什么是偶函数

函数的奇偶性就这么点知识，特别特别好学。函数图像作为一种图形，它也有相应的两种对称，一种叫轴对称，一种叫中心对称。 我们把那些关于 y 轴对称的函数起个名字叫偶函数，把那些关于圆点对称的函数起个名字叫奇函数。一个对称轴是 y 轴，一个对称中心是圆点。所以如果我们已知函数图像的情况下，这谁都能看出来它到底是关于谁对称的，那当然，数学作为一门严谨的学科，咱不能每次判断一个函数是奇函数还是偶函数，咱们都费劲的去画它的函数图像，有些函数图像不好画， 所以我们最好找到一个代数式来去描述函数的极有型。 f x 和 f x 是 完全相等的，只 要函数满足这个式子，这种函数就叫偶函数。那类似的奇函数，它也有一个对应的表达式，它俩相加等于零哦。当然，如果把其中一个项 f x 等于负的 f x， 那 我反着写 f x 等于什么呢？把符号移到那边去，等于负的 f x， 这三个式子是同一个式子，任何一个都能表示这个函数是个奇函数。结构性当中符号的处理这个化简过程我们经常要用到。如果你发现一个函数是偶函数，那你可以在括号里面人为的加符号，也可以把原来括号里面的符号直接约掉，这是偶函数这个式子本身具有的特性。 类似的，如果一个函数是一个奇函数，那括号里面这符号直接看好喽，能提到外边去，把它写成负的 f x， 看清楚了吗？如果反过来，奇函数 f 外边如果有符号，我也可以相应的把它塞到括号里面去，写成 负 x。 这是奇函数这个式子本身具有的特性，函数的极有性。就这么点知识，特别特别好学。那有同学可能要问了，是不是一个函数不是偶函数就是奇函数呢？ 可不一定，因为对于所有函数来说，有些函数的确是关于 y 轴对称的，有些函数的确是关于圆点对称，但是有些函数，比如我随便画一条直线，你会发现，它既不关于 y 轴对称，同样的，它也不关于圆点对称，对不对？所以它既不是奇函数，也不是偶函数。我们把这种函数叫做非奇非偶函数， 那按照这种分类方式，那存不存在一个函数，它既是既函数，又是偶函数嘞？意味着一个图形呢？它既得关于 y 轴对称，还得关于圆点中心对称，存不存在这样的函数存在，而且只有一类函数是这样的，是谁？就是 x 轴，大家自己看。 x 轴是不是关于 y 轴对称呀，左右翻折完全重合呀？ x 轴是不是关于圆点对称呀？关于圆点翻转一百八，它也是关于圆点对称的。 所以只有这么一类函数， y 等于零，是既 g 又 o 函数。目前来说，虽然我们的函数呢，没学几个啊，但是已经有一些常见的大家需要记住的 g 函数和 o 函数了。哪些函数我们学过的是 g 函数呢？如果大家发现 x 的 基数次幂，比如说啊， y 的 x， y 等于 x 立方， x 五次幂，甚至 x 的 负一， x 的 负三，这些都是 g 函数。 大家会发现，每一个函数都是关于原点对称的，比如说 y 等于 x 立方，这样的话，关于原点对称吧， x 的 负一次幂幂的函数相关不关于原点对称呀，也关于原点对称。 步入高中之后呢，我们又学了两个函数，分别是对勾函数以及中间是减号的双刀函数。咱来画画它的图像。首先，对勾函数，这俩勾一画很显然是关于圆点对称的，双刀函数俩撇一画也是关于圆点对称，它们都是极函数。 那有哪些是偶函数？也有两个，分别是 x 二次幂、四次幂、六次幂。他们的图像都长一个样，全是向上的，类似于抛物线的图像，左右对称。除此之外，大家还要记住一个，就是 y 等于 x 绝对值这个图像，它是关于 y 轴对称的一条折线，也是一个偶函数。这是今天我们给大家分享的第一个结论。再看第二组， 现在如果有两个不同函数，它分别是具有奇偶性的，那如果把两个函数进行加减乘除的时候，我们会得到他们的哪些关系呢？ 第一，奇函数加奇函数一定是奇函数，奇函数乘奇函数一定是偶函数，奇函数乘偶函数一定是奇函数，奇函数加偶函数一定是非非偶函数。哎呦，这这这，看着这头就疼，为啥呀？我给大家举几个例子啊，比如说 x 是 一个奇函数，没错， x 分 之一也是一个奇函数，没错，我把它俩加完的函数，大家自己来看，是不是奇函数？最高函数是奇函数？ 再举个例子， x 是 奇函数， x 立方也是奇函数， x 乘奇函数是什么？ x 四次幂偶函数。再来，奇函数 x 偶函数， x 偶函数 x 偶函数 x 偶函数。 当然我在这里面写的都是加法跟乘法，但是大家要注意，加法跟减法是一样的，乘法跟除法也是一样的，如果用除法来做奇函数，除以奇函数也是偶函数。第三个也是这里面非常重要的一个性质，来读这句话， 在原点处有定义的奇函数， f 零 b 等于零。啥意思？什么叫在原点处有定义啊？就是说 f 零是存在的，什么叫不存在？比如说举个例子啊， y 等于 x 分 之一这个反面函数图像，虽然它的确是奇函数，但是它在原点处有定义吗？ 没定义。我们现在关心的是在原点处有定义的奇函数，比如说谁呢？比如说 y 等于 x， 比如说 y 等于 x 的 地方。那像这两函数，我们发现 如果它在原点处有定义，那它的图像零点处的函数值必然为零，它一定是经过原点的，大家自己看是不是经过原点，是不是经过原点，的确是整洁洒滑。

一个视频带大家去搞天津数学春考里的奇偶性，那首先我们要去看一下定义什么叫做奇函数呀？ 奇函数肯定是过原点的，对不对？它大概的图像是这个样子它大概的图像是这个样子，那么 f 负 x 等于负的 f x， 对 不对？这儿是一的时候，它这儿是负一的时候，它这儿是负二，所以等于负的 f x。 那么什么叫做偶函数呀？偶函数是关于 y 轴对称的，我们最常见的二次函数，对不对？我们去划到，那么它是，它的定义是 f 负 x 等于 f x， 你 看它得负一的时候，它们的这个 y 值都是一样的，所以这个大家也能够去理解，对不对？ y 值都是一样的， 对不对？一合复一，一合复一。那么我们再去看一下，我们去给大家直接秒杀的一个题啊，也是这四道题，我们去看 x 的 n 次，当 n， 当 n 是 奇数的时候，奇数啊，它就是奇函数， 当 n 是 偶数的时候，它就是偶函数，它就是偶函数。那么我们去看第一个啊，一定要去看它的次幂 x 一 次是什么？奇函数？ x 四次是什么？偶函数？ x 七次是什么？奇函数？ x 分 之一，有一点点小难度，那么是 x 的 负一次，对不对？那么它也是奇函数，那么在此的时候，我们还要再去记几种啊，去记几种，一定要记住啊！ cosine alpha 是 个偶函数，我们回去画图像的时候，我们就知道它的图像是个偶函数。关于 y 轴对称 sin alpha， 贪婪的 alpha， 它就是极函数，这个是我们常见的，大家记住就可以了，听懂的同学可以给老师点个关注，点个收藏，以免后期找不到了。我是只懂天津春考的刘小刘老师，我们下次见。

好，同学们这两天就要考试了，如果还有同学不会做这种函数，怎么样是奇函数，怎么样才是偶函数这种题型呢？那就赶紧看过来哈，这条视频呢，用秒杀大招教同学们怎么去判断这种题型。好，来，我们先看第一题，下列函数在 定义内为偶函数的是哪一个选项呀？ abcd 选项里面哪一个才是偶函数呀，对吧？好，那咱们就用 代一法。什么叫代一法呢？就是令这个 x 等于一跟 x 等于负一啊，就利用这个 x 一 跟负一这种相反数带进去算得它的 y 如果是相同的，那就是偶函数，如果 y 它相反，那就奇函数。 如果它这个 y 它不相同也不相反的，那它就是非奇非偶函数嘛。啊，就是这么个道理。好，来，我们试一下 a 选项， a 选项就将这个 x 等于一跟 x 等于负一带进去，对吧？算的它 y 看是怎么样的， y 就 等于来。 当它 x 等一的时候，试一下三的来。替换成一啊，这里的 x 替换成一，那三的一次方就等于三呗，对不对？好，来，再。 x 等于负一带进去， y 等于三的负一次方 就等于三的负一次方，那就是三分之一呗，对不对？好，算得， y 就 等于三，跟 y 等于三分之一，对不对？ 好，那 y 等于三跟 y 等于三分之一，那就不相同跟不相反，那不相同跟不相反，那就非鸡非鹅呗。那 a 选项就排除掉了吗？对不对？好，来，我们再试一下 b 选项啊。 x 等于一个 x 等于负一的时候，来，我们再带进去算一下，那 y 就 等于 x 的 平方，这里都替换成一的平方。分之一，那算的就是一，那 y 等于来把 x 等于负一带进去，那就是 负一的括号。平方分之一算的这里的负一的平方，那就是一分之一，那就是减的也是一呗，对不对？好，来观察一下。 y 等于一，这里的 y 也是等一，对不对？很明显。 y 是 相同吗？ y 相同，那就是偶函数呗。很明显就 b 选项啊。 好，这道题就做完了，你有没听懂呢？最后为了检验同学们到底有没听懂，这道题就留给同学们回去做，有做出来就把答案写在评论区里。好，拜拜。