数学八下函数与方程组

好，再来看一次函数与方程组和不等式的关系，那么这个知识点呢，理解起来是稍微有点难的，不过呢，你一旦理解之后，做很多题目，你可以直接看图，甚至都不需要计算啊。我们先来看这个一次函数和一元一次方程的联系， 那你要知道一次函数呢，它的一般式是 y 等于 k， x 加 b， 如果你知道了它的解析式，那么这个 k 值和 b 值咱们都是知道的啊。你比如说这里给了一个一次函数 y 等于二， x 减一，它对应的 k 值和 b 值分别就是二和负一，对吧？好， 那么他说这个一次函数 y 等于二， x 减一的图像与 x 轴的交点的横坐标是零点五，当自变量 x 的 值为零点五的时候，那么它的函数值是多少？ 你可以直接看图就可以看出这条直线和 x 轴的交点是零点五零，我这里写一下，它这个点的 就是零点五零。那你要知道依次函数上的任何一个点的横纵坐标，横坐标 对应的是 x， 纵坐标对应的是 y， 你 把这个横纵坐标对应 x 和 y 带回解析式当中，那么这个零呢？ 就在这里，零点五呢，就写在乘二的二乘的后面，就零等于二乘上零点五再减一，对吧，这个等式是仍然成立的，任何一个点带回解析式都可以让等式成立， 那么他这里说，当自变量 x 的 值为零点五的时候，函数值是多少，那就是零嘛，对不对啊？你把这个带进去算嘛， x 等于零点五， x 等于零点五的时候， 这个 y 就 等于二，乘上零点五减一，它就等于一减一等于零，它的函数值对应的就是零， 那么由此可以得出一元一次方程二，这个二 x 减一等于零的解吗？是可以的，那你看这个二 x 减一等于零的时候， 和这个前面部分，这个后面部分和这个前面部分是不是一样的，对吧？好，只不过一个是 y， 一个是零，而我们前面可以得到，当自变量 x 等于零点五的时候，它的 y 值就这个函数值，它就是零的。 那当这个 y 值等于零了之后，那和这个式子有什么区别吗？它没有什么区别，计算上是一样的，对不对？所以我们就可以得到啊，当这个 y 等于零的时候， 这个式子它就会变成了这个 y 等于二， x 减一，就会变成零。等于二， x 减一，你再反过来写，就变成了二 x 减一等于零和这个一元一次方程， 它的形式上是不是一样的？那么计算上也是一样的，你把这个一移过去，二 x 等于一，那么 x 就 等于一，除以二，它就等于零点五，发现了吗？哎，你看 这个一次函数，当你的 y 值知道了是几之后，你就可以直接把它当做一元一次方程来做，对不对？好，所以我们可以直接通过图上的点去观察 这个点的坐标，它的重坐标是零，那么也就说当 y 等于零的时候，它的横坐标就是多少啊，它的横坐标 x 就是 零点五，那么如果说他给出来了一个方程，他告诉你 这个二 x 减一，它就等于零，叫你求 x 等于几，你不需要算，你可以直接看与 x 轴的交点，那就是零点五，就这个意思，看到了吗？啊？你看这个横坐标， 依次函数 y 等于二， x 减一的图像，与 x 轴的交点的横坐标为零点五，它的重坐标是零，那因为这个点的坐标就是零点五，零嘛，对不对？ 这表明自变量 x 的 值为零点五的时候，函数值为 y， 由此我们可以得出，一元一次方程二 x 减一等于零的解，就是 x 等于零点五。 那么任何，因为任何一个以 x 为未知数的一元一次方程，都是可以变形成 a， x 加 b 等于零， a 不 等于零的形式。所以解一元一次方程的时候，从函数值去考虑的话，就相当于什么呢？就相当于某一个函数值 y 等于 a， x 加 b 的函数值为零的时候，求这个自变量 x 的 值，从函数图像的角度去思考的话，相当于已知直线 y 等于 x 加 b， 求它与 x 轴交点的横坐标。 啊，就是这个意思。那么这一段话呢？它解释起来的话啊，还是比较长的，那我这里给你转换成这个计算语言，就是说函数图像上的点可以作为这个 y 等于依次函数这种形式方程的动态解啊，我这里写一下啊， 依次函数图像上的点可以作为依次函数解析式，作为方程的动态解。什么意思呢？我把这个放大一点，你看这条图像上这条直线，这个图像上它肯定不止一个点吧，对不对？好，那么它除了这个 零点五零以外，他还有哪些点呢？他还有这个点，假如说这个点的坐标，我把它标出来，零负一，对不对？这里也有点，这个点的坐标呢，就是二分之一，那这个点对应的就是四分之一，也就零点二五， 负零点五，这个点对应呢啊，然后呢，往前走，如果他的横坐标对应的是一的话，那么这个点的坐标他是一一 啊，你可以自己算的，你把 x 等于一带进去，二乘一再减一等于一，所以它会经过这三个点，我就拿这三个点来举例，好吧，好，这里是我把它反过来写，把它变成二。 x 减一等于 y， 对 吧？当这个 y 等于 y 等于负一的时候啊，也就是当 y 等于负一的时候，那么这个二 x 减一等于负一的减，它的这个 x 就 等于零，它的减就是零啊。然后呢，当这个 y 等于负零点五的时候， 当 y 等于负零点五的时候，那么这个二 x 减一等于负零点五，那么它的横坐标 x 啊，也就它的减 x 就 等于二点五，你不需要算的，你只要确定点没错，你就可以直接出结果啊。然后再看， 当这个 y 等于一的时候，这个函数就会变成二。 x 减一等于一，那么这个 x 就 直接等于一，你不需要算了啊，当然你说这么简单，我自己口算就看得算出来了，但是如果这个式子这个解析式它特别复杂呢， 对不对？那么有有些题目条件，他会直接告诉你经过某个点，那么你就不需要算了呀，对吧？你就可以直接通过这种方法求出当前 y 等于特定值的时候， x 等于几。 所以依次函数解析式当中，你知道 y 值的时候，你就可以直接把它当做一元一次方程去算就可以了，知道吗？就这就是这个这个知识点的意思啊，这个就是一次函数和一元一次方程的关系。 好，再来研究一次函数与一元一次不等式的关系。先看这个思考，如图，这个图呢，就是上面这个图，我把上面这个图呢挪下来了，画在这里啊。 利用一次函数 y 等于二 x 减一的这个图像，你能得到函数值大于零时， x 的 取值范围吗？函数值小于零的时候， 他的 x 取值范围又是多少？那么由此你能分别得出一次函数不等式这个二 x 减一大于零和二 x 减一小于零的解吗？那么就不等式的计算而言，我们这两个都是可以直接算出来的，你我可以算给你看啊， 你把这个移过去，减一移过去，那就变成了二 x 大 于一，那么 x 就 大于一，除以二，一除以二就等于零点五，对不对？然后这里呢，就小于二， x 小 于一， x 就 小于零点五， 你是可以直接算出来的，那为什么它还要结合一次函数呢？因为我们可以直接通过一次函数的图像看出它的取值范围，不需要算，知道吗？你说，哎，我可以算啊，那万一它这里是 k x 加 b 呢？它如何大于零呢？ 你能算吗？你肯定算不了啊，对不对？这里是因为你知道这个 k 值和 b 值具体是多少你才能算，如果你不知道，你就算不了，那我们以后很多的情况他都是不知道的，那你只能看图像，知道吗？他就是逼着你去看图像，所以你必须要学会看图像，来看 我们如何去判。这个函数值大于零的时候， x 的 取值范围是什么？函数值大于零，这个函数值对应的是不是就是 y 的 值？你要知道函数值对应的就是 y 值， 而 y 值对应的是什么？ y 值它对应的又是重坐标一个点的重坐标的值， 而函数值要大于零，那么也就是说重坐标要大于零，而重坐标大于零的点在哪里呢？重坐标大于零的点全在 x 轴上方，我们就可以知道在 x 轴上方， 你来看一下这个图像当中，这个图像当中重坐标大于零的是不是就在 x 轴上方的这个图像上方？这个图像上的所有点的重坐标 是不是都大于零，对不对？这个点的重坐标，那对应正数，这个点的重坐标对应正数，这个点的重坐标对应正数，它在 x 轴上方这条直线上的所有的点， 它的重坐标都大于零，也就意味着什么呢？也就意味着它的这个 y 值是大于零的，也就意味着它的函数值大于零， 那所以我们就可以知道在 x 轴上方的点，它重坐标大于零，对吧？那么也就是函数 y 值大于零，也就意味着它函数值大于零。那么你看一下这个直线在 x 轴上方的时候，你看看到没有， 它这个上面的图像，所有的点的横坐标对应什么范围？那我放大一点 这个图像，它的横坐标它这里有很多个点，你看一下我这多画几个点，它的横坐标对应的是在这里对应在这里对应，在这里对应，在这里，它的横坐标的所有的值是不是都会大于这个焦点？也就是大于零点五， 和我们刚才算出来的这个大于零点五是不是一样的？看到了吗？那么也就是说不等式的计算，我们可以直接通过函数图像去看出来啊。所以你看他说当这个图像上的点的横坐标 重坐标大于零的时候，这个点是在 x 轴上方的，跟我这里讲的是一样的，并且它的横坐标大于零点五，在 x 轴上方这条直线上所有点的横坐标，它对应下去 都是在零点五的右边，那么也就是说大于零点五吧，也就是说函数值大于零的时候， x 的 取之范围是 x 大 于零点五，那么你就可以直接通过函数图像求出了不等式的解， 就这个意思，明白了吗？你再看当函数图像上点的纵坐标小于零的时候，那在哪里啊？ 重坐标小于零，那么在 x 轴上方的重坐标都是大于零的，在 x 轴下方这个图像上所有的点的重坐标都是对应负数的，也就对应小于零， 所以它是在这个点是在 x 轴下方的，那么它的横坐标小于零点五，为什么呢？你看这个上面所有的点，我们描出几个点来， 它这些点对应的横坐标是不是都在这个零点五的左边？在零点五左边是不是小于零点五？所以这个函数值小于零的时候， x 的 曲子范围就怎么样， 就是小于零点五的。由此我们可以得出，不等式的这个二 x 减一大于零的解集是 x 大 于零点五，二 x 减一小于零的解集是 x 小 于零点五，这个我们都是可以直接通过图像判断出来的， 知道吧？那么以后我们怎么去判断呢？你看一下我这里呢，换一个普通一点的图啊， 那实际上它可以，它不仅仅只是算 x 大 于零的，它还可以算 x 大 于一大于二大于三的，知道吧？你只需要知道它的什么，你只需要知道它对应的重横坐标是多少就可以了。比如说我这里它这个焦点， 假如说这个焦点对应的是 m， 这条直线是 y 等于 k x 加 b， 那 么我就可以通过这个图像得到 k x 加 b 啊。这个 k x 加 b 如果是大于零的话，那么它就在 x 轴的上方取点，而这些点的横坐标都是在 m 的 右边的，所以我们就可以得到这个 x 是 大于 m 的。 然后呢，如果你要让这个 k x 加 b 小 于零的话，你要让这个 k x 加 b 小 于零的话， 那么这个小于零，也就是 y 小 于零，明白吗？你看这个 k x 加 b 是 等于 y 的， 那么 k x 加 b 大 于零就是 y 大 于零， y 大 于零就是重坐标大于零，这个点的重坐标大于零，那就在 x 的 上方， 这是一连串起来的啊，要连串起来。然后呢，这个 k x 加 b 小 于零， k x 加 b 是 等于 y 的， 所以意味着就是 y 小 于零， y 小 于零就是它的重坐标小于零，而点的重坐标小于零，必须在 x 轴的下方，而下方这些图像上的所有点的 横坐标对应下来都是比 m 小 的，它对应的就是 x 小 于 m， 这就它的解 明白了吗？我们很多时候他算题目的时候，他不会很准确的告诉你这个 k b 值是多少呢？他甚至会隐藏起来，知道吧？所以你一定要会看图。那当然了，你刚我刚刚说它不仅仅只限于大于零和小于零，那如果说具是具体的一个数字呢？我这里再举个例子， 我这里再举一个例子，我画一个反方向的，好吧？我画一个反方向的，比如说这个图像长这样啊？我这里不告诉你与 x 轴的交点，我告诉你的是它这里有一个点， 它这里有个点，它的这个这个点的坐标明确告诉你，就是多少呢？就是 负二五，好吧？这个点的坐标就是负二五，这条直线还是 y 等于 k x 加 b， 那 这个时候它不比较，它不跟零做比较，它不跟零做比较，因为我这里根本就没有画出 y 值来，对不对？好，我这里也没有画出 y 的 这个 y 轴来 好。跟零做比较的话，其实就是看是在 x 轴上方还是在 x 轴下方，因为在 x 轴上的点，它的纵坐标都是零。那么现在我要比较的是这个 k x 加 b 大 于五和 k x 加 b 小 于五的时候，它的解是多少？ 那 kb 值都没告诉你了，对不对？好，那么这个时候它大于五，这个点，它的重坐标就是五，那要比五还要大，它的重坐标比五还要大，那在哪里？就是在这个点的上方， 那什么上方？你这里做一条水平线，在这条水平线的上方，那是不是这一段，而这一段上面所有点的什么 横坐标对应下来，那他这个这个点对应下来的坐标就是负二，而上面这一段所有点的横坐标对应下来都是比负二小的，所以我们这里可以推出这个 x 小 于负二， 当这个 k x 加 b 大 于五的时候，这个 x 小 于负二，因为在图像上看到的是在这个点的上方，这里所有的图像的横坐标对应下来都比这个负二要小， 明白了吗？那这个 k x 加 b 要小于五的话，那小于五，这个是五，对不对？比五还要小，就在这个水平线的下面，而下面的图像上所有的点， 它的横坐标对应的怎么样都比这个负二还要大，所以它对应的就是 x 大 于负二。 好了，那么这个呢，就是给大家拓展出来的内容，不要只盯着和 x 轴的比较啊，就是和零的比较，因为它不仅仅只考零，它还可能考其他的数字，你要灵活变通，你再来看下下它下面这段话，他说 对于可以化成 ax 加 b 大 于零或 ax 加 b 小 于零的一元一次不等式，在求它的解集的时候，从函数只考虑，当 相当于在某个一次函数 y 等于 a， x 加 b 的 值大于零或小于零的时候，求自变量 x 的 取的范围，从函数的图像考虑，那么相当于已知直线 y 等于 a， x 加 b 啊，相当于就是这条直线。确定这条直线上的点的横坐标大于零或小于零的时候， 他的重坐标大于零或小于零的时候，他的横坐标的取值范围他的重坐标大于零，那就在 x 轴的上方，在这个 x 轴的上方，小于零的时候就在 x 轴的下方，对吧？重坐标大于零嘛，那就说明在对应的是 y 轴的正半轴， 对吧？小于零的时候，对应的就是 y 轴的负半轴，就这个意思，那么再看他的横坐标的取值范围就 ok 了，那这个就是呢，依次函数和一元一次不等式的关系， 最后再来研究一次函数与二元一次方程和二元一次方程组的关系。先看二元一次方程， 这里给我们举了一个具体的例子，还是刚才那个 y 等于二， x 减一这个函数，它说方程二 x 减 y 等于一，是可以转换为 y 等于二， x 减一的， 怎么转换呢？就是移项嘛，把这个减 y 移过来，一移到右左边去，它就变成了二 x 减一等于 y， 然后左右交换位置，就可以写成函数形式啊。这里呢，他也说了，这种形式是可以对应依次函数 y 等于二， x 减一的，对不对？ 这个方程和这个方程它是有相同的解的，所以这就是为什么二元一次方程可以转换成一次函数的形式，而一次函数的计算也可以看作是二元一次方程的计算，明白吗？好，那么由于一次函数 y 等于二， x 减一，它的图像 是一条直线，这条直线上的每一个点的坐标 x， y 都是这个方程的解啊。以这个方程的解的 x， y 的 值作为一个坐标的点的话，那么这个点都一定会在这条直线上，都会在这个 依次函数的图像上。那你拿这个来看，刚才那个是二 x 减 y 是 等于一的，对不对？好，我们把它转换成 y 等于二， x 减一，那么你从图像上至少可以看出有两个点， 这个点它坐标是零点五零，这个点坐标是零负一，那么这个东西它就可以看出有两个减，一个减是 x 等于零点五， y 等于零。然后另外一个解就是 x 等于零， y 等于负一，看到没有这个点，这个直线上任意一个点的横中坐标都可以当做这个方程的解，因为这个是二元一次方程，所以它是有无数个解的， 那么也就对应了这条直线上有无数个点都可以作为他的解，就这个意思，所以以后你再看到这种二元一次方程，你就可以把它转换成一次函数，对吧？或者通过一次函数的图像去求二元一次方程的解，对不对？好， 继续来看，由于每个函数 x 和 y 的 二元一次方程都可以转换成依次函数的形式，所以每一个这样的方程都对应一个依次函数，于是也对应一条直线。而这条直线上的每一个点的坐标 x、 y， 它的值都可以作为这个方程的解，以这个方程的解， x、 y 的 值为坐标的点也都在这条直线上，所以它们是相互的， 知道吧？好，这里再来思考，他对于二元一次方程组的话，你能从函数的角度去解这个 方程组进行解释吗？啊？对这个解这个方程组进行解释吗？你看这里给了两个二元一次方程，他把它放在一起就是二元一次方程组，对不对？而前面这个我们是可以直接通过书的这个图看出结果的， 而这个呢？啊，他这里也画了，看到没有？他这里直接给我们画出来了，他把下面这个方程也转换成了一次函数的形式，我们转一下，好吧。啊，你先把这个三 x 移到右边去，变成五 y 等于负三 x 加八， 一开始呢是八减三 x， 对 吧？两边同时除以五 y 等于五分之八，减去五分之三 x， 再交换位置等于负的五分之三 x 加上五分之八，你看就转换成了一次函数的形式吧。 这个图呢啊，我们自己做题的话，肯定要自己画，但是书上已经给我们画好了，我们就不用画了，对不对？他把这两个函数的图像画在一起了，看到没有？这两个函数图像它有焦点，这个焦点就是这个 p 点， p 点的横中坐标都是一，那什么意思啊？ 你看这个方程的解，在这条直线上，这条直线上的任意一个点都是这个方程的解，而这个方程的解 在这条直线上，这个直线上的任意一点都可以作为这个方程的解。那么那哪个点可以同时满足这两个方程呢？哎，那就找他们的焦点，对不对？这个焦点就是他们的公共点。什么叫公共点？ 既在 y 等于二， x 减一这个函数图像上，也在 y 等于五分之三， x 加五分之八这个函数图像上，它满足它同时在这两条直线上，对不对？那就可以满足这个方程， 这个焦点既是这个方程的解，又是这个方程的解。好了，那么这个 p 点的很重要，就是这两个方程共同的解，那既然是它的共同解，那就这个方程组的解，就这个意思。所以你要解二元一次方程组， 那么你就把这两个画成图像，找他们的焦点就可以了，知道吗？所以呢， 这两条直线的焦点坐标为一，一，由此可以得到，这个方程组的解就是 x 等于 y 等于一，这个就是一次函数和二元一次方程组的关系。 这里书上也做了总结，它是一般的由含有未知数 x 和 y 的 两个二元一次方程组组成的，每个二元一次方程组都对应两个一次函数呐， 方程组里面有两个方程，这两个方程对应两个一次函数，把它图像画出来对不对？好， 于是也对应两条直线，从数的角度来看，解这个样的一个方程组相当于求自变量，也就是 x 为和值的时候对应的两个函数值，函数的值啊，这个自变量对应的就是 x 这个函数的值，两个函数的值就是 y， 就是 说什么时候 x 相等，而 y 也相等，那不就是它们的解吗？对不对？ 以及这个函数值是和值，从形的角度来看，就是从图形的角度来看，解这样的一个方程组，相当于确定两条直线焦点的坐标是多少，哎，就可以了。 再来看书上的立体，同时释放两个探测气球，一号气球从距离地面五米的高处出发，以每秒一米的速度上升。二号气球从距离地面十五米的高处出发， 以每秒零点五米的速度上升。两个气球都上升了一分钟。第一问，叫我们求出 这个两个气球所在位置高度 y， 关于上升时间 x 的 函数解析式，那这个还是比较好写的，对不对啊？那么这里的话呢，先看第一号气球， 它距离地面一开始是五米，然后一米每秒的速度上升，那么一开始就是五米，一米每秒，那就是一乘 x， 因为它的时间是 x， 单位是秒，对不对？所以是一 x 就是 x， 所以 它就可以写成 y， 一 等于 x 加五， 而这个 x 的 曲值范围呢，是小于等于六，是大于等于零的，因为它只说了上升一分钟，对吧？好。第二个 y 二， 他是从距离地面十五米的高处出发的，所以一开始就有十五米的高度，然后每秒上升零点五米，那就零点五 x， 所以 这个 y 二就等于零点五 x 加上十五，然后他的曲子范围 也是零到六十秒之间，对吧？第一位就搞定了。那第二个，他说两个气球在某一个时刻 是能否位于同一个高度？如果能，这两个气球上升了多长时间，位于什么样的高度？那这个东西呢？你就可以把它列成一个方程组了，因为因为你看对应的 y 等于 x 加五和 y 等于零点五， x 加十五，对不对？好， 那什么意思呢？他既然说了位于同一个高度，那么对应的就是什么意思啊？对应就是 y 相等，他的高度就是 y 嘛，对不对？他说了高度用字母 y 表示，那同一高度，那不就是 y 相等吗？那 y 相等的时候 对不对？他说这个时上在同一时间，注意某一个时刻，在某一时刻，也就是说 x 相等时间，他不会。因为什么这个两个物体不同的情况下，他就不一样嘛，对不对？因为他这里说的是 同时释放，所以他的时间经过是一样的啊，所以 x 相等， 他既然是同时释放，那就不可能说，哎，他飞了五秒，而他只飞了三秒，不可能吧？时间都是一样的，对不对？你不可能，你的时间比别人过得快， 对吧？大家过的时间都是一样的啊，你过了一天，他也过了一天，就这个意思。所以在某一个时刻能否位于同一高度？但位于同一高度就是 y 相等，在某个时刻就是 x 相等，那那么过的时间是一样的，它同时啊， 是不是所以 x 相等， y 相等嘛？那不就是把这两个一次函数列在一起，当做 二元一次方程组去算吗？对不对？好，那么怎么去算呢？你看 y 相等，那既然这两个式子的 y 是 相等的，你就可以直接把这个 y 替换掉，把下面这个 y 替换成 x 加五，对吧？好， 你就直接把将 y 等于 x 加五带入到二十当中，这一十，这是二十，那就是 x 加五等于零点五， x 加上十五，一项， x 减零点五， x 等于十五减五， 那么零点五 x 就 等于十， x 就 等于零十除以零点五十除以零点五， x 就 等于二十，那么 y 是 等于二十加上五的，所以 y 就 等于二十五，这里算出来就是 x 等于二十， y 等于二十五，也就是说当时间 过了几秒啊，二十秒的时候 啊，两个气球位于同一高度，两个气球位于同一高度， 并且高度为 二十五米， 这就是第二本啊，当然了，书上呢，它也有完整的答案啊，并且呢，书上还把图画出来了，大家可以看一下它这个图可能会更好理解一点，我这里就是把它计算过程写得详细了一点，大家可以看一下， 好，你看对吧？在某一个时刻，两个气球在某时刻位于同一高度，就对应 x 的 某一个值， 这两个函数有相同的 y 值，那就可以列一个方程组了，他把图像画出来，一个从五米开始 放，一个是十五米开始放，对吧？他们的焦点呢，就这个 p 点，这个 p 点的横中坐标呢，就是二十和二十五，对应的就是 x 和 y， 值对应的就是二十和二十五，明白了吗？啊，所以你想要求这两个啊， 依次函数具有相同解的时候，其实就是求这两，就是看这两个依次函数的图像焦点在哪里就 ok 了。 好，再看。练习第一个画出依次函数 y 等于负二 x 加八的图像，利用这个图像去解方程和不等式 啊，我们先把它的图像画出来，我们一般画的呢，都是与 x 轴和 y 轴的交点，我们先画与 x 轴，那么如果你要求与 x 轴的交点，那么你就让 y 等于零， 因为与 x 轴上的与 x 轴的交点，它的重坐标都是零，当 y 等于零的时候，那么零就等于负二 x 加上八，那么二 x 就 等于八， x 就 等于四，所以它会过四零这个点。然后你要求与 y 轴的交点， 那你就让 x 等于零，因为在 y 轴上的点横坐标都等于零，那么你就当 x 等于零的时候， 那么 y 就 等于负二乘零再加八，那么 y 就 等于八，所以它就会 y 就 等于八，所以它就会过零八。这个点的话，画图一个是四零，一个是零八，这是 x 轴， 这个是 y 轴，那我这里就不画的那么细了，我们就画个大概。好吧，假如是这个就是四，这个就是八。好，我把这两个点一连， 这个点的坐标呢是零八，这个点的坐标是四零。 好，你要通过图像去看它的解，负二 x 加上八等于零，对不对？那对应的是不是就是它的 y 等于零呢？负二 x 加八等于零，那对应的 对应负二 x 加八啊，不对，是 y 等于负二 x 加八中 y 等于零的时候， 你把 y 换成了零，那不就是这个四字了吗？对不对？好，那么它对应的就是 x 是 等于四的，因为当 y 等于零的时候，它的横坐标是四，所以 x 等于四，这是由图可知啊。 由图可知好，然后呢？求这个。那么负二 x 加八大于零，那也就是对应的就是函数图像的重坐标大于零，对应的就是 y 大 于对应 y 等于负二， x 加八当中， y 大 于零的时候， 这个图像上的点的重坐标大于零，那不就在 x 轴的上方吗？在 x 轴上方，它这个上方的图像上的点横坐标对应的是不是都比四小啊？所以我们这里对应的就是 x 小 于四 啊， x 小 于四，然后再看负二 x 加八小于零的时候， 它对应的呢，就是 y 等于负二， x 加八当中的 y 小 于零的时候， y 小 于零，就是这个图像上点的重坐标小于零。重坐标小于零，说明在 x 轴的下方，因为下方的 图像上点对应的就是 y 轴上的负数，对吧？就是小于零的时候，那么对应横坐标呢？对应横坐标的话，就在这个四的右边，看到没有，所以 x 就 大于四就可以了。当然了，你说老师 我这个都能直接算出来，我为什么搞得这么麻烦啊？因为后面的题目它可能不会告诉你它的 k 值和 b 值是多少，知道吧？ 第二题，依次函数 y 等于二， x 减三与 y 等于 a， x 加二的图像，它的焦点坐标为二一，请确定方程组它的解和 x 的 值， 那么这两个函数它的焦点坐标是二一的话，那么你把这两个函数的解析式连立成一个方程组啊，那么这个二和一对应的就是 x 和 y 的 解，知道吧？我们用文字表示一下， 因为 y 等于二， x 减三与 y 等于 a， x 加二的焦点 为二一啊，焦点为二一，说明这个点既在前面这个函数解析式上，又在后面这个函数解析式上，对不对？函数图像上啊，所以把它们两个列成方程组，这个就是它的结。所以 y 等于二， x 减三和 y 等于 a， x 加二，它们的解就是， x 等于一， x 等于二， y 等于一。用文字描述一下，所以方程组 这个方程组的解 为， y 等于二， x 等于二， y 等于一，就这个意思。那么既然这个解是 x 等于二， y 等于一，那么也就是说，把这个解带进去算，就可以算出 a 值，对不对？满足这两个式子，所以将 x 等于二， y 等于一， 带入二十当中， 那么 y 换成一就是一， x 换成二就是二， a 加上二，一减二等于二， a 负一等于二， a 二， a 等于负一， a 就 等于负一，除以二等于负二分之一，所以 a 就 等于负二分之一，这个也算出来了。 好，再看第三题。刘伟一家计划星期日租用新能源汽车自驾出游， 在假公司租车，那需要收取固定租金八十元，在此基础之上，再按每小时十四元去计费。如果你在乙公司租车的话，就不需要这个固定租金，只需要直接按每小时三十元收费就可以了。 那么当他将租车为多长时间的时候，租用假乙的这个算法，函数解析式表示出来。好吧， 好，首先是假公司，那假公司呢？他上来就要八十块钱，对不对？然后慢按每小时十四元去收费，那么加十四 x， 好， 这里我们写一下，设设一下啊，不能无中生有，设租用时间 为 x 小 时，租用费用， 租用总费用嘛，啊， 为 y 元，这样去表示就可以了。好，那么这个假的这个解析式就可以写成十四 x 加上八十，对吧？那么乙呢？ 它就是按什么？它就是按三十块钱一个小时算的，那么你经过了 x 小 时，那就是三十 x， 对 不对？就三十 x， 那 你 在什么时候，经过多长时间，他们的费用相同，那也就是说甲和乙相等吧，对不对？那你把它列成一个方程组求解就可以了。 y 等于十四 x 加八十，另外一个就是 y 等于三十 x， 对 不对？好，我把它算一下，因为这个 y 值是相等的，费用相同， 那么左边的 y 相等，那右边是不是也相等呢？当然你直接把这个 y 等于十四 x 加八十带入下面这个式子也是一个意思，对不对？好， 那么 y 相等的话，那么这个右边就相等，十四 x 加上八十等于三十 x 到一项十四 x 减三十， x 等于负八十，那么就等于负十六， x 等于负八十 x 就 等于负八十，除以负十六， 然后算出来 x 就 等于五，对吧？所以经过五小时之后啊，如果他租用的时间为五小时，那么你选择假公司和乙公司都是一样的，对吧？所以我们就答 这里也没有叫我们求出这个 y 值啊，你想要求出这个 y 的 费用也很简单，你拿三十乘上五就可以了， y 就 等于一百五十六，对不对？你如果要用这个式子去算的话，那就是 y 等于十四乘上五加八十，十四乘五等于七十，七十加八十也是等于一百五的，当然了，这里不需要我们求 y 值，知道吧？答，租车时间 为五小时的时候， 五小时租用甲乙两个公司 汽车费用相同。

同学们大家好，我是来自福建省宁德市福安市德艺学校的吴思易老师。本节课我们一起来学习一下一次函数与二元一次方程组。先来看一下学习目标， 一、认识一次函数与二元一次方程组之间的联系。二、会根据函数图像求解二元一次方程组。 三、综合运用一次函数与二元一次方程组的关系解决实际问题。那我们现在来看一下下面这幅图，这幅图同学们你们看到的是鸭子还是兔子呢？ 第二幅图你看到的是三根木棒还是四根木棒呢？这两幅图我们从不同的角度来看，就会得到不同的结果，因此在生活中我们应该学会从不同的角度看待问题， 在数学的学习中也是如此。接下来我们将主要从数和形两个角度出发来分析和解决本节课的内容。我们先来看下第一个，我们所要解决的是一次函数与二元一次方程的关系。 来看看从数的角度出发，先来看下第一个问题，将方程二 x 减 y 等于负二转换成一次函数的形式，那么这个方程可以将它转换成 y 等于二 x 加二。 再来看下第二个问题，任意的二元一次方程都能转换成一次函数的形式吗？ 二元一次方程和一次函数能够互相转换，所以每个含有 x 和 y 的 二元一次方程都对应了一个一次函数，反过来也可以说每一个一次函数都对应了一个二元一次方程。 那从数的角度上我们分析完了，现在我们从形的角度来看看。 先来看一下下面这个问题，你能先写出二 x 减 y 等于负二的几组解吗？同学们可以试着写出三到四组解，那么老师这里给大家写了四组解， 在上面我们已经将二 x 减 y 等于负二转换成了一次函数 y 等于二加二的形式， 那么这里方程的解能否看作是这个函数图像上的点的坐标呢？现在我们就带着这个问题一起往下来探求一下。 既然要解决这个问题，应该先画出 y 等于二加二的图像，能得到它是这样子的一条直线。 那对于刚才我们所求解的二 x 减 y 等于负二的几组解，先来看一下第一个解， x 等于零， y 等于二，同学们能否在函数图像上找到这个点呢？他可以找到是零逗号二这个点。 再来看一下第二组解， x 等于一， y 等于四，同样的也能在图像上找到一逗号四这个点， 那么负一逗号零，负二逗号负二都可以在函数图像上找到它们， 也就是说从函数图像上我们就能找到方程的解，所以我们可以说二元一次方程的解就是对应函数图像上点的坐标。 那么现在我们一起来总结一下一次函数与二元一次方程的关系。先来看一下第一个从数的角度来看，每个含有 x 和 y 的 二元一次方程都对应一个一次函数。 第二个，从形的角度来看，二元一次方程的点的坐标。 那一次函数与二元一次方程的关系我们分析完了，现在我们来看一下一次函数与二元一次方程组的关系。先来看一下下面这道问题。 一号探测气球从海拔五米处出发，以一米每方的速度上升。与此同时，二号探测气球从海拔十五米处出发，以零点五米每方的速度上升。两个气球都上升了一小时， 现在来看一下第一小题，请用解析式分别表示两个气球所在位置的海拔外与气球上升时间的函数关系。 那根据提议，我们可以得出，气球一的海拔高度是 y 等于 x 加五，也就是以海拔高度五米的基础上，以一米每方的速度上升了 x 分 钟。 同理，气球二的海拔高度也可以写出来是 y 等于零点五， x 加十五的。 那么这两个函数的自变量的取值范围都是一样的。因为两个气球都上升了一小时，所以自变量的取值范围 x 大 于等于零，小于等于六十。 那么我们现在接着往下看一下第二小题，在某个时刻，两个气球能否位于同一高度？ 如果能，这时气球上升了多长时间，高度是多少？请从数和形两方面分别加以研究。那题目中这里的同一高度说明什么呢？ 我们想一想，同一高度其实是说这两个函数中的外值是相等的。因此，从数的角度来看， 也就是求次变量为和值时，两个一次函数 y 等于 x 加五， y 等于零点五， x 加十五的函数值相等，并求出函数值。因此可以连立方程组 解的 x 等于二十， y 等于二十五。所以当上升二十分钟时，两个气球都位于二十五米的海拔高度。 那么我们现在接着往下看一下。从形的角度来看，二元一次方程组与一次函数的图像有什么关系呢？ 既然要研究函数图像，应该在平面直角坐标系中画出这两条函数图像， 由函数图像能发现它们有个焦点，读出这个焦点坐标是二十，逗号二十五的，所以当上升二十分钟时，两个气球都位于海拔二十五米的高度。 那么在前面我们已经将这个二元次方程组求解出来了，它的解是 x 等于二十， y 等于二十五。那你能发现焦点坐标和方程组的解其实是一样的， 所以从函数图像上我们就能找到方程组的解了，所以可以说二元一次方程组的解就是相应的两个一次函数图像的焦点坐标。 那么现在我们一起来总结一下一次函数与二元一次方程组之间的关系。先来看下第一个，从数的角度来看，方程组的解就是求次变量为和值时， 相应的两个函数值相等，即函数值为和值。而从形的角度来看，方程组的解就是对应的两个一次函数图像的焦点坐标。 那么一次函数与二元一次方程组之间的关系我们分析完了，现在来看看下面这两道题是怎么做的。 先来看下第一小题，如图，依次函数 y 等于 a， x 加 b 与 y 等于 m 加 x 加 n 的 图像交于点 p， 则方程组的解是。 那么从图中我们可以看出这个点 p 它的焦点坐标是零点六，逗号零点二的。前面我们已经总结过了，方程组的解其实就是函数图像的焦点坐标， 所以这一题方程组的解应该是， x 等于零点六， y 等于零点二。那现在一起再来看一下第二道题。 方程组的解为 x 等于二， y 等于三，则依次函数 y 等于负， x 加五与 y 等于二， x 减一的焦点坐标是多少？ 那这个方程组和这两个一次函数有什么关系呢？我们先从方程组来看一下， x 加五， y 等于五，可以把它转换成 y 等于负， x 加五。 而第二个方程二， x 减 y 等于一，可以将它转换成 y 等于二， x 减一。 也就是方程组的解就是这个函数图像的焦点坐标，因为方程组其实是和一次函数是一样的，那么这里焦点坐标可以写为二，逗号三。 那前面我们从函数图像上就能得到方程组的解是多少了，所以接下来你能否用图像法来求解这道方程组呢？ 我们一起来看一下吧。既然用图像法解方程组，首先应该将方程组转换成一次函数的形式，所以由方程组可以得到这两个函数的表达式， 那么此时就能在平面直角坐标系中画出这两个函数图像了。可以得到这两个函数图像有一个交点， 焦点坐标是二十，逗号二十五，所以也就是方程组的解就是 x 等于二十， y 等于二十五。 那么我们能否根据这道题一起来总结一下，如何用图像法求解二元一次方程组的呢？我们先来看一下，第一步，由方程组可以得到一次函数，所以可以总结为变函数。 第二步是在平面直角坐标系中画出这个函数图像，所以可以总结为画图像。 第三步，也就是根据图像能找到焦点，所以第三步可以总结为找焦点。 那第四步根据找焦点可以写下方程组的解是多少，所以第四步可以总结为写结论。 那一起再来看一下用图像法求二元一次方程组的解的一般步骤有这四个步骤， 那需要注意的是，用图像法求二元一次方程组的解的时候，要求作图精确，且有时只能得到近四解。 那既然总结了如何用图像法求解二元一次方程组的？接下来我们来看一下下面这道便是一。 首先第一步应该是变函数，第二步画图像， 那第三步找焦点，根据函数图下来看的话，这两条直线平行，所以方程组无解。那接着往下来看一下，下面这道便是二， 同样的也是变函数画图像找焦点，那由图发现这两条直线重合，所以方程组应该有无数组解。 那刚才我们做了三种不同类型的图，现在我们一起来总结一下，看一下第一个，我们所画出来的两个函数图像是有一个焦点的， 一次函数主要是由两个参数 k 和 b 来决定的。现在我们一起来看一下这两个函数，它呢，它们的 k 和 b 值有何关系？ 先来看一下第一个函数的表达式，它的 k 值等于一啊。第二个呢，它的 k 值等于零点五， 一和零点五不相等，所以我们可以总结为，当 k 一 不等于 k 二时， 两条直线相交，从方程组有五为一解。 那再来来看一下第二个，我们画出来的两个函数图像是平行的，依然从 k b 值角度入手来看一下这两个函数，它们的表达是， k 一 等于 k 二都等于一， b 一 和 b 二不相等，所以我们可以总结为，当 k 等于 k 二， b 一 不等于 b 二时，两条直线平行，从而分成组无解。 那再来看一下第三个，我们所画出来的这两个函数的图像是重合的， 所以依然从 k b 值的角度入手，能发现这两个 k 值都相等，都为一， b 值也都相等，都为五。 所以可以总结为，当 k 等于 k 二， b e 等于 b 二时，两条直线重合，从而方程组有无数组解。 那么今天的知识点到这里就学完了，你能否将我们所学的知识运到实际生活中去呢？现在来看一下下面这道题， 那么这道题其实是刚才我们所做的探测气球的那道题的应用题。升，先来回顾一下这道探测气球的问题，那前面我们根据提议写出了两个函数的表达式， 那再回到这题中来看一下啊，在什么时候一号气球比二号气球高， 在什么时候一号气球比二号气球高呢？那这里老师给大家提供了两种方法，我们先来看一下方法一， 方法一主要是用代数法来求解的，那既然用代数法，我们应该先列出两个表达式， 所以啊，当 y 一 到 y 二时，可以解得 x 大 于二十。当 y 一 小于 y 二时，可以解得 x 小 于二十。 所以在二十分钟后，一号气球比二号气球高，而在零到二十分钟时，二号气球比一号气球高。那现在我们来看一下方法二， 方法二是用的图像法，那既然用图像法，就应该先在平面直角坐标系中画出这两个函数的图像， 前面我们已经画过了，那这两个函数图像有一个交点，所以我们现在可以以 x 等于二十这条为界限来看一下 x 等于二十，他的左边的这部分， 左边这部分， y 等于零点五， x 加十五，它的函数图像是在 y 等于 x 加五的函数图像的上方。所以我们可以得出，当 x 大 于等于零 小于二十时，零点五 x 加十五大于 x 加五，再看一下 x 等于二十的右边的这部分， x 加五，它的函数图像是在零点五 x 加十五的函数图像的上方，所以我们可以得到当 x 大 于二十时， x 加五大于零点五， x 加十五。 所以我们所得到的答案和刚才用代数法求解出来的是一样的。那么这两种方法同学们可以自行选择自己擅长的来完成，现在我们一起来小结一下吧。 首先第一个，一次函数与二元一次方程组的关系主要分两个角度来看。 第一个，从数的角度来看，方程组的解就是自变量为和值时，相应的两个函数值相等，即函数值为和值。 第二个，从形的角度看，方程组的解就是对应两个函数图像的交点坐标。再来看下第二个 用图像法求二元一次方程组解的一般步骤，这里主要有四个步骤， 一、变函数。二、画图像。三、找焦点，四、写结论。 那第三个是利用一次函数与方程组的关系解决实际问题。那么本节课我们主要是通过题目来建立数学模型解决函数问题的。 那本节课我们除了用建模思想外，还将数与形相结合，解决了一次函数与二元、一次方程与二元、一次方程组的关系，所以数与形的结合是研究函数的一种重要方法。 那希望同学们今后能更多的将数与形相结合，解决更多的函数问题。 那同学们本节课上到这里就结束了，希望大家及时完成课后作业，同学们再见！

大家看，这是我们熟悉的热气球，今天的热气球里藏着一个数学密码，大家知道是什么吗？ 想象一下，你坐上热气球，扑的一声点火，起飞，速度稳稳的，每分钟二十米高度 h 和时间 t 的 关系是什么呢？很简单， h 等于二十 t， 但是你想在四百米高度降落，到底要飞几分钟呢？心里没数？别慌，这题可以用学过的方程来解决， 飞着飞着，前方乌云压顶，必须飞到六百米以上才安全。可你现在才五百米，还要飞多久才能超过六百米？光靠方程不够，还有不等式一起帮忙， 嘿，对面小红也在飞，他从一千米高空以十五米每分下降，你从地面二十米每分上升。你们什么时候才能相遇？一个函数搞不定，两个函数打架怎么办？方程组来当裁判， 不等式方程组怎么帮热气球搞定起飞？避险、相遇？答案全在这节课里！带上你的好奇心，咱们一起破解热气球的数学密码吧！

每天半小时轻松学数学这节课，我们来看 it 函数与方程， it 函数与不等式之间的一个关系。这节课呢，因为比较抽象，他也比较难，实际上结合着图形，他又会变得非常容易。 好，那咱们来看一看，怎么样有困难的知识变得越来越容易？先看这样的一个小情景，今天呢，数学王国搞了个家庭聚会，各个成员按照自己所在的集合就坐，这时来了个 x 加 y 等于五， x 加 y 等于五，二元一次方程。呼喊着，来来来，到我这里来一次，喊数啊，来来来，到我这里来。那 x 加 y 等于五，到底应该坐在哪呢？ 咱们这一节课就来研究研究，看看 x 加 y 等于五，它到底是二元一次方程还是一次函数呢？或者他们俩之间有什么样的关系呢？ 好，首先咱们来探究一次函数与一元一次方程之间的一个关系。 依次函数，它的一般形式是 y 等于 k， x 加 b。 一元一次方程，它的一般形式是 ax 等于 b。 那在这里边，一次函数之间与一元一次方程之间能不能进行一个互相的转化？ 好观察这三个方程，二 x 加一等于三，二 x 加一等于零，二 x 加一 等于负一，那左边都是二 x 加一，右边是三是零是负一。 那咱们能不能够理解，左边是一个函数 y 等于二， x 加一呢？ 右边是谁呢？右边是函数值 y 等于三，函数值 y 等于零，以及函数值 y 等于负一。啊，那咱们来看一看 啊，咱们呢，可以把它看成是 y 等于二， x 加一这个函数，这个函数分别它的函数值等于三的时候，那函数值等于三的时候，所对应的 x 等于一，那所以它的解就 就是 x 乘以一，当然也可以解出来这个方程 x 等于一，而 x 加一等于零呢？二、 x 加一等于零，也就是这个函数值等于零的时候， 函数值等于零的时候，对应的横坐标是等于负的零点五。 好，那 r x 加一等于负一， r 加一等于负一，可以看出来，当函数值 y 等于负一的时候，对应的 x 呢，是负一， 所以 x 等于负一呢，是二， x 加一等于负一，它的一个结。好，通过观察，咱们来发现，这个函数与方程之间还是有 有关系的，有什么样的关系呢？也就是说，对应的函数值 k， x 加 b， 如果等于一个数的话，结账的一个方程就相当于求一次。函数 y 等于 k， x 加 b 于函数值 m， 它的函数值 m， 函数值 m 的话，又可以看成一条线，直线 y 等于 m， 比如这条线可以看成是直线， y 等于二，这条线可以看成是 y 等于一， 可以看成是依次函数与 y 等于 m， 这条直线的焦点的横坐标。或者是理解为 依次函数 y 等于 k， x 加 b， 它的函数值 y 等于 m 的时候， x 的值也是这个方程的结啊，这个很关键，这句话就是说 a 加 b 等于 k， 这个方程， 这个方程可以看成是函数 y 等于 a 加 b， 它的函数值 y 等于 k 的时候，这边量 x 的一个值。 好，这是从函数的角度来进行解释，那如果从图像的角度来解释呢？图像的角度来解释，那 y 等于二， x 加一与 y 等于三的焦点，你看这条线，这是 y 等于三，这条线，这是 y 等于 于二， x 加一， y 等于二， x 加一， y 等于三的焦点的横坐标就是这个方程的结。同样的，那第二个方程就是看成 y 等于二， x 加一的图像与 y 等于零的图像的焦点， y 等于零是在哪？ y 等于零，就是这样的一条线，这条线就是 y 等于零，那它的焦点 x 在这，那它焦点横坐标是等于负零点五。好，第三个就可以看成是 y 等于二， x 减加一与 y 等于负一的焦点， y 等于负一在哪呢？ y 等于负一，在这，它的焦点呢？横坐标是负一，所以这个方程它的解就是负一。 好，再回过头来看一遍。咱们从函数的观点来看，一元一次方程的根就相当于求函数，它的函数值等于 k 的时候， x 的值。 从图像的观点来看，方程的解就相当于两个函数图像的焦点的横坐标。一个函数图像是 y 等于二加一，另一个函数图像是 y 等于三，或者是 y 等于零，或者是 y 等于负一。 好，这是这样的一个题目，那咱们来练习这个直线与 x 轴交点的横坐标，那与 x 轴交点的横坐标又就是 y 等于零，另 y 等于零，那所以二 x 加二十等于零，所以 x 等于负十。 十，逗号，零， x 轴又称为十呢，又称为是 y 等于零，也可以看成是这两条直线的焦点。求两条直线的焦点，咱们就把这两条直线连例， y 等于二， x 加二十与 y 等于零，连例可以解出来， x 好， y 等于零，代入零等于二加二， x 等于负十，所以焦点就是负十。逗号，零，那说明这个方程的解就是 x 等于负，十就是焦点的横坐标。 如果这个方程的解是五，求直线与 x 交点的横坐标，那方程的解是五，那这个函数 y 等于 k， x 加二与 x 轴， 那这个零 y 等于零就是 x， 所以焦点呢？坐标就是五，逗号零就是这个五逗号零啊。理解他这个深层次的关系之后，这些题也是很简单的， 所以咱们得到了一次函数与原因。次方程之间有什么样的关系呢？从函数值的角度来看， 这个方程的解就是这个函数的函数值， y 等于零的时候， x 的值就是这个方程的解。而从图像上来看， 从图样上来看，求这个方程的根就相当于求直线与 x 头焦点的横坐标，而这个零是谁呢？零就相当于 y 等于零这条线 y 等于零，这一条线又是 x 轴，所以呢，是这样理解的，是直线与 x 轴，焦点的横坐标 好，这是咱们从数与形的角度来出发。函数值，这是从数的角度来考虑函数图像是从形的角度来考虑，咱们呢，数形结合，把依次函数与依然依次方程有效的联系了起来。 另外，如果咱们把这里边的零改成其他数，比如说 k x 加 b 等于 n 的结，那求这个方程的结，就相当于求 y 等于 n 的时候， x 的值好。再比如说下边 这个求一元一次方程 k i 加 b 等于 n 的结，那求这个方程的结，从图形上来看呢，就相当于求直线与谁的焦点呢？与 y 等于 n， 这条直线与 y 等于 n， 这条直线的横坐标 好，要对于这个深层次的东西有所了解，给你们补充到这，你要尝试着把它给理解，如果你把它理解之后，那这些题呢，将会非常简单。 好，它的初级板就是这样的，方程的右边是零方程，右边是零，就相当于从数值上看， y 等于零的值。从图像看，就是求直线与 x 就是焦点的横格标。晋级版，晋级版，如果右边不为零，开加 b 等于 n， 比如说开加 b 等于五，那就相当于 y 等于开加 b， y 等于五的时候， x 的值，那从图形上看，那如果开加 b 等于 n 的几，就相当于是求直线 y 等于 k 压 b 与直线 y 等于 n 的结。比如说这条直线看成是直线 y 等于 k， x 压 b， 这个 n 看成直线 y 等于 n。 直线 y 等于 n 是什么样的呢？直线 y 等于 n 是一条水平的线，这个点是 n， 这就是直线 y 等于 n。 好，这是一次函数与一元一次方程之间的一个关系。好，那咱们来看一个例子，一个物体现在的速度是每秒五米， 速度呢？每秒增加了两米，再过几秒他的速度是十七米每秒。从方程、函数减一日以及图像三个方面进行解答， 那从方程的话，假设 x 秒，那也就是五，加上二 x 等于十七。解一元一次方程很容易呢，得到 x 等于六，所以经过六秒，速度等于十七。那从函数解析，事实上怎么样解答呢？ 从函数解析上，咱们可以看出来，现在的速度是五，速度每秒增加两米， 那他的速度随着时间的变化而变化，速度是时间的依次函数，那这函数解析是 y 等于五加上二 x， 问什么时候他的速度是五，也就是 y 等于好，什么时候速度是， 就是 y 等于十七，所以五加二等于十七，解出来 x， 好，这是从函数的解析式方面来进行分析的。来看一看函数解析式，首先把解析式给写出来， 速度等于十七，解出来 x 等于六，所以六秒的时候，它的速度是十七。然后咱们再来看图像，从图像的角度来看，首先 y 等于二， x 加十五，咱们给它画出来。 好，这一条棕黄色的是 y 等于二， m 加十五，那什么时候等于十七呢？什么时候速度是十七，也就是 y 等于二 m 加十五与 y 等于十七，这一条线，他们的焦点的横坐标。 好，那这两条直线的交点的横坐标是多少呢？通过观察交点横坐标是六，那所以 速度是十七的时候呢？时间是六秒，好，这是从图像的角度来观察。好，咱们呢，一共从方程，从函数以及从图像这三个角度来分析这个问题。 好，如果你没有听明白，你再回过头来再顺一遍。好，这是这样的一个题。 第二个法知识点，关于一次函数与一元，一次不等式，刚才呢，咱们讲了是一次函数与方程与一元，一次方程 与二元，一次方程之间的关系。那么一次函数与不等式之间又有什么样的关系呢？ 那咱们来看这三个不等式，左边都是三个加二，三个加二大于二，三个加二小于零，三个加二小于负一。 那能不能从函数的角度进行解释呢？从函数角度，那这里边可以看成是 y 等于三， x 加二，它的函数值大于二， y 等于三， x 加二，它的函数值小于零， y 等于三， x 加二，它的函数值小于负一的时候，对应的 x 的范围。好，那咱们来看一看， 先把 y 等于三， x 加二，图像画出来，那分别求他们的范围， 那 y 等于三， x 加二，它第一个是 y 等于三， x 加二大于二。好，咱们把这三个解析式也都写出来，抄下来。 好，第一个是三， x 加二大于二，好，第二个是三， x 加二小于零。第三个是三， x 加二小于负一。好，那咱们来看这个图像。 好，这是 y 等于三， m 加二， y 等于三， m 加二，函数值大于二， 函数值等于二，在哪呢？函数值等于二，在这，函数值大于二大于二，那就在这个上方，就是这一部分， 而这一部分对应的 x 的范围是多少呢？对应的 x 的范围，你来看一看， 对呢， x 范围是不是在零的右边呀？对，所以它的范围也就是 x 大于二 啊，这是三， x 加二大于二，求 x 的范围。从图像上注意观察。咱们再来看一遍，那三 x 加二，函数值，这是 y 等于二，什么时候大于二呢？大于二指的是上方的部分， 那对应的 x 值是上方的这一部分，对应的 x 值 就是在这些部分，所以呢，是 x 大于零。 好， so， 所以咱们可以得到它的一个范围，三 x 加二大于二，它的一个范围就是 x 大于零。好，你看一看，这个不等式的解题范围呢，表示的就是零，右边的这个很关键，一定要注意理解。好，看，第二个， 第二个是三， x 加二小于零，那三 x 加二小于零。首先咱们把 y 等于零找出来，那这一条线， 这就是 y 等于零这种线，三 x 加二小于小于零，那就说三 x 加二的图像在 y 等于零图像下方，那在 y 等于零图像下方的部分呢？是这一部分， 那所以三 x 加二小于零的解，对应的 x 范围就是 就是这些啊，求出来这个焦点，这个焦点呢，是负三分之二，所以它对应的范围是啥呢？所以范围就是往左画， 所以呢，就是 x 小于负三分之二的部分，所以第二个是 x 小于负三分之二，好，这是三 x 加二小于零，好，第三个， 第三个是三 x 加二小于负一。好，我把上面的给你擦掉，咱们来分析第三个，三 x 加二小于负一， 三 x 加二小于负一的时候，首先咱们来找到负一这条线， y 等于负一这条线是在这。 好，咱们呢把 y 等于负一这条线给它画出来， 是这样的一条线，这是 y 等于负一，那三 x 加二小于负一 小于负一指的啥呢？指的是 y 等于三 x 加二这个图像在 y 等于负一图像的下方， 这叫做他比他小，比负一小。那通过观察，在 y 等于负一下方的是这一部分，那这一部分对应的 x 的范围呢？对应的 x 的范围。 好，可以看出来是这一部分，所以呢，是 x 小于负一，所以它的范围就是 x 小于负一，好，这是这一个不等式，它的一个解解题。 好，那对于这三个不等式，咱们得到了对于不等式的解题。 a i 加 b 大于 c， 实际上就是求 y 等于 a， x 加 b 函数 与 y 等于 c 这个函数函数值进行比较，那这个函数值大于 c 的时候，对应的 x 范围就是不等式的一个 解题范围。那同样呢，它要小于 c 的话呢，就是它小于 c。 那如果要是等于 c 呢？等于 c， a 加 b 等于 c， 就变成了方 成了，就相当于求 y 等于 a 加 b 与 y 等于 c 的焦点的横坐标了。好，这是方程与不等式之间的关系。

家里有八年级的娃，看一下这个一元二次方程啊，很多地方已经学了，这也是去年期末的一个小题，本身不难，正好适合咱们刚学的这个阶段。来吧，看一下这个新定义，说两个一元二次方程啊，尤且只有一个相同的实数根，我们就把这俩方程叫同半方程。 给你举了例子， x 方等于四，那 x 就 只能是正负二，那后边这个就是用因式分解来解一元二次方程，这俩括号相乘得零，那其中一个就是零呗。所以 x 等于二或者是负三，那他俩只有一个相同的根是二，所以叫同半方程，这个新定义也很好理解。咱们看看问题， 说关于 x 的 这个方程，它的参数同时满足这两个式子，而且该方程与后边这方程的互为同半方程。问 n 是 几？ 那通过新定义我们知道，就是这两个方程只有一个相同的根，而后边这个方程很明显能解出来，这第一个就是三，第二个就是负 n 呗。所以关键就在前面这句话怎么来突破了？那咱们先看第一个式子， 那这个需要你理解，方程的解就是指方程左右两边相等的未知数的值， 那你观察 a 加 b 加 c 得零和这里的 a x 方加 b， x 加 c 等于零它俩的关系，你看这 x 变成几了，是不是很容易发现 x 是 一了？当 x 等于一的时候，那我们的方程不就变成了 a 加 b 加 c 得零吗？ 这就说明 x 等于一，就是使方程左右两边相等的未知数的值，那不就是它的解吗？所以同理，四 a 减二， b 加 c 得零，你看看这 x 变成几了， 那就挨个看嘛，这是四 a， x 方是四， x 是 正负二，但是后边是个减二 b， 说明 x 只能是负二，这就得到了方程的两个解。 那依照提议，他俩还是同半方程，有一个解相等，这个三又不和他相等，只有负 n 和他们相等，也就意味着负 n 要么是一或者负 n， 要么是负二，那 n 就 出来了，负一或二 等。后边学二次函数的时候啊，你还会碰到这种，他常见的一般就是取这个一二三负一，负二、负三这种。比如再写一个 a 减 b 加 c 得零，那你看 x 是 几，是不是？显然这 x 就是 负一啊，你学会了吗？点赞收藏，练起来吧！

这个视频我来给你讲讲一次函数与方程之间的关系。比如咱已经知道，二元一次方程 x 减 y 再加一等于零，这个方程有无数组减，像 x 等于零， y 等于一， x 等于一， y 等于三， x 等于二， y 等于五等等等等，都是这个方程的减。因为这些 x 和 y 都满足 x 减， y 再加一等于零。 那如果我把 y 单独移到一边，变成 y 等于 x 加一，它就成了一个一次函数了，刚刚一足足满足方程的 x 和 y 的值，此时也就都满足函数 y 等于 x 加一，那这些解变成坐标所对应的点就全在函数 y 等于 x 加一的图像上。所以方程 x 减 y 再加一等于零的解，全在函数 y 等于 x 加一的图像上。 一般的任何一个关于 x 和 y 的二元一次方程都可以变成某个一次函数的形式，方程的所有解对应到坐标系中的点，就都在对应的函数图像上。以上就是一次函数和方程之间的关系，下面我再给你 讲讲依次函数和方程组之间的关系。看这个题，依次函数 y 等于 k 一， x 加 b 一的图像， l 一与 y 等于 k 二， x 加 b 二的图像， l 二相交于点， p 三负二。求方程组 y 等于 k 一， x 加 b 一和 y 等于 k 二， x 加 b 二的减。 这个方程组系数都是字母，咋解啊？嘿嘿，我想你一定发现了，这俩方程刚好和这俩直线的解析式一样。咱已经知道求直线与直线的交点，只要解这个方程组就行了。那反过来，这个方程组的解， x 和 y 一定就是交点的横动坐标。 现在看一看，条件焦点的横坐标是三，纵坐标是负二，所以方程组的解就是 x 等于三， y 等于负二。搞定！总结一下这个视频，我给你讲了一字函数与方程、方程组之间的关系。任何一个关于 x 和 y 的二元一次方程都可以变成某个一次函数的形式，而方程的所有解都在对应的函数图像上。 如果是二元一次方程组，那每个方程就都对应一个一次函数，而方程组的解就是对应的两个图像的焦点坐标。怎么样，听明白了吗？明白了就赶紧刷题去吧！

e 函数这里呢有十大体型，其中有一类呢，就是从函数的角度看方程和不等式。咱们一起来看一下这道题目。说如图，直线 y 一 等于负， x 加 m 与 y 二等于 k， x 加 n 相交于点 a， 若点 a 的 横坐标是二，问下列结论错误的是哪一项？好，那我们先看这个图，你看这儿的 k 是 负一，也就是说这个函数的图像过的是二四象限， 所以这个是 y 一 等于负， x 加 m， 那 么这个就是 y 二等于 k， x 加 n。 好， 那先看 a 选项， a 选项说 k 大 于零，你看这个函数图像，它过的是一三象限，所以 k 大 于零，这个是对的。那么再看 b 选项， b 选项说 m 带 n。 好，你看啊，这条直线与 y 轴的交点是谁啊？就是零 m， 那 么这条直线与 y 轴的交点就是零 n， 你 看 m 在 n 的 上方，所以 m 打 n， 这个是对的。 那么再看 c 选项， c 选项说当 x 小 于二的时候， y 二大于 y 一， 那么 x 小 于二的时候，也就是看二左边的这一部分，对吧？那么你看二左边的这一部分， y 一 的图像在外二图像的上方， 所以 y 一 大于二，那么 c 选项不对。好，再看 d 选项， d 选项说二， k 加 n 等于 m 减二，你看它俩交点的横坐标是二， 也就是说当 x 等于二的时候， y 的 值是相等的，那我把 x 等二带入，上面就是二， k 加 n 带入，下面就是 m 减二，所以二 k 加 n 等于 m 减二， d 选项也是正确的，那么错误的是 c 选项。那今天的这道题目大家听懂了吗？听懂的话，再把我整理的这套一函数必刷的十大题型拿去练习，就能轻松解决这类问题！

清晨，一辆汽车以每小时六十千米的速度平稳行驶在城市的公路上。随着时间一分一秒流逝，汽车行驶的路程也在不断增加， 行驶一小时路程是六十千米，行驶两小时路程是一百二十千米，行驶三小时路程是一百八十千米。 辽阔的海岸边，受天体引力影响，海水会发生规律的潮起潮落。从清晨到深夜，随着时间不断推移，港口潮水高度周期性起伏变化，任意给定一个确定时刻，都对应为一个潮水高度。 你会发现，这两个生活场景蕴藏着相同的数学规律。当时间这个变量取每一个确定的值时，路程、潮水高度都会有唯一确定的值。与之对应，这种一个变量确定，另一个变量也随之唯一确定的关系，就是我们今天要探讨的数学概念函数。 视频中呈现的汽车行驶潮汐变化。两个场景中，哪些量的数值始终没有变化，哪些量的数值在不断变化？当时间确定时，路程的数值能唯一确定吗？潮高的数值能唯一确定吗？ 这两个场景中藏着一个相同的数学规律，当一个变量取定一个值时，另一个变量就有唯一确定的值与之对应。这种特殊的变量关系，就是我们今天重点探讨的数学概念函数。 一些用途或表格表达的问题中，也能看到两个变量之间有上面那样的关系。 早在公元前两千年左右，古巴比伦的天文学家就用泥板表格记录行星的位置和时间。这种一个时刻对应一个位置的记录方式，是函数思想的最早萌芽。十七世纪，迪卡尔创立了解析几何， 首次用代数方程描述几何曲线，让变量的概念正式进入数学领域，为函数的诞生砥定了基础。 一六七三年，德国数学家莱布尼茨首次使用函数奉申一词，用来表示与曲线相关的几何量，这是函数术语的正式起源。 十八世纪数学家欧拉给出了函数的早期定义，如果某些变量依赖于另一些变量，当后者取每一个确定的值时，前者都有唯一确定的值，与值对应，那么前者就是后者的函数。 今天我们所学的函数，就是对生活中一个量随另一个量变化且唯一确定现象的数学抽象。函数就在我们身边，用简洁的方式描述着万物的变化规律。

好，再来看依次函数与方程组和不等式的复习巩固。先看第一个利用函数的图像去解方程，二分之三， x 减六等于零，对吧？那么这里既然要求了让我们用函数图像，那我们就先把图像画出来，好吧， 来看一下，那么我们想要画出来的话呢，就先把它写成函数形式，令 y 等于二分之三， x 减六，对吧？那么你现在当 x 等于零的时候，求出 y 值， 当 x 等于零， y 就 等于二分之三，乘上零减六， y 就 等于负六，所以它就会过零负六这个点，对吧？那么这个点在哪里呢？就在 y 轴上，然后你想求在 x 轴上的点，就当 y 等于零， 那么零就等于二分之三， x 减六，移项六就等于二分之三 x， 那 么这个六除以 二分之三等于 x， 六就乘上三分之二等于 x， 所以 四等于 x， x 等于四，所以它就会过四零这个点，那么咱们再把图像画出来， x， y 与这里的交点是四，零与 y 轴负半轴的交点是零负六，把这两个点画出来 连起来就是依次函数的图像，这个就是 y 等于二分之三， x 减六啊，那我们要通过这个图像看出它的减，就是让 y 等于零的时候，那么 y 等于零的时候，那就是这个点 啊，就是这个点啊，就这个点，所以 x 就 等于四，对吧？所以我们就可以通过图像看出来， 在这个点的时候，它的 y 值等于零，它的 x 值等于四，正好对应了这个 y 换成零，那么这个 x 对 应的呢？就是四，所以我们由图 由这个点四零得出 啊。二分之三， x 减六等于零的减 为 x 减四啊， x 减四，那么有些人可能会说，我在这里都已经算出 x 等于四了，我为什么还要通过画图呢？对不对啊？是不是多此一举啊？那么这个题目它其实是为了让你更好地去理解这个图的意思， 然后这个图像呢，他也可能觉得你自己手里有这个画函数的这个软件，你直接可以通过软件去画，因为前面他也讲了如何用碗软件画图像，对吧？啊？像我们自己这样直接手搓一个图像出来，那肯定是要算出这个 x 等于四的，对不对？好， 再看第二个，利用函数图像解不等式，五 x 减十大于零和负二， x 减四小于零，那么咱们这里呢，也要把它当做函数的形式，那我们就令 y 一 等于五， x 减十， y 二就等于负二 x 减四，那我们要画图吗？画图的话，你就令 x 和 y 等于零，对吧？当 x 等于零的时候，这个 y 一 就等于五乘零减去十等于负十，说明它过零负十这个点。好，这个呢，我们等会再算，不然弄混了。然后当 y 一 等于零的时候， 就零等于五， x 减十啊，把五 x 移过来，负五 x 等于负十， x 就 等于负十，除以负五， x 就 等于二，所以它就会过二零这个点。好，再算这个，再算 y 二， 这里也写个零，好算。当 x 等于零的时候， y 二等于负二乘上零减四，负二乘零就是零，零减四等于负四，所以就是负四，那么就过零负四这个点。然后当 y 二等于零的时候， 这个零就等于这个负二 x 减四，把负二 x 移过来，二 x 等于负四， x 就 等于负二，对吧？所以它就会过这个负二零这个点。好，我们在图像上把它画出来，先画这个图，先画这上面的图， 一个过零复十，一个过二零二零的话大概就在这个位置，零复十，我们就画在这个位置，两个点一连 就是函数解析式，就是函数解析式的图像了，这个直线就是 y 一 等于五 x 减十，好了，他说要这个五 x 减十大于零，对不对？大于零在哪里啊？ 大于零在上方看到没有？大于零，零在这个位置，零在这个点上，那比零大，那么就在他的上方，所以上面这段图像就是 五 x 减十大于零的地方，对吧？啊？五 x 减十大于零，那么又意味着 y 一 大于零，而 y 一 大于零就是在 x 轴上方的图像，而这个图像上对应的所有的横坐标都比这个点的横坐标要大吧，对不对？它继续往后延， 它这里的横坐标往下一一对应，都是比二大的啊，所以这个 x 怎么样就大于二，当然了，你说，哎，我不能直接算吗？我直接算就可以了，对吧？ 好， x 大 于二就可以了，那这里呢？是为了让你理解这个不等式和图像的关系，知道吧？咱们再画第二个图， 一个是零负四，一个是负二零零负四，我们就画在这个位置， 负二零，咱们画这个位置连一下。 好，这条直线的话，就是 y 二等于负二 x 减四，知道吧？那么你看一下它要它小于零，对不对？小于零， 那么零就是在这个位置，这个点的纵坐标就是零，对吧？比零要小，那就在它的下方， 那么就在它的下方，在下方上面的点对应的横坐标是不是都比这个负二要大呀？所以 x 就 大于负二，知道吧？好，所以我们写一下，因为 负二 x 减四要小于零，那意味着 y 二小于零，而 y 二小于零的话，就是对应的是这一段图像，这段图像对应的所有横坐标都是比负二大的，所以 x 大 于负二，就是这个不等式的。解了。 再看第三题，也是叫我们利用函数的图像去解这个方程组，那这里有两个方程对不对？都是带 y 的， 所以我们要先把这两个转换成什么？转换成函数形式。怎么转换呢？第一个是三， x 加上二， y 等于五， 那么角先把 x 移过去，二， y 就 等于负三， x 加五，然后两边同时除以二， y 就 等于负二分之三， x 加上二分之五，这是第一个。 那么第二个函数呢？就是二 x 减 y 等于八，移过去啊，就把二 x 移过去，负 y 就 等于负二， x 加八，两边同时除以一个负一，那么 y 就 等于二 x 减八，对吧？那么现在呢，我们就要画图了， 我们画图的话，一般都是令 x 等于零和 y 等于零嘛，对不对？这是 y 一， 这是 y 二，当 x 等于零的时候， 这个 y 一 就会等于负二分之三，乘上零加上二分之五等于二分之五，所以它就会过零二分之五这个点。然后当 y 一 等于零的时候， 那么零就等于负二分之三， x 加上二分之五。好，移项二分之三， x 等于二分之五，同时乘上二三， x 等于五， x 就 等于五，除以三等于三分之五。啊，是三分之五了。好，那么我们就可以通过 这个 x 等于三分之五，判断出它过三分之五零这个点，这个时候 y 是 等于零的，所以重坐标是零，对吧？好，这里也是一样的，当 x 等于零的时候， y 二等于二乘零减八，就等于负八，所以它就会过零负八这个点。然后当 y 二等于零的时候， 就变成了零等于二， x 减八，移向负二， x 等于负八， x 就 等于负八，除以负二，它就等于这个四，所以它就会过四零这个点。 好，再把这两个点画在图像当中，我们来画一下， 这个是零二分之五，那我们在这里就画二分之五零二分之五，然后呢这个点呢？是三分之五零，那我们就画这个位置，三分之五，大概在这个位置， 这条直线的话呢，连起来这条直线就是 y 一 等于负二分之三， x 加上二分之五，有点写不下了。 y 一 等于负二分之三， x 加上二分之五，就是 y 一 这条直线。 y 二这条直线的话呢，四零，然后另外一个零负八，那么零负八的话，我们就画下面一点， 这可能就比较远了，假设这个点就是零负八吧，这个是零负八，然后这个点的话，就当做是四零，然后把这两个点连起来 延长过来，好，这条直线就是 y 二等于二， x 减八。 好，图像画好了，那么你会发现，你把这两个当做方程组的时候，它的解就是它的焦点， 而这个焦点呢？说实话啊，我没画出来，对不对？我们不知道它的焦点是多少，所以呢，我们要试一下，对吧？因为你不能去算，你不能把它当做去算，所以你要去试一下，你看这个是几啊？这个是 这个三分之五，这个是四，那么比三分之五大一点是几啊？就是二，三对不对？二肯定对不上，二肯定对不上，那么你就找三，所以我们就分别试一下，当他们俩都等于三的时候好不好？好，当这个等于三的时候，当这 y 一， 当 x 等于三的时候，这个 y 一 就会等于负二分之三乘上三加上二分之五，它就等于负二分之九 加上二分之五等于负的二分之四等于负二，所以它就会过三负二这个点。 然后呢，你在当 x 等于三的时候，你再算这个 y 二 y 二就等于二乘三减八等于六减八也等于负二，它也过三负二这个点，发现没有，它们经过同一个点，所以 三负二就是它们的焦点啊。所以我们就看得出来， y 一 与 y 二的焦点 为三负二，所以 x 等于三， y 等于负二，就是这个方程的解，为这个方程 三 x 加二， y 等于五和二， x 减 y 等于八的解就可以了。 如果呢，有些题目呢，他直接画了图，并且告诉我们焦点，那我们这些画图的过程就都可以省略。 再看综合运用第四题，甲乙两个工程队分别同时开挖两段合渠，所挖合渠的长度为 y 单位是米与挖掘的时间， x 单位是小时之间的关系。如图所示，那 红色这一段是假的，然后绿色这一段是乙的，叫我们分别求出假。对在零到六，就是 x 大 于等于六大于等于零小于等于六的时间之内和乙对在 x 大 于等于二小于等于六的这个时间内， y 关于 x 的 函数解析式，那么求解析式的话呢？你可以看得出来，假的话经过哪两个点？ 第一个是圆点，对不对？第二个就是六六十，经过这两个点，我们就可以带入一次函数当中，对吧？好，那么乙呢？他只教我们求二到六这段时间之内，那么你看二到六这段时间，他也经过两个点，一个点是二三十， 另外一个是六五十，对不对？好，我们就把这两对点带入一次函数当中，我们这里就写一下，好吧，先求 设假对，在 x 大 于等于小于等于六大于等于零的时段内，解析式，函数解析式 为 y 假，对吧？等于 k 一， x 加上 b 一， 为什么要这样去写呢？因为你乙对也要去设呀，对不对？它们俩的 k 值和 b 值不一定相等啊， 对吧？所以我们就复制一个出来，改一下数据设，再设一下乙，对，不过可以等会来算，我们把里面改一下，甲对换掉， 然后时间段换掉解析式，这个换掉。好，那我们就写设乙对，在 x 小 于等于六大于等于零的时间内，函数解析式为 y 甲 y 乙 等于 k 二， x 加上 b 二，对吧？好，设一下。那么现在呢，我们就知道甲经过零零，甲经过的点是零零这个点以及六六十这个点。好，我们就将 零零这个点与六六十带入到 y 角当中，那么你就可以得到方程组，对吧？这个方程组呢？等一下啊， 这个方程组呢，就是把这个解析式里面的零和 y 都换成零，那么就是零等于 k 一 乘上零，再加上 b 一。 然后第二个呢，就是六十等于 k 一 乘上六，再加上 b， 那 么这里的话，我们化简一下，就可以得到 b 一 是等于零的，对吧？这个是零，这里也是零， b 一 就等于零，然后你再把零带进去， 对吧？好，那么就是六十等于六， k 一 加上零啊，因为 b 一 等于零，写一下吧，还是写 b 一 吧。好，这两个式子，这是一式，这是二式，你将第一个式子带入到第二个式当中，将 b 一 等于零 带入到二式当中，那么零六十就等于六 k 一， k 一 就等于十，那么我们就可以得到 k 一 等于十， b 一 等于零，所以这个假的解析式就等于十 x 啊，就等于十 x， 同时你再把它的取值范围写上 x 小 于等于六，大于等于零的时候，是这样的。 好，再来求第二个一样的操作啊，也是将这两个点，这两个点我们直接在图上写出来，一个是二三十，一个是六五十，对吧？我们将这两个点带进去， 将二三十与六五十带入到 y e 当中，好，那么我们算一下， 把三十带进去，二三十带进去，是三十等于 k 二乘上二，加上 b 二，把六五十带进去，就是五十等于 k 二乘上六，加上 b 二。两个式子，你拿两个式子一减啊，拿二四减一四，那这里五十减三十等于二十， 这里是六 k 减二， k 减掉了啊，所以我们这里就是负四， k 二 等于负二十， k 二就等于负二十除以负四，那么 k 二它就等于五，然后你再把五带入到其中一个解析式当中，将 k 二等于五 带入到一式当中，那么就三十等于 k 二， k 二已经知道了，就是五乘二，再加上 b 二，那么三十就等于十加 b 二，那 b 二呢？就等于 三十减十， b 二就等于二十，那我们就可以得到这里的 k 二等于五， b 二等于二十这个解析式， 你就会等于五 x 加二十，并且取之范围是 x 大 于等于二，小于等于六，对不对？好，那么这个就算完了。再来看， 那这里说当 x 为和值的时候，甲乙两个对在施工过程当中所挖合取的长度是相等的，那么你就看它们的焦点，这里是有一个焦点的对不对？那这个焦点是多少呢？哎，我们不知道，我们就可以把这两个 函数当做一个方程组啊，去算 x 等于几就可以了，知道吧，因为它们在这里有焦点的时候，意味着在同一时间内，它们挖的长度也相等，所以就是找焦点。 第二问就是找焦点，所以我们列方程组， y 等于十， x 和 y 等于五 x 加二十那两个式子， 那么呢，我们就把一次当中的 y 等于十 x 带入到第二个式子当中去，那你就可以得到十 x 等于五 x 加二十一项，十 x 减五 x 等于二十， 五 x 就 等于二十， x 就 等于二十，除以五 x 就 等于四，所以那么当 x 等于四的时候，他们所挖的渠道是相同的，知道吗？好，那么这里我们同时也把 y 算出来， 那么 y 就 等于十，除乘上四， y 就 等于四十，所以这里算出来的是 x 等于四， y 等于四十，对吧？好，我们最后再答一下啊，当 x 等于四的时候，加以两对。 施工 的时候，施工过程中，施工中挖的和渠长度 相等都为四十，单位是米就可以了。 再来看拓广探索第五题，在同一平面直角坐标系当中，画出函数 y 一 等于负二分之一， x 加上二与 y 二等于三， x 加九的图像，并且结合图像比较这两个函数值大小的关系。 那咱们就先画图，先看 y 一， 这个 y 一 呢，等于负二分之一， x 加二还是一样的令， x 等于零和 y 等于零，对吧？好，当 x 等于零的时候， 这个 y 一 就会等于负二分之一乘上零加二就等于二，所以我们就知道它会过零二这个点，对吧？你其实算多了，你就知道，当 x 等于零的时候，它就一定会等于二，对吧？等于它这个 b 值。然后当 y 等于零的时候， 那么零就会等于负二分之一， x 加上二一项二分之一， x 加上等于二， 那么 x 呢，就等于四，所以它就会过四零这个点。好。再看 y 二， y 二等于三， x 加九一样的，当 x 等于零的时候， 这个 y 就 等于三，乘零加九就等于九，所以它就会过零九这个点。然后再当 y 等于零的时候， 那么这就会得到零等于三， x 加九，一下负三， x 等于九， x 就 等于九，除以负三， x 就 等于负三，所以它就会过负三零这个点。好，咱们再把这两个图像画到什么？画到同一个坐标系当中， 我们这里就画大概啊，就不画那么精确了，因为画太精确了，我会画 y。 然后呢，找到，先画这个 y 一， 找到零二和四零，那零二 大概在这个位置零二四零呢？咱们就画这个位置四零两个点一连 这条直线呢，就是 y 一， 再画这个，这个是零九和负三零，那负三零的话，大概就画这个位置负三零，然后呢？还有一个画九零九的话，九应该很高了吧， 对吧？往上挪一点， 我就在这里画九零九，那实际上可能不止这么高啊，我们这里画个大概 好，这条直线就是 y 二，对不对？好了，那么现在你会发现它会有焦点吗？而这个焦点是多少呢？我们不知道，那我们就把它列成一个方程组，把它的焦点算出来， 因为你要比较大小嘛，对不对？你看在这个焦点的左边是不是 y 一 大， y 二小，而在这个焦点的右边，是不是 y 二大， y 一 小啊？对不对？好，所以呢，我们就把它列成一个方程组， y 一 等于负二分之一， x 加上二， y 二等于三， x 加上九，列一个方程组，那么因为他们的 y 都是相等的，所以就是得到三， x 加九等于负二， x 加二移项，三 x 加上二分之一， x 等于二减九，那么这里算出来的话， 就可以得到是二分之七， x 等于负七， x 就 等于负七。除以二分之七就等于七。乘上七分之二， x 就 等于负二，所以它的横坐标是负二，再把这个负二带进去， y 就 等于三乘负二再加九， y 就 等于负六加九，所以 y 就 等于三。所以他们的这个解就是， x 等于负二， y 等于三，所以我们就可以知道他们的焦点是负二三。好，这个焦点是负二三， 我们写上来负二三，这里对照的横坐标就是负二，这里对照的重坐标就是三。好了，图像画完了，那怎么去做比较呢？其实这个图的话，它画标准了，反而不好比较，我们这里画一个缩略图，好比较一点，那这里 我画一个缩略图，那就简单画一下，看到没有？就这样简单画一下。 好，这个是 y 一， 然后这里有一个焦点是二，它的横坐标是不是二，看到没有？好，我们就以二为分界点，在这个二的左边，你看这个二的左边，负二的左边，是不是？ y 一 在上面， y 二在下面，对不对？好，在它的左边， y 一 在上面， y 二在下面，所以左边对应的就是什么？ y 一 大于 y 二， 而这个左边对应的是 y 一 大于 y 二的时候，你看它们的横坐标对应的是不是都比负二小，对不对？好，所以就可以得到，当 y 一 大于 y 二的时候，它的 x 是 小于负二的，这是第一种情况，看到了吗？好，现在我们再看，在它的右边的时候，你把它延伸过去，这个 y 一 延伸过来，哎，反过来了，现在 y 一 在下面， y 二延伸过去，反而变成了 y 二在上面，这个对应的是它的右边，它的右边对应的是 y 二在上面， y 一 在下面。这个表示的就是当 y 第二种情况，就是当 y 一 小于 y 二的时候，看到没有？ y 一 在 y 二的下面，表示 y 一 小于 y 二，而这个时候，你看这个图像所对的横坐标是不是都比负二大，对不对？它都比负二大，所以这个时候 x 就 大于负二，看到了吗？这是第二种情况，那什么时候呢？它们会相等呢？就是在焦点的时候，所以这个时候我们就写第三种情况， 当它们相等的时候，当 y 一 等于 y 二的时候，这个 x 就 等于负二，那么它们的大小关系三种情况都写出来了。 他们的大小关系一个是大于他，一个是 y 一， 大于 y 二，一个是 y 一， 小于小于 y 二，一个是 y 一 等于 y 二。这三种情况的结果我们都写出来了，都是通过图像去看的，知道吧？这个图像是标准图像啊，标准一点啊，因为我画的也不是特别标准，这个是他的缩略图， 我们通过缩略图就好比较，因为这样的话，这个这个 y 一 在上面， y 二在下面，这个是不对，看过去不是很好比较，这里是 y 二在上面， y 一 在下面啊，其实是一样的，只是这样看的话会比较好看一点，那么我们就是分左右就可以了。