isset()函数

这段时间呢，我们一直在讲这个 excel 的菲特函数，那我们之前也讲过这个菲特函数呢，是支持 excel 二零二一啊， ok， 是三六五最新版本和 wps 最新版本的， 但是在 excel 里边呢，我们是支持数组自动扩展的啊，比如说像现在我们按照这个商品名称进行一个筛选，是吧？我们直接可以可以在 excel 里边进行一个这个，呃，非常方便的一个筛选，是吧？然后 我们选择一下这个去，然后呢？我们选择这个， 哎，我们选择一下这个条件，是吧？等于 这个，是吧？然后我们返回一个这个，如果没有数据返回的，我们让他返回一个空，然后我们归设那数据就会自动输出到这个区域， 如果我们这个商品名称改变的呢？改变的话呢？哎，我们这个区域会自动扩展，是吧？自动扩展，哎，不多不少，刚好收入这么多。 但是我们在用大 vps 的过程中呢，哎，我们有些时候我们就是没有办法去自动扩展 啊，其实菲欧的函数的用法也是一样啊，我们的用法，我们那个写函数的写法也是一样，但是他返回数据的时候就出现一些问题。那好，我们看一下这个，我们在这个菲的函数里边 啊，我们在菲优特函数里边，在这个大白皮颜色里边用这个菲优特函数，我们，哎去怎么解决这个我们没法输出的问题？ 好，我们切换到这个 wps 里，我们看一下现在那个，哎，我们我们在用菲特函数的时候，他会出现什么现象？我们跟刚才在 x l 里边一样 啊，在 a 上里边一样，这个我们输入一下， 然后我们选择是吧？看同样的写法，然后我们这个条件呢？哎，一样的写法，我们选择这个是吧？然后，哎，没有数据的时候我们输出空子，然后我回车 啊，当然这个条件我这个没有加等号哈，我要等于这个商品名称的啊，然后我就是，是吧？那这个这样的话他只会返回一个第一个核对到的日期，是吧？ 当你如果向右填充公式或者向下填充公式，是不是不可以啊？是不对的是吧？哎，只有这一个日期是对的， 而且呢如果你要是用书组公式这种方式，然后我们向右填充，向下填充，看是是不是也不行，是吧？也是一样，那你说我把这个给绝对， 我把我把这个绝对引用一下，我再用这个数组数组这个公式，我看看行不行啊？回去，然后，哎，是不是不也不行啊？ 他都是个日期是吧？那你说我怎么行啊？哎，第一种，我们比如说我们可以把这个，呃，第一种方法啊，就是我们可以把这个区域 选了，预设一下，我们选很多啊，就是预设到我们觉得不可能超过这种情况，我们全部选了之后，我们左上角啊，我们这个选区的左上角啊，左上角有一个这个，嗯， 有一个这个，呃，单元格是吧？这个单元格是一个活动单元格，你看哈他是白的，然后我们这里显示的是这个单元格的位置啊，如果是这样的话就不行啊， 必须是活动单元格啊，在这个公式里边我们公司设置好啊，当然这个时候我们可以绝对也有，也可以不绝对也有啊，我可以不绝对也有， 我们直接跟这个 excel 里边这个设置设置设置方法是一样的就行了。那这个时候我们看看啊，我们看看这个，呃， 这个公式怎么输出啊？当我们在这个选择状况之下，就是我们要把要想把这个数据发去啊放在这里，然后我们把这一个区域就选中，全部选中，选中了之后我们左上角这一个单元格上写上公式，选中公式之后，我们在编辑状态下 啊，把公式写好了之后，我们在编辑状态下，你看我们这个右右下角是个编辑状态，怎么进入编辑状态？如果是这种状态就不是编辑状态，我们右下角没有。如果这个我们点了一下编辑栏，或者说我们摁一下键盘上的 f 二啊，这个键 f 二， 就是从 f 一到 f 十二这这几个功能键的 f 十 i f 二啊， f 二，第二个 f 一， f 二啊，这个键就是 f 二这个键。然后我们也可以进入编辑状态，或者是我们点一下编辑栏啊，这个编辑编辑栏， 那我们进入编辑状态了之后，我们按三个键， ctrl shift、 加回事，这三个键 承错加欺负加回上，这个时候我们会把整个数组全部输出。 但是这种方法啊有一个缺点，就是说我们下边没有数据的地方，他会显示几个 a 错误啊，这个是他一个缺点，我们没办法处理，但是如果你要是改这个， 改这个商品名称的话，他也会自动变，他也会自动变，但是下边这个错误就是难免的 啊。这种方法的好处是我们公式设置起来非常简单，非常简单，就是跟 x 里边一样，只是我们输输出的时候直接用这个数组方式啊，把整个区域选择了，然后在编辑状态下按三个键就可以完成 啊，这是一种方法，这种方法输出的数据呢，非常快，非常快，因为他跟这个学校里边这个输出是一样的，因为输出就这么大啊，一次性输出，所以说他这个速度是最快的。 那么第二种方法是什是，是哪种方法呢？哎，好，我们看一下第二种方法，我们把这个公式复制下来，因为我们公式是不变的啊，公式是不变的， 我把这个给去给清楚了，然后我我单独把这个公式给填到这个单身格，那么我们看一下，我们是不是需要把这个公式 啊？把这个数据取出来之后，我们可以把它偏移出来，是吧？可以用一代可以进行偏移，比如说我们输出的数组是是一定的啊，就是这样一个数组，正常是一这样一个数组，对吧？也就是说我们输出的数组是这样的 啊，是这样的，那我们当我们到这个这个数组整体就是这样的，当我们到这的时候，这是这个数组的，哎，这个地方是数组的第一行，第一例，这个数组，这个地方是数组的第一行，第二例、第三例、第四例、第五 五列、第六列、第七列，到这了之后我们是这一行，这个第二行的第一列，第二行的第二列，第二行的第三列，是这样的一个偏移，是吧？那我们偏移的时候我们怎么去做呢？我们可以用 index 进行拍偏移， 你在便宜那我们筛选出来数据就是一个数据，那我们偏移的位置这个地方既然是第一行第一列，那我们行序号就是一，那我们怎么让这个位置得到一呢？哎，我们要把当前的行号给取出来，就是六给取出来，对不对？那我们用肉这函数， 就这函数，因为我们查一下我们这个当前第一个单元格啊，就是我们输出公式的第一个单元格，它是属于它这行号是多少，然后我们让它变成个一，然后我们减去 五，是吧？六减去五就是等于一了，对吧？那好，那第这个还这个呢，是列序号，哎，列序号的话，我们怎么 怎么怎么输出呢？哎，我们现在的列列是第几列？一列，两列，三列、四列、五列，六列，七列，八列，九列，我们现在是第九列，是吧？那我们用康了吗？函数我们获取一下试试， 因为喝了我们能获取到当前的力，那我们摁一下这个我们计算一下，我们看看是不是酒，是吧？是第九力，那我们让要让把第九力变成 第一列，因为我们是数组的啊，放，要放数组的第一列，那我们减去八，当然如果你要是输出了一个新的工作表，输出到 a 一最左上角，那这个加减就 就可以不用要了啊，因为 a 一他是本身就是第一行，第一，第一例，对吧？好，我们把它扩起来， 这个时候啊，这个时候我们回车啊，这个也没关系，是吧？那我们现在我们再把这个区域多选一部分，多选一部分啊，我们像输出刚才这个菲特函数这个数组一样，我们按 f 二按肯创加系列的加回车， 我们看看是不是他跟那个菲，这个菲特直接摁是一样的呀？但是，但是你会发现这个错误是不一样的啊，这个错误是不一样的，这个错误是变成了井 r、 e、 f， 是吧？这个错误， 那这个错误是找不到，找不到这个区域了。所以说我们如果要是用这个函数输出的话， 我们可以把整个区域啊，也也把整个区域选中啊，我设置完公示了之后也把整个区域给选中。哎，跟这个最开始我们讲的一样，我们多选一些啊，有可能输出的单元格我们都给他选上，然后我们在这里按 f 二啊，在这个 这个区域按 fr， 我们肯说家媳妇在讲，那你说这个错误怎么处理呢？哎，我们先在设置公式的时候，我们先把这个给处理一下啊，处理完了之后我们再再输出这个公式，行吗？那好，我们怎么处理呢？如果错误的话，我们用 fair 去处理一下，用 fair 去处理一下， 对吧？那我们这个，呃，假设错误的话，我们让 他返回空置，我们按肯着家媳妇的压回事啊，也是三件结束，我们看看是不是输出了正确输出了，而且就是说 下边是空的，是吧？下边都是空的，他这个公式都输出来一个空纸，那这个时候我们改动这个商品名称，改动商品名称 是不是他就会变化呀？有变化对吧？他就会有变化啊，这样我们就实现一个输出的效果，这个速度呢，比我们刚才用菲特他直接输出这种方式要稍微慢一些，因为他要确定这个整个数组，然后返回的，然后再返回，是吧？啊？ 所以，哎，这个要稍微慢一点点，但是这个有个缺点，就是说我们这个 不是啊，不能在中间单独改啊，你是改不了的，因为我们刚才选择的时候是数组输出，所以我们整个选择到的区域里边，我们不能单独修改某一个单元格的纸啊，不能修改某一个单元格的纸是不可以修的，修改，因为它整体修是一个数组 啊，这个速度是快一些，但是他输出的整体是一个数字，所以他就会，哎，稍微慢一些，要不这个稍微麻烦一点啊，不是那么灵活，是吧？ 但是这个速度呢，还是比较快的啊，还是比较快的，他还是他还是这个整个速度提取了一次，只是说他按照不同的这个顺序把他排到单元格里边去啊，刚才我们用非由他直接输出那种方式，他是这个，呃，把整个数 直接输出到这个单元的区域啊，他有区别，所以数据量特别大的时候，哎，如果我们选这个这个区域特别大的时候，他们两个的速度是有区别的，是有区别，这个能能比那个稍微慢一点啊。 那你说我要是直接输出这种方式啊，就我把这个工作表复制一下，复制一个新的表，那你说我要像我看看这个放大一百二是吧？放到一百二吧， 我爸爸，好吧，我这边 放这么大，然后我们看看啊，如果我们要是 直接输出这种方式，我们用 fl， 好不好用啊？我们直接输出，我们不要这个 index， 我们用 fl 看看我们能不能去掉下边的颈纹 a， 我们试一下。 那好啊，我把这个去都选上。好，我把这个公式直接改掉啊，直接改掉，我把这个 index 这一部分都去掉，去掉， 把这个都去掉啊。我们让我们这个是非由他函数，是吧？然后我们这个非由他函数如果出错的话，我们让他返回这个空置，我们看看他能不能就是在下边那个九 a a 会返回空置， 我们按 ctrl 加西北的压灰车，我们看是不是还不行啊？所以说用这种方式我们就没有办法避免到这个输出错误数字 啊，用这种办法呢，我们就可以避免到输出错错误的数据。哎，这两种方法呢相对来说都比较快，因为数组只提取一次， 只不过这个是直接输出的，他不需要一个一个去给你重新排列出来，这个是要一个一个重新排列出来的，把数组重一个一个重新排列出来的，所以这个相对这个来说要慢一点点啊，要慢一点点 啊，就是用 index， 用 f l 加 index 加数组输出，这种方式会比这个，呃，直接用这个 face 函数，这个数组输出这种方式呢要慢一点，要慢一点。而且他还有一个错误处理， 这里边运算的时候如果数据量特别大，你会感觉出来啊。当然这两种方式呢，一般的数据量比较小， 千条数据的话，嗯，是没有问题的，一千条上万条数据都没问题。那好，我们再看一下第三种方法，第三种方法我把这个表给复制过来， 我直接复制吧，因为他这个，那我这个第三种方法呢？哎，是一个非常灵活的方法，但是他有缺点啊，他有缺点，我们看一下这个非常灵活的方法是哪一种？ 当然我们非常灵活的方法呢？我们用的公式和这个和这个第一个用应该开的这个公式是一样的，所以我们就把公式给直接给复制过来了。好，我把这个全部删了，我把这个公式给复制过来啊，他跟这个我们 我们用 index 这个函数是一模一样的。我们菲特做完了之后啊，我们菲特这个这个条件做完了之后，我们用 index， 用肉、用 call 去这个返回啊，如果你要没记住，你返回去看一下啊，看一下刚才什么怎么讲，那这个时候 我们需要怎么弄呢？我们我想就是用这个一拉啊，一填充，他自动出来这种方式啊，这个就相对来说比较灵活。但是这个，呃，我想说一下，就是如果你数据量特别大的话，不要用这种方式特别慢啊，因为每一个单元格要把整个数组运算一次， 然后找到他相应的数据写在这里，也就说每一个单元格相当于这个整个，相当于这个整个输出一次啊，相当于这个用，因为他直接输 出来一次啊，那你这么多单元格，你要单元格特别多的话，你会明显的感觉到特别特别啊，可能几千条数据你就会感觉到卡顿半天，这种啊，你这个这个还好，这个可能就几十条数据，所以你感觉不出来啊，感觉不是很明显。 当然这个函数呢，这个这个公式呢？和这个，呃，和这个用 index 函数这个解决的这种方案是完全一样的，但是他我们需要把这个我们引用的区域啊，引用的区域 包括条件全部都绝对引用啊，记住了，全部绝对引用，那我们在这一个单元格里按 ctrl 加系列加回车啊，按三，这个三键结束，按完了之后我们直接向右填充，我们向下填充，哎，这个就出来了啊，这个就出来。 这个你可以随意的去这个向下扩展啊，你可以可以把公式向下填充啊，都是可以的 啊，那你如果说你填充你没填充的地方，他可能就就出不来了。你比如说，呃，你现在是，我们现在是几条数据？我们现在是五条数据，是吧？那你你如果只填了，把这个公式给去看看，哎，这里边都有公式吗？ 啊？这底下都没有，是吧？那我把这个公式都给去了，是吧？你说我把这个公式去了，你说我这个公式我也删了啊，这个我也删了，这行业我也删了，是不是这个就显示不了了？哎，多出来你就显示不了了， 就这个灵活啊，这个非常灵活，但是他非常慢，那你 钱多少他就有多少，是吧？多了话，如果，呃，如果拉的比这个实际的筛选出来多，他就会返回这个空子啊，他跟我们这这个用这个数组方式返回是一样的，但是我们用数组方式返回呢，用数组方式返回呢？我们这个可以不决定也用 啊，他自动会给你这个判断位置，但是这个就不行啊，这个他必须得是绝对引用啊，除了这个肉和康朗姆去判断这个行号和猎号之外啊，我们这个， 这个，我们这个引用，这个要筛选的数据原区域和这个条件我们都必须啊，包括包括条件链啊，都必须是绝对引用的，因为他向下偏移的时候，每一个单元格都要把这个数据重新算一遍啊，需要注意的是数据特别 多的时候不要用这种方式，我不建议用这种方式啊，用这种方式的话啊，会比较卡，但是这种方式比较适合就是我们传统的这个公式，这种方式啊跟我们传统的公式这种操作方法是一模一样的，所以很多人比用这种方式用的比较顺手， 所以你可以多预设一些，是吧？这个时候还感觉不出来慢，我这配置也不是很高，然后 这个感觉出来还算可以吧，几十条信息还是还是比较可以的，还算可以这个速度，但是如果你要数据量特别大的话，你会明显的感觉到慢啊，你如果上个几千条数据你就会，你会感觉出来， 所以用大学演示呢？他没有自动扩展的功能啊，我们今天讲的这三种方法是我们 可以用到的方法，其中这种方法是有瑕疵的，他就一定瑕疵的，他就是呃，他是最快，但是他输出了之后会有呃，底下会有一部分是错误指，会返回错误指， 所以说我们这个当选是在不支持速度自动扩展的情况下，我们这个变通的使用这个非特函数其实也也很好的，这个至少来说比我们以前设置的很复杂的数组公式啊，要强的多，是吧，要快的多，也要方便的多。 好，我们今天这个就是飞舞台说在 wps 里边应用，我们就先讲到这里啊，就这个我是再加一句话啊，就是说如果我们多条件或或者是这个多条件组合，还有各种特殊情况，我们 和这个呃 xl 里边设置公式是完全一样的，我们可以用完全一样的方法去设置啊。如果，呃有很多这个不知道怎么去设置复杂公式的，你可以翻一翻我之前的视频看一下啊，都有都有奖，各种需求的都有奖 那。呃，这一部分和 excel 里边都是一样的啊，我们只需要加上这一部分啊，这一部分和我们今天讲的都是一样，所以我们只用这个，把之前在 excel 里边学到的用到当选颜色里边，只要加一个 index， 加一个 fl 就可以。 当然我们要注意一下，就是我们如果用这种灵活的方式的话，我们一定要这个绝对引用啊，把这个速度、区域、条件、区域和条件全部都要绝对引用。 好，我们今天这这一期就先讲到这里啊，如果还有问题的话可以给我留言。好，我们下一期再见。

老师，三角函数只学不会快，具体如何成交？推一下这种题，三种方法教给你。第一种，分子分母同时除以 cosine 二， c 比上 cosine 剩一个二倍的 tangent 的 阿尔法，加上 cosine 比 cosine 剩一个。一来分母 c 比上 cosine 剩一个 tangent 的 阿尔法。 cosine 比上 cosine 减去一来代入变成二乘以三加上一比上三减去一等于二分之七秒。 方法二，我知道 sin 比上 cosine 等于三，化简一下是给写成 cosine 阿尔法等于三倍的 cosine 阿尔法，然后代入 二乘以三倍的 cosine 阿尔法，再加上 cosine 阿尔法。下边儿是不是三个 cosine 阿尔法啊？三倍的 cosine 阿尔法减去 cosine 阿尔法， 这六个加一个剩七七倍的 cosine 阿尔法比上两个 cosine 阿尔法一约分二分之七秒。方法三， cosine 阿尔法比上 cosine 阿尔法。我如果等于三，直接魔法相等，让 cosine 阿尔法等于三， cosine alpha 等于一，给我带入变成二乘以三加上一比上三减去一等于二分之七秒。总有一种适合你，单招小助手上岸就看我。

py 函数每日学一个小知识，今日学习 c o 函数。 c o 函数的作用是向上取整，精准定义返回大于或等于传入数值的最小整数。 c o 不是 python 全角函数，必须先导入数学模块固定两步写法，一 import math 二 math c o x 参数 x 为数字类型，支持整数浮点数正负数核心规则，小数部分不管多大，一律向整数位进一整数传入返回自身。 一必须导入 max 模块再调用直接写 c o x 会报错二仅支持数字参数传，非数值类型直接报错。三返回值永远是整数类型。下面将十秒案例展示，稍后提问。 提问 max co 负五点九的运行结果是多少？知道答案的小伙伴把答案打在评论区。

今天给大家带来的是 filter 函数的几种用法，这个函数非常简单，它由两部分组成，一是查找的数据，二是查找的条件。我们先看第一个案例，已知姓名查地区，输入等于 filter 函数。第一个参数查找的数据，你查什么就选什么，这里要查的是地区。 第二参数是条件，也就是这个区域内的值要等于审兵，然后直接回车，结果直接出来了。看第二个例子，我们知道姓名、地区要找出金额，你就直接输入 filter 函数，你就记住第一个参数是我们查找的数据区域，这里就是金额列。 第二个参数就是条件，选中地区列，用并列符号选中姓名列，然后等于咱们的地区和姓名，按回车就好了，是不是很简单？我们再看第三个例子， 已知地区是浙江，要找出地区、姓名、金额，你就按照我说的来，输入等于 filter 函数。第一个参数是我们要查找的数据，这次把地区、姓名、金额全选上。 第二个参数是条件，也就是地区列等于浙江。敲回车搞定，是不是超级简单，每天进步一点点，你就是 excel 大 神。

今天我们学习 if 函数。 if 函数呢是多条件判断的最优选择，它的核心作用就是按照顺序依次判断多个条件，只要满足某一个条件，它就返回对应的结果。 它的基本语法是等于 if 条件一，结果一，条件二，结果二。它的条件和结果总是成对出现的， 它可以替代多层嵌套的异符函数，让公式结构更清晰，可读性更强。它的核心逻辑就是从左到右判断条件一段满足就返回对应的结果，后续条件全部失效。接下来我们就通过几个案例来深入的学习理解。 案例一，单条件的判断。这也是 if 函数的一个经典用法，比如下面表格中，当总分大于等于一百八十分的时候，判断为达标，小于一百八十分，则判断为不达标。 这种单条件的判断，我们一般使用 if 函数，在编辑当中输入等于 if g 六大于等于一百八十分，则判断为达标。否则的话，第三个参数为不达标， 点击回车向下填充。单条件判断是 if 函数的最经典用法，但是 if 函数也是可以进行单条件判断的，在编辑栏输入等于 if 函数， 第一个判断条件 g 六大于等于一百八十，第一个结果为达标。第二个判断条件 g 六小于一百八十，第二个结果不达标，点击回车向下填充。 这是这两个函数的一个具体写法。对于单条件的判断， if 函数比 if 函数更加简单。

大家好，我是陈老师。这节课我们来讲为路嘎盘速的基础用法。尾路嘎盘速号称函数之王， 在工作中呢使用特别多，我整理出为 look 函数的十八种用法，分为基础用法、进阶用法和高级用法。 这节课呢，给同学们来讲为路嘎盘术的四种基础用法，第一种，精确匹配，第二种，近视匹配，第三种，反向查找，第四种，多条件查找。每一种基础用法呢，我们都会通过一个实力给同学们来讲解，最后还给同学们讲一个工作中的真实案例。 我们先切换到素材文件，在课堂里面讲精确匹配之前，先来学习 we look at 函数的语法。 we look at 函数呢，总共有四个参数，第一个参数查找的值，第二个参数查找的范围 为第三个参数返回的列数。第四个参数查找方式。同学们要注意，第一个参数内容需要完全一样，需注意文本型、数字空格等。 好，也说我们第一个参数不仅要求他的内容一样，而且他的类型也要一致。比如说我们查找的值是这个文本型的，那我们查找范围内的这一个值就不能是这一个数值型的，也必须是文本型的， 反正就是查找值和去匹配这个数据范围内的，他的这一个内容要一样，数据类型的也一样。好，第二个参数查找范围的第一列，因为查找值的所在列，比如说我们这里根据公 工号来查找这个部门，那我们这一个匹配区域的第一列必须是工号这一列。 另外我们查找范围，通常呢需要使用这一个绝对引用，因为我们要进行公式填充，而我们这一个去匹配的数据区域是不能发生变化，所以呢，我们一般都是要绝对引用的 好，第三个参数就是返回，我们要第几列？比如说我们这里要返回部门，好，那么这个部门呢，是在工号姓名部门这里是第三列，所以我们返回的是第三列， 不是这一个工作表的第几列好。第四个参数就是我们这个查找方式，哎，我们是可以审阅的好，如果审阅的话，代表是使用默认的近视匹配，那么我们精确匹配是不能够进行审阅的。好， 接下来我们先来讲他的第一种用法，精确匹配好，我们这里是根据这个工号来查找对应的部门，好，那我们先把鼠标呢定位在 g 三这一个单元格，再把鼠标定位在公式编辑栏，我们输入一个等号，再输入这个 v look up 这个函数， 我们点击这个 f x， 那么弹出了这一个 vlog 函数的这一个 对话框，在这个对话框里面呢，我们来设置他的参数，他第一个参数，那我们就是这个查找的值吧，那么查找值呢，我们是根据这个工号去查找，所以呢我们就选择这个单元格 f 三， 好，然后我们第二个参数是他去匹配的这一个区域，也是这个查找的范围，那么这个范围呢， 我们就可以选择这个标题行开始选，一直选到我们的这个后面，我们选这个区域可以，当然你也可以去选择除标题行后面的这一个数据区域也是可以的，但是我们一般啊，我们会选择这一个行，这个标题行的这一个区域，所以我们选择 这一个三个单元格，之后按住键盘上的 ctrl 加 shift 加向下的方向键，这样我们可以快速的把这一个连续的数据区域选择好， 选择好了之后，我们要对他进行一个决定引用，所以我们先来选择这个区域，再按这一个 f 四这一个键，这样我们就进行了一个快速的决定引用。 好，当然呢，你用笔记本去按 f 四，如果没有反应的话，那说明你的笔记本设置了这个功能键的使用，要配合 f n 键，所以你要按 f n 加 f 四。好，然后第三个参数，第三个参数就是返回它的第几列，因为刚才我们选的是这个 bcd 三列，我们现在要返回 d 列，所以它是第三列，所以呢我们输入一个三。 好，第四个参数就是这个匹配的方式，现在我们需要一个精确匹配，所以这里呢，我们就不能选阅精确匹配呢，我们可以输入一个 pos， 你也可以输入一个零，好，我们零呢代表是一个精确匹配，依然代表是一个近视匹配处，代表是这个，哎， 近视匹配，然后这一个 force 代表的是这一个精确匹配。好，你输入这个 force 或者来输入这个零都可以啊。好，然后我们再点击确定呢， 那么这个时候这个部门呢就已经求出来了，然后我们拖着这个公式往下来进行一个公式填充。好，我们填充的时候呢，不要破坏他的格式，这里我们选择不带格式填充好，这样是不是我们就求出来了， 这是他的第一种用法啊，就是精确匹配，还有这种用法呢，也是我们工作中用的最多的一种用法。 再看我们的第二种用法，第二种用法呢就是一个近视匹配，近视匹配呢就是我们在一个区间里面进行查找的时候，那我们一般是用到这个近视匹配 好，比如说我们这里是要根据他女人的分数来查找他对应的成绩，好对应的成绩来告诉我们了，零到五十九分呢，我们是不及格的，六十到七十九呢就是一个及格，然后八十到八十九呢是一个良好，九十到一百呢是 一个优秀，那我们要根据这个九十一点五，他是不是在九十到一百这个区间，那么他的成绩应该就是一个优秀。那我们用这个为 look 函数的近视匹配，他有个要求，就是在我们 对这些数据啊要有一个声序排列，并且呢他返回的是他的这一个最小值，比如说我们这一个九十一点五，他虽然在这一个区间里面 去查找，但是查找他的最小值呢应该是九十，所以他会返回九十，对应的这一个后面的这个成绩值优秀。所以这个时候我们要构建一个辅助列啊， 就是零到五十九，他的最小值是多少呢？就是零吧，所以这个我们输入一个零，好，六十到七十九呢，最小值是六十 十，然后后面的这一个八十到八十九呢，最小值就是八十九十到一百，那么最小值呢是九十，那么这样我们就构建了好这一个辅助链，并且呢同学们注意啊，这个辅助链他必须按这个声序进行排列，如果没有进行声序排列呢， 这个技术匹配也不会成功。好，接下来我们来选择一三这个单元格，再把鼠标定位在公式编辑栏，我们输入一个等号，再输入这一个 v look up 函数，然后点击 fx， 弹出了这个为 look 啊盘数的对号框，在这里我们来设置它的这一个参数，那么这里我们是根据语文成绩来找，所以我们选择第三这个单元格第一个参数，第二个参数呢就是匹配的这个区域，那么这个区域呢，我们就不能够去选择我们这一个完整的区， 因为我们要求啊，他匹配的这一列必须是第一列，所以这列我们就只能去选择这一个辅助列和乘积这一列的数据区域。 好，并且呢这一个数据待会我们进行公式填充的时候，他不能发生变化，所以呢我们按下 f 四进行一个决定，引用好第三个参数， 第三个参数呢，就是我们这一个数据区域里面啊，我们要返回的是哪一列，那我们辅助列是第一列，然后后面呢乘积是第二列吧，所以记得我们输入一个啊，好，第 四个参数，那么这里我们要用到的是他的精确匹啊，近视匹配，近视匹配呢，我们输入一个一也可以，或者呢你输入这一个猝死也可以。好，我们点击这个确定呢，那么这个时候我们就会把他后面的这个 成绩匹配出来。好，然后我们再去进行一个公式的一个填充好，填充之后这里同样不破坏他的格式，我们选择不带格式填充。好，我们来检查一次，你看九十一点五，他在这一个区间，所以是优秀， 九十一点五呢，他是大于这个九十的，他会去找比这个值小的最接近的一个数值，是不是？我们找到九十， 好，然后我们再看这个五十八。好，五十八的话呢，他是在这个零到五十九这个区间，好，他会去找比五十八小最近的值，那我们这里还是找到了零，所以他的这一个成绩呢，就是一个不及格， 这是他的第二种用法，继续匹配。好，下面我们再来看这一个反向查找。好，反向查找，比如说我们这里要根据他的这一个工 工号去查找他的姓名，但是我们发现啊，他的这个姓名在工号的前面这一列，对不对？那么这个时候呢，我们这里明确要求就去查找范围第一列，因为查找值所在的这一列，那么这个时候我们是没有法实现的， 不信的话呢，我们可以试一次啊。好，我们先来选择计算这个单元格，再把鼠标定位在公式编辑栏，输入等号，我们再输入为 look up 这个函数， 点击 f x， 弹出了这一个函数对号框。好，查的值，我们根据这个工号，然后查的区域范围，好，比如说我们就根据这一个范围， 好，然后我们要进行一个绝对引用。好返回的列，我们要返回姓名，姓名呢，是在第一列，然后这里我们要精确匹配，输入一个 force， 好，我们点击确定，你会发现这里是一个错误值。好，这个错误值，为什么发生了这一个错误值呢？是因为啊，就是我们查字的第一列，他不是我们这个数据区域的第一列， 所以呢这就错了，那么这个时候我们就要来进行一个调整，就是把 b 和 c 列呢进行一个 换列，就是我们把它的位置交换一下，那么交换一下呢，我们知道啊，我们先来选择这一个 b 列，选择 b 列之后，你按住键盘上的 shift 键，然后把鼠标移动到我们的这一列的这个 边框上啊，那么出现上下左右的箭头，然后我们就拖到这个工号的后面，这个时候呢我们就可以切换这个列，对不对？那么这个时候我们的工号在前面呢，这一个姓名在后面， 那么这个时候我们就可以查查出来了，你看这个公式一下就查查出来资料，只是我们返回的第一列这个列数量不对，那么资料我们要重新来修改，那么我们要返回的是姓名，姓名是这个区域的第二列，所以呢我们是料把它 换成二，好点击确定呢，那么这个时候就把他的姓名找出来了，然后我们再进行一个公式填充，同样的我们不破坏他的格式，这个选择不带格式的填充，这个时候呢我们就把姓名做出来了啊，好，当然呢，我们后面还会讲他的这个高级用法，高级用法呢就说我们不 去调整他的这个列，我们用这个衣服数组啊，然后去构造这一个工号姓名的这么两列数据出来，现在我们也能查询出来啊，这是我们第三节课讲这个 高级用法的时候呢，再给同学们讲这点，我们先讲他的基础用法，好在下在接下来我们来看他的这一个多条件，查找好这个地方啊，我们要根据他的这一个 哎编号性别、姓名来查找他对应的这个部门。哎，有人说，老帅，你根据这个编号查不就可以了吗？但是编号你发现啊，哎，他这个地方有乘负值， 有乘负值的话，因为我们为 logo 函数只会去匹配他的第一条数据，所以这个时候我们就不能够根据这个编号值得去查找。而有的说根据这个性别性别的话，同样的是有这一个乘负值的， 根据姓名呢，姓名的时候，我们这里是不是也有这一个乘负值啊？所以这个时候呢，我们根据任何一列都不行。好，两列组合呢？好，如果说我按这一个编号 加性别，好，那么这个时候你看到，哎，这个地方是不是两列加起还是有重复值，所以这个时候呢，我们就会根据编号姓名 啊，系编号性别姓名的三列，然后我们再来查找。所以这点我们要做一个辅助列啊，先把我们这三列数据来合到一起， 那么合在一起的话，我们就要配合这一个函数使用，你这个函数呢，我们是使各类的数据进行一个合并，叫做文本连接函数，那么这里面呢有 很多个参数啊，那么需要的呢，就是有至少要有两个参数是文本一，文本二，当然最多呢，我们也只能有三十个参数。好，那么我们现在完成第一个辅助列的这个数据，我们先把鼠标呢定位在这个一三单元格，再把鼠标啊定位在公司 编辑栏，输入一个等号，再输入我们这一个文本连接函数。好，我们只要输一部分啊，后面的这个数字啊，这个函数呢就全部出来了。好，然后我们再点击这个 f x， 好，这里呢我们有至少两个参数，我们来分别来选择这些单元格， 好，接下来就是这个 c 三好，再接下来就是 d 三好，选择之后，他就会把我们所有的这个字符来连接到一起吧， 我们点击确定，然后再进行这一个公式的一个填充好，填充之后啊，然后在这边我们选择不带格式填充好，接下来是不是我们在这边就可以用 vlog 啊盘出来 查找这个部门了，但是这里呢，我们同样的要把前面这三个的，我们要把它先合并，合并之后作为他的这个查找， 所以我们要再把这个公式再用一次，现在我们选择可以上这个单元格，把鼠标定位在公式编辑栏，输入等号，再输入这个函数， 好，这个函数呢就是这个函数啊，然后我们补齐这个括号，点击 f x， 好，弹出了这一个函数对号框，然后我们选择要合并的这些单元格，然后我们点击确定了，点击确定之后这里我们合并了，合并之后我们再选择这个公式安框的加 x， 注意啊，我们又把前面的这个等号没有剪切，然后我们再输入这个为 look 函数，点击这个 f x， 那么第一个参数就是刚才我们用函数得到的这个值吧，你看我们是不是把三个数据把它组合在一起了，好，第二个参数呢？第二个参数 就是我们要去匹配的这个区域，那么这个区域呢？那我们就不是这个区域了吧，因为我们合并之后，是不是我们只要辅助链和不明这两链，所以这点我们应该去选择这个数据区域。好，这个数据区域呢不能发生变化，我们按 f 四进行决定引用， 然后我们返回的这一个列数，就是我们刚才选择这个区域的第二列。好，第一列是辅助列，第二列呢就是不明列吧，所以我们这里输入一个二。好，后面呢我们输入这一个 force， 就是一个精确匹配。好，我们点击这个确定呢，这个时候我们就把它求出来了，然后再进行一个公式填充就可以了， 在这里我们再选择不带格式填充，这样我们就不破坏他的这一个格式啊。好，另外啊，我们这一个字符串的连接呢，我们第一是可以用这个函数，第二呢我们还可以用另外一个 个符号来进行连接，也可以的。好，这里也跟着视频来做一次啊。好，先选这个数据区，之后我们清除内容。好，第二种就是什么呢？就是我们输入一个等号， 先选择这个 h 三次单格。好，我们要连接的话，我们就输入这个符号，输入这个符号之后再点一下这个 i 三，好，再输入一次这样的符号，再点这一个， 哎，接上，然后我们点这个勾确认，你会发现。哎，这个时候是不是也把我们的这一个三个字母串进行连接了呀？ 好，我们直接用连接符也可以啊，再剪切，剪切之后我们再输入这个 vlog 函数，然后再点击 fx。 好，刚才我们连接之后啊，就是这一个值，你看是不是得到了我们的这一个三 个单元格里面的文本内容。好，再接下来就是我们的这个匹配区域，这个区域呢？还是这一个区域啊？我们选择选之后啊，要正经决定用，按下 f 四，返回的是掉列， 接下来我们是一个精确匹配 force， 好，点击确定，再进行一个公式填充，然后不破坏它的格式，我们选择不带格式填充。好，这样就完成了。 好，下面我们来给同学们讲一个公众的案例，这个公众的案例呢，他是根据这个图书编号，我们把这个图书名称找出来，还这个图书名称呢，我们这里有个编号对照表，他这里有图书编号，有图书名称， 然后我们去查询出来就行了。那么这个时候怎么做啊？我们选择一三这个单格，把鼠标丢在公式边，进来输入一个等号，输入这个 look 二盘数，这是不是我们只要用他的这一个精确匹配就可以了？好，第一个参数呢，我们是根据图书编号去找第二个参数呢，我们是 是一个编号对照表里面的这个数据区域。好，当然啊，这点我们选选择的这个区域呢，就有很多种选法，第一种选法呢，我们选择这两列是我们框选的这个数据区域， 还有呢，我们直接选择这三列数据，这个区域也可以，对不对？还有选选择呢，我们选择下面的这本数据就可以。 好，或者我们选择这一部分数据区也可以，对不对？好，一般呢，我们会选择带标题的这两列数据，选这个区域。好，同样的，这里我们要进行一个决定，引用选择之后，我们按一下 f 四，好，这里返回的是我们图是名称记列，那么是第二列，所以呢我们输 一个二。好，这里我们运用到是精确匹配，说了输入 force 好，然后我们再去进行这一个填充就可以了。好，填充呢，你也可以双击去进行填充，当然你直接去拖选也可以啊，在这里我们选择不带头饰填充，这样是不是我们就把这个做出来了， 好，这次呢就说我们这里用的是一个绝对引用。好，一般工作呢，我们会怎么做呢？我们会把这个工作表啊， 把他命啊定一个名称，后面的这个地方呢，我们也定一个名称啊，我们一般会这么做，这里也给同学们演示一下啊，这里我们来撤销两步。好，现在我们来选择这个数据区域， 选择之后呢，我们按 ctrl 加 shirt， 加向下的方向键，这样我们可以快速的把这个数据区域全部选择好。选择好 之后啊，我们可以切换到这个插入，在这里我们点这个表格，把它转化为这个超级表。好，点击确定。好，其实我们转化为超级表的，其实下面是我们就给他定义了一个名称，我们可以切换到公式 这个选项点名称管理器，这里我们有个表一，是不是我们像是给他定一个名称，然后我们再切换到编号对折表，同样的我们选择这一个区域， 选这个区之后我们切换到插入，然后点表格，然后我们点这个确定，这个时候呢我们把这一个地方也给他念了一个名字，那我们来看一下啊，公式 名称管理器，这呢我们是一个表二，对不对？这呢我们就把他的这一个名称都定义好了，定义好了之后，我们再选择这个，呃，一三单元格，同样的 鼠标定位，在公式编辑栏输入一个等号，输入为 look up 这个函数，点击 f x。 好了，我们的第一个参数是根据图书编号去找好，这个时候你看啊，我们转化为这个超级表之后就定了名称，开始我们显示的是 d 三吧这个参数，但是这里我们是一个中括号，然后一个 alt， 然后图书名称，对不对？所以这里我们的这一个显示就不一样了啊，所以有同学说，哎，老师，你为什么显示的是这个 alt 图书名称一个中括号，为什么我显示的是一个 d 三？这是因为我对这个工作表啊， 先是把它转化为这个超级表了，相当是我给他定义了一个名称。好，然后我们再来看这个数据区域啊，这个数据区域呢，我们来选择这一部分啊，选择这一部分的话，我们就是表二，然后一个中号井全部， 那么这里就是决定引用了，所以我们不用去管这一个绝对赢，还是相对引用，他默认的就是一个决定引用好。当然啊，你也可以来选择这两列啊，选这两列的，你看一下这里显示这里呢，我们就变成这样的一个显示，表二中号仅全部，然后再是图书编号，冒号，图书名称。 好，当然知道，我们一般是会来选择我们这一个区域，就是表二级全部，然后一个中号括起来的，对不对？他这里返回他的第几列，我们的第二列，然后后面呢，我们是一个 force 精确匹配，点击确定，而且我们用这个，嗯， 就是把它转换超级表的时候，我们公式填充它会自动填充，就不用我们去这个进行双击啊，然后拖选去进行填充了，这样我们是不是也求出来了？

今天来学习一下 if 函数的一个用法， if 是 一个多条件的一个逻辑函数，后面的话加上条件一，会输出我们的 条件一字，当符合我们的条件二的时候，输出我们的条件二，就当是多条件的一个应用的时候，我们可以这样去书写这里实际案例， 打比方我们这里是一个销售金额，那这里的话会有一个类别，那我们类别当中会有新开续期，还有我们的加空号，那这里面如果我们在填写我们的一个啊，续期的时候，他对应的一个啊，提成点是不一样的，那这里面的话，我们如何让公式去啊，填写这个提成比例。 好，我们首先的话用 excel 函数，这里可以书写一个类型，当我的类型为新开的时候，输出它的一个百分比啊，提升比例啊，当我的续费的时候，输出的话对应的值。 excel 函数的话， 它这里就是条件啊，值它的条件，它的一个值，它的条件它对应的值啊，如果有多条件，那就一直加下去啊，这也是我们函数当中最常用的一个啊，一个点。当然这里面还会有一种情况，就是我们的 还有一些产品，那这里面的产品的话，就是比方说我我把这个产品啊跟提升比例重新调整一下，就我们对应的产品他的一个新开不同的产品，他的新开跟续费提升点是不一样的，那这样的话，我们是啊如何去啊，去做到呢啊？ 也就是我们这个地方的话，我们啊用 else 这样函数啊，前面加一个 n 的 一个啊书写，也就说我的产品当是 a 的 时候，是新开的时候能输出这个结果， 还是跟刚才的逻辑是一样的，就是当我的啊，新开是多少？只是这里面加了个条件，我的产品的同时满足是 a 产品。当然如果我是 b 产品，你说我们的产品是 b 啊，是新开的时候他他点是这个， 以此类推啊，把这个公式写好，那这样的话我们就是在对应的产品，我们新增一条记录，比方说这里面是一个啊，两万的对应的产品，它这个是个 b 产品，它的类型呢？属于这个啊，需求 我们一填写的时候，它就会自动的话，根据 b 产品的一个计算比例算出对应的一些提成，也就是这里面的话，我们就不需要去额外去去书写，然后去相关那些计算了。这个就是 f 函数的使用，你学会了吗？可以点赞收藏。

大家好，我是草荠菜先生，一起学习提升职场效率。大家好，今天和大家一起来说一下在 excel 里面判断错误值的两个函数，一个是一四一啊啊， 另外一个函数是意思 error， 这两个函数都是 excel 里面判断 指定值是不是错误值的一种一个函数。但是 is e r r 和 is era 是有区别的， is e r r， 它不能够判断 n a 这种错误值。就是说如果我们给定的这个值是 n a 的错误类型的话， is e r r， 它判定 结果是假，就是他不认为这是一个错误的，但是意思 error， 他会判定包括 n a 在内的所有错误类型，他都认为是错误，他的结果就是真。比如说我们给大家做一个演示，就是比如我们在单元格里面写 is e r r， 如果我们在判断第三就是 n a 的这个值的时候，对于 is e r r 来说，它的判断这个值是假，就是呃，他不认为 n a 是一个错误值，但是对于 is error 来说， 他会判定所有的值，包括 n a 这种错误值都是真，就是所有错误类型，他都会判定这个 就是一个错误的结果。但是对于意思 e r r 来说， n a， 他不认为这是一个错误词。这里面我们也可以看一下在 excel 里面的一个说明。 is e r 它是检测一个值是否为 n a 以外的错误，就包括值错误、引用错误 备注数为零以及我们的空子。但是对于 is error 来说，它会判断包括 n a 在内的七种错误类型， 它都会返回处，对于 is error 来说，它只会返回除 n a 之外的六种错误类型为处。这就是今天我们给大家说的 excel 里面判 段错误值的两个函数，大家可以多加练习，有什么问题可以给我们留言关注我们一起提升职场效率。

if 函数的经典用法二，多条件的判断完全替代 if 函数，这也是 if 函数的最经典的用法， 比如说这个表格，我们要判断总分大于等于二百六则为优秀，大于等于二百二为良好，大于等于一百八为及格，小于一百八十分则为不及格。 if 函数呢，需要进行嵌套，带边形的数等于 if 记六大于等于二百六十分则判断为优秀。 第三个条件需要再嵌入一个 if 函数，记六大于等于二百二则判断为良好。 接下来再牵着一个 if 函数， g 六大于等于一百八则判断为及格， 最后判断为不及格。补齐公式，点击回车 向下填充。可以看到这个公式就比较复杂了，如果我们的判断条件还多一点的话，就会更加的复杂，经常会把我们绕的晕头转向的，这时候呢，就需要我们的 if 函数来出手了。在编辑栏中输入，等于 if 条件一，记六大于等于二百六十，结果一，优秀。条件二，记六大于等于二百二十，结果二，良好。 条件三，记六大于等于一百八十，结果三，及格。 条件四，总分小于一百八。这里呢我们可以写一个处来代替 g 六小于一百八，判断为不及格。点击回车向下填充。 以下呢就是这两个函数的公式的写法，可以看到 if 函数需要多层的进行嵌套，公式的可读性就非常差， if 函数呢，就通过条件结果，条件结果非常清晰的展示了出来， 这里呢我们还要再多说几句。第一个就是 if 函数的条件和结果必须是成双成对的出现的。 第二个 if 函数的判断逻辑，他是从左往右逐项来进行判断的，他的判断只有两种结果，要么是处，要么是 force。 当他判断为处的时候，就会返回对应的结果， 那么他后面的所有的公式就不再进行判断了。所以我们在写公式的时候也要注意条件要按照从高到低或者是从低到高的顺序来排列，否则的话就会出现一个逻辑的错误。 多条件判断是 if 函数的最经典的用法，当我们的判断条件大于三个的时候，我们一般就推荐用 if 函数来替代 if 函数了。

同学们好，我是一分钟老师。今天开始，我将带领大家学习高等数学上的第一部分，极限与连续。首先，我们学习第一课求函数的极限。题目一般只会在这七种类型里考察，但在期末考试中，出现概率最大的就是零比零型。 何为零比零型？就是将 x 去近的数直接带入后边的十字所得出的结果里，分子分母都去近于零， 这就是零比零形求这个零比零形的极限。我们通常采用两种方法，第一种是洛必达法则，当然洛必达法则也可以求无穷比无穷形的极限，这个我们后面会讲。 所谓洛必达法则，就是对分子分母同时求导一减， cos 艾克斯求导等于它，而艾克斯方求导等于它。 然后我们将 x 去近的数带入后边的式子算一算，发现仍为零比零斜，那我们继续使用洛必达法则。 然后我们再次将 x 去近的数带入后边的式子算一算，可以求出结果为四分之一。 当然，你要是遇到题目像这题这样分子分母的导数求起来很麻烦，或者越落越复杂了，一般就要换方法了，你可不要头舔，一直往死里落，别等交卷的极限都没求出来。 接着我们学习求零比零型的极限，常用的第二种方法等叫无穷小，请大家记住，当 x 趋近于零时，三、 i x 四、阿克萨勒克斯贪婪的 x 四、阿克贪婪的 x 四一的 x 方减一 y 一 加 x 都可以等价替换成 x。 为什么呢？我们以萨克斯为例，当 x 趋近于零时，萨克斯除以 x 的 极限等于多少呢？我们用洛必达法则对分子求导是 cos， 萨克斯对分母求导是一。 我们将 x 去近于零，带入后边的式子可以求得结果为 cosine 零比一，也就是一。结果是一，就说明分子 sine x 和分母 x 是 等价的。 同理，当 x 趋近于零时，这些跟 x 也都是等价的，视频时长原因这里就不一一证明了。另外还有两个特殊的需要记住，一减 cos 等价于二分之一 x 方，一加 x 的 阿尔法次方减一等价于阿尔法倍的 x。 其实这些 x 可以 进一步推广，将它们统一换成二 x 或者 x 方等等也成立。 特别注意，等价无穷小有个原则，就是乘除可以用，加减最好不要用，容易出错。 比如说这道零比零型的题目，分子是艾克斯减萨莱克斯，那萨莱克斯可不可以替换成艾克斯？不可以， 因为萨莱克斯替换成艾克斯之后，分子就变成了艾克斯减艾克斯也就是零，零除以任何数等于零，但实际上这个极限根本不等于零。 所有加减的最好不要用等价无穷小，容易出错。虽然在一定的前提下，加减也可以用，但视频时长原因这里就不展开讲了。大家记住，等价无穷小乘除可以用，加减就别用了。 好，我们看一下这道题具体是怎么做的。首先，它是零比零型，所以我们可以使用等价无穷小和洛必达法则来做。我们优先分析它能不能使用等价无穷小，因为等价无穷小可以将复杂的式子等价替换为简单的式子，替换后计算会更简易。 我们刚才分析过，分子代减号不能用等价无穷小，那分母呢？看似是两项相减，实际上可以写成两项相乘 这一项。根据这个关系，可以等价替换为二分之一 x 方。化简一下，分母可以变成二分之一 x 的 三次方。 好，现在这个极限仍为零比零写，但我们已经使用过等价无穷小了。那接下来我们对它使用洛必达法则， 我们对分子、分母同时求导，可以求出这个结果，但我们发现这个极限仍为零比零写，所以仍然使用等价无穷小和洛必达法则来做。我们优先分析它能不能使用等价无穷小， 很明显可以用，因为一减 q 算 x。 根据这个关系，可以等价替换为二分之一 x 方，此时两个 x 方可以约掉，所以极限结果为二分之一，除以二分之三，也就是三分之一。 接着我们学习求无穷比无穷型的极限，求这个无穷比无穷型的极限。我们通常采用两种方法，第一种是洛必达法则，也就是对分子、分母同时求导。 但我们还有更推荐的第二种方法，也就是抓大头。它的意思是指保留增长速度最快的项，忽略其他项后再计算极限。比如这道题，它是无穷比无穷型，我们可以只保留分子中的大头，也就是 x 方。 为什么大头是 x 方，不是 x 也不是 e 呢？我们可以画一下它们的图像，很明显，增长速度最快的是 y， 等于 x 方， 因为它的图像走势最陡峭，能更快的趋近于正无穷。所以 x 方是大头，我们要抓的就是它，其他像忽略即可。我们再看分母，很明显分母的大头是二 x 四方，忽略三 x 四即可。 然后我们再计算极限， x 方可以约掉结果，等于二分之一。当然你用路比达法则做也可以，但大部分题目都不如抓大头发简单便捷。 在考试时，题目往往不会出的这么容易，可能还会出现对数函数和指数函数，我们还是先画出它们的图像。 可以发现，指数函数增长速度最快，密函数次值，对数函数最慢。也就是说，当 x 趋近于正无穷时，指数函数的增长层级大于密函数，大于对数函数。 所以这道题分子值保留增长最快的密函数 x 方，分母值保留增长最快的指数函数一的 x 次方。 然后我们再计算极限，虽然这个极限仍为无穷比无穷型，但 x 趋近于正无穷时，指出函数的增长层级带一密函数，所以极限结果为零。当然，你也可以使用洛必达法则，求出的结果也是零。 接着我们学习求零乘无穷型的极限， 求这个零成无穷型的极限。我们需要转化成零比零型或者无穷比无穷型。比如这道题，我们将 x 去近的数带入后边的式子，会发现它是零成无穷型。 那我们转化一下，将 line x 方加 e 移到分子上，可以发现这个极限转化成了无穷比无穷性。无穷比无穷性可以使用洛必达法则，很容易可以求出极限结果为零。 接着我们学习求无穷减无穷型的极限，求这个无穷减无穷型的极限，我们可以把它转化成零比零型或者无穷比无穷型这样的分式型。 比如这道题，我们将 x 去近的数带入后边的式子，会发现它是无穷减无穷型，那我们需要将其转化为分式型。 如何将两个相减的式子转化成分式呢？一般有三种方法，第一种是有理化，像这种有根号的式子，我们通过乘以它的共格根式，可以将它变为这样，化简一下很容易，可以求得极限，结果为二分之一。 第二种方法是通分，这种方法适用于两个分式的差。比如这道题，我们将两个分式通分，可以变成这样化简一下很容易，可以求得极限结果为负二分之一。 第三种方法是换元，适用于像这道题这样，既有 x 又有 x 分 之一等，此时我们可以令 t 等于 x 分 之一，那么 x 就 等于 t 分 之一。 t 分 之一趋近于正无穷，其实就是 t 趋近于正无穷分之一，也就是 t 趋近于令正 好。幻缘结束后，我们计算一下这个极限。先将狮子通分，可以变成这样，此时极限是零比零险，那我们使用洛必达法则，很容易可以求得结果为零。 接着我们学习求异的无穷次方形的极限，求这种类型的极限，我们只需要记住这个公式即可。 比如这道题，我们将 x 去近的数带入后边的式子，会发现它是零比零的无穷次方。这个底数很奇怪啊，它并不等于一，怎么能符合一的无穷次方形呢？ 其实我们应该这样分析，当 x 趋近于零时，根据等价无穷小 y 逆加 x 可以 替换为 x， x 除以 x 就 等于一。所以极限式子的底数其实就是一 好。判断出极限十一的无穷次方形之后，我们直接套用这个公式，很容易可以得出极限等于它。然后我们化简一下这部分，可以变成这样。 此时这个极限是零比零型的，那我们使用洛必达法则可以得到这个式子，我们再对它进行通分，很容易可以求得最终结果，唯一的负二分之一次方。 最后这是公式的推导过程。 接着我们学习求菱的菱次方形的极限，求这种类型的极限，我们只需要记住这个公式即可。比如这道题，我们将 x 去近的数带入后边的十字，会，发现它是菱的菱次方形， 那我们直接套用这个公式，很容易可以得出极限等于它。然后我们处理一下这部分，把劳恩一减一的负 x 次方移到分字上，可以变成这样。 此时这个极限是无穷比无穷形的，那我们使用洛必达法则可以得到这个式子，化简一下可以变成这样。 此时这个极限是零比零形的，根据等价无穷小，当 x 趋近于零时， e 的 x 四方减一可以替换为 x。 当然我们把 x 换成负 x 也是成立的，而负 x 去尽于零，本质上还是 x 去尽于零，所以 x 去尽于零时，这个替换关系也满足好。既然它可以替换成负 x， 那 么负的它就可以替换成负的负 x， 也就是一减一的负 x 次方可以替换为 x。 好， 我们把这个分母替换成 x， 化简一下，很容易可以求得最终结果为一。最后这是公式的推导过程。 接着我们学习求无穷大的零次方形的极限，求这种类型的极限，我们只需要记住这个公式即可。 比如这道题，我们将 x 去近的数带入后边的式子，会发现它是无穷大的零次方型。那我们直接套用这个公式，很容易可以得出极限等于它。 然后我们处理一下这部分，劳恩一除三 and x 等于劳恩一等于零，所以这个式子可以进一步化简成这样， 此时这个极限是零成无穷型的。那我们转化一下，把这个式子变成分式，这样极限就是无穷比无穷型了。然后我们使用洛必达法则，可以得到这个式子， 化简一下可以变成这样。此时这个极限是零比零形的，根据等价无穷小。当 x 趋近于零正时，三 x 可以 替换为 x， 然后分子分母可以约掉一个 x， 最终得到这个式子。求这个式子的极限就很简单了，我们把 x 去进的数带入后边的式子，很容易可以求得极限结果为零， 所以最终的答案就是一的零次方，也就是一。 同学们好，我是一分钟老师。接下来我们学习极限与连续的第二课，求数列的极限。 大多数题目都会考察两个定律的使用，一个是加 b 定律，另一个是单调有节定律， 看着挺唬人的，但其实并不难。我们先来看加密定律，这个其实很好理解，比如这道题，我们直接求这个数列的极限，不好求。但如果我们找到一个大于等于它的数列，又找到一个小于等于它的数列， 并且恰好这两个竖列的极限结果相同，那么此时所求竖列的极限结果就被加出来了。道理很简单，但难点就在于如何精准的找到上界竖列和下界竖列。 对于这种 n 项和的数列极限，我们可以先把每一项的分母都变成最小的那个，并且分子保持不变。因为只是分母变小了，所以这些分式项其实都变大了，那整体的和也就变大了。 好，上届找到了一样的道理，我们把每一项的分母都变成最大的那个，那整体的核就会变小。好，下届也找到了。然后我们求一下上届和下届的极限， 大家发现没有，这俩树列可以进一步化解，因为上一步我们特意把分母变得相同了，这样就可以进行通分、 分子式等差数列求和。这在高中已经学过，它等于项数乘以首项加末项的和，再除以二 化简一下，可以变成这样。那接下来就轮到求这俩极限了，我们先求它吧，它是无穷比无穷型的，我们可以使用抓大头发很容易可以求得极限结果为二分之一， 这个极限也是一样的，求法结果也为二分之一。好，上界的极限等于下界的极限等于二分之一，那么所求竖列的极限也就等于二分之一。 接着我们学习求 n 次方根形的竖列极限。求这种类型的竖列极限，我们仍然是使用加逼定力，也就是先找到一个大于等于它的竖列，再找到一个小于等于它的竖列。 如果这两个竖列的极限结果相同，那么所求竖列的极限结果就被加出来了。所以核心任务就是精准的找到上节竖列和下节竖列。 对于这种按次方根形的竖列极限，我们需要先确定主导项，所谓主导项就是增长速度最快的项，类似之前课时讲过的抓大头，法力的大头。 在这个根号下的式子里，主导向就是二的按次方，因为它的函数图像走势最陡峭，能更快的接近正无穷。好，找到主导向之后，我们直接把它的按次方根当做下结。 那么上届是什么呢？请大家记住，上届就是项数乘除多项，再开 n 次方根。因为根号下的式子里共有三项，所以上届就是三乘二的 n 次方，再开 n 次方根。 好，上界和下界都找到之后，我们分别求一下它们的极限，都很简单，这里就直接把过程展示给大家吧。好，上界的极限等于下界的极限等于二，那么所求数列的极限也就等于二。 接着我们学习求递推式形的竖列极限，求这种类型的竖列极限。我们一般使用单调有界定律，简单来说就是单调递增有上节，或者单调递减有下节，竖列极限就存在。 好，我们一起来看这道题，先梳理一下解题思路吧。既然让证明极限存在并求极限，不如直接把极限算出来，再反退证明过程。 因为证明过程比较难想，是往单调递增有上界的方向努力，还是往单调递减有下界的方向努力，还有可知难以速结字体。然而直接算极限，却有一套固定模板，可以为我们指明方向。 先设所求极限等于某值，再对地推式等号两边去极限， 然后将锁射条件带入，并求出极限的值。最后在脑海中将极限的值与 v 一 的值进行比较， 极限值更大，那说明数列是从唯一开始单调递增上去的，并在 n 趋近于无穷大时，无限逼近极限值。二 好，知道数列单调递增且有上阶二了，我们来补全前面的证明过程。 首先进行第一步，证明单调型。对于这种递推型的数列，我们通常使用数学归类法，也就是先证明第二项大于第一项，再假设 d k 加一项大于 d k 项，进而退出 d k 加二项，大于 d k 加一项。 由此我们就知道了后一项都是大于前一项的。也就是说，对于所有正整数 n， a， n 加一大于也恒成立，即数列单调递增。这样我们就证实了第一个结论。 接着进行第二步，证明有界限。我们仍然使用数学归类法，也就是先证明第一项小于上界，再假设 d k 向小于上界，进而退出 d k 加一项小于上界。由此我们就知道了每一项都是小于上界的。 也就是说，对于所有正整数 n 略小于二，恒成立，即数略有上。继而这样我们就证实了第二个结论。 接着进行第三步，由单调有阶定律，因为数列单调递增且有上结，所以极限存在。最后就是求极限，这个在开头已经求过了，这里直接把步骤展示给大家。 同学们，好，我是一分钟老师。接下来我们学习极限与连续的第三课，函数的连续性。本科非常简单，题目一般会给出一个分段函数，并让我们证明该函数在分段点处连续。 遇到这种题目，我们只需分别求出函数在分段点处的左极限、右极限和函数值，若它们的值相等，则函数在分段点处连续。 那我们先求一下左极限吧。 x 趋近于零，负代表 x 是 一个非常接近零的负数，负数属于小于等于零的。这种情况，此时 f x 等于三，所以这个 f x 就是 三。 然后我们求一下这个极限，结果是三。接着我们求又极限 x 去近于零，正代表 x 是 一个非常接近零的正数，正数属于大于零的这种情况，此时 f x 等于这个韩老恩的分式， 所以这个 f x 就是 韩老恩的分式。然后我们求一下这个极限，很容易可以求得，结果是三。接着我们求分段点处的函数值，也很容易可以求得，结果是三。 好。因为函数在分段点处的左极限等于右极限等于函数值，所以函数在分段点处连续。 最后如果题干变化一下，改成已知函数在分段点处连续。让我们求函数里的未知数，你还会做吗？ 接着我们学习极限与连续的第四课，间断点。所谓间断，其实就是不连续。 在上节课我们学过，若函数在某点处的左极限等于右极限，等于函数值，则函数在该点处连续。 那么连续呢？就是不满足这套逻辑呗。而不满足这套逻辑又能分成两大类，第一类是左右极限都存在，要么左极限等于右极限，不等于右极限。 第二类是左右极限，至少有一个不存在，要么左右极限至少有一个为无穷的，要么左右极限都不为无穷的，但至少有一个因震荡无法确定具体值。 乍一看，这句话有点难理解，我们举个例子吧，比如这个函数，当 x 趋近于零时， x 分 之一趋近于无穷大，此时函数的极限等于 sine 无穷大 算无穷大等于什么？不确定，但我们知道， x 分 之一趋近于无穷大时，函数仍然是在负一到一之间震荡的，这就是所谓的因震荡导致无法确定具体值。 好，具体是什么样的点才有资格成为间断点呢？一般是分段点或者无定义点。 比如这道题，它不是分段函数，所以没有分段点。那我们看看有哪些无定义点。很明显，分母为零时，函数无定义 很容易可以求得，无定义点为 x 等于零， x 等于一。 然后我们判断一下这两个点的类型。先看这个点，该点处的左极限等于负一，右极限也等于负一， 因为左右极限都存在并且相等，所以 x 等于零是可去间断点。 再看 x 等于一这个点，因为该点处的左极限等于无穷大，所以 x 等于一是无穷间断点。 而这道题问我们第一类间断点的个数，很明显只有 x 等于零这个点符合答案，是一个 go to。 同学们好，我是一分钟老师。接下来我们学习导数与微分的第一课，函数的刻度性。本课非常简单，题目一般会给出一个分段函数，并让我们判断该函数在分段点处是否刻到。 遇到这种题目，我们需要先判断函数在分段点处是否连续，如果不连续，那么一定不可导，如果连续，就继续求左导数和右导数，若它们都存在切值相等，则函数在分段点处可导。 好搞明白了流程，我们先来判断是否连续吧。这个在函数的连续性的课时已经讲过，所以就不细讲了，很容易可以证明出函数是连续的。 好，既然连续，我们就继续执行流程，求出左导数和右导数。先求左导数吧，它等于这个式子。此时有的同学会问了，这个式子怎么来的，我记不住。 其实很简单，这条直线的斜率你会求吧，等于纵坐标的差值，除以横坐标的差值，有没有发现它其实就是这个式子？ 然后我们求一下这个极限，很容易可以求得，结果失灵。 接着我们求右导数，它跟左导数的式子是一样的，并且极限也很好求，很容易可以求得，结果是一 好。左导数等于零，右导数等于一，它俩并不相等，所以函数在分段点处不可导。 本节课我们学习基本求导公式与法则，虽然这节课是高中知识，但由于有些同学已经忘记了如何求导，不如带大家再重新学一遍吧。 先看基本求导公式，一共有三组，第一组是这六个常数的导数等于零，这个大家都知道，就不多说了。 x 的 缪四方的导数也很有规律，它等于把缪拿到最前边，然后指数减一。再看这两个，它们都非常好记，一的 x 四方求导等于它本身，然后 x 求导等于 x 分 之一。 好，记住它俩以后，我们也就顺便记住了这俩公式，无非就是多出来个老 n a 而已。 接着来看第二组，三角函数也是有六个， sine 求导式 cosine 求导式负 sine tangent 求导带 sine tangent 求导带 tangent cosine 求导带 cosine 求导带 cosine。 注意名字读音里带扣的导数有符号。 最后来看第三组反三角函数，只有四个公式，也很好记。求导结果不是等于这个式子，就是等于这个式子，但名字读音里代扣的导数有符号。 接着我们学习基本求导法则，两个函数先相加再求导，等于这俩函数先求导，再相加，相减也一样，就不多说了。 然后是两个函数相乘再求导，它等于前导后不导加，前不导后导。注意，如果是对常数倍的函数求导，就把常数单独拿出来，仅对函数求导即可。 然后是两个函数相除，在求导，它等于分母的平方分之分子导，分母不导减，分子不导分母导读起来像绕口令，但其实并不难记。 最后简单说说复合函数求导。大家都知道 c next 的 导数等于 cosinex， 那 么 sin 二 x 的 导数等于什么呢？很简单，先照着葫芦画瓢，再乘上内层函数的导数。 同理，我们知道 e 的 x 次方的导数等于它本身，那么 e 的 负 x 次方的导数就等于先照着葫芦画瓢，再乘上内层函数的导数。 好，我们加大一点难度， e 的 三、二、二 x 四方的导数等于什么？仍然是先照着葫芦画瓢，再乘上内层函数的导数，而这个内层函数的导数我们刚才算过，也就是它。 接下来我们学习导数与微分的第二课，引函数求导。引函数大家可能听着比较陌生，但显函数应该就很熟悉了。比如 y 等于二， x 加一， y 等于 sin， x 加幂幂， x 加 x 方 等号左边只有 y， 右边只有 x， 俩字母各玩各的，不乱掺和，所以叫显函数。那隐函数呢，就是 x 和 y 掺和到一块了， 比如这个等式等号左边既有 x 又有 y， 由这种等式确定的函数就叫隐函数。 在考试时，题目一般会让我们求引函数的一阶导或导数值。请大家记住，引函数求导的方法就是让这个等式的两边同时对 x 求导。 那我们一项一项的求吧，这一项对 x 求导等于什么？有的同学会说， e 的 y 次方求导等于它本身 错，如果是对 y 求导的话，才是这个结果。可我们是要对 x 求导，并且 y 是 x 的 函数，所以应该把 e 的 y 次方当做复合函数。复合函数求导还要在后边乘上那层函数的导数。 再看第二项，两项相乘的导数等于前导后不导加前不导后导。再看等式右边这项常数的导数等于零。然后我们化简一下，这个等式，很容易可以求出 vip 等于它 好， y p 知道了，我们再求 y p 零。 y p 零等于什么呢？它其实就是当 x 等于零时， y p 的 值，也就是把 x 等于零带入 y p 的 表达式算出来的结果。 这里大家注意了，式子里还有字母 y， 而 y 又是 x 的 函数，当 x 变成零式， y 也应该变成对应的具体值，而不是保持未知数状态。 那么问题来了，如何知道 y 的 具体值呢？非常简单，我们只需将 x 等于零代入题干给的方程，很容易就可以求得 y 的 值是零，所以这个式子里的 y 应该变成零，也就是说，最终结果等于零。 最后，如果题目让我们继续求而解答，你还会做吗？ 接下来我们学习导数与微分的第三课，参数方程。求导题目一般会给出一个大括号，并且告诉我们 x 是 t 的 函数， y 也是 t 的 函数，让我们求 y 对 x 的 导数 非常简单，我们只需求出 y 对 t 的 导数以及 x 对 t 的 导数，二者相处就是 y 对 x 的 导数。 首先根据这个等式，我们很容易可以求出 y 对 t 的 导数，等于它。然后根据这个等式，我们也很容易可以求出 x 对 t 的 导数，等于它。 最后两个结果相除，就是 y 对 x 的 导数。 在考试时，题目有可能让继续求二阶导，这个二阶导其实就是一阶导对 x 的 导数。 还是一样的做法，我们只需求出一阶导对 t 的 导数以及 x 对 t 的 导数，二者相处就是一阶导对 x 的 导数，也就是二阶导。 那么接下来我们就求一下这两个导数吧。其中 x 对 t 的 导数前面已经求过了，那我们只需求一阶导对 t 的 导数就可以了，这个一阶导就是它，所以一阶导对 t 的 导数等于这个式子 化简一下很容易可以求得结果。是的，最后两个结果相处就是二阶导。 接下来我们学习导数与微分的第四课，函数的微分题目一般会给出一个函数的表达式，必让我们求该函数的微分。 这个 dy 我 们看着有点萌，但 dy 除以 dx 大家都很熟悉吧，它不就是 y 对 x 求导吗？ 因为 y 是 这个式子，所以 y 对 x 求导就等于前导后不导加前不导后导，其中它求导等于二 x， 它求导等于二 x 加一分之一，再乘上二 x 加一的导数， 化简一下很容易，可以求的结果是，它好， d y 除以 d x 等于它，那 d y 就 等于它乘上 d x。 接下来我们学习导数与微分的第五课，高阶导数题目一般会给出一个函数的表达式，并让我们求不低于二阶的导数。 非常简单，我们直接开求，因为 y 等于 cosine x， 所以 一阶导等于它，二阶导等于它，三阶导等于它，四阶导等于它，五阶导等于它。停，先别求了， 我们发现五阶岛的结果跟一阶岛相同，说明每次阶是一个周期，而题干让我们求十阶岛，很明显，十阶岛是它。 接着我们提升一点难度来看这道题。对于这种两函数相成的情况，我们通常使用莱布尼茨公式来求高阶导数，它看着挺复杂，其实非常有规律。我们直接以这道题为例，帮助大家记忆一下公式吧。 本题要求十阶导，那就写 c 十零加 c 十一，加 c 十二，加 c 十三，一直加到 c 十十。 然后依次写前面函数的十阶导，九阶导、八阶导、七阶导，一直到零阶导。最后依次写后面函数的零阶导，一阶导，二阶导，三阶导，一直到十阶导。 好，写完了，是不是非常有规律？那接下来我们具体求一下这三行式子吧。先挑好求的部分， x 方的零结导是什么东西？请记住，零结导就是不求导，也就是函数本身。 x 方的一阶导呢，就是 x 方的导数，也就是二 x。 二阶导呢，就是一阶导。再求导一阶导，我们刚才求过，所以这个二阶导等于二 x 的 导数，也就是二。 同理，三阶导呢，等于二阶导的导数，也就是零。因为零，继续求导永远还是零，所以从这项开始，一直到最后一项，每一项都会乘上零，也就是说这些项都等于零。 这也正是把两函数互换位置的原因所在。利用 x 方的高阶导数先归零的特点，把它看作微，可以避免无意义的计算。 好，我们继续求吧。 cosine x 的 十阶导，九阶导，八阶导，我们在上一题求过，这里就不再多说了。 好，我们整理一下，再求这几个 c 某某。其中 c 十例就是从十个里边选零个，只有一种情况。 c 十一就是从十个里边选一个，有十种情况。 c 十二就是从十个里边选两个。有这么些种情况。好，这个式子求完了，化简一下很容易可以求得，结果是他。 大家好，我是一分钟讲数学。接下来我们学习微分钟值定理与导数应用的第一课，天街功法。这套功法可以帮大家迅速记牢三大微分钟值定理的内容。 先来看拉格朗日中值定律，这个非常好记，若函数在 b 区间上连续且在开区间内刻到，则至少存在一点克希，属于这个开区间，使得自等式成立。 这个等式乍一看很陌生，但我们给他改写一下，把 b 减 a， 出到等号左边，就似曾相识了。 这条直线的斜率你会求吧？等于纵坐标的差值，除以横坐标的差值，有没有发现它其实就是这个式子？ 好，那定记住了。接着我们令这个分子等于零，也就是令 f a 等于 f b， 这样就不小心得到了罗尔定律。当然，这个式子还要继续化解 好，鲁尔定律也记住了。 最后我们来看克希终止定律还是从拉丁入手，如果不小心额外引入了另一个函数，还把这个等式的小 f 换成了该函数， 二者相处再化解一下，就能得到克希终止定律。 注意 fp 作为分母不能为零，所以要再加一个条件。 接着我们学习罗尔定律相关的证明题，题目都像这题这样，给出一堆跟罗尔定律相似的套话，让我们证明还有 fp 可 c 的 等式。 遇见这样的题目，我们二话不说，先把罗尔定律的内容抄下来，并把若则分别改成因为，所以同时把 a、 b 改为题杠给的零一。 然后我们再开头设大 f x 等于某个式子，具体是哪个式子还不知道。 我们通过罗尔定律证明的是大 f p k c 等于零，而此题证明的是这个式子等于零。所以我们要想办法让大 f p k c 跟这个式子扯上关系，要么大 f p k c 等于它， 要么大 f p 可 c 等于它。乘上一个不等于零的式子，进而推出待正等式。好，我们先假设大 f p 可 c 等于这个式子吧，那么大 f p x 就 等于它，也就是说谁的导数等于它，谁就是大 f x， 很明显，这个式子的导数等于它，所以这个式子就是大 f x， 这样大 f x 就 射出来了。 接着我们通过大 f x 的 表达式，很容易可以求出大 f 零和大 f 一 的值都等于零，这样题目就正出来了。 最后给大家说一下这类题的最大难点，就是这个大 f x 的 表达式非常难想，比如这道题，我们根本就想不到设大 f x 等于它，这怎么办呢？别慌，还有小妙招。 我们看这个待正等式，它可以变成这样，因为 x 求导等于 e， 所以 大 f x 等于 e 的 x 次方程 f x。 同理，这个带正等式可以变成这样，因为劳恩 x 求倒等于 x 分 之一，所以大 f x 等于一的劳恩 x 次方乘 f x。 嗯，怎么跟它不一样呢？哦，原来一的劳恩 x 次方就等于 x。 接着我们学习拉格朗日中值定律相关的证明题，题目一般像这题这样，给出一堆跟拉格朗日中值定律相似的套话，让我们证明含有函数值的差的等式。 遇见这样的题目，我们二话不说，先把拉格朗日中值定律的内容抄下来，并把弱则分别改成因为，所以同时把 ab 改为题干区间里的数， 因为题干区间里也是 a b， 所以 不用改了。然后我们再开头设大 f x 等于某个式子， 具体是哪个式子呢？我们观察一下拉格朗日中置定律的函数差和本题带证明的函数差。不难发现，如果大 f x 等于 x 倍的小 f x， 那 么大 f b 就 等于它，大 fn 就 等于它， 这样就正好得到了带正名的函数差。接着我们通过大 f x 的 表达式，很容易可以求出大 f p x 等于它， 那么大 f p c 就 等于它，这样就得到了带正名的等式。 接着我们学习用拉格朗日中置定律证明不等式题目，一般像这题这样，让我们证明一个不等式且不等式中含有函数值的差。 遇见这样的题目，我们二话不说，先把拉格朗日中置定律的内容抄下来，并把弱则分别改成因为，所以同时把 a、 b 改为题干区间里的数。 因为题干没有明确给出区间，所以这些 ab 先不改，一会儿再说。然后我们再开头设 f x 等于某个式子，具体是哪个式子呢？我们观察一下拉格朗日中置定律的函数差和不等式的函数差。 不难发现， f 就是 劳恩 b 就是 一加 x， a 就是 一，所以 f， x 就是 劳恩 x， 这些 a 和 b 就是 一和一加 x。 接着我们通过 f x 的 表达，是很容易可以求出 f p， x 等于它， 那么 f 撇可 c 就 等于它。其中这个括号还可以继续化解，结果是 x。 然后我们看可 c 的 去值范围，因为可 c 属于一到一加 x， 所以 可 c 是 大于一小于一加 x 的， 通过它，我们很容易可以推出这个不等式。 而这个不等式中间的部分我们刚才求过，就是它。 最后提醒一下，因为这个劳恩 e 等于零，所以真正的考题一般会去掉这一项，导致我们找不出函数差，也就想不到使用拉格朗日终止定律。但如果实在想不到也没关系，我们下节课讲一种更通用的方法。 大家好，我是一分钟讲数学，接下来我们学习本章的第二课。函数的单调性非常简单，会求导就行。 如果导数大于零，那么函数单调递增。如果导数小于零，那么函数单调递减。 比如这个函数求导之后是这个结果很明显，但 x 大 于零时，这个导数的结果就是大于零的。此时 f x 在 x 大 于零的区间上单调递增。 单调递增说明什么？说明函数图像的走势是上升的，也就是说 x r 大 于 x 一 时， f x r 大 于 f x 一 对应的 x 大 于零时， f x 大 于 f 零， 其中 f x 等于它， f 零等于它。化简一下很容易，可以求出这么一个不等式。 同理，对于这个函数，当 x 大 于零时，它的导数是小于零的， 此时 g x 在 x 大 于零的区间上单调递减，也就是说，当 x 大 于零时， g x 小 于介零， 其中 g x 等于它， g 零等于它。化简一下很容易，可以求出这么一个不等式。 这样我们就学会了利用单调性来证明不等式。那么考试遇到这种题，你应该会做了吧。 接着我们学习记知识点和记值，题目都像这题这样给出一个函数，让我们求记知识点和记值，非常简单。遇见这样的题目，我们按照流程来做就可以了。 首先是第一步确定定义域，很明显， x 可以 取到任意时数，所以定义域是富无穷到正无穷。接着我们求导这个函数的导数很好，求求出来是这个结果。 好，导数都求出来了，极值点还会远吗？可能的极值点其实就两种，我们挨个找找啊。先找不可导点， 因为这个导数结果离的分母不能等于零，它要是等于零，这个分式就没有意义，导数也就不存在了。所以 x 等于零就是不可导点。 好，不可导点找到了，我们再来找注点，注点就是令导数等于零后求出的 x 值， 这个导数我们刚才求过，是这个结果，那我们令它等于零，很容易可以求出 x 等于它俩，这样我们就求出了可能的极值点，也就是它们三个。 最后我们画表，表看着很复杂，其实很简单，也很有规律。比如第一行，它就是根据定义域以及可能的记值点，按从小到大的顺序写出来的。 好，写出第一行了，那第二行也就算出来了。比如 x 等于零时，导数不存在， x 等于它时，导数等于零等等，都是可以通过导数的表达式算出来的。 那第三行呢？也很简单，上节课讲过，如果导数大于零，那么函数单调递增，如果导数小于零，那么函数单调递减。 其中这种先减后增的就是极小值，这种先增后减的就是极大值，其他情况不是极值。 所以我们就知道了，极值点是他俩，极值是他俩。 本节课我们学习最值最值啊！跟上节课讲的极值的做题流程很相似，也是先确定定义域，再求导，然后找可能的极值点，这三步是完全一样的。 好，找到可能的极致点以后，我们要看看那些点是在要求最值的范围里的，在范围里的点需要挨个求出其对应的函数值，不在范围里的点就不用求了。 很明显，负九分之根三、零九分之根三都在负一到一的范围里，所以要挨个求出它们的函数值。好，我们求吧，把负九分之根三代入函数的表达式，可以求出这个结果， 这俩也一样，代入函数的表达式可以求出这俩结果。 最后我们还要求出负一和一这两个端点的函数值。 很明显，在这些结果里，它最大，它最小，所以我们可以写出结论，最大支持它，最小支持它。 本节课我们学习凹凸性与拐点，非常简单，先确定定义域，再求二阶导就可以了。因为这个函数里的 x 可以 取到任意实数，所以定义域是富无穷到正无穷。 接着我们求二阶导，二阶导就是一阶导再求导的意思。那我们先求一下一阶导吧， 这个函数的一阶导很好求，求出来是这个结果。我们对这个结果再求导，就得到了二阶导。 好，二阶导都求出来了，凹凸区间还会远吗？我们令二阶导大于零，就可以求出凹区间，令二阶导小于零，就可以求出凸区间。也就是说，我们解一下这两个不等式，凹凸区间就出来了。 因为指数函数是恒大于零的，所以不等式两边同时除以这个指数函数不用变好，化简一下很容易可以求得。凹区间是它，凸区间是它 好，凹凸区间求出来以后，我们就可以求拐点了，拐点就是凹凸区间的交界点。很明显，凹凸区间的交界点是二，所以拐点就是 x 等于二所对应的点。 我们将 x 等于二代入函数表达时，很容易可以求出 y 的 知识的，这样拐点就求出来了。 本节课我们学习趋律，题目都像这题这样，给出一个曲线方程，让我们求某点处的趋律，非常简单，记住这个公式就可以了。 不难发现，要想用这个公式，必须先把一阶导和二阶导求出来。那我们分别求一下吧。这个函数的一阶导很好求，求出来是这个结果。我们对这个结果再求导就得到了二阶导。 好。一阶导和二阶导都求出来了，这题基本就做完了。因为题目求的是这个点出的趋率，所以我们要求出这个点出的一阶导和二阶导，然后再代入公式中求出趋率 k。 很明显，当点的横坐标取二，也就是 x 等于二十，一阶导等于零，二阶导等于二。我们将这俩结果带入去律的公式中，很容易可以求得去律， k 等于它 在考试时，题目有可能再加一问，让我们求去律半径，请记住，去律半径等于去律分之一。 本节课我们学习渐近线，题目都像这题这样给出一个函数，让我们求渐近线， 非常简单，依次求这三种渐近线就可以了。先看第一种渐直线进线，请记住，求渐直线进线就相当于求无穷间断点， 这个函数的无穷间断点，我们在间断点那一刻求过，是 x 等于一，所以 x 等于一就是先直径进限， 再看第二种水平渐进限。这个更简单，求一下函数在 x 趋近于正无穷和负无穷时的极限就可以了。 求极限是前面学过的知识，这里就直接把过程展示给大家吧，不熟练的同学可以暂停一下，仔细看看 好。因为极限结果是零和负一都不是无穷大，所以 y 等于零和 y 等于负一，都是水平渐近线。 注意，这里有个小技巧，当你求出了两条水平渐近线的时候，你可以直接判定函数没有斜渐近线。但如果你只求出了一条水平渐近线，或者没有水平渐近线，你就要继续验证有没有斜渐近线了。 具体怎么验证，我们下节课再讲，毕竟这道题已经求出最终结果了， 本课我们重点研究水平渐近线和斜渐近线的关系。顾名思义，水平渐近线就是水平的，所以用 y 等于某数来表示。斜渐近线就是倾斜的，所以用 y 等于 a， x 加 b 来表示， 其中 a 代表斜率，它不能等于零，要是等于零，就变成水平渐近线了。 也就是说，这两种渐近线是相互冲突的。展开来说就是，如果我们在 x 趋近于正无穷和 x 趋近于负无穷的方向上都求出了水平渐近线，那么这两个方向上必然没有斜渐近线。 如果我们只在一个方向上求出了水平渐近线，那么该方向上必然没有斜渐近线。而另一个方向上有没有斜渐近线不确定，还需要继续验证。 如果我们在两个方向上都没有求出水平渐近线，那么这两个方向上有没有斜线渐近都不确定，都需要继续验证。 好，我们以这题为例，具体讲一下吧。上节课讲过，要想求水平渐近线，那就求一下函数在 x 趋近于正无穷和负无穷时的极限就可以了。 很明显，当 x 趋近于正无穷时，极限结果等于正无穷，此时没有水平渐近线。当 x 趋近于负无穷时，极限结果等于零，此时 y 等于零，是水平渐近线。 好，我们只在 x 趋近于负无穷这个方向上求出了水平渐近线，那么该方向上必然没有斜渐近线。我们只需验证 x 趋近于正无穷的方向上有没有斜渐近线就可以了。 求斜渐近线，用这套流程来做，其中 x 趋近于负无穷的方向上不用分析了，刚才已经说过，此方向上必然没有斜渐渐线，那我们来分析正无穷的方向， 因为这个极限是无穷比无穷型的，所以我们可以使用洛必达法则，很容易就可以求得极限，结果为正无穷。而这个正无穷并不是常数，所以根本求不出非零常数 a， 那 么 b 也就没法求了，斜线进线也就不可能存在了。 大家好，我是一分钟讲数学，接下来我们学习不定积分。不定积分额其实非常好理解，它本质上就是求导的逆运算， 比如 x 求导等于一，那么一的不定积分就等于 x 再加上常数 c。 再比如 sin x 的 不定积分就等于 sin x 再加上常数 c。 为什么要加常数 c 呢？因为不只是 x 的 导数等于一 x 减一， x 加二， x 加一方等等，它们的导数都等于一，所以我们要在后边加上常数 c 来覆盖所有情况。 同理，不只是 sine x 的 导数等于 cosinex， sine x 加任意常数的导数都等于 cosinex， 所以 我们也要在后边加上常数 c。 总之就一句话，不定积分的结果要加 c。 好，现在你已经掌握了第一种求不定积分的方法，只要能知道谁求倒等于背记函数，那么背记函数的不定积分就等于谁加 c。 其实对于这种非常简单的不定积分，教材已经帮我们整理好了一张基本积分表， 乍一看内容很多很难记，但其实你只要熟练掌握了前面学过的求导公式与法则这些，就不用围外记忆了，因为表中的结果，求导之后都能很容易的得到背记函数 最后不定积分还有两个非常简单的性质需要大家记住。第一个是俩函数先相加，再求不定积分，等于它俩先分别求不定积分，再相加相减也一样，就不多说了。 第二个是当被记函数为非零常数倍的某函数时，该非零常数可以提到前面。 接着我们学习不定积分的第二课。第一类，换元法。当我们遇到的题目不能直接使用上节课的公式时，我们会优先考虑该方法。 比如这道题，虽然我们知道 e 的 x 次方的不定积分公式，但这里给出的是二 x 多了个二，这样就没法直接套这个公式了。 那怎么办呢？很简单，换元位我们设 u 等于二 x， 那 这个被积函数就变成了 e 的 u 次方， 但只变这部分还不够，后边还有个 d x 呢， d x 咋变？ 既然我们知道了 u 等于二 x 四，那么 u 对 x 求导等于什么？很明显，等于二。根据这个式子，我们很容易就可以得出 d x 等于二分之一倍的底油，这样我们就可以用这个结果来替换 d x。 上节课讲过被极寒数理的常数因子可以提到前面。好，现在这个积分你应该会求了吧，直接套公式就可以了。 注意这里的括号要去掉，不去掉就会出现二分之一倍的 c。 这里写二分之一倍的 c 和直接写 c 本质上是一个意思，都表示任意常数，所以不如直接去掉括号，这样省不周。 最后千万不要忘记把 u 再换回二 x 四。 好，这就是第一类换元法的解析流程。是不是挺简单的，我们来总结一下解析技巧啊！要想用第一类换元法，我们要先观察背机函数，看看哪部分让我们比较难受，大概率把这部分设为优就能做出来了。 如果还是做不出来，说明 u 设的不对，或者这道题不能用第一类换原法来做。下节课我们找几道题给大家具体讲讲如何设这个 u 吧。 本课我们研究第一类换元法，如何精准换元。先看这道题，虽然我们知道 cosinex 的 不定积分公式，但这里给出的是二 x， 不是 x， 非常难受，所以我们设 u 等于二 x 四，然后再按照上节课讲的流程做就可以了。 再看这道题，虽然我们知道 x 分 之一的不定积分公式，但这里给出的是三加二 x， 不是 x， 非常难受，所以我们设 e 又等于三加二 x， 然后再按照上节课讲的流程做就可以了。 再看这道题，直接呆住，因为难受的地方太多了，射它为右还是射它为右还是射它为右呢？总不能挨个试一遍吧。 其实这种题目有个小技巧，先把背接函数写成两相相成的形式，然后我们会发现这一项里的内层函数求导之后正好等于非零常数倍的另一项， 这个时候我们就找到 u 了，设 u 等于这个内层函数，然后再按照上节课讲的流程做就可以了。 类似的还有这道题，这道题，这道题它们都符合其中一项里的内层函数，求导之后正好等于非零常数倍的另一项，而这个内层函数也正是我们要设的 u。 最后，这个第一类换元法要想熟练掌握是比较有难度的，很多题目都需要先转化一下，再使用刚才讲的技巧才能做出来。 因为这个转化的过程比较难想，所以大家一定要多刷刷该知识点的课后习题，遇到不会的可以问问豆包呀！ 接着我们学习不定积分的第三课，第二类换元法。这个方法主要针对有根式的情况，当背及函数含有这种类型的根式时，我们可以令替等于这个根式，这样题目就可以做出来了。 比如这道题，我们令 t 等于它，那这个分母就变成了 t， 但只变这部分还不够。式子中还有 x 和 d x 呢，它们怎么变呢？ 非常简单，因为 t 等于三次根号下 x 加二，所以 t 的 三次方就等于 x 加二， x 等于 t 的 三次方减二，那么 x 对 t 求导就等于三 t 方。 根据这个式子，我们很容易就可以得出 d x 等于三 t 方程 d t， 这样 x 和 d x 就 都求出来了。我们用这俩结果来替换这个 x 和 d x 可以 变成这样。 好，现在这个积分你应该会做了吧？ 注意，千万不要忘记把结果里的 t 再换回去。 好，这就是第一种情况，特点是背记函数有根号，其根号下的 x 是 一次方。 本课我们研究是用第二类换元法的第二种情况，当背记函数含有这三种类型的根式时，我们可以使用三角代换，也就是令 x 等于它们。那么问题来了，如何快速记住哪种类型对应哪种三角代换呢？ 非常简单，先画一个锐角为 t 的 直角三角形，然后根据这个根式，再结合勾股定律，我们可以写出一个这样的等式， 很明显，三角形的斜边是 a， 直角边是他们。注意，这里我们要让 x 作为角 t 的 对边。 好，现在通过这个直角三角形，我们可以得出四按 t 等于 a 分 至 x， 进而可以推出 x 等于 a 乘以四按 t， 这样不就记住了吗？ 同理，根据这俩根式，我们也可以写出这俩勾股式，进而画出这俩直角三角形。注意，也是要让 x 作为角 t 的 对边， 然后分别通过贪整题和 cosine t 的 关系式，很容易就可以推出这俩三角代换的式子。 好，我们来做一道具体的题目吧。因为背极函数还有根式，其根式可以写成根号下 x 方减一方，符合这种类型，所以我们令 x 等于一倍的四 cosine t。 当然，这个式子你记不住也没关系，我们可以画直角三角形来推导。通过这个直角三角形，我们可以得出 cosine t 等于它贪婪， t 等于它。 这样我们不仅知道了 x 等于 c 看的题，还顺便知道了根号下 x 方减一等于贪婪的题。 现在带球机分离的 x 和根式都变成关于 t 的 式子了，只剩下这个 d， x， 它怎么变呢？很简单，因为 x 等于它，所以 x 对 t 求导等于这个结果。 根据这个式子，我们很容易就可以得出 d， x 等于它。好，现在这个带球积分我们就分析完了，它可以变成这样化解一下，很容易可以求得结果是 t 加 c， 最后千万不要忘记把 t 再换回去。 好，这就是第二种情况，特点是背记函数有根号，且根号下的 x 十二次方。 本课我们继续研究适用第二类换元法的第三种情况。当背记函数含有两种以上次数不同的根式时，我们可以令 t 等于 k 次根式， 其中 k 是 这些根式次数的最小公倍数。比如这道题，被极函数的分母有两种根式，并且一种是二次的，一种是四次的。 很明显，二和四的最小公倍数是四，所以我们令 t 等于四次根号下 x， 然后再按照前两节课讲的套路做就可以了。 简单来说，就是先把带球积分里关于 x 的 项换成关于 t 的 项，再对背集函数进行化解， 然后使用一些小技巧，将背集函数变成能使用基本积分公式的样子，进而求出结果，最后别忘了把替换回去。 好，这就是第三种情况，特点是背记函数含有两种以上次数不同的根式，但根号里的式子相同，且 x 是 一次方。 接着我们学习不定积分的第四课，分布积分法。当背记函数是两种不同类型的函数相乘时，我们通常使用这个方法，也就是套这个公式。 那么问题来了，如何快速记住这个公式呢？非常简单，俩函数乘积的导数你会求吧？等于前导后不导加前不导后导。 我们对等式两边同时求不定积分，可以得到这个等式。其中这个 u v 先求导再积分，相当于先降级再升级，结果还是它本身， 这样我们就得到了分布积分法的公式。 好，我们来做一下这道题吧。对照一下公式，我们不难发现， x 方和 cosinex 肯定有一个是优，另一个是 vpn， 那 我们选谁当优呢？ 江湖上有个口诀，反对密三指，因为密函数的优先级高于三角函数，所以选择 x 方当优，那么 cos x 就是 微撇了， c x 就是 微了。 好，现在这个公式就可以用了， 其中 x 方的导数等于二 x， 且这个常数二可以提到前面， 那么接下来的任务就是算它了。很明显，这个背积函数也是两种不同类型的函数相乘，所以我们要再次使用分布积分法。 最后给大家留一道练习题吧，相信你已经会做了， 接着我们学习不定积分的第五课，有理函数的积分。有理函数啊，都是像他们这样有分子和分母，且分子分母都是由密函数和常数组成的多项式。 当然这种的也属于有理函数，毕竟你可以强行给分母变成一，但它太简单了，没有研究价值。我们主要研究这种较复杂的有理函数， 比如这道题，它的背及函数就是比较复杂的有理函数。遇见这种题目，我们首先要观察这个有理函数是真分式还是假分式。如果分子的最高次数小于分母的最高次数，就是真分式，其他情况就是假分式。 很明显，分子的最高次数是五，分母的最高次数是三，并不满足这种情况，所以是假分式。 当这个被积函数是假分式时，我们需要把它转化成整式加真分式的形式。如何转化呢？很简单，使用多项式常除法就可以了。 具体步骤是，先把分子拿过来给他盖个场，并把分母放在场外面。然后我们算一下场里的手相。除以场外的手相等于什么？很明显，等于 x 方 算出结果以后，我们再用这个结果乘以它可以得到这个式子。接着我们让上式减下式可以得到这个式子。 然后我们重复上述操作，继续算一下这个手相除以场外的手相等于什么？很明显，等于 x 算出结果以后，我们再用这个结果乘以它可以得到这个式子。 接着我们让上式减下式可以得到这个式子。 然后我们重复上述操作，继续算一下这个手相除以场外的手相等于什么？很明显，等于一算出结果以后，我们再用这个结果乘以它可以得到这个式子。 接着我们让上式减下式可以得到这个式子。 好，现在这个手相的次数终于比他小了，说明真分式已经出来了。原来这个假分式就等于这个手加上于式除以分母， 这样我们就得到真分式了。后续我们继续学习如何将真分式拆分成若干个简单分式，并最终求出不定积分。 本课我们学习如何将真分式拆分成便于积分的简单分式，非常简单，共有两步。第一步是对真分式的分母进行因式分解。比如这个真分式，它的分母可以先提出一个 x， 然后这个 x 方减一，可以继续分解为 x 减一，乘 x 加一，这样分母的英式分解就完成了。注意，英式分解一定要进行到最后一步，不能只到这种程度，要分解到不能再分解为止。 如果有的同学对英式分解掌握的不太熟练，可以到我的主页点开中考数学合集，看一下这两个视频。 好。因子分解完成之后，我们进行第二步拆分。拆分其实很有规律，只需看一看括号外面和括号里面的次数就可以了，那么我们就以这个真分式为例来拆分一下吧。 首先我们看一看分母中每个音是括号外面的次数。第一个音是括号外面的次数是一，那么该音是可以分配出一项。第二个音是括号外面的次数是三，那么该音是可以分配出三项。 第三个音是括号外面的次数是二，那么该音是可以分配出两项。 接着我们看一看每个英式括号里面 x 的 最高次数。很明显，第一个英式括号里面 x 的 最高次数是一，那么该英式所分配象的分子就是某个常数。 第二个音是括号里面 x 的 最高次数也是一，那么该音是所分配象的分子，也是某个常数。第三个音是括号里面 x 的 最高次数是二，那么该音是所分配象的分子，就不能只是某个常数了，还额外加一个常数倍的 x。 好，我们再来拆分一下这个真粉饰吧， 这样正分式就拆分完了。下节课我们继续学习如何求出这些待定系数。 上节课我们学会了如何将这个正分式拆分成若干个含待定系数的简单分式，那么本节课我们就继续学习如何求出这些待定系数。 非常简单，通常做法就是先把等式两边变成一样的格式， 然后让等式两边的系数和长数相对应相等，最后解这个大括号，就可以求出待定系数 abc 了。 看到这里有的同学会说，主包主包，你的方法确实很强，但还是太吃操作了，有没有更加简单又强势的方法？ 有的兄弟有的。对于这种拆分后的分母都是一次式的情况，你想求谁，就在等式两边同时乘以谁的分母。 比如你想求 a， 就 在等式两边同时乘以 a 的 分母，然后再令 a 的 分母等于零，那么这个等式右边就只有 a 了，很容易可以求出 a 等于八。 同理，你想求 b， 就 在等式两边同时乘以 b 的 分母， 然后再令 b 的 分母等于零，那么这个等式右边就只有 b 了，很容易可以求出 b 等于负三。 同理，求词也是这么做，这里就不多说了，直接把过程展示给大家吧。 好， a、 b、 c 都求出来了，那这个积分式就彻底拆分完成了。 回到这题，我们会发现，这个被记函数已经变成了便于积分的样子，那它的不定积分就很好求了。 大家好，我是一分钟讲数学，接下来我们学习定积分。定积分啊，看起来挺眼熟，无非就是比不定积分多了一组上下线而已。 要想求它，我们只需在求出不定积分的结果后去掉 c， 并让这个结果的后面也多出一组上下线就可以了。 这里有的同学会说，为什么要去掉 c 呢？带着 c 行不行？很遗憾，带着 c 没有用，计算之后还是会消掉的，所以定积分就别带 c 了。 好，现在你已经熟练掌握了牛顿莱布尼茨公式，来做道题试试吧。首先把背记函数展开，可以得到这个式子， 然后求出他的不定积分，但不要加 c。 最后，把这个上下线放在后面计算一下，很容易可以求得定积分的结果十六分之七。 接着我们学习定积分的第二课，换元法，求定积分。因为这个换元法我们在不定积分那一章已经学过了，所以本科没有什么要学的，只需记住一句话，换元时同步更换上下限。 比如这道题，看着熟悉吧，它的不定积分我们之前求过，先令 t 等于这个根式，再把式子中的 x 和 d x 都替换成关于 t 的 表达式就可以了。 求定积分也是正做，但要特别记住，在换元时把这个上下线也同步更换。那么问题来了，如何更换上下线呢？很简单，原先未知数是 x 时，上线是负一，下线是负二， 现在未知数变成了 t， 也就是三次根号下 x 加二，那上线就会变成三次根号下负一加二，下线就会变成三次根号下负二加二， 化简一下，结果分别是 e 和零，这样上下线就换好了。 接着我们求一下这个定积分，非常简单，无论是化解还是计算，之前的视频都讲过，这里就直接把过程展示给大家吧。 接着我们学习定积分的第三课，分布积分法，求定积分。这个分布积分法也是在不定积分那一章学过的。公式长这样，到了定积分这里，我们只需给公式补个上下弦就可以了。 好，我们来做道题试试吧。对照一下公式，我们不难发现， cosine x 和 e 的 x 四方肯定有一个是 u， 另一个是微偏。 根据这个口诀，我们可以知道，三角函数的优先级高于指数函数，所以选择 cosine x 当 u， 那 么 e 的 x 四方就是微偏。 根据这俩式子，我们可以推出 u p 等于负， c n x v 等于一的 x 次方。好，现在这个公式就可以用了， 其中这部分可以算出来等于负一 这个符号也可以提到前面，那么接下来的任务就是算它了。很明显，这个背积函数也是两种不同类型的函数相乘，所以我们要再次使用分布积分法。 嗯，老师，我怎么感觉不太对，这个倍积函数也是两种不同类型的函数相乘，难道我们还要继续使用分布积分法吗？ 不用了，因为带求积分等于这个式子减积分本身，所以两倍的带求积分就等于这个式子跨界一下，积分就求出来了。 大家好，我是四分钟讲数学。接下来我们学习定积分的第四课公式与性质。掌握了本节课的内容，我们在计算定积分时，大概率能减少工作量。 比如这道题，被极函数的图像是个半圆弧，且积分上下限时， x 等于零， x 等于一，那么它们与 x 轴所围成的图形，即这个四分之一圆的面积，就是定积分的结果。 嘿嘿，是不是非常痛快？好，我们开始本节课的学习吧！首先，不定积分的这两条性质大家还有印象吧， 到了定积分这里，不会上下限后依然成立。然后大家要记住，定积分的结果跟面积有关，比如这道题大家应该都会做吧，结果是四， 如果我们画一下背机函数的图像， 你会发现，函数图像与 x 轴以及 x 等于上下线所围成的图形，即这个三角形的面积就是定积分的结果。 好，这是围成的图形在 x 轴上方的情况。如果我们把积分上下线改一下，你会发现，围成图形的面积取负号就是定积分的结果。 好，这是围城的图形在 x 轴下方的情况。如果我们再次把积分上下线改一下， 你会发现围城的图形有两部分，并且 x 轴上方的图形面积减去 x 轴下方的图形面积，就是定积分的结果。 好，明白了定积分跟面积的关系，本科的这些公式其实就都记住了。比如第一条，它是说变量从 x 改成 t， 定积分结果不变。我们刚才讲过，这个定积分的结果就是围成的三角形的面积， 现在你把 x 都改成 t， 围城的三角形还是长，这样，面积根本不会变，所以定积分的结果也不会变。第一条成立， 再看第二条，它是说积分上下限相等时，定积分直接等于零。还是这个例子，当上下限相等时，围城的图形就是一条线段， 很明显线段的面积是零，所以定积分的结果就是零。第二条成立， 再看第三条，它是收一段区间的定积分，可以拆分成两段之和，这个也很好理解，因为这块三角形的面积肯定等于两块之和。 再看第四条，积分上下线互换，前面要加个符号， 它本身就非常好记。如果非要推倒的话，可以试试把上个公式里的 c 改成 a， 这样等号左边就是零。根据它，我们很容易就可以推出第四条公式。 好，再看最后两条，也都很好理解记。函数就是关于坐标原点对称的函数， 很明显，这个定积分的结果就是 x 轴上方的图形面积减去 x 轴下方的图形面积，也就是零， 而偶函数呢，就是关于 y 轴对称的函数。很明显，这个定积分的结果是整块图形的面积，这个定积分的结果是半块图形的面积，所以这俩定积分是两倍的关系。 好，本课结束， 上节课我们学习了定积分的公式与性质，那么接下来咱们趁热打铁，做到提炼练手吧！首先，这个定积分可以拆成两个定积分相加， 然后这个常数可以提到前面。接着我们算一下这俩定积分。请记住，如果定积分的上下线互为相反数，我们要优先使用这两条公式。 因为如果被积函数是积函数，定积分就直接等于零。如果被积函数是偶函数，可以先算一半区间上的定积分，再去两倍。 好，我们看看这个背记函数是基函数还是偶函数吧。很明显， x 的 四次方是偶函数。三 i x 是 基函数。 根据高中学过的函数基友系，我们可以知道，基函数乘偶函数就是基函数，所以 x 的 四次方乘三， x 就是 基函数。 好，老师，这个奇偶性我记不住怎么办？别慌，有小妙招，只要把记函数当做复数，有函数当做正数，你会发现贼好记！ 而且你记住了加法和乘法的奇偶性之后，还能顺便记住减法和除法的奇偶性。 好，回到这题，这个定积分符合这种形式，所以结果是零。 那么接下来的任务就是算它了。很明显， cos 阿拉克斯的四次方是有函数符合这种形式，所以计算它时，我们可以先算一半区间上的定积分，再取两倍。 好，现在只要求出这个定积分，本题结果就出来了，他怎么求呢？你有没有发现，这个定积分有点像一个火箭发射基地，这个是期待塔，这个是火箭本质，这个不知道叫什么。 当我们想发射火箭的时候，就从这个数开始倒计时，四三二一点火。 warning nuclear missile launched this is under attack unit lost。 这样这个定积分就求出来了，化解一下，最终结果十二分之三排。 最后给大家认真解释一下这个定积分是怎么求的。我们用的是华丽式公式，外号也叫点火公式。 公式内容不用记，只需要知道，当背记函数是萨莱克斯的按次方或扣萨莱克斯的按次方时，零到二分之派的定积分可以直接写出来。比如这个定积分，它等于从十开始倒计时， 最后的分子失忆就会点火成功，可以发射火箭。再比如这个定积分，它等于从九开始倒计时， 注意后面不能继续倒计时了，否则分子就没发现了。咱这个倒计时不包含零这个数，所以只能到这一项， 因为最后的分子十二没有数到一，所以点火失败，没有发射火箭。好，相信通过这两个例子，你已经学会了点火公式。 接着我们学习定积分的第五课便上线积分。在本章的第一课，我们学习了牛顿莱布尼斯公式。 根据这个公式，我们不难发现，定积分的结果只与积分上下限有关，与积分变量无关，所以这个 x 可以 换成任意字母。 其实这个性质我们前面也讲过，这里正好从不同的角度再次印证了它的正确性。 好，我们正式开始讲解本节课的内容。既然叫变上限积分，说明积分上限是变化的，不再是这种固定的常数。 比如它就是一个变上限积分，因为 x 取不同的知识，上限会跟着变化，并不是一个固定的数，所以得名变上限。 当我们在考试中遇到被上限积分时，题目的突破点往往都是对它求导，因为求导后你会发现最终结果只剩下个小 f x， 这说明积分上限为 x 时，对被上限积分求导，我们能直接得出答案，只需把背记函数里的变量换成上限 x 就 完事了。 比如这道题，看到变上限积分，我们的突破点就是对它求导。 看到求导何求极限，你能想到什么？很明显是洛必达法则，但使用洛必达法则，极限必须得是零比零型或者无穷比无穷型，这个极限满足吗？满足， 因为我们将 x 去近的数带入后边的式子，所得出的结果里，分子、分母都去近于零， 所以极限是零比零形的。那我们就可以使用洛必达法则，对分子求导是它，对分母求导是它， 但现在这个极限仍为零比零型。大家是否还记得求零比零型的极限？我们还有一种更推荐的方法叫等，叫无穷小替换。通过这个方法，我们可以将 sin x 方替换成 x 方， 化简一下很容易可以求得极限结果为三分之一。好，这就是便上线积分的基础提醒，下节课我们继续研究它的推广。提醒， 本课我们研究变上限积分的推广提，现在上节课大家认识了基础的变上限积分，他求导就是先把背记函数超过了，再把积分变量改成上限。 但在考试时，这个上限有可能不是简单的 x， 而是关于 x 的 复杂式子。遇见这种情况，我们还是先把背记函数抄过来，再把积分变量改成上限，但要额外在后面乘以上限的导数。 啊。老师，这个公式怎么来的？上节课讲过，这个公式是通过牛顿莱布尼兹公式、对等式两边求导得来的， 他也一样求导就是了。通过这个方法，我们可以进一步推出变现积分的公式， 这样在考试时，遇见上下线都有 x 的 积分，我们也会做了。比如这道题，让我们求 g p 零，那先求一下 g p x， 再把 x 等于零带进去就可以了。 因为 g x 是 一个变现积分，所以它的导数可以套用这个公式 化解一下很容易，可以求得 g p x 等于它，那么 g p 零就等于它。 好，这就是变上限积分的推广提醒。因为上下线都不是固定的数，所以改名叫变现积分了。下节课我们继续研究变现积分的推广提醒。 上节课我们做了这么一道题，它比较简单，会套这个公式就行，但题目要想出的难一点，往往会在这个背记函数上搞事情，比如加一个 x 方， 这样我们在求导的时候就没法直接套公式了。那怎么办呢？请大家记住，与积分变量无关的字母可以看作常数， 因为它的积分变量是 t， 所以 x 方可以看做常数，而常数可以提到积分外面， 这样我们就可以继续往下做了。其中这个变现积分的导数可以套用这个公式 化解一下很容易，可以求得 g p x 等于它， 那么 g p 零就等于它。 当然，题目要想出的更难一点，还可以把这个 x 方放到括号里，这样就无法将它提到积分外面了。 遇见这种最棘手的情况，我们就要使用秘法化缘，也就是把含有两个字母的式子变成一个字母。 如果我们另 u 等于这个式子，那么 t 就 等于 u 加 x 方， d t 就 等于 d u， 这样原先的 g x 就 会变成积分变量为优的变现积分。在之前的课时，我们强调过，坏人要同步更换上下限。 原先积分变量是 t 十，上限为 cosinex， 下限为 cosinex。 现在积分变量换成了有，也就是 t 减 x 方，那上限就会变成 cosinex 减 x 方，下限就会变成 cosinex 减 x 方， 这样上下线就求出来了。现在这个变现积分的导数你会求了吧？ 化解一下很容易，可以求得 g p x 等于它，那么 g p 零就等于它。 接着我们学习定积分的第六课，反常积分。既然叫反常，说明积分不正常，那到底怎么个不正常法呢？ 具体表现在两处，一个是在上下线的位置出现了正无穷或负无穷， 另一个是表面看起来很正常，但实际上在积分区间内存在某个点，能使背机函数在该点处的极限等于无穷大。 其实遇见这种简单的反常积分，咱直接把它们当做定积分来计算就可以了。 其中这个正无穷往里带是老安，正无穷也就是正无穷一，往里带是老安一，也就是零，所以最终结果是正无穷， 剩下的这些也是一样的做法，就不一一展示了。 这里有两点需要注意，如果瑕点在积分区间内部，就要先从瑕点处将区间拆分，然后再计算。 如果是这种既有瑕点又有无穷线的，就要先在瑕点和无穷之间找一个数，将区间拆分，然后再计算。当然，咱找的这个数最好是一二，这种好算的数不要用那种灌输。 最后，如果反常积分的结果是个确定的值，那么该反常积分就是收敛的。如果结果是震荡不存在或含有无穷大，那么该反常积分就是发散的。 大家好，我是一分钟讲数学，接下来我们学习定积分的应用。要掌握这一张的内容，必须得会画函数图像。比如这道题，你至少要知道 y 等于 x 分 之一是这样画的。 画出函数图像之后，你才能知道它与 x 等于一， x 等于二，以及 x 轴所围成的图形长啥样，进而求出面积。 那这个面积咋求呢？在前面的课时，我们讲过，当围城的图形在 x 轴上方时，图形的面积等于定积分的结果，也就是说，这个面积 s 就 等于这个定积分的结果。 计算一下很容易，可以求得结果是劳恩二。接着我们提升一点难度，让你求这块图形的面积。该怎么做呢？很简单，用这块大的面积减去这块小的面积就行了， 计算一下很容易，可以求得结果是二分之三减劳恩二。 好，相信通过这个例子，你已经对定积分求面积有一定感觉了。由此，我们可以总结出一条公式，围成图形的面积等于上边这条线的定积分，减下边这条线的定积分。 好老师，如果这两条线不是都在 x 轴上方，还可以用这条公式吗？当然可以，我把分析过程写给你看看就明白了。 同理，这种情况公式也是成立的，你只要记住，围城图形的面积等于上边这条线的定积分，减下边这条线的定积分就 ok 了。 当然，围城的图形还有可能是交叉的，那我们分成两块分别计算就可以了。 上节课我们学习了这么一个公式，你会发现，积分变量是 x， 被其函数也是 x 的 表达式，就连上下限也是根据 x 等于啥写出来的。也就是说，这个公式只跟 x 有 关。 那是不是只跟 y 有 关的也会有个公式呢？是的，对于这样的图形，它的面积等于右边这条线的定积分，减左边这条线的定积分。 为什么要额外学这个公式呢？因为有的题 u x 型的公式不好做，比较麻烦。比如这个题围成的图形是它， 那我们先用 x 型的公式做做看吧。围成图形的面积等于上边这条线的定积分，减下边这条线的表达式没问题，它是 y 等于 x 减四。 但上边这条线的表达式就不太对了，它居然是 y 等于正负根号下 r x 四， y 分 正负，说明这部分是 y 等于正的根号 x 二 x 四，这部分是 y 等于负的根号 x 二 x。 也就是说，上面这条线对应两个表达式，这样根本不知道应该把哪个当做 f x 了， 除非你从这些一斗分别计算两块图形的面积，然后再加起来。但这样太麻烦了，我们不如再用 y 型的公式做做看。 围成图形的面积等于右边这条线的定积分，减左边这条线的定积分。 左边这条线的表达式没问题，它是 x 等于二分之 y 方。右边这条线的表达式也没问题，它是 x 等于 y 加四。那我们直接代入就 ok 了， 计算一下很容易，可以求得结果等于十八。最后把这两个公式再展示一下，大家可以对比着看看。 接着我们学习一定积分应用的第二课，求旋转体的体积。本科非常简单，你只要会求面积了，自然就会求体积。 比如这道题，上节课我们已经讲过，围城图形的面积可以写成这个积分。 现在将题干改一下，让你求这个围城的图形绕直线。 y 等于负三。旋转一周所得到的旋转体体积。应该怎么做呢？ 很简单，只需两步。第一步是把这个被积函数改写成积分的形式， 注意改写后的背记函数一定是一，并且因为上下限都是根据 x 等于啥写出来的，所以积分变量是 x。 然后我们进行第二步，把这个一换成二排，乘以距离，这样就得到了带球的体积。其中这个距离指的是围成图形中的任意一点到转轴的距离。 因为转轴是 y 等于负三，所以距离就是点的纵坐标减负三的绝对值，也就是 y 加三。 当然，如果转轴是一般的直线，那就要使用点到直线的距离公式来求距离了。 最后就是计算积分了，对于这种二次积分，我们先算内层的积分就可以了。请大家记住，与积分变量无关的字母可以看作常数， 因为积分变量是 x， 所以 二派乘外加三可以看做常数，而常数可以提到积分外面， 这样我们就可以继续往下做了。

本讲主要涉及到以下的内容，排序与关联算法，这里面主要要特别原元素算 好，我们先来讲排序与关联算法这里面的，哎，那么实际上呢，我们只是把 部分 s， d， l 库的部分的这个函数拎出来讲，那么每一组每一个库的你，比如 algorithm 库里面，就算法库里面有很多的函数，我们不可能呢，一个一个一个每一个都拎出来讲，我们只选择一些比较常用的常见的一次算法来 来讲来介绍一下，那么这次算法如何用？那么算法库里面第一个最常用的，哎，这个算法就是 sort 这个排序算法，因为我们的这个程序设计中很多的地方呢，需要用到这个排序， 那么在编写代码的时候，如果啊有的地方如果一个地方用到要用到排序了，那么请记住不要自自己去写排序算法，而是要去调用， 哎，这个标准库里面， s， t， l 库里面这个算法就是 sort 这个算法，那么 sort 呢，它对这个输入的这个数啊，这个这容器里面的，哎，这是数据啊，进行是吗来续的， 那么除了 salt 呢，还有是什么？ unik， 就是 把这个容器里面或者宿主里面的重复的元素啊给剔除掉， 然后呢？ reverse 对 原始的数据，宿主进行的元素啊，进行反转一下，反转， 然后是 law bond， 查找第一个不小于目标值的元素 up bound 呢，就是查找第一个大于目标值的元素 max， element 和这个 minimum element 就是 查找元素族中最大的元素和最小的元素。那么 这些算法函数啊，是在这个头文件 algorithm 这个库中，所以需要使用的时候需要怎么样啊？需要 include。 好， 我们先来呢介绍。第一个就是排序算法，这个 sort 这个函数， 那么这个函数呢，是 str 中最常用的这个算法函数之一，或者说就是最常用的算法函数，它具有灵活性高，效率高的这个特点，适合于大多数排序的这个场景。 它的核心功能呢，就是对指定范围里的元素啊进行排序，它有个默认呢，默认是按照顺序来排列的， 但是呢，它也支持自定义的比较函数，你自定义的比较函数呢，就是你可以设限降序，排哎来或者是对其他呢？什么叫机构体哎，数组元素进行排序， 那么排序它的这个平均的实心复杂度是为什么？ n log n 的 最坏的情况下就是这个，所以它的效率呢是极高的。 它的语法定义有两个，一个就是默认的产业默认的这个这个顺序排序的时候， 那么这个 salt 怎么样？因为 salt 首先它是一个模板函数啊，它是一个模板的函数，所以呢它的这模板参数呢，是一个迭代器，对吧？迭代器的，它的迭代器的首迭代器， 它是用来指定这个这代器的范围，就是哎，这个 first 和 last， 对 吧？就是你你这个 first 和 last 呢，指定的一个范围，然后呢对这个范围里面的元素进行排序， 那么它的第二个这个语法定义呢，就是后面呢，它多了一个比较项，就是我们可以自己来定义比较函数， 那么这样的话呢，我们自己的定义比较含蓄的时刻就可以实行降序来排序，还可以呢，对这个结构体进行排序，是吧？ 那么记住它这个替代器，这个 first 和 last 是 指怎么样啊？ 访问哪一些类型的这个容器呢？就是 vector， array 和 dq， 就是 怎么样？它的迭代器是指这一次迭代器，它不支持双向迭代器，也不能硬于这 list 这个类型的这个 排序，所以这一点呢是比较呃需要注意的。好，我们现在来看看呢，这个 salt 的 它的用法， 第一个最基础的用法就是使用默，使用它来做默认的顺序排序。好，假如说我们是有一个宿主 victor， 这个 victor 呢？里面放的这个都是整形的数据，对吧？但是呢，它是无序的，对吧？然后呢，我们使用这个 salt， 这个 salt 来来个排序， 排序呢，就是这个宿主的哎，他的手第一个这接收器的位置，是吧？就 begin， 假如说你要对整个宿主进行排序，那么它就是 begin， 它的第一个元素的位置和最后一个元素的位置就是 end， 那 么 就是最简单的这个使用方式，对它对这个上面的这个这一个速组进行一下排序，就是就是这样的一个写法，就是速组的 begin 和速组的 end， 然后呢，你排序完以后，把这个速组怎么样？竖出来，引个循环竖出来， 那么这是最基础的用法，在使用它的时候要记住在上面 include 图上面要 include algorithm， 就是 它这个 sort 所在的库算法库。那么假如说我们想要定义一个哎这个降序来排序， 那降序了排序怎么办呢？我们就要使用一个比较函数，我们看，哎，这个，你，你啊，这个怎么样？自定义了个排降序了排序，同样呢，我们还是定一个 v 的 这个整形的这样一个， 这样一个速速，这时候我们的排序呢，除了前面两项就是它的成始项和末项以外呢，我们定义了一个排序的函数， 降序的排序函数，那么使用的是个 number 表达式来定义的这个函数的啊，那么就是有两个参数 a b， 然后呢 a 要大于 b， a 要大于 b， 要要熟悉这个， 哎，这个写法就是这个排序函数啊，我们当然可以写成一个独立的函数，但是一般我们就是印这个栏目，它表达式在这里写就是它的第三项是一个函数体，就直接印栏目，它表达式来写，那么排序的两哎两个 元素怎么样？这个这样来写 c k 呢？我们把它说出来，对吧？好，我们现在来看看呢，我们应对用机构体进行排序，比如说我们是一个有一个机构体叫 student， student 呢，它的 name 和它的分数，它考试的分数， 那么我们现在呢定义了一个速组，这个 student 的 这个速组，对吧？然后呢 l 是 八十五， bob 九十二，叉里七十八，对吧？ 那么现在呢，我们要对它进行排序，这个 student 呢，我们有一个 student 的 这个啊，这个 vector， 那 vector 的 begin， 我 们它第一个 student 啊， vector 什么啊？ end 最后一个 student， 但是呢我们来排序呢，这里面我们是要对这个呃机构体进行排序，那就是 student a 和 student b， 然后这个记录就是 const student a， const student b， 也就是说我们不改变这个 const 的 意思就是我们不改变 student 的 里面的 name 和这个分数 score， 我 们是不改变的， 我们只是怎么样啊？哎，只是要读去他们，对吧？只是要读去他 cos student a， cos student b， 所以 这里面呢是降序了，层高调低了排，那就是 a 的 score 是 大于 b 的 score， 对 吧？这是返回的，就是，这就是真的，那么 记住，那么这个就是用来书写怎么排序结构体。哎，这是一个比较函数，所以因为它比较简单， 这比较简单啊，哎，所以我们一般就用 number 表达式来写，这就是 number 表达式的一个用处，对吧？来用 number 表达式呢，通常呢都是用在这个，很多的地方都是用在这个 sort 这个或者其他函数有这个比较像的这个地方。 好，那么接下来呢，我们就是把它怎么样，把它说出来每一个系列呢？说出来排序完的。 好，接下来呢？哎，上面呢，我们我们对这搜特已经有一个很好的这个认识了，它呢是应了排序的，对吧？它呢？哎， 呃，有两个定义的这个方式，对吧？也可以自定义来来自定义这个比较函数，现在呢我们就来用一个比较复杂的一个例子，这个例子呢就是统计英文小说中的词汇的频率。好 好，我们现在来看看呢，我们这一个程序呢，稍微有点大，所以呢，我们需要有一系列的 include， 其中呢要用到了 algorithm， 就是 我们有一组的这个，什么啊？有一组的这个 啊，调用到这个算法库里的这个函数。好，我们先来定义第一个函数，就是 to low， 把一个字母串这边啊大写全部改成小写啊，把一个字母串大写改成小写，这个比较简单，我们就不再说了。 第二个呢，就是呢，把一个字幕串里面的标点符号，标点符号给去除掉，我们做这个一篇小说怎么样啊？他是一个个的做一做，做一行字幕串，要把字幕串里面的是什么呢？这个标点符号给它去掉， 那么这个函数呢？也就是把标点符号来去掉了，我们也不再细讲，因为比较紧呢，就是哎，循环的哎，检查字幕串里的每一个字母，对吧？ 再接下来呢，我们去看一个字，这个词的这个单词的统计，每一个单词的名字，然后这个单词在这个小数中出现多少次这个结构体，这是一个结构体，然后呢结构体这个的函数，对吧？ 好，再接下来呢，就我们来比较函数，也就是这个哨克那个后面第三个参数，那个比较函数，那么这个比较函数呢？ compare by count， 就 decent， 就是 按照词的词的出现的次数，按照降序来排列，那就是这个函数呢？ 哎，有有一个词，这是一个一个词，对吧？就 what 的 count， what 的 结构体，然后呢按照降序来排列，就是前面的 a 要大于 b 的 它的 count， 我 们只能比较，能够比较什么，哎，比较，这个 可比较呢，像就出现的这个频率怎么样？两个都是整数，是能够比较，哎，整数一个大于前面，大于后面的 第二个呢？我们是按照这个又是个比较。 compare by word， 这个就是比较，按照字母顺序来， 我们对小说中的这个所有的单词按照字母顺序 alphabet 来进行怎么样啊？把它编写编排，那么也就是说这是个呢？哎，这是一个结构体，这 a b 同样是这个 word 结构体，这是个呢？按照 word 两个字母串是可以比较的啊，两个字母串的比较呢？是比较它们的二十个码值，对吧？按照，哎，按照字母顺序 alphabet 来进行比较的， 接下来呢我们就来看看没没有你名。好，我们定一个文件名，自己小说的名字，然后我们输入，对吧？文件名。好，然后呢来读这个文件文件的名字，文件打开，对吧？打开过以后呢，记住这个地方，我们要把所有的这个 这个小说里面的这是词和它出现的频率放到一个 map 里面，这个是个 map， 注意我们在 map 在 前面讲过容器类的时候，我们讲到就是词现在成为这个 map 的 关键键值，然后呢它的出现的频率是值， 单词是键，哎，它出现的这个频率次数为值，所以我们听这样个 map 叫 what count， 对 吧？叫 what count， 然后呢我们就在小说里面，这个小说已经文件被打开了，我们在小说里读一行，在这文件里读一行，读一行以后呢，把这一行呢转换成一个字母串的牛，转换成一个字母串的牛，然后呢这是一个个的单词在字母串的牛里面，怎么样啊？ 哎，把一个个的单单词拎出来，拎出来以后呢，把这个单词的标点符号去掉，把这个标点符号去掉，如果再把它转换成，转换成小写的，转换成小写的，这是一个单词，这个单词就是键， 然后呢就把放到这个 map 里面去，把它放到这个什么啊？放到这个 map 里面了，哎，就把它放到这个 map 里面， 哎，我们他的 map 出现一次就在加价，出现一次就在加价，所以到这个地方呢，这个循环完了再把这个文件关掉。但是呢，这所有的单词，这个小数点的所有单词都放到了这个 word count 这个 map 里面了，就放到这个 map 里面。那么接下来呢？我们去了到这个地方来干什么啊？哎，我们来定义，我们来定义这个 word count， 定义一个 word 速度，对吧？好，我们 但是这个 word count 呢？怎么样啊？是个 map 在 日这个 word count 啊， word count 不是 map 啊，是 word count， 是 这个机构体，是这个机构体。 哎，然后呢这个机构体呢？这个我们来看看。哎，需要怎么样啊？需要给它分配一个内存空间，多大的内存空间？然后呢来 check 那 个 map 是 多大，那个 map 的 size， 那个 map 的 size 呢？决定着我们这一个这个这个 vector 要在内存里占多大的空间，对吧？然后呢把这个每一个这个它的键，第一个就是键，第二个就是它的出现的频率就是值。然后呢把它怎么样啊？ 制成这个怎么样？放到这个里面，制成这个 word 的 结构体的对象，然后把它放到这个 word 这个 vector 里面， 这样的话这个循环完了，这个 victim 就是 有了每一个单词和它出现的频率。放到这个怎么样啊？放到这个 victim 里面了，这个 victim， 但是呢，它是无序的啊，这是无序的，所以呢我们第一次就来调用一个 salt， 这个 salt 呢就给它排序了，就给这个 word 排序这个 salt 的 记录，一般上在我们的程序里面都是对 victim 进行排序的， victor， array 或者 dq， 对 吧？正常就是 victor， 就是 对 victor 进行排序，这 victor 的 begin， victor， end， 然后呢排序，然后他的这个比较呢？怎么排序的呢？ 就是 compare by， count， descend， 对 吧？就是按照词的这个频率这个降序来排，就是把出现小说中出现最高 啊频率的单词放到最前面的，对吧？排完序以后，排完序以后呢，我们就把它输出来，输出来个什么呢？就是按照前面最 最出现频率最高的四个单词怎么样把它输出来，哎，这个地方呢，就是频率出现最高的四个单词呢？这个 word， 这 count， 把它输出来，这个词词和它的这一个 出现的次数，对吧？出现出现次，然后呢？再来在那地方呢？再然后再来在那地方呢？统计一下，哎，最大的出现那个那个词和最小出现的那个词，哎，最大出现的那个词和最小出现的那个词， 哎，最大频率出现的那个词和最小频率出现的那个词啊，这个地方呢？也是怎么样？哎，有是有一个怎么样？哎，有是有，是一个比较函数的， 然后呢？ reverse， 我 们就讲介绍除了这个 soft 呢，还有其他的，这个叫 maximum， 微 啊， mini maximum， 对 吧？然后呢？这个，欸，有一个 reverse， 把这个词怎么样啊？欸，反转一下把这个词怎么样啊？ words， words， 就 拿就是这个 viktor， 把它反转一下，欸，反转一下排序， 那么这个地方呢？是个排序降序的，然后一反转呢？怎么样？一反转它就成了一个升序的，就是就是最小的在前面了啊，这个就是 reverse， 把它 reverse 一个，然后呢再把它就再竖出来一丝的线线。 好，我们再给 words 这个词呢进行排序，排序呢？这次我们按照什么呢？按照字母顺序来排，按照字母顺序来排 compare by word， 对 吧？不再是按照这个 count 就 频率最高或者频率最低来排了，我们又把这个数组呢？怎么样啊？按照这个字母， 哎， alphabet 就是 顺序表来排，排完以后呢，再调一下 unique 这个函数，这个 unique 这个函数怎么样啊？ 这次函数呢，都是一样的，就是前面都是这个范围，这个阶段期的范围，对吧？开始结束，然后呢这个第三个呢？有一个第三个参数，就是用来比较，你看 unit 就是 怎么样啊？相等的，哎，相等的就是把这个怎么样啊？ 这个数轴呢，有相同的元素啊，那个只保留一个，把后面的这样啊，哎，对，我把它剔除掉，这样的话呢，就是把重复元素 陈述古董。怎么样？去除掉这个 unit 的 意思，去除掉以后以后我们再来做 query， 这是个呢，我们做 query 来查询，怎么样来做查询。这个第二个循环，让你输入一句话，然后我们来查询，哎，输入一句话以后呢，把你这个一句话同样也改编成，哎， 标点符号去掉，然后再转过来消息，然后来查询。这个萝卜棒子就是第一个出现的，出现的怎么样那个词，对吧？唉，这个就是呢，就是这一块呢，就是我们来 调一萝卜棒子怎么样那个函数，所以这个例子呢能腾，呃， 哎，大概呢就是能够把这一次函数除了 salt 以外呢其他的几个函数 reverse， 对 吧？这个 low bound， up， bound， 这个 unik， 哎，这次词呢，哎，函数的用法都，哎使用上了， 好，我们现在呢，再来看非修改序列，哎，这个算法就是不改变容器里面的这个元素的这一组算法， 那这组算法里面呢，主要有查找元素，就 find， find， if， search， 对 吧？这一块几个函数啊？是查找的 第二个元素呢，是应该统计的，就是这个词出现了多少次这个，哎，元素出现了多少次？ count， 对 吧？ of， 所有出这个词出现的出现的某一个这个元素，把它放在一起， any of， any， of， 就 任何一个，对吧，对吧？然后呢比较这两个训练，我们讲这个这一组，哎，这一组这个函数算法，函数啊，还是针对这个输入替代器的元气是 vector， 对 吧？啊？ screen 和 list， 那 么这个比较训练就是比较这两个训练怎么样啊？是不是相同啊？相等，对吧？ miss， match， 就是 不想匹配。然后呢并列，就是把这个元素中的每一个元素都并列一遍，就 for each， 这个 for each 呢是一个比较常用的，对吧？就是我们要重点念出来讲的就是 for each， 好，我们现在来重点来讲 for each， 这个 for each 是 stl 中用于便利容器元素，就是数，就容器里每个元素都要去过一遍打开呢，过一遍干什么呢？要执行一个自己定义的这个操作的一个算法， 哎，他接受范围就是迭代器，对吧？就是这个首尾的迭代器，而且呢有一个函数，这个函数呢通常就也是那么的函数， 那么这个那么的函数呢，就通常对这个元素中的每个元素啊，对这个范围里的每个元素呢进行一个什么，哎，进行一个操作，这样的话呢，就可能改变到这个元素这个容器里面的元素了的值了，对吧？ 所以呢，这一个了，这一个函数呢，通常也是个那么的函数。好，我们现在呢，来看看它这个 for 一 起通常适用于哪些场景？第一个就是简化便利逻辑，就是代替这个传统的 for 循环 啊，代替这个船的在这放放循环，对吧？第二个呢，就是批量执行一次简单的操作，你比如打印修改属性，调用程序函数，然后呢结合这个 number 函数或者其他对象函数或者函数对象，实现零后的一次统计筛选功能。 好，我们现在来看看，我们现在来看看这样一个这个成例子啊，假如说呢，我们有个 book， 有 个书店里的 book， 对 吧？这个关于书店里的这这一个一个程序。 好，我们定一个 book， book 的 title 和 book 的 作者。哎，然后呢 book 的 id， 然后呢这个地方呢，定重载了一个 相等相等相同的这样一个相等于号，重写等于号，就是两个 book 是 不是一样的，两个 book 是 不是一样？就是两个 book 的 id 是 一样的，那么就 book 是 一样的。然后呢 print 这个 book， 把 book 的 id print 出来，书名 print 出来，把作者复印出来。 好，现在呢，我们在这个门语函数了，我们定义这个 vik 就是 vik 的是个 book， 是 一个 library。 好， 我们讲一下这个图书馆所有的 book， 好， 这个 book 的 title 名字，作者和这个 id， 对 吧？这里我们简单地列出了这里面啊，哎，四个 book， 好，那我们这个地方呢，就叫 find， find 呢？这个就是哎，查找，查找一个范围，从这个 library book 里面的所有的 book， 这个第一个 起始和终止，对吧？然后呢，查找什么呢？查找这个 book 的 type target book 是 一个 book 啊，把这个 book 它的 id 在 这地方，对吧？然后呢，就查找，哎，查找，查找，正常呢，找没找到，就要判断是不是到了极数部分，如果这一个接待器没有到达这个哎宿主的极数部分，那么就说明找到了，否则呢，就是没找到。然后呢，第二个查找呢？ 第二个是统计，对吧？统计这个数跟它一同 count if， 对 吧？ count， if 这个范围， count 和 count 一 样的，就是说它在这个哎接待器的初始位置，然后呢，它这个 if 就是 一个条件，就是判断是，而是是 book 的 title 是 一样的，不是 id 一 样的，是 book 的 title 是 一样的啊， 然后呢，这个地方呢，我们来定义这个哎， victor book， 这第一批 book， 第二批 book， 第三批 book， 对 吧？是，这是一批一批一批的， 就是八千一，八千二，八千三，那么每一篇里面呢，至少有两个 book， 然后呢，我们来看看这次 book 是 不是一样的，对吧？ echo， echo 来调音，我们这个就是来调，来来 来，势势利，怎样调用这个这是函数的一会，就是两个序略是不是相同，那么第一个序略开和始和第二个序略的开始开端，他就是第一个序略的这个范围啊，有始有终。然后第二个序略呢，只是指指指它的开始， 对吧？这个呢，也是第一个训练的开始，然后第三个训练的开始，第一个训练的开始，第一个训练的结束，第三个训练的开始，所以比较两个训练是不是相等或者是不相等，它呢，是 有三个参数，对吧？第一个，哎，第一个参数是第一个训练的开始，第二个训练的结束，第三个参数才是第二个训练的开始啊。 好，我们现在来看看呢， stand， stand 的 它的 for 一 起里面的应用举举例。 好，我们现在来看看啊， in 容器的元素，对吧？好，我们现在呢有一个容器 victor， 这个里面呢都是 string， 是 fruit， fruit 里面苹果，香蕉，橙子，葡萄，对吧？这一个是一个 victor， 但是里面都放的都是字母叉。 好，现在呢，我们就使用 for each， for each 呢，就是 fruit 的 begin 和 fruit 的 end， 然后呢，第三个 是一个 number 函数了，对吧？这个 number 函数就是一是一个参数，这是一个参数，把这个参数输出来，那么 这个就要记住了，就是说 for each， 它的第三个参数通常呢也是 number 函数， 所以在这个嗽，对吧？和这个嗽一起里面都是有一个，哎，有一个，第三个参数呢，都是通常要用 number 函数来直接写的，所以呢，大家对 number 函数一定要比较熟悉。第二个我们来看看统计数据，统计的 好，这里有一是一个 vector， 唉， vector score 是 这个分数，这是一个速组，对吧？大家好，我们现在来看呢， for each， each begin， end， 然后呢，这一个， 那么这个里面怎么样啊？哎，捕捉此句里面有怎么样啊？有，有这个求和的，也有这个，统计这两个变量，而且呢，都是，哎，都是使用怎么样啊？引用方式来捕捉，然后呢这个这又是一个参数，这个参数怎么样？ 那么 sum 在 这上面怎么了？这是零的这样，然后呢把这个哎分数，把它怎么样了？这个 sum 呢？就来自于这个 sum 里面，来自于这个里面哎，然后把它加进去，然后统 计，统计完了以后怎么样啊？然后把平均成绩求出来，把平均成绩求出来，因为这个是一个整形，然后呢把它转换成静态，转换成 double， 然后除上这个哎过人数得到的平均分数， 这个呢就是什么 for each， 就是 for each 用的比较多，我们现在看第三个 for each， 这三个 for each 呢？这是一个结构体对象，对吧？结构体呢？有激素，有偶数，然后呢这是一个承载 哎，运算符的承载运算符的函数对象，我们叫承载运算符的函数对象。把这一个 这是一个整形的值，看看呢它是不是激素，是不是偶数？偶数加一，如果是激素呢？判断 技术加一，对吧。然后呢我们来定一个数组，这个数组一二三四五六七八九，这是一个数组。然后呢我们来 for each， for each begin， 然后这个是 这个就是这个结构体，结构体的名字怎么样？这个是就直接调用这个结构体的样，就结构体的样，就是这样调这个函数， 这个是这个我们在前面讲过的，这个就是结构体里面的哎，对象函数的时候可以分两步，第一次第一步呢定一个结构体结构体的对象，然后呢通过对象呢调它的函数，还可以呢，直接使用结构体的名字，结构体的名字直接来调用 啊？是都可都是可以的，就是你要知道这个地方调用的是结构体，是调用这是调用这个函数的，就是承载这个结构体对象的这样一个函数的，然后呢把它作为这个负一起这个地方第三个参数来调用，然后把它说出来，哎，这个 基数有多少个？偶数有多少个，对吧？好。第四个呢是调用成员函数，就是类，这地啊，是一个类，这是个类，类呢？里面怎么样啊？哎，有一个成员函数 log 的 这个成员函数， 那么我们现在来定定义一个 logos， 对吧？这有个定定义一个 logos， 这，这是一个 victor 啊，这 victor 里面有三个这个结构体的这样的对象，这我们怎么样啊？促使化的这个三个这样的一个对象， 然后呢我们来调音这个 for each， for each begin， 这个因为这是一个 victor， victor 数组，它的 begin， 对吧？它的 end， 它有 begin 与 end。 然后呢我们 对于这里面的每一个，这个第二首一定要说一个参数，对吧？ logo 是， 是这个 logo 是 里面的一个一个对，一个一个对象啊， 然后呢调用它的这个函数，调用它的这个成员函数，那么也就是容器的元素的顺序或机构被修改了，那么这一组函数有 transform， copy， fill， swap， remove。 那么这个呢？我们要讲 s， t， r， utility， 库顿的一一组函数，这里面有 swap。

别再翻秒找数据了， filter 函数一键秒出结果，老板让你找出姓陈的同事信息，你只需输入关键字陈，他就会找出所有姓陈的人员信息。像这种通过关键字就能贼快筛选出结果的方法是怎么做的呢？首先，把关键字小从姓名中定位出来， 利用 find 的 函数进行查找。第一个参数是查找值，第二个参数是在哪里查找？我们在姓名列里查找回车，这些有数字的就是代表名字中含有小字。第二步，把数字转成逻辑值，因为 filter 的 第二个参数只有当是 true 时才会被筛选出来。 接着我们在外面嵌套一个 is number 函数，按回车，这样就会以 true 跟 false 显示了。最后在外面嵌套一个 filter 函数，第一参数是显示筛选结果，这里要显示部门、姓名、金额。我们把相应的三列数据框选出来， 把 s number 与 find 的 函数公式作为 filter 的 第二个参数，然后按回车，这样输入关键字就能查找结果的筛选就做好了。