小林老师讲几何图形

本节课我们开始学空间几何部分，其实把这个轮台你一圆上之后就变成什么锥了。轮锥？轮台怎么来的？用一个面积结， 把轮锥平行于底面，那个是结，一结就结这个轮胎是不是？对，好好，这个是重点，请圈起来，用红笔圈，快点。 圆图的面积是斜侧画法图形面积的二倍跟二倍。斜侧画法就是考这个，考斜侧就考这个，第一考加角四十五，第二考平行关系，第二考长度关系，考平行关系，长度关系。 给听懂了，你们懂了吗？班长 啊，角度三，最短路径问题。最短路径问题，一个小马沿着一个几何体表面爬一圈又爬回来， s b 等于二，等于二，给是 s b， 不是 s b 给是二十。哈哈哈，就是二嘛， s b。 哎，你这都不知道我说的 s b 是 血管，我说的 s b 是 什么东西？血管？你以为我说你啊？血管咋 s b， 人家 s b 等于二，人家说绕一圈绕回来又回到原点，是不是？喂，你走过的最短路径小啊？丁俊宇，你走过的最短路径咋个整？这回加两边积极加角。知道了，求第三边直接实施移弦定。

朋友们好，接下来的一段时间，小梨将带大家走进圆锥曲线，这个既有逻辑性又生动的方块，那么圆锥曲线分为三类，椭圆、双曲线、抛物线。那么本期视频小梨将给大家讲解椭圆的有关知识。 首先我们要知道椭圆是如何产生的呢？比如说在平面内，我有一根绳子， 把它两点固定在地板上，然后用一根笔将绳子拉住，拉直所围绕出来的这一圈啊，这个图形就叫做椭圆 啊。那么在这个实验中，我们可以知道椭圆的定义，而定义是什么呢？首先它一定要在平面内，而且有两个定点， 然后有一个动点 p， 也就是这根笔所到这点和定点的距离之和为一个定值，那么这个定值就是这个绳子的长度。好，这个动点 p 啊，所形成的这个轨迹 啊，就是椭圆。咱们要值得注意的是，这个动点到两个定点的距离是格，一定是要大于两个定点的长度的，如果说要小于的话，无法画出图形。 首先我们来看一下椭圆的定义， 首先它一定是要在椭圆内， 而且绳的两侧就是在两个定点， 然后啊，拿着这根笔锁到这个点和定点的距离，支盒是一个定值， 支盒是一个定值 好，这个洞眼所形成出来的点为定制， 所形成的轨迹 就是椭圆。 那么在这里我们要强调这两个洞眼，我们规定它是椭圆的焦点， 我们给他起个名字，分别是 f 一 点 f 二，那么它到两个定点的距离之隔为二 a。 好， 这里要注意二 a 一定大于 p f 一 加二 p f 二 p 点就是这个定点 椭圆的对称为椭圆，那么它的符号圆呢？怎么写呢？ 这是它的符号圆好之后，我们要知道椭圆的标准方程是如何采用的， 我们可以根据定义入手，它是有一个洞点到两个定点的距离之隔为一个定值，那我们就要去列它这个定点和洞点之间的距离， 再来画一个小草图， 这是大概的一个椭圆， f、 f、 e、 f 二为两个定点点 p 是 椭圆上的一个定点， 它到 f、 e、 f 二的具体值格为二 a， 那 么此时我们设点 p 的 坐标为 x 到 y， f 一 的坐标是它是负 c 到零 f 二 c 到零 到这个之后，我们来列点到点的距离之隔是一个定值为二 a， 那 么列 f 一 到点 p 的 点的距离负 c 减 x 平方，加上 y 的 平方，再加上加上 f 二到点 p 的 距离， 它的定值是二 u。 当然这个凡达的这个公式一定不是它的表示方式，我们需要进行化解，那么怎么化解它呢？两边这两个两个项都是在标号，有个同学就会想，是不是两侧同时平方呢？ 如果说同时平方这边可以进行四 a 方，那么这边这两项的平方根号是什么的，但是还有一个二倍的两项相乘，那么显然根号下面就有更多的复杂的字母， 那么此时我们要注意这个是一个双根式， 双根式的处理办法是先移项再平方。 好，大家可以跟着一起看一下，先移项再平方，把这一项移到等式的右边， 然后此时加括号里面的符号，因为它是平方，所以说可以同时约约掉，也就是 c 加 x 的 平方，加上 y 方 等于二 a 减去这一项。 好，接下来同学们跟着小明一起将它画下来，之后将两边再同时平方 这边四 a 方 加上这一项平方 减去二倍的两项乘法。减四倍。 好，还是非常复杂，但是没关系，我们继续将它画下来啊，这也有个根号 好，此时我们将括号都打开，它也可以去掉 等式，两边同时出现 y 方对调，然后我们将括号打开看 c 方加上二 c s 加上 f 方向往右边对方加上 c 方减二 d s 加 x 平方，减去四倍的 a 乘二，下 c 减 x 平方加 y。 好，我们可以进行一个约分， x 方乘十为幺， c 方乘十为幺。好，此时我们进行将右面的负二 c x 移到等式总面 四 c x 减四 a 方 负四倍的， 然后下 a 减 x 方乘以 y 方同时出现四约分好，再进行两边同时平方 d 方 x 方加上 a 的 四个方，减去二位 a 方 c 等去右面北方乘 c 点 x 平方。哎，害怕啊，出现四次方，不要害怕，继续进行圆圈 将括号打开， a 方 c 方减去方 x 方啊，加北方 s 方，减去二位 a 方 c 方 以及二位的美方 c x。 下面来访好进行一下对分，看一下都是负二负二美方 c x。 我 们学一个 减去 y 方 c 方等于 y 方 x 方加 y 方减 c 方 x 方，此时我们将 x 方提取出来， y 方减 c 方。好，一个加 y 方 等式，左边将 a 方提取出来，也就是 a 方乘 a 方，点 c 方，此时我们发现等式的这边一侧出现 a 方乘 a 方，点 c 方这一项也有这样，所以我们进行划一的思想，同时除以这一项 同除 a 方乘 a 方减 b 方之后能得到等于在这一侧 f 方除以 a 方 加上 y 方除以北方减 c 方等于侧一侧就是 e， 那 么这个还不是团的标志功能 稳定 b 方为北方，减 c 方。好，此时将 拐转手，转手画 a 为方， a 方加上 y 方 b 方等于一， a 大 于一大于，那么这就是我们兔儿的标准方法。

三角形加内切圆，好，同学们，今天我们来看一道和圆有关的一道题目啊。如图，三角形 a、 b、 c 的 内切圆，圆 o 分 别于三个边，相切于点 d、 e、 f。 既然见切点，那就连圆心和切点 圆形和极点，这样的话就能得到三个垂直，并且这个圆既然是三角形的内切圆，我们应该能够想到，三角形的内切圆应该指的是这个三角形的内心，并且它应该是这个三角形三条角平分线的 一个交点。那么今天我们来证一下它为什么是像条角平分线的交点。在这我们不妨连一下 o a， 连一下 o a， 那 么很容易可以证得。三角形 a、 o、 d 应该是全等于三角形 a、 o、 f a、 o f 用 h、 l 就 可以去证得，那么这样的话，我就可以得到 o a 是 平分于角 a。 同样的道理，如果我连接 o、 b， 再连接 o、 c 的 话，也可以得到其他的两组全等，这样的话， o、 b 和 o、 c 分 别平分角 b 和角 c， 那 么再看条件， a、 d 等于三， a、 d 等于三，那 af 也得等于三。根据全等去得到的 bc 等于五，那也就是说这两个部分 x 和 y 这两个部分等于五， 那么根据全等，这也得是 x， 这也得是 y， 所以 这两个部分也得是五就可以了。那么它的周长就应该是五，再加上五，再加上 两个三，也就是等于十六。答案选择的是 a 选项， a 选项，那么既然它出现了 y 型，那么同学们可以自己再回顾一下什么是三角形的 y 型。

每天一道题，数学没问题，今天我们来看这道题，已知长方形内 阴影部分的面积是一百一十四平方米，求这个正方形的面积，因为这是一个不规则图形，一个不规则图形，我们把它分成三个 规则图形，分别给它们起名， a、 b、 c。 然后呢？ c 这条边刚好和上面 a 的 这条边一样长，把九挪下来， 四也一样长挪过来四九三十六，求 c 的 面积啊。 我们知道了 c 的 面积， 那剩下的面积就是 a 和 b 了。我们要求 a 和 b 的 面积， a 加 b 加 c 的 总面积是一百一十四平方米， c 是 三十六平方米，那一百一十四减三十六。我们这是在求 a 加 b 的 面积等于七十八单位平方米， a 加 b 等于七十八平方米。 现在 a 和 b 我 没办法直接求出来 a 和 b， 现在我们把它转过来，把 b 挪到这里， 数据也给他挪过来，绕到这里，然后他现在 a 和 b 形成一个更大的长方形，他现在四加九等于十三， 现在这个大长方形的长实际是十三。我们再想一下长方形的面积公式，长乘宽等于面积长 是十三，面积就是这个 a 加 b 还变上去， a 加 b， 刚才求是七十八， 那我们要求宽反退回去，七十八除以十三人，面积除以长等于宽，把这个公式给按反过来六米。 我们刚才求出来了 b 这个大长方形的宽 十六米，给他标上去，然后给它平移过来，这里也是六。我们就知道了这个 a 的 宽是六，那正方形和 a a 的 宽也就是正方形的边长，请他平移过来，因为正方形的四条边都是一样的，我们给他都编上去，他问我们正方形的面积是多少？不要求边长，等一下，正方形的面积公式是啥？ 边长乘边长，正方形的边长乘边长是正方形专用的，不要和其他弄混了。 边长是六，那六乘六就等于面积六六三十六单位平方米，它的面积是三十六平方米。答， 正方形的面积是三十六平方米，你学会了吗？

大家来讲解一下，在考试过程中，如果遇到关于三角形的图形，我们来怎么做？首先来看关于等边三角形，它的边长是一比一比一，它的内角呢？都是六十度， 都是。然后第二个图形是我们的等腰直角三角形，它的内角是九十度的角，它是四十五度， 它的边关系是一比一，比根号二。然后再来看这个等腰三角形，它的内角为一百二十度的这个，然后它的内角是三十度，这个角是三十度，它的边长关系是一比一，比根号三。 然后再来看直角三角形，它的角度是九十度，六十度， 三十度，它的边长关系为一比二，比根号三。在这里一定要注意，三十度所对的这条边的长度为斜边的一半，就相当于这边是二，这边就是一， 你要注意哦。然后看特殊三角形，它的边长为勾三五四选五，这条边来看，它的角度跟别的不一样，它是九十度， 三十七度，这个角是五十三度，约等于五十三度啊，根号二，约等于一点四一四， 根号三，约等于一点七三二，这里一定要记住。

今天来学习一下小学七大经典几何模型。模型一，等高模型，平行线里平移三角形的一个顶点面积不变。模型二，一半模型 蓝色面积始终等于长方形的一半。模型三，蝴蝶模型，左右两个翅膀的面积相等，同时蓝色面积的乘积与红色部分层积相等。模型四，鸟同模型存在一个互补角的两个三角形的关系。模型五，撒偶模型， 面积比等于对应边比的平方。模型六，燕尾模型，面积比等于底边之比。模型七，方中圆的面积关系，圆中方的面积关系以及两者相结合的面积关系。

有一个问题一直困扰了我很久，那就是圆锥曲线中的多动点抽象直线问题，为什么放眼全网还没有个老实人讲清楚？这明明是解析几何中最重要的板块啊，如果你没有学过系统的方法，考试甚至连下笔都成了困难。就像这几天有不少同学问树飞的广东佛山一模、惠州二调以及广州市林木， 这几道题都有着共同的特征，就是曲线上有三到四个动点以及多直线情况。大家用一二四定义点确实可以分析清楚点的先后产生顺序，但是这个计算量却是异常的复杂，尤其是最后的深层点以及深层直线，无论是表示还是计算都难以处理， 这是由于曲线中多变量的复杂性带来的必然结果。比如这道广东佛山一模整张卷子的第十六道题，名副其实的压轴题，题目中 p、 q、 r 三点均为动点。想证明直线 q r 过定点，需要表示出 q r 的 直线方程。然后大家先要设出 p、 q、 p、 r 以及 q r 三者的直线方程。如图所示， 是有着六个变量， k 一、 b 一、 k 二、 b 二、 k 三、 b 三，极难化解与处理。那大家如果现在采用一二次定点的分析思路的话，我们可以减少变量。大家想表示出 q r 的 方程，需要 q r 的 坐标，其中 r 点是 p b 与双曲线的交点，因为 b 点已知，所以就需要求解 p 的 坐标，所以 p 点和 q 点就是依次定义点 是所有点产生的源头。所以我们就可以设 p q 的 直线方程为 y 点， k b 的 x 减二加三， q 点和 r 点就可以用 p 以及 q 的 坐标来表示了，这当然是正确的思路，官方的标答也是这么做的。但是各位同学们，你们看一下官方标答这个答案写的 这个计算量，你考试能写的下去吗？就算你能写的下去，你考试的时间够吗？考试的答题卡够写吗？显然是不够的。所以对于这种最后一条直线疑难处理，非常难表示的情况，我们统一称之为多动点抽象直线问题。归根结底，这类问题难算的原因终究还是因为变量过多。 如果你说这直线不好，那我们可以设 p、 q、 r 三点的坐标， x 一、 y 一， x 二， y 三、 y 三，也是六个坐标，依旧难以处理。 所以对于这种情况，我们的正确思路是采用三角代换，把变量减小为三个，即 t 一、 t 二、 t 三三角直线方程，我们用 t 一、 t 二、 t 三即可直接表示，极大减少计算量以及思维难度，这就是三角代换的优势所在。所以现在各位同学们，我们来看一下三角代换到底是如何秒杀这类抽象直线问题的。 哈喽，大家好，我是苏菲啊，欢迎我们二零一六年寒假特别更新专题片三角大幻。那么这一部分主要是帮助各位同学解决，在解析几何压轴题中遇到多个动点，以多个直线，尤其是最后一条直线啊，特别难表示的题目， 我们用三角代换就可以轻松解决。为什么要讲这个专题呢？因为有很多同学特别想学一学圆锥曲线不连的一个体系，但是我告诉各位同学啊，你像定比点差了，斜率双用斜率调整，世上都是有一些门槛的，你学起来没那么轻松，包括考试应用的时候肯定想不到，但是我告诉你，三角代换和刚才讲的所有方案都不同， 它是一个门槛特别低的，基本上你只要见过一次，写过几道题，就能轻松解决，轻松学会的一个方法，而且它实用性特别高， 百分之九十以上的定点定值问题，你用三角代换做起来都超级简单啊，所以我个人觉得它是原子取旋不连体体重啊，可以爬到 number one 的 一个方法，所以希望大家能好好体会，来学习一下。 我们来讲这个三角代换之前啊，前面的这个开头也给大家介绍了三角代换最大的特征啊，就是可以减少变量，比如说你用三个位置直线的时候，有六个变量，但是你采用三角代换可以将变量减少为三个，就是这里 t 一 t 二 t 三，一个同学会说，哎飞哥， t 一 t 二 t 三什么意思呢？实际上 t 呢，就等于贪进了 alpha 的 c， 它 我们在写题目的时候啊，就是把这个 t 贪进了 alpha 的 c， 它用万能公式把扩散和散哎变到同样的式之中。我们来简单讲下啥意思啊， 首先啊，大家都知道 a 八 x 方加 b 方方等于一的时候，咱可以用什么三角换元，或者说有什么叫参，叫这个参数方程啊， x a b 扩散 c d y 等于 b b c d。 然后大家注意，我们事实上可以用万能公式啊，把扩散和 c 同时用贪心的二分之 c d 来表示，怎么表示呢？我们拿这个三以 c d 来表示。 c， d 可以 写成什么？可以写成二乘上二分之 c d a 角公式吗？所以它等于二乘上一个 散以二分的 c 乘扩散二分的 c， 分 母不是一吗？一又可以十多，谁散平方二分的 c 加上扩散平方二分的 c 大。 好，这一步呢？上下同时除以一个扩散平方二分的 c 大。 好，大家发现了，这是谁啊？ 它不就是二乘上散以二分的 c 大 除以扩散二分的 c 大， 分母呢？就一加上 c 的 平方二分的 c 大 除以扩散平方二分的 c 大。 好，那么大家知道了， sin 二分之 c 除以 cos 二分之 c， 这不是贪婪的二分之 c 吗？分母是贪婪的平方二分之 c， 那 它是谁啊？它不就是等于二倍的 贪婪的二分之 c 除以一加上一个贪婪的平方二分之 c， 它。所以如果说我们再来进一个换元令 t 呢，等于贪婪的二分之 c 它，我们三分之 c， 它就等于谁啊？它呢就等于二 t 除以一个一加 t 方了。 所以同样的道理，我们扩散 c， 它呢可以表示成扩散平方二分的 c， 它解决三平方二分的 c 它，那么它呢？上下同时除以扩散平方二分的 c， 它就变成了一个一减 t 方除以一加 t 方了。那么前面这个系数 a 啊，不要忘啊，下面有个系数 b， 那 么这个是基本的还原过程啊， 我们三角代换换出来之后呢，大家发现我们 x 和 y 啊，居然都可以用什么一个相同的圆，就说这个 t 来表示，事实上这是个非常强的条件啊，这是为啥呢？比如给大家举个例子啊，假如说你椭圆分成四分之 x 方加 y 方等于一， 你如果不进行代换的话。有同学说，飞哥，假如说 x 一 y 呢？在椭圆上，我 x 一 和 y 呢？在椭圆方中也能互相表示，比如说 y 一 方呢？等于一减去四分之 x 一 方。好，你这里 y 是 不是要开个根号呀？来个什么？来个正负，把根号开掉， 来正负根号。好，那错了，飞哥，你看我现在 y 一 和 x 一 也是互相表示了，但是也是个圆，比如说你这 y 一 也变形一下。但是我想问一下各位同学啊，你这个地方能直接进行加减乘除的一个运算吗？ 比如说你 x 一 乘上一个 y 一， 你把这个东西好， y 一 等于它带进去，你能直接运算出来个有理的结果吗？运算不出来有根号，你或者 x 一 加上 y 一， 你能运算出来吗？运算不出来。 大家注意，你这里面 x 加 y， 就 x 和 y 他 两个同时用 t 来表示的时候，这两个都是有理的一个式子。你无论是 x 加 y， x 减 y 加减乘除任何结果，他都是有理的，预算不包含根式。那有，他又说了，飞哥，三角函数中他不也是只有一个圆 c 大 吗？ 那大家在想个问题啊，你三角函数中你散 c 大 加扩散 c 大 是能用辅助角公式啊，但事实上它局限于三角函数这个 三元预算中还是有限度。但是大家想像这种公式的一个结构，他加点乘除有限制吗？没有任何的限制，随便你怎么算，往后写就完事了。所以这就是三角代换为什么计算量简单的一个原因啊，他可以直接进行有理的计算， 然后下一步我们发现这里面这个点坐标是能设出来之后啊，你比如说你设 m 点坐标是什么？ a 倍的一减 t 一 方，一加 t 一 方， b 倍的二 t 移除以一加 t 一 方 n 点，同样设这里，变成什么？变成个 t 二，好，那么这时候我们 m n 的 斜率要可以怎么办？ b m 的 斜率 就变得像，比如说这这个什么这 x 二 y， 这是 x 一 y 一 好，等于 y 一 减去一个 y 二， x 一 减去一个 x 二，这不是斜率的关系式吗？你把这两个东西都带进去，它事实上结果就是个非常好看的形式，等于 a 分 之 b 乘上 t 一 起 t 一 乘 t 二减一 除以 t 一 加 t 二，这是个非常好看的结果。然后我们同样呢，这个 m n 的 直线方程啊，也是可以表述出来的，这个大家一定要注意啊，这是 m n 的 一个方程，是必须要去记住的。我们在三角代换中啊，只有两个东西要记住，一个什么我们的点构造的形式，另一个直线方程，你比如说像这里面斜率啊， 你直线方程都有了，那你 k m n 是 不是自然就有了呀？比如你左右同时除以什么 a b 的 t 加上 t 二，好，你把这个负 b x 这个整体再移到右边， 那斜率不就是前面的系数吗？就 a 分 之 b 乘上后面这玩意啊，那这就是它的斜率，所以直线方程记住之后，后面都很简单。那有同学说，飞哥，这个直线方程怎么得到的呀？那事实上呢，苏菲可以跟大家分享一个什么？分享一个三角统购的一个做法， 那这个方法的话算是什么？我们这里面三角代换最完美，也不说最完美吧，最优美的一个真法。 首先啊，我们可以设一下这里面这个直线方程，假如说像这里面我们用的是 m n 嘛，我们把 m n 的 直线方程就设为一个 y 等于一个 k， b 的 x 加 m， 然后你看我们刚才讲两个点吗？是吧？ a 倍的一减 t 一 方， a 倍的一加 t 一 方二， b， t 除以加 t 一 方，同样还有二呀，所以说我们这里啊，可以用 a 小 标 a 来表示，二等于一，都二，对吧？它两个点都可以，一个是 m 点，一个是 n 点，你把这两个点啊，代入到这个直线中， y 等于 x 加 m， 带进去，你就发现它可以写的是什么？有关于 t i 平方的一个关系式。那这里实际上你看，第一个是 t 一 的平方 t 一， 第二是 t 二的平方 t 二， 它是两个方程，但是呢，可以写到同一个关系式中，所以你就发现了这个是什么？这是同构方程呀，有些，有些老师也叫什么叫空减方程，你就可以得到， t 一 加 t， 二等于二， b 除以 m 减 ak， t 乘七，二呢等于 ak 加 m 除以 m 减 ak， 那咱们令大 a 呢，等于 m 减一 k， 就 这个分母，所以咱们发现啊， t 加 t， 二等于二， b 除以 a， t 乘 t， 二等于 a， k 加 m 除以。好， t 乘 t 加 t 乘 t 减一，分别等于这两个数。好，现在大家注意，我们对 a 乘上 t 加 t， 二 b 乘 乘上一个 t 乘 t 减一， ab 再乘 t 乘 t， 二加一，得到一二三三个式。好，我们拿二式除以这个一式， 就下面除以上面我们发现，哎， r a b r a 除以 r a b a r a b a 是 不是都消掉了，就剩个单独 k？ 所以 咱们发现斜率 k 的 结果是什么？ b 乘 t 一， b 乘上有个 t 乘 t 减一，分母是 a 倍的 t 一 加 t 二。 好，我们拿三式再来除以，一时候会发现什么 i b a 又消掉了，最后得到 m m 等于这个玩意好，他发现我们不是 m 的 值线，是 y 等于 k x 加 m 吗？所以你现在 k 和 m 都有了，你把它带到直线方程中，那么它就是 y 等于好分母， a 倍的 t 加 t， r 分 之一都可以给它提出来嘛。提到前面去， b 倍的 t 乘 t， r 减一， x 加上一个 a b， t 乘 t， r 加一。好，大家发现我们这个 b 倍的 t 乘 t， r 减一，移到左边， 发现不就是个直线方程吗？这直线方程是谁？就是 a 倍的 y 乘上 t 加 t 二加上 b 倍的 x 乘上 t 乘 t 二减 e 等于 ab 乘上一个 t 乘 t 二加 e 啊。这个直线方程大家写几次就能记住，并且证明过程也给大家讲清楚了。 那我们讲一下啊，怎么有，怎么有，没有什么快速的办法记住这个直线方程啊？那其实最好的办法呢，就是大家把我刚才写这个证明过程啊，自己去推倒一遍，你就能记个大概了。那有同学说我比较懒，怎么办呢？那我也教你怎么记。首先你要记住啊，前面有个 a， y， b x， 右边是不是有 ab， 所以 它们这三个系数啊，你看， 对，因为是方程嘛，直线方程肯定有 x y 嘛， a 和 x 放一起，你像椭圆方程中 b x， a y 是 不是刚好交叉的关系啊？所以你先把前面几个系数记住 a y， 那后面注意，这是减 b x 啊，这个减 b x， 然后右边呢？等于一个 a b。 好， 下一步记谁呢？记这个 a y， 后面这个结果 t 一 加 t 二，因为它是这个单独独立出来的。 好，我说你把这个东西记完，你结束了，为什么呢？因为大家注意，你看剩下这两个数， t 乘 t 减一， t 乘 t 加一，它两个长得很像嘛，只不过是什么？是一负一正，这时候你就要记系数，你看前面是不是减 b x 啊，所以减 b x 和这个负一放一起，你看负一乘负一不就是个正一吗？右边也是个加一 啊，所以大家记住了，这左右两边啊，夫夫得正，你就看看这个系数好不好。那你就知道前面有个符号的对应谁啊？就对应呢是 t 一 乘 t 二减一，右边是个正好，就 t 一 乘 t 二再加上一，这个呢就是 m n 的 直线方程，这是一定要去记住的，各位同学们一定要记住它。 好，那我们先看一下这个双曲线中三角代换这个方程是怎么回事啊？大家记住双曲线这个设的这个点啊， x 和 y 这 c 大 探径值，它是变化了一下，它用的是什么？它用的是扩散平方 c 大 分之一减去探径的平方 c 大 等一，用的是这个三角函数。 怎么来的？就是一减去三平方 c 大 等于扩散平方 c 大。 你看，原来不是三一方加扩散方等于一吗？你把三一方移到左边，变成一减三一方。好，这时候左右同时除以扩散平方 c 大， 右边变成个一了，就变成扩散平方 c 大 分之一减去贪婪的平方 c 大 等于一。 好，那你和我们这个双曲线方程对应一下， a 方 x 方减 b 方， y 方等于，所以 x 等于多少？ a 倍的扩散 a 出一个扩散 c 的， y 等于 b 乘它的 c 的， 你看两个是对应嘛？所以说这里面这三角换元啊，是这么来的啊，它用了一个新的恒等式， 然后呢大家需要去注意一下，我们用了新的恒等式之后，我们这个点一样，干嘛要用万能公式去变，你看扩散 c， 它一样分母，对吧？分子是个一，那同时扩散平方二分之 c， 它就变成一个 a 乘一加地方除以减地方 单进的 c， 它呢其实可以直接用什么二乘上二分之 c， 只是二倍角公式展开就等于二 t 呢，除以一减地方了。 所以他现在发现了，我们 x 和 y 市场都可以买一样，双曲线中一样可以用 t 来表示，那么他一样啊，我们把 ab 设出来之后，我们有个什么有 ab 的 方程了，所以这个 ab 的 方程大家也需要去注意一下，也需要去记忆。然后我们现在注意给大家写一下吧，我们这个 椭圆方程是上面，对吧？上面是什么？上面这是椭圆的方程，然后双曲线的方程是什么样呢？来，其实我可以给大家写一下，我给你们写到一块，大家就好记忆了。双曲线的方程啊，市场唯一的区别 就是这里面。来，我给大家写一下，等我用这个紫色的笔标，唯一的区别呢，就是这个负一正一，他变了一下号，对吧？这里减号变成加号，后面的加号变成个减号， 其他结果大家看是没有任何的变化，你看把这个 y 移到前面去，这 x 移到前面去，原来式子也不变。所以说椭圆和双曲线中啊，你是上设的直线，方程中唯一的区别就是这个减一变成加一，后面的加一，仅此而已好吗？朋友，大家注意啊，我们这个设点的方程也有个巧妙的记忆方式，来大家对比一下。 我们上面呢是这个椭圆的这个 x 和 y。 好， 下面是双曲线的 x 和 y， 大家发现其实系数 ab 都是一样的嘛，那唯一的区别是什么？其实我可以告诉大家，就是 t 方变成一个负的一个 t 方了，大家可以看一下来很多标，一加 t 方除以一减 t 方除以加 t 方。 这个双曲线是一加 t 方除一减 t 方。来给大家写一遍，一减 t 方，这是椭圆的，前面是椭圆， 一减 t 方除以一加 t 方。然后双曲线是什么？是一加 t 方除以一减 t 方来，大家发现了唯一的区别是什么？不就是 t 方变成负地方了，前面负的变成正了，分母的是什么？正的变成负了，就这么简单。然后你看这个纵坐标 二 t 是 依次向不动了吗？然后下面正的 t 方变成什么？变成负地方，所以仅此而已。 t 方变成负地方就是椭圆变成双曲线的这个式子就得出来了。 然后我们再讲下这个双曲线的三角代换啊，这个双曲线三角代换呢？事实上大家直接记结果就行了，就是 a 等于 r p t 方，这是 r p t， 你 看把它带进去啊。 y 方呢等于二 p x， 你 看这是 x， 这是 y， 你 把它带进去 r p t， 它的平方是不是刚好等于二 p 乘上一个二 p t 方呀？啊，所以说双抛物线三角代换直接记形式就可以了，但其实一般也很少碰到这个双曲，这个抛物线的三角代换用的比较少，大家关键还记什么？记椭圆和双曲线，这个是在考试中啊，绝对高频的一个考点。 好，各位同学，我们来看下前几天新考的广东佛山一模啊，这本章卷子的第十九题，难度非常之大，并且在视频开头，苏菲给他展示了一下，那么长的计算量，就是连力体现一下。这道题的第三问，超级难算， 那么我们怎么样更好的处理这道题呢？就是运用三角代换，大家可以注意到本道题难表示的原因啊，就是因为这 r q 这个直线太难写了。那我们其实可以干嘛？可以采用三角换元，我们直接把 r q 的 方式给默写出来，后面其实就好写很多了，那这也是三角换元的基本思想所在。 朋友大家记住啊，写三角换元题目时啊，我们的方法步骤实际上就四步。第一步啊，开始读题，找题目中的动点及动直线。第二步啊，我们要把这个动点坐标都给设出来，并且默写这些动直线的方程。第三步，找到已知条件，得到 t 一 t 二 t 三的关系，因为你看每个点 t 一 t 二 t 三吗？ 然后用所这个。现在第四步啊，找所用直线的两个 t 的 关系。啥意思呢？我们都会讲啊，比如说你看，我们需要证明 q r 过定点，那你看了 q r 这个直线，用的是 q 和 r 这两个点，什么就是 t r 和 t 三，所以你要找的什么是让 t r 和 t 三之间的关系？事实上就四步，所以咱们现在一步一步来啊。第一步找动点动直线，这个题目中读下题， x 方减 y 方等于一的双曲线好， a 二三 b 二一，这是两个点得到之后啊， 现在题目这么说的， a p 向量等于纳曼塔倍的 a q 向量，说直白点， a p q 三点攻线，或者说 a p 直线交下面这个少女线啊，于一个 q 点就 p q 两个点嘛，然后过点 p 呢？又来一个直线， p b b 是 二逗号，一是一个定点 与这个双曲线，另一个点交于什么？交于一个 r 点好， r 点的定义交代了，现在说让你证明啊，刚才的一个 q 点和 r 点，这个直线是过一个定点，并且要把这个定点坐标给求出来。所以正常连线体系下，我们视频开头也讲了，你需要用什么一二四定义点分析清楚啊，最后的这个坐标啊，极其的丑陋，极其的难看 啊，并且这个计算量很大啊，很多同学考试肯定算不完的，所以我们看下怎么三个吗？ p q r， 你看除此之外还有其他啥吗？ a b 不是 定点吗？然后动直线有几个？大家发现 p b 一个， p q 一个， r q 是 一个呀，那三个点只有这什么？只有三个动直线吗？就是 p q， r q 以及什么以及 pr。 所以 现在啊，我们接下来干嘛？下一步第二步就是把三个动点坐标给设出来，你看分别用 t 一， t r t 三来表示，然后去默写直线方程 p q r q pr 来表示出来就行了。咱们过程怎么写呢？恕非给大家来写一下，设 p 的 坐标， q 的 坐标， r 的 坐标。 当我们把点写出来之后啊，下一步就是要去默写这个直线方程，那默写直线方程有个步骤，大家需要注意一下，你需要把这个 p q， 比如说 p 啊，直线方程的证明过程简单写一写。怎么写呢？就要这么写啊，就写个则，那比如说 p q 直线方程写出来是多啊，就 y 减去一个二倍的 t 一 除以一减去 t 一 方 等于多少呢？你看，这就这么理解啊，就 x 一 y 一 x 二， y 减去 y 一 等于多少？ k p q 乘上一个 x 减 x 一 k p q 斜率怎么写呢？就 y 二减 y 一 x 二减 x 一， 把它带进去就行了，把每个点给它带入啊， 非常简单。那这个是二倍的 t 一 啊，除以一减 t 一 方，减去一个二倍的 t 二除以一减去 t 二方，那分母多少呢？就一加上 t 的 平方，除以一减 t 的 平方，减去一加上 t 二的平方，除以一减去 t 二的平方，你把它代入， 那乘上多少呢？ x 减去一加上 t 的 平方，除以一减去 t 的 平方啊，你把这知识点写出来 这个地方，其实大家发现了，我们证明是用什么，是用铜锣三角去做的，但是考试没有人会在乎这些东西啊，你直接下不来个什么，来个化简可得。哎，你把你说我把这些方程化简得了，没毛病吧，那肯定是可以来化简可得， p q 这些方程来 p q 这些方程，除非在大家带这个大家再来背一下啊， 前面是多少呢？前面是 a b 的 y 乘上多少，乘上一个 t 一 加 t 二来 t 一 加 t 二，然后减去一个 b， b 的 x 乘上多少呢？乘上一个 t 一 乘上一个 t 二，然后面 右边有个 a b， t 乘 t 二，然后面呢？这加减一，加减一怎么看呢？我们刚才讲了，你如果是椭圆的话， 负负得正吗？这里是个减一，右边是加一，但你看这里不是个双曲线吗？所以说这里负啊，这是正一，右边是减一，大家记住了吗？啊，你是这么去记一个正负的？哎，这里加一啊，右边呢，是一个减一，然后我们这里面啊，由于说 x 方减 y 方等于啊，所以说 a 是 一， b 也是一。那我们这个方程就简单了呀， 就是一个 t 一 加上一个 tr， 你 看全部都是一嘛，一一一都给去掉了。 t 加 tr 乘 y 减去一个 t， 一 乘上 tr， 加一乘上一个 x， 那 你把 x 写前面也可以啊，你像我平时喜欢把 x 写前面，方便看见啊，然后右边的话是多少 t 一 乘 tr， 再来减去一，这个就是 b q 的 直线方程了。 那下一步干嘛呢？你需要把这个 d r 和 q r 的 直线方程写出来。大家发现我们如果想撇 p r 和 q r 的 方程的时候，大家注意 唯一的区别，你比如说你写 pr 的 时候，相当于把 q 换成 r 嘛，区别就是把 tr 变成 t 三。其他方程有任何的结构变化吗？没有任何的结构变化，所以下一步啊，直接默写就行了，你可以直接来一个同理，对吧？我给它写出来了这一步， 下步就直接同理，对吧？你把这个 p 啊和 r q 方程直接写出来，行，因为这是同理。可得啊，这方程的结构啊，都是一模一样的，所以我自己就说啊，这世上就是什么，这就是上完完整整的一个什么默写 t， 所以 来个同理， 同理 d 啊和 r q 两个方程也写出来了。好，现在我们前两步完成，射度点动直线写出来，射度点默写直线方程也写出来了。第三步，找已知条件， 得到 t 一 t 二 t 三等的关系。这个已知条件怎么找呢？事实上非常简单啊，就直接看这个题目来，我们看第二问，读下题， p q 是 右值上两个点存在时数，然后它使得 a p 向量等于 a p q 向量。这句话说的直白点，第一个条件来了，那就是我们刚才讲的嘛， 这个 p q 这个直线是不是过点 a 啊？ a 的 坐标多少二得号三。所以你把这个 p q 直线，这个是第一个条件嘛，它过 a 的 话二得号三，然后下一步再找条件。 第二问，直线 b b 与这个抛物线这个双曲线另一支啊，交于一个 r 点，对吧？就与这支交个 r 点，那他发现了这句话意思是什么？世上不就是 p r 这个直线过 b 点吗？所以说第二个条件来了， p r 过 b 点， d r 直线过 b 点， b 点坐标是二逗号一。好，咱们现在发现了两个条件都有了，一个过 a 多 a 二逗号三，一个过二逗号一。来，咱们先看可以得到啥关系啊，来，后面写一下，首先 p q 呢，它是过多少二逗号三这一个点的，然后 p r 呢，是过二逗号一这个点的。来， 咱先看 p q 过二逗号三啊，就相当于把 p q 这个直线方程带入。什么把这个二逗号三带入，那这里大家需要注意一个细节啊，前面这里是个 y 啊，所以说你带的时候，原来同学第一次写你喜欢把你把 x 的 话带反掉了，你看这里是三啊，这是二，你带二逗号三的时候不要带反了，耿总别带反， 这是个小细节，所以带进去的时候， t 一 加上一个 t 二乘上一个三，减去一个二倍的 t 一 乘 t 二加一，右边呢，等于 t 一 乘 t 二，再来减去一。好，你这可以提个三过来吗？ 然后大家一看啊，我们这个事实上可以再进行化简一步啊，但是其实也没必要啊，因为目前就能看到这么多了。然后下一步啊，这个 pr 呢，是过二逗号一的，这是一，这是二，你把它带进去，你发现什么啊？我们发现 t 加上一个 t 三，这变成一和三了吗？然后减去一个二倍的 t 乘 t 二 加一，等于 t 一 乘 t 二，对吧？这是三了，对吧？这是三，因为 r 是 三嘛，你看把这个 p r 带进去，这里是一，这里是二，好，是这样的形式结果啊，咱们其实可以把这形式结果写的好看一点啊，你比如说这个二倍的 t 一 t 二移到右边，变成三倍的 t 一， t 二，右边是减一移过去变成加二， 所以说这里实际上可以把它写的更好看一些，就是三倍的 t 乘 t 一 加上 t 二之上呢，是可以写为等于 t 一 乘上 t 二，再乘个三，就三倍的 t 一 乘上 t 二，最后呢，再来加上一个一的，右边可写的稍微好看点，然后下面同理啊，你看 负这个负二倍的 t 一 t 三，再来加上二，负一消掉，变成个正一，然后这里变成三倍的 t 一 t 三， 这个结果可以写的稍微好看一些，那等于三倍的 t 一 t 三啊，然后再来加上个 e。 好， 现在呢，我们这个第三步完成了，找到已知条件，得到 t 一 t 二 t 三等的关系，就这两个式的 关系得到了，来，咱看下一步。下一步呢，说我们要找所用直线的两个 t 的 关系，来，大家好品一下这句话什么意思啊？我们需要证明 q 啊过的定义，说白了我们需要看这里面 q 这个直线方程中，它用的是哪两个 t 啊？ 不就是 t 二和 t 三吗？你需要找到 t 二和 t 三的关系，这样才能证明直线过定点。那怎么样得到直线过定点？其实非常简单， 大家发现我们这里前面这个式子来这地方用的是 t 一 和 t 二的关系，下面这个式子是不是可以得到 t 一 和 t 三之间的关系？那大家都知道了，比如说你 a 是 等于三 b 的， 然后 a 又等于四 c 了。现在我想问你 b 和 c 之间的关系，同学们会不会啊， 你不就是拿这个 a 当做踏板就能得到 b 和 c 的 关系吗？所以你看，我们想找这个所用直线的关系，就是 t 二和 t 三之间的关系怎么找？就是用这个 t 一 作为踏板，你把 t 一 作为踏板，就会得到二和三之间的关系了。所以这一步啊，事实上非常的简单， 来把 t 一 当做个主圆移到一边，就是三倍的 t 一 减去一个三倍的 t 一， t 二移到一块去啊，就变成 t 一 呢，是等于三倍的 一，减去 t r 分 之一，减去一个三倍的 t r 分 母这个分子一减去三倍 t r 等于它的，而下面同样道理啊，你把这个三倍 t 三移到左边， t 一 等于多少呢？分母一减去三倍， 分子呢？是一减去 t 三。好， t 一 等于它， t 一 也等于下面这个东西，然后两者是相等呀，所以你写出来了，所以 t 一 等于多少？两个式咱移过来啊， 后面就是什么唇默写了，没有什么难度了已经。来给大家看一下， t 一 是等于它的，然后等于这个东西，然后咱们现在现在干嘛呢？直接给它交叉相乘啊，你就得到 t r t 三这关系了。交叉相乘，三倍的一减去 t r 乘上一个一减， t r 乘上一减三倍 t 三，对吧？交叉相乘 加上之后把它展开啊，这左边是变成一个三乘一减去 t 二乘上加上 t 二 t 三，然后减去 t 二，减去一个 t 三，右边等于 一加上九倍的 t 二乘上 t 三，然后减去一个三倍的 t 二，加上 t 三。好，这时候大家注意一下，这里可以写成减去 t 二加 t 三，前面是有个三嘛，所以这就是负三倍的 t 二加 t 三，右边是不是也有个 不三倍的 t r 加 t 三？所以说这两个 t r 加 t 三啊，咱直接给去掉它没了，然后这式子变成三加上三倍的 t r 乘 t 三， 结果等于一加上九倍的 t r t 三。哎，所以这式子一过来啊，就变成一个六倍的 t r 乘 t 三，结果呢，等于个二，所以 t r 乘 t 三，结果等于多少啊？ 结果呢，就等于一个三分之一的。好，那既然 t 二乘 t 三等于三分之一呢，咱能不能把它带入到我们这个 r q 之间方程中呢？你不就可以证明 r q 之间方程过定点了吗？所以下一步啊，就把它带入到我们的 r q 方程里面就完事了。所以说，将 t 二乘 t 三等于三分之一 代入到我们的 r q 方程中， r q 的 方程是多少？就是它来，咱移过来，带进去，把 r q 的 方程得到，这是 r q 的 方程。来，咱看一下，移过来 啊， q 的 方程是它移过来了，然后现在呢？我们需要干嘛？需要去证明它过定点？三分之一代入就是 t 二加上 t 三，乘上一个 y 减去 x， 注意，这不三分之一吗？就乘上个三分之四，就减去三分之四 x 了。带一下 三分之四，右边呢是三分之一减一，那是负的三分之二吗？移到左边是多少？加上个三分之三分之四 x 加三分之二。好，这式中可以提个负三分之二出来，变成一个多少二 x， 最后再减去个一，所以它呢，就是 减去一个三分之二 x， 三分之二乘上二 x 减去一，结果等于零，这个就是二 q 的 一个方程。好，那么这时候大家注意啊，我们现在想证明什么？直线这个 q 啊，过定点来， 他怎么过定点啊？说了这半截就是这个形式，结果 t 二和 t 三不是变量吗？你说说，说白了，这个前面这个系数吗？ y 前面系数得，不管它怎么变化，如果想保证方程为恒为零的话， y 得为零，后面二 x 减一也得为零，那直线不就过定点了？所以 二 x 减一等于零，所以你就发现 x 等于多少不是二分之一，所以说这个定点为多少 r q 过定点二分之一零嘛， 那么这就是非常完美的解决这个过程。然后我这想讲一下，前几天有个同学给我提个非常有意思的问题啊，说飞哥， 为什么我这个地方能直接，我老师就想写，所以这个东西等于零，另，这东西等于零，直接得到直线过定点，我感觉这个逻辑有点突兀啊，其实大家我可以跟你们说啊，你可以用这个思路把定点二分之零得到，你可以换种写法， 对吧？这个将二分之一零带入到我们这个 r q 直线方程，就这一堆啊，带进去你发现什么成立， 然后发现它是成立的，所以 r q 干嘛过二分之一零？因为你想嘛，你把一个定点带入到直线方程中，它发现它是不是横成立啊？所以说这个直线过这个地点，这个逻辑没毛病，非常的顺畅 啊。所以说有的同学们感觉这个这个逻辑，说实话我也感觉有点小毛病啊，但是所有老师都这么写，所有同学也这么写，也没人追究 啊，实际上后面这个逻辑啊，会更加好一点，大家体会一下。那各位同学们看这个第二题啊，第二题事实上是个标标准准的难题啊，非常的困难。可能有些同学看这个图形啊，好像很简单，证明直线 c d 过定点，但是我想告诉大家，你不信自己尝试，你用任何连击的做法都异常的复杂， 目前市面上比较流传两种解法，一种是定比减差，另一种就是我们现在讲的三角代换啊。这题为什么连力难做？其实原因非常简单，就是因为本题啊，丧失了这个对称性。我之前说这个直线过哪个定点，大家就能体会清楚啊，他过二分之五，负二分之三这一个定点， 那么这个定点它既不在 x 轴，也不在 y 轴上。大家同平时做的题嘛，可能在 x 轴或者 y 轴上，你就好做一些。像这种在平面中，比如说不确定在哪个坐标轴上的一个点，它实际上就比较难做了，属于一般性点，没有对称性，那你连立起来计算量就会巨大， 非常难写啊，所以我们一般呢，不用连立做这种题目。你比像这里面是有什么 a、 b、 c、 d 总共有四个点啊，四个点，事实上设计的多条动直线啊，那就很难做了啊，所以大家呢， 不建议用这个连进去做啊，用我们今天讲的三角代换就可以了。然后大家需要去注意个细节是什么呢？我们刚才讲的是双曲线嘛，所以有个设点的方式，这里的话，它什么，它是一个椭圆，所以我们椭圆的这个结果是什么？来，苏菲带大家背一下 a 背的啊，这个是 x y 嘛？就是 a， 这后面还有个 y。 来给大家写一下，带大家把这个东西背一下。 首先纵坐标事实上最好背，为什么？因为它是二 t 除以一个一加 t 方啊，这是最好背的，因为想证明过程中本来就三平方二的 c 大 扩散平方二的 c 大， 就这个一加 t 方嘛，最好背上面二 t 不 动， 然后所以你知道它两个分母一样，所以说这个地方分母呢，是一加 t 方，然后你知道了，我们刚才说过有一个负数是一减 t 方，所以椭圆中是 a 被的一减 t 方除以加 t 方， b 乘二， t 一 加 t 方， 然后这个方程是什么呢？直线方程，大家请记住啊，是 a 倍的 y 乘上一个 t， 一 加 t 二 减去一个 b， b 的 x 好， 右边呢，等于 ab 啊，一样，这是 t 一 t 二，然后后面呢，可能是加减一，加减一，不知道，那大家怎么去记忆呢？记住，这是个椭圆，所以说你负负得正。这里是减一，后面是加一，我不知道这么说大家有没有记忆清楚了， 这里是减一，后面是加一，然后本道题四三的一个椭圆，所以 a 等于二， b 等于根号三二，根号三啊。所以大家请把直线方程以及这个设点的形式啊，都给大家记，都给他记住了，因为这是完完全全的什么一个默写的过程，所以淑芬呢，直接把步骤给大家写清楚。你看， 我们把 a 的 坐标设出来， b 坐标设出来， c 坐标设出来， d 坐标设出来，你看这里面有几个点啊？题目这么说的，椭圆 e 四分之 x 方加三分之八方，等于斜率为 e 的 直线 l， 是 这个东西， ab 啊，与椭圆交于 ab， 两点啊，过，并且说这个什么 a， c 过什么直线 m 四零， b， d 也过直线 m 四零这个意思，剩下就证明什么直线 c， d， 它是过一个定点的， 等于说什么 c d。 这个题目为什么难做啊？因为大家体会下意思啊，是这么说的，先有 ab， 然后 m， a 呢？与椭圆交于 c 点， mb 呢？与椭圆交于 d 点， c 和 d 都是最后产生的，你时常想通过这种连力呢，比如 x 一 y 一 x 二 y 来表示出来是异常困难的，这气喘量超级无敌大， 这也是本道题难做的一个点啊，同时也因为它四个，它是有四个动点啊，所以做起来也会复杂一些啊。 但没关系，你看我们这个基本的默写步骤， a、 b、 c、 d 写出来， ab 是 它直线，你看，注意这个地方，一定要装模作样写一下。大家你不装模作样写一下会扣分的，化简可得就行了呀。同理， a、 c 是 它， b、 d 是 它， c、 d 是 它。下一步干嘛呀？我们要找条件了 对吧？我们条件怎么找呢？看题目有谁啊？来读下题。第一个映入眼帘的斜率为一的直线， l 交椭圆于 a、 b 两点，也说什么 k、 a、 b 斜率等于一的，那下一步点 m 四零， am 与椭圆交于 c 点， b， m 椭圆交于 d 点，换句话来说，不就是 a、 c a、 c 什么过这个 m 四多号零吗？然后同样 b、 d 直线是不是也过这个 m 四多号零啊？所以我们的条件看事实上是不是也过这个 m 四多号零啊？所以我们的条件看事实上是不是可以告诉大家， 你有四个洞点的话，就有三个条件。你像我们上一题中啊，是不是有 p、 q、 r 三个洞点啊？所以我们的条件是要两个。你像过两个点点，它是要两个条件。那如果你说有四个洞点的话，就是三个条件，比如你下到底可能五个洞点呢？那其实应该说要找到四个条件才对， 但在高考范围内啊，只像这种四个四个四个动点的情况，已经是撑破天的难度了啊。所以大家也没必要去说啊。飞哥，考到五个怎么办？不可能，考到五个就特别难了，考试呢，正常年龄答案应该是写不了了，所以出题人不会那么出。 咱们现在把这些条件都给带入啊。来， kb， 大家看，你直线方程不是有了吗？既然你直线方程有了，你看你的斜率，左右同时除以一个二倍的 t 一 加上个 t 二啊，你把这负根号三以左边，所以你发现你的斜率多少啊？ kb 就 等于一个根号三倍的 t 一 乘上 t 二 减一，除以一个二倍的 t 一 加 t 二。哎，这个结果实际上还是非常简单的，然后它呢，是等于一的，所以咱就发现了，二倍的 t 一 加 t 二， 结果等于谁啊？就等于根号三倍的 t 一 乘 t 二，就来减一。好，这第一个 t 与 t 的 关系。然后咱别忘了，这个 a c 是 不是过四零啊， b、 d 也过四零，所以咱们把它代入啊， b、 d 呢，也是过四，逗号零的来分别代入 a、 c 过四，逗号零的话，这里就是零嘛，这是个四，所以发现负四倍根号三乘了 t， d 乘 t 三减一，右边有二倍刚好三，所以左右同除二倍刚好三，这里升个负二 好，所以最后结果变成一个负二乘上 t 一， t 三减一等于右边是一嘛？就是 t 一 乘上 t 三加一。其实这里写出来挺好看的啊，就是咱直接得到就是移过去啊，三倍的 t 三， t 一， t 三一于左边，二减一等于一，就三倍的 t 一， t 三啊，结果等于一。那大家注意一下，下面不是总理吗？ b d 直线和 a c 直线，它不是相同结构吗？ 所以既然相同结构的时候，你这个式子啊，最后变形的结果，毫无疑问呢，一定是一变成二，三变成四，你都不用看了，带的结果一定是三倍的 t r t 四减一等于 t r t 四加一。所以咱发现多多三倍的 t r t 四啊，结果等于多少？等于个一。其实你可以写出来啊， 就是 t 一 等于三倍的 t 三分之一，然后 t 二等于个三倍的 t 四分之一。 好，现在找完条件了，那么大家看读下题题目，让我们去求证 c d 这个直线，它是过定点的。好， c d 是 我们做过求的，大家看 c d 直线与它有关的是哪两个 t 啊？我给大家写出来， 是不是 t 三和 t 四呀？然后我们看一下目前手里有的有几个条件，这是一个，下面也是两个，总共只有三个条件，你要找到 t 三 t 四的关系，这怎么找？咱们刚才讲，你比如说你 a 用 b 和 c， 对 吧？通过 a 这个跳板，你得到 bc 之间的关系， 那么对于这个式子而言啊，你有了 t 一 t 二这样的关系，就发现 t 一 可以用 t 三表示， t 二也可以用 t 四表示。你把这两个玩意带入到上市中，你看 t 一 是不是变成 t 三多少了， t 二变成 t 四多少了，他是不是就会有 t 三 t 四这样的关系了？所以这一步是这么来的，这里打个星号， 将 t 一 等于三倍的 t 三分之一， t 二等于三倍的 t 四分之一，我们代入到新式中。好，代入进去啊，就变成了一个二倍的，这是三倍的 t 三分之一。咱写一下， 三倍的 t 三分之一加上一个三倍的 t 四分之一，右边呢，等于根号三乘上一个九倍的 t 三乘 t 四分之一之后，再来减去一个一啊。所以左右同时乘上九倍的 t 三 t 四，这里变成三倍的 t 三加 t 四，结果就变成六倍的 t 三 加 t 四。右边剩个多少呢？剩个根号三乘上一个一，减去九倍的 t 三 t 四。 好啊，那么写到这个条件的时候，大家发现了我们已经有了什么，已经有了 t 三与 t 四之间的关系了。那么聪明一点的同学能想到了，飞哥，现在我是不是可以用 t 三把它写成多少倍的 t 四，就像我们刚才上面这里表示的一样。 然后我们可以把 t 写成多少倍的 t 二，这里能不能把 t 三写成多少倍的 t 四啊？等于多少多少的 t 四分之一，多少多少 t 四。然后把这个东西呢，再带到 c、 d 直线方程中，把两个变量变成一个变量，最后得到直线过定点呢？可以得到。但是我说你要想到这种方法，同学你，你有点傻了，那虽然有点聪明，但不多， 我们可以怎么办呢？我们之前在讲奇次化的时候讲过这样的一种法，这样的一种做法，比如你知道 a x 加 b， y 加上二等于零了，你发现三 x 加上二， y 加上二等于零，你是不是直接能得到这个直线？ l 是 干嘛？它是过三，逗号二的，直接就能把这个条件得到。所以我们看嘛，观察下这个条件的结构， 来观察 c、 d 直线和下面的方向的结构。这里有 t 三加 t 四，这有 t 三加 t 四， t 三乘 t 四减一，哎，有 t 三 t 四，右边又有 t 三 t 四，所以他们两个结果事实上是非常相似的， 唯一的区别在哪呢？是一减去九倍的，这里是加 a， 这减一，所以我们要干嘛？我们需要把它呢，拆成这两块，一个 a 一个 b， 把它拆开就行了。那么怎么拆开呢？用待定系说法 来，咱们看一下这步，就用标准的代入系数法，把这个一减九倍 t 四方啊，一减去九倍的 t 三 t 四，把它代定出来。代定系数 啊，这个技巧就有点高级。那不说高级了，他有的时候有点想不到啊。但没关系啊，听石伟讲一遍啊，你下一个做题就能想到代定系数， 你把系数代进出来啊，就问题不大了。一减去九倍 t 三 t 四啊，咱代进乘 a 倍的，你看像左边 t 三 t 四减一吗？ a 倍的 t 三 t 四减一，加上一个 b 倍的，右边 t 三乘 t 四加一， 把它分成两块代进出来，然后合并下系数，就是 a 加 b 乘上一个 t 三 t 四啊，加上一个 b 减去 a 嘛，前面这是一个负一。好，我们对比下左右的系数，你发现 t 三 t 四前面的系数是多少？它是一个负九， 对吧？所以说 a 加 b， 它就等于一个负九。那再写出来啊， a 加 b 等于负九，那长数上不是一吗？所以说 b 减 a 二，结果等于一了，然后这两个式能解 a 和 b 吗？上下两个式相加二， b 结果就等于一个负八的，所以 b 呢，是等于负四。 那既然 b 等于负四，你代进去吗？ a 不 就等于一个负五吗？所以这个代定啊，顺利完成，它就是负五。一个是前面是负五嘛，后面是负四。这个代定结果啊，就是顺利的结束了， 然后我们来看下一步，你把这个代定结果写出来吗？在方程中 c 三 t 四， 来把它移过来复制一下右边啊，分成负五和负四啊，所以减去一个五倍的根号三乘上一个， 你看把这是分成两块了吗？减去五倍根号三乘 t 三 t 四减一，然后减去一个四倍的根号三， t 三 t 四 加一。你看你把这个一减九倍 t 三 t 四分成两块，为什么要这么分呢？还那句话，大家看 c d 直线方程， t 三 t 四减一对应清楚了吗？ t 三 t 四加一是不是也对应清楚了？所以把负五倍根号三这个玩意移到左边来，那么我们的问题就顺利的结束了， 它变成等价于六倍的 t 三加上一个 t 四，然后加上一个五倍根号三乘上 t 三 t 四减一，然后右边呢是等于负四倍根号三， t 三 t 四加一。好，咱们现在可以把这两个方程放在一起，方便大家去看，我们来对比下系数 怎么样，把这个定点给找到来。这 c d 之间方程好，大家看 t 三加 t 四有了， t 三 t 四减一有了，但是右边它不相同呀，我们说右边长向量应该是相同的，右边是二倍根号三，这是负四倍根号三，所以我们要做一步什么左右同除 负二，对吧？你通出负二，右边才能变成多少二倍根号三，乘上 t 三 t 四加一嘛，让右边这个结果相同的，然后左边别忘了，你看这是多少五倍根号三，所以变成负二分之五倍的根号三， t 三 t 四减一， 这里面写的很拥挤啊，移开一点，然后左边乘这个同除个负二嘛，就变成多少，变成了一个负三，负三乘上一个 t 三，加上一个 t 四。好，然后咱们现在把这个方程啊和 c d 值线来对比一下，大家注意右边呢，都是二倍根号三 t 三 t 四加一，两个是相同的，一样的 b 三七四减一，两个相同的一样的。好，那就说前面的负根号 x 应该等于负二分之五倍杠三，它两个相同的，所以对比系数的结果就出来。来对比系数我应该用另一个给大家写啊， 你看负二分之五倍根号三就等于负的根号三 x， 同样前面是负三，它应该等于谁啊？是不是等于二倍的 y 啊？比如说对比系数可得 对比系数可得负三等于二倍的 y， 同时负二分之五倍的根号三，结果等于多少？等于根号三 x， 所以 咱发现了这个 y 结果等于多少啊？ y 就 等于一个负二分之三同时。这里面啊啊，这是 sorry 前面的符号对吧？你看下面不是一个负的根号三 x 吗？ 所以说 x 啊，结果就等于二分之五。所以说你说这个直线共有定点多少呢？你发现了哦， c d 它是过定点了，只不过这个定点坐标多少啊？是二分之五负 二分之三这个题吗？真的是非常难度，难度非常之大的一道题，正常连力去做的话，计算量超级大，至少目前我还没看到市面上有哪个大神用连力法或者说三角代换。三角代换应该算是本道题最好的做法，不过因为本道题啊，它是四个， 也是有四个动点嘛，所以最后我们还需要干嘛？来一个配凑才能顺利的把它做出来。好吧，好，各位同学们看这第三题啊，也是前几天考的会中二调这道题这么说的，有个椭圆，十六十二的椭圆，然后说 f 二是焦点二零 a， 坐标是二头号三过焦点， f 二来了一个直线 m n 与椭圆交汇了 m n 两点。 然后现在说既 a m 斜率呢，是 k 二， a n 斜率是 k 三，说 m n 斜率啊，是 k 一。 好，现在说让你找一下 k r 加 k 三减兰木塔 k 一 是否为定值，如果存在，请求出兰木塔，并把这该定值也求出来。好，所以像这种题吧，我觉得各位同学应该最最自然的思路应该是什么？我们也简单讲一下吧， 那肯定是奇次化呀，为什么这么说呢？首先 m n 直线过定点，那过定点大家应该想到有存在什么斜率 k 一 加 k 二等于定值这种形式，那这里呢，是 kr 三嘛，就是 kr 加 k 三可能等于定值，或者说 kr 乘 k 三为定值。 题目都在暗示你呢，大概率 k 二加 k 三可能等于一个定值或者其他的结构嘛。所以奇字化绝对是一种可以尝试并且非常简单的思路啊。我们这里那一般要写的话就是 m n， 对 吧？把它设为 m 倍的 x 减二，加上 n 倍的 y 减三，等于一，你看这个直接写出来不就可以了吗？ 好，直接写出来之后与我们的椭圆进行连立，那么这个数也给大家把过程写好了，咱来看一下怎么去做啊。 奇次化来写非常简单了，就 m 的 直线呢，设为一个 m 倍的 x 减二，加上 n 倍的 y 减三就可等于一嘛。这有个等号等于一，然后 m 坐标写出来， n 坐标写出来，奇次化连接过程，对吧？连接出来这个方程，那 k r k 三呢？是方程两根，所以咱发现 k r 加 k 三等于二分之一， m 加四分之一 n， 这个是前面有个负号，别忘了十二分之一加上个二分之 n。 但是大家别忘了个东西啊，就说我们这个 m n 它是干嘛？是不是会过一个定点啊？就过 r 逗号零这个点，所以把它代入啊，你看零加上一个负三， n 就 负三， n 等于一啊， n 就 等于一个负的三分之一， 所以你把 n 等于负的三分之二，哎，代入到这里，二分之一 m 减十二分之一，分母的话，大家注意啊，十二分之一呢，再再加上一个二分之 n 就 变成了十二分之一啊，减去个六分之一，前面还有个符号，所以这个放在分母上就变成多少六分之一减十二分之一嘛，还剩个十二分之一，所以最后的结果变成二分之一 m 减十二分之一，除以十二分之一，所以结果啊，就变成一个六 m 减去一了啊，就等于六 m 减一。但大家别忘了，你看我们这是 k 二加 k 三吗？先得出来了， k 二加 k 三是等于一个六 m 减一的 k 一。 咱还没说等于谁啊，你看直线方程不是 m n 吗？是等于它的 m 倍 x 加 n 倍的八减三，所以它的斜率 k 一 啊， 左右同时除以这个 n， 然后再把这个式子移到右边，那它是不是等于负的 n 分 之 m 呀？ n 刚说了等于负的三分之一啊，所以这结果就等于三 m， k 一 就是三 m， 所以 说六 m 多少？它是二乘上三 m 吗？就是二倍的 k 一， 再来减去一。好，咱们发现了， k 二加 k 三 等于二倍的 k 一 减一啊，奇次化直接秒杀啊， k 二加 k 三减去一个二倍的 k 一 啊，结果等于负一啊，所以像这种能直接用奇次化的题吗？我觉得各位同学，你看到一定要去尝试去练一下自己奇次化的手法， 这种题目考试看到那属于说这个牙大牙都要笑掰了呀，非常简单的一道题啊，但是这个还是那句话啊，其次话简单，年龄并不简单，年龄还是比较复杂的。那我们看一下今天刚讲的这个三角代换怎么去做这道题呢？也是一样可以去做的，来咱们看一下， 并且做起来啊，也不是很困难。首先我们如果要设点，注意 a 点、 m 点和 n 点，这 a 点虽然说是个定点，但是你看看到这个动直线斜率中啊， k 二 k 三身上的斜率是动的，所以咱们理解为啊，这个 a m 和 n 直线斜率也是在动的嘛，因为点在动，所以说直线也在动， 等于说 am 和 an 以及 m n， 它就有三条动直线，那既然三条动直线的话， a 坐标， m 坐标， n 坐标是不是都得射出来啊？来，三角代换换出来了，然后大家注意，由于说这个 a 点是一个定点啊，所以说 y a 它是不等于三呀， 代入进去，你看这个方程是什么，它不是二次方程吗？所以解出来一正一负两个根。由于说这个 y a 等于三是个正值，所以说你看分母是正的吗？那分子是不是肯定也是正的？所以说 t e 等于三分之根号三啊， t e 就 确定了，然后 a m a n m n， 你 看三个之间方程能不能默写啊？能默写，然后下一步干嘛找条件， 这个条件是谁呢？大家一读起就发现了， m n 过二得号零嘛，它就是条件，所以把这个条件啊，你看 m n 过二得号零，带入零减去这个玩意，吧啦吧啦一堆，你发现了 t r 乘 t 三条件来了， t r 乘 t 三等于负的三分之一， t r 和 t 三关系有了呀，然后下一步 k 一 等于多少呢？ k 一 就是把这个带进去，你看 k 一 左右同时除以这个 四倍的 t 一 加 t 二，这四倍的这个 sorry， k 一 是二和三嘛，就同时除以一个四倍的 t 二加 t 三，在这个方程中，你把 k 一 给得到了。同样，由于说 k 二，这里面，大家注意 k 二这里面依旧是四倍的 t 一 加 t 二，但是啊，上面是 t 一 乘 t 二，我们可以把 t 一 等于三分之二再给它代入，就这个玩意好， k 二有了，然后 k 三，大家想你是不是也有了，你也可以把 t 一 等于三分之根号三代入啊，所以 k 三也有了，然后大家先想求是什么是 k 二加 k 三减兰博纳 k 一 嘛，所以你把 k 二加 k 三，巴拉巴拉等于这东西代入，然后你看，注意通分，然后把这个展开，这个展开式实际上非常的简单啊，你化简完最后是谁啊？分母呢？就是根号三倍的 t 二加上 t 三， 分母啊，分母是这个玩意啊，分子是负四减去根号三啊， t 二加上一个 t 三，好，所以他发现，哎，负根号三， t 二加 t 三，分子分母它相同啊，只不过拖了个负号，所以负一可以提到前面去，还剩了一个什么？这是根号三吗？咱可以选择三分之根号三，就是负的三分之四倍根号三 t 二加上一个 t 三，好，大家注意 我们这个 k 一 是谁啊？是不是负的三分之二倍刚好三 t 二加 t 三分之一啊？哎，所以说，你看他两个这玩意不就刚好是个二倍的 k 一 吗？哎，你看，就像这乘二，是不是负三分之四倍刚好三和它系数一样呢，分母也一样， 所以它呢，实际上就二倍 k 一。 所以咱又发现了， k 二加 k 三呢，等于负一加上二倍 k 一。 你把二倍 k 一 到左边，就是 k 二加 k 三，减去二倍 k 一， 等于一个负一。好吧， 所以这道题啊，推荐大家用三角代换去做，也推荐大家用这个圆锥曲线中的这个齐字画去做。那大家有同学会说了，飞哥，我感觉这题好像齐字画更简单呀。但大家想一个问题啊，你齐字画世上还涉及了一个什么连力的过程，你改造方程要连力吗？但是大家看，我们现在讲了三题了， 这第几题？第三题我们哪一步连累了呀？是不是只需要把直线方程写出来，找条件，然后 t r t 三找一找关系就结束了呀？你没有一步是连累啊，所以这就是圆锥曲线不连累体系，你不需要连累方程，你不需要找那个什么 x e x r 什么关系，你只需要找什么， 用这个直线方程写出来，用不连线的体系成功把定点定值给它解出来好吗？好，各位同学们来看这第四题啊！第四题是二零二六届的南京市中华学校的一月月考题，那这道题难度非常的够啊！同时各位同学，如果你的观察力不太好的话，这道题会是个非常繁琐的难题，那我们来简单读下题啊， 就双曲线 x 方减三分之外方等于点 a 坐标一逗号零点 q 坐标与这个双曲线交于 bc 两点 啊，现在说呢，这个 h 点啊，在这个点，在这个线 b c 上。现在说了第三问，我们再看最后一问啊，说设直线 ab 呢，与 y 轴交于点 d， a c 与 y 轴交于点 f， 然后这个 e 点呢？看了这句话很重要， a h 直线呢，与 y 轴交于点 e， 这句话其实蕴涵那个意思是什么？是 a e h 共线，大家一定要搞清楚这个顺序啊，如果有个同学没搞清楚这个顺序的话，是非常难受的。 哎呀，后面一句话别忘了，这个 e 呢，是 d f 的 一个终点对吧？说的这半天，这句话翻译过来就是 y e， 结果等于二分之 y d 加 y f。 好， 为什么我说这句话很重要呢？大家简单想一下，这个点 h 题目让你证明的是什么？点 h 在 一条定直线上好，大家想 h 怎么来的？有些同学说，飞哥， h 点不是 a e 直线与 bc 的 一个交点吗？好，所以有的同学这么做的， a e 方程想办法写出来， bc 方程想办法写出来，两个连立啊，去解出 x e 等于多少， y e 等于多少啊，对， x h 对 吧？ x h 等于多少， y h 等于多少啊，想办法去证明它在这条直线上，如果你去这么做的话，它是个非常难受的一件事，所以 e 点在最后产生，它是 f 和 d 的 一个终点，写出来不太好写。然后这个 bc 方程呢，本身就是个带参数的一个方程，所以你最后解出来结果一定不好看，计算量会是巨大的。 所以我们要换个方式想。大家想 a、 e、 h、 a 这三个点，它不是共线的吗？所以既然共线的话，想证明点 h， a 在 定值线上， h 点不是在 a e 值线上吗？所以这个地方换句话来说，是让你去证明什么？去证明 a， e 是 一条定值线，大家想听清楚了吗？ 是让你证 a， e 为一个定值线啊。然后大家再回过头看一下 a， e 如果是定值线的话，你想个东西吗？ a 坐标不是 e 轴号零吗？它是个定点啊，对，它等价于去证。什么？等价去证 e， 它是一个定点呀，没错吧？如果说 e 是 一个定点的话，那么大家简单想下就明白了， 我们 a 一 零吗？ e 是 定点的话，说明它斜率固定呀， a 又是一个定点，所以说这是一条定值线。所以这道题本质上证明什么？让你证明 e 是 一个定点啊？各位同学们，所以它又是个什么？又是一个定点？问题，想证明 e 是 定点，但我估计很多同学看到这道题会想到谁啊？二零二三年全国乙卷理科数学解析几何题 那道题啊，也是让你证明啊，两个直线在外状的交点，他的终点呢？是一个定点，你无论连立还是奇字画都能做。但我都说到奇字画了，有同学反应过来了，这题能不能用奇字画呀？当然是可以的，我们来简单看一下啊。 首先，这个 y e 啊，是等于二分之 y d 加 y f， 所以 y d 加 y f， 它等于多少？是不是等于二倍的 y e 啊？好，咱们来看斜率，既然奇次化，肯定有斜率啊，咱们看最长的是 y a f 和 y a d 来再写出来啊， y a f 加上 y a d， 那么这个结果啊，其实应该不应该这么写啊。 sorry， good！ 哎，这么写就是 k a f 啊，斜率啊， k a f 加上 k a d 啊，那等于 y f 减去零除以 x f 就 零呗。 a 的 横坐标是一，加上一个 y d 减去一个零，除以一个零减一就是负的 y d 加上 y f。 好， 大家别忘了， y d 加 y f 是 不是等于二倍的 y e， 所以 它等于负二倍的 y e。 好， 所以现在给我同学清楚了，如果说 e 是 一个定点的话， k a f 加 k a d， 它是不是一个定值呢？ 比如说这个玩意现在是一个定值了。好，那它定它是定值有什么用呢？我说这题已经结束了，有些同学观察能力好的话，会发现 afc a b d 它不是贡献的吗？所以 k f 是 谁啊？它不就是一个 k a c 吗？你看 贡献呢？ k f 就 k a c 同样 k a d 是 谁啊？它不就是 k a b 吗？只要加上一个 k a b。 哎，你看这把转化过去，然后它等于负二倍 y e 的 吗？这是一个定值呀。所以如果你想证明什么， e 的 这个坐标它是个定点，对吧？你说要证明 y e 是 定制，你等下要证什么？是不要去证 k a c 加上 k a b 为定制啊？那既然想证 k a b 加 k a c 为定制的话，先各位同学清楚了，这不其次话吗， 标准的奇次化呀。为什么说标准奇次化呢？首先大家想一下，这个 b c 直线过点 q 一 逗号二是个定点好定点条件，有了 a b a c 两个关联斜率 a 又是在曲线上的一个定点，好奇次化的各种条件都具备了，并且是非常好算的奇次化。所以你明白了啊，我们的 b c 方程怎么设呢？ m 倍的 x 减一，加上 ny， 结果等于一好吧，然后呢，把它呢与我们这个双曲线进行连累，连累完之后得到有关斜率 k 的 方程，你就发现啊， k a c 加上 k a b 过程我就不写了，它等于多少，实际上就等于三了。 那加等于三，它是不是等于负二 b 的 y e 啊，所以你发现了 y e 啊，结果等于负二分之三，也就是说 e 的 坐标是多少就零逗号负二分之三好，那么 a 坐标不是一逗号零吗？对， a e 方程是个定值线， y 等于，那斜率嘛，就是二分之三除以一，就是二分之三乘上 x 减 e， 而又又说 h 在 什么 a e 直线上，所以 h 就 在个定值线，并且定值线是 y 等于二分之三倍的 x 减 e。 这道题用奇字画呢，是非常好做的，但是呢，需要一点观察能力，有些同学如果说你观察能力弱一弱的话，就做不了了。 好吧，这道题就写不完，那我们怎么办呢？哎，用三角代换去做三角代换，比起奇字画好的一步是吗？就有些反向奇字画这个题目里面啊，你观察不出来斜率关系，你不知道该找谁。 你会不会三角三角代换呀，你以前没学过，今天不是教你了吗？大家看好了，首先去找这个题目中的动点以及动直线， 这里面 bc 是 动点，有的同学说我这里面斜率 a， b， a， c 斜率啥之类的，其实这里面 a 点坐标不需要设，因为有关式上这个动直线只有一个 bc 嘛。你看 bc 带动的 f 和 d 带动 a 是 个定点，所以 b 和 c 的 坐标设出来之后， bc 的 方程怎么写？能写， 能写出来之后 bc 注意现在找条件了。题目说了， bc 过谁啊？点 q 一， 逗二，把它代入好。代入之后你发现 t 一 加 t 二等于根号三倍的 t 一 乘 t 二。好，现在第一个条件有了，下一步我们看一下。 我们就需要找什么？找 f 和 d， 它两个纵坐标加起来是否为定值啊？如果为定值， e 就是 个定点呀。所以你需要把 y， d 和 y f 找到。怎么找呢？需要 ab 和 ac 的 直线， a， b， a， c 之间想写出来要干嘛呀？是不是需要 k a， b 和 k a， c 的 斜率啊？来，你看 k， a， b 的 斜率，直接拿 b 的 重做半角， y 一 就 x 一 啊，就 y 一 减零，然后这 x 一 再来减一，把它代入，直接就化解了，上下同时乘上个一减地方，化解结果就等于根号三除以 t。 同样 k， a， c 呢，等于根号三除以 t 二。 所以 a b 和 a c 两个方程是不是直接有了？那有了之后，你把这个方程令 x 等于零，就能得到截距， y d 等于负，根号三除以 t 一， 那令 x 等于零，得到 y， f 等于负，根号三除以 t 二。所以你现在发现了啊，我 y e 结果不等于二分之 y d 加 y f 呢？把这两个玩意带入大家会吧，你带入之后发现上面不才讲过吗？ t 一 加 t 二等于根号三倍的 t 一 乘 t 一 乘 t 二，你代入上除下，这结果不就是个根号三吗？所以结果等于负的根号三，根号三除以二就负的二分之三嘛。那既然负二分之三，说明 e 的 做到零，负二分之三， a 做到 e 的 号零，所以 a， e 是 个定值线点， e 在 这个上直接做完啊， 就非常顺利。大家你想这个和我们刚才奇思画比起来，你要观察哦， a f 斜率， a d 斜率 b c a b a c 斜率是让需要点脑子的，但你看我们这四道题，三角代换需要啥脑子呀？不直接往下写过程就完事了吗？所以为什么苏菲要讲这个，大家现在能理解了吗？帮你处理，多动点，多实现，问题中 就是不用动脑，不用动思路，对吧？你也不用与曲线连力，就很快就能把它写出来，这就是三角代换的魅力所在。嗯，这个最后一道题啊，这个苏菲被大家讲了，我就给大家提个提示吧， 写起来一点也不困难啊，就要设一下这个 p 的 坐标，这个 p 的 坐标呢，你设为 a 倍的扩散 c 它， b 倍的散也 c 它啊，还是设我们看三角代换的这个结果都可以啊，就比如说那个 a 倍的一减 t 方，一加 t 方 啊， b 倍的二 t 除以加 t 方，你设两个设谁都可以，大家可以自己去尝试一下，就 s 一 除 s 二，直接用这个 p 把它换成单元坐标，直接写就完事了，非常简单的一道题好吗？ ok， 那 么以上就是我们今天这个寒假特别偏的三角代号的全部内容了，不知道各位同学感觉如何呢？如果你感觉不错的话，可以给树飞点上免费的一键三连，你的支持就是树飞坚持下去的最大动力， 当然这里呢可以打个小广告，树飞呢，现在开启了这个寒假的一个精英班，大家如果想提升自己的这个解析几何导数的能力的话， 可以在我们评论区置顶链接报一下我们这个寒假的精英班里面讲的内容啊，都和我们思想代号专辑类似的，这种境界的专辑可以帮助你的数学啊突破到一百四十分以上，因为你想吧人去倒数就是高考最难两个板块，你把它突破了，剩下还差啥呢 啊？同时这里说一下，如果有些同学啊，你的这个分数低于多少分呢？低于这个九十分或一百分以下，那建议你赶紧把数学的重音学的合集啊，赶紧看完啊， 寒假正是弯道超车的关键时刻，如果你不去把这丛林去好好看一看，会有很大的问题啊，你在后面二轮复习，三轮复习有漏洞啊，学的会非常困难好吗？那么以上就全部的内容了，那么谢谢大家，我们下个星期再见，拜拜！