立体几何平行证明

一口气讲完平行四大证明，无论是线平行还是面平行，我都会告诉你最简单逻辑和证明方法，听完我这节课，你就是平行世界的王。哈喽，欢迎大家来到立体几何平行的全 体行，在这节课，我会给大家把见面平行，面面平行所有的关系全给你拉全了哈，非常的轻松，全都是怂问题。 那么首先呢，我们来看到线面平行，你要去证明线面平行的本质是模子嘞，就是你其实是要去证明真正的线线平行的，只要你在这个平面上找到一个 b， 使得 b 和咱们的 a 是 平行的，那么你就可以说明咱们的 a 是 平行于这一个平面的哈， 那么具体的符号是怎么写嘞？ a 如果说 a 平行于 b， 那 么如果说 a 它又不包含于咱们的 alpha， 然后呢， b 又是包含于咱们的平面 alpha， 那 么这三条综合起来，你就可以推导咱们的 a 呀，它是平行于咱们的平面 alpha 的， ok 了哈，这就是一个符号语言。 那么哈，我们再由这道题呢，给大家讲一讲，如果说我们要去找线线平行哈，一般就只有两种关系， 第一种呢，就是咱们三角形的中位线，尤其是题目就告诉你有一个中点的时候，你立刻马上要反应出来这是中位线，所以说你马上要去找另外一个中点连成中位线。还有另外一个比较进阶的哈，就是说 他说告诉你这是一个三等分点，或者说他占另外一段比例为四分之一，那么你马上要去找另外一个同等比例的点给他连起来哈，那么这个等位线他也是平行的。 然后其次第二个嘞，是关于咱们平行四边形，他两组对边都是平行的， 但是有同学说，唐老师他不就是平行四边形吗？那么我还要怎么证明嘞？哈，你一般是要先由一 组对边你是平行且相等的，可以推得他是一个平行四边形，然后你才可以得到说我的需要的这一组对边他是平行的哈， 所以说总共只有这两种方式的。那么我们不妨来看到这道题目，我根本不用去看，他问的是模子，他只用看 m n 分 别是终点，大家看一下哈， m 和 n 是 终点的情况下， 底面又是一个平行四边形，我现在要证明的是什么？咱们的 m n， 哈， m n 这条我要平行于咱们的 p b， b c 这一个平面，就是前面这个平面，咋整啊？同学们，我有中点呐，我直接连接俺们的 b d 呀，对吧？所以说我们直接连 b d， 你 会发现咱们的 b、 n、 d 是 三点共线的，因为哈，咱们平行四边形，它是过中间这个中地中心的哈。 此时来我们会发现，哎，我们的 m 啊，它是为 p d 中点的，而此时来咱们的 n 呐，它是为 b d 中点的。马上立刻你就会得到什么，咱们的 m n 为中位线，所以 m n 它马上平行于 p b。 好， 开始默写公式了， 因为咱们的 p b 它是包含于前面这个平面的，又因为咱们的 m n 它是不包含于这个平面的，所以 m n 它是平行于前面这个平面的。 over 了哈，所以说这就是第一个题目。 那么我们再来看看第二种题型，就是我是要由平行四边形来证明的。这道题来，我也不管它写的是什么，我只用去看我需要的条件，比方说 f， 它为一个中点，那么肯定有中位线的考点， 然后他说求证 c e e 平行于 c e e， 我 们先找到在哪了， c e 在 这的，我们要去找它平行于平面， a， d d e a e， 也就是说我们平行于左边这个平面呗，对吧？大家再注意了，立体几何这种题目，你就直接写左平面哈，你不要去管这些字母，不然的话你看的慌， 那么我 c e 怎么给它平移过去找到左边跟它平行的那一组线嘞？你会发现我连接 a， d， e 看起来就很像了，但是我要怎么去说明它看起来很像，但是实则它是一个平行关系嘞？你会发现哈， 这看起来就是一个不折不扣的平行四边形啊，但是我要怎么去证明它是一个平行四边形嘞？那你就要去找一下题目条件了哈， 首先它是一个直四棱柱，那么此时嘞，还有它的四边形为一个梯形， a b 平行于咱们 c、 d 的， 所以说这条边平行于这条边，然后呢，它又是一个直四棱柱，所以说它又平行于咱们的 c， d， e 的。 然后你再看哈，我们的 a、 e 为二的，然后呢， dc 为二的哈， dc 为二，那么平移上去， c， d， e 也是为二的，所以说你又有平行，又有相等的情况下，它就肯定是平行四边形哈，所以呢，我们就来写一下哈， 因为咱们的 c 一， 第一它是平行于 cd 的 cd 嘞，它又是平行于 ab 的， 所以咱们的 cd 一 啊，它是平行于 ab 的， 又因为咱们的 a 一， 它等于 cd 等于 cd， 一， 它是等于二的， 所以立刻马上 cd 一， 它是平行且等于 a、 e 的， 所以立刻推到咱们的这个四边形啊，它就是为一个平行四边形，对不对？ 然后呢，它是平行四边形之后，你就可以推得另外一组对边，它是平行的，所以一 c 一， 它平行于 a、 d 一， 然后你就可以说，哎，因为一个包含也是个平面，另一个不包含也是个平面，所以这一条线它是平行于平面的。 over 了， 咱们再来看到第三个题型哈，就是证明面面平行，大家注意哈，咱们平面是由什么组成的？这它的标志是什么？你能构成一个平面，一定是因为你出现了一组相交的直线，那么这一组相交直线，他就可以唯一确定一个平面，他就相当于是这个平面的 logo， 对 吧？ logo 标志的意思。那么此时你想，我要去证明两个平面是平行的，其实也就是在证明我们一组相交直线是分别平行的就可以了。 那么其实我们要真正证明的是两组线是平行的，那么我们刚才讲了，是不是有中位线的平行，还有咱们平行四边的平的平行，那， 那我们来看到这道题哈，他说在一个四棱柱当中，咱们的四边形 a、 b、 c、 d 就是 底边是一个正方形，然后 e、 f、 g 来分别为中点，我看到中点我就高兴哈，因为它代表了非常多的中位线 e、 f， 还有咱们的 g 哈，那么此时来它让你去证明的是咱们的 a、 e、 e、 f， a、 e、 f 来画一下哈， a、 e、 e、 f， ok， 也就是这一个小三角形，然后呢，它是平行于咱们 a、 d g 的 a d g， 哎，也就是后面这个大的三角形，那大家来观察一下哈，我们这两个平面，它会出现哪两组线线平行啊，你会发现哈，我这一画出来，这和这看起来就一模一样的平行， 对吧？然后我们再来看哈，看得出来哪里不？哎，这和这也是平行的，所以说我们先来正什么？先正？ 先证咱们的 a、 e、 e， 它是平行于第一 g 的， 那你来看一下我这一组它是平行，你要怎么说明呢？你会发现它其实是一个平行四边形来的，对不对？所以说你要去连接咱们的 e g 连 e g， 然后呢，这时候你其实是要证明咱们的四边形 哪一个嘞？是不是咱们的 a e g， d e， 它是为平行四边形的，对不对？所以这时候嘞，我要怎么去证明它是平行四边形嘞？是不是因为咱们的 a、 e、 d e 平行于咱们 e g 啊？对吧？ a e、 d e 平行于 e g， 而且平行且等于。有些同学就会问，唐老师，为什么这里是平行且等于了？宝贝，你看哈，咱们 e g， 它是平行且等于了。宝贝，你看哈，咱们 e、 g， 它是平行且等于咱们的 b e、 c e 的， 那么 bc 又是平行且等于咱们的 a 一 d 的， 所以说这一段和这一段就是平行且等于的，所以你就可以推得哈，一层一层往上面推，它就是平行四边形，所以呢，你就可以推得另外一组对边，它是平行的，那么第一组边就证明结束了。我们再来看第二组边，我们选哪一个嘞？我们选另一个吧，这一个和 和咱们的这一段，他们两个为什么又平行嘞？你会发现哈，我这一个和这一个有一点像咱们三角形的一个中位线哈，但是具体的怎么像三角形中位线？来，我们连接一下咱们的 bce， 连 bc 一 的情况下，你会发现 ef 为中位线，所以 ef 它是平行的，对不对？ ef 是 平行于咱们的 bc 一 的，那么此时呢，我们的 bc 一 和咱们的 a、 d 一 它也是平行的，但是你要正哈，怎么去证明来？ 正，咱们的 a、 d 一 它是平行于 bc 一 的，那么你就会发现哈，这一组对边它平行是放在这个平行四边形里边来的。 所以呢，你继续往上面一层去推，你要证这一个啊， a、 b、 c、 d、 e 它是为平行四边形，但是这一个平行四边形怎么证明来？你会发现哈，我只要证明这一个 和这一个它是平行且相等就可以了，你再去证 a、 b 它是平行且等于 d、 e、 c、 e 就 可以了。 所以说你就一层一层往上面推，你就推到两个平行，那么推到两个平行了之后，你最后要怎么去写了？你要说，哎，我这一个平行于这一个，这一个平行于这个，然后呢，我这里和这他是什么？他是相交直线哎，我这和这是相交直线，而且他们俩都各自属于不同的平面， 所以最后得整两个平面是平行的。那么我们再来看到拔高难度最后一道题，就是我们要去由平行去推比例关系哈，它是压轴题，更常考的 在一个四棱锥当中嘞，咱们的底面 a、 b、 c、 d 它是一个平行四边形，然后呢？ e 点是一个三等分点， ok 了，然后 f 点呢？是一个点一个动点， 他说，当咱们的 p a 啊，它是平行于 e b f 时， p a 它要平行于 e b f， 也就是说我要在 e b f 上找到一条线段，跟它是一个平行关系，对不对？然后此时他问 p f， 然后比上 p c 为多少？不要管哈。那么此时我们应该咋搞来？同学们，这是我一定要给它掐过去， 加到这个上面哈，那么此时我们不妨就直接去连接咱们的 ac 为母子来，你会发现哈，我连了 ac 之后，此时大家会发现哈，我这是一，这是二的，对不对？这里是一， 这里是二的，那么我这一段就应该是三了，对不对？三。所以说你会发现我这出现了相似三角形，这一个三角形它是相似三角形，相似比为一比三的， 这时候你会发现，哎，我这一段比上这一段为一比三，对吧？所以这一段比这一段也是一比三。那么此时来我们连接一下咱们的啊，假设这个点是 o 点哈，我们再去连接一下 off， 如果说咱们此时这一段 比这一段也是为一比三的，所以此时这一段 off， 它就是一个等位线，等位线的情况下，它就跟咱们的 ap 是 一个平行关系的。那么你看我们最后的答案是不是已经出来了？ 此时 p f 比上 p c， 也就是 e 比上 p c 就是 四的，所以最后大家来选咱们的 d 选项。讲到这里，同学们，我想说，平行的本质是方向相同，永不相交。其实我特别讨厌别人说要追上谁谁谁，在立体几何里边平行线来，它是永远追不上的，但是它们都朝着同一个方向。我从小县城走上人大北 伟大，从来不是因为追上了某个人，而是和我心里那个最优秀的方向一直保持平行。你不用再去刻意的追任何人，只需要追求卓越，追求那个更优秀的自己。视频的最后，我给大家准备了三份非常重磅的干货， 分别是四十页的逆袭北大解题一百招，还有两万字，说你我为什么从五十分进不到一百四十六分的数学底层学习方法。最后来是为前五十名同学赠送一个免费的数学成绩分析和规划，点击我的主页，这里群聊数学想要考年级第一，从来不是天赋，而是执行程序。我是北大堂，我们下期再见！

就你还没学会立体几何的证明啊！一分钟我教会你学不会，我打死你！来看立体几何的证明。先来线线平行，线线平行，一万能平，平顺排平 或者三角形中线两个渠道，线线垂直，弓骨定米三四五或者特殊三角形，遇见终点，三线合一，自然就垂直了。再来看线面平行怎么来着？在平面上找到一条线和它平行就可以了。再来线面垂直，要让这条线垂直，平面内两条相交直线才可以 面面平行。在 a 面上找到两条相交直线和 b 面平行，证明面面垂直。在 a 面上找到一条直线垂直于另一个平面，或者这个平面找到一条直线垂直这个平面。 学会这么点玩意，高考能得分了，想啥呢？看例题来看题，在直角处， abcd、 abcd 中 ab 和 bc 平行， ab 垂直， abd 得二， abd 得三， bc 等于四。想证明 ab 平行于平面， abd 平行于平面， abd 会不会？不会？不会跟我学。 我们来看 ab 平行，杠子的二标上 ab， 三标上 dc， 四标上，想证明 a、 b 和面平行所有的证这条线平行面上的一条直线，那么取 dc 中点，比如边边 s， 然后直接连接 d， e、 f， 再连接 f， 观察终点 f， 所以 这块本来是四，一半就是二，那么 a、 b、 f、 d 就是 个平四，所以 a、 e 和 b、 f 平行且相等， 那么 b、 f 和 a、 d、 e 平行且相等，所以 a、 b 和 b、 e、 f 就 平行了。线和线平行，线和面就平行了。再学不会，我打死你。

高考例题，几何证明，难倒很多人，今天教你平行证明四个模型，让证明变得如此简单。这节课我们将来学习空间几何中的平行问题，平行问题和垂直问题啊，一般都是第一项问去考的，对吧？但是很多同学都搞不懂，所以今天把平行的几个模型给大家讲一下。 首先啊，就是最简单的线面平行的判定定律，如果我要你去判定一个线和一个面它是平行的，那么我们只用在面里面找一条直线和我平面外的这条直线去平行，那就可以证明线面平行啊，这第一个，然后 第二个就是性质定律，什么叫性质呢？你看啊，就是如果一条直线与一个平面平行，如果过这条直线的平面与此平面相交，则该直线与交线是平行的。就是我图中的这个阿法和我这个 是平行的啊，这个就线面平行，还有一个就面和面平行，那面和面平行，那怎么判定呢？就是分别找两根，你看我先找他平行，然后再找他平行，一定要记住，这两条线一定要相交，他们不能平行， 好吧，就是就是证明两根线互相平行就可以了，但这两根线一定要记住，他们会有个相交的关系，平行的关系是不行的 好吧，所以然后它里面有个性质定律，就是什么呢？就是如果我有两个面平行，然后用一个面去截这两个面，那么截到的两条交线，一个是 a， 一个是 b， 那 么他们也会平行。好吧，然后模型啊，就这个简单定律就不去讲了，反正你用平行，我们遵循几个模型呢？第一个 优先使用什么方法呢？就是我把图画给你们啊，就是你就缠着这个来就可以了， 就是你可以这么去想象，如果我这里有一排蜡烛，好吧？然后我人站在这边看，那么如果我中间放了一个那个成像的屏幕的话，那蜡烛在屏幕上面看到的样子 应该是什么样子的？是不是应该就是这条样子的？就是我把这两个短点分别和我的人这样连接起来，是不是他就可以相当于，呃，在屏幕上面有两个焦点了， 对吧？这样子，我在屏幕上面看的就是这条小的，但是这条小的和和这辆长的它们会平行吗？ 会吧，因为这个我们可以用相似吗？对吧？所以这种你也可以理解成什么中卫线啊，相似啊，对吧？但是我就用图跟你们说，只要我在线的面的另外一端啊，如果能找到一个点，我就先把它们连接起来，连接起来之后我再去证明我的这个 就是我现在这个蓝颜色的这条线，他们是平行的就可以了，好吧，那他是什么意思呢？你比如说啊，就用这个点， 呃，他说 p 杠 a b c d 中， a b c， d 为平行四边形，看一下 a b， c， d， ok， 就是 前面那个面啊，然后 e 为 pa 的 中点，然后 pc 是 让我们证明 pc 平行于面 b、 d， e， 所以按照刚刚讲的那个模型，对吧？我先把线两个端点先标出来，就是这个蓝颜色的就 p、 c 嘛，所以两个端点就 p 点和 c 点，然后面是哪个面呢？是 b、 d， e 就是 这个面， 就中间这个面。那么我是不是要在线的另外一边，线对面的另外一边去找一个点，刚好这里有个点，那么是不是我要把 a 点和线的两个端点先连起来，然后 ap 这里就连了吗？所以这里就会是两个面里面的交点， 所以就是这个红颜色的线，那么我只用证明这个红颜色，红颜色的线是平行蓝颜色的线就可以了，对吧？那么怎么去证明呢？这个你看中点，那中点肯定是中位线嘛，对吧？你看我怎么去写啊？我就说 连接 a c 与 b d 交于点 f 吧，我来说一下，好吧，然后可 知 a b c d 是 平行四边形，所以 f 点为 a c 的 中点，对不对？因为平行四边形对角线会平分吗？就相当于，对吧？然后又因为 e 是 a p 的 中点， 所以 ef 不 就平行于 pc 了，这个就是中位线吗？然后又因为，呃， ef 是 属于面 bde 的， 然后 pc 它不属于面 bde， 所以， 嗯， pc 不 就平行于这个面了吗？对吧？你写就要写的这样详细一点，对吧？所以这个就是我们讲的第一个模型，所以我们看到这种符合这种模型的题，我们优先使用这个方法就可以了。然后我们再来看一道，比如说，嗯，看到相似的，好吧， 嗯，好，我们来看一下这道题啊，他说有个三楞柱， a b c 杠 a 一 b c 一 中侧面 a b b 一 a 一 是一个菱形，就是我涂出这个底面啊，然后他说角 b a a 一 是等于六十度这个角， 然后 e 是 b b 一 的中点，然后 c a 等于 c b， 然后 f 在 a c 上 af 等于两倍的 f c 就 相当于这是一比二，然后要么证明的就是 c b e 平行面 a e e f ok， 先把线画出来， 在这里，对吧？面在哪里呢？面在这里，所以我要在这个线对面的另外一边去找一个点，那这里只有一个点 a 了，所以我就要把它和两个短点去连接起来， 对吧？连接起来之后，把两个角点找到一下，连接，对吧？先把图一画，就很简单了， 那么怎么去证明呢？这里反正我要证明的话，是不是你看这是一，这是二，那同理是不是这应该是二比一啊？所以我就把这个底面给拿出来呗。因为底面刚好是个菱形，我先画一个形状出来， 里面就相当于是个这样的菱形，这是 a a e b e b， 对 吧？然后我连接的是它，然后这里有个中点， 对吧？这是 e 点嘛？然后把它们这样一连，对吧？其实就是让我们证明这是二比一嘛。那怎么证明呢？这不是一比二嘛？两个三角形相似不就出来了嘛， 对吧？然后你们怎么去写的？就说连接 a b e 与这个 a e e 交于点，比如说是个 g 点，对吧？然后你就说，嗯，可知 三角形，这个，这个就点记啊，就是 e g b e 相似于三角形 a e g a， 对 吧？所以 a g 比上 g， b e 就 会等于 a a e 比上 e， b e 就 会等于二比一， 所以它就等于我题目里面的 a f 比上 c f， 所以 就像我这里就省略了，所以你看不就平行了，所以 f g 就 会平行于 c b e 了， 对吧？然后你们按照刚刚那样去完整的写一下就可以了，所以这个就是模型，对吧？很无脑的，因为你只要能找到线，那我就只用根据相似或者中线的关系去求出来就可以了。 然后第二种题型是什么呢？就是如果我没有办法找到这个点，对吧？就是找不到这个点，那我再用什么方法就是做平行四边形， 好吧，我们所以啊，就按照这个顺序啊，你们如果真的有的题做不出来，你们就按照这个顺序来，比如说，嗯，平行四边形的看啊， 就是四棱锥、 p、 杠、 a、 b、 c、 d 中底面， a、 b、 c、 d 为平行四边形，然后 e、 f 分 别为 a、 d， 然后 p、 b 的 中点，然后要我们证明的就是 e、 f 这条线 平行哪一个面呢？就是平行这个面，所以你看这个题我就没有办法在这个右边去找到一个点，对吧？所以我就用第二种方法就过过在平行四边形，然后你们想啊，我要证明线和一个面 是平行的，那么我去做平行四边形的时候，我应该怎么去做？我是不是要通过这个短点去做，对吧？在这个面里面去找点，然后去做这样的平行四边形，所以 你看我做了之后，所以你看我就可以了嘛？因为我只用证明他的对边平行且相等，是不是就证明他是一个平行四边形了？那么我是不是要过这个两个短点去面里面找一个点去做平行？那怎么去找呢？ 这里现成的有一个，在哪里有一个点 d， 看到没有？所以我是不是就相当于我一条已经有了，是不是我要过这个点，然后再去做一条这样的线，然后要和下面的平行。那么怎么样才能平行呢？首先是不是要 找中点？因为我找中点之后，它就平行于 bc 了， bc 又平行于 d 的， 所以平行它具有传递性嘛，不就可以了？所以我这里就很简单，我就出来了，比如说这个点，我把它设成 g， 我 就说找 pc 的 中点 g， 对 吧？然后连接 嗯， f g， 然后可知 f g 是 平行于 bc 的， 然后 bc 它又平行于 e、 d 的， 所以 f g 是 不是就平行于 e、 d？ 然后因为中位线又会相等，对吧？然后，所以这是不是也是相等的， 对吧？就相当于 e d 是， 呃，也不能这么写，哎，我写的清楚一点嘛，对吧？然后又因为 f g 嗯是等于二分之一 bc 的， 然后 e、 d 是 等于二分之一， a， d 又会等于二分之一 bc 的， 所以你看 f g 和 e d 不 就相等了？所以 f g 就 会等于 e， d 看到没两就是对边平行且相等，所以我是不是就能得到？所以 嗯， e f， g， d 就 为平行面形，所以嗯， e f 不 就平行于 d g 了，对吧？ e f 平行于 d g， 然后再说 d g 是 属于面里面的一条线，然后 e f 它不属于，然后它不就平行了， 对吧？所以这个就是第二种，就是用第一种方法做不出来的，我们就用第二种啊。然后再来看一遍， 嗯，他说直四能做 a b c d 杠 a b c， d 得中，里面是一个梯形，然后 ab 是 平行 c， d 的， 然后 b， ad 是 六十度，然后 cd 等于一，这等于一，然后 a， 嗯， a， d 等于二， ab 等于四，然后点 g 在 ab 上，点 g 在 ab 上，然后这是个一比三的关系，就相当于是，然后 a a 也是等于一的。让我们证明的是哪一条线呢？ d， e， g 就 这一条线 平行哪个面呢？ b b e， c e， 你 看一下 b b e， 就 说就是右边那个面嘛， 对吧？然后这里你看我在面的这边也找不到点嘛，所以就不可能用第一种方法，所以就去构造平四面形。首先这里有了一条现成的线，看到没有，对吧？就是刚刚说了， 我要在面里面，我这样去构造的时候，对吧？我，我要让他是一个平四面形嘛，所以这条线就相当于给了你，我只用找另外一根线啊，另外一根线 你看这里天然有了，我们先去看一下这两根线能不能平行的，对吧？首先肯定能平行，因为 c、 e、 d， e 是 平行于 c、 d 的， 对吧？然后 c、 d 它又平行于 ab 的， 所以我是不就能推出来 c e、 d， e， 它是平行于 e、 g 的， 这是第一个，那么还要有一个，是不是就他们要两个相等？那怎么证明相等呢？首先，呃， b g 是 等于一，然后 c e、 d， e 就 会等于 c， d 也等于看没，所以两个平行且相等了嘛， 对不对？所以你看不就证明了这个 d e、 c、 e、 b、 g 为 平行四面形，对吧？所以这个就是第二种模型，就是第一种用不了，那我就去构造平行四面形，然后就是第三种，就是什么呢？就是构造面面 平行，一定要记住，就是前就按照顺序来做啊，如果前面两种都不行，我们才去用第三种的。然后这里找个题，比如说这个题，嗯，找个经典一点的吧。 ok， 都说直角梯形中 a p、 c p， 然后 a、 p 是 平行于 bc 的， 然后这里是个， 嗯，就像这两张纸加上折起来的，对吧？题目你们就自己看一下啊，然后反正我们只看右边这个四等锥啊，然后他让我们证明的是什么呢？ a p， a p 在 哪里？ a p 在 这里，然后平行 e f g e f g 在 这里， ok， 那 我们先考虑第一种方法，对吧？第一种方法要在面的另外一边找一个点， ok， 有 c 点，但是你会发现，如果我把它 c 点连接起来， 到了这里，对吧？到这里我们没办法做呀，那那怎么办呢？其实有方法，因为我要把这个面给扩大，因为这个红颜色的线和面是没有交点的，那我怎么去扩大呢？那么 e f 在 这里，如果我把 g 点这里也做个平行线，那这个面是不就相对这样扩大了， 对吧？扩大面我们就是找平行，就是找平行线的吗？那么现在我就找到了，就这个点，然后我就要证明什么，我这个红颜色的线去平行这个蓝颜色的线，对吧？那能做吗？能做吗？因为这个比例关系一目了然，你看， 嗯，一点是几等？分点，中点，那么是不是就要证明这个比，这个也是一比一就可以了？ ok， 那 这个把底面去拿出来，都不用拿，你看 这个三角形，就这个三角形和我这个三角形一定会相，就是全等吗？所以不就是一比一了， 对吧？所以你看用法一也是可以的，但是很多东西想不到，那法二有没有可能呢？ 法二好像看着 a p 很 长，对吧？然后做平四面形，可能做不做不太了，所以如果你第一种方法想不到，这样想下来，那你就用第三种方法怎么去做呢？就是要去构造面面平行， 然后怎么去构造呢？就是我要找一个面看啊，我找一个面，因为他要你去证明线和面平行吗？那么我这一条线我证明不了，它里面一条线和它平行的时候，我就怎么办？ 在里面找两条另外的线和它平行，那是不是上面这个面和下面这个面就平行了？那平行之后，那上面这个面里面的任何一条线是不是都和下面这个面平行了？所以就是利用的这么一个原理，然后构造的时候啊， 就是找平行线就可以了。比如说，嗯，我这条线还是 pa， 我 要做一个面去平行 e、 f、 g， 那 是不是就相对我过点 a 或者点 p 去做他们的平行线？这个面里面线的如果过点 a， 那 刚好有个天然的 ab， 因为 ab 是平行于 e f 的， ab 啊，是平行于 e、 f 的， 所以我是不是再把题目这个已知，要么证明就是 pa 也平行于这个面， 对吧？所以我是不是就能反向让你去证明的是什么？就是面 p a、 b 要平行于面 f、 g， 这个是我在草稿纸上进行的，这个叫反推吗？对吧？ 垂直里面我们用反推用的是最多的，平行里面倒是还好了，对吧？所以我下面就证明呗。那怎么去证明呢？首先我可以证明 ab 是 不是平行于 ef 的， 对吧？因为 ab 是 平行 c d， 然后 ef 也平行 c d 的 第一个有了。那么还有一条线是谁呢？就是 p b 是 不是会平行于 eg， 对吧？中位线嘛，因为 e 点也是中点， g 点也是中点，看到没有，所以 e g 是 不是就会平行于 p b， 对 吧？所以我就可以去写了。但是这里面会有一个重要地方就是面面平行，你正面的时候你要书写规范一点， 你前面的倒是没有什么要点，对吧？但是这里有，你就说，呃，你看啊，我就说因为 ab 平行于 cd， 然后 ef 也平行于 cd 的， 所以 ab 就 平行于 ef， 然后又因为 eg 为嗯对应的终点啊， 所以 e g 是 不是就会平行于 p b， 对 吧？然后因为呃，这个 a b 交 p b 等于 b， 你 要把这个相交直线用这个数学语言去写出来，对吧？且 a b， p b 都属于这个面 p a b 的， 对不对？然后就下面还有个面，就是 e f 交 e g 等于 e， 然后且 e f e g 是 属于面 f e g 的， 你这么去写了之后，对吧？所以我就说面 p a b 就 会平行于面 f e g 了，然后又因为呃 p a 是 属于这个面的面这个 p a b 的， 所以 p a 不 就平行于面 e f g 了嘛，对吧？就把一些要点给写出来，因为面面平行的要点就是两条相交的直线啊，好吧，所以你看这个就是构造面和面平行了，对不对？ ok， 然后再看下面这个，这个 p 杠 abc 中 d 是 pa 的 终点，然后 e 也是 cd 的 终点，然后 f 在 p b 上，然后满足一个，这是一，这是一比上三，就相当于是，对吧？然后证明的是谁呢？证明的是这个 ef 平行于 a b c， ok， 平行这个面，那这里就没有办法用第一种方法了，对吧？那有没有可能用第二种方法来构造平行四边形呢？我们先想一下，就是我要过这个点，对吧？去做一个平行线，我看一下啊， 我是不是可以这样子，然后这边也这样子，你看是不是勾折了，对吧？因为它平行于 ad 嘛，然后它也平行于 ad 嘛， 对吧？然后平行就有了，然后这个就这一条边等于 a d 的 一半，然后这一条边等于 pa 的 四分之一，所以也是 a d 的 一半，对吧？对面平行且相等，所以你看也可以。 然后我再看一下，我用这个面面平行行不行？那么我是不是要做过点 f， 做这个底面的一个平行线？ ok， 刚好因为我在这里做一条，然后连接， 我就只用证明这个面和下面这个面去平行就可以了。那么怎么去证明呢？我就说因为刚好 f 点是一个四等分点，那么我找的就是 a d 的 中点嘛， g 点，对吧？所以我就根据相似我就能知道 f g 是 平行于 ab 的， 因为都是一比三嘛，一比三，这也是一比三嘛，对吧？ 对不对？ ok， 然后又因为 g 点和 e 点都是中点，所以又有一个 g， e 是 不是会平行于下面的这个 a c 中位线吗？这个就是 看，不如就证明了两条相交的线就是 e g 交 g f 等于 g 点嘛，然后下面那个就是 a c 加 ab 等于 a 点嘛，看嘛，相交，这个就是相交嘛。然后你写的时候要把这个写出来就可以了，所以方法还是很多，所以你做不出来的时候，就一个方法去试就可以了啊， 好吧，然后熟写就不去写了，反正就按照这个刚刚讲的那么去写就可以了啊，好吧，然后不要嫌麻烦，高考的时候你写的越详细越好， 好吧，记住了，写的越详细越好，好吧，你因为有的时候你写的很详细，它里面有很多拿分点，万一你有哪一步就没写，你可能会扣个一两分啊。好吧，然后第四个模型是什么呢？就是跟垂直有关的，这里就画图啊， 就如果啊，我有两根线，他们都是垂直于这一个 平面，那是不是就有了它平行于它，对吧？这个也很好理解嘛，对吧？然后这里就是我们用题目来讲吧，这个第四种。那我们来看一下这道题啊， 他说三角形 bcd 与 mcd 都是变成为二的正三角形，然后平面 mcd 是 垂直于平面 bcd 的， ok， 然后 ab 又垂直于 bcd 这个面，然后 ab 等于二。 这里我们要证明的是 ab 这么标一下，就这条线要垂，这平行于 mcd， ok， 所以 我们看一下，第一种方法能用吗？面的这边没有点就不能用。那第二种方法构造平行四边形可以吗？这个面不够大也不行。那第三种构造面面平行可以吗？不行，因为构造的面应该是这样子的，它才会平行，对吧？所以我们才会有第四种模型啊， 一般考来考去就是这四种题型。好吧，那怎么办呢？刚刚说了，如果我有两根线，它都垂直于我同一个面， 对吧？那么这两根线就平行嘛，我可以利用这个性质。那么另外一根线在哪里呢？因为我们这里有个面和面垂直，所以看到面垂垂， 等一下啊，垂直于面，我就要想到一个什么样的性质呢？就是如果有，嗯，一个面内有一根线 垂直于他们的交线，那么这根线 就垂直于另外那个面，对吧？ 好吧，所以大家以后看到这个面和面垂直，对吧？反正这个性质是大家一定不能忘的啊。那么这里我们两个面的交线在哪里？在 cd， 那 就要找一根垂直于 cd 的 线在 mcd 里面，那怎么去找呢？不就刚好一个正三角形，我找一个中点不就垂直了吗？就相当于是，对吧？所以我怎么去写呢？我就说找 cd 中点， 假设是 n， 然后连接 m n， 然后就说可知 m n 是 垂直于 cd 的， 然后又因为这个刚刚说了的啊，因为它是个等边三角形嘛。然后又因为面 m c， d 交面 b c d 等于 c d， 且这两个面就是 m c d， 它垂直于面 b， c， d 的， 所以我就说 m n m n， 它就垂直于面 b， c， d 的， 对吧？所以大家一定要记住这个性质啊。然后又因为 ab 是 垂直于面 bcd 的 题目里面有吗？对吧？ ab 这里有吗？所以 m n 就 平行于 ab， 对 吧？然后又因为 ab 属于这个面 mcd 啊，就所以啊， m n 啊， m n， 所以 ab 不 就平行于面 mcd 了吗？对吧？这个就是用那个两个垂直的啊，这个就很简单了，这个， 这是第四种。所以啊，你们以后碰到很难的题目，你们就按照老师一样，自己一个个去套就可以了，因为它本身有很典型的特征嘛， 这个什么时候能用呢？就是我线和面的另外一边，他有个点，对吧？然后这个平行四边形就是我第一种用不了，我就考虑第二种。那第二种用不了呢？就是用构造面，面平行就是通过线段两个短点去做，在面里面也去做两个点，然后形成一个平行四边形，然后第四种，这个就是垂直的， 对吧？一般情况下平行就只用掌握这四种题型，你就可以解决百分之九十九的题了。好吧，然后我们看一道二二年的高考题啊，这题我觉得真的出的非常好，我们来看下题， 他说如图， p o 是 三分之 a， b c 的 高，然后 pa 等于 pb， ok， 标一下， pa 等于 pb， 然后 ab 是 垂直于 ac 的， 反正这个图看着不是特别像。 然后 e 是 p b 的 中点， ok， 这两边相等，然后它让我们证明的就是 o e 平行于平面， p a c， 那 么我们一个个模型来套看，可不可以啊？首先模型 e， 对 吧？就是我把它看作一个面， 然后我这里有一条线，我人站在这里看，对吧？但是这个题会比较特殊啊，你看我连线才会有这条红颜色的线段，我只用这边这条红颜色的线段和蓝颜色的线段，它们平行补角线平行面， 但是这里面是 p a c， 线是 o e， 那 么我是不是要在 p a c 的 这个左边这里找一个点，然后去连接，但是这里有吗？没有。 那没有怎么办呢？那有个特殊情况，就是这个题，所以我就在这边同面去找点，你觉得可以吗？ 他一样的可以啊，所以我就假设这个点是 h， 那 么我这条面里面的这条线就可以了。那么我们只用证明 p h， 它平行于 o e， 那 我这个题目其实就出来了，那怎么去证明呢？首先， 呃， e 点是中点， o 点是中点，那他要平行的话，那么我就能推出来 o e 是 中微线， 这个是他要成立的一个条件，那我们就根据这个条件去证明呗。那他是中微线，那我是不是就是 o 是 b h 的 中点，就是要证明，那他怎么去做呢？我把这个平面你看不清楚，我就把这个平面给拿出来呗， 这是 a 点，这是 c 点，这是 b 点，我拿出来之后， o 点在哪里呢？ o 点是不是一定会在这个 ab 的 垂直平分线上面待在这里，对吧？然后我连接，就这么去连接的 这个点就是 h， 那 么只要证明这个点 o 是 它的终点，那怎么证明呢？你看不是有个直角吗？我连接，那这三条都会相等呢？ 因为直角三角形那个斜边上的中线等于斜边的一半嘛，所以我就能知道 o a 是 等于 o h 等于 o b 的， 不就证明了？那证明了不就反过来就推出来 p h 平行 o e， 那 不就证明了 o e 平行这个面了？所以第一个模型我是可以用的，然后接着我们继续往后面看，看一下第二个模型， 第二个模型我们就是去找啊，做平行四边形，怎么做的呢？ 是不是你只用记住我的模型，我的模型是不是我让你证明他平行这个面，我就过这两个短点，这样看到没做两条平行线，对吧？所以我连接起来之后，只要证明他和他平行且相等，那么他和他不就平行了？所以模型你就是之后我们就以 o 点和 e 点这样去， 对吧？去做呗。那怎么做呢？要平行且相等，那我是不是就相当于我横着这样， ok， 对吧？因为我横着做了之后，我刚刚说了，我如果啊，这是我 ab 的 一个垂直平分线嘛，这个就相当于是 ab 的， 对吧？所以它会等于它，它也等于它，所以你能证明吗？ 能证明吧，对面平行且相等，所以我画的这个，比如这个一样是 h， 这个是一个 g 点，那么是不是 h o e g 我 只用证明它是一个平行面形，那怎么证明呢？刚刚说了 g e 它平行于 ab， 然后 g e 它等于二分之一 ab， 同理， o h 平行于 ab， o h 等于二分之一 ab， 不 就证明了 平行且相等吗？对吧？ ok， 继续。那第三个模型呢？就是找要证明面 线面平行，那我是不是只用我在上面构造一个面，我只用证明我里面的两条交叉线分别和下面的两条交叉线平行，那两个面一平行，那里面上面这个面里面的任何一条线都和下面这个平面去平行了，那怎么找呢？ 一样的，你只要记住模型，我说了我要找两条相交的线分别平行，那么短点是 o e 吗？因为我平面是不是可以有一个三角形，慢慢去扩大，对吧？所以我 o 点去做这个 p a c 里面面里面的一根平行的线，是不是只能这样做， 对吧？因为这是个直角，这也是直角，所以假设这个 h， 那 么 o h 一定会平行 ac， 对 吧？那第二个呢？那我是不是就相当于我只用把它连接起来，我只用证明 e h 它是平行于 pa 的， 是不是就可以了？那 e h 怎么证明呢？还是一样的？那，那要平行的话， h 点一定是中点，就相当于 e h 一定要是中位线，那么我刚刚说了嘛，对吧？它要垂直过 o 点，它要垂直，它一定会是 那个垂直平分线，对不对？所以啊，不就出来了？ 只是你是最证明他是垂直平分线的时候啊，其实你就用那个全等写就可以了，对吧？你这样一连接起来，你就证明这个 p a o 全等于三角形 p b o， 因为我全等之后我就能推出来 a o 等于 b o 嘛， 对吧？那 a o 等于 b o 呢？那 h 一定就为中点了，然后他是中点的话，中位线就有平行，有了平行不就再和两个一起，就能证明这两个就能证明面 平行面，那么这个面里面的一任意一条直线都会平行这个面。好吧，我写就不去写了，思路就是这么个思路，只要你记住了这几个模型， 他其实高考题百分之九十九的题，你用这四个模型去套，绝对都能出来的。好吧，你就不用再每次在盲目的不知道用哪一种方法了，像这道题他三个模型就都可以用。好吧，好的，这个视频我们就讲到这里。

哈喽，同学们大家好，来到了必修二第八章立体几何初步八点五点一，直线与直线平行，那么来到了我们的八点五啊，最后的两个小节，八点五和八点六。首先呢，给大家一个大纲啊，大家要知道我们按怎样的一个脉络来学习。 我们说我们要研究空间当中点线面的位置关系，那无非就是五种，对吧？点线 点面啊，点和点就不用研究了吧？对啊，点点没有什么任何研究的价值，对吧？点和线，点面线线线面面关系， 那么点线和点面呢？包括说点在不在线上，在不在面上，然后呢，三点共线，四点共面等等的这些问题，它是在我们的选 b 一 啊下一本书的第一章要研究的，那不在这里研究，那么我们剩下的线线线面和面面呢？而且是未知关系。首先未知关系无非就两个， 平行和垂直，所以它们分别就是我们这两个小节里面的六节课哈，线线平行，线面平行，面面平行，然后垂直，对吧？那么首先我们的这节课， 八点五点一，线线平行，那同同学们说线线平行，那这个对吧？就是加了一丢丢的这个在空间当中的一个东西，我们来讲一下，这个很熟悉了，对吧？在同一平面内，两条不相交的直线是平行。直线，这个不讲了吧，平行线的基本是十， 在一个长方形的房间当中，我们去观察三条墙的交线哈，这里呢有两面墙啊，这个地方呢，我们有，呃，三个交线，他当然还包括了这里面画出来的墙啊，对吧？然后一共呢，这里有三个交线， 同学们一定是身处在一个房间当中，无论是你们在卧室当中，还是在哪个地方，还是在课室来看听我的课，对吧？那么这个时候呢，我们会看到哈，我们墙与墙的交交线处啊，就 a， a 一 撇， b， b 一 撇， c， c p 一 撇，它们都是平行的，对吧？那么此时我们也会看到 a， a 一 撇也会平行于 c， c 一 撇，所以我们会发现哈，空间当中平行线也有类似于平面当中，我们说平面当中我们的什么，我们的平行线是可以干嘛有传递性的？ 在平面当中 a 平行于 b， b 平行于 c， 那 么可以推出 a 平行于 c， 好， 这个传递性在空间当中也适用， 就这样子啊，就告诉大家，也 ok 哦，在空间当中就行了，所以这个是基本事实。四，所以这个是以公里的逻辑告诉大家的，就我们发现大家可以去干嘛？可以去正轨，对吧？如果没有人能正轨，他就是对的。平行于同一条直线的两条直线平行，这个就是基本事实。四， 好，这个就是它的数学模型，对吧？ l 平行于 m， n 平行于 n， 那 么 l 也平行于 n， 那 么这个呢？我们会看到，哎，这个就是在我们的一个长方体里面出出现出来的，对吧？在两个长方形当中，我们都会知道 l m 平行，然后呢？ m， n 也平行，然后这两条也是平行的，所以这个就是我们的平行线在空间当中传递性的一个，嗯，这个体系， 然后看例如图，已知在棱长为 a 的 长，呃，正方体当中 m n 呢？分别是中点，这个是中点，这个是中点啊，对吧？然后呢，求证四边形 m n a c m n a c 啊，是一个梯形， 我们梯形就说它有一组对边平行，有一组对边不平行，所以我们的首先的定一个点肯定是要证明啊，一条边一组对边是平行的，那当然我们会知道，你看看到这个平行的，对吧？我们怎么证明？不难证明吧，在这个地方画一条辅助线， 那么这里呢，因为它是中位线， m n 是 这个三角形 a 撇 c 撇 d 撇的中位线，所以呢，平行，那么这里面呢，这里面是一个矩形，它也是就平行四边形嘛， 对吧？那这个怎么证明，对吧？这个平行于这个，而且平行且相等，所以它是一个平行四边形，所以这个 a 撇 c 撇也会平行于 a c， 所以呢，就通过传递性我们就会知道 a c 平行于 m n 啊，对吧？所以呢，连接 a 撇 c 撇，然后 m n 呢是它的中位线，所以呢就是平行，所以呢啊，在这个地方因为比较简单，我们就直接忽略了这个 a 撇 c 撇和 a c 的 一个证明啊，对吧？三个都是平行的。 接着呢，我们说梯形，那么要么就证明我们的另外的一组对边不平行，要么就是我们的这两个它是不相等的，两个都行啊，我们其实更快的就是因为中位线嘛，我们可以证明什么，因为 a c 它的长度是等于 a 撇 c 撇的， 那 a 撇 c 撇呢，是等于两倍的 m n 的 中位线，所以呢，它们之间长度不等，我们就不需要管另外一组对边的问题了啊，不需要去单独去证明它们两个不平平行，那么这这个时候呢，它们平行一组对边平行，且它们不相等，我们就能知道它是梯形。 好吧，简单的题目，第二课本的立体如图，空间四边形。好，这里有个概念哈，空间四边形， 什么叫空间四边形？就是这个图形 a、 b、 c、 d， 哦，它不是在同一个平面内的，但是它不是立体图形，同学们要注意 这个地方啊，课本没有单独去进行定义，但这个东西应该也不难理解，对吧？不要把它看成是一个密闭的 a、 c 连起来变成一个三棱锥，不是的，它就是一个折起来，然后呢，放在空空间当中，它就是一个空间的平面图形。 空间四边形，那么这个时候呢， a、 b、 c， d， e， f， g、 h， 它全都是中点。那么第一个问题呢，求证，这个是一个平行四边形，那么我们中点当然又想到了中位线，对吧？这个平行于这个，且是它的一半， 那个 f、 g 呢？也是 b、 d 的 那个中位线啊，也是 b、 c、 d 三角形的中位线，所以也是平行，且是一半，所以它们两个平行且相等，对吧？这是简单的一个应用， 都是中规线，所以平行，然后也会有这这个东西，然后，所以呢，平行会有传递性，而且它们长度相等。好吧，那么所以呢，它就是平行四边形。那么如果在此基础之上增加一个 a、 c 等于 b、 d， a， c 等于 b、 d， 那 么我们会知道 e、 h 和 f、 g 这组对这这组对边，它是 b、 d 的 一半， 那么这个我们的邻边 h、 g， 它也会是 a、 c 的 一半， 而 a、 c 等于 b、 d， 所以 就是邻边相等，所以它是个菱形啊，对吧？所以呢，它是个菱形。 接着我们看例三，在空间当中， a b 平行于 a 撇， b 撇， a c 平行于 a 撇 c 撇，请证明它们这两个角要么相等，要么互补。首先我们画出这个东西，画出这个东西 有没有两个情况，同学们去思考一下，为什么会有两个情况，对吧？首先第一种情况呢，我们这个应该会比较好想到，对吧？它们两个都是平行的， a b a 撇 b 撇平行， a c a 撇 c 撇平行，那么此时我们可以怎么去证明呢啊？我们看一下，分别在这两个角上截取四段线段，而且它们得是相等的，好截取它们相等的线段， a， d， a d 撇 a e， a 撇 e， 那 么使得它们是相等的， 我们呢？有时候呢需要一点，其实我们无论是在做初中的几何题，还是高中的几何题，其实我们会知道一个事情，就是很多时候感觉我们的空间感觉是很重要的，我们从可能说从第六感出发，我们认定了一个东西，然后我们再去做严谨的证明，比方说这个这个地方我们一连接起来， 我们就能感受到这两个三角形一定是全等，对不对？一定是全等的，而且我们可以干嘛？我们可以从结果推过程，因为我们的结果这两个是相等的，此时相等的情况下呢？ s， a， s 呢？他们一定是全等的，所以我们把它做一个连接 来看一下，那么此时我们已经有了两个 s， 对 吧？ s， s 已经有了，那么我们能不能证明这个等于这个我们也是感觉出发，我们会告诉能告诉自己一 d d 撇一撇，它是个平行四边形，那么这个时候呢，我们可以往这个方向去做证明， 因为我们是干嘛我们截取了这个 a、 d 等于 a、 d 撇，而且这两个不仅相等，而且平行，所以我们就能证明 a 撇 a d、 d 撇是个平行四边形。同理，我们也可以证明 a 撇 a 一 一撇是个平行四边形，那么我们就会有 这个等于且平行于一一一撇，那么这个时候呢，就会有一一撇 干嘛等于且平行于我们的 d、 d 一 撇，那这个时候我们就能证明到一 d d 撇一撇是一个平行四边形，进而我们就能在平行四边形当中知道一 d 等于一撇 d 撇，那么这个时候就凑齐了 s s s 他 们全等，我们就能证明这两个角相等了。我们看一下这个证明的过程，好吧， 同理证明两个啊，我们只需要写一个步骤，如果另外一个证明过程完全相同，我们直接同理就可以了，那么所以通过这个平行的传递性啊相等啊，然后呢就能证明他是一个平行四边形，最后呢 得到了这两个相等，那么结合刚才的两个信息，也是我们去设定的截取的，那么可得他们两个三角形全等，然后通过全等来证明这两个相等， 那情况二呢，就是他是往另外一边按，这个也是平行的情况，那这个其实证明就比较简单了，因为我们可以在射线就是另外一个方向延长，继续干一个同样的事情，就是我们的证明过程跟刚才情况一模一样，我们最后证明到这个角 等于这个角，而此时我的什么 c 撇、 a 撇 b 撇不再是在这边，而是在 c 撇在这边，那么这个角角一等于角二，那么角三这个互补，我们这个关系就出来了，好吧，所以这个证明也很简单，只要在反方向延长，然后做相同的部分就可以了，所以我们就能证明出来。 好吧，那这个呢？是角等角定律，非常重要。那这个东西同学们也不陌生了吧，在初中里面也会有，对吧？所以这节课有没有发现 我们就是在说啊？我们的平行线，在空间当中的平行线可以传递他有等角定律，而这两个东西跟我们的平面是一模一样的，平平面能用，空间也能用，就这样子啊，对吧？所以说如果空间当中两个角的两条边分别对应相等， 不对应平行，那么这两个角相等或者互补，两种情况，对吧？都很简单啊，对吧？都是可以从平面迁移过来的，好吧，这个就是我们的这节课啊，我们下节课再见，同学们，拜拜。

一口气讲完平行四大证明，无论是线平行还是面平行，我都会告诉你最简单逻辑和证明方法，听完我这节课，你就是平行世界的王。哈喽，欢迎大家来到逆题结合平行的全体行，在这节课，我会给大家把线面平行，面面平行 所有的关系全给你拉全了哈，非常的轻松，全都是问题。那么首先呢，我们来看到线面平行， 你要去证明线面平行的本质是模子嘞，就是你其实是要去证明真正的线线平行的，只要你在这个平面上找到一个 b， 使得 b 和咱们的 a 是 平行的，那么你就可以说明咱们的 a 是 平行于这一个平面的哈， 那么具体的符号是怎么写嘞？ a 如果说 a 平行于 b， 那 么如果说 a 它又不包含于咱们的 alpha， 然后呢， b 又是包含于咱们的平面 alpha， 那 么这三条综合起来，你就可以推导咱们的 a 呀，它是平行于咱们的平面 alpha 的， ok 了哈，这就是一个符号语言。 那么哈，我们再由这道题呢给大家讲一讲，如果说我们要去找线线平行哈，一般就只有两种关系， 第一种呢就是咱们三角形的中位线，尤其是题目就告诉你有一个中点的时候，你立刻马上要反应出来这是中位线，所以说你马上要去找另外一个中点连成中位线。还有另外一个比较进阶的哈，就是说 他说告诉你这是一个三等分点，或者说他占另外一段比例为四分之一，那么你马上要去找另外一个同等比例的点给他连起来哈，那么这个等位线他也是平行的。 然后其次第二个嘞，是关于咱们平行四边形，他两组对边都是平行的，但是有同学说，唐老师他不就是平行四边形吗？那么我还要怎么证明嘞？哈，你一般是要先由一 组对边你是平行且相等的，可以推得他是一个平行四边形，然后你才可以得到说我的需要的这一组对边，他是平行的哈， 所以说总共只有这两种方式的。那么我们不妨来看到这道题目，我根本不用去看，他问的是模子，他只用看 m n 分 别是终点，大家看一下哈， m 和 n 是 终点的情况下， 底面又是一个平行四边形，我现在要证明的是什么？咱们的 m n 哈， m n 这条我要平行于咱们的 p b， b， c 这一个平面，就是前面这个平面，咋整啊？同学们，我有中点呐，我直接连接俺们的 b、 d 呀，对吧？所以说我们直接连 b d， 你 会发现咱们的 b、 n、 d 是 三点共线的，因为哈，咱们平行四边形，它是过中间这个中地中心的哈。 此时呢，我们会发现，哎，我们的 m 啊，它是为 p d 中点的。而此时呢，咱们的 n 呐，它是为 b d 中点的。马上立刻你就会得到什么，咱们的 m n 为中位线，所以 m n 它马上平行于 p b。 好， 开始默写公式了。 因为咱们的 p b 它是包含于前面这个平面的，又因为咱们的 m n 它是不包含于这个平面的，所以 m n 它是平行于前面这个平面的。 over 了哈，所以说这就是第一个题目。 那么我们再来看看第二种题型，就是我是要由平行四边形来证明的。这道题来，我也不管它写的是什么，我只用去看我需要的条件，比方说 f， 它为一个中点，那么肯定有中位线的考点， 然后他说求证 c e， e 平行于 c， e， e， 我 们先找到在哪了， c e 在 这的，我们要去找它平行于平面， a， d， d e， a， e， 也就是说我们平行于左边这个平面呗，对吧？大家再注意了，立体几何这种题目，你就直接写左平面哈，你不要去管这些字母，不然的话你看的慌， 那么我 c、 e 怎么给它平移过去，找到左边跟它平行的那一组线嘞？你会发现我连接 a、 d， e 看起来就很像了，但是我要怎么去说明它看起来很像，但是实则它是一个平行关系嘞？你会发现哈， 这儿看起来就是一个不折不扣的平行四边形啊，但是我要怎么去证明它是一个平行四边形嘞？那你就要去找一下题目条件了哈， 首先它是一个直四棱柱，那么此时嘞，还有它的四边形为一个梯形， a、 b 平行于咱们 c、 d 的， 所以 说这条边平行于这条边，然后呢，它又是一个直四棱柱，所以说它又平行于咱们的 c、 d、 e 的。 然后你再看哈，我们的 a、 e 为二的，然后呢， dc 为二的哈， dc 为二，那么平行上去 c、 d、 e 也是二的，所以说你又有平行，又有相等的情况下，它就肯定是平行四边形哈， 所以呢，我们就来写一下哈，因为咱们的 c、 e、 d， e， 它是平行于 c、 d 的， c， d 嘞，它又是平行于 ab 的， 所以咱们的 c、 d、 e 呀，它是平行于 ab 的。 又因为咱们的 a、 e， 它等于 c， d， e 等于 c， d， e， 它是等于二的， 所以立刻马上 c、 d、 e， 它是平行且等于 a、 e 的， 所以立刻推到咱们的这个四边形啊，它就是为一个平行四边形，对不对？ 然后呢，它是平行四边形之后，你就可以推得另外一组对边，它是平行的，所以一 c 一， 它平行于 a、 d 一， 然后你就可以说，哎，因为一个包含也是个平面，另一个不包含也是个平面，所以这一条线它是平行于平面的。 over 了， 咱们再来看到第三个题型哈，就是证明面面平行，大家注意哈，咱们平面是由什么组成的？这它的标志是什么？你能构成一个平面，一定是因为你出现了一组相交的直线，那么这一组相交直线，他就可以唯一确定一个平面，他就相当于是这个平面的 logo， 对 吧？ logo 标志的意思。那么此时你想，我要去证明两个平面是平行的，其实也就是在证明我们一组相交直线是分别平行的就可以了。 那么其实我们要真正证明的是两组线是平行的，那么我们刚才讲了，是不是有中位线的平行，还有咱们平行四边的平行，那， 那我们来看到这道题哈，他说在一个四棱柱当中，咱们四边形 a、 b、 c、 d 就是 底边是一个正方形，然后 e、 f、 g 来分别为中点，我看到中点我就高兴哈，因为它代表了非常多的中位线 e、 f， 还有咱们的 g 哈，那么此时来它让你去证明的是咱们的 a、 e、 e f， a， e， f。 来画一下哈， a， e、 e、 f， ok， 也就是这一个小三角形，然后呢，它是平行于咱们 a d g 的 a d g， 哎，也就是后面这个大的三角形，那大家来观察一下哈，我们这两个平面，它会出现哪两组线线平行啊，你会发现哈，我这一画出来，这和这看起来就一模一样的平行， 对吧？然后我们再来看哈，看得出来哪里不？哎，这和这也是平行的，所以说我们先来正什么？先正？ 先证咱们的 a e、 e， 它是平行于第一 g 的， 那你来看一下我这一组它是平行，你要怎么说明呢？你会发现它其实是一个平行四边形来的，对不对？所以说你要去连接咱们的 e g 连 e g， 然后呢，这时候你其实是要证明咱们的四边形 哪一个嘞？是不是咱们的 a e g d e， 它是为平行四边形的，对不对？所以这时候嘞，我要怎么去证明它是平行四边形嘞？是不是因为咱们的 a e、 d e 平行于咱们 e g 啊？对吧？ a e d e 平行于 e g， 而且平行且等于。有些同学就会问，唐老师，为什么这里是平行且等于了？宝贝，你看哈，咱们 e g， 它是平行且等于了。宝贝，你看哈，咱们 e g， 它是平行且等于咱们的 b e c e 的， 那么 bc 又是平行且等于咱们的 a 一 d 的， 所以说这一段和这一段就是平行且等于的，所以你就可以推得哈，一层一层往上面推，它就是平行四边形，所以呢，你就可以推得另外一组对边，它是平行的，那么第一组边就证明结束了。我们再来看第二组边，我们选哪一个嘞？我们选另一个吧，这一个和 和咱们的这一段他们两个为什么又平行嘞？你会发现哈，我这一个和这一个有一点像咱们三角形的一个中位线哈，但是具体的怎么像三角形中位线？来，我们连接一下咱们的 bce， 连 bc 一 的情况下，你会发现 ef 为中位线，所以 ef 它是平行的，对不对？ ef 是 平行于咱们的 bc 一 的，那么此时呢，我们的 bc 一 和咱们的 a、 d 一 它也是平行的，但是你要正哈，怎么去证明来 正，咱们的 a、 d 一 它是平行于 bc 一 的，那么你就会发现哈，这一组对边它平行是放在这个平行四边形里边来的。 所以呢，你继续往上面一层去推，你要证这一个啊， a、 b、 c、 d、 e 它是为平行四边形，但是这一个平行四边形怎么证明来？你会发现哈，我只要证明这一个 和这一个它是平行且相等就可以了。你再去证 ab 它是平行且等于 d、 e、 c、 e 就 可以了。 所以说你就一层一层往上面推，你就推到两个平行，那么推到两个平行了之后，你最后要怎么去写嘞？你要说，哎，我这一个平行于这一个，这一个平行于这个，然后呢，我这里和这他是什么？他是相交直线哎，我这和这是相交直线，而且他们俩都各自属于不同的平面， 所以最后得整两个平面是平行的。那么我们再来看到拔高难度最后一道题，就是我们要去由平行去推比例关系哈，它是压轴题，更常考的 在一个四棱锥当中嘞，咱们的底面 a、 b、 c、 d， 它是一个平行四边形，然后呢？ e 点是一个三等分点， ok 了，然后 f 点呢？是一个点，一个动点。 他说，当咱们的 p a 啊，它是平行于 e b f 时， p a 它要平行于 e b f， 也就是说我要在 e b f 上找到一条线段，跟它是一个平行关系，对不对？然后此时他问 p f， 然后比上 p c 为多少？不要管哈。那么此时我们应该咋搞来？同学们，这是我一定要给它掐过去， 加到这个上面哈，那么此时我们不妨就直接去连接咱们的 ac 为母子来，你会发现哈，我连了 ac 之后，此时大家会发现哈，我这是一，这是二的，对不对？这里是一， 这里是二的，那么我这一段就应该是三了，对不对？三。所以说你会发现我这出现了相似三角形，这一个三角形它是相似三角形，相似比为一比三的。 这时候你会发现，哎，我这一段比上这一段为一比三，对吧？所以这一段比这一段也是一比三。那么此时来我们连接一下咱们的啊，假设这个点是 o 点哈，我们再去连接一下 o f， 如果说咱们此时这一段 比这一段也是为一比三的，所以此时这段 o f， 它就是一个等位线，等位线的情况下，它就跟咱们的 a p 是 一个平行关系的。那么你看我们最后的答案是不是已经出来了？他说，此时 p f 比上 p c， 也就是一比上 p c 就是 四的，所以最后答案来选咱们的 d 选项。 讲到这里，同学们，我想说，平行的本质是方向相同，永不相交。其实我特别讨厌别人说要追上谁谁谁，在逆梯结合里边平行线来，他是永远追不上的，但是他们都朝着同一个方向。我从小县城走上人大 北大，从来不是因为追上某个人，而是和我心里那个最优秀的方向一直保持平行。你不用再去刻意的追任何人，只需要追求卓越，追求那个更优秀的自己。视频的最后，我给大家准备了三份非常重磅的干货， 分别是四十页的逆袭北大借题一百招，还有两万字梳理我为什么从五十分进不到一百四十六分的数学底层学习方法。最后来是为前五十名同学赠送一个免费的数学成绩分析和规划，点击我的主页这个群聊，就可以免费领取数学想要考年级第一，从来不是天赋，而是执行程序。我是北大堂，我们下期再见！

一口气讲完平行四大证明，无论是线平行还是面平行，我都会告诉你最简单逻辑和证明方法，听完我这节课，你就是平行世界的王。哈喽，欢迎大家来到逆题结合平行的全体行，在这节课，我会给大家把线面平行，面面平行 所有的关系全给你拉全了哈，非常的轻松，全都是松问题。那么首先呢，我们来看到线面平行， 你要去证明线面平行的本质是模子嘞，就是你其实是要去证明真正的线线平行的，只要你在这个平面上找到一个 b 式的 b 和咱们的 a 是 平行的， 那么你就可以说明咱们的 a 是 平行于这一个平面的哈，那么具体的符号是怎么写嘞？ a 如果说 a 平行于 b， 那 么如果说 a 它又不包 包含于咱们的 alpha， 然后呢， b 又是包含于咱们的平面 alpha， 那 么这三条综合起来，你就可以推得咱们的 a 啊，它是平行于咱们的平面 alpha 的， ok 了哈，这就是一个符号语言。 那么哈，我们再由这道题呢给大家讲一讲，如果说我们要去找线线平行哈，一般就只有两种关系， 第一种呢，就是咱们三角形的中位线，尤其是题目就告诉你有一个中点的时候，你立刻马上要反应出来这是中位线，所以说你马上要去找另外一个中点连成中位线。还有另外一个比较进阶的哈，就是说 他说告诉你这是一个三等分点，或者说他占另外一段比例为四分之一，那么你马上要去找另外一个同等比例的点给他连起来哈，那么这个等位线他也是平行的。 然后其次第二个嘞，是关于咱们平行四边形，他两组对边都是平行的，但是有同学说，唐老师他不就是平行四边形吗？那么我还要怎么证明嘞？哈，你一般是要先由一 组对边，你是平行且相等的，可以推得他是一个平行四边形，然后你才可以得到说我的需要的这一组对边，他是平行的哈， 说总共只有这两种方式的。那么我们不妨来看到这道题目，我根本不用去看，他问的是模子，他只用看 m、 n 分 别是终点，大家看一下哈， m 和 n 是 终点的情况下， 底面又是一个平行四边形，我现在要证明的是什么？咱们的 m n， 哈， m n 这条我要平行于咱们的 p b， b， c 这一个平面，就是前面这个平面，咋整啊？同学们，我有中点呐，我直接连接俺们的 b、 d 呀，对吧？所以说我们直接连 b、 d， 你 会发现咱们的 b、 n、 d 是 三点共线的，因为哈，咱们平行四边形，它是过中间这个中地中心的哈。 此时呢，我们会发现，哎，我们的 m 啊，它是为 p d 中点的。而此时呢，咱们的 n 呐，它是为 b d 中点的。马上立刻你就会得到什么，咱们的 m n 为中位线，所以 m n 它马上平行于 p b。 好， 开始默写公式了， 因为咱们的 p b 它是包含于前面这个平面的，又因为咱们的 m n， 它是不包含于这个平面的，所以 m n 它是平行于前面这个平面的。 over 了哈，所以说这就是第一个题目，这证明面面平行。 大家注意哈，咱们平面是由什么组成的？这它的标志是什么？你能构成一个平面，一定是因为你出现了一组相交的直线，那么这一组相交直线，它就可以唯一确定一个平面，它就相当于是这个平面的 logo， 对 吧？ logo 标志的意思， 那么此时你想，我要去证明两个平面是平行的，其实也就是在证明我们一组相交直线是分别平行的就可以了。 那么其实我们要真正证明的是两组线是平行的，那么我们刚才讲了，是不是有中位线的平行，还有咱们平行，四边的平的平行。 那我们来看到这道题哈，他说在一个四棱柱当中，咱们的四边形 a、 b、 c、 d， 就是 底边是一个正方形，然后 e、 f、 g 来分别为中点，我就高兴哈，因为它代表了非常多的中位线 e、 f， 还有咱们的 g 哈，那么此时呢，它让你去证明的是咱们的 a、 e、 f， a， e、 f， ok， 也就是这一个小三角形，然后呢，它是平行于咱们 a、 d、 g 的 a、 d， g， 哎，也就是后面这个大的三角形。 大家来观察一下哈，我们这两个平面，他会出现哪两组线线平行，你会发现哈，我这一画出来，这和这看起来就一模一样的平行，对吧？然后我们再来看哈，看得出来哪里不？哎，这和这也是平行的，所以说我们先来正什么先正？ 先证咱们的 a、 e、 e， 它是平行于第一 g 的， 那你来看一下我这一组它是平行，你要怎么说明呢？你会发现它其实是一个平行四边形来的，对不对？所以说你要去连接咱们的 e、 g， 连 e、 g。 然后呢，这时候你其实是要证明咱们的四边形， 哪一个嘞？是不是咱们的 a、 e、 g、 d e， 它是为平行四边形的，对不对？所以这时候嘞，我要怎么去证明它是平行四边形嘞？是不是因为咱们的 a、 e、 d、 e 平行于咱们 e、 g 啊？对吧？ a e、 d、 e 平行于 e g， 而且平行且等于。有些同学就会问，唐老师，为什么这里是平行且等于了？宝贝，你看哈，咱们 e、 g， 它是平行且等于了。宝贝，你看哈，咱们 e、 g， 它是平行且等于咱们的 b、 e、 c、 e 的， 那么 bc 又是平行且等于咱们的 a 一、 d 的， 所以说这一段和这一段就是平行且等于的。所以你就可以推得哈，一层一层往上面推，它就是平行四边形。所以呢，你就可以推得另外一组对边，它是平行的，那么第一组边就证明结束了，我们再来看第二组边，我们选哪一个嘞？我们选另一个吧，这一个和 和咱们的这一段，他们两个为什么又平行嘞？你会发现哈，我这一个和这一个有一点像咱们三角形的一个中位线哈，但是具体的怎么像三角形中位线？来，我们连接一下咱们的 bce， 连 bc 一 的情况下，你会发现 ef 为中位线，所以 ef 它是平行的，对不对？ ef 是 平行于咱们的 bc 一 的，那么此时呢，我们的 bc 一 和咱们的 a、 d 一， 它也是平行的，但是你要正哈，怎么去证明来 正？咱们的 a、 d 一， 它是平行于 bc 一 的，那么你就会发现哈，这一组对边它平行，是放在这个平行四边形里边来的。 所以呢，你继续往上面一层去推，你要证这一个啊， a、 b c d e， 它是为平行四边形，但是这一个平行四边形怎么证明？来？你会发现哈，我只要证明这一个 和这一个它是平行且相等就可以了，你再去证 a b， 它是平行且等于 d e c e 就 可以了。 所以说你就一层一层往上面推，你就推到两个平行，那么推到两个平行了之后，你最后要怎么去写嘞？你要说，哎，我这一个平行于这一个，这一个平行于这个，然后呢？我这里和这他是什么？他是相交直线，哎，我这和这是相交直线，而且他们俩都各自属于不同的平面， 所以最后得证两个平面是平行的，我是要由平行四边形来证明的。这道题来，我也不管它写的是什么，我只用去看我需要的条件，比方说 f， 它为一个中点，那么肯定有中位线的考点。 然后他说求证 c e e 平行于 c e e， 我 们先找到在哪了？ c e e， 在 这的，我们要去找它平行于平面， a d d e a e， 也就是说我们平行于左边这个平面呗，对吧？大家再注意了，立体几何这种题目，你就直接写左平面哈，你不要去管这些字母，不然的话你看的慌， 那么我 c e 怎么给他平移过去找到左边跟它平行的那一组线嘞？你会发现我连接 a d e 看起来就很像了，但是实则它是一个平行关系嘞，你会发现哈， 看起来就是一个不折不扣的平行四边形啊，但是我要怎么去证明他是一个平行四边形来，那你就要去找一下题目条件了哈， 首先它是一个直四棱柱，那么此时嘞，还有它的四边形为一个梯形， a、 b 平行于咱们 c、 d 的， 所以说这条边平行于这条边，然后呢，它又是一个直四棱柱，所以说它又平行于这，所以说咱们的 a、 e 就是 平行于咱们的 c、 d、 e 的。 然后你再看哈，我们的 a、 e 为二的，然后呢？ dc 为二的哈， c 为二，那么平移上去， c 一 d 一 也是二的，所以说你又有平行，又有呃，相等的情况下，它就肯定是平行四边形哈，所以呢，我们就来写一下哈，因为咱们的 c 一、 d 一， 它是平行于 c、 d 的， c、 d 嘞，它又是平行于 ab 的， 所以咱们的 c、 d 一 啊，它是平行于 ab 的。 又因为咱们的 a 一， 它等于 c， d 等于 c， d 一， 它是等于二的， 所以立刻马上 c、 d、 e， 它是平行且等于 a、 e 的， 所以你可以推得咱们的这个四边形啊，它就是为一个平行四边形，对不对？ 然后呢，它是平行四边形之后，你就可以推得另外一组对边，它是平行的，所以一 c、 e， 它平行于 a、 d、 e， 然后你就可以说，哎，因为一个包含于平面，另一个不包含于平面，所以这一条线它是平行于平面的。 over 了， 那么我们再来看到拔高难度最后一道题，就是我们要去由平行去推比例关系哈，他是压轴题，更常考的 在一个四棱锥当中嘞，咱们的底面 a、 b、 c、 d， 它是一个平行四边形，然后呢？ e 点是一个三等分点， ok 了，然后 f 点呢，是一个点，一个动点。 他说，当咱们的 p a 啊，它是平行于 e、 b、 f 时， p a， 它要平行于 e、 b、 f， 也就是说我要在 e b f 上找到一条线段，跟它是一个平行关系，对不对？然后此时他问 p f， 然后比上 p c 为多少？不要管哈。那么此时我们应该咋搞来？同学们，这是我一定要给它掐过去， 加到这个上面哈，那么此时我们不妨就直接去连接咱们的 ac 为母子来，你会发现哈，我连了 ac 之后，此时大家会发现哈，我这是一，这是二的，对不对？这里是一， 这里是二的，那么我这一段就应该是三了，对不对？三。所以说你会发现我这出现了相似三角形，这一个三角形它是相似三角形，相似比为一比三的。 这时候你会发现，哎，我这一段比上这一段为一比三，对吧？所以这一段比这一段也是一比三。那么此时来我们连接一下咱们的啊，假设这个点是 o 点哈，我们再去连接一下 off， 如果说咱们此时这一段 比这一段也是为一比三的，所以此时这一段 off， 它就是一个等位线，等位线的情况下，它就跟咱们的 ap 是 一个平行关系的。那么你看我们最后的答案是不是已经出来了？ 他说此时 p f 比上 p c， 也就是 e 比上 p c， 这是四的，所以最后大家来选咱们的 d 选项。讲到这里，同学们，我想说，平行的本质是方向相同，永不相交。其实我特别讨厌别人说要追上谁谁谁，在立体几何里边平行线来，它是永远追不上的，但是它们都朝着同一个方向。我从小县城走上人大北 伟大，从来不是因为追上了某个人，而是和我心里那个最优秀的方向一直保持平行，你不用再去刻意的追任何人，只需要追求卓越，追求那个更优秀的自己。视频的最后，我给大家准备了三份非常重磅的干活， 分别是四十页的逆袭北大借题一百招，还有两万字梳理我为什么从五十分进不到一百四十六分的数学底层学习方法。最后来是为前五十名同学赠送一个免费的数学成绩分析和规划，点击我的主页这个群聊，就可以免费领取。数学想要考年级第一，从来不是天赋，而是执行程序。我是北大堂，我们下期再见！

哈喽哈喽，大家好，欢迎来到抖音高考百余百科，我是数学老师景克颖，我加入了抖音精选高考应援联盟，大家可以去抖音精选追更我的高考百余百科。为什么别人例题几何平行题一演出思路， 你抠了半天定理还是无从下手？百分之九十的高中生平行证明学不好，根本不是你笨，只是没有掌握出题套路。今天我就用十分钟速通例题几何的平行证明问题。 首先我们先来看一下在空间当中的平行啊，其实无非就是这三大类，线线平行、线面平行和面面平行。而这三大类其实它是一个由低维到高维逐渐进阶的过程。那也就告诉我们，你想要去证明面面平行，你得先搞懂线面平行。 想搞懂线面平行，你得先搞懂线线平行。那咱们今天就从线线平行来入手。那其实啊，线线平行咱初中已经学的够多了，只不过到了高中，咱们删繁就简，就留下最常用的两种， 一个叫做利用平行四边形来证明，另外一个叫做利用中位线来证明。这两个大家应该都非常熟悉了，帮助大家在回忆回忆。首先第一个，如果你用平行四边形证明，比如说这里，我想要去证明 a、 b 和 c、 d 平行，那很简单，把它放到这样一个平行四边形当中，我们只需要去证明另外的一组对边平行且相等，也就是说我们只需要证 a、 c 平行且等于 b、 d 就 ok 了。那我们只要去找准另外一条对边，我们就可以去证明它俩的平行。 那另外一个呢？是利用中位线来证明，其实我们这个图像当中，同样也要去证明 a、 b 和 c、 d 平行。那我们在这里啊，把它们 c、 a 一 连接一延长， d、 b 一 连接一延长，最后让它们交于一点，比如说点 e， 那 咱只需要去证明 a 和 b 是 终点即可，也就是说 a 是 ec 终点， 同时我们的 b 是 异地的中点，只要把这两个中点搞定了，那咱这个妥妥的中位线一定 a、 b 和 c、 d 是 平行的。那同学们可能会说，老师，虽然说你已经给我删减到就剩下两种方法了，我还是搞不清楚什么时候用什么，怎么办呢？ 非常简单，你看到我这个图，你也能够感受到了。咱 a、 b 跟 c、 d 如果长度差不多的话，那咱一般就会选用平行四边形了。 如果 a、 b 跟 c、 d 你 看到，哎，一个是另外一个一半的长度，那咱肯定直接就用中位线了。所以你根据找到了这两条直线的关系，咱就可以快速锁定你想要用的方向了。 好嘞，那我们啊，搞定了线线平行，那我们其实常常考的都是线面平行。那再来看一下，咱怎么去证明线面平行呢？ 当你啊这里哎已经有了一组线线平行，比如说这两条蓝色的线，一条是 a， 一 条是小 b， 我 们已经知道 a 和 b 是 平行的了。那现在再来一个小面，也就是这个阿尔法这个面。注意，阿尔法这个面呢，它要经过我们的这条直线 b， 但是它不能经过直线，哎哎，这三个条件同时满足，我们就可以直接得到一个 a 平行于阿尔法了。 所以你会发现，咱们想要证明线面平行，本质上其实最关键的还是先得要搞定 a 跟 b 平行，也就是我们面外的这条线跟面内一条线平行。 我们来到题目，你来感受感受咱们具体怎么去操作。比如说这道小题啊，我们甚至都不用读题，咱直接看到它要什么就 ok 了。来跟老师一起来看， p b 平行于平面 a c q、 p b， 在 这我们稍微的给它描一描， 这是我们要去证明的 p b， 那 平面 a c q 就是 这个小三角形，我现在要证明这个线面平行。还记得刚刚老师说的吗？咱要证明线面平行，本质上就是去证明咱们这条线 p b 和这个面里的一条线平行。 那同学可能会想，老师，这面里那么多条线，无数条线，到底要证哪条线呢？非常简单一点，在我们的立体几何当中啊，我们的平行关系是不会发生改变的。 什么意思？就是说你现在图上看谁跟我 p b 平行，那咱们实际上就是谁跟 p b 平行。你如果看不出来，教大家一招，咱呀直接拿上你的直尺，哎，对准咱们这个 p b， 然后， 然后把这条直线给它，往这个面里给它怼，使劲怼，怼到什么程度呢？怼到我这条线呀，更能够刚好经过这个面里的某一个点。哎，你比如说这个时候我发现它刚好经过这个 q 点 了，那好了，我把这个线呀，稍微收一收，太长了，我给它收回来，哎，收不回来了 啊，收回来了。好，我们把这个线给它收回来。也就是说我们想要证明的其实就是这条蓝色的线和 p b 这条线，它俩相互平行，那这平行咋正啊？ 刚刚咱平移的过程当中，你是不是已经感觉到了，咱这两条线很明显不相等，而且这条小蓝线感觉是它的一半， 所以必须得用中位线。也就是说，我想要这个 q 是 p、 d 的 中点，这个点也是 b、 d 的 中点。那这还不好说， q 是 p、 d 的 中点，条件已经给了，那这个是 b、 d 的 中点，从哪来呢？你再看到咱们 a、 b、 c、 d 是 啥？是一个边长为二的正方形， 也就是说啊，如果我连接一下这个 b、 d 跟 a、 c 的 交点即为点 o， 那 么 o 一定是 a、 b、 d 的 这个中点，因为咱是正方形，对角线相互平分，那咱信息是不就已经知道了？哦，我要去证明线面平行，得找到 o、 q 和 p b 平行。 o， q 和 p b 怎么平行呢？我们通过三角形的中位线，也就是 q 和 o 都为中点即可。 那咱们分别来从这两个方向来说一说。简单去写一下我们的操作步骤，先交代一下咱辅助线的做法，我们是连接 b、 d， 交 a、 c 与 o， 再连接一下 o、 q。 哎，好嘞，我们从而确定了要证明的这条线。 接下来我们只需要去说明这两个中点就行了。 q， 这个不用我说，那咱只需要证明一个 o， 那 太简单了，因为咱们的四边形 a、 b、 c、 d 是 一个正方形， 所以，哎，我们这么一连接，那么 o 一定是我们 b、 d 的 重点，又因为 q 是 p、 d 的 重点， 那轻轻松松我们就可以得到 o， q 一定是平行于 p、 b 的， 那得到了线线平行，先别着急，很多同学容易丢分啊，就丢在这了，我们一定要把刚刚的定律给它补充完整，得到了线线平行，还需要再说一下，我们的 p b 应该是在这个 面当中， p b 不 在面 a c q 当中，而 o q 在 这个面当中， 所以这个时候我们才能够得到想要的这个结论。写到这边，所以 p b 平行于平面， a， c q， 这样子我们这道题就能够拿到满分了。所以你会发现咱们想要去证明线面平行，其实都是套路。我甚至刚刚都没有先看题干条件，我直接看到他要什么，我的思路就已经非常清晰了，这样子大家做起来会更加高效，也不容易出错。 好嘞，那我们啊，再来一道题，你来看看更复杂的题目能不能用这种方法快速解决呢？他说，求证 m n 平行于平面， b c， c， e， b e 啊，简单找一下 m n 在 这， b c， c e， b e， 哦，是左边的这个面，那我们想要正线面平行，首先得去找到这条线跟这个面里的谁平行呢？我们直接来看一下，把这个线给它往过一压， 把这个线给它往过压走，你走走走。哎，一直怼到什么程度呢？怼到我们这条线啊，跟这个面里的某一个点会重合的时候，比如说这个时候刚刚好 m 点呢？移到了 b 一 点， n 呢？移到了这个点，那这个点是个什么点呢？大家可以大胆的猜测一下， 是不是一眼能够看出来大概是个 b c 的 中点，我可以令它为 e， 这个时候我们想要去证明的是 n m n 和这条直线 b e， e 它俩平行，那这个时候会发现我们想要证明的这两条线 长度差不多相等，那咱们就利用平行四边形，也就是另外一组对边平行且相等，只要去证明 b、 e、 m 平行且相等 e、 n、 i 就 ok 了。那简单来看一下咱们这个四边形，你能不能找到它们平行且相等的证据呢？ 是不是很简单？因为啊，我们这个 n 点是这个终点， m 点也是终点，那我们从这里可以得到。哎，这个点我如果也取到终点，这个 e、 n 不 就是二分之一 a b 了吗？同样的，你 m 是 它的终点，那 b e m 不 就也是二分之一 a 一 b 一 二分之一 a b 了吗？ 哎，我这样一眼就能够看出来。首先我们来把它梳理一下哈， b e、 m 跟我们的 e、 n 一定是相等的，这从何而来呢？ e n 是 中位线，所以它等于二分之一 ab， m 本身就是中点，所以 b e、 m 应该是二分之一 a e b e 也就是二分之一 ab， 这是它俩相等。那平行这件事更不用说了，咱们刚刚中位线了，所以 e n 啊， 所以我们要去证明平行啊，也是两个方面，通过中间的这个 b a 来导一下， e、 n 应该是平行于 ab 的， 同时我们这个 m、 b、 e 更不用说也是平行于 ab 的。 因为我们这是一个三棱柱， 所以我们通过平行且相等可以证明出来这是一个平行四边形，从而得到他俩平行，就得到了最后的结论了，这个过程老师就不输血了，同学们可以自己去完成一下，这就是我们通过线线平行证明线面平行的基本思路。 咱们继续往后看，我现在知道了线面平行，那面面平行又如何证明呢？其实就是在线面平行的基础上再多来一步， 这里已经有了一组线面平行，这是直线 a， 这是平面阿尔法。我们已经知道 a 是 平行于阿尔法的，现在如果再来一条直线，比如这条直线，我记为小 b， 如果咱这个小 b 也平行于阿尔法， 两条直线平行于阿尔法，同时还需要再加一个条件，咱这个 a 跟 b 必须得是相交的，比如说它的交点，我记为点 p a 满足了这两个条件了之后，那么我们就可以直接来得到最终你想要的结论。那也就是说，我们 a、 b 所在的这个面啊，我给它再加一个面， 那这个面就跟我们的 alpha 一定是平行的。来，我们把它加到这，这是我们的 beta 面， 也就是说，当你这一个面当中有两条相交的直线，它们跟另外一个面完全平行，我们就可以得到这两个面是平行的。当然，不要忘记，在这里还需要再去额外说明一下， a 跟 b 都是被它当中的， b 也是包含于被它的。好嘞，所以啊，我们面面平行的证明，你看起来条件非常多，但其实本质上就是两个线面平行，给它凑合到一起了。那我们来道题目，大家来感受一下。 那这道题啊，在三棱柱 a、 b， c， a， e， b， e、 c、 e 当中， e、 f、 g 分 别是它们的中点，然后求证这个面和这个面平行。那我们看到在这里啊，这个图长得确实有点丑，没关系，咱们盯紧了，你要证的是哪两个面？ a e c e g， a e c e g 和 b e f b e f 两个面平行，那咱要证两个面平行，咱得找到两个直线跟另外一个面平行。那你能不能找到两个直线跟另外一个面平行啊？ 那本质上其实是在找线线平行喽。那我们简单来看一看，你这 e、 f、 g 都是终点，那太好说了，我们可以知道啊， e f 一定跟这个 a e c e 是 平行的，因为咱是中位线嘛。那你既然跟 a e c e 平行了， e f 是 不是就已经跟咱这个面平行了？ a e c e g 哎，得到了一个先面平行，那咱再来一个先面平行，还有谁呢？哎，非常简单，你找 b e 呃，和这个 c e h 啊，这不行，因为它不在这个面里哈。我们找左边 b f 和 a e g 平行就 ok 了。我们 b f 跟 a e g 平行，这也很好搞定，因为我们知道这肯定是一个平行四边形，那咱们通过这俩平行就可以锁定 b f 和这个面也是平行的。 ok， 现在我们得到了，现在我们得到了这样两组，那么我们通过它们这两啊。无语了，我怎么把它给删了？来，这道题重新来啊，服了。 好，那我们来看这道题。如图，在三棱柱 a b c a e b e c e 当中， e、 f、 g 呢？分别是 b e c e a e b e 的 中点。那求证，这两面平行，看着这个图非常的复杂，但没关系，咱盯紧你要的东西，我们要的是 a e c e g a e c e g 这个三角形和 b e f b e f 这个三角形，要证明它俩平行。回想一下，要正面面平行，那咱怎么正线面平行来着？ 要找线线平行。说白了，你来看一看咱们两个面当中有哪些线是平行的，就完事了呗。第一个，我们轻而易举的可以看到你是终点，你也是终点，那 e f 跟 a e c e 必然平行吧？好，我写上来， e f 平行于 a e c。 一 哦，那你有了线线平行，自然就有了线面平行。你写 ef 平行于 a e c e g， 或者说写 a e c e 平行于 b e f 都没问题啊。我写一个，比如说是 a e c e 平行于后面这个面 b e f， 那再来，找到了一条线不够，再来一条线，那再来哪条线呢？哎，我们又看到左边这个 b f 跟 a e g 很 明显是平行的，那我们可以去证明一下 b f 平行于 a e g。 这件事情呢，也很好证明。咱们发现这俩长度相等，直接来一个平行四边形就 ok 了， 有了它俩的平行，那么我们就可以得到 a e g 是 平行于这个面 b e f 的。 好了，一个 a e c e， 一个 a e g， 这两个又肯定是相交于 a e 点的，那么我们就可以去证明这两个面是平行的了，所以这就是我们面面平行的一个证明。通过今天这节课，咱们就已经把线面平行、 线线平行，还有面面平行这三大平行全部搞定了。大家还想要听什么样的知识点，欢迎在评论区下方留言告诉我哦！

二零二二年的高考可以称为史上最难，像这个立体几何题，也是近十年里面最难的一个平行题。 这里首先给同学们最大的冲击就是这个图长得有点太空间感了，对于空间感稍微弱一点的同学来说，简直就是灾难。像这种非常抽象的立体几何平行题，我们如果单纯的使用眼睛去看的话，这个题可以说基本上是做不出来的。所以像这种复杂的这种平行题或者垂直题， 我们使用的唯一的方法就是推理，可以这样说，越复杂的图像用推理越好用， 那什么怎么去推？这个题怎么去做？我们来一块分析一下。首先说线面平行，我们思考一个问题，如果让你正一个线和一面，你怎么去正？ 那我们脑海里呈现两种方法，第一种方法，正线平面，只要正线平面里的一条直线就行，可能是中微线，也可能是其中的一个边，也可能是怎么的，反而要在这个面里做一条它的平行线。 第二方法的话，就是我们要把这个线放在一个面里，只要是这个面和这个面平行，那这个线和这个面就是平行的。这两种方法的话，哈，可以说证明所有的线面平行题， 那这个题的话，你也不例外，因为我们线面平行的几何法就只有这两个方法，没有。第三个，所以用方法，用推理思路去看的话，你就不要去想别的了。首先证明 o e 平行于这个 p a c， 利用方法一的话，你就要在这个 p a c 里 找到一条 o e 的 平行线，那在 p a c 里找 o e 的 平行线的话，那首先说你肯定是过特殊点做 o e 的 平行线，那过特殊点的话，你想过 a 或过 c 过 p， 这个地方同学们大多数能看出来应该是过 p 做，哎，这个平行线这样的话相对而言是比较好的。这样的话，做一条 p o 平行于 o e， 那 做是做出来了，也是说这个题大概率哈，大概率是证明 o e 是 平行于什么呢？ pm 的， 那我们做出来这种关键的问题还是需要去正，那这样好，我们再去思考一个问题，我们想要正这个线和这个线平行，同 学们仔细再观察这两条线他们的长度是不是一种一长一短的关系，但凡你看出来他的长度一长一短，那么可以了。两个线一长一短，还要证明他俩平行，那同学们就不要去想别的了，那这两条线一定会在一个什么呢？一定会在一个三角形中， 三角形中的话，这个点如果是这个点边的终点，这个点也必然是这个边的终点，如果他是三等分点，他必然也是三等分点，这就是我们的推理思路。我们想要证明这条线和这条线平行，那没有什么别的方法，你一定要把这两条线放在什么呢？同一个面中，那放在同一个面里的话，这个题你仔细观察， p e 延长过来是经过 b 的， 那换句话说，这个 o m 就是 这个 mo 延长过来，是不是应该是很有可能是经过 b 的？ 要想平行的话，它是不是必须得经过 b 啊？ 好了，那这样的话，我们连了之后，这样的话出来了一个什么三角形 p m b， 那 同学们仔细观察，这里边有一些问题就已经呈现出来了，这个步骤我该怎么去写？ 有同学说，哎，我做了一个平行线，我直接过屁做 pm 平行 o e 啊，直接写，那这样写首先是不合理的，因为我们目标是证明他俩平行，你肯定不能在试卷上写，哎，我做一条平行线，肯定不能这样说，那怎么说呢？那我只能就是先什么延长 b o， 延长 b o 交 a c 与 d m 连接 pm 啊，所以这个辅助线得这样去做才行。 那这样去做之后，我们呢，想要证明他俩平行，然后看这个 e 啊，是一个什么呢？是一个终点，所以这个题的所有的压力就出来了，我们只要证出 o 哎是 b m 的 终点来，哎，这个事就万事大吉了，这个题咱们就成功的给解决了。那 o 点是 b m 的 终点，如何去证呢？ 首先观察这个 o 点应该是底面 a b c 里边的一个点啊，这个 o 点是 b m 的 中点的话，那底面 a、 b、 c 长什么样子，我们就得好好研究一下这个底面了，对吧？好，我们来看一下这些信息， 想要研究底面的话，同学们可以哈，先把底面 a、 b、 c 啊，先把它给摘出来，先随便先画一下，这是 a， 这是 b 啊，这是 c。 然后呢，题干里说了， ab 和 ac 是 垂直的标上，那读完条件之后，这上有个 p 和 pp 相等， 同学们想根据推理思路，两个边相等， p 和 p b 相等，干什么用的嘞？同学们想两个边相等，根据推理思路，就是想告诉我们，三线合一的，就是说 p 和 p b 相等，你取一个 ab 的 中点 n， 然后呢，把它给连起来， 那连起来之后，这样话，我们就能得到一个信息，就是 ab 的 话一定是垂直于这个 pi 的。 哎，他要说你怎么想起来连这个东西，我怎么就想不到呢？这就是我们的推理思路。赵老师说过很多的正推反推法，正推的话题，概率给了我们两个边相等， 他的目标就是为了让你推这个三线合一，要不然他给你这两边相等干啥？只是为了告诉你这是个等腰三角形吗？不是的，他想利用这个等腰的这个特征推出来一个垂直。明白这个道理之后，咱可以推理思路，两个现象，垂直给我们的目的是啥？ 线线垂直，同学们，记住，它的作用就是让你证明线面垂直的，不要去怀疑别的，就是线线垂直的唯一目的就是想让你推线面，怎么去推呢？ ab 垂直于 c 啊，咱写下来，那这样的话，你会发现一个问题， ab 是 不是垂直两条线？ ab 垂直于它， ab 垂直于它， ab 就 必然垂直于它两条线所在的这个平面。然后再去思考这地方还有一个东西很容易忽视的哈，就是 p o 和底面是垂直的，那 p o 呢？和底面垂直是不是也和 ab 是 垂直的？那这样哈，同学们仔细观察这地方， ab 垂线太多了， ab 垂线太多了， ab 垂线干什么用的？是不是推线面垂直用的？好了，我们来看一下图， ab 垂直于什么呢？偏 ab 垂直于 p o， 那 出来了，他俩是不相交的呀，他俩相交形成了一个平面，是 p o n 呀，所以 ab 一定是和 p o n 垂直的，所以连起来。哎，有时候他两个推出来了一个哈 ab 垂直平面， 什么呢？ p o， n， ab 和中间这个三角形垂直是不是？ ab 是不是就和这个面里的啊？是不是这个 o n 垂直啊？然后呢？ a b 垂直， o n a b 呢？又和 a c 是 垂直的，那说明是没问题啊，是不是它两个就能说明这个 o n 是 平行于 a c 的 呀？那既然它俩平行，同你想想， n 是 我们自己取的一个终点，对吧？它两个如果平行的话，那这个 o 的 是不是就是 b m 的 终点？所以进而就能推出什么呢？就是因为这个 n 是 终点哈 啊， n 为终点，最后推出来什么？这个 o 是 是 bm 的 终点，我们就把这个题解决出来了， 推出来 o 是 他的终点， e 是 他的终点，所以这个线和这个线是不是这个线就中线，这个线就和这个线平行啊？ g r， 最后加上线在面内，线不在面内，所以这个线和这个面平行。按这个题第一问就正确了， 也就是说，同学们观察出来，为什么我把这个题定义为史上最难，原因是线面平行题。大多数情况下，只要简简单单正线平面的一条线就行了， 而这个题表面是一个线面平行题，实际上里边最重要的思想，同学们看大幅的篇幅都在证明什么呢？线线和线面垂直，也就是说这个题啊，是一个什么呢？套着平行的一个垂直题，所以导致比较难一些。

这道七下数学平行线的证明问题，堪称是天花板的难度，很多孩子一看到他就无从下手。 但是这种题呢，我们期中考试、期末考试、月考，又是年年必考，还特别容易丢分。那今天呢，某老师就一分钟教大家正推加倒推两步法，咱们专治这种压轴证明题， 再配上某老师给大家整理好的平行线压轴题提分宝典，大家拿回去让孩子去练习，我们期末考试的时候稳稳拿分。 好，下面让我们来看一下啊。如图， a、 b 平行于 c、 d， 角一和角二相等，角三和角四相等，让我们去证明这组平行线。首先我们要知道两个角相等，我们在做题的时候要用相同的字母把它俩给标出来，比如说角一和角二相等啊发啊发， 角三和角四相等，背他背他。同时你要注意，遇到很明显的对零角相等，我们也要给它标出来，比如说上面这个小角，它也是一个背他。那接下来让我们去证明 a、 d 平行于 e、 b。 我 说我们一共两步，叫做正推加倒推。 正推指的是要仔细分析我们的已知条件，看看有哪些信息我们还没有挖掘出来。比如说这里面有一组平行线 ab 和 cd 平行，我们还没有用，那接下来我就要考虑 ab 和 cd 能不能帮助我去导这些已知的等角。小哈法和小维塔和这些角是有关系的， 那我会发现，哎，它俩平行，刚好角 e 和这里的小小的角 a、 c、 d 是 相等的，那么它也是 ar。 好， 那还能再导其他的吗？发现 可以了，那就结束，那接下来我们再倒推法去反推我们要证的这个结论去想什么可以帮助我们去推。你俩是平行的呢？思考一下，要么是内错角相等，要么是同旁内角互补，要么是同位角相等。那我们在题目中把这两条线描出来，去分析一下 a， d 和 v， e， ok， 跟这两条线有关系的。在这两条线上角度上的有哪些呢？你看是不是一个是这个 r 法 和一个是下边这个北塔，我们逐步的去分析。如果我想用这个 alpha 了，我就想如果我能挣出来角 e 也是 alpha， 那 这道题是不是就迎刃而解了？那你来观察角 e 是 不是 alpha 呀？仔细观察，你看角 e 在 三角形 e， f、 c 中，如果你知道我们的拖鞋模型呢？这个题秒出， 它是 alpha 加 beta， 这个是 beta， 那 这个 b 是 alpha。 所以 说老师我不知道拖鞋模型啊，没关系，我再给你敬一下哈。你来看这个角，如果我给它标一个数字，把它标成 角五，那大家来看，角 e 加上 beta 加上角五，内角和就是一百八十度， 然后角 b、 c， e 是 个平角，也就是说 alpha 加 beta 加角五也是一百八十度。 那么这个式子和这个式子是相等的，我就可以得出角 e 和阿尔法是相等的，所以在这可以得出角 e 就 等于阿尔法，也就是等于角二 内错角相等。两直线平行，我就可以得出 a， d 和 e、 b 是 平行的了。好了，同学们，那今天内容你学会了吗？我们下期再见！拜拜。

来看这道二五年高考真题，三二一是不是没思路？辅助线根本摸不着考场大半人卡，这就是没 get 平行证明的破题逻辑，今天这节课十五分钟带你秒破平行满分套路。首先我们来看一下平行证明的三个核心的转化，也就是我们的线线平行、线面平行以及面面平行的 它们性质和判定之间的一个纽带。首先我们来先看一下线面平行的判定和性质，线平行大家应该是非常熟悉的，主要是证明线平行面对一条线就可以了，它的性质就是如果有一条线跟一个面已经平行了，那有另外一个平面过了这条线，它就平差两个交线， 那面面平行的判定和性质主要是判定一个平面中的两条相交线和另外一个平面平行， 那么就可以它主要的核心是要证明两个线面平行，那性质的话，就是如果有两个平面平行的话，它有另外一个平面跟它两个面的相交线也是互相平行的。 第三第二个性质就是如果有两个平面已经平行了，那它其中的一个面内的一条线就肯定会跟另外一个面平行，这个是可以用来证明我们的线面平行的，所以我们总共的线面平行的话，大家需要注意这块是我们在做题中的一个核心了，它一般是有两种思路， 一个就是我可以拿判定定力去算，另外一个我可以拿面面平行的性质做，就是我可以先证面面平行，再去判定线面平行，这对于是一种难题的做法，考法，我们的二五年的这个真题也就考到了这样的一个做法。 好，那我们不管是我们的线面平行，还是我们的面面平行，它最终的核心是什么呢？你看面面平行最终核心是不要证明线面平行， 而线面平行最终要证明线线平行。所以大家对做题过程中啊，我们最核心的应该掌握的是线线平行的一个证明，这是重中之重。那怎样证明呢？用我们的初中还有我们高中所学的一些知识，我们完全可以做到。总共是有四类， 第一类就是我们的中移线，还有我们的平行线分线段成比例原则，第二个就是我们的平行四边形，第三个就是平行的一个传递性， 第四个就是我们的线面平行或者面面平行的性质定零，那我们的一二是在我们考试中比较高频的，他有有简单题的话，就是我们题干中肯定直接有平行线或者中位线，对吧？或者平行四边形，要么就是可能稍微难一点，我们需要做辅助线，做出中位线，还有做出我们的平行四边形， 这样来说我们就能达到线线平行的一个目的。总之这三种这四种方法你掌握清楚，就可以完全做到我们的题目。接下来我们来看一下第一道题目，也就难度系数一星，难度比较简单。首先来看题干， e a 是 和 c、 d 都垂直于底面，那就说明 c d 和 e a 是 平行的，那 e a 是 等于二倍的 dc 等于二，那说明它的长度是知道的。还有 ac 长度也给了 f 是 我们的 e b 的 中点，那其中让证明 df 平行于我们的 abc 这个面， 那我们怎样证明线和面平行呢？是要证明线平行面内的一条线，那请问那条线在哪呢？呃，我们首先是要在边界线看一圈啊，好像没有，没有的话，那这个题目肯定百分之百是要做辅助线的，怎样做出这条辅助线呢？我们学很多学员可能就没有思路的， 那如果没有速度学生，我们完全可以把这个 d、 f 啊，你拿你的铅笔把它沿着下往下平移，平移通，哎，从 c 开始，对吧？从 c 点开始，哎，这块有这样一条线，那这样条线就跟我们 d、 f 就是 平行的，是吧？那，哎，有人说，那我怎样做出这个点呢？ 那这个点到底在哪呢？啊？我们这不有交交了个点吗？对吧？和我们的这个 a b 交了个点，这个点到底多少呢？ 啊？一般我们以终点为先猜测，对吧？因为我们题干中已经有 f 点是终点了，那我们不妨就给它取也是取终点，是吧？取完终点以后，大家可以先看看，这个肯定不是中位线了，它能构成一个，我把 f h 一 连，它不就刚好是一个平行四边形吗？ 对吧？那我如果能证明这是个平四边形，那你要的 d、 f 和 c h 也就平行了，怎样证呢？首先我们的 f 和 h 是 不是都是中点了？那我们的这个 f、 h 就是 这个三角形 a、 b、 e 的 中位线， 它中位线的话呢， f、 h 是 不是就平行，其相当于二分之一 e， 同理， c d 也是平行，其相当于二分之一 e。 刚才已经说过它两平行了，是吧？那我们这就有个平行四边形了，所以我们的 d、 f 也就平行于我们的 c、 h 了，那我们就也能挣出来了。所以我们在书写过程中，先是书写这两组线，线面线面平行，线线平行，对吧？也就是我们的 f、 h 都是平行，且相等于二分之一倍的，我们的 a、 e 的，是吧？最后它俩就平行相等，所以从而我们就出来是它是一个平行四边形，从而你就要到了我们的这个 d、 f 平行于我们的 c、 h， 那 你的 d、 f 不 在面内， c、 h 在 面内，从而得到线面平行。这个过程大家写严谨就可以了。好，这是我们的第一道题。

好，同学们，立体几何不用愁，解析套路全知透，高中立体几何一大巨头，证明问题的半壁江山就是我们今天要讲的空间中的平行关系。想要立体几何不丢证明分， 空间中的平行关系必须知透，掌握判定定理性制定理规范答题步骤，证明题轻松满分，接下来让我们开始吧。哦，同学们，今天呢，我们来讲一下立体几何当中非常重要的证明模块的 平行的相关证明。那我们这主要分为三大块，主要是线线平行，镜面平行，还有面面平行。那我们首先先从线线平行来说一下， 那线线平行呢？在讲它之前，我们先简单的把线线的这个位置关系我们全部给它罗列一下。我们说对于线和线来讲啊，它的位置关系呢，我们是主要分为，呃，这个两大类啊，一个是共面，一个是异面， 那共面又分为什么呢？共面当中我们又分为平行相交， 其实还有一个，其实还有一个是重合，只不过是这个我们一般来说很少去提啊，然后呢，对应的只要不平行也不相交，当然肯定也不重合，我们称之为就叫一面直线，所以这个是我们说直线啊，在空间当中的一个位置关系。那垂直属于什么呢？垂直比较特别，它有可能是相交的垂直， 也有可能是意面的垂直，所以我们垂直不会单独拎出来，作为一个位置关系来讲，它就是它既有可能是共面，既也有可能是意面啊。 好，这个是我们说线线位置关系，那接下来我们来讲线线平行一般怎么去正，只要我们的线线平行，没有单独的以一个小问的形式去考察的话，我们一般来讲用初中所学的内容用什么呢？比如说非常典型的平行四边形， 也就是我们只需要去证明一组对边平行且相等，那我就可以得到另一组对边一定是平行的，这是一种，或者说我还可以利用相似，那相似当中最为典型的就是中位线， 这个是我们用的非常多的。然后除此之外呢，比如说我还是可以去利用这个传递性啊，我们说 a 平行于 b， 然后 b 平行于 c， 那 这个时候我一定可以得到 a 平行于 c， 对 吧？这个是我们初中所学的一些涉及到的相关证明，那我们在高中当中啊，如果是你其中某一步需要这么去证的话，你完全可以去用。 但是如果我们的线线平行，单独一个小问的形式让你去证，他肯定不是考这些这么简单的，他会考的是我们到时候后面会来讲的性质定理啊。我们来讲一下，我们来啊，其实也就是我们对应线面平行和面面平行的性质定理啊。首先我们先来讲一下线面， 线面平行的话呢，首先还是要我们把这个位置关系罗列一下，我们说线和面空间当中的位置关系，首先还是可以去分为啊，这个平行 给他往这边来，首先呢可以是平行的，平行的时候，这个时候对应的是有零个交点，或者说我的线面相交，相交的话呢，这个时候其实也就相当于是线穿过这个面啊，所以是一个交点， 然后也有可能是线在面上，也就是我这也就以重合写，但其实严谨来写的话，应该线在面上啊，这个时候是无数个交点， 因为整个线都在上面啊，所以相当于线上的任意一点都是他俩的公共点。好，那接下来我们来讲证明对于线面来讲，他有判定定力和性质定力。 判定定力我们是怎么去挣的呢？我们说如果你要去挣线面平行，只需要去找线平行于面内的一条直线即可。所以我们在描述的时候啊，首先 得有一个面，阿法有一条线 l， l 平行于面内的一条线 m， 那 我们符号语言描述的话，就是 l 平行于 m， 同时一定要记得去说明 m 在 面内和 l 不 在面内啊，这一定要去注意。 然后啊，由这三个条件同时满足，我才能得到 l 是 平行于阿法的。所以我们会发现啊，如果我想去证明线面平行，我需要找什么？我需要找的是一组线线平行 啊，这是我们线面平行的判定定里。那接下来他对应的还有一个性质定理，性质定理是什么呢？就是相当于反过来我们刚刚说要正线面平行，对吧？那性质定理是我已知了线面平行，我又可以去推什么？ 那我们说对于已知线面平行，就像 l 平行 alpha 现在是变成已知条件了，那我们说可以借助线面平行去推线线平行怎么去推过这条线？因为我现在已知 l 平行 alpha 过这条线，我做一个平面， 任意一个平面都可以啊，背它，此时这个平面一定会与 alpha 交于一条直线 m， 那 我符号元怎么去描述 l 平行于 alpha， 且 l 在 beta 面内，又已知 l 啊，这个 alpha 交 beta 于 m， 所以 这个时候就可以推出啊， l 一定是平行于 m 的， 所以这个是我们说线面平行的性质定律，它其实是可以推出来什么？它可以推出来一组线线平行的， 那这个就是我刚刚所谓的，如果这个线线平行单独一个小问考察，他肯定不是考我们上面讲初中所学的东西，他一定是在考这个性质定理，也就相当于题目看似让你挣线线，实际上让你找的是线面 啊，好，这个是线面平行，那接下来我们再来看面面平行，面面平行的话啊，首先还是一样他的一个判定定理， 它是有规律的。我们说线面平行要找的什么？是找线线，对吧？那我们说对于面面平行，你要去正它的话，这个时候我们就要找的是线面， 那我们要找几组呢？这个时候我们是要去找两组，而且我们对于这两组线面平行是有特殊要求的，这两组线必须是相交的，比如说这也是阿法，这也是贝塔，我必须是满足阿法内有两条相交的直线，比如说 a 和 b 均平行于另一平面贝塔，我才可以去证。那我们来写一下符号语言的描述，首先 ab 必须都在阿法内， 同时我得表达出来 ab 是 相交的，那你就必须以一个 a 交 b 得有一个点的形式啊去描述出来，或者你用文字语言描述 ab， b 交于一点 p 啊，类似的都可以。 好，然后接下来同时满足 a 平行于贝塔， b 也要平行于贝塔，那这个时候我就可以说明此式阿尔法一定是平行于贝塔的，也就是我要找面内两条相交直线均平行于另一平面。那这个时候我们刚说了，它其实就是找两组线面即可， 一定要记得去强调啊，这两组线必须是平行的。好，那接下来性质定律。 那我们前面讲说线面的性质，可以推线线，那我这里的面面性质肯定是可以推线面的，对不对？那这个时候我们来看啊，只要已知阿法和贝塔平行，因为我们说性质定义就相当于反过来平行变成了已知条件，也就是已知阿法平行于贝塔。 那此时我只要在阿尔法面内任意一条直线，你背他面上也行啊。反就是我只要面内有任意一条直线，此时这条直线就一定会平行于另一平面，所以我就可以得到 l 一定是平行于背他的。 这个是我们说可以去推啊，线面平行，我这就简写了啊，可以推线面。好，那面面平行能不能推线线呢？也是可以的。如果说我们想用面面平行去推线线，这是第一个，然后我们来看第二个， 如果已知了面面平行，我想去推线线平行，那这个时候我们必须要找一个第三个面与两个面同时相交啊，比如说这里有一个面啊，与它交于这条线，然后延长和底下这个面呢？哎，也交于一条线，比如说交于的这个是 m， 这个是 n， 那 我们说只要是同一个面与两个平行面相交的，这个两条交线一定是平行的。这个在我们之后做洁面问题当中经常会用啊，我们现在就相当于先做一个了解那符号原描述的话，比如说这个面是伽马，那这个时候也就是已知阿法平行于贝塔， 写阿法交伽马于 m， 贝塔交伽马于 n， 那 这个时候就可以直接推出 m 一定是平行 n 的， 这个就是我们是一道平行定律当中啊，基本上我们常考的定律就是这些啊。 好，那接下来我们来结合具体的例题来看，这些都是一定要会背的啊。好，然后接下来我们来看例题。首先先来看下第一道题， 如图，在下列四个正方体当中， a b 为正方体两顶点， m n q 为所在棱的中点，能正出 a b 与 m n q 平行的是好，也就相当于让我们去正先面平行，对不对？那我们首先先来看 a 选项， a 选项能不能乘出来线面平行，那我们回忆刚才定例，我们要正线面最主要找什么？找线线对不对？找一组线线就够了。好，那现在我们来看，我既然要证明 ab 是 平行于 p m n q 的， 我只需要去找 ab 能不能在 m n q 这个面内找到与一条与它平行的线。 我们说最简单的办法就是什么？你自己在做图的时候啊，你可以把笔放在这条线的位置，给它做平移， 平移直至有交点，那这个时候你就会发现，很显而易见，我这条线不能在这个面上，对不对？因为这个时候我和这个 q 已经相交了，但是我底下的这条线并没有和 m n 有 交点，所以这个时候 a 选项是正不出来的，它实际上应该是和哪个面平行，它实际上应该是过， 就是它应该是过这个点啊，就假如说我是以 q， 比如说我这里标一下，这是 c 啊，这是 d， 它应该是 ab 与 q c， d 是 平行的，因为我可以正出，比如说这是 o 点，我是可以正出来 ab 平行于 o q 的， 这个怎么去正？ q 是 中点， o 也是中点，所以我可以利用中位线正，所以 a 选项这个地方是错的啊，它不是这个面。 然后接下来 b 选项 ab 平行于 m n q， 那 这个时候还是一样，我们去找平行，那你会发现， ab 是上底面的对角线，它和下底面 m q 均为中点的，这条线显然是平行的，对不对？所以这个时候可以推出啊，它是线面平行，怎么去证呢？借助 ab 是 平行于 m q 的 啊，同，然后接下来再来看 c 选啊，所以 b 选项是对的哈，然后 c 选项 ab 平行于 m n q， 那 首先还是一样，我找这条直线，它是左侧面的对角线，同样的道理，你会发现我平移啊，你可以选择平移啊，或者说你能直接看出来也行。 平移之后你会发现，哎，我正好可以和这里的 m q 是 重合的，所以这个时候我只需要去证 ab 平行于 m q， 我 就可以证出线面平行，所以 c 也是对的。 然后再来看啊，这个 d 选项 d 选项 ab 在 这个位置，那接下来还是一样啊，你可以去平移，或者说你直接观察都是可以的。 那我就发现，哎，我平移的时候，正好能平移到前面面朝我们的这个面上的 n q， 所以 这个时候它证明 ab 平行于 n q， 我 也可以推出线面平行啊。所以这一道题除了 a 不 选啊，其他都是可以选的， b、 c、 d。 然后接下来我们来看第二题，已知四棱锥 p 杠 a、 b、 c、 d。 底面为平行四边形， e 为 ad 的 中点。好，这是中点 f 呢？在 pa 上 ap 等于 number 倍的 a f。 已知 pc 是 平行于面的，则 number 的 值。 好，已知线面平行，那你就要注意了，我们说已知线面可以推什么？已知线面我是可以去推面面平行，对吧？这一方面是证明啊，但当然我们要证明面面平行得有两组，我这也只有一组，那我就只能想，哎，他可以利用性质定力，我们说面面平行的，线面平行的性质是可以去推 线线的，对不对？那我们来看具体怎么去找。首先 pc pc 直线对应的在这个位置， 然后呢，这个时候已知它是平行于 b e f。 好， b e f 在 这个位置。那你就想啊，那我 pc 一定会和这个面里面的哪条线平行呢？我们说最直观的一定是什么？ p e。 比如说，你看我把 pc 平移过来，直至确定过这上面一个点，所以是不是一定会过 f 点啊？但当然这个图画的有点不准啊，所以有点歪啊，它对应的是不是？呃，是，是啊，对，是有点歪啊，它这个地方其实相当于，比如说我把这个点标一下啊，这个是 m 点， 它一定会平行于 fm。 这个怎么去解释？就是利用我们线面平行性质定律就可以。比如说，你像这里，我已知 pc 是 不是平行于 pdf， 同时我又知道 pc 是 不是在面 p a c。 当，呃， p a c 上， 而面 p a c 又和我们的这个 b f 是 相交的，交于哪个线段呢？这个时候我们可以在图上啊，给它找出来 p a c 这个三角形和我们刚才讲的 m e f， 呃，这个 b f e， 首先有一个公共点是 f， 另一个公共点在哪？另一个公共点就是 m， 所以 这个时候我知道它们交于 m f， 交于 m f 的 话，那这个时候结合我们线面平行的定义，我们就知道了，线平行于面，则过该线的任意一个面与这个平面的交线一定和原直线平行，所以这个地方我就可以推出 pc 一定是垂直于 m f 的， 所以这个是我们线面平行的性质，定能得到一个条件，那这个时候我就可以得到 ap 等于纳姆塔 af 我是 可以转换的。 ap 比上 af 等于纳木塔。那我利用相似 ap 比 af， 我 现在就可以转换成 ac 比 am。 这个利用的是什么？利用的是三角形 a f m 相似于三角形 a p c 利用什么来的？利用我平行正出来的，没问题吧？好，那接下来我就只需要去算 ac 比 am 就 可以了。那 ac 比 am 好 不好算呢？也是好算的， 为什么我还是可以用相似，这个时候用的是哪两个三角形相似呢？这个时候我们用的是 a， 这个我看我标一下啊，这个应该是 a e m 和这个 b m c， 啊，和这两个三角形相似，我这里来写一下 三角形 a e m 相似于三角形啊，这个地方应该是 c m b 这个你要正相似的话怎么去正啊？这两个角是相等的，对角也是相等的啊，所以它是对应的，是可以去正相似的。正相似呢，这个时候就可以得到。 我们刚才要算的是 ac 比 am， 对 吧？ ac 比 am 其实就可以转换成 am 加 mc 除以 am， 而我们这两个三角形相似，又可以推出什么？可以推出 am 比上 mc 就 应该可以转换成我这里的 a e 比上 bc， 又因为 e 是 终点，所以它其实就相当于是二分之一。那这个时候我就可以不妨令你，不妨令 a m 就是 等于一， m c 就是 等于二，反正我只是算比例嘛，对不对？所以它这你代减的话，就相当于应该是一分之一加二，所以它的倍数应该是三。所以最终答案就出来了 啊，所以这个地方呢，就是在利用我们的线面平行的性质定律啊，去做一个转换。好，接下来我们来看这个第三题。 如图，正方体棱长为二，则下列四个结论中错误的是。好，我们首先先来看 a 选项， a c 一 与 a d 一 为异面直线。好，回忆一下，我们前面讲异面直线的 概念是什么？定义是什么？我们说只要是既不相交也不平行，当然也不重合啊，但我们说一般直线你判断的话，它不可能是给你重合直线啊，那我们来看 a c 对应的在这个位置啊。这题对角线相当于啊， a c 一 啊，看错了， a c 一， 那应该是上面这条直线啊。然后接下来和这个 a d 一 a d 一 在这个位置 啊。那你就想他们俩可不可能平行，可不可能相交？首先平行肯定不可能，对不对？那有没有交点呢？那你结合你自己比划一下，你也能看出来，它显然是没有交点的。所以 a 选项是正确的， 既不呃，既不平行，也不这个也不相交啊，所以它对应的是一个异面直线。好，然后再来看 b 选项， a、 c 一 平行与 a、 c、 d 一 好。 那这个地方就涉及到我们前面讲了，这也让我们去证的是线面平行。那我们说线面平行要找什么？要找一组线线对不对？那我只需要去找 a、 c 一 平是否平行于这面？那一条直线 a、 c、 d 一 在哪呢？ a、 c、 d 一 对应的是三个面上的对角线 啊，是这个面。那我哎一画图就判断出来了， a、 c、 e 显然是和 a、 c 平行的，对吧？因为它上下底面的对角线啊，所以这个时候它俩平行，我就直接可以称，呃，推出线面平行啊，所以它一定是对的。然后再来看 c 选 项，平面， a、 c、 e b 和 a c、 d e。 好， 我们来找一下啊， a、 c、 e、 b 啊，对应的应该是这个三角形 好，然后 a、 c、 d、 e， 那 就是我们刚才黄色的画的虚线，这个三角形好，现在面面平行。那来回忆一下，我们判定定理，如果要正面面，我们需要知道什么？需要找两组线面，对不对？ 那两组线面，其实我们又讲了，你要正线面，其实也就是正线线，所以它其实也就相当于归根到底找两组线线平行就行了。但是你在证明写解答题的时候必须写的是线面啊，不能直接从线线到面面 好，那下面我能不能找到两组平行呢？那，那可太可以了对不对？它都是这个面上的对角线，所以你会发现啊， a d 一 和 b c 一 是平行的，同时 a、 c 一 和 a c 也是平行的，两组找到了对不对？两组找到你就可以转换成两组线面，两组线面我就挣出来面面平行了啊，所以 c 选项是正确的，这个是这个正方体当中特别喜欢考的两个面啊， 而且这两面还一定是等边三角形啊。然后接下来我们来看 d 选项， d 一 杠 a， d， c 的 体积为三分之八，那这个地方呢，涉及到我们前面讲三棱锥的一个体积公式，三棱锥的体积公式我们说是怎么算的？ v 等于三分之一， 底面积乘以高，对不对？好，那来看啊， d 一 杠 a， d， c， 我 们把这个，我用这个红粉红色的笔啊，把这个三轮锥给它拎出来啊，白色吧，不然看不清了啊。好， d 一 杠 a， d， c， a， d， c 的 话，底面是 a， d， c， 好，我们给它做出来啊，这个是三等锥，那这个时候显然我就发现它底面积是谁？底面积应该是三角形 a， d， c， 对 不对？所以也就是三分之一 s 三角形 a， d， c 高呢？正好就是我的棱长啊，所以是 d， d， e， 那 我们接下来代入就可以了， 三分之一 a， d， c 的 面积应该是二分之一，底乘高正好也就楞长相乘二分之一，乘二，再乘二，这面积再乘上它的高，也是楞长，所以乘二，所以解出来的话呢，最后应该是三分之四，所以 d 选项是错误的啊，所以这个唯一错误的呢，应该是 d 选项。 那我们的平行我们就梳理完了，平行这一块，最主要就是学会怎么去找平行的直线，或者说记住我们对应的定律，学会怎么去找这个条件，这个是最重要的啊，像，呃，比如说像看图啊，或理解啊这种空间当中的思维，那我们只能说慢慢做题，慢慢去积累。

巧角数量关系妙。正线面平行四棱台 a、 b、 c、 d、 a、 b、 c、 d 的 下底面和上底面分别是变成为四和二的正方形侧棱 c、 c 上的点 e 满足 分的比，总的等于三分之一，就说明是一个上三分点，上的是三分点。一比二证明这些 a、 b、 a、 b 平行于平面， a、 d、 e、 a、 d、 e。 首先一比二和二比四，这两个比例是相等的，二比四是这两个边长的比，所以我们很想把它延长，不然就白瞎这么好的比例了。 进行延长，这里我们设为 g， 接下来我们就想到延长这条线 是由第一延长过来的，而第一是我们要正这条面中的一个线，就可以考虑把这个奇奇怪怪的面扩充成一个比较好看的面，这里是 f， 此时单独研究底面， 这里是二，那么这里就应该是四，对吧？这是四，这两个是相同的，所以把它背长再连接，显然它是这条线段的中点，是 d、 g 的 中点， 这就可以说明它是中微线，因为它的平行嘛。还有一个是中点，这很明显就是中微线。中微线就可以说明 c、 f 是 二分之一 a、 d， 当然 b、 f 也是 a、 d 是 四，所以得二。此时就发现 b、 f 既然是等于上底面的边长的，这样子就可以构造出平行四边形， 连接 d、 e、 f。 接下来我们就要证 a、 e、 d、 e、 f、 b 为平行四边形，这个证法其实用那一个比较性质多，比较好证的一个证就行了。比如 b、 f， 它应该是平行于 a、 e、 d、 e 的， 因为 b、 f、 b、 f 是 平行于 b 一、 c 一 的，这里用的是四棱台，侧面是梯形的一个原理，再平行于 a 一 d 一， 所以 b f b f 平行于 a 一 d 一， 这就是平行相等呢？相等刚才不正过了吗？这是二， 既然有了平行且相等，就可以说明它确实是一个平行四边形。既然照完了之后，我们就可以来看啊， a 一 b 应该是平行于 f 第一的，而 f 第一又在这个面上就可以一步一步的往下推 a b， 它是平行于一个属于这样一个面的直线，这则说明大概率它是平行于它的。为什么是大概率呢？因为也可能不平行，比如说如果它在这个面中，这样子就不是平行的关系了，而是属于的关系。 所以还必须说 a e b 不 属于面 a d g， 这样就可以直接说明 a e b 平行于面 a d e。 因为 a d g 和 a d e 指的是一个面，面是无限的，可以具有呃，可延展的，所以这两个是一个面。 总体来看一看啊，这道题的证明主要是什么呢？就是我们要发现这里的一比三是部分和总量的比，所以部分和另外一个部分的比是一比二， 就具有比例关系。想到延长，而且这个面是个很狭窄的面，就不好研究，我们可以考虑延长扩展，把它拓展出去，这也是一个思路，反正总之都可以想到延长它。感谢大家的关注。

来看这道二五年高考真题，三二一是不是没思路，辅助线根本摸不着，考场大半人卡，这就是没 get 平行证明的破题逻辑。今天这节课，十五分钟带你秒破平行满分套路下，这个第二题， 也就是我们的今年 t 八年考的一道题目了，这道题目可能当时放在考场上，有好多学生并没有挣出他的第一问，那这道题的难度我们给他两颗星，那怎样去证明呢？题干中条件啊，主要是里面是个菱形的一个直四棱柱， 然后这个夹角是一个，给了一个一百二十度，呃，我们的 a a e 了，还有 ab 的 长度都是二，它还告诉了 e 是 一个我们的靠近于 a e 点的一个三等分点，就说明这个点是三等分点。它先让你证明的是我们的 af 是 平行于我们的 ace， 也就 af 跟我们这个平面 ace， 这个平面要平行。 首先大家可以看一下，我们还是要证明线面平行，是不是要证明的是线平行面内的一条线，找到那条线，对吧？能找到吗？已有，已有的线肯定是挣不出来的，没有。那我们现在要做辅助线了， 怎样做？这就把有些人难到了，有些人可能要构造一个面面平行啊，还有人会想到我们怎样去间隙啊，那是很麻烦的。那我们这道题目肯定是要先把那个点找到，在哪呢？首先啊，你拿你的铅笔啊，也是一样的，把它那个进行平移一下，哎，平移过来以后，好像哎，差不多就在这好像有个点， 那这个点应该不是重点，因为这个 e 点是一个三等分点，从而我们猜测这块应该也有个三等分点，只要让这个三等分线出现的更加合理，其实你是要连接一下我们的这个 f d 的， 因为 f d 一 连，对吧？ f d 一 连的话，那这个点 如果是三等分点，那就太好了，对吧？因为如果三等分点，我标个 h 吧，如果我们的 h 也是三等分点的话，那是不是我们就肯定能通过平行线分线段成比例的了，对吧？那你连接一下我们的 f h 吧， 其实我们有好的学生是能找到这个辅助线的，但他不会正，不会正的就可能就是因为对你初衷的知识掌握的太太过这个平乏了，所以导致这个题没做出来。其实你要只看底面的话，就很容易想到的，大家可以看一下底面这个我们的 f， 其实我们的 f、 c、 h 这个三角形跟我们的 a、 h、 d 这个三角形，它俩其实是一个相似的，就是我们的三角形 d、 a、 h 的， 而且它们的相似比就是一个一比二，你的你的相似比是一比二的话，说明你的呃呃，因为你的 c、 f 和 ab 的 比例不是一比二吗？这道赛程肯定相似的吧，很容很容易这么相似的。那你的这个 f、 h 跟你的 h、 d 的 比例关系是不是也是一个一比二？那一比二的话，说明 h 点也就是我们的三等分点了。既然你是三等分点的话，那就说明你俩都是三等分点，那就说明这个平行线的乘比例原则，那就直接就完了，那你的 a、 e、 f 就 平行于我们的 e、 h 就可以挣出来了。所以我们的过程书写就也很简单，主要是先是连接一下我们的这个 f d， 交了一个 h 点，从而胶带相似，从而就能得到你这个一比二的关系。三等分交出来以后，这两个都是三等分点，那从而你的 e、 h 也就肯定会跟我们的 a f 平行了。那题目把最后我们的该描述的一写，题目就结束了。 好，接下来我们来看一下这个第三道题目，也第三道题是我们的二五年的二卷的一道真题，那这道题其实本质的内容并不是很难，只要你会证明方法的话，其实它很简单，但是我们为什么给他打三颗星呢？因为在我们的考场上面，有好多学生可能并没有想到，其实我们证明线面平行，人家完全可以构造面面平行的， 所以这道题目最终的得分率其实并不很高。那我们怎样做呢？首先来看题干条件，条件给了一些我们的 ab 是 平行 d， 还有我们这些九十度，还有它翻折上去以后， 然后它有些等分点的关系，对吧？还有一些已知夹角，但是这些条件有可能就是第二问的铺垫，第一问可能用不了这么多，对吧？我们还是先看一下题目条件正的时候，它要证明的是我们的 a 撇 b 平行于我们的 c 撇 d、 f， 也就是跟后面这个面要平行，对吧？也就我们的 c、 d 撇 f 这个面怎样平行呢？大家先看一下我们能不能在这个平面中做出那条线呢？好像 你等化一下，好像是如果能做出来的话，他应该在这个有限的这个平面内的，一个有限这个面内的话，这个在外面呢？那这种情况下很难处理的， 所以我们这种题目，如果你在面内找不到了，就我们所说的面就是在有限的这个图形内啊，找不到了，那我就可能没有办法通过我们平行四边形或者中位线去证明的。那我肯定就想到还有种方法，我们可以证明面面平行，反推出线面平行。所以大家在证明线面平行的时候一定要想到， 如果好做辅助线，那就做，做不出来的时候一定要想到还有个面面平行的性质里可以证明的。那怎样证呢？其实我就把 a 撇 b 放到一个平面内，证明这个平面跟这个 c、 d 撇 f 平行去了。哪个平面呢？其实就是我们的 a、 e a 撇 e、 b 这个平面跟我们的后面这个面完全可以做到。为什么呢？因为它是折叠过来的，你的 a、 b 跟我们的 c、 d 肯定是平行的，从而你折叠过来，你的 a 撇 e 跟你的 d 撇 f 肯定也是平行的。还有你的 e、 f、 e、 b 和我们的 c、 f 也是平行的，从而你就肯定会得到两组线面平行，那这两个平面也就平行了。 这两个平面平行了以后，那你的 a 撇 b 是 不是在这个平面内，从而你的 d， 那 你的 a 撇 b 肯定就跟你这后面这个面就平行了。那我们来看一下详细的过程，它主要写的还是我们的 啊，先证明两组线面平行嘛，因为它是折叠过来的，所以你的这两组线面线线肯定是有的，你有这个 e、 e、 a 撇平行于我们的 d 撇 f， 那 从而你的 e、 a 撇，对吧？就平行于我们的 后面这个面，也就是我们的 c 撇，呃， c、 d 撇 f， 当然同理，我们的 b、 b、 e 是 不是跟我们的 c、 f 平行，从而从而我们的 b、 e 不 在面内， c、 f 在 这个面内，从而我们的 b、 e 也平行于我们的 c 撇 c、 d 撇 f， 对 吧？那这两组线线线面的话，你把其他三个条件一写的话，从而我们就能推出来面面平行，这两个平面平行了以后，那你的 a 撇 b 在 这个平面内，从而你的 a 撇 b， 对 吧？就平行后面这个面，它就得到了，对吧？其实我们在证明线面平行的过程中，大家一定要想到有面面平行这个正法，一定对你的在你的平时做题中已经梳理了， 那今天我们讲的这三道题刚好是有一道呢，给大家去呈现了，这个平行的证明其实考的 比较多，对吧？我们的主要考察点就是两点五思路，一个是先面平行判定，一个面面平行的判定性质定力。那我们的面面平行其实我们在考察中也是有涉及到，但是不管是先面还是面面，最终的核心都是要证明线线的，那线线主要引入是中意线，还有平行四边形了，以及平行传递性，以及我们的平平面的性质，还有面面性质， 这都可能在我们的考试中用到吧。想了解更多的这个立体几何的一个证明，以及我们的更多高三一二班的一个复习的视频的话，可以关注石头哥，后期我们会更更新更多的。

正线线平行空间中两条直线平行的证明是后面证明线面平行和面面平行的基础。一般来讲，对于空间中的两条直线，他们两个互相平行的证明方法，最常用的有三种。 第一个是中位线，如果在一个三角形当中，这两个边分别有一个终点，那么连接这两个终点，这条线就是他的中位线，他平行且等于底边的一半。除了三角形，有中位线梯形和平行四边形，也有中位线 梯形的中位线平行于上下底，他的长度等于上底加下底之和的一半。平行四边形的中位线呢，平行且等于这一组对边。第二个方法呢，是勾 构造平行四边形。假设我们要证明一组对边 ab 与 dc 平行，可以先证明另一组对边 ad 与 bc 平行且相等， 这样它就是一个平行四边形。进一步推出 a b 平行于 d c。 第三就是利用平行的传递性， 如果 a 平行于 bb， 又平行于 c， 那么这个平行关系就可以传递过去，得到 a 平行于 c。 我们看一道题目，在这个正方体当中，点 m 和 m 一分别是这两条棱的终点， 求证这个四边形为平行四边形。想证明他是平行四边形，可以证明一组对边平行且相等，那么这里显然 b b 一和 m m 一 他们两个比较好。正点 m 和 m 一分别是这两条棱的终点，而左边这又是一个正方形，所以可以得到 m m 一平行且等于 aa 一。 因为正方体中四边形 a、 a、 e、 d， e， d 为正方形，并且点 m、 m、 e 分别是 a、 d， a， e、 d， e 的终点，所以 m、 m， e 平行且等于 a a e。 又因为 aa 一这条棱平行切等于 b b 一，所以根据平行的传递性， m m 一就平行切等于 b b 一， 于是四边形 b b e m e m 为平行四边形。这是证明空间中一个四边形为平四边形的基本正法。每天一个知识点，跟袁老师系统学习高中数学。

线面推线线，假设我们已经知道了一条直线平行于一个平面，能推出什么结论来呢？比如说现在已经知道了直线 a 平行于平面，而法， 我们找到直线 a 所在的另一个平面贝塔，然后他所在的这个平面贝塔和原来的平面阿尔法有一条交线，我们记为 l， 那么可以推出的结论是，直线 a 平行于交线 l。 我们写成符号语言就是已知 a 平行于阿尔法 a 有韩语贝塔，然后尔法交贝塔等于 l， 那么可以推出 a 平行于 l。 用文字语言来描述就是，如果一条直线平行 于一个平面过这条直线的平面与原来的平面有一条交线，那么这条直线平行于交线。我们通过一个题目来应用一下这个性质，给了一个四棱锥告诉我们底面 a、 b， c， d 是一个正方形， 点 m 在线段 p b 上，并且已知直线 p d 平行于平面 m a、 c。 让我们证明点 m 为 p b 的终点。我们发现这个题目里的关键条件就是线面平行。根据我们刚才所讲的线面平行的性质， 已知这条线平行于这个平面，我们只需要找到这条线所在的另一个平面，并且那个平面和现有的这个平面有一条交线。 那么直线 p d 在哪里呢？它在平面 p a， d。 平面 p d， c。 平面 p d， b。 这三个平面都是图中现有的，但是如果我们选择平面 p d、 b 的话， 他恰好会和原来的平面 mac 交出来的交线比较明显，就是 m 和底面对角线的交点连线，这条线是两个平面的交线，那么就可以推出 pd 平行于这条线， 而由于底面是一个正方形，所以对角线的焦点平分两条对角线，那就是 b、 d 的终点。再根据他们两个互相平行，可以推出这条线是三角形 p d， b、 b 的中位线，于是点 m 就是 p、 b 的终点。我们写一下步骤。首先记 a， c 交 b， d 等于点 o 连接 m o。 因为 p d 平行于平面 m a， c， p d 又含于平面 m d、 b， 并且平面 m a、 c 交平面 m d， b 等于交线 m o。 于是根据线面平行的性质，我们推出 p d 平行于 m o。 又因为底面 a、 b， c， d 为正方形，所以 o 为 b， d 终点。 那么由于他们两个平行，一个是终点，所以另外一个点 m 也为 p b 的终点。那么这个线面平行的 性质其实是通过线面的平行来推线与线的平行。每天一个知识点，跟袁老师系统学习高中数学。