五三斜交分解方法解决斜抛运动问题

可以说他是我们高中物理当中斜抛运动难度的，不光是物理上有一定的难度，最主要的是对数学能力的要求实在是太高了，可以说如果数学能力不是特别的强的话，这道题目基本上是没有希望接受挑战吧。 如图所示，足够长，鞋面的倾斜角是三十度，一个小球从鞋面底端以某一横定速率斜向上抛出，不计空气阻力。要想使小球落在鞋面上的位置和鞋面底端的距离最远，小球的出速度和水平方向的夹角应该是多少。 那么这道题目其实描述非常简单，就是一个斜抛运动的射程问题，但是和常见射程问题的区别在于，我们要研究的不是沿着水平方向的最大射程， 那么就是这一个微小的变化，就使这道题目的难度发生了天翻地覆的改变，可以说难度非常之大。那么我们带领大家用两种方法去进行分析。首先我们按常规思路带领大家去进行求解， 那么在常规思路当中研究斜抛和平抛运动问题，也就是所有的匀变速曲线运动问题，我们常见的想法就是沿着所求问题的方向 去进行正交分解就行了。那么在这道题目当中，它所求的问题就是沿斜面方向的最大位移，也就是最大射程，那所以我们不妨沿着斜面方向、垂直斜面方向去建立坐标轴，然后把这个运动进行正交分解。 那所以我们把坐标轴画出来，假设垂直斜面是 y 轴，沿着斜面是 x 轴，那么我们需要把它的出速度和加速度进行正交分解，我们假设出速度和斜面的夹角设为 c t， 那这个时候把它进行正交分解就可以了。很明显，物体在沿着 x 轴方向有一个出速度是微零，乘以 cosine。 沿着 y 轴方向有一个出速度是微零，乘以 sine sine， 那 么接下来再把它的加速度进行正交分解，它只受重力，所以加速度就是数值向下的 g， 那 么我们把它进行正交分解。 很明显，两个分加速度其实是非常熟悉的，因为这个角度蓝色的这条弧线画的角度对应的一定是三十度，那所以在 x 轴方向，它的加速度大小是 g 乘三十度。在 y 轴方向，加速度大小应该是 g 乘 cosine 三十度， 那么这样的话，两个方向我们发现其实都是做匀减速直线运动，因为两个方向上出速度和加速度都是反向的，那所以我们两个方向分别进行列式就可以了。那么在 x 方向，它应该是做匀减速直线运动，什么时候它的射程最大呢？就是我们在 x 轴方向的时候，呃， 在 x 轴方向，它做的是匀减速直线运动，那么所以 x 轴方向的微移，也就是它的射程。我们设为 s 的 话，它应该等于 x 方向的出速度是 v 零，乘以 cosine， 那 么再乘以是减 t， 减去二分之一， x 方向的加速度应该是这乘呃，三十度，所以就是二分之一，这乘以三三十度，再乘以 t 的 平方，那么这是他的位宜。在 y 方向，他做的是一个类似于数值上抛运动，那么他从抛出 到落回到斜面，相当于在 y 方向的分位移等于零。我们出速度是沿 y 轴正方向的，那么这个时候带着正负进行计算，在 y 方向我们的总位移，当它再落回斜面的时候，总位移应该等于零，那么它应该等于出速度是 v 零乘以 sin， sin 再乘以时间 t， 然后再减去二分之一，这一乘 cosin 三十度乘以 t 的 平方， 那么这样的话，我们通过 y 方向的微移可以计算出它的时间，然后代入到 x 轴方向，就可以计算出它的射程，沿着斜面方向射程的表达式，那么这个表达式很显然是关于 theta 的 一个函数，在这里面我们默认 v 零和 v 零是一致的， 那所以这个运算其实从物理层面上并不复杂，但是在数学计算上将会非常繁杂， 我们数学能力差的同学基本上可能就没有能力去解决了，所以这个方法我们就不代表大家讲了。当然这里面要说一下，有的同学可能说，老师你这 y 方向的劣势可能麻烦了， 那么 y 方向如果我们对于数值上抛这个对称性的运动足够熟悉的话，我们可以类比数值上抛运动，那么数值上抛运动当中，我们上升下落回到出发点的总时间 应该是二倍的 v 零比 j， 那 在这里面的话，如果我们同学熟悉的话，其实 y 方向的这个时间可以快速的口算出来，就应该是 y 方向的初速度是二 v 零乘以 sin theta 比上 y 方向的加速度大小应该是 j 乘 cos theta， 这就是这个时间啊，所以 y 方向求时间。如果你对数值上抛这个类型的运动足够熟悉的话，我们这个时间是可以口算出来的，如果不是的话，你可以写 v 一 公式，也可以写速度公式，都是可以的。 那么这个推导的过程我们就不带让大家算了，因为求出 s 的 表达式之后，还要经过非常繁杂的推导，才能想办法去求出这个 s 的 最大值。 那么在这里面的话，我们不用常规方法，我们用一个新的方法去进行解决，那么在解决斜抛运动的问题当中，很多时候我们可以考虑斜交分解，所谓斜交分解，就是说我们运动的分解其实并不一定是按着两个相互垂直的方向上进行， 那么之所以大部分情况下我们都是正交分解，是因为第一正交分解之后，两个方向相互垂直，我们很多量更方便进行计算。第二的话呢，是两个完全垂直的方向上，他们的运动彼此之间的牵连很小，或者说几乎没有牵连， 这在实际运算当中有很大的优势。但是在少数情况下，我们也可以根据需求去沿着两个并不垂直的方向进行分解，那分解的思路也是一样的，把出速度进行分解，把加速度进行分解，然后两个方向的运动分别计算，利用他们的时间相等，就可以解决这个问题。 那么在这里面的话，我们可以考虑沿着出速度方向和数值方向进行分解。为什么要沿着这两个方向分解？是因为如果我沿着数值方向和这个方向分解，那么它的加速度就不用分解了，因为加速度就在这个方向上，那么它的出速度也不需要分解了，因为出速度就在这个方向上， 这样的话我们所需要涉及到的计算量其实是最小的，那所以我们所需要涉及到的计算量其实是最小的，那所以我们不用常规方法采用斜交分解的方式， 那么按照斜交分解的这个思路，我们沿着出速度方向和数值方向去进行分解，那么由于出速度方向就在这个， 就是它的这个出使方向，所以我们这个方向的分速度就是为零，那么在这个方向它的加速度是等于零的，因为实际加速度我们 就是数值向下的 j， 那 么两个方向分解之后，很明显它在这个方向的分量就得零，所以这样分解的分解之后，两个方向上一个方向没有加速度，另一个方向上没有出速度。大家注意这个斜交分解的方式，那么按照这种方式分解之后，我们可以分别分析两个方向的分运动， 在 v 零的这个方向上，它是只有出速度没有加速度的，所以它做匀速直线运动， 那么在这重力加速度这个方向，也就是数值方向上，它只有加速度，没有出速度，那么所以它的运动其实是一个纯正的自由落体， 那也就是说按照这种方式分解，我们斜跑运动可以理解成一个斜向上的匀速直线运动和一个数值向下的自由落体运动的合成。那么按照这种方式我们去进行分析，我们把这个图啊重新给大家去画一下， 这是斜面，斜面倾斜角告诉我们了已经是三十度，那么物体的出速度，我们用蓝色的笔画假设是朝这个方向的，这是它的出速度为零，那么它的加速度是数值向下的， 这是重力加速度 g， 我 们按照这两个方向进行分解，那么分解之后沿着出速度方向做匀速直线，数值方向做自由落体，那么最终我们要保证它要落在斜面上，那就说明一个问题，只要它最终落在斜面上了，它的实际位移一定是沿着斜面方向的， 这是一个关键的点，只要落在斜面上，实际位移一定沿着斜面，那么实际位移，沿着斜面，我们要考虑我们把它分成两个方向的分运动，那么实际位移就应该是两个方向的分位移的矢量和， 所以这里面又又要用到三角形法进行矢量匀算，那么当它落在斜面上的时候，我们可以分析出沿着斜面方向的分位移，我们直接就用这个图了，那么沿着斜面方向的分位移应该是 v， 零乘以是点 t， 那 么在数值方向的分位移应该是二分之一，这题方把它俩首尾相结合，位移必须沿着斜面方向，所以这个图就应该是这样 数值的这个，呃，蓝色线段代表的是数值方向的分位移是二分之一这地方，那么这里面的话，我们标出来的这个红色箭头，也就是荧光笔的这个部分，这就是我们的实际的移，也就是沿着斜面方向的射程，我们用 s 来表示， 那这样的话，我们发现任意时刻只要它落在斜面上，那么射时间是 t 的 话，我们这三个位以满足这个三角形的几何关系，我们要研究的是出速度方向和水平方的夹角，因为水平方向和斜面的夹角我们知道是三十度，所以我们不妨设这个角度是 c 的， 那么我们只需要求出 theta 就 解决了这个问题，那么我们看在 theta 刚好处在这个位于三角形当中，那么在这个三角形当中，这个角度很容易能够分析出分析出来，因为这个角是三十度，这个角是六十度，这个角显然是一百二十度，所以我们把这个角度也标出来，它是一百二十度， 那这样的话，我们就可以在这个三角形当中想办法建立 s 的 相应的关系。那么 s 相应的关系怎样去建立呢？很明显它是一百二十度，这个角度一百二，这个角度 c， 它，那我们 s 所对的这个角就应该是一百八十度减一百二十度，再减 c， 它也就是六十度减 c， 它， 那么这样的话三角形当中的三个角出来了，很明显我们可以考虑用正弦定理去找他们的关系，所以接下来根据正弦定理， 我们可以列出这样的式子，首先我们要求的路程比上它对应角的正弦值，也就是 sin 六十度减 c， 它应该等于沿着出速度方向的分位移 v 零 t 比上它对应的这个角加角应该是 sin 一 百二十度，也就是 sin 六十度， 那么同时还等于数值方向的分位，以二分之一 g t 方比上它对应的角是 c t， 所以 比上 c t， 那 么这个关系我们就列出来了。列出这个关系之后，我们发现后面两个式子，呃去做计算，可以把 t 约掉一个，计算出它的运动时间，然后计算出运动时间，之后，由前面两个式子进行连累，把 t 带入，就能求出 s 的 表达式。 那么这个计算啊，我们就呃简化一下这个时间 t， 我 们看一看，大概应该是呃计算一下，约掉一个 t， 那 么 t 应该等于二倍的二为零乘以 c， c 的 比上二为零 c， c 的 比上这一倍的 c 六十度，那么把这个 c 六十度可以直接带进去啊，带进去之后就应该是四 v 零 乘以三 c， 它比上根号三倍的 g， 那 么把这个 t 带入到这个式子当中，那么它俩连立，我们可以求出 s 的 表达式。那么这个 s 的 表达式啊，我们就直接给大家了，应该是八 v 零方乘以三， 括号六十度减 c， 它再乘以三 c， 它，然后再比上三 g， 应该是这样一个结果。那么很明显，在这个斜泡当中出速度大小是固定的，也就说八 v 零方是定值，三 g 也是定值。我们要想让这个射程最大，其实就是让这个这一项最大，也就说要让 sin 六十度减 c 乘以 sin c 这个乘积最大。 那么怎么样去计算这个成绩最大，满足的条件的 set 到底是多少呢？我们其实有多种办法，那么其中一个比较好的办法，我们可以用一下，有一个公式在三角函数当中叫做基化和差公式，那按照基化和差公式，这个公式啊，可能用的比较少，我给大家简单的写一下，说 sine alpha 乘以 sin 比特，它应该等于二分之一倍的 cos 阿尔法减比特，再减去二分之一倍的 cos 阿尔法加比特，这是一个呃，不算特别常用的公式，那如果大家对这个公式熟悉的话，我们可以直接把我们要分析的这一项 sin 六十度减 z 再乘以 sin z， 那他应该写成二分之一倍的 cosine， 那 么 alpha 就是 六十度减 theta， alpha 减 beta 就是 六十度减二 theta， 所以 二分之一倍的 cosine 六十度减二 theta， 然后再减去二分之一倍的 alpha 加 beta 就是 六十度减 theta， 再加 theta， 也就是 cosine 六十度，所以应该是再减去二分之一倍的 cosine 六十度， 那么化简成这样一个式子，很明显后面这一项它是一个定值，对吧？我们要想要让整个式子最大，那就让 cosine 六十度减二 c， 它最大，那么 c 它是一个锐角。六十度减二 c， 它要想让它的余弦值最大，显然 cosine 六十度减二 c， 它应该等于一，那也就说当 二 c 等于六十度时，我们这一项是最大的，也就说这个乘积最大，也就是路程最大，那也就是说当 c 等于三十度时， 我们的射程是最大的。那么这样的话，这个数学运算在相当大的程度上得到了简化。所以这就是我们利用斜交分解的方法，结合一点挣钱定律，结合一点我们计划和查的公式，就能快速的去解决这道问题。 呃，如果用常规方法去进行推导的话，第一耗费的时间会非常的长，第二的话，绝大部分的同学我相信没有能力去解决这个问题。 呃，对于这道题目而言，可以说它是我们高中物理当中斜抛运动难度的天花板了，不光是物理上有一定的难度，最主要的是对数学能力的要求实在是太高了，可以说，如果咱们孩子数学能力不是特别的强的话，这道题目基本上是没有希望的。

好，同学们，咱们来看今天这道题，一位同学投篮空心入筐，已知篮球的出手点到篮筐中心的直线距离为七点二米，篮球出手时的瞬时速度和入筐时的瞬时速度恰好互相垂直， 不计空气阻力 g 等于十，求篮球在空中飞行的时间 t。 那 读完这个题之后，我们一眼就能看出来它是一个斜抛问题，那斜抛运动我们最常用的方法就是正交分解， 中央分解就是把我们的运动呢分解成水平方向和数值方向啊。斜抛的话，水平方向是一个匀速直线运动，数值方向是一个数值上抛运动。但是这个题有问题，给的条件太少了，出速度大小不知道， 出速度方向也不知道，也就是我们并不知道它和水平方向的夹角。其次我们也不知道什么，我们还不知道这个位于七点二米的方向到底是向哪， 所以这个题比较麻烦，因为如果我们去正交分解来做的话，他就会耗费我们大量的时间去设很多个关于方向的这个夹角位置数，然后去解方程。接下来咱们来看看今天要说的方法。法一， 先看这个题题给了什么条件，只有一个七点二米，一个加速度，一个出没速度垂直，只有这三个条件， 那已知未知，别的什么都不知道，想求时间怎么办？求出平均速度， 因为我们的 v 八乘 t 直接等于 v e x， 那 怎么求平均速度呢？记不记得我们在 b 修一的这个匀变速直线运动规律？ 这一张有一个推论，也是我们最重要的第一个推论叫做时间终点瞬时速度， 它等于什么？等于，当时我们学了 v 零加 v 除以二，等于我们的 v 零加二分之一 a t， 等于我们的 v 八，等于 x b t。 虽然说我们当时是在学云变速直线运动的时候学的这个公式，但是我们不能忘记它的什么性使量性。那好， 时间终点瞬时速度矢量出速度矢量末速度矢量出速度矢量加速度矢量平均速度矢量为一矢量，这些东西都是矢量，所以真正的运算应该是一个矢量的加减法。好，那么这个运动我们就可以画出一个 应该是一个矢量的加减法。好，那么我们就可以画出什么画出速度的矢量三角形。那你看，我们先画一下啊，出速度 v 零末速度 v， 那 出速度怎么变成末速度的？加上一个速度变化量， 也就是我们的得叉 v， 得叉 v 是 谁？是加速度乘时间，那在这个里面我们加速度就是小 g 啊，所以就是 g t， 然后这有个直角。好，那接下来我们要的就是这个平均速度， 那用谁来求呢？这个肯定不行，因为我们并不知道这两个具体的角度是多少，也不知道出没速度的大小。好，这个行不行？这也不行，那我们只能用 v 零加二分之一 t。 好，那我们就要把 v 零加二分之一 a t 这个式子在我们的三角形里表示出来。实量加法，首尾相接， v 零加二分之一 a t。 那 好，我们就要取速度变化量得差 v 的 中点， 那这一部分就是二分之一 gt。 那 v 零加二分之一 gt。 当然就在这个链线上。 好，这个东西就叫 v 八，它就是我们的时间终点瞬时速度，也就是平均速度。 好，那平均速度是多少呢？别忘了这是个直角三角形，直角三角形的斜边中线等于斜边的一半，斜边的一半就是 二分之一 gt。 所以 v 八等于二分之一 gt。 那 v 八乘 t 就 等于二分之一 gt。 方等于我们的位宜七点二米。好，这样我们就把时间解出来了。

斜抛问题有两种解析思维，分别是，第一种基础方法叫正交分解法，第二种叫斜交分解，也是我今天想重点强调的一种解法。今天咱们一个视频，把两种解析思维都讲清楚， 这节课学完了以后，一定把整个部分的模型的电子版拿回去下载打印，把它总结到你的笔记本当中，好吧，来开始来讲解。首先这道题， 一个鞋面夹角为三十度，然后我这个粗速度为 v 零，做一个斜抛运动。先读下题，以 v 零斜向上抛出，不计空气阻力，最终落在 b 点，是 a b 的 最长，哎， 这个是 b 点，这个是 a 点，还有这段距离是最长的，问，则 v 零与水平面的夹角为多少？好嘞，那这个时候我先设一下，我设这个出速度与斜面的夹角为 c 它，好吧，那我们第一种方法怎么办呢？ 正交分解，沿着斜面方向和垂直斜面方向分解，沿着斜面方向分解，我们能得出这样一个式子， x 等于 v 零， t 减二分之一 a t 方，对吧？哎，我们把重力沿斜面分解，把速度也沿斜面分解一下，搞定一个匀变速运动公式。第二个， 垂直斜面方向垂直情况，这个时候不能用 y 等于啊，多少多少这个谓一公式了，为什么呢？因为这个时候你 y 方向上的谓一你不知道啊，对不对？所以这个时候怎么办？哎，我们用一个速度公式，数值方向上，哎，垂直 y 方的 速度应该是 v 零乘上 sine theta 等于 a t， 啊，嘚的 v 等于 a t 嘛，对吧？然后这个过程呢，我们是怎么看的？我们看的是从这个点到达最高点时，也是距离斜面最远的距离，我们看的是这一半的距离 啊，所以这是 a 乘 t 啊， a 整个是 t， 那 就是二分之 t， 然后等于啊，它的速度变化量啊，垂直斜面放速度变化量。好嘞，这哥俩一连力，我们能连力出个这玩意来了。那你看这个题很简单吗？那这道题出来了以后，那什么时候让 x 最大呀？ x 是 不就是 ab 的 距离 什么时候最大，让这哥们最大，那怎么让他才能最大呢啊？在九十度的时候最大，所以 c 它角等于三十度。这题结束了，但是朋友们看着挺简单， 告诉大家，这两步推出它老难了，这也是最基础的方法，它的卡点不在于思维，在于计算。好吧，那我教大家第二种方法， 斜交分解的方法。哎，这个是我重点想强调的，大家跟我来看，从 a 点到 b 点，这哥们做一个斜抛没毛病，他的总的谓语是 a 到 b， 对 不对？那你说这个谓语我怎么分解是不都行啊？ 那我想一个比较快速，比较方便的分解方法。怎么分解？你这个不是 出速度方向吗？哎，我希望你是匀速运动，你不是只受一个重力吗？哎，我就希望你在数值方向上做一个自由落体，哎，把它类比成一个平抛的那种，哎，平抛不是水平和数值水平匀速，数值匀加吗？哎，我这道题能不能也这样？因为它的受力是一样的，都受重力吗？ 可不可以？可以，这个就是斜交分解的核心思维，我让这个方向作为出速度画一下， ok， 然后这个方向分解完以后再来 和位移是 a 到 b， 我 把它分成两个分位移，一个位移是沿着出速度方向，一个是数值向下，这个就叫斜交分解的方法，哎，所以这么画完了以后，大家可以看一看 我这个方向的运动变成什么运动了？匀速直线对不对？所以匀速直线为零乘 t 呗。 啊，整个的时间为 t， 那 数值方向上呢？二分之一 g t 的 平方可以吗？朋友们，哎，完事把这两个分解完了以后，我们来看一下第二个用斜交分解解决问题的方法。 分解完了以后我们要干什么？找三角形，哎，用几何方法来求它，我把这个先延长一下，朋友们， ok， 来，大家先看一下，对于这个三角形来说，大家看， 哎，蓝色线画的这个三角形来说，这个角是 c 叉角，没问题，这是三十度，那这个角是不是六十度， 那这个角是不是一百二十度啊？那根据这个三角形，我们是不能得出这样一个关系啊。二分之一 g t 方除以三 c， 它等于谁？ 等于这条边对应这个一百二十度角等于 v 零乘 t 除以 side 一 百二十度。通过它俩的相等，我们能求出来 t 的 一个表达式好不好？完事了，那你说，下面我还没有涉及到。我们能求出来 t 的 一个表达式，好不好？完事了，那你说下面我还没有涉及到呢，可怎么办？来，接着往下练， 把它延长了以后，大家看，对于这个下面这个小的三角形来说，三十度，对吧？我设 ab 长度为 x， 那 这条边二分之 x， 哎，这段，那这一段呢？二分之 根号三倍的 x 没问题吧？然后朋友们，看，好大的三角形，看这个大的三角形， 对于大的三角形来说， cosine theta 加三十度是不就等于谁？是 theta 加三十度是不就这个角啊？ theta 加也是我们要求的这个 v 零与水平面的一个夹角，对不对？这个角是 theta 加三十度是不是等于它？除以它呀？ 它比上它好吧，二分之二三 x 除以 v 零 t 结束战斗。好了，把它我化简一下。化简成这么个东西，好吧，这个东西我觉得不行，我通过它求不出 x 的 最大值。为啥呢？因为有一个 t 呀，这还有个 c 它呀，我这都没法求， 慢慢来，变化。 t 是 不是在这呢？我把 t 带到这里面来，可不可以？可以啊，写一下 什么？我把 t 带到这里面来，然后大家看这个式。这里面还有谁不知道 theta， 我 不知道对不对？ v 零已知了，还有一个 sine theta， 哎，我也不知道哎，因为引入 t 了以后啊出又引进来一个 sine theta， 好 吧， ok， 那 下边我们要分析了， x 等于啥？这些定值不影响 x 的 大小关系，对吧？所以谁影响它的大小关系？ cosine set 加上三十度还乘上一个 sine sine， 对 不对？所以它最大值的话，我就让它取得一个最大值，是不是就行了？ 这是一个啥呀？奇化和差？朋友们来看， x 是 不等于哎，这一大堆我又不写了。奇化和差二分之一括号 sine， ok， 结束战斗，我把它变化一下。奇化和差， ok， 然后我发现在这个式当中，哎，这个 二分之一不用管它了，管谁呀，是不就变成它了呀？ x 什么时候取得最大值？太阳值取得最大值的时候，它就是最大值，太阳值什么时候最大？它的角度等于九十度的时候，所以我们推出来 c， 它是不就等于三十度啊？朋友们， 你看我们在计算它的过程当中，要比得出这个式子要简单的多，你这个式子在考试当中大概率你够呛能得的出来。好吧，所以这个是斜交思维，解决它。总结一下什么是斜交思维。第一步， 沿着出速度方向，我要保证它是匀速的和数值分解，数值方向做自由落体，把这个和外移分解成两个方向的分位移 一个元素，一个自由落体。好了。第二步，干什么？用几何的方法啊，找出它们的外移关系好不好？完事。然后呢？这是 c 的 角了，谁知道为什么 v 零与水平面的夹角，谁呀？选择 c 啊， ok， 结束。所以整个两个方法讲清楚了，一个是正交分解基础方法，一个是斜交分解，哎，另一种思维，我在分解它的时候， 沿着出数方向和竖直方向进行分解。大家这个题会了以后，一定把我总结的练习题拿过去再练一练，彻底掌握这个斜交分解的思维可以吗？

两小球从水平地面同一地点分别斜向上抛出，抛出时两球速度大小相等，方向与水平方向夹角不同，两球均落在与抛出点相距为 s 的 地面上，那说明水平方向的位宜或者说射程是一样的啊。 抛的夹角不同，但是射程一样，那说明这两个夹角很特殊，它是关于四十五度的，这个夹角的这个线应该是对称的关系啊，出速度，重力加速度为 g， 不 计阻力，那么求两球的时间的乘积。那这个地方如果在考场上面，我们怎么办？我们是不是就取测数值就可以了呀？ 大家想啊，这个地方取一个四十五度的测速值就可以了啊，那我们取这个四十五度的时候是抛的最远的呀，这个应该都知道了啊，抛这个取四十五度的时候抛的是最远的，那么我们现在这个 s 呢，肯定是不会超过这个最远的距离，那它就会怎么样 近一点？一个是这样，一个是这样，因为它的夹角不同嘛，对吧？夹角不同嘛，所以一个是大于四十五度抛出来的， 那取特殊值，取特殊值怎么取呢？是不是都取这个四十五度就可以了呀？好，都取四十五度的时候，那这个地方是不是又和提议不相符了？ 不会的啊，这个地方我们就可以这样来想啊，这个比如说我们这个静止状态是不是一种特殊的运动状态啊？只不过它的速度为零，所以这个地方我们都取四十五度的时候呢，就相当于是一个狭小不同的一个特殊的情况， 对不对？那你只不要取到一个两个角角都不等于四十五度，比如说取一个五十度，六十度，七十度，那这样肯定不行的啊，都取四十五度，这个不会影响后面的这个答案。 好，那都取四十五度的时候，那么这个水平方向和数字方向，它的这个速度呢，大小就是一样的嘛，就是都是 v 零乘以二分之二，对不对？ 所以啊， v 零乘以二分之根号二水云方向乘以时间 t， 是 不是就等于未移啊？数字方向呢？数字方向我们就念一个， 嗯，速度 v t v t 应该等于德塔 v， 德塔 v 向上的，变到了向下的，所以德塔 v 呢，就是向上的两倍，对不对？向上的速度两倍就是二分之根号二 v 零。好，这两个是指到左边乘左边，右边乘右边 就消掉了，那还剩下什么呀？ g t 方等于二 s， 所以 t 方呢？ g 分 之二 s， 对 不对？因为这个它们呢时间是一样的嘛，因为我们都取的是四十五度，所以它俩时间的乘积是 t 的 平方，所以取这个特殊值呢？我们是可以把答案做出来的， 但是如果有同学这个还是不太理解这个夹角，这个不相同，那我们也可以怎么样？我们也可以直接做啊，可以直接做斜交分解，当然如果别的方法也可以的话，大家可以想一下斜交分解怎么搞？这个是垂直的呀， 那么沿着这个出数值方向这一段，我们叫这个 v 点 t， 数值方向呢？当然就是二分之一 g t 方了， 这是一个直角三角形，那这一段是 s， 这一段平方加 x 的 平方，应该等于这段的平方，那是不是就关于一个 t 的 一个方程出来了？ t 的 一个方程，我们如果把这个 t 方呢，换元乘以 x， 它的平方就是 x， 这个平方就是 x 的 平方，是不是就得到一个关于 x 的 一个二元一次方程呢？ 那么 x 十七的平方，要求十七的乘积，是不是求 x 两根之积就可以了？两根之积等于 a 分 之一，围绕地点，答案就出来了啊，好，我们写一下， v 零 t 平方等于两个直角边的平方， s 的 平方，将二分之一 g t 方的平方， 这里呢，我们换一下圆吧，我们令 x 等于 t 方啊，数学里的换圆，所以这个地方就是 v 零方， x 应该等于 s 的 平方加 x 的 平方。好，我们再整理一下， 那么两根之积呢？就是 x 一 x 二两根之积，那其实就是等于这个 t 一 的平方乘以 t 二的平方吧，对不对？ 幺六七等于 a 分 之 c 啊， a 是 这个 c 是 这个 a 分 之 c 是 g 分 之四 s 的 平方， 那我们要求的是 t 一 t 二呀，开根号吧，负的就舍掉了嘛，对不对啊？开根号不刚好就等于什么呀，哎，这也是 g 的 平方吧，对不对啊？ g 的 平方啊，交了啊，对， g 的 平方，所以 g 分 之二 s 还是选 a 吧，对不对？

这套试卷最后一题，固定在地面的这个倾斜传送带上表面这个平直段啊，这个平直段是 v b， 它的长度呢，告诉我们是十五分之十四米， 假角是三十度，这个轮的半径是零点一米啊，这个信息很关键啊，到时候我们可以判定，怎么样判定校信力的啊？ 它的速度呢，就是这个传送带的速度呢，是两米每秒，顺时针质量是零点五克，就是五乘以十的负四十方千克的一个滑块，可以视为质点摩擦力，这个动摩擦力的因素是六分之三，六分之根号三， 然后出速度也给了我们是三米每秒，所以这个地方刚开始的时候是不是出速度要大于它这个传送带的速度呀？所以它是向上怎么样？ 相对于这个承重带是还是向上的速度，所以这个摩擦力呢？是不是和相对速度相反？所以应该是向下的，和这个重力沿斜面向下的分力的方向是一样的好，你是向上减速的过程当中，减速到了这个二米每秒之后，它到底有没有这就说这段距离，它有没有到这个 a b 整个的距离 啊？如果没有，那么后面这一段是不是我们就要怎么样？是不是要考虑这个摩擦力会反向的问题了呀？因为他你再继续往上跑的时候，这个物块它的速度就小于传送带的速度了，那么这个摩擦力就要反向了，加速度就会凸变啊，或者说这里摩擦力会凸变啊，考虑这一点 好，然后他到了这个啊，他从这个底端 a 啊上来之后，到了 b 点上面的这一点，还是在这一点，他开始抛出，抛出我们要判定什么呀？ 叫判定。比如说我如果是在 b 点，它可以抛出，那么我们叫判定在 b 点，它的向心力是不是这个重力来提供的时候不足以提供向心力，我们叫判定。这个事情，如果真的是这个 b 点，它这个在半径方向的分裂不足以提供向心力，那么就会直接从 b 点，哎，抛出去了，对不对？就是一个斜抛了啊， 抛出以后呢，它下面有一个半径为 r r 的， 没有摩擦力，半径也给了我们是零点一米， 从这个地方是切入的，切入，那么地方它的速度方向是不是就是和半径垂直的啊？是 vc 啊，假设是 vc， 所以 这个地方是不是相当于就是一个斜抛啊？斜抛过来的对不对？斜抛，那么我们这个地方很有可能就需要用到斜交分解了啊，考虑一下这个东西， 而且它这里的 bc 的 连线和这个水平方向夹角是三十度， 这个夹角是三十度啊，好，然后它到了地点，离开地点继续向右跑的过程当中呢？哎，在这个瞬间啊，它加了一个 电量，正电的，那么加了一个电量之后，那么向右跑，它这个会有一个向上的落轮之地，那么我们判定一下这个向上的落轮之地和向下的重力谁大谁小，如果落轮之地大，会起飞，是不是会起飞啊？哎，好，如果重力大，它会怎么样？还是贴着这个呃地面从地跑到一 好，按照其来讲应该是重力要大于这个落人之力的啊，大家看是不是？然后滑上这个静止轨道上面这个，那么这个东西他刚开始的动能，动量和速度都是为零的啊，然后这个东西他是可以自由滑动的，说明这个地，这个地面对他应该是没有摩擦力的，对不对？ 好，那么他这个火这个弧面呢，是光滑的啊，没有摩擦力啊，弧面没有摩擦力，然后地面给他也没有摩擦力，所以这个地方很显然是不是就是这两个东西，呃，这两个东西怎么样？是不是要涉及到动量和动能的相关的问题了，对不对啊？ 这里呢，这个题目里面少了一个条件啊，大家发现没有什么条件啊，这个东西它的质量没给，是不是啊？质量没给啊？这个地方我们把它质量给一下，它的质量应该是就是它的质量啊，这个小滑块和这个 p 的 质量是相同的啊，这里记一下啊， 交了这个条件好，后面呢，它说有磁场，然后大小为一，特斯拉一，特斯拉 好，后面这个 g 取式啊。第一问，求在这个直线段运动的时间，那我们就是说这个他向上跑的过程当中，他降速降到两米每秒之前，能不能够把这个 v p 跑完，他如果能跑完，那就我们就一把直接算完了，如果他跑不完怎么办？那这个地方是不是就怎么样？ 这摩擦力要突变，或者说加速度要突变，那就要分两段来求了，对不对啊？这个问题啊，所以呢，我们先，呃，先算一下吧，从三米零秒减缩到二米零秒，它到底需要跑多远啊？算一下这个事情 啊，这个跑的这个 v 一 呢，我们假设是 x 一 啊，它是不是很明显应该等于 v 零的平方减去 v 的 平方除以二 a 一 啊， 好，这个 a 一 呢，是不是就是减速到二米每秒之前这个小环环的加速度？那很明显应该等于 m g 除以 m m 除以 m m 消掉以后，那么应该等于 sin， sin 加 mu cosine 乘以 g， 对不对？好，这两个式一连接，我们这个 x 一 是不可结出来， a 一 应该等于上一 c 的 二分之一 mu cos 上一 c 是 二分之根号三乘以六分之根号三四分之一，二分之一加四分之一四分之三，四分之三乘以十七点五 啊，七点五。带到第一式里面来，就是三的平方减二的平方等于五五，再除以十五五除以十五三分之一嘛， 三分之一米有没有达到这个？没达到这个说明它果然在中间某个地方啊，所以我们这里要分段了，对不对？好像我们再求一下这一段它的时间，我们叫 t 一 吧。 t 一 就应该等于德塔 v 比上 a 一， 德塔 v 就是 v 零减 v 除以 a 一。 好，这个时间 t 一 是不是可以解出来？就是三减二等于一，一再除以七点五，那就是十五分之二。 好，这是第一段。好，第二段呢？这个地方是不是小滑块的速度要小于传送带的速度了？那么摩擦力是不是要突变了，是不是向上了呀？啊 啊，那么它走过的这个位移呢？是不是应该就等于呃总共的长度二，呃， l 减去 x 一， 我们把它叫做 x 二吧，就应该等于 l 减去 x 一 这第四个。 然后我们把加速度也算出来，加速度应该就等于上一 c 的 减去 u， 括号上一 c 的 乘以 g。 好， 那我们到 b 点的时候呢，这个 b 的 速度我们叫 v b 吧，可不可以啊？我们把这个到 b 点的时候，它的速度叫 v b 啊， 那么这个时候呢，这个地方它的速度是不是和这个传送带是共速的？那么这个距离呢？我们也可以表示成什么呀？是 v 的 平方减去 v b 的 平方除以二倍的 a r 呀，也可以这样表示啊， 这个地方我们就可以把 v b 九出来啊。好，算一下吧，这个 x 的 话，第四个方程 x 的 话应该等于十五分之十四，减去三分之一，就是减去十五分之九，十五分之九，约掉一个三，就是， 呃，五十五分之九，五分之三吧，对不对？所以 x 二等于五分之三啊， 五分之三，再到第六个方程里面来啊，先把这个第五个方程解出来，那就是二分之一，减四分之一就是四分之一，再乘以十 二分之五，二分之五，二分之五，再乘以这个前面根二吧，前面根二啊， v 的 平方是四，减去 v b 的 平方，那这个地方，这个地方应该就等于三了吧，对不对？ 所以这个 v b 是 不是应该等于一啊？等于一啊？ 好， v b 出来了以后，那么时间是不是出来了？哎，时间出来了啊，第二段它的时间 t 二应该等于还是怎么样折腾？ v 比上 a 二， 那就是二减一，除以二减一，除以二分之五，五分之二， 单位秒，所以总共的时间就 t 一 加 t 二，那就是十五分之 三，三四八十五分之八。 第二问好，通过计算说明他能不能够在这个 b 点，在这个 b 点这个脱离了，如果能够脱离来求这个距离，那按照这个提议的暗示来讲，是不是肯定在 b 点脱离啊？对不对？好，算一下，能不能够验证一下是不是确实是在 b 点脱离的？我们就算在 b 的 时候，他所需要的向心力 是多大，是不是可以算一下这个事情啊？好，需要的象形，我们叫 f n 啊，它就应该等于 m v b 的 平方除以二一， 这第八个。好，这个我们把这个 f n 可算出来吧，它应该等于多少呀？ v b 的 平方， v b 等于一啊，然后 r 一 等于零点一，所以这个地方应该等于十倍的 m。 好， 那么它这个重力在半径方向，它的这个分力呢？是不是就等于 m g 乘以扩散以三十度呀？我们算一下啊，这个 m g 扩散以三十度， 就应该等于 m 乘以五倍的根号三。 好，那大家比较一下，这个十是大于这个五倍的根号三呢？ 因为十等于五乘以二嘛，二大于根号三嘛，所以这个地方所需要的下心力，它是不是大于 mg 扩散以三十度，对不对？也就是说这个重力沿着半径方向的分力不足以提供所需要的下心力，那它就怎么样 free 了啊？跑掉了啊，好，这也就是说我们这里证明了它确实是在 b 点开始。什么呀？斜抛了啊？ 好， b 点开始斜抛，那么这个地方我们就直接斜交分解了啊，直接斜交分解， 那这一段，这一段，他这个谓语呢？我们假设运动的时间是 t， 所以 这段的谓语就是 v b 乘以 t， 那 么数值方向呢？ 就谓语就是二分之一 g t 方，对不对？好，这个没问题啊，好，他让我们求这个这一段红颜色的距离，好求不好求啊？应该是好求的啊，我们做一个辅助线，做一个水平线啊，这个水平线很有特点啊，大家看这个角度，题目给了是三十度吧， 这个角度是三十度。好，这个角度是三十度，所以这个角度也是三十度，所以这个角度加在一起是六十度吧，对不对？ 这个角度加在一起是六十度啊，好，这是第一个角是六十度，这里呢，我们是一个水平线，这里是一个竖着线，所以这个地方是个直角，这个没有问题，这个角是三十度，所以这个角也是六十度。六十度，所以这个角也是六十度，所以这个三角形是一个整边三角形， 对不对啊？是一个等边三角形，所以这一边和这一边是不是相同啊？所以这个地方是不是把这两个东西等相等， t 就 可以解出来？ t 出来以后啊，这个，这个都出来了呀，也就是这个是不是就出来了呀？是吧？三边相等嘛，这是我们的思路啊， 所以这个地方就是 v b 的 平 v b， t 应该等于二分之一 g t 方。 好，我们把 t 算出来啊， t 应该就是 t， 消掉一个，就应该等于二维的 v b 除以 g。 好， 所以这个长度啊， x b c 的 长度啊，你可以写 v v b 乘以 t， 也可以写二分之一 g t 方，因为它三遍是相同的啊，随便写一个吧，就是写 v b t 一 样的啊， 所以这个 x b c 直接解出来啊，那么就 t 再乘以一个 v b， 所以 它就应该等于七分之二的 v b。 有 两个 v b 等于一，那么这个地方就是二除以十零点二， 这里有啊，这里他给了，给了符号啊，给了符号我们就直接写他自己给的符号啊。 d， 好， 这是我们的第二位， 好，第三问，第三问，他说这个在这个弧形的这个槽 p 上面能够上升的最大高度， 他要上去，那我们肯定要把这个地点他的速度要算出来吧，是不是？好，我们先算一下这个事情啊， 好，他这里是斜抛过来，然后这个速度呢，是这样过来的，所以我们这个地方速度的反向延长线是不是要过这一边的终点啊？这个是斜抛一个规律，这个大家知不知道？ 而且这个三角形它是等边三角形啊，等腰三，等边三角形，所以这个地方是不是三线合一啊？所以这个地方其实也是一个垂线啊，这个地方还是证明一下吧。 大家看啊，这个是速度三角形，这个速度三角形这一边和这一边是不是平行的？这个和这个是不是竖直方向是平行的？所以这个三角形是不是和这个三角形是不是相似的呀？ 这个没问题啊，既然相似的，那么对应边应该乘比例，所以呢？呃，这一边比上这个 v b， 应该等于这一边比上这个 g t， 这一边比上 g t 很 明显等于二分之一 t， 所以 这一边比上它应该也等于二分之一 t， 所以这一边是应该等于 v b 乘以二分之一 t， 也就这边等于二分之一 v b t 刚好是它的总共的一半，所以我们说这个点是中点，所以我们说这个速度反向延长线过这个，呃，匀速，这个分运动的这个位的终点 和这个平抛很像啊，我们可以说平抛是怎么样？是特殊的斜抛，只不过怎么样这个羊角平抛的羊角角 c 叉是等于零的一种情况，对不对啊？是这样的啊， 好，那么这一点知道了以后，那么这个是直角啊，然后这个是六十度，所以这个角是不是三十度呀？对不对啊？这个角是不是三十度啊？那我们这个地方还做一条 水平线过来啊，做一条水平线过来，这个角度是三十度，那么这个角度呢？ 这个角度是不是也是三十度呀？因为这个是直角哎，这个角是直角哎，所以这个角也是三十度，所以这个角度其实是六十度，对不对呀？啊？这个角度其实是六十度啊， 好，这个角度是六十度以后，那么我们要算这个地点的速度怎么算？是不是从这个地方到这个地方一年这个高度差？把它算出来乘以 m g， 然后念一个动的定义就可以了呀，是不是 好等于 m g 乘以多少呢？这个我们就要算一下了啊，首先这个数字方向，就是，首先这个这一段在数值方向的分量好，算吧，然后是不是还要算这一段， 然后把这两段加起来就可以了，对不对？好，首先这一段它的数值方的分量是不是就等于它乘以上引三十度，哎，对不对？上引三十度啊，就应该等于这个 d 乘以上引三十度， 好，这第一段，第二段是不是就这一段？这一段怎么选好？这一段应该是等于这个 r 乘以上引乘以 cosine 六十度，也就是二分之一 r， 这一段是二分之一 r， 所以 这一段呢，也是二分之一 r 二， 这是第十一个方程。那这个地方我们是不是可以把 v b、 v d 求出来，对不对？好，打个草稿， 括号里面二分之一，我们把它约掉了，然后 d 加 d 加 r， 二开根号就等于 v d 了， v b 的 平方， v b 等于一啊，就是一的平方加上 d 加 r， r d 等于零点二， r r 呢？ r 请问应该给的吧？在哪里啊？ r 一 在这， r 二在这， r 一 和 r 相同，都等于零点一，所以这个地方是零点二加零点一，零点三再乘以十三，所以这个地方应该等于 r 吧，是不是应该等于 r？ 好，这是二米每秒过来的二米每秒，那么这个呃过来之后呢？他说是沿着这个呃，这个地面从 d 到 e 的， 所以这个洛伦兹力肯定小于重力的啊，这个孔就可以不用算了啊，然后从这里上去，上去的过程当中呢，这个 p 是 不是也在往右边跑啊？所以这个地方我们就先考虑 一下啊，这个滑块相对于这个 p 是 不是也在往右边跑啊？所以这个地方我们就先考虑一下啊，这个滑块相对于这个 p 是 不是也在往右边跑啊？所以这个地方我们就先考虑一下啊，这个滑块相对于这个 p 是 不是走这个弧？ 所以这个滑块啊，它是有两个分运动，第一个分运动是随着这个 p 一 起向右边跑，跟这个 b 是 同步的向右跑。第二个分运动是怎么样沿着这个 p 的 弧怎么样向上跑？这两个分运动来组成这个滑块，它的这个和运动的，所以这个地方我们把它划一下啊， 这个是 v 一， 能不能叫 v 一 啊？前面写没有，就叫 v 一 吧，然后沿着沿着这个切线方向，我们叫 v 二。当然这个 v 一 和 v 二都是在变化的啊，都是在变化的， 那么它在这个最大高度的时候有什么样的一个特点啊？是不是就是这个 vr 变成零了？如果这个 vr 还是不为零，那是不是还是怎么样？相对于这个 p 还在继续沿着这个弧向上跑，那它就不是最高点，所以这个就反证出来，这个最高点的时候，这个 vr 应该等于零的，对不对？那既然 vr 等于零，那么在水平方向 是不是就是这个？呃，剩下的这个 v 应该是和这个 p 是 不是共输的呀？是不是共输的？哎，应该是共输的吧，对不对？好，这个关于这一点呢，我们前面这个也出过相关的视频啊，大家如果感兴趣可以往前翻一翻啊。 好，这是我们的这一点啊。现在这个有点麻烦的是什么呢？它这里面有个洛伦兹力，对不对？你说这个速度 v 一 和这个速度 v 二，它分别都会产生一个洛伦兹力， v 一 洛伦兹力是向上的， v 二，洛伦兹力是沿这个方向的，而且这个方向还在变， 对不对？还在变，所以啊，如果我们没有这个落人之地，那这个题目就很好写了，列一个水平方向的动量守恒，列一个怎么样？整体的这个动能定律，整体的动能定律是不是就搞定了呀？现在多了一个落人之地，那怎么搞？ 多了落人之地整体这个水平方向动量肯定不守恒，但是落人之地不做功，所以整体的能量肯定是守恒的，或者说肯定还是可以列整体的动能定律，这个没毛病，这是一个方程，还缺一个方程啊，怎么搞？ 搞不了动能，搞不了这个水云方向动量守恒。那我们就搞一个什么呀？水云方向动量定力嘛，是不是可以这样搞？哎，好， 那么水平方向的动量定力我们怎么列呢？好，这个速度，这个分速度，他在这个跑的过程当中，他这个方向是不变的，所以这个地方啊，我们要求的是这个高度，我们索性把这个 vr 再分一下， 把它分成水平的一个数字的，每个地方都这样分，虽然这个 vr 大 小在变，但是呢，我们分的方向不变，一个水平的一个数字的， 可不可以这样搞？这个也可以这样搞啊，这样搞的好处就在于，我们分完以后，这个洛伦兹力总是向上的，一个是向右，向左的。好，我们要的是哪个洛伦兹力啊？我们要的是不是向左的这个洛伦兹力啊？因为我们要列水平方向的动量定律。 好，我们命名一下啊，命名一下，这个 vr 在 数字方向的分速度叫 v y， 属于方向的 v x， 可不可以啊？可以啊，那么这个 v y 所产生的这个落人之地叫 b q v y， 那么在水平方向动量整体要列一个动量定律，我们怎么列？那么就是 b q v y 乘以 d t 零到 t t 零吧，我们取向右为正吧，可不可以？所以这个应该是负号。 好，这个就是冲量等于动量的变化量，末动量呢，就应该等于共数的时候，它的什么呀？它的动量之和 啊，我们说了啊，这个滑块，这个鞋面皮，他的质量也是小 m， 所以 共出了之后应该是两倍的小 m 乘以这个微共，这个微共我们就叫叫微三吧，好吧，啊，微三呢，就是共同的速度啊，最终的是共同的速度啊，就是这个这个最最大高度的时候的共同速度啊， 减掉谁啊？减掉初十的时候他的动量，初十的时候只有这个滑块有一个水平向右的动量，就是把 m 乘以，为什么呀？ v d 是 不是？哎，这是第一个方程，好，我们把它化简一下， 我们化简一下啊，这个，这个地方大家是不是看的很多了呀？这个什么呀，是不是就是 v y 乘以在 v y 在 竖着方向跑过的这个位仪啊？这个地方其实就是 y 的， 其实就是我们这个 h， 对 不对？哎，出来了啊， b q h 等于 好，我们把这个方程啊下面来，这应该是第十二个， 好，还有能量啊，能量就好列了啊，一个木轮子就不做功，只有重力做功，对不对？好，重力做功，那么重力做的是负功啊，这个做负功的大小是 m g 乘以 h 吧，对不对？好，那么起始的时候它的这个能量是二分之一小 m 乘以 v d 的 平方，减去到最大高度的时候，有共同速度，共同向右的速度，那么就减去二分之一 r m v 三的平方。 好，这里我们看一下啊，这个 v 三和这个 h 是 两个未知量，两个方程搞定了，是不是然后开始解方程就可以了啊？ 好，那这个地方我们就第一个方程，就是 v， 我 们解一下啊，第一个方程我们就 v v 三等于， 嗯，除以二 m， 再把，然后再把 v d 都挪到另外一边去。 好，我们带数据吧。 v d 等于二，这里，所以第一项等于一，第二项 b 乘以 q， b 乘以 q 是 十的负三次方，然后除以二 m r， m 是 一克是十的负三次方，十的负三次方，除以十的负三次方等于一，所以应该是减 h 吧。好，这是我们第一个方程化减之后，第二个方程再继续化减， 那这个地方除以 m， 除以 m， 除以 m， 所以 这个 v 三的平方是不是出来了呀？ 就应该等于二分之一 v d 的 平方减去 g h。 好， 它等于多少呢？ v d 等于二，二的四，二减去十倍的 h， 所以 这个东西应该等于它的平方，要等于它，对不对？那另一个方程出来，这个 h 不 就解出来了吗？ 所以这个 h 的 平方加八， h 减一等于零， 这个应该等于二 v 分 之负 b 加，减，肯定不能减，减了嘛，这个 h 肯定是负的了，所以这个地方肯定是乘加啊， b 的 平方减 c c。 好，我们这里面提一个四出来啊，提一个四出来和这个 r 约掉，所以应该等于负四加上，提四出来以后，十六十六加一十七。 啊，这个就是我们最后的答案啊，这个 h 应该等于根号十七减四。