四年级下册数学基础训练练习十九

我们来看一下四年级练册第二单元的单元练习，也就是练册十八十九这两页。嗯，首先看第一题填空题，填空题的话相对来说比较简单一些啊。嗯，前三个直接过第三个，注意这个， 这两个公式就用来计算第四题的这两个表格的啊。然后加第五题呢，就是对于上面一个公式的应用，单价是九十元，然后告诉你数量，让你分别去算出他需要买多少钱，这也比较简单。然后第二块呢，这个计算直接写答案 口算题比较简单。第二题列竖式，要注意的是像最后一个五百四十乘七十，五百四十乘七十，末尾的零是不需要参与计算的，所以我们把零写在后面，前面只要算五十四乘七，最后把零移下来就可以了。 然后我们来看这个应用题，说一只山雀五天大约能吃八百只害虫，照这样计算，他一个月能吃多少只害虫？那按照正常思维的话，就是五天能吃八百只，那每天能吃多少呢？就是八百去除以五，按三十天算的话，再乘三十就能算出一个月大概吃多少了。 那第二种方法你来看啊，我们可以这样来写一下，他五天可以吃八百只， 问你三十天可以吃多少只，那我们可以把五呢直接变成三十，直接扩六倍就可以了，因为三十是五的 六倍，那我相当于是把五天能吃八百只看成一组，三十天里面包含这样的六组，那直接用八百乘六也可以。所以这其实是我们要讲的归一归总这种应用题， 就说适当的去拓展一下校外这种思维模式，对于你来学校内的应用题很是很有帮助的，因为学校讲应用题呢，他就是讲到乘法，他就练一练乘法应用题，讲到除法，他就练一练除法应用题。 但是这应用题呢，他并没有给你准确的归类，只是把计算归了类，乘法、除法这种的。好，我们来看第二题。 第二题说一公顷森林一年可制三十二吨，然后接下来问你这个森林公园一年可制沉多少吨？这个森林公园一共一百一十八公顷的森林，那直接一百一十八乘三十二就可以了。然后又说一天可以吸一下水八十五吨，问你 这个公园一天可以多少呢？那就是一百一十八乘上八十五就可以了，注意把这个数算对啊。然后看第三题，最后一道题 给那个表格，就是你人数不一样，你的单价呢？就不一样了，你一到四十个人，每人是二十块钱， 超过四十到八十个人，每人十八块钱，超过八十到一百二十人是每人十五块钱，一百二十个人以上呢，那就是十二块钱一个人了，就人越多，花费的钱呢就越少。 说北城小学四年级有一班、二班、三班，说每个班分别购票，就一班自己买自己的票，二班自己买自己票，三班自己买自己票，问各需要多少元，那你就用你的人数对应到他这个 范围里面，去找他对应的票价，然后乘起来就可以了。三个班如果合起来购票的话，那把三个班的人数给他加起来，这样买其实更划算一些，加起来是一百二十五人就到了这个档里面了，每个人只需要十二块钱，所以直接用总人数乘十二就可以了。 好，这是第二单元的单元，练习所有题目。

同学们大家好，我是樊老师，今天我们一起来完成课本练习舞的内容。第一道题，下面的算式分别运用了什么运算定律呢？我们先来看 两个数交换了位置和不变，用了加法交换率。第二道题，先算前两个数或先把后两个数相加，运用了加法的结合率。 第三道题十九和六十七交换了位置，利用了加法的交换率。最后一题需要提醒大家的是，他不仅运用了加法的结合率，他还把四十二和七十六调整了位置， 利用了加法的交换率。所以当他同时运用两种运算定律的时候，我们需要把运算定律完 完整的写出来。在这里还要提醒大家，一定要写出他用的是什么交换率。加法交换率 写完整，因为接下来我们还要学乘法的交换率和结合率。二题计算下面各题，再用加法交换率验算。 加法交换率该怎么来验算呢？就是把两个加数的位置上下进行交换，计算出最终的结果，所以在进位的时候一定要注意认真检查一遍。第三题，先计算，再填表， 你是怎样计算的？我们把数位对齐，从个位算起，观察一下表中的数有什么特点，它的特点就是以加号所对的那条 对角线为分界线，对应的位置上的数都是相等的。有的同学没有看明白这个表该如何计算，那么我们来看，比如说一百五十六这个空， 他是谁呢？先看横排七十八，再看竖排七十八，中间的符号是加号，再来看四百三十一这个空，他表示的就是横排二百九十六加上竖排一百三十五的和 这一道题的运算量比较大，在计算的时候一定要认真计算，并且进行验算， 一定要认真计算，并且进行验算，尤其是对个位的结果，首先进行验算。 第四题，完成下表，读懂表格以后，我们知道要把一月、二月、三月的加起来，因为第一季度他表示的就是前三个月，如果你总是记不住一个季度有几个月，你可以参考一年四季来记住这个知识， 一年四季十二个月，那么一季就是三个月， 我们来看，那么在计算的时候就要用到这个单元所学的知识加法的交换率或者是结合率，先判断出来先算哪两个数比较简单。 见五享五，三百八十五和四百一十五结合，见九享一，三百零九和二百九十一相结合， 见七想三，三百四十七和三百五十三相结合。我们首先结合了之后，得到一个整百数再进行计算，就简单很多了。 第五题，拿两朵花上的树和是一百连一连，这道题就是帮助我们形成数感，让我们在运用简便计算的时候，能够根据数的特点迅速的找出它应该和谁组合在一起。 十八和二见五想五，见四想六，见七，想三，见九想一，相信你很快就能找出他的配对情况。好了，同学们，今天的课到这里就结束了，下期再见！

同学们，前面我们已经认识了多位数，今天这节课我们来进行整理与练习。先来回忆一下，认识多位数，你掌握了哪些知识？你能把这些知识点进行简单的梳理吗？ 是呀，这个单元我们先认识了，还有万级、亿级的数， 认识了数位顺序表，我们还学会了比较这些多位数的大小， 会写出他们的近似数，还会改写成用万或亿做单位的数。接下来我们就分别进行相关内容的练习。 一说出从个位到千亿位的数位顺序，并说出个级、万级和一级各还有哪些数位，每一位上的技术单位分别是什么？ 那什么叫做数位呢？数位是指一个数的每个数字所占的位置。这张数位顺序表从右端起，分别是个位、 十位、百位、千位、万位、十万位、百万位、千万位、亿位、十亿位、百亿位、千亿位等等等等。 同一个数字，由于所在的数位不同，他所表示的数值也就不同。 例如在表示数时，同一个六放在十位上表示六个十，放在百位上表示六个百。那放在万位上呢？他就表示六个万。 技术单位就是每个数位上技术的单位，比如个位的技术单位就是个，十位的技术单位就是十，百位的技术单位就是百。 后面这些数位的技术单位分别是千万、十万、百万、千万、亿、十亿、百亿、千亿等等。 每相邻的两个技术单位的进率是十，这种技术方法叫十进制技术法。我们把个位、十位、百位、千位这四个数位叫做个级、 万位、十万位、百万位、千万位称为万级。亿位、十亿位、百亿位，千亿位，称为亿级等等。接下来我们来看 填一填，再读一读。一般我们遇到多位数的时候，先进行分级， 这是一个八位数，他的最高位是千万位。三，在百万位上，十万位上的数字是零。 第二小题，六个千万，两个万和七个十组成的数应该是六千零二万零七十。 第三题，用分级线分级后，我们能清楚的看到这个多位数， 它里面含有五百三十个亿和四千个万。同学们，你写对了吗？ 再来看第二题，你能读出下面这些数吗？再说一说是怎样读多位数的？ 一九九五年，我国化学纤维的总产量为三百五十二万九千五百吨， 到二零一一年，化学纤维的总产量增加到三千三百九十万零七百吨。 一九九五年，我国原油总产量为一 亿五千零四万九千五百，到二零一一年，原油总产量增加到两亿零二百八十七万五千五百吨。 再来看，你能快速的读出这些多位数吗？试一试吧！ 三百五十二万九千五百 三千三百九十万零七百 一亿五千零四万九千五百 两亿零二百八十七万五千五百。同学们，你读对了吗？试一试，能用自己的话说一说，多位数怎么读呢？ 是呀，在读多位数的时候，我们从高位读起，一级一级往下读， 读一级或万级的数，先按照各级的读法读，再在后面加上一个亿字或万字 数，中间有一个零，或者连续几个零，都只读一个零，每一集的末尾的零都不读，会读，还要会写， 写出下面个数。再说一说怎样写多位数，试一试吧， 我们一起来看 读一读，一边读一边检查。 五千四百万三千一百四十万五千七百零三万零八十十五万零六百九亿七千一百万 二十亿五千万。同学们，你写对了吗？你能用自己的话说一说，写多位数 该怎样写呢？是呀，在写多位数的时候，我们先写一级，再写万级，最后写个级，哪一位上一个数也没有，就在那一位上写零。 我们学习了多位数的大小比较方法，你会比较出这些数的大小吗？你能把他们按从大到小的顺序排一排吗？ 嗨，你排队了吗？我们在比较多位数大小的时候， 先比较他的位数，位数越大，这个数就越大。如果位数相同呢？对，就从高到低比较每一个数位上的大小。 生活中，咱们经常还需要把一个多位数啊改写。你看，这是一九五零年到二零一一年世界人口变化情况， 先读一读，再改写成用 e 做单位的数。 一九五零年，二十五亿。一九六零年，三十亿人。 一九七五年，四十亿人。一九八七年，五十亿人。一九九九年，六十亿人。二零一一年， 七十亿人。 改写的时候，我们只要找到 e 位，把后面的零去掉，再添上 e 字。 同学们，我们来比一比，改写后的这个数和原来这个数的大小有没有变。是呀，大小没变，但是我们在读的时候， 写的时候就更方便了。 读出横线上的数，再省略万后面的尾数，写出近似数。 二零一一年，我国出版图书三十六万九千五百二十三种， 要省略万后面的尾数。我们发现千位上是九五入，约等于三十七万，其中新出版二十万七千五百零六种。 千位上是个七，也是五入，那就是约等于二十一万。出版 的图书中，课本为七万八千二百八十一种。千位上是个八五入到万位，约等于八万种。 儿童图书为两万两千零五十七五十九种。千位上是个二四舍，约等于两万， 省略一个数。万位后面的尾数，关键是找准千位上的数，然后按照四舍五入的方法进行省略。 同学们来比一比这些近似数跟原来的数比一比大小一样吗？是呀，有些数比原来的数要 大，有些近似数比原来的数要小。 考考你，用一、二、三、四、五五张数字卡片，可以组成不同的五位数，在这些数中，大约是四万的数，有多少个呢？ 在进行思考的时候呀，我们要做到有序思考， 大约是五四万可能，原来的数，他是四舍得到的四万 可以是四万三千多，还可能是四万两千多， 或者四万一千多，那还有可能是五入得到的四万，也就是说他可能是三万五千多。 我们分别来考虑，四舍的情况下，四万三千多，他有这样六种可能， 四万两千多呢，也有这样的六种可能，四万一千多也是有这样的六种可能。当五入的情况下，三万五千多，同样的道理，也有这样的六种可能。 所以在所有组成的不同的五位数中，大约是四万的数，有这样的 四六二十四个，你想对了吗？ 最后来考考大家，动手做八张数字卡片，分别是四个五和四个零，再用这是八张卡片摆出符合要求的八位数， 一只读一个零，二读出两个零，三读出三个零，四，一个零都不读出来。同学们自己试一试吧！ 只读一个零，可以把 一个零放在外级的中间，另外三个零放在各级的末尾， 这个数读作五千零五十五万五千。还可以，两个零放在万级的中间，两个零放在各级的末尾，这个数读作五千零五万五千五百。 还可以这样画，他读作五千万五千零五十五。 读出两个零的时候，可以把两个零放外级的中间，两个零放在各级的中间，这个数读作 五千零五万五千零五。还可以这样放，读一读，他读作五千零五十万五千零五十。 要读出三个零的话，咱们可以这样放， 这个数读作五千零五十万零五百零五。还可以这样放， 他读作五千零五万零五百零五。 最后一个零 都不读出来。咱们可以把这些零都放在每一集的末尾，比如这样放五千五百万五千五百。 还可以这样放五千五百五十五万。同学们，你做对了吗？ 同学们，通过这节课的练习，相信你已经有了新的收获和认识，同学们，再见！

这杯圆木一共有多少根？问，一共有多少根，我们就把它所有的圆木把它加起来就可以了。两种方法， 我可以从上往下逐一的来加，我也可以从下往上来加。所以刚刚在看同学们答的过程当中，我们班出现了两种答案，第一种答案， 从上面往上加看，这里最顶层有一根，两根，三根啊，四根， 五根，六根，七根，八根，九根、十根，那么有的同学他就是将一到十全部把它加起来好，一加二，加三，加四、加五、加六、加七、加八、加 九、加十。第一种方法，第二种方法，有的同学从下往上加十加九、加八、加七，一直加到一， 十加九、加八、加七、加六、加五、加四、加三、加二、加一来算式都没有问题， 大家做的非常棒，你得出的结果是五数，对不对？很多同学他都是按照这样的计算方法，一加二等于三，三加三等于六，六加四等于十，十加五等于十五，这样计算的举手 好，放下来。那么能不能运用更简单的计算方法来计算呢？你看一下这几个数字之间啊，有没有什么联系呢？那你听老师来说看， 一和十凑成十一，二和九凑成十一，那三和八十一，四和七十一，五和六十一都是十一。那我现在有几组？十一， 一二三四组四组五组五，组十一。所以这道题我可以这样列算是 你看五乘四，我把它写下来，它的结果是十一、十一，十一、十一、十一，有五个十一，那么我就可以写成五乘十一，得到五十五分， 这是不是比你按照从左到右的计算方法要更简单一些，对吧？所以是五组，那么五组这个是数字比较小，因为它只有一个数字，两个、三个、四个、五个、六个、七个、八个、九个、十个。只有十个数字。你知道是五组，那么我可以全部把它画下来。那如果是一百个数字是几组呢？ 你看我如果不画下来，我知不知道他是几？他是几组？你看，因为他是几个数字为一组，一个一个，两个数字为一组， 两个数字为一组，对不对？那么十除以二等于五组，那如果是一百个数字，就是一百除以二等于等于五十组，那一千个数字呢？ 五百五百组，对不对？好，那么如果你练第二道算式，它方法也是一样的啊。你看十和一、 九和二、八和三啊，七和四、六和五，他的组合依然是十一、十一、十一、十一、十一，所以也可以用五乘十一得到五十五根。

计算下面个题，能减算的要减算一般情况下都是可以减面积算的。我们首先看第一题，第一题观察一下，这是一道连加的减面积算 三十三加上括号四十八加六十七的和。那么这道题呢，我们就要来看每个加数之间的关系，看末尾的三和七可以凑成整负。所以这道题我们首先要去掉括号， 等于三十三加四十八加六十七。第一步，然后将四十八和六十七进行交换位置，运用加法交换率，他就得到三十三加六十七加四十八。 为了更准确啊，咱们前面应该要加上一个括号，就得到一百加四十八，得到一百四十八。第一题 第二题，四百五十加一百八十五加一百一十五加七百五十。那么我们首先也要来看这四个加数之间的关系，连加我们主要就是两个字，凑整。那我们来看一下 五和五凑在一起，还有一个四百五十和七百五十凑在一起呢，咱们只要加一百八十五和七百五十进行交换位置， 就等于四百五十加上七百五十，加上一百一十五，加上一百八十五。好，这是第一步好。然后呢，我们给他加上我们需要的括号，改变他的运存顺序， 就得到一千二百，加上三百得到 一千五百。好，我们来看第三题，第三题就是连减，昨天我们刚学过连减两种方法，首先是找被减数与减数之间相同的部分，其次是连续减减去和，那我们来看一下这里有没有相同的部分， 六十二，所以我就要找相同优先减，我们就得到六百六十二减六十二，减一百六十四，得到六百减一百六十四，我们最终得到的结果是四百三十六 道题，很多同学他是先算后面括号里的和，再减好。这道题不就是 a 减括号， b 加 c 的 和吗？用字母代替啊。 a 减 b 加 c 的 和，是不是？他不就等于 a 减 b 减 c 吗？ 一个数减去两个数的和，等于这个数连续减去这两个数，我们把括号拆开，他就变成了一百五十六减五十六，减三十三，这就用到了，找相同优先减 五十六，五十六，对不对？把括号去掉之后，就可以直接用减法计算，它就得到一百减三十三，得到六十七。 好，我们再来看这道题，这道题跟我们以往学的好像有一点点不一样，但是这里有两个数，一个是三百七十五，一个是一百九十九，你告诉我哪一个数更接近整数？接近整数几 两百二百，对不对？所以我就可以这样写啊，前面的不变，三百七十五不变，但是我把它减二百，感觉不对啊，因为我这里是减一百九十九，这里我多减了一个，怎么办？ 加回来是不是要加回来？所以这里要再加一。这一步听明白了，举手好放下。为什么会有这一步？因为我想把这个数凑成整百数，我们就得到一百七十五加一，得到一百七十六啊，得到一百七十六。最后一道题， 九千九百九十九加九百九十九加九。你觉得前面这几个数字有什么规律啊？他离，嗯，离整万整千，嗯，整百整十，数都差几？一，是不是都差一？如果他能变成一万、一千、一百和十就好了， 他们只差了一，那么我就把他们全部加几啊？加一，可是屏幕中没有一，这个一要怎么来呢？ 四，哎，我现在不加四，我把四分成了四个一，分别加在这个上面。可不可以这样？可以，他就等于九千九百九十九，加一 加九百九十九，加一加九加一四，还要不要加了？不要，那我直接这样算啊。一，一万一千。 我要不要加胯号呀？肯定是要的呀，加胯号才更简单啊。加胯号，加胯号。好，我们来把胯号加上去，看他有什么好。前面得到一万， 后面得到一千，是不是很有意思？后面得到一百，后面得到一十，好，合起来就是一万一千，一百一十。

同学们大家好，我是来自北京市西城区厂桥小学的迟老师。这节课我们学习的内容是小数的加法和减法。整理和复习 课前，同学们用自己的方式对这一单元的学习内容进行了梳理。我们先来交流交流。这一幅是萱萱的作品，请你先轻声地读一读，我们再请萱萱进行说明。 在前面单元的梳理中，我学会了按照学习的顺序进行整理， 所以这个单元我也按照知识学习的顺序进行了整理。这个单元先学习了小数加减法，小数加减混合运算，最后是整数加法，运算率推广到小数。 我通过举例子总结出了这些计算中的方法。记住自己的读和萱萱的介绍，你们有什么评价吗？ 萱萱先举例子，再进行了总结，我感觉是整理复习的好方法。萱萱画的结构图我觉得很清楚， 学了哪些知识都是什么，一看就明白。是的，萱萱全面清晰地整理出了本单元学习的内容，而且用举例子进行说明，特别棒，我们继续来分享。 在整理过程中，我发现小数加减法和整数加减法之间有很多相同之处，我试着整理出了它们的相同点。 请你轻声地读一读，看看小红整理的这些相同点，你都同意吗？我同意小红的想法，小数加减法和整数加减法在计算方法、运算顺序和运算率上都是一样的。 我还发现小数加减法和整数加减法列出式时也有不一样的地方。像下面这两个例子， 整数加减法是末尾对齐，小数加减法是小数点对齐。 我觉得虽然它们的对齐方式不一样，但其实道理是一样的， 都是相同数位的数对齐，相同计数单位的数相加减。借助他俩的补充，我们对数式计算、小数加减法有了更加清晰的理解，特别好。 对于小红的这个整理还有什么补充吗？这样对比整理，建立联系，更便于掌握这个单元学习过的知识。 他用表格的形式进行整理也很清楚，他还总结出一些注意点，特别好。 两位同学用欣赏的眼光进行评价，还从中学习到了整理方法特别好。 小红的整理思路的确给大家很好的启示，在学习中还要善于找一找新旧知识间的联系与区别，这样便于将新知识融入到旧知识中。 通过刚才的交流，同学们能够用图表等不同形式，全面、系统、清晰地整理了本单元学习的内容。 更可贵的是能将小数加减法和整数加减法建立联系。通过这样的整理，相信你对本单元的知识有了更加深入的理解与全面的掌握。 这是在本单元的学习中收集到的一些典型错例。这些题目错在哪呢？在学习任务单上找一找，并在旁边改正。 同学们，你们写完了吗？我们来交流一下，这一题错在哪呢？ 计算结果没有点上小数点，改正后是这样的，我想提示大家，最后要在得数点上小数点， 这道题又错在哪呢？这道题小数点没有对齐，也就是相同数位的数没有对齐，改正后是这样计算的， 应该用个位的四和个位一对齐，十分为六和，十分为五对齐，百分位是八，你同意小丽的思考吗？能说一说为什么要这样计算吗？ 百分位上就是八个零点零一，十分位上六个零点一和五个零点一相加，个位上四个一和一个一相加，十位上一个十。 小数点对齐，就是把相同数位上的数对齐。相同计数单位的数相加减和整数加减法的计算道理一样， 两位同学讲述的特别清楚，整数和小数的加减法都要相同，数位对齐，就是把相同计数单位的数相加减，这是一致的。最后一题，错在哪里？怎样改正 百分位不能把三直接落下来，应该用零减三， 我是这样改正的，根据小数的性质，在被减数十七点五的百分位上补一个零，这样也就变成小数位数相同的小数减法了。 百分位零减三不够减，要向十分位借一，变成十个零点零一，减三个零点零一，得到七个零点零一， 十分位借走一，还剩四，四减八还是不够减，再向个位借一和十分位上的四合起来，十四减八等于六，个位还剩六，六减五等于一， 十位的一落下来，结果是十一点六七。小刚把自己的想法讲解的特别清楚，屏幕前的你做对了吗？通过对这几道错题的分析，在计算小数加减法时，你提醒大家注意什么呢？ 列数式时，小数点要对齐，保证相同计数单位的个数相加减， 小数部分位数不相同时，可以添加零补齐再计算。别忘了在得数上点上小数点， 计算后还要验算检查，减少计算错误。几位同学提示的几点特别好，相信在以后计算中，屏幕前的你能够借鉴 这一组题，你认为怎样算简易就怎样算，在学习任务单上自主完成。 同学们，你们写完了吗？我们一起来交流一下。第一题，两位同学出现了不同的算法，他们都是怎么算的？你同意谁的呢？ 这道题是加减混合运算，小量，是按照运算顺序从左往右计算的， 先算九点一四，减一点四三，得七点七一，再算七点七一加四点五七，最后等于十二点二八，小量算对了。 我也同意小亮的做法，我想说说小红的方法，我猜他可能是看一点四三和四点五七相加，能凑成整数好算，所以就先算后面的加法了。 但这样算，运算顺序就不对了，结果也就不对了。听了他俩的交流，相信你应该没有疑问了，我们继续交流下一题。 第二题，先请小丽来说说他的想法。我是这样想的，这是一道连加的算式，所以我按照从左往右的顺序计算。 小丽，这样算是对的，我是这样想的，我发现五点二六和零点七四能凑整， 三点二和三点八能凑整，把三点二和零点七四交换位置，让五点二六与零点七四相加， 三点二与三点八相加，利用加法交换率和加法结合率更好算。 两位同学各有自己的想法，计算都是正确的。月月根据家属能凑整数的特点，运用加法预算率进行了减变计算，善于观察，灵活计算特别棒。 第三题，月月是这样做的，你同意吗？月月的做法是不对的，根据减法的性质，一个数连续减去几个数，等于一个数减去这几个数的和， 所以五点九六减一点九六和二点八的和，应该写成五点九六，减一点九六，再减二点八，不应该加二点八。那该怎样算呢？ 我是这样计算的，因为在有小括号的算式里，要先算小括号里的。我按照运算顺序进行了计算， 我发现算式中被减数是五点九六，减去的部分中有一点九六， 运用减法的性质，可以用五点九六先减去一点九六，得四好算，再用四去减二点八，结果等于一点二。 朵朵和小明的计算都是正确的，朵朵按照计算顺序计算，小明更是善于观察，利用了减法的性质，使得计算更加简易。这道题你做对了吗？ 回顾刚刚交流的三道题，计算小数加减混合匀算，有好的方法或经验和大家分享吗？ 小数加减混合运算要注意运算顺序， 我建议计算前先观察，根据算式中的数的特点，灵活运用运算率进行减变运算。看来我们在练习中又积累了很好的方法和经验，几位同学的提示与建议特别有价值。 正确、熟练的计算是为了更好的解决实际问题，下面我们就来解决几个实际问题。这个实际问题怎样解决呢？在学习任务单上写一写，算一算， 同学们，你们写完了吧？我们先来看小亮的解答过程，谁能试着来解释？ 用张英跳的一点一米加王强比张英高出的零点一五米，得一点二五米， 求出了王强跳的高度。又因为肖红比王强跳的低零点零九米， 再用王强跳的一点二五米减去零点零九米，求出肖红跳的米数，小亮的解答是正确的， 这是小丽的作品。为了理解题目中的信息，我画了线段图，你们能看懂我的想法吗？谁能结合着线段图给大家讲一讲小丽的想法呀？ 从题目中的信息可以知道，肖红虽然比王强跳的低，但还是比张英跳的高。 小丽用王强比张英跳的高，出的零点一五米减去肖红比王强低的零点零九米，求出的零点零六米，就是图中的这一段， 说明萧红比张英高出零点零六米，用张英的一点一米加零点零六米就是萧红跳的米数。小丽的解答也是正确的。 小丽想到了与众不同的解答方法，源于他巧妙地借助了线段图的直观，希望在解决问题中多像小丽这样主动运用画图的策略，能够提高解决问题的能力。 生活中商品的单价常用小数来表示，所以在购物中便会运用到小数加法、减法的计算。例如这个购物问题，请在学习任务单上独自尝试解决，有困难可以像小丽那样画画图，有助于思考， 相信你已经完成了这道题的解答，我们来分享你的思考过程。先来听听小明是怎样想的。 题目中的信息是买五双送一双，我画了线段图，一段线段表示买的一双袜子，照这样需要买五双。 最后一段表示的一双袜子不需要买，是送的前五双需要花钱，所以用五个四点六八相加。 因为没有学过小数乘法，所以我写了廉价的算式，求出五双袜子需要二十三点四元， 按照这样的想法，再买五双，得到六双，所以用二十三点四加二十三点四得四十六点八元，这样花了十双袜子的钱得到了十二双袜子。 小明利用画图直观清晰地说明了他的思考过程，画图又一次帮我们分析解决了问题，相信你一定能明白了。 这是小红的想法，他又是怎样想的呢？我能看明白小红的想法，买十双送两双，就是花十双的钱能买到十二双， 也就是求十个四点六八元是多少？四点六八乘十，把四点六八的小数点向右移动一位，就是四十六点八。 小红能够分析理解信息，找到解决问题的方法，还能灵活的运用小数点移动引起小数大小变化的规律进行计算，特别棒！ 大家在学习小数加减法中都感受到了小数加减法与整数加减法有着密切的联系，那小数加减法与分数加减法有没有联系呢？请在学习任务单上挑战一下这组题目。 这是小丽的作品，你同意他的算法吗？又是怎样思考的呢？ 我同意小丽的算法，他的计算都是对的。我是这样想的，根据小数的意义，分母是十一百一千的分数，可以改写成一位小数，两位小数，三位小数。 十分之一加十分之四，十分之一写成小数是零点一，十分之四写成小数是零点四，这样就改写成零点一加零点四得零点五。 第二道，一百分之九十三减一百分之九十三，改写成零点九三， 一百分之七十六改写成零点七六，就改写成零点九三减零点七六得零点一七。后面两道题也是这样思考的， 我发现分母是十一百一千的分数相加减可以改写成小数进行计算。 你们特别会思考，根据小数的意义，将分母是十一百一千这样的分众改写成小数进行计算，发现了分数加减法与小数加减法之间也存在着一定的联系。 同学们，这节课我们对小数加减法单元的知识进行了整理和复习，你有什么收获吗？可以按照知识学习的顺序梳理，也可以将新旧知识进行对比整理。找联系。 计算时，我们要先观察算式和数的特点，然后选择合适的方法计算小数、整数、分数加减法有着联系。 我觉得画图是解决问题的好方法，特别是遇到比较复杂的问题时，可以借助画图帮助理解。 看来通过这节课的学习，大家不仅复习巩固了知识，还收获了整理和复习的方法，解决问题的方法特别棒。 今天我们复习的内容在数学书六十九页到七十八页，课后同学们可以自主阅读进行复习。 课后练习数学书七十八页的第五题和第六题，相信你一定能顺利完成。这节课我们就上到这里，同学们再见！ 同学们，大家好，我是北京第一实验小学的张老师。今天我们学习的内容是人教版四年级下册图形的运动二单元中轴对称的第一课时， 二年级我们认识了对称现象，初步知道了什么是轴对称图形。今天我们就一起继续研究有关轴对称的知识。 在生活中有很多对称现象，比如这些著名的建筑， 他们多美呀！生活中还有很多轴对称的图形，比如常见的标识、手工作品，还有对称的门。 有的同学就用我们二年级学过的轴对称知识制作了一只小牛头和窗花剪纸，是那么的精致美观。 同学们，你们知道这些轴对称图形的对称轴在哪吗？请你们认真观察，先想一想，然后再动手画一画。 你们画好了吗？我们一起来看一看吧！这些图形的对称轴都在哪？我们先看看前四个图形，这是小红画的，和你们想的一样吗？ 怎么验证呢？我们可以想象一下，如果我们将这几个图形沿着这条直线对折，看看图形的左右两边是不是完全重合，多好的办法，那我们快来想象一下，一起看看和你们想的一样吗？ 沿着这条直线把图形对折，直线两边完全重合。沿着这条直线把这个图形对折，直线两边也完全重合。 沿着这条直线把喜字对折，直线两边完全重合。 沿着这条直线把图形对折，直线两边完全重合。看来前四个图形的对称轴我们找对了。五号的对称轴在哪呢？ 五号图形的对称轴在这儿，我们可以想象一下，沿着牛头的正中间将图形对折，直线的左右两边也是完全重合的。 说的真严谨，沿着牛头的正中间，那我们就动手对折看看吧！沿着牛头的正中间将图案对折，图形的左右两边也是完全重合。 折痕的左右两边完全重合了，它找对了。六号图形的对称轴在哪呢？ 我找到的是这条竖着的对称轴，我们可以把它对折验证一下，对称轴的两边是完全重合的，所以我找到的对称轴是对的。 我同意你的观点，但我还找到了其他的对称轴，有这条横着的直线，还有这两条斜着的直线。我认为如果沿着这些直线对折，直线两边也是完全重合的，所以这几条直线也是这个图形的对称轴。 那这个图形到底有几条对称轴呢？能说说你是怎么想的吗？我将这个图形这样对折，能找到一条对称轴，如果这样折也能完全重合，又能找到一条对称轴。还可以这样折， 也可以这样折都能完全重合。所以这个图形有四条对称轴。看来一个对称图形可能有多条对称轴。 通过刚刚的研究，我们知道了轴对称图形的对称轴是一条直线。我们还知道了，有的轴对称图形只有一条对称轴，有的轴对称图形可能有多条对称轴。 同学们请看，在方格纸里有一个松树杈，你能画出它的对称轴吗？请你试一试，边画边观察，看看你是否有更多的发现。 画完了吗？我们一起交流一下吧。我觉得这个松树图是轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。我通过想象，沿着这条直线对折，两边完全重合，所以我得到了结论，这条直线是它的对称轴。 真好，画完对称轴，还能想象对折去验证。到底这条直线是不是对称轴呢？我们验证一下， 这条直线是对称轴。我是这么找到的对称轴，因为一个轴对称图形的对称轴在这个图形的中间，于是我就在这个图形中间找对称轴， 谁能理解他说的这个中间是什么意思？因为我知道轴对称图形沿着对称轴对折，左右两边是完全重合的，左边有的部分右边都有。比如说对称轴左边有一个点， 右边肯定也会有一个点，在图形对折之后和它重合。同学们，你们知道吗？这样的两个点， a 和点 a 撇，我们叫一组对称点，你们能在这个松树图上找到还有其他的对称点吗？ 我又找到了三组对称点，我们一起看一看，分别是 b 和 b 撇， c 和 c 撇， d 和 d 撇，你找的又快又准确，能说说你是怎么找到的吗？ 通过数格，我发现点 a 到对称轴有两个格，点 a 撇到对称轴也有两个格， 点 b 到对称轴有一个格，点 b 撇到对称轴也有一个格点 c 到对称轴有三个格，点 c 撇到对称轴也有三个格。点 d 到对称轴有一个格，点 d 撇到对称轴也有一个格。 通过看小亮鼠格找到每组对称点，我发现每组对称点，他们到对称轴距离都是相等的。 小亮想到了数格子的方法，这样能快速准确地找到了对称点，你真是爱动脑筋的孩子。小红认真听同学发言，通过数格，你又发现了几组对称点到对称轴的距离相等。 听了他们的发言后，我发现，如果我们把每组对称点连线后，我找到了每条连线的中点，我发现这些中点都在对称轴上， 你听的认真，还观察的仔细，在他们的发现上，你又发现了对称点连线的中点在对称轴上，再次说明对称点到对称轴的距离相等。 我观察每组对称点连线后，发现他们的连线在横着的方格线上，而且我还发现每组的两个对称点的连线是互相平行的。 你真是善于倾听别人发言的孩子，从别人的发言中，你找到了对称点与对称轴的关系， 还发现了这些对称点连线的位置关系。我还发现对称轴正好在竖着的方格线上，那这些对称点的连线都与对称轴互相垂直。 你们不仅发现了对称点连线之间的关系，还找到了对称点连线与对称轴的位置关系。 通过我们认真观察，我们对轴对称图形的认识更加深入了。如果再让你画这个松树图的对称轴，你想到什么新的办法了吗？ 我可以在松树图上找到两组对称点，然后找到它们连线的终点， 过这两个中点画对称轴。你不仅用到了我们刚刚学过的对称点到对称轴的距离相等这个知识，还用到了我们之前学过的两点确定一条直线的知识。真是活学活用，太了不起了， 老师。我只找到了一组对称点就能画出对称轴，我是这样画的，先找到了一组对称点 a 和 a 撇，然后找到这组对称点连线的中点，过这个中点，我画一条对称点连线的垂线，这条直线就是松树图的对称轴了， 你真是了不起，你不仅用到了刚才我们研究过的对称点到对称轴的距离相等，还用到了对称点连线和对称轴互相垂直。你用到了这两点，确定了对称轴的位置。 我们通过对轴对称图形进一步认真的研究，发现了轴对称图形的特征，对在方格纸上画轴对称图形的对称轴有了一些思考，下面我们就用轴对称图形的特征来解决一些问题吧。 这些图形是我们原来学习过的一些平面图形，它们都是轴对称图形吗？ 请你先想象一下，然后可以从学习单上剪下这些折一折验证。如果是轴对称图形，请你画出它的对称轴，看看能画几条 判断完成了吗？我们一起看一下。这是小红的判断结果，他认为前四个图形都是轴对称图形，五号图形不是轴对称图形，你和他的想法一样吗？ 前四个图形我都同意，但第五个图形我认为是轴对称图形。看来对第五个图形大家有不同的想法。没关系，我们一个一个交流一下。 我们先来看正方形，小红是怎么判断的？正方形是轴对称图形， 我把正方形上下对折，左右对折，斜着对折，发现折痕两边完全重合，所以正方形是轴对称图形，它有四条对称轴，我们折一折看看，是这样吗？ 看来正方形的确有四条对称轴， 我想说二号图形，我跟小红的判断结果一样，我开始觉得二号图形应该是轴对称图形，对称轴，在这里我就对折验证了一下， 折痕两边完全重合，所以它是轴对称图形。而且我发现这是一个等腰三角形，它只有一条对称轴。我们按照小明说的，把对折的过程看一看， 先观察图形想象，再对折验证。真是好办法。 小红认为圆是轴对称图形，有无数条对称轴，你们同意吗？怎么知道的？我把圆形这样对折 可以完全重合，又这样对折也能完全重合，再这样对折或者这样。 这时我发现无论我从哪个方向对折，折痕两边的图形都能完全重合，所以圆有无数条对称轴。 看来圆形真的是很特殊的。通过动手验证，我们发现它不仅是轴对称图形，它还有无数条对称轴。 我们在小红的这个长方形上看到了四条折痕，但是他只画出了其中的这两条，这是怎么回事？我们来听一听。 我开始认为长方形也和正方形一样，有四条对称轴。我先上下对折，两边完全重合， 然后左右对折，两边也完全重合。我又斜着对折，发现两边没有完全重合，所以这两条斜着的线不是长方形的对称轴。看来长方形是轴对称图形，它有两条对称轴， 五号图形是平行四边形，小红认为它不是轴对称图形，而小明认为它是轴对称图形。小明是怎么想的呢？ 我觉得是，你们看这条直线两边的三角形，形状和大小都一样呀。 五号这个平行四边形到底是不是轴对称图形呢？我们再来听听小红的想法。 我开始认为五号这个平行四边形是轴对称图形，这里是对称轴，因为两边的三角形也完全一样。但是我沿着这条对角的连线对折以后，发现两边没有完全重合。我又换了另一条对角的连线 对折，发现两边也没有完全重合，上下对折，左右对折，两边也不能完全重合，所以它不是轴对称图形。 虽然五号这个平行四边形不是轴对称图形，可是它看起来很有对称感，其实它也存在对称性，我们上中学会进一步认识， 这里还有个特殊的平行四边形，你们认识它吗？对了，是菱形，它是不是轴对称图形呢？我听到同学们都说是，那咱们来验证一下吧。 菱形是特殊的平行四边形，它有两条对称轴， 我们在判断中进一步认识了轴对称图形的对称轴，体会了轴对称图形的特征，对学过的一些平面图形又有了进一步的认识。通过折，我们能找到轴对称图形的对称轴， 不折还能不能找到并画出轴对称图形的对称轴呢？试一试，画出下面两个轴对称图形的对称轴 画好了吗？我们交流一下吧。这个图形是等腰梯形，我先找到上底和下底的中点，上底长四格，这里是中点， 下底乘六格，这里是中点，经过两个中点画一条直线，这条直线就是对称轴， 因为我们知道对称点到对称轴距离相等。我们看梯形上底点 a 和点 a 撇这组对称点到对称轴，距离是两格。 下底上点 b 和点 b 撇这组对称点到对称轴，距离是三格， 经过验证，符合轴对称图形的特点，所以上下底的中点的连线就是等腰梯形的对称轴。 你看，你刚刚学会了轴对称图形的特征，就能利用轴对称图形的特征准确找到对称轴，并且还能验证，你真了不起。的确，等腰梯形只有这一条对称轴， 这个图形有四条对称轴，因为我们知道对称点到对称轴距离相等。 我先找到图形左边的点 a 和右边的点 a 撇，这两个点相距两格，所以这里是中点。 又找到图形左边的点 b 和右边的点 b 撇，这两个点相距六格，所以这里是终点。 我又找到了点 c 和点 c 撇，他们之间的距离是两格，中点在这里。 这三个中点都在一条直线上，经过这三点画一条直线，这条直线就是这个图形的对称轴。 同样，我还找到了这条横着的对称轴，我还发现两条斜着的对称轴 不折。借助方格纸，通过对称点到对称轴的距离相等的这个特点，我们也能画出轴对称图形的对称轴。 通过我们今天的学习，你有什么收获？我们今天研究了轴对称图形的特征，认识了对称点，知道了对称点到对称轴的距离相等。 对称点连线与对称轴的位置关系。我们在画对称轴的时候，我们就可以借助这些特征来准确找到对称轴，并且还能验证我们找到的对称轴是否正确。 在判断一个图形是不是轴对称图形时，要根据轴对称图形的特征去判断。 通过今天的学习，同学们不仅收获了知识，还能与大家分享你的思考，进而从中迸发出新的想法，你们真是太棒了！ 今天学习的内容在数学书七十九页，课后同学们可以完成八十一页第二题四题，请同学们在减的时候一定注意安全。好了，今天的课就上到这里。 同学们好，我是北京第一实验小学的沈老师，很高兴和大家一起上这节数学课。 今天我们学习的内容是人教版四年级下册图形的运动二单元中的轴对称。第二课时，同学们快来看， 小红和慧慧正在做剪纸游戏，你能猜出他俩准备剪的是什么图案吗？ 我觉得第一个图案是个小房子，因为空白部分好像是半个房子的样子。你猜对了，我就是想捡一个小房子。 我看第二个图案像是个桃子。我想象把这张纸转到右边，左右两边拼起来看，好像是个桃子。我猜的对吗？ 是的，萱萱你也猜对了，我把这张对折的纸想象成打开后的样子。我觉得第三个图案是棵小松树，看，确实是一棵小松树。同学们，你们怎么猜的都这么准啊？ 我就是利用了我们上节课学习的轴对称图形的知识，通过想象猜出来的。 同学们的想象力真丰富，没想到在这个减脂游戏中，还有我们上节课学习的轴对称图形的知识呢！ 这是一个轴对称图形的一半，请你仔细观察。你能想象出这是一个什么图形吗？五角星 是树叶吧？它到底是什么图形呢？你有什么好办法证明吗？ 我们可以画一画。这个主意好，请你先想一想这个图形另一半的样子，然后在方格纸上补全这个轴对称图形，画完后看看和你想象的一样吗？ 拿出学习单，完成任务。一、 我们来看看同学们是怎样画的？ 我同意月月的画法，我把月月的作品想象对折了一下，对称轴两边是可以完全重合的，而佳佳和小飞的作品对称轴两边是不能完全重合的，所以他俩的不对。 屏幕前的你同意小樱的说法吗？我们来听听月月是怎么画的。 我先从对称轴的左边找到这几条线段的端点，标上 a、 b、 c、 d。 我在观察点 a 是 在从最上面这个点往下数三个格，再往左数一个格的位置，所以和点 a 对 称的点就在从最上面这个点，往下数三个格，再往右数一个格的位置，标上 a 撇。 点 b 是 在从最上面这个点往下数三个格，再往左数四个格的位置，所以和点 b 对 称的点就在从最上面这个点，往下数三个格，再往右数四个格的位置边上。 b 撇， 点 c 和 d 撇，我也是这样找到的。 最后我把这四个对称点和对称轴上的两个点用线段连起来 就画好了，是一颗五角星，我和月月的方法一样，只是顺序不太一样。我是先数对称轴左右两边的格，再数上下的格。 比如说点 a 是 在从最上面这个点，先往左一个格，再往下三个格的位置， 那么点 a 的 对称点 a 撇，就在从最上面这个点，先往右一个格，再往下三个格的位置。点 d、 c、 d 的 对称点 b 撇， c 撇， d 撇，我也是这样找到的。 最后把所有点连起来，也是一颗五角星。 我发现它俩往左数和往右数的方格数是一样的。 大家看，点 a 是 往左数一个格，点 a 撇就往右数一个格，点 b 是 往左数四个格，点 b 撇就往右数四个格。另两组对称点也是这样。 你们知道这是为什么吗？哦，我知道了，因为我们上节课学习了轴对称图形对称点到对称轴的距离是相等的。 说的真好，很多时候我们学习的过程就是利用旧知识解决新问题的过程。 我还发现他俩往下数的方格数也是一样的，因为这幅图的对称轴是竖着的，所以每组对称点都在同一条横线上， 你不但会观察有发现，还能思考出其中的道理，真会学习。 我就是根据轴对称图形的这些特点画的，点 a 距离对称轴一格，那么点 a 撇也一定在同一条横线上，距离对称轴也是一格的位置。 再看点 b 距离对称轴四格，那么点 b 撇也在这条横线上，距离对称轴四格的位置。 点 c、 d 的 对称点我也是这样找到的。 让我们一起用学到的知识来看看刚才佳佳和小飞的作品，帮他们找一找问题出在哪里了。 我发现加加画的点 c 撇和点 c 虽然是在同一条横线上，但是它们到对称轴的距离不一样， 点 c 距离对称轴两格，而点 c 撇距离对称轴只有一格， 沿对称轴对折的话，这两个点不能重合，所以加加画的是不对的，点 c 撇应该在这里。谢谢萱萱，我现在会画了。 我刚才听了同学们的发言后，我也知道我错在哪里了，我只顾着数，每组对称点的格数都要一样多，一不注意就数串行了。 点 d 撇应该和点 d 在 同一条横线上，在这个位置才对。 没关系的，孩子们，在我们学习研究的过程中，总会出现这样或者那样的问题，只要我们找到问题的原因并及时修正，就会离成功越来越近了。 通过刚才的讨论和研究，屏幕前的你知道怎样才能根据对称轴正确画出轴对称图形的另一半了吗？ 我知道了，想要正确找到一个点的对称点，既要关注对称点到对称轴的距离，又要注意每组对称点都应该在同一条横线上，这样画出的图形对折后才能完全重合，才是正确的轴对称图形。 下面我们再来画一幅吧。请你先观察这幅图，发现和上一题有什么不同了吗？ 我发现这幅图的对称轴是在方格指的横线上，那这幅图的另一半该怎么画呢？ 屏幕前的同学们，你们想到什么好办法了吗？请你在动笔前先想象一下这幅图完整的样子，在画的过程中，看看自己是分几步完成作品的， 拿出学习单，完成任务。二、 画好了吗？我们一起交流一下。因为这幅图的对称轴是在方格直的横线上， 所以借助前面的学习经验，我认为这幅图的对称点应该都是在同一条竖线上。我先在对称轴上面的图形中找到 a、 b 两个点， 他们到对称轴的距离分别是三格和五格，他们的对称点应该分别和他们在同一条竖线上。我就又在这两条竖线上都从对称轴往下数，三格和五格 就找到了 a 撇和 b 撇。最后我把这两个对称点和对称轴上的两个点用线段连起来就画好了。 仔细听他的发言，我发现他不但学会了画轴对称图形另一半的方法，还把作图的每一步过程都说的特别清楚。 我也听出来了，他是先找图形上每条线段的端点，再根据对称轴确定每个端点的对称点，最后依次连接这些点，就画出轴对称图形的另一半了。 你真会听讲，不但会听老师的讲解，还会听同学的发言。屏幕前的你也是这样做的吧？请你为自己点个赞！ 我们再来试做一道题，看屏幕，你能画出下面图形的另一半吗？请你拿出学习单完成任务三、 完成了吗？玲玲在画图时遇到了问题，我们一起来听听看。 我画这幅图时，也是先找到图形上 a、 b 两个点，点 a 和点 a 撇应该在同一条横线上，都是距离对称轴四个格。 点 b 和点 b 撇也应该在同一条横线上，也都是距离对称轴四个格。然后我把这两个对称点和对称轴上的两个点用线段连起来， 可是我怎么看这都不是一个轴对称图形呢？同学们，你们能帮帮玲玲吗？ 我知道了，玲玲，你想想，上节课我们学习的每组两个对称点的连线，应该是与对称轴垂直的这个知识。 刚才我们做第一题时，那个对称轴是在方格指的竖线上，所以对称点的连线就应该是水平方向的。而第二道题呢，那个对称轴是在方格指的横线上， 所以我们对称点的连线就应该是竖直方向的，这样才能够垂直。 而这道题的对称轴是斜向的，所以我们在画和这个对称轴垂直的连线时，也应该是斜向的，就不应该像前两道题似的在同一条横线上或者同一条竖线上了。 哦，我好像知道我错在哪里了。屏幕前的你听懂小飞的话了吗？看看你画的对吗？如果不对可以修改一下。 我们来看看小丁是怎样画这幅图的。我先找到图形上 a、 b 两个点，然后观察从点 a 垂直于对称轴，有两个方格的对角线那么长， 那么点 a 撇也应该在同一条垂直于对称轴的线上，并且也是两个方格对角线长度的位置， 点 b 和点 b 撇也是这样。着，我再把这两个对称点和对称轴上的两个点用线段连起来。 画完后，我想象了一下，沿对称轴对折后，两边是可以完全重合的。 其实我们可以把方格只转一转，让对称轴竖起来。点 a 和点 a 撇还是在同一条横线上的， 只是这条横线是由每个小方格的对角线连起来的，点 b 和点 b 撇也是这样。 我也是这样想的。我把对称轴横过来看点 a 和点 a 撇，点 b 和点 b 撇就还是分别在同一条竖线上了。 谢谢同学们帮我想出了这么多办法，我现在会解决这个问题了。其实无论对称轴是什么方向，我们画图的方法和步骤都是一样的。 画图时要注意每组对称点到对称轴的距离相等，以及两个对称点的连线应与对称轴垂直的特点， 然后按照一找二定三连的步骤，就能正确画出轴对称图形的另一半了。 当我们在学习上、在生活中遇到问题时，千万不要着急，更不要气馁。 我们可以像小英和小伟一样，想办法转一转，换个角度思考问题，换个视角去看世界，可能一切就都豁然开朗了。 同学们，通过这节课的学习，你有什么收获？我学会了画轴对称图形，找对称点时要注意对称点到对称轴的距离，还要注意两个对称点的连线应该是与对称轴垂直的， 这样画出的图形对折后才能完全重合，才是正确的轴对称图形。在画轴对称图形的另一半时，我们可以先想象再画图，画完后再想象验证。 我还学会了一道新问题时，可以尝试利用旧知识去解决。 同学们，这节课我们学习的是数学书第八十页的内容。其实在我们的生活中也有很多轴对称的现象， 请你用善于发现的眼睛去观察，善于思考的头脑去探索，相信你一定会有很大的收获。 课后请同学们完成数学书 p 八十二页第五题，感兴趣的同学还可以挑战一下八十二页第七题的第二幅图。这节课我们就上到这里。