遵义初中锐角三角函数练习题

这是九年级锐角三角函数一张一道必考题，已知锐角的一个三角函数值，求其他两个三角函数值必考！ 锐角三角函数是在直角三角形当中定义的，所以画图根据一个锐角的正弦等于它的零边比上斜边， 所以不妨设每份是 k， 则 由勾股定律已知。 所以 a c a b b c 那 么 sign a 等于角， a 的 对边比上斜边。 tangent a 等于角， a 的 对边比上邻边。 亲爱的们，今天这道必考题你听懂了吗？咱们下期再见！

三角函数是初中考试的必考内容，我们来看这样一道三角函数的题目，在三角形 a、 b、 c 当中，角 c 等于九十度，弹弹 a 等于三分之四。我们知道弹弹 a 啊，它叫正切，它是指对边比邻边的定义，那我们假设 弹弹 a， 它所对的对边，那就是 b c， b c 的 长度，我们假设它是四 x， 那 邻边呢，就是三 x。 那在这样一个直角三角形当中啊，我们可以使用勾股定律，能很容易的得到 a b 的 长度呢，是指五 x， 好， 我们来看他问的，他问上弦 a 加 cosine a， 好， 上弦 a 是 指正弦，正弦的定义呢，是指对边比斜边， 那三角 a 加扣三角 a， 三角 a 呢，是指对边比邻边，那就是 b， c 比 ab 扣三角 a 呢，就是余弦，余弦是指邻边比斜边，那就是 ac 比 ab 好。 我们把刚才写的数值给它带进去， bc 等于啊四 x， ab 等于啊五 x 加上三 x， 啊比五 x， 那 就是五分之四加五分之三。显然这个空呢，应该填五分之七。

今天我们做一个关于三角函数的题目，这是一个正方体容器，棱长是九厘米，里面有水，水的高度是七厘米， 把它放在斜坡上面，斜坡的坡角是 r 法，这个时候 m n 恰好与点 a 齐平，如图二，就这个图求它的 r 法等于多少。 我们要从图上可以看到这个斜坡的坡角，而法其实就是角 d a n， 因为就是斜坡和水平面的夹角，这个要知道，所以只要求探进它角 d， a， n 就 行，把 d， n 和 ad 求出来就可以了， ad 是 九，把 d， n 求出来。我们利用等体积的方法， 水的体积都相同的，它都是柱体，所以它体积都是底面积乘高。在图一中，就是下面这个正方形的底面积，乘高 b m 在 图二中，它就是底面是一个梯形，然后再乘高 b m 或者 b， 再乘高 b b 一 撇，啊啊，这个时候就可以把 c n 求出来， c， n 求出来以后， d， n 就 可以求出来了。 所以这个贪心的角 d， a， n， 也就是贪心的阿尔法就可以求出来，是九分之四。这道题目就是这样的，关注我，我们一起在堤海中狗刨。

一个视频教会你特殊角的锐角、三角函数值。

同学们，我们前面刚刚学过锐角三角形对不对？那张表你有没有学，有没有记住啊？一定要背下来知道吧？因为它用的太广泛了。 ok， 那 我们来看一下后面这题怎么做？一道题，三十度减去两倍的 cos 六十度加上 cos 四十五度，嘿嘿， 你背了？背了这张表没有？只要你背住了，这道题就送分给你，但是如果你没背，哈哈，算了兄弟， 三十三度等于多少？二分之一，对不对？减去 cos 六十度等于多少？还是二分之一对不对？ 加上 cos 四五度等于多少？等于一，立马就知道，对吧？答案，等于多少？二分之一减去一加一等于二分之一，就是这么简单，对吧？好，那我们再看下这道题。 一减掉三的零值方，减去一减三，三十度，它的绝对值再加上二分之一的负一方，你看任何数的零值方都等于一，对吧。所以求一减去三十三度等于多少？二分之一一定要形成肌肉记忆，就这么简单对不对？ 再加上二分之一的负一值等于多少，就是二分之一的导数。二分之一的导数等于多等于几啊？等于二好，一减去一减二分之一等于多少？等于二分之一，对不对？二分之一的绝对值等于多少，肯定也等于二分之一，对不对？ 这样子啊，对不对？那他等于多少啊？这就不用再说了，对不对啊？我们再看一下这道题，这道题可有意思了，不是，以这算法为例，加三，以算法减去 cosine 等于二分之二二， 求 sine 加上 cosine 啊，这个好像有点点，看上去有点像完全平方公式，它又有点不对，是不是？好，那我今天教一下你，我们这里一个直角三角形对不对？ 咱们这个角有 alpha， 它对应的边，这为 a， 这为 b， 它为 c， 对 不对？它是直角三角形，那 sine alpha 它会等于多少呢？ 是不是？对边除以斜边， a 分 之 a 除以 c， 对 不对？ cos 平方，它会等于多少？邻边除以斜边对不对？ b 分 之 c， 对 不对？那 cos 平方加 cos 平方的平方，它会等于多少呢？看 c， a 的 平方除以 c 的 平方，对不对？哎，你看，它会等于 c 的 平方， a 的 平方加上 b 的 平方，对不对？ 是不是？哎，那它会等于几？勾股对，你 a 的 平方加 b 的 平方就等于 c 的 平方，它会，它会等于一，它就会等于一，对不对？哎，有意思哦， 但我只要将它平方一下，就会出现一个这样的东西哦，对不对？好，那 sin alpha 减去 cosine alpha， cosine 平方，它会等于多少呢？等于 sin alpha 的平方加上 cos 平方的平方，对不对？然后再减去两倍的 cos 平方， cos 平方，对不对？是不是等于这个？ 哎，那我们知道这个是等于一，对不对？就等于减去两倍的 cos 平方， cos 平方等于几呢？就等于二分之一，对不对？ 来，我们就知道，两倍的 si 加 f 和 si 加 f， 它会等于几？一样等于二分之一，对不对？把它移到等子的左边，把这二分之移过去，对不对？二分之一，对不对？一减二分之一，二分之一，对不对？那 si 加 f 加上 cos 平方，哎，如果我做个平方呢？它会等于几？它是不是也会等于三平方加上 cos 平方的平方，再加上，再加上两倍的 sin and alpha， cosine alpha， 记住哦，这个公式一定要完整！平方公式一定要记住哦！好，这个等于多少？是不是等于一加上两倍的 sin and alpha？ cosine alpha， 哎，我们前面已经算出来了对不对？ 咱们一算出来，它等于二分之一哦，对吧？那我们就带进去，等于一加上两倍的，再加上二分之一，对不对？那就会等于二分之三，对不对？哎，那 cos 与 alpha 加上， 那么三与 alpha 加上 cos 与 alpha， 它会等于多少？ 是不是？对，他最近开方对不对？等于正负根号二分之三，对不对？对不对？但是我们要知道，他是锐角，那么他的值会等于多少？ 它是一定是大于零的哦，它大于零的话，两个大于零的数相加，它是不是也要大于零？它绝对为正数，对不对？所以负边和 r 一定要舍去哈！所以三引 r 加上 q 三引 r 就 得二分之 幺三，对不对？它会等于多少？等于二分之根号六，对不对？好，答案，就等于二分之根号六，学会了吗？一定要记住哦！这道题里面的这个公式三， x 加 cosine x， 它的平方三， x 的 平方加 cosine x 的 平方，它会等于一，哎，这个一定要记住哦！

朋友们，好玩好玩，有一道题很好玩，那是关于锐角三角函数的啊，我们来看一下后面这道题哈。如图，在直角三角形 a、 b、 c 中判定 r 等于三分之四九，判定的二分之 r， 它的一半，嘿，怎么求？ 我们知道等腰三角形对不对？哎，这两个角相等对吧？哎，那我可以怎么去把这两个角加起来呢？我们一把它加起来，呃，我，它的外角 不就等于这两个角之和吗？对不对？那它等于多少？它一定会等于二分之 r， 对 不对？哎，那如果我要知道这个角的一半，我要求它的角的一半怎么办？哎，那我只需要构建一个等腰三角形即可，对不对？好， 哎，这个 r， 那 我怎么去构建一个等腰三角形呢？那肯定是把它延长一下 对不对？让这条边会等于它，对不对？我把 b、 c 延长到这里， d 点对不对？让 d 让 c d 等于 a c 对 不对？然后再把它连接起来 对不对？再把它连接起来。我，那这个角会等于多少？是不是？等于二分之二吧？这个角也会等于二分之二吧，对不对？哎，那求它的正切，那不就求这个角的正切吗？呵呵，那我好可以 有想法就行动起来。那由于就是延长 b c 至 d 点，使得 c、 d 等于 b c， 对 吧？哦，不，使得 c、 d 是 不是等于 b c？ 搞错了， c、 d 要等于 a c 对 不对？ c、 d 等于 a c， 好， 那与乘以 r 法等于三分之四对不对？那我们可以假设， 欸，爸爸，那么 a、 b 会等于四 x， 对 吧？那么 b、 c 就 会等于三 x， 对 不对？是不是四 x 三 x， 欸，那 a、 c 等于多少？ 它采用勾股定律对不对？它就会等于五 x， 它就一定会等于五 x， 对 不对？它等于五 x 之后，它等于多少 cd， 那 么 cd 也会等于五 x， 对 不对？哎？ cd 等于五 x， 那 么 tan 角 d， tan 角 d 等于多少，它就会等于 ab， 对吧？ a b 除以 b d， a b 等于多少？四 x， b d 呢？等于三 x 加上五 x， 对 不对？ 等于三 x 加五 x， 对 不对？哎？等于四 x 除以八 x， 哎，就会等于二分之一， 哎，那就弹成二分之二吧，就会等于二分之一，对不对？算出来了吧，好玩吧？所以记住了，往后求半角， 一个角的一半的时候一定要记住，等腰三角形。好吧，记住了。

哈喽，大家好，我是一点老师曲传运这个专题把，来玩转锐角三角函数的表示及求值。啥是锐角三角函数呢？其实就是一个锐角所在的直角三角形当中，两边的比值就是相应的锐角三角函数值。 常见的我们有正弦、余弦正切，很多同学呢，已经不再见到余切了，我们在这里作为一个选学。当然呢，你以后还会遇到正歌余歌这个专题呢，我们重点就是这三个。先来说正弦值， 就是某一个锐角所在的直角三角形当中，正对着的直角边比上斜边，它记作 sine， 你 像 sine a 的 话，就是指角 a 的 正弦值的意思，它读作 sine sine a， 其对边比上斜边，正对着的直角边，就是这里的正的意思。 斜边呢，有个名字叫做弦。哎，这个比较形象啊，为什么叫弦呢？在什么地方才会有弦啊？弓箭上的那个弓，那把弓上就会有弦，我们把直角三角形就可以看作一把弓，而斜边呢，就是那个弓的弦，搭弓射箭。 好，那这样的话，我们就知道正弦这个名字的来源了，正 a 就 等于 c 分 之 a。 好，类似的，我们还可以写出来上引 b 吧。上引 b 呢，就是指锐角 b 所在的直角三角形，对边比斜边对，也就是 b 比上 c 啊。 好，我们再来看余弦值，余弦值呢，除了正对着直角边，还有余下的一条直角边，因为它就两条直角边，它记作口上引。 如果是口上引 a 的 话，那就表示角 a 的 余弦值，角 a 邻边比斜边，就是它的余弦值，也就是 b 比上 c。 那 我们还可以类似的写出来口上引 b， 口上引 b 呢，代表的是角 b 的 余弦值，角 b 的 邻边比上它的斜边， 就是 a 比上 c。 看到一个小秘密了吗？撒野 a 跟口撒野 b 怎么样啊？是不是相等啊？都等于 c 分 之 a 呢？然后还有呢，口撒野 a 跟撒野 b 是 不是也相等啊？它们都等于 c 分 之 b 里面呢？再看一看规律的话，会发现呢，撒野 a 跟口撒野 b 这里的角 a 角 b 啊，是互余的一个关系。 这说明，如果两个角互余的话，其中一个角的正弦值就等于它余角的余弦值。同样，这个也是一样的， 口算以 a 跟算以 b 相等，角 a 角 b 互余，这说明这个角的余弦值就等于它的余角的正弦值。 角 a 角 b 互余的话，其中一个角就是另一个角的余角了。好，我们再来说正切，正切呢，角 a 的 正切值就记为贪整它 a， 它是哪两条边的比值呢？是正对着这角边比上余下的这条角边，因此呢，正切就是 a 比上 b， 那 我们再写一个余起啊，再写一个角 b 的 啊，正切也就是贪整它 b， 就是指角 b 正对着直角边比上邻边，那就是 b 比上 a， 你 会发现， b 分 之 a， 这是 a 分 之 b， 它俩是不是互为倒数啊？这说明呢，贪婪的 a 跟贪婪的 b 呢，是互为倒数的一个关系。或者说，贪婪的 a 乘以贪婪的 b 就 等于一 这个角 a 角 b 互余的时候，其中一个角的正切值就是另一个角正切值的倒数。 好，我们在这说鱼切值，鱼切呢，即为口贪着的 a， 就是 指啊，鱼下的这条直角边比着正对着的直角边，怎么样？你会发现口贪着的 a 呢，跟贪着的 a 也是互为倒数的， 所以我们很多同学不学鱼切的原因就在这里了，能用鱼切解决的问题的，一定也能够用正切去解决正切的倒数就是了呗。 这些锐角三角函数值呢？他们的大小就是这些比值啊，止于一个量有关系。哪个量呢？ 就是止于角的大小。你像三 a， 他 具体是多少止于角 a 的 度数，角 a 的 度数是多少度，那么就相应的会计算出来他的这个正弦值。当然了，余弦值、正切值也都是固定的一个比值， 与这个锐角所在的三角形的形状大小是无关的。比如说这边的角 a， 我 还可以给他，哎，画成这样一个三角形，在这个三角形当中， 他不影响角 a 的 正弦与弦，正切的角 a 的 正弦与弦正切是他本身度数的一个反应 啊。我画的这个蓝色三角形不是直角三角形，你就不能说是这个边比上这个边了啊？ 我们的定义当中的这个三角 a， 口三角 a， 探角的 a 必须是这个锐角所在的直角三角形。对边比上，哎，斜边叫做正弦，临边比上斜边叫做余弦，对边比上临边的话叫正切。 那这个蓝色三角形不是直角三角形，我们没法用这个三角形，那有他说我就给他画一个直角三角形，行不行？我再画一个跟他这个不一样大的，我画一个小一点的，小一点的话，其实它是不影响比值的。 比如说我把它画到这个 a d e 这个直角三角形当中，你像三 a 的 话，也可以说是 d e 比上 ad 行不行？行啊， d e 比上 ad， 你说这个比值，它跟这边的比值是不一样的，是一样的，它跟 bc 比上 ab 的 比值是一样的。为什么？大家想想，为什么？因为三角形 abc， 它呢？跟三角形 a、 d、 e 是 什么关系啊？是不是相似的呀？啊？平行 a 字形的相似呢？ 那既然相似的话，相似三角的对应边乘比例，这就是说明，这就是对应边乘比例呀。啊，那也就是说，根据相似三角对应边乘比例，这就说明他俩的比跟他俩的比是一样的。 这就说明呢，这个角 a 的 三角函数值与他所在的三角形的形状大小都无关的。我们计算那个角的三角形的形状大小都无关的。我们计算那个角的三角形呢，可大可小， 都不影响锐角的三角函数值。这个注意事项呢，大家一定要把它牢牢记住，好了，操练起来。例一，如图一，直角三 a， b， c， 中角 c 等于九十度， b， c 等于三， a， c 等于四。那你说斜边呢？对，就是五勾三股四弦五啊，由勾五定力可以算出来， 三 a 三 a 呢，就是指角 a 的 正对的直角边比上弦，就是三比上五， 然后口算 a 呢，就是余下的那条直角边四比上斜边五摊着的 a， 那 就是对边比上邻边。也就是 啊，三比上四，口摊着 a 呢，就反过来比了，就是四比上三好。如图二，在直角三角 bc， 中角 c 呢，它等于九十度， bc 等于五， 斜边 ab 呢，它等于十三。哎，五十二，十三，有股股内里不难发现呢， a、 c 应该等于几？等于十二，你也可以随时暂停自己充分计算之后再继续好算一 a， 那 就是对边比上斜边，也就是五比上十三， 那口三以 a 呢，对，就是十二比上十三呗，贪婪的 a 就是 五比上十二，然后口贪婪的 a 呢，就十二比上五。这样的话，通过这个利益，我们就把它的定义进一步的加深理解和使用了。 好，例一，搞明白的同学，欢迎回复个六，我们再来看例二说，如图，在直角三角形 bc 中，角 bc， 这个呢，是九十度的角 a、 d 垂直 bc 与 d 啊，说明这个地方又有垂直，又有九十度，这边呢，也有九十度里面的这三个直角三角形。我们在双垂直那个模型当中知道 这三个直角三角形都是相似的，双垂直。忘了，同学可以关注我们的双垂直模型的是下列结论，不正确的是，注意，我们要看清了，是找不正确的好， a 选项三以 b 等于 a， d 比 ab 三以 b， 首先找到这个角 b 这个锐角，它所在的直角三角形对边比斜边， 那 a、 d 是 不是它对边？是的，是哪一个直角三角形的？是直角三角形 abd 的 呗，在这个直角三角形当中，其对边是它，斜边是它， 那这不就第一个对了啊， a 选项这个是正确的，但别激动呦，我们要找不正确的， a 选项正确的话，我们就把 a 选项淘汰掉。好，再来看 b 选项三以 b 呢，等于 a， c 比上 b、 c， 对 不对呢？也对，因为呢， a、 c、 bc 呢，是这个最大的直角三角形对边跟斜边的一个关系， 所以呢，也是符合了正弦值的定义，那它也正确。好，我们再看一下 c 选项算一 b 呢，等于 a、 d 比上 a、 c， 看看 a、 d， a c， a d 比上 a、 c 的 话，是谁的对边，谁的斜边啊？是不是角 c 的 呀？ 就是说，这里的 a、 d 比上 a、 c， 它呢，实际上是角 c 的 正弦值，它应该等于算一 c， 而并不是算隐 b。 有 的人说算隐 b 跟哪个角相等？记住了哈，如果两个角相等的话，这两个角啊，度数相同，他们的锐角、三角函数值呢，都分别相等。 其实角 b 呢，它是等于这边的这个角一的，为什么等于角一啊？因为角 b， 它跟角 c 是 互余的。直角三角形的两个锐角互余， 角一跟角 c 呢，也是互余的啊，因为呢，这个直角三角形 a、 c、 d 当中，也是两个直角互余角 b 角一都是同一个角 c 的 余角，同角的余角当然相等，所以角 b 呢，它是等于角一的啊，因此呢，角 b 等于角一，那么 sin b 也就等于 sin 角一呗。 啊，为什么整到三角一上来？因为呢，三角一呢，它的对边、斜边就跑到这个三角形当中，就与 a、 d、 a、 c 有 关的直角三角形不就出来了吗？它是等于 c、 d 比上 a、 c 好。 显然呢， c、 d 比上 a、 c， 并不是 a、 d 比上 a、 c， 它整反了，所以 c 选项这个地方错了，那么他要是改的话呢，就把这个 a、 d 换成这里的 c、 d 就 好了，对吧？把 a、 d 换成 c、 d， 这里的分母呢，是一样的， 所以 c 选项错了的话，咱们就选择 c 好， 再来看 d 选项，三以 b 呢，等于 c， d 比上 a、 c， 哎，三以 b 跟三角一相等， 这是不是对的啊？啊，我们都已经推过了啊，这个是正确的，正确的咱就不带选它了，这就是我们的例二。那通过例二，我们要知道，在直角三角当中，斜边的高分的两个三角形里面呢，这个角的正弦值也相等，正确值也相等， 那么角 c 呢，其实跟这边的这个角二是相同的，所以呢，角 c、 角二的相关的三角函数值也是相同的。比如说，口算一 c 就是 c d 比上谁啊？比上 a， c 就是 邻边，比上斜边，这口算一 c， 那 么口算角二， 它的邻边是 a d 比上 ab， 这说明呢？哎，它口上以 c 呢，还可以写成是跟角二那个余弦值一样的，就是 a d 比上 ab。 当然呢，口算一 c， 你 还可以把它切换到一个最大的那个直角三 a、 b、 c 当中，它的邻边 a c， 它的斜边 b c， 哎，这说明呢，这一些呢，比值都是相等的，都是口算一 c， 都跟口算一 c 也是相等的。当然，你也可以去通过这个图练一练摊着它。 好了，这道题呢，你就可以变一变，你自己都会出题了，你是不是很厉害了，欢迎回复个六六。 好，我们再看例三说珠都带直角三形 b， a， d 中延长斜边 b d 到点 c， 使 d c 等于二分之一 b， d， 说明它呢，是它的两倍的一个关系连接 a c， 若摊着的 b 等于啊，五比上三。什么是摊着的 b？ 要找一找它所在的直角三也行， 他所在的直角三角形对边比上邻边，他的对边是不是 a d， 他 邻边呢，就是 ab， 说明这个比值呢，就是五比上三， 则摊成的角 c， a、 d 是 多少？那找一找摊成的角 c a、 d 啊，就这个角，这个角呢，要看看他所在的直角三角形，一看不在啊， 因为呢，正切值就是指这个角所在直角三角形，对边比邻边，他不在直角三角形怎么办呢？构造，那你就给他做个垂直呗，比如说做 a、 d 的 垂线，这个方法是可以的啊， 要是做 a、 c 的 垂线呢，你也可以试试这个方法呢，应该是不行的，甚至呢还可以过点 c， 做 a、 d 的 垂线，他会交 a、 d 的 延长线，哎，于一个点，比如说于点 e 吧， 这样的话呢，构造出来直角三角形，我就以最后这个方法为例啊，当然你也可以做 a、 c 的 这个垂线，再去试一试，并不是所有的都可以的。多试几个方法的话，我们融汇贯通了吗？我们道路啊就多了。 那在这里根据定义的话，摊成的角 cad 就是 指这个锐角所在的直角三角形，现在已经出现了，就是直角三角形 a、 c、 e， 那么在这个直角三角形当中，对边比上邻边，对边就是 c e， 邻边呢就是 a e， 这个比值就是它的角 c a d。 好，现在呢， c 也不知道， a 也不知道呀，整个图上他给我们哪一条线段长度了吗？没有，没有的话我们就得干什么呢？反正这里是求笔直的，可以给他用设参的方法，就是设出来个参照单位。一般来说呢，你可以设短的，这样的话，那些长的都是短的那个倍数 啊，比如说这个 c、 e， 你 设它是多少？我们发现里面呢，有八字形，平行八字形的一对直角三角形，它是相似的， 你看我用红笔描一描，一大一小，这两个直角三角形是不是相似的？有一个直角有个对顶角平行八字形的相似啊，那相似比是多少？大的比小的 斜边是不是跟斜边是对应边？通过这个你可以看到 d， c 呢是 b， d 的 一半，说明 b、 d 呢就是 c、 d 的 两倍。好了，它是两倍的话，说明这个大的跟这个小的比值呢？对应边的比值都等于二呗， 都等于二的话，这边的 a、 d 比上 ab 是 五比上三， 说明这边的它比上它也是五比上三。因为对应边乘比例，你这个三行当中，这个这个 a、 d 长的直角边占五分，短的占三分， 那么在这个三行当中，它的长的直角边跟短的直角边的比值也一定是五比上三。五比上三的话，那我就给他设这个是三 k 吧，占三分的为三 k， 占五分的设为五 k。 然后我们知道这个大的跟这个小的相似比是二倍的关系，那 a、 d 就是 它的两倍，对，就是十 k 呗。然后 ab 呢是它的两倍，它对应边比值是二，所以它就是六 k 呗。 好，那现在的话，我们来看看这个比值出来了没有。 c、 e 是 三 k 啊，十加上五，一共十五 k， 这里这个参数呢，就是一个参照单位，你会发现在比值当中它会光荣的牺牲啊， k k 约去了， 也就是十五分之三及五分之一，所以这个正切值我们就给它求出来了。当然呢，你也可以把这个角的啊，余弦值，正弦值都可以给它整一整，对不对？求正弦，余弦的话，需要把弦给它求出来。由勾股定律同样可以把 a、 c 的 长度用 k 的 代数式来表示一下。 好，例三，搞明白的同学欢迎回复个六六六，再来看例四说，如图，每个小正方形的边长均为一点， a、 b， c， d， e， f， m， o， n 都在格点上，所谓的格点就是网格线的交叉点呗， 则 sin a， cosine d， tangent o。 我 们来看一下在网格当中，这些锐角三角函数值怎么来计算。找到这个角 a， 看看角 a 所在的直角三角形，哎呦，没有啊，他给的这个是红色的 abc， 那此时呢，必须给他构造出来直角三角形啊。正弦值的话，就是他所在的直角三角形当中的对边比斜边，怎么来构造呢？观察观察，我们发现可以把 a、 b 呢 延伸延伸给他延长过来，你说是不是就碰到格点了？为什么他就碰到格点了呢？你会发现 a、 b 呢？他整个就是每一个小正方形的对角线 跨越过来的，对不对啊？你看这一段是不是正方形的对角线，这一段是不是又是一个？那么再延伸过来就是第三个正方形的对角线了。我们知道正方形的对角线呢，它跟边之间是夹角呀，是不是四十五度？ 正方形的对角线长是多少？边长的根号二，根号二，根号二，这三个根号二了， 那么这里还没出现直角三角形啊，别着急，我再把这边再一个连，这不就出现了吗？因为我连的这个又是一个小正方形的对角线，你看他是不是小正方形的对角线啊？他既然是小正方形的对角线，说明这边这个角也是四十五度。 好，这两个四十五度不就拼成了个直角了吗？那这样的话，三 a 也就是指角 a 正对着的直角边就是根号二吧，比上这个斜边 a、 c， a、 c 是 多长呀？ a c 呢？其实这是根号五，这又是根号五，怎么看出根号五来呢？你可以把这个放到这样的一个直角三角形当中呀， 一条直角边一，一条直角边是二一二，根号五，勾五定得算出来的呗。或者呢，你把它放在这个大的直角三角形当中，一条直角边呢是二，一条直角边呢，是四，根号下二的平方加四的平方一化简就是二倍的根号五。 好，这样的话，这是根号二，这是二倍的根号五，所以对边是根号二， 斜边是二倍的根号五，那再给他化简一下，上下同时乘以根号五，行吧。下边呢，出现根号五的平方变成了五乘以二，也就是十， 上面的根号二乘以根号五，也就是根号十，所以散引 a 就 求出来了，就是十分之根号十。 在网格当中的这些锐角三角函数呢啊，没有直角三角形的时候就给它构造就是了。好，我们再看口三与 d， 先来找到角 d 在 这里，它所在的直角三角形在哪里啊？也没有，对不对啊？ 那我们发现 d、 e、 d、 f 他 们的长度呢？其实是可以求出来 d， e 是 不是二倍根号五啊？ d f 呢，也是二倍的根号五哦，它是个等腰三角形啊，当然得把这个 e、 f 连起来，它才会出现等腰三角形， 用的着的时候就连用不着，那你得把它擦掉就是了。我们要研究口三角地，你得找角地所在的直角三角形啊，你这么连了 e、 f， 他 也没出现直角三角形。别着急，我可以过点 e 呢，往这边做一个垂直行不行？ 不过呢，做出来这个垂直呢，垂足他也不在格点上，你比上这段长，就是他不在格点上，怎么办？ 那就得想办法去求这段长度。好，这个垂足我们给他记为是点屁吧。 那你需要把 d p 求出来，反正这 d e 咱就求出来了。其实呢，你把 e p 求出来就行了， e p 求出来有固定就可以把 d p 求出来。这个 e p 呢，它是这个等腰三角形，腰上的高， 腰上的高，两腰又知道底边能不能知道？底边也知道啊，底边是不是二倍根号二，这根号二啊，对一个等腰三行来说呢，三条边都知道了，我是可以把什么求着三线和，又可以把底边上的中线，当然了，底边中线也是底边的高，这个呢，给它做出来。我们可以利用等面积法 啊，连了这个底边，中线刚好就在格点上，因为这是根号二，正中间不就是这个格点吗？ 啊，那这个格点呢，即为是 q 点的话，运用等面积法来解决 e p 的 问题。二分之一 d f 乘以 e p， 这是这个等幺三型的面积。等幺三型的面积还可以写成二分之一， e f 乘以 e f 边上的高就是 d q， d q 它是中线，当然它也就是高，这就三线合一，两边都有二分之一呢，你可以把二分之一都擦掉就行了。 然后 d f 是 二倍的，根号五， 然后乘以 e p 是 未知数呗。啊，左右两边擦掉二分之一了，然后再来看， e f 是 二倍的根号二， 这是 e f， 然后乘以的是 d q， d q 的 话，你属于是一个根二，两个根二，三根二，它是不是 d q 就 穿过了三个正方形的对角线， 那就是三倍的根号二，你看这不就是这四条线段三缺一啊， 就是 d f 能求出来， e f 能求出来， d q 能求出来，不就缺它了吗？这不就是构造了一个等面积方程吗？就是面积方程，然后两边都除以二倍的根号五，是不是就把 e p 给它求出来了？ 对，求出来呢，它是五分之六倍的根号五，那在由勾股定律就可以把 d p 给它求出来， dp 就 等于 d e 的 平方减去 d p 的 平方，然后开方得到 d p 呢，是五分之八倍的根号五，然后余弦值就是 d p 比上 d e， d e 是 二倍的根号五 上下呢，把根号五约去，相当于变成了五分之八，除以二，除以二的话就乘以二分之一，那也就是五分之四。 对于这个角 d 所在的直角三角形的构造呢，你也可以过点 f 往这边做垂直，也是 ok 的， 效果呢是相同的，但是呢都离不开什么，就是这里的等面积法构造个面积方程，以便呢，我们把这个 啊， dp 与腰上的高给他整出来。好再来看贪着的 o， 其实这种类型的题目，它充满了探索的乐趣啊，贪着的 o 呢，就是指角 o 所在的直角三角形，其对边比邻边， 那么他所在的直角三角形，现在他就给了个角啊，没有出现直角三角形。那我们发现呢， m 点， n 点呢？连一连看看这个三角形，看上去呢，差不多像是个直角三角形。那有两个方法去判断， 比如说你可以由勾五定点的逆定点算一下，这边呢，它是根号五，这边呢也是根号五，那这两条边的平方和呢，就是十，而这一条边呢，就刚好是根号十吧，怎么看出来根号十？因为这是一，这是三， 放在这个直角三角形当中有勾股定律，就可以把 o m 的 长度求出来，是不是发现两条边的平方和等于最长边的平方啊，那就是这就是直角了。还有一个思路呢，就是你把这里边的这个 o n 看作是这样的一个宽为二，然后高为一的这样的一个矩形的对角线，然后把 m n 看作竖起来的这个高为二，宽为一的矩形对角线。 那这两个矩形之间的关系呢？相当于躺着的这个绕着 a n 点啊，绕着 n 点， 把他拉起来，你起来吧，又躺着站起来了，这是不是转了九十度？原来躺这条边，现在呢，变到这里来了，这不就是互相垂直的一个九十度吗？那既然他是往这个方向转过来了九十度，那显然这个矩形在躺着的时候的对角线跟站起来的对角线 一样，他也是旋转了九十度，由此呢就可以得到啊，这个呢，就是九十度呗。好，既然是九十度了，那也就说他这个正切值就对边比上邻边，是不是相等啊？一比上一，那就是一呗。 所以我们要擦亮火眼金睛，没有直角三角形的去给他构造出来直角三角形构造的方法要灵活充分的利用这网格，这网格当中的锐角三角函数，好玩的地方就在这里，他充满了一种探索的乐趣， 这样的题他才好玩。然后这个呢，哎，我们发现连起来他就出现了，相对来说就简单一些 啊，这个得需要运用等面积法啊。这道题值得你停下来呢，再去多探索一会，体验体验其中的美妙的乐趣啊。这个例子呢，搞明白同学，欢迎敲个六六六六。 好了，下面总结一下逆角三角函数。首先呢，把这些定义给他记准了，他啊定义，别给他记混了。当然呢，根据这些名字就可以记下来。 另外呢，要注意，我们要加深理解，锐角三角函数值只与那个角的具体的度数大小有关，而与所在的三角形啊，那个形状大小都是没有关系的。好了，这个专题就为大家讲解到这里，同学们再见！

哈喽，大家好，我是一点老师曲传运这个专题把，来玩转锐角三角函数的表示及求值。啥是锐角三角函数呢？其实就是一个锐角所在的直角三角形当中，两边的比值就是相应的锐角三角函数值。 常见的我们有正弦、余弦正切，很多同学呢，已经不再见到余切了，我们在这里作为一个选学。当然呢，你以后还会遇到正歌余歌这个专题呢，我们重点就是这三个。先来说正弦值， 就是某一个锐角所在的直角三角形当中，正对着的直角边比上斜边，它记作 sine， 你 像 sine a 的 话，就是指角 a 的 正弦值的意思，它读作 sine sine a， 其对边比上斜边，正对着的直角边，就是这里的正的意思。 斜边呢，有个名字叫做弦。哎，这个比较形象啊，为什么叫弦呢？在什么地方才会有弦啊？弓箭上的那个弓，那把弓上就会有弦，我们把直角三角形就可以看作一把弓，而斜边呢，就是那个弓的弦，搭弓射箭。 好，那这样的话，我们就知道正弦这个名字的来源了，正 a 就 等于 c 分 之 a。 好，类似的，我们还可以写出来上引 b 吧。上引 b 呢，就是指锐角 b 所在的直角三角形，对边比斜边对，也就是 b 比上 c 啊。 好，我们再来看余弦值，余弦值呢，除了正对着直角边，还有余下的一条直角边，因为它就两条直角边，它记作口上引。 如果是口上引 a 的 话，那就表示角 a 的 余弦值，角 a 邻边比斜边，就是它的余弦值，也就是 b 比上 c。 那 我们还可以类似的写出来口上引 b， 口上引 b 呢，代表的是角 b 的 余弦值，角 b 的 邻边比上它的斜边， 就是 a 比上 c。 看到一个小秘密了吗？撒引 a 跟口撒引 b 怎么样啊？是不是相等啊？都等于 c 分 之 a 呢？然后还有呢，口撒引 a 跟撒引 b 是 不是也相等啊？它们都等于 c 分 之 b 里面呢？再看一看规律的话，会发现呢，撒引 a 跟口撒引 b 这里的角 a 角 b 啊，是互余的一个关系， 这说明，如果两个角互余的话，其中一个角的正弦值就等于它余角的余弦值。同样，这个也是一样的， 口算以 a 跟算以 b 相等，角 a 角 b 互余，这说明这个角的余弦值就等于它的余角的正弦值。 角 a 角 b 互余的话，其中一个角就是另一个角的余角了。好，我们再来说正切，正切呢，角 a 的 正切值就记为贪整它 a， 它是哪两条边的比值呢？是正对着这角边比上余下的这条角边，因此呢，正切就是 a 比上 b， 那 我们再写一个余起啊，再写一个角 b 的 啊，正切也就是贪整它 b 就是指角 b 正对着直角边比上邻边，那就是 b 比上 a， 你 会发现， b 分 之 a， 这是 a 分 之 b， 它俩是不是互为倒数啊？这说明呢，贪婪的 a 跟贪婪的 b 呢，是互为倒数的一个关系。或者说，贪婪的 a 乘以贪婪的 b， 就 等于一 这个角 a 角 b 互余的时候，其中一个角的正切值就是另一个角正切值的倒数。 好，我们在这说鱼切值，鱼切呢，即为口贪着的 a， 就是 指啊，鱼下的这条直角边比着正对着的直角边，怎么样？你会发现口贪着的 a 呢，跟贪着的 a 也是互为倒数的， 所以我们很多同学不学鱼切的原因就在这里了，能用鱼切解决的问题的，一定也能够用正切去解决正切的倒数就是了呗。 这些锐角三角函数值呢？他们的大小就是这些比值啊，止于一个量有关系。哪个量呢？ 就是止于角的大小。你像三 a， 他 具体是多少止于角 a 的 度数，角 a 的 度数是多少度，那么就相应的会计算出来他的这个正弦值。当然了，余弦值、正切值也都是固定的一个比值， 与这个锐角所在的三角形的形状大小是无关的。比如说这边的角 a， 我 还可以给他，哎，画成这样一个三角形，在这个三角形当中， 他不影响角 a 的 正弦与弦，正切的角 a 的 正弦与弦正切是他本身度数的一个反应 啊。我画的这个蓝色三角形不是直角三角形，你就不能说是这个边比上这个边了啊？ 我们的定义当中的这个三角 a， 口三角 a， 探角的 a 必须是这个锐角所在的直角三角形。对边比上，哎，斜边叫做正弦，临边比上斜边叫做余弦，对边比上临边的话叫正切。 那这个蓝色三角形不是直角三角形，我们没法用这个三角形，那有他说我就给他画一个直角三角形，行不行？我再画一个跟他这个不一样大的，我画一个小一点的，小一点的话，其实它是不影响比值的。 比如说我把它画到这个 a d e 这个直角三角形，你像三 a 的 话，也可以说是 d e 比上 ad 行不行啊？ d e 比上 ad， 你说这个比值，它跟这边的比值是不一样的，是一样的，它跟 bc 比上 ab 的 比值是一样的。为什么？大家想想，为什么？因为三角形 abc， 它呢？跟三角形 a、 d、 e 是 什么关系啊？是不是相似的呀？啊？平行 a 字形的相似呢？ 那既然相似的话，相似三角的对应边乘比例，这就是说明，这就是对应边乘比例呀。啊，那也就是说，根据相似三角对应边乘比例，这就说明他俩的比跟他俩的比是一样的。 这就说明呢，这个角 a 的 三角函数值与他所在的三角形的形状大小都无关的。我们计算那个角的三角形的形状大小都无关的。我们计算那个角的三角形呢，可大可小， 都不影响锐角的三角函数值。这个注意事项呢，大家一定要把它牢牢记住，好了，操练起来。例一，如图一，直角三 a， b， c， 中角 c 等于九十度， b， c 等于三， a， c 等于四。那你说斜边呢？对，就是五勾三股四弦五啊，由勾五定力可以算出来， 三 a 三 a 呢，就是指角 a 的 正对的直角边比上弦，就是三比上五， 然后口算 a 呢，就是余下的那条直角边四比上斜边五摊着的 a， 那 就是对边比上邻边。也就是 啊，三比上四，口摊着 a 呢，就反过来比了，就是四比上三好。如图二，在直角三角 bc， 中角 c 呢，它等于九十度， bc 等于五， 斜边 ab 呢，它等于十三。哎，五十二，十三，有股股内里不难发现呢， a、 c 应该等于几等于十二，你也可以随时暂停自己充分计算之后再继续好算一 a， 那 就是对边比上斜边，也就是五比上十三， 那口三以 a 呢，对就是十二比上十三呗，贪婪的 a 就是 五比上十二，然后口贪婪的 a 呢，就十二比上五。这样的话，通过这个利益，我们就把它的定义进一步的加深理解和使用了。 好，例一，搞明白的同学，欢迎回复个六，我们再来看例二说，如图，在直角三角形 bc 中，角 bc， 这个呢，是九十度的角 a、 d 垂直 bc 与 d 啊，说明这个地方又有垂直，又有九十度，这边呢，也有九十度里面的这三个直角三角形。我们在双垂直那个模型当中知道 这三个直角三角形都是相似的，双垂直。忘了，同学可以关注我们的双垂直模型的是下列结论，不正确的是，注意，我们要看清了，是找不正确的好， a 选项三以 b 等于 a， d 比 ab 三以 b， 首先找到这个角 b 这个锐角，它所在的直角三角形对边比斜边， 那 a、 d 是 不是它对边？是的，是哪一个直角三角形的？是直角三角形 abd 的 呗，在这个直角三角形当中，其对边是它，斜边是它， 那这不就第一个对了啊， a 选项这个是正确的，但别激动呦，我们要找不正确的， a 选项正确的话，我们就把 a 选项淘汰掉。好，再来看 b 选项三以 b 呢，等于 a， c 比上 b、 c， 对 不对呢？也对，因为呢， a、 c、 bc 呢，是这个最大的直角三角形对边跟斜边的一个关系， 所以呢，也是符合了正弦值的定义，那它也正确。好，我们再看一下 c 选项算一 b 呢，等于 a、 d 比上 a、 c， 看看 a d， a c， a、 d 比上 a、 c 的 话，是谁的对边，谁的斜边啊？是不是角 c 的 呀？ 就是说，这里的 a、 d 比上 a、 c， 它呢，实际上是角 c 的 正弦值，它应该等于算一 c， 而并不是算隐 b。 有 的人说算隐 b 跟哪个角相等？记住了哈，如果两个角相等的话，这两个角啊，度数相同，他们的锐角、三角函数值呢，都分别相等。 其实角 b 呢，它是等于这边的这个角一的。为什么等于角一啊？因为角 b， 它跟角 c 是 互余的。直角三角形的两个锐角互余， 角一跟角 c 呢，也是互余的啊，因为呢，这个直角三角形 a、 c、 d 当中，也是两个直角互余，角 b 角一都是同一个角 c 的 余角，同角的余角当然相等，所以角 b 呢，它是等于角一的啊，因此呢，角 b 等于角一，那么 sin b 也就等于 sin 角一呗。 啊，为什么整到三角一上来？因为呢，三角一呢，它的对边、斜边就跑到这个三角形当中，就与 a、 d、 a、 c 有 关的直角三角形不就出来了吗？它是等于 c、 d 比上 a、 c 好。 显然呢， c、 d 比上 a、 c， 并不是 a、 d 比上 a、 c， 它整反了，所以 c 选项这个地方错了，那么他要是改的话呢，就把这个 a、 d 换成这里的 c、 d 就 好了，对吧？把 a、 d 换成 c、 d， 这里的分母呢，是一样的， 所以 c 选项错了的话，咱们就选择 c 好， 再来看 d 选项，三以 b 呢，等于 c， d 比上 a、 c， 哎，三以 b 跟三角一相等， 这是不是对的啊？啊，我们都已经推过了啊，这个是正确的，正确的咱就不带选它了，这就是我们的例二。那通过例二，我们要知道，在直角三角当中，斜边的高分的两个三角形里面呢，这个角的正弦值也相等，正确值也相等， 那么角 c 呢，其实跟这边的这个角二是相同的，所以呢，角 c 角二的相关的三角函数值也是相同的。比如说，口算一 c 就是 c d 比上谁啊？比上 a c 就是 邻边，比上斜边，这口算一 c， 那 么口算角二， 它的邻边是 a d 比上 ab， 这说明呢？哎，它口上以 c 呢，还可以写成是跟角二那个余弦值一样的，就是 a d 比上 ab， 当然呢，口算一 c， 你 还可以把它切换到一个最大的那个直角三 a b c 当中，它的邻边 a c， 它的斜边 b c， 哎，这说明呢，这一些呢，比值都是相等的，都是口算一 c 都跟口算一 c 也是相等的。当然，你也可以去通过这个图练一练摊着它。 好了，这道题呢，你就可以变一变，你自己都会出题了，你是不是很厉害了，欢迎回复个六六。 好，我们再看例三说珠都带直角三形 b， a， d 中延长斜边 b d 到点 c， 使 d c 等于二分之一 b d， 说明它呢，是它的两倍的一个关系连接 a c， 若摊着的 b 等于啊五比上三。什么是摊着的 b？ 要找一找它所在的直角三也行， 他所在的直角三角形对边比上邻边，他的对边是不是 a d， 他 邻边呢，就是 ab， 说明这个比值呢，就是五比上三， 则摊成的角 c， a， d 是 多少？那找一找摊成的角 c a d。 哦，就这个角，这个角呢，要看看他所在的直角三角形，一看不在啊， 因为呢，正切值就是指这个角所在直角三角形，对边比邻边，他不在直角三角形怎么办呢？构造，那你就给他做个垂直呗，比如说做 a、 d 的 垂线，这个方法是可以的啊， 要是做 a、 c 的 垂线呢，你也可以试试这个方法呢，应该是不行的，甚至呢，还可以过点 c， 做 a、 d 的 垂线，他会交 a、 d 的 延长线，哎，于一个点，比如说于点 e 吧， 这样的话呢，构造出来直角三角形，我就以最后这个方法为例啊，当然你也可以做 a、 c 的 这个垂线，再去试一试，并不是所有的都可以的。多试几个方法的话，我们融汇贯通了吗？我们道路啊就多了。 那在这里根据定义的话，摊成的角 cad 就是 指这个锐角所在的直角三角形，现在已经出现了，就是直角三角形 a、 c、 e， 那么在这个直角三角形当中，对边比上邻边，对边就是 c、 e， 邻边呢就是 a、 e， 这个比值就是它的角 c， a， d。 好，现在呢， c 也不知道， a 也不知道呀。整个图上他给我们哪一条线段长度了吗？没有，没有的话我们就得干什么呢？反正这里是求笔直的，可以给他用设参的方法，就是设出来个参照单位。一般来说呢，你可以设短的，这样的话，那些长的都是短的那个倍数 啊，比如说这个 c、 e， 你 设它是多少？我们发现里面呢，有八字形，平行八字形的一对直角三角形，它是相似的。 你看我用红笔描一描，一大一小，这两个直角三角形是不是相似的？有一个直角有个对顶角平行八字形的相似啊，那相似比是多少？大的比小的 斜边是不是跟斜边是对应边？通过这个你可以看到 d， c 呢是 b， d 的 一半，说明 b、 d 呢就是 c、 d 的 两倍。好了，它是两倍的话，说明这个大的跟这个小的比值呢？对应边的比值都等于二呗， 都等于二的话，这边的 a、 d 比上 ab 是 五比上三， 说明这边的它比上它也是五比上三。因为对应边乘比例，你这个三行当中，这个这个 a、 d 长的直角边占五分，短的占三分， 那么在这个三行当中，它的长的直角边跟短的直角边的比值也一定是五比上三。五比上三的话，那我就给他设这个是三 k 吧，占三分的为三 k， 占五分的设为五 k。 然后我们知道这个大的跟这个小的相似比是二倍的关系，那 a、 d 就是 它的两倍，对，就是十 k 呗。然后 ab 呢是它的两倍，它对应边比值是二，所以它就是六 k 呗。 好，那现在的话，我们来看看这个比值出来了没有。 c、 e 是 三 k 啊，十加上五，一共十五 k， 这里这个参数呢，就是一个参照单位，你会发现在比值当中它会光荣的牺牲啊， k k 约去了， 也就是十五分之三及五分之一，所以这个正切值我们就给它求出来了。当然呢，你也可以把这个角的啊，余弦值，正弦值都可以给它整一整，对不对？求正弦，余弦的话，需要把弦给它求出来。由勾股定律同样可以把 a、 c 的 长度用 k 的 代数式来表示一下。 好，例三，搞明白的同学欢迎回复个六六六，再来看例四说，如图，每个小正方形的边长均为一点， a， b， c， d， e， f， m， o， n 都在格点上。所谓的格点就是网格线的交叉点呗， 则 sin a， cosine d， tangent o。 我 们来看一下在网格当中，这些锐角三角函数值怎么来计算。找到这个角 a， 看看角 a 所在的直角三角形，哎呦，没有啊，他给的这个是红色的 abc， 那此时呢，必须给他构造出来直角三角形啊。正弦值的话，就是他所在的直角三角形当中的对边比斜边，怎么来构造呢？观察观察，我们发现可以把 a、 b 呢 延伸延伸给他延长过来，你说是不是就碰到格点了？为什么他就碰到格点了呢？你会发现 a、 b 呢？他整个就是每一个小正方形的对角线 跨越过来的，对不对啊？你看这一段是不是正方形的对角线，这一段是不是又是一个？那么再延伸过来就是第三个正方形的对角线了。我们知道正方形的对角线呢，他跟边之间是夹角呀，是不是四十五度？ 正方形的对角线长是多少？边长的根号二，根号二，根号二。这三个根号二了， 那么这里还没出现直角三角形啊。别着急，我再把这边再一个连，这不就出现了吗？因为我连的这个又是一个小正方形的对角线，你看他是不是小正方形的对角线啊？他既然是小正方形的对角线，说明这边这个角也是四十五度。 好，这两个四十五度不就拼成了个直角了吗？那这样的话，三 a 也就是指角 a 正对着的直角边就是根号二吧，比上这个斜边 a、 c、 a、 c 是 多长呀？ a、 c 呢？其实这是根号五，这又是根号五，怎么看出根号五来呢？你可以把这个放到这样的一个直角三角形当中呀， 一条直角边一，一条直角边是二一二，根号五，勾五定得算出来的呗。或者呢，你把它放在这个大的直角三角形当中，一条直角边呢是二，一条直角边呢，是四，根号下二的平方加四的平方一化简就是二倍的根号五。 好，这样的话，这是根号二，这是二倍的根号五，所以对边是根号二， 斜边是二倍的根号五，那再给他化简一下，上下同时乘以根号五，行吧。下边呢，出现根号五的平方变成了五乘以二，也就是十， 上面的根号二乘以根号五，也就是根号十，所以散引 a 就 求出来了，就是十分之根号十。 在网格当中的这些锐角三角函数呢啊，没有直角三角形的时候就给它构造就是了。好，我们再看口三与 d， 先来找到角 d 在 这里，他所在的直角三角形在哪里啊？也没有，对不对啊？ 那我们发现 d、 e、 d、 f 他 们的长度呢？其实是可以求出来 d， e 是 不是二倍根号五啊？ d， f 呢，也是二倍的根号五哦，它是个等腰三角形啊，当然得把这个 e、 f 连起来，它才会出现等腰三角形， 用的着的时候就连用不着，那你得把它擦掉就是了。我们要研究口三角地，你得找角地所在的直角三角形啊，你这么连了 e、 f， 他 也没出现直角三角形。别着急，我可以过点 e 呢，往这边做一个垂直行不行？ 不过呢，做出来这个垂直呢，垂足他也不在格点上，你比上这段长，就是他不在格点上，怎么办？ 那就得想办法去求这段长度。好，这个垂足我们给他记为是点屁吧。 那你需要把 d p 求出来，反正这 d e 咱就求出来了。其实呢，你把 e p 求出来就行了， e p 求出来有固定就可以把 d p 求出来。这个 e p 呢，它是这个等腰三角形，腰上的高， 腰上的高，两腰又知道底边能不能知道？底边也知道啊，底边是不是二倍根号二，这根号二啊，对一个等腰三行来说呢，三条边都知道了。我是可以把什么求着三线和，又可以把底边上的中线，当然了，底边中线也是底边的高，这个呢，给它做出来。我们可以利用等面积法 啊，连了这个底边，中线刚好就在格点上，因为这是根号二，正中间不就是这个格点吗？ 啊，那这个格点呢，即为是 q 点的话，运用等面积法来解决 e p 的 问题。二分之一 d f 乘以 e p， 这是这个等幺三形的面积。等幺三形的面积还可以写成二分之一， e f 乘以 e f 边上的高就是 d q， d q 它是中线，当然它也就是高，这就三线合一，两边都有二分之一呢，你可以把二分之一都擦掉就行了。 然后 d f 是 二倍的，根号五， 然后乘以 e p 是 未知数呗。啊，左右两边擦掉二分之一了，然后再来看， e f 是 二倍的，根号二， 这是 e f， 然后乘以的是 d q， d q 的 话，你属于是一个根二，两个根二，三根二，它是不是 d q 就 穿过了三个正方形的对角线啊， 那就是三倍的根号二，你看这不就是这四条线段三缺一啊， 就是 d f 能求出来， e f 能求出来， d q 能求出来，不就缺它了吗？这不就是构造了一个等面积方程吗？就是面积方程，然后两边都除以二倍的根号五，是不是就把 e p 给它求出来了？ 对，求出来呢，它是五分之六倍的根号五，那在由勾股定律就可以把 d p 给它求出来， dp 就 等于 d e 的 平方减去 d p 的 平方，然后开方得到 d p 呢，是五分之八倍的根号五，然后余弦值就是 d p 比上 d e， d e 是 二倍的根号五 上下呢，把根号五约去，相当于变成了五分之八除以二，除以二的话就乘以二分之一，那也就是五分之四。 对于这个角 d 所在的直角三角形的构造呢，你也可以过点 f 往这边做垂直，也是 ok 的， 效果呢是相同的，但是呢都离不开什么，就是这里的等面积法构造个面积方程，以便呢，我们把这个 啊， dp 与腰上的高给他整出来。好再来看贪着的 o， 其实这种类型的题目，它充满了探索的乐趣啊，贪着的 o 呢，就是指角 o 所在的直角三角形，其对边比邻边， 那么他所在的直角三角形，现在他就给了个角啊，没有出现直角三角形。那我们发现呢， m 点， n 点呢？连一连看看这个三角形看上去呢，差不多像是个直角三角形。那有两个方法去判断， 比如说你可以由勾股顶点的逆顶点算一下，这边呢它是根号五，这边呢也是根号五，那这两条边的平方和呢，就是十，而这一条边呢，就刚好是根号十吧，怎么看出来根号十？因为这是一，这是三， 放在这个直角三角形当中有勾股定律，就可以把 o m 的 长度求出来，是不是发现两条边的平方和等于最长边的平方啊？那就是这就是直角了。还有一个思路呢，就是你把这里边的这个 o n 看作是这样的一个宽为二，然后高为一的这样的一个矩形的对角线，然后把 m n 看作竖起来的这个高为二，宽为一的矩形对角线。 那这两个矩形之间的关系呢？相当于躺着的这个绕着 a n 点啊，绕着 n 点 把他拉起来，你起来吧，又躺着站起来了，这是不是转了九十度？原来躺这条边，现在呢，变到这里来了，这不就是互相垂直的一个九十度吗？那既然他是往这个方向转过来了九十度，那显然这个矩形在躺着的时候的对角线跟站起来的对角线 一样，他也是旋转了九十度，由此呢就可以得到啊，这个呢，就是九十度呗。好，既然是九十度了，那也就说他这个正切值就对边比上邻边，是不是相等啊？一比上一，那就是一呗。 所以我们要擦亮火眼金睛，没有直角三角形的去给他构造出来直角三角形构造的方法要灵活充分的利用这网格，这网格当中的锐角三角函数，好玩的地方就在这里，他充满了一种探索的乐趣， 这样的题他才好玩。然后这个呢，哎，我们发现连起来他就出现了，相对来说就简单一些 啊，这个得需要运用等面积法啊。这道题值得你停下来呢，再去多探索一会，体验体验其中的美妙的乐趣啊。这个例子呢，搞明白同学，欢迎敲个六六六六。 好了，下面总结一下逆角三角函数。首先呢，把这些定义给他记准了，他啊定义，别给他记混了。当然呢，根据这些名字就可以记下来。 另外呢，要注意，我们要加深理解，锐角三角函数值只与那个角的具体的度数大小有关，而与所在的三角形啊，那个形状大小都是没有关系的。好了，这个专题就为大家讲解到这里，同学们再见！

今天我们来教大家如何记忆特殊的三角函数值啊， 以这个三十度为例，咱们就把这个三十度啊放在这个直角三角形里边去啊，好， 把这个地方怎么样当做这个三十度，那么根据三角形的内角和这里是九十度，所以上边就是六十度，对不对啊？上面就是六十度，那么我们要找一些特殊的数据，比如一呀，这些对不对啊？把三十度的这个对边这地方 看成一，那么我们知道在直角三角形里边三十度所对的边是斜边的一半，那么你这边是一，你这个斜边就是几啊，斜边就是二，对不对？那么根据勾股定律，咱们就知道这个另一个直角边就是 根号下二的平方减去一的平方就是四，减一等于多少？等于根号三，对不对？好，我们来看啊， 那么这个散音三十度散音指的什么？指的是对边比上斜边对不对？那么现在这个三十度对的是哪个？这是一，对边是一，对不对？斜边是二，所以就是多少？就是二分之一啊，就是二分之一，好，那么再看这个 与弦， cosine 啊， cosine 是 哪边比哪边？ cosine 是 这个邻边比上斜边，那么邻边是根号三，斜边是二，那么就是多少？就是二分之根号 三，对不对？好，再来看这个贪心的正确啊，贪心的三十度，那么贪心的指的是什么？指的是这个对边比上零边，那么对边是多少？对边是一，零边是根号三，然后化成这个什么？这个 最简二次根式对不对啊？分子分母同时乘以根号三，那么就变成三分之根号三啊，就说这个的值就是三分之根号三啊，然后这个六十度啊，这里这个地方啊，也是一样的啊，那么 这个角散移正切值啊，它的六十度等于什么？等于对边比上斜边对不对啊？对边是根号三，斜边是二，所以说 就是二分之根号三啊，二分之根号三好。然后是 cosine 六十度，就是 鱼弦。 cosine 六十度，它是等于零边比上斜边，零边是一，斜边是二，那么就是一比二就是二分之一啊，二分之一好，然后贪心的六十度，贪心贪心的等于什么？等于这个对边比上 零边对不对？那么对边是根号三，零边是一，就是根号三比上一，那么这个一怎么样？可以省略不写，就是根号三啊，所以这个贪镜的六十度就是根号三好，然后还差多少度啊？差这个四十五度， 所以咱们把这个四十五度放在这个直角三角形里边来，那么让这个角等于四十五度，根据三角形的内角和，那么上边这个角怎么样？他也是四十五度，所以这是一个等腰直角三角形，咱们把这个腰怎么样？看左一，根据勾股定律的话，那么这个斜边就是多少， 斜边就是根号二，对不对？好，然后再来看啊，心算三引正切啊，三引四，四十五度就是这个角的正切值，正弦值对不对？那么这个 角的正弦值怎么样？等于对边比上斜边就是一比上根号二啊，等于一比上根号二，然后化成最减二次根式分子分母同时乘以根号二，就是二分之根号二，对不对啊？就说这个三引四十五度是二分之根号二啊，同理这个， 嗯，余弦啊，这个 cosine， cosine 四十五度，它一样的啊，等于什么？等于它的零边比上斜边，也就是一比上那个比上根号二，一样的，画成最减二根 四就是二分之根号二啊，这个是二分之根号二。好，再来看这个正切摊近的啊，摊近的四十五度， 正切值怎么样？等于什么？等于对边比上一就是几啊？等于 一啊，等于一啊，当然哈，如果说你能够把这个表啊，把它怎么把它这个背下来也可以，只是说我教的这个方法就是如果你在这个做题或者说考试的时候，突然忘记某一个特殊的三角函数值等于多少的时候，你可以用这些特殊的三角形啊，再 带入这些特殊的这个数据啊去推导。好，那么今天这个内容啊，咱们就讲完了，大家听懂了吗？

哈喽，大家好，我是一点老师曲传运这个专题，我们来观察锐角三角函数的基本性质及应用。有哪些基本性质呢？第一条就是同一个锐角的正于弦的平方和等于一 好证明一下啊。左边我们可以看到，可以利用定义就可以整出来散引 a 方。首先呢，知道散引 a 就是 角 a 的 正对着的直角边比上弦，也就是 c 分 之 a 平方的话呢，就是 c 方分之 a 方。 那么口上有 a 方呢，就是角 a 的 余弦值的平方，余弦的话，就是角 a 的 邻边比上斜边，也就是 c 分 之 b 平方，那就是 c 方分之 b 方 啊。这两者加起来分母不变， c 方分之多少， a 方加 b 方， a 方加 b 方。在由勾股定律里啊，两条直角边的平方和呢，就等于斜边的平方，因此呢，它就等于 c 方分之 c 方，那也就是一 好。这样的话，就证出来他等于右边的一了。这个关系可以用来干什么呢？当我们知道了一个锐角的正弦值的时候，可以利用这关系求其余弦值。反过来呢，知道余弦值了，可以推其正弦值，就是因为呢，同一个角的正余弦的平方和等于一 好。第二条就是三 a 等于口三 a， 因为呢，在这一个直角三角形当中，两个锐角是互余的，所以呢，角 b 也可以写成九十度减去 a。 那对于正弦值上引 a 来说，就是对边比上斜边等于 c 分 之 a。 而口上引 b， 也就是角 b 的 余弦值，就是角 b 的 邻边比斜边也是 a 比上 c， 都是同一个比值，当然也就相等了。这就说明什么问题， 一个锐角的正弦值等于七余角的余弦值的意思，当然反过来，一个锐角的余弦值，比如说口算以 a， 它也等于七余角的正弦值，它呢，就等于算，以什么算以 b 好，这些呢，都是一样的道理。那这个可以用来干什么呢？知道了一个角的正弦或者余弦，可以推切余角的余弦或者正弦，因为呢，这两者之间有这么一种关系 啊，那我们再看第三条，就是正切贪婪的 a， 它呢，与哎，它与角的那个正切贪婪的 b 之间的关系是互为倒数的一个关系。当然互为倒数也可以写成贪婪 a 乘以贪婪 b 呢，等于一。好解释一下，贪婪的 a 呢，根据定义就是对边比上邻边， 也就是 a 比上 b， 那 么它中的 b 的 话， b 的 对边比上邻边，就是 b 比上 a， 你 看，这两者正好就是互为倒数的关系，所以这个呢，一目了然。这个可以用来干什么呢？这个可以由啊，一个角的正切推切与角的正切， 因为呢，它与它与角的正切呢，是互为倒数的一个关系。好，再来说第四条，就是关于增减性的问题， 这里当这个角 a 变大的时候，你会发现三 a 在 变大，贪婪的 a 也在变大，就是说正弦带正的啊，正弦正切会随着角 a 的 增大而增大，而余弦余切的话呢，它会随着角 a 的 增大而减小 啊，就是带正的呢，就是属于一个增函数啊，带余的呢，就是减函数，增函数就是这里自变量，这个角的度数变大的时候，他的这个三角函数值跟着变大了， 这就是啊，增函数，反正呢，就是减函数。好，现在我们来通过定义也可以给出来一个证明。大家想一想，这个角 a 在 变大的时候， 那么我们这里的 a b 咱不妨呢，就把它想象成一条固定长度的一条线段吧，他们就相当于是绕着点 a 往这个方向旋转， 那么再往这个方向旋转的时候，大家想一下，他是不是到下边这条边的垂直的这个距离变大啊，也就是说随着角 a 啊，这个小 a 呢，他是在变大的。 那我给你画到这里来，你看一看，这个时候是不是小一跑到这里来了，而这个 b 它的林边怎么样？你看，由原来这么长变到了这么短，显然 b 是 在变短的啊，这个它的林边是在变短的。我呢，现在就保持 c 不变的情况下啊，在 c 不 变的情况下，它的对边变大，邻边变小。而对于正弦值来说，根据定义它就是 c 分 之 a， 在 分母不变的时候，它的分子在变大，显得这个分数它是变大的，这说明正弦在变大。我们再来说余弦，余弦呢，它等于 c 分 之 b， 由于 c 不 变的情况下， b 它是在变短的，这说明呢，余弦值在变小。我们再看正切，正切呢，就是对边 比上啊，邻边，而邻边你可以看到 b 呢，它在变小，分母变小，整个的值是在变大的，而它的分子 a 呢，却在变大，这就导致这个是在变大的，分子越大它就越大，分母越小的话，它更大，对吧？ 好，我们再看鱼切啊，这是一个选学的一个概念，鱼切呢就是正切的倒数，鱼切就是口摊上的 a 是 邻边比对边， 邻边比对边，正好跟这个反过来，对不对啊？那就是 b 比上 a 的 话，由于这个 a 在 变大，分母变大，它会变小的，同时呢，它的分子也在变小，那就更小了，对不对 啊？这个地方凡是带正的正弦的、正切的，都是随着角的度数的增大而增大，余弦余切的都随着角的度数的增大而减小。这样的话呢，可以用来比较相关的锐角三角函数值， 你可以随时暂停，充分思考记忆之后再继续啊，也可以拖拽啊，前进啊，后退啊，能够让我们充分观察，充分动脑的这种视频学习方法才是最灵活的，也是最聪明的一种学习方法。很多同学用这种方法能够取得一个非常满意的效果。好了，赶快操练起来。例一下列式子，错误的是哪个？ v 选项，口算余弦，如果他们对应的那个度数是互余的话，两者就会相等， 他俩加起来呢，四十度加五十度，刚好九十度，那就是互余的，所以口算四十度等于算以五十度，这是 ok 的， 这是正确的。正确的话就不要激动啊，咱就不选他了，因为呢，这里是让我们找错误的。好，再来看一下 b 选项，贪婪的十五度乘以贪婪七十五度等于一， 这个呢，关于啊，这个正切的话，互余的两个角的正切是互为倒数的关系，乘积呢，就是一的。那你看，十五度跟七十五度加起来呢，就是九十度，十五度跟七十五度就是互余的， 所以他俩的正切值啊，互为倒数，乘积也就是一百，所以这个也是正确的。那我们再看 c 选项， 三引二十五度的平方加上口三引二十五度的平方，同一个锐角的对不对？同一个锐角的正于弦的平方和等于一，你看它正好就等于一，这说明 ok， 它也是正确的，那就没得挑了，错误的肯定就是 d 了，我们就选择 d， 下面呢，咱看看 d 错在什么地方。 三引六十度等于二倍的三引三十度，这个呢，具有欺骗性，很多同学看到这个度数啊，六十度啊，是三十度的两倍，他的三角函数值就是两倍吗？这不一定啊， 那我们利用三角板把特殊角的三角函数值再记一下，三十度的角所对的直角边是斜边的一半，对不对？ 他所对的直角边呢？如果是一份，咱给他记为斜边，那不就两份吗？勾股定律，口算就可以得到三十度邻边是不是根号下二的平方，减一的平方也就根号三份，那这样的话，算以三十度是多少？算以三十度呢，就是对边比上斜边，也就是一比二，那就是二分之一。我们再看一下，算以六十度 就是指六十度的对边啊，比上斜边，那不就是六十度的对边是根号三吗？斜边是二，对吧？他比上他， 那现在你看他是他的两倍吗？显然不是，他的两倍是一，而这个呢，是二分之根号三 啊，这个地方他就是湖边的，所以度数是二倍的时候，正弦值可不是二倍哦，那这个就错了，错了的话我们就选错误的啊。这个题搞明白同学，欢迎回复个六， 再来操练个例二。第一个问题，已知口算 a 呢？大于二分之根号三，小于散影七十度，则锐角 a 的 取之范围是什么？那首先大家看一下，它给的这是余弦值，这边呢是正弦值，我们只有放在同一个三角函数上去，才可以比较它的增减性。 那我们可以由正余弦啊，他的那种关系，那其实我也可以把他写成余弦的形式，谁的余弦啊？口塞他的余角，他的余角不就是二十度吗？因此呢，他就是口塞二十度，而这个呢，我也可以给他写成余弦的形式，这是一个特殊角的余弦值， 对，就是口塞三十度。哎，我们利用三角来看一看，口塞三十度就是三十度角的邻边比上斜边， 他的邻边呢，是占根号三份的，刚才他们已经说过了，斜边呢，占两份，这不就正好是二分之根号三了吗？所以我把这个二分之根号三呢，就写成口算 a 三十度。那么口算 a 大 于口算 a 三十度，小于口算 a 二十度， 这说明什么？这个 a 这个度数呢，就应该是在三十度到二十度之间了 啊。那这里你可以对比一下，口三十三十度呢，比口三十二十度要小了。原因就是鱼弦啊，他是一个减函数，鱼弦值来说呢，度数越大，他的鱼弦值就越小。 好，我们就是那个增减性的问题，所以这个角 a 的 啊，这个锐角 a 的 取值范围，他就应该大于二十度，小于了三十度，就在这个范围之间。好，我们再看第二个说，已知三元 alpha 等于零点六， cosine beta 等于零点八， alpha 与 beta 之间的关系， 这两个里面呢，一个正弦，一个余弦，我们给统一一下。统一的话可以利用哪个关系呢？就利用同一个锐角的正余弦的平方和等于一，那个比如说我就把这个 向量向量的平方加上口向量向量的平方等于一，那由此我看一看口向量向量，然后呢再跟这里口向量 bit 进行比较，现在向量向量呢是零点六，平方的话呢，也就是零点三六。 好，那加上口向量的平方，它呢等于一。把它移到这边来，就发现了口向量向量的平方， 他等于什么？他就等于一减去零点六，也就是一减去零点三六，也就是零点六四。好，对于锐角的他的正弦与弦呢，都是正的开方降次求他的算数平方根，所以口三元阿尔法也就等于多少零点八呀。 哎，你看跟扣萨与贝塔是相等的啦，那这样的话，阿尔法跟贝塔这两个锐角那不就相等了吗？所以他俩的关系就是阿尔法是等于贝塔的。 好，这个呢，就考察了这个条，我们也可以由定义来出发，这个你跟他写成分数的话，就是十分之六，也就是五分之三，这个呢就是五分之四，对不对？ 好，我把这个五分之四，五分之三的话，让斜边就是五，然后呢这个阿尔法的对边呢，我就让它是三，这不就是五分之三了吗？ 那这边呢就是勾三股四弦，我这边就是四。那我们看啊，上阿尔法就是它比上它 cosine beata 呢，是它比上它 cosine beata， 就是 啊，邻边比斜边。哎，那我们发现这个阿尔法也可以换成 beata， 因为呢，你把它换成 beata 的 时候， cosine beata 正好是它比它，这就说明阿尔法跟 beata 呢是同一个角相等的时候呗。 好，这样的话呢，一个是从定义的方法，一个呢就直接利用它，当然这个也是由定义推导出来的。同一个锐角的正余弦的平方和呢，它是等于一的，那这个也可以转换成正弦，我们再把它转换成正弦的话， sine b 它的平方 加上口三隐贝塔的平方，他呢是一，而口三隐贝塔是零点八平方的话就零点六四，然后他移到这边来，一减去零点六四，也就可以得到三隐贝塔的平方是零点三六。 那再开方的话，就可以求它 sign beta 就是 零点六啊，开方求算是平方根。我们在这里遇到的正与弦，根据定义的话，我们也会发现，正弦与弦，正切与切，它们都不可能是负数啊，它们都是正的。 进一步呢，我们还会发现一个秘密啊，就是任何一个锐角，他的正弦对边比上斜边，对边的是直角边，直角边呢，肯定不如斜边长，所以这个笔直呢，你会发现他一定是小于一的。 任何一个锐角的正弦，包括余弦，余弦不离边比斜边吗？他也是小于一的，当然呢，他肯定得大于零，他这这么一个啊范围， 所以对于一个锐角的正弦或者余弦，正弦之余弦值的范围原来就是大于零，小于一的那么一个小小的数啊，就是零到一之间的一个小数。 当然正切就不一样了，正切呢，可以超过一啊，比如说我画一个这样的直角三角形，那么它的对边比它的零边大的时候，这个比值不就超过一了吗？ 对吧？这里的正切呢，你会发现他可以很大很大的，只要他的对边足够的长，越长了，这一个锐角的正切值呢，就会越大。当然了，对于任意一个锐角，按法的话，他的正切值呢，也一定是大于零的，只不过呢，他可以无限的大而已。 好，这个例二，搞明白的同学欢迎回复个六六 a 三说，在三角形 bc 中，角 b 均为锐角，其对边分别为 bc， 让我们求成三 b 分 之 b 等于三 c 分 之 c。 好， 这个呢，我们可以按照他说的，咱们再画个草图， 好画出来，让角 b， 角 c 呢是锐角，这边呢是角 a 啊，这个角 b 的 对边呢是小 b， 角 c 的 对边呢是小 c， 这里涉及到了正弦啊，这个角 b 角 c 的 正弦值的问题，要找到角 b 角 c 呢所在的直角三角形，现在的话，可以构造个直角三角形，一石二鸟啊，这边做个垂直，不就一举两得了吗？对吧，我们呢，就给它做出来一个啊，这个垂直垂直呢为 d 吧， 那么算以 b， 也就是 ad 比上 c， 对 吧？然后算以 c 的 话，就是 ad 比上 b， 那么左边套进来这个式子，右边套这个式子，看看左右两边相等不相等，那就可以正出来了。好，现在呢，如图，我们给他做出来这条辅助线，做 a， d 垂直于 b， c 于点 d， 过到这个直角三角形，这条辅助线呢，非常的重要， 则可以得到散臂，也就是角臂的正对着直角边 a d 比上斜边 c， 那么撒以 c， 那 它就是对边 a d， 然后比上斜边呢，它那个斜边是 b， 所以 这个时候我们可以看一看撒以 b 分 之 b 套进来式子，也就是把撒以 b 换成 c 分 之 a d， 然后上面呢是 b， 那 就相当于 b 除以它等于乘以它的倒数，也就是 b 乘以 a， d 分 之 c， 对，就是 a， d 分 之 bc， 这是左边，我们再看右边，右边的是上引 c 分 之 c， 好， 也就是上引 c 给它换成 b 分 之 a， d， 然后上面的是 c， 这就是 c 除以它也乘以它的倒数，那就是 c 乘以它的倒数呢，就是 a， d 分 之 b， 那也就是 a， d 分 之 c 乘以 b， 或者 b 乘以 c， 都一样，你看这两者是不是就相等了？ g 咱们就挣出来了，也就是散。以 b 分 之 b， 它呢就等于散以 c 分 之 c 好，这个呢，回到高中之后，你会发现他就是一个正弦定力，在这里我们证明他的方法呢，关键就是构造出来这个辅助线角 b 角 c 都是锐角的情况下，我们只需要给他做出来一个高，这样的话呢，三角形 abd 是 个直角三角形，然后三角形 a、 c、 d 也是个直角三角形， 就利用直角三角形，然后利用正弦的定义，然后从左边右边各自给它化简一下，就出来这个结果了。搞明白的同学，欢迎敲个六六六， 我们来看。例四说，在三角形 bc 中，已知角 c 等于九十度，三 a 加上三 a， b 呢，等于五分之七， 然后问，三 a 减去三 a、 b 等于多少？这里面呢？三 a 三 a、 b 呢？啊，有可能他大他小，那个时候这个差呢，就是正的，也有可能他小他大，所以这个差呢，也有可能是负的，那么他给的这个是和， 而我们要求叉的话，我们联想到什么和跟叉之间呢？可以有一个公式，就是完全平方公式。好，完全平方公式的话，那就需要对它两边都平方，那都平方的话，左边一平方一展开，就变成了散影 a 方，然后加上散影 b 方， 那么再加上 g 的 二倍，这就套用完全平方公式，也就是二倍的散影 a 乘上散影 b， 他呢就等于右边平方的话，就是二十五分之七七四十九。好，那我们要求的这个呢啊，可以给他平方，那先来求他的平方的话，他的平方就是散引 a， 减去散引 b 给他平方，他就变成什么求出来的平方开方就是了啊，注意，开方的时候，他会出现两种情况，正数的平方根呢，有两个互为相反数啊，那给他展开，也就是散引 a 方 加上三以 b 方，然后这个地方不同的是，就是按照完全平方公式，它会减去几的二倍，减去二倍的三以 a 乘以三以 b。 而在同一个直角三角形当中，角与角 b 的 关系呢，是互余的一个关系，对吧？现在呢，既然是互余的话，我可以把这里的 啊散引 b 给它换成口散引。什么口散引 a？ 两个锐角互余的时候，其中一个锐角的正弦等于它余角的余弦，那么这边平方的话，我这边呢，就可以写成口散引 a 方。 现在前面你看为什么换呢？换了有个好处，就换成同一个锐角的正于弦的平方和了。我们知道同一个锐角的正于弦的平方和等于几了，对，等于一，然后呢，再加上后边的这个东西，后边的是二倍的三 x v 乘以三 x b， 他呢就等于二十五分之四十九。好，既然这一大块呢，等于一移向的右边就变成了他减去一，是不是就可以把他求出来了？ 对，就是二十五分之二十四，那他是二十五分之二十四，你看这边，他不就是二十五分之二十四吗？把他带过来就是，具体算，以 a 算以 b 是 多少咱就不管了，咱就跟他玩一个整体代入，就是二十五分之二十四。 那么前面的这个东西跟他是一样的道理啊，那他呢，是同一个啊，这个角的正弦值的话，就是他余角的余弦值，因此呢，他就换成口算以 a 方， 那么就变成了这个东西了，所以他就是对，他就是一，那这样的话就变成了一减去二十五分之二十四，因此这个是等于多少？就是二十五分之一 啊，这就是他的平方，那我们给他开方啊，那就是正负五分之一。所以这道题答案就出来了。 那么此题考察到的知识点一个呢，就是散引 b， 它呢等于口散引 a， 因为呢， a 和 b 呢，它俩互为于是同一个直角三角形的两个锐角，当然你也可以换它，它不动。 那这个时候我们可以把散引 a 换成什么？换成口散引 b， 这两个效果是完全一样的。 那还考察了同一个锐角的正于弦的平方和呢，等于一这一张啊，那这样的话一结合就可以了。好，这个例题搞明白，同学，欢迎回复个七。 再来看例五，上弦二十五度的平方，加上口上弦二十五的平方。哎，你说他等于几对同一个锐角，他的正于弦的平方和呢？等于一， 然后再加上贪整的四十四度，乘以贪整的四十六度。我们发现呢，四十四度跟四十六有什么关系？是不是互余的一个关系啊？两个锐角互余的话，他俩的正切值是互，为什么倒数？所以这两者乘起来的积当然也就是一，因此呢，这就加起来一加一等于几？等于二， 这就完成了。这是例五啊，例五，搞明白的同学，欢迎回复个五，再来操练一个例六。一般的，当 alpha beta 为任意角的时候，有公式，撒引 alpha 加 beta 啊，这就是两个角的和的正弦值等于撒引 alpha 乘以口三倍，加上口三 alpha 乘以三倍， 那差的正弦值，那它等于三 e r f 乘以 cosine beta， 减去 cosine beta 乘以 cosine beta。 这两个公式呢，它是给出来了，我们就用就行了。它要么用这个公式呢，计算 cosine 十五度的值。 cosine 十五度呢？它不是特殊角， 我们看一看能不能由特殊角整出来。我们知道三角板当中那角呢，就是特殊角了，这个十五度是可以由两个三角板进行组合画出来的。比如说六十度减去四十五度呀，是不是可以啊？三十度啊，或者四十五度减三十度是不是也 ok？ 好， 那你比如说我可以写成散印，四十五度 减去三十度，这样的话呢，就相当于是两个角差的正弦值，可以套用第二个公式，对吧？好，套进来就行了。它相当于是 alpha， 它相当于是 beta， 那 就我们照葫芦画瓢，把它给的这里面的 alpha 换成四十五度， beta 呢，换成三十度，于是呢，变成了散音。 四十五度乘以口三引三十度，减去口三引四十五度乘以三引三十度。好，那就是给他套进来数，三引四十五度， 呃，是二分之根号二，这些特殊角的三角函数值呢，你可以利用三角板把它记下来。口算三十度，就是三十度的邻边比上斜边就是二分之根号三，然后减去口算四十五度，二分之根号二，算三十度是二分之一 啊，那这个就可以算了，前面这就是四分之根号六，然后减去四分之根号二 好，于是呢，他也就是四分之根号六，减去根号二，这就是散引十五度。 当然类似的，你还可以把散引七十五度呀，是不是也可以进行计算呀？啊，那你可以由这两个角相加，你可以套用第一个。那你再操练一下，你看，我们做了一道题之后，自己都可以 进行灵活的变一变，再出一道新题了啊，这个例六搞明白同学，欢迎敲个九。 好了，下面总结一下锐角三角函数的基本性质。首先呢，要把这些基本性质呢理解了，记下来啊，就是还要会推导呗，同一个锐角的正余弦的平方和等于一啊，一个锐角的正弦值等于七余角的余弦值啊，或者一个锐角的余弦值等于七余角的正弦值。 那么对于两个角互余的话，这两个角的正切值互为倒数。再一个就是增减性的问题，当锐角 a 在 变大的时候，当然呢，锐角 a 它有个范围，既然是锐角的话， 这个角 a 呢，它肯定是大于零度，小于九十度。我们在这里呢，初中研究的就是这样一个范围啊， 到高中的时候研究范围更加的宽广了啊，那正弦正切呢，都是增函数，都会随着角移的增大而增大，余弦余切呢，都会随着角移的增大而减小，都是减函数。另外，你像正弦， 余弦啊，正余弦，他们的取值范围啊，正弦的取值范围呢？大于零小于一，余弦的取值范围也是大于零小于一的啊。至于正切呢，大于零 他可以超过一，他可以无限的大啊，正切呢，大于零的。总之呢，这些我们研究的这些锐角的三角函数值都是正数，没有负的。好了，这个专题就为大家讲解到这里，同学们再见。

今天我们一起来学习九年级下册三角函数章节，比较喜欢考察的一类题型。若三角形 a、 b、 c 中锐角 a、 b、 c 等于这个式子，则三角形 a、 b、 c 是 什么样的形状？其实看到这种性质是绝对值 和平方，但我们能想到就是非负数的形，两个非负数的和为零，说明它们同时为零。也就是说在一个 a 减去二分之二三，再减去零， 同样 cosine 减去二分之一，它也得等于零。所以说能解得 sine a 是 等于二分之二， cosine b 是 等于二分之一的。 因为这个 ab 都是锐角，所以说我们可以利用锐角三角函数的特殊角进行计算。那 sine 六十度是不等于二分之一，所以说我们能解得角 a 就 等于六十度， cosine 它也等于六十度，它才能等于二分之一，所以说这个角 a 它也等于六十度。那你一个三角形中有两个角六十度，第三个角也是六度， 虽然它是一个等边三。这也是咱们常考的一类题型，跟我们的特殊角 z 很 有关的，有什么问题了可以在评论区给我留言。

今天和大家分享速读版九年级下册第七章锐角三角函数的复习课。 这一章学习了锐角三角、锐角三角函数。锐角三角函数包括三种正弦、余弦、正切自主角的三角函数，且直角三角当中利用三边关系、勾股定三角关系、三个三角函数 以及实际运用两角方位角、括对括角、辅角等问题。锐角还在三角函数直角三角形当中。啊 角锐角 a 的 正圆等于它的对边比，斜边与弦等于它的邻边比邻边正确等于它对边比邻边。啊， 三英三十度二分之一啊，扣三十六度也二分之一，三英四十度和扣三十四度都二分之高二、三十六度和扣三英三十度都是二分之高。三 餐厅三十度三分之高三餐厅四十五度一餐厅六十度高三好 解，直角三角形是吧，三边扣股定底三角两锐角互余是吧？边角关系啊三角函数是吧， 三角 a 等于三 a 除以 q 三 a 啊，找出它们之间关系。 直角三角形可解的定义和解法解，直角三角形吃到其中两个元素要至少有一边，就可求出其他三个位置元素。 解法，一边一锐角，先用两个锐角互余，求出另一个锐角支斜边，用正弦或余弦求另两边支直角边，用正弦求另一直角边， 再用正弦或勾股定力，求斜边至两边，先用勾股定力，求第三边用，再用边角关系求锐角。 斜三角形问题可通过添加适当的辅助线转化为解决这三角形问题。啊 锐角函数的正弦和正切角度越大，弦数越大，弦角度越大，函数值越小。 解直角三角应用啊，仰弧角，首先概念考究啊，方位角啊， 解直角三角的应用，抠角过度这概念要抠懂啊。 坡度啊，是坡面的铅直高度与水平宽度的比，要坡度，坡角是坡面与水平方向的夹角。要高度啊，坡面与水平方向夹角叫坡角，坡角弹力二法就等于坡度啊。 坡度通常写成一比 m 形式，由于正截值增大，正截值的增减关系可知，坡度越大，坡脚就越大，坡面就越陡。 好，那像这题是吧。哎，这题没有图，我们把图画出来，角 c 九十度， 角 c 九十度，摊平 a twenty a 等于二，那就是设它为一，它就是二啊， 那它就是根号五，所以 q 三 a 一 比，根号五，所以等于五分之根号五。这个啊， 这个确确定热影长度定热影长度的仪器称为啊。来，我们看一看，立柱 a c 为 a。 冬至时，此时北京正午， 日光入射角约为 a b c 二十六二十六点五度，则立柱根部与 微表的东至线的距离，即 b c 长，求 b c 长，我们看一看，这是什么？ d 比邻是正切是吧，所以选择 b 啊， 这是第一个考点，求三角函数值啊。再看这题，怎么求呢？我们注意这点啊，这点你看，都是对角线， 而我们要求这个角的三角值要放在直角三角形，所以我们取这个焦点，假设 d 连接 c d 就 出来一个直角， 两个四五度加减直角。好，那这为根号二，这为三，根号十，所以等于根号十除以根号二，那等于啊， 对不对？ 三三减九，根号十吧。 clear 啊，写到了根号二除以根号十，或者怎么得，所以等于根号五分之一，等于五分之根号五，哎， 三对笔斜，是吧？所以啊，好，这一题呢，就用拿玄玄，我们当时还没学，是吧？这个用，拿一个同符所对的圆周角相等，就是这个角，就等于这个角啊，这是十五， 这是九啊，这是十二，是吧？求角 a、 d、 c 的 摊平值，并且这是直角，这直径所求摊平值等于九比十二啊， 六分啊。这题等学过圆，你再回头再来看好下面这一题，这个落到这跟，这是直角 a、 e 是 五倍，根号五，五倍根号五，那这题我们看看，这是直角，这是直角 啊，那它加它九十度，这是九，这是九度一百八，那所以它加它九度，所以它等于它，所以左右两个三角形相似，关系相似。 好用贪心 e、 f、 c 等于三比四，那可以设它为三 x， 则它为四 x， 设它为五 x， 勾股定律，则这也是五 x， 这就是八 x， 八 x 跟它相似，是二比一，所以这点是十 x。 然后再用勾股定律啊，十 x 括号平方加五 x 括号平方，等于五倍，根号五的平方，对吧？ 哎，从而求出 x 值，是吧？再求出，这就是六 x， 最后十 x 把周长求出来，就出来了。这题便是 a， b 为十， b， c 为八，这是十。翻过去，这是十，那这是六。要求这个角摊平值，我们刚才已经证明了，这个角就是这个角摊平，那就是四分之三 啊，或者怎么办呢？还可以怎么办呢？你设这为啊，这是六了，那这节就是四， 那设置为 x， 这也为 x， 这就为八。减 x， 利用勾股定力，再求出这个探针值。好，所以本题可能用第二种方法更快一些啊。 第一种方法，呃，第一开始说的就是这方法二更快一些。这种方法可能慢一点啊， 再看又是翻折，求正相似。我刚才正过了啊， 翻过来，这是九十度，它加它九十度，这是直角，这是直角，它加它九十度，所以这个两个三角形相似。这题问题，第二个餐厅三角 d e， d f e， d f e 啊，三一比三设它为 x， 设它为三 x 啊，再为三 x 则为四 x 啊，这个，这是三 x。 再利用相似 这个啊，三 s s 三三点九啊，八二倍根号二 x。 好 利用相似 在求出它要求探听角 e， b， c， e， b c， 这个角就是这个角啊，那它就等于探听角 e、 b、 f， 那 求着就是它跟它之比 啊，算出来，我们用来比比看啊。这个 a b f 比上二 x 等于 等于什么？四 s 比二倍根号 x 啊，那 b f 乘 就能求出来了啊， b f 出来了， f 也能求出来，对吧？ i f b x 把大家求出来，带进去就出来了啊。自己做我就不再拖拖写了啊。 最后等于二分之二十七点，这个点呢，你就代入百二乘二分之一加二分之一 减贪心六十度根号三，这是三分之二，三也是根号三分之一，再加二分之二括号的平方，最后把它算出来 啊，这个呢，二分之一一加二分之，根号三加上一，贪心三十度三分之 根号三，对吧？你再化简一下是吧？ 同乘以二，二加根号三分之一，再加啊，根号三， 对吧。然后二加根号三分之一加二倍，根号三加三等于四加二倍根号三，二加根号三就等于二， 这个是吧？这个绝对值大于等于零，平方大于等于零，所以它的 a 减一等于零，构成以 b 减二分之一等于零，所以它的 a 等于二分之一。 角 a 就 等于啊，等于一二十一，等于四十五度，扣三根 b 等于二十一啊， 扣三根多少度啊，对吧？ 角 b 是 多少度啊？ 三十三十度等于 cos 六十度，是吧？所以角 b 是 六十度， 所以角 c 是 七十五度。好， 再看这个是吧？要变式是吧？这就是根号三。餐厅六十度，也是根号三加上一啊，二倍根号三加一， 这个训练根号二，这是啊，二分之高，二分之一 啊，就这也是根号，这个是倒数啊。二分之根号二的负一，则也就是根号二减去二分之一啊，乘以 啊，二分之一加上负一，再加一，这两个没有了，这是二减四分之一，等于，是吧，也有四分之三啊， 这个要求，这个等高 c， a 等于 c， b 扣三 a， c 扣三 a， c 要首先要做高， 好做高扣三音 c， 你 看，这是四扣三音，那这是一，那这就是三，这就是根号十五，这是根号十五，这是 根号二十四，那就是二倍根号六。好要求。三 a b 就 等于根号十五比二倍根号六啊，二倍根号二，比根号五，就等于四分之根号十。好，发现出来， 这个是吧？要把这个角标上，这是四十五度啊，把坐标系方位角啊，这是三十度， 这是六十度，那这也三十度，那这个也三十度，好要求啊。 b m 长要做直角三角形， 对吧？好，我们看一看。这个，这是九十啊，一个半小时，这九十，我们设这个 b c 为 x， 这就为二 s 啊。第一个九十加 x 等于根号三 x， 也就是根号三减一，括号 x 等于九十， x 就 等于四十五乘以根号三加一， 那 b c 长就是四十五。括号根号三加一，那 p c 等于 md 等于 p c 就 同乘以根号三，就等于三加根号三乘以。 好，这个是四十五，这个是四十五， 乘以三加根号三。嗯，这个角有三十度要求啊。 b m 长给它乘以二 乘以二，那就是九十，括号三加括号三，再除以这个速度六十好化解就能得到。啊。这个 啊， c 为底是吧？ a c 为三，这个六十度， 那这就是根号三，这就是二倍根号三，这就是四倍根号三，是吧？嗯，这就是 a b 把 a b 再算出来，就等于三的平方加五倍根号三的平方再开方。 九加七十五，等于根号二十四。啊，等于二倍，根号二十一， 对吧？然后这个周长就等于三加五倍，根号三加二倍，根号二十一。啊，这，这一个内容。

这是一道中考题，如图， a、 b 是 圆 o 的 直径， c、 d 是 圆 o 的 弦， a、 b 垂至 c、 d 垂足为点一。若 a、 b 等于二十六， c、 d 等于二十四，则角 o、 c、 e 的 于弦之为要求，角 o、 c、 e 的 于弦之 把角 o、 c、 e 放在直角三角形 o、 c、 e 当中，那么角 o、 c、 g 等于弦值就是扩展角 o、 c、 e 就 等于角 o、 c、 e 的 零边比斜边就是 c、 e 比上 co。 题目告诉我们 ab 等于二十六，直径是二十六，那半径就是十三，所以 a、 o、 c、 o 都是十三。 又告诉我们 c、 d 等于二十四。 a、 b 垂直 c、 d。 那 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦速对应的有道弧， 所以 a、 b 垂直平分 c、 d， 那 c、 g 就 等于十二，所以 c 一 比 c， 二比十三， 所以将 o、 c、 e 的 余弦值为十三分之十二。答案，选 b。

朋友们，今天我们一起来学一下关于锐角三角函数，对吧？前面我们有讲过正比例函数、反比例函数，他学过一元二次函数，对不对？那我们今天来学习一下关于 锐角三角函数，它到底是什么东西呢？那我们就告诉一下你，比如说我这样的有一个三角形，对吧？它是三十度， ok， 那 他现在是个直角三角形，就好像我们的三角板，我们的三角板一样，对不对？一个三，一个三十度角的三角形，那如果这条边是为一，那这条边为几呢？ 看，我从这里往这里做一条直线，让这个角为三十，为六十度，对不对？ 这角为六十度，那这个角为多少度？为三十度，对不对？这个角为多少度？当然也为六十度，对吧？哎，你看这个角为六十度，这个角为六十度，那这个角为多少度？当然也是六十度，对吧？ 哎，那他就是个等边三角形，对不对？假如他为一，对不对？那他也为一，他也为一，对不对？没错吧？也就是这一段也是为一的，对不对？ ok， 你 看它就是等边三角形，对不对？这三十度，三十度，对不对？那它为一到一周，那这个也肯定也为一，对不对？ 哎，那就这个总长度，我们就可以得出来，它为二，对吧？好，那锐角三角形它讲的是什么事情呢？讲的就是比如说我这个角，它 那对对面这个角，就对面这条线，它对着的这条线除以斜线，它们的长度就对，就是直角边对着对面直角边，对面直角边， 对吧？除以斜边， 是吧？它我们看等 n 减一，除以二，对不对？那我们就可以把它命名为正弦， 正弦，那我们可以把它表达为什么呢？相应 s i n s i n 上引，那比如它角 a， 对 不对？那我们就上引 a 就 会等于对面这条边除以它的斜边，就要上引它三十度的角，它的上引正好等于二分之一，对吧？哎，那如果是斜邻边 除以斜边呢？我们知道 这个就会等于根号三，对不对？那么它就会等于根号三，除以二对不对？它就等于二个是根号三，那我们把它命名为 cosine， 它叫它的余弦， 它叫余弦，他说对吧？那还有我们可以用它的对面这条边，对面的直角边， 对面的直角边除以零边，对吧？它可以等于多少？减二三，对不对？也就等于三分之二三，对不对？哎？它我们把它命名为正切， 我们用 tan 来表达，那我们就可以写成为 tan， a 等于三分之二三。哎，这个 就是我们所说的锐角三角形的三个函数，正弦与弦一切，对吧？哎，它不同的度数，然后它的值都是不同的，对吧？哎，那我们再看一下， 我们这是三十度，对不对？哎，假如我这个三角形，它是，它这个角 是四十五度的话，它会等于多少呢？ 对吧？一个四十五度角的三角形，它的它的正弦与弦正切会等于多少？四十五度角， 那我们知道四十五度角，那这个角肯定也是四十五度，对不对？它是直角对不对？那它为一的时候，它这条边肯定也为一，对不对？而且它用勾股定力，那它肯定会等于根号二，斜边会等于根号二，对不对？那我们就知道三， 四十五度角对不对？它会等于一除以加上二，也就是二分之，加上二对不对？ 那 c 方程四十五度角，它会等于多少呢？也是用这条零边除以它的斜边等于加上二，也会等于二分之，加上二对不对？那它的正切方程四十五度角，它又会等于多少呢？ 它是等于对面这条边对不对？除以它的零边就等于一，除以一就会等于一对吧？ ok， 那 我们知道这个之后，我们再来看一下，对于一个六十六十度的角， 那它会是多少呢？假如我现在这个角有点不像，是吧？再来画一下 六十度的，这个是六十度的角对不对？那我们知道这个六十度的角，这个是三十度的角。哎，根据我们刚刚在这里讲解了他，假如这条边为一的话，三十度，对面这边为一，那到这里就会等于二对不对？这条边就等于根号三对吧？ ok， 那 我们这个时候相应六十度它会等于多少呢？六十度也是用它的对面这条边除以斜边等于加三，除以二等于二分之加三对不对？好，那它的 cosine， 它的也余弦会等于多少？ cosine 六十度 就是用它的零边除以斜边等于二分之一，对不对？那它的长短 六十度呢？它会等于多少？反正呢，用它的对面这条边除以它的零边等根号三除以一就会等于根号三对吧？好，这个东西一定要记住哦，我们经常会用。好，那我们可以用个表来表达一下， 我们这里是正弦对不对？然后我们这里是正弦余弦， 还有正弦对不对？这三种对不对？正弦是什么？用的符号是 c i n s i n， 余弦余弦是 cosine， 所以 用 cos 来表示，正弦用 tanning 来表示，好吧， 好。当这个角度为三十度的时候，它的正弦三十度等于多少？ 二分之一，对不对？余弦三十度会等于多少？二分之减到三，是吧？那他的正弦呢？等于三分之减到三，对吧？当他为四十五度角的时候，他的正弦为多少？ 正弦为二分之二，对吧？它的余弦等于多少也会等于二分之二，那它正切呢？会等于一，对吧？当这个角度为六十度的时候，那它的正弦会等于多少？ 它的正弦会等于二分之？根号三，对吧？ 它的余弦呢？它就会等于二分之一，对吧？它的余切，它的正切正切就会等于 减号三，对吧？好，那我们看到这个之后， 我们发现个什么规律？正弦随着角度越大，对吧？它的值也越来越大，对不对？你看它的，嗯， 分子由一变成二，再变成二三，对不对？而余弦它正好相反，它随着角度越大，而它变得越来越小了，对吧？ 那这一切也是随着角度越大，它越来越大，对不对？所以这个要记住，而且你最好把这张表默念于胸，就是把它背下来，往后考试的时候经常用的哦。

同学们好，我是来自南京市将军山中学的曹小龙老师。今天我们学习的课题是七点四，由三角函数值求锐角。 首先我们来回顾这样一个问题，你能够根据一个锐角求出它的三角函数值吗？ 好，上节课我们学习了特殊角的三角函数值，我们知道了三十度、四十五度六十度角的三角函数值， 那么你能够根据一个锐角的三角函数值求其对应的锐角吗？ 同样的，根据特殊角的三角函数值，当然可以确定其对应的特殊锐角。 特殊锐角和其三角函数值是相对应的，如果是任意一般的锐角呢？ 在前面的几节课中，我们知道这个问题可以借助计算器来解决， 请看问题二，用计算器求 tangent 六十五度 sign 二十三度十三分二十秒刻 sign 五十一点二八度的值精确到零点零一， 请同学们暂停视频，用计算器进行计算和解答。 好，现在老师和大家一起回顾一下，请浏览操作步骤。 然后再看计算器模拟。先开机， 在卡西欧计算器上直接可以看到 sine， cosine， tangent 这三个三角函数。功能键先计算第一个按 tangent 六十五右括号可以不摁等于， 再看第二个 sine 二三度分秒键 十三度分秒键二十，再按度分秒键等于 第三个 cosine 五十一点二八，直接可以等于。 这样，我们分别求得第一个 tangent 六十五度约等于二点一四， sine 二十三度十三分二十秒约等于零点三九， cosine 五十一点二八度约等于零点六三。 接下来，同学们可以暂停视频，自己再写出一些非特殊锐角，并利用计算器求出它的三角函数值。 好，回到开始的另一个问题，你能够根据一个任意锐角的三角函数值求其对应的锐角吗？ 一起来看问题三，根据下列三角函数值，求锐角 a 精确到零点零一度。一 cosine a 等于四分之一。二 tangent a 等于二。 我们来看计算器模拟的操作步骤。 在开机状态下，第一题我们先按左上角黄色的 shift 键， 再按 cosine 键即可用其上面黄色 cosine 负一功能，再按四分之一 可以直接等于， 或者我们按 shift 键，再按 cosine 键，按一除以四，可以直接等于，结果是一致的。 第二题，继续按 shift 键 tangent 二，直接等于可以得到结果。 我们再次浏览刚才的操作步骤， 第一问，锐角 a 约为七十五点五二度。第二问，锐角 a 约为 六十三点四三度。当然，如果题目中需要化成度分秒的形式，只要再按一个键即可。比如第一小题， 请看 shift cosine 一 除以四等于 再按度分秒键即可完成转换。当然，本题不需要， 同学们可以再次暂停视频，自己再写出一些非特殊锐角的三角函数值，利用计算器确定锐角大小。 接下来让我们一起来看几个例题。例一，如图，当光线与水平线的夹角为三十二度时，测得学校旗杆的影长为二十八米，求旗杆的高度 精确到零点零一米。请同学们暂停视频思考并解答 好。这是一道实际问题，本题可以把实际问题转化为数学问题。已知直角三角形 a、 b、 c 中锐角 a 的 度数 角 a 的 邻边，求其对边应选择的三角函数为角 a 的 正切。 有提议可知， tangent a 等于 b、 c 比 a、 c， 则 b、 c 等于 a、 c 乘 tangent a 等于二十八乘 tangent 三十二度。 这时需要知道 tangent 三十二度的值。利用计算器 二十八乘 tangent 三十二度可以直接等于 利用计算器我们得到 bc 约等于十七点五零，达其杆的高度约十七点五厘米。本题用到了根据锐角求三角函数值， 接下来再看。例二，在等腰三角形 a、 b、 c 等于 a、 c 等于四， b、 c 等于六。求角 b 的 度数精确到零点一度。这是一个数学问题，请同学们暂停视频思考并解答。 首先，根据提议可以画出图形， 等腰三角形具有三线合一的性质，通过做底边上的高可以构造出直角三角形， 便可知直角三角形中锐角 b 的 邻边及斜边的长度分别为三和四。然后求角 b， 如图过点 a 作 a、 d 垂直， bc 垂足为 d。 在 r、 t 三角形 a、 b、 d 中， ab 等于四， b、 d 等于二分之一， bc 等于三，则 cosine b 等于 ab 分 之 b、 d 等于四分之三。 此时需要知道，三角函数余弦值为四分之三的锐角度数，可以利用计算器 shift cosine 三除以四，可以直接等于 用计算器计算，最终得角 b 约等于四十一点四度。 本题是根据锐角三角函数值求锐角，你做对了吗？ 下面我们来看练习反馈，请暂停视频完成。 我们来 第一题，第一小题约十四点四八度。第二小题约七十六点七零度。第三小题，锐角 a、 o a 约等于八十四点二九度 第二道解答题角 a o a 撇的度数约为四十四点四度，你都答对了吗？ 相信同学们对计算器的操作已经很熟练了，下面我们来看这样一个问题， 用计算器求值精确到零点零一，请认真观察表格，你有何发现？请大家按下暂停键算一算，想一想， 通过计算这些锐角的三角函数值，不难得到这样的结 论，锐角的正弦函数值随着锐角的增大而增大，锐角的余弦函数值随着锐角的增大而减小， 锐角的正切函数值则随着锐角的增大而增大。你还有什么发现吗？ 通过观察不难发现，锐角的正弦函数值大于零小于一， 锐角的余弦函数值也是大于零小于一，而锐角的正切函数值则为正数。 其他同学发现了吗？我们可以用计算器验证一下，如八十九度的三角函数值等于多少？ 八十九点九度呢？八十九点九九九度呢？等等，大家可以试一试 哦！我们发现，锐角的正弦余弦值虽然是正数，但总小于一，而锐角的正切值却可以很大很大。还有吗？ 比如 sine 二法、 cosine 九十度减二法，也就是一个锐角的正弦值和这个锐角余角的余弦值有什么关系呢？ sine 阿尔法、 cosine 阿尔法探证者阿尔法同一个锐角的正弦函数余弦函数正切函数值有什么关系呢？ sine 阿尔法的平方与 cosine 阿尔法平方的和等于多少呢？ 大家可以通过举例再操作一下。 通过操作我们不难发现，一、 sine 阿尔法等于 cosine 九十度减阿尔法， 也就是说一个锐角的正弦值等于这个锐角余角的余弦值。 从表格中我们便可以直接看出，比如三十度等于克萨因八十度，三二十度等于克萨因七十度等等。第二个呢， 贪婪的阿尔法等于 cosine 阿尔法，分之 sine 阿尔法，也就是一个锐角的正切值等于其正弦值与余弦值的商。 这个结论不能通过表格计算得到，因为表格中是近似值，需要原始数据进行计算方可得到。 而最后一个呢，则是萨因阿尔法与 cosine 阿尔法的平方和恒等于一，也就是一个锐角的正弦值与余弦值的平方和等于一。 这个结论也不能通过表格直接计算得到，因为表格中是近四值，需要原始角度进行计算方可得到。 老师来举例验证一下，请看视频模拟。我们以三十五度为例，切换成小数， 再计算 cosine 十五度的余角，七十五度也等于四分之根号六，减根号二，切换成小数。同样的结果，再看第二个，我们以贪婪者二十五度为例， 记住这个数据，我们再计算 sine 二十五度括号，除以 cosine 二十五度括号， 等于与刚才贪婪的二十五度的值是一致的。再来看第三个， sine 二十五度括号的平方，加上 cosine 二十五度括号的平方， 我们看结果等于一。同学们，你们也可以举例试一试。 同学们课后还可以继续探索，看看还有没有其他新的发现，和同伴或老师进行交流。 最后，我们进行本节课的小节。本节课你有什么收获？ 本节课我们会使用计算器，由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角。 我们知道锐角与其三角函数值是一种函数的对应关系，利用计算器可以更快、更精确的进行计算，并通过估算等方式解决某些实际问题。 当然，不同型号的计算器的操作步骤可能也是不一样的。 今天的课就上到这里，谢谢观看，同学们再见！