湖南常德初三数学几何压轴题解题思路

直角三角形沿定角进行翻折，连接 a p 旋转三十度，求黄色线段 c q 的 最小值。暂停思考。 翻折即轴对称，亦得 c m p m 相等，且 c m p 为六十度，即绿色三角形横为等边儿三角形延长 c p 亦得角 b f c 也为六十度， 推得点儿屁。在一定线上运动，找到所求线段动点儿 q 及其旋转中心组成的三角形整体旋转三十度，使 a q 与 a p 重合， 并且得到 a c 撇在 a b 上转换为求线段 c 撇 p 的 最小值。实际考试中还可以直接截取 a c 的 等线段，然后政权等 点到直线垂线段最短，即 c 撇 p f 为直角，易得线段 f c 撇的长度为四倍，根号三减去四，再乘以三阴六十度，得到黄色线段最小值六减二倍，根号三。

听说你数学很厉害，来试一试这道中考引元最直梯，求 b p 的 最小值！题目中提到， b、 f 等于 c e a b c、 d 又是一个正方形，所以 b、 c 等于 c b 角 a， b、 c 等于角 d， c、 e 等于九十度。根据 s、 a、 f， 我 们不难证出这两个三角形全等全等。三角形的对应角相等，所以角一等于角二。 又因为角二加角三等于九十度，所以角一加角三也等于九十度， 也就是角 c、 p、 d 等于九十度。由于正方形的边长始终为八，无论点 e、 点 f 如何运动，角 c、 p、 d 永远等于九十度。那么我们知道 九十度的圆周角所对的弦是直径。此时不难看出，点 p 在 以 c、 d 为直径的圆上运动，它的圆心就是 c、 d 的 中点 o。 当我们画出来这个引圆之后，再去求 b p 的 最小值，就非常简单了，大家只需要记住四个字， 一箭穿心。我们只需要连接 b o。 当前仅当 b p、 o 三点共线的时候， b p 取得最小值，此时它等于 b o 减 o p。 题目就分析到这了，计算就交给屏幕前的各位学霸了， 搞定收工搜 easy！ 你 学会了吗？评论区留下你的答案吧！

大家好，今天我们来看一道中考模拟题，这是一道选择压轴，呃，这道题啊，动口性比较强，考察了正方形的各个知识，以及三角函数还有相似等各方面。那我们先来读题，如图，在正方形 a， b， c， d 中点 e， 在 线段 d， c 上连接 a， e， b， d 相交于点 f 点 g 呢，是在 a、 e 的 延长线上连接 d j， 若 g， d 等于 g f， 且它的角 a， f， b 等于四，则 d j 比上 a、 e， 它的值是多少？ 那这道题呢，首先咱们观察一下啊，是一个正方形，然后呢，有一些这个边的等的关系，以及啊，三角函数这样一个值，那么这里面呢，没有边的具体的长度， 那所以说呢，这种题一般说是设参数啊，适而不求，那或者呢是另某一些边的长度啊，干脆直接为一就可以了啊，因为是选择题啊，选择填空这样的题呢，都可以这样来设， 那咱们先来看一下，找一下这个突破口，那这呢， g， d 等于 g， f 这个等幺，那另外呢，还有参数的 a， f， b 等于四， 哎，这呢， afb 这个单点型啊，它不是一个直角单点型，所以说咱们需要构造，那一般来讲就是做垂直啊，没有其他的，这个没有太多的其他方法。 那咱们看一下，如果说直接过点 a 做 bf 的 垂线啊，其实这样呢，没有必要，为什么呢？因为有正方形，咱们其实可以直接连接 ac 啊，这样呢，直接连接 ac 呢，自然会产生一个直角， 连接 a、 c 中呢，咱们交 b， d 于 o， 那 这样呢，自然就是垂直的啊，这是正方形的一些特点，那所以说三角形 a o， f 啊，它就是一个直角三角，那这样的话呢，它这个角 a f b 等于四，那么咱们可以令 o f 等于一，那这呢，一般如果说大写的话呢，可以令 o f 等于 a， 那 因为这呢是选择填空，咱们其实令 o f 等于一啊，是比较好算的啊，接下来各方面都比较简变 好，那这样的话呢， a o 呢，就等于四啊，因为弹起的这个角呢，是啊，这个四，那四比一，所以呢，这个一，这个就是四，所以 对等线 a c 自然是等于八啊，这个呢非常明显，那 b d 呢，也等于八。另外呢，咱们还可以直接通过这个一比一比根二这样一个关系，得到了这个正方形的各个边，它的长度 都等于四倍的根二，这个呢也比较好求，咱们就略过，直接写结果。好，接下来再看一下啊，要求 d g 比成 a e， 那 我们需要把 d g 还有 a e 这个长度给它表示出来，那当然，这样呢， d g 是 等于 g f 的 啊，如果表示一下 g f 也可以，那既然这有垂直了，咱们想想，刚才也说过了啊，这是个等腰，咱们不妨过点这样再做一个垂直， 那么立刻有了一个三线合一，就这样呢，假设是要垂直为 h， 一个呢，是这样呢，是垂直的。再一个呢， f h 和 h d 都是相等的，那其实刚才这个 o f 等于一， 那 a o o c 等于四，其实 b o o d 啊，哎，也等于四，就是 o c b o， 还有这个 o d 呢，都等于四，那 o f 等于的话呢，咱们可以得到 d f 就 等于三，那 三线合一， h d 呢，是垂直于这个底边的，所以说呢，它就平分这个底边，所以说呢，这个 f h 啊，还有 h d 呢，都等于二分之三。 好，这样一个关系。那另外呢，咱们再来看一下这个要求， a e 怎么去表示这个 a e， 既然 a d 等于四了，如果说能表示出来这个 d e， 那 么 a e 就 能求了，这个 d e 怎么求呢？哎，咱们这呢，可以另一个相似 啊，因为有正方形，这样一个平行就出一个相似，就是三菱形 d e f 和三菱形 b a f 相似啊，这个呢，也是在正方形当中比较常用的啊，非常常用。那这样呢，咱们看一下，应该是对应边乘以比例， d e 比上 ab 等于 df 比上 f 啊，这个呢就非常明确了， df 呢是等于三的，而 f b 呢啊，这没写。咱们 f b 呢，应该等于 o f 是 一， o b 呢，是这个 四啊，所以说呢，是一加四等于五。哎，所以啊，这个 d e 比上 ab 乘以五分之三， ab 呢是 a b 的 话，应该是四倍的根二。好，四倍根二乘以五分之三，就等于五分之十二倍的根二。那这样呢，咱们把 d 表示出来， 接下来咱就可以表示 a e 了，那 a e 的 话，直接固定点啊， a e 呢，就等于根号下啊，这个方加这个方就是 a 地方，再加上地方，咱们把 d 一 啊，还有 a d 啊， a d 呢，这也有了，咱们直接代入，然后呢计算啊，那这样的话，咱们可以再然后呢，再开方就可以得到这个长度呢，是等于五分之八倍的根下十七。 好，这个呢计算咱们一定要过直接写结果。好，这样的话呢，求得了 a e， 那 么下一步呢，要求的是啊，这个 d j d g， 其实呢，咱们可以用 f g， 为什么要用 f g 呢啊？因为这呢有一个对角，这垂直，这垂直，这个 a f o 和 g f h 相色，哎，这个相似呢，可以另一下， 那因为这个相似比呢，就是这个边比这个边应该是一比上二分之三啊，一比二分之三，那相当于这个边比这个边呢，也是一个一比二分之三。那咱们这样呢，需要把 af 求下啊，这个 af 呢比较简单， 呃，直接就是这样呢，是个四， a o 是 四， f o 呢是一，它就是一个根下十七，所以说啊， af 就是 根下十七，比上 f g 啊，这个边比这个边等于这个边比这个边呢是一比上二分之三啊，通过这个化简计算，咱们可以得到，那么 f g 的 长度呢，就是 二分之三倍的根下十七啊，通过这个比例关系就知道了。那么这样的话呢， d g 比上 a e 啊，就可以算了，那因为 d g 呢是等于 f g 的， 那就相当于二分之三倍的根下十七，然后再比上 a e a 一 的长度呢，是五分之八倍的根下十七，那这呢根下十七约掉了，就二分之三，再乘以八分之五，也等于十五比十六。那么这个答案呢，就是选 a， 那 这个题啊就得到了解决。好，感谢大家收看，再见。

每天十分钟搞定中考压轴题！从这个视频开始，要解剖一类中考常见问题，几何中的动点问题，就是那种有运动速度的问题。 老师说我是很讨厌这类问题，因为它又简单又很无聊，毫无思考的乐趣，就是算起来吧，比较麻烦，当你算的心烦意乱的时候，它就会趁虚而入，让你犯下各种错误。 那么如何才能又快又准的做对这类问题呢？嘿嘿，我想在听我讲解之前，你得先自己做一下体验一下吧，这样你才能清晰的理解我讲的东西对你是多么的有价值。 嗯，哎呀，第一问真的是弱爆了，选这一问的同学，也许你就是想听听我是怎么做的吧，不过我也没有什么新鲜的方法。根据条件，三角形 a、 b、 o 是 一个三十度的直角三角形， 把它绕点 o 顺时针旋转六十度。说到旋转六十度，你会想到什么呢？反正我会想到等边三角形，你看，根据旋转 o、 b 等于 o、 c 角， b、 o、 c 等于六十度，这些都是旋转的性质吧。所以三角形 b、 o、 c 是 等边角 o、 b、 c 当然是六十度做出来了吧。下面要听第二问吗？ 欢迎来到第二问。在这一问中，动点均正式出现了，一个 m， 一个 n， 在研究他俩之前，根据条件中的 o、 b 等于四，可以算出这几条边的长度、过程和结果。在这你自己看看，没有问题就可以继续了。 下面要开始分析动点了。当看到动点时，你觉得首先要弄清楚什么呢？ 动点的特点就是会动呗，所以首先要搞清楚动点是怎么动的。不过这事通常很简单， m 沿着 o、 c、 b 突突突的运动，速度是一点五。 写题的时候可以先在 o c 上随便点个 m， 然后把速度一点五写在显眼的地方，以防忘记。 再看点 n 沿着 o、 b、 c 啵啵啵的运动，速度是一同样的处理方式，到他俩相遇时，运动停止。哎，这就可以求出运动的总时间了吧。 总路程十二除以速度和二点五五分之二十四秒，所以点 n 一 共走了五分之二十四的路程，除了 o b 等于四，还剩五分之四的路程。 在这里取个点 d， 让 b， d 等于五分之四，那么 m n 运动到点 d 时，同时停止运动。这样一来，动点的运动彻底搞清楚了。下面来看看问题。 设运动时间为 x， 三角形 o m， n 的 面积为 y， 求 y 关于 x 的 函数关系式，也就是说，得把 y 写成多少多少 x。 那 么该怎么做呢？ 可能你一下子想不到该怎么做，毕竟这个 x 会变，而且时间和面积那能有个毛线的关系哟， 是的，少年，时间和面积确实没有直接关系，但是来 把你的脑回路稍稍拉长一点。思考一个严肃的问题，知道了速度时间，你还能求出什么？ a， 总不会是路程吧？恭喜你，少年，答对了。不要觉得这么简单的问题是在侮辱你的智商，因为它的背后就隐藏着解决动点问题的奥秘。来让我们捋一捋。 知道了时间 x 和速度可以求出路程。在时间 x 内， m 走过的路程是二分之三， x， n 走过的路程是 x。 很 简单的计算题，继续路程这东西反映在图上是什么呢？是的，就是线段的长度呢？线段的长度就和面积有关系了吧。 说到这，是不是有点恍然大明白了。把运动时间转化为路程，再转化为线段长，这就是解决动点问题的关键了。这套思路呢，说起来很简单， 不过转化为线段长时，就可能出现让你心烦意乱的分类讨论，这又是闹哪样呢？ 比如来看 m 吧，它沿着 o、 c、 d 运动，路程是二分之三， x 对 应的是哪条线段的长度呢？ 显然，当 m 在 o c 上运动时，路程就是 o m， 跑到 bc 上呢，路程就是 o c 加 cm 了吧， 是两条线段的和，所以怎么分类就呼之欲出了吧。 m 的 运动轨迹被分成了两段，就按这两段分类。 分类之前，说一下分类的要点，要明确分类的标准。在动点问题中，就是运动对应的时间范围， m 在 oc 上的运动时间是四，除以一点五等于三分之八， 总的运动时间是五分之二十四。所以呢，从三分之八起分成两段，当 x 取零到三分之八时， m 在 oc 上运动，此时 o m 等于二分之三 x。 而当 x 取三分之八到五分之二十四时， m 就 跑到 c d 上运动了， 此时他的运动路程还是二分之三， x 去掉 o c， 剩下的 c， m 就是 二分之三， x 减四，这样 m 的 运动就彻底转化为线段长了。 那点 n 呢，也是一样的，你自己动动笔，写出针对点 n 的 分类吧。 点 n 在 o b 上的运动时间是四秒，所以 x 在 零到四时，点 n 在 o b 上， o n 等于 x， x 在 四到五分之二十四时，点 n 在 b d 上运动，路程是 x， 那 b n 就 等于 x 减四。 好的，现在咱们把零到五分之二十四的总运动时间分别在三分之八秒、四秒处分了个段。 接下来为了求三角形 o、 m、 n 的 面积，势必要把两个动点的运动结合起来看， 这样一来，三分之八、四就会把整个时间分成三段，零到三分之八，三分之八到四，四到五分之二十四得分成三种情况。讨论呢， 先把这三段对应的范围都写出来，写的时候吧，注意两个问题。第一，看一下零能不能取，题目中没有明说，但是 x 等于零时，没有三角形 o、 m、 n， 对 吧，所以 x 不 能取零。 第二，注意分界点处，比如这个三分之八，可以这里加等号，这里不加，也可以这里不加等号这里加。总之有一个地方有三分之八就行，但不能都不加，也不能都加等号。 下面分段讨论。先看第一段， x 大 于零，小于等于三分之八十。之前说过了， o， m 等于二分之三， x， o， n 等于 x， 要求三角形 o、 m， n 的 面积， y 求三角形的面积，首先可以考虑底乘高除以二吧，比如选 o m 作为底做 n， e 垂直， o m 于点 e， 那 n， e 就是 高，它要怎么求呢？ 相信大家都看出来了，三角形 o、 n， e 是 三十度的直角三角形， 所以 n， e 等于二分之根三倍的 o， n 等于二分之根三 x， 这下就可以求面积了吧，底乘高除以二， y 等于八分之三倍根三 x 方。 第二段， x 大 于三分之八，小于等于四十点， n 在 o b 上， m 在 c d 上，就像这样，之前分析过，现在 c， m 等于二分之三， x 减四， o， n 等于 x， 求面积还是找底和高呗。这次三边中只有 o n 已知吧，选它作为底做 m h 垂直 b o 于 h， 那 怎么求高 m h 呢？ 这一次啊，可以用另一个三十度直角三角形 b h， m， bm 等于 bc 减 mc 等于八减二分之三 x， m h 等于二分之根三， b， m 就 等于二分之根三乘以八减二分之三 x 小 底小高一相乘除以二， y 等于负八分之三倍根三 x 方加二倍根三 x。 最后的第三种情况，套路呢，大家很熟悉了，你自己算一下呗。 此时 x 大 于四，小于等于五分之二十四， m 和 n 都在 b c 上， c m 等于二分之三， x 减四， b， n 等于 x 减四，那么 n m 是 不是就可以求出来了？ b c 减 b， n 减 c， m 等于十二减二分之五 x 就 选它作为底了。高就是这条呗。 其实也是等边三角形 o b c 的 高， o b 等于四，所以高等于二根三，然后面积就出来了，等于十二根三减二分之五根三 x。 最后呢，把三种情况汇总一下，给一个总的答案。由于三种情况下关系式并不一样，所以要分开写，这样题目就做完了，视频的最后会有完整的解析，想看的同学可以到时候看看喽。

中考数学，他的几何压轴题其实是送分题，出题人早早的就把那些解题的方法隐藏在题目里了，关键就是看大家能不能看懂，能不能听懂这六句黑话啊！大家好，我是孙老师，专注中高考题分训练， 家里有中考生的赶紧给我收藏并转发给孩子看！首先第一句，题目让你求线段的长度。这类题型，它的解法是非常固定的，无外乎就三种，勾股定律，相似三角形、三角函数这三大金刚，尤其是圆的大题考的最多，你看到有直角立马上勾股定律，你看到有平行线、 a 字、八字结构，立马往相似三角形上面去想。 如果题目给了三十度、四十度、六十度这种特殊角，那百分之百是三角函数，那么这几种解法呢？要么单独用一种，要么是两种，三种搭配着用，肯定能算出来。第二句，两条线段的比值你不用纠结，说白了就是考相似，没有比相似更适合算比例的了。 你只要能认出来是 a 字相似，八字相似、共角相似，还是手拉手模型的相似，咱对上模型这道题，基本上就八九不离十，稳拿下了。还有第三个求角度圆的大题的第一问，基本上全是倒角，你要记住一些常用的招数，用平行线去倒它的内错角、同位角， 靠直角去找互余角，用圆心角、圆周角、斜切角进行互相的转换。还有就是等幺三角形，底角、相等角、平分线平分两角，来来回回就是不停的去倒角，你把那些角度的关系给他理顺就完事了。 第四个求图形的面积，简单的题目，你直接套公式就行了。那如果碰上跟二次函数相结合的面积的大题，你就用千锤高法 横着竖着做辅助线，拆分它的图形，其实本质还是算三角形的面积，你只是稍微绕了个弯。还有第五句求最值的问题，像最短路径、最大面积、最大角度，通通都属于这一类。那么求最短的路径往哪想呢？ 往将军一马模型上去套啊，对吧？你面积最值用什么呀？那就是二次函数化成顶点式，还有引元的最直线元的最值，全都是固定的套路，咱只要技术，就一定能直接套用 啊。第六句就是问是否存在某一点满足题目的条件，那这类题目不用多想，绝大多数都是存在的，你只要确定存在了，以后呢？ 还是老三样勾股相似三角函数，你把这些几何的关系转化成方程给他罗列出来，那你解出来合理的答案，他就是存在，他的逻辑就这么简单。 所以说呢，其实几何压轴题一点都不选选，你把这几个套路给他记牢，咱一定能轻松拿高分。那如果你是初二初三的学生，数学还找不到方法的后台，赶紧联系孙老师，带你轻松上分。

中考数学最难的压轴大题就这八大，从现在开始练起来，吃透了，考试直接躺赢！一、二次函数的最值问题二，取 函数与相似三角形四、最值问题五，二次函数的图像与几何综合六、公共点问题七，二次函数与一次函数的交点问题八，存在性问题。 以上体型，这套新华书店的中考数学压轴题，全都总结好了，选择填空解答新体型四合一， 不仅包含了中考数学能考到的所有压轴题体型，还科学规划了三十天的练习计划，每天就练四道题，体量少而精，不管是体型、考点还是难易程度，都与中考完全一致。 你像这道题，考察二次函数与相似三角形的综合运用，难倒了一大批孩子。他不仅给出了答题步骤，一步步教孩子踩准得分点，还有具体的解体方法，考试直接套用答题，又快又准。 更厉害的是，他还加入了新情境，新考法，你像传统文化题、数学文化题、跨学科融合题等等，中考拼的就是信息差， 提前吃透了，上了考场就像回家一样熟悉。考前还有三十套中考真题，提前去适应考试强度。初三最后三十天用好它，中考数学就是小菜一碟，家有初三生的，抓紧安排上！

今天我们讲解中考题练习吧。如图，在三角形 a、 b、 c 中， a、 d 等于 a、 c、 d 是 b、 c 上任意一点， a、 d 等于 a、 e。 角 b， a、 c 等于角 d、 a、 e。 第一问，若 a、 d 平分，角 a、 e、 c 求证 c、 e 平行于 a、 e， 那 么平分，所以角 a、 e、 d 等于角 c、 e、 d。 然后我们找这两个角有关的一些条件，我们可以利用这个条件， a、 d 等于 a、 e、 a、 d 和 a、 e 相等，所以底角也相等。角 a、 d、 e 等于角 a、 d， 那 我们就可以得出这两个角也相等，那它俩的话就是内错角，所以直接可以求出 c、 e 平行于 a、 d。 接下来看第二问，若角 b、 a、 c 等于九十度 b 在 b、 c 中点时，它是中点，是判断四边形的 a、 d、 c、 e 的 形状，并说明你的理由。那我们可以利用的条件， a、 b 等于 a、 c。 那 等腰三角形三角合一，我们可以直接得出 a、 d 是 垂直于 b、 c 的， 所以角 a、 d、 c 它就为九十度。那题里告诉我角 b、 a、 c 等于九十度。角 b、 a、 c 等于角 d、 a、 e 这个角也为九十度，所以这两个角相加就为一百八十度。角 d、 a、 e 加上角 a、 d、 c 等于一百八十度。 根据一百八十度，也就是同旁内角互补，两直线平行，可以得出 a、 e 平行于 c、 d。 接下来我们看角 b、 a、 c 是 九十度， d 是 bc 的 中点，所以 a、 d 相当于是三角形 b、 a、 c 的 中线 等于斜边的一半，所以我们可以得出 a、 d 和 c、 d 相等。那可以告诉我 a、 d 和 a、 e 相等，就能推出 a、 e 和 c、 d 相等。那刚才说 a、 e 平行于 c、 d， a、 e 等于 c、 d 一 组这边平行于 c、 d、 e 一 组这边平行且相等，我们就可以先去证明这个四边形是平行四边形。 我们知道有一组邻边是相等的， a、 d 和 c、 d 相等，其中角 a， d， c、 e 还等于九十度，可以直接得出它是一个正方形，用的是一组邻边相等且有一个角为直角的平行四边形，是正方形。接下来步骤大家可以看一下。

想要孩子中考数学冲高分，这套资料初三必备！数学最容易拉开分值不少的孩子啊，基础题啊，总是丢分，几何函数压轴大题呢，更是无从下手。那这一套呢，就是二零二六湖南版的万维实体研究啊， 他贴合了本地考前背懂了三年的知识点的公式，分基础、中段、压轴三大模块，题型讲解细致，答题思路清晰，帮孩子吃透考点，掌握答题技巧，轻松的突破分数难关。初三复习，选对资料，厚实基础，攻克难题，助力孩子金榜题名。

哈喽，初三的同学家长大家好。呃，今天来给大家讲解个这个关于数数学啊，中考几何的亚洲题里面给大家都隐隐藏了一些暗示了一些什么方法，其实很多题里面他都给你暗示了一些用，你应该用什么方法去做才能拿满分，就看这个点你自己能不能 get 到。 首先第一种就是求线段的长度，这个其实已经说了好多遍了，要么就是勾股，要么就用相似，要么就是三角函数，就这几种，比如最近常考的这个圆体， 圆里面出现直角了，那就肯定用勾股定底呗。要是这个平行线，不管是八字形的还是 a 字形的，都是在提示你自己用相似呀。要是题目里面给了一些三十度、四十五度、六十度的这些角呢？该用啥呢？肯定是三角函数呀，对吧？就这几种方法翻来覆去的用，要么就是一种，要么就两种结合，要么就是三种结合， 它是总能算出来的。第二种呢，就是求这个线段的比值。求比值是干啥呢？它肯定也是相似呀，还有啥能比相似更能体现比值的呢？你说对吧？出庭已经很明显的告诉你用相似了，你只需要确定这是 a 字型， a 字相似还是八字相似啊，还是共脚，母子手拉手这种类型，然后往里套就可以了。 第三种呢，就是求某个角度。原题的第一问是不是经常会求些角度，我之前就说过，可以用各种方法，首先要去倒角，比如说用平行线的内错角，同位角啊，遇到垂直就往这个直角三角形的余角上想，遇到这个衔接角来倒，用这个圆周角呀，还有这个圆心角来倒， 等，腰三角形的两底角相等来倒，还有这个呃，角平行线两个角相等来倒，就用这些关键的一步，想尽一切办法就倒这个角， 用我刚才说的这些方法都可以的。好吧。第四种就是求面积，看到求面积，三角形面积肯定会求吧？就三分之一底乘高吗？对吧？四边形的面积也肯定会求吧，有时候他就会和这个二次函数结合起来求面积，这个时候呢就要用这个牵扯法了。也是 也是，到这个做辅助线的时候了，很多同学说他他这个辅助线啥的不会做，其实本质还是求这个三角形的面积，只是稍微的转了个弯啊，多练练他就会做了。你把题型多见一见，你下次见到那些陌生的题型，你就往那个三角形面积上想，他就。

初三党注意啦！是不是一碰到圆的综合大题就直接卡壳？辅助线无从下手，角度不会转化证明思路逻辑混乱，明明刷了海量题型，成绩却始终没有提升。 不用盲目刷题，今天徐老师带你拆解题型底层逻辑总结专属通用解析模型，吃透方法，轻松秒杀所有同类压轴题型一，圆周角平行倒角模型 这道题目核心考点平行线搭配园内圆周角进行角度转化，利用同弧圆周角相等等腰三角形边角性质，简单三步等量代换，快速完成角度证明，告别盲目乱做辅助线做题直接拥有固定思考逻辑 模型二，园内街四边形全等判定模型，中考最高频易错考点，也是绝大多数学生最容易遗漏的得分点。巧用园内街四边形补角性质，结合角平分线条件构造三角形全等，快速证出边长相等关系， 避开考试常见思维陷阱，稳稳拿下满分。步骤分模型三，双垂线构造全等加三角形瘸骨综合模型 压轴。最后一问线段求值专用万能解法，整套流程标准化。第一步，做垂线构造两组全等三角形，梳理隐藏线段关系。 第二步，利用正切值合理设圆，结合三角形面积列式计算。第三步，借助相似搭配勾股定律列式求解，精准算出线段长度。我一直秉承了教学思路，从不让学生盲目海量刷题， 优先吃透题型。底层解析模型搭配同源变形题目强化训练，课前梳理知识框架，课上精讲经典易错题，深挖解析内在逻辑，课后配套同题型变式训练，做到举一反三，彻底摆脱题海战术。 专门针对初三圆几何难点，我开设了压轴打卡训练营，每日一道经典易错题加一道同圆变形题，精细化拆解复盘。想要系统吃透圆综合压轴题型的家长和学生评论区留言打卡，我带你高效突破数学难点！

四点公园在初三的课本当中没单独提到，但是呢，四点公园在初三正题过程当中没有用，特别是正较小的时候，用四点公园比较方便。在我们初三数学当中，四点公园常见的就这这五种， 大家可以关注收藏慢慢看啊。现在呢，我讲一下第一问，第一问和第二问，他的思路是完全一样的 啊，是你们仔细的听我讲思路，学会了这些通用的方法和技巧，就能应对茫茫题海了。那现在我们讲第第一问，让我们证明这个屁点是三角形 a、 c、 d 的 垂心。题目已经讲了三角形三条高线的焦点就是三角形的垂心。这个题里面已经跟我们说了， f 是 垂直于 c、 d 的 e 点和这个 p 点是关于 c、 d 的 一个对称点， 现在呢，让我们证明这个 p 点是垂心，我们只需要连接 c p 并延长与 a、 d 交于 m 点。如果我能证明 c m 垂直于 a、 d， 那 这个 p 就是 垂心，那现在我们来看看我们怎么证。 要证明 cm 跟 a、 d 垂直，你就要证明角 e 加角 d 等于九十度，显然，但在这个三角形里面你没法正，那我们再看看题目给的条件，就是 a、 b 和 c、 d 是 垂直的，那我们一定要好好的利用这个垂直，同时 b 点和 p 点是关于 c、 d 对 称的，这也是个条件，我们也得用好。既然 b 点 p 点关于 c、 d 对 称，所以角也是等于角二的。同时你们看角 d， 这个角对的是弧 a c 弧 a c 同时还对一个角 b， 所以呢，角 b 和角 d 是 相等的。好，我们从图上就能看出来，角二加角 b 是 等于九十度， 从这来，角二加角 b 等于九十度，因为角二等于角以角 b 等于角 d， 所以 角以加角 d 等于九十度，那角以加角 d 九十度，那 c m 跟 a d 就 垂直了， 那我们就证明了这个 p 点就是垂心啊，那这个证明好了，那现在呢，我们看看三个问呢，是让我们证明 ip bc 四点共圆，看这个图， ip bc 四点共圆。看到这个图，我们就要想到利用这个四点共圆，就是同侧共边，对等角的圆。好，那现在我们来看看 这个角三，这个角和角一，这个角都是在 b p 的 同侧，而且呢，我们都有个共用的边 b p， 现在我们只要能证明角一等于角三就行了。 好，现在我们来看看。因为题目已知 a d 垂直于 b c， c e 垂直于 ab， 所以呢，这两个都是直角， 这两个又是对顶角，所以呢，我们用八字导角就能导出来，角一跟角二是相等的，又因为题目告诉我们 e p 等于 ef， 又垂直于 p f， 所以呢， a b 就是 p f 的 垂直平分线， 所以呢， a p 等于 f， 所以 角三等于角二。好，那现在我们证明了角三等于角二，角乙又等于角二，所以角乙等于角三， 那我们就符合这个图形的四点共圆，同侧共边，对等角的圆，所以就得以正平了。四点共圆呢，是我们必须要了解，有时候正题的时候能用得上。好，那这个题就讲解完毕。

公主王子提笔看我，现在我们进入到便是一杠四最后的一道，当然最后一道呢，肯定比前面有一丢丢难度，我们一起来试一试。他说这是一个四边形， a、 b、 c、 d， 这个 a、 c 垂直于 b、 d， 这个是直角， a、 b 等于 a、 c， 我 们画一下 a、 b 是 这个 a， b 等于 a、 c， 当我们画出来的时候，你就能想到这是一个等腰三角形，然后它又等于 b、 d， 那 我们把 b、 d 这根线也画上， 然后 m 为 bc 的 终点， m 为 bc 的 终点。刚才我们不说等腰三角形吗？ m 为 bc 的 终点，是不是三线合一，我们马上可以想到这个角是等于这个角的。我标一下， 这个角 r 发等于这个角 r 发，而且三线合一，我还能想到这个角也是九十度，不仅如此，你看这里是一个八字形，对吗？所以我也能想到这个角也等于 r。 法。 好，我们继续往后，他说 mb 呢，又等于 m、 n， 那 这两个边又相等，我把这两个边用红色的描一下， 这一个边等于这个边，又因为他是九十度，所以这个地方是不是四十五度，这个角也是四十五度。现在我们要求第一个 b、 n 平分角 a， b、 e， 我 也没有想到怎么去证他平分，不如我们把我们刚才想到的先动笔写一下。首先第一个证明， 因为 a、 c 等于 ab， 又因为这个点是中点，所以我们得到这两个角相等，再加上这个九十度，我们得到这个角，他们三个都相等。我们先写写啊， 因为 ab 等于 ac， 并且 m 为中点，所以我们可以得到角 m， a， c 等于角 m a， b， 又因为 角 a， m、 b 等于九十度，好，等腰三角形三角合一，所以我们还可以得到 m a， c 等于角， m， a， b 等于角 m、 b， d。 你 这条件又说 m b 等于 m n， 这是九十度了，所以这两个角都是四十五度。又因为 m b 等于 m n， 所以呢？我的角 m、 n、 b 等于角 m、 b， n 都等于四十五度。标一下，这个角四十五度， 这一个角也四十五度，好，现在我们要求这个地方它平分，那我们看这边，这边这个角怎么表示？它是不是等于四十五度减去 r 法？ 那媛媛这个角怎么表示？你看这个是不是四十五度减去 r 法也等于这个角？因为这是三角形的外角，所以我们可以得到这两个角相等，那我们来试一下。又因为 角 n、 b、 d 是 等于四十五度减去 r 法的，而角 m、 n、 b 也等于角 m、 n、 b 了， 那这两个相等了，这个是不是就平分了？所以我们的 b、 n 平分，角 a、 b， e。 好， 第一个问，做完了，它重点其实用的都是倒角，把我们的角转来转去，转来转去，对吧？现在我们接着来看第二个问，说 b、 d 等于一，也就是我们玫红色这一根是一，那这个是一，我们这一个 ab 是 不是也等于一？ ac 也等于一， 这个 d， n， b， c， d， n， b， c 是 一个平行四边形，他要叫我们求 bc， 如果我们要求 bc， 那 我要是能把 mb 求出来就好了，因为我直接乘以二就可以得到了，所以我们可以设 mb 为 x。 第二个问，我换个颜色，我们设 mb 等于 x， 那 这是 x， 这也是 x， 这两个是 x 了，我可以得到 d， n 也等于二 x， 因为平行四边形对边是相等的，可是这跟我们求这个没有关系啊。那我们现在来想第一个问，咱不是白求的，人家给你说了，这个角等于这个角，你没红色的，这个又等于这个，再加上共边，有没有想到这两个三角形是全等的？所以我们继续写 由一结论可得结论得的是角 d b n 等于角 a b n， 所以 三角形全等， a b n 全等于三角形， d b n 全等的原因是边角边， 那么全等完之后，我的 d n 就 等于 a n 了，对吗？所以我的 a n 是 二 x 嘛。好，所以 d n 等于 a n 也等于二 x。 那 你现在再来看看，我这个是二 x， 这个是 x。 哎，这个 x， 这个不是也应该是 x 吗？因为我们前面也正到了已知条件，也说它俩相等，所以呢，我们就可以得到 a m 是 等于三 x 的。 那勾股定律就出现喽， a m 的 平方加上 mb 的 平方等于 ab 的 平方。代一下， a m 二 x x 三 x 三 x 的 平方再加上 x 的 平方等于一的平方，那么算开九 x， 一个 x 十 x， 所以 十 x 的 平方等于一 x 的 平方等于十分之一，那么 x 就 等于十分之根号时。 这道题让我们求的是 bc， bc 是 不是两个 mb， 所以 最后我们可以得到一下啊， 我们的 bc 等于五分之根号时，因为他乘以了二嘛。好，这道题到这里就做完了。整道题呢，其实你看啊，他是不是用了一个等腰三角形的三线合一？然后咱还用了一个勾股定律，其他的都是我们平行四边形本身自带的性质，那公主王子这个性质你现在可以灵活的应用了吗？

老师们好，我是彭同学， 那么今天在正式开讲之前呢，我先带大家来进行复习一下啊，俗话说得好，我们不打没有准备的仗。 那么首先呢，我们先来复习几个公式，那第一个圆的周长 c 等于二 pi r 圆的面积 s 等于 pi r 方， 弧长 l 等于一百八十分之 n， pi r 包括扇形的面积 s 等于三百六十度分之 n pi r 方。这里的 n 其实指的是所占圆心角的度数， 我们知道整个一个圆摆在我们面前，它其实是有三百六十度的， 我们去取这个 n， 就是 去拿自己的蛋糕，我这个 n 有 多少度，我就拿多少蛋糕， 对吧？另外一个弧长，弧长他的单位是长度，所以我们要用整个周长来当做这个蛋糕，也就是我们说的蛋糕边边， 所以它最开始的也就是三百六十度分之 r， 无论是弧长还是面积，它们都是以三百六十度，哦，不，是三百六十度，是三百六十分之 n 去做一个基础。然后弧长因为是长度，它就乘以一个周长 面积，它是一个面积量，所以它是 pi r 方。好，关于圆的东西，圆心半径看着简单，可是往后延伸呢，全是弯弯绕绕。那么接下来我带大家来 复习一下圆的八大定律。好，首先我们来看到第一个圆心角定律，我们先来看一下 同圆或者等圆当中相同的圆心角所对的弧弦还有悬心距都相等。 好，那么这里有三个对象，一个弧，一个弦，一个悬心距。好，现在我们来取两个相同的圆心角，比如说我这里有一个圆心角叫做 dce， 那我在另一边取一个相同的角，它叫做 f、 c、 g， 如果说在这两个圆心角相同的情况下， 也就是说这两个角相同情况下，它们所对的弧一定会相等， 也就是弧 d e 和弧 f、 g， 它们会相等，与此同时，它们所对的弦也会相等。什么叫做弦呢？就是 d e 这条直线， f g 这条直线也会相等。那么什么叫圆心距呢？也就是圆心到弦的距离也会相等，也就是我们标出来的 o i 和 o h。 那 么逆推一下， 同弧所在的圆心角，或者等弧所在的圆心角相不相等呢？那当然也是相等的，都是可以逆推的，包括我们说的同弦所在的圆心角也是相等的。好，这是第一个，那我们来看到第二个， 第二个，我们会讲到圆周角。好，我们来看它的一个概念，叫做同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。 好，我们以此为例。现在我们来找一段五，也就是我们面前的 n m， 他所对的圆心角已经出来了，那他所对的圆周角在哪里呢？很简单，依然找到这条弧，以这条弧的两个端点为初始，然后在圆上去一个点，这个时候就叫做圆周角， 所以说这时候的圆周角就会变成啊，这时候的圆心角就会变成圆周角的两位，这个大家都非常熟悉吧。好， 那相同的，我这个圆周角其实位置并不是固定的，它可以在很多地方，包括这里，包括这里可以走这么多地方，对吧？ 那一样的，我等弧，比如说我在对面再画一条相同的弧，那说，那说它所对的圆心角是不是相等呢？我在这边也画一条啊，我现在令 o p 这条弧等于 n m 这条弧，那它所对的 圆心角它们会相等啊，另外它所对的圆周角 也会等于它的一半，所以这是相通的东西。那关键用途就用在我们角度计算，还有一个什么直角的判定啊，这个非常关键。那么还有一个非常重要的东西，就叫做圆的内接四边形，大家一定要注意， 内接四边形，也就是说一个四边形的四个顶点都在圆上， 都在圆上。我现在来构造一个，随便构造一个，比如说我这里的 o、 p、 n、 m 这四个，那这时候就有另一个定力，叫做 圆的那节四边形，它的对角会互补，也就是说什么呢？也就是说 角 o 加角 m 会等于一百八十度， 角 n 加角 p 会等于一百八十度。好，这是第二个，那我们还有第三个，好，继续往下走，我们第三个讲什么？ 第三个就是切线长定 好，我们来看，同样的，我们引入一个圆，它的意思是什么呢？ 圆外引一点，我现在随便引一点，它 跟圆的两条切线，切线是不是刚好垂直啊？我这里粗略的构造一下， 是不是形成两个切点，他的这两条切线一定会相等，为什么？为什么 a 和 b 的 长度一定会相等？首先我们连接圆心和这个点，然后我们再圆连接圆心和切点。那这时候我们会有一个什么东西呢？我们一定会有。 首先两个直角是毋庸置疑的，两个直角毋庸置疑， 对吧？因为是切线，另外呢两条半径毋庸置疑，半径相等，另外呢一条公共边相等，所以它们必然全等，也就是用的 h l 必然全等的话，那么 a 必然等于 b， 这就是切线长的一个定律。好，我们接着来讲第四个， 那第四个就是我们的垂进定力。好，我们往往上面挪一点，不好意思，垂进定力， 垂进定力说了是什么？同样我们再做一个圆，大家说垂直于弦的直径，平分弦， 垂直于弦，首先我们先构造一条弦好吗？好， dc， dc 是 一条弦，那我们垂直于垂直于，垂直于，那我们就要做一条直线了， 垂直于弦的一条直线。好，这是一条直线，也叫直径。好，这条直径它一定会去平分掉这两段， 也就是说这两个一定相等，这两段一定相等，另外这两条弧也一样相等。为什么我连我再连 公共边边直角 h l 直接给到 边相等，边相等啊？也就是悬相等，悬相等是不是弧相等，对吧？那还有一个东西，我在这里再多讲一句， 如果说哈，有一个圆心角是另一个圆心角的两倍，那么它所对的弧一定也是它的两倍，它它所对的弦也一定是它的两倍，大家记住这个一定是相通的东西。好，这个就过一遍就是了。那我们来讲 下一个，我们可以看到它这个东西主要是用在一个证明过程当中。我们来看， 我现在有一个圆外一点，这个圆外一点跟圆进行了一个相切。另外呢，我这里有一条弧叫做 k e i e， 这条弧呢，它有一个圆周角，而且它不经过圆心， 那这时候圆切角，它就是会让我们去证明一个东西叫做。好。这里还有一条线 叫做这个角，我叫角一，这个角叫做角二，会让我们去证这两个角相等。那好，我们现在来开始证明， 这时候我们会去穿直径，先穿一条直径，然后再连接这个弧的另一个端点，那这时候我们可以看到，不难发现，这个角和 角一，它是属于同弧所对的，什么圆周角，那么它们必然相等，都是角一。好，那另外呢？ 因为我 m 一 k 一 r 一， 它一定是穿过直径的，以直径为边的三角形，所以它这个角一定为直角，那么也就给到了这个角三。 给到角三，角一加角三一定等于九十度。是否清楚角一加角三等于九十度，又因为这是一条切线，所以角二加角三等于九十度， 那么最后给到了角一等于角二，各位老师是否明白？明白扣一。好，接下来我们再讲一个 弦切角，讲完了我们再来一个香蕉弦。定啊，什么叫香蕉弦？什么叫弦呐？ 来，给到一个圆，给到两条线，随便怎么穿，这就叫相交的弦有交点，两条弦叫做相交弦。那么这时候会给到一个结论，叫什么？叫 我以这条边为 a 边好吗？这条为 b 边，这条为 c 边，这条为 d 边，这时候会给到 a 边乘以 b 边，会等于 c 边乘以 d 边。为什么？ 我也想知道为什么？那你接着往下看，首先我连接一下它，我再连接一下它，那么我们就会有到一个小对顶，小小的对顶角给到了我们很舒服。 那一个对顶角之后，我们是不是刚学了圆周角圆心角定理啊？同弧所对的圆周角，这一个圆周角，这一个圆周角直接给到相等，我们把它都叫做角一。 另外这边 ts 一 是不是也是一条弧啊？这条弧往这边撇，撇到这个角往这边撇，撇到这个圆周角，那么它们都叫做角二。所以这时候这两个三角形是不是直接给到相似？ 相似的话，那么我们就会有大三角形的 a 比上小三角形的 c， 会等于大三角形的 d 比上小三角形的 b， 所以 最后交叉相乘就是 ab 等于 cd 好 结束下一个 切割线定。什么叫切割线定？顾名思义，一条切线，一条割线。 好，一样的道理，我们找到一个圆仍然圆外一点，它一定跟它有个切点，这叫切线跟它相切。什么叫割线？直接把它一割，这叫做割线。好，这时候我们 先去探究，我先把 c 二、 b 二一连，然后再把 b 二、 d 二一连，那这时候给我们的一个启示就是我们刚也学了，刚也学到一个旋切角，对吧？旋切角会给到我们这个切的角会等于内部的这个角， 这两个角我们都叫做角一。这旋切角刚讲过的。另外我们找到这两个三角形 d 二、 e 二、 a 二和这个三角形，它们是不是有一个公共角？ 好，所以在这种情况下会给到我们，我仍然把这条叫做 a， 然后我把这条长的叫做 b， 最后我把这条短的叫做 c， 那他会给到我们什么呢？我们来探求。因为这两个小，这这个小三角形和这个大三角形相似，所以我现在用小三角形的最长的一条边叫做 a 去比上大三角形最长的一条边叫做 b， 会等于小三角形的最短边 c 去比上大三角形的对短边 a， 也就是交叉相乘，会给到 a 平方，等于 b 乘 c， ok， 往下走，那应该只剩下一个了。 最后一个就是 割线定律。好，割线定律，我们说切线定律是两条切线，那割线定律呢？就是两条割线了，那同样的道理，圆外取一点，跟他割，跟他割， 割完之后我来描点，这时候解到我们的是什么呢？ 我现在来把它描清楚，我把这一条也就是叫做 a， 我 把下面这一条叫做 b， 我 把这一条整的叫做 c， 我 把这一条整的叫做 d。 好， 辅助线做起， 他就是一直在操控圆心圆周，圆心圆周角就是一直在操控，我现在连接这两个，再连接这两个来，大家看好这两个三角形，首先给到一个对顶， 很舒服。另外同弧所对的圆周角是不是这里一个，这里一个，那所对的圆周角我们都叫做角 e 是 不是相等？那 b 的 剩下一个角一定相等，所以这两个三角形一定是给到相似， 那给到相似之后呢？ 会干嘛？但其实我们探讨的是 这两个大三角形，也就是这一个。我刚只是说给大家把条件给捋清楚， 这两个大三角形也一定会相似，首先他们有一个圆周角，另外他们有一个公共角，对吧？所以我用这边的三角形的 长边去比上这边三角形的长边，等于这边三角形的短边就是 b 了，它的短边在这里，它的短，下面三角形的短边在上面 b 比 a 吧，所以就会有到 a 乘 d， 等于 b 乘 c， 也就是 短的乘长的等于短的乘长的。好，所有的东西八大定律讲到这里为止，那么下面我们开始实战。 好，各位老师，我们刚才学完了八大定律，相信大家学完之后感觉有一身功夫无处施展，那我们现在先来拿一道小小的圆来开一下位 湖北省一模涉及到的知识点，圆周角切线判定与性质。弧长的计算，我们直接来看 条件， a、 b 直径 c， d 在 圆上角 e， a， c 等于角 d， 角 e， a， c 等于角 d。 哎，这不就是我们刚正的一个什么 旋切角定力，记得不？旋切角定力。好，旋切角定力直接给到我们，那我们来正切线，正切角定力直接给到我们，那我们是不是直接正它就行了？正它等于三十度就行了。 好，我们不难发现，不难发现什么？我们有一条弧 a、 c， 它给到了两个圆周角，其中一个叫角 d， 那 另外一个叫角 b， 也就是说角 d 等于角 b 等于六十度，所以角 b 也等于六十度。那么剩下的一个东西，因为 ab 是 直径， a， b 是 直径，直径会干嘛？那他所在的三角形，这个圆上的这个角一定是九十度，那这个六十，这个九十，剩下给到他是三十度，所以非常简单吧。所以这个角 角 b， a、 e 等于三十度加六十度，也就是九十度。好，这是第一个， 那第二个，若 b、 c 等于四，那 b、 c 等于四呢？求略弧。好，这里再给大家拓展一下，什么叫略弧？略弧就是短的那条。 什么叫优弧？优弧就是长的那条嘛。比如说我们给到一条旋旋 a、 c， 它的略弧是这条短的，它的优弧反而是这条长的。 好吧，那么我们要求弧长，还记得吗？ l 等于三百六十分之 n 乘以什么 二拍 r， 也就是周长。好，现在摆在我的面前，我们肯定要去连接 o、 c 吧，包括这个角我们很容易得到三十度，三十度给到他就是一个一百二十度，所以这是 n 三百六十度，分之一百二乘以二拍 r。 现在我们唯一要解决的是 r。 好， 这里等于四，那这个角等于六十度， 那这两条都是半径吗？ oboc 都是半径呢，这个也是六十度喽，那所以它就是一个三角形， obc 就是 一个等边三角形，等边三角形，所以它三条边都会相等，也就是我们的半径一定会等于四。 好，把它放进去，三百六十分之一百二十乘以二派，二派乘以四，也就是三分之一 乘以八派，也就是三分之八派。好，我们看下一题。好，来到我们的第二题，我们说这个难度肯定是依次增加的。我们来看，在三角形 a、 b、 c 当中， ab 它要等于 a、 c 啊，然后给到 d、 f 垂直，那我们要正切线，正切线连半径， 没连半径我就去连半径，我不连，我都不知道这个角是不是直角，也就是说我连完半径之后，我要证明这个角是直角就可以啦。好，题目给了什么条件呢？只给到 a、 b 等于 a、 c， 那 a、 b 等于 a、 c 有 啥用？ 我们可以看到 等边对等角，这两个角会相等，那另外我的 o、 b 等于 o、 d 啊， 是不是这个角和这个角就相等呢？也就是说角 o、 b、 d 会等于角 o、 d、 b 这两个角相等。另外我们 a、 b 等于 a、 c 会去给到角 o、 b、 d 等于角 a、 c、 d， 那 最后就是 o、 b， d， o， d， b， o， d， b， 这个角等于 a、 c、 d， 这个角等于这个角，说明什么？它们是同位角，同位角相的两直线平行，那么直接给到 o、 d 平行， a、 c 两直线平行，那么我的同旁内角互补了，所以角 o、 d、 f 会等于九十度，所以是切线 好吗？好，来看第二个，若它的半径为三角 c、 d， f， 角 c， d， f 等于十五度， 那它等于十五度的话，让我们求阴影部分面积，我们知道要求阴影部分面积一定要把它放在一个扇形里面，所以我们这里肯定要去连接 o、 e 的， 包括阴影部分。我们最后肯定是表达成 s 扇 去减掉 s 三角形 a、 o、 e 没问题吧？扇形减掉三角形 a、 o、 e， 那 么扇形的面积我们先来处理掉， 我们说公式是什么？三百六十分之 n 乘以 pi 方，那这个 n 是 我们要处理的， r 是 给到我们的 n， 那 这个角等于多少度呢？题目给了十五度，这个是 九十度，那给到这个角是不是只剩下七十五度？七十五度，那说明这两边都会成为七十五度， 那七十五度在三角形 a、 b、 c 内，这个角就剩下一百八，减七十五，减七十五，就剩下三十度，那三十度。而且什么 o， a 要等于 o、 e 都是半径，所以这个角也等于三十度，那么给到这个圆心角就会一百二十度。 好，所以扇形面积可以直接求出来，一百二十除以三百六十乘以 pi， r 方就是九，那这里给到的是 三分之九 pi， 也就是三 pi， 三 pi 减垂减三角形 a、 o， e， a， o， e 的 面积我们怎么去求？那肯定会做到一条垂线， 垂线三十度，九十度，那每边都是分到六十度，我们知道半径为三，那么三十度左右的直角边等于斜边的一半，所以这里给到的是二分之三，那我们可以把这一条 o h 当做高，我们来探求 a e 的 长。 好，我们先求 a h， a h 可以 通过一个勾股定律来得到，也就是等于 o a 的 平方减掉 o h 的 平方。好， o a 的 平方等于多少呢？ o a 的 平方三三得九，减到 o h 的 平方二分之四分之九也是根号四分之三十六， 减掉四分之九等于根号四分之二十七，也就是二分之三倍根号三， 那我们 a h 等于这么多，我们要的是 a e， 因为我们要把 a e 来当做底，等于二乘以 二分之三倍根号三，也就是三倍根号三了。好，这是 a 的 长，那我们三角形的面积等于二分之一的底乘以高，二分之一 a 一 乘以 o h， 那 就是二分之一乘以三倍根号三，乘以高是多少？二分之三， 那最后给到了四分之九倍根号三，好，最后就是三派减四分之九倍根号三，这就是 s 音呐， 好吗？好，我们来看到第三题，外接圆外形勾股定律。好，圆结合勾股定律是非常普遍的垂记圆周角，如图， 它是三角形 a b c 的 一个外接圆，然后有一个角平分线。好，又给到 fa 等于 f。 一， 要我们干嘛呢？要我们求证 cd 垂直 ab， cd 垂直 ab。 哦，这又不是正切线的问题了。 那么首先我会怎么去做？我会由条件去生条件，这是我的角度， 我看到这两个边相等，我会想到角相等等，边对等角，也就是角 f、 a， 一 会等于角 f、 e、 a。 另外延伸扩散直接来到一个对顶，是不是又会等于角 c、 e、 d， 那 这两个角相等？另外我们看到了同弧 所对的圆周角相等，也就是角 a 和这一个就是我们的角 e、 c、 b 也会相等，这四个角都相等了，对吧？那四个角相等之后呢？我们就开始 我们知道 ab 是 直径，所以角 a、 c、 b 一定会等于九十度，没问题吧？所以这一个角一定等于九十度， 那等于九十度，也就是说我这里的一个小角，我换种颜色，搞错了，不好意思， 我换种颜色，也就是说这个绿色的角加红色的角会等于九十度， 对吧？那我们再来看，我们要证明它垂直，是不是要证明这个角为九十度？那这个角等于哪个角呢？我现在来表达一下， 角 c、 d、 b 作为三角形 c、 e、 d 的 一个外角，它会等于角 c、 e、 b， 也就是我们说的 c、 e、 d 都是一样的，我们尽量写成一样等于角 c、 e、 d。 加上这个角，也就是 e、 c、 d 会等于多少度呢？那 c、 e、 d 它一直摆在这里不动， e、 c、 d 呢？ e、 c、 d？ 因为这里还有一个条件我们没去用它， e、 c、 d 其实是会等于 叫 a、 c、 e 的 好，现在已经转化成了 c、 e、 d 和 a c、 e 它们之间的关系。 好吧，我们又知道 a、 c、 e cd 会等于什么？ cd 就是 等于我们的 e、 c、 b 嘛，也就是这个角， 所以最后两个角加起来是不是又等于九十度，对吧？看明白没？ 这个绿色的角加红色的角是要等于九十度的，这是毋庸置疑的。然后这个绿色的角我放在这里不动，我去解决红色的角， 我们这里列出来是这个红的加这个绿的，那这个红的可以转移到这里，所以它们加起来等于九十度。好，接着我们第二问，他说 f m 垂直， 垂直为 m， 现在告诉我们 o m， 我 们把已知条件先模上去，先不要把数字写进去，不然等下占太多地方这两条的边界了，要我们就去去求 cd， 那 我们包括第一位，这个角等于直角，这个角等于直角，对吧？我们要求 cd， 但是其中有一个条件是给到 o m， 所以我们要充分利用这条边，一定要找到这条边所在的三角形，只有这一个吧？要用到这条边，又要用到这个垂直，要条件充分利用，那一定要连接 o f， 是吧？毋庸置疑的东西。连接 o f 之后，我貌似看到了，如果我要把这条边与 a、 c 它们关联起来，我一定要用到相似。 好，那既然说到相似，我们就会去找角。我们来看我们学的圆周角定律，一定要多用 圆，太灵活了，一定要去用。我一眼看到 a f 所对的圆心角是角 a o f， 它圆心角一定会等于它所对的圆周角的两倍，也就是等于两倍的角 acf， 对 吧？这一步没问题吧？这个角一定等于两倍的 acf。 另外 a、 c、 d 的 平分线，那说明这两个角相等，这两个角相等，也就是说我们的角 a、 o、 f 一定会等于角 a、 c、 d， 对吧？好，我现在直接把这两个角给它抹红，那这两个角相等够不够？不够？为什么？因为我们要求的是 c、 d， 我 们还差一条边。我们再来拓展，我们说第一问，求出了这四个角会相等，那我们可不可以转移这个角，直接转到这里来？ 这个角 b 是 不是和 a、 c、 d 相等？ 我们刚第一位已经证明出来了，对吧？所以它又会等于角 abc， 那 到这里为止，我们的相似三角形就找出来了， 这一个一定是要保留住的，这是一个，另一个就是 abc。 好， 同学有疑问，为什么我们不拿三角形 a、 c、 d 和三角形 f、 m、 o 勾相似，而拿 abc 和它勾相似？这里有个非常关键的点，我们可以看到 小三角形有一条 o、 f， 大 三角形有一条 a、 b， 它们是不是分别是半径和直径？那是不是相当于直接给了一个条件？如果说我们用 a、 c、 d 的 话，我们会少条件，我们会找不到比例关系， 所以我们会有这种选择好吗？那么角三角形 a、 c、 b 和三角形 f、 m、 o 是 相似的，那相似我们有什么？有 o m， 有 a c， 有 o m、 有 a c， 那好，我来找到 o m 作为小三角形的短直角边，它一定要比上大三角形的短直角边，也就是 b、 c 吧？会等于 我来拿半径，也就是 o、 f、 o、 f 作为它的斜边，也就是比上大三角形的斜边，也就是 a、 b 吧。这个我们可以直接扫出来一个半径，一个直径，是不是直接等于二分之一，对吧？另外 o、 m 给了我们 o m 是 等于一的， o m 是 等于一的，那么 b、 c 是 不是 b 的 等于二啊？那 b、 c 等于二，另外加上我们的 a、 c 等于四倍根号三。好，到这里为止，同学们发现什么东西吗？我们要求的是 c、 d 叫做什么内高 等面积法直接走起，勾股定律都用不到，对吧？等面积法一定会是二分之一的 a、 c 乘以 c， b 会等于二分之一的 a， b 乘以 c， d， 二分之一直接砍掉 a， c 四倍，根号二乘以二 会等于 ab 乘以 cd。 哦，不好意思， ab 还是要算一下， ab 等于勾股定底的话，就是 ab 等于根号四十六，三十二，三十二加四吧，根号三十六， 那根号三十六，也就是我们的六。好，这里给到六，所以 cd 最后会等于什么？ cd 会等于 八倍根号二，去除一个六，也就是也就是三分之四倍。根号二好，结束。好，我们来看到第四题，云南的云南，它是把这个圆作为最后一题的， 所以我这里第三题打成了红色。好，我们来看 圆， o 是 四边形， a、 c、 d、 e 的 外接圆， 然后点 d 是 略弧， c、 e 的 中点好，然后在略弧上取一点 b， 使得 bc 等于 c 均，然后又使得角 a， c， f， a， c， f 这个角等于 f， a、 h。 好， 来看第一问，若角 c、 a、 e 等于四十五度，求角 c、 d、 e， 哎，这是什么？ 这不就那一节四边形吗？啊，圆是四边形 a、 c、 d、 e 的 外接圆，那么反过来 四边形 a、 c、 d、 e， 那 是不是它的内节四边形啊？你外节，我就是你的内节嘛。内节四边形有什么对角互补，也就是说角 a 加角 d， 也就这个 c、 d、 e 嘛，要等于 严谨一点，角 a、 c、 e 加角 c、 d， e 要等于一百八十度，也就是他给到的四十五度，那他只剩下一百三十五度，还是比较简单啊，就是一个内接四边形，这个用的特别多。好，我们来看。第二位 求证是切线，那求切线干嘛？连半径对吧？求切线，连半径，我们可以发现，我们可以发现什么 在于因为 c f 它就是一条直径，所以这个角一定会等于九十度。 我们现在要证的是角 o a、 h 等于九十度。我们不难发现一个东西，叫做它们这两个角有一个公共部分，也就是 o a f， 也就是说，也就是说什么我只需要求这两个小丁点给它涂黑，这两个小黑部分相同就行了， 只要，只需要求它们相等就行了，只要它们相等，它们加上这坨小绿都是九十度。那好，题目给了这两个角相等，这两个角相等，那我的角 a、 c、 f 会不会等于角 o a、 c 毋庸置疑，都是半径嘛，等边对等，角相等是吧？而且这两个角相等，又因为这两个角相等，所以什么等？量代换就给到了角， 给到了角 o a、 c 一定会等于角 f a h， 那 这两个角相等，它们都加上 o a、 f， 是 不是都会等于九十度？所以它是切线。好吧。 第三问的话，我把它标红了，就是感兴趣的同学可以去做。然后我会在另外一个作品单独发出来，因为这个步骤实在太多了，我不想 浪费大家太多时间。好吧，下节课感兴趣的我单独讲。来到我们的最后一题来，我们直接看， a b、 c 都是圆上的点， a e 切好，这是一个点切，我就赶紧把这个直直角画上去。好， c e 以相交于，然后 a e 平行，平行， o b o c e 等于三十度，那么 a b 等于三倍根号二。第一问，看一下要我们求圆的半径， 求半径的话，我们可以看到通过平行我们可以得到一个叫做内错角的东西，那么这个角叫直角，所以这是一个什么三角形？三角形 a o b， 它是一个等腰直角三角形。 我们知道等腰直角三角形的斜边等于直角边的根号二倍，那么反过来，等腰直角三角形的直角边等于斜边的除以根号二，那就是三了吧。所以半径直接送给我们。 好。第二问，若 a c 为直径，求线段 a e， a e 的 长，先看它还弧 a、 f 的 长。 好，首先我们求 a 一， 我们知道三角形 a、 e、 c 是 一个 r t 三角形，也就直角三角形。另外给了我们一个角度，叫做三十度，那三十度所对的直角边，我设它为 x， 等于斜边的一半。我可以构建一个勾股定律吧，那这里 o a 是， 他说 a c 是 直径，那这里也是三喽。所以勾股定律 e c 的 平方等于 a 一 的平方，去加上 a c 的 平方，也就是四， x 平方等于 x 平方，加上六六 三六三十六，那三 x 平方等于三十六， x 平方等于一十二， x 等于二倍，根号三。好，这是 a e 的 长， a e 等于二倍，根号三。那另外一个无 f 的 长，我们再来回顾一下，无长怎么算？等于三百六十度，分之 m 乘以周长分到高边二百二吧。 那我们要的是什么？现在唯一要的就是这个所占的圆心角的度数 r 知道了是三，那我们是不是要去连接 o f 啊？连接 o f 好，关键点来了，这里用到了一个球弧长，又用到了一个圆周角定里，同弧所对的圆周角会等于他所对的圆心角的一半，那反过来，他所对圆心角等于他所对圆周角的两倍，也就是六十度，所以这里给到六十度，也就是六十除以三百六十乘以二派 半径多少？半径是三三二三得六六六，三十六，三百六除以三百六没了，那就是 i。 所以 弧 a f 等于三，比大小，比大小根号三。在我们的印象中大概等于一点七吧。 一点七，我二乘以一个一点七，那就三点四，那它的拍是三点一四，那所以三点四一定是大于三点一四的，也就是说 a e 一定会大于 a f。 好， 这是第二位 来看到我们第三问，在二的基础上改变点 c 的 位置，使得 c e 平行 a o 二的基础上为二的基础上，那它的基础这还是直角，这还是直角。 我们要直接写出 e f。 像这种说直接写出的哈，又有点，这个出题人就有点在发癫， 他明明不能直接写出，他非要你直接写出。好，我们来看，我们要求 e f 怎么去求？那肯定要把 e f 这一段啊，给他个名分 是吧？你不能让它就孤零零在这里。所以我圆里面最特殊的就是去连接圆心了，我会连接 o f， 连接 o f。 那 我又看到了什么东西呢？我看到了 c f， 它是一条弦呐， 弦，我们刚才讲过什么定力垂进定， 就是我过圆心做一条垂直于弦的线，它一定会平分这条弦，也就是说我过圆心连接这个角也是直角，那这个角也就是过这里延伸吧。 这两个是直角，我说了 c e 平行，它平行 o a， 那 四个角都是直角，所以给到我们 a e 四边形， a e 这个点叫 h h o， 它是什么矩形呢？ 那现在 e f 还是没有名分，那什么意思呢？但是我可以转移表达，也就是 e f 等于 e h 减掉 f h 了， 对吧？换一种表达，那这里的 e h 因为它是矩形，是不是等于 a o 啊？ a o 我 们知道哦， ao 就是 半径嘛，就是三嘛。我们要解决的是 f h， f h， 它会等于 h c 呢？ 包括 o c， 它是半径，半径是三，包括这个角我们仍然可以用，它是题目的条件， o c 等于三十度，所以又是勾股定律吧，三十度所对直角边等于斜边的一半，那这个应该是二分之三。那我们勾股定律勾一下， h c 要等于根号三，三得九，减四分之九等于根号九是四分之三十六，那减四分之九等于四分之二十七，那等于二分之三倍根号三。这是 h c 的 长，也就是 f h 的。 哎， a o 知道， f h 知道，那最后 e f 直接给它表达出来吧， 就等于三，去减掉二分之三倍，根号三。好，所有的东西就讲到这里了， 那绕不完的圆，学不完的考点，觉得有用的老师们记得留个脚印哦。那下期我们讲什么，老师们可以在评论区评论。好，谢谢大家。

各位，非常简洁的一道题，但是有很多同学都不会，不信你暂停算一下，今天韩老师来带着大家做一下这道题。题目让我们求 pa 加 pb 的 最大值，给了我们一个半圆，告诉我们直径等于八，这是初三的题目对不对？初一初二的就别别去算了， 高一高二高三，大一大二大三，可以算好已知直径，那我要知道，直径所对的圆周角肯定是九十度的。题目让我们求 pa 加 pb， 也就这个边假如为 a， 这个边假如为 b， 也就是让我们求 a 加 b 的 最大值。 哎，这道题怎么办？没有思路，没有思路。把已知的能算的算一算， a 方加 b 方等于六十四，那 a 方加 b 方是等于六十四的。哎，看到这个想到了什么，那我猜 我给他写成 a 加 b 括号的平方，为什么这么写？因为题目要求的是 a 加 b， 而我这个一写成 a 加 b 的 平方，刚好会出现 a 加 b， 对 不对？它的平方就等于多少，就等于 a 方加 b 方，那就是六十四，再加上 r a b， 对 不对？要求 a 加 b 的 最大值，是不是相当于要求 a 加 b 的 平方最大值？可以同样理解，对不对？那它什么时候才能够最大呢？也就是取决于六十四加 r a、 d 什么时候最大，那也就是 r a b 什么时候最大， r a d 什么时候最大？ a b， 哎， a 乘 b。 哦，我马上想到了， a 乘 b 不 就是这个三角形面积的两倍吗？那不就相当于求这个面积的最大值吗？啊，那这个直角三角形在什么时候它有面积最大值呢？我们 他在动，他在动，算不了，但是我可以把它当成 ab 为底，这个为高来计算，对不对？那此时底不变，高，在上面动动动动动动。那好多同学 来到这里了，对不对？大家都明白了，所以此时这个面积一定是最大的，八乘以 减，八乘以四，对不对？八乘以四，四乘以八，等于三十二，那它 ab 的 最大值应该是三十二。 a 乘 b 最大值是不是三十二？那二 ab 呢？是不是就是六十四？因此 a 加 b 的 平方 就等于多少？一百二十八，他是不是就等于一百二十八？加 b 的 最大值是不是就是根号下一百二十八？老师不花钱你自己去花钱啊。

你家孩子做几何题是不是经常这样，死磕很久也没有思路，但他答案一看，辅助线一画，立马就又回了。但你问他这条线是怎么想到的， 他说不出来，这才是问题的关键。既然想不通，那就找人学，大家就寄希望于补习班了。但绝大多数孩子，哪怕课外一对一旷补，最后在压轴题上的水平仍然没有太大的变化。不是因为孩子的资质不够，而是传统的教辅和补习，都没有触及到攻克压轴的核心。 比如教辅书上的答案解析，通常只是告诉你在这里做一条辅助线，然后解题步骤第一步、第二步怎么做就结束了。他不会告诉你如何精准的找到题目所需的辅助线，而这才是孩子攻克辅助线难题的关键。那绝大多数老师也是已知了答案，再给你讲一遍，还不如孩子自己在家看答案来得快。所以，孩子做了这么多题， 听了这么多课，可能连攻克压轴题所需要的方法和能力，从来没有得到过有效的训练。但其实不管多难的题，他的辅助线都可以通过一个通用的底层逻辑推导出来，但很多老师自己都没领悟到， 更别说辅导孩子了。一旦掌握了方法，领悟了诀窍，辅助线攻克起来会很快。我是于老师，在一线待了十多年，数学我研发的辅助线攻克法已经帮两千多个普娃考上中高。因为我发现了一个秘密，每条辅助线都是有规律可循的， 一旦找到规律，孩子从原先完全想不出辅助线，到后来遇到完全陌生的题，也能拆解成简单题，精准的判断出辅助线的做法。而且面对某道难题， 他还能想出好几种辅助线的做法。如果老师的底蕴足够深，孩子在听他第一节课的时候，就会有种任督二脉被打通的感觉。几何其实就是个纸老虎，只要捅破这层窗户纸，咱家孩子就瞬间成为高手。

hello， hello， 大家好啊，今天呢，我们来讲圆中的线段长问题， 那么这类问题呢，通常出在圆大题中的第二小问，通过给我们一些前提条件啊，然后呢，让我们去求圆中或者图形中的某一个线段长。 那么在上一节课中呢，我们主要来讲圆中的第一小问啊，圆的切线问题该怎么样去做？那么今天呢，我们来讲圆的第二问，通常考什么，怎么做啊？ 我建议大家呢，配合我们上一节课啊的知识点一起使用啊，效果更佳。好，那圆的第二问通常考什么呢？ 通常考两大类型啊，第一类呢是考不规则图形的面积，那么这类问题呢，我们通常是通过一个组合图形的大面积减去一个小面积啊，最终会求我们求出我们一个目标图形的面积。 那么在这个过程中呢，我们需要牢记两个公式，第一个公式呢是我们的弧长公式，第二个公式呢是我们的扇形面积公式 啊。第二类大考法呢，就是考我们一些线段长或者一些比例，那么这类问题呢，就是我们今天要讲的核心， 那圆中的线段成问题怎么解决呢？我们会有一个主要的思路，首要你必须要跟我们圆的第一问啊 密切结合起来，一般的圆的第一问可能给你一些最终条件，比如说出现了平行，出现了怎样三角形，我们第二个呢都是要用到的。第二个呢，我们要常常 把圆和勾股定律以及相似三角形结合在起来啊，我们一般考圆的大题第二问呢，不单单是考圆的知识点，还会跟我们的这个勾股定律以及相似三角形结合起来，那有同学就问，为什么呢？ 因为大家想一想啊，呃，勾股定律以及相三角形，还有我们的全等三角形，都是在我们初中作为一个 工具使用的，但大家翻一下中考的历年试卷，可以发现，一般我们的全的三角形，它设为单独出一个大体的哎，它可以当主角， 但是我们的这个勾股定律，还有我们的象三角形，他们一般不单单的不单出一道大题吧，对不对？哎，那他只能当一个配角，那既然是配角的话，他很可能就怎么样？对，他可能去串片场，对啊，串片场。 所以呢，他通常会跟我们的其他知识点，比如说元，比如说我们的二次函数记在一起啊，也就是说他今天啊，他们两个知识点呢，会经常的徘徊，然后说，今天是什么话啊，对吧？ 好，第三个呢，我们要注意题目中有没有什么隐藏的讯息，比如说题目中如果给了直径，你发现第一问没有用到，第二问呢，绝对就要说，因为直径所对圆周角为九十度， 如果题目里面给了角平分线，你发现第一问没有用到，那么待会呢，肯定就要用到啊，角平分线得到两个相等的角，然后同弧所对圆周角相等 啊，这都是隐藏的讯息。所以我们做第四路是什么？第一个，我们要结合第一问，第二个，我们要时刻去想，这道题能不能跟相似三角形挂钩，能不能跟勾股定律挂钩，如果题目里面垂直出现的多，哎，那勾股定律， 那如果一道题目里面相等的角出现的多，那么就是相似三角形啊。最后 我们要注意题目的一些隐藏讯息有没有出现，直径有没有出现。讲平线，我第一问有没有用到，第一问如果没用到的话，我第二问就百分百要用到。好吧，那么希望大家呢，用这三个思路啊，去解决语言中的性冷场问题，千万不要被他杀杀杀了啊！ 好，那么现在呢，我们来讲一个啊，真题，如图， ab 是 圆 o 的 弦，过点 b 做直线， e、 f 以 o 为顶点做 角 a o c 等于九十度。然后呢，告诉我们 c 位等于 c dog， 那 既然 c b 等于 c dog， 那 么我们的这个三角形 c、 b、 d 啊，它就是一个等腰三角形。 既然是等腰三角形的话，我们就可以得到角 c、 d、 b 等于我们的角 d、 b c 啊，又因为对顶角，所以它还等于我们的角 a、 d、 o。 好，那第一问呢，让我们去证 e、 f 跟圆 o 的 位置关系，我们瞟一眼就知道啊，它绝对是相切的。那么对于这类相切的问题，我们上期说过了，有切点，我们怎么样对，我们要连切点啊，所以我们把我们的 o、 b 啊连起来 好，连完 o b 以后呢，我们自然而然又得到了一个等腰三角形啊，因为 a o 等于 b o， 所以 我们的这个三角形 a o、 b， 它也是一个等腰三角形。 那么在这个等腰三角形里面，我们可以得到我们的角 o、 b a 的 啊啊，因为我们的角 a、 d、 o 加上我们的角 o a、 b， 它是等于九十度的，而我们的这个角 a、 d、 o， 它是不是等于我们的角 d b、 c， 而我们的这个角 o a、 b 又是等于我们的角 o b a， 那 它俩相加是不是也是等于九十度？那么第一问呢，就正 b 了啊，我们的 e、 f 跟 o b 就 垂直了。好，接下来我们来看我们的重点啊。第二问， 第二问，它告诉我们这个圆的半径呢，是三，那么我们给它半径给标一下，都是三， 然后他告诉我们一个正切啊，角 o a、 d 的 正切是等于三分之一。 那如果题目里面出现了三角函数，大家一定注意，我们一般呢必须要把它放在一个直角三角形里面。有同学说，如果题目里面没有直角三角形呢，那么我们就需要去人为创造一个直角三角形， 并且在这个过程中，我们是不能怎么样对，不能破坏特殊角的啊。好，那这道题目里面呢，本来就给了我们直角，所以 因为正切是对边比零边，那么我们根据这个条件就可以知道，在我们的 r、 t 三角形 a d o 中， 我们的 d o 比上我们的 a o， 也就是这个半径啊，它是等于一比三的，所以我们可以得到我们的 d o， 它就是等于一。 那题目里面让我们去求 bc， 而 bc 呢，跟我们的 cd 是 相等的，出现相等线段又是所求线段，我们就可以设它为 x。 那么设完以后，我们结合第一问，第一问的条件要用到我们的这个角 o b、 c， 它是等于九十度的，所以我们可以把它放在一个直角三角形中， 我们可以得到 o c 的 平方，就等于 o b 的 平方加上 b、 c 的 平方之隔。 那么我们的这个 o c 呢，它是等于我们的 cd 加上 o d 的 cd 现在就是等于 x， o d 是 等于一，所以就是 x 加一的平方 o b 啊，就是 x 的 平方 bc， bc 啊。啊，哦，对，说错了啊， bc 才是 x 平方啊， o b 就是 我们的半径啊，等于三的平方啊，然后大家解一下这个 x 就 可以了。 好，接下来我们来看第二问。第二问呢，是我们安徽的一道中考题， 如图，在四边形 a、 b、 c d 啊，它的顶点都在半圆上， 这边产生了很多内接四边形啊， ab 是 圆 o 的 一个半径啊，那待会，待会肯定要用到这个啊，直径啊，待会肯定要用到这个条件啊，百分百会出现一个直径所对的圆柱角是九十度啊，连接 o c， 角 d a b 加上两倍的角 abc， 它是等于一百八十度。 第一问，让我们去正 o c 平行 a d， 那 想正平行的话，要么同位角啊，要么内错角，对吧？那这里面呢，我们这个两倍的角 abc 一 出，我们看啊， 因为 o b 跟 o c， 它们都是半径都是相等的啊，所以我们的这个角 o c b 就 等于我们的角 o b c， 那想要有两倍的角 a b c， 那 么我们只要有一个角，等于这两个圈角之隔就可以了吧。那利用外角的知识点，很明显，我们的这个角 a o c， 它就是等于角 o c b 加上角 abc， 那 就是等于两倍的角 abc 的。 所以这个题目呢，其实想告诉我们，角 d a b 加上这个角 a o c 等于一百八，那么这两个角是什么关系啊？ 对，同旁内角，对吧？所以我们直接就说，因为同旁内角互补，所以 o c 平行 a d。 好 吧，好，那待会呢，这个条件我们第二问大概率也会用到，所以我们把它圈出来。好，我们接下来看第二问。 若 a、 d 等于二， bc 等于二，根号三， 让我们去求 a、 d， 也就是去求这个直径啊，那求直径的话，我们可以设半径是小 r， 那 么我们可以发现啊，这个 a 到 a、 d， 还有我们的 bc， 这两条边虽然给了，但是它们相距甚远啊，几乎没有联系， 那我们该怎么样解决题目呢？哎，我们说了，这边 a、 b 是 半圆 o 的 直径，这个题目这个条件九九还没用到对不对？那我们理应去连接两个线段，然后 产生一个直角，对不对？产生个直角，那么这里面呢？我们连接谁啊？通过尝试我们可以知道，我们应该是连接 b、 d 啊，而且一旦连接 b、 d 以后，我们就会发现啊， 发现什么？首先我们的这个角 a、 d、 b， 它肯定是一个直角， 因为它是直径所对的圆周角。其次，因为我们的 o、 c 是 平行这个 a、 d 的， 那就意味着产生了一个平行， 那么我们的同位角就会相等啊，所以我们把这边这个点就很重要，我们标个它一个一， 我们可以得到我们的角 o、 e、 b 也是等于九十度。看到这里你就发现出现了什么对垂筋定律啊，垂直于弦的直径平分这条弦及其所对的弧 啊。那么看到这边出现了一个全运定律，我们大概就知道，待会我们又可以用勾股了啊。题目里面如果直角出现的多，我们就用勾股，如果相等的角出现的多啊，我们就用相似啊。那么这里面呢， 我们可以快速的得到三角形 o、 e、 b 跟三角形 a、 d、 b 啊是相似的，或者你用中位线也可以，那么我们可以得到 o e 呢，它就是等于一 啊，那么我们的 c、 e 呢，它就是等于小二减一， 那么我们怎么去建立一个勾股方程呢？在这里面呢，我们没有办法直接的去表示这个 b、 e， 所以 我们可以用对用两个勾股方程作连力，因为我们首先这个 b、 e， 它既存在于我们的三角形 c、 e、 b 中，它也存在于我们的三角形 o、 b、 e 中， 所以我们可以得到 b 一 的平方，等于 b、 c 的 平方减去 c 一 的平方，那么也就是说它等于二根号三的平方，减去二减一的平方。 与此同时，在三角形 o、 b 一 中，我们的 b 一 方，它是等于 b o 的 平方，减去 o 一 的平方，那它也就是等于二的平方减去 一的平方啊，然后我们只要让他们俩相等啊，最终把这个二给解出来就行了。 好，今天的知识点就讲到这里，希望大家呢能多结合我们讲的这个三要素来解决圆的第二问，不要畏惧啊，能用的这些工具就这些好，欢迎大家的收看。

中考数学压轴题，你可以闭眼写答案得到消息了！最后三道压轴题，元二次函数几何综合大题，范老师给你三个口诀，直接让你拿满分！第一个考你元口诀来了，见等闲坐垂镜 见弦中点连半径见直径连直角见呼中点连圆心见切线连切点定点定长画个圆。第二，二次函数求解析式已知三点设一般已知顶点设顶点，已知交点设交点。让你比较函数值 离对称轴越近，函数值越小，离轴越近值越大。让你求不等式解集，图像在上取中间，图像在下取两边。 第三个，遇见几何综合大题，一般会涉及到三角形上，口诀，见十五，做中垂见三十做垂线见四五沿两线，幺二零补直角见等腰连中点见中垂，连两端。记住这三个口诀，压轴题满分到手！

学霸的辅助线是怎么想到的？这道题目也告诉不了你答案，读题这道题目给你 b c 长为二，让你以 a b 为边，做出这么一个等边三角形。同样的，这边 a c 也做出了另一个等边三角形，让你求的是 b p 的 最大值。 就以这道题目给出了这么一丢丢条件来看，百分之九十九的同学百分百不敢说啊，他要画这个辅助线是画不出来的。当然，你也可以听完这道题目，去感受一下这道题目的难度， 再配合曾曾老师为你特别整理的数学幺二零之压轴题专项专列，挑战一下类似题目，看能不能一马当先吧。当我们提到啊，这边出现了一个等边三角形，而这里呢，还有这么一个直角三角形，所以这个直角三角形应该和这里等边三角形是连在一块了。当遇到这种情况的时候呢，我们 一定要对它进行一个处理。你看，公共的顶点出发得到了一二是相等的，所以我要做的应该是沿着它也构造一个等边三角形，把 b c 给拿过去。 由于黄边对黄边，蓝边对蓝边分别相等，二者形成的都还是等边三角形，所以你是六十，你也是六十，中间的公共部分去掉的话，所以剩下的两个小圈角，它和它一定就是相等的了。此时我们不妨连接 d f 那一组手拉手型的经典全等就在这里出现了哦，来记录一下吧。三角形 b、 d、 f 全等于这边三角形 b、 a、 c 全等于一句 s a s。 由于这组全等，所以我 a c 就 找到了它的对应边，等于这里的 d f， 而这边 a、 c 和 a、 e 又相等，所以 d、 f 等于 a、 e 我 就算出来了， 那导它有什么用呢？不要忘记了，我以 a、 c 为边，也做了一个 a、 c、 e 的 等边三角形，那么没开二度，我是不是同样的也可以在这边构造一组手拉手呀？来吧， 公共的顶点 c 点 c， a、 c、 e 相等。我们沿着 c、 b 画一个等边三角形。由于刚刚的第一趴已经帮我把这个等边画出来了，所以我只需要连接 e、 f。 第二组手拉手形的全等又出现喽， 这里是我们三角形 c、 e、 f 全等，于这里 c、 a、 b， 那 这组全等又能带给我什么呢？其实很简单啊，对应边相等嘛。所以这边 a、 b 所对的这条 e、 f 应该又对应相等了。那由于 a、 b 所在的又是一个等边角形，所以它和 a、 d 也应该是相等的。 那到这里呢？你的目光应该会被这么一个四边形所吸引，在四边形 a、 d、 f、 e 当中，两组对边分别相等，这是一个什么四边形啊？ 平行四边形对不对？所以这边我们有了一个平行四边形 a、 d、 f、 e， 而 p 点呢，刚好是平行四边形对角线的一个终点。既然如此，这个时候只要你去连接这里的 a、 f， 终点的位置就应该是我 p 点所在的位置啦。 我要求的是 b p 的 最大值，我现在已经找到 p 在 哪喽，那怎么能把 b p 的 最大值给求出来呢？题目做到这里，你不难发现，这里出现了一个 b、 c、 f， 这是一个什么图形啊？等边三角形对不对？而等边三角形下，这里 abc 与它共边的还是一个直角三角形。 不管你脑子里现在出现的是三线合一，还是直角三角形的斜边中线定力，你都应该把 b c 的 中点给找出来，来动手吧！点出中点 m， 利用斜边中线定律， a m 的 长度应该等于 b c 的 一半为二，再用三线合一，所以 f m 应该是垂直于底边 b c 的， 利用的是等边三角形，三线合一。而且由于是等边三角形，所以这边出现的这一半的三角形呢，应该是一个三六九经典直角三角形，它的短直角边为一我是已经知道的，所以这边长直角边 f m 应该得到一个根号三。你是根号三， a m 长为一。 那你们俩共同构成的这个三角形，好像就是我的目标三角形吧？为什么呀？因为我知道 p 点是 a f 的 中点啊，我不妨把这里另一个中点给点出来， 那 p n 不 就变成我三角形的一条中位线了吗？所以这边利用中位线定律， p n 的 长度应该得到整个 a m 的 一半，也就是二分之一。我用红笔标注一下啊。 而由于 n 点还是整个 m f 的 中点， m f 为根号三，这边不就是二分之根号三吗？所以 b n 的 长度，我又可以利用勾股定律来求了，这是二分之根三， 这边呢，得到一个一，所以斜边勾股定律二分之根号七。在这么一个小小小 p n b 三角形当中， p n 为二分之一， b n 为二分之根号七。而我要求的 b p 根据两边之隔大于第三边， b p 肯定是小于等于这里的两边之隔，也就是二分之一加根号七的。什么时候取到等号呢？三点共线知识啊，所以这里的最大值二分之一加根号七，我也就构造出来了。 看一下整道题目，从最开始的勾到手拉手，到后面的找中卫线，利用斜边中线定底，三线合一，每一条都是你所熟悉的知识，但每一条又很难去真正想到 把几何玩转了，融汇贯通，这种压轴题才能真正的十秒有思路啊！书中数学得加强！青青草原我最狂，关注我，获得更多好题！

这道题呢，由我给大家讲解一下，那么在讲解之前，我们先去读题，对吧？首先第一个，人家说 ab 等于八，我们在这个地方表示出 ab 是 等于八的，并且呢我们表示 bc 等于六，这个角等于九十度。当我们读到这里的时候，其实我们已经知道 ac 是 不是等于十，因为勾股定律， 然后我们想到 ac 等于十的时候，他说大又是 ac 的 中点，所以呢，我们顺便就写上十的一半中点五，那这边是不是也是五？ 好。然后他说 p 点呢，是从 a 点出发，那 p 点从 a 点出发，它的速度是一，然后这道题有说它的时间为 t， 那 我们其实第一个问的时候就可以表示出来，我们的 a p 是 不是应该是速度一乘以时间 t 路程， a p 的 路程是不是就应该是 t？ 好？ a p 的 路程是 t 的 话，我们的 b p 是 不是应该等于八减 t？ 你 这段是 t， 那 么这段是八减 t， 我 们先写好背在这里。 第二个 q 点， q 点是从 b 点出发的，它的速度是一，那我们可不可以写成 b q 也等于 b q 也是等于 t 的， 那 b q 等于 t 的 话，我们的 c q 是 不是表示为六减 t， 所以 我们把 c q 表示好， c q 是 六减 t， 那 我们都把这些表示好之后，我们接着再往后看， 读到这里之后，他说一个点停止，另一个点也停止。那我们想想，这个 t 从这走到这是六，那他的时间是不要用六秒，而这个 t 呢，从这走到这要用八秒，所以 他的曲值范围应该是零到六，因为到六的时候就停止了。可是这道题还挺好，他心比较好，已经给你写出来了 t 的 曲值范围。好，然后我们接着读，说 c e 平行于 ab， c e 平行于 ab， 说明这个角也等于九十度，我们把它标出来， 然后他说 q f 平行于 a c。 好， 这个条件呢？我们先把它放在这里，可能等会做题的时候用得上。现在我们看第一个问， 他要求三角形 a 大 p 是 直角三角形。那我们先来分析一下 a 大 p 有 哪些角可能是直角角？屁，这个角的话， a p 大 有可能是直角，有可能这个角是直角， 但是因为角 a 这个地方他已经定下来了六八十这样一个直角，三角形已经定下来，角 a 不 可能是九十度。 这道题我们应该有两种情况讨论，第一种情况讨论的是 ap 大 等于九十度，那么 ap 大 九十度，也就是这个角对不对？这个角等于九十度。那第二种情况可以讨论到 a 大 p 等于九十度，那么 a 大 p 呢？就是这一个角，就是 p， 如果在这的话，这个角是九十度，那我们先来讨论的是 ap 大， ap 大 如果是九十度，我给大家画一个图，它要是九十度，它是不是得垂下来，是不是在这里？然后我们把这个点写成是 p 点，这是九十度。 现在如果我们要求这个三角形是九十度的时候呢？我们怎么去求 t？ 你 们有没有发现这里有一个很明显的什么形？ a 字形对不对？也就是说三角形 a p 大， 它是相似于三角形 abc 的， 那相似的原因可以是角角吗？也就是 a 字形相似之后，我们把它写清楚， ap 比上 ab 等于 ap， 是 这一段比上 ab 等不等于 a 大， 比上 ac 好， 它是等于 a 大 比上 ac 的， 那 a 大 比 ac 又是因为是中点，所以它们的比值应该是二分之一，所以等于二分之一。 那么我们的 ap 是 多少呢？ ap 在 这里已经表示出来了，我们的 ap 呢，是 t。 好， 那就是 t 比上 ab， ab 是 八，等于二分之一，那这样子我们就可以求出来， t 呢是等于四的。 当然这个题呢，如果第一个问不用相似，可不可以做呢？也可以，因为大点是一个中点，我们可以用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 可以知道 b 大 是等于 a 大 的，用等腰三角形的三线合一也可以挣出来，两个方法是一样的。好，我们再看第二个，如果我们的 a 大 p 要是等于九十度了呢？好，我把这个线擦掉，我们来看看， 那 a 大 p 等于九十度，大概就是这样画的，然后呢，我们的 p 点呢？在这里，那么现在我们现在看看这个地方九十度应该怎么乘呢？也是可以用同样的道理， 你这个角等于这个角，这是一个公共角。那么三角形 a 大 p 是 否相似于三角形 abc 呢？ ok， 它是相似的，所以我们可以写上三角形 a 大 p， 它是相似于三角形 abc。 同理，我们可以把它写出来， a 大 比上 ab 等于 ap， 比上 ac 带进来， a 大 呢，是等于五的，比上 ab， ab 是 多少？ ab 是 八，它等于 apap 是 多少？这里 ap 在 这里， ap 是 t， 我 们都准备好了，它等于 t， 除以 ac， ac 呢是十， 所以我们可以把 t 求出来， t 求出来，答案是四分之二十五。好，那么这两种情况我们都讨论好之后呢，我们是不是就应该写答案了呢？不对， 因为这道题他有说 t 呢是大于零小于六的，你四分之二十五已经超过了这个六的去值，所以因为要写上，因为呢， t 是， 因为 t 呢是大于零小于六，所以呢， t 等于四分之二十五，它是不成立的。好，所以这个第一个问，我们答案 t 只有一个答案是 t 等于四。 第一个问呢，就比较简单，我们只用讨论两种情况就可以了。好，这个问做完了之后，我们现在来看看第二个问，第二个问，他说连接 ap， 连接 q 大， 我们先连接一下连接 ap， 再连接 q 大， 好，连接完了之后，他问我们 apq 大 的面积。 apq 大 的面积，那我们从这个图上其实已经看出来，这个 apq 大 是一个很不规则的四边形，这样一个四边形你不可能用普通的方法就把它做出来了，那我们可以怎么去求呢？我们来看 这个地方的四边形，虽然我们求不出来，但是我们可以用一个大的三角形去减去这些小的三角形啊，对不对？依然也可以表示 f a f q 大 的面积，那么要减的三角形有哪些呢？首先第一个你得减这个三角形吧，就是你要用大的三角形减去 c q 大 吧。第二个你得减这个三角形吧， f q b 吧。 第三个呢，你得要减去 a f b 吧，那么我们的思路很清楚了，也就是说这个三角形 s 三四边形 a f q 大， 它的面积呢，是需要用 s 三角形 abc 减去 s 三角形 c q 大， 再减去 s 三角形 f q b， 再减去 s 三角形 a b f， 这样去求得 这个红色是不是有点晃眼睛？我给你们换成白色试试呢。啊？那我们一个一个来先求这一个三角形的面积，这个三角形的面积我们是不是起码应该要用底乘以高来做 好？那这个三角形它现在目前为止没有底和高，那我们怎么办呢？ ok， 我 们标注一个，我们在这里呢，标注了一个他的，嗯，这个高好，标注完了之后呢，我们给他取一个名字吧。这个地方呢，我们叫做 m。 第一个我们来表示一下它的面积，那么 c q 大， 它的面积需要用 c q c q 在 这里已经知道了，是六减 t， 那 我们需要求 m 大， m 大 怎么求呢？你们会发现这里仍然有一个相似，所以我们可以用相似来求，那因为呢，三角形 c m 大， 它是相似于三角形 c b a 的， 那也就是说这里有一个很明显的 a 字形 c m 大， 相似于 c b a， 我 们把它写出来， c 大比上 c a， 它其实是等于 m 大， 比上 ab 的， 我们把它带进来试一下， c 大 呢是五比上 ac， ac 是 十，等于 m 大， 我不知道比上 ab， ab 是 多少， ab 是 八，这样子，其实我们可以求出来 m 大， 它就等于 四好， m 大， 我们求出来之后，我们现在再来求。第二，也就是说 c q 大， 这个三角形的面积你就可以表示了。现在我们接下来看 f q b 这个三角形的面积怎么求？ 老规矩，我们肯定还是要用底乘以高除以二去求一个三角形的面积。那么我又做了一条线，这个线呢就是它的高，我把这个地方取成 n， 那 么我们这个三角形的面积呢？ b q， 你 知道吗？你知道在这里是等于七的，所以我们重点要求这个 f n， 可是这个 f 点到底走到哪里了？其实我们并不知道，那这道题好像我们就无从下手，因为你现在已经不知道这个 t 怎么表示了，那么我们回来看看这道题有没有条件我们还没有用上。在我们读完之后，我们发现这里有一个条件，我们从头到尾还没有开始用，那我们现在来把这个条件用一下，看看能不能用进去。 首先他说 f q 平行于 a c 在 我们初一的时候就知道，一般说平行的时候是想悄悄告诉你，它的角是相等的，那么我们可以知道这一个角 c 一个角， 这个角我们把它叫做点点，他应该是可以等于这个角点点的，为什么呢？因为两直线平行，同位角相等，所以这个角是点点， 那么同理，因为我们知道呢，这个等这个直角三角形呢，这个大点是他的中线， c 大 是等于 b 大 的，因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，我先把它写上来，因为呢角 abc 是 九十度，并且大是中点， 所以其实我们可以得到呢， c 大 是等于 b 大 的，那么 c 大 等于 b 大 的时候，那这个角其实也应该是点点 好，这样子我们可以得到一个 f b q 其实就是一个等幺三角形的，对吧？但是我把它写完了，所以 c 大 等于 b 大， 小大 bc 等于角大 cb 好。 然后又因为呢 q f 它是平行 ac 的， 所以呢，我们仍然我们就可以得到角大 b q 等于角 f q b， 也就是我表示的这两个角是相等的。好了，这两个角相等的时候，我们可以知道这个三角形 f q b 就是 一个等腰三角形，那这一个等腰三角形有一个最牛的性质叫三线合一， 根据三线合一，我们可以得到 b n 等于 q n， 三线合一代表 n 点是 b q 的 终点，那么我们知道 b q 是 t， 所以呢，我们可以得到这个 b n 也是 t 好， 而 b n 是 二分之一的 t， 二分之一的 t， 那么这一个地方已经有 t 的 表示了。之后，我们现在就可以把我们的 fn， 也就是说这个三角形的高给表示出来了，那么这个三角形的高我把它写到这里啊，好，所以呢，这个三角形的高是什么呢？是 fn 可以 比上 m 大， 是不是等于这段比这段啊？ 那么又有一个相似藏，里面就是 b f n 和 b 大 m， 这里一个相似，那么我们就可以写上三角形 b n f 相似于三角形 b m 大， 然后我们可以得到 f n 比上 m 大， 等于我们的 b n 比上我们的 b m。 ok， f n 是 我们要求的，现在我们先放在这比上，我们的 m 大， 它等于多少？ m 大， 刚才已经求出来是等于多少？这里等于四 m 大， 它等于四，它等于 b n， b n 呢？是二分之一的 t， 比上 b m b m， 其实这个三角形刚才不是已经说是个等腰吗？你这一段不是六吗？所以 b m 其实就是三吗？我们带进来三，所以最后我们可以把 f n 求出来，它等于三分之二 t， 当我们的 f n 已经表示出来之后，这个三角形的面积是不是也搞定了？那这个地方搞定了之后呢？我们最后还要求一个，这一个三角形的面积就是 afb 的 面积，那么 afb 的 面积呢？我们是不是要求这个高？所以我们把这个高也把它捋出来，这捋到这里 好，捋到这里之后呢，我们换一个新的字母来表示一下，我用一个绿色表示为 h， 这样会不会看的要清楚一点？同样的 ab 我是 知道的，现在我主要要求这个 fh 怎么求？ 那同学们 f h 是 不是就特别的好求了？因为你这做的是垂直吗？那你代表 n b h f 应该是一个矩形，对不对？好，那也就是说你可以做一个 f 白色，你做一个 f h， 它是垂直于 ab 的， 也就是说，所以呢，我们的这个四边形 n b h f， 它应该为一个矩形，那它为一个矩形的时候，所以我们的 b n 其实应该等于 f h， 那我们的 b n 等于多少呢？我们知道我们的 b n 呢？在前面已经求出来了， b n 等于二分之一 t， 对 吧？所以呢，这个地方我们也就可以标上二分之一 t， 这样子整个三角形的面积已经被我们捋清楚了，我们来写写 s 四边形，我们的 q f a 大， 它的面积等于 s 三角形 a， b， c 减去 s 三角形 c q 大， 这个是我们刚才写过的，减去 s 三角形 f b q， 再减去 s 三角形 a b， f a 咋又用成红色流？好，然后我们接着写它等于 f 三角形 a， b， c 的 面积很好求二分之一乘以六乘以八，对不对？那么也就是二乘以六乘以八，底乘以高除以二减去减去 c q 大， c q 大 的面积是不是等于二分之 c q 乘以 m 大， c q 是 多少？六减 t， 所以 我们可以写成六减 t 乘以 m 大， m 大 是不是已经被我们求出来？ m 大 是四，所以我们再乘以四，再减去。好，三角形 f b q f b q 是 不是在这里？ b q 我 们也知道 b q 呢？前面写过 b q， 在 这里写过 b q 是 t， 那 么就直接写上 t 乘以 fn， fn 呢？我们也求出来了， fn 在 这里三分之二 t 是 不是就像填空空一样填进去，最后再减去，再减去我们的 a b f a b f 这个面积也很好求。是不是二分之一乘以 ab a b 是 多少？ a b 不是 八吗？ f n 不是 等于 b n 是 f h 不是 等于 b n 二分之一 t 吗？所以是二分之一 t 乘以八。好，然后最后我们再化解一下，最后我们化解一下它的答案，等于负三分之一 t 的 平方加上一十二， 那么我们第二个问就做完了。这道题其实没有什么太大的难度，全部都用了一个相似的来证，只是说好像计算量稍微大了一点。好，这个你听明白了吗？听明白之后，我们来看第三问， 当我们把第二问做完之后，我们发现第三问好简单呐，因为第三问他要求的是什么？我们自己看，他要求的是这个面积，我们已经求出来了，他说与 a b f 的 面积相等， a b f 的 面积不是我们也已经刚才表示过了吗？所以呢，我们直接带进去算第三个问就很简单了。好，我现在写到下面了啊。 第三问，因为呢，它要是 s， 四边形 a f q 大 要等于 s， 三角形 a b f， 我 们做一个等式就可以了。负三分之一 t 的 平方加上一十二等于三角形 a b f， a b f 在 这里，在这里等于二分之的二分之一的 t 乘以八。好，我们化简一下，等于 t 的 平方加六， t 减三十六等于零，那么这个地方我们用不了十字相乘法，只有用求根公式，我们可以把它求出来。 t 一 的答案等于三倍根号五减三， t 二的答案等于三，负的三倍根号五减三，那你这个时间不可能为负，肯定不止不符合体育，我们舍去。 所以最后第三个问的答案就这么简单，我们都把困难放在前两个问了，所以第三个问是不是特别简单了？好，最后我们来看第四个问，因为第四个问呢，已经写不下了，所以呢，我把前面的答题把它叉掉。 第四个问，他问，你什么时候这个地方可以平分？平分的 b 大 平分角 c 大 p， 那 我们把这个平分，我们现在假设它就是平分的，这个角是叉叉，这个角叉叉，那么我们得到这两个角是叉叉的时候呢？他要问你 p 点走到哪里了？那我们肯定还是往相似上跑。首先我们在想全等可不可能 这两个角相等，这是一个公共边，这两个角呢？人家没有说相等，所以全等不可能。那如果要增相似的话，我们又只有这两个角相等，没有其他的条件了，那怎么办呢？哦，如果我们要增相似的话，可能要做辅助线了，所以呢，我为了做这个相似，我在这里呢做一个辅助线，我做个垂直， 那这样子的话，这个角就有一个九十度的角了。好，这个角因为刚才我们已经用了，是 f n 嘛？然后我们把这个角设成 j。 好， 现在呢， 这边有个九十度，我是不是这个地方也可以用上一个九十度，这样做个垂直，那么这个地方我们叫做 k， 那 这两个三角形是不是在我们做出来的时候就已经相似了？哪两个三角形相似，是不是大 j c 和相似于大 k p。 好， 这两个相似之后呢，我们来求一求 c k， 你 能求出来吗？因为你其实是知道 c 大 的，因为 c 大 等于五，你知道，但是大 p 呢？我们是不知道的，对不？我们想求一下大 p 点走到哪里，我们可以在这里用个勾股就做出来。 所以呢，现在的问题是，起码我得求 c k， c k 能不能求？ c k 很好求，怎么求？我们可不可以用面积法来求求看，因为呢，三角形 c b 大， 这个面积，来，我们试一下。第四个问， 因为 s 三角形 c b 大， 它这个面积是等于，刚才我们好像在这里设的应该是 m， 是 吧？那么是不等于这个乘以这个， 那么除以二是不等于 b 大， 乘以这个除以二。所以呢，我们直接口算一下，刚才求出来这个地方是四，这个地方呢，是六，所以它的面积是二分之六乘以四，它等不等于 c k 乘以 b 大， c k 乘以 b 大 除以二。好，我们的 b 大 从头到尾都知道我们的 b 大 是等于五的，因为呢，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。好，这样子我们其实很快的就可以把 c k 求出来了，我们的 c k 等于五分之二十四好， c k 求出来之后，我们接着再来看 可不可以求助 pk 呢？那 pk 这个方法是不是我们不太好求出一个数字？为什么？因为 b 大， p， 这个三角形的面积其实我们是未知的，它里面是含有 t 的， 没关系，含 t 就 含 t， 我 们照常做 s。 三角形 b 大 p， 它等于什么？它等于二分之一乘以 b p， b p 在 这里一直都有，等于八减 t 再乘以它的高高，我们刚才其实是求出来，这个是六，这个是三，所以乘以三，它仍然等于啊，我们也是用的面积法，仍然等于二分之一乘以 b 大。 b 大 呢，我们一直知道就是五好， b 大 乘以五，再乘以一个 p k， ok， 我 们的 p k 是 不是这样就可以表示出来，这两个约调等于五分之三倍的八减 t 好， p k 也求出来之后，我们现在是不是就可以用一个相似来做了？用相似我们就可以把 p 大 求出来。好的，现在我们来看三角形 c g 大， 它是否相似于三角形 p k 大。 好，这样子， c j， 它比上 p k， 是 不是就等于我们的 c 大？ 比上我们的 p 大？ 带进去 c j， 我 们求出来是多少呢？哦，注意一下，我刚才这个地方写飘了啊，这个地方应该是 c j 啊，这也是好，我们写到这里之后，我们可以看一下，这个是五分之二十四 比上我们的 p k， 我 们的 p k 是 五分之三倍的八减 t， 它等于 c 大。 c 大 呢？我们一直知道是五好，除以我们的 p 大， 那么同学们，我们的 p 大 是不是仍然可以化简成一个含 t 的 式子？化简出来之后的答案是二十四分之十五倍的八减 t。 好，这样子表示完了之后，我们其实就可以用一个勾股求出 p 的 位置了，那么勾股怎么求呢？这个就很简单，我们可以做一个这样的一个垂直，这样的一个垂直之后，我们现在想想，我们不是知道整个是八吗？那么这么一半是不是就是四，那这一段呢？我们可以表示为 l 吗？好， l， 那 我们现在是不是就有一个勾股可以表示一下，也就是说大 l 的 平方加上 lp 的 平方等于大 p 的 平方， 大 l 怎么求？我们从头到尾都知道，大 l 应该是等于三的好，那三的平方就是九，加上 lp， lp 这一段怎么求呢？我们知道 a p 是 t， 那 么 a l 其实我们也知道是四，所以我们写成四减 t 的 平方等于大 p， 大 p 我 们刚才求出来是二十四分之十五倍的八减 t。 ok， 那么我们这样写完之后，你再把答案算出来就可以了。整体来说呢，这个题的第四个问稍微有一些难度，就是他告诉你角相等的时候，你往相似上面考，这个地方有点难度，可能其余更多的就是一个计算问题了。好，同学们，这道题你们听明白了吗？