不等式两头夹是什么

警告，本视频耗时二百八十六小时，制作时长三十五分钟，带大家一口气吃透高中数学所有不等式题型、方法、技巧，从基础到压轴啊，完完整整带大家过一遍，认真听，下次考试考到不等式，多拿十分！ 数学有问题，找到宋老师进我主页群领取专属提分资料！视频制作不易，点赞收藏以防丢失！话不多说，我们直接来看不等式。 各位同学们大家好，那今天从老师来给你们分享一下在高中我们会遇到的不等式的一个小的合集。那么学霸口中的科西不等式全方和不等式分别是什么？今天一条视频从基本不等式切入，一步一步的给大家把高中会遇到的不等式通通给大家讲解清楚。 首先上来肯定还是基本不等式，这玩意是我们到高一刚开始的时候，第二章就要去学的一个内容， 其实它的难度是没有上限的，那么今天我们从一个新的角度，再帮助各位在这个阶段回忆一下基本不等式的内容，以及它的几个重中之重，或者说它的一正二定三相等分别是什么？ 首先啊，我从这个角度来证明是从几何的方式来证明，因为基本不等式里面有 a 有 b， 那 我画一个半圆，让底下的直径分为 a b 两段，它们两个大小关系倒没什么太大的这样的一个要求，但是我们现在的 a 和 b 毕竟是长度啊，所以都怎么样是不肯定都大于零，所以上来我们就知道， a 和 b 首先一定必须得是正数，此时我在这个半圆里面，如果我画出了一个 三角形，一定是一个什么是正三角形，而且这个正三角形里面，如果我过上面的这个 o 点，或者说上面这个 p 点往下做一条垂线呢？根据我们初中就知道的乘法下 ab， 而根号 ab 其实就是我们在基本不等式面提到的所谓的几何平均数， 那哪里是我们的二分之 a 加 b， 我 相信这个图里面已经非常明显了，应该就是我们这里的半径，所以我选择中点为 o， 那 么 o p 的 长度是不是就是二分之 a 加 b？ 在 我们现在的这个 o p h 这个三角形里，就这个直角三角形， o p 是 斜边， p h 是 直角边，所以此时的二分之 a 加 b 一定会比根号下 ab 是 要更大一些， 所以我们现在就可以得到第一组，也是我们最熟悉的这样的一个基本不等式叫做二分之 a 加 b 大 于等于根号加 a b， 但是实际上基本不等式这一块内容绝不仅仅只有这一个不等式，我相信稍微负责一点老师应该都会说过，其实基本不等式应该是一个链条， 这个链条它应该还有两环，大的还有一环，小的还有一环，分别是哪一环？其实我们在这个图里面依然还是可以做到的，我们来看一下啊，如果我现在在这个图里面去过 c 点，朝着我们这里的 e o 做一条垂线，那么这里面的相似三角形会变得非常非常多。 哪些三角形会相似呢？来我们看着等式直接说答案就好了。其实这里 e f 乘上 e o 一定会等于 c e 的 平方，这个式子只要是在初中学过，我们的相似三角形的一些这样的一些特征的应该都能看得明白。其实我们三角形 应该是 e f c 三角形， e f c 这个三角形应该要相似于我们的三角形。什么是 e c o？ 这两三点相似的话，那么对应边就会乘比例，也就是此时的 e f 比上这里的 e c 就 应该等于 e c， 再比上是不是后续的 e o。 所以 交叉相乘以后，我们得到的就应该是 e f。 乘上 e o 是 不是等于 c e 的 平方， 而这里的 e f 是 什么呢？等会再说。确实不太清楚，但是 e o。 我 知道 e o 不 就是我们的二分之 a 加 b c e 的 平方？我们刚刚才说过，这是我们刚刚在 a e c 里面摄影店里求出来的，是不是根号下 ab， 所以 其实 c e 的 平方就应该是根号 ab 的 平方，也就是 ab。 所以这个时候 e f 这一段，这边这一段啊，它就应该是 a b 再除以二分之 a 加 b， 而 a b 再除以二分之 a 加 b 这个东西，只需要在同时怎么样乘个二，再除个 a b， 就 会得到我们下面的这样的一个式子叫做调和平均数。 如果你觉得这玩意没有用的话，你不妨想一个问题，君住长江北，我住长江南，每天你要来见我一下，你沿流而下的速度是 v 一， 逆流而上的速度是 v 二，距离是一样的，都是 d。 我 们俩之间的地点，我们加的距离是不变的，都是 d， 那 么此时上下的这个路程之河是二 d。 那么你总共花了多久？应该花的就是 d 除以 v 一， 再加上 d 除以 v 二，因为你沿流而下和顺流逆流而上的时间应该不一样，一样，速度不一样，所以时间不一样没问题吧？所以这里面 d 消掉之后，其实就是 v 一 分之一加上 v 二分之一是分之二，所以这玩意其实就是 v 一 和 v 二的一个调和平均值。 所以刚刚的二分之 a 加 b， 我 们把它称之为叫做算数平均值。根号下 a、 b 是 几何中的几何平均值啊，我相信学完了所谓的立体几何过以后，各位对于这玩意应该还有一定的拓展。就比如说台体体积 是不是三分之一倍的上底面加上下底面加什么？是不是加根号下上底面？下底面，这什么玩意儿？ 这不就是上下底面积的几何平行值吗？所以三层啊，砍了三刀砍出来三个面积加起来除以三算，它的算数平均值再乘上高，才能够共同地算出我们苔藓体积。 所以这些其实都是有联系的，大家要多思考，多体会，这样你才能把这些知识点串起来，才能记得更牢，所以这也是孙老师认为需要做到的一件事情。那这是二分之一加 b， 这是根号加 a b 算数平行值还有调平值。而刚刚我们这里的 c、 f 和 e o， 其实这里的 e、 f 是 不是就应该是我们刚刚算出来的 a 分 之一加上 b 分 之一分之二，而这个在 e、 f、 c 这个三角形里面，其实也就是一个直角边，它很明显比现在的这个斜边，也就是我们刚刚的根号下 ab 是 不是还要稍微短一点点？ 所以其实我们的调和平均数应该比根号下 ab 这个几何平均值还是要更，怎么样？是不更小一些？ 其实讲到这里，有同学就在发问，我们刚刚所说的基本不等式里面应该是有一个等号的，那刚刚的二分之 a 加 b 和我们的根号下 ab 什么时候能取？等你看这个位置的这个直角边数值下来，这个 p h 垂下来，这个垂线段 求我们的半径什么时候才能相等？那很明显应该是我们的红色的 a 和蓝色的 b 就 这两个要素，它们怎么样是相等？所以在教材上面我们总结出来的应该是，当前紧当首尔是 a 等于 b 的 时候，是等号成立。 所以到此为止，本不等式或者基本的是链。里面的所有内容我已经全部说的比较完整，虽然还差一环， 但是它的基本的应用场景以及应用原则就三点，一正二定、三相等。一正为 a， b 均要大于零二定。为什么？其实在 基本的教材里面，我们可能只了解，要不然你就核为定值，要不然你就基为定值。但有了刚刚的那个环节，就是所谓的 a 分 之一加 b 分 之一分之二，有了内环过以后，要不然你的倒数核为定值，是不是也能求出一些我想要的最值？ 除此之外就是三相等。而所谓的三相等刚刚已经判断过了，当 a 等于 b 的 时候，我们现在的二分之 a 加 b 和根号加 a， b 就 应该是相等。 那同样道理，如果 a 等于 b， 这个图就变成了这个样子， e o 在 这， c， e 也在这，你过 c 点做什么？ e o 的 垂线做不了也会做到这， 所以此时你的 e、 f 也会变成这一段，也会变成 a 分 之一加，此时的 b 分 之一是分之二，而这玩意儿和刚刚的 e、 c 或者或此时的 e、 c 是 不是也是相等的？ 所以这一环也依然应该是当前紧，当 a 等于 b 的 时候，它会相等。那最后一环是什么？最后一环是这样的，我会发现，如果红色是 a， 蓝色的是 b， 那 实际上这里如果是我的圆心 o、 o 到它们的分界线的这个位置，其实应该是 二分之 a 减 b， 你 稍微做一下对称就好了，那这边不就是 b 吗？所以这一段应该是什么？什么？就是 a 减 b o 为圆心，所以此时二分之 a 减 b， 或者说这段是不是应该是二分之 a 减就是它的一半，所以再去划一划，再往上这么一做就是什么？ 是不是二分之 a 加 b？ 这不就半径吗？比如说我过圆心做一条垂线，直接顶到圆的最上方，就是二分之 a 加 b， 那 这个时候我把这条斜边再连起来，根据勾股定律，我们就可以得到二分之 a 方加 b 方。再开一个根号， 因为它的平方是四分之 a 加 b 的 平方，它的平方是四分之 a 减 b 的 平方，所以加起来过以后是四分之 a 方加 b 方。加起来过以后，四分之二 a 方加上加二 b 方消完，就是二分之 a 方加 b 方， 对不对？再开一个根号，所以就是二分之根号加 a 方加 b 方，很明显在这个三角形里面。 ok， 刚刚做老大的这个算数平均值二分之 a 加 b 方，它明显在这个三角形里面。 ok， 刚刚做老大的这个算数平均值二分之 a 加 b 这个东西，它变成了一条直角边， 而右侧这个二分之根号下 a 方加 b 方，这个叫平方平均值，它就是斜边了。所以在这种情况下，应该是二分之根号下 a 方加 b 方，是不就应该大于等于二分之 a 加 b 了？所以这个平方平均值又会比我们的算数平均值 要更大一些，或者说一般情况下会大于等于它，但是实际上依然是在 a 等于 b 的 时候，我们的两丸就会相等，那 a 等于 b 二分， a 点就没了呗， 那直角边和斜边不又摊到一块了吗？就这里是 p， 下面是 o， 这里是 h 点。好了，那此时如果 a 和 b 相等， h 点是不会挪到和 o 重合，所以这两条斜边和直角边也会重合，是不也会相等？所以这一款应该也是当前紧当 a 等于 b 的 时候，它就会相等。 所以这样我们就得到了一个非常完整的基本不等式的链条，也就是 a 分 之一加 b 分 之一分之二小于等于根号下 ab 小 于等于二分之 a 加 b， 再小于等于根号下二分之 a 方加上 b 方。根据我的口诀调几算平调和平均值小于等于几何平均值 小于等于算数平均值小于等于平方平均值，所以这个链条才是基本本事。均值不等是一个完整的内容。 接下来我会把基本的基本不等式的方法啊，稍微给大家梳理一下，我会以这样的一个题目作为我的今天的讲解的一个切入点，是最简单的一类题，就是 a 加 b 的 最小，你求这个 a 加 b 的是最小值， 是求这 a 加 b 的 最小值，那么此时如果说 a 加 b 等于我们的这个 a b 的 话，那么这里 a 加 b 等于 a b 这个条件根据基本不等式，当然这一页打一个小小的补丁啊，这一页的所有变量都是恢复的。如果说此时 a 加 b 就 等于 a b 的 话，让我们求这个 a 加 b 的 最小值， 那我们现在的第一个想法可能是去进行一定的直接使用，但直接使用的话，你会发现 a 加 b 应该是大于等于是不是二倍的根号下 ab， 对 吧？是大于等于二倍的根号下的 ab， 那 么这个位置你算出来好像不对，但是我如果反过来用，其实应该是我们的 ab 会小于等于根号， ab 会小于等于二分之 a 加 b， 那 ab 就 会小于等于是二分之 a 加 b， 这个整体的 平方令 a 加 b 等于 t， 就是 t 小 于四分之 t 方，也就是 t 方减去一个四， t 是 不是要大于等于零，也是可以带等号的等于等于零，所以求出来这个 t 应该是 t 乘上 t 减四要大于等于零，所以求出来应该是 t。 怎么样，是不是 t 小 于等于零，或者 t 是 不是大于等于四，所以最小值写应该是四啊，就这么来求就好， t 就是 a 加 b， 那 比如它最小值嘛，所以这个方法叫做统一变量， 所以此时我们可以使用统一变量这样的一个方法，也就是说从基定核定转变到这样的题目过以后，你前面那种 a 加 b 等于三，让你求 a b 的 什么核定基最大，基定核最小这样的一些东西，因为我认为稍微比较简单一些问题，比如说给你什么 a 加 b 就 等于三， 让你求 a b 的 这样的一个最大值，叫核定，是基最大这样的一个形式，就直接使用 a 加 b 是 不是大于等于二倍？根号下 a b 就 可以求出根号 a b 是 不是小于等于二分之三， a b 是 不是小于等于四分之九？ 是这样一个形式。这种题目我认为比较简单，所以我直接进阶到我们的这种，没有一个明确的核定和基定的这样的问题。第一种方法就要统一变量，我只要 a 加 b， 那 么 a b 就 不是我要的， a， b 就 不是我要的。那此时我就会把 a b 用基本的式链换成我要的 a 加 b 这一环，换成我需要的 a 加 b 这一环， 所以这个位置应该是如此来做。当然除了这个方法以后，我还会讲一个方法叫做 e 的 妙用，因为这个式子是一个非常之其次的，所以我完全可以把这个 a b 怎么样， 是不是把这个 a b 给它除过来，把这 a b 给它除过来，就会变成什么？是不是 b 分 之一加上 a 分 之一就等于一？那这玩意从次数上可以去帮我们调配 a 加 b， 而一乘上 a 加 b 就 等于 a 加 b， 所以 我只需要乘上这个 b 分 之一和 a 分 之一这个负一次式 完全可以得到非常完美的 b 分 之 a 加上一，再加上 b 分 之 b， 还是加一再加上一个？什么是加一个 a 分 之 b， 于是 a 分 之 b 和 b 分 之 a 就 会加起来，或者说乘起来是定值，很明显的定值就会大于等于二倍的根号下， b 分 之 a 乘以 a 分 之 b， 也就是二倍的一，再加一个二，也就是四。所以这里 e 的 妙用是不是也可以 下面这道题目，如果它改成了二 a 加 b， 但二 a 加 b 真的 不是 a 加 b， 你总不能说我把这个 a 砍死一个，变成只剩二 a 加 b 吧？那肯定不行，所以此时一的妙用依然应该是可以的。我们完全可以把它变成什么除以 a， b 同除 a， b 就 变成了 b 分 之二，再加上 a 分 之一，是不是等于一？ 那你的 a 加 b 依然乘上此时的 b 分 之二，再加上 a 分 之一，不就可以了吗？那后面的过程就不写了，虽然答案不一样，但是过程是完全一样的， 而且 a b 都是呃大于零的，那就没有任何的瑕疵。取等条件再去判断就行了，只要我没说要不要判断，取等的时候各位就默认是可以取到这个等号就好。因为时间有限，所以说我就不再赘述这些 特别特别特别主动细节。那我平时上课的话，一定是会事无巨细的把所有的细节告诉各位，以及哪个时候要注意什么呢？是没有问题的，但短视频我们还稍微的节奏紧凑一些，那么还有没有别的方法呢？其实像这两个位置，应该还都有个方法叫做消元。 就比如说这个二 a 加 b 等于 ab， 我 完全可以把它理解为是什么， 是不是理解为是我们现在的二 a， 再去减去 a b， 是 不是等于负 b？ 是 不是可以这样来写， 或者说换一种写法，符号稍微少一点，那就应该是二 a， 是 不是就应该等于 a？ b 减 b， 也就是 a 减一倍的 b， 所以 b 就 会等于 a 减一分之二 a， b 等于 a 减一分之二 a 的 话，那么此时的 a 加 b， 在 我眼中就会变成 a 加上 a 减一分之二 a， 也就是 a 加上 a 减一分之二倍的 a 减一，再加二，也就是 a 加上 a 减一分之二，是不是再加二？也就是 a 减一加上 a 减一分之二，是不是再加三？ 于是呢， a 减一和 a 减一分之二是不是相乘为定值？二定再次出现，直接使用基本不等式。有的人说这里 a 正不会有问题吗？不会的，因为 b 等于 a 减一分之二， a 的 话， a 减一分之二， a 必须作为 b 也必须要大于零， a 大 于零，那么 a 减一也得大于零。所以此时的 a 减一，还有 a 减一分之二，是不是也都是大于零的？ 所以 a 正没有问题，二定也很明显，于是直接使用我们的基本不等式，是不是也都是大于零的？所以 a 正没有问题，二定也很明显，于是直接使用我们的基本不等式，是不是也都是大于零的？所以 a 正没有问题，二定也可以。 当然，其实还有一种方法，就是我刚刚的基本不等式列，那么这个基本不等式列对于第一种方法也依然可写。为什么呢？因为此时你刚刚同时除以了我们所谓的 a， b 过以后，还得到了一个 a 分 之一加上 b 分 之一是不等于？ 这是一个倒数和为定值。而根据我们刚刚的这样的一个式子里面，我们知道二分之 a 加 b， 它大于等于根号下 ab 没问题，但根号下 ab 还会大于等于什么？是不是还会大于等于 a 分 之一加 b 分 之一是不是分之二， 而 a 分 之一加 b 分 之一就等于一，所以说这玩意就是几，这玩意就是等于二，所以二分之 a 加 b 大 于等于二，那么 a 加 b 是 不是还是大于等于四？所以一题多解，在这个问题里面就可以这样来体现。 那么对于第一种这个式的而言，它的限制是最少最漂亮的， a 加 b 等于 ab， 我 去使用所谓的一的妙用，统一变量 e 或者是我们这里的基本分式链是不是都可以？还有消元是不是也都可以？所以第一种我们有四种做法， 那么二 a 加 b 等于 ab， 就是 前面加的系数，我们 e 的 妙用依然可以，统一变量不行，消元可以，但是现在的这个所谓的基本式链好像也不太好用， 也不太好用，所以两种方法是可以的。对于下面这个 a 加 b 等于 a， b 加一，前面没加系数了，但是后面多个尾巴是加一， 那么其实现在统一变量依然可用，因为现在这个加一并不会影响到我前方的 a 加 b， 所以 此时 a 加 b 依然保留。那么等于 a， b 加一的情况下， a b 怎么样？是不还是小于等于二分之 a 加 b 的 平方， 你再加一就好了，令 a 加 b 等于 t 就 会变成 t 小 于等于四分之 t 方再加一，利用这个式子，是不是亦可求出 t 的 范围？所以统一变量是可以。 那么这道题目还能怎么做？其实现在你同除 ab 是 绝对不行的，那么以同除 ab 为前提的所谓的一的妙用，还有我们的这样的一个基本公式链应该都不行， 但是消元依然坚挺。你把 a 减去 a， b 放一边，另外一边就是一减 b， 所以 a 倍的一减 b 好 像就等于一减 b。 这道题目好像出的并不是特别的 好，这个地方最好变成一个加上一个什么加个二好了，这样你就可以表示为 a 等于几？是不是 a 等于这样的一个二减 b， 再除以一减 b， 所以 a 加 b 就 变成一减 b， 是 不是分成二减 b？ 当然我只体现一下这个过程。这道题目主体上来说，我们应该还是去使用这样的一个销源来做，会比较复杂，主体还是使用我们的统一变量可能会更好一些。如果你变成这样，既有前面这个系数，又有后面这个加一，那么就只能去干嘛？是不是销源 也叫函数思想，就相当于你把这里的二 a 减去 ab 放一边，另外一边就一减 b， 所以 a 就 会等于一减 b， 再除以什么？是不是除以二减 b， 那么 a 加 b 就 变成二减 b， 分 成一减 b 再加 b， 那 这里就是二减 b， 再减一，再除以二减 b， 是 不是这样？所以这个地方应该是二减 b 再减一，是不是除以一个二减 b， 怎么样？这样的一个再加上一个 b 也就等于什么？是不是就等于一再加上 b 减二分之一，再加 b， 那 减个二就变成三加 b， 减二分之一，然后 b 减二这个整体，所以它们的乘积是不是又是定值？也可以求出这两个什么 就是最小值，所以 a 加 b。 对 于最后一种情况而言，我们可以用削圆来写，所以这其实就是基本的，是里面主要的四种最基本的方法，统一变量 e 的 妙用，还有我们所谓的叫做基本的是链条，还有就是削圆。 当然具体的操作啊，一个老师会总结为，比如说一些什么换元法，还有一些什么配凑法，其实这里面都藏在内部。我稍微说一下下，这里的 b 分 之二加 a 分 之一等于，或者上面的 b 分 之一加 a 分 之一等于，实话实说就是从次数上所谓的负一次， 所以你现在拿这个负一次式和一次式去相乘，就是为了凑出 b 分 之 a 和 a 分 之 b， 这两玩意就叫其次式，所以它的原则和它内核是没有区别的。 方法上你应该把它们互通起来，或者把它们串联起来去理解。所以今天我在今天的视频里面就主要聊这四个方法， 如果对于他想要更多的练习的同学，进到我的群里面找我来索取就可以了，我会免费的发给各位，进到我的群里面来看就好。除此之外，今天我还想拓展一下各位的思维，或者拓展一下各位的方法。除了基本不等式，还有多元均值不等式， 刚刚那叫二元均值不等式，只有 a 和 b， 那 其实多元均值不等式就是 a 一 到 a， n 就 n 个， 这里面 a 一 加到 a， n 就 会大于等于，你看 a 加 b 就是 两项，那就大于等于二倍的二次根号下是不是 a 乘 b 里面是二次项，我就给他开个二次，是不是 这样的一个开根号，那现在如果是 n 个东西在一块，它是不是大于等于 n 倍的 n 次？是不是这样的一个开根号？那现在如果是 n 个东西在一块，它是不是等于 n 二，一直到什么？是不是乘到 a n？ 这就叫多元均值不等式，就是二元均值不等式的一个横向这样的一个推广，我们稍微来看一看。这种题目其实在高二学完了倒数过以后还是非常常见的。 当然各位如果学过导数，用求导去解决是绝对没有问题，但现在我们学过了刚刚这个方法过以后，其实这个 f x 也完全可以理解为是 cosine x 再乘上。什么？是不是二倍的 cosine x 再乘以 cosine x， 那 不就是二倍的 cosine x 的 平方再乘上 sine x 吗？ 没错，它让我们求它的最大值，那和刚刚我所讲的这个多元矩阵不等式有什么关系？多元矩阵不等式的内容是 a e 加上 a 二，再加加加，加到 a n 应该会大于等于 n 倍的 n 次根号下 a 一 乘以 a 二，意思是乘到 a n， 对 吧？那么此时我们现在的 cosine x 不 能看成这样吗？ 当然可以啊， sine x 不 能看成是 a 二吗？当然可以啊，那 cosine x 就 可以看成是 cosine x 乘以 cosine x 是 不是乘以 cosine x 是 完全可以，但是我发现如果直接用的话，我就把它看成是 a 一， a 二乘以 a 三是三项，对不对？ 那就是 cosine x 就 看成是 a 一， 另一个 cosine x 看成是 a 二，另一个 sine x 就 看成是 a 三二就不管它了，那理论上来说就应该干嘛？应该是三倍的三次根号下 cosine 会小于等于是 cosine x 加 cosine x 再加什么？是不是加 cosine x 我 叫它干嘛？ 我刚刚的基本本是写右边的时候，大多都一定需要它是个什么，是不是得是个定值才可以？没说错吧？是不是得是一个定值才可以？那你现在这玩意二倍的 cosine x 加 sine x 好 像不是一个定值吧？那这玩意如果不是一个定值的话，那 你这样写没有用啊。所以其实这里面有非常非常花哨的一些技巧，大家拓展一下眼界，这是我想给大家带来的一些你能够课外可以去集结到的一些新的方法。其实我可以把这个 f x 干嘛给它平放一下，因为加法我可以把这东西加起来，我把这些东西加起来， 我并不是只是想把它加起来，我是希望加起来过以后是个什么，是不是得是一个非常明确的 数值啊？是不是得是一个非常明确的数字啊？那我现在平方为会有什么效果呢？其实 f x 的 平方会变成四倍的 cosine x 的 四次方，再乘上是 cosine x 的 平方，没错吧？那么这里的 cosine x 的 四次方 再去乘上 sine x 的 平方。这里我是不是可以把 cosine x 的 四次方理解为是 cosine x 的 平方，再乘上 cosine x 的 平方，再乘上是不是 sine x 的 平方？按道理来说，这个三倍的三次根号下，这玩意儿 其实会小于等于啥呢？根据多元均值不等式，应该会小于等于。是不是 cosine x 的 平方加上 cosine x 的 平方再加上什么？是不是加上一个 sine x 的 平方？那这个效果好不好？你发现效果已经刚刚要稍微的更好一些，就这里的 cosine 加 cosine 是 不是已经可以是一了？ 但是还是多了个啥？是不是多了一个 cosine？ 那 这里应该怎么办？那这里其实我们就只需要把前面这个四 也给它利用起来就好了，你不能把这个四再扔掉了，你借个二出来，因为刚刚有两个 call 方，只有一个 side 方，那么加起来不是定，这不很正常吗？那你可以把它理解为是二倍的 sine x 的 平方，是不是再乘上 cosine x 的 平方，再乘上 cosine x 的 平方，这不也是一个配凑吗？ 把它看成一项，把它看成第二项，把它看成第三项，那应该是这里的 a 一 加上 a 二，再加上 a 三，也就是这里的二倍的 x 的 平方，加上乘以 cosine x 的 平方，再乘以 cosine x 的 平方。这玩意儿 三倍的三次根号下，这个东西就会小于等于是不是二倍的 sine x 的 平方，再加上 cosine x 方，再加 cosine， 是 不就应该是 二？所以三倍的三次根号下，它小于等于二，那意味着三次根号下我们的这一项后面这一大坨我们列为 t， 就是 三次根号下， t 就 应该小于等于三分之二，所以 t 应该小于等于二十七分之八，所以它就会小于等于二倍的二十七分之八，也就是二十七分之十六。 所以 f x 的 平方此时就会小于等于二十七分之十六，那么 f x 的 值最大值就应该是二十七分之十六开根号， 也就是三倍根号三分之四，也就是所谓的九分之四倍根号三，这最大值就应该是九分之四倍根号三。所以这种题型除了求导以外，我们其实还可以使用这种所谓的多元均值不等式来进行一个理解。那第三个科西不等式。 科西不等式的内容是这样的， a 方加 b 方，两个平方向相加， c 方加倒方，两个平方向相加成在一块，两个平方和的乘积会大于等于它们交叉相乘。怎么交叉？ a c 相乘， b 倒相乘的和的平方。 这玩意证明是最经典的用向量来证明这玩意的证明是最经典的用向量来证明。那也就是这里的 m 向量我理解为是 ab， n 向量理解为 c 导的话，那么 a c 加 b 导其实就是 m 点乘 n， m 点乘 n 就是 m 的 摩乘以 n 的 摩乘 cosine theta cosine theta 是 一个在零到一之间的数字哦，是零到一之间的数字的话，那乘完就一定会比 m 的 摩乘以 n 的 摩是要更小才对， 没错吧？而 m 的 摩乘以 n 的 摩，不就是根号下 a 方加 b 方和根号下 c 方加导方吗？那么两边同时平方一下，不就会变成上式吗？ 对吧？这玩意平方就是 a 方加 b 方乘以 c 方加导方，左边平方完就应该是 a c 加上 b 导的平方，所以这个就叫做所谓的科西不等式。到底啥是科西不等式？就是这样的一个不等式， 那么它现在的作用是可以把两个音式里面的像通过重组给它呈在一起，我们稍微练习一下，比如说这个，我还把柯基布的值放在下面，防止各位忘记了。那这个 x、 y、 z 均为大于零，那么 x 二 y、 z 加起来等于一，那我求的是 x 方加 y 方加 z 方， 那这里面其实我又在推广，就相当于这边如果说，如果说它不止两项，不止两个玩意的平方和的话呢，其实也是可以的。那就无非是 a 方加 b 方加 c 方， 右边是倒方 e 方 f 方，那这边就是 a c a c， 或者说应该是 a 倒了，多写一项，就应该是 a 方加 b 方加 c 方，对吧？而乘上的应该是倒方加 e 方，再加上一个 f 方， 就应该大于等于，应该是 a 倒，再加上我们的应该是 b e 了，现在再加上什么？是不是再加上我们现在的这里的 c f 整体的平方 有时候还在变多，也可以四项。其实项链这玩意未来也可以是多维项链，不一定是平面项链，也不一定是空间项链，还可以四维项链、五维项链都可以的。所以这个不等式是适用于很多维，就是多维的科技，不等式也是没有任何问题的。而他们的取等条件很有意思啊。你仔细想一下， 刚刚这两个向量什么时候能取等，这个不等号什么时候能取等，其实应该是 cosine theta 等于一的时候，左右两边是不是才能取等？什么叫 cosine theta 等于一？那不就是两个向量的夹角等于零吗？ 而两个向量的夹角等于零，不就是同向吗？同向的意思其实应该是我们现在的 c 比 a 要怎么样？是不是要等于 b？ 其实也就是这里面的 a、 b、 c 导之间对应成比例，当前仅当什么时候啊？便是当前仅当 我们的 c 比 a 等于倒比 b， 或者说 a 比 c 等于 b 比倒也可以的时候，这样的等号会成立。同 样道理，如果是三维，其实也就是 a 比倒等于 b 比 e 等于 c 比 f 的 时候会成立，这个等号会成立。好吧，那么这道题目你让我写的是 x 方加上 y 方加上 z 方，这是三玩的平方和。这是个非常经典的问题，讲科技部分是根本绕不开这道题目， 而你现在需要的是和一乘和二乘，还要和三乘，那么右侧乘这个平方和就应该是一的平方加上二的平方，再加上三的平方，就应该这个样子。 这要配凑起来不就这样吗？就会大于等于就是大于等于，什么玩意？就是大于等于来一倍的 x， a 加上二倍的 y， 再加上三倍的 z 的 平方，就是这个样子。所以这道题目呢， x 方加 y 方加 z 方的最小值就应该是大于等于，这是啥？这是一哦，一的平方不就一吗？ 一方加二方就是一，加四，再加九呢？就是五，加九就是十四啊。所以其实 x 方再加上 y 方再加一个 z 方，它应该会大于等于。什么玩意？应该会大于等于一，除以我们这里的十四，所以 x 方加 y 方加 z 方应该是大于等于十四，最小是十四分之一。 当前仅当应该是 x 比一等于 y 比二等于什么？是不是 z 比三的时候，这个等号会成立？那我希望是 x 加二， y 加三就等于。你也可以算一下，这样的 x y z 也确实应该是存在，所以就没有问题。 这是科西不等式的经典应用，相对应的练习还是一样在群里面找我要就好，会有其他的例题给到大家去进行一个训练，那么最后一个叫做权方和本式，非常牛的一点在于，它可以把两个分式的 最硬的骨头，这玩意一般是我口中最硬的骨头就是分母给它夹在一块。那么全方格不等式我的证明的话，我依然是用科西不等式来证明的啊，我这里呢， 强行给大家配凑了一下，我把这里的全方格不等式的 x 分 之 a 方理解为是根号 x 分 之 a 就 整体的平方，这里是根号 y 分 之 b 整体的平方，然后后面给它乘上一个根号 x 的 平方，再加上根号 y 的 平方，这里稍微给它盖了个帽子。 那么这样的话呢，根号 x 分 之 a 乘上根号 x 不 就是 a 吗？根号 y 分 之 b 乘上根号 y 不 就是 b 吗？所以根据刚刚的柯西不等式，这就是 m 的 平方加 n 的 平方，然后再乘上是 p 的 平方，再加上 q 的 平方， 就会大于等于是不是 mp 加上 n q 的 平方。而这里的前者就是所谓的 m 乘以 p， 就是 根号 x 乘以 分之 a 乘以根号 x， 也就是 a， 而这里的根号 y 分 之 b， 再乘上根号 y， 是 不是就是我们的 b， 所以 其实就会变成 a 加 b 的 平方？所以全方格不等式完全可以由科西不等式来给它 证明出来。那么这样的题目会怎么来写呢？其实这道题目也不一定非得用全方格不等式来写，所以为什么这只是拓展， 也为什么我们说重中之重一定还是基本不等式，这些方法用起来可能会快，但是呢，它绝对不是一个完全必备。如果你的目标就是一百分，或者说就是三位数的话，这些方法你可以先不看， 只是了解即可。如果你的目标是想要快速的把题目做完，并且有足够的时间留给后续的更难的问题，那么对于这样的一些公式，你就需要汲取更多，你要突破自己的上限。好吧，那么这道题目标准做法其实应该是我刚刚提到过的一种换元法，我们可以令 m 等于 x 加 y 啊， 我们可以令 m 等于 x 加 y， 令 n 等于 x 减 y， 那 么 m 等于 x 加 y， n 等于 x 减 y 的 话，其实我们现在就可以理解为是 m 分 之三加上是 n 分 之二是等于一的，而 m 是 这样的， n 是 这样的，那加起来干嘛？除个二那不就是 x 吗？ 加起来除个二就是 x， 所以 x 应该等于二分之 m 加 n， 而 y 呢？是不是就应该是二分之 m 减 n？ 这个和我们上一节课的那个所谓的几何和它和它画机里面的一个技巧是不是也很像？ 这样，换完过以后，其实二 x 就 会变成 m 加 n， y 就是 二分之 m 减 n。 所以 其实你让我求的二 x 加 y， 利用换元法完全可以理解为是二分之三倍的 m 再加上二分之 n， 那么知道这个式子要求这个式子最小值直接干嘛？估知一下相乘就完事了，负一次式和一次式乘就可以了。所以这道题目用换元法是不是也可以？那么这道题目刚刚的换元法我讲完过以后，如果你想用全方和不等式的话，其实你现在就需要把下面的 x 加 y 和 x 减 y 之间能够凑出 x 加 y 就 行。 眼神好的可以直接看，眼神不好待定系数即可。就是 a 倍的 x 加 y， 再加上 b 倍的，是不是 x 减 y， 你 让他等于是不是二 x 加 y 就 行。 所以记住， a 加 b 要等于几呢？是不是等于二？然后呢？ a 减 b 是 不是要等于一？这样是可以解出来 a 和 b 啊，我就不解了，就直接开始配就完事。其实这道题目完全可以凑出来这个结果，因为你现在 x 加 y 分 之什么？是不是分之三加 x 减 y， 分 之二等于一？所以你只需要给前面这个式都乘三，就变成九除以三 x 加三 y， 再加上什么呢？不用加了，就直接加上 x 减 y 分 之二， 那不还等于一吗？因为第一个式的上下都乘三就没变，所以这里就应该是九除以三 x 加三 y， 然后再加上二除以 x 减 y， 是 不就应该等于一？而下方的三 x 加三 y 和 x 减 y 加在一块，不就是四 x 加二 y 吗？ 四 x 加二 y 不 就是二 x 加 y 的 两倍吗？所以现在你把它理解为是三 x 加三 y 分 之三的平方，再加上 x 减 y 分 之根号二的平方， 那不就等于一吗？那根据全方和不等于就应该大于等于下面分母相加，那就是四 x 加二 y 分 之小 a 就是 三，小 b 就是 根号二啊，所以就应该是三加根号二这个整体的平方。所以呢，我们就会得到四 x 加二 y 这个东西 作为我们的分母，它是不是就应该会大于等于就会大于等于我们现在的三加上根号二的 平方。只有这样比完成的小领一嘛，这会大于等于九加二，那就十一十一再加上六倍根号二啊， 加二 y 是 等于大于等于十一，再加上这样的个六倍根号二，所以我们现在的这个二 x 加 y 的 最小值是不是就应该会大于等于二分之十一，再加上六倍根号二，所以这样来写就行， 你刚刚的换元法也是可以的，绝对是可以的。那么这个全方格不等式是不是也非常快？只要树感够好，这样稍微配凑一下，这个东西推进下来是非常非常的迅速的。所以基本不等式是我们的核心，是我们的重中之重。而所谓的多元均值不等式， 科西本是全方和本是或多或少会有你的同学或者老师是不是都提到过，那今天我有没有给你讲清楚？如果你还需要更多的题目来找到手感的话，尽到群里和宋老师进行更多的交流及做题。题目做法上的交流，一题多解 才是数学的魅力。好吧，那么关注宋老师每条视频给到你一个不一样的小知识，那么今天我们就讲到这里，拜拜各位啊！

我们来看第二章的内容不等式，先来看一下他的知识结构，不等式一共有五个内容，第一个就是不等式的性质，这个知识点也是我们考试很重要的一个考点，大家一定要掌握。 我们在学完之后，大家一定要知道不等式的性质有哪几个，一定要非常的熟悉。第二个就是区间，这个在我们前面的讲解，或者大家在初中学习的时候已经学习过了，这个是比较简单的，我们做一下回顾。 第三个一元二十不等式，这个大家也是比较熟悉的。第四个含绝对值的不等式，这个绝对值不等式是我们考试很重要的一个考点， 考试的时候很多同学感觉到有难度的点就是这个不等式，那我们前面来学习集合的时候，涉及到的也有相关的题目，我们在这里呢会有单独的补充，这个很重要，大家一定要掌握。 最后就是不等式的应用，在我们考试当中，相对于其他的考点，不等式的应用相对来说是比较少一点的，我们只需要了解就可以。 我们先来看第一个内容，不等式的基本性质，在学习不等式的性质之前呢，我们先来回顾一下实数的大小，对于任意的实数 a b， 如果 a 减 b 为正数，即 a 减 b 大 于零，那么就称 a 是 大于 b 的， 或者是 b 小 于 a， 那 么这里面提到的 ab 呢？它可以是任意的实数，比如它可以是三，可以是二，可以是一千等等，可以是任意的，同样 b 也是的，它们可以是任意的数，假如 a 等于三， b 等于二，如果 a 减 b， 它是正数，那 a 减 b， 三减二呢？它是等于一，对吧？它是大于零的，也就是说它们是大于零的，那么我们就称 a 是 大于 b 的， 也就是三呢，它肯定是大于二的，这个就是大家比较好理解的。 反过来就是 b 小 于 a， 这个概念是比较基础的。关于时数 a、 b 的 大小，可以通过下列的运算来表示，如果 a 大 于 b， 那 我们看到的这个符号就是等价， 他代表什么意思呢？比如我们左边的这个等价于右面这个方，也就是说我们左边这个式子可以推出来右面这个式子，右边这个式子呢？他也可以推出来左边那个式子是等价的。 比如我们还是以前面那个简单的例子为举例，假设 a 等于三， b 等于二，那我们看左边这个 a 大 于 b， 那 三和二相比，他肯定是大于二的。同样呢， a 减 b， 三减二，他也是大于零的，这个是比较好理解的。 我们再来看第二个， a 小 于 b， 等价于 a 减 b 小 于零，我们反一下， a 等于二， b 等于三，大家看到 a 等于二，它是小于 b 等于三的。同理， a 减 b， 二减三，它是小于零的， 这个也是符合的。接着再来看第三个， a 等于 b， 等价于 a 减 b 等于零，那 a 呢，它是等于 b 的， 三是等于三， a 减 b 呢，它就等于零，对吧？这个是比较好理解的。 那么这里提到的方法是什么呢？大家可以看到比较两个实数或者代数式的大小，可以转化为考察它们的差是正数、负数或者是零。这种比较大小的方法呢，我们称为作差比较法。这个我们在中学的时候应该是提到过的， 我们下面会有具体的例子再给大家来进行讲解。除了做差比较法，我们还可以用数轴来进行表示，我们知道实数与数轴上的点呢，是一一对应的，比如我们随便画一个数轴，假设这个点呢是 a， 这个点呢是 b， 如果这个点是三，对吧，那这个 a 呢，就等于三，所以呢，它实数与数字上点呢是一对应的，这个如果是四呢，它就是四。任意的实数 ab 都可以在数字上找到与之相对应的点 a 和点 b。 比如我们如果要表示 a 小 于 b， 哎，那就是这样的， a 在 这里， b 呢在这里，如果我们左边这个点呢就是 b， 哎，这个呢就变成了 a， 这是 b， 这是 a， a 是 大于 b 的， 如果他们两个是相等的，小 a 等于小 b 呢？那么按这个点呢，它既是 a， 它也是 b， 它是等于的，这是在数轴上的表示。我们通过具体的例子来看一看例题二点一比大小。先来看第一个小题，比较六分之五与四分之三的大小， 那么看到两个分式，我们要做的就是通分一下，找到四和六他们两个的最小公倍数，那就是十二，对吧？ 我们化简一下，六分之五，我们就可以写到十二分之十，上下呢，同时乘以二， 四分之三呢，我们就可以写成十二分之九，哎，上下呢，乘以三通分一下，通分之后呢，我们就会发现，十二分之十，他肯定是大于十二分之九的，对吧？这个呢，就直接出来答案的，我们就可以写为六分之五大于四分之三， 那么如果用做差比较法，就用十二分之十减去十二分之九，他呢就等于十二分之一，他是大于零的。同样呢，按照我们前面的做差比较法，十二分之一大于零，他也是十二分之十大于十二分之九，这个是比较简单的。再来看第二题， 比较零点六五与六分之五的大小。做这个题呢，有两种方法，第一种就是把它变成分数， 第二种把它变成小数。如果把六分之五变成小数的话呢，六分之五就是约等于零点八三三，他肯定是大于零点六五的，所以呢，零点六五它是小于 六分之五的，那我们还可以把零点六五变成分数，那就是一百分之六十五，我们就可以写成二十分之十三，我们用二十分之十三和六分之五， 他们两个投分，那二十和六的最小公倍数呢，就是六十二十分之十三呢，我们就可以写成六十分之三十九，六分之五，我们就可以写成六十分之五十，所以呢，他也是小于他的， 这是我们的第二题，第三题，比较它与它的大小，那我们要比较这两个式的大小呢，用做差比较法，在做差比较法之前呢，我们先把这个哎给它整理一下，左边这个我们就可以写成二 x 平方减六， x 加 x 减三。那我们整理一下呢，就是 二 x 平方减五， x 减三，减五， x 减三，这样我们再用它减去右边这个，减去 x 平方减五， x 减四，那我们把这个整理一下，二 x 平方减 x 平方，那就变成 x 平方。负五 x 减负五 x， 那 就是负五 x 加五 x， 那 刚好呢，他们两个就抵消掉了负三减负四，那就是加四，刚好就是加一 加一，他呢肯定是要大于零的，因为 x 平方呢，他要么是正，要么是零，所以加一呢，他肯定要大于零的。 这里呢，我们就可以得到左边这个式呢，他是大于右边这个的，这是我们的第三题。接着再来看第四题， x 平方减一与二， x 平方加三，这个同样我们有作差比较法， x 平方减一减去二， x 平方加三。 哎，这样我们再整理一下，就是负 x 平方减四，同理呢，我们看到 x 平方，他肯定是大于等于零的，那前面有个符号，他肯定是小于等于零，小于等于零，再减去负值，他肯定是小于零的，也就是说左边这个他是要小于右边这个的。 再来看第五题，若 a 大 于 b， b 交二， a 减一与二 b 减一的大小，同样我们用作差比较法，二 a 减一 减去二 b 减一，我们这里看到负一减去负一，那就是刚好是负一加一，那就是零， 那我们这个式子呢，就变成二 a 减二 b， 这样我们再提取一个二，就可以写成二倍的 a 减 b， 那 么知道 a 大 于 b 的 时候呢， a 减 b 呢，肯定是大于零的，所以呢，这个也是大于零的，也就是说这个是大于右边那个的。 那么这题在我们接下来学习不等式性质的时候，也是可以用到的，大家做起来会更加的简单一点。好，这是我们的例题，二点一，大家在听完之后呢，可以自己再做一做。接着我们来看第二个就是不等式的性质了， 这个点大家一定要打个星，我们这几个性质一，一定要非常的熟悉。先来看第一个性质一，若 a 大 于 b， 那 么 a 加 c， 它是大于 b 加 c 的， 也就是说我们不等式的两边同时加上或者是减去同一个数，或者是代入式，这个不等号的方向呢，它是不变的，这个我们也成为不等式的加法法则。另外呢，不等式的任何一项，可以从不等式的一边移到另一边，但是呢，同时要改变符号， 我们乘这个为移项法则。比如 a 加 b 大 于 c， 我 们可以把 b 移到右边，移向之后呢，就变成 c 减 b， 也就是说我们不等这的两边同时减 b， 大家看到 b 减 b 呢，就等于零，哎，左边这个零就可以不写，那 c 减 b 呢，就是 c 减 b， 这个大家也是比较好理解的， 这是我们第一个性质。接着再来看第二个性质二，如果 a 大 于，并且呢 c 大 于零， c 大 于零呢，也就说它是一个正数， 那么看到不等式的两边呢，它同时乘以一个正数，那么就可以得到 a c 呢，它是大于 b、 c 的。 我们来看下面文字的描述，也就是说不等式两边同时乘以或者是除以同一个正数，不等式的方向呢，是不变的。相反， 大家看第二个，如果 a 大 于 b， c 小 于零，那小于零，它就是一个负数，对吧？那么 a c 呢，它是小于 bc 的， 它的不等号的方向呢，是改变的。那我们来看文字的描述，也就是不等式的两边同时乘以或者除以同一个负数， 不等号的方向呢，是改变的，这个呢，我们称为不等式的乘法法则。再来看第三个，如果 a 大 于 b， b 大 于 c， 那 么 a 大 于 c 就是 传递性，因为我们看到 a 是 大于 b 的， b 是 大于 c， 那 a 既然大于 b 了，它肯定是要大于 c 的， 这个也是比较好理解的。 再来看性质四，如果 a 大 于 b， c 大 于 d， 那 么 a 加 c 大 于 b 加 d， 这个呢，我们也是可以好理解的。 a 呢，它是大于 b 的， c 是 大于 d， a 加左边这个大的，它肯定是大于 b 加右边这个小的。 性质四呢，我们也称为同向不等式的可加性，这是不等式的几个性质，大家一定要掌握的特别好。我们在最后的习题讲解的时候，会有相对的题目，我们在考试的时候，选择题特别喜欢考这个不等式的性质，他一般都会给你 a、 b、 c、 d 这些关系，让你来看 哪一个是符合不等式的性质的。我们在最后一期讲解的时候，会给大家举很多的例子，那么这里呢，先看两个简单一点的例子。先来看第一个例题，二点二，如果代数是六 x 加七，与代数是三 x 减五的差不大于二不大于二，那就是小于等于二，对吧？求 x 的 取值范围， 那么他们两个的差，我们就写一下，六 x 加七减三 x 减五，它是不大于二，那就是小于等于二。我们整理一下，六 x 减三 x， 那 就是三 x 七减负五，那就是七加五就是十二，三 x 加十二，它是小于等于 二的。那么用到前面不等式性质一里面的一项法则，把这个十二移到右边，也就是说它会变成三 x 小于等于二减十二，二减十二呢，就变成了负十，就是小于等于负十，接着我们再把这个三去掉，那不等式的两边呢，同时除以三，也就变成了 x 小 于等于负三分之十。 那我们这里要问一下我们刚刚提到的不等式的性质，二里面的乘法法则，两边同时除以一个正数，它不等号的方向要不要改变呢？ 哎，这里是不需要的，对吧？那我们就得到了这一题的答案， x 取出范围呢，就小于等于负三分之十，那我们表示出来就是 x 呢，它是小于等于负三分之十的，这就是我们这一题的答案。接着我们再来看例题二点三解下列不等式。先来看第一个， 三分之一加二， x 大 于等于 x 减一。那我们第一步要做就是把这个三给它去掉，两边同时乘以三，又变成了一加二， x 大 于等于三倍的 x 减一，这个我们就可以变成三 x 减三，我们就直接写一下 三 x 减三。接着我们再进行一项，把 x 都放到左边，长竖项都放到右边，整理一下就是二 x 减三， x 大 于等于负三减一，这个点应该是比较好理解的。 把三 x 移到左边，把一移到右边，那么再整理一下，二 x 减三， x 就是 负 x 大于等于负三减一，就是负四，因为我们要求的是 x， 那 就把这个负 x 变成 x， 那 我们要做的就是两边同时除以负一，负 x 除以负一呢就是 x， 负四呢，就是变成了四，接着就是这个符号是大于等于还是小于等于呢？ 哎，这里呢一定要注意，它是要小于等于四，因为我们前面不等式的性质二乘法法则里面提到他们两个同时除以一个负数的话呢，不等号的方向是要改变的， 所以大家千万不要写量大于等于他的正确答案呢，应该是小于等于四。接着再来看第二个二减四， x 小 于三倍的三 x 减一， 我们整理一下就是二减四， x 小 于九， x 减三，同样我们进行移项，九 x 呢移到左边， 二呢移到右边，我们就可以写成负四 x 减九， x 小 于负三减二，整理一下就是负十三 x 小 于负五。通例，我们要把左边这个负十三 x 变成 x， 那 就是两边同时除以负十三， 左边就变成了 x， 右边呢就变成了十三分之五，那这个符号是大于号还是小于号呢？同样我们要进行编号，对吧？所以呢，它是大于。这是我们不等式性质的两个例题，在我们后面 c 题讲解的时候，会有更多不等式性质的相关题目， 我们可以等到后面讲解的时候再进行学习。接着我们来看第二个区间的内容，这个知识点呢还是比较简单的，很多内容是我们已经学到过的。我们来看一看由数轴上两点间的所有时数所组成的集合，我们称为区间，这两个点我们称为区间端点。 比如假设 a， b 属于实数 r， 并且呢 a 小 于 b， 先来看第一种情况，满足不等式 x 大 于 a 小 于 b 的 实数 x， 它的集合呢，我们可以表示为 a 到 b， 注意这里都是开区间，我们称它为开区间。我们如果把它在数值上表示出来，大家看到在数值上面 a 到 b 呢这样的一个范围， 这个呢是空心的哎，这个开区间都是空心来表示，这也是我们在做集合的时候，在表示的时候，开区间都是用空心来表示。 第二种情况，满足不等式 x 大 于等于 a 小 于等于 b 的 时数 x， 它的集合呢就可以表示为 a 到 b， 这里一定要注意，它有等于号，等于号的话呢，就是 b 区间，如果在数轴上面表示出来呢？如果是 b 区间，就是用实心来表示。接着再来看第三种情况，满足不等式 x 大 于等于 a 小 于 b 的 实数 x， 它的解集呢，我们就可以表示为，大家看到左边这个是小于等于，所以呢它就是 b 区间，右边这个呢是小于，它就是开区间，我们就称它为左 b 右开区间， 在数值上我们就可以表示为左边这个是 b 区间，右边这个呢就是开区间。第四种情况，满足不等式 x 大 于小于等于 b 的 时数 x， 它的几何呢，我们就可以表示为 a 到 b， 这里我们就可以看到左边这个是小于，所以呢它是开区间，右边这个是小于等于，它是 b 区间，这种呢我们就称为左开右 b 区间， 在数值上表示呢就可以左边是开区间，右边呢是 b 区间， b 区间呢，我们用实线来表示，那我们上面的第三种和第四种这两种，那我们称为半开半闭区间。实数 a 与 b 呢，我们称为相应区间的端点， 这个内容呢，大家相对来说还是比较好理解的。实数级 r 如果用区间来表示，怎么来表示呢？就是负无穷到正无穷，这个横着写的八，这个大家应该是比较熟悉的，对吧？他是读作无穷的，再加一个符号呢，就是负无穷，加一个正号呢，就是正无穷， 这个实数 g r， 我 们就可以表示为负无穷到正无穷。接着我们再往下面看，同样呢， g 和当 x 大 于等于 a 的 时候，我们就可以看下面第一个图，大于等于 a， 这个是大于等于是实心的，这是它的一个取之范围。和 x 小 于等于 b， 也就是我们的第二个图小于等于 b， 这个也是实心的，以及 x 大 于 a 单独的大于号呢，它是空心的，对吧？ x 大 于 a 和 x 小 于 b， 也就是说，哎，他也是空心的，那他们几个呢？也可以用区间来进行表示。比如第一个 x 大 于等于 a， 我 们就可以写成 a 到正无穷，左边这个是 b 区间，右边的是开区间，这里面一定要注意一下，无穷呢，无论是正无穷还是负无穷，他都是开区间，不能去到 b 区间，因为他取不到这里啊，只能是开区间，这个一定要注意。第二个 x 小 于 b， 那 我们就可以写成负无穷到 b， 这个是 b 区间。第三个 x 大 于 a， 那 就是 a 到正无穷。第四个 x 小 于 b， 也是负无穷到 b。 大家看到如果是带小于等于或者是大于等于的带等于号的，它都是要有 b 区间的，只有小于号或者是只有大于号，它只能是开区间， 这个是区间的表示。接着我们通过具体的题目来看一看。先来看例题，二点四，已知 g 和 a， 它是负四到二， g 和 b 呢，是负一到三， 求 a 交 b， a 并 b， 那 我们既然这里学的是区间，对吧？大家就可以通过用数轴来表示，我们把数轴画出来。先来看 g 和 a 的， g 和 a 是 负四到二，它都是空心的，因为都是小括号， 这是它的一个取值范围。再来看 g 和 b， g 和 b 是 负一到三，注意三，这里呢是 b 区间，它是实心的。 那我们来看一下这题让求的是 a 交 b 和 a 并 b， 那 么这里就涉及到我们前面学习到集合的一些题目了，对吧？他们一般是结合在一起考察的。先来看 a 交 b， a 交 b 交集，对吧？就是他们两个都有的，所以呢，大家看到就这里，大家可以看到他们两个呢都是空心的，所以呢，他的取值范围 a 交 b 就是 负一到二。 接着再来看 a 并 b， 那 我们要求 a 并 b， 也就是找他最小的，左边这个最小的就是负四，再找右边这个最大的，这个就是三，这个三这里呢是实心的，所以呢，我们表示出来呢，他就是负四 到三，三是 b 区间，这是我们这一题的答案。接着我们再来看例题二点五，大家可以暂停自己先做一下，做完之后呢，可以把答案评论到我们弹幕里面。 是全积为 r， 积和 a， 它是负二到正无穷，积和 b 是 负无穷到三，求 a 并 b， a 的 补集， a 交 b 的 补集。同样我们也可以把它们在数轴上表示出来。先来看积和 a， 积和 a 是 负二到正无穷。负二这里呢，它是实心的，因为它是 b 区间。负二到正无穷， 积和 b 呢，它是负无穷到三。三这里呢，它是空心的，因为它是开区间。那么来看一下第一个求 a 并 b， 我们要求它的并集，也就是说它是包含这个范围，也包含这个范围，那加在一起呢，就刚好是等于实数记 r 的。 如果让你求的是 a 交 b， 我 们也同样写一下吧， a 交 b， 它就是这个范围内，哎，也就是 b 区间负二到三三，这里呢是空心的。接着我们再来看 a 的 补集 c 位， 那我们知道全极呢为实数 g、 r、 g 和 a， 它是负二到正无穷，如果我们要求它的补极，那就是负二，这里它是空心的，它是要小于负二，那我们表示出来呢，就是负穷到负二， 这是我们 a 的 补记。接着再来看，让求的是 a 交 b 的 补记，那我们这里呢，还要求一下 b 的 补记，我们可以看到 g 和 b 的是负无穷到三，那也就是这里这个范围内，我们要把它补充完成。那 g 和 b 的 补记呢，就是三到正无穷，它是一个实心的， 我们求出来 b 的 补集之后呢，我们就可以来求 a 交 b 的 补集了。为了方便大家理解，我们在上面又画了一个数轴，我们先把 g 和 a 表示出来， g 和 a 呢是负二到正无穷，负二这里呢是 实心的到正无穷， b 的 补集是三到正无穷，三这里也是实心的到正无穷，那我们要求它的交集是不是只有这里？也就是说 a 交 b 的 补记，他就是从三这里到正无穷，也是三到正无穷。这是我们这一题的答案，这题大家做对了吗？如果做对的话呢，可以在弹幕里面评论个六六六。接着我们再来看例题，二点六 是集合， a 是 负二到正无穷，集合 b 是 负无穷到四，求 a 交 b 和 a 并 b， 同样，我们可以画一个数轴，先来看集合， a 集合， a 是 负二到正无穷， 负二到正无穷，负二呢是空心的。集合 b 呢是负无穷到四，四这里呢是实心的，那它的范围呢？就是这样的，我们先来看 a 交 b， a 交 b 交集的话，就是这里这个范围内，那它的答案呢，就是负二，这里呢是空心的，四这里呢是实心的。接着再来看 a 并 b， a 并 b， 这个就比较简单了，它就是等于实数 g r， 或者是呢，我们可以表示为它是负无穷到正无穷，两个都是开区间。接着我们再来看立体二点，七是全集，为 r， g 和 a 是 负无穷到七， g 和 b 是 七到正无穷。让我们来求下面三个内容。先来看第一个 a 的 补集和 b 的 补集。我们先来看 a 的 补集， g 和 a 呢，它是负无穷到七，那它少了什么呢？少了七到 正无穷这里，那这个七呢，它是要有等于号的，所以呢，它是一个 b 区间，那么表示出来就是七到正无穷，它是一个实心的。 接着再来看 b 的 不及 c u b， 我 们看到既和 b 呢，它是七到正无穷，那它少了什么呢？哎，少了负无穷到七，同样呢，七，这里呢也是一个 b 区间，所以我们就可以写出来它是负无穷到七， 这是我们第一小问。接着再来看第二小问，让求 a 的 补集交上 b 的 补集。那么如果用数轴表示出来，先来看 a 的 补集， a 的 补集呢是七到正无穷，再来看 b 的 补集， b 的 补集呢是负无穷到七， 那么就会发现他们两个交集呢，只有这一个点，也就是七，所以呢， c u a 交 c u b， 他 呢就等于 七，哎，这是第二问。接着再来看第三问， a 的 补集并上 b 的 补集，那这个呢，就比较简单了，它就等于 r a c u a 并上 c u b， 它就等于实数加，或者是呢，你可以表示为负无穷到正无穷， 这是我们第二个区间的内容，区间的内容它比较简单，它往往会结合着我们前面学习的集合一起来进行出题考察，所以这个比较基础的知识点大家一定要会 好。我们这个视频呢就先到这里，如果这个视频对你有帮助的话呢，大家可以多多点赞转发分享一下，希望这个视频能给你带来一定帮助，我们下个视频见，拜拜。

同学们好，哎，我是百林老师，今天呢录这个视频呢，主要是想感谢一下大家一直以来对我的关注， 你们的每一次点赞和转发都是我做这件事情的最大的动力，真心的谢谢你们！呃，我虽然呢退休多年，但是呢，我一直关注高考的动向 啊，给我的最大的感受呢，就是高考啊，从考套路到考思维的整个过程，但是他基础分呢，从未改变。临近高考啊，有很多同学问我今年会考什么， 哎，说句心里话，这个确实很难回答啊，但是呢，我从这几年的高考试题啊，这个试卷的分析来看，那么他的最有可能出题的几个方向， 呃，仅供大家参考吧。一呢，我认为啊，函数和导数啊，应是这个压轴的主力军， 呃，他可能会和这个狩猎啊，还有可能和这个三角相结合，考察这个综合能力。二呢，这个解析几何啊，应该是重思维轻计算， 呃，就是说他不会让你去硬算，看中的是呢，几何问题啊啊，代数化的整个思维过程，在我认为概率统计啊，他的地位啊，有可能要上升。 呃，特别是呢，这个真实情景的剑门，以及呢，他有可能跟竖列啊，还有呢，和函数这个相结合，考察呢这个地推关系。 呃，第四呢，就是有可能会出现新定义问题。呃，最有可能呢，可能是出现这个和数列有关的新定义问题。呃，他主要是考察你啊这个临场发挥的能力，考察你啊现场学习和逻辑推理的能力。 呃，我认为呢是这个高考的这个，呃，这个出题的这个方向， 我就从这四个方面呢给出大致的这个总结啊，不一定对啊，仅供参考。同学们啊，这个会做的题啊，并 不等于你呢，一定就拿分。每年高考啊，都会出现因为过程写的不完整而丢分， 呃，这样的事情啊，每年都在发生，那么下面呢，我就想啊，从容易发生错误，容易丢分的这个过程啊，给同学们呃，总结这么十二条，呃，当然可能还有更多啊， 这十二条呢，我制成图片啊，这个给同学们发下去啊，看一看，希望你在考前呢啊，再过一遍这十二条啊，像第一条集合， 那么求子及别忘了空集，这有些同学呢，往往会有遗漏。呃，第二条呢是方程，如果出现二次方程的话呢，这个二次项的系数啊，要讨论得零还是不得零的问题。呃，第三条啊，定义域，呃，这个 涉及到函数的问题，应该首先考虑的是定义域对吧？那么一定要注意，分母不能等于零，真数要大于零，根号内呢，要大于等于零。那第四条就是不等式，这个不等式呢，两边同时乘上一个负数，一定不要忘了编号。 呃，第五条呢，就是竖列，你比如说等比竖列呢，求和的时候，可能你会忘了公比得一还是不得一，要注意公比得一的情况。呃，第六条，竖列求竖列通项的时候呢，可能没有验证 n 等一时的首项是否成立。 呃，第七条，你比如说解答和三角有关的问题，不要忘了 k 啊，属于整数级这个标注。 第八条呢，就是解析几何，呃，直线 y 点 k 加 b 啊，如果你设这个直线的时候，注意斜率是存在的，还要考虑斜率不存在的情况。 那么第九条，向量啊，有的同学可能把平行和垂直啊这两个公式给记混了啊，平行呢是交叉相乘相等，垂直呢是数量积等于零。 呃，第十条，就是这个大题，解答大题的时候不太规范啊，跳步太严重，省略关键步骤。然后呢，阅卷老师还看不懂，所以说你这个步骤分可能就没有了。 第十一条，这个填空题要注意啊，最后的结果呢，要进行化简，要化成最简形式。 呃，第十二条啊，就是有些同学他的计算的习惯非常不好，比如说开方望正负 去括号呢，不变号等等这些问题吧。是吧，我就总结出了这十二条，可能还有更多，同学们可以上网上搜一搜，还有哪些易错点。呃，希望你在考前呢，应该看一下。 最后想对您说，你刷过的题，熬过的夜，都会在答卷上变成分数，如果能正常发挥，我认为就是超常发挥了。 呃，但愿你们二零二六年高考取得好成绩，能够超常发挥，我是柏林老师，在等你们的好消息啊，加油！

一口气讲完一元二次不等式六大核心模型，今天带你把解析过程直接变成标准化流水线。 很多同学觉得不等式难，是因为你没看透它和二次函数的底层逻辑，只要掌握了求根、画图、穿针引线这三步走策略，不管是分式绝对值还是复杂的韩餐不等式，统统都能一网打尽，建议高一高三党直接收藏，这才是建立数学逻辑的硬核干货。 首先我们来去看一下解不含餐的一元二次不等式。对于不等式的问题来说，我们首先呢都是要去求解方程的根，然后再去确定图像，那所以一元二次不等式也是这样子，但是它有自己特殊的地方，对不对？所以我们来看一下， 首先呢他是要去求一个方程的根，然后是图像，那对于求根来说呢，我们就可以分成三种方式，第一种，十字相乘，当你乘不出来呢，你就可以配完全平方 啊。最后我们可以用求根公式来去求解 好，那图像呢，它其实就是开口向上和开口向下，你看大于零的时候， x 在 什么范围内就可以了。那我们也可以总结一个小的口诀，对于开口向上的 e x 函数，那么它的不等式就是大于取两边， 小于取中间。好，那我们结合立一跟立二来去看一下。 例一当中集合 m， 它是这么一堆数，集合 n， 它是让我们先去求解一个一元二次不等式，那么我们首先来去解决它方程的根好， x 方减 x 减二等于零，所以我们优先去想十字相乘呗， x x 负二和一交叉相乘之后是负 x， 那 么这么十字分解是没有什么问题的，所以 x 减二 乘以 x 加一等于零，我们解得的根是负一和二。哎，它是什么小于等于号啊？就取中间，就是把 x 放在中间就可以了，如果是大于号的话，那就是大于大的， 小于小的就可以了。好，那所以我们再看一下最后的问题，它是 m 去交上 n 的 补集，那 n 它的范围是负一到二，所以它的补集呢？就是 x 小 于负一或 x 大 于二，我们再来看与 m 的 交集，大于二，那 m 当中没有大于二的数，那后面没有小于负一，好，那只有一个负二是比负一要小的，那所以这道题呢，就选择 b 选项。好，然后我们再来去看一下配完全平方跟求根公式。对于配完全平方来说， 就是我们要记住 a 加 b 的 平方和 a 减 b 的 平方，它的形式，比如说 a 减 b， 它的平方就是 a 方， 减去，我们写成是二， b 乘以一个 a， 然后再加上一个 b 方啊， a 加上 b 的 平方，它是 a 方， 加上二， b 乘以 a， 再加上一个 b 方啊，我为什么要写成这样子呢？因为对于你前面是 a 方来说，你想要去配完全平方，我们就要去看的是什么呢？是 a 前面的这个系数二 b 和后面 b 方，它的关系就是除以二再平方 好，所以这就是我们配完全平方的一个基础。然后我们看这个 x 方减 x 再减二， x 方减 x， 好， 它前面的系数是几啊？是一，这个一就是二 b， 所以 我们后面要给他加上一个什么一除以二，然后整体再平方，所以我们给它写成是 x 减二分之一的平方， 那么就相当于是我们加了四分之一，加了四分之一，我们要保证原式不变的情况下，还需要再减一个四分之一，减四分之一，再减二等于零，我们就可以得到 x 减二分之一的平方，它是一个四分之九，所以 x 减二分之一等于正负二分之三， 然后我们把二分之一移过去，那么我们会得到的是负一和二，跟刚才是一样的啊。这个问题也比较简单，那就是结合什么完，哎呦，那就是结合完全平方式它的一个结构特征。那最后的求根公式大家是一定要去记的啊， 求根公式对于一个一元二次方程， ax 方加 b， x 加 c 等于零，判别式是 b 方减四 a c， 那 它的根呢？ 是负 b 加减根号的，它再除以一个二 a， 所以 说我们直接套用公式就可以了。那在这里面也多提一下，遇到了一元二次方程的问题，我们也会应用到 根与系数的关系，也就是伟大定律， x 一 加上 x 二等于负的 a 分 之 b， x 一 乘以 x 二等于 a 分 之 c， 那 么我们在后面呢，也会有所应用 好。然后呢，对于这个问题来说， x 平方减 x 减二等于零，先算判别式吧，判别式等于一，减去四乘以一，再乘以负二，它是九。好，所以再套求根公式， x 一 二，然后就是负 b 就是 一，再加减根号的，它就是根号九，再除以一个二， a 就是 二，所以我们算出来的还是负一和二。 那我们算出来根之后，根据开口向上，大于取两边，小于取中间，那就把一元二次不等式给求解出来了。 好，然后我们再来看李二他 m 的 范围，给了是零到 a， n 的 范围，也让我们去解一个一元二四不等式。那这时候我们就优先去考虑什么呢？十字相乘， x 平方减六， x 加上五等于零， x 平方写成 x 和 x 中间呢？一次项的系数是负的，所以说这个五我们给它拆成是负五乘以负一交叉相乘是负六 x， 那 所以我们十字相乘是没问题的。 x 减五乘 以 x 减一等于零，那它是一个什么号？小于号小于取中间小于 一，小于 x 小 于五。哎，那这么解集就求出来了。好，然后我们再看这个集合的关系， n b m 等于 m， 哎，这个一定要去注意一下啊，它会得到的是一种集合之间的包含关系， n 并 m 等于 m， 说明 m 是 更大的那个范围，所以零到 a 这个范围呢就会更大一点，那所以你想要去包含几和 n， 那 是不是 a 得比五大呀？那 a 比五大是肯定的，然后呢，五能不能取呢？就要单独的去判断一下。当 a 等于五的时候， 那集合 m 呢？它是零小于 x 小 于五，哎，它确实是比集合 n 要大的，所以这个时候 a 是 可以取到五的，所以我们选择 a 选项，那我们也可以去尝试一下求根公式和配完全平方，那这个就交给你们了。 然后我们再来看一下题型二当中说到的解分式不等式和高次不等式。先来看分式不等式，分式不等式的话，我们要进行一步转化，就是把分式转化成整式这么一个形式，那所以说对于一个 分式，我们把它这样去写， f x 除以 g x， 它是大于零的话， 那我们就想想啊，消除的话，它比零要大，说明 f x 跟 g x 这两个数是同号的， 那所以它跟 f x 乘以 g x 大 于零，是不是就是相当于一个等价的关系？因为 f x 跟 g x 恰恰相乘大于零也说明是同号，所以说我们可以进行这样的一步 等价关系啊，这个是等价的，但是我们也有的问题是遇，遇到了什么呢？就是把大于改成大于等于 f x 除以 g x 大 于等于零的话，我们就等价的转化成 f x 乘以 g x 大 于等于零，行不行呢？ 不行吧，因为在分啊，分式当中啊，它还有个分母不等于零，所以说这里面还需要去加上一个 g x， 它是不等于零的啊。 那所以我们要记住解分式不等式，它的特征一定要跟谁比，一定要跟零比啊。那么看例四当中呢，它其实是有跟一比的，那这时候应该怎么办？那我们先从例三来开始说， 现在 x 减二乘以五减 x 是 大于等于零，所以我们就需要把它等价转化成一个整式的情况，也就是 x 减二乘以五减 x 是 大于等于零的，同时需要去满足分母不为零，也就是五减 x 是 不等于零的。好， 那么看这个式子呢，你解出来的一个根是二，一个根是五，那是不是说大于就取两边呢？他肯定不是的，因为我们需要把它转化成一个开口向上 这图像才可以。所以说你一定一定要去判断啊。判断什么？判断这个图像是否是开口向上的，如果你不判断的话，你就要把这个图像给画出来，这个图像 x 乘以负 x， 它是负 x 平方，所以这个二次函数它是开口向下的，开口向下的，我们画一个图像的话， 二和五开口向下，所以根呢，应该在两根之间，也就是二小于等于 x 小 于五啊。注意，因为五减 x 是 不等于零的，所以它其实是小于的情况， 那如果我们还想要用刚才的结论，一定要把它等价去转化成啊。开口向上的情况，也就是说我们可以把它去转化成 x 减二乘以 x 减五，是小于等于零的， 那这个时候呢，你算出来两个根是二和五，哎呢，那么解集就会在这两根之间，也就是二小于等于 x 小 于等于五，再结合五减 x 不 等于零，我们得到最后的解集是二小于等于 x 小 于等于五，但是我们要写成是一个集合的形式吧，左臂右开啊， 那例四当中，它是比一，它是与一来去比的，这时候怎么办呢？我们要对它进行一个计算的处理，叫做一项通分， 也就是我们要把它转化成跟零比，所以二除以 x 减一， 然后小与一，我们就写成减一，然后就等于 x 减一分之二减去 x 减一，就等于 三减 x 除以 x 减一，它是小于零的，我们就可以把它等价转化成一个整式的形式，也就是三减 x 乘以 x 减一，是小于零的啊，这里面分母肯定不为零啊，因为这是小于号啊，不是小于等于，所以 这是一个开口向下的，转化成开口向上的， x 减三乘以 x 减一，是大于零的，一个根是一，一个根是三，那所以大于取两边小于小根，大于大根， 那现在说 x 大 于等于 k， 是 这个不等式成立的一个充分不必要条件，说明什么意思呢？说明前面的 x 大 于等于 k， 它一定是一个小范围， 充分不必要，小范围可以推大范围，但反过来大范围推不了小范围，它是大于等于 k 的， 大于等于 k 的， 那所以说明 k 一定是比三要大的，能不能取三呢？你要单独的去判判定一下，如果 k 等于三， 那么 x 就是 大于等于三，那在后面这个不等式的解析当中，它是大于三，是不包含三的，所以这时候 k 它是不能取到三的，所以应该选择 b 选项啊，三到正无穷。好，我们再来看例五， 这是一个什么高次不等式？那高次不等式的计算呢？我们一定要去学会一个公式，叫做猜根大除法，先把方程的根给求解出来，然后再做 穿针引线的计算。那所以我们现在去解这样的一个方程， x 的 三次方加上二， x 减三等于零，我们能不能猜出来它的一个根呢？ 那应该是比较直接的吧，当 x 等于一的时候，一加上二减三，就是等于零的，所以有一个根是一，那说明在这样的一个 三次方程当中，就前面的这个三次函数吧，他就一定是有一个因式叫做 x 减一，所以说他其实是可以写成是 x 减一乘以一个什么东西是等于零的，那这个东西怎么去算呢？我们可以待定系数法，但是太复杂了呀， 那我们可以选择大除法，也就是让 x 的 三次方加上二， x 减三，然后除以一个 x 减一， 怎么去除呢？我们从高次到低次依次去消除，最后能剩下一个零就可以。现在你看是 x 的 三次方，他除一个 x 减一，我们是不是可以商一个 x 的 平方，就可以把 x 的 三次方给消掉，也就是 x 的 三次方减去 x 的 平方，然后我们做个差，就剩下了 x 的 平方加上二， x 再减三， 现在的最高次 x 方变成了二次的，那我们是不是只要去生一个 x 就 可以了？那就是 x 方减 x， 那 剩下啥？三 x 减三。好，我们就生一个三就可以了，那就是三 x 减三，然后是零。 那这边应该是啊，应该是加三，所以我们就把这个括号里面去写出来了，叫做 x 方 加上 x， 再加上一个三等于零。而这个括号当中的一元二次方程呢？他没有根，因为他的判别是得它是等于一减去四乘以三等于负十，一是小于零的，判别是小于零方程无根。所以说 他解这个三次不等式，实际上就相当于是在解 x 减一是大于零，那所以解集就是 x 大 于一，就是一到正无穷呗。 好，那如果说我们做了这样的一步计算，把它拆成了这样的什么形式呢？多个音式相乘的，那这个括号里面，如果这个二次可以音式分解，我们是不是可以把它去变成几个音式相乘的形式？比如说啊，我们举个例子啊， 把它变成了 x 减一，乘以 x 减二，再乘以 x 减三，它是大于零的，那现在我们就要去解方程的根，这个根就是一二三根，一二三有了之后，我们要进行一个穿根，我们从哪穿？从右侧去穿啊？ 跟，一二三在三的右侧的时候，我们看一下这每一个音是 x 减一，它是正的， x 减二是正的， x 减三是正的，所以我们就直接从右上开始穿， 穿跟，穿跟。好，那这样的话，我们就把这种三次的函数图像大致给画出来了，所以他要是大于零的话，是不是 x 在 一到二和三到正无穷就可以？所以说这个穿跟啊，我们要保证的是 从最右侧来去穿，从最右侧，我们看一下整个这个式子，它是正的还是负的好？第三，我们来去看一下解绝对值不等式，那解绝对值不等式呢？就两个思路，一个思路，它就是 一个绝对值的时候，大于取两边，小于取中间。第二个思路就是遇到了两个绝对值，我们再去计算的时候，一般来说要进行一个分类讨论去绝对值。好，比如说例六，三 x 减二的绝对值小于等于七，我们的第一步还是要解方程的根，也就是 三 x 减二等于七，那么 x 就 等于三，三 x 减二 等于负七，那么 x 呢？就等于负的三分之五。好，它是小于等于对不对？小于等于小于取中间，也就是负三分之五小于等于 x 小 于等于三，那我们就会解得的是 b 选项。我们再来看例七，他后面呢变成了 x 加三，是不是还是同样的道理啊？也是同样的道理，所以我们第一步先去解方程的根，也就是二 x 加一的绝对值等于 x 加三，那么 二 x 加一等于 x 加三的话，我们算出来 x 是 等于二的，然后二 x 加一，等于负的 x 加三，所以我们算出来，三 x 等于负四， x 等于负的三分之四， 那此时它是一个什么？大于号，大于取两边啊，比小根要小，比大根的要大，所以它的解集 x 呢，就是 x 小 于负的三分之四，或 x 大 于二，对吧？ 它跟上面是同理的，先方程的根，然后大于取两边，小于取中间，那利利八它就不一样了呀，它现在变成了两个绝对值，比如说它大于一个四吧， 我没有办法大于去两边，小于去中间，所以说这个时候就是一个非常常规的一个想法，叫做分类讨论。去绝对值，我们把绝对值里面的正负给他去搞清楚，那 x 加一，他什么时候去大于零，小于零呢？就是 临界点，就是 x 等于负一，三减 x 呢，就是 x 等于三，所以我们可以在竖轴上把这两个点给标注出来， 负一和三。好，那当 x 比负一要小的时候，你会发现第一个括号他是取负的，第二个括号他是取正的，那我们就可以去绝对值了呀。第一种情况，当 x 是 比负一要小的时候，也就是有 负的 x 加一，再加上三减 x， 那 也就得到的是二减去二 x。 那第二种情况是，负一到二之间，负一小于等于 x 啊，负一到三之间小于三，此时第一个绝对值就变成了正的。第二个绝对值呢，它还是正的，那所以就变成了 x 加一， 加上三减 x 就 等于一个四，好。第三种情况呢， 是 x 比三要大的时候，第一个绝对值是正的，第二个绝对值此时变成了负的啊，所以就变成了 x 加一，加上 x 减三，那么就是二 x 减二这么一个情况啊，所以说它变成了三个 啊，两个一次函数，一个常数，他也有可能去变成了是三个一次函数。如果解不等式，就是解的多个一次不等式，那现在求最小值呢？我们就去分析一下就行了。好，现在 对于二减二 x 来说，他是一个单调递减的，那所以他的最小值呢，就会在负一处取，那当负一带进去的时候，那就是二加上负二就是负四嘛，所以说这个情况他的一个范围是 负四到正无穷。好，那负四取不到吗？那刚好第二种情况可以取到最小值，是哎，是四啊，二减去负二就是四啊，是四。好，那第三种情况呢，它是一个单调递增的，是在 x 大 于等于三的时候， 那当 x 等于三的时候，就会取到一个最小值，也是四，那所以说它最小值就是四吗？ 啊，如果是解，比如说刚才说解它是大于四的，那就是解二减二， x 大 于四和二， x 减二大于四就可以了，这是绝对值不等式。 接下来我们看例四当中解含餐的一元四不等式，那含餐的一元四不等式有什么区别吗？没有，我们还是先判定它能不能有根。第二个呢，就是要结合图像，这时候呢，我们要去看一下它图像的一个 具体特征，你能画出来不同的图像，你就有不同的分类讨论啊。所以我们先来看这个解 x 的 不等式， a x 方加上二， a 加三， x 再加上六是大于零，这是一个一二四不等式吗？首先第一步要问自己 啊，肯定不一定啊，是不是当 a 等于零的时候，他就不是，哎，那你再去想啊，他开口向上，开口向下，确定吗？ 是不是也不确定？所以你的 a 大 于零和 a 小 于零是不是也要分开？好，那所以 a 等于零比较简单，我们先去判定吧，它就是三， x 加六是大于零的，那所以呢， x 就 大于负二了呗。这是 第一种情况，那 a 大 于零的时候，开口是向上，它是一个二次函数了。好，这个方，这个一元二次方程会有没有根呢？我们先看看它能不能进行一个因式分解， ax 的 平方加上二， a 加三乘以 x， 再加上一个六，它是等于零的。好， 二次项做一分式因式分解 ax 和 x， 然后六也做一个分因式分解，就是三和二，这样的话，二 ax 加上三 x， ok， 没有问题。 ax 加三再乘以一个 x 加二是等于零的，那所以它的一个根是 负的， a 分 之三，一个根呢，就是负二。 好，这两个根因为 a 大 于零，这两个根都会比零要小。那所以我们再去画一个什么开口向上的图像的时候，那这两个根谁是谁呢？ 谁是谁呢？所以我们也要去做一个区分，也就是去比较这两个根的大小关系。所以 a 大 于零的时候，我们继续去分，情况就是负的 a 分 之三，这个根比负二要大， 那所以负 a 分 之三就会在右边，负二就会在左边。所以说这个时候它的解集是什么呢？解集就是大于零，取得两根的两边，那次式就是 x 小 于负二或 x 大 于负的 a 分 之三， 这是第一种情况，那第二种情况是这两个根，哎，有没有可能是相等的？相等的，那这个图像就变成了与 x 轴只有一个交点，你要大于零就是不等于它不就行了吗？那所以说它的解集就是 x 不 等于负二。 那第三种情况自然而然，负 a 分 之三比负二要小，负 a 分 之三比负二要小。那么就是第一种这种情况呢，左右去互换一下，也就是 x 小 于负的 a 分 之三，或 x 大 于负二，好，那具体呢？我们需要把这个负 a 分 之三大于负二，把它变成一个什么范围？ a 的 范围哈，所以负的 a 分 之三， 它大于负二的话，负号负号约掉，就是 a 分 之三小于二，因为此时是 a 大 于零，所以可以直接移到等号的右边来，也就是三除以二小于 a， a 大 于二分之三啊。第一种情况是 a 大 于二分之三，第二种情况 a 等于二分之三。第三种情况是 a 小 于二分之三，也就是零小于 a 小 于二分之三，好，那最后 a 小 于零，好， a 小 于零，开口向下，开口向下，一个跟他是正的，一个跟他是负的。哎，那这时候他们的大小关系一定是确定的，那所以 一个根是负二，一个根是负的， a 分 之三开口向下大于零，那开口向下就取中间呗。那所以说 a 小 于零的时候，它的范围就是负二小于 x 小 于负的 a 分 之三。 把这个逻辑去理清楚。好，接下来我们再看一下题型五当中说由一元二次不等式的解集去求参数，什么意思呢？解集跟这个根有什么关系？解集，其实它的这个临界就是根呢， 那这个我们怎么去判断这个 a 和 b 呢？哎，我们就要用到根与系数的关系，所以我们再看历时，他说这个不等式的解集是啥？是 a 大于取两边，小于取中间。哈，你是大于号，你取的也是两边，所以说明 a 是 大于零的，一定要去判断开口方向。好，然后呢，你想解方程，解方程，那 a x 方加上 b， x 减三等于零，它方程的根， 哎，是不是就是我们不等式最后解及它的端点临界点，所以负一啊，一和负三就是这个方程的两个根， 一和负三。所以我们利用什么呢？呃，伟大定律，一加上负三，就是负的 a 分 之 b， 然后一乘以负三就是 a 分 之 c 就是 a 分 之负三。哎，我说，所以我们就可以算出来， a 是 等于一， a 是 等于一，那 b 的 值也就有了， b 是 等于二的，所以我们就可以把这样的一个不等式呢，先 把 a 和 b 带进去，就得到的是二减 x， 再除以 x 加一，它是大于零的。然后呢，我们就可以把它变成是整式呗，就是 x 加一乘以二减 x 是 大于零的 啊，注意开口方向啊，开口方向我们可以把它转化成开口向上的，也就是 x 加一 乘以 x 减二是小于零的，两边同时乘个负一啊，这是我确保了开口向上一个根是负一，一个根是二，大于取两边，小于取中间，所以负一小于 x 小 于二，我们就得到了它的解集，也就是选择 a 选项。 我们再来看例十一啊，他说关于 x 的 不等式的解集是负二到 a 分 之一，他前面是啥呀？他前面是大于的，解集反而是在中间，这时候说明他的开口一定是向下，开口，向下说明 a 是 小于零的啊，这是第一个范围，那所以我们就可以把 d 选项啊 b 选项给排除掉了。那这时候他为什么是负二到 a 分 之一呢？我们可以再去分析一下， 比如说根与系数的关系，看，负二加上 a 分 之一，就等于负的 a 分 之 b， 也就是负的 a 分 之二， a 减一，哎，也刚好是负二加上 a 分 之一啊，哎，然后再试试负二乘以 a 分 之一，哎，这两根之积就是 a 分 之 c， 也就是负的 a 分 之二，哎，这就刚好是对应上了，所以说我们没有办法去用 啊，这个根与系数的关系，所以这个时候我们还是要去回到谁，回到这个不等式上来去分析，也就是 根，我们能不能自己去求一下，也就是 a 倍的 x 减，呃，加上二，然后再乘以一个 x 减去 a 分 之一，它是大于零的啊，那这个根就是负二和 a 分 之一，那这个问题又涉及到什么？为什么它是负二到 a 分 之一， 那说明 a 分 之一它一定是比负二要大的，所以说这道题它其实是解的这样的一个不等式， a 分 之一大于负二， a 又是小于零的，所以我确定了 a 的 范围，我可以在两边同时乘一个 a 啊， a 就是 一，是小于负二 a 的， 然后我们再把负二除到不等号的左边来，也就是负二分之一大于 a， a 小 于负二分之一，选择 a 选项。所以这道题去考察的是你想要用一个区间的话，这个区间去可以限制一个自变量的范围，因为什么？因为对一个区间 a 到 b 来说， b 是 一定大于 a 的， 那它是这么一个范围。那么我们再来看最后一个题型，是 由一与二四不等式解集，当的整数个数去求三数，那所以说我们还是先要去分析根还有图像啊，它就回到了基本思路的一个应用啊。我们再看例十二说关于 x 的 不等式小于等于零，解集当中恰含有四个整数，求 m 的 取值范围， 那我们怎是不是先把解集给求出来看看啊？那看一下它能不能因式分解呗。那 x x 这是二 m 和二，那就是二和二 m 啊，还是负的，所以一个根是二，一个根是二 m。 好，那我们去画一个图像，它是开口向上的，一个根是二，一个根是二 m， 那 二 m 是 比二大，比二小呢？是不是也要分两种情况？好，那你画一个二 m 在 这， 那现在说二到二 m 这个解集当中，它会有四个整数，那么画一个开口向上呗。 好，有解集当中有四个整数，首先二它是包括的，因为是小于等于，那所以说你后面必须还包括一个三，一个四，一个五，哎，这是不是就可以了？哎，那后面的六是不是就不能包括了？所以二 m 是 不是在五和六的之间？你画个图像不就确定了吗？它就由根， 他就有这个四个整数啊，就确限定了一个根的范围，那么我们就通过这个范围来去把最后参数的范围求解出来就行了。那所以二 m 他 应该比五要大，可不可以取到五呢？可以吧， 因为你取到五的话，那你二三四五也是可以取的，那六就取不到，所以 m 的 范围是二分之五到六，左闭右开，那同理的话，哎，那二 m 是 不是也有可能比二要小？在这个位置 开口向上，那前面有负一零啊，不不，负一一 零，负一和二就有四个了，那所以二 m 呢，它就应该在负二和负一之间。哎，负一能不能取？肯定可以啊，因为你取到负一的话，在不等式的解析当中是包含负一的，那所以 负二小于二， m 是 小于等于负一，那么我们也可以解出来， m 的 范围是比负一大，比负二，比负一大，比负二分之一要小。那么我们最后就选择一个 d 选项就可以了啊。最后呢，我们再来看一下例十三啊， 说这个解集当中恰有三个整数。好，那我们看一下它的问题的难点在于什么地方。 第一，求方程的根，我们要进行一个因式分解，二分之 a， a 分 之二。哎，这两个数是一个倒数关系，相乘是一啊。所以说他在做一个因式分解的时候， x x， 那 这个一就可以拆成是 a 分 之二和 二分之 a 啊。但是前面是负的就是负的就可以了，那所以这个方程就变成了 x 减 a 分 之二，然后再乘以一个 x 减二分之 a 等于零 x 一， 它就等于 a 分 之二 x 二，它就等于二分之 a， 他 说小于零，这个解集当中恰有三个整数，正数 a 的 范围。好，正数 a 的 范围。那我们现在怎么去分析 a 分 之二和二分之 a 呢？ 就是他俩既然呈现一个倒数关系的话，哎，你会发现一个什么问题？他们之间是不是一定会和一有关系？ 如果 a 分 之二大于一，那么二分之 a 就 一定是小于一的，对不对？好，所以说如果 a 分 之二，二分之 a 等于一，也就是 a 等于二的时候，这显然是不成立的。那所以说 a 是 不等于二的。好，那现在如果说是 a 分 之二比较大， 那么呃，四是大于 a 方， a 方小于四，那说明 a 此时是零，小与 a 小 于二。在这种情况下， a 分 之二大。我们再去做一个图像， a 分 之二和二分之 a 开口向上， 所以现在我们想要有三个整数呢，在这个范围当中一定会包含一个一，这是非常关键的一个数啊，一共有三个呢，你二分之 a 他 比一小，他就不能再有整数了呗，那就是一二和三呗， 四呗。那所以说明 a 分 之二他比三要大，比四要小。哎，因为这边是取不到的，那如果左边取到的话， 那实际上解集当中就只有一二两个整数，那不成立。所以不等号不能啊，等号不能在这边加，得加到四这边。所以 a 分 之二小于等于四，那么 a 是 大于等于二分之一， a 大 于等于二分之一，然后小于三分之二啊，这是一个范围。 好的，这个答案就出来了，是 c 选项。那另外一种情况就是把它俩去掉一个个啊，掉一个个。也就是 a 大 于二的时候， a 大 于二的时候， a 分 之二是在零到一之间， 然后这是一，这是二，这是三，然后这是四，三四之间是谁呢？三四之间是二分之 a 啊，是二分之 a， 就跟刚才去换一下，二分之 a 在 三到四之间，我们可以得到一个六到八，然后注意取等的一个方向就可以了啊，这就是我们今天去分析的一元二次不等式，以及它相关的梯形拓展。

这是一条回馈视频，我今天没啥事呢，把屋里的书都收拾了一下，确实太占地方了，像仓库房间都堆满了，我想着去卖废品吧，又觉得太可惜， 还不如给咱粉丝家长给抽了。刚好啊，刷到今天这条视频的粉丝家长啊，可以把孩子开学要上的年级在评论区说一下，咱先抽第一批。好吧， 这些呢是我整理了一下午啊，目前我手上这些呢，都是一些课堂笔记类的字帖，暑假衔接类的 一些教辅，刚好呢，也适合目前孩子暑假来用。先把这批给发完，后面呢，我再整理一些出来，有时间的话咱进行第二轮的 抽奖。好吧，好，加油，记得评论区打年级哦，记得点赞关注哦。