26年安徽江淮十校联考一共几次

那么今天是什么？二零二六年的什么呢？一月二十三号啊，不出意外，咱们今天高三，全省的同学应该都参加了由江淮职校这次组织的第七次学前监测啊，我认为这份试卷给我们正在高三复习的同学啊，敲响了一个警钟，为什么呢？ 不要觉得往年啊，都是年考，越到后面越简单，对吧？但往往这一次啊，就很不一样，尤其是这个数学试卷啊，牵扯到后面的计算，包括这个思维逻辑能力啊，都是比较强的，尤其是这个第一题，我估计就有很多同学他要栽倒这里了啊。那么我们先来简单的点评一下这份试卷啊， 第一题呢，他就打破常规啊，他跟你说集合 a 呢，现在是由负一零一二四个元素构成，我们以往的这个集合考察是不是都是给你集合 a， 集合 b 啊，让你去求他的交集，或者说并集，对不对？但是这一次不一样了啊，他给你了交集并集，让你去推其中的另一个集合啊，那么 只要你理解了这个交集和并集的概念啊，那么你做这个题目其实应该也不会那么很难，只需要稍微的思考一下就没有问题啊。我们看这里 集合 b 满足这样一个式子， a 交 b 是 等于负一零，对吧？他会让你求最后的这个 b 是 多少？好，那你要想一下交集是什么，找公共的元素对不对？那么我现在不知道这个集合 b， 那 我这里我能够肯定啊， b 这个集合里面呢，肯定是有负一零这个元素的， 这一点是肯定的啊。然后我们再来看后面他又跟你说什么 a 并 b 啊，这里有什么负一负二零一二三，对吧？那么 并集是什么相？相当于两个集合给它一加，除去什么重复的元素，对吧？你要满足集合的互异性，所以这个里面啊，这个 b 呢，集合它必定是包含这个 a 没有的元素，哪两个呢？负二三， 对吧？所以这个集合 b 啊，我们也就出来了。那么三十一题答案就选什么 c 选项啊，三十二题还算比较常规，那么给你的两个关于坐标的向量啊， a 垂直 b， a 垂直 b 什么呢？说明这个向量 a 点成向量 b 是 等于零的 啊，向量 a 点成向量 b 等于零，就能得到什么呢？ x 一 乘以 x 二加上 y 一 乘以 y 二 等于零，那么你这里对应的计算一下啊，也就是什么呢？三乘以负二加上负二乘以什么 x 要等于零，那么你最后算出来 x 就是 什么呢？负三啊，答案选什么呢？必选。 再来看三十三题啊， x 小 于四的一个必要不充分条件。好， 我们来看第一个选项啊， x 小 于六，那么刚好 a 就是 对的，为什么你想 x 小 于四啊， x 小 于四，那么肯定是能够推出来什么 x 小 于六了，这个不用多说，一个数小于四，那你必定是小于六，对吧，这是最基本的。但是 啊，你一个数小于六，我比如说五小于六，五小于四吗？五是不是推不出来小于四，所以后退前啊，那么这里是不是就不行了，刚好满足什么我们必要不充分的条件啊？所以第三十三题答案就是什么呢？ a 选项好，剩下 b、 c、 d 啊，都不是。我们再来看三十四题，三十四题这里呢就是一个指数对数的运算考察啊，第一个 log 以三为底，九的对数，这很明显三的平方等于九，所以这里就直接写什么呢？二减去符号抄下来啊，二分之一的负二次方，这地方怎么办？我们把这个二分之一啊，我们给他看成什么呢？二的负一次方，然后后面是什么？负二次方，那么这个样子 是不是就等于什么？二的负一乘以负二，也就什么呢？二的二次方，所以这里就是二减去什么呢？二的二次方啊，那么我们给他 运算出来二减四是什么呢？负二，对吧？所以答案就选 d 选项啊，答案就选 d 选项啊。再看三十五题， 下列弧度至的角的矢边为 x 轴的非负半轴， x 轴的非负半轴，意思就是说这个矢边什么呢？在 x 轴的正半轴啊，他跟你说中边位于第二项线的是什么？好，那么这个地方我们就要首先你去了解弧度的最基本的概念啊，首先呢， 这个你得知道啊，一弧度呢，他是约等于多少呢？应该是五十七点三啊，在第一象限，对吧？那么很明显第一个一弧度他就错了啊，他是第一象限。我们再来看啊，这个负四 负四是不是约等于多少？负的二百二十九点二度对不对？他明显 在第二项线吗？所以这个三十五题答案就选 b 选项二，负三呢，它是约等于多少？负的一百七十，应该是负的一百七十一点九啊，负的一百七十一点九，这明显是在第三项线， 对吧？啊，负二，那么负二这里应该是约等于多少呢？负的一百一十四点多啊，反正他也是在第三项线，不是在第二项线啊，所以三十五题啊，就考察一个弧度值，看你了不了解啊，或者说知不知道一弧度约是等于多少呢？五十七点三啊，就这个知识点，三十六题 给了你圆的一般方程，然后让你去求这个半径啊，那么有两种做法，第一种就是什么呢？公式法 啊，公式法怎么用？公式是什么呢？半径 r 等于什么呢？二分之啊，根号下，然后这里是什么呢？ d 平方加上 e 平方减去四 f 啊，这是公式法。第二种就是用什么呢？配方法 啊，你两种做法都行，不过我是喜欢用配方法把它换成什么呢？圆的这个，呃，标准方程啊，那我们这里换成圆的标准方程之后怎么画呢？我们这里看啊，前面 x 的 平方，这里是不是和六 x 结合，那么是不是要加上一次项系数一半的平方才配方，那么这里就加九， 那么你加完九之后肯定是不是还要减九，那么这里啊，是不是就可以写成 x 加三的平方，然后减九？同理 y 也是一样的， y 的 平方减二， y 加一，所以呢，就是加上括号 y， 这里是什么呢？减一的平方，然后减一， 对吧？是等于负二，然后我们现在把这个减九和减一给他移到右边来，那么他是不是就等于 r 的 平方，那么也就是 x 加三的平方，加上括号 y 减一的平方是等于什么呢？负二加一加九，那么也就是等于多少？八， 对不对？八的话，那么半径 r 啊，因为这里后面是什么 r 的 平方，所以我们这个 r 开根号出来就叫二倍根号二，所以三十六题啊，答案就选 a， 选项 三十七题不等式的解集啊，这个没有什么难度，你最起码去解答就行了，那么一步到位啊，二 x 减五小于啊，应该是大于啊， 大于六，那么你一样的大于号去哪边啊？ b 呀， d 呀，就已经 pass 啊，剩下就还剩 a c， 那 你对应的给它解出来第一个呢？去绝对值嘛，二 x 减五要什么呢？大于六。第二个二 x 减五小于负六 啊，那么你第一个解出来二 x 减五大于六，二 x 是 吗？大于十一 x 大 于二分之十一啊，你从这里第一个你 x 是 大于二分之十一的，你这里来看，就已经能够推断出答案已经是选什么呢？ a 啊，三十八题，这个就什么呢？两角合叉的这个正弦啊，不过他这次呢，没有直接让你用啊，他反而后面给了你一个这个口算一百零五和算一百六十五，那么这个地方可能你稍微诱导公式不熟练的同学啊，又要栽在这个地方了啊，口算一百零五，那么 这个怎么办呢？我们看啊，前面是七十五十五，散引，口散引，后面按道理来说应该是什么？如果是口散引七十五，散引十五，是不就好办了，对吧？这是我们的一个总体的思路啊，那我们现在看能不能把它变成这个口散引七十五呢啊，我们看这个一百零五， 口散引一百零五，你看啊，口散引一百八减去这里是多少呢？七十五， 对吧？诱导公式啊， cosine 派减 alpha， 那 么这个诱导公式出来是什么？负的 cosine alpha， 也就是负的 cosine 七十五， 负的 cosine 七十五。再看上面这个啊，后面这个一百六十五，上引一百六十五，那么上引一百六十五怎么办呢？一样的，还是用诱导公式啊，它就等于什么呢？上引，这里是一百八 减去十五，这不就行了，那么也就是什么呢？上引派减啊法的一道公式，还是等于上引法，也就等于上引十五，对吧。那么现在最后啊，它就变成了什么呢？ 这里口上一百零五，是不是变成了，这里是负的口，上引七十五，上引一百六十五呢？变成了什么呢？上引十五， 好，那么这个样子是不是就是我们两脚叉的正弦，两脚叉的正弦，那么这里就最后变成了什么呢？三以 七十五度减去十五度啊，那么我们看三以七十五减十五，是吧？三以六十三以六十二分之根号三，答案就选 b 啊。 三十九题，三十九题，这个题目我记得应该是第六次考过一次啊，上次考的是什么呢？呃，应该是问你那个 中线的斜率还是中线的什么东西？这一次是考那个什么中线的长度啊，还是一样的中线怎么办？你肯定要找中点啊，就是考察中点坐标和两点间距离。公式啊，我们一样的来画个三角形出来，我们简单的来示意一下啊， 不是说这个三角形就表示这些点啊，不是的啊，我们重要的是给大家把这个图形啊给举例出来。 abc， 对吧？他现在告诉你点 a 啊，点 b， 点 c 的 坐标， bc 上的中线，很明显 bc 上的中线，你这里 bc， 这里是不是肯定有一个点是中点，对吧？假设点 d 线就是 bc 的 中点坐标， bc 上的中线是不是也就是让你求 a d 啊？ bc 上中线长，中线长度其实也就是什么 a d 的 距离啊， a d 的 距离，那么现在你看第一步，你是不是要把这个终点坐标求出来，那么利用什么终点坐标公式啊？那么这个点 d 的 坐标， b c 的 终点坐标，那么是不是 x 一 加 x 号除以二，一加五除以二是多少呢？三 负六加零除以二负三，对吧？那么点 d 的 坐标，是的啊，点 a 的 坐标也知道了，那么你接下来怎么样用两点之间的什么距离公式啊？两点之间距离公式，那么我们这里一起来带大家算一下，嗯， a d， 那 么 a d 的 距离，随便啊，你不管是用 a 的 坐标减 d 的 坐标都没关系啊，都是可以的，那么这里也就是什么呢？根号下 三减零的平方啊，然后加上负三，这里应该是减一的平方啊，那么这样子算出来，是不是根号下九加十六，那么根号二十五开出来就是什么呢？五啊，那么最后 bc 的 中线长度不就是五吗？答案就选 b 选项啊，答案就选 b 选项四十题，椭圆啊， y 方加四 x 等于二十四，他跟你说它的焦距，这个椭圆啊，它是一般形式，你要给它换成标准型怎么办呢？两边同时除以二十四，两边同时除以二十四，之后就变成什么二十四分之， 这里是 y 方啊，加上六分之 x 的 平方，那么它是等于一的焦距是什么？ 两个焦点的距离是不是二 c 二 c， 那 么你这里肯定要把这个 c 求出来，很明显，椭圆是什么？ a 大 于 b 大 于一啊，这个明显焦点在什么？ y 轴上，焦点在 y 轴上，所以现在呢， a 方就是等于二十四， b 方呢，就是等于六，所以 这个 c 方啊，他是不是等于 a 方减去 b 方， a 方减 b 方，这里多少十八，所以这个 c 呢？你开根号出来是不是就等于多少？三倍根号二，然后呢？焦距什么二 c， 所以 这里也知道呢，六倍根号二，答案就选 d， 答案选 d。 嗯，四十一题与这个函数啊， f x 等于根号下二 x 减一分之一有相同的定义，那么首先你要把这个函数它的定义看出来，首先第一点，这个根号下的偶次啊，我们讲过这里面的式子是不是要大于等于零，但是 这个根号处于的位置是不是在分母，我们讲分母又要不等于零，所以只有什么呢？二 x 减一要大于零， 对吧？啊，那么 x 大 于什么呢？二分之一啊，我们来看 a， b， c， d 啊，一个一个来看 a 选项，是吗？这个很明显是对数的定义，我们讲过对数的定义，怎么样？真数大于零，所以也就是二 x 减一要大于零呀，那么 a 就是 啊，所以答案就选 a 啊，啊，所以答案就选 a 啊，对吧？ b 选项是什么呢？绝对值函数 c 选项是什么呢？这个是什么？大于等于零啊，这个 d 选项是什么？指数函数，对吧？他们的定义都什么？一切实数啊？四十二题， 在竖列中啊， a n 加上二倍的 a， n 加一等于零，然后 a 一 点一， a 六等于多少？那么其实这个也不难，就是单纯的考察一个什么呢？等比竖列，只不过这次给你等比竖列的这个式子啊，它不同于以往， 它这是这个样子给你的，那我们其实怎么样把它稍微的做个变形，你这里你把这个 a n 呢，给它移到右边来，也就是二倍的括号， a n 加一是不是等于负的 a n， 然后两边同时除以二，两边同时除以二，就得到什么呢？ a n 加一，它是等于什么呢？负的二分之一啊， a n， 所以 这个样子不就是我们等比数列的定义式吗？那么很明显，公比 q 就 等于什么呢？负二分之一啊， 那么 a 六啊， a 一 告诉你了，公比 q 也知道了 a 六，那么根据我们的通项公式， a 乘以什么？ q 的 n 次方，所以现在 a 六就是等于什么呢？ a 一 乘以 q 的 五次方啊，那你带你去算， a 就是 一，那你直接就是什么呢？负二分之一的五次方，也就是什么呢？负的三十二分之一啊，答案选 d， 四十三题啊，嗯，这一页里面啊，嗯，基本上我认为就四十三题这个题目，他要考察一点基本上关于三角函数这个概念性的问题，为什么呢？ 他跟你说点 p， 从一零这个点出发啊，沿着这个单位圆，对吧？顺时针运动三分之派的弧长到达点 q， 则点 q 的 坐标是什么啊？那么我们把这个单位圆啊，给大家画出来。首先 啊，这个，那么这里我就表示一个单位圆，好吧，然后这里啊，我们一样的平面直角坐标系中 给它表示出来。好，我们把这个图稍微放大一点啊，单位圆，那么很明显坐标是零零，半径是一点， p 呢？从一零这个点出发，那么一零这个点，我们把这个图形稍微放大一点啊，是不是就在这个地方？这里是不是就像一 p 点，对吧？然后 圆周啊，顺时针方向运动三分之派，图长到达点 q 啊，说明这个角度是多少角度，是不是就是负的三分之派？因为它是什么？圆周顺时针运动啊，负的三分之派就是多少呢？负的六十度，大概这里还要往下来一点点啊，那么这个角假设为 r， 那 么这个 r 就是 等于负的三分之派。 好，他现在跟你说到达那哪里呢？到达点 q， 问你 q 的 坐标啊，问你这个 q 的 坐标，所以我们在这个单位圆上，你这个角度是什么？负的三分之派，那你对应的坐标是不是用什么三角函数的定义啊？其实就是考察三角函数的定义，那么我们这个横坐标啊，这个我们把这里啊 q 的 横坐标啊， q 的 横坐标，那么它是不是就等于什么呢？ q 三引啊，我们这里点 q 的 横坐标 x， 那 么它是不是就等于 q 三引，负的三分之 派？ q 三引负二法，我们讲过它是偶函数啊。 q 三引，负二法，它是等于 q 三引二法，所以它就是等于 q 三引三分之派，就等于什么呢？二分之一，那么重坐标呢？ q 就 等于什么呢？ q 三引，这样啊， 重坐标就用三以表示了啊，三以，这里是负的三分之派，那么三以负三分派，就是负的三以三分派是多少呢？负的二分之根号三啊，负的二分之根号三，所以现在这个减 q 的 坐标就是多少呢？二分之一，负二分之根号三，答案选 c。 四十四题， 这个是属于经常考的啊，这个不是很难，他跟你说过这一点，并且与这个直线平行，那么像这一类题目有两种啊，第一种就他出的平行，第二种就是垂直啊，平行特别简单，前面的这个系数 x y 直接不动，你假设这个直线方程二二 x 减三， y 加 c 等于零就行了 啊，为什么前面的系数保持不动？如果是有两条直线，假设现在有一条直线是 a 一 x 加上 c 一， 好，第二条直线什么？ a 二 x 加上这个 b 二 y 加上 c 二，我们讲过，如果它们平行斜率是不相同，两条直线平行斜率肯定相同，那么对应 x y 的 系数肯定要相同，如果是垂直怎么办呢？斜率相乘是不是等于负一？ 对不对？所以这个地方我们这个假设直线方程的原理啊，就这么来的，那么二 x 加二 x 减三，外加 c 零零，然后现在怎么办呢？你不是要过这条直线吗？所以你把这个点啊，负二三给他带进去，计算这个 c 啊，那么带入呢，也就是二乘以，这里是负二啊，加上 三，这里是减去啊，减去三乘以多少呢？三加 c 等于零，那么我们这个样子是不是就能够算出来这个 c 是 多少？呃，正十三啊，这个 c 是 不是正十三？所以答案就选什么呢？ a 选项， 答案就选 a 选项啊，那我们这里呃，目前为止啊，这个数学，那么第一页我们已经是给他结束了啊，回顾一下啊，嗯， 总体来说，第一页就稍微的感觉到让有些同学就已经比较吃力了啊。呃，如果你数学不是基础啊，不是很好的同学， 我认为啊，这个前面你就已经在考场上会比较难受了啊。但其实试卷难一点呢，就是考察我们同学们在考场什么认真冷静分析的能力啊。那么我们下一个视频啊，再来讲第二页的，拜拜。

ok， 那 我们再来看第二页啊，四十五题，四十五题就是我们三角函数，那个什么恒等公式平方的变形啊，角 r 法呢？跟你说是第二象限角，所以 你读到这里它让你求什么呢？口三引 r 法，那么我们讲过第二象限余弦值是什么？负的啊，所以口三引 r 法肯定是负的，那你比如说像正的选项呀，那现在你可以 pass 啊，然后呢？三引 r 法是等于七分之三，所以根据我们什么平方关系啊，三引 算法的平方加上口算引二法的平方是不是等于一的？那么现在口算引二法呢？它就是等于什么？负的根号下，那么一减去算引二法的平方，那么也就是等于什么呢？负的根号下二，一减去七分之三的平方， 那么我们这里开根号出来是不是？呃，一减去七分之三的平方，那么七分之三是不是四十九分之多少九啊？一减是不是四十九分之四十，那也就是根号下 啊，四十九分之什么？四十，那么四十九，你知道肯定开出来是可以是七，那么四十怎么办呢啊？直接就是什么呢？二倍根号十，所以答案就选 a 选项啊。再来看 第四十六题啊，那么跟你说现在有一个函数，那么它是什么呢？分段函数啊，有两段，一个是 x 平方减五，另一个是二减 x。 好， 对应的有不同的范围，一个是 x 小 于零，一个是 s 大 于零，他跟你说若 f a 等于负一，那么问你 a 的 值多少，那你现在是不是也不知道这个 a 的 范围？那怎么办？分类讨论啊。第一种， 当 a 小 于零的时候呢，那对应呢，就有 fa 啊，它是等于什么呢？ a 的 平方减五等于负一，对吧？然后我们这样子啊，我们给他计算出来， a 平方是不是等于什么呢？四， a 平方等于四，所以 a 就 等于什么？正负二，但是 啊，他跟你说 x 是 小于零，所以你是不是要把正二给舍掉，也就是得到 a 等于什么呢？负二 啊，再来看第二个，那我现在不知道啊，有没有可能是大于零呢？ a 大 于零， a 大 于零，那对应的这个式子 f a， 那 么是不是就有二减 a 是 等于什么呢？负一，二减 a 等于负一，然后呢， a 就 等于什么呢？三， 刚好 a 是 满足大于零的这个条件，所以 a 的 只有两个负二和三啊，答案就选 c 选项。好， 我们再来看四十七题啊，下一题，这个就是我们什么正弦型函数的性质。好，这个正弦型函数告诉你，是三倍的三以二 x 减三分之 pi 啊，他现在跟你说 函数第一个他的最小正周期是什么？好，我们根据最小正周期 t 的 公式等于二， pi 比上这里是 omega， 我 们讲过 omega 是 不是就 x 前面的系数，也就是这里是什么呢？二，所以 等于什么呢？二， pi 比上这里是二，是不是就相当于是 pi？ 所以 a 选项就错了啊， b 选项函数的最小值是负一，我们讲过最小值，是不是看这里 a， 那 么给它添个符号就行了，对吧？所以最小值是什么呢？负三啊， c 选项 函数的图像可以由这个函数啊， g x 是 等于三倍的上引二 x 图像呢？向右平移三分之派得到。我估计很多同学这里要选 c 了啊，但其实这个函数的拼音问题，尤其是正弦函数，我们已经强调过不止一遍啊， 这个为什么我说他是错的呢？我们讲过函数拼音问题，尤其是在这个正音函数的时候，不是这个 omega x 加外这个整体进行去拼一，是这个 x 单独去拼一，所以你要把这个什么 omega 给他提出来，你就把二提出来，把二提出来怎么办呢？那么现在这个函数啊，也就是得到了什么，把这个 啊，三倍的散引二 x 怎么办呢？它进行向右平移是多少呢？也就是三倍的散引，把二提出来， x 减去三分之派。为什么是减？我们函数平行是不是有一个法则叫做左加右 减啊？向右平行自然就是减，那么现在这里，那么我们给他算一下啊，也就是三等于什么呢？三倍的散引， 那么这里自然就什么呢？二 x 减去什么三分之二派？很明显啊，跟上面的三分之派是不一样的， 就是注意这个什么，一个是 x 进行运算，一个是这个什么 omega， x 加 f 进行算啊，但是他们其实实际意义呢，是不一样的，我们讲过函数平移肯定是有什么这个 x 单独去进行运算，单独运算的什么意思呢？也就是说把这个 omega 要给它提出来啊，所以 c 就是 错的， d 选项 函数的出象是负的三分之派，这个没有什么问题啊，答案选什么呢？第四十八题， 那么补点概率啊，补点概率。武当山、祁连山是我国的什么道教名山啊？九华山、五台山、峨眉山是我国的佛教名山，对吧？这里瞬间 给我们科普了一下这个文化常识啊，那小王计划呢？利用暑假在五座山中啊，随机选举两座山，那么这里总共有几座？ 武当山，祁连山？两座啊，后面的什么呢？九华山，五台山？峨眉山，总共有五座，五座里面随机抽取两座，是不是我们的总选法就总共的？这种情况是不是也就怎么计算 c 五二啊？用组合数，那么 c 五二就等于什么呢？十种， 总共就十种，则选举的两座山，恰巧是这个道教名山和佛教名山中各一座的概率是什么意思？道教里面有哪两座？武当和齐云啊，佛教里面有什么呢？九华五台？峨眉。那么你这个里面 是不是就变成了什么？一座道教，然后呢？一座佛教，然后呢？那么他俩的概率是什么？一座吧，佛教里面总共有几座？ 三座是不是也要选一座？那么这个样子满足条件的就是有六种啊，满足条件就有六种，那么他们的概率就什么呢？十分之六， 根据我们古典概念的公式啊，十分之六，那么一月份就什么呢？五分之三，所以答案就选 b， 答案就选 b。 四十九题，四十九题，这个题目其实不难啊，完全就是什么呢？愚行定，你的应用啊，愚行定，你这里问你边长 b 什么，那你直接 这个地方就不能用 b 平方啊，为什么 b 平方后面是口三以内 b 这个地方用哪个余弦？ d 呢？用 c 平方， c 平方等于什么呢？ a 方加上 b 平方减去二倍的 ab o 三以内 c 啊，我不知道余弦定义大家能不能够正确的去使用它，我是从来不去背这个的，我是背它的定义啊，余弦定义，这个三角形中什么呢？任意一边的平方等于什么？剩余两边的平方和减去两边继续加角余弦值的二倍啊，非常熟练的背出来。那么现在你看 b 是 不是刚好不知道？那你把剩下的 a， c 还有 c 带进去计算就行了啊，那我们带进来试一下，是不是就变成了根号十九的平方，是等于什么呢？三的平方加上 b 的 平方，对吧？减去二乘以三，乘以口三以六十度是多少呢？ 二乘以三乘以 b 啊，乘以口三以六十度二分之一，对吧？然后我们看啊，这个前面根号十九平方是不是变成了十九，是等于后面这里我们计算一下啊，就是九加上 b 的 平方，然后呢，减去多少呢？三 b 好， 最后这个样子是不是就解这个什么关于 b 的 一个一元次方程就行了啊？那我们这里给大家稍微的组织一下啊，也就是 b 平方减三 b， 对 吧？然后呢，减十 等于零，然后这个样子怎么办？因式分解啊，最后你解出来呢，这个 b 就是 什么呢？把那个负的舍去就行了啊，答案就选 c， 再看五十题啊， 五十题这个题目啊，如果你是这么看，它的图形就不太好看了，你就真不太好看了，你怎么看呢？你把这个图形，你现在它这个图形不是类似于躺在这里吗？你给它立起来啊，你给它立起来就变成什么样子，我这里简单的给同学们 简单的画一下啊，这里是 b， 然后呢？这里是 c 吧，然后那么这里就是什么呢？ a 点啊，然后这里一连，我这里画上去可能会什么重叠啊，会重合 差不多，然后呢，我们再把上面连起来啊，假设这是个底面嘛， 好，那么这里就是 c 一 撇啊， b 一 撇， a 一 撇，好，那么这个样子，你看 这个样子，它就变成了，是不是个棱柱啊，对吧？然后最后问你，这个几何体的体积不就是棱柱的体积吗？我们知道棱柱的体积公式，怎么求 v 等于什么呢？ s d r 乘以 h， s d 乘以 h， 我 们来看前面给的信息啊， a a 一 呢，垂直于这个平面，那么线面垂直 对不对？线面垂直刚好就可以做这个什么棱柱的高，所以 a， a 一 的长度是四，那么也就告诉你它的高是四，我们看这个底，怎么求呢？ 刚好它是个三角形啊， a， b， b， c 都告诉你了，那么刚好 s， 它就等于什么呢？二分之一三角形面积是什么？底？ x 也高吗？啊，二乘以三，那么是不是等于三？最后你把三放过来，不就是等于十二吗？ 答案选 c 啊，其实这个题目啊，这个五十题，他给你这么多条件，就是吓唬你了，你如果用另一种思维去看待他啊，其实就变得非常简单。好，再看五十一题，五十一题，这个题目啊，其实有一个很小的一个技巧，什么技巧呢？ s 九，看你怎么去把它处理。如果你用我们 s n 的 公式啊， m 乘以 a 一， 对吧，加上什么什么啊？ m 乘以 n 减一，除以二乘以 d， 如果你用这个公式把它打开，然后呢？ a 八，你也用通向公式给它打开，就会减一个幺二换成组，这样子我感觉就麻烦了啊，我们这个 s 九 这里有一个什么呢？它正好这个地方，它是个等差数列啊。 s 九它是可以等于什么呢？九倍的 a 五 在等他数里面等他数的前 n 项和公式， s n， 如果这个 n 是 个基数， s n 前提是 n 为基数啊，我基数这就不写了， n 为基数，那么这个 s n 它就等于什么呢？ n 乘以 a， 这里是 n 加一除以二， 为什么是基数？基数就相当于是不是中间那一项，比如说九中间那一项是不是五，对不对？那么 s 九等于九倍的 a 五啊，九倍的 a 五，它是等于什么呢？一百零八 对吧？所以你现在啊，你这个 a 五就能够很快的反应出来，是等于多少呢？十二 a 五是等于十二， a 八是二十七，问你公差 d 一 样的啊，就等于什么呢？ a 八减去这里是什么呢？ a 五 比上这里是什么呢？八减五啊，八减五。好，我们来算一下，底下是三，上面是多少呢？ a 八是二十七减去十二减去十二，七减二是什么呢？五上面二减一是什么呢？一十五除以三 d 是 不是等于五啊？最后答案就选 b 选项，你除了用这种方法计算，还可以怎么计算呢？ a 八啊，还可以另一种， 你看啊， a 八我们讲过，是不是 a 五加上这里是几 d， 是 不是三 d 对 不对？然后呢？ a 五现在也知道了， a 八你也知道了，最后你也能解出来，二十七等于什么？十二加三 d 啊， d 就 等于五。好吧，这样子也可以啊，也可以 五。十二题，向量平面啊，这个信信运算在三角形， a b， c 呢？ d 呢？是一个延长线的一点好重要的信息来了啊， b、 d 等于四倍的 bc 好， b、 d 是 等于什么呢？四倍的 bc 就是 一个什么等分点的关系啊，用向量 a、 d 去可以折向量啊，我看错了啊，用向量 a、 d 去什么向量 a、 d 可以 用这个 a、 d 和 a、 c 表示 啊，也就是说 a、 d 这个向量，你现在想办法要用 a、 b 和 a、 c 怎么表示？好，我们来看一下啊，这个 a、 d 的 向量怎么表示啊？ a、 d 的 向量。我们来看这个图形啊， a、 d 的 向量，我们是不是可以看成什么呢？刚好是我们把这个写在上面一点啊 啊， a、 d， a、 d 这个向量，它刚好是不是可以表示成什么呢？ a、 b 这个向量加上 b、 d 这个向量，对吧？然后现在啊，它现在又告诉你 b、 d 是 等于四倍的 bc 了，所以你现在进一步 a、 b 加上四倍的 bc 啊，它让你用 a、 c 表示，那你 b、 c 跟 a、 c 之间什么关系， 对不对？看能不能又跟 ab 联系起来啊。所以这个地方又是我们另一个思路的转化一个点，我们知道这个向量 bc 如果要跟 ac 跟 ab 是 不是联系起来的话，是不是就等于向量 ac 减去向量 ab 啊，减去向量 ab， 对 吧？那么向量 bc 这里刚好就可以转化过来，也就等于 ab 加上四倍的括号啊， ac 啊，减去 ab， 好，那么这个样子，你给他稍微的计算一下啊，这里也就是 a、 b 这个向量啊，然后加上这里是四倍的 a、 c 减去什么呢？呃，四倍的 ab， 那 么我们看这样子是不是负三倍的 ab 向量加上什么四倍的 a、 c 向量啊？所以五十二题答案就选 b， 五十二题答案就选 b 啊， 五十三题，某高校啊，这个什么频率分布脂肪图的问题啊，我们来看啊，他跟你说总共有五百名，那么成绩呢？这个区间啊，在三百到一百五以内，然后呢，他跟你说这一段人数，我看啊，九十到一百三，是不是就这一段，这一段、 两段，对吧？那么这个人数，其实我们这老常考的各频率之各区间的这个频率是不得什么呢？也就是这个数，像这种数是不是就是频率除以主序的数，我们简单的管它叫平数啊，乘以它的那个主序，我们就可以把它理解，为什么呢？小矩形的面积啊，是不是？这个是不是就是类似于小矩形的面积，对不对？所以现在 啊，你要把他的这个什么呢叫做频率算出来啊？每一组每一组间的频率算出来。怎么算呢？第一组九十到一百一之间的频率是多少？九十到一百一之间的频率 九十到一百三。哦，这里还有个点，他没告诉你这个九十到一百一之间的频率是多少 啊？这个题目还挖了个坑啊，他没有告诉你九十到一百一之间的频率多少，那你现在还要想办法怎么办呢？去把它求出来啊，就是这个数给它求出来啊，这里又多了一个这个复杂的难题， 但是我们看一下啊，如果你现在要把这个 a 给它求出来的话，我假设这个是 a 啊，那么这个题目是不是大大计算量增加了？我们能不能倒过来想，我们把其他的这个频率算出来，那么就是其他的 我们都给他加起来，拿一去减去他们，那么是不是就这两组的频率，对吧？我们最后再乘乘一种人数不就行了吗？啊，我们用倒过来逆向思维啊，那么 这两组怎么算呢？其他怎么算呢？我们直接拿一去减去啊，一减去括号，我们这里每一组都要加起来，这里尤其要细心啊，这个五十到九十，这里是共用一个数，零点零七五，对吧？所以这里也是什么呢？一啊，减去什么呢？零点零二五，对吧？ 乘加上零点零零五零，加上零点零零七五，乘以二，加上零点零一二五，对不对？然后我们再怎么样给他乘以这个组距，是不是再给他乘以这个组距，也就是乘以组距是多少，每组每组间的距离多少？二十， 那么我们这里最后算出来是多少呢？嗯，我前面算过一遍啊，应该是零点五五啊，应该是零点五五，那么一也就是什么呢？九十到一百三，这里的频率就是零点五五，然后我们最后再乘以这个总人数，是不是也就是拿五百乘 以零点五五，那么最后也就得到这里是，呃，五十五乘以五多少？二百二百七十，刚好就是什么呢？二百七十五，所以答案就选 c 啊，答案就选 c。 五十三题，这个题目啊，用这个逆向思维做会比较简单一点啊，那我们看啊，那么第二页我们基本上都已经点评过来了啊，其实也就什么呢？后面这里稍微难度就开始不断的增加啊，不断增加 啊，那我们再来看最后这一页啊，五十四题，那么跟你说直线与圆的位置关系啊，其实这个题目非常经典，直线和圆的位置关系，我们只需要去算什么呢？ d 跟 r 的 距离，那么 d 是 什么呢？圆心 到这条直线，那这是圆的标准方程，那么圆心很快啊，你就能求出来是多少呢？三，负半径 r 是 等于什么呢？三，然后呢？圆心到这条直线的距离就是 d 啊， d 跟 r 的 之间的比较，如果 d 大 于 r 就是 相比 啊，然后呢？ d 相切是什么呢？ d 等于 r 相交，但不过圆心是什么呢？ d 小 与 r 对 吧？相交过圆心，意思就是说这个直线啊，直接过这个点好，我们来看啊， 怎么计算呢？根据什么点到直线的距离公式吗？我们给它代入啊，也就是什么呢？三减去二乘以负五，然后这里是加二的绝对值以上，根号下 啊，这里是什么呢？一的平方加上这里是负二的平方，那么也就是等于，呃，根号五分之十五， 对吧？根号五分之十五，我们算下是多少？三倍根号五，三倍根号五，肯定是什么大于三的啊，所以 d 大 于二就是什么呢？相邻，所以答案就选 c， 二十三嘛，二十三嘛 啊，再看五十五题啊，其实五十五题这种题目一直有人觉得很难，但是我不知道为什么，难难，难，如果你们只需要去记住那些判定定律，性质定律啊，那么做这种题目，你只需要找出它们的关键点。我比如说随便举个例子啊，阿尔法，贝塔是两个不同的平面呢， m， n， l 有 三个不同的直线， 和你说下面说法正确是什么？我们一个一个来看啊，这里若阿尔法和贝塔是平行，两个面平行，我们知道两个面平行是不是没有公共点？那你这两条直线就一定是平行吗？不一定吧，有没有可能是存在什么一面的情况 啊？你很明显 a 是 最最经典的错误， b 这个是什么呢？ m 平行于 r 法，这明显是线面平行好，然后呢？他跟你说 m 又平行于 m， 然后呢？ m 又在这个 r 法以内，这很明显是不是漏了一种情况？你 m 有 没有可能啊？是在这个 r 法里面 完全也是可以的吧，完全也是构成什么这个线面平行啊， c 型啊，这个就错的更离谱了，线面垂直，线面垂直是怎么回事呢？就是什么一条直线垂直于两条这个平面内，两条相交直线啊，你这里根本就没有突出相交这个符号出来，对吧？你这不用看啊， c 肯定是错的，只有 d 是 正确。为什么 d 是 什么呢？这个传递性啊，平行之间的什么传递性啊？嗯，我不知道为什么。这种题目难在哪啊？五十六题， 五十六题就是什么呢？绝对值不等式的范啊，不等式的范围啊， a 减三 b 的 绝对范围。这种题目有两种办法，要么你就是把这个 a 减三 b 给它算出来啊，利用不等式的这个性质，要么你就什么呢？用 这个投机取巧办法。我两种方法都讲啊，第一种， a 减三 b， 怎么办呢？我们讲过不等式是没有可减性的，不等式只有可加，那你 a 减三 b， 只有把它变成 a 加上负三 b。 好， a 加上负三 b， 那 现在就意味着要把这个三负三 b 来算出来，对吧？所以现在 b 的 范围是负一到二，所以对应的啊，三， b 的 范围，那么对应的是不是也就是从什么？负一乘以三负三，那么 二乘以三是六，二乘以三是六啊，然后呢，负三 b 的 范围呢？不等是两边同时乘一个什么负一啊，同时乘以负一之后我就写在右边了啊，负三 b 的 范围是不是对应呢？也就是这里是什么呢？大于小于啊，大于等于什么？负六，小于等于什么呢？小于等于，这里应该是三啊， 反过来应该是三了啊，对吧。所以你再把 a 的 范围写到这里，二， a 的 范围是什么呢？大于等于 a， 小 于等于三，然后你再把它的异相加负六加二啊，然后呢，三加三，很明显是什么呢？这里是负四到六，所以答案就选 d。 这个为什么可以直接加啊？我们讲过不等式是什么，有一条性质叫做什么呢？同向可加啊，同向可加，那么他就没有问题啊，这是我们正规的做法，你也可以用什么呢？投机取巧的办法。怎么投机取巧？你看啊， a 的 范围是二到三， b 的 范围是负一到二，所以 a 减三， b 的 最小不就是什么呢？最小啊，我们这里不好写了，我写到这里稍微左边过来一点啊，他的最小，你是不是就可以写成什么呢？二减去三乘以二， 这不就行了，最大呢？二啊，最大直接拿什么呢？三减去三乘以负一，不就是六吗？啊，你这个样子也可以，但是我不建议啊，我不建议啊，这个是我们那种， 如果你实在想不出来了，你可以这样子啊，但是你正规做法还是要学会的啊，利用不等式的图像可加性。五十七题啊，五十七题，这个题目图像问题啊，已经很久没有考过了，我们还是要看一下啊。好，现在跟你说，二次函数呢，它的图像是开口向上，开口向上能得到什么？ a 减一 大于零啊， a 减一大于零， a 减一大于零， 好得出来 a 是 大于一，并且它还经过了这个坐标原点。经过坐标原点是什么？后面的 p x 这一项是不是没有？为什么有 b x 这一项是不是就不存在经过原点了？所以现在 b 减二等于零二，然后呢，解出来 b 是 等于二 好，然后则函数啊，这个图像的大致是什么？首先，那么他肯定是二的 x 方减去 a， 这个 a 呢，是大于一的，我随便举例啊，比如说是减， 他只要大于一就行了，对吧？我比如说随便减个二吧，还是减一啊，减二好了，减二好了啊，减去一点五吧啊，减一点五啊。他跟你说，他的图像，首先 b 的 x 方减 a， 这个 g x， 它肯定是由指数函数变形过来的，对吧？那么这个 g x 啊，然后 二的 x 方肯定是单调递增的啊，你像这种 b 啊，这种单调递减的，肯定就是错的。减一点五是什么呢？向下平移，向下平移，超过一个单位啊，超过一个单位。这里很明显。这个 c 选项啊，它是向下平移了多少呢？ 不到一，在零到一之间啊，他也不对， a 呢，是向下向上平移啊，他向上平移，逻辑就直接错误了，答案只有 d 是 正确啊， d 是 正确的。五十八题， 立体几何啊，这个线面所成角啊，我们来看这个题目啊，看他怎么跟你说，他跟你说，现在呢，这个长方体啊，底面呢？ a、 b、 c、 d 是 个边长为三的正方形，那就意味着这一段是三，这一段是三，对吧？每一段都三二。 a， a， 一 是四， 好，这个 e 点是靠近 b、 c 上 c 的 一个三等分点。等分点是什么意思？等分点三，等分点是不是意味着这个 e、 c 这一段的距离是什么？是一吧，没错吧？ e、 c 这一段的距离是不是一，然后问你，什么直线啊？ d， e， e， d， e， e 与这个平面 a， b， c， d 所成角线面角。我们最重要的是什么？是不是要找这条直线 d， e， e 在 这个平面内的摄影，对吧？这个摄影这条斜线所成角就是什么线？面角，那怎么办呢？这条摄影是什么呢？ d， e 啊，就是 d， e 好， 也就是这个角，这个这条直线和这个平面所成角是什么呢啊？就是角 d， e、 e、 d， 然后找它的正切值，探解它就行了啊。那么对于这个角来说，它的正切是什么呢？对边比邻边，对边是什么呢？ d， e， d 比上邻边是什么呢？ d， e 好， 我们来看啊， d， e， d 它是跟这个什么 a， e， a 是 平行的啊，同为高，所以上面就是四，这个 d， e 怎么算呢啊？它告诉你了，这个底面是三，这里是一，我们讲过 e、 c 是 不是一，那么是不是可以通过勾股定律根号下 啊？三的平方加上一的平方，那么也就是什么呢？根号十，四分之，根号十，然后我们这里怎么样化解一下五分之什么呢？二倍根号十啊，所以答案就选 b 选项 啊，答案就选 b 选项。五十九题啊，五十九题，这个题目我没记错啊，应该是二零二三年数学最后一题，压轴题啊，压轴题 我记得没错，是一模一样的题目啊，五十九题，他跟你说这个函数啊，定义在什么呢？负一十一到一上的一个什么呢？还是个奇函数， 他并且还是个什么呢？减函数啊，两个条件来了啊，这里，从你从第一句话这里就能得到三个条件，第一个呢，是他的什么呢？这里应该是他故意缺少的这个字啊，我估计有的同学他就会看不懂了，定义域啊，定义域，把你这个函数给它 x 变换，限制住好 奇函数，然后呢，又是个减函数啊，定义告诉你了，则这样一个不等式， f x 加一，加上 f 七减二， x 小 于零。解集是什么啊？ 那我们来看一下啊，这怎么办呢？首先优先，我们讲过拿到一个函数，这是最基本的优先考虑一个定义域问题，对吧？那你这个里面 x 的 范围都没有确定，怎么样优先给它确定下来也就是什么呢？ x 加一，它的定义什么呢？负十一到十一嘛，大于等于负十一，小于等于什么呢？十一啊，然后第二个七减二 x 是 不是也要大于等于负十一？小于等于什么呢？十一 对不对？你先把定域给它确定下来再说啊，确定下来再说，我们再来看啊，这个不等式怎么办呢？小于零，我先给大家移向再来。我写到这个上面了啊， f x 加一，小于移过去，什么变号？负的括号，七减二 x， 对 吧？好，再怎么办呢？它又跟你说它是个什么呢？是个奇函数啊，我们讲过奇函数有个什么性质？ f x 是 等于负的 f x， 所以 现在后面对应的是不是这一段？我们怎么样呢？把这个符号放到里面来，放到里面来，是不是就变成了这个函数啊？形式就变成 f x 加一小于，这里是什么呢？ 括号二 x 减七，二 x 减七，对吧？又因为它是个什么 单调递减的函数啊？递减函数自变量大，函数值反而越小，所以这个地方你又可以得到什么呢？另一个不等式啊，也就是 x 加一是大于二， x 减七 啊，然后呢，这里有几个一个，两个，三个啊，一结合你最后再算它的减集，就是把它的减集算成什么？取交集就行了啊，还是带大家来算一下啊。 这里第一个 x 加一大于等于负十一，小于等于十一，你给它解决了什么？那个应该是负十二到十是吧？负十二到十二，所以我这里都不太好写了，我给他写到这个上面吧。啊，第一段是什么呢？负十二 x 小 于十二第二段，那么这里是算出来是多少呢？啊？我看一下啊，把这个七呢，先往左右两边移，然后最后再除以负二，应该是这里是，呃，七移过去是多少？负十八到四啊，移过来这里就是多少呢？负二到九， 然后第三个 x 加一大于它，这里应该就是什么呢？ x 大 于八， x 大 于八，最后你这三个区域给它画数轴，取交集，答案就是什么，选 a 二，负二到八。嗯， ok， 再来看最后一题啊， 这六十题这个题目啊，如果你把它想的简单一点，你就发现它不会很难，如果你给他看的很难，你就会觉得这个题目太繁琐了，为什么呢？这个地方其实好像是考察了一个点啊，向量，我不知道你们自己做的时候有没有发现出来啊，为什么我说考察向量呢？你看这一条直线上啊， a f b p 刚好是在一条直线上，全部都什么贡献啊？全部都贡献，你就可以利用这个来解决问题。好，我们还是来读题啊。首先，抛物线 y 平方等于四 x 信息角为锐角的直线点 a 过抛物线的交点 f， 那 么很显然这个交点 f 就是 什么呢？一零，并且与抛物线这个交于两个点啊，外手是 交于点 p。 然后呢，现在告诉你这样一个东西， pa 比上 p f 等于四。问你 fa， fa 可以 看成什么啊？你看啊， fa 是 不是看作这个抛物线上一点到焦点的距离？很明显能够想到抛物线的定义就是和它到什么准线的距离是相等的吧， 是不是和它的准线的距离是相等，也就是这一段和到这一段的距离是相同的，这很明显就能够联想到抛物线定。那怎么样呢？要么你第一种做法就是把这个点 a 的 坐标给它算出来，利用两点间的距离公式啊，你给它弄出来，这是最硬的办法，也可以做啊。那么 还可以怎么办呢？用向量去表示啊，你看现在 pa 这个向量啊，它现在是不是得四倍的 p f， 对吧？然后接下来怎么假设啊？他跟你说与 y 轴相交一个点，很明显这个 p 点呢，横坐标是零，我假设这个字母坐标是负 b 啊。然后呢，抛物线交于 a b 两个点， a 的 第一项线，我现在假设这个 a 点的坐标是 x 零， y 零啊，然后他现在跟你说，这样一个 p a 比上 p f 等于四，我刚已经把它转化出来，因为向量做，为什么它们全部都贡献，贡献之后怎么办呢？所以现在你是不是就可以表示出来了？ p a 这个向量也就是什么呢？ x 零啊， y 零减 b， 对 吧？它是等于四倍的括号，这里是什么呢？ p f 这个向量你是不是也可以表示出来，也就是一负 b 啊？一负 b， 然后现在怎么办呢？你再给它一一对应的表示啊，一一对应的表示，然后呢，你给它下面计算 x 零啊， y 零减 b， 那 么它是等于括号四，然后这里是负的四 b 负的四 b， 然后现在这个样子是不是直接令它相等？ x 零就是等于四，对吧？ x 零等于四， x 零等于四。好，你现在其实如果你知道 x 零是等于四的话，你这个题目现在就已经很快了啊，为什么呢？ x 零是等于四的，说明这一点呢？这个横坐标是几？ 横坐标是不是四五二零？我其实都不算了啊，我都不算了，怎么办呢？ f a 的 距离是不是得到了准线的距离？这是个抛物线啊，它的准线是什么？ x 等于负一，很明显，这一段是什么呢？五吧。 啊，这个是五，那你 f a 的 距离不也是五吗？答案就选 c 啊，非常巧妙，用向量去表示就会非常巧妙啊。 第二种做法就是什么呢？用把你把这个 a 点给我硬生生的求出来，通过什么呢？两直线一连一，怎么直线啊？他跟你说这条直线是过交抛线，交点 f 吧，所以这条直线 l 是 不是可以表示成 y 等于 k 括号？然后呢？呃， x 减一 啊。然后呢，你还是一样的要用向量去表示，把这个点 e 求出来好吧。呃，这个样子也可以啊，只不过会比较繁琐，感兴趣同学可以去尝试一下啊。可以去尝试一下。那么 到现在啊，那我们整份试卷都已经点评结束了啊，整份试卷都已经结束了。回过头来看，这份试卷啊，难度还是有的，它比我们最后这个高考的难度应该还要稍微再大一点点啊。但不至于会这么难。 不至于会这么难，尤其是前面，我觉得有些地方啊，出的有点是过于刁钻啊。有点过于刁钻。第一题集合一上来就给很多同学都搞蒙了啊 啊。总体来说，后面还是能够接受的，还是在这个压轴题的范围之内。还是在压轴题的范围之内啊。那我们试卷本次试卷的点评啊就结束了。拜拜，下个视频见。

这首旅行带泪的雨送给黑黑 dj 张宁， 我计划带着音乐远航，能不能和我浪迹天 涯，荡尽诱人的夜晚，携手我们走在塞纳河 畔。还记得我们说好的去游乐园玩一下， 飞，你就在我神侧，在我神侧， 庄园神树和景象来自浪漫的国度， 但对姻缘还有感情，我们都藏着痛苦和期许，虽然我现在哪里也不能去，是你眼睁睁每天这么过去，那你是我这个假期最快乐的甜蜜。 看着剧情发展直到凌晨不会觉得疲倦， 为太阳晒得我懒，懒得躺在你 睡的二人洒满的天际狂风琴夜觉汪咪呀 真全部逛遍。想跟你旅行， 沉寂下笔，想着你是否快乐，现在在哪里，我的假期马上结束。最后， 梦想像我们带着梦想浪迹天涯，就是万丝一跃的浪漫之旅。

将在学校第七次联考试卷出来了，普高中直是一套试卷，如果你这个试卷可以做二百三十分左右，学长告诉你基本稳了。试卷学长给大家准备好了，可以做做看，在视频后面需要对答案的可以找学长。