数学排列和组合解题技巧

大家好，今天呢，我们专门来讲一讲这个排列组合，那么什么是排列呢？我们来说一下。首先举一个生活中常见的例子啊，一共有三名同学，这三名同学呢，排成一队，这个是要分顺序的，对吧？ 那么排成一队以后呢？这三名同学，比如说我们继承 a、 b、 c， 那可以这样排啊， a 同学， b 同学， c 同学，这不就排完了吗？那么一共有多少种这样的排法呢？其实很简单，我们完全可以这样， 比如说这第一个框框里头啊，你排的时候呢，还没有排这个， a、 b、 c 三个人其实都可以，所以说它是三种可能，对吧？ 比如说第一个框框里头， a 已经排完了，就只剩下 b 和 c 两种可能了吧？是不是这个意思啊？所以说再接下来呢？再接下来，最后，比如说第二个框框里头， 已经排完税了，就只剩下币了，所以第三个框框里头就只能是一种可能了，你说是不是这个道理啊？那么根据分布乘法技术原理的话，哎，三种可能，两种可能，一种可能，你说最后结果是多少？当然是六种排法了，这个实际上就是一种全排列， 是一种特殊的排列。我们呢，看好了，其实你如果画一个树状图的话，更加清楚的可以表示这个过程，比如说第一个方框里头，你看 他怎么样？第一个方框里头 a、 b、 c 其实都是可以的，所以说他有三种可能，然后呢，排完第一个方框以后呢，只剩下两个人了，你比如说第一个方框里头填了 a， 那第二个方框里头只能 b 和 c 了，是不是这个道理啊？第一个方框里头填了 c， 第二个方框只能是 a 和 b 了。那继续，比如说第一个方框 a 排进去了，第二个位置呢？ b 排进去了，那第三种可能其实就只剩下 c 了吧，是不是这个道理啊？所以最终结果你数一数吗？数状图不就是分最后一共有多少种情况吗？一看这就是六种啊，怎么出来的？三乘二乘一，最后得出来的六种，原来是这么回事啊， 那么在原来基础上，我们改变一下，刚刚是几名同学，是三名同学都要排队，现在不一样，十个同学啊，十个同学呢？ 我们只找三个人排成一队，那么一共有多少种排法呢？这个是更加常见的，那有多少种排法，我们可以这么来研究吗？一样的，十名同学还没有开始排的时候，你说第一个方框里头可以有几种可能啊？一二三。哦，一共有十种可能啊，那 那么第二个方框里头有几种可能呢？因为已经有一个人排进去了，比如说这个同学就是 a 同学，那剩下的九个同学里头。哦，懂了，所以他有九种可能。那么继续来， 已经有几个同学排了前两个位置，已经有两个同学放进去了，那最后只剩下八个人了，所以是八种可能，还是根据分布乘法技术原理。十九八，你说是不是这个道理啊？那最后一乘不就是七百二十种排列的方法吗？就是这样的。 那么接下来看好了，第一种情况呢？其实就是全排列啊，他的话很简单， a 三三，这个 a 代表什么意思啊？就代表排列的意思，那下面这个三呢？就代表总数，上面这个三啊，就代表找出几个人来排列，因为是三个人，三个人都得排列，这就是全排列，清楚吧？ 那如果是十个人呢？你看这个下标，十个人就代表十个总数吗？总数是十个人，那么上面这个三代表什么意思啊？代表十个人里头只用找出三个人来去进行排列就行了。这个是普通的排列啊，不能叫全排列， 那么他的算法都很简单呀，从高向低去数不就行了吗？十个人选三个人，那就十九八，把三个位置占满就行了。原来是这么算的，所以接下来什么叫排列？从 n 个不同的元素中取 m 个元素， 然后呢，按照一定的顺序排顺序，没有考虑顺序，那么叫做什么？叫做 n 个不同元素取出 m 个元素的一个排列，原来这个就是排列的定义啊，那从十个元素里头取出三个元素呢？那刚才不就是继承 a 三三不就可以了吗？ a 十三啊，十个里头选出三个排列，考虑顺序，那么继续，什么叫排列数？就是那个数字一共有多少种吗？多少种？那个数量就叫排列数。从 n 个里头取出 m 个，然后呢，最后排列的总数，排列的那个个数，那个数量就叫做这个排列数， 那么排列数怎么记呢？ anm， 一看就知道从 n 个人里头选出 m 个人，排列一共有多少种，可能就这样来记。 anm 啊， 那好了，那排列数怎么算呢？平常考试的时候计算的时候好算，你只需要从大到小，比如说哦，一百个人选三个人，你说一共有多少种排列的方法呀？选三个人排列，那就是一百乘九十九乘九十八。哦，我知道了，从最大的那个数字降着来，一直 一直连着乘不就行了吗？所以他应该是 n 乘 n 减一，那么两个人排完以后，只剩下 n 减二个人排，再剩下的一直乘乘乘，一直乘到多少呢？ n 减 m 加一。有很多同学不理解这个 m 加一，这个加一是怎么来的，原因在于，请你告诉我， 一共有多少个因式啊？因数啊，一共是由多少个因数呢？ m 个因数，你自己想想是不是这个道理啊？因为他第一个数字是 n 减零， n 减零，已知道。好，那清楚这个意思了啊，好，就是这么算的。那好， 那么看好了，我们注意到什么呢？注意到，其实我们想算的就是红色部分的，那么继续往下乘的话，一直乘到哪呢？一直乘到从 这样一个减法的顺序啊， n 完了， n 减一， n 减二， n 减三，一直写到哪？一直写到三乘二乘一，这个其实就是 n 的阶程。什么叫阶程？从一一直连续乘到 n， 这不就阶程吗？ 那后半部分其实就是 n 减 m 的结成，那红色部分怎么算呀？你用它一比。哦，我知道了，我们就得出来了，原来 a、 n、 m 这样一个排列数，它的计算方法完全可以用 n 的结成 再除 n 加 m 的结成，就可以快速算出来了，能清楚吧？也就是说红色部分是展开式，我们这个 n 的结成再比上 n 加 m 的结成，是理解的，是方便你理解的清楚这个意思了吧？ 清楚了，就是这样运算的，那么这个知道就行了。那么接下来我们练一道题啊，五本不同的书， 选出三本要送给三名同学，其实跟排队一个道理哦，这是假同学哦，这是乙同学，然后第三个呢，这是丙同学，其实相当于 五。什么？五本书拿出来你要排队了吧？每人只能拿一本吗？所以接下来其实很简单的，你直接来一个 a 五三其实就完全解决了，你说是不是五乘四，再乘三六十种，可能非常简单的啊，那继续 接下来这个有就有要求了啊，他是这样的，班委会有五个成员啊，选出三名，分别担任学习委员、文语委员和体育委员。 那么他这五个成员里头呢，有两个人比较特殊，就是甲乙两个人呢，他呀，不能担任这个文语委员， 那么你就首先应该考虑文宇委员。哎，五个人里头减掉两个人，你说还剩几个人啊？五个人里头减掉两个人，还剩三个人，所以能够担任文宇委员的，其实只有除了甲乙之外的三个人，我们先考虑文宇委员对不对？然后剩下的呢？剩下就没有要求了， 对不对？文艺委员已经有人担担当了，那剩下的就没人了吧，只需要从剩下四个人里头把什么把学习委员和体育委员四个人里头选两个人去这样排列，你说是不是 a 四二啊？够吗？这个题写个 a 四二，你觉得对吗？不对啊， 你要注意文与欧元一开始的三种，再加上后来的 a 四二，这个是分布乘法技术原理要乘的，最后乘起来是三十六种，可能清楚了吧。那接着 如何理解组合或者组合数呢？这样的，其实排列数最大的特点就是考虑顺序，组合数是不需要你考虑顺序的。我们在原来这个例子基础上呢，说了 十名同学随机选三人形成一组，组内不考虑顺序。再说了，大家刚上高中的时候学过集合对吧？集合里头元素是有个什么？集合中的元素是满足这个无序性的。 什么意思啊？就是说三一二，这个算是这样一个集合，我再写一个集合一二三，请告诉我，这俩集合能够画等于号吗？能画等于号，因为我们集合只考虑宏观上的，不考虑他的顺序。集合中的元素不用管他顺序， 其实组合数也是这么回事，他只考虑三个人形成了多少组，比如说甲乙丙丙乙甲啊，甲丙乙，这其实都是同一组，清楚了吧？不考虑顺序。那么如何考虑有多少种选法呢？ 那首先结合前头我们已经讲过的知识，排列数 a 十三，这个每位同学都知道，那么从已经选出的三个人中，你想想有多少种顺序？那肯定是 a 三三，他的全排列呀，有六种顺序，但是这六种顺序的话， 怎么样？其实相当于一种吧，这把六种化成一种，他最好的方式是什么？很简单呀，因为你不考虑顺序，你这六种可能， a 三种可能其实只相当于一种可能，你除六除这个 a 三三不就可以了吗？哦，我知道了，原来如此啊， 原来从十名同学里头选三名，一共形成了多少组？这个组合数啊，他相当于什么？相当于 a 十三这样一个排列数，再除他的什么？再除他的 这三个人里头形成的全排列的顺序，你把顺序这个因素消掉了，就变成了什么，就变成了组合数了。原来是这么回事，看起来还是挺简单的嘛。所以说他的定义就出来了呀。 一般的什么叫组合？分个不同的元素中任意取出形成一组组，那是不考虑顺序的啊，这个就叫组合的定义。那么组合数呢？ 组合数怎么表示？就这么来表示，比如说一百三，他怎么算啊？很简单的，他其实相当于一百个人里头选出三个人排队，一共把那个排队。 对的哦，排队的那个顺序的这个因素消掉了吧。你选出来的三个人一共有六个，六个顺序，其实你只要一个顺序，你除六就可以了，就是这么来算的，清楚我的意思了吗？所以接下来你要拓展的话，就非常简单了， 你说他是不是这样用对应的排列数再消掉顺序这样一个要素，最终就得出来这样一个运算方法了，你看是不是 哦，我画圆圈这一部分，实际上就是 a n m 这样一个表示方法呀，但是你分母部分，这个不就是 m 的阶层吗？所以你还得多出一个 m 的阶层才可以，就是这样的。 那好了，有一个性质，大家不得不知道什么，其实很简单， c 七二肯定等于 c 七五，原因在于哪呢？你想一个道理，七个人里头选出 两个人来，剩下的五个人不自然也形成了一组吗？你想想是不是七个人里头任意选两个人形成一组，有多少种组合的情况呀？ c 七二， 但是七个人里头选出来那两个人，剩下不正好五个人吗？所以他的组合数的情况是一样的，你可以用组合数的公式进行验算，也可以从逻辑上理解他清楚吧。这个很重要的啊，有这样一个类似互补的这样一个感觉啊。 那好，现在我们做两道题，第一道题多简单呢？因为他说了四名男生，三名女生，他呢？不考虑性别啊。 第一个有多少种不同的选法？嗨，选三名代表七个人，你说 c 七三呗。所以就结束了呀，是不是啊？ c 七三啊？自己算，最后是三十五种。那 那么这个里头至少有一名女生呢？两种方法啊，一种是减法，一种加法，咱们用加法试试。加法的话可以这样， 可以是一名女生吧，然后选出的三名代表里头，那就是两名男生，或者说两名女生，一名男生，或者说三个都是女生，就这三种情况，所以接下来相加不就行了呀。一个女生三个里头选一个， 两个男生四个男生里头选两个，这不就是他吗？对吧？第二种可能两个女生一个男生，第三种可能全是女生，全是女生，不就是 c 三三。他其实等于一的啊，然后都选出来了吗？最后加起来就是等于三十一的， 你说是不是很简单啊？确实是这样，那最后一种呢？最后一种是男女都有。那反过来是什么呀？ 反过来他的反面。注意了啊，他的反面，我们正难则反嘛，反面就是仅有难， 或者说仅有女。那我知道了，我用这个 c 七三减去仅有男生，仅有男生不就是 c 四三吗？再减去仅有女生的情况， c 三三。那最终 你算出来的那个结果不就是圈三的？要你算的这种结果量，最后是三十种。分享课堂知识，感受数学之美。我是尚方老师，下节课再见。

今天我们来讲一下排列组合当中的高频考点分组分配问题。这个问题又具体分为不同元素和相同元素的分组分配。我们先来看不同元素的分组问题，其又分为三种类型及均分、不均分和部分均分。 先来看平均分组的情况，现在假设要将 abcd 四个元素平均分为两组，这个问题很简单，我们直接可以列举出来及以下三种情况，而我们也可以用排列组合的知识来进行求解集。第一步，先从四个元素当中选出两个组成，第一组， 将剩余的两个元素组成第二组及 c 四二乘以 c 二二。但是我们发现结果是六种和之前列举的情况是不一样的。出错的原因就在于因为分步骤而人为的增加了顺序，比如先选择 ab 作为第一组，那么 cd 作为第二， 但这种情况和先选 cd 再选 ab 是没有区别的，所以为了得到正确的答案，我们就要消除这种人为的影响及去除组间的排序，所以只需要在原始的基础上再除以 a 二二即可。 再来看不平均分组的情况，在这种情况下，不同的组织间是有区别的，所以是不存在重复的问题， 那么就不需要去除组件的排序。第三种情况是部分平均分组，这种情况下我们直接将问题分成平均分组和不平均分组两种情况，然后依次求解，再相乘即可。下面我们再看一下不同元素的分配问题， 这里我们还是先看平均分组的情况，在这种情况下，分配意味着排序，所以在分组之后要对各组进行全排列，再来看不平均分组的分配问题。这里又分为两种情况及定向 排序和不定向排序。分组就是分配，所以分组之后不再需要进行排序。而对于不定向分配，分组之后还要对各组进行全排列。最后我们再来看一下相同元素的分组分配问题。 对于这种问题，我们的方法就是隔板法，比如我们要将三个相同的小球分为两组，最简单的方法就是将小球直接分拨，也可以理解为在小球的空挡之间插入隔板。 那么这里我们就可以推广出一般情况，即 n 个元素会有 n 减一个空位，而要将这 n 个元素分为 m 组，即在 n 减一个空位中插入 m 减一个隔板即可，也就是 cn 减一 m 减一下课。

十秒带你拿下排列组合， ok， 好 啦，那我们刚刚用的这个快速的解法呢，就是咱们今天要讲的装盒问题的一个数解大招。那这里我先给大家同步一个公式啊， c n 减一， c m 减一就是咱们这个公式， 那这个公式它适用于什么呢？适用于咱们题目里这种八个小球分装到盒子中啊，分装到 m 个盒子中，那 保证每个盒子至少存在一个球。那对于这种题呢，咱们可以直接套公式啊，比如说我们刚刚这里 n 呢，它代表了咱们的小球个数， m 呢代表咱们的盒子个数，那我们这里 n 是 八， m 是 三，对不对？我们就可以直接套进去，那就是 c 七。 那这里我再问一下大家，如果咱们这里把保证每个盒子有一个小球变成两个小球，那我们这道题该怎么去解呢？不知道吧？啊？我这里告诉大家，咱们同样的可以去用这个公式，那我们来看一下具体怎么做。那我们一开始啊，我们是不是八个小球 哎？我们把它分到三个盒子里，那保证每个盒子至少有一个，那我们可以用这个公式，那现在我们要保证他每个盒子至少有两个，我能不能我先把这三个球先放下去，我先给他放下去，那剩下的五个球， 我是不是在考虑让剩下的五个球保证每个盒子里再分到一个，对不对？每个盒子都能再分到一个，那同样的他也就变成了咱们上面题目中这种装盒问题了，对不对？那我们同样可以用这个公式，我们的 n 就 变成了五， m 呢？还 是三，所以最后的答案咱们应该是 c 四。二，你学会了吗？学会的话收藏点赞，我们下期再见，拜拜。

快甲说，我必须站 c 位，一说我绝 对的顶流，先把甲按死在第四位，一种选择直接难。 六六七百二十圈，排列排完，等等，放下 b， 别急，这一位大功告成，完美大包的快递还能拆箱！甲以内部左右互换，这细节决不 能二，只有两种情况，你要算的干脆，快排的七百二十乘以内排的二，一千四百四十种，结局完美收尾。快排排排排排排排排排排排排排排排排排排排排排排排排排排排排排排排排排排排排排排排排排排排排排排排排排排排排排排排排排排排排排排排排排排排排排排排排排。 口袋把冰和金像镜子一样擦进这六 个六二等于三十三十种姿势，保证仇人绝对不见面。一百二十乘以三十三千六百种，啪啪，直接把答案写进高权限。

盘点一下只要会背口诀就能得分的经典题型。第一个排列组合中，环形排列 n 个元素，环形排列有 a， n 减一， n 减一种方法。问题问，四位男性，两位女性，六人围成一圈跳舞，有多少种方式？ 六个元素环形排列有 a 六减一，六减一种方式，也就是 a 五五计算出来为一百二十选四 d。 第二个排列组合分配问题， n 个相同的元素分成 m 份儿，每份儿至少一个，有 c， n 减一， m 减一种方法问，九个苹果分给五个人，每人至少一个，有多少种方式？那就是 c 九减一，五减一，等于 c 八四计算的结果为七十选四 d。

这节课把排列组合最容易卡住的四类模型一次打穿，定序、缩背、隔板、环排、分组、分配。考场上见到就按模型走，我不堆空口诀，直接把入口公式和答案讲清楚。第一类，字母顺序写错，先看重复元素。第二类，相同小球进不同盒子，隔板位置就是答案。 第三类，圆桌为坐，先固定一位，再处理相邻。第四类，先分组，再分配均分，一定要去中。最后再给两道综合题把四个模型连起来，现在从第一题开始，看到哪里公式就写到哪里。 第一类，定序和缩背题面是把 badger 的 字母顺序记错，问写错的情况数，先别急着看选项。第一步，先把字母拆开， badger 一 共六个字母，其中 e 有 两个， t 有 两个。如果把两个 e 和两个 t 都当成不同整体排列，就是六的全排列。但相同字母互换，看不出新单词，所以要除掉两个 e 的 内部排列， 再除掉两个 t 的 内部排列。屏幕上就是六阶乘，除以二阶乘，再除以二阶乘，这只等于一百八十。注意，题目问的是写错的情况，一百八十种里面有一种正好是正确的摆折，所以必须再减一，得到一百七十九 答案。所这一类模板就依据重复元素先缩倍问，写错再减正确。第二类，隔板问题，体面是九个相同小球，放入三个不同盒子至少一个，看到这三个词，就把题目翻译成正整数减。 这三个盒子里分别有 space、 x 二十四个球，那么 x 零加 x 二加 x 四等于九，而且每个都至少一。把九个小球排成一排，中间一共有八个空，要切成三段，只需要在这八个空里放两个隔板，所以方案数是 c 八取二， c 八取二，等于二十八。答案所 a。 这题不需要每举每个盒子放几格隔 板，选为一步到位。如果题目改成可以为空，才需要换成非负整数的版本。第三类环牌问题。题面是 f、 c、 d 四人为圆桌就坐， ab 相邻，问多少种做法？ 圆桌题最容易错，是因为整体旋转不算新方案。第一步，先把 a 和 b 捆成一个整体，现在桌上不是四个人，而是 ab， 这块加 c 加 d， 一 共三个对象，三个对象围成一圈，环牌数量是三减一的阶乘，也就是二阶乘，得到两种外部位置，但是 ab 内部还有顺序，可以是 a 靠前 b 靠后，也可以是 b 靠前 a 靠后， 所以内部还要乘。二阶乘总数就是二阶乘乘。二阶乘等于四。环牌的核心不是硬少算一个人，而是先固定旋转，再处理附加条件。第四类分组分配问题。题面是台风强险甲、乙等四名志愿者去 a、 b、 c 三个受灾小区，每个人只能去一个小区，并且每个小区都要有人去。 先抓结构，四个人分到三个非空位置，人数分配只能是一一、二，也就是两个小区个一人，另一个小区两人。这一步先分人，不急着贴小区名字。先从四个人里选一人做第一组，再从剩下三人里选一人做第二组，最后剩下两人自动成为第三组。由于两个单人组大小相同，交换顺序没有区别， 所以先分组是 c 四取一乘 c 三取一乘 c 二取二，再除以二阶乘，算出来是六种分组。接着把这三组分配到 a、 b、 c 三个小区，三个小区有名字，顺序不同就算不同方案， 所以在乘三阶，乘六，乘六等于三十六。答案所低，这一类必须分清。平均分组要除重，定向分配要成排列。最后两道综合题，先看占对题， 六位同学 a 到二排队合影，要求 a、 b 相邻， c 在 d 左边， a、 b 相邻，先捆成一个块，于是变成 a、 b 块。 c、 d、 e、 f 五个对象排队，五个对象全排列是五阶乘。 a、 b 内部有二阶梯，但 c 在 d 左边，只占所有情况的一半，所以结果是五阶乘乘二阶梯，再除以二，结果等于一百二十选 c。 再看八人两两分组题， 八名同学，每两人一组，组内地位相同，组与组之间也不区分顺序。先把八个人全排列，再把每组内部的二阶乘全部除掉。一共有四组，所以除以二阶乘的四次方，组与组之间没有顺序，还要再除以四阶乘。最后是八阶乘，除以二阶乘四次方，再除以四阶乘，结果等于一百零五选 c。 把本节四个入口收一下， 看到重复字母，先整体排列，再出重复元素的内部排列。看到相同小球进不同盒子，先判断能不能为空，再放隔板。看到圆桌为座，先固定旋转，再处理相邻或不相邻。看到分组分配，先按人数结构分组，再看目标有没有名字排列组合不是被一堆散公式，而是先问谁相同谁有序，谁要去种。 这顺序不乱，考场上就不会一上来就懵，为了防止考场上算到一半卡住，最后再把每类的丢分点压一遍，败了。那题第一坑是把两个一当成不同，第二坑是忘了两个 t 也重复， 所以缩背时要连续出两次二阶乘，不能只出一次。第三个是题目问写错，而不是问能排成多少个不同单词，所以一百八十不是答案，一百八十简易才是答案。隔板那题最关键的是每个盒子至少一个，至少一个，意味着隔板只能插在球和球之间，不能插在两端。九个球只有八个中间孔，所以直接从八个孔里选两个。 如果题目写的是可以为空模型，会立刻变成另一套非负整数解。圆桌那题，千万不要把直线排列的四阶乘直接搬过来，圆桌整体转一圈仍然是同一种做法，所以必须先消掉旋转重复相邻问题，用捆绑 a、 b 当成一个整体，之后再把内部顺序乘回来。 分组分配那题，先看有没有指定去 a、 b、 c 有 指定对象，就说明最后一定要做定向分配。但在分配之前，四个人先拆成一一二的组形，两个单人组大小相同， 所以分组阶段要除以二阶梯去重。分完组以后，小区 a、 b、 c 有 名字，三组贴到三个小区就要成三阶梯。最后两道练习也是同一套。判断战队题是捆绑加定序， a、 b 先捆 c 在 d 左边再折半八人两两分组题是纯均分，组内无序，组间也无序， 所以两个去重都要做。你只要先判断这些关系，排列组合就不会变成乱猜公式，这才是这节课真正要带走的东西。那么讲到这里，很多家长和同学都在问我 为什么连续四年押中高考真题，其中更是二五年新二卷考前几天的题卷，押题押中原追去线，三角形面积，一道大题十几分， 考前六月四号的作品，这都是翻我作品可以看到的，还预测新一卷压轴单选 b 选项，并且在最后阶段还给大家准备了二百个高中数学斜修题分技巧，想要领取后台发送，年级加学科即可。

上一期我们攻克了不同元素分配难题，那本期挑战升级专攻排列组合技巧，天花板、格板法，相同元素的分堆名额的分配，至少分一个，别再硬美举 一招，格板法直接秒杀，学完这例题，秒出答案，挑战排列组合，满分通关。那我们来看一下，首先大家要知道什么时候用格板法呀，那我们跟上一节的这个内容来去做分组分配，那一定要选择格板法， 那隔板法是什么？怎么去用呢？我们来看一下。就是啊，在相同元素当中，比如说这种问题哈，六个平庸名额要分配给三个班级，那你去分配名额，名额这个东西当然都是一样的呀，不存在说，哎，分配你们这个班级这个名额更好，人家那个班名额就更不好，不可能存在这种情况。 所以呢，他就已经引含了咱是相同的元素来去做分配，那也就是说啊，咱们有六个一模一样的东西，我给他分，分成三摞，对吧？那在分的过程当中啊，咱们得要求每个班至少有一个名额，也就是说你这三摞每一摞里面必须得至少有一个元素呗。 那现在来分的时候，他的唯一的区别就是你是这么，哎，比如说我这样划两道哈，一一四，这是一种分组情况， 当然你也可以把这一道画到这一二三，也是一种分组情况。所以其实啊，在隔板法这里，或者说是相同元素的分配问题，这里我们主要研究的就是能够把这六个元素怎么来分堆。 那在分的时候呢，大家可以直接采用隔板法，在这中间啊，画线的方式，你是不是就可以去给他分了？比如说咱们现在要分三堆，那你画两道线，他是不是自然而然的天然的就分成了三个部分了？那你如果说想换一种分组方式，咱换一个位置去画线就可以了呀。 所以你会发现我们的隔板法呀，无非就是在这几个元素当中去画线。那画线的时候你有多少种选择呢？你可以在这画， 可以在这画，可以在这在这在这画，都是去把它给它分隔开，一分为二的这样的一种操作。但一定要注意哈，你不能画到这，也不能画到这，有的同学可能在排列问题当中，哎，学会了插空法，我就发现这里六个元素就有七个空，那不是的， 咱们的目标啊，是把这六个元素给他分隔开，那你如果在这个位置画线，好像对于这六个元素什么影响都没有，对不对？所以在这里呢，我们要把左右两边外侧的这两个 取消掉，那咱最后六个元素，你的空空就只有五个空空，咱们可插的地方就只有五个选择，那在这五个当中，咱要插几个板呢？ 那你看你要分几堆呗，咱要分成三堆，那咱其实有两刀就够了，所以咱们是 c 五二， 哎，注意，这块是 c 五二，不是 a 五二，因为咱们这俩隔板没有顺序啊，你只要是这俩放到这就可以了，所以咱们采用的是 c， 那 c 五二的计算，当然就是五乘四再除以二，最后应该是一个十，选择二 b 就 可以了。 对他的计算呢，其实并不难，重点是同学们得能够知道咱们采用什么样的组合数，非常方方便的一个小技巧呢？就是下面这个，应该是我们的啊，这个相同元素数减一， 上面的这个呢，是咱组数减一，盯着他咱就减一就完事了，这样子最终一定可以保证每一堆都至少有一个元素。 那我们学会了这个隔板法了之后啊，题目也会有对应的升级，比如说有的题目当中，他没有说是老老实实的就让你每一堆分一个，比如像这种问题，有十二个相同的小球，我要分给甲乙丙三个人，哎，看到相同的小球，一定得用隔板法吧。 但是他后面的要求很奇怪，他要求啊，甲至少一个，乙至少两个，丙呢，至少三个，你看有人要的多，有人要的少，你这个时候直接去进行隔板法，没办法保证，哎，丙至少有三个呀，那咱咋办呢？ 那咱现在就可以啊，多了咱就多给他点，少了你退给我点就行了，咱们提前来做一下操作，比如说这种问题哈，甲，没问题，我最后分完了，肯定是保证你的至少有一个的，但是乙不一样，乙，我分完了，能保证你至少有一个，人家要俩咋办呀？ 那咱先提前啊，偷偷的给人家一个呗。提前，哎，先分， 分给乙一个，我先给了你一个，一会分的时候再保证至少给你一个，那加到一起你不就至少有俩了吗？同样的，那乙分了一个，那分给丙呢？人家要至少三个，你得分人家两个， 哎，我提前先给人家把这个东西给了，那现在再来进行隔板的时候，注意你不是拿着十二个小球了，因为你已经提前挥霍了一些，给他一个，给他俩咱就剩下了九个相同的小球了。 那对于这九个相同的小球，咱现在去分给三个人，咱再用个板法就行了。那九个小球九减一等于八，八个空，那分几堆呢？分三堆应该是差两个板 c 八二，所以最后的结果应该是八乘七除以二等于二十八，哎，所以最后结果就是二十八。 那大家要知道，对于隔板法而言呢，我们啊有的题目当中不是老老实实直接让你去隔板法的，而是需要你提前做一些操作，这个呢，是他要的多， 那如果有的时候我至少为零也可以，对吧？我这个没说至少有一个我为零也可以。那咋办呢？那你先给我一个就完事了呗。你先给我一个，然后我后面分的时候我再还你一个，那一借一还，就保证了他最少是零个了，这是我们在提前来进行的操作。 那在有一些题目当中啊，大家可能哎，还想不到，它也是用隔板法来做的，比如说这类问题，六元一次方程， x 一 加 x 二，一直加到 x 六等于十，求它的正整数解有几组？ 这啥呀？让我解方程，那这跟排列组合有关系吗？其实是有关系的，你想一下，这几个解 x 一 到 x 六，它们都是正整数，而且它们的和又是十。 那其实不就是说我想把十个一模一样的元素分六堆吗？我看看 x 一 里面有几个一， x 二里面有几个一， x 六里面有几个一，那它有几个一，它就是几啊， 所以它其实还是隔板法哎，只不过换了一种表述形式，同学们得能够识别出来。那现在我这么一翻译，相当于奥十个一，我去分成六堆，而且这每一堆至少为几呢？ 至少为一，因为他要求的是正整数，那至少就是一喽，所以咱们直接来套用隔板法 c 九五来计算就可以了。那 c 九五其实也就等于 c 九四啊，我们 c 九四小一点好算一些，九八七六比上四三二一， 那这个二三得六一约他跟他一约，剩下的应该是十八，再乘上一个七应该是一百二十六，结果就是一百二十六，咱就计算出来了，所以大家一定要能够识别出来隐藏的隔玩法应该怎么去计算。 好嘞，那这就是今天隔玩法的全部内容了，同学们还想要听什么样的知识点，欢迎在评论区下方留言告诉我，我们下期再见。

数学选择题想满分根本不用算！这条视频你敢发给你数学老师，他绝对让你赶紧划走！因为这些考场野路子，这老师看他打死都不愿讲的题风内幕过来人都清楚，高考一分干翻千人多进一个，这种捷径，多选对一道选择题，直接白减五分，差距瞬间拉开。今天学长不讲废话，专门挑经五 年大考高频考点，整理了五十五条选择题秒杀绝招，全是落榜生用血的教训总结出来的干货，含金量拉满，不服直接上整体实战 来看这道经典环形花坛题，常规解法要反复分类讨论，列满整张草稿纸，还容易漏算出错。记住这个环形染色万能公式，一步秒杀！ n 是 颜色数， m 是 区域数，直接透露公式三的次次方加三答案直接锁定八十四，不用推倒，十秒出结果是不是超简单？再来一道环形绿化带， 真题，依旧环形相邻涂色无脑照搬公式 n 等于三， m 等于五，代入计算三十二减二，答案就是三十，别用列式算半天，我们口算出答案，给你们上一道压轴难度的题！ 很多同学看到混合环形直接放弃，其实拆解两步就能拿捏。第一步，先涂区域一，四种颜色随便选，有四种选法。第二步，涂剩下的二到六号 环形区域，因为区域一已经用了一种颜色，所以剩下的区域只能用 n 等于三种颜色， m 等于五个区域。套公式求出三十，最后两步直接相乘四乘三十等于 一百二十，压轴题半分钟搞定，看懂了吗？空中数学真不是靠硬算，正规步骤是给老师准备的考场，拼的就是谁的结论多，谁的方法快。最后，除了这个环形函数公式，学长还整理了过去五年大考常考的五十五条选择题，秒选绝招、覆盖函数、几何、概率等所有个别体型，想要的同学直接告诉我你的年纪，学长帮你提分逆袭！