2026数学初二下册人教版教程

今天分享的是二零二六年人教新版八年级下册数学电子课本，很多家长寒暑假都会给孩子提前预习， 那寒暑假的提前预习一定要立足于课本，以课本为基石，教辅书为辅助，这样才能打下扎实的基础。 从课本上的公式概念，再到课本上的练习题，都要弄懂弄透再吃透，课本的基础上，再用教辅书辅助练习。需要课本电子版的可以在评论区留言。

好，我们继续来学习第七十四页还是关于直角三角形斜边中线的用法。首先告诉的第六题啊，在直角三角形 a、 b、 c 中角 a、 c、 b 是 直角，那接着给的是角， a、 b、 c 是 等于三十度的，提供的是一个三六、九的直角三角形。 好，接着给的信息是 d 点是 b、 c 边上的一个点，连接此时的 ad， 一 点是 ad 的 中点， 那 a、 d 目前找型的话是 a、 d、 c 直角三角形优先考虑特殊型。那在直角三角形中， a、 d 是 斜边，出现了斜边的中点，那可以想到的是我们的斜边中线 c、 e 是 斜边中线，等于 a、 d 的 一半。 好，接着给的信息是 e、 f 是 垂直于 a、 d 的。 好， e、 f 一 旦和我们的 a、 d 垂直的话，那因为 e 点本身是一个中点加垂直带来的是有垂直平分线， 也就是这里的 fe 是 垂直平分 a、 d 的， 那如果有需要，有可能涉及到的是 af， 和我们的 f、 d 是 有等量关系的。好，前面是斜边中线，这边是垂直平分线。好，目前没有连，可以暂时先分线啊，暂时不要添加辅助线。 接着他是把 e、 f 这条线段绕着这个地方的 e 点进行一个顺时针旋转的一百二十度到达这个地方的 e、 g 的 位置。好，那这样的话形成的这个一百二十度的等腰三角形，当然 f、 g 暂时是没有连的啊，我们重点还是用它的边相等以及夹角的一百二十度 好。然后接着是连接，此时的 c、 g 给的信息是 b、 d 的 长度是等于四的，那 b、 d 的 旁边啊， b 点的位置是有一个三十度的，那可能会想到把这个四和三十度构造在我们的三六九的直角三角形里面， 接着给的是 b f 的 长度是等于六的，那 b f 暂时是不在三角形里面，它在一个四边形里面，要求的是 c g 的 长度，那这个时候的 c g 暂时也不在三角形里面，而是在一个四边形里面。好，所以这个地方现有的条件直接是没有办法求 c g 的， 那从条件出发，第一个就是一点，它是一个中点，那中点的话，首先对于 a、 d 边上的中点，那想到的是直角三角形斜边中线，所以连接此时的 c e， 那 形成的是 c e 是 直角三角形斜边上的中线啊。 所以首先是在 r t 三角形 a、 c、 d 中，利用斜边中线等于斜边一半得到 c e 是 等于二分之一的 a d 的， 当然也等于这个地方的 a e 和 d e 提供边，等的同时有两个等腰三角形可以倒角。 好，然后呢，但是目前也还是暂时求不了 c g c g， 目前角形是 c g e， 这个三角形暂时是没有形的关系啊。 好，接着就是我们已知的边四六，然后有一个三十度，那这个时候的三十度就是用来构造三六九，第一个就是把 b、 d 这条边跟我们的这个三十度产生联系，做垂形成三六九。 好，因为要尽可能跟我们已知的直角去产生联系啊，所以这个地方啊，过这个地方的呃地点。然后呢，去做 b f 的 垂线。好，垂足，假设为 h， 那在我们的 b、 d h 里面， d h 就 应该是等于二的， b h 是 等于二倍的根号三，那我们就可以得到 f h 的 长度应该是六，减去二倍的根号三， 好，那接下来的话，我们的条件里面的 ad， 它的一个中点 ad 角形除了有原本的 adc， 还有一个就是 adh， adh 这个三角形里面 ad 也是斜边，那提供的也会有斜边中线，也就是连接此时的 e h。 所以 接下来就是在我们的三角形 a h d 中 满足有斜边中线，也就是 he 应该是等于二分之一的 a d 好， 进而也就可以得到 c e 和我们的 he 是 相等的， 而这个地方的 c e 和 he 相等，那就跟我们的已知条件里面的 e f 和 e g 能够产生联系，集中到型里面。 好，那这个时候要找这两个形的关系即可，因为这样的话 c g 实际上应该能看出来是全等， c g 就 和我们的 f h 是 相等的。好，那如何来证明这两个三角形全等已经具备两边，第三边是目标需要的，所以只能找角，并且只能找夹角， 那他们的夹角注意下是共零点的，所以实际上就是要去证明 c e h 这个角和我们的角 e i 这个 f， e g 是 相等的，等于一百二十度。好，那如何来导这个地方的角？那 c e h 的 话是往其里面放，本身不在其里面啊。但是一点，因为有斜边中线带来的等腰 e c e a， e h 包括 e d 都是有相等的关系， 所以还是利用斜边中线带来的等腰三角形倒角。好，那这个时候就把我们的三十度，然后借助三角形 a b c 转移到我们这个地方的角 b a c 的 位置是六十度， 分成两个部分，分别角设为 r 法角和 b 叉角。 r 法角找弦的话，找 a， e、 h 这个等幺三角形，利用外角得到的是角 h， e， d 这个角应该是等于两倍的 r 法。同理， b 叉角找弦是 a， e， c。 利用外角得到我们的角 c， e、 d 这个角 好，这个地方不太好表我们写在旁边啊。 c， e、 d 这个角应该是等于两倍的贝塔，进而也就可以得到的是我们目标所需要的 c、 e、 h 这个角应该是等于两倍的贝塔，加上两倍的 r， 也就等于一百二十度 好，进而也就可以导角得到我们目标的这样的供电点的角，实际上就是一个供电点的全等啊啊。 c， e， g 这个角应该是等于角 h， e、 f 的 好，那接下来证全等即可啊，也就是两组边加上他们的夹角相等啊，所以去证明三角形 ecg 好， 应该是全等于三角形 e、 h、 f。 判定方法的话，就是 s a s 供电电的手拿手的全等，从而得到目标带球的 c、 g 就 应该是等于 f h， 也就等于六，减去二倍的根号三 好。所以这个地方啊，就是已知的边构造三六九的直角三角形，直角跟我们已知的直角结合，斜边的中点提供的是斜边中线， 那这个斜边中线啊，对呢，就是 a、 c、 d， h 这样一个。呃，四边形状啊，两个直角三角形共斜边， a、 d 提供边的同时也提供角度的等量关系。 这种形式的这样一个图形在我们前面啊，实际上就是我们的。呃，七十三页里面啊，实际上是有两个题啊，第三题和第五题都是类似的这种用法啊，得到边等的同时，然后呢去倒角，利用等腰三角形进行倒角。 好，接着我们来看第七题。第七题告诉的是在三角形 abc 中， ab 和 ac 是 相等的，这是一个等腰三角形，边等也能够提供他的两个底角角 b 和角 c 也是相等的关系。 接着 d 点、 e 点和 f 点分别是在我们的三角形 abc 的 三条边上连的三条线啊，形成三角形。 接着告诉的是 b 点和我们的 f 点是关于直线， d、 e 是 对称的。好，那这个地方点的对称提供的是边和角的对称相等。好，那这个时候从边来看，那就有 d、 b 和我们的 d、 f 相等 啊，以及这个地方的 e、 b 和我们的 e、 f 相等，包括对称的三组角也是有相等的关系，如果有需要也都可以拿来用。那因为这个题目给的是边带球的，也是有相等的关系，所以我们优先考虑去分析边的等量关系。 好，接着给的是 bc 和我们的 ab 之间是有一个 k 倍的比值关系。好，那这个地方已知的是 b 值，带求的也是 b 值，所以具体的线段长度等于多少对结果是没有影响的。那我们不妨假设这个地方的分母 ab 的 长度为一， 那这样的话， bc 的 长度就应该是等于 k 的， 我们的 a、 c 的 长度应该也是等于一的。好，那这个时候出现的等腰三角形底边长，可能有同学想的是三线合一，但是这个三线合一并没有办法去求我们的 af 和 cf 的 长度 好。接着给的是 a、 d 和我们的 d、 f 相等，那 a、 d 一 旦和我们的 d、 f 相等，它实际上就和我们的 d、 b 是 相等的，那一旦 d a、 d、 b 和 d、 f 相等，引含的就是有直角三角形，所以它是反用直角三角形斜边中线来判定直角， 也就是可以得到的是 a、 b、 f 应该是一个直角三角形啊，连接此时的 b、 f 啊。大家如果是作为解答题，这个过程是要进行证明的，那首先根据我们的 d、 a 等于 d、 f 点等式，可以提供两个底角相等，假设为两个 r 角 好，另外一个有 d、 b 和我们的 d、 f 是 相等的，那一样的提供的等腰三角形两个 b 叉角 好，那接下来的话，就是在我们的三角形 a、 b、 f 中，利用三角形内角和一百八十度得到两倍的 r 加上两倍的贝塔，应该是等于一百八十度，进而得到 r 加贝塔是等于九十度，也就是角 a、 f、 b 应该是等于九十度的 好，那 a、 f、 b 等于九十度，那么 c、 f、 b 也是九十度好，那接下来的话，呃，得到的有直角三角形之后，那目标的 c、 f 就是 在 c、 f、 b 这个直角三角形里面， af 就 在 af b 这个直角三角形里面，那都是在我们的 abc 这个三角形里面过， b 点相当于有一个垂直，那接下来就是双勾股股，因为三角形三边都一致的情况下，三角形是可解的。 好，那接下来就是我们的 c、 f 和我们的这个 a、 f 和为一，那并且这两条边所在的形有一条公共边是 b、 f， 另外两条斜边 b a 和 bc 是 一致的，所以接下来就是一种方程的想法。 那我们假设 a、 f 长为 x， 那 么 c、 f 就是 e 减 x 好， 那接下来就是在我们的 r、 t 三角形 abf 好，以及 r、 t 三角形 c、 b、 f 中建立勾股的等量关系啊，实际上是一个双勾股好，也就是利用这个地方的公共的直角边 b、 f 的 平方来建立等量关系。好，上面的 a、 b、 f 里面它是一的平方，减去 x 的 平方。 下面的 b、 c、 f 里面它是 k 的 平方，减去一减 x 的 平方啊，把括号去掉，得到的是一个关于 x 的 一元一次方程啊，解得 x 应该是一减去二分之一 k 的 平方 好，那接下来就可以得到我们目标带球的这个边的比值啊啊。 cf 比上 af， cf 的 话是一减 x， af 的 话是等于 x 的。 带入数据的话，那就是一减啊。一减 x 得到的结果是二分之一 k 方 好，那分母的话就是一减去二分之一 k 方上下同时乘以二，得到 k 的 平方。把分子分母里面的分数去掉啊，好，从而得到目标的结果应该是等于二减 k 的 平方。分之 k 的 平方好，结果用含有 k 的 式子表示即可。 好，所以这个地方是反用斜边中线得直角的这样一种想法好，接着第八题一点是矩形 abcdcd 边上的一个点， 然后呢，做的 a、 f 是 垂直于 b、 e 的， 那这个垂直结合已知的直角 a 点处的直角可以提供有等角关系。比如说这个地方的角 d、 a、 f 和我们的角 a、 b、 f 相等，因为都是角 b、 a、 f 的 余角好，包括 b、 a、 f 和我们的角 c、 b、 e 是 相等的好，都可以用来倒角 好。接着给的信息是， ab 的 长度是等于六的，那矩形的这个边是等于六的，那么 c、 d 也是六，包括直角三角形，接着给的是 df， 和我们的 bc 是 相等的， df 一 旦和我们的 bc 相等，那它实际上和我们的 ad 也是相等的，也就提供的是 df 造型是 dfa 是 一个等腰三角形，那等腰三角形所在的 f 点的位置是有直角的， 好让我们求的是 c e 的 长度， c e 目前找寻的话是 c e b， 但是这个三角形里面目前只有一条边是已知的，另外两边暂时也没有直接联系。另外一个 c d 是 已知的，我们也可以转换为求 d e， 但是 d e 目前并不在直角三角形里面，暂时也求不了， 所以这个地方有一个隐含的信息，就是 d a 和我们的 d f 相等，等腰三角形，并且在 f 点的位置角 a f e 是 直角， 所以这个地方相当于是在直角的环境里面有等腰，所以它实际上也是我们斜边中线的一个拓展的应用 啊，也就是相当于是直角三角形有直角。然后呢，等腰三角形提供两个底角相等，那这两个底角分别跟我们的直角产生联系，那第一个就是 dfe 和我们的叫 dfa 是 有一个互余的关系， 那另外一个角 d a f， 这个角和我们的角 a、 f、 e 的 直角放在同一个心里面，也是利用互余倒角，所以这个地方啊，就是做法就是把我们的角 d a、 f 以及我们的角 a f、 e 的 直角放在一个直角三角形里面，所以它的用法就是延长此时的 a d， 然后呢交这个地方的 b e 的 延长线与点，比如说 p 点啊，辅助线的描述的话，就是延长相交啊，那一旦延长相交之后啊， 呃，这个地方的直角，呃，角 d a f 这个角借助我们的直角 a f、 e 的 直角互于关系，导角也就到我们的角 p 的 位置啊，进而也就可以得到的是角 d， f、 e 和我们的角 p 是 相等的啊。原理的话就是等角的两个与角是相等的 啊， d f p 是 等于角 p 的 好，进而也就可以得到的是 d p 应该是等于 d f 的 好。 dp 一 旦和我们的 df 相等，那进而也就和我们的 da 是 相等的，那它和 da 相等，进而也就和我们的 bc 是 相等的， 那一旦我们的 dp 和我们的 bc 相等，可以选择正全等，因为平行且相等，也可以直接去说明 bc pd 是 一个平行四边形， 那这个时候的 dc 就是 它的对角线互相平分，从而说明一点是中点好。当然也可以直接证全等，也就是 d e p 这样一个三角形，它应该是全等于三角形 c e f 啊， c e b 的 判定方法， a a s 或者是 a s a 证得全等之后，就可以得到目标带球的 c e 应该是等于 d e 的， 那就都等于 cd 的 一半，也就都等于 ab 的 一半，等于三 啊，目标的 c e 的 长度是等于三的，所以这个地方啊，在这个直角的位置有等腰三角形，所以它是有一个还原直角三角形斜边中线的这样一种想法啊。 好，接着我们来看第九题，告诉的是，在直角三角形 abc 以及我们的直角三角形 abd 中，这两个直角三角形在位置上也是公共边，有一条公共的斜边 共斜边啊，刚刚我们前面有几道题是两个直角三角形，共斜边，对角互补，那这个地方啊，就是斜，在刚刚那几个图的话，是直角，是在斜边的两侧，这个地方的直角是在斜边的。同侧啊，这两个是在同侧的啊。 好，那这个时候公共的是斜边。呃，接下来给的是角 a、 c、 b 是 直角，以及我们的角 a、 d， b 是 直角 啊， ab 的 长度是等于十的，那直角三角形在已知斜边长的情况下，考察的是斜边中线，而刚好 m 点，它是 ab 的 中点。那提供的斜边中线，首先在我们的 r、 t 三角形 a、 b、 c 中， 利用直角三角形斜边中线等于斜边一半， c m 等于二分之一的 ab， 也等于 am 和 b m。 另外一个就是在我们的直角三角形 abd 中，那 dm 也是斜边中线啊。 好，接下来就是 r、 t 三角形 abd 中。然后呢， dm 是 斜边中线，等于斜边一半，等于二分之一的 ab， 好， 进而得到 cd 和 cm 和我们的 dm 是 相等的， cm 一 旦和 dm 相等，所在的形 cdm 就是 一个等腰三角形，并且我们知道它的长度应该是等于五的， 等于斜边一半啊，等于五，好，另外给的是 c、 d 的 长度是等于六的， c、 d 往斜里面放， c、 d， m 是 等腰三角形的底边，那出现了等腰三角形的底边长，可能想到的就是三线合一， 刚好后面要求的是面积，面积等于二分之一底乘高，那就是以底边 c、 d 为底，做出底边上的高，也就是过 m 点去做垂线垂足。假设为 n 的 话，那写这样的话，三线合一也就提供的是 c n 好，应该是等于 d、 n 的是等于三的。那进而也就在我们的直角三角形 c、 m、 n。 好， 利用勾股定律，五和三为这个斜边和直角边对应的另外一条直角边 m、 n 的 长度是等于四的， 那接下来就是三角形 m、 c、 d 的 面积等于二分之一，底乘高，以 c、 d 为底，以 m、 n 为高，那底是等于六的，高是等于四的，从而得到面积应该是等于十二的。 好，所以是两个直角三角形共斜边，提供的是两个斜边中线，带来等腰后面进行勾股的计算。 好，接着我们来看第十题。好，第十题给的是角 b、 a、 c 和我们的角 b、 d、 c 是 相等的，都等于九十度，那 bc 是 两个直角三角形的公共的斜边， 并且告诉的是四边形 a、 b、 d、 e 是 一个平行四边形，但来的是对边的平行且相等，包括有对角和对角线。好，具体用哪些信息啊？结合后面的条件啊，首先给的是有 a、 d 好， a、 d 目前的话，往型里面放是跟平行四边形是有关系的，它是平行四边形的一条对角线， 那既然出现了对角线，我们有可能会去想连另外一条对角线，利用对角线的性质互相平分。 另外给的是 bc 的 长度， bc 找寻，一个是 bca， 一个是 bcd， 两个直角三角形，这两个直角三角形都只有斜边是已知的，直角边都是未知的，所以这个直角不是用来考勾股的，而是用来考斜边中线的。 好，所以首先是取 bc 的 中点 m 点，那这个时候在 abc 里面，斜边中线等于斜边一半，得到 am 等于 bc 的 一半 啊。直角三角形 a、 b、 c 中斜边中线等于斜边一半， am 等于 b、 c 的 一半，好，另外一个在 b、 c、 d 中也是直角三角形，斜边中线等于斜边一半啊， 好，斜边中线就是 dm， 应该是等于二分之一的 b、 c 的 好，进而也就可以得到 am 和我们的 dm 是 相等的，并且都是等于四的。 好，那接下来就是我们的 a、 d。 那 刚刚说的 a、 d 找形的话，第一个平行四边形对角线，另外一个就是借助我们刚刚分析的等腰三角形，那 a、 d 找形还可以找 a d m， 在 a d、 m 里面，那 a、 d 是 我们的等腰三角形的底边，出现的底边也是会向斜边中啊，这个三线合一做垂，但这个做垂之后得到的就是 a、 d 的 中点，而刚刚分析过 a、 d 在 平行四边形里面是对角线，所以这个时候要得到这个中点，直接连接 b、 e 即可。 连的 b、 e 之后形成的交点假设为 o 点，那么 o 点就是我们的 a、 d 的 中点，所以接下来就是三线合一连接此时的 m o 得到的是直角三角形好，那这个时候的这个 d、 c 的 长度是等于六，所以 a o 和 d o 相等都是等于三的。 那接下来就是我们的这个直角三角形勾股定律啊，在 r t 三角形 a o m 或者是 d o m 都可以啊 啊，两边斜边是等于四的，直角边是等于三的，所以勾股定律得到 o m 的 长度应该是等于根号七的。 最后让我们求的是 c e 的 长度，那 c e 角形的话就是 c e b c e b 这个三角形里面， m 点是 bc 的 中点， o 点是 b e 的 中点，两个中点中微线啊，刚好对应的第三边就是目标待求的 c e， 所以 接下来就是在我们的三角形 b c e 中， 那这个时候的 o m 是 中微线，得到的是 c e， 应该是等于两倍的 o m， 也就对应的得到的是二倍的根号七。 所以这个题综合性相对就比较强一些啊，用到的一个是斜边中线，等于斜边一半，然后也用到了等腰三角形的三线合一啊，另外一个就是中点的几个用法，所以这里面啊，就是中点的几个用法啊，第一个就是斜边中线，等于斜边一半， 另外一个就是多中点中位线啊，另外也用到了我们的等腰三角形的这个中点的用法就是三线合一。 当然中点还有个用法叫倍长啊，这个图形里面，呃，实际上你也可以理解为是平行四边形对角线互相平分，本身就是一个呃倍长的，类似于全等的这样一种想法。

亲爱的同学们，春风拂面，暖意渐浓，我们带着满满的元气重返校园，再次相聚在这充满思维碰撞的数学课堂， 共同拉开八年级下学期学习的序幕。看到大家如春日新苗般活力满满的脸庞，老师心里满是欢喜。这一学期是我们数学学习路上承前启后的重要阶段，老师期待和每一位同学一起，在探索中收获知识，在坚持中见证成长。 在数学学习中，知识的积累很重要，但优秀的品质更是我们前行的底气。拥有好的品质，能让我们在解析时更有思路，在探索时更有勇气。 新学期，坚持就是我的底气，再难的数学题，我都要迎难而上，一步一个脚印，拆解分析，反复钻研，只要不放弃，就没有攻克不了的难关。我坚信自己一定能突破自我，遇见更棒的自己。 我坚信合作能让我们走得更远。一个人或许能走得快，但一群人一定能走得远。这学期，我要主动搭起互助的桥梁，和伙伴们分享思路，互补不足，携手并肩冲刺，我们都能成为更优秀的学习者。 严谨细致是我新学期的必胜法宝。我要彻底和粗心说再见，审题时字字留心，计算时步步精准，检查时一丝不苟。细节决定成败，只要我坚持做好每一个环节，就一定能收获满意的成绩。成为细心的数学能手。 勇敢表达就是我新学期的成长宣言。课堂上，我要主动举手，大胆分享自己的解题想法，哪怕说错也不怕。每一次表达都是一次进步，每一次尝试都是一次突破，我一定能克服胆怯，变得更自信，更闪耀。 坚持合作、严谨、勇敢这四个闪闪发光的品质，不仅是你们对新学期的承诺，更是你们成长路上最珍贵的财富。有了这些品质的陪伴，你们在学习的道路上一定会少走弯路，更有力量。 巴夏的数学学习或许会有不少新的挑战，但也藏着很多有趣的知识等着我们去发现。而你们刚才提到的坚持合作、严谨勇敢，正是我们应对挑战、探索新知的秘密武器。 坚持能让我们在难题面前不低头，一点点找到解题的突破口。合作能让我们集思广益，从不同的角度理解知识。严谨能让我们避开粗心的陷阱，把每一个知识点都学扎实。勇敢能让我们敢于尝试，勇于提问，不断突破自己的局限。 未来的日子里，老师会一直陪伴在大家身边，和你们一起进行这些优秀品质，一起攻克难关，收获进步。 新的学期，新的开始，愿我们都能带着对优秀品质的坚守，以饱满的热情、坚定的信念投入到数学学习中。相信只要我们携手并肩，勇往直前，就一定能在数学的世界里收获满满，成为更好的自己。 现在，就让我们带着这份初心和勇气，一同开启新学期的数学探索之旅吧！ 这是上海的标志性建筑东方明珠广播电视塔，它的高度大约有四百六十八米，从塔间发出的浅蓝色信号波能覆盖到很远的地方。 这是上海的旧电视塔，它的高度大概是二幺零米，同样从塔间发信号，它的信号波范围就小多了。大家发现了吧，塔的高度不同，信号覆盖范围也截然不同， 把两座塔放在一起对比是不是特别明显？塔越高，信号覆盖的范围就越大。那大家想想，能不能用一个数学式子把塔的高度和信号传播半径精准的联系起来呢？ 同学们，为什么电视塔建得越高，信号覆盖范围越广？

同学们，我们在学习几何图形的时候，经常会遇到求面积的问题。现在如果已知一个长方形的长和宽分别是根号九和根号四，那么这个长方形的面积应该如何计算呢？ 没错，我们先把根号开出来再相乘，得到的面积就是六。不过大家有没有想过，如果不先开方，有没有更直接的方法一步算出结果呢？ 这其中藏着二次根式乘法的重要规律，今天我们就一起来探索这个法则，让这类运算变得更快捷。 观察三组式子的结果，我们得到上面三个等式，你能用字母表示你所发现的规律吗？ 只需其中两个结合，就可实现转化进行计算。说明，二次根式乘法法则同样适合三个及三个以上的二次根式相乘。 当二次根式根号外的因素不为一时，可类比单项式乘单项式的法则计算。

八、下数学难度知识点总结寒假提前预习，开学领跑全班。第十九章二次根式知识点一，根式的概念知识点二，根式有无意义的条件 知识点四，代数式知识点六，根式的除法法则知识点七，最简二次根式知识点十，二次根式的混合运算第二十章勾股定律知识点二，勾股定律的证明知识点三，勾股定律的应用第二十一章四边形以上资料均有电子版。

二零二六春人教版八下数学核心素养教案来了，包含课间教案、作业和导学案等。

人教八下数学核心素养教案来了，饱含教学环节、师生活动设计意图和二次背课等。

同学们好，我们继续来刷章测啊！来看一下第一题，如图，把含有六十度角的直角三角板斜边放在直线 l 上，角二法的度数有多少？很明显考的是外角的知识点，外角等于它不相邻的两个内角的和六十加九十等于一百五，选此 d 就 好了。 第二题，如图，三角形 a、 b、 c 中角 b、 a、 c 等于六十度，然后 a、 d 平行于 bc， 问，角一的度数是多少？两直线平行同旁，内角互补，所以这个角五十，这个角就应该是一百三，一百三减六十等于七十，选 c 就 可以了。 考点二，如图，在三角形 a、 b、 c 中，角 b 是 一个四十五度角 a 大 于角 a、 c、 b 大 于角 b 使规作图 d 以点 b 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 b、 a 和 bc 于 m n 两点。 以点 c 为圆心，还是以 b、 n 的 长为半径去画弧交 c、 b 于点 n 撇交，然后再以点 n 撇为圆心 m、 n 为半径去画弧，与前一条边交于点 c、 m 撇。 所以其实作这个作图痕迹告诉我们，角 d、 b、 c 等于角 d、 c、 b。 所以 这个角也是一个四十五度，那这个地方就是一个等腰直角三角形了。 他说下面结论错误的是，第一个角 b 等于角 d、 c、 b 没问题。角 d、 b、 d、 c 等于九十度，没问题， d、 b 等于 d、 c 没问题，所以四 d 是 错的。 a、 d 加 d c， a、 d 加上 d、 c 实际上就是 a、 d 加上 b、 d， 那 应该等于 ab， 而不是五 c， 所以 这个题选四 d 选项。 第四题，如图，在点 a、 d 呢？在 b、 c 的 同侧， ab 等于 bc 等于 ac 等于二，说明它是一个等边三角形 b、 d 等于 c， d 等于根号二。好了，根据勾股定律定义，我们知道这个地方 b、 d、 c 是 一个等腰直角三角形。既然让我们求 a。

同学们好，我们继续来看大招。专题三，一元一次不等式含餐问题来看第一题，已知关于 x 的 不等式二， x 大 于等于 a 减一的解集式 x 大 于等于负一，我们正常解它就好了， 那是不应该是二 x 大 于等于 a 减一，两边同除以二大于等于二分之 a 减一，那它的减集是它。我们解的是这个，那就说明这两个数字应该是相等，那就是二分之 a 减一应该是等于负一的，那 a 减一是不应该等于负二，所以 a 是 不应该等于负一啊？所以第一题就完事了，非常简单。 第二题，若关于 x 的 不等式组，它的解集是 x 大 于五和 m 的 取之范围是什么？同学们，我们在不做题之前，我们就能想到 它是不等式组。不等式组的解集是由两个解解集组成起来的，那我们有三种情况是同大取同。我们三句话叫什么？同大取大，同小取小。第二句话是大于小的，小于大的取中间。第三一句话是小于小的取，大于大的无解， 它这个明显是取了一个什么大，对吧？那说明它是同大的问题，那我们看解是不是同大的问题，那我们看解是不是应该是负二， x 小于一个负十，所以 x 是 不是应该大于五呀？那第二个是 x 大 于 m， 所以 这是不是就是同大取大的问题？它最终取了 x 大 于五，说明来五在这， x 大 于往这，那 m 呢？同大取大， 对吧？那 m 肯定是在五的左侧，所以我们知道了 m 从框架上来说肯定是小于五的， 那我们再考虑一下 m 能不能等于五的问题，如果 m 可以 等于五的话，那这个地方就是五， x 大 于五和 x 大 于五最终还是取了个大于五是完全符合提议的，所以 m 是 可以等于五的， m 就 小于等于五就可以了。 好吧，这就是这道题。我们看第三题关于 x 的 不等式组，它的解集中任意一个 x 的 值均在三到七之间，则 a 的 取之差。为什么？不管那么多，反正任意一个 x 的 值，我们是先把 x 给它求出来，那不等是一和不等。

同学们好，我们继续来刷第二个课时一元一次不等式的实际应用。看第一题，姐姐将某服饰店的促销活动内容告诉小明后，小明假设某一商品的定价是 x 元，并列出不等式，并且则姐姐告诉小明的内容可能是什么。 定价是 x， 二 x 就是 两个定价，减一百就少了一百块钱，再乘零点七。好，我们一个个来说，买两件等值的商品，两件等值的商品，一件是 x， 两件是不是 x 可减一百元，减一百，然后再打三折，打三折是不是乘以零点三， 然后最后不到不到就是小于一千二，那明显和第一个是不一样的，对吧？第二个，买两件等值的商品，二 x 减一百，减一百，再打七折，是不是乘零点七，最后不到一千二，小于一千二？所以很明显，这个题应该选择二 b 选项， 再来，买两件等值的商品，可打三折，两件等值的商品是二 x 打三折，零点三乘以它，再减一百，减一百，然后结果不到一千二，小于一千二肯定不对。买两件等值的商品打七折，二 x 打七折，零点七乘以一个二 x 再减一百元，小于一千二，所以都不对。所以这个题选择二 b 选项看第二题。有两条纸带，较长的一条为二十三厘米，较短的一条为十五厘米。把两条纸带剪下同样长的一节后， 剩下的两条纸带中，较强要求，较长的纸带的长度不少于，不少于就是大于等于较短的纸带长度的两倍。 好了，那他们问我减下的长度至少是多少？我们说减下的长度如果是 x 的 话，那原来本来是长的是二十三，现在减去 x， 短的是十五，现在减去 x。 他 说减完以后剩下的两条纸条中，要求较长的纸带长度不少于大于等于较短纸带的两倍、二倍的它，对吧？所以我们减下不等式二十三减 x 大 于等于三十减二 x， 那 移过来就是 x 大 于等于七，对吧？所以。

朋友们好，我们继续来刷题生，这个一这一页的内容的题目呢，都比较的难啊，我是尽量用数学结合的方法给大家把它讲的明明白白的。好吧，我们来看第一题，其中如图，直线 a， y 等于 k， x 加五， 与 x 轴交于点二，逗号零。直线 a 与直线 b， 而 y 的 m， x 加 n 交于点 p， t 逗号二，则 x 的 不等式。 k， x 加五大于 m， i 加 m， x 加 n 的 解集是多少？ 那我们不妨把它标一下吧，那这个写成 y 一， 这个写成 y 二，那现在就告诉你， y 一 要大于 y 二， y 是 谁呢？ y 一 是直线 a， 就是 a 要大于 b， 对 不对？ a 要大于 b， 那 这个也是 a， 那 肯定在这一侧了，对 不对？这一侧这是 a， 这是 b， a 要大于 b， 所以 要算出 p 点的横坐标。好了， p 点横坐标，它现在告诉你说什么呢？这个要 p， 要求 p 点横坐标，是不得知道这两条直线的解析式才行，是不是？ 他现在告诉你说这个与 x 轴交于点二的负零，那第一个直线是不是就斜出来了？就是 y 一 等于 k， x 加五，我们把二的零呢带进去，当 x 等于二的时候，就是二， k 加五等于零，所以二 k 等于负五，那 k 是 不是等于负的 二分之五？这解一式就是 y 等于负的二分之五， x 加一个五。好了，这就是 a， 那 p 点是不是在它上面？所以我们只需要求出这个，当 y 等于二的时候，求它的横坐标 x 等于 t， 那 就是负二分之五。 t 加一个五是不应该等于二， 这就是负二分之五， t 应该等于负三，那 t 是 不应该等于一个五分之六啊，对吧？ t 应该等于五分之六，所以呢？ 五分之六是多少呢？是一点二吧，加五分之一点二，所以这个横坐标就是一点二，那就 x 要小于一点二，所以这个题应该选择 c 选项，这就第一题。我们再来看第二题。已知一次，函数， y 等于 m， x 加 n 等于负 x 加三，当 x 等于一时， y 等于负二。 当 x 等于一时， y 等于负二。我们是不能得出一个式子，那就是 y， 一 是等于 m， x 加 n 的， 它过一都或什么它过 x 等于一， y 等于负二，这个点。

同学们好，我们就来看第二课时一元一次不等式与依次函数的实际应用。好，我们来看第一题，如图， l 一、 l 二分别表示假物质和乙物质在某容器里的溶解度。 y 一 和 y 二 与温度 x 之间的对应关系。请回答下列问题。第一个，分别求出 y 一 与 y 二与 x 之间的函数关系式。 好，我们先看一下 y 一 吧，这就是 y 一 对不对？它上面过两个点，一个是零，逗号十，还过一个三十，逗号六十。好，我们可以快速直接写到解一式，这我就不再用代用系数法去解好不好？你就六十除以十，五十，五十除以个三十，那就是三分之五， x 加一个十。 好，三分之五的价是，这就是 y 一 的啊， y 一。 当然，我们应用题的话，最好是怎么样把字面上的取上给它写上， x 大 于等于零就可以了。好吧，这是 y 一， 那么再看一下 y 二， y 二的话，它过什么呢？零，逗号三十还过一个六十，逗号六十。好，我们要快速的写下它的解析式，应该就是二分之一，对吧？六十减三十，三十除以六十二分之一，二分之一 x 加上一个三十，同样我们 x 也是大于等于零的。好了，这就是 y 一 和 y 二关于 x 的 函数表达式。 第二个，温度在什么范围内？甲物质的溶解度大于乙物质的溶解度，甲对应的是什么？ y 一， 也就是 y 一 要在上， y 二要在下，是不是从这个地方开始分开的， 对吧？这个温度是 x， 我 们只需要把这个温度算出来，因为当这个温度存在情况下，它的溶解度是一样的， 以及这个温度为分界线，温度越大，溶解度 y 一 就比 y 二要大。往左，然后溶解度 y 一 就比 y 二要小，所以现在是假的溶解度要大一点。溶解度我们只需要求出它的焦点坐标，就是 联合起来， y 等于三分之五， x 加一个十和 y 等于二分之一， x 加一个三十。 我们来解这个方程就好啊，三分之五 x 加十等于二分之一， x 加。

朋友们好，我们继续来刷章测看第一题，若 a 小 于 b， 则下列不等式错误的式。第一个， a 加三小于 b 加三。正确利用不等式的基本性质一、在不等式两边同时加上一个相同的数，符号不变。 第二个，负八， a 小 于负八 b， 这个肯定就错了，所以这个题应该选择二 b 利用的是不等式的基本性质。三、在不等式两边同时乘以或除以一个负数不等号，方向要改变。 四、 a 小 于四 b 不 等于基本性质二，两面同乘一个正数不变号，然后减六，还是不等于基本性质一、两边同时减去一个上的数不变号没问题。所以这题选二 b。 第二题不等于，它的减集在数值上表示正确的是，二 x 应该是小于负四 x 应该是小于负二小于负二，空心向左走，所以应该选择 c 选项。 第三题，老师和同学们玩猜数游戏，老师在心中想一个一百以内的数字，同学们可以提问， 老师只能点头或者摇头回应，回应，回应，对错。甲问，小于五十吗？老师摇头，小于五十吗？老师摇头，意思是不小于五十，那就意味着 x 应该大于等于五十了，对吧？乙问，不大于七十五吗？老师点头点头，意思是同意，就是不大于七十五，不大于七十五就是小于等于七十五的意思。 好，两句话就确定了这个范围不小于六十吗？老师也点头了，说明这句话是对的，不小于六十呢，就大于等于的意思，对吧？所以 x 应该大于等于六十，小于等于七十五，这个题应该选择二 b 选项。二， 看第四题，甲乙两家商场平时都以相同价格出售相同的商品，春节期间，两家商场都让利筹兵，如同是购买甲乙两家商，该商品的实际金额 y 一、 y 二与原价 x 之间的函数图像。下列说法正确的是 y 一 y 二。 y 一 指的是甲， y 二指的是乙。大家先记住好，我们来看一下。当 x 大 于零小于六百时，选择甲更省钱，零到六百明显 y 二在下， y 二再下去是乙更省钱，所以它是错的。当 x 等于二百的时。

同学们好，我们接下来刷题生问题解决策略反思。这实际上是一个非常常见的模型的题，我们来看一下，我给大家做一个总结。数学活动课上，老师提出了一个问题，等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗？同学们就这个问题展开了探讨， 希望小组的同学呢，根据题画出了相应的图形。如图一，在三角形 a、 b、 c 中， a、 b 等于 a、 c， 它是个等腰三角形 d 点呢？是 b、 c 的 中点 d、 e 垂直于 ab 于点 e， d、 f 垂直于 a， c 于点 f 垂直是 e、 f。 经过合作，该小组的同学得出的结论是， d、 e 等于 d、 f， 并且展示了他们的正法， 这个非常简单。这里呢，这个证明思路是证明向量形全等。如图一，因为 d、 e 垂直于 a， b， d、 f 垂直于 ac， 所以 得到了角 d、 e、 b 等于角 d、 f、 c 等于九十度。又因为 ab 等于 ac， 所以 角 b 等于角 c， 它的我们的依据是什么？那依据肯定是等边对等角啊。 幺三角形里面的等边对等角好第二个。然后因为地点是 b、 c 的 中点， b、 d 等于 c、 d 已知条件，所以通过角角边来证明三角形全等。第二个的依据，你可以写角角边就完事了，最终得出 d、 e 等于 d、 f。 非常简单的一个题， 它让你用图二写出一种不同于希望小组的正法，那还是一样，你要证明 d、 e 等于 d、 f， 你 肯定最终还是要正三角形全等的问题，你正的是下面的，那不妨正上面的，我把 a、 d 给它连起来。如果我们证明三角形 a、 e、 d 和 af、 d 全等，是不是也能说明问题？ 因为地点是中点， a b c a b c 是 个等腰，所以我们知道了它是角平分线，这又是个垂直这个公共边角，角边是不是可以乘三角形全等啊？ 对吧？那写出不同的正法，那么有什么连接 a d， 连接 a d， 然后因为。因为啥呢啊？

同学们好，我们就来刷中考看第一题不等式，它的解集式，那就是 x 大 于五，直接解就好了，所以这题选 a。 第二题不等式，它的解集在数轴上表示正确的是，先以下二分之一， x 小 于等于一，那 x 就 小于等于二，所以时间向左走，小于等于二选 c 就 可以了。 第三个，若点 p 在 第二项线，第二项线的符号是负正，所以我们得到一个不等式，一减二， a 肯定是小于零的， a 还要大于零 来一减二， a 小 于零，所以负二， a 应该小于负一， a 应该大于二分之一， a 大 于二分之一，并 a 大 于零的话，同大取大，所以取 a 大 于二分之一，选 a 就 可以了。 第四题，下列不等式中与负 x 大 于一组成的不等式组，无解的式。负 x 大 于一呢，就说明 x 小 于负一，所以小于小的，大于大的才会无解，所以大于大的 a 就 可以，对吧？所以直接选 a 就 好，所以我们肯定要找大于号的，这个小于号的，小于号的我们都不考虑，我们直接在 a d 里面去选， 那负三肯定没有负一的，所以这个题选 a 选项。第五题不等式组，它的解集式第一个已经出来了，第二个数据是二， x 小 于一个八，那 x 是 不是应该小于四啊？哎， x 小 于四，对吧？ 好了，那就是大于小的，小于大的取中间 x 大 于等于负二小于四就可以了。来看第六题关于 x 的 不等式，它由正数解，有正数解和 m 的 值，可以是什么？那我们先解一下关于 x 的 不等式吧， 一下下就变成了 x 减二分之， x 小 于等于一减 m， 那 就是二分之 x 小 于等于一减 m， 所以 x 小 于等于二减二 m 吧，对吧？两边同乘以二， 他说这个有正数解就 m 的 取大有正数解，你这里面只要有正数解就可以了。所以二减二 m 只要大于零就可以，只要比零大，你都会有正数，对不对？只要。

hello 同学们，上节课我们认识了二次根式，它有两个小要求，大家还记得吗？对了，第一要带二次根号，第二被开方数必须是非负数哦， 这些反例可不能搞错。一般的我们把形容根号 a a 大 于等于零的式子叫做二次根式，被开方数 a 大 于或等于零，那么根号 a 的 取值范围是什么呢？ 大家看根号九等于三，根号零等于零。这些结果有什么共同点呀？ 没错，他们都是非负数。再看生活里的例子，工人叔叔的地砖边长是根号三米，那它的面积是多少呢？也就是根号三的平方等于几。再来看一个式子，根号下负二的平方等于几呢？这个结果和刚才的又有什么不一样？ 这三个疑问里藏着二字根式的三个核心性质，这些性质能帮我们解决很多化简题。想知道它们是什么吗？这节课一起探索吧！

同学们好，我们就来刷题生看第一题。五名学生身高两两不同，把他们从高到低排列。关键词，从高到低排列， 然后设前三名的平均身高是 a， 后两名的平均身高是 b。 同学们，我们读到这的时候就应该知道一个不等式关系， a 肯定是大于 b 的， 为什么呢？我们去想象一下。诚实，前三名的平均身高肯定比前三名的最低那一名的身高要高一点，比最高那名的身高要低一点吧， 对不对？那后两名的平均身高，后两名的身高本来就比前三名的身高要低，因为他是从高到低排列的，所以后两名的平均身高应该是比第一名的，就是后两名的第一个 的平均身高要低，比最后一名的身高要高，所以他一定是 a 大 于 b 的， 这是常识，对不对？好，再继续，若前两名的平均身高为 c， 后三名的平均身高为 d， 那 同样我们是不能得出 c 是 大于 d 的， 对吧？那前两名的平均身高用从高到低排列，所以他应该介于第一和第二名的中间，那后三名的平均身高应该介于第三、第四、第五名的中间，所以他肯定是 c 大 于 d， 没毛病吧？那同样，我们是不是也能知道前三名的平均身高和前两名的平均身高里面哪个大呢？那当然是前两名的平均身高比前三名的平均身高大了，因为第三名的身高比前两名的身高的低，你加入一个数字，是不是就拉低了我们的平均值？所以我们还知道 c 肯定是大于 a 的。 那同样后两名的平均身高和后三名的平均身高哪个大呢？后三名的平均身高相对来说，是不是在后两名的基础上给了你一个较高的身高，然后拉高了你的平均值？所以我们也知道 d 是 大于 b 的 呀， 对不对？好了，那我们观察一下，人家题目里面从头到尾问的都是 a 加 b 和 c 加 d， 如何能出现 a 加 b 和 c 加 d 呢？你看这个里面就要不等式的连续性以及不等式的加法匀算。左边加左边，左边大于右边，左边大于右边，那左边加左边也。