诱导公式命名由来

今天给大家讲一下诱导公式啊，很多同学跟我说，老师，诱导公式这么多，公式怎么记啊？诱导公式是不需要记的， 你理解原理以后，所有的公式瞬间就能推导出来。下面我先给你们说一说什么是诱导公式，他是干啥的？我给你举个例子吧，比如说 三引三百九十度等于多少，你是记不住的，因为角度太多了，但是三引三百九十度可以写成是三引三十度加上三百六十度呀，对不对？我假设三十度在这里，那我加上一圈还在原位置啊， 所以三引三百九十度就等于三引三十度，他就等于二分之一， 这其实就算是一个诱导公式。诱导公式的目的是把一个特别大的角或一个特别小的角，通过诱导转化到零到九十度之间，方便我们运算。 明白了这个道理以后，那我就跟你说一说，这个诱导公式平时都是有哪些公式，该怎么记忆呢？ 来，首先啊，我们要先明确的是诱导公式，你想要学好，你得知道三角函数的概念，这是个单位元，这是某一个角的中边坐标是 x y， 那 三引阿尔法扣三引阿尔法，它的哪？阿尔法这个我们都熟悉，对不对？ 接下来我们来看，如果我问你，三引阿尔法加上派，它应该等于多少？这时候大家注意啊， 本来阿尔法在这里了，你加了一个派，是不是要逆时针旋转一百八十度啊？这时候中间跑到这里了，你观察这个坐标和它的区别，这个坐标是负 x 负 y， 对 不对？ 这个时候请看来三引值等于多少？三引值我们看的是重坐标，哎，就是负 y 负 y 是 谁？负 y 不 就是负的三引阿尔法吗？对不对？同样的道理，那你扣三引阿尔法加派呢？ 来看横坐标，那是负 x， 负 x 呢？那不就是负的扣三引阿尔法吗？ 正切也是一样的啊。来看看 tanthan 阿尔法加派等于纵坐标比横坐标，负 y 比负 x， 哎，还是 y 比 x， 还是 tanthan 阿尔法，所以它就等于 tanthan 阿尔法。第一组是不是来了？ 那接着我再给你看第二个，如果我问你三引负阿尔法等于多少，扣三引负阿尔法等于多少，你会吗？ 看好了啊，阿尔法在这里，是吧？这个时候负阿尔法是不是和阿尔法关于 x 轴对称啊？那你这个坐标就出来了，你是 x， 负 y， 来三引看谁 纵坐标，哦，你看它是负 y， 负 y 是 谁，那不就负的三一阿尔法吗？ 对不对？那你扣三一负阿尔法呢？来，你看横坐标，它就是 x， 它没变啊，所以你只要一想角就出来了。那我问大家， tan 负阿尔法应该等于多少？ 它比它负的， y 比 x， 那 不就是负的它的的阿尔法吗？是不是？好，你把这几个都掌握了，那接下来我再问你们一个问题，如果说我现在让你思考这个三 e 派减阿尔法，它应该等于多少，咱该怎么思考？看这里。首先阿尔法在这里对吧？ 负阿尔法在这里，对不对？你再加上一个派跑哪去了？是不跑这个位置了？是不是？你再观察一下这个阿尔法和这个派件阿尔法它俩其实是关于 y 轴对称的， 所以这个坐标其实是负 x， y 来三引派减阿尔法，它等于多少？看纵坐标，哎呦，是 y 没变，这就是三引阿尔法对不对？ 那 cosine 派减阿尔法等于多少？看横坐标，哎呦，这是负 x 填负号了，是不是负的 cosine 阿尔法？最后来你们告诉我看成它派减阿尔法等于多少？

大家只要学过诱导公式，肯定听过这么一句话，既变偶不变，符号看象限。但我问你们，你们知道它到底是啥意思吗？ 我今天跟你们好好说一说啊。我先跟你说，什么叫既变偶不变？这个既和偶指的是谁？是指这个 k？ 来，请看好了，假设以三为例啊，如果 k 为基数的话， 这个诱导完以后，他要变名，三引要变成 q， 三引正负号咱不确定啊，这个咱等会说，可能正的，可能负的， 但如果这个 k 他 为偶数的话，这个时候我们诱导完就不变名，他还是三引阿尔法，正负号不确定 好。说白了，就这么说吧，如果一个式子，他是三引阿尔法加上二分之几派，你说七派九派十三派，这种诱导完要不要变名？ 变，因为是基数对不对？变成 cosine 阿尔法，先不管正负号啊，来，再看一个，如果是三引阿尔法加上三派呢？ 这种他就不变名，为什么？整数派的，这可以一定是偶数，这种变完以后，他还是三眼阿尔法，正负依然不管。现在明白什么叫鸡变偶不变了吧？好，那接下来我问再跟你们说，他为什么变，为什么不变？来，听好了， 先给你们举第一个不变的例子，你比如说啊， 我三引阿尔法，我加上派，这个是变的还是不变的？不变是吧？为什么？我画个单位员，你一看全明白了。 我假设阿尔法的第一象限，因为这个好研究，哎，这个坐标呢？是 x y 对 不对？ 我现在加上一个派，哎，跑这里了，这个坐标是负 x 负 y。 这时候大家注意，你三引阿尔法加派，你三引值看的是谁啊？你三引值看的是纵坐标，它是负 y， 但是本来三引阿尔法应该等于多少？它是 y， 你 看值没变，只是添了个符号而已，所以这种是不变名的。那我再给你讲为什么有的要变名？来举一个例子， 我就以三引二分之派减阿尔法为例啊，所有人听好了， 三引二分之派减阿尔法，这个时候呢，我们依然要画一个图，你不画图啊？你想不明白？来，先画个坐标轴，再画个图来假设阿尔法在这里，好不好？ 这个时候你看这个坐标啊，是 x y， 对 不对？那你说二分之派减阿尔法这个角在哪里啊？ 二分之派减阿尔法这个角，那相当于二分之派减阿尔法在这个位置，对不对？你有没有发现，这两个角它其实是关于 y 等于 x 这条线对称的。 这个时候大家注意了，你本来这个坐标是 x， y 对 不对？你现在跑到这个点上，它的坐标变成了 y x 了，反过来了。 来，请看，现在我们三 e 二分之派减阿尔法，三 e 我 看的是纵坐标，对吧？纵坐标是不是 x？ 来，这个时候你再看这个 x 本来是谁？这个 x 本来应该是扣三 e 阿尔法的值呀。所以三 e 二分之派减阿尔法等于扣三 e 阿尔法， 懂这意思了吧？是不？变明了，那接下来我再跟你们说，为什么叫符号看象限呢？ 我们在使用诱导公式的时候，为了方便，我们一般会假定阿尔法在第一象限，因为你在第一象限，三引扣三引 touch， 是 不是都是正态啊？ 这个时候我们在分析角的时候来，请看，好了啊，三引二分之派减阿尔法，我知道他能诱导成是扣三引阿尔法。正符号怎么看啊？阿尔法在第一象限，二分之派减阿尔法呢？ 还在第一象限，那第一象限那三引值是正的，那就还是正的呗。所以他就等于扣三引阿尔法。 我再给你举个例子，你比如说我三引二分之三派减阿尔法，他怎么思考？首先一看二分之三派的肯定要变名，嘣，扣三引阿尔法，接着考虑正负号，我就想二分之三派减阿尔法在哪里呢？ 二分之三排在这里对不对？我假定阿尔法是个锐角行不行？我减去一个角，在第三象限第三象限，这个三角值，正的负的负的填符号呀，这就是符号看象限的意思，这会你学会了吧？

高一上数学期末必考内容，诱导公式的推导诱导公式绝对是高一上数学期末考试的必考内容。今天啊，大波老师用一个视频把派减阿尔法、派加阿尔法以及负阿尔法诱导公式的推导过程给大家讲清楚。 我们来看这一幅图啊，此时就有一个单位圆，什么叫单位圆？就是圆心为坐标，原点半径为一的圆，就叫做单位圆。那给出一个角 r 法，正常来说，角 r 的 正弦值应该是对边比斜边，那么由于斜边是一，所以呢，就是 y 比一，那就是 y 本身， 那么余弦值同理就是应该 x 比一，那就是 x， 那 么正切值就是 y 比 x 没有问题。现在呢，我们做出一个另外一个角，那这个角是派减 r 法。我们来关注一下派减 r 法在什么位置。 那么首先我们都知道派是平角吗？对吧？那么减去一个 r 法，那就说白了，这个的大小和 r 法大小是一样的，所以此时这个角对应的就是派减 r 法。那么你来看派减 r 法和 r 法有什么特点？我们过派减 r 法中边和单位圆的焦点向 x 轴做垂线， 那么此时这个长度和这个长度，它俩很明显是相等的，所以呢，都是 y， 那 这个长度和这个长度 本身也相等，但由于这边是 x 轴的负半轴，所以这一次呢，我们用负 x 来表达。那么此时的派减算法的正弦值，那就是 y， 那 y 还是谁啊？还是塞阿尔法，所以塞派减阿尔法就等于塞阿尔法。哎，这是第一个，第二个头，塞派减阿尔法是负 x， 那么 x 是 cosine 法，那负 x 呢？就是负的 cosine 法，所以 cosine 派减法就是负的 cosine 法。那么第三个函数的派减法就应该是 y 比负 x， 那 就是负的 x 分 之 y， 那么正的 x 分 之二是弹进的 r， 那 么负的 x 分 之 y 呢？就是负弹进的 r， 所以 弹进的派减 r 就是 负弹进的 r， 这是第一组来。再看第二组，那么此时第二组，我们做出另外一个就是派加 r， 那 由于此时这个平角是派，我们再加个，再加个 r， 所以 这个就是派加 r， 一样啊，我们还是做出这个三角函数线，那么此时这个大小和这个大小是一样的，那由于这一次是 y 轴负半轴，所以我们用负 y 来表达，那这个同理还是用负 x 来表达。我们来看此时的 sin pi 加 alpha 应该是谁？ 应该是负 y， 那 么正 y 是 sine alpha， 那 负 y 呢？就是负的 sine alpha， 所以 sine pi 加 alpha 就是 负的 sine alpha。 cosine 派加法呢？是负 x， 那 就是负的 cosine 法，因为正的 x 是 cosine 法嘛，那负 x 就 负 cosine 法嘛，对不对？第三个 弹性的派加法就应该是负 y 比负 x， 负负约没了，那就是 y 比 x， y 比 x 就是 弹性的 alpha， 哎，这是第二组来。最后我们来关注一下第三组，那就是负 r 法，那正 r 法在这侧，那负 r 法就在下面呗，对不对？此时我们也是一样啊，做出这样函数线，那么这是负 y， 那 那是 x， 没问题。此时来三负 r 法是谁？是负 y 就是 负的三 f， 所以 三负 r 法等于负的三 f。 第二个口塞负 r 法是谁？你看口塞负 r 法对应的还是 x 啊，跟它一样，那就等于谁就等于口塞 r 法，所以口塞负 r 法就等于口塞 r 法。第三个弹进的负 r 法是负 y 比 x， 那 就是负的弹进的 r 法，那这就是派减 r 法、派加 r 法以及负 r 法对应的诱导公式的推导过程。老铁你学会了吗？我是让数学思路变得更加清晰的大鹏老师，关注我，带你数学上大分。

马上就要期末考试了，如果你还是不会三角函数中的诱导公式，那么一定要好好看一下这期视频。 三角函数的诱导公式呢，常用于三角函数的化解，我们可以看到形如三影正负阿尔法加减二分之 k 派以及扣三影正负阿尔法加减二分之 k 派，我们都能通过诱导公式把它的正负二分之 k 派给它化掉，只剩下三影和扣三影。 那么具体是怎么化解的呢？我们拿这道例题来举例， sign 阿尔法加 pi。 在 诱导公式里面呢，我们要牢牢的记住一句话，叫做既变偶不变，符号看象限， 这个基和偶呢，就指的基数和偶数。好，那我们拿这道题来举例，首先我们看一下要将它化简对不对？它并不是我们这个里面写的标准形式的情况对不对？它这个地方是加派，这个地方是加减二分之 k 派，所以我们先把它化为标准形式， 哎，一是多少呢？一就是二分之二派， 对不对？其次，好，这个时候我们就要用到那句话了，奇变偶不变。这个奇数和偶数指的是什么呢？就是指的这个二分之 k 当中的分子。我们看到这道题，他是二， 二是偶数，偶是不变的，不变的是什么呢？不变的是三角函数的类型，说明他还是等于三 阿尔法好。还有一句话叫做符号看象限，符号看象限是什么呢？就是这个前面可能是正号或者是负号，那我们怎么判断？我们就把这个阿尔法带一个 三角函数进去，带一个值进去，比如说我个人喜欢带四分之派四十五度进去，我们看一下三 e 四分之派加上派是不是三 e 四分之五派，三 e 四分之五派它是在第三象限的，所以它的符号是负的。 三 e 四分之五派的符号是负的，所以这个地方就要变号，如果这个地方是正号，那么这个地方就不变号。 好，接下来我们再举一道例，这个又怎么去化解呢？首先我们还是遵循哈，奇变偶不变符号，看相线对不对？这个是二分之一，对不对？减去二分之一派， 二分之一派是正还是负呢？还是偶是奇还是偶呢？二分之一派显然一是奇数，说明他是变的基变，那就要变成三而法。 好，再看符号，符号看象限，刚刚说了，给阿尔法带四分之派，四分之派减去二分之派是负四分之派。很显然， cosine 负四分之派是不是在第四象限？第四象限的 cosine 是 正的，说明这个地方就是正好，就这么简单，你学会了吗？

那么我们今天要讲第二类啊，间接使用乱物事，间接使用啊六的。所以呢，你听这个词啊，间接使用乱物事，一看他就比较隐晦， 让你可能直接看不出来，你得去分析，得去分析啊。好了，那么我们在间接时候导公式的这类题是什么样的啊？主要间接在哪啊？老师来写在右边，这边看不清啊。那主要的间接在哪呢？就是你的已知角当中没有二分之派的整数倍 啊，你要求的也没有二分之派的整数倍，但是我们已知角，知道啥是已知角吗？就是已知条件当中这个角 和你要求的角叫做未知角，这两个角之间它是有关系的，这两个角之间加加减减 可能就等于二分之二的整数倍。那这个时候我们就可以把你要求的这个角用已知角和二分之二的整数倍表示出来，就能使用等式。听明白啥意思吗？再来一遍啊，就是说我们正常题就得找上二分之二整数倍才能使用等式。 但是我们将来的讲题当中呢，他就不用不具备这个条件了啊，但他也是个不是一类题，他是什么样的题呢？你是需要关注你的已知条件当中的这个角 和未知要求的这两个角，他俩之间加减在一起，是加在一起还是减在一起，能得到一个二分之二的整数倍， 那么只要有二分之二的整数倍，是不就可以使用一个公式了？那么我们在用的时候一定是啥呢？把你要求的这个未知角啊，用 二分之派的整数倍和这个已知角表示出来才能使用做的公式啊，所以它是这样的一类题型，就不是很明显，需要你去分析去找到什么角之间关系呢？那么我们三角函数这一块啊，角之间关系非常重要 啊。这个题如果你没有思路，你一定要先看看角之间什么关系。三角函数，三角函数这个角是非常重要的一个核心，所以一定要学会去观察已知条件和未知之间的一个联系啊，大家先记下来啊。

那么我们今天要讲第二类啊，间接使用乱物事，间接使用啊六的。所以呢，你听这个词啊，间接使用乱物事，一看他就比较隐晦， 让你可能直接看不出来，你得去分析，得去分析啊。好了，那么我们在间接时候导公式的这类题是什么样的啊？主要间接在哪啊？老师来写在右边，这边看不清啊。那主要的间接在哪呢？就是你的已知角当中没有二分之派的整数倍 啊，你要求的也没有二分之派的整数倍，但是我们已知角，知道啥是已知角吗？就是已知条件当中这个角 和你要求的角叫做未知角，这两个角之间它是有关系的，这两个角之间加加减减 可能就等于二分之二的整数倍。那这个时候我们就可以把你要求的这个角用已知角和二分之二的整数倍表示出来，就能使用等式。听明白啥意思吗？再来一遍啊，就是说我们正常题就得找上二分之二整数倍才能使用等式。 但是我的将来的讲题当中呢，他就不用不具备这个条件了啊，但他也是一个不是一类题，他是什么样的题呢？你是需要关注你的已知条件当中的这个角 和未知要求的这两个角，他俩之间加减在一起，是加在一起还是减在一起，能得到一个二分之二的整数倍， 那么只要有二分之二的整数倍，是不就可以使用一个公式了？那么我们在用的时候一定是啥呢？把你要求的这个未知角啊，用 二分之派的整数倍和这个已知角表示出来才能使用做的公式啊，所以它是这样的一类题型，就不是很明显，需要你去分析去找到什么角之间关系呢？那么我们三角函数这一块啊，角之间关系非常重要 啊，这个题如果你没有思路，你一定要先看看角之间什么关系。三角函数，三角函数这个角是非常重要的一个核心，所以一定要学会去观察已知条件和未知之间的一个联系啊，大家先记下来啊。

这个视频我们来一起关注一下二分之派减 r 法以及二分之派加 r 法诱导公式的推导过程。首先一样，我们还是给出一个单位元，给出一个角 r 法，那么此时呢，正弦值就是 y 一， 余弦值呢就是 x 一， 正切值呢就是 y 一 比 x 一， 此时呢，我们来做出另外一个角，就是二分之派减 r 法。 我们来看此时呢，这个角的大小和这个大小应该是一样的，都是 r 法，所以此时呢，那这个角的大小就应该是二分之派减 r 法。 我们同样啊，过中间和单元的交点，向 x 轴做垂线，那么此时我们可以知道，此时这个三角形呢，和这个三角形应该是全等的，对不对？所以 这个长度和这个长度相等，这个长度和这个相长度相等，那因此这个就是 x， 就是 y 一， 我们都表示出来了，那么再往下我们来关注一下，此时二分之二减 r 反的正弦值应该是谁？ 应该是这个的大小，那就是 x 一， 对不对？那 x 一 又是谁？是不是就是 cosine 法？所以 cosine 二分之一减 cosine 法就是 cosine 法是这么来的 通体，那么 cosine 二分之一减 cosine 法呢，就应该是这个的长度，那这是谁啊？这是 y 一， y 又是谁啊？又是 sine sine 法，所以 cosine 二分之一减 sine 减 sine 法的导公式推导过程。再往下我们来关注一下二分之一加 sine 法， 那此时呢，这个角是二分之派加法，我们同样啊，过这个角的中间和单位的交点，向 x 轴做垂线，那此时这个三角形和它也是全等的，对不对？那我们知道这个呢，由于是 y 轴正半轴，所以它就是 x 一， 但是这个长是落在了 x 轴的负半轴，所以它就应该是负的 y 一。 那此时 sine 二分之派加法就是谁 就是这个大小，那不就是 x 一 吗？ x 一 又是谁？又是 cosine alpha， 所以 cosine 二分之 pi 加 alpha 就是 cosine alpha。 那 么再看，那 cosine 二分之 pi 加 alpha 呢，就应该是负 y 一， 而 y 一 是 cosine alpha， 负 y 一 呢，就是负的 cosine alpha， 所以 cosine 二分之 pi 加 alpha 就是 负的 cosine alpha。 那 这就是 cosine alpha 加 alpha 诱导公式的推导过程。 那这两组遇到公式呢，相对来说难度较大一点，所以要重点关注。我是让数学思路变得更加清晰的大鹏老师，关注我，带你数学上大分。

鸡变偶不变，符号看象限，这是刻在我们脑子里的关于诱导公式的数学暗号，但是我敢说有百分之八十的学生不知道他是啥意思，更不知道如何来用它。 我们人教 a 版中有六个诱导公式，但事实上在我们考试练习中会遇到更多。今天周老师挑战用两分钟时间讲透它。 要真正掌握一个公式啊，我们要考虑三个层次，第一，会推，第二，知道什么时候用它，第三，知道怎么用它。周老师先带大家一起来推导。首先我们来复习两个相关的概念。第一，在高中，我们用旋转来定义角的大小， 逆时针方向旋转为正，顺时针方向旋转为负。同时我们规定，如果把脚的使边放在 f 轴的非负半轴上，这是它的中边，这就是 r 好。 它跟 单位元相交于 p 点，咱们把 p 点的坐标记为 x one。 那 么我们规定 y 就是 sign up， x 就是 sign up， 而 y b x 就是 它真的 r。 现在我们选一组公式来证明它，我们来选诱导公式 r 好， 这是 x y。 那 我们知道 pi 加阿尔法的意思就是在阿尔法基础上加了 pi， 因此它是逆时针旋转 了一百八十度，所以这就是 pi 加二法。好，这个点的坐标我们记为 p 一。 那么现在它的坐标是 负 x， 负 y， 因此它的重坐标负 y 就是 它的上一值，而负 y 就是 负上二法。 同样道理， cos 加二法就是它的横坐标负 x， 因此就是负的。 cos 二法 case 的 pi 加阿尔法就是负 y 比上负 x， 因此就是 y 比 x， 即为 theta 的 r 好。 我们再来选一组公式来推导一下诱导公式。我们怎么来理解二分之 pi 减阿尔法呢？ r 加上二分之 pi 减阿尔法 除以二，它刚好是等于四分之派，这是什么意思？对，这就是 x 一 加 x 二除以二的意思，所以它是关于四分之派对称的，所以我们可以画出此时它所定的点， 我们记为 p r。 那 么关于 y 等于 x 对 称后，它的点的坐标会变成什么呢？对，会变成 y x， 因此我们可以看到它的纵坐标依旧是它的 sin 值，那么纵坐标变成 x， x 就是 cosine， 同样道理， 它的 cosine 值就是 y， 那 么 y 即为 sin 啊，就有了诱导公式。五好，你已经可以通过旋转和对称来推导这些诱导公式了。那问题就来了， 诱导公式到底什么时候用它呢？我们可以看到这些公式啊，其实都是加减 r， 前边有的时候是派，有的时候是二 k 派，有的时候是二分之派，那么可以概括成二分之 k 派形式。 所以当我们遇到的角是二分之 k 派加减 r 的 时候，就可以用诱导公式。 这就是我们说的既变偶不变符号看象限，既偶指的是这地方的 k， 当 k 是 基数的时候，函数名要发生变化，当 k 是 偶数的时候，函数名不发生变化。比如说 我们的 pi， 它可以看作二分之 pi 的 两倍，所以函数名不发生变化， 但是二分之派是二分之派的一倍，所以函数名加发生变化。第二符号看象限，指的是我们把阿尔法当做锐角，这个时候等式左右两边的符号应该是一致的， 我们把阿尔法当做锐角，那么阿尔法加派就是第三象限角，第三象限的上引和上引都是负的，所以前面需要添加符号。 有了这一句口诀，我们就可以把诱导公式无限拓展，不相信我们来试一下，比如说我们来看一下上影，二分之七派减二法，好，二分之七派是二分之派的七倍，所以它是一个基数，因此 函数名将发生变化。同时我们可以看到，如果把阿尔法当做锐角，二分之七派减二法，在第几象限呢？ 我们可以把它看作是二派加上二分之三派，所以我们可以由二分之三派减阿尔法的符号来确定。那么二分之三派 再减去阿尔法，所以它会落在第三项线，而第三项线的算值是负的，所以前边添加符号即可以。最后呢，我们来挑战一下期末考试题，告诉周老师最后的答案是什么。

说到诱导公式，好多同学会很自信的说，既变偶不变，符号看象限， 那你问他什么是既变偶不变，符号看象限。他只能嘿嘿一笑，对这十个字呢理解的不透彻。那么接下来我通过两个视频呢，把这十个字呢做一个详细的解读，希望能帮到大家。 我们来看基变或不变，那我们说什么是基变，是老师哦，不变呢？ 那么这条说的基变的意思就是，如果出现二分之派，他的基数倍，二分之派的基数倍乘以基数，那么他对应的这个名称呢？ 名称啊，改变，名称变，那名称变又是啥意思呢？就是 如果题目中给的是三 e， 你 就把它变成考三 e， 如果给的是考三 e， 你 就变成三 e 啊，这就是名称改变，那么二分之派的基数倍。想一下，二分之派的基数倍，比如说二分之派， 他的一倍是不是就是二分之派？如果二分之派，他的三倍呢？是不是二分之三派，二分之派的五倍就是二分之五派，哎，二分之 其实就是二分之基数和派，如果这样出现正负的话，正负的话也没有影响。所以说，以后在诱导公式中看到二分之派的基数和倍，不管是正的还是负的，他对应你的这个名称呢，就要改变 好，这是第一个，那么第二个是偶不变，他的意思就是二分之派的偶数倍 啊，他的偶数笔啊，对应你的不变啊，他的名称啊， 名称不变好，名称不变的意思就是，如果是三 e， 那 还是三 e， 如果是考三 e， 他 还是 好，那么二分之派的偶数倍。我们来看二分之派的偶数倍，比如说二分之派的两倍，二分之派的两倍呢，它刚好是派，二分之派的四倍， 它就变成了二派，二分之派的六倍，它就变成了 三代，八辈呢，变成了四代，还有 g 类，那么 g 类出现之后呢，就是我们整合一下，其实就是什么呢？哎，整数， 整数的派的时候呢，它的名称是不变的啊，整数的派，它的名称是不变的，那么这地方当然还是正负呢，正负它是没有影响的好，这就是即便而不变的意思。 举几个例子，你比如说这地方有一个三亿二分之三派加一个啊， 一看到二分之三派是基数比，那么三印呢？就把它先写成考擦印啊，名称就改变。哎，比如说考擦印，这地方的三派减去一个啊，那么这地方出现三派是整数的派，那它的名称就不变，还是 cosine 二法，就是把这条这个去掉，直接写 cosine 二法。再举个例子，比如说 cosine 二分之一百一十一排，负的二分之一百一十一排，再减去一个二法，嗯，那他就是把这个去掉，直接写 名词，是改变，改变，写好三样，所以说呢，我们第一个字即变，第一第五，前面五个字即变不变，你就看见这里，这里这里的时候呢，你就把名称要么变，要么不变，这样把它确定下来。 那么这地方完了之后有个符号啊，选正还是选负呢？我们就是后十后五个字，符号看象限来决定的。那么下一个视频呢？我们来讲符号看象限。