八下数学185页解题技巧

好，我们继续来看坐标系的综合应用，关于一次函数与面积交点轨迹的问题。首先的话告诉的是如图一，直线 y 等于负二， x 加四与 x 轴 y 轴分别交于 a 点和 b 点。 好，那解析式的话还是在图中做上标记。解析式是用来求点或者是表示点，那这个地方与 x 轴 y 的 交点是两个确定的点， a 点和 b 点，那零 y 等于零，可以得到与 x 轴的交点应该是二零这个点。 然后呢，零 x 等于零，可以得到 b 点，坐标应该是零四，我们在图中把它标记出来啊， 好，然后呢，接下来的话， aob 这个图形的面积，它是一个横平竖直的直角三角形，二分之一底乘高，得到面积应该是等于四的。好，接着第二小题是如图二告诉的是有一条新的直线，那原本的 ab 这条直线仍然是 y 等于负二， x 加上四的 b 点，坐标还是零四， c 点坐标是二零，好，接下来有一条新的直线， y 是 等于 k， x 加一的。 好，这条直线目前注意观察它的解析式里面的 b 是 确定的，那表达式里面的 b 是 用来确定图像与 y 轴的交点，所以他让说的是与 y 轴交于这个 c 点，那就是零 x 等于零，可以得到 c 点的坐标应该是零一。 好，接下来的话就是与我们的 ab 的 这条直线交于点 d 点。好，那 d 点的这个点的坐标暂时目前是一个未知的点，如果说直接连立的话，那这个时候的表达式里面啊，坐标的表达式里面会带参数 k。 好， 接下来提供的信息是角 dbc 和我们的角 bcd 是 相等的好，这两个角在数量上相等，在位置上来看是同一个三角形。 dbc 这个三角形里面的两个角， 那这两个角相等，代表的是 d b 和 d c 这两条边是相等的，所以它是一个等腰三角形，那等腰三角形里面的话，这个 bc 是 确定的，而 bc 这条线段长度为三 啊，并且它是我们的等腰三角形的底边，那出现的等腰三角形的底边，实际上它会有一个三线合一的这样一种想法，也就是过地点做 bc 的 垂线， 我们最后要求 k 的 值，要求 k 的 值，也就是要求解析式好。用什么？求解析式，用点来求解析式好， c 点是由解析式得到的，肯定不能用它，那就用上面的有效的点。地点， 那要求地点，从几何的角度来看，因为这个地方啊，他是给出的是一个几何的信息，角度相等，所以我们借助几何的坐标转换成几何的横平竖直的线段 好，因为这个地方啊，往外轴做垂，理论上来讲，横或纵 x 轴外轴做垂，都可以去表示呃，这个点的坐标对应的线段长度，但是因为这个地方有一个特殊型等腰三角形，所以在把这个点的坐标转换成线段长度的时候，选择往外轴做垂线 好，那一旦往外走做垂线之后，那么在这个等腰三角形里面，它是充当三线合一的，所以代表的是 b h 和我们的 c h 是 相等的，并且都等于 bc 的 一半，也就是二分之三。好，从而得到这个 h 点的坐标。 h 点的坐标出来之后，就可以得到我们的 d 点的纵坐标， d 点的纵坐标得到之后，他是在我们的已知的 ab 这条直线上，进而得横坐标。好，后面得到点的坐标之后，求解去式。好，我们写一下他的一个分析过程。首先是过这个地方的地点做垂线， 一个是等腰三角形的三线合一啊，另外一个就是呃点的坐标转换成横平竖直的线段长度。 好，那这个时候借助我们的等腰三角形啊，借助角相等啊，因为此时的角题目条件提供的角 dbc 啊，是等于角 bcd 的， 那角相等的话，可以提供的是 d b 和 dc 的 边相等。然后呢，加上我们的垂直，也就可以得到 b h 是 等于 c h 都等于 bc 的 一半，也就等于二分之三。好，那进而也就可以得到 o h 的 长度，它就应该是等于 oc， 加上 c h 是 等于二分之五的，也就可以提供的是我们的地点的纵坐标 y d 就 应该是等于二分之五的好，那这个时候直接是令我们的 y 等于二分之五就可以了，也就是令 ab 这条直线的 y 等于二分之五 啊，也就可以得到啊，此时的这个二分之五啊，这一是带到 ab 这条直线里面来啊，也就等于负二 x， 然后呢，加上四的，从而解得。对呢， x 的 值应该是等于这个四分之三的 好，也就可以得到地点的坐标。横坐标是四分之三，纵坐标应该是二分之五。好，得到地点坐标之后，我们要求 k 的 值，就把这个地点坐标带入到我们的呃直线 c d 的 解析式， 那接下来的话就得到的是二分之五，它就应该是等于四分之三倍的 k， 然后加上一好解得对应的 k 的 值 好。这样的话，得到的对应的 k 的 值是等于二的好。也就题目要求 k 的 值，那我们就得到这个 k 的 值就可以了啊。呃，如果要求解析式，那解析式就是 y 等于二 x 加一啊。这是我们的第二问 好。接着我们来看第三问，他说的是如图三，那如图三的话题干条件仍然是成立的。 ab 这条直线。解析式 y 等于负二， x 加四， b 点坐标是零四 好， a 点坐标是二零好。接着他是把 ab 这条直线进行平移，平移后的这条直线与我们的 x 轴交于 m 点，与我们的 y 轴交于 n 点好。那既然是平移的，从函数的角度来看，平行得 k 相等， 所以这个时候的 m n 这条直线的解析式，我们可以表示为 y 等于负二 x 加上 b 好， 实际上就是与 y 轴的这个交点啊， n 点好。然后呢，接下来的话，与我们的 y 轴交于 n 点，与 x 轴交于 m 点，那这个时候根据解析式， m 点和 n 点这两个点我们都是可以表示的，用代参数 b 的 这个式子来表示。 接下来分别延长此时的 b m 以及 an 交于点 q 点，证明这个 q 点在一条定直线上在运动。那就要想办法先去把这个 q 点表示出来，横纵坐标，把它表示出来。 q 点，它是我们的 b m 和 a n 这两条直线的交点，那要求 q 点就需要知道 b m 和 a n 的 直线解歧式，然后连立求交点， b 点是已知的点， m 点是这个可以表示的，用我们的参数 b 来表示，所以 b m 这条直线也是带参数 b 的 一个表达式， 同样的 a n 这条直线也是代参数 b 的 这样的一个表达式，然后再连立求交点好，我们依次来看一下。首先第一个 b m 的 这条直线解歧式 好， b m 这条直线我们在表示的时候， y 等于 k， 代定系数法 k x 加 b 好， 因为是经过这个 b 点与 y 的 交点是呃零四，所以这个解歧式我们可以直接表示为 y 等于 k 一 x， 然后呢，加上四 好，因为它是过这个零四这个点的啊。那接下来的话，要求解析式就是把这个地方的 m 点这个表示出来，所以我们在求这个 bm 的 解析式之前，先要表示此时的 m 点和 n 点好，那这个时候，首先是 m n 这条直线我们表示为 y 等于负二 x 加上 b 的， 那另这个 y 点的坐标应该是 m 点的坐标应该是这个二分之一， b 零 好，二分之 b 零好。另外一个 n 点的话，那就是零 x 等于零，得到 n 点的坐标应该是零 b， 所以 接下来的话，我们要求 b m 的 解函数，那就把 m 点的坐标代入，也就可以得到的是零，应该是等于呃 k 一 乘以二分之 b， 然后呢加上四，那这样的话就可以得到对应的 k 一 的值一项和边同内项，也就可以得到的啊。就是 k 一 乘以两二分之一， b 应该是等于负四的， 那么 k 一 就应该是等于负四，然后乘以 b 分 之二，从而得到 k 一， 应该是等于负的 b 分 之八的好。得到这个 k 之后，接下来就是得我们的 b m 的 解歧式 好，这个解歧式应该是 y 等于负的 b 分 之八倍的 x， 然后再加上四，好，这是 b m 的 解歧式，那接下来的话就是我们的 a n 的 直线解歧式。 好， a n 这条直线我们可以假设为 y 等于 k 二倍的好，这一下它是经过这个二零这个点，我们还是通过过定点的方式来表示这条直线，那就应该是 k 二倍的 x 减二，这个表达式表示的就是经过二零的这样的一条直线。 好，接下来的话，要求这个 a n 的 减去式，就是把 n 点坐标带入 n 点的坐标应该是零 b， 那 就应该是 b 是 等于 k 二倍的零。减去二，也就是乘以负二，好，从而得到此时的这个 k 二的值应该是等于负的二分之一 b， 好， 进而也就可以得到我们的 a n 的 值。减去式，那就应该是 y 是 等于负的二分之一 b 倍的 x 减二。 好，大家如果要把它写成一般形式的话，就是把括号去掉，得到的结果应该是负的二分之一 b x， 然后呢再加上一个 b， 好， 这是我们的 a n 的 直线解歧式。 那接下来得到这个 b m 和 a n 的 直线解歧式之后，它们俩交于点 q 点，那接下来就是把这两条解歧式进行连立，也就是把我们的 y 等于负的 b 分 之八倍的 x， 然后呢加上四。 当然如果说大家写的时候容易把那个 b 看成是六的话，也可以把这个解析式参数换一个字幕啊。 好，另外一个 a n 的 直线解析式应该是负的二分之一 b 倍的 x， 然后呢加上 b， 好， 那接下来的话就可以得到我们的 q 点的坐标 啊，这个年底解的这个过程可以在草稿纸上进行啊，负的 b 分 之八倍的 x， 然后加上四，那另外一个就是负的二分之 b 倍的 x， 然后呢加上 b， 然后呢移项合并，那就是二分之一倍的 b， 二分之 b 啊，然后呢，减去 b 分 之八倍的 x， 应该是等于 b 减去四的，然后呢？左边的话这个运算，那就是两倍的 b， 然后呢分子的话就应该是 b 的 平方减去十六倍的 x， 等于 b 减去四， b 的 平方减十六，是可以进行因式分解的平方差公式， b 加四乘以 b 减四，好，除以两倍的 b， 结果是等于这个 b 减四的啊， b 是 不可能等于四的啊，否则的话，这个就和我们的 ab 这条直线是重合的，就不存在 b m 和 a n 这两条直线。 所以把这个地方的 b 减四这个消掉啊，约掉，最后得到 x 的 值，应该是等于 b 加四分之好， b 加四分之两倍的 b， 好， 那得到这个横坐标之后，我们还是写成 x y 吧。 好，这个地方解得 x， 因为最后找这个横纵坐标满足的是一个一次的表达式，还是要念它等于 x 啊，那我们就直接 x， 应该是等于 b 加四分之两倍的 b， 好， 那代入解析式可以得到对应的 y 的 值。随便带一个，比如说带到二里面来， y 就 应该是等于负的二分之 b， 然后呢，乘以这个 b 加四分之两倍的 b， 再加上 b 啊，二和二可以约掉一个啊，最后就可以得到啊，应该是这个呃， b 加四分之负 b 的 平方，然后呢，再加上一个 b， 好， 那就是通分 b 加四分之 b 的 平方，然后加上四倍的 b， 然后呢，这个作加法， b 加四分之四倍的 b， 好， 所以得到对应的 y 的 值应该是 b 加四分之四倍的 b， 那 这个时候要确定的 y 的 值应该是 b 加四分之四倍的 b， 那 这个时候要确定 q 点的一个横纵坐标， 那这个时候比较容易能够得到纵坐标是横坐标的两倍好，从而得到啊，此时的这个 y 就 应该是等于二 x 的 啊，也就可以得到啊， q 点，它是在一条确定的直线， y 等于二 x 上在运动啊， 所以这个地方还是根据点，然后呢，这个引入参数来表示这个解析式，表示出解析式之后，再来表示 m 点和 n 点，再根据 m 点和 n 点以及已知的 b 和 a 去求解析式带参数 b 的， 然后后面是连立求焦点，根据焦点的横纵坐标关系， 表达的都是这个 b 的 这样一个表达式，所以最后得到啊，它是在一条确定的直线上。

要想数学成绩好，字母认算不要错，八年级数学下册课本的第一百三十八页。我们看到这里的例六， 小刚和小丽一家到学校的路程呢，都是三千米，小丽骑车走的是平路，速度是每小时二 v 一 千米。小刚呢，先走的是一千米的上坡路，再走两千米的下坡路的速度是每小时 v 一 千米，下坡路每小时三 v 一 千米。 那么小刚从家到学校要花多长时间？嗯，我们看到这个一个是小丽的，一个是小刚的， 让我们看到，对吧？这个小丽的，这个小刚的，那么这个他的路程呢？都是三千米，这个是一千米，这是二千米， 那么他的速度呢？都是二 v， 他的速度这个是 v， 这是三 v 三 v， 那 我们看到他们的时间 好，时间 t 的是为分之 s， 所以 二为一分之三，对吧？而这里的时间呢？呃，那就应该是前面一段时间叫为分之一加三为一分之二，对吧？因为他们这个 路程时间这里都我们都通过，你看我这样简单的画一个示意图就好，懂多了。小刚从加拿大学校花多少时间呢？就把它加起来，对吧？他就等于三微分之微分之三微分之三，三微分之五。好，所以三微分之五小时，好，这书上已经都写了。 然后呢，小刚和小丽在路上花的时间少，谁啊？谁花的时间少？那我们觉得是不是小刚时间多，小丽时间少呢？当然这也是猜测的啊。 啊，咱们用小刚的时间减去小丽的时间，我们看到三 v 分 之五，减去小丽的二 v 分 之三，对吧？咱们把这个分母变成一样的，那就是最小公分是六六 v， 这里乘以二就是十，这里乘以三就是九， 所以等于六 v 分 之一。哎，他是大于零的，因为这 v 是 大于零的，所以也就是小刚的时间是大如小利的时间，所以说小利在花的时间少啊，小利的时间少好， 少，多少呢？就少这么多，叫六 v 分 之一小时啊。所以这个呢，您把这个文字啊，变成我们这个数学的字母符号，哎，慢一点，要花点时间。我们看到下面这里的通分， 嗯，通分，嗯，这个，这里有 a 有 x， 有 三，我们把所有的字母数字全部写下来，相同的字母呢？或者式子取最高次命，所以有三，有 a 有 x 的 有三，有 a 有 x 的 平方， 对吧？那么这里就分子分母同时乘 a 就是 a， 括号 x 减一，但如果你写 a x 减 a 也行，对吧？如果你写三 a x 的 平方， a x 减 a， 对 吧？你就这么放这里，我们觉得也是可以行行得通的。 好，那么 a x 呢？我们就写了写成三 a x 的 平方。好，这分子乘以了三，所以二三的六 a x， 它这乘以 x 六 x。 好， 我们看到这里，呃，这个呢，它本身是二 a 减 b 分 之三 a， 那 么这个呢，我们也可以理解是二 a 减 b 分 之，这里应该基本和离的是同分母啊。这里把这个发拿出来。 嗯，所以这里我们基本上可以理解是同分母了啊，当然这看起来是异分母啊，但这个异分母只要变个号就成了同分母了，对吧？看，我们看到这里，这个呢，我们就理解是 a 加三分， a 加三的平方分之 二，因为这里 a 减三，所以我们这里乘以 a 减三。好，这里有个平方，所以二要乘以 a 减三， 二乘以减三。好，我们看到这个怎么办呢？好，这个，那就应该等于 a 减三，这里把所有的全部乘出了 a 加三的平方，所以分子要乘以 a 加三。括号的平方 啊，字比较小，但是你把分子写的 a 的 平方加六加九也行。好，我们看到这个啊，嗯，这个就是 x 加二，乘以 x 减二，这个呢，就是等于 x 减二啊，这个二括号 x 减二。注意，这里有个符号，我们把符号放到前面了 啊，符号放前面来呢，就是二， x 减四，就二括号 x 减二。好，那么于是我们来找所有的系数啊，这里是二，所有的式子。 好，这里，所以公式就是二括号 x 加 x 加，所以这里分子要乘一个二。好，这个呢，我们接着要乘一个 x。 什么看到这里有哪个没有的 x 加。好，这里，那就乘以 x 乘以 x 加。 好，注意，这个符号放在前面啊，分母二括号 x 加 x 加。分子呢？ x 括号 x 加你写的 x 平方加二， x 也行。 好，这里我们通分就是二三得六。 a， b 啊，这里乘以二乘以了 b 就是 二 b 的 平方，这里乘以了三乘以 a 三 a 的 平方。 嗯，这里应该等于什么呢？这里应该等于 a 减一分之一减去，这里啊，是 a 加一，括号 a 减二， a 减一， a 的。 好，这个符号我们现在把它变成正。好 啊，现在我们来来通分就是 a 加一，括号 a 减一。嗯，这里分子呢，都要乘以 a 加一，这里直接就是二， 所以分子是 a 加三，分母呢？ a 加一， a 减一。照抄好，看清楚，不要写错了，记得点赞关注哦！

免费帮你提高成绩！你刷到我就跑了吗？ 八年级数学下册小册的八十一页纸上的第六题，如图，在平行四边形 a、 b、 c、 d 中， 大家一定要把已知这个理清的第一个重要的， a、 b、 c、 d 是 平行四边形，下面角 b、 a、 d 和角 a、 b、 c、 d、 b、 a、 d 的 平行线，角一等于角二等于角三。为什么？角一等于角是角平行，角二等于角三是两直线平行内错角相等， 加 a、 b、 c 的 平行线，加 a、 b、 c 的 线，我们看到角四等于角五，哎呀，等于角五，这就没有等于角六，对不对？在哪里呢？哦，角四等于这里的角六对吧？角四等于角五，角四等于角六，两直线平行内错角相等，这是一对角平行线。 好，现在我们的第一个要求的 c、 d 的 ab 的 ab 是 等于 f 的 第一个，我们就正完了 啊，为什么 c、 d 等于 ab 呢？因为四平行 a、 b、 c、 d 是 平行四边的对边相等呢？ c、 d 不 就等于 ab 了吗？ 那为什么 ab 等于 b、 f 呢？刚才我们说已知 a、 f 平分角 b、 a、 d 角一等于角二，又因为四平行 a、 b、 c、 d 是 平行四边形，所以 a、 d 平行， bc 就是 a、 d 平行 b、 f， 所以 两直角面内角相等，角二等于角三好，等量倒换角一等于角三，根据等角对等边，所以 b、 a 就 等于 b、 f 好， c、 d 等于 ab， ab 等于 f b， 所以 这个 c、 d 就 等于 b、 f， 对 吧？这样我们就整完了，好过程呢，大家自己写啊！第三个，如果 c、 d 等于六，那就是 ab 等于六， ab 等于六，就是 b、 f 也等于六。刚才说了 b、 f 等于六，那 c、 f 等于几呢？ 好，那我们来看到刚才这里角五等于角六，所以 c b 是 等于 c e 的， c b 等于 c e 的， 那我们再来看到这个，这个角三呢，等于角一等于角二。 哎，那我们看到这里还有什么已知条件呢？刚才我们这里的角一加角二加角四加角五啊，是等于一百八十度的啊，所以呢，我们看到角一加角四啊，是等于九十度的， 哎，角一加加二加加四加九，因为两直角同边的角互补，所以这四个角加一八八了，所以角一加加四点九十度，所以这里是直角，也就说我们得到了叫做什么东西呢？得到了叫做这个 b e 垂直 a f b e 垂直 a f b e 垂直 a f， 那 就说 b e f， 它是一个直角三角形， 加 b e f 等于九十度，那么 b f 等于九十度的话，那我们就知道了，这个角三角五加角三就等于角六，加角七就等于九十度。 由于角五等于角六，所以角三等于角七，角三等于角七，所以这个 c f 就 等于 c e， 而刚才 c e 呢，是等于 c b 的， 也就是说我们得到 c 为 b f 中点， 刚才我们的 b f 等于六，所以这个 c f 啊，就得二分之一乘六等于三， c f 等于三， c f 等于三。当然大家也可能会想到其他的一些证明方法啊。嗯， 但是我是一边看一边讲一边说啊，这个步骤呢，也没有都写清楚，大家自己去再把它理清楚。我们再看一遍，刚才我们得到一个重要的这里直角，对吧？这三个角下呢，得到这个 c e 等于 c b， 然后呢，我要得到 c e 等于 c f 的 话，就要得到角七等于角三， 呃，当然呢，角七你可以等于角一，再等于角三。哎呦，我再来看，你发现我刚才说的有点多啊，你看角一等于角二，角二等于角三，对吧？而这两直线平行的角七等于角一，所以角七等于角三。哎，这样就比刚才我说的简单一些，所以大家， 所以大家就是要多练啊，多看几遍，你可能会找到，呃，更简编的做法。我们看到第八十二页纸第一题，若等腰梯形的一个底角是一百二十度， 一个底角是一百二十度，那么他的另一个底角呢？他说的等腰梯形， 那么这里我们说这应该，那就是上底角了啊，这个底角一百二十度，那这个底角也是一百二十度，这个底角就是六十度，所以上底等于三，下底等于几呢？好，我们过这里做平行， 所以这边也就等于三，那么因此下底等于这个五的话，那么比如说做 b e 平行 c、 d， 所以 这个 b e 啊，做 a e 平行 c d 啊，做 a e 平行 c、 d， 那 我们说这个， 呃，由这角六十度，我们这个 a、 e 呢，就等于 b， c 就 等于 ab， 所以 我们就得到正三角形 a、 b、 e。 好 b 的 二 ab， a、 e 也都等于二，于是这个腰长就等于二。 好，我们得到这里是一个等边三角形，腰长等于二。第二个 a、 b 等于四，对角线相交于点， o， a， c 加 b， d 等于一十六， a， c 加 b d， a c 等于这个两倍的 o a， 两倍的 o c， b， d 等于两倍的 o b， 两倍的 o d。 好，现在问 c o d 的 周长 c o d， 那 a、 b 等于四，这是平行四边形，所以 c、 d 也就等于四， o， c 加 o， d 就是 b， d 加 a， c d 半这个一十六，那么这两个加起来等于八喽，八加四就等于一十二，所以这个周长等于一十二。记得点赞关注哦！

要想数学成绩好，每天练习不可少。八年级数学下册小册八十三页纸。平行四边形的判定第一题， 在四边形 a、 b、 c、 d 中， a、 b 平行于 c、 d 和 a、 b 跟 c、 d 是 平行的。现在添加一个条件以后，不能判断四边形是平行四边形的。 我们看到 a、 a、 b 等于 c、 d， a、 b 等于 c、 d。 好， 这是可以的。这叫一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。那第二个 已知里是 a、 b 上下这个平行。现在我们看到 a、 d 平行 b、 c。 好， 如果我们知道这两组对边，又加上这一组对边，现在根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形。好，这个也是对的。 我们看到 a、 b 等于 b， c， a、 b 等于 b、 c， 嗯，我们就得不出它，它是什么。这个四边形啊，那我们看到角 a 等于角 c。 呃，如果说这个 a、 b 平行 c、 d， 那 么我们就知道角 a 加角 d 等于一百八十度，两直线平行，同样的角互补。现在如果角 a 等于角 c 的 话，那我们就知道角 c 加角 d 也是一百八十度。所以 a、 d 就 平行于 b、 c。 好， 看了，这是可以的。一组对边平行，一组对角相等的四平行呢，也是平行四平行，不过这个不是定零。那我们看到刚才这个 b， 刚才这个 c。 啊，为什么是错误的？我们来举个反例。嗯，我们看到了 a、 b 平行 c、 d。 好， 如果说这个 a、 b 等于 b、 c。 好， a、 b 这么的长，对吧？等于 b、 c， 嗯， b、 c 等于，那 b、 c 呢？可能，可能， 比如 b、 c、 d 等于这么长，好，你看啊， a、 b、 c、 d， 比如这个 a、 b 等于 b、 c、 e 嘛，对吧？你 a、 b 平成 c， d e 嘛？那这个时候呢？嗯，它当然可能是平行四边形，也可能是梯形 啊，所以这个就不一定是了。所以第一题我们选择 c。 我 们看到第二个小强不小心将一块平行四边形的玻璃打碎成了四块，一二三四块 啊，他只带了其中的两块就可以到店里面去配一块，呃，原先的相同的平视频的玻璃，那么他带的两块是哪个呢？我们看到，呃，这里的这两块带进去，这两块带进去，你看这两块带进去，那我们就不知道这边多长了，这两块带进去就不知道这边多长了，这两块带进去 那就没法。但是我们把这两块带进去的话，哎，一的这个 b 我 们把它放好，那我们可以延长，延长，对吧？延长延长就可以把这个四边形呢给它画出来，所以这里我们应该是选择的。是啊，带第二块和第四块玻璃去，所以我们选择 d 啊，为什么选择 d 呢？因为 d 呢？这两块它这个，呃破裂的地方，我们把它放在一起，然后我们就把其他的边呢，我们可以把它划着出来的啊。我们看到第三题，点 p 是 只写 m 的， 外面一点在 n 上去两点 m， n 点 p 是 只写 m 啊，就是 l 外量的。呃，现在我们看到分别以点 p n 无限性，以 p n， p 和 m 为中心，以 m n 和 pm 好， 以 p 为中心的时候呢，以 m n， 以 m n 为半径， 然后呢，以这个 m 为半径的时候呢？是以这个 p m 为半径，以这个为半径好，以这个为半径，那就以这个为半径。咱们就做这么一条弧 啊，这么一条弧。呃，那么以这个 p、 u 型，以这个长为半径，就是这里做这么一条弧，也就是这个长度等于这个长度，这个长度等于这里的长度。 那么很显然，现在那么这里就是两组对边分别平行的四边形，是平行四边形。好，这样他说这个 p、 m、 m、 q 就是 平行四边形。理由，那我们就叫两组对边 分别平行的四边形， 是平行四边形。那第四题 点 p、 e 在 平行四边的对角线 b、 d 上不定， p、 e 作 e、 f 平行于 b， c， e、 f 平行于 b、 c、 e， 那 就说 e、 f 也是平行四边形。对边平行，平行四边的对边平行， 当然也包括 a、 b 平行 c、 d。 好， 我们看到这个 g、 h 如果是平行 a、 b 的 话，则 g、 h 也是平行 c、 d 的， 所以那么这样我们就可以得到，这里有几个呢？一个大的平行四边形，这条线把它分成左右两个平行四边形，这条线把它分为是上下两个平行四边形。 然后呢，我们看到这里这一个小的，这个小的，这个小的，这个小的，他全是平行四边形。那总共就是说这里有九个平行四边形。 好，现在题目告诉这个 a、 b、 c、 d 的 面积是二十二， b， g， p e， b g， p e 在 哪里的？ b， g、 p e 啊，这个面积等于二。 呃，这个面积等于二，说明这个面积就等于一。那这个三角形，因为这个对角线呢，把这个平行四边分成两个相。啊，全等的三角形。好，这里还有个已知条件叫做 p、 f、 d、 e 的 面积等于十。问， a、 e、 p、 h 的 面积是多少？好，我们看看这个图啊，他说这个 p、 f、 d、 h 的 面积等于十，那这个面积就等于五，这个面积等于五， 而整个 a、 b、 c、 d 面积等于二十二，二十二，那就说这个 b、 d、 c 这个面积应该等于多少呢？就应该等于一十一，一十一，这里是一，这里是五加六，那这个也等于五了，那这个面积也是等于五了。好，题目问这个 a、 e、 p、 h 的 面积，那么这个面积就应该是等于五和面积等于五。 呃，这道题啊，我们要知道，平行四边形的对角线把它分成了两个三角形的面积相等，所以这个三角 a、 b、 c、 d 的 面积相等，而这两个三的面积相等，这两个三的面积相等，所以这个平行四边形的面积与这个平行四的面积啊，也都相等。好，这里不仅仅要知道这些相等之间的关系，而且啊， 呃，你还要能够数出来，刚才我们说一共有九个平行四边形，记得点赞关注哦。

要想数学成绩好，每天练习不可少，八年级数学下册小册八十四也成了。第三题跟我一起做。 如图，平行四边形 a、 b、 c、 d 的 对角线， a、 c、 b、 d 交于一点 o 啊，这里的 a、 b、 c、 d， 它本身是平行四边形 好。然后呢，这个 d、 e 是 平行于 a、 c 的， d， e 平行于 a、 c， 当然 d、 e 也是平行于 o、 c 的 啊。 c、 e 平行于 b， d， c、 e 平行于 b， d、 c、 e， 那 也是平行 o、 d 的。 那么这 这一组对比，这里一组对比，两组对比，分别平行的四平行是平行四平行，所以 o、 c、 e、 d 它就是平行四平行， o、 c、 e、 d 对 吧？根据两组对比，分别平行的四边是平行四平行 好。然后 a、 c 等于三，那就是 a、 c 等于二，那就是 o、 c 等于一， d 等于一，对吧？ b、 d 等于三，就是 o、 b、 o、 d 都等于一点五， 一点五。呃，这里的，因为原来的 a、 b、 c、 d 平行四边的对角线互相平分， o、 c 的 a、 c 的 一半， o、 d 的 一半。刚才平行四边的对边相等，对边相等，所以那么这个周长就很容易知道，一加一点五就是二点五乘以二等于五， 所以这个 o、 c、 e、 d 的 周长等于五。我们看到第四题，第四题是要写过程的题目。 已知图，在平行四边形 a、 b、 c、 d 中， e、 f 分 别是对角线上的两点，并且 d、 f 在 哪里呢？ d、 f 等于 b、 e 啊啊，已知好有两个平行四边，两个已知条件，现在要求的 a、 e、 c、 f 是 平行四边形。 那么每个同学的正法是各不相同的。下面呢，我这里说两种，一种不做辅的线，一种做辅的线。我们先说不做辅的线的好，不做辅的线呢？因为四边形 a， b， c， d， 对 吧？是平行四边形。先把已知抄一遍，那我们就可以得到这个 d c 跟 a、 b 是 既平行又相等的，平行的，那我们得到角一就等于角二，对吧？所以角一等于角二 好要，因为这个叫做 d f 等于 b e， d f 等于 b e， 所以 我们这个得到三角形 d， c， f 是 前等于三角 d， c f， 那 就是 b a e， 理由是什么呢？叫做 s a s， 对 吧？ d c 等于 b a， 角一等于角二，对吧？这个 d f 等于 b e 呃，所以三角形。两个三角形确定之后，我们就有了 c， f 等于 a e， 所以 c f 等于 a e。 并且还有什么东西呢？角 c f d， 角 c f， d 等于角 a， e b， 对吧？这个这里前等三角对应角相等，前等三角的对应角呢？我们就并成的是，呃，两条直线被第三的直线所截的内错角，所以这个 a、 e 就 平行于 c f 啊，刚才 a e 等于 c f， a e 平行于 c f， 所以 四边形 a， e， c f 是 平行四平行啊，字有的我们写完。呃，如果说我们这一道题啊，我们也可以这样做啊，怎么做呢？咱们看到这，咱们把这个 a c 给它连起来， 好加这个叫做 b d 点 o， 那 我们就知道 o a 是 o c 的， o b 是 o d 的 o b 的 o d 的 啊。根据这个 d f 等于 b e， 所以 我们就可以得到 d， 叫做 b f 等于 d e， 因为这个 b d 减去 d， f 等于 b e 减去 b e， 所以 我们得到这个 d e 啊，等于 b f， 而 o d 等于 o b， 所以 o d 减 d， e 等于 o b 减 b e， 那 么这样呢，我们就可以证明 o e 等于 o f。 好，然后呢，由于这个 o a 是 等于 o c、 e 的， 为什么呢？因为整个四边形 a， b， c， d 是 平行四边形啊，所以这样呢，我们也能够得到这个四边形，叫做 a， e， c， f 是 平行四边形。 好，由于时间，这里的过程我都没有写完了啊，大家自己可以把它理一下。我们通过 d f 等于 b e 啊，得到 b， d 减去 d f 与 b d 减去 b e 相等，所以这个 b f 就 等于 d e， 然后又根据 o d 减去 d， e 等于 o b 减去这个 b f， 所以 o e 等于 o f。 当然这这之前你要先写，因为四边形 a， b， c， d 是 平行四边形，对吧？这个 o a 等于 o c， o b 等于 o d。 当然最开始这个辅助线要给它说出来， 我们看到第五题有时间呢，不能多写啊，多写时间来不及啊，用硬直板拼出一个，减去一个平行四边形 a， b， c， d 对 角线相加入一点 o o。 好， 这里的图形在下面这里了， 再用大的针在 o o 处加一个细目条，直的细目条啊，放置在这个，这个叫 e、 f， 这个细目条绕着这个 o o 任意的去旋转，所以注意您是绕着点 o o 啊，也就是说只要过对角线的这个焦点， 那么这样的直线交它的边呢？如 o e， 如 o f。 第一个 o e， o f 是 不是始终相等的？我们说 o e 跟 o f 呢，始终是相等的，有时间步骤我都不写了，因为我们很显然可以证明，三角形 o a e 前等于三角形 o c， f， o a e。 当然你说 o d， e 跟 o b、 f 两个三圈呢，也是可以的啊，我们看到 o a 是 等于 o c 的， 这个角 o a e 等于角 o c f， 为什么呢？因为 ab 本来是平行四边形，平行四边的对边是平行的，并且这里还有个对顶角上的角 a o e 等于角 c o f， 所以 这里根据 a s a e， 那 么这样的两个三圈呢， o e 就 要等于 o f 了。好，第二个以 a s a e c f 为顶点的四平行，四平行， 我们说肯定是，为什么呢？刚才这个 o a 等于 o c 我 们是知道的，然后我们又证明了 o e 等于 o f， 对 不对？对，角线互相平分的四边就是平行四边，所以这个四边形叫做 a e c f 就是 平行四边形 啊，这个根据对角线互相平分的四边是平行四边。这个这个步骤也不难做，我就说到这里，记得点赞关注哦！

数学想拿高分，从写好每一个字母开始，八年级数学下册的小册七十二页，我们看到第三题是试卷上有一个正确的顺序啊， 被消隐，不小心滴了个墨水啊。然后呢，问这个五角星这地方是什么？我们可以根据小学所学的，就是被除数，除以除数等于商，除数呢，就等于被除数，除以商，所以这个五角星的号可以怎么等呢？可以等于这个 a 加 b 分 之一， 加上 a 减 b 分 之二，我们可以这样来做 啊，这样做我们看到这里，那么这部分我们通分就是 a 加 b， a 减 b， 就是 a 加 b， 乘以 a 减 b 啊，分母的，那就是这里分子分母乘以 a 减 b， 这里分子分母同时乘以 a 加 b， 好， 把它加的，然后乘以颠倒相乘，二分之 a 加 b。 哎呀，这个地方字太小了，没地方写的啊。好，就等于 b 减 b 等于零， a 加 a 就是 二。也跟着二月份 二， a 部分还留下个 a， a 加 b， 个 a 加 b 部分留下了，上面留下个 a， 下面留下了个 a 减 b。 因此这个被遮住的这个应该是 a 减 b 分 之 a。 好， 刚才这里字有点小啊，大家可以放大的看一下。我们看到第四题， 我们先把它算一遍吧， a 加 b 分 之， a 减 b 除号。括号里面咱们慢一点，先通分，这个一，你就是 a 减 b 分 之， a 减 b， a 减 b 分 之二， a 减去，然后我们说 a 减 b。 好，这个由于有了分值线，咱们就不写括号了，等 a 加 b 分 之， a 减 b 除以，咱们颠倒相乘， a 减 b。 好， 二， a 减 a 就是 a， 负负的 a 加 b。 咦，这个是什么呢？怎么约不掉啊？ a 减 b 呢，就是 a 的 平方， a 减 b， 或者什么 a 的 平方减二， ab 加 b 的 平方，那 a 加 b 乘 a 加 b， 是 a 加 b， 什么等于 a 的 平方加二， ab 加 b 的 平方，好，现在我们怎么把它搭进去呢？我们这样来搭，我们发现这 a 的 平方加 b 的 平方等于三 ab， 好，根据刚才的 a 的 平方加 b 等于三 ab 好， 所以 a 的 平方加 b， 三 ab 减二， ab 分 子就是 ab， 分 母呢？三 ab 加二， ab 就是 五 ab 好， 约分等于五分之一，好，这题的答案等于五分之一，好，你算对了吗？ 第五题，嗯，这里 x 减一，这里我们也理解是一分之 x 加一，所以我们理解为 x 减一啊。这里分子分母就是一分之 x 加 x 加 x 减一，就是 x 的 平方减一， 再减去 x 平方，所以就等于耶。分子 x 平方减 x 平方等于零负一，好，把这符号放前面了， x 减一分之一，呃，这样就做完了。但是如果有的同学说我这样的这个符号放在这里，我写一减 x 分 之一， 哎，我们觉得这样呢，呃，看起来更简单一点，当然，我认为这样写，这样写，我们都算零是对的啊。我们看到第二题，呃， x 加三， x 减三，我们通分， 好，这里分子分母乘以 x 加三，所以二 x 乘以 x 加三。慢一点啊，减去 x 乘以 x 减三，好，乘以 x 分 之 x 平方减九，就是 x 加三乘以 x 减三， 好，等于 x 加三， x 减的，跟它约分约掉了好，分母 x。 我 们看到这里啊，这二 x 平方减去 二 x 平方，减去 x 的 平方就是 x 的 平方，这里是二三得六 x， 这是负负责任。加三 x 就是 加九 x 加九 x， 然后我们这里呢，约重除以 x， 那 就等于 x 加九。 好，有时间呢，这有的步骤我可能写的少了一点啊，那么大家你也可以觉得不懂，你可以多写一点，我们看的第六期， 先咱们化简再说吧。好，我就从这里写起啊。呃，这里是通分吗？注意啊，这通分就有点麻烦，咱们先把这个 a 的 平方减四， a 加四，写着 a 减二的平方，然后这个分子呢，就是 a 加二，乘以 a 减二， 然后减去 a 减二分之 a。 好， 我们把小括号改为中括号除以颠倒相乘， a 加一分之 a 的 平方减二，也可以写 a， a 减二。 哎，这地方如果你在这地方通分就麻烦，为什么？因为这个 a 减二，这里可以分。现在就是 a 减二分之 a 加二了， a 加二分之一，这里正好是 a 加二分之一，所以我们直接减 a 就 可以了。好，乘以 a 加一分之 a， 括号 a 减二， a 减二，可得 a 角又分约到了 a 减 a， 约到了，这里留下二。呦，这还有个 a， 所以 等二 a， 这里是 a 加一。 好，这样化简的结果等于这么多，现在我们看呢，由于这个题目只能在我们在这三个当中来写一个，因为这个除号的后面呢， a 加一是不能等于零的， a 的 平方减二， a 也是不能等于零的，所以 a 不 能等于负一，并且 a 不 能等于零，并且 a 不 能等于二，对吧？这里有 a 减二，这里有，所以这里我就不写了。好，负一和二不能等，负一不能等，二也不能等，所以只能 大于 a 等于负二。那么这样呢？原式就等于二乘以负二，这里是负二加一，下面就负一，上面是负四，所以等于正四。 哎呀，这里小心一点，你会做错吗？你以为真的在这挑一个当中就能写吗？那你就掉入陷阱里去了，记得点赞关注哦。

你想提高数学成绩吗？免费帮你提高成绩，你还在不乐意啊？八年级数学下册小册的第八十页纸上呢，我们看到第六张的平行四边形， 第一题如图，在平行四边形 a、 b、 c 这种角 b、 a、 d 的 平分线，那么跟着我一起列 b、 a、 d 的 平分线，所以大家做记号，这两角相等 好，加 dc 的 延长线，加什么东西？这就看图了，这里第一个叫做平行四边形，这个叫做平分线好，然后呢， ab 等于四， ad 等于六，好，把它做记好。求 ec， ec 在 哪里呢？哦， ec， ec 在 这啊，求这这这是 ec。 好， 先把图形给我看清楚 好，由于平行四边形呢，这个 a、 d 跟 b、 c 是 既平行又相等的，所以，那我们看到这个角一啊，是等于角二的，角二呢，是等于角三，等角再等边，所以这边等于四， 这边等于四， b、 c 等于这个等于六，所以这个 e、 c 等于二。那么因此第一题写的 d 啊，跟我一起练习对吧？其实很多东西都很简单的，但是考试有的同学，现在有的同学真的是刷到我的都都都不愿意跟着我来看啊， 那这里要记住啊，角平分线对吧，两角相等，两这平内侧角相等，得到角一等于角三，也就得到 a、 b 等于 b、 e 啊，这是个等幺三的题目啊，这样呢，未来我们经常有这种题目的。 第二题，又是角平分线，你看角 b、 c、 d 的 平分线，你看角一等于角二，角一等于角三， 对吧？意味着平行四边形也是平行线，所以角二等于角三，所以 d、 c 等于 d、 e， 那 么说 a、 b 等于意思， a、 b 等于什么意思？一是吧，那么平行四边形 a、 b 是 等于 c、 e、 d 的， 那么刚才角二等于角三的时候， d、 c 是 等于 d、 e 的， 哎，这三边不就成了相等吗？三边的相等，这个角就是六十度，也就说这个 c、 d、 e 是 等边三角形，等边三角，这个角六十度，那么这个平行四边的菱角互补，所以角 a， 那 就是一百二十度。 好，我们得到等边三就行。好，这两边相等是平行四边的对边相等，这两边相等呢，是角一等于角二，角一等于角三，得到角二等于角三等角对等边，对吧？嗯，那么这 ab 等于 c、 e， 那是已知的，对吧？所以这个 c、 d 等于 a， b 等于 c、 e， 这个，这等于这个三边都相等，所以等边三角等边三角形呢，这个就得到六十度。而根据，因为始终这是平行四边形，对吧？所以两边平两组啊，这一组对边平行，同的那角互补，所以这个一百二十度角 比三题还是平行四边啊。 a、 d 垂直于 b、 d 角所得的边呢？斜边一半， 那么 b、 d 等于三，所以 a、 b 就 等于六，对吧？ a、 d 我 们通过勾股定律就等于三根号三，我们就不多说了，那平行四边形的面积就可以等于底垂高，把 a、 d 当做底高就是 b、 d， 哎，就是三根号三乘以三，那就等于九根号三， 对吧，所以这个面积就等于九根号三。平行四边形的面积啊，等于底乘以高，三角形的面积是底乘以高，还要乘个二分之一，因为这个平行四边形就是两个三角形的面积。 第四题，在平行四边形 a、 b、 c、 d 中， a、 e 垂直， bc 于 e， f 垂直于 f， 这垂直了 a， e 比 a， f 等于二分，比三分。 呃，这地方我们要根据什么东西呢？平行四边形的面积啊，可以等于这个 b， c 乘以 a， e， 对 吧？底乘以高，也等于 c， d 乘以什么呢？ af 啊，这个式子我们叫做等级式，有这个等级式，我们就可以变成 a、 e 比 af， 我 们根据外向的积等于内向的积， a、 e 乘以 b， c 等于这个 af 呢？乘以 c、 d， 这个在小学也提到了，虽然我们中学要到后面才学，但是简单呢。呃，这些性质也要知道一些啊。 a、 e 乘以 b， c 等于这个 a、 f 乘以 c、 d。 好， 那就是 a、 e 比 a， f 等于 c， d 比 c、 d 就 等于二分，比三分 好。那么现在我们看到平行四边的周长是五十，零边的和角等于二十五，也就是 ab， 如果我们说这个 ab 等于 cd 等于二 k， 对 吧？ bc 等于 ad 等于三 k， 那 么这样呢？我们就知道，二 k 加三 k 对吧？零点和的两倍等于五十，对吧？二 k 加三 k， 五 k 等于五十 k 等于五好， k 等于五的话，那 ab 就 等于二五一十，所以 ab 就 等于十， ab 等于十， cd 等于十， ad 等于 bc 等于一十五。 好，那么这里我设计了用了一个辅助位的时候 k， 这样呢，可以快速的去解答问题啊，就很简单的了，同时也设计了一个辅助位的时候 k， 这样呢？我们看到第五题， 在平行四边形 a、 b、 c、 d 中，对角线交于点， o， a、 c 等于六， b、 d 等于十， a、 b 等于四。求角 b， a、 c 的 度数。我们看到图形在这里啊， 他刚才说这里是个平行四边形 a、 b、 c、 d。 然后呢？ a、 c 等于六的话， o， a， o， c 就 等于三， b， d 等于十， o， b， o， d 就 等于五。由于这个 a、 b 等于四，根据三的平方加四的平方啊，等于九，加一十六等于二十五，刚好等于 o， b 的 平方。根据勾股定律，逆定律，我们得到角 b， a、 c 就是 九十度。 好，第一个，我们得到角， b， a、 c 等于九十度。好，具体的步骤我没有写，我这个口袋儿说了一遍，那么这个第二个呢？这个面积 s 平行四边形 a， b， c、 d 就 等于底乘以高就等于 a， b 乘以什么呢？ a， c， a， b 是 几呢？ a、 b 是 四， a， c 是 六，四六二十四。好呃，这都是比较简单一点的呃，练熟了，熟能生巧，考试呢？呃，即使拿不到满分，也可以得到比较高的分数，记得点赞关注哦。

认真倾听，真诚分享！欢迎大家来到今天的八年级数学课堂。这道四边形中的最值问题是历年来期末考试中的重点题型，有百分之八十的同学都拿不到满分，家长朋友们一定要讲给孩子听， 下面我们一起来看。如图，在平面直角坐标系中，菱形 o a、 b、 c 的 边长为十， 对角线 o、 b 的 长度为十六， d 是 o a 的 中点点， e、 f 是 o、 b 上的动点，且 e、 f 等于二， 求四边形 a、 d、 e、 f 的 最小值。首先我们来进行分析，四边形 a、 d、 e、 f 的 周长等于四边之合， 有体可知，菱形的边长为十，而 d 点又为 o a 的 中点，所以 a、 d 等于五，而 e、 f 又是定长二，所以那四边形的周长等于七，加 d， e 加 i f。 那 现在问题就明确了，求四边形 a、 d、 e、 f 的 最小值，最终就是求 d e 加 i f 的 最小值。 在图中 d、 e 和 a、 f 是 不相连的，那遇到这种问题，我们立马就要想到定长的平移模型，因为在题目中， e、 f 是 o、 b 上的两个动点，但是 e、 f 为定长二， 所以我们可以将 a、 f 沿着 x 轴向左平移两个单位，此时 f 点刚好和 e 点重合，下面我们来做辅助线。 假设 a、 f 沿 x 轴向左平移两个单位以后， a 点平移到了 a 撇点， 因为 a 撇 e 是 有 af 平移的，所以 a 撇 e 是 等于 af， 那 此时四边形的周长就等于， 所以那我们四边形的最小值就转化为求 d e 加 a 撇 e 的 最小值。将 a、 f 平移到 a 撇 e 之后， d、 e 和 a 撇 e 连接在了一起， 此时 d 和 a 撇是两个定点，而 e 为 x 轴上的动点，要求 d e 加 a 撇 e 的 最小值，那很明显，这就是我们在初中数学中出现最高频的将军迎马模型。 这个模型的做法就是做点 a 平过动点所在的直线，也就是 x 轴的对称点 q， 再连接 d q， d q 与 x 轴的交点，那就是 e 点的最佳位置，那两点之间线段最短，此时 d e 加 a 撇 e 的 最小值为线段 d q 的 长度。下面我们来做辅助线。 分析到这，我们的问题已经非常明确了，那要求 d e 加 a 撇 e 的 长，最终我们就会转化为求 d q 的 长度， 而要求 d q 的 长度，那我们只能计算 d 点的坐标和 q 点的坐标，下面我们一起来解答。 首先我们连接 a c， 因为 o a， b c 是 菱形，所以菱形的对角线是互相垂直且平分的，我们将此点定为 m 点。 因为 o b 的 长度是十六，所以 o m 等于八。 在直角三角形 o a m 中， o a 的 长度是十， o b 的 长度是八，可以算出 a m 的 长度为六。 由此我们可以得出 a 点的坐标是八。六。过点 d 作 x 轴的垂线，与 x 轴相交于 n， 因为 d 为 o a 的 中点，那所以 d n 为三角形 o a m 的 中位线，所以 d n 的 长度也就是 a m 的 一半。三 o n 等于 o m 的 一半，所以 o n 等于四。 由此我们可以得出 d 点的坐标为四。三。 因为 a 撇是 a 点，向左平移了两个单位， a 点的坐标是八和六，那所以 a 撇点的坐标就是六。六， 那 q 点又是 a 撇儿点。关于 x 轴的对称点，所以 q 点的坐标为六负六。 好到这儿，我们最关键的 d 点和 q 点的坐标已经求出来了，要求 d、 q 的 长度，我们可以通过构造直角三角形来完成。 过 d 点做 y 轴的平行线，过 q 点做 x 轴的平行线，此时两条线相交于一点，刚好将 d、 q 置于直角三角形中，下面我们来做辅助线， 两条平行线相交于 h， 此时 h 点的横坐标与 d 点的横坐标相同， h 点的纵坐标与 q 点的纵坐标相同，所以 h 点的坐标为 四。负六， 在直角三角形 d、 h、 c 中， d、 h 的 长度我们可以根据两个点的坐标得出来，是九， h， q 等于二。根据勾股定律，我们可以得出 d、 h 的 长度为根号八十五。 经过前面的分析，我们知道四边形 a、 d， e、 f 周长的最小值等于七加 d q， 所以 四边形 a， d、 e、 f 周长的最小值为七加，根号八十五。 好，这道题就讲到这儿，记得点赞关注哦！

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如果你有数学想考满分的想法，请跟我来把你的数学下册课本一百五十九页纸。 我们看到第二讲平行四边形的判定，这个判定呢就是判断并确定下来，就是判断一个四边形呢，它是不是平行四边形呢？ 那么我们说，呃，要判断一个内容，我们首先要根据它的定义而来。前面我们说一个平行四边形是这么说的，说 两组对比啊，一组对比平行，另一组对比也平行，两组对比分别平行的四边形呢，我们说我们把它叫做平行四边形，这个我们说是平行四边的定义，我们说定义啊，它是第一条性质，也是第一条判定。 好，大家记住这句话啊，定义是第一条性质，也是第一条判定。所以我们判断一个，我们找一个四边形的性质的时候，我们说平行四边的对边是平行的啊，两字对比分别平行。那么现在我们来说平行四边的判定呢？我们要把这个当的第一个哪个呢？就是这个定义 啊，两组这边分别平行的四边形叫做平行四边，是它的定义。那么现在我们说两组这边分别平行的四边形呢？是是平行四边形，就判断出它的平行四边，我们把它当做第一个判断方法，因此我们其他的要判断四边是平行四边，我们都得要根据这句话。 好，下面我们来看到现在我们要得到就是说以这个 a、 b、 a、 d 为零边的一个平行四边形，哎，那我们就可以怎么办呢？那我们可以呃，比如过点电 b 做一个跟 a、 d 平行的， 对吧？然后过点点 d 呢？做一个 a、 b 平行的，哎，根据同位角相等，两直线平行，内侧角相等，两直线平行。哎呀，这东西啊，很麻烦，咱们有一个简单的办法，怎么办呢？咱们在这里来看一下 a、 b 多长。以这个点 d 为圆心， 以 a、 b 的 长度为半径作弧。然后呢，咱们来看一下这个 a、 d 的 长度啊，以这个点 b 为圆心， 以这个 a、 d 的 长为半径作弧，两弧交入一点。好，这点我们说是字母 c、 e。 好， 现在咱们连接 d、 c 连接 bc， 咱们说四边形 a、 b、 c、 d， 它就是一个平行四边形。那么这里我们根据的是什么呢？我们根据的现在就是这句话，两组这边分别相等的四边形是平行四边形。 哎，我们刚才做这个 b、 c 等于 a、 d， 做这个 d， c 等于 a、 b 啊，刚才我们是取回作图，哎，刚才有的同学说，你不是说要得到两组对边分别平行，差这平行四边吗？我们说啊，两组对边分别相等，它就是两组就可以得到两组对边分别平行。 好，我们看到这个图形，也就是说如果这个 a、 b 等于这个 c、 d， 如果这个 a、 d 等于这个 bc， 那 我们说这两个相等，能不能换成是这两个平行呢？ 我们看我们把 b、 d 连起来，那我们说这个 b、 d 是 等于 d、 b， 所以 这个三角形 a、 b、 d 啊， a、 b、 d 和这个三角形 c、 d、 b 啊，它属于相等的理由 s， s， s 啊，一边二边三边，一边二边三边边边两三缺等。所以这里在写这个三角形切等的时候呢，但如果你要写大括号的话，那就是 a、 b 等于 c， d， a、 d 就 等于 c， b， b， d 等于 d b， 哎呦，这里就是个对应的问题啊，对应的问题。 那么这样两个三角形的之后，我们就有前两三角对应，角相等，角三等于角四角一等于角二，对吧？三四内角角相等， a、 d 平行于 bc， 角一等于角二，内角角相等呢？ ab 就 平行 cd 了， 对吧？所以我们说两组对边分别相等呢，我们可以转化为两组对边分别平行的，所以我们现在就说两组对边分别相等的这个视频呢， 也是平行四边形哎，我们通过刚才的证明，我们证出来之后呢，我们就可以把它用一横黑体字把它写出来，我们说叫两朵对边分别相等的四边形，是平行四边形，我们把它做一个定义，那么未来呢，我们可以直接拿它来用， 那么实际上我们还可以拿这一个叫一朵对边平行且相等的四边是平行四边形。好，我们看到这里，比如说这个 a、 b 跟这个 c、 d 是 既平行又相等的，对吧？那么平行了呢？那我们连接 a、 c 之后，这个内侧角就相等了，当然呢，还有这是公共边，对吧？边角边，边角边，哎，这两个三角就相等了，那么刚才 a、 b 平成 c、 d 这两个三角相等呢？哎，我们也可以得到这两个角相等呢，对吧？这两个角相等的时候呢， 所以这两边 a、 d 是 平行 b、 c 啊，所以两者这边就分别平行了，所以它是平行四边形。当然我们课本的例题这里呢，不是这样写的啊，他说这两个相等，当两个三圈等的时候呢，这两边也相等， 所以这一组对比与另一组对比，就是两组对比分别相等，那么他也是平行四边形，就是说有一组对比平行相等的，现在可以转化为两组对比分别相等，但你转换两组对比分别平行也是可以的。 于是我们就把一朵这一边平行于相等的四边形，说是平行四边形，当这里有一个平行且等于的符号，有时也采取这种连写的形式。我们下讲再跟大家讲，记得点赞关注哦！

这个视频我们来讲一道八下，同学在学一次函数单元一定会碰到的一个难点题型，是一次函数跟实际应用的结合，像这种题型的话呢，百分之九十五的同学思路都是不清晰的，但其实这种题型只要三步核心思路就可以非常轻松的解出来了， 那这个视频花三分钟来带大家梳理这三步核心思路，像以后这类型的实际应用都能够轻松解出来。好，那还有更多一次函数单元的一个重点题型， 我都整理到了这份一三二四的专项练习里面，可以拿去练习巩固好。我们来看一下这个题目特征哈。题目特征的话呢，首先会给出一些信息 啊，通常来说都会有 ab 两款呢，或者加一两 d 啊之类的这种信息哈。然后的话呢，是给出了一些进价跟售价给出表格的信息，并且设出了这个书包的个数是 x， 并且后面一堆东西好。然后最后的话呢，就问 怎么样才能获得最大利润，然后去求最大利润。如果是像运费那些的话呢，就是最低运费，然后去求最低运费。好，那这种的话，其实相当于是一次函数跟实际应用结合中的最值问题，也就是要用一次函数，然后去结合到实际应用去求最值 好。这边来看一下这个核心解析思路哈，其实解析思路非常的简单，就是三步，第一步的话呢，是要先去求自变量，也就是 x 啊，通常是 x 的 一个取值范围， 然后第二步的话去求函数解析式，第三步去根据自量取值范围去求对值就可以。为什么是这样子哈？我们来看到去掉这个实际应用之外，我们来看到一次函数什么时候是有对值的呀？一次函数，比方说哈，如果是这样子，一个 k 大 于零的一个 函数的话，那它是没有最大最小值的，对吧？因为是一条直线吗？然后是没有最大最小值的，所以如果说要取入这个函数的最值的话，其实这个 x 的 话，它就需要有一个取值范围，比方说这个 x， 这个是 x 一， 这个是 x 二， 是这个取值范围是在 x 一 到 x 二之间，那对应的话，也就是图像就是这段， 那什么时候有最值啊？很明显就是这个点嘛，对吧？也就是 x 等于 x 二的时候是有最值的， ok， 所以 为什么需要有这个 x 的 取值范围？就是为了取到直线变成一个线段，这样子才能够去求最值。那同样的，当这个，呃，一次函数它是 k 小 于零的情况下， 它也是一条直线，所以的话呢，也是需要说，哎，这个有一个曲值范围在这里，它才能变成一个线段， 然后才能有最大值和最小值。所以的话呢，套到实际应用里面，那我们需要找到的元素就是第一个是 x 的 曲值范围。曲值范围的话呢，会根据题意会有实际意义跟题目限定两种。什么是实际意义呢？比方说书包，书包它个数 它是要大于等于零的，对吧？这个就实际意义嘛，然后题目限定是什么意思呢？比方说题目中这里的话，能看到哈，如果勾进这两种书包的总费用不超过 一万八千元，也就是小于等于嘛？这里的话就会出现一个不等式， ok， 那 这里的话就会得出，综合去得出 x 的 一个取值范围 好了。第二个呢，求函数的解析式，那也就是根据题意去得出，我们看到哈要获取最大利润，也就是去找这个最大利润跟这个 x 之间的关系嘛。这边题目已经设了是 w， 哈利润是 w， 那 也就是去找 w 跟 x 之间的函数关系， 那然后再在这个取值范围内去求最值就可以了啊，就是这样子的思路。那我们结合到这道题来讲解好。第一步的话呢，先去求这个数量的取值范围，首先实际意义，实际意义的话就是这个书包的个数是 x， 那 这个 a 是 x 的 话， b， 也就是我们看到哈一共是四百个吗？ b 的 话就是四百减 x 吗？ ok， 实际 e 的 话，也就是 s 代等于零，四百减 s 代等于零，对吧？然后再看到题目限定，题目限定的话，也就是刚才说了购进两种书包的总费用不超过一万八，总费用在哪里啊？也就这一项嘛，就进价嘛，对吧？所以的话就是 a 的 费用加上 b 的 费用 小于等于一万八就可以了。所以第三个不等式，也就是四十七 x 加上三十七乘上书包的，呃，那个 b 书包的个数也四百减 x， 然后是小于等于一万八， 那就可以了。好，那这里的话就可以去列出这个不等式组，然后去解出来，那解出来的 x 是 大于等于零，然后是小于等于三百二十。好，第一步就做完了， 就求这个自变量取这个方面吗？第二步是求这个函数解析式，我们看到哈，最后是要求这个利润最大，所以的话呢，是要去找利润跟 x 之间的关系。题目已经设出来了，利润是 w 了，所以的话，也就是要去求 w 跟 x 的 关系嘛， 总利润，总利润也就是 a 的 利润加上 b 的 利润， a 的 利润是什么呢？也就是 a 的 个数乘上它一个的利润就可以了吗？ a 一个的利润，也就是它售价减去进价六十五减四十七，这是 a 一个的利润，再乘上 a 的 个数，也就是乘上 x 好， 然后再加上 b 的 利润， b 一个的利润是五十，减去三十七，然后再乘上 b 的 个数，也就是四百减 x， 好，那这个就是 b 的 利润， a 利润加 b 的 利润就是总利润，然后化简这个函数。解析式，等于五 x 加五千二， 好，那第三步的话，就是根据这个取值范围，然后去呃求这个最值就可以了吗？来，我们看到这个函数，它的图像大概是怎么样的？大概是这样子一个图像，对吧？所以的话呢， 它 k 是 大于零的，所以是一个，呃，就是倾斜向上的这样子一个图像， k 大 于零的情况下，所以是 w 是 随着 x 的 一个增大而增大了，所以我们看到也就是零到三百二十， 是这一段，对吧？那什么时候 w 最大值啊？很明显，这个 w 最大值就是当这 x 等于三百二十的时候吗？ 所以带进去，带进这个解析式里面去，就可以求出 w 最大值六千八百，那就可以了， 好，同学们可以做好笔记，像这种一函数求最值，问题都是这三步。核心解析思路可以点赞，保存，反复学习，那像这些属于课内的重难点内容以及课外的拓展内容，我都整理到了我的系统视频里面，如果说有需要了解和试听，可以在下方留下这三版本。

要想数学成绩好，每天练习不可少。八年级数学下册课本一百六十七页纸上的 第五题已知如图，在平行四边形 a b c d 中， a b c d 平行四边形。好，他已经说了第一个已知条件， e f 分 别是 c d 和 ab 边上的点 a e 平行于 a e 在 哪里？ a e 在 这里， a e 平行于这个 c f。 呃，没有了吧？其他这什么教理啊？求证。这个 e g 等于 f h。 哎呀， e g 等于 f h。 咱们能不能得到这中间的这里小的是个平行四边形就可以了 啊？这样的平行四边的这边就行了。我们看到这个平行四边形 abcd 啊，我们是可以得到这个 ab 平行且等于这个 cd 啊。 a b 跟 c d 是 既平行又相等的。如果现在有一个叫做 a e 等于平行， a e 平行于 c f， 我 们看到 a e 平行于 c f， 那 我们就可以得到什么东西呢？就可以得到这个叫做 a f 平行于 c e， 并且这个 c f 平行 a e。 好，我们就可以得到这个 a f 平行于 c e， 并且这个 a e 是 平行于 c e f， 对 吧？好，那么有这两个我们就可以得到平行四边形 a f c e a f c e。 好， a f c e 的 话，那我们就可以得到这个叫做我们就可以得到什么东西呢？刚 才我们说要得到这个叫做我们就可以得到什么东西呢？刚才我们说要得到这是个平行四边，这本来这个平行就证明了。哦， 好，我们再继续来看一下哈。呃，那我们能能不能证明这个跟这个是平行的呢？我这个跟这个平行是刚才这已知的有的，对吧？这个平行里面有的。 呃， a f 呢？ 我们来看到这里啊，这个 b f 跟 d e， 由于这个 a f 是 等于 a o， 那 这里我们得到 a f 等于 c 啊，这个平行四边形，我们得到 a f 等于 c e， a f 等于 c e 的 话，因为刚才的 ab 是 等于 cd 的， 看来我们又可以得到什么东西呢？叫做 ab 减去 ab 等于 cd， 减去 c， 减去 c e， 所以 我们就可以得到这个 b f 叫做 f 字母吧。 b f 平行且等于 d e 好， b f 平行切等于 d e， 那 我们由此类推，我们就可以得到这个平行四边形，叫做 b e d f b e d f 好， 那么这样我们就可以得到这个叫做 f d 平行切等于 b e， 所以 f d 平行且等于是这个等可以不写啊。呃， b e， 当然你需要它的时候你就把它写出来，那么这里我觉得好像不需要吧，我们等会再往后看好这个 d f 平行 b e 好， d f 平行 b e 呢？ g， 这个 g f 平行 h e 啊，这两个平行。那么刚才根据 a e 平行于 c f 就是 g e 平行于 c f， 所以 我们加上这个 g e 平行于这个 f h g e 平，所以我们就可得到平行四边形，叫做 e g f h e g f h 好， 平行四边的对边相呢，所以我们就知道 e g 等于 f h 啊，这题我就说到这为止啊，这题可能有的同学没有听清楚，中间的步骤很长啊，我这里只是把这个推理的过程跟大家说一下，要把它写出来还是有个难度的 啊，有时间大家自己去理。我们的第六题，小明是这样画平行四边形的，如图，将三角尺。 呃， a b c 这个三角板，它的一边 a c， 比如说一个三角板，当然我这里是，呃，三十度的，它是四十五度的三角板啊，贴着这个 a c 往上这个推移，那么这个实际上是平移的做法。 我们得到这一个四平行，叫做 a b b a， 它就是平行四平，为什么呢？因为这个 a b 啊，是平行切的， a e b e 的 叫什么呢？叫做这个平移。呃，前后的对应线段平行且相等啊，或者在同一条直线上啊，经过平移， 对吧？呃，对应线段平行且相等，或在同一条直线上，所以这个 ab 跟 ab， 当然这里呢是平行且相等的，对吧？所以那个，呃，我们得到这个平行四边形，呃，这里又是一组对边 平行且相等的四平行，是平行四平行。有时间我没有写完啊， a b b 一 a 一 是平行四平行。记得点赞关注哦！

为了数学成绩好，分式计算的能力要老，我们看到八年级数学下册的课本一百三十四页之上这里的交流。购买西瓜的时候，人们总是西瓜，希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好。 假如我们把西瓜都看成球体，并且西瓜瓤的分布是均匀的，西瓜皮的厚度都是 d 啊，这里就是大西瓜，小西瓜皮是一样厚的。已知球的体积公式是 v 等于三分之四帕的立方，而为球的半径。请回答，第一个，西瓜瓤占整个西瓜的这个体积的比是多少？ 我们说吸管嚷呢，呃，就是里面的这个可以吃的这一部分，他也离掉一个球，那就三分之四啪耳的地方，那么这个耳是多少呢？是应该用整个这个半球整个球的半径减去皮的皮厚，所以用耳减 d 啊，应该是这个 r 减 d 啊，这个才是它的半径。如果除以整个球的体积，那就是三分之四啪耳的立方。好，那么这样呢，我们来看到这个比例所占的三分之四啪才约掉了，所以耳减 d 的 立方，耳的立方我们可以写成耳分之耳减 d 括号的 立方。哎，我们也可以写成这种形式，一，减耳分之 d 括号的立方啊，这个比例我们可以写成这样的。 那么现在你认为是买大西瓜合算还是买小西瓜合算呢？我们来看所占的这个比例的情况。我们说当地为定值，那大西瓜小西瓜这皮一样厚，对吧？那么这个 e 是 不变的间 r 分 之 d 对 吧？ d 为定值， r 越大，那么这个 r 分 之 d 就 越小。嗯， r r 越大，对吧？分母越大，这个 r 分 d 就 越小，那么于是 当您这个越小的时候，一减二分之 d 就 越大，对吧？你这个越小，一减二分之 d 越大，也就是说，呃，所以这个西瓜瓤所占的比例就越大啊，这个我就没抄完，所以我们认为大西瓜更合算 啊，所以这里你认为买大西瓜更合算，因为大西瓜所占的这个比例占的越多。 好，我们通过这种通过字母啊来分析。我们江西中考啊，是经常喜欢考到的，所以我们在扣二的时候，我们这方面我们还要加强练习 好我们在这里的计算，那么这 a 跟 a 约分， b 跟 b 约分，等于 a 分 之一，咱们之间。好，这里我们再慢一点啊，这里三次方，那就等于八 x 的 立方，分子 y 的 立方除以颠倒相乘 y 分 之四 x。 好，我们看到八跟四约分就是二分之一， x x 立方，约去 x 留下 x 平方， y y 的 立方，约去 y 留下 y 的 平方。二 x 的 平方分之 y 的 平方，我们可以一步到位。 好，这里我们看到等于 a， 括号， a 减一，乘以 a 分 之 a 减一， a a 约分，那就等于 a 的 平方减二，一加一呢。 嗯，对于这个地方，我们认为应该都算，对吧？题目没有什么特别的要求啊，但是如果说真正的计算的话，我们通常往往是写的下面这种形式啊，因为这里是计算把它算出来，往往写的下面的形式， 但是我们这个标准呢，好像写的是上面的，所以我认为这个都对啊。好，我们看到下面的这个， 我们看到分子呢是 x x 加二，这里分母是 x 减三的平方除以颠倒相乘， x 平方减三， x x x 减三，这里是 x 平方减四，就是 x 加二，乘以 x 减二。 好，我们看到，呃， x x 都在分子的位置上，所以分子上面有 x 平方， x 加二跟它约分， x 减三，跟它约分约掉了，所以分母离离 x 减三约掉，还留下一个 x 减三。呃，还留下一个 x 减二。 好，我们就可以这么放在这里。哎呦，我们就可以这么放在这里。呃。当然，如果有的人写出说分子 x 平方，分母 x x 平方减五， x 加六，我们认为这样呢？我们认为都算，大家是对的啊，记得点赞关注哦！

要想数学成绩好，每天练习不可少，八年级数学下册小册八十五页之下呢。我们看到第五题， 如图，在四边形 a、 b、 c、 d 中， a、 b 平行于 c、 d 啊，图形在这儿， a、 b 平行于 c、 d。 两直线平行，内测角相等，对吧？这个角 a、 b、 e 等于角 c、 d、 f。 好， 这两个呢，是平行的啊， 好，还有 e、 f 在 b、 d 上， a、 e 平行于 f， c、 e。 什么？这两个平行是吧？这个 a、 e 跟 c、 f 平行，两之间平，这里的内侧角不也相等吗？好，这个内侧角相等，根据等角的角相等，角 a、 e、 b 等于角 c、 f、 d。 那 么这样呢，我们这个三角形 a、 b、 e 与三角 c、 d、 f 两个三角就全等了，所以这是第一个证明。 呃，我们看到，因为 a、 b 平行于 c、 d 啊，所以角 a、 b、 e 等于角 c、 d、 f。 本来我们要往下写，等一会，我这个可能拍不下来的啊，又，因为 a、 e 平行 f、 c， 所以我们就可以得到 a、 e。 所以 角 a、 e、 f 等于角 c、 f、 e。 那 么这个两这面内角相等之后，得到它的等角的补角相等，所以角 a、 e、 b 等于角 c、 f、 d。 这个角等角的补角相等。 好。下面呢，因为 b、 e 等于 c、 f。 因为 b、 e 啊，等于 d f 啊， b、 e 等于 d f， 所以 三角形 a、 b、 e 前等于三角形 c、 d、 f。 理由是 a、 s、 a 两个三点确定之后，那我们就有了 a、 b、 e 就 等于 c、 d。 因为刚才有 a、 b 平行于 c、 d， 对 吧？因为刚才有 a、 b 平行于 c、 d， 所以 四边形 a、 b、 c、 d 就是 平行四边形。第一个我们说完了啊，好，第二个 第二个呢，它是求，那我们就对应的写的解字，如果 b、 h 乘出 c、 d 角 d， b、 c 等于九十度， a， d 等于三， a、 d 等于三，那 b、 c 一 就等于三，因为这个平行的对边相等 a， b 等于五，那就是 d， c 一 等于五。好，这样呢，我们可以把这个 b、 d 等于四求出来， 对吧？呃， b、 d， 根据勾股定律， b、 d 的 平方加三的平方等于五的平方啊， b、 d 等于四，求出来，然后呢，他要我们求的是这个 b、 h， 而 b、 h 是 垂直的，那么所以根据什么东西呢？叫做 s。 三角形 d， b， c 等于二分之一乘以三，乘以四， 但是二分之一乘以五倍的 b、 h， 对 吧？所以这个 b、 h 就 等于五分之一十二二点四啊， b、 h 等于二点四。好，这个过程这里我就不写了。 好，我们根据已知，我们得到这个 c、 d 的 a， c， b 的 ad 等于三， c， d 等于 ab 等于五， 然后呢，这里是直角，我们得了 b， d 等于四，我们根据面积法，三角形 d， b、 c、 d 面积等于二分之一乘以底乘高啊，三单底，四单高，然后呢，五单底的话， b、 h 就 当高，对吧？这个三四一十二等于五， h， h 等于五分之一十二等于二点四。 好，我们继续看到我们的课本上的第一百六十七页，纸上的一百六十七页，我们看到这里的第四题， 第四题，在平行四边形 a， b， c、 d 中， e、 f 分 别是 a、 b， c、 d 上的点，他已经说了 a， b， c、 d 是 平行四边， a， b， c， d 平行四边形。呃， 现在他告诉了 a， e 等于 c， f， a， e 等于 c f。 呃，要确定这个叫做 e m f m e m f m 啊，对的，它是个平行四边形，我们可以怎么做呢？ 我们刚才说这个 a， e 啊，是等于 c f， 那 我们由于四边形 a， b， c， d 是 平行四边形， a， b 是 平行且等于 c， d 的 啊， a， b 平行且等于 c， d 的， 呃，那我们就可以得到这个，这个叫做 be 平行且等于 d， f 平行四边的边平行且相等， a b 与 c d 平行相等，由于这 a e 等于 c f c a b 减 a e， 呃，就等于 c， d 减 c f， 也就是 b e 和 d f 实际平行又相等的，所以我们这样就得到的平行四边叫做 b f d e e 啊， b f d e b f d e， 我 们就可以得到这个什么东西呢？ b f 是 平行且等于 d e 的， b f 平行切等于 d e 由于这个 m 和 m 分 别是 d e 和这里的中点，所以呢，我们就得到 m e 是 等于 d 一 半， m f 是 等于 b f 一 半，而且刚才他们两个平行，所以我们就得到 m e 是 平行切等于 f n 的 啊，这个一组对边，这里的和这里的一组对边平行切线呢？所以我们最后得到这个叫做 e n f m 是 平行四边形，所以四边形啊，有时间的关系，这里有的我就没写完了，记得点赞关注哦！

好，各位家长好，今天给大家讲一个八年级易错的知识点，很重要的，很重要的平行四边形的判定定律有几个，课本上给了四个，我们一切以教材为主，就有的同学可能是真命题，但不能用到判定的。 我们一切以课本为主，但是大家去翻课本，有的同学因为我最近在寒假再给一些同学讲到平行四边形，包括一些学校也会讲到平行四边形了，已经讲到了 老，他会说，老师，课本上四点四新教材只有三个，翻到一百二十五页。这有一个说，一组对边平行起相等的四边形是平行四边形，翻过来说两组对边分别相等的四边形是平， 是平行四边形。再往后面翻，又有一个说，那个对角线互相平分的四边形是平行四边形，老师，只有这三个，再往后面就没有了，是中线了，为什么只有三个？其实还有个在哪？他在四点二这一部分，大家注意他在四点二， 就是平行四边形的性质这一块，他在标题下面有隐藏的有有有，在写着的，可能大家看到的镜像，我给大家念一念，在四点二标题下面。平行四边形及其性质，下面有两，我们 小学时候已经学过。下面说两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形，明白吗？这个就是平行四边形的，顾名思义，平行四边形。平行四边形就是两组对边，上下平行，左右平行它平行四边形，明白吗？课本上只有四个。我再说一个大家容易用的，但是不对的， 他是一个真命题，对角相等的四边形是平行四边形，对吗？这句话是对的，是真命题。对角相等能推出来本来四边形，内角和是一百八三百六十度， 那么就能推出来菱角相加等于一百八十度，也有菱角互补，那么就可以推出来上下平行，左右平行的，知道吗？归根结底还是用两组对边分别平行的。 你不要说因 abc 倒四边形，因为角 a 等于角到角 b 等于角 c， 所以 四边 a b 四是平行四边形，那这句话就是错了，知道吗？少一步明白吧？不要直接用，大家记住这个易错点，课本上没有的就不要直接用。

要想数学成绩好，每天练习不可少。 八年级数学下册课本的一百六十八页纸，我们看了第十一题，一张平行四边形的纸片， a、 b、 c、 d， a、 d 大 于 a、 b 就是 平行四边形的邻边，是不相等的一长一短的。第一小题，折叠平行四边形 a、 b、 c、 d 可以 得到角 b、 a、 d 与角 b、 c、 d 的 平行线 啊，把这个 b、 a 啊，把这个翻过来，到这边来，那我们就可以得到这里的两个角相等，角一等于角二， 然后呢，我们可以得到这两个角向呢？角四等于角五，嗯，为什么角三在哪里呢？我把角三写到这里，因为这个原来是平行四边形，所以这个角二等于角三， a、 d 平行于 bc， 那 么当然角五就等于角六，所以角一等于角二等于角三，那我们就可以得到 a、 b 是 等于这个 b、 e 的。 哎，同样的，这个角四等于角五，角五等于角六，角四等于角六，所以这个角 d、 f 等于 d、 c、 e。 而根据平行四边的对边相等，那于是我们就得到 d、 c 跟 ab 呃，相等，那不就是 b、 e 跟 d f 也就相等了吗？那么这样呢，我们就可以得到什么一个结果呢？我们就可以得到这个叫做 a、 f 是 平行且等于 c、 e 的， 因为 a、 d 平行四边的这边是平行且相等的，所以这 a、 f， a、 d 平行于 b， c、 e 就是 a、 f 平行于 c、 e 啊。现在 d、 f 呢？等于 b、 e 的 话，那么所以 a d 减 b， d、 f 等于 b c、 e， 所以 留下了 a、 f 等于 c e 好 e 的 这边平行且相等的，所以这个四边形 a 呃， e， c、 f 就是 平行四边形啊。第一个证明大概这样的。好，我们看到第二题，他说你还有哪些折法？折出一个平行四边，选择其中一种，说明你的正确性，嗯， 比如说咱们这是一个平行四边。形啊，平行四边，比如说这是 a、 b、 c、 d。 好， 咱们也像刚才这样折过一个角。好，咱们就这样折了，折了这个，另外我们就不折了，对吧？好，那么这样折了之后呢，那我们就可以得到好这一个呢？ 啊，刚才这个 d、 e 是 折痕啊， d， e 是 折痕，然后 c 呢，就折到了 c 一 撇这个位置来了。好，所以这个 c、 d， 但是 c 一 撇 d， 刚才我们说这个，呃，什么？这个两个角相等角，这两个角啊，这个角相等，对吧？呃，那我们就可以得到这个 c、 d 等于这个 c、 e 撇 d。 呃，并且呢，我们这个 c、 d 啊，跟这个 c、 c、 e 撇 d 是 平行 c、 e 的， 那我们看到这个角一等于角二，角一等于角三，所以角二等于角三，所以 c、 d 又等于 c、 e， 所以 我们说 c 撇 d 平行且等于 c、 e， 所以 这 e 的 这边平行相等的四边是平行四平行啊，这样我们就得出平行四边形，其实这个平行四边呢，准确的说它是个菱形， 因为它一左邻边相等，而且我们不仅知道这边是个平行四边，我们看到这个 a、 b、 e、 c 一 撇，由于刚才这边等于这边，所以 a、 c 一 撇等于 b、 e 也平行了，所以这边也是个平行四边形。注意啊，这右边是个平行四边形，而且它是个菱形，左边是个平行四边形，是个普通的平行四边形。 当然我们有很多折法，你比如说我们把这个 b、 a， 哎，刚才咱要是说不这样折怎么折呢？要不我画一个吧， 啊，要不我们我们画一个， 好，看到 a、 b、 c、 d， 咱们把这 b、 a 沿着这个对角线 a、 c 折到哪里了呢？ b 折到它的这个 这里了，我们看是吧？啊，沿着这个 bc 啊，折到，折到这里了，那么然后这个 d 呢？沿着这个对角线 a、 c， 我 们折到大概这里了。 c， 这是 b 一 撇，这是 d 一 撇，那么我们来看到这样一个四边形呢， 哎，这个 a、 d 一 撇， c、 b 一 撇，也是不是平行四边形？当然如果说你这是个平行四边形，如果你这样对折，把它的中点给它找出来，对吧？把它的中点给它找出来，你再这样一对折， 啊，这一对折，把这里的中点也给他找出来。好，你再这样一对折好，把这里的中点依次类推，把这样一对折好，把这边的中点 好，那我们把这四边的中点对折找出来之后，我们再这样一对折，这个一对折，我们再这样一对折。 哎，我们中间呢，得到的也是一个平行四边形啊，这个我们根据什么东西呢？ 我们根据看到这里，呃，如果说这里我们用 a、 b、 c、 d 对 吧？这里 e、 f、 g、 h 对 吧？ e、 h 平行切的 b、 d 里边， e、 f 平行切点 a、 c 的 一半， h、 g 平行切点 a、 c 的 一半，所以这个 e、 h 跟 f、 g 是 平行且相等的，那么 e、 f 跟 h、 g 呢？也是平行且相等的。 呃，所以你不管用一组对边平行且相等，或者是两组对边分别平行，或者是两组对边分别相等，都可以得到中间这一个 e、 f、 g、 h 是 平行四边形，当然我们大家还可能有其他的不同的折法，多练练，你的成绩会越来越好，记得点赞关注哦！

要想数学成绩好，每天练习不可少。八年级数学下册课本一百六十九页。我们看到第十二题，你看这里打了个星号，难呐！几何原本中有这样的一道做的题，做一个平行四边形，使它的一个内角等于给定的角， 呃，并且面积呢，等于给定的多边形的面积。如图，已知四边形 a、 b、 c、 d 或角 r、 f。 好， 这里四边形 a， b， c， d 是 给定的角 r， f 是 给定的。 呃，现在教我们做一个叫做 m n g k 是 角 n 等于角阿尔法，角 n 等于角阿尔法，这里一个角阿尔法。现在做一个角 n 等于角阿尔法，怎么做呢？比如说，我们先做个角 n 等于角阿尔法啊，好，做，角 n 等于角阿尔法，怎么做呢？以地灵人形， 以任意差为半径做弧，好，以这里这点为心，以同样的长度为半径做弧，对吧？然后呢，我们再确定这两点之间的长度。确定这两点之间的长度， 好，我们来确定一下这两点之间的长度。好，由于时间的关系，有的做法我就是做给你看，并没有一一的说出来。好，那么过这一点做， 刚才这里是和 n 和这个角都等于角 alpha， 对 吧？这个角 n 等于角 alpha， 我 们就做完了。现在要使这个 m， m， g， k m n g k 的 面积等于四边形的面积。 第一个如何确定四边形的一条边长入这边的高？比如说，我们把这个当做底边吧，叫做 m g， 看这 m， g 在 哪里好，用尺微教我们做出来。哎呀，这题很难啊！我们首先来看这个四边形的面积， 四边形的面积，如果说咱们能够变成一个三角形的面积，二分之一乘以底乘高就可以了，咱们看呢，咱们把这个 a、 c 给它连起来， a、 c 连起来。三角形 a、 b、 c 加 a、 d、 c 的 面积，我们根据两平行线之间的距离相等，所以就是这个 a、 b、 a、 c、 d 的 面积啊，能不能把这个 a、 c、 d 变成一个三角形，跟这 a、 b、 c 是 一个三角形呢？咱们看这个，咱们延长 b、 c 到这里过这里做平行 啊，这样呢，两平行之间的距离，所以我们这里做这个角，等于这里的做这里这个角，我们把这个平行线给它做出来，那么 a、 d、 c 的 面积就等于 a， 比如说 a、 e、 c 的 面积。 好，这个时候怎么做呢？这个时候我们看到过这一点，我们做啊，过这一点，我们做内侧角相等，你看过这里的，哎呀，这个特别小，可能不大好画啊，可能画的不太标准。好，然后过这里 啊，可能大家不知道有没有看清楚，所以过这一点和这一点 好，我们过这里做这个内测角相等，那么这样呢，我们看到这个做 d、 e 平行 a、 c 之后，好，它们之间的距离相等，因为平行线之间的距离相等，所以我们就可以得到。哎呦，画的很不太标的啊，所以 s 三角形 a、 c、 d 就 等于 s 三角形叫做 a、 c、 e、 a、 c、 e， 所以 a、 b、 c、 d 四边形的面积就是三角形 a、 b、 e 的 三角形的面积啊。刚才这个 a、 c、 d、 a、 c、 e 把 a、 c 当的底边高呢？就是 d 到这个和 e 的 这个距离相等，我没有画出来啊。 好，那么第二个三角形 a、 b、 e 的 面积二分之一等于底乘高，所以我们把这个底呢？如果说这个 m g， 我 们就等于底等于底， 底等于底。好，那我们让这个 m g 等于 b e 啊， m g 等于 b e， 然后咱们让这个高啊，等于最高的一半，那么这算二分之一乘以底乘高，那么这个就是底乘高，我们让高作为这个平行平面。你们，所以我们现在把这个 b 变成的高给它做出来。怎么做呢？以点 a 为中心，以它大。好，这个 b 的 长还稍微长一点的长为半径，再分别以这两点为中心。啊，这个做题很难做的。好，我们把这个高给它做出来。 好，做出来了。好，现在我们这里呢？呃，我们这地方我们就也做一个高等于他的这个这高。怎么做呢？咱们先随便做一个地方吧，我任意点个点，把这个垂线给它做出来。好，任意做一个点啊，把这个垂线给它做出来。 你看，这一题是非常复杂的，一般同学是听不懂的，所以您跟着我一边看一边画，也许才可能听懂一些。 好，那么这个车值都做完了，现在我们要把这个高啊，等于这高的一半。好，于是我们要来做这个 a h 的 重叠性，比如说我们加个字母 h， 对 吧？把这高的一半给它做出来，然后以这点为中心，痕迹太多了， 还没做完啊，焦点在哪里呢？好，这里，好，这个焦点在这，这个焦点在这啊，你看清楚了吗？ 好，我们过这里做一条。哎，我画错了吧，怎么是这样的呢？好，我们这里为中心，在这里，在这里 做。哦，这里焦点在这里， 焦点在这里。啊，刚才看错了，你看多了，看错了啊，这也在这。哎呦，哎呀，这个图就做的眼睛老花了啊，在这里，哎呀，刚才点看错了啊，好，那么现在我们在这里以这个一半的长度为 半径。好，那么这个高呢？就等于这个高的 a h 的 一半，再以这六根弦做垂直的。 好，哎呀，这个做垂直的啊，再分别这两点，纹身。好，我画远一点，不然的话怎么又看不清这里点在这里啊，好了，现在这个垂直的在这里了。 好，那么这一点就是 m m n g h g 在， 刚才， g 在 这儿，哎， h 呢，好，这边的角我还没做完，好，把它补充出来，然后我们仍然是看在这里啊，做这个角等于这个角，阿尔法，刚才回到刚才一样的长度。啊， 好，然后呢，我们看到这里了，好，成这里了， 哟，刚才这个一样的，还错，短了一点。 好，这样找到了焦点。好，这点在这儿。好， m n g k m a g k m a g k， 所以 这个四边形 m a g k 就是 所求作的平行四边形。好，有时间就讲这么多，这题非常难啊，所以大家要想骑的成绩好，最好跟我一起练一遍，记得点赞关注哦。

好，第八题看完了吧？哎，这个题呢，是非常标志的一个瓜豆问题啊，哎，非常好的题目，来看一下啊。呃，首先呢，平行四边形点 e 呢，是 a d 边上的一个动点是不是？然后呢， d 等于来标一下啊，三分之根号二， 然后呢， c d 长等于三分之根号五。现在呢，这个里边大家也发现了，做了一个什么呢？哎，等腰直角三角形，是吧？哎，做了一个等腰直角三角形啊，好，然后呢，动点开始出现了， f 点呢，是 c e 边上的一个动点， 然后呢，动点完了之后呢？哎，每一次都在这里做等腰直角三角形就得到了几点，请问在整个运动过程中，这个三角形周长的最小值是多少 条件？看完了是不是？那我们不要害怕压轴题，就是一步一步去解决他就可以了。首先第一步，哎，我这个周长里有没有很感觉上这条边应该是个确定的，是不是？哎，这条边应该是个确定，因为他画的一个等腰直角， 对吧？你这个平行四边形大概应该是很确定一个东西，所以我上来要解决的问题只有一个，这个东西，平行四边形不全。 这个底边我不知道，我只知道这条边，但是我并不知道这条边是多少，是不是？哎，我很需要它啊，好，所以来先把它去计算一波啊，这边有三分之二，这里有四十五度，这么特殊，所以我肯定要考虑不要破坏这个四十五，哎，我们做垂直， 哎，做垂直的好处是上面的可以转化到下面来了，你看这 x 这边是不是也是 x， 对 不对？好，这个三分之根二可以转化到下面来了，是不是？好，所以这一边就是三分之根号二。呃，这个，呃，这个 x 减去三分之根号二，是不是 这个 x 就 擦掉了啊？ x 减去三分之根号二啊？好，那么剪完之后呢，这个三角形我就可以进行勾股定力了，对吧？好，所以 x 方 加上 x 减去三分之根号二，括号的平方等于三分之根号五的平方。那根号的问题大家都学过了，是不是啊？这个东西肯定会算，甚至于很多学校一二次方程都学过了， 所以这个式子呢，一化简变成了六， x 方减去二倍根号二， x 减一等于零，一看呢，就不太好算的样子。所以我们是不是可以用求根公式？求根公式还记得吗？ x 等于啥？哎，对，哎，二 a 分 之对负 b 加减，根号下是 b 方减四 a c， 对 吧？那它的平方是不是等于八减四 a c 里边是不是根号三十二，对不对？那么根号三十二是不是四倍根号二？所以两个根一定是可以解出来的。那听我意思啊，一个是二分之根号二，还有一个根呢，是负数啊，负数呢，就被它舍掉了啊，因为你的长度不可能是负的吧，对不对？哎，不可能是负的啊， ok 了吧。好，所以相当于我这个东西已经解出来了。那我这里是等腰直角三角形，他是二分之根号，这也是二分之根号，所以这条边是不是等于一了？所以这个三角形里面确实有个很确定的东西，这个 b 他 等于一了，所以他又转化成了，想求这个加这个的和最小是多少就可以了。 那么他俩的和最小，我只要找出 g 的 轨迹啊，直接看选项啊。 哦，这哦靠，好像是的啊，看选项是不是也能，但看选项你有没有觉得 d 选项万一对呢？是不是啊， d 也能猜出来一个一的这个过程 啊，一般不可能了是不是？哎，一般来说这道题已经很好蒙了，是不是好来，那么继续来看啊，很需要记的轨迹，不用担心，来动点终于出现，压住题，不要害怕来，你是主动点， 我是从动点，我们绕着一个定点转了九十度，所以在这相当于是摆了一个等腰直角三角形是不叫主从联动， 有定点有定角是标准的。瓜豆出现了，是不是啊，那我你的轨迹是直线，我的轨迹是不是一定是一个直线对吧？哎，一定是一个直线。那我们这道题最简单方法，我找两个特殊的位置是不就可以了，是不是？哎，当我 f 在 这的时候，哎，我发现我的 g 点在什么位置，我这么一连夸一连我就感觉到 是不是，哎，这个考试时间来不及了，我感觉好像这块平行的是不是你画的很标准的时候你是不是就很好做题了，是不是？哎，但是我们来详细推一下啊，所有的瓜豆问题是不是都可以用手拉手来处理？ 那么既然能用手拉手来，你从这个点发出做了一个等腰直角，我是不是还需要再做一个等腰直角， 那么再做一个肯定要做一个确定的，所以从这个点发出确定的边太多了，你可以连这个这个是不是都可以，但但是有同学连连他的话不太好，就这个角毕竟不太确定嘛，是不是？哎，我用这个 b c 也好，或者是我用 b e 也好，是不是都可以？但是 b c 太长了，做出来这个图太大了，所以我就考量之后我选了 b e， 我说了用 bc 一 样的，听懂了啊，来，我们选择用 b 再做一个等腰直角三角形，因为比较巧，它这里正好是有四十五的，所以我做完之后大概是不在这个位置， 是不是啊？那么坐到这之后，相当于两个等腰直角，手拉手套在一起，所以两个三角形是不是就可以全等了，是不是？好，所以咱们这俩三角形它全等了， 全都要转化的东西，要看到我在这个三角形有没有确定的东西在，哎，九十度，很好，我这里有九十度，所以你这里是不是也是九十度？看到是不是有九十？我这里四十五，那相当于这俩都是四十五的意思吗？对不对？好，所以这个 g 的 轨迹非常确定，在这条线上运动 夹角为四十五，这条线上啊，好，那么现在就变成了一个， 这个加这个的和最小，我们是不是做其中一个点的对称点，是不就可以了？是不是？哎，所以我们接下来做其中一个点对称点连接不就可以了吗？我们做 b 点比较合适一点，是不是？哎，加上 b 撇，然后连接 b 撇 e 啊，连接 b 撇 e， 所以 勾股定律是不就出来了？ 所以你看我这个图为什么把它放在中间？因为这图比较大啊，是不是改动过了啊？来，这个是一，这段是不是也是一，这段是不是还是一，是不是？好，所以这个是也是九十度吗？在这个大大的直角三角形中，这是一，这是二，所以这边是不是括号？ 这边是不是根号五，对不对？好，所以这一条边一共根号五，所以答案就是根号五加一就出来了。所以这道题其实他也是一个瓜的问题，不要害怕，知道吧？一看就吓死人了，都要觉得，哎，不要怕啊，对吧？哎，去处理他，对吧？哎，都可以用手拉手去处理啊。

要想数学成绩好，每天练习不可少。八年级数学下册小册八十五页纸上的 第一题如图， a 平行于 b， a， b 平行于 c、 d。 好， 我们看到这个图形上，他说了 a、 a 是 平行于 b 的， 这两直线平行，并且 a、 b 是 平行于 c、 d 的 啊，那这就是说我们得到平行四边形 a、 b、 d， c 的 a、 b、 d、 c 就是 平行四边形 好，然后又说的这个 c、 e 是 垂直于 b， f、 g、 e 垂直于 b， e 为垂足好。那么刚才我们说这上下这个是平行的，当然也包括 c、 f 平行于 e， 那 么然后呢？这里是垂直的直角同位角下面两直线平行，对吧？这个 f、 g、 e 跟 c、 e 是 平行的，那我们得到平行四边形叫做 f、 g、 e、 c， 对吧？而且它不仅是平行四边形，而且它是矩形，也就是我们小学所说的长方形啊。那么这里有有很多正确的结论，我们看题目问什么？第一个，呃，他们错误的是哪一个？看他有一个是错的。 ab 等于 cd， 这肯定是对的 啊，这个平行四边的对边相等 ab 的。 第二个呢？ ab 之间的距离就是 ab 的 长，这是不对的。好，这很显然，第二题选择 b 啊，题目问错误的是哪一个？两平行线之间的距离是什么呢？是两平行线当中的一条直线到另一条直线的距离，也就说是 c、 e 或者是 f、 g 都可以 啊，所以直线 ab 之间的距离是线段 c、 e 的 长啊，或者说 f、 g 的 长都是可以的，那么这个 c、 e 是 等于 f、 g 的 啊，所以那么两条平行线间的平行线段相等，或者说它们之间的距离相等，当然这个两条平行线间的平行线段相等，我们只能说 ab 等于 cd， 可以 说平行平行，对吧？两条平行线间的平行线段相等，但是这两个平行线段不是距离 啊，这两个平行呢，才是距离。好，要把这个距离定义搞清楚，我们看到第二题第二题 a、 d 平行于 b、 e， 这里的两平平行， a、 d 等于 bc 等于五，那这个等于五，这个等于五，对吧？而且它们也平行，也相等，所以 a、 b、 c、 d 是 平行四边形。 好，这个就是平行四边形 a、 b、 c、 d 了。好，再来看到 b、 e 等于八， b、 e 等于八，那这个就等于三了， c、 e 就 等于三 d、 c、 e 的 面积 s 三角形 d、 e 就 等于二分之一乘以三乘以高等于六啊，二分之一乘以底乘高等于六，那么三 h 等于二了。一十二 h 等于四， 那么 h 等于四，就是两平行线之间的距离等于四，于是 s 平行四， a、 b、 c、 d， 那 就是五，乘以四就等于二十平行四，平行的面积等于底乘以高，对吧？这个底是五，高就是两平行之间的距离。 我们看到第三题，如图，若梯形 a、 b、 c、 d 中 a、 b、 c、 d 中 a、 d 平行于 bc， 并且告诉 a、 d 等于二， bc 等于 八， a、 b 等于 c、 d 等于五， a、 b 等于 c、 d 等于五，那么这个梯形呢？我们说，呃， a、 b 等于 c、 d 等于五，它就说等腰梯形，等腰梯形在同一底上的两个角是相等的。 呃，这个要背下来，如果说咱们做这里的呃 d、 e 啊， a、 e 垂直于 b、 c， 呃， d、 f 垂直于这个 b、 c， 我 们就可以得到 a、 b、 e 与 d、 c、 f 两个三角形等斜边， a、 b 等于 d， c 等于五，对吧？这个直角边 a、 e 等于 d、 f 两平行线之间的距离相等。 呃，当然呢，您根据这个直角，然后这个角等于这里根据 a、 a、 s 得三角形 a、 b、 e 如三角 d， c、 f 也可以啊。总之吧，那么这个 b、 e 等于 c、 f 容易挣出来， a、 d 就 这中间呢，我们就能得到它也是一个平行四边形，应该也是一个矩形啊，我们后面再学矩形，那么这样呢， e、 f 就 等于二， bc 等于八，所以这个 b、 e 加 cf 等于六，而且它们各自相等等于三，所以这个就应该等于四。根据勾三股四减五， 那么这个 b、 d 呢，那就等于什么东西呢？ b、 d， 那 就等于根号的这个四的平方，加上这个三加二，就是五的平方。呃，四四一十六，五二十五，根号四十一。 好，那么这样我们就求出了 b、 d 等于根号四十一。我们看到第四题，如果四边形 a、 b、 c、 d 的 对角线 a、 c、 b、 d 加入引物啊，这里没出平行四边啊。 a、 b 等于 c、 d 等于十， a、 b 等于十， c、 d 也等于十，并且 b、 c 等于 a、 d 等于八，这个等于八，这个也等于八。 过点 o 做直线， e、 f 加 a， b， c 的 e， f 加 a， c， b， a、 c、 b 在 哪里？这里了？好，这里九十度的话，那么根据直角三角形当中的勾股定律，那么六的平方加 a、 c 的 平方等于十的平方，那么 a、 c 就 可以计算出来，等于六 啊， a、 c 就 等于六，当 a、 c 等于六的时候，根据勾股的逆定义啊，六的平方加八的平方等于四的平方，我们就如此得到，这里也是直角，那也就说我们就可以得到这个 b、 c 啊，是平行切等于 a、 d 的 b、 c 平行切等于 a、 d， 所以 四边形 a、 b、 c、 d 就 得到是平行四边形的 啊，我们这个得到平行四边形 a、 b、 c、 d。 哎，题目问什么呢？题目问的是 a、 e、 f、 d 的 周长的最小值 好， a、 e、 f、 d 的 周长呢，就应该等于 a、 d 等于八，加上这个 a、 e 加 d、 f， 请注意啊， a、 e 始终是等于 c、 f 的， 对吧？ o， a、 e， o， c、 f 两个三七零，可以知道，我们刚才已经证明了 a、 b、 c、 d 是 平行四边形，所以 o， a 等于 o、 c， 对 吧？而且这个内测角相等，而且这个对零角相等， 所以三角形 a、 o、 e 与 c、 f 始终是相等的，那就说 a、 e 始终等于 c、 f， 也就是 a、 e 加 f、 d 始终就等于 c、 d 等于八。然后要是这个周长最小啊，这三边的和就等于十八，固定的，现在呢，只能是 e、 f 最小，要是 e、 f 最小怎么办呢？ 垂线段哎，就是 e 在 这， f 在 这，就是两平行之间的距离，而这个距离，那就应该也就等于 a、 h 过 a 做 a， h 乘以 c、 d， 也就是说 c、 a、 d 的 斜边的高， 而这个 c、 a、 d 的 斜边的高。怎么做呢？根据 s， 三角形 c， a、 d 等于二分之一乘以六，乘以八，等于二分之一乘以十 h， 所以 h 等于四点八 啊，也就说这个 c、 d 变得高，那刚才这个十加八一十八一十八加四点八一十八加四点八就是二十二点八。好，所以这个最小的周长就是二十二点八。你听懂了吗？记得点赞关注哦！