八年级书八年级下册数学一次函数图形

好，前面我们研究了正比例函数的图像与性质，现在咱们来研究一下依次函数的图像与性质。因为正比例函数是特殊的依次函数，所以我们先研究特殊的，再研究这个一般的， 比如说这个例题二里面，它就给了两个函数，其中一个函数 y 等于负三 x， 它对应的是 y 等于 k x 的， 那么秦如这样的函数，我们把它叫做正比例函数，所以它是正比例函数。而这个呢，它对应的是一般式的依次函数，就是 y 等于 k x 加 b， 看到没有，他们这个加一就对应加 b， 所以呢，它是一个依次函数， 并且你会发现它们的 k 值都等于负三。好了，我们现在就是要比较这个正比例函数和依次函数的图像有什么区别。 那么既然要画图像，那你就描点吧，描点你就要画表格。哎，这里给我们画好了，它这里 x 取了五个值，我们分别带入这两个函数里面，把它给算出来就可以了。好，先算第一个， 把负一带到负三 x 里面，变成负三乘负一，负三乘负一等于三，所以这里写三。第二个是负三乘负零点五乘负零点五的话呢，它就会等于一点五， 零乘负三等于零，零点五乘负三，它就等于负一点五。再看下面这个，下面这个是在这个基础之上加上一个一。好，那么我们刚才已经算了负三 x 了，现在只需要加一就可以了，那你就拿三加一， 它就变成了四一点五，加一等于负零点五， 然后负三加一会等于负二，那么这样的话呢，我们就可以得到 y 等于负三， x 会过五个点，哪五个呢？这五个点，我们把这五个点分别写出来，负一三，负零点五、一点五、 零零零点五、负一点五，以及一负三。 第二个函数会过这五个点会过这五个点，我们也直接把它写出来， y 等于负三， x 加上一，它会过，负一四，负零点五，二点五， 零一零负零点五，一负二，他会这过这五个点。呐，这五个点呢，其实你把它全部画全，全部写在这里，你就可以标上去了，我得复制一下， 这个负一点四 在上面，负一四在上面，然后负零点五，二点五在这里，零一在这 零点五，负零点五在这个位置，然后一负二在这个位置。呐，把这五个点都描上去，连起来就是它的函数图像。 再看这个， 负一三在这个位置，负零点五，一点五在这个位置，零零就是圆点在这个位置，零点五，负零，负一点五在这里， 然后一负三在这里。啊，稍微有点啰嗦啊，但是呢，秒点就是这个，就是这样的， 一定要细心。描完之后，那我们就要观察他的图像特征了，对不对？好，他这里探究呢，也帮我们引导了，他说比较上面两个函数图像的相同点和不同点，填写你观察的结果。 那么这两个函数的图像形，图像的形状都是什么？哎，连起来是不是都是一条直线呢？对不对？所以形状都是直线， 并且倾斜程度。什么叫倾斜程度？比如说我们的一个坡度，对吧？你看这个坡陡不陡？那你就看它的夹角，它和水平，地面的夹角越小，它这个坡是不是就越缓啊？ 越缓，那如果这个坡度和地面的夹角越大啊，这个角越大，那么说明这个坡是不是越陡啊，对不对？好，所以它的倾斜程度你可以比较什么呢？你就可以把它当做是这条直线 与 x 轴 x 正半轴的夹角。那你看这条直线和 x 轴正半轴的夹角，一个在这里，另外一条 它的夹角在这里，你会发现这两个夹角是不是一模一样大，所以它的倾斜程度就是一样的。所以我们这里写它这个倾斜程度，你可以看什么作为参考呢？可以看这个直线 与 x 轴正半轴的夹角， x 轴正半轴的夹角， 并准确地说应该是 x 轴上方的直线， x 轴上方的直线 与 x 轴正半轴的夹角，那 x 轴上方的这条直线和 x 轴的夹角看到了吗？那就这个意思，那么这个夹角相等，那我们就说它的倾斜程度是相同的。 这个呢，到了高中啊，咱们会进一步学习。函数 y 等于负三 x， 它这个图像会经过原点，函数 y 等于负三 x 加一，它的图像与 y 轴交于哪个点？你看一下， 与 y 轴的交点是这个是零一，对不对？好，所以它的交点就是零一， 那你发现没有，它这里是不是加了一，那就是零一啊？所以呢，它这个焦点对应的 y 等于 k， x 加 b 啊，当 x 等于零的时候， y 一定会等于 b， 所以 它会横过零 b 这个点啊，过零 b 这个点，也就是说与 y 轴的焦点就是零 b， 知道吧？啊？这是一般式里面的， 即它可以看作由直线 y 等于负三 x 向上平移了一个单位而得到的。你看这条线 整体是不是相当于把这条线向上平移了一个单位，你看它每个地方是不是都是向上平移一个单位？看到没有，它的纵坐标三变成四，一点五变成二点五，零变成一，负一点五变成负零点五， 负三变成负二，所有的重坐标全部加了一，那么这个点所有点是不是就向上平移一个单位？而直线是由无数个点组成的，所以它整体就相当于是向上平移了一个单位，一个单位长度得到的。 比较两个函数解析式，你能说出两个函数的图像有上述关系的道理吗？哎，这个就是比较了，那怎么比较呢？你会发现， 当这个横坐标相同的时候，他的重坐标是不是始终比他大一啊？对不对？我们就可以通过这个看出这条直线就是由这条蓝色的线整体向上平移一个单位得到的啊。 我在这里也写了一下，自变量取值相同的时候，那就这个 x 的 取值相同，也就是横坐标相同的点，这个 y 等于负三， x 加一的函数值总比 y 等于负三 x 的 大一，也就是它的重坐标始终比它大一啊。这里多写了一个总字，把它擦掉， 差一，所以我们就可以把它理解为 y 等于 x 的 图像， y 等于负三， x 的 图像。向上拼一个单位长度就可以得到 y 等于负三， x 加一的图像就可以了。咱们把这段话 写在刚才的那个地方就可以了，我这里剪切过去就放在这个位置， 就在这个位置就可以了。好，最后他说联系上面的结果，考虑依次函数 y 等于 k， x 加 b， k 不 等于零的图像是一个什么样的形状？什么形状？哎，一条直线对不对？什么形状呢？咱们就说一条直线， 它与直线 y 等于 k x 有 什么样的关系啊？上下平移嘛，对不对？好，这里下面就有总结，它是比较一次函数 y 等于 k， x 加 b 与正比例函数 y 等于 k x 的 解析式。我们可以得出 一次函数 y 等于 k x 加 b 的 图像是由直线 y 等于 k x 平移 b 个绝对值的单位长度可以得到的。如果 b 是 大于零的，那么就向上平移， 那就加嘛，对不对？如果 b 小 于零就向下平移，那就在 k x 后面呢，去减嘛，对不对？好，所以依次函数 y 等于 k x 加 b， k 不 等于零的图像也是一条直线，我们称它为直线 y 等于 k x 加 b。 这里同时你也要 补充一点，那你看我们前面画的图像，这个 k 值是不是都等于负？三 k 值相等的时候，也就意味着这两条直线怎么样是可以通过平移得到的。那么既然是可以通过平移得到的，那么这两条直线就平行，这个是一个隐藏的 条件，知道吧？所以以后题目里面出现了谁谁谁哪两个一次函数，它是平行的，你就可以直接说它们的 k 值是相等的，明白吗？好，我在这里写一下依次函数中 非相等的情况下 图像，也就是直线可以通过平移得到，直线可以相互平移，可以平移得到， 那么因为是平移得到的，所以这些线是平行的啊，因为平移，所以呢，可以得到 线与线，直线与直线之间 是平行的， 所以我们可以得到，比如说，例如 y 一 等于 k 一， y 一 等于 k 一， x 加 b， 然后 y 二等于，这个是 b 一 啊， y 二等于 k 二， x 加 b 二，当 k 一 等于 k 二时，那么直线 y 一 就会平行，直线 y 二，当然你也可以反过来当，这里接着后面写， 当 y 一 平行 y 二的时候，我们也可以得到 k 一 等于 k 二啊，这个是可以相互转换利用的好吧？ 好， b t 三。这里叫我们画出这两个函数的图像，这两个函数都是依次函数，对吧？第一个是 y 等于二， x 减一，第二个是 y 等于负零点五， x 加一。 好，那么由于一次函数的图像都是直线，而两点就可以确定一条直线，所以我们只需要描两个点就可以了。 这个例题里面给出来的 x 取值，一个是零，一个是一，我们分别把零和一带入到第一个函数和第二个函数里面去算就可以了啊，你把零带进去，二乘零减一， 对吧？就等于零减一，等于负一，第二个把一带进去，那么就是二乘一减一，二乘一减一，就是二减一，它会等于一啊，所以 y 等于二， x 减一， 就会经过这两个点，第一个点是零负一，第二个点就是一一啊，那么这个例题里面已经把这两个点描进去了啊，一个零负一在这里，一个一一在这里，把这两个点连起来， 就是 y 等于二， x 减一。再看第二个函数，把零带进去，负零点五， x 来加上一，那么它就会等于什么？它就会等于零加一，对吧？等于一，所以它就会过零一这个点， 然后呢，把一带到里面去，那就是负零点五，乘上一，再加一，那就负零点五，加一就会等于零点五，所以这个点它就是一零点五。好了， 我们就把这两个点挂在直角坐标系里面，零一在这一零点五，在这连起来，这条直线就是 y 等于负零点五 x 加一，对吧？当然它也有其他画法，我们可以通过正比例的平移去画 它，这里就是这样说的，它说先画直线， y 等于二 x， 好， 我们现在按照它的思路，我们再画一次， y 等于二 x， 那么同样呢，让它的横坐标分别等于零和一啊。 x 等于零的时候，那么 y 就 等于二乘零等于零，所以它会过的点就是零零，然后等于一的时候， x 等于一的时候， 那么 y 就 等于二乘一等于二，所以它就会过一二这个点。好了，那么现在呢，我们把零零标出来，零零在这里，对吧？然后一二一二，假如说这个是二 一二在这里我们连起来， 好，那么这条直线呢？就是 y 等于二 x， 那 然后呢，它在平移，怎么平移呢？向下平移一个单位，是不是就和这条直线重合了，对不对？好，所以它就这么来的。那么我们画这条直线的话，就先画 y 等于负零点五 x， y 等于负零点五 x， 我 们这里 x 等于零的时候， y 就 等于负零点五，乘上零等于零，所以也会过零零。然后第二个点就是 x 等于一的时候， y 就 等于负零点五，乘上一等于负零点五， 所以它会过一负零点五一负零点五在这里。 然后还有一个是零零在这里，我们把这两条直线连一下，把这两个点连一下，那么这条直线就是 y 等于 负零点五 x， 那 你看，把这条直线向上，整体向上平移一个单位，就会得到 y 等于负零点五， x 加上一，这条直线看到了吗？好，所以它也可以这么去画。好吧，好，这个是例题三， 再看探求，这里叫我们画出函数。 y 等于 x 加一， y 等于负， x 加一， y 等于二， x 加一和 y 等于负二， x 加一的图像，观察这些直线， 总结他们从左向右上升或者是下降的规律，我们先把图像画出来吧。好吧，好，先画 y 等于 x 加一，那么我们画的话，首先要瞄点，那么先求出 x 等于零的时候，这个 y 会等于几？ y 就 等于零加一等于一，所以会过零一，这个点，对吧？好， x 等于一的时候呢， 那么 y 就 会等于一加一等于二，所以会过一二这个点。好，这是这两个点，然后再画这个 y 等于负， x 加一，那这个时候 x 等于零的时候， y 就 等于负零加一，所以也会过等于一， 也会过零一，那 x 等于一的时候，这个 y 就 会等于什么？ y 就 会等于负一加一等于零，所以它会过一零这个点。好， 我们再把它们两条直线画在直角坐标系当中， x y 一 二 负一负二，这里是零二一负二，负一。好，现在就瞄点了，一个是零一， 一个是一二，在这里能把它连起来，这条直线呢？ 这条直线就是 y 等于 x 加一，好，再来画这个零一和一，零在这里。那我画一下这条直线， 就是 y 等于负 x 加一，好了，画出来了。啊，那你观察一下，你看一个 k 等于一，一个 k 等于负一， 这种情况下 k 是 等于一的，而这种情况下 k 是 等于负一的，知道吧？ k 等于一是一个正数， 它就大于零，所以我们可以得到的是，这个是 k 是 大于零的，而这个呢是负数， k 是 小于零的，哎，你会发现 k 大 于零的时候斜向上，对吧？所以是从左向右，它是上升的， 而如果 k 小 于零的话，它就是下降了，从左到右，它这个直线是下降的方向，知道吧？好，这就是总结这个规律。好，我们再来看这个图像， y 等于二， x 加一和 y 等于负二， x 加一一样的， 咱们先把它算出来， y 等于二， x 加一， x 等于零的时候，这个 y 就 等于二乘零加上一就会等于一， x 等于一的时候， y 就 等于二乘一，再加一，它就等于三啊，所以我们发现这里过零一和一三这个两个点。然后再看 y 等于负二， x 加上一，它，当 x 等于零的时候， y 就 等于负二乘零加上一，它就等于一，所以过的也是零一， x 等于一的时候呢， y 就 等于负二乘上一再加一，负二加一等于负一，所以它会过一负一这两个点，那一负一这个点和这个点，再把它画在直角坐标系当中。 x y 这里是零啊， 一二三一二三三二一 负三，负二，负一，负三，负二，负一。好了，那么现在呢，我们来瞄点，这个是零一零一在这里，然后一三一三在这里 连接一下这条直线，就是 y 等于二， x 加一，再看另外一个是，也是零一 x 一 负一，在这个位置，再连接 这条直线是 y 等于负二， x 加上一，发现没有， 上面这个 k 是 等于负二的，这 k 是 小于零的， 所以 k 大 于零，它是从左到右斜向上上升去画的，然后从然后 k 小 于零的话，从左到右，它是不是下降的方向去画的，对不对？好，所以呢，它们的规律我们就找到了， 书上下面就有总结啊，咱们就不直接总结了，直接看就可以了。他说观察前面的一次函数图像，可以发现这个规律，当 k 大 于零的时候，对吧？直线 y 等于 k， x 加 b， 它从左向右是上升的，所以我们画的时候呢， 就这个画法就得斜向上画 好。然后呢，当这个 k 小 于零的时候，这个直线 y 等于 k， x 就 从左向右下降，那么我们画的时候呢，就斜 向下画。 所以一般的一次函数 y 等于 k， x 加 b， k 和 b 都是常数， k 不 等于零，就具有下的下面的这个性质。当 k 大 于零的时候， y 随 x 增大而增大，对应的是斜向上滑。到了高中呢，这个叫什么呢？这个叫单调递增 啊，然后 k 小 于零的时候， y 随 x 增大而减小。到了高中，我们会说单调递减， 大家提前知道一下就可以了。好吧，啊，初中我们不会用这两句的，只不过如果你的老师是以前教过高中的，他可能会习惯性的去说单调递增或单调递减，你要知道什么意思？ 大家看练习第一个，直线 y 等于二， x 减三，与 x 轴的交点坐标是多少？首先你要知道在 x 轴上对不对， x 轴上的点，它们的重坐标是不是都等于零呢？对不对？好，重坐标 为零，也就是什么？即 y 等于零，所以我们要算它与 x 轴的交点坐标，我们就写，当 y 等于零的时候， 这个 y 等于二， x 减三，就会变成零等于二， x 减三，所以啊，就变成三等于二 x， 那 么二 x 就 等于三，除以二， x 就 等于二分之三，所以它会过二分之三零这个点， 这个点的坐标就是二分之三零，就是这么了。然后与 y 轴的交点，坐标呢？与 y 轴的交点，它的横坐标为零， 也就是什么呢？也就是 x 等于零，那我们就写，当 x 等于零的时候，这个 y 等于二， x 减三，就会变成 y 等于二乘零减三，就是 y 等于零减三， y 就 等于负三。所以我们可以得到的是什么呢？ 它这个点就是零负三，所以它在与它在 y 轴上的点就是零负三，也就是与 y 轴的交点就 ok 了啊。然后经过哪几个象限呢？那你看一下，你都已经求出来了。 与 x 轴的交点以及与 y 轴的交点，与 x 轴的交点，假如说这个是二，这个是一，那中间这个点就是二分之三零，对吧？然后与 y 轴的交点是零负三， 交换一下位置啊，不然不好画。这个点的坐标是二分之三零，然后你找到零负三，那么这里假如说这个就是负三，这个是负二，这个是负一，那这个点在这里就是零负三， 你把这两个点一连，对吧？好了，那么你就可以通过图像直接看出，怎么啊？他过哪几个象限？第一象限、第二象限，第三象限和第四象限，他是过一三四象限的，对不对？所以他会过第一、 第三以及第四象限。 然后从图像上咱们可以看得出来，它是从左到右斜向上画的，对不对？那这个叫什么法？这个叫什么？这个叫 y 随 x 增大而增大，你也可以直接判断它的 k 是 等于二的， k 大 于零，所以我们可以得到 y 随 x 增大而增大。 再看第二题，分别在同一个平面直角坐标系当中画出一和二当中各函数的图像，就是这个， 这里有三个，这里也有三个。把这三个函数图像挂在同一个直角坐标系当中，并且指出每个小题当中三个函数的图像有什么关系。好，那么由于这个比较多，我就直接去写点了。好吧，好，先看第一个， 第一个是 y 等于 x 减一，那么你让 x 等于零的时候，那么 y 就 等于负一，所以第一个是零负一，如果是等于一的话呢，那么他这个 y 就 会等于一减一等于零，所以是一零。 好，第二个是 y 等于 x， 那 这个比较简单，第一个是零零，对吧？第二个呢，就是一一 好，然后 y 等于 x 加一的话，那么等于零的时候就等于零一，等于一的时候，那就是一二，那你直接带进去算就可以了。然后我们再把它画在直角坐标系当中，放大来画， 因为这里最多是二啊，所以我的横中坐标就画的不超过二，就写到二这里就行了。这里是一，这里是二，这里是二，这里是一，这里是零，这里是负二，这里是负一， 这里是负二，这里是负一。然后把点描上去，零负一，一零零，负一一零，在这里画一下， 这条直线，就是 y 等于 x 减一。好，再看第二个是零零和一一零零在这里，一一在这里画一下 这条直线，就是 y 等于 x， 还有零一和一二零一在这，一二在这， 这里，应该是画高了一点，大概就长这样啊，这个点要粗一点。好，那么这条直线的话呢， 稍微有一点点倾斜啊，实际上这三条线呢，它都是平行的，这是 y 等于 x 加一。好，这三条直线我们就画好了，对吧？它们的图像有什么关系呢？这三条直线互相平行，对吧？好，所以我们就说它们的图像， 再看第二个，第二个，这里是 y 等于负二分之一， x 减一，我们这里也是把它的点先直接算出来，好吧，好， y 等于负二分之一， x 减一，那你如果让 x 等于零的话， y 就 等于负一， 如果让它等于一的话，那就是负二分之一乘上一再减一，那就等于负二分之三，所以这里是一负二分之三。 好，两个点够了，然后 y 等于负， x 减一，那么这里的话呢，如果等于零，他也是负一，如果等于一的话，如果等于一，那就是负一减一，那就等于 负二，然后 y 等于负二， x 减一等于零，那么是负一等于一的时候，那就是负二乘上一再减一，那就等于负三，所以是一负三。好，我们再把这三个函数也挂在同一个直角坐标系当中。 x， y， 好， 这里是一， 这里是零，然后下面呢，就是最多到负三负三，负二， 负一。好，因为他们都经过什么，都经过零负一这个点，那么就把零负一先标起来，然后一负二分之三，一负二分，这里是一负二分之三，大概在这个位置。 好，在，这里好，画一下 这条直线，就是 y 等于负二分之一， x 减一，然后再画第二个，这里是一负二 这个点连接一下， 这条直线就是 y 等于负， x 减一，然后最后还一个就是一负三，一负三，在这个位置， 这条直线就是 y 等于负二， x 减一。 我们把这个都写在一起吧，都放到这里面。好了，你看这三条直线，他是不是都经过什么？都经过零负一这个点，对不对？好，他们都经过零负一这个点，这第一问，第二问啊，分开打，他们的图像 都经过零负一这个点，并且呢，他们都经过二三四象限，对不对啊？都经过 第二、第三和第四象限， 然后呢，最后一个就是它们都是怎么样从左到右斜向下划的，所以我们都说，并且因为它们的 k 都是负数嘛，对不对？所以我们就说，并且 y 随 x 增大而减小， y 随 x 的 增大 而减小。好，那么这个题目咱们就回答完了， 再看第三题。已知一次函数 y 等于四， x 加七，当 x 大 于二的时候，利用函数的性质，将我们求出函数值 y 的 取值范围， 那么你要知道这个是一次函数，它有两种情况，一次函数里面 k 大 于零， y 随 x 增大而增大， k 小 于零， y 随 x 增大而减小，而对应的 y 等于 k， x 加 b 当中这个 k 是 等于四的，所以它的 k 是 大于零的，对不对？ 所以我们就说 y 随 x 的 增大而增大。 好， y 随 x 增大而增大，所以这个 x 大 于二的时候，那么你把这个二带进去， y 就 会大于它，是二的时候，知道吗？好，这个 x 等于二的时候， 这个 y 就 会等于四乘二加七会等于十五啊，所以这个 x 大 于二的时候，这个 y 就 会大于十五。那你利用性质就这么去做的。那如果你做到这里感觉不太理解，那么我可以直接把这个图画给你看， 你通过图形去理解，可能会更好一点。那因为它这个点，那我们这里画两个点出来，第一个是 x 等于零的时候，这里我是另外一种做法了啊， x 等于零的时候，它的 y 是 等于七的，所以它会过零七这个点，然后 x 等于一的时候， 它的 y 会等于四加七等于十一。好，那这里我简单画一下，这里是零，好吧，这里呢是一。好，这里我就画十一吧。好，这里就是七。 ok， 大 概就画成这样，那么它就过这两个点， 过这两个点，那么他说当 x 等于二的时候，你把二带进去算，它确实是会等于十五的，对不对？ x 等于二的时候， 它的 y 就 会等于十五，所以你在画二的时候，它就会等于十五， 这个点就是二十五。你看它的 x 大 于二的时候，是不是向右往右边走，对不对？那这个图像是不是在这个方向，在这个线上的所有的点，它的 y 坐标是不是都比十五大？看到没有啊？那我这里用黑色的笔，那么大于二的时候，就在这个位置，就是这条直线。 好，那么这个 x 呢？要大于二，就在这部分，那么它的 y 呢？对应就在十五的上面，十五的上面，所以从图像上看， x 大 于二的时候， 它的 y 就 会大于十五。那你直接从图像上去看，再来一遍，哎，这是它的图像， x 大 于二的图像对不对？它对应的 x 轴 横坐标都是大于二的，那么再看这上面所有的点，你对应到在 y 轴上去，它所有点的重坐标是不是都比十五大？所以 x 大 于二的时候， y 大 于十五。当然你如果对性质足够了解，那么你这个图是不用画的，知道吧？

好，再来看一次函数与方程组和不等式的关系，那么这个知识点呢，理解起来是稍微有点难的，不过呢，你一旦理解之后，做很多题目，你可以直接看图，甚至都不需要计算啊。我们先来看这个一次函数和一元一次方程的联系， 那你要知道一次函数呢，它的一般式是 y 等于 k， x 加 b， 如果你知道了它的解析式，那么这个 k 值和 b 值咱们都是知道的啊。你比如说这里给了一个一次函数 y 等于二， x 减一，它对应的 k 值和 b 值分别就是二和负一，对吧？好， 那么他说这个一次函数 y 等于二， x 减一的图像与 x 轴的交点的横坐标是零点五，当自变量 x 的 值为零点五的时候，那么它的函数值是多少？ 你可以直接看图就可以看出这条直线和 x 轴的交点是零点五零，我这里写一下，它这个点的 就是零点五零。那你要知道依次函数上的任何一个点的横纵坐标，横坐标 对应的是 x， 纵坐标对应的是 y， 你 把这个横纵坐标对应 x 和 y 带回解析式当中，那么这个零呢？ 就在这里，零点五呢，就写在乘二的二乘的后面，就零等于二乘上零点五再减一，对吧，这个等式是仍然成立的，任何一个点带回解析式都可以让等式成立， 那么他这里说，当自变量 x 的 值为零点五的时候，函数值是多少，那就是零嘛，对不对啊？你把这个带进去算嘛， x 等于零点五， x 等于零点五的时候， 这个 y 就 等于二，乘上零点五减一，它就等于一减一等于零，它的函数值对应的就是零， 那么由此可以得出一元一次方程二，这个二 x 减一等于零的解吗？是可以的，那你看这个二 x 减一等于零的时候， 和这个前面部分，这个后面部分和这个前面部分是不是一样的，对吧？好，只不过一个是 y， 一个是零，而我们前面可以得到，当自变量 x 等于零点五的时候，它的 y 值就这个函数值，它就是零的。 那当这个 y 值等于零了之后，那和这个式子有什么区别吗？它没有什么区别，计算上是一样的，对不对？所以我们就可以得到啊，当这个 y 等于零的时候， 这个式子它就会变成了这个 y 等于二， x 减一，就会变成零。等于二， x 减一，你再反过来写，就变成了二 x 减一等于零和这个一元一次方程， 它的形式上是不是一样的？那么计算上也是一样的，你把这个一移过去，二 x 等于一，那么 x 就 等于一，除以二，它就等于零点五，发现了吗？哎，你看 这个一次函数，当你的 y 值知道了是几之后，你就可以直接把它当做一元一次方程来做，对不对？好，所以我们可以直接通过图上的点去观察 这个点的坐标，它的重坐标是零，那么也就说当 y 等于零的时候，它的横坐标就是多少啊，它的横坐标 x 就是 零点五，那么如果说他给出来了一个方程，他告诉你 这个二 x 减一，它就等于零，叫你求 x 等于几，你不需要算，你可以直接看与 x 轴的交点，那就是零点五，就这个意思，看到了吗？啊？你看这个横坐标， 依次函数 y 等于二， x 减一的图像，与 x 轴的交点的横坐标为零点五，它的重坐标是零，那因为这个点的坐标就是零点五，零嘛，对不对？ 这表明自变量 x 的 值为零点五的时候，函数值为 y， 由此我们可以得出，一元一次方程二 x 减一等于零的解，就是 x 等于零点五。 那么任何，因为任何一个以 x 为未知数的一元一次方程，都是可以变形成 a， x 加 b 等于零， a 不 等于零的形式。所以解一元一次方程的时候，从函数值去考虑的话，就相当于什么呢？就相当于某一个函数值 y 等于 a， x 加 b 的函数值为零的时候，求这个自变量 x 的 值，从函数图像的角度去思考的话，相当于已知直线 y 等于 x 加 b， 求它与 x 轴交点的横坐标。 啊，就是这个意思。那么这一段话呢？它解释起来的话啊，还是比较长的，那我这里给你转换成这个计算语言，就是说函数图像上的点可以作为这个 y 等于依次函数这种形式方程的动态解啊，我这里写一下啊， 依次函数图像上的点可以作为依次函数解析式，作为方程的动态解。什么意思呢？我把这个放大一点，你看这条图像上这条直线，这个图像上它肯定不止一个点吧，对不对？好，那么它除了这个 零点五零以外，他还有哪些点呢？他还有这个点，假如说这个点的坐标，我把它标出来，零负一，对不对？这里也有点，这个点的坐标呢，就是二分之一，那这个点对应的就是四分之一，也就零点二五， 负零点五，这个点对应呢啊，然后呢，往前走，如果他的横坐标对应的是一的话，那么这个点的坐标他是一一 啊，你可以自己算的，你把 x 等于一带进去，二乘一再减一等于一，所以它会经过这三个点，我就拿这三个点来举例，好吧，好，这里是我把它反过来写，把它变成二。 x 减一等于 y， 对 吧？当这个 y 等于 y 等于负一的时候啊，也就是当 y 等于负一的时候，那么这个二 x 减一等于负一的减，它的这个 x 就 等于零，它的减就是零啊。然后呢，当这个 y 等于负零点五的时候， 当 y 等于负零点五的时候，那么这个二 x 减一等于负零点五，那么它的横坐标 x 啊，也就它的减 x 就 等于二点五，你不需要算的，你只要确定点没错，你就可以直接出结果啊。然后再看， 当这个 y 等于一的时候，这个函数就会变成二。 x 减一等于一，那么这个 x 就 直接等于一，你不需要算了啊，当然你说这么简单，我自己口算就看得算出来了，但是如果这个式子这个解析式它特别复杂呢， 对不对？那么有有些题目条件，他会直接告诉你经过某个点，那么你就不需要算了呀，对吧？你就可以直接通过这种方法求出当前 y 等于特定值的时候， x 等于几。 所以依次函数解析式当中，你知道 y 值的时候，你就可以直接把它当做一元一次方程去算就可以了，知道吗？就这就是这个这个知识点的意思啊，这个就是一次函数和一元一次方程的关系。 好，再来研究一次函数与一元一次不等式的关系。先看这个思考，如图，这个图呢，就是上面这个图，我把上面这个图呢挪下来了，画在这里啊。 利用一次函数 y 等于二 x 减一的这个图像，你能得到函数值大于零时， x 的 取值范围吗？函数值小于零的时候， 他的 x 取值范围又是多少？那么由此你能分别得出一次函数不等式这个二 x 减一大于零和二 x 减一小于零的解吗？那么就不等式的计算而言，我们这两个都是可以直接算出来的，你我可以算给你看啊， 你把这个移过去，减一移过去，那就变成了二 x 大 于一，那么 x 就 大于一，除以二，一除以二就等于零点五，对不对？然后这里呢，就小于二， x 小 于一， x 就 小于零点五， 你是可以直接算出来的，那为什么它还要结合一次函数呢？因为我们可以直接通过一次函数的图像看出它的取值范围，不需要算，知道吗？你说，哎，我可以算啊，那万一它这里是 k x 加 b 呢？它如何大于零呢？ 你能算吗？你肯定算不了啊，对不对？这里是因为你知道这个 k 值和 b 值具体是多少你才能算，如果你不知道，你就算不了，那我们以后很多的情况他都是不知道的，那你只能看图像，知道吗？他就是逼着你去看图像，所以你必须要学会看图像，来看 我们如何去判。这个函数值大于零的时候， x 的 取值范围是什么？函数值大于零，这个函数值对应的是不是就是 y 的 值？你要知道函数值对应的就是 y 值， 而 y 值对应的是什么？ y 值它对应的又是重坐标一个点的重坐标的值， 而函数值要大于零，那么也就是说重坐标要大于零，而重坐标大于零的点在哪里呢？重坐标大于零的点全在 x 轴上方，我们就可以知道在 x 轴上方， 你来看一下这个图像当中，这个图像当中重坐标大于零的是不是就在 x 轴上方的这个图像上方？这个图像上的所有点的重坐标 是不是都大于零，对不对？这个点的重坐标，那对应正数，这个点的重坐标对应正数，这个点的重坐标对应正数，它在 x 轴上方这条直线上的所有的点， 它的重坐标都大于零，也就意味着什么呢？也就意味着它的这个 y 值是大于零的，也就意味着它的函数值大于零， 那所以我们就可以知道在 x 轴上方的点，它重坐标大于零，对吧？那么也就是函数 y 值大于零，也就意味着它函数值大于零。那么你看一下这个直线在 x 轴上方的时候，你看看到没有， 它这个上面的图像，所有的点的横坐标对应什么范围？那我放大一点 这个图像，它的横坐标它这里有很多个点，你看一下我这多画几个点，它的横坐标对应的是在这里对应在这里对应，在这里对应，在这里，它的横坐标的所有的值是不是都会大于这个焦点？也就是大于零点五， 和我们刚才算出来的这个大于零点五是不是一样的？看到了吗？那么也就是说不等式的计算，我们可以直接通过函数图像去看出来啊。所以你看他说当这个图像上的点的横坐标 重坐标大于零的时候，这个点是在 x 轴上方的，跟我这里讲的是一样的，并且它的横坐标大于零点五，在 x 轴上方这条直线上所有点的横坐标，它对应下去 都是在零点五的右边，那么也就是说大于零点五吧，也就是说函数值大于零的时候， x 的 取之范围是 x 大 于零点五，那么你就可以直接通过函数图像求出了不等式的解， 就这个意思，明白了吗？你再看当函数图像上点的纵坐标小于零的时候，那在哪里啊？ 重坐标小于零，那么在 x 轴上方的重坐标都是大于零的，在 x 轴下方这个图像上所有的点的重坐标都是对应负数的，也就对应小于零， 所以它是在这个点是在 x 轴下方的，那么它的横坐标小于零点五，为什么呢？你看这个上面所有的点，我们描出几个点来， 它这些点对应的横坐标是不是都在这个零点五的左边？在零点五左边是不是小于零点五？所以这个函数值小于零的时候， x 的 曲子范围就怎么样， 就是小于零点五的。由此我们可以得出，不等式的这个二 x 减一大于零的解集是 x 大 于零点五，二 x 减一小于零的解集是 x 小 于零点五，这个我们都是可以直接通过图像判断出来的， 知道吧？那么以后我们怎么去判断呢？你看一下我这里呢，换一个普通一点的图啊， 那实际上它可以，它不仅仅只是算 x 大 于零的，它还可以算 x 大 于一大于二大于三的，知道吧？你只需要知道它的什么，你只需要知道它对应的重横坐标是多少就可以了。比如说我这里它这个焦点， 假如说这个焦点对应的是 m， 这条直线是 y 等于 k x 加 b， 那 么我就可以通过这个图像得到 k x 加 b 啊。这个 k x 加 b 如果是大于零的话，那么它就在 x 轴的上方取点，而这些点的横坐标都是在 m 的 右边的，所以我们就可以得到这个 x 是 大于 m 的。 然后呢，如果你要让这个 k x 加 b 小 于零的话，你要让这个 k x 加 b 小 于零的话， 那么这个小于零，也就是 y 小 于零，明白吗？你看这个 k x 加 b 是 等于 y 的， 那么 k x 加 b 大 于零就是 y 大 于零， y 大 于零就是重坐标大于零，这个点的重坐标大于零，那就在 x 的 上方， 这是一连串起来的啊，要连串起来。然后呢，这个 k x 加 b 小 于零， k x 加 b 是 等于 y 的， 所以意味着就是 y 小 于零， y 小 于零就是它的重坐标小于零，而点的重坐标小于零，必须在 x 轴的下方，而下方这些图像上的所有点的 横坐标对应下来都是比 m 小 的，它对应的就是 x 小 于 m， 这就它的解 明白了吗？我们很多时候他算题目的时候，他不会很准确的告诉你这个 k b 值是多少呢？他甚至会隐藏起来，知道吧？所以你一定要会看图。那当然了，你刚我刚刚说它不仅仅只限于大于零和小于零，那如果说具是具体的一个数字呢？我这里再举个例子， 我这里再举一个例子，我画一个反方向的，好吧？我画一个反方向的，比如说这个图像长这样啊？我这里不告诉你与 x 轴的交点，我告诉你的是它这里有一个点， 它这里有个点，它的这个这个点的坐标明确告诉你，就是多少呢？就是 负二五，好吧？这个点的坐标就是负二五，这条直线还是 y 等于 k x 加 b， 那 这个时候它不比较，它不跟零做比较，它不跟零做比较，因为我这里根本就没有画出 y 值来，对不对？好，我这里也没有画出 y 的 这个 y 轴来 好。跟零做比较的话，其实就是看是在 x 轴上方还是在 x 轴下方，因为在 x 轴上的点，它的纵坐标都是零。那么现在我要比较的是这个 k x 加 b 大 于五和 k x 加 b 小 于五的时候，它的解是多少？ 那 kb 值都没告诉你了，对不对？好，那么这个时候它大于五，这个点，它的重坐标就是五，那要比五还要大，它的重坐标比五还要大，那在哪里？就是在这个点的上方， 那什么上方？你这里做一条水平线，在这条水平线的上方，那是不是这一段，而这一段上面所有点的什么 横坐标对应下来，那他这个这个点对应下来的坐标就是负二，而上面这一段所有点的横坐标对应下来都是比负二小的，所以我们这里可以推出这个 x 小 于负二， 当这个 k x 加 b 大 于五的时候，这个 x 小 于负二，因为在图像上看到的是在这个点的上方，这里所有的图像的横坐标对应下来都比这个负二要小， 明白了吗？那这个 k x 加 b 要小于五的话，那小于五，这个是五，对不对？比五还要小，就在这个水平线的下面，而下面的图像上所有的点， 它的横坐标对应的怎么样都比这个负二还要大，所以它对应的就是 x 大 于负二。 好了，那么这个呢，就是给大家拓展出来的内容，不要只盯着和 x 轴的比较啊，就是和零的比较，因为它不仅仅只考零，它还可能考其他的数字，你要灵活变通，你再来看下下它下面这段话，他说 对于可以化成 ax 加 b 大 于零或 ax 加 b 小 于零的一元一次不等式，在求它的解集的时候，从函数只考虑，当 相当于在某个一次函数 y 等于 a， x 加 b 的 值大于零或小于零的时候，求自变量 x 的 取的范围，从函数的图像考虑，那么相当于已知直线 y 等于 a， x 加 b 啊，相当于就是这条直线。确定这条直线上的点的横坐标大于零或小于零的时候， 他的重坐标大于零或小于零的时候，他的横坐标的取值范围他的重坐标大于零，那就在 x 轴的上方，在这个 x 轴的上方，小于零的时候就在 x 轴的下方，对吧？重坐标大于零嘛，那就说明在对应的是 y 轴的正半轴， 对吧？小于零的时候，对应的就是 y 轴的负半轴，就这个意思，那么再看他的横坐标的取值范围就 ok 了，那这个就是呢，依次函数和一元一次不等式的关系， 最后再来研究一次函数与二元一次方程和二元一次方程组的关系。先看二元一次方程， 这里给我们举了一个具体的例子，还是刚才那个 y 等于二， x 减一这个函数，它说方程二 x 减 y 等于一，是可以转换为 y 等于二， x 减一的， 怎么转换呢？就是移项嘛，把这个减 y 移过来，一移到右左边去，它就变成了二 x 减一等于 y， 然后左右交换位置，就可以写成函数形式啊。这里呢，他也说了，这种形式是可以对应依次函数 y 等于二， x 减一的，对不对？ 这个方程和这个方程它是有相同的解的，所以这就是为什么二元一次方程可以转换成一次函数的形式，而一次函数的计算也可以看作是二元一次方程的计算，明白吗？好，那么由于一次函数 y 等于二， x 减一，它的图像 是一条直线，这条直线上的每一个点的坐标 x， y 都是这个方程的解啊。以这个方程的解的 x， y 的 值作为一个坐标的点的话，那么这个点都一定会在这条直线上，都会在这个 依次函数的图像上。那你拿这个来看，刚才那个是二 x 减 y 是 等于一的，对不对？好，我们把它转换成 y 等于二， x 减一，那么你从图像上至少可以看出有两个点， 这个点它坐标是零点五零，这个点坐标是零负一，那么这个东西它就可以看出有两个减，一个减是 x 等于零点五， y 等于零。然后另外一个解就是 x 等于零， y 等于负一，看到没有这个点，这个直线上任意一个点的横中坐标都可以当做这个方程的解，因为这个是二元一次方程，所以它是有无数个解的， 那么也就对应了这条直线上有无数个点都可以作为他的解，就这个意思，所以以后你再看到这种二元一次方程，你就可以把它转换成一次函数，对吧？或者通过一次函数的图像去求二元一次方程的解，对不对？好， 继续来看，由于每个函数 x 和 y 的 二元一次方程都可以转换成依次函数的形式，所以每一个这样的方程都对应一个依次函数，于是也对应一条直线。而这条直线上的每一个点的坐标 x、 y， 它的值都可以作为这个方程的解，以这个方程的解， x、 y 的 值为坐标的点也都在这条直线上，所以它们是相互的， 知道吧？好，这里再来思考，他对于二元一次方程组的话，你能从函数的角度去解这个 方程组进行解释吗？啊？对这个解这个方程组进行解释吗？你看这里给了两个二元一次方程，他把它放在一起就是二元一次方程组，对不对？而前面这个我们是可以直接通过书的这个图看出结果的， 而这个呢？啊，他这里也画了，看到没有？他这里直接给我们画出来了，他把下面这个方程也转换成了一次函数的形式，我们转一下，好吧。啊，你先把这个三 x 移到右边去，变成五 y 等于负三 x 加八， 一开始呢是八减三 x， 对 吧？两边同时除以五 y 等于五分之八，减去五分之三 x， 再交换位置等于负的五分之三 x 加上五分之八，你看就转换成了一次函数的形式吧。 这个图呢啊，我们自己做题的话，肯定要自己画，但是书上已经给我们画好了，我们就不用画了，对不对？他把这两个函数的图像画在一起了，看到没有？这两个函数图像它有焦点，这个焦点就是这个 p 点， p 点的横中坐标都是一，那什么意思啊？ 你看这个方程的解，在这条直线上，这条直线上的任意一个点都是这个方程的解，而这个方程的解 在这条直线上，这个直线上的任意一点都可以作为这个方程的解。那么那哪个点可以同时满足这两个方程呢？哎，那就找他们的焦点，对不对？这个焦点就是他们的公共点。什么叫公共点？ 既在 y 等于二， x 减一这个函数图像上，也在 y 等于五分之三， x 加五分之八这个函数图像上，它满足它同时在这两条直线上，对不对？那就可以满足这个方程， 这个焦点既是这个方程的解，又是这个方程的解。好了，那么这个 p 点的很重要，就是这两个方程共同的解，那既然是它的共同解，那就这个方程组的解，就这个意思。所以你要解二元一次方程组， 那么你就把这两个画成图像，找他们的焦点就可以了，知道吗？所以呢， 这两条直线的焦点坐标为一，一，由此可以得到，这个方程组的解就是 x 等于 y 等于一，这个就是一次函数和二元一次方程组的关系。 这里书上也做了总结，它是一般的由含有未知数 x 和 y 的 两个二元一次方程组组成的，每个二元一次方程组都对应两个一次函数呐， 方程组里面有两个方程，这两个方程对应两个一次函数，把它图像画出来对不对？好， 于是也对应两条直线，从数的角度来看，解这个样的一个方程组相当于求自变量，也就是 x 为和值的时候对应的两个函数值，函数的值啊，这个自变量对应的就是 x 这个函数的值，两个函数的值就是 y， 就是 说什么时候 x 相等，而 y 也相等，那不就是它们的解吗？对不对？ 以及这个函数值是和值，从形的角度来看，就是从图形的角度来看，解这样的一个方程组，相当于确定两条直线焦点的坐标是多少，哎，就可以了。 再来看书上的立体，同时释放两个探测气球，一号气球从距离地面五米的高处出发，以每秒一米的速度上升。二号气球从距离地面十五米的高处出发， 以每秒零点五米的速度上升。两个气球都上升了一分钟。第一问，叫我们求出 这个两个气球所在位置高度 y， 关于上升时间 x 的 函数解析式，那这个还是比较好写的，对不对啊？那么这里的话呢，先看第一号气球， 它距离地面一开始是五米，然后一米每秒的速度上升，那么一开始就是五米，一米每秒，那就是一乘 x， 因为它的时间是 x， 单位是秒，对不对？所以是一 x 就是 x， 所以 它就可以写成 y， 一 等于 x 加五， 而这个 x 的 曲值范围呢，是小于等于六，是大于等于零的，因为它只说了上升一分钟，对吧？好。第二个 y 二， 他是从距离地面十五米的高处出发的，所以一开始就有十五米的高度，然后每秒上升零点五米，那就零点五 x， 所以 这个 y 二就等于零点五 x 加上十五，然后他的曲子范围 也是零到六十秒之间，对吧？第一位就搞定了。那第二个，他说两个气球在某一个时刻 是能否位于同一个高度？如果能，这两个气球上升了多长时间，位于什么样的高度？那这个东西呢？你就可以把它列成一个方程组了，因为因为你看对应的 y 等于 x 加五和 y 等于零点五， x 加十五，对不对？好， 那什么意思呢？他既然说了位于同一个高度，那么对应的就是什么意思啊？对应就是 y 相等，他的高度就是 y 嘛，对不对？他说了高度用字母 y 表示，那同一高度，那不就是 y 相等吗？那 y 相等的时候 对不对？他说这个时上在同一时间，注意某一个时刻，在某一时刻，也就是说 x 相等时间，他不会。因为什么这个两个物体不同的情况下，他就不一样嘛，对不对？因为他这里说的是 同时释放，所以他的时间经过是一样的啊，所以 x 相等， 他既然是同时释放，那就不可能说，哎，他飞了五秒，而他只飞了三秒，不可能吧？时间都是一样的，对不对？你不可能，你的时间比别人过得快， 对吧？大家过的时间都是一样的啊，你过了一天，他也过了一天，就这个意思。所以在某一个时刻能否位于同一高度？但位于同一高度就是 y 相等，在某个时刻就是 x 相等，那那么过的时间是一样的，它同时啊， 是不是所以 x 相等， y 相等嘛？那不就是把这两个一次函数列在一起，当做 二元一次方程组去算吗？对不对？好，那么怎么去算呢？你看 y 相等，那既然这两个式子的 y 是 相等的，你就可以直接把这个 y 替换掉，把下面这个 y 替换成 x 加五，对吧？好， 你就直接把将 y 等于 x 加五带入到二十当中，这一十，这是二十，那就是 x 加五等于零点五， x 加上十五，一项， x 减零点五， x 等于十五减五， 那么零点五 x 就 等于十， x 就 等于零十除以零点五十除以零点五， x 就 等于二十，那么 y 是 等于二十加上五的，所以 y 就 等于二十五，这里算出来就是 x 等于二十， y 等于二十五，也就是说当时间 过了几秒啊，二十秒的时候 啊，两个气球位于同一高度，两个气球位于同一高度， 并且高度为 二十五米， 这就是第二本啊，当然了，书上呢，它也有完整的答案啊，并且呢，书上还把图画出来了，大家可以看一下它这个图可能会更好理解一点，我这里就是把它计算过程写得详细了一点，大家可以看一下， 好，你看对吧？在某一个时刻，两个气球在某时刻位于同一高度，就对应 x 的 某一个值， 这两个函数有相同的 y 值，那就可以列一个方程组了，他把图像画出来，一个从五米开始 放，一个是十五米开始放，对吧？他们的焦点呢，就这个 p 点，这个 p 点的横中坐标呢，就是二十和二十五，对应的就是 x 和 y， 值对应的就是二十和二十五，明白了吗？啊，所以你想要求这两个啊， 依次函数具有相同解的时候，其实就是求这两，就是看这两个依次函数的图像焦点在哪里就 ok 了。 好，再看。练习第一个画出依次函数 y 等于负二 x 加八的图像，利用这个图像去解方程和不等式 啊，我们先把它的图像画出来，我们一般画的呢，都是与 x 轴和 y 轴的交点，我们先画与 x 轴，那么如果你要求与 x 轴的交点，那么你就让 y 等于零， 因为与 x 轴上的与 x 轴的交点，它的重坐标都是零，当 y 等于零的时候，那么零就等于负二 x 加上八，那么二 x 就 等于八， x 就 等于四，所以它会过四零这个点。然后你要求与 y 轴的交点， 那你就让 x 等于零，因为在 y 轴上的点横坐标都等于零，那么你就当 x 等于零的时候， 那么 y 就 等于负二乘零再加八，那么 y 就 等于八，所以它就会 y 就 等于八，所以它就会过零八。这个点的话，画图一个是四零，一个是零八，这是 x 轴， 这个是 y 轴，那我这里就不画的那么细了，我们就画个大概。好吧，假如是这个就是四，这个就是八。好，我把这两个点一连， 这个点的坐标呢是零八，这个点的坐标是四零。 好，你要通过图像去看它的解，负二 x 加上八等于零，对不对？那对应的是不是就是它的 y 等于零呢？负二 x 加八等于零，那对应的 对应负二 x 加八啊，不对，是 y 等于负二 x 加八中 y 等于零的时候， 你把 y 换成了零，那不就是这个四字了吗？对不对？好，那么它对应的就是 x 是 等于四的，因为当 y 等于零的时候，它的横坐标是四，所以 x 等于四，这是由图可知啊。 由图可知好，然后呢？求这个。那么负二 x 加八大于零，那也就是对应的就是函数图像的重坐标大于零，对应的就是 y 大 于对应 y 等于负二， x 加八当中， y 大 于零的时候， 这个图像上的点的重坐标大于零，那不就在 x 轴的上方吗？在 x 轴上方，它这个上方的图像上的点横坐标对应的是不是都比四小啊？所以我们这里对应的就是 x 小 于四 啊， x 小 于四，然后再看负二 x 加八小于零的时候， 它对应的呢，就是 y 等于负二， x 加八当中的 y 小 于零的时候， y 小 于零，就是这个图像上点的重坐标小于零。重坐标小于零，说明在 x 轴的下方，因为下方的 图像上点对应的就是 y 轴上的负数，对吧？就是小于零的时候，那么对应横坐标呢？对应横坐标的话，就在这个四的右边，看到没有，所以 x 就 大于四就可以了。当然了，你说老师 我这个都能直接算出来，我为什么搞得这么麻烦啊？因为后面的题目它可能不会告诉你它的 k 值和 b 值是多少，知道吧？ 第二题，依次函数 y 等于二， x 减三与 y 等于 a， x 加二的图像，它的焦点坐标为二一，请确定方程组它的解和 x 的 值， 那么这两个函数它的焦点坐标是二一的话，那么你把这两个函数的解析式连立成一个方程组啊，那么这个二和一对应的就是 x 和 y 的 解，知道吧？我们用文字表示一下， 因为 y 等于二， x 减三与 y 等于 a， x 加二的焦点 为二一啊，焦点为二一，说明这个点既在前面这个函数解析式上，又在后面这个函数解析式上，对不对？函数图像上啊，所以把它们两个列成方程组，这个就是它的结。所以 y 等于二， x 减三和 y 等于 a， x 加二，它们的解就是， x 等于一， x 等于二， y 等于一。用文字描述一下，所以方程组 这个方程组的解 为， y 等于二， x 等于二， y 等于一，就这个意思。那么既然这个解是 x 等于二， y 等于一，那么也就是说，把这个解带进去算，就可以算出 a 值，对不对？满足这两个式子，所以将 x 等于二， y 等于一， 带入二十当中， 那么 y 换成一就是一， x 换成二就是二， a 加上二，一减二等于二， a 负一等于二， a 二， a 等于负一， a 就 等于负一，除以二等于负二分之一，所以 a 就 等于负二分之一，这个也算出来了。 好，再看第三题。刘伟一家计划星期日租用新能源汽车自驾出游， 在假公司租车，那需要收取固定租金八十元，在此基础之上，再按每小时十四元去计费。如果你在乙公司租车的话，就不需要这个固定租金，只需要直接按每小时三十元收费就可以了。 那么当他将租车为多长时间的时候，租用假乙的这个算法，函数解析式表示出来。好吧， 好，首先是假公司，那假公司呢？他上来就要八十块钱，对不对？然后慢按每小时十四元去收费，那么加十四 x， 好， 这里我们写一下，设设一下啊，不能无中生有，设租用时间 为 x 小 时，租用费用， 租用总费用嘛，啊， 为 y 元，这样去表示就可以了。好，那么这个假的这个解析式就可以写成十四 x 加上八十，对吧？那么乙呢？ 它就是按什么？它就是按三十块钱一个小时算的，那么你经过了 x 小 时，那就是三十 x， 对 不对？就三十 x， 那 你 在什么时候，经过多长时间，他们的费用相同，那也就是说甲和乙相等吧，对不对？那你把它列成一个方程组求解就可以了。 y 等于十四 x 加八十，另外一个就是 y 等于三十 x， 对 不对？好，我把它算一下，因为这个 y 值是相等的，费用相同， 那么左边的 y 相等，那右边是不是也相等呢？当然你直接把这个 y 等于十四 x 加八十带入下面这个式子也是一个意思，对不对？好， 那么 y 相等的话，那么这个右边就相等，十四 x 加上八十等于三十 x 到一项十四 x 减三十， x 等于负八十，那么就等于负十六， x 等于负八十 x 就 等于负八十，除以负十六， 然后算出来 x 就 等于五，对吧？所以经过五小时之后啊，如果他租用的时间为五小时，那么你选择假公司和乙公司都是一样的，对吧？所以我们就答 这里也没有叫我们求出这个 y 值啊，你想要求出这个 y 的 费用也很简单，你拿三十乘上五就可以了， y 就 等于一百五十六，对不对？你如果要用这个式子去算的话，那就是 y 等于十四乘上五加八十，十四乘五等于七十，七十加八十也是等于一百五的，当然了，这里不需要我们求 y 值，知道吧？答，租车时间 为五小时的时候， 五小时租用甲乙两个公司 汽车费用相同。

万众期待的巅峰对决即将开始，接下来让我们把目光投向赛道。随着尼克举起发令枪，清脆的比赛枪声突然响起。 然而刚起步，蓝色赛车却突然熄火。不久后，另一辆车紧急换车上场，结果又出了幺蛾子。当尼克看到赛车经过逆行警告标，立刻察觉到不对劲。 朱迪，你有没有发现两位选手好像行驶反方向啊？糟糕，真的跑错路线了！我们赶紧坐上警车，追上去拦住他们。他们车速不快，我们追赶也来不及。我们可以先计算出两车行驶距离，调度空中直升机前去提醒通知。 两辆赛车行驶速度相同，平均每分钟行驶三千米。红色赛车逆向行驶对应的函数解析式和绿色赛车对应的解析式我们已经知道了， 只要我们画出这两个关系是对应的函数图像，直升机就能精准对应时间，快速定位两位选手的位置。可是一次函数的图像究竟该如何绘制呢？ oh！ no！ oh！ no！ bingo！ oh！ no！ 刚才我们成功拦截了逆向赛车，赛场还有四辆备用车正在热身，他们的行驶轨迹对应着四个函数，请大家画出他们的轨迹，判断哪些正向行驶，哪些逆向行驶，找出决定方向的关键因素。 准备好了吗？开始挖掘知识宝藏吧！太棒了！

生活中有很多有趣的变化现象，就像这辆匀速行驶的小汽车，它的路程和时间藏着我们学过的数学规律。我们知道，路程 s 等于速度 b 乘时间 t， 当速度不变时，时间越长，路程越远，这就是正比例函数的变化规律。 可如果两辆小汽车的行驶速度不同，其路程随时间的变化率也存在差异，仅通过文字描述与公式推导，难以直观呈现这种差异。 在数学领域中，有一个实用的格式化工具，可将这种抽象的变化规律转化为直观图形及函数的图像。本节课我们将共同探索正比例函数的图像与性质，熟练掌握这一格式化工具，深入理解正比例函数的变化规律。

函数这个章节太重要了，因为依次函数光图像性质，这里我们就有十大类题型可以变形去考大家，所以要求我们的孩子对函数图像性质这里相当大的熟练度了。 那有关于函数这里面的十大题型，老师也给大家做了一个系统的总结，基础知识不过关的家长们打印出来分类去带孩子进行练习。下面借着这道题呢，我再带着大家复习一下我们函数图像性质这里的一个易错点， 这里说一次函数，它的函数值 y 随 x 的 增大而增大，哎，说明这里面什么？对了， k 值啊，也就是一减二 k， 它是大于零的。这是我们根据题目得到的第一个信息， 第二个信息说他不经过第二象限。好了，能不能告诉我，不经过第二象限的图怎么画呀？哎，他是不是，哎，可以这样去画呀！有同学觉得哦，画出来之后，看他的 b 值 b 是 小于零的，所以在这里 b 的 部分复 k 小 于零，完事了， 结果这道题就选错了。为啥呢？为什么这道题有这么多同学算错呢？因为他们都忽略了一个关键点，他不经过第二项线。还有一种情况，那就是这个函数图像经过原点的情况，这个时候 k 怎么样？ 哎，这个时候 b 怎么样？ b 等于零啊，所以对应这个复 k， 除了小于零，他还可以等于零，漏了情况，这不就选错了吗？ 所以，综上啊，我们在这可以求出第一个 k 是 小于二分之一的。第二个负 k 小 于等于零， k 是 大于等于零的，所以综上，我们的 k 是 大于等于零，小于二分之一的我们正确答案就选出来了。正确答案选择的是 c 选项。

同学们，上节课我们已经学习了正比例函数的图像与性质，谁能说说正比例函数的解析式是什么？老师是 y 等于 k， x， k 不 等于零。我们还知道它的图像是一条经过圆点的直线。 同学们生活中处处藏着函数规律，购买矿泉水时，购买数量也可发生变化，总价外也随之变化。这正是我们熟悉的正比例函数。 同学如果需要包装，还要加收一元包装费哦，我明白了，总价变成了 y 等于二， x 加一，这和我们之前学的正比例函数不一样了。 y 等于二， x 加一不再是正比例函数，而是我们今天要学习的一次函数。它和正比例函数仅有一个长数项的区别， 图像却发生了平移变化，这其中藏着怎样的规律呢？今天我们就一起来解锁一次函数的图像与性质，大家准备好了吗？

在我们日常生活中，处处都存在着数量变化的规律，一总量发生改变，另一总量也会随之有序变化。放学啦，我们去前面奶茶店买饮品喝吧。这家奶茶店的奶茶单价固定不变， 买的数量不同，最后花费的总钱数也就不同。同学您好，本店奶茶价格一致，请问你们需要购买几杯？ 那我们先买一杯尝尝吧。单价保持不变，购买数量增加，总消费金额便会均匀增加，变化规律清晰明确，味道很不错，我们再买一杯吧。好嘞，请稍等。这种一个量不变，另一个量随之均匀变化的数量关系，就是我们今天要学习的一次函数。 同学们，视频中奶茶的单价是固定不变的，购买的杯数越多，总共花的钱也就越多，而且变化十分有规律，我们用字母表示出数量与总价，就能列出对应的关系式。接下来就让我们一起探求一次函数的相关知识。

一次函数这章节是我们八下数学最有难度的一个章节，因为它涉及的知识面比较广，既涉及到几何，也涉及到代数，而且它衔接了我们初三的二次函数，它也会出现在压轴题里面，所以接下来的话，我会为大家陆续的去制作 从一次函数从基础的综合题到压轴的综合题，并且像以前一样制作成合集，大家可以持续的关注 啊。如果说大家在县级段学习一次函数，有什么样的疑问都可以在评论区留言，我会一一的回复大家。那今天的话我们来讲解讲解。第一个啊，就是一次函数的解析式求解，加上去判断这个点是否在图像上，我们现在看一下题目， 他说已知一次函数的图像呢，经过 a 点和 b 点两个点，第一问要求这个一次函数的解析，那这是我们呃包，无论你是 我们一呃八下数学期末考试的压轴题的第一问，还是我们中考的呃函数压轴题的第一问都是求结式，那这个结式呢，是一定要会的， 那求这个结式呢？我们用的方法叫待定系数法啊，它的步骤呢，接下来我会为大家一一展示啊。首先第一步要设结式，设结式呢，它是一函数的话，我们就可以设为呃 y 等于 k 加 b， 这里加个小括号， k 等于零。 接下来呢就是如果我要求的是 k 或者是 b 其中一个，我们只需要带入一个点的坐标就可以了，那如果说这 k 和 b 都不知道有两个参数的话，我们需要带入两个点的坐标去建立方程组啊，比如说这个我们就两个都不知道，那么就分别把这两个点带进去， 接下来呢，就把每一个点里面的，比如说这个是 x， 这是 y 分 别带进去啊，那这个看到 x 呢，就换成零，零乘 k 等于零，加上 b， 那 就相当于零加上 b 啊，它等于多少呢？ y 是 一。 第二个呢，就是看到 x 就 换成一啊，一乘 k 就是 k， k 加 b 等于多少呢？ y 是 对的，是零，那么就建立了一个二元次方程组，接下来我们就把 k 和 b 解出来， 这地方 k 的 话啊， b 知道是等于一的， k 的 话就是负一，那求出来 k 和 b 之后，我们就可以下结论了，一次函数就是 y 等于，看到 k 就 换成什么样的负一，那 k 就是 负的 x 一 要省略掉，加上我们的 b 是 一啊，这是我们的待定系数法的一个解答过程。 好，第二个问，判断这个点 p 是 否在一次函数图像上，我们可以怎么办呢？我们可以把这里的 x 带进去，就是当 x 等于负一时啊，我们指出 y 等于多少呢？可以把它带进去啊，就是负的负一加上一等于多少呢？一加一等于二。 好，那这时候我们来对比一下，这个对求出来的二和这里坐标的一相不相等呢？不相等，因为二不等于一，所以呢，我们下个结论，这个点 p 呢啊，负一到一不在图像上，不在图像上 啊，不在图像上，所以这个地方呢啊，如果它相等的话，就是在图像上，不不相等，那就不在啊。那这是我们今天讲的第一个技术知识点啊，用待定系数法求结式判断这个点是否在函数图像上。

依次函数与不等式的结合，这样的题型是我们期末每年必考的题型，记住啊，是必考的题型， 那到目前为止，我还看到相当一部分同学啊，对这种题啊，还进行大量的进行计算才得出结果，那实际上这样的题型只需要看图就可以得出答案。今天我们通过去年的两道期末的真题，给大家讲一讲这种单求函数怎么来求范围。 我来看一下第一道题啊，他说这里有一个函数的结式， y 等于 x 加 b， 图像给到了，还有两个交点，我们把这个坐标标一下，二斗零和零斗三 啊，然后他要求这个 x 加 b 大 于等于零的时候， x 的 这个取的范围啊。第一步呢，我们通常来讲啊，会对它进行一个转化，把这个 x 加 b 呢变成 y， 因为 y 本身就等于它嘛，大于等于零。 好，那么知道这个之后呢，第一步要干什么呢？就是无论你是大于还是小于，我们都找到等于的时候，那这地方呢，我们就找到 y 等于零的地方， 那找到 y 等于零的地方，我们看这条函数图像上，哪一个点的 y 是 等于零的呢？很明显就是二这个位置好。找到它之后呢，我们从这个地方画一条竖线，画这条竖线呢，就相当于把我们这个图形啊分成了两个部分，左边部分和右边部分。好，那接下来我们来找一找啊， 第二步啊，就去找他的这个符合条件的啊，这个图像在哪里？那这里有个口诀，就是大鱼的时候，我们就往上面走，小鱼的时候呢，就往下面走，那你看这里是大鱼啊， 大鱼呢，因为这地方 y 等于零吗？大于零我们就往上面跑，那符合要求呢，就是这一段，这一段呢，在我们这条线的左边，我们来看一下，图象，找到了之后呢，就看 x 在 哪个范围， 这条竖线对应的是二，也就是说一开始是二，而往左边走的话，那我这个图像往左边走啊，我这 x 呢，也是越来越向左的，那就是越来越小了。 好，那这个时候呢，我们的 x 呢，就是小于二的啊，当然这个时候呢，原本啊，我们是有等号的，要保持一致，所以 x 呢，也是要等于二的，所以这种结果呢，我们就选择 c， 答案 x 小 于二。 好，第二种呢，它就是不与零进行比较了，与另外的一个数比较，这个地方呢，它就与四进行比较。我们看一下啊，这也是它的图像，而且给出了一个点的坐标， a 是 负二负四， 然后呢，他要求 k x 加 b 大 于四，那我们转换一下，就是 y 大 于四的时候，我们说了，无论大于还是小于，先找到等于的时候，那我们看 y 等于四在哪个点呢？很明显在 a 点，因为 a 点的 y 是 等于四的，依然是通过一点做一条竖直的线， 整个平面呢，分成了左边和右边部分。那么现在要找这个符合要求的图像在哪里呢？ 上大下小哈，既然又是大于，我们就往上面跑，哎，就是这段符合要求，那对应的 x 在 哪里呢？这条竖线一开始对应的是负二， 既然是右边的图像，就是往右边是越走越远的，那我的 x 也会往右边移动，那就说比负二越来越大，那所以我们 x 呢，是大于负二的，因为它没有等号，所以我这里也没有等号， x 大 于负二就可以了。

利用一次函数的性质求参数的范围，是我们八下数学常考的填空题，那这种题呢，需要我们对于函数的趋势以及两点坐标，或者是多个点坐标之间的一个关系要非常的熟练。 那今天我们来看一下这种题怎么做。现在看一下题目，这里有两个点， a b 两个点是关于我们这个函数图像上的两个点，而且当 x 一 小于 x 二的时候，对应的 y 一 也会小于 y 二，让我们求 m 的 取值范围。 那解决这种问题呢？首先第一步要通过他给出来的两个点， x 和 y 之间的关系，得出他这个图像的一个趋势。 那么现在看一下啊，回顾一下这个依次函数的图像趋势是什么东西呢？实际上就两种，一种呢，从左往右就是上坡的趋势，像这样子呢，就是 y 会随着 x 的 增大而增大， 那这个时候是有什么决定的呢？就是我们前面我们依次函数里面的 y 等于 k， x 加 b， 这里面的 k 就是 x 前面的系数决定的 啊，那这个时候 k 就是 大于零的好。第二种呢，就是从左往右是下坡的趋势啊，这个时候呢， y 会随着 x 的 增大反而变得越来越小，那这个时候我们的 k 啊，它是小于零的 好，那所以通过这个我们就可以得到啊，哎，这个它的趋势是怎样子的，我们来看一下啊。他说 x 一 小于 x 二，那那就是 x 一 到 x 二的时候变大了， 那对应的 y 一 也小于 y 二，那也就说我的 y 一 从 y 啊，从 y 一 变到了 y 二，它也变大了，那也就说 x 变大的同时， y 也变大了，那就是 y 随 x 增大而增大。 哎，那我们就得到了这个趋势啊，增大二，增大就意味着 k 大 于零，那在我们这个节制里面啊，啊， y 等于 k x， 我 这个 k 是 什么东西呢？对应的就是这里的 m 加上一， 那也就意味着我 k 大 于零， m 加一这个整体呢，也是大于零的， m 就 会怎么样呢？大于负一，所以我们这个的范围啊，就是 m 大 于负一就可以了。

要想写题会方法要选对，欢迎收看宋老师的方法课。来看这道题，已知一次，函数 y 等于二， m 加三， x 加 m 减一。 第一问，若该函数的值 y 随自变量 x 的 增大而减小，求 m 的 取值范围。好，这道题我们来解一下。 那它的一般形式是， y 等于 k， x 加 b。 如果如题中所说， y 随 x 增大而减小，则让 k 小于零，即这道题里面的 k 就是 二 m 加三，让二， m 加三小于零，求得 m 小 于负二分之三。 由于这道题跟 b 没有关系，所以 m 减一我们不需要问，所以这道题最终结果是 m 小 于负二分之三。 第二问，若该函数图像不经过第二象限，求 m 的 取值范围。好，我们先画个图， 第二象限在这个部分，如果这个函数不经过第二象限，我们的画法看一下。 也就是说，我们画的所有的图像，这个 k 应该是大于零的，即这道题里面的二 m 加三大于零， 那求得 m 大 于负二分之三。好，这是我们关于 k 的 求解。那想想，如果 b 这一点，或者说 y 等于 k， x 加 b， 我 们都知道它与 y 轴的交点是零。 b 如果 b 大 于零的话，它就会经过外轴的正半轴，而一旦经过外轴的正半轴，这个图像一定就会经过第二象限。你看一下，所以说我们让 b 干嘛 小于等于零，那在这道题里面， m 减一就是 b， 所以 让 m 减一，小于等于零，我们求得 m 小 于等于一。好， 那综合来看， m 最终的取值范围就是小于等于一大于负二分之三，那这道题我们就求出来了。

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带一个绝对值的一次函数图像的画法被我们轻松拿捏，含有两个绝对值的一次函数怎么画呢？通过这个视频轻松搞定。上一个视频呢，我们讲解了含有一个绝对值的一次函数的图像的画法，画出来的形状呢，是一个 v 字形，这个顶点的位置呢，其实就是分界点。 今天呢，我们还类比这个思路来讲解含有两个绝对值的一次函数的图像该如何画。这里给出的函数啊，是 y 等于绝对值的 x 减二加上 x 减三。对啊，那首先呢，我们还是要考虑去绝对值，去绝对值时，我们就要考虑啊， x 减二，还有 x 减三，究竟是正还是负，所以这里呢，我们还是要先求零点， 然后呢划分区间来去绝对值，我们令绝对值中的式子呢，等于零。好，好，这样呢，我们就得到了， x 等于二， x 等于三。好，我们把它画在数轴上呢，就可以看到啊，现在数轴对应着三段，二左边的呢，我们记为 x 小 于二，二和三之间的啊，记为 x 大 于 二，小于三。注意这里啊，我们把这个等号呢，都加在这个范围上面，也就是你这个等号如果是在 x 小 于等于二身上的话，那你下面不写，反正只能出现在一处。好，那第三段呢，就是三右侧的，那我们写成 x 大 于三，接下来呢，该干什么了？对啊，该去绝对值得到分段函数。 好，我们逐段来考虑，首先当 x 小 于二时，那我们看这时候 y 等于什么？ x 小 于二，那这一项就是负的，那负的话，去绝对值要写成相反，写相反的时候啊，减少错误，我们只变符号，不变顺序，所以负 x 加二，然后加上 x 减三呢，也是个负的， 所以这时候呢，就是负 x 加三好，整理一下，就是负 x 加上五好。第二段， 当 x 大 于等于二，小于等于三十， y 等于好，我们再重新判正负 x 大 于等于二，好，这一项呢，大于等于零，所以呢，拒绝对值，就是本身 x 减二，加上 x 小 于等于三十呢，这一项小于等于零，所以呢，那拒绝对值变相反，还是负 x 加三好，整理一下啊，结果就是一 好看。第三段，当 x 大 于三十，那可以看到啊，前后两个绝对值现在都是大于零的， 那我们呢，直接按本身来写就可以了。 y 等于 x 减二，加上 x 减三等于二， x 减五，这样呢，我们就把分段的结果写出来， y 等于好。第一段，负二 x 加五，对应的范围呢， x 小 于二。第二段，直接 y 就 等于一了，范围呢，是 x 大 于等于二，小于等于三。 第三段呢，就是二 x 减五，范围是 x 大 于三，这样呢，我们就把含有绝对值的一次函数拆分成成了分段函数，那很明显可以看到啊，这仍然是一次函数的形式，所以我们在画图的时候，依旧是两点确定一条直线，结合着上一个视频，我们说了啊，在选点的时候，那个分界点，我们把它选上，这样画出来的图呢，就会更加准确。 好，我们先来画 y 等于负二， x 加五的图像。好，这里呢，我们选的点啊，选一个二临界点，还有，那这时候对应的 y 就是 一，然后我们在啊，在小于二这个范围中再取一个，那这时候我们就取取零， x 等于零的时候， y 呢就等于五，好，我们先来找一下点，二，一 零五，好，这个点啊，好，注意，画图的时候啊，我们只取 x 小 于二的这一部分，我觉得可能有疑惑，这个 x 小 于二，这不是没有取等号吗？这个位置不应该画空心吗？有这个意识啊，非常好，那我们在这里呢，我们就先把它标成空心，等一会画完图的时候，我们会发现啊，其实这一点对这个画图来说影响不大， 那接下来我们就来画 y 等于一，不 x 取几，它的外值都是一。那就是啊，画出来之后是一条平行于 x 轴的一部分，所以呢，对应的图像就是这个。 那在这里呢，我们可以看到，当 x 等于二十，它的外值呢就是一。所以呢，原本这里啊，在画这个 x 小 于二的时候，这个空心的位置呢，就可以，这个空心呢，我们就可以擦掉了， 这个当 x 等于二的时候，它确实等于一，好，所以可以擦掉。那接下来呢，我们再来画啊， x 大 于三，这一段， y 等于二， x 减五，好，先选分界点，三对应的外值呢就是一。之后呢，我们在 x 大 于三里头选一个值啊，嗯，也不需要很大，选 x 等于四吧， s 等于四的话， y 的 值呢就是三。所以呢，我们把这两个点瞄一下来，三，一在这里四，三，这个点好。之后呢，我们把这两点连起来，它本身是一条直线，但是还是啊，直线上我们只要 x 大 于三的那一部分，所以我们只画啊三右侧的这一部分。 那我们就得到了含有两个绝对值的这个函数的图像一下啊，我们可以进行一个总结，就是含有一个绝对值的一次函数，它画出来这个图呢，你也可以把它看成一个 v 字，只不过呢是一个平底 v 形， 它呢是三段连续的折线，有的时候呢开口朝上，有的题呢画出来是口朝下，那最后呢，我们来进行一个简短的总结，不管是我们画含有一个绝对值，还是含有两个绝对值，首先确定零点一定要准确，否则那个范围就会分错。然后就是去绝对值的时候，要判断清楚得到的是本身还是相反数，对式子进行一个整理计算 好。最后呢就是啊瞄点画图，就画图的时候啊，一定要看清楚，就是我们要保留哪一部分的图像好，这个视频呢，我们就讲解到这里好。

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