初中数学138个解题方法

注意，一口气学完初中数学。本视频耗时半年制作共计五百分钟。现在更新五一特辑第二期八架数学时长五十分钟时长，待场受烫起来慢慢看！ 好，咱们来看八下数学第一章二次根式来看二次根式的概念，一般的我们把行入根号 a， 其中 a 大 于等零的式子叫做二次根式。 根号为二次根号，读作二次根号，那么这儿有个二，只不过他没有写而已。注意， a 可以 是数，也可以是式。二次根是必须具备的两个特征，第一个外貌特征必须有这个二次根号，第二个内部的 a 要是大于等于零的。好，他们继续看第二个 下列格式当中哪些是二次根，是哪些不是呢？首先，根号三十二没有问题，是六，不是因为它没有根号。根号负十二不对，因为这个里边这个数必须得大一点零。负十二不是大一点零的好四、负 m， 因为 m 小 于等于零，所以负 m 大 于一点零，所以这个是 好。 x y x y 是 一号，所以 x y 小 于零，所以这个不是。第六， a 方加一， a 方加一肯定是大于零的了。好六是好七是吗？不是，因为这是个三，咱们说根号，这是二好，所以咱们看一四六是，剩下就都不是。 咱们来看，说二次根是有益的条件，咱们来看这个二次根，是首先看一下 x 减一肯定是不能等于零的，所以 x 不 能等一。 另外的， x 加上三， x 加上三，必须是大于等于零，也就是 x 必须是大于等于负三的，所以是 x 大 于等于负三，且 x 不 等于一啊，也就是这个答案了。所以记住在二次根式的有意义的讨论过程当中，记住分母式不能等于零的。 好。继续归纳总结，单个二次根式，如根号 a， 它有意义的条件就是 a 大 于等于零。那多个二次根式，比如说根号 a 在 根号 b 一 直加的根号 e， 它要有意义的话，那 a、 b 以及到 n 都得大于等于零，它们的取且的条件就都得满足。第三个二次根式作为分式当中的分母给予 记作这个看它有意义的条件是，那根号 a， a 是 大于零，记住，这儿不是等于零，因为 a 是 不能等于零的。好看。第四个二次根是根号 a 加 b 分 之一的有意义的条件，那就是 a 大 于等于零，但是 b 不 等于零。 好，丹麦看二次根是双重非复性。双重非复性什么意思呢？就是咱们看一下根号 a 这个式子，除了 a 大 于等于零之外，那你根号 a 也得大于零， 也就是说它得外边大一等于零，那里边也得大于零，这就是二次根式的双重非负性，两层都是非负的。好。比如说咱们看这个题， 这个式子等于零，那求 a 减 b 假体的值。好，首先看一下绝对值是非负的，根号是非负的，平方是非负的。正好初中三大非负性都考到了，那等于零的话，那只能每一项都等于零，也就是说 a 等于五， b 等于二， c 等于一，那么 a 减 b 加 c， 五就能算出来是四了。 好，记住，非负数的和为零，那只能是每一个非负数都等于零。初中阶段所学的非负数主要有三个绝对值，偶、次幂。二次根式好特殊的，咱们看一下， y 等于根号 a 加上根号负 a 加 b 这种， 那如果想满足有 e 的 条件，那你看一下 a 是 不是大于等于零，负 a 也大于等于零，那他们两个其实想说明就是 a 只能等于零了，所以记住这一种特殊情况 好的麦卡二次根式的乘法法则和除法法则。咱们形如根号 a 乘以根号 b， 就 等于根号 a 乘 b， 其中记住条件是 a 大 于等于零， b 大 于等于零。好。另外根号 a 除以根号 b， 就 等于根号下 a 除以 b， 记住 a 大 于等于零，但是 b 是 大于零， b 是 不能等于零，因为 b 带分母 好。比如说咱们看下这个计算，根号六乘以根号二分之三，那咱们看把它合并，比如根号下六乘以三分之二，就等于根号四。哎，根号四，那就是二了。咱们学过，这叫算数平方根，算数平方根出来只能是正的，也就是二。 好。比如咱们看下第二个，根号六乘以根号三，再除以根号根号六乘以根号三，可以写成根号六乘以三。好，所以根号六乘以三，再除以二，那所以就是一消的话，就根号九了，那就等于三。所以二次根式的乘除还是比较简单的好。咱们接着往下走， 归纳总结说，多个二次根式相乘的法则也是同样使用的。比如根号 a 乘以 b 乘以 c， 把它框到一个根号里边儿， 其中记住 a、 b、 c 一 直到 n， 它都是大一顶零的好，那比如像这种 m， 根号 a 乘以 n， 根号 b， 那 咱们又合并，把 m 和 n 放在一起， 那把根号 a 乘以根号 b 放在一起，其中还是记住 a、 b 大 一顶零，这个填制调任是你一直要记住的，因为它就是咱们易错的一个点。好，接下来看二次根式的化简， 二之根是化简，它就相当于把乘除运分给它倒过去，也就是说咱们这两个是乘除运分，那化简的时候就要把它往回走，就根号 a、 b 写成根号 a， 乘以根号 b 分 之， a 写成根号 b， 分 之根号 a。 好， 那咱们看一下，比如像这样的它如何去化简呢？根号八十一，乘以根号六十四，那继续就等于根号八十一，其实就是九，根号六十四就是八，也就七十二了。好，再比如看这个 根号九分之五，其就是根号九分之根号五，那根号九就是三，那所以三分之根号五，这就是二次根式的化简。好，咱们来看 那二次根式，化简完之后，那你要确定它是不是最简的二次根式。那一般的把被开方数不含分母，也不含能开得进方的数或银式，这样的叫做最简二次根式。好，比如说咱们举个例子， 根号五十，他肯定不是对最假二次根式，因为五十还能开的出去方，这就是不是。那所以根号五十可以写成根号二十五乘以二， 那写成根号二十五，二十五是不可以写成五，也就是五倍根二，这种根号二二就开不出去了，所以根号下不能能开得进方的数，就这个意思。好，第二个说分母不能还有根号，比如说根号七分之二， 那根号七分之二，其实就是根号七分之根号二，那分母当中很明显有根号了，那它绝对不是二次根式啊，最假二次根式啊，所以你要让分母乘以个七，分子也乘以个七，那分母就变成了七，分子变成了根号十四，所以这种就叫最假二次根式。 这样选就讲明白了，对吧？好，接着往下走，合并最减二次根式。咱们说把最减二次二次根式这个化简之后呢，它会有一些被开方数相同的这种项，把被开方数相同项合并起来，这种就叫做合并最减二次根式。好，比如说咱们举个例子， a 说最减根式，它与根号三可以合并，那说明呢，三 m 减二 n， 它得是三， 要不然怎么合并呢？对吧？另外二 n 加一得等于二，所以这个时候当做二因子方程去解，就能解除 m 和 n， 那 这又去求根号 m n， 那 就是根号，把 m n 相乘，也就是三分之根六了。好，那接下来咱们你看 二次根式的加减运算。其实二次根式的加减运算就是把最减二次根式合并的一个过程。首先第一步要去化简，把二次根式化简成最减的。第二步要去判断，看它有没有根号下相同的项。 第三步合并，这就是二次根式的加减法则啊。比如咱们看一下根号八，加上根号十吧，等于根号八八可以写成四乘二，那四就能开出来个二，所以根号八就是二倍根二。 好，根号十八十八可以写成九乘以二，那九可以开出来个三，所以它是三倍根二，会发现根二根二，它就是相同的根号项，把它合并的就是二加三，根号二，也就是五倍根二，所以加减运算就是合并最减二四根式的。 嗯，这个过程好，比如再计算根号四十八加根二三，根号四十八可以写成十六乘以三。 好，十六乘以三的话，你十六是不能开出个四，所以就是四倍根三，含这个三绝对不能动了，所以就根号三，也就四倍根三加根号三，也就五倍根三了，对吧？好，咱们看第二个根号五。 好，这五分之一分母当中不能含有根号，所以分母乘以个五，分子也得乘一个五，所以就是二十五分之五，那看一下根号二十五，根号二十五，是不就是五，那，所以分母是五，分子是根号五， 那根号五减五分之根号五，那不就是五分之四倍根号五吗？对吧？这就是合并最减二次根式的运算过程。好，咱们继续往下走 二次根式的混合运算。好，咱们看一个第一混合运算，就是把二次根式进行加减乘除进行运算好。例一，根号八加根号三乘以根号六，而这个时候咱们经分配率让根号八去乘以根号六。好，这个时候你会发现 根号八乘以根号六，八可以写成二乘以四，对吧？六可以写成二乘以三。好，所以四可以开出来，二也可以开出来，所以就是四倍根三，再加上根号三乘以根号六，这有一个三， 然后六可以写成三乘二，所以三三可以开出来，也就是三倍根二。好，把这两个渐近合并，看。能合并吗？他是不能的，因为根号三和根号二不是同类。二次根式。好，也就这个倒倍。好，接下来咱们去反来走。 好的，我们看一下多项式乘以多项式这种二次根是怎么去计算呢？好，咱就按照一项一项拆就行了，比如说让根号二乘以根号二， 根号二乘以五，三乘以根二，三乘以五。好，也就是这个多项式了。好，最终再进行合并，也就是负十三减二倍根二，这就是二次根式的混合运算。记住先算乘除，再算加整，有括号的先算括号，它的计算和有理数的混合运算大体相同。 好，咱们来看，再讲二次根式的化简好，比如说化简这个式子，其中 a 等于三， b 等于二，让你看你能怎么做呢？怎么去计算呢？咱有两种方法。第一种方法，解法一，你把 a 等于三， b 等，二从一开始就带进去，然后进行计算， 会发现计算结果会翻，这样会比较复杂，对吧？正确的操作过程以及步骤这么写的。先把原式等于这个式的，然后把它经化简，然后让根号 a 分 之一，分别去乘根号 ab 啊，乘完之后，好，根号 a 分 之一或者 a 就 消掉了，所以就剩根号 b 了。那后边这个呢？根号 b， 根号 b 开出来就必被根号 a， 所以 把它化解成这个式子之后，然后把 a 等于三， b 等于二，代入代出式，然后就算出最终的结果了。所以记住要先化简，后代入不能通，一开始就直接代入，而 d 起开。第二张勾股定律，咱把这个图勾股定律的概念说开。这个图呢，这个图就形容的是 a 的 面积加 b 的 面积，会发现你算了算，发现它等于 c 的 面积， a 的 面积就是 a 的 平方，那 b 的 面积就是 b 的 平方， j 的 面积， c 的 平方，也就是 a 方加 b 方等于 c 方，这就是勾股定律，一个最原始的一个式子好，咱们去论证它为什么是成立的。 好，咱们说形，如 abc， 分 别表示直角、三角形的两个直角边和斜边，那么 a 方加 b 方就等于 c 方，它的数学表达式是，因为角 c 等于九十度，然后 abac 以及 bc， 那则 a 方加 b 方等于 c 方。好，这是它的一个数学的几何语言啊。咱们来看说已知角 a、 c、 b 等于九十度，好，这儿是垂直的， a、 c 等于三， b、 c 等于四，好，让你去求 c、 d 的 长，那你会发现 a、 c 等于三， b、 c 等于四，那所以 ab 数就等于五。有勾股定律得的。 可见来，根据三眼形的面积公式好， a、 b、 e 的 面积对应就等于二分之一， a、 c 乘以 b， c 还等于二分之一， a、 b 乘 cd 二分之一，二分之一消掉了。所以接下来把这三个线段的已知线段带进去，就能求出 c、 e 了。这个也就是有个名字叫嫌高公式，利用等级转换即可求嫌高公式。 好，接下来咱们看这勾股定律啊，有很多种正法，在网上有几百种正法，咱们挑几个标点性的，比如说有一种叫比达格拉斯正法，就比达格拉斯啊，他有一次去朋友家翻一个地砖，地砖长的大概就这个形状，会发现他就符合面积的一个勾股定律公式。比如说咱们看大正方形， 边长是 a 加 b， 所以 大正反面就 a 加 b 数平方好，你又发现它分成是有四个小的三角形。好，那每一个小三角形是二分之一， a 乘以 b， 一 共四个，就四乘以二分之 d， a 乘 b， 中间是一个正方形，边长是 c， 你 说 c 方，会发现第一个和第二个它相等的，它列成等式之后，再经化简，最终就化简成了 a 方加 b 方等于 c 方好，这是比达格拉斯对于勾固定的一个正法。咱们再看照赏玄图，这是中国非常非常著名的一个玄图好，咱们看是这么一个图， 时间，这个大正方形还有边长是 c， 所以 说大正为的面积是 c 方好。再看它也是由四个， 然后小三角形，每个小三角形的面积是二分之一， b 乘以 a， 所以 二分之一， a 乘以 b， 四个所以乘以四。再看中间那个小正方形，因为整个是 b 好， 这边是 a， 所以 这个正方形的边长就是 b 减 a， 所以 它的面积有 b 减 a 的 平方好，让第一个式子和第二次相等好，同样的进行化简之后，它也能得到 c 方等于 a 方。借 b 方好的来看第三个 美国东通证法好，这个就类似于咱们说的一线三垂之。首先看一下 a、 b、 c、 d， 它这个梯形 那二分之一上底加下底，然后再乘以高，这就是它的梯形面积，它分成了中间有一个小的三角形，是二分之一， c 方 好，它的面积还有两个小的三角形，全等的每一个人二分之一乘以 b， 所以 两个二乘以二分之一乘以 b。 经过化简之后，也是 a 方加 b 方等于 c 方好，就正出来了。 好，家人们再看勾股念逆定力，什么意思呢？就是如果一个三角形三边长分别是 a、 b、 c， 我 只要满足 a 方加 b 方等于 c 方，那么我这个三角形就必定是只要三角形，所以它的逆定力也是成立的。 嗯，好，咱们继续。谁叫勾股数？什么叫勾股数呢？说一个三角形啊，它三条边是 abc， 它如果满足 a 方加 b 方等于 c 方，那么这个三角形就只要三角形。记住，满足 a 方加 b 方，这个 abc 一定要是正整数，这个是非常非常非常关键的，一定要是正整数，只有这样的才是勾股数。 好，咱们看一下，比如说三四五、五十二十三、六八十七、二十四、二十五等等等等等，这些都要勾股数，但它有个特征，都是正整数，对不对？ 你会发现，如果由一组勾股数把它扩大相同的 k 倍，那么所得到新的一组也是勾股数，比如说三四五分倍乘以三，就是九十二十五，上边这勾股数，他仍然只是勾股数啊，就是这个意思。好，咱们继续 下来。各组数中当中哪个是勾股数呢？好，比如 a 是 b 是 d 是 吧？看着好像都对，其实你算一下，七方加八方不等于九方，所以 b 不是。 好，这个 d 也是，不是要看这个，这个，其实零点三的平方加上零点四的平方就等于零点五的平方。那为什么不如勾股数呢？因为必须得满足是正整数，正整数，零点三不是整数，所以只能选 a。 好， 咱们继续 构建的应用。第一个应用就是这种类似于小蚂蚁，在 a 这个地方， a 他 要去爬，爬到 b 这个地方去吃一个东西，那怎么过去？表记呢？他肯定要这么扶着过去，是吧？这么沿着这个桶过去 好不？怎么过去呢？咱们需要把这个圆柱给它展开，展开之后。好，展开之后咱们看一下 那么黄的颜色展开之后，你会发现这个 a、 e 呢？它就在这个地方，而 b 刚好是在，因为在中间那个位置，是吧？ b 在 中间，所以那肯定在这个图上，它是这么着过去的，那展开之后它就直线过去的，被这儿高是十二，被中间，它是中长的一半，也就是三派，所以勾五定，你算一下，就算出了 a、 b 的 距离。 好，这第一个应用也就是把立体图形进行展开之后，然后当成平面图形去计算，那第二个 还这个正方体或者长方体， a 在 这里， b 在 这里，我怎么过去呢？我怎么着过去就比较近呢？这个事也是一样的，你把它展开，把它展开，譬如说你把这个 给它展开，就把这段给截掉，展开之后就成这种，那么直接过去数对的，那这儿是 a 加 b， 这儿是 c， 那 你如果把这个上盖给掀开，是不就这种形式， 而他也是怎么过去呢？直接过去，这是 a， 这 b 加 c 啊，就是这个道理。把它展开之后，然后再进行计算，所以实际问题要经过展开或者建模变成数形问题去处理 好。接二等看第三张四边形。好，首先看一下多边形的相关概念，说用若干个不在同一条直线上的线段，首尾依次相连，这样子形成的封闭平面图形叫多边形的对角线。好，咱们算一下， 咱在初中范围内学的多边形七都是凸多边形，还有一种叫什么呀？叫凹多边形，还有一种竞赛叫折剁折四边形，还有个这种叫完全四边形啊，咱们初中只学凸四边出这个凸多边形。 好的，麦卡巧是牛刀，下面是多边形的是第一个肯定是了，第二个不是封闭，他没有封闭，第三个不是首尾依次相连，他没有首尾依次相连啊。第四个没有，问题是第五个不是没有封闭，第六个肯定有。不是首尾依次相连的线段，它指的曲线 好，大家来看，呵，好多边形，比如说四边形，它从一个顶点出发，可以引几条线呢？一条好可以分成几个三行呢？两个三行，而对点线条数几个呢？一个两个好一次。 那么五边形呢？它只有两条，六边形呢，它就有三条，七边形它就有四条等等。 n 边形它就 n 减三条。 好，这个比较简单，分割成三角形数。四边形是两个三角形，那五边形就是三个立半型，四个那 n 变气就 n 减二个，还带来对角线的条数，而这个也是二五九十四。最后得给我解释一下，数 n 边形是不是有 n 个顶点？ 好，我让 n， 你 又发现，他本身这个顶点和两边零的这两个点，他肯定是构成对角线的，也就说 n 需要乘个 n 减三， 那两个点两个点会重复计算，所以说我需要出个二，所以 n 边形，它对角线条数就是二分之， n 乘以 n 减三。好的。来看平四边形的概念， 收两组对边分别平行的四边形叫做平四边形。好，几何语言就是 a、 b 平行于 cd， a、 d 平行于 bc 啊，所以 a、 b、 c、 d 就是 平四边形， 好记作啊，这个符号。好，咱们来看一下。那平四边形对角线啊，对边对角，这个咱们在之前都学过。好，咱们继续。下边是平四边形的第一个可以不是他等要梯形，对吧？好，第二个是 第五个是第五位，说是正方形是吧？或者矩形，记住正方形或矩形都叫特殊的平四边形，所以第五个也是 好的。麦看说平行四边形是中心对正图形。好的麦看一下，平行四边形经过一百八十度旋转之后，它能够完全重合的好，它这个对角形的焦点 o 刚好就是它的中心对正点，也就是你绕那个 o 进行一百八十度旋转，它是能够完全重合的，所以平行四边形是中心对正图形 好。平四边性质，首先来看边，对边是平行的，对边相等的，看角呢？对角相等的好，咱们看这对角线呢，就对角线是互相平分的，所以按照边角对角线去分析平四边的性质 好，那平四边形的面积，平四边形把这个对角线把它分成了四个三角形，这四个三角形的面积都是完全相等的啊，所以啊，记住他在进行面积计算的时候，你要记住这四个三角形的面积全是相等的，都等于平四边形面积的四分之一。 好，比如说咱们看一下，说 o， a 等于十二， o b 等于十九， o a 等于十二， o b 等于十九，还按计算， a、 c、 a、 c， 这也是个十二， n 就 二十四， b， d、 b、 d 二一颗十九， n 就 三十八，对角线互相平分，是吧？ 好的，来看，这什么意思呢？就是 o 是 中心对称点，我只要过中心对称点，然后画一条直线，画完之后它所得到的这个 a、 e 和 c、 f 肯定是相等的。为什么呀？因为你看一下， 我这个刚好是一个八字模型，所以这两个扇形全等的，它如果说延长，延长之后也一样，它这边和这边它也是形成八字的一个结构态式，全等的 好，所以去所形成对应边后，对应角也都是相等的啊，继续它这么画呢，也是一样，也是一样，比如说形成的这个八字结构，它也是全等的， 也就是说你只要过这个中心对称点的所有的直线，能把平行四边形给平分掉，平分的面积相等，角相等，线段也相等。 好，咱们来看等腰梯形，底腰梯形比较简单，我们小学都学过，也就一个梯形当中上下两点平行，这两个底角相等，上面两个角也相等，这就角等于二梯形。 好，咱们看平四边形，判定就是什么样四边形，你要判定它绝对是平四边形呢？第一个，咱们先先看一下平四边定义是什么呀？是对边平行，这么的四边形叫平四边形，所以咱们全部围绕围绕这个正，比如两组对边相等的平行四边形， 四边形是拼四边形，几何以言 a、 b 等于 c、 d， a、 d 等于 b、 c， 那 么这种四边形就得拼四边形，如何去正呢？哎，这个比较简单，说 a、 b 等于 c、 d 好， a、 d 等于 b、 c， 你 再把这个连起来，会发现这两个塞应是不全等，这个角是不定这角， 然后呢，这个角是不定这个角，那两个内组要相等，所以 a、 d 和 bc 平行了，这两个角相等的话，那你 a、 b 和 c、 d 又平行了，所以它是平行四边形啊，是吧？好，那是第一个配音给你正完了。第二个， 他说由异组对边平行且相等，这样四边形也是平行四边形。几何语言就是因为 ab 等于 cd， ab 平行于 cd， 那 么四边形 ab cd 就是 平行四边形。好，这个看一下， ab 等于 cd， a、 b 还平行于 c、 d 平行完之后呢？这两个角是不是相等？ a、 c 还等于 a、 c， 所以 这两个扇形是不全等全等完之后，但你这个角 d， a、 c 是 不和角 b c a 它就相等，相等完之后，那是不 a、 d 就 和 b、 c 平行，又形成了对边平行的一个四边形，所以它就平行四边形了。好的，我们来看第三个对角线弧线平分的四边形，绝对是平行四边形，这类比较好。正， 那数学几何语言就是 a o 等于 c o， b o 等于 d o， 那 么这个四边形就是平四边形。咱们来看一下，因为 a o 等于 c o， 然后 o d， e 等于 o b， 而这个对定角相等，所以这两个扇形是不全等好全等完之后所形成的，那这个角是不和这角相等，那所以 a、 d 和 bc 就 平行了。再来看，那你 这个角是不和这个角相等，那当然这个也还是平行，那所以 b、 c 和 a、 d 是 不既平行又相等，那异族对边平行相等，那么它这个四四边形就是个平四边形，我也就正完了。好，仔细看说也这么个题。 e、 f 分 别平行四边形最减三的点，然后满足 a， e 等于 c， f 占去证 b f d e 是 不是平行四边形？这个比较好证，是吧？你看一下，因为 o a 等于 o c 啊， a e 如果等于 c f 的 话，那女 o e 是 不等于 o f 呀？再加上 o、 b 是 不等于 o、 d 对 角线互相平分了，所以这个四边形是什么呀？平行四边形啊， c 系完全利用 a 探定定理器，正好咱们去访下，看平四边形之间距离，平线之间的距离，说两条平行 a 和 b， 然后呢， a 上有一个点 a 有 个点 b， 它分别向 b 做距离，这两个距离什么关系啊？相等 可以有无数个点，往这做距离它都是相等的，那这个相等的这种距离就做，就叫做平线之间的距离，简称两条平线间的距离，处处相等。 好，大家来看一下，平行直线距离和点到直线直线距离有成区别吗？那点到直线距离是不只有一条平行直线距离，那可是多了，它有无数条，它就这个区别。 我们往下看，说 a、 b、 e 平行于 b、 d 点 c 呢？在 b、 d 上， a、 e 等于五，有这一段它是五，然后呢， b、 d 等于八，哎，这一段它等于八。 好，他告诉你， a、 b、 d 的 面积十六， a、 b、 d 面积十六，那我是不能算出个高二分之一啊？ b、 d 乘以 h， 那 我 h 是 不是就能算出来是四？这个 h 四之后，那你想一下，那 c 到这儿的距离是不也是四？那二分之一 a、 e 也是乘以这个高，我是不是就算出 a 非 e 的 面积了啊？这个是利用平线距离相等，处处相等来做的。好，再往下看，说 中位线，谁叫中位线呢？说连接三角形两边中点的线段，比如说 d 是 ab 的 中点， e 是 a， c 的 中点。好，这样看一下，那这种连线它就叫做中，就叫做中位线。那中位线有什么性质呢？咱们看一下。首先， 哎，中位线，中位线是平行于底边，便等于底边的一半啊，这种怎么去算呢？咱们看一下，我可以把这个 d、 e 进行倍长，叫倍长中线，对吧？好，倍长之后到 e、 f， 你 会发现倍长之后，你所构造的这个三角形 a， d， e 和三角形 c、 f 叉数就全等了，全等完之后，你这个 c、 f 是 不又等于 c、 d 了，而且而平行于 c、 d， 所以 c， f 是 不和， b、 d 也是平顶且相等啊。那你这个四边形是什么？四边形 异度对边平行且相等，那它就是平行四边形了。那你 b、 c 很 简单，它是不是就等于 d f 呀？那你 d、 f 是 不等于二倍的 d， e 啊？那所以我正出来底边是中位线的两倍啊，并且它还平行了，所以我就正完了。 好，咱们继续。好。来看一下那几何以研究什么呀？说，因为 a、 d， e 是 abc 的 重围线，所以那么 d e 就 平行于 bc， 并且 d e 等于二分之一 bc， 或者写成，或者写成 d， e 平行，或者等于二分之一的 bc， 这样表示也是可以的。好，咱们再往下好，同样来看二十五、菱形的概念， 说，再看一下，在拼四边形当中，如果你截取这么个让四个边都相等的这种图形呢？叫做的就叫做菱形。好，咱们看，但菱形说是它定义什么呀？就是说有一组菱边相等的拼四边形，正确的菱形，这是它的概念。好，锯换去看， 说菱形是特殊的平四边形，而它具有平四边形的一切的性质。另外它还有自己独特的性质，有哪些呢？首先对称性，菱形是轴对称图形，但是平四边形不是平四边，只是轴心对称图形。好，边菱形四个边都像的，但平平四边形只有对边平行且相等好，对角线 平四边形，对角线互相平分。但是呢，菱形除了互相平分之外，它还有一个叫互相垂直。好，你怎么看？说菱形的判定， 首先有一组菱边相等，平四边形是菱形，因此定义非域的片判定定米一好，数学一言，就是因为四边形 a、 b、 c、 d 是 平四边形 a、 b 等于 a、 d 有 菱边相等，所以四边形 a、 b、 c、 d 就是 菱形了。 那第二个，那对角线互相垂直的拼四边形是菱形，可这里也没问题，这也是通过性质给它倒过去的， 因为对角线互相垂直，它是菱形的一个特性，所以说它倒过来也是成立的几何语言。就是在拼四边形 a、 b、 c、 d、 n 当中，如果 a、 c 垂直 abd， 那 么四边形 a、 b、 c、 d 就是 菱形了。 好，这个也比较好证说菱形是一组邻边相等的平行边形，咱们看一下，如果它互相垂直的话，你垂直，垂直完之后，你看一下。哎，这个 o、 b 是 不等于 o、 d， 那 你想一下，它还垂直，那你这个 a、 o 是 不就是三线合一的一条线？那 a、 o、 b 和 a、 o、 d 是 不全等，全等完之后， ab 是 不等于 ab， 所以 菱边距相等的平行边形，那就是菱形了。好，咱们来看下一个说， 那四边形 a、 b、 c、 d 是 平四边形，那对角线 a、 c 和 b、 d， 哎，它是互相垂直的，让你去正，它是菱形，这就是刚我说的一个完美过程，大家可以看一下。好，咱们接着往下走。 好说菱形的面积，说，咱们看一下菱形的面积，平四边形面积是底乘以高，对吧？也就是 ab 乘以 h， 那还有什么呢？还有就是菱形的面积有个二分之一对角线相乘，哎，这个怎么解释呢？为什么是二分之一对角线相乘呢？你可以看一下。首先二分之一 o a 乘以 o b， 也就二分之一的 o a， a 乘以 o b， 它是不是这个三心的面积？这个三心面积的话，咱们说这四个面积是不是相等？相等的话也就是乘以个四，乘以个四的话，是不就是二倍的 o a 乘以 o b， 二倍的 o a 是 不就是 a c o b o b 是 不就二分之一的 b d？ 所以 二分之一 a c 乘以 b d， 那 就是它的菱形的面积了。所以记住菱形的面也拥有两个 好的来看下。一个是矩形的概念，有一个角是直角的平四边形，正角矩形，这是它的定义，或者叫长方形，也就说平四边形，只要保留有一个角是直角，那么直接演变为矩形 好，矩形呢？也是特殊的平四边形，所以平四边形当然不一定是矩形。那咱们在研究它的性质的时候，你会发现，矩形除了具有平四边形的所有性质外，它还具有自己独特的几个性质，比如说四个角就是直角，还有就是矩 形 abcd 中那对角线 a c 和 b e 交与 o， 那 么这四个角都是直角。另外 a c 和 b d 相等，对角线相等 好。大家看矩形的性质，首先它是轴对称图形，它的对称轴是不是刚好就是，假如说这是一个矩形对称轴是不是就刚好把它平分掉，这么两个就它的角是四个直角 好，对角线呢？相等。而记住，就平四边形到对角线是相等，也有矩形的对角线是平分且相等，它只有两个。好，咱们看下一个戳。 有矩形可以衍生出来一个非常重要的理论，就只要散心的斜边中线理论，你会发现它这个矩形分成两个，一个是 a、 b、 c， 一个是 a、 c、 d。 好 比如说把 a、 c、 d 切掉，就剩下它了。那你想一下，这个 o、 b 就 o、 b， 它本来是不是这边还有个 o、 d 呢？ 也就说 b、 d 是 不等于 b d？ 诶？是不等于 a、 c， 那 b、 d 是 呀， b、 d 是 不二倍的， o、 b 是 不等于 a、 c。 所以只要三项，你会发现 o、 b 是 不是它的斜边的中线？也有斜边中线是不是等于其背的一半，也就 a c 一 半，那 c 我 就正完了。所以只要三项，斜边中线理论就是这样来的。好，咱们继续 说。能有直角三角形，西边中线理论可以挤入几个常见的模型，如第一个烫直角三角形给中线，那么 c、 d 就 等于 ab 的 一半，这第一种。第二个两个直角三角形，那你要学会连 c e， 还要连 d e， 你 犯这两个是不是相等的？因为 c e 和 d e 都等于 ab 的 一半，所以一旦连起来，这就是个等腰三角形。 好，再来，那你这个是不？ c、 e 中线可以背长，叫背长中线，背长中线所构造这个图形是什么呢？这个图形它就是一个矩形。 好，再看，这也是一样的。那你这儿垂直，这儿垂直，那你要学会把 d f 和 e、 f 连起来，由这首 d f 就 等于 e、 f 了，它也能够到一个等腰三角形。这里就利用斜边柱线理论来作体。好，咱们来看下一个矩形的判定，一 对角线相等的平四边形是矩形，这也是不是刚好利用它的对角线的一个特殊的性质去推？好，咱们看一下，那怎么去正呢？ 为什么？几何一言当中说平四边 a、 b、 c、 d 当中，一旦 a、 c 等于 b、 d， 那 么平四边形 a、 b、 c、 d 绝对是个矩形呢。好， come on， 好， 那，那咱们继续来看说。那么对角线相等的平四边形为什么就是矩形呢？咱们看这个题说，首先你这个 a、 b、 a、 b 是 不和 c、 d 相等， 然后呢， bc 又等于 c、 b， bc 又等于 c、 b。 好， 接下来再看 a、 c、 a、 c 是 不是等于 d、 b， 所以 你所形成的这两个三角形是不是全等？全等完之后，你所形成的这个 a、 b、 c 这个角和 d、 c、 b 这两个角是不是相等？这两个角相加是一百八，它要相等，所以每个角是不是九十度？怎么说一个角是九十度的这种平四根引数就是矩形啊，刚好正错胎定义 好。接下来第二正方说有三个角，直角的这个四边形可以用矩形，那肯定啊，有三个角直角，那么第四个角肯定也是直角了，所以几何以啊，就是角 a 角 b 角 c 九十度，那么这个四边形 a、 b、 c、 d 就是 矩形了。 好，这是矩形的判定。好，咱们看一下正方形，正方形它就更特殊了，正方形是特殊的平四边形，同时正方形也是特殊的矩形，也是特殊的菱形，那么它的对角线 不但互相平分，而对角线还垂直，对角线还相等，是吧？所以这就是对角线它的所有的性质。另外角四个直角都四个角都是直角了。另外对称型它既是中心对称，又是轴对称了，而且有四条对称轴，对吧？那边四个边都相等 啊，而且四个边都对边，都互相平行且相等啊，这是正方形，正方形都非常完美的图形，好友们看总结一下 说，那我如何证明一个四边形是正方形呢？首先我这个四边形，先证明它是个平行四边形，正完之后，你拼四边形可以直接证它是一个矩形。 然后呢啊，比如说一个角是直角的，拼四边就是矩形了，就是矩形。那么矩形它对角线是不相等，但它互互相平分，所以你只需要让对角线垂直，对它垂直，那么它就变成了正方形。同样的，你平四边形，它怎么变成菱形呢？让对角线互相垂直就变成菱形， 把这样对角线相等，它又变成了正方形，所以就全部利用矩形和菱形，它对角线的特殊性或者角的特殊性直接来整好，咱们记起来看第四章函数 函数的概念说，一般如果在一个变化过程当中，有两个变量 x 和 y， 并且对于变量 x， 每一个指变量 y 都有唯一以它对应的，那么 y 就是 x 函数啊。记住，在函数 x 和 y 当中，它们都是一一对应的关系，比如一个 x 只能对应一个 y。 另外注意，函数不是数，它只是某一种变化当中两个变之间的关系而已，函数不是数。 好，比如说，咱们看一下下列各层当中， x 自变量 y 是 x 的 函数吗？比如说，第一个是，为什么？因为一个 x 是 不对应一个 y， 一个 x 是 不对应一个 y， 对 吧？第二个它又不是，为什么？因为一个 x 是 不对应两个数，两个 y 是 吧？这在高中当中，这叫什么呀？ 啊？高中这叫双曲线，所以，但是它不是函数啊，记住 x 和 y 是 一对应的。再看 下列变量中， x 和 y 关系是 a， 是 函数关系式的是。比如第一个是因为它是一次函数，第二个呢，也是它二次函数，你可以画一下，你说一个 x 只能对应一个 y， 第三个呢？它就不是，为什么呢？那么第三个也是，也是一个 x 对 应一个 y， 比如 x 是 一，那 y 就是 二，就 x 是 唯一的， y 也是唯一的。好，第四个， 第四个呢？它就不是，为什么？因为你发现一个 y 是 不对应的两个，也就是一个一个 x 对 应的两个 y， 也比如说 x 是 二，那你是正负根二，所以一个 x 只能对应一个 y， 如果对应两个的话，它就不是 好看。第五个，第五个也是一样，那你外方是不等于三 x 加二十，那你一个 x， 比如说 x 是 一， x 要等于一的话， y 是 什么？ y 是 不可以等于正负跟十三， 所以一个一个 s 对 应两个 y， 所以 这就不是啊。记住，判断它是不是函数关系是一个 s 一定要对应一个 y， 对 应两个就不行。好，咱们来看 说函数的表示方法，首先一种叫图像法，另外一种叫列表法，第三种叫关系式法。那见了咱们一会会一一介绍。比如说看图像法，就你在平面直角坐标系当中，可以把这个函数关系式给画出来，进行列表描点连线，画完之后，那所以这叫图像法好。第二种， 谁要列表法呢？就根据一个 x 或一个 n 对 应个 y， 把它进行列表的方式给我表示出来，那这叫列表法好。第三个，什么叫关系式法呢？就是通过他的一段描述，能把字变量和音变量给我写出来，写成个关系式的这种形式，那这就第三种叫关系式法 好。三十七、函数值什么叫函数值呢？说，对于自变量在可取值范围内的一个确定的值， a 函数有唯一的一个对应值，那这个值呢？就叫做函数的值。比如说， 如果 y 是 x 函数，当 x 等于 a 的 时候， y 是 不是只能等于 b， 它是唯一的，是吧？那么这个 b 就 叫做 x 等于 a 的 那个函数值。 哎，就这个意思。再来看已知函数， y 等于 x， 加一分之四， x 减二，当 x 等于二，三负三时，函数的值，那你会发现，把 x 等于二还等于三，分别代入率函数对应的那个 y 是 不是都是唯一的一个值，那就叫函数值了。 好，继续。第三十八、什么要依次函数的概念？叔，咱们看一下这两个函数有什么区别呢？你又发现，若两个自变量 x， 两个变列 x， y 之间的关系满足，称 y 等于 k， x 加 b， 记住 kb 都是常数， k 是 肯定能等于零的，应 k 等于零， x 就 没有意义了，对吧？ 那么就称 y 是 x 一 次函数，其中 x 的 自变量 y 是 一变量， b 等于零的时候，特出 y 是 x 的 正比例函数。所以记住，只要符合 y 等于 k， x 加 b 这种形式的，都叫做一次函数， 一次函数，因为 x 次数是一嘛，对吧？好，咱们看一下下列关系式中，哪些是一次函数，哪是正比例函数？首先，第一个没问题，一次函数。 第二个呢？第二个是二次函数，因为这是二次的，所以它不对。第三个呢？第三个是正比例函数，对吧？因后边得压个 b， 这个 b 等于零没了，所以第三个是正比例函数。第四个呢？第四个也是正比例函数。第五个呢？第五个不是 咱们这个 x 出现在的分母，所以第五个不是。第五个叫什么叫反比函数？第六个呢？不是，因为第六个自变量是二次，所以它叫二次的，它不是一次的。 好，咱们继续说正比例函数的画法怎么画？比如说，你能画出 y 等于 r 二 x 图像吗？咱们看一下三部列表，瞄点连线。第一步，列掉列表什么意思呢？列表就把 x 每一个值对应的 y 的 值给我们米给我列出来，比如列出五个点，然后呢， 把这五个点第二步，描点，描点，把它描到平面直角坐标系当中。第三步，用连线把这五个点连起来，又发现它是一条平滑的直线，那这种锯造度啊， 以此函数画法好，画一下 y 等负二 x 是 被这么画，就斜着这么画，所以通过画 y 等 r， 二 x 和 y 等于负二 x， 你 又发现， 哎，咱们能总结出来说， y 等二 x， 是 不是 k， k 值大于零了呀？大于零的话，它是经过一三象限，一三象限，哎，比如咱们看一下，是不这是一三象限，如果呢， k 小 于零，它是不经过什么呀？二四象限？ 好，那咱们就总结出来了，并且 k 大 于零， y、 c x 增大而增大而减小。记住，正比例函数全部是经过原点的一条直线， 因为它是一条直线，所以咱们在算它截式的时候会发现只需要两个点就行了，因为两点确定一条直线。好， 那接下来咱们看一下，你通过画正比例函数，你会发现个趋势， y， k 等于三， k 等于一， k 等于三分之一，它的倾斜程度是不一样，越大是不是越倾斜？ 同样的，你负三 x， 负 x 以及负三分之一 x， 是 不发现还是它那 k 的 绝对值？ k 的 绝对值越大是不越陡，所以就总结出来了，当 k 的 绝值越大时，图像越靠近 y 乘，也就是说图像越陡， 那当 k 相等时，那图像肯定关于欸，坐标左对称。好，咱们注意看说已知正比的函数， y 等于它，它图像经过几个象限？ 好，第几项链？那函数可以看一下，它首项是个正比例函数，说你首先发现它，那 m 方肯定得用一了，因为得是一次嘛， m 方等于一呢？ m 是 什么？ m 是 不是正负一？但是 m 不 能等于负一，因为等于负一， m 加一等于零了， zm 只能等一， 那所以这个函数既不是，不就能写成它就是二 x， 一， 看它经过什么，它经过一三项链呢？ 好，咱们看一下依次函数的吞杨性质，那么依次是 y 等于 k 加 b 啊，还是通过列表瞄点连线，你能画出来依次函数？大概就这么一个图像。 好，那这个点零逗 b 什么意思？就是当 x 等于零的时候，你代入可翻验。哎， y 等于 b， 同样，当 y 等于零的时候，你又翻验 x 等于负的 k 分 之 b。 这两个点是非常特殊的，一个是跟 x 轴交点，一个是跟 y 轴交点，把它这个坐标给记死了。好，我们看一下， 那通过列表瞄点连线难画下，你能画出 y 等于 x 加二，还得是还能画出 y 等于 k， x 减二，你会发现这两个因为它的 k 值是一样的，所以它是不就平行的呀？ 或者是它一个图像肯定是另外一个图像，怎么样平移得到的？平移得到的，所以记住， k 值一样的，两个一次函数它肯定是平行的。 好，咱们再看说，那你再加个 y 等于 x， y 点 yes 也是一样的呀，是吧？那你 y 等于 x， 它是不通过平移能够平移成一个 y 等于 x， 二通过，当这边平移，它是不能平移出来一个 y 等于 x 减二，所以 k 值一样的，这个一次函数都能通过平移来得到另外的一个函数。 好，咱看一下异参人 y 点 k， i 加 b， 记住 k 不 能等于零，怕图像经过零。逗， b 是， 它是可以由正比的，还是 y 等于 k x 的 图像平移 k 一个平移平移 b 绝对值个单位得到。刚，咱们也看一下，如果 b 大 于零，它是不向上平移， b 小 赢，它是向下平移。 好，所以这个加 b 是 通过平移来得到的，也就是刚刚，你看这一个词叫上加也， b 大 于零嘛，叫上加往上平移下减， b 小 于零往下，所以上加下减就是这么来的。 好，咱们看一下，当 y 等于 k， k x 加 b 过程当中，当 k 大 于零时，你会发现 y 是 不是随着 x 增大而增大？当 k 小 于零，是 y c x 的 那儿减小，这个跟正比例函数它的性质是一样的。 好，咱们看下例题，说 p 一 p 二是依次函数，它图像了两点啊，下背正确的是，你会发现这个 k 值是不是等于负的零点五，也就 k 是 不是小于零呢？小于零呢？它是不是这么去画了一个图像，它随着 x 增大是不是而减小？ 好，那 x 增大而减小就是 x， 正确的是 a 呢？赞 k 啊，直接看 d 呢？ x 一 小于 x 二，因为是减的减函数，所以说，那你 y 一 是绝对大于 y 二啊。 卡尼对应的，那你 x 一 是不在这个位置， x 二是在这个位置，因为 x 一， 嗯， x 二是不在这个位置，这个位置好， x 一 小于 x 二，但对应的那个值， x 对 应了 x 最值，是不是比 x 一 对应的值要大要小一点，所以说 and d 是 对的。 咱们看一下，说下列图像当中， a k b 正负，并说明直线的象限。所以咱们看一下， k 大 于零， b 大 于零，它就这么画。 k 要大于零， b 等于零，那它那么它是经过一三的正比例函数。 k 大 于零， b 小 于零，它也是这么这么亲切着画。但是 b 小 于零，是不是这个点？所以在外的负半轴 k 小 于零，首先是这么去画的， b 大 于零，那它就在外的正半轴。 k 小 零，首页也这么画。 b 等于零的话，那不就是正比例函数了？ k 小 于零，首页也这么画， 那 b 小 于零，就决定了它的欧倍 y 的 负半轴。好，这就是一层函数的图像，快速然后看出来。好，接下来总结。 y 等于 k i d b， k 和 b 是 不对图像有个很很大影响，显然， k 大 于零，直线向左右这种方向， 然后随着 x 增大而增大，那么 b 大 于零，它就在一二三，那 b 小 于零，它就指一、三、四， b 和 b 的 大小。零，它就决定交在外的正半轴还是负半轴。同样的 k 小 于零，它就是经过它是这么画的，一个下降的 y， cx 的 增大而减小， 那么 b 也是决定了它跟 i y 的 正半轴和负半轴并相交，然后经过的哪几个相线好。大家来看，比如说 y 一 等于 x 加 b 和 y 二等于 b， x 加 a， 它们在同一个作白器当中，图像可能是好看一下。比如 c， 你 会发现 c 什么呢？就是 y 一 y 一， 要这么画的话，那它是不是 a 就 大于零了？那 b 在 这个位置是不是 b 小 于零？ 可你看下 y 二 y 二这么画的话，你想想 y 二是不是这个使能哥 k， 那 这个 b 是 不要小于零，然后 a 呢？在这个 y 的 正半中，所以 a 是 不大于零，所以这两个是完全统一的，所以就选 c 了。好，这是经常考的一种题型， 好看。第六章数据的分析正，主要是概念问题，比如种数的概念。什么有种数概念呢？说在一组数一当中， a 出现次数最多的处，记住种数不止一个，比如说这一系列数，你会发现出现次数最多的是哪个呢？就八得九，八点九。 对啊，出家两次那种数就是八点九了，但只有他一个吗？把你仔细看一下。哎，如果不是的话，那就再找一个，比如说八点六，八点九了，但只有他一个吗？所以种数不只有一个，出现最多位数，如果一样的话，两个就都是种数。 好，再看第二个算数，平行数。算出平行数什么呢？就是把一系的数全部加起来，然后除以它的次序个数就行了。比如说 x 一 到 x， n 全部加起来除以 n， 那 这就至平均数的个表示方式， x 上面的横高。 什么叫加减平均数呢？也就是它每一个数据有权重，你让这个每个数据乘以它的权重全部乘，最后把权重全部加起来。 好，有的时候呢，那个权重加起来之后，刚好是一个 n。 比如说，但马上会举到个例子，说某个班，十三岁八人，十四岁，十六人，十五岁二十四人，十六岁二人，也就十三岁，是不全重加了八十四岁，权重加了十六。好，那你就十三乘八十四乘十六，一直乘到最后。 那翻译它的权重八十六、二十四。二，是不是正正好就一个班的总人数，所以有除以都有总人数，所以平数就约等于十四岁了。所以这就是加权平均数的概念。看某一个数据，每一个数据它的权重是多大就可以了。好，接下来看第四个方差和标准差。什么叫方差呢？ 方差就是就平均数和每一个数据之差，然后平方，然后平方，然后 n 个全部加起来，这样之后再除以 n， 这又叫方差。 标准差什么呀？就是方差的一个，算入平方根。好，那方差在干什么呀？方差其实是在衡量一组数据的波动情况，比如说，如果方差大的话，他就这么波动，如果方差小的话，他可能就这么波动。好，所以记住，方差是用来考察这组数据稳内不稳定，越小越稳定。 好，比如说说 g 由甲乙两组小麦长势，然后从中甲儿当中抽出十株，乙抽出十株。好，这些，那你会发现哪个长势整齐呢？也就是哪个方差更小一点呢？更小才有长势，整齐就稳定呗。好，这样咱们算，首先都是先算平均数 好 s 甲的平数算完之后，让每个数和平数做差，然后平方再除以十，最后算出来。算甲的方差是二点零九， 乙的也一样，乙算先做，而平移数十四，然后让每个数和十四做差的平方除以十，最终算是二十。二点八。好，比较二点八和二点零九，会发现二点零九更小，所以说甲的长势更好，因为甲方差更小。 好，再看中位数的概念。什么叫中位数呢？说一组数，中数据当中，你从小到大排完之后，中间那个数，比如说三个，三个，中间那个是六，所以六就中位数，有的时候是刚好偶数，比如这边有四个，这边四个，那中间那个数什么呀？就这两个数加起来，然后出一个二，这就是中间那个中位数。 好，比如说被异度数记十十 x 八，它的中位数与平行数相等。好，那怎么办呢？那就先算平行数呗，是吧？然后把这四个全部加起来，除以四和中位数，中位数的话就是十十，然后 x 八也有十，加 x 除以二呗。 除以二之后，然后这九中位数，这九平行数相等之后呢？ x 等于八，所以把 k 等八代入之后，会发现中位数就等于九了。

讲一道传说中难倒了百分之九十的大学生的一道初二的英式分解的考试题。在英式分解这啊一共有八大方法， 那么其中一个叫做换元法，整体思想换元法，这是考试的重点，也是压轴题要考的。我们看一道考试真题，说分解式这一串，什么叫分解式？就把整个这一串最后写成全是乘积的形式，现在不是，这有个加时，怎么能写成乘积的形式？ 有些人一点思路没有，我通过这一道题要告诉大家三个结论，第一个结论就是，如果遇到四个相乘时，从小到大 一般情况下都是啊，最小的和最大的乘中间两个相乘，一四乘，二三乘。为什么呢？因为能出现整体思想，出题人就会让你出现一样的东西来，比如说这一四乘 x 加一乘以 x 加七，二三乘 x 加三 乘以 x 加五，再加十五。好，那这两个异相乘，那就是 x 方一 x 七 x 就是 加八 x 再加七，来这个呢？ x 加三 x 加五， x 方 三 x 五 x 就是 加八 x 再加十五，就再加十五。完事了，来看这里边是不是出现了一样的整体思想了， x 方加八 x 对 不对？所以第一个技巧一定要注意啊，一四乘，二三乘， 大的最大的最小的乘中间两个相乘，然后有可能出现整体。好了，下一步就开始还原了。说出现整体思想，我完全可以设它是 t， 大家设它是 t， 能明白吗？这样就简化了计算过程。 但是设未知数这块也有非常多的技巧，你不一定设它是 t， 我 还可以怎么设呀？我连加七都设成 t， 整个前面加七设成 t， 那 这个加十五就变成什么了？ t 加八，所以这式子更简单了，就变成 t 乘以 t 加八， 然后再加十五。哎，这样好算，你要是刚才那样，不就变成 t 加七乘以 t 加这个十五很麻烦，所以它就相当于是 t 方加八， t 再加十五， t 方加八， t 再加十五。 好，那么下面我们要把它分解是怎么分呢？十字相乘法， t 乘以 t 三五一十五交叉相乘，再相加八 t， 所以 是 t 加三乘以 t 加五， t 加三乘以 t 加五。 好了，这个啊， t 加三乘以 t 加五来，这个分解完了，但是你得还原回去，注意啊， 这叫换元，第二步叫换元，把它们位置数都换掉了， x 换成 t 了，下面一个环节叫还原。这还原什么意思？你这 t 是 什么呀？ t 是 整个的，它 x 方加八， x 加七啊， t 加三就是七，加三就是十， 注意啊，这个，那 t 注意啊， t 加五呢？ x 方加八 x 啊， t 加五啊，注意啊， t 在 它基础上再加五，七加五是多少啊？七加五是十二。 好了，那接着往下啊，接着往下， s 方加八， x 加十， s 方加八， x 加十二。好了，每一个分解也是每一个进行分解，也是这个。能不能分了？加十的 十怎么拆？二五一十怎么都出现不了八 x， 那 他就这样了，他就是最简的了。来，后面呢，可以再分， 十二是二乘六一十二。好，他还能再分，对不对？他相对 x 乘 x 就是 s 方，十二是二六一十二交叉相乘，再相加六 x 二 x 就是 八 x， 所以他就是 x 加二乘以 x 加六，能明白吗？ s 加二乘以 s 加六。好了，这就是分解形式最后的结果，所以这一定要记住在还原还啊，注意把那未知数还原回来啊，还原 未知数还回来。你不能用 t， 整个这道题我们就搞定了啊，还是有难度的，第一个难度在这，第二难度是还原，第三难度还原要分解到最后来，迅速把它整理下去。评论区听懂的同学回复一个懂字。

在初二四边形这一块有关辅助线的考察，考的最多的就是中微线以及直角三角形，斜边中线斜边一半 啊，也是最难的，像这道题就是一道经典老题，也是经典考题，考了近二十年了， 非常好的题，有关中点的辅食线都在这里边呢，来我们看啊！首先直角三角形 a、 d、 b 啊，这是一个直角三角形，然后这边有个直角三角形 a、 c、 e 两个直角三角形 b， a、 d 和 c， a、 e 相等啊。 b， a、 d 这个角和 c、 a、 e 这个角相等 啊，然后 b、 p 等于 p， c 这个和这个相等，然后求证 p、 d 等于 p， 怎么去正？这里面的 p、 d 和 p e 相等？首先，正线段相等， 首选方法是不是正全等？正两个线段所在三角形全等，但明显这里边 d、 b、 p 和 p、 c、 e 好像不太全等啊，没有条件能说明全能 啊，那么我们就转化成新的图形，以及结合已知条件，有终点。这有一个终点好像也没什么用，但是这有直角三角形。直角三角形里最常考的辅助线就是在斜边上取中点，斜边中线斜边一半。 所以这个题难就难在这了，取终点，在这取终点，然后连上。 注意啊，在这取终点，假设是 m 来，在这取终点连上，假设这是 n 啊，两个直角三角形斜边上取终点， 那我们马上知道斜边中线斜边一半啊！ d， m 是不等于 m， a 对不对？斜边中线斜边一半。来，你这个 e、 n 是不是就等于 a、 n 斜边中线斜边一半， 没有问题吧。好了，那大家研究一下，如果这是角一，那其实这个大小也是角一，这个是角二，那这个大小也是角二，对吧？那当终点的个数终点，终点，终点这么多个终点时，我是不是要想中位线了？ 三角形的中微线平行于第三边，等于第三边一半。连 m p， 连 n p， 我要求的是这段 d p 和 e p 相等，我要正这两段相等啊， d p 和 e p 相等，这两个三角形全等。这个 p m d 三角形 p m d 全等于三角形，谁啊？ e n p 啊？ 只要能正出它俩全等，我们直接就推出这两个线段相等了，对吧？好，现在有什么条件？首先，这个线段，这条边，这个三角形，这条边，它是不是等于斜边？中线等于斜边一半，是不等于 a b 的一半？ 看啊， d m 是等于二分之一 a b 的，谁还等于二分之一 a b 呢？偏 p n 还等于二分之一 b n 点是终点， p 点是终点，这是中位线。平行于第三边，等于第三边一半，明白吗？所以这两个相等 d m p n 来再看啊， d m 等于 p n 一条边了啊，这条边等于这条边。来，我们再看这个，这个 e n 和这个 m p 又相等，为什么？大家知道吗？ m p， 它是等于谁呢？ p 点是终点， m 点终点，这是中微线，平行于 a c 等于 a c 的一半，在 b a c 里边，它等于二分之一 a c， 而谁又等于二分之一 c 呢？刚刚说过了， en， 斜边中线斜边一半，所以是 en。 那这不又导出一条边吗？ m p 就等于 e n 又导出一条边相等。好，现在这两个三角形要全等，已经有两条边相等了，我下面就要正夹角了，正，整个两个大的夹 夹角相等，这个怎么整？两个大的夹角？看好这个大的夹角等于这个大的夹角，如果相等是不边角边，边角边全等这两个大的夹角里边啊。来，大家先看这 其中一部分，这个点，这个角和这个角是相等的，都等于这个角，有没有问题？ 中位线 m p 平行于 a c， 同位角相等，中位线 n p 平行于 a b， 同位角相等，能跟上吗？所以这两个点都等于这角相等了。然后再看这个角是什么？ 这是角一，这是角一，这是不就二倍的角一啊？这是角二，这是角二，这是什么呀？是不是二倍的 角二？能不能理解？角一角二又相等，所以二位角一也等于二位角二，那二位角一加点就等于二位角二加点，所以两个大角就相等了。所以这道题就做完了，听没听懂 啊？咱们在短视频平台都是以讲方法，讲思路啊，讲技巧为主，具体的步骤和过程不像我们平时上课会更加完整啊，重点是听方法，听技巧 啊。好，这就有关中点的辅助线模型，首先斜边，中线斜边一半，然后中位线的考察，非常经典也非常难的一道题，年年考，年年错，懂没懂？各位如果懂了的在评论区回复两个字，懂了啊，点赞收藏分享一下！

讲一道中考真题，在中考题里边，几何要多难的题，有多难的题？平移、旋转、轴对称，这是几何的三大变换， 等线段共端点，辅助线一般用旋转，等线段有距离，辅助线一般用平移，出现二倍角，二倍线段用轴对称。哎，这都是有很多方法和技巧的啊，那像这道题，他考的就是三大变换中的轴对称，对称的方法来解决。那我们一起看一下这道题啊。 如图，三角形 a、 b、 c 告诉我们 b、 a、 c 等于四十五度，有了这样的一个角，这个角是四十五度， 然后告诉我们 b、 d 得三，然后这段得二，然后这又垂直。现在让我们求什么呢？求的是 a、 d 的 值是多少，求这高，对吧？ 好，其实见过半角模型的同学瞬间是有思路的，因为见到这个四十五度，我们是不是应该想，九十度，四十五至九十度的一半，对不对？好了，来，这个题怎么做啊？怎么去求这个 a、 d？ 方法特别多，我讲一个最简单的就是对称翻折， 把这里面的 a、 d、 c 关于 a、 c 翻出去啊，把它翻出来 第一点，翻过来，这是第一来，翻出来这两个角肯定是相等的对称关系啊，你设它是 x， 它肯定也是 x， 对 称出去，这是直角，这是直角，这是二，对不对？好，再翻过来，把这个三角形 b、 a、 d 关于 ab， 把它翻过来啊，把它翻过来， 这是第二来。当你翻出去点等于点，叉等于叉嘛？对称出来 x 对 称了，这 x， 好。 我问大家一个事，中间的一个点加一个叉是四十五，那么整个两个点加两个叉是多少度？ 对称肯定是全等的，点等于点，叉等于叉，所以整个是九十，对不对？好，我再问一个事，这是九十度，这是九十度，这也是九十度，对吧？因为这两个九十翻过来，你想干嘛？ 三个九十你想干嘛？是不是想把它延长出来？延长出来是不还能再出九十啊？ 能不能理解？延长出来这大的就是一个正方形了，对不对？好了，再出九十。 现在我们要求是 x， 整个这大的是一个正方形，知道吧？四个角都是直角，已经是 长方形了，矩形了，再加邻边相等，它就正方形，所以这个是不是也是 x， 这个是不是也是 x？ 能不能跟上 x？ x 这是二，那这是 x 减二来，这是三，对吧？翻折过来这是三，那这是 x 减三来。购物定礼是不就可以了？ 直接在这个直角三角形中勾股定律，是不是求出 x 了，对不对啊？ x 减二，括号的平方加上 x 减三，括号的平方等于斜边五的平方，能不能理解？ 等于斜边五的平方，然后我们求出这 x 值是不就做完了，大家能听懂吗？就关键是这个对称，但是往下做也有难点，因为这是一元二次方程要求根的问题 啊。比如说 x 方减四， x 加四，这是 x 方减六， x 加九，等于二十五，对吧？ x 方 x 方是二， x 方，对不对？减四， x 减六， x 是 减十， x 四九，就是加十三，等于二十五，对吧？ 然后二 x 方减十 x， 这二十五移过来是不减十二等于零啊， 减二十五减十二好了，再除以二 x 方减去一个五， x 减六等于零。来，这个先别着急写。 首先这个是一元二次方程，怎么求根？一元二次方程求根四大方法最常考的十字相乘。这就用十字相乘啊， x 乘以 x， x 方， 这个六一乘以负六，得负六，交叉相乘一相加，正好是负六 x， 负 x 就是 负五 x， 所以它分解完是 x 加一乘以 x 减六，就应该等于零，所以这个一个根是得负一，还有一个根是得正六。能不能理解负一和正六一个负一肯定不能为负一了，舍去了对吧？这个肯定舍去了， 那剩下的答案就正六，所以 x 的 值最后答案等于六，最后等于六。其实在这猜答案这斜边，这不等于五吗？ 三四五的三角形， x 要得六，六减二不得四吗？六减三得三是不三四五的三角形。非常经典。这一道题有四种方法，你可以试试其他方法来所有听懂的评论区回复一个字，懂了。

刷题，题海战术是成为不了学霸的，那样学霸的门槛就太低了，大家刷题就可以了，你要想真正成为学霸，真正解决考试的那压轴题，后面那几道大题是需要方法和技巧的。 来，像这道题，考试年年考，考了二十年了，全校百分之九十五的人都错，其实是有方法的来，你看怎么思考一道难题？角 a 等于四十五度，给了角 b 等于二十二点五度， bc 是 等于六的，整个这得六。然后让我们求这面积， 做题要找突破口，大家告诉我这道题的突破口在哪？见到什么东西应该想什么？首先求面积，应该想什么？ 底已经给我们了，是不是只需求高就行了？所以我的辅助线自然而然来， 那我是不是应该做高啊？然后把这高拿下是不？面积就知道了，所以做一个高下来， a d 只需求这高 a d 就 可以了，对不对？来求这个 a d 底是六求高，那求高怎么求呢？又不会了，看已知。 四十五度是不是一个很特殊的角啊？哎，见到四十五度应该响多少度？见到四十五 响九十，见到四十五度响九十度，因为能出等腰直角三角形，那九十怎么能出现呢？做垂直啊，做垂直才能出九十啊。好，大家看这个怎么做垂直呢？ 你进行尝试啊，很多种方式。这个题是做 c 点，做 c 点去做 a， 过 c 点做 ac 的 垂线，那么这是点 e， 这是点 e， 过点 c， 做 ac 的 垂线，这是点 e。 好， 当你做完垂直，这不也四十五度吗？ 这是不是一个等腰直角三角形？是不是就来了等腰直角三角形更好的是，这二十二点五是不是也是二十二点五？ 外角等于不相邻的两个内角的和，对不对？好了，这又出一个等腰三角形，对不对？这又有一个等腰三角形，好，那下面我们想求的是 a d， 可别忘了 底是六，那这面积相当于等于什么呢？啊？面积是等于六，乘以 a d 再除以二，也就是三 a d， 我 只需求 a d， 那 现在怎么求这个 a d？ 只有这个六可以用，又不会了，不会有。等腰三角形出来了要干嘛呀？ 等腰三角形最常考的辅助线，三线合一，你又不知道，不知道方法，没有技巧是解决不了压轴题的。好，所以三线合一，我要再做一条高线下来， 那么等腰三角形，三线合一，这六的一半，六的一半，这是三，这是三就完了。三线合一好了，那在下面看，这边 我求 a d， 有 人能猜出答案了，这还有个三。垂直模型出来了，垂直，垂直，垂直，斜边相等，那这是六十七点五度， 这是二十二点五度，这是二十二点五度，好了，是不？全等，条件够了，斜边斜边相等角都是有的，这一全等 a d 就 等于这一段。假设这是 fc， 就应该等于三。所以正确答案，三乘三得九，拿下。能不能跟上非常经典和重要的一道题啊！所有听懂的评论区回复两个字，明白，然后点赞、收藏，分享一下。

大家好，我是清华春哥。今天我们讲一道初一下学期方程组与不等式里边的一道考试压轴题，也是综合题，这是刚刚考过的北京的一道考试题，但全国各地都考 此类型的题，为什么百分之九十人都错了呢？就是一不小心就掉坑里了。这专门有一种方法，需要分类讨论以及画树轴的方法来搞定这一类题来， 我们看怎么做。首先关于 x 的 这个不等式组，它恰有三个整数解，这是关于不等式的整数解问题，含参的问题，根据它我们求出 m 的 范围。然后他又说关于 x， y 的 这个方程组也是含有参数 m 的， 它的解是正数，那把解求的量大于零，则 m 的 取之范围是什么？ 那怎么去做呢？这个怎么做？首先看第一个，我们要正常去解它，解它的时候， x 减二小于零， x 就 小于二。来第二个二， x 减 m 移过去，就大于等于 m 减一，然后再往下， x 小 于二，下面是 x 大 于等于二分之 m 减一，所以 x 小 于二等于等于二分之 m 减一，那这个范围我们知道了，但他说只有三，这是二等于等于二分之 m 减一，那这个范围我们知道了，但他说只有三，这是三，这是二，这是一零负一负二。 好，大家想小于二，空心的上来向左，这三个整数解是谁呢？一零负一这三个，那么这个就应该到这三个整数解，所以这个值二分之 m 减一，怎么着？二 分之 m 减一是在负二和负一之间，先判断出来它的大致位置了，然后下一步要验证临界值，做这类题全这么做，什么叫临界值？能不能等于负二，等于负 负一这个事好了，那他能不能等于负二到这来验证？如果他要得负二， x 大 于等于负二，大于等于负二，整数解数包括负二了，负一零一就四个了，所以不能等于 负二，他就是大于负二，那能不能等于负一呢？如果等于负一，这得负一， x 大 于等于负一，正好包括负一，所以可以等于，就差一点都是错的，在这错的人就百分之八十。 下面我们要求 m 的 范围，用到一种方法叫放缩法，在这不等式两边同时去乘以二，这是负二，乘以二，这是负四，然后不等式两边都同时加一，负二加一是负一，负四加一是负三，这 m 的 值就出来了。大于负三小于等于负一，这是我们通过前面这半段得出一个答案，就 这就可以当做考试题了。但是他更难的是，又来了一个说他的解是正数，我们得把它解出来。解他的解的方法带入消元，加减消元都行，我们用加减消元，简单加外减外，对吧？把它俩一相加一和二，一相加二， x 加 x 就是 三 x 加外减外消掉。右侧一相加就是三 m 减 加六，左边相加等于右边相加好了，那 x 就 应该等于除以三 m 加二好， x 有 了，那再求 y 就 行了，对不对？这呢， x 减 y 等于三 m， 就 相当于是 m 加二减 y 等于三 m， 我 们求 y 的 值， 那你这个减 y 移到右边来，就正 y 移过去， m 减三 m 负二 m 再加负二 m 再加好了， x， y 就 都有了。说他俩都是正数，求 m 的 范围，他俩都是正数， 说明这 m 加二大于零，负二 m 加二大于零，这个 m 大 于负二，下面这个求出来 m 怎么着？负二 m 移过来二， m 小 于二， m 小 于一，所以它求出来的范围是 m 大 于负二 小于一。好，这个也有范围，这个也有范围。下一步取公共部分，这块会不会求取公共部分？画一个数轴，你想这是大于负三，假设这是负 小于等于负一，假设这是负一。小于等于实心的上来什么呀？向左大于空心的，而这个是大于负二，小一，那这中间有个负二，这有个一，这是大于的，空心的，上来向右来小于一。好，大家看这里面的公共部分是不是就中间这一块啊？所以最后的答案，中间这一块什么呢？大于负二， 小于等于负一，答案选 a 了对不对？这题拿下非常难，所以全校百分之九十人都错了，听懂的在评论区回复俩字，拿下来点赞收藏分享一下！

不等式组可以说是我们考试的一个重点，尤其不等式组里边有三大压轴题型，其中之一就是含餐的不等式组整数解的问题。这分类讨论，好多同学在考试时候不会，我们看一道考试真题，但是关于 x 的 这个不等式组的所有整数解的和是五， 所有整数解的和是五，那么符合条件的 a 的 取值范围是多少？好，来看这啊，首先只要有解，我们就先求解，把每一个不等式解一下，第一个啊，这四 x， 这是三 x 一 向移过来减三 x 小于等于三，对吧？三乘一得三来第二个，同时乘以二，那就是四 x， 然后减去一个括号， x 减一，然后大于什么呀？注意，二 a 二 a 不 等式两边同时乘以二，这一定要有括号。好了，下一步，四 x 减三， x 是 x 小 于等于三， 这四 x 减 x 就 变成三 x 再加一，然后大于二 a， 啊，大于二 a， 好， 再接着往下， x 小 于等于三，下面这个啊，我们去整理， x 大 于什么呢？ 大于二 a 减一，除以三，注意把加一移过来，二 a 减一，然后再除以三啊，三分之二 a 减一，好，然后那么这个范围我们已经有了啊， x 小 于等于三，大于它， 那人家说了所有整数解的和为五，那整数解可以是什么呀？注意，整数解可以是什么？小于等于三，直行的上来向左，小于等于三。好，我们解完这个不等式组，是 x 小 于等于三，大于他，那下面他说他所有整数解的和为五， 那我们先画竖轴，做这样的题，第一步，画竖轴小于等于三，上来向左， 他说要想怎么着，包括的整数解的和是五，那说三加二是不就是五了？ 三加五，所以你这个值有人很多人想到是不可以在这啊，这相当于是二 a 减一除以三，是他在这的时候，哎，这范围里是不包括二和三， 可以，没问题。这种情况下，确实啊，确实。整数解什么呀？ 整数解是这个二加三是不得五，还有没有别的情况了呢？哎，有人说这一负一也可以抵消，所以这个整数解有没有可能在这，在这的时候是不是里面包括负一零一二三加起来是不是也是五？正一负一消掉？ 所以这道题大家要知道有几种情况，两种情况。好嘞，那两种情况先说第一种，这是第一种啊，然后这是第二种啊。我们先看第一种情况，如果三分之 二 a 减一是在一和二之间的，能不能取等号，他能不能等于一，以及能不能等于二， 他要是等于一或者等于二，行不行？我们在这来验证，让他等于一时， s 大 于一，小于等于三，可以，他要得一的时候可以， 那不就二和三吗？所以呢，等于他能不能等于二呢？如果他得 s 大 于二，大于二，小于等于三，就没有二了，所以不行，所以是这个，然后我们解他是不是就可以了？这是第一个啊， 来，那还有第二个也是一样的道理，我们先把它解出来吧。二 a 减一，小于六，大于三， 二 a 小 于七，大于四， a 小 于二分之七啊，大于二，拿下，大于等于二啊，小于二分之七。好了，这第一种情况来，第二种情况，也就是你这三分之二 a 减一，三分之二减一，在负一和负二之间 大于负二小于负一，好，那下面乘以三二， a 减一 小于负三大于负六啊，然后二 a 小 于负三加一是负二，负六加一是负五，这 a 小 于什么呢？ 同时除以二，这是负一，负的二分之五在这不等式两边同时除以二啊，这个 我们算到现在这个份上了，对吧？负二除以二，负一负五乘以二，它，但是注意，我们刚才没有验证临界值，请问它能不能等于负二，能不能等于负一？还是到这来验证它能不能等于负二？如果它等于负二，就 x 大 于负二 小于等于三大于负二小于等于三，是不是就包个负一零一二三，对吧？可以，所以这可以等号，这可以等，可以等啊，可以，等于好能，能不能等于负一呢？假设这得负一， 注意它要得负一。 x 大 于负一大于负一，就不包括负一了，所以就只剩正一，正二、正三，那就不行了，所以不能等于负一。所以这个题的答案是它或者它 这一题做完了，这是非常难的一道题啊，也是非常新的一道题，非常的好，来，大家迅速把它整理完。一个是 a 大 于等于二 小于二分之七，或者啊，下面是 a 大 于等于负二分之五小于负一，能明白吧？好，来赶紧点赞收藏整理一下。