#数学思想方法训练

小学数学培优新教程，这是有助同学们系统提升数学思维的硬核资料。他将竞赛思维与同步的拓展拔高有机结合，注重数学思维的渗透。这套书也配有系统的视频讲解，方便同学们进行自主学习。 全套一共有六本，包含了小学六年的数学内容。我们看这本六年级的他一共有三十个专题，内容由浅入深，讲解循序渐进。他以数学思想方法为主线，助力同学们完成从基础夯实到高阶突破的成长路径。 在内容设计上，每一讲都围绕一个问题或方法展开，我们看巧配浓度问题。他一共剖析拆解了五道例题， 每道例题后面紧跟三道便是习题，借助例题加便是习题的设计，助力同学们深刻领会各类题型的解析方法，循序渐进地掌握各类题型考点，在精讲例题、精练便是。之后， 他也设置了五道好题，供同学们进行综合强化，提升综合解析能力。除了视频讲解练习的详细解析，在书的最后，非常优质的一套好书。他兼顾同步的培优拔高以及竞赛拓展，对同学们学好数学非常有帮助。

碰见这种题，如果换做你，你该怎么应对呢？其实这就是对数学逻辑思维和经验的一个综合考察。你看他让你求他的整数部分，那你想想，是不是要必须把这一块啊，给他压缩到两个整数之间？你比如说，我能判断他在二到三之间，那整数部分就是二了。 如果你判断他在二点五到三点五之间，那就不好说了，他有可能整数部分是二，也可能整数部分是三。好，那接下来我们怎么去判断他是在哪两个整数之间呢？看见这个倒数还求和的形式没有，正常常用的方法是不就是列项啊？ 那到底他能不能用列项，又如何去用列项？那是不是就得看左边这个等式啊？我们先试试啊，把一挪到左边，然后右边再提个公式，然后再取个倒数，看见没有奇迹出现了，右边裂开了， 然后再把 a n 分 之一搞到一边，其他都搞到另外一边，你就把 a n 分 之一给他裂开了。行了，这个求和形式的每一项你都可以裂开了，然后中间 正负正负交替，全都消掉了，只剩手摸两下，再把 a 一 带进去，它就等于二分之三减去一块东西啊。 行了，刚才说了，我们要判断它是在两个相邻的整数之间，那你想想，二分之三减去二分之一，正好是一，那右边这个蓝色的部分，你是不是就得判断它到底比二分之一大还是二分之一小？ 所以二分之一就是一个要判断的边界。然后我们把 a 一 带到这个等式，你就能求出 a 二， a 二是九分之十九，你再把 a 二带到式子，就能求出 a 三，发现 a 三是大于三的， 显然这个数列是递增数列了，所以 a 二零二七肯定也是大于三的了。哎，这么一来，蓝色的这一块它就是小于二分之一的，因此二分之三减去，它一定在一和二之间，所以它的整数部分就是一。

来我们看这道几何经典题，说，如图，三角形和 bc 是 等边三角形，而 d 等于 c， e。 求证 d、 b 等于 d、 e。 仔细审题，说这个三角形和 bc 是 等边三角形，还告诉我们而 d 它是等于 c、 e 的， 让我们求证 d、 b， 它等于 d、 e。 看到这道题，你们有什么思路呢？是不是想到当给我们一个等边三角形的时候，辅助线一般是在等边三角形内再找一个等边三角形，方向明确后，怎么来找等边三角形呢？关键点就是这个点 d 过点 d 做 a， b 的 平行线，交 b， c 于点 f。 当然你也可以过点 d 做 b， c 的 平行线都能解。因为三角形和 b、 c 是 等边三角形，所以这个角是六十度，这个角也是六十度。又因为 d、 f 平行为 b， 所以 这个角就等于这个角等于六十度。 那么三角形 d、 f、 c 就是 等边三角形。再来看 a、 b、 f、 d 这个四边形，它是什么四边形？ 是不是等腰梯形啊？没错，它就是等腰梯形，所以 d、 a 就 等于 f、 b。 又因为而 d 是 等于 c、 e 的， 所以 f、 b 也是等于 c、 e。 我 们看这个角，它是等于一百二十度的，这个角呢，它也是等于一百二十度。根据边角边， 所以三角形 d、 c、 e 全等于三角形 d、 f、 d， 所以 d、 b 就 等于 d、 e。 这道题我们就讲完了。

四下数学列方程解决问题。第一，不找等量关系，鸡和兔共有二十只，就是鸡的数量，加上兔的数量等于二十只，共有五十六条腿，就是鸡的腿数，加上兔的腿数等于五十六条。 第二步，解设未知数，可以假设兔子有 x 只，鸡和兔一共有二十只，那么鸡的数量就是二十，减去 x。 第三步，根据等量关系列方程，一共有五十六条腿，这是兔腿的总数，这是鸡腿的总数， 它们加在一起就等于五十六。第四步，解方程解的 x 等于八， 那么二十减去 x 等于十二。第五步，检验和答，把 x 等于八的入点方程等号两边是相等的，说明计算正确。最后不要忘记答。

这道题不会难上一百分，这是一道浅奥数题，说是浅奥，但其实它非常非常简单，跟着我一起分析，一起去做一下吧。已知 ab 是 质数，且 a 加五 b 等于九十七，求 a 加 b 的 值， 哎，我们先来整，我们先来看一下这个式子， a 加五 b 等于九十七，哎，五 b 很 特殊哎，他前面跟了个五，这说明什么？五 b 他 这个数字，他肯定是五的倍数，是不是？哎， 那么五 b 他 是五的倍数，那你就说明 a 他 加上这个五的倍数还是等于九十七，注意啊，五 b 这个五的倍数还是有范围的，他肯定是 b 九十七小，是不是？所以我们再来简要概括一下，这个五 b 它就是一个小于九十七啊，又是五的倍数的一个数字，是不是？哎， 那么接下来我们是不是就要确定五 b 它这个值是多少了，是不是？同学们，我要给你们提醒一点，就是你在做这种子题的时候， 你要确定他的这个数字他是多少，你就一定要先考虑离这个结果更近的这个数字，你就先考虑离这个结果近的这个数字和他相关，并且还这个还跟这个结果近的这个数字，我们一定要先考虑这个， 先考虑我刚才说的这句话第一位，哎，为什么？因为你们想想吧，如果你从一开始叭叭叭是肯定不准使吗？是不是九十七这么多数，这么多数，你试到猴年马月你试不完，是不是？哎，所以我们先考虑离结果最近的数， 那这个数是多少呢？肯定是九十五嘛，对不对？五的倍数，那末尾无非就是零和五，九十五最近了是不是？那么我们先来看一下，看看符不符合这一点， a 和 b 它们都得保证是质数嘛，是不是看看符不符合这一点？哎，那么我们就来先来求 b 等于多少？我们可以列一个小的方程五， b 它是不是等于九十五？刚才算了，第一考虑 离结果最近的值，那接着呢，我们是不可以算出来 b 是 多少，是不是就是九十五除以五，是不是它就等于十九？ 哎，好，接下来我们继续算 a， 那 既然 b 等于十九了，那 a 等于多少？我们要给他代入一下啊，因为我们刚才已经说到了，是不是五十五？ b 它是不是九十五？那么 a 它加上九十五， 他是不是等于九十七？是不是？那 a 等于多少？是不是九十七减九十五，是不是 a 等于二？哎，我们来看一下，十九和二，他们都有质数，哎，所以呢，我们算对了， 但是你能直接这么写答案吗？不行啊，他问你的是 a 加 b， 所以呢，我们最后还要用 b 十九加 a， 二 二十一，哎，所以 a 加 b， 它就等于二十一哇，哎，所以呢，你学会了吗？关注我，让你秒变小学霸！

奥数题一减二十四，分之一除以四等于一，要求一等于多少？题目看起来比较复杂，那么同学们可以把思维转化一下， 这是不是一个分数？这个分数值等于什么情况下分数值等于一。我们只要举个简单例子，这道题就非常简单，比如说二分之二，对吧？二分之二它等于一，三分之三等于一， 五分之五等于一，也就是说分子和分母相等的情况下，它得分数值等于一，这样 a 除以四和 a 减二十四，是不是刚好相等？所以啊，首先我们可以把它转化个形式，也就是 a 除以四等于 a 减二十四。形式转化以后啊，这个 a 啊，还是非常难求，咋办呢？ 我们可以利用数形结合的办法来解决。首先，同学们要明白， a 除以四代表什么含义啊？就是把 a 平均分成四等份，取其中的一份。好，我们可以把 a 看作一个大大的圆圈， 那么把 a 呢？平均分成四等份， a 除以四就是其中的一份，就是这一份，那么它是一份，还剩下三份， a 减去二十四，也就是整个圆圈是一，减去二十四是一除以四，那么这三份是二十四，每一份能不能求出来？ 因此呢，二十四除以三，每一份就是八了，每一份是八， a 有 几个八？ a 是 不是四个八？所以啊， a 就 可以算出来，八乘四等于三十二， 因此呢，这个 a 它就等于多少， a 就 等于三十二。好，你学会了吗？

很多孩子拿了题就会硬算，我教你一个简单的方法，不仅这道题秒杀极速同笼，年龄、工程问题都找到全新的方法， 是什么呢？见两个数相成，就想到长方形。速度乘以时间等于路程，行程可以用面积解，单价乘以数量等于总价。经济问题可以用面积解，极速同笼也可以用面积解。 那这个呢？用面积比较大小就更简单了。来，一百九十九是谁呀？是长。 一百五十七是谁呀？宽，那这个长方形表示的是什么呀？不就是它的积吗？ 那后面那个同样我们可以用长方形表示一百九十七来，这是少了二，这是 一百九十七。一百五十九呢？加上二，那这个长方形表示的是它一百九十七乘一百五十九，是用这个长方形表示。 我把公共部分都去掉，比，他俩的大小就给我给了。那他俩的大小怎么比呢？来告诉刘老师，这个长方形的面积是什么？二乘以一百五十七， 那这个长方形的面积是谁啊？是二乘以一百九十七，那他俩的大小一瞪就知道了。小于号 这道题不是来学比较它的大小，跟我学是什么建成就能想到什么呀？长方形的面积。那出一个考题，如果是 a 乘 b 乘 c， 你 又能想到什么图形呢？

欢迎小王子开堂，今天我们来分享这两道题，我们先来看第一道题，等号的左边我们不知道，等号的右边我们可以算出来，那我们就先算个位，六加二等于八， 三十加二十等于五十，今天结果是五十八，中间有个等号，那说明两边要相等，那这边也要等于 五十八，我们我们就想几加四十三等于五十八， 十五加四十三等于五十八，所以这个括号是我们来看第二道题，等号的左边我们不知道，等号的右边我们也不知道， 那我们就先算大数，我们三十我们可以加十，他的结果就是四十 等他的左边他有个，他有个等于，那说明两边要相等，那这里四十， 我们就我们就可以算四十减十三等于几。 先生，呃，我们来看四十减十等于三十，三十减三等于二十七，随着括号是二十七，你们学会了吗？谢谢大家。

画图法来解决和差问题，他说呢，两个数的和是三十五，差是五，这两个数分别是多少？以后我们再看到这种和差问题，可以用画线段图的方法来解决。那具体怎么去画呢？你看 这里面我们出现了两个数字，一个大的，一个小的，那我们就可以用两条不同的线段来表示这两个数字。好， 我们可以呢先画出来这个小的数字，我们用任意的一条线段表示这个小的数字。好，那么这个大的数字比它大，所以我们在画的时候呢，一定要比它长一些，我们左端来对齐，右端呢，比上面这条线段好长一部分。 画完之后，你说两个数的和是三十五，什么叫和呀？就是把这两个数字加起来，就这段加上这段，他总共是一个三十五，他还说差是五，差在哪呀？你看 大的数字这么长，小的数字这么长，我大数比小数长出来的这一部分，这一部分他就表示一个五。好，接下来好好观察。你看啊， 我这段加上这段是三十五，这两部分是相等的。好，接下来如果我要是把这段减去，把这个五减去，只剩下这两段一样长，都是小数， 对吧？好，那么我这段减去了五，那和还是三十五吗？肯定不是了，和也得从三十五里边把这个五减去，它就等于三十。 三十表示哪段呀？你看，原来三十五是这段，加上这段减去了五，所以三十就这两段， 这两段完全相等，都表示这个小数。你看两段小数相加等于三十那一段呢？ 所以是不是就是把三十平均分成两份除以二，所以它就是等于十五，那小数我们就算出来是十五， 小数算出来之后，大数是不是就非常简单？第一种方法十五加五等于二十，第二种方法用和三十五减去小数，十五等于二十，是不是也可以呢？各位妈妈，你们学会了没？

粉丝有问题，王老师来答疑，甜甜、悠悠和果果三人踢毽子的个数正好是三个连续的自然数， 他们三人啊，踢毽子的总个数是二百八十五，其中甜甜踢的最多，果果踢的最少，那么他们分别踢了多少个？要求列方程解答， 那这样的话，我在设未知数的时候要注意啊，我们设对中间的那个谁啊？悠悠啊，所以我们解设 悠悠踢了 x 个，因为甜甜踢的最多，他们又是连续的，所以甜甜踢了 x 加一个，那么果果踢的三个人中最少， 所以我国他踢了 x 减一个，因为他们三个人踢的总数是二百八十五，所以我们把这三位同学踢的加起来，那也就是 x 减一加 x， 再加上 x 加一就等于二百八十五， 减一加一抵消，那么左边还剩三， x 等于二百八十五，那 x 就 等于二百八十五除以三啊，求出 x 啊，等于 九十五，那就求出了这个悠悠啊，他一共踢了九十五个，那甜甜踢的最多，所以甜甜踢了九十五加一为九十六，果果踢了 九十五减一，也就是九十四个。王老师所讲的这道题列方程，你学会了吗？关注王老师，让数学变得更简单！

这道题不会做，难，考一百分，请看题！假数的五分之二和乙数的二分之相等，两数的差是八，求加一两数各是多少？老师教你竖形结合的方法，轻松解决假数的五分占。 我们把假数用三角形表示，五个， 其中的两个三角形就表示假数的五分叉，假数的五分叉和乙数的二分之一相等。乙数我们用圆片来表示，那就是两个圆片 其中的一个圆圈就是已知的二分之一，它与假数的五分之二相等，也就是这两个三角形与一个圆圈所表示的数相等。那么这里两个三角形与一个圆圈的数也是相等的， 那么其中的一个三角形，因为两数的差是八，那么其中的一个三三角形就是八，那么假数就应该是五个三角形，也就是五个八是多少，所以假数就应该是八，乘以五等于四十。 乙数就是两个圆片，一个圆片相当于两个三角形的数，那就是二八十六，那么乙数就是两个十六，也就三十二。这道题搞定， 觉得张老师讲的还可以，请点个小爱心吧，如果一遍看不见，看不懂就把他收藏起来，要想知道更多的解决技巧，全面思维，请关注张老师！

好，我们来看一下这几个题目。第一个计算题，做计算题的时候一定要先观察他有没有解面算法，那没有解面算法的情况下，我们又应该怎么去做？首先来看一下第一题， 这道题目他没有公因数可以提，那说明我们就按照正常的四的硬算进行就可以了。那首先有括号算括号，先算加法， 四分之三加三分之二，我们需要通分，四和三的最小公倍数是十二，前面的先照抄一下。好，分母乘三，分子乘三，分，母乘四，分子乘四， 然后括号小括号里的给他算出来，乘上十二分之十七，这个时候我们就可以看了，他是可以进行约分的，可以进行约分的， 十七和十七约掉，左边剩一，右边剩一，括号里面算出来就是十二分之七，六分之一除以十二分之七，六分之一除以十二分之七，就可以写成什么 六分之一乘七分之十二，除以一个数，等于乘他的倒数，然后再来约分六和十二，约分这里剩一，这里剩二，所以说最后算出来的结果是七分之二。 好，然后我们再看第二题，第二题，第二题跟刚刚的是一样的，他没有解面算法，那我们就直接算看括号里面，括号里面他有除法，有除法的情况下，我们说了，看到除法就首先要先把它求倒， 二减七分之四，乘八分之七，再去乘七分之二，求完倒之后就按到乘法是不可以看能不能约分。 首先七和七约掉这边剩一，这边剩一，四和八约掉这边剩一，这边剩二，那也就说括号里面这个乘法算出来是 二分之一，再去乘上七分之二，二减二分之一。二就可以理解为二分之四，二分之四减二分之一，也就是二分之三，二分之三去乘上七分之二， 再来乘法了，约分左边一，右边一，所以算出来也就是七分之三。好，这是第一题的两个计算，他没有方法，我们就按照四种混合运算的法则进行算就可以了。然后第二题 没有解面算法，第二题我们再来看一下，这个题又有什么特征呢？ 哎，一减五十一分之十八，三减五十一分之十八乘二，然后五减五十，一分之十八乘三，那我们就会发现有一个数 五十一分之十八，是不是每个括号里面都有，然后这里他是加号连接的，那连接我的这个括号其实是没有关系的，我们就直接把括号去掉。同时 再来看，一个是乘了五十一分之十八的，另一个数字是没有乘的，我们把括号去掉， 每一个都给他去掉之后给他写出来。然后咱们说过什么？哎，既然你乘了五十一分之十八，我没乘，那我没乘的跟没乘的在一起，乘了的跟乘了的是不是在一起？ 好，那每层都有哪些？一三五七七七九十一，一直到九十九， 一加三哦，这个时候要注意了哈，我们这个一写完之后，我们是不是要先写三，写三的时候要记得把三的符号给他带走，就像咱们的财富一样，他的前面的这个符号要一起 搬家哈，不能把符号掉了哈，所以说是加三，同样的五前面是加号，那么就是加五，一直加到 九十九，然后再写减五十一分之十八，就相当于说我们要去写五十一分之十八了，那你就要看他的前面是减号，那所以说这里就是减号，再来减五十一分之十八乘二，把它看成一个整体哈，五十一分之十八乘二， 减五十一分之十八乘三，一直减到五十一分之十八乘五十，然后 乘了的和每一层的，我们给他分开玩。减，减这一堆我要添括号， 那减这一堆里面的符号全部就要变成加，但是注意哈，减只能管到加，减哈，他不能，他管不了乘除说乘号不用变，我们只需要把减号变成加号就可以了。然后第一堆 等差速列首项加末项乘小数除以二，而这里的像素是多少像素？利用末项减首项除以公差加一哈， 也就是五十，再除以二减，那括号里面都有谁？是不都有五十一分之十八，我们可以干嘛？ 我们可以干嘛？提取共音素，提取共音素哈，那提取共音素的时候就要注意了，这里面还有一个小陷阱，咱们的第一个五十一分之十八，他好像没有朋友哎，没有朋友的情况下，我们要给他配个谁？ 嗯，给他配一个一哈，没有朋友的情况下，给他配个一，不能把他掉了。哦，好，我们再来把五十一分之十八提出来，那括号里面剩的就是一、二、三，一直到五十，那括号里面是不是又可以提等差数列了？ 好，前面这一个算出来是多少？一百乘五十除以二，也就是二千五百减。 好，五十一分之十八乘。好，我们直接把这里算出来，我们就不写那个首先将幺三乘以幺四除以二的过程的，哈，五十乘五十一除以二，也就是一千二百七十五，然后有乘法先约分一千二百七十五和五十一，能不能约分 他是可以的哈，他是乘五十二十五倍的二十五倍，然后二十五再去乘上十八， 也就是说这里算出来是二千五百，去减四百五十，二千五百减四百五十，也就是 两千零五十，这就是咱们的这一个题目。