余弦公式法求二面角证明推导过程

在上节的学习当中，我们了解到了三角函数中的两个恒等关系，即同角三角函数的基本关系，那也体验到了使用它们可以进行一些三角的求值或者是化解。 那在这里呢，请你们思考两角的阿尔法，白塔跟他们的和角差角之间的三角函数之间是否有一定的联系呢？ 那么从这节开始，我们将来一起探究两角和与差的三角公式。那本节课主要来学习两角和与差的余弦公式及其应用。那首先请同学们回忆一下，对于一个角的余弦值的求解，我们积累了哪些方法？ 谁来讲一下？好，我们有与弦定比，还有解直角三角形， 三角函数的定义，还有平面向量的摄像机。好，非常好啊，这是根据我们以往的经验积累了这些求余弦值的方法。那在想如果一个一般问题研究起来比较复杂，我们从什么入手？ 特殊情况，那在角的任意角范围中，我们对什么范围的角是最熟悉的？锐角和锐角最熟悉，所以在这里我们先取两个锐角，阿尔法和白塔，令阿尔法大等白塔。那么研究角呢？我们习惯将角放入到什么图形？ 单位？圆，好似图，以 x 轴的非负半轴为矢边，那么做出 r 法和白塔，设他们的中边与单元分别交于 p 点和 q 点。好，同学们能说出 p 点 q 点坐标吗？ 可以可以。好，谁来讲一下？来，来说一下点 p 坐标啊。 p 点 x 是 等于， 嗯，然后是 y y 纵坐标是三 y。 好， q 点 q 点的横坐标是 q， 三 y 白的纵坐标，横坐标是三 y 白的，好的，对吧？对，好，非常好，请坐啊。好，那么在这里呢，我们观察这个图形，能从这幅图里面找到阿尔法白塔的合角或叉角吗？ 哦，合脚还是叉脚？叉脚，谁是叉脚？ p o q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q。 这对考山一考山一阿尔法 可以把这个推导过程写出来吗？好，讨论结束。 好，哪位同学来分享一下你的思路？好，这位同学先来讲一下哦，具体怎么使用？呃，我们可以将叉脚阿凡达减贝塔的，可以看成项链 o p 与 o p 的 夹角项链角阿凡达与角，贝塔 与单元相交于 p 点与 q 点，所以 o p 向量等于 cos 加二法 cos 加二法 o p 向量等于 cos 加一倍它，加一倍它。哦，好， o p 向量的坐标就是 cos 加二法 cos 向量的坐标 cos 加一倍它，加一倍它， 所以 o b 点乘 o q 等于靠上压法。靠上压法上压向量 o g 与向量 o q 的 向量机就是靠上压法。靠上压法，先使用的是向量的， 这是使用的向量的什么数量？机的坐标位置是不是？嗯，好， o 三二八， o 三二八 加上三眼花，再根据项链的摄像机那个公式， o p o p 减成 q o p 的 模，所以 o p 的 模，所以扩大其的。 哦，这里的 c 塔是什么意思？这个 c 塔就等于那个阿尔法叠起来。哦，这里的 c 塔就等于阿尔法减百塔也。据说这里的 c 塔的意义是向量 op 和 oq 的 假角。假角。哦，那此时这里的假角恰好就是阿尔法减好了，继续运算，这里就等于， 因为 o p 的 魔和 o p 的 魔都一样哦，因为单的圆魔成一。注意，靠上压法紧逼他，等于靠上 a， 靠上压法靠上逼他，加上上压法上逼他， 这个结果首先他就等于了 cosine c 塔是不是？嗯，而 cosine c 塔也即是 cosine c 塔， cosine 塔紧逼塔哦， cosine 塔见没了哦。 所以最终的结论是，靠上一二法减倍法就等于靠上一二法靠上一倍法加上上一倍法上一倍法。哎，是不是得到了这一分呢？是，这关系是非常好啊，这是扣三二八减倍法等于了扣三二八 三倍，它加上三角八三，请注意三角的定义以及向量的数量积。我们得到了这一关系式，那当然， 这关系它目前只针对阿尔法白塔为锐角，且阿尔法大的白塔是不是？那它能否推广到任意角？又该怎样推广到任意角？好了，观察这个推导过程，你想想推广到任意角后 哪里发生了变化？好 哦，像先加角 c 塔和他那个阿尔法减贝塔之间的关系会发生变化哦，因为那个向量的像加角的那个范围是大于等于零，小于等于 pi 的， 然后，所以说当阿尔法贝塔为任意角时的时候，然后阿尔法减贝塔，他的范围就是任意角，此时他们之间的那个关系会发生变化 哦，对吧？对哎，非常好，请坐。因为我们向量夹角的范围是零到派的 b 区间，所以这里推广到任意角，说差角也是任意角，所以 c 塔跟减阿塔减白塔之间的关系发生了变化，他针对这关系怎么解决？ 好，你再说一下。呃，先讨论就是 r 加减法，就是大于等于零，小于等于 pi 的 时候，因为此时这个 c 大 角它是等于 r 加减法，也就是说我们需要对 叉角的范围进行呃，分类讨论，分类讨论是不是？嗯，好，那接下来再接着讨论 r 加减。

上课，同学们好，请坐！上课前，老师想问一下同学们，扣在十二分之派等于多少呢？谁来说说？好，第二位同学， 哦，你说，十二分之派是我们所熟悉的特殊角，无法直接得到它的余弦值。好，请坐。那，同学们思考一下，十二分之派可不可以转化成我们熟悉的两个角的和或差呢？ 哦，非常好！三分之派减四分之派，那问题就可以转化为如何求 cosine 三分之派减四分之派。哎，那像这样的两角叉的余弦，我们又该如何求解呢？那带着这个疑问，我们一起讲解今天的学习两角叉的余弦公式。 好，那接下来如果将三分之 pi 化为任意角 r， 四分之 pi 化为任意角 v 头，那问题就可以转换为更一般的形式。如何求任意两角差的余弦？ 那请同学们回复一下我们之前所学习的自导公式。 cosine 派减 alpha 是 等于负的 cosine 阿尔法的 sine cosine 二分之 pi 减 alpha 等于 sine alpha 的。 我们发现诱导公式当中的任意角与特殊角的差的余弦与这两个角的正弦值与弦值有关。哎，那两个任意角差的余弦是否也与这两个角的正弦值与弦值有关系呢？那我们就来探讨这个问题。 那我们不妨从诱导公式当中建立研究思路来研究这个问题。好，请同学们大致回顾一下，我们是如何推出这组诱导公式呢？ 好，第三名同学哦，非常好，我们首先是找到了几何关系，然后呢，我们利用了坐标表示，最后呢，我们实现了单数化。非常好，请坐， 那我们不妨就按照这个研究思路来研究这个问题。 哎，那我们该如何找到几何关系呢？嗯，很好。借助单位圆， 这是一个单位圆，它与 x 轴正半轴相交于点 a， 那 么点 a 的 坐标就为，哎，一零。 由于问题中涉及到了角阿尔法贝塔，阿尔法减贝塔，那我们就在单位圆中做出这些角。为了不失一般性，我们先来探求阿尔法贝塔中间不符合，也就是阿尔法不等于贝塔加二 k 派。 好，接下来我们以 x 轴的非负半轴为矢边做出角阿尔法，其中边与单位圆相交于点 p e， 那 p 的 坐标该如何表示呢？先说说好第二个同学哦，非常好。根据三角函数的定义， cosine alpha sine alpha。 然后呢，我们再做出角吹它，其中边与单元相交于点 a e， 那 么 a e 的 坐标该如何表示呢？哎，非常好！ cosine beta sine beta 哎，那我们该如何做出角 alpha 减 beta 呢？哦，好多同学发现角 a e， o， p e 的 大小就是 alpha 减 beta 呀， 哎，但是同学们，根据诱导公式的研究思路，我们需要知道角的中边与单位圆的焦点坐标呀，那是不是要让角的一边与 x 轴转正半轴重合呀？那我们该如何实现呢？ 好，第四排位置非常好，我们可以让角 a e， o p e 绕着点 o 顺时针旋转贝特角，这样呢，角的一边 o a e 就 会与 o a 重合， 那这样呢，我们就可以做出角阿尔法减贝特，我们记其中边一单元角顶点 p， 那 么点 p 的 坐标就为，哎，非常好！ cosine 阿尔法减贝特 sine 阿尔法减贝特。 那老师，请问一下同学们，在刚刚旋转的过程中，角的大小改变了吗？ 哎，没有变。那么根据圆的旋转对称性，角的大小没有改变，那弧 a e p e 与弧 a p e 就是 相等的，那当我们连接 a e， p e 与 a p 时，它们对应的弦呢？ 哎，很好，也是相等的。那这样呢，我们就找到了几个关系， a p e 等于 a p， 那我们该如何时间代数呢？哎，很好，利用坐标表示。那接下来我们就利用两点间的距离公式表示出， a p e a p a p e 等于 cos 阿尔法减 cos 根号下 cosine 阿尔法减 cosine 贝塔的平方加上 sine 阿尔法减 sine 的 平方， 然后呢，等于 cosine 阿尔法减贝塔减一的平方， 然后再加上 sine 阿尔法减贝塔减零的平方。 那接下来呢，我们可以对等式两端同时平方拿掉根号，然后呢，对平方向进行展开，再进行化解。好，那请同学们按照这个预算思路自行在草纸上进行化解，看看你可以得到怎样的结果呢？ 好，谁来说说你的结果？好，最后一排同学哦，非常好，你最后化解得到了 cosine 阿尔法减贝塔等于 cosine 阿尔法乘 cosine 的 贝塔加上 塞尔维亚乘塞尔维亚。非常好，请坐，但是同学们，我们以上研究的情形是阿尔法与贝塔中间不重合的情况，那如果阿尔法贝塔中间重合，也就是阿尔法等于贝塔加平方 k 除以 c， 那 么上市还成立吗？那同学们不妨自己证明一下。好，谁来说说你的证明结果？ 第三排同学，哦，非常好，你将被阿尔法等于被他加二倍派带入到等式 左端当中，发现是等于一的，哎，再带入到等式右端当中，发现它还是等于一的，因此左端等右端上是还是成立的。 那其实不管这个阿尔法贝塔处于低极象限重不重合，我们利用圆的旋转对称性，我们都可以得到这样的结论，也就是对于任意的角阿尔法 贝塔，我们都有 cosine 减贝塔等于余弦的乘积加上正弦的乘积的形式， 那这就是我们今天所学习的两角叉的余弦公式，我们可以简记为 c 阿尔法减贝特。那么两角叉的余弦公式呢？它给出了叉角的余弦与阿尔法贝特的正弦与弦之间的关系。 哎，那通过以上的学习呢，我们课堂开始的问题是不是就迎刃而解了呀？我们可以利用两脚叉的一线公式对题进行展开，等于 cosine 三分之派乘 cosine 四分之派，再加上 sine 三分之派乘以 sine 四分之派的 通过展开，我们发现它们都是特殊的三角函数值。哎，等于二分之一乘二分之 根号二的，加上二分之根号三乘二分之根号二，那最后的结果就是 i 等于四分之根号二加根号六的。 好，本节课呢，我们利用右角公式的研究思路，得到了两脚叉的运行公式， 并且呢，我们通过一道练习题，感悟到了两脚叉的一线公式在解决数学问题当中的重要作用。好，那课下呢，请同学们完成课后练习题，本节课就上到这下课。

解，三角形第三角已知两边和夹角第三边怎么求？勾股定律其实是余弦定律在直角时的特例，公式长这样， c 平方等于 a 平方加 b 平方减二， ab 乘以于弦 c， c 是 ab 的 夹角， c 是 c 的 对边夹角 c 等于九十度时，余弦 c 等于零，公式就退化成 c 平方等于 a 平方加 b 平方就是勾股定律。用三四五直角三角形验算， a 等于三， b 等于四直角在 c 代入得二十五等于九，加十六减零，所以 c 等于五完全吻合。 再看一般情况， a 等于三， b 等于四假角 c 等于六十度。余弦六十等于二分之一，代入得 c 平方等于十三， c 等于根号十三。 记一句，两边加一角，第三边用于弦定。理解三角形三件套正弦定里面积公式，余弦定里齐了。

上课同学们好，请坐！上课前，请同学们先看这样一个问题， 三角形 abc 中三个内角所对应的边分别为 abc， 如果我们要是已知 ab 两边及其夹角 c， 能否求出第三边呢？我们知道两边和他们的夹角分别相等的两个三角形全等，这说明给定两边及其夹角，这个三角形是唯一确定的。 那也就是说，三角形的其他边和角都可以由这两边和这个角来表示，那表示的公式是什么呢？那这就是我们本节课所要学习的鱼线定律。 请同学们回顾一下之前学过的内容。已知两边及其夹角，你想到了什么呢？哎，非常好！向量的数量积。那由此我们可以利用向量的方法来解决这个问题。 为了表示方便我们记，向量 c， b 等于向量 a， 向量 c， a 等于向量 b， a， b 等于向量 c。 那 在三角形当中，我们是不是可以列出有关向量的等式啊？那由于我们要求出第三边 c， 我 们把向量 c 单独表示出来，那它等于什么呢？好，第二排同学，好，非常好！根据三角形法则，向量 c 等于向量 a 减向量 b。 那同学们，我们要求的是 c 边，那是不是就是向量 c 的 模呀？向量相等，是不是不光方向相同，大小也相等啊？由此我们可以得到向量 c 的 模等于向量 a 减向量 b 的 模。 哎，那由这个式子，我们能直接求出向量 c 的 模吗？哎，不能，但是我们知道向量 a 的 模和向量 b 的 模，那如何让这个式子出现 a 模和 b 模呢？ 哎，非常好，等式两端同时平方。好，那请同学们在草纸上计算一下，看看你能得到怎样的结果呢？ 好，第三排同学哦！通过对等式，两端同时平方对右端进行展开，等于向量 a 魔方加上向量 b 魔方，再减去二倍的向量 a， 变成向量 b， 出现了向量的数量积，那么等于什么呢？ 哎，非常好！向量 a 的 模乘向量 b 的 模，再乘向量 a 与向量 b 的 夹角，是不是就是哎，角 c 啊？ 那进一步呢，我们就可以得到 c 方等于 a 方加 b 方减二 ab 乘后弦 c。 那 我们只需要对等式两端同时开方，就可以求出 c 边了。 那同理呢，如果我们要是已知 b、 c 两边及其夹角 a， 我 们还可以得到 a 方等于 b 方加 c 方减二 b c 乘后再 a。 如果我们要是已知 a、 c 两边及其夹角 b， 我 们还可以得到 b 方等于 c 方加 a 方减二 c， a 乘口在一 b。 那 这些公式呢，便是于弦定里的符号语言的表达。 那如何用文字语言来描述呢？哎，其实就是三角形中任意一边的平方等于其他两边平方的和，减去这两边与它们夹角的余弦积的二倍。 那余弦定律呢？告诉我们已知两边及其夹角的余弦值，我们就可以求出第三边了。哎，那如果我们要是已知三边，能否求夹角的余弦值呢？哎，其实这就是余弦定律的推论。 由第一个公式我们可以知道 cosine a 是 等于 b 方加 c 方减 a 方除以二 b c 的。 那由第二个公式我们可以得到，口算 b 等于 c 方加 a 方减 b 方除以二 c a。 第三个公式可以得到，口算 c 等于 a 方加 b 方减 c 方除以二 ab 的， 那由余弦定例及其推论呢？我们可以看到三角函数呢，把三角形中定性的结论转化为了可定量计算的公式。 好，那我们再来看余弦定例，如果三角形内角中有一个为直角， 比如角 c 等于九十度，我们可以得到什么呢？哎，非常好， a 方加 b 方等于 c 方，是不是就是勾股定律啊？所以勾股定律是鱼弦定律的一个特例，而鱼弦定律呢，是勾股定律的推广。 一般的呢，三角形三个内角 a、 b、 c 和它们的对边 a、 b、 c 叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素去求其他元素的过程，我们叫做解三角形。那下面我们来实际应用一下。 在三角形 a、 b、 c 当中， 三个内角所对应的边分别为 a、 b、 c。 如果我们已知 a 边是等于二的， c 边是等于一的角 b 的 大小是六十度，那请同学们解这个三角形 好，谁来说说。嗯，第三排的同学 好，非常好。利用余弦定理，我们是已知两边及其夹角，我们可以求出第三边。我们利用这个公式立方等于 a 方加 c 方加 a 方减二 c， a 乘二 c， a 乘以 b， 代入数值是一加四减二乘二乘二分之一等于三，所以 b 边就是等于根号三的。 嗯，那再由余弦定的推论呢？哎，我们可以求出角 a cosine a 等于 b 方加 c 方减 a 方，所以二 b、 c， 哎，我们发现它是等于零的，因此呢，角 a 就是 等于九十度的。那既然我们已经知道角 b 的 大小了，根据三角形的内角和，那么角 c 的 大小就是 i 三十度的，那由此呢，我们就解出了这个三角形。 好，本节课呢，我们利用向量法解决了已知两边及其夹角如何求第三边的问题，体会到了向量法在解决实际问题当中的作用。好，课架，请同学们完成相关练习题，本节课就上到这再喝。

大家好，我是康老师，今天呢跟大家分享一下三角函数中两角叉的余弦公式推导过程，这公式呢是所有公式的一个核心，所以一定要明白它的公式是如何推导出来的，有了它之后呢，我们就可以推导其他的 好多好多公式。好，我们一块来看一下它，如果是 f 贝特， f 减贝特，中边都给画好了，这个呢是 f 的 中边，这是贝的中边，这个是 f 减贝特的中边。好，我们来通过图上看一下， 咱们大家看这个角的中边是 f， 也就是这块是 f， 这块呢是什么贝特， 那么注意看一下， f 减倍的是不是应该是这块， 对吧？那同时他的这个角的是 f 减倍的，那么这块呢也是 f 减倍的，那么这样有什么结论呢？大家，大家看，我把这个点标了一下，这个点呢是 a， 这点是 p， 这个点呢是 a 一， 这点是 p 一， 你可以发现我们把十一点呢，我们把这个 ap 连一下，再把 ap 连一下，你可以发现三角形 o ap 应该全等于三角形 o ap， o a p 啊，好，我们快来看一下，为什么呢？大家看，因为这个角，这个角，对吧？它是多少？ r v 减维特，那同样这个角呢，也是 r v 减维特，那么其他的 o a 和 op， 还有 o a e， o p e 都是什么？都是半径 很明显，这样它又怎么样？全等，那么全等之后呢？我可以得到什么结论啊？得这个结论， ap 应该等于 a 呀， p 好， 按照三角函数定义，我们知道 我们可以写出谁呢？可以写出 p 点， a 点 p 点它们的坐标啊，我们看写一下，再看一下，那么先写行呢，先写 a 的 a 的 一个坐标是几呢？是不是一零， 那么 p 这个标应该是啊， cos 二 f 减倍它， cos 二 f 减倍它，好，这是根据什么三角函数的定义，对吧？再写 a 的 a 的 应该是 co， 三倍它和三倍它，那么 p 的 很明显应该是谁啊？ co 三 f 和三 f， 这是 f 啊，和三 f， 好， 注意这个，这是 p a p 的 坐标都是根据什么三角函数定义给出的啊？好， 那么我们知道这两三角形如果全等之后呢？ a p 等于 a p， 我 们根据两点间的距离公式，还记得吧，两点间的距离公式啊，我们看一下我在写下的公式啊，我们是不是 a p 就 可以写成什么呢？是不是根号下 谁呀？ p 的 横坐标减去谁啊？ a 的 横标，那就是 cosine f 减比特减去一括起来的平方，再加上追， 是不是三 f 减倍它减去谁啊？是不是零啊，它减去零扩起来的什么平方？这是不是 ap 两点边的距离？那么同理， a p e 我 可以怎么写呢？ 我是不是写根号下来看一下是不是应该是 cosf 减去 cosf 它括起来的平方，加上 cosf 减去 cosf 它括起来的平方。注意它两个怎么样是相等的，我们可以把它同时平方，大家看可以得到这个，这两边平方， 我们可得什么呢？大家看一下，是不是应该是 cosine 减比特减一的平方， 加上 cosine 减比特的平方，它是不是应该等于 cosine 减去 cosine 比特的平方，加上 cosine 减去 cosine 扩起来的平方？ 好，把这式子展开化简，我们来看一下啊展开化简来看一下，把这个展开，我们来看啊，是不是应该是 cos alpha 减比特的平方，减去二倍的 cos alpha 减比特，加一，再加上 三 f 减比特的平方，好，它一个等于这个展开是不扣三 f 方减去二倍的口三 f 口三比特，再加上口三比特的平方，加上三 f 的 平方，减去二倍的三 f 三比特，再加上三比特的平方，好，我们来看一下， 按照三角函数有个同角三角函数的关系，对吗？那么这个和这个合在一起是几啊？ 是不是一啊？那么再加上一是几了？二，好了，我们整理一下，看一下是不是应该二减去二倍的口算 r 减别的好，这上式啊，下面是再看这个加这个应该是一，这个加这个也是一，那是不是也是二，就是二减去二倍的，把它提出来，看一下 是不是口算 f， 口算 b， 它加上 f 算 b， 它。好嘞，两边一比较，来看一下，我们是不是出了一个结果，什么结果呢？ 这个二，可这二是不是没了？这个负二，可这二是不是也没了？是不是得一个口三 f 减倍了，是不等于口三 f 口三倍，它加上三 f 三倍，它，好。这公式呢，就是 两脚叉的余弦公式，有了这个公式，我们就可以推到其他的公式，注意这个公式大家推导过程一定要怎么样理解并且掌握，我们可以通过它推到加公式啊，比方说啊， 合角公式、二倍角公式，正弦的合角差角公式、二倍角公式，以及正切的合角公式、差角公式、二倍角公式都可以通过它来推导，所以这个公式是整个三角恒等变换里面最重要的一个公式，希望大家记住。

单杠数学每日一练，今天我们练一练余弦的二倍角公式，那我们今天只讲余弦的二倍角其中一个公式，口三以二等于二，口方减一。一般好，我们见到了平方，马上就要想到什么余弦的二倍角公式，我们来看题啊，求值，二口方啊， 八分之派减一等于多少？这个时候我们看一下，见到了平方，你肯定首先要考虑的是余弦的二倍角公式啊，而且这个八分之派不是特殊角，我们只会什么三十度，四十五度、六十度，对不对？所以这时候也要去想什么余弦的二倍角公式，那这个时候你就去草稿纸上写出这个公式。 第一个余弦二角公式什么时候去用呢？就是你整个题干里面只出现了一个什么 q 方啊，你只出现了 q 方这样一个东西，没有出现塞方这样其他的东西的时候，这个时候我们就考虑用这个公式， 那么对应这个公式来就行了。哎，这个八分之 pi 是 不相当于一个公式里面的 x， 所以 它等于什么二？ q 方减一等于什么？ cosine 是 不等于这个八分之 pi 的 两倍，也就是等于 cosine 四分之 pi 直接过来就行了。 cosine 四分之 pi 是 不等于二分之根号。所以这道题答案是第一道题很简单，就顺着公式就行了。 苹果第二题，第二题，他是先告诉你什么口算引二法等五分之四，让你去求口算引二法看角的关系，是不是啊法跟二法十二倍的关系，所以也是直接上公式，口算引二法是不等于二空方啊，减一就说为什么选择这个公式，因为已知条件里面只出现了口算引对不对，而这个公式里面只有口算引对不对？所以没有涉及到对称这个东西，所以是不是考虑用这公式 然后套进来就行了，也就是二乘以什么五分之四的平方减一啊，算出来是 a， 然后再看一题啊，已知啊， q 三乘以二 r 等于二分之一，让你去求 q 方，这个时候又出现了平方假用是二倍的关系，是不是考虑用余弦二倍的公式？一样的啊，先把这公式写出来，然后看一下，把这公式变变形嘛，我们 q 三乘以二 x 是 不是等于二 q 方减一啊？ 屏幕现在让你去求 q 方，我们给他一个项是不就行了啊，也就是什么 q 方等于什么，是不是等于二分之一倍的 cos 加一啊，自己一个项。所以套这道题里面来， r 法是不是相当于这里面的 x， 它是不是等于什么二分之一倍的 cos 二 r 法加一啊？把我们的数据往里面带，也就是二分之一乘以三分之一加一，算出来，答案是啊，六分之 二分之一是六分之二啊，算出来是三分之二啊，这道题答案是 c 啊。如果你觉得视频对你有帮助的话，可以给老师点点关啊，点点赞，那我们下期视频再见！

大家好，今天我们学习两角叉余弦公式，这是三角函数中的恒等变形中的一个重要公式， 可以说他是带头大哥，那么我们今天把带头大哥学好了，后面还有五个小弟很快就跟上。那首先我们看 要学习这个新知识，肯定要回忆一下旧知识。首先我们回忆一下 诱导公式，那么前面我们学习了诱导公式，那么诱导公式有很多组，第一组是这里最简单的一组， 我们看一下啊。塞沿阿尔法加二 k pi 等于塞沿阿尔法 cosine 阿尔法加二 k pi 等于 cosine 阿尔法探界阿尔法加二 k， pi 等于探界阿尔法。首先这里边 r 法加二 k pi 指的是与角 r 法中边相同的角 k 乘以二 pi， 那 么这个 k 实际上指的就是旋转的圈数。 当 k 等于一时，就是逆时针旋转一圈， k 等于二逆时针旋转两圈，以此类推。当 k 等于负一时，指的是逆时针旋转，顺时针旋转一圈， k 等于负二时，是顺时针旋转两圈， 以此类推啊。所以当二法角加二 k pad 之后，相当于顺时针或者逆时针转了若干圈，那么它的中边仍然会回到原来的位置上，所以它的同一三角函数值是相等的。 要注意这里边 k 属于 z， 余弦和正切也是同样道理，这是诱导公式一， 那么诱导公式中的 alpha 是 与一些特殊角，比如说 pi 二分之 pi 的 和与差，那么我们从特殊推广到一般，如果将 后边这个特殊角也推广到一个任意角，那么它们的和与差有怎样的关系呢？大家可以思考一下。 首先我们可以举例 cosine r 法减 beta， 哎，这是任意的两个角，那么它们两脚叉的余弦展开是什么样子呢？ 首先，我们用特殊角做一个猜想， cosine 四十五度减去三十度， 它等于什么呢？会不会等于 cosine 四十五度减去 cosine 三十度呢？ 有这种可能性吗？我们可以计算一下，那就是二分之根号二减去二分之根号三。 另外，我们发现 cosine 四十五度减三十度，等于 cosine 六十度减四十五度。如果按照同样的逻辑，它可以写成 cosine 六十度减 cosine 四十五度，那么就是二分之一减去二分之根号二。 显然，我们这里发现了矛盾，同一个角的同一三角函数值不相同，那说明我们这个底层逻辑就错了，也就是说它不能简单地分配给二发角和 beta 角。 那么两脚叉的余弦到底是什么形式呢？我们现在开始正式进入新课， 首先给出任意角 arpa 和 beta， 我 们期望能推导出它们的两脚叉的余弦的公式。那么首先 ar 法和 beta 是 任意角，既然是任意角，它可以是中边相同的角，也可以不相同，那么我们仍然放到坐标系中去研究这个问题。 设单位 y x 轴的正方向，正半轴将交于点 a， 坐标为一零，以 x 轴非负半轴为使边做 alpha beta 角，那么 alpha 减 beta 啊，那么这个角啊，中边就在这个位置上啊。这时候我们做一个观察，我们看，利用前面三角函数的定义，我们可以知道角 r 法的中边与单元交点是 p e， 那么它的坐标就是 cosine alpha sine alpha。 为什么呢？这是前面三角函数的定义，我们说口诀就是横立于重正， 即这个焦点的横坐标是该角的余弦，纵坐标是该角的正弦。同理，那么 beta 中边与单位 y 交于 a 一， 那么 a 一 的坐标就是 cosine beta 到 sine beta， 那 么 p 点的坐标就是 cosine r 法减 beta， sine r 法减 beta。 这样我们得出了三个点的坐标，然后我们看， 我们把它的坐标写出来，接着呢，我们这里去关注一下图形特征，我们解决问题任何一个问题都是呃，从图形上手 啊，其实很多时候是这样的，当然个别的纯代数问题它也没有图形，大多数高中的问题它都是从图形上手，然后呢啊，再去从形到数 啊的一个运算啊，然后呢，呃，从数呢又到形的一个检验，所以这就是我们平常所说的数形结合。 那么这里我们去观察，因为这个是 alpha 角，这是 beta 角，那么这个角显然也是 alpha 减 beta， 而这个角还是 alpha 减 beta。 那 我们关注这样的两段两个扇形，显然这两个扇形呢，是相同的 大小。那么我们利用圆儿的旋转对称性，我们将扇形 o a e p 旋转到扇形 o a p 的 位置上，我们会发现这 两个扇形显然是会重合的，对吧？那么这时候弧 a e p e 和弧 p a 是 相等的，那么在同一个圆中等弧对等弦，所以弦 a e p e 和弦 a p 显然也是相等的。 那么这里四个点的坐标都知道，我们可以利用初中学习的两点间距离公式，将它们的距离表示出来。 那么两点间距离公式是什么呢？根号下横减横方加纵减纵方来注意这个公式啊，根号下横减横方，加纵减纵方， 这里的横坐标可以交换位置，纵坐标也可以交换位置，因为是平方啊，所以我们只要记根号下横减横方，加纵减纵方就可以了，这样呢，我们就可以把坐标带入 调用。之后呢，呃，我们利用完全平方公式打开，显然两者是相等的，化简之后呢，自然可以得到这样的一个式子。这个化简的过程 啊，实际上呢，它就是一个完全平方公式。这里我们简单说一下，我们将它当成 a， 将它当成 b， 那 么 a 减 b 的 平方显然等于 a 方减二， a， b 加 b 方。而 这里打开的时候要注意啊，不要把 cosine 二法减倍它 换掉啊，直接就按着这个结构去展开，这个也不要动，它和前面的这个 cosine 二幺减倍的平方能合出一个一，然后这个位置还有一个一，一加一，自然就是这个二，然后再减去 啊，他积的二倍是这样，这个就很明显了，是吧？这个展开有扣方，这个展开有塞方，合成一，这个扣方塞方又合成一个一，那这里就有了一个二，然后减去他们积的二倍，这样我们两者相等，这个没有了， 那么负二呢，也可以约定，对吧？自然就出现了这个形式，难度不大。呃，那么 cosine 二法减 bet 等于 cosine 二法 cosine bet 加 sine 二法 sine bet。 我 们终于得到了两角叉的 这个余弦的公式，我们关注一下这个公式啊，这是一个重要的公式， 这个公式呢，我们要讲究的是三看三用。第一看我们看什么呢？看函数名，左侧是余弦，右侧是 arfa beta， 右侧也是 arfa beta alpha beta 是 有序的， arfa beta alpha beta。 第三看符号，这是负的，这是正的， 那也就是说变号了，所以我们口诀就诞生了，记忆公式的口诀就是 coco 塞塞阿尔法贝塔，阿尔法贝塔，然后号左右这个符号号相反， 哎，这是我们记忆的口诀，一定要体现是三个方面，我们平时使用的是也是三个方面，这叫三看。第二个三用。何为三用呢？三用，所谓三用，指的就是我们在使用这个公式的时候，第一用是从左向右， 第二用是从右向左，第三用是 变形应用啊，那我们当然是从三个角度去使用这个公式，那么我们才能对它有深刻的理解。这个公式是非常重要的一个公式啊，要引起大家足够的重视， 我们呢称其为两角叉余弦公式，一般减去做 c 二法减倍的。 那么学习了这个公式之后呢，我们就可以对这个公式进行一下应用，它的应用主要是几方面，化简、求值和证明。 首先我们看第一方面的应用是证明，我们要证明如下的横等式呢，我们的思路呢也很 简单，要明白这个底层逻辑，当我们证明一个横等式 a 等于 b 的 时候，无非呢是第一种方案从左向右 去证明，而第二种方案就是逆向从右向左。呃，这个时候多数选择的就是化繁为简，从复杂到简单， 个别的时候是简单到复杂。那么第三种就是从 a 到 c， 从 b 呢也到 c， 这样中间 c 为中介，自然也可以产生 a 和 b 的 关系。 第四种，我们不妨坐叉为零，或者是坐商为一，在有意义的情况下啊，坐成为一，这样呢，也可以得到 a 和 b 相等， 这是证明恒等式的一个常见的方法。当然偶尔我们也会考虑，我们让他们的平方相等，呃，然后两者同号，自然也相等，或者是他们有意的情况下，他们开方也相等，这都是可以的， 甚至于取到，对吧？总之，我们数学，他无非就是加减乘除乘方开方取到。 当然我们前边也学过啊，取对数绕 a 等于绕 b， 取指数 e 的 a 次方等于 e 的 b 次方啊，但是这样就有些复杂了，甚至于说，呃，我们用三 a 等于三根 b 锁定 a 和 b 的 范围啊，比如说 ab 都在零的二分叉也是可以的，所以我们去证明一个东西，我们不能学死了啊。其实数学的本质就是加减乘除乘方开方，对吧， 嗯，甚至于取对数，这是常见的运算，对吧？除此以外，就是三角项链，包括我们后边弦学的项链都会用到，嗯，这是关于底层逻辑， 这个呢，我们要清晰。然后我们再看第一个，这个东西我们非常之熟悉啊，他无非就是一个什么呀， 是不是诱导公式啊。那么我们在处理的时候，我们观察一下他和我们今天学的这个两脚叉鱼弦的公式，我们观察一下前面的公式啊， 那么对于这个公式呢，我们还要补充说明重要的一个点，刚才我们证明的是 alpha 与 beta 中边儿不重合的情形，那我们还要考虑 alpha 和 beta 中边儿如果重合呢，那么这个式子成立呢？ 我们不妨代入进去，左侧变成 cosine occupy， 显然它等于零，而右侧呢？ 等于什么？ r 法与 beta 中边相同，那么同一三角函数值相等，那自然我们可以把 beta 换成 alpha， 自然就成了 q 方加塞方是一所有左右相等，那么它显然是成立的。 也就是说，呃，我们这个过程，呃，发现了 alpha beta 无论中边相同还是中边不相同，这个公式都是成立的，所以 alpha beta 是 任意角。 从中我们也看出了证明恒等式这种方法就属于什么呀？啊，这个是一啊，这种方法就属于，是不是中介法都证它们等于一，那么两者自然是相等的。 这里也体现了什么呀？分类讨论的思想，对吧？嗯，那么我们看这个证明，我们就不用纠结它们两者是否相等。那么我们看 cosy 二分之 pi 减二法等于 coco 加塞塞 就是零，加上他这两个，我们用三角函数图像就可以算出来，自然是他，所以左边等于右边，我们从左到右直接就挣出来了，从 a 到 b 嘛，直接出现了，显然这个相等， 那么同理也可以挣出第二个。那么我们观察一下这两个式子啊，我们看第一个式子中，你观察这两个角， 我们看两者的和，显然是二分之派，那也就是说这左右两个角是互余的呀，那我们发现互余的角是不是他的余弦等于他的正弦，事实上就是什么呢？互余的角是正弦，和余弦叫交叉 相等。比如说 sin 三十度等于 cosine 六十度，就是这样的一个道理啊，那 cosine 四十五度等于 cosine 四十五度，那我们再看这个，嗯， 后边这两个角，显然我们关注到这两个角，它们是什么的呀？它们和为太，这样的角，我们称为互补的角。这里我们发现互补的角与弦是相反，事实上，互补的角正弦相等，而与弦和正切均相反。 比如说我们要求 cosine 六十度，它应该是 cosine 负的，负的 cosine 一 百二十度，显然是负的二分之一，这是什么呀？呃，这是 互余和互补的角，它们之间的三角函数的关系，那我们也可以将其推广，比如说塞阴二分之派加二法等于二分之一，那么 cosine 这个变三分之派吧。啊，呃，三分之派加二法，那么 cosine 六分之派减二法等于多少呢？ 我们不难观察出来，两者的和为二分之派，说明两者互余互余的角正与弦交叉相等，所以它也等于二分之一。所以我们对一个东西不要把它学死了，要灵活，不一定非得是个单角对不对？有时它可能是个负角，是一个多项式， 那么它仍然是成立的，这一点我们也是要引起重视的。然后我们继续看下边第二个类型题啊，用来求值。 那么显然这个题目给的条件非常的丰富。我们首先观察已知向量阿尔法，显然第二项弦， 那么这时我们知道之一求二，知道正弦，显然可以求出余弦，利用什么呀？它俩平方和为一。那么第二象限的余弦显然是负的，我们可以求出它是负的五分之三， 这一点怎么快呢？ ok 列用直角三角形，我们看三弦 r 法，放到三角形中，这是五分之四，那么这个位置是三，显然余弦是邻比斜呀，就是负的五分之三，对吧？ 嗯，然后呢？嗯，同理可以求出塞音非常第三项弦也是负的，是吧？是三分之十二， 可以用相同的方法，比如贝塔，这是五，这是十三。勾股数，这是十二，那么塞因自然是十三分之十二，因为第三象限是负的，那么这个位置我们打开啊，那就是 coco 加塞塞代入即可。 呃，那么这是做小题的方法，如果做大题的话呢，显然我们是要有非常明确的 数学过程的，每一步都给分，每一步都算数。我们注意，在写的时候，这个先有公式，后有式子，才有结果，一定要按照这个过程，尤其是范围不能省， 因为范围决定了符号，没有范围就没有符号呀，那就得分类讨论了，是吧？所以这个地方肯定是要进行嗯，详细的书写。再说一遍，先有公式，后有 代数式，然后才有结果。最后呢，我们代入公式也是这个道理，对吧？它整个我们解答题讲究的是一个过程，而不是只是一个结果，如果只是一个结果，那就是一分。你没有过程，那是小题，不是大题 啊。这我们要也要引起咱们足够的重视。那么接着我们再继续往下看， 下一个仍然是求实问题， cosine 负十五度，那么显然就是 cosine 十五度呀。啊，这就是我们引入的这个问题， cosine 十五度，四分之根号六加根号二。那我们知道了 cosine 十五度，我们利用刚才的结论， 那么 cosine 十五度，既然有四分之根号六加根号二，我们知道负余的角正余弦交叉相等，那么 cosine 七十五度也应该是四分之根号六加根号二，那么 那么再去思考，互补的角与弦相反，所以 cosine 一 百六十五度，它与十五度互补，那它应该是负的四分之根号六加根号二， 那么七十五度的补角就是一百零五度，那么互补的角正弦相等在一百零五度，就是四分之根号六加根号二。你看，那么我们已知一个角，它的余角和补角我们都是可以确定的。 呃，这也是一个非常好的一个性质。呃，事实上呢，我们特殊角的这个三角函数值，我们可以把它放到一个直角三角形中去记忆，这是一个技巧， 那我们可以观察一下，我们看，比如说这是一个矩形，那么我这里我找一个三十度，这是六十度，对吧？然后呢，我这样， 我让这个角是直角，那么这个自然就是三十度，对吧？这个又是谁啊？六十度，这块是九十度，然后呢，我再把这也连，那么咱们看啊， 嗯，我可以调整这个，嗯，这个长度，调整这个长度，我让它是 一个等腰直角三角形，对吧？只要放到合适的位置，他可以是一个等腰直角三角形，那这可以是四十五度，四十五度， 那么显然呢，这呢是多少度呢？是不是七十五度啊？那这个位置就是十五度，这块是九十度，那么我们在这个三角就都有了，都有了之后呢， 那我们可以不妨设这个是根号二，根号二，这自然就是二啊，对吧？ 嗯，或者呢，我们也可以这样，这个长度是随便设的啊，不要太 太太有执念。如果设置是一，那这个位置自然就是二呗，这是根号三，那这个位置呢？也是二，是吧？这是一，这是根三根三，那么这个位置呢？ 这个长度是不是跟下边一边长？而这个小位置是不是就是根三减一啊？对吧？这个长减去这个长， 那这样的话，我们看所有三角形中边长都有了，那我们就可以求出十五度、三十度、四十五度、六十度，包括七十五度的，他们的什么呀？三角函数值，这样也很简易， 当我们记住就更方便啊，记不住我们就可以现推，这都没有问题的， 我们看下一个类型公式的啊，逆用，也就是它的三用当中的第二用公式的逆用，我们关注一些，这个特征是 qq 晒晒，五十、二十，五十、二十， 那这时候我们口诀是号相反，所以这个位置我们可以变成扣三阴五十度加二十度还是减二十度呢？号相反，减二十度等于扣三阴三十度，自然是谁啊？二分之根号三， 哎，这种就是属于倒着来，对吧？这才叫公式的。什么逆用倒着来，从右向左啊，我们看一下这个过程，这个过程啊， 这是刚才啊，那么还有其他的求值的问题啊，都是大差不差都差不多的啊，我们就不用管它。 嗯，那么以上就是关于两角叉余弦公式的基本公式的推导过程和基本应用，我们回顾一下这个过程，整个这个过程呢，首先我们 第一个引入的时候，我们发现这个东西它绝对是不能直接分配进去的，是吧？否则就是大错而特错， 这是第一个，第二个呢？嗯，我们引入的基础还是三角函数的概念口诀，也就是横于纵正， 对吧？然后呢，我们去推导这个公式的时候，我们做了一个分类讨论，第一种情况， r 法与 beta 中边相同，第二种中边不同，后来我们发现中边相同的满足中边不同的情况，那么此时两者可以合一，否则是坚决不能合一的。 从里这里边我们还用到了一个圆的，叫什么呀？旋转对称性，也就说我们圆按着圆心旋转任意角度，那么这个圆都会和原来重合，这是圆的一个重要的性质，那么圆心也称其为对称中心 啊，这个性质很好，导致了那两个扇形的重合弧，长相等等，弧又对的是等弦，然后又涉及到了初中的两点间距离公式，这公式也很重要，高中也被普遍使用着啊，我们记忆的时候要注意啊，就是横减横方加纵减纵方， 那么距离是它往往我们使用的时候用到距离的平方，那么就右边根号就去掉了， 那么这样我们推导出这个公式，我们说的这个公式，记忆的时候你要注意要三看啊，我们的口诀是扣扣塞塞，阿尔法贝特，阿尔法贝特号，相反，也就说第一看看它的函数名，第二看看它角，第三看看它的符号，这是三角函数的函数名角符号， 这是三方面。哎，这个很关键啊。第二个是三用，我们刚才涉及到例题，就是正用逆用啊，正用逆用，后面我们还会涉及到变形的一个应用。 呃，这是今天这个东西涉及到的一个重要的思想啊，他不是东西，是个知识点啊，重要的思想就是什么呀？树形结合分类讨论 对吧？这是我们数学一个很重要的思想，另外这里还有我们建立等量关系，对吧？两段弧长相等，这是方程思想，其实方程思想非常重要，也要把它当回事。 除此以外，这种中边重合是呃任意角里最特殊的形形，这是一种特殊的位置啊，我们要体会这种特殊与一般的关系，还有我们解决问题的这种这种逻辑思维的 能力和抽象啊，这种能力这个我们在解决问题时候都会用到。 希望呢，大家把这个大哥把他熟练的掌握住。然后将来呢，那五个小弟来了啊，你就会觉得非常的顺畅。 好了啊，那么如果感兴趣的同学呢，可以继续关注老师，后边我们还会分享一些很重要的一些。嗯，关键的啊，知识点定力定义的推导过程， 从高一开始，高二高三。好的，谢谢啊，拜拜。

california 减 alpha 的 这样一个表达式，我们自然就会提出这样的问题， 你会觉得屏幕上的这两个结论正确吗？ 分别是 california 减 beta 等于 california alpha 减去 california beta， 还有一个是 cosine r 减负等于 cosine r 减去 cosine r 来。陈建军，你说不对，为什么那个第二个式子就可以证明它不正确？ 好，如果要说第一个结论不正确，第一个结论不正确，用那个刚刚写的第二个式子，哪一个结论就可以？ cosine pi 减 r 等于负， cosine r 好， 那就是 这个就可以作为第一个结论的错误的反例，对不对？好，这个呢？这个用第三个，用第三个好。 那么作为一般情况，那就说明这种仅仅从形式上的这个认识是不够的，我们需要进一步准确的去认识 quasi rfa 减贝塔和 quasi rfa quasi rfa 之间的关系，应该怎样建立怎样的研究平台比较好 啊？吴雨凡，你说下来应该怎么办？应该换一个单位好，在哪里？研究？ 在坐标系，坐标系中应该是先画出什么单位圆？单位圆好，那么在画出单位圆以后，我们紧接着要去干嘛？ 画出阿法和北塔角，画出阿法和北塔角的 中边对不对？是不是？好，那么这样一来， l 发和 b 他 两个角的中边在单位中是不是就有体现？好，你觉得这个图还缺了点什么？ 还缺 l 发减变好，我们还要画出谁的中边？那就是要画出 l 发减为他的中边，那就是说我们首先要出现什么？ 三个角的中边，对不对？好，那么我们如图，现在已经画出了三个角的中边，那我们现在研究的本质问题是克萨尔法减倍它，那么克萨尔法减倍它等于多少？其实是 阿法减倍，它的中边和单位的焦点，什么坐标 很坐标很好，请坐啊！那么这位同学给我们提供了一个非常好的操作的平台，那就是我们在单位员中呢，已经画出了一般的 r 发角 北叉角，好，我们还找出了 r 发减北叉，那么当然这个 r 发减北叉是依赖于 r 发和北叉的这两个角的大小，对不对？好， 那么我们研究的本质就是研究 r r 减肥，它的中边和单位圆焦点这个 p 的 横坐标，就是这么一个事情，对吧？好，我们选定了操作平台，那么接下来自然就会 寻找研究的一般路线，那么我们研究这样复杂的内容，应该怎样去操作呢？自然会有两个思路，第一个思路是什么？ 可以寻找特例对不对？那么我们知道谁本身就是一个特例啊， 诱导公式的本身是不是就是特例啊？好，那么如果要选诱导公式的话，那我们可以把这个 r 法改成 do， 改成零度，哎， r 法如果改成零度，如图所示，那其实就是诱导公式的黑板上的第一个诱导公式，如果把 r 法改成这个啪， 那么最后得出来的结果就应该是黑板的第二个诱导公式。那么但这个这两个诱导公式的证明和结论呢？可能都是比较 明显，那么请大家回答。当 f 二等于零度时，那么诱导公式是利用单位员的什什么性质， 什么性质？对称性，关于什么对称？ x 轴对称啊，这两点关于 x 轴对称，所以横坐标是什么一致的？那么当 r 法取 pi 的 时候呢？ 我们寻找的是一个单位员的什么性质？ 关于 y 轴的，是吧？对称性，哎，这还是一个主对称，那么当 alpha 取。

哈喽，同学 们大家好，咱们今天和大家讨论的是用余弦定力，正弦定力来解三角形，那么就会涉及到两个定力的一个综合应用问题。那首先呢，希望大家掌握的是关于三角形，呃，边和角的关系， 边和角的关系，然后呢就是去判断三角形的一个形，简单的形状要么是根据边去判断，要么是根据角去判断。呃，第一部分的内容呢，就是关于这个什么呀， 关于我们的一个知识点。那首先呢，我们根据余弦定里呢，会得到 cos a 呢，它就等于 b 方加 c 方减 a 方除以二 b c， 然后 cosine b 呢，它就等于 a 方加 c 方减 b 方除以二 a c， 然后 cosine c 呢，就等于 a 方加 b 方减 c 方除以一个二 ab。 这些呢都是与弦定里的一个推论，我们可以已知三条边， 然后呢去求三个角。那么对于正弦定理呢，二 r 乘以三 a 呢，它就等于 a r， r 乘以三以 b 呢，它就等于 b r， r 乘以三以 c 呢，它就等于 c， 然后 r 呢，它是三角形外接圆的一个半径。 在我们利用鱼弦定律判断三角形的形状的时候呢，我们知道之前呢，小学的时候我们就知道，如果有一个三角形中有一个角是钝角，那他就是一个钝角三角形。如果有一个角是直角，那他就是直角三角形，如果三个角都是锐角的话，那他就是一个锐角三角形。 那么在这块呢，也是一样的，我要使得它是一个钝角三角形的话，那它的一个呃，比方说是角 a 啊，也就说最大的角它是一个钝角，那 cosine a 呢，它必然是 干嘛呢？他说 cosine a 呢，必然是小于零的，因为九十度到一百八十度嘛， cosine a， 它必然是小于零的。所以说呢， cosine a 小 于零呢，其实就是分子小于零嘛。分子小于零，其实就是 b 方加 c 方减 a 方小于零，那其实也就意味着 b 方加 c 方是小于 a 方的。那么在这样一个条件下呢，我就能判断出来，三角形 a b c， 它是一个钝角三角形。如果说呢，它是 b 方加 c 方等于 a 方的话，那它就是一个直角三角形。因为 cosine a 此时是等于零度的。如果 我们满足这个 b 方加 c 方小于大于 a 方大于 a 方，然后呢？ a 方加 c 方大于 b 方，然后 a 方加 b 方大于 c 方。这三个式子同时成立的时候，因为我们要使的三个角都是锐角嘛， 那三个角的余弦值必须都是大于零的，那就判断出来了，这个三角形呢，它就是一个锐角，锐角三角形， 锐角三角形。那再继续往后看，我们，呃，一个比较特别的一个。嗯，变形其实用到了前面和大家讨论的一个诱导公式。三印 a 加 b， a 加 b 呢，和角 c 是 互补的嘛？互补的两个角正弦值是相等的，因此它就等于三引 c， 呃，互补的两个角与弦值是互为相反数的，所以它就等于负的 cos， 那 么 tan 呢？ a 加 b 就 等于 cos a 加 b， 比上一个 cos a 加 b 其实就是等于负的。一个 tan 加 b 其实就是多少呢？其实就是 cos， 这个其实就是这个 三印二分之派减 c 派减 c 呢，其实就是多少呀？三印二分之派减去二分之 c， 那 就是 cosine 这个二分之 c， 那 么同理， cosine 二分之 a 加 b 就是 cosine 二分之派减二分之 c， 那 其实最后得出来的结果应该是三印二分之 c。 在我们在判断三角形中呢，有几个重要的结论，如果三 a 等于三 b， 那 么 a 是 等于 b 的， 或者说呢，如果 cos a 等于 cos a b， 那 么 a 也是等于 b 的。 然后如果三二 a 等于三二 b， 那 么要么两种情况，二 a 等于二 b 正弦值，如果要么 a， 它是等于 b 的， 要么 a 和 b 是 怎么样的呀？互余的，互余的， 互余的。那么再往下看，这其实就是得到了一个什么呀。我们根据推论的时候，要么两个角相等的时候，也就有两种情况啊，不能用画括号来啊， 只能用来。要么有两种情况，要么是二 a 等于二 b， 要么是谁呀？要么是二 a 加上二 b， 他 是等于一百八十度的， 因为互补的两个角正弦值是相等的嘛，所以在这种情况下， a 它就等于 b， 然后在下面一种情况下呢，就是 a 加 b， 它就等于二分之二，那么这是第二个，然后第三个呢？我们要去判断 a 倍的 cosine b 加 b 倍的 cosine c， 这个就不用记了啊，我们 可以去，嗯，可以去自己往进带，那也就是 cosine b 其实就等于谁啊？ cosine b 呢，就等于这个 a 方加上 c 方，减去一个 b 方除以二 a c， 然后加上 b 乘以 b 方加 c 方减 a 方除以一个二 b c， 那 么 a 和 a 约掉之后，就变成了二 c 分 之 a 方加 c 方减 b 方，然后再加上一个二 c 分 之谁呀？ b 方加 c 方减 a 方，那么整理一下就变成了二 c 分， 之这个 a 方是不是又约掉了， b 方也约掉了，那它就变成了二 c 分， 之二 c 方其实就等于 c。 那 么同理一样的过程，我可以把 cosine c、 cosine b 的 带进去，得到第二个十字，可以把 cosine c， cosine a 带进去，得到第三个十字。这些呢，我们呢都能去推理出来。那么往下看第一个内容呢，就是去解平面几何中的一个问题，那在这样一个问题中呢，是梯形 a、 b、 c、 d 中 a、 d 和 bc 它是平行的，然后 ab 等于五， ac 等于九，然后角 b、 c、 a， 它是等于三十度的，那这个角就是三十度，然后角 a、 d、 b， 它是等于四十五度的，那要求角这个 b、 a、 d 的 正弦值和这个 b、 d 的 长，那其实角 b、 a、 d 的 一个，这个角的正弦值和 b、 d 的 长，也就是求这个有求角，有求边。那我先根据题目中的已知条件，我知道的是谁啊？ 知道的是五和它所对的角是四十五度。然后呢，我要去求一个谁的时候呀， 好像啥也没有，边只有两个条件不够，那再来看，我把我还五，这个边所对的角还可以是谁啊？还可以是这个三十度的角吗？那三十度放在这个三角形 a、 b、 c 中， 这个就可以做了。那么在三角形 abc 中呢？我们知道 ab 它是等于五的， ac 等于九， ac 等于九，然后角 abc 等于三十度。那么由正弦定里， 由正弦定理呢，就可以知道，由正弦定理呢，就可以知道这个谁啊？就可以知道这个三。哎，这个 a、 c、 a、 c 比上三弦角 abc 就 等于 ab 比上这个三弦角 a、 c、 b， 也就是说 a、 c 的 长是九，然后三弦这个角 abc， 我 说不知道，那就先放在这 ab 的 长呢是五，然后三弦角 a、 c、 b 就是 三弦三十度。那根据这样的一个关系呢，我就能判断出来，三弦角 abc 就 等于九，乘以一个三，三十度就是二分之一，再除以一个五，那其实算出来呢，就是十分之九，那么三角 abc 它是十分之九。嗯， 三角 abc 是 十分之九，然后 b、 a、 d 和 abc 它是怎么样的呀？它是互补的，那又因为 这个角 b、 a、 d 与这个角 abc， 它是互补的，它是互补的，那互补的两个角正弦值是相等的，所以这个三角 b、 a、 d， 它就等于三角 a、 b、 c， 它就等于十分之九。那么我第一问第一个问题是不就解决了，那第二个问题呢？要去求这个 b、 d 的 长，那经过我们把 b、 a、 d 的 正弦值求出来了之后呢？求出来了之后，那我就可以判断出来这个 b、 d 的 长，那这个时候就放在哪个三角形 a、 b、 d 中， 那在三角形 abd 中呢？我有 abd， 它是等于五的，然后呢？这个角 abd 是 等于四十五度的，然后呢？这个三角 b、 a、 d， 这个写错了，这个是 d 啊。 b、 a、 d， 它就等于刚才求出来是十分之九，所以由正弦定里可知， 有正弦定里就可以知道。这个什么呀？这个 b、 d 比上一个三角 b、 a、 d， 他 就等于 ab 比上三角 a、 d、 b， 那 言外之意几就是 b、 d 的 长，不知道三角 b、 a、 d 呢，是十分之九， 然后呢，他就等于 ab 比上，也就是五比上一个三角 a、 d、 b 三乘以多少度呀？ 二分之四十五度就是二分之根二，因此呢，这个 b、 d 他 就等于十分之九，乘以五就是二分之九，二分之九除以一个二分之根二，就是乘以一个根二分之二，那就最后算出来呢，他就等于 二分之九倍的一个根二。那么在像这种综合问题呢，你在使用正弦定力的时候，你 大家最好就是把前提条件是在哪个三角形中罗列出来，不然有可能三角形比较多，你可能就对不准他的一个条件了，在反思感悟这款呢，我们给大家了，我们大家可以根据图形，然后有很多个三角形，所以说呢，就 需要需要大家去判断哪个边，哪个角，在哪个三角形中，他是可以用的上的。再继续往下看这个跟踪训练一，这个呢是在三角形 abc 中呢，角 a、 角 b、 角 c 所对的边分别是小 a、 小 b、 小 c， 然后这个 b 呢，它是等于多少的 b 呢？它是等于三分之派的，然后小 b 它是等于根七，小 b 等于根七，然后 c 的 长 c 是 等于二的点， d 呢，是 bc 的 一个中点，那要求靠三角 b， ac 的 值，要求这个，呃，要求这个的一个什么呀？余弦值啊，那要求这个余弦值，那首先来看一下，看一下我知道的角是谁啊？知道的角是角 b， 那 要求余弦值呢？肯定是我这个左边的平方应该是谁啊？ 在这个哪个三角形中呀？在这个三角形 abc 中，咱们有 于弦定里就可以知道，由于弦定里就可以知道咱们的什么呀？左边就应该是 b 的 平方，那 b 的 平方就等于谁的 b 的 平方，它就应该等于 c 的 平方，加上 bc 的 平方，再减去一个二 c 乘以 bc， 再乘以一个 cosine b， 也就是 cosine 三分之派，那带进去的话，其实就是七，就等于 c 方， c 方就是四，加上 bc， 其实就是 a 的 a 方减去一个二 a， c 就是 四 a 再乘以 cosine 三分之八， cosine 六十度就是二分之一，那这个呢，其实就是再减去一个二 a 嘛，再减去一个二 a， 那 么关于 a 的 一个方程，其实就得到了， a 方减二， a 减三，它就是等于零的，然后一一一三，这个是负三。所以说呢，我解出来 a 就 等于负一，负一肯定就舍掉了边长非负吗？或者是三，那么算出来 a 是 三的时候，那要计算 cosine 这个角 b， a， c， 那就简单了，再用一次。所以说呢， cosine 角这个 b， a， c， b， a， c 呢，它就等于 b 方加 c 方减 a 方除以个二 bc， 那 其实就等于七，加四减 九，除以个二乘根，七乘二就是二，那也就是二倍的根七分之一，那就是， 嗯，十四分之根七，那余弦值第一问呢，我们就求出来了，再往下看，这个第二问，要求 a、 d 的 长，那要求 a、 d 的 长的话，那我 就在这边来计算吧。我要求 a、 d 的 长的话，那首先第一问呢，我刚才计算出来了，这个 a 小 a 呢，是等于三的，所以说我们因为点 d， 它是一个 b， c 的 中点，所以 b、 d， 它就等于 c， d 就 等于二分之三， 那要求 a、 d 的 值，那我可以去干嘛呢？可以再用一次余弦定里吗？那么我们知道这个时候就放在三角形 a、 b、 d 中了，那在三角形 a、 b、 d 中呢，我由余弦定里就可以知道， 由余弦定里呢，就可以知道，这个 a、 d 的 平方就等于这个 c 方加上一个 b、 d 的 平方，减去二 c 乘以 b， d， 再 乘以这个 cosine 六十度。那么 c 的 平方呢？刚才是呃四加上 b、 d 的 平方就是四分之九，减去二乘以二，再乘以一个二分之三， 再乘以二分之三，然后 cos 六十度是二分之一，所以带进去的话，这个的话就是三一一加四分之九就是四分之四，加四分之九就是四分之十三。所以说呢， a、 d 的 平方是四分之十三，那么 a、 d 的 长度是多少呀？ 二分之根号下十三。这就是我的这个问题，一定要搞清楚啊，我们在应用正弦定律和余弦定律的时候，是放在哪一个三角形中去判断的？ 去判断的？然后呢，再往下看，我们第二部分的内容呢，就是把正弦定律和余弦定律将 与其他的知识点结合起来，与其他的知识点结合起来。那么在例二题中呢，是告诉大家，在三角形 abc 中呢， abc 所谓的边是角，边是 abc， 然后向量，哎，有与向量有关了， 然后 m 向量与 n 向量，它是共线的，要正这个 abc 向量，它是一个等腰三角形。那我由提知这个 m 向量与 n 向量共线的时候呢，那它的一个坐标就满足 x 一 y 二减 x 二， y 一 就等于零，因此呢，就是 a 倍的三引 a， 减去 b 倍的三引 b， 它就等于零。那么己就是 a 倍的三引 a， 它就等于 b 倍的一个三引 b， b 倍的三引 b。 所以 说呢， 我们知道三引 a 呢，它就等于 a 比上一个 r， 然后三引 b 呢，它就等于 这个 b 比上一个二 r， 因此呢，二 r 一 约的话，就得到了 a 方等于 b 方，那 a 方等于 b 方， ab 都是边长，也就是说 a 它是等于 b 的， 也就证明出来了三角形 abc 就是 一个等腰三角形， 也就是证明出来了三角形 abc， 它就是一个等腰三角形。第一问呢，就解决掉了，然后往下看，第二问的话， m 向量垂直于 p 向量，那 m 向量垂直于 p 向量，那说明坐标数量积就是零嘛，那数量积就是零，所以就判断出来了。呃，所以就判断出来了，这个谁就等于零呀？ a 乘以一个 b 减 c， 再加上 b 乘以个 a 减 c， 它就等于零。那括号去掉之后呢，就得到了 ab 减 a， c 加 ab 减 bc， 那么可以合并一下，就是二 a， b 减去一个 a， c 再减 b c， 那 c 就 可以提出去吗？那就变成了减去 c 倍的一个 a 加 b， 它就等于零。那题目中又告诉大家， c 是 等于二的，那带进去呢？几就是这个 将，这个谁啊？将 c 等于二代入，那将 c 等于二代入，我就得到了二 ab， 它就等于二倍的 a 加 b， 那 其实也就是得到了谁呀？ ab 就 等于 a 加 b， 那 么又因为告诉了角，这个是六十度嘛，所以我们由余弦定里就可以知道。 由余弦定里呢，就可以知道角是 c， 那 么左边应该是 c 的 平方，那 c 的 平方就等于 a 方加 b 方减 r， a， b 乘以一个 cosine c， 那 a 方加 b 方呢？就等于多少呀？它就等于 a 加 b 的 平方减去二 a b cosine c cosine 六十度，其实就是二分之一，那再减去一个 ab， 那 a 加 b 呢？和 ab 它是 相等的嘛？ a 加 b 和 ab 是 相等的，所以就带进去就变成了一个 a 方， b 方减去一个三 ab 它就等于几啊？ c 是 等于二的嘛， c 方就等于四，所以说呢，就得到了 ab 的 平方，减去三倍的 ab， 它就等于四，也就是说减四它就等于零。那么可以把 ab 当成一个整体因式分解， 一一一四负号给下面，那也就得到了 a b 呢，要么等于负一，肯定就舍去了边长嘛，或者说它是等于四的，那我就判断出了 a b 就是 等于四的，那要求三角形 a b c 的 一个面积 s 三角形 abc 呢，它就等于二分之一， ab 乘以谁呀？乘以三以 c， 那 刚好它就等于二分之一，乘以四，三以 c 呢，就是三点六十度呢，就是二分之根三，那它就等于根三。所以我这个题呢， 呃，其实考察的内容是比较多的，向量垂直于弦定里，还有前面在 推导出来了关于求三角形面积的一个另外的方法，另外的方法，那么在反思感悟这块呢，一定要把我们的基础知识掌握到位啊，不能忘你想坐标啊，这些都是最基础的，不能去出错啊，不能去出错。 最后呢，再往下看，咱们的这个跟踪训练，二与函数又有关系了，那 f x 呢，它是等于 a 向量点乘 b 向量的， f x 等于 a 向量点乘 b 向量，然后 a 向量它的坐标呢？判断出来是 cosine 二 x 加上一个三分之二， cos 二 x 加三分之八，然后呢， b 向量的坐标是多少呢？ b 向量的坐标呢？是二一，然后 x 它是属于 r 的， 那 x 属于 r 的 话，那我就判断出来了。第一问要让求的是 y 等于 f x 的 一个单调区间， y 等于 f x 的 一个单调递减区间。那首先就要把 f x 先来写出来嘛， y 等于 f x， f x 的 等于 a 向量，点成 b 向量，那就它就等于二倍的一个 cosine。 二 x 加上 三分制派，然后呢，再加上一个一乘一，就是加上一，那要求这个的单调递减区间，那其实就是考余弦函数的单调递减区间吗？那我把这个二 x 加上三分制派当成一个整体，他的递减区间呢，就是零到派， 零到递减去减零到派。所以说呢，那给他加上一个周期，我只需要使得他是大于等于零加二 k 派，那么零就不减了。小于等于派加上一个二 k 派， 然后 k 是 属于 z 的， 因此二 x 它就大于等于负的三分之派加二 k 派，减去三分之派，就小于等于三分之二派加上一个二 k 派，然后呢， k 它是属于 z 的， 那两边同时除以一个二 x 呢，它就大于等于负的六分之派加 k 派，然后呢，小于等于三分之派加上一个 k 派， k 它是属于 z 的， 因此它的单调递减区间呢，就是负的六分之派， 然后加 k 派，然后呢，是三分之派加 k 派， k 呢，它是属于 z 的， 这是第一问。再往下看，这个第二问是在三角形 abc 中角 abc 所对的边分别是小 a、 小 b、 小 c， f a 呢，它是等于负一的，然后小 a 等于根七 m 向量与 n 向量是共线的，要求 b c 的 一个值。那首先呢，我 f a 等于负一，那根据第一问的，其实也就是谁等于负一呀？ f a 呢，它就等于二倍的一个 cosine 二 a 加上三分之派加一，它就等于负一。那因此呢，我能得出来， cos 二 a 加上三分之派，它就等于负一。因此呢， 因为放在三角形里边嘛，所以二 a 加上三分之派就等于派啊，然后二 a 呢，就等于三分之派，角 a 是 不求出来了，然后小 b 的 长呢？又知道 m 向量和 n 向量是共线的，那我可以接下来应用这个条件， m 向量与 n 向量共线，坐标呢，就满足三倍的三隐 c， 减去一个二倍的三隐 b， 它就等于零。那言外之意呢，就己就是三倍的三隐 c， 就 等于二倍的一个三隐 b。 因为三眼 a 比三眼 b 比三眼 c， 它其实就等于谁呀？它其实就等于 a 比 b 比 c。 所以 说呢，我根据这样一个条件呢，就判断出来了，三 c， 它是等于 二 b 的， 三 c 等于二 b。 那 现在角 a 知道，小 a 知道，那我就可以用什么去判断呀？用余弦定力来做一次，用余弦定力来做一次。那么由于弦定力呢，就可以知道我知道的角是 a 嘛，所以左边肯定是小 a 的 一个平方，那小 a 的 平方，它就等于 b 方加上 c 方减去二 bc 乘以一个 cosine a， 那 么 a 方呢，就等于七 b 方呢？放在这 b 方加上 c 方，减去 cosine a， 就是 cosine 三分之派。六十度二分之一，再减去一个 bc， 再减去一个 bc， 而 b 加 c 呢，就可以，干嘛呢？ b 加 c， 我 同样的就可以用 b 方加 c 方，就可以用 b 加 c 来表示出来嘛，那它就等于多少呀？ 他就，哎呀，或者说直接也不用这么多，多写一步了，那直接用替换吧。三、 c 等于二 b， 三 c 等于二， b 的 话， b 就 等于二分之三 c 啊， b 把二除过去嘛，就是二分之三 c， 那 么带进去的话，就等于四分之九， c 方 加 c 方，再减去一个多少呀？再减去一个 bc， bc 的 话就是二分之三倍的 c 方，呃，在那来计算一下，其实就是四分之六倍的一个 c 方，一减就是四分之三 c 方 四分之三 c 方加上 c 方就是四分之七， c 方就等于七。因此呢， c 方它就等于七，乘以一个七分之四就等于四，那 c 方等于四的话， c 就 等于二， c 等于二的话， b 等于二分之三 c， b 就 等于三。所以说呢，我就计算出来， b 的 值就是几呢？三， c 的 值就是二，这是我们根据向量的贡献呢，呃，得到了这个关于 b 和 c 的 一个呃，等量关系，然后呢，最后根据余弦定律求出了这个 bc 的 值到底是什么？其实思路不难，但是就是有些同学可能想不到这块 最后一个问题呢，是关于咱们平面几何中的一个证明问题，那在这个证明问题中呢，告诉大家，呃，在三角形 a、 b、 c 中，二 b 它是等于多少的呀？二、 b 呢，它是等于 a 加 c 的， 然后 b 等于一，那要求证 a 加 c 呢，它是大于一，小于等于二的边的关系。 那来看一下，我们既然是一个证明题，那就把它证明两个字写出来，二 b 它是等于 a 加 c 的。 然后呢，因为在三角形中嘛，所以这个二 b 它就等于 a 加 c， a 加 c 就是 pi 减 b 嘛。所以说呢，就得到了 三 b， 它就等于 pi， 那 么 b 它就等于三分之 pi， 我 一个角度是不就知道了？然后小 b 还是等于一的，那要正 a 加 c 的 一个取值范围，那肯定左，用于显定力的话，左边就是谁的平方呀？ b 的 平方，它就等于 a 方加 c 方，减去一个二 a， c 乘以 cosine， b 就是 cosine， 多少度呀？三分之派，那其实就是要判断 a 加 c， 那 我就不需要 a 方加 c 方嘛。那 a 方加 c 方，我就可以用 a 加 c 来表示出来，就是 a 加 c 的 平方，再减去一个二 a， c， 再减去一个二 a， c 乘以靠近三分之二，就是减去 a， c， 那 减二 a， c， 再减去一个 a， c， 那 其实就等于多少呀？ a 加 c 的 平方，减去一个 a， c， a， c， 那 现在我不需要 a c 吗？ a 乘 c 吗？我需要的是谁呀？ a 加 c。 因此啊，在这块我们可以用一次基本不等式 和的关系和积的关系嘛，那就会考虑到基本不等式，那有基本不等式呢，就可以知道。我们知道什么呀？ a 加 c， 它就大于等于二倍的根号下 a c， 那 么己就是谁呀？己就是 a 加 c 的 平方，就大于等于四倍的 a， c。 等号成立的时候是什么时候成立的？当前 仅当 a 等于 c 的 时候，等号是成立的， 等号是成立的。所以我代入呢，就可以得到谁啊？代入呢，就可以得到我们的这个 b 方。 b 方是等于一的，那就是谁。呃，这个 a 方加 c 方大于等于四 a b， 那 也就是一，它是大于等于 a c 的。 a 大 于等于 a， c 大 于等于 a， c 是 不是大于等于 a c， 嗯，大于等于 a c， 嗯，哎，不对，搞错了，我最后要判断的是谁的范围啊？最后要判断的是 a 加 c 的 范围， 所以说呢，这个减去三 a c 的 话，是小。呃， a 加 c 的 平方减去三 a c， 它是等于一的，那么带进去呢？那其实就得到了一个谁啊？其实就得到了这个， 嗯， a 加 c 的 平方，减一减去 b 方，它就等于三 a c 嘛，而三 a c 呢？ a c， 它是 a 四倍的 a， c， 它小于等于 a 方加 c 方，那其实三 a c 呢，就小于等于四分之三倍的一个 a 加 c 的 平方。因为这个式子我其实能得出来， a c， 它是小于等于 a 加 c 的 平方，除以四的，除以四的。我其实要导出来这样一个关系，那我们就判断出来了，其实是谁呢？其实就得到了 e 一 项，就是四分之一倍的 a 加 c 的 平方，它就小于等于一。所以说呢， a 加 c 的 平方，它就小于等于四。 a 加 c 小 于等于二， a 加 c 小 于等于二，所以我是不是就得到了？然后大于一，我应该怎么判断出来呀？这个是最简单的三角形， 它的两边之和大于第三边，两边之和大于 第三边，那我 a c 就 可以充当两边嘛，也就是说这个 a 加 c 就 大于 b， 即就是咱们的这个谁呀？ a 加 c 就 大于一。那综上所述， 我们就证明出来了， a 加 c 是 大于一，小于等于二的。我们考察了三个知识点，第一个呢就是余弦定律，第二个就是基本不等式。那么第三个呢，就是最基本的两边之和大于第三边，两边之差呢？它是小于第三边的， 小于第三边的。那在反思感悟这款呢，我们可以考虑正弦，也可以用于弦，可以用正弦，可以用于弦，也可以用基本不等式，还有三边的关系，这些都是三角形中常考的一些内容。 最后呢，再往下看，跟踪训练三、如图，在这个平行四边形 a、 b、 c、 d 中， a、 b、 c、 d 中角，这个 d、 a、 b 它是等于四十五度的，那这个角是等于四十五度，然后要求证 a、 c 是 对角线， b、 d 是 对角线， ab 是 b， a、 d 它是一个邻边，那来看一下吧。 我们既然这个角度它是四十五度的话，那么在这个三角形 四十五度的时候，那么在这个三角形 a、 b、 d 中， a、 b、 d 中呢？它就由余弦定里就可以知道， b、 d 的 平方就等于 ab 的 平方加 ab 的 平方减去二， ab 乘以 a、 d， 再乘以一个 cosine 四十五度，那 cosine 四十五度呢？就等于多少呀？等于二分之根二，那先放在这啊，那先放在这，然后呢，这个四十五度是用到了 b、 d， 然后平行四边形，对边平行且相等，那么角 d， a、 d、 c 呢？它就等于一百三十五度。所以要用到 a、 c 的 话，那我就必须放在哪个三角形中呀？放在三角形 a、 c、 d 中，那放在三角形 a、 c、 d 中呢？我们就得到了 a、 c 的 平方，它就等于 a、 d 的 平方，加上 c、 d 的 平方减去二， a、 d 乘以一个 c、 d， 再乘以一个 cos 一， 一百三十五度，然后呢，对边平行且相等，所以咱们就其实最后需不需要 c、 d 啊？不需要呃， 只需要的是 ab， ad， ad， 然后 c、 d 就 要换一下， c、 d 就 要换一下，然后 a、 c、 b、 d 好 了，那么 c、 d 换 c、 d 和谁是相等呀？ c、 d 和 ab 是 相等的，因此呢，上面这个式子，它就等于 a、 d 的 平方加 ab 的 平方减 啊， a、 d 乘以一个 ab， 再乘以一个 cos 一 百三十五度， 一百三十五度，那么此时我要去证 a、 c 的 平方乘以 b、 d 的 平方，所以带进去呢？ a、 c 的 平方点乘 b、 d 的 平方，它就等于 ab 的 平方加上 a、 d 的 平方减去 cosine 四十五度就是二，那二分之根二，那就是根二倍的一个 a、 b 乘以 a、 d 再乘一个谁呀？ a、 d 方加上就调过来吧，就是 a、 b 方加上 a、 d 方减去 cosine 一 百三十五度，就是负的二分之根二，那也就是加上谁呀？根二倍的这个 a、 d， a、 b 乘以 a、 d， 那 么可以把前两项当成一个整体，这个当成一个整体，然后它减它乘以它加它，那根据平方差公式，那我就得到了，它就等于 a、 b 方加上一个 a、 d 方，括号外的平方减去第二项的平方就是二倍的 a、 b 方乘以 a、 d 方乘以 a、 d 方。 那么括号去掉之后呢，就是 ab 的 四次方加上 ad 的 四次方加上二倍的，减二倍的，那它就抵消掉了嘛， 所以我在最后呢就证明出来了，上面这个等式它是成立的。那么在这节课呢，我们主要和大家讨论了一个三个问题，第一个呢就是解决平面几何问题，那一定要观察出来，对准它到底是在哪一个三角形中的。 其次呢，就是正弦定理和向量呀，函数呀，呃，这些一个综合起来去考察大家的，最后就是一些证明问题了，证明问题了。如果大家在对这块有什么疑问的话， 欢迎大家在评论区留言，咱们今天就到这里，明天再见。拜拜。

hello， 各位同学，今天有人投稿跟旺仔老师说他这道题不会，那我们帮他解答一下。首先读题 a、 b、 c 的 顶点，告诉你了它的坐标是多少，还告诉你了 cos 等于负的五分之三。问你求常数 m 的 值， 那首先求常数 m 的 值呢？我就要知道，我必须要列个方程组或者是方程，对吧？含有 m 的 未知数的 方程，我才能把 m 解出来。那首先这道题给你坐标了，那坐标肯定是没有用的，对吧？因为我们得把坐标合在一起才能用，那只能用谁啊？用口算 c 这个公式，那口算 c， 我 们就能讲到三角形，我们非常常用的一个余弦定律， 那大家还记得余弦定里的公式吗？我们这我们这次的题是口算 c， 所以 它对应的应该是 c 方，那 c 方应该等于 a 方加上 b 方减去二 a、 b 乘以谁呀？口算 c， 那 a、 c、 abc 分 别是哪个边呢？ a 所对应的边是 bc， 对 吧？ c 角所对应的边是 ab， 这是 c 边， b 边所对应的是 b 角所对应边，那就是 a、 c， 对 吧？那这个时候我们依次往里带 a 方， c 的 平方就等于 a、 b 的 平方， a 的 平方呢？就等于 b， c 方加上 b 的 平方就是 a、 c 的 平方。 减去二倍的 b， c 乘上 a， c， 再乘上一个负的五分之三，我们直接把只代入，对吧？那依次我们要求 a、 b、 b、 c 和 a c， 那 就好了嘛，我们把这些式子 求出来，把这个值求出来，这样的话我是不是就含有 m 的 方程了？这样 m 是 不是就可以解出来了？那首先我们如何求 a、 b、 b、 c 和 a、 c 呢？这样我们就使我们想到了什么呀？两点间的距离公式， 因为它给你向量的坐标了嘛。然后我们就需要利用什么呀？两点间距离公式， 那两点间距离公式等于啥来着？比如说 a 点是 x 一 逗上 y 一， b 点是 x 二逗上 y 二，那 ab 的 魔长也就是它的长度就等于啥呀？横坐标差和纵坐标差的平方加在一起，也就是 x 减去 x 一 的平方，加上 y 二减去 y 一 括的平方，对吧？那我们分别求一下呗。 首先求一个 ab 吧，那就直接干 ab， ab 应该等于啥？根号下， 嗯， m 加三括号的平方吧，对吧？然后加上什么？ m 减五括号的平方，然后 a c， 哦， a c 的 话非常好求，直接就是根号二了，对吧？ 然后我们再来看 b a， b c， 对 吧？ b c， 它就等于根号下啊。 m， m 加四的平方不变，加上 m 减四也是不变的，对吧？因为 c 是 坐标原点， 那这个时候我们把方程依次带入，带入这个值，我们就会得到一个式子，对吧？关于 m 的 未知数的式子， 那这个时候我们把式式往里面一带呗。 ab 的 平方直接开一下根号是不就可以了？那就是 m 加三的平方，加上 m 减五括号的平方，等于， 嗯，直接开根号，然后就是 m 加四括号的平方，加上 m 减四括号的平方，那就是二，然后减去谁呀？ 减去二乘上 b c 和 a c， b c 和 a c， 那 就是二乘上根号，二乘上 b c 的 长，那就是它一个根号。 m 加四括号的平方，然后加上 m 减四括号的平方，再乘一个谁呀？负的五分之三，对吧？这个是指我们要进行化简，也就是求值， 那我们之后化简应该整理可以得到负四 m 等于五分之六倍，刚好二倍的啥呀？二 m 的 平方加上三十二，我们应该会得到这个四值， 这个时候，这个时候我们进而化简就可以得到了。什么 m 的 平方等于九，但是 m 不能小于零啊，对吧？ m 是 不可以小于零的，但有没有发现我 cosine 的 值是负的五分之三，对吧？它是小于零的，说明这个 c 角 c 应该是什么角啊？角 c 应该是钝角， 那角 c 是 钝角，那就说明我向量 c a 乘上什么向量 c b 应该是小于零的，那我二 m 也就小于零，所以我 m 是 不知就小于零了，所以我 m 等于什么负三？ 或者是还有一种情况，如果我们不知道这个 m 为什么小于零的情况下，那么我们可以利用什么去算呢？我们是不可以知道口算 c 是 什么？锐角，对吧？不是，是钝角， 因为口算值是负的，所以它是钝角，对吧？那我们是不是就可以得到 a b 的 长是这个三角形最大的， 对吧？那我们可以分两种情况， m 等于三和 m 等于负三，依次代入可以得到 a b 到底哪个才是最大的？然后我们会发现 m 等于三会舍掉，所以 m 等于负三。这是这道题的答案。

今天我们来讲解有关于鱼弦两角和与两角叉公式，那这两个公式的话，我们的口诀是鱼鱼正正反鱼弦。 那这里的话，我们首先先看一下余余正正那第一个角的余弦值 cosine alpha， 那 第二个角的余弦值 cosine beta， 那 反反的话意思是表示符号相反，那这里我们是余弦两角和，所以说在展开式的时候，那这里是减号，你这里加，我这里就减，然后正正那第一个角的正弦值， 翻译 beata 啊，那所以说余弦两角和公式是 cosine 括号的 alpha 加 beta 等于 cosine alpha， cosine beta 减去 alpha alpha， 那 同理。那有关于余弦两角叉公式，那 cosine alpha 减 beta 就 等于于于啊，然后呢？反，这里是 alpha 减 beta， 所以 说我们这里是加啊，然后呢？反，这里是 alpha 减 beta， 所以 说我们这里是加啊，然后呢？反，这里是 alpha， 所以 说我们这里是加啊，然后呢？反，这里是 alpha find beta 啊，那这里的话就是有关于鱼弦两角和公式与鱼弦两角叉公式它的这个展开式啊，好，同学们，你们学会了吗？

我们今天来进行一下正弦定理和余弦定理的证明和推导，以及一些相关题题的练习。先看一看正弦定理的证明。如果说我们这有一个圆，这个圆呢？有个内接的三角形，我们说这个圆叫三角形的外接圆，三角形，叫圆的内接三角形啊，这样的一个逻辑，这个圆 a、 b、 c 三个点都在圆上，它所组成的一个三角形，那这个三角形与圆的关系，只有那些的关系，对不对？其他关系我们都不确定。那对于这样的一个圆而言的话，三角形三个点在这个圆里是没有任何要求的，在什么位置上都是可以的。 那如果说我们过 b 点画一个圆的直径，假设这个 o 点就是圆的直径，我们再将这 b 的 延长线啊也这个点称之为 a 撇点。我将 a 撇和 c 连接，得到了一个 a 撇，这个角 a 撇，这个角和 a 这个角相等的角叫同弧，所对的圆周角是相等的， a 等于 a 撇， 那如果 a 的 a 撇的话，那三 a 已经等于三 a 撇啊，那正弦定里的开端就出来了，那我们把三 a 转成了三 a 撇，那对于三 a 撇而言的话，它放在一个特别好的三角形里了，有一个边是直径的，三个点都在圆周上的三角形，那这个三角形就有一个非常非常显著的特点，就是它有一个什么 直角啊，也是初中内容叫直径，所对的圆周角是直角，在这个位置我们得到了一个直角 a， 它的对边是 bc， bc 我 们用小 a 表示， 然后它的这个斜边呢？是不是直径啊？直径，如果半径是 r， 来这一个 r， 这一个 r 塞引 a 撇是等于小 a 比上 r r 的， 到底那我们的小 a 呢？是不是就是二 r 塞引 a 撇，那小 r 如果是塞引 a 撇的话，那塞引 a 撇和塞 a 是 相等的呀，我们这个 a 撇这个东西是我重新引入的一个 一个角，它不在我原来的三角形里边，那么 a 等于二 r 塞引 a， 那 么如果我们按照一模一样的想法啊，我在 c 啊， b 啊这个位置也进行一轮这样的操作的话，是不是就能得到小 b b、 b 边 等于二， r 乘以 b， c 等于二， r 乘以 c， 那 三边如果都能这样去表示的话，我把三边做一个比值呗，把这个三 a 移过来， a、 b 乘以 a 等于 b， b 乘以 b 等于 c， b 乘以 c 等于二， 能得到这样的一个关系啊。正弦定的公式我们就推导完了，对于弦定而言的话，我们先找到一个三角形，它就是纯粹的由这个向量去推导三个顶点写成 a、 b、 c 对应的边长，小 a， 小 b， 小 c。 这时候我们再搞一个向量出来啊，我们向量去推 a、 b 向量、 a、 c 向量以及 b、 c 向量，我们给它们分别赋以一个字母的形式，现在我的 a、 b、 c 是 边长，一会我们再写一组字母，那边长的话，就可以理解为是这个 呃向量的膜。那我们如果令 a、 b 向量等于小 c 向量， a、 c 向量等于小 b 向量， b c 向量等 等于 a 向量，那如果我们得到了这样三个向量的话，我就发现这三个向量可以用加减法去进行处理，那么我们的 b、 c 向量可以等于 a、 c 向量减去 ab 向量，手手相连后，指前 a c 减 ab 等于 b c 嘛。那如果这样的话，我们就重新用小字母去表示一下， b c 向量就是小 a 向量，然后 a c 向量是小 b 向量， 减去 ab 向量是小 c 向量，然后碰到向量。这个问题啊，之前我们说过，有一个非常重要的思路，是不是也就是想要它的模啊？如， 如果我还是想要它的模的话，我是不是还可以平方一下 a 模的平方等于 b 减 c 的 平方，自己的平方直接魔方就好了，因为 cosine 零度等于一。好了，那右边我打开的话，正常完全平方公式打开就是 b 方 减去二 b c 加上 c 方呗。 b 向量的平方直接写成模的平方，减去二倍的 b 向量乘 c 向量就是 b 的 模，乘以 c 的 模 乘以假角余弦值。 b 向量和 c 向量的假角是不是就是 a 角啊？所以我直接写口算 a， 然后加上 c 的 模的平方，左边是 a 的 模的平方，都改成模了，我就不要写这么麻烦了，我就改成它边长形式就可以了。那 a 向量对的那个长度就是小 a 边嘛，对吧？所以我就知道 a 方等于就 b 方，把 c 方写前面加 c 方减去 二倍的 b， c cos a 啊。余弦定里证明结束。余弦定里的话，一般我们会给出两种形式啊，第一种形式，这个是这个整式形，我们写成 a 方等于 b 方加 c 方减二 b c cos a。 另外一种形式的话，我们愿意写成一个分式形，但是这个分式你就理解为它直接一项就可以了，就把 cos a 提出来就完事了。那它的分式形是什么？ cos a 等于 b 方加 c 方减 a 方比上二 b c 整个余弦定里的证明。我们用向量的方法先构造一个减法，然后再平方处理一下，进行 推导，就是这样的两个方法。好了，这是正弦定律和余弦定律。说一下他们的一些小的推导和结论啊。公式本身的话，那就比较过于简单，但是怎么去应用它？在实际的过程中有哪些需要注意的点？所以我们去找一些小的推论。先说几个比较基础的啊。第一个比例性质的问题，三个分数在做比例的时候，可不可以分子比，分子等于分母比分母啊，完全可以的 正弦定律。另外一种写法， a 比 b 比 c， 是 不是等于塞 a 比塞 b 比塞 in c， 这是一个分子的比，根据分数的这个性质的话，你看 a 比上塞 a， 我 们正常应该等于 b 比塞 b， c 比塞 in c， 那 我如果写成 b 加 c 比上塞 in b 加塞 in c， 我甚至写成 a 加 b 加 c 比上 sin， a 加 sin， b 加 sin c， 对 吧？仍然没有问题。有一个错误，最开始此时我们这个位置是边边边角的正弦值 sin 值， sin 值， sin 值的比值，很多人就会误以为是一个什么 角的比值一定不等于 a 比 b 比 c， 它跟角具体大小没有关系，是角的正弦值拿出来比啊，一定不是角来比。虽然啊，边长和角度没有明确的这个数量上的比值，但它大小关系上确实是有一个关系的。当一个三角形摆在这的时候，如果它的这个张角越大，它所对的边一定是越长的。 张角越小，它所对的边一定是越短的，所以说我们会有一个小的结论，虽然没有明确的数量上的关系，但我知道大的边长一定对应大的角度，小的边长 一定对应小的角度，对吧？所以我们就有大边对大角，小边对小角这种作一部分取舍啊。就当两个角的边长如果存在大小关系的时候，角度一定有很大关系， 因为我们在想，我们在求正弦值的时候，我随便给你个 sin 值，我给你个 sin 二 sin， 一个角等于二分之一，你怎么确定它是三十度呢？我们首先说，如果不是三角形内任意角的话，那你根本就不知道多少度，那就算在三角形内的话，它是不是也有三十和一百五十度两种选择呀？一定不要忽略那个钝角啊， 你得到 sine 值的时候一定是对应两个角，你到口和弹的时候才能对应唯一的一个角。当然我们前提是三角形内，那这个时候可能就需要利用这个逻辑，大边对大角，小边对对小角，我们得到了这个角 c a， 假设啊，等于二分之一，我们知道 a 等于三十或者 一百五十，用两个角度，一个是看看有没有什么内角核做这个矛盾的点，有人那边给你个四十五度是吧？你这非得选一百五，那怎么可能呢？超过一百八了吗？另外一角度就是可能这个角度我判断不了了。边长的这个逻辑去分析， 如果小一边等于四吧，假设这边一个小 b 边，这个 b 边呢？等于三单的话，那 b 的 角是多少度啊？那如果 a 等于四， b 等于五，那此时 b 的 角是不是要比三十度要大？如果说碰到这种题型的时候，你要考虑一下另外一个一组边长，如果我 a 的 长度 大于 b 的 长度，那我 a 的 角必然会大于 b 的 角。但另外一种情况，如果 a 的 长度小于另外一个 b 的 长度，那我 a 的 角一定小于 b 的 角。 a 角如果是一百五十度的话，所以说就会出现双解和单解 两种情况。刚我们说大边对大角，小边对小角，这个边越大，小角越大呗。如果边越大角越大，那么它所对应的 side 值是不是也变大了？在三角形里边儿，我们可以推出一个结论，就是 a 如果大于 b 的 话，那么 side a 一定大于 side b 不 在三角形内，可千万不要推这个结论啊。第二个，来一个边角互换，逻辑非常的简单，因为我们正弦定理，就从推导的角度来说吧，我们的 a 是 等于二 r 再减 a 的， 那反之，我的 side a 可以 等于 a 比二 r， b 等于二 r 再减 b 就 等于 b 比上二 r， c 等于二 r 塞进 c， 那 么塞进 c 就 等于 c 比二 r a、 b， c 的 结构，以及塞 a 塞进 b 塞进 c 的 结构，两组达到了一个什么对称统一？呃，在这个三角齐题的这种公式里边儿，我们碰到了类似，比如 a 塞进 b 加 c 口塞进 c 等于 b 啊，我随便编一个，如果碰到这样的一个式子的时候，我会发现这有一个 a 边， 这有一个 c 边，这有一个 b 边，都有独立的这个字母，也就都有边长。那我是不是可以把 a、 b、 c 分 别换成二 r 三 a、 二 r 三 b 和二 r 三 c 啊，每项都有二 r， 是 不是二 r 可以 消掉了？可以直接写成三 a 三 b， 加上三 c， cosine c 等于 cosine c 等于 cosine b， 我 将这个 a 直接变变成了 cosine c 直接变成了 cosine c， b 直接变成了 cosine b， 然后这个消 r 这个中间过程啊，我就省略不写了，我虽然不写那个式子了，但是我们要写由正弦定里得 sin a， sin b， sin c， cosine c 等于 sin b 这样的一个形式。 那整个这个过程，我们实现了一个边长画成了角的正弦值，所以整个过程就叫什么边画角的过程。把所有的边长改成正弦值呗，我反正能回去啊，但回来你看就有点小问题了啊。 sin a， sin b， 这是 sin c 口 sin c， 这是 sin b 来，我们知道所有的 sin 值都可以改成边长比乘二 r， sin a 可以 改成 a 比二 r， 那 这还有个 sin b 呢？好像也可以改成 a 比二 r， 把这个 sin c 可以 改成 c 比 r 口算 c， 我 就先不动它。这边这个 sin b 呢，是 b 比 r， 分 母上有两个 r 啊，是 r 的 整体的平方啊。那这个时候我们就要想一个问题，就是你到底想要个什么？如果题里说啊，让你求 r 有 关的东西，求外接圆半径有关的东西，那当然很好，我 这样一整的话，我消掉一个 r， 消掉一个 r， 消掉一个 r， 留一个 r， 我 想要求 r r， r， r 就 留下了。所以此时呢，我们就会发现，那在第一组里边儿啊，分母上只有一个 r， 一个 r， 一个 r， 留一个 r， 留一个 r， 我 想要求 r 就 留下了，所以此时呢，我们这次可以换个写法， 我们把这个 a 不 动这个 a 啊，我不给它改成这个形式了，还是散引，把散引 b 改成 b， 这样我这个散引 b c 和散引后边还有个散引 b， 就 可以统一消掉，那就变成 b 乘散引 a 加上 c 乘口，散引 c 等于 b， 我 会发现这边的散引我多了一个，你要保证次数一致就可以了。 所以我们就会发现，在边角互化的过程中呢，每项都得有，你要么都有边长，要么都有散引值，这俩都要有。第二个要保证次数是一致的。 我此时说的次数一致，并不一定保证每个单项式它的次数是一致的，而我要保证的是你要被消掉的次数是你这消个 a 那 边也可以，消 a 消 b 也行，消 c 也行，你不都给我消二次方的， 你消就一次方，一起统一消二次方就统一消二次方。所以我们两个要求，第一个叫每项都有，因为只有每项都有的时候，我们才整体进行消 r r 的 过程。是不是不管是消 r r 还是消 r r 分 之一，那你都得每项都有。 第二个呢？叫且次数一致，次数一致才能保证你消掉的 r r 是 一样多的，对吧？你不会有东西留。 r r 每项都有，且次数一致。每项都有，指的是边长和 size 值都有啊，要么都是边长，要么都是 size 值，而次数一致保证每项的次数要相等，这样我消掉 r r 是 一样的。 然后不用写这个 r 的 这个过程，直接写由正弦定里得几个字，就从第一个式子直接转成第二个式子，这就是它的基本逻辑啊。好了，这是第二个点，叫边角互化啊，由边角互化，这呢，我们可以再往下推一个小的东西啊，三个塞引 a 等于。这是一个诱导公式的一个小结论啊， 诱导公式里边有两两组非常重要的结论， r 加 beta 等于 pi 和 r 加 beta 等于二分之 pi， 因为它用的非常非常非常的多，尤其是拿到三角形里边，那三角形自然有内角壳是 pi 这样的一个关系了，对吧？ 那只不过我们在三角形里边儿，我们是三个角，然后在这个里边儿是两个角，三个角化成两个角就完事了呗。如果两角之合是 pi 的 话，那么此时的 sin r 发等于 sin beta， cosine r 发等于负的 cosine beta， 弹进的 r 发等于负的。弹进的 beta， 然后下一个 r 发加 b 等于二分之 pi， sin r 发等于 cosine beta， cosine r 发等于 cosine beta， 弹进的 r 发等于弹进的 beta 分 之一。 这两个结论。要知道，回到三角形里的话来想想啊，三角之合如果是一百八十度的话， a 和 b 加 c 当成 alpha 和 beta 呗。散隐 alpha 来看左边这个结论啊，散得散，口得负，口谈得负谈。那如果是这样的话，就应该等于什么？散隐 b 加 c 口散 a 是 不等于负的 q， 散隐 b 加 c， 弹见的 a 就 应该等于负的，弹见的 b 加 c 就 三个角化成两个角去处理这个事。就两角质壳，如果是二分之 pad 的 话，能不能用啊？三角质壳一百八十度，但是它的一半是不是就是九十度了？所以我们是不是可以写成 side in？ 二分之 a 等于 cosine 二分之 b 加 c side q q 得 cosine 它的三分之一对不对？所以 side in 等于这个东西， 那 cosine 二分之 a 就 等于是 cosine 二分之 b 加 c。 弹键的二分之 a 就 等于弹键的二分之 b 加 c 分 之一。左边用的频率非常的高啊，后边的频率非常的低。第四个点，我们刚才回顾一下刚才第三点中的第一条说 cosine a 等于 cosine a。 如果等于 cosine b 加 cosine b cosine c 前面是一个 cosine a， 我 们刚学完这个边角互化的内容，那你去观察一下这个边角互化的内容呀。 来，这有一个散移值，这有一个散移值，这有一个散移值，三个地方都有散移值，然后次数都是一次嘛。那我此时能不能将这个散移值直接化成它的边长啊？ c a 写成小 a， 这个 b 写成小 b， 那 b cosine c 加 c cosine b a 等于 b cosine c 加 c cosine b。 来这个东西，其实它有个名叫射影定律，那这个东西用几何也可以做一个证明所有的代数关系啊， 在几何里边就一定能找到一个证明的方式啊，因为它一定是横成立的嘛。 a 角，这是 b 角，这是 c 角，那么底下就是 a 边呗。从 a 往下做个垂，左边这个地方是一个小 c 边，这是一个小 b 边。来看这道 e 点吧， 我们看 ae a b e 这个三角形，这是 b 角 c 边这个 b e 和 c 边这个位置口算 b 是 不是等于 b e 比上这个小 c 边，那么我们这个 b e 是 不是应该等于 c 口算 b 啊？同样的道理，右边这个 c 角和这个 b 小 b 边，就 a c 边，以及我们这个 c e c e 比上这个 b 应该等于这个口算 c， 所以 c e 应该等于 c 口算 b。 就是 一个 b e， 一个 c e， 它俩是不共同就组成了小 a 边，所以我们的小 a 等于 b 口算 c 加 c 口算 b， 几何关系上也可以加以证明。

大名鼎鼎的鱼弦定律，这个鱼弦定律啊，是起源于欧基里德的几何，原本欧基里德在书中做了启蒙，但是并未给出现代形式的鱼弦定律， 因为欧基里德的时代还没有鱼弦的概念。那么有关欧基里德是如何证明鱼弦定律雏形的， 我们再精读几何原本系列视频再去探讨。今天呢，我们先尝试用现代视角去证明移弦定理， 那么证明移弦定理的方法主要有几何法、向量法及坐标法等等，我们今天主要用几何法和向量法去探求一二。 哎，说了半天，还没说余弦定律究竟是个啥呢，这个余弦定律啊，就是在三角形 a、 b、 c 中， 这角 a 的 对边为小 a 角 b 的 对边为小 b， 角 c 的 对边为小 c， 那么就有 a 方等于 b 方加 c 方减二， b， c 乘口塞 a， b 方等于 c 方加 a 方减二， a， c 乘以口塞 b， c 方等于 b 方加 a 方减二， a、 b 乘口塞 c。 用文字语言表述，就是在一个三角形中，一个角对边的平方等于两邻边的平方和减去两邻边与其加角余弦值的乘积的二倍。 我们先用几何法来证明过， b 做 a、 c 边的垂线垂足为 d， 这样根据勾股定律， a 方就等于 b、 d 的 平方加 d， c 的 平方， 那么 dc 等于 a、 c 减 ad， 所以 它就等于 b、 d 的 平方加上 b 减 ad 的 平方，然后把它展开，就得到了 b、 d 的 平方加 ad 的 平方加上 b 方减二， b 乘 ad。 那么到了这，我们用一下三角函数的定义，在三角形 a、 b、 d 中， b、 d 就 等于 a、 b 乘以三 a， 也就是小 c 乘以三 a， a、 d 就 等于 a， b 乘以口三 a， 也就是小 c 乘以口三 a， 那 么我们给它一换，那 b、 d 的 平方就变成了 c 方乘以三平方 a、 ad 的 平方就变成了 c 方乘以口三平方 a， 二 b 乘 ad 就 变成了二 b， c 乘以口三 a。 然后我们给它合并一下， 这 c 方提出来，这边就是三角形加口三角 a， 那 三角形 a 加口三角 a 不 就是一吗？又得出了 c 方加 b 方减二 b， c 乘口三角 a。 那 么同理，我们还可以证明， b 方等于 c 方加 a 方减二 a， c 乘以口三 b， c 方 c 方等于 b 方加 a 方减二 a、 b 乘以口三角 c。 虽然说项链这玩意出现比一线定律要晚，我们用后来的东西去证明已经存在的东西有点扯，但是呢，用项链法证明一线定律确实挺有意思，我们就来研究一下。 那么如图，我们设向量 a、 b 的 模等于 c， 向量 a、 c 的 模等于 b， 向量 b、 c 的 模等于 a。 好， 根据三角形法则，向量 b、 c 就 等于向量 a、 c 减向量 a、 b， 然后我们两边给它平方直接点乘进去，这样就得到了 a 方等于 b c 与向量 a、 b 的 数量积， 也就是 a 方等于 b 方加 c 方减二 b， c 乘以 a。 这不明白，当然有朋友可能会说啊，你这样先取模，再平方，对这个来说，不用直接点乘是一样的。 来看道题，在三角形 a、 b、 c 中，三亿平方 a 减三亿平方 b 减三亿平方 c 等于三亿 b 乘三亿 c。 第一位要求角 a， 我们尝试给它角化边，把角的关系转化成边的关系看一下，应用正弦定律给它角化边，就得到了 a 方减 b 方减 c 方等于 b 乘 c。 这个式子整理一下，就得到了 a 方等于 b 方加 c 方加 b c。 而我们再由余弦定里，又可以得到 a 方等于 b 方加 c 方减二 b， c 乘口算 a。 这样把这俩式子给它连立一下， 给它一减，我们就得到了 b， c 乘以括号一加二倍口算 a 等于零，口算 a 等于负的二分之一。 因为 b 和 c 肯定不为零啊，所以只能是一加二倍。 cosine a 等于零，那 cosine a 就 等于负的二分之一啊。因为角 a 是 属于零到派的，所以角 a 就 等于三分之二派。 再看第二问，如果 bc 等于三，让求这个三角形的周长的最大值 b， c 就是 小 a 啊，小 a 等于三角 a， 我 们刚才算出来是三分之二派。角 a， 那 三 a 就是 二分之根号三， 那个小 a 我 们知道等于三。所以啊，在的正弦定零里面得到 b 与 c 等于 c 与 c 等于二倍根号三，那这样的话， b 就 可以写成二倍根号，三乘三 b， c 就 可以写成二倍根号三乘三 c。 然后我们用右脑公式把角 c 给它转化成用角 a 加角 b 来表示，要角 a 是 知道的，我们再利用合角公式给它展开，就可以把角 c 用角 b 来进行表示， 也就是小 c， 它就等于二倍根号，三乘以三 a 减 a 加 b， 因为诱导公式，它就等于二倍根号三乘以三 a 加 b， 然后用和解公式给它展开整理一下，就是三倍的勾三 a 减根号三倍的三 a b， 那么周长等于 a 加 b 加 c 等于。再把这三是吧，分别给它代进去，就得到了它周长等于三加三倍的可乘以 b 加上刚好三乘以三 b， 然后到这以后来我们给它配角， 那这块给它提个二倍，刚好三出来，它这里面就变成了二分之，刚好三乘以可乘以 b 加上二分之一乘三以 b， 然后应用和角公式就可以配出来是二倍根号三乘三， b 加三分之派，而这个周长就等于三加二倍根号三乘三， b 加三分之派， 那因为角 a 我 们知道等于三分之二派，所以角 b 加角 c 就是 属于零到三分之派的， 那么角 b 也必然是属于零到三分之派，那么 b 加三分之派的范围就是三分之派到三分之二派， 那我们根据正弦函数的图像，很容易判断出，当当 b 加三分之派等于二分之派时，这个式子取得最大值，也就是当 b 等于六分之派时，取得最大值，最大值等于三加二倍根号三。 那么条条大路通罗马，解这个题也不止一种思路，那当然我们还有另外一种思路可以解决这个问题。 根据月定理， a 方等于 b 方加 c 方减二 b， c 乘口三 a a， 我 们知道二是三，那这个 a 方就是九，那口三 a， 我 们前面算出来是负的二分之一，那么这样一整理， 九等于 b 方加 c 方加 b 乘 c， 那 么我们给它写成 b 加 c 的 形式，这个式子就变成了 b 加 c 的 平方减 b 乘 c， 那 这样我们用基本不等式， b 乘 c 是 小于等于四分之 b 加 c 的 平方， 那也就是说 b 加 c 的 平方减 b 乘 c， 应该是大于等于 b 加 c 的 平方减四分之 b 加 c 的 平方。 那这样一整理，也就得到了 b 加 c 小 于等于二倍根号三。 a 加 b 加 c 小 于等于三加二倍根号三。

我们来看这样一道啊，解三角形里面，然后求角，求三角形面积的问题啊。第一问，让咱们求角 a 啊，等于说给了咱们这么一个式子，然后去求角 a 的 大小，那当然这个题你可以用，哎，我知道三 a 的 平方加上考三 a 的 平方，哎，等于一，通过这个来列一个方程组，去把三 a 考三 a 都解出来，然后角 a 的 大小我们也就有了 啊，当然这这里啊，这个方法我就不讲了啊，咱们说一下碰见这个式子咱们可以怎么处理它，咱们如果把等式左边平放一下，把等式右边平放一下啊，这个等号是一样成立的， 那你看看，我们看一下这个平方了之后会发生什么啊？这个完全平方公式左边打开之后就是散 a 的 平方加上考散 a 的 平方，加上二倍的散 a 啊，考散 a 等于二分之根号六的平方，也就是四分之六，四分之六，也就是二分之三 啊，通过这种方式，第一左边，哎，我出来一个一，这个我们通过二倍角公式，我知道它是 sin 二 a 等于二分之三，它来相加等于二分之三，所以 sin 二 a， 哎，就等于这个，呃，二分之一，那既然它是在三角形里的，所以这个首先这个 a 它肯定是属于啊 a 它是属于一个范围，也就是零到派这个范围， 然后二 a 呢，它就是属于零到二派这个范围里，那在这个范围里，二 a 的 正弦值又等于二分之一，那么自然这个二 a 要么等于六分之派，要么等于六分之五派， 哎，这样的话 a 呢，我们得到是十二分之派或十二分之五派，那么第一问就是这个， 那我们看一下第二问啊，第二问是说告诉咱们了，这个 a 是 大于四分之派的，当然这样的话，我们可以得到这个 a 就是 十二分之五派 啊。我们先求一下 a 的 正弦值啊，算 a， 它应该是算十二分之五派，这个十二分之五派呢，它是可以拆成 四分之 pi 加三分之 pi 啊。我们去把这个括号打开，大家自己去算一下，这个算完了之后呢，它应该是等于四分之根号六加根号二的 啊。然后我们去看一下这个条件，这个条件我们怎么处理它呢？如果我们用正弦定理把所有的边儿都画成角，哎，我先把这个式子抄下来啊，幺二三 c 三，二分之 b， 把所有的边都画成角，就是散 b， 散 c 等于根号三，散 c， 散二分之 b， 这样的话散 c 消掉，哎，它就是散 b 等于根号三倍的散，二分之 b。 依然把这个散 b 用二倍角公式去处理一下，就是二倍的散，二分之 b 乘以 cosine， 二分之 b 等于根号三倍的三，二分之 b。 这里解出来 cos， 二分之 b 是 二分之根号三啊，然后二分之 b 呢，就是六分之判啊。 b 是 三分之判，也就得到了 上面有 a 的 角度，这有 b 的 角度，我通过三角形哎得到 c， 大家去算一下，它是等于四分之判， 嗯，然后，呃，现在呢是求三角形 a b， c 的 面积啊，在面积，这依然是 跟解三角形相关的。求面积的公式呢，就是二分之 a b 散 c 啊，二分之一 a c 散 b， 还有二分之一 bc 三 a 啊，这里你去啊，用哪个都可以，因为你现在有一个啊，知道一个 a， 然后 a b， c 的 这个角度咱们也都知道了，这里呢，就以啊角 b 我 们去求一下它 啊为例子，咱们解一下。那用正弦定里呢，就是知道 b 比上三 b， 它是等于啊 a 比上三 a 的， 这里呢，大家去算一下。因为散 b 我 们是知道的， a 也是知道的，散 a 也是知道的， b 的 值它是等于根号三的啊，大家自己去算一下。那么如果我们用这个 s 等于二分之一 a b 三 c 的 话， 那就是二分之一乘以二分之根号六，加根号二啊，乘以根号三，再乘以二分之根号二 啊，大家自己去算一下，这个最后是四分之三倍。 plus， 四分之三加根号三。

用公式对三角函数式进行的横等变形，就是三角横等变换。这课开始，我们更进一步，把特殊角换成任意角 beta， 我 们学习任意角 beta 与 alpha 的 和或差的三角函数与 alpha beta 的 三角函数的关系。 学习了这些公式以后，我们就有了进行三角变换的新工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富。 好，那么我们先来看一下这个部分的知识脉络，这个部分呢，主要是以公式为主，有大量的公式啊，听起来是不是很吓人呢，但是不要怕啊，这个公式呢，不用全部都背下来， 而且呢，这些公式呢，都是由一组公式推导而来的，所以呢，很多公式我们可以通过前面的公式去推导。那么先看第一部分，就是两角和与差的正弦与弦和正确公式， 它包括了差角公式和角公式，还有二倍角公式，生密降密公式，还有不住角公式。那第二个部分呢，就是简单的三角恒等变换，也就是由前面的这些公式呢，我们推导出的半角公式，万能公式 和插画机和计划合差公式。那么所有的这些公式啊，最后都有一个目的，就是进行三角函数的求值化简和证明。 好，这是知识脉络。那么这节课呢，我们要讲的呢，是和角与差角公式，也就是两角和与差的正弦与弦和正确公式。那么先来看它的可行分析，这部分的重点呢是两角和与差的正弦与弦正切公式， 还有呢，就是用公式进行简单的三角函数的求值和化简和计算等等。还有就是两角和与差的正切公式，它的常用变形和灵活运用， 那难点呢就是公式的记忆和常用变形的灵活运用。这部的考试要求啊，他主要是以选择和填空题为主，那在大体当中呢也会有，那么主要是在简答题当中的一些化简当中会涉及到， 那难度呢，是以简单和中等为主。我们来看一下啊，这个主要讲的呢就是合角公式和差角公式，然后呢还有就是这个公式的正用和逆用。 那么首先呢，我们来看一下两角和余差的正选，余选啊，这些公式也就是这三组公式，这三组公式啊，是必须要记忆的，而且要记得特别熟练，这三组公式啊，大家一定要注意。首先正弦和余弦公式，这里面的阿尔法和贝塔都是任意的角， 对于正切来说啊，他就不能是任意的了，因为我们知道正切函数的定义域是什么，是阿尔法不能等于 k 派加二分之派， k 属于整数。那么这些公式呢，摆在这里我们知道，那么我要想运用它，那么我肯定要熟练的记住它，怎么样来记呢？我们来给大家一些记忆的口诀， 比如说第一个啊，两角和差的余弦公式的时候呢，差或者是和的形式， 那么这个差或者和呢，他跟前面是什么样的关系啊，正好是相反的啊，一定要注意，所以呢，我们给他的记忆口诀就是 余余正正符号相反，或者你可以记成 coco 相散符号相反，符号相反，什么意思啊？前面如果是两点和的预选，那么后面是什么就变成了差，而前面如果是两点差的预选，然后一定要注意这个符号相同。 好，那么类似的我们就可以得到两角和与差的正弦公式，他的记忆口诀那应该是什么？对，正余与正符号相同，正余与正也可以说是散空扣四，然后符号相同，那也就是他的相同。看着啊，前面呢是加，后面也是加，前面是减，后面也是减啊，这个是符号相同的。 好，这两个刚才我们说到了注意增减，对吧？第一个呢就是这里面的阿尔法和贝塔一定是什么，他一定是任意角。 第二个呢，我们要说的就是结构，刚才我们说了余弦的呢是扣扣散散，然后呢 正弦的呢是散扣扣上。最后呢要注意的就是它的符号的问题，那余弦的呢是符号是什么？是相同而正确的呢？符号是相同的，这是对于两角和一叉的正弦余弦公式当中要注意的啊，这三点一定要注意。 好了，那我们最后来看一下正切正切呢，这个刚刚我们说到了这里面的 alpha beta， 还有 alpha 加 beta， alpha 减 beta， 它不能是任意角了，那么它要求的是不能等于 kpi 加二分之 pi 啊，这里除了 alpha beta， alpha 加 beta 以外，也包括 alpha 减 beta， 对 吧？它们四个不能再是任意的角， 都需要不等于 k 派加二分之派， k 属于 c 的 形式。好，那么他的记忆规律啊，他与前面不一样了，他是一个什么式子呀？这是一个分式的形式，这里面分式呢，一定要注意看一下上面的形式啊，上面的结构形式是泰纳尔法加或减泰纳贝塔，下面呢是一减或加泰纳尔法乘贝塔。 那要注意上面这个啊，和或差的形式跟前面的符号是什么样的？看一下，他看是相同的，而下面这个一减或加碳，加二法乘碳的倍的形式，他跟前面是什么是相反的，所以呢我们可以给他一个符号的记忆法则，那就是分子同分母型。好，注意正切。 好。那么这三组公式呢？那我们就说到这里，主要呢就是这三组公式的一些应用。好，我们来看一下它的应用。

各位同大家好啊，今天我们可以学习高一数学三角恒等变幻。今天我们可以学习三角恒等变幻的什么。第一讲两角合唱公式的什么 日线公式，我们看两角合唱的时候啊，日线公式应该一个是两角颤的与弦。 cosine 耳法解贝塔就等于 cosine 耳法乘 cosine 贝塔加塞耳法乘塞贝塔。而 梁九和的日线公式就是 cosine， 而法加贝塔等于 cosine， 而法乘 cosine 贝塔解三，而法乘三也贝塔。 这个 cosine 我 们可以这样理解， cosine 打开是考考撒撒要别号，你看这个前面是解号，后面什么号？加号前面是加号，后面什么号？解号就说考考撒撒要别号啊，这个最容易出现错误的啊，料怎么了？别号， 在这个里面，我们把特殊的十五度和七十五度的三角函数之一定要，是吧，有技术的啊，是吧， cosine 十五度和 cosine 七十五度。 cosine 十五度时，四分之根号六加根号二， cosine 七十五度等于四分之根号六且根号啊，这个一定要熟悉的啊，十五度，七十五度，这样的话我们就可以有诱导公式计算出 cosine 一 百零五度和 cosine 一 百六十五度啊，我们看这个里面它常见到的 题型，题型即给角求值啊，给你肯定一个角度，让我们求它的三角函数值啊。你看例， cosine 七度，借 cosine 十五度， cosine 八度比 cosine 八度。现在我们看啊，它后面给我们给定的是十五度和八度，而前面给我们给定的是多少度啊？七度，我们通过观察可以看到，七度，八度，十五度是不是直接有而响， 十五度它是不是等于八度加七度？所以说我们把前面的 cos 七度可以变成 cos 以十五度减八度， 线杆最结塞十五度，沉塞八度变 cosine 八度，这个你用两角合叉公式把这个公式打开，我们刚才讲过 cosine 打开是考 cosine 要编号啊，它就是 cosine 十五度， cosai 八度再加昂加，一定要注意啊， cosai 大家可以考 cosai 萨有别号再加 sign 十五度， sign 八度再减 sign 十五度， 三以八度 b 扣三以八度，这个就等于你按拿到式子嘛，我们化解嘛，你按三以十五度啊，三以十五度，三以八度做个它约掉它，剩余的就是扣三以 十五度，扣三以八度 z b 扣三以八度，这个你看上向把扣散八度约掉它是不等于扣三以十五度， 这个刚才我们提到吧，你必须要记住十五度的余弦值啊，敲散十五度的一字，四分之根号，六加根啊，所以说它答案就是多少四分之根号，六加多少根号。而这个题的关键点在于 这个角度的变化，你看你把七度可以写成十五度减八度，为什么我们把七度又写成十五度减八度啊？你后面他已知的是三十五度乘以三八度，这样再干第二类题更值。求值啊， 这样干的啊，你让尔反背他为什么锐角，哎，我们必须把这个锐角画出来，因为我们在求值的话，首先必须要判断他的什么正负， 且 cosine 耳法等于五分之四， cosine 耳法加贝塔等于负的六十五分之十六，因为耳法贝塔是锐角， cosine 耳法是一个正值，这样的话 就说明它是锐，哎，你看 cosine 也是一个什么角？锐角，而 cosine 耳法加贝塔等于负的六十五分之十六， 这样的话 cosine 第二相切，它是一个什么值啊？负值，因为两个锐角相加，有可能是锐角，也有可能直角，也有可什么动角，但 cosine 是 负值，说明它肯定是一个什么角，动角，动角。但是 cosine 也是一个什么值啊？负值啊，正值啊。 cosine 是 一个什么正值？借能开开。 我要求的是 cosine 这个大部分同学错误的原因，再叫他把这个 cosine 法加倍的打开，完了求这个塞贝塔 cosine 啊，这个是错误的说这种棋友用到的方法就是角度的变换， 九度的憋混。嗯，你要把琼正的这个写成前面已知的整体相将解给 你看。我们把这个贝塔数可以写成它，前面已知的是而法，将贝塔和而法吗？我们是不是可以写成而法，将贝塔解而法，这样，这样的话我们就可以求出 cosine。 你 看 cosine 贝塔， 它是不是就等于 cosai 尔法减贝塔减尔法接一个尔法减贝塔牛，当做欧尔法加贝塔加贝塔，尔法加贝塔牛。道具一个什么整体 cosai 打线，我们刚才讲过是靠靠萨萨，但是有变号， cosai 尔法加贝塔， cosai 尔法，这个减号又变成什么号？加加 si 耳法加贝塔，散养耳法。下一个你对一只就可以摆在这个里面的未知量，一个是 si 耳法加贝塔，这个是散养耳法， 这个已知的三或 cos 求另一个的话，实质上用的是同角三角函数关系，因为在这个里面知道而法贝特什么叫锐角角二化率三，什么值？正值三角函数等于根号下以减 cos 而法的方勾三，故四选五，所以它等于角五分之三， 而这个散耳法加贝塔，你刚才分析了，而耳法将贝塔什么叫动觉，动觉的话散也是一个什么指？正指它是不是等于根号下一解扣散， 而法加倍它的什么平方？现在你想的时候，你看这个，我们已知的是 cosine， 而法将倍它等于负的 i， 它就是等于根号下一减负的六十五分之十六的什么 平方，对吧？哎，先定干的时候啊，这个你看又记住了啊，六十五十六和六十三是一句是吧？勾虎柱，所以说它就等于六十五分之多少六十三啊， 先看对，就等于 i 被值嘛。哥就是负的六十五分之十六，再乘以五分之四，再加六十五分之六十三，再乘以五分之三， 念这个数就等于六十五乘五分之。 负的十六乘四十加六十四，再加六十三乘三是多少？一百八十九，这就等于六十五乘五分之，你按一百八十五九减六十四加一百二十五。您首先约个五嘛， 六十五分之二十五，对吧？您再约个五的话，十三分之五，说明答案是几啊？十三分之五，在这个里面通常有这样两种骑行啊，我们今天就分享着，谢谢大家。