初中几何八大经典模型展开图

你永远也考不过一个从七年级开始就每天掌握一个几何模型的孩子，因为初中数学拉开差距的就是几何题。推荐这套初中几何模型图描解，包含了初中三年所有常考模型，像手拉手模型、雨伞模型、将军饮马模型、胡不归模型等， 每个模型的图式、已知条件、辅助线、画法和结论都用表格梳理好了。接着是模型证明过程，让孩子了解题原理。最后通过真题手把手教你学习解析思路和答题步骤， 遇到不懂的，扫码就能看视频讲解，搭配练习册使用。学完一个知识点，及时做对应的练习题，才能检查出孩子的薄弱点。家有初中生的快准备起来吧！

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初中常考的六大旋转模型，家长收藏！我上初中的时候，要是有人告诉我初中几何，无非就考这六十个模型就好了。初一八个模型，初二三十三个模型，初三十九个模型，提前吃透了！初中三年的数学不用愁， 像猪蹄模型、大脚模型、八字模型、风筝模型、手拉手模型、将军引马模型、胡不归模型等，这些模型老师在课堂上因为时间原因不会系统讲解，但考试经常会考到，怎么办呢？ 推荐给孩子准备这本初中几何模型图描解，他把初中常考的几何模型都整理好了，每个模型都做了图形拆解，结论是什么，怎么推导出来的，辅助线怎么画都讲的明明白白，看不懂的还能扫码看视频讲解。 最关键的是，他还用典型例题做了详细的剖析，辅助孩子更好的理解掌握模型。最后再搭配一本练习册，里面精选了各地考试真题，帮孩子巩固所学知识，把这本书吃透了，初中三年常考几何题，孩子都不发愁了！

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八字模型是八年级必考的几何模型，初中几何只需要掌握这六十个几何模型，做题就像抄答案一样简单。 就是这本模型图，了解初中几何。他总结归纳了初中阶段常见必考的六十个几何模型，像八字模型、铅笔头模型、猪蹄模型、手拉手模型等，每个模型的条件公式怎么做，辅助线怎么证明，写的清清楚楚，看不懂扫码可以看名师讲解，后面还有典型例题，及时巩固。 初中几何考来考去就这六十个几何模型，学会这些几何模型，孩子考试遇到了，做题就像抄答案一样简单，快给孩子安排一套吧！

好，今天呢，我们用一个视频来给大家讲明白，整个小学阶段最最重要的八大几何模型，以及他们之间该如何相互推导。同时呢，我们把他们的一个重要系数呢，从夯到拉，给大家再排一个顺序。 那么首先呢，第一个啊，做等高模型，这个模型它的难度系数呢，只有一颗星，但是它的重要程度，大家看它的地位啊，它是可以几乎把所有模型给推导出来的， 所以我们把它的重要程度排在第一个，叫做吭等高模型是什么呢？给大家画一个三角形，然后呢在这个三角形里面，我们在底边随便给他点一个点，然后把它切成两个不同的三角形，现在我告诉你啊，这两个三角形它的底边长度分别是 a 和 b， 那 么这两个三角形的面积之比 是几比几呢？等高模型的结论非常简单呢，其实非常简单啊， 这两个三角形呢，他们有一个相同的顶点，那么从顶点往下面画一个垂线，就相当于是他们的高了。那么大家有没有发现这两个三角形的高其实是一样的，一个是锐角三角形， 它的高就是这一条，对吧？另外一个是个钝角三角形，那钝角三角形的高呢，就是过底边往这边画个延长线，然后再从顶点往下面画个垂线，也是这条高，对吧？好，那么等高模型的结论是什么呢？就是两个三角形，如果是等高 的话啊，那么它的面积之比就等于底之比，这个其实非常好推导啊，你看第一个三角形是一个锐角三角形，对吧？它的高就是这个 h。 第二个三角形呢？这个是一个钝角三角形，那它的高呢？是过顶点往底边的延长线上面画一条垂线还是 h？ 那 你看第一个三角形，它的面积我们可以怎么写呢？底乘高除以二，也就是 a 乘 h 除以二。第二个三角形，它的底是这个长度是 b， 那 它的面积呢？就是底乘高除以二，也就是 b 乘 h 除以二。那两个三角形的面积之比，咱们来比一下，你 会发现相同的就可以抵消了，高跟高抵消了，除二除二抵消了，那你看面积之比是不是 a 比 b 啊？这就是我们得出的结论啊，只要是两个三角形是等高的，那 它的面积之比就跟它的底之间的比例有关，面积之比就等于底之比，非常简单，对不对？所以难度系数一颗星啊。那么接下来我们来看看如何从等高模型把其他的模型全都推倒出来。那么接下来呢，来看这个一半模型，一半模型难度系数只有一颗星。那 什么是一半模型呢？举个简单例子，比如说在一个长方形里面，或者说在一个平行四边形里面，随便在上面的某个位置点上一个小点，然后往下面连一条线， 连出来的这个阴影部分的这个三角形，它其实是整个平行四边形，或者说是长方形面积的一半。这个证明方法有很多种啊，咱们先从第一种证明方法来，就是等高模型来证明。怎么证明呢？很简单，比如说我现在就把这个长方形，我给他从对角线这里给 切开啊，连一条对角线，连完对角线之后，大家应该很清楚的能看到就对，角线肯定是能把整个图形一分为二的，对不对？那么对，角线分出的这个阴影三角形 很显然是它整个长方形面积的一半，而这个三角形跟我们想要正的这个三角形的面积是什么关系，大家能看出来吗？很明显是等高的吧，对不对？因为底是相等的，高也是相等的， 所以其实这两个的面积是完全一样的，等底等高面积就是相等的，所以它们其实就是等高的关系。所以你看我们因为这个阴影部分是长方形面积的一半， 所以我们可以很轻松的证明这个阴影部分也是长方形面积的一半。同时我们还能得出一个更厉害的结论，就是你不管这个点 往哪移动，它其实跟我们这个长方形面积的一半永远是相等的，永远是等底等高的，对不对？这个在数学当中又叫做等积变形， 面积是永远不会变的，等面积变形，同样的，这个也可以用等高模型来正啊。你看一个平行四边形，如果我们沿着对角线把它给分割开的话，那么分割出的这个三角形，那肯定是平行四边形面积的一半吗？好，那你看啊，这个三角形和我们随便点的这一个小点，他们两个是什么关系呢？ 这不是等高的关系，你看底是相等的高呢？因为平行线之间的这个距离是处处相等的嘛，所以他们的高也是相等的，也就说这两个三角形其实是等底等高的，那等底等高，那你这个点不管是点到哪个位置 组出来的这个三角形的面积永远是平行四边形面积的一半，这个大家能看懂，对吧？好，这是从等高模型的方向 去推导，当然我们还可以用其他的方法去证明啊，你比如说我们随便再画一个平行四边形，然后我也是随便点其中一个点，咱们来看这个三角形，它其实是平行四边形面积的一半，这个还可以怎么证明呢？这个我们还可以用 分割的方法去证明，就割补的方法，比如说我在这里也给他画一条平行线，画完之后大家看左边是个平行四边形，右边也是个平行四边形， 左边相当于是一条对角线，把平行四边形一分为二，这两个大小一样。右边也是个平行四边形，相当于把这个平行四边形对角线把它一分为二，左边等于左边，右边等于右边，那你说这两个是不是占了整个图形的一半 也是可以的，对不对？所以你看这就是一半模型啊，就是一半模型它的一个结论就是说，只要是这种情况下，这个阴影部分它永远是整个图形面积的一半。不管你这个点点到哪个位置， 因为一半模型这个本身使用的场景不算多啊，所以我们把它给到了一个最低的一个档位啊，叫做拉完了。接下来我们来进入下一个模型，风筝模型啊，风筝模型它的难度系数呢？大概是在两颗星，这个风筝模型怎么来的呢？它也是从等高模型推出来的啊。先给大家画一下风筝模型， 比如说我随便画一个四边形，很随意的画一个四边形，然后呢把这个对角线一连，那么连完以后呢？假如我现在告诉你啊，上面这条线段的长度是 a， 下面这条线段的长度是 b， 然后呢给这每个点 起个名字， a、 b、 c、 d， 好， 我们可以得出什么结论呢？就这相当于是一整个风筝像一个风筝的一个形状，那么这个风筝上半部分的三角形 s， 三角形 a、 b、 d， 它和下半部分的三角形 s， 三角形 cbd， 它们的面积之比呢，是等于这两个风筝的这个骨架的长度之比，也就是说等于 a 比 b， 这个怎么证明呢？这个其实非常好证明啊，我们给大家把这些三角形给它编个编号，比如说一二、 三、四。好，我们现在来证明一下，为什么上下这两个大三角形的面积之比等于这个风筝的骨架之比， 那我们根据等高模型来看一下啊，等高模型的话，你看啊， s 一 和 s 二，他们两个如果从这个顶点 b 来看，他们是不是同一个顶点， 对吧？同一个顶点，然后呢往这个底边画一条垂线，那么他们的面积之比是不是等于底之比啊？所以我们可以先得出第一个啊，就说 s 一 比上 s 二是等于 a 比 b 的， 这个大家如果正着看，看着不舒服，你可以把它斜着看，比如说我给大家重新画一下，我们可以歪着看， 这是 b， 这是 a， 这是 c， 这个长度是 a， 这个长度是 b 啊，那你看这是不是我们刚刚讲的这个等高模型，就是点 b 是 他们的顶点，然后呢这两个三角形他的高明显是相等的，那么他们的面积之比，这个第一个三角形和第二个三角形的面积之比，很显然是跟他们的底边的比是相等的，对不对？你这 看就舒服了啊，竖着看，可能大家看的没那么习惯啊。好，我们可以先得出 s 一 比 s 二等于 a 比 b， 同样的，我们还可以得出什么呢？还可以得出 s 三比上 s 四， 大家看是不是也是 a 比 b 啊？因为 s 三跟 s 四，他们也有一个共同的顶点点 d， 也就说他们也是等高的，因为从这个地点呢，往这边画一条垂线，这个就他们的高，他们的高是相等的， 那么高相等的情况，下面几支笔就等于底支笔，你也可以把它给斜过来看，所以 s 三跟 s 四呢，也等于 a 比 b。 那 么接下来我们怎么样证明一加三 和二加四的比也是 a 比 b 呢？因为你看嘛，整个三角形 a、 b、 d 就是 一根三的和，然后 c、 b、 d 呢，是二根四的和。那接下来我们就可以来取个特殊值，比如说啊，我们就把这个一根二呢，给它赋予了一个数值，这个数值的大小，当然 我们用了一个字母 x 来表示啊，这个 x 可以 是任意的一个确定的数。那我们把这个 s 三跟 s 四呢，把它的面积给它设成什么呢？因为它的比例关系是 a 比 b， 我 就把它一个设成 a y， 一个设成 b y 啊，这个 y 也是一个确定的数，对吧？因为这个大小呢，得看它的具体大小。 那么接下来你看啊，我们想求的这两个三角形 a、 b、 d， 它的大小其实是由一跟三组合在一块的，对吧？那一是 a x， 三是 a y， 那 我就把这两个加在一块，同样的 c b d 下面这个三角形，它是二跟四相加， s 二呢，我把它的大小设成了 b x s 四呢，我把它大小设成了 b y， 那 么把这两个加在一块，那么它们相加能不能化简出这个呢？显然是可以的，因为我们可以来个提取公因数，把这个 a 给它提出来，里面是 x 加 y， 把这个 b 呢也给它提出来，里面还是 x 加 y， 那么大家看 x 加 y， x 加 y， 怎么着啊？就抵消了，是不是就推导出了它的面积之比？确确实实也是 a 比 b， 这就是这个风筝模型。当然风筝模型除了第一个结论之外啊，还有一个小结论是什么呢？就是两个对角的这类两个三角形，它的面积的乘积也是相等的， 也就是说在蝴蝶模型里面， s 一 乘 s 四，它是等于 s 二乘 s 三的。这个结论也非常的简单，因为 s 一 比 s 二和 s 三比 s 四都相等，是都等于 a 比 b， 对 吧？我们写一下啊， s 一 比上 s 二 等于 s 三比上 s 四，它们的比例关系都是 a 比 b， 那 么根据我们的这个比例方程，这两个既然是相等的，那比例方程里面交叉相乘积相等，那你看一乘四等不等于二乘三呢？ 显然是等于的，对不对？我们学过这个比例的时候啊，解比例方程的时候，交叉相乘积相等，所以这个结论其实非常的好推导。那么风筝模型基本上是在我们的一些奥数题里面才会使用的啊， 平时在我们的一些常规的期末考试里面呢，大概率不会考到风筝模型这个结论，所以它的使用场景没有那么的广泛，我们把它的一个重要程度给到一个 npc， 那 么接下来我们再来看下一个模型，叫做燕尾模型。 燕尾模型和风筝模型这两个非常相似，它的推导过程也是非常相似的啊，难度系数相同，都是两颗星。首先先给大家介绍一下什么是燕尾模型啊？来给大家画一个燕尾模型，好，我们把它涂成阴影， 好，大家看啊，燕尾模型之所以叫燕尾呢，就是你看这里会有一个这样的像小燕的尾巴的一个形状，那么燕尾模型的结论就是说，这两个三角形的面积之比是等于它对应的这两个线段的长度之比的，那么写出来也就是说起个名字吧， a、 b、 c、 o、 s 三角形 a、 b、 o 比上 s 三角形 a、 c、 o 这两个小燕的尾巴，它的面积之比是等于尾巴对着这两个边的长度之比 等于 a、 b、 b， 这个怎么证明呢？其实也非常的简单啊，有点像风筝模型的证明，也是通过加减组合去证的。那比如说我们先来看第一个啊，这个也起个名字吧， a、 b、 c、 d， 大家先看啊，整个大三角形 a、 b、 d 和 a、 c、 d， 它们的面积之比是几比几啊？ a、 b， d 比上 s 三角形 a、 c、 d， 那 因为这两个三角形它们是有一个共同的顶点 a， 说明它们的高是相等的， 那高相等的情况，下面几之比是不是等于底之比啊？也就是 a 比 b， 这个能不能看出来？如果看不出来的话，我们可以把这个三角形给它旋转一下啊，比如说我们给它竖起来，你看就很舒服了啊，比如说这个是 a 啊，这个是 b， 这个是 c， 你 把它竖起来一看，你会发现特别的简单。那 我们看一下啊，这个三角形 a、 b、 d 和这个三角形 a、 d、 c， 它们是不是高是相等的？因为过顶点嘛，往下面画个垂线，高肯定是相等的，对吧？所以根据等高模型，高相等的情况，下面几之比是等于底之比。 所以我们说 a、 b、 d 和 a、 d、 c， 它的面积之比就是 a 比 b。 那 顺便我们把它的具体的大小给它，一个设成 a、 x， 一个设成 b、 x， 这是它的具体的大小，但这个大小是多少，那么不确定，所以拿了一个未知数 x 来引入啊。那同样的啊，我们再来看 s 三角形 o、 b、 d 和 s 三角形 o、 c、 d， 这两个三角形的面积之比是不是也是 a 比 b 啊？你看 o、 b、 d 和 o、 c、 d， 他们有一个公共的顶点 o 啊，然后明显是等高的，对吧？高相等的话，面积之比就等于底之比，这不就是等高模型吗？好，那么他们两个的面积之比也是 a 比 b， 那 既然是 a 比 b， 我 就把它设成一个确定的数，比如说我一个设成 a、 y， 一个设成 b、 y， 那 接下来你看我们想求的这个两块阴影部分的面积，其实就他们的差嘛。你看，比如说 a、 b、 o 是 怎么来的？ a、 b、 o 其实是由 a、 b、 d 减去 o、 b、 d， 也就是拿这个 a、 b、 d、 a、 x 减去什么呢？减去 o、 b、 d， 也就是减去 a、 y， 那 这个也是的啊，你看右边这个阴影怎么算呢？ a、 o、 c 怎么来的啊？它其实是由 a、 d、 c， 也就是 a、 c、 d 这个三角形，也就是 b、 x， 减去什么呢？减去这个小的 o、 c、 d 这个面积， o、 c、 d 的 面积。我们不是设把它设成了一个 b、 y 嘛，再减去 b、 y， 那 么减完之后，你看能不能得出 a 比 b 呢？用一个提取共因数就可以了。把这个 a 提出来，里面是 x 减 y， 把这个字母 b 提出来，里面是 x 减 y， 对 吧？那 x 减 y， x 减 y 就 消了，所以只剩下一个 a 比 b， 这个比例关系就推导出来了。你看这个证明过程跟我们讲那个风筝是特别像的，对吧？风筝是相当于是把两个三角形给它合起来了，燕尾呢，是相当于是拿大的 剪小的，这两个模型大家可以把它放到一块去记忆啊，我们经常就把这两个模型甚至是直接合成了一个模型，风筝和燕尾他们本来就是证明过程也是非常相似的。那么燕尾和风筝这两个模型呢？在我们的使用场景中，一般都是在一些竞赛题里面才会用的到，使用场景没有那么广泛 啊，所以我们把燕尾模型它的一个重要程度也放在了 npc。 接着我们再来看下一个模型，鸟头模型。鸟头模型也是可以从等高模型推导出来的，它相当于是等高模型的加强版，我们把它的难度系数给到三颗星。什么是鸟头模型呢？先来画第一个鸟头是这样子的， 一个三角形里面，我们再给他随便画一条线，这里面会出现两个三角形 a、 b、 c， 还有个大三角形 a、 d、 e， 这两个三角形的面积之比， 我们先说一下结论是什么啊？ s 三角形 a、 b、 c 比上 s 三角形 a、 d、 e， 它们的面积之比是直接可以口算的啊，就是这个是拿 a b 乘 a c， 下面呢是拿 a d 乘 a e， 也就说鸟头模型的结论是非常好记的啊，就是这个小的三角形，它的面积就是从这个顶点出发，把这两个短的线段成在一起。然后大的三角形呢，面积之比就是把这个从顶点 a 出发，把这两个长的边 它呈在一块。这个是怎么证明的呢？其实很简单啊，就是用到了刚刚说的等高模型，咱们来给大家画一条辅助线，就很好证明了啊。比如说我们就随便的连一下 b、 e 或者是 d、 c， 我 们给它构造出一个中间的三角形， 中间三角形是这个 a、 b、 e， 那 现在来看，我们把这个小的给它直接起名叫做小，这个叫大的我们给它构造出一个中不溜的 a、 b、 e， 我 们给它起名叫做中等大小啊，这样子我们写起来就方便一点啊。 那你看小的比中的是等于几比几呢？你看小的和这个中的，它们之间是什么关系啊？它们有个公共的顶点点 b 吧， 对不对？不断的用等高模型去看啊，就小的比中的，它们的顶点是 b， 小 的的底边是 a c， 中的的底边是 a e， 所以 应该是 a c 比 a e， 这个能不能跟得上？如果跟不上的话，我们可以把这个图形给它横 横着放，大家就看着舒服了啊。因为我们等高模型，大家都是喜欢把它横着看的，比如说把 b 点放在上面， a 点和 e 点放在下面啊，然后这个 c 点放在这，这是小的，小的是 abc， 中部溜的是 a、 b、 e， 那 这两个三角形它明显是等高的关系，因为顶点是 b 嘛，对不对？所以面积之比就等于底之比， 小的的底是 a、 c， 而中不溜的这个 a、 b、 e， 这个三角形，它的底是 a、 e， 所以 面积之比呢，就等于底之比 a、 c 比 a、 e。 同样的小的跟中的，写完之后我们再来看中的跟大的，比如说这个中不溜的三角形 a、 b、 e 和这个大三角形 a、 d、 e， 它们之间的面积关系是几比几呢？这个时候你观察啊，它们有个公共的顶点点 e， 对 不对？然后呢，公共的顶点找到之后，那我们就来看它的底，它的底是 ab， 它的底，所以它们两个是等高的关系。 很高的关系的话，那么面积之比就等于底之比，也就是 a、 b 比 a、 d。 当然大家斜着看肯定看着不舒服，我们可以把它倒过来看啊，怎么倒过来呢？比如说我们把这个 e 点放在上面，这样大家看着会舒服很多。然后我们的这个中部溜的三角形是 e、 a、 b， 假如这个是 a， 那 么这个中部溜的是 e、 a、 b 一点，我们就画在这吧。也就说我们这个中不溜的三角形 a、 b、 e， 它就是这一块，它跟这个大三角形 a、 d、 e， 它们是有什么特点呢？顶点是相同的， 也就说它们两个的高是相等的，就是我刚说它们的高是相等的，大家斜着看，可能看着没那么清楚啊，在我们竖着看就会非常清楚，对吧？它们是等高的，那等高的话，面积之比，你看是不是等于底之比？中不溜的三角形，它的底是 a b， 得出了他们的面积是 a b 比 a d， 那 现在我们的目标是想求小的跟大的的面积之比，那这个怎么求呢？很简单，你把这个小的比中的和这个中的比大的，你给它成在一块，那成在一块之后，大家看啊，那是不是中跟中就约分约掉了，对吧？就只剩下一个 小的比大的，那等于什么呢？就是把这个跟这个乘在一块就行了，也就是 a c 比上 a e 乘，上 a b 比上 a d， 那 乘的时候，你看我们是不是可以把它写到一块啊？对吧？分子跟分子相乘，然后呢分母跟分母相乘， 所以我们就可以快速的记出这个结论了啊，就是说鸟头模型小的三角形，它的面积就是把这两个相乘，大的呢就是把这两条边相乘，就得出了鸟头模型的结论了。当然鸟头模型呢，也会有一些变形啊，比如说就是这只小鸟，它的嘴巴可以把它歪到外面去。我们给大家拓展一下啊， 这个顶点还是 a， 然后这个是 d， 这个是 e， 这个是 b， 这个是 c， 也就说现在鸟头模型还有一种变形是什么呢？把这个小三角形直接歪到外面去，这是大的，那么他们的结论依然满足什么呢？依然满足小的跟大的的面积之比，等于 ab 乘 ac 比上 ab 乘 a e， 这是为什么呢？很简单啊，用一步就可以证明了，就是我们直接把这个点 c 呢给它挪到里面，起个名字叫 c 撇，那你看这个 a b c 和 a b c 撇，它们的大小是不是相等的呀？因为我构造一个长度 和 a c 相等的线段，叫做 a c 撇，构造一个相等长度的线段，那你说这个小的和这个小的面积是不是相等的？这是不是又用到等高模型了呀？对吧？这样侧着看，咱们看不出来的话，我们可以横着 看啊，相当于是顶点是点 b， 然后呢，这里有一个 c 点，这里有个 c 撇，然后点 a， 就是 他们的中点嘛，对吧？也就是我们做到一个条件，就是 a c 的 长度和 a c 撇的长度是一样长的就可以了啊。你想如果是一样长的话，顶点是点 b， 那 高是相等的，对吧？ 那底边又是相等的，那你说这两个三角形面积是不是相等？所以你看啊，就是我们只要把外面这个三角形给它扭到里面去，那是不是就回到刚刚这个场景了？那所以你看外面三角形的线段长度就是 ab 乘 ac， 这个 ac 和这里的 ac 片长度是完全一样的， 所以就是鸟头模型，它可以把这个三角形给它扭到外面去啊。但是你要知道这两个三角形的大小是完全一样的，因为还是等高吗？这是鸟头模型啊。那么鸟头模型它的使用场景不仅在我们小学奥数里面，可以用在 一些初衷的几何的一些计算当中，如果你会鸟头模型的话，你就不需要再一个个去推导了，有很多不会鸟头模型的同学呢，做这种三角形的面积关系的时候，都需要画一条这样的辅助线， 去通过小的和中的去算，然后再算中的跟大的啊。那如果你知道鸟头模型的话，你就可以省掉这一步，所以它其实在我们的计算当中帮我们省了很多的一个书写的过程。那么这个我们就给到一个叫做 人上人。接下来我们再讲下一个模型，沙漏模型，沙漏模型也是可以从等高模型推倒的啊， 难度系数也不高，两颗星。先来给大家画一个沙漏，这个沙漏有一个特点啊，就是上下两条边，它是平行的，假如我告诉你上面这个线段是 a， 下面这个线段是 b， 那 么沙漏模型的结论很好记，就是对应线段成比例。比如说我们把这个设成 a， 这是 b， 这是 c， 这 d 中间这个点是 o， 那么沙漏模型的结论就是什么呢？就是 a， b 比上 c， d 等于 a， o 比上 d， o 又等于 b， o 比上 c， o 都等于 a 比 b， 这就是它的结论。你看因为上下相对，然后这个跟这个是对应的线段，然后呢，这一个线段跟这个线段也是对应的关系。 那么沙漏模型的结论就是说这些对应线段都是成比例的。这个在我们初中几何里面，它又有一个名字叫做相似比， 因为这两个三角形它是相似三角形嘛，在我们初中里面啊，我们会把它称之为叫做相似三角形，那么相似三角形的对应线段是成比例的，那怎么证明呢？我们现在来给大家证明一下啊，其实沙漏模型的证明呢，它不仅要用到等高，它还用到 我们风筝模型的结论。现在来用一下风筝模型啊，风筝模型，大家还记得是什么结论吗？就说 o、 b 比 o、 d， 它实际上是等于两个三角形的面积之比的。我们刚刚讲的这个风筝模型，大家可以切回去看一下啊，风筝模型是什么呢？ 再回忆一下啊，风筝模型指的就是说上面这个三角形，它跟下面这个三角形它们的面积之比，是等于这个风筝的这两个骨架的线段长度之比的。那风筝模型你也可以反过来用，怎么反过来用呢？就这个骨架的长度之比，比如说 b、 o 比上 c、 o 就是风筝的两个骨架，它的长度之比呢，就等于它所在的这两个三角形的面积之比，也就说它是等于三角形 a、 b、 d 比上三角形 a、 c、 d， 这是第一步我们用到了一个风筝模型的结论。好，那么这个 a、 b、 d 和 a、 c、 d 我 们来看看啊，它们又是什么关系呢？ a、 b、 d 这个三角形，如果我们求它的面积的话，它是底乘高除以二，对吧？它的高给大家画出来啊，就比如说是这一条过顶点往这个底边的延长线上面画一条垂线，同样的这个 a、 c、 d， 它的高我们也给大家画出来啊，过顶点往下面画个垂线， 有没有发现它们的高是相等的，因为这是平行线嘛，对吧？相对于是个梯形，那梯形的高肯定是相等的，所以我们把这个高给它表示出来。你看 a、 b、 d 的 高呢，是拿 底乘高除以二，也就是 a 乘 h 除以二， a、 c、 d 的 高呢？这个看着更舒服啊， a、 c、 d 这个三角形底乘高再除以二，也就是 b 乘 h 除以二。哎，有没有发现这两个三角形是啥关系呢？ 是等高的关系，就是等高模型了啊，高相等的话，对吧？那面积之比，那不就等于底之比吗？所以就等于 a 比 b， 那 同样的，你想证 a o 和 d o， 那 就两个字，同理对吧？同理可得一样的方法啊，就是你把 a o 和这个 d o 也用风筝模型把它转化成两个三角形的面积之比， 再用等高去正，所以这就是我们的这个沙漏模型啊。那么这个沙漏模型呢，因为它不仅在小学奥数里面用的比较多，到了初中学到相似三角形之后也会用，所以它的使用场景是非常非常广泛的，我们把它的一个重要程度放在了顶级。 讲完这个沙漏，顺便来把金字塔给它快速的讲一下啊，因为金字塔和沙漏可以说是几乎完全一样的，今天呢，我给大家讲明白金字塔模型，它的难度系数呢， 跟沙漏一样，两颗星，但是如果你沙漏模型已经听懂的话，那金字塔模型就是一瞬间你就明白了啊，就什么是金字塔模型呢？就你把沙漏的这个上面这个三角形给它倒过来，给它折进来，折成什么样呢？来我们看一下啊，就相当于是点 o 在 这， 我把这个 a o b 啊给它往里面一翻折，翻到这 a 点跑到这了， b 点跑到这了啊，就画了一个平行的往里面一翻折。所以现在我们就来看看啊，这个金塔模型它的结论是什么呢？ o， 然后这是 b a c d， 相当于是把这个 a b 给它对折过去了。那么刚刚这个沙漏模型的结论它都满足 什么结论呢？就是 o b 比上 o c 对 应边这个边跟这个边，然后等于什么呢？等于 o a 比 o d 和这个边比这个边，对吧？对应边乘比例嘛，还等于什么？等于 b， a 比上 c d， 也就是 a b 比上 c d， 比如长度，假如是 a 跟 b 吧，那么它们都等于 a 比 b， 其实也是我们初中几何中的一个相似三角形，叫做对应边乘比例。那金字塔和沙漏本身就是一样的，只是倒进来了，那么在这个金字塔里面还有一个比这个结论还要更重要的结论，叫什么呢？叫做 o b 比上 bc 等 于 o a 比上 ad， 这个也是在初中用的比较多的啊，有句话叫做平行线分线段乘比例就是来自于这里，就他比他等于他比他， 这个怎么证呢？来，其实可以从上面这里来证明。你看，既然这个 o b 比上 o c 等于 a 比 b， 那 我现在就可以把这个 o b 呢，给它设一个具体的长度。比如说设成一个 a x， 那 么 o c 呢？它的长度，你看 o b 比上 o c 等于 a b b 嘛，对不对？我就可以把这个 o c 呢给它设成一个 长度，是 b x， 那 我们想要的 b c 呢？它就是 b x 减 ax， 我 们看这个具体的长度啊， o b 的 话，我们就写成一个 ax， 然后呢， b c 的 长度是拿 o c 减 o b， 也就是 b x 减 ax， 这是这个线段的具体的长度，我们给它写出来了啊。同样的看 o a 和 o d， o a 比上 o d 也等于 a 比 b， 那 我就把 o a 的 长度呢，给它具体的设成一个字母叫 a y， 因为这两个长度不一定相等嘛。这个不是说它是个等腰三角形，对吧？可能一个长一个短，所以把这个长的设成 a y， 把这个 o d 呢？因为 o a 比 o d 等于 a 比 b 嘛，所以我把这个 o d 给它设成 b y， 整个长度 o d 设成 b y， 那 么你看 a d 是 多少啊？来写一下啊。 o a， 我 们把它设成了 a y， a d 的 长度显然是拿 o d 减 o a， 也就是拿 b y 减 a y， 那 这两个相不相等呢？我们来提取一个共因数，上面是 a x， 下面是 b 减 a 倍的 x 上面是 a y， 下面是 b 减 a 倍的 y， 把 y 给它提出来，对吧？那你看 x x 抵消了 y， y 抵消了相不相等，很明显是相等的， 那他们相等，那上面这个就相等了，那就说我们就可以轻松的把它挣出来了啊，这个结论是非常重要的啊，再说一下，这个结论在咱们初中数学当中叫做经典的结论叫做平行线，分线段成比例，那么如果说这两个线段的比例是相等的，我们反过来还可以得出这两条线是平行的。 所以这个金字塔模型在我们的小学奥数啊和初中几何中使用的频率都非常高啊，所以它的重要性不言而喻，我们把它放到了 顶级，它跟沙漏是一个级别的。那么接下来我们再来看最后一个模型啊，蝴蝶模型。蝴蝶模型呢，它是由等高和沙漏一起推出来的啊，它的这个难度系数呢，就相对比较高了啊，三颗星难度，因为它的推理过程比较复杂，但结论你一旦记住之后呢，做题速度会非常的快。什么是蝴蝶模型呢？它是在一个梯形里面研究四 三角形的面积关系。比如说现在我给你随便画一个梯形啊，然后我告诉你，梯形的上底是 a， 下底是 b， 那 么我们是可以快速的得出这四个三角形之间的面积的比例关系的。比例关系是什么呢？就是 s 一 比上 s 二比上 s 三比上 s 四，等于 a 方比 ab 比上 b 方，再比 ab。 那 么接下来我们来给大家证明一下啊，其实我们只要挣前三个就行了， 因为 s 二跟 s 四呢，它是相等啊，为什么相等呢？这个我们得从等高模型说起，你看啊，整个大三角形 s 三角形 a、 d、 c， 它和 s 三角形 b、 d、 c 是 不是相等的？这个为什么相等呢？因为这两条是平行线嘛。那说明这两个三角形的高是不是相等的？ 顶点 a 往下面画个垂线画个高，从顶点 b 往下面画个垂线画个高，那梯形的高肯定是相等的，对不对？然后它们的底也相等，那说明这两个三角形是等底等高的，所以 a、 d、 c 的 面积和 b、 d、 c 的 面积是相等的。既然你们的面积都相等，那我从你们这里面都减掉一个三， 把这个第三个三角形给它剪掉，把编号三的这个三角形剪掉。那剪完之后，请问剩下的两个三角形相不相等呢？二根四剩下的肯定也相等嘛，对吧？相当于是你们这两个三角形本来就一样大，我又给你们同时咔嚓剪掉了一块，剪掉完之后，左右两个肯定相等，剩下的就相等。所以剪完之后，我们可以得出 s 二和 s 四是相等的啊。 那么接下来我们想正他的比例关系，我们只需要正前三个，因为二跟四是相等的，我只要把二算完之后，那四跟他就是一样的了，这个怎么正呢？这个其实就要用到我们的这个沙漏模型了，咱们先来看这里面有没有个沙漏呢？就是这个三角形和这个三角形 是不是一个沙漏啊？那么沙漏模型里面告诉我们了一个结论，就是对应线段是成比例的，比如说你看我们这里面的对应线段，我们来找一下啊， a、 b 和 c、 d 是 对应的，那么 b、 o 和 d o 是 不是也是对应的？所以我们可以得出 b o 和 d o， 它的长度之比也是 a 比 b， 这叫对应线段成比例，这是根据我们前面讲的沙漏模型得出来的，那么它的对应线段就成比例，这个比例就叫做相似比。 所以你看啊，我们可以得出什么呢？得出 a， b 比上 d， c 等于 b， o 比上 d， o 等 于 a， o 比上 o， c 都等于 a 比 b 好， 那比如说我们现在就来研究 s 一 和 s 二，你看 s 一 和 s 二，它的面积之比等于几比几呢？大家看一下啊，它的面积之比，因为它们有个公共的顶点嘛， 所以其实 s 一 和 s 二它们的关系是等高的关系。如果你看不出来的话，我们可以把这个三角形给你横着画，就把 a 点画在上面，你就看着很舒服了。等高模型 a 点在上面， b 点 和 d 点在下面，对吧？然后 o 点我就画在这，这样子看，大家会看着很舒服。这两个三角形一个是一，一个是二，它们明显有个公共的顶点，然后它的高是相等的，所以它的面积之比呢，就等于底之比。一个是 o、 b， 对 吧？那长度就是 a 比 b， 它们的面积之比就是 a 比 b， 这是 s 一 跟 s 二。那我们再来看 s 二跟 s 三， s 二跟 s 三，它的面积之比是等于多少呢？ s 二跟 s 三，大家看它有个公共的顶点 d， 只要找到公共顶点，那就能说明它们是等高的，那高相等的话，面积之比呢，就等于底之比，这个底呢就是 o a 和 o c， 如果你看着不舒服的话，我们也可以把这个点 d 啊给它画在上面，然后 a 画在下面， c 也画在下面，对吧？然后 o 就 画在这个位置，那你看这是 s 二，这是 s 三，那二跟三的面积之比，因为有个公共顶点 d 嘛，那么它们是等高的，那面积之比就等于底之比。我们不断的在用这个等高模型，那 a、 o 的 长度和 o、 c 的 长度。刚刚说了，这是沙漏模型里面的结论，也就是 a 比 b， 这 a， 这是 b， 所以 s 二比 s 三呢，也等于 a 比 b， 那 么他比他是 a 比 b， 他 比他也是 a 比 b。 我 们想要画个连笔，画个连比来，咱们可以横着写啊，就 s 一 比上 s 二等于 a 比 b， s 二比上 s 三也等于 a 比 b， 那 么想要画成连比的话，我们就要找到中间桥梁 s 二，这是咱们在小学阶段的一个经常的基本操作， 把相同的这个给它统一，对吧？你这里是 a， 这里是 b， 那 怎么办呢？那我就可以求一个最小公倍数，最小公倍数 a 跟 b， 那 搞个乘积，那就是 ab， 对 吧？这里相当于是同时扩大 a 倍，那所以前面 a 乘 a 就 变成 a 的 平方了，这里呢，相当于是同时给它扩大 b 倍。都乘个 b， 那 这里是 ab， 这里就是 b 乘 b， 也就是 b 的 平方。你看，我们相当于是把 s 二给它统一成了 a b， 那 你看 s 一 比 s 二是 a 方比 a b， s 二比 s 三呢？是 a b 比 b 方，那连在一块就是 a 方比 a b， 再比 b 方，我们就得出这个结论了。那得出完这个结论之后， s 四呢？因为刚刚说了嘛， s 二和 s 四是相等的，所以我们都把它写成 a b， 就是整个的一个蝴蝶模型了啊。而且这个模型呢，大家会发现有个很神奇的事情啊，就是如果你把这每一块的面积加在一块， a 方加 ab， 再加 b 方，再加 ab， 它刚好是等于什么呢？等于 a 方加二， ab 再加 b 方，这是咱们初中的一个完全平方公式，也就是 a 加 b 的 平方。所以我们如果从分数的角度来看的话，你只要告诉我上下之比是几比几，我就可以先把整个面积的 总分数给它求出来，是上下两个数的和的平方，那每一个的分数分别就是这个，大家可以去算一算啊，这就是我们快速的去计算每一个三角形占了总面积的几分之几，你可以把它当成一个总分数，总分数是 a 加 b 的 平 方，每一份分别是 a 方、 abb 方还有 ab， 这是我们数学中啊，八大模型中的最后一个模型叫蝴蝶模型啊，这个模型呢，你一旦掌握之后，可以大大的提升你的计算速度啊，它的一个特色呢，有点像鸟头模型， 说你哪怕不知道这个结论，你也能求，只是计算速度会很慢，但你一旦知道这个结论之后呢，你可以把你的计算速度提升十倍左右，所以我们把它的一个重要性放在了跟鸟头模型一样的地位，叫做人善人啊，所以蝴蝶模型跟鸟头模型 相同的地位。这就是我们整个小学阶段必备的八大数学模型，你最好是能够像我这样子把它整个模型做一个互相推导，那么你就是几何模型当中的高手了。 我们说模型是咱们整个几何学习的最高境界，第一层境界是会背公式，第二层境界是会用方法，什么平移、旋转、对称差不变融式原理，那最高境界就是我们的几何模型。今天我们这个模型就给大家全部讲完了啊，大家可以点赞收藏，我们下次想要学什么可以在评论区留言。

中考数学八大动态模型！

好同学们，今天我们一起来学习一个特别经典的几何模型，牛角模型。好同学们，看这道题。我们有两条平行线，上面这条叫 ab， 下面这条叫 cd。 然后在两条平行线的外面有一个点 e 就 在上面这里， 从 e 出发，画一条线，交 a、 b 于点 b， 再从 e 画一条线，交 c、 d 于点 d。 看两条线像不像牛角，这就是牛角模型的由来。 在点 b 这里，线 b、 e 和直线 ab 形成一个夹角，我们叫它角一，用黄色标出来。 在点 d 这里，线 d、 e 和直线 c、 d 也形成一个夹角，叫角三，用橙色标出来。 正点来了，在 e 这个牛角尖处， e、 b 和 e、 d 之间的夹角就是角二。已知角一大于角三，角二和它们的关系是什么呢？ 解析诀窍来了，过 e 这个点，做一条平行于 a、 b 的 辅助线，叫 e、 f。 就 这一条辅助线就够了。因为 e、 f 平行于 a、 b， e、 b 是 截线，两条线同侧的内角加起来等于一百八十度，所以角 e 加角 f、 e、 b 等于一百八十度。 因为 ab 平行 cd， 所以 ef 也平行 cd 结线是 e、 d 同旁内角。角三加角 f、 e、 d 也等于一百八十度。 注意看，角 f、 e、 d 被 e、 b 分 成两份，靠近 f 这边是角 f、 e、 d 靠近 d 那 边是角二，所以角 f、 e、 d 等于角 f、 e、 d 加角二。 现在列出两个等式，角一加角 f 一， b 等于一百八十，角三加角 f 一 b 加角二也等于一百八十。两边都是一百八十度，那就可以连立了。 两个等式相减角 f 一、 b 消掉了，就得到角一等于角二加角三，也就是角二等于角一减角三，这就是结论。 记住这个口诀，牛角的度数等于较大角，减去较小角以后，在考试里看到这个图形，马上用这个公式，这就是经典的牛角模型。

你永远也考不过一个从七年级开始就每天掌握一个几何模型的孩子，因为初中数学拉开差距的就是几何题。推荐就用这套初中几何模型图描写了初中三年所有常考模型，像手拉手模型、雨伞模型、将军印马模型 图、不规模型等，每个模型的图式、已知条件、辅助线画法以及结论都用表格梳理好了。接着是模型证明过程，让孩子了解解析原理。最后通过真题， 手把手教你学习答题思路和答题步骤，遇到不懂的，扫码就能看视频讲解，搭配练习册使用。学完一个知识点，及时做对应的练习题，才能检查出孩子的不弱点。家有初中生的快准备起来吧！

五十秒帮你捋清各种必考几何模型，你学过几种？证明三角形全等手拉手二、一线三等角三背长中线四截长补短五、绊脚模型，证明三角形相似 a a 字形二、八字形三、摄影定力四、旋转相似 动点求最值问题一，将军一马二胡不归三阿是圆四、费马点 源于辅助线一、四点共线二，定弦定角引圆三、切线模型。中点与面积模型一、中点模型二，面积模型 学霸们还有补充的吗？评论区留言，你学会了吗？关注我，后期详细讲解！

初中几何考来考去，无非就这六十个模型把他们都吃透，数学也就稳了。他把初一八个模型、初二三十三个模型、初三十九个模型都整理在这本初中几何模型图表解里了。让孩子从现在开始，每天掌握一个几何模型，等到考试小题套结论，大题套模型， 别提多轻松了。比如风筝模型、手拉手全等模型、将军印马模型、胡不归模型、点线圆最直模型等每一个模型的已知条件、辅助线、画法、 结论是什么、怎么证明的，都给孩子梳理的明明白白。搭配对应的典型真题，从找模型到套用模型，让孩子可以快速吃透每个考点。有了这本书，以后做几何题就像查字典一样简单，关键扫码，还有免费的视频讲解， 不怕孩子学不会。学完再用这本配套的练习册刷对应的真题，巩固提升，这样无论考试题型怎么变，都能从容应对，快速解析，初一、初二、初三都能用！家有初中生，快给孩子准备起来！

今天一条视频带你学会八种三角形面积公式，以后，看到这些图啊，公式直接往里带。首先第一个呢，就是非常基础的一个三角形底和高啊，如果同学们都很容易得到，那我们毋庸置疑啊，直接去写我们的面积公式， 二分之一的底层高就可以了，比如说题目直接告诉你啊，底呢是一个二，高呢是一个三，那面积轻松算出来就是个三喽，基础面积公式，那我们继续来看第二个，那第二个公式呢，就是我们的寝酒勺公式了，寝酒勺公式啊，它用起来啊，就会比较复杂一点， 函数用的前提呢，也不一样了，这个呢，你得知道三条边啊， a、 b、 c， 比如说你都知道它的长度了，那我们此时啊，这个面积公式就可以用前九勺的面积公式了，公式比较复杂喽，根号下的这里四分之一哎，括号 a 的 平方， b 的 平方，再减去二分之 a 的 平方，加上 b 的 平方，减去 c 的 平方的还平方，然后呢，做这么一个整体，这个公式就比较复杂了。但是呢，你发现只要我知道了三条边，比如说随便给你啊，比如说我给了你一个 二啊，给了你一个三啊，再给了你这边的话，比如说是一个一点八这种特别复杂的数，当你发现其实你常规的方法就算很难，但是我们知道三条边啊， 我们把这个数据往里面一带，虽然公式复杂，但带进去不就直接拿到答案了吗？好，那接下来呢，我们就继续来看第三种面积求法海伦公式啊，它应用的这个前提啊，跟我们的琴九勺公式有点像，当你 a、 b， c 这三条边啊都知道的时候，我们就可以用海伦 公式了，海伦的面积公式是根号下，这个 p 呢，乘一个 p 减 a， 再乘一个 p 减 b， 再乘一个 p 减 c， 那 这个 p 是 什么呢？我们这不是 abc 吗？哪来的 p 呢？ p 是 一个整体思想啊，是等于一个二分之 a 加 b 加 c， 就 这个三角形周长的一半，所以同样啊，我们什么时候用海伦公式，当我三条兵都知道的时候，用海伦公式也可以进行计算的，所以我们继续来看。那第四个呢，就是我们的内切圆公， 内切圆公式适用于当我们有一个三角形的时候，并且呢，有一个内切圆，也就是跟三边啊，都会是相切的，那我们把这个呢画出来啊， 跟三边相切，这就是半径喽，半径喽，半径喽，那我们的面积公式就等于二分之一的 c r， 这里的 c 呢，指的是三角形的周长，那也就是等于二分之一的 a 加 b， 再加 c 再乘以我们的， 那怎么来呢？核心的本质啊，是等面积法，如果呢，知道的同学们可以在评论区说说他怎么去证明的。这是我们的第四个，那第五个呢，是我们的正弦公式，也就是边和角呢，一起沿系在一起，这呢一共有三种形式啊，第一种 s 三角形啊，是等于二分之一 a b 的 三 sin c 啊，第二个呢，是二分之一的 a c sin b， 以及我们第三种是二分之一的 b c sin a， 也就意味着我们这个公式啊，就有边有角了，当你有边有角的条件的时候，我们可以考虑正弦公式。好，那继续我们来看第六个，第六个呢是我们等边三角形面积公式， 这个图形啊，我们在小学，初中乃至高中啊，我们用的非常的多，所以我们面积公式一定要直接给他用起来，选择填充就可以秒杀了。如果呢，这是个等边三角形，边长的是 a， 那 我们的面积直接就是等于四分之根号三 a 的 平方，这个呢你会用上一百次。好，那我们继续来看第七个面积公式。第七个呢是等 幺三角形的面积公式，也就是来了一个等腰啊，这里面的是 a、 b， c， 并且呢顶角啊，是一个特殊的一百二十度假设两条腰啊，我们就假设为 m 嘛。好，那此时这么一个等腰三角形的面积公式啊，就跟我们的等边三角形是很像的，四分之根号三 m 的 平方，这个公式啊，我们也会用到一 百次。那第八种面积公式是牵垂法，牵垂法的话，我们应用的场景啊，就是在我们的平面直角坐标系里面随便来一个 三角形，那这里边呢，分别为 a、 b、 c。 那 么此时呢，各位同学们，直接把面积公式带进去 s， 三角形直接二分之一乘以一个 x c 减去 x b， 再乘以一个 y a 减去一个 y h， 所以 只要三点的坐标，你都知道，这个面积直接套公式就可以了。所以以上呢，就是我们八种三角形面积求三的公式，好好记忆它哦。

中考数学，想在两小时内拿下考试一百二十分的题，一定要学会几何模型解析，如果每道题都要现场想，思路破解很难都做完。建议孩子从初一开始学这六十八个几何模型。初一到初三常考的模型都包含了大体有思路，小题套模型。你看将军印马模型、手拉手模型、八字模型、 胡不归模型、阿式圆模型，每个模型都有模型证明和核心母题，母题解析也很详细，每个模型后面都有实战练习题，巩固所学知识，不明白的还可以扫码看视频讲解。掌握了这些解析模型，摸清楚出题规律，数学几何题也就没那么难了，抓紧练习起来吧！

初中数学，如果说你想考到这个一百一十分以上，那你必须要掌握这几和八大模型，各位家长呢？给孩子们赶紧这个收藏起来看一下！这个哪些学了，哪些还没有掌握 啊？分别是将军野马模型、费马点模型、手拉手模型、瓜豆模型、胡不归模型、影缘模型、绊脚模型和一线三垂直模型这八大模型。

初中数学拉开距离的就是几何题，初中几何再难也就这四十二个模型，让孩子把它吃透了，考试也就不怕了。你看像八字模型、飞镖模型、手拉手模型、对马点模型、阿是圆模型和四点共圆模型都整理在这本初中数学几何模型里了。 每个模型的结论是什么，证明过程怎么写，怎么套用到真题里，全都整理的清清楚楚，让孩子把它吃透。遇到选择填空题，就能直接套用结论，写出答案。看不懂也没关系，扫码还有视频讲解， 学完再做对应练习，有学有练，才能更快掌握答案。单独成册讲解也超详细。配套的还有一本函数和应用题，让孩子把它们都吃透，初中三年的数学都不用愁！

好同学们，今天我们一起来学习一个特别经典的几何模型，半角模型。好同学们，看这道题。这是一个正方形 a， b， c， d 四条边完全相等，四个角都是直角，在下边 b， c 上取一点 m， 右边 c， d 上取一点 n， 再把 am 和 an 都连起来。 已知角 m， a， n 等于四十五度，正好是正方形直角的一半，所以叫做半角模型。诀窍来了，过 n， 延长 n， d 到点 e， 让 d， e 等于 b m， 再连上 a， e， 口诀叫做渐半角旋旋角。 看这两个三角形 abm 和 a d， e， a， b 等于 a， d 是 正方形的边角 b 和角 a， d， e 都是九十度， b， m 等于 d， e 是 我们构造的三组条件，正好是边角减边全等 全等之后对应边 a， m 等于 a， e 对 应角角 b， a， m 等于角 d， e。 这三个等式下面都要用，先记住 关键推导来了，正方形角 b， a， d 等于九十度，减去角 m， a， n 的 四十五度，得到角 b， a， m 加角 n， a， d 等于四十五度，再加上角 d， a， e 等于角 b a m， 所以 角 n a， e 也等于四十五度。 第二对全等三角形 a， m， n 和三角形 a， e， n， a， m 等于 a e， 角 m， a， n 等于角 e， a， n 都是四十五度， a， n 是 公共边边角减边全等 全等之后， m， n 等于 e n。 角 m， a 等于角 e n， a 角 n m a 也等于角 e。 三对对应，全都拿到了 e， n 等于 d， e 加 d n， 而 d， e 等于 b m， 所以 m， n 等于 b， m 加 d n。 第一个结论，整完 角平分线来了，角 b m， a 等于角 e 第一对全等，角 n m， a 也等于角 e， 第二对全等，所以这两个角相等， a， m 是 角 b m， n 的 平分线， 同样的角 m， n， a 等于角 e， n， a 第二对全等。而 e， d， n 三点共线角 e， n， a 就是 角 d n a。 所以 na 平分角 d， n m。 最后一个结论，三角形 m c， n 的 周长是 c， m 加 m， n 加 c n， 把 m n 换成 b， m 加 d n 就 变成 b c， a 加 cd， 正好是正方形周长的一半。正完， 三个结论全部证完。这就是大名鼎鼎的绊脚模型。考试里只要看到正方形里有个四十五度角，立刻想到它，见绊脚、旋拳脚盖绊脚，得绊脚！记住它哦！

赶紧收藏一个视频带你看完中考几何四十八套模型，收藏起来慢慢看，看完绝对超值！ 中考几何模型一、双中点模型如果 m、 n 分 别为 a、 c 和 b， c 的 中点，不管点 c 如何变化， m n 始终等于二分之一 ab。 因为 m n 等于 mc， mc 是 mc 的 一半， mc 是 mc 的 一半，所以 m n 就 等于 ab 的 一半。中考几何模型二、双角平分线模型 若 o、 m、 o n 分 别为角 a、 o b， 角 p o b 的 平分线，那么角 m o n 始终等于二分之一角 a o b。 当 o p 在 角 a o b 内部的时候，角 m o n 等于角 m o p 加上角 n o b， 而角 m o p 和角 n o b 分 别为角 a o p 和角 p o b 的 一半， 所以角 m o n 相加就等于二分之一。角 a o b 外部的时候，角 m o n 等于角 n o b 减去角 m o p， 角 n o b 等于角 p o b 的 一半，角 m o p 等于角 p o a 的 一半，而 p o b 减去 p o a 正好等于角 a o b， 所以 角 m o n 等于二分之一角 a o b。 中考几何模型三、猪蹄模型若直线 m 平行于直线 n， 则阿尔法加贝塔等于伽马。证明方法非常简单，过点 h 做直线 m 的 平行线。根据平行线的传递性，可证明三条直线互相平行， 此时伽马被分成两个小角，这两个小角分别对应等于阿尔法和贝塔。中考几何模型四、铅笔头模型 模型结论，若直线 m 平行直线 n， 则阿尔法加贝塔再加伽马等于三百六十度。证明如下，过点 h 做直线，与直线 m 互相平行。根据平行线传递性，三条直线彼此平行，再根据两直线平行同旁内角互补， 得到两组互补内角相加总和就是三百六十度。中考几何模型五、鹰嘴模型如图，若直线 m 平行 n， 则角 c 等于角 a、 加角 b。 证明十分简单，只需要延长 a、 c。 根据两直线平行，同位角相等，得到角 b 等于外角，再利用三角形外角定里，外角等于角 a、 加角 b 直接得正。中考几何模型六、八字模型 先看普通版本，角 a、 加角 b 等于一百八十度，减去角 a、 o、 b、 角 c、 加角 d 等于一百八十度，减去角 c o d、 角 a、 o b 和角 c、 o、 d 是 对顶角，角度相等， 所以最终得出角 a、 加角 b 等于角 c、 加角 d。 再看进阶版本，利用普通八字模型结论进行推导即可。中考几何模型七、飞镖模型 普通版结论，角 a、 加角 b、 加角 c 等于外侧大角 d。 证明方法，连接内侧线段并延长外侧大角，分成两个外角，分别套用外角定里即可证明进阶版 就是两个普通飞镖模型叠加，证明思路完全一致。中考几何模型八、 a 字模型一共分为两种，正 a 模型和斜 a 模型。无论哪一种，核心都是三角形相似，对应边长成比例。 正 a 模型上下对应边，依次成比例。斜 a 模型找准对应边角，对应边长同样成比例。 做题务必分清类型，找准对应边，避免出错。中考几何模型九、老鹰抓小鸡模型模型结论，阿尔法加贝塔等于伽马加德尔塔。证明方法，连接内部两点，构造三角形，把阿尔法和贝塔转化为三角形，外角套用外角定理，直接证明 中考几何模型时，夹角高分模型， a、 e 为角平分线， a、 d 为高线，可快速求出两者夹角。当平行线遇见中点，会出现各类经典几何结论， 矩形三折翻折问题，找准线段关系，套用勾股定律即可求解大树折断经典题型， 结合生活场景，求出树木原本高度，蚂蚁爬行最短路径。掌握方法，轻松解题。对角线互相垂直的四边形，中点四边形一定是矩形，对角线相等，中点四边形直接变为菱形正方形。经典结论， e f 垂直 g h 就 一定能推出 e f 等于 g h。 快 速求解线段最值问题，对角互补模型，奔驰模型、飞马点模型全部梳理到位，熟记对应口诀，快速看懂衔接角定理， 一个视频看懂圆密定理全部用法，快速求解线段最直最短距离。中考必考一线三等角相似模型， 三角形相似经过旋转变形衍生各类考题。初中几何所有难题全部来源于各类模型的变形组合。关注我，掌握更多中考几何解析思路！

永远考不过一个从初一就开始学几何模型的孩子，因为他清楚地知道数学几何的得分点在哪里，推荐给孩子准备这套初中几何模型大全，包含了初一到初三所有的几何解体模型，例如飞镖模型、八字模型、 将军印马模型、废马点模型等，讲解都很详细。每个模型都有模型结论巧记和模型结论证明过程， 模型套用立体讲解和举一反三练习，遇到不会的扫码观看视频讲解，大体有思路，小题套模型。掌握了这些解析模型之后，做题真的就像抄答案一样简单了。家有初中生的快带一本回去吧！

好同学们，今天我们一起来学习一个特别经典的几何模型，双角平分线模型。好同学们，看这道题。我们有一个三角形 abc， 假设角 a 等于六十度。 今天一口气搞清楚，双内角、双外角一内一外三种情形下，这个新角 d 等于多少？ 第一种双内角平分线，从 b 引 b、 d。 平分角 abc， 从 c 引 c、 d。 平分角 a、 c、 b。 两线交于三角形内部的地点 由平分线角 d、 b、 c。 等于一半角 abc 等于一半角 abc， 那 这个角 b、 d、 c 等于多少？ 在小三角形 b、 d、 c 里，三角和等于一百八十度角 d 就是 一百八十度减去一半的角 a、 b、 c。 加角 a、 c、 b。 把角 a、 b、 c。 加角 a、 c、 b 换成一百八十度减角 a。 化简角 d 等于九十度加一半角 a 代入六十，等于一百二十度，内内九十度加一半。记住 看第二种双外角平分线，把 a、 b。 延长到 e、 a、 c 延长到 f、 b 和 c 各冒出一个外角 b、 d。 平分外角 e、 b、 c、 c、 d。 平分外角 f、 c、 b 两线在三角形下方交于新的地点角 b、 d、 c 等于几？ 外角等于一百八十度减相邻内角两个外角相加三百六十度减角 b。 减角 c。 等于一百八十度加角 a。 三角和角 d 等于一百八十度，减一半。外角和化简式九十度减一半角 a， 带入六十，等于六十度，外外九十度减一半。 第三种一内一外，把 b、 c 向右延长到 ec 处，出来一个外角叫 a、 c、 e、 b、 d。 平分内角 a、 b、 c、 d。 平分外角 a、 c、 e。 两线交在三角形右上方的地点， 外角等于两步相邻内角和大三角形里角 a、 c、 e 等于角 a 加角 abc。 小 三角形里，角 d、 c、 e。 等于角 d、 b、 c。 加角 d 用两次 代入平分关系相减，角 d 正好等于一半。角 a 代入六十等于三十度，一内一外就一半。 好，三种全整完了。双内角九十加一半，双外角九十减一半，一内一外干脆就一半。背下口诀，内内九十度加一半，外外九十度减一半，一内一外就一半。考试遇到角平分线，焦点三秒出答案。 记住这个双角平分线模型，不管哪种情形，新角永远只跟角 a 勾，把它刻进脑子里。

初中数学几何题考来考去就这几十种模型，弄懂了其实一点也不难。推荐这本实验班的初中几何模型，帮助总结初中三年所有常考必考的几何模型， 背马点模型、胡不规模型，每一个模型的公式怎么画，辅助线怎么证明都帮你罗列好了。基础知识弄懂了就是点例剖析，还有分层训练，真体检测巩固，不懂的扫码可以看视频老师讲解，平时还能当查找的工具书，家有初中生的赶紧背起来吧！