重庆一中高三一诊考的什么卷子

重庆高三那几天都已经开始移证了哟！很多家长对重庆移证的几套卷子和参考价值还搞不清楚，我今天具体给你们解释一下。一般来说，重庆移证分两套试卷，康德卷和教科院的卷子。 康德移证的热度是最大的，二零二五年就已经有十九点二万的考生，今年有望突破二十万，像一三八、巴蜀西府这些都要参加。 出了分之后，有一个一分一段表，对于这个表查出来的排名，是最接近于六月份高考排名的，可以换算等位分给娃定为合适的大学。九龙坡的一镇，它类似于抽调性质的考试， 主要是坡区学校参加，包括一万育才、铁中、杨中、璧山中学、渝北中学。这些学校大概有十几所学校，二零二五年和今年参考人数都是一万多点儿。 其中据这些学校家长描述，玉外育才、朝阳中学、尖山中学、大学城一中、永川双川中学的也会参加。康德一整连考六天， 因为考教科员卷子的人数比较少噻，所以说他的排名没得康德卷那么准，可以通过现场发换算成绩作为参考， 现查房换算方法，用二五年高考特控线减去坡区特控线，算出来的成绩，加上娃儿负分后的成绩就可以了。教官这两天已经开始考了，康德卷二十九号开考，不管考啥子，全力以赴就对了，一生加油娃儿些！

重庆高三一等数学康德卷考完了，核心特点就是两级分化明显，简单题超基础，拿分很轻松，难题却让人没思路。突破难，基础送分题占比高，单选一到七题，多选九到十题，掌握知识点就能秒答，注意细节就行。 难点在单选八题，大题第十八题的第三问。综合度高，计算难度还大，基础过关呢。一百加一百二十加，有机会一百三十加难度就拉满了。对比九龙坡卷，他的计算量更大。压轴题呢，风格基本相近，赶紧针对性复盘。

高三的家长们，让你们久等了哈！康德卷考试的一整成绩发布了，总共全市是十八点六万人参考，其中呢，历史是六点一八万， 物理是十二点四六万，就相当于六万多的十二万多哈。物理学科的娃儿的这个特空线是四百六十三，本科线是三百九十四，历史学科的娃儿的特空线是四百九，本科线是四百一十五。那么 一分一段表儿呢？我在视频里面没法给你们展现呃，马上开直播哈，帮你们解答这个，如果需要查询一分一段表儿的，把你们娃儿的分数抠出来，我帮你们换算位置，或者你们用现插法自己换算。

哈喽，各位同学大家好，今天给大家带来二零二五年重庆一诊数学试卷的讲解。首先总评下张卷子，张卷子除了十九题第三问之外，其他题难度都相对较低。 单选的第八题呢，考虑一个比较初等的一个殊论的问题，虽然说社交殊论的知识，但是我们通过一些小学数学的知识就可以把它做出来。然后十一题是一个 卵形线的问题，这个也是考的非常多了，然后第十题可能会错，就是很多人可能这个相位这些是没有去记忆的，那这个需要重点记一下，这个是一些基础知识，后面的第十字题呢，其实通过分餐就可以把它做出来，所以十四题并不算一个难题，后面的十七十八都非常简单。 然后十九的前两问呢，我们稍微去代换一下，也是能轻松的做出来的。重点就是第三问会比较难，第三问我也会重点讲，然后前面的题可能就会讲的快一些。 我们先来看第一题，已知集合 a 三到六， b x 小 于等于四，那 a 并 b 取他们的一个或者的部分吧，就是我们可以取 a， 可以 取 b， a 是 这样一个三到六，那 b 是 小于等于四，在这里那整个就小于六吗？对吧？选 b， 已知 a 属于 r， 那 我们这是一个开口向上的二函数，它的解集为 r， 是 不是我们只需要嘚儿它小于零就行了？嘚儿小于零，我们解出 a 是 大于一的，那我们说小可以推大，大不能推小，所以说 a 大 于一可以推 a 大 于零， a 大 于零推不出 a 大 于一，所以重温不必要。 已知 o v 坐标原点点 a 一 根号三，将 o v 绕点 o 逆时针方向旋转三分之派，得到 o v 一 撇，则 o v 减 o v 一 撇的模是多少？我们先画出这样一个 a 点，那么发现它一杠三的话，这里刚好是六十度，所以这边呢，是三十度， 所以我们相当于逆时针方向旋转三分之派，就旋转六十度，是不是相当于这里又转了一个三十度，也就说他是不是对称的？所以我们的 a 一 撇是不是就是我们的负一根号三？ 所以我们 o v 减 o a 撇是不是相当于 a e 撇 a 这个向量，那是不是刚好是二的长度？所以选 a。 四。已知平行六面体的体积为一，若将其截去三轮锥 a a 一 b， e、 d， 则剩余部分几何体的体积为多少？我们先画一个， 这边是 a、 b、 c、 d a、 e、 b e c e、 d e， 那 我们看这里是不是我们的 a a、 e、 b e、 d e， 那 它的体积怎么算呢？它的体积是不是我们的底面积乘上我们的高，再乘上我们的三分之一， 那我们整个平行六面体是不是这个底面积乘上我们的高？所以说我们的底面积是整个平行六面体的二分之一，然后高呢，是相同的，但是我们轮锥是不是要乘三分之一？所以整体来说，他是不是我们这个平行六面体体积的六分之一？ 所以我们剩余部分是不是剩余六分之五？ ok， 这第四题第五题 六贴比较简单，那我们只需要把这边三一方塞塔等于口塞塞塔，给它写成一减上口塞方塞塔等于口塞塞塔，然后这边呢，它等于二倍的口塞方塞塔减一，那我们把这口塞塞解出来，然后再带入这边就 ok， 然后就选择我们的 b 选项。第六题已知三角形 a、 b、 c 角 a、 b， c 的 对边为 a b c 小 a 等于一 b 加 c 等于二 a 等于四分之派，则三 b 加三 c。 很多人看到这个条件可能希望于向量，其实我们这其实没有必要的，我们只需要先把这后面写出来就可以了，对吧？ 那么是不是三 b 就 等于我们 a 除上不 a 分 之三， a 乘上一个 b 啊？那三 c 是 不是也是一样的 a 分 之三， a 乘上一个 c 啊？所以我们根本就不需要算其他任何条件，我们只需要把 a 还有三 a 还有我们的 b 加 c 代入就好了，就知道我们点一下第七题 双曲线先画一下，由于我们 ab 是 不是一个二 a 的 长度，然后我们 abf 的 面积等于 c， 那 我们底边知道我们是不是差一个高就可以表示面积了，说明在这里做一条高， 让我们知道这个高是不是一个 b 的 一个长度，因为我们这里是 c， 对 吧？然后这个角度探进它呢？是我们 a 分 之 b， 所以 我们交点到间接下距离是不是就是一个 b 的 长度， 所以我们的面积是不是等于二？ a 乘上一个 b 乘上二分之一等于 c， 所以 我们是不是有 ab 是 等于 c 的？ 我们又有 a 方加 b 方等于 c 方， 那么 c 方等于 a 方加 b 方大于等于二 a b， 它是不是等于我们的二 c， 所以 我们 c 方大于等于二 c 可以 解出来 c 大 于等于二，所以 c 的 角值是二。第八题， 使得这个 ap 等于 a q 等于负一百二，则那么就把 pi q 带进去，那是不是它就是我们的这个 n 方加上 number n 加一百二等于零的两根啊？ p q 是 不是这个方成两根？因为我们这个其实是一个二次的一个东西，那它等于一百二啊，它等于负一百二，是不是只有两个根便是满足这个方程两根？所以我们是不是 p 加 q 就 等于负，那么的 p 乘 q 等于我们的一百二了，对吧？ 由于我们 p k、 u 是 整数，所以我们是不是要把这个一百二进行一个素因子分解，看它究竟能分解成多少个整数相乘。首先一百二的话，一一百二是不是一组二，六十是不是一组三，四十是不是一组四，三十是不是一组五？ 二十四是不是一组六，二十是不是一组八，十五是不是一组十？十二是不是一组？我们再往下就是反着写上就是十、二十、十五、八，因为我们 p q 就 有对称性，所以你反着写上来没有任何的意义，就我们发现这里有八组，并且这八组算出来这个蓝码都是不相同的， 所以我们总共有八个分层抽样，按比例分配数学被抽到十二人，你总共是两百，数学是六十，所以分层应该是二百分之六十，然后在乘上我们抽了这四十个人，刚好就十二个。 按性别进行分层抽样，则男性可能被抽二十。按性别来说，男性应该是二十分之一百二的吧，你应该抽二十四个， 简单随机抽样就是你随便抽，那抽十个，那不可能吗？你怎么可能是一定呢？简单随机抽样，有可能抽出的全是数学，数学有六十个人，那么要抽四十个，是不是有可能抽出这个四十个全是数学的第十题。那这里主要是频率、正负和相位，这些究竟是什么？我们来看一看。 对于我们一个正弦函数 a 倍三以 omega x 加 five， 那 我们这些东西到底是什么呢？那 a 是 不是我们的正负，对吧？ 那我们说二派除以欧米伽绝对值，是不是我们的这个周期，那周期分之一是不是我们的频率？那么象位是什么呢？象位是欧米伽 x 加 five， 这个整体叫做我们的象位，那么这 five 呢？叫做初象，这就是我们的一些概念。 那知道这个概念就是说我们频率和正负万相同，也就是说我们这个欧米伽和我们的 a 都是相同的，相位恰好相反，就是这个整体，它相差这个 pi 的 基数倍啊，可以， pi 可以 是个基数， 所以说我们这样判断哪些可以化简成它，那首先我们看到两个就肯定画不出来，这个是 c， c 肯定不对，为什么呢？因为这里减六分之 pi， 你 在这个整体上加减这个 k pi， 那是不是你这个负六分之派依然是存在的呀？即使你变成口塞，你变成口塞是不是加减二分之派的一个问题？ 那二分之派跟你这个负六分之派是不是还是消不掉的？你要么加二分之派，要么减二分之派，但是你这个负六分之派加减二分之派之后，你都不可能变成零，所以 c 肯定是不对的。我们还有一个说是肯定不对的， 就是 d 肯定是不对的，因为你想你三影变成可三影是个什么情况？三影变成可赛，你是不是应该是一个加减二分之派的一个情况？因为我们说既变偶不变符号看象限，你二分之派的基数倍才可能变成可赛。但是我们这里是 加减 k 派， k 是 一个基数，也就是说对于二分之派来说，我们加减呢，永远是它的偶数倍，所以你不可能保证里面不变的情况下，你在外面给它变成 cosine， 能明白吗？ 就是里面这个整体不变，这个整体加减二分之 pi 才有可能是 cosine。 但是问题在于你加减的不是二分之 pi， 所以 说 d 也肯定不对，那我们来看 a 和 b a， 这就是前面多了一个符号，那我们说它要相差基数倍，那是不是我们这里加个 pi， 我 们根据基变而不变符号，看一下你加个 pi 是 不是前面加个符号啊，对吧？ 这个是非常简单的变一下这个东西，我们要给它变成这个减六分之 pi 的 一个符号啊，对吧？这个是非常简单的变一下这个东西，我们要给它变成这个减六分之 pi 的 一个形式。所以我们首先是不是 要通过他给他往三分之派上面变，是不是加三分之派，再减二分之派，他是不是等于一个负的四分之三，括号三分之二 x 加三分之派啊？ 那我们再在这个基础上加一个派，是不是几秒不变符号，看象限，我们依然在前面加一个符号，那负负得正就是我们的 b 选项。那么第十题，第十一题， 这是一个卡型的软性线的问题啊，这考的非常多。在平面几何坐标系中，已知点 f 一 f 二，若满足它等于，然后轨迹为 c， 则下列说法正确的是， a 存在 a 大 于零，使得曲线 c 经过圆点 o， 那 我们就看一下 o 是 否满足这样一个方程就可以了。上面写一下 o f 一 乘上一个 o f 二是不是等于一乘上一啊？对吧？它等于 a 的 话，我们 a 等于一刚好是可以的。 b 任意 a 大 于取点 c 既是轴对称图形，也是中心对称图形。我们先画个图， 它大概是长这样的，当然你画不出来也没有关系，大概是长这个样子画的有点丑陋。首先我们判断一下它是否关于 y 轴对称对称过来之后，是不是你的这个，这是 p， 这是 p 一 撇， 你的 p f 二跟我们 p 撇 f 一 的长度是一样的，然后 p f 一 跟我们 p f 二的长度是一样的，相当于你交换一下，但是你这个乘积依然是等于 a 的， 所以说你依然在我们这个卵形线上，那上下对称呢？你没有改变 p f 一 和 p f 二的长度吗？对吧？你现在是 p 两撇 p f 一 就等于 p 两 p f 一， p f 二就等于 p 两 p f 二，所以你关于 x 都也是对称的，那你既关于 y 的 对称，也关于 x 的 对称，你就是一个中心对称图形呗，你对称两边不就中心对称到这来了，对吧？随着我们的 b 选项，这个 c 选项呢？如果你知道卡形的卵形像一个形状，那么它是非常好做的，它又长这样， 长这样之后，我们知道这个 a 等于一点二，然后我们经过计算呢？其实这个点就是 x 等于零，这个点不妨去做 a 吧，这个的面积其实就刚好是五分之根号五， 所以说如果你知道它形状，它边上对于它来说是上升的，那么你就可以算出来，我们这个肯定是错误的，因为你上升的话，你这个呃面积会更大一些。当然你取些特殊值你也可以算出来，比如说你取这个 x 减一或者 x 等于二，我们都会发现它其实是比我们 a 点的纵轴标更大的。 那具体怎么算这最大值呢？给大家提供一个方法，就是可以算出它最大值，但是会非常难算，就是化简的步骤特别特别多，我可能在这倒算个十几分钟，那这里就不再给大家多做 讲解了，如果你们需要的话，可以上网搜一下卡芯软形线，或者利用 ai 可以 搜一下这个过程如何算软形线上坐标最大的点，那这也就给大家提供个思路吧，就是我们可以写出来这个方程，对吧？就是 x 减一的平方加上 y 的 平方，乘上 x 加一的平方，加上 y 的 平方等于我们的 a， 这里是一点二吗？然后我们可以对这东西两边同时平方得到 x 减一的平方加 y 的 平方，然后 x 加一的平方加 y 的 平方等于一点四。四， 因为我们最后需要这个通通标最大值，所以我们是不是重点是要把 y 看作是一个 x 的 一个函数，所以我们可以通过这个去算 y 和 x 的 关系。 那这边其实你可以拆开看，就是 y 方加 x 方加一，再减二 x， 然后 y 方加 x 方加一加二， x 等于一点四四，那么是不是可以看作这两个 的一个平方差呀？那最后你想想，平方它出来之后只会含有什么东西呢？是不是 y 的 四次方向， y 的 平方向， x 的 四次方向， x 的 平方向，那我们是不是可以把它看做一个大 y 的 平方？大 y 就是 我们令大 y 的 一个小 y 的 平方啊？这边是 x 方，这边是 x， 那我们在这样一个方程中要去求 y 的 最大值，应该怎么办呢？因为我们这里的 y 是 直接分不出来的，所以你要求 y 的 最大值，我们只能采用判别式法， 就是说因为它是关于这个一个方程，所以我们必然有 x 满足这样一个方程，那有这样一个大 x 满足这样一个方程，那我们是不是它的系数德塔就必须要大于等于零， 对吧？那系数灯他要大一点，那我们的系数就是一个关于大 y 的 一个不等式，那把这个不等式解出来，就可以知道他的一个最大值了。那这个计算非常非常繁琐，因为你看出来在这里就已经计算量非常大了，你再往下展，那我在这里如果展示这个计算的话，肯定要写个十几分钟，我觉得没有这个必要。 d 选项 a 等于零八式，取元 c 为生的面积大于取元 e 为生的面积，那我们说这种题他肯定不可能是一会大一会小，一会大一会小，因为在我们高中数学的范围内，这种东西的面积是没办法比较的， 对吧？这种东西的面积你就算不出来了，包括这卡芯软件面积算不出来了，所以说我们要比较这面积大小，要么是全部都在里面，就是肯定比它大，全部都在里面，要不就全部都比它小。在高中阶段，只有这样我们才能比面积大小，因为本质上这些图形包括椭圆，它的面积我们在高中都是不知道的， 所以这种就是我们比不出来的，他也不可能来考我们的。所以这种就是我们 p f e 乘 p f 二等于八，然后你又发现 f 刚好是我们这个椭圆的一个这个焦点，那加它的椭圆的焦点我们是不是同理就会有？ p f 一 加上 p f 二等于一个四倍根号二，对于椭圆来讲， 慢慢发现一个是乘，一个是加，你立马想到什么？是不是基本不等式吗？对吧？对于我们的这个卵形线来说，我们的 p f 一 加上 p f 二是不是大于等于二倍根号下？ p f 一 乘 p f 二， 那是不是等于一个四倍根号二？那就是说对于我们卵形线来说，我们上面每一点到焦点的距离都是大于等于四倍根号二的，而我们椭圆是等于四倍根号二的，那是不是就说明我们卵形线的点其实都在椭圆的外面， 那它都在椭圆外面的话，那它最后的面积是不是一定大于我们的椭圆，所以是没有问题的，所以选 abd 十二题， 他甚至亲切的告诉你，这个 i 方等于负一啊，那我们只需要把这个 z 算出来就可以了，那就是一个二加二 i， 所以 z 的 周长二倍杠。二十三题 分别是两个圆上动点，然后让我们求这两个动点之间距离最大值，那就是把这两个圆画出来，然后圆心连线，然后再加上两个半径吗？此时是不是最大的？所以说我们可以把这个圆算一下，这边是 x 加一的平方加 y 方等于一，这边是 x 减二十平方加上 y 减四的平方等于十六，所以我们圆心两个圆心，这样的距离是不是就什么呢？五，对吧？根据购物定律，加上两个半径，五加一加四等于十， ok， 我 们的十三题， 第十四题，这个函数有且只有一个零点， x 零，且 x 零大于零的指数 a 的 求和，那我们发现这个东西等于零是不是可以分叉啊？ 他如果可以分餐，那我们就很好解决了，对吧？分餐，你直接分餐就行了呗，并且最后分餐出的函数也不复杂，对吧？所以我们对他进行一个分餐。十四，我写上面吧。 十四题， a 就 等于二的负 x 四方加上，呃，减去，不好意思， x 分 之， x 减一绝对值，所以本质上就是要画出这个东西在零到正无穷的图像就可以了，对吧？因为我们这个 x 要大于零，我们只考虑大于零的部分就可以了，所以我们对这个函数 进行一个分段，令它等于 g x， 它要等于我们的二的负 x 四方减一加 x 分 之一， x 大 于等于一，然后这边呢，是二的负 x 减 x 分 之一加一， x 呢？属于我们的零到一，对吧？那其实上面这个情况是比较显然的，因为我们二的负 x 方倒立减， x 分 之一倒立减，所以说我们在 x 大 于零的时候，这个函数是不是倒立减的，对吧？我们先画一画，这里是一， 然后这边是二分之一，它递减到哪里呢？我们发现你 x 趋向于正无穷的时候，这两个是不是都趋向于零的？所以我们整个这个函数就趋向于负一，对吧？这里有个渐近线叫做负一， 那么重点关注前面这个东西，前面的东西我们就需要单独算一算了，对吧？我们不妨 g x 等于一个二的负 x 减一，那么大家求到 g 撇和等于 负 lo in 二乘上二的负 x 加上 x 方分之一，那这个公式我们怎么考虑呢？我们先对它进行通分， x 方负的 lo in 二乘 x 方乘二的负 x 加一，所以我们需要关注的是我们 x 方乘上一个二的负 x 在 零到一上的一个取值，对吧？所以我们再令 h x 等于 x 方乘上一个二的负 x， 我 们再求导，求导之后，它等于 二 x 减上零，二乘 x 方乘上一个二的负 x 方，因为我们 x 属于零一，所以这个里面我们就可以判断出它应该是大于零的， 所以在结合这个二的 f x 大 于零的，所以整体大于零。整体大于零的话，也说我们 h x 是 在这个上面达到递增的，达到递增的话，那我们看它的一个最大值，就是 x 方乘上二的 f x 方最大值，也就是我们这边这个的最小值， 最小是多少呢？我们把一带进去，对吧？一带进去的话，它要等于这个一减上二分之零二，下面是一，这个是不是也大一点的？所以我们 g x 整个在零一上是不是当立正的？ 在零一上当立正的话，我们就可以把左边这段也画出来，大家就长这样，那所以你只有一个零点，那是不是就是 夫穷到我们负一并上一个二分之一单独这个点啊，对吧？所以说第十四题也非常简单，因为它可以分三，并且分三后的函数是很好讨论的，所以它其实也不是一个难题。来看数题， 当 a 等于负一时，求 f x 在 它出的切线方程，那我们就求倒呗， f 撇 x 就 等于 x 方二， x 方加二， a x 加一， 那我们把 a 等于负一代入，然后最后就会有 f 撇一就等于一， f 一 也等于一。对于我们第一问来说，所以最后求的这切线方程， y 等于 x， 第二个 a v 整数 f x 在 二十三上单位解，在四到正无穷上单位解求 a。 那 我们先令一下分子，因为我们分母是很大的，零的，不考虑， 那这是一个开口向上的二次函数，你用十根分布就可以讨论清楚这个东西了。当然我们还有更简明的方法，就说他在二三上需要小于零，在四到正无穷上需要大于零 g 二小于零 g 三小于零 g 四大一点零就可以了。我解一下，为什么这样呢？是因为你二次函数是先减再增的，所以只要我们二和三都小于了零，那二三中间部分一定小于零，因为如果他不小于零的话，他肯定是要增再减，那这个对于我们二函数来讲是不可能的，对吧？ 那至于为什么是记四大一点零呢？因为大一点零的部分，他肯定在我们的右边，因为你左边有二和三小一点零，所以我们对称都肯定在左边，所以我们只要记四大一点零，记四右边一定大一点零。当然如果你想不清楚这个方法的话，你用十个分布去讨论也是可以的。 那最后我们解的这个 a 应该是在负八分之三，十三到一个负四， ok， 做我们的数体十六题的话，因为他已经给出了这个 pa 垂直底面，然后 a、 b、 c、 d 为矩形，也就是这里有个三垂直了，那直接就给出三垂直，那还说啥了？那是不是啊？直接间隙就完事了，对吧？当然我们来说一说，第一问，你如果想用几何法的话，怎么去考虑？ 因为我们现在 p d 跟 c e 终究没有在一起，所以我们想把 p d 跟 c e 搞在一起，要么把 p d 挪过来，要么把 c e 挪过去，你发现 c e 挪过去，挪到后面去了，对吧？这么一个场挪到后面去可能不好算。先把 p d 挪过来，那么在这里把这个矩形给它补齐， 补成这样，那我们是不是可以把它挪过来了，对吧？那就说给这侧面也补成个矩形，然后这里有个 h， 再连过来， 那最后把 e 的 这个位置设出来，最后来求这个十六分之八可以求出来是终点。当然我觉得这个可能还不如间隙方便，那第二问也是间隙就解决了，就不在这里多说了。十七这个题也非常简单，就给大家说一下思路吧。 已知抛物线 y 方等于四， x 过点， f 一 零交于 ab， 然后呢， 与我们的准线交于 m 和轴的垂足一，当 ab 等于三边时，求直线 l 的 方程，那么是不是第一步可以把 l 射出来， 射 l， 那 么分析一下 ab 等于三边什么东西？ ab 在 这三边， b n 是 不是等于 b f？ 所以 相当于我们 ab 等于三倍的 b f， 那 是不是相当于我们 ab 等于二倍的 b f？ 那又有与 abf 是 共线的，所以说是不是 y a 等于个负二倍的 y b？ 那 我们设了 l 之后，是不是得出这个 y a 乘 y b 是 一个定值，对吧？那我们就可以把 y a 和 y b 解出来，这个直线就这样出来了，这是自己算一下。第二问，让我们证明 o a 乘 o b 等于 o m 乘 o n， 那 o a 在 这里， o b 在 这里， o m 在 这里， o n 在 这里。那如果你知道我们过焦点占一个弦与抛物线的一个焦点，它跟我们另一个焦点 到这个准线的垂足，这三点是共线的，你就很快可以做出来。如果你不知道呢？我们稍微分析一下嘛，你这里 o a 乘 o b 等于 o m 乘 o n， 你 现在什么也不知道，所以我们就给它变个形， o v 比上一个 o m 等于个 o n， 比上一个 o b， 你 会发现有这个比值的话，是不是相当于我们只要证明这两个三角形相似就可以了，那你发现这边又是平行的，是不是你会发现？哎？如果我们 m o b 三点共线， a o n 三点共线，那是不是这个比值就天然成立？那这个就比较简单了，因为 你设了 l 之后，你可以把 y a， y b x a x b 都表示出来，然后我们就可以把 m 和 n 表示出来，然后利用三点公式算下去了，所以这个也不多说，这个非常简单式气体。 后面十八题比较简单，第一次抽到优极品的条件下，第二次抽到一极品的概率，我们不妨说 p， 这个在 a 发生的条件下，我们 b 发生的概率，那 a 就是 我们的这个第一次抽到优极品，然后 b 呢？就是我们第二次抽一极品，那 是不是等于我们的 p a， b 比上一个 p a， p a 就是 我们第一次抽优极品的概率，那是不是我们六分之二啊？因为总共六个人抽两个嘛。那第二次抽到一极品，第一次抽到优极品，这两个事件叠起来，那是不是六分之二乘上一个五分之四啊？就等于五分之四。 那么来看下一问，对这六瓶罐头依次进行检验，每次检验后不放回，直到区分出等级的时候才能啊停止检验。 那么先看你这个 x 可以 取哪些值。首先你要区分出六瓶罐头是不是至少检测两次，刚好把这两瓶优极品检验到了，那是不三次、四次、五次都有可能， 那五次是什么情况呢？你检验了三个一极品，然后最后两个优极品是不是刚好检验出来？那六次肯定不可能，因为五次这些肯定能检验出来了，对吧？你要检验五次的前提是一个优极品，三个一极品，那最后你要检验五次的前提是六，所以只有二、三、四、五这四种情况， 就这四种情况的话，我们一个一个算一下，那这个有两种算法，第一种算法就是说我们直接把每一步的概率相乘，就是我们二是什么情况？二，是不是我们前两次都抽出了优极品，那都抽出优极品一个 啊？第一次是我们六分之二，第二次是不是五分之一等于十五分之二？呃， 等于十五分之一，但是我们有另一种算法，就是什么呢？就是说我们总共抽了多少次？那我们抽这两次总有几种可能，是不是总共有 a 六二种可能？因为第一次抽了六个，第二次抽了五个，总共就是 a 六二的情况，那我们抽两个优极品，那是不是 a 二二， 对吧？那这样算是相当于这两个优极品是不同的，就是两个优极品，一个是 a， 一个是 b， 它们是不同的。如果它们是相同的话，其实你对这两个进行一个消序，它的结果是一样的。就是你大家都消序嘛， 这是 p x 等于二，那 p x 等于三， 那我们就用这个来算，因为它会比较好算一点，当然你直接写概率相乘也是没有问题的。那总共有 a 六三种情况，我们想想 x 等于三，什么情况？我们是不是最后一次是一个优级品，前面是一个一，一个优。 那所以说我们是不是先把这个一级品选出来，因为你现在有一个一级品，总共有四个一级品，是不是 c 四一？那你两个优级品是不是我们现在已经锁死了一个在最后面， 对吧？你第三个必须是抽一个优极品出来，那这个优极品抽的是谁呢？我们是不是 c 二一选一个优极品出来，然后最后 a 二二就行了？因为把这个优极品锁死之后，前面这两个的排列是不是就是 a 二二，对吧？ 这是 ps 等于三，那 ps 等于四呢？那是不是底下是 a 六四？ 那分子什么呢？分子？我们想想现在有几种情况，第一个是直接 a 四四，就是你抽的四个一极品，全都把一极品抽出来，直接 a 四四就行了。那如果是两优两一呢？我们是不是还一样的？最后你得确定一个优，那前面是两个一，然后一个优， 那是不是你先把这两个一得选出来， c 十二两个一，然后这个 u 也得锁死，就是他是哪个 u 呢？他反而是 l 幺选一个 u 出来，那前面这些是不是 a 三三排列就行了，对吧？ 那就是 p x 等于四的情况，那 p x 等于五其实也是完全一样的，总共是 a 六五种情况，还是分情况讨论吧。就是三个一，两个 u， 那是不是还是一样的？先把三个一选出来， c 四三，然后两个 u 选一个在最后，然后一个 a 四四，那还有是不是我们的四个一，一个 u， 那 四个一，一个 u， 我 们是不是先 c 二幺把这个 u 选出来？因为 u 有 两个嘛，你选哪个呢？然后四个一，我们是不是 先选一个到最后一，然后前面的来排，所以我们先 c 四幺，把这个一选出来，然后前面 a 四四就行。那我们就认为这两个 u 极品间是不同的，一个是 u 极品 a， 一个是 u 极品 b， 那 当然如果你认为它们是相同的，也可以，我们消一个去就行了，对吧？所以这就是我们做算出来的概率，然后那个期望自己写吧， 那这就不多写了，就是讲思路，但是计算过程就你们这一串，那最后每一次的 u g 频率是 p， 那 十次独立重复抽咽，那是不是相当于是一个二项分布，对吧？ 那二项分布我们直接写写，因为至少有八次嘛，另一个 f p 就 等于至少有八次，那就是八九十三种可能嘛。那我们先写写八次的 c 十八 p 的 八次方，一减 p 的 平方加上 c 十九 p 的 九次方，一减 p 加上 c 十十 p 的 十次方，那就等于 p 的 八次方，三十六倍的平方减八十 p 加四十五， 因为我们要研究它的概率不小于这个的 p 的 取值。那我们是不是首先得知道它的单调性啊？因为我们都不知道它单调性只有取值，你就算算出来，你也不知道它往哪边取，所以我们应该先算一下它单调性， 求个导，它等于一个三百六十倍的 p 七方 p 减一的平方，这个呢是大一点零的，因为 p 属于零到一的，对吧？所以它大一点零， 所以我们 f p 就 在零一上，是单倒立针的，那他在零下倒立针，我们是不是还得把这个值取出来？因为你看到这里是零点七五的九次方，所以你还能取多少？ 你是不是只能去零点七五？因为你去其他的，你这里有个 p 的 八次方，对吧？你这要产生零点七五的九次方，你只能考虑零点七五嘛。所以 f 零点七五进去算一下，刚好等于七乘上零点七五的九次方，但是说不小于它，是不是我们 p 就 会大于等于零点七五，所以 p 的 最小就是零点七五。 ok， 这是我们的十八题来看十九题，十九题的话，我讲我当时就是去年二五年在考场上那个做法， 就不讲答案的做法，但是我这做法呢，最后被扣了两三分，好像是三分吧，因为我最后有些情况没有讨论完，但是我后来下来给他补完整了，就在这里讲一下这方法。我们先读一下题目， 首先它有两种构造，就是说一种是这个偶数的构造，偶数的构造呢，是用这个短直角边为新的短直角边，然后斜边为长直角边，这是我们的偶数的构造，是第一种构造。然后基数的呢，是以长直角边为新的短直角边，这是第二 种构造呢，是往基数方向推。第二个构造呢，是往基数方向推。我们来看一 求 t 的 导公式，因为我们这 t n 全是偶数啊，就是二的 n 减一次方，所以说每一次构造都是以偶数构造来构造的，所以说这个就比较简单了。我们先算一下前几项， t 一 等于 k 一 等于一根号二，根号三， 然后 t 二等于 k 二等于一根号三二。 然后我们来看 t n 啊，因为要求天的创公式，那我们肯定是想着 t n 是 由天减一变来的，所以我们先写递推。 我们 t n 是 不是等于我们的 a 二的 n 减一次方， b 二的 n 减一次方， c 二的 n 减一次方， 那么 t n 减一就等于 a 二的 n 减二次方， b 二的 n 减二次方， c 二的 n 减二次方。我们就要看这两个之间有什么关系。首先 由于我们是偶数，所以是不是我们 t n 减一的一个短直角边，是新的三角形的短直角边。虽然我们是不是有 a 的 二的 n 减二次方，等于 a 的 二的 n 减一次方，也是我们这两个短这边相同的，那相同的，由于这个地推，我们是不是可以一直推下去，一直推到一个 a 一 等于一，是我们是不是就得到了我们所有的 a， 其实都是一， 我们再来看 b 和 c， 那 b 和 c 我 们有什么关系呢？我们这个的长支绕边是不是圆四角形的斜边？所以我们是不是有我们的 b 二的 n 减一次方，等于 c 二的 n 减二次方啊？对吧？那么再来看 c 呢？ c 二的 n 减一次方，是不是就等于我们的这两个的平方和，对吧？那就是根号下 一加上 b 二的 n 减一次方，那是不是我们这个可以平方啊？那是 c 二的 n 减一次方的平方，然后拿这个拿 c 带掉，等于一加上 c 二的 n 减二次方的平方。那么发现 这个东西的平方呢？是不是一个等差数列啊？等差数列我们就可以一直往下推，推到一，那一的话，它的平方是三，所以我们就会有 c 二的 n 减一次方，就等于 n 加二，这是平方啊， 所以我们就可以把这些都写出来了，说明有 t， n 是 等于一，这个 b 呢，等于上一个的 c， 所以 它又等于根号下 n 加一，然后 c 呢？就根号下 n 加二。 ok， 这是我们第一问，第一问相对来说，只要你理解的题还是比较好算的。我们来看第二问， 若 k n 等于这个，让我们求 n， 那 这个东西怎么求 n 呢？ 那我们说我们是不是可以由他来递降啊？就是说，虽然我们不知道这是多少，但是我们可以把它前一项算出来 k n 一 吧，那前项算出来，我们即使不知道，那么是不是还可以算 k n 二，一直算到一个 k n， 呃， m， 那 是不是把这些都算出来之后，我们只知道有一个是知道了，就最后那个我们是知道的，那么再反过来推，是不是就可以推出来 n 等于多少了，对吧？ 下面就来看如何由他来推我们。前一下，也就是说我们现在不知道是以短的这个边还是长这个边作为现在新的这个短直角边，那我们首先知道这个肯定是斜边，对吧？下面斜边肯定是六，然后有一个直角边是五， 那是不是我们可以把剩下一个直角边算出来，就是根号十一，那我们这个用五是用长的还是短的呢？是不是他用的是长的，所以我们就可以看出来他到底是用长的，也就是由第一个 算出来，还有第二个算出来的，那么知道他用的是第一个构造还是第二个构造，那么就可以写出这一个的 n 和上一个 n 的 关系，那么把所有 n 的 关系写出来，然后一个一个往下推，只要能推到一个我们知道的这个 k 上面去，那是不是算出来了，对吧？ 我们写写 k n 是 等于五六，根号六十一的， 那我们 k n 一 是不是等于根号十一五六的？那它是以哪个构造呢？我们现在五是长支绕边作为短支绕边，那是用的是第二个构造了，我们是不是有 n 应该等于二倍的 n 一 加一，对吧？我们再写 k n 二，那是不是根号十一，然后算出来另外一个是根号十四， 那么此时是不是用的短边作为短边，这是不是 n 一 等于二倍的 n 二，我们再往下写 k n 三是不是等于根号三， 根号十一，根号十四，那么是不是有长边做短边？所以 n 二是不是等于二倍的 n 三加一， k n 四等于根号三二倍，根号二， 根号十一，那是不是短边做短边？ n 三等于二倍的 n 四，然后 k n 五等于个 n 三啊？根三根五，然后二倍根二，那么 n 四是不是等于个二倍的 n 五？因为是短边做短边吗？ k n 六就等于根二，根三根五，那是不是长边做短边， n 五等于个二倍的 n 六加一， 那 n 七呢？是不是一跟二跟三，那是不是 n 六等于二倍的 n 七加一？那么发现一跟二跟三是不是就是我们的 k 一 啊？所以我们的 n 七是不是等于一的？ 那我们回推， n 六等于三， n 五等于七， n 四等于十四， n 三等于二十八， n 等于五十七， n 一 等于幺幺四，那么的 n 是 不是等于二二九？ 那由于我们 n 是 怎么往前推的，你是不知道的，因为一会用构造一，一会用构造二，那我们没有办法知道他怎么推的话，那我们是不是就只能一个一个往前推，然后推到一个我们已知量上去，最后就算出来最后这个值是多少？这我们第二问， 我们来讲第三问，第三问答案主要用的是一个反证法，就说如果他们相等会得出什么矛盾，那我主要用的是一个竖规，或者说叫递减的一个思路去解决它， 那就是说我要考虑它怎么生成的，就我考虑它上一项，因为我们所有的都不等，那是我们能不能挣出一个 ai 一 撇，那这个一撇呢？就是我们 ai 的 前一个，就是我们来生成 ai 这个东西的那个 i， 那 b i 一 撇不等于 aj 一 撇，比上一个 b j 一 撇，我们就看这两个东西是否是等价的。 为什么我会这样想呢？主要是一个数学规律法的一个思路吗？如果我这个不等，他等价于我们下面这个不等， 那是不是我一个推一个，一个推一个，他其实都不等，对吧？因为我们对于任意的 ig， 他的前一个不等，他后一个就不等，那前一个不等，我们再往前推，他再前一个都不等，那最后肯定会回到一个基础情况，那只要我们基础情况不等，我们后面就全都不等，对吧？ 所以我是这样一个想法，就是说如果我们能够挣出这样一个事情，然后我们再稍加完善一下，那最后是不是把这事情挣出来了，对吧？所以就这样想，这样想，那我们实操就会发现很难操作， 因为有两种构造，第一个叫基数，这个叫偶数，那我们就想想这事情，或者我们这个，我们不妨把这个记作 r i， 这记作 r j 吧。这我们记一下，记 a i 比 b i 等于我们一个 r i， 那 我们来写写第一个 n 维基数，或者说我们 i 维基数都是没有问题的，那我们 r n， 我 们怎么去表示它呢？我们先写一下 k n k n 就 等于一个 a n b n c n， 那 由于我们基数是不是用这个第二种构造生成的，所以我们就可以把它的前一个写出来，那我们要递推成 k n， 那 前一项一定长，这样叫做根号下 b n 方减 a n 方， 然后 a n b n 他 前一向已经长这样，对吧？我们由这个 k n 递推到 k n 一 撇的话，那长这样，我们说他是用长边，所以说我们的长边一定要大于等于我们根号下 边任方减任方，于是我们就可以解出来，我们此时的这个边任方呢，应该是大于等于我们的 r n， 应该是大于等于 我们的二倍杠。二，由于我们这个 a n 肯定是要小于点 b n 的， 所以我们可以给此时的 r n 一个范围限制， r n 呢，属于二分之根号二。逗，我们的一，那这是奇数的时候，那第二种情况是不是 n 还有可能为偶数， 那偶数时候我们这个 k n 就 等于 a n b n c n， 我们这只是有根一撇，等于 a n 根号下边方减 a n 方都边，对吧？但是二倍的 a n 方要小一点边方，所以我们有这个 r， 因为你把边方出来就可以了，属于一个零到一个二分之根号二。 那又由于这边二分之根号二的情况下是 a n 等于 b n， 所以 我们不妨约定一下，由于我们这边二分之根号二的情况是前一个，这两个相等，那这两个相等的话，我们不妨就约定一下他在这边吧。因为你如果是 a n a n b n 往下递推的话，你说取哪种都是一样的吗？所以我们不妨约定他就是右边这个。那所以我们算出来一个情况，就说如果我们是基数的时候， r n 是 等于这个，如果是偶数的话， r n 属于这个范围，那么要接着往下想， 那么 r n 是 不是我们说要跟前一个挂上关系啊？所以我们要写这个 r n 一 撇， r n 一 撇，是不是我们 a n， r n 一 撇，是不是我们根号下 b n 方减 a n 方除上一个 a n， 它等于什么呢？它它是不是等于 r n 的 平方分之一减一？ 那我们说这个函数是一个单调函数，对吧？我们这里是 r n 方分之一，它是不是一个单调函数？ 单调递减的，那它是一个单调函数，是不是意味着在这种情况下，我们 r i 不 等于 r j， 他 跟我们的 r i 一 撇不等于 r j 一 撇是等价的， 因为我们这是个单调函数，就意味着什么呢？如果我们 r i 一 撇等于 r j， 那 么 r i 等于 r j， 那 么 r i 一 撇也必然等于 r j 一 撇，能理解吧？因为这个函数是单调的， 那同样在这个情况下，我们可以得到 r n 一 撇是等于 a n 除上一个根号下 b n 方减 a n 方的，它要等于我们刚才那个导数根号下 r n 方减一，那我们说这个也是单调的，它单调递增的。所以在我们第二个情况下，我们的 r i 不 等于 r j， 跟我们的 r i 一 撇不等于 r j 一 撇也是等价的， 这个能明白吗？就是我们在这两种情况下，我们的 r i 不 等于 r j， 其实都等价于，它的前一项不相等。第一个呢是 n 为基的情况，第二个呢是 n 为偶的情况。 那其实我们情况没有讨论完吗？我们都是在讨论内部的情况，就这个内部 r i 不 等于 r j， 这个内部 r i 不 等于 r j。 如果说还有情况，就是 我们 r j 和 r i 在 不同的情况呢？那要是说 r i 属于我们的二分之根号二都一， r j 属于我们的零斗二分之根号二，或者我们的 r i 属于我们的零斗二分之根号二， r j 属于我们的二分之根号二斗一。我们说这个情况根本没有讨论的必要，因为这个情况下 r i 就 不等于 r j 啊，我们还需要讨论吗？他们都不在一个区间，对吧？那么说这个情况有 r i 是 不等于 r j 的， 所以说我们总体上就解决了一个问题，就是综上我们解决了一个问题，叫 r i 不 等于 r j， 其实等价于 r i 一 撇，不等于 r j 一 撇，对吧？这个情况就不用考虑这个情况，你 r i 就是 不等于 r j 的， 对吧？你都不在一个区间，我们取折范围都不可能一样，对吧？ 所以总体上我们完成了这个证明的第一步，就是这一步，那我们就要往前递推了， 那往前推我们发现有一个问题，就说你这个 r i 和 r j 继续往前推啊，因为我们现在 r i 一 撇和 r j 一 撇也属于上面的情况嘛，对吧？ 所以说它一定等价于什么？它一定等价于 r i 两撇，不等于 r j 两撇，它一定等价于 r i 三撇，我们再用三吧， r j 三，那一直不等于下去， 那问题又来了，一直不等于下去，它最后的情况是什么呢？我们虽然证明这等价，但是最后最原始的情况是什么呢？我们就发现有问题，因为你 r i 和 r j 的 一个长度可能是不同的，也就是说我 r i 可能是经过了 n 步最后到达的， 那 r j 呢？可能是经过了 n 加二步到达的，也就是说我们最后不一定能一直等价下去，就是你 r i 减一， r i 减一， r j 减一，因为它俩可能长度不一样长， 那长度不一样长，我们怎么等价于基础情况呢？这个也很难搞。那长度不一样长，我们说什么？我们说 r i k， 它与 r j、 k 中至少有一个会 先到我们的这个 r 零有什么？这个最后低降到 r 零那个情况，而后停止， 有时两个可能同时到，但是有可能是有一个先到，所以我们就要证明这个事情。第一个，若 r i k、 r j k 中 仅有一个先到 r 零，那我们说 r 零是等于一的，对吧？ r 零说明的 k 零一一杠二，那它就等于一，那对于 k 大 于等于一来说呢？ 对于 k 大 于等于一来说，那我们说这个 r k 必然是小于一的，为什么呢？因为我们看这个深层，我们是不是深层的是用上一个的这个直角边。然后第二个是斜边，那斜边一定大于直角边，我们说对于 k 大 于等于一来说， r k 必然 小于这个呃，一，所以我们此时不妨 r i k 就 等于 r 零，那我们的 r 零一定是不等于 r j k 的， 这个能明白吗？因为 r， 因为我们此时 r i k 先到 r 零，我们 r j k 还没有到 r 零，他一定在后面，他在后面的话，那由于他是小于一的，他等于一的。这两个一定不等的话，我们由 d 推下去，我们由它生成的所有 r 和 r j 都是不相等的，这个能明白吗？ 那此外还有一种情况，就说如果说我两个链结是一样长的，就是若 r i k 等于 r j k 等于 r 零，那么就发现这个好像有点诡异啊，对吧？ 那么随便写一下，比如说这是零，然后伸出去了就是一，一分出去二和三， 对吧？然后二十分钟是什么？四五，三十分钟是六七。那这个怎么考虑呢？那我们说你链接一样长的话，一定在某一个链接之前是相同的，在某一个链接后是不同的。因为你 i 始终是不等于 j 的， 所以我们必然存在一个 m， 那这个 m 是 什么呢？ m 是 使得这个 r i k 等于 r j k 中最小的 k， 为什么这样考虑呢？就是最小的 k 就是 我往下递减最少次数，它俩是相同的，也就是说在这个 m 之后，我俩就不同了，对吧？在这个 m 之后我俩就不同了。在这个 m 之前我俩是相同的，那 m 之后我俩不同了。那此时是不是 由于我们 i 不 等于 j， 所以我们的 r i m 减一与 r g m 减一，是不是必然 有一个是 r m 就是 我们这个 r i m 吧，经过一构造 得到。然后一个呢？是经过二构造得到。 因为我们说在这个 m 之前，它都是相同的，一起来的，对吧？ m 之后就不同了，但在 m 之后不同，为什么会不同呢？只能一个是一构造，一个是二构造嘛，对吧？那么说一个是经过一构造得到，一个是经过二构造得到。由于我们什么？ 由于我们前面证明了 k 大 于等于一的时候， r k 是 小于一的，那 r k 小 于一的就意味着什么呢？就意味着我们 a n 是 不等于 b n 的， a n 严格小于 b n。 又由于我们递推中这个 c n 是 相同的，所以此时 这有什么？其实我们 r i m 减一必然是不等于 r j m 减一的，那我们再由这里往后递推下去就 ok， 那 于是我们就成功证明了这个命题。于是我们就有 任意 i 不 等于 j， 我 们的 r i 都不等于 r j。 其实整体思路呢，是比较好想的，整体思路就是说我既然是任意的都不等，那我只要前一个不等，我就 那整体思路其实是拿归类或者说叫一个递减的思路去想，就说我对于任意的 i j 都满足，那我这个 i j， 那 我前一个生成他的那个也一定是不想等的，那如果我前一个不想等的退出，后一个不想等，那我这个命题就整完了。于是我们前面就干了这样一个事情， 前一个不相等怎么来推出后一个不相等，或者后一个不相等怎么推出前一个不相等？然后我们证明完这个事情之后，当我们发现他链接可能不一样长，所以我们可能不能归到一个基本情况，所以我们要归一下这个基本情况到底有哪几种情况。 第一个有一个比较长，有一个比较短，然后第二个两个一样长，那我们是不是都说明了，在这个情况下都存在一个 r i k 和 r j k 他 俩是不等的，那在这个 r i k 和 r j k 之后地推地推出来了这个 r a r j 他 依然是不相等的，也就是我们成功的证明了这样一个命题。 那这个证明思路呢？是我去年在考场上写的，因为考场上答题卡不够了，所以这个二期是我没有证，就是我只证到这里，然后就交了，后面这些都没有证，没有证的话这个题被扣了个两三分的样子。 ok， 那 就是我们这张卷子全部内容了，感谢大家观看，我们下期再见。

重庆一中考试安排在这里哦，各位高三家长看过来。这回一中我们重庆学校分两套试卷，一套是康德，一套是九龙坡区的卷子。重庆今年的百分之九十五的高三学生都会参加康德试卷，有二十万人参加，然后是整个大重庆全部统一排通，排名复分。所以这次诊断模拟考试的成绩所对应的位置排名 也是最接近高考的。等考完了，你家的娃娃的成绩再全是处于一个啥子水平，啥子段位差，在哪一科哪一块儿，接下来该怎么提补哪一块儿，你基本上就做到了一目了然了。九龙坡的卷子是九龙坡和一些少数的区县参加，大概有一万多人参加。值得注意的是，两套试卷儿都会比平时的考试要难，所以各位高三同学要加油哦！

哈喽，高三家长注意喽！重庆高三一整分为两套试卷，康德卷和九龙坡区卷，其中康德卷覆盖全市绝大多数高中，含七所 直属学校。二零二三年到二零二五年，参考人数已在逐年递增，从十六点零八万到十七点九万，再到十九点二万，再到二零二六年突破二十万。 九龙坡区卷呢，主要以九龙坡区学校为主，含渝中和璧山的部分学校约十所，参考人数呢，都稳定在一万人左右。 考试时间，重庆九龙坡区卷是在一月二十六号到一月二十八号，康德卷是在一月二十九号到一月三十一号，出分时间，九龙坡区卷二月一号已出分。 物理类特空线呢，是在四百四十二分，历史类特空线呢，是在四百五十六分。康德卷的出分时间是在二月二号，二月三号出一分。一段表。 参加康德卷的同学就一定注意了，要去查看自己的分数对应的位次，做到心里有数，划重点， 一整不等于高考七百分呢，等于你能上清北五三百分呢，等于你只能上专科，他只是检验一轮复习的一个成果。 抓好接下来的四个月时间，高考提升五十分到一百分不是梦想哦，需要提升规划，评论区扣出规划！