八年级下册数学求一次函数的表达式

有太多的同学一见到函数直接就吓蒙了啊，他特别怕函数的题。那今天呢，我们就对于不管是一次函数还是二次函数，对于函数里面求值的问题，我们一次性全程相见， 当它等于什么的时候，给出了两个 x 的 值，分别求出下列函数的函数值。那首先同学，有些同学连名字都不知道啥意思，函数值什么意思？函数值就是 y 等于几啊， y 的 值就是函数值的意思， 所以让你求函数值，就是让你求 y 等于几。所以首先题目一定要看的懂，然后人家都给你 x， 那 你就代入就行了，是不是啊？他给了 x， 所以 我们就分两种情况，当 x 的 括号 五 a 等于，所以代入就行了，是不是啊？这就是 x 嘛，把 x 直接换成负二，那来吧，五乘以负二，人家加七，你继续加你的七就行了。最后口算得数等于几，你们来说， 第二，当 x 等于三十，同样啊，那你就把 x 换成三就行了，是不是？五乘以三 再加七，然后再下面分数线，就是除法的意思啊，五加三，五乘三加七，再除以二，你说他等于几？ 那你会一个会两个了，会三个会四个，是不是都可以了？同样这里呢？第二个，你别看他换了，换这个函数关系式 还是用什么方法，那代入法呗，替换法，仅此而已嘛。好，当 x 等于负二去 y 等于啊，第一步，只做替换，什么都不要做，只做替换好 x 平方，那你的 x 是 负二，那你就加个括号，然后平方 继续减，你也减你的 x， 时刻要记住你是负二，所以加括号。对于负数，不管是加减乘除还是平方，一定记得加括号，你只要学会对于负数加括号，你的计算基本你不会再做错了 啊。最后减零的二，然后你告诉我第三个的数又等于几？然后就是下一个， 好，来吧。 x 现在变成三了，那就是三个平方减去三，再减去八，又来了，你是不是全都可以拿下呢？

这道题一旦考出来，我敢说百分之九十五的学霸都很难做出来，这是一道刮豆原理和一次函数综合考察的一道几何最值问题，它的难点之处在于如何利用我们的一次函数坐标系去寻找我们的动点轨迹，难度系数 特别大。来，同学们，我们今天一起来分析一下这道题，好吧，来题目是这样做的，他说直线 ab 解决是告诉我们是 y 等于三， x 再加六，然后呢， g 点是直线上的一个 动点，然后呢，告诉我们一个定点 h 点为三斗零，然后呢，连接 g h， 以这个边去构造一个正方形啊，形成了两个点， n 点和 m。 好， 最后呢，题目求的是，哎，连接 o m 求的就是我们 o m 啊，这个边的最小值应该等于多少？好来，同学们，哎，我们先来一起分析一下题目当中的动点和定点的运动关系，好吧，首先来题目告诉 g 点呢，在直线 ab 上运动，所以呢，它应该是一个 动点好，题目的唯一的定点呢，就是我们的 h 点，它为三斗零，那么怎么动的呢？哎，相当于以这个边连接 g h， 在 这个边的上方去构造一个 正方形，对吧？那这边是动的，所以正方形呢，也是在变化的，所以 m 点这个顶点呢，也是动点好，所以读到这个地方，如果比较熟悉瓜豆原理同学就看出来了哈，这里面它应该是我们的主动点，它应该是我们的 从动点，对吧？好，主动点相当于绕着这个定点，然后呢，我们的顺时针旋转九十度，因为正方形嘛，它是九十度，好到我们的 h m， 这两个边是相等的， 所以呢，连接解开，应该是一个等腰直角三角形，那么主动点和从动点，我说种瓜得瓜，种豆得豆，哎，主动点和从动点的轨迹应该是保持一致的，主动点轨迹为直线，那么从动点 m 点的轨迹呢？也应该为直线，对吧？那这个直线应该如何去找呢？ 哎，这是我们的难点哈，来，我们一起来分析一下。在我们坐标系里面哈，我们要去证明一个点的轨迹为直线， 那么我们只要证明这个点的解析式是 y 等于 k， x 加 b， 满足一次函数，它的轨迹就一定是我们的直线，对吧？那如何证明呢？哎，接下来需要从我们这个 等腰值入手，这是我们的限制条件，对吧？等腰值来什么？看到等腰值，我们第一时间应该想到我们的一线三等角的辅助线，对吧？好，这里已经有一个直角了，要构造三等角，所以呢，我再过 m 点 和 g 点啊，这两个点分别向我们的 x o 做两条垂线，这个是 t 点，这个是我们的 s 点。好来，这个时候这个三角形就跟这个三角形是全等的，那么既然有全等，我们就可以倒边了， 但是呢，题目当中没有一个边的长度已知，那怎么办呢？我们需要去设点，因为只要知道坐标，就可以把坐标转化为我们的长度，那 g 点在 a b 上东来，所以呢，会把 g 点这个动点给它设出来， 横坐标设为 a， 好 重坐标呢，它满足这个解析式，所以把 x a 带进去，那就是三 a 再加上六，看到没有好， g 点出来了，那么坐标出来了，长度就出来了呀， g s 正好是它的 重坐标，对吧？这个为三 a 再加六，这个呢，也是为三 a 再加六， ok， 好， 那么我们的横坐标，你看， s h 也出来了啊，这个是三 a 加六哈，那么 s h 怎么表示呢？ h 点的横坐标为三，那么 s 点的横坐标就是 g 点的横坐标为 a 啊，然后这个长度就是大减小，两个横坐标相减，对吧？三，再减 a， 好， 它为三减 a， 那 这个长度也是为 三减 a， 全等倒边嘛。好，我们最终目的是要求 m 点的坐标，你看，没有，重坐标已经出来了，三减 a， 那 横坐标是哪个？ 比如说 o t 嘛， o t 很好算， h t 三 a 加六，我们的 o h 这个边应该为几？应该为三， h 点的横坐标为三，对吧？好，来，所以我们的 o t 就 等于三 a 加六，再加三，等于三 a 再加九来，所以我们的 m 点的坐标就出来了，横坐标为三 a 再加上九，纵坐标为三减 a。 哎，这个时候，你看，我把这个设为 a， 开始， 这个是 y 中坐标，我要求的是 x 和 y 的 关系，对吧？哎，这两个都有同一个参数 a， 那 么所以呢，接下来我们需要去消参，把这个 a 底消掉，那么 x 和 y 的 关系就出来了，相当于 a 是 一个什么呀？中间变量，对吧？来，我就把 x 设为三 a 再加九 y 呢？等于三减 a。 好， 我们的目的消参，这个是一式，这个是二式，把 a 底消掉，那你看，我应该把二式乘以三啊，二式乘以三就变成三 y 等于九减 三 a 啊，这是我们的三式哎，减三 a 加三 a， 看到没有，正好可以递消掉。那所以呢，我们的三式和一式相，加 x 加上三 y 就 等于这两个正好递消掉。好，九加九等于 十八出来了哈，所以整理一下，三 y 就 等于负 x， 再加上十八 y 就 等于负三分之一 x， 再加上， 看到没有，所以呢，我们的 m 点的轨迹呢，它满足 y 等于 x， 再加上 b， 它的轨迹呢，就一定是直线，而且具体是哪条直线，我们也给它算出来了，对吧？好，接下来。哎，轨迹出来之后，那就很好算了， 它求的是 o m 的 最小值， o 点是一个定点。好， m 点呢，是一个直线，在直线上动，就变成一个定点到一条定直线的最小值了。来，把这个叉掉哈，我们来算一下，哎，已经算出来了，这个直线是 y 等于 负三分之一 x 再加上六啊 m 的 轨迹来，接下来我把这个直线给它划出来，首先斜率是小于一的，往下走，经过了，经过零到六， x 为零， i 为六，哎，这个直线 ab， 它也经过零到六， x 为零， y 为六，所以它们都会经过 b 点这个点啊， b 点这个点正好是零到六，对吧？好，然后呢，我 f 点又是直线上的一个点，所以呢，我连接 bm 就是 我们的轨迹啊，轨迹看到没有？好，我们的轨迹大概会转化出来了啊，那么这个时候呢， 他就是结是 y 等于负三分之一 x 再加上六， ok， 好 吧，好吧，那么这个时候看，我们来算算哈，那就非常好算啊，非常好算，你看，呃，怎么算呢？呃，我求的是 o 点到这个直线的最小值啊，最小值，所以呢，我再过 o 点 向它做做垂线就可以了，所以垂足点就是我们的最小值， o m 一 就是最小啊，那 o m 一 该怎么去算呢？接下来就是算这个长度，大家看一下如何去算 啊？首先你看，我们可以用等面积法，这个正好是这个三角形，以这个为底，它的高，对吧？哎，所以呢，我用等面积法，那么我们的 o b 知道吧？ o b 为 六，对吧？那么这个是 o t， 我 们也知道 o t 细点正好是这个直线与 x 的 交点，那么所以当 y 等于零，你把它带进去吧。哎，与 x 焦点 y 为零， x 就 等于等于是十八， 对吧？好，来，所以呢，细点坐标就应该是十八到零，那这个长度就应该是十八 出来了，是吗？那非常好算啊。好，那我的斜边 b t 也出来了， b t 就 等于根号下六的平方，再加上勾定义嘛，十八的平方，哎，等于几呢？等于六倍根号， 六倍根号式啊，斜边为六倍根号式，等面积它又出来了，底乘以高，等于底乘以高，对吧？好，来，下面我们来算一下啊。所以得到我们的 o m e 就 等于 底乘以高，六乘以十八，再除以这个底，六倍根号十等于根号十八，那个十分之 十八倍根号十啊，约掉就等于五分之九倍根号十，所以呢， o m 最小值就出来了，等于五分之九倍根号十。这道瓜豆原理和一次函数的综合问题，你听懂了吗？来关注徐老师，数学满分，不迷路！

初中数学动画第一集一次函数学完了简单易懂的正比例函数后，我们终于可以迎来本章的主角一次函数了。可先有个好消息，虽然一次函数是章节核心，但是他对你来讲已经算是很面熟了。原因是一次函数和正比例函数非常像，而且是非常非常像，你一看就懂。 一个老同学有个手机，所以每月要交话费。话费是这么算的，每月要交二十元的月租费，就是无论如何都要交的。除此之外的通话费是每分钟三毛钱。那么按照这种收费方式，如果把每个月打电话的通话时间作为自变量， x 分 钟 总共所产生的话费是外元的话，那么这个函数关系该如何表示呢？答案是 c， y 等于零点三 x 加二十，零点三 x 表示是一分钟打三毛钱，打 x 分 钟要收的钱。 然后注意了，话费 y 需要在零点三 x 之后再加二十，也就是要交的月租费，所以解析式是 y 等于零点三 x 加二十。好了，现在问题来了，请问这个函数是正比例函数吗？ 必须不是正比例函数啊，因为正比例函数的解析式是 y 等于 k x， k 等于零的形式， y 等于零点三 x 加二十，除了 k x 部分外，还多了个二十，很无辜的挂在后面。其实呢，这个比正比例函数多带了个长竖小尾巴的解析式就是我们要学的依次函数。看见了吧，依次函数和正比函数是不是很像？ 我们来看一下一次函数的定义，一般的形容 y 等于 k， x 加 b 的 函数叫做一次函数，注意里边的 kb 是 常数，且 k 不 等于零。对比一下正比例函数的标准解析式，一次函数就多出来了一个用字母 b 表示的常数，它在一次函数中也叫做常量。 下面我又列出一些函数解析式，这些式子虽然长得不同，但无一例外都是依次函数。我们可以看到，这些解析式里面都有一个相当于 k、 x 的 部分，以及各种不同的常量，他们所对应的就是标准解析式里的常量 b。 为了方便理解，你可以把一次函数当成是自变量的 k 倍与一个常数 b 的 和。那回到手机话费的例子，如果无良通讯商提价，把每分钟通话的费用变成零点四元， 月租费变成三十元。请思考一下，根据情况列出来的一次函数解析式里面相应的 k 和 b 分 别是多少？ 选 a 啊！列出来的一次函数解析式是， y 等于零点四， x 加三十。对应标准解析式的话， k 就是 零点四，而常量 b 所对应的就是表示月租费的三十。 说到这，还有要反复强调的重点，已知函数解析式里虽然有四个字母，但其中的变量和正比函数一样，只有自变量 x 和函数 y 的 值， k 和 b 都是作为常量存在的。就好比手机话费的例子里，只有总费用 y 跟着通话时间 x 而变， 而分钟计费和月租费都是固定的。虽然四个字母，但 kb 和 x、 y 的 性质完全不同 啊。对了对了，一次函数的定义里还有个比较搞笑的地方，定义说形如 y 等于 x 加 b 的 函数是一次函数，对吧？但这里有个坑，他说 k 不 等于零，但是木有说后面的常量 b 不 能等于零，对吧？ 那问题来了，如果 b 等于零的话，那解析式不就成了 y 等于 k x 了吗？那不就是个正比函数吗？搞什么吗？ 其实吧，真相就是，正比例函数是一次函数的特殊形式，一次函数 y 等于 x 加 b 中若 b 正好等于零，那这个一次函数也是正比例函数。就像如果三角形里边正好有一个内角是直角的话，它也叫做直角三角形一样， 正比例函数就是一次函数在 b 等于零时这种特殊形态，明白了吧？不明白别着急，长大你就明白了。 小插曲结束了，我们看下一个知识点，一次函数的图像。那一次函数的图像什么样的呢？直接说就没意思了，这么有趣的事还是自己猜吧。以下三幅函数图像中，有一个是一次函数 y 等于三分之一 x 加二的图像，请问是哪个？ 答案是 c。 选 a 的 同学，我觉得你很有艺术天赋。选 b 的 同学，你一定是爱正比例函数，爱的太深，难以自拔。 我们选几个自变量 x 值，算一下相应的函数值，确定几个点，再描一下就能发现， y 等于三分之 x 加二的图像是条直线，而且这条直线不过原点，是从原点上边过去的。 其实 y 等于三分之 x 加二，大致的图像不用描点法也能判断出来，因为它的解析式就是正比的函数 y 等于三分之 x， 加上长量二得到的那 y 等于三象限和原点的直线， 把它加上二，就等于 y 等于三分之 x。 里边每个自变量 x 所对应的函数值都加上二，比如原来零零就变成了零二，于是就相当于整个直线向上平移了两格，图像依然是条直线， 所以我们可以总结下一次函数 y 等于 x 加 b 的 图像是一条直线，这点和正比的函数一样。但是与之不同的是，当解析式里的 b 不 等于零的时候，这条直线不经过原点，就像刚才的函数图像一样，带着长亮小尾巴，函数图像就不经过原点。 那么问题来了，他不过原点的话，过哪呢？两点确定一条直线要画一次函数图像，必须要找两个点，对吧？那这两个点怎么找呢？ 你看，虽然图像不过原点，但是肯定和 x 轴和外轴有交点，对吧？就像这些一次函数的图像，虽然都不过原点，但都会和 x 轴和 y 轴有交点，所以只要找到了焦点坐标，就能画出一次函数的图像。 拿 y 等于三分之一 x 加二为例，先看图像和 y 轴的交点，就是这个点，因为点在 y 轴上，所以 x 值等于零，把 x 等于零代入解析式就可以了。那么请判断一下图像和 y 轴的交点坐标， 答案是 a 零二， x 等于零时，等号右边就剩下二了， y 等于二，这样就得到了 y 轴的焦点坐标。接下来再看直线与 x 轴的焦点坐标。请问怎么求这个点的坐标啊？ 选 b 啊，以此类推。和 x 轴相交的点，那肯定纵坐标是等于零的，也就是 y 等于零， y 等于零时，解析式就是零等于三分之一， x 加二化简一下就得到，此时 x 等于负六，所以焦点坐标是负六零。 好了，我们把刚才求两个焦点坐标方式推广一下。对于一函数 y 等于 k， x 加 b， 它的图像一定会经过的两个点，分别是与 y 轴的焦点零 b 和与 x 轴的焦点负 k 分 之 b 零。这两个坐标分别是将 x 等于零和 y 等于零带入标准解析式得到的。你可以背下来当公式一样用。 总结一下，一般的形如 y 等于 k， x 加 b 的 函数叫做依次函数，它和正比的函数最大的不同就在于这个常量 b 的 存在。正比的函数是当 b 等于零时，特殊的一次函数。依次函数和正比的函数图像上的相同点在于它们都是条直线， 但是依次函数的图像不一定过圆点了，而是经过零 b 和负 k 分 之 b 零这两个点。

特别好，我们今天分享一个不等式和一次函数的题啊。呃，函数 y 等于二， x， 我 们整个图像啊， y 等于二， x 是 这个过原点的直线，对吧？然后下个图像是 y 等于 ax 加五，那这就应该是 ax 加五。蓝色部分图像，它说 a 点坐标是 m， 逗号四，所以你把 m 带进去啊。那就是纵坐标是四的时候，二， m 等于四，所以 m 就 应该等于二， a 点坐标就应该是二，逗号四。 它现在说不等式二 x 大 于等于 a， i 加五，就说明它俩图像当中这个过圆点的直线也就是红色的， 红色的直线要在蓝色上方，所以这部分红色是在蓝色上方，那么它所对应的横坐标是二，对不？那 x 的 范围就应该是在二的 右侧，所以 x 大 于等于二，选择的是 a 啊，选 a。 这是这道题。再见。

八下数学最难的一次函数，八大题型全部吃透，稳进班级前三。一次函数的应用，八大提醒提醒一，分配方案问题提醒二，最大利润提醒三，行程 提醒四，工程问题提醒五，调用问题体积问题。完整电子版分享！

同学们好，今天我们来看一个八年级期末压轴题，这是一个一次函数综合题，其中涉及到了定点坐标求解，求解一次函数解析式以及求动点坐标综合性较强，对于刚学习一次函数的同学来说是一个很好的练习， 也有助于锻炼同学们函数和几何知识综合应用的能力。如图，在平面直角坐标系中，点 a 的 坐标已知为一，零点 b 的 坐标为零。三、以线段 ab 为底， 向右作等腰直角三角形，也就是三角形 abc 是 一个等腰直角，三角形 ab 为底，那么也就是 c 点所在的这个角是一个直角。 第一个问，求 a、 c 的 长度，就是这一段的长度以及 c 点的坐标。 a 点 b 点的坐标已知，所以我们要求 ab 的 长度很容易，那么它就等于一的平方加上三的平方，然后开根号等于根号十。 然后由于三角形 a、 b、 c 是 一个等腰直角三角形 ab 为底， ac 为腰，那么 ac 它就等于二分之根号二倍的 ab， 那 么它就等于根号五。 接下来我们需要求解 c 点的坐标，当然我们可以设 c 点的坐标为 m、 n， 由于 a、 c 等于 bc， 等于根号五。我们把 a、 b、 c 这三点的坐标带入来求解 a、 c 和 bc 线段的长度， 使得它们都等于根号五。这样我们就可以得到一个二元二次的方程组，通过求解这个方程组得到 m 和 n 的 值，就可以求解出 c 点的坐标。但是这个方法的运算量比较大，而且还会产生增根，所以我们接下来考虑一下其他的方法。 过 c 点做 c， p 垂直于 x 的 延长线垂直为 q， 由于三角形 a， b， c 是 一个等腰直角三角形角 c 等于九十度。这样的话，我们就构建了一个一线三垂直的模型。 当然就有三角形 a、 p、 c， 它是全等于三角形 c、 q、 b 的， 也就是说 b q 是 等于 c p， c， q 是 等于 ap， 那我们设 a p 的 长为 x， 那 么 c q 的 长也为 x， 我 们设 c， p 的 长为 y， 那 么 b、 q 的 长度也为 y， 那 接下来我们来看一下 x 和 y 之间它们有什么样的数量关系。 那么首先 b q 的 长为 y， 那 么 o p 的 长也为 y， 那 么这个 y 它是等于 o， a 的 长度就是一，加上 a， p 的 长度为 x。 然后这个方向 我们可以看出， x 加上 y， 那 么就是 c q 的 长度加上 c p 的 长度，它正好等于 o， b 的 长度等于三。所以这样我们就可以解除 x 和 y 的 值，那么它就是 x 等于一， y 等于二， c 点它的横坐标正好和 b q 的 长度一样为 y， c 点的坐标就是二二。 第二个问，将等腰直角三角形 a， b、 c 向右平移 m 个单位，平移后的三角形为三角形 d， e， f 点 f 正好在直线 y 等于负三分之二倍， x 加 m 加二的上面。 让我们求直线 df， 就 这条线对应的函数表达是由于 f 点是 c 点平移得到的，而且平移的单位是 m， 那 么 f 点它的坐标就是二，加上 m， 二，由于 f 点它又在这个直线上，所以我们把 f 点的坐标带入到这个直线的解析式，那就是二等于负三分之二，括号二，加上 m， 再加上 m 加二，这样我们就可以求的 m 等于 四， m 等于四，所以 f 点的坐标就是六二。然后 d 点由于它是 a 点，平移了 m 个单位，也就是四个单位得到的，所以 d 点的坐标就是五 零。 d 点 f 点的坐标我们都已经求得，再要求 df 所在的直线，它的解析是， 我们设 d f， 它所在的直线的解析式为， y 等于 k， x 加 b， 我 们把 d 点和 f 点的坐标都带进去，那么就是零等于五， k 加 b， 二等于六， k 加 b。 然后当然我们就可以算出来， k 是 等于二， b 是 等于负十，所以 d f 所在的直线，那就是 y 等于二， x 减十。 第三个问，在二的条件下，如果点 g 是 d f 这条直线上的一个动点，并且使得 g e f 就是 这个角，和 a b o 就是 这个角相等，让我们求点 g 的 坐标。对于更高年级的同学来说，他们会知道 o b 的 长度是 o a 的 三倍，那么当然 e f 的 长度也等于 g f 的 三倍，那么我们就可以通过 e f 的 长度求出 g f 它的长度，从而求得 g 点的坐标。但是对于八年级当下的同学来讲，相似三角形很多同学还没有学过，所以接下来我们看一下能否有其他的同学来讲，相似三角形很多同学还没有学过， 所以接下来我们看一下能否有其他的方法来求得这个动点 g 它的坐标， 我们过 e 点做 e m 垂直于 x 轴垂直为 m， 那 么 a b o 这个角，我们假设它是角一，那么很显然 d e m 这个角和它相等，也是角一。那满足条件的 g 点使得角 g e f 等于角 a b o， 那 g e， f 这个角也是角一。 如果我们设角 d， e， g 就是 这个角为角二的话，那我们就可以看出角一加上角二，它是等于角 d， e， f 就 这个角等于四十五度的，那么它也是等于角。 m， e， g 就是 这个角，它也是这个角一加上这个角二，它也是等于四十五度的。 在二的条件下，也就是 e 点，它是由 b 点平移四个单位得到的，那么 e 点它的坐标就是四三。而且 eg 刚才我们算了它和 em 是 乘四十五度角，所以 eg 所在的直线， 那么我们设它的解析式就是 y 等于负 x 加 b， 然后它过 e 点，我们可以求得 b 是 等于 七的，所以 eg 它所在直线的解析式就是 y 等于负 x 加七。刚才我们求解了 df， 它所在直线的解析式为 y 等于二， x 减十。所以我们只需要把 eg 和 df 它们两的解析式连立正好，就可以求得 g 点的坐标，那就是 x 等于三分之十七， y 等于三分之四，也就是 g 点的坐标就是三分之十七， 三分之四，我们求得了 g 点的坐标。由于 g 点是在 df 这条直线上运动，所以我们还需要去找一下在这条直线上是否还有其他的点，也满足条件。 我们观察到，由于 e f 它是垂直于 d f 的， 所以使得 g， e， f 这个角和 a b o 这个角相等的点应该还有一个 g e 撇点，它和 g e 点是关于 f 对 称的，这样能够使得 g e 撇， e， f 这个角和 g， e， f 这个角相等， 同时他们也等于 a b o 这个角，由于 g 一 撇和 g 这两点，他是关于 f 点对称的， f 点的坐标我们已经求出来了，就是六二，那 f 点他其实就是 g 一 撇点和 g 点他的终点， 所以根据求终点的公式，我们就能够求出 g 一 撇点，他的坐标就是三分之十九、 三分之八。我们验证一下 g 点和 g 一 撇点它的坐标，我们发现他们的终点坐标正好就是 f 点六二，所以点 g 的 坐标满足条件的有两个，分别是三分之十七、三分之四、三分之十九、三分之八。 本题的解答过程再次说明一个道理，在面对函数与几何综合题的时候，我们需要灵活运用函数和几何的知识， 选择预算量更小的解析思路，从而用更少的时间得到正确的结果。感谢关注，行有戒思无戒，这里是无戒数学，我是彭老师，我们下期再见。

同学们好，本节课开始我们研究正比例函数，请大家思考函数的概念是什么？ 在一个变化过程中，如果有两个变量， x 和 y， 并且对于 x 的 每一个确定值， y 都有唯一确定的值，与之对应，我们就说 x 是 自变量， y 是 x 的 函数。 那么对于函数的常用的表示方法又是什么呢？ 常用解析式法、列表法和图像法来表示函数。 比如正方形的边长和面积之间存在函数关系，我们可以用解析式法表示，还可以用列表法表示。 此外，还可以在坐标系中画出图像，直观地表示对应关系。 从本节课开始，我们研究一种比较特殊的函数， 请同学们来思考一个问题，对于函数的一种表示方法是解析式法，那么比较简单的代数式是依次式，你能写出几个依次式吗？ 相信大家写出了类似的依次式。好，请同学们观察，是否有特殊的依次式呢？ 相信大家也找出了这样的一次式，它们只有一次项，而没有长竖 项。的确，按照特殊化的方法，我们本节课从长竖项是零的一次式开始研究。 请同学们看下列实际问题。二零一一年开始运营的京沪高速铁路，全长一千三百一十八千米， 设列车的平均速度为三百千米每小时。考虑以下问题， 一程京沪高铁列车从始发站北京南站到终点站上海虹桥站约需多少小时？结果保留小数点后一位。 利用公式，我们可以算出时间约为四点四小时。 二、如果从小学学过的比例观点看，列车在运行过程中行驶的里程和运行时间是什么关系呢？ 行驶里程是运行时间的函数关系，并且是正比例关系。 可求出解析式为 y 等于三百 t， 其中时间的范围是大于等于零，小于等于四点四小时。 问题三，乘京沪高铁列车从北京南站出发二点五小时后，是否已经过了距十八站一千一百千米的南京南站呢？ 我们要求高铁从北京南站出发二点五小时的行程就是求当自变量等于二点五时，函数的函数值， 即 y 等于三百乘以二点五，等于七百五十千米，小于一千一百千米。因此，这是列车上未到达距离始发站一千一百千米的南京南站。 通过以上问题，我们来思考下面的这个问题， 得到的函数解析式有什么特点呢？函数值与对应的自变量的值的比有什么特点？ 我们发现解析式是常数乘以自变量。 另外，函数值和自变量的比是一个固定的常数，这个常数不等于零。好，我们再看一些生活当中的实力。 下列问题中变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式。问题一，圆的周长随半径 r 的 变化而变化。 二，铁的密度是七点八克，每立方厘米铁块的质量是 m 克，随它的体积 v 的 变化而变化。 它们都是函数关系，周长等于二倍 r， 质量等于密度乘以体积。 问题三，每个练习本的厚度为零点五厘米，练习本摞在一起的总厚度 h 随练习本的本数 n 变化而变化。 问题四，冷冻一个零摄氏度的物体，使它每分钟下降二摄氏度。物体的温度 t 随冷冻时间的变化而变化。它们分别都是函数关系吗？ 它们都是函数关系。厚度等于每一本的厚度乘以本数。 物体的温度等于负二，乘以冷冻的时间。 请大家认真观察这四个函数。解析式，说说这些函数有什么共同特点？ 没错，这些函数都是自变量，乘以一个不为零的长数。 那么一般的形如 y 等于 k x， k 是 常数， k 不 等于零。 这样的函数我们叫做正比例函数，其中 k 叫做比例系数。 好，请同学们观察下列式子哪些表示 y 是 x 的 正比例函数？ 第一个， y 等于二 x， 它是一个正比例函数，原因是它符合定义，其中的比例系数是二。 第二题， y 等于负三分之 x， 它也是一个正比例函数，比例系数是负三分之一。 第三题， y 等于 x 平方不是正比例函数，因为它不符合定义。 y 等于 k x。 第四题， y 和 x 不是 函数关系。 第五题， y 等于 pi， x 是 正比例函数，因为它符合定义。这里比例系数 k 等于 pi。 第六题， y 等于七，乘以括号 x 加一的和，它不是正比例函数，因为我们去括号之后会得到七， x 加七 不符合正比例函数的定义，因此只有一、二、五表示正比例函数。 好，请同学们看例啊！列式表示下列问题中 y 与 x 的 函数关系，并指出哪些是正比例函数。 一、正方形的边长为 x 厘米，周长为 y 厘米。 第二题，某人月平均收入为 x 元，他这一年的总额为 y 元。 三、一个长方体的长为二厘米，宽为一点五厘米，高为 x 厘米，体积为 y 立方厘米。 好，按照周长的定义，周长等于边长的四倍，因此它符合正比例函数的定义。 第二题，一年的总额是十二乘以月平均收入，因此它是正比例函数。 问题三，长方体的体积等于长，乘以宽乘以高化简等于三 x， 因此它是正比例函数。 好，我们本节课的内容即将结束，请同学们思考两个问题，谈谈你今天学了哪些内容？ 二、请举一个生活中正比例函数的实力。 好，我们今天呢，确实学了正比例函数它的定义。我们下节课要学习它的图像和性质。 生活中正比例的函数有很多，比如说，当速度一定时，匀速运动的物体的路程和时间之间就是正比例函数。 好，请同学们回顾本节课的内容，继续探求生活中的奥秘。同学们再见！同学们好！今天我们继续学习正比例函数的第二课时函数的图像和性质。 请同学们回忆什么是正比例函数，并写出两个具体的正比例函数。 一般的形如 y 等于 k， x， k 是 不等于零的常数，这样的函数叫做正比例函数。 比如 l 等于二 pi， r 圆的周长和半径之间就是正比例函数关系，你写对了吗？ 那么这节课我们继续研究正比例函数的图像和性质。那请同学们回忆画函数图像的一般步骤是什么呢？ 第一列表第二步，在坐标系中描出这些点。 第三步，用光滑的曲线顺次连接所画的点，便可以得到函数的图像。 好，接下来我们先从 k 大 于零时研究， 请同学们画出 y 等于二 x 的 图像。第一步，我们先列表。由于 x 是 可以取任意实数的，因此我们可以在 x 为负值时，取两个特殊的， x 等于负二， x 等于负一。 这样对应的函数值分别是负四和负二， x 等于零时， y 等于零。 此外，在 x 为正值时，分别取一和二作为自变量。那么相应的函数值呢？分别是二和四，此外还可以取其他的值。 第二步，我们在坐标系中准确描出这些点， 负二、负四在第三项线，负一，负二在第三项线圆点画出来。 一二在第一象限，二四在第一象限。第三步，我们用光滑的曲线顺次连接这些点，便可得到 y 等于二 x 的 函数图像。 我再举一个 k 大 于零的例子，请同学们画出 y 等于二分之一 x 的 图像。 第一步，仍然是列表，只不过这时我们的自变量 取负四、负二和二四。请同学们想一想，这样做的目的是什么呢？ 对的，保证它的函数值是整数，方便我们画图。 比如， x 等于负四时，函数值是负二， x 等于负二， y 等于负一， x 等于二， y 等于一， x 等于四， y 等于二。之后，我们在坐标系准确描点负四，负二在第三象限， 负二，负一在第三项线原点，二一呢，又在第一项线，四二在第一项线， 再用光滑的曲线顺次连接这些点，便可得到 y 等于二分之一 x 这个正比例函数的图像。 以上我们举了两个例子来代表 k 大 于零时正比例函数的图像特征。 同学们还可以画出更多的 k 大 于零时正比例函数的图像，比如 y 等于四 x， y 等于三分之 x， k 可以 取十分之一等等。 那么请同学们观察它们的共性，这些图像的形状是什么呢？位置又如何放置呢？ 这些正比例函数，当 k 大 于零时，它的形状是一条直线，位于一三相线。 那么为什么就一定位于一三象限呢？在我们刚才画图的过程中，同学们体会到，没有 x 取负值，那么 y 也是负数， 一定在第三项， x 取正数， y 也取正数，这样它位于第一项线， 所以整个的函数就一定位于一三项线，并且还经过坐标原点。 我们再继续观察这些图像，请同学们思考。对于正比例函数 k 大 于零的时候，图像是左低右高还是左高右低呢？ 我们容易发现函数是左低右高的， 我们经常听老师讲竖形结合这种方法，那接下来我们再从竖的角度去研究这些正比例函数。 当自变量增大时，对应的函数值是随着增大还是减小呢？ 我们不妨举一个特殊的例子来思考这个问题。 当 x 等于零时，函数值是零，那么当 x 大 于零时，函数值是不是要大于零呢？是对的，函数值是大于零的， 这样它自变量增大了，那函数值也增大了。 以上我们通过一个例子来感知函数值在增大，同学们体会到了吗？ 当 k 大 于零时，自变量增大，对应的函数值也随着增大。 通过以上的分析，我们可以归纳出正比例函数 k 大 于零时图像的性质。 正比例函数是一条经过原点的直线，这条直线经过一三象线，从左到右上升， y 随 x 的 增大而增大。 好，同学们来思考，我们接下来要研究什么呢？刚才我们研究的是 k 大 于零，是正比例的图像性质，那么现在该研究 k 小 于零了。 大家在同一坐标系中画出正比例函数， y 等于负二， x 和 y 等于负二分之一 x 的 图像。我们第一步当然是列表 取 x 等于负数的时候呢的两个特殊值，负二和负一对应的函数值分别是正四和正二， x 等于零， y 也等于零。 在正数时， x 我 们取一和二，那对应的函数值分别是二、负二和负四。 接下来在坐标系中准确地画出这些点，负二、正四 位于第二象限，负一二也位于第二象限， 零零是坐标原点，一负二位于第四象限，二、负四也在第四象限。 接下来，用光滑的曲线顺次连接这些点，我们可以得到 y 等于负二 x 的 函数图像。类似的，我们先列表 求出 y 等于负二分之一 x 上面经过的特殊的点。 此时我们在 x 取负值时，取的数是负四和负二。同学们想想，这又是为什么呢？为什么不取刚才的 x 等于负二或者 x 等于负一呢？ 对的，我们想得到 y 也是一个整数，这样便于我们画出整点。 那么相应的函数值分别是二一、零、负一和负二。 我们在坐标系中准确画出负四二，这个点位于第二项线，负二一也位于第二项线原点。 此番二负一位于第四象限，四负二位于第四象限。 再用光滑的曲线顺次连接这些点，我们会发现它们在一条直线上，这就得到了 y 等于负二分之一 x 的 图像， 同学们，你能通过它们归纳 y 等于 k 小 于零时正比例函数的性质吗？ 当 k 小 于零时，正比例函数是一条经过原点的直线， 它经过二、四象限，从左到右是下降的， y 随 x 的 增大而减小。 以上，我们分两个阶段研究了 k 大 于零和 k 小 于零时候正比例函数的性质。那么现在我们把它归纳到一起， 你能迅速出正比例函数的图像特征和性质吗？ 首先，正比例函数的图像是一条经过圆点的直线。当 k 大 于零时，直线经过一、三象限，从左到右上升， 既随着 x 的 增大， y 也增大。当 k 小 于零时，直线经过二、四象限，从左向右下降，既随着 x 的 增大， y 再减小。 我们知道正比例函数的图像是一条经过坐标原点的直线。在几何中，我们学过两点确定一条直线。 那么我们有画正比例函数图像的简易方法了吗？ 对的，我们只要画出两点就可以确定这个正比例函数。那么最简单的画法是画圆点和一 k。 我 们通过例题来感受一下。请同学们用最简单的方法画出两个正比例函数的图像， 其中 y 等于二分之三 x， 它经过圆点和一二分之三， 我们画出圆点和第一象限的点，之后两点确定一条直线是 y 等于二分之三 x。 类似的，我们先求出 y 等于负三 x 经过的圆点和一负三，再画出圆点和第四象限的点，两点确定条直线，确定了 y 等于负三 x。 在 平面直角坐标系中，正比例函数 k 小 于零的图像大致位置可能是什么呢？ 正比例函数是一条经过坐标原点的直线，因此排除了 c 和 d。 当 k 小 于零时，图像经过二次降线，因此选 a。 对于正比例函数，当 x 增大时， y 随着 x 的 增大而增大，那么 k 的 取值范围呢？按照我们总结的性质， 应该是 k 大 于零。 下面我们来挑战一下这道有难度的题。对于四个正比例函数，图像如图所示。比较一下 k 一 和 k 二的大小关系， 比较一下 k 三和 k 四的大小关系，最后再统一比较一下它们四个实数的大小，用不等号连接 好。通过刚才的画图，我们可以发现， 绝对值越大，图像越陡，越靠近 y 轴， 那么 k 一 的绝对值要大于 k 二的绝对值，那对于复数来说，这个数绝对值大的反而小，所以 k 一 小于 k 二。 对于两个正数呢，绝对值大的正数就大，因此 k 四要大于 k 三。对于第三题， k 三、 k 四是正数， k 一、 k 二是负数，因此按数者的顺序排列出它们的大小关系。 本节课我们研究了什么？得到了哪些成果呢？正比例函数的图像和性质会怎样？我们是怎样进行研究的？以及在研究过程中你最深的感受是什么？ 请同学们畅所欲言，归纳总结本节课的收获。 好！本节课我们共同研究了正比例函数的图像和性质， 它的图像是一条直线，性质呢，是要分 k 大 于零和 k 小 于零来分别研究。研究的角度呢，分别是它位于的象限以及它的增减性。 第三个问题，我们是通过分类讨论来进行研究的， 那你最深的感受是什么呢？欢迎你跟同学们畅所欲言，继续探索数学的奥秘。 同学们再见！同学们好，欢迎来到基础教育精品课堂。我是吉安市吉安县城北中学的郭红军老师， 今天我们将一起学习人教版八年级下册正比例函数图像及性质。首先，老师带来了一段视频与你们分享， 画面记录了神舟十二号载人飞船成功发射的精彩瞬间。这是我们伟大祖国在中国梦的领导下攀登的又一新的科技高峰， 正是这条科学的轨道引领着神舟十二号成功发射。 科学理论告诉我们，这样的飞行轨道图从数学角度看就是函数的图像。 老师希望同学们学好数学，学好函数及相关知识，为祖国未来的发展贡献力量。千里之行，始于足下，让我们一起走进函数。 在上节课，我们知道了什么叫正比例函数，形容 y 等于 k x， k 是 常数且 k 不 等于零的函数叫做正比例函数，其中 k 叫做比例系数。 本节课我们将通过图像来研究正比例函数的性质。同学们还记得怎样画一个函数的图像吗？ 记得有三步，第一列表，第二描点，第三连线。 很好，你能画出 y 等于 r、 x 的 图像吗？ 下面就让我们一起来用描点法画出 y 等于二 x 的 函数图像。 第一步，列表在这里，自变量可以取得全体实数，所以我们可以任意选举一些具有代表性且便于简单计算的 x 值。 x 可以 取负三负二负一零等。当 x 取完这些值时，对应 y 的 值是多少呢？ 对应 y 的 值为负六负四，负二零二四六。 反应真快！我们一共列举了七组对应值及对应七个点的坐标，现在我们在直角坐标系中描出这些点， 描完所有的点后，我们说连线应用光滑的曲线连接，但在这里连完后，我们发现它实际上就是一条直线。 现在呢，我们已经得到了 y 等于二 x 的 函数图像，它是一条直线，且经过了圆点。 那我们再来看看其他的正比例函数，它们的图像又会是什么样的呢？你能画出 y 等于三分之一 x 的 图像吗？相信你一定可以做到。 能说说你得到的是一条什么图像吗？我们看到了 y 等于三分之一 x 的 图像也是一条直线，且经过了圆点。 通过类比观察，从熊的角度看，你还发现了什么？ 这两个函数图像都是一条经过圆点的直线。 y 等于二 x 的 图像从左向右上升，经过第三第一象限。 y 等于三分之一 x 的 图像从左向右也上升，也经过第三第一象限。回答得真好！ 从竖的角度看，仔细观察，我们还发现这两个函数图像对应的 k 值都是怎样的？ 对，都是大于零的。那么当正比例函数中 k 小 于零的时候，他的图像也会是一条经过圆点的直线吗？也是经过第三第一象限的吗？ 我们再来画出正比例函数 y 等于负一点五 x 的 图像。利用画函数图像的方法，我们同样的先列表， 当 x 取相应这些值时，我们来计算对应 y 的 值，分别是， 对四点五、三一点五、零，负一点五，负三，负四点五。我们来看看会是一条什么样的图像？ 我们看到了 y 等于负一点五 x 的 图像也是一条直线，且经过了圆点， 但不同的是，这条直线经过了第二、第四象限。我们再多画一个正比例函数 k 小 于零时的图像，看看能有什么发现， 请同学们在下面动手操作，画出正比例函数 y 等于负四 x 的 图像。 同学们能根据所画的图像说一说你的发现吗？ 我们得到了 y 等于负四 x 的 图像，也是一条经过的圆点的直线，而且和 y 等于负一点五 x 一 样，都经过了第二、第四象限。 通过类比观察，从形的角度看，你还有什么发现？ 两个函数的图像都是一条经过圆点的直线， y 等于负一点五， x 的 图像从左至右下降，经过第二、第四象限。 y 等于负四 x 的 图像从左至右也是下降，经过了第二、第四象限。 感谢这位同学精彩的回答！从竖的角度我们看到了这两个正比例函数中对应 k 的 值都是小于零的， 此时他们的图像都是一条经过圆点和第二、第四象限的直线。 通过以上例题中的四个正比例函数图像的探求学习，我们能不能说正比例函数的图像就是一条经过圆点的直线，你能得出什么性质？ 下面老师来借助科学的作图工具，验证一下同学们刚才的猜想和结论。 当 k 大 于零， k 等于零点三零， y 等于零点三零 x， 它的图像是一条经过圆点的直线，且经过第三、第一象限从左向右上升。 当 k 大 于零，在变化时，发现该正比例函数图像始终是一条经过圆点和第三、第一象限的直线， 并且看到了图像从左向右上升。当 k 大 于零，随着 x 值的增大，对应 y 的 值怎样变化？ 我们观察发现，随着 x 值的增大， y 也在随之增大。 当 k 小 于零， k 等于负零点三九， y 等于负零点三九。 x， 我 们看到它的图像也是一条经过圆点的直线。但不同的是，经过第二、第四象限， k 小 于零，在变化时发现这条直线始终经过了圆点和第二、第四象限，图像从左向右下降。 那么我们再来看看随着 x 值的增大， y 的 值怎样变化。我们看到了 y 的 值是在随着 x 值的增大反而减小。 由此，我们可以观察得出正比例函数的图像和性质。 正比例函数 y 等于 k x， k 是 常数， k 不 等于零的图像，是一条经过圆点的直线，我们称它为直线 y 等于 k， x。 当 k 大 于零时，直线 y 等于 k， x 经过第三第一象限从左向右上升，即随着 x 的 增大， y 也增大。 当 k 小 于零时，直线 y 等于 k， x 经过第二、第四象限从左向右下降，即随着 x 的 增大， y 反而减小。 本节课的重点就在这里，同学们，你能运用正比例函数的性质来解决相关的问题吗？我们来练练吧！ 能说说你的解析思路吗？我的思路是，因为 k 大 于零时，正比例函数图像经过第三第一象限， 所以第一题中 m 减一大于零，则 m 大 于一，所以答案选 b。 又因为 k 小 于零时，正比例函数图像经过第二、第四象限，所以第二题中 y 等于负七， x 经过第二、第四项弦， y 随 x 的 增大而减小。当 x 等于零时， y 等于零，当 x 等于一时，代入得 y 等于负七，所以，经过点零零和 b 负七。 你是一位很棒的小老师，你的思路非常准确。 既然我们已经得到了正比例函数的图像是经过圆点的直线这样一条结论，那么在画正比例函数图像时有更简单的方法吗？ 有，描两个点就可以。因为两点确定一条直线，所以我认为采用两个点就可以画正比例函数的图像。 是的，那我们会描哪两个点呢？怎样画最简单呢？ 哦，我们同学认为过圆点和点一 k 画直线较为简单。是的，通常我们会取零零和一 k 这两个点来画正比例函数的图像。 那么，同学们能不能再进一步思考一下，过圆点和点 e k 的 直线会是哪个函数的图像呢？ 同学们真聪明！对了，就是正比例函数 y 等于 k， x 的 图像。 因此，我们得到过圆点和点一 k， k 是 常数且 k 不 等于零的直线，即为正比例函数 y 等于 k， x k 不 等于零的图像。 那今后在画正比例函数图像时，我们就可以直接采用两点法，用你认为最简单的方法画出下列函数的图像。 下面老师带来了两位同学的作品进行展示。 从解答过程看，这两位同学都是采用的两点法画正比例函数图像，所得到的这两条直线都是一致的。 但不同的是，我们看到假同学采用的是零零和 e k 这两点画图像，而乙同学灵活地选用整数点画图像。 同学们，你们认可这两位同学的解法吗？很棒，看来我们不仅能掌握好所学的知识，还能灵活的运用知识来解决问题，相信你们能出色的完成接下来的练习。 同学们都答对了，真是棒极了！ 时间过得真快，又到了快要和同学们说再见的时刻，今天的学习您有什么收获，可以和老师分享一下吗？ 我学到了利用两点法画正比例函数图像，我知道了正比例函数图像的有关性质，它是一条经过圆点的直线， 当 k 大 于零时，经过一、三象限， y 随着 x 的 增大而增大。当 k 小 于零时，经过第二、四象限， y 随 x 的 增大而减小。 那么在这里老师有一个小故事和一些体会要和大家分享。 同学们，生活中会有许多变化，需要我们找准方向，不断汲取正能量，而这些正能量就像我们所学的正比例函数中 k 大 于零时的图像， 有了他的陪伴，相信努力的付出一定会让我们登上人生新的高峰。本节课的学习就到这里，同学们再见！ 同学们大家好，今天我们学习一次函数的定义。首先我们复习一下前面学过的内容，正比例函数的图像和性质，请大家完成下面的练习， 我们来看一下答案。练习一，考察正比例函数的定义。 一般的形容 y 等于 k， x k 不 等于零的函数叫正比例函数，即正比例函数，是常数与字面量成积的形式。按照定义，我们选择二 b 答案 练习二，考察正比例函数的定义。根据正比例函数图像经过负、二、三，我们可以知道 k 值等于负的二分之三，从而这个函数我们把负的二分之三代入 a、 b、 c、 d 四个选项，可以得到 c 为所求。 另一方面，我们知道正比例函数，当次变量非零的时候，函数值以次变量的比值为 k， 因此我们可以看到 k 就是 三，除以负二等于负的二分之三。然后把 a、 b、 c、 d 四个选项当中的纵坐标与横坐标的比值算出来，可以得到它就是负的二分之三。 好，我们再来看两个小题， 我们来看一下答案。第一个小练习， 把 a 点的横坐标一代入函数解析式， y 等于二 x 当中可以得到 m 等于一，乘以二等于二，因此点 a 的 坐标是一二。 另一方面，我们知道正比例函数的图像是一条经过圆点和一 k 的 直线，由于点 a 的 横坐标为一，所以 m 值等于 k 等于二，因此 a 点坐标为一二，你答对了吗？ 第二个小题，考察正比例函数的性质，那么我们可以看到， 由于这个图像经过点 k 九，所以 k 乘以 k 等于九，即 k 的 平方等于九，所以 k 就是 正负三。又因为图像经过一三象限，所以 k 大 于零，因此 k 的 值只能等于三。 好，这是我们前边学过的正比例函数的图像和性质。下面我们开始今天的学习依次函数。首先我们来看问题一。 好，有问题一，我们可以看到，由于海拔每升高一千米，气温下降六摄氏度，所以登山队员由大本营向上登高 x 千米时，气温下降六 x 摄氏度， 此时它们所处位置的气温是五减六 x， 所以 y 等于五减六 x。 习惯上我们常常表示成 y 等于负六， x 加五的形式。 进一步思考，请大家完成下面的表格。 好，很容易算出这六个函数值为，二负一、负四、负七、负十、负十三。 通过这一系列的数值，我们可以看到，当次变量的值每增加零点五千米时，函数值增加了负三。它的实际背景就是海拔每升高零点五千米，那么气温就下降三摄氏度。 针对问题一，这个新的函数，我们还可以用以下三种方法进行表示，图像法、列表法以及解析式法。 那么生活中是否有一类这样的函数呢？它们又有什么性质呢？好，我们先看下面的一组问题， 下列问题中变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式。 第一个问题，我们发现 c 的 值约是 t 的 七倍与三十五的差，因此 c 等于七， t 减三十五。 此外，蟋蟀的每分钟鸣叫次数与温度有关，温度在二十度到二十五摄氏度之间，所以我们的 t 是 大于等于二十，小于等于二十五的好看。第二个小问题， 成年人的标准体重 g 是 以厘米为单位量，出身高 h 再减去常数幺零五，因此 g 它就是 h 减掉幺零五。第三个小问题， 电话的月收费额外包括月租费二十二元和拨打电话 x 分 钟的计时费。那么我们可以看到， 拨打电话一分钟是零点一元， x 分 钟零点一 x， 所以 计时费是零点一 x。 因此某城市的室内电话的月收费额 y 就是 零点一 x 加二十二。 第四个小问题，矩形面积等于长乘以宽，现在宽没有变长，减少 x， 因此矩形面积 y 等于五，乘以十减 x。 整理以后， y 等于五十，减去五 x， 那 么再进一步整理得到解析式为， y 等于负， x 加五十。 由于 x 是 在十的基础之上减少的，因此它不会比十大，所以自变量 x 的 取值范围是大于等于零，小于十。 好，我们看这一类问题，显然它们不是正比例函数，那么它们有什么共同特征呢？ 我们发现这些函数它们像 y 等于负 u， x 加五一样，都是常数 k 与自变量的乘积 加上某一个常数 b， 或者说它们都是自变量的依次式，我们把这一类函数叫做依次函数。 好，下面我们给出一次函数的定义。一般的形如 y 等于 k， x 加 b， k， b 为常数， k 不 等于零的函数叫做一次函数， 它和正比函数的定义相比非常的相似。那么我们可以看到，当 b 等于零的时候， y 等于 k， x 加 b， 它就变成了什么呢？ 就是 y 等于 k， x， 此时 k 依然是不为零的常数，这正是正比例函数的定义，因此正比例函数是一种特殊的一次函数。 下面我们通过几个练习进一步体会理解一次函数的定义。练习一， 根据一次函数的定义，形如 y 等于 k， x 加 b， k 为常数， k 不 为零的函数叫一次函数。 或者说一个常数乘以次变量，加上另一个常数。那么根据定义，我们可以发现， 二、五、六一定不是一次函数，剩下的一和三一定是一次函数的结构。那么第四个， 第四个我们发现它的结构不是很清晰，因此我们需要进一步去整理，把括号去掉，就是九减三 x。 最后整理以后可以整理为负三 x 加九这样的形式，因此它是一次函数， 所以式一次函数的有一、三、四。那么在这三个一次函数里面， b 为零的是一和三，所以正比例函数有一和三。我们来看练习二 下列函数当中的 k 和 b 的 值。第一个 y 等于八， x， 显然 k 等于八， b 等于零。 第二个，我们整理以后发现 k 等于负三， b 等于九，你答对了吗？ 好，接下来我们看第三个练习。已知一次函数 y 等于 k， x 加 b， k， b 为常数，且 k 不 为零。 当 x 等于三时， y 等于五，当 x 等于负四时， y 等于负九，求 k 和 b 的 值 一题，我们把 x 和 y 的 值分别代入，得到关于 k 和 b 的 一个二元一次方程组，求得 k 和 b 的 值即可。因此这个以此函数的解析式为 y 等于二 x 减一。 这个例子说明，知道两组对应值，就可以确定 k 和 b 的 值了。 下面我们看一个实际的问题，一个小球由静止开始，沿一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加二米每秒。根据这些信息解决以下两个问题。 第一个问题，每秒中增加的速度就是二 t 米每秒。因此， 由于小球是从静止开始的，所以我们的速度 v 就是 小球在 t 秒内增加的速度，所以 v 等于二 t， 这个是依次函数。 第二小问，第二点五秒时求小球的速度，那么我们把 t 等于二点五秒，代入 v 等于二 t 当中得到 v 等于五米每秒，所以第二点五秒时，小球的速度为五米每秒。 好，咱们来看一下这节课的速度为五米每秒。好，咱们来看一下。学习了一次函数的定义。 那么什么叫一次函数呢？形如 y 等于 k， x 加 b， k， b 为常数， k 不 等于零的函数叫做一次函数。 用我们的语言来描述就是一次函数，它表示的是某个常数与自变量的积，与常数 b 的 和。 因此呢，它的右端是一个关于自变量的一次式，故为一次函数。 七次，我们学习了一次函数与正比例函数的关系，发现在一次函数 y 等于 k， x 加 b， k b 为常数， k 不 为零这个式子当中， 当 b 等于零的时候，就退化为正比例函数 y 等于 k， x k 非零的形式。因此我们说正比例函数是一种特殊的一次函数。 第三个，对于一次函数，我们通过练习可以发现知道函数的两组对应值，就可以确定函数的解析式。 好，本节课的作业完成，课后作业当中的题目选作，写一个函数解析式，并且画出这个函数的图像。好，本节课就到这，同学们再见！ 同学们好，今天我们学习的内容是依次函数的图像和性质。首先我们复习一下前面的知识，请大家完成下面的小练习， 我们来看一下答案。练习，考察一次函数的定义。一般的形如 y 等于 k， x 加 b， k b 为常数， k 不 为零的函数叫做一次函数。 那么根据一次函数的定义，我们可以看到表示 y 是 x 的 一次函数的是一、四五。好，我们继续。 好，我们来看一下答案。练习二，考察正比例函数与一次函数的定义， 根据提义，当 k 减二不等于零时，它是一次函数，因此 k 不 等于二时，它是一次函数。那么当 k 减二不等于零，且二 k 加一等于零时，它是正比例函数。由此可以算出， 二 k 等于负一 k 等于负的二分之一。你答对了吗？ 练习三，考察正比例函数的性质。正比例函数 y 等于 k， x， k 等于零，当 k 大 于零时， y 随 x 的 增大而增大。当 k 小 于零时， y 随 x 的 增大而减小。由于正比例函数 y 等于三 m 加 x， y 随 x 的 增大而增大，所以三 m 加五大于零， m 大 于负的三分之五。好，我们来看练习四， 练习四，考察正比例函数的图像。当 k 大 于零时，正比例函数图像经过圆点和一、三象限。当 k 小 于零时，正比例函数图像经过圆点和二、四象限。 由于正比例函数 y 等于二， a 减一倍的 x 的 图像经过第二、四象限，所以二 a 减一小于零，可得 a 小 于二分之一。 好，我们来看一下。练习五，练习五，考察依次函数解析式当中，常数 k 和 b 是 如何确定的？ 那么将已知点 a、 b 的 坐标代入函数解析式当中，得到关于 k 和 b 的 一个二元一次方程组， k 加 b 等于三， b 等于负二，解得 k 等于五， b 等于负二， 从而此一次函数的解析式为， y 等于五， x 减二，你算对了吗？好，我们来看最后一个小练习。 本题考察正比例函数图像，那么有提议可以知道，当 k 大 于零时，正比例函数的图像是经过一、三象限的，不难得到 a 为正确答案。 通过以上练习，我们回顾了正比例函数的图像和性质。正比例函数是一种特殊的一次函数，那么对于一般的一次函数，它的图像和性质又是什么呢？下面我们开始今天的学习一次函数的图像和性质。 对于正比例函数的图像和性质，我们的研究方法是针对 k 不 等于零的条件，我们分别对 k 大 于零和 k 小 于零进行讨论。通过大量的作图，发现这类图像的共同特征，进而 由形到数归纳出正比例函数的性质。对于依次函数，我们是否也可以按照这样的方法研究呢？ 我们从一个具体的一次函数开始探求。首先我们来画函数 y 等于二 x 减三的图像。 第一步，列表。列表的时候要考虑自变量的取值范围。本题中自变量 x 的 取值范围是全体实数，因此我们的 x 可以 是正数、零和负数，在列表时要兼顾这三种情形。 接下来瞄点，在平面直角坐标系中画出表格中各数值对应的点。 最后我们来连线。连线时要将各点依次用平滑的曲线连接起来，最后根据自变量的取值范围决定线是否出头。 这样我们就得到了依次函数 y 等于二 x 减三的图像。 可以看到，依次函数 y 等于二、 x 减三的图像也是一条直线，那么它与正比例函数 y 等于二 x 图像间有什么关系呢？ 它们的形状完全一样。很自然地，我们去想，依次函数 y 等于 k、 x 加 b 的 图像是什么形状呢？ 我们发现，当次变量 x 取值相同时，正比例函数 y 等于 k， x 和一次函数 y 等于 k， x 加 b， 它们的函数值之间相差 b。 因此，我们可以得到 一次函数 y 等于 k， x 加 b 的 图像是一条直线，我们称它为直线。 y 等于 k， x 加 b， 我们知道两点确定一条直线，由此能否更简变地画出一次函数的图像呢？ 只需要描出坐标系中满足函数关系的两点，过这两点画直线，就可以得到一次函数的图像了。 接下来，就请大家用简易方法画出下列一次函数的图像，要求在同一坐标系内画。 观察这四个函数的图像，并类比正比例函数图像，你能看出当 k 的 符号变化时，依次函数的增减性怎样变化吗？ 类似的，我们发现，当 k 大 于零时，直线从左向右上升， y 随 x 的 增大而增大。当 k 小 于零时，直线从左向右下降， y 随 x 的 增大而减小。 进一步观察图像，你能找到这四个函数图像的共同之处吗？ 我们发现这四个函数图像，它与 y 轴的交点都是零 e。 那 么进一步思考，依次函数 y 等于 k， x 加 b 与 y 轴的交点是什么呢？ 我们令 x 等于零，可以得到 y 等于 b， 因此，依次函数 y 等于 k， x 加 b 的 图像一定经过点零 b。 自然的，我们去想，依次函数的图像与 x 轴的交点坐标又是什么呢？ 我们令函数值为零，此时可求的自变量 x 的 值为负的开分之 b， 故依次函数与 x 轴的交点为负的开分之 b。 零。 类比正比例函数图像的表述，我们可以知道，依次函数 y 等于 k， x 加 b 的 图像是一条经过零 b 负的 k 分 之 b 零两点的直线。接下来就请大家应用这条性质画下面函数的图像。 我们发现第一组的三条直线互相平行， 第二组的三条直线也互相平行。由此我们思考直线 y 等于 k， x 加 b 与直线 y 等于 k x 有 什么位置关系， 我们发现它们互相平行。不仅如此，我们还可以进一步发现，直线 y 等于 x 向上平移一个单位，可以得到直线 y 等于 x 加一， 向下平移一个单位，就得到 y 等于 x 减一这条直线。同样的，将直线 y 等于负二， x 向上平移一个单位，可以得到直线 y 等于负二， x 加一，向下平移一个单位，就得到了直线 y 等于负二减一。 从而我们有依次函数 y 等于 k， x 加 b 的 图像，可由正比例函数 y 等于 k x 的 图像向上或向下平移 b 的 绝对值个单位得到 类比正比例函数图像的性质。我们发现，当 k 大 于零时，依次函数 y 等于 k， x 加 b 的 图像从左向右上升， y 随 x 的 增大而增大。 而当 k 小 于零时，函数图像从左向右下降， y 随 x 的 增大而减小，这样我们就得到了依次函数的图像和性质。好，下面我们做一些练习，请大家看。练习一， 练习一，有 k 小 于零，可以知道图像从左向右下降，因此排除 a c 答案。又因为 b 等于负六，所以我们的图像经过二、三、四象限选择四、 d 答案 也可以这么考虑。根据 b 等于负六，可以知道图像与 y 轴的交点为零到负六，排除 a 和 b， 又因为太小于零，图像从左向右下降，所以选择四 d。 答案。好，下面我们来看练习二， 练习二，考察直线与坐标轴的交点。我们令函数值 y 等于零，可得二 x 减三等于零， 进而得出二 x 等于三， x 等于二分之三等于一点五，所以直线 y 等于二， x 减三，与 x 轴交点的坐标为一点五零。 接下来我们令 x 等于零，可以得到函数值 y 等于负三，因此它与 y 轴的交点坐标为零。负三， 由于 k 大 于零， b 小 于零，所以我们可以判断图像经过一、三、四象限，且 y 随 x 的 增大而增大。 好，下面我们来看练习三，依次函数 y 等于 k， x 加 b， y 随 x 的 增大而减小，可以知道 k 一定小于零，图像经过二、四象限， 又因为 b 大 于零，所以它的图像相当于正比例函数 y 等于 k， x 的 图像向上平移 b 的 绝对值个单位得到，因此它的图像经过一、二、四象限。下面我们来看最后一个小练习。 根据题意，依次函数的图像经过第二、三、四象限，可以清晰地知道 k 小 于零， 又因为经过第三象限，所以它是正比例函数 y 等于 k， x 的 图像向下平移， b 的 绝对值个单位得到，因此 b 小 于零，从而我们 k b 应满足的条件是 k 小 于零且 b 小 于零。 好，我们来回顾一下今天的主要内容。 依次函数 y 等于 k， x 加 b 的 图像可由正比例函数的图像向上或向下平移 b 的 绝对值个单位得到，并且依次函数的图像是一条经过零 b 负的 k 分 之 b 零两点的直线。 本节课我们在学习正比例函数的图像与性质基础之上，通过作图发现一次函数与正比例函数图像间的平行关系， 并借助正比例函数的性质得出了一次函数的性质。这种通过画图观察图像得到变量间关系的方法需要大家认真体会。 好，我们来看课后作业，第一个，完成课后作业，第二个，熟练掌握一次函数的图像和性质。好，本节课到此结束，同学们再见！ 同学们好，今天我们学习的内容是用待定系数法求一次函数的解析式。首先我们来复习前面的内容，请大家完成练习。一 好，我们来看一下答案。练习一，考察依次函数的图像和性质。当 k 大 于零时，图像经过一、三象限， y 随 x 的 增大而增大。 当 k 小 于零时，图像经过二、四象限， y 随 x 的 增大而减小。 在第一小问中，由函数 y 随 x 的 增大而减小。可知， m 减三小于零，得 m 小 于三。 第二小问，如果图像不经过第一象限，那么它必过二、四象限或二、三、四象限， 故 m 小 于三且负三， m 加一小于等于零，解得 m 大 于等于三分之一小于三。下面请大家完成练习。二 好，我们来看一下答案。练习二，考察依次函数，以坐标轴的焦点，坐标令 y 等于零，得 x 等于二， 所以一次函数 y 等于负二， x 加四，与 x 轴交于点二，零， 令 x 等于零，得 y 等于四，所以它与 y 轴交于点零四。当然， 大家也可以根据上节课学过的知识，依次函数的图像是一条经过负的 k 分 之 b， 零和零 b 两点的直线，带入 k 和 b 的 值，直接写出焦点坐标，你做对了吗？ 下面我们开始今天的学习待定系数法，求依次函数的解析式。 前面我们学习了依次函数的定义及其图像和性质，你能写出两个具体的依次函数的解析式吗？如何画出它们的图像呢？ 我看到同学写出的依次函数解析式为， y 等于负，二 x 加三。 好，我们以 y 等于三， x 减一为例，说明如何快速画出一次函数的图像， 令 x 等于零，得 y 等于负。一，令 x 等于一，得 y 等于二。在平面直角坐标系中描出点零、负一和一，二 过这两点画直线，就得到了一次函数 y 等于三， x 减一的图像。这种作图方法也称作两点法。 反过来，已知一个一次函数的图像上两个点的坐标，你能求出它的解析式吗？下面我们来看。例一， 有图可知，直线经过了点二、零和零三，分别将点二、零零三代入 y 等于 k， x 加 b 中有 二， k 加 b 等于零， b 等于三，不难算出 k 等于负的二分之三， b 等于三。故所求依次函数的解析式为， y 等于负的二分之三， x 加三。 我们回过来再看一下。例一，有已知一次函数 y 等于 k， x 加 b， 它的图像与 x 轴、 y 轴交于点二、零和点零三， 可得负的 k 分 之 b 等于二， b 等于三。从而我们有第二种解法， 连利负的 k 分 之 b 等于二， b 等于三，解得 k 等于负的二分之三， b 等于三，进而得到所求依次函数的解析式。 本例中给出了依次函数的解析式和函数图像上两个点的坐标。 将点的坐标代入函数的解析式，求出 k 和 b 的 值，即可确定所求依次函数的解析式。下面请大家看辨识练习。 辨识练习中没有给出函数的解析式，因此我们需要根据条件， y 是 x 的 一次函数，设出解析式。 设此一次函数的解析式为， y 等于 k， x 加 b， k 非零代入两组对应值得到关于 k 和 b 的 二元。一次方程组 进一步解得 k 等于负二， b 等于一，故此一次函数的解析式为， y 等于负二， x 加一。 像上面这样，先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法叫做待定系数法。 下面我们来看例二， 我们知道直线 y 等于 k， x 加 b 和直线 y 等于二， x 互相平行，所以 k 等于二。 又因为所求直线与 y 轴交于点零负二，所以 b 等于负二，从而此直线的解析式为， y 等于二， x 减二。 下面我们来看变式练习。 变式练习中，将依次函数 y 等于二， x 减三的图像沿 y 轴向上平移五个单位后， 所得函数解析式为， y 等于二， x 加五。整理可得 y 等于二， x 加二。 下面我们一起来看例三。 要求一次函数的解析式，我们只需要确定函数图像上两点的坐标即可，而本题给出的是自变量 x 的 取值范围以及相应的函数值 y 的 取值范围。 根据这些信息，如何确定直线上两点的坐标呢？ 我们回到依次函数的定义图像以及性质上去。依次函数具有这样的性质，当 k 大 于零时， y 随 x 的 增大而增大。 根据给定的自变量 x 以及相应函数值外它的取值范围，我们可以得到当 k 大 于零时，直线必过三、负四和五负二两点。 将 x 等于三， y 等于负四， x 等于五， y 等于负二代入函数。解析式求得 k 等于一， b 等于负七。 所以当 k 大 于零时，这个依次函数的解析式为， y 等于 x 减七。 当 k 小 于零时， y 次函数 y 随 x 的 增大而减小，所以当 k 小 于零时，直线必过三、负二、五负四两点。 同理可得这个 y 次函数的解析式为， y 等于负 x 加一。 由第三可知，当给定一次函数自变量 x 的 取值范围及相应的函数值 y 的 取值范围时，我们只需要根据 k 的 符号进行讨论， 就可把不确定的问题转化为确定性的问题，进而求解。 这种分类讨论的思想在数学以及生活中常常用到，下面我们来看例四， 由题目可知，直线 l 经过圆点和点 c， 故欲求直线 l 的 解析式，只需确定点 c 的 坐标即可， 而点 c 是 直线 l 与直线 y 等于 x 加三的交点， 并且直线 l 把三角形 aob 的 面积分为二比一的两部分，因此三角形 aob 的 面积成为问题的突破口， 不难算出， a 点坐标为负三，零 b 点坐标为零三。 借助图像进一步分析可得，三角形 a、 o、 b 的 面积等于二分之一， o a 乘以 o， b 等于二分之一，乘以三等于二分之九。 三角形 a、 o、 b 被直线 l 分 成三角形 a、 o、 c 和三角形 b、 o、 c 两部分。 一题，三角形 a、 o、 c 的 面积与三角形 b、 o、 c 的 面积比为二比一或者一比二， 从而三角形 a、 o、 c 的 面积等于三角形 a、 o、 b 面积的三分之二或三分之一。 我们可以求得三角形 a、 o、 c 的 面积为三或者二分之三。 由于点 c 在 第二项线，其总坐标为正数， 当三角形 a、 o、 c 的 面积为三时，由 o、 a 长为三，可得点 c 纵坐标为二，代入直线 y 等于 x 加三中，可得 c 点的横坐标等于负一。 同样的道理，当三角形 a、 o、 c 的 面积为二分之三时，可得 c 点坐标为负二。一。 最后用待定系数法求出直线 l 的 解析式为， y 等于负二， x 或 y 等于负的二分之一 x。 好，我们回过来看一下。例四、要求直线 l 的 解析式，只需确定 c 点坐标即可。 要求 c 点坐标只需要计算三角形 aoc 或 boc 的 面积即可。 根据已知条件，我们只需要求出三角形 aob 的 面积即可， 而要求三角形 aob 的 面积必须要计算 a、 b 两点的坐标。也就是说，只需要求出直线 y 等于 x 加三与坐标轴的交点即可。 在本例当中，直线 r 上面点系的位置具有不确定性，需要分类讨论。 下面我们来总结一下本节课的主要内容。我们知道，给定一次函数的解析是选取满足条件的两个定点， 就可以画出一次函数的图像，反过来选取一次函数图像上的两个点，代入一次函数的解析式。 通过解关于 k 和 b 的 二元一次方程，就可以确定未知的系数 k 与 b 的 值得到一次函数的解析式，这就是待定系数法。 今天的作业一、完成课后练习二、自编一道求一次函数解析式的题目，和同学们交流一下。 好，本节课到此为止，同学们再见！同学们好，今天我们学习的内容是一次函数的应用。首先我们来复习前面学过的知识，待定系数法求函数的解析式。 请大家完成下面的练习。 练习一，考察待定系数法求依次函数的解析式。我们先看第一小题，由图可知依次函数的图像经过点二零与零三，所以这两点的坐标必适合解析式。 设这个函数的解析式为， y 等于 k， x 加 b， k 不 等于零，则可以得到关于 k 和 b 的 二元一次方程组。 二， k 加 b 等于零， b 等于三。解方程组可得 k 等于负的二分之三， b 等于三。 好，我们来看第二小题，要求该直线关于 y 轴对称的直线解析式。只需找到对称后所得直线上的两点，确定坐标后，就可以用待定系数法求解了。 那么我们可以知道，将零三二零关于外轴对称可得零三负二零。因此问题可以转化为求过点零三与负二零的直线解析式 不难算出直线 y 等于负的二分之三， x 加三。关于 y 轴对前后的直线，解析式为， y 等于二分之三， x 加三。这是我们前边学过的用待定系数法求依次函数的解析式。 下面我们开始今天的学习依次函数的应用。 下图是生活中弹簧秤、电子秤，同学们想过他们的原理吗？为了揭开这个秘密，小明做了一个有趣的实验，下面我们来看一下他的实验报告。 小明的目的是确定弹簧的全长与锁挂发马重量之间的关系，因此他测量了很多次，并记录了弹簧全长与锁挂发马的重量。 他以测得的对应数值为点的坐标画出了图像， 小明惊喜地发现，这些点几乎都在一条直线上，由此，弹簧的全长和锁挂发马重量之间是一次函数关系。 应用我们前边学到的知识，可以很容易地算出 y 等于五加 x， 因此可以由弹簧的全长 y 算出它所对应的自变量 x 的 值及所挂物体的重量，这就是弹簧秤的原理。 当然，更多的专业知识大家今后会在物理课中学到。生活中还有许多这样可以用依次函数解决的实际问题， 我们来看例一。 例一是一个大家非常熟悉的行程问题，司机张师傅在距离始发地 a 处十千米的一个加油站出发后开始计时，假设汽车行驶的平均速度为六十千米每小时， 出发 t 小 时后距离始发地 a 的 距离为 s 千米。请大家写出 s 与 t 的 函数关系式，并画出函数的图像。 那么我们可以分析出发 t 小 时后距离始发地 a 的 距离由两部分组成，第一部分是 t 小 时，汽车行驶的距离六十 t。 第二部分是它出发时距离始发地 a 处的距离十千米。因此 s 等于六十， t 加十，其中 t 大 于等于零。 为了画出函数的图像，我们在自变量取值范围内选两组对应值，比如说 t 等于零时， s 等于十， t 等于一时， s 等于七十。应用两点法就可以画出函数的图像。 下面我们来看例二，黄金一号玉米种子的价格为五元每千克，如果一次购买两千克以上的种子，超过两千克部分的种子的价格打八折。第一小问，请填写下表。 我们知道总价等于单价乘以数量，因此我们的付款金额与种子的价格和种子的购买数量有关。问题中，种子的价格不是固定不变的，它与购买的数量有关系， 两千克以内每千克五元，超过两千克的话，那么超过部分每千克要打八折，价格是四元。 下面我们来看第二小问，写出付款金额外与购买种子数量 x 之间的函数关系式 一题，当 x 大 于等于零、小于等于二十，种子价格为五元每千克。当 x 大 于二十，其中有两千克种子按五元每千克计价， 其余的 x 减二千克种子按四元每千克计价。因此写函数解析式时，应对 x 大 于等于零、小于等于二和 x 大 于二进行分段讨论。 当 x 大 于等于零、小于等于二时，付款金额 y 等于五 x。 当 x 大 于二时，付款金额 y 等于十，加上四倍的 x 减二，整理以后可以得到 y 等于四 x 加二 函数图像如图所示。我们可以看到这个函数图像，它不再是一条直线了， 像这样对自变量 x 的 不同的取值范围有着不同。解析式的函数叫分段函数。 好，我们回过来看一下列二，在列二中，我们分别用列表法、解析式法及图像法表征了这个实际问题所对应的一次函数模型。 反过来，我们也可以借助于函数图像有效的解决实际问题。下面请看例三。 例三是大家常见的一个问题，某市出租车的价格是这样规定的，不超过三千米，付车费十三元，超过的部分按每千米二点四元收费。 已知某人乘车行驶了 x 千米，付车费万元，请大家解决以下两个问题。 第一小问，当出租车行驶的路程 x 大 于零小于等于三十，车费十三元。当 x 大 于三十，其中有十三元的起步价， 其余的 x 减三千米，里程按每千米二点四元计价。因此，写函数解析式时，应对 x 大 于零，小于等于三和 x 大 于三分类讨论， 当 x 大 于零小于等于三十， y 等于十三，当 x 大 于三十， y 等于十三，加上二点四倍的 x 减三，本例中我们暂时不对它进行化简， 函数图像如图所示，注意，每一段都不含左端点。 下面我们来看第二小问， 油图可以知道，小明做完车付费二十五元的话，那么出租车行驶的里程为大于七千米，不超过八千米。 好，我们来回顾一下例三。例三的第一小题和例二很像， 那么对于第二小题，实际上它是一个已知函数值求自变量的问题。由实际背景可以知道，当函数值 y 等于二十五时，自变量 x 的 值大于七，小于等于八， 因此我们的行驶里程是大于七千米，不超过八千米。 通过前三个例子的学习，我们已经体会了一次函数在生活当中的应用，下面请大家完成例四。 好，我们来看一下答案。同样通话费用 y 分 两种情形，计费， 三分钟以内二点四元，超过三分钟后，电话费由三分钟内的二点四元，即超过部分一乘以 x 减三元组成。 所以当 x 大 于零小于等于三十， y 等于二点四。当 x 大 于三十， y 等于二点四，加 x 减三等于 x 减零点六， 函数图像如图所示。 第二个问题，小明有十元钱，他打一次电话最多可以通话多长时间？那么我们观察图像可以发现，当小明有十元钱时，他打一次电话最多可以通话时长为十分钟。 我们进一步思考，若本题中的 x 从三分钟起都取整数，那么此时函数图像会是什么样呢？ 此时函数图像是一个个孤立的点，同时我们惊喜地发现，这些点都在一条直线上。 如果我们改变收费方式，超过三分钟后按实际通话时间收费，函数图像又会是什么样呢？ 我们发现，此时函数图像就是依次函数 y 等于 x 减零点六， x 大 于等于三的图像。 好，下面我们来回顾一下本节课的主要内容。这节课我们主要应用一次函数模型解决实际问题。 那么在解决实际问题的过程当中，我们发现有些函数当次变量 x 的 取值范围不同时，它对应的解析式也不一样。因此在书写这类函数时，我们分段书写，此时要注意次变量的取值范围不重不漏。 今天的作业第一项，完成课后作业第二项，尝试用其他的方法解例三和例四的第二小问。 本节课到此结束，同学们再见！同学们好，今天我们学习的内容是依次函数与方程不等式。首先我们复习一下上节课的内容， 请大家完成这个小练习， 我们来看一下答案。本题考察依次函数的实际应用。第一小问，从表格数据中能够看出，当排数 x 增加一时，座位数外增加三， 所以 y 等于五十，加上三倍的 x 减一等于三， x 加四十七， x 为正整数。 第二小问一题，增加的座位数 b 为三的整数倍，因为九十减五十等于四十，四十不能被三整除，所以某一排不可能有九十个座位。 另一方面，如果 y 等于九十，那么三 x 加四十七等于九十，解得 x 等于三分之四十三。因为 x 为正整数，所以某一排不可能有九十个座位。 通过前面的学习，我们发现方程不等式函数之间有着密切的联系。下面我们先从函数的角度看解一元一次方程。 请大家思考问题一， 下面三个方程有什么共同的特点？你能从函数的角度对解这三个方程进行解释吗？ 可以看出，这三个方程的符号左边都是二 x 加一等号，右边分别是三零和负一。 从函数的角度看解这三个方程相当于在一次函数 y 等于二， x 加一的函数值分别为三零和负一时求自变量的值。 也可以认为，在直线 y 等于二， x 加一上取纵坐标分别为三零和负一的点，看它们的横坐标分别为多少。 如图所示，因为任何一个以 x 为未知数的一元一次方程都可以变形为 ax 加 b 等于零， a 不 为零的形式。 所以从函数的角度看解一元一次方程相当于在某个一次函数 y 等于 a， x 加 b 的 函数值为零时求自变量的值。 我们再从函数的角度看解一元一次不等式， 请大家思考问题二，下面三个不等式有什么共同的特点？你能从函数的角度对解这三个不等式进行解释吗？能把你得到的结论推广到一般情形吗？ 可以看出，这三个不等式的不等号，左边都是三 x 加二，而不等号即不等号，右边却有不同。 从函数的角度看解这三个不等式，相当于在依次函数 y 等于三、 x 加二的函数值分别大于二、小于零和小于负一时，求自变量 x 的 取值范围。 或者说在直线 y 等于三， x 加二上取纵坐标分别满足大于二、小于零、小于负一的点，看它们的横坐标分别满足什么条件。 因为任何一个以 x 为未知数的一元一次不等式都可以变形为 ax 加 b 大 于零，或 ax 加 b 小 于零 a 不 等零的形式。 所以从函数的角度看，解一元一次不等式，相当于在某个一次函数 y 等于 a， x 加 b 的 函数值大于零或小于零时，求自变量 x 的 取值范围。 最后，我们从函数的角度看解二元一次方程组， 我们一起来看问题三，一号探测气球从海拔五米处出发，以一米每分的速度上升。 与此同时，二号探测气球从海拔十五米处出发，以零点五米每分的速度上升。 两个气球都上升了一小时。第一小问，请用解析式表示两个气球所在位置的海拔外与气球上升时间 x 的 函数关系。 我们先把实际问题简化一下，有已知得气球上升时间一小时，所以 x 大 于等于零，小于等于六。时 x 分 钟后，一号气球海拔高度等于初始位置五，加上上升高度 x 乘以一，所以一号气球海拔高度 y 等于 x 加五。 同样的道理，二号气球海拔高度 y 等于零点五， x 加十五。 下面我们来看第二小问，在某个时刻，两个气球能否位于同一个高度呢？若能，这时气球上升了多长时间，位于什么高度？ 我们将从以下两个方面来分析这个问题。 从数的角度看，在某时刻两个气球位以同一高度，则对于某个时刻 x 函数 y 等于 x 加五和 y 等于零点五， x 加十五有相同的值， y 如能求出这个 x 和 y， 则问题得到解决， 从而问题转化为求次根， x 为和值时，两个一次函数 y 等于 x 加五， y 等于零点五， x 加十五的函数值相等，并求出函数值。由此我们想到解二元一次方程组 连立， y 等于 x 加五， y 等于零点五， x 加十五。 整理后得到 x 减 y 等于负五，零点五， x 减 y 等于负十五。 解得 x 等于二十， y 等于二十五。这就是说，当上升二十分钟时，两个气球都位于海拔二十五米的高度。 从形的角度看，在同一坐标系下，我们画出直线， y 等于 x 加五和 y 等于零点五， x 加十五。 油图可以看到，两直线交于点二十二十五，说明气球上升二十分钟时，两气球都位于海拔二十五米的高度。 由问题三可以知道，一次函数可以改写为二元一次方程的形式。反过来，每个含有未知数 x 和 y 的 二元一次方程也都可以改写为 y 等于 k， x 加 b 的 形式， 所以每个这样的方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线。这条直线上每个点的坐标 x， y 都是这个二元一次方程。 y 等于 k， x 加 b 的 解为坐标的点组成的图形是一次函数的图像。 由上可知，含有未知数 x 和 y 的 两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线。 从数的角度来看解，这样的方程组相当于求自变量为和值时，相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少。 从形的角度看解，这样的方程组相当于确定两条直线交点的坐标。因此我们可以用画依次函数图像的方法得到方程组的解。 好，下面我们做个小练习。龟兔赛跑的故事大家耳熟能详，那么小兔子输了以后很不服气，跟乌龟说，我让你十二分钟咱们再来，他们又开始了比赛。好，根据图像提供的信息解决问题。 第一小问，求乌龟的速度，有图可知，乌龟五十分钟爬行一百米，所以乌龟的速度为二米每分钟。 第二小问，兔子跑步的路程， s 和时间 t 之间的函数关系是？有图像可以知道，当 t 大 于等于十二小于等于十五时， s 和 t 的 关系由点十二零和十五六十确定。当 t 大 于十五小于等于三十时， s 与 t 的 关系由三十一百十五六十两点确定。 由待定系数法很容易算出。当 t 大 于等于十二小于等于十五时， s 等于二十， t 减二百四十。当 t 大 于十五小于等于三十时， s 等于三分之八， t 加上二十。 好，我们来看第三小问，兔子出发几分钟追上乌龟？有图可知，兔子在十二到十五分钟之内追上的乌龟，所以我们连立 s 等于二， t 和 s 等于二十， t 减二百四十， 解得 t 等于三分之四十。题目问的是兔子出发多长时间追上乌龟，因此我们需要用三分之四十减去十二，最终得到三分之四。所以兔子出发三分之四分追上乌龟。 好，我们回过来看一下今天学习的内容。 从函数的角度看，解一元一次方程。解一元一次不等式相当于某个一次函数 y 等于 a， x 加 b 的 函数值等于零。大于零或小于零时，求自变量 x 的 取值范围。 另外，一次函数可以变成为二元一次方程，也可以变成为一次函数。所以 以二元一次方程，它的解为坐标的点组成的图形对应依次函数的图像，而依次函数的图像上面点的坐标是二元一次方程的。解 好今天的作业第一项，完成课后作业第二项，调查当下手机收费方式，请结合使用情况，为妈妈选出一种最省钱的方式。今天的课程到此结束，同学们再见！ 同学们，大家好！一次函数是我们在初中阶段学习的第一类函数，它与众多的数学知识之间存在着千丝万缕的关系。 运用一次函数可以帮助我们轻松解决身边的数学问题。本节课我们来继续探讨一次函数与一元一次不等式 学习目标，发现和感知依次函数与一元依次不等式的关系，即相互转化重点难点体会借助函数图像把依次函数与一元依次不等式相互转化。 核心素养培养几何直观模型思想及应用意识，感受数形结合的数学之美。 同学们对于函数中的两个变量 x 和 y， 我 们可以从哪些方面来理解它们的含义呢？函数的表示方法又有哪些呢？ 首先，通过表格，我们发现函数中的两个主角 x 和 y， 它们在平面直角、坐标系、坐标系中的点以及函数解析式当中分别扮演着不同的角色。 只要我们准确掌握二者之间的关系，就可以让 x 和 y 在 不同的角色之间相互转换。 其次，函数的表示方法共有三种，分别是解析式表格图像， 其中的图像能够更加直观生动地演绎函数中变量 y 随着 x 的 变化而变化的过程。 因此，借助函数的图像，可以让 x 和 y 在 不同角色中更加灵活地相互转换。 上节课，我们学习了利用一次函数解决一元一次方程的问题。通过观察，我们发现三个方程的左边关于 x 的 一次二项式完全相同， 只有右边的常数发生了变化。由此让我们联想到了与方程左边对应的一次函数，即 y 等于三， x 加二。 进而求三个方程的解就转化为，当一次函数 y 等于三， x 加二的函数值 y 分 别等于二、零、负一的时候，所对应的自变量 x 的 值。 也可以借助函数图像将方程一的解直观转化为直线， y 等于二与函数图像交点的横坐标，即 x 等于零，即 x 轴与函数图像交点的横坐标，即 x 等于负三分之二 方程三的解转化为直线 y 等于负一。与函数图像交点的横坐标，即 x 等于负一。 由此，我们体会到了运用依次函数结合图像求解一元一次方程的直观过程。 通过归类总结，我们实现了一次函数与一元一次方程之间的相互转化，并确定了运用一次函数解一元一次方程的一般步骤， 一、对应解析式二，对应直线 y 等于 m。 三、确定与函数图像的交点。四、确定交点的横坐标。 让我们回到前面的三个方程，如果把方程中的等号换成不等号，就得到了三个关于 x 的 一元依次不等式。 那么你还能从函数的角度来解这三个不等式吗？ 类比运用一次函数解一元一次方程，我们找到与三个不等式左边对应的一次函数 y 等于三， x 加二， 那么不等式一的解集就是当函数值 y 大 于二时所对应的自变量 x 的 取值范围。 也可以借助函数图像将不等式一的解集直观转化为函数 y 等于三， x 加二，在直线 y 等于二上方的部分图像上所有点的横坐标的集合， 即不等式一的解集 x 大 于零。同理，不等式二的解集直观转化为 函数 y 等于三， x 加二，在直线 y 等于零及 x 轴下方的部分图像上所有点的横坐标的集合，即不等式二的解集 x 小 于负三分之二， 不等式三的解集只管转化为函数 y 等于三， x 加二，在直线 y 等于负一下方的部分图像上所有点的横坐标的集合，即不等式三的解集， x 小 于负一。 综合以上的分析过程，借助一次函数图像，我们把三个不等式的解集直观转化为函数 y 等于三， x 加二，在直线 y 等于二以上、直线 y 等于零以下， 直线 y 等于负一以下的图像部分所有点横坐标的集合。 下面我们来进行应用实践，请看第一题， 有题可知。先找到直线 y 等于零，即 x 轴以上的部分图像对应的所有点横坐标的集合， 即 x 小 于负四、正确答案为 c。 我们继续第二题。 通过观察发现问题中不等式的左边与已知函数解析式的右边没有完全对应，无法直接进行二者之间的转化， 但是将不等式进一步的变形，就可以得到与已知函数对应的不等式。 再借助函数图像找到直线 y 等于三以上的部分图像， 所有点的横坐标的集合就是不等式的解集， x 大 于等于负一， 正确答案为 d。 通过以上的实践应用，我们分别从函数值、函数图像两个角度获得一次函数与一元一次不等式之间的关系， 并借助函数图像将二者更加直观灵活的进行转化，即一元一次不等式的解集就是对应一次函数的部分图像上所有点横坐标的集合。 由此，我们归纳出运用一次函数解一元一次不等式的一般步骤， 一、对应解析式。二、对应直线 y 等于 m 的 上方或下方。三、确定函数的部分图像。四、确定所有点横坐标的集合。 通过观察，我们可以直接运用已知函数 y 等于二， x 加五来求解对应的不等式。 其中第一个不等式的解集就是直线 y 等于零与 y 等于十七之间， 七之间包含零的函数。图像上 所有点横坐标的集合，即负二点五小于等于 x 小 于六。 同理。第二个不等式的解集就是直线 y 等于五与 y 等于十七之间， 包含五和十七的函数图像， 也就是这条线段上所有点横坐标的集合， 即零小于等于 x 小 于等于六。 我们来继续 先分别找到对应的两个依次函数以及它们对应的部分图像， 再依据不等式组的解集，就是两个不等式解集的公共部分， 也就是两个函数部分。图像上对应横坐标的公共部分， 即不等式组的解集为负二小于 x 小 于三，正确答案为 d。 我 们继续请同学们思考如何利用函数图像解下列问题。 首先，我们发现了与三个问题对应的两个依次函数以及它们的函数图像，直线 l 一 和 l 二。 由图可知，一问中方程的解 就是两条直线交点的横坐标，即 x 等于二。 下面我们来重点分析第二问。 如果从函数的解析式方面分析， 求不等式的解就是求当红色函数值小于绿色函数值时，对应的自变量 x 的 值。 如果借助函数图像进一步的直观分析，我们发现 求不等式的解集其实就是寻找哪些横坐标满足它们所对应的红色点的位置位于绿色点的下方， 也就是两条直线交点左侧的所有横坐标的集合， 即不等式的解集 x 小 于二。 同理。三问中不等式的解集就是寻找哪些横坐标满足它们所对应的红色点的位置位于绿色点的上方， 也就是两条直线交点右侧的所有横坐标的集合， 即不等式的解集 x 大 于二。 我们继续应用实践，由已知条件结合函数图像进行分析。 不等式的解集就是直线 y 等于 x 加 a 与 y 等于 k， x 加 b， 交点左侧的所有横坐标的集合，即 x 小 于二。 通过本节课的探讨，我们进一步地发现了依次函数与方程不等式之间的对应关系， 进一步地感受到将方程不等式经过变形得到与之对应的依次函数解析式。将函数解析式进行转化，得到函数图像直线， 再将直线分解出部分点或线，点或线的横坐标就转化为方程或不等式的解，整体的转化过程自然流畅。 同学们，在数学世界里，我们也许会有这样的困惑， 数缺行时少直观，行少数时难入微。只有数与行之间相互转换，相辅相成，才能构建清晰完整的数学知识体系。 让我们携起手来，继续探索数学的奥妙，共同感受数形结合的数学之美。

将军驿马和刮豆原理求辘值都是我们初中几何当中的热门高频辘值问题，很多同学拿到这类题都无从下手，但是将军驿马和刮豆原理一旦在和依次函数进行综合，那可以说百分之九十五的孩子都拿不到分来。同学们，今天我们一起来看到 代际综合当中的天花板难度的最深问题。好吧，来，我们先来一起读下题。题目是这样说的，他说 a 点坐标告诉我们哈，为一到零，然后呢， c 点在 y 轴上运动 后呢，把 ca 绕着 c 点逆时针旋转九十度， ca 旋转到 cb， 然后呢，我们再连接 ob， 题目最后求的呢，就是 ob 再加上我们的 b a， 这两个边之合的最小值应该等于多少？ 这道题主要考察了将军一马和瓜豆圆综合的一道最值问题，来，我们一起来分析一下啊。首先呢，题目告诉我们 a 点坐标为 一斗零，所以这个长度 o a 就 应该等于一对吧？好，接下来说 c 点在歪手上运动啊，把 c a 绕着 c 点 旋转九十度到我们的 c b， 所以 这个夹角等于九十度，这两个边又是相等的，所以接下来三角形 b c a 就是 一个特别特殊的等腰直角三角形哎，如果比较熟悉刮豆原理，同学就该看出来了哈。这里面 c 点应该是我们的 主动点，那 b 点是因为 c 点的旋转而得到的，所以 b 点呢，应该是一个从动点。那我们说种瓜得瓜，种豆得豆哎，我们的主动点和从动点的轨迹呢，应该是保持一致的， c 点轨迹为直线，所以从动点 b 点轨迹也应该为直线，对吧？那为什么他为直线呢？这条直线又应该是哪条直线呢？我们一起来证明一下啊。哎，来，各位，这道题的突破口呢，就在于我们这个特殊的三角形 等腰值当中。那我们一提到等腰值，哎，大家立马想到我们全等三角形辅助线当中的一线三等角，对吧？来，如何去构造三等角呢？大家观察一下， 这里有个九十度，这里呢，也有一个九十度，哎，一线三垂直，这里面的一条直线应该有三个相等的九十度，现在只有两个，哎，我要去构造第三个，怎么办呢？来过 b 点，再向歪走做一条 垂线，对吧？好，这个是我们的 s 点。来，我们的全等又出来了，这个三角形跟这个三角形是不是全等的，对吧？好，来，我们写一下哈。所以三角形 b， c， s 全等于三角形 c a o 啊，它们俩是全等的。好，全等以后我们就可以倒边了，这个知道为一，那这个边呢？ c s 也是为一。好，再来，因为 c 点是动点，所以 oc 长度是不固定的，那我们把它设为一个参数 a 吗？这个长度呢，也是为 a， 这两个边是相等的，对吧？只要 a 测出来了，你看这个时候 b 点坐标是不是又出来了？横坐标就为 a， 重坐标应该是这个长度 e 再加上 a， 对 吧？来，所以 b 点坐标应该为 a 到一加 a 来。什么？ b 点是个动点，它的坐标为 a 到一加 a， 那 么这个是它的重坐标 y， 观察你会发现 它的纵坐标总是比横坐标要大一的，对吧？所以 b 点所在的解析式就出来了，直线应该是 y 等于 x 加一，哎，因为 a 加一等于一加 a， 对 吧？所以它正好的满足我们的依次函数的解析式，只要满足依次函数轨迹就一定是我们的直线，对吧？好，来，那我们 b 点轨迹好去画一画，首先这个直线过 b 点，然后呢是上升的， 我们来画一下，大概应该是这样的啊，这个直线，对吧？过 b 点，好，这个直线呢，就应该是我们 l y 等于 x 加一，那这两个交点我们也出来了，第一个与 y 的 交点 来一个交点是零到一，好，还有一个是与 x 交点为负一到零。来，同学们，好，我们写下这个 p 点坐标 啊，为，哎，与 x 交点负一到零， 对吧？好，直线我们找到了，接下来求什么呢？哎，求，来，只要这道题把这条轨迹直线找到以后，接下来就很好算了。他要求 b o， 哎，再加 b a 的 最小值 来， b 点在这个直线上动，好，这个时候 o 点是一个定点， a 点呢，也是一个定点，哎，这两个定点到这条定直线距离之和最小，那不就是大家比较熟悉的将军一马了吗， 对吧？好，来，那么过定点下定直线做对称点，那选 o 还是选 a 呢？很明显选 o 要好做一些啊，选 a 也可以做好，那么我们来做一下， 首先过 o 点做一条，哎，垂线擦掉，哎，做一条垂线，然后呢再给它 延长出去，哎，就是对称点了啊，这个点就是我们的 o e 撇啊，然后呢，我们再去连接 o e 撇 a， 这个就是我们这两个边之和的最小值，最后呢，就是求 o e 撇 a 等于多少， 对吧？好，来算算。那么这里面要算边长，一定要解三角形有没有特殊角呢？有，这条直线与 x 的 加角就是一个特殊角。来，我们把它延长一下，哈， 延长一下来，因为这个长度为一，这个长度呢，也是为一啊，所以来他应该就是一个等腰值，这个长度就应该是四十五度，对吧？来，四十五度已经算是非常特殊的角度了，哈，来，那么对称以后，他是垂直的， 对吧？好，所以呢，它是一个等腰值，那么我再连接 o e 撇 m， 那 么它也是一个小的等腰值。那接下来这个三角形呢，也是一个大的等腰值，那对应边 这个 o m 为一，这个 o e 撇 m 呢，也是为一，对吧？也是为一。那么我要求 o e 撇 a， 正好在这个直角三角形当中，哎，用勾股来算算，正好这个长度为 二，这个长度为一，求斜边啊，所以 o e 撇 a 就 等于根号下，这也是一的平方，再加二的平方应该等于根号五，所以最终答案呢，应该等于根号 五。哎，这道将军一马和我们的瓜豆求最值的结合，最值问题你听懂了吗？来关注徐老师，数学满分，不迷路！

上课起立，老师好，同学们好，请坐！ 上节课，我们刚刚结束了第二十章函数，研究了函数的概念以及三种表示方法。第二十一章，我们将目光聚焦于第一类特殊的函数，依次函数。 在这一张，我们将学习依次函数、依次函数的图像和性质，用待定系数法确定依次函数表达式、依次函数的应用以及依次函数与二元依次方程的关系。 这节课我们就一起走进第一节第一课时特殊的依次函数，正比例函数。请同学们齐读本节课的学习目标， 理解正比例函数的概念，掌握正比例函数的特征，能利用正比例函数解决简单的实际问题。 嗯，好，大家猜猜这是什么地铁交通路线？哎，对，咱们答对了一部分，这是石家庄市二零二五年以后未来几年的轨道交通线路图。 二零一七年六月二十六日，石家庄地铁一号线正式开通运营。从此呢，石家庄进入了地铁时代，人们的出行更加便捷。 那事实上，地铁的运行是我们数学中的行程问题。嗯，行程问题涉及三个量，他们是路程、时间、速度。嗯，老师呢，有一个表格，请同学们观察表格， 表格中路程和时间它们的取值是 不同，不同，不一样。嗯，所以它们是变量。嗯，那这两个量具有函数关系吗？有，有，你是如何发现的？ 好，你来说。因为时间取一个值，路程就有一个唯一的一个数值和它对应， 所以路程是时间的函数，时间就是自变量。嗯，好，你说的非常的详细啊，发现了路程是时间的函数，并且时间是自变量。哎，请同学们再次观察表格并思考下面三个问题。 好，你来说说吧。第一问，路程随着时间的变化而变化，我们发现时间每增加一小时的时候，路程增加七十千米， 那么就可以得到地铁在做匀速运动。第二问，路程和时间成正比例，因为因为不管路程随着时间如何变化，路程与时间的比值永远都是七十。 我们用字母来表示， s 来表示路程， t 来表示时间就可以得到 s 比 t 等于七十。好，老师打断一下，那表格和问题中讨论的都是时间和路程这两个量，那么行程问题中的第三个量是什么？速度？它在哪呢？ b 值与七十等于七十， s 与 t 的 这个比值就是速度。好，请继续 第三问，因为我们根据刚才题知道地铁在做匀速运动，并且发现它的速度是七十每小时，那么根据公式，路程等于速度乘时间就可以得到 s 等于七十乘 t。 好梦涵同学通过对表格横向和纵向两个方面啊进行分析，都能发现地铁是在做 匀速运动，从而得到 s 等于七十 t。 事实上，我们生活中有很多这种匀速变化的函数关系，我们一起来发现。请同学们完成导学案中的坐一坐。

胡不规问题一定是我们初二几何最值问题当中的绝对压轴难点，如果一旦胡不规问题再遇上一次函数的综合，那可以说百分之九十五的孩子都拿不到分来。同学们，今天我们一起来看到 在一起综合当中的关于最值问题的压轴难题。好吧，来，我们先来一起读下题。哎，题目是这样说的，它说 a 点坐标呢，为三斗零， p 点是直线 b c 上的一个 动点，那这个直线呢，也是告诉我们它是 y 等于三分之根号三 x 再减三，好在连接 a p， 求 a p 加上二分之根号三倍的 p c 这两个边之合的最小值应该等于多少？ 这道题主要考察了利用我们的弧不规模型去处理这种带有系数的一个边长的一个问题。好，来，我们先来简单回顾一下弧不规模型的构造方法和技巧，好吧，来看第二图，哎，他是这样说的， a 点和 b 点呢，是两个定点，细点是直线 l 上的一个 重点啊。题目最后求的是 b p 加上 m 分 之 n 的 a p， 这两个边之合的最小值等于 多少？那这里的 f 分 之 n 呢，指的是 a p 边前面的一个系数。哎，只要看这种形式，它就是我们非常典型的弧不规问题。好吧，来，那么对于初二阶段，那么这个系数呢，我们总共有三种考察形式啊，我们一起来总结一下。 首先第一个 m 分 针呢，它等于我们的二分之一，二分之一如何去构造呢？大家回顾一下哈，我们直角三角形当中哎，出现哪个特殊角，它会出现一比二的边长关系，那很明显就应该是我们的 三十度，对吧？三十度的边等于斜边的一半，这个边为一份，这个边为两份，这个边为根号三份，这个为 a， 为 b 啊，这个为 c， 那 你看啊，它为一份，它为两份。所以呢，我可以得到，二分之一的斜边，就等于三十度的对边，就等于 b c 来，对倒起来，那么这个时候，哎，这里如果是二分之一的 a p， 那 么对倒起来，那么这里的 a p 就 应该是 直角三角形的斜边，对吧？二分之一 a p 这个整体呢，就应该是三十度对应的直角边，那所以呢，接下来我们需要在这个图当中呢，去构造一个含有三十度的直角三角形啊，如何构造呢？来，我们的口诀就是， 哎，绕着构造边的定点往异侧方向旋转，对应度数。构造边，我要构造二分之一的 a p， 那 么 a p 的 定点不就是我们的 a 点吗？来，绕着 a 点往 e 侧方向来， b p 在 上方，看到没有？好，你就应该往 e 侧往下方旋转，对应度数，对应度数。来，那这就是我们的 三十度，对吧？三十度，好，你看，构造出来之后，我的三十度必须要在直角三角形当中，我们才有一比二的关系，对吧？来，所以呢，我再过屁点做一个垂线啊，因为我们说了， a p 边肯定是我们的斜边，对吧？这个是我们的细点，这就出来了吗？看，它正好是一个三六九的三角形， 那么二分之一的 a p 就 应该是三十度的对边， p t 这个边啊，对吧？来，所以这个时候呢，就变成哪个变成我们的 b p 加上 p t 这两个首尾相连的线段之和的最小值， 那什么时候最小呢？当 b、 p、 t 三点共线的时候，那所以呢，最后我直接过 b 点向它做一条垂线，对吧？这就是我们的 p e 点，这个垂足点就是我们的 p e 点就出来了吗？这个看到二分之一，我们应该立马想到 三十度，好，这是第一个系数，那第二个系数呢？就是我们的二分之根号二，哎，同样好，咱们来回顾一下，回顾一下我们在直角三角形当中来什么出现哪个特殊角 会出现一比根号二的关系，哎，这个也很简单，那无非就一个我们的等腰值，对吧？这个四十五度啊，这个为一份斜边，为根号二分一比一比根号二，你看没有四十五度的对边 比上斜边就是一除以根号二，那不就是二分之根号二吗？来，所以呢，我们看到二分之根号二，应该立马想到四十五度，对吧？哎，你就把这个 三十度变成一个四十五度，然后再做垂线构造一个等腰值啊，方法是一样的，只要把这个度数找到，那么方法后面都是一样的，听懂意思没有？好，来啊。还有一个就是我们的二分之根号三，来哪个特殊角？哎，它的比值会出现根号三比二， 就是我们的六十度，看到没有？仰六十度的对边比上斜边等于根号三比二啊，我们来总结根号，所以它应该是六十度，对吧？那么这里的 f 分 之 n， 它其实它怎么来的？它就是这个特殊角的 对边比上我们的斜边啊，笔直得到的，对吧？那所以呢，对于弧不规这个 m 分 针，这个系数对边比斜边，对边肯定是比斜边小的，他一定是小于一，然后呢，大于零的， 听懂了吗？是吗？好，这是我们初二阶段常考的三个弧不规的系数。好，学了这个基础知识之后呢，来，我们看这道题，那就非常简单哈，那他说 a 点坐标，这个是三斗 零，对吧？好， p 点为直线，哎，这个直线告诉 y 等于三分之根号三， x 减三，对吧？好，那我的 b 点坐标可以算出来 吧，为多少？为三倍，根号三到零。好， c 点坐标为多少？为零到负三。好，然后呢，哎，我们的看 p 点是上面的一个动点连接我们的 a p， 求什么？求 a p 加上二分之根号三倍的 p c 的 最小值。那么刚才我们讲，看到二分之根号三， 我们应该立马想到的度数应该是我们的来，应该是六十度，对吧？六十度。然后呢，绕着构造边的定点往异侧方向旋转六十度来，构造边就是我们的 pc 边， pc 边的定点不是 c 点吗？ 好，来，这个时候呢，哎，我的 a p 边在上方，也就绕着 c 点往下方旋转，六十度 没问题吧？转六十度，好，这是我们这个直线这个角度呢，哎，它就应该是我们的啊，六十度啊，六十度，好，接下来再过屁点向它做一个垂线，这个为我们的 气点啊，气点。那你看，这个时候出来了，六十度，这个是一份，这个是根号三份，这个是两份。二分之根号三倍的 p c 不 就变成了我们的 p t 吗？哎，变成 ap 再加 pt， 这两个首尾相连的线段之和，求最小值，对吧？好，那么接下来，哎，我们什么当三点共线 最小，直接过 a 点向它做垂线啊， t 在 这 t 一， 这个就是我们的最小值，对吧？好，最后呢，求最小值，就是求 a t 一 应该等于多少，哎，就变成我们的解三角形了。那如何解这个边呢？ 大家思考一下。来，这里有个隐藏条件，这个角呢，应该等于多少度？等于三十度，为什么呢？哎，只要看到我们的一次函数，哈，那么我们的 k 等于三分之根号三，那么应该立马想到这个直线与 x 加角等于三十度，为什么呢？可以证明一下，你看这个为零负三，所以这个长度为三倍，根号三，这个为一份，这个为 根号三分，它又是直角，三角形，看到没有，所以这个角一定是三十度，对吧？好的吧，他是三十度，那这个角就是 六十度，这个角你旋转的度数也是为六十度，所以呢？哎，一百八，减去这个一百二，这个角呢，也应该是为六十度，看到没有。好，那怎么去求 a t e 这个长度呢？怎么办？来，我把它延长了 解三角形，我们要把边放到我们的特殊三角形当中来，延长到我们的 s， 你 看，没有这个时候，哎，我 a s 正好在 o a s 这个特殊三角形当中，因为这个是九十度， 对吧？同学们，好，这个是六十，那这个角就是我们的三十度，哎，他就是一个三六九啊，三六九。好，我就可以把 a s 这个大边给它算出来。好，接下来我最后算的是这个边， a t e 这个小边，我用大边减去这个 t e s 这个小边， 那就是我们的 a t e， 对 吧？那么我们的 t e s 正好又在这个小的三六九当中，对吧？算两次，好，来，我们先算大的来，因为我们的 o a 等于三啊，这个为三十度，那么所以这个就为解。什么？这个就为三十度，对边等于斜边的 一半啊来，所以我们的 a s 就 等于六啊，等于六，好，再算我们的 s t s t 怎么算呢？我先去算这个啊， c s c s 非常好算，因为这个边为解。什么？这个边可以算出来吧。啊？等于多少？哎，我们的 o s 等于三倍更好， 三，对吧？一比根号三比二，这个为三，这个边就为三倍，根号三。好，这个边又为三，所以我们的 cs 等于三倍根号三，再减， 减三没问题吧？好，这个斜边出来了啊，我最后求这个直角边，那就出来了嘛。好，先算这个小边吧，这个小边是 c 七一，所以 c 七一就等于 他的一半。二分之三倍，根号三，再减去三。好，所以我们的 t e s 就 等于他的根号三倍一，比根号三啊来，等于根号三倍乘以二分之三倍，根号三，再减去三，最后结果也等于二分之九，减三倍 更好算。好，所以最后你求的不就是我们的 a t 一 吗？ a t 一 就等于，哎，这个大的 s 六，再减去二分之九，减三倍 更好算，好来，别减二分之等于十，二减九再加三倍更好算。就等于二分之三，加三倍 更好，散，对吧？所以最终答案应该等于二分之三，加三倍更好散。哎，这道一次函数和胡不归的综合问题你听懂了吗？来，关注徐老师，数学满分不迷路。

八下数学最难的一次函数，寒假吃透开学逆袭前三，寒假预习八下数学一次函数专想练习一次函数十二大压轴题。题型一，两个一次函数图像共存问题。题型三，一次函数与三角形全等问题。题型四，一次函数与全等三角形存在问题。题型五，一次函数中折叠问题。 题型六，利用一次函数解决分配方案问题。题型七，利用一次函数解决最大利润问题。题型八，利用一次函数解决行程问题。以上均有电子版。

同学们好，咱们这个例题七，上一道题的例题七就已经很有难度了，那咱们今天看一看这个例题八，大家看能不能会做。如果这个题也会做，咱们一次来说求解一式应该是问题不大了，说已知直线，它与两坐标轴所围成的面积是四， 而且这个题已经明确说 k 小 于零了。既然是 k 小 于零，咱们的草图大约就是这样画出来的。 如果他不说 k 小 于零，这个题最后结果是两种情况，那人家都说小于零了，这个题最后结果是一种情况。那么如果想用面积来列等量关系，咱们得知道他跟横横轴和纵轴所交点的坐标是多少要求出来。 那么跟横轴的交点呢？就是令 y 得零， y 等于零的话，求出 x 等于负一了，所以说 a 点坐标是负一到零，那么 b 点坐标呢？就是 x 得零的时候往里带，纵坐标是 k， 所以 说 b 点纵坐标是 k， 那 么这个三角形的面积应该用 o a 乘以 o b 乘以二分之一等于四， o a 的 一 o b 等于负 k， 应该是，为啥呢？因为 b 的 坐标是 k， k 小 于零，所以说 o b 的 长度应该是 k 的 绝对值是负 k， 我 就直接这样带了。然后等于四，咱们就可以求出 k 等于负八， k 的 负八解析式就是 y 等于负八， x 减八。大家看，咱们完全可以通过面积去求解析式呀， 而且这个题只有一种情况，那我听说，哎，这么多未知数，我咋就蒙呢？不要蒙他，只要跟面积有关系的，咱们就先把跟 x 轴和 y 轴的焦点坐标求出来就行了。 当然这个焦点能得数就得数，得不了数就用待定系数去带着，最终有等式，你怕什么呀？最终他说这个面积是四，这不就是等量关系吗？咱就会把 k 求出来。大家看这个例八难度也已经非常大了，同学们听懂了吗？