等的。所以我们 a、 h 不 就等于 ag 吗？把这块和这块建立起来关系， ag 等于 a、 h， 这是第一步的思路啊。然后我们再证明 b、 h 等于 b、 d 不 就行了吗？你看 ag 等于 a、 h， 这是我们已经说明的啊，这能说明了对吧？那如果我们再说明 b、 h 等于 b、 d， 这个如果再说明，那是不是这个式子就成立了？那问题是能不能说明 b、 h 等于 b、 d 就是 这两个边是不是相等？那么就想到这两个三角形是不是全等，对不对？哪两个三角形？三角形 b、 h、 o 是不是全等于三角形？ b、 d、 o 是 不是？那我们就想这两个三角形能全等吗？当然这两个角是相等的，这条公路边是不是？那接下来我们就要琢磨什么 角了，也就是这个角和这个角，角一和角二相等，不相等，这里又怎么办呢？我们知道角二应该是等于这里的角，什么是不等于这里的角三？ 看啊，二和这里的角三相等，就是 o、 g、 c 啊，为什么等于角三？因为我们根据这个四边形 d、 o、 g、 c 四边形对角互补，这个是直角，这个是直角， 所以三加四等于一百八十度，二加四一百八十度，角二等于角三。这里利用同角的补角相等，注意这里的倒角要注意一下好了。然后角三和这个角一相等吗？ 角三和角一相等吗？我如果能建立角三和角一的关系，那角二和角一不就建立关系了吗？那角三和角一能不能相等呢？角三和角一都是这两个角的补角。那这两个角我们看哪两个角？就是这里的角五角六吗？ 那五和六刚好是全等的，对应角等角的补角相等，五和六相等，则一和三相等，一和三相等，二和三又相等，所以一和二相等，所以这两个三角形是全等的。我们简单的这样倒角一下就可以了。 好吧。呃，或者你也可以通过这里的这两个角倒角也行啊。好吧。呃，利用外角性质去倒角也可以。总之我们也能得到，这是正确的。所以这道题选的低。

m 的 运算是旗下的重点章节，但是这道题是 m 的 运算中的压轴王，很多同学不会解决这类问题的核心思维就是四个字，构造思维。好， 已知 x x 的 五次密等于一百，那么让我们去求 x 的 一百次密等于多少？构造思想去如何进行构造，你一定是找到他们之中的联系，那么前面这边的次数是 x 的 五次密， x 下面是底数， 那么怎么能得到 x 一 百次密呢？一百次密我们是可以写成 x 五次密，整体的二十次密，那么是不是我求出来 x 的 五次密的值是多少？那么这个题就算完了。好， 前面的部分 x 为底，它的次数是 x 的 五次密，这个数等于一百，我们需要一个知道一个知识点是什么呢？如果 x 的 x 次密等于十的十次密，那大家去想 x 应该等于几？是不是就是十？ 而且还有一个知道一个知识点，就是 x 的 a 次密的整体 b 次密是不是应该等于 x b 次密，整体的 a 次密，这个之间是可以进行转换的。知道这个知识点之后，我们去来看这道题， 它前面的底数是 x， 指数是 x 五次密。好，那这边等于一百的话，我们是不是可以对它整体进行五次密？ x 的 x 五次密， 如果整体进行五次密的话，那么是不是应该等于什么？等于 x 五次密，整体的 x 五次密对不对？好，那么这个数它是等于一百的，那它应该等于一百的五次密，一百是可以写成谁呢？一百是等于十的二次密的五次密， 那这边是 x 五次密，整体的 x 五次密是不是等于十的十次方？那这边是等于十的十次方，这边是 x 五次密，整体的 x 五次密说明什么？ x 五次密，它的整体就应该等于十。好，那么这边 x 一 百次密就应该等于十的二十次密，所以构造思想大家一定要去找到题干里面给我们的信息，以及我们问题中要求的是什么，把它们联系起来进行构造。

各位，很多家长啊，问，数学满分一百二十分，只能考一百分左右，怎么办？能不能再提升啊？我可以这样讲，几乎不可能再提升的。为什么？我给大家讲两个原因，第一个原因啊，第一个原因， 不管是中考还是高考啊，所有的考试最后两道题啊，最后两道题非常非常难， 俗称啊，亚洲体。为什么要弄这两道亚洲体？各位，那是为了人才选拔各个地区啊，全国都这样，必须出两道特别特别难的亚洲体，就是为了人才选拔好。那么这道难题有什么特点呢？书本上没有， 书本上不可能有，作业里边也不可能有，老师都不可能讲，这不就讲到第二个原因了，明知道考试有两道难题亚洲题，为什么老师不讲？ 为什么老师不讲？因为老师为了照顾全班五六十号学生，明白吧？你如果讲难题，亚洲题很多学生是听不懂的呀，所以他不是不想讲，是不能讲。 那么问题又来了，为什么有的同学他能考一百二？就是很多学霸很奇怪啊，学霸能考一百二，你可以去调查一下他除了啊，上课听讲以外啊，各位， 除了上课以外，他还经过了什么专业的训练，要么是什么？他报了培优班 啊，专门学习这些亚洲题难题，要不然就是他自学的啊，他有自己的资料啊，专门攻克这些难题亚洲题， 你很多同学他连作业都完不成啊，各位，上课听讲都听不懂啊啊。所以说，你想提到一百二十分几乎是不可能的，单独靠上课或者是写作业是完全不可能的，我可以这样讲， 所以说你必须得有专门的压轴题训练才有可能啊，再往上提升。最后给大家推荐一套书啊， 这套书呢叫初中数学压轴题，里边有几何的，有函数的啊，全部都是中考常见的难题压轴题，但是会的方法也很简单，所以说这些难题啊，必须得多练啊各位。

中考数学压轴题二十二种解析技巧全部吃透！逆袭班级前三！中考数学压轴题二十二种解析技巧一、经典抛物线结构二、抛物线中的等角存在性三、抛物线中的相似三角形的存在性 四、抛物线中的直角三角形存在性五、抛物线中的等腰三角形存在性 八、 power 线中的矩形存在性十一、 power 线中的面积最值问题十五、定语域求解十八、四、十五度角的经典拆分完整版分享！

在沭阳，很多初一的孩子在面对绝对值相加最值问题都很头疼，今天大郑老师给大家带来一招一点五断法，一招帮你解决这类题型的所有问题。 那么我们一起来看一下黑板上这道题，他们题目中给的是四个小问，第一小问是当 x 等于多少时，我们的 x 减二的绝对值取最小值，那么像对于数轴而言，他的最小值也就是 x 减 a 的 绝对值，那么他表示的是 x 到 a 点的距离，所以我们看上面的竖轴的话，也就任意的一个 x， 那 么到点二的距离，所以我们的 x 到点二的距离的话，什么时候最小呢？也就是 x 这个点其实应该在二的时候，那也就是第一小问应该是 x 等于二。这道题是比较简单的，那 我们看一下第二小问，第二小问呢是当 x 又怎么样的时候，我们的 x 减二的绝对值加上 x 减三的绝对值取得最小，那也就是同时这个点，那我们刚刚这个点 x 应该是到二和三这两个点的距离的最小值，那也就是两个点。比如我们标上一个点 a 还有 b 以及 c， 但它表示的应该是 ab 加上 a c， 那 ab 加 a c 什么时候最小呢？那其实也就是说这个点 a 应该是在 bc 的 左侧，也就 b 点的左侧，还是 c 点的右侧，或者说是在 b c 之间，那很显然的话应该是 a 点，应该如果说 这个时候是在 b c 中间的话，那么我们的 a b 加 a c， 也就是 x 减二的绝对值加上 x 减三的绝对值应该是最小，那此时应该是 x 在 二和三之间， x 大 于等于二，小于等于三，那么第三小问的话，我们要看一下规律的问题，我们来尝试探讨一下，它的结果应该是几呢？它给了是二、 五和三三个点，那我们在图上继续标二、五、三三个点，那我们把五标为点 d， 这个时候他给的是 a 点到 bcd 三个点的距离最小值之和，那我们举例子依然是 ab 加上 ac 加上 ad， 那 我们要知道 bd 的 话是作为 bcd 两边的两个点，那其实应该是点 a 应该在 bcd 两边的两个点，那其实他应该就变成了 bd 加上一个 ac， 因为 b、 d 此时它是一个定值，应该是等于二到五之间，应该是等于三的，那此时再加上一个 a c， 那 a c 什么时候它最小呢？它什么时候最小，那此时应该是 x 就 等于点 c 的 时候，也就等于三。其实我们再看一下第一小问，第一小问的话，它给的是一个的时候，那我们直接 x 等于这个二这个值， 那我们第三小问它给的是二、三、五，那我们 x 它的值应该是给的是 x 等于三，所以我们由一二、三三个小问的话，能否去找 找出规律出来呢？这就是我们今天要讲的一个方法，基点偶断法，也就是当 x 到一个点的时候，基数点的时候，那么他最后要取最小值，那么他的最后的结果应该是取 的一个点，也就是我们第一小问他给到的二的距离，以及第三小问他到的是三个点的距离，那么他应该是到他的最后的结果应该是一个点，是这个意思，那如果说我们向第二小问，他是在线段之间，也就是他其实是一个偶数， 两个点之间，它最终的结果，它应该表示出来的应该是一个线段，也就是我们的一个区间范围。 x 大 于等于二，小于等于三，那我们再猜想一下，第四小问的话，它给的是一二三四四个点，那它是奇数还是偶数？是不是很显然它是偶数，那最终它的结果是不是应该也是一个区间，这表示的一条线段，那我们来看一下，它最后应该等于是 我们首先去找它四个点，应该是二三一五，那我们按顺序写的话，应该是一二三五喽，那我们这个时候标为点 e， 那 一二三五的话，我们依然向第三小问，我们要求线段之和的话，我们应该表示出 a e 加上 a， b 加上 a， c 加上 a d。 那 首先我们的 b c， d， e 这四个点的话都是定点，那我们其实应该先可以先去求出它两只点， a e 加 a、 d， 它的最小值就应该等于 e d， 那 同样的 bc 加上啊，也就是我们的 ab 加上 ac， 应该它的最小值应该是 bc， 那 当然他什么时候才能取这个 bc 呢？应该是在这个 bc 之间的。 大家这个时候如果说不理解的话，发个信息给郑老师，我们来给你详细的讲一下，为什么还是在 bc 之间，那么他最后求的线段的值的话，应该是 x 大 于等于二，小于等于三。综上的话，那么这四个小问就是我们今天要讲的一个基点偶断法， 按照几点五段法，评论区告诉我这道题的答案，那么今天的课就到此结束，关注大正，让数学提分更简单，记得点赞关注加收藏哦！

这道二五年的中考填空压轴题，当地考生正确率不足百分之一。很多同学啊，看到这么简单的条件，这么简单的图，心里暗自偷笑，却发现读完题只剩了干瞪眼，没有方法， 不管你在草稿纸上怎么摆弄，都无从下手。其实啊，命题人这个题啊，考察的是几何变化，平移对称综合，求最值，别着急，老师，今天啊，就一道题，带你彻底学懂几何变换，求最值，考场遇到直接秒杀！我们来看题， 这个题呢，给的很巧妙哈，它这里说的是 a c 加 cd 是 五啊，就是这一段加这一段是五，然后呢，又给了这一段加这一段是八，然后现在呢？这两个点实际说白了啊，都是动的对吧，求的是 a e 和 b d 相加这两条中间这两条线什么时候有最小值？我天呐，这个题怎么办呀，来跟大家分享一下啊！实际上，大家在初二学全等的时候，我们在学截长补短，大家就应该能意识到啊，我遇到这样的一个条件， a c c d， 你 看 a c c d 这样相加是五， 你要把这个五给他表示出来，必须要干嘛？给他把这一段是给他展开变到这里地撇，对吧？这样的话， a c 加 cd 是 不就很舒服了？能理解，这其实上就是一种什么呀，轴对称思想哎，把它这个三角形对称过来， ok， 同样的道理上面也是一样的啊，就是你现在要求的是这段加这段，我把它对称下去，是变成了这段，就变成了这里，是不是它加它等于八，对吧，而且这里是九十度，就非常好看， ok， 所以 说呢，首先这个题啊，我们第一步要通过对称的思想， 把这个五和八给他表示一下， ok， 来，我画一下啊，把这个三角形呢，给他对称下去，对称到这个地方， e 一 撇。 ok， 那 所以说现在的我们的 b c 加 c， e 就 变成了 b c 加 c e 撇，当然是八，可以吧？就这样一条线啊，当然是八， ok， 与此同时呢，我要把这个造型给它对称过去，是吧？然后呢，这里是 d 一 撇，那我们来标一下啊，就是说原来的 a c 加 cd 就 变成了 a c 加 cd， 撇，当然是五。 各位，现在我们来看到是这样一个图形，这样一根线是五，这样的一根线是八。与此同时呢，你刚才要求的来，各位，你求的是这根线，我现在已经到这里了，对吧？他加上这根线 是他对称过来了，是，他现在求的是他加他什么时候有最小值，能理解了吗？好，这到了我说的第三步，跟大家分享的点，因为图越复杂，很多孩子在考场是越慌越乱的，对不对？所以说呢，我们需要给他抽丝剥茧来，他是我们的 a d 撇， 好吧，然后这个地方呢，是我们的 b 一 撇， ok， 现在求谁啊？求的是各位啊，它加它的最小值，能理解吧？这里是垂直的。好，这个题怎么做到这一步了？ 接下来干什么事情呢？继续给他通过几何变换来做一个操作呀？因为已知这个是八，这个是五，而且这里有个垂直。大家想到了什么呀？我是不是可以把这个五和八给他放在一个直角三角形中，通过再次平移 的思路来，我把五给他平移下来，连接他，大家告诉我这是个什么图形？ a 一 撇， f 一 撇是个什么图形？平四边形。所以说你要求的这个线段就挪到了这里， 能理解吧？然后本来是这个线段加他的最小值，变成了他加他的最小值，你想想，这里可是五，这里是不是也是五， 对吧？这里是垂直，你平移是不是这里平行也是垂直？ ok？ 然后现在变成了啥？各位抽丝剥茧了哈，变成了，已知他是八，他是五，这两个点是什么的？因为你是这个线段平移下来的，这个点是固定的，求这里的最什么值？最小值怎么办？两点之间线段最短， 对吧？因为这里只告诉你五，说白了，其实这个点它是动的，可以吗？所以说八五来根号，求一下啊，八八六十四加上二十五，这答案是根号八十九，因此这些答案是根号八十九， 可以理解吗？好，再来给大家分享一个邪修的方法啊，这个方法呢，需要你对于一定的数感和几何图形有有一些感知啊，他告诉你，他加他是几是八，对不对？大家想想啊， 相当于你扯了两根绳，一根绿绳，一根黄绳，长度是固定的，对吧？现在呢，大家去琢磨，他求的是 a 点到这个绳的距离最小，且 b 点到这个绳的距离绳子，对吧？这个距离最小。那怎么办呢？有没有种可能性啊？是我让这个 e 点往上走一走， a 点呢？往回走一走，这根线变短，或者 d 点往外走一走， b 点往下走一走，什么意思啊？来给大家感受一下。其实很多不等式最值的题都是这样的，就是说他俩是一根绳子，刚好取整的时候就说 a 点和 d 点重合， c 点在这 总共是五，我把这个点和他拉在一起，蹬在一起，这里是几？是二分之五。能理解，然后一样的方法啊，你把这根绳和这根绳给他蹬在一起。好，这根绳子这里是几呢？总共是八，那这里是不就是四，对吧？就相当于是 b 点和 e 点重合了， 可以吧？然后你再看你求啥？你求的是 a， e 就是 a 点和 e 点一拉，加上什么， b 点和 d 点也一拉，是不？这根线算两次，这里是直角。来求一下，两倍的根号下它的平方是四分之二十五，加上它的平方是十六，十六的话就是四分之六十四。 答案是两倍的根号下这里是几二，呃，这里出来是两倍的四，出来是二，这里是八十九。看到了没？答案也是八十九。好，这个是谐修的方法，但是这个是实实在在的几何变换。各位，这个题一题多解，你学会了吗？评论区告诉我。

每一个年级一本七八年级里面呢，是包括了百分之七十的中档题和百分之三十的难题。中考这本里面呢，是百分之五十的中档题和百分之五十的难题。对于相对基础还不错的孩子，就可以在周末的时候安排让孩子专门去列加主体。我们以七年级的为例，他每一个专题里面，都把对应的考点给孩子梳理出来，每一个考点里面对应的考法也会梳理出来，而且加心号呢，都是高频考点。 每一个考点里面呢，会有典型的例题，会把这道题的命题和规范的答题步骤给孩子整理出来，而且呢，可以看老师的方法，规范呢，是便于孩子理解消化这道题目的解决方法，以便呢能够达到 答题目的例题。学完了之后，后面会有针对性的练习题，而且后面的练习题呢，他的难度也给孩子标注好了，从两颗星到五颗星，难度是逐渐升级的。另外呢，他的答案是题题超讲解，确保呢解析过程非常的规范，孩子呢能够自己看明白。另外呢，针对里面的重难题，也给孩子配备了视频讲解。所以孩子呢，基础在中等以上呢，就可以直接去刷这一套压轴题。 初中数理化想要拿高分，压轴题必须攻克。推荐一本初中数理化压轴题，七八年级中考各一本。七八年级是包含了百分之七十中档题与百分之三十难题。中考里面是百分之五十中档题与百分之五十的难题。以七年级为例，适用于人教版教材，同步初中最新教材，按专题分类 梳理对应考点与考法，加新号的都是高频考点，针对考点对应的考法都有点力，精细与针对训练相结合。每题的难度信号标记逐步突破。压轴题，扫码还可看视频讲方法，直观深入更易懂。还有一题多解法，拓展思维，答案详解，单独成册，详细解析每道题。想要梳理化，拿高分的关键就是每天两道压轴题。

各位，尺规作图啊，在中考是必考的啊，今天老师要徒手啊，用尺规画出来这个三角形的内心、外心、垂心、重心、飞马心啊，看看老师怎么画的，这个方法很重要啊，咱们先画什么呢？ 咱们先画先画外心吧。啊？为什么先画外心啊？各位？因为内心太难了啊，内心太难，先画外心，外心怎么画外心？就是这个三角形的外接圆的心，这个道理能不能明白啊？外接圆，他的心 外接圆，怎么画？外接圆？你要画每条线段的垂直平分线垂直平分线怎么画？ 很简单啊，比如说，我要画这条线的垂直平分线啊，咱随便啊，指着一个端点随便指着一个端点，这什么烂烂圆规啊？这啊，随便指着一个端点啊，随便画个圆，你看我随便画个圆，对不对？ 然后指着这个断点再画个圆啊，再画个圆，还是这个半径以这个半径啊，还是这个半径画圆啊？是不是交于两点？是不是交于两点这两点？各位，这两点如果连起来的话，会发生什么啊？ 这个会，这是什么点？垂直平分线，因为这两个圆，他的两个交点连起来这个线啊，就是这条线的垂直平分线， 然后我再画这条线的垂直平分线这条线。画这条也可以啊，哪一条都行，画哪一条？这条吧，画画这条的垂直平分线。好吧，他的垂直平分线怎么画？ 还是老样子啊，随便随便画圆啊，这什么烂圆规？随便画圆？你看我随便画个圆，然后以这个圆形，我再随便画个圆。你看我是不是又教一两点啊？又教一两点。这两点如果连起来的话，各位啊， 是这个线是不是这条线的垂直平分线？垂直平分线，那这两条线的焦点是不是这个焦点？这个焦点有啥特点？这个焦点 他到这三个顶点的距离都相等啊，你说神奇不神奇？为什么？ 因为这是垂。这条线不是垂直平分线吗？那这个点到两到两个顶点的距离是不是相等啊？因为这个也是垂直平分线，那这两个距离不也相等吗？所以这三个距离都相等。这三个距离都相等的话，各位，我以这三个距离其中一个而画圆，你看， 哎，怎么画的不标准？我画的不太标准啊，回去自己画啊，你看我这样一画是不外界缘。各位，我画的不标准啊，方法，方法很重要，学会方法就可以了啊。这是不外界缘，外界缘就是外心啊，这什么烂烂缘，鬼外心。找到了，下一个。找什么？ 找他的锤心好找这个三角形的锤心啊锤心。好多同学说锤心。啥是锤心啊？锤心就是这个三角形啊，这个三角形， 三条垂线，三条垂线的的焦点，这个点叫垂心。好，那同学问了，那垂线怎么画？那这个垂线怎么画？关键是这个垂线怎么画？用尺规做图画，你可不能随便画。怎么画？画这个垂线怎么画？ 教给大家一个方法啊。这什么烂圆规，圆规修好了啊，他们再来啊。怎么画这个垂线？各位，从这个第一步啊，从这个点啊，随便画个圆，你看我随便画个圆。什么呀？ 给大家指，不给大家讲原理啊？从这个点我随便画个圆，然后再从这个点我随便再画个圆。 是不是又交一两点？这两点是不是又是这个点啊？这个线的垂直平分线啊？就是这个线的垂直平分线，找出它的终点就是找出这个线的终点，找到这个终点之后画个圆， 以它为直径，画个圆就是以它为半径，画个圆，交与这个点，这个点就是垂线。这个道理能不明白啊？各位， 为什么这个是垂线？为什么？因为这个是直径，以直以以这条线直径画的圆。各位，他所对的圆周角就是就是直角，所以说这个线就是垂线，那同样的道理，你再画他的垂线，再画他的垂线，这这交易。这个点不就是垂心吗？啊？这垂心， 那重心怎么画？各位啊，三角形的重心怎么画？我不用圆规了啊，各位，我给你们徒手画啊。什么叫这个重心？重心就是三个 终点，就是找到这三个边的终点连起来，终点连起来，这个心叫重心。 这个终点怎么找？刚才不是说过了吗？画圆不就找到这个中心了吗？这个这个啊，这个这个叫终点吗？这三个终点连起来，这个心就叫重心啊。重心。重心有什么特色？他有特色啊，他是什么特色呢？就是这条边啊，等于这条边的两倍。 这条边呢？等于这条边的两倍。帅气不？帅气啊，这条边等于这条边的两倍。为什么？回头给大家证明啊？这今今天就不证明了。这个什么啊？什么叫内心？ 内心，刚才说了，内心比较麻烦啊，内心就是内切圆的心，就是这个三角形内切圆的心。内切圆怎么画？内切圆怎么画？照脚平不厌啊，各位， 找角平分线啊，角平分线就是他的原心，为什么？因为角平分线啊，注意这个原理啊，角平分线到两端的距离啊， 就是到这个切点的距离是相等的，这个也是角平分线，这个距离和这个距离是不是也相等这两个距离 啊，所以说这三个距离不都相等吗？所以才是内切元，这个道理能不明白啊，这是内心费马辛，费马辛，回头给大家单独出一期啊，今天这个圆规太太垃圾了，回头再给他补录啊各位。

各位，这一道题啊，是典型的无限套娃题啊，无限套娃题会的方法很简单的啊，所以说方法很重要啊，我们来看一下，求一加二 除上三加四除上一加二除上三加啊，没完没了了啊，没完没了了，这个无限的啊，无限套娃的啊，做这类题怎么做啊？你要有整体思想， 就是说咱们球的这么一大块啊，你把它看成一个整体啊，假设这个整体是多少呢？它是个 t 啊，它是个 t， 那 么观察一下，从哪开始开始循环了？你看一下，一二三四，一二三四，是不是从这开始循环了？各位，注意观察一下， 这一大坨是不是和他本身是一样的呀？都是一加二除上三加四，一加二除上三加四，然后从这各位又开始循环了，也就说这个一整这个整体 t 啊，他是不是等于一 啊？一加上二除上三加上四除上多少？这么一大坨是不是也是 t 啊？各位， 是不是也是他本身呀？啊，这不就找到规律了吗？从这开始无限循环的对不对？那把 t 求出来，算出来 t 等于多少不就行了吗？这 t 怎么算啊？各位啊，两边啊，两边同时乘上，同时乘上三加 t 分 之四，两边同时乘上它啊，把分母消掉， t 乘上三加 t 分 之四等于多少呀？三 t 对 不对？三 t， 然后 t 乘上 t 分 之四，是不是变成四了呀？它加四对不对？等于多少呢？等于一乘上三加 t 分 之四，那就是三加 t 分 之四， 再加上这个分母去掉了，再加上二，对不对？是不是能化解成这个样子，然后下一步怎么办？嗯，下一步， 下一步，两边同时乘上 t， 把这个分母再消掉，这个三 t 乘上 t 的 话，变成 t 平方加四 t 对 不对？加四 t 等于三乘二十五啊，那就变成五 t 对不对？然后再加四，这个分母消掉了，是不是原式变成这个样子了？那把 t 算出来等于多少不就行了吗？啊，各位，这黑板太小了，写不下啊。三 t 平方对不对？三 t 平方 一过来是不是变成减 t 啊？正符合要弄对啊，然后减四等于零对不对？ t 等于多少呢？十字相乘法，一三四啊，负四啊。啊，应该是这种四可以拆成啥？ 四可以拆成负四乘一对不对？一和负四之十字相乘啊。 t 等于多少啊？ t 等于负一 或者 t 等于多少？ t 等于三分之四呀，对不对？十字相乘法会不会？ 也就说 t 可以 求出来两个值，一个是负一，一个是三分之四。那 t 不 能等于负数吧？这个 t 等于负一是不是错的呀？这一直加没有负数啊。那 t 是 不是只能等于三分之四？不相信的话。