暴力建系法公式

中考数学分绝石，课本上没有中考用绝不扣分的两个公式，同学们，好在我们初中数学当中有两个公式在课本上虽然说没有用难题字标出来， 但是我们在考试的过程当中可以拿过来直接使用，是绝对不可能扣分的。这两个公式的话，一个是终点坐标公式，还有一个是我们的距离公式。 如果说在一个平面直角坐标系当中，我们已知了两个点， p 和 q， 它们的坐标分别是 x 一 到 y 一， q 点的话是 x 二都 y 二，那么 p、 q 两点的中点坐标公式是二分之 x 一 加上 x 二都二分之 y 一 加上 y 二， 那这两个点的距离 p、 q 的 长度呢？等于根号下 x 一 减 x 二括的平方加上 y 一 减 y 二的平方。 这两个式子的话是可以直接使用，没有任何问题的。那么这里的话，老师通过一个例子把这两个公式都给大家用上去，我们去掌握熟悉好。这是一个矩形， abcd， b、 e 和 b、 d 相等， f 点是中点， ab 等于四， bc 等于三。那么在这样的一个图形当中去求线段的长度，我们很容易会想到，其实也是学生他比较喜欢的暴力间隙法。 我们建立平如图所示的平面直角坐标系，就是把点 b 看成是一个圆点，因为 ab 等于四，所以点 a 的 坐标是零度四， bc 是 等于三的，那这个矩形的对角线 b、 d 的 长度等于五，那 d 点的坐标它应该是三斗四 好， b、 d 和 b、 e 相等，现在 bc 等于三，说明 c， e 等于二， e 点的坐标是五斗零。题目告诉我们 f 点是 d 一 的中点， 那么自然二分之三加五，逗二分之四加零，就是我们 f 点的坐标，他应该是四逗二。 那现在我知道 a 点的坐标，也知道 f 点的坐标，去求 a f 的 长度，套用这个距离公式就可以了。等于根号下零减四块的平方，加上一个四减二的平方，他应该等于根号二十，等于两倍的根号五。

今天向大家分享一个初中数学里面流氓解法，间隙法。当我们在做几何压轴题的时候，做题没有思路，不知道如何做辅助线，不知道几何模型的情况下，还想把分数拉下，那么这时候推荐大家用一下间隙法来进行暴力求结。 那么间隙法一般适用于平面出现正方形、矩形、平行四边形或含有对称性的等腰三角形、等边三角形等几何图形时，它需要用到的知识储备 分别是两点间距离公式以及中点坐标公式。那么对于此题，正方形 a、 b、 c、 d 边长为六，四个点分别是四条线段的中点，让我们去求 o、 m 长。此题中大家如果完全没有思路，那么我们可以采取间隙法，以点 b 为坐标原理， 以 b、 c、 a、 b 所在的直线为 x 轴，外中构造平面直角坐标系。那么由于 a、 d 等于六，我们根据图形特征可求出 a、 c、 d 三个点的坐标，那么又因为点 e 是 c、 d 中点，根据中点的坐标公式， 我只需要将 c、 d 横坐标、纵坐标分别相加除以二，可得点 e 坐标为六三。那么同样方法， f 为 a、 e 两个点的横纵坐标相加除以二 为三，二分之九。那么重复刚才的操作，我们可得点 o 坐标为三三点 f 坐标为二分之三，四分之九。 那么接下来要求 om 的 长，我们只需要用到两点间的距离公式，将 o 和 m 的 坐标带入即可。那么此时计算过程给大家省略，可轻松求出此题答案为四分之三倍的编号，搞定收工， so easy！

要想修炼此功法，我们要从基础开始，今天我们学习二次函数求解析式三大种方法，依次打包拿下，那么一共啊，只有一般式、焦点式、顶点式，去求二次函数解析式。什么叫一般式呢？就说我的二次函数是 y 等于一个 a， x 平方加上一个 b， x 再加了一个 c， a 不 等零，而这个形式叫一般式。那我们一般式里边一共有几个未知数啊？我们一起要找到一个是 a， 一个是 b， 一个是 c， 那 根据我们非常经典的方程思想，三个未知数需要三个方程， 所以对于一般式而言，他非常之经典的特征就是他一定会给你三个点，当一个题目给了你二次函数经过了三个点，那我们就可以用一般式，怎么一般式呢？来吧，比如说举个例子，我们说过啊，一兜二， 二兜三，比如说四兜七这三个点，那我们要去求解析式，直接把这三个点带进去就可以了，那我们来带一下，感受一下，比如说我们这里面是二 等于一个 a 加 b 加 c， 因为 x 等于一，带进去嘛，好， y 呢，是等于三的时候，这横坐标是二，所以是四， a 加二， b 再加 c， 好， 四都七带进去，七呢，等于个啊，十六 a 再加上一个四 b 再加一个 c， 你 看这是一个 三个位置数，三个完成，它是一定可以去求解，求解，我们此时的 a、 b、 c， 它各自的曲值就可以了。这里面呢，大风老师讲的方法，各位同学们，你可以算一算，评论区教教你的答案哦。第一种方法叫一般式，特征式三个点，那么我们第二种呢，叫做焦点， 是，顾名思义，焦点，是啊，它长什么样子呢？给了我们这样的一个形式， y 呢，等于 a 倍的 x 减去 x 一， 然后呢 x 减去 x 二。这里面你看这个和这个呢，是点的横坐标与 x 轴两个焦点的两个横坐标， a 呢，就是一个 参数，所以我们只需要再来一个半径，但是呢，是两个与 x 轴的交点，然后呢一个其他的点， 比如说我们就过什么点呢？来几个点过我们的负一斗零，三斗零，然后零斗四，给了我们这么三个点，那你看这两个点是与 x o 交点，横坐标分别为负一和三，那就带到这里面去，所以我们就可以 啊， y 等于 a 倍的来， x 减去 x， 一 是减去负一，所以是加一。这里面呢是 x 减去一个三。现在是不是只剩下一个未知数 a 呀，再把我们最后的零逗四给我带进去来，由零逗四带入，所以得到 四呢，等于来 a， 再乘以零，加一是一，再乘以零，乘以负三是负三，所以得到 a 呢，是等于负的三分之四， a 算出来了， 所以我们得到 y 呢，是等于负的三分之四。括号 x g， r 加上一，再乘以 x 减去一个三。当然了，最后我们再把这个括号打开，把它画成一般式就可以了啊，因为我们最后的结果要变成一般式，各位同学们 自己努力的画一下。好，所以你看第二种焦点式，我们的特征就是有两个圆圈角点加上一个其他点，用焦点式。那到这边了，我们两个方法都解决了，我们坚持一下第三个方法哈，来， 顶点是，那顶点是呢，长成这样子， y 等于 a 倍的 x 减 h 的 平方再加一个 k， 此时我们啊，它的特征就是一个顶点，特征是一个顶点，一个 其他点，那顶点是谁啊？其实就是这里的横坐标是 h， 纵坐标是 k， 只剩下一个未知数小 a 来喽，那我们就比如说过顶点，直接告诉你过顶点，顶点谁啊？我们的这里边，比如说是我们一到四呗，然后呢过，再 再来一个点，二斗二斗三。好，那我们怎么办？哎，是我们来看哈，是我们的 y 等于一个 a 倍的 x 减一的平方，再加上四，因为这里横着边是一，带到这里面去，四是在这里。好，接下来呢，有二斗三给我带入。好， 带入，我们看一下是什么样？我们这里边是三，就是等于来二带进去是一，一的平方是 a， 再加上四，得到啊， a 等于一个负一。好， a 等于负一了，那我们就可以得到，所以 y 呢？等于负的 x 减一的平方再加上四出来了。所以最后一个方法，顶点是要的，是二次函数的，一个顶点加上一个，其他的点， 全部都打包给你们了，一般是焦点是顶点是三个都可以求解，其实是适用于不同的场景，不同的方法，我们就全部都拿下了，中考这个分咱们轻松拿捏。

几何题没思路，但又不想白白丢分，亮亮今天教你无脑解析。给出一个长方形过顶点发射四十五度，这个四十五度可以长这个样子，此时我们的三角形 a、 e、 f 在 这里，这个四十五度还可以长这个样子，此时我们这个三角形 a、 e、 f 在 这里。接下来让我们求这个三角形面积的最小值。 我们过 e 点做一条铅垂线，和这个 af 交于 m 点，那么整个三角形 af 的 面积一定等于二分之一，乘以这条铅垂线，也就是乘以 m e， 再乘以整个三角形水平上的宽度。 一个端点是 a， 一个端点是 f， 那 么过这两个端点做铅垂线，整个三角形水平上的宽度呢？你会发现就是整个长方形的长，也就是六。我们求出来整个面积等于三倍的 m、 e， 其实这个就是我们的铅垂法。如果你说亮亮，我都不知道为什么，证明过程交给你们三、二、 一，所以我只要使得 m、 e 最小，整个面积就最小。我们以 b 为圆点，建立平点直角坐标系，令 b 的 长度为小 m。 我 们过 e 点做垂线，可以得到一个等腰直角三角形， 也就是这两条绿边既相等又垂直。所以我们很容易想到过 n 点往下做垂线，我们可以挣出这两个三角形全等你。这个边是 m， 这个边也等于 m， 以及这个边等于四，那么此时整个 n 点的横坐标等于 m 加四，而纵坐标等于 m， 我们知道 a 点的坐标是零四，知道两点坐标，所以我们可以求出这条直线的表达式。我们算出来等于这么多，因为 m 的 横坐标是小 m， 把横坐标带入一三数，我可以求出它的纵坐标，而 m 的 纵坐标就是线段 m e 的 长度。此时我们可以求到线段 m e 这句话解，我们可以得到这样的一个式子， 此时你会发现我的分子和分母都含有 m， 我 的最小值无法处理，所以此时我们需要用到分离乘法，分离完毕，大概长这个样子，我们过程省略了。如果大家想学习分离乘法的万能法，可以告诉亮亮，后期我可以单独出一期视频。 此时你会发现这里有 m 加四，分母也有 m 加四，也就是这两个数相乘等于固定的三十二，那两数的乘积是固定的，我如何使得二者之和最小呢？ 很简单，当二者相等，也就是大家都等于根号三十二的数，此时二点之隔一定最小。此时我们可以求出 m e 的 最小值，是八倍的根号减八，因此我们可以求出面积的最小值。搞定，跟着亮亮无脑学习！

间系法堪称数学界的懒人神器，做几何压轴题，你还在疯狂画辅助线吗？想破脑袋想不到思路，学会间系法，这些通通不用愁，直接把图形丢进坐标系，靠加减乘除就能搞定难题， 甚至有些同学啊，直接练成了自己的本命武器。那具体怎么做？跟着老师一条视频带你彻底学透间系法，学会后啊，考场遇到难题直接秒杀！一起来看题 说，在这样一个正方形中，给到了一些线段的长度， b、 e 长度是二， a、 f 长度也是二，接着把 c、 e、 b、 f 连起来了，还有正方形的边长给了十六， c、 e 和 b、 f 分 别取了它们的中点，点 m 和点 n， 这是对应线段上的中点。接着让我们求两中点连成线段 m、 n， 它的 具体长度是多少？那这道小题呢，既然给到了双中点，从几何题的一个思考方式呢，我们想到大概率可能会用到中位线来解析，当然，我们做一些辅助线，再经过一些个求解呀，构造呀，完全是能够解答的。 那么除了这样的一般几何法之外，这道题还有没有其他的秒杀方法呢？所以今天老师就给大家讲一个间隙的一个秒杀思路。 所以呢，这道题是方方正正的图形背景，正方形背景之下，给到了一些线段长，所以我想到啊，可以这样子去构建一个平面直角坐标系点 b 就是 我的圆点坐标。圆点呀， x 轴水平方向， y 轴水平方向，方方正正的图形背景之下，图中相应的点坐标我就可以去表示一下了。其中一点，横坐标是零，纵坐标是二，接着 f 点呢，横坐标是二，纵坐标是这里的 正方形边长六啊，还有这个 c 点，横坐标是六，纵坐标呢，就是零。接着我们根据线段中点的坐标公式，叫做二分之端点和线段中点它的一个坐标 叫做二分之端点合，横坐标是两个端点，横坐标之合除以二，纵坐标是两个端点，纵坐标之合除以二，简称二分之端点合。因此点 m 坐标直接写横坐标，零加六除以二，也就是 三纵坐标二加零除以二。哎，一啊，三抖一。同样的道理，点 n 横，横坐标是 b， f 横坐标之和除以二。一纵坐标纵坐标之和除以二啊，也就是六除以二，三，对吧。所以 m、 n 的 坐标我也是直接秒杀写上了啊。 接下来要求线段 m 的 长，那不是非常简单吗？两点坐标都有了，我构造一个水平竖直的直角三角形不就 ok 了吗？所以啊，我在坐标系中去构造横平竖直的这样一个直角三角形， 水平方向，竖直方向分别作出两条线，那么焦点呢？我用点 o 来表示，所以在这个粉色阴影的三角形 o， m、 n 的 长来看，它的直角边 用横坐标做减法，三减一等于二，它的竖直的这条直角边纵坐标做减法，大减小是二，所以斜边二倍根号二，是不是非常的简单呢？ m、 n 的 长，我就快速的秒杀了，所以掌握间隙之后，能够把一些复杂的几何题目，尤其是涉及线段计算的题，化难为易，简单进行秒杀。求解，你学会了吗？

高中数学四大净数第一数，万能求根公式当你发现十字相乘法用不了时，就可以动用这最纯粹的力量。只要这公式套进去，算出来是啥鬼东西我都信，尤其是算出来一个整数，那其中的含金量无疑于百抽出了个大保底。如果说十字相乘是身体的极限，那万能求根就是永远的神， 无条件信任，无条件使用。他是二次函数最严厉的父亲，没有之一。第二数，暴力间隙。当你在考场上看见一群人左手掐抛物线方程，右手握空间向量公式，管他题目能不能间隙，先找个远点， 再把各点坐标强行按差。不要惊讶，他们就是令人闻风丧胆的间隙间歇。党的一贯作风就是坐标代替思考，间隙支配大脑。他们坚信大力出奇迹，所有平面几何问题都能用直角坐标系红基， 所有立体几何问题都用三维空间坐标系。你只要在定远点和标坐标时动下脑子，剩下的就是一支笔、一张草稿纸的纯体力劳动。 而当题目明确要求纯几何法时间隙党则会先间隙算出答案，再用向量反推几何关系。毕竟在他们眼中，数学考试就该是大型列方程现场，万物皆可抵抗。而至于间隙解决不了的问题，那大概率是题出错了。第三数，落必达法则路漫漫其修远兮 无疆，上下而求倒。当你学会落必达法则这一上古第一禁术后，你只要记住一句话，那就是极限，没有难度，求倒更是小 case。 虽然江湖传言高考使用会扣分，想要冲击满分的大佬万万不可使用，若执意开启，那只要落不死， 就往死里落。最后要是碰上落死了的情况，还可以抄错题目，继续落。第四数，泰勒展开。当你还在纠结这个函数该如何分析时，我却已将其一秒看穿。此数虽稍显复杂， 可一旦掌握，无论什么情况，都可以暴力展开解体。不管是一次函数、二次函数，还是三角函数、反三角函数，还是逆函数，都能轻松拿捏。

剑初中数学就是剑好，大家来看黑板，今天呢，教大家如何流氓暴力！间隙斜三角形，以其中一条边作为 x 轴，以这条边的对应顶点放到外轴上。 直角三角形，以直角顶点作为坐标原点，以两条直角边作为坐标轴。等边三角形，以底边的中点作为坐标原点，以底边和底边所对应的高作为坐标轴。 平行四边形，以一边作为 x 轴，以这条边的对应顶点把它放到外轴上。矩形，以直角顶点作为坐标原点，以相邻的两条直角边作为坐标 轴。菱形，以对角线的焦点作为坐标原点，以对角线作为坐标轴。 正方形，以直角顶点作为坐标原点，以相邻的两条直角边作为坐标轴。 圆，以圆心作为坐标原点，以直径所在的直线作为坐标轴。今天你见了吗？

可曾听闻暴力见习法，要想修炼此功法，我们要从基础开始。今天我们学习函数的部分，一次函数啊，在中考里边是非常难又非常简单的部分，难的是因为很多同学 k 和 b 对 于图像的影响 清楚，那简单是当你清楚之后，你会发现所有的图都是非常容易画出来，并且研究它的动态变化的。那首先我们来，我们什么叫一次函数呢？叫 y 等于个 k， x 加 b， 这个叫做一次函数。一共只有两个参数，一个呢是我们的 k， 一个叫做我的 b， 那 么它各自有一个名字，我们的 k 呢，称之为叫做斜率，我们的 b 呢叫做我们的截距，那么这个截距呢，是一个简称，一般来说是这个图像啊，叫做与 y 轴的截距，它是有正负之分的，你就比如说 b 是 三，那截距就是三， b 是 负三，那截距就是一个负三。好，那这是什么意思呢？为什么它叫斜率？为什么它叫截距呢？古名 思义啊，斜率决定了它倾斜的程度，截距决定了与 y 轴交点的课程。那大风老师啊，用四个图给大家讲清楚。来， 我们在这里面呢，我们直接来看这个图像， y 等于 k， x 加上一个 b， 好 分为两个要素，一个呢是 k 的 要素，一个呢是 b 的 要素 k 啊，如果是大于零的 b 呢，也是大于零。 那么在这样的一个前提下，我们图像会长什么样子呢？来看了 k 大 于零，说明向上的整体，从左往右看是向上的， b 大 于零，说明与 y 轴的交点，比如这个交点啊，是零到 b 交于 y 的 正半轴，图像就这个样子。 如果说我们的 k 呢大于零， b 呢小于零，你看两个 k 呢，都是大于零，是向上的，那么我们的 b 小 于零，那此时我们的图像就长这样子，来吧。哎，这个呢，依然是零，逗比，交于 y 轴的负半轴， 好趋势，依然是向上长，这样好，那如果是 k 呢，是小于零， b 呢是大于一个零，那么好，我们图像会长什么样子呢？那图像就会长成这个样子，来吧，向下，整个趋势是向下的， b 大 于零，交于正半轴，长 这样子好，最后一个 a 呢，小于零，而 b 呢，也小于零，那么我们的图像就会长成，来吧，向下走，交于负半轴。 所以啊，你看，我们的 k 叫做斜率，决定了它倾斜的方向。如果是大于零，你看从左往右向上大于零，从左往右向下，从左往右向下， b 决定了与 y 轴的截距。 b 大 于零，你看 y 轴正半轴， b 小 于零， y 轴负半轴， b 大 于零， y 轴正半轴。所以知道了 k 和 b 的 正负，你就能够把它的图画出来。有了图啊，那剩下的就非常的简单了。

在八年级乃至初三的学生，这道题能做出来的全班可能不到五个人，更不用说如何去秒杀他。那么今天邵老师 教你们一个暴力间隙的方法，一分钟之内把他秒杀。老规矩，先读题，矩形 a， b， c， d， a， b 是 四， a， d 是 九， b， e 是 三，然后这里有一个四十五度，要求 d、 f 的 长，可以暂停视频挑战一下。 ok， 咱们暴力间隙的第一步，先确定原点，画一个漂亮的坐标，轴， x 轴， y 轴，那么 a 点的坐标就是零斗四， c 点的坐标就是九斗零， d 点的坐标就是九斗四， 还有 e 点，那就是三斗零。 ok， 因为这里有个四十五度，咱们构造一个三垂直， 为什么要构造这三个词呢？这里咱们用到的就是函数思想里面的化协为值，交于这个点，叫它 q， 那 么 q 点往下做个垂线，这里有一个点 p， 因为四十五度等腰值，所以这两条边是相等的，所以这个三垂直就得到了两个全等的三角形。这段是三，所以 p q 等于三，这段是四，所以躺着的这个 e p 也等于四。 ok， 那 么 q 点的坐标就是七三， 那么直线 a， q 就是 y 等于三减四，比上七减零乘以 x 减零加四。 我们用点斜式很容易就把它写出来，等于负的七分之一， x 加四，就是当直线的 x 等于九的时候，它的重坐标 y， f 就 等于负的七分之一，乘以九加四。 那评论区告诉邵老师 d、 f 的 长是多少呢？我是数学邵老师，每天带来数学干货技巧，点点关注，谢谢大家！

这道题目我不会，但我又特别想拿分，没关系，今天曾曾老师教你一招倒立解析法。一道题目你读完之后，即使没有任何的思路，你也可以采取一种倒立解析的方法，把平面制的坐标系给剪出来，就像这个样子。 但由于题目给我的是一个矩形，矩形的边长也都给到你了，所以这里根据边长三和四，你可以瞬间把 c 点到三斗零， a 点的零斗四直接写出，并且这里顺带的 d 点三斗四也可以标注出来。而且由于这里的长和宽是三和四，那么我们的对角线应该得到勾三股四，弦为五，也就是 b、 d 的 长度应该得五， 而 b、 e 和 b、 d 的 长是一样的，所以这边都得五。既然你得五，那 e 点的坐标是不是也可以标注出来了？这边得到一个五斗零。 写到这里之后，你发现啊，我的 f 点应该是 d、 e 的 中点，那利用我们的中点公式，我可以瞬间标注出 f 的 坐标，用横坐标三加五除以二得四，纵坐标也是一样的，四加零除以二得二，那四到二就是 f 点的坐标了，而我要求什么呢？ a、 f 的 长度对不对？那到这里，这道题就变得非常的简单了，我们只需要再往这里带入一个两点间距离公式， a、 f 的 长度就直接有了，所以用横坐标做叉平方一下，纵坐标做叉也是 平方一下，那这边四个平方，二个平方开去一个根号，得到一个二倍根号五，这就是整道题目的完美答案喽，你搞定了吗？ 当然，也并不是所有的题目都可以使用间隙法来进行解决，间隙法比较适用的场景一般有三类，第一类，特殊图形，例如一个图形当中出现了像这样的矩形或者正方形等腰直角、三角形，诸如此类比较规则的特殊图形都可以尝试使用间隙法。 第二类呢，就是像刚刚提到的这些图形当中所含的特殊角度，如果出现了三十度、六十度、九十度这样的角，我也可以沿着这些特殊角去进行间隙。 第三种这样比较难以分析的题目。 ok， 通过间隙去找到点的运动轨迹，运动方向，这都是间隙法更加适用的一个场景。并且间隙法在使用的过程当中，它的书写过程也非常值得注意。第一点，想要使用间隙法，必须写清楚间隙的 方式，比如这道题目，我们必须写清楚，以 b 点为坐标原点， b 所在直线为 x 轴， a b 所在直线为 y 轴，建立平面直角坐标系。第二个注意点就是建好平面直角坐标系之后，每一个点的坐标都需要标注清楚， 点的坐标都有了。第三步，我只需要带入公式，直接求解即可。像我们的钟点公式，还有我们的两点间距离公式，这两大公式呢，都是间系法当中非常常用的公式， 赶紧备好公式，把这个 bug 班的小技巧学到手吧！充实学习，加强青青草原我最狂，关注我，获得更多好题！

当常规间隙没法做，接下来要上场就是高考进数之一暴力间隙，今天猪猪大神就带你们学会高考，多拿十分 好！各位同学，今天我们来讲这道立体几何大题。这道立体几何呢啊，当时很多同学说这道题目见不了细，这道题目就只能用综合法，但是我想告诉大家的是， 没有见不了的戏啊，暴力见戏也是见戏啊，对不对？好，大家自己读题。我们来看题目给的条件，他说 a 到垂直于 p b。 题目给的是 a， pa 是 二， a， c 是 二， bc 是 一， ab 是 根号三 a， 这里是不是勾股定律，这里是不是垂直啊？好， bc 垂直于这个了，而 pa 又垂直于下底面，那 pa 是 不是也垂直于 bc 啊，对不对？那 pbc 是 不是垂直于这个面了， 对不对？好， a a 道，它说垂直于 pb， 那 a 道也垂直于 pa 啊，那 a 道是不是也垂直于这个面了， 对不对？哎，这两条都垂直于这个平都都垂直这个平面啊，然后这两条直线又不平行啊，又又不，那个又不重合，对不对？那他是不是就平行了？平行之后是不是可以用线面定力，线面判线面判定定力啊？ 好，我们来做题。因为 a c 等于二， b， c 等于一， ab 等于根号三，所以 a c 方等于 b， c 方加 ab 方，所以 b， c 就 垂直于 ab。 因为 pa 垂直于面， abc 动，所以 pa 垂直于 bc， 因为 pa 交 这个 a b 等于 a p a， a b 属于面 p a b， 所以 b c 垂直于面 p a b 好， 因为 a 到垂直于 p b， p a 垂直于 a 动， p a 加 p b 等于个 p 呀， p a， p b 属于面， p a b， 所以 a 动也垂直于面 p a b 可知 a 道就平行于 bc， 因为 a 道不属于面 pbc， bc 属于面 pbc， 所以 a 道就平行面 pbc。 第一题结束了，重点就是这个。第二题，第二题他说什么？我换种颜色，他说若 a 道 垂直于 b c， 哎，这个已经垂直了，他说二面角 a c p 动，这弦值为七分之，根号四十二，求 a 动。 同学们，题目给了什么呀？ p a 已经垂直于下底面了，哎，这里又来了一个垂直，怎么不能间隙呢？是不是能间隙啊？我在这里拉一条上去， 大家看到我这个黄色的线了吗？我拉一个上去，我从动开始往上拉一条直线， 跟这个 pa 平行，那这个是不是就垂直于这个下底面？是不就是两两垂直就可以间隙了？嗯，是不是？同学们啊， 我直接说如图精细，大家自己去做就可以了啊。如图精细 a 边啊，不是 a 边啊，我设换种颜色去设紫色吧。我设这个为 x， 设这个为 a 也行，那这个是勾股定力，是不是四减 x 方？开根号是不是好？ a 是 x 零零， c 是 零根号四减 x 方零 p 呢？是 x 零二，哎，倒就是零零吗？哎，这不算，这不点都射出来了吗？点都射出来了。我说过了， 间隙代替大脑坐标，代替思考，你把点说出来，算出来了，设出来了啊，或者求出来了，剩下的这个代数的问题。好。 五， a c 向量负 x 根号四减 x 的 零 a p 向量，这是零零二。哎，我说过斜率的速算，抄两遍 频率的速算。当然这个不能写在草稿纸上啊，这不能写在试卷上面啊，先写在草稿纸上面，是不是二根号四减 x 方是不是二？ x 是 不是零啊？所以 n 向量，哎呦，没有设，大家都自己设吧，是不是？这样？ 好，继续抄两遍呀，又写不下了， 这个挤不下，挤一挤吧， 是不是二根号四减 x 方是不是零？是不是负的 x， 根号四减 x 的 平方啊，所以 m 相当于就是二零负 x 啊， 它的正弦值 sine theta 是 七分之根号四十二，那 cosine theta 呢？ 就是四十九减四十二嘛，那就是七分之根号七嘛，对不对？所以就七分之根号七就等于二根号四减 x 的 平方， 除一个根号下四加 x 的 平方，这里是四嘛，就是二嘛，对不对？那我开个平方嘛，七分之一等于四减 x 方，四加 x 方嘛， 四加 x 方等于二十八减七 x 方写不下了，是不是八 x 方等于二十四啊？ x 方是不是等于三？ x 是 不等于根号三啊， 对不对？ x 等于根号三，那所以 a 到就等于根号三，对不对？是不就算出来了？好，我们来总结一下。 第一题呢，就是大家要熟练的运用线面垂直的判定定力，还有就是线面平行的判定定力。第二题大家用坐标法去做是非常好做的， 当然有些同学说我用综合法去做，综合法也可以做啊，当然老师在这里不多做赘述啊， 大家要想清楚暴力键，当然这个也不能算是暴力间隙吧，因为他已经有一个垂直了啊，只是这样拉一条上去，这个不算暴力间隙，当然也是常规的间隙做法啊，这个平法向量的速算大家一定要记住 啊，大家就是比如说啊，我设，比如说我设这个面的反向量为 n 向量 x， y， z， 然后方程组写出来做个样子啊，然后这个写错或者什么，然后直接得出来，他说这个就可以了啊。好，今天我们就讲到这里。

中考数学焚绝三不会辅助线，没关系，暴力间隙降维打击同学们，好，这节课的话是我们中考数学提分策略的第三期，就是暴力间隙，对于我们绝大部分初中学生来讲，最害怕的应该是我们这个叫做平面几何， 几何题目的话，最难想到的当然是辅助线，所以有时候的话，我们可以通过建立平面直角坐标系的方法去求些什么呢？比如说最经典的就是求线段的长度，去求线段之间的一个数量关系。 好，那么像这个题目当中，我就可以典型的用哎间隙的方法来做，你看哈，题目告诉我们， ab 等于三， ac 等于四，那么 bc 等于五，这个时候的话，并且告诉 ad 和 b 相等，那么这里我加一个条件啊，加进去就说 d 点和 e 点的话，是在 ab 和 ac 上运动的 啊，只在这两条边上运动哈，其他地方不会出现。好，他要求 a、 f 的 最小值，如果说我们按照常规的方法去做，可能会比较复杂，也想不到好，那我就间隙了， 因为这里正好提供了一个什么，一个九十度，这个九十度出现的话，那岂不是美滋滋？那么这个时候的话，我假设 a、 d 和 b、 e 的 话，分别是 m， 那 么一点的坐标应该是零斗三减 m， d 点坐标是多少？应该是 m 斗零，所以 f 作为中点的话，应该是二分之 m 斗二分之三减 m， 这个技术公式就肯定没问题 的，是吧？好，接下来我们来看哈，刚说了你这个一点呢和地点是在我们这两条边上运动的，所以对于一点来讲的话，零小于等于 m 小 于等于三， 第一来讲的话应该是零小于等于 m 小 于等于四，所以的话取他们的公共部分，那么 m 的 取次范围应该是零小于等于 m 小 于等于三。好，那我们来看哈， a 点坐标也知道零对零，那我就把 a f 用含有 m 的 式子去表示，那么为了方便计算，我就写 a f 的 平方，它应该等于 二分之 m 的 平方加上一个二分之三减 m 的 平方，所以的话应该是四分之 m 平方加上一个四分之九减六， m 加上一个 m 平方， 所以的话应该是二分之一 m 平方减去一个二分之三， m 加上一个四分之九，对吧？这样的话，到了这一步，我相信我们同学就很熟悉了，就可以把它变成什么？求一个二函数的最值问题， 所以提出一个二分之一，那应该是 m 平方减去一个三， m 加上一个四分之九。乘完全平方减四分之九，加上四分之九，所以的话应该是二分之一。跨 m 减二分之三的平方减去八分之九，再加上这个八分之一十八，所以的话应该是加上一个八分之九吧，是吧？所以 你说这个叫做什么？ f 的 最小值什么时候？就是当 m 应该是等于二分之三的时候，它会取到最小值吧？ m 等于二分之三是可以取到的，我们刚算出来了，应该是零小于等于 m 小 于等于三，这个参数 m 的 系数范围在这里，对吧？所以的话我把二分之三带进去，那么 a f m i n 就 最小值的平方应该等于八分之九，那么记住了，我是要求什么？ a f 的 最小值，对吧？开放出来根号八分之九，别算错了哈，那应该是二根号二分之三，那么分母由理化，所以的话算出来是四分之三倍的根号，也就是我们这个叫做 a f 的 最小值。

当你的同学还在苦思冥想之时，你早就已经。

怎么黑板又没擦呢，吱吱声呢？这道题答案也错了一大半。这道题错了一大半，一个正方形，边长是八，告诉我们，一个中点，两个中点，三个中点，让你求 g， h 的 长。我之前讲过啊，填空题我们有斜修的方法，间隙嘛，今天呢，给大家稍微讲一下，那间隙法怎么做呢？正方形，那就以 a 呢作为坐标，原点 以 a、 b 所在的直线作为 x 轴，以 a、 d 所在的直线呢作为 y 轴，让我们求 g、 h 的 长，那核心不就是求出这两个点的坐标就行了？那 e 作为 a d 的 终点， e 这个点的坐标好求，不应该是一个零，去逗上一个四，对吗？好，那 b 这个点的坐标呢？ 是不是对应的是一个八去逗上一个零？所以你来告诉我，那 g 作为 b， e 的 中点， g 点坐标好求吧，应该是四去逗上一个二，这个是我们核心要用的。那接下来我们再来看 h 点坐标怎么求？ h 是 c 和 f 的 一个中点，那不就是求 c 求 f 的 坐标， c 这个点的坐标呢？它很明显是一个八，逗上八， f 呢， e， f 等于三倍的 f b， 所以 f 其实是 b e 的 四等分点，所以 f 这个点的坐标呢，也很好求，应该是六去动上一个一。所以你来告诉我， h 这个点的坐标好求吗？很好求啊，六加八除以二等于几呢？等于七， 一加八除以二等于几呢？等于二分之九。所以说 g 点坐标有了， h 点坐标有，那 g h 的 长，是不是两点间距离公式啊？最终呢，应该是一个二分之根号下六十一，直接勾股定律就行了，这就是答案。好吧，一分钟就搞定了啊，这种强间隙的方法就一个字，爽。