|月29日三角州更新吗

哈喽，同学们大家好，来到了必修一第五章三角函数五点二点一，三角函数的概念，首先这一节课非常重要，非常重要，首先三角函数就是整一个高中其中的一个重难点的板块， 然后呢，这一章我总共录制了十五节的课程，而且很多课程都很长，而我们的必修一的第二章到第四章，整整三章的内容，我加起来就是十五节课， 所以这一章抵三章，好吧，然后呢，在我们的整个三角函数当中呢，几十个公式，有很多的知识，各种的变换都在三角函数里面会考到。 然后呢，对于所有这么多的这些知识点来讲呢，这一节课是所有的基础，也就是说我们说的好几十个公式，对吧？这个是树干，其他的都是树枝。所以这一节课的理解会决定了 你会不会觉得做很多三角函数的题目觉得很轻松，去做一些千变万化的题型会都会觉得得心应手。所以这节课呢，我会比起很多后面所有的课程，应该都会讲的更啰嗦一点，或者说我更准确的说，应该我需要大家会学的很深入， 就是他的理解本身理解的概念对于这个单位员的理解要很深入，所以呢，我会讲的非常的长，所以同学们不要觉得这节课我好像很啰嗦，讲很多东西，这是很需要很必要的东西，每一个都是重点，都是我们在教学当中啊，都会遇到为什么要这样去讲，会遇到什么样的问题啊，好吧，所以这节课呢，我要知道， 好，那么我们在经过我们的前面两节课，任意角和这个弧度制的知识铺垫之后，正式来到了三角函数，准确应该说是任意角三角函数的学习。第一个呢，我们要做一个回顾，关于初中所学到的锐角三角函数的回顾， 第一个原因呢，就是因为很多同学可能忘记了。第二个，为什么要做回顾呢？就是从我们的初中所学的锐角三角函数，很简单的这个，比如说啊，三眼等于对边比上这个斜边的这种比例关系，进入到了我们高中的这个三角函数啊，任意角的三角函数，其实它是一个很清晰的脉络 啊，不是很难的，但是呢啊，可能比如说像课本一上来就单位员啊，很多同学总是觉得这两个知识很割裂啊，完全就是两个不同的知识，并不是的啊，而这个东西呢，就对做题很重要，所以我们先回顾，我们首先要想哈，从我们初中有的这个三角函数，什么东西是基基础知识的脉络？ 相似相似三角形是基础的脉络，为什么呢？当我们已知一个三角形是直角三角形的时候，那么直角三角形嘛，也就是说其中一个角九十度已知，而如果我们还知道另外一个角啊，就是比如说三影三十度啊，对吧？那么这个角三十度我们已知，那么三角形内角和一百八十度已知两角就三个角呗， a a a， 那么我们就会知道，这样子的三角形，无论它的大小，它都相似，这个是一个理论的基础，有了三相似三角形的这个东西，我们才会有一个什么东西呢？三边之比，它是确定的， 对吧？同学们能理解吗？没有相似三角形的一个知识基础是没有这个三三边之比是个确定的，所以这个时候有一个什么东西呢？我比如说我在这个地方 a 对 边， 邻边和斜边啊？对，对于角 a 来讲，那么当我的角 a 确定的时候， 那么我的比如说对边比上这个斜边，也就说我们的三眼正弦值和我的这个直角三角形是小一点还是大一点是无关的，只跟我的这个角度有关，所以这个是基础。 ok。 然后呢， 三条边互相之间比对边比斜边，斜边比对边，对边比邻边，邻边比对边啊，什么邻边比斜边，各种互相之间比，一共有六种的比，所以产生了一共有六种三角函数。而我们初中和高中呢，都只需要接触三种啊，分别是，第一，正切函数 tangent， 对吧？ pendulum， 它是对边比上零边，对边比上零边。第二个呢，正弦函数 sine， 那 个 b c 比上 a c， 在 这个地方 b c 比上 a c， 就 对边比上斜边。第三个呢是余弦 cosine， 零边比上斜边。这三个呢，初中要求掌握，高中也要求掌握。而我会跟大家说另外的三三种啊，鱼切、鱼割和正割。那为什么要跟大家讲呢？我这个地方我要讲一下，第一个， 我们在后续学习的过程当中，三角形等一下有个单位圆的这个非常非常重要的模型，需要大家又要形成一个很重要的一个图感。那么这个过程当中呢，我加入这个讲，不需要做题，只是做一个了解，就好像听一个故事一样。好吧，那么这个故事呢，我们讲完之后呢，大家会有 对这种图形会有更深入的一个理解，所以是有必要去讲一讲，带过一下第二个呢，这个对做题有帮助，所以尖子的同学啊，成绩比较好的同学，未来拔尖的时候呢，也有一个基础，所以这个东西千万不要跳过，还是有必要的。 ok， 然后这三个呢，他为什么这么命名呢？ 当然在初中当中啊，应该同学们都没有去想过他为什么叫正切正弦鱼，弦鱼切鱼割啊，对吧？那么在当然在初中当中，锐角也没有办法去解释这个东西，我们这个也会解释一下整个来龙去脉是怎么样的，他们三个之间是什么关系， 互为导数的关系啊，记得有些同学会知道，比如说 tension， 它会等于 tension 分 之一啊，对吧？但是我们一定要知道一个点，这个东西 很多同学当我们先接触的先入为主，接触的是 tangent 三和 cosine 的 时候，总是觉得这三个函数是什么东西，是它们的附属品， 而是先有 tangent 才会有 tangent， 但事实上并不是的啊，它们是独立的一个函数。好吧，等一下我也会去去介绍这个点，所以为什么叫互为导数，而不是它们是它们的导数啊，是这样子的一个关系好不好？ ok， 那 这个呢，是课本的内容，这个呢是可以去拓展去了解的， 然后呢？ ok， 然后我们总结一下，初中我们所学的就是以一个角的弧度作为自变量，以其对应的正切正弦余弦值作为音变量，那这个就是正切函数，正弦函数，余弦函数。那么当然我们这节课的任意角的也同样是，那么我们现在呢是锐角范围，那么这些统称为三角函数，对吧？我们要学习，要掌握的， 那么从我们锐角拓冲到任意角，我们需要通过三步啊，三步，第一步把锐角三角形放在坐标系当中去研究，对吧？那么我们都是放在坐标系当中去研究，比如说我们的五点一点一任意角，我们是怎么确定的？我们任意角呢？是说 永远要把什么要把使边，一个角的使边放在 x 轴的非负半轴上，对吧？然后角的顶点和圆点重合，使边在这一边，中边啊，就是角的中边，那么这个时候呢，我们同样的跟五点一点一没有任何的区别，所以首先第一步我们把这个角摆在这个坐标系当中 去研究，那么我们就在这个坐标系当中构建一个锐角，此时我们说刚才就说了，在锐角的范围内依然保持啊，这个临边对边和斜边的关系不变啊，跟我们以前的理解一样的，就是说 在角的中边上任取一点 p， 然后呢过点 p 做一个垂线垂直于 x 轴，这样子呢，我们就会得到一个什么 p m o 的 这样的一个直角三角形，对吧？那么此时我们要研究的这个角 r 法，它的对边就是这个，这个对边是多长啊？我们这个是 y 嘛， 对吗？这个是 x， 那 么邻边是多长啊？勾股定律嘛， x 的 平方加 y 的 平方 很简单吗？那么所以这个时候呢，我们的撒眼对边比上啊，我们的斜边就是这个， 可撒眼呢，就是邻边比上斜边看成呢，就是对边比上邻边，就这样子，所以所有的东西，除了什么东西，除了把这个直角三角形，三角形，我们把它放在坐标系当中第一步，其他东西全部都没变 好，都没变，这个关系都没变啊，对吧？ ok， 然后接着呢，我们的第二步，我们的第二步呢，就是我们从锐角拓展到任意角，开始拓展到任意角，而在锐角三角形当中，我们要知道三角函数呢，是通过它的核心是怎么去定义呢？长度 啊，对吧？哦，这个阿法角的，比如说撒眼对边的长度比上斜边的长度， 对吧？然后呢？ cosine 阿法呢？就是，呃，这个邻边的长度比上斜边的长度，而拓展到任意角呢？做了一个变化，就是我们通过坐标的属性，而不再是长度的属性，为什么呢？因为如果超过锐角，我们就比如说这是第三象限角，这个角超过一百八十度， 比如说这个两百多度的角，那这个角我们怎么去构建一个三角？三角形内角和一百八十度，它一个角都超过了，那这个时候我们怎么去定义关于任意角的呢？同样我们任意取一点 p， 然后呢把它做垂线， ok， 这些都没变到唯一区别的点，我们不再用这条边和这条边的长度，而是用坐标， 坐标呢，它产生的改变是什么？就是让我们的三角函数因为坐标的正负和开，而开始它出现有正负了，以前没有正负，因为长度是没正负的嘛，但坐标有正负嘛，比如说这个角是第三象限的角，而第三象限的角，这个 x 和 y， 我 们都知道这个是小于零的，这个是小于零的， 那么所以 x 是 小于零， y 也是小于零的，这个就做出非常重要的一个变化，所以这个时候呢，同样是这样子的，但是这个时候呢，它已经变成了坐标啊，好吧，等变成了坐标的，这个理解会有点不一样， ok， 那 么我们的第三步，第三步就什么东西呢？我们刚才说什么？我们刚才说我们的个点 p， 就 最开始我们说相似三角形嘛，所以 怎么样去构建这个直角三角形是没区别的，也就说这个点 p 我 们取在哪个位置没有关系，我们的这个三角函数的数值只和角的度数相关啊，对吧？只和角的度数相关。那么既然这样子的话，那么我们当然是希望把 p 点放在一个最为方便的位置，那既然都可以取， 我们为什么不取一个方便的位置呢？那这个时候呢，我们取在哪个位置？就是脚的中间和一个叫单位圆。什么叫单位圆？就是这个圆它的什么，它的半径是 e， r 等于 e 这样的一个圆，单位圆啊，它的半径是一，那这个时候呢，我们取 p 点取在哪个位置？取在这个位置，也就是说我们永远把这个 p 点取在这个角的中边和这个单位圆的焦点上面，这个焦点好，这样取有什么好处呢？我们看一下，这样子呢， 斜边的长度永远都是一，对吧？斜边的长度永远都是一，那这个时候，哎，我们同样的做一条垂线下来，同样都是 y， 那 这个时候呢？同样，比如说我的正弦对边比上斜边，那这个时候我的斜边本来是 r， 我 要通过 勾股定律来算，那这个时候的 y 零，它就能直接的表达它，因为 r 等于一，明白吗？所以这个时候呢，单位元是第一个，它是方便，那第二个好处是什么呢？它开始可以让三角函数的值变得非常的直观。 你比方说，哎，如果我们一开始研究三角函数的数值的时候，我们要怎么想？你比如说三眼他的取值范围是多少？我们就想，哦，他是这一条边比上这一条边，哦，对，边比上斜边， ok， 斜边，三角形的斜边是最长的啊，那直直角边呢，就一定是短于斜边的哦，所以这个分母要比分子要大，所以呢，它就哦它是小于一的啊，对吧？如果加上符号呢，它就介于负一啊，到这个啊，这个三眼到这个啊一之间， 对吧？那么我们就要这样去做分析。而如果我们放置在一个单位圆当中的时候，这时候比值就转化成了什么？长度， 笔直是不直观的，是两个长度的笔直，而长度是直观的，我们直接就看到这个东西， 比如说我们的这个单位员，这个就是一，这个就负一，而我们的这个，这个代表了什么东西？代表我们的三眼，那永远都不会超过一，也不会小于负一，那这个东西我们就非常的直观啊，他这里 他的这个三眼值会比这个要大，而我们只需要看这个的长度，所以他变得很直观，所以这个是非常好的东西，从笔直变成了长度。 所有的三角函数，也包括我们不需要掌握的正割、余割、余切，总共六种三角函数，都可以用几何的模式来表示为某一段的长度，这样就可以让我们的三角函数变得非常的直观，同时也非常方便我们去做各种的研究啊，所以 我说这个单位员的模型永远都不要忘，忘记很多的题目，用这个非常的方便好不好？ ok， 我 们来看一下。这个时候呢，我们就来看一下单位员模型与三角函数的命名，就是哎，我们说为什么 他们叫正弦，为什么叫余弦，为什么叫余切啊等等这些东西，那为什么我们要纠结这个命名呢？好，我们在讲命名的过程当中，大家就会知道它是怎么做这个模型的。 ok， 我 们的这个角角度是 x， 它的这个中边和单位圆相交于点 p， ok， 好 吧，那这个时候我们首先看什么东西？我们首先看 这个角，我们称之为正角，那这个时候呢，我们是不是有什么东西啊？正切鱼切啊，然后正弦鱼弦会有一个正和一个鱼，首先我们要搞清楚正和鱼是什么意思，这个鱼是什么呢？初中就接触过互鱼， 对吧？比如说三十度和六十度互余，所以当我们 x 这个角称之为正角的时候，这个角称之为余角。那这个时候我们看 p 点做一条垂线下来，我们说这个长度或者说这个坐标，它就代表了什么东西。 sine x， 我 们这里提一下哈，我们说不是长度，而是坐标，对不对？等一下这里会出现负的，然后这个呢就 sine x， 所以 这个时候呢， p c 这条线就代表了正弦，这个就是几何的模型，然后呢 p 点往这边做一条垂线，那这个呢？就是 cosine x， 对 吧？这个我们都知道，然后呢？接着呢？ ten 准，我们怎么去定义呢？我们来想一想我们刚才的一个脉络是怎么样的？我们是希望说，呃，像刚才，呃，我们的对边比斜边，斜边把它定为一，那我们的这个分母对吧？我们的分母为一，对边对边比 斜边，当，当这个分母为一的时候，这个就不用了，所以我们秉持着这个相同的思路，对边比上邻边，我们希望邻边为一，那我们做一件什么事情？这个焦点为 a 往上做一条垂线啊，这里做一条垂线，那这个时候我们的这个角 x 的 对边比邻边，这个邻边为一，所以此时这个 a m a 就 能代表了，这个 tangent x 就 非常的直观。当然 tangent x 还有另外一个很重要的意义， y 比上 x 就 等于这一条直线的斜率嘛，对吧？ 那么直线的斜率我们还没学，但是初中正比例函数啊，一次函数的斜率我们就非常非常熟悉了，对吧？函数的斜率很熟悉了，所以我们也可以非常熟悉的用斜率来理解这个东西。但直线的话，所以相对应的这个叫什么？叫正，呃正，呃呃，正弦线，这个叫鱼弦线，这个叫正切线啊， 线段的长度。然后接着我们看一下我们的这个什么我们的鱼切啊，首先看一下我们的鱼切， 说不要把鱼切理解为正切分之一，就不要把它理解为 tendon 分 之一，而是理解为 tendon 是 什么东西？ tendon 呢？正切是对边比邻边，而鱼切呢，是邻边比上对边啊，邻边比对边，邻边 比对边，那么同样的思路，我们怎么样找到一个模型让这个对边会等于一呢？大家要想一想啊，就是还是用这个角，而我们做一个模型，让这个对边等于一，从而让那条边其中的一条边代表这个 tension， 能不能用初中的知识去思考一下这个问题？我们在这个地方 b 做一条垂线，这个时候呢， 这个跟这个是相等，对吧？所以这个就是我们要研究的角 x， 那 这个 x tangent 的 时候是什么东西？是邻边比上对边，此时这个对边是不是一，那么这一条直线 b n 是 不是就代表了 这个余切 tangent？ 那 么还有另外一个什么东西呢？还有就是我们的，呃，我们的正弦就余歌， 余戈是什么东西？是这个斜边比上对边，哎，那么我们刚才已经找到了这个角等于这个角，它的对边就是一，那么此时 o n 这一条直线，它就代表了这个叫什么？ co cicent 啊？ coicent。 然后接着我们还有什么东西来着？正戈， 正割是什么呢？正割就是我们的斜边比上我们的这个菱边， 那么我们找一个模型，菱边为一，哎，我们就找它，不用找啊，原来的这个角在这个三角形里面，它的菱边就是一菱边这一，然后斜边斜边比菱边，所以 o m 的 这个长度， 这个就是 second， 这个就是 second， 好 吧，所以呢，我们就这样定义了，然后我们说来看一下它的命名怎么来的。首先我们看到三个正，正弦、正切、正割，这三个为什么是正呢？我们刚才说这个叫正角，这个叫鱼角，对吧？ 那么正角所对的这个叫什么？这是圆的这个是什么？红色的这个是叫弦。 还记不记得初中的知识，什么叫圆的弦啊？对吧？两个端点都在圆上面的这个线段，它就叫做弦，它是弦的一部分，所以正角所对的弦叫正弦。然后呢，这个东西呢？叫正切，正角所对的切切线， 这个是不是圆的一条什么切线呢？它只有一个交点，知道吧？啊？这个就是切线的概念，然后呢，这个是 second 正割啊，正割就是什么东西？我们正交所对的一条割线。 什么是割线呢？其实割线很简单啊，所有的弦，所有的圆的弦，你比如说这里一根弦， 如果弦是一个线段，那么弦把它穿过去，它就是割线啊，就这样子，所以呢，我们说这条线是割线的一部分，正角所对的割线 就叫正割啊，就叫正割。 ok， 然后我们再来看鱼弦，鱼弦，鱼角所对的弦的一部分，所以叫鱼弦，鱼角所对的这个切线叫鱼切，鱼角所对的割线叫鱼割。那这个时候呢，我们就开始 有一个很重要的问题啊，所以为什么很多同学会觉得，为什么正弦函数正弦分之一会，它的命名会叫做余歌呢？为什么不是 什么正弦函数它的名字，呃，它倒倒，倒数的话叫做正歌，和那个呃，余弦函数的倒数叫做余呃，余歌。为什么是反过来呢？ 同学们在心目当中会有一个反过来的感觉的原因在于什么？是在于我们总觉得我就是我刚才所说的，我们总觉得这个东西是由这个东西而定义的，所以我们觉得这个是他的儿子， 对吧？所以我们才觉得这个应该跟着他叫的名字，所以为什么我们一直强调他是一个单独的函数，此时他有他自己单独的定义，所以他不存在所谓的，反正这个跟这个压根就没有关系，而是这个正角，这个余角。那我为什么跟大家讲这么多呢？就让大家要一定要形成一个这样子一个 脑袋的印象。那么我们集中看回到课本需要我们掌握的这个三个他分别有什么样的几何意义？ 这个角 x 所对的正弦余弦，然后还有什么东西？我们的正切， ok， 我 们说正切还有另外一个价值，就是这个角的 k 值，对吧？斜率对不对？就这样子，所以我们一定要永远都要记得这个模型， 然后给大家看一下，这个时候呢，我们正式的定义任意角的三角函数，经过三步，记不记得三步，第一把角放到坐标系当中，然后第二任意角的话，我们干嘛？ 任意角的话从长度的属性变成了这个什么坐标的属性，从而有了正负。然后第三个呢，用单位圆的模型去简化，去简化这个东西，我们就得到了任意角的三角函数的基本就是我们的单位圆所所去定义的。设单位圆心和这个圆点 o 重合，那么对于任意角 x， 其中边 与该单位原相交于点 p， 那 么好，正弦函数，余弦函数，正切函数，对吧？这个纵坐标的属性去定义为正弦，横坐标的属性定义为可删，然后他们的笔直定义为弹性。好吧，我们来看一下这个图， 好，这个角在变化，这个角的中边和这个单位圆，也就说半径为一的圆相交于点。 p， 这个是正弦，三弦的属性，这个是余弦， cosine 的 属性。再次提醒他，不是长度，而是有正负的， 而是有正负的。 ok， 这个角正增大，怎么看正负？等一下我们再讲哈，这个角在增大的过程当中，你看 好 tangent， 我 先不画，等一下我们再画 tangent， 那 这个它就是它变化的过程，这个图要打死的，刻在自己的心里，这个是所有三角函数，所有知识，知识的基础啊，我说了对吧？ ok， 那 么在我们知道它们是等于多少之后呢？我们再来看一下它的定义域， 当然很容易知道撒眼和 cosine 呢，它任何的角度能取任意角，所以 x 属于 r， 这个好理解。然后来看一下我们的 tangent， 我 们的 tangent 呢，从几个角度去理解它？首先它是个比值，对吧？ y 比上 x， 所以呢，分母不能为零， x 不 能等于零，那么所以这个时候呢，我们会知道它不能出现哪种情况？ 中边，首先不能跟 y 轴的这个非负半轴重合，对吧？第二个呢，不能跟 y 轴的非正半轴重合啊，两种情况我们都不能取，那这个情况我们怎么写啊？我们上节课的基础啊，对吧？五点一点二的基础， 这个是二分之派，然后呢？美过派，所以二分之派，然后加加 k 派，好吧， k 属于整数，所以这些的时候呢，它都是不能取的，好吧，不能取得的。那第二个理解呢？我们比如说从那个呃，它正切线的那个定义，就这条正切线，我们会知道这条线跟它相交的 有什么东西，我们如果这个角的中边，那跟它是没有交线的交点的，对吧？它是平行的，所以我们也会知道这个还有一个是什么呢？那如果我们把这个 tangent 定义为这个的斜率，我们就会什么？我们初中就已经知道了，这个东西它是没有斜率的 啊，对吧？这个东西它是没有斜率的，所以我们要知道这个点，所以呢，这三个呢，我会知道什么东西呢？就是定义域，定义域，然后呢，弹性的定义域不能取得啊，有些是不能取得的，那这个呢，就是正式的定义这三个函数的任意角的三角函数，这是我们本节课的正式的一个定义。接着我们来看， 我们去算它们的函数值。跟初中也是一样，只需要掌握两个特殊模型所产生出来的三个特殊角 分别为是什么呢？第一个四十五度的模型，第二个呢，三十度的模型。四十度就是等腰直角三角形吗？这个等于这个，然后呢三十度呢？三十度所对的边是斜边的一半。好，初中这个高中依然还是这个啊，所以没有什么新的东西要背的。那么在后续我们过几节课学习完合脚公式之后呢？ 七十五度和十五度都是可以背计算的，那但是基础数据也还是来源于这两个特殊的。好吧，七十五度和十五度，呃，到时候有兴趣就背一背，不背也没什么所谓。好吧，那么所以这两个呢？还是那个基础。那么所以我们会知道当时很多同学也是没有背，然后直接就比如说这一啊，对吧？这是二，这是根号三，然后就是 可以去做计算了吧？好吧，那就这样子，这两个就基础来算其他的。然后我们来看第一道例题，来熟悉我们的这个单位员的这个定义和模型啊。然后首先来看分别计算这三个的正弦、余弦和正切值。 首先三分之派就不用讲了吧，三分之派就我们之前也都知道三，三分之派，二分之根号，然后 k 三二分之一，然后 tan 准根号三，这个就不用讲了，要讲就都不是高中的知识了。那么第二个三分之二呢？三分之二派呢？来看一下这个有什么的区别， 我们会知道哈，他的这些都没有区别，我们说区别在哪个地方？在于有了正负啊，对吧？那这个时候呢，我们就知道这个模型跟这个模型是一模一样的，对不对？是不是一模一样的？这个呢？是三分之派，就六十度， 习惯用弧度值，这个是六分之派，这个九十度啊，对吧？所以这个呢，算出来单位圆里面这个是负二分之一， 这个是多少？这个是啊，这是负二分之一，这个是二分之根号三，这个长度呢？是一啊，对吧？所以 横坐标的属性，这个点横坐标的属性代表了这个 cosine， 所以 cosine 是 负二分之一，而 sine 呢，没有变化，跟刚才是一样的。为什么是一样的？因为这个的纵坐标的属性，这个的纵坐标属性是一样的，纵坐标来表达它 啊。如果还不理解的话，我们就回到我们最初怎么去理解，三十度所对的边是斜边的一半，这个是一，这个是二，我说的是比例哈，不是长度哈，比例， ok， 那 这个是根号三，还是一样吗？所以呢？哦，这个角六十度啊，比如说三眼，六十度就根号三， 就，这个不是三眼吗？好，可三眼呢？就是，呃，零边比上斜边二分之一，但是这个一，这个在负半轴上，所以它是负的，还是跟以前的方式一样，我们来看一下，三分之五拍呢， 三分之五派到这个位置，三分之五派整一个周角是多少？整个周角是二派，所以这个地方呢，又是三分之派号，这个又是一模一样的，这个六十度，这个三十度，对不对？都是一样的，但是我们搞搞清楚，这个 x 是 正的，所以 cosine 这个纵坐标是负的，所以 cosine 是 负的好不好？然后呢，两个呢？是异号，所以比值， tangent 呢，它也是负的，所以我们要搞清楚这些量，我们要知道，通过这样的题目啊， 去理解我们是怎么去利用这个单位员的，看一下我们之前的知识他，呃，我，我们有没有去理解刚才我所讲的东西？ 第二个呢？例二，请计算完成下表，那这些呢？就是啊，我们要一个个算了，好吧，算完之后呢，特殊角我们记住，就那么多吗？我们说这个多少？三十度，这个四十五度，六十度啊，九十度，这些特殊角我们都要知道， ok， 然后呢，这个是要滚瓜烂手背出来的啊，这个直接把它背出来，对吧？当然背 也是有技巧的，我们知道三十三十度所对的边，那这个很清楚，二分之一，这个是相同的，这个相同二分之根号二，相同的 tangent 算法呢？一个根号三，一个是三分之根号三，那么怎么记？ 到时候我们会知道 tangent 啊，当然单位圆的模型我们也会知道 tangent， 它是增函数啊，它是递增的，在某个每个每个区间里面都是递增的啊，不是增函数， 每个区间里面都是递增的，那么前面是小的，后面是大的，这个有一些记忆的技巧吧？四十五度是一，这个都什么？所以这一部分我们是要记的，那这一部分呢？不需要去记，但是我们要知道怎么去计算它， ok， 那 么我们像这些的话，哦，三分之二派，我们刚才已经讲的这个模型，对吧？三分之二派的时候 多少？一百二十度，这个时候我们刚才怎么计算的？四分之三拍的时候，那么一百三十五度，对吧？那这个地方四十五度的模型，四十五度啊，这个四十五度啊，这个怎么算出来的啊？我们要知道六分之五拍的时候又变成了三十度的这个模型，对吧？呃，六分之五拍，一百五十度 这样的模型，这个三十度，这个六十度，我们要知道怎么算出来的， ok， 那 之后呢，我们的五点三的诱导公式也会教大家怎么去做计算，那这个呢，首先要理解我们的单位元模型， ok， 然后接着呢，我们来研判他们的定义域、值域和函数值的正负，但定义域和值域我们刚才也啊讲了定义域，我们刚才讲了值域还没讲，对吧？正弦函数， 现在我们有了单位原模型，就非常的直观和清晰了，对不对？我们刚才也讲了，当我们的这个纵坐标的属性 来代表这个三眼的时候，这个是单位圆，单位圆说这个是一，这个是负一。很显然这个正弦从零开始一直增大，哎，它最大的时候会刚好等于一，但是永远都不会超过一， 然后开始减小，减小，一直到负一，所以它是负一到一之间的非常清晰的这个脉络。然后正负来了哈，这个重点，正负的时候呢，永远记得这个模型，永远记得这个模型，我们在这个地方上面的部分，它的纵坐标是正的，所以在第一和第二项线，它都是正的， 然后到了这个地方开始是负的，这个地方是负的，所以它呈现怎么样的正负规律？一二象限是正的，三四象限是负的，但是不要直接背这个东西。还是提醒了一句，很多同学里面大脑当中装了太多啊，我们的数干的部分，但肢体的部分，最核心底层的部分， 永远都不去记，所以这个东西，很多同学为什么这么苦口婆心的说这个是实际的教学经验，真的超过八成学到后面这个东西完全忘记了，所以简单的题目都做不了，真的太多太多了， 所以一定是这样子的，所以记得这个东西，然后接着我们看，可算余弦函数，对吧？余弦函数啊，什么横坐标的属性，所以第一项线啊，也是正的，然后呢？ ok， 到了第二项线，它的横坐标变成了 负的，所以呢，第二项线负的，第三项线呢，它也是负的，第四项线呢，是正的，对吧？所以这个模型 我们要看清楚，所以它的正负规律是这样子的，一四象限是正的，二三象限是负的，所以你们要我需要你们记住的是什么东西？是这个单位员的模型，而并不是这个死背。这个 octa 是 一四象限是正的，那个二三象限是负的。不要这样去记啊，这样的东西它很难去使用在题目当中的啊。第三个什么 tension 偏转这个地方呢？就给大家那个模型，刚才我们说正切线，但正切线呢，是没有办法给大家呈现所有的，因为他往上是到正无穷的，对吧？我无论这个屏幕多大，他永远啊，像那个 地球到太阳那么那么远，都没有办法，因为他无穷无尽的，对吧？所以呢，很多时候呢，我们也是干嘛呢？我们用这个呃，斜率去理解，也有时候也更方便，好吧，然后这个地方他有个不同点，就是什么多的什么什么呢？正切线是这个角的什么中边 的所在的直线跟这个 x 等于一的交点，所以这个地方我们要注意一个点哈，就是根据正弦线的这个，呃，这个定义，它并不是说什么，它并不是说我到了第二项线的时候，就变成了跟 x 等于负一的 交点，不是这样子的啊，它永远交点都是跟 x 等于一，那么它延长的这条线，你看现在红色的这部分 代表的是正切值，到了第二项线呢，还是跟 x 等于它延长线跟这个的交点，所以此时 第二项线是负的。第三项线呢？哎，又变成了正的啊，对吧？又变成了正的，第四项线呢，又变成了负的，哎，我们搞清楚这个规律。 另外一个呢，可能对于我们来说，我说，我说更加直观的就是这一条中边所在的直线的斜率啊，对吧？那这个时候呢，斜率是正的，这个就很直观了，斜率无限大，无限大，哎，斜率突然从无限大变成了无限小，对吧？非常小的斜率，然后再过来，哎，斜率又变成了正了。 从两个角度去理解，两个都是我们的重点。在不同的使用场景当中，两种不同的理解，有有一些是第一个方便，有一些是第二个方便。但在我们做题过程当中，应该 把它理解为斜率是更多场景会更加方便使用。好吧，更多场景会，可能斜率会比较好用，所以它第一第三项线是正的，第二第四项线是负的。还有另外一个理解说我们偏准是正弦 除以 cosine 啊，我这个这个我们之后学的。对，之后学，但是我们也很快知道 y 比上 x， 那 么 y 除以 x 就 干嘛？同正同负，同正的时候，它偏准值是正的嘛，所以这个第一项线 y 和 x 同正，第三项线同负，所以它这个好理解吧。二四项线呢，就 e 号 x y 一 号嘛。好吧，所以这个呢，我们得很清楚，很清楚。然后呢，我们来看这个叫做诱势非常重要的知识叫诱导公式。那刚才同学们说啊，我不是说了吗，是五点三的知识，但是这里讲第一个啊，讲第一个诱导公式。诱导公式一共有六个， 但最后呢，我们会会啊，汇总为一句很重要的话，叫即变偶不变符号，看下线。那这个地方呢，我们先学诱导公式一，好吧。那么首先什么是诱导公式呢？诱导公式啊，这一系列的诱导公式的目 的是一致的，就是把不再锐角的角啊，零到二派的角转化为零到二派之间， 从而使得我们只需要去解决这里面的三角函数的数值，也就说还是回归到我们最直观的初衷范围的那个啊，我们这个角是给到啊七十八度，我们把这个东西给解决就行了，不然的话，我的角是 x， 是 属于实数级 r 的， 那我永远都无穷无尽呢，对吧？那么诱导公式要做的事情就是把所有的这些角都回归到零到二派当中，对吧？这个就是诱导公式要干的事情，好吧，那这个时候呢，我们诱导公式 e 呢，就是什么东西呢？就是最基本的性质， 就是我们在这样子，我们本节课定义完，我们回顾一下我们是怎么定义的，就是单位圆一个角，角的矢边放在 x 的 非负半轴上，中边，然后呢跟单位圆的焦点，然后这个焦点的横坐标代表了 cosine， 纵坐标代表了三眼，然后它的笔直，这个斜率啊，或者说这条线它就代表了 pendens 啊，对吧？那么这个情况下，我们就会发现它的这个定义，和你打个比方说，这个角打个比方说是四分之派啊，四十五度， 那么这个角它究竟是四十五度？还是说我们任意角是怎么定义的？旋转，对吧？那我四十五度，我旋转多个周角变成了四百零五度，再旋转变成七百六十五度， 那么我的旋转跟我们刚才的整个定义有没有任何的关系？有没有任何八毛钱的关系？没有，对吧？所以我们的撒眼 tendon 和 cosine 跟它旋转多少圈，你旋转一百圈都跟它没有关系，所以就会有一个中边相同的角的三角函数值，它全都相等，所以我们就会有第一个诱导公式。 什么东西呢？很简单的就是我们的撒引阿法加上二 k 派， k 属于什么东西呢？这个东西我这个地方我就提一个东西。哈，我真的没有想到，在我们的必修一的第一 章集合和这里都有无数的同学，无数的同学问 k 是 什么啊？这个我经常会提说你们就是其实整个数学当中没有特别多的符号，它是一个规定，你比如说 k， 它是一个斜率，它只是一个通常，通常， 所以 k， 你 这里不一定是 k， 这是个 n， 可以 是个三角形，啥都行，你想干嘛就干嘛，这个它只是干嘛。我这里有个参数，它的 k 属于什么东西？整数，也就说我比如说就是刚才我们所说的是什么意思？我的沙眼四十五度 等于啊，如果我这个地方加上一个三百六十度乘以 k， 那 k 如果等于零，那么就是四十五度， k 等于一，那么就是 sine 的 四百零。啊啊？三，四百零五度，那么如果是 k 等于二，那么就是 sine 的 多少度？七百六十五度， 那现在能理解了吗？就是 k 可以 取很多的东西，也就是说无论 k， 只要 k 取整数的时候，二 pi 就 三百六十度嘛，所以它旋转旋转，它也可以负的，负的就旋转旋转，也就是说这个东西，这个和这个。首先我们抛开三角函数这一个 和这一个，就角阿法和角阿法加上二 k pi 代表了中边相同的角，这六个字，中边相同的角都会存在这样的规律， 好吧，能理，你能理解这个点吗？所以呢，这个点呢，我们说只要中边相同的三角函数值都相同，那么这个诱导公式一会使得我们刚才说的核心的目标是把任意角都回到锐角当中，他完成了第一个任务， 就是把不在零到二派，也就说一个周角范围内的我们都回到周角当中。就像我们刚才的例子，然后如果说三眼的四百零五度太大了，我们减一个三百六十度，回到多少？回到我们的这个零到三百六十度之间吧。 那如果说啊，三眼的负一百八十度呢？太小了，我们加一个三百六十度，回到零到三百六十度之间吧，他。所以诱导公式一就首先实现的第一个功能，如果太大的和太小的拉回到零到三百六十度，也就说零到二派之间， 好吧，这个是实现的第一个功能，知识理解，诱导公式一呢，引出了对任意角三角函数定义当中最核心的理解就是任意角的三角函数值，我们刚才说了，它只跟 这个角的中边有关，和其他的一切均无关系，只要角的中边相同，那么它的三角函数值就是相同的。同时呢，我们在五点一点一这个定义，我们的这个任意角当中，我们就知道 一个中边相同的角，它是有无数个的，比如说我随便画一条线这样子的，那么以这个为中边， 我们是有无数个角的。所以呢，当我们啊，我们以前，比如说我们在初中的时候啊，当我告诉你 sine alpha 等于二分之根号二的时候啊，那就等价于 alpha 等于四十五度，对吧？那此时就不一样了，如果我告诉你 sine alpha 等于二分之根号二，而我并没有给你 任何的对于 alpha 的 限制的信息，那么这样的 alpha 是 有无数个的，就像又回到刚才，四十五度啊，四百零五度， 七百六十五度啊，对吧？再加一个三百六十度，再加一个三百六十度，它有无数个这样的角，所以呢，每一个三角函数值都会有无数个自变量 x 与之对应啊，我们要知道，然后呢，刚才我们也说了，诱导公式一实现的第一个任务啊，其他的就交给我们其他的诱导诱导公式去做了。就是，哎，那我回到了一个猪脚以后，我们最终目标说回到这个呢，那 后续的任务怎么办？就是我们五点三学习的其他诱导公式的功能了，怎么样把我们的三眼的两百多度啊，三百多度啊，然后让他回到我们的锐角当中啊，这个是其他诱导公式干的事情，我们先学第一个， ok， 然后我们来看我们的例三，就锻炼一下我们刚才的对我们的诱导公式一和我们继续对我们单位元模型的一个理解，二派太大了，让他减少一个二派。回到零零度的时候，哎，单位元模型使边和中边都在这里，而中边的焦点和单位元的焦点是 p， 那 这个时候呢， 他对应的纵坐标零，然后不要再用过去的三角形的角度了，对吧？我们用新的角度来看纵坐标和横坐标，横坐标呢？一，这个呢？零除以一零 啊，对吧？ ok， 然后呢，也可以看这个的什么斜率是零六分之十，三派呢？也太大了，减一个二派等于六分之派，那此时三十度嘛，那所以这个时候呢，就是二分之一，二分之根号三，然后呢，就是三分之根号三， 负派太小了，加一个二派到派派，它的中间在这儿，比如说这个是 o， 这是 p， 那 这个时候呢？纵坐标同样是零， cosine 呢？负一零，对吧？太小了，加一个二派变成三分之二派， 好吧，三分之二派在这个位置，在这个位置，那三分之二派的时候呢？啊，这个是二分之根号三，这个是负二分之一，这个是负的。根号三，然后这个呢？太大了，到四分之七派，你们看一下，这个角在这个位置，所以这个时候呢，撒眼和 ten 指都是负的，可撒眼是正的，好吧，这个是负的，这个是负的，这个是正的， ok， 那 负的啊，这个相当于你们自己去看了这个模型啊，去做一下，好吧，这就是负。二分之根号二，这是二分之根号二，这是一 啊，负一，这样的东西， ok， 就 这样子， ok。 然后呢，例四，已知角阿法和贝塔的顶点在圆点啊，使边在 x 轴的正半轴上，中边关于 y 轴对称，弱角的阿法中边上有一点 p e 的 坐标，我们说有一点就可以了，在哪里不重要，则填准贝塔的值是多少？首先 这个一个值上面有个 p， 然后干嘛？呃，另外一个呢？关于 y 轴对称啊，对称过来，那么就什么横坐标是一个相反数，纵坐标相等，对吧？找到这点 p 二， 那就可以了，横坐标相反数，纵坐标相等。那这个时候呢？ t 准是什么？纵坐标，我们说 t 准 的一个定义，纵坐标比上横坐标，永远不要忘记它的定义，这个处比上这个啊，就得到四分之根号三，好吧，就这样子。 然后呢，例五，课本上的一道例题，确定下列三角函数的符号，然后用计算工具去验证，好吧，我们只需要确定它的符号，然后去按计算机这个意思。 cosine 两百五十度， ok， 两百五十度，然后我们是第几项先角？第三项先角。 cosine 第三项先角横作横坐标是负的，所以它是小于零， 这个呢，负四分之派在这个位置。第四项线角，它总坐标是负的，小于零这个东西呢？哎，我们来看一下，它太小了，我们要加若干个三百六十度， 那么我们就加两个三百六十度。那同学们问，为什么加两个三百六十度？这个就竖杆了，如果你实在不行，就一个个加好不好？加七百二十度，那么就多少七百二十度，它就相当于等于 ten 二十度，它就相当于零。三、派，我们先回到派派，哦，这个它是等于零， 好吧，小于零，小于零，大于零，等于零， ok， 就 这样子。好吧，好，那么这个呢，就是我们的这节课的内容啊，那么这节课呢，我讲了很多的内容，时间很长 啊，我也需要同学们去很深入的去理解这节课。我说这节课才是任何东西的重中之重，它才是整个三角函数的一个命脉和数干的部分，所以这部分呢，需要同学们去很深入的去理解。 永远永远要记得单位员模型，好吧，永远要记得单位员模型啊，这个是我最后的忠告。 ok， 那 么这节课就到这里为止啊，我们下节课再见，同学们，拜拜。