万唯八下数学北师大版基础题

看到终点就猛，这道题教会你用垂直平分线找思路。今天我们来拆解一道八年级下册的经典几何题，他把三十度角的直角三角形性质 和等腰三角形三线合一完美结合，绝对是期末考的高频考点。首先我们来读一下题， 如图，在三角形 a、 b、 c 中，角 c 等于三十度点 d 是 a， c 的 中点， d， e 垂直 a、 c 交 b， c 于点 e 点 o 在 d e 上， o， a 等于 o， b， o， d， e 等于二，则 b、 e 的 长为多少？嗯，那读题的过程当中，我们对条件进行标记， 角 c 是 三十度， 点， d 是 a， c 的 中点， d， e 垂直 a、 c， 所以 我们可以知道 d， a 是 a、 c 的 垂直平分线， o， a 等于 o， b， 于是点 o 也在 a、 b 的 垂直平分线上， 所以 o 点是三角形 a、 b、 c 垂直平分线。我们可以知道两点， o， a 等于 o， c 等于 o， 那 此时连接 o、 c 可知 o， c 等于 o b。 题目还给了 o， d 等于一， o， e 等于二。 那么在直角三角形 c、 d、 e 当中， d、 e 这条边等于三，那由三十度角所对的直角边是斜边的一半，我们可以得到 c， e 等于六。 此时题目要求 b、 e 的 长，如何来解决呢？一条非常经典的辅助线， 过点 o 做 o， f 垂直 b， c。 利用 o， b 等于 o， c 做出这条辅助线，我们可以得到 c， f 等于 b、 f， 那么只要能够得到其中某一条线段的长， b、 e 的 长就可以解决。由角 c 等于三十度，我们还可以得到角 c， e， d 是 六十度， 于是角 e， o、 f 是 三十度， 那么三十度角所对的直角边 e、 f 等于 o， e 的 一半，所以 e f 等于一， c e 等于六， e f 等于一，那么我们可以得到 c f 等于五， 那 c f 又等于 b f， 所以 b f 也是五五，减去 e f 这个一，所以 b e 等于四，那这道题答案就出来了。这道题的关键就是通过连接 o c， 再利用三十度角，它的性质和三线合一， 是不是很巧妙？学会这招以后，遇到类似的几何题就再也不怕了。觉得有用的话别忘了点赞关注，我们下期再。

大家好，今天我们一起来学习一下八年级数学下册二次根式的乘除第二课时啊，那这一课时呢，是学的是除法？ 好，我们先导入新知，站在水平高度为 h 米的地方，看见可见的水平距离为 d 米，它们近似的符合公式为 d 等于八倍的根号下 h 除以五。问题一， 某一登山者爬到海拔一百米处，即五分之 a 是 等于二十时，他看到的水平线距离第一是多少啊？很简单，我们把二十直接带入就可以了， 我们看一下，所以第一呢，就等于八倍的根号下二十，那二十呢，我们可以拆开来，拆开是什么呢？就可以拆开是根号下四乘以五啊，然后我们 四呢，可以直接给开出来，因为他是二的二次方，所以能开出二来二和外边我们的八相乘，而八十六，所以就能得到是十六倍的根号五。问题二，该登山者接着爬到海拔二百米的山顶，即五分之 h 等于四十时，此时他看到的水平线的距离第二，那我们还是把四十带入， 就是第二，就等于八倍的根号加四十，而四十呢，相当于。是啊，四乘十，把四开出来，又是二，二和八相乘，是十六，所以就等于十六倍的根号十。 问题三，他从海拔一百米处登上海拔二百米处高的山顶，那么他看到的水平线的距离是原来的多少倍？那么我们就是啊，我们刚才第一的话呢，是 十六分之十六倍的根号五，然后我们第二个第二是十六倍的根号十。所以呢，我们直接就用第二除以第一就可以了，就是十六倍的根号十，除以十六倍的根号五，那么这个我们来怎么计算呢？它等于多少倍呢？思考一下 乘法法则是如何得出的？二次根式的除法该怎样算呢？除法有没有类似的法则？ 好，我们看一下今天的学习目标。第一个，掌握二次根式的除法法则，会用法则进行计算，第二个会用会运用除法法则及商的算数平方根进行简单计算。第三个，理解最简二次根式的概念，能熟练的将二次根式化为最简二次根式 指数点一。二次根式的除法计算下列格式。第一个是根号四，除以根号九，那么根号四呢？我们知道等于二，根号九呢，是等于三，所以二除三就是三分之二， 然后根号下九分之四，它等于什么？根号下九分之四呢？我们其实也很容易能解得，因为九分之四就相当于是三分之二的二次方， 我们可以写一下，应该是三分之二的二次方，这是九分之四，然后我们再开根号的话，就相当于把根号给去掉了，所以去掉之后呢，就是三分之二。 第二个，根号十六，除以根号二十五，那就等于根号十六等于四，根号二十五呢，等于五，所以等于五分之四。同理，根号加二十五，分之十六，也等于是五分之四的二次方，因为我们分数的平方啊，就是相当于是分数的乘法一样， 分子平方，分母平方就可以，所以说呢，等于五分之四的二次方，再开方，最后还是五分之四。第三个，根号下三十六，除以根号下四十九，根号下三十六，等于是啊，六 根号下四十九等于七，所以就等于七分之六，同理呢，根号下四十九分之三十六，也就是等于根号下七分之六的二次方，还是我们分数的一个，这叫二次方乘方的一个概念，所以说呢，他把二次方去掉之后，还是等于七分之六。 那我们观察一下这两者有什么关系，发现我们这边形式和我们啊右边的这个形式是不同的，但是他们的结果相同，所以就能得到啊，我们这两个应该是一样的。 好，探求新知。观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式，第一个啊，根号下根号四除以根号九，就等于根号下九分之四。第二个，根号十六除以根号二十五，就等于根号下十六除以二十五。第三个，根号下三十九，就等于根号下三十六除以四十九。所以这三个式子啊， 这是呢，就能得到一个式，就是根号下 a 除以根号下 b， 就 等于根号下 a 除以 b。 好，我们猜想一下，通过上述二次根式除法计算的结果，联想到二次根式乘法计算法则，你能说出二次根式根号 a 除以根号 b 的 结果吗？那我们在 前面发现的这个规律，根号 a 除以根号 b， 就 等于根号下 a 处 b 中呢， ab 的 取值范围有没有限制呢？啊，一定是有限制的，因为我们要保证我们根号是有意义的，根号里边呢，是非负数，所以说一定要保证它是有意义。那我们看一下下面三个的说法啊，这位同学说 ab 同号就可以了，那么 ab 同号 就可以吗？下一个同学说，不对，同乘法法则一样， ab 都为非负数， ab 都为非负数啊，可不可以呢？然后紧接着第三个同学说了，你们都错了， a 是 大于等于零， b 要大于零，而 b 等于零时，等式两边的二次根式就没有意义了啊。那他们三个谁说的对呢？ 我们来看一下二次根式的除法法则，根号 a 除以根号 b 就 等于根号下 a 除 b。 其实是 a 要大于等于零， b 要大于零。说明刚才我们三个同学呢，第三个同学是说的是对的。为什么呢？我们要保证根号下有意义， a 和 b 都是分复数，这是没有问题，但是我们还要保证分数有意义，分数有意义就是分不能为零，所以我们这个根号 b， b 是 不能等于零。同理呢，我们在根号下 b 分 之 a， 这个 b 也不能等于零，所以我们就得到了是 a 大 于等于零， b 要大于零而不能等于零呢。这一点非常重要，特别容易做错。 每次序数就是算数平方根的商等于被开方数商的算数平方根。当二次根式根号外的因式或因数不为一时，可类比单项式除以单项式法则一得就是 m 倍的根号， a 除以 n 倍的根号 b 就 等于 m 除以 n 倍的根号下 a 除以 b 啊。括号里的条件， a 要大于等于零， b 呢要大于零， n 呢？是不等等于零啊？所以说，我们既要满足二次根号的，就是说我们根式的这个有意义，又要满足我们分式有意义。 好看一下考点一，利用二次根式的除法法则计算根号外因素是一的。二次根式除法法则呢，我们就刚才已经学过了，很简单，那么我们看一下第一题，第一题是根号二十四除以根号三，它就等于根号下二十四除以三， 那么根号下二十四除以三呢，其实就等于根号八，我们已经学过乘法了啊，尽量把它能拆出二次方的形式。根号八八呢，其实能拆出是四乘以二，而四呢，是二的二次方，所以我们就能把二拆出来，就等于二倍的根号二。 好，第二题，根号下二分之三，除以根号下十八分之一，那么我们就等于啊，同样我们还是大的根号下，让他们这两个数直接相除二分之三， 那么除以是八分之一啊，我们先写一下吧，除以是八分之一，在分数的除法里边，我们除的话呢，是不太好计算的，所以我们尽量呢要把它换成乘法，就是我们除以一个数，相当于乘以这个数的倒数，所以我们就得到是二分之三， 要乘以十八分之一的倒数呢，其实就等于十八，就给它分子分伯啊，给它倒 t 就 可以了啊，所以我们约分一下二和十八，约分就是九啊，三乘九，最后里边呢，是等于根号下，哎，三乘九， 那我们知道九是能开出三来的啊，它是三的二次方，所以就能直接得到是三倍的根号三。 好，接下来接下来我们做一下巩固练习计算啊。第一题，根号三十二，除以根号二啊，我们看一下，那它就等于根号下三十二除以二， 我们计算可得啊，三十二除以二，应该是等于十六，所以就等于根号下十六，十六呢，是四的二次方，所以就能把四开出来。第二题，根号五十除以根号十，就等于根号下五十除以十， 其实就等于根号五啊，很简单。第三题，根号下四又五分之一和根号下十分之七，那我们看到这是四又五分之一，这是十分之七，我们最终呢要把它化成大的根号下啊，四又五分之一 啊，我们来写一下线啊，四有五分之一，除以啊，十分之七，那这又回到我们分数的乘除法了啊，分数的除法呢，你看我们这边呢，其实相当于是一个代分数，就是说他是四有五分之一，那我们要把它化成假分数，假分数是什么呢？就没有我们分数旁边的这个数，所以他就等于根号下， 把它化成假分数。四五二十加一应该是五分之二十一，那么除法我们同样要换成乘法，除以一个数，相当于乘以这个数的倒数分子分颠倒就是七分之十， 所以我们紧接着约分一下啊，五和十，约分约掉了，这边应该是二七和二十一，约分约掉了，这边应该是三。所以最后呢啊，分母都没有了，分子只剩下三乘二等于六，所以最后就等于根号六。 好，我们看一下啊，考点二，利用二次根式的除法法则计算根号外，根号外因数不是一的。二次根式 好，第一题，第一题是三倍的根号四十二除以五倍的根号六。那么我们啊，我们可以就是说它其实和乘法是一样的，我们外面的因素先消除，然后里边的根号再接着消除。 三除五呢，其实就可以写成是五分之三啊，这就是三除五，然后乘以它根号下啊，就相当于四十二除以六， 那么就是四十二除以六，六七四十二，所以就是直接能得到是五分之三倍的根号下七就行了。 第二个二二倍的根号下一又二分之一，除以二分之一倍的根号下六分之一。它呢，还是我们先让啊这两个因素，相乘相除二，除以二分之一，相当于二乘二，应该是等于四 啊，因为是除法嘛，分数的除法就相当于换成乘法的话，是乘以这个数的倒数，二分之一的倒数是二，二乘二等于四。然后我们根号下里边相除啊，这边又是一又二分之一，换成假分数呢，是二分之三 除以六分之一，相当于乘以六。哎，没有问题，就等于我们约分一下二和六，一约分这边是三，所以分数没有了。然后呢，只剩下三乘三得九，就等于四倍的根号九，那我们来看九呢，其实能开出三来的，所以说开出来之后，和四相乘三四十二， 再来看计算，看谁算的又快啊，又对又快啊。第一题，我们来看一下啊，等于四倍的根号下三， a 的 三四方除以八倍的根号下 a 分 之三，我们还是啊，因数和因数相除四除八，其实就等于二分之一。然后我们根号下啊，我们写一下，就是三， a 的 三四方 除以 a 分 之三，相当于乘以三分之 a。 那 我们进行约分一下吧，三和三直接约掉了 a 的 三次方，乘以 a 是 a 的 四次方，再开根号就等于 a 的 二次方，所以最后等于二分之 a 的 二次方。 大家看一下，第二位是 a 方 b 啊，根号下五倍的 x 三次方 y 除以 ab 倍的根号下二十除以 x y， 那 我们同样可以啊，拥有刚才的法则，虽然他前面的啊，这个音是一个音势了啊，但是也是不影响，所以就等于 a 的 二次方， b 要除以 ab， 然后乘以根号下五的 x 的 三次方， y 乘以啊，它的倒数 x， y 分 之二十的倒数是二十分之 x y 啊，我们进行约分，五呢和二十直接约掉了，是四，然后呢啊， x 三次方乘以 x 是 x 四次方， y 乘 y 是 y 的 二次方，所以我们接下来再计算， a 的 二次方， b 除以 ab， a 的 二次方除以 a 应该是得 a， b 除 b 得一啊，不用写了啊，然后里边呢，开方的话， x 的 四次方开出来是 x 的 二次方， y 的 二次方开出来是 y， 然后四分之一开出来，因为四分之一相当于是二分之一的二次方开出来应该是二分之一，所以应最后应该是二分之 a 倍的 x 方 y。 第三题， 十八倍的根号下十二 x， 外方除以三倍的根号下二 x y， 我 们同样还是运用刚才的预算法则来计算，十八除以三应该是得六，那么直接写，根号下根号下十二 x， 外方除以二倍的 x y， 所以最后等于六倍的根号下十二除以二，应该是得六 x 乘 x 一 啊，可以省略，因为它是乘法，乘一都不用写外方除以外应该等于 y， 所以 它最后就等于六倍的根号下六 y。 第四题，根号下三 a， b 除以六倍的根号下啊三 a 分 之 b， 那 我们还是，那么我们这个里边呢，这是有因素的，是六，那它的因素，它的因素前面是谁呢？其实它因素前面相的是一，还是运用这个法则，一除六就是六分之一，然后根号下让它里边进行消除，那就是三倍的 a， b 除以三， a 分 之 b 相当于乘以 b 分 之三 a， 那 我们来看 b 和 b 其实已经消掉了。三乘三得九， a 乘 a 得 a 方，就等于六分之一根号下九倍的 a 方， 那我们知道九是能开出三来的啊，九是三的二次方，开出三来和我们六分之一相乘呢，正好能约分，就等于二分之一了。二分之一那个 a 方呢，开出来是 a， 所以 最后呢，其实就等于二分之 a。 好， 我们再看一下知识点。二，商的算数平方根的性质。我们知道，把二次根式的乘法法则反过来，就得到积的算数平方根的形式。 类似的呢，把二次根式的除法法则反过来，就得到二次根式的商的算数平方根的性质。也就是说根号下 a 除 b 就 等于根号 a 除以根号 b， a 大 于等于零， b 是 大于零的，那这其实就是相当于我们二次根式除法的一个逆应用 啊，用它来表述一下呢，用语言商的算数平方根等于被除式的算数平方根，除以除式的算数平方根，所以说我们就可以用它来进行二次根式的一些化简。 好，我们看一下考点一商的算数平方根的性质的应用啊。第一题，那么根号下删除以一百，其实我们直接看一下它的解析就可以了啊，就等于 根号三除以根号一百，其实等于根号三除以十，因为一百呢，是十的二次方，看根号正好等于十，那我们再看第二个，根号下七十五除以二十七，就等于根号下五的二次方乘以三。那么这个呢，是需要我们有足够的一个基础才可以直接写出来。那七十五呢，其实相当于是二十五乘以三，所以二十五是五的二次方， 二十七呢相当于是九乘三，九呢是三的二次方。这是我们啊，上个视频乘法法则里面的一个应用，就是说我们要把它化减的话呢，啊，要把它化成一个有带二次方的形式，所以最后呢得出来呢？是啊，根号五因为三和三除掉了，所以就等于根号下五的二次方，除以根号下三的二次方，最后呢开出来是三分之五， 他说还有其他解法吗？啊，应该是有的补充解法，就是根号下七十五除以根号下二十七， 它就等于三分之五，因为根号下七十五呢，还是和我们刚才的这个想法是一样，我们能把五和三开出来，就是直接这边是五，这边是三，然后我们根号里面只剩下三了三，根号三和根号三又约掉了，所以最后就等于三分之五。 好，我们看一下第三题，第三题我们来做一下，根号下二又九分之七，它就等于那么二又九分之七，它是一个代分数，我们把它换成假分数，二九十八十八加七等于二十五，所以它就可以化成是九分之二十五。 那我们直接开方就行了，九呢是三个二次方，五呢，二十五呢是五的二次方，所以直接能出来是三分之五。 第四个根号下啊，八十一除以二十五倍的 x 的 二次方，这里面说了 x 是 要大于零的啊，那我们来看一下八十一二十五 x 的 二次方，我们直接也可以把它化成是根号下的八十一 除以根号下二十五倍的 x 的 二次方，所以它就等于根号八十一呢，其实就是等于九二十五，开出来是五 x 的 二次方，开出来是 x， 所以 最后是五 x 分 之九。 第五个根号下零点零九乘以一百六十九，除以零点六四乘以一百九十六啊，那么这个式子它是有小数了，有小数大家可有很多同学就是说给他来进行计算，计算出来再除，这这种方法是不可取的，非常麻烦，我们其实可以直接给他划出来就行， 因为零点零九呢，相当于是零点三的二次，而零点六四呢，这相当于是零点八的二次方啊，我们一百六十九呢是十三的二次方，一百九十六呢是十四的二次方，所以我们都是二次方直接给它开，那就等于根号下 零点三的二次方，乘以十三的二次方，除以根号下 零点八的二次方乘以十四的二次方，最后就等于零点三和十三，能开出来就是直接是零点三乘以十三，我们先不用计算，看他一会能不能化简，这边呢是零点八乘以十四， 那最后我们来看呢，零点三乘以十三呢，其实就等于啊三点九，而零点八乘以十四呢，计算可能是十一点二，那么我们这里边是没有办法来给他进行啊，没有办法去给他进行那个化简了，所以最后呢，其实就等于啊一百一十二分之三十九， 让我们的分子分母同时乘以十即可啊，如果不乘十的话，带着分数，这带着这个小数的话，那么这不是一个正常分数的形式，所以我们要分子分母同时乘以十，把它换成正常分数的形式就可以了。 好，接下来我们做一下巩固练习。第一题，能使等式根号下 x 啊， x 减三分之， x 等于根号 x 减三分之，根号 x 成立的条件，那这个呢，就是让我们来寻找它是有意义的 啊。首先呢，我们要保证根号下有意义的话，那么 x 呢，是不能啊，首先我们 x 是 要大于等于零的啊， 然后呢， x 减三， x 减三呢，其实要不能等于零，也就是 x 是 不能等于三的。 首先呢， x 大 于等于零，我们 x 减三呢，其实也要大于等于零，其实 x 呢，是大于等于三的，那么这个里边 x 不 等于三，所以由这个可得 x 是 大于三的。而我们这个式子呢啊，首先保证根号 x 有 有意义的话呢，就是 x 要大于等于零，而下面呢，又有意义的话呢，就是也是 x 减三也要大于零，不能等于零，等于零的话，它是分母没有意义，所以写的 x 还是大于三。然后呢，我们这是第一种解法啊。第二种呢，我们再来看这个式子是，假如 x 是 小于等于零的， x 如果是小于等于零，那么我们要保证根号下有意义的话，就叫它必须也是一个非负数，它是小于零的，那我们 x 减三也要也要小于零，不能等于零，因为等于零的话呢，那个还是分母没有意义了，所以减的呢，是 x 是 小于三的， 一个是 x 小 于等于零，一个是 x 小 于三，那我们来看， x 小 于三用在这个里面成不成立呢？ x 小 于三的时候呢，在我们这个式子是不能成立的，因为根号下是非负的，所以这种就排除了。最后呢，我们就能解出来， x 应该是大于三的，所以选 c。 第二题，化简，根号下二十五分之八，根号下二十五分之八呢，来化简的话，就相当于是根号八 除以根号下二十五，根号二十五呢，其实是五的二次方就能开出来是五，根号八呢，可以写成是里边是四乘二的形式，四呢，能开出二来，所以能开出是二倍的根号二，所以它的答案就是五分之二倍的根号二。 第二题，根二加三有四分之三，那么这又是个代分数，我们把它画成假分数，就等于我们在这边写，就等于根号下啊，三，四十二，十二加三呢，应该是十五，四分之十五好，就等于根号十五除以根号加四 啊，那么根号四呢，其实能开出二来，根号十五开不出来了，最后就等于二分之根号十五。 第三题还是运用除法的法则，就等于在这边写根号下十六， a 的 三次方，除以根号下四十九， 那么就等于十六和 a 的 三次方。那 a 的 三次方呢，我们可以写成这样了啊，是十六 a 的 二次方乘以 a， 然后除以根号下四十九，那这样的话，我们一眼就能瞅出来了，根号四十九开方应该是七七分之十六，开出来是四， a 的 二次方开出来是 a， 最后还剩下根号 a。 第四题，根号下零点二五 x 的 二次方啊， 除以一百六十九 y 的 四次方，那我们这边可以直接开，首先呢，这个可以零点二五 x 二次方，零点二五是零点五的二次方，能开出是零点五 x 来， 一百六十九呢，能开出是十三来 y 的 四次方，能开出是 y 的 二次方来，最后是得占，但是呢，我们分数啊，要保证是最减分数的话，我们是不能有小数的，所以说是零点五，我们都上下 分子分母同时除以零点五，这边除以零点五就变成一了，就没有了。十三除以零点五呢，其实就可以变成是二十六，最后呢，其实它就是二十六 y 的 二次方分之 x。 好，我们再看知识点三，最简二次根式问题。一，计算第一个根号五分之根号三，第二个根号二，七分之三为根号二，第三个是根号下二 a 分 之根号八。那我们看一下它的计算过程。 第一个呢，他是把根号五分之根号三啊，就你直接来，等于根号下五，五分之三就是三除五就等于根号下三乘五，除以五乘五等于根号下五的二次方，分之十五等于五分之根号下十五啊，他为什么要这样去来计算呢？包括我们来看，第二个也是 根号下二十七分之三倍，根号二等于三倍的根号下三的二次方乘以三分之二等于根号下三分之二等于三分之根号六。第三个也是啊，我们来看一下。第三个呢，是啊，把根号二 a 同时乘以一个根号二下二 a 了，那么下面呢，是变成二 a 了，上面呢，乘进去之后呢，能开出四来，因为二的三次方乘以二是二的四次方，二的四次方开出来是二的二次方正好是四， 是四的话呢，那里面 a 开不出来，就根号 a 了，最后呢，四和二约分得到是二，就是 a 分 之二倍的根号 a， 他 为什么要这样计算呢？我们看一下 啊，三分之根号是五，三分之根号六，还有 a 分 之二倍根号 a。 问题二，观察上面各小题计算的最后结果，并思考，第一个，你觉得这些结果是否能再化减？他们是否已经最减了？第二个，这些结果有什么共同特点？类比最减分数，你认为一个二次根式满足什么条件，就可以说它是最减的了。 所以我们带着问题来看一下我们的归类，总结最简二次根式应满足的条件，第一个，被开方数不含分母或分母中不含 二次根式啊，被开方数啊，不含分母或分母中不含二次根式，这是第一个。第二个呢，被开方数中不含开得进方的因素或因素啊，也就是我们乘法里的法则了，如果能开得进方的形式，再给他开出来。 注意，当被开方数是整式时，要先判断是否能够分式音节啊，就是分解音式，然后再观察各个音式的指数是否是二或大于二，如果是二或大于二，我们就能开出来了。所以呢，我们要去观察， 若是，则说明还有能开方的音式不满足条件，不是最简二次根式啊，这个呢，是需要我们记住多加练习 考点一，分母由利化啊，那这个呢，就是相当于啊，我们刚才的啊，刚才的我们这三个数啊，怎么去给他计算呢？那接下来呢，我给大家去演示一下什么叫分母由利化，就是说我们把分母啊，不能带根号，把它的根号给消掉，那么如何能给根号消掉呢？一个很简单的方法， 就是我们因为分数的定义呢，就是分子分母同时乘或同时除一个部位零的数啊，分数仍然成立，所以说呢，我们就让我们这整个的这个分数同时乘以只带根号的这个分母就可以。那接下来我们计算一下，第一题， 根号五分之根号三，同时乘以根号五，我们来书写一下， 那上面呢是根号的乘法，就等于根号下三五十五，然后下面呢，根号五乘以根号五，相当于根号下五的二次，方能开出五来，等于五五分之根号下二十五。好，第二题， 三倍根号二，除以根号下二十七，我们还是同除以根号下二十七，同乘以根号下二十七，那么分母呢？乘以根号下二十七呢？直接可以算，其实就等于二十七，分子呢，三倍的根号 二啊，乘以二十七，我们接着往下写，三和二十七，其实能约分约出是九来，就等于九分之根号下啊， 二乘以，然后二十七呢，可以拆成三乘九的形式，三乘九的形式呢？为什么呢？因为要给他开，要拆成有二次方的形式，九正好是三的二次方，所以能开出三来，最后呢，其实就等于三倍的根号下二乘三得六啊，除以九，那么三和九呢，还能继续约分约出三来， 所以最后就等于三分之根号六。第三题，根号二 a 分 之根号八，那我们还是同乘以根号二 a 分 分母乘以根号二 a 是 二 a 分子，其实就等于八乘以二 a， 根号下啊，然后我们八呢，也要去拆，拆出有一个数的二次方，就等于根号下四乘二乘以二 a 除以二 a 啊，就等于我们来看，四能开出二来，二乘二就是二的二次方，还能开出二来，而 a 呢，开不出来了，就是 get 二 a， 下面呢是二 a， 那 我们二号二是不是得到消掉一个，所以最后就等于 a 分 之二倍的 get 二 a？ 好方法，点拨化成最简二次根式的一般方法。第一个是将开方数中能开得进方的音数或者是音式进行开方，如根号八等于根号下，四乘二 等于根号四乘以根号二等于二倍的根号二，这就是我们尽量的把它能得出啊，能能得出一个数的二次方来把它化成这样，然后再给它开方。 第二个，若被开方数中含有代分数，应先将代分数化成假分数。那我们现在来解释一下什么叫做代分数，这是之前我们学过的 啊，就比如说我们接下来下面这个数，根号下一有三分之一，那么一有三分之一就相当于是代分数，把它化成假分数就是三分之四。一乘三加一三分之四，而三分之四就是假分数化成这样，我们再去计算，这样特别好计算，然后再去分母，并将能开得进方的音数或者是音式进行开方啊，就是我们下边这个案例。 第三个，若被开方数中含有小数，优先将小数化成分数后再进行化简。比如根号下零点三就等于根号下十分之三就等于根号下啊，一百分之三十啊，那这样的话我们就特别好去计算了，等于一百能开出十来啊，三十呢，开不出来就等于根号下三十，带着它就可以了。 巩固练习，在下列各式中，哪些是最减二次根式，哪些不是对不是最减二次根式的进行化解啊，我们来看一下啊，第一个根号下四十五，不是二次啊，最减二次根式，因为它里面能拆出啊，五九四十五能拆出九来，九能再拆出三来啊。 第二个呢，根号下三分之一，也不是啊，因为里面是有个分数，然后我们来计算的话，就相当于是根号一，除以根号三，那么我们分母带根号的，它不是，我们要把根号去掉。 第三个呢，二分之根号五啊，它是没有问题的，首先分组没有根二次根式啊，然后呢，我们分子呢也开不出来了，所以它是最减的。第四个呢，是根上下零点五，里面是小数是不行的，我们要把小数化成分数再去化减。第五个呢，它是一个带分数，我们要把它化成假分数再去啊，反化减，所以这里面只有点。第三个， 只有三式，最减二次根式。第一个呢，我们啊应该能拆成五乘九的形式，九能拆出三来，所以等于三倍的根号五。第二个呢，我们啊可以去这样拆，等于根号一，除以根号三，然后呢，我们要同时乘以根号三，那么乘以根号三之后呢，分子就变成三，分子呢，就变成根号三了。 第四个呢，根号下零点五，它先写成分数，是根号下二分之一，就等于根号一，除以根号二，然后就等于一啊，都都乘以根号二，分子分母，然后我们的分母就变成了二，分子呢，变成根号二， 第五个，第五个是根号下一五分之四，先画成假分数，是根号下五分之九啊，就等于根号五分之，根号九，那么同乘以根号五，分子分母变成了五啊，分子呢，九能开出三来啊，带着它，然后五开不出来，就等于三倍根号五，所以结果就是五分之三倍根号五。 知识点，四，二次根式的应用设长方形的面积为 s， 相邻两边长分别为 a、 b， 已知 s 等于二 b， 根号三， b 等于根号十，求 a 的 值啊。这个题也非常的简单，我们直接可以看一下解析就行了，因为长方形的面积等于长乘宽，就等 s 就 等于 a 乘 b， 所以呢， a 就 等于 s 除以 b 就 等于把数值直接代入二倍的根号三，除以根号十，那么这样来除的话呢，我们分母又有二次根式了，所以我们直接分子分母同时乘以根号十啊，就是我们右边这个操作，所以分母就变成了啊，同乘以根号十的话呢，我们这边来给他写下这个过程。 分母啊，根号乘以根号十呢，其实它是等于十的，分子呢，其实是二倍的根号下三十，那么这样呢，二和十一约分 就是五分之三十了啊，所以他是这样的一个操作。好，我们再看一下下面这道题。高空抛物现象被称为悬在城市上空的痛巨爆脑，一个三十克的鸡蛋从十八楼抛下来，就可以砸破行人的头骨， 从二十五楼抛下来可以使人当场死亡。据研究，从高空抛物时间 t 和高度 h 近似的满足公式 t 等于第二下十分之二 h 从一百米高空抛下，落地所需时。时间 t 二是从五十米高空抛下啊，到落地所需时间 t 一 的多少倍？ 那我们这个题呢，其实直接可以得了，那么首先他公式已经给了，给了之后呢，我们直接把数值代入就行啊， h 呢是高度啊，直接把高度带入，首先一百米的高度啊， t 二就等于二，根号下二乘一百除以十。 t 一 呢，就是根号下二乘五十除以十。那我们进行啊，约分一下，其实就等于根号下的十分之二十，十分之二十呢，其实就等于根号二。很简单， 验节中考第一题等式，根号 x 减三除以根号 x 加一，等于根号下 x 减三除以 x 加一。啊啊，我习惯于是说成除法啊这个分数，这样的话，我计算的时候啊，比较明确成立的， x 的 取值范围在数轴上，可表示为啊， 表示为什么呢？我们来看一下它，这个直接是给答案的，是选 b。 那 我们来看一下啊，首先 x 减三，要保证它有意义的话呢，就是 x 减三应该是大于等于零，解得 x 是 大于等于三的， 我们再看 x 加一， x 加一，它其实要大于零的，不能等，因为它是分母，所以解得 x 是 大于负一的。我们再看右边这个式子啊， x 减三除以 x 加一，那么我们首先先保证 x 加一其实要不能等于零的，所以 x 是 不能等于负一的。 然后再去分情况考虑，分情况考虑呢，我们因为左边的这个式子了， x 他 都是一个 x 啊，最最终呢， x 是 大于等于三，这边是 x 大 于负一，其实他俩的解集其实可以写的是 x 大 于等于三， 他俩的解集写成 x 大 于等于三的话，我们看他右边合不合适，右边 x 减三大于等于 x 大 于等于三，他肯定是大于 等于零的了。那么我们 x 加一呢啊，把 x 大 于等于三带进去之后呢，也是大于大于零的了，因为这 x 加一，它的这个有意义的话，保证分数有意义，只是不能等于负一就行了。所以最终呢，我们解出来的解题就是 x 大 于等于三， 那么在数轴上表示有等号，我们要画成了实心的黑点，然后大于呢，是往一数轴的右边开始画的，所以应该选第二个。 好，接下来我们做一下课堂检测基础巩固题。第一题化简根号十八除以根号二的结果。那么根号十八除以根号二呢，其实就直接等于根号下，十八除以二 啊，就等于根号九啊九呢，正好能开出三来，所以选第二。第二题，下列根式中，最减二次根式的又是最减根号十八不行，他能拆出啊，三乘二乘九，九能拆出三来，他是不对的。二十四也不行，四六二十四能开出能开出二来，就是能拆出四， 三十没有问题啊，三十拆不出来了，三十六不行，三十六是六的二次，方能开出六来，所以它也是不对的，正确的应该选 c 好。第三题能使等式根号下 x 减二分之， x 等于根号下 x 减二分之，根号 x 成立的 x 取值范围是什么？成立的 x 的 取值范围。那我们先先来分析我们的啊，左边这个式子啊，左边这个式子呢，是首先 x 先保证一点啊，如果它是大于等于零的，如果它是大于等于零的，那么我们 x 减二应该也是大于零， 不能等的，因为等于零之后呢，分母等于零是没有意义的了，所以能解出来 x 是 大于二的，所以我们左边是解出来是 x 大 于二这个解集，那么 x 大 于二，我们看看右边合不合适啊，大于二没有问题 啊，合适。然后第二种情况呢，我们还是看左边 x 呢，可以小于等于零，那么同样，如果它的分子是小于零的，因为我们根号下是非负的嘛，所以是这样就可以了 啊，那么就是 x 减二呢，也要小于零，也不能等，等的话，分母没有意义，所以 x 呢是小于二的，那我们来看 x 小 于二对于我们右边合适吗啊，把 x 小 于二的话呢 啊，然后呢，小于二，我们下边根号下小于二就是小于零的了，所以下面这个是不满足的了，所以是不对的。那正确的剪辑呢，应该是 x 大 于二才合适的，不能等的啊，所以说选 c 第四题化简啊，第一个是根号下五除六十四啊，直接就可以给它化简成是根号五除以根号下六十四，我们知道六十四是八的二次方，所以能拆出八来，所以直接得到是八分之根号五。 第二题一又二十五分之七，那我们先把它化成假分数，就等于根号下啊，二十五分之三十二 就等于啊，根号下三十二呢，可以写成是十六乘以二，因为十六能开出四来啊，下面根号五直接开就行了啊，等于根号下二十五，所以最后就等于根号二十五能开出是五，然后呢，十六能开出四，然后最后带着根号二。 第三题，一百二十五除以一百啊，这样就是能画好了，那么直接来开就等于根号下啊，一百二十五可以拆成是二十五乘以五， 下面呢，一百不用动，因为正好能开出十来，最后就等于二十五，开出来是五，根号五不变，一百呢，开出来是十啊，我们再进行化简一下啊，同时除以五就变成了啊，二分之根号五， 好能力提升题啊，这个题呢，是可能会稍微有一点难度啊，因为我们看到了这里有一个物理公式， w 等于 a 方 r， t 单位是交耳， i 表示电流，单位是安培， r 表示电阻，单位是欧姆， t 表示时间，单位是秒。如果已知 w r t 求 i， 则有 i 等于根号下啊， w 除以 r 乘以 t， 若 w 等于两千四百，交耳 r 等于一百，欧姆 t 等于十五秒，是求电流 i 啊。那么这个题呢，只是就是说啊，这些字母我们没有见过，但是呢，它的求解方式非常简单，只需只需要把这个数值直接代入就可以了， 所以我们看一下解析啊，把直接把 w 等于两千四， r 等于一百， t 等于十五，带到我们刚才这个公式里面去，那么就等于啊，两千四，括号下，两千四除以一百乘以十五， 就等于啊五分之八。那这五分之八是怎么得的呢？其实是我们经过化简得来的啊，我们来展示一下，因为一百和两千四两个零消掉了，最后是二十四和十五，二十四呢，可以写成是三乘以八 十五呢，是三乘以五，最后三和三约掉了，最后是根号下只剩下八和五了，就是根号下五分之八。然后呢，我们再进行化简的话呢，都是啊，同时乘以根号五，因为根号下啊，八除五可以写成是根号八除以根号五， 我们同乘以根号五呢，分母就变成了五，分子呢，是变成了根号下五啊，五乘八得四十，四十，其实可以写成是根号下四乘十， 然后是五，然后四呢，就能开出来了，开出来之后呢，啊，四开出来是二，然后根号十留住了，然后呢，这个五不变就是五分之二倍的根号十，安赔。 好，我们再看一下拓广探索题。自习课上，章鱼看见同桌刘敏在练习本上写的题目是求二次根式根号 a 除以根号下 a 减三，中实数 a 的 取舍范围。他告诉刘敏说，你把题目抄错了，不是根号 a 除以 a 减三，而是根号下 a 除以 a 减三。刘敏说，哎呀，真抄错了， 好在不影响结果，反而 a 和 a 减三都在根号内。是问刘敏说的对吗？啊，他是肯定是不对的，因为我们来计算这个取值范围就能直接得到了啊。首先我们先来看根号 a 啊，在这边来写根号 a 除以根号下 a 减三， 它能得到是什么呢？根号 a 除以根号下 a 减三呢？啊，我们来看一下这个取值范围啊，取值范围就是啊， a 要大于等于零， a 减三呢， 要大于零不能等，因为它是分母啊，等于零没有意义，解的 a 是 大于三的。最后我们取一下解集，一个是大于等于，一个是大于三，所以我们解的是 a 是 大于三的，这是对于这个数啊，这个式子啊，我们的 a 的 取舍范围，而 a 号下 a 除以 a 减三呢， 它呢，其实就可以去区分了。第一种情况就是我们 a 要先大于等于零， a 大 于等于零， a 减三， 要保证它是里边是个非负数的话，它 a 减三要大于零，不能小于零，小于零就相当于是一号，一号就是负的了，所以就没有意义了，而且不能等于零，因为这是因为它是分母，减到 a 是 大于三的， 然后总结来看啊，所以我们去解集就是 a 大 于三，然后第二种情况，第二种情况呢， a 小 于等于零， a 如果小于等于零，我们来看 a 是 小于等于零的，首先零合不合适，零没有问题，因为根号下啊，是根号零就等于零，有意义没有问题。然后 a 小 于等于零，那么 a 减三呢？ a 小 于等于零的时候呢？ a 减三其实也是小于零的，而且呢是不等，不能不等于零的， 所以说呢，它就没有问题。那么两个解析一共就解下来之后呢，就是啊，这边是 a 是 大于三，或者是 a 小 于等于零，那么这两个解析的话，这两个式子出来的，我们解的 a 的 取值范围是不一样的，所以说刘敏说的是不对的啊。 好了，视频到了这里啊，马上就要结束了，我们接下来看一下我们的总结。二次根式的除法， 先看法则是根号 a 除以根号 b 等于根号下 a 除 b， 但一定要记住条件， a 是 大于等于零， b 是 大于零。再看拓展的法则， 拓展的法则呢，是 m 倍的根号 a 除以 n 倍的根号 b 等于啊，我们前面的就就像乘法法则一样，我们前面的啊，因数或者是因式先消除 m 除以 n 啊，一定要带上括号啊，然后根号下的 a 除 b， a 大 于等于零， b 大 于零 性质呢是根号 a 除以根号 b 等于根号 a 除以根号 b。 那 这个呢，其实就相当于我们除法法则的一个逆应用啊，有助于我们去化简啊括号里的条件，不要忘 相关的概念啊，分母有理化，什么叫分母有理化？就是说我们啊要做成二最简的二次根式的时候，我们如果分母里边有根号，我们一定要去根号，就是分子分母同时乘以我们那个分母的那个带根号的那个数 啊，然后对减二次根式是如何化减的？好了，我们二次根式的啊，乘除法第二课时截止到目前就已经结束了，有问题的小伙伴可以在我的视频下方进行留言，我们下次再见！关注我，带你开启学霸模式！

朋友们好啊，今天继续给大家整理八年级下册数学的全册预习重点预习，抓主线，破难点，按章节拆分，明确核心重点，预习关键易错点，方便直接用来规划预习，精简实用。今天关注第四章因式分解。一、 核心重点，因式分解定义，把多项式化成整式乘积形式与整式乘法互逆两大基本方法，提供因式法和公式法，平方差公式必背数。 二、预习关键，先练提公因式法，再练公式法。注意公式的特征，平方差是两项，平方差完全平方是三项，有两数平方和还有乘积二倍，避免用错。公式。三、易错点，提公因式要提彻底，符号别出错。 公式法要先判断是否符合公式特征再套用。如何才能提高预习效率呢？给大家分享几个实用的操作方法。一、 先看教材立体，先精读教材，再看例题步骤，搞懂每一步的依据。二、抓核心公式，把相关定义、因式分解公式抄在笔记本上反复记。三、基础题优先，练预习时不用攻难题，重点做教材课后基础题，夯实基础比刷难题更重要。 四、标记疑问点，遇到不懂的地方做好标记，开学后重点听老师讲解，针对性突破。

我们看一下万维的辅线这本书的这个第三题是怎么处理的，题目说如图，在三角形 a、 b、 c 中角 a c， b 等于一百度， a， c 等于 b 型，那么就可以证明它是一个等腰三角形，然后呢， a c a c a boy 等于 c boy， a 等于四十度，然后 d 是 它的中点，呃， b f 的 中点 角 a， e， d 等于角 c m f 等于一百度，求证的是 c， e 等于 f m， 那 么首先看到这么多个角，它是都等于一百度的，我们看，我们可以看一下它们之间的关联，因为要求证 c、 f 等于 f m， 所以 我们要把它们两个尽可能的转化到，我们可以已知在两个三角形里面，那么这里我看到了 a， c boy 是 一百度，然后角 a、 e、 d 是 一百度，那么这里我想到了做另外一个三角形，也就是做这个角 b h n 吧， b h n 是 等于一百度的，就可以证明三角形 c、 a、 e 是 全等于三角形 c、 b、 n 的。 通过一千三等角的方法，所以就可以把 c、 f 这条线呢转化到 b b、 h 上面。 然后呢，就可以让我们求证是 b h 是 等于 m f， 求证出来就行。首先有个对顶角，还有个中点，再把它的角度，这是四十，这是四十， 然后呢？呃，这是一百度的话，这是四十度，然后，嗯，这个地方就可以求出来是八十度，然后， 呃，因为这是一百度，所以这是八十度，然后呢，这里也是八十度，所以他等于他，那么就可以证明出来他三角形全等，所以证明出来 fm 是 等于 bh 的， 等于 c e 的， 最后就证明 c、 e 是 等于 fm。 这个这道题的话，就是运用了一线三等角的这方面的，这是构造辅助线。

各位同学们大家好，我是你们的阿川学长，今天我们讲八下第一章三角形的证明的第一节等腰三角形的这个性质。那我们观看我们本节课，也就是我们之后的一些课程会讲的一些什么东西。 第一个关于等三角形的话，我们会涉及到它的性质，以它特殊的一个等边三角形的性质，以及如何去判定等三角形，以及如何用反证法去证明等三角形。而且还有关于等边三角形的判定及含三角三十度角的这个直角三角形的一些性质。 然后后面就是关于这三角形啊，以及角平分线啊，还有线段的垂直平分线这一些方面的知识，然后其中这一堂课的这个规模是最大的，难度是极高的，所以我们需要好好听啊。那我们现在呢，我们这个第一课是啊，首先我们来看三部图片， 埃及金字塔，他是一个三角形斜拉桥梁，这里有个三角形，以及关于我们这个体育观看台架啊，他有一个三角形，所以说我们会发现三幅图片都存在一个等腰三角形吧，所以说我们来看啊， 那现在问题一，在八上的平行线的证明这一章中，我们学了哪八条的基本事实？我们来小伙伴来一起回想一下平行线的证明的一些基本事实，我们想想是不是有两点确定一条直线以及两点间线段最短， 然后如何去正平行？ c 边形是不是有同位角相等两直线平行以及同方内角互补两直线平行。 然后关于到我们的平行正比线，有很多很多事实吧，那现在我们来例举八条，第一条是确定直线，第二条是关于距离的问题，第三条是同一平面内过一点，有且只有一条直线与已知直线垂直啊，必须同一平面内啊，这个是我们的心理条件 啊。第四条就是我们的证明平行线的一个呃呃，这个判定判定条件。然后第五个是过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。然后第六个是两边及其夹角分别相等的两三角形全等，相当于是一个边角边关系。 第七个两角及夹边分别相等的三角形全等啊，这是角边角以及三边分别相等的两三角形全等，这个是边边边。 所以说我们这里涉及到的是关于全等三角形的知识，这里问的是关于如何证明平行，第三和第五相当于，是啊，确定了他们些关于线的性质，而第一个和第二个相当于是其他类型的一些条件。 那我们来看到我们的第一个探求心之定理是两角分别相等，且其中一组对等角的对边相等的两三角形全等，也就是角角边，这个属于新的一个判定性质了。现在我们用基本事实以及学过的定理来证明这个推论。 我们来看啊，咱们画出来了，已知如图，角 a 和角 d 是 相等的两个角，角 b 等于角 e、 bc 等于我们的 e、 f。 现在要你证明三角形 abc 比三角形 d、 e、 f 全等。那刚刚我们是不是说过，在证明我们的平行的时候，我们学过了我们的这个边角、边 角、边角以及边边边吧。那这道题的话，我们要想一想，用这三个哪一个好证明啊？我们得知道边边边是什么，三条边都要相等吧。 但这道题我们会发现，我们没有办法得到关于除了 bc 和 e、 f 的 其他边的性质，所以边边边用不了 边角边行不行？也不行吧，因为我们只有一个性质，所以说我们就要首选的是关于用角边角来证明三角形 a、 b、 c 与三角形 d、 e、 f 的 全等。那好，我来证明一下啊！首先我会发现他的两组对应角分别相等，是不是也明白，因为角 a 等于角 d， 角 b 等于角 e， 又因为角 a 加角 b、 加角 c 等于角 d、 加角 e 加角 f 等于一百八十度啊。所以说我们可以一点一点 t 吧， a 和 d 相等， b 和 e 相等，所以说什么角 c 和角 f 是 不是也相等的呀？ 那很好，现在你知道了角 c 和角 f 相等，所以说我们来标注一下啊。 所以同学们是不是由此可得，在三角形 a、 b、 c 和三角形 d、 e、 f 中，因为角 b 等于角 e、 b、 c 等于 e、 f 以及角 c 等于角 f， 所以 三角形 abc 与三角形 d、 e、 f 是 不是全等的呀？对吧？所以说是角边角的性质，所以得到了关于这个的证明。然后同时角 a 等于角 d， 角 b 等于角 c， 角角 e、 b、 c 等于 e、 f， 所以 说它也是不是我们刚刚的推论的角角边的一个顺序关系，所以说这个定律就得正了。这是我们关于啊探讨的第一个的性质，也就是关系到我们的这个 角角边的定力的一个合理性。两角分别相等，并且其中一组等角的对边相等的两三角形全等，这是定力啊，所以根据确定下三角形定义可以得到什么？得到我们的全等三角形的对应边相等，对应角也相等， 那现在我来探求一下他的这些一些其他的性质定力。等腰三角形的两个底角相等，这个很明显吧，等边对等角以及他的推论， 等腰三角形的顶角的平分线，底边的中线，底边的高线，三线合一这个性质，这个是我们的最最重要的性质啊，重要到极致的性质，你的考试中，你的作业中， 你的啊。之后咱们上了这个九年级的时候，以及我们的这个一轮复习，二轮复习， 三线合一贯穿始终，他的重要性没有办法比你的存在。所以说我们一定要记住三线合一，三线合一，哪三条线顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线 三线合一。而且三线合一只在等腰三角形以及等边三角形中才会有，其他三角形是没有的啊。那现在我们要用基本事实和已知定力来证明这些结论，那我们一起来证明一下啊。首先我们引出了一个东西， 七下的时候，我们学个轴对称法，我们利用折叠的方法说明了这个等三角形，它是一个轴对称图形，且两个底角是相互重合的，折过去的话，所以说他们应该是相等的底角，那现在我们把它用图的形式表示出来了， 这个折痕，将这个等腰三角形分成了两个全等的三角形。那现在由这个解题要得到一些启发，那我们把它变为我们的数学语言，就是 如图，在三角形 b、 c 中， a、 b 等于 a、 c， 现在要你正到角 b 等于角 c， 它都要正到等边，对等角的一个性质，那我们来用两个方法来进行证明。首先第一个方法，我们可以做底边的中线，比如说我现在 在 bc 上取一中点 d， 此时我连接 a、 d。 好， 这第一个方法啊，我现在通过中线来证明在 bc 上取一中点 连接 a、 d。 为什么这么，为什么这么正呢？同学们，角 b 等于角 c， 要正到两个角相等。我们之前是不是说过要正到类似的几何性质相等，要么你去找全等吧， 要么去干嘛？去通过计算吧，就说什么等量代换，对吧？这道题里面我们想一想， 你觉得第一个合理还是第二个合理啊？等量代换意味着得有足够多的数据和条件支撑我去进行第二个这么操作吧。 那这道题里面很明显没有这么多条件，所以说我们要通过构造全等找全等三角形，通过证明它们的对应边相等，得到对应角相等。那 ok， 现在我们来进行第一个方法啊，中线， 那此时意味着做完这图就知道我们的这个 b、 d 是 不是等于 a、 d 啊？ 好， b 点 c、 d 吧。好，现在相等。那现在 ab 等于 ac 了， ad 是 不是公共边啊？所以说同学们在三角形 a、 d、 b 和三角形 a、 d、 c 中，因为 ab 等于 ac， b、 d 等于 cd， ad 等于 ad， 这个是已知的，这个是通过作图得到的，这个是公共编码，所以此时三角形 a、 d、 b 和三角形 a、 d、 c 是 全等的关系。 通过 b、 b 边证明此时角 b 等于角 c 啊，对应角是相等的，这是第一个方法，通过做中线的方法得到的。那现在第二个方法我们可以去尝试着做 角平分线啊，现在我做了一个角平分线啊，这个 a、 d。 我 们来说一下啊，这第二个方法啊，不是这个等它再换的方法了啊，我是说证明这个角的方法有两个啊，是这个方法其中第二个方法是用不了的啊， 好，第二个方法要通过做角平分线来进证明。首先我们做 a、 d 平分角 a b 角 b， a c 交 bc 于点 d， 这是我们的这个作图的一个表述方法啊，此时我们可以得到这个角命名为角一，这个角命名角二，所以只知道角一等于角二， 那之后是不是也显然可以得到啊？在三角形 a、 d、 b 和三角形 a、 d、 c 中， 是不是 ad， 呃， ab 等于 ac， 角一等于角二， ad 等于 ad 啊？所以说通过我们的边角边证明我们的这个圈的条件是成立的， 所以此时写上，所以三角形 adb 全等于三角形 adc 通过边角边证明，所以此时我们的这个什么，呃，角 b 等于角 c， 这是我们的第二个方法，那能不能通过做底边的高线呢？我们来尝试一尝试一下。好吧，我们来尝试一下可不可以做高线来进行证明 啊。现在我做 a、 d 垂直于我们的这个 b、 c 了，那现在这里是一个啊，直那个 公共边，这里是我们的，我们的什么？我们的斜边吧。那同学们勾股定律会不会啊？好，第三个方法，咱们换一个图好不好？换一个图，换一页啊，换一页。第三个方法，我们做 a、 d 垂直 bc 交 bc 于点 d。 好 的同学们，我们做垂直下来了， 我们会发现 ab 等于 ac， ad 等于 ad 的 话，那是不是意味着还少一点东西啊？因为我们在这个时候其实没有学 h l h l， 你 还没学到 这个，在同学们如果说你们已经学完这节课的时候来看我的课的话，会觉得我讲的非常的奇怪，为什么不用 h l？ 因为我这节课的话是针对没学过的同学讲 h l， 同学们还没学到，所以说我们会通过边角边或角边角或角角边进证明不会用 h l 哈，在在这个学到之前，我们都是用的这个一些比较基本的证明条件。 h l 的 话，同学们不用着急啊，我们在大概是在第几节课？应该是在第二节， 呃，第二章，呃，叫叫第叫叫叫第二节吧，叫第二节吧。第二节关于直角形的这个性质的时候会讲的 h l。 哈，不用着急啊，咱们在这节课的话，不是这个 h l 涉及到别的东西啊，那咱们来看啊，首先我们用固定力可以得到 是不是 ab 的 平方等于 a、 d 的 平方加上 b、 d 的 平方啊？ 然后 ac 的 平方是不等于 ad 的 平方加上我们的这个 cd 的 平方啊，因为 ab 等于 ac 吧， ad 等于 ad 吧，那所以什么？是不是 bd 等于 cd 啊？所以说此时 因为 b d 等于 c、 d， 又有我们的这个 ab 等于 ac， 还有什么 ad 的 ad 吧，所以说可以利用边边边的性质得到关于此时三角形 abd 和三角形 acd 全等。那当然呢，也可以用边角边吧，怎么用？是不是通过 b d 等于 c d？ 角 a d b 等于角 a、 d、 c 等于九十度， a、 d 等于 a、 d 得到此时三角形 abd 确定三角形 a、 c、 d 啊，所以说第三个方法也是 ok 的 啊！ 咱们就讲了这么多，咱先想一想同学们，我们由三角形 b、 a、 d 全等于三角形 c、 a、 d 图中线段 a、 d 还具有什么性质？为什么？同学们，我们来想一想啊，刚刚我会发现，我们做这条线的话 啊，这有点糊啊，有点糊，都好糊啊！咱们就啊，把这里擦了吧，把这里擦了啊！ 我们会发现，我们无论是做平分线，做垂线还是做中线，他们貌似是不是同一根线？ 朋友们，是不是啊，在同一个位置吧。因为我也发现，如果我挣到了全等的话，很明显他们的对应角是相等的，他们的对应边是相等的，对应的角还相等吧。所以说我只挣到三角形 a、 b、 d 全等，就会得到一 堆的条件吧。所以此时如果我能挣到 b、 d 等于 c、 d 的 话，所以说此时证明什么？ a、 d 是 b、 c 的 中线， 如果我用圈的知道了角 a、 d、 b 等于角 a、 d、 c 等于九十度的话，说明什么？说明我们的这个角是九十度角，又以此说明此时 a、 d 垂直于 b、 c， 那 我如果由圈的条件推出了角一等于角二的话，是不是意味着此时 a、 d 还平分了角 b、 a、 c 啊？ 所以会发现两个三角形全等引出的很多的蝴蝶效应吧。所以此时就明白 a、 d 它是一个非常非常特殊的线，它既是底边的中线，也是底边的高线，还是顶角的角平分线吧。所以说，此时我们可以很轻松的回答出陈哥现在说的这一问， 得到的结论是，此时他是底边的中线，你是底边的平分线，还是底边的高线？这些都是由全等所引出的蝴蝶效应 啊，很简单，同学们啊，如果咱们不记得了三线合一的话，同学们可以在淘宝纸上啊，在现场上你就直接啊画个等三角形出来，做条垂线下来，因为我明白这个垂，这个，这根线才是我们这个剪的核心所在 啊，这里是 a， 这里是 b， 这里是 c， 这里是 d 啊，这全等三角形全等， ok， 那 现在我们得到对应边关系，对应角关系，由此推出关于 a、 d 的 所有性质也可以的啊，三线合一很好推的，咱们可以在考场上现推啊，只要你有空的话，那现在我们来看到下个知识点 啊，刚刚挣到的等边对等角，以我们的这个三线合一，用几何语言的话，就是因为 ab 等于 ac， 所以 角 b 等于角 c， 三线合一啊，重点好，我们来练一练啊，练一练， 知道全是题目了啊！同学们，已知如图，三角形 a、 b、 c 和 a、 d， e 是 全等的角 b、 e、 d， 呃，哪里啊？ b、 e、 d 到二十度， 现在要你要问你的是角 a、 e、 d， 问了，这个角是多少度，我们来看一下啊。同学们，首先这个是二十度的角， 这个角角一等于角二，为什么呢？很明显通过全等得到了吧，角一等于角二， 那现在意味着对顶角也相等吧，对应角也相等啊，这对顶角，这对应角啊，所以此时我们的角 d、 a、 b 这个角，它也是二十度，对不对？同学们， 那现在好了，这个角是二十度的话啊，那现在意味着我要挣到这个角，还还有没有别的条件呢？很明显还是有的啊。我们来看，如果说我要挣到这个角的话，我可以能不能推到这个角呢？因为我们知道角 a、 e、 d 其实也等于角 c 吧， 对吧？等于角 c 吧，那现在我们又要知道角 c 在 这个位置，角 a、 e、 b 在 这个位置，那我们去怎么证明？ 好，我们再来看一下啊，那如果说我现在这个角和这个角相等呢？因为很明显吧，角 b、 a、 c 等于我们的角 d、 a、 e 吧，对不对？同学们，那所以呢，此时意味着这里 我们来用大题写起来写吧。啊，用，用小的题写的话，我有点说不清楚啊。由全等得到， 我们命名为这个角为角三啊，这个角四，这个是角五 啊，有趣的得到我们的这个角 d、 a、 e 等于角 b、 a、 c， 因此角三加上角六等于角四加角六，所以说角三等于角四吧。 又因为角一等于角二，也是个全等得到的吧，这就是全等条件啊。 角一等于角二，所以此时意味着角三等于角五，这里还是个对零角，所以此时角等于角五等于二十度， 那意味着此时它也是二十度吧。好，角四是二十度的话，那怎么求到角 c 呢？ 我们是不是会发现由全等得到 a、 e 等于了 a、 c 啊？所以说什么？所以角 a、 e、 c 等于角 c 吧，等边对等角吧。那现在知道角 a、 e、 c 加角 c 加上角 e、 a、 c， 嗯，这里是角四啊，这里是角四，就是角四啊，加角四 等于一百八十度，那角四是二十度的话，所以说角 a、 e、 c 加角 c 是 不是一百六十度啊？它又相等，所以说此时角 a， e d， a e d， a， e， c 等于了八十度吧， 等于角 c 吧，那又全能又得到我们此时角 a， e， d， 它又等于了角 c 吧，所以说，答案是我们的八十度，答案是我们的 c 选项啊。第一题，它是一个有点像俄罗斯套娃的感觉啊，比较呃，稍微有点 繁琐，但是难度不是很大啊。这是我们的这个第一问，那例题， 这道题的话，我们来讲一下关于第一问就 ok 了。第二问，同学们可以课后自己去证明一下啊，很简单的，其实一样道理， 第一问都听懂了，第二问也很好证的。那现在看到第一个已知 a 点点 d 和点 e 在 三角形 abc 的 bc 上， ab 它等于了 ac， 若 ad 等于 ae， 让你证到此时 bd， b， d 等于 c e， 那 这道题怎么证？同学们，我们来看一看啊。首先，我们可以过点 a 做 a 句，垂直于我们的这个什么，呃， bc 为什么这样证呢？因为我这样证的话，我可以得到什么些性质？什么性质呢？是不是可以得到我们的 d 句等于 g e 啊？那此时一减，是不是得到 b， d 等于 c e 啊？ 是不是？这是不是这么个道理啊？哎，我是不是没听清我，我在讲什么？同学们啊， b d 等于 c e， 它等于我们的 b g 减去 d g 等于 c g 减去 g e 吧 啊，所以说，我只需要知道 b g 等于了 c g， d g 等于了 g e 就 ok 了。这个很好证明吧，刚刚是不是证了很多次了？ 我们通过证明边角边或者边边边得到此时 a g， e， a a， d g 和 a e， g 全等啊，我们来翻页啊！翻页，我们来证明一下啊！ 首先我做了这么一个辅助线，此时它是一个垂直的关系，垂直的关系好，因为啊， a， d 的 平方等于 a g 的 平方加 d g 的 平方， a e 的 平方等于 a g 的 平方加 g e 的 平方。所以因为 a d 等于 a e， a g 等于 a g， 所以 d g 等于 g e， 那 所以在三角形 a， b， a， d g 和三角形 a， e， g 得到我们的这个什么 a g 等于我们的这个 a g 公共边角 a g， d 等于角 a g， e 等于九十度 得到，此时还有 d g 等于 g e， 那 现在是不是可以得到此时三角形的 a， d、 g 全等于三角形 a、 e、 g 了？ 所以此时我们的这个什么， 呃， 一些低聚零聚异哎。哦，好像没必要挣全等了。好，同学们，我们已经挣到低聚零聚异了啊，没必要挣全等了啊，有点画蛇添足了。同学们 啊，咱们刚刚这个属于啊，翻车了啊，翻车了，忘了我要挣什么东西了。突然一下子不是全等了。同学们，我已挣到了低聚零聚异了啊，由这个固定里得到的，他现在同理是不是一样的？同理， 同理的话怎么同理啊？因为 ab 的 平方等于 a g 的 平方加 b g 的 平方， 然后这个 a， c 的 平方等于 a g 的 平方加 g c 的 平方吧。 所以此时是不是意味着我们的这个 b g 等于 g c 啊？那现在一减 b g 减 d g 是 不是等于我们的这个 g c 减 g e 啊？所以此时很明显吗？我们的这个 b d 等于了 c e 了吗？ 同学们，也可以用三线合一来写啊！三线合一怎么写？同学们，因为我们知道 a、 d 等于 a、 e， 所以 三角形 a、 d、 e 是 一个等三角形吧。我们来写一下三线合一怎么写啊？这是我们的第一个方法。第二个方法，三线合一啊，因为 a、 d 等于 a、 e， 所以 三角形 a、 d、 e 是 等腰三角形。 因为 a、 g 是 d、 e 的 高线， 所以同学们，所以 a、 g 又是 d、 e 的 中线， 这里我们可以写上三线合一，所以此时 d、 g 等于 g、 e， 那 之后你写同理可得 我们的 b， g 等于 g、 c， 所以 之后再重复这一步操作就 ok 了。这是我们第一问很简单，第二问的话也很简单啊，咱们可以课后自己去写一下啊，咱们就不多做讲解了。 课堂小结，我们本节课学习了关于新的一个判定的条，判定的一个辅助条件是角、角边， 以及学习了关于对应边相等和对应角相等，也学习了此时他们那些性质叫做等边、对等角。还有我们的三线合一，其中三线合一是最重要的点，这个东西同学们在小学也学过了啊，咱们没必要再进行追究了， 咱们只需要知道咱们初中所学的重点是三线合一就 ok 了。那咱们看到我们的课堂练习已知， a、 b 等于 a、 e， 角 b， a、 d 等于角 c a、 e。 要是三角形 a、 b、 c 确定三角形 a、 e、 d， 还要添一个条件，这条件可以是什么 啊？我们可以试什么呢？同学们，我们来标注一下， ab 等于 a e， 角 b， a、 d 等于角 c、 e， 所以 说这两个公共角啊。所以此时角 b、 a、 c 等于角 d、 a、 e。 那 现在意味着我需要得到 条件，从而证得 abc 和 ad 全等股数。可以写 ac 等于 ad 啊， 因为这是边角边吧，你也可以写角 b 等于角 e 吧，这是角边角啊。所以同学们答案很多啊，咱们就不多做讲解了，这道题没啥意思。好，第二题，在第一问， 等腰三角形，一个底角为七十五度，那他另外两个角的话，很明显，一个是七十五度，一个是三十度。第二问，如果他说他的一个角是三十度的话，这个角可能是顶角，可能是底角啊，所以同学们及其分类讨论。 所以说答案是三十六度或一百零八度，这个答案是很明显吧？是，如果是底角的情况下，是底角的情况啊，底角的情况，这个是顶角的情况。 第二问，咱讲完了。第三问，等腰天线，一个角为一百二十度，另外两个角的度数为多少？很明显两个角的度数为多少？很明显，两个角的度数为多少？很明显，两个角为一百八十度的话，总和就超过了一百八十度吧。 所以说这个不可能为底角，只能为顶角。所以说这道题答案就是三十度负三十度啊。咱们的一些基本结论呢，咱们可以借鉴一下。顶角加上两 倍的底角等于一百八十度，顶角等于一百八十度。减去两倍的底角，底角等于一百八十度。减顶角的度数除以二。好，第四个和第五个是它的限定条件啊，这个很明显， 所以说同学们在等式教学中需要注意对讲的分类和讨论。那么本节课讲到这里，到此结束，我是你们的阿奇学长，我们下期再见，拜拜！

初中拉开距离的就是计算题，如果你能让孩子每天坚持练一夜计算，开学你就知道他的数学有多轻松。推荐万维的这本初中数学计算题同步改版后的教材，初中三年所有的常考一错计算题都会总在这本书里，比如二元一次方程组、 不等式和不等式组、二次根式等章节。先梳理基础知识和公式定律，然后就是典型题型、核心趋势考法的专项练习，易错题型进行精准练习，防止孩子考试丢分。做完就能拍照批改，给的题型题量也都十分丰富， 就连答案部分也整理的十分细致，每天十五分钟，提高做题速度和准确率。开学他就是老师身边的大红人，抓紧给孩子准备起来练一练吧！

接下来我们更新第四页啊，我说定力会用就可以了。我说这个是什么？ a、 s 指着什么？两角及其一个角的什么？一组角的什么对边相等啊？ 我说全等三角形可以得到什么？我说全等可以得到边的关系和角的关系，边怎么样对应边相等角呢？对应角怎么样相等？好，我们来看一下随堂练习的部分啊，我说角 a 是 多少？是不是五十？然后呢？ b、 d 和 c、 e 分 别什么高线？那所以这个角能算吗？可以啊，我说至二求一， 这什么意思？就说一个三角形中有两个角，知道那对应第三个角可不可以算？可以啊，好，我们写一下这个部分。好，我们直接解 在三角形 a、 e、 c 中，那角 a 是 等于多少？是不是五十？然后角的 a、 e、 c 等于多少？是不是等于九十度？ 那角 a、 c、 e 等于多少？是不是等于一百八十度，然后减去一个角 a， 然后减去一个角，什么？ a、 e、 c 啊，等于多少？一百八十度，然后减去一个五十。减九十是多少？四十度啊， 那我说这个部分可以得到，那其次我说再看，我说这个象形中这个是多少五十，这个也是九十，所以这个也是多少四十啊，好，那我来写一下， 我们把它拆开啊，我说在三角形，是吗？一样这个三角形中 abd 中， 然后呢角 a 也是多少？五十，然后角 abd 等于多少，是不是等于九十？那就角 abd 等于多少，是不是等于一百八十度，然后减去一个什么角 a 减去一个角什么 abd， 然后等于多少？一百八十度，然后减去一个五十，然后减去一个九十等于多少？四十度啊，那我们来看一下这个题求什么？我们说第一个 a、 b、 d 好， a、 b、 d 求了吗？求了就结束了。然后接下来我说 c、 o、 d， 好， 我来看一下 c、 o、 d 在 哪，我先找一下角在哪？ c、 o、 d， 所以 是这个角没问题啊。我说这个角算了吗？算了，我说 a、 c、 e 是 多少？是不是等于四十度？然后这个是多少？九十，那这个角是多少？五十。所以我真正在写过程的时候，我需要把球 这个角，也就是说角 c、 o、 d 这个部分和这个放在一起啊，我先把这个部分 c、 o、 d 的 求法做一下啊，我说在三角形属于中啊， c、 o、 d 中啊，我写一下在三角形 在 o、 d 中，然后呢？角 o、 d、 c 是 不是等于九十啊？角 d、 c、 o 等于多少？是不是等于四十度？那角 d、 o、 c 等于多少？是不是等于一百八十度， 然后减去一个角谁？ o、 d、 c， 然后再减去一个角，什么 d、 c、 o 啊？等于多少？一百八十度，然后减九十度，然后减四十度等于多少？五十度啊？ 我说这个部分过程要怎么去处理啊？我们过程真正在写的时候，我是这两个放在一起的，你注意一下这两个放在一起的，然后这个单写，所以我们可以就是我说第一步，我们把这个给他拆一下，这是第一步，然后这什么第二步，然后第三步，这是过程啊， 还可以怎么写？我们还可以这个部分写，我们把它写成一，然后这是二，这是三，就是不管你怎么写，就是把这两个放在一起啊，先有前面，后有后面啊，那这个题我们就讲解到这，接下来我们来看一下第二题啊， 我是三角形 a、 b、 c 中，角 a 是 多少六十，然后角 c 是 多少七十，这二求一对吗？所以角 b 可以 算满，可以是多少，是不是一百八十度？减六十减七十，所以是多少五十度啊？好，我来写一下三角形 a、 b、 c 中， 然后角 a 等于多少六十，然后角 c 等于多少七十度，再角 b 等于多少一百八十度，然后减去一个什么角 a 减去一个什么角 c 等于一百八十度，然后减去一个 六十，然后再减去七十，等于多少五十度啊？我说有这个条件就可以得到，我说这个角是多少五十， 那接下来我再往后边看啊，我说 d、 e 和 bc 什么关系？ a 是 什么关系？是不是平行？我说 d、 e 和 bc 是 平行，那平行会有什么？同位角内错角怎么样相等同旁内角怎么样互补啊？那我说这个是五十，所以这个角也是多少五十，这个角是七十，所以这个角也是多少七十啊？ 好，我说这个题求证什么？我说 a、 d、 e。 好， 我找一下 a、 d、 e 也就这个角是多少五十，可以吗？可以啊，是由什么得到平行的性质啊？好，我直接写因为什么 d、 e 平行于什么 bc？ 所以呢？我们是不是角 a， d、 e 等于什么？是不是角 b， 角 b 知道吗？知道，所以等于多少五十度啊，那这个题我就讲解到这过程也可以这样去写啊。

建议所有的初中生，这个寒假都去练习一下计算题，咱们毫不夸张的说啊，中考数学其中一百多分都跟计算有关系，想要拿高分，咱们计算能力啊，必须提上去。初一初二的孩子，趁着这个寒假还有时间，抓紧时间去提升计算速度和能力。 不知道刷什么题的同学，咱们就推荐万维的这本啊，计算器，他把考试常考的计算体型啊，都单独的列出来了，考点啊，逐步过每一个考点啊，先讲清楚算理，再进行针对性的练习，测然还会总结出解题的方法， 从难点还有视频讲解，一套下来，计算速度和能力啊得到了大大的提升。这套书啊，它还分为啊，初中版和中考版，七八年级啊，咱们就买初中版，跟着教材单元去练，九年级就买中考版，提前熟悉中考的体型，下期好好的练一练计算题，打好计算的基础，咱们数学才能拿到高分。

同学们好啊，今天起给大家整理一下八年级下册数学的全册预习重点预习抓主线，破难点，重点盯公式定律和题型逻辑，按章节拆分， 明确核心重点，预习关键易错点，方便直接用来规划预习，精简实用。第一章三角形的证明一、核心重点全等三角形判定边边边角边角边角角边是基础。 重点预习等腰三角形、等边三角形的性质与判定，等边对等角三线合一直角三角形的判定，即三十度角所对直角边等于斜边一半。二、预习关键， 分清性质定理有结论推特征和判定定理有特征推结论，比如等腰三角形性质是等边等角判定式等角等边，避免混淆。三、易错点，直角三角形全等用 h l 使。 必须先明确两个三角形都是直角三角形，再找斜边和一条直角边相等。怎么做才能提高预习效率呢？给大家分享几个实用的操作方法。一、 先看教材例题，先精读定义和定例，再看例题步骤，搞懂每一步的依据。二、抓核心公式定律， 把定和定力抄在笔记本上，反复背诵。三、基础题优先练预习时不用攻难题，重点做教材课后基础题，砥实基础比刷难题重要。四、标记疑问点，遇到不懂的地方做好标记，开学后重点听老师讲解，针对性突破。

来看一下这一题，这是万维的辅助线用什么方法解决的？题目说在三角形 a、 b、 c 中， d 是 bc 的 中点， b， e 是 垂直于 a， c 于点 e， a、 d 是 等于 b， e 的 角， c 等于三十五度。求角 a 到 b， 它的一个度数是多少度？ 那么首先看到一边上的一个中点，然后呢？想到它是要做平行线构造一个中位线，那么中位线我们需要知道它的两个特点吗？首先我构造的是这个多 h 平行于 b e， 那 么这是它其中一个特点。第二个就是到 h 是 等于二分之一的 b e 的， 也就是它是 b e 的 一条中位线，那么等于二分之一的 b e 的 话，因为题目说了 b e 等于 a d， 所以 d h 也是等于二分之一 a 到的。又因为这个地方因为呃同行内在互补，所以这是九十度 o， h 等于二分之一 a 多，所以这是一个三十度，六十度、九十度的一个三角形，那么这个地方就是六十度，又因为这个地方是三十五度，所以三角形内角和一百八这个地方他就是五十五度， 因为呃一百八十度的话，所以这个地方是六十五度，那么最后得出来 a 和 b 的 角的度数是六十五度，那么这个地方就是要掌握看到终点做平行线是中位线的一个呃解析技巧，嗯。

初中生的假期一定要坚持练习计算，如果你能让孩子每天坚持练一夜计算，开学你就知道他的数学有多轻松。推荐这本万维初中数学计算题，他同步改版后的教材，初中三年一考一错题型都在这本书里。比如二元一次方程组、一元二次方程组、二次根式，每章节先梳理基础 知识和公式定律，然后就是典型题型、核心趋势考法、易错题型的专项练习，还有解析思路、方法、步骤指导，给的题型题量都十分丰富，就连答案部分也整理的十分细致。每天十五分钟，提高做题速度和准确率，抓紧准备起来，练一练，你的计算就会又快又准。

朋友们好啊，今天继续给大家整理八年级下册数学的全册预习，重点预习，抓主线，破难点，按章节拆分， 明确核心重点，预习关键，衔接考点，方便直接用来规划预习，精简实用。今天关注第三张图形的平移与旋转。一、核心重点，平移的性质，对应点连线平行且相等， 对应线段平行且相等，形状大小不变。旋转的性质，对应点到旋转中心距离相等，旋转角相等，形状大小不变。中心对称图形的判定，绕中心旋转一百八十度，与圆图形重合， 比如平行四边形。二、预习关键，动手画图，平移抓方向和距离，旋转抓旋转中心方向、角度，这三个要素缺一不可，通过画图理解，性质更直观。三、衔接考点，后续平行四边形的学习会用到平移旋转性质预习时打好基础， 记住常见中心对称图形，平行四边形、矩形、菱形、正方形。如何才能提高预习效率呢？给大家分享几个实用的操作方法。一、先看教材立体，先精读定义，再看例题步骤，搞懂每一步的依据。二、抓核心概念性质，把相关定义、平移旋转的性质、 中心对称图形的判定抄在笔记本上反复记。三、基础题优先练预习时不用攻难题，重点做教材课后基础题，磋识基础比刷难题更重要。四、标记疑问点，遇到不懂的地方做好标记，开学后重点听老师讲解，针对性突破。

在初中数学的学习里，押题常常是拉开学生差距的关键，让孩子每天都吃透一道重难题型。这里有一套连学霸都爱用的 尖子生，每日一题，他与新教材完全同步，针对七年级的所有重难点，都按照章节进行了细致划分，对于每个重难题型该怎么练习，也都规划的清清楚楚，一天只需要吃透一道题，孩子完全没有压力。每一道题不仅配有详细的解析步骤， 还有思路点拨以及方法总结，孩子只要吃透一道题，就能掌握一类题，而且这套书七八九年级的版本都有，各位家长赶紧给孩子安排上吧！ 学霸们每天都会做一道重难题，因为他清楚的知道重难题就是为拉分而设计的，可以准备这本冲刺。尖子生每日一题，同步新版教材每个章节的重难题型都整理好了，每天怎么练规范的清清楚楚，一天掌握一个核心考点，六十天就能打卡完。习上所有重难题型，每个题型都给出了解析步骤、 思路点拨以及方法总结，让孩子真正掌握答题技巧，学会一题会解一类题，手把手教孩子突破重难题，学习尖子生思维，打开理科逻辑后，考试怎么出题都能轻松应对，七八九年级都有，抓紧给孩子准备起来！

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哈喽，同学们大家好，我是你们的阿山学长。今天我们讲第一张一点一的第二课时等边三角形的性质，我们回到我们的这个流程图， 我们到了第二节的一个知识了啊，现在我们再往下讲，就是下节课就是等边三角形的判定，以及我们的这个反正法。那我们先看到本节课的知识，在期下我们已经知道了三边相等的三角形是等边三角形。 生活中有很多这样的等边三角形，比如说我们的这个交通图标，又比如说咱们台球厅的三脚架，他们的这个形状都是等边的三角形， 那同学们我们归我们来思考一个问题，在上一节课我们证明了等腰三角形的两底角相等，那等边三角形的各角之间的关系是什么样的？那我们回归归我们的重要性质， 首先在等腰三角形中画出一些线段，比如说角平分线，中线以及他的高线等， 我们能不能发现其中一些相等的线段，通过证明相等的线段来得到它的性质呢？我们来看一下啊，我们第一个猜想是底角的两条平分线相等，第二个猜想是他的两条腰啊，他的中线相等， 第三个猜想是两条腰上的高线相等，现在我们来进行证明，第一个证明 等腰三角形的两底角的平分线是相等的啊。如图，在三角形 a、 b、 c 中， ab 等于 ac， b、 d 是 b、 d 和 c、 e 分 别是角 a、 b、 c 和角 a、 c、 b 的 角平分线，那这 b、 d 等于 c、 e， 那 这个很明显是通过证明全等三角形来进行求证的吧，所以说我们只需要证到三角形 e、 c、 b 全等于三角形 d、 b、 c 就 可以证到我们此时我们的 b、 d 等于 c、 e 了。那现在我来证明一下啊。首先因为 a、 b 等于 a、 c， 所以 由等边对等角得到角 a、 b、 c 等于角 a、 c、 b。 又因为此时 d、 d、 c、 e 是 角平分线， 所以角一等于二分之一的角 a、 b、 c。 角二等于二分之一的角 a、 c、 b， 所以 角一等于角二。 那现在角一等于角二，知道了角相等，又有一条公共边， 那现在意味着我还需要挣到别的条件才行吧。要么挣边角边，要么挣角边角吧。 那现在我们来看哈，边角边就要证明是两边及夹角，所以要挣到 c 一 等于 b、 d。 我 们发现这是我们要存在的条件，所以说我们利用边角边没办法证明。那现在我们只能用角角边来证明了吧。 好，现在我们使用直角边，所以说我只需要正到我们的角 abc 等于角 dcb 就 行了吧。那因为角 abc 等于角 abc， 是 不是它不是同一个角啊？所以说在三角形 abc 和三角形 d、 c、 b 中，因为角 e、 b、 c 等于呃 e、 b、 c 啊， 等于角 d、 c、 b 以及 b、 c 等于 b、 c。 还有角一，角二等于角一，所以三角形 e、 b、 c 全等于三角形 d、 c、 b 是 由角边角得到证明的。那所以此时 b、 d 等于了 c、 e 啊，得正，很简单，这是我们的猜想一。 那现在看猜想二，等腰三角形两腰上的中线相等 已知如图啊。在三角形 a、 b、 c 中， ab 它等于 ac， 然后 b、 m 和 c、 n 是 两两要素的中线，要证 b、 m 等于 c、 n， 怎么证？ 一样道理吧，也是通过证三角形 b m a 全等于三角形 c n a 就 可以了吧， 我们只需要找到它对应的三角形全等就 ok 了吧。那现在我们来看啊，已知我们的 ac 等于 ab 啊，标上 ac 等于 ab， 那 现在 nc 又和 bm 分 别是 ab 和 ac 的 中线，所以说词是什么？ ac 的 与 bc 的 中线，所以说词是不是意味着 an 又等于我们的 am 啊， 是不是这样的那些同学们，所以此时我们又要找到一个角就 ok 了吧，是不是公共角角 a 啊，那所以我们的思路就是通过证明边角边来得到 b m 全的 b m 等于 c n 吧，那所以我们来进行证明， 因为 ab 等于 ac， 又因为 b m c n 是 两腰上的中线， 那现在可以得到呃 am 等于二分之一的 ac， 以及我们的 a n 等于二分之一的 a b， 所以 此时 a m 等于 a n。 那 现在就可以写在三角形 b m a 和三角形 c n a 中 a m 等于 a n 角 a 等于角 a 以及 a c 和 ab 等于 ac， 所以 三角形 a m b 全等于三角形啊， a n c 证明是边角边成立啊，所以此时 b m 等于了 c n 得证了啊，很简单， 那我们看到第三个猜想，证明等腰三角形两腰上的高相等。已知如图的三角形 a b c 中 ab， 它等于 a c bp 和我们的 c q 是 两腰上的高，要证 bp 等于 c q。 我 们来看啊，首先有一组公共角，并且呢有一组对应角相等吧。 那现在我们来看啊，还有 ab 等于 ac 吧， 是不是很明显了？通过角角边证明全等吧，同学们，那现在，所以同学们，我们来进行证明啊，因为 啊 b p、 c、 q 是 啊，两腰上的高， 所以我们把它命名为这个角一，这个为角二。好吧，所以角一等于角二等于九十度。那现在就是在三角形 a、 q、 c 和三角形 a、 p、 b 中证明全等吧。所以此时角二啊，角一 等于角二等于九十度。角 a 等于角 a 以及我们的 a、 q 等于我们的这个哦，不是 a、 q 啊，是我们的这个 a、 c 等于 ab 啊， ac 等于 ab， 所以 三角形 a、 q、 c 全等于三角形，我们的这个 a、 p、 b， 所以我们的这个 b、 p 等于 c、 q 啊，比较简单，这个利用的是角角边啊，角角边。 当然呢，你也可以证明下面的这个 c、 q、 b 和我们的这个啊 b p、 c 我 画一下啊，可以证明，也可以证明 c、 q、 b 和我们的这个啊 b p、 c 全等也是可以的啊，我设了上面的一个全等，没啥太大的关系啊，同学们， 所以这道题是两个方法的，那现在问题是还有没有其他的结论？那现在我们来看一下下一页。我现在换个条件，如果角 a、 b、 d 等于三分之一的角 abc， 角 a、 c、 e 等于三分之一的角 a、 c、 b， 那 么 b、 d 和 c、 e 是 否相等？ 然后现在第二问，是我们的，如果角 a、 b、 d 等于四分之一的角 a、 b、 c， 角 a、 c、 e 等于四分之角的角 a、 c、 b， 那 现在是否相等？那我们先证第一问好不好啊？先证第一问。首先我们得明白，因为 ab 等于 ac， 所以他们的底角一定是相等的吧，所以此时角 a、 b、 c 等于了角 a、 c、 b 吧。所以只要角 a、 b、 d 和角 a、 c、 e 能够同与 abc 或者 abc 它们产生一样的数量关系的话，这个 b、 d 等于 c、 e 是 一定可以挣到的。 我们来看啊，我们把这个完整的步骤写一下啊，所以角 a、 b、 d 等于角 a、 c、 e， 那 现在角 a、 b、 d、 a、 b、 d 啊，在这里，角 a、 c、 e， 在 这里 ab 还等于 ac， 此时角 a 又是公共角，所以通过证明角边角可以得到此时的 b、 d 等于 c、 e 吧。所以同学们第二问就也能写出来了。如果他们都成了四分之一的关系，是不是不影响我的全等条件啊， 对吧？只要角 a、 b、 d 和角 a、 c、 e 与我们的 abc 和 a、 c、 b 是 一样的数量关系的情况下，他们 所证的全等条件是不会有任何变化的。那既然全等条件不会变化，意味着三角形 a、 b、 d 和三角形 a、 c、 e， 它都能证明全等，那意味着此时他们对应边 b、 d 和 c、 e 是 不是也是全等的呀？啊，也相等的吧，所以此时第二问，他们 的 b、 d 和 c 的 关系还是相等的，没啥变化的啊。那现在第三问啊，如果是 n 分 之一，还算道理，还是相等的，没有任何变化的。所以只要记得一句话啊，只要它是等腰， 只要角 a、 b、 d， 角 a、 c、 e 与角 a、 b、 c 和 a、 c、 b 的 关系，他们的数量关系是一模一样的情况下，在我的缺的条件不被破坏的情况下， b、 d 和 c、 e 他 一定是相等的。这第三问啊，所以同学们结论就是， 在三角形 a、 b、 c 中，如果 a、 b 等于 a、 c， 并且角 a、 b、 d 等于角 a、 c、 e， 那 么 b、 d 等于 c、 e， 这个是我们的条件啊，咱们的之后的一些证明课上对于这一类的题目证明还是比较多的啊。 那现在我看到咱们的第二个是关系到我们的这个，呃， 第二个结论已知如图啊，巴拉巴拉一大堆啊。第一问，如果 a、 d 等于三分之一的 a、 c， a、 e 等于三分之一的 ab， 那 么 b、 d、 c、 e 是 否相等？为什么 我们明白 ab 等于 ac 的 情况下，是不是意味着 ab 如果等于三分之一， a、 c、 a、 e 等于三分之一 ab， 是 不是此时 ab 和 a、 e 又是相等的呀？ 那所以同学们边角边就能证明三角形 a、 e、 c 和三角形 a、 d、 b 全等吧。一组公共角一个，一组一组对应边，还有一组对应边长的， 是不是就证明全等了呀？所以同学们通过证明 a、 e、 c 和 a、 d、 b 全等，很容易得到 b、 d 等于 c、 e 吧。所以跟刚刚一样，如果不管是三分之一也好，四分之一好，或者第三问，我们的 n 分 之一也好， 只要我们的 a、 d 等于 a、 e， a、 b 等于 a、 c， 那 么 b、 d 和 c 的 关系一定是相等的，这是我们的啊。第二个猜想的一个啊，进阶的一个结论。 那所以这是由特殊结论归纳出一般结论的一种数学思想方法啊。那现在我们来讲关于等边三角形的性质啊，我们知道等边呢，其实是特殊的等腰，那么等边的内角有什么特征？这个很好理解吧， 三个内角相等，并且都是六十度，这个是小学的知识都知道吧。那现在同学们，我们来证明这个定力，小学没证明过吧，我们初中来证明一下这定力啊。现在一幅图要出来了 啊，一幅图如图，在三角 a、 b、 c 中， a、 b 等于 a， c 等于 b、 c。 要证角 a 等于角 b 等于角 c 等于六十度啊，刚刚说过，这不是可以利用等腰的性质来进行证明。 等腰怎么性质？是不是等边对等角啊？那现在看成哥来操作啊，因为 ab 等于 ac， 所以 角 b 等于角 c。 因为 ac 等于 bc， 所以 角 a 等于角 b。 那现在是不是连等，所以角 a 等于角 b 等于角 c 啊，那因为角 a 加角 b 加角 c 等于一百八十度。是不是就很简单，角 a 等于角 b 等于角 c 等于了六十度啊！啊，非常简单的一道题啊， 那现在例题四，如图，要你啊证明 e、 d、 a 的 度数， 并且 a、 b、 c 是 一个等边三角形， b、 d 是 a、 c、 b 上的中线，此时 b、 d 等于 b、 e。 让你求 e、 d、 a 的 度数， 我们来进行证明啊。首先我们得明白，等边三角形，它所有的内角都是六十度吧，所以此时六十度，六十度。然后 b、 d 是 a、 c 边上的一个中线。那同学们，我现在要再问同学一个问题，三线合一 是哪三线？是不是底边的高线， 里边的中线以及顶角的角平分线， 对吧？一条线三个性质，就跟我们地理的秦岭淮河一线一样，道理对不对？ 那所以同学们，我们这道题他现在问等边，但我们知道三线合一是等腰的性质。那现在同学们问你个问题啊，等边有没有这样的性质啊？很明显也有吧，因为等边是特殊的等腰角形意味着等边 的的性质，等腰它不一定有，但等腰的性质等边它一定是有的吧，所以三线合一在等边，这样形中还是一样的，可以进行使用和操作的。那些同学们， b、 d 是 a、 c 的 中线的话，所以此时根据三线合一，它就是 点顶角的角平分线吧，所以这里也是三十度，这里也是三十度，那现在 b、 d 等于了 b、 e 意味着什么？等边对，等角，所以说这两个都是七十五度吧。 那现在角 b、 e、 d 是 三角形 d、 a、 e 的 外角，那外角的性质是什么？是与它不相邻的角的两个角之合吧， 对吧？所以此时角 b、 e、 d 又等于角 a， 加上角 e、 d、 a 等于七十五度， 那现在角 a 他 什么六十度吧，那 e、 d、 a 是 不是就十五度了呀？答案就是，这是我们的历次啊，咱们就讲一下咱们的思路啊，如果要写字的步骤啊，其实没必要写的，因为考试呢，考这道题的话可能性不大啊，比较简单，咱就不会再进行比较细致的讲解了。这历次， 那现在看到我们的单项小节，等腰的角平分线，两腰上的高，两上的中线的相关性质如下啊，底底角的两条平分线是相等的啊，两上的中线也是相等的，以及两腰上的中高线也是相等的。 定力就是啊，等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于六十度，那现在看他练习， 如图，三角形 a、 b、 c 和 a、 d、 e 都是等边三角形，如果在 a、 b、 c 的 周长为十八厘米， c、 e 为两厘米。现在问的是三角形 a、 d、 e 的 周长是为多少？首先 都是六十度角吧，所以很明显可以知道平行，那根据平行的性质呢？我们在上节课讲过，对应线段成比例关系，对不对？所以此时意味着我们的这个如果 c、 e 等于两厘米，那它也是两厘米吧，对吧？ 那现在意味着我们看一下啊，三角形 abc 的 周长呢，是等于我们的这个 b， c 加 ab 加我们的这个什么 bc 加 ab 加 ac 吧，等于十八厘米，而且它等边的吧，所以此时三条边都是六厘米吧，所以这里是四，这里是四，那这里是六，那这里是不是 a、 d、 e 也是一个等边的，所以它它也是四吧，所以答案是十二厘米啊， 咱们看第二问，第二问呢，是我们之前的一堂课讲过的，叫做手拉手模型啊，手拉手模型，这个是我们的这个专题模型课，在合集里有啊，合集里是有这这个课的啊，专题模型课是我们的这个手拉手模型。 那现在我们来看一下啊， 如图所示，三角形 a、 c、 m 和我们的 b、 c、 n 都为等边三角形，要证 a、 n 等于这个 b、 m， 很 明显也是通过证明全等来证明我们的对应边是一个呃，相等关系，那 a、 n 和 b m 是 不是只需要证到 a、 c、 n 和三角形 m、 c、 b 全等就 ok 了，对不对？同学们，那现在我们来进行证明一下啊，我们把这个角变为角一，这个角为角二，这个角为角三啊。首先因为 三角形 acm 啊，是等边的 哎，我直接写一写一，那个写一长串吧。三角形 a、 c、 m 和三角形 b、 c、 n 是 等边三角形。 那现在所以此时我们的这个什么角一等于角二等于六十度， 并且 c、 m 等于 cn， 还有 ac 等于我们的这个啊， cm 啊， cm 等于啊， cm 等于 ac 啊，不好意思啊， cm， ac 以及我们的这个啊， nc 等于 bc， 看错了啊，那因为角一加角三等于角二加角三，所以此时角 a， c， n 等于角 m， c， b， 所以 在三角形 a， c， n 和三角形 m、 c， b 中证明全等就 ok 了。那这里是我们的这个什么 a， c 等于我们的 c m， 角 a， c， n 等于角 m， c， b， 以及我们的 n， c 等于 bc。 那 现在所以此时三角形 a， c， n 全等于三角形 m， c， b 了吧，所以说利用的是边角边的性质，所以此时 a， n 等于我们的 b m 啊，这第二问， 那第三问呢？还是手拉手模型吧，咱们就不多讲解了，做法是一模一样的啊，咱们可以同学们感兴趣的课后自己做一下啊。这个方法是一模一样的，刚刚步骤一模一样的，没一点变化啊。这第三问， 那现在辨识啊，如果利用的是不全等的啊，还有道理，方法一模一样啊，方法一模一样的， 只不过大小发生了变化，但它们其实对应的性质没一点变化啊，同学们可以自己下课后自己尝试一下啊。答案是，这个方法是一模一样的，答案呢，也是这个。呃， a， e， b 的 这度数啊，它要问度数的话，那就可能会要要复杂一点，但方法是一模一样的啊，同学们， 咱们就不多讲解了啊，那本节课呢，就讲完了啊，那我们回顾一下咱们这节课学了些什么东西。我们这节课呢，学的比较杂啊，主要学的这个三线合一，复习了一下，包括刚刚讲过的一些性质啊，两 两个比较的，两条平分线相等，两条腰的中线相等，两条腰的高线相等，这些东西是比较重要的啊，但是最重要的还是三线合一啊，三线合一最重要， 然后其次呢就是我们的粉面的一些性质，咱们需要记住一下啊。那那那本节课呢？讲到这里，到此结束，我是你们的阿才学长，我们下期再见。拜拜。

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