莱芜五四制八年级数学学什么

大家好啊，我们觉得这个特殊的平行四边形这节课还是要总结一下的啊，也就是说，呃，我们学完这个这节这一单元呢，他有的老师呢，会让我们画一个思维导图啊， 那这个呢，就比较像是一个思维导图性质的啊，我把它称之为就是这个平行四边形的进化啊，加入光荣的进化吧。啊，就是这个， 嗯，它进化了有两条方向啊，有两个方向，当然最后都是殊途同归的啊，那我们看啊，我们首先呢，我们上一节学了平行四边形，那么这一张特殊的平行四边形，所以呢，我们要从这个正常的平行四边形开始 啊。那首先我们上一个单元的平行四边形呢，我们主要是研究了它的四个判定和四个性质啊，这个呢我们一定要非常熟 啊，在这个平行四边形非常熟的基础上呢，那我们平行四边形进化成菱形呢，有两两组方案。那第一组方案呢，就是说我们让平行四边形的一组邻边相等啊，你让它一组邻边相等之后，它四角边的都相等了， 那四角边都相等呢，就变成菱形啊，这个没有什么问题啊。第二个呢，我们平行四边形的对角线来说呢啊，就是说，嗯，它是什么？它是 互相平分啊，就互相平分，那我们互相平分，又让他互相垂直一下，他也变成菱形啊啊，大家不信的话可以再画一下关于这个对角线的东西，考对角线的题，我们可以当场画一下，那比如说他说对角线又互相平分又互相垂直， 那我们就先画一个对角线，我让他啊互相平分，互相平分呢，也就说这块和这块要相等，互相平分又垂直，那我们连接这四个点，那我们就是 以阴为果。那画出来怎么着他也是一个菱形啊，但是我这个随便画，大家用啊，尺子准确的画一下啊，可以试一下 啊，他进化成菱形之后呢，大家啊，嗯，其实大家可以看出来啊，啊，他一个是从边角进化，一个是从对角线进化， 那么看平行四边形有第二种计划方式。第二个第一个呢就是说他一个角是直角，嗯，平行四边形啊，他是对角相等的啊，并且呢邻角互补啊，他只要一个角是直角，那四个角就都已经是直角了，那四个角是直角的情况下呢，他就变成了矩形。嗯， 第二个问题呢，也是从对角线开始进化啊，我们平行四边角线，他本来是互相平分的，你又让他互相平分之后又相等啊，本来呢，比如说这两个啊，他啊，我们这样 这样吧，我们指上这一块等于这块，然后这一块等于这块。嗯，你这样的画出来他就是个平四边形啊，但是呢我又让他相等，就是这一块啊，因为互相平分嘛，他要相等的话，那这块和这块也要相等啊， 你这样再画出来啊，你这样的话，你画出来呢，他就是一个矩形啊。嗯，他来试一下，靠对角线互相平分又相等啊，你这样画出来他就是一个矩形，嗯， 那同样的呢，嗯，矩形呢，他要变成进化成最终形态正方形，那他要怎么办呢？你就说他要没有，他要走他原来的路啊，就说，嗯，他走的这条路 是一个角，是直角，然后呢是对角线相等，那他你变成矩形之后，他每走的一条路是这条路，所以说你只要把这条路给他补全了啊，你说他当时矩形的情况下啊，他一组邻边相等啊，一组邻边相等啊，矩形一组邻边相等的时候才变成正方形 啊，因为矩形它缺的就是这个四角边都相等了啊，但是呢，我们只需要让它一度平面相交的四角边都相等，四角都是直角就变成正方形了，本来四个角就是直角， 然后呢我们可以让它啊，对角线啊，对角线已经有相互平分，然后又相等，我们只需要给对角线加上垂直啊，这两个是或者的啊，只要满足一个条件就可以啊，进化成这个正方形， 同样的也是啊，你啊，你进化成菱形，你走的是这条路，你并没有走这条路，你再把这条路给补上的话，其实啊，这上面东西呢 和这个是一样的啊这上面东西呢和这个是一样的啊，只是呢，呃，你没有来得及走路呢，你最后终会补上，就是我们欠的啊，最终要还，那你不还你就变不成你想要的样子啊。那 菱形的话啊，我们变成啊，只要让他一个角是直角啊，他就变成正方形了啊。菱形啊，这个就不解释啊，因为菱形和这个是菱形，已经四条边都相等了啊，你一个角是直角啊，那他就四个角都是直角了，那四条边相等，四个角是直角，那肯定是正方形啊 啊，第二个呢，就是说菱形的对角线它已经啊互相垂直平分了啊，就缺个相等，你只需要让它对角线再相等，再变成正方形啊，这就是啊，这个平行四边形的进化啊平行四边形的进化啊，两条路啊，殊途同归啊，欠的总要还啊。这是 啊，这个东西，那学了这个东西呢之后呢，我们要对对角线的这个有一个清醒的认识啊。对角线啊，我们对关于对角线呢有三个关系，第一个呢相互平分，第二个垂直啊，第三个相等。那我们啊想问一下同学啊，这一二三哪个比较重要啊？可以暂停思考几秒钟 啊。答案呢是相互平分啊，重要啊互相平分更重要啊。你没有互相平分，你只有垂直相等。啥也不是啊啥也不是。你在互相平分的基础上你加上垂直啊，它可以有质的变化你在 互相平分的基础上你加上相等，它有质的变化啊。因为互相平分啊，它已经证明了它是一个平行四边形了。 你在平行四边形上啊，垂直啊，它变成菱形，你在平行四边形上相等，它变成了矩形啊。但是大家都有的话，那变成正方形，三条都存在的话变成正方形，那只有垂直和相等呢？那还是呢，我们用刚才我说的时候啊。嗯， 你就是，你可以画一下试一试。你让他用垂直啊让他垂直啊，我们说垂直啊，你让他相等啊，这块缠这块缠这样 还是稍微有点啊，反正说你自己画一个，你让他垂直，你让他相等啊，你尺子脸上画一个直角等的啊，大概是这样啊，垂直又相等，那你连接他四条边啊，啥也不是啊啥也不是 啊。所以说呢只有垂直和相等，啥也不是啊，我们一定要记清楚这个角形，角形的题也经常出啊啊，这呢就是我们这个关于特殊四边形的这个整体的总结思维导图。

大家好啊，我们继续学习这个七点四二次根式的这个加减啊。嗯， 经过我们上一节课的学习呢，我们此次二次根式的加减呢，都是要在啊上一节最减二次根式的情况下啊，我们先把所有的这个根式化成最减二次根式，然后呢再进行加减啊，这是我们 为什么要先学这个最简二次根式及二次根式性质呢？为什么先学下一课再学这一课呢？就是如果说你上一节课这个，呃，二次根式的这个化简啊，我们先来化简吧， 就说你把它化成最简二次根式，如果说你不太熟的话，那你做这一个呢？那可能说有一点啊慢，或者是说做错的概率比较高啊，所以说 啊，我们这一张呢啊，练习啊，就是他考的也是我们的基本运算能力，这个练习比较重要啊，先最好是先把上一张练好了之后呢再来学这节课啊，比较好一点。嗯，好的，那第一个呢，我们要讲一个叫什么叫同类二次根式。 同类二次根式呢，就是我们首先把它化成最简二次根式，之后啊，它的被开方数相同的啊，它就叫做同类二次根式啊。那比如说，那我举个例子啊，比如说啊，根号二啊，根号二和所有的这个根号二的倍数， 那比如说二分之根号二啊，二分之根号二，它是二分之一倍的根号二吗？和三倍的根号二和五倍的根号二啊，这种呢通通都是同类二次根式。嗯，那因为它长得都不一样，那我们化简之前它长什么样我们不清楚呢，比如说这个 三倍的根号二吧，那其实它化简完之前是应该是根号十八啊，这个三进去之后变成九二九十八，那这个根号十八和这个根号二呢？大，在我们没有化成这个减二次根之前，你是完全看不出来的啊，它到底是不同类二次根十，那所以呢， 嗯，我们首先要把它画成最减二次根式之后，我们才能确定它是不是同类二次根式啊，这个非常重要啊，那我们书上呢，有这么一个题，就说谁和谁是同类二次根式，你看它长得完全是不一样的啊，那这根号二呢？我们就没有必要呃，画了它没有什么好说的，它本来就是一个最减二次根式啊，它 也没有分母。然后呢，我们判断是不是 z 二次根式呢？有两点啊，第一个看有没有分母啊，分母有没有根号，那分母他连分母都没有，那分母肯定不存在根号的问题。那第二个就是这个根号下来的地方，他还不能，能不能再化那根号二，我们就知道他没有什么余地了啊，那这个根号七十五呢？ 我们开始看啊，那我我已经比较熟练了，我一眼就看出他是二十五，三乘以二十五是七十五 啊，那既然是三乘以五的平方呢，那他很明显就等于五倍的根号三啊，五倍的根号三。呃，我们同学们做熟了之后也可以这样的啊，那这个呢？啊，五分之一，那这个我们做熟了之后呢？那肯定上下都乘以根号五十，那就是五十分之根号五十啊。 啊，那五十分之根号五十呢？嗯，我们先写一下吧。啊，五十分之根号五十，嗯，那五十分之根号五十呢？呃，那这个五五十呢？很明显呢是二乘以二十五，所以呢他就等于啊， 五倍的根号二啊，这下面是五十，下面没有动，上面是五倍的根号二。嗯，那做完之后呢，我们还要再约一下分，再约一下分啊，除一下五，所以说它是十分之根号二啊，十分之根号二 啊，所以呢，我们在没化减之前呢，他长什么样你完全不知道，你看这个根根号五十分之一，最后变成十分之二啊，最后呢就是这个二十七分之一。那我们下面二十七呢，我们已经画了很多次了，非常熟悉了，是三九二十七，那所以说呢，是三倍的根号三 分之一号三呢，就变成了九分之根号三啊，九分之根号三， 那这个呢，我们就可以看出谁和谁同类项了。那很明显呢，九分之根号三和五分之根号三呢？它是啊，同类二次根式。那十分之根号二呢？和根号二，它是同类二次根式 啊，所以呢，在我们没有化解之前，我们是完全看不出来的，那化解之后呢，我们就知道它和它是同类二次根式，它它是同类二次根式啊，就是说我们化了对减之后被开方数下面相同的。 那比如说我们比较熟悉的就根号二啊，根号三，根号五啊这些啊，根号七啊，根号十一啊这些，它的倍数或者它的几分之几啊，都是啊，这个同类二次根式。 那我们完同类二次根式完事了之后呢，我们要可以找出进行合并啊，我们可以合并同类二次根式，合并同类二次根式呢，很明显啊，我们就把它当成合并同类项就可以了啊，就当合并同类项行了啊。那 m 倍的根号 a 和 n 倍的根号 a 加起来，那它就是 m 加 n 倍的根号 a， 那这个呢？也是啊，举个例子，三倍的根号二和二倍的根号二加起来，它就是五倍的根号二，这个和我们小学的这个逻辑是没有任何问题的啊，三个根号二加上两个根号二呢，肯定等于五个根号二嘛。 那我们先看一下这个例题，例题呢，我们一定注意，第一步呢，我们首先把它变成最减二次根式，你不把它变成最减二次根式，你是不太好看出来的啊，你也不太好合并，你也不知道它的前面这个系数什么东西。嗯，那这个刚好十二呢，我们已经是啊，老演员了啊，这三四十二， 三四十二，一定注意，这是一个乘的一个啊，他虽然二倍根号二是二乘以二，不是二加根号的意思啊。嗯，所以说呢，三四十二啊，所以说呢，二根三，所以呢，二倍的根号三，乘以二，所以就是四倍的根号三， 四倍的根号三，那这个减去这个根号二七二二七，我们就分三九二十七啊，所以是三倍的根号三，那最后加上这个根号十八呢？根号十八，我们也是二九十八啊，所以说呢，是二倍的啊，二九十八， 嗯，二乘以九，那所以说三倍的根号二啊，三倍的根号二 啊，那这个呢，它俩可明显是同类二次根式了啊，同类二次根式，四倍的根号三，减三倍的根号，所以说它等于根号三， 那这个呢，再加上三倍的根号二啊，它俩是不能合并的啊，根号三，根号二不是同类二次根式，我们其实就可以把这个根号三看成 a， 根号二看成 b， 所以 说 a 加三 b 啊，它是一个意思，跟我们合并同一下是没有任何区别的啊。这是第一个题。嗯，那第二个例题呢？是这样的， 那这个呢？是五乘以九啊，五九四十五。呃，那这个九肯定要变成三的，三和这个三约着，所以说他只只剩一根号五了啊，那他只剩一根号五，呃，那这边呢？我们顺便给他这个什么吧啊？ 嗯，我们可以上下把这个五写上面，根号五分之五，然后呢我们上下都乘根号五，得到了，它是等于五分之二十五，那其实我们可以换一种思路。嗯，这个根号五和这个五，那五其实是根号五的平方啊， 那所以说他可以和他约啊，约完之后剩下根号五减去根号五，那这个区块我们加号要变减啊，这个根号五是零零的减根号五，所以说负的根号五 啊。然后我们再做几个合并同类二次根式的题啊，也是从我们习题和练习上找的啊。嗯， 每一个题呢都有每一个题的特点啊，你可以先做一下，然后呢看我怎么做的，跟你是不是一样啊。我们看这个啊，五倍根号二，这个没啥啊，好多的了啊，它本身就是啊，同类二，最深最减二次根式了。那这根号八我们也已经非常熟悉了啊，二四得八，二根二嘛， 加上二倍的根号二，大家看这个七倍的根号十八十八呢，是二乘以九啊，那个九呢？我们出来可以变成这个什么三是吧？三乘七呢，就是二十一倍的根号二了， 那最后呢，它全是根号二，所以说我们就可以进行合并。那五加二呢？是七啊，七呢，加这个 二十一啊，七加二十一是二十八，所以说呢，它是二十八倍的根号二，二十八倍的根号二 啊，那这个呢，我们啊先取括号啊，或者说我们同时进行吧啊，它就是根号六，减去啊，它呢上下都乘根号二，所以说呢是二分之根号六，这个上下都乘根号三，所以说就是减去三分之根号六。嗯 嗯，那个那我们可以把根号六提出来，一减二分之一，减三分之一了，那所以呢，挺明显的是六分之根号六 啊。这个小学的这个口算能力我们还是要比较熟的嘛， 就是二分之一啊，加上三分之一，实际上是等于六分之五啊，二三得六，一减六分之五，再六分之一啊。 嗯，最后一个呢，这根号四十八呢啊，我们也可以变整数，那其实我一眼能看出来，它是三乘以十六啊，三乘十六是四十八啊，所以呢，这个十六可以变成啊，出来，可以变成四倍的负的四倍的根号三 啊，来减去两倍的根号三，那这个呢？这个根号十六呢？可这个四可以约掉啊，可以加上根号三啊。第一步呢，呃，我们数一下，把它变成最减二次根式啊，最减二次根式之后呢，我们再合并 负四减二啊，加一，相当于是啊，把根它提出来，是负四减二，这是负六啊，加上一，所以说负五倍的减号三啊， 还是啊多练。那这一节课呢，我们既然学了这个二次根式的加减，那下一节课呢？我们肯定要学二次根式的乘除了啊。

大家好，我们继续学习这个二次根式的乘除， 这乘除呢，嗯，主要依据的就是我们这两个公式，但是呢，嗯，在做的时候呢，还有一定的技巧。那我们一定是说，嗯，掌握了前面的这个分式的加减，然后呢和分母有理化， 他有的教材呢，是先算乘除，后算加减，那这个呢，也很正常，因为我们做四则混合运算的时候，我们都是啊，我们做四则混合运算的时候，我们都是先算乘除，再算加减的啊，所以说有很多地方的教材是先讲二次根式的乘除，再讲加减。 嗯，当然这个顺序呢，无所谓，我们就可以进行四则混合运算了。嗯，那我呢就以书上这例题这个为这个例子，嗯，这种题的它的解法有很多哈， 非常的就是有技巧啊。所以说，嗯，同学们，你不是说你学会了就学会了啊，你还要干什么？就说灵活运用啊，灵活运用特别重要啊。啊，这个呢，根号五乘根号十，那我们第一种方法呢，我们可以直接写成根号五十，然后我们再想， 那这种方法呢，是稍微有一点点麻烦的啊，那我们其实可以啊，把它拆成啊，比如说啊，根号五还是根号五，那根号十呢？变成根号五乘以根号二啊，可变成一个这个东西， 那这两个呢？还是根号十，那怎么最后呢？那两个根号五乘以等于五呢？所以呢，最后等于五倍的根号二和你这个根号五十，他等于二十五乘以二，最后还等于五根二是一样的啊，没有 谁对谁错之分。只不过说啊，我们在做简单题的时候，我们想一想我们用哪种思路比较好？然后呢形成一种自己的思路啊？这个很重要啊，这个很重要。嗯，同样呢，这个也是啊。 嗯，一开始我们学的是只有根号下相乘，那这里呢，我们学了一个，嗯，它带整数的部分也有根号的部分，那这个呢？因为都是乘，其实三倍的根号二，其实三乘以根号二，再乘以二乘以根号六。那其实呢，我们可以先把什么先把整部分相乘， 再把小数部分相乘，再把这个根号下部分相乘啊，先把整部分相乘，那整部分相乘呢？是二三得六，那这个根号下这个部分呢，我们可以直接写成根号十二，然后我们再画。那我们还可以把这个什么，还可以把这根号六写成根号二，乘以根号三， 那这个根号二和这个根号二乘起来，它就是二了啊，所以呢，嗯，根号部分乘起来的是二倍的根号三，二倍的根号三呢？再乘以六，那就是十二倍的根号三 啊。大家用哪种思路也可以啊？那这种三根号三分之，根号七呢？那就纯粹是一个分布有理化的一个问题，上下都乘以根号二十一啊，三七二十一都是开不出来的。 那这种呢，嗯，我们可以直接除，我们也可以就是说，嗯，把它化成分母性，先约分再除啊。我建议大家呢，就先约分二倍的根号六啊，除以四倍的根号三， 那这个可以约掉，可以变成二。那根号下约掉呢？他也可以变成二，所以说呢，你不要忘了这个二是根号下的啊。其实呢，我们整数部分可以和整数分约，根号下是可以和根号下约的， 那约完了之后呢，他是二分之根号二啊，这个就变得非常简单啊，你要是用别的方法做的，那就 比较麻烦啊，出发的话，就是啊，大家记住一个点，就是啊，整数部分可以和整数部分互相约，那根号下部分呢，也可以和根号下部分互相约啊，一定注意。 嗯，那这个呢？嗯，就是两个的了，那我们同样也是哈，就是根号下和根号下约，那我们其实可以写成根号八，能乘以根号二十七，然后呢可以写成一个就行啊，因为他都是根上八乘以二十七，那下边呢，就是根号十八了， 那十八呢？我们慢慢约啊，我们可以啊，先从最大开始约，先约个九，他约个九呢，他就变成了这个二啊，他约个九呢，就变成三了， 那这个二和这个八还是可以约的啊，所以说它变成了一个四，那根数分母就没有了，那分子呢是三乘以四，那三乘以四我们非常清楚，四可以出来变成二倍的根号三， 其实呢还是根号十二啊，我们做熟了之后就可以直接这样。那这个呢，我们也是啊，我们先和根号下约，他约完了之后呢，是十二，根号十二，那根号十二，我们知道啊，他是二倍的根号三，二倍根号三呢，就可以再和二约，那所以说最后得一个根号三 啊，那这个题呢，我们其实也可以，他底下是根号二十四，下面是二倍的根号二，那我们 啊，可以把它变成。是啊，他呢也可以等于根号二十四除以这个二呢，因为他下边带根号不太好约，我们看把它弄进去变成根号八，那这样呢，约完了之后呢，得到一个根号三也是一样的啊，就说大家做这种题的时候一定要灵活 啊，灵活你觉得哪一种你比较喜欢，你就用哪一种啊，做这些题灵活特别重要啊。 这个啊，也是，那我们首先把这个啊符号变成号，那其实那分母啊，就变成了这五倍的根号五，上面呢就是根号十六乘以八啊，变成这个样子， 那正呢啊，这个五和这个根号五好像是，如果我没抄错，因为这个是我抄的，如果说我没抄错的话啊，他应该是这个样子，那下边这个五倍的根号五上下都乘以根号五，所以呢是二十五 倍的这个根号十六乘以八再乘以五啊，这样都乘根号五了吗？那这个十六和八呢？那我们想一下啊，这个十六是四的平方啊，所以说他可以开出一个四来，然后呢这个八呢，可以开出一个二来 啊，它里边留下一个二，所以就是二十五倍的啊，八倍的啊，根号十 啊。这个嗯，一定要哦，认认真真的做啊，这种题一开始做的时候还比还是比较容易出问题的啊。那这种呢，我们就严格按照顺序写，严格按照顺序写， 那根号三是在下边的，下边呢就是根号二啊，除以根号二就乘以根号二分之一吧，那继续乘以根号六啊，那所以呢两个根号三乘起来就等于三了。嗯， 这个呢，前面是纯乘除的情况，那因为我们前面已经学了加减了嘛，所以说我们纯乘除的情况要加上加减了 啊，加上加减立三就变成变成变成就是有这个加减的这个问题了。那我们这个还是啊，先乘除， 乘除完之后啊，乘除完之后进行这个化成最减二次根式，化成最减二次根式呢，再进行加减合并啊，再进行加减合并。 这个呢，根号十二，我们已经非常熟了啊，他就等于二百的根号三啊，再加上这个啊，八加六，六八，四十八啊，那我们可以他是二二二，他是二三， 那所以呢，这个啊是四倍的啊，根号三啊，两个二可以出来啊，两个二可以出来组成一个，那最后呢，就是六倍的根号三啊，把它做化成最减之后呢？要能合并的，要合并，那这运用到我们上一课内容了啊，所以说，嗯，先乘除再加减，一定要注意。 那这个呢，我们可以进行分母有理化之后啊，再合并，我们也可以啊，直接合并，那这个根号二分之一，实际上是根号二分之一，再加上根号二分之五， 那它分母既然一样，那所以得到一个根号二分之六啊，不加一十六，那再进行分母有理化啊，就变成了这个二分之六根二啊，二分之六倍的根号二， 然后呢再进行约分，那所以呢，等于三倍的根号二，三倍的根号二，那我们也可以先给他约了啊，先给他分母幺理化啊，分母幺理化呢，这变成二分之根号二 啊，再加上啊二分之五倍的根号二啊，所以呢就得到了二分之六倍的根号二 啊，约掉等于三倍的根号二也是没有任何问题的啊，我尽量的用多种方法来啊，同学，可能还有别的方法，你自己思考一下啊， 那这个呢，就是简单的这个 a 乘以括号 b 加 c 的， 那就给它分配进去就可以了。这边呢啊，根号二乘以根号六，其实等于根号十二，再加两个根号相乘，那肯定就等于等于六了哈，根号六乘以根号六，那这个根号十二我们可以上一步就可以写成了，它就等于什么 二倍的，正好三啊，加上六啊，这两个，注意这两个是不能合并的，因为它俩不是同类二次根式，它是二次根式，它是一个整式啊，那最后呢？这个，嗯， 这个呢就，嗯，还是用我们的 a 啊，它乘以它，它乘以它，它乘以它的，它乘它啊，这个和我们这个什么是一没有任何区别的 啊，也是第一项乘以第一项，第二项乘第二项，第二项乘第一项，第二项乘第二项，注意符号啊，就可以了。那这个呢，我们先看啊，第一个是啊，三倍的根号十，一定注意里边和里边相乘，外边和外边相乘， 就根号里边的根号里边相乘，根号外和根号外相乘。那注意这是一个减啊，减去二倍的根号十五啊，这个呢就是加上啊， 三倍的根号十二啊，三倍的根号十二，根号十二也。注意啊，我们画出来它是可以什么的。最后这个呢根号六啊，减去二倍的根号十八啊，减去二倍根号十八。 那最后呢，我们看把它还能不能合并啊，还能不能合并，那这个三倍的根号十没有什么好弄的， 这二倍的根号十五呢，三五十五，他也没有什么好弄的，减去二倍的根号十五，但这个就可以了啊，这个就可以，因为我们这个十二我们已经做了很多遍了，这个十二就是啊，二倍的根号三嘛，所以说加上六倍的根号三，那再减去这个，减去这个 啊，这个是三倍的根号二啊，三倍的根号二，所以就是六倍的根号二。那看了一下，好像没有什么可以合并，如果没抄错的话啊，他就是这个样子啊，没有什么好合并的。 嗯，那这就是最后结果了啊，最后呢，这个啊，就是我们和公式结合在一起，这是 a 减 b 的 平方嘛，所以说我们就是 a 方减二， a， b 加 b 方就可以了啊，它的平方呢？就是啊，它平方是四、四、三，所以就是十二嘛。 啊， a 方啊，它是减减去二， a b 就是 四倍的根号三啊，再加上一啊，这个我们用平方展开就可以了 啊，这个是一个平方差公式啊，它加它 a 加 b 乘 e 减 b 就 等于 a 的 平方，减 b 的 平方一定注意这个顺序，那所以呢，它就最后就等于一啊，所以呢，这些题目呢，我们一定要就是 认真仔细啊，多加训练啊，这整个这一单元，它就是一个基本的运算能力。

那好啊，我们今天来讲八点五啊，嗯，他这叫一元二次方程，跟一起有关系。这个一元二次方程我就先不写了啊， 就是我们知道是一元二次方程跟一起有关系，他又呢，他又他的又一个名叫维达定理啊，因为是维达发现的啊，所以呢，我们有时候啊，有位同学啊，不要搞不清楚啊，说维达定理，不要搞不清楚，这是跟一起有关系啊。 嗯，首先呢，根弦的关系呢啊，内容很简单，那我们如何推导的呢？嗯，首先呢，我们是在 a x 方加 b， x 等于零， a 不 等于零，并且怎么着？并且它有根的基础上啊，这个第二它大于零的啊，第二它大于零零的这个基础上啊，它如果它有两个根，那它两个根有什么样的这关系呢？那我们就说啊，就是说 x 一 加上 x 二呢，就等于负的 a 分 之 b， 然后呢， x 一 乘以 x 二就等于 a 分 之 c 啊，就这么简单啊，这种朴素化学定律，那这种朴素化学定律为什么会单独拿出来呢？ 嗯，有的眼睛比较敏感的同学已经看出来了啊，这有没有像我们前面学的这个完全平方公式啊？我们完全平方公式呃，是不是经常考这样东西？还记得我们完全平方公式就是 a 方 加上 b 方，然后 a 加 b， 然后 a 减 b， 然后 ab 这四个利用我们往下平方公式是不是什么来， 是不是知二求二，我们知道两个，我们是不是能求出另外两个，那你看它正好恰好就是其中的两个啊，一个是这个，一个是这个 啊，所以呢，我们能求出 a 减 b 来，也能求出 a 方加 b 方来啊？忘了同学请这个，自己这个这个这个回去看我的这个反平方公式那一件，或者自己复习一下啊，就这四个是什么知二求二的？ 所以说呢，我们有了这两个东西呢，我们会经常让你求这个 x 一 的平方加上 x 二的平方等于几 啊？或者说 x 一 平方减啊， x 一 减 x 二是几啊？这个呢？经常求，那我们这个定律怎么来的呢？那我们前面已经知道了，这个 跟一起有关系呢，他有两个根，一个是啊，是二 a 分 之，负 b 加根号下平方减 c， 一个是减，那我们就可以用这个公式来推导一下，那如果是，那 x 一 加上 x 二的话，它就等于啊二 a 分 之，负 b 加上啊根号，这是根号带他们 让它再加上二 a 呀， b 减根号代它，那这个呢，因为分母符号相同，那它就等于二 a 分 之呢？ 这个是加号没减，然后负 b 加上负 b 加上根号这儿，它再加上负 b 减去根号这儿，它， 那这加带它减，带它没了。就是啊，负二 b 二 a， 嗯， b 减 b 是 二 b 嘛，所以最后呢，就是负的二 a 分 之 b， 所以 说 x 加 x 二就等于这个 啊。同样的，那我们 x 一 乘以 x 二呢，它就等于这个 这二 a 分 之，负 b 加上根号， b 方减四 a c 再乘以二 a 分 之，负 b 减去根号， b 方减四 a c 啊，首先呢，它这是一个分母，这是一个整体，其实这样加括号的，那它就等于下边是四 a 方分之啊，这个 不知道同学发现没有，正好是个平方差啊，负 b 加上这个东西，负 b 减去这个东西，那所以呢，我们就等于啊，负 b 的 平方减去根号， b 方减四 a c 的 平方， 这个平方差公式啊，所以就等于四 a 方分之，负 b 的 平方就是 b 方减去这里边啊，是 b 方，因为 b 方减 c， c 带了个括号，但是呢，我们去括号呢，就变成加四 a c 了 啊，最后呢，结果就是这两个没了，就是四 a 方分之四，再约掉一个 a， 所以呢，就是 a 分 之 c 了啊，这是这就是这个这一节的内容啊，根据求关系。嗯，我们推导过程呢，也比较简单，然后呢，你只要分得清 abc， 那 这个也没有什么问题啊，最主要的是我刚才讲的这个啊，知二求二的问题 啊，我们虽然知道 x 一 加 x 二，知道 x 乘以点，但他没让我们求这个真正考试，他让求 x 一 加 x 二平方， 那 x 加二它的平方等于什么呢？那很明显是 x 一 加上 x 二括积来的平方，减去两倍的 x 一 x 二啊，把这两个带进去就可以得到这个东西了。那同样呢，我们也有啊， x 一 减 x 二的平方 等于什么东西啊？ x 一 减 x 二的平方减去四 x x 二啊，这我就不怎么写了啊，这是 啊，这这玩平衡公式的一些东西和这个伟大定律完美的结合在一起啊，你前面玩平衡公式学的不好的，那这节课呢，可能你需要回去复习一下，要不然呢，就有点吃力啊。

大家好啊，我们继续学习这个二次根式的这个性质。二次根式的性质呢，分七点二，七点三， 那七点二呢？其实我们主要讲的是这个整数啊，整数指数啊，被开方数是整数的这种，呃，二次根式的这种化简。嗯，七点三呢，我们主要讲的是分数的这种， 这个啊，被开方数的这个被开方数是分数的这种，这个二次根式的画件啊，那首先呢，我们的依据呢，就是这几个啊，我们上面讲过了啊，就是啊，先根号再平方啊，就等于这个原数啊，嗯， 先根号再平方，都等于原数，但是呢，嗯，它只要存在的理性啊，就是默认啊， a 是 大于等于零的，然后呢，先平方再根号呢啊，就是绝对值，这个一定注意啊，先平方再根号绝对值 啊。另外一个呢，就是这个啊，根号 a 乘以根号 b 呢，就等于啊，就啊，根号 a b 啊，但是根号 a b 也等于根号 a 乘以根号 b 啊这种样子，但是它前提呢是 a 和 b 统统都大于等于零 啊。另外一个呢，就是这种这种的根号啊，根号 a 除以里边相当于也是等于根号 a 除以根号 b 啊，它前提也是 a 大 于等于零， b 大 于零啊， b 大 于零，因为 b 在 分母上，所以说呢， 嗯，本来是 b 大 于等于零，但是它由于在分母上又不能等于零，所以说只能取到 b 大 于零啊，这是我们的这个理论依据啊，分母理化啊，分母理化呢，就是 当然最简二次根式呢啊，包含分母有理化，就是说你想把它化成最简二次根式啊，其中有一个分母有理化动作。嗯， 那最简二次根式呢，首先就是说啊，它的分母啊，不存在啊，如果它是一个分数，它的分母 是不存在根号的啊，分母是不存在根号的啊。其次呢就是说，嗯，根号下的所有的这些东西呢，它都是啊，都是说啊没有开得进的这个因素或者是因素啊，啊，就是说根号下呢，你是不能出现平方这种东西的啊，那我们先 理论基础呢，就这么些啊，那我们通过练题来这个说明一下这几个问题，那我选了七点二和七点三的几个 c 题啊，我们通过这个 c 题讲一下。那第一个呢，就是啊，先平方代根号这个东西还没有什么好说的，他就是等于三啊，并且呢这个三呢，他也是这个他本身就是大于等于零的，下一个呢就是六十四，那这个六十四呢，我们可以写下八的平方，所以呢他就直接等于八了， 那这个二十呢，其实我们第一步要做的其实是要把它置因数分解啊，置因数分解，要不然分成啊， 嗯，当然就是我们一开始的时候做的时候知因数分解，知因数分解了之后呢，你好判断他这个有没有平方吧，那比如说这个啊，是二乘以二乘以五这种东西， 那当然你也可以看成是四乘以五啊，四乘以五都是一样的，那这个五呢是没有根据平方的，四呢是二的平方，那这两个二呢，也可以啊，让我们更方便的看出是二的平方。那如果说你啊比较快啊，一下子就看出来是四乘以五至二的平方，那你就啊， 我们说过代平方呢，可以去掉平方出来，那所以呢，它就是二倍的根号五，二倍根号五， 嗯，下一个呢就是二百四十。二百四十呢，我们也要置因数分解，它首先有一个二乘以五，二乘以五是十啊，再会剩二十四，二十四呢，就是四乘以六等于二十四，四六，二十四。 嗯，这个六呢，嗯，看又有二乘以三啊，这是置因数分解分成不能分了为止啊，分成不能分了为止。那我们看啊，这个二和这个二其实是可以变成平方的，然后这个四呢，它也是二平方。 那所以呢啊，这个三和五呢？他没有办法啊，他没有跟他平方的，所以说呢，能出来的就是这两个二啊。这是啊，他俩组合也是二平方，他自己呢是二平方。 那所以呢啊，他是一个四倍的根号十五，四倍的根号十五， 那四倍的根号十五呢？我们看哈，这个四是可以进去的啊，四是可以进去的，那四进去之后变成多少了啊？四想进去之后，他得先平方才能进去，所以说呢，这二百四十是不等于十六乘以十五， 那如果说你一眼就可以看出二百四十等于。当然我们现在我是做完了之后，我啊，如果我们做对的情况下，二百四十肯定是等于十六乘以十五，那如果说你一眼能看出它等于啊十六乘以十五，那下一步等于四根号十五也是可以的 啊，这我们做多了之后呢，你就啊可以啊，一眼就看出来。那我们验算一下，十六乘以十五，是不是这个二百四十， 那十六乘以十五呢？首先呢，我们十乘以十五是一百五十啊，那六乘以十五呢？是九十啊，没问题，是二百四啊，这就是这个我们啊，这个啊化成最减二次根式啊，最减二次根式， 整出面化成最减二次根式，那这个呢？它有个八乘以十八，那我们还是啊，这个啊，嗯，八乘以十八呢，我们可以直接先把它 啊，八乘十八等于多少？先乘成这种单读一个了。那我建议你不要这样，因为你这样反而很麻烦啊，所以呢，我们这个是等于二乘以四啊，八乘二乘以四，那这个呢？变成 二乘以九二九十八，那这样呢，大家同学，大家就看出来了啊，大家看出来，那这两个二呢啊，是可以出来的啊，变成二，这个二呢也可以出来变成二，所以说呢，外边已经是四了， 那这边呢就是九啊，九呢，是三个平方，所以呢他就等于十二啊，就全部都出来了啊，没有任何一个留在里面。嗯，那八乘以十八，是不是啊？我们知道十二平方是一四四，那八乘以十八是不是一四四呢 啊？我们可以乘一下啊，八八六十四六，然后呢一八到八六十四啊，没有任何问题。嗯， 这个呢就是三乘以二十五，二十五呢，是五的平方，这个十五二十二百二十是十五的平方，那所以呢三就只能在里边，那五和十五是可以出来，它是等于五乘以十五带根号三的，那最后呢？这个五乘以十五，五五五五二十五 啊，嗯，五五二十五，一二点七十五，所以说七十五倍的根号三啊，七十五倍的根号三啊， 那这个呢？是一个这个带根号的这个题，那我们这个四可以变成二是可以出来的，没有任何问题，但是呢，这个我们知道先平方再根号啊，它是等于绝对值的， 所以说呢是 a 的 绝对值，而呢 b 呢，它有个三次方，那所以说也是 b 的 绝对值，然后呢乘以一个根号 b 啊，根号 b， 它如果说 ab 都大于零的话，那我们直接就是二 ab 乘以根号 b 啊，他如果说没有说啊，这个 ab 的 大一点的话，那我们只能写成这个样子啊，只能写成这个样子，那下一步呢？这个也是啊，这个九可以变成三个平方，可以出来的，那这个 x 加一的平方呢？因为 x 加一的平方，我们不能确定这个 x 加一到底是大一点还是小一点， 所以呢是 x 加上一的绝对值啊，这样是更加稳妥一些，这就是七点二的关于整数的这些，这种 啊化成最简二次根式啊，化成最简二次根式，那下面呢就是分数的这个最简二次根，我们分数最简二次根呢？首先是，嗯，有一个这个东西啊，首先是有一个这个东西啊，这个 理论依据，那这个呢，非常简单，上下都是带平方的，那我们可以直接等于二分之一，那这个呢啊，就稍微麻烦一点啊，这个呢是分母可以，那我们直接等于五分之根号二啊，这个根号二是没有什么， 嗯，他是开不出来的，所以他就就直接等于根号二，那这个呢，我们第一步可以变成根号十一分之根号二，但是呢，我们分母不要求不能允许有这个呃，根号存在，那所以说呢，我们上下都乘以根号十一， 上面都乘以根号十一，那他就变成了啊，十一分之根号二十二啊，十一分之根号二十二，那这个呢也是比较简单的，我们一眼就看出下边是十三平方，上面是十二平方，所以就是十三分之十二， 那这个呢和上边这个差不很多啊，那下这下边呢，实际上是三乘以九，那我们熟悉了之后呢，就是三倍的根号三，上面呢就是根号二啊，由于我们分母不要不允许有这个字母，所以说我们上下都乘以根号三啊，上下都乘以根号三 啊，得到呢，这个根号三乘以根号三，再乘以三呢就是九，上面呢就是根号六啊，九倍的根号六啊，根号乘以根号三的根号六， 这个呢和上一个没有太大区别，但是呢，这个也是，呃，因为十二我们已经非常熟悉了嘛，啊，是三四十二啊，三四十二，所以说呢，我们根号十二呢，就是二倍的根号三啊，上面呢是根号十一，那很明显呢，我们已经做了多次，上下都要给它乘一个根号三， 上下都乘以零号，下边乘以零号三呢，等于六啊，上下乘号三呢，是根号三十三，那那还有一些，比如说啊，根号二加上一分之根号五，那这样的，那我们如何的把它 分母有理化呢？那这时候呢，我们要用到一个这个平方差公式，那下边是 a 加 b 呢，那我们就给它乘一个 a 减 b 啊，分数的性质呢，我们上下都乘以 a 减 b， 那 这块呢是乘以根号二减一啊，上面也乘一个根号二减一， 那 a 加 b 乘 a 减 b， 就 等于 a 的 平方减 b 的 平方，那根号二的平方是二，一的平方是一，那分母就没有了，那么只看分子就行了，所以呢，给他乘进去，分配进去，所以他就等于根号十，减去根号五， 那同样的，如果说他是一个这种根号三减根号二，分之根号六的话，那这种情况的话，那我们也是一样的，我们得给他上下都乘一个啊，根号三加上根号二，上面也乘根号三，加上根号二， 那同样的，这是 a 加 b， 乘以 e 减 b 啊，我们用我们的这个啊啊，平方乘公式得到三个平方，根号三个平方减去根号二的平方就三点二的一，那根本也是没有了，根没有了之后呢，它就啊这个，可这个就可以要乘了， 那这个乘呢，乘完之后是根号十八，根号十八，它是啊可以开开出来的啊，可以开出来的，所以呢，嗯，这上面呢，就等于一个三倍的根号二加上， 这里边呢，根号三乘以啊，根号二乘以二六呢是十二，十二也是可以被开出来，所以说二倍的根号三啊，得到了一个这个东西啊，就是这种分母由利化 啊，我们分母由利化完成了之后呢，它才是最减二次根式啊，这是我们这个啊，这七点二和七点三的主要内容啊，我们要多做题啊，如果不会呢，再回来看看这些例题。

欢迎大家来到鲁教版五四至七下数学的同步精品课堂，我是咱们的课程主讲老师逍遥子。今天呢，咱们一起来学习第七章二元一次方程组的第一节，认识二元一次方程组。关于本节课呢，有如下四个学习目标，咱们一起来看一下。第一个， 掌握二元一次方程的概念哎，会判断一个方程是否是二元一次方程。第二个，掌握二元一次方程组的概念，会判断一个方程组是否是二元一次方程组。 第三个，理解二元一次方程和二元一次方程组的解。前三课呢，是咱们本节课的哎，重点其实也是咱们 常考的一些考点哎。第四个，会列简单的二元一次方程，解决实际问题。对于第四个问题，随着咱们课程学习的深入，还会有专门的章节来学习二元一次方程的实际应用，咱们本节课呢啊，仅要求会列简单的二元一次方程组就可以了。 好的，那么咱们首先来探讨什么是二元一次方程的概念，那么咱们首先来看一下课本上的定义是如何来叙述的， 他是这么说的，含有两个未知数哎，并且含有未知数的项的次数都是一， 这样的方程叫做二元一次方程，那从字面意思来理解，它包含了两个大的限定条件对不对？那么第一个限定条件就是要含有两个未知数哎，这个比较容易理解，是吧？那么第二个大的限制条件是 哎，对含有未知数的项做了限定，那么含有未知数的项他有什么限定条件呢？那么含有未知数的项他的次数都是一，哎，这样两个大的限定条件，满足这样的方程，咱们就叫做二元一次方程，哎，例如下面这四个方程， 哎，大家可以观察一下，咱们不难发现，这四个方程呢，哎，都是含有两个未知数，那第一个条件都非常容易满足，对吧？那么第二个限制条件，含有未知数的项的次数都是一。咱们以最后一个方程，五 x 加三 y 等于三十四为例来介绍一下， 比如五 x 加三 y 等于三十四，哎，这个方程它首先含有两个未知数，是吧？一个是 x， 一个 y， 哎，这是第一个限制条件，没有任何问题，对吧？ 那么第二个限制条件，含有未知数的项，它的次数都是一。那么咱们首先就要找到含有未知数的项，对不对？然后再来看这一项的次数， 那么对这个方程来讲，含有未知数的项一共就是两项，对不对？其中一项是五 x， 另外一项是三 y， 那 么咱们来看五 x 这一项它的次数，那怎么来看呢？那五 x 明显是一个单项式，对不对？那么单项式的次数， 那怎么着啊？所有字母的指数和对不对？那它只有一个字母 x， 而且它的指数是一，所以这一项的次数就是一。那么三 y 也是一个单项式，它的次数也是一，哎，所以它就满足了第二个限制条件， 含有未知数的项，哎，这一项的次数呢，都是一，哎。所以你首先要找到含有未知数的项是哪些项，再来判断这些项的次数是否都是一。好了，同学们，那么通过这个概念，咱们对二元一次方程的定义，哎，有了一个基本的了解， 那么如何通过这个定义来判断一个方程是否是二元一次方程呢？下面咱们再来做进一步的归纳总结，哎，应对考试当中常见的一些考题， 因为考试当中啊，并不像老师刚才介绍的那么简单，哎，那么明了，那么一目了然，对吧？考试的过程中，他会出现各种变化条件，让你来判断一个方程是否是二元一次方程，那咱们一起再来更深的归纳总结一下。 判断一个方程是二元一次方程，化简后呢，必须满足三个条件，哪三个条件呢？咱们一起来看一下。第一个只含有两个未知数，哎， 其实也比较容易理解，但是呢，这里面它有两层含义，那第一层含义它是什么呢？那只含有两个未知数，那就不能含有一个未知数，也不能含有三个和三个以上的未知数，这是它的第一层含义，对吧？ 哎，当你判断一个方程，哎，它里面只含有一个未知数，那它肯定不是二元一次方程。如果它里面含三个和三个以上的未知数，那它肯定也不是二元一次方程，哎，这是它的第一层含义。那它的第二层含义是什么呢？ 那即然只含有两个未知数，那么当你化简以后，哎，就剩下了这两个未知数，那就一定要要求这两个未知数前面的系数不能为零，哎，这是它的第二层含义。 好的，再看第二个限定条件，含有未知数的项，哎，次数都是一，含有未知数的项的次数都是一， 哎，这里需要注意的是，他指的是项的次数，而不是某个未知数的次数。咱咱们举个简单的例子，例如这个方程吧，那么大家来看 他是否是一个二元一次方程呢？咱们先来看前两个条件啊，那只含有两个未知数没有问题，那在这个方程当中，他只含有两个未知数，一个是 x， 一个是 y， 对 不对啊？哎，第一个条件是满足的，那第二个条件是否满足呢？ 含有未知数的项的次数都是一。那么咱们首先要找到含有未知数的项，那含有未知数的项有几项？那明显有两项，其中一项是 x 乘以 y， 另外一项是二 x， 对 不对？那对 x 乘以 y 这一项， 它是一个单项式，那么单项式的次数指的是所有字母的指数和，那么 x 这个字母，它的指数是一， y 这个字母它的指数是一，那所有字母的指数和自然就是二次，对不对？那另外一项就是二 x， 那 么二 x 这一项，它的次数是一，非常容易来判断，对吧？哎，那么到这咱们就忽然发现 这个方程当中含有未知数的项 x y 这一项，它的次数是一，非常容易来判断，对吧？哎，那么到这咱们就忽然发现这个方程当中含有未知数的项 x、 y 这一了，而是二，对不对？哎，你看人家要求的是什么？ 含有未知数的项的次数都是一。就是说但凡含有未知数的项，但凡含有未知数的项，它的次数都必须是一。 而含有 x y 的 这一项，它的次数是二，对不对？它是一个单项四，单项四的次数指的是所有字母的指数和它是二次的。所以对于这个，你乍一看啊，含有两个未知数，哎， x， 这是一， y 这也是一，这个 x 也是一，那它是否是二元一次方程呢？那它明显不是，对吧？因为它不满足含有未知数的项的次数都是一，对吧？也就是下面咱注意当中提到的，哎，注意，是项的次数，而不是指某个未知数的次数，它指的是 项的次数是否都满足是一，对不对？哎，含有未知数的这些项 次数都是一的时候，嗯，那才满足条件，所以这个方程自然不是二元一次方程。好的，这是第二个限定条件。那么第三个限定条件指的是什么呢？其实它隐藏在含有未知数的项的次数都是一这里边， 哎，只不过咱单独把它拿出来做一个介绍，让同学们哎，更明确的用来判断。第三个限定条件是， 方程中的代数式都是整式。也就是说，哎，方程中等号左侧的代数式和等号右侧的代数式都必须是整式，都必须是整式。那咱们在六年级的时候学过整式包括什么？单项式和多项式，对吧？ 那言外之意，哎，就是未知数它不能出现在根号下，也不能出现在指数上，哎， 对不对？比如说，方程当中你出现了 x， 分 之一 i 位置数出现在了分母上。比如说，方程当中出现了根号 x， x 出现在了根号下。再比如说，方程中出现了三的 x 次方， x 出现了指数上，那这些通通都不是二元一次方程。因为咱们要求方程中的代数式都是整式， 但是对于咱们常考的哎，一般是会考这个，哎，是否会出现在分母上？哎，你一旦看到未知数出现在了分母上，那他一定不是二元一次方程。 好的同学们，为了检验大家哎，对二元一次方程这个概念的理解程度，咱们一起来做一道练习，来巩固一下。 好的判断下列方程哪些是二元一次方程，哪些不是？为什么？好，咱们首先来看第一个， x 加三， y 减九等于零， 那这里面含有 x， 含有 y， 那 含有两个未知数，那就满足了第一个限定条件。那第二个限定条件，含有未知数的项的次数都是一，那含有未知数的项一共是两项，一个是 x， 那 这一项的次数是一， 另外一项是三 y， 那 这一项的次数也是一，所以第二个限制条件也满足。那第三个限制条件，方程中的代数式都是等式，那明显的是，哎，左侧是一个多项式，哎，右侧是一个数字零，哎，他是一个单项式，对不对啊？单独的一个数或者字母也是单项式，所以等号左右两侧 都是整数，所以第一个它就是二元一次方程，它满足三个限制条件。那再来看第二个，三 x 方减二， y 加十二等于零，那首先来看第一个限制条件，含有两个未知数，哎，那是否满足呢？ 哎，这有 x， 这有 y， 确实是含有两个未知数，一个 x， 一个 y， 但是再来看第二个条件，含有未知数的项，它的次数是否都是一，那么咱们首先来看它含有哪些项呢？哎，含有未知数的项，那第一个就是三 x 方，那么三 x 方这一项怎么着？ 他的次数就已经是二次了，所以他不满足，对不对啊？哎，二负二 y 这一项啊，他的次数是一不假，但是三 x 方这一项，他的次数是二，所以他就不满足第二个限制条件，就不用再往下看了。那再来看第三个，哎，和第二个其实类似，虽然都含有两个未知数 x 和 y， 但是含有未知数的项， x 立方这一项，哎，他的次数是三次的，所以不满足，哎。要求含有未知数的项，他的次数都是一这个条件，所以三也不是。再来看第四个，哎，那这个就非常明显，老师一再强调过， 方程中的代数式必须是整式，无论是等号左侧的，还是等号右侧的。而言外之意，未知数不能出现在根号下，不能出现在指数上，而这出现在了分母上，所以 他不是正式方程左侧的这个代数不是正式，那自然也不是二元一次方程。好的，再来看第五个， a 等于二分之 b 减一，那咱们把它化简一下，其实就是 a 等于二分之 b 减二分之一，对吧？那到这咱们看， 它含有两个未知数，一个 a， 一个 b， 对 不对啊？啊？含有未知数的项，其中一项是 a， 那 这一项的次数明显是一，另外一项是二分之 b， 这一项的次数也是一，哎，方程中的代数式都是整式，左侧是 a， 哎，是个单项式，左侧二分之 b 减二分之一，是一个多项式，所以左右两侧都是整式，所以它满足二元一次方程的三个条件。再来看第六个， 二， x 加十等于零，哎，那首先他第一个条件都不满足，因为他只含有一个未知数 x， 对 不对？咱们要求他是含有两个未知数，对不对啊？所以六不是。 再来看七， y 等于二， x 加一，那么还有两个未知数，一个 y， 一个 x， 那 么含有未知数的项，其中一项是 y， 另外一项是二 x， 那 么这两项的次数都是一，哎，所以满足第二个条件， 那么等号左右两侧都是整，四也满足第三个条件，所以七没有问题。四，二元一次方程。再来看八 x y 加上 x 加三， y 等于二十。那首先来看第一个限制条件，哎，方程中确实只含有 x y 这两个未知数，对吧？就两个未知数，一个是 x， 一个是 y， 哎，第一个条件满足，那第二个条件是否满足呢？含有未知数的项，它的次数是否都是一呢？ 咱们来看含有未知数的项一共有几项？一共有三项对不对？其中一项是 x y， 另外一项是 x， 哎，最后一项是三 y， 哎，这是含有未知数的三项，对不对？那么这三项当中来看，第一项，哎，第一项是 x 乘以 y， 那 么 这一项的次数是几啊？是二，对不对？他是一个单项四，单项四的次数取决于所有字母的指数和，那明显是二次，那到这你就能判定他不满足第二个限制条件，对不对啊？第二个限制条件说的是含有未知数的项的次数都是一，而这出现了 这一项的次数出现了二次，所以他不是二元一次方程，哎，所以综合以上，咱们就能得到哪些是二元一次方程呢？哎，一五七是二元一次方程，其他的不是，对吧？哎，至于不是的原因，在这咱们一个一个的都进行了分析，对吧？ 好的同学们，那通过这道例题，我相信同学们对二元一次方程的判断已经做到心中有数，应该遇到类似的问题就能轻松的解决掉，对吧？ 好的，那咱们再来探讨另外一个问题，什么问题呢？二元一次方程组的概念，咱们首先还是来看书本上的定义，书本上是怎么说的呢？ 哎，共含有两个未知数的，两个一次方程所组成的一组方程叫做二元一次方程组。那在这里面咱们分析一下它的限制条件或者是关键词对不对？那第一个限制条件就是 共含有两个位置数在这，注意关键字共含有，就是一共含有两个位置数。哎，那怎么着呢？哎，两个一次方程所组成的一组方程 叫做二元一次方程组。那咱们首先来看个小例子，好吧？哎，例如 x 加 y 等于八，哎，是一个方程，然后五 x 加三， y 等于三十四，也是一个方程，这时候在左侧用一个大括号把它们连立起来， 哎，就组成了一个方程组，就组成了一个方程组。咱们首先要知道方程组是什么概念，对吧？哎，你看这是一个方程，下面又是一个方程，左侧用一个大括号把它们连立起来，就组成了一个方程组，对吧？那什么样的方程组它才是二元一次方程组呢？就是刚才 定义中提到的两个条件，共含有两个未知数，这是第一个条件，咱们来看看是不是满足呢？哎，那么这 两个方程当中并不是要求每一个方程都含有两个未知数哈，是要求这两个方程当中一共含有两个未知数就可以了。那么这两个方程当中是不是 一共只含有 x 和 y 这两个未知数啊，哎，这是满足的。那再来看第二个条件，要有两个一次方程，那什么是一次方程呢？哎，在这老师给同学们解释一下，他有两层含义，一层含义是 含有未知数的项的次数都是一，这和咱们二元一次方程里那个限制条件是一样的啊，含有未知数的项的次数都是一，那第二个限制条件是什么？ 而方程中的代数式都是整式，哎，所以与咱二元一次方程当中的第三个限制条件也是一样的，对吧？哎，这就是一次方程它的含义。好的，那通过刚才的介绍，咱们来判断下一个方程组是否是二元一次方程组呢？那咱们一起来看 他是否满足第一个条件，共含有两个未知数。那么来看，第一个方程当中确实含了两个未知数，那第二个方程当中，哎，他就含了一个未知数，但是他 人家要求的是啥啊？共含有两个未知数，他只是要求你这个方程组当中，哎，只要一共含有两个未知数就可以，那明显他满足，对吧？ 哎，虽然下面这个方程它只含有一个未知数，但是上面这个方程它含有两个未知数，这两个综合起来，那它一共还是含有两个未知数，所以它满足第一个限制条件，一共含有两个未知数，哎，那再看一看，它所含的两个方程是否是一次方程呢？ 哎，那么大家来看，含有未知数的项的次数都是一，哎，这一项的次数是一，这一项的次数是一，没有问题。那这一项的次数也是一，也没有问题。满足含有未知数的项的次数都是一 和二元一次方程当中的那个要求是一样的。那第三个方程中的代数式都是整式，那么 x 加二 y 是 一个多项式，那它是整式三， x 是 一个单项式，那也是整式，那数字一和数字四更不用说了，对吧？所以它完全满足二元一次方程组的，哎，这个定义 这里需要提示的大家，它一共含有两个未知数，一共含有就可以了。好的，那么如何利用二元一次方程组的定义来判断一个方程组是否是二元一次方程组呢？咱们再来做进一步的汇总总结，以便同学们考试或者做练习的时候能更好更快的把它解决掉。 咱们一起来归纳一下，判断一个方程组四、二元一次方程组化简后必须满足以下条件，哪些条件呢？哎，那么第一个大的条件刚才咱们已经介绍过了， 共含有两个未知数是吧？那么共含有两个未知数是什么意思呢？哎，它的意思就是组成方程组中的各个方程， 哎，不必都含有两个未知数，只要一共含有两个未知数即可，对吧？就像咱们刚才举到的那道例题是吧，他第一个方程当中含有两个未知数，第二个方程当中只含有三 x 那 一项只含有一个未知数， 但是这个方程组总的来说他仍然是含有两个未知数，对不对啊？所以他要求的是组成方程组的各个方程不必都含有两个未知数即可。哎，这是第一个条件，希望大家能理解。 那么第二个限制条件是只含有两个一次方程，那两个一次方程是什么意思呢？一次方程是什么意思呢？就是含有未知数的项的次数都是一。哎，先看看这些方程当中找出来含有未知数的项，再来看含有未知数的这些项，它的次数是否是一，和咱们二元一次方程当中的 判断方法是一样的。另外一个要求就是方程中的代数式都是整式，哎，这就是第二个限制条件，只含有两个一次方程的意思。所以，哎，如果你只看课本， 你判断二元一次方程组的时候，仍然会有一定的障碍。但是经过这样的归答和总结以后，相信同学们对判断二元一次方程组应该信手拈来，不信的话，咱们做一道练习试一试。 哎，下列方程组是二元一次方程组的是哪一个？哎，那么咱们首先来看 a 共含有两个未知数，没有问题哎， x、 y 两个未知数，对吧？ 那么第二个限制条件，含有未知数的项的次数都是一。那咱来看看。哎，这个方程当中含有未知数的项是 x 乘以 y， 那 么 x 乘以 y， 它的次数是几啊？ 它是一个单项式，那么这一项的次数是二，所以它就不满足，怎么着，含有未知数的项的次数都是一，这个限制条件是不是啊？所以它不是二元一次方程组。 再来看 b 含有两个未知数，哎，第一个限制条件是满足的哎，只含有 x 和 y， 对 吧？第二个限制条件， 含有未知数的项的次数都是一。那么咱们把含有未知数的项通通找出来，第一项二分之 x， 次数是一。第二项负二分之 y， 次数是一。第三项 x 次数是一。第四项 y 次数是一，所以第二个他也满足， 是吧？含有未知数的项的次数都是一。第三个方程当中的代数式都是整式，那没有任何问题。第一个方程左侧是一个多项式，第二个方程左侧也是一个多项式，那右侧都是数字，一也没有问题，所以方程中的所有代数式都是整式，哎！说方程中的代数式，指的是 对每一个方程来讲，哎，等号左侧的代数式，他要是整式，哎，等号右侧的代数式也要是整式，哎，就是这个意思啊，可以减数为方程中的代数式都是整式，所以这三个限制条件 b 都满足，所以他是二元一次方程组。再来看 c， x 加 z 等于一， x 加 y 等于明显出现了 x、 y、 z、 i 三个未知数，那出现了三个未知数，自然不满足第一个条件，是吧？共含有两个未知数，所以它不是二元一次方程，它都含三个未知数了，是吧？再来看 d， 第一个限制条件只含有两个未知数， x、 y 没有毛病，是吧？第二个 怎么着？含有未知数的项的次数都是一，那大家来看第一项 x， 它的次数是一。第二项，哎，这一项它的次数 y， y 这一项也是一。而对 x 分 之一这一项，哎，它的次数是几啊？哎，大家说了， 它根本就不是正数，对不对？哎！首先不满足第三个限制条件，那么正确的答案应该选择 b， 正确的答案应该选择 b。 好的，同学们，那么研究过二元一次方程和二元一次方程组的概念之后，咱们再来探求二元一次方程和二元一次方程组的解，哎，那么有了概念做铺垫以后，对于解来说，那就相当的容易。那什么是二元一次方程的解呢？非常简单， 使一个二元一次方程左右两边的值相等的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解，一个解。 那么读这句话呢，可能有点绕嘴，咱们稍微把它简化一下。怎么来简化呢？哎，是一个二元一次方程左右两边相等的一组未知数的值，哎，这样能简单一点，是吧？把这个 圈一圈，哎，可能有这俩字读着就稍微有点绕嘴，如果把它圈起来，把它略掉，哎， 使一个二元一次方程左右两边相等的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。 哎，这里面为什么会出现一组？那大家再想一下，咱们都是二元一次方程了，这里面还有两个未知数，一个 x， 一个 y， 哎，所以，哎，这未知数是成组出现的，是不是成组出现的， 哎， x 等于多少， y 等于多少，他们俩共同决定了这个二元一次方程的解是不是所以是一组未知数的值。那咱们通过一个具体的例子，让大家更好的理解什么是二元一次方程的解， 比如这有一个二元一次方程， x 加 y 等于八，哎，这么一个二元次方程，那么咱们不难发现， x 等于六， y 等于二，带入这个方程的话，那么左侧就等于八，对不对？那右侧人家明确已经给的是八，所以就是 二元一次方程左右两边的值相等了，对不对？所以它就满足了二元一次方程解的定义，哎，使一个二元一次方程左右两边的值相等的一组未知数的值，那这一组未知数的值是不是 x 等于六， y 等于二啊？所以这一组未知数的值， 咱们就记住， x 等于六， y 等于二，左侧用大括号把它连立起来，就叫做二元一次方程的一个解，一个解， 所以这句话是绕嘴，但是相信同学们理解起来都非常容易。那什么是二元一次方程的一个解？那就是 x 要寻找的一个值， y 要寻找的一个值，是不是寻找完以后，能使这个二元一次方程左右两边相等，那这一组 x， y 的 值，那就是二元一次方程的一个解，对不对？那么大家 不难发现， x 等于六， y 等于二，是它的一个解。那老师来问，如果 x 等于一， y 等于七，哎，是不是也是它的一个解一个解啊？那没有问题，对吧？一加七等于八，所以 x 等于一， y 等于七，哎，也是这个二元一次方程的一个解，那有的同学又好说了，那么 x 等于二， y 等于六， 哎，那它也等于八，它也是二元一次方程的一个解，哎，这是四的整数，哎，那，那如果说是 x 等负一， y 等九，是不是也是八呀？哎，那么说一说， x 等于负一， y 等九，他也是二元一次方程的一个解，哎，这都是正整数啊，负整数，那咱们还可以试小数，对不对？比如 x 等于零点一，哎， y 等于七点九，那他是不是加起来也等于八，所以 x 等于零点一， y 等于七点九，也是二元一次方程的一个解。那老师写了这么多，想要表达什么意思呢？那就是下面这句话， 一般情况下，一个二元一次方程，他有无数个解，无数个解，对吧？就像上面的举着的这个例子，老师刚才写的这么多，他通通都是 x， y 等于八这个二元一次方程的解，所以一般情况下，一个二元一次方程，他有无数个解， 那什么时候才有有限个解呢？哎，一般是对未知数的取值附加某些限制条件，那么他才有可能出现有数有数个解。 那么什么时候出现什么样的限制条件呢？那么咱们常见的是，比如让你求 x 加 y 等于八这个二元一次方程的正整数解，哎，正整数解什么意思？那就是说 x 和 y 的 取值都必须是正整数， 哎，那这样是不是就对 x y 的 取值附加了限制条件啊？那就就是这句话的意思，哎，如果让你求 x 加 y 等于八这个二元一次方程的 所有的正整数解，那么它解起来，可能它的解就只有有限个解，有限个解。咱们最常见的限制条件是 x， y 的 取值都是正整数，或者说 x， y 的 取值都是负整数，或者说 x、 y 的 取值都是自然数。这是咱们在考察的题目当中最常见的三种限制条件，最常见的三种条件以第一种正整数，哎，出现的居多，出现的居多。后面咱们会讲到啊，类似的题目， 好的，那咱们现在来利用二元一次方程的解做一道小的练习，咱们一起来看，若 x 等于负二， y 等于三四方程， x 减开 y 等于的解，则开的值为多少？那么非常简单，这道题直接是考察二元一次方程的 解的定义是不是？那么 x 等于负二， y 等于三，是它的解，那么咱们只需要把 x 等于负二， y 等于负三，带入这个方程，那这个方程的左右两边就应该相等，对不对？只需要带入这个方程就可以了，那咱们把它带进去得到什么呢？ x 是 负二， 哎， y 是 三，那自然是减三 k 对 不对？把 y 换成三，把 x 换成负二，负二减三， k 等于一，是不是啊？ 那么咱们就得到了三 k 等于负三，所以 k 等于负一，非常简单的一道题啊，所以 k 的 值为负一。 好，那么接下来有了二元一次方程解的概念，咱们来看二元一次方程组的解是怎么回事？ 咱们来看书本上的定义，二元一次方程组中，哎，各个方程的公共解，那么二元一次方程组中有几个方程啊？那当然就是有两个方程了，他还说各个方程 其实就是二元一次方程组中两个方程的公共解，两个方程的公共解，因为这两个方程对每一个方程来讲，它可能都有无数个解，在这无数个解当中，总有一个解是重合的，总有一个解是重合的，也就是说他们的公共解， 这个公共解呢，就叫做二元一次方程组的解。咱们来看看具体的例子，例如刚才老师讲到的这个例题， x 加 y 等于三十四这个方程组，那么咱们来看 有这么一个解， x 等于五， y 等于三，哎，当 x 等于五， y 等于三，那么代入 x 加 y 等于八，这个方程它是成立的，对不对？那么代入下面这个方程，五 x 加三， y 等于三十四，咱们代一下， 五五二十五，三三得九，一加也是三十四也成立，所以 x 等于五， y 等于三，哎，是这两个方程的公共解，是这两个方程的公共解，那么 x 等于五， y 等于三，就是这个方程组的解，就是这个方程组的解。哎，方程组的解和二元一次方程的解 写法都是一样的，都是用左侧大括号括起来，右侧把 x 和 y 的 值分别写上，分别写上，也就是这种哎表述形式。所以二元一次方程组的解也是理解起来非常容易的，对吧？ 那么关于二元一次方程组的解，他的具体的解的情况是什么样子的？那么咱们一起来看一下。一般情况下，二元一次方程组的解是唯一的，哎，也就是说他们的这个公共解一般情况下是唯一的，但是有的方程组可能有无数个解，也可能无解，咱们 本节课呢？哎，不研究解的具体情况哎，只是让你给出一个解，让你来判断这个解是否是二元一次方程组的解，咱们只研究这种情况，本节课至于如何解这个二元一次方程，解这个二元一次方程，它到底是有 无数个解，还是有唯一的解，还是有还是没有解？那咱们以后讲解的时候再做具体介绍，本节课在这不做介绍啊。 好的，下面咱们来做一道例题，来检验一组数到底是否是二元一次方程组的一个解。那用什么方法呢？自然是用代入法，对吧？ 哎，他给了一组解，咱们就把这组解带进去，看他是否满足二元一次方程组就可以了，对不对？哎，例如 方程组 x 加 y 等于十二， x 加 y 等于十六，它的解是什么？那么咱们一起来看一下 abcd 到底哪一组是它的解啊？ 首先来看 a， x 等于六， y 等于四，咱把它带进去， x 等于六， y 等于四，一带等于十，满足第一个方程，那没有问题。再来看第二个方程是否满足呢？ x 等于六二，六于十二， y 呢？等于四，哎，确实等于十六，那么 a 它就是这个二元一次方程组的解，为什么？因为它是这两个方程的公共解，同时能满足这两个方程，所以 a 就 没有问题了。那么这道题自然选择 a， 哎，剩下的 b， c、 d 就 排除了。那么咱们再用 b 来做一下介绍，为什么他不是，好吧，那么 x 等于五， y 等于六，咱们现在来说 b 啊，那么五加六等于十一，那明显不满足这个方程，因为人家要求的是 x 加 y 等于十，所以 b 自然不是，对吧？ c、 d 都是类似的情况，老师在这不作虚数了，所以正确的答案选择 a 非常简单，用代入法来判断一组数是否是二元一次方程组的解。

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大家好啊，我们有些同学对这个计算还是不是特别熟悉啊，一直强调的是这一张就是。嗯，以练习为主，你得这是基础运算能力的 啊，也是一种。嗯，所以呢，还是要多练啊。那我再给大家演示几道题，大家可以这个暂停一下啊，做完之后，嗯，然后呢再看， 我们首先看第一个哈，第一个还是标准的这种乘号分配率啊，乘号分配率，那啊，他呢根号三乘以根号三呢，很明显呢就等于三了。 那根号三乘以根号六呢？那我们在可以在心里想，这个根号六可以变成根号三乘以根号二，那根号三乘以根号三还是三，那这根号二呢？就没什么好变，所以说就是三加上三倍的根号二啊，这第一个， 那第二个呢？就是二倍的根号五加三，嗯，乘以三倍的根号五减二。嗯，这个没有什么好说的，只能是这样。嗯，这个 一个一个乘，那第一个呢？二根五乘以三，根五呢，它是二三得六啊，六根号五乘以五是五，所以呢加起来是三十，然后这个二根五再乘以负二，所以就是减四倍的根号五， 然后呢这个三再乘以啊，这个三倍根号五三得九，那就加上九倍的根号五，那最后呢三乘以负二呢，就是减去六。嗯， 那到这呢，我们看就看有没有同类二次根式有没有可以合并的啊？一看啊，这两个可以合并啊，这个呢和这个可以合并，所以呢三十减去六呢，就是二十四，这个负四根五加上九根五呢，就是加上五倍的啊，根号五 啊，这是这个题，嗯，那下一个呢？嗯，没什么好说的。嗯，它也不太能用什么减二 a b 加 b 方。嗯， 那 a 方呢，那我们已经非常熟悉了啊，它是一个八啊，二倍的根二的平方，因为二倍根二是根号八嘛，这个根号八的平方就是八 八，然后它减去啊，这个二倍二 a b， 那 就是我们在心里想一下啊，就是四倍的根号十二，但是呢，根号十二呢，我们很明显是啊，它等于二二倍的根号三 啊，那所以呢，他就是减去八倍的根号三。 嗯，最后一个呢，就是啊，加上六了啊，加上六，那很明显呢，我们先合并一下，就是十四，减去八倍的根号三。 嗯，这个呢，我们也可以用这个啊， a 方加二 a b 减 b 方的这个啊， a 加 b 的 平方等于 a 方，加二 a b， 然后加 b 方，那这个呢，我们仔细一看，它还可以，其实里边就直接可以合并的 啊，如果说你做的比较熟的话，它其实直接可以等于二分之根号二，再加上根号二的平方， 那我们直接给他平方就可以了啊，直接平方呢啊，得到四分之 三，三得九啊，九乘以二。我为什么不把它写成十八？因为反正我们也后边也要约啊，那他约掉呢，就是二，所以就是二分之九， 二分之九。那我们还是用前面方法来来这个做一下，看一下是不是。 嗯， a 方呢，它是二根号二分之一的平方，那所以呢，乘起来是二分之一，再加上二 a b 啊，两个啊，二，再乘以，其实它呢是二分之根号二 啊，再乘一个根号二，二 a b 啊，再加上二，那这个呢，它和它可以约掉，它乘它起来是二，所以说呢，还是二分之一加二加二，最后还是呢二分之九 啊？大家可以比较一下这两种方法。嗯，另外一个呢，这就是平方差了，还是啊，根号七减去二，根号七乘以加 b 的 平方，就 a 的 平方减去 b 的 平方， 根号七的平方呢，它就等于七，那二的平方呢，它就等于四啊，所以呢就等于三啊，这个呢，嗯， 稍微进行了一下变换，那它其实是，嗯 b 加 a 啊，然后乘以呢 啊， a 减 b， 那 其实我们这个平方差公式我们是用啊，我们是以这个减的这个啊，加的这个，因为可以随便调换嘛，所啊，所以说是我们其实是根据这个减的来判断顺序，那肯定是二倍根号二的平方减去根号六的平方， 那所以呢，给他俩互换一下啊，就是 a 加 b 乘以一减 b 了，所以就是加平方八了，我们已经非常数了，减去六就等于二， 嗯，这个呢，这两个题呢，是其实是一模一样的啊，这其实一模一样，那如果我们非要把它展开的话，那它其实有点麻烦的， 那如果说我们完全平方那一个学的比较好的话啊，那其实这个可以可以秒出答案的。那其实 a 加 b 的 平方，再加上呢，这个 a 减 b 的 平方， 那这是 a 方加上二 a b 减 b 方，那这呢是 a 方减去二 a b 啊加 b 方，那所以呢，这个正二 a b 和负二 a b 其实是没了， 那以 a 方呢啊，就是等于两倍的括号里 a 方加 b 方啊，或者说两倍的 a 方再加上两倍的 b 方啊，其实我们可以直接写的两倍的 a 方呢，就是 a 就是 根号二，根号二就是 a， 根号的平方就是二，两倍的 a 方呢，它其实就是四，那再加上两倍的 b 方呢？啊，这个它 b 等于根号三，所以 b 的 平方就等于三，两 b 的 就等于六，其实呢，它直接可以等于十， 那这个呢，其实也是啊，我们直接等于二 x 加上二 y 就 可以了 啊，你做也是这样啊，你把它展开之后啊，我们如果说因为 a 加 b 和 a 减 b 啊，它的核呢，就等于四， a 加四 b 啊，就等于二 a， 二 a 方加二 b 方啊，二 a 方加二 b 方。那如果说这个地方换成一个减号呢，如果换成一个减号呢？ 它其实啊， a 方 a 加 b 的 平方和 a 减 b 的 平方其实就差一个四 ab， 那 所以呢，它换成减的话，我们也可以看出直接就是四倍的根号六， 那这个呢，如果说换成一个减号的话，它也是啊，等于这个四倍的根号 x y 啊， 嗯，因为 ab 就是 根号 x y 嘛，所以说看到这种平方这种完全一样东西，我们要敏感啊，这两个呢就比较常规了，那这个 七分刚好七分之一，我们就分享出来，就是七分之根号七啊，上下都乘根号七，再加上这个四七二十八，四 k 出来两倍的根号七减去这个呢啊，这是七乘一百一百呢，是十的平方，所以说十倍的根七。嗯，那这个呢，就是，呃， 七分之一跟七七分之一加上二再减十啊，十减九，那其实就是负的十减去这个什么二有七分之一，那所以呢，负的啊，七又七分之六倍的根号七， 嗯，这样写出来是不行的啊，我们只能写上七负的七分之七，七四十九，四十九，九九加六啊， 五十五倍的根号七啊，这样啊，千万不能刚像我刚才写这样，就是说代分数乘代分数，因为 这个代分数这个地方是一个加七，有七分之二的时间是个加，你又你把它放到这也不合适，把它放后边也不太合适啊，所以说我们最后要一定要换成假分数的形式啊。 啊，最后一个，这个啊，这个三十二，是啊，十六乘以二，所以说是四倍的根号二再减去的啊，二分之三倍的根号二，再加上根号二， 那这个就是四减二分之三再加一了。其实四天加上一就五，五减去二分之三，五减去一点五，其实是什么啊？五到二分之十就是二分之七倍的根号号， 写后边也行，写上边也行，我们写上边更加稳妥一些啊，这就是这几个题啊，大家一定要多做啊，然后呢？这个八下的这个，嗯，课程我们就更加稳妥一些啊，这就是这几个题啊，大家一定要多做啊，嗯，然后呢，这个八下的两个单元基本上够用啊。 嗯，这一这一张你就是学会了啊，你每天多做一点这种练习题啊，绝对不亏。

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五四制鲁教版的语数英终于有一个专版的基础训练了，这个出版社他是从六上开始做的啊，所以这个语数英现在只有六上的 新版的教材。看看英语，它是一些基础的训练，咱们六上英语的词汇分小街词汇和初街词汇，小街词汇也是一些必备的，所以这里给大家也整理出来了一些各个词性的一些高频考点的单词的默写， 出街单词，重点单词默写、词形转换，重点短语，重点句型，以及这个词汇对点练，考点的精练， 这一部分就是咱们出街的一个题型，这个一定要单独去练习啊。然后这个语段的训练，还有一个单元的词汇专项的检测题，这些都是一些基础题啊，就是不包括后边大题阅读理解那些题型的所有的一些练习 计算依然是全一册的，就是六上下在这一本上面各个单元各课时的一个计算题，然后有巧解妙答，练基础练方法，一体多变。六上的语文是一个归类复习 单元的基础巩固、阅读提升以及课外阅读。咱们六上有这个童年，童年的一些阅读任务，一些习题，然后是每一个单元有一个学习任务群的一个专列。