温州八上数学选择题最后一题教程

好了，同学们来看看这个八上栏山卷，今天上午刚刚考完的这套试卷，简直是和期中考试比起来 太简单了啊。这里边呢，我们复习过的那些大大型的模型，一线三垂直啊，什么什么陀螺摩基多啊，是吧？一线三垂直里边的手拉手啊，手拉手里边的，呃，乱七八糟的，各种 呃，包括背长，中线是吧，还有半角啊，乱七八糟的，我们做的那些大型模型啊，什么都没有，都没考，你看最后一个题，考了一个角平分线 对不对？当你看到这套题的时候，心里应该都在窃喜啊，这里边的难题呢，我觉得我找了半天也没找出来真正的难题，我们从头开始，我们迅速的做啊，第一个呢，对称轴选 boy 助阵图形。第二个呢，数到数到第一个数字几啊？九次方，所以呢，五点二乘以十的负九次方。第三个平方差公式啊，一号同号。 第四个分解音式，第一个不是音式分解，第二个呢，没分解完全倒个选项呢，它是整式乘法，所以选 c。 第五题呢，第五题我觉得可能有同学做快了啊，这两个肯定不是，肯定会有同学把第四个选上，第四个是五派，而派是一个数字， 所以他不是分式，他不是分式，所以第五题选 a 啊，第五题是一扣分点。第六题呢，这里边唯独不能选啊， a， s 这两个相等的话是吧， 这个他们所对的边的话就组成了 s， s， a 是 不可以的，其他的都可以，其他的基本上都可以组成 a， e， s 呀， a， s， a 呀，包括 s， a， s 都行。所以呢，这个题选 c， 第七题上来可以排除掉，来排除掉这个，你看解是非负数，非负数的话，一般来说的话，把这个带这个的去掉， 为什么呢？非负数是大于等于零，对不对？我们再把这个排除掉，为什么呢？因为肯定要带一个负三，即便他不不做的话，我们也可以通过这个选项，我们可以选择 dog， 即便是不想做啊，这个题确实是选 dog， 你 可以做一下啊。 第八题，第八题是一个扣分点，我觉得是一个扣分点啊，老同学看不出来。那么这个三呢，我们可以写成二加一，对不对？二加一呢？前面还省略了一个二减一，所以这些穿起来是二的六十四次方减一， 再加一，那就是二的六十四次方。众所周知，二的平方，二的各种方的后四位数是二、四、八、六的循环，二、四、八、六的循环，所以二的六十四次方末位数个位数一定是六。这个题呢，出到现在啊，因为这是一到七年级的题，你们现在可能是， 可能是有点，有点，有点什么了，哈，有点忘了。第九题呢，我们在考前这周周末刚刚做过这个的原题，这里边其余的都符合，这个符合，这个符合，这个符合。只有第四个，第一的长度绝对是不符合的。第一的长度 是吧？因为它是变化， d， e， d e 是 发生变化的，最后第五个也是符合的。 d、 e、 f 的 面积最最大值，最大值呢，关系到 d、 f 的 最大值，因为我们知道等腰直角三角形的面积呢，是边长乘以边长再除以二， 对不对？那么就是 d f， d、 f 的 最大值，也就是 a、 f 的 时候，它在这里的时候最大，最大的时候呢，此时 d， d 和 a 重合， e 和 c 重合，所以此时的时候它面积是一。 第十个，第十个呢？第一个正确，第二个正确。这个题呢，我们一万次的强调 o m 这条线确实是一个平分线，它平分的是谁呢？平分的是新产生的那一个角，新产生的那一个角是 m 新组成的那个点， 对不对？那么在这里边平分的是 amd， 所以 选一二四选 a。 这个题啊，是吧？做吐了。 第十一题，完全平方公式，一定是正负的，你不要看它是负的，它一定是正负三十，这一个呢，当那 x 可以 等于正负三，对不对？但是 x 等于负三的时候呢，这个就是零了，没有意义了，所以是三。 第十三个也做过非常多的次数上来做垂直五十十，所以这个是十。第四题也是一个扣分点，我觉得啊，这是第二个扣分点了。 呃，这里边呢， x 的 我们可以来看哈，我们把这个式子全部加起来，是 x 平方加上一， x 加二， x 加上三， x 再加二，这个呢， 看不出来怎么办呢？就是一个十字相乘法嘛，不，不同的十字相乘法， x 加一，乘以 x 加二，就这么写就好了。所以呢，到目前为止，如果是第八题扣扣三分，十四题扣三分的话，已经扣了六分了。十五题扬灰三角做吐了的题了是吧？十五，二十，十五六一， a 的 六次方，加上六的 a 四 b 二，再加上二十乘以 a 三， b 三， 再加上十五乘以 a 二 b 四啊，二十啊，后边这个六 a b 五，最后加上 b 的 六次方。 这一个呢，有同学呢，可能真的没有学过，或者老师没有讲过，咱们来说一下它的规律好了，它的规律呢，就是洋灰三角的每一个数字对应的是后边的，我们看一四一四六四一四六四 一，然后呢，这里边的这个 a 啊，他的指数呢？四三二一， b 的 指数呢？一二三四，并且他们的指数之和永远每一项，因为他是一个 a 加 b 括起来的四次方，所以呢，这里边的每一项都是四次项，他们的指数之和都是四 啊，这是这一个第十六题， a 的 六次方减去九 a 的 六次方，再减去二 a 的 六次方，所以是负十 a 的 六次方。 第二个呢，整体思想填括号有一个小节，在课本里面有个小节叫填括号，对不对？ a 和 b 是 一组，负一是一组，也就是 a 减减 b 的 平方，减一的平方，也就是 a 方减二， ab 加 b 方减一。 这个你实在不会，实在不会就硬硬算多项式乘以多项式也是可以算的出来的。下一个呢，它是一个因式分解整体思想的平方差公式， a 方加一加二， a 和 a 方加一减二， a 完美符合完全平方公式， 对吧？第十七题解得负六啊，一定要检验这一个呢，我记得解出来这一个是有限，是有一个，每一次做题我我记得都有同学做错，我觉得不应该像这种题， 我们要把后边这个看成一个整体。添一个括号的话，变成 x 加一，那就是 x 减一，也就是减去括号里 x 减一， 对不对？我要多写的话，不理解的话咱就这样写，减去 x 减一分之， x 方减一，而分子自带括号，所以呢，括号里边变成了一 x 分 之一， x 减一分之一，然后呢， x 减一的平方是吧？约掉约掉，最终结果是 x 加一式和 x 减一，然后从这范围内，这范围内呢？我们怎么写呢？因为 x 大 于负二小于二， 且 x 为整数，所以呢， x 等于负一啊，零啊，一啊。但是呢， x 加一还不能等于零， x 减一呢，更不能等于零，所以 x 只能等于零了， 对不对？所以原式啊，就等于零，加一分之零减一是负一。第十八题，我们在考前的时候忘了哪一周了，反正是元旦过后，最近两周吧，我们一定讲过这个题，这个题的两种做法。这类题呢，那我们可以写角 c 等于九十度 是吧？角 a 等于三十度，求证什么呢？直角边是斜边的一半，你可以写 ab 等于两倍的啊， bc， 或者更加严谨一些，我们符合这个这个的汉语意思， bc 等于二分之一 ab。 好 了， 那这个题的标准做法呢？应该是还原因为这个，因为这一个知识点是我们从等边三角形那一节学过来的。等边三角形的一半三线合一是吧，那么可以延长延长 bc 至 d， 使 bc 等于 b、 d 正，这两个三角形全等，那么 ab 就 等于 ab 了，而这个角是三十度，这个角也是三十度，所以 abd 是 一个等边三角形。 等边三角形了呢，那自然而然的， b、 c 等于二分之一， b、 d 也就等于二分之一 b、 c。 当时咱讲了，还有种做法对不对？角截长不短，也不是不短嘛，就是截长，把 a、 c 截取一点 d 使 bc， 使 bc 等于 b、 d。 那 因为这个角是六十度啊，所以呢，这个三角形 b、 c、 d 是 一个等边三角形，等边三角不也是三十吗？所以 ad 就 等于 cd 等于 bc 等于 b、 d， 那 么 bc 也就等于二分之一 ab 了。这个也可以啊，比较简单。这个十九题啊，十九题，哎呀，十九题的，昨天晚上，一月二十九号的晚上，我出了一个押题卷，是不是出了一个押题卷呢？我一看和这个题长得一模一样， 我忘了是哪里的题了，那可能是菏泽或者哪里的题出了这么一个和这个长得差不多，数字变了。我一看这个题老简单了，就没给没给同学们讲，今天一出来一看，哎呀，后悔不及啊。但是这个题确实很简单，我们可以做的啊。 如果我们舍，我们来看第一问，如果舍这个是 x 的 话，那么这一个的话， a 就是 x， 这个是 x 减七，对不对？一周是七天吗？这个是 x 减六，这个是 x 加七， x 加六，所以那么里边就出来了， 对不对？ a 是 x 减六， b 是 x 减七， d 是 x 加七和 x 加六，它里边的规律是什么呢？他说 a e， 那 b、 d 减去 a， e 就是 b 乘以 d 减去 a 乘以 e 啊，等于负十三。那么发现这个规律用式子呗，那就是 b、 d， 那 就是 x 加七乘以 x 减七，减去 x 加六，乘以 x 减六，等于负十三，这是它的规律。 那么清净加以证明，那我们证明好了呀，那这个就是 x 方减四十九，减去 x 方减三十六，一去括号，果然等于负十三，所以结论是正确的。第四个， 请你利用这个正方形啊，我们知道了，那么这个就是 a 加一，对不对？他往下呢？一周七天 a 加七，他说左下角和右上角和左下角的数字相乘，那就是 a 加一乘以 a 加七等于七十二，那是 a 方加八， a 加七等于七十二，对不对？那么一项过来以后呢，变成了 a 方加八， a 减六十五等于零，十字相乘，试试吧，六十五的话，六十五应该是五和十三，对不对？六五和十三，那就是 a 加十三和 a 减五等于零，那也就是要么是 a 加十三等于零， a 等于负十三啊，要么是 a 等于正五。然而这里个日历表上不可能是十三啊，我们可以在后边写一个舍， 也可以写一个啊，因为 a 为正整数，所以 a 只能等于五啊，这个就比较简单，十字因式分解十字相乘嘛。 第二十题，考前的时候，我们准备了非常多的题型，是不是准备了各种情景模拟，那种好几串的那种方案性问题啊，甚至说让我们比大小，求 t 一 t 二的，比大小的各种 啊，通分，约分，甚至我们都出了把物理的题，那个密度的那种那种题，我们都出到了这里边，我们一切照着最坏的打算，最难的题型去练的，结果出了这么一个人家啊，本来你出就出吧，人家还给我们设好了，对不对？那么由题吧，由题 直接三十， x 加五等于二十， x 解得 x 等于十，所以小餐馆十个，大餐馆十五，就那么简单，是吧？这八分简直是白给。第二十一题，二十一题我们做过一模一样的，非常好，我们做过，对不对？我们在一月 一月二十几号，一月二十五号，还是二十四号那一天的时候，我们做过一道原题，这个题 是吧？ a 加 b， 那 么求的就是用用配方法，用配方法求最大值和最小值，我们做过好几个，在这里边，第一个， a 方加 b 方，那就是 a 加 b 括起来的平方减二一 b 好 了，对不对？ a 方加 b 方 等于多少呢？等于二十五五五二十五，减去减去减去十二哦，十三嘛，对不对？ a 四加 b 四呢？ a 四加上 b 四等于 a 方加 b 方的平方， a 方加 b 方的平方，减去二倍的 a 方和 b 方， 那也就是，那也就是 a 方加 b 方的平方等于十三的平方幺六九，减去两倍的 a 乘以 b 括起来的平方，那就是两倍的三十六幺六九，减七十二等于九十七嘛，是吧， 我这个计算能力不好啊，你们自己将就着点吧。第二题， m 是 这个配方法的话，我们可以把 m 算出来，提取二，那就是 x 平方，本来是八 x 了，现在变成了减四 x， 缺谁呢？缺一个四， 那么二四得八，后边剩了个二，也就是两倍的 x 减二的平方加二，是吧，我们可以写，因为 x 减二的平方大于等于零， 所以呢，两倍的二 x 减二的平方呢，也大于等于零，那就是二 x， 那 在不等号两边同时加二，大于等于二，所以 m 最小值是二，对不对？大于等于二。第三题 第三题长十二米，长减去了 x 米，那就是十二。减 x 宽本来是十米，加上 x 等于负 x 平方加二， x 加上一百二十，给它配方提取符号里边变成了减二 x 减二 x 的 话，缺谁呢？缺了一个一，但是呢，外边是一个减号，所以，所以实际上它是减一了，那我们再再给它加回来，所以外边应该是一二一， 那也就是负的 x 减一的平方加一二一，因为 x 负的 x 减一的平方小于等于零，所以呢，负 x 减一的平方加一二一小于等于一二一，那就是最大值。这个 s 的 最大值，最大值就是一百二十一， 你看就简单多了，是吧？什么情况最大值啊？当 x 等于一的时候有最大值。 这个呢，我们还做过了什么形？我们还当时还讲了，如果周长一定的话，周长一定让我们圈一个最大的面积的话，我们小学学过，周长一定一定面积最大的是圆， 而次于圆的话是正多边形，仅次于圆的是正多边形。那么在这里边呢，那就是使让这个变成长方正方形就好了。你看一个是十二，一个是十，怎么样才能得到正方形呢？那让他们都是十一就好了，对不对？ 第二十二题，十字相乘，十字相乘的话，前几个，那第一个的话， x 减减三八，二十四，应该是加三和 x 减八，这个的话呢？二六一十二六十二， x 加二 y 和 x 加六 y， 对吧？这个比较简单。第二个呢？那么扣分点我觉得在第二个和第三个上怕你们，我就怕你们分解不完全。 x 方加一， x 方加 x， 呃，这个二的话，负一乘以二，或者负二乘以一，而这边是负的，所以是加一 x 平方加 x 减二，这个实际上还可以再分。第二个还可以再分，分成什么呢？ x 加二和 x 减一，加二和 x 减一，对不对？那再乘以这个最大的 x 平方加 x 加一，就怕你们分解不完全啊，会扣分，那第三个也是也怕你们分解不完全，那么在这里边，那就是我们可以啊，就硬找吧。 啊，是可以硬找的，我们找一找，找哪一个呢？因为这个题考的是十字相乘，那么肯定与这个和这个有关，那么前面就是这个。好了，我们把这个组起来，减三， x y 减四， y 方，考的是十字相乘嘛？后边是 x 方 y 加上 x y 方， 那十字相乘的话，负四的话，应该是负一乘以负四乘以负一，那就是 x 减四 减四， y 乘以 x 加 y， 对 不对？加上后边呢，我们可以提取 x y， 剩下了 x 加 y， 我 们发现两侧呢都有 x y， 所以呢，就剩下什么了呢？剩下 x 加 y， 提取 x y， 剩下什么呢？ x 减四， y 加上 x y， 那么扣分点的话就在这个，我真怕你们分解不完全，分解全的话，这就稳了，是吧？到目前为止，我们刚才说的扣分点的话，选择题一个，填空题一个，刚才那扣这个的话扣了，是吧？有十分了，最后一个就不应该再扣了，最后一个使规作图画 角平分线，对吧？哎，反正这么个意思啊，反正这么个意思，欻欻欻。两个保留原始，保留作图痕迹，是吧？屁屁即为所求，写不写，对吧？第二个，第二个了吗？说的是什么呢？说如图三 绕了以后呢？他说这个 q c m 仍然是等边三角形，那么需要证明这两个很细小的三角形全等，这个细小的三角形全等呢？已经的条件是角平面的点到角两边的距离相等， o o a q a 等于 q b 一个，垂直一个。那我们剩下需要找一个角啊，需要找一个角，这个角是六十度，那么角一等于角二 也可以，甚至呢，我们可以用什么呢？用对角互补，这个角是一百二十度，这个角是六十度，对不对？所以这个角加这个角一百八十度，而这个角一呢，加这个角二也是一百八十度，所以角一等于这个角三都可以啊。第二问就出来了，第三问，让我们证明 q o 与 c o 和 ob 之间的关系。我们一般知道啊，这个题哪怕不会正，我们也能知道，最长的边就等于两个小小线段的和，那我们来证明好了，证明的话有多种方式，一般来说，我 教同学们的方法呢，一般喜欢就不做辅助线，就直接使用，我们可以证明。证明什么呢？ o a 是 等于 o d 的， 是不是 o a 等于 o d 的？ 我们也可以证明这两个三角形全等 o a 等于 o d。 那 么在这里边，并且呢，由第一问可得，由第一问可得谁呢？也就是 o c。 第一问，三角形全等 a c 等于 b d， a c 是 等于 b d 的， 那又因为什么呢啊？ o c 我 们就可以写了， o c 加上 o d， 把 o d 给它拆了， o d 就 等于 o b 加上 b d， 而 b d 等于谁啊？等于 ac， 所以呢， o c 加上 o d 可不就等于 o c 加 ac 再加上 o b 吗？ o c 加 ac 呢？也就是 o a 加 o b， 对 不对？等于两倍的 o a， 而这个里边，这个角是六十度，这个角是三十度，所对的直角边是斜边的一半，对不对？就等于 o q。 所以呢，这套题来说的话，总来说完全有能力得满分，我觉得完全有可可以得满分，那么唯一的难点也就是细心，是吧？第八题没看出来， 填空题这个十四题这个没看出来，这个十字相乘，那扣了呗，是吧？那么这一个我们来说的话，可能是一百一十分是比较比较好的吧，一百一十分以上就比较优秀了， 满分也绝，也绝对是完全可以得到的啊这种。这套题呢，比起期中考试来要简单太多了。期中考试的时候题量非常大，每一种类型都归我们出了，对不对？这套试卷啥都没出。好了，再见。

呃，好，临近期末考试啊，我们讲几道比较好的题目，这是八年级的题目。呃，拒绝废话，只讲干货啊，大家暂停读题， 好题目读完了，这道题非常好，这道题是刚刚考完的嘉兴市的期末考试真题的选择题的第四题。 呃，是一个家长提供的啊，在三角形 abc 中， ab 等于 ac， 哦，等腰三角形是吧？ ab 等于 ac， 以 ab 为边向右侧做等腰 r、 t 三角形 ab 刀，那 b 刀是等于这个 ab 的 三个蓝色线段相等的， 其中角 ab 等于九十度，然后连接到和 c 这条线段，若要求 bc 到的面积，这个受的三角形的面积问，我们只需要知道哪一个线段长就好了。 很多同学看到这道题就已经懵掉了，啊啊，求这个三角形，为什么题目中一一个数字都没有呢？那怎么求呢？大家可以暂停去做一做啊。 好，思考时间到，我来讲一下这道题，这道题怎么做呢？这种难的几何题都是需要添加辅助线的对不对？ 辅助线就是八年级、九年级的一直到中考的难难点。那辅助线添加怎么做呢？所有辅助线都是有思路的，不是说我随便哦，连一条试一试，不行，我再连别的不是这样的， 都是根据题中的条件有隐藏的提示。比如说这道题，我们求三角形的求面积，三角形面积 s 等于二分之一底乘高，对不对？ 二分之底乘以高。那我们想要么过点刀做 bc 的 垂直，要么过点 b 做 c 刀的垂直，要么过点 c 做 b 刀的垂直，就这么几种做法，对吧？那我们怎么做的呢？我们没有思路，我们看啊，第一句话给的就是一个等腰三角形啊。 等腰考什么？等腰考什么我的老生都知道，我一一学期问他们有二十遍看到等腰考什么？等腰考什么？等腰的性质就是三线合一啊，对不对？ 那所以 ac 等于 ab 的 时候，我们不妨过点 a 先做一条垂直试一试，辅助线是虚线啊， am 垂直，那么由三线合一可以得到 bm 这条边是等于 mc 的， 对不对？ 能明白吗？当我们做的做完这条边之后，我们再看啊，它还有一个等腰直角三角形没有用的。 等腰直角三角形怎么用呢？现在这有一个九十度，然后这个地方也有个九十度，两个九十了，而且这个边等于这个边， 是不是我们就想到了一个非常经典的模型， k 字型全等是什么东西的？ 一线三垂直， k 字形属于一线三垂直，这就像这个图就像一个躺倒的 k 一 样，这个边，这个边，这个边， 然后有三个九十度吗？这个角等于它俩相加，所以这个角就等于这个角了，我们可以推出来啊，角一等于角二吧，再加上九十度等于九十度。如果斜边等于斜边，我们就说这个三角形跟这个三角形全等了，这叫 k 形全等模型。那我们这个题怎么做？是不是延长 c b 出去 过点到做一个垂直垂作为 n 吧，那这个时候我们就得到了两个三角形全等，这个三角形和这个三角形全等的对不对？ 全等之后我们就会发现，我们这个边 n 倒这个边就等于我们这个 b m， 对 不对？这个 n 倒刚好就是三角形 bc 倒这个三角形的高呀， 那我们就可以底乘以高除以二了，对不对？这个 n 倒就等于 b m 就 等于二分之一 bc 啊。 那所以这个三角形 a， 三角形 b c 倒等于什么？等于二分之一 b c 乘一个二分之一 b， c 等于四分之一 b c 的 平方，是不是只需要 b 知道 b c 长就可以了？ 答案选 b， 你 听懂了吗？哎，没听懂。再看一遍，自己再做一做啊。好，下课。

好，那么看一下这道题啊，这道题呢，跟上面其实是差不多的啊，这几道题在每年的期末偶尔都会出现，那我们来看一下，大概是怎么理解这道题啊？这道题老师是可以跟你讲一下，就是他并不需要你做辅助线 啊，他更多的是一种，就是对于边的跟面积的一个关系啊，我们什么意思呢？就是我们去找关系，那么像这道题我们就是围绕着他啊，来找关系。那么首先我们读题啊， 这里是 x， 然后呢？啊，不对啊，看错了， 来，那我这里是 y 啊，是 y， 看错了啊，那这里是 x。 好 了，那么在此之前他必然要用到什么全等啊，像这种题必然是会有全等的，那么全等的话，我们应该从图里能不能看出来， 我相信有的吧，是吧？像这个和这个啊，我们可以通过这边以及他的这个角的等量代换，用 s a s 可以 正吧啊，这是我们目前能做到的这些， 然后我们继续，也就是说我们的题目的关键还是围绕这个六倍，那么我们首先要围绕六倍，我们就要把 se 的 多少表示出来， s 二等多少表示出来，对吧？那这就是我们的目标了，那我们现在朝着目标走了，这里我们看了是 y， 这里是整体是 x 啊， b f 整体是 x， 那 么不够啊，也就是说他设两个未知数不够，所以我们需要 像上面可能也有哈，就是我们需要一个媒界再找个数，那我比如说，嗯，设为，设为 a 吧，或 m 都行，设为 m 吧，假设它是 m， 那 么如果这里条是 m， 那 么必然的，那 这里都要变了，这里也是 m， 对 不对？然后呢？这条是，呃，刚刚是 x 减 m 啊，那如果这条是 x 减 m， 我 们又得到了什么呀？你看正方形 a， a c， f g， 对 吧？它的边得相同，所以我们得到了一个条件是 y 加上 m 等于 x 减去 m， 那 我们把 m 给它整理一下。好， m 整理一下，一下 下是二， m 等于 x 减 y， m 等于二分之 x 减 y 啊，或者其他的也可以，或者是你这么写也可以啊，都一样啊。那么然后呢？ 这是我们现在能找到是 m 跟 x y 的 关系，不然我们因为多一个未知数，我们就多多一个麻烦嘛，所以我们尽量不要有多的未知数，那么多的未知数尽量去制造出已有未知数之间的关系就可以了。 好了，这个问题解决了之后，我们先朝 s 一 走，那 s 一 面积怎么求啊？ s 一 的面积我们是不是已经可以考虑了， 对吧？我们知道的是这个，要是 x 减 m 的 话，那么相反的这个 s 应该算 s 二，我说错了，我要求的是谁啊？ s r 这个 a g e 啊，面积我们可求的吧，底是 m 的， 是不是？然后呢？高呢？ 高，是不是我们可以取 x 减 m 呀？或者是哪个呢？ m 加 y 是 不都可以啊？啊，两个方法都行，那么我这边我取的是我取速成的吧， m 加 y 吧，啊，取 m 加 y， 那 么就是 m 加上 y， 然后呢， 要除二吧，因为面积嘛，这是 s 二，那么现在来了 s 二解决了，也就是 m m 加 y， 对 吧？现在我们求应该这叫 s 二啊。抱歉，这里是 s 一， 那么 s 一 是正方形 s 一 的面积，我们该怎么求啊？我们是不是可以考虑用勾股定律啊？这里啊，对吧？那么用勾股定律的话，我们能得到的是，哎， s 一 的面积刚好是 a e 的 平方，是不是啊？那 a e 的 平方是不是刚好是 m 的 平方加上 m 加 y 的 平方， 那么刚好是不是它的谁呢？它的面积啊，这里就是比较巧的地方，那么然后呢？ 然后我们考虑干嘛呢？我们考虑把它给连立起来，对吧？ s 一， 我们对应的是 m 的 平方加上 m 加上 y 的 平方，然后等于谁呢？ 等于我们要的这个六倍的 s 二，也就是六乘以二分之 m， m 加 y， 那 我们约一下，就是 m 的 平方加上 m 的 平方加上二 m y 加上 y 方等于 三 m m 加 y 啊，计算我们可以多写一步，没事的啊，那么继续就是二 m 的 平方加上二 m y 加上 y 方等于三 m 的 平方加上三 m y。 那 么该消的就可以消了吗？对吧？消完以后我们能得到什么？ 这个削剩一个了，是不是？然后这是二 m 削了剩一个了，也就是我们最后得到的是 y 方等于 m 的 平方加上 m y。 但是什么呢？我们知道的是 m 是 未知数，但是我们题目要的是 x 跟 y 的 关系，对吧？ 所以我们尽量把 m 干嘛在这里给他带回去，把 m 变成 x y 再看看啊，那么就变成了这里啊，我们连立一下，变成 y 方，等于二分之 x 减去 y 平方 m， 然后加上 二分之 x 减去 y， 整体乘一个 y， 那 我们再化简一下试试看， 就变成了 y 方等于四分之 x 平方减去二 x， y 加上 y 方加上二分之 x， y 减去 y 方吧，那么两边同时乘以四四 y 方，等于 x 平方，减去二 x y 加上 y 方，加上二 x y， 减去二 y 方。好了，现在我们再来该削的削啊。 嗯，这里是减二 y， 然后移过来就变成了六 y 方，等于， 哦，这里还有还有个 y 方，这里这里这里，那么相当于我还要再减去一个 y 方，那就不是六 y 方了，对吧？那么相当于是呃，五 y 方吧， 然后这两个消掉了，对不对？变成 x 方，好了，那么再回过头来，我们题目要的是 x 跟 y 的 关系，但我们只得到了这个东西，也就是 x 的 平方等于五 y 方，那么我把 y 方除过去行不行？就变成了什么 x 平方， y 方等于五，哎， 他的平方等于，那么 x y 是 不是等于根号五啊，对吧？总不能等负的吧，因为不可能吧，是吧，因为这实际问题啊，不能等于负五厘米没有这东西啊，那么也就是说我们知道了，原来这玩意 才是我们最后要的，他不变的，等于根号五啊。那么这道题至此结束了，那么回顾一下这道题，思路其实很简单，就是我们要朝着这个，这个等号倍数是我们 解题的关键，然后我们就去找 s 一 和 s 二的表示方法，那么在此期间你会发现未知数不够，所以我们再设一个未知数，但是在设一个未知数， 我们并不需要多的未知数，因为多了越多越麻烦，所以我们这未知数尽量用已知的两个未知数去表示，记住这里，最后再通过带入把多设的那未知数给他去掉，从而得到啊。

好了，我们看这个题啊，在平行四边形 a、 b、 c、 d 中，然后角 c 是 一百二十度，角 c 一 百二，那角 b 呢？这边一百二，这边是六十吧？嗯， 呃， a、 d 是 四， a、 d 是 四， ab 是 二， e、 h 分 别是动点啊，连接 a、 h， e 是 a、 h 的 中点， f 是 g 的 中点啊，这是中点，中点。看见中点和中点线，首先干嘛啥也不想，把它底边是不是连起来，构造什么线？ 哎，中位线，是不是啊？他让你求啊，连接 ef 让你求 ef 的 什么值？最小值让你求 ef 最小值，是不是让你求 ag 的 最小值啊， 对不对？ ag 什么时候最小？ a 是 什么点？ a 是 定点， g 什么点？哎， g 是 动点啊， g 是 不是在 b 向来回动什么时候最小点？到线之间的什么距离最短？垂线段最短，是不是就这样？那你就求这个 ag 就 可以吧。 ag 是 在平行四边形，是不是一个高？嗯，等级吧，好像不好求啊，那怎么办？ 哎，我们可以构造了，喊老师啊，因为这是什么度？哎，这一百二十度，这是不是六十度？这六十我们可以再取它的一个中点，比如说取这个点吧，这个点，比如说点个 m 去点 m 中点的话，这个 md 是 几？因为 a、 d 是 四， md 是 不是二，这边也是二，因为 ab 是 二的话， cd 是 不是也是二？ 二二等腰三角形加一个加一个角是六十度。什么三角形？哎，等边三角形，哎，我就给它连接起来，所以说这个时候三角形 c、 d、 m 是 不是等边三角形？等边三角形，三个边相等， c、 m 也是二，我把 a、 c、 e 连接 好，注意看，这是六十度，这边也是六十度，是不是啊，这个角是不是也是六十度啊？六十度的话， am 和 cm 什么关系？ am 和 cm 什么关系？哎，都是二嘛，是不是都是二？所以说他的这个角是多少度啊？等边这个角三十度，这个角也是三十度吧， 对不对？这边是三十度的话，六十度。六十度，这个角是不是六十度？这三十、六十加起来是多少度？哎，直角嘛，九十度。所以说这个三角形 a、 c、 d 看 a、 c、 d 是 不是直角三角形啊？啊，构成直角三角形吧。直角三角形，这边是二，这边是四，请问 a、 c 能出来吗？ a、 c 的 平方是不是就等于 c、 a、 d 的 平方减去 c、 d 的 平方呀？ 对不对？也可以用三六九模型吧。那么 a、 c 出来没有， a、 c 是 不是就是二倍的根三？ a、 c 是 二倍根三。那我为什么要求 a、 c 呢？因为 a、 c 是 在这个三角形 直角三角形 a、 g、 c 里边吧。哎，直角三角形 a、 g、 c 里边，那 a g 读出来没有？哎，这边是九十度，这个大角是一百二十度，请问这个角 a、 c、 g 角， a、 c、 g 是 多少度？是不是三十度？一百二减九十是不是三十度？三十度所对的边是不是斜边的一半？所以 a、 g 是 不是等于二分之一的 a、 c 啊？那不就等于二分之一，乘上个二倍的根三就等于根三了，这个 a、 g 是 不是根三就出来了？好，如果我换一种考法，它不求最小值，如求最大值 啊，最大值，最大值， a、 g 的 最大值是什么时候？还是它是定点，它是动点，什么时候最大？ g 到 c 最大？是不是 a、 c 就是 最大值？就是二倍根三吧，最小值就是根三？这个题学会了没有？

压轴题总是难拿分，今天我们开启八上期末压轴题等边三角形，我们一起来看。如图，过边长为三的等边三角形， abc 的 边上一点 p 作 pe 垂直于 ac， 然后啊，给了你个特殊条件， pa 等于 c q 的 时候，问我们 d e 的 长是多少？来梳理一下，这里有个非常非常好的背景， abc 等边三角形， 三条边相等，三个角都是六十度来标上啊，六十度，六十度，六十度，且 ab 等于 ac 等于 bc， 然后呢，边长还知道是个三， 现在呢，有一个条件叫这是个垂直啊， pe 垂直于，哎，也挺好的一个特殊条件， pa 还等于 c q。 哦，这是一个关键条件， pa 等于 c q， 求谁？求我们 d e 的 长 ok？ 怎么做？有思路吗？ 目前啊，我们学到这一块，当你看到线段相等的话，你的唯一思路一定要干什么？一定要构造在我们的全等三角形里啊，一定要把这个相等的边长放在全等三角形里面，让它发挥一个巨大的作用。全等在哪呢？ 可能要蒙了，老师，我找不到，我看不见，肯定需要做辅助线了，这就是一个难点，你看不见啊，那我们来观察一下吧， p a 呢，现在跟它挨着的一个角有个特殊的角叫六十度，对吧？我可能想在这个 p a 什么什么玩意里面来 构造一个三角形， c q 呢？目前在一个三角形里面叫做 q。 这 q 呢，虽然咱不知道是多少度，但是我知道它比这个啊，六十度肯定小，因为这个六十度是它的外角， 对吧？这个肯定是比六十度要小的一个角。那如果你 p a 什么什么东西， c q 什么什么东西？肯定不全等，对不对啊？肯定不全等，因为这也没有六十度，这也没有六十度，你怎么用这个六十度呢？用不上， 那怎么办呀？现在如何来构造呀？你想想，这可是个等边三角形哦，用等边三角形的一些性质啊，我把相等的边啊，可以给它稍微转化一下，这本身就是一个在 bc 延长线上的一条边，所以我现在思路叫什么呢？来 看好了啊，我这里来做一条线，平行线，我做这里的 p f 平行于 b c 交这一条边于点 f。 那 我现在结出来三角形 p a f 是 个啥？是个啥？小等边喽啊，所以我现在知道这个三角形 p a、 f 是 等边三角形，如果这有等边三角形，那你相等的边长是不是立刻转移了？那是不是也就等于我们的 c q 了， 对吧？那 p f 等于我的 c q， 这个全等，那可太漂亮了，八字全等很容易看出来呀。 p f 等于 c q， 再加上对顶角，然后因为平行平行，你随便倒角， 立刻有一个八字全等，所以我这里有个八字全等三角形 d f p 就 全等我的三角形 d c q， 对 吧？好，全等之后，我们的 d、 f 就 会等于 d c。 来吧，接下来回归到我们求线段了啊，现在我们是要求的 d、 e 的 长，对不对？ d、 e 是 它俩有 e、 f， 还有我们的 f d。 来啊，因为我们现在这个 f d 等于 d c 了啊，那这样 这个线段给结的比较乱，我给大家标志一下，比如它俩相等，我记为都是小 a 边，可以吧？我设它都是一个小 a 边， 然后还有啥呢？因为我们的 a p f 是 个小等边，你的 p e 是 垂直。哎，那有什么呀？啊，那就用上了三线合一了呀， 对吧？三线合一，所以 e 也是 a f 的 终点，既然是终点，那么 a e 等于 e f， 不 妨我设个小 b， 好 吧，不妨设个小 b， 那 咱要求的 d e 嘞？ d e 不 就是这里的小 b 加小 a 吗？对吧？所以啊，我现在要求的 d e 就是 一个小 b 长加一个小 a 长，那等于啥？整个我们等边三角形的边长是两个 b 和两个 a 组起来的， 对吧？那就会等于二分之一的等边三角形的边长，因为等边三角形的边长是三，所以答案就是二分之三选我们的 选项。哎，关于我们等边三角形的构造，构造完了之后，立刻出了个八字，全等转移一些线段关系好不好？这个也给了我们一个提示啊， 我们首先当你看到线段相等的话，你的肯定来的思路就是把它放在全等三角形里面，你去构造去，对吧？如果真的构造不出来了，通过我们的全等来转移一下边长，从而构造全等，你学会了吗？

最新温州八年级期末数学全是课上讲过的基础提醒，送分送到你睡着九十分及格线！

同学们好，我是你们的周老师，这是今天上午刚刚考完的温州市瑞安市的这个全市统考，现在先给大家讲解的是八年级的科学试卷啊， 科学呢，我看了一下，这次的选择题，我认为是特别的简单啊，一到十题没有难题，应该不需要讲解 填空题啊，填空题这一块呢，我认为的第十一题，要这个 稍微的注意一下这个答题，尤其是这个答题要素，要有达到现象，也要达到理由，各给一分，这样子才能够合理的话给你两分。总共的话呢，这个第三选择啊，第三个小题， 嗯，两三个题总共是六分啊，是一题的话，十二十二题的这个第四问，也要注意这个答题啊，理由和建议要相匹配，都答对，都答到位，都答合理，才给你两分满分啊。 其他的呢，就没有什么特别要讲，我感觉，那么我们看到第十五、 十五题的话，呃，不是特别的好理解，对于有的学生来说的话呢，十五题呢，需要这个稍微花点时间去理一理，这里就是一个这个 啊，海水的一个淡化处理啊，但是也不能详细的讲解的话呢，大家可以再跟我说需要的话， 十六题啊，也是一整个这样子的大题，很多同学看到这个就怕啊，但是千万不要怕，你越怕他越做不出来，难题都是纸老虎啊。 十六题的话呢，我们就注意它的一个相距啊，相距和物距的一个处理啊，因为我们说了这个焦距是十，那么你相距大于二十厘米，等于二十厘米和十到二十厘米之间，对不对？我们看它对应的成哪些项 啊？这个对于透镜成像规律的一个详细的一个运用。那么第十七题， 十七、十八、十九啊，都是涉及到的一个计算题，那么这一块计算呢，大家要注意的就是一个科学计数法啊，科学计数法不要写错啊，基础计算不能出错啊，希望大家都能够考到一个比较好的成绩啊，尽量都得到满分。 需要答案的话呢，可以看我另外的这个视频啊，整份的试卷和答案我这边呢也都给大家准备了啊。

将军夜马题型是我们本学期学习的重难点，这也是期末考试必考的一道题，一起来看一下这道题它是如何考察？ 如图，在三角形 abc 中， ab 等于 ac。 好， 我们发现了，这是等腰三角形。等腰三角形，一般情况考试的时候就爱考等腰三角形的性质，有什么性质？有一个是三线合一， 还有一个就是等边对等角，看看他一会了考不考这个啊？继续，三角形的面积是十六， bc 等于十四。好，底是十四，面积是十六，哎，所以我能求出来它的高吧？高，我是不是可以求出来高，哎， bc 边上的高就等于面积乘二除以底就等于七分之十六。 接着继续分别以点 a、 b， 哎，注意这一句话啊，分别以点 a、 b 为圆心大于二分之一， a、 b 的 长为半径，画弧，两弧交于 e f 连接 e f。 这是什么？我们就发现了 e f， 它是一条钟垂线，那么只要我们碰到了钟垂线，它一定一定考察钟垂线的性质。 钟垂线上的啊，点到线两端的距离相等。记住啊，只要出现钟垂线，一定会考察的就是钟垂线的性质。哎，那么一看，这道题考察的很中很综合，到这里呢，已经出现了两个知识点了，继续啊， m 为直线， ef 上任意一点，则 b m 加 md 长度的最小值。哎，这个最后一道题，它就是求的是一个最短路径， 哎，最短路径，那他就是考察的是一个将军印码问题。那么我们在解决将军印码问题的时候，给大家总结了一个口诀，口诀就是定对联。那么定对联是什么意思呢？哎，我给写出来了，以动点所在的直线为对准轴， 做定点的对称点，连接另一定点。我们只要碰到了将军一马，其实呢，不用如此复杂，只需按照定对联。我们来直接来解析如何分析出来哪个点是定点，哪个点是动点？其实很关键，怎么分析？从问题入手 来，我们看问题里面问的是 b m 加 md 都有哪个点？ b m md 都有的是点 m， 所以 都有的这个点，哎，它就是动点。我们发现了动点是点 m， 那 么定点就是剩下的点，剩下的点就是点 b 和点 d。 以动点所在的直线动点是 m， m 在 哪动？ m 在 直线 ef 上，以直线 ef 为对称轴做定点。好嘞，我做 b 吧， 做 b 的 对称点是不是就是 a 呀？连接另一定点好，连接 a b 交点即为所求。它让我们求的最短路径的时候啊，这个就是求现在老师画实线的这种情况，让我们求的是它的最小值。最小值？最小值是什么呀？ 最小的时候等于的是 b m 加上 m d 来中垂线上的点到线两边相等 b， m 的 长度等于 am， am 加 m d， 这不是我们画的这条连接的这条线吗？所以它就等于的是 ad 的 长度。 ad 是 什么呀？等腰三角形三线合一呀， 点 d 是 中点，三线合一是高呀，我们刚才有没有求出来高，有求高，所以就出来了，这道题的答案是七分之十六。

今天我们分享一个八年级上册数学选择题，最后一个题你们自己看已知条件哈。 然后这道题四个结论当中有几个是正确的呢？ 这道题解题的关键是利用负值法给 x 带入特殊值，得到 a 到 f 的 方程，然后消元去解。首先看第一问， f 等于负一正不正确。 由于要求的只是 f， 所以 我斗想到前面的含未知数的项都要消去，这时很容易想到 x 去零才消得脱，所以我斗把 x 等于零带进去， 左边斗是三乘以零减一括起来的五次密，右边就得到这个式子。 把零带进去过后， a、 b、 c、 d， e 都变成剩了，零过后都变成零了，所以右边只剩下 f， 左边得负一，所以结论结论一是正确的哈。现在我们再来看一下 第二个十字，要求的是 a 减 b 加 c 减 d 加 e 的 字，看到这个十字我都会联想到 正负正负正，然后 f 已经求出得负一了，所以我可以把 f 等于负一带进去斗，只留下 a、 b、 c、 d， 所以 我斗想到起，如果你取正一，肯定不会出现正负正负，所以我斗想到把 x 的 值取成负一， 这就是为什么我要取 x 的 负一的原因哈，它才会出现正负，正负的带进去都会得到三乘以负一，减去一括起来的五次方，等于右边这一坨 我都不念了，然后划减过得到负， a 加 b 减 c 加 d 减 e 加 f。 好， 左边那坨是负四的五次方都得到负的幺零二四，然后再把 f 等于负一带进去， 所以很容易求到 a 减 b 加 c 减 d 加 e 得幺零二三，所以接龙二是正确的。现在我们再来求一下， a 加 c 加 e 是 不是得五百二十八下？ 好，由于这下子只要求只求 a 加 c 加 e， 说明这里的 b、 d、 f 是 消去了的。然后我们结合已知条件，上面的 x 等于一题目已经摆好了的，我们直接用就行了。把这两个式子正一 x 取正一负一的式子放在一起我们来比较，就会发现符号上很有规律， 要求 a、 c、 e， 说明就要把 b、 d、 f 消去。现在我标的有个一和二，这两个式子做减法刚好消脱 b、 d、 f， 所以做了减法过得到二， a 加二， c 加二 e 都得到三十二。减负的幺零二四都做加法了噻，得幺零五六，两边同时除以二，都得到 a 加 c 加 e， 得五百二十八， 所以结论三是正确的。现在我们来看最后一个式子， b 加 d 很 明显也可以结合一和二，那个式子要算 b 和 d， 那我就把 a、 c、 e 消脱。很明显这两个四字当中符号刚好相反，所以我都想到把这两个四字相加，相加过都得到二比二底二 f， 然后把它们相加，都得到负的九百九十二。 这时两边同时除以二，得到 b 加 d 加 f 得负的四百九十六，然后把 f 换了，就只剩下 b 加 d 得负的九百，负的四百九十五，所以结论四也是正确的， 中上一二三四都正确，所以正确答案选 d。 我 们来总结下这种题型， 它是初中数学多项式展开加代入法的经典应用。这里的核心技巧就是， 如果要求所有的系数和都只需要令 x 等于一，如果要求常数，所以就令 x 等于零。要求既偶像交错的和， 就只需要令 x 等于负一，这个技巧你学会了吗？

hello， 大家好，我是柳州小杨爱数学。今天呢，我给大家讲一下，就今天上午刚刚考完的二五到二六年八上的数学期末考试其中的几道难题啊。简单题我们就不讲了，但我觉得难题呢，可能还是要稍微讲讲解一下的。 首先我们来看一下选择题的第十二题。第十二题本质上它是个画图题啊， 在平面直角坐标系中， o 如果为圆点的话，已知点 a 一 到二，然后呢，在 y 轴上确定点 p， 使得三角形 o a p 是 一个等腰三角形，那么符合点 p 的 个数有多少个？那我们不妨画一下图啊， a 点一到二， 这大概就是 a 的 位置，他跟我说了三角形 o a p 是 等腰三角形，那你就 他并没有说哪一条是腰吧，所以由此延伸出来的，我们就会有分类讨论。你既然没有告诉我哪一条边是腰的话，那我就会有疑问了， 一问就会带来分类讨论嘛。所以第一个东西，假如说我以 o 为顶点的话，你看一下我这个三角形会长什么样子呢？ 以 o 为顶点的话，那 a p 就是 底面的那个角，那我画出来这个等腰三角形，是不是我就能得到 o a 是 等于 o p 的 了？ 那现在看一下我们现在的这个图， o a 是 不是已经知道的，但是 o p 我 不知道啊，我要怎么在上面找这个一个点 p 能使得这两段是相等的呢？很简单，圆嘛，圆是不是才能做到我的间断是相等的？ 所以这里我们以 o 为圆心， o a 为半径，我去画一个圆，你想想看，我们在这个三角形里面，现在我圆心定死在这里了，然后我拉这么长为一个半径，我去画一个圆的话， 你看 p 点我是不是就能得到了？这个时候 o a 一定是等于 o p 的， 因为它们都是半径。好，那现在我的设想是成立的，我们画一下这个图，现在我用绿色的去画一下 圆心定死在这里，然后半径呢？定反了，圆心定死在这里，然后半径定在这里，那我画出来的圆大概就是这个样子的，我画出来的圆大概就是这个样子的。 看图是不是就能看得出来，它和 y 轴是不是会有两个焦点？ p 一 p 二一定要画图画出来啊，不要感觉。所以 p 一 在哪里啊？ p 一 就在 y 轴的正半轴吧， p 二在哪里啊？ p 二是不是就在 y 轴的负半轴？它们两个是不重复的？再来 第二种情况，我是不是我的这个等腰三角形也有可能会以 a 为顶点？以 a 为顶点的时候，我们先把这个三角形去给他画一下， 以 a 为顶点，那是不就是 o a 就 等于 ap 了？所以如果我想要找到 p 点的话，是不是也是一样的，以 o 为圆心， o a 为半径，我画出来的这个圆 ap 一定会等于 o a 吧？因为它们都是半径，所以它的作图也很简单，我是不是就是以 o 为圆心， 然后呢？ o a 为半径，那现在我用另外一个颜色的去画一下这个紫色的这个圆， o 为圆心， a 为圆心， o a 为半径，那我画出来这个圆大概是这个样子的， 那么我们把这个 y 轴再给它往上画一点点， 你就会发现它与这个 y 轴实际上是有两个交点的，看到了没有？但是呢，这个交点我们是不能用的。假如说你 p 点画在这里， o 点和 p 点重合了，那我就够不成一个三角形了，所以它只有上面这个点可以，那我们就把它叫做 p 三吧。 所以 p 三会在哪里？ p 三是不是就会在 y 轴的正半轴最后一个部分，他和前面的画法会稍微有一点点不一样啊，最后一个部分 o 为顶点， a 为顶点，都用过了，那接下来是不是就是 p 为顶点了？ p 为顶点，我去挂这个图的时候 p a o， 那 是不是就应该是 o p 等于 ap 了？可是按照原图，我只知道 o a 的 长度啊，如果我要去算他们两个的话， 你就穷穷举法。你想一下，我们这个学期我们就学了什么什么图形的画法，垂直平分线对不对？角平分线对不对？还有还有几个 我们所学的，那你看现在他想要 ap 等于 oa， 是 不是很快的可以联想到垂直平分线，因为垂直平分线到点到线段两段的距离相等嘛。所以我要做谁的垂直平分线是不是马上出来了？做 oa 的 垂直平分线 就是最笨的一个办法。就是既然他是画图题嘛，那你就想一下，你这个学期到底你学了什么画图的部分，那他考时候肯定要运用到嘛 这里呢？因为我是平板上面画图嘛，你们不能够这样子画，我就大概画一下 o a 的 垂直平分线，它是这个样子的，它与 y 轴大概交这个点在这里，那么这个就是 p 四， 所以我们一共会看到我们描下，你看 p e 在 这里，这一个一定是个等腰三角形，能看得出来吧？ 两段 o a 是 半径， o p 一 也是半径，所以它是个等腰的三角形。再来看一下 o a p 二， 哎，看得出来吧， o a 是 半径，这个绿色的圆的半径， o p 二也是这个绿色的圆的半径吧，所以它是不是也是等腰三角形啊？再来看一下 p 三，我现在我也把它连起来，你看 o a 是 等于 o p 三的话，把，它们都是这个紫色的圆的半径，所以它也是个等腰三角形。最后一个 p 四 把它连起来，是不是这两段相等？ a p 四等于 o p 四吧。垂直平分线上的点到垂直两到线段，两段的距离相等。所以这题一共是选四个答案， 分类讨论。然后我们去画题，我们去画图十六题。十六题非常非常非常简单，我觉得它都没有资格放在填空题的最后一题， 就四个字，等面积法。 如图，三角形 a、 b c 是 个等腰三角形， o 是 底面， b c 上的任意一点， o e 和 o f 与两腰垂直，它的腰长都是六，它的面积呢？是十五。问你， o e 加 o f， 这不就等面积法吗？ s 三角形 abc 的 面积，它给你了，是十五，那么我是不是也可以把它拆成两个小的三角形的面积之合呀？ 为什么我要这样猜？你注意看它的底是谁？它的底是不是不是 ab？ 是 不是已经给我了？它的高是谁？是不是 o e 是 不是刚好就是我想要求的， 所以是 a b 乘以 o e 吧。同样的，你看它的底是谁？ a c 吧， a c 是 不是给我了？ 它的高是谁？ o f 吧， o f 是 不是就是我所想要求的，所以一切都刚刚好，一切都是我所想要求的，因为它已经告诉了我，它们两个是等腰三角形，所以 a b 和 a c 是 相等的。那我是不是就可以提供因式，把它提一个二分之一 a b 出来， 提个二分之一的 ab 出来，中间就剩下 o e 加 o f 了吧？ ab 是 多少？ ab 是 不是就六？ 所以它应该等于三倍的 o e 加 o f 吧。那我又知道了，它的面积是十五，所以十五就等于三乘以 o e 加 o f， 那 么 o e 加 o f 是 不是就是五？看起来很难，它其实就是等面积法 再往下来。第二十二题，英式分解。今年他没有考与图形结合的一道题，他考的是一个配方法这个东西，你说他超纲，他其实也不超纲。如果你期末考试前刷过的题目比较多，你还是会见过类似的题目的， 并且这个东西配方法我们会在九年级的时候正式的去学习，所以他是没有超纲的。那么像这种题，你最重要的就是去模仿，模仿他每一步是怎么做的，你就跟着怎么做。 他说，我们已经学了完全平方式，一定要注意题目给你的信息啊，人家都叫你阅读材料了，你不要直接跳着去看题目啊，材料里面会给你很多很多的信息，你不要忽略这些信息啊，你如果忽略这些信息了，那你人家给你的暗示你就 get 不 到了。 看到没有？他暗示你了，我要用什么完全平方式，人家第一句话就告诉你了，他说，哎，我可以利用完全平方式的知识，将一般的二次代数式转换成完全平方式的形式，这个过程叫做配方。所以我要去利用什么？要去利用完全平方， 通过配方呢？我就能知道他的最大值或者最小值。比如说他想叫你求 a 的 平方加二， a 加三的最小值， 现在它配方， a 的 平方加二， a 加三，它等于 a 的 平方加二， a 加一，再加三，我们去观察它的变化，它这一步的变化是什么？ 是把一拆成二了，我们再看它下一步的变化，它下一步的变化是什么？是把这个 a 的 平方加二， a 加一变成它了吧？ 因为只有二在这里没有变啊，那是不是说明他把前面的三项变成他了？那我就知道这一步他拆三的目的就是为了去凑完全平方。那为什么要拆成一加二呢？因为 a 的 平方加二， a 是 不是再加一个一？我们当时讲完全平方的时候，我们有一个口诀 是什么？首平方加尾平方，然后加上首尾的 首尾乘积的两倍吧，放中央。所以这里你看他的首平方是 a 吧， a 方吧，所以说明他的首就是 a 嘛，他的尾平， 他没有给你尾，你要自己凑出来吗？他中间是什么？中间是二 a， 那 你中间不是二乘以手再乘以尾吗？所以现在手是 a， 那 最后他相乘等于二 a， 我是 不就能推出来？其实他的尾就是一， 所以我就能凑出来了吧？当然你现在看不懂，没有关系，他后面他还会再给你暗示我应该该怎么去做这道题。 哎，最后他给他凑完了，他说这个平方一定是大于等于零的，那我加上二了之后，我肯定会大于等于二，他说当他等于负一的时候，他的最小值是二，那你去观察这个负一是怎么得到的，这个就是令 a 加一等于零得到的，也就是 a 等于负一的时候，那他这个最小值二是怎么得到的呢？哦，是因为他最后加了一个二得到的，他一直都在暗示你，所以你是不是就可以学习他的暗示？所以这里也一样。第一问他问你， x 加二的平方加六的最小值，那 是不是就是让中间这个等于零的时候，也就是 x 等于负二的时候，他这里的最小值是二，那你这里的最小值是不是就应该是六？ 第二题，他教你求代数是负 x 的 平方加六， x 加二十的最大值，那这里他是不需要你完全自主的去做的，他每一步都有引导你该怎么样去做？ 负 x 的 平方加六， x 加二十。哎，第二步他变成了这个，我们去观察一下，一共三项二十，他有动吗？没有动，他还是加二十，中间他加了个括号，然后这里多了个负号，那是不是说明这一步他在做什么操作？他是不是在提一个负号出来？ 那我提了一个符号出来之后，里面是不是就剩下 x 的 平方减六 x 了？再往下去观察，这个二十有洞吗？没有洞，还是在括号外面吧。那注意看哦，我拿这个笔标记一下， 前面的符号也没有洞吧，前面的符号还是在括号外面的，所以这个部分 你去看他只有哪里不一样？这里多了一个加九减九，对不对？那就说明这个蓝色的部分他是完全一样的。为什么我加了一个九，我的值是不变了？那我再减去一个九，是不是相当于我没有加过啊？ 所以这里的东西里面的东西他是不会变的，你去观察他一共有几项，他这几项是怎么变的，最后你再来看 负号，负号，哎，减九减九，加二十，加二十，那就说明这三项 在这一步这里不见了，那就说明他叫我填空的这个部分就是他嘛。那最后呢？他写成了平方的形式，我们可以去观察一下 x 的 平方减六， x 加九，是不是刚好就是题目一直在暗示我的完全平方？是，所以这里是不是就应该填 x 减三的平方？ 那我们再回头来看看一下前面这里，为什么他要加一个九，再减一个九？现在我就知道他的目的了吧？我加九是为了什么？是为了去凑完全平方， 那么我减九的目的又是为了什么呢？我加了一个九，我原来的值是不是变了？可是我不能去改变我原来的值啊，所以我要再减去一个九，这样子我就能保证我原来的值不会变了吧。 那最后这里的时候，我就可以去模仿他第一问的套路了吧？是不是就是括号里面这一坨等于零，也就是 x 减三等于零，也就是 x 等于三的时候，他有最大值，最大值是多少？这里是二十九，那我们就填二十九。 第三问长方形花圃，他说两面都靠墙，一共有四十米去围他， 现在呢？他设这边为 x， 所以 这边是不是四十减 x？ 注意啊，两边都靠墙，所以他只有两边需要用这个材料去围的。那他问我，他的面积最大 x 等于什么值的时候，面积最大，最大是多少？只要他问我最大值，那我是不是先把面积的表达式给他写出来？ 那长方形的面积长乘宽吧，给他写出来整理一下。负 x 的 平方加四十 x， 那这里你看他是不是和第二问一样，前面 x 的 平方前面都是符号，那模仿还记得吗？最重要的模仿，第二问怎么做你就怎么做。第二问，他把这个二十放到这一边了吧。哎，他是不是刚好没有长竖向？干嘛？他第一步是不是提了个符号出来？ 我学他第一步提个符号出来，哎，第二步他干什么了？他加九再减九了吧，他在括号里面加九再减九了吧， 所以前面这两个 x 他 是没有动的，他加了一个数，他再减了一个数。那现在我们已经知道他加九和减九的目的了吧？是为了配完全平方和为了保证原式的值不变。那我也学啊，我们不是刚刚才说完吗？完全平方是首平方， 尾平方，首尾二倍居中央吧。所以这里它的首平方是多少？是 x 的 平方吧？它的尾平方是什么？是二乘以 x 再乘什么？是不是再乘二十了？所以你说这个是不是就是尾了？ 那后面再加上尾平方，所以是不是加上一个二十的平方，再减去一个二十的平方？ 这是两倍嘛？这是不是首首尾二倍居中央嘛？是不是可以把四十 x 拆成负二 x 再减二十？ 所以这里加二十的平方是为了凑完全平方，减二十的平方是为了保证原式的值不变。再来看它下一步是怎么做的？它下一步是不是把前面三项写成平方，然后这个减九还在括号里面嘛？所以我还继续学它呀。 前面三项写成完全平方，那就是 x 减二十的平方吧。注意他这里没有放出来，你就没有放出来，看到没有，他这个减九还在这个括号里面，下一步他是不是把这个减九踢出来括号外面了？那这里一样的，下一步我也把这个踢出来， 它就等于负 x 减二十的平方，再加二十的平方，也就是四百吧，对不对？ 那最后他还是问我，当 x 等于什么值的时候，它的面积有最大，那你就学它嘛，这不，括号里面这个等于零的时候， 也就是当 x 减二十等于零的时候，也就是 x 等于二十的时候，它最大值是多少啊？最大值是不就后面的这一坨数， s 的 最大值就是四百吧。 那么这个就是二十二题的配方法。阅读材料是非常非常非常重要的，材料里面会给你他的做法，那么你接下来就只需要模仿他的做法，哪怕你之前没有学习过配方法。 二十三题，我觉得今年的压轴题真的不算特别难的，我觉得反而还特别的简单， 我们来看一下，它告诉你 a、 b 等于 a， c 的， 然后呢？ d 是 它的终点， d 问 a 是 五十度，问你角， b， d 问简单的不能再简单了吧。呃，我的过程可能写的不是这么的详细啊，我主要是讲解一下思路，然后把那个思路给它写出来， 是不是就这样？六十五度吧。所以这是第一题的图，因为这一题一共有四问呢，所以每一题讲完的时候，我们把这个图，这个题的图给他移到旁边， 这是第一问的图，我们再来看一下第二问，他告诉我，如果 b d 是 等于 c、 c f， 并且 b、 f 是 等于 c e 的， 我们一边读题，一边在题目上面去标上他的角，现在他想叫你求证 f 点是在他的垂直平分线上的， 那你要进一步翻译这句话了，如果他想叫我证明某个点在垂直平分线的话上，实际上他就想叫我证明 垂直平分线上的点到线段两端的距离相等吧。所以它实际上就是想教我这这两条线段相等吧，也就是 d f 是 等于 e f 的 吧。 你要学会数学语言应该怎么翻译成某一个线段相等，或者是什么其他的值。那现在图里面有这两条线段吗？是没有的吧，所以我要是不是就要把它们连接出来， 所以这两个连接线你需要写的，我需要去连接 d e 和 e f， 那 我的目标就是想要去证他们相等，那我这个学期去证两个线段相等的工具有什么？是不是就是全等？ 那哪两个三角形全等？是不是这两个三角形全等？现在我看题目给我的信息，我要是还知道这个角就好了吧。哎，你看这里是不是又来了什么等边对等角， 所以这两个是不是就相等了？那我是不是就可以证了？三角形 b d f 全等于三角形 c d 点应该对应着是 f 点吧，对吧？ f e s a s， 所以 我的 d f 就 等于 fe 了吧，那这一题是不是就可以得证了？那么这是第二题的图，我们给它描一下，放在旁边。 再来第三问，如果三角形 b、 f、 d 与三角形 c、 e、 f 是 全等的， b 和 c 是 对应点，那这里它实际上它是不是就是告诉我三角形 b、 f、 d 全等于三角形 c、 f、 e 了？因为它已经告诉我 bc 对 应，那接下来的 f 肯定和 e 对 应， d 肯定和 f 对 应嘛？它告诉你这句话实际上就是告诉你这个东西了， 并且它告诉我整个的周长是十四， bc 的是四，那我是不是就知道了，你 abc 的 周长是十四，你 bc 又是四的话，所以你剩下来的这两个相加是不是就是十啊？ ab 加上 ac 是 不是就等于十？那你的大前提是不已经告诉了我 ab 又等于 ac， 所以他们是不是刚好就都等于五？这边是五吧，这边是不是也是五呀？哎，题目是不是还告诉了我 d 是 a、 b 的 中点， 那你不就有了吗？我们是不是刚刚才得到这一段是五，你又是中点吧？所以这里是不是二分之五，二分之五，我们给它标一下二分之五、二分之五，对不对？ 哎？最后他问你 c、 e 的 长度吧，那你看他给我的这两个全等还没有用上，对不对？所以我是不是还要去连接这两条边？你给他的全等标一下 b、 f 应该等于 ce 吧？你的第一个字母，第二个字母，我的第一个字母和第二个字母吧。 b、 f 等于 c、 e， 我 们给它标一下 b、 f 等于 c、 e， 再来你的 第二个、第三个字母，我的第二个、第三个字母，所以是我的 f、 d 应该等于你的 f、 c 吧， 我也给他标一下，最后这里的我的 b、 d 是 不是就等于你的 c、 f 了？那现在我们看这个图啊，这个绿色这一段我们求出来是二分之五吧，所以这一段是不是也是二分之五， 三角形全等对应过来的？哎，那你再看这一段是四吧，这一段又是二分之五，所以这一段是不就有了 四减二分之五吧，所以这一段是二分之三吧。那你看三角形全等，这里我标了一撇，这里是不是也标了一撇，所以 c e 也应该是二分之三吧。第三问是不是也解决了？ c e 等于二分之三？哎，这是第三问的图， 我们把前面清一下，给第四问留一下位置。 第四问他说在第二问的基础上，那这短短的一句话是不是告诉我，你第二句话能得出来的 结论我是可以接着用的。第二句话我们能得出来什么结论？看我刚好没有擦掉，是不能得到这两个三角形是全等的。哎，你看这里的边的对应，我也没有擦掉，那我继续按照你刚才第二问怎么标这个边相等呢？现在我就怎么标这个边相等，它是不是这个样子的？ 它说在二的基础上是判断三角形 a d e 和三角形 f d e 是 否关于 d e 是 轴对称的，如果存在这种情况的话呢？直接写出来这个角的度数，如果不存在的话，请说明理由。所以要注意啊，这个我要去翻译的话，他 相当于是一个条件。轴对称是什么？是说我翻折过来他们是不是完全重合的？那么全等的定义是不是就是两个三角形完全重合， 所以这个是条件呢？有的人把这个当成结论去证明了，他是说在这两个全等的前提下，此时角 a、 d、 e 的 角度，而不是叫你去证明出来他们是走对称的。 所以第四题第一步，我得先告诉他存在。那么假设最后一问，你不会写， 我不知道你们有没有考场上带两脚气啊？你看到他，你看到他说的没有，他说叫你直接写出来角 a、 d、 e 的 度数，他叫你写过程了吗？并没有吧，所以不要给我浪费时间去写过程啊。假如说你真的不会写这道题， 拿两脚气一量，哎，这题第四题的分每每收下，对吧？那我们来讲一下，假如说我们要通过正规途径，我们不通过走邪修的方法去写的话，这题应该怎么写？注意啊，这个是条件啊，不是结论，不是结论。 当然，嗯，你量出来的度数不一定会准啊，因为我的这个三角形的全等，它是一直在不断的变化的，你用两脚气量的方法只是说我实在走投无路了，我实在不会写了，那你用两脚气， ok， 没问题，万一蒙对了呢，对吧？ 好，我们来继续。现在 我的这两个三角形是全等的，我能得到什么条件啊？既然你最后问我的是一个角的度数，那我从三角形全等里面，我就应该拿那个角相等出来算，对吧？ 你看这个 d 角是不是就应该对应着这个 f 角，也就是这两个角相等吧。我们去给它写一下，也就是这个角 b、 d、 f 是 等于这个角 e、 f、 c 的， 我们现在在图里面用绿色的去标了它嘛。 再来看一下啊，接下来我的突破就要从这里突破了，角 d、 f、 c， 我 们在图里面是用紫色的角去表达的，我们看原图，这个大角是不是可以猜成这两个小角相加的？也就是角 d、 f、 e 再加上角 e、 f、 c 的 吧。再来看这个紫色的角还可以怎么猜？这个紫色的角是不是就是这个三角形的外角？ 所以它还可以等于角？三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和吧，还可以等于这个角 d、 b、 f 加上这个角 b、 d、 f 吧， 这个是通过什么猜的？把它猜成两个小角相加吧。 哦，这个表达式我们是怎么写出来呢？利用三角形的外角拆的吧。哎，那你就会发现 这个角是什么？我们刚才标绿色的这个角，这个角是什么？我们刚才标绿色的这个角吧，所以这两个角都是那个绿色的角，他们是相等的。那这边都是那个紫色的角吧，他们也是相等的，所以很显然就能得到什么。这个角 d、 f、 e 是 等于这个角 d、 b、 f 的 吧， 我们用什么颜色给它标一下呢？这个角是不是就等于这个角了？那这个角他们本来就相等了，现在我们统一都用黄色去标它了，你看我现在这三个角是不是都相等了？这两个角本来就相等了，然后现在呢，这个角就等于这个角了，所以这三个角是不是都相等了？ 再往下来啊？我的这两个三角形全等，我是不是一直都没用过？ a、 d、 e 全等于三角形 f、 d、 e， 所以 我这个 黄色的角翻上来，是不是就它这里也会是一个黄色的角吧？我现在全部都用颜色来标。那你回到这个大的三角形里面看到没有三个黄色的角吧？三个角都相等，所以三角形是什么？ 三角形 a、 b、 c 是 不是就是一个等边三角形？它们全部都是六十度吧？黄色的角全部都是六十度。 哎地问，通过全等这里，我是不是就可以看得出来，这两条边也应该是相等的吧？ 从这个全等三角形这里啊，那你再来看这个三角形，有一个六十度的等腰三角形，也是等边三角形吧。所以呢，这个三角形 d、 f、 e 也是一个等边三角形吧？ 所以呢，这里全部都是六十度了。可是他最后他问我的是什么？他问我的是 a、 d、 e 吧？那你你们两个都全等了，你这样子对应过来，这里不也应该是六十度，六十度吗？那最后一问，他说叫我求出来他的度数是不是就六十度搞定了？