鲁教版六年级下册相交线和平行线公式

同学们好，我是小狐狸老师，今天我们来对七第七张相交线与平行线的知识点做一个全面的总结。首先我们来看这一张的第一个考点就是相交线。 相交线的定义为，如果两条直线只有一个公共点，就说这两条直线相交于点 o， 如直线 abcd 相交于点 o， 如下图所示。 那两条直线相交之后，就会出现了第一组我们要学的角，也就是对顶角。 两条直线相交出现的角叫做对顶角，对顶角的特征为顶点相同角的两边互为反向延长线，满足这种关系的角互为对顶角，而对顶角的性质是对顶角相等。比如说在这个图形里面，此时的角一和角二是对顶角。 对顶角的结构特征就是拥有公共的顶点，一个角的两边与另一个角的两边互为反向延长线。 一对相交线，它能够出现两组对顶角，角一和角二是对顶角，角三和角四也叫一组对顶角，所以对顶角是成对出现的。 那两条直线相交，除了对顶角之外，还会出现另外一个角，就是邻补角。邻补角的特征就是有一条公共边角的另一边互为反向延长线。 比如说图中所出现的角一和角二，角一和角二叫做邻补角，那么他们两个具有公共的顶点，以及这样一条公共边，而另外一条边则互为反向延长线。满足这种关系的两个角就是互为邻补角。 很多同学呢，分不清楚邻补角和补角之间的区别，下面我们来对邻补角和补角之间的区别与联系进行一个讲述。首先第一个，他们两个都是针对两个角而言，而且数量关系都是两角之合为一百八十度，这是他们两个之间的联系， 那他们两个之间的区别呢？就是互为零补角的两个角一定是互补的，但是互为补角的两个角不一定是零补角。所以这句话的区别就在于，如果说我里面有一个圆，这个圆代表的是补角，那么零补角只是他其中的一部分， 也就是说他们之间存在的是一个包含关系，零补角的范围要大一大一些， 因为互补的两个角我们只注重了数量关系，没有谈他们的位置。比如说两个没有放在一起的角，他们两个也可以互补，但是互为邻补角的两个角既要满足数量关系，也就是相加等于一百八十度， 又要满足位置关系什么？他们两个要有公共的顶点以及一条公共边。那下面我们再来看一下邻补角和对顶角之间的区别。首先邻补角它的位置关系上就有三个特点。首先第一个是要有公共的顶点，要有一条公共边，另外一边互为反向延长线， 而对顶角的特点为有公共顶点，没有公共边，两边互为反向延长线。 邻补角的性质是邻补角互补，而对顶角的性质为对顶角相等，他们两个之间的相同点是都有一个公共的顶点，这里这个字写错了，是顶字 都有一个公共的顶点，而且他们都是成对出现的，只有一个角，没有办法把它叫做邻补角或者是对顶角。 那他们之间的不同点则是对顶角没有公共边，而邻补角有一条公共边两条直线相交的时候，一个角的对顶角只有一个，而一个角的邻补角有两个。比如刚才我们也看到了， 这个角一可以和角二互为邻补角，角一也可以和角三互为邻补角，对不对？ 因为一个角它有两条边，每一条边都可以进行反向延长，所以说一个角的邻补角它有两个。 好，那下面我们来看第二个考点，垂线。那首先我们就要了解一下垂直的定义。当两条直线相交所成的四个角之中有一个角，如果是直角，那么这两条直线就是互相垂直，其中一条直线就叫做另外一条直线的垂线，他们的焦点叫做垂足。 从垂直的定义我们可以知道，判断两条直线互相垂直的关键就是一定要找到两条直线相交时，四个角中有一个角一定要是直角 垂直，我们用这样的一个符号来进行表示。如果要表示两条直线垂直，我们用表示直线的字母和这样一个符号来表示它们垂直就可以了。比如右图这边的 ab 是 互相垂直的字母和这样一个符号来表示它们垂直就可以了。比如右图这边的 ab 的 垂线， b 也叫 a 的 垂线， 即为 a 垂直于 b， 或者是 b 垂直于 a。 那 如果说我们要强调垂足的话，则要记为 a 垂直于 b， 垂足为 o。 如果是用两个大写字母来表示直线的话，就是当直线 a、 b 与 c、 d 相交于 o 点时， 角 a、 o、 d 等于九十度，那么 ab 垂直， c、 d 垂足为 o。 用几何形式书写，则是因为角 a、 o、 d 等于九十度，所以 ab 垂直， c、 d 括号垂直的定义。 反之，如果直线 ab 与 c、 d 垂直，垂足为 o， 那 么角 a、 o、 d 等于九十度。 用几何语言去书写，则是因为 a、 b 垂直 c、 d， 所以 角 a o、 d 等于九十度。垂直的定义，那应用垂直的定义，我们也可以得到其他的三个角都等于九十度，对不对？ 所以我们 a、 b 和 c、 d 垂直，以及这个角 a、 o、 d 等于九十度，它们是可以互逆的。那下面我们呢要来学习垂线的画法。如图是一个直线 l 和 l 上的一个点 a， 我 们去做 l 的 垂线， 画的直线 ab 就是 过点 a 的 直线 l 的 垂线。需要的工具就是直尺和三角板。大家一定要注意，此时的直尺是一个没有刻度的直尺。第一步就是放直尺，将直尺的一边与已知的直线进行重合。 第二步就是靠三角板，把三角板的一条直角边靠在直角上。第三步是移动三角板到已知点。第四步沿着三角板的另一条直角边画出垂线。也就是说我们要先把直尺放在这里， 先把直尺放在这一条过这个点的这条线上，然后我们再把这个三角板放在它的一条直角边，要和这个直线 l 是 垂直的关系，并且它还要贴在这个直角板的这一侧， 贴在这里之后，这是这个三角板，然后我们沿着三角板的这一条线，这一条直角边去画一条线，那么此时直线 ab 就是 经过点 a 的 直线 l 的 垂线。 好，那下面我们来看一下垂线的性质。首先第一个就是同一平面内过一点，而且只有一条直线与已知直线垂直，那在这个性质里面，我们需要强调两个点， 第一个就是一定要保证在同一平面内，因为如果说不在同一平面内，我们就会出现过一点，有无数条直线与已知直线垂直。第二个要求的是过一点，而此时我们没有要求这个点必须在直线上还是在直线外都可以。 第二个就是垂线段，连接直线外的一点，与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，也就是如图所示， 连接点 p 与这个直线上所有的点的时候，所有连线中最短的那一条线段，而这个线段我们把它叫做垂线段，所以垂线段最短，那直线外一点到这条直线的垂线段的长度，也就是 o p 的 这个长度，我们叫做点到直线的距离。 好，下面我们来看第三个考点，就是同位角、内错角以及同旁内角。我们只考虑出现在一条直线与两条直线分别相交的这种情形。首先看第一个同位角，它的特点就是一边都在结线上，而且是同向的，另一边在 另一边在结线同侧的两个角。比如说图中的角一和角五这两个角，角四和角八这两个角，同样的 角二和角六也是同位角，角三和角七也是同位角。所以当在三线八角里出现的同位角的话，一组三线八角，它会出现四组同位角。 大家会发现角一和角五，它们都在这条截线的同一侧，而且它们都在这两条线的上方，这种叫做同位角。我们再来看内错角，内错角是指一边都在截线上，而且反向 另一边在结线两侧的两个角，如图中的角三和角五，角三和角五，他们的一条边都在这条结线上，而另外一条边，角三的一条边往这个方向走，角五的一条边往这个方向走，这种形成了一个 z 字形的，我们把它叫做内错角。 第三个角则是同旁内角，它的特点就是一边都在结线上，而且是反向 另一边，在结线同旁的两个角。比如说图中的角三和角六，他们的一条边都是 在结线上，而另外一条边，角三的一条边往这个方向延伸，角六的一条边往这个方向延伸，而且是往同一个方向延伸，这样的角我们把它称之为同旁内角，比如角三和角六、角四和角五。 在三线八角里面能够出现的同旁内角只有两组，角三和角六、角四和角五。那下面我们来看一下同位角、内错角、同旁内角的区别。首先，同位角，它角的特征为在节线的同侧，在背节线的同旁， 它的形式大概就是这样的一个情况，而它的形象基法就是类似于一个 f 的 形状。我们再来看同旁内角，它是在结线的同侧，而且在被结线之间，比如图形的这种角一和角二所在的位置，它则类似于一个 u 型。 而内错角则是在结线的两侧，被结线的之间，它的形状类似于一个 z 字形，而它们之间共同的特征就是 这三个角如果要出现，那么必定会有三条直线出现，而且这三类角都没有公共顶点，它表示的是上下两条线被第三条线所截，它指的是上面这里所形成的角与下面这里所形成的角之间的关系， 它们第三个共同特点就是都表示角之间的位置关系。好，下面我们来看第四个考点，平行线。 同一平面内，任意两条直线有两种位置关系，一种是相交，一种是平行。所以在同一平面内，如果两条直线不相交，那么它们就叫平行线。而平行线的表示方法，我们通常用这样一个符号来表示平行，比如说 直线 a、 b 平行 c、 d， 我 们这样去表示，或者是用直线小 a 平行于小 b， 也可以这么去表示。 那下面我们来学习平行线的画法。已知直线 a 和直线外的一个已知点 p， 经过点 p 去画一条直线与已知直线 a 平行，那么我们也是四步。第一步就是贴 贴线，也就是我们的一个三角板要放在这里，他的一条直角边要和已知的这条直线给平那个重合，重合之后第二步就是靠 将另外一个三角板或者是直尺，他的一条边靠在另外一个三角，靠在那个三角板的另外一条直角边上。 第三步就是移，将下面这个第一个直角板往上，顺着这条线往上去平移，平移到经过这个点的位置，然后我们去画一条线，就是这个三角板平移到这个位置，然后我们去画这条线，那么这条线就是我们过点 p 与已知直线平行的平行线 平行公里是指经过直线外一点，尤其只有一条直线与这条直线平行。这里大家要注意一个点，他跟我们垂线那里的要求不一样，垂线要求的是过直线外一点， 垂线那里要求的是要是在同一平面内，但是平行公里没有要求在同一平面内，他只要求在直线上，那么这两条线就是一个重合的关系，不是平行关系了。 而垂线的话，它那个点可以在直线外，也可以在直线上，从而我们得到了平行功力的一个推论。如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，这个也叫做平行线的传递性。也就是如果 a 平行于 b， b 平行于 c， 那 么我们就可以得到 a 也平行于 c。 下面我们来看第五个考点平行线的判定。平行线的判定第一个判定方法就是两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行，简单说成同位角相等，两直线平行。 第三个判定方法则是内错角相等，两直线平行。 也就是说，如果我们能够从题目中证得角三加上角四等于一百八十度，那么我们就可以说明直线 a 是 和 b 平行的关系。或者如果说我能证明角三和角二是相等的关系， 角三等于角二，那么通过内错角相等，我们就可以说明 a 平行于 b。 如果说我们能够说明角一和角四是相等的关系，那么我们就能得到 a 平行于 b， 同位角相等，两直线平行。 这是我们平行线的三种判定方法，这是常见的三种。我们平行线还有第四种判定方法，也就是在同一平面内垂直于同一条直线的两条平行。也就是如果 a 垂直于 b， a 也垂直于 c， 那 么 b 和 c 这两条线都和 a 这条直线垂直，那么我们就可以得到 b 是 平行 c 的， 这也是平行线的一种判定方法。 好，下面我们来看第六个考点，平行线的性质。第一个性质就是两直线平行，同位角相等，也就是如果这两条直线是互相平行的关系，那么角一等于角二，角三也等于角四，角五也等于角六，角七也等于角八。 如果两直线平行，那么内错角也相等，如果两直线平行，同旁内角也互补，这是我们平行线的三个性质。大家要注意平行线的判定和平行线的性质 是两个互逆定律，也就是如果有两直线平行，我们可以得到同旁内角互补，内错角相等。我们也可以通过同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，得到两直线平行。所以大家一定要注意区分什么是性质，什么是它的判定。 而且大家要注意一点，就是不是所有的同位角都相等，同旁内角都互补，一定要注意它的前提是在两直线平行的下面。 好，下面我们来看第七个考点，命题定理和证明。所谓命题就是判断一件事情的语句，我们叫做命题。判断一个话， 判断一个语句它是否是命题，我们需要看它两个特点。首先第一个这句话是不是一个陈述句， 第二个他还需要去满足，这句话是可以判断对错的，第一个是陈述句，第二可以判断对错，那么这句话就叫做命题。而命题则由提设和结论两部分去组成，提设是指已知的事项，结论是指由已知事项推出的事项。 那数学中的命题我们通常都可以写成如果什么什么，那么什么什么的形式，如果后面跟的这部分就叫提设，那么后面跟的部分就是结论。如果提设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题。 如果命题成立，也就是提设是正确的，而结论不一定成立，这样的命题我们把它称之为假命题。 下面我们来看定律的概念，有些真命题是基本事实，他们的正确性是经过推理证实的，无需再次进行证明的。那么这样的真命题我们叫做定律。而证明呢，是指在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能做出判断，而这个推理的过程我们就叫做证明。 好，下面我们来看最后一个考点，就是平移。平移就是在平面内将一个图形沿某一个方向移动一定的距离，这样图形的运动我们把它称之为平移。 平移最大的性质就是经过平移对应点之间的连线的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等。比如说现在有一个三角形 abc， 如果说把它向右平移一段距离，那么得到了三角形 d、 e、 f， 那 么点 a 和点 d 叫做对应点，点 b 和点 e 是 对应点，点 c 和点 f 是 对应点， 那么它说是对应点所连的线段平行且相等。也就是说 a、 d 和 b、 e 以及 c、 f 是 平行且相等的。我们可以这么去写， a、 d 平行且相等， b、 e 平行且相等于 c、 f， 这是对应点所连的线段，而对应线段是平行且相等的。也就是说 a、 b 和 d、 e 是 平行且相等的， b、 c 和 e、 f 是 平行且相等的， a、 c 和 d、 f 也是平行且相等的，而且它们的对应角相等，这个角等于这个角，这个角 abc 等于角 d， e， f， a， c， b 等于角 d、 f、 e， 这都是平移所能得到的一些性质。那下面我们还需要掌握平移作图。下面我们将通过一个线段 a、 b 的 平移，让点 a 与点 d 对 应，去掌握平移作图的方法， 将线段 ab 平移，使点 a 与点 d 对 应。首先第一步我们要连接 ad， 然后过点 b 去做 ad 的 平行线，然后利用尺规在平行线上去做一个线段 bc， 使得 bc 等于 ad， 然后我们连接 cd， 那 么 cd 所在的这条线就是 ab 平移之后的线。这就是我们第七章所有的知识点，同学们再见！

注意，七年级下册数学相交线与平行线，本视频耗时八百分钟，一口气带你学完整个章节。本视频以知识点讲解加题型讲解为核心，耗费大量精力，时长太长，请先关注、点赞、收藏再观看。 各位同学你们好，我是你们熟悉的钱老师，今天这一堂课呀，由我来带领同学们对我们相交线和平形线这个章节的知识点呢进行一个讲解。 那么我们在前面的学习过程中，我们学过一个章节，叫做几何图形初步认识， 我们几何图形初步认识里面，哎，我们同学们知道，我们初中阶段我们重点研究平面几何图形，那么点动成线，线动成面，面动成体， 我们在几何图形初步认识这个章节，还认识了线段以及我们角度。那么我们知道我们数学学习的最终目的是拿来应用的， 而我们应用的过程中，我们的计算是我们必不可少的一个环节， 所以有关线段的计算，有关角度的计算，这在我们几何部分几乎是非常重要的，非常核心的考核方式。 那么小伙伴们，我们相交线与平行线这一个章节啊，他和我们几何图形从不认识是一样的，他是我们基础几何非常重要的构成部分。 那我们再说通俗一点，我们再说直接一点，我们相交线与平行线所学习的内容，在我们后期学习三角形系列的时候， 在我们后期学习四边形系列以及圆的时候，都占有非常重要的部分，它是我们学习后面一切几何部分的根基。 那在这里钱老师就要给同学们多唠叨一句了，我们在学习这个章节的时候，啊 啊，我们一定要去多画图对不对？数学想学好就是四个字叫写写，画画 是不是写写就是针对代数部分的计计算对不对？我们要动笔画画，主要就是针对我们几何部分， 那么我们在讲这一堂课之前，我们同学们先来回忆一下我们整个几何图形它的构造，它的底层逻辑是什么？哎，所有的几何图形它都是由点线面 体来构成的对不对？那么无数个点构成一条线，我们把它称为点动成线， 那么线在滑动的过程中就可以构成一个面，我们把它叫做线动成面，而面在旋转的过程中，是不是就可以构成一个体了呀？ 那么我们通过静态关系来研究我们几何图形的初步构造的时候，我们知道一个体，一个立方体，它是由很多个面来维成的， 而每一个面跟每一个面它们相交的部分，我们就说它是一条什么呀？直线对不对？或者是一条什么呀？曲线，那么线与线相交的，那么就形成一个 点呢？那么我们在任何时候学习几何的时候，点线面体他的最基本的底层逻辑关系，那么我们小伙伴们一定要把它牢记。 那同学们回想一下我们在几何图形初步认识的时候，重点研究的点的问题对不对？那么点研究完了，我们紧接着是不是要来研究线的问题了呀？ 这里有一个小问题，如果在一个平面内，他有两条直线的话，那么这两条直线他存在着一种什么样的 位置关系，那么位置关系，小伙伴们，我们在整个数学里面我们讲关系，我们一般讲两种关系， 一种叫什么呀？一种叫做等量关系，对不对？那你比如说直角三角形，它的两个锐角，它就存在一个等量关系，叫两个锐角相加等于九十度，我们说它是 互余的。那你比如说两个角加起来等于一百八十度，它存在这种等量关系的时候，我们就说这两个角是什么呀？是互补的对不对？ 那么我们直线有着什么样的位置上面的关系呢？那么我相信小伙伴们在我们实际生活中的接触对不对？在我们实际生活中碰到的各种各样的物体事物案例，我们可以非常轻松的想象出来。 哎，第一种情况就是两条直线他是没有交点的， 比如说我们防盗网上面的竖着的，垂直的，每一根，每一根条子是不是都是平行的呀？比如说我们的铁轨是不是也是平行的呀？ 比如说我们的教室左边的墙上面的，右边的墙和地面夹角的这两条线是不是也是平行的呀？ 所以两条直线在同一个平面的位置关系。那么第一种就是互相平行，他们最为典型的特征就是什么呀？小伙伴们 没有交点对不对？那么除了平行还有没有其他的呢？小伙伴们，那你看这两条直线也好，这两条直线也好， 他们都是什么呀？相交的，他们都是相交的，他们有一个共同的特点是什么呀？他们都有一个焦点， 其中我们在相交的时候有一种比较特殊的相交，就是互相垂直的对不对？也就是说这个角等于多少度啊？九十度对不对？ 所以说我们在同一个平面内，两条直线的位置关系，他只有两种，小伙伴们要么是相交，要么是平行，我们把它称为非相交即平行。 那这里又有一个隐藏的小细节，假如我两条直线互相重合了，那么小伙伴们两条直线互相重合了，我们从感官上看，他是不是仍然只算是一条直线呢？ 所以两条直线的位置关系，他只有相交或者是平行。如果两条直线重合了，那么我们在处理问题的时候，我们只能算他为 一条直线。那么小伙伴们想一下，我们在七年级学数轴的时候，我们在学数轴的时候，我们说重合的点他也只能算几个点呢？ 一个点对不对？重合的点只能算一个点，重合的直线他也只能算一条直线。 那么小伙伴们，当我们知道了两条直线的位置关系，非相交即平行的话， 我们先来研究一下相交线。为什么我们要先研究相交线啊？因为一旦两条直线相交了以后，我们小伙伴们肉眼可见的它会产生几个角啊？它会产生四个角对不对？ 而我们几何图形的应用，它就是要一托于角度和线段的长度计算来进行应用的，对不对？ 那么小伙伴们，在这四个角里面，他现在问我的是角一和角二有着什么样的位置关系？ 那还是老规矩啊，当我们在讲两个角的关系的时候，第一个叫做等量关系，第二个叫什么呀？叫位置关系， 我 cd 它是一条直线， o 是 这一条直线上的一个点，那么这个时候我肉眼可见的角一和角二，从 等量关系上面来说，它们相加是不是等于一百八十度啊？哎，它们相加为一百八十度，我们把它称为什么呀？互为 补角对不对？那么这个时候让我们来找位置关系，我们来观察一下小伙伴们， a o d 这个角， a o c 这个角，那么一个角是用两条射线，是用有一个端点引发的两条射线来组成的几何图形，那么角一这个几何图形和角二这个几何图形， 我们观察的第一个特征就是什么呀？ o d o c 是 不是在同一条直线上面呀？哎，同一条直线上面，我们再说通俗一点就是 o c o d， 它是互为 反向延长线的，对不对？那小伙伴们，这是我们观察出来的第一个特征，第二个特征是什么呀？来 a o d 这个角， a o c 的 一个角，它是有着一种公共线的对不对？公共边的对不对？那么小伙伴们，我们是不是可以想象出来，这个角一和角二实际上就是住在隔壁的邻居对不对？ 他们两个相加等于一百八十度，是互为补角的，他们仅仅只是一墙之隔，哎，仅仅只是一墙之隔，互为邻居， 所以这个时候我们就可以对他命名叫什么呀？零补角对不对？ 互为邻居的补角，哎，小伙伴们要注意好这个零字呀，他就非常清晰的点出来了，我们角一和角二的什么呀？位置关系， 当然我们角一和角二它本身存在的等量关系，是不是角一加角二等于一百八十度啊？ 所以说小伙伴们，当我看到零补角这三个字了以后，当我看到零补角这三个字了以后，我脑子里面就有一个非常清晰的概念，它不单包含了一个 等量关系，还因为它多了一个零字，还包含了一个位置关系。那么这里我们零补角是不是补角呢？ 补角他只包含等量关系，只要两个角相加等于一百八十度，不管他们在哪里，哪怕一个角在南京，一个角在北京，对不对？只要他们相加一百八，他们一定是互为 补角的，但是零补角是不是加了一个限制性条件呢？他们不单相加等于一百八，而且他们还是什么呀？相邻的。 所以说小伙伴们，零补角我们可以简单的通俗的理解成零补角，他是补角的一种特殊情况，对不对？ 当然小伙伴们跟角一他互为零补角的角，除了这个角二，还有没有其他的呢？ 我们知道一个角它是由一个顶点引发的两条射线组成的几何图形，那么角一 a o d， 这个角它有两条射线，一个是 o a， 一个是谁啊？一个是 o d， 那这个时候如果我以 o d 作为相邻的墙，相邻的公共边，那么这个时候角 e 的 邻补角还有谁啊？小伙伴们，是不是还有角四啊？ 那么这个 o a o b 是 不是会反向延长线的？ 所以说两条直线相交，他会形成四个角，每一个角我是不是都可以找出来两个零补角啊？ 那么小伙伴们，我们零补角，我们在两条直线相交的时候，我们来找，那如果你想一下， 如果你是出题老师，你会如何把这个考试的难度加大呢？那我是不是两条直线形成四个角太容易找了？那我就三条直线嘛，三条直线我就四条直线嘛。 当我们几何图形越复杂，我们眼睛看的是不是就越花呀？所以当我看到比较复杂的几何图形的时候，小伙伴们仍然要牢牢记住，抓住它的核心点， 对不对？打个比方，比如说要我找这个角的零步角，那么首先以它为相邻的边，那么这个边的反向延长线，这一个角是不是它的零步角啊？ 那么如果我以它为相邻的边的话，那么这一条边的反向延长线出来了，这一个角是不是为它的零补角了呀？ 我们小伙伴们要记住啊，零补角它除了是等量关系，它还包含着有位置关系，它们两个是邻居，能够出现邻居才能出现零补角，对不对？所以第一个是不是它们没有相邻， 第二个是不是他们也没有公共边，第三个来有公共边相邻的，而且另外一条边会反向延长线。 我们很多小伙伴在理解零部件的时候，他只是单纯的说，老师这个零部件的概念我很简单，那么如果我两条直线我来找零部件熟悉了，我就应该把三条直线，把四条直线都加进去， 对不对？多找几种情况，那么我们才能把这个零补缴。在找的过程中，我们这种多种情况，我们的眼睛毒不毒辣， 我们才能把它念出来，对不对？数学从来不是你听懂了就完事的科目对不对？他是熟能生巧的科目，他是见多识广的一个科目，我们初中学的东西 都是站在巨人的肩膀上学的啊，我们不是去做研发的这一块我们同学们一定自己也有一个认知， 那么小伙伴们还是一样的道理，当两条直线相交的时候，角一和角二是零角，角一和角四是零角，那么现在让我找角一和角三，他有怎样的位置关系？ 那么在找位置关系之前，我们还是要回到哪里啊？小伙伴们回到我们几个图形初步认识的时候，我们先来找一下他的什么关系， 胆量关系，我们刚才确定了角一和角二他不单是补角，而且他还是零补角，那么角一加上这个角二是不是等于一百八十度啊？ 角二和角三的小伙伴们，他不单是来，你看 a b 是 不是一条直线呢？ 角二和角三他不单是补角，而且从位置关系上面来看，他还是零补角，那么补角的定义，角二加角三是不是等于一百八十度啊？ 那么小伙伴们我们通过几何图形可以看得非常清楚，因为角一加角二等于一百八十度，角二加角三等于一百八十度，所以我是不是就可以确定出来角一 等于角三了呀？那么这在我们几何图形初步认识我们角度的加减运算里面，这称为非常经典的 等量代换，对不对？于此同时我们在讲几何图形初步认识，在讲角度的运算的时候，也跟小伙伴们强调的，我们角度的等量代换是我们做任何几何图形的最基本的运算法程。 那么小伙伴们我还没有开始找位置关系，我是不是已经把角一和角三的等量关系给确定下来了呀？角一和角三的等量关系就是什么关系啊？是不是相等的呀？ 那么这个时候我们来找位置关系的时候，我们还是要回到我们角度的核心定义啊，一个顶点引发的两条射线，一个顶点引发的两条射线所组成的几何图形就叫做角，对不对？ 那么小伙伴们会发现这个 o c 的 反向延长线是不是 o a 啊？ 那么从位置关系上面来说，第一个角一和角三他们有公共的顶点对不对？ 他们不单有公共的顶点，而且小伙伴们他们的两条边分别互为反向延长线， 那我们再来观察一下角二和角四，角二和角四来，小伙伴们是不是也有公共的短点呐？这个 o a o c， o b o d 是 不是也是回反向延长线的呀？ 所以当我把它的特征位置特征我们了解清楚了，我们再来看一下它的定义叫什么呀？叫对顶角 对不对？他的顶点都是相同的，这两个角是绕着顶点对着的对不对？对顶点的位置特征是什么呀？有公共的短点，两条边分别互为反向延长线， 他们的等量关系是不是相等的呀？ 那么小伙伴们我们一样的老规矩啊，我们刚才说了，哎，两条直线相交，让我来找零补角，那么小伙伴们两条直线相交，找对顶角是不是很好找啊？那么 三条直线相交呢？这里四条直线相交呢？他是不是会产生 非常非常多的对顶角啊？那么这个时候我来找对顶角，哪些角是互为对顶角的？我们怎么找啊？ o a 反向过来， oc 反向过来，一定要把它的边反向过去来找他的 对顶角对不对？那么小伙伴们来看一下有哪些角是对顶角？对顶角的两大核心特征，第一个特征是有公共的端点，公共的顶点。第二个特征是角的两边互为反向 延长线，所以小伙伴们，第一个很明显他不是互为反向延长线的。第二个他是互为 反向延长线的。第三个他是没有公共的短点，公共的顶点。第四个脚的两边不是互为反向延长线的。第五个来小伙伴们，复杂的图是不是也是互为反向延长线的呀？ 那么钱老师上课的时候在给小伙伴们一直强调一个点对不对？我们初中数学，我们是属于九年义务教育类的东西， 我们重点在于理解，但是理解只是我们数学学好的。万里长征的第一步，把东西落实到笔尖上面，把东西落实到图纸上面才是最关键的。 那么在这里给小伙伴们提供两个信息，单纯从这一个题而言，单纯从这一个题而言， a o e 的 对顶角来， a o e 的 对顶角，我是不是 o a 反过来， o b o e 反过来 off， 那 么对顶角是不是可以非常轻松的确定出来呀？ 那么 e o d 的 零步角， e o d 是 这一个角，对不对？小伙伴们， e o d 是 这一个角，如果它是相邻的边，那么 o d 的 反向延长线是 o c 是 不是这个角啊？ 如果他是相邻的边，那么 o 一 的反向延长线是不是这条线，那是不是就是这个角了呀？所以我们在找零步角的时候，我们小伙伴们一定要把它写全，一定要把它写完整， 那么这个题他还告诉我们一个信息，是什么信息呢？小伙伴们，两条直线可以找几组对顶角啊？小伙伴们，两条直线可以找几组对顶角啊？来一组对顶角，对不对？ 我们说了，我们初中阶段研究的角度，他都是小于一百八十度的角，所以我们不会去找平角的，对顶角 对不对？那么小伙伴们，这一个角，这个角是不是一组对顶角啊？那么这一个角和这一个角是不是一组对顶角啊？我们怎么来研究的呀？ o a， o b 是 不是在一条直线上啊？ 先以 o a 为边，往这边来找角度对不对？那么能找小于一百八十度的角，是不是只能找一个呀？ 再以 o c 为边来找小于一百八十度的角，是不是也只能找一个呀？所以两条直线相交，小伙伴们，两条直线相交，他能找出几组对顶角啊？两组对顶角。 那么小伙伴们，我们再把这个题思路延长一下的话，如果是三条直线相交的话， 他能找出几组对顶角嘞？来，小伙伴们，我们说了，我们再找对顶角， 这个角他必须是要小于多少度啊？是不是？必须是要小于一百八十度的对不对？那么小伙伴们，还是以 o a 为基准， 我刚才找到 oc 来了，我还找 ob 吗？如果我找 ob， 那 么你看跟我之前找的角是不是就重复了呀？哎，是不是就出现重复性了呀？那么小伙伴们，我们来看三角之间能找几个角 来？小伙伴们，还是以 o a 为计算，找一个角吧，找两个角吧，小于一百八十度的角是不是只能找两个？那么 如果我 o e 找完了，再来找哪个？再来找 oc， 以 oc 为边，找一个角吧，找两个角吧！小于一百八十度的角是不是只能找两个呀？ 那么小伙伴们，再以 o e 为边的话，再来找对顶角，找一个角的对顶角，找两个角的对顶角。小于一百八十度的角，他才会存在什么呀？对顶角对不对？ 那么小伙伴们，我们来观察一下，两条直线找了几条边？找了两条边，一条边找几个呀？一个角，那二怎么出来的呀？二乘以一，是不是两条直线相交所有的对顶角的个数啊？ 那么三条直线相交来，小伙伴们，我找了几条线作为起始边，找了几条线作为出始边， o a， o c， o e 是 不是找了三条射线呢？对不对？那么三条直线相交，找三条射线，你可能去找四条吗？不可能， 因为你第四条射线 o b 和 o a 是 不是就会重复了呀？ 那么一条线可以找几个角啊？两个角，一条线可以找两个角，一条线可以找两个角，三条线，那么是不是就三乘以二？那么三条直线相交一共可以找几个呀？六组对顶角。 我们说了呀，小伙伴们，初中数学也好，高中数学也好，我们所有的数学学习他都是通过什么呀？找规律、规律总结得出来的，我们所有的性质、概念、 定义、公式都是通过找规律规律总结得出来的。那么小伙伴们，如果在我找，再让我找一共有多少对零角？ 我们如果有四条直线呢？还是以它为一条边？小伙伴们，一个、两个、三个， 只有小于一百八十度的角，我们才能找对顶角啊，对不对？那么过这一条边我可以找几个呀？三个角过这一条边，一个两个三个过这一条边，一个两个三个 几条边？四条边一条边可以找几个呀？找三个。那么他一共可以找多少组对顶角呢？是不是可以找十二组对顶角啊？我找对顶角的时候，我找一个角出来，那么另外一个角是不是自然而然的就对出来了呀？ 那么我们在找规律的时候，我们说过，三个可以找大致规律，五个可以找非常详细的规律来。小伙伴们，假如 n 条直线相交于一点，所产生的对顶角有多少组呢？两条直线是二乘以一，三条直线是三，四条直线是四，所以 n 条直线一定是 n， 对 不对？ 那么一条边可以找一个，一条边可以找两个，一条边可以找三个，那么 n 条是不是 n 乘以 n 减一啊？ 这就是我们对顶角里面非常重要的找规律类型，那么 我们从知识点难度上面来说，他是拓展内容啊，小伙伴们，但是从本质上来说，还是看我们对顶角的概念，我们小伙伴们有没有把它彻底的吃透，对不对？ 所以我们任何时候学习数学，不要胡能腾早啊，不要自认为自己明白了，一定要把它吃透，一定要把它所有可能出现的情况都考虑到位，考虑全面，对不对？ 那么小伙伴们，我们数学学习角度也好，学习线段也好，我们最终目的都是为了帮助辅助我们来解决我们实际生活中碰到的几何问题，对不对？那么怎么样辅助帮助解决呢？就是通过运算， 对不对？就是通过运算，所以我们角度的运算，线段的运算，在我们几何图形处理过程中占有非常非常重要的角色， 那么我们一定要熟悉各种各样的运用情况。来吧小伙伴们，当他给了我角一等于四十度的时候，那么根据对顶角相等，角三是不是就等于四十度了？ 那么角一的零步角，角二一百八减去四十，角二是不是就等于一百四十度了？那么角四作为对顶角是不是也是等于一百四十度了？ 这是比较简单的应用。那么小伙伴们，我们在做几何图形初步认识的时候，我们说了几何的解答题，它的格式要求非常高，来 解析思路，带入数据，最终结果对不对？对顶角相等怎么书写的？我们一定要把它书写好，而不能随随便便的书写，你的书写代表着你要给老师展现出来的 逻辑思维，最简单的题你数学都不愿意去执行的话，那么我们在做综合题，我们在做拓展题的时候，你会发现你的思路，你的过程写不开了，写不了了，写不动了。 那么小伙伴们我们再来看下面这一种情况，角一加角三等于八十度，他给了我角一和角三的一个等量关系，同时根据图形我们也可以看得出来，角一和角三它还存在着一种 位置关系，叫做对顶角，对顶角里面也隐含了一种等量关系，那是不是角一等于角三的呀？ 那么角一加角三又等于八十度，角一又等于角三呢？那么这个时候我角一角三是不是可以非常轻松的确定出来呀？那么我角二角四是不是也可以通过零补角的定义把它确定出来呀？ 那么我们再来看一下他的预算有如何的变换，他这个时候给我角二是角一的三点五倍，那么小伙伴们角二是不是等于三点五倍的 角一啊？是不是给了我等量关系式？所以我们同样的一个几何图形，那么小伙伴们你会发现他给你的条件会各种各样的变换对不对？那么 条件各种各样的变化，在我们做综合几何运用的时候，他会随机来抽取的，所以小伙伴们一定要把题目里面的数据信息转换成什么？转换成 文字等量关系式对不对？我们把等量关系式确定出来了以后，那么这些题是不是就简单了，零步角二可以得到角一加角二一百八十度，角一等于三点五倍的角二等于三点五倍的角一，来个等量再换角一，一旦确定出来了角二 角三是不是就可以确定出来了呀？那么小伙伴们，我们在做求值问题的时候，他还会怎么变形呢？来 二比七，我们在做线段的匀算，我们在做角度的匀算的时候，一直反复给同学们强调，任何时候看到比例问题，我们脑子里面第一件事就是要设参数对不对？要设辅助字母，利用方程的思维来解决我们的 几何图形问题对不对？小伙伴们，设它为二 x， 设它为七 x， 它们两个相加一百八 x 出来了，那么这些度数是不是都可以出来了呀？ 那么小伙伴们，我相信到现在为止我们的对顶角的概念，我们的零步角的概念，包括我们对顶角怎么去运用，我们零步角怎么去运用， 我们小伙伴们应该看的比较熟悉了，对不对？我们通过一些题来彻底的把它掌握下来。 当我在找对顶角的时候，小伙伴们对顶角有公共的端点，公共的顶点角的两条边互为反向延长线，很明显一和二 都不能满足条件。而零补角，第一个他们有公共的端点，第二个他们有一条公共的零边，第三个他的另外一条边互为反向延长线，肉眼可见的应该选的是哪个，选的是 d 选项， 所以不要看我们的题简单还是难，关键问题是我们在平时训练的时候，我们在做这种题的时候， 我们有没有把对顶角的概念在脑子里面滚一遍？把零不角的概念在脑子里面滚一遍，把对顶角的特征，零不角的特征在脑子里面滚一遍。那么在滚动的过程中延伸出来的知识点有没有滚一遍？比如说 n 条直线相交于一点，所产生的对顶角的指数应该是 n 乘以 n 减一，对不对？ 那么小伙伴们来看一下这个题，做几何题，在几何图形初步认识的时候，钱老师挂在嘴边上讲的最多的一句话叫什么呀？得图 得一切对不对？我们几何题最核心的思想就是数形结合，就是我们要把题目里面的数据信息转换到几何图形里面去，对不对？那么小伙伴们， aoc 给了我七十多 对顶角相等，他的对顶角 o c 延长过来， o a 反向延长过来，那么这个表底 是不是七十度了？那么这个角二等于四十度，七十减四十，简单的角度的加减，我这个时候角一的度数是不是就很轻松的确定出来了呀？ 男的不怕，这里小伙伴们，男的怕什么呢？男的怕他给了我三条线，然后还给了我一个角平分线，对，你看我这个几何图形是不是就变得比较复杂了呀？这个时候再随机给我一些角度，让我来求值对不对？ 核心本质还是我们要对零角，对菱角这些基本的特征角平分线得到的哦，小角等于小角等于大角的一半对不对？这些基本的特征我们要熟悉对不对？那么小伙伴们来看一下这个题， 他们两个的和等于两百三十六度，我们是不是要把题目里面的数据信息转换到几何图形里面去啊？哦，他们两个相加等于两百三十六， 它们两个肉眼可见是对顶角对不对？对顶角相等的，所以它们两个相等加起来两百三十六，两百三十六除以二一百一十八度，那是不是就可以非常轻松的把这两个角度确定出来了？ 再来一个零角相加一百八十度，这个时候小伙伴们，那么 a o c 也好， b o d 也好， 他的度数是不是都可以非常轻松的确定出来了呀？所以我们说学袋鼠，他怎么加深难度的呢？先玩数字对不对？数字的预算玩完了以后再玩什么？再玩字母的预算对不对？字母的预算玩完了以后再玩什么？再玩袋鼠四的预算， 他是层层递进加难度的。所以我们在代数里面，我们经常讲碰到代数式，当整体，因为代数式所表达的最终结果仍然是一个数字，对不对？ 那么小伙伴们，你告诉我如果是几何怎么玩难度啊？先来最简单的两条线，你会不会？你会不要紧？我再加一条线，你会不会？你还会不要紧？我还加一条线， 单纯的从相交线这个角度，小伙伴们你会发现我这个角度的运算求值是不是就可以变得非常复杂呀？如果我加多了，你还玩着转不要紧，他们两个的和等于一百八或者角一等于两倍的角二 对不对？等等等等，给了我其他的等量关系，再把它套到几何图形里面去。所以说任何时候我们学习几何问题也好，初中问题也好，我们在 袋鼠和几何部分，我们初中阶段最重要的是要培养我们的思维习惯，我们的学习习惯，培养我们的学习能力，这个才是最关键的，知识点的角度而言，他的难度是不大的。小伙伴们， 学习能力，思维能力，习惯培养，这才是最为重要的。那么小伙伴们，我们来看一下这个题，你看是不是加难度了呀？ a o d 的 对顶角 a， o d 在 这里，反向延长线， o a 反向到这里来了， o d 反向到这里来了。那么 这个就是数命题嘛，很简单嘛，一个解答题，一般第一问都是非常简单的，对不对？ boc 的 零补角，我可以找 o b 作为零边，我也可以找 o c 作为零边， o c 作为反向延长线是不可以找一个？ 找 o c 作为零边 o b 的 反向延长线是不是也可以找一个呀？那么零补角是不是可以非常轻松的确定出来呀？关键问题是什么呢？当我的零补角， 当我的对顶角和比值问题，和比值问题和什么和角平分线结合在一起，那么我这个角度的运算和求值，他的计算量 是不是变大了呀？他的繁琐程度是不是也增加了呀？我们来看一下这个小伙伴们， ld 等于二十度，得图得一切，我们一定要把数据信息转换到几何图形里面去，对不对？ 那么 d o f 比上 b o f， 这个比这个一比七，那我设它为 x， 设它为七 x， 那 么这三个角加起来是不是就构成了一个平角了呀？ 那么小伙伴们，这个时候我第一件事是不是可以把 x 求出来了？以后我所有的角度是不是都可以求出来了呀？ 那么小伙伴们角平分线的定义哎？首先小伙伴们要注意好角平分线的书写格式，因为平分，所以小的等于小的等于二分之一，大的我也可以写成大的等于两倍的，小的等于两倍的， 小的，对不对？这个时候再来利用对顶角和零补角，我们是不是可以非常轻松的把，不要说求 e o c， 是 不是所有的角度都可以求出来呀？ 那么我们说呀，数学的学习，它的知识点是什么？是链条式的对不对？它的前后 都是相通的。小伙伴们，回想一下，我们当时在做角度的计算的时候，我们曾经找出来一组规律的哎， ab， 它是一条直线，在 ab 上面取一个点，取一个 o 点，然后做一条射线， 以前我们只知道他们两个是平角相加等于一百八十度，现在我是不是知道他们这两个角叫什么角啊？叫零补角对不对？ 那么小伙伴们，我们当时做的规律总结是什么呀？把 a、 o、 c 的 角平分线做出来是 o、 d， 把 b、 o、 c 的 角平分线做出来是 o 一， 我想请问一下，你这个 d、 o、 e 它是多少度啊？ 那么这个大的加这个大的一百八，大的一半，大的一半加起来是不是就等于九十度了呀？这个 d、 o、 e 是 不是就是直角了呀？ 我们当时在做几何图形，初步认识角度一算的时候，我们说了，哎，假如这个 b、 o、 c 为 r 法， 那么角平分线做出来这个角等于九十度，那么这个阿尔法为任何度数，跟我这个九十度有影响吗？没有影响，只要是零补角，只要是角平分线，他一定是可以构成多少度啊？九十度的。 那么小伙伴们，你们会发现，我们这个时候学的知识是不是就可以形成一个小闭环了呀？ 所以说学数学，我们任何时候，不管是在初中阶段还是在高中阶段，小伙伴们不要单一的去看这个知识点， 一定要通过整体的思想啊，一定要站在最高的位置，是不是？我们为什么叫一览众山小呢？对不对？你站山底看山上， 你永远看不清，看不全，你站山顶看山下，那你看的东西就很全了，你每座山之间的关联是不是就可以看的非常清晰了呀？ 所以在这里钱老师有两个要求，第一个要求是什么呀？第一个要求是我们除了要把我上课讲的内容吃透，第二个点就是课后的训练是必不可少的， 数学的学习理解只是我们万里长征的第一步，落实到笔尖上面才是后面的九千九百九十九步。那么我们今天这一堂课就给同学们讲到这里了，同学们再见！ 各位同学你们好，我是你们熟悉的钱老师，今天这堂课呀，接着由我来带领同学们对我们相交线与平行线的知识点进行一个讲解。 我们在上一堂课，带领同学们学习和掌握了我们在同一个平面内两条直线的位置关系，哎，只有两种非相交， 即平行对不对？那么在最简单的相交线里面，带领同学们认识了我们零补角和对顶角， 找出了我们零补角它的位置特征，哎，有公共的顶点，有一条边是相邻的，另外一条边会反向延长线， 我们还得到了零补角，他的等量关系是相加为一百八十度， 那么我们知道对顶角他也有位置关系和等量关系，那么小伙伴们，位置关系是有公共的顶点有公共的端点，并且角的两条边互为反向延长线， 那么我们通过等量代换得到了对顶角是相等的，对不对？ 与此同时，我们还找出了一个非常重要的找规律，就是有 n 条直线，如果相交于一点的话，那么 他所产生的对顶角的数应该是 n 乘于 n 减一。 那么我们还一直反复不断的在给同学们强调，我们学习数学，不要去忽略我们最基础的概念， 我们所有的拓展，我们所有的拔高，都是围绕着我们基础的概念来进行延伸的，包括于我们的应用也是围绕着我们的概念来进行拓展的。 那么小伙伴们，我们研究了直线的最简单的位置关系，我们再来想一下，小伙伴们， 如果我两条直线相交的话，哎，我取两根木条，一根木条是 a， 一 根木条是 b， 我 现在用一个钉子把它们钉在一起，当我把这个 a 固定了，我在旋转这个 b 的 时候，小伙伴们，那么这个时候是不是就会产生了对顶角啊？这个时候是不是也产生了零补角了呀？ 那么当 a 和 b 所剩的锐角 r 反为三十五度的时候，那么其他的角度三十五度，一百四十五度，一百四十五度，我们是不是可以非常轻松地通过零补角的性质和对顶角的性质来把它计算 求出来呀？那么我们有学数学，我们经常学数学思维叫什么呀？我们由一般到什么到特殊，我们也可以由特殊到什么到一般。 当我在旋转的过程中，如果我旋转出来九十度了，那么小伙伴们对零角九十度，零补角是不是都为九十度啊？ 这个时候是不是就形成了我两条直线非常特殊的一种位置关系啊？在相交的情况下比较特殊的一种 位置关系对不对？那么我们就把它称为互相垂直。 那么很多小伙伴一听说，老师，哎，两个角他们所形成的夹角有一个九十度，那么其他的都会九十度，这很简单呢。那么我们在接触垂直的时候，我们要注意好两个信息， 第一个信息就是我们数学，我们学习，我们在最后考试的时候，我们在最后考核你的时候，我们是要用数学语言 来把它描述出来的，而不是跟语文一样去写文字的，对不对？所以我垂直的数学语言我们一定要熟悉，因为 ab 垂直 cd， 所以 可以把我所用到的角等于九十度写出来，对不对？小伙伴们，当我写九十度的时候，我用到谁，我是不是就写谁呀？ 反过来，当我知道四个角里面任意一个角为九十度，那我是不是就可以确定出来两条直线是互相垂直的呀？ 那么这是我们垂直的概念所隐藏的，所要告诉我们的第一个细节信息就是我们的表达方式，我们的数学语言的表达方式。 那么第二个细节是什么呀？小伙伴们，既然我垂直是九十度对不对？那么他肯定会引申出来一个东西，我如何去判断两条直线互相垂直？ 那么小伙伴们，我们有很多种方式来描述我们最简单粗暴的，最简单粗暴的就是直接通过概念，我只要有一个角等于九十度，那么这两条直线是不是互相垂直的呀？ 那么这个概念他还有没有其他的表达方式呢？数学嘛，数学学习就是 直路一条然后绕弯吗？对不对？把你绕晕了为止对不对？你没有被绕晕，那就说明你数学学好了。那你比如说小伙伴们，他说，哎，我对顶角相加等于多少度啊？八十度啊，等于多少度啊？一百八十度。 那么小伙伴们，对顶角是不是相等的呀？对顶角相加等于一百八十度，我通过计算，是不是可以确定出来这些角都等于九十度啊？哎，定出来了九十度， 我们学的对顶角的概念，我们还学的什么零补角，他还可以怎么来问你啊？哎，如果两个零补角是什么呀？是相等的，能不能确定出来这两条直线 是互相垂直的呢？哎，两个零补角是相等的，而我们零补角的性质可以得到这两个零补角相加等于一百八十度，对不对？又是相等的，又是相加一百八十度，是不是也可以 确定出来等于九十度啊？是不是也可以确定出来两条直线是互相垂直的呀？ 所以说我们小伙伴们要牢记一点啊，我们学数学，不要只看字面上的意思，我们除了字面上的意思，我们还要把它的图形拿出来研究和分析去思考，如果你是出题老师， 角色互换，他应该会以哪些方式来考核你的知识点概念性问题？那我们学同学们如果把这种思维方式，把这种学习能力掌握了，我告诉你小伙伴们， 初中、高中、大学了，包括我们以后参加工作了，我们接触新生事物的时候，我们学习起来，他就比别人事半功倍一些。 那么小伙伴们垂直的概念出来了，我们现在就有一个小思考了，哎，我这里有一条直线， 我这里有一条直线，我现在要画这一条直线的垂线，那么这样的垂线能够画出来多少条呢？ 我们知道点动呈现点是构成我们几何图形的基本元素，那么这一条直线是不是也有无数个点构成的呀，小伙伴们， 当我把这条直线上面的任何一个点都把它当做当做什么呀？当做垂足的话， 那么这个时候我是不是可以画无数条直线出来呀？因为我在一条直线上面每一个点来当做垂足，我是不是都可以画一条直线出来呀？ 那么又回归到我们最基本概念里面，小伙伴们，两条直线互相垂直，那么这个焦点我是不是把它称为垂足啊？ 那么同学们要牢记一点啊，如果我想做一条直线的垂线，我是可以做无数条的， 那么这是一般情况下，那我现在给你特定了，我如果让你通过一个点 来做这一条直线的垂线，我能做多少条呢？小伙伴们来比如说我过这个点是不是绕着这个点是不是可以做无数条直线呢？ 那么只有一条直线可以和已知直线是垂直的，那小伙伴们可以观察出来规律了哦，原我这个点是不是在直线的外面呢？ 那我们再来找一下，如果我这个点在直线的上面的话，小伙伴们过这个点是不是仍然可以做无数条直线呢？ 因为两点才确定一条直线呢，一个点他是确定不了直线的，但是我过这个点想做这条直线的垂线，我是不是就只能做一条出来了呀？ 所以我们这里就衍生出来了我们垂线的第一个非常非常重要的性质，在这一个平面内，我想过一个点做一条直线的垂线应该是什么？有且 只有，我是不是只能做一条直线和已知直线是互相垂直的呀？而且小伙伴们也会发现，哎，不管这个点是在直线上面，还是在直线的外面，那这些细节小伙伴们都要注意好。 那么经过一点，怎么去做一条直线的垂线？同学们知道了，那如何去做一条射线或者是做一条线段的垂线呢？ 那你比如说我过点 p 做这一条射线的垂线，实际上本质上是不是做这条射线所在的直线的垂线呢？ 那么小伙伴们，如果我过这一个点做这条线段的垂线，那我第一件事是不是要先延长，然后再来做垂线，对不对？ 所以像我们要牢记啊，做射线或者是线段的垂线，本质上是做射线 或者是线段所在的这条这条直线上的垂线。哎，这个细节我们同学们一定要把它理清，当我们理清了任何时候，我们来做垂线是不是就显得非常轻松了呀？ 因为我们的小学就学过，三角形的面积是不是底乘以高除以二啊？锐角三角形的三条高是不是都在三角形里面？而钝角三角形的三条高有一条有一条高在里面，有两条高是不是在外面呢？ 那么如何做射线或线段的垂线？本质上它就可以和我们三角形的高形成一个简单的闭环，对不对？ 那么又回归到本质了，我们学习我们几何图形的基本概念，最终的目的还是要去应用啊，那我如何去应用呢？就是通过求值计算来应用，对不对？我们在 实际学习的过程中，通过求值计算来应用，我们在实际生活中通过角度可以把图形做的更加完美，是不是的？ 那么小伙伴们看到垂直没有啊？我们任何时候看到垂直了，我们第一件事是先把直角标号打上去，就跟什么呀？就跟我们在讲角平分线的时候，任何时候看到角平分线，先打上角一角二再说， 用不用得上是一回事，你打不打是你的习惯问题对不对？任何时候看到垂直，先把直角标号标上去，直角标号就意味着九十度出来了吗？ 那么小伙伴们，角一等于五十六度，那这两个角相加等于九十度，九十减五十六，这个角是不是就等于三十四度了呀？ 那么和我们前面的对顶角的知识点是不是就形成了一个闭环了呀？哦，原来他们是对顶角，所以我这个角二的度数是不是就可以非常轻松的确定下来呀？ 那么小伙伴们，我们这里又有一个小思考啊，这里有一条河流，假如他是一条直线的话，现在我要把河里面。由于视频制作精良，超出视频上传内存要求，所以请私信钱老师领取学习资料。

做父母的可别再给孩子增加负担了。二零二六年六年级下册鲁教五四版数学第七章相交线与平行线练习共六十八页， 已经帮您准备好了，不管是电子版还是打印邮寄版，都得心应手，清晰明了。与其让孩子在题海中挣扎，不如给他一份精准的练习。点击下方链接，即可轻松获取这份练习，让孩子在练习中成长，在快乐中进步。

六年级的同学们请注意啦！寒假数学预习不用慌！这份超实用攻略请收好！照着学，开学直接当领跑者！这册书的五大核心板块，咱们逐个击破！ 基本平面图形，先认清线段、射线、直线的区别，学会比角、线段长短和角的大小。把多边形和圆的基础概念过一遍，动手画一画图形认知轻松到位。 一元一次方程是基础重点先掌握方程的定义，把一项合并同类项的解析步骤熟练，再试着做几道简单的应用题。理清数量关系很关键， 相交线与平行线分清对顶角、邻补角、平行线的判定定律和性质定律要吃透，试着用，因为所以说清推理逻辑，几何思维直接拉满。 整式的乘除是代数重头系统，底数幂的乘除，幂的乘方运算法则记牢固平方差，完全平方公式，反复练基础计算别出错，这可是后续学习的基本功。 变量之间的关系，掌握表格、关系式图像三种表示方法，能看懂变量的变化规律，就可以为以后学函数打下基础。

老师好，好，同学们好，请坐！同学们温故而知新是为了更好的学习，那么今天就让我们一起来再次的回顾前面我们所学的知识，也为了更好的出发。 在上一章中，我们学习了相交线、平行线的相关知识，那么我们来回顾他整个的研究路径， 这是我们本单元的一个大情境，我们是借助数学模型实现绕行公路的设计。 在前面的学习中，我们已经完成了任务一和任务二。任务一中我们是侧角度明方向，确定了角 b、 角 c 以及角 d 三个角度数。在任务二中，我们是想策略做平行， 我们通过过地点做了 d e 平行于 ab。 那 同学们，数学是一门很严谨的学科， 我们需要通过任务三来完成我们的 d e 平行于 ab。 也就是本节课我们要精计算出方案，用数学的语言来证明道路平行的合理性。 下面请同学们跟我一起来回顾一下我们上节课的内容。那首先来阅读本节课的学习目标， 好带着这个学习目标，我们来开启本节课的学习。在上节课中，我们学习了两直线的位置关系，分别是 香蕉和平形。在香蕉的学习中，我们从定义到性质到他的特例，从一般学习到了特殊，也就是垂直。 在研究垂直的时候，我们是沿着定义判定性质到应用，从角的数量关系研究到了线的位置关系。那么在前两节课的过程中，我们仍然学习了两条直线的 平行，同样沿着这样的路径来进行了学习。我们通过观察、猜想、验证，最终得出了三条叛逆定律，让我们一起来读一下叛逆一，一二， 判定一，同内角相等，两直线平行。判定二，内错角相等，两直线平行。判定三，同旁内角互补，两直线平行。 好，那么沿着这样的路径，大家就猜想到了本节课我们应该研究的是平行的， 一起说猜猜是什么性质好。很好，我们本节课要来研究平行线的性质好。同学们，让我们一起来回顾一下我们的三个判定方法是怎样研究的。 我们通过观察猜想验证，从特殊到一般，最终得出了我们的第一条判定定律是什么？ 同位角相等，两直线平行。沿着这个结论，我们通过推理论证得出了后两条判定定律，一，二， 内错角相等，两直线平行。同旁内角互补，两直线平行。同学们，在判定运理中，我们可以看到，我们是从角的数量关系研究到了线的位置关系， 那我们来猜一下，如果我给了你两直线的位置关系，他们的角又有怎样的数量关系呢？下面就开启我们今天的第一个问题，如果两条直线被第三条直线所截， 同位角会有怎样的关系呢？在这里老师先来给你画一组平行线，如果 a 和 b 平行， 又被第三条线所截，那么它的同位角会有怎样的关系呢？猜想一下， 采访一个同学啊，来，你来说，你觉得他们会怎样？我认为角一跟角二应该是相等的，你觉得是相等，他猜想对吗？我也认为是这样，你也认为是这样？童装 猜想是对的，猜想是对的，那他的猜想是什么？角一与角二相等。哦，你也觉得相等，你呢？我也觉得角与角二相等。好，很好，请坐。那么同学们，他们的猜想对吗？

同学们大家好，我们这节课往下探讨平行线。 首先我们看一下两条直线相交能形成多少个角。上节课我们已经说了，两条直线相交能形成四个角，其中从数量关系上看， 角一和角二是互补的角，角二和角四拥有共同的顶点，边是反向延长线，所以是对顶角，并且对顶角两个角是相等的，这是直线相交形成的角。 继续往下看，上节课我们也讲过，在三线八角中，我们形成了很多的角。首先第一种角一和角七拥有共同的顶点，边是反向延长线，我们教的叫对顶角。 其中对顶角有角一和角七、角三和角五、角二和角八、角四和角六一共四对。 那我们再看，从数量关系上，角一和角三组成了大平角，角一和角三是互补的，角五和角七也是互补的，角二和角四也是互补的，角六和角八也是互补的。他说角五和角七是什么关系？是组成了个大平角，他们是互补的关系。 好，继续看其中不共顶点的角有哪些，也就是顶点不在一起的。 首先顶点不在一起的，我们看有几对，第一个角一和角二是不是不是一个顶点，对不对啊？ 其中这两个角一和角二都在直线 a、 b、 直线 c、 d 的 同一侧，也在直线 e、 f 的 同一旁，所以叫做同位角，角一和角二是一对，同位角， 角一和角二。然后继续看同样的道理，角角五和角六，还有角三和角四、角七和角八一共四对。继续看 我们这里的内错角，内错角是在两条直线的两条直线之间，在第三条直线的两侧，将角二和角七、角四和角五 东方内角在两条直线的内侧，在第三条直线的同一旁。像这里的角二和角五、角四和角七一共有两对，角四和角七、角五和角二。我们继续往下看， 说在直线 a、 b， 在 直线 a 和直线 b 平行的条件下，我们想一想角一和角五是什么样的关系？我们知道两条直线平行， 角一和角，角一和角五是同位角，应该是相等的，对不对？那还有没有其他的同位角？这个角二和角六是不是也是相等的？同位角，角三和角七、角四和角八。 并且我们看看这里头有没有内错角。在直线两直线内部，这条线的两侧，角三和角五是不是内错角？ 角四和角六是不是内错角？因为在这里两条直线平行，同位角相等，所以角一和角五是相等的。又因 角一和角五是相等的，那么角一加上角四和角五加上角六都等于一百八十度。所以我们就推导出来了角四和角六是相等的，内错角也是相等的。 再继续看同边内角，同边内角，角三和角六是同边内角，因为角三等于角一，角一和角五是相等的。 角五加上角六等于一百八十度，所以角一加上角六也等于一百八十度，所以角三加上角六也等于一百八十度，所以角三和角六是同旁内角互补，就是两条直线平行，同旁内角是互补的。 继续往下看，他说我们刚才的所有的结论就是两条直线被两条直线平行，被第三条直线所截，就得到了同位角相等，内错角相等，同旁内角是互补的， 两直线平行，同位角相等，两直线平行，同旁内角互补， 这个需要同学们熟记。我们看一下这样的一个立体一束平行光线， a、 b 和 d、 e 射向同一个水平镜面后被反射，此时角一等于角二，角三等于角四，我们看下这个过程。 这是光线 a、 b 和 d、 e， 它俩是平行的关系， 得到角一、角二、角三、角四。现在问我们角一和角三是什么关系， 看一下。因为 a、 b 和 d、 e 是 平行的，角一和角三是同位角，所以这两个角相等，角一和角三相等，对不对？可以问我们角二和角四是什么关系，因为角一等于角三，角三又等于。

皓月当空，爱的人手捧星。

六年级下学期的数学呢，它一定是初中数学的第一道分水岭，掌握对应的方法，咱们才能够扎实的去提分。我是在莱州做了十年教育的初老师，家有初中生的，大家可以关注点赞收藏一下。 咱们六年级下册的很多内容呢，其实它都是七八九年级的基础，比如说咱们初二的三角形，初三的四边形的学习， 变量关系呢，又关系着初二依次函数的学习，整式的运算更是关系着整个初中咱们的运算能力。 那咱们如何去做呢？首先你要梳理出来思维导图，咱们需要将整个呃章节的知识点梳理成知识框架，标注出来概念呀，公式啊，定律啊啊，哪一些公式的适用条件，以及它的典型例题。 特别重要的一点就是，不光你要眼睛看会了，嘴巴也一定要会，就是你要能够讲的明白，你能讲明白，才证明你真的学会了。 第二个呢，就是一定要去细抠核心的内容，学生呢，要去找出概念定律的一些关键词，并且尝试去举例验证，最好能够做到自行推导公式定律。那咱们既要记住结论呢，也要明白背后的原理， 一定要清楚，数学从来不是一个死记硬背的学科，理解比记忆更重要。第三点， 如果你前两步都做好了，那么咱们就开始专攻压轴的题型，总结通用的方法。因为这几年咱们啊莱州的数学的题目呢，他 普遍已经越来越开始偏难了，特别是一些新题型新定义的题目，整理固定的解析思路，掌握这一个大类型的解析的方法。我是楚老师，关注我，咱们一起进步。

hello， 宝宝们，今天我们来学习七年级上册的平行线与相交线这一单元的基础知识点。首先第一个两条直线相交，会形成什么角呢？叫做对顶角， 老师，屏幕中画的这两个角就是对顶角。哎，那这两个呢？它们两个是不是也是对顶角啊？这是我们知道第一个知识点，那什么叫做邻补角呢？ 我们观察一下这个角和这个角，它们两个就叫做邻补角。那为什么呢？首先邻补角有两个特征，第一个是有一条公共边的， 它就是这两个角的公共边，对不对？并且它们两个角度相加等于一百八十度，换句话说，它们两个是互补的，而且挨着有一条公共边，就叫做邻补角。下一个知识点， 什么叫垂线呢？首先 两直线相交成直角，我们称这两条直线是互相垂直的，这个焦点叫什么？这个焦点叫做垂足， 那它有什么样的性质呢？在同一个平面内过一点，假如过这个红色的点， 这有一条已知的直线，那过一点，有且只有一条直线是与已知直线垂直的， 那下一个性质是什么呢？现在呢，也是直线外面有一个点，那他和这个直线上的各个点相连中，哪条线是最最短的呢？ 哎，肯定是垂线段最短对不对？点到直线的距离是多少呢？就是直线外的一点到这条直线的垂线段的长度， 就是这个点到直线的距离就是它。 ok， 那 下面呢，我们要讲平行线啦， 随便两条直线被第三条直线所截。首先呢，会有一个角叫做同位角，什么叫做同位角呢？ 在同一个方向，同一个位置的角就是同位角。例如这是不是两条直线被第三条直线给截住了？ 那在这两条直线的上方，在结线的右侧，前面的角是不是在这里？那这两个就是同位角，那这两个呢？ 是不是也是同位角啊？都在这两个被截直线的上方，在第三条直线的左侧，同样这两个也是同位角， 这两个也是同位角。那这个图我们就来画同位角，下一个角叫做内错角。 什么叫内错角呢？内错角是在结线的，它是结线在结线的两侧，在两条被结线的之间的。 哎，这两个他是不是一个 z 字型啊？这个角就是内错角。 哎，同学们，那这是不是也是 z 字形啊？所以这个角也是没错角。 ok， 没错角，下一个， 这个角呢，叫同旁内角四个字，在结线的同一侧背结两线的之间，也就是这两个角，他俩就是同旁内角。 那在结线的同一侧，左侧，两条背结直线中间，是不是这两个角也是啊，所以它们两个也是同旁内角。下一个我们要给出的是平行线的定义。 什么叫平行线呢？ 不相交的两条直线叫做平行线，如果这条直线可以用 ab 表示，那就是 a 平行于 b。 并且这里老师补充一下啊，在同一个平面内，两条直线的位置关系只有平行和相交，那垂直呢？它只是相交里的一种特殊情况，大家要认真记一记。 那同学们，我们怎么来判定两条直线平行呢？ 根据我们刚才学的角度是有关的，如果同位角是相等的， 那我们就能推出来两直线是平行的，如果内错角是相等的，我们也能推出来。两条直线是平行的， 那同旁内角呢？ 同旁内角是互补，两直线才平行，这就是判定直线。所以我们如果要证明两条直线是平行的，我们可以找出他的同位角或内错角或同旁内角，让他们满足相同条件，就能推出他是平行的。 哎，同学们，那如果这有一条直线啊，垂直于同一条直线的直线，它们平行吗？哎，是平行的，强调是同一个平面内，这就是平行线，怎么正平行？那下一个 什么是平行线的性质呢？ 换句话说，哎，我告诉你，我说这两条直线是平行的，那么你就知道 这三点，你肯定知道了。也就是说，你知道两条直线是平行的，那么同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，这就是我们今天所学的知识。 好，我们现在来复习一下。首先，我们知道了内错角相等对不对？内错角是相等的，我们知道。 哎，这样的角度是内错角，他们两个是内错角。任意画出两条直线，这是不是就内错角啊？我们平时在做题的时候要关注一下，内错角是相等的，下一个什么叫邻补角？第一个他们两个得互补，相差等于一百八十度。哎，那互余呢？ 互余是相加等于九十度。记住了，下一个，那邻补角第一个互补，第二个就是相邻，相邻就是有一条公共边，这两个角是不是有一个公共边啊？ 下一个，我们学会了什么叫做垂直，并且知道了过一个点，尤其仅用一条直线与已知直线垂直，下一个垂线段最短，然后呢，两条直线被第三条直线所截， 我们学会了同位角、内错角和同旁内角，其中内错角它是一个 z 字形，对不对？这样的他们两个就是内错角，同位角其实就是相同位置，相同位置， 你看这两个角是不是都是在右上侧？这两个都是在左上，然后这两个左下没问题吧？同旁内角，哎，他的同一侧，然后呢，内角两个里边的角，同旁内角 平行线是不相交的，两条直线记作这个样子，我们要证明两条直线平行就可以，哎，分别让证明这些相反平行线的性质呢，也是这三点好。同学们今天的课呢，就讲到这里。

六下有多难，已经不是多做题就能解决的了。接上一期啊，很多家长说，不就是方程吧，多练练就好，还真没那么简单。六下呢，对比六上难度啊，是断崖式的上涨，每一章都在提新要求。比如说啊， 呃，咱们先学的元一次方程，解决实际问题，他不再是套题型，而是把文字要翻译成数学语言，形成工程，利润分配啊。配套问题，逻辑链异常啊，孩子直接看不懂 啊，列不出来，这不是粗心，是代数建模能力还没建立啊。嗯，第二呢，几何正式入门了，基本平面图形和相交线与平行线这两个章节，开始要求步步要有句规范书写，还有简单的推理，以前靠看图就能做，现在呢，你得要会想会说，还会写逻辑。 第三部分，整式的乘除，从整式的加减升级到整式的乘除密预算公式的运用，符号项数结构复杂度直接翻倍，信心已经不够了，必须理解本质。 第四，变量之间的关系，初步函数思想从静态数到动态变化，很多孩子第一次接触完全不适应。总结一下啊，六上呢，靠认真就能高分，六下靠认真已经不够了，必须靠思维，靠方法，靠逻辑。 这就是为什么很多孩子上册还名列前茅，下册直接名次划破，而且一旦掉下去，越往后越难追给方案。现在怎么做才能避免分数断崖？