北京石景山2026数学初三试卷几何

加油加油，愿你超常发挥，考的都会会的都对，考出好成绩。

我们一起来看一下二零二六年西城区九上期末的几个综合。这道题相对于东城和海边的考法还是比较常规的手把手问题，难度不大，也比较简单，而且他抛弃了西城最喜欢考的一个最值问题，所以总体上来说呢，难度应该还是比较低的，在考试的时候呢，给学生带来的阻力可能没有那么大。 来看一下这边的第一题，第一题他告诉我们这个 b e 等于 b， a 等于 e d， 然后呢，我们还知道的是，这个角是四十五度，这一角也是四十五度，所以我们就通过这个角可以得到这个角应该是二十二点五度，这边这个角呢应该也是二十二点五度。那这样的话呢，第一问咱们就直接做出来了，这个角呢是二十二点五度， 这是第一题。好，我们来看一下这里边的第二第二题，他让我们去表示 a d 和 b f 之间的关系，那两个边的关系其实从我们首先肯定猜的是 a d 等于根二倍的 b f， 现在呢，你要么在 a t 上 a t 旁边构造一个等效值，要么在 b f 旁边构造一个等效值，我们会发现 f 这里边呢非常的特殊，它在这里边已经有了一个等效值 e f a 了，所以如果我利用 f 这里再构造一个等效值，那我这道题就出手拉手了。所以我的这个想法应该是很清晰的，我直接在这里边做一个垂直于 f 的， 并且让它等于 b f 的 这样条线，假设是 h， 我 连接 e h 和 b h， 这样的话呢，我们就能得到这里边这个图形和这个图形直接就全等了，这是手拉手全等，我们可以简单的写一下啊，三角形 e、 h、 f 就 全等于三角形 a、 b、 f， 这个呢是手拉手全等， 我做的是一个等值，你给了我一个等值，那接下来我们再来看一下，呃，我怎么再把这个 b、 h 这条边给他给导到我们所谓的 a、 d 这里？这样的话，那接下来我们再来看一下，呃，我怎么再把这个 b、 h 这条边给他给导到我们所谓的 a、 d 值，那接下来我们说这个图形 h 所在的三角形和 a、 d 所在三角形应该是有一个全等的，那大家应该在此时也能想到，应该是这个三角形和这个三角形应该是全等，那么这两个三角形全等是否可证呢？我们会发现也是比较简单的。 为什么比较简单？第一个，我们根据刚刚的手拉手得到了这条边应该是等于这条边的，这是第一个。第二个，又根据题目中的一个条件，我们知道这个 b、 e 是 不是应该还等于 b、 d 的， 那我们接下来呢，就知道这个 b、 e 是 不是应该还等于 b、 d 的， 那我们接下来呢，就知道题咱们就中出来了。 根据第一位的全等，我们知道这个角是阿尔法，这个角也是阿尔法，那我们呢会发现这个角呢，它也是四十五，我们假设这个角是贝塔，阿尔法加贝塔等于四十五，那你会发现这个角它也是阿尔法，为什么？因为我们可以使用三角形的外角， 对吧？三角形的外角，所以这个角它就是阿尔法。那如果说这个角是阿尔法的话，我们会发现阿尔法这个角是不是也等于四十五度？那这个角是不就贝塔这个角就是贝塔？如果你觉得我们在这个角是阿尔法呢？这个角是阿尔法没问题，那这个时候有一个等腰直角三角形 a e f， 所以这边这个角呢，应该就是四十五度，减去一个阿尔法，所以你会发现这个角就是阿尔法了，利用的是三角形的一个外角，对吧？三角形的一个外角就得到它是阿尔法，如果它是阿尔法的话，那这个角就是四十五度，减去一个阿尔法，为什么 就又回到了 a e f 这个直角三角形当中，所以我们会发现这个角应该是四十五度，那这个角是四十五度，这个角也是四十五度，那这样的话呢，这个三 角形 e h 就 等于 a d， 就 等于根 二倍的 b f， 这样的话，这道题咱们就做出来了。这道题的思路是非常清晰的，设计的点呢也没有什么比较复杂的地方，在倒角这里呢，也没有那么的怪，也都是比较成微的，所以说学生在做起来应该会比较舒服，比较轻松。

哈喽，大家好，这个视频呢，我们一起来分享一下初三年级期末考试的数学试卷。首先从整体上来看，和二四年的试卷做一个对比，那么他们有很多相同的地方，比如说出题风格上呢，几乎是一样的， 我们从二五年的卷子上能够看到二四年试卷上的一些影子。你比如说在我们选择题里面，反比例函数的这个坐标问题， y 等于 x 分 之负六，这是我们二四年的题目。 y 等于 x 分 之六是我们今年的题目。比如说最后一个选择题，我们去年的时候考察的是一个倒立的三角形，相似三角形的性质，而今年的呢，是正立的一个三角形，考察了三角函数的相关知识， 从图形上呢，都有一些关联性。再往后呢，方程题啊，概率题这些呢，出题的逻辑和解答的方法和去年呢都是一样的。 那么在变化上，首先呢就是内容上的一个变化，我们以前的时候呢，是不考下册第一章的，而在这份试卷当中呢，我们考察到了下册第一章的内容，而且占比呢还不小。 另外一个是从计算量上来考虑啊，我们这份试卷，他在后面大题上的这个计算量要比去年的计算量稍微高一些。你比如我们的反比例函数，方程问题，这些题目上的数字都相对复杂，对孩子们的 基础预算能力提出了比较高的要求。第二部分，我们从整份试卷呢，给它归一下类，归对应到我们课本上的每一个章节，看看每一个章节的占比情况。上册第一张四边形，它的占比呢是百分之二十七，要比去年的书呢略微高一点点。 我们在统计的时候呢，把最后的二十二题和二十三题呢，也统计到了第一张上。第二张方程内容，它的占比呢，百分之二十六，比去年呢略微高一点点。第三张概率占百分之八，和去年保持持平。 第四张相似，占百分之九，比去年大幅下降，主要是受到我们下册第一张三角函数的内容的一个影响。 第五张试图占比百分之三，和去年保持持平。第六张反比例函数占比百分之十五，和去年呢约基本持平 啊，不能说完全持平和去年和去年的时候呢，基本持平。下册第一张占比百分之十二，他占到了十二分。关于下册第一张考试的分值，和我们考前预测呢，是一模一样的 啊，如果要考察的话，那么他就是选择题，一个填空题，一个大体一个十分左右啊，这个内容呢，保持一致。好，那么第三个环节呢，我们来点评一下这份试卷当中的一些难点问题。那么选择填空题里面呢，我们只说一下十五题， 十五题和往年的十五压轴题作比较的话，今年的压轴题呢，难度是有所下降的，主要考察到了我们一个特殊角加相似三角形加平行线分线段成比例，而且呢有很多种解法， 有很多种解法，只要孩子们通晓其中一种，那么得到这个结论还是相对比较容易的。不同的老师呢，从不同的角度，或者同一个老师也从不同的角度给大家解答了这个题目。我在这里呢就不说具体的方法了，如果你有需要可以私信老师。 再往下呢，我们就要说这个十九题，反比例函数的这个题目考察的逻辑和方法都是平时讲过的，而且是重复训练过的，难度并不高，但是他的数字呢，比较大，八万七算出来之后呢，很多孩子不敢相信， 所以说在那里反复验算耽误了一些时间。接下来呢，是我们的二十题方程问题，每每问题这个方程题呢，数字明显要比去年的数字要大。考察的两种方式，嗯，或者说同学们解答的呢，采用的两种方式，第一个呢是就是我直接假设他降价了 x 元，然后呢去列出来一个方程。 第二个呢，是有的同学呢，还是习惯于假设定价，所以说他假设定价，但是这道题如果假设定价的话，你的计算量将会 更大啊，对你基础预算能力的挑战性更高。那么接下来呢，是我们的二十一题。二十一题呢，考察到了三角函数测高，这是今年的一个新内容，但是它的难度并不高，无论是我们在前面你训练的相似三角形测高，还是你后续训练的三角函数的测高内容， 那么都能够轻松的解答这个问题。第一问他是一个单选择题是吧？其实你分析之后呢，我们只能选择第三个 啊，只有通过你选择第三个 d f 线段的这个长度，那么你才能够根据同一条线，同一条直线上不同线段之间的这个和差关系，去列出来我们的方程，然后最后解出来你的高度。 其实说到这个下册的这个内容呢，呃，作为一个初三的老师，我要给大家多聊几句。就是说很多孩子其实在学习的过程当中，你比如说上册学习完了，好像他就在学习下册的时候呢，没有那么大的劲了。 这个东西呢，我可能觉得每年基本上都是这样，那么我觉得呢，可能和你初一、初二这种考察的方式也有关系。因为历年来呢，我们只学习完上册，那就到了期末考试了，但是，呃，到到初三的时候呢， 嗯，无论你是时间的长短，我们都不会只学上册，我们也会对下册呢讲很大的一部分内容，这是我们中考对这个节奏的把握的一个需要。这个东西呢，目前还无法改变。 嗯，但是孩子们等到学习下册的时候呢，感觉就没劲了啊，学不动了。或者是说心理上呢，就没有那么多重视了。你比如说提起三角函数啊，他就直摇头，你提起二次函数，他就呃，他就要流眼泪了 啊。所以说这一部分的这个变化和特点呢，我觉得是初三老师需要一直去优化和解决的一个问题。就这三题呢，其实整体上来说，第一问和第二问的难度根本不高啊，根本不高。第一问呢，主要考察正方形的一个判定，是我们非常常规的一个内容。 第二问呢，嗯，虽然呃他有一些新的变化，但是你只要牢牢地抓住我们三十度角、直角、三角形之间的一个特征，那么你就能够 呃对他进行一个解答。最重最困难的是我们第三问啊，第三问主要是画不出来图啊。很多孩子在这个压轴题上的这个困难呢，就是你能做一部分或者有一点点的想法，还是不能够完整的解答 啊。那么我们在压轴题上还需要有更多的训练，积累更多的经验，尤其是动点类的问题，只要点一动，很多孩子呢就无法画图。你比如说这个题，如果说我给直接给你个直接的图，那你做起来呢，还是比较方便的。总共有三种情况，得这三分确实不容易 好。那么最后一部分呢，我们说一下这个得分的情况，总分卷子呢，应该以八十分为分界线，八十分以上就说明我们的孩子的基础和掌握情况呢，还是比较好的。那么八十分以下就说明你对各个章节的知识啊，重难点。 呃，常考题型把握的不是很好，有比较多的这个漏洞。那么你接下来呢，一定要抓好我们的寒假和你的一轮复习的这样一个机会。

哈喽，同学们好啊，那么接下来呢，给同学们来解析一下下午刚刚考完的海淀区初三期末的几何压轴题，那么当然这道题目呢，弹出来讲呢，我是觉得还是有一点难度，虽然模型呢比较常见。 呃，那难的点在哪呢？还是那两个字，倒角啊，来，我们一起来看一下。那么他说在等腰三角形， ab 等于 ac 角， b 等于 r 法角啊， d e 分 别是中点啊，你看到这么多中点，可能会想到中微线，可能想到背长中线，对吧？等等啊， 那么 m 点呢，是这个上面的一个动点，不知道在哪连接它，然后将它旋转二 r 法，你看这种描述啊，旋转二 r 法 跟我们北京中考旋转什么一百八减二阿尔法特别相似，对吧？而且近两年我们对于倒角倒的特别的多，所以我建议同学们这一类的问题， 先把角给我标注出来啊，比如说啊，这个角就是阿尔法角，这个角就是阿尔法角，这个角就是一百八减去阿尔法角， 旋转了，这个角就是二倍的 r 法角。当然同学们别忘了因为什么中微线啊，导致，其实呢，这个也是一个什么等腰三角形，所以这个角也是 r 法角 啊，所以这个角就是一百八减去二倍的 r 法角，对吧？啊，这个是一百八减二倍的 r 法角啊，好，特别，多好，接下来第一个证明， a n 等于 dm， a n 跟 dm 这个是非常简单的对不对？直接这一组全等就行了。好，当然我们来看一下， 首先 d e 等于二分之一个 ab， 当然了，也就等于 a e， 对 吧，因为它等于三角形，所以 d e 跟 a e 是 相等的旋转嘛，说明 a e n 跟 e m 也相等啊，一组边两组边找的这个角肯定是什么这个加角喽，对不对？ 当然这个夹角好找吗？很好找，是吧？为什么？因为同学们要知道这个角是多少啊，我们刚说了二 r 法是吧，就是这个角， a e d 是 二 r 法角。好，当然这个角呢，这个 e n e d 他 也是，呃， n e m 他 也是，什么二 r 法？其实就是一个什么手拉手模型，对不对？所以其实第一问当中呢，考察的模型呢，就是手拉手 啊，对吧？好，那么因此导出小角啊，相等。好。第一个问题呢，我就直接在这把图给大家了啊，好，同学们只要知道啊，这个角是阿尔法，这个角也是阿尔法，所以去掉中间的两个小角，相等 d e 跟 a e 等，他跟他等好 s a s， 对 吧？好，我这个呢，我就不多说了，我相信比较简单。好，在第二个问题当中啊，稍微有些难度了，他说连接 m n 交 a b 于点 f， 那 么当 m f 跟 n f 相等，就这两条线段相等，当然也就意味着点 f 是 它的终点。 让我们去判断 f b 和 f a 还是一样的啊。考场上先拿个尺子量一下，因为这个题目当中，它没有特殊角，没有什么三十度、四十五度、六十度，没有这样的特殊角，所以在这里面一定是一个整数倍关系。 那么当然整数倍关系，同学们稍微看一下啊，可能大概也就是两倍、三倍是吧？两倍可能比较常见，但这道题目恰好是三倍关系。但我们说了，在考场上啊，就是一定要结合 啊，这个具体的图形来看，千万不要想当然，听明白没有好，那么当然，三倍关系呢，就是你通过测量，你能够推得出来他是三倍关系。三倍关系怎么办？又有终点？想到什么啊？也就是说，你要能够证明这条线段是他的三倍，就是三倍，不好证吗？对吧？ 两倍，好，正在这里面呢，还出现了中点，会想到什么？倍长中线，好，可以，我们在这里面可以截取，当然你做平行也行啊，可以截取 fa 跟啊，这个，呃，截取一个线段跟 fa 相等， 这样一来呢，其实这一段跟 fa 就 相等了，所以你只要证明这一段跟它相等，其实就是证明这个点是 a b 的 中点， 这个点是 ab 的 中点。实际上同学们就想一下啊，实际上想一下等价的结论是什么， 不就是证明这条线是整个三角形的中位线了吗？对吧，但这道题目呢，就是答案好猜，但倒角呢，有点复杂啊，所以我在这呢也直接给同学们把图画出来了啊，我们就可以，我在上面简单写一下啊，我就直接截取一下 啊， f g 等于 fa， 那 我们刚刚已经讲了，很容易能够证明三角形 a f n 是 全等于三角形。呃， g f m 的 啊，这个全等很容易证，是吧？八字形好，为什么想到它呢？我们刚刚解释过啊，所以呢，呃，我们接下来只需要能够证明点 g 是 ab 的 中点即可，就是证明 d g 是 中微线即可。 那么要证明中微线啊，同学们也知道，很显然要证明平行，平行就是什么倒角，那么有两个三角形全等，我们是不是就可以得到 g m 肯定跟 dm 相等，别忘喽， 为什么呀？因为 g m 本身等于 a n 啊，就全等嘛。 g m 应该等于啊，这个 a n 对 吧？当然第一问已经告诉我们 a n 跟 d m 相等，所以其实这是一个什么三角形？等腰三角形， 你要证明平行，其实说白了，只要证明这个角是什么 r 法角就行了好不好？正好正啊，在这里同样的同学们来看一下， 因为我们前面呢，已经跟同学们解释过了，这个角其实是 r 法角，这个角也是 r 法角，对吧？好，所以这个大一点的 m d f 其实应该是一百八十度减去 r 法角。 好，也就意味着第一问当中的呃， e a n 这个角也是一百八十度减去 r 法角，而这个角是一百八十度 减去二倍的 alpha 角。所以你可以得到这个角是什么呢？三倍的 alpha， 也就是说我们通过导角可以知道，角 f a n 应该是等于三倍的 alpha。 当然， f a n 等于谁？全等吗？等于角 f g m 角 f g m 它也就等于三倍的阿尔法是吧？好，这个角就三阿尔法，别忘了这个角也是阿尔法哟，是不是好说明这个角呢？二倍的阿尔法是不是就可以推出角 g m b 应该等于二倍的阿尔法？ 再问， g m b 等于谁？是不是也等于角？呃呃， m d g 在就两倍的角 md 几了？要说为什么两倍啊，因为前面已经说了，这个 g m 跟 dm 是 相等的，这是二阿尔法吗？说明这个角呢，也就是什么 阿尔法角了，对不对啊？所以角啊， md g 应该就等于角 c 都等于阿尔法，剩下来的好办了吧。那也就意味着 怎么样啊？ d g 应该是平行于 a c 的， 当然也就能够推出点记为终点，我就简单写了啊， 点记为终点，剩下来的好办了吗？是不是也就顺便挣出来了，对吧？好，得到了 f b 等于三倍的 fa 弹出来。说呢，就这道题目，同学们结合图形想要搞定答案一点都不困难，但是这道题目恶心的就是它的这个导角呢，太过繁琐了啊。 好，所以我们也给大家提供了一种思路。当然实际上同学们呢，可以在这怎么样呢？你做平行线也是行的啊。你，你直接说我过 这个，他做平行线也可以啊，也可以。事实上，当然那个解法不为一啊，但是核心呢，是通过通过终点啊，通过中微线啊，然后呢来进行倒角，那么这个解析的逻辑呢？核心呢，是不变的啊。好，所以海点区的几何压轴体就给同学们解析到这里啊。

哈喽，朋友们好啊，那么接下来呢，我们继续给大家来解析一下啊，东城区的期末的几何压轴题啊，当然这个几何压轴题呢，呃，应该来讲猜答案，或者说第一问，你这个题目七分的话，你拿到大部分的分数还是很容易的啊，因为这个模型太常见了， 那么他说在三角形当中， a b 等于 a c 啊，角 b a c 九十度等，要直角是吧？那么当然点 d 中点，三线合一，这边也垂直，这边也垂直，点 e 是 个动点，将它旋转九十度得到 c f 好， 这边也垂直，所以垂直，垂直，非常经典的什么 垂直模型是吧？所以第一个问题当中求证， a d 等于 f g， a d 等于 f g 啊，当然了，这个 a d 本身还等于什么？ c d， c d 跟 f g 相等，这是垂直模型就能证了啊，这我们就不多写了啊，非常容易 啊。然后这个 f g 等于 c d， 当然也就等于 a d 三线合一，是吧，所以很容易啊，但是我们再强调一下哦，同学们一定要注意哦，什么呢？就是 大家在解几何题的时候一定要注意延续性啊，就说他第一问不会，可能凭空的，没什么事干，让你证明个结论， a d 等于 f g， 那 一定是有关联的嘛，对吧？所以 a d 和 f g 相等， 别忘了啊，这垂直，这还垂直啊？其实前面我们给同学们讲了非常非常多的这个像类似的问题，就是一组边等，这个肯定要用的上，对吧？因为你第一问已经证了，第二还有个直角等， 你说干嘛呀？那很明显啊，一边一角构造全等是吧？再构造一个全等， 那么当然这个全等就是这个三角形了，再来一个呢，一边一角啊，我们呢，就可以往上啊，构造一个，因为在这里面呢，点 h 呢，是 b f 的 中点啊，看到中点我们也会想到什么中微线呐， 然后呢？背长中线呢？等等常见的辅助线的方法。好，所以你把图画过来之后，人家问你 a h 跟 d h 的 关系，那显然嘛，你只要画图是相对准确的，你肯定能猜得出来，肯定是相等的啊，这个非常简单，那么接下来就是要证明 好，别忘了点 d 是 中点，点 h 是 中点，两个中点用什么中微线，即 d h 等于什么？ c f， 并且等于 c f 的 一半，并且等于。呃，还怎么样啊？平行，同时这一条线， a d 跟 f g 也怎么样啊？也平行好，两组线平行，他们的夹角呢？相等，你也可以把这个角设为阿尔法，是吧？ 那么这个角呢，也就是阿尔法，那当然这个角呢，其实也就是阿尔法好，所以很显然，我们呢帮大家呢，提供了一种思路。当然这个角呢，其实也就是阿尔法好，所以很显然，我们呢帮大家呢，其实也就是阿尔法好。所以很显然，我们呢 啊，我们只是告诉大家有一组边，是吧？然后角啊，我们就可以构造这样的一个图形，这图形怎么来的呢？就是连接 a f 啊，把 a f 连起来，当然 a f 连起来呢，因为 a d 跟 f g 是 平行且相等的啊，前面已经说了，第一问已经有了， 并且这个是直角，其实这是个什么图形？矩形是吧？所以 a f 必然与 cd， 呃，这个，这个 d g 怎么样啊？平行吧，对吧，这个没问题吧？好，同时呢，我们延长 dh 交叉于点 q 啊，延长，那么因为你平行矩形嘛，这个也是直角，这条边跟这条边等，呃，这个小角跟这个小角相等，所以 a q d 跟 c g f 两个三角形全等吗？全等吧， 是吧，这个很容易正了啊，好，那它俩全等剩下来的好办了吗？是不是可以得到 f q 跟 d c 怎么样啊？ 肯定是平行且相等的，那么当然 f q 跟 b d 平行且相等的，对吧，也就是说你还是很容易能够证明出这一 组三角形怎么样啊？全等三角形吧， 是吧？好，那么当然全等三角形意味着点 h 是 什么点是 q d 的 终点啊？点 h 是 q d 的 终点，那么 a h 是 不是应该等于二分之一个 q d？ 当然了，其实也就是二分之一个 c f 对 不对？而 d h 呢，也等于二分之一个 c f 是不是就可以了啊？当然，这道题目的，呃，证明方法并不唯一啊，实事求是的讲啊，你还有其他的证明方法，比如说有同学可能会想到说，哎，这两组边的垂直且相等，我通过它再去构造一个，呃，这个，这个贡献三等角模型，或者说垂直模型行不行？ 也可以啊，方法不唯一。好吧，我们给大家提供一种思路，当然，这道题目你即使不能完整的正出来啊，也没关系，你答案总归猜的出来嘛，大部分的分数还是应该能拿的到的啊。好，所以这道题目呢，我们就简单的给大家提供一下思路啊，就给大家解析到这里啊，不算特别的复杂。

哈喽，同学们好，我是栗子老师，那么接下来呢，我们给同学们呢，再来解析一下西城区初三期末的几何压轴题，当然这道题目呢，同样的猜答案很好猜，呃，最后的证明呢，其实呢，也是一个相对来讲比较常规的一个模型了，我们一起来看一下啊。 呃，三角形当中， b a、 c 是 九十度啊，这是一个等腰直角是吧？点 d 呢？上面任意一点点 e， 在 它的延长线上， b e 跟 b d 相等，哎，这个点是个什么点？中点啊， 好，然后呢，将这个什么 a e 逆时针旋转，四十五度啊，转到了 am 的 位置，那么做 ef 垂直于它。好，这边注意，这是个什么图形， 等腰直角。好，同学们注意一下，这道题目当中出现了两个等腰直角啊，一个是 b a c， 一个是 e a f 啊， 好，所以在这里面有特殊角，是吧？那么接下来呢，第一问， b d 跟 b a 相等啊，当然，如果 b d 跟 b a 相等，那 b d 跟 b e 相等，那我们根据这个直角三角形的性质我们就知道了，是吧？那么这边呢，一定是一个直角，它求 b e f b e f， 求这个角是多大？ 好，当然了，这个角，嗯，很明显是要通过倒角，而且很特殊啊，大家猜也能猜的出来，肯定是什么二十二点五啊，当然，这个我们也简单给大家算一下，因为在这里面呢，涉及到了一些倒角的问题，对吧？ 那么我们刚刚解释过，这个题目当中有非常非常多的这个所谓的呃特殊角，四十五度角啊， 好，假如说，呃，因为在这一问当中，他告诉我们这个点，呃 b a 跟 b d 相等，那么因此，呃，意味着这个小角 啊，这个小角跟这个小角是什么相等的角，这个逻辑能理解吧，就直接倒角就行了，因为外角是四十五嘛，所以这个小角呢，二十二点五， 写边中一等于写边一半或等腰三角形都行啊，这个呢，也是二十二点五了是吧？好，那么当然这个角呢，自然也就是二十二点五了啊，所以常规的一个倒角就可以了啊，这个我们就不多说了，比较简单。 第二个呢，就是在一般情形下求啊线段 a d 与 b f 的 关系。当然 这道题目啊，还是一样的，考场上先自己去推一推，猜一猜啊。那么 a d 和 b f 测一测，量一量是吧，不到两倍关系，结合特殊角，你自然能够猜得出答案， a d 等于根号二倍的 b f， 所以 你如果能够猜出这个答案，核心就很简单了，一定是要根号二倍啊， 哪里才会有根根号二倍啊，一定会想到去构造什么等腰直角三角形啊，一定要想到构造等腰直角三角形。好，那这个等腰直角三角形好构造吗？好，大家看一下，一个是 a d， 那么注意一下 d 点呢，其实是任意的一点，并不特殊啊，一个呢是 b f， 就 从 b f 来看呢，我觉得 b f 这个线段更加特殊一点，对吧？为什么 b 点是中点一个，第二个 f 点是一个直角顶点？ 好，我们要构造，或者说我们要证明 a d 等于根号二倍的 b f， 因为 a、 d 跟 b f 并不在一个三角形当中，它是分割开来的，所以我们的核心逻辑应该是要证明 a d 所在的三角形与 b、 f 所在的三角形之间能够建立一个联系，对吧？ 好，所以很显然刚刚已经给大家提示过，这是一个等腰直角，这也是等腰直角。在非常多的等腰直角当中，我们会想到什么模型？ 手拉手啊，会想到手拉手模型，因为你人为的想要去 构造一个 a d 等于根号二倍的 b f， 那 么同学们想一下，如果我去构造根号二倍的 b f， 是 不是比较容易能够想到过 f 点做 f b 的 垂线？当然也就是说把 f d f b 啊旋转九十度就行了， 或者说做垂直并延长，使得 f b 跟它相等。为什么？为什么？ 垂直？垂直这个等腰直角，这个也等腰直角，典型的手拉手，证明出这个线段跟哪个线段跟这个线段是相等的，对吧？因为你有全等三角形，当然你要证明这条线跟 a、 d 相等，就是所在的 三角形全等已经很显然了，对不对？你第一组手拉手已经能够得到这一组全等了，要证明这两条线段相等，还有这一条线段也相等，剩下来的核心是什么？倒角？ 好，所以我们结合前面的这个题目呢，我给大家画了一个具体的图啊，我在这简单的给大家把辅助线呢，也给同学们写一下，我们的辅助线就是过 f 点做 f g 垂直于 f b， 并且使得 f g 等于 f b， 目的就是为了构造一个等腰直角三角形，对吧？当然还要连接一下 b g， 目的就是为了构造 三角形 f b g 为等腰 rt 三角形，因为如果它是一个等腰直角三角形，就一定有 b g 是 等于根号二倍的 b f， 当然我们的目标就是证明 b g 跟 a d 相等。 当然手拉手，因为你构造了这个等腰直角呢，就必然会产生什么手拉手模型啊。 这个手拉手我就简单给大家写了，就是三角形 f， e、 g 应该是全等于三角形。呃， f a b 的是吧？那好，这两个三角形是全等的，当然也就能够得到 a b 跟 e g 肯定是相等的。 我现在要证的是 a d 跟 b g 相等就行了，因为这样一来就有根号二倍了，而我已知了 a b 和 e g 相等，一组手拉手，我还知道 b e 跟 b d 相等，所以很显然是哪两个三角形啊？ a， b、 d 和 e b g 这两个三角形全等就行了，对吧？而且已经有了什么两组边哦。 e g a b b g a 啊，不，那个 b e 和 b d 已经有了两组边，对不对？很显然，要找什么啊？ 找夹角吗？这个角多少度啊？四十五度。只要能够证明这个角是四十五度，是不就可以了啊？这个逻辑就很简单了，对吧？好，因为这个角呢是四十五度，所以 a b 呢？本身呢，跟这个 e g 是 相等的，然后再加上一组边， b e 跟 b d 也是相等的，所以我现在的目标就是能不能把它证明出四十五度出来。那当然，很显然还是什么倒角啊，假定这个角是 r 法角，那么这个角呢，也就是 r 法角，这没毛病吧？ 好，这角四十五度，那么这个角呢，就是四十五减去 r 法角啊，因为这个角，巧了，还是 r 法。 这个逻辑能理解吗？为什么？因为这个角是四十五度啊，他是外角啊，等于两个角之和，他是阿尔法，那当然这个角是多少了，还是四十五减阿尔法， 明白为什么吧？原因是 a、 e、 f 是 等腰直角啊，他是阿尔法，他就四十五减阿尔法，所以你会发现这个角是阿尔法，这角四十五减阿尔法一加呢，就是四十五度。 所以其实这个题目最难的那个点呢，还是那两个字，倒角啊，所以我们就可以推出，我就简单给大家写了啊，三角形 a、 b、 d 是 全等于三角形，这个 g、 e、 b 的 啊，好，所以可以得到 b， g 等于 a、 d， 当然也就等于根号二倍的 b、 f。 好，当然这道题目呢，我还是想要强调一下，就是我们不为解这道题，而是要想一下，为什么我们要这么去想，以及它怎么算出来的。第一问不多说了，在第二问当中，同学们通过先猜先量啊，大概推出答案呢，应该是根号二倍，怎么才能产生根号二倍呢？ 对吧？那么一般来讲呢，就是构造等腰直角三角形呢，你要么就是以 a、 d 来构造，你要么就是以 b、 f 来构造， 当然，因为在这里面已经天然地出现了等腰直角，对吧，所以构造根号二倍呢，我相信呢，不是特别难想啊，就是你稍微试一下啊， 这样构造等腰直角之后呢，就必然出现手拉手啊。其实这个题目就是一个非常经典的，叫做逆向啊，或者说我们去构造手拉手模型，稍微多说一下，什么两个等边，有几个等边呢？几个等腰直角啊，这种图形考察手拉手是非常非常多的啊，非常常见 好吧，所以剩下来的问题就很简单了，对吧？只需要证明 b g 跟 a d 相等，那你要证明两条边相等，就是全等，你已经找到了两组等边，只要找夹角啊，夹角又是个定角，四十五度，剩下来的就简单倒倒角呗，是不是？ 好啊，所以这个题目呢，我们就给同学们解析到这里啊，供大家参考啊！记得点赞加关注，数学不迷路！

我们一起来看一下二零二五年海淀一模的几何综合这道题呢，我将详细的给大家讲解一下，我们鸡爪模型在思考的时候需要注意哪些细节。呃，在这两年考试的过程当中，我们会经常遇到鸡爪模型的练习题， 也就是手拉手的构造的一个方法，那在后续的考试当中呢，这种题出现的频率依旧会非常的高，所以大家一定要注意。第一题的图呢，咱们已经画完了，所以呢我们就直接奔着这个题目来就好了，我们知道的是角 a、 b、 c 等于阿尔法， 然后呢这个地方旋转的是四十五度，所以下面这个呢是四十五度减去一个阿尔法。又因为在题目当中呢，它会有一个 直角三角形点， d 是 中点，所以在这里面就设到一个涉及到一个斜边中线的问题，那么这样的话呢，我们就知道他就会有等腰，也就是 b、 d， 他 应该就等于 ed， 那 这样的话呢，咱们这个 edc 的 度数就可以直接出来了，角 edc 应该是等于九十度，减去二倍的阿尔法。第一问呢，非常简单，那接下来我们来看一下 手拉手构造的常见的三个方法，大家一定要弄清楚，我们从头开始去思考的话，手拉手模型的核心，它是由两个等腰三角形绕着其 顶角或者说顶角点旋转产生的一个特殊的全等状态，所以我们再去构造手拉手的时候呢，本质上是在构造第二个等腰三角形，或者说构造等腰三角形，因为当你有两个等腰三角形，此时你才能出手拉手，这里边大家一定要注意，那我们在平时做题的时候，你就需要去想一想，哪些条件可以 给你带来等腰，你可以通过哪些条件构造出等腰，这个呢就是我们所谓的手拉手构造的核心方法了。有第一个方法呢，是我们在一开始讲解的内容叫做特殊角度 构造特殊图形，如果给你六度，给你四十五度，这个时候呢，你一定能想到六度构造出等边，四十五度构造出等腰值，那么你构造出等边和构造出等腰值该怎么用？第一个用法就是利用等边和等腰值这个特殊图形的性质，辅助你倒边倒角解决问题，此时我是没有放在手拉手当中的，对吧？那你利用了等 边和等腰值这两个特殊的性质，辅助你去倒边倒角，你没有解决问题的话，你接下来你就要想一想，或者说你你脑子里要有第二个思路，就是他有没有和题中的其他的等边和等腰值联系到一块。我现在自己构造了一个等腰值，题目中还有一个等腰值，这个时候咱们手想的一定是手拉手模型， 是第一个构造方法，第二个构造方法呢是三线合一，我一般称之为其为垂直倍长，什么意思呢？就是有一个直角三角形，那么我们会发现它这个时候呢俩直角边，你随便倍长一个直角边对不对？它就能形成一个等三角形，这个呢是二零二三年北京中考的考法， 所以我们这两年遇到了很多在利用直角三角形的一条边进行倍长构造出等腰，然后出解决问题的原因也在找这个方法你也必须要掌握。 第三个其实对于我们来说呢，都比较熟悉，就是我现在呢有一个点，然后呢这里面有一条线，假设这是 o， 这是 a， 我 o a 绕着这个点 o 旋转到 b 这个位置，它只要旋转了，这个时候等腰就已经出来了，对吧？ o a b， 它就是一个隐藏的等腰三角形，所以呢，你可以在这个顶点 o 处找一找它有没有其他的边，然后你让其他的边呢也旋转同样的角度，这个时候呢，你的手拉手就出来了， 所以所以我们再去解决这个手拉手的问题呀。你首先你要先清楚哪些可以构造出动摇，这是我们常见的，也是限阶段常考的一些内容。那接下来我们来看第二个题目中说使 d j 等于 a d。 好， 各位，我们看到一个边相等，你能想到什么？看到边等，我们能想到两个内容，第一个它是否会出特殊图形，特殊图形根据边等咱们可以去倒边倒角，这样的话呢，可以在几何当中去解决很多问题。第二个边等能否出全等？因为边等如果说这两个边没有什么相相干性，我在另外一个边构造一个和你一样的三角形，咱俩就全等了， 这个是一个很重要的一个内容，大家一定要注意，那我们来瞅一下啊，题目中的 d j 等于 a d 做完了之后呢，我不知道你自己有没有这样的一个内容的，它里面有一个隐藏的三角形， 谁呢？等腰直 a d g 等腰直角三角形 a d g， 它通过这样的一个说法描绘出了这样的一个三角形，那我要是想解决这样的一个问题，我就可以通过这样的一个角度去思考，换句话来说， d g 旋转九十度到了 d a 这个位置， 对吧？然后呢接下来他又说了 e g， c f 和 a f 之间的一个数量关系，那我们这里还知道什么？这个 f 角应该是四十五度，因为这个角是四十五度，这个地方是垂直的， f b e 是 一个等腰值，那我怎么去解决这样的一个问题？ 所以在这里边我们去思考的时候呢，就会想到，你会发现三角形 a d j， 它已经给我们一个非常大的提示了，有一个旋转九十度，有一个边等，对不对？它这边有一个等号值。所以我在读到这个题目当中，我一开始如果说是比较迷茫的话，那我首先想的是在 d 处看一看是否会存在第二个等号值，是否会存在第二个等号值。 各位，你会发现此时呢，你在借助第一问的一个条件，你会发现这道题好像也就呼之欲出了啊，为什么这么说呢？这个角是 r 发度，这边这个角呢是九十度减去二倍的 r 发度，所以我在这边构造一个等腰的话呢，这个等腰一旦构造出来，那这个地方一定是垂直，然后你一连接，你会发现这道题呢就做出来了， 所以我们这道题的总体上的思路来说并没有那么难，需要大家对于鸡爪模型，也就是手把手构造其中的一个方法足够的熟悉。那我们来看一下，我在这里呢直接构造一个等腰，我假设这边是 n， 这样的话呢，这个角就是阿尔法，这个角如果是阿尔法的话，那这个角就是二倍的阿尔法，此时你会发现，等腰直角三角形我们就已经勾出来了，对吧？而且呢，在这个地方呢，你会发现你连接 n c， 你 也能得到一个垂直 啊，这个是我们所说的这样的一个图形的一个特殊性啊，当然了，我们这个呢，也是有点马后炮，所以大家在考试的时候呢，分析的时候一定要注意这些内容，那这样的话呢，我们会发现这道题就很简单了，这个三角形和这个三角形全等一旦中出来之后， 会发现这个 e g， 它应该假设这边是 a， 它就等于 a n， 那 我们还要知道的是 f c， 在 这 f c， 如果是 b 的 话，那这边呢应该就是二分之根二倍的 b， 所以呢，这个 a f， e g 和 c f 之间的关系咱们就出来了，那这道题呢，咱们也就中 b 了，这个呢是二零二五年海淀一模的几何综合，当然了，这个鸡爪模型在今年出现的频率依旧会比较高，大家一定要注意。

学数学难吗？一点都不难，大家好，我是 banana banana 老师，今天呢，咱们来看一下上午刚刚考过的初三上学期 这个期末考试的填空压轴题，也就是第十五题。这道题呢，主要还是考察这个相似三角形求线段长度的一些技巧啊，当然了，利用咱们课上讲过的一些特殊模型和方法呢，会相对的更简单一些，所以给大家分享两个办法啊。第一个就是常规的办法，咱们一起来看一下。 在三角形 a、 b、 c 当中，角 a、 c， b 等于九度， a， c 等于 b， c 等于六啊，那斜边的话就可以得到是六倍根号二，一比一比根号二，等腰直角三角形。 大家看到等腰直角三角形以后，可能会想着去做一条三线合一的垂线，但是做不做呢？目前直觉来看的话，大概率是不做的啊，因为这样一做的话，有 增加了这个交叉线啊，这个图就更复杂了，所以咱们接着再往后看啊。点 d 是 ab 边上的一个三等分点，那就可以得到 a、 d 和 b， d 的 长度，分别是二倍根号二和四倍根号二，也就是说其实他俩的长度比为一比二。 那结合这个图来看的话，大家其实已经见过很多了啊，很有可能就是什么呢，过某个点去做相似啊，就做平移线去构造相似，比如过点 f 座呀，或者过点 a 座，或者过点 b 座啊，这种题大家也见过很多了，那咱们接着再往后分析。 呃，这呢是相交于点 f， 若这两个角相等啊，角 a、 e， b 等于角 a， d， c， a， d， c 啊，这两个红色的角相等的，那给了角相等，那大家能想到什么呢？ 要想到两点，第一点啊，就是这个三角形的相似，第二点呢，就是跟三角函数相关的，而这两个这个角呢，都是钝角啊，所以咱们就往相似这边去想， 那这包含这两个红色角有没有相似三角形呢？有，最直接的就是一组子母形的相似啊，就是 a、 d、 f 和 a、 e、 b 啊，这两三角形是相似，但是它们的相似比知道吗？啊？不知道，目前来看的话是不知道的，所以咱们再看看还有没有包含这两个 红色的角的这个相似的三角形呢？啊？是有的啊，因为咱们题里边呢，是给了等腰直角三角形，所以这个蓝色的角呢，它应该等于四十五度， 那左边这也是个四十五度，所以两个红色两个蓝色相等啊，包括其实这个角啊，这个小角，它也是一个四十五度角，那就可以得到啊， a、 c、 d 这个三角形和 a、 e、 b 这个三角形，它俩是相似的， 那他俩相似之后，这个就很好用了啊，因为相似比是知道的六比六倍根号二嘛，对吧？也就是一比根号二，那在这知道 a、 d 是 二倍根号二，所以 b 的 长呢，就是二倍根号二，再乘个根号二就可以，所以他应该是等于四的。 那接下来 c、 e 的 长也就得到了 c、 e 是 二，那算到这是二，上面又是一个直角，所以 a、 e 的 长就是一三根号十，所以是二倍根号十啊， a、 e 的 长就得到一，呃，二倍根号时了。接下来 e、 f 呢，是这个二倍根号时当中的某一部分。 如果我能得到 a、 f 和 fe 的 比例关系，那这个 fe 的 长也就直接得到了，那所以其实就回到咱们最开始猜测的那个样子，那去根据这个线段长去构造一个这个相似就可以了啊。那怎么构造呢？过点 a 做这个 c b 的 这个平行线啊，这种题大家也练过很多了啊，应该大概率是能想的到了啊，就是做完平行线之后，就可以利用下边的这一组相似啊， 就是题里边给的一比二的这个比例关系，咱们就可以得到这个 am 长为三啊，然后接下来再利用这组八字形的相似 啊，就可以得到他俩的相似比为三比二。那换句话来说， af 和 fe 的 这个相，呃，这个比例关系，也是三比二的比例关系，那咱们就相当于占了二倍根号时当中五份中的两份，所以用二倍根号时去乘个五分之二就可以了啊，等于五分之四倍 根号时，那这道题就解决了，那这个就比较考验大家的这种基础知识和对这个呃，对于这种图形的感知能力，或者说这种熟练度究竟够不够啊？ 那呃另一种办法呢，就是利用一二三四五模型啊，这个当当就是刚才分析的时候，大家其实也感觉到了啊，在这上边呢，他其实是存在一个 一三根号尺的这样的一个三角形的啊，我给大家把这个条件在标上，这是二倍根号尺啊，上面这是二六二倍根号尺啊，这一三根号尺。所以咱们就可以知道这个上面这个小角呢，他就应该是十八点五度， 那下面这个角呢，他就应该是二十六点五度啊，二十六点五度，而咱们知道这三个蓝色角他都是四十五度，所以说利用这个关系呢，外角的这个关系又可以推出来，上面这个小角也是二十六点五度， 那由此就可以得到，在这个三角形当中啊， a、 f、 c 当中啊，他其实是一个特殊的三角形，因为这个是六，而左右两边这个这两个角也都特殊，所以过点 f 做一条垂线， 比如说这个是 m， 那 咱们就可以得到左边这个三角形是一三根号十。上面这个三角形啊，就是一二根号五啊，所以假设一下啊，比如说我假设这条边为 x， 那 这就应该是三 x， 这就是二 x 啊，那六就对应的是五 x， 所以 一份的话就是五分之六，那咱们知道这是一三根号十啊，所以这应该是五分之六倍根号十。 然后接下来最后的结果，用二倍根号十减去五分之六倍根号十，也是五分之四倍根号十啊，两种办法都可以，不知道大家在考场上有没有把它做出来？好，关注我不楠老师帮你解决所有数学问题。

ok， 好， 同学们，好哈，然后咱们今天啊，西城初三的期末刚结束啊，数学的期末，然后老师带大家看一下这个几何综合啊，这个几何综合是 从图像上来说的话，跟咱们去年的海淀的那个图像啊，期末的那个期末考试的图像还是比较像的哈。然后，呃，整体难度适中啊，难度不是很大啊。然后咱一起看一下， 首先他说了三角形 a、 b、 c 是 一个等幺二 t， 然后三角形 a、 e、 f 也是一个等幺二 t， 然后但是这两个等幺二 t， 它并不共顶点 啊，所以这样的话也为咱们后续啊，有一个后续做了一个提示，什么呢？就是咱们可以构造手拉手旋转等的同时，也可以尝试去构造这个脚拉脚相似啊，都是 ok 的， 两个路径可以走，但是构造哪一个，那咱就具体具体去看题，好吧。然后， 呃，第一问说 b、 d 等于 b、 a 的 同时让咱们去证明角 b、 f 的 度数， 这边首先等于这边，然后这边还等这 ab 还等于 b、 d， 那 这样的话，我的 b、 e 就 等于 ab 啊，这是四十五度，那这个二十二点五度，那下面这个，呃，这个角不就是二十二点五度了，对不对？这很简单啊， 没啥可说的，这个第一问，然后第二问说 a、 d 和 b、 f 的 一个关系， a、 d 和 b、 f 的 关系，大家就算不良的话，嗯，用眼直观的去看，估计也也也也不可能说是二倍关系吧，对不对？对吧，那不是二倍关系的话，然后有四十五度角，咱一般情况下是猜跟二倍关系， 然后咱们如果面对跟二倍关系的话，咱基本上就是两边归一跟号二，就是把这两边看能不能挪到一个三角形里边，然后正这个三角形是个等 r、 t 三角形， 然后这样的话跟这个边两边跟二倍关系就出来了。然后如果不能直接去证的话，那我们就可以尝试去找其他的一个跟这个 a d 和 b f 有 确切关，有确切的这个数量关系的其他边，然后去帮助咱们去证明咱们最后的一个结论，这是间接的去进行证明，好吧，然后咱们看一下咱们怎么去证啊？首先第一种思路， 第一种思路是相对比较麻烦的一个思路哈。呃呃，我我的 d 是 e、 d 的 一个中点，对不对？那中点问题咱肯定要考虑到什么考虑到中微线啊，非常中线啊，这一系列的对不对？然后 f 点、 f 点，你看是什么呢？ f 点是这个 nef 的 一个直角顶点，然后呢？我的 a、 b、 c 的 直角顶点是 a 点， 然后我就考虑啊，那我要构造一个手拉手的全等，对不对？那我如果以 a 为顶点去进行构造的话，那我就得做这个 k a 垂直于 a e 对 不对？然后延长 e、 f 与之相交，那同时我的 a e k 就是 一个等于 r t 啊，然后我的 a e， b 啊和 a c k 啊，它就是全等了，对吧？ 然后同时我的 f 点还是 e、 k 的 一个中点，那 b 点也是中点啊，那我直接连接 d k， 那 我的 b f 和 d k 之间就是就是一个二维关系，那接下来我需要做的就是去证明 d k 跟呃 a、 d 的 一个关系，那 d k 和 a d 的 关系的话是什么呢？ 哎，那我们就尝试，咱刚不说了根号二吗？那我就尝试去看能不能把 d、 k 和 a、 d 去放到一个啊？等幺二 t 函数形里边，对不对？那这样的话，我就以 a、 d 为直角边去构造了另外一个 等于幺二 t a、 d、 h， 但这 a、 d、 h 是 怎么构造出来的呢？啊？因为我的这个角 a、 e、 b 是 等于一百三十五度的，然后这个 a、 c、 k 也等于一百三十五度，上面是四十五度，那下面就是九十度，对不对？那我只需要去证明这个，那我只需要去延长 k、 c， 然后做 a、 d 的， 做 a、 d 的 垂线 a、 h， 然后二者相交于点 h， 对 不对？然后连接 d、 h， 然后这块是九十度，对不对？因为这块是九十度，然后这块四十五，那这块就四十五度，对不对？这块四十五度，这块四十五度，然后 a、 b 等于 a、 c， 然后同时的话，我的这个 b、 d 是 等于 b、 e 的， 呃，不啊，同时的话，我的角 b、 a、 d 是 等于角 c、 a、 h 的， 因为这个都等于九十度，减去这个中间这个公角嘛。 那这样的话，我的 abd 的 和 a、 z、 h 就 全等他俩全等之后，呃，然后我的这个 adh 就是 一个等幺二 t， 那 我只需要去证明 d、 h 等于 d、 k 就 ok 了。然后 d、 h 等于 d、 k 的 话，我怎么去证？这是两个三角形全等吧，对不对？ 这两两三种全档或者通过等腰三角形三线合一都是 ok 的 啊？然后这是第一种，第一种思路是比较复杂的，然后我们看第二种。第二种的话，那我既然可以以 a 点为顶点去构造等幺二 t 的 话，那我就可以以 f 点为顶点去构造等幺二 t， 对 不对？所以我只需要去做 f q 垂直于 b f， 然后使 f q 等于 b f， 然后 连接 b q 和 eq， 这样的话我就得到了等幺二 t 三角形 b f、 q 和 a f、 e 啊，就会形成手拉手形成全等，这个三角形和这个三角形就是全等的，然后全等之后，我的 b q 和 b f 之间是一个概念关系，那我主要去证明我的 b q 和 a、 d 相等就 ok 了。 然后正两边相等，且两边不在一个三角形，我们通过全等去证。全等去证的话，那就是这个三角形和这个三角形全等，对吧？然后他们两个全等，我怎么去证呢？首先这有一个边，其次这个边是等于这个边的， 对不对？是通过全等得到的，那我只需要去证明这个角等于这个角就够了。然后 a、 b、 d 是 等于四十五度，那我只需要去证明我的 b、 e、 f 是 b e、 q 是 四十五度就 ok 了。那这个四十五度我怎么去证呢？ 我们看一下啊，这个角一是等于角五的，那我就设角五是二法，那角四的话是不是就四十五度减二法，对吧？然后这样的话，我就可以 abd 是 四十五度，这样的话就可以得到我的这个角三是这个 呃阿尔法，那我的 a、 e、 f 是 四十五度，那我的这个 b、 e、 f 是 不就是这个 呃阿尔法，对吧？然后我的角一呃角二是等于四十五度减二法，然后角一是等于角五的等于二法，那这样的话，我的这个 b、 e、 q 也是这个四十五度，然后然后这样的话就等于这个角 a、 b、 d， 这样的话这两个三角全等，全等之后我的 eq 就 等于 a d， 这样的话关系就出来了。 ok， 这是第二种思路。那老师你往这边坐，那我不能往这边坐吗？对不对？往这边坐，他也是以这个 f 点为顶点，一个幺二 t 啊你，你当然可以了，你可以尝试一下吗？ 对不对？你看你多聪明。然后我做 f 跟 f n 垂直于呃 f b， 然后做完垂直之后，我会发现这个东西，然后使 f n 等于这个 f b， 然后我的 b f n 和 e f a 等于 f b 两个 呃共顶点，然后这个三角形和这三角形是全等的，对不对？然后它俩全等之后，然后我只需要去证明这个这个边等于这个边，对不对？那不带一个三角形还是全等啊？那只需要去证明 a b d 这个三角形和 a b n 这两个三角形全等就 ok 了。然后 ab 等于 ab 等于 ab 是 一个共边，然后我的 b e 还等于 b d， 那 这样的话我的 b d 是 等于 a n 的， 然后只需要证明这个角等于这个角， 然后这个角的话是四十五度，那我只需要去证明这个角四十五度就够了。然后这个角正四十五的方式跟咱们第二种思路正四十五度方式就完全一样，好吧，所以老师就不给大家正了，老师在呃课下大家可以自己去正一下，好吧。 然后这个西城区的这个初三的这个集中，整体来说的话是难度适中啊，难度不是很大，我觉得还是比较简单，而且可思考，可走的路径还是蛮多的啊。目前的路径虽然只只想到了三个，但肯定不止三个，肯定还有其他的，好吧？然后，呃其他的，你像戴宗 和袁宗啊，这这这不是西城的啊，这是丰台的，然后戴中和袁宗我觉得也是比较常规的，然后戴宗的话就是一个比大小的一个问题，但是呃做差的话，大家目前来说的话还是尽量慎用好吧，能图像能树形结合就树形结合去分析，好吧。然后 啊，原宗的话是跟考前说的一样，原宗的话就是一个双钩股啊，我列一个双钩股就可以解决了，但是相似实际上更快。但是目前来说的话，我们呃九上的话，呃考察范围不是不包括相似吗？所以大家能用购物定理去做的话，就尽量的去用购物定理去完成，好吧。 ok， 好， 老师就跟大家分享到这里，好吧，拜拜。

ok， 好， 同学们，好哈，然后我们今天啊朝阳初三数学的期末刚刚结束，然后老师给大家讲一下这个几何综合，然后这个几何综合的话，嗯，老师会给大家提供两种方法啊，然后咱们一起看一下。 呃，首先他说三角形他有两段线段的一个旋转啊，大家都做完题了，应该很清晰了，两段线段的旋转，而且他两段线段的旋转之后，他的旋转角不是一样的， 那老师你如果旋转角是一样的话，我直接出手拉手旋转角对不对？但是那旋转角不一样，但是他们旋转角的关系是互补关系，那如果是这样的话，两个旋转角之间是一个互补关系的话，咱也可以构造手拉手啊，而且是大概可以构造两个手拉手，就是咱们可以有两个路径可以走，所以这也就衍生出来这个题可能会存在两种方法。这样， 首先我们看第一问，第一问还是很简单啊，让咱们证明这个角 d、 a、 e 等于这个加上角 b、 a、 c 是 等于一百八十度的，那我只需要去拆分一下这个角，这个大角 d、 a、 e 就 ok 了，把这个 d、 a、 e 这个大角拆分成角 b、 a、 e 和这个角，对不对？然后这个角一百八十减二法，然后这个角加这角等于二法，然后他俩行加一百八十度，直接得正。 然后我们看第二本，第二本说点 f 在 b、 c 的 一个延长线上，然后角 a、 f、 e 等于角 e 加角 b 这个东西，它往往可能就是一个告诉咱们三角形的一个外角，也就是让咱们给咱们一个角等一个关系，对不对？然后因为三角形的 y 点等于加，不像是两个内点之隔吗？对不对？然后让咱们用等式表，用线段，嗯，表示这个 a、 f 与 d、 e 之间的一个数量关系，这个大家猜不？难猜啊，应该是一个二倍关系，那二倍关系的话，咱肯定往终点那个方向去走，对不对？然后 再加上他这么多线段的一个旋转，所以咱大概率要走手拉手加终点这样的一个问题。好吧，但是你咱我刚才说了啊，他可能会有因为他线段旋转，但是旋转角度是一个互补关系，那咱们有两条路径可以走，所以这也就衍生出来。咱这题有两个方法，所以咱看第一种方法。 第一种方法的话，我的角 d、 a、 c 稍等啊，我的角 d、 a、 c 是 等于这个阿尔法的，对不对？然后这个角是等于一百八十减阿尔法的，所以我被长 a、 d 出去，然后这个角也就因为这个角是等于阿尔法的 啊，然后我是被长出去的，所以这边等于这边，所以这个边和这个边是相等的，然后是一个等腰三角形，顶角是阿尔法，然后这个也是，所以我只需要连接我的 k、 c， 然后就可以得到这个三角形，顶角是阿尔法，然后这个也是，所以我只需要连接我的 d、 a、 e 跟 a、 k、 c 是 全等的， 然后他们两个全等之后，我一开始要证 d 和 a、 f 的 关系，那我只需要证明 k、 c 和这个 a、 f 的 一个关系，对不对？然后我们再接着往下走啊，我们做了一个转化啊， 然后往下走的过程当中，我发现这个，呃，这个条件我没用上，对不对？然后这个条件就是角 e 加上个角 b， 对 不对？但是我做完手拉手旋转之后，我很明显知道我的角 e 是 等于这个角的，对不对？那这样的话就是这个角加这个角等于这个角了， 对不对？那巧了，我的这个角是外角，是不是也等于这个角加这个角，那这样的话我的这个边就等于这个边了，对不对？ n f 等于 c n 啊，然后我只需要去，那这样的话，我就直接在这个假设这个角点上 n 啊，我直接去截了一下这个 h n 等于 a n， 对不对？那这样的话我的 a f 直接等于 h c， 那 我只需要证明 h 点为 k c 中点就 ok 了，对吧？那 h 点为 k c 中点的话，那速度也很多，咱们经常讲的就是 go to 八的正弦等，或者是呃做走中微线，对不对？那这块的话，老师走中微线。为什么走中微线呢？因为这块老师已经呃啊对，平行八的加中微线都有 啊，老师，这一块原来是背长了一下 b a， 对 不对？那这块的话我再背长一下 c a， 这样的话我就可以得到这个泰式形和这个泰式形，它俩一定是全等的，对不对？平行八字嘛，对不对？然后其次的话，我只需要去证明它俩是平行关系就 ok 了，对吧？那平行关系我怎么去证？找角呗，对不对？然后这个我设这个角是贝塔，那这个角也是 贝塔，对不对？然后我看一下我的这个角是不是贝塔加 c 塔啊？ 然后我知道这个角这个角是等于这个角加那个角的，是等于 beta 加 c 大 的。然后这个角是等于这个角，它是等腰的吗？对不对？那相当于这个三角形和这个三角形它是一个相似关系，对不对？当然你没学相似的话，你也可以不用相似，你直接导点就可以导出来吗？到这实际上没有完，没有，没有必要去用相似啊，直接导点就能导出来， 就这个角也是这个被大家 c 打，那这个角就等于这个角，所以它俩平行，那这样的话我的 h 点就是一个。呃， a a h 就是 中微线，所以 h 点就是 k c 的 中点，所以我的 k h 就 等于 h， c 得正，对不对？这是第一种思路，第一种方法， 然后我们看第二种啊，老师，这块简单写了一个过程啊。然后第二种的话就是我可以逆着方向去转他，那我怎么逆着方向去转他呢？来我们一起看一下啊。 呃，我的 c a d 是 等于阿尔法的，对不对？然后这个角是等于一百八十度减去阿尔法的，所以我还是给它背出去，直接背长 e a 等于 ak， 那 这样的话我可以得到角，这个 b a k 是 等于这个角， 呃， c、 a、 d 的， 对不对？然后这样的话我就可以到这个三角形和这个三角形是手拉手旋转等的，对不对？然后这块的话，那我只需要去找什么去？我找一个这个 d e 的 一个终点，比如说 k， 然后连接 ak， 对 不对？那我只需要去证明 d k 等于 af 就 够了。 但是我发现 d k 等于 af， 我 好像不能直接去证明，那不能直接去证明，我们就间接去证。间接去证是怎么去证呢？是找帮手， 对吧？怎么找网格呢？我们要找中间和勾到中间边，对不对？那这样的话我们可以尝试去勾到中间边，因为找不到中间边嘛。那勾到中间边的话，我们往往就是勾到等腰特征形，那在一个几何里面怎么勾到等腰特征形？我们可以做圆，对不对？我们可以可以以 a 为圆心，然后以 a f 为半径，然后做一个圆，然后与 f b 相交于点 h， 啊，对吧？然后连接 a h， 这样的话我就可以保证我的 a f 等于 a h 了，对吧？那我只需要去证明 a h 等于这个 d k 就 ok 了，那我直接去证全等呗。啊？这个时候题目里面可能就会看有看着比较像全等的一个三角形了，那就是这个三角形 k a d 和这个三角形 a、 c、 h 全等，那 他们两个全等我的条件怎么找呢？首先 a c 等于 a d， 这个是一个很直接的一个条件啊。然后其次的话就是我们找角呗， 对不对？那我比如说设这个角是 c 塔，设这个角是贝塔，那这个角的话就是一百八十度减去个 c 塔，再减去个贝塔，对不对？ 然后我们看这个角是和这个角相等的，那这个角是 c 塔，这个角是贝塔，那这个角就是贝塔加 c 塔，那这个角也是一百八十度减去二法减去，减去贝塔，减去个 c 塔，对不对？那这样的话我有一个边有一个角，然后我还得去找一个条件， 然后再找一个条件的话，找什么条件呢？再找一个角的条件吧，就是看看这个角，这个角和哪个角，这个角和 这个角看是不是一个相等关系啊？这个角是等于这个角加这个角的，对不对？然后这个角加上个贝塔等于这个角，对不对？然后我又知道这个角是等于什么呢？是等于这个角加上这个角的，对不对？然后这个角加上一个贝塔，对不对？那等于这个角，然后因为他俩是等腰三角形，所以这个角等于这个角，那这样的话就可以得到这个角等于这个角 啊。然后我的三角形 a、 k、 d 和三角形 a、 c、 h 他 俩就全等了，全等之后因为我 k 为 d e 终点，所以我的 d、 e 是 等于二倍的这个 a、 h， 这问题就得正了，好吧，所以这个问题我觉得它的模型特征还是比较明显的好吧？是一个两段旋转旋转，但是两段旋转旋转，它的旋转角度不一样 啊，旋转角度一样的话，我直接出一个手拉手，如果不一样的话，呃，然后观察一下他往往可能是互补关系，那如果是互补关系的话，我往往就是，呃，可以走两个方向，做两个路径，出现两个手拉手的这样的一个旋转圈，等啊，然后最后等到我这个， 呃，达到，达到我的一个目的啊，然后再结合这个终点的一个问题，好吧，所以这个题我觉得他导点导起来还挺烦人的，但是其他的其他的倒是难度还挺适中的。好吧？ ok， 那 老师就给大家分享到这里，好吧？ ok， 好， 拜拜。

每日提，日复一日，必有精进。大家好，那今天我们继续处理一下几何综合的题目。那今天看的是二六年，也就是今年东城初三上期末数学的第二十七题啊。那首先看下题目， 如图，在三角形 a、 b、 c 中， a b c 等于 a c 角 b a c 等于九十度， a d 为三角形 a b c， 然后做了一个垂， 然后 e 是 a d 边上的一个点，连接 c e， 将线段 c e 绕点 c 顺时针旋转九十度得到 c f， 那 么 ec 等于 c f ec f 是 个等腰值，再做 f g 垂直 dc 交 dc 的 延长线于点 g。 那 么第一问是要求证一下 a d 等于 f g， 那 么这个 ec d 和 f c g 这两个三角形非常明显的是一线三等角，因为 ec 等于 c f， 再加上三个垂直， 我们直接呃导一下角，证明一下 ec d 等于角 f， 然后再证一下全等，就可以得到这个 c d 等于 f g c d， 那 么 a d 就 等于 f g， 那接下来看一下他的第二问，连接 b f， 取 b f 的 终点 h， 连接 a h 和 d h e 补全图形，用等式表示线段 a h 与 d h 之间的数量关系，并证明 画完之后会感觉到 a h 应该是等于 d h 的。 嗯，然后我们要看一下怎么证明这个事。这道题的特点是他的条件非常非常的多， 就是有很多的等腰值，有很多的边相等。然后这里面比如说这个 dh 和 cf 的 呃， d 是 终点， h 也是终点，那 dh 就是 bcf 的 一个中位线，所以 dh 平行且等于 cf 的 一半。 那么这个 a h 的 话呢？我们最好也能够整等于这个 c e 或者是 cf 的 一半。 呃，然后就是我们把 a h 延长交 b c 于点 k， 那 么就会发现，如果 a h 等于 d h 的 情况下，这个 h 应该是 a、 d k 的 一个中点，那么这个 a、 d、 k 这个三角形，它实际上就应该和嗯 c， d， e 还有 f、 g， c 这几个三角形，它都应该是全等的。那么比如说我们想要证明 a、 d、 k 和这个 c、 d， e 全等，就会发现 a、 d 它等于 c d 了，角 a d c 也等于角 a d c 这有一个公共角， 那么就只差一个条件了，比如说 d k 等于 d e， 或者是 a， k 等于 c e 等等的。 但是问题呢，就是他这条件非常的多，我们就只差一个条件呢，应该还是要用这个题干中的这一大堆的条件去得到这个条件，就说明这个条件可能要导的过程是挺长的，那么我们就可以考虑一下尽可能的用一下模型，因为模型可以一口气用到很多的条件， 那比如说这个 abc 是 个等腰值，这个 ecf 也是个等腰值，我们就可以考虑用一下手拉手， 那么它现在手拉手不了，所以我们可以把 c 作为它的一个共顶点的部分，我们在下边做一个手拉手出来， 那比如说我们现在做一个 c d p， 这个我们把 a、 d 延长一倍，然后连接 c p， 那 么很明显这个 a、 c、 p 就 应该是个等腰值，然后加上 ec f 这个等腰值，我们可以得到的是 ec p 这个三角形， 它应该和呃， f、 c， a 是 全等的，既然它是手拉手，我们证完这个全等之后，就能够得到它的三个边和三个角，它都应该是对应相等的，那么就可以得到的是一 p， 它应该等于 af。 还有就是这个 cd 这条边，它应该等于 ad， 又等于 f g， 那 么这个 ad g f 应该是一个长方形矩形 啊。然后如果我们看到 c d 这条边的话呢，我们去看一下体干线的条件，那么 ab 等于 a c 角 b a c 等于九十度，还有 ad 就是 c e， 呃，绕点 c 旋转九十度，这些条件应该是都用到了，那么 ad 是 中线这个条件的话呢？还有就是我们第一问证明的这个 ad 等于 f g 这个部分， 那我们就还没有太用到，所以我们可以过点 c 做一下它的垂线，就可以出来一个正方形。那么做完这个正方形之后，我们可以得到仍然是非常多的条件，比如说这个 pe 它等于 pd 加 d e， 那 么它应该也等于 dc 加 c g， 那 么这个 pe 它就也等于 af， 或者用 a d 垂直于 b c f g 垂直于 b c， a d 等于 f g 这个平行且相等，加上垂直也可以证明 a d g f 是 一个矩形，那么就也可以得到 a f 等于 d g 等等这些条件都可以得到，那么我们就把这个 a d 是 中线给他用上了。 呃， f g 垂直于 d c， 我 们这个地方做了正方形之后应该也是用到了。呃，那么还没有用到的呢，就可以发现这个 b f 的 中点 h， 我 们这个中点 h， 虽然刚才说了 h k 平行于 d， h 平行且等于 c f 的 一半，但这个中点呢，我们还是要再用一下。那么用中点呢？比较容易想到的一中点模型里面的中位线，还有是斜边中线，还有非常 非常中线，这些内容是比较容易想到的，那么这个 a f 是 平行 bc 的 h 又是个中点，所以我们还能得到一个 非常中线的全等，就是 a h f 和这个 k h b 是 全等的，就是三角形 a h f 全等于三角形 k h b， 那 么就可以得到的是 a f 等于 b k， 那 么这样的我们就可以得到我们一直想要正全等的最后一个条件就是 d k， 我 们就可以等于 c g， 那 么具体的话是 a f 等于 d g a f 等于 b k， 那 么 b k 就 等于 d g。 所以呢， 呃，这个 d k 它就是等于 c g 的。 接下来我们就可以证明这个 a d k 和这个 f g c 是 全等的。然后也可以得到 ak 等于 f c， ak 等于二倍的 d h， 但我们用 ak 等于二倍的 d h， 目前还没有办法证明它是 d h 等于 a h 的。 那可以，那可以用一下等腰三角形，因为 a k a d k 和这个 f g c 全等之后，这个 a k d， 它就等于这个 f c g， 然后这个 dh 又平行于 f c。 所以呢，我们可以证明一下 dkh 是 一个等腰三角形，那么 dh 就 等于 hk， 呃， dh 又等于 a k 的 半，那么 dh 就 等于 a h。 记得点赞关注哦！

学透数学找老王！大家好，我就是那个老王。上了初中呢，所有同学都会面对几何题，而其中最难的几何压轴综合题，令很多同学都头疼，摸不着头绪。今天呢，老王就借助二六年刚考过的初三东城期末 这道几何压轴题，一起来带着大家看一看，这种题到底怎么做才能变得更容易更简单。首先呢，我们需要知道几何三百 f 加一性质，这里边最关键的也就是关联性。什么是关联性呢？就是当我做完这道题的第一问之后， 我们不要着急看第二问，一定要消化透第一问，因为第一问往往是命题老师给我们善良而温馨的提示，往往第一问，第二问，第二问和第三问之间都有绝对的关联。 我们来看这道题，首先第一问呢，比较简单啊，这里面出现的就是一个一线三等角，就是 edc 这个三角形角， d 角， c 角， g 啊，三个直角，然后 e c 呢和 c f 就 相等，一线三等角，那就可以直接正出全等。那这里边的 f、 j 和 dc， 包括 abc 是 一个等腰值，那 dc 和 db 和 da 也就四条黄边都相等，所以我们第一问呢，还是比较容易正的。那正完第一问，很多同学夸夸夸就着急做第二问了， no， 我们要看一下第一问能给我们带来什么收获。正常一线三等角就是正 dc 等于 c f， 这道题为什么让你去正 a d 啊？ 或者说为什么不让你正 b d 呢？那既然让你正了 a d 等于 g f， 它就一定有猫腻。哎，我相信有同学可能已经发现了，因为 a d 呢，垂直于底边，而你的 f j 呢，也垂直于底边啊，那咱，咱俩平行 哎，咱俩平行呢，又相等，那么我觉得正常的关联性就应该是什么呢？赶紧连接一下 a f， 这样的话就会形成一个矩形， a d g f， 那 当然矩形就直角啊，对应边相等就自不必多说了啊。所以如果你没有着急往后坐，而是听王老师的建议，用了三板斧加一性质中的关联性 这道题，你就可以延伸出不同的方法。而刚好这道题呢，考察了终点这个工具，而且考了终点的几乎所有模型啊。那接下来我们重点看一下第二问。 第二问说的是连接 b f 啊，取它的终点 h 连 a h 和 d h， 让我们求证这个 a h 和 d h 这两条绿色边啊之间的数量关系。这个我们先猜后正，连完之后画一个相对标准的图，一看他俩就是什么相等， 那这时候切入点应该是什么？肯定是这个终点 h 啊，对吧？哎，你是终点，能联想到什么呢？我们又知道，等腰三角形，三线合一，你这个 d 也是终点。所以既然看到了两个终点，我马上就应该想中位线呀， 所以这里的 h d 其实就平行且等于 f c 的 一半，所以 h d 就 转化成了 f c。 既然你 h d 能转化成 f c 啊，这块有一个中位线，那么同样的道理， 我这个 a h 是 不是也可以用中位线呀？所以第一种方法就出来了，就是我背长一下 b a， 哎，比如说我们把这个点叫 p， 哎，然后呢，再连接 p f， 这时候我们想象一下啊，因为你是倍长嘛，所以这条边就等于这条边，我要求证的 a h 是 不是就转化成了 p f， 所以我 a 也是转化成 p f h d 转化成 f c， 那 接下来就是要求证 p f 和 f c 相等。那这时候我们一看很简单，我们看这个红边啊，因为你是倍长的嘛， 所以这三条红边 abac 和 ap 是 相等的，再加上一条公共边 af， 是 吧？我们关联性做出来的矩形的一条边 af 啊，那只需正加角相等。这个加角我觉得也很简单 啊，刚刚说了，这是一个等腰直角三角形，所以这是四十五，这是四十五，这边也是四十五，对吧？矩形吗？那你延长之后呢？一百八减三个四十五，这还剩四十五啊。所以借助什么边角边 就能够证明这个对称全等，那它俩对称全等之后呢？对应边相等， p f 和 c f 就 相等，那它俩各自的一半 a h 和 d h 也就相等了啊。所以这个是借助中位线比较简单。 有同学没有发现这个中位线也没关系啊，因为看到 h 作为中点，我们马上能想到什么，能想到背长中线也就八字全等，而且这里边因为你构造了矩形，哎，这有天然的平行， 对吧啊，当然我们也可以说这也是平行，那我们想又有平行又有终点，那显然就是八字全等了啊，被场中线八字全等了。所以我这时候，呃，连接这个 d h 并延长啊， 比如说交 a f 与点 q 吧。当然你接着写 p 也无所谓啊，交于点 q 之后呢，我们这就会出现一个八字全等，就是 f q h 和 b d h。 为啥呢？首先因为平行，所以这个内错角相等， 对吧？然后你的 h 又是中点啊，然后呢，我这个倍长的话，我就也可以不说倍长，因为是延长嘛，那对顶角相等，哎，角边角，这就出现一个八字全等了，那出现八字全等之后，我们看一看， 我们就可以得到一个信息，这里边的 h d 和 h q 就 相等。你要想求证 h d 和 h a， 我 们看 这矩形，这角 a 本身就是直角， h 又是什么斜边的中点，那不就是 r t 三角形斜边中线等于斜边一半，哎，用这个定力也可以证明出 h a， h q、 h d 三边相等这道题就能做完了啊。所以这是用到了一个八字全等，非常中线。八字全等 还有一种方法啊，这个方法不太容易发现，但是发现了之后做起来就非常快了，他呢也是有依据的，还是基于 h 是 终点啊，既然呢，您这 h 是 终点了，对不对？ 哎，我们想象一下，你 h 是 中点，而且 b f 是 什么直角三角形， b f g 的 一个斜边，所以我就要利用 r t 三角形斜边中线了，那这时候我就连接 h g 换一个黑色的，哎，连接 h g， 那 我们想象一下这个 h g， h b 和 h f 就 相等了， 那这时候我们要正的是 h d 和 h a， 基于主角三角形的逻辑，我们想象一下这里边应该正谁呢？因为 r t 三角形斜边中线，是吧？等于斜边一半，它，哎，它和它相等， 那这里 h f 和 h g 相等，再加上刚刚我们连接 a f 形成的矩形啊， a f 和 d j 也是相等的， 我们要正的 a h 和 h d， 这不就是一个对称全等吗？所以我再只需证明这个小的夹角相等就可以了， 那这怎么正呢？因为 h 这个大的角 a 啊， f 和大的角 g 都是直角啊，你要正这点等就正它的互余的角相等就可以了。因为 h f 和 h j 相等，所以 等边对等角等腰三角形吗？这个圈角和圈角相交，然后等量代换一下，直角减圈，直角减圈，点和点相等啊，那这样的话，我们就能得到这个三角形和这个三角形，这是一个对称全等，也是边角边 就正出来了啊。所以我们中点的四大工具，中位线，八字全等，斜边一半，还有等腰三线合一，这里边就用到了什么三种 啊，而且不是一道题啊，或者一个方法用三种，而是这三种对应的这一道题的三个不同的操作啊。所以跟着王老师学透数学就体现在什么，你要通过一道题掌握 不同的方法，而且通过这一道题练会钟点模型，钟点工具背后的三种方法。同时我们总结的三百五加一性质中的关联性就是第一问的结论是第二问善良而温馨的关键信息，关键提示，我们一定要 get 到。 好，以上呢，就是关于几宗的这道题的一个操作方法，希望今天的视频能够帮助到大家，有任何疑问也请大家私信跟王老师直接沟通和交流，我们下次再见！

这个视频为师要跟你讲讲直角和等腰直角共斜边模型。这个模型在中考的几何综合题中比较常见，只要理解了这个模型，你就能秒杀相关的中考题了。 说了这么多，你一定很好奇这个模型到底是何方神圣？下面为师就来揭晓答案。如图， a、 b、 c 是 个直角三角形， a、 c、 d 是 个等腰直角三角形， a、 c 是 他们公共的斜边。像这种图就是为师所说的直角和等腰直角共斜边模型。 这个模型有个基本结论，那就是直角顶点连线的根号二倍，刚好等于这俩直角边之合，写出来就是这样。 有些同学可能会问，这怎么证明呢？观察一下这个图，不难发现， d、 a 等于 d、 c。 另外，已知这两个角都是九十度，所以这两个角互补， 有边相等，有角互补，可以怎么做辅助线呢？对了，可以把三角形 d、 a、 b 绕着点 d 旋转，让 d、 a 和 d、 c 重合，得到三角形 d、 c、 e。 由于这俩角互补，所以 d、 c、 e 刚好共线，这样就得到三角形 b、 d、 e。 观察一下，这是个什么三角形呢？ 嘿嘿，这个简单，不难看出， d、 b 显然等于 d、 e， 所以 这至少是个等腰三角形。另外，角 c、 d、 e 等于角 a、 d、 b， 所以 角 b、 d、 e 等于角 a、 d、 c 等于九十度。如此看来， b、 d、 e 就是 个等腰直角三角形。好了，这是个等腰直角，那 b、 e 就 等于 b、 d 的 根号二倍。 其中 b、 e 又等于 b、 c 加上 c、 e、 c、 e 又等于 ab， 所以 ab 加上 b、 c、 e 就 等于 b、 d 的 根号二倍。搞定。 明白了这个，下面就来看一道例题，这是广东省的一道中考题，如图，已知直角三角形 a、 b、 c 角 c 等于九十度， a、 b、 d、 e 是 个正方形，已知 a、 c 等于五， o、 c 等于六倍，根号二。求 b、 c 的 长度。 观察一下这个图，不难发现， a、 b、 o 是 个等腰直角三角形，而 a、 b 又是直角三角形 a、 b、 c 的 斜边，所以这刚好是直角和等腰直角共斜边模型。还记得这个模型吗？ 对了，直角边 a、 c 加 b、 c 等于 o、 c 的 根号二倍，写出来就是这样，已知 a、 c 等于五， o、 c 等于六倍根号二。算一算， b、 c 就 等于七，搞定。你看，利用这个结论，我们直接就秒杀了这道题。那如果要写过程，你还记得怎么写吗？ 这也不难，只要先把三角形 o、 a、 c 旋转过来，然后证明三角形 o、 c、 f 是 等腰直角就可以， 这样 c、 f 就 等于 o、 c 的 根号二倍。已知 b、 f 等于 a、 c， 所以 a、 c 加 b、 c 就 等于 o、 c 的 根号二倍。搞定了。好了，最后来总结一下，以后看到这种直角和等腰直角共斜边的问题，你就要想到旋转， 只要证明这个三角形是等腰直角，这三条线段的关系就好办了。怎么样，听明白了吗？明白的话就刷题去吧！

哈喽，大家好，我是李子老师，那么我们最后呢，给同学们来解析一下长区初三期末的几何压轴题啊，当然这个题目呢，同样的就是猜答案也比较好猜啊，我们来快速过一下啊！ 在三角形 a、 b、 c 当中， a、 c、 b 是 大于九十度的啊，那么以 a 为中心将 a、 c 旋转 r 角 啊，这个角是阿尔法角，那么得到了一个 a d 啊，以 a 为中心将 a、 b 再旋转，这个一百八减阿尔法啊，当然，这个什么阿尔法，一百八减阿尔法，一看就知道什么互补是吧，互补啊， 好，然后接下来得到了 a、 e 连接一下 d e 第一个股权图形啊，我想这个还是非常容易的啊。好，并且请你证明， d、 a、 e 跟 b， a、 c 相加等于一百八 啊，这个倒角问题嘛，就快速过一下啊，因为你要把 d、 a、 e 表示出来，对吧？因为这个角总共是阿尔法，我们就设这个角呢，是贝塔，就是 b， a、 c 是 贝塔， 那么这个，呃， b、 a、 e 这个角呢，是一百八减去，总共是一百八减阿尔法，这个是贝塔，那么这个小角呢，就是一百八减阿尔法减贝塔。 好，这个是贝塔，这个是阿尔法，所以 d、 a、 e 总共就是一百八减去，呃，这个，这个阿尔法加上一百八减去阿尔法减贝塔，所以其实这个角总共就是一百八减贝塔，对吧，再加上一个贝塔等于一百八啊。 这个呢，咱们就不多说了，也没有什么特别要讲的，就是一个常规的这个倒角问题。好，那么第二个如图二 点， f 在 延长线上角 afc， 呃，等于角 e 就是 这个角，再加上角 b， 那 么它让我们求 af 跟 d e 之间的关系，但是你观察一下， d e 在 这， af 呢，大概在这是吧， 因为这个题目当中也没有什么所谓的特殊角，没有什么三十六，十四十五，那么所以在这里面的数量关系呢？一，一般来讲呢，就是个整数倍关系啊，当然同学们还是的一样的，在考场上呢，咱们自己呢，拿尺子量一量，对吧？你在这个当中把这个图呢，稍微做一做，尺子量一量 啊，稍微观察一下啊，那基本上呢，就是一个整数倍，两倍关系好，那么所以你在考场上通过相对准确的作图呢，能够猜出答案啊，这个题目拿个四分左右也不太难，那最后的问题是怎么证明两倍关系，是吧？ 还是那个原则啊？不要忘了，就是第一问给我们的提示，他告诉我们 d a e 就是 呃，这个 d a e 加上角 b， a c 等于一百八， 你两个角相加等于一百八，肯定得用的上，对吧？而角相加等于一百八，很命线，就是互补嘛，所以最常用的辅助线的方法就是延长找补角啊，这个是最常用的，对不对？ 好，那我想这个逻辑也就比较清晰了，那么 b a c 跟谁相加等于一百八呀，我们可以怎么样啊，把它延出去 好，那么当然，为什么要这样想呢？原则上就是你要证明 a f 等于呃呃，跟 d e 之间的一个数量关系，对吧？而且角 a f c 等于角 e 加角 b， 角 b 跟角 e 是 一个，同学们看这个图，角 b 跟角 e 是 一个 八竿子都打不着啊，看起来也太远了，对吧？所以你得把这两个角呢放在同一个三角形当中，哎，再结合什么什么旋转，什么阿尔法啊，然后加上这个角跟这个角互补，所以我们会想到什么啊？手拉手模型是吧？ 所以在这里面呢，提供一种思路啊，就是将 b a 延长至 h 啊，我们就在旁边简单写一下啊，就是延长 b a 至 h， 使得呃， b a 等于 a h 好。 那么这样做的目的呢？再次强调一下，原因是为了构造一个补角一百八，所以角 c a、 h 就 应该等于角呃， d a e 对 吧？因为它们加上角 b a、 c 都等于一百八， 那么因此手拉手是不是也就出来了，对吧？手拉手模型，三角形，这个 a c h 也就全等于三角形 a d 好， 两个三角形全等啊，边角边好，两个三角形全等呢，我们自然也就可以得到了，这里的角 e 就应该等于角 cha 或者 ahc， 对 吧？所以角 b 加上角 e 就 应该等于角 b 加上角 ahc。 角 b 加角 e 是 谁啊？题目已经告诉我们了，角 afc， 对 吧？那么角 b 加上角 ahc 呢，其实就是角 hcf， 因为是外角啊，因为是外角，并且呢，这两三角形全等，还有 d e 等于啊 c h， 所以 你要证明 d e 是 两倍的 af， 就是 c h 等于两倍的 af， 对 吧？当然在这其实同学们标一下，你已经已经发现相等的角了，而且要找 af 的 两倍点， a 是 bh 的 中点，怎么样啊？中微线，也就是说，我们继续延长 这个 b f 至 g， 使得 b f 等于 f g 好， 然后连接 h g 好， 根据中微线我们就知道，呃，显然这个 a f 是 平行于 h g 的， 对吧？ f 平行于 h g， 剩下来的好办了吧？啊，就直接呃，利用中微线，利用这个角之间的关系就直接出来了，对吧？好，那么因此呢，我们就可以得到 呃， h g 应该等于两倍的 f。 好， 然后导一下角角 a f b 是 不是又等于角 g， 当然就等于角 h c f， 所以 这个呢，可以推出呃， h c 等于 h g， 对 吧？ 好，那么当然得正了啊。好， 那我想呢，就是整个这个题目呢，说实话，我觉得长区这个题目还是有一定的难度啊，就是猜答案呢，其实比较好猜，但是你你在做的过程当中，为什么要想到这样去做辅助线？我们再次强调一下，第一个呢，就在第一问当中给我们的提示，两个角之合等于一百八， 那么一般来讲呢，就是构造补角，那么构造补角呢，我们就可以延长某条线，对吧？那么第二个为什么会想到延长 b a 这条线呢？理由是角 e 和角 b 加起来，但是它俩现在隔太远了， 怎么才能加起来呢？好，所以这个角跟这个角一夹就可以了，是吧？那么我们通过延长这条线之后呢，刚好呢，又能够产生手拉手模型。 好，那么因此剩余的你只要证明这条线等于两倍的 af 啊，它为什么等于两倍的 af？ 两倍的 af 应该在这是吧，通过倒角啊，关系自然也就出来了啊。好，所以这道题目呢，我们就简单的给大家解析到这里啊。

哈喽，同学们好，我是栗子老师，那么接下来呢，给同学们来快速解析一下我们上午刚刚结束的长区初三期末的新定义压轴题。当然长区的这个新定义压轴题呢，有那个味了啊，有什么味了呢？有高中阶段解析几何的那个味了啊，其实这个题目的核心啊 啊，如果放在高中阶段来讲呢，叫做呃到呃动直线的这个距离啊，点到动直线的距离好啊，当然这道题目呢，我觉得就是思考的难度并不太大，但可能在部分的问题当中呢，可能会稍微有一点点的易错啊，快速过一下吧。 呃，他说在坐标 c 当中，点 a 在 这个圆上啊， b c 是 两个不重合的点，对于圆 o 和 b c 给出定义是点到直线的距离，称之为啊，这么一个复杂的表达式 啊。简单来讲呢，就是 a 点在圆上，那么它要到一条直线的距离，点到直线的距离称之为理想距离。 好，那么当点 a 是 在直线上的时候，理想距离为零啊，就点到线的距离为零。所以其实这个内容吧，我们在高中阶段呢，讲到这个解析几何的时候呢，其实我们也会说点到直线的距离，但当然它本身有公式啊，但这个不太重要啊，重要的是我们来看一下下面在初中阶段该怎么去求 解。他说第一问当然是具体问题了， a 点负一零， b 点零二啊，我已经给大家标出来了， 第一小问的两个小问题，我相信非常简单，对吧，因为如果是零的话，就是 b c 是 这一条线， a 点到它的距离呢，那肯定是一喽，这个 我相信没什么可说的了啊，这个直接写了啊。第二个 c 点是二，二就是这是一条水平线，那么这一条线你到它的距离很显然就是几啊，就是二，对吧？这个我相信没什么可讲的啊。重点呢，我们来看一下第一问的第二小问， 他说点 c 是 在这一条直线，哎，这条直线有点恶心，哼，在哪呢？在 k 是 零到二之间的啊，那么当然大家都知道 y 等于 k， x 加三是经过零逗号三的固定的直线啊，那个经过定点的直线，对吧？就是我们讲的叫旋转直线， 好，所以我标了一下，零逗号三呢，就应该在这，那么相当于是 y 等于 k， x 加三是经过零三旋转的直线。好了，那么现在问这个什么 d 的 取值范围， 同学们注意一下，他说的是点 a 到 b， c 的 距离啊。那你首先得知道这个问题当中 c 点不确定了，那么 c 点在哪呢？ 是吧？好，那么零件情况， k 取到二的时候呢，就是这条线当然不能取啊， k 要趋向于零的时候呢，就是这条水平线，当然也不能取，对吧？所以所有的点 c 应该是在这个区域当中， 这个能理解吗？当然两条蓝线上面的不能取啊，就是两条蓝线所形成的这一片区域当中 好，那么现在呢，也就是说 b 点是定的， c 点不定，所以你就能够画出无数条这样的直线出来，对吧？无数条这样的直线出来，因为 c 点在蓝色区域当中，就是这一片跟这一片区域当中。好，那么现在问题是他问 d 的 曲值范围是多少？ 好，那么其实这个东西呢，本身呢是一个结论，当然这个结论呢，对于我们下一问呢，也是有帮助的，所以呢，我们也顺便说一下，当然这个其实在高中阶段呢，我们讲到直线系方程的时候呢，其实就跟大家说过这个，当然同学们初中阶段也可以理解啊，就是 到过定点的旋转直线啊，比方说 b 点是个定点，那我们知道有无数条直线，对吧？那么平面里面的任意的一个点 a 到过点 b 旋转直线的距离 是怎么看的呢？或者说最大最小分别是多少？最小可以理解了，那肯定就是什么共线的时候是零了，对不对？好，也就是说，呃，你在平面里面的一个点 a 到过定点 b 的 旋转直线的距离的取之范围 d， 那 就是 ab 了， 我就写 ab 吧，好吧，应该是小于等于 ab， 当然大于等于零 啊，就是呃 d 点，我们就写呃 d 的 距离，就是 a 点到直线的距离啊，我们写标标个 h 吧，好吧，或者我们画一个，这样看起来更直观一点，就是 a 点到直线的距离，我们就叫 h h 应该是大于等于零，小于等于 ab 的 啊，当然我们解释一下，大于等于零，好理解，是吧？那么你比方说过 b 点的直线刚好经过点 a， 那 么 a 点到这条线的距离，那肯定是零嘛，对吧？你不可能比零还小了， 那么最大最大是多少呢？就是 ab 的 长。其实我们做的这个图就已经解释了，什么叫点到线的距离呢，就是过点 a 做直线的垂线段，就是咱们的长度就是 h， 那你会知道，因为 b 点是定的，所以在旋转的过程当中，呃，只有尤其只有一种情形，就是 a b 啊，刚好跟这条直线垂直的时候，这个距离 h 呢，等于 a b， 而在其余的情况下，直角边肯定是小于斜边的嘛，对不对？ 好，所以其实这个呢，本身就是一个结论啊，就是同学们要知道，呃，如果过定点的旋转直线，那么平面里面的点 a 到过定点的任意旋转直线的距离的取的范围是什么呢？就是零到 abab 是 什么？就是这个点到定点 b 的 距离 啊，当然这个这高中阶段我们讲的这叫什么？直线 c 方程经过定点然后算距离啊，初中阶段呢，大家也可以理解就是旋转直线啊， 好，为什么是他？因为 h 直角边是小于等于斜边的。好了，有了这个知识作为铺垫呢，上面的问题呢，其实就很简单了，对不对？所以最小最小是什么？那当然是零喽，也就是说点 c 在 哪的时候啊， 因为你 c 点要在蓝色部分的区域嘛，对吧？最小最小呢，你比如说 c 在 这可不可以？那就等于零嘛，对吧？最大最大呢啊，有没有一种可能性，最大最大？就是啊，我们换一下，就是过 b 点 垂直，是吧，跟 ab 垂直，也就是说，比方说 c 点在这，可不可以保证啊？就是这边是垂直的，可不可以保证最大？可以，当然 a 点是负一零啊， b 点呢是零二，所以最大呢，是根号五啊，小于等于根号五 大于等于零啊，所以他在零到根号五之间啊，啊，其实这个本身呢，你说呢，他是个结论性问题呢，也可以啊，当然那个初中阶段我们也完全可以理解啊，好， 呃，然后最后这个问题呢，第二小问呢，其实我是觉得分析起来呢，不算很复杂啊，最后呢，算的时候呢，稍微有一丢丢的小难度。 他说了啊，点 d 三四 c， d 等于二，那毫无疑问，点 c 在 以 d 为圆心，二为半径的圆上，对吧？点 b 在 这一条直线定直线，但是在负二到零啊，就是在这一段当中啊，它不是完整的。 对于每一个点 b 啊，取得一个什么最大值，它的取值范围最小的时候， c， 哎呀，看了之后呢，同学们脑袋都疼啊，就是领的量太多了，是不是？ 好，但是我们说了，这是一个非常典型的多动态问题，然后我没记错的话，是去年朝阳的一模吗？还是二模呀？ 呃，也有一个什么最大的，这个距离的，什么最大的，最小的，巴拉巴拉等等等等啊，搞得大家头都晕了啊。但实际上呢，我们讲了，你首先要分析清楚 d 到底是什么 啊，他说了啊，因为你在这里面注意啊， c 是 动的啊，点 b 也是动的，对吧？点 a 呢，点 a 也是动的，这是典型的三动态。好，但是我们知道 bc 是 关联的吗？对不对？那 bc 是 关联的，因为你 b 定， c 也定，那么他就连线形成了一条直线就完事了。 好，然后现在同学们来看一下，他说，对于任意一个点 b 啊，对于任意一个点 b， 也就是说，你可以先将 b 定下来呦， 这个 d 的 最大值，为什么会产生最大值呢？因为 a 在 动， c 呢，也在动，是吧？好，但是 bc 是 联动的啊，因为它要形成一条直线，所以这个问题呢，我们不给大家严格作图的情况下，同学们想一下，我是不是可以先令 ab 都定啊？ 啊，我们去让 c 呢？再动，这个时候我们来看一下，他说这个最大值即为 d 啊，就理想距离的最大值即为 d。 好， 我们就想一下，在这样的一种情况下，理想距离的最大值是多少呢？或者说在哪取呢？不就这么个道理吗？对不对？再接下来呢？啊，这，这是第一小步了啊，第二小步呢？好，我们假定令，呃，这个 b 是 定的，此时呢， a 在 动啊， c 也动，我们来看一下它的图到底又是什么样的一个情况呢？再次想到哦， b 是 定的哟， bc 就是 绕着点 b 旋转的直线哦，点 a 到它距离的最大值就是什么呦，我们刚刚解释过了， 对吧？就是 ab 的 长好来，我呢给大家用一个具体图来观察一下，大家看一下假定啊，我随便标了个点 b 就 在这啊，点 a 呢，我假定在此时，这种情况下，我也就在这。 好，那么这个时候，也就是说，我们第一步假定令 ab 都定的情况下，我们观察一下 c 嘛， c 反正在原地上面运动，是吧？好，大家看一下，我们刚刚就已经解释过了，为什么会产生无数个 d， 就是因为当 c 点在运动，点 a 到直线 b， c 的 距离也在变化，对吧？但是我们要的是理想距离的最大值，称之为 d， 所以 也就是说，在 ab 都定的情况下， c 在 转动的时候，请问这个 d 应该是谁？就是 ab， 对 吧？小 d 就是 ab， 因为理想距离的最大值就是 a 点到呃，旋转的这个中心 b 点的距离。 好，所以我们就得到了第一个结论。第一个结论呢，其实我们刚刚就已经说过了啊，我们把它稍微解释一下，它得到的第一个结论就是说，呃，当 ab 是 定的时候，这个 d 在 任意的时刻，一定就是 ab 的 长 啊， d 一定就是 ab 的 长，就是对于第一个结论 啊，当 ab 是 定的时候， c 点在转动的时候啊，我们知道这里面的 d 啊，就一定是 ab 的 差。但是话又说回来了， ab 也在动，是不是？ 所以大家想一下， ab 也在动，那也就是说， ab 也会存在的大小哟， 对不对啊？ ab 也会存在的大小呦啊，当然了，这个其实看起来呢，就比较直观了，也就是说，我们得知道 ab 之间的距离，他不也得有距离吗？对吧？ 所以 ab 的 最小距离，最大距离好算吗？那也太好算了，对吧？那也太好算了，为啥？因为 ab 之间的距离，同学们可以想一下， 假如说啊，我们在呃，就是令 b 是 定的， a 是 动的情况下，刚刚已经说了，最大距离呢，实际上就是 a b 之间的长，但是 a 呢，它本身是有什么是可以转动的，对吧？在圆上转动的， 所以同学们就知道这个 a b 之间的距离是不是一定小于谁？就是 o b 的 长加半径，也就是说， a 点跑到哪来了？跑到这来， 哎，就是，哎，当然我这个没画啊，就是当 ab 在 同一条线上，就经过点 o 的 一条线上的时候，在这种情况下，我们知道 ab 之间的距离是呃最大的，对吧？ ab 之间的距离是最大的 好，所以啊，对于这样的一个问题呢，我们就可以知道， ab 的 距离加上半径 e， 对 吧？假定 b 点还是一个定点，就在那个位置 好，然后呢，我们就知道，这个 a 点呢在运动， c 点也在运动，如果 a 点定的时候呢， c 点在运动，我们知道它就是最大值，就是 ab， 但 ab 本身也是有距离的 好，那么因此我们结合这两个结论，就可以得到一个非常非常重要的啊信息，即 d 是 小于等于 ob 加一的，当然了，就是 d 的 最大值， 其实就是 o b 加 e， 就是 o b 的 长加 e， 对 吧？ d 的 最大值就是 o b 的 长加 e 好 了，但是还要明确一点，为什么呢？因为 b 点它也不是定的呀，对吧？ b 点它也不是定的呀， b 点也在动啊， b 点也在动啊，那么 o b 的 长是不是本身就有距离了，对吧？因为你在任意一个情况下，只要 b 点定了，那么其实 d 也就定了，就是 o b 加一。 但是你要知道啊，其实我们这个 o b 的 长呢，它是呃，有这个这个无数个位置的嘛，对吧？所以毫无疑问，这个长大于等于根号二小于二。哎，有人又说，老师怎么来的？当然我们结合读来看一下啊， 因为 b 点呢，实际上是在什么？在呃这个线，呃，就是这一段线当中是运动的，是吧？大家看一下，它是在运动的啊，所以 o b 最小是什么？垂线段嘛？就在这就是 b 点运动到这个位置的时候， 这个时候的 o b 是 不是最小的，对吧？那最大嘛，最大就是应该跑到 m 点，当然不能取到 m 点，因为人家说了这边取不到啊，所以它是大于等于根号二小于二的啊，大于等于根号二小于二的， ok， 那 有了这样的一个知识作为铺垫，剩下来的，所以 d 的 取舍范围大于等于根号二加一小于三。好，我们稍微梳理一下，这个题目是一个非常典型的三动态问题啊， b 在 动， c 在 动， a 也在动，怎么办啊？假定 a 跟 b 都是定的， c 在 动，那么结果我们前面问的结论我们就知道，在 ab 都定的情况下， c 在 运动的时候，这个时候的理想距离的最大值就是 d， 它应该就是 ab 的 长，对吧？就应该是 ab 的 长。 第二个呢，我们知道 a 也是在动的呀，所以 a 在 动的过程当中啊，导致 a b 的 长呢，它也会发生变化，但是 a b 的 长是恒定小于等于 o b 加一的啊，就是你 a 点在圆上运动的时候，不管你怎么算啊。呃，这个 a b 的 长是小于等于 o b 加一的， 我现在要找的就是它的最大值，对吧？所以最大值当然就是 o b 加 e。 好， 但是呢，第三个问题是， b 点也在动啊，好，当 b 点也在动的时候，我们就知道，呃，它的这个 o b 的 场呢，也在发生变化，那么 o b 呢，是在根号二到二之间的，所以最终啊，我们的范围也就出来了。 当然最后这个问题呢，他说当地取到最小的时候啊，就是 d 的 范围已经有了吗？就是根号二加一吗？取到最小的时候，刚刚已经说了，什么时候最小啊？ 就是这个，呃，当点 b 跟 o b 就 垂直的时候，对吧？就是 o b 啊，垂直，呃，垂直的时候，就是呃 o 点跟 b 点跟已知直线垂直的时候。那么注意一下， 垂直的时候什么时候呢？满足要求呢？大家也都知道，对吧？因为此时就会保证 a b 啊，我，我把它言一下啊， 就点 a 呢，就应该在这个位置，对不对？好，那么注意，此时呢点 c 在 哪里啊？因为你要保证与 ab 垂直嘛，就是与 ob 垂直嘛，所以其实点 c 所在的直线就是哪一条线呢？就是 y 等于 x 加二这条线， 此时你画出来他的最极限的情形，最小的情形就在这啊，就在这。所以，呃，此时点 c 在 哪里呢？就是在于， 呃，这个 a b 或者说 o b 垂直的这条线就是谁呢？就是 y 等于 x 加二，所以点 c 在 这个上面剩下来的问题呢，就很简单了啊，那你在这个上面我要求 c 点坐标好，我们就直接另就是 d 等于根号二加一的时候 啊，令 c 点的坐标呢，我们就记为 mm 加二呗，是吧？因为点 c 就是 在外对角四加二这条线上啊，然后呢， c d 的 长等于二嘛？利用两点间的距离公式，对吧？就是根号下 m 减三括号的平方，加上 m 加二再减四括号的平方 啊，等于几啊？等于二是吧，好，简单算一下就行了啊，这个我们就不给大家详细算了，所以算出来这个 m 的 取值呢，应该等于，呃，二分之五加减根号七啊， 两个啊，二分之五加减根号七啊，两个点，好，当然你横坐标有了吗？纵坐标也就有了，对吧？就是把它再加一个二就行了，所以就是二分之五加根号七的话呢，他就是二分之九加根号七。 呃，如果是二分之五减根号七的话呢，那他就是二分之九减根号七 啊，好，所以这个问题呢，我们也就给大家说到这啊，其实这道题目呢，我觉得其实计算呢，并不太复杂，只不过呢还是比较注重这个分析的，而且我发现长区很喜欢考这一类的问题啊，就是好像去年的时候也出了一个什么什么距离的最大最小的问题啊，今年好像也还是出这个啊， 所以大家感受一下啊。好，这道题目呢，我们就给同学们解析到这里啊，我是栗子老师，记得点赞加关注，数学不迷路！

下面我们来讲一下填空题的压轴题，第十五题和第十六题。首先来看一下第十五题， 第十五题显然是一道圆综合的题目，它把四边形和圆结合在一起，考察了，甚至还有三角形。好，那首先来读一下题，说在这个圆 o 当中， c 在 弦， b、 d 上。好，就读到这。 看到弦，第一是你应该想到我们圆里面最常考的一个有关于弦的知识点是什么？ 就是垂直定律，对吧？好，然后往下半径 o、 a 平行于 b、 d， a、 c 平行于 o、 d。 好， 两组对面分别平行。我们知道这个四边形 a、 o、 d、 c 是 一个什么？四边形？平行四边形，对吧？ 但是它在这个圆当中半径还是相当的， a、 o 等于 d、 o， 那 么这个四边形是个什么？四边形？ 菱形，对吧？里面相等的平行边形是菱形。好，然后再往下读， b、 c 等于二， a、 c 等于四，也就是说这个菱形的个边的边长都是几，都是四，这圆的半径也是四。好，让我们求三角形 a、 b、 c 的 面积， 求三角形的面积。我们第一步首先要确定的就是你到底以哪一个边当做底，做哪一条边上的高，是吧？ 你看现在我们知道哪一条边叫长，知道 b、 c 的 长和 a、 c 的 长。如果你要以 a、 c 为底的话，过点 b 向 a、 c 做高。 你想一下这个高好求吗？不好求，对吧？可以说是求不出来，因为你这个三角形当中没有特殊角，没有特殊角的角度是没办法求 a、 c 变成高的。 那很显然，这个三角形的面积，我们只能以 b、 c 当做底，过点 a 向 b、 c 这条边做高。好，那你这个高，你想一下相当于什么？是不是其实就相当于过点 o， 像这个 b d 这一条弦做了这么一个垂线，假如说垂这一点 e， 我 们要求的是不是就是 o e 的 长？ 如果能够求出 o e 的 长，这个三角形面积自然就已经让人解了。好，那还记得吗？我最开始说了，垂尽定力，你这个 o e 不 就是这个 b、 c 这条弦的弦心距吗？对吧？好，那你这个弦心距怎么求？已经知道了 b d 的 长了吧？ b d 就是 二加四呀，等于六，那它的一半 d， e 是 多少？是不是就是三？你还知道 o d 是 四， 那么所以这个 o e 的 长是不是就勾股定律一下就可以了？就是四个平方减去三个平方，根号下十六减九，就是乘二七， 那么三角形面积一下就求出来了呗，二分之一乘上 b c， 再乘上 o e， 乘二乘二七，所以结果就是二七。这个题难度不大，还是挺简单的。 然后我们再来看一下第十六题，第十六题是一个二次函数的题目，先来读一下题，已知这个二次函数，好，给了我们它的解释。 这个图像和 y 轴交于点 a， 然后过 y 轴上了一个点 b 零六这条平行 x 轴的直线交这个对称轴与点心。 如图，当 h 等于一的时候，问这个三角形的面积。好，那首先我们先把 h 等于一的时候，这个不能这个二次函数的极式写出来，就是 y 等于 x， 然后减去二， x 加上二，是吧？那你看这个三角形的面积，我们首先是顺序， 要知道哪一条里面长，是不就 bc 和 ab 的 长点 a 的 坐标能知道吗？一下就能写出来，对不对？就是零 c 啊，所以就零二，那 ab 的 长就知道了是几，是不就是六减二等于四， bc 的 长呢？你看啊， bc 点 c 是 在这个对称轴上的，这个对称轴是什么？是不是就是 x 等于 h？ 所以说你看此时 h 等于一，那你这个轴就是 x 等于一吧， 也就说 b c 的 长是几啊？就是一对吧。所以你念一下就求出来，就是二分之一乘上一，再乘上四，就是二，对吧？好，这就是第一位，你再来看一下第二位，说，当这个 h 大 于零，小于等于四的时候，这个四三角形的面积的最大值是多少？ 根据第一问，我们发现了，我们求这个四三角形面积就是二分之一乘上 b c， 再乘上 a b 好， b c 的 长，无论这个 h 在 零到四当中取哪一个值 都是 h， 对 吧？好，但是 ab 就 有有影响了，是吧？当这个点 a 在 b 的 下方的时候， ab 的 长是用点 b 的 坐标减去点 a 的 坐标，但是当这个点 a 在 点 b 的 上方的时候，就恰好反过来。所以说，我们在表示 ab 的 长度的时候，是不是应该加一个绝对值符号 就应该六减去二， h 加一绝对值，是吧？ 好，那这个式子表示，你先不用急着给他化解啊，你看我们是不是可以给他提出一个二和外面这个消掉，所以就是 a h， 然后再乘上先减去 h。 也就是说 你先减 h， 是 估计要分两种情况头的，当它大于等于零的时候，也就说 h 小 于零，当 h 大 于等于三的时候，这是第一种情况。第二种情况，当三减 h 小 于零，当 h 大 于等于三的时候 啊，然后你再结合起来，这个 h 大 于零，小于等于四，也就是说这是大于零，然后这个反过来写啊，这个就是 h 大 于三，小于等于四倒分，这两种求法来讨论，对吧？好，那你看当 三减 h 大 于零的时候，那你这个面积就变成乘上三点 h， 你 说这个函数是个什么函数？就是一个二次函数，对吧？开口向下的二次函数，一个开口向下的二次函数。它和 x 轴两个交点，分别是零和三。 在哪一个位置的时候有最大值， 是不是应该在这个对称轴的位置上？这个对称轴是几，那是二分之三，所以它的值就是二分之三乘上三减二分之三是几？ 二分之三乘上这个是二分之六。乘上二分之三，那就是四分之九呗，对吧？这是第一种情况，第二种情况 还是前面还是 h， 那 你后面变成什么？是不应该就反过来变成 h 减三了吧？因为绝对值里面小于零，那你开绝对值应该变成它的相反数，所以就变成了，是不是和它是一样的呀？这只不过是方向相反，还是零和三。 那你说这个时候，你看 h 取几的时候，它是最大值，是不？很明显，因为在这个位置取四的时候，那就是四，乘上四减三，结果是几，这个就是四好，那这两种情况，一个是四分之九， 一个是四，取哪一个？很明显四好，这个就是第十五题和第十六题。

各位同学大家好，今天咱们北京市各区进行了这个初三上期末考试啊，其中东城区的期末数学啊，就是今天考的。 然后咱们来看一下，这就是这次东城初三期末数学几宗题。第二十七题， 这个题目是在三角形 a、 b、 c 当中， a、 b 等于 a， c， b， a， c 等于九十啊， a、 d 是 这个三角形 a、 b， c 的 中线，然后 e 是 a， d 上一点，然后连接 c， e 呢，绕这个点 c 顺时针旋转九十度，得到 c， f， 然后是过点 f 做 f， g 垂直 dc。 第一问是求证 a、 d 等于 f， g。 第一问呢，王老师不给大家详细讲解过程，只讲一下思路啊，这个地方实际上考察的是弦图的知识，就是由因为这个三眼线 abc， 它是一个等腰值啊。 然后呢，这个地方 ecf 是 九十，能够得到三角形 e， d， c 是 全等于三角形 c， g， f 的 好，那这个地方就能够得到 f， g 等于 d， c， 然后等于 a、 d。 思路就这样的，咱们重点来看下第二本，第二本啊，连接 b， f 取 b， f 的 终点 h， 连接 a， h， d， h， 一 提一补全图形，这个图形王老师已经画好了， 用等式表示线段 a、 h 与 d、 h 之间的数量关系，并证明这个。第二个呢，是典型的钟点模型，看过王老师视频课的之前应该知道， 之前王老师总结过中点模型，主要有这么四种情况，第一个是等腰三角形三线合一，第二个是被长中线啊，带来这个八字全等。第三个是三角形的中微线，第四个是直角三角形斜边中线。有这么四种情况，主要是四种情况啊， 在这儿呢，我们注意到 d 点是 b、 c 中点， h 点是 b、 f 中点，所以 dh 它就是三角形的中位线，所以 dh 它跟 c、 f 是 平行的。然后呢， e、 c、 f 是 九十度的情况下，那么 dh 肯定也会垂直于 e、 c 的 一个垂直 啊，所以就是这个，那就能够得到这个 e、 d、 h 呢，是等于 e、 c、 d 的 啊，又又考考虑到 a、 d 等于 dc， 所以 就马上想到呢，取一下 e、 c 的 中点 k， 因为这个地方 e、 d、 c 是 九十度，这样的话就能构造出来两个 全等的三角形。好，接下来我们先写一下这个 a、 h、 d、 h 的 数量关系应该是相等，然后王老师来讲一下这个怎么证。 证明放了，首先是辅助线的做法，就是取 e、 c 中点 k 连 d k 啊，就是因为 ab 等于 a， c 角 b， a、 c 等于九十，所以三角形 b， a、 c 为等腰 r、 t 三角形又 a、 d 为中线， 所以就是 b， d 等于 d， c 等于 a， d， a， d 垂直于 b、 c， 所以 d、 h 为三角形 b、 c、 f 的 中线， 所以 d、 h 呢，就平行于二分之一 c、 f， 所以呢， d、 h 它是等于二分之一 c、 f 等于二分之一的 c、 e 就 等于 c、 k 又因为角 e， c、 f 等于九十度， 那么所以呢， d、 h 它垂直于 e、 c， 所以呢？角 e、 d、 h 就 等于九十度。减去角 d， e、 c 就 等于角 d、 c、 k 接下来我们就可以证明，三角形 a、 d、 h 和三角形 d， c、 k 中 a， d 等于 d， c 角 a， d、 h 等于角 d， c、 k， d、 h 它是等于 c、 k。 好， 那所以三角形 a、 d、 h 全等于三角形 d、 c、 k 啊，这个就是边角边全等，所以就有 a、 h 就 等于 d k， 然后 d k 的 话，它是等于 c k 的 啊，因为它是 e， d， c 是 直角嘛。 c c k 就 等于 d h， 所以 最后 a h 是 等于 d h 的。 咱们来总结一下 这个。第二问，咱们用到了中点模型的哪几种情况？首先 d 点是 bc， 中点， ab 等于 ac， 所以 它用到了就是三线合一 的情况。第二个， h 是 中点， d 点中点， d h 是 三角形中微线，所以它用到的三角形中微线的这种情况。第三个， d k 等于 c， k 等于二分之 c， e 等于 c， f 等于 d h， 所以 它也用到了直角三角形斜边中线的情况。 所以这道题呢，就考察了中点模型的三种情况啊，还是出的很好的一道题啊，那王老师就给大家讲解完毕。