初二下册数学69种几何模型讲解

很多孩子初中几何题一考试就丢分，其实不是不会算，也不是听不懂，多半是卡在辅助线上。可以给孩子准备这本初中几何模型，里面把初中常考必考的几何模型全都给总结好了，像手拉手模型、飞镖模型、将军印马模型、 胡不归模型等，每个模型条件、结论是什么，怎么画辅助线，怎么证明的，都讲的很清楚。然后通过例题让孩子知道如何在解析中运用这个模型，不会的还有视频讲解， 最后再做练习题，巩固提升。掌握了这些大体有思路，小题套模型，做题时就能轻松解题，一本用三年，快给孩子准备起来吧！

八下数学最难的十五大几何模型全部吃透，逆袭班级前三！一、平行线角平分线七、中点四边形模型 十四、对角互补型十五、鸡爪模型 失误最短路径问题圆柱长方体完整版分享！

这道题太难了，很多同学遇到这种题都不知道辅助线该怎么做，做不出辅助线，这道题 a、 b、 c、 d 摸一个也是百分之二十五的正确率， 但是一旦你掌握这种题目，辅助线的技巧，真的如鱼得水，来一个秒一个，今天叶老师就把我总结出来的，哎，这个三缺一的秒题大招教给大家啊！那有关这类题型啊， 终点辅助线模型，老师是给大家做了一个特殊的总结和梳理的，如果咱们孩子经常来做这种题目，想不到方法，没有思路，咱们家长一定要带孩子打印出来，逐个题型进行梳理，因为这种题真的是有方法的。 下面呢，咱们就来一起看看这道题。如图，在四边形 a、 b、 c、 d 当中， n 分 别为我们 b、 c 和 ab 的 终点终点画小大圆点，哎，这叫做条件上足， a、 c 呢等于八， b、 d 呢等于六， a、 c 垂直于 b、 d 让求 n 的 长。这种题目，老师是不是给大家一个四缺一的解例技巧啊？什么意思？来看这道题给了我们哪些条件？来这儿，这儿两条边的终点提到了 四边形，对角线，我们提到了它 q 到了四条线，那组成这个四边形的基本要素当中，还有两条线，它是没有提到的，对不对？四边形基础要素一共就有这六条线， 所以我们说 q 四线之后四缺一，必须五个条件才能完成这道题的解决过程。所以另外一个条件在哪找？就在没有 q 到的这两条线上，任意找一条线，取中点。 哎，这个我们取到了终点，假设是点 p， 所以 四缺一，我们就在另外一条现场找一个终点 就完成了五个条件，召唤神龙，五个人可以排位了，对不对？来，那我们现在选完这个终点怎么办？看，这也是终点，这也是终点，很明显要构成正位线了， 所以我们在这里连接 np， 连接我们 pm， np 平行且等于二分之一 a c， 这是八，这是四， 同样 p m 平行线的二分之一的 b， d， 这是六，这就是三。所以你有发现点什么？三、四，你想到什么？ 勾不定理啊，那能不能用勾不定理啊？你看这是不是有个垂直的条件啊？这是垂直的，这也是垂直的，所以说我们有直角三角形 通不定理三、四、五，直接求出我们 i n 最终的答。所以以后遇到这种题，大家可以想到在这种 四边形模型当中，它题干当中 q 到了四条线，那我们想解决这种题目就是 q， 四线二选一，在没有 q 到的两条线当中选一个去终点连终点，利用中微线就可以轻松搞定这类题目的答了。

要想数学成绩好，每天练习不可少。八年级数学下册课本一百六十七页纸上的 第五题已知如图，在平行四边形 a b c d 中， a b c d 平行四边形。好，他已经说了第一个已知条件， e f 分 别是 c d 和 ab 边上的点 a e 平行于 a e 在 哪里？ a e 在 这里， a e 平行于这个 c f。 呃，没有了吧？其他这什么教理啊？求证。这个 e g 等于 f h。 哎呀， e g 等于 f h。 咱们能不能得到这中间的这里小的是个平行四边形就可以了 啊？这样的平行四边的这边就行了。我们看到这个平行四边形 abcd 啊，我们是可以得到这个 ab 平行且等于这个 cd 啊。 a b 跟 c d 是 既平行又相等的。如果现在有一个叫做 a e 等于平行， a e 平行于 c f， 我 们看到 a e 平行于 c f， 那 我们就可以得到什么东西呢？就可以得到这个叫做 a f 平行于 c e， 并且这个 c f 平行 a e。 好，我们就可以得到这个 a f 平行于 c e， 并且这个 a e 是 平行于 c e f， 对 吧？好，那么有这两个我们就可以得到平行四边形 a f c e a f c e。 好， a f c e 的 话，那我们就可以得到这个叫做我们就可以得到什么东西呢？刚 才我们说要得到这个叫做我们就可以得到什么东西呢？刚才我们说要得到这是个平行四边，这本来这个平行就证明了。哦， 好，我们再继续来看一下哈。呃，那我们能能不能证明这个跟这个是平行的呢？我这个跟这个平行是刚才这已知的有的，对吧？这个平行里面有的。 呃， a f 呢？ 我们来看到这里啊，这个 b f 跟 d e， 由于这个 a f 是 等于 a o， 那 这里我们得到 a f 等于 c 啊，这个平行四边形，我们得到 a f 等于 c e， a f 等于 c e 的 话，因为刚才的 ab 是 等于 cd 的， 看来我们又可以得到什么东西呢？叫做 ab 减去 ab 等于 cd， 减去 c， 减去 c e， 所以 我们就可以得到这个 b f 叫做 f 字母吧。 b f 平行且等于 d e 好， b f 平行切等于 d e， 那 我们由此类推，我们就可以得到这个平行四边形，叫做 b e d f b e d f 好， 那么这样我们就可以得到这个叫做 f d 平行切等于 b e， 所以 f d 平行且等于是这个等可以不写啊。呃， b e， 当然你需要它的时候你就把它写出来，那么这里我觉得好像不需要吧，我们等会再往后看好这个 d f 平行 b e 好， d f 平行 b e 呢？ g， 这个 g f 平行 h e 啊，这两个平行。那么刚才根据 a e 平行于 c f 就是 g e 平行于 c f， 所以 我们加上这个 g e 平行于这个 f h g e 平，所以我们就可得到平行四边形，叫做 e g f h e g f h 好， 平行四边的对边相呢，所以我们就知道 e g 等于 f h 啊，这题我就说到这为止啊，这题可能有的同学没有听清楚，中间的步骤很长啊，我这里只是把这个推理的过程跟大家说一下，要把它写出来还是有个难度的 啊，有时间大家自己去理。我们的第六题，小明是这样画平行四边形的，如图，将三角尺。 呃， a b c 这个三角板，它的一边 a c， 比如说一个三角板，当然我这里是，呃，三十度的，它是四十五度的三角板啊，贴着这个 a c 往上这个推移，那么这个实际上是平移的做法。 我们得到这一个四平行，叫做 a b b a， 它就是平行四平，为什么呢？因为这个 a b 啊，是平行切的， a e b e 的 叫什么呢？叫做这个平移。呃，前后的对应线段平行且相等啊，或者在同一条直线上啊，经过平移， 对吧？呃，对应线段平行且相等，或在同一条直线上，所以这个 ab 跟 ab， 当然这里呢是平行且相等的，对吧？所以那个，呃，我们得到这个平行四边形，呃，这里又是一组对边 平行且相等的四平行，是平行四平行。有时间我没有写完啊， a b b 一 a 一 是平行四平行。记得点赞关注哦！

初中数学几何不好的同学可以看过来，咱们今天继续学习十字架模型。上节咱们已经讲了这个十字架模型的第一种类型 是正方形，然后十字架过顶点，然后今天咱们来看一下这个十字架模型，不过顶点。 咱们看一下这道题的条件啊，在正方形 a、 b、 c、 d 中点 e、 f、 g、 h 分 别在四条边上，然后给你 e、 f 垂直于 g、 h， e、 f 这条边垂直于 g、 h。 咱们观察这道题型啊，咱们看见了正方形，然后又看见了两条线段垂直，那咱们想到十字架模型， 那它和第一个不同的是，它现在没有三角形对不对？那咱们怎么办呢？咱们可以构造三角形，那怎么构造呢？这里有两种方法啊。第一种我们可以怎么办呢？首先过点 h， 向 b、 c 做垂线啊，假设垂足是 m， 然后过点 f 向 a、 b 做垂线， 我们设它的垂足是 n 啊，这样我们就构造出了两个三角形，哪两个三角形呢？ 是不是一个是 h、 g、 m 啊？ 然后另一个呢？是不是 e、 f、 n 呐？ 然后咱们看啊，怎么利用， 怎么利用这三个两个三角形？咱们之前学的那个过顶点型，是不是利用两个三角形全等了？咱们看这两个三角形能不能全等。首先分析啊， 都有直角对不对？这两个三角形这有个直角，这个 e、 n、 f 是 直角，这个三角形 h、 g、 h、 m， g 是 直角，好，有一个直角了。然后咱们看看还有什么条件， 是不是可以证明 h、 m 等于 n、 f 啊？怎么证明呢？首先咱观察啊，在 h、 d、 c、 m 中 是不是有两组对边分别平行啊？因为因为 a、 b、 c、 d 是 不是平行于 b、 c 这条边呢？也就是 h d 平行于 m c， 然后呢，因为我们做了 h m 这条线垂直于 b c， 那 么 cd 这条边是不是也垂直于 b c 啊？那所以 h m 是 平行于 cd 啊？那是不是在这个四边形 h、 d、 c、 m 中， 两组对边分别平行啊？那是不是可以证出来，首先它是平行四边形，然后又因为有直角，所以它是矩形，那么所以 c、 d 就 等于 h m， 对 吧？那同理啊，在 n f c b 中，同样的道理啊， 我们可以证明 b、 c 这条边等于 n f 这条边，那么 n f 等于 b c， c d 等于 h m， 那 所以 n f 是 不就等于 h m？ 咱们先写下过程啊。 呃，在正方形 a、 b、 c、 d 中， 因为 a、 d 平行于 bc， 所以 h d 平行于 m， c 因为 h m 垂直于 bc， c、 d 垂垂直于 b c， 所以 h m 平行于 c、 d。 那因为啊，因为 h m 平行于 c、 d， 然后又因为 h、 d 平行于 m c， 是 吧？那么所以四边形 h d、 c、 m 是 平行四边形， 然后又因为因为这个 c、 d 垂直于 bc 吧，所以角 d c、 b 或者说 d c m 等于九十度，所以平行四边形 h d， c、 m 是 矩形， 那么所以 h m 它就等于 c d。 那 么咱们可以同理啊，同理可以得到什么？同理可得， 同一可得什么？是不？ n f 这条边等于 b c 啊， n f 等于 b c 啊，然后又因为在正，因为 ab cd 是 正方形， 所以是不是这个 c、 d 等于 bc， 等于 h m 等于 n f？ 好， 咱们现在证明了这两个三角形里边两条边相等，然后咱们还知道两个直角了，那接下来咱们怎么证明呢？我们接下来研究一下角的问题啊。咱们观察 在这个三角形中，以及 在这个三角形中，咱们看一下这两个三角形的特点啊。首先，这个角和这个角是不对等角啊？ 其次，这个角和这个角是不是都是直角啊？ 那么在两个三角形中有其中两个角相等，那么第三个角是不是也相等啊？也就可以得到 g h m 等于角 e f n 呐？ 好，我们写一下证明过程啊。嗯， 假设这个焦点是点 g 哦，这个点是，呃，这个 i 哦，这点是 k 哦。 再三角形 h i g 和三角形 g k f 中， 因为角 h g i 等于角 k g f， 这是因为对点角相等。然后角 h i g 等于角 g k f 等于九十度，所以角 g h m 等于角 e。 那 么好，那现在啊，这个全等的条件咱们是不是就都有了？咱们看看都有什么啊？ 首先在 三角形 g， h m 和三角形 e f， n 中啊， 有什么呢？首先是不是有 n f 等于 h m 啊？还有什么刚才我们说的角 g h m 等于角 e f n 呐？还有什么是不是两个九十度啊？角 e， n， f 等于角 g m h 啊？ 那么所以三角形 g， h m 全等于三角形 e f， n 呢？那么两个三角形全等是不是就有 有这什么了？ e f 等于 g h 了，好，咱们是不是挣完了？

江都所有初二的家长同学们听好了八下数学期末想考高分，不要乱刷题，抓准重难点就赢了大半。 首先说英式分解，很多孩子以为简单，其实是整个初二下册最容易隐形扣分的章节。考试不只是简单的题，公式套平方差完全平方公式 孩子最常见三大丢分点，第一，不提公式，直接套公式步骤直接扣分。第二，分解不彻底，剩一个括号还能继续分，孩子直接停手。第三，符号看错，正负搞反，整题白做。 我再三强调，期末阅卷因式分解不彻底等于零分，这一块必须练稳。然后是全书最大的难点，押走四边形章节，矩形、菱形、正方形 这四种图形性质极易混淆，是期末大题压轴必考。孩子这里丢分不是不会，是定力乱用，条件不全。很多学生做题凭感觉缺少严谨的条件。 平行四边形、正矩形必须抓直角或者是对角线相等。正菱形必须抓菱边相等或者对角线垂直。正方形最难，必须同时满足矩形、菱形双重条件。期末压轴最爱考图形折叠动点问题 多，图形综合证明步骤不规范，条件写不全，大体直接对半扣分，剩下的分式根式大体直接对半扣分，剩下的分式共题概率都是基础，送分题只要细心就能拿满。 所以八下期末冲刺核心就两句话，因时分解、拼习型、平行四边形、拼逻辑，把这两大重难点吃透，期末数学绝对能逆袭提分。 我整理了八下期末必考整体重重点，需要的可以在评论区打，需要。

要想数学成绩好，每天练习不可少， 八年级数学下册课本一百六十八页纸。我们看到第七题，如图，平行四边形 a、 b、 c、 d 的 对角线 a c b d 加锐角 o， 他 说了这是平行四边形，那么对角线加锐角 o， 我 们就可以根据平行四边形的对角线互相平分，所以 o a 等于 o c， 对 吧？ o b 等于 o d 啊，现在说 e、 f 是 o b， o d 上的两点，叫你添加使这个 a、 e 等于 c f。 呃， a e、 c f 为平行四边形的条件，叫你添加一个条件，然后呢，它就是平行四边形。说明理由很简单的添法，比如说我们添加 b e 等于 d f， 对 吧？我们添加 b e 等于 d f， 我们添加这个条件，那么 b e 的 d f， 那 么 o b 减去 b e 就 等于 o d 减去 d f， 那 么这样 o e 就 等于 o f 了，对吧？ o e 的 o f， o a 的 o c， 所以 四边形 a e、 c f 就是 平行四边形，对吧？这个理由就很简单的去把它给系数完了。呃，当然呢，呃，我们每个人补充的不一样的， 哎，你要补充这个 a、 e 等于 c、 f 的 话，那行不行？如果您补充 a e 等于 c、 f 的 话，那我们看到这个角等于这个角，这个边等于这边，这两边相等是不一定行的。但是如果你补充 a e 平行于 c f 的 话 啊，所以这个如果你补充的是 a e 平行于 c f 的 话啊， a e 平行于 c f 的 话，那么这个内错角相等，外错角这也相等，对吧？ 那么我们就可以证明三角形 a、 b e 与三角 c、 d、 f 两个三角形呢？然后呢，这个 a e 也就等于 c f， 所以 补充这个是可以的， 但是你补充 a、 e 等于 c、 f 就 不行，所以这个要小心一点，不要乱补充啊。所以你要把平行四边的判定定律啊，牢牢的把它搞清楚。我们看到第八题， 为了这一块木板相对的两个边缘是否平行，木板对面的两个边缘平行。木工师傅常有两根曲尺的一边紧靠着木板，所以这里曲尺是指，这里是直角的意思啊，就是木工用的一种尺子，他含有一个直角的这样的一种尺子 啊。再看木板的另一边对应的刻度是否相等，所谓另一边对应的刻度相等，就代表着这两边是相等的。当这两个是直角，我们放在这里是同位角向的两直线平行，那么这样呢？我们就可以得到，嗯，比如说我们加字母吧，这个 a、 b 跟 c、 d 对吧？我们就可以得到 a、 b 是 平行且等于 c、 d 的， 那么这样根据 e 组对边平行且相等，得到这个 e 组对边平行且相等，对吧？那么得到这样的，我们就可以得到这个 a、 b、 d、 c 是 平行四边形， 那么木工师傅就要判的相对的两个人变成平行的，所以我们就可以得到。什么东西呢？叫做 a、 c 是 平行于 b、 d 的 啊，像这的两个边缘是平行，就是对面的这两个边缘 a、 c 是 平行于 b、 d 的 啊。解释，我刚才已经给你把它解释了一遍。 根据七尺，我们得到角，角 a、 b、 e 等于角， c、 d、 f 等于九十度，所以 a、 b 平行于 c、 d。 又因为 a、 b 等于 c、 d， 刻度相等嘛。所以，呃，根据一组对边平行的四边形，所以四边写 a、 b、 d、 c 平行，四边的对边平行。 那我们根据这样的道理，我们看到第九题，在四乘四的方格子纸当中，每个小方格子的边长是一， ab 是 两个格点，现在我们再再找一点 c 一 十三角 a、 b、 c 的 面积为二，三角形 a、 b、 c 的 面积等于二分之一，乘以二，乘以二， 对吧？二分之一乘以二，乘以二就等于二，这个就很简单，所以这里找一点 c 一， 以及这里找一点 c 一， 是很容易的找到。那么现在提问问我们这样的 c 一 有几个， 这样的 c 有 几个呢？好，我们这样找到了 c 之后，我们根据三角形 a、 b、 c 的 面积，我们把 ab 当到底边，二分之一乘以底，这个高二分之一二根号二乘以根号，所以也就说这个点 c 啊，到 ab 的 距离只要等于根号二就可以了，于是我们就说这两直线只要平行就可以了 啊，这样平行，所以我们就看到这里的平行，咦，那就是这一点和这一点以及这里的平行，这一点和这一点好， c 一 c 二， c 三 c 四 c 五， c 六， 对吧？我们就得到这样的，因为这样的六个点， a、 b 的 距离都是等于根号二，所以这样的点有几个呢？有六个啊，这哪六个呢？这里已经都跟你说了， 我们的第十题，求证，两组对角分别相等的四名是平行四边形，这个呢，呃，成文字性的题目呢，我们要自己去重新画个图，我就简单的提一遍，好吧，比如说， 已知如图，在四边形 a、 b、 c、 d 中，角 a 等于角 c， 角 b 等于角 d 啊，求证，四边形 a、 b、 c、 d 是 平行四边形，就说我们把乘文字系数的啊，通过图形把已知求证写出来，然后再来写证明， 好，下面证明，因为在因为四边形 a、 b、 c、 d 的 四个内角的和等于三百六十度，对吧？角 a 加角 b 加角 c， 加角 d 等于三百六十度啊，又因为已知角 a 等于角 c， 角 b 等于角 d， 所以 角 a 加角 b 就 等于三百六十度的一半。 呃，所以那么这个 a、 d 就 平行 bc 同门内角互补，两直线平行，同理，角 b 加角 c 呢，也是等于三百六十度的一半 啊，所以这个 a、 b 呢，是平行 c、 d 的。 好，这样我们就得到两组对边分别平行，所以四平行 a、 b、 c、 d 是 平行四平行， 也就是说两组对角分别相等的四平行是平行四边，这也是一个定理，这个定理啊，也要背下了，过去的课本呢，是黑底字，要背的，要用的，但是我们这一次改版之后的 你这个白色大版课本呢，没有把它写的黑的字，那就说未来我们只能在填空选择看不见过程的那地方偷偷的去用一下，那么如果在写过程的题目当中，我们是还是不能用它的，你记住了吗？记得点赞关注哦！

打好基础你也可以变得优秀。八项期末必过的压轴题，垂直平面线和特殊直角三角形以及勾股定律的结合，这样的题目难度还是非常大的，因为涉及到很多的辅助线，那很多同学谈到辅助线不知道怎么去下手，不知道怎么去做，那么接下来我们也会出一系列的 这个讲解的视频给大家啊，在讲题的过程当中讲解这些做题的思路，那今天我们也是通过两步轻松解决这一类型的题目。那么现在读一下这个题，先把一些已知的条件先标记一下，这里呢有角度是三十度 啊，第一呢是等于二的，而且这个一呢是终点，终点就意味着两条线段相等， 从这里是垂直的。那么看到这里的话，我们要立马想到啊，在特殊的直角三角形里面，我得到一个边长，另外的两条边长也都是可以直接算出来的， 那比如说这个斜边，在 a d 一 这个直角三角形里面，这是三十度所对的边，等于斜边的一半啊，反过来这个斜边就是它的两倍，它等于四，然后通过勾股定律啊，就可以求到 a 一 啊，它是等于二倍的，根号三的， 那这是终点，这是二倍杠三，这里呢也是二倍杠三。接下来我们继续啊，这里还有一个 bc 等于杠三，我们也标记一下，还有一个 cd 呢，等于根号十九，让我们求的是这个 c 一 的 长度，那拿到这个呢，这些条件好像都用不上啊，都用不上，那所以第一步呢，我们先去找一找这些已知条件有没有什么关系啊？ 那首先我们可以看到啊，这里有一个垂直，而且平分很明显啊，这个 d 一 呢，是 a b 的 垂直平分线，哎，看到垂直平分线，我们要想办法把它怎么样呢啊？补充完整， 补充完整就是说就怎么样呢？就是这个垂直平分线上的点到两端的距离相等，那你看我地点呢，连接了 a， 那 我应该要补充一下，把 d、 b 也连接起来， 哎，先我们不用管它有没有用啊，先连接起来再说。连接起来之后呢， b、 d 和 d、 n 是 相等的，它也等于四， 它等于四呢，而且这个是等二扇形啊，我这个底角也可以把它写过来，这是多少度呢？三十度。哎，那这时候我们再来看啊，你有没有发现，在这一个三角形里面，你看三条边都是已知的， 已知的话，你会不会感觉这是一个直角呢？哎，对你这样的直觉应该是正确的。 那我们来看一下，验证一下用勾股定力的逆定律，你看他的平方是等于多少？等于四的平方等于十六，他的平方呢？是等于三，这个的平方呢，等于十九，十六加三等于十九，那不就是一个勾股关系吗？所以这个长的边所对的这个角就是九十度啊。 啊，那接下来你又说，哎，那怎么办呢？我这个又好像没有思路了，那这个时候呢，你看这一特殊角啊，他存在就是非常有意义的，你看这个是三十度，这个是九十度，那延长他的话就能产生另外一个特殊角啊，你看三十九十，那这肯定是六十度啊， 那有了六十度之后呢？我这里啊， bc 呢，又是已知的，那我们肯定要想办法围绕着这个做一个什么直角三角形呢啊，这样子才能得到其他的一个关系啊，你看，这就思路好，那这个是杠三的话，我们这是六十度，这里呢就是三十度啊，这是三十度， 那三十度的话，我们可以得到啊，这条是它的一半二分之三，通过勾股定律可以算到啊，这是二分之三。 好，那这个时候你会发现啊，我要求的 c 一 啊，它不就出来了吗？那这个 c 一 是怎么来的呢？你看啊，它在这个 c e m 这个直角三角形里面，我们可以用勾股定底来求它就可以了 啊，那这个时候你看啊，啊，那此时呢，我这个 e m 的 长度啊，它是等于多少呢？二倍根号三，加上二分之根号三，通一下分啊，这是二分之四倍根号三， 那就是二分之五倍的杠三，那我这个 c m 呢，就等于二分之三，接下来我用勾股定底求这个 e c， 那 来到这个这个地方呢？哎，我可以给大家呃，讲讲一个办法啊，就是在用勾股定底的时候，我们可以用缩放法啊，缩放法来简化它的计算，缩放 就是说放，缩小，放大，那这时候呢，我们先把这两个数写一下啊，二分之五倍杠三，这是二分之三，这两个都是直角边，我要求的斜边。首先第一步呢，我们先把这个数啊变成整 整一点呢，不要分母，再好算一点，所以我们可以同时乘以一个二，那就变成了五倍的杠三，就变成了三。好，那接下来呢？哎，我们再想化简呢，把它缩小呢，就比较比较难了啊， 好，那这时候呢，我们就直接来算啊，他的平方呢是等于多少呢？很容易啊，是七十五，他的平方等于九，这两个相加呢，等于我们的斜边是八十四，那我们现在是平方得到的吗？我要开回去啊，就是根号八十四， 根号八十四呢，它是等于四乘二十一的，所以它等于二倍的根号二十一。好，那这时候呢，我们要回去，回到原来的地方，我原来呢是乘以二得到的，回去我就除以二，那这个东西除以二呢？二和二就消掉了，就剩下根号二十一。 那所以这个题的话，我们要选择什么样呢？选择 d 答案，选 d 答案。总结一下啊，你看我们注重题的输入在哪里呢？首先我们要找一些模型啊，根据这个模型把它完善完善，就相当于添加辅助线的。 那所以我们这里看到这是中点，这里有垂直，垂直平行线到两端的距离相等，所以我应该下意识的连接 b、 d 连接在 b 地，又得到它的长度又是特殊角，那就发现这个三角形里面三条边的想啊，都已经给到了，所以我们要想到勾股定律的逆定律，验证一下，原来它点九十度，那它点九十度之后，这种特殊角就出来了。在一条线上的话， 经常会考到这种这种特殊角的啊，三十度，这里肯定是六十度啊，看到有六十度，又有斜边有一条长度是给到的，我们通常就会沿着这个特殊角了做直角三角形 啊，做了之后呢，你会发现啊，这个 c、 e 是 在这个大的直角三角形里面，我可以用勾股定律去计算它，大部分我们做这样的题目，思路都是这样子来的啊？

现在我们来看下第十五题，如图，一，已知 c 边形 a， b， c， d 是 矩形点 e 在 b i 的 延长线上， a， e 等于 a， d， e， c 与 b， d 相交于点， g 与 a， d 相交于点 f， f 等于 a， b。 求证 b， d 垂直于 e， c。 由已知条件我们可以轻松的求的三角形 a， e， f 全等于三角形 a， d， b 这两三角形全等以后，我们就会得到这个角表个角一，然后等于这个角表个角二，我们就会得到角一等于角二。 接下来呢，我们利用八字模型看三角形 dfg 和三角形 f 一 i。 利用八字模型这两个角相等，然后还有一组对顶角，因为这儿垂直，所以剩的这个角这个地方角就垂直，也就是 d g 垂直于 e， c 这两个三角形呢，我们利用的是八字模型。 接着我们再看下第二位要求根号被的 i g， 那我只要勾到等腰直角三角形，这个问题就解决了，所以大胆做图。呃，做辅助线是解决几何问题的关键。一、一跟二等腰直角三角形有这个边的关系，那现在我在意记上 结 e p 等于 d g， 让 e p 等于 d g， 然后连接 pi， 这样的话呢，因为 e g 减去 d g， 我 就把 d g 转到这里来了， 那现在我只要能证明这是一个等腰直角三角形，然后我就能解决掉这个问题。 现在我们再来看一下，嗯，如何证明这是个等腰直角三角形。首先呢，我们可以看到这个三角，这两个三角形是全等三角形 a， e， p 全等于三角形 a， d， g， a， e p 和这里这个三角形全等， 嗯，它俩全等呢，因为 a 一 等于 a， d g， 然后一一 p 等于 d g 是 我刚刚截的，所以这两个三角全等，这两个三角形全等，我们就会得到 a p 等于 ig， 证明了是等腰三角形。接下来呢，我们再看一下，因为这个角是九十度， 两个两个角相等以后，这个角和这个角相等，所以我们就会得到这个角也是九十度。 这三项全等以后，这个角和这个角相等，所以角 pi g 也是九十度，那所以这个三角形是等腰直角三角形，那这样的话我们 eg 减 d g 就 变成了 eg 减 e p， 然后就等于 pg， pg 就 等于二根二倍的 ig， 你 学会了吗？

如果你想数学考满分，请坚持跟我一起来做八年级数学课本一百六十页以上的。我们看到这个利益， 在看利益之前呢，我们先看我们上一讲当中讲到平行四边的判定，我们说首先两个字对边，分别平行的四边形是平行四边形，这是第一条判断四边形是平行四边形的方法。 然后我们讲了两组这边分别相等的四平行四平行说一组这边平行，其相等的四平行，四平行，那就是说我们这里已经说了这三条好，我们通过练习来巩固一下 好这里的利益。在平行四平行 a、 b、 c、 d 中， e、 f 是 a、 d 和 b、 c 的 中点， 那么这个终点，那我们就知道 d、 e 是 的 a、 d 的 一半， b、 f 等于 b、 c 的 一半。而已知 a、 b、 c、 d 是 平行四边形的话，那就是 a、 d 跟 b、 c 是 既平行的又相等的，于是 d、 e 跟 b、 f 呢， 是平行的，也是相等的，对吧？ a、 d 平行于 b、 c 就是 d、 e 平行， b、 f、 d 等于 a、 d 的 一半， b、 f 等于 b、 c 的 一半，那么 a、 d 等于 b、 c， 所以 它的一半也相等。好，具体的证明过程，这例题上有，我就没有多说了啊，自己学会就理清楚。那么这里根据的是 e 组这边平行且相等的四边是平行四边形。看括号练习。 呃，这里说这个 a、 d 啊，是 b、 c 平移过来的，那我们根据平移的性质，我们说，呃， 它的这一边呢，是平行且相等的，所以我们就根据 a、 d 和 b、 c 平行且相等得到四平行。 a、 b、 c、 d 是 平行四边，我们就可以根据啊，一组这一边平行且相等的四边是平行四边形。 当然呢，我们也可以换一种说法，比如说我们怎么说呢？我们说啊，这个从 a 到啊，从这 b 到 a， 从这个 c 到 d， 就是 它平行的距离，我们说平行的距离始终是相等的， 就说我们经过平行，对吧？平行的距离是相，所以 a、 b 呢，跟 c、 d 是 相等的，而且这个 a、 d 呢，是 b、 c 平了，它们是相等的，所以我们根据 a、 b 等于 c、 d， a、 d 等于 b、 c， 两者对边分别相等的四边是平行四边。 哎，你喜欢根据哪个？只要有正确的好，我们前面呢？当然呢，您根据两者对边分别平行也是可以的，我们的定点所连的线呢？平行或者在同一条直线上，当然今天这里是平行，所以你你在这一题当中，你可以根据三个方法，哪三个？我再重复一遍啊？ 第一个平行平行，两者对边分别平行的四边是平行四边。第二个相等相等，两者对边分别相等的四边是平行四边。第三个平行又相等一组对边平行就相等，对吧？那么这个四边是平行四平行。我们看到啊，第二个， a、 c 等于 b d， a、 b 等于 c、 d 好， 那么两者对边分别平行相等，这个四边是平行四平行。 然后呢， c、 d 又等于 e、 f 啊，这个 c、 e 呢，又等于 d、 f 好， 这里呢，又是两则对边分别相等的四边是平行四平行，所以这里有两个平行四边。那么如果是根据现在他要找出互相平行的，我们说这样呢， a、 c 是 平行于 b、 d 的， 对吧？那么这个 a、 b 呢，是平行 c、 d 的， 而这个 c、 d 呢，是平行 e、 f 的。 哎，我们可以采取连写的形式，当然这个 c、 e 呢，是平行 d、 f 的， 对吧？所以有这个平行啊，我们啊，有这个相等，得平行，有平行呢啊，得平行四边形，然后我们得到这个对边分别平行， 其实要判那个四边形，平行四边形呢，我们课本上还要继续。还有，我们看到这里，就是如果说这个 o a 等于 o c， o b 等于 o d， 我 们能不能得到这两个平行，这两个平行我们看到啊， a、 o、 d， c、 o、 b 对 菱角相等啊，如果说 o a 等于 o c， o b 等于 o d， 那 么很显然这两个三角就相等，你看这角一就等于角二。 哎，当然呢，这个 a、 d 也等于 bc， 你 可以根据 a、 d 跟 bc 一 组对边平行且相等的四边是平行的。当然呢，有的人说，我再来把 a、 o、 b 和 c、 o、 d 再证明一遍，对吧？ a、 o、 d 等于 c o 角， a o b 等于角， c、 o、 d 等于 o d， 你， 你再来证明，然后你再来证明这个角等于这个角加 b， a、 o 等于角 d c、 o， 然后你说 a、 b 平行是 c d 啊，总之这都可以啊，两的对边分别平行，两的对边分别相等，一的对边平行相等，这样得到的四边形呢，都是平行四边形。但是现在的已知是对角线互相平分，那么对角线互相平分，现在未来我们就不不不用刚才的方法了，咱们直接说对角线互相平分的四边形 是平行四边形。好，我们看到这里的练习，呃， 这说什么呢？说 f、 e、 f 是 对角线上的两点，并且 a、 e 等于 c f。 好， 现在证明这个里面的这个 b、 f、 d， e 啊，是平行四边形， 那我们这里书上的例题已经说了，把 b、 d 连起来，由于本来这个 a、 b、 c、 d 外面的大的是平行四边形，所以我们有 o a 等于 o c e， 有 o b 等于 o d， 现在这个 a， e 呢？等于 c f， 所以 o a 减 a， e 等于 o c 减 c f， 那 么这样我们就有得到了这个 o， e 等于 o f， 再加上刚才的 o b 等于 o d， 对 吧？我们不就可以得到里面的 b、 f、 d， e 是 一个对角线互相平分的吗？这样我们就得到它是一个平行四边形。 好，大家把这个判那个四边是平行四边的这四句话，把它牢牢的背下来，我再读一遍。两者对边分别平行的四边形是平行四边形。两者对边分别相等的四边形是平行四边形。一组对边平行且相等的四边形。平行对角线互相平分的四边形是平行四边形。背熟记得点赞关注哦！

你想提高数学成绩吗？免费帮你提高成绩，你还在不乐意啊？八年级数学下册小册的第八十页纸上呢，我们看到第六张的平行四边形。 第一题如图，在平行四边形 a、 b、 c 这种角 b、 a、 d 的 平分线，那么跟着我一起列 b、 a、 d 的 平分线，所以大家做记号，这两角相等 好，加 dc 的 延长线。加什么东西？这就看图了，这里第一个叫做平行四边形，这个叫做平分线好，然后呢， ab 等于四， ad 等于六，好把它做记好。求， e、 c， e、 c 在 哪里呢？哦， e、 c， e、 c 在 这啊，求这这这是 e、 c。 好， 先把图形给我看清楚 好，由于平行四边形呢，这个 a、 d 跟 b、 c 是 既平行又相等的，所以那我们看到这个角一啊，是等于角二的，角二呢，是等于角三，等角再等边，所以这边等于四， 这边等于四， b、 c 等于这个等于六，所以这个 e、 c 等于二。那么因此第一题写的 d 啊，跟我一起练习对吧？其实很多东西都很简单的，但是考试有的同学，现在有的同学真的是刷到我的都都都不愿意跟着我来看啊， 那这里要记住啊，角平分线对吧，两角相等，两这平内侧角相等，得到角一等于角三，也就得到 a、 b 等于 b、 e 啊，这是个等幺三的题目啊，这样呢，未来我们经常有这种题目的。 第二题，又是角平分线，你看角 b、 c、 d 的 平分线，你看角一等于角二，角一等于角三， 对吧？意味着平行四边形也是平行线，所以角二等于角三，所以 d、 c 等于 d、 e。 那 么说 a、 b 等于意思， a、 b 等于什么意思？一是吧，那么平行四边形 a、 b 是 等于 c、 e、 d 的， 那么刚才角二等于角三的时候， d、 c 是 等于 d、 e 的， 哎，这三边不就成了相等吗？三边的相等，这个角就是六十度，也就说这个 c、 d、 e 是 等边三角形，等边三角，这个角六十度，那么这个平行四边的菱角互补，所以角 a， 那 就是一百二十度。 好，我们得到等边三就行。好，这两边相等是平行四边的对边相等，这两边相等呢？是角一等于角二，角一等于角三，得到角二等于角三等角对等边，对吧？嗯，那么这 ab 等于 c、 e， 那是已知的，对吧？所以这个 c、 d 等于 ab 等于 c、 e， 这个，这等于这个三边都相等，所以等边三角等边三角呢，这个就得到六十度。而根据，因为始终这是平行四边形，对吧？所以两边平两组啊，这一组对边平行，同的那角互补，所以这个一百二十度角 比三题还是平行四边啊。 a、 d 垂直于 b、 d 角所在的边呢？斜边一半， 那么 b、 d 等于三，所以 a、 b 就 等于六，对吧？ a、 d 我 们通过勾股定律就等于三根号三，我们就不多说了，那平行四边形的面积就可以等于底垂高，把 a、 d 当做底高就是 b、 d， 哎，就是三根号三乘以三，那就等于九根号三， 对吧，所以这个面积就等于九根号三。平行四边形的面积啊，等于底乘以高，三角形的面积是底乘以高，还要乘个二分之一，因为这个平行四边形就是两个三角形的面积。 第四题，在平行四边形 a、 b、 c、 d 中， a、 e 垂直， bc 于 e， f 垂直于 f， 这垂直了 a， e 比 a， f 等于二分，比三分。 呃，这地方我们要根据什么东西呢？平行四边形的面积啊，可以等于这个 b， c 乘以 a， e， 对 吧？底乘以高也等于 c， d 乘以什么呢？ af 啊，这个式子我们叫做等级式，有这个等级式，我们就可以变成 a， e 比 af， 我 们根据外向的积等于内向的积， a， e 乘以 b， c 等于这个 af 呢？乘以 c、 d， 这个在小学也提到了，虽然我们中学要到后面才学，但是简单呢。呃，这些性质也要知道一些啊。 a， e 乘以 b， c 等于这个 a， f 乘以 c， d。 好， 那就是 a， e 比 a， f 等于 c， d 比 c， d 就 等于二分，比三分 好，那么现在我们看到平行四边的周长是五十，零边的和角等于二十五，也就是 ab， 如果我们说这个 ab 等于 cd 等于二 k， 对 吧？ bc 等于 ad 等于三 k， 那 么这样呢？我们就知道，二 k 加三 k， 对吧？零点和的两倍等于五十，对吧？二 k 加三 k， 五 k 等于五十 k 等于五。好， k 等于五的话，那 ab 就 等于二五一十，所以 ab 就 等于十， ab 等于十， cd 等于十， ad 等于 bc 等于一十五。 好，那么这里我设计了用了一个辅助位的时候 k， 这样呢，可以快速的去解答问题啊，就很简单的了，同时也设计了一个辅助位的时候 k， 这样呢，我们看到第五题， 在平行四边形 a、 b、 c、 d 中，对角线交于点， o， a、 c 等于六， b， d 等于十， a， b 等于四。求角 b， a、 c 的 度数。我们看到图形在这里啊， 他刚才说这里是个平行四边形 a、 b、 c、 d， 然后呢？ a、 c 等于六的话， o， a、 o， c 就 等于三， b、 d 等于十， o， b， o， d 就 等于五。由于这个 a、 b 等于四，根据三的平方加四的平方啊，等于九，加一十六等于二十五，刚好等于 o， b 的 平方。根据勾股定律，逆定律，我们得到角， b， a、 c 就是 九十度。 好，第一个，我们得到角， b， a、 c 等于九十度。好，具体的步骤我没有写，我这个口袋儿说了一遍，那么这个第二个呢？这个面积 s 平行。四边形 a、 b、 c、 d 就 等于底乘以高就等于 a， b 乘以什么呢？ a、 c， a、 b 是 几呢？ a、 b 是 四， a、 c 是 六，四六，二十四。好，呃，这都是比较简单一点的呃，练熟了，熟能生巧，考试呢？呃，即使拿不到满分，也可以得到比较高的分数，记得点赞关注哦！

中学生想提高成绩吗？请跟我来八年级数学下册课本一百五十八页。我们看到第六题， 以至于图点 o 是 平行四边形对角线的终点， b、 d 的 终点。我们说平行四边形呢，是中心对称图形对角线互相平分，也就是 o 是 b、 d 的 终点， o 肯定也是 a、 c 的 终点 啊。当然这题 a、 c 没连起来啊，我们看的就是我们这里的已知条件，我们告诉了什么东西呢？告诉了第一个平行四边形，第二个告诉中点过点 o 的 直线交这个 b， a， d， c 延长线，这，这个就看图，关键这题的已知点还是平行四边形中点 有了平行四边形，我们就有了 a b 平行于 cd。 有 两直线，平行就有内错角相等，角一等于角，二 有 o 是 中点，那就有了 o， b 等于 o d。 当然呢，这里它们直线的交于点过点，所以这个角 a b o e 等于角 d o f 嗯，这两个角相等， 这两个角相等。很显然，你看一角边角角边角这两个三角形 b o、 e 是 前等于三角形，叫 d o f。 理由， a s a a s a 那么这样的两个三角形切等，那我们就知道了， b e 等于 d f 吧， b e 等于 d f。 当然还有这个 o e 等于 o f。 哎， o b 等于 o d 呢，刚才我们就说了好，呃，由于这个 ab 呢，是等于 cd 的， 对吧？ ab 平行四边形的这个对边是相等的， ab 是 等于 cd 的， 那么这样呢？ b e 解 ab 等于这个 d， f 解这个 cd， 所以 a e 等于 c f， a e 等于 c f， 它具体的证明过程我就没有写。那么第二个说，你还能在图上找出哪些相等的线段？你看刚才我写了 o e 等于 o f， 是 不？刚才写了 b、 e 等于 df， 是 不？我们当然还可以得到。你比如说这个 a g 等于 c h， 比如我们还给他 a g 等于 c h。 呃，那哪来 a g 等于 c h 呢？我们还可以证明三角形 a、 g、 e、 c、 h、 f 两个三七呢。那么刚才我们得到 a、 e 等于这个 c、 f 的 时候，你看这个角是不是等于这个角的， 对吧？那么我们说平行四边形的对角相等角 b、 a、 d 等于角 d、 c、 b， 而根据等角的补角相等，这两个互补，这两互补，所以这两个角相等啊。当然呢，两只线 a、 b 平行于 c、 d， 角 e 是 不是也等于角 f 呢？ 当然了，你说这个角等于这零角，这个角等于内错角，内错角等于这零角，所以这两个角线呢？哎，也就是说，每个同学的证明方法不一定是一样的。总之，我们可以得到这个三角形 a、 g、 e， 如三角 c、 h、 f 两三七呢。当然呢，我们也可以得到三角形 o、 d、 g、 e 与 o b、 h 两三角形圈呢。所以，当然也有这个 o、 g 的 o、 h， 有 这个，当然也有这个 d、 g 的 b、 h。 哎，总之很多很多吧。哎呀，到底有多少，我也没理清楚啊。呃，大家知道能够找很多就行了。好吧，蒙了，第七题 是不是要全部都找出来？大家有时间全部找出来？那这里我没有时间跟大家说的第七题。平四边形 a、 b、 c、 d 是 平行四边形，若直线 m 经过点 b， 点 d， 那 么他就将平行四边分成形状大小完全相同的两个部分。这两部分我们说他们是全等的 啊，这个两个三角形，三角形 a、 b、 d 与 c、 d b 的 a、 b 是 等于 c、 d 的。 对，这个内错角等于这个内错角，这个内错角等于这个内错角，对吧？根据这个，当然了你根据这个共边也行，反正你就这两个三角形呢，是很容易正的。 那这两个三角形呢，它的周长相等，面积也相等，那么就是把其中的一个三角形可以转到另外一个三角形上去，让哪转呢？让 b 的 中点呢？ b 的 中点其实也是 a、 c 的 中点 啊， b 的 中点其实也是 a、 c 的 中点，也就是这个 b、 d 和 a、 c 的 中点 o 就是 它的这个对称中心。平行四边形 abc 是 中心对称图形， 那么他说现在叫我们请再画出一条具有这样作用的直线，就是说一条直线把这个平行四边呢分成完全相等的两个部分。当然刚才分成的三角形，其实你能看到，我们过这里我们分成的，你看到这个叫做 a、 b、 e f 和 c d f e 这两部分呢，它属于四边形。这两个四边形呢，也是呃形状大小完全相同的全等的图形，那么这样他具备什么特征呢？我们说啊，他们都经过 平行四边形 a、 b、 c、 d 对 角线的交点，对角线交点，因为平行四边形是中心对称图形。二、要注意，平行四边形是中心对称图形， 所以你始终要记住这个内容，那么也就是图形的一部分 绕对称中心，也就是对角线的交点。不管顺时针还是逆时针，只要斜了一百八十度，都与另一部分重合， 而另一部分重合，所以另一部分重合，也就两部分的形状大小完全相同，面积相等，所以这里具备什么特征呢？他就是都要经过，就是这节线的交点，所以我们这样过这节线的交点，随便画一条直线，所以这样可以画无数条啊，这样可以画无数条这样的直线。 好，所以这个平行四边呢，中线对等图形的这种性质啊，过这个对等中线的任何一点的直线，都将它分成两个全等的图形，但不一定是三角形啊，也或者是四边形，刚过这节线的顶点的话，是三角形。我们的第八题， 这把呢，在前面我们已经证明了啊，这就叫等腰梯形的两个底角相等。好，这里告诉 ab 平行 c， d 啊， a， d 平行 bc。 哦，这个这上下平行，然后呢，这两个相等。好，那么这两项呢？我们由这个平行，我们可以过点 a 做， 比如做 a， e 平行于这个做 a， e 平行于 c， d 加 bc， 如 e， 对吧？则由于 a、 d 平行 b、 c， 我 们就得到平行四边形 a， e， c、 d。 那 么平行四边 a， e， c、 d， 我 们就得到这个角一等于角 c。 还有呢，这个 a， e 啊，也等于 d c。 平行四边形的对边相等的，已知 a， b 等于 c， d， 所以 a， e 等于 角角 b 就 等于这个角 e， 角 e， 所以 角 b 等于角 c。 好， 大家不知道是否听懂了，把它背下来 啊，那么还有我这里所抄的平行四边的定义，它的性质，呃，特别这个等压梯形的两压相呢，同一底下的两个角相等，下一节我们再讲它的判定。好，这些是后面要背下来的内容，记得点赞关注哦！

如果你有数学想考满分的想法，请跟我来把你的数学下册课本一百五十九页纸。 我们看到第二讲平行四边形的判定，这个判定呢就是判断并确定下来，就是判断一个四边形呢，它是不是平行四边形呢？ 那么我们说，呃，要判断一个内容，我们首先要根据它的定义而来。前面我们说一个平行四边形是这么说的，说 两组对比啊，一组对比平行，另一组对比也平行，两组对比分别平行的四边形呢，我们说我们把它叫做平行四边形，这个我们说是平行四边的定义，我们说定义啊，它是第一条性质，也是第一条判定。 好，大家记住这句话啊，定义是第一条性质，也是第一条判定。所以我们判断一个，我们找一个四边形的性质的时候，我们说平行四边的对边是平行的啊，两字对比分别平行。那么现在我们来说平行四边的判定呢？我们要把这个当的第一个哪个呢？就是这个定义 啊，两组这边分别平行的四边形叫做平行四边，是它的定义。那么现在我们说两组这边分别平行的四边形呢？是是平行四边形，就判断出它的平行四边，我们把它当做第一个判断方法，因此我们其他的要判断四边是平行四边，我们都得要根据这句话。 好，下面我们来看到现在我们要得到就是说以这个 a、 b、 a、 d 为零边的一个平行四边形，哎，那我们就可以怎么办呢？那我们可以呃，比如过点电 b 做一个跟 a、 d 平行的， 对吧？然后过点点 d 呢？做一个 a、 b 平行的，哎，根据同位角相等，两直线平行，内侧角相等，两直线平行。哎呀，这东西啊，很麻烦，咱们有一个简单的办法，怎么办呢？咱们在这里来看一下 a、 b 多长。以这个点 d 为圆心， 以 a、 b 的 长度为半径作弧。然后呢，咱们来看一下这个 a、 d 的 长度啊，以这个点 b 为圆心， 以这个 a、 d 的 长为半径作弧，两弧交入一点。好，这点我们说是字母 c、 e。 好， 现在咱们连接 d、 c 连接 bc， 咱们说四边形 a、 b、 c、 d， 它就是一个平行四边形。那么这里我们根据的是什么呢？我们根据的现在就是这句话，两组这边分别相等的四边形是平行四边形。 哎，我们刚才做这个 b、 c 等于 a、 d， 做这个 d， c 等于 a、 b 啊，刚才我们是取回作图，哎，刚才有的同学说，你不是说要得到两组对边分别平行，差这平行四边吗？我们说啊，两组对边分别相等，它就是两组就可以得到两组对边分别平行。 好，我们看到这个图形，也就是说如果这个 a、 b 等于这个 c、 d， 如果这个 a、 d 等于这个 bc， 那 我们说这两个相等，能不能换成是这两个平行呢？ 我们看我们把 b、 d 连起来，那我们说这个 b、 d 是 等于 d、 b， 所以 这个三角形 a、 b、 d 啊， a、 b、 d 和这个三角形 c、 d、 b 啊，它属于相等的理由 s， s， s 啊，一边二边三边，一边二边三边边边两三缺等。所以这里在写这个三角形切等的时候呢，但如果你要写大括号的话，那就是 a、 b 等于 c， d， a、 d 就 等于 c， b， b， d 等于 d b， 哎呦，这里就是个对应的问题啊，对应的问题。 那么这样两个三角形的之后，我们就有前两三角对应，角相等，角三等于角四角一等于角二，对吧？三四内角角相等， a、 d 平行于 bc， 角一等于角二，内角角相等呢？ ab 就 平行 cd 了， 对吧？所以我们说两组对边分别相等呢，我们可以转化为两组对边分别平行的，所以我们现在就说两组对边分别相等的这个视频呢， 也是平行四边形哎，我们通过刚才的证明，我们证出来之后呢，我们就可以把它用一横黑体字把它写出来，我们说叫两朵对边分别相等的四边形，是平行四边形，我们把它做一个定义，那么未来呢，我们可以直接拿它来用， 那么实际上我们还可以拿这一个叫一朵对边平行且相等的四边是平行四边形。好，我们看到这里，比如说这个 a、 b 跟这个 c、 d 是 既平行又相等的，对吧？那么平行了呢？那我们连接 a、 c 之后，这个内侧角就相等了，当然呢，还有这是公共边，对吧？边角边，边角边，哎，这两个三角就相等了，那么刚才 a、 b 平成 c、 d 这两个三角相等呢？哎，我们也可以得到这两个角相等呢，对吧？这两个角相等的时候呢， 所以这两边 a、 d 是 平行 b、 c 啊，所以两者这边就分别平行了，所以它是平行四边形。当然我们课本的例题这里呢，不是这样写的啊，他说这两个相等，当两个三圈等的时候呢，这两边也相等， 所以这一组对比与另一组对比，就是两组对比分别相等，那么他也是平行四边形，就是说有一组对比平行相等的，现在可以转化为两组对比分别相等，但你转换两组对比分别平行也是可以的。 于是我们就把一朵这一边平行于相等的四边形，说是平行四边形，当这里有一个平行且等于的符号，有时也采取这种连写的形式。我们下讲再跟大家讲，记得点赞关注哦！

你想提高数学成绩吗？免费帮你提高成绩，你还在不乐意啊？八年级数学下册小册的第八十页纸上呢，我们看到第六张的平行四边形， 第一题如图，在平行四边形 a、 b、 c 这种角 b、 a、 d 的 平分线，那么跟着我一起列 b、 a、 d 的 平分线，所以大家做记号，这两角相等 好，加 dc 的 延长线，加什么东西？这就看图了，这里第一个叫做平行四边形，这个叫做平分线好，然后呢， ab 等于四， ad 等于六，好，把它做记好。求 ec， ec 在 哪里呢？哦， ec， ec 在 这啊，求这这这是 ec。 好， 先把图形给我看清楚 好，由于平行四边形呢，这个 a、 d 跟 b、 c 是 既平行又相等的，所以，那我们看到这个角一啊，是等于角二的，角二呢，是等于角三，等角再等边，所以这边等于四， 这边等于四， b、 c 等于这个等于六，所以这个 e、 c 等于二。那么因此第一题写的 d 啊，跟我一起练习对吧？其实很多东西都很简单的，但是考试有的同学，现在有的同学真的是刷到我的都都都不愿意跟着我来看啊， 那这里要记住啊，角平分线对吧，两角相等，两这平内侧角相等，得到角一等于角三，也就得到 a、 b 等于 b、 e 啊，这是个等幺三的题目啊，这样呢，未来我们经常有这种题目的。 第二题，又是角平分线，你看角 b、 c、 d 的 平分线，你看角一等于角二，角一等于角三， 对吧？意味着平行四边形也是平行线，所以角二等于角三，所以 d、 c 等于 d、 e， 那 么说 a、 b 等于意思， a、 b 等于什么意思？一是吧，那么平行四边形 a、 b 是 等于 c、 e、 d 的， 那么刚才角二等于角三的时候， d、 c 是 等于 d、 e 的， 哎，这三边不就成了相等吗？三边的相等，这个角就是六十度，也就说这个 c、 d、 e 是 等边三角形，等边三角，这个角六十度，那么这个平行四边的菱角互补，所以角 a， 那 就是一百二十度。 好，我们得到等边三就行。好，这两边相等是平行四边的对边相等，这两边相等呢，是角一等于角二，角一等于角三，得到角二等于角三等角对等边，对吧？嗯，那么这 ab 等于 c、 e， 那是已知的，对吧？所以这个 c、 d 等于 a， b 等于 c、 e， 这个，这等于这个三边都相等，所以等边三角等边三角形呢，这个就得到六十度。而根据，因为始终这是平行四边形，对吧？所以两边平两组啊，这一组对边平行，同的那角互补，所以这个一百二十度角 比三题还是平行四边啊。 a、 d 垂直于 b、 d 角所得的边呢？斜边一半， 那么 b、 d 等于三，所以 a、 b 就 等于六，对吧？ a、 d 我 们通过勾股定律就等于三根号三，我们就不多说了，那平行四边形的面积就可以等于底垂高，把 a、 d 当做底高就是 b、 d， 哎，就是三根号三乘以三，那就等于九根号三， 对吧，所以这个面积就等于九根号三。平行四边形的面积啊，等于底乘以高，三角形的面积是底乘以高，还要乘个二分之一，因为这个平行四边形就是两个三角形的面积。 第四题，在平行四边形 a、 b、 c、 d 中， a、 e 垂直， bc 于 e， f 垂直于 f， 这垂直了 a， e 比 a， f 等于二分，比三分。 呃，这地方我们要根据什么东西呢？平行四边形的面积啊，可以等于这个 b， c 乘以 a， e， 对 吧？底乘以高，也等于 c， d 乘以什么呢？ af 啊，这个式子我们叫做等级式，有这个等级式，我们就可以变成 a、 e 比 af， 我 们根据外向的积等于内向的积， a、 e 乘以 b， c 等于这个 af 呢？乘以 c、 d， 这个在小学也提到了，虽然我们中学要到后面才学，但是简单呢。呃，这些性质也要知道一些啊。 a、 e 乘以 b， c 等于这个 a、 f 乘以 c、 d。 好， 那就是 a、 e 比 a， f 等于 c， d 比 c、 d 就 等于二分，比三分 好。那么现在我们看到平行四边的周长是五十，零边的和角等于二十五，也就是 ab， 如果我们说这个 ab 等于 cd 等于二 k， 对 吧？ bc 等于 ad 等于三 k， 那 么这样呢？我们就知道，二 k 加三 k 对吧？零点和的两倍等于五十，对吧？二 k 加三 k， 五 k 等于五十 k 等于五好， k 等于五的话，那 ab 就 等于二五一十，所以 ab 就 等于十， ab 等于十， cd 等于十， ad 等于 bc 等于一十五。 好，那么这里我设计了用了一个辅助位的时候 k， 这样呢，可以快速的去解答问题啊，就很简单的了，同时也设计了一个辅助位的时候 k， 这样呢？我们看到第五题， 在平行四边形 a、 b、 c、 d 中，对角线交于点， o， a、 c 等于六， b、 d 等于十， a、 b 等于四。求角 b， a、 c 的 度数。我们看到图形在这里啊， 他刚才说这里是个平行四边形 a、 b、 c、 d。 然后呢？ a、 c 等于六的话， o， a， o， c 就 等于三， b， d 等于十， o， b， o， d 就 等于五。由于这个 a、 b 等于四，根据三的平方加四的平方啊，等于九，加一十六等于二十五，刚好等于 o， b 的 平方。根据勾股定律，逆定律，我们得到角 b， a、 c 就是 九十度。 好，第一个，我们得到角， b， a、 c 等于九十度。好，具体的步骤我没有写，我这个口袋儿说了一遍，那么这个第二个呢？这个面积 s 平行四边形 a， b， c、 d 就 等于底乘以高就等于 a， b 乘以什么呢？ a， c， a， b 是 几呢？ a、 b 是 四， a， c 是 六，四六二十四。好呃，这都是比较简单一点的呃，练熟了，熟能生巧，考试呢？呃，即使拿不到满分，也可以得到比较高的分数，记得点赞关注哦。

二、下册识透平行四边形和一次函数这两张就稳稳攥住了初中数学大班核心。为什么这么说呢？因为这两张是整个初中数学呈上启下的关键，决定孩子后续学习的节奏。 首先我们来说平行四边形这一张，知识点多，题型也灵活，也是初中几何难度提升的关键节点，要想学好它，只是死记硬背，定力远远不够的， 一定要学会灵活的添加辅助线，日常练习当中也务必吃透一线。三、垂直弦图和绊脚这些经典必考的模型，这样在今后遇到几何大题、压轴题的时候，孩子才能够轻松的找到解题的方向。 再说说一次函数，这是初中函数学习的一个开端呀，也是整个函数体系的一个根基， 务必要吃透图像性质、解析式以及各类的实际应用，养成了数形结合的这个解题思维，把基础打牢。我们初三在学二次函数、反比例函数的时候才能够得心应手。所以初二啊，沉下心把两章学透。

中学生，你想成绩好吗？跟我一起列八年级数学下册课本一百五十七页纸 啊。一块梯形的布料被呃破损了成三块。发现了这个 a 是 平行 b 的 t 型，他说的是 t 型，那么 t 型两 g 平分，内角互补。角一与角二就是角，角一一百一十度，那么角二呢？那就是七十度，对吧？呃，角四呢，是一百二十五度，那么角三这里的破损到这里，那一百二十就是五十五度， 对吧？五十加五十五度，加一百二十五度，它是等于一百八十度啊，这个两 g 平同内角互补啊，把它搞清楚。我们看到 c t 六点一的第一题， 小明用四个木条钉成了一个平行四边，他说的平行四边啊，那就说这边分别是平行的，不过由于平行四边形呢，具有不稳定性。注意，这里有一个词，很多人可能忘记了，叫做不稳定性 啊，可以改变它的形状，那么改变它的形状之后，我们得到了角 a、 b、 a， 撇是一十五度，角 a、 e， 撇，这里是一百四十度， 这里一百四十度，那这个角就是四十度，因为这两个是平行的啊，同门内角互补，那么角 a、 b、 c 四十加一十五，所以角 a、 b、 c， 那 就应该等于五十五度啊。这里是比较简单的，就是我要搞清楚平行四边形的对边平行得同门内角互补，就是菱角互补的意思。 好，第二个，这个图在平四平中，角 a、 d、 c 一 吧。角 a、 d、 c 在 哪里？这里角 a、 d、 c 一 百二十五度。呃，我说叫大家跟我一起练的，画出来有的时候就不喜欢动笔啊。角 c、 a、 d、 c、 d 在 哪里呢？ c、 a、 d 在 这二十一度。 好，那么这个角 a、 b、 c 应该就等于角 a、 d、 c 也是一百二十五度。平四面的角相等角 c、 a、 b、 c、 a、 b 在 哪里呢？在这， 对吧？这个角 a、 b、 c， 我 们说是一百二十五度。角 c、 a、 b， 那 就等于一百八十度，减去一百二十五度，减去二十一度。哎呀，就是一百八十度，减多少呢？一百二十，一百四十，一百四十六度，一百四十六度，那就等于三十四度， 对吧？角 c、 a、 b 等于三十四度。两直线平行，同门类的互补，我们用这里的也同门类互补。可以我们看到第三题， 那第三题的图在这再平四边 a、 b、 c 的 e、 f 分 别是它上点这个 b、 e 的 d、 f 啊，这两个项呢？由于角 b 是 等于角 d 的， 呃，那么这个 a、 b 呢？是等于这个 c、 d 的， 对吧？所以根据边角 b 三角形 a、 b、 e 三零 c、 d、 f， 边角 b 两个三角去呢？那这很容易，因为它已知的有这个 b、 e 的 d、 f 嘛。 我们的第四个，呃，平四边形的，有的，他是一个，周长是五十，你说一边是一十六，他这边也是一十六，那么零边和的周长的一半，所以一半二十五，那么也就是说他的另外的三边的长度就是九厘米，对吧？一十六厘米， 嗯，九厘米啊，为什么呢？因为这一十六，比如说这一十六，那么九类是二十五，对吧？一十六，二十五啊，这个九，对吧？九六，所以九加一十六就是二十五嘛。啊，其他三面的长呢？这个简单，我们就简单提这么多，我们看到第一百五十八 h 上的第五题， 第五题啊，这里有个单位厘米啊，在平行四边 a， b， c、 d 中，对角线 a， c， b d 加入一点五， b d 乘以 a d， 哦， b d， a d， 哦，这里是直角，嗯，现在这个等于八，这个等于十呢，这个长的就等于六，对吧？给你这个等于六，因为这个是对角线的焦点，所以这个等于三，这个等于三。 那么这个平行四边形的面积呢？那应该就等于底乘以高就等于这个 a d 乘以这个 b d， 对 吧？就是八乘以六就等于四十八。 呃，这个 o b 的 长度，听完还说求 o b 的 长度，对吧？ o b 那 就应该等于三厘米，那么面积等于四十八 cm 的 平方。 好，这些单位呢，在我们的做完的时候呢，我们要不要忘记了把它写出来啊，有的同学可能做着做着就忘记了，所以作为成绩好的同学啊，是每一个小问题都不会错的，记得点赞关注哦！

山 西中考数学的难点在哪里呢？那一定是几何，因为最后一道大题年年考的都是几何，那几何的重点在哪里呢？就是初二下册人教版，我们目前在学的四边形，最近有同学跟我说呢，四边形的一些判定比较混了，比如说平行 四边形的判定，矩形、菱形、正方形的判定呢？有一些混了，我们这节课呢，我帮大家去梳理一下这些四边形的判定，以及它们之间的联系。好，我们来先看第一个， 从任意的四边形如何去变成平行四边形了，它一共有五点，我们分别是从边角、对角线三个方面去记，会让你 非常的清晰。第一个我们先从边去考虑，两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 第二个，两组对边分别相等的四边形是平行四边形。第三个一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。前三个呢，都是从 边去考虑的啊，边。然后第四个对角线互相平分的四边形是平行四边形。第五个，两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 我们发现就是前三个是边，第四个是对角线，而第五个考虑的是角，我们就从这方三方面去记忆，会让我们的思路非常的清晰。 然后我们看平行四边形怎么去转换成矩形呢？第一个就是说有一个角是直角，有一个角是直角的平行四边形是矩形。 第二个对角线相等的平行四边形是矩形，矩形最对角线最大的特点呢，就是对角线相等， 一定要去大家标五角星是一个重点。而最后一个，第三个呢，是直接从任意的四边形，怎么变成矩形呢？那就是三个角，是只讲到四边形是矩形。 好，我们再看菱形，菱形呢，它也有三个，我们来看第一个，也是先从平行四边形，怎么去转化成菱形呢？第一个，还是先从边 对角线边去考虑。第一个，一组邻边相等的平行四边形是菱形。然后呢，对角线菱形，对角线最大特点是什么呢？是垂直啊，对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 最后一个，从任意的四边形怎么变到菱形呢？那就是四条边相等的四边形是菱形啊，是菱形。好，我们再看正方形，正方形呢， 无非是先从矩形去变到正方形，或者是从菱形去变到正方形。那么我们来看一下，第一个呢，是 从句型变到正方形。第一点，对角线互相垂直的句型是正方形，句型的对角线呢，它本身已经是相等了，现在呢，再加上垂直，它就变成了正方形。第二个 句型加上一组邻边相等，它就变成了正方形。好， 那菱形怎么变成正方形呢？第一个，对角线相等的菱形是正方形啊，是正方形。第二个，有一个角是直角的菱形是正方形。 这些矩形，菱形，正方形，他们都是特殊的平行四边形，只要是平行四边形，有的性质呢？这几个他们都有啊，都有，而正方形呢，又是特殊的矩形，也是特殊的菱形。 好，我们在记忆完这个表格之后呢，你就画上这样的一个框架，哎，任意的箭头平行 四边形， a 两箭头矩形，菱形， a 两箭头正方形，然后呢，自己去填相应的空啊。如果家长朋友在观看呢，就可以帮助孩子去把这个东西画出来，让他去默写，更好的去检验我们是否 记忆的清晰。下一个视频呢，去讲解四边形的一些特殊的用法，以及一些特殊的辅助线。好，同学们再见。

本期视频，我们一起来看一下建文园初二年级期末仿真自测卷第一套卷的第二十三题啊，这套题呢，是我们建文园针对于我们初二年级的同学们在期末考试前进行一个自测模拟的这样一套试卷，呃，内容质量呢，相对来讲比较高，建议呢，我们初二年级的同学都可以呢去做一下这套卷子啊。那 今天呢，我们一起来看一下第二十三题，几何压轴题。那么这道题呢，考察到了我们正方形当中的十字架模型是一道题啊，同学们呢，如果没有这份题目可以呢先进行截图。 接下来呢，我们一起来看一下这道题啊，这道题呢，他说在正方形 a， b， c， d 当中呢， e 是 射线 b， c 上的一个点，然后呢连接 a， e 过点 d 做 d， f 垂直于 a， e， 然后呢和射线 a， b 呢，产生一个焦点叫做点 f 啊，然后呢交 a， e 与点 o， 然后呢来看一下第一问，第一问呢当中呢，提到如图一，在点 e 呢，在 b、 c 边上，让我们去判断 a， e 与 d， f 的 数量关系， 让我们来说明理由啊，那么接下来呢，我们一起来看一下这幅图啊，这个图当中呢，有一个正方形叫做 a， b， c， d 啊，那么在图中呢，有两条线段，这两条线段呢，他们是互相垂直的，那么这个内容呢，就是我们正方形当中经常考察的一个模型，叫做十字架模型， 那么这个模型呢，在我们本学期的课程当中呢，也给大家呢进行系统性的讲解过啊，那么这个十字架模型呢，有一个口诀叫做正方形中十字架垂直相等可互推，这个呢同学们呢一定要记住， 那么接下来我们一起来看一下这道题，那么在这道题当中呢，他让我们去判断 a、 e 和 d、 f 之间的数量关系啊，刚才呢，我们说了，正方形当中一旦产生了十字架啊，也就是两条线段呢，构成了一个十字这样的模型，那么垂直和相等，他们呢是可以互相进行推导的，什么意思呢？比如说这道题，我知道了这两个线段呢是互相垂直的，那我就能推出他们是相等的关系。 那么同样的，如果说题目中告诉了我这两段线段呢，他们是垂直的啊，那么我们一起来看一下这道题，我们该如何去进行证明？ 我们证明 a、 e 和 d f 相等，那么我们呢可以考虑使用全等三角形去进行证明，那么我们在图中呢，可以看到包含 a、 e 和 d f 这两条边的三角形呢，分别呢是 a， b， e 啊，以及呢我们 a、 f、 d 这两个三角形，那么这两个三角形呢，长得几乎呢是一模一样的。那么接下来如果我们想要证明全，等，我们一起来看一下这幅图当中有什么条件。 首先呢，因为正方形我们可以得到我们的 a b 和我们的 a、 d 呢，它们长度是相等的。接下来我们再来看，因为呢 a、 b， c、 d 是 正方形，所以说呢，我们的角 b 和我们的角 b， a、 d 这两个角呢也是相等的啊，那么现在呢，已经有两组条件了，接下来我们一起来看一下第三个条件，我们该如何去找啊？ 那么在这幅图当中呢，包含了一个双垂直模型啊，这个呢之前呢也给大家提到过，什么叫双垂直模型呢？我们一起来看一下啊，那么在我们一个直角三角形，它呢叫做 abc 啊，那么这里呢是一个直角， 然后呢我们过他的直角顶点向我们的斜边呢再去做一个垂直，比如说呢这个点呢叫做点地啊，那么接下来呢，我们就可以得到 这两个三角形，以及呢我们整个大的三角形，他们三个呢是相似的关系啊，那么相似三角形呢是我们初三的一个知识，我们现在呢还没有学到啊，但是呢我们遇到这个图形呢，他基本上考察的就是我们的倒角啊， 那么什么叫做倒角呢？其实就是角之间的等量代换，那么在这幅图当中呢，我们有很多的角，它们角度都是相等的，我们一起来看一下，在我们图中呢，我们这个蓝色的角加上这个绿色的角，它的度数呢等于九十度，然后呢我们这个蓝色的角，也就是我们的角 b、 a、 d 加上旁边这个绿色的角，它们两个相加呢也等于九十度， 所以我就能够得到这个蓝色的角和这个蓝色的角，它们度数相等。那么同样的道理，我也可以用相同的方法去证明一下，角 b 和我们刚才的这个 d、 a、 c 这两个绿色的角，它们也是相等的，也就是说呢，一旦出现了这个图形双垂直模型之后呢，我们几乎呢都会用到角之间的等量代换啊，那么我们一起来看一下这幅图， 那么在这幅图当中，我们一起来看我们红色的这个角加上我们蓝色的这个角，他们呢相加等于九十度，为什么等于九十呢？因为题目中说了， a e 和我们的 d f 他 们是垂直的，所以说红色加上蓝色等于九十。那么接下来我们继续来看，那么在这里还有一个角，那么这个角呢，我们管它呢，叫做 b a e， 那 么这个角呢，也是一个红色的角，那么这个角加上我们刚才蓝色的角，他们两个相加也等于九十。为什么呢？因为这是正方形的一个直角，那么 这样的话呢，我们就凑齐了条件，叫做角边角就可以呢，去证明全等了，我们一起来看一下啊。那么我们因为刚才的这个角 a， d， f 和我们的角 b， a e 这两个角呢，度数是相等的，然后呢，因为正方形，所以说呢， a d 和 ab 呢长度也相等。此外呢，因为正方形这里有直角，这里也有直角，所以说呢，角边角我们就能够得到全等， 那么得到全等之后呢，那么我们就可以知道， a e 和 d f 呢，他们两个线段呢，之间的关系就是相等的。接下来呢，我们一起来看一下第二问啊，第二问呢，他告诉我们 m 和 n 分 别是 a， e 和 d f 的 中点啊，那么 a e 和 d f 就是 我们刚才的两个线段，那么 m n 呢，是 a e 和 d f 上面的中点，然后呢，让我们连接 m n， 然后继续来看，如图二点， e 呢，在 b c 的 边上，假如呢， ab 等于三， b e 等于一，现在呢，让我们去求 m n 的 长度。那么我们一起来看这个题，那么这个题呢，肯定是要从我们这道题目当中给我们新添加的条件，也就是 m n 分 别是 a， e 和 d f 的 中点，上面去进行入手， 那么我们一起来看这个题呢，告诉了我们两个终点，那么一道题当中如果出现了多个终点的话，那么我们一定要优先考虑去构造中位线啊， 但是呢大家呢去观察会发现这道题我们的 m n 实际上呢不是一条中位线，因为呢 m 是 a e 的 中点， n 是 d f 的 中点， a e 和 d f， 它们这两条线段没有办法构成一个三角形，所以说呢，即使连接了 m n， 它也不是一条中位线，那么这个时候怎么办呢？那么这个时候我们就要想办法把我们图中的一些线段去进行转化， 使这两个点变成一条冲锋线啊，那么怎么去进行转化呢？那么在这道题当中呢，我们可以呢去连接 a n， 然后呢延长和我们 c d 产生一个交点，比如说呢，我们这个交点呢叫做点 h， 在 构造了 a h 之后呢，大家呢可以看到啊，那么这个时候呢，我就能够得到一组全等的三角形了啊，哪组三角形是全等的呢？我们一起来看，就是我们的 afn 和我们的 n d， h 这两个三角形，它们是全等的关系，那么全等的理由是什么呢？首先有一组对顶角，其次呢我们这里呢，因为 a b 和 c d 呢是平行的关系，所以说呢，我们这里呢会产生内错角相等，然后呢因为题目中告诉我们 n 呢是我们 f d 的 中点，所以说呢，我们这个 f n 和我们的 d n 呢是相等的，那么这样的话呢，我们就可以通过角， 然后呢又一组角，然后再加上一组边，通过角角边呢去证明全等，那么全等之后呢，我就能够得到 a n 和我们的 n h， 它们是相等的，那么相等之后呢，我能得到一个非常重要的结论就是点 n 呢是我们 a h 的 中点，然后呢接下来呢，我们再去构造一条辅助线，就是连接 e h， 那 么这样的话呢，大家一起来看。那么我们所谓的点 m 和点 n 就 产生在了同一个三角形，也就是我们 a e h 这个三角形当中， 那么在一个三角形当中呢，产生了两个中点，那么 m n 呢，其实就是我们这个三角形的一个中位线， m n 呢和 e h 是 平行的，并且等于 e h 的 一半啊，然后呢，接下来我们只需要计算 e h 就 可以了，我们知道了 e h 的 长度之后，那么 m n 呢就是它的一半，那么 e h 的 长度是多少呢？题目当中告诉我们， ab 的 长度呢，等于三， 那么我们也就知道了， bc 和 dc 的 长度都等于三， b e 的 长度等于几呢？ b e 的 长度等于一，那么 b e 的 长度等于一，那么 ec 的 长度就等于二了啊，那么接下来呢，再来看 c h， 那 么 c h 的 长度是多少呢？我们需要用 dc 减去 d h， 那 么 d h 的 长度是多少呢？ d h 的 长度是一， 那么 d h 的 长度为什么是一呢？大家来看，那么在图中呢，我们可以去证明 a b e 和 a d h 这两个三角形，它们两个全等啊，所以说呢， b e 和 d h 它们就是相等的关系，那么图中的这两个三角形为什么全等呢啊？也很简单，我们一起来看，因为这里是垂直的正方形，我们就能够得到，然后 a、 b 呢和 a、 d 相等啊， 然后接下来我们只需要证明 b， a、 e 和我们的 d， a、 h 这两个红色的角相等就可以了啊，那么这两个角为什么相等呢？我们一起来看，在第一问当中呢，我们证明了 b， a、 e 和我们的 a、 f、 d 这两个三角形全等，那么全等之后呢，在图中这两个红色的角就相等了，然后呢，我们一起来看， 这个 a、 d、 h， 它是一个直角三角形，然后呢， n 是 它的斜边中点，那么 d， n 呢，就是斜边中线，那么这样的话，我就能够得到 d， n 和 a n 长度是相等的，所以说呢，图中这两个角相等，那么这样的话呢，这三个角就相等啊， 那么这样的话呢，我们角边角就可以证明 a、 b， e 和 a、 d、 h 全等啊，那么全等之后呢， d、 h 的 长度是一，那么 c、 h 的 长度呢就是二，然后呢，根据勾股定律可以计算出 e h 的 长度呢，应该是二倍根号二， e h 的 长度是二倍根号二了，那么 m n 平行于 e h， 并且等于 e h 的 一半，那么 m n 的 长度呢，应该就是根号二，这个呢就是我们第二问的思路啊，第二问呢，和第一问相比较来讲呢，是有很大的难度提升的啊， 这一问呢，涉及到了我们中位线的构造啊，那么当一道题当中同时出现了两个中点，但是呢，他们没有办法构成中位线，那么我们就可以呢把他们其中一条边进行转化，我们把 f、 d 转化成 a h， 那 么这样的话呢，我们 a e， a h 以及 e h 就 组成了一个三角形，那么 m n 呢，就变成了一条中位线啊，那么这个是第二问，接下来呢，我们一起来看一下第三问啊，第三问呢，他说什么让我们连接 a n 并延长交 c d 于点 p， 然后连接 b p， 假如呢， a b p 的 面积等于八，然后 c p 比上 d p 等于一比三，请我们直接写出 b p 的 长度啊，那么这个二十三题的第二问呢，属于非常霸高的题型了啊，那么同学们学有余力的同学，或者说呢，我们考试常年成绩维持在一百一十五分往上的同学，大家呢可以去挑战一下这道题， 那么如果说呢，你的成绩现在还没有办法稳定在一百一到一百一十五之间，那么做这种题的意义呢，不是很大啊，大家呢还是着重去搞定。第一问呢，一般不会给你图形，需要我们自己呢去画图。 那么第二呢，就是这种题呢，一般会产生多个答案，需要大家呢去分情况去进行讨论，那么我们一起来看一下这个题啊，那么做这种题呢，其实也有小技巧啊，那么大家呢，在做二十三题最后一问的时候呢，不要盲目的去画图啊，一定呢，要先看一下我们题目中已经给你的图能不能用，如果能用的话呢，那就最好了，那么我们一起来看一下这个题， 那么这个题呢，他说什么让我们连接 a n 并延长啊，那么我们呢，把 a n 连接起来，然后呢和我们 c d 呢产生一个交点，叫做点屁啊，那么比如说呢，这个点叫做点屁，然后呢连接 b p 啊，那么我们按照他的描述，我们呢去画下图，然后呢题目中告诉我们，三角形 a b p， 它的面积等于几啊？等于八，那么根据这个信息，我们可以得到什么呢？我们可以得到这个正方形的面积等于多少呀？等于十六啊，为什么呢？我们一起来看一下，那么我们这个正方形的面积是如何计算的呢？它可以理解成是 ab 乘以 bc 啊，也就是边长乘以边长， 那么这个三角形的面积是如何计算的呢？它是 ab 乘以 bc， 然后呢再乘了一个二分之一，也就是说呢，我们这个三角形的面积实际上呢就是正方形面积的一半，那么这样的话呢，我们知道了三角形的面积，就能推出正方形的面积， 那么知道了正方形的面积，那么我们就能推出它的边长应该是几啊？应该是四啊，那么边长的平方等于十六，那么边长的长度呢，应该就是四。 接下来继续看，题目中说了， c p 比上 d p 等于一比三啊，那么 c p 比上 d p， c p 比上 d p 是 一比三啊，那么因为这个图呢，我们偷了个懒，没有画图啊，那么导致呢，这个图可能呢和我们题目的描述呢，不是很标准啊，但是这个呢没有关系啊，如果说呢，你的能力足够挑战这个最后一问的话呢，相信大家呢，也能够从这个抽象的图形当中呢去进行理解， 因为我们呢并不知道这个标准的图形它长什么样的，所以说呢，只能利用这样的草图去进行思考啊，那么这样的话呢，我就知道了，我们 c p 呢，应该呢是占一份，那么 d p 呢，应该呢是占三份啊，那么也就是 a 和三 a 的 关系，那么因为呢， c d 总长呢，应该是个四，所以说我就知道了， c p 的 长度应该就是一， 那么同样的，我们 d p 的 长度应该就是三，那么题目中让我们请直接写出 b p 的 长度应该就是多少呢？我们用勾股定律计算就可以了， b c 的 长度等于四啊， 这段呢长度是四，然后呢， c p 的 长度是一，那么用勾股定律计算，我们 b p 的 长度应该等于根号是七，这就是我们这道题的第一种情况，接下来呢，我们一起来看一下第二种情况，那么第二种情况它是什么样子的图形呢？我们认真来读下题啊，我们从头开始读， 题目当中说了，有一个正方形叫 a b c d， 然后呢， e 是 射线 b c 上一点，那么其实呢，这个图形的另外一种情况，从我们题目的第二句话就已经告诉我们了， e 是 射线 b c 上的一点，那么既然 b c 呢是一条射线，那么也就是说我们的点 e 呢，有可能产生在我们这个 b c 的 右侧啊，那么我们举个例子，假设我们的点 e 呢在这里， 那么点 e 在 这里的话呢，我们按照题目的描述一起来画下图，我们呢可以呢给他连接 a e， 接下来呢，我们继续来看，题目中说了，过点 d 做 d f 和 a e 垂直啊，那么我们过点 d 做一个和 a e 垂直的这么一条线，那么这条线呢和射线 ab 呢，产生了一个焦点，叫做点 f 啊，那么我们把 ab 呢也给他延长一下， 哎，那么这样的话呢，他们之间呢就产生焦点了，那么我们这个点呢，可以呢把它呢标记为 f， 然后接下来我们再来看，题目中又说了， n 是 我们 d f 的 终点，那么 d f 的 终点在哪里呢？假设我们这个点就是 d f 的 终点，它呢叫做点 n 啊，题目中呢，让我们连接 a n 并延长，那么我们把 a n 连接起来， 然后呢并且把它延长一下，那么 c d 呢？又是一条直线，那么我们把 c d 呢延长一下，延长之后，哎，那么这个点他们的焦点其实就是我们所要找到的点 p 了啊，那么接下来我们连接 b p， 哎，那么我们一起来看，那么这样的话呢，我们就知道了，三角形 a b p 已经呢画出来了，同样的道理，我们一起来看，因为呢， a b p 的 面积是八，所以说呢，我们这个正方形的面积呢，应该是十六，那么它的边长呢？仍然是四啊，那么接下来我们一起来看下这个图， 那么题目中说了， c p 比上 d p 呢，是个一比上三啊，那么我们一起来看一下啊，那么 c p 呢，我们把它设为 a， 那 么我们的 d p 呢，应该就是谁啊？应该就是三 a 了啊，然后呢，也就是说呢，我们这个 cd 他 应该是 cp 的 二倍啊， cd 是 cp 的 二倍，那么我们 cd 的 长度是多少呢？ cd 的 长度应该是个四，那么 cp 的 长度应该就是几啊？ cp 的 长度应该是二啊，然后这个时候呢，他又让我们去求 bp 的 长度，那么 bp 的 长度是多少呢？同样我们还是利用勾股定律啊， bc 的 长度呢是四， cp 的 长度呢，我们计算出来等于二，那么 bp 的 总长呢，应该是二倍根号五啊，那么这个呢，就是我们第二种情况， bp 等于二倍根号五， 那么这些图我们该如何去进行构造呢？其实呢，已经全部给我们隐藏在了题目当中，大家呢一定要去认真读题，看一下我们在题目当中有哪些情况是可以去进行分类讨论的啊？那么以上呢，就是这道题目的讲解啊，希望呢同学们能够把这道题呢吃透，这是一道非常经典，非常优质的一道几何压轴题。