2026数学初二下册人教版教程

今天分享的是二零二六年人教新版八年级下册数学电子课本，很多家长寒暑假都会给孩子提前预习， 那寒暑假的提前预习一定要立足于课本，以课本为基石，教辅书为辅助，这样才能打下扎实的基础。 从课本上的公式概念，再到课本上的练习题，都要弄懂弄透再吃透，课本的基础上，再用教辅书辅助练习。需要课本电子版的可以在评论区留言。

亲爱的同学们，春风拂面，暖意渐浓，我们带着满满的元气重返校园，再次相聚在这充满思维碰撞的数学课堂， 共同拉开八年级下学期学习的序幕。看到大家如春日新苗般活力满满的脸庞，老师心里满是欢喜。这一学期是我们数学学习路上承前启后的重要阶段，老师期待和每一位同学一起，在探索中收获知识，在坚持中见证成长。 在数学学习中，知识的积累很重要，但优秀的品质更是我们前行的底气。拥有好的品质，能让我们在解析时更有思路，在探索时更有勇气。 新学期，坚持就是我的底气，再难的数学题，我都要迎难而上，一步一个脚印，拆解分析，反复钻研，只要不放弃，就没有攻克不了的难关。我坚信自己一定能突破自我，遇见更棒的自己。 我坚信合作能让我们走得更远。一个人或许能走得快，但一群人一定能走得远。这学期，我要主动搭起互助的桥梁，和伙伴们分享思路，互补不足，携手并肩冲刺，我们都能成为更优秀的学习者。 严谨细致是我新学期的必胜法宝。我要彻底和粗心说再见，审题时字字留心，计算时步步精准，检查时一丝不苟。细节决定成败，只要我坚持做好每一个环节，就一定能收获满意的成绩。成为细心的数学能手。 勇敢表达就是我新学期的成长宣言。课堂上，我要主动举手，大胆分享自己的解题想法，哪怕说错也不怕。每一次表达都是一次进步，每一次尝试都是一次突破，我一定能克服胆怯，变得更自信，更闪耀。 坚持合作、严谨、勇敢这四个闪闪发光的品质，不仅是你们对新学期的承诺，更是你们成长路上最珍贵的财富。有了这些品质的陪伴，你们在学习的道路上一定会少走弯路，更有力量。 巴夏的数学学习或许会有不少新的挑战，但也藏着很多有趣的知识等着我们去发现。而你们刚才提到的坚持合作、严谨勇敢，正是我们应对挑战、探索新知的秘密武器。 坚持能让我们在难题面前不低头，一点点找到解题的突破口。合作能让我们集思广益，从不同的角度理解知识。严谨能让我们避开粗心的陷阱，把每一个知识点都学扎实。勇敢能让我们敢于尝试，勇于提问，不断突破自己的局限。 未来的日子里，老师会一直陪伴在大家身边，和你们一起进行这些优秀品质，一起攻克难关，收获进步。 新的学期，新的开始，愿我们都能带着对优秀品质的坚守，以饱满的热情、坚定的信念投入到数学学习中。相信只要我们携手并肩，勇往直前，就一定能在数学的世界里收获满满，成为更好的自己。 现在，就让我们带着这份初心和勇气，一同开启新学期的数学探索之旅吧！ 这是上海的标志性建筑东方明珠广播电视塔，它的高度大约有四百六十八米，从塔间发出的浅蓝色信号波能覆盖到很远的地方。 这是上海的旧电视塔，它的高度大概是二幺零米，同样从塔间发信号，它的信号波范围就小多了。大家发现了吧，塔的高度不同，信号覆盖范围也截然不同， 把两座塔放在一起对比是不是特别明显？塔越高，信号覆盖的范围就越大。那大家想想，能不能用一个数学式子把塔的高度和信号传播半径精准的联系起来呢？ 同学们，为什么电视塔建得越高，信号覆盖范围越广？

同学们，我们在学习几何图形的时候，经常会遇到求面积的问题。现在如果已知一个长方形的长和宽分别是根号九和根号四，那么这个长方形的面积应该如何计算呢？ 没错，我们先把根号开出来再相乘，得到的面积就是六。不过大家有没有想过，如果不先开方，有没有更直接的方法一步算出结果呢？ 这其中藏着二次根式乘法的重要规律，今天我们就一起来探索这个法则，让这类运算变得更快捷。 观察三组式子的结果，我们得到上面三个等式，你能用字母表示你所发现的规律吗？ 只需其中两个结合，就可实现转化进行计算。说明，二次根式乘法法则同样适合三个及三个以上的二次根式相乘。 当二次根式根号外的因素不为一时，可类比单项式乘单项式的法则计算。

八、下数学难度知识点总结寒假提前预习，开学领跑全班。第十九章二次根式知识点一，根式的概念知识点二，根式有无意义的条件 知识点四，代数式知识点六，根式的除法法则知识点七，最简二次根式知识点十，二次根式的混合运算第二十章勾股定律知识点二，勾股定律的证明知识点三，勾股定律的应用第二十一章四边形以上资料均有电子版。

二零二六春人教版八下数学核心素养教案来了，包含课间教案、作业和导学案等。

人教八下数学核心素养教案来了，饱含教学环节、师生活动设计意图和二次背课等。

同学们好，我们继续来刷章测啊！来看一下第一题，如图，把含有六十度角的直角三角板斜边放在直线 l 上，角二法的度数有多少？很明显考的是外角的知识点，外角等于它不相邻的两个内角的和六十加九十等于一百五，选此 d 就 好了。 第二题，如图，三角形 a、 b、 c 中角 b、 a、 c 等于六十度，然后 a、 d 平行于 bc， 问，角一的度数是多少？两直线平行同旁，内角互补，所以这个角五十，这个角就应该是一百三，一百三减六十等于七十，选 c 就 可以了。 考点二，如图，在三角形 a、 b、 c 中，角 b 是 一个四十五度角 a 大 于角 a、 c、 b 大 于角 b 使规作图 d 以点 b 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 b、 a 和 bc 于 m n 两点。 以点 c 为圆心，还是以 b、 n 的 长为半径去画弧交 c、 b 于点 n 撇交，然后再以点 n 撇为圆心 m、 n 为半径去画弧，与前一条边交于点 c、 m 撇。 所以其实作这个作图痕迹告诉我们，角 d、 b、 c 等于角 d、 c、 b。 所以 这个角也是一个四十五度，那这个地方就是一个等腰直角三角形了。 他说下面结论错误的是，第一个角 b 等于角 d、 c、 b 没问题。角 d、 b、 d、 c 等于九十度，没问题， d、 b 等于 d、 c 没问题，所以四 d 是 错的。 a、 d 加 d c， a、 d 加上 d、 c 实际上就是 a、 d 加上 b、 d， 那 应该等于 ab， 而不是五 c， 所以 这个题选四 d 选项。 第四题，如图，在点 a、 d 呢？在 b、 c 的 同侧， ab 等于 bc 等于 ac 等于二，说明它是一个等边三角形 b、 d 等于 c， d 等于根号二。好了，根据勾股定律定义，我们知道这个地方 b、 d、 c 是 一个等腰直角三角形。既然让我们求 a。

同学们好，我们继续来看大招。专题三，一元一次不等式含餐问题来看第一题，已知关于 x 的 不等式二， x 大 于等于 a 减一的解集式 x 大 于等于负一，我们正常解它就好了， 那是不应该是二 x 大 于等于 a 减一，两边同除以二大于等于二分之 a 减一，那它的减集是它。我们解的是这个，那就说明这两个数字应该是相等，那就是二分之 a 减一应该是等于负一的，那 a 减一是不应该等于负二，所以 a 是 不应该等于负一啊？所以第一题就完事了，非常简单。 第二题，若关于 x 的 不等式组，它的解集是 x 大 于五和 m 的 取之范围是什么？同学们，我们在不做题之前，我们就能想到 它是不等式组。不等式组的解集是由两个解解集组成起来的，那我们有三种情况是同大取同。我们三句话叫什么？同大取大，同小取小。第二句话是大于小的，小于大的取中间。第三一句话是小于小的取，大于大的无解， 它这个明显是取了一个什么大，对吧？那说明它是同大的问题，那我们看解是不是同大的问题，那我们看解是不是应该是负二， x 小于一个负十，所以 x 是 不是应该大于五呀？那第二个是 x 大 于 m， 所以 这是不是就是同大取大的问题？它最终取了 x 大 于五，说明来五在这， x 大 于往这，那 m 呢？同大取大， 对吧？那 m 肯定是在五的左侧，所以我们知道了 m 从框架上来说肯定是小于五的， 那我们再考虑一下 m 能不能等于五的问题，如果 m 可以 等于五的话，那这个地方就是五， x 大 于五和 x 大 于五最终还是取了个大于五是完全符合提议的，所以 m 是 可以等于五的， m 就 小于等于五就可以了。 好吧，这就是这道题。我们看第三题关于 x 的 不等式组，它的解集中任意一个 x 的 值均在三到七之间，则 a 的 取之差。为什么？不管那么多，反正任意一个 x 的 值，我们是先把 x 给它求出来，那不等是一和不等。

同学们好，我们继续来刷第二个课时一元一次不等式的实际应用。看第一题，姐姐将某服饰店的促销活动内容告诉小明后，小明假设某一商品的定价是 x 元，并列出不等式，并且则姐姐告诉小明的内容可能是什么。 定价是 x， 二 x 就是 两个定价，减一百就少了一百块钱，再乘零点七。好，我们一个个来说，买两件等值的商品，两件等值的商品，一件是 x， 两件是不是 x 可减一百元，减一百，然后再打三折，打三折是不是乘以零点三， 然后最后不到不到就是小于一千二，那明显和第一个是不一样的，对吧？第二个，买两件等值的商品，二 x 减一百，减一百，再打七折，是不是乘零点七，最后不到一千二，小于一千二？所以很明显，这个题应该选择二 b 选项， 再来，买两件等值的商品，可打三折，两件等值的商品是二 x 打三折，零点三乘以它，再减一百，减一百，然后结果不到一千二，小于一千二肯定不对。买两件等值的商品打七折，二 x 打七折，零点七乘以一个二 x 再减一百元，小于一千二，所以都不对。所以这个题选择二 b 选项看第二题。有两条纸带，较长的一条为二十三厘米，较短的一条为十五厘米。把两条纸带剪下同样长的一节后， 剩下的两条纸带中，较强要求，较长的纸带的长度不少于，不少于就是大于等于较短的纸带长度的两倍。 好了，那他们问我减下的长度至少是多少？我们说减下的长度如果是 x 的 话，那原来本来是长的是二十三，现在减去 x， 短的是十五，现在减去 x。 他 说减完以后剩下的两条纸条中，要求较长的纸带长度不少于大于等于较短纸带的两倍、二倍的它，对吧？所以我们减下不等式二十三减 x 大 于等于三十减二 x， 那 移过来就是 x 大 于等于七，对吧？所以。

朋友们好，我们继续来刷题生，这个一这一页的内容的题目呢，都比较的难啊，我是尽量用数学结合的方法给大家把它讲的明明白白的。好吧，我们来看第一题，其中如图，直线 a， y 等于 k， x 加五， 与 x 轴交于点二，逗号零。直线 a 与直线 b， 而 y 的 m， x 加 n 交于点 p， t 逗号二，则 x 的 不等式。 k， x 加五大于 m， i 加 m， x 加 n 的 解集是多少？ 那我们不妨把它标一下吧，那这个写成 y 一， 这个写成 y 二，那现在就告诉你， y 一 要大于 y 二， y 是 谁呢？ y 一 是直线 a， 就是 a 要大于 b， 对 不对？ a 要大于 b， 那 这个也是 a， 那 肯定在这一侧了，对 不对？这一侧这是 a， 这是 b， a 要大于 b， 所以 要算出 p 点的横坐标。好了， p 点横坐标，它现在告诉你说什么呢？这个要 p， 要求 p 点横坐标，是不得知道这两条直线的解析式才行，是不是？ 他现在告诉你说这个与 x 轴交于点二的负零，那第一个直线是不是就斜出来了？就是 y 一 等于 k， x 加五，我们把二的零呢带进去，当 x 等于二的时候，就是二， k 加五等于零，所以二 k 等于负五，那 k 是 不是等于负的 二分之五？这解一式就是 y 等于负的二分之五， x 加一个五。好了，这就是 a， 那 p 点是不是在它上面？所以我们只需要求出这个，当 y 等于二的时候，求它的横坐标 x 等于 t， 那 就是负二分之五。 t 加一个五是不应该等于二， 这就是负二分之五， t 应该等于负三，那 t 是 不应该等于一个五分之六啊，对吧？ t 应该等于五分之六，所以呢？ 五分之六是多少呢？是一点二吧，加五分之一点二，所以这个横坐标就是一点二，那就 x 要小于一点二，所以这个题应该选择 c 选项，这就第一题。我们再来看第二题。已知一次，函数， y 等于 m， x 加 n 等于负 x 加三，当 x 等于一时， y 等于负二。 当 x 等于一时， y 等于负二。我们是不能得出一个式子，那就是 y， 一 是等于 m， x 加 n 的， 它过一都或什么它过 x 等于一， y 等于负二，这个点。

同学们好，我们就来看第二课时一元一次不等式与依次函数的实际应用。好，我们来看第一题，如图， l 一、 l 二分别表示假物质和乙物质在某容器里的溶解度。 y 一 和 y 二 与温度 x 之间的对应关系。请回答下列问题。第一个，分别求出 y 一 与 y 二与 x 之间的函数关系式。 好，我们先看一下 y 一 吧，这就是 y 一 对不对？它上面过两个点，一个是零，逗号十，还过一个三十，逗号六十。好，我们可以快速直接写到解一式，这我就不再用代用系数法去解好不好？你就六十除以十，五十，五十除以个三十，那就是三分之五， x 加一个十。 好，三分之五的价是，这就是 y 一 的啊， y 一。 当然，我们应用题的话，最好是怎么样把字面上的取上给它写上， x 大 于等于零就可以了。好吧，这是 y 一， 那么再看一下 y 二， y 二的话，它过什么呢？零，逗号三十还过一个六十，逗号六十。好，我们要快速的写下它的解析式，应该就是二分之一，对吧？六十减三十，三十除以六十二分之一，二分之一 x 加上一个三十，同样我们 x 也是大于等于零的。好了，这就是 y 一 和 y 二关于 x 的 函数表达式。 第二个，温度在什么范围内？甲物质的溶解度大于乙物质的溶解度，甲对应的是什么？ y 一， 也就是 y 一 要在上， y 二要在下，是不是从这个地方开始分开的， 对吧？这个温度是 x， 我 们只需要把这个温度算出来，因为当这个温度存在情况下，它的溶解度是一样的， 以及这个温度为分界线，温度越大，溶解度 y 一 就比 y 二要大。往左，然后溶解度 y 一 就比 y 二要小，所以现在是假的溶解度要大一点。溶解度我们只需要求出它的焦点坐标，就是 联合起来， y 等于三分之五， x 加一个十和 y 等于二分之一， x 加一个三十。 我们来解这个方程就好啊，三分之五 x 加十等于二分之一， x 加。

朋友们好，我们继续来刷章测看第一题，若 a 小 于 b， 则下列不等式错误的式。第一个， a 加三小于 b 加三。正确利用不等式的基本性质一、在不等式两边同时加上一个相同的数，符号不变。 第二个，负八， a 小 于负八 b， 这个肯定就错了，所以这个题应该选择二 b 利用的是不等式的基本性质。三、在不等式两边同时乘以或除以一个负数不等号，方向要改变。 四、 a 小 于四 b 不 等于基本性质二，两面同乘一个正数不变号，然后减六，还是不等于基本性质一、两边同时减去一个上的数不变号没问题。所以这题选二 b。 第二题不等于，它的减集在数值上表示正确的是，二 x 应该是小于负四 x 应该是小于负二小于负二，空心向左走，所以应该选择 c 选项。 第三题，老师和同学们玩猜数游戏，老师在心中想一个一百以内的数字，同学们可以提问， 老师只能点头或者摇头回应，回应，回应，对错。甲问，小于五十吗？老师摇头，小于五十吗？老师摇头，意思是不小于五十，那就意味着 x 应该大于等于五十了，对吧？乙问，不大于七十五吗？老师点头点头，意思是同意，就是不大于七十五，不大于七十五就是小于等于七十五的意思。 好，两句话就确定了这个范围不小于六十吗？老师也点头了，说明这句话是对的，不小于六十呢，就大于等于的意思，对吧？所以 x 应该大于等于六十，小于等于七十五，这个题应该选择二 b 选项。二， 看第四题，甲乙两家商场平时都以相同价格出售相同的商品，春节期间，两家商场都让利筹兵，如同是购买甲乙两家商，该商品的实际金额 y 一、 y 二与原价 x 之间的函数图像。下列说法正确的是 y 一 y 二。 y 一 指的是甲， y 二指的是乙。大家先记住好，我们来看一下。当 x 大 于零小于六百时，选择甲更省钱，零到六百明显 y 二在下， y 二再下去是乙更省钱，所以它是错的。当 x 等于二百的时。

同学们好，我们接下来刷题生问题解决策略反思。这实际上是一个非常常见的模型的题，我们来看一下，我给大家做一个总结。数学活动课上，老师提出了一个问题，等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗？同学们就这个问题展开了探讨， 希望小组的同学呢，根据题画出了相应的图形。如图一，在三角形 a、 b、 c 中， a、 b 等于 a、 c， 它是个等腰三角形 d 点呢？是 b、 c 的 中点 d、 e 垂直于 ab 于点 e， d、 f 垂直于 a， c 于点 f 垂直是 e、 f。 经过合作，该小组的同学得出的结论是， d、 e 等于 d、 f， 并且展示了他们的正法， 这个非常简单。这里呢，这个证明思路是证明向量形全等。如图一，因为 d、 e 垂直于 a， b， d、 f 垂直于 ac， 所以 得到了角 d、 e、 b 等于角 d、 f、 c 等于九十度。又因为 ab 等于 ac， 所以 角 b 等于角 c， 它的我们的依据是什么？那依据肯定是等边对等角啊。 幺三角形里面的等边对等角好第二个。然后因为地点是 b、 c 的 中点， b、 d 等于 c、 d 已知条件，所以通过角角边来证明三角形全等。第二个的依据，你可以写角角边就完事了，最终得出 d、 e 等于 d、 f。 非常简单的一个题， 它让你用图二写出一种不同于希望小组的正法，那还是一样，你要证明 d、 e 等于 d、 f， 你 肯定最终还是要正三角形全等的问题，你正的是下面的，那不妨正上面的，我把 a、 d 给它连起来。如果我们证明三角形 a、 e、 d 和 af、 d 全等，是不是也能说明问题？ 因为地点是中点， a b c a b c 是 个等腰，所以我们知道了它是角平分线，这又是个垂直这个公共边角，角边是不是可以乘三角形全等啊？ 对吧？那写出不同的正法，那么有什么连接 a d， 连接 a d， 然后因为。因为啥呢啊？

同学们好，我们就来刷中考看第一题不等式，它的解集式，那就是 x 大 于五，直接解就好了，所以这题选 a。 第二题不等式，它的解集在数轴上表示正确的是，先以下二分之一， x 小 于等于一，那 x 就 小于等于二，所以时间向左走，小于等于二选 c 就 可以了。 第三个，若点 p 在 第二项线，第二项线的符号是负正，所以我们得到一个不等式，一减二， a 肯定是小于零的， a 还要大于零 来一减二， a 小 于零，所以负二， a 应该小于负一， a 应该大于二分之一， a 大 于二分之一，并 a 大 于零的话，同大取大，所以取 a 大 于二分之一，选 a 就 可以了。 第四题，下列不等式中与负 x 大 于一组成的不等式组，无解的式。负 x 大 于一呢，就说明 x 小 于负一，所以小于小的，大于大的才会无解，所以大于大的 a 就 可以，对吧？所以直接选 a 就 好，所以我们肯定要找大于号的，这个小于号的，小于号的我们都不考虑，我们直接在 a d 里面去选， 那负三肯定没有负一的，所以这个题选 a 选项。第五题不等式组，它的解集式第一个已经出来了，第二个数据是二， x 小 于一个八，那 x 是 不是应该小于四啊？哎， x 小 于四，对吧？ 好了，那就是大于小的，小于大的取中间 x 大 于等于负二小于四就可以了。来看第六题关于 x 的 不等式，它由正数解，有正数解和 m 的 值，可以是什么？那我们先解一下关于 x 的 不等式吧， 一下下就变成了 x 减二分之， x 小 于等于一减 m， 那 就是二分之 x 小 于等于一减 m， 所以 x 小 于等于二减二 m 吧，对吧？两边同乘以二， 他说这个有正数解就 m 的 取大有正数解，你这里面只要有正数解就可以了。所以二减二 m 只要大于零就可以，只要比零大，你都会有正数，对不对？只要。

hello 同学们，上节课我们认识了二次根式，它有两个小要求，大家还记得吗？对了，第一要带二次根号，第二被开方数必须是非负数哦， 这些反例可不能搞错。一般的我们把形容根号 a a 大 于等于零的式子叫做二次根式，被开方数 a 大 于或等于零，那么根号 a 的 取值范围是什么呢？ 大家看根号九等于三，根号零等于零。这些结果有什么共同点呀？ 没错，他们都是非负数。再看生活里的例子，工人叔叔的地砖边长是根号三米，那它的面积是多少呢？也就是根号三的平方等于几。再来看一个式子，根号下负二的平方等于几呢？这个结果和刚才的又有什么不一样？ 这三个疑问里藏着二字根式的三个核心性质，这些性质能帮我们解决很多化简题。想知道它们是什么吗？这节课一起探索吧！

同学们好，我们就来刷题生看第一题。五名学生身高两两不同，把他们从高到低排列。关键词，从高到低排列， 然后设前三名的平均身高是 a， 后两名的平均身高是 b。 同学们，我们读到这的时候就应该知道一个不等式关系， a 肯定是大于 b 的， 为什么呢？我们去想象一下。诚实，前三名的平均身高肯定比前三名的最低那一名的身高要高一点，比最高那名的身高要低一点吧， 对不对？那后两名的平均身高，后两名的身高本来就比前三名的身高要低，因为他是从高到低排列的，所以后两名的平均身高应该是比第一名的，就是后两名的第一个 的平均身高要低，比最后一名的身高要高，所以他一定是 a 大 于 b 的， 这是常识，对不对？好，再继续，若前两名的平均身高为 c， 后三名的平均身高为 d， 那 同样我们是不能得出 c 是 大于 d 的， 对吧？那前两名的平均身高用从高到低排列，所以他应该介于第一和第二名的中间，那后三名的平均身高应该介于第三、第四、第五名的中间，所以他肯定是 c 大 于 d， 没毛病吧？那同样，我们是不是也能知道前三名的平均身高和前两名的平均身高里面哪个大呢？那当然是前两名的平均身高比前三名的平均身高大了，因为第三名的身高比前两名的身高的低，你加入一个数字，是不是就拉低了我们的平均值？所以我们还知道 c 肯定是大于 a 的。 那同样后两名的平均身高和后三名的平均身高哪个大呢？后三名的平均身高相对来说，是不是在后两名的基础上给了你一个较高的身高，然后拉高了你的平均值？所以我们也知道 d 是 大于 b 的 呀， 对不对？好了，那我们观察一下，人家题目里面从头到尾问的都是 a 加 b 和 c 加 d， 如何能出现 a 加 b 和 c 加 d 呢？你看这个里面就要不等式的连续性以及不等式的加法匀算。左边加左边，左边大于右边，左边大于右边，那左边加左边也。