二项分布频率图怎么看

hello， everybody， 这是高考当中最爱考的三种重要分部，分别是二项分布、超几何分布以及正态分布。 那今天我们来讲这里面的第一个，也是最难的一个二项分布，它难点在于你需要在题目的这个情境当中识别出来它是否是二项分布，有的时候是，有的时候不是。 我们来多举几个例子，帮助大家来判断一下哪些情况下他是二项分布。现在小帅开始摸球， 那这个袋子里面呢？有三个红球，两个白球，每次摸出一个球，好，那么第一个情形我摸完确认完颜色之后，我放回去摸十回，那么在这个过程当中摸到红球的次数 x， 这是不是二项分布？五秒钟思考时间， 二项分布最关键的一点，你看是不是 n 次独立重复试验，你独立重复不？你每次都放回去了。所以呢，你每次摸的时候都是从三个红球两个白球的袋中去挑一个球，每次实验都是一样的，对不对？ 而且呢，你每次实验你摸到这个红球概率是稳定的，都是五个球里面，你这个有三个红球，概抽出来红球都是五分之三，概率稳定，所以它满足二项分布，这 x 二项分布。做了十次实验，每次实验成功概率以摸到红球作为成功的话，呃，红球是五分之三的概率， ok， 第二个情节，我确认完颜色之后不放回去摸三次。好，后面我不想看了，你都不放回来，意味着什么？意味着你上一次是抽了红球还是白球？是不影响下一次袋中还剩什么球？你之间这个不同的试验当中说上一次影响下一次，下一次影响下下次， 你是相互影响的。你每次做实验的时候，你袋中的红球每次都少一个，这实验并不一样，所以他就不是二项分布。 接下来我们来看第三个例子，确认颜色之后，哎，还是放回去的， ok， 直到摸到白球为止。则该过程当中摸到红球的次数摸了几回？这 x 是 否是二项门布？五秒钟思考时间 首先第一个问题啊，它是不是 n 次独立重复试验？因为你放回去了，所以你每次实验呢？都是，哎呦，三个红球，两个白球里面抽抽一个，你这回抽是这五个球，下回抽还是这五个球？每次我是确实是重复的实验， 但是你要明白， n 次独立重复的不努力实验只是二项分布的一个特征，另外还有什么特征？像这事情啊，发生的概率呃得是恒定的，你不能变。其次，你一共做几回实验，我得是确定，我得是知道的。 你头十次来，那就是做十次实验，你蒙九道题就是做九次实验，我得知道你做了多少次实验，对不对？ 那你这例子确认颜色之后，放回我，直到摸出白球为止。我问你，你知道你一共做了几次实验吗？有没有可能你每次摸球啊？咱就举个非常极端球，你哐哐哐，每次摸的都是红球，你白球一直没出来，那么你的实验次数将是无穷大。 你这实验次数都不确，你可以做一次实验，直接摆球出来，你可以做两次，做三次，做无数次，是吧？所以这 n 根本就不确定，所以他 n 都不知道是多少球啊你，你写二项分布，你说你第一个数写几啊？你都不知道，所以这根本就不是二项分布，听懂了吧？ 好，那如果你这个听懂了，那么接下来呢？我们通过不同的题目带着大家体会，有些题目它是二项分布，但是不是二项分布，人家能不能考？可以考， 这是二项项目里面最难的，你要先判断他在考什么。二零二一年加星期末甲乙篮球队啊，这个七局四胜制，就是先赢四局的就是胜。比赛结束我看他问我什么？问我两队在一场比赛当中获胜概率是一样的，都是二分之一。问假队以四比一战胜一队的概 率来，宝贝们，我们现在就你给自己想象成甲乙当中的一队啊，比如说你现在是甲队，什么叫以四比一战胜一队？ 第一层理解你得知道，哎呦，我是进行了五次实验，你才能是四比一，是不是？而且第二层理解你得是四次赢了，一次败了，对不对？ 哦，我搞清楚了，有同学这样说，这是进行了五次的独立重复试验，每次实验呢？假，对，成功的概率是二分之一。现在问这五次当中成功四回失败一回的概率，他会写了 成功概率二分之一，成功四回，二分之一的四次密。失败一回，失败概率也是二分之一，二分之一的一次密，然后他会被公示呢，五次里面有四次成功，哪四次呢？呃，这四次，呃，这四次你要选是吧？五个里面选四个，他把这个作为答案对不对？ 哎，看着好像无懈可击啊。但是这里面有其中一种情况，就这五次里面，你不是有四次要成功吗？你如果都在前四次直接成功的情况下 来，他是七局四胜制，你假队前四次都成功了，还会有第五次实验吗？第五场比赛根本就不存在了。 而这种情况是不是包含在了你 c 五四这么多情况里面呢？所以这么多种情况当中，除了这种情况之外，别的啊都符合题。比如说，呃，这四四四里面，你这么选，那是四比一， 呃，你这么选也是四比一。所以做这道题的第一个思考路径，你把所有情况当中那不符合提议的这一种情况给他去掉，他减一啊，后面呢？成东西不动。这答案简单算一下，四乘以，呃，三十二分之一，八分之一， 这是第一种思考路径啊，相当于是我逆向思维，我先把所有情况找到，然后减去那种不符合题的情况。这个呢，可能对大家这个想象能力比较要求比较高，我们讲一下第二种方法， 你还是亲身经历啊，把自己想象成呃假队，你想最后结果是四比一的话，你比五局这种几局几胜制的问题，最后一局是不一定是决胜局，就这个队啊，你最后想胜利，你最后一场一定得胜利，你 才能胜利，你觉得不可能出现你最后一场假队失败了，结果最后宣布假队胜利，你这是，这是，这是情况是不存在的，所以你想四比一，你想比五局，然后假还赢的话，第五局一定是假赢。 所以我在这个基础上来思考问题啊，首先第五局你想赢，他是有概率发生的，你实际情况你可能赢，也可能输，我现在要求的是你赢的这个情况，赢的情况，嗯，这是概率多少？是不是二分之一啊？就这二分之一作为我整个的前提条件，你要先乘上我在这个事情发生的条件下 来，看后面还能怎么发生。说白了，你最后一局我已经确定了，哎，你已经赢了，那你想四比一的话，你前四局赢几回就好了？前四局你再赢三回就行了呗。 所以这道题目，你从五局的角度来看，他不是二项分布啊，因为他跟我们最初始的二项分布公式不一样，长得不一样，这减了个一是不是？所以整体他并不是二项分布。 但是你如果光看前四局的话，你在四局实验当中赢三回，每次赢的概率固定只是四次独立重复实验。所以接下来我用二项分布的公式，四次当中选三次赢哪三次不知道？ c 四三， 然后这四次，呃，成功，成功三回，成功概率二分之一，二分之一，三次密，失败一回，失败概率也是二分之一。整个这一道题的一部分在考察二项分布。 损吧，这是我们这道题的第二个思考路径啊。那我们来算一下这个结果跟刚才一不一样啊。首先别忘了乘这个二分之一。 c 四三是四，后面是二分之一的四次密，也就是十六分之一，答案一算八分之一没有问题。 所以二项分布稍微难一点的题目，他不会一整道题都考二项分布的，他是这一道题当中的情境复杂情境当中的一部分。考二项分布 这种几局几胜制太爱考了。我们来举一道高考题，二零二二年全国卷一道大题，现在五局三胜制哦，谁先赢得三局谁就获胜，然后呢？他说各局比赛相互独立， ok， 假赢的概率三分之二，已赢的概率三分之一，加起来是一，没有问题。问假获胜的概率，哎呦，假获胜，上题有没有给大家讲过？我怎么觉得好像讲过呢？就是几局几胜，他比几局是不确定的。你不管问我假赢还是已赢，我得先知道你比了几局，有可能五局三胜， 你前三局直接甲全都赢了，你就比三局，有可能你比了四局你才赢，还有可能比较艰辛的，你打了五局你才赢，这概率是不一样的啊。那第一个肯定好算一点，第一种情况，你前三次直接全都赢了，那甲赢每次的概率是三分之二，那我直接三分之二三次密呗。太好算了， 来看第二个，你比四局你才赢，说明什么？回想一下刚才那道题，你为什么会出现第四局？因为你前三局未分胜负，你第四局最后假赢了，我才能宣布 你赢，对不对？所以这最后一局，第四局也好，第五局也好，最后一定都得是假赢。那你一共只需要赢三回。我确定你这一回赢了之后，那么前三回只需要呃，赢两次。呃，两次对一次错，是吧？ 那问题来了，三次实验，两次对，一次错，哪两次？不知道这这次概率怎么算呢？这是不是二项分布了？独立重复的做三回实验。呃，我问你，成功两次的概率，成功概率三分之二，三分之二发生两回，失败一次失败概率三分之一，三分之一发生一回。那哪两次成功？是他俩 还是他俩还是他俩？我得选，对吧？三次当中选两次 c 三二，那这是不是整个的概率？不是，你算的是前三次的概率，那最后一次这个夹得赢，对吧？你赢或输是有概率发生的，你想赢，概率是三分之二，别忘了乘。 哎，那讲这么多回了，那我相信这个我不讲他也会了。你最后一次赢，一共赢三回，那么前四次当中我是可以确定他的胜负情况的。两次胜，两次负，所以三分之二出现两回，三分之一也出现两回。那四次当中哪两次胜？不知道，要选 c 四二 选完了，前四次的概率你做完之后，第五次你想赢，别忘了乘概率三分之二，然后咱分三种情况讨论每种情况概率最后要加起来才是答案哦，我懒得给大家加了，加完是八十一分之六十四。 好，第二问，现在他问我 x 来表示比赛所需要的局数，问 x 的 分布列和期望。哎，你这个 x， 我 得先知道你能取什么值，是不是 x 取的值是比赛局数， 你就最小三局，然后四局，最多五局，五局三胜，你那五局怎么也出来了是吧？最 x 值就是三四五。哎呀妈呀，这也太简单了。那有同学一看，你三局的时候，这概率我算完了呀，不就是他吗？二十七分之八添进来喽，这数已算完，也添进来。这数已算完，也添进来。第二个数二十七分之八，第三个数八十一分之十六 完成任务了，这对不对？大姐，你没发现你这仨数加完这数不等于一吗？为啥不等于一？你列错了呗，人 x 问的是你需要比赛的局数，你就拿呃这个三局来说，你刚才算的是二十七分之八是什么？ 是你比三局且假获胜，对不对？你比三局一定假获胜吗？是不有可能已获胜，对不对啊？ 所以刚才你算的是假获胜的三种情况，乙获胜的三种情况，咱是不是一样可以算，咱们再算一遍啊？来跟我一起看。首先刚才算完的三个数是假胜，接下来我再算一下从乙的角度，你想胜的概率，那乙三局全胜，这个概率就是三分之一了，所以是三分之一的三次米。 其实说白了就是把甲乙的位置调换一下，你把甲这里面所有出现的三分之二全都换成三分之一，三分之一一会全都换成三分之二，就是乙胜的概率。咱们思考的路径和套路一模一样的，对吧？就就带数带带的数变了，你甲胜你带的是三分之二，乙胜你就带三分之一呗。 所以第二个数我都不用再思考了。 c 三二我不动，三分之二换成三分之一，三分之一换成三分之二。下面也是三分之二换成三分之一，三分之二，三分之一，平方，三分之二，平方再乘以三分之一。 所以刚才这第一问相当于问他们仨加起来的概率，第二问相当于问什么？呃，你想比三局好，这是比三局，这也是比三局，这个数是他俩加起来的结果。 加完二十七分之八加二十七分之一，二十七分之九是三分之一，然后比四局是他俩加起来，结果二十七分之十，大家自己动笔算就好了哈。然后这个呢？加起来二十七分之八，然后算期望他乘他，他乘他， 他乘他 e x， 等于一加二十七分之四十加二十七分之五八四十哦，二十七分之八十加二十七一百零七，非常完美。 这个几局几胜的题目给大家举完了之后，我们再多练几个情境啊，加以进行象棋比赛。打象棋，每局胜的人得一分，负的人不得分。假胜三分之二以胜三分之一，各局相互独立很关键。 五局比赛结束之后，夹币至少多得两分。哎，什么叫至少多得两分？有多少种情况啊？我我们先讨论一下，反正就夹币赢的多对不对？我先从最极端的来考虑，五局全是夹赢以呢？呃，没有赢，那这种情况是夹币多得五分，对吧？ 好，那第二种情况也有可能，这个甲赢四局，没赢那么多，乙呢？赢了一局，那么此时呢，甲 b 多得几分？多得三分也符合题，那再小一点，如果是甲赢三局， 乙赢两局的话，同学们，这我是不是只比你领先一分还符合题？不就不符合了？所以从此以后，别的情况就都不用再讨论了，你只需要讨论这两种情况即可。 嘿嘿，那概率来算吧，五局甲全赢。哎呦，那每局概率是不是都是三分之二啊？那三分之二的五次密不就好了吗？出现五回忒简单啊。然后呢，来看第二种情况， 甲赢四回赢一回，这个跟五局己胜制不一样啊，这是一定要比满五局，你可以前四次赢，你也可以后四次赢，你怎么赢都行，反正你最后赢四回。所以这个感觉像是二项分布， 你重复了五次实验，每次实验成功的概率都是三分之二，问你成功四回输一回的概率。好，你这五局当中哪四局成功？我要先选一下 c 五四 成功概率，出现四回的话，三分之二的四次米失败概率三分之一出现一次，最后咱们把这俩概率加起来放在这， 算是二百四十三分之一百一十二，其实就是一个分类讨论，然后每一类呢，理论上其实它都是二项分布。你后面是二项分布，大家都好理解啊，其实这个也是二项分布的式子，这相当于是五次实验赢五次，其实是 c 五五成功，五回失败，失败失败的概率三分之一，三分之一出现零回，那你会发现这个是一，这也是一。我直接写这个，相当于是我把中间过程给它引去了，但如果我加上来，它其实就是二项分布的那个同向公式。 好，再来，某群体中每位成员使用移动支付的概率都是 p， 各成员使用着这个支付方式，相互独立。 x 是 表示该群体的十位队员中使用移动支付的人数。好到这我问大家，这个 x 是 不是二项分布啊？ 该专题我研究的是这十位队员啊，十位队员当中呢，有的人呢用移动支付，有的人呢不用移动支付，就这么两种情况，然后每个人用移动支付的概率都是一样的，都是屁。问， x， 是 这十位当中用这个移动支付的人数，那是不是就相当于我做十次实验， 这实验每次成功的概率都是屁？问，你这十次实验当中有几次是成功的？这不就投篮吗？投十会篮，投篮概率成功都是屁。问，十回投篮，呃，有几回成功？妥妥的二项分布对吧？然后人家给我这个 d x， 好 嘞， x n p 乘以一减 p， n 是 十 p 我 不知道，所以这个式子就让我求 p 的 n p 一 减 p 等于二点四，所以呢，这个就是零点二四。零点二四是谁乘谁啊？那么零点四乘零点六嘛，所以 p 的 这个值，你要么是零点四，要么是零点六， 后面又给了我一个不等式。这干嘛的？这不是让我确定它到底是零点四还是零点六的吗？算一下呗。 p x 取四，什么叫 x 取四？就这十位当中有四次。呃，四个人是用移动支付的，你就成功四回的意思呗。所以这个数我可以代公式算一下，十个人有四个人用，用的概率， p 出现四回， 不用的概率一减 p 出现六回，这就是它。然后面呢，我也可以算 x 等于六了，那就 c 十六， p 现在出现六回了，一减 p 不 用的，出现四回，它说这个小于它。那我一解，我看一看啊， c 十六跟 c 十四是一个数，因为四加六就正好等于十， 这能直接约掉。然后呢， p 的 四次幂移过去，这边变成 p 方，一减 p 移过去，变成一减 p 的 平方，它小于它两边开根号。因为概率呢，这个 p 肯定是在零到一之间的数，所以我只要解一减 p 小 于 p， 那 么 p 要大于二分之一，所以这俩数当中选零点六。 so easy， 再来啊再来，太爽了，小童。呃，操场跑圈，一周跑两回，一次跑五圈或者六圈。 哎呦，跑五圈或六圈的概率是零点五。哎，这分情况讨论，我看他怎么像全概率公式呢？要我第一次跑五圈，则第二次跑五圈的概率是零点四，六圈的概率零点六。第一次跑六圈，第二次概率零点。呃，噜噜噜噜噜噜噜噜噜。好，我先画个图吧，一周跑两回，第一次你要么五圈，要么六圈， 这是小童五或六。好，这是第一次。你第一次是五和六，第二次也有可能是五六，那么在每一个分叉上，我再分两个叉，你的组合可能是五五 或者是五六，下面一样可能是先六再五，也可能是先六再六，一共四种情况。我把这概率呢都标一下，第一次跑五圈，六圈概率都是零点五、零点五。 然后第一次跑五圈，再跑五圈的概率，这是零点四，这是零点六。第一次如果跑六圈了，那么第二次是五圈、六圈概率分别是零点四、六、零点四。 好，这我一画完，大家知道了，这是在考既分布又分类的全概率公式。他现在问我，这人一周跑十一圈的概率，十一怎么来啊？十一是不是只能是五加六等于十一，或者六加五也等于十一，是不是？所以他其实就是隐晦的在问你， 我先五再六的概率，或者我先六再五的概率，这两种情况是符合提议的，对不对？所以这绿色路径呢？走两步概率是零点五乘零点六，加上下一个，哎，也是零点五乘零点六，这概率零点六放到第一个空。 好，这是之前的内容啊，那我们来看后面，他问我什么，他说，若一周至少跑十一圈为运动达标，我现在连续跑四周既合格的周数为 x， 那 我期望是多少？ 那 x 作为一个随机变量，它是什么分布嘞？大家想啊，你跑五圈或者跑六圈，你一共跑多少圈？这个图是确定的，意味着你无论是跑刚才的这个十一圈，还是跑十二圈，还是跑十圈，那个概率我们都能算，对不对？ 换句话说，你一周啊，你达没达标，那个概率啊，我们是确定的，是可以算的。虽然我现在还没算出来啊，但是我能算，我知道它有概率。 我连续跑四周是什么意思？我每周运动达标的概率都是一定的。我跑四周是不就做了四次实验呐？每次实验有概率。问你这个合格的周数 x， 那 不就是我做了四次实验，每次实验有概率的二项分布吗？那我们现在来算一下这个达标的概率是多少？ 算出来，然后四乘屁，就是我的期望喽。那你想达标，你要跑多少圈？你可以跑十一圈。跑十一圈的概率你刚才算完了，是零点六，你还可以跑多少圈？你至少跑十圈，你最多还可以跑六加六，是十二圈，是不？这个我也得算上。那这个概率呢？是零点五乘零点四。呃，是零点二吧， 所以达标你这个概率是零点八，但是你反着算也行，你怎么能不达标？你跑五圈乘五圈，你跑十圈就不达标呗。这个，这个概率是零点二，你一减乘零点二也是零点八啊，怎么算都行，所以这就是零点八。我的期望就是四乘零点八，三点二。 这题是相当于先考了一个全概率公式，然后呢，把这个二项分布套在情形当中，再考一个二项分布的期望公式。二零二五年天津高考题做完毕。那么简单，题目到此结束。

挑战十五分钟，带你学会二项分布，全考点吃透恩重博努力实验，掌握二项分布核心速通必考，经典题型，零基础轻松速成。 那这一课我会给大家通过三方面去把二项分布给大家讲清楚。第一个我们会给大家先讲这个恩重博努力实验， 第二个我们会讲到二项分布，第三个会讲到他的数学期望和方差。那首先我们来学习二项分布之前的话，首先了解到伯努利实验，因为他是我们的二项分布的一个前瞻。首先你知道伯努利实验是什么呢？他主要是如果有一次实验有两个结果， 那我们就可以称这个单次的实验就称作是伯努利实验。比如我们平时生活中的抛硬币或者是投篮投中投不中，那都是有两种结果的。这块你要注意的，第一个就是它结果只有二元性，每次结果只有只有，就是非此非此即彼， 没有没有其他的情况。第二个就是它的一个概率的恒定，就是你每次投中或者成功的概率永远是一个保持不变的，比如你抛硬币，每次正面朝上的概率都是一个固定的值。那第二个就是 n 重不努力，那只是加了个 n 重的意思， 就是将一个不努力实验在相同条件下独立重复的进行 n 次就是 n 重不努力，说白了就是抛十次硬币，然后掷十次骰子，或者是我们的 啊，这十字骰子知道偶数或知道奇数，或者是我们的啊，投投篮，投十次篮，投中或投不中，这就是螳虫不努力实验，它的主要特点就是有重复性，要进行 n 次 是吧？在相同条件下重复进行 n 次，确保每一次的实验环境完全一样就行了。就是第二个就是它的独立性，每次的实验都是相互不影响的。好吧，这就是我们的螳虫不努力的一个概念。 接下来看一下我们的二项分布的一个概念，它主要是在恩重博努力实验下设每次实验成功的概率为屁，那比如说我们抛硬币，我们就可以把正面朝上设为成功的，对吧？那它的概率永远是固定，是二分之一，当然你也可以设它的一个反面朝上为成功，都可以的，就看你研究的是什么就可以。 那我们用 x 表示是这 n 次实验中成功的次数有正面朝上的次数有多少个？比如你抛十次硬币，正面朝上有多少种可能？有可能是零一二三四到十嘛，对吧？所以我们的 g 随机变量 x 为他的这个成功的次数，他可能取值，就是从零到 n 都能取到，那 x 的 分布列就称作二项分布，那你可能需要把每个变量的概率算出来，然后把它分布列一列就可以。就像这样的二项分布啊，我们就称作二项分布。 二项分布的话，他概念来看的话，他应该有三个关键点需要掌握。第一个就是固定次数，你的次数一定是固定的。你比如刚才我们抛十次硬币，对吧？或者说我们有学生哎，投五次篮到投中的概率永远是固定的，那也是二项分布， g x 为他投中的次数吗？ 那比如说我们有后面有些坑题，他会咋出呢？他说，哎，有一个射击运动员，他说，哎，他，他这个打，打环数，对吧？打中十环即停， 那这何时打中？在第几局打中他永远都不知道。所以这样的他不是二项分布啊，他可能就需要用我们的传统的这个记事件的概率去算了。好，那第二第二个就是他 前后的两次或者多次实验，他都是独立的，你第一次不会影响第二次，第二次也不会影响第三次，都是独立实验。然后第四第三个就是我们的它的概率要是一个恒定的就永远不会变，不能说，哎，我第一次跟第二次的概率就不一样了，那这就不是我们的二项分布了， 把它的主要的一个描述就是我们的符号表示就是随便的 x 服从于 b 啊，后面就是，嗯嗯，就是我们的次数，对吧？然后屁，就是这个固定的概率，然后 b 的 话我们不要好记，就是薄努力实验，薄努力它的一个缩写，大 b 嘛，这块就直接这样记法就可以了。 下来你得知道一些二项分布的相应的一些数字特征。第一个你得知道它的概率公式，就是它可以用来算它随便的 x 在 发生的时候它的概率，比如说按 p 等于 x， 等于 k， 对 吧？然后它的概率公式是这样的， k 的 意思就是我的比如说你 k 可以 取值是零到 n 嘛，对吧？ x 可以 取零，取一取二，分别去算它概率嘛。 然后这个后面的公式中，比如这个 c n k 的 意思就是你要选择是有 case 发生嘛？那总共有 n 次实验，那你并不知道是哪 case 发生，那你就要选出来到底是哎，到底是一二三哎还是二三四，就这有多少种不同的情况？ 比如你三次发生，那就到底是一二三次发生呢？还是第二第三第四次发生？都有可能，它每次发生的概率其实计算是一样的，所以我们得要记住它有多少种情况呢？就 c n k 嘛，从 n 个实验里面抽出 k 个就可以了，那 p 的 case 方就相当于是你发生有 k 次嘛，对吧？然后第二个就是你没有发生的，没有发生就是 n 减 k 次，然后没发生概率是一减 p 嘛，这样一算，这就是我们的这个概率，当 x 等于 k 的 时候，它的发生的概率 在公式里算行了。比如说 x 等于一的时候，那直接就有 c n 一 p 的 一次方乘以一减一减 p 的 n 减一次方等等都可以的。那 这样就你得知道它的一个数学期望它是一个 vip 用户，因为前面我们去学了一个离散型随意变量，它的离散型随意变量它的公式是比较呃，比较统一的，就是用每个变量乘以它的概率，然后一加就可以了。 但是我们的二项分布，你可以用前面离散型随意变量，然后一加就可以了。但是我们的二项分布你可以直接背它的公式一， x 等于 n 乘 p。 第二个就是我们的方差公式 d x 等于我们的 n p 乘以一减 p， 这两个公式一定要记清楚，在我们计算过程中可能会常规考取啊。第二个就是你得知道它的一个核心理解，就是它二线分布，相当于是我们的摸球线中的放回出去，因为你只有放回的时候，它每次概率才能是固定的， 对吧？所以这就是我们的二项分布的一个概念，你得知道第一个，你得知道二项分布是什么？它在不努力实验下啊， g x 发生的，这这个世界 a 发生次数为 x， 对 吧？然后它的概率永远是固定的，次数也是固定的，每次都是独立实验，还有你得下来记住它两个的，哎。数学期望和方差以及我们的概率计算公式。 接下来看一下利益的这道题，这道题是有关于我们二项分布的数学期望和方差的公式的直接应用啊。那我们来先看一下题目条件 填中给的是一个随机变量， x 服从于我们的二项分布，然后他给的 e x 是 二， d x 是 三分之二，那我们是不是可以直接用我们的方差公式跟我们的数学期望公式直接把它代开？那现在是不是我们的 n p 不知道吗？那我们 n 乘 p 是 不是等于二？ 这边这个是不是可以写成 n 乘 p 乘以一减 p 是 不是等于我们的三分之二？ p 三分之三分之二的话，那我们的 n 其实算出来是我们的三，那这两个结果，那相当于这个题最终让你又求什么呢？让你求的是 p， x 大 于等于二， x 大 于等于二的话，其实你的随机变量大家已经把 n 已经算出来是三了，那它的这个可能性个数就是零一二三， 那再大于等于二的话，那可能只能是取到我们的二或者是三，所以它的概率就应该是把 x 等于二的时候的概率和 x 等于三的时候的概率给它统一算出来，然后是一加就可以了。那 x 等于二的概率是多少呢？就是 c 三二， 也就三分之二的二次方乘以三分之一的一次方，加上 c 三三，三分之二的三次方乘以三分之一的零次方， 这里化简，然后把这个计算下去了。最后答案计算出来，就是前面这是二十七分之六，后面是二十七分之二十， 所以我们的大一点二的概率计算出来就是我们的二十七分之二十。答案选择 a 选项。那这道题目主要是把这个期望和方差公式以及我们概率公式都考了一遍，但难度不大，你只要能把这三公式记清楚，那个题目拿到满分是没有任何问题的。 好，再来看一下我们的第二这道题目，这道题是有关一道大题啊，那它难度适中，那我们来先看一下题目条件， 中间给的是我们的有一个袋子，里面有三个红球， n 个绿球。已知啊，从我们的一次性摸出两个球都是红球的概率是五分之一，这个题让你反算的第一位，让你反算小 n 的 值。 那首先我们要确定好，这题是一个呃，古典概型，那我要算这个两次都摸到红球的概率，我们是可以通过我们把这个事件设成 m 事件，那 pm 事件是不是一个古典概型？那我得先算 总的情况有多少种，对吧？你从三个红， n 个绿，那总共的总个数应该是 n 加三，那 c n 加三，呃，抽几个呢？抽两个 c， n 加三乘二，对吧？这是这些总个数情况。然后那你抽到两红的概率，两红的个数有多少个呢？那就 c 三二嘛， 红色只有三个，然后整理化简一算，它是等于五分之二的。那你下来把这个通过我们的概率公式，通过我们的组合数，还有这个通过组合数把它展开，咱就能得到。下面是可以写成二分之 n 加三乘 n 加二，上面是可以写成我们的三， 然后最后整理化简以后，你就能整理出来一个关于 n 的 一个式子，也就是我们的 n 加三乘以 n 加二 是等于三十，然后我们通过计算以后，咱就能求出来我们的 n 是 等于三。或者还有一个解释， n 等于负八， 但显然这块我们的 n 肯定不能是负八了，因为我们的绿球个数肯定是一个正数。 ok， 那 接下来这是我们的第一问就结束了，第二问他让你算的是我们的从带中去抽，哎，随机抽两个球作为样本。 呃，然后是采用的是有放回的抽取，让你记得是绿球的个数，那相当于我们这个事件研究的 a 事件，应该是摸到绿球，对吧？摸到绿球的个数，摸到绿球，每次去摸绿球有放回，那说明每次摸到绿球概率都是固定的。他现在里面不是三加三吗？就是三个红球，三个绿球， 那是不是三加三？那我们把这个小屁值就设成每次抽到绿球概率，每次抽到绿球的概率是不是就就是二分之一， 对吧？你在前面文字描述一下射，我们的每次抽到绿球的概率为 p 吗？ p 就是 二分之一。那这题我们的是不是我们的二项分布呢？那必然是，对吧？有题可得，我们就知道它是一个二项分布，他抽几次呢？抽两次，那就是 x 随机变量就是 它是二度二分之一，是吧？所以说气温咱直接可秒了。答案是一嘛。现在的问题就是我们要把这个呃分布列要算出来了。分布列是我们把每一种情况的概率给它算出来，那我们 x 的 可能性个数有零 一二，然后现在分别去算它发生的概率。当 p x 等于零的时候，那相当于没有发生，那就二分之一的零次方， 但这个抽到其他颜色的，那就是二分之一的二次方。因为抽到红球是零次吗？啊，抽到绿球是零零次，那抽到红球肯定是两次概率都是二分之一啊。然后你一算它是四分之一， 然后 p x 等于一的时候，那就是 c 二一乘以我们的二分之一的一次方，再乘以我们的二分之一的一次方，转化减以后它是二分之一， 然后再把我们的 x 等于二的时候，也算相当于 c 二二二分之一的二次方， 那二分之一的零次方就不写了。最后答案应该是四分之一，仍然是四分之一。那是不是我们最终是可以把哎，它所以它的分布列我就直接列出来。哦，要画出表格呢啊？要画出表格，所以 x 分 布列为 我们画一个表格，第一行写情况个数，第二行写他们各自的概率。 好，这就是它的分布列。然后最后你你把那个数学期望再单独答答一下去了。 e x 是 不是直接可以写成 n p 也可以拿它的定义去做，对吧？直接写 n p 二乘二分之一，最后答案就是一。好，这就是这样一道题目，相对来说难度不大，但是通过这道题你就知道我们大题可能会这样考 好。接下来看一下我们的第三题。这道题目是一道稍微综合一点的这个概二项分布的计算。那我们先来看一下题目条件。 题目条件主要是第一问的计算可能会难度大，你就算他这个概率啊。那接下来先看题目。题中告诉了和中有五个大小相同、形状完全相同的小球，其中红球是三个白球，两个顾客从中啊出两个球， 然后两个球中有红球啊，我们则记他获得一份纪念品，求第一问是让求顾客获得纪念品的概率，那获得纪念品这个事情其实就是等价于，呃，他抽到两个球里面有红球吗？ 有红球的意思就是至少有个红球。为什么要提到至少有个红球呢？因为我们在做概率问题，或者在做一些我们的计算问题的话，如果出现至少问题， 那我们是不是能想到那完全可以去算他那个正南则反我比如说我把他这个获得纪念品这个事件设成 a 事件， 那我可以完全去算他获不得这个没获得这个纪念品的概率。没获得纪念品就相当于是他抽的两个球里面没有一个红球，对吧？那我们这个题先把这个 p a 八算一下， 这个好算，要不然你算正面去算这个，呃，有红球的话，又分成两种嘛，对吧？有两个，有一个嘛，那我直接算他反面就是没有一个红球，那就好算啊， p a 八就是他对的事件的话，那总共是五个球嘛？先要抽两个， 这是所有事件的可能性个数，然后接下来再要算，抽到两个都没有红球，没有红球，你选择两白嘛，那就 c r 二， 这 c 五二，答案是十，那就是十分之一，相当 a 八的概率是十分之一。那请问他获得呃这个获奖品的这个纪念品呢？应该是用直接拿这个正南词反把这个一减，反向的一减，这个答案是十分之九。 好，这就是我们的获得纪念品的概率。第二题，他让你求某家庭有三个人啊，到店消费均是十分之九，好，这就是我们的获得纪念品概率。第二题，他让你求某家庭有三个人啊，到店的资格，然后去抽这个 这个纪念品，他现在记的是三人中啊，获得纪念品的次数分数为 y， 那 他请问你 y 的 一个分布列，首先每个人能够那个获得纪念品的概率都是十分之九， 那请问那这是不是一个二项分布呢？那固然是二项分布了，那我们的 y 肯定是服从于二项分布，他的次数是三次，因为每个人都有一次嘛，三个人，然后他每次发生概率就是十分之九， 然后它的 y 的 可能性个数有可能是，哎，零个，有一个，两个，三个。然后现在就要分别把它每个的概率算一下， p x 等于零，哎，我们把它算一下，哎，等于零就是 c 三零，十分之九的 零次方乘以十分之一的三次方，这个答案算出来是我们的一千分之一，好，第二个就是 p y 等于一的时候， c 三一，十分之九的一次方乘以十分之一的二次方， 等于做答算出来是一千分之二十七，这样就算这个屁 y 等于二的时候， 整理 c 三，二十分之九的二次方，乘以我们的十分之一的一次方，这算出来是一千分之二百四十三。 同理啊，我们就能把 y 等于三，也算出来一千分之七二九，这个时候我们需要再给大家列一个表格，对吧？把这个所有的分布列给大家写出来。 好，我们就结束了，然后你就直接分布列就结束了。然后我们把数学期望一算，去了 e x 就 直接可以代公式，因为它是二项分布嘛。那直接用 n 乘 p 就 行了，最大应该是十分之二十七。 好，那这样的题目就结束了，想要关注更多的数学知识，可以关注数学社哥，那后期我们还会给他陆续去更新我们的高二的同步课程，还有我们的后面的二七届的新高考一轮的课程，我们在六月中旬即将上线。好。

大毛在射箭射中的概率是五分之四，那射不中的概率自然就是五分之一了。他连续射了三箭，假射射中的次数为 x， 让你抽出这个随机变量 x 的分布列。 不难想到，连续射了三箭，那这三次就都可以射中，也可以只射中其中的两次，一次甚至零次，因此这个 x 自然就可以取三二一零这四个指了。要想求出分不列，那就得先求出这些情况的概率。先来看看第一种，如果三箭全中，那这三次射中的概率就都是五分之四， 由于这三次之间还相互独立，那他们同时发生的概率竟然就是他们仨的成绩计五分之四的三次方。这个搞定了，就看看第二种，这里射中了两次，但是不一定是哪两次射中，那就从这三次里挑出两次有 c 三二种选法，比如就是这两次吧，他俩射中了，那概率当然就是两个五分之四，而这个美射中的 概率就是五分之一了，把他们撑到一起，就是这种情况的概率了，也就是 c 三二乘五分之四的平方乘五分之一。接下来看看第三种，这回射中了一次，那就从这三次里挑出这一次，也就是 c 三一，比如就是这一次吧，射中了，概率就是五分之四，而这两枚射中的概率就都是五分之一了， 把他们撑到一起，也就是 c 三一乘五分之四乘五分之一的平方，这就是相应的结果了。最后来看看第四种，这里三个全补种，那每次的概率就都是五分之一，结果也就是五分之一的三次方了。搞定 到此，把这四种取值和先人的概率放到一个表格里，这就是要求的分布列了。观察一下这四个概率，其中这两个都是 cg 级呈射中概率的几次方，再称每射中概率的几次方，其实这俩概率也可以写成这样的形式， x 等于三十，就是三次射击，选三次射中，计 c 三三。在这里没有美射中， 因此就得成为射中概率五分之一的零次放，结果就是这样。而 h 等于零时，其实就是三次射击，选零次射中 gc 三零，由于这里没有射中的，因此就得成射中概率五分之四的零次放，也就是这样。 到此，这四个概率的形式就统一了。根据这四个概率的计算，咱就可以总结出这种重复实验中中了 case 的概率，也就是 cnk， 成 p 的 case 方，再称一减 p 的 n 减 kiss 方公式听着有点晕吧，其实很容易理解，这里的 cnk 就是你从 n 次里挑 case， 让他中 这个屁就是重的概率，这个一减屁就是不重的概率了。撒骏眉这个式子其实和二项展开式的通向非常相似，对于这种类型的分布，也有一个专门的名字，叫做二项分布。再用这个符号来表示这种分布，其中这个 x 就是随机变量， b 表示二项分布，而这个 n 表示独立重复试验的次数， 这个屁就是重的概率。以后你再看到这样的符号，那就一定要想到，这其实就是二项分布了。好了，二项分布的定义和计算咱就讲完了，怎么样，听懂了吧，赶紧动手试试吧！

来，同学们，二项分布，对吧？给大家讲清楚。首先先给你举个例子，二项分布。拿我打篮球投篮举个例子，比如说，比如说 投十次篮，投十次篮我去投十次篮，那我投这十次篮，每一次进货不进，相互独立。但是你不要说你这年龄这么大了，你投十次篮，到后面你都没劲了。咱先抛开这不说，投十次篮我还是完全可以的， 这十次篮每一次进或不进，完全独立。并且呢，这十次投篮每一次也只有两种结果，进或者不进只有这两种结果。还有一个条件呢，我每次命中率是零点八， 我，我这中投还可以啊，我这中投还可以，每次命中率按零点八来算，不进的概率就是零点二。你看，这就是一个标准的二算分布，它的特点有三个，它的特点有三个，第一个 独立重复，独立重复。一个试验独立重复的做。每个每次试验之间相互独立，互不影响，每次投篮之间相互独立互不影响。第二个特点叫只有两种结果， 只有两种结果。第三个特点，两种结果概率不变。 你看你对照一下投篮，我每次投篮进或不进，相互独立互不影响。每次投篮只有两种结果，进或者不进， 进或者不进的概率是确定不变的，我进的概率就是零点八，不进的概率就是零点二。哎，这就是一个标准的二项分布。 然后来咱通过这个给大家举个例子，比如说朋友们，我一共投篮投十次，我一共投篮投十次，然后每次投进的概率是零点八。来算算，这十次投篮我大概能投中几次？ 十次投篮我大概能投中几次？应该能脱口而出吧，应该是十乘以零点八， 我会进大概八次，十次我大概能投进八次，这个就是二项分布的数学期望。 np， np 独立重复试验的次数乘以每一次发生的概率，这就是一个二项分布。 那例如说，我再算算，我一般来说十次就是进八次。那比如说，哎，我有一次状态比较好了，我头十次进了九次， 头十次进了九次，那你想想这个概率我怎么算？头十次进了九次的概率怎么算？ 那就 c 十九，零点八的九次风，零点二的一次风，十次里边我随便挑九次让他进，另外那一次不能进，这就是恰好进九次的概率。 然后呢？我发挥失常了，哎，这一次我只投进了七次，这个概率怎么算？ c 十七，零点八的七次方，零点二的三次方。这就是二项分布里面常让大家求的东西，求个数学期望呀，求个恰好投中几次的概率呀， 我用官方一点的数据再给大家翻译一遍，再给大家翻译一遍，形如 x 杠 b、 n、 p， 这就是二项分布的标志了。 比如说，这次我投篮投三次吧，我刚才投了十次，太累了，我再来投三次，那就说 试验是试验了三次，每次这个命中率是零点八，用 x 表示， x 表示这三次中我投中的次数有哪些情况？用 x 表示，这三次里边我投中的情况有哪些？那你想想有哪些？ 我是不是有可能一次也投不进？我有可能一次也投不进。当然这是一个极小概率的事情，因为我的命中率有零点八很高， 一次也投不进的概率非常的低，那一次投不进是零点二，三次都投不进，有零点二的三次方， 当然我也有可能进一次，发挥失常了，我只进了一次，这时候我就要筛选了，应该是 c 三一零点八的一次方，零点二的二次方，同样的， c 三二零点八的二次方，零点二的一次方，哎，我还可能三次全进，这才是我的正常水平。我把这些用一个表格，用一个表格放进去， 这是 x 零一二三把球的这个概率放进去，这就是一个分布列。你让我求数学期望， 那我如果识别出来它是一个二项分布了，我直接 n p 三乘以零点八，二点四，我就给他算了。如果没有识别出来它是二项分布，它乘它，它乘它，它乘它，这就是一个普通的分布列，求数学期望的方法。 它如果让我求方差，我识别出来它是二项分布了，那我直接就 n p 乘以一减 p 二三乘以零点八乘以零点二，这就是方差了。二项分布的方差，如果我没有识别出来，那应该是零点二。零减去二点四块的平方， 加上一减二点四块的平方，加上二减二点四块的平方，加上三减二点四块的平方加起来，这就是它的方差。 识别出来了，你有简单的办法识别不出来，你有传统的办法都可以做，这就是一个二项分布了。

好，今天我们来分享一下我们的如何判断我们的二项分布，我们的超级啊，这是涉及到我们的概率的问题，就是在我们的随机实验下啊，去讨论 这个随机变量，它服从的概率分布，到底是二项分布还是我们的超级和分布啊？这里呢，很多同学容易混淆啊，容易混淆，所以我们， 哎，我讲一讲，哎，像比如说啊，今天我刷到一个视频啊，有个老师他这个讲啊，他说这个我们的六十分 以上啊，和我们的六十分以下，他这两个事件是对立事件，当然我的学生呢，他们肯定就知道这一定是怎样错的。 我们的六十分以上这个问题啊，和六十分以下他脸，他并不包含所有的样板脸，因为我们还有一个正好六十分啊，是吧？你正好六十分的话，那出现一个新样板脸，那只能说明六十分以上和六十分以下他是互斥的， 我们这个一定要严谨啊，对于我们的对立事件，我们说了啊，对立事件是不是你就是我是一定要吗发生，要么就 要么发生，你要么就一定发生。我，其实我两个是必须得发生一个啊，就比如说今天，呃，我们的这个雨下，对于天气情况来说，要么下雨，要么就不下雨啊，就我们所说的啊，要么赢， 赢的对立面可不是说赢，赢的对立事件可不是输啊，赢的对立事件是不，不赢对不对？这才是我们的对立事件，所以啊，这个概率问题一定要搞清楚。 好，那么这是题外化啊，当然，嗯，认真听如何去我们分辨我们的二项分布和超级和分布。 好，那么我们首先得搞清楚二项分布呢，其实就是我们的恩从伯努利实验下得到的啊，我们的随机变量所满足的这个啊概率分布，那实际上就是说恩从伯努利实验就是概率不变嘛啊，在 同种情况下进行了多次的一个实验啊，那这样的 x 它所满足的分布列的话，那就相当于它每次概率都不变， 那也就是 x 它的取值里面啊，我们在计算的时候它的概率嗯是比较啊固定的啊，就相当于不是你就是我两种结果里面啊，这叫二项分两种结果对不对？ 我们的两种结果不是你就是我啊，每一次都是这样，不是你都是我，但跟超级帆布不一样啊，超级帆布呢是指的是在哎就类似于我们的一个矩形里面去挖啊，挖去一块，再挖一块啊，再挖啊，这个时候就会出现我如果 要去讨论的这结果里面啊，虽然也是一样的，我们的超级和分布属于两种情况，但你说我这个超级分布是属于挖的呀，就我一直挖，挖去就可能慢慢的他的呃样本也会变吗？啊就是我的 挖去第一次的时候，那第二次挖的时候呢就不能再挖这了呀，我这里已经被挖走了吗？啊这个时候呢概率就不不变了，所以通过这个定义上来说我们第一个区分我们的二项分布和超级和分布的一个东西就是概率问题 啊，就从我们的概率上去讨论，如果说我们的现在的呃事件的发生的每一次，或者是说呃命中啊，抽取啊等等它的每一次的概率是不变的 啊，它是固定住的，那这个时候啊，对于 x 而言啊，它的发生和不发生概率不变， 那这个时候就是我们的二项分布啊，正好服从我们的。恩，从伯努利实验。好，如果 概率在变化着的啊，这是这个就像啊，我四十九个，呃，我的这个四十九个球里面，我挖去一个了，那还剩四十八个那有从剩下的四十八个去挖啊，四十八个挖了，还剩四十七个，那这个时候概率就不一样呀，对吧？嗯， 那既然概率不一样啊，你的概率在变化着的，那这叫抄及和分布嘛。类似于我们的空间里面，你挖取一块之后，那只能从剩下的地方去挖了啊，这是概率问题，那当然概率不好判断，那我们就得从我们的一些特殊字眼，比如说我们的抽取方式， 选举方式啊，等等等等啊啊，比如说我们的选小球啊，选样品啊，选我们的产品啊，这个时候如果是有放回， 你看我有放回什么意思呢？我有放回的去抽取，这个时候就是为了让概率不变，那就是 肯定就是我们的二项分布，那如果是无放回的啊，我正好就是挖了，我不放回，那你只能说剩下的去挖，或者是说我一次性挖，挖几块，一次性挖的这种啊，一次性抽取， 这个时候呢，他也是我们的超级格分布好，当然有些时候啊，呃，抽取方式概率都不好去判断的时候啊，可能你说任取任取这个东西呢，他也不一定，为什么呢？我们还是要去看总体， 但我们任取嘛，就等同于就是一次性抽取啊，你任取几块，那它是一次性啊，但也不一定啊，所以说我们主要还是以这两个这两种去判断。我们还有第三种判断方法，就是总体。如果总体是无限 的啊，总体一直不变啊，一直是或者无限 啊，这个时候呢，就是我们的二强分布啊，比如说我的这个从小球里面抽了，你看你有范围的抽取，那总体是不变的啊，只是又跟上面又混音上了。那还有第二种就是无限的，我是从我的这个，呃 一直在生产的，比如说流水线上去抽取，流水线上去抽取，这个时候他的产品一直在生产着，然后呢？他产品也是无限的吗？啊？但生产了很多很多很多很多啊，你从这里面去抽取的话，那他的概率就是肯定不变的 啊，你无穷大分之某某某，你就算无穷大减一了，那其实跟无穷大是没有区别的啊，所以这个时候呢，概率也不会变。所以如果总体是无限的，这个时候呢，也是二项分布啊，那如果总体有限， 那有限不一定就是超几何，是得有限且再变的啊，就是会改变 我们的总体。要就刚才所说的啊，四十八个变成四十七个啊，四十九个变成四十八个变成四十七个，那这个时候就是我们的超几何分布了。所以如何分辨二项分布和超几何分布呢？就可以通过这些方式去判断 啊，一定要记清楚啊。当然他的逻辑是一样的啊，就看我们的概率是不变还是我们的变化着 啊，到底是从我们的是，到底是把一个实验重复进行了很多次概念都不变，还是说就像我们挖去了一块，只能从剩下的再去挖这种啊？这个就很好的去看。别了啊，一定要搞清楚概念这个问题呢？嗯，有些时候比较拗口啊。

今天我们来学习一下超级和分布与二像分布的区别。首先我们来先回顾一下超级和分布的概念。 在超级和分布的概念里边，我们可以提炼出来几个特点，设有总数为 n 件的两类物品中，我们可以知道超级和分布的总体是有限的，并且它有两类物品。 从所有物品中认取 n 键 n 小于等于。答案里面我们可以得到超级和分布实际上是一个不放回的重要， 并且在超级和分布的一个概率特征里面，我们可以知道超级和分布他只注重实验的一个结果。接下来我们来看一下二项分布的概念。在二项分布里面说，如果在一次实验中，事件 a 发生的概率为 p， 那么在这一 句话中，我们实践可以得到，再一次实验中，事件 a 要么发生，要么不发生，也就是他总共有两种结果， 他的概率为 p， 概率是固定不变的，那么也就是说在每一次实验中，事件 a 发生的概率不变。 在 n 次独立重复实验中，在这句话我们所得到的是二项分布，是一个放回抽样。从二项分布的概率公式里边中的 cnk， 我们就要知道二项分布他实际上不单单注重实验的结果，还要注重实验发生的一个顺序。 接下来我们以一道例题来进而辨析超级和分布与二项分布。从立体中我们知道了它的次品率为百分之二，并且要现在要出 出三件进行检验。当样本容量分别为五百、五千和五万，是分别以放回和不放回的抽取。 当以放回的方式进行抽取时，我们的次品实际上满足了是一个二项分布，那么满足二项分布的时候，他的次品率百分之二是固定不变的，也就是不管要美容量为五百五千还是五万，是当 x 等于一的时候，他的概率都 是固定不变的，也就是下边的计算过程，当他如果以不放回的方式进行抽取时，也就是说他此时满足的是一个超级和分布。 那我们再分析超级和分布的定义，就说超级和分布是两类物品，那么在该题中应该是分为次品和非次品，那么从题目中的次品的概率为百分之 二，我们就知道，当 n 等于五百时，也就样本容量为五百的时候，次品的件数应该是十件，而非次品的件数是四百九十件。进而再进行 利用超级和分布的定义和他的一个公式来进而进行计算当 x 等于一的时候的概率。同样的道理，当 n 等于五千和五万的时候，我们分别要算出次品的建筑和非次品的建筑，进而利用公式来进行算出来他的一个概率。 从解题过程中我们可以发现，不管当 n 等于多少的时候，我们的二项分布，也就是有放回的抽取的时候，他的概率是不变的，当时是无放回的抽取的时候，他的概率在逐渐的变化，并且当样 容量小到大的一个变化过程时，我们会发现，当样美容量很大的时候，他算出来的概率是这样，和二项分布算出来的概率是非常接近的。 所以我们可以总结出来，当样本容量很大的时候，不放回的抽取也可以近似的看作是一个二项分布， 接下来我们来对这个二项分布和超级和分布的一个性质特征以及变细做一个对比。 前四个我们刚刚在分析定义的时候已经分析过了，我们来说最后一个在二项分布里边，一般做题他都会有有放回或者样本估计、总体频率视为概率等等字眼， 但是在超级和分布里边，一般来说他就会告诉大家是一个不放回的一个抽取实验，谢谢大家观看。

做题总是分不清用二项分布还是抄几何分布？教你一招快速辨别。我们今天看一下这个抄几何分布和二项分布的一个区分啊，好多同学学完这里总是碰到题的时候，感觉分不清楚是用二项还是抄几何， 我们这几个主要对这个地方展开一下讲解哈，这地方怎么去区分哈，其实就两个关键点，就两个关键点，第一句话就是说，你只要能在题目里看到一句话，哪句话呢？就这句话哈，就说以频率哦，估计概率，以频率 估计概率，只要有这句话，这句话基本上就非常明显了，我们绝对就是用二项分布。那第二句话是什么呢？第二个点就是你找不到样本空间，样本空间不固定，换句话讲是样本空间很大，知道吧？很大， 什么叫很大呢？比如说听我说，从全省，从全国，你能固定死这个样本空间吗？你是固定不住的，那这两个东西都会指向二项分布，明白吧？都会指向二项分布， 那如果不是按项，那不就抄几何了吗？对不对？好，那这里的话给大家看一个非常具体的和形象的例子哈，好，看一下这个题，他说某班有三十名男生，二十名女生，然后第一个哈，他说先从该班级里选三人，看到没？该班级里选三人， 要门空间定下来没？定下来了，所以说就这个班的人数，那这个班一共有多少人？那这个班有五十人，明白吧？那记女生的人数为 x， 求 x 分 不裂。那我们第一步是不是先看一下 x 的 所有曲值，那 x 的 曲值是不是就是为 x 取值为零一二三，对不对？那所以说 p x 等于零的话，我们已经知道了，我们是用超几何分布，因为该班级嘛，该班级是五十个人，对吧？那超几何分布定下来了，那超几何分布的话，就 x 等于零，是从二十个女生里选零个女生出来，然后还剩几个人，剩三十个人， 三十个男生里选三个男生，然后底下的分母是不是一样的空间？就总人数，总人数是不是 c 五十三呀？ 对不对啊？我这其他就不写完了哈，就不写了哈，我再写一个二吧。 p x 等于二，是不是就是从二十名女生里选两个，然后再从三十名男生里选一个呀？然后底下样品空间是不定死的呀。五十个，然后里面抽三啊，其他我就不写啊。这只要这节课主要是 教一下大家怎么去区分这个超级和二项啊。好，那我们再看第二个，如果这个条件怎么变，他就会变成二项分布了呢？来看这句话，以频率估计概率，先从全省里选三人出来， 全省你能确定有多少人吗？你确定不了，而且前面有这句话，以频率估计概率，他的意思就是频率。什么叫频率呢？比如说在这个班级里的占比，女生占班级的占比是多少？是不是二十比上五十呀？那这个占比其实不就他的频率吗？ 对不对？那他说了以频率估计概率，那我们就大胆的说哦，女生的概率 就等于这个，就等于五分之二，明白了吧？所以说男生的概率就等于什么呢？就等于五分之三了，明白吧。 那同理，那 x 的 所有的取值数， x 还是能缺零一二三的呀，对不对？那所以说我这里写一个一吧，那 p x 等于一，你全省全省，你是找不到那个样门空间在哪里的。那我们就只能用二项分布了，那 x 等于一直接写个一吧。 嗯，那一的意思大家应该知道吧？那不就是从三个人里面选一个人出来，然后这个是不是女生呀？五分之二的一次方，然后剩下的是五分之三的二次方，这就按样分布，是不是很好区分啊？你就找这种字眼知道吧，就找字眼，第一个字眼在这里，第二个字眼在这里， ok 吧。 好，那剩下的话，我这里还有好多题，带大家去看一看啊。十六题， 这题不用看完啊。这节课我们还是那句话，主要教大家怎么去区分啊。我们来直接看第一个，他说，呃，然后平均从该市看到没？从该市所有参加马拉松训练的人中随机抽取四个人， 对不对？那你能知道这个该市你能定下来吗？这个该市所有的人是不定不下来呀。那所以说这个有什么分布？很显然就是二项分布，明白吧？人很多， 而且他是不还。前面还有一句话，以各区间的频率看到没？频率代替哦，这个概念他绝对就是二项分布的，知道吧？嗯，好，让我们再看第二位。 第二位，根据统计表，用分层抽样的方法，从这一百个人中抽取二十个，再从抽取的二十个人中随机抽取四人。那在从抽取的二十个人中随机抽取四人，他从哪里抽的？是不从这二十个人中抽的呀？ 样板空间有没有啊？有呀，就是二十呀，那所以说第二个考的就是超几何分母了，明白吧？具体我就不给大家写了啊，我们这几个主要是讲区分享， 不理解二项分母和超几何分母的可以再看我们前面的课程啊。嗯，好，然后我们再看一下一个十九题。十九题， 直接看题啊，直接看题，现从十六所大学中随机抽取三个，有没有定下来？十六所有没有定下来，而且也没有那句话，对吧？也没有我们刚才说的以频率估计干那句话，而且现从十六所大学那底下的样本空间，也就是我们说的分母肯定是 c 十六三了，分之多少多少多少多少知道吧。那这里肯定考的就是 超几何，超几何分布啊，好看。第二位，以这十六所大学食堂的评分说句估计大学食堂的经营性质，明白吧？这句话其实他不就是说的以频率估计概率这样一个意思吗？如果从全国的大学食堂任意选三个全国的大学食堂 a， 全国有多少个？答案是答是不好多呀，懂吧。那好多的话我们定不下来，定不下来的话我们是不是考的什么呀，是不是考的二项分母呀，懂了吧，是不是很好区分啊？二项分母哈，好，再看一个 黑龙江大庆一模的，这个题目太明显了，你看这个题，整篇下来告诉我们都是这个概率啊，都是这个概率， 若从该中学的学生中任意抽取一名学生，求该生肥胖的概率，该中学的学生，而且我们看下这个题目里有没有告诉我们该中学的人数啊？没有没有。那第一问考什么？是不是考的 二项分布啊？二项分布哈。好，第二位，先从该中学的学生中任意抽取三名学生，然后 g x。 啊，第一第一，这个第一问考的很简单，第一问都没考分布啊，第一问只是说这个该生肥胖的概率。第二位是先从该学该中学的学生中，该中学的学生中，那二项分布 是不是就二项分布啊？好，这节课相信大家听完之后肯定是能区分出来这个超级科二二项分布的，再带着大家去总结一下怎么去区分啊？就在题目里找两个东西，一个是如果有这句话出现了，这句话就是最牛的条件，只要有这句话了， 百分之八十啊，百分之九十九吧，二项分布。然后其次，如果没有这句话，哎，你就看这个样本空间你能不能定下来，好好读题就可以了。你看这题嘛，他就看从哪里去抽， 是不是你先从抽取了二十个人，二十个人按着定了那线，从该试，那该试是找不到的，明白了吗？好，今天就讲到这里，拜拜。

就是接下来就是二项分布和超几何分布哈，就主要是大家要分清它的这样一个特征 啊，还是如果大家有需需要这份的奖励的话，你可以私信我哈。那第一个就是有关于二项分布，那它的特征是什么呢？其实就是什么叫做这个二项分布？它有三句话我先给大家说，然后我会在题目当中带着大家找，第一句话就是 以样本预估总体，一句话以样本预估总体，那第二句话呢？叫以频率视为概率， 然后第三句话就是每次事件相对独立。好，那接下来这个就主要是哈，就是如果你分清了，哎，老师我这个就是二项分布，那他的期望呢？首先他的分布列形式先给大家写一下，叫 x 波浪线 d， 括号 n 逗 p， 这个 n 代表实验次数，这个 p 呢是大家要计算的，就是每次试验的可能性，它的期望是用 ex， 这个 ex 又是叫加权平均数，所以它这个 ex 是 等于什么呢？是等于 n p， 那 方差呢？是用 d x 来写，就是 n p 乘以一减 p。 那我更多不是带大家去做题哈，就主要是分析啊，就是什么样的形式是二项分布？我再说一遍，特征，以频率 视为概率，以样本预估总体，每次试验相对独立，哎，这些特征出现之后就是什么分布，很好，就是二项分布，这个大家要注意哈。好，那再往上往后 来看，这道立体看，很明显的特征吧啊，以频率估计概率，以样本预估总体， 那相当于你看这个实验的次数，也告诉你了几次啊，抽三份对不对？所以直接写 x 波浪线 b 拨号 n 逗 p， 哎，比如说那分不裂呢？就再往下写，写成谁？零 一二三，哎，这个就是二项分布，它的 ex 是 什么？ n p 就是 三倍的 p， 对 不对？这道题 ex 就是 等于三乘以，那 d x 呢？就是等于三乘以， 乘以一减 p， 哎，这个就是期望和方差。所以以频率估计概率啊，用样本预估总体是什么分布？横好是二项分布。来，咱们再继续来看这儿， 用频率估计概率，从全市，哎，这个有个另外一个特征，全市有多少人呢啊？很多，就一看其他老师，一百个，一百个，这个有点太吓人了 啊，咱们全市不可能只有一百个老师，对不对？所以这种如果总量未知，就是总量很大很大未知啊，成千上万的这种总量对不对？那一定就是什么 以频率估计概率，那频率往往会结合什么直方图，所以咱们就明白了啊，二项分布，他要和什么结合一起考呢？ 频率值方图，把频率当做概率，对不对？那依旧是几个人，三个人，对吧？哎，这个就是二项分布。那超几何分布呢？ 一定要注意，它往往结合叫分层抽样。 分层啥意思？就按比例嘛，那就是 x 波浪线 h 拨号，这个小 n 大 m 和谁大，对吧？好，那咱们这么看看这个哈，他说的是，哎，看，进行分层抽样。 分层抽样，那什么超级对不对？来，再往后看，还要看什么呢？ 说，哎，从十个人抽几个人？六个人，你的总量变不变？我说你的总量是不是一个什么 有限的？所以如果总量有限个，从有限个个体当中再抽取， 有像个个体啊，有点像山里有个庙这种感觉。那你想山大还是庙大？是不是山大呀？所以相当于啊，大家压力山大了也。最近啊，最近有点小焦虑是正常的哈。所以其实我们什么叫分层抽压呢？ 就是从一个知道啊总量的样本当中再抽取一定的数量，这个一定的数量一定比你的总量要什么少，而且往往结合分层抽样。那咱们就看这里啊，这道题，那说 我抽几个人呢？抽四个，所以小 n 就是 四，那我写谁的分布列呢？写赞成的。那你要想，哎，我这个十个人有赞成的，一共有多少人？记住是十个人，就是这个样本当中你赞成的， 所以这个大 m 就是 谁叫写谁的分布列，那这个大 m 就是 在这个样本当中的总量， 所以这个大 m 是 不好确定的，但是大 n 是 不好确定，所以小 n 和大 n 好 确定。那他的 ex 我 写在上面， ex 是 等于什么呀？叫 n m 除以大。那咱们就知道了， 其实这种题它的难点不是在于你能否分析出来这个题是超级核，而在于什么对，而在于什么样的特征是用超级核。那其次知道什么样特征之外呢？还要了解什么 啊？我怎么进行分层啊？这个比例是什么样的比例，对不对？哎，这就是分层出来，你看这啊，这道题哈，嗯，因为它题干很简单嘛。来，那这是不是我写一个超级和分母， 那一共多少个题目啊？十个抽几个呀？抽三个对不对？所以首先是不是抽三个题目是三，那总量是几个呀？是十个， 你看能答对的是六道，但是一定要注意啊，大家一定要看好问题，他问的是答对的，分不两是答错的，那他问的是答对的吧？那答对的在样本当中一共有多少个横好？是不是六个？ 所以我们直接可以写谁啊？就把 e x 先写出来，是不是？三乘以六，再除以几十，对不对？等于多少？一点八个 对吧？那分布列怎么写呢？分布列是不是先把 x 所有的可能性都写出来？他抽几个题啊？抽三个题，所以 x 的 可能性 他可不可以一个题都没答出来？可以可以，答对一个可以，答对两个，可以，三个都对。好，那对应的概率我给大家写一下。 p 零是什么呢？ 首先是不叫 c 十三，那你不能答对，是不有四道 c 四三，那同理 p 一 呢？ 是不就是 c 十三和 c 四二，然后 c 六一？ 哎，同理， p 二等于什么？ c 十三，然后 c 四一和 c 六二，那最后一个还剩谁呀？ p 二啊， p 三是不就是 c 十三和谁？ c 六三， 那这是分布列吗？不是。咱们是不是要把这个表划出来？表划出来的时候，这个才叫什么才叫分布列？ x p， 然后零 一二三，对不对？把对应的概率是不是写在下面呢？这个整体才叫什么才叫分布列？那方差怎么计算呢？方差就是按照方差的公式，对不对？有一个 d x 的 计算方式啊，咱们怎么算的？是不叫 e x 的 平方减去 e x， 整体来个什么平方啊？我们可以用方差的计算公式来计算，所以这个一定要认清它俩的特征。如果出了简单题，什么是超几何呢？ 就是分层抽样啊，具体看，这又分层抽样了对不对？抽多少人？十一个人 对吧？小样本是不是十一样？所以这个大 n 是 不是十一样？所以咱们要分清什么是超级盒，什么是二项的特征，对不对？超级盒啊，是分层抽样有限个个体抽有限个二项分布呢？ 啊？比如说当我总量不知道啊，每一次试验的概率是什么不变的。 ok， 好， 那这个其实就是二项和超级号的区别，大家一定要记住放差和期望的算法。

昨天给高三同学们上课的时候，发现有同学对二项分布以及超几何分布的概率概型判断还不是很清楚，导致会把概率函数写错，也导致后面的一些失分。今天一条视频给大家讲清楚， 呃，特别是还有二十多天就高考的同学吗？包括高二的同学，呃，这个时候也在学这一块内容，大家把它判断清楚，这是第一步，把概率写清楚，那么他判断的核心是什么？ 第一个二项分布，我们都知道他是恩重不努力实验，我们判断他的特征层就是第一是独立，第二重复，第三是放回， 那么也就是说二项分布他会以一个概率的恒定值不停的重复下去。那么超几何分布他的特征层，第一是总体，第二抽样，第三是不放回，也就是 超几何分布，它的概性概率是在不停的在变化。所以第一个呢，同学们要读题目他所表达的含义，提取这些特征成把概型判断对，然后把这个概率的函数写对，然后后期的一些计算。 那么特别在后面的计算中呢？他有的题会涉及到一个概率的最值问题，这个在地上也也曾经考过，那么这个概率最值同学们一定要注意，不管是二项分布还是超级和分布，这个概率的表达是因为它是属于离散型随机变量， 呃，也就说这个函数它并不是一个连续状态，我们都不可以对它进行求导，那么如果要算它的最值，我们可以采用做商的一种方法，做商以后和一比，也就是说把这个概率的后一项和前一项进行消除，和一比大小， 特别的对二项分布，当一个指定一个 n 和 p 的 时候，那么当 n 加一乘以 p， 如果是一个整数，那么则在这个整数以及它的前一项 这两个数，当 k 取这两个数的时候会得到最大值，那么如果 n 加一 p 不是 整数，那么把这个求差的值套出一个高次函数，也就是取不超过这个值的最大整数，也就是当 k 在 这个值的时候，概率会取得最大值， 那么超几何分布同学们也可以采用同样的方法进行判断，因为他对一个样本的总体，当 n 以及你抽取量的变化，这个概率 p 的 最值会不停的发生变化 啊。同学们可以做一做当年四省联考的一个池塘养鱼问题。呃，我，我记得如果没记错的话，应该是二一年的二一年四省联考出了一个很经典的这么一个问题。呃，好吧，各位高参同学们加油！