成都初中数学初三几何压轴题

初二和初三即将中考的学生们注意了，如果你对于这种翻折问题总是头疼，见到这种题看到就被吓到了，而且这种类型题呢，还是近几年中考当中的一个常考题型， 为什么翻折问题这么常考呢？因为它太重要了，它里面暗藏玄机。 但是呢，今天你跟李老师一起学这道题的时候，我会告诉你一个口诀，这个口诀就把它整体的这种玄机全部给你展示在面前， 那你都知道它的玄机所在了，那你不就可以应对自如了吗？所以今天李老师要跟你分享的这句口诀就是， 翻折不可怕，全等平分全显化，对应关系无变化，性质分析全拿下。怎么理解这个口诀呢？也就是说，当你遇到翻折这两个字的时候，你就会想到全等图形平分线 对应关系，也就是它的位置关系，还有相应的平行四边形，特殊平行四边形的性质全部都出现了， 也就是说当他出现翻折之后，你应该知道的就是这个折痕其实就是角平分线。 然后呢，翻折之后的这两个图形也是全等图形，那么全等图形的所有性质他全部都具备，那我们在解决这个问题的时候，他的翻折产生在了这个菱形里面，所以菱形的所有性质他也全部都具备。 那么做这种类型题的时候，你把握住这个方向，你就可以分析很多题目当中隐含的条件了。那对于这个类型题呢，我们一起来看一下，他说这里是四，哎，分析来了啊，全等， ok， 这里也是四，他说 d g 是 三， 那你看到三，而且还有一个垂直，你会想到什么？是不是我们说的勾三股四弦五啊？ 对吧？那这样子的话，你会你会发觉这块这块是个直角，缺了一个东西，缺什么呢？缺了一个斜边，那这个斜边怎么办？我把它做出来就可以了呀。怎么做呢？肯定是要做 a d 的 平行线呀， 他让我求 a e 的 值，让我求 a e 的 值， a e 的 值怎么求？那这里面你会发现他用到了勾股定律，只要是用到了勾股定律，我就要知道这条边，而这条边跟这条边相等，也跟这条边相等，这条边又跟 a e 有 关 啊，那这个时候关系其实已经出来了，那我想到关系的时候，我就应该想到方程的思维， 因为他很多量不知道，但是他有关系，记住只要有数量关系，而且还有不知道的量，我们就可以想到方程思维非常重要。 所以这个时候我设谁呢？设 a e 为 x， 所以 这里我们把它定为 h， 这个 d h 这一块也应该是 x 平行四边形，对吧？那这个 h g 就 应该是三减 x， 刚才我们说了菱形这条边应该是四加 x， 那 这条边也应该是四加 x， 那 么这个 e h 也应该是四加 x。 ok， 这个问题我们其实已经解决掉了， 那么我就可以得到四加 x 的 平方，减去三减 x 的 平方，就应该等于四的平方。 解这个方程相信大家都已经会了，所以解出来之后，这个 x 应该等于十四分之九，那么 a e 的 长也就是十四分之九拿下。所以解决这种类型题呢，翻折问题一定要注意全等和平分。 然后他还有一个是对应关系，也就是说我在没翻折之前的这个对应关系和翻折之后的这个对应关系这个夹角啊，还有要是要垂直还是垂直，要平行还是平行，他是不会变的，而且再根据四边形的性质就可以把这种类型题解决掉。这个题唯一难一点的地方是这个辅助线的做法， 而这个辅助线呢，正好有勾三股四，那这个时候又可以把它怎么样？想到这构建这个直角三角形。 ok， 今天我们就讲到这里，你学会了吗？记得给李老师点赞关注哦。记得关注再走。

五十个视频，五十种积累，从图形特点出发，理解辅助线构造的过程，在此期间培养标设放猎的习惯，痛观几何。今天我们讲的是 需要电子版讲义，可以免费分享给大家。那么今天咱们来研究一下，就是我们再去判断共研问题这块来需要用到哪些方法？ 那么首先我们需要明确一点，就是我们去判断共圆的目的是什么？因为有些小伙伴他经常说，那这道题他明显可以不用圆，为啥你非要用圆，哎，为什么你这能想到画圆？我想不到，原因就是我们去判断共圆的目的 是为了去转化我们的信息啊，那你想那圆能提供给我们的信息是啥？回忆一下，我们之前在讲角那张，我们说过角不好用的时候，所以要想去干嘛？是不是角不好用去想着画圆，因为在我们圆内它的角度关系是十分丰富的， 那这个时候我们判断出共圆之后，就可以去帮助我们快速的转化角度信息，从而获得更多的已知条件，那么这个东西才是我们去判断共圆的目的。 那么今天呢，我们就通过三个方法哎教给大家我们这块如何判断四点共圆，以及得到圆之后我们应该去关注哪些东西。好吧，那么首先第一个就是共点等线，那啥意思呢？比如说我现在告诉你这有一个点 o， 然后 a、 b、 c、 d 这四个点到我们 o 它的距离哎都相等， 那我们则称此时 a、 b、 c、 d 这四个点共圆，并且呢是以 o 为圆心，哎，它们之间的长度我们记为 a、 o 为圆心， a 为半径，它们就在一个这样的圆上，咱们大致给它画一下，大致是一个 c 图啊。那么当然我们看这块它其实不止，我们可以利用共点等线去判断四点共圆，那你说多点行不行 是不？当然也可以，那就比如说，哎，我现在告诉您，那这还有一个点 e， 哎，他到圆 o 的 距离，哎，也是 a， 那 这个 e 是 不是同样也在我们这个圆弧上？那当然这块 证明很简单，我们是不是就使用了是圆的定义嘛？对不对？平面上，哎，到一个点距离相等的，所有的点构成的集合就是我们的圆弧，所以这块我们看第一个判断共点等线利用共圆的方式，就是我们需要在途中去找到 一些点，来到一个公共点，它们的距离相等，咱们就可以去得到共圆这个条件。结论很简单，那我们来一块看一下题目当中，哎，我们如何去使用？好吧， ok， 兄弟们来吧看一下这道题，它这道题告诉我们在四边形 a、 b、 c、 d 当中，这两条边是平行的， 又告诉我们这三条线段相等，并且长度是三，这是二，让我们去求 b、 d 这条边的长度。那我相信刚才大家在思考的过程当中已经看到了，我们发现在我们现有的题目条件当中，你想要直接去求 b、 d， 哎，它是不好求的， 对吧？这个感觉我们得找到，那找到之后呢？你想，那现在既然我们直接去求 b、 d， 求不了，那肯定要想着啥，肯定想着我们应该利用什么样的方式去转化问题，使得它变得更简单。那你想一下，那现在我们有啥？我们是不是有点 d、 c、 b 这三点到我们点 a 的 距离都相等，那么通过这组共点等线，咱们是不是就可以得到此时 d、 c、 b？ 哎，这三点共圆，并且呢这个圆还是怎么样？是不是以 a 为圆心，三为半径？那得到这个之后，哎，那我们看，那现在我们就可以把圆画出来。那么现在来想一下，我们在第一步判断出来共圆之后，那第二步我们将圆画出来之后要去关注什么东西？ 我们刚才说了，你判断共圆的目的是啥？是为了转化什么条件？是转化我们角的条件。所以当我们得到一个圆之后，我们一定先要去关注这里有哪些角度信息，那你看一下这块有啥角度信息？ 首先题目是不是告诉我们平行线，那有平行线就要去关注图中是否会有等角或者补角的关系？那你看一下，那现在咱是不是有这个阿尔法跟这个阿尔法作为一组内错角，他俩是相等的， 那你看现在这组等角它在圆内的身份是啥？是不是圆周角？那你想那圆周角咱是不是就可以去转化它了？咋转化？那比如说这个阿尔法它是不是我们弧 c、 b 所对的圆周角，它可以去往那转化，它是不是可以去往圆心上去转化？ 哎，你看那往圆心转化了之后，那你现在观察一下，那这好像还是没有啥条件吗？那你不着急吗？那这个圆周角你是不是也没转化？ 咱也把它往圆心角转化一下，你观察那这个阿尔法它是不是就可以跑到这了？那这是阿尔法。同时我们记这个点是 m 的 话，那 am 是 个啥？那 am 是 不是也是半径？哎，那它的长度就是三，那么你看一下，那现在我们得到这个阿尔法之后，你观察一下你在图中看到了啥？三 三，阿尔法，阿尔法，三三，这两个三角形啥关系是不全等的？那这个时候咱是不是只需要连接 dm？ 哎，那我们是不是就能够得到这是二，那这条边也是二了？那这是不是就是我们通过 判断共圆之后得到了角度关系，利用角度关系玩出来的一组全等？那么当然这个东西还有一个推论啊，就是我们可以直接判断就是啥，就是你观察现在这两个阿尔法是不是都是圆周角吗？ 那你知道相等的圆周角所对的弦也是相等的，那我们这块其实可以直接一步得到。哎， dm 是 等于 c b 的， 但是我就是想通过这个来带大家一块去证明一下，体验一下这个过程。那现在得到了这个二之后，那你想一下，那接下来 我想要去求 d b 这条边，我只需要给它放进哪个三角形 d m b 吗？在圆内，我们说了，看到直径，要想着直径所对的角是啥， 他所对的圆周角是不是直角，那这是直角，这是二，这条边是六勾股定力 d b 是 不是就结束了？所以第三步，我们求 d b 是 不只需要给他放进一个 直角三角形 d m b 当中，那这块其实直角咋来的？是不是就利用的是我们直径对直角，就是我们园内常用的四条辅助线？ ok， 那 么来看一下这道题，首先第一步，我们是不是通过共点等线，哎，这组共点等线我们判断出来了这三点是共圆的， 那得到共圆之后，一定要记住，你得到了圆就是去为了转化角，那这个时候肯定要去标角、倒角，你看一下这些角度能够带给你哪些更多的已知信息， 那么得到信息之后，我们判断出来，哎，这块有全等，那得到这个全等之后已知信息，哎，完成了转化，我得到了 dm， 这条线段的长度是二，那接下来勾股定律问题是不就结束了？那六方减四方根号三十二，也就是四倍的根号根号二是吧？ ok， 问题结束来看下一个，下一个他指的是我们判断多点共圆的另外一个方式，就是线段同侧对等角。比如说我现在告诉你有一个线段 ab， 这有一个角 c 啊，我记它是阿尔法，那同时呢，这块还有一个阿尔法的角，我记这个点是 d， 那 么此时这两个等角出现在了线段的同侧，那我们就可以得到 此时 a、 b、 c、 d 四点共圆。那么当然你可以怎么理解呢？我们就可以想，那此时我们先把这个圆给它大致画出来一个模样啊。看，那画出来圆之后，那你想一下，那知道在我们圆内同弧所对的圆周角是怎么样？ 是不是相等的？那也就意味着，那现在这组等角，它俩所对的弧是不是应该是同一个弧？ a、 b， 那我们是不是就可以判断出来他俩是在在同一个圆弧上呢？那么当然这个东西只是去方便我们理解的，那具体证明的话，这块我们要用到反正法， 我们可以先假设，哎，我现在得到这两个角，他俩是相等的，但是 d 他 不在圆弧上，那你想一下，那 d 他 现在可能出现在，我现在就假设他在园内，好吧，我假设角 d 他 在园内啊，他在这个位置， 嗯，那现在想一下，他如果在园内的话，那我们知道同弧所对的圆周角，哎，这俩是相等的，那此时这个角 作为我们这个三角形 d、 a、 d 片的外角，他是不是一定是什么呀？是不是大于我们阿尔法的？那是不是就跟我们刚开始讲的他俩是一组等角的前提条件就矛盾了，那所以这个时候这个点 d 片他一定不可能出现在园内，那同理，如果你出现在园外的话， 你观察一下，如果这个点第二，哎，他出现在元外的话，那我们会导致那这个角始终比他大， 那所以是不是也跟我们刚开始的前提条件矛盾？所以就是我们要去证明线段同侧对等角这四点共圆的话，我们要用到反证法去证。大家如果这块不理解的话，就可以直接去使用我们的结论，直接使用结论 就是这可以帮你快速的判断出来这块，哎，能够有共圆问题出现，你就这么理解同弧所对的圆周角是相等的，所以 c、 d 它俩就在同一个圆弧上。 ok， 那 么清楚了这个之后，那接下来还是做一道题来感受一下，好吧，他现在告诉我们说这有一个等值 a、 b、 c， 那 看到等值我们知道这块是不是就会有，哎，四十五，四十五。 然后他现在又告诉我们说这两条边是平行的，那有平行，咱是不是还要去关注一下这两个四十五还能往哪跑？ 那这是不是一个四十五？那同时这是直角的话，那这个角是不是也是四十五度？那接着他现在啊做了一个垂直，现在让我们正啥？让我们正 d、 b 这条边跟 d p 这条边相等，那你想，那这两条边都垂直了，再让咱正相等，那其实正的是啥？ 那题目其实让咱证的是这个三角形 b d p 是 一个等值吗？那咱要证明它等值的话，那首先，哎，我可以证明边相等 或者是啥，或者是我只要证出来这两个角任意一个内角，它是四十五度，问题是不就结束了？所以我们刚开始要明确，哎，我们这道题的目标是什么？定好目标之后，那你现在来看一下，那我现在想要去证明这两个角是四十五度，那我肯定要去标角倒角。 但是兄弟们，你看一下，在我们现在的这幅图当中，哎，你想去得到这个角是四十五度，是不是感觉比较困难呀？你们刚才应该也试过了，那这个时候咱们想要去直接得到它是四十五度，显然感觉比较麻烦。那这个时候来关注一下，是不就可以看到这儿有一个直角？ 这儿有一个直角有啥关系？它是不就是我们线段 b p 同侧对的两个等角，那线段同侧对等角，咱就可以得到啥？ 此时 b、 d、 a、 p 这四点是不是就共圆了？来看一下，我们第一步通过线段同侧对等角是不是得到 点 b、 d、 a、 p 四点共圆。那么现在来，咱把圆画出来。画出来之后，那你想一想，再问大家一遍，我们得到圆的目的是啥？得到圆的目的就是为了去看一下这里还能够转化哪些角度信息，那你观察一下，那现在咱有啥？哎？那这个角是四十五度，它的顶点在圆弧上， 那也就说此时这个角是个啥？是一个圆周角吗？那圆周角好转化，那咱就看一下他这段弧 b、 d 还有啥所对的圆周角没？那这个角不就是吗？你看一下 d、 p、 b 是 不是就是我们弧 d、 b 所对的圆周角，那他是四十五度，问题是不就结束了？我们这块是不是只需要用一个同弧所对的圆周角相等 四十五、四十五，那这是四十五直角呢？这也是四十五等值出来呢？那第二个是不就用的是我们圆周角定力？来看一下这道题， 这道题最关键还是我们一定要去感受，我们做圆的目的就是因为在我们原来的这幅图当中，你想去标角倒角得到这个角是四十五度比较麻烦，所以我们使用圆的目的就是为了快速得到角度之间的关系，帮我们转化条件， 那这才是我们去化缘的目的。化完缘之后，你说这个四十五度，那是不是一眼就看出来了？这四十五弧 b、 d 那 所对圆周角相等问题是不是就结束了？所以说我们看这块讲的东西都是方法，我们一定要去理解什么情况下用哪种方法，它更简单去搞的是底层逻辑。 那第三个就是我们四边形对角互补。我们来想一下，那四边形对角互补的话，那其实这是我们圆周角定律，就是我们园内的三大倒角逻辑里面的第三个嘛，就是说现在告诉我们一个园，如果园内有一个内接的四边形 啊，一个内接的四边形，那么这个四边形它的对角阿尔法跟贝塔就一定是互补的，那么这个伽玛和 cita 也一定是互补的，对吧？那这是我们之前在园内导角逻辑里面讲，那现在这个东西只不过是把之前的结论给它反过来用了。 如果我现在得到一个四边形，它的对角是互补的啊，就是阿尔法加贝塔是等于一百八十度的，那么我一定能够判断这个四边形它的四个顶点是共圆的 啊，就是这么个结论。当然这块你要想问那是咋回事，咋正的，咱们就可以简单来看一下。那首先对于我们看这种圆周角，我们就要想那圆周角，你现在如果往我圆心上去想 对不对？你观察一下，那我现在假设这个点 o 是 圆心，那阿尔法这个圆周角它是谁？我来标一下 a、 b、 c、 d 啊，这个阿尔法是不是就是我们弧 b、 c、 d 所对的圆周角？ 那么此时这段弧所对的圆心角是不就是两个耳法？那这是两个耳法，那你再看，那这个贝塔是谁？这个贝塔是不就是弧 b、 a、 d 所对的圆周角，那他所对的圆心角是谁？那不就是这个角吗？那这个角是不就是二贝塔？ 那两个贝塔加两个阿尔法是三百六，那一个贝塔加一个阿尔法不就一百八？你看一下，那这个就是我们第三个判断共圆的方式，就是通过四边形的对角互补，我们就可以得到这个四边形的四个顶点，他是在同一个圆上的，那你看一下其实最后这两种情况，哎，他说了个啥？ 来，咱们稍微的小小的来对比一下，你看刚才我们讲的是线段同侧对等角， 对吧？这个阿尔法，这个阿尔法，那我们就能判断出来 a、 b、 c、 d 它们四点共圆，这是线段同侧的角度关系。 那对于刚才咱们说这个四边形内接四边形了，你看一下现在，我假如现在告诉你这个内接四边形，那这是阿尔法，这是贝塔，那它其实是不是相当于啥？来兄弟们看一下，它是不是相当于是 a、 c 这条线段， 哎，异侧描述的两个角度之间的关系，对吧？一个是同侧对等角，那异侧呢？异侧就利用互补去玩共圆，所以这块我们一定要学完方法之后，去善于去对比，去总结，去搞出来他们之间的相同点和不同点。最后这两个方法是不是都利用角度去玩呢？那区别是啥 区别？一个在同侧，一个在一层。那来看一下我们这块的题目，好吧，来吧，一块看。他现在告诉我们说这有个正方形，那有正方形你就要意识到这块会出现啥， 那告诉正方形不就相当于告诉我们这有一堆的等值吗？那这是我们再去玩特殊四边形，就是正方形，这块我们需要有的一个意识，一个正方形你就可以看作它是 四个大等值以及四个小等值。那接着再看，他现在告诉我们说，哎，这个角是九十度，并且呢告诉我们这个角是三十度，之后你有啥想法？那这个时候，哎，有角度信息了，咱是不是就可以去标一下，看一下我们图中还有哪些角知道？那这三十，这六十 四十五、四十五，哎，那这是不就是咱们得到的角度信息？那接着再看，他现在告诉我们说 o e 这条边的长度是二加二倍根三，现在让我们去求 c d 这条边的长度， 那你现在来想一下题目，让咱求这条红色线段的长度，那如果我们发现它不好求的话，那还可以去求谁？哎，这个意识一定要有啊，就是在我们正方形内，我们知道它其实边之间的比例关系都是已知的， 那就说我看现在求 cd， 那 其实我去求 o d 行不行？是不是可以？那求 o c 行不行？是不是也可以？那你去求这里的任意一个线段，那 cd 是 不是都能搞出来？ 我们知道这里是不是会存在一比一比根号二的比例关系？那也就是说其实我们现在来看这个正方形，它不就相当于告诉我们这有个等值，并且呢已知信息咱是不是都集中出现在这块？那你想一下，那现在 a b 这两个点有用没了，是不就没用了？ 那所以这个时候咱是不是就可以把整个题目图形给它简化成我们现在这个样子，对吧？所以我们之后一定要在做题的时候有这种判断能力，题目它虽然可能告诉你一堆信息，但是咱们这个时候要去筛选哪些是有用的，哪些它是给你造成干扰的，那现在再看， 那我们现在要去求 dc 的 话，那也就相当于我们要去搞这个等值中的任何一条边就可以了，那刚才咱们该标的角，哎，比如说这是四十五度，这是四十五度， 那咱都标完了，那标完了之后，你看一下这些角度，感觉好像跟我们二加二倍根三这条已知边都牵扯不上关系吗？并且这条已知边跟你现在的这几条黄色边感觉好像也没啥联系。那这个时候就要去想，那我现在，比如说我举个例子啊，比如说我现在想要去求 o c 这条边， 那你觉得他应该放进哪个三角形里面去看？那我是不是肯定要去把这条边放进一个已知更多的三角形？ 那就是说那现在咱是不得铆定这个三角形去看，那在这个三角形当中的话，那这个角已知，这条边已知，那我想要去在这个三角形里面去求 o c， 我 至少还得需要一个边或者是一个角的信息。那你观察一下，那现在无论是这个蓝色三角形，还是说我现在想要去求 o d， 那 我求 o d 是 不是还得给他放进这个红色的三角形当中？那在这个红色三角形当中还是一条已知边，一个已知角， 那求它还是缺信息，那这个时候咱去想，那谁可以帮助我们去获得更多的已知，是不是就可以去玩圆了？为啥？ 因为我们知道这儿是不是就是直角，那这儿也是直角，那你看线段 d、 c， 它的异侧两个角互补，也就说此时四边形 o d、 e、 c， 它的对角互补，那其实我们这里是不是就可以判断出来这四个点是共圆的？ 看一下，第一步，通过四边形 o、 c、 e、 d 对 角互补，我们判断出他们这个 o、 c、 e、 d 四点共圆。前面的这个分析过程其实就是为了让大家去理解为什么我们这块要通过画圆的方式去处理，而不是说有些同学他可能一看到说你这块画圆的，凭啥画圆？他搞不清楚这个逻辑。 画圆，画完圆之后，那接下来处理我相信大家都会，为什么要去画这个圆？这才是困扰咱们同学的地方。 ok， 那 你现在来看一下，那我现在这个圆有了，咱把刚才的角度再给他标一下，好吧？那标完之后我们说了， 当你得到一个圆之后，那接下来你要一定去关注什么东西？是不是一定要去关注角度信息，看一下这里面角我们能够怎么转化？那你看一下这块我们能够得到啥？来，你们关注一下这块我们能得到啥？那首先这个点 c、 a 这块是不是有一个四十五度的圆周角， 那他能往哪转化？那他巴拉巴拉他是不是就可以跑到上面？那这个角是不是就是四十五度？那同时呢？这个三十度他可以往哪跑？ 那这个角 c， 哎，他还是一个圆周角，那跑跑跑，他是不是可以跑到这？这个三十度是不是就是 d、 e 这条弧所对的圆周角？那他是不是就跑到这了？那你现在观察一下，我们，比如说现在要去求这个圈叉勾，你觉得咱现在求的是谁？那是不是铁定去求圈吗？为啥去求圈？ 想一下兄弟们为啥去求圈？你看一下现在圈这条边，他是不是就能被我们放进这个红色的三角形当中了？在这个三角形当中 三个角我们都知道，并且边也知道，那你想那现在 o d 这条边能不能算？是不是铁定就能算了， 对不对？所以第三步咱们求 o d， 要给他往三角形里面去放什么三角形？已知更多的三角形就是 o d、 e， 那 么在这个三角形当中，比如说，哎，你现在看到了他，你有啥想法？兄弟们，咱们现在，哎费劲巴拉的画完圆倒完角之后，得到了这个三十度和四十五度之后，你有啥想法？ 那三十度和四十五度是啥？特殊角吗？那处理方式是不就去给他做垂放进直角三角形当中， 那做完垂之后，你看一下，那右边是一个等值，那左边是个啥？左边是一个我们非常喜欢的三六九，那你想一下，那但是现在又有同学有疑问了，那我现在做完垂得到这两个特殊三角形之后， 我还是没有边能够求出来，那怎么办？同学们想一个问题，咱们看到特殊角去给他做垂放进直角三角形的目的是啥？是不是因为特殊角，他一旦放进了直角三角形，他就能够提供给我们特殊的边长比， 他是不是就能够提供给我们比例关系？那我们说了，那对于比例关系我们要想用的话怎么办？是不就一个字给他设出来？那我现在，哎，这些边我不知道，但是他们的比例关系我有，那我就可以去设，我现在设 em， 这条边是 x， 那 dm 是 不是也是 x？ 那 d o 嘞？二 x， 那 这条边根号三 x， 那 你看一下，那现在我们是不是就通过比例的形式设完之后把它们全都表示出来了， 那表示完了以后呢？那就找等量列方程嘛。你们告诉我现在我们以哪条边作为等量去列方程？来观察一下我们现在在这个三角形中，我们以谁为等量去列方程，是不就是 o e 嘛？那 o e 是 唯一一条已知边，咱肯定要去跟它扯上关系嘛，对不对？所以你看这块 x 加根号三， x 等于二倍，根三加二，所以 x 是 不是就等于二？那 x 等于二，环的二， x 等于几，他是不是就是四？那现在 o d 是 四，那 o c 作为这个等值的斜边是多少？是不是就是四倍的根号二？ 问题是不是就结束了，对不对？你看一下，那这道题一共几层？结构是不是就这四层？首先第一步我们当看到在原有的途中信息不够，并且呢我们也没有办法去挖掘出更多已知的时候，那这个时候就想我们能够怎么转化？ 通过这个四边形对角互补，我们判断出来共圆之后，那这块通过倒角，咱们得到在这个三角形当中三十度、 四十五度以及一条已知边。那在这个三角形里面咱是不是就可以去求 o d 了嘛？那求的方式是啥？是不是遇着特殊角就去给它做垂线？做垂的目的是为了获得我们的边长比，对吧？那有比例设完之后，问题结束，那么看一下， 那其实刚才我们那个过程就是通过几道例题，对吧？一个方法，一道例题，让大家去熟悉我们这块儿判断共圆的方式。

hello， 同学们好，这节课呢，我们就进入函数法求几何最值以及线段比例求最值的小专题了，特别是函数法求最值啊， 因为有的题我们要通过几何的方法去求，往往涉及辅助线，这个辅助线很多时候考试中非常难想到， 但是我转换一个方向，通过函数或者你认为是代数的方法去求最值啊，无非是计算量大一点， 但是他在思考的过程呢，是比几何方法呢要短，但是计算量肯定要大一点好，那模块二呢？线段比例求最值也是一个小难点了啊，那我们先看模块一， 模块一函数法就结合最值啊。那我们直接看例题，如图，已知正方形 a b， c， d， 它的边长呢？是六点， p 是 一个动点 在 b c 上，三角形 p a q p a q， 它是等腰直角三角形， 当然本身原本这里有正方形，我们连接 a c， 这会儿就会有相似的旋转，对吧啊？你如果连接 a c， 你连接这里 c q， 这里 a b q 和 a c q 有 一对相似，这你要知道啊，用不用不一定啊，你心里要明白点， e 呢是 p d 的 中点点， e 是 p d 的 中点，那么求 e q 的 最小值。 如果我们单纯通过几何的方法去进行求解啊，当然可以，还是刚才所说你要涉及的辅助线，你要能想得明白是吧？ 对于这种比较规整的图形，对吧？横平竖直，四四方方，图形往往呢咱们可以通过代数或者是函数 啊，那么也就说间隙的方法好，间隙的方法。首先我们观察一下间隙能不能解是吧？我们要求的是 e q 的 最小值，当然想把 e 点的坐标表示出来， q 点的坐标表示出来， 然后用两点间距离公式去进行求解，进行配方，对吧？而且特别要注意，这里代表出来的坐标按道理只有一个未知数或者是参数。 好，我们思考一下啊，这个坐标好不好表示呢？如果要间隙，我们以 bc 为 x 轴， b， a 为 y 轴间隙就可以了，是吧？以 b 呢？这里为坐标原点啊。坐标原点，我们首先看 e 点坐标好不好表示呢？它呢，是 p d 的 中点，那么 p 点坐标，我先把它看成 a 到零吧， 是吧？那 e 点的坐标啊，这 d 点坐标可以表示出来啊？六得六，那么 e 点坐标为二分之 a 加上六逗三，好表示出来。 e 点坐标有一个参数是 a， 那么 q 点坐标是否也有个参数是 a 呢啊？多了可能就不太好用了，但如果只有一个参数是 a， 那 么这道题基本就结束。好，我们想表示出 q 点的坐标，它在平面直角坐标系中，你心里要明白，它有个隐形的什么呢？ 往外轴做垂直是吧？往 x 轴做垂直啊，这样来表示它坐标，当你心里有这个东西以后，再结合我们以前在讲 坐标系的时候啊，坐标系中如果有直角，我们一定要去看什么呢？看一线三垂直，是吧？有个直角扎在这里啊，一定要去看一线三垂直， 在配合这里有直角，我们这里是不是一线三垂直就已经出现了，而且这是一个一线三垂直的全等，哪怕他是相似也没有关系， 懂吧？你看全等就简单一点啊，这段是小 a， 那 么这段的长度呢？应该也是小 a， 所以 q 点坐标它的 y， 这边呢，肯定是 a， x 是 多少呢？因为有一线三垂，之所以 a， b， p 和 p 这个一字母 p， m， q， 它是全等的，这里是六，那么这也是六，是吧？这小节，那么显然这里是 a 加六， 没错吧？好，那这是全等的情况下，如果相似呢，也是一样 啊。如果是相似，假设它并不是一个等腰直角三角形啊，但它会告诉你某一个比例，这里就是一个直角三角形相似，那么这个三角形就和这个三角形是相似的，你通过一个相似比例，也可以把这个点的坐标表示出来， 懂吧？所以一线三等角既有全等又有相似啊，你自己去把握。当我们把这里的点 q 坐标表示出来后，你会发现，哎， q 点呢，确实也只含有一个参数，那么我们的 e 点呢，也只含有一个参数 eq， 我 们就可以表示出来， 对吗？它就等于根号下它俩做差的平方，哎，我们用下面去减上面吧，它俩做差，平方就为二分之 a 加上六 的平方，再加上 a 减三方，那 eq 表示出来以后，接下来大家都应该会了配方，配方就好了，是吧？我们简单配一下啊，这边为四分之一， a 方 加上加上三， a 再加上九，加上 a 方减六， a 加九。好，整理一下，把这里 合起来，四分之五 a 方减三， a 加上十八，对吧？然后等于四分之五提出来， a 方减去啊，乘以它的倒数五分之十二， 好，这里呢，需要给他加上一个他一半的平方，是吧？也就是说五分之六的一个平方啊。这里你自己换成中括号，再减去一个五分之六，他的一个平方，那再加上十八。 好，我们把这里在这边简单计算一下啊，那么它就变成了四分之五 a 减五分之六，它的平方，那这里减去一个二十五分之三十六，乘以四分之五，是吧？五分之九 再加上十八，十八是五分之九十，那么他就变成四分之五。 a 减五分之六，他的平方再加上五分之八十一啊，当然这个地方我们一定要是带根号的啊，带根号，现在我知道啊，当 a 如果是五分之六的时候， 那么此时我们的 eq 它有最小值啊，这里根号根号下的五分之八十一，那么也就为五分之根号五啊，九倍的五分之根号五，那么这道题就结束了。好，我们总结一下啊， 当我们遇到了一些图形，他方方正正啊，当有的时候不方正也能用，是吧？多数呢？还是方方正正。我们可以考虑用间隙的方法去进行解答， 我们先观察如果我们间隙以后，那想要的这两个点的坐标是否好表示，哎，我们大概一想，坐标是好表示的，而且都含有一个参数，是吧？哎，这个时候通过两点间距离公式就把这里进行配方， 得到了我们想要的答案啊，九倍的五九又五分之根号五，当我们的 a 等于五分之六的时候，非常好用啊。来，我们继续往后，那我们看第三，如图，正方形 abc。

学会直线轨迹，你才只毕业一半，更狡猾的是动点长走隐藏圆弧，让你无中生有。话说圆、动点轨迹、圆弧片两种造元素，直接锁死动点路径。接下来咱们进入下半场讲动点轨迹是圆，动点轨迹是圆的判定方法呢？有两种啊，咱们先来看第一种， 第一种特别简单，叫做定点定长，啥意思呢？就是我现在告诉你，有一个动点屁， 然后呢，它到一个定点 o 的 距离，到一个定点 o 的 距离始终是一个定长度， 比如说这个长度等于二，你看这个点屁在动，但是呢， o p 的 长度始终是个二，那你说它是怎么走的？ 他是不是就在以 o 为圆心二为半径的圆上动啊？你就想嘛，这个 p 一 直在动，但到 o 的 距离始终是个二。哎，所以你会问他，就在以 o 为圆心二为半径的圆上动，这个就叫做定点定场以后，看见一个动点动点，这有一个长度是定值， 长度是定值，你就看看长度的另一头是不是定点，是定点轨迹就是圆。接下来我给大家举一个很常见的例子啊，比如说，我现在告诉你，有一个矩形的边长是六八，然后呢，我现在告诉你，取了矩形一边的中点 m， 然后呢又告诉你， n 是 另外一条边 bc 上的动点。你看啊， m 是 中点，相当于有了三三，然后呢， n 点在另一条边上动，然后现在呢，在动的过程中呢，我让你干个啥呢？我让你把这个三角形折叠过来， 得到一个 b 撇来，那你告诉我在折叠的过程中， b 撇的轨迹是什么？你会发现这给了个折叠嘛，折叠过来以后，折叠前后肯定是全等的，相等的嘛， 那你这个三是不是就跑到上面？那三跑到上面以后呢，你会发现 b 撇点，虽然跟着 n 在 动，你看 n 动一动，那么你折过来的 b 肯定也在动， 对吧？所以 n 虽然动，导致 b 在 动，但是不管咋动，它这个过程中呢，始终满足有一个 mb 撇的长度是个三， 这是不是咱们说的定长，而 m 呢，是矩形的中点，是个定点，那这是不是就出现了定长定点，所以 m 的 轨迹就是一个圆啊？ 当然他走不了完整的圆，但他至少是圆上面的一部分，可以理解成 o 就是 一棵树，然后呢，这个长度为二的线段呢，就是那个狗绳，然后呢，屁是那条狗， 你就想屁，不管咋动，他只能绕着树转圈，所以定点定长画圆。这个知道了以后呢，咱们下来练个题啊，这道题呢，给了一个梯形， 告诉六十度，告诉 b， c 还有 a、 d 的 长。各位看到梯形首先要有一个什么意识，你会发现，在这个梯形里面，两边知道一个角，知道，那其实意味着有很多其他的边也能求出来。那么怎么求呢？你要注意，一个梯形做高， t 型做个我过 a， 做个垂线，过 a 做个垂线呢，就能把 t 型变成右边一个矩形，左边一个直角三角形，那忽然就有很多能算的了，这是三，那这个也是三，六减三得到，这是三，那么这是六十度的直角三角形， 所以呢，斜边是六啊，六减二，这是四，有了。同时呢，三，这个六十度的边长比一比根三比二，这个是三，那么这个垂线等于三倍根三，我的 a c 等于三倍根三，这些就都求出来了。 所以啊，看到梯形，注意梳理条件，梯形做高高做完了以后，我就得到了图中这么一堆的已知线段。好，得到这堆已知线段以后呢，题目，让我去求这个阴影三角形面积的最小值，那你会发现求面积，那我肯定得先想着去 表示一下嘛，那面积的最值呢？一般不能直接搞出来，对吧，你得表示一下，那你换这个面积底边知道，所以想到了做高。 哎，那你会发现，这时候底边是定值，那只要高越小，面积自然就越小。所以呢，我们通过表示所求面积表示 s， 三角形 p， d， c， 发现呢，它就是一个 二分之三倍根三的 ph， 那 我要求面积的最小值，只要搞定 ph 的 最小值就可以了。 好，那要搞 p h 的 最小值，那我得有啥呀？那你发现这个高，那就是由 p 的 位置决定的嘛。所以接下来呢，是不是想到了求 p 的 轨迹，那这就太直白了，这是个二 p， 不 管咋动，始终有个定长二， 那这就是那个狗绳一点呢，显然就是那棵树，所以屁点只能怎么走呀，只能绕着这个一点转圈走，屁的轨迹就出来了。这里呢，用的是一个定点定长，我求出了屁轨迹，我们就干了这么几件事啊，通过梯形作高，梳理了已知条件， 然后呢，通过表示所求面积，发现呢，我只要求出 ph 的 最值就可以了。然后呢，再接下来 求 p h 的 最值，我得有 p 的 运动轨迹，所以呢，看到一个定点定长轨迹是圆就出来了。当你把这些信息都梳理出来以后，那这个问题呢，就变了啊，变成了一个 p 在 圆上走， 求它到直线 c d 距离最小值的问题。屁，在圆上走，求它到直线距离的最小值什么时候最小？圆上的点在走，什么时候离这条蓝线距离最小呀？是不是穿心的时候，你过圆心做个垂线就好了嘛？过圆心做完垂线， 那你会发现，当我的点 p 走到这个垂线和圆的交点的时候，对应的这节就是最小值，这是圆上点最值，一箭穿心。好，那接下来怎么求呢？ 求的时候也简单，你会发现我已经知道了，左边这一节线段就是个二了，然后接下来呢，我只要求出这个全长等于几就行了。那这里咋求呢？这个就太简单了，你做了个垂线，又有垂直，做垂直有垂直，这是平行线吧？看到啥了？ 平行线的这个六十度角就上来了吗？那下面是垂直，那上面这也垂直了吗？那你会发现这是不是直接就得到这是一个三六九呀？然后呢，同时呢，因为这是平行，平行的 这两条线也是平行的，那下面这个三直接等于上面这个三了，那你这玩意都直接求完了，所以呢，最后得到这一节最小值就是个三啊，那最后面积就是二分之九倍，根号三结束，最后一步呢，是一个圆上动点的最值，然后呢， 就是个过圆心就完事了。最后呢，我们可以发现，在这呢，你的这个圆刚好跟你刚刚梯形做的高相切了啊。 好，这是定点定长，这个呢，就相对而言，要说的事多一点来，我们来设想啊，比如说我现在给你一个动点屁， 这个动点 t 满足啥呢？动点 p 满足它是一个定角的顶点，比如说我就举四十五度的例子，然后呢，光有定角肯定不行呀，这个角两边都在动，顶点 p 在 动，两边都在动，那你得不了 p 的 轨迹，所以接下来还得有定量。什么定量呢？ 哎，这得有一个定边，比如说我告诉你， ab 的 长度是个二 a 点， b 点都是定点， 我把 p 点呢放到了这样的一个定边对定角的三角形里。哎，那这时候 p 点轨迹是个啥呢？我们这时候只要做三角形 a、 p、 b 的 外接圆，我就可以得到 p 的 轨迹了。你忽然这时候 p 点肯定在这个圆弧上， 只要它在这个圆弧上，那么就一定满足 a、 p、 b 的 度数是一个 四十五度。各位，这里原理是个啥呀？原理其实是同弧所对圆周角相等，你会发现它要满足 a、 p、 b 等于四十五度，那么根据圆周角定理， 那么 p 点就肯定得在这个圆弧上，它只要走到圆弧以外的地方，角度肯定就不等于四十五度了。比如说你 p 点走到外面了， p 点走到外面了，你这时候一连你会发现，这个角铁定不等于四十五度啊，铁定不等于四十五度。 所以这个的原理就是圆周角定里以后，你只要看到一个洞点，他是定角的顶点， 而且这个定角对着一条定边，定角对定边，你就想着去做外接圆就行了，定角对定边， 你就作外接源，轨迹就出来了。这个理解了以后呢，接下来有几个小细节啊，我们再来强调一下第一个小细节啊，屁点的轨迹是整个来源吗？听明白我的话题啊，屁点的轨迹是不是整个来源？是或者不是？答案是否定啊？答案是否定的， 你会发现， p 点呢，其实只能在 u 弧 a p b 上动，这时候做完外结缘以后呢，我得到 p 的 轨迹是 u 弧 a p b， 它走不到下面去。为啥呢？因为当 p 点走到下面的时候，你会发现这时候这个角就等于一百三十五度了， 不满足 apb 是 四十五度的条件了。所以呢，注意，定边定角在绝大多数时候，动点只能走一段圆弧，但是这个定角等于多少度的时候能走完整的圆？定角等于多少度的时候，动点能走完整圆？如果这个定角是个九十度， 比如说直角的定边定角，那么你会发现这时候屁点走的那就是完整的圆。为啥呢？因为他哪怕走到下面圆周角依然满足九十度，对吧？只有九十度的时候，轨迹是整圆， 其他的时候都只是一段缘啊，只是一段缘，严格说还要处两个端点。那么知道了这个诡计的基本原理以后呢？那接下来呢，我想再强调一件事啊，就是你会发现，我们求诡计 通常的目的是不是都是为了求最值？而你这里定边定角求出来的轨迹是个圆，那你的 p 点就是圆上的动点，那圆上的动点在求最值的时候，需要知道圆的什么量，圆上动点求最值， 你要求它到一个点的最值。你得知道啥呀？你得知道原先你得知道半径等于多少吧？你一箭穿心得知道半径是多少呀？所以呢， 大家注意啊，在定边定角问题里面，当你做完圆以后，一定要注意顺手求一下半径啊，顺手求一下半径，因为圆心的话到罢掉，圆心的话，因为你画的圆是个示意图啊，所以呢，你圆心， 你直接标一个点，你就是说设 o 为圆心就 ok 了，因为这只是个矢域图。但是接下来半径的话，你要想一下怎么求，我们要注意到啊，在这个定边定角问题里面，我相当于是有一个定的圆周角的，那现在我想要求半径求半径， 那你想到一个啥呀？圆周角和半径有什么关系？你会发现圆周角是不是一定等于 圆心角的一半？圆周角有了，是不是圆心角就有了？圆心角有了以后呢，圆心角的两边肯定是半径哎，于是你会发现就得到一个顶角已知的等腰三角形，哎，那你会发现是不是半径就搞出来了？ 半径在这个等值里面是不是直接能算出来就是根号二，所以这里注意啥呢？在定边定角问题中，一定要养成一个顺手求半径的习惯，因为这个半径对于求最值很重要，而怎么去求这个半径呢？ 你会发现，只要把圆周角转成圆心角，我就一定能得到一个有已知角的三角形，帮我去计算啊，所以核心思路就是 圆周角转圆心角，这个理解了，咱们来做两个练习啊，比如说这次我告诉你定角是三十度，然后呢，定边是个二，你帮我求一下定边定角的半径， 半径等于多少？来，咱们拿这个例子复盘一下啊，现在呢，你要求动点屁的轨迹，你发现动点屁呢，是一个定角的顶点，定角对了一个定边二，所以定边对定角，我就可以做这个三角形的外接圆， 而做了外接圆以后呢，哎，圆心我自己去设定一下，然后接下来呢，我要注意顺手求半径。怎么求半径呢？圆周角转圆心角吗？圆周角是三十度转过来，圆心角是不就是六十度 哎，六十度的两边圆形角两边都是半径吗？所以呢，你会发现得到一个什么三角形，等边三角形半径等于二就求出来了，所以看到定边对定角，你就做三角形的外接圆，轨迹就是圆弧。做完外接圆以后，一定注意顺手求半径。 怎么求呢？哎，你只要圆周角转圆心角，一定能得到一个已知角度的等腰三角形，我就可以用这个去求了。那当然了，有的小伙伴说，你这举的都是三十度，四十五度，感觉都很好算啊。那你注意了，绝大多数情况下， 定边定角给你的角都是一些特殊角啊，三十度，四十五度，六十度，九十度一百二，一百五，一百三十五啊，给的都是这样的角啊，他不会让你这个定边定角的半径很难求的啊，最多最多就是给你个三角函数，但是哪怕是三角函数，那么你也可以通过做垂镜， 通过做垂径，然后呢来计算出半径的长，所以核心就是圆周角转圆心角，那么这是锐角的例子啊，我们再看一个钝角的例子，钝角的例子稍微有一点不一样，大家想一下，首先呢，这还是个动点，然后呢， 动点依然是定角的顶点，那定角呢？同样对了一个定边，所以你看到定边对定角 p 点的轨迹就有了，做三角形的外接圆啊，做三角形的外接圆， p 点的轨迹就有了，而且这时候呢，注意啊，他一定是上面的这一小段圆弧， 这个跟前面是一样的，定边对定角做外接圆，轨迹是圆弧。接下来依然要顺手求啥呢？顺手求半径，顺手求半径。哎，那我就点个圆心啊，我假设圆心是 o， 然后顺手求半径的话， 我把半径连起来，按照前面的思路啊，各位，按照前面的思路，咱们要怎么求呢？咱是不是说圆周角要转圆心角，但是这次你会发现，这个圆周角一百二，这个圆周角一百二的话，转圆心角，转圆心角就变成了这个大优弧所对的圆心角。 这种圆心角呢，咱们初中阶段不怎么描述啊，你要硬说的话，也能得一百二圆周角，得到这个角就是二百四。 你看，大幽弧对着的圆周角是圆心角的一半圆周角一百二圆心角就是二百四，其实也符合圆周角定律。但是呢，这个写过程的时候不好写啊，写过程的时候你，你怎么去描述这有个二百四十度的角，说不清楚。 而且呢，好多学校老师也不让小伙们去用这种大于一百八的角，因为初中阶段几乎用不上，高中用的比较多。 那这时候咋办呢？哎，也很简单，你看到这种钝角的圆周角，你就去找一个内接四边形的对角就好了，这个是一百二十度，那他的对角肯定是六十度啊，这图比较不准啊，不要在意，对角互补肯定能得到，这是六十度， 那这个是个锐角的圆周角，那它对应的圆心角，你就肯定会得了六十度对应的圆心角乘个二就是一百二十度，所以这里就注意一个细节，如果定边定角的定角是钝角， 这个定角是钝角，它大于九十度了，那么你可以先找补角，再得圆心角啊，先找补角， 内接四边形对角啊，先找内接四边形的对角，然后呢，再去转圆形角，这样写过程就能说清楚了，不然的话，那个角不好描述啊。当你得到这个以后，那就简单了，你会发现我的半径其实就进入了一个一百二十度的等腰三角形，那这个等腰三角形怎么处理呢？ 那有的小伙伴呢，可能记住了一百二十度等腰的比例，一百二十度的等腰三角形，它的边长比呢，一定是一比一比根三，所以呢，可以二除根三，直接得到半径，那你要是没记住，那咋办呢？也简单，你就老老实实做三线合一。做完以后呢，你会发现这两个角是 三十度啊，这两个角是三十度，斜边是 r， 所以呢，你就得到了，这是二分之 r， 然后呢，这是二分之根三 r， 二分之根三， r 等于二的一半吗？等于一，所以 r 等于三分之二倍根三，你就解出来了。总之，你做三线合一肯定也能求，来吧，朋友们一起看矩形边长已知标对边给了一个动点满足，他是定角的顶点， 现在让你求 d e 的 最小值，你要求 d e 的 最小值，那你第一步是不是先得去求出 e 的 轨迹，求 e 的 轨迹，你看到啥了？这是个定角四十五度，定角对了个定边，定边对定角，所以呢，这里 定边定角直接做啥了？做外接圆了，所以呢，我们直接做 a、 b、 e 的 外接圆，那么 e 点的轨迹呢？就是这个幽弧啊，但是注意啊，其实在具体的题目中， 我们会发现，经常这个动点连一个完整的幽弧都做不了，为啥呢？因为题目同时限定了 e 是 矩形内的 e 点，所以最后这个 e 点真正的轨迹只有哪一截呀？ 他只有被矩形截出来的这一小段弧啊，只有这一小段弧是 e 的 轨迹，外面呢，都走不到啊，这个小细节注意一下，那找到他的轨迹以后呢？来，各位，咱们刚刚说定边定角养成一个习惯，顺手求什么？是不是要顺手 求半径？怎么求？圆周角直接转圆心角吗？圆心角就是二乘四十五，是个九十度， 那相当于得到一个等腰直角，斜边是二，那么它的直角边是不是等于根号二就直接出了？哎，这就是咱们刚刚举的那个例子，是吧？所以半径等于根号二就有了。 当你把定边定角的圆画出来，半径也求出来，那么求轨迹的这一套事呢，就完美结束了。那接下来我要求这个绿线的最小值，这是个什么问题？那这是不是就是一个圆上的动点叶到一个定点的距离最小值？ 圆上动点 e 到定点的最小值怎么求？直接一箭穿心过圆心吗？过圆心以后呢，你会发现，当 e 点走到这个地方的时候，哎，得到的这一节就是它对应的最小值， 这是一个圆上动点的最值。我们处理的思路就是让这条线过圆心，好过圆心完了以后呢，接下来注意你要去算这个第一撇的长度，怎么求呢？因为我们已经知道了圆的半径是根号二了， 那你已知了下面这节，你要求上面这节黄线，你只要求谁的长度就行了。你问我是不是只要求出 o d 这条线的全长就可以了， 因为根二有了，求另一节，我就求个全长，而各位这个 o d 全长怎么算呢？那么我要求一条线段，你就还是考虑放吗？那你发现他跟旁边的四 还有这个根号二正好在同一个三角形里，而这个三角形里还知道啥呀？除了两边已知，你会发现还知道，因为这是等值嘛，所以这还有个四十五度。 这个三角形里两边已知还有一个角是四十五度，那你说怎么算？四十五度怎么用特殊角做垂线呗。所以呢，你搁这一做垂线，这是根二，那这就是一，那这也是一四减一，那这节就是三 一三勾股定律。所以呢，我就得到了这个全长是一个根号式，那咱们要求的最小值这一小节是不是全长根十减根二问题就结束了。所以过圆心完了以后，你会发现你的 d e 的 最小值就是 d e 撇， 怎么算的呢？其实是用全长 d o 减去了一个圆的半径啊，就等于根十 减根二结束好了，这个题就完了啊，这是一个很基本的定边定角求最值的题目啊。定边定角做外接圆，顺手把半径求出来，圆周角转圆心角，求出半径根号二， 然后接下来处理一个圆上动点到定点的最值就是先过圆心，然后接下来想办法去计算对应的长度。 而且你会在这种题里面计算的时候，原上动点的最值。在计算的时候啊，通常都是半径知道了，我要求另一节线段，你就把全长求出来， 你看半径知道了，我要求第一，我就把全长 d o 求出来，就结束了。咱们总结一下啊，今天的总结我们还是分成主线和细节啊。今天的主线是什么？动点轨迹的确定方法吗？ 动点轨迹分几大类？一类是走直线的，一类是走圆的。走直线的有哪些方法呢？ 回想一下啊，走直线的，定线定距离，定线定夹角啊，注意啊，最后不是只记住个名字啊， 你要去说到对应名字的时候，回想起他那幅对应的图啊。定线定距离，你要想到啥呢？这有个定直线哎，我知道这个距离是个定直， 所以动点走的是平行线。定线定夹角呢？这有一条定线哎，我告诉你，动点始终满足这个角是个定角， 定线定夹角，轨迹走的是射线，你要想看到名字，想的是图啊，不是记这个话啊。 然后再接下来呢，是不是咱们还可以间隙间隙去推坐标来得轨迹，间隙表示坐标啊，你就可以得到对应的轨迹，然后下来呢？轨迹是圆方法有什么？轨迹是圆的话，我们是不是有定点 定长，带你复习一下啊，比如说这有一个洞点，这就是那个狗，然后这有个定长，这就是狗链，然后呢，这有一个定点定点就是那棵树，对吧？ 狗被这个狗链拴着，他只能干啥呢？只能绕着竖转吗？对吧？只能绕着竖转，这就是定点定长啊，这就是定点定长，绕着竖转。然后呢，除此之外呢，还有一个是定边定角，定边定角啊，定角定角就是当你看到一个动点， 他是一个定角的顶点，那你就要找什么定角对定边， 只要找到定角对钉边的三角形，我就可以去做三角形的外接圆得到轨迹了。 来，这是这节课的核心啊，就是讲了这五种方法，这是主线啊，接下来呢，我们这节课还涉及到很多细节，什么叫细节呢？所谓细节就是除了求轨迹以外， 我们还要去解决题目还用到的那些方法啊，没有这些方法你也解不了题，各位有哪些细节？我给大家举个例子啊，什么叫细节呢？比方说咱们今天说到了看到等腰直角的时候， 看到等腰直角，然后呢，直角又戳在直线上，你要想到构造什么？构造三垂直，等腰直角戳在直线上，你要想到构造三垂直，这种就叫做细节。 今天虽然主要学的是动点轨迹，但是呢，你要是在那些题里不知道够三垂直，你也做不了。然后呢，类似的还有啥？朋友们，我再来举例子啊，比如说你看到全等了，全等，你就要注意去 同步信息，怎么同步呢？其实就是标和设，亲人们同步信息就是标和设，哎，你比如说我现在告诉你这个是二了，那你就要知道标这个是二， 然后呢，接下来这两个相等不知道是几，那么你要想到可以设 a， 那 么这两条线段的等量关系就表示出来了， 所以全等注意同步标设，然后再来呢，一箭穿心。其实在绝大多数原有关的最值里面啊，他的最值都是在过圆心的时候取的，就是大家说的一箭穿心啊。 然后呢再来，咱们前面是不是看到过梯形？梯形做什么？梯形做高，今天还用到了好几次垂线段最短，那么都提到垂线段了， 然后呢，垂线段计算注意个啥呀？等面积法是吧？顺便求半径，算主线了吧，定边定角的基本功我补到主线里吧。定边定角这块注意啊，顺手求半径好，不过那你说顺手求半径这个的话，我觉得倒是另外一个点想强调一下啊， 就是你怎么求的半径啊，怎么求的半径，这是一个细节啊，就是你只要有了圆的圆周角，只要有了圆的圆周角，你就要注意干啥？有了圆周角你就要注意去转化。咱们在求半径的过程中经常是转什么呀？圆周角转成 圆心角啊，但是这不绝对啊，只是咱们定边定角里面经常要转圆心角而已。

同学们大家好，今天我们讲一下 r 式圆，如果说动点 p 在 圆上运动， 求 a p 加上 k 倍的 p b 它的最小值， 那我们可以考虑 r 式圆这个模型关键思路呢在于将 k、 b 的 p、 b 进行转化， 那相关的这个理解思路呢？我觉得大家可以去找一找知识点讲解。我们今天通过一道例题来讲解二十元，例如在三角形 a、 b、 c 中，角 a、 c、 b 等于九十度， bc 呢等于八， ac 呢等于六，其中呢，以点 c 为圆心，四为半径的这么一个圆上 有一个动点 d 啊，这时候呢，要求 a、 d 加二分之一的 b， d 的 最小值，那根据我们刚才说的，是不是这个二分之一的 b、 d 需要转化，我们要考虑 构造这么一个三角形相似，然后呢，它跟 b、 d 的 这么一个三角形其实跟圆心是有关系的，也就是构造三角形 与三角形 b、 c、 d 相似， 并且相似比是一比二。其实这里面这个数据啊是确定的，如果说图已经给了线段，给了，那这个比例或者说这个系数 k 是 不能动的， 它用的是子母型相似，这里面 c、 d 和这个 c、 b 它就是一比二的关系，所以我们反过来应该勾在 bc 边找一个点，使得它到 c 点的距离和 cd 的 比也是一比二。 那因为 bc 等于八， cd 等于四，所以我们在 c 这个地方找一个点，比如说这边是点 e， 使得 c， e 等于二，我们连接 e、 d， 我 们来考虑一下，这时候 ec 比上 cd 是 不是等于 cd 比上 bc， 当然了，等于一比二，并且角 ecd 是 不是等于角 dcb 是不是可以得到三角形 c、 e、 d 相似于三角形 c、 d、 b， 并且相似比就是一比二，那么 e、 d 比上 d， b 是 不是就是一比二？那我们要求的 a、 d 加二分之一 b， d 的 最小值其实就变成求 a， d 加 d、 e， 那 如果说要求 a、 d 加 d， e 的 最小值是不是三点共线，我们直接连接 a、 e 就 可以，那这时候 a、 e 等于几？ a、 e， 我 们根据勾股定律，是不是根号下二的方，加六的方是不是等于二根号十？好， 我们可以总结一下。这里面我们初中阶段遇到几乎所有的带系数的线段，就是加开背的 p、 b， 一 般都是需要转化的，我们需要构造三角形，好构造线段出来，使得它正好等于开背的 b b p、 b。 那包括我们后面遇到的啊，比如说胡不归问题也是这样子的，那我们今天就讲到这里。

听说你数学很厉害，来试一试这道中考引元最直梯，求 b p 的 最小值！题目中提到， b、 f 等于 c e a b c、 d 又是一个正方形，所以 b、 c 等于 c b 角 a， b、 c 等于角 d， c、 e 等于九十度。根据 s、 a、 f， 我 们不难证出这两个三角形全等全等。三角形的对应角相等，所以角一等于角二。 又因为角二加角三等于九十度，所以角一加角三也等于九十度， 也就是角 c、 p、 d 等于九十度。由于正方形的边长始终为八，无论点 e、 点 f 如何运动，角 c、 p、 d 永远等于九十度。那么我们知道 九十度的圆周角所对的弦是直径。此时不难看出，点 p 在 以 c、 d 为直径的圆上运动，它的圆心就是 c、 d 的 中点 o。 当我们画出来这个引圆之后，再去求 b p 的 最小值，就非常简单了，大家只需要记住四个字， 一箭穿心。我们只需要连接 b o。 当前仅当 b p、 o 三点共线的时候， b p 取得最小值，此时它等于 b o 减 o p。 题目就分析到这了，计算就交给屏幕前的各位学霸了， 搞定收工搜 easy！ 你 学会了吗？评论区留下你的答案吧！

纵有低费扣腿也要变得 easy！ 欢迎来到 e z 老师的课堂，我们来看第三问，如图二，在二的条件下，也就是点 q 的 坐标是二分之三，负四分之三时 过点 q 的 直线与抛物线交于点 d， 且角 c q 等于二倍的角 o c q 用蓝色点儿表示， 而大的角用两个点儿。在 y 轴上是否存在点 e 使三角形 b d e 为等腰三角形？ 那题目中我们已知的 b d 这条线段是作为这个等腰三角形的腰呢？还是底呢？那我们就需要分情况讨论。 我们先来看第一种情况，也就是 b、 d 为幺的时候，那如果 b、 d 是 这个等幺三角形的幺，那 b 点和 d 点 谁是连接这两球幺的那个点呢？如果 b 是 连接 这两个幺的点，也就是意味着 b、 d 等于 b e， 那 我们先来画第一种情况。由于 b 是 连接两个幺的顶点，所以我们利用圆规将钢针扎在 b 点处，以 b、 d 长为半径画弧，那 在 y 轴正半轴有一个，我们记为 e 一 点。在 y 轴的负半轴，我们用圆规作图的时候，发现也有一个，我们记为 e 二点。那么第一种情况我们就画完了， 我们再来看第二种情况， d b 是 腰，也就意味着当地点是连接这两个腰的顶点时，也就是 d b 等于 d e 的 时候，我们来画一下。由于地点是连接两个幺的顶点，所以我们把圆规的钢针扎在地点处，以 b d 的 长度为半径画弧。我们发现在 y 轴现在有一个焦点是 e 三，我们在往上运动的时候，在这块还有一个 e 四点满足三角形 b d， e 为等腰三角形。我们再来看第三种情况，当 b、 d 为底的时候， b、 d 如果是底，那么 b、 e、 d、 e 就是 腰，那么 b、 e 等于 d， e 是 腰三角形， b、 e、 d 是 等腰三角形， e 一定是在 b、 d 的 垂直平分线 与 y 轴的交点处，我们再来画第三种情况，也就是 b、 d 为底时，首先我们先连接 b、 d， 我 们做 b、 d 的 垂直平分线，我们利用圆规分别在 b 点和 d 点以大于二分之一 b、 d 的 长度 为半径画弧，那么一点就在这条垂直平分线与 y 轴的交点处。那么现在我们所有的情况，一点所有的坐标我们都已经画出来了，接下来我们的工作就是求出一点的坐标，我们想求点 e 的 坐标， 我们知道这是一个等腰三角形，我们能不能通过先求出这个腰的长度，而一点在 y 轴上 是有直角三角形存在的，我们也可以构造直角三角形，就能够求出一点的纵坐标，从而求出一点的坐标。我们以第一个情况为例，那么在直角三角形 b、 o、 e、 e 中，我们知道 o、 b 的 长度是三 o、 e 一 的长度是未知的，如果我们能求出这个幺的长度 b、 e， 我 们就能够利用勾股定律求出 e、 e 的 坐标，那么我们能够求出来的是 b、 d 的 长度。 我们知道 b 点，那 d、 d 怎么求呢？我们看 d、 d 点在 q、 d 这条直线上，那 q、 d 这条直线， 我们知道 q 点，我们只需要求出 q、 d 这条直线的斜率，就能够求出这个直线的解析式。那么 q、 d 这个直线的斜率我们怎么求呢？ 我们看给出了已知条件，角 c、 q、 d 等于二倍的角 o、 c、 q， 我 们看它像极了 z 字形，但它不是我们两直线平行所勾出来的 z 字形。我们就想做一条辅助线 去构造我们想要的 z 字形，也就是过点 q 做 y 轴的平行线 h q。 如果 h q 能把 角 c、 q、 d 平分成两份儿，那太好不过了，就出现了我们想要的两直线平行内错角相等。首先，因为 o、 c、 o、 c 在 y 轴上和 h q 是 平行的，我们知道两直线平行内错角相等，也就是角 o、 c、 q 等于角 h、 q、 c， 它俩就都是蓝色点。又因为角 c、 q、 d 是 由两部分构成的，分别是角 h q c 和角 h q d， 同时它又等于二倍的角 o、 c、 q， 我 们用点来表示，这样更清晰，也就是两个蓝色的点等于一个蓝色的点，那么所以角 h、 q、 d， 它也就是点， 也就等于角 h、 q 就 都是蓝色的点了。 在做角度关系的时候，我们可以用点、弧、叉这些符号来帮我们表示这些角的数量关系，这样更醒目、清晰明了， 那么我们的目的就达到了。由于这三个角相等，我们能求出来 c、 q 的 斜率，而 c、 q 的 斜率是负数， d、 q 的 斜率是正数。而这两个角相等，也意味着它们两个的斜率是不为相反数的。 由于 c 点坐标是零三， q 点坐标是二分之三，负的四分之三，那么它就等于三。减去负的四分之三，比上零减去 二分之三，等于三加四分之三是四分之十五，比上负的二分之三等于四分之十五，乘以负的三分之二，等于负的二分之五，所以 d q 的 斜率就等于正的二分之五。接下来我们想求 d q 的 解析式，那么我们设 d q 的 解析式为二分之五， x 加 m， 我 们将已知点 q 点 二分之三，负的四分之三代入，我们就能够得到，所以 m 就 等于负的四分之十八，也就是负的二分之九。我们就求出了 d q 的 解析式为 二分之五， x 减去二分之九。由于地点既在抛物线上，又在直线上，我们就可以将 d q 这条直线 与抛物线连立， 求地点的坐标 利用求根公式二， a 分 支负 b 加减根号 b 放 减四 a c 也就减三十等于等于五，或者是二分之三，我们看有没有解需要舍掉。 由于 q d 两点都是 q d 量直线与抛物线的交点，而 q 点的横坐标是二分之三， 所以我们二分之三这个值就要舍掉，所以 d 点的坐标就是五八。我们将 x 等于五带入到 d q 这直线中，求出来 d 点纵坐标是八，因为 b 点的坐标是三零，根据两点间的距离公式，那么根号下五减三的平方加上八减零的平方等于 根号四加六十四等于根号类似半，也就是二倍的根号十七。那么接下来我们就可以求 e 点的坐标了。我们先来看第一种情况， b d 等于 b e 时，我们想来求点 e 的 坐标，就需要把 e 一、 e 二放到直角三角形 b o e 一 和 b o e 二中。我们来观察一下，我们是否需要列两个方程呢？由于 b e 一 等于 b e 二，它们长度等于 b d 的 长度，而 o b 等于 o b。 由于三角形 b o e 一 和 b o e 二都是直角三角形， 那么根据判定定理 h l， 那 么这两个三角形就全等，也就意味着一一和一二这两个点是对称的，我们只需要列一个方程就可以了。那我们求什么射什么， 我们设一点的坐标是零 a， 那 根据勾股定律，那 b e 的 平方等于 o e 的 平方加上 o b 的 平方，而 b e， 我 们求出来，它等于 b， d 等于二倍，根号十七，它的平方呢，就是六十八。 o e 的 平方是 a 的 平方， o b 的 平方等于三的平方六十八等于 a 的 平方加九， a 的 平方等于五十九， a 等于 正负根号五十九，所以 e 一 点的坐标呢，就是零 正的根号五十九，而一二点的坐标就是零负的根号五十九。我们再来看第二种情况，当 d b 等于 d、 e 时，我们看我们需要列几个方程， 我们需要把它放到一个直角三角形里，我们就需要过点 d 作 y 轴于点 m， 我 们就构造出了两个直角三角形， 那么直角三角形 d m e 四和 d m e 三， 由于直角边是公共的相等，而斜边的长度也是相等的，都等于 b d， 所以 这两个直角三角形是而全等三角形，那么我们只需要列出一个方程就可以了。我们仍然设一点是零 a， 由于地点呢是五八，所以 d e 的 长度。根据勾股定律， d， e 的 平方等于 dm 的 平方，加上 e m 的 平方，而 dm 的 平方就是 e 点的横坐标五的平方， 而 em 的 平方呢？ m 点的纵坐标跟 d 点是相同的，所以 m 点的坐标就是零八，所以 em 的 平方就等于八减 a 的 平方六十八等于二十五，加上八减 a 的 平方，那八减 a 的 平方 是等于四十三，八减 a 等于正负，根号四十三，所以 a 等于八 减加，根号四十三。我们来观察，由于一三在 m 的 下方，所以意味着一三的纵坐标比八小，那所以一三的坐标就是零八减根号四十三， 八呢是根号六十四减根号四十三，它肯定是比零大的，所以我们画的图是没有问题的。那 e 四由于它在 m 的 上方，纵坐标比八大，所以它就是零八加根号四十三。 我们再来看最后一种情况，当 b、 d 为底时，当 b、 d 为底时，我们想要求出 e 五的坐标。我们观察到 e 五在 b、 d 的 垂直平分线上，也意味着我们只要求出 b、 d 的 垂直平分线， 就能够求出 e 五的坐标，那我们先求 b、 d 的 中点。由于 b、 d 的 坐标是三零， d、 d 的 坐标是五八，所以 b、 d 中点 n， 它的坐标就是三加五除以二是四，纵坐标零加八除以二也是四。 我们一般求垂直平分线的解析式时，我们利用互相垂直的两条直线，它们斜率乘积为负一，由于 b、 d 的 斜率，我们可以求出，也就是八减零除以五减三 等于四，而 b、 d 和 e、 n 的 斜率的乘积为负一，所以 e、 n 的 斜率就是负的四分之一。已知 e、 n 上的点 n 坐标是四四，所以我们就可以设 e、 n 的 解析试试。 负四分之一 x 加上 n， 我 们代入 n 点四四，那么四就等于负四分之一乘四加 n， 所以 n 等于五，那么 e、 n 的 解析式就是负四分之一 x， n 加五，由于 e 点在 y 轴上，我们只需要令 x 等于零， 所以 e 五的坐标就是零五。那么到现在我们 e 的 五个点坐标就全部求出来了。 那么本道题做题的关键就在于我们需要做出这条辅助线，得出角和角之间的关系， 进而得出 c q 的 斜率和 d q 的 斜率互为相反数。以及 当三角形 b、 d、 e 为等腰三角形时，我们分情况讨论 b、 d 是 作为腰还是作为底，而 b、 d 两个点，哪一个点是作为这个等腰三角形连接两个腰的那个顶点？第三问需要截图的同学，三 二一请截图。那么我们本次的课就到这里啦，同学们再见！

成都金牛医整这一道填空压轴题，考察了是非常常见的几何线段的最小值和最大值问题，我们给大家讲过，系统的方法来讲是有十五种，那么这个除了常见的几何方法十五种之外，那么如果说你做不出来，那就考虑代数的方法，用函数的方法呀去处理。 那么我们在解决这类最大走出小之问题，他的难点来讲在于什么呀？就是每一次去找这个洞点的轨迹，是这一类问题里面最核心也是最难的一部分。那我们现在在初中阶段来讲，所遇到的轨迹其实就只有两种，第一种来讲啊，就是我们的线段或者是直线。 第二种来讲啊，就是我们的圆，或者是我们的圆弧，那我们在解决所有的问题来讲啊，其实你的方向就是要往这个方面去靠， 那么如何去求解他的这个轨迹是一条线或者是圆呢？那么我们可以操作的核心来讲，其实就是要去观察这个题里面来讲啊，与动点相关的，有没有 定点，有没有定长，有没有定线，有没有啊我们的定角，这是我们在解决这一类问题里面最关键的一步。 那我们来看一下这个题目的条件， a、 b 等于三，我们可以标注一下 a、 d 呢，等于六， e、 f 啊，是两个动点，那这是一个什么？非常典型的一个呀，双动点问题，那么双动点问题来讲， a、 e 的 长度会发生变化， c、 f 的 长度啊，也会发生变化， 而且这个题目中告诉我们呢，他们是有一个呀，比值关系，是有倍数关系，那像这种类型来讲啊，两个动线段，然后来讲啊有倍数关系，其实我们可以把它归结在我们讲的几何最值十五兆这里面的呀，可以算作加权逆等线这种类型。 因为像比如说达州的中考题，还有包括自贡的中考题，其实都是考过这种类似的，而且这种比例问题，一般情况下来讲啊，都是跟我们的相似三角形和我们的圆有关系。所以大家以后遇见这种类型的时候来讲，你就可以考虑去构造我们的相似三角形， 或者是然后去看一下有没有我们讲的隐形元问题。那我们来看一下 a e 和 c f 这两条线段，它的比值关系是一比二，我们假设呢设这个 y x， 那 下面这个就应该是二 x。 那 么这个时候如何去以 a e 或者是 c f 为边去构造一组相似量形？那我们呢首先想到的就是利用啊题目中现有的点，那我们看一下这个 b e 是 个定点，我们可以考虑把这个 b e 给它连接起来， 那么下面呢这个低点呢是个定点，也可以考虑把这个 fda 给它连接起来。但是你连接起来之后你会发现这个 a b e 这个三角形，你看一点它会往下走，对吧？会动，那么 a b e 这个三角形，除了这个直角啊不会动之外，其余的角都会发生变化， 而且这个 a e b e 这些长呢都会发生变化，只有这个三呢不会发生变化。所以说你就即使这样去把它弄出来之后，在这边呢可以给它构造一个向上形，但是呢你会发现这个相似 构造相似之后来讲啊，这个比例关系，还有啊倒角，然后是没有方便的，然后啊利于我们去解决这个问题的，那我们来看一下如何来解决呢？那么重新来构造就可以了，你看 a、 e 和 c、 f 观察它们的什么，除了数量关系，你要观察它什么位置关系？ a、 e 和我们的 c、 f 是 一个平行关系，那么平行关系来讲，我们说到平行是不是非常容易出现我们的什么，就是我们的 a 字模型和八字模型的是不是相似，这是我们在讲啊，相似三角形是不是又有失误？招 相似这样行十五招。然后讲的呀，第一招和第二招里面最重要的考察频率最高的就是我们的平行出相似 a 字模型和八字模型，那我们来看一下这两个平行能不能出现呢？这个时候你注意观察一下这个 c 点是一个定点， a 点呢也是一个定点，那么此时来讲呢， a、 c 是 对角线，那既然是对角线的话来讲，是不是我们可以把这个对角线可以给他连接起来，这样的话来讲啊，这个对角线是一个定长，而且呢刚好啊就把我们的呀这两条线呢放在这个三角形里面去了。我们注意观察一下这两个三角形上面这个三角形我们记为这个点吗？我们假设记为 o 点， 那上面这个三角形就是 o、 a， 一下面这个三角形就应该是 o、 f、 c， 这是一个非常典型的一个呀八形相似，这个就很简单了，那么这个是一份，这个是两份，那么 a、 o 比上我们的 oc， 我 们就写一下 a、 o 比上我们的 oc， 构造相似啊，这就叫构造相似，构造相似之后呢，你要利用相似的性质，对吧？那么我们就可以利用了，这个比例关系，那就等于 a 一 比上我们的 c、 f 等于多少啊？一比二， 那我们总共知道这个对角线是一个定长，因为这个边长等于三，这个边长等于六，那这个边上来讲，一比二倍根号五，那应该是三倍根号五可算一下。所以说这个 a o 长怎么样？是一个定长，这个也 ac， 这条线也是一条定线，说明这个 o 点怎么样？它是一个什么？是一个定点， o 为定点，这个非常重要，一定要有意识的去判断一下这个点。那有些人可能会说了，老师我，我这个构造出来，但是我没有发现它是个定点，那就说明什么呀？你在解决动点轨迹这类问题啊？就是你的核心的这个方法和思维来讲，还没有完全形成，就是一定要去观察定点、定长、定线、定角， 这是我们接解决动点轨迹里面最核心的。那么 o 点既然是定点的话，那现在我去是不是要研究一下， 那这个是 b 点呢？我们要研究的是 b 点在哪里运动，对不对？因为呀，核心来讲就是找这个 b 一 撇嘛，那么 b 一 撇在哪里运动呢？是不是要看一下把这个 b o b 一 撇，是不是我们给它连接起来？好了？接下来之后呢，我们可以把这个 o b 一 撇，可以给它连接起来， 那同样的道理来讲，那我们可以把这个 o b 也可以给他连接起来，为什么呢？因为呢？这个来讲，他们是一个对称的关系，那既然是对称的关系，那 o b 和我们的 o b 一 撇怎么样？应该是相等关系， o b 一 撇就应该等于我们的 o b o b 这个长度，你看一下 b 点呢，也是一个定点，那么此时来讲呢，我们就能判断出来，那 o b 一定是一个什么，一定是一个定长。 那么我们现在接下来只需要把这个 o b 这个长度啊给它算出来，那这样的话呢，我就能确定呢，我们的这个 b 一 撇在哪里运动呢？那就应该是以 o 点为圆心， 这个 o b 一 撇这个长度为半径的这样一个什么圆上运动。所以说此时我们的目标就是要求 o b 撇 o b 的 长度， o b 的 长度来讲啊，那这个求长度就非常好求了，这个时候我们可以过 o o 点呢，向这边直接给它做一个垂线，做一个平行就可以了嘛。那我们假设这个是一个 m， 我们此时观察一下这个 a o 比上 oc 是 一比二，那么上面呢，这个时候做了个平行线之后，就是一个标准的一个 a 字模型，那就是二比上三，所以说此时来讲，那这个 c m c m 比上我们的 c b 就 应该是二比上三，那下面这个长度就应该等于四，因为总共长等于六，那么上面这个 b m 这个长度就六减四等于二，那么我们再根据我们的 a 字模型相似，二比上三，下面就等于三，那说明 o m 长啊，这个应该等于二， 所以说这个球长度这个来讲也很简单啊，就是一个 a 型的一个相似解出来 o m 呢等于二， 而且呢这个 b m 呢，这个长度啊，也等于二，那我们根据勾股定律说说 o b 一 撇的长度等于 o b 就 应该等于多少二倍根号二，这就是一个什么，可以确定一下 b 一 撇在圆上运动啊，这里面我就不写了， 在圆上运动。好了，接下来之后呢，你要求解了这个圆呢，我们也可以大致画一个草图，你也可以不用画，大概来讲啊，你可以描一下，大概是长这个样子的， 接下来之后呢，你要向下面呢，做一个垂线段，我们做一个垂线段做下来，我们假设呢，这个是既为 t， 我 们就让这个 b 一 撇， t 最小，那什么时候最小啊？ 当他们三点共线的时候，不就最小了吗？所以说此时来讲啊，这个时候就是最小，那我们来最小值，我们直接就写了 d 一 撇啊， d 一 最小值就应该等于我们点 o t 一 撇，再减去这个半径就可以了，那么做个垂线 o t 一 撇等于我们左边 c m 等于四， 那么四减去二倍根号二，那么当他们三点共线的时候，也就是说这个 b 一 撇走到这里的时候，那么这个 t 呢？走到这里的时候，然后啊，这是圆心三点共线的时候，那么就能取到啊，我们的最小值，那么这个也就是我们在解决这类问题常用的一个基本的一个思路， 大家然后想系统解决我们的最小值问题呢，然后建议大家，然后可以系统的学一下我们讲的几何最值十五兆这个课程。

今天我们讲解中考题练习吧。如图，在三角形 a、 b、 c 中， a、 d 等于 a、 c、 d 是 b、 c 上任意一点， a、 d 等于 a、 e。 角 b， a、 c 等于角 d、 a、 e。 第一问，若 a、 d 平分，角 a、 e、 c 求证 c、 e 平行于 a、 e， 那 么平分，所以角 a、 e、 d 等于角 c、 e、 d。 然后我们找这两个角有关的一些条件，我们可以利用这个条件， a、 d 等于 a、 e、 a、 d 和 a、 e 相等，所以底角也相等。角 a、 d、 e 等于角 a、 d， 那 我们就可以得出这两个角也相等，那它俩的话就是内错角，所以直接可以求出 c、 e 平行于 a、 d。 接下来看第二问，若角 b、 a、 c 等于九十度 b 在 b、 c 中点时，它是中点，是判断四边形的 a、 d、 c、 e 的 形状，并说明你的理由。那我们可以利用的条件， a、 b 等于 a、 c。 那 等腰三角形三角合一，我们可以直接得出 a、 d 是 垂直于 b、 c 的， 所以角 a、 d、 c 它就为九十度。那题里告诉我角 b、 a、 c 等于九十度。角 b、 a、 c 等于角 d、 a、 e 这个角也为九十度，所以这两个角相加就为一百八十度。角 d、 a、 e 加上角 a、 d、 c 等于一百八十度。 根据一百八十度，也就是同旁内角互补，两直线平行，可以得出 a、 e 平行于 c、 d。 接下来我们看角 b、 a、 c 是 九十度， d 是 bc 的 中点，所以 a、 d 相当于是三角形 b、 a、 c 的 中线 等于斜边的一半，所以我们可以得出 a、 d 和 c、 d 相等。那可以告诉我 a、 d 和 a、 e 相等，就能推出 a、 e 和 c、 d 相等。那刚才说 a、 e 平行于 c、 d， a、 e 等于 c、 d 一 组这边平行于 c、 d、 e 一 组这边平行且相等，我们就可以先去证明这个四边形是平行四边形。 我们知道有一组邻边是相等的， a、 d 和 c、 d 相等，其中角 a， d， c、 e 还等于九十度，可以直接得出它是一个正方形，用的是一组邻边相等且有一个角为直角的平行四边形，是正方形。接下来步骤大家可以看一下。

最高端的食材往往需要最朴素的烹饪方式。清凉区二诊毕田最后一道压轴题出的相当好， 因为全程他没有出现任何的超纲知识，反而用的是最普通最常见，大家都熟知的方法和技巧。那他为什么难住很多人呢？这就再一次印证了，基本功要扎实。 好。我先简单的把这个题梳理一下，说的就是这个角的正切值，知道这个边的长度，知道角平分线这个角是四十五度，这两个角的和是四十五度。大家注意啊，看我怎么处理这个信息。 我呢选择从一个角设未知数开始，比如说这个角，它就应该是四十五度减 x， 这个角是四十五度，那么根据外角，这个角的和就是四十五度加 x， 因为角平分线这个角它也是四十五度加 x， 用它减它就是它这个角是二 x， 就 目前我们把角该导的就导出来了。那么这个题核心是大家没有思路从哪里来呢？你看啊，他无非就是告诉了一些角， 然后呢告诉了一些变，在这些条件中有一个最常见的信息，四十五度。你要知道，在整个初中， 四十五度单独的作为数字条件，而非等量条件，它只有一种用法，就是做高构成等腰直角三角形。 那你想一下，四十五度角，你可以从 c 做，也可以从 a 做，选哪一个呢？我们选择的是 a， 因为 a c 这条边知道我们从 a 点做一个高之后， 你看啊，这个时候会出现一个神奇的事情，四十五度，九十度，所以这个角是四十五度，那么这个小角就变成了四十五度减 x， 就 意味着把这个角倒到了这个地方去， 而这是一个直角三角形又织到一条边，那么它的三角函数值便有了用武之地。我们来解一下这组比例， 好，这个角的正切值是五比十二，五比十二就是比十三。 斜边的长度是七分之六十五，按照比例就可以算出它，它就应该是七分之六十五，除十三去乘五约掉它，就等于七分之二十五， 那么这条边就应该是七分之六十五，除十三乘十二约掉，所以它等于七分之六十。 这是一个等腰直角三角形，这条边是七分之六十，所以这条边也是七分之六十。用这条边的七分之六十减去 tc 的 七分之三十五，它就是五， 那么一比一比根号二，所以这条边就是七分之六十倍的根号二。当你能解到这里啊，当你能解到这里， 这个题基本就能结束。为什么呢？你看哦，这个三角形的三边都知道，那我就可以求出 x 的 正切值，用二倍角就能求出它，这个三角形它立马就解出来了。 那你说，我刚才说了可以不用超纲的知识，对啊，那咱们看啊，咱们看用基础的， 我们接着呢，肯定是要解这个三角形的，但是这个三角形目前只知道一条边只有一个角，怎么办呢？要用三角函数值，他得做高，那么从哪里做呢？你无非就是从 c 点做，或者从 e 点做。注意哦， 你这个时候该从一点去做，为什么呢？因为当你从一点做一个高之后，你会得到九十度，四十五度减 x， 所以 这个角的大小就应该等于 四十五度加 x， 那 么这个角是四十五度加 x， 这个角是二 x， 所以 就可以算出这个小角的大小就是四十五度减 x 看， 又得到了一段相等的角。好，那么这一块它就是斜射影。当然你可以不用复杂的模型，咱们继续解三角形，看 c、 e、 r 这个三角形， 这个角的正切值是五比十二，那么这个就是五 n 十二 n 十三 n， 这条边的长度是五，所以这条边的长度就应该是五除十三乘五就等于十三分之二十五， 这条边的长度就是五除十三乘十二，就等于十三分之六十。那么再来看这个大的三角形，就是 b、 r、 e， 这个呢？直角三角形的正切值也是五比十二比十三好，那么它是五 m， 它是十二 m， 它就是十三 m。 这条边的长度在这，它等于十三分之六十，所以这条边的长度就应该等于十三分之六十，除以五 乘十二。好，我们约以这个就是十二，所以等于十三分之一百四十四。 我用全场减去 c、 r， 就是 bc， 所以 bc 的 大小就变成了十三分之一百四十四去减， 呃，去减这个 c、 r， c、 r 在 这也就是十三分之二十五，所以它就等于十三分之一百一十九。这 就是这个题的答案，大家看见没有？全程并没有用到任何超纲的知识，全是最基础的倒角做高三角函数算比例，仅此而已。

定弦定角的隐形圆，你会找，带系数的最值你也会算，那二者一结合，不知道你还会不会。题目告诉我们，角 c 等于六十度点 c 是 ab 上方的动点，若 ab 等于六，求 ac 加二分之一 bc 的 最大值。 读完题，我们很容易发现，角 c 是 定角六十度， ab 是 定长为六定角加定弦出隐形圆，我们可以快速画出点 c 对 应的轨迹圆。再来看所求问题是 ac 加二分之一 bc 的 最大值。 处理这类带细处的线段最直，常规思路就是把带细处的线段转化成一条细处为一的线段。那么看到二分之一，再结合提肛给出的六十度，你能不能想到，如果以 b、 c 为斜边，把六十度围进一个直角三角形当中，就会构成一个三十、六十、九十度的特殊直角三 角形，那么三角形 c、 d、 b 就是 一个直角三角形，角 c、 b、 d 就 等于三十度 dc 此时就等于二分之一 bc 顺利的把带系数的线段转化成了系数为一的线段，此时我们发现虽然式子转化成了 ac 加 dc， 系数都为一了，但是这两条线段出现了重叠， 这个时候又出问题了，那我们该怎么办？我们只有想办法把 dc 给移出去，让它不和 ac 重叠。最简单的方法就是延长 ac 置点 e， 使 dc 等于 c e， 这个时候你看 ac 加 c， e 不 就等于 ac 加二分之一 bc 了吗？ 目标达成，接下来我们看它们线段的比例关系。我们设 d， c 等于 a， 那 么 c、 e 是 不是也等于 a？ b， c 就是 二 a。 在 直角三角形 b、 c、 d 当中，我们通过三角函数或者勾股定律都能算出 b、 d 是 等于根号三 a 的 那线段 b、 d 比上 d、 e 是 不是就等于根号三？ a 比上二 a， 也就是根号三比二。 这是一个定值。也就是说，只要连接 b、 e， 在 直角三角形 b、 d、 e 当中，角 e 的 正切值就等于 b、 d 比上 d， e 等于二分之根号三。这就说明角 e 是 一个定角， 定角加上 a、 b 为定长，是不是又出现一个隐形圆？此时我们不知道角 e 等于多少度，也不用管这个隐形圆的圆心在哪里，我们只需要画个草图，大概描一下， 过 a、 b、 e 三点，做一个圆出来，假设这里就是它的圆心。画出来过后，你看 a、 e 是 这个圆上的弦，想要取得最大值，是不是就是当它成为直径的时候，也就是当点 e 在 这个圆上运动，运动到 a、 e 是 这个圆的直径时， a、 e 就 取到了它的最大值， 此时角 a、 b、 e 就是 直径所对的圆周角等于九十度。那么在直角三角形 a、 b、 e 当中，贪心角 e 是 等于 a、 b 比上 b、 e 的， 等于根号三比二。已知 a、 b 等于六， 可以算出 b、 e 等于四倍根号三。接着我们再用勾股定律算出 a、 e 等于根号下 a、 b 的 平方，加上 b、 e 的 平方等于二倍，根号二十一。所以 a、 c 加上二分之一， b、 c 的 最大值就是二倍，根号二十一。

这是成都西川最近的一道初三月考逼卷的一道几何亚洲填空题，这道题的这种考法与二五年、二四年成都中考真题逼卷的二十二题填空亚洲题考法是类似的，主要考察几何基本功的一个转化能力和相似三角形的一个应用。 来看看这道题它的一个基本的条件，直角三角形 a、 c、 b 当中这个 a、 d 它平分角 b， a， c 是 一条平分线点， e 是 a、 c 上的一个点，满足 a， e 等于 b， e， 这里有一个等腰三角形， 并且满足 a， f 等于三倍的 d， f， 给出唯一的一个数据， c， e 的 长度等于二。好， 这个长度 c 的 长度等于二。我们的问题是来求 a、 e 的 长度是多少。这个题的条件还是有点多的，但是这个图的结构是并不复杂，是比较常见的一个结构，有平分线，有等腰，而且有一个 a， f 等于三倍的 d， f 是在 a、 d 这个平分线上，同一条线上出现了一个一比三的比例。那么通过读完题，我们从哪个条件来做突破口来进一个展开思考呢？我们应该从这里的 a、 f 等于三倍的 d、 f 这一个比例上来进一个突破口。 为什么呢？因为同一条线段上的比例，我们一般要构造平行线，分线段成比例来转化这个比例，对不对？说这里我们可以考虑过低点向啊 b、 e 做一条平行线，也就是过低点做 a、 c 的 一条啊，平行线这里可以标一个 h 点 啊。当然你还有其他平行线的做法，其实做平行线的目的是为了把这个一比三给它转化出来，对不对？所以这个地方我们就可以得到这个 dh 比上 ae， 它应该是一个一比三。好 啊，这个地方就可以转换出这个 dh 比上啊，这个 ae， 它就等于这个 df 比上 af 等于 一比三，那么这个一比三，他就可以关联到我们的问题， a、 e 的 长度对不对？说是为了方便后期的一个数据转化，我们可以通过这个一比三来引入参数，这个地方我们就可以直接设这个 d、 h， 它是一个 m， 然后呢？这个 a、 e， 它就是三 m 啊，这个线段是一个 m， 这个线段是一个啊，三 m， 对 不对？好，然后在右侧你还要关注到右侧，也就是三角形 b、 e、 c 当中，你通过做的这个平行线，它还在三角形 b、 e、 c 当中还有一个 a 字型， 这个 a 字形也可以关联到这个 b、 d 比上 bc 的 一个比例，它等于 m 比上这个二，它待会儿可能要去使用，对不对？好，也就是我们先把这个比例先写的，这个地方待会儿可能要用，也就是三角形 bc 当中啊，这个 b、 d 比上这个 b、 c， 它应该是一个 m 比，这个二，对不对？然后这个比例可以和条件哪一个条件关联起来啊？也就是这里的 a、 d， 它平分角 b、 a、 c 啊，那这也是平分线的一个啊，性质定律可以得到一个一个比例，一组比例。对， 其实这组比例也可以通过延长 a、 d 来得到这个比例就是勾到相似三角形，对不对？勾到那个平行的相似三角形，那这里这个地方我们直接利用 a、 d 平分角 b、 a、 c 直接写出这一比例，那个比例，那就是 a、 b 啊，比上这个 a、 c， 它应该是等于这个 b、 d 比上这个 c、 d， 我 们这里就直接使用这个啊，这一组比例它就可以了。其实你去证明的话，也可以像我刚刚说的延长这个 a、 d 上下构造一组平行线也可以来证明的，这里我就不再证明了，对不对？ 好。然后这个这个可以关联到上方的这个 b、 d 和 bc 的 一个比例，因为 b、 d 比上 c、 d 和上方这个 b、 d 比上 bc， 它是可以关联起来的，对不对啊？所以说它就可以写为啊 ab 啊，比上这里的 ac， ac 是 三 m 啊，加一个二，它就等于这里的 b、 d， b、 d 比上 c、 d， 因为上方有一个 b、 d 比 bc 等于 m 比二，我们可以把 b、 d 就 看作一个 m 啊，那么这里的 c、 d 就 等于 b、 c 减去 b、 d， 也就是二减 m， 对 不对？这个其实就可以把啊 a、 b 表示出来，这个 a、 b 表示出来啊，有点复杂，它是二减 m 分 之啊，三 m 的 平方加一个二 m 啊， 好，这是 ab， 然后表示出来 ab 之后，其实很多线段通通过这个方式其实都可以表示，但是这个结果有点复杂，接下来你要找一个关系式来把这个 m 算出来就可以了。当然这个地方你千万不要选择用 啊这个勾股定律来建立一个勾股方程来做，这样的话，由于这个表示它是比较复杂的，如果你用勾股方程的话，可能算起来有点困难， 说这个地方我们要去构建相似三角形，考虑到我们还有一个条件没有使用，也就是三角形 a、 b、 e， 它是一个等腰三角形，等腰三角形我们直接过点一做，一个三心合一，过点一做 ab 的 垂线啊，坐过来，坐这里标一个 m 点， 对不对？所以这样做来之后，坐过来之后，既有三心合一的平分，它又有一组相似三角形，也就是三角形 a m e a m e， 它是相似于三角形 a c b 的， 对不对啊？这组相似，我们就可以关联到 m 它的一个方程，也就是我们可以把那个比例写下来，写下来之后呢， a m n 比上啊，这个 a c， 它应该就等于 a e 比上 ab， 对 不对？这个 a m 点它肯定是 ab 的 中点，所以 am 应该是 ab 的 一半，所以这个地方交叉相乘，其实转换出来就是两倍的 am 的 平方，它就等于 a c 乘以 啊，这个 a e 对 不对？那么这个层级的关系式当中，我们把他对应的这个 m 的 代数直接往里拿进来，就可以构建一个关于 m 的 一个方程，对不对？当然这个方程解起来是有一点小复杂的，对不对？这里我就不解，了解出来之后，通过这个代进来，算出来之后呢？啊，这个方程算出来啊， 当我这里先把这个方程先简单的写一下，最终可以构建一个方程，那就是三 m 的 平方啊，减去二十六 m， 加一个二十四等于零啊，这个方程就得到这样一个方程，这个方程其实你因式分解，它是因式分解不了的，用它算出来，结果它本来就有点复杂，说这个地方还考察了一个计算量的问题，计算的能力，说最终算出来这个 m， 他 应该等于三分之 十三，他有两个要追这个负号啊，十三减去根号啊，九十七 啊几，我们就可以知道这个 a e 的 长度，它是一个三 m， 它应该就等于十三减去根号啊九十七，所以这个题的结果应该是十三减去根号啊九十七 啊。方法就是这样子的，说这个总题的这种考法与二五年、二四年成都的中考真题的二十二题， b 卷填空的二十二题考法，它是类似的，对不对？里面也会出现多组的条件， 就看你通过审题结合条件如何去进行一个转化，找到更多的有利的一些等量关系。好的这个利的方法就是这样，大家可以参考参考好的。

初三党注意啦！是不是一碰到圆的综合大题就直接卡壳？辅助线无从下手，角度不会转化证明思路逻辑混乱，明明刷了海量题型，成绩却始终没有提升。 不用盲目刷题，今天徐老师带你拆解题型底层逻辑总结专属通用解析模型，吃透方法，轻松秒杀所有同类压轴题型一，圆周角平行倒角模型 这道题目核心考点平行线搭配园内圆周角进行角度转化，利用同弧圆周角相等等腰三角形边角性质，简单三步等量代换，快速完成角度证明，告别盲目乱做辅助线做题直接拥有固定思考逻辑 模型二，园内街四边形全等判定模型，中考最高频易错考点，也是绝大多数学生最容易遗漏的得分点。巧用园内街四边形补角性质，结合角平分线条件构造三角形全等，快速证出边长相等关系， 避开考试常见思维陷阱，稳稳拿下满分。步骤分模型三，双垂线构造全等加三角形瘸骨综合模型 压轴。最后一问线段求值专用万能解法，整套流程标准化。第一步，做垂线构造两组全等三角形，梳理隐藏线段关系。 第二步，利用正切值合理设圆，结合三角形面积列式计算。第三步，借助相似搭配勾股定律列式求解，精准算出线段长度。我一直秉承了教学思路，从不让学生盲目海量刷题， 优先吃透题型。底层解析模型搭配同源变形题目强化训练，课前梳理知识框架，课上精讲经典易错题，深挖解析内在逻辑，课后配套同题型变式训练，做到举一反三，彻底摆脱题海战术。 专门针对初三圆几何难点，我开设了压轴打卡训练营，每日一道经典易错题加一道同圆变形题，精细化拆解复盘。想要系统吃透圆综合压轴题型的家长和学生评论区留言打卡，我带你高效突破数学难点！

老师们好，我是彭同学， 那么今天在正式开讲之前呢，我先带大家来进行复习一下啊，俗话说得好，我们不打没有准备的仗。 那么首先呢，我们先来复习几个公式，那第一个圆的周长 c 等于二 pi r 圆的面积 s 等于 pi r 方， 弧长 l 等于一百八十分之 n， pi r 包括扇形的面积 s 等于三百六十度分之 n pi r 方。这里的 n 其实指的是所占圆心角的度数， 我们知道整个一个圆摆在我们面前，它其实是有三百六十度的， 我们去取这个 n， 就是 去拿自己的蛋糕，我这个 n 有 多少度，我就拿多少蛋糕， 对吧？另外一个弧长，弧长他的单位是长度，所以我们要用整个周长来当做这个蛋糕，也就是我们说的蛋糕边边， 所以它最开始的也就是三百六十度分之 r， 无论是弧长还是面积，它们都是以三百六十度，哦，不，是三百六十度，是三百六十分之 n 去做一个基础。然后弧长因为是长度，它就乘以一个周长 面积，它是一个面积量，所以它是 pi r 方。好，关于圆的东西，圆心半径看着简单，可是往后延伸呢，全是弯弯绕绕。那么接下来我带大家来 复习一下圆的八大定律。好，首先我们来看到第一个圆心角定律，我们先来看一下 同圆或者等圆当中相同的圆心角所对的弧弦还有悬心距都相等。 好，那么这里有三个对象，一个弧，一个弦，一个悬心距。好，现在我们来取两个相同的圆心角，比如说我这里有一个圆心角叫做 dce， 那我在另一边取一个相同的角，它叫做 f、 c、 g， 如果说在这两个圆心角相同的情况下， 也就是说这两个角相同情况下，它们所对的弧一定会相等， 也就是弧 d e 和弧 f、 g， 它们会相等，与此同时，它们所对的弦也会相等。什么叫做弦呢？就是 d e 这条直线， f g 这条直线也会相等。那么什么叫圆心距呢？也就是圆心到弦的距离也会相等，也就是我们标出来的 o i 和 o h。 那 么逆推一下， 同弧所在的圆心角，或者等弧所在的圆心角相不相等呢？那当然也是相等的，都是可以逆推的，包括我们说的同弦所在的圆心角也是相等的。好，这是第一个，那我们来看到第二个， 第二个，我们会讲到圆周角。好，我们来看它的一个概念，叫做同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。 好，我们以此为例。现在我们来找一段五，也就是我们面前的 n m， 他所对的圆心角已经出来了，那他所对的圆周角在哪里呢？很简单，依然找到这条弧，以这条弧的两个端点为初始，然后在圆上去一个点，这个时候就叫做圆周角， 所以说这时候的圆周角就会变成啊，这时候的圆心角就会变成圆周角的两位，这个大家都非常熟悉吧。好， 那相同的，我这个圆周角其实位置并不是固定的，它可以在很多地方，包括这里，包括这里可以走这么多地方，对吧？ 那一样的，我等弧，比如说我在对面再画一条相同的弧，那说，那说它所对的圆心角是不是相等呢？我在这边也画一条啊，我现在令 o p 这条弧等于 n m 这条弧，那它所对的 圆心角它们会相等啊，另外它所对的圆周角 也会等于它的一半，所以这是相通的东西。那关键用途就用在我们角度计算，还有一个什么直角的判定啊，这个非常关键。那么还有一个非常重要的东西，就叫做圆的内接四边形，大家一定要注意， 内接四边形，也就是说一个四边形的四个顶点都在圆上， 都在圆上。我现在来构造一个，随便构造一个，比如说我这里的 o、 p、 n、 m 这四个，那这时候就有另一个定力，叫做 圆的那节四边形，它的对角会互补，也就是说什么呢？也就是说 角 o 加角 m 会等于一百八十度， 角 n 加角 p 会等于一百八十度。好，这是第二个，那我们还有第三个，好，继续往下走，我们第三个讲什么？ 第三个就是切线长定 好，我们来看，同样的，我们引入一个圆，它的意思是什么呢？ 圆外引一点，我现在随便引一点，它 跟圆的两条切线，切线是不是刚好垂直啊？我这里粗略的构造一下， 是不是形成两个切点，他的这两条切线一定会相等，为什么？为什么 a 和 b 的 长度一定会相等？首先我们连接圆心和这个点，然后我们再圆连接圆心和切点。那这时候我们会有一个什么东西呢？我们一定会有。 首先两个直角是毋庸置疑的，两个直角毋庸置疑， 对吧？因为是切线，另外呢两条半径毋庸置疑，半径相等，另外呢一条公共边相等，所以它们必然全等，也就是用的 h l 必然全等的话，那么 a 必然等于 b， 这就是切线长的一个定律。好，我们接着来讲第四个， 那第四个就是我们的垂进定力。好，我们往往上面挪一点，不好意思，垂进定力， 垂进定力说了是什么？同样我们再做一个圆，大家说垂直于弦的直径，平分弦， 垂直于弦，首先我们先构造一条弦好吗？好， dc， dc 是 一条弦，那我们垂直于垂直于，垂直于，那我们就要做一条直线了， 垂直于弦的一条直线。好，这是一条直线，也叫直径。好，这条直径它一定会去平分掉这两段， 也就是说这两个一定相等，这两段一定相等，另外这两条弧也一样相等。为什么我连我再连 公共边边直角 h l 直接给到 边相等，边相等啊？也就是悬相等，悬相等是不是弧相等，对吧？那还有一个东西，我在这里再多讲一句， 如果说哈，有一个圆心角是另一个圆心角的两倍，那么它所对的弧一定也是它的两倍，它它所对的弦也一定是它的两倍，大家记住这个一定是相通的东西。好，这个就过一遍就是了。那我们来讲 下一个，我们可以看到它这个东西主要是用在一个证明过程当中。我们来看， 我现在有一个圆外一点，这个圆外一点跟圆进行了一个相切。另外呢，我这里有一条弧叫做 k e i e， 这条弧呢，它有一个圆周角，而且它不经过圆心， 那这时候圆切角，它就是会让我们去证明一个东西叫做。好。这里还有一条线 叫做这个角，我叫角一，这个角叫做角二，会让我们去证这两个角相等。那好，我们现在来开始证明， 这时候我们会去穿直径，先穿一条直径，然后再连接这个弧的另一个端点，那这时候我们可以看到，不难发现，这个角和 角一，它是属于同弧所对的，什么圆周角，那么它们必然相等，都是角一。好，那另外呢？ 因为我 m 一 k 一 r 一， 它一定是穿过直径的，以直径为边的三角形，所以它这个角一定为直角，那么也就给到了这个角三。 给到角三，角一加角三一定等于九十度。是否清楚角一加角三等于九十度，又因为这是一条切线，所以角二加角三等于九十度， 那么最后给到了角一等于角二，各位老师是否明白？明白扣一。好，接下来我们再讲一个 弦切角，讲完了我们再来一个香蕉弦。定啊，什么叫香蕉弦？什么叫弦呐？ 来，给到一个圆，给到两条线，随便怎么穿，这就叫相交的弦有交点，两条弦叫做相交弦。那么这时候会给到一个结论，叫什么？叫 我以这条边为 a 边好吗？这条为 b 边，这条为 c 边，这条为 d 边，这时候会给到 a 边乘以 b 边，会等于 c 边乘以 d 边。为什么？ 我也想知道为什么？那你接着往下看，首先我连接一下它，我再连接一下它，那么我们就会有到一个小对顶，小小的对顶角给到了我们很舒服。 那一个对顶角之后，我们是不是刚学了圆周角圆心角定理啊？同弧所对的圆周角，这一个圆周角，这一个圆周角直接给到相等，我们把它都叫做角一。 另外这边 ts 一 是不是也是一条弧啊？这条弧往这边撇，撇到这个角往这边撇，撇到这个圆周角，那么它们都叫做角二。所以这时候这两个三角形是不是直接给到相似？ 相似的话，那么我们就会有大三角形的 a 比上小三角形的 c， 会等于大三角形的 d 比上小三角形的 b， 所以 最后交叉相乘就是 ab 等于 cd 好 结束下一个 切割线定。什么叫切割线定？顾名思义，一条切线，一条割线。 好，一样的道理，我们找到一个圆仍然圆外一点，它一定跟它有个切点，这叫切线跟它相切。什么叫割线？直接把它一割，这叫做割线。好，这时候我们 先去探究，我先把 c 二、 b 二一连，然后再把 b 二、 d 二一连，那这时候给我们的一个启示就是我们刚也学了，刚也学到一个旋切角，对吧？旋切角会给到我们这个切的角会等于内部的这个角， 这两个角我们都叫做角一。这旋切角刚讲过的。另外我们找到这两个三角形 d 二、 e 二、 a 二和这个三角形，它们是不是有一个公共角？ 好，所以在这种情况下会给到我们，我仍然把这条叫做 a， 然后我把这条长的叫做 b， 最后我把这条短的叫做 c， 那他会给到我们什么呢？我们来探求。因为这两个小，这这个小三角形和这个大三角形相似，所以我现在用小三角形的最长的一条边叫做 a 去比上大三角形最长的一条边叫做 b， 会等于小三角形的最短边 c 去比上大三角形的对短边 a， 也就是交叉相乘，会给到 a 平方，等于 b 乘 c， ok， 往下走，那应该只剩下一个了。 最后一个就是 割线定律。好，割线定律，我们说切线定律是两条切线，那割线定律呢？就是两条割线了，那同样的道理，圆外取一点，跟他割，跟他割， 割完之后我来描点，这时候解到我们的是什么呢？ 我现在来把它描清楚，我把这一条也就是叫做 a， 我 把下面这一条叫做 b， 我 把这一条整的叫做 c， 我 把这一条整的叫做 d。 好， 辅助线做起， 他就是一直在操控圆心圆周，圆心圆周角就是一直在操控，我现在连接这两个，再连接这两个来，大家看好这两个三角形，首先给到一个对顶， 很舒服。另外同弧所对的圆周角是不是这里一个，这里一个，那所对的圆周角我们都叫做角 e 是 不是相等？那 b 的 剩下一个角一定相等，所以这两个三角形一定是给到相似， 那给到相似之后呢？ 会干嘛？但其实我们探讨的是 这两个大三角形，也就是这一个。我刚只是说给大家把条件给捋清楚， 这两个大三角形也一定会相似，首先他们有一个圆周角，另外他们有一个公共角，对吧？所以我用这边的三角形的 长边去比上这边三角形的长边，等于这边三角形的短边就是 b 了，它的短边在这里，它的短，下面三角形的短边在上面 b 比 a 吧，所以就会有到 a 乘 d， 等于 b 乘 c， 也就是 短的乘长的等于短的乘长的。好，所有的东西八大定律讲到这里为止，那么下面我们开始实战。 好，各位老师，我们刚才学完了八大定律，相信大家学完之后感觉有一身功夫无处施展，那我们现在先来拿一道小小的圆来开一下位 湖北省一模涉及到的知识点，圆周角切线判定与性质。弧长的计算，我们直接来看 条件， a、 b 直径 c， d 在 圆上角 e， a， c 等于角 d， 角 e， a， c 等于角 d。 哎，这不就是我们刚正的一个什么 旋切角定力，记得不？旋切角定力。好，旋切角定力直接给到我们，那我们来正切线，正切角定力直接给到我们，那我们是不是直接正它就行了？正它等于三十度就行了。 好，我们不难发现，不难发现什么？我们有一条弧 a、 c， 它给到了两个圆周角，其中一个叫角 d， 那 另外一个叫角 b， 也就是说角 d 等于角 b 等于六十度，所以角 b 也等于六十度。那么剩下的一个东西，因为 ab 是 直径， a， b 是 直径，直径会干嘛？那他所在的三角形，这个圆上的这个角一定是九十度，那这个六十，这个九十，剩下给到他是三十度，所以非常简单吧。所以这个角 角 b， a、 e 等于三十度加六十度，也就是九十度。好，这是第一个， 那第二个，若 b、 c 等于四，那 b、 c 等于四呢？求略弧。好，这里再给大家拓展一下，什么叫略弧？略弧就是短的那条。 什么叫优弧？优弧就是长的那条嘛。比如说我们给到一条旋旋 a、 c， 它的略弧是这条短的，它的优弧反而是这条长的。 好吧，那么我们要求弧长，还记得吗？ l 等于三百六十分之 n 乘以什么 二拍 r， 也就是周长。好，现在摆在我的面前，我们肯定要去连接 o、 c 吧，包括这个角我们很容易得到三十度，三十度给到他就是一个一百二十度，所以这是 n 三百六十度，分之一百二乘以二拍 r。 现在我们唯一要解决的是 r。 好， 这里等于四，那这个角等于六十度， 那这两条都是半径吗？ oboc 都是半径呢，这个也是六十度喽，那所以它就是一个三角形， obc 就是 一个等边三角形，等边三角形，所以它三条边都会相等，也就是我们的半径一定会等于四。 好，把它放进去，三百六十分之一百二十乘以二派，二派乘以四，也就是三分之一 乘以八派，也就是三分之八派。好，我们看下一题。好，来到我们的第二题，我们说这个难度肯定是依次增加的。我们来看，在三角形 a、 b、 c 当中， ab 它要等于 a、 c 啊，然后给到 d、 f 垂直，那我们要正切线，正切线连半径， 没连半径我就去连半径，我不连，我都不知道这个角是不是直角，也就是说我连完半径之后，我要证明这个角是直角就可以啦。好，题目给了什么条件呢？只给到 a、 b 等于 a、 c， 那 a、 b 等于 a、 c 有 啥用？ 我们可以看到 等边对等角，这两个角会相等，那另外我的 o、 b 等于 o、 d 啊， 是不是这个角和这个角就相等呢？也就是说角 o、 b、 d 会等于角 o、 d、 b 这两个角相等。另外我们 a、 b 等于 a、 c 会去给到角 o、 b、 d 等于角 a、 c、 d， 那 最后就是 o、 b， d， o， d， b， o， d， b， 这个角等于 a、 c、 d， 这个角等于这个角，说明什么？它们是同位角，同位角相的两直线平行，那么直接给到 o、 d 平行， a、 c 两直线平行，那么我的同旁内角互补了，所以角 o、 d、 f 会等于九十度，所以是切线 好吗？好，来看第二个，若它的半径为三角 c、 d， f， 角 c， d， f 等于十五度， 那它等于十五度的话，让我们求阴影部分面积，我们知道要求阴影部分面积一定要把它放在一个扇形里面，所以我们这里肯定要去连接 o、 e 的， 包括阴影部分。我们最后肯定是表达成 s 扇 去减掉 s 三角形 a、 o、 e 没问题吧？扇形减掉三角形 a、 o、 e， 那 么扇形的面积我们先来处理掉， 我们说公式是什么？三百六十分之 n 乘以 pi 方，那这个 n 是 我们要处理的， r 是 给到我们的 n， 那 这个角等于多少度呢？题目给了十五度，这个是 九十度，那给到这个角是不是只剩下七十五度？七十五度，那说明这两边都会成为七十五度， 那七十五度在三角形 a、 b、 c 内，这个角就剩下一百八，减七十五，减七十五，就剩下三十度，那三十度。而且什么 o， a 要等于 o、 e 都是半径，所以这个角也等于三十度，那么给到这个圆心角就会一百二十度。 好，所以扇形面积可以直接求出来，一百二十除以三百六十乘以 pi， r 方就是九，那这里给到的是 三分之九 pi， 也就是三 pi， 三 pi 减垂减三角形 a、 o， e， a， o， e 的 面积我们怎么去求？那肯定会做到一条垂线， 垂线三十度，九十度，那每边都是分到六十度，我们知道半径为三，那么三十度左右的直角边等于斜边的一半，所以这里给到的是二分之三，那我们可以把这一条 o h 当做高，我们来探求 a e 的 长。 好，我们先求 a h， a h 可以 通过一个勾股定律来得到，也就是等于 o a 的 平方减掉 o h 的 平方。好， o a 的 平方等于多少呢？ o a 的 平方三三得九，减到 o h 的 平方二分之四分之九也是根号四分之三十六， 减掉四分之九等于根号四分之二十七，也就是二分之三倍根号三， 那我们 a h 等于这么多，我们要的是 a e， 因为我们要把 a e 来当做底，等于二乘以 二分之三倍根号三，也就是三倍根号三了。好，这是 a 的 长，那我们三角形的面积等于二分之一的底乘以高，二分之一 a 一 乘以 o h， 那 就是二分之一乘以三倍根号三，乘以高是多少？二分之三， 那最后给到了四分之九倍根号三，好，最后就是三派减四分之九倍根号三，这就是 s 音呐， 好吗？好，我们来看到第三题，外接圆外形勾股定律。好，圆结合勾股定律是非常普遍的垂记圆周角，如图， 它是三角形 a b c 的 一个外接圆，然后有一个角平分线。好，又给到 fa 等于 f。 一， 要我们干嘛呢？要我们求证 cd 垂直 ab， cd 垂直 ab。 哦，这又不是正切线的问题了。 那么首先我会怎么去做？我会由条件去生条件，这是我的角度， 我看到这两个边相等，我会想到角相等等，边对等角，也就是角 f、 a， 一 会等于角 f、 e、 a。 另外延伸扩散直接来到一个对顶，是不是又会等于角 c、 e、 d， 那 这两个角相等？另外我们看到了同弧 所对的圆周角相等，也就是角 a 和这一个就是我们的角 e、 c、 b 也会相等，这四个角都相等了，对吧？那四个角相等之后呢？我们就开始 我们知道 ab 是 直径，所以角 a、 c、 b 一定会等于九十度，没问题吧？所以这一个角一定等于九十度， 那等于九十度，也就是说我这里的一个小角，我换种颜色，搞错了，不好意思， 我换种颜色，也就是说这个绿色的角加红色的角会等于九十度， 对吧？那我们再来看，我们要证明它垂直，是不是要证明这个角为九十度？那这个角等于哪个角呢？我现在来表达一下， 角 c、 d、 b 作为三角形 c、 e、 d 的 一个外角，它会等于角 c、 e、 b， 也就是我们说的 c、 e、 d 都是一样的，我们尽量写成一样等于角 c、 e、 d。 加上这个角，也就是 e、 c、 d 会等于多少度呢？那 c、 e、 d 它一直摆在这里不动， e、 c、 d 呢？ e、 c、 d？ 因为这里还有一个条件我们没去用它， e、 c、 d 其实是会等于 叫 a、 c、 e 的 好，现在已经转化成了 c、 e、 d 和 a c、 e 它们之间的关系。 好吧，我们又知道 a、 c、 e cd 会等于什么？ cd 就是 等于我们的 e、 c、 b 嘛，也就是这个角， 所以最后两个角加起来是不是又等于九十度，对吧？看明白没？ 这个绿色的角加红色的角是要等于九十度的，这是毋庸置疑的。然后这个绿色的角我放在这里不动，我去解决红色的角， 我们这里列出来是这个红的加这个绿的，那这个红的可以转移到这里，所以它们加起来等于九十度。好，接着我们第二问，他说 f m 垂直， 垂直为 m， 现在告诉我们 o m， 我 们把已知条件先模上去，先不要把数字写进去，不然等下占太多地方这两条的边界了，要我们就去去求 cd， 那 我们包括第一位，这个角等于直角，这个角等于直角，对吧？我们要求 cd， 但是其中有一个条件是给到 o m， 所以我们要充分利用这条边，一定要找到这条边所在的三角形，只有这一个吧？要用到这条边，又要用到这个垂直，要条件充分利用，那一定要连接 o f， 是吧？毋庸置疑的东西。连接 o f 之后，我貌似看到了，如果我要把这条边与 a、 c 它们关联起来，我一定要用到相似。 好，那既然说到相似，我们就会去找角。我们来看我们学的圆周角定律，一定要多用 圆，太灵活了，一定要去用。我一眼看到 a f 所对的圆心角是角 a o f， 它圆心角一定会等于它所对的圆周角的两倍，也就是等于两倍的角 acf， 对 吧？这一步没问题吧？这个角一定等于两倍的 acf。 另外 a、 c、 d 的 平分线，那说明这两个角相等，这两个角相等，也就是说我们的角 a、 o、 f 一定会等于角 a、 c、 d， 对吧？好，我现在直接把这两个角给它抹红，那这两个角相等够不够？不够？为什么？因为我们要求的是 c、 d， 我 们还差一条边。我们再来拓展，我们说第一问，求出了这四个角会相等，那我们可不可以转移这个角，直接转到这里来？ 这个角 b 是 不是和 a、 c、 d 相等？ 我们刚第一位已经证明出来了，对吧？所以它又会等于角 abc， 那 到这里为止，我们的相似三角形就找出来了， 这一个一定是要保留住的，这是一个，另一个就是 abc。 好， 同学有疑问，为什么我们不拿三角形 a、 c、 d 和三角形 f、 m、 o 勾相似，而拿 abc 和它勾相似？这里有个非常关键的点，我们可以看到 小三角形有一条 o、 f， 大 三角形有一条 a、 b， 它们是不是分别是半径和直径？那是不是相当于直接给了一个条件？如果说我们用 a、 c、 d 的 话，我们会少条件，我们会找不到比例关系， 所以我们会有这种选择好吗？那么角三角形 a、 c、 b 和三角形 f、 m、 o 是 相似的，那相似我们有什么？有 o m， 有 a c， 有 o m、 有 a c， 那好，我来找到 o m 作为小三角形的短直角边，它一定要比上大三角形的短直角边，也就是 b、 c 吧？会等于 我来拿半径，也就是 o、 f、 o、 f 作为它的斜边，也就是比上大三角形的斜边，也就是 a、 b 吧。这个我们可以直接扫出来一个半径，一个直径，是不是直接等于二分之一，对吧？另外 o、 m 给了我们 o m 是 等于一的， o m 是 等于一的，那么 b、 c 是 不是 b 的 等于二啊？那 b、 c 等于二，另外加上我们的 a、 c 等于四倍根号三。好，到这里为止，同学们发现什么东西吗？我们要求的是 c、 d 叫做什么内高 等面积法直接走起，勾股定律都用不到，对吧？等面积法一定会是二分之一的 a、 c 乘以 c， b 会等于二分之一的 a， b 乘以 c， d， 二分之一直接砍掉 a， c 四倍，根号二乘以二 会等于 ab 乘以 cd。 哦，不好意思， ab 还是要算一下， ab 等于勾股定底的话，就是 ab 等于根号四十六，三十二，三十二加四吧，根号三十六， 那根号三十六，也就是我们的六。好，这里给到六，所以 cd 最后会等于什么？ cd 会等于 八倍根号二，去除一个六，也就是也就是三分之四倍。根号二好，结束。好，我们来看到第四题，云南的云南，它是把这个圆作为最后一题的， 所以我这里第三题打成了红色。好，我们来看 圆， o 是 四边形， a、 c、 d、 e 的 外接圆， 然后点 d 是 略弧， c、 e 的 中点好，然后在略弧上取一点 b， 使得 bc 等于 c 均，然后又使得角 a， c， f， a， c， f 这个角等于 f， a、 h。 好， 来看第一问，若角 c、 a、 e 等于四十五度，求角 c、 d、 e， 哎，这是什么？ 这不就那一节四边形吗？啊，圆是四边形 a、 c、 d、 e 的 外接圆，那么反过来 四边形 a、 c、 d、 e， 那 是不是它的内节四边形啊？你外节，我就是你的内节嘛。内节四边形有什么对角互补，也就是说角 a 加角 d， 也就这个 c、 d、 e 嘛，要等于 严谨一点，角 a、 c、 e 加角 c、 d， e 要等于一百八十度，也就是他给到的四十五度，那他只剩下一百三十五度，还是比较简单啊，就是一个内接四边形，这个用的特别多。好，我们来看。第二位 求证是切线，那求切线干嘛？连半径对吧？求切线，连半径，我们可以发现，我们可以发现什么 在于因为 c f 它就是一条直径，所以这个角一定会等于九十度。 我们现在要证的是角 o a、 h 等于九十度。我们不难发现一个东西，叫做它们这两个角有一个公共部分，也就是 o a f， 也就是说，也就是说什么我只需要求这两个小丁点给它涂黑，这两个小黑部分相同就行了， 只要，只需要求它们相等就行了，只要它们相等，它们加上这坨小绿都是九十度。那好，题目给了这两个角相等，这两个角相等，那我的角 a、 c、 f 会不会等于角 o a、 c 毋庸置疑，都是半径嘛，等边对等，角相等是吧？而且这两个角相等，又因为这两个角相等，所以什么等？量代换就给到了角， 给到了角 o a、 c 一定会等于角 f a h， 那 这两个角相等，它们都加上 o a、 f， 是 不是都会等于九十度？所以它是切线。好吧。 第三问的话，我把它标红了，就是感兴趣的同学可以去做。然后我会在另外一个作品单独发出来，因为这个步骤实在太多了，我不想 浪费大家太多时间。好吧，下节课感兴趣的我单独讲。来到我们的最后一题来，我们直接看， a b、 c 都是圆上的点， a e 切好，这是一个点切，我就赶紧把这个直直角画上去。好， c e 以相交于，然后 a e 平行，平行， o b o c e 等于三十度，那么 a b 等于三倍根号二。第一问，看一下要我们求圆的半径， 求半径的话，我们可以看到通过平行我们可以得到一个叫做内错角的东西，那么这个角叫直角，所以这是一个什么三角形？三角形 a o b， 它是一个等腰直角三角形。 我们知道等腰直角三角形的斜边等于直角边的根号二倍，那么反过来，等腰直角三角形的直角边等于斜边的除以根号二，那就是三了吧。所以半径直接送给我们。 好。第二问，若 a c 为直径，求线段 a e， a e 的 长，先看它还弧 a、 f 的 长。 好，首先我们求 a 一， 我们知道三角形 a、 e、 c 是 一个 r t 三角形，也就直角三角形。另外给了我们一个角度，叫做三十度，那三十度所对的直角边，我设它为 x， 等于斜边的一半。我可以构建一个勾股定律吧，那这里 o a 是， 他说 a c 是 直径，那这里也是三喽。所以勾股定律 e c 的 平方等于 a 一 的平方，去加上 a c 的 平方，也就是四， x 平方等于 x 平方，加上六六 三六三十六，那三 x 平方等于三十六， x 平方等于一十二， x 等于二倍，根号三。好，这是 a e 的 长， a e 等于二倍，根号三。那另外一个无 f 的 长，我们再来回顾一下，无长怎么算？等于三百六十度，分之 m 乘以周长分到高边二百二吧。 那我们要的是什么？现在唯一要的就是这个所占的圆心角的度数 r 知道了是三，那我们是不是要去连接 o f 啊？连接 o f 好，关键点来了，这里用到了一个球弧长，又用到了一个圆周角定里，同弧所对的圆周角会等于他所对的圆心角的一半，那反过来，他所对圆心角等于他所对圆周角的两倍，也就是六十度，所以这里给到六十度，也就是六十除以三百六十乘以二派 半径多少？半径是三三二三得六六六，三十六，三百六除以三百六没了，那就是 i。 所以 弧 a f 等于三，比大小，比大小根号三。在我们的印象中大概等于一点七吧。 一点七，我二乘以一个一点七，那就三点四，那它的拍是三点一四，那所以三点四一定是大于三点一四的，也就是说 a e 一定会大于 a f。 好， 这是第二位 来看到我们第三问，在二的基础上改变点 c 的 位置，使得 c e 平行 a o 二的基础上为二的基础上，那它的基础这还是直角，这还是直角。 我们要直接写出 e f。 像这种说直接写出的哈，又有点，这个出题人就有点在发癫， 他明明不能直接写出，他非要你直接写出。好，我们来看，我们要求 e f 怎么去求？那肯定要把 e f 这一段啊，给他个名分 是吧？你不能让它就孤零零在这里。所以我圆里面最特殊的就是去连接圆心了，我会连接 o f， 连接 o f。 那 我又看到了什么东西呢？我看到了 c f， 它是一条弦呐， 弦，我们刚才讲过什么定力垂进定， 就是我过圆心做一条垂直于弦的线，它一定会平分这条弦，也就是说我过圆心连接这个角也是直角，那这个角也就是过这里延伸吧。 这两个是直角，我说了 c e 平行，它平行 o a， 那 四个角都是直角，所以给到我们 a e 四边形， a e 这个点叫 h h o， 它是什么矩形呢？ 那现在 e f 还是没有名分，那什么意思呢？但是我可以转移表达，也就是 e f 等于 e h 减掉 f h 了， 对吧？换一种表达，那这里的 e h 因为它是矩形，是不是等于 a o 啊？ a o 我 们知道哦， ao 就是 半径嘛，就是三嘛。我们要解决的是 f h， f h， 它会等于 h c 呢？ 包括 o c， 它是半径，半径是三，包括这个角我们仍然可以用，它是题目的条件， o c 等于三十度，所以又是勾股定律吧，三十度所对直角边等于斜边的一半，那这个应该是二分之三。那我们勾股定律勾一下， h c 要等于根号三，三得九，减四分之九等于根号九是四分之三十六，那减四分之九等于四分之二十七，那等于二分之三倍根号三。这是 h c 的 长，也就是 f h 的。 哎， a o 知道， f h 知道，那最后 e f 直接给它表达出来吧， 就等于三，去减掉二分之三倍，根号三。好，所有的东西就讲到这里了， 那绕不完的圆，学不完的考点，觉得有用的老师们记得留个脚印哦。那下期我们讲什么，老师们可以在评论区评论。好，谢谢大家。

中考数学，他的几何压轴题其实是送分题，出题人早早的就把那些解题的方法隐藏在题目里了，关键就是看大家能不能看懂，能不能听懂这六句黑话啊！大家好，我是孙老师，专注中高考题分训练， 家里有中考生的赶紧给我收藏并转发给孩子看！首先第一句，题目让你求线段的长度。这类题型，它的解法是非常固定的，无外乎就三种，勾股定律，相似三角形、三角函数这三大金刚，尤其是圆的大题考的最多，你看到有直角立马上勾股定律，你看到有平行线、 a 字、八字结构，立马往相似三角形上面去想。 如果题目给了三十度、四十度、六十度这种特殊角，那百分之百是三角函数，那么这几种解法呢？要么单独用一种，要么是两种，三种搭配着用，肯定能算出来。第二句，两条线段的比值你不用纠结，说白了就是考相似，没有比相似更适合算比例的了。 你只要能认出来是 a 字相似，八字相似、共角相似，还是手拉手模型的相似，咱对上模型这道题，基本上就八九不离十，稳拿下了。还有第三个求角度圆的大题的第一问，基本上全是倒角，你要记住一些常用的招数，用平行线去倒它的内错角、同位角， 靠直角去找互余角，用圆心角、圆周角、斜切角进行互相的转换。还有就是等幺三角形，底角、相等角、平分线平分两角，来来回回就是不停的去倒角，你把那些角度的关系给他理顺就完事了。 第四个求图形的面积，简单的题目，你直接套公式就行了。那如果碰上跟二次函数相结合的面积的大题，你就用千锤高法 横着竖着做辅助线，拆分它的图形，其实本质还是算三角形的面积，你只是稍微绕了个弯。还有第五句求最值的问题，像最短路径、最大面积、最大角度，通通都属于这一类。那么求最短的路径往哪想呢？ 往将军一马模型上去套啊，对吧？你面积最值用什么呀？那就是二次函数化成顶点式，还有引元的最直线元的最值，全都是固定的套路，咱只要技术，就一定能直接套用 啊。第六句就是问是否存在某一点满足题目的条件，那这类题目不用多想，绝大多数都是存在的，你只要确定存在了，以后呢？ 还是老三样勾股相似三角函数，你把这些几何的关系转化成方程给他罗列出来，那你解出来合理的答案，他就是存在，他的逻辑就这么简单。 所以说呢，其实几何压轴题一点都不选选，你把这几个套路给他记牢，咱一定能轻松拿高分。那如果你是初二初三的学生，数学还找不到方法的后台，赶紧联系孙老师，带你轻松上分。

大家好，这个视频我们来解析这道二次函数图像的判断题，看一看在二次函数类型之中，我们的代数思想如何去解决部分 啊。知识点，首先读题已知二次函数 y 等于 a， x 平方加 b， x 加 c 的 图像如图所示，有下列的结论，第一个 a 大 于零。 第二个 b 平方减 c， c 大 于零。第三个四， a 加 b 等于一，第四个不等于是 a， x 方加上括号 b 减一，括号 x 加 c 小 于零。 解集为啊，一到三，正确的结论有几个啊？拿到手之后呢啊，我们首先 看图，然后把相应的条件能标到标上啊，当然，这一题好像没什么太多需要标的啊，我们可能知道的就是，你看，一得号一是它的 啊，顶点坐标。答案题目中呢，也没说啊，这时候呢，我们也不能说完全说一得号一就是它的顶点坐标啊。那，呃，一个一个来看。首先 a 大 于零， 开口向上一是对的，这很简单，包括像第二个也很简单， b 平方减四 a c。 我 们在学啊，应用二次方程的时候学过啊，待它 b 平方减四 a c， 当它等于零的时候，有两个相等的，当它 大于零的时候，是两个不相等的，当它小于零的时候是，呃，不成立的， 是没有的啊，没有输入根的啊。那这边怎么去看呢？实际上你看它如果是 b 平方减 c， c 等于零，包括像 y 等于 a， x 方加上 b， x 加上 c， 让它等于零的情况，不就是什么 判断它与 x 轴有几个交点的问题吗？那 b 平方减 c， c 大 于零，它应该有两个解，两个解的话， 两个解的话，它与 x 轴应该是有两个交点，那有没有两个交点啊？没有，所以第二个是错的。好，这题比较有趣的呢，是第三个和第四个。你看他说的是四 a 加 b 等于一， 拿到手之后，有同学去带了，老师，你看啊，四 a， 那 么 x 等于正负二的时候啊，就有四 a 了，但带入进去，你看啊，假如我们带入正二，就是四 a 加二， b 加 c， 负二的话，是 四 a 减二， b 加 c， 行不行啊？不行，不像我们走的方向。那这题怎么办呢？ 这很简单，我们函数类的题目总归还是代数，代数呢，就要想到消元和降次。你看他跟我们的什么有关系啊？跟我们的 ab 有 关，跟 c 是 没有关系的，那想法肯定是把 c 给消掉， c 消掉之后，你看题目中又有一逗号一和三逗号，这两个点，我们是在指数上的，所以我们不妨先把它给带入进去，因为带入进去，你才能连立 abc 三个参数的方程。 好，我们先把三等号三带入进去，变成了九 a 加上三， b 加上 c， 它是等于三的。我们设置第一个式子，第二个式子是 a 加 b 加 c 等于一，它是第二个式子。 那这时候你看，四 a 加 b， 与 c 是 无关的。所以呢，我们用式子一减去式子二，它等于什么？ 九 a 加三， b 加上 c， 括号减去 a 加 b 加 c， 括号等于三减一，左边减左边等于右边减右边嘛，对不对？话减之后等于八 a 加上二， b 等于二，那么四 a 加上 b 不 就等于一了吗？所以对不对啊？对，是吧？你看他其实就是想办法把我们的 c 给去掉，然后找出 a 和 b 之间的等量关系式，那 a 和 b 的 等量关系式，他只要能成立，他一定能算出四， a 加 b 等于一的 好，第四个，第四个拿到手之后啊，只要是这种类型的，你要跟原来的二次函数去啊，去看什么？去？这个 结合一下，去比较一下，结合比较发现什么？你看它是不是 a x 方加上 b， x 加上 c， x 小 于零啊？ 所以不就变成了 a x 方加上 b， x 加上 c 小 于 x 吗？是不是？那写成这样有什么用啊？你看 a x 方加上 b， x 加上 c， 它不就是我们这边的一次函数啊， 那 x 呢？它不就写成 y 等于 x 吗？所以啊，它的意思就是我们去分析比较一下。分析比较一下什么呢？比较一下我们的一次函数 啊， y 等于 x 这个一次函数。然后呢，假定它是 y 一， 它是 y 二， y 一 小于 y 二的时候， 它的取值范围为多少为多少啊？你看一嘛，三嘛，所以在一和三以内，你看在一到三以内，二次函数 是不是在一次函数的下方啊？所以它是正确的四，所以这题的答案选择的是 c。

公主王子提笔看我，现在我们进入到便是一杠四最后的一道，当然最后一道呢，肯定比前面有一丢丢难度，我们一起来试一试。他说这是一个四边形， a、 b、 c、 d， 这个 a、 c 垂直于 b、 d， 这个是直角， a、 b 等于 a、 c， 我 们画一下 a、 b 是 这个 a， b 等于 a、 c， 当我们画出来的时候，你就能想到这是一个等腰三角形，然后它又等于 b、 d， 那 我们把 b、 d 这根线也画上， 然后 m 为 bc 的 终点， m 为 bc 的 终点。刚才我们不说等腰三角形吗？ m 为 bc 的 终点，是不是三线合一，我们马上可以想到这个角是等于这个角的。我标一下， 这个角 r 发等于这个角 r 发，而且三线合一，我还能想到这个角也是九十度，不仅如此，你看这里是一个八字形，对吗？所以我也能想到这个角也等于 r。 法。 好，我们继续往后，他说 mb 呢，又等于 m、 n， 那 这两个边又相等，我把这两个边用红色的描一下， 这一个边等于这个边，又因为他是九十度，所以这个地方是不是四十五度，这个角也是四十五度。现在我们要求第一个 b、 n 平分角 a， b、 e， 我 也没有想到怎么去证他平分，不如我们把我们刚才想到的先动笔写一下。首先第一个证明， 因为 a、 c 等于 ab， 又因为这个点是中点，所以我们得到这两个角相等，再加上这个九十度，我们得到这个角，他们三个都相等。我们先写写啊， 因为 ab 等于 ac， 并且 m 为中点，所以我们可以得到角 m， a， c 等于角 m a， b， 又因为 角 a， m、 b 等于九十度，好，等腰三角形三角合一，所以我们还可以得到 m a， c 等于角， m， a， b 等于角 m、 b， d。 你 这条件又说 m b 等于 m n， 这是九十度了，所以这两个角都是四十五度。又因为 m b 等于 m n， 所以呢？我的角 m、 n、 b 等于角 m、 b， n 都等于四十五度。标一下，这个角四十五度， 这一个角也四十五度，好，现在我们要求这个地方它平分，那我们看这边，这边这个角怎么表示？它是不是等于四十五度减去 r 法？ 那媛媛这个角怎么表示？你看这个是不是四十五度减去 r 法也等于这个角？因为这是三角形的外角，所以我们可以得到这两个角相等，那我们来试一下。又因为 角 n、 b、 d 是 等于四十五度减去 r 法的，而角 m、 n、 b 也等于角 m、 n、 b 了， 那这两个相等了，这个是不是就平分了？所以我们的 b、 n 平分，角 a、 b， e。 好， 第一个问，做完了，它重点其实用的都是倒角，把我们的角转来转去，转来转去，对吧？现在我们接着来看第二个问，说 b、 d 等于一，也就是我们玫红色这一根是一，那这个是一，我们这一个 ab 是 不是也等于一？ ac 也等于一， 这个 d， n， b， c， d， n， b， c 是 一个平行四边形，他要叫我们求 bc， 如果我们要求 bc， 那 我要是能把 mb 求出来就好了，因为我直接乘以二就可以得到了，所以我们可以设 mb 为 x。 第二个问，我换个颜色，我们设 mb 等于 x， 那 这是 x， 这也是 x， 这两个是 x 了，我可以得到 d， n 也等于二 x， 因为平行四边形对边是相等的，可是这跟我们求这个没有关系啊。那我们现在来想第一个问，咱不是白求的，人家给你说了，这个角等于这个角，你没红色的，这个又等于这个，再加上共边，有没有想到这两个三角形是全等的？所以我们继续写 由一结论可得结论得的是角 d b n 等于角 a b n， 所以 三角形全等， a b n 全等于三角形， d b n 全等的原因是边角边， 那么全等完之后，我的 d n 就 等于 a n 了，对吗？所以我的 a n 是 二 x 嘛。好，所以 d n 等于 a n 也等于二 x。 那 你现在再来看看，我这个是二 x， 这个是 x。 哎，这个 x， 这个不是也应该是 x 吗？因为我们前面也正到了已知条件，也说它俩相等，所以呢，我们就可以得到 a m 是 等于三 x 的。 那勾股定律就出现喽， a m 的 平方加上 mb 的 平方等于 ab 的 平方。代一下， a m 二 x x 三 x 三 x 的 平方再加上 x 的 平方等于一的平方，那么算开九 x， 一个 x 十 x， 所以 十 x 的 平方等于一 x 的 平方等于十分之一，那么 x 就 等于十分之根号时。 这道题让我们求的是 bc， bc 是 不是两个 mb， 所以 最后我们可以得到一下啊， 我们的 bc 等于五分之根号时，因为他乘以了二嘛。好，这道题到这里就做完了。整道题呢，其实你看啊，他是不是用了一个等腰三角形的三线合一？然后咱还用了一个勾股定律，其他的都是我们平行四边形本身自带的性质，那公主王子这个性质你现在可以灵活的应用了吗？

哈喽，初三的同学家长大家好。呃，今天来给大家讲解个这个关于数数学啊，中考几何的亚洲题里面给大家都隐隐藏了一些暗示了一些什么方法，其实很多题里面他都给你暗示了一些用，你应该用什么方法去做才能拿满分，就看这个点你自己能不能 get 到。 首先第一种就是求线段的长度，这个其实已经说了好多遍了，要么就是勾股，要么就用相似，要么就是三角函数，就这几种，比如最近常考的这个圆体， 圆里面出现直角了，那就肯定用勾股定底呗。要是这个平行线，不管是八字形的还是 a 字形的，都是在提示你自己用相似呀。要是题目里面给了一些三十度、四十五度、六十度的这些角呢？该用啥呢？肯定是三角函数呀，对吧？就这几种方法翻来覆去的用，要么就是一种，要么就两种结合，要么就是三种结合， 它是总能算出来的。第二种呢，就是求这个线段的比值。求比值是干啥呢？它肯定也是相似呀，还有啥能比相似更能体现比值的呢？你说对吧？出庭已经很明显的告诉你用相似了，你只需要确定这是 a 字型， a 字相似还是八字相似啊，还是共脚，母子手拉手这种类型，然后往里套就可以了。 第三种呢，就是求某个角度。原题的第一问是不是经常会求些角度，我之前就说过，可以用各种方法，首先要去倒角，比如说用平行线的内错角，同位角啊，遇到垂直就往这个直角三角形的余角上想，遇到这个衔接角来倒，用这个圆周角呀，还有这个圆心角来倒， 等，腰三角形的两底角相等来倒，还有这个呃，角平行线两个角相等来倒，就用这些关键的一步，想尽一切办法就倒这个角， 用我刚才说的这些方法都可以的。好吧。第四种就是求面积，看到求面积，三角形面积肯定会求吧？就三分之一底乘高吗？对吧？四边形的面积也肯定会求吧，有时候他就会和这个二次函数结合起来求面积，这个时候呢就要用这个牵扯法了。也是 也是，到这个做辅助线的时候了，很多同学说他他这个辅助线啥的不会做，其实本质还是求这个三角形的面积，只是稍微的转了个弯啊，多练练他就会做了。你把题型多见一见，你下次见到那些陌生的题型，你就往那个三角形面积上想，他就。