#各种数学思想攻略

学透知识点，才会举一反三。大家好，我是佳佳老师，今天我们来复习数学思考，我们先来回顾一下常用的数学思想和方法。首先是数形结合思想，将数和图形联系起来，例如这个图， 我们在计算，二分之一加四分之一，加八分之一加十六分之一，一直往后加，就可以根据这个图形来求解，最后结果等于一，因为他们的和越来越接近于整个圆，所以最后结果等于一。 那如果加到三十二分之一，说明剩余这一部分也是三十二分之一，那他们的和就等于一。减去三十二分之一，等于三十二分之三十一。用竖形结合会更简单，或者做题时我们经常画线段图，用到的也是竖形结合的思想。 然后是转化思想，转化成我们学过的内容去解决问题。例如把小数乘法转化为整数乘法计算，用到的就是转化思想，把分数除法转化为分数乘法计算。 还有在推导圆柱体积时，我们将它转化为长方体，从而推出了圆柱的体积公式，用到的都是转化思想。接着是假设法，鸡兔同笼问题，假设全是鸡或全是兔。还有工程问题，我们假设工作总量是一，用到的是假设法。 方程思想，我们根据等量关系列方程解答或者解比例，用比例解决问题，需要设未知数，再列出比例或者方程。分类思想，例如三角形按角进行分类，或者我们将学过的数进行分类。还有在解决问题时的分类讨论，都是分类思想。 类比思想，根据一些方法或性质的相似性进行迁移或者猜测，例如根据商不变的规律，分数的基本性质，我们就可以猜测比的基本性质，它们是相似的。 集合思想就是把同一类看做一个整体，可以用这个图来表示，那中间重叠的部分，说明同时满足它，既是六的因素，又是八的因素。 最后是优化思想，例如烙饼问题合理安排时间，怎样通知最快找次平等，那我们在解决问题时就应该想到这些常用的数学思想和方法。然后看找规律。 首先是数字中的规律，例如这组数字，观察一下有什么样的规律，我们发现依次增加二，也就是相邻两项的差是一个固定的值。再看这组数字有什么样的规律。 一次乘二，这属于相邻两项的比值，是一个固定的值。再看这些数字，发现它们都是平方数，一的平方，二的平方是四， 三的平方是九，四的平方是十六，那有些数字就是一些平方数或者是立方数。再观察这些数字相邻之间没有规律，那我们可以隔一个去观察一次乘二，剩下的也是一样的，隔一个去观察一次乘三。 如果相邻两项之间没有规律，就需要我们观察奇数项或偶数项，看有什么样的规律。再看这些数字相邻之间没有规律，那我们就观察奇数项和偶数项，二四、六、八依次增加二、 十、十三、十六、十九依次增加三，这样就能发现规律。然后是算式中的规律，通过这些算式看能发现什么样的规律。 首先观察它们的乘积，先正着数，再倒着数，中间数字最大，那这个中间数字和什么有关系？两个一乘两个一，中间数字是二， 三个一乘三个一，中间数字是三，四个一乘四个一，中间数字是四，那后面 五个一乘五个一，说明中间数字是五，先正着数，再倒着数，所以最终答案是，一二三四五四三二一。最后看乘积，中间数字是六， 说明是六个一乘六个一，最后是竖形。结合中的规律，先观察第一个图形，看三角形个数与小棒数量有什么样的关系。一个三角形里面有三根小棒，两个三角形跟前面相比多了两根小棒，多了一个二， 所以是三加二乘一。三个三角形跟前面相比又多了两根小棒。那跟一个三角形相比呢？它多了两个二，三加二乘二。四个三角形跟前面相比又多了两根小棒。 那跟一个三角形相比呢？它多了三个二，三加二乘 三。那 n 个三角形小棒的数量呢？看一下有没有规律，都是三加二乘几，那么 n 个三角形也应该是三加二，乘多少？那乘几呢？我们找找规律。两个三角形是乘一，三个三角形乘二， 四个三角形乘三。我发现乘的这个数比三角形个数少一，所以 n 个三角形应该乘 n 减一，再给它化简一下。三加二， n 减二，化简之后是 二 n 加一，所以 n 个三角形有二， n 加一跟小棒。再看第二个图，观察白色的个数有什么样的规律。第一个图形有六个白色的。第二个图形跟第一个图形相比呢，多了 四个六加四。第三个图形跟第二个图形相比呢，应该多了两个四， 所以是六加四乘二，那第四个图形就是六加四乘三，同样乘的这个数比图形的个数少一，所以第 n 个图形应该是六加四乘 n 减一， 化简一下，六加四， n 减四等于四 n 加二，第 n 个图形有四， n 加二个白色的。当然这种题的方法有很多，我们选择适合自己的方法就可以。那今天的内容就讲完了，你学会了吗？

乐读小班课，也就是原线下学而思的培优体系，新加坡数学、高斯导引和十五这几个比较热门的数学线上思维课，我们到底应该怎么选？今天呢，给大家去做了一张表格出来啊，所以我会比较客观的以表格的形式给大家去分享一下各个 不同课程之间的区别。当然在视频的最后，也会给大家一些非常真挚的选课的意见。这里肯定有妈妈问，哎，奥妈之前推荐的火花呢？啊，火花它非常非常适合幼儿园阶段的孩子，但在这里我给大家是暑假新一年级的孩子去推荐的，所以在这个年龄段的孩子，我们的选择会以这几个为主。好，那先来看一下乐读， 那很多妈妈会说，哎，乐读我好像没听过，但如果我说原学而思的线下培优数学，大家应该都是如雷贯耳对不对？从去年的下半年开始，乐读正式的拿到了国某家批准的持证上岗的线上思维课课的证书，也就是在所有的这些课里面，只有他一个人啊，是持证上岗的。 所以大家不要觉得啊，它是个新东西。 no， no， 它是在所有的课里面历史悠久的二十三年向上历史了。那接下来看一下上课的形式。首先，乐读呢，是直播，一对十五到二十，跟他的线下培优是一模一样的人数。 下坡数学是一对一或者是一对六，十五是一对多，有一对十五到三十。还有一种是大班课，那就是一百二十人向上，我觉得这种就是尾直播课了啊。那高斯呢，它是唯一一个完全是 app 的 录播课的形式，上课的频次，乐读一周一次课，一次九十分钟向上，如 如果到了三年级，会到了两个小时左右，跟他的线下是一模一样的。十五也是这样的上课的时间和频次啊。那么新加坡数学呢，是一周两节课，一次五十分钟啊。高速我们就不说了，在内容上，嗯，除了高速导引以外，它是完全的奥某数啊， 其他的三个全部都是校内的。呃，这个学习再加上思维的拓展，只不过根据不同的班型，校内和思维拓展的部分，它占的比例是不一样的。那我们先来看 新加坡数学，它分为 c p 和 a p， 也就对应的是校内和思维的拓展，但是新加坡数学它是双语的，所以如果你没有出国的要求的话，其实新加坡数学对你来说性价比不是非常的高。那么这两个里面呢，乐读它的班型分配是 全面的，因为它历史最为悠久，线下就分为了四个班，线上也是一模一样的。那么 a a 加， s 和 s 加分别的内容我也写在这里了。而十五呢，它只有两个班型，培 u a 以及拔尖创新。那么 它所对应的培优 a 其实就类似于 a 加，那它的拔尖创新就类似于这个乐读的 s 和 s 加了啊，那高斯呢，就统一都是奥某数了， 价格上真的要好好跟大家去说一下。呃，高斯呢，是一次性买断两千多块钱，三千多块钱，根据年级的不同啊，价格是不一样的。然后新加坡和数学他们俩全部都是一百多块钱一节课，只有乐读是两十两二十二块钱一个课时，那么一次课六十六块钱， 六十六块钱，不要觉得啊，他比他便宜那么多，是不是他不好？不是的，是因为他国家不让他卖的贵啊，他跟大家几百块钱上的线下的培优是一模一样的内容。然后 课后服务方面我们来看，呃，这几个都是有真人班学的，也就是你有问题的在群里面都有真人的老师给你回答，但是乐读是除了有这些功能以外，他还会加一个小灶课。什么叫小灶课？如果你当过学而思老师是非常之卷的， 他们会把这一个月以来啊，孩子们问题最多的也就是上了课之后还是不会的东西免费的给大家去再上直播课，全是免费的。不同的老师他有的开一次，有的开两次，有的开三次，总之都会有小造课的部分啊，这个老师真的太负责任了。 最后呢就是我们的诗词了，诗词不用担心啊，全部都是清北名诗啊，尤其是十五，他为什么会火？就因为他老师非常非常的好，都是海淀最优秀的那批老师组成的。最后是我给大家的一些选择上的意见，一定要选择适合孩子自己的，不要跟别人去对比。

高考要是出现这种抽象函数题，你会不会直接发懵？这种求年份大数值的题型，上期咱们就讲过，解法就两种， 要么推导周期，要么竖列递推。不管哪种思路，核心都是咱们常用的底层逻辑负值思想。直接看题，给你一个函数关系式，且 f 二等三，求 f 二零二六。 很多同学一看到没思路，记住这类题的通用解法，三步轻松拿捏。第一步，负值求基础值， 想用上 f 二，这里就得出现 f 二，怎么能出现呢？很简单，直接列 x 等于 y 等于一， 把这个 f 二用三做替换，直接算出 f 一 得零。 第二步，负值找规律。要想利用刚算出来的 f 一， 同样这里得出现 f 一， 这个简单令 y 等于一， f 一 用零做替换。这个式子看着熟悉吗？如果你还不熟悉，那我把这里的 x 用 n 做下替换一项， 这回熟悉了吧。 f n 是 首项为零，公差为三的等差数列。第三步，透通项求值， f n 等于首项零，加上 n 减一倍的公差，公差是三， 答案用二零二六替换，右边就是三乘二零二，直接锁定答案。总结一下，先复制求基础值，再复制找规律， 最后套通向求值。牢记这套三步解题法，刚好遇到同类题型，直接可用，希望这个视频对所有考生有所帮助。

各位做数学题啊，一定要有整体思想，什么叫整体思想，今天给大家演示一下，说已知 x 平方加 x 减三十七等于零，求 x 减啊！ x 加六分之七，它的值，各位，有的同学说了，很简单啊，把 x 算出来等于多少？ 带进去不就行了吗？ x 等于多少呀？根据求根公式啊，二 a 分 之负 b 就是 负一加减，根号下 b 平方减 c， c， b 平方是一，对不对？减 c， c 加四乘三十七 啊，四七二十八，这个很复杂呀，它不是整数啊，这个姐啊，遇到这种情况怎么办？ x 不是 整数啊，你带回去，这计算量很大呀，各位注意观察啊，能不能把 x 加六看成一个整体？ 各位啊，他考察的应该是整体思想，如果把 x 加六看成整体，咱们能不能求他，求这个式子能不能变下形？变形变成什么？变成 x 加六 减 x 加六分之七再减六，你这加了个六，是不是啊？以 x 加六为整体对不对？ 那这个式子能不能啊，把 x 加六给他弄成一个整体啊？ x 加六给他配方，这个原式能不能变形变成这个样子？注意了啊，变成 x 加六的平方， x 加六的平方，你看看，这是 x 平方加上十二倍的 x， 这是 x 是 不是还在减去十一 x 啊？ 啊，因为这是加了十二十二 x 再减去十一 x 不是 和这个 x 相等了吗？这是三十六，三十六，这是负的三十七，负的三十七，那是不还再减去多少 啊？减去七十三啊，等于零，对不对呀？做确认，这样验算一下，这是三十六，三十六减七十三， 是不是三十七啊？原式是不是变成这个样子，变成这个样子还没完啊？继续变形，把 x 加六看成整体， x 加六再减去十一倍的，这不是 x 了，写成 x 加六， 这不是负的七十三吗？这是负的六十六，对不对？这是不是负的十一乘六，负的六十六，再减去多少？再减七等于零啊， 这一步能不能看明白？这是减六十六，再减七不就减七十三吗？哈？到了这一步怎么办呢？ x 加这是平方啊，做挑认真啊。到了这一步怎么办？ x 加六是一个整体，左右同时除上 x 加六，各位， 然后是不是出现这个形式了？各位啊，你看看他除他等于多少？是不是 x 加六？他除他，那他除他呢？是不是减十一啊？他除他，那他呢？是不是变成这个样子了啊？等于零。 到了这一步啊，他求的是这么一大坨减六，那他减去他是不是等于十一啊？就是他减去他是十一，就是他是十一， 这十一移过去对不对？那整体他是不是等于五呀？各位啊，这个板数有点乱，回头再来自己好好也算呀各位。

挑战二十分钟带你学会线面垂直五种核心球法，两种重点题型，零基础也能轻松拿捏。哈喽，各位小伙伴大家好，今天我们来开始讲解这个线面垂直的这一节内容。这节内容的话我们主要是给大家先通过四个方向去讲解，第一个我们先给大家去讲解这个线面垂直的判定和性质， 第二个会给大家讲到线面垂直的证明思想，第三个我们会给大家讲到线面垂直证明的一个步骤， 第四个主要讲到线线垂直的证明的步骤。好，那总共会讲到五类核心思想，两类重点题型。那首先我们来先看一下第一个知识，也就是线面垂直的一个知识。首先你要知道线面垂直的一个判定定律是什么 啊？知道之前的话你得先了解。哎，什么是线面垂直？怎样一条线跟一个面才能垂直呢？这条线要跟面内的所有线都要垂直，则线就跟这个面就互相垂直了，记法记成 l 垂直于 r 法，这是可以的。 然后他的判定定律就是我们不可能去证明一条线跟面的时候，我把所有的线去挣出来，不可能的，那我只需要在这个平面中啊找到两条相交线哎就可以了，就是我只要证明这个 l 这条线垂直，这个 平面 r 内的两条相交线就可以，这两条相交线就可以作为一个代表直接代替这个平面，这个原理是可以通过我们的向量的肌底知识可以了解到的。 那我们后期证明这个线面垂直的时候，只要证明线垂直面内两条相交线，他的一个符号语言写法就是你得先写这 fa 和 b 是 在平面内，这两个平面还得有交点， 而且并且我们的 l 要垂直 r 法， l 要垂直 b 场其对于这五个条件中最核心的就是线线垂直，就这两组线线垂直，好吧，你这五个条件够了，就能挣出来我们的线垂直于面， 这就是线面垂直的一个判定定力，大家在书写过程中肯定是要把这五个条件都要书写到。 接下来我们说一下这个线面垂直的性质定力。判定定力是什么呢？判定定力就是你现在并不知道这个线跟面垂直，你要判定证明他，而性质就是你已经知道线面垂直了，你能得到什么。那性性定力，第一个就是你要一条线啊，两条相交线垂两条平行线。 接下来我们来看一下这个性质定律，性质定律是什么？就相当于他已经知道了我们的线面垂直了，你能得到什么呢？那第一个我们来先看 他，如果是垂直同一个平面的两条线，那肯定是平行的，这就是我们的性质一了。就是这两个线啊，都跟我们这个 f 平面垂直，那则就能推出来 a 和 b 平行，那相当于你要正的就是 a 垂直 f， 而 b 也垂直 f， 那 我就能推出来 这两条线平行，那这个内容主要是用来辅助我们的线线平行的。那第二个性质就是我们可能用的比较多，但是其实它是一个定力的一个延伸了啊，它是定力延伸，定力说的是定义，说的是我们的线要垂直面，线就要垂直面的所有线，那如果一个线已经垂直面了， 是不是相当于他就垂直面内所有线了，是吧？那这个内容其实比较简单，但他在后面我们正题中证明过程中其用的比较多了。线垂直这个面了，如果这面内有个 m 这条线， 对吧？那线肯定也就垂直于 m 这条线，那你在书写过程中，你只要先强调一下这个线跟面垂直，并且这个 m 在 这个平面内，那我们就可以得到这个线 l 跟 m 就 垂直了。这后面是为了服务我们的线线垂直的，我们待会掌掌握这个五种核心思想的时候， 其实里面就有一个我们的线，这个啊，线面垂直性质定律。好，这就他的一个线面垂直的判定定律跟性质的讲解。那接下来我们就要去证明一下我们的线线垂直。刚才说了，我们的线面垂直的证明最核心的就是在证线线垂直， 其余的两个都是，其余这三个条件属于流水账，对吧？那我们先来看一下线线垂直的总共有多少种方法思路呢？ 我们这块给它整理了五类思想，那这块是石头哥自己整理出来的东西啊，这个我们一般的大本题都是能沿用这五个知识，那首先我们来看这五个知识是什么？第一个比较简单，就是它是一个等腰三角形或等边三角形的一个三线合一， 就是如果出现等腰或等边或者两边相等，那你直接取中点或者题干中有中点，那直接连线就能挣出来，线和面就垂直了，因为这个三角形 这多少三也行吧？那中点一连三线合一，这条线也就跟这条线垂直，是不是就得到了一个线垂直了？这是第一个。 第二个就是我们的几何图形的性质，那比如说正方形了，矩形了，菱形了，是吧？长方形了，这些规则图形中他的邻边垂直或者掉线互相垂直，他自带一些垂直属性的，那我们可以直接判断的，好吧？第三个就是我们的勾股定律逆定律。就如果题干中出现了这个线段长度或者边的比例， 那大家要想想，如果你三边符合勾股定律，就 a 方等于啊， b 方加 c 方，这三边都符合这样的关系了，那是不是就从而能证出来？哎，你映证那个三角形是个直角三角形了，对吧？计算三边的平方关系，满足等式即值垂直 垂直的话，就就可能就能用于我们的服务线线垂直了，对吧？所以这就是我们的勾股定 e 定律。这个前提你要看题干中如果有这个线段的长度或者是边长比例，你可能会想到这个知识，好吧。第四个就是我们的线面垂直和面面垂直的性质判判性质定律 就是你如果线垂直面，那刚才不是说了吗？线如果垂直面了，那线垂直面对所有线吗？对吧？那你就能正出来线线垂直了。还有就是面面垂直，你可以通过面面垂直能反推出来线线线面垂直，通过线面垂直再反推出来线线垂直，这完全可以做到的，有高级的一个能推出来我们的一个线线垂直。 好，那接下来到第五个就是全等和相似，那这种考题不高，但是考出来我们的一个线线垂直。好，那接下来到第五个，就是在立体图形中， 我们可能很抽象想象不到它其实能证明相似和全等，因为你正出来两组相似或全等以后，你可以通过角的一个转换，或者角的这个等价直接能得到垂直或者是我们的呃，相当于角的一个合适九十度。 所以像存在这个，何时能想到垂相似和全等呢？就存在相等的边，或者相等的角或者线段成比例，那我就可以通过相似和全等，最后通过角的一个转换推出九十度。那我们等会给大家一一把这五种思路，通过题目给大家讲到。 好，接下来我们来给大家讲解一下这个对应的一些题型。那这块我们总共讲解四道题目，包括我们的线面垂直，还有牵线垂直的一个两种题型，那线面垂直我们会讲解三道题型，那这块会囊括我们刚才讲的五种思想。那首先我们来先看一下第一道题目，题中条件给的是一个正方题， 然后他让证明的是 a、 c 和这个平面要垂直。首先我们在图形中先把这个线和面给他画出来。好，他就是让证明 a、 c 和这个平面 b e， b d， e d， 他 要垂直，那我们怎样证明呢？首先我们要证明线垂直一个面，那自然是要证明他的线垂直面内两条相交线。我们现在就肯定核心是要找到这两条相交线跟我们的已知直线垂直。行了，那 a、 c， 首先它是正方体，大家很快能想到我们这个思路，它是有一个 a、 c 是 不是就直接垂直于我们的 b、 d 了，因为它是正方体，上面这个底面是不是就是一个我们的啊？正方形，所以它俩互相垂直的，没有任何问题的。 a c 垂直， b d， 这是一条线， 那其余的另外一条线在哪呢？那我们 b d 找到了，肯定不能再找 b e b e 的 b e d e 的， 这是同一条线，它俩平行的，那我肯定先优先选择这个 b b 一， 它是正方体，是 b b 一， 是不是垂直于我们的这个底面，也就是上底面 abcd， 如果你这条线跟这个面垂直了，那你的我的 a c 是 不是肯定是在这个上底面里？那 b 一 b 一 是不是就垂直于我们的 a c 了？刚才我们讲到的这个线面垂直的性质定律， 线垂直，面线就垂直面对任意一条线，那是不是相当于我们的 b b 一， 也就 a c， 自然也就会跟 b b 一 垂直？ 那是不是这两个题目的思路就出来了？这两条线够的话，那线垂直，面线线垂直，线线垂直，然后你再把这三个条件一写，然后就能挣出来我们的线面垂直了。那我们把过程给大家写一遍。 好，接下来我们给大家把这个过程已经写完了，那我们写完过程以后，大家要注意啊，在我们的书写过程中，一定要把这个该写的要写完整，比如说他的两组线线垂直，这是第一个，这是第二个，两个线线垂直。还有你要强调两个线在面内以及我们的两条线相交，总共是五个条件， 集齐以后，那咱就能得到我们的线面垂直。而本题用到的思想就是我们证明了一个线线垂直的过程中，用到了第一个，就是用到了我们的几何性质，也就正方形的。第二，用到了线面垂直的性质定律，也就用了侧棱一根底面垂直，从而就能跟另外里面的一条线垂直了，从而就得到了我们两组线线垂直 可以了，所以核心还是线线垂直。好吧，大家一定要把它练厚。接下来看一下我们的第二道题。第二道题是一道线面垂直的证明啊，那这道题目的难度会比上面一道上升一个台阶。那我们先来看一下题目条件，题中给出了 a b c 是 一个等边扇形 哦，那我可能会想到等会可能会用到三线合一了，对吧？然后四边形 b b e c e b， 它是一个正方形，然后底 d 是 ab 的 中点，标一下 a， e， d 是 根五。 让你求证的是我们的 c、 d 垂直于我们的平面， a e a b b e， 对， 就是这个正面这个面儿。 那我们现在怎样去证明这个线垂直的面呢？那肯定是要证明线垂直面内两条交叉线嘛，那还是要找到这两条交叉线。那首先 cd 肯定会跟我们的 ab 垂直，这首先是一个三线合一的思路， 是不是 a， 呃， cd 垂直于 ab， 这是一个三线合一。好，这是没问题的。 那现在还需要再找另外一条线，到底是谁呢？ a b 找完以后肯定不会再找 a 一 b 一 了，因为它俩是平行的，是相当于同等效的，没有必要。那我肯定是要找 a a 一 或者 b b 一， 那我们肯定是倾向于我们选择 b b 一 会更好一些，因为 b b 一 的话，它是能用到我们的正方形，同时也能可能用到我们这个边啊。虽然说题干中给的这个 a、 e、 d 这个边是根五，对吧？可能等会我要采用一些相似或全的啊，相似或我们的购物定例，因为它有数据， 对吧？那你说这个底边边长是二，说明 b、 c 是 不是也是二？那 d 又是终点，那是不是 a、 d 就是 一了？ a、 d 是 一的话，那我们的 a、 a 一 跟我们 b、 b 一 长度是一样，这是二？是不是很容易能想到这块是刚好是勾股定律的？就是你的 a、 a 一 还有 ad 一， ad 还有 ad， 它这三边刚好符合勾股定律？符合勾股定律的话，那是不是相当于你的这个 ad 就 垂直于我们的 a、 a 一 了？ 但是题干中我们如果你要证明出 a、 a 一 跟 a、 d 垂直，但并不是并不能证出来 c、 d 跟它垂直嘛。所以我们 a、 a、 a 一 如果跟 a、 d 垂直了，那 bb 一 是不是跟 a、 d 也是垂直的？因为它俩是平行的嘛，所以我们这块是能证出来一个 bb 一 垂直于我们的 a、 b 或者 a、 d 都行，垂直 a、 b 吧，因为它垂直 a、 b 也就垂直 a、 d 了，那还有什么条件吗？题干中不是，我们这是个正方形吗？那 b、 b 一 是不是也仍然正垂直于我们的这个 c、 b？ 通过这两个条件的话，咱能证出来什么呢？通过这两条件，咱是不是能证出来我们的 b、 b 一 就直接垂直于我们的平面 abc 了？ 你说 b、 b 一 都跟这个平面 a、 b、 c 垂直了， c、 d 是 不是在这个边内？那是不是相当于我们就又能证出来 c、 d 是 不是也就垂直于 b、 b 一 了？ 因为你的 b b 垂直的这个侧面 abc 嘛， b b 垂线垂直面，线就垂直面内任意一条线，那 b b 一 就垂直于 c、 d 了，那相当于这两个条件够的情况下，那谁是不是能证出来我们的线和面就垂直了，那这个题目就得正了。 好，那我把过程给大家写一下，过程就给大家写完了。那主要是要先得到这个三角合一，得到线线垂直，然后再通过购物定里以及我们的这个性质， 这个正方形的性质，从而得到这两组线线，从而就能得到那个线面，就是 b b b 一 嘛，垂直这个面，从而验证出来 c d 垂直我们的这个 b b 一 了，所以这两个条件是我们的核心了。 好吧，中间是嵌套了一次线面垂直了，那你看这种题目难度就会上升一点，他会给你嵌套一个线面垂直，然后这两条线够了以后呢？从而就得到了我们的线面垂直，你把后面这三个条件再补充进来就行了。 所以，好，再来看一下我们的第三道题目，第三道题题中给的条件是正长方体中啊。然后 ab 是 四， ad 是 三， a a e 是 我们的五， m 是 我们的 a b b b 上的一个点，它告诉你 b m 的 一个长度是五分之十六了，就这段长度是五分之十六， 它让你证明的是 a m 垂直我们的 a e d e c， 它现在让你证明的是 a m 垂直这个 a e d e c 啊，这个平面，那我们怎样证明它呢？首先我们要证明啊，这个线垂直面肯定是要证明线垂直面那两条相交线的，那先找线 第一个比较明显的，因为它是个长方体，是不是它这个侧棱就是 a、 d 一 会跟它的正面这个垂直了，所以我们首先找到了 a、 d 一， 也就 am 是 垂直于 a 一 d 一 的， 因为 a、 d 垂直于我们的正面，然后线垂直面，线就垂直面的另一条线， am 在 这个面内，可以的，所以 am 垂直 a、 d 一， 这是第一个。接下来需要找线，那我们就排查一下，看 a c， a c， a e、 c 可不可以 a c 我 们先不选择，先把选择这个 d、 c 吧。 d c 的 话，我们能不能把它这个 d、 c 直接转嫁到我们前面这个 a、 e、 b 中， 就是你的 d、 c 是 不是跟 a、 e、 b 是 完全平行的？所以我直接证明这个 a、 e、 b 就 可以了，因为 a、 b 至少跟 am 在 同一个平面内，它就在我们的正视正面里面。那我现在就证明 a、 e、 b 和 am 什么关系去了。那题干中啊，大家其实可以看到这个 a、 e、 a、 b 这个三角形跟 abm 这样三角形，首先是它的都是个直角三角形，而且它知道一些边的数据，那我们就现在研究这两个三角形就行了。 a、 e、 a、 b 跟我们的三角形 abm， 那 我看能不能挣出来这两个三角形全等，可能不太可能，有数据的话，我们可以试尝试着看一下。那相不相似呢？看它两个三，两个边成不成比例。你看这个较短的边是 bm， 看你的 bm 比上这个较长边是 ab， 等不等于我们的这个 a、 b 就 较短边比上 a a b， a a 吗？ ab 比上 a、 a， 它俩相等不相等呢？相等不相等可以看一下啊，这是五分之十六，比上四是五分之四，而这边是四比五，也是五分之四，说明这个是完全成立的。这两个成立以后，说明这个三角形，这个 abm 和三角形，我们的 a eab 三角形是完全相似的。 既然相似了以后，哎，那我们可以进行倒角，看能不能最终把这个 am 跟 ab 也就中间这个角倒成个九十度就可以了。那这个角我们把它标成，这个角，标成角一，这个表就成角二， 这两角是不是相同的？月亮相似，对应角就相同，这两角相同，那角这个标成角，三角二加角三，是不是也就九十度？那所以这个角就是九十度了。 突然就能得出来我们的这个呃线线垂直了，就相当于通过这个相似通过倒角问题，然后最后得到了 am， 其实是跟我们的这个 a e b 也是垂直的，那么通过相似证出来这个 am 垂直于我们的 a e a e a e b， 那 a e b e a e b 是 不是跟 d e c 是 完全相同的？所以从而就能推出来我们的 am 也就垂直于我们的 d e c， 是 不是这个条件和我们这个条件两个条件够的情况下，是不是咱就直接能推出来我们的 am 垂直于 adc， 对 吧？那我们把过程给大家写一遍。好，我们就给大家把这个题目给它写完成了。那 首先在步骤中需要注意就是首先第一步还是先去用我们的线垂直 a e d e， 对 吧？这是我用过刚才已经说过，通过我们的这个线平行定律。 第二个通过相似倒角就证明出来我们的 am 垂直于 dc， 好 吧，这两个条件够的后，再把其余的三个条件一写就可以了。所以这道题目主要用到了相似倒角以及我们的线面垂直性质定律。 大家去看一下第四道题，也就是一道线线垂直的一个证明啊，因为我们在通过线面垂直也是能反推出线线垂直，所以我们来看一下这道题目啊。题中给的三棱柱，然后又给了一个 ab， 等于 ac 侧棱跟底面是垂直的，相当于是我们的 a a 一 啊。 b b 一 c c 一 跟底面都是垂直的， d 是 我们的终点，他说 a、 d 一 要垂直这个线， b c 一， 这 b、 c 一 在这呢， a、 d 是 在这个位置呢， 这两个是意面直线，那我要证明这两个意面直线要垂直的话，我们的核心思想就是要构造线面垂直。这就是如果一个题干中让你证明线线垂直，那我们的第一个想法就是一定要找到一个面，把其中一条线放入面内，就可以证明线面垂直，通过线面垂直性质 反推出我们的线圈垂直。那现在就要逐一查一查，排查一下，我到底要把哪个线放入哪个面呢？你把 a、 d 一 放入哪个面？ a d a d 啊？把 a d 放哪个面？ a d 放入 abc 吗？还是把 b、 c 一 放入哪个面内？ b c 一 可能现在更更更合理更直观的应该是放在 b 一 c 一 cb 中，感觉就能跟 a d 垂直，所以我们就先尝试这个最可能的，就先把 b、 c 一 给它放入我们的平面， b 一 b c c 一 中。好，那我们只需要证明 a d 垂直这个平面， b b 一 c 一 c 就 可以了，如果你能正出来这个线和这个面垂直，那你的 b、 c 又在这个面内，那自然你的 ad 就 跟 b、 c 垂直了。 那我们接下来看一下我们的怎样证呢？现在要证明线面垂直，我们还是跟刚才一样，是不是？我们主要还是要五个条件，先找到两条线线垂直，那 a、 d， 你 这刚才这是有个等腰三角形吗？ ab 等于 ac， 然后 d 是 终点，三线合一，直接有了 a、 d 垂直于我们 bc， 那还有一个线，它题上中不是告诉你侧棱是跟底边垂直的，侧棱跟底边垂直，侧棱跟底边垂直，或说明它直棱住，直棱住的话，那你的侧棱跟底边垂直了以后，你的 a、 d 是 不是在底面 abc 里面，那你 b、 b 也就跟你的 a、 d 也就垂直了，所以相当于 a、 d 也还跟 b、 b 垂直。 它这个题目的证明线面垂直，它这个题目的证明还是比较简单的，就这两条线，一个 b b 一 跟 a、 d 一 垂直，它这个题目的证明还是比较简单的，就这两条线，一个 b、 b 一 跟这个平面就垂直了， 那从而你的 a、 d 也就垂直 b、 c、 e 了。那我们这种题的核心就是你应该先要找到那条面，把那个线放入面内就可以了。 好，那我给他把过程写一下，这道题我们就给他写完。那这块的话，他主要的思想就是构造线面垂直，然后你过程中只是用了一个非常简单的一个三角形，以及我们的这个线面垂直的一个心与定力就可以了， 生出来我们的线面垂直，从而就能推出来线线垂直。那这道题目主要用的想法就是三线合一以及我们的这个线面垂直的一个性质理想。了解更多的高中数学的知识可以关注石头哥，后期我们会给他更新更多的系统课程。好，拜拜。

我们在初中阶段呢，在初一的时候就开始接触到最基本的方程了，那这个方成本身它到底跟函数是一种什么关系呢？而我们在初中阶段到底应该如何来理解函数与方程之间的关系，以及他们之间的相互转化呢？我们先来看一看最基本的内容。我们在初一的时候，我们就学过了 x 加一 等于零，如果在一个等式中含有未知量，而且未知量的次数是一，而且只有一个未知量的时候，那么这个时候它叫做一元一次方程。那么这个方成本身它是不是函数呢？这个不一定。首先我们要知道什么叫做函数。我们在初中和高中阶段，对于函数的定义是 对于 x， 也就是自变量的每一个值， y 的 值， y 的 值也只能有唯一的一个 y 的 值，它当然可以相等，但是必须只有一个，这就是我们对于函数的定义。那么对于这个方程来说，它是不能构成一个函数的， 那么它如果转化出来以后是 x 等于负一。在平面直角坐标系中，我们画出它的图像的话，它是一条矮于外轴平行且经过负一这条直线，这条线上 x 等于负一，那么它这条直线上的所有点，那么它的纵坐标都是不同的，它横着的都是负一，就违背了咱们之前对函数的定义了，它对于函数的每一个值有无数个外与之相对应的，所以这时候就不是函数。 那我们再来看，当我们学完了不定方程这个概念的时候，我们得到了 x 加 y， 比如说等于三。在有些版本中我们讲过不定方程，但是在有些版本中我们没有讲不定方程。什么叫做不定方程呢？就是说我得到的一个方程啊，这个方程未知量的个数是高于方程的个数的。这句话怎么理解？ 我们知道有几个方程应该可以解决几个未知量的值，所以我们学过方程组二元依次方程组中需要有两个方程才可以。也就是说，如果现在我写成这个形，看 x 加 y 等于三，并且 x 减 y 等于负四， 这两个方程可以构成一个方程组，这个方程组的解是可以解出来的，也就是说我们会找到一组唯一的 x， y 的 值，使得这个方程组成立。那么如果现在我们去掉其中的一个方程， 就剩下了 x， y 等于三的话，那么此时在这个方程中有两个位置，但是只有一个方程，所以我们不能解除这个方程的唯一解，但是我们会找到无数组解， 那么这样的方程呢？就叫做不定方程。那么这个不定方程的每一组 x， y 的 值，它所对应的不就是函数 y 等于负 x 再加三上的每一个点吗？这两个东东本质上没有区别。左边这个东西我们看成一个方程这个方程中的每一个值，比如说 x 等于一的时候， y 是 二，这一组解， x 等于零的时候， y 是 三，这也是一组解， 那么这些解不就恰恰都在这条直线上吗？所以大家想这个问题，不定方程是可以转化成对应的函数的，但是并不是一定能转化，我刚才说的是可以转化，那么什么时候它一定能转化呢？还是必须得满足函数的基本定义， 对于 x 的 每一个值外，只能有唯一的值，与值相对应。也就是说我画出的图像啊，对于每一个 x， 它所对应的外值必须是唯一的。那我画一个反例，比如说有一个函数，它长成这样，那它能叫做函数，至少在课内的程度上，我们不能叫做函数。 我们在初中和高中阶段，包括大学研究的主要是单值函数。就刚才我说的概念啊，对于每一个 x 只能有一个 y， 但是对于这个图像来说，比如这有一个 x， 这是一个 x 零吧， 这是 x 零，它所对应的 y 值有几个呀？它就有两个，那么这种情况下就不叫做函数了。也就是说什么问题啊，有一部分的不定方程，它是可以和函数直接进行转化的，但有一部分它不能直接转化， 咱们去研究这部分能够直接转化的内容。对于能够直接转化的不定方程来说，那么此时不定方程的每一组解都是它所对应函数上的一些特定的点呀，这就是函数和方程的最基本的关系。 不定方程和函数能够转化成函数的不定方程，和它所转化出的函数之间一定是一种对应的关系。这是第一件事。那么第二件事情，我们在初中阶段如何来去应用这个来解决问题？咱们来看一个简单的问题， y 等于 x 加一，这是个一次函数，而 y 等于 x 分 之 k 加一。并且我告诉你了， k 是 不等于负一的，这是一个反比例函数。 那我让你现在去判断，当 k 取何值时，这两个图像他们有两个交点，有一个交点，还还有没有交点的情况， 也就是说我需要大家讨论的是当 k 去不同的范围时，这条直线和这个反比例函数，也就是双曲线它们的交点情况。一般来说大家都会这么做题，我把它们连立 x 加一等于 x 分 之 k 加一，然后整理成整式方程，变成了 x 方，加上 x 减去括号 k 加一的和等于零。 然后咱们利用二次方程的十根的存在性问题啊，就是倒数的解决问题，那么现在倒等于谁呢？等于 b 方减去 c， a， c 就是 加上一个四倍的 k 加一，也就是四 k 加五。 学过二次函数的同学都知道，当 delta 大 于零时，也就是说当 k 大 于负的四分之五，并且怎么样， k 是 不等于负一的时候， 那这个时候怎么样？它是有两个不同的交点的，这个方程有两个不等的时根，对应出这个方程有两个不等的交点，也就是说这两个函数有两个不同的交点。我们得到了第一个的结论，那么同样的，当 delta 等于零时呢？也就是 k 等于什么？等于负的四分之五时，那么此时 这个方程有两个相等的时根，那么这两个函数有唯一的焦点只有一个，而当它小于零时，也就是 k 小 于负的四分之五的时候，这个时候是没有焦点的。这个就是我们直接用方程的思想来解决问题，可不可以呢？当然可以，非常好。那这个题目有没有别的方程呢？当然也有，大家来看这个方程， 我希望大家在理解方程的内容的时候，一定要把方程和函数对应起来，对于这个方程来说，它能不能转化成 x 方，加上 x 减一是等于 k 的， 也就是说左边看成一个二次函数，然后右边看成一个长函数。什么叫做长函数呢？ y 等于 k， k 不 等于负一，它表达的是一条与 x 轴平行的直线，只要不和 y 等于负一重合就 ok， 而左侧呢，是一个二次函数，那这个二次函数的图像我们会画呀，如果这是一道选择或者填空题的话，大家可以这个二次函数它大概的形态我们是能画出来的。 开口向上，对称轴是负的二， a 分 之 b 也是一，所以对称轴负的二， a 分 之 b， 那 就是负二分之一了， 大概在这个位置上，然后它的开口又向上，与 x 轴是产生交点的，并且它的最小值也就是它的顶点的纵坐标应该是四分之一，减去二分之一再减一，那不就是负的四分之五吗？所以说它的图像画出来之后，大概是这种形态，来咱们简单的画一下啊。 那么此时这个 k， 它是一条与 x 轴平行的直线，那么你会发现什么时候这条直线会和这个 x 函数产生两个交点呢？我们就知道了，当然是在 k 等于多少负的四分之五， 且 k 怎么样不等于负一时有两个不同的交点，那么相应的什么时候只有唯一的一个呢？当然是 k 等于负的四分之五的时候，此时你的二次函数的图像和 y 等于 k， 也就是 y 等于负的四分之五，这条直线恰好相切，那么 k 等于负的四分之五时，只有一个， 那么相应的 d， k 怎么样？小于负的四分之五十，当然就是没有交点的，所以大家发现，那么我当然可以用于二次方程的求根公式来判断二次方程的根的问题。我也可以通过函数与方程的转化，将其转化成一个二次函数和一个长函数的交点问题， 这个是大家一定要注意的，我们要能够把两个函数的焦点先转化成一个方程的根的问题，这一步是一定有的，然后进行转化以后把式子进行变形，变成了这个形态，对吧？变成这个形态之后呢，它是一个整式方程了， 相当于我要研究什么，我要研究这个方程的根，此时你又发现我又可以将这个方程转化成新的两个函数的方式，那么这些方式可能都对题目可以进行解决了， 你可以到这以后就直接利用单解决问题的，也可以变成两个函数，交点之后直接画图解决问题。那么哪个更方便呢？看题，但是这些方向你必须都要知道，我们在解决一些复杂问题的时候，可能其中的某一个方向是走不通的，那么你一定首先知道另外一个方向，并且还能知道我可以去这么走，并且知道后面走的过程中我应该怎么操作。 所以大家发现，其实我就是把 k 放到一侧，然后左边是一个固定的函数，直接看焦点就好了。有同学就一定会问我说，老师，那我这么写行不行？我写成 x 方加 x 等于 k 加一， k 加一，我看成一个长函数，这边这个函数好画对不对？它故作高远点啊，它更好画一些，这样行不行？当然可以，非常好，没有问题啊，然后有赔偿，我可以不可不可以让它变得更好看一些？变得更好画一些？变成了 x 方，加上 x 或怎么样？我这加了四分之一， 而右边变成了 k， 加上一个啥？四分之五，我左边写成这个形态以后，它是一个什么完全平方式，它变成了 x 方，再加上它变成了一个 x， 加上二分之一的什么平方，它等于 k 加上四分之五。那这个图像我更好画，我去画 x， 然后 k 加四分之五呢？看一条与 x 的 平行的直线，我再做题，可不可以？当然可以，你可以对它进行任意的变形， 只要变形之后能够轻松的帮你解决问题，那当然就是好。所以大家要理解啊，咱们说的函数与方程思想的第一个逻辑就是刚才我说的件事情， 两个函数的焦点可以看成一个方程的根的问题，而一个方程的根的问题自然也能看成两个新的函数的焦点问题。那么你所分离出的新的函数，最好有一侧的函数，它是不含参数的，为什么？因为这个函数的图像是固定的，你是能够画出来，而另外一侧是一个含参的东西，它是一个长函数，这样我们就很容易能解决问题了。 ok， 函数与方程这思想，大家去仔细的理解啊，仔细的理解，那么我再往下多说一点点，大家来看这么一道题， a 加 b 加 c 等于零，我同时告诉你， a 乘 b 乘 c 等于二，而且 c 大 于零，我需要你干嘛？需要你证明？ 我需要你证明的是 c 大 于等于二，这个题目该怎么做？刚才咱们聊了函数与方程的关系，那么接下来在很多的特定题目中，可能这个方程或者说这个函数啊，没有直接给你， 那你能不能去构造一个方程出来呢？这道题目已知了两个条件， a 加 b 加 c 为零， a b c 等于二，所以我们自然就知道了 a 加 b 等于谁呢？等于负 c 啊， 我们也知道了 a b 是 等于 c 分 之二的呀！同学们，这两件事都知道了，来，孩子们告诉我这两个事，知道了一个看到了两个数的和为一个值，两个数的乘积为另外一个值，让你们想到了什么？听过我前面讲这个一元二次方程的根的证明过程的同学一定会意识到，哎，这不就是一元二次方程的伟大定律吗？ 所以，如果我们现在设一个方程的 x 方加上 n i x 再加上 n 等于零，并且告诉你，这个方程的两根就是 x， 一 等于 x， 二等于 b， 那 这个方程我自然就可以写成 x 方，加上什么？加上 a 加 b， 我 们当然知道是负，所以 a 分 之 b 的， 所以 a 加 b 就是 负 n， 而 a 乘 b 是 谁呢？是 a 分 之 c 呢，就是 n， 所以 我就可以把方程写成 x 方，减去什么 a 加 b 的 x 再加上 ab 啊， 到这你会发现，哎，和前面的内容结合到一块了，思维只要通顺下来，你会发现你会做题非常的舒服，有一根线能把它们都穿起来。知道这件事情之后，那么一加 b 是 谁呢？是负 c 啊，所以就变成了 x 方加 c， x 再加上一个 c 分 之二等于零，那么这个方程是有根的。既然方程有根，说明从方程的角度来说，等于 b 方，也就是 c 方减去 c， c 就是 c 分 之八大于等于零。 由于 c 大 于零，不等式两边同时乘以 c， c 的 三次方大于等于八，所以 c 当然大于等于二。这道题目正完了，这就是构造了一个方程，然后利用方程来解决问题。好，那刚才我说了，既然有方程， 那能不能用函数的思想来解呢？当然可以，我把它看成什么？看成一个新的二次函数，也就是 y 等于 x 方，再加上一个 c， x 再加上 c 分 之二。这个二次函数，如果它 与 s 轴有交点的话，就意味着原始的方程是有根的，也就是说这个开口向上的二次函数的最小值，也就是说它的顶点一定在 s 轴的下方， 所以问题就变成了总它的顶点的动作标小于等于是不是又从方程的角度转化到了函数的角度？就这种转化逻辑和转化方式，大家要非常的熟，你只有足够熟练，在做难题的时候，你才能够轻易的找到比较简单的路径，而不是只有一条路径来解决问题。 那么既然要求顶点的纵坐标，我们当然要知道顶点的坐标公式，那么这个问题呢？虽然我结果没有证啊，但如果你学过二次函数的话，你会知道，对于 a x 方加上 b x 加 c 这个二次函数来说，那么它的顶点的横坐标就是负的二 a 分 之 b， 而纵坐标就是四 a 分 之四 a c 减 b 方。这个证明非常简单， 我们只需要把横坐标，也就是对称轴所对应的这个值代入到原来的函数中去，这么大家就知道，所以对这道题目来说，四 a 是 谁呢？那就是四 c， c 减 b 方就是 c 分 之八减去 c 方还要怎么样？小于等于零啊， 既然是小于等于零的话，说明 c 分 之八减 c 方小于等于零呢，也就是 c 一 的三次方要大于等于八，当然也就是 c 一 要大于等于二的，当然也就证明出来了。所以我需要大家在理解了函数与方程的思想之后，一定是能够进行相互之间的转换，这个转换要足够的顺畅， 要多做练习。当你明白了我跟你讲逻辑之后，大家自己去试一试，你自己随便的写一个含餐的二次方程，或者含餐的一个分式方程，把它能不能看成两个函数的焦点，那么大家一定要自己下来做练习，你们可以自己去写，你可以写一个含餐的二次方程，当然也可以写一个含餐的分式方程， 那么在求这个二次方程或者分式方程根的过程中，你要意识到我完全可以把它看成两个函数的焦点来处理问题，当然是可以。 ok， 那 么这个过程我给你讲清楚了，大家下来一定要自己进行练习。 思维告诉你们了，训练你们要自己多做一点，而且在做到这些问题的时候，有意识的向着不同的方向多去思考，锻炼这种能力。那么未来你遇到一些难题的时候，你发现其实没有那么的复杂，包括咱们之前说过的维达定律和什么呀？和我们的二次方程中的特定线段的关系，你能不能意识到呢？ 简单的我举一个例子， a x 方加上 b， x 加 c 等于零，我告诉你， a 不 等于零。这个方程的两根如果交做 x 一 和 x 二的话， 那么 x 一 减去 x 二，我们可以通过伟大定律证明出，注意，它等于根号下什么呀？ x 一 加上 x 二的平方，减去一个四倍的 x 一 x 二，那么我们就自然就知道 a c 加 x 二等于四的 a 分 之 b 啊，就是 a 方分之 b 方， 再减掉一个四倍的 a 分 之 c， 最终的结果就是根号下 a 方分之 b 方减去四 a c 好， 我们把它再进一步的取的，它就变成了 a 的 绝对值。分之 b 方减去四 a c， 好， 我们把它的表达的是什么？ 表达的是一个二次方程两根差的绝对值， ok。 那 么对于如果有一个和它一致的二次函数， a， x 方加 b， x 加 c， 也是 a 不 等于零。当然，对于这个方程和这个 x 函数中的 a、 b， c 我 认为是相等的，那么它与 x 轴的两个交点不就是 x 一 零和 x 二逗号零吗？那么这个式子在这个二次函数中所蕴涵的内容是什么？它所表达的几何内容是什么？ 就是这个二次函数， ok， 如果与 x 的 交点叫做 a 点和 b 点的话，那得到的不就是 a b 之间的距离吗？ a b 这段线段的长度吧， a b 就 等于 x 减去 x 二的绝对值，那应该就是 a 的 绝对值分之根号下边点。 所以你发现，哎，对于一个二次方程来说，它的根系之间的关系似乎也能对应到二次函数中的特定的线段或者特定的其他关系中去， 这就是我们对于函数与方程的理解。所以在今天大家听完这一讲之后，如果你还在上初一或者初二这一块内容，可能你听的有一点点不明白。没关系，两种解决方案，第一种你现在立刻马上拿出你的书去看一看一元二次方程和一元二次函数到底在讲什么内容，你马上就能听懂。 如果你学了二次函数的话，这一讲听完，我需要你尽快的下来做一些练习，把这个思维直接给他贯通下来，你再去做一些难题，你发现你的视角马上就不一样。 ok， 好， 那咱们今天啊，这一讲咱们要说的函数与方程的思想，咱们就。

服装厂计划生产一批服装，上半月完成计划的四分之三，下半月完成计划的五分之二，服装厂超额完成了计划的几分之几。我们遇到这种题型呢，不要着急给他去做，我们先看题中的一致条件，我们先把这个 生产一批服装的这个整体的一批服装给他看做单位。一， 上半月他完成了计划的四分之三，下半月他完成了计划的五分之二， 这是两个已知条件，他说的是超额完成计划的几分之几。那么我们就先将上半月完成的四分之三和下半月完成的五分之二给他先加起来，就是整个月完成的 四分之三加五分之二。来，我们先给他进行一个通风， 十五加上二十分之八，等于二十分之 二十三，所以整个月他完成了二十分之二十二，二十三，然后呢，我们他说是求的是超额完成的，我们再用二十分之二十三减去一个一批服装的单位，一 就等于二十分之二十三，减去二十分之二十分之二十，他就相当于一化减的啊，然后他就等于二十分之三。好了，同学们，你们学会了吗？记得点赞关注哦！

预计还从飙富和浪漫都尽 量。不是也有这种经历。天，某一档心理魅力子某一的屁股扎紧，还没开始算。

这种题型求通项公式用什么方法呢？用累加法。这种题型求通项公式用什么方法呢？ 用累乘法。这种题型求通项公式又要用什么方法呢？可以用带丁系数法。这种题型求通项公式又要用什么方法呢？不动点法。这个竖列求和用什么方法呢？ 用列项相消法。遇到等差乘等比的题型，用什么方法求和呢？用错位相减法。遇到等差加等比的题型，怎么竖列求和呢？ 可以用分组求和法。遇到这种情形用什么方法求和呢？用倒序相加法。最后大家可以看一下我们的平方和立方和对应的公式。

高考倒计时了三分钟，学会函数思想，跟着我的思路走，全程没有任何废话。我们来拿下函数思想，我们来看这个题啊，已知函数 f s g s f a 等于 g b 等于零，下面说法哪个正确？那么拿到这种题目之后，很明显他考的是函数里边的划归，以及函数思想 怎么做。我们来看啊，四个选项里边围绕的是什么？函数零点以及不等式的问题。那我们来找找函数零点啊。 在这里边， f s 对 应的是指数加上一个一次，它很明显是一个单调递增的函数，然后 e s 的 话是一个对数，加上个一次，它也是单调递减。我们说单调函数存在零点叫什么？叫至多有一个什么意思？一个或零个，比方说指数就没有啊，那所以在这里边我要找出的零点，我们来看一下哈。 零点是什么？零点是令它等于零，我们令 r f x 等于零，我可以得到谁？ e 的 x 次方等于一个 f x 加二。那么同理，在这里边，我令 g x 等于零，相当于得到了 l x 等于一个 f x 加二。 这俩函数长得好看不？相当好看，哪一条好看？我们来看啊，前面的话，第一个的话是指数，第二个和对数。指数和对数永远是好朋友，为什么反函数反着来，是不是啊？来，我来看啊，我们建立一个直角坐标系 x y， 那 么指数指的是什么？单调递增啊？ e 的 x 方增上去，它对应的是 e 的 x 方， 然后的话对数 y 也是一个单调递增的函数，中间加了一根线，长得很漂亮，叫什么？叫 y 等于 x。 所以 我们来看一下这条直线在哪？ 第一个点坐标指数过了一个零对一，他过了一个一对零和谁交？和直线交，这个直线在斜力取的负一 y 就是 的截距取的是正二。好，这条直线 y 等于 f s 加二，所以画图在数学里边叫什么？叫瞪眼法啊？我们来看这个位置的话，有一个点取的是谁？他的零点，所以这根直线叫什么？ y 等于 f s， 所以这个点坐标我是不是可以求出来这样写，一对一，当 s 取一的时候， y 取一，那么这里边 a b 是 什么关系？对称关系。为啥呀？关于 y 的 s 对 称，所以它是一对一，那说明什么？哎，那说明它取的是二啊。这是第一问，这是选项 a， 那 接下来的话，我们来看选项 b， 选项 b 考察的是什么？ 不等式，那么在这里边的不等式有什么特殊的？你看这个 a b 恰恰是 f x 零点。好，那我们来找找零点在哪里啊？对于选对于这个 f x 来说，我们说 f 零对应的是 e 的 零次方加上一个零减二，那么 e 的 零次方是 e， 它是一个负的。我们继续往下走， 在这里边的 f 一 等于一，加上一减去二 e 二点七，它是大零的，有正有负， b 乘零点， 所以在这里边 a 的 取值范围取的是谁？取的是大于零小于一，也就是说在零到一上，它一定有零点。那我们来看看 g x， 那 么 g x 的 话定义是零到正无穷。好，我们取一个 g 一， g 一 乱一是零一减二，它是个负的，那接下来的话，我们取一个 g 二， g 二在这里边相当于，是啊，乱二，乱二是大于零的，有负有正， b 穿零点，所以在这里边 b 的 取的是小于二，那这里边取的是谁？ g a g a， a 在 哪？ a 在 零到一这个范围，所以在它的左侧，从二开始二，一到二中间有零点。我们来看它零点在哪啊？它是个单调递增的函数，在这里边一这个位置取的是负的，二这个位置取的是正的，说明一到二上取的谁，取的是 b， 那 a 在 哪？ a 在 左侧， 所以在这里边相当于 a 这个位置 b 为负， a 这个位置 b 为负，那它小于零，那 b 这个位置的话相当于谁？是它的零点？是它的零点，是 g x 零点，而这个 b 的 话怎么办？比二小，比一大。我们来看 f x 函数是个单调递增的，它的零点在哪？零的位置取的是负的，一的位置选的是正的，它的 a 在 这，所以 b 在 哪？ b 在 后边， f b 一定是正的，所以选项 b 也是正确选项。那我们来看 c 选项，这个 b 选项是教材里边讲的，有正有负， b 穿零点。零点存在性定律啊，零点存在定律都是实根法。 然后的话，我们来看四 d 选项。四 d 选项这个式子怎么办？我们要求的是 e a 和洛安 b， e a 和洛安 b 什么意思？把它俩加起来啊？那我们说它既然是零点，来 往下写了啊。我们说这个 fa 和这个 g b， 既然零点相当于谁？相当于 fa 等于 e 的 a 次方，加上个 a 减去二，它等于几？它等于零，然后在这里边的 g b 就 等于洛安 b 加上 b 减去二等于零， 那么在这里边它俩相加，我把这两个式相加，相当于 e 的 a 次方加上一个 lo and b 就 等于谁？等于四减去一个等于四减去一个 a 加 b， a 加 b 取的是二，所以 c d 选项应该是怎么办？等于二 这题考了什么？我们把这题总结一下。这题考了什么？第一个他考了反比例函数啊。反比例函数最大的特点是什么？关于中间这根线对称，然后的话，这是第一个考点。第二考点考了什么？零点存在性定律。第三个考了什么？单调函数里边的什么呀？比大小，单调函数里边的比值，比函数值。 第四个的话，我们考了这种不等式，或者说叫等量关系，等量关系相互转化，转化与化为微似像，这是整个函数似像。这道题火上眉毛了，马上高考了，一定要把它拿下。

什么叫做横向迁移思维呢？咱们在前面的横向迁移思维中曾经说过，我们的横向迁移思维指的是在同一个抽象概括水平下，我们对问题的研究，包括四则运算的加减或者乘除， 以及他周边同一水平下的思维的延展。那么什么叫做横向迁移呢？是我们在不同的逻辑概括水平下，对问题的连续的研究过程，或者说连式的研究思维。咱们呢，还是通过一个例子来疏明这件事情，而且这件事情对大家未来的中考以及高考都是有帮助的。 我们现在看第一件事，我们在初中阶段呢，就开始学习函数了，那么对于函数的学习来说，我们学的第一个函数叫做一次函数，那么一次函数他们举个例子，比如说 y 等于二， x 加一，那么这个一次函数它的基本形态我们叫做 y 等于 k， x 加 b。 其中呢，在初中阶段，我们认为 k 是 不等于零的，这个 k 我 们叫做什么呢？叫做斜率，而 b 我 们叫做什么呢？叫做截距。 如果我们说的更加准确一点的话，它应该叫做纵截距，这个 b 表达的实际上是这条直线以 y 轴焦点的纵坐标，也就是说我们知道这条直线呀，它有两个参量，一个叫做 k， 一个叫做 b。 那 么真正决定这个直线的形状的这个参量是谁呢？ 我们当然知道这个 k 啊，决定了这条直线的倾斜程度，并且我们也会知道随着 k 的 变大或者变小，它的倾斜程度的变化情况。如果现在 k 大 于零，那么大概的情况就是这样子的，这是一个 k 大 于零形态下的一次函数，那么随着 b 的 变化，实际上这条直线该怎么办？它其实相当于在平移， 向着上方或者下方进行平移，也就是说，整个一次函数的形态只由 x 的 系数来决定。那么咱们接着往下来思考这个问题，我们学完了一次函数以后，我们还学了什么？我们还学了二次函数， 那么对于 x 函数来说， y 等于 ax 方，再加上 b， x 再加 c， 在 a 不 等于零的前提下，我们发现 a、 b、 c， 我 们有三个系数， 那么这三个系数谁是真正决定二次函数形状的呢？只有 a， a 决定了什么？ a 决定了整个二次函数的形状， 它的开口以及什么开口方向以及对称的大小都是由 a 来决定的。而 b 和 c 决定了什么？ b 和 c 决定了它的具体位置，比如说它对称轴在哪啊？比如说与 y 轴的交点是谁啊？与 x 轴的交点是谁啊？那么也就是说，如果两个二次函数的二次相， c 数是一致的， 比如说 y 等于 x 方和 y 等于 x 方，加上 b， x 加 c， 在 a 不 等于零的情况下，这两个函数的形状是怎么样的？完全相同的。 既然完全相同，也就是说前面这个函数能够经过平移之后，与后边这个函数是完全重合的。现在大家发现啊，如果在一次函数中，我们已经知道了，哎，这个 x 的 系数 是决定了形状的，那在二次函数中呢？是 x 方的系数决定了形状。那么对于一次函数中的 x 和二次函数中的 x 方，不就分别是这两个函数中的自变量的最高次密，那么这个最高次密的系数 决定了函数的走势，你看两手是怎么样的？是同于的，那么我们口型呢？接着想，那么三次函数也是这么确定的吗？ 四次函数、五次函数也有同样的规律吗？这就叫做横向迁移的思维。当我们在一次函数和二次函数中找到了这样子的一个规律，我们发现 x 的 最高次幂的系数 啊，决定了什么？决定了这个函数的形态，那么三次函数、四次函数、以高次函数，逻辑上是否也相同呢？这就是我们需要思考的问题。那我们在思考这个问题的过程中，利用这个图像的走势，我们就能解决一系列的问题。比如说大家来看，咱们解一个不等式， y 加一大于零，这个不等式大家都会解， 那么我可以把一直接挪过去，变成负一，结果就是 x 大 于负一，当然没问题。那这个题目也可以看成什么呀？我可以画出直线，哪条直线呢？ y 等于 x 加一，它大概的形态是这样子的，那么在 x 轴上方的部分就是 x 加一大于零的情况，那么在 x 轴下方的部分就是 x 加一小于零的情况。所以我们只需要确定 y 等于 x 加一与 x 轴的交点不就标就好了。 那么这条直线 y 等于 x 加一与 x 中的交点，不就是负一零吗？所以在负一的右边， y 等于 x 加一都是正的，所以它的结果就是 x 大 于负一，这个时候是 x 加一大于零的。 而同样我们知道，如果是 x 小 于负一的时候，那么 x 加一就是怎么样就是小于零的，当然 x 等于负一的时候， y 等于 x 加一就等于零，那我们把这件事情类比到或者说纵向迁移到二次函数上，假定 x 函数可以因式分解，它分解之后长成了这个样子， s 减一乘以 s 减二大于零，我要解这个不等式，很多同学就跟我说，老师我没学过解 s 不 等式，但真的没学过吗？我们在初中阶段真的出的这样的一个不等式，你难道不能解决问题吗？不是这样子的，大家来看我同样还是怎么样？用跟刚才一样的方法，我去画出二次函数的大概图像， 你会发现这个二次函数与 s 轴的交点，一个叫做一零，一个叫做二零，并且开口向上，所以它大概的形状是不是长成这样子， 那么跟前面的逻辑是一样的，如果现在在 x 轴下方的话，那么这部分的图像所对应的纵坐标必然大于零，而在 x 轴下方的图像，这部分图像的纵坐标已经小于零了。所以你发现我只需要找到这二次函数与 x 轴的两个焦点的横坐标就可以啊。 所以这个东东最终的解就是 x 大 于二或者怎么样 x 小 于一啊。那咱们再来写一个，如果变成了负 x 加一乘以 x 减三大于零头， 我先找到这个二次函数与 x 的 交点，那么很明显这个等于零的时候， x 对 应的只是一以及三，那么咱们先把一和三标出来， 我们在画出这个 x 函数大概走势，注意开口是向下的，因为二次项的系数由负 x 乘以 x 产生，是负一，所以它大概的造型是这样子啊，都不用画同一准， 我们就可以读出。你发现，哎，当这个 x 轴上方的图像是什么的时候，是大于负一，小于三这个范围的时候，我们的 y 的 取值，也就这些图像上点的纵坐标的取值一定是大于零的，所以此时 x 就是 大于谁的，大于 e 小 于三的。那我们就学会了一种什么解高次不等式的方法。 我同学又说了，老师你看一次二次图像我们都学过，对不对？我们在初中阶段，我们至少还是会画一次二次的，那遇到一三次该怎么办呢？还是一样的纵向前移的思想，我们得到这样的不等式， x 减一，乘以 x 减二， 再乘以 x 减三，加定大于等于零。我要解这个不等式，如果你不会这种思维的话，你就得分类讨论， 有三个数相乘大于等于零，哎，要么这三个式子都是正的，或者说呢，在这三个式子中，有两个负的，一个正的，那么这三个式子有一个负的，两个正的或者三个负的都不行。所以这两种情况呢，分别在讨论就非常的麻烦。但如果你能理解刚才我说的这个逻辑的话，咱们再来思考思考，我现在知道了一个三次函数，对吧？ 那么我现在画上一条竖轴啊，我连纵坐标都不画啊，我连外轴都不画，就画一个竖轴，这里是一，这里是二，这里是三。首先我们知道，如果这个式子为零的话，也就是说 x 减一啊， 乘以 x 减二，咱们再乘上 x 减三，如果它等于零的话，那么 x 等于一或者是二或者是三的， 那么也就是说这个三次函数必然经过一零二零三零的三个点，那么它的具体走势是怎么样的呢？注意还是看它的最高次密的系数， 如果它的最高次密是正的，大家注意，也就说 x 的 三次方的系数是正数。我们把这三个式子成态，发现 x 三次方的系数是一的，是大于零的，如果是这种形态下，它的图像大概是什么样的？跟我思考一下，找一下规律。大家想啊，那么如果现在 x 是 一个非常非常大的数， 对吧？这个数多大呢？不知道，一万一亿都可以非常大，那此时 x 减一是不一定正的， x 减下也是正的， x 减三还是正的，所以就是说，哎，经过三以后，他一直是往上走的。同样的逻辑，如果他小于一的时候，我们再来试，比如试个负五负六负八都行，随便啊。但这以后你发现，哎，好像都是负的， 那么中间的话，你想大于一小二的时候，我们就可以连接了，对不对？把它平滑的连接起来，当然如果这你不放心，你还可以拿个数试一试它大概的走势是不是这样子。 所以我们就会发现，如果三次函数的最高次幂的系数是一个正数的话，那么当 x 趋向于无穷，正无穷的时候，这个函数的值也必定趋向于负无穷。那么当 x 趋向于负无穷的时候呢？这个函数的值也必定趋向于负无穷，那么中间这些与 x 的 交点平滑的连接就好了，这不就画出大概走势了吗？ 要想它大于等于零，要的就是什么？在 x 找到上方，包括 x 轴上的点，不就是这些位置吗？所以最终的结果不就是 x 大 于等于一，小于等于二，或者怎么样？ x 大 于等于三，这就是呢？那就通过这些了，这四次怎么办？完全相同， 这就是我们通过对于一些问题的研究去推广出一类方法，往深了走，这叫做纵向下移。我们知道了一次函数，学了二次函数，能不能猜一猜，三次函数怎么办？那么四次函数又该怎么办？ 有，他这时候肯定会问说，老师，你看你这个，这个已经能写成这个形态了，是吧？你知道了与 x 轴的三个焦点分别是谁？那如果不知道呢？不知道，求根呗。 也就是说咱们以二参数为例哈，现在变成了 x 方减掉一个四， x 减二大于零，我这个怎么解啊？ 你回想一下刚才咱们说的了记，我要找的不就是这个函数与 x 轴的两个交点的作对吗？那么也就是说找 x 方减去四， x 减二等于零的根，这个你学过，减对是根号，是负 b 加减根号下 b 方，比方是十六， 减去四乘以负二，那就加上一个八，所以最终的结果是二分之四，再加减二十四开根号二倍根号六，也就是二加减一个根号六。 那么从我们的图像上来看的话，这里是二减根六，那么这里就是二加上一个根六。开口向上，我直接可以读出答案， x 应该大于二，假根号六，或者 s 小 于二减去根号六。这不就是非常完美的，非常通顺的解法吗？ 三次函数也一样，只要你能求出根就没有问题。而求根的事是原子分解，包括我们前面说的整式运算的内容啊，就方程的内容， 所以在这个思维中，我想大家明白的是，当我们在一个学过的知识上总结出了一种方法之后，我们要尝试着把这种方法向下去深挖好不好？既然都是函数啊，我一次函数满足了这个东东，二次函数满不满足这个性质，三次函数应用这个性质还能不能解决问题？这是我们需要解决的。横向迁移能够帮助我们，怎么样 这一类问题研究的更加的深入，那么在几何问题中呢？纵向迁移的思维也非常的有帮助， 很多在普通三角形中存在的规律，那么在等标三角形中是否存在呢？那么在等边三角形是否也存在呢？或者反过来说，一个规律在等边中存在，它在普通增标中是否存在呢？在一个普通的三角形中是否也存在呢？这就是我们需要去顺着一直往深了去思考规律的过程， 所以对于横向迁移的这个思维，我希望大家认真来体会，那么对于我们研究初三的内容以及高中的内容的时候会非常的有帮助。数学到最后一定是研究一类规律，听懂了啊，它是一类问题的通用规律，那么一定是从横向迁移的思路直接扎进去的。

初一的时候学三角形的内容不是很难，但是对于角平分线里边会经常出一些比较难的题，又是求角度呀，又是求角与角之间的关系， 那么这些东西的核心实际上是让你把互这个汉字进一步整明白，到底是互余还是互补。欢迎收看老胡家数学。 我们说角度之间要是有关系，我们现在能接触的肯定是特殊角，那无非就加起来等于九十一百八呗，对吧？这是我们概念里边现在学的内容，所以只要是问这些角度关系， 有什么东西怎么去做，那基本上就是围绕着互俞和互补。但这个过程，你可千万别光用两个角，该用三个角，把其中两个看成一个整体，那就把其中两个看成一个整体了。 所以就像这个题，老套路，只要是几何题，你开始写的时候呀，往里标数据嘛， a d 平分了 b， a c 两个圈圈代表平分 点， f 在 延长线上看懂 f e 垂直九十度写的，不用写了，那都九十了。 交 b 等于阿尔法进去，交 c 等于 beta 进去，阿尔法小于 beta。 嗯，行吧，有时候很多时候啊，我们发现这个东西比较奇怪，在一些这个题目里面出现了一个大于号和小于号，这是干嘛的？ 实际上这种东西是隐含了，里面可能会出现减法，你要说单纯的东西是隐藏了，里面可能会出现减法，你要说单纯的东西是隐藏的无所谓， 但是这个是应用题啊，所以啊，如果他俩有减法的话，你不能让角度为负的呀，对吧？咱初中没有负角度，高中有。所以这就是给你提醒，后边如果你在去括号的时候弄错了括号前面的符号，千万留意了。 行了，标完了，标完了发现，哎呀，写不动了，没什么具体数据，所以看看人家问啥吧。要用这两个希腊字母表示 d、 f， e。 嗨，他用一个字母不就得了吗？在 f 点顶点，那就有一个角， 所以找 a 想表示 d， f、 e， 也就是角 f， 那 么角 f 在 哪个三角形里边，它跟 a、 b、 c 也没关系啊。所以你只能找这个直角三角形， 提前用一个符号后面用的 r、 t， 对 吧？直角三角形的首字母，然后呢，这个直角三角形里边能整出怎么出来 f 呢？那就减掉这个角呗，对吧？我们可以写成九十度减，不想写字母了，给他个数吧，角一， 所以九十度减角一就是 f， 那 就去找角一就行喽，对吧？那角一在哪找？角一，角一在哪找都行。跟左边吧，是圈，跟阿尔法于互补， 所以角一等于这两个跟右边呢？角一又可以变成了一百八十度减 beta 和减角圈。 我们简单易分析，左边指的是三角形 a、 b、 d， 右边指的三角形 a、 d， c， 对 吧？左边我提前一步，我把这个叫做外角了。咱直接用外角的定义，角一等于角，阿尔法加角圈。 外角怎么回事呢？就是你这个三角形呀，你随便找一边，你嘚一下，把一条边反向延长。 延长哪去了？延长到三角形外面了，这不就产生了一个角角一吗？然后你看角一跟旁边的点点一条直线上互补关系吧，这个点点的三角形内部也跟着另外两个角，把它看成整体了，互补了吧。所以啊， 无论是三角形内部还是它外侧，都跟这个点点互补，那等它再换外角的定义也就跟这一样了，这是左边，那右边呢？三角形 a、 d、 c， 这就单纯的一百八十度角一等于 幺八零减比特减圈三角形内角和一百八嘛。然后我们发现想弄出来角一这个圈是绕不开了，只要能表示出来角圈，这事不就结束了吗？ 所以我们推荐你往 a、 d、 c 这个方向去想，因为你这边就已经用了内角和一百八，你在表示角圈的时候不就容易了？ 阿尔法贝塔被一百八干掉，不就剩两圈，因此角圈完全就是幺八零减，阿尔法减贝塔除以个二两嘛。 所以拿到这一步了，简单省事了。下一步，你说选左边还是选右边？随意喽，对吧？只要写清楚是九十度减角一的时候，角一这里边有一堆的括号， 我们还是一块写一下吧，剩下的化简留给大家。对于左边而言，我会写成这个形式。九十减括号内为啥阿尔法加圈，对吧？所以阿尔法加上圈圈跟那了 幺八零减，阿尔法减比特除以二，这是左边的，你看括号前面有符号，括号里面也存在符号，去括号的时候是不是很过瘾？一定不要漏掉， 该变正的变正，该变负的变负，后边这个更长了，九十度，人家减掉的是括号内的幺八零减贝塔，对吧？这两个部分我就省略写了，因为阿尔法贝塔已经给了具体的数值，所以角的符号就没写。 然后呢？减完贝塔再减这个零喽，再减幺八零减阿尔法贝塔除以二， 那到了这也虽然也写了稀大字母，爱写啥都行，不还是能变成整式的运算吗？还是简单的整式的加减法，含有字母的，所以两边简单易化。减， 一起写写。左边那个九十减掉阿尔法里面是一个九十和 阿尔法的一半和 beta 的 一半，右边九十里边呢？一百八减 beta， 再减九十。 现在我们是不是要改变符号啦？二分之阿尔法，二分之 beta， 所以 你在这里面改变的符号这个位置有没有改呢？ 对吧？前改不对，后改前不改。为啥你后边那前面有一减号，去分母的时候，分子是多项式，减号要把多项式给括起来， 前面人家是加号直接就下来了吗？所以这个看一看，九十，阿尔法里边就变成了正的零点五，阿尔法减零点五比特外面是减号，所以那不就变成了零点五比特减零点五，阿尔法九十减九十，没了。 那后边这个呢？幺八零九十，先把常数项拿走，没了。然后呢？正的二分之二法减掉零点五倍它，所以啊， 零点五二法减零点五倍，它前面的括号去掉，变成了零点五倍减零点五二法，还是这个结果？ no， 你 看神奇吧，很多时候这种互利互补关系啊，就是这么用的。 好，感谢收看点赞关注，我不迷路，咱们下个视频见。

什么叫做从一到 n 的 思想？当我们对某一个特殊的例子或者说特殊的式子有了认知之后，我们要去进一步的思考，对于这个式子来说，他能不能推广到任意的形态， 他在任意形态下会不会有一些特殊的情况是不成立的，或者说他在任意形态下，他都是遵循某种特殊规律的。今天呢，咱们还是以一个特别特殊的例子来解决这个问题。我们先来看第一件事情。在七年级，也就是初一的时候，我们会学到绝对值的概念，我们会遇到这样一类题， x 减一的绝对值 加上 x 减二的绝对值，让我们求这两个绝对值的和的最小值。对这个问题啊，一般的同学都会，我们可以画一条竖轴， 我们知道绝对值的概念是什么，是竖轴上的某个点到另外一个点的距离。比如说 x 减一的绝对值指的就是在这个竖轴上某一个点到一的距离， 而 x 减二的绝对值呢，就是数轴上的某个点到二的距离。知道了几何的定义之后，我们再研究这个问题显得就比较简单了，如果 x 在 一的左侧，那么此时 x 减一的绝对值再加上 x 减二的绝对值，这两个绝对值的和可以大到无穷。 那如果 x 在 一二之间的时候， x 在 一的距离再加上 x 到二的距离不加，再现这两段的加和。不管 x 在 一中的哪个位置上，此时 x 减一的绝对值加上 x 减二的绝对值都等于一。 同样的，如果 x 在 二的右侧的话，你会发现 x 减二的绝对值和 x 减一的绝对值的和也会大于当 x 在 一到二之间的情况， 同学们发现，如果想要让 x 减一的绝对值加上 x 减二绝对值取到最小值，此时应该是当什么？当 x 大 于等于一，小于等于二时， 我们所要的这个式子取到最小值，而且最小值是谁呢？大家发现，最小值恰恰是一和二之间的距离，那么也就是一， 这件事情多数同学都会做。那么好，两个绝对值相加，我们知道，那么三个绝对值呢？如果变成了 x 减一的绝对值，加上一个 x 减二的绝对值，再加上一个 x 减三的绝对值，这三个绝对值的和还存在最小值吗？如果存在的话，它应该是什么样子的呢？咱们来看，跟刚才的方法完全相同，我们考虑问题，我们把它分成两块， s 减一的绝对值再加上 x 减三的绝对值放在一起，这两个绝对值的和，如果想要取到最小的话，咱们还是画一个竖轴， 找到一和三对应的位置。只要 x 在 一三之间，那么此时 x 减一的绝对值加上 x 减三的距离值，取到的就是最小的情况，并且就等于一和三之间的距离。 也就是说啊，当 x 怎么样大于等于一，小于等于三十，这个时候 x 减一的绝对值加上 x 减三的绝对值的最什么值？最小值我们知道恰当是二，那么在 x 减一的绝对值加上 x 减三的绝对值取到最小的前提下，我们能不能同时也让 x 减二的绝对值也最小的？ 我们发现，如果 x 是 大于等于一，小于等于三的，那么当 x 等于二的时候， x 减二的绝对值恰好为零，那么零肯定是一个绝对值能取到的最小的数了。 所以我们发现，当 x 等于二的时候，恰好这三个洞洞啊加和最小，那么 x 等于二是我们所爱求的这个式子取最小是吧？取到最小值，最小值是谁呢？就是 x 减一和 x 减三的绝对值是零了，那么得到的还是二。哎，我发现三个的时候，我怎么想的呢？这问题，我把最边上的两个洞洞 给他看成一组，有同学肯定就会问说，为什么要把最边上的两个看成一组呢？大家注意，我们其实首先做了一件事情， x 减一， x 减二， x 减三， 一二和三发现了没有在逐渐的增大，也就是说，既然是 x 到某个数值的距离，那么此时我要让这个数值是从小到大排布的，当然也可以从大到小排布。这样的话呢，我们再做起题来，是不是更加的有规律啊？所以有规律的情况下，当然比没有规律要强。 我们拿到了几个绝对值之后，先把它按这种形态从小到大排列。比如说举个例子，我有这么几个东东， x 加一的绝对值，再加上 x 减二的绝对值，再加上 x 减三的绝对值，那么这三个东东所对应的注意，那么 x 加一的绝对值不就是 x 减去负一的绝对值吗？也就是 x 到负一的距离。而第二个绝对值呢，不用变，就是 x 到二的距离， 第三个是 x 到三的距离，那么这三个数值从小到大排布应该是负一在最前面，其次是三，你就这么排布就好了。后面问题就来了，刚才我们说了三个，怎么办呢？一样不一样，当然是一样的， 再看，我已经排不好了啊， x 减一的绝对值加上 x 减二的绝对值，再加上 x 减三的绝对值，再加上 x 减四的绝对值。注意，我还是去看一头一尾， 一二三四几增的顺序已经排好了，我把 x 一 减 x 减一的绝对值加上 x 减四的绝对值换成一组，把 x 减二的绝对值和 x 减三的绝对值怎么样也看成一组。那会发现，在这个的前提下，对于 x 减一绝对值加上 x 减四的绝对值，那么是当什么？当 x 大 于等于一，小于等于四十，我们知道它要取到什么？取最小值， 最小值是谁呢？不知道，当咱们也算啊。那么第二个咱们也看 x 减二绝对值加上 x 减三的绝对值去当什么？当 x 大 于等于二，小于等于三的时候，取到什么值啊？取最小值。这两件事咱们都搞清楚了之后，大家来想， 如果我想让这四个绝对值的和最小，意味着我要同时能取到 x 大 于等于小于等于四这个范围，以及 x 大 于等于二、小于等于三这个范围，也就意味着我要找到这两个范围的公共部分，也就是 x 大 于等于二、小于等于三的时候了， 在这个范围之下，那么这两组绝对值都能取到最小，说明这四个绝对值的和一定是最小的。那么这个时候最小值那我们可以随便带了，你带个二也行，你带个三也行，我就能知道它取到的最小值是多少了。当然你在二三中的某一个数，比如二点五，当然也行啊，这就是偶数个的情况， 那么我们要把它推广到一般形态，如果是 n 个绝对值相加了，那么这时候你发现了，哎，基数个的时候啊， 它好像只能取最中间的那一个数，偶数个呢，它可以取最中间所对应的一个范围。所以我们就想到，如果有这样的 n 个绝对值相加， x 减去 x 一， 加上 x 减去 x 二，一直加省略号加到多少呢？ x 减去 x n。 注意，我们要分成两种情况，第一种，如果 n 为基数，注意 n 为奇数的话，和我们刚才说的哪一类问题是一致的？三个绝对值相加的情况是一致的呀，那么如果 n 为奇数的话，大家想这个问题，我们还是 x 减一和 x 减 n 这两个呀。 x 减去 x 一 和 x 减去 x n 这两个绝对值看成一组， 那么我应该是在 x 大 于等于 x e 小 于等于 x n 的 前提下，为了我们的排序是正常的，是我们所需要的这种递增的顺序。所以我们加一个已知条件，不妨是， x 一 小于等于 x 二小于等于 x 三，已知第二，第二个小于等于 x n。 那么同样呢，我们的第二组 x 减去 x 二和 x 减去 x 减一，也能得到一个范围，以此类推，一直取，取到最中间的那个的时候，应该是取到最小值的情况。 这就是我们在把一个三项的规律推广到什么？推广到 n 项，当然，在中间的过程中，如果你还觉得三项不足以说服你，那么 ok， 你 可以试一下五项的情况，总之，我们可以推广到 n 项这个结果。 那么也就是说，当 x 等于多少呢？当 x 恰好等于最中间的那个数，那么最中间的那个数是谁呢？是二分之 n 加一，也就是 x 等于 x 二分之 n 加一。对相的时候，那么此时取到最小， 取最小值，如果就是基数的情况啊，如果，那我们再来看到其实偶数的情况如何？两位偶数，如果两位偶数的强，我们刚才看到的四项的情况，包括两项的情况，其实都是偶数的情况。 最终当 x 取一个范围的时候，整个的这些绝对值的和能取到最小值， 那么还是这样的逻辑，第一个和最后一个我们看成一组，第二个倒数，第二个看成一组，一直到最中间两个也看成一组。由于我们已经知道了 x 一 小于等于 x 二，撒也等于 x 三 一直小于等于 x n， 所以 最中间的那两个数之间的 x 的 取值不就是我们要的吗？ 那么最中间这两个数是谁呢？一个叫做 x 二分之 n， 这是一个数，还有一个叫做 x 二分之 n， 再加上个一，那么当我的 x 大 于等于 x 二分之 n 小 于等于 x 二分之 n 加一，当然加一，包括二分之 n 都是下标哈。 那么此时整个的绝对值就能够取什么呀？取最小值，那么这个时候我们发现 n 个绝对值相加，我们就都会求了。 对于这个问题来说，我希望大家体会两件事，在从一到零的思想中，当我们遇到了一个什么，一个普遍问题，那么这个普遍问题能不能推广开呢？ 一个特殊的问题推广成一种普遍的结论，这就是数学思维的过程，一个事情具有这个特征 并不能说明什么问题，和他类似的还有其他的情况也满足这个特征，也不能说明我们要想办法，或者说我们要尝试着把它推广成一个一般的规律。当你明晰了这个规律以后，孩子们、家长们，大家想， 不管出现几个绝对值相加，你都会做。所以这就是数学中我希望大家掌握的第一条思维，叫做从 e 到 n 的 思想， 而且要把过程中的所有的逻辑一式。比如说这道题目中有一个非常重要的点，就是我必须要求后面这个 x 一 x 二，这 x n 怎么样？它是由小到大或者由大到小排列的。 有同学会问我家长也会问我老师，为什么？很简单，我说过很多次，数学是使问题变得怎么样更加简洁，更加的有规律，更加的对称，并且更加优美的。 你把它打成一个乱序行不行？可以，既然乱序可以，那么顺序为什么不可以呢？我当然会认为顺序比乱序更容易解决问题啊，尤其在我们学初中数学的时候啊，初中包括高中阶段，其实所有有序的才是我们喜欢的东西。 那么对于这道题目来说，不管是初一的学生，还是初二的学生，甚至已经是初三了，我都希望你好好的思考思考，同时我也希望你去想一想，还有哪些能从一推到 n 的 例子呢？ 还有哪些是可以通过这种思想解决的？还有哪些是能够通过从一到 n 的 思想能够挖的很深的题目呢？ 这些题目和这种思想才是未来啊，我们在高中阶段，我们在初中阶段所需要深入研究的问题，那么在下一讲的时候，咱们会研究什么呢？咱们会研究横向迁移的思想。