数学必修二立体几何梦老师

立体几何中的角度求解问题？喜欢在选择填空，尤其是填空的第二第三题，这种中档次压轴位置出现在结合大体第二问中必有的角度求解分值占比高，而且足够稳定， 无论大家有没有提前掌握间隙的外挂，今天关于线线角和线面角的通用解法，相信你学完之后会有收获与提升。 这是一条线，这也是一条线，两条线的夹角大小是 theta。 假如我把其中一条直线平移一下，你认为它俩的夹角还是 theta 吗？没错，当然是的， 所以直线的平移不改变夹角大小。哎，那线的伸长缩短改不改变线线夹角啊？是的，同样不改变。那他做的这么短了呢？ 没有关系，咱们给他做条辅助线就回来了。所以啊，平移和伸缩永远不改变线线夹角， 并且平面和空间都是适用的。那只要了解了这样一个点，我们便可以解决几乎所有的立体空间线线夹角问题。就比如呀，在这样一个正方题中， 他说要求红线 a、 d、 e 和黄线 e、 f 所成的角度，我们是不是可以放心的把 b、 d、 e 连接起来呀？ 在蓝色三角形中， ef 是 底边的中位线，那么 ef 也就平行于底边第一 b。 换句话说，第一 b 一定能够由 ef 平移伸缩得到，而平移伸缩完全不改变夹角大小， 所以红线和黄线的夹角就等于红线和蓝线的夹角 共面。直线夹角可以直接标出在黄色三角形中，正方体能长为一，另外两边根二根三，这是一个直角三角形，夹角与弦值等于根号三分之。根号二 化简之后选择 c 选项。正是因为平移和伸缩完全不改变夹角大小， 所以只要题目来一句求红黄两线的夹角，我们就可以在伸缩和平移的范围内，不择一切手段，让红黄两线进入同一个平面直接接触。题目就变成了最基础的求解面内夹角于弦值。 再比如这样一道题，他说要求 am cn 红蓝两线夹角分别记作 l 一、 l 二， 根据原则不择一切手段给他俩平移到直接接触共享平面的位置，这样平移稀奇古怪，不行。 那这样呢？千万注意，这里不是焦点，也不好搞，所以光有平移是不够的，还得伸缩。再次借助中位线神力连接 md 做出 l 三， 在红色三角形 amd 中，黄色的 l 三又是中位线， 红线通过平移伸缩能够得到黄线。那么题目要求蓝线和红线的夹角就是蓝线和黄线的夹角， 咱们把 c、 q 连接起来， c、 n、 q 便是对应的角度大小。剩下的重点便是找出黄色三角形的个边长度了。那题目也说了，空间四边形 a、 b、 c、 d 的四条边以及对角线，也就是 b、 d、 a、 c 长度都是一样的。那你说这 abcd 到底是个啥呀？没错，正四面体。 所以这个绿色侧面 a、 c、 d 是 个等边三角形，中线 c、 n 长度为根号三。 再看这个终结面， amd a、 m 也是根号三， nq， 它又是中位线，长度为底边的一半。 最后看底面 bcd 点， q 是 中点，非常典型的等边三角形， cq 等于根号三。像这样咱们便算出了最后 等会儿点， q 是 m、 d 的 中点 哦，等边三角形中线上的中点，它不是几何中心， 终点，在更加靠上的位置标定长度，再由勾股定律可以算出真正的 c q 大 小等于二分之。根号奇。放回原本的三 d 视角中， 三边长度都有，再想求 c 塔，咱们只看黄色的三角形， 那么现在聪明的你知道应该怎么求了吗？ cosine theta 余弦定里等于三分之二，作为本题答案。 接着进入第二部分，这是一条线，这是一个面，交点为 t， 他 说要求线和面的夹角，线面夹角，咱们引入实物平面， 当我们把组合体视角压缩到合适位置的时候，这个线面夹角特别的直观， 但是具体咋求呢？思考一下，你看呀，在线上随便取个点 n， 向平面引一条垂线，垂足为 r， 那 么在这个黄色直角三角形 ntr 中， 线面夹角 c 塔特别的好求。所以啊，咱们以后尤其是在小题中看到线面夹角的时候，就在线上随便取个点 n 向平面引一条垂线， n r 垂直蓝色平面，也就垂直于蓝色底边，再标记好线面夹角 c 塔， 最后只用在黄色的 ntr 中标定长度，这个 c 叉角就没得问题了。就比如这样一道题，在正方题中要求蓝色平面和黄色直线的夹角，怎么操作嘞？ 没错，在线上随便找个点，比如 a 向平面引一条垂线，垂足是 q， 构成直角三角形，角 a， d， e， q 等于 c， 它正好对应这个线面夹角的大小。咱们聚焦黄色三角形，题目不给长度，咱们就设它的棱长等于二， 那么 a、 q 和 d， e、 q 都不难求。而在这个黄色直角三角形中 c， 它角的正切值便等于根号六分之根号二，三分之根号三。选择 b 选项。 并且呀，这个辅助线的做法不是什么邪修秒杀，就是最最简单纯粹的基本定义。咱们最后看这样一个正四面体 p 杠， a， b、 c、 d 为中点，要求黄线 b、 d 和蓝色平面的夹角。聪明的你一定有了想法，在线上随便取个点，比如 d 向平面引一条垂线 d q 垂直蓝色平面，也就垂直蓝色底边构成直角三角形，线面夹角正是 d b q。 再来聚焦黄色的直角三角形，棱长随便射绿色侧面 b p a 中 b、 d 作为等边三角形的中线，等于根号三。但是要求余弦的话，这个 b、 q 应该咋算呢？我发现呀，点 d 投影到底面是 q， 点 p 投影到底面是 n， 这个 n 呢，他才是正儿八经的几何中心。点 q 是 a n 的 终点，这里要千万注意 n 和 q 的 位置，咱给它铺平， 边长为二， a， n 就是 边长，除以根号三 q， 它又是中点 a q 取一半长度， 这个 b、 a、 q 正好三十度角。所以啊，在这个蓝色三角形 b、 a、 q 中， cosine 三十度，利用余弦定力，等于二分之根号三， b、 q 的 长度，可以很快算出等于根号三分之根号七。 再回到三 d 视角， b q 等于根号三分之根号七。那这个 cosine c 塔，咱们只看黄色的直角三角形 cosine c 塔便是三分之根号七。 那么以上内容便是线面角的求解方法。在视频的最后，咱们就线线角和线面角各选定了一道强化练习，供各位同学巩固提升。这是第一道题，这是第二道。

立体几何？在各位同学第一次听到这个概念的时候，会不会感到莫名其妙？尤其是当你看到这么一堆乱七八糟的毫无美感的线条的时候。 这是一个平面试卷啊，试卷上还堂而皇之的画了一个立体图形， 这就是诈骗。但是，高考毕竟不是大学的期末报佛教此时此刻就有搞懂的必要。所以，今天咱们用九分钟时间，让大家对二 d 试卷上的三 d 几何体的感受，不再是面对一堆错综复杂线条的和一位，而是真的能够一下子感知到几何体的真实模样。 首先呀，是这样一个经典的不能再经典的立方体。呃，这难道不是一个六边形吗？ 第一次接触立体几何，你要是不这样想才不正常。但是嘞，我们也不能总是这样想，而想要打破这样一个认知局限，其实也是相当之不太难的。 看到二 d 试卷上画着个三 d 几何体，首先不要生气，咱们把它从试卷里拿出来 观察观察，再观察。哦，原来是这么个样子哎，您不妨思考一下， 这条棱和这条棱，谁和屏幕前的你挨得更近呀？转体运动， 这一条和这一条，谁和屏幕里面的我隔得更近嘞？我想，聪明的你一定有了答案，给他放回试卷中。 哎，我又不太明白了，这虚线是个啥玩意？辅助线吗？准确来讲，这是透视线， 我们平时看到的都是实心物体，那人家立方体要闭月羞花，把那几条棱往屁股后面一藏，说，我就不给你看，有啥子办法嘞？ 哎，你不给我看，咱们可以强行透视一下。你看呀，这条在实心情况下来讲，无法被看到的棱其实一直都是真实存在的。 再切回试卷平面，所以立体几何中的虚线是确实存在，但是藏在里边我们看不到的，而且绝非个例。当我们拿出未来出境频率极高的正四面体，还是同样的道理， 观察观察，再观察！好，扫描完毕。 您认为这第一条棱和这第二条棱在你的视角应该把谁当做虚线呀？没错，聪明的你一定晓得了得，是第二条藏在后边， 接着难度再升一级，这是一个叫做棱台的玩意。老规矩，观察观察再观察， 左瞄右瞟，上瞅下看。此时此刻，请回答，这条棱 和这条呢？应该把谁当做虚线呀？答案是这一条，而这条更加靠近你的红色实线，肉眼可以直接看见，所以不用虚线。 再回到人类视角，你可以猜一猜他和他的几何关系。不过重点还是这条，这条，还有这条，他们各自是实线还是虚线呀？ 没错，都是藏在后面，需要透视才能看得到的虚线。好的，此时此刻，相信你已经是信心满满。我们再稍微变难一点， 这个玩意叫做正六棱柱，请仔细观察人类视角，并记在脑海中。试卷通常是不把我们当人的。 好的，亲爱的同学，请选择红色的 a、 橙色的 b、 黄色的 c、 绿色的 d， 哪些是虚线呀？ 紫 e、 粉 f、 褐色、记清河、灰暗梅花钩。这里面还有没有虚线呢？ 大家可以简单的验证一下，和您的想象是完美对应，或者有所出入，还是相互独立呢？ 但不管怎么样，能够看到这里，你已经很棒很棒了。而且啊，所有高考试卷上的立体几何全部都是开了天眼的上帝视角。对了，高中生偶尔也可以是上帝。就比如这样一个三棱锥 虚线，是一条真实存在的棱，藏在屁股后面。二四年的四棱锥红色虚线，从不是辅助线，而是切实存在却藏在几何体的内部或者后背的东西。 二五年的全国二卷大的圆柱桶，里边放了两个小球，并且容器顶上还封了盖 虚线呀，他比较害羞，咱们肉眼一下子看不见，但是呀，当你愿意一层一层的剥开他的心，你会发现他永远在这里默默等着你。好的，接着我们来看一下具体的考场应用， 说在正方体 a b c d 杠 a e b e c e d e 中角 a e d e c 的 大小为。 首先，我真求你了，不要一上来就认为他是一个钝角，我们闭上眼睛认真感受立体几何的美，感受他的真实建模。你看，是这样的，转导，转导，再转导， 这了吗？是一个直角。所以在我们最开始学习立体几何的时候，一定要培养这种能够在大脑中把物体旋转的能力， 而这个能力的培养只有一条路径，就是反复的看，反复的看这个几何体的转动过程。 接着我们来进一步研究刚刚说到的正四面体，也就是有且仅有的四个面都是正三角形的集合体。等边等边还等边。 棱 a c 的 中点为 q， 他 问角 a q b 切换为人类视角 几何体边转动，大家可以边思考这条棱和这条棱之间有什么关系？当然呢，重点还是丁方角 a q b 转动，转动，再转动。 当我们俯身从正四面体的头顶观望这个底板的等边三角形的时候， b q 这妥妥的垂直平分线呢。那么角 a q b， 它就是九十度？没错，这个看似不直，挺有点像钝角的 a q b， 它刚好就是九十度大小。 接着看更难的第二个问题，要判断角 p q b 和六十度之间的大小关系。黄色的角 p q b 好 说，这六十度上哪找嘞？ 哦，等边三角形的任意一个角都是六十度，咱们取这个还是那句话，用心感受。 当我们把点 q 看成一个 a c 棱上的动点的时候，这个点 q 他 越是接近 a， 这俩角度大小就越接近。那么你认为点 q 向点 a 靠近的过程中， 咱们感受一下黄色角度是不是越来越锋利，越来越尖锐，但是大小也越来越小呀？ 没错，无论向谁靠近，都要付出相应的代价，靠的越近，代价越大。所以由黄到紫，由大变小。黄色大角 p q b 大 于六十度，紫色小角 p a b。 好的，接着我们再来看难度更大的第三题，要比较三角形 p q b 和三角形 p c b 的 面积大小。既然红蓝俩三角形都是等腰三角形，那预示不决，咱们先设个腰， 哎，这又是面积又是邻边的，直接把夹角设出来。 那么这红色三角形面积，咱们是不是就可以借助前面解三角形才学的等于二分之一倍？第一方 sizeit 蓝色更简单， 并且咱们老早就晓得了，角 a q b 等于九十度。点 q 在 a c 上，越是向 c 靠近，红色的腰第一就越长，逐渐变大，向第二靠近。 但刚刚第二问也说了，越向 c 靠近，黄色 c 塔越锋利，角度越发的小，所以 c 塔是在逐渐变小，向六十度趋近的。 呃，一个变大，一个变小，折拐了，比不了大小了 欸。等会儿，红蓝两三角形都是等腰，而且还有共同的底， p b 底边取中点标记 n 等腰三角三线合一， n q n c 两条高线重见无缝，最简单的最高效二分之一底层高， 底边相同，都是 p b， 那 么就只用比较 h 一 和 h 二两条高线就能够间接的得到面积的大小关系了。还是那句话，请用心感受。 在转动的过程中，大家可以认真思考怎么比较两条蓝色线段的长度，是最好最简洁高效的办法。哎，我发现了，这个角度就是破局的关键， 它也是个垂直啊！谁曾想呢，角 n q c 居然也是个九十度角，把 n q c 彻底放平，斜边长于直角边大小比较也就完美搞定了。 在视频的最后，给大家留一道二四年的北京卷高考真题，希望你可以用心感受。我是佳树，希望本期视频能够对你有所帮助。

假期在预习高一下就是 b 修二这本书的时候，你只需要预习两张就可以了，就是第六张和第八张，因为第七张、第九张、第十张这三张内容和高一其他章节比来说，就是一加一等于二，根本就不值得你花太多时间。首先说第六张向量这一张，它在高考当中一般是出一道小题，这个大题是在正余弦定理，这在 在以前六道大题的时候，他是必考的，一般就是第一题或者第二题，现在六千五有可能去掉了，也就说按照我们原来高考的习惯，这个第六张自己就占了一道大题，一道小题就是十八分打底。那第八张立体几何的一道大题，一道小题，而且这道大题大概是不会去掉的，因为六道大题当中他算比较特别的一个，所以说这一张自己也至少占了十八分， 这两张加起来在高考当中占了三十六分，你说重不重要？第七张复数这个东西，上学你就跟着听一遍就行了，这道题就一道小题五分，不是第一题就第二题一体生成得到，所以根本不需要专门花时间预习。第 九章和第十章往往不单独命题，他是跟高二的统计联合这么命题的，所以他占的篇幅是很小，所以这两张到后面学的时候，你就跟着学校学一遍就差不多了。 重点一定是放在第六章第八章上。那第六章难点就有两个地方，一个是向量的数量机，这向量数量机这图形多方法多运算又比较困难，所以很多人到这块就卡住了，但是这是一个重难点，你一定要花大量时间去突破，再 就是正弦定律的大题要是出的话，他算是几道大题当中最简单的一个，所以比较好拿下。你一定要把大题写的非常熟练，但是因为他结合的知识点比较多，比方说高一上学期的很多三角的公式基本不等式，你要尽可能在假期的时候把这个正弦定律的大题 归类，包括方法给他提取明白了，还有立体几何，考大题的时候，这个几何法非常非常重要，每一次都一定要强调，你不能光等着高二上学。空间向量只会间隙 立体几何这道大题，他一般第一问是证明，第二问是求值，就是求角度或者距离，第二问的这个求值是用空间向量比较简单，但是往往第一问的话就是几何法正比较简单，你几何法几步就出来了，有的人间隙证明的话，他就非常麻烦。 所以在假期时间不太充分的时候，你预习高一下学期只是三个地方比较重要，一个是向量的数量积，一个是正弦定律大题，还有就是立体几何大题， 你把这三个如果假期拿的差不多，下学期学就比较轻松，而且高一下学期这个必修二这本书算是五本书上最简单的一本书，因为真正有难度的只有这么两张内容，所以它属于占的分多，但是难点和重点又比较少，是比较好把握的。

今天我们用六十秒用三 d 技术讲解如何找到高中立体几何二面角，看完直接拿捏！第一种，定义法，最简单最基础，棱上随便找个点，两个平面内分别给棱做垂线， 两条垂线的夹角就是二面角，适合棱清晰，有中点端点的题型。第二种，三垂线法，高考压轴高频，一个面内找点，向另一个面做垂线，连线形成的夹角就是二面角，找不出垂线就用它。 第三种，垂面法，卡点万能法，做一个垂直于棱的平面，平面和两个面产生两条交线，交线夹角就是二面积，棱不规整直接用。第四种，摄影面积法，懒人秒杀法，不用找角，不用画线，原面积摄影面积做笔直鱼弦直，直接出选择 t 填空题最快解题。 第五种，空间向量法，兜底保命法，建作标系求两个平面向量，向量加角算出来判断钝锐二面角直接搞定，大体无脑套用！关注逐梦动画数学，带您轻松拿捏高考！

高一下学期来学这本教材，其中的第三个章节，也就是类体几何，是我们下学期的重头戏，也是大家开学来之后拿分的分水岭。 那这个章节核心抓什么？我们这节课给大家全部梳理一遍，你寒假预科是有方向的，不会走弯路，你才能够节约时间，高效率，行不行？行，我们一节一节给大家去说，你拿笔记下来。首先第八章立体几何，我写到这啊， 第一节叫八点一，八点一是基本立体图形，这里主要大家需要掌握的叫什么？什么叫做多面体 对吧？什么叫做旋转体，了解概念即可，不用做深度的，这个停流行不行？行，然后开始看八点二，八点二叫做直观图， 这里考你什么呢？只要考你一个东西，你会就可以了。就是高考考的也比较少，主要是在我们的月考期中考，考一道小题，明白没有？明白这个小题考什么？ 考邪二策画法主要考这个， 第一个就是你得会用斜二侧画法去画他的直观图，然后第二个就是画完之后你得知道，哎，完了，那个图形和没之前的原图之间的周长面积的关系就欧了，掌握到这个程度就结束了，所以寒假不需要浪费太多的时间， 真正要命的立体几何是从我们的八点三开始的，叫做简单几何体的什么体积？对了，与表面积，高考热点题型考试必考， 所以这里要求大家要死抓一个核心，你不仅要会算算，对公式得背对，你还不能出错，很多人丢分丢在不会计算上，或者说计算容易出错上， 粗心上，所以要刻意去训练行不行？行，现在高考已经不考，这种老掉牙的三十图都还原了，以前是还原完之后让你求体积表面积，现在不还原了。所以大家如果在其他的教辅上有看到，哎呀，一个三十图让你还原回去，让你去搞体积表面积这种题，直接划掉跳过，不要浪费太多时间好不好？好， 你要抓的是教材背后的拓展模型，这里主要拓展什么呢？来，拿笔给我记下来。第一个叫什么问题？叫做球的问题，球里面分为第一个结面， 高考考过很多次了。第二个跟球有关的外接球，外接球模型以及内切球模型，比如说外接球里面 哪些方法，哪些模型，一个一个给我去攻克啊。第一个叫什么模型？长方体模型， 简单的直接考你难一点的就是给你隐藏，最后发现，哦，原来如此，是个长方体，高考考过，考过很多回了。第二个叫圆柱模型，还有圆锥模型， 还有扇子模型，基本能力考九十分以上，这些是必须得会的，要冲到一百二一百三，把高问题来了，尤其是最后两个双半径单交线， 还有下一个双距离，对吧？单交线 拔高的，经常出现在亚洲体的位置。有模型的模型研究透，直接拿结果 ok 不 ok？ 然后内切球里面，比如说我们主要是一些 注体啊，常见的注体锥体都怎么去切的，需要大家喊着去好好去研究一下，也是高考的重点行不行？行，强调一下，除了球的问题之外，这里跟他有关的一些二级结论还有什么？比如说正四面体， 正四面体一些体积呀，表面积呀，高啊，必须要去做总结。你看，这就是为什么很多孩子把教材我都看了，为什么做题不会做，我提不了分。就是因为教材只给你底层的公式，或者只给你推导，他不给你模型。 你寒假如果能把这些模型直接练透，那你的能力跟别人就能够直接拉开差距了，明白没有？明白了好，再来说下一个叫做八点四， 呃，叫八点四点线面的位置关系。这个主要考什么？ 主要就是以概念定律为主，最多考试考一个辨析题，我们在高考当中考的直接考他也很少，所以大家的核心一定是放到哪里？放到接下来的八点五 以及八点六。一个是平行，一个是垂直，这两个才是立体几何里面的灵魂，因为你看到的所有立体几何的问题都是垂直的问题， 你包括体积、表面积里面的一些分析全都用到垂直。所以如果你的垂直学不好，你类地结合的第一问你，第二问，很多就没有办法去做的，不是吓唬大家的，所以你得知道你类地结合的核心重点是在哪里。 嗯，很多孩子这本题苦啊，不知道辅助线为什么这么做呀，这么画呀。所以说大家一定要去听胡老师一句劝， 类地结合不要一上来就去给我看答案。你要做的一定是根据我这些模型，先去总结模型，然后拿模型去刻意训练，能理解不？可以？你比如说平行垂直里面常见的什么矩形模型， 对吧？还有很多正形模型，这都是经典的勾股模型。三垂线模型， 先把这些模型吃透，然后后面你去做题辅助线，一眼就能够看出来他怎么画了。 最后胡老师必须要提醒大家一个点，就是你在教材里面，你翻过来，哎，八点六之后没有了，目录里面根本就没有写加角问题，但是加角这个问题出现在教材皱纹里面，有出现加角的定义，藏着的 夹角问题，这才是核心。写到这啊，夹角不要只单看目录， 线线角，线面角二面角，高大考必考题，而且还考你大题，教材没给大家方法，考试要考呀！所以大家必须掌握，比如说线线角 三大方法，比如说线面角四大方法，面面角对吧？五大方法，几何法怎么做，甚至直接过渡到空间向量里面怎么去做，寒假把它搞透。大家不要只去看教材表面 开学如果你只看表面，你开学发现教材背的滚瓜烂熟，题不会做，一个都不会做。这就是为什么很多孩子预习了发现没效果， 因为高中就是基础都在课本，但是模型都在数外，你缺的是实战演练，实战的模型。胡老师把教材背后的考点教材深挖，全给大家浓缩成了立体几何里面大家必会的三十二大模型满分攻略， 别在教辅书里面各种盲目去刷题了，就把这三十二大题型满分攻略给他练透，顶你盲目刷三百道题， 你只要寒假想拿下立体结合这个大的块，高考里面起码占二十五分左右了，对吧？你就留立体结合三十二大模型，胡老师把这些都给大家安排的明明白白的好不好？好好下课！

例题和间隙永远卡在找坐标，投影不会找，平移向量不会用补全图形不会？看这期视频教你一招，方程运算，暴力解除所有点坐标，零空间想象力，看完这个视频，考场无脑算， ok！ 同学们在开始我们正式的例题讲解之前，还是按惯例来给大家讲解一下这个方法的底层逻辑。 首先我们去想一下，我们一般如果要在空间中求一个位置点屁的这个坐标，按常理我们是不是需要去观察图形或者找几何关系，找平行，找投影之类的，利用平行或者垂直等等等等这些位置关系，我们进一步的去判断这 这个 p 的 坐标是什么。但事实上我们去想，我们要去求空间中一个位置点 p， 我 们假设它是 x y、 z， 我 们如果要通过计算去求出 x、 y、 z 这三个坐标，在空间中有哪个公式能够帮助我们去求解呢？是不是两点间距离公式？ 假设 p 到一个定点 m， 我 设这个 m 是 x 一 y 一 z 一， 那这时候我们是不就能写出 pm 两点间的距离公式？哎！同样的一个三元二次方程是不解不出三个圆， 那我们要列几个？是不列三个，所以说我们在这空间中是不只要能找到三个已知定点 m 一 m 二， m 三，再找到 p 到 这三个定点之间的距离，是不就能根据两点间距离公式列出三个三元二次的方程？连立方组是不能直接解出 x 多少 y 多少 z， 那 这个方法的本质我们是不是就直接用计算去代偿了观察的这个环节？在例几何这类大题中，我发现大多数同学遇到的问题其实并不是带坐标计算， 其实就是我的观察力有一点弱，我的注意力也没有办法集中，总是没有办法及时的去观察出它们平行或者垂直，或者是其他的位置关系。 那么在这里这个方法实际上是什么？是把几何问题代数化了，就是我们不用去找什么平行投影，也不用去动脑子去观察， 只要他的条件给够了，这几个边长是不是我们就一定能够算出来？好，那除了这种求点坐标的方法以外，还有一个不一定算暴力但一定好用的方法。我先说做法，这是 a， 这是 b， 这是 c， b 点难求，因为你不知道他到底是在哪里，比如他可以中点，他也可以三等分点，反正 b 就 在这个 a c 上，无论在哪一块， a 坐标你是知道的， c 坐标你也是知道的。那这个时候我们直接令 ab 等于那么大倍的 a c， 你 如果设 b 是 x、 y、 z， 我 随便给 a 赋值， a 可能是一多少零多少一， c 是 一个二，刚好二零。这个时候呢，有一个什么 x 减一多少 y， z 减一等于 lambada 背的 x 减二，一， 根号二负一没问题。那好，那你这是不是有一个什么 x 减一等于 lambada， y 等于根号二，背 lambada， z 等于负 lambada 加一。那事实上我们通过向量之间的关系，是不是能够把三个圆转化为拉姆达？一个圆，我们是不是能够用拉姆达一个位置量去表示这个 b 坐标？ 进一步的，我们再通过垂直或者平行的关系去求解出这个 b 的 坐标，那具体是什么意思呢？我们先来看看这道例题，这道例题没给大家去题目，我们就来看一下这些难找的点到底是怎么找到的。 同样呢，我相信大家哦，间隙肯定是会的嘛， a、 b， c、 o 这几个点也非常的好找，你是不是通过具体的边长线段就很轻易的能够得到这四个点的坐标？ 哎，好了，现在我们的问题是什么？是不是要去求剩下这几个 f、 e， d， p 这几个点？那好，我们由题目是不知道 d 和 e 是 不是都中点， 那既然 ab 坐标知道了 d， e 是 中点，我们是不只需要知道这个点， p 坐标 d 和 e 就 自然而然的就出来了。根据我刚才教大家的方法，直接去射 p， x、 y、 z， 那 我们现在是什么？从题目中找有哪些边长是和 p 有 关的吗？ p， b， p、 c 是 不都是刚好？六， 那好，有两个 p b 和 p c 的 边长。那除此以外我们还能表示什么关于 p 的 线段呢？ p， a 是 不是短时间内看出来？好，我刚说什么？是不是只要找到一个方程，它是用 x、 y、 z 和已知量表示的，就可以知道 p， 知道 b 是 零零零， d， 是 不就知道 二分之 x， 二分之 y， 二分之 z， 那 有没有和 d 相关的边长是不？当然是有的， a， d 二分之刚好三十。好，那就这三个边长呗，你去列一下他们的两点间距离公式。那好，那我们对着上面这些坐标一一点点写呗，是不已经写出来了， 然后呢，是不是分别两边平方？你别看这个式子虽然长得复杂，但你自己写一遍，你会发现他有很多东西能消掉，你比如说我就按这个式子来说，这两个式子来说， 第一个式子 x 方加 y 方加 z 方等于六，第二个式子 x 方加外减二倍，杠二的平方加 z 方等于六，这俩玩意是不是相等 好？它俩相等， x 方 x 方 z 方 z 方是不是消掉了？那你就知道什么外方是不是等于外减二倍根号二的平方，外方等于外减二倍根号二的平方， 你能想到啥？是不刚好是相反数，那你直接 y 等于二倍，杠二减 y， y 多少是不刚好二，那是不是就很快就能解出来我们这个具体的 x， y 的 z 的 值？那我们最终这个 p 坐标是不也就出来了？ p 出来了， d 出来， e 是 不也出来了？剩下的是不就是我们这个 f 坐标了？ f 坐标怎么去求呢？是不就是我们刚才讲的第二个 三点都共线了？而且 a 和 c 的 坐标是不是你都知道呀？那你直接有 a， f 向量是等于那么大倍的 a， c， 你 如果去射 f， 我 这里射还是 x、 y、 z。 但同学们一定要注意，在考场上 一定不要用三个相同的位置量去表示两个坐标，你可以设它是 m、 n， s。 好 吧，如果 f 是 x， y， z， a， f 是 多少？ a 是 二零零，是不是 x 减二多少， y 多少？ z， a， c 呢？负二二倍，根号二零，它等于拉姆大倍的。 既然有这个式子，你分别对应的去书写嘛，它就变成什么 x 减二等于负二倍的拉姆大 y 等于二倍，根号二倍的，朗的 z 等于零，这是能解出来 f 是 多少？二减二朗的二倍，根号二朗的零。那好，这里你完成了一个什么样的操作？是不是把这个三个未知量 变成了同一个位置量？然后呢，我们再回到题中去进一步求解，解出这个 number 是 不是就解出了 f 坐标？这里一定会给你一个呃条件的，比如说垂直，比如说平行，你是不是都能再列一个另外一个方程？比如这道题啊？ 他第二问，实际上让你去证的是 a o 垂直于平面 b f， 那 你通过这个条件是不能得到 a o 垂直于 b f。 既然 a o 垂直于 b f， 那 你写完这个 f 坐标，是不是还有一个什么 a o 坐标，点击 b f 等于零，那这个那么大，是不是就很容易能解出来， 对吧？你再列一个方程再去解嘛？ ok， 那 同学们，我们再来速练一道题，这是二零一七年浙江的考题，还是一样的间隙给到大家。哎，这里有同学突然就问说，哎，他没有给我一个边长呀？没有跟我说，比如说 ab 是 一， bc 是 二，这样的边长关系，他只给我了 是比例关系。那我这里怎么去表示他们坐标呢？你傻呀，你直接设不就行了？ 这里主播直接设 p c 等于二，剩下的就交给同学们据补全过程了。目标求批点坐标，主播将在评论区造后大家的作业。这期视频到这里就结束了，我们下期再见。

同学们好，那么应粉丝要求呢，我们继续讲立体几何初步中的一个长角问题，线面长角问题。 首先呢，我们先来复习回顾一下意面直线所成的角的定义， 那么回顾完这个定义以后呢，我们还要回顾一下，在解决一面直线所成角的这个问题中，我们使用的思路，或者说是方法是什么？ 也就是说是将立体几何的问题呢，转化为了平面问题，也就是左边这个是立体， 右边这个是平面，转换成了一个平面问题。 ok， 那 这个思路呢，非常重要啊，那么下面我们来看如何定义线面成角呢？ 同样我们立体中呢是线面成角问题，我们延续上面的思路，还是要把它转化为一个平面问题，也就是转化成一个线线成角问题我们才能够解决。 我们首要的任务是选择什么直线呢？我觉得有一条直线肯定得选，也就是 l 零这条直线必须得有，对吧？那另外一条直线在哪去选择呢？应该肯定得是在平面二方的选， 并且呢我们期望他与 l 零相交，这样有很多这样的线在这些线里去选就可以了。 那么好，我们继续思考啊，那要求也就是说在平面二分内还要跟直线 l 零相交的直线，大家看可以画出无数多条， 那这无数多条我们该选哪一条，或者说怎么去选呢？ 这就是面临的一个新的问题了，对吧？好，首先呢，我们应该说有一个直观的感觉啊，还是用直观的感觉， 而零上除去 p 点的任何一个点，我选了一个 m 点做这个平面 alpha 的 一个垂线和这个平面垂直， 垂足为 n， 那 么角 m p n， 我 们感觉直观，感觉这个角已成为线面乘角的一个位置。好， 那大家看啊，这个感觉还是可以的，是不？那么我们先来把这个感觉呢严格化或者定义化，按相关的概念， 那 pa 和平面相交，这条直线，也就是 pa 这条直线呢，叫做斜线， 那么 a 点就是斜足， a 点是斜足啊， 那过斜线上的一点呢？向平面引垂线，引垂线，这个 p o 就是 我们引的那条垂线，那垂足是 o， 那 斜足 a 和垂足 o 之间的这条连线，我们就叫做斜线。在这条平面上的 摄影，这有三条线，那么好线面成角的定义呢？就是斜线 pa 和它在这个平面上的摄影 a o 所成的锐角，也就是 pa 这个角， 那么可以称为 p 直线 pa 和这个平面的所成角。 那按照这样的定义，所剩点的范围是什么呢？当直线垂直于这个平面的时候，我们认为它是直角，当直线和这个平面平行，或者说呢，在这个平面内的时候，我们认为它是一个零度角， 那因此它的范围就应该是零度到九十度。这样的定义给出来以后，我想同学们还是有疑问，行不行呢？这个定义， 那也就是说为什么这么选举而不选举其他的线呢？首先我们给大家一个定律啊， a 为平面阿尔法上的一点， a 为平面二分之一点啊。然后呢， a o 是 斜线，摄影是 ab， ac 是 另外一条线。那我们看啊， c 它 c 它一， c 它二，分别是什么？ c 它一是 o， a 与摄影的夹角， c 它二呢？是 ab， 也叫射影与另外一条直线 ac 的 夹角，大 c 的 呢，是斜线 o a 和 oc 的 夹角。 那么如图，我们看过这个 b 点啊，做 bc 垂直 ac， 那由于 o b 和 o c， o b 和 a c 是 垂直的， b c 和 a c 也垂直，而且它俩是啊，这俩是相交的， 对吧？所以 a c 呢，就垂直于 o b c， 也就垂直这个平面，从而 a c 也和 o c 垂直，又是一个直角三角形，相当于这里有一个 rt 三角形 o a b rt 三角形 b a c rt 三角形 o a c， 这有三个三角形。那我们来看啊， cos c， 它就应该等于 a c 比 o a， cos c 的 一呢，就应该等于 ab 比 o a， cos c 的 二呢，就应该等于 a c 比 ab。 那我们把这三个式子乘在一起，那是不是应该得到它了？那大家看啊，由于 cosine theta 二肯定是要小于等于一的，那所以 cosine theta 呢，一定会小于 cosine theta 一， 那也就是说 theta 肯定会大于 theta 一， 什么意思？也就是斜斜线和 a c 的 夹角为 theta， 斜线和摄影的夹角为 theta 一， 那 theta 一 呢，应该是斜线与平面内任意直线中所呈的角中最小的。 讲这个定律干什么使呢？大家来看啊，这个问题就触及了几何定义背后的一个合理性，也就说，之所以用斜线和射影的夹角来度量，最核心的原因就是这个夹角是最小的那一个 啊，咱们再进一步的解释一下啊。首先呢，最小的角保证了定义的唯一性，一条直线呢，与平面的无数条直线会形成无数个不同的角， 那如果用其中随便一个挑呢？那标准是不就混乱了？因此我们找那个最小的，最小的，那他就是唯一的就好确定第二个呢？定义抓住了这个概念的核心， 与摄影的成长，能剔除其他各种无关因素，只与这条直线的方向有关。 哎，具体解释这两条以后，我们发现这个定义就合理了，那反过来呢，我们再讲一下啊，什么叫几何定义的理性，那这个定义的方式是否自然唯一自洽，并且能准确的描述我们想度量的几何属性。 那么基于上面的原因，我们觉得斜线和摄影的夹角就可以用来度量线面乘角， ok， 好， 那以上就是线面乘角的定义，我们再来复习一遍啊，再来复习一遍，也就是 斜线和摄影的乘角， ok， 没问题了。那我们看今天的例题， 问的是哪条直线呢？ a b 和这个蓝色的面所夹的角所成的角啊？那我们来看怎么怎么处理这道题？ 首先呢，我们连接 bc 和 bc 交于了 o 点，随后又连接了 a、 e o， 那设正方体的棱长为 a， 我 们很显然能知道 a 一 比一，也就是这条边和这边这个面是垂直的，所以呢， a 一 b 一 就和哪条线呢？和 bc 一 是垂直的，又因为这边是一个正方形，所以 bc 一 和 bc， 其实这块也是也是垂直的， 这块也是垂直的啊，这个角也是直角，所以呢，这块应该还有啊 b， 你 看啊， b、 c 和它垂直， b， c、 e 和这个垂直，而且它们相交于 b、 e 点，所以 b、 c、 e 就 应该和哪个面垂直呢？ 和 a、 e， d， c， b 这个面垂直，那它和这个面垂直完了以后呢？大家想一想，大家想一想啊，垂直了吧，那这叫垂线，这个是不就叫做 垂线？那谁是摄影呢？谁是摄影？那这条边就是摄影，因此角 b a、 e、 o 就是 直线 a、 e、 b 于平面所成的角。 到这大家回顾一下，是不是跟我们之前学的一样，我们在干嘛呢？在定位，一定要先定位，定位好以后，我们来计算 一只 a b 呢，是根号二 a， b o 是 二分之根号二 a， 这都很简单，所以呢， b o 相当于这个直角边是斜边的一半， 那这个角就应该是三十度，所以线面乘角为三十度。那做完这道题，大家看第二步是不就是计算？跟我们之前讲的思路还是一样的，也要先定位，再计算。 整个这道题做完以后，大家有什么感觉，能够找到线面乘角的所在的关键步骤是什么？ 我觉得关键步骤是找到这条面的垂线，也就是 b o 或者说这里的 b c、 e， 因为你只要找到垂线，你才能定好射影在哪里。 ok， 下面我们来看第二道题， dc， 这呢，这条是 dc 与 pbc 这个面的夹角，我们来看怎么处理啊？过 d 点做 d e 和 pc 垂直， 由于 p d 是 垂直下底面的，所以 p d 和 bc 是 垂直的。继续 bc 呢，就因为它是正方形，所以 bc 呢和 dc 是 垂直的。 由于 bc 和 dc 相交于地点，对吧？相交于地点，所以呢， bc 和 pdc 这个平面是垂直的， 因为呢，刚才说了 bc 和这个 pdc 是 垂直的，所以呢，只能得到 什么呢？ d e 和 bc 垂直，刚才我们又做的 d， e 和 pc 是 垂直的，那他们又交于了 c 点，所以呢， d e 就 什么叫垂直于啊？ p b， c， 那 又因为 d e 垂直了 p b， c， 所以呢， d c 和这个 p b， c 所成的角，那我们来看是不就是 e， c， d 了， 咱们再看一看啊，那这个叫什么？这个叫斜线，这个叫垂线，那这个是不就是那个 摄影，对吧？ ok， 那 下面我们再去计算就简单了，因为 p d 和 a d 相等了，所以在这个三角形中呢域 cd， 这是一个等腰直角三角形，就是四十五度。 ok， 那 再反思这道题，能找到角的关键是什么？我们说还是找到面的垂线， ok， 那 么我们看下一道题，稍微有点小变化了啊，大家来看一看。你看，我现在求了一下什么呢？我求了一下， 我把它连上，我求了一下三角形 dcb 的 面积，由于这个 cdb 是 个直角，可求吧，那我们标一标啊， cd 是 一， pd 是 一， b， d 是 二，这个是一个直角。 ok， p d 是 垂直下底面的，因此我们可以求出三棱锥 p 杠 b， c， d 的 体积。到这同学们会觉得，哎， 求体积干什么事？我们继续看啊，再继续算一算，这个直角三角形中，我们可以求出 p b， 然后呢，在 p d， c 这个三角形里呢，我们可以求出 p c。 在 d， c， b 这个三角形里，我们可以求出 b， c 三条边都有了，那这个三角形的面积也是可求的，我们不具体说了啊，可以有什么呢？有海伦公式，当然你如果不用呢，你可以先求出一个角， 然后用 ab 三 c 的 那个公式也可以。这个我们就不说了啊，因为这道题的关键点在后面，大家继续看。 哎，我出了一个 d， e， d， e 呢？是什么？大家看啊， d e 是 什么？ d e 是 d 到平面 p b， c 的 距离，我们测它的长度为 h， 但貌似我们好像没找到它的具体位置。 没找到具体位置没有关系，那大家看啊，咱们设 dc 与 p b， c 的 夹角为 c 的， 干嘛使呢？你看这 d p、 b， c 这个三棱锥的体积实实际上就是 p d， c， b 这个三棱锥的体积，两个体积是一样的，这块我稍微具体写一下啊，那体积也就是三分之一，大家算过了，它还可以等于三分之一，乘以谁呢？ 乘以 s 三角形， p b， c 再乘以一个 h， 对 吧？这是三分之一二，这也是三分之一，所以相当于 h， 我 们算出来了。 什么意思？虽然没有找到，但是我们算出来了。那 sin theta 是 什么呢？ sin theta 就是 h 比 cd， 那 很显然这有一个直角三角形，对吧？ 那也是 h， h 就是 d e 的 长度比 d c 的 长度得三分之二。那这个方法叫做什么方法呢？叫做等体积转换法。 无中生有，必失就绪。这是一种什么情况呢？就是我实在是找不到他的高的时候，或者说找不到面的垂线的时候，我们还有这样的一个方法。 ok， 以上就是本节课的内容，谢谢大家收看。

哈喽，这期给大家分享一下数学做立体几何的常见思路，要怎么样去想，以及一些二级结论。嗯，咱们可以先从线面线平行，他一般会从哪几个思路去想到，去证明这个线线平行， 如果要正线平行，首先大家可以想到由中位线或者是呃相似就中位线吗？大家，这个很明显，对吧？像这种就是可以想到平行，可以能正到平行，或者是角相等，或者是角互补， 也可以正到线，也可以正到平行，然后呢还有这种，比如说出现一个平行四边形之类的，他有可能能正到这个线线平行，然后这个是由定义或是性质，这几个 都可以正到这个平行，大家可以进面看一下，然后这边是由垂直垂直于一个面，这个是 r 法，这个是 a 啊， 然后也可以得到就是两条线他们同时垂直于一个平面，那这两条线就是平行的，对吧？那这个还可以由线平行面的性质定理，然后面面平行的性质定理或是由空间的向量，然后呢就是能够正到直线方向的向量，比如说 e 对吧？然后平面方向的法向量是 a 对 吧？ a 法向量，然后这个是两条线平行，然后就能推到这两条法向量是平行的，然后呢像这个是可以推到一个垂直，然后像性质和 定义的话，大家可以就是截屏这边，这边是比较全的，然后的话这边是垂直啊，就是垂直怎么证明？ 然后线线垂直要怎么样去证明？就这几个思路就跑不了。就这几个思路，大家就是可以截屏看一下，然后这个是什么？这个是我从一数的书上总结出来的一些点，就是怎么样证明一些比较偏，就是你想不出来的， 就我上面是，上面是常见的思路，只要从这里面想就基本上差不多，如果你实在想不出来可以呃，也看下这个，这我写的比较详细，大家可以截屏看一下，然后像这边要找的一些，呃，定义啊什么的定义和性质，在这里也可以截屏看一下吧， 其实我觉得辅导书上应该也都有，然后写笔记上更好一点。像这个你如果要正线线垂直的话，就几个思路，你就要么先找九十度，对吧？而且三角形，要么就想勾股定力去正，对吧？用几个数，用数据去正，然后要么是等腰三角形取中点，取中点做高之后，这是不是也有一个垂直啊，对吧？宝宝。 然后呢？像这些的话，大家都可以就是去截屏看一下，这边是一些计算，宝宝这边的话就写的还是挺清楚的，像这种这是侧面积的，这是体积的，然后上面的都有这种标注，然后这边是几何体的表面积和体积，就是也是一些。 嗯，公式吧，我感觉就是一些公式比较明显的，我感觉这个用的还挺多的。这个，这个是那种扇形吗？对吧？扇形其实在一些填空题的倒数第二题可能会用到这种题目，这一版也是二级结论，这样可以看见吗？可以这样， 这边也是一些方法，比如说立体几何去间隙，然后这边顶面为正三角形，或者是这种怎么样去间隙，然后像这个的话，比如说如果是求距离和角要怎么样？比如说综合法，综合法，比如说想到特殊三角形，哪个呢？等边、等腰，那他有几个就是 这种比例，建议大家记一下，因为还挺常考的，就一比一比根号三，这样这个是特殊三角形，大家可以记一下。 然后这个一比一比根号三啊，他其实是这个大的，这个钝角是一百二十度，然后两个呃，两个小角是三十度，这个是一比一比根号三，这个还挺常见的，大家可以就是积累。 然后这边是一些二级结论，比如说就是如果他提到一个角平分线的话，那一般就一定会用到这个思路，就是说就是他这个，嗯，这个里面有一个圆，然后这个圆他的一个半径是等于 呃两倍的，两倍的三角形，两倍的三角形 a、 b、 c 的 一个面积，然后除以它一个周长。嗯，这个是推理过程，大家有 呃有兴趣也可以看一下。然后的话像这个也是一个二极型的，就是它是一个正方形 a、 b、 c、 d， 然后它里面有个圆嘛，然后这个圆的一个半截就等于二分之 a， a 就是 这个 ab 的 长，就是这个正方形的一个边长，然后像这个的话，这是长方形， 长方形里面有个圆，如果他求这个圆的一个半径的话，你就直接用二角，就二分之 b， 这个 b 是 这个短边，然后这个是等腰梯形，在等腰梯形里面如果有个圆，他求这个圆的一个半径的话，那就是二分之 h。

本视频时长三十四分钟，带你搞定立体几何几何法求空间角综合训练，从题目出发，解决各种综合题型，讲透底层逻辑，回复立体几何，领取视频讲义。 二面角是两个半平面所成的角，那往往先要找到他们的什么交线，然后交线上一点，做交线的垂线，两条线垂直于这个点，对吧？准确讲是这样，他们所夹的这个角呢，就是二面角。虽然这是定义， 但是我们真正在去处理这个二面角的时候，咋处理呢？比如说蓝色面与这个黄色的面所成的二面角，我们真正去做出这个二面角的平面角。我们说关注，比如说蓝色面要向胶线去做垂线，首先关注 s 向他去做垂线，看会垂在哪里，对吧？然后黄色面要做，因为 bc 是 对应的交线，那就是过 a 点向他去做，运气好的话，你会发现，哎，一道题会坐在什么同一点，那刚好这个角就是什么 二面角，当然了，这种巧合会比较少，但是也有那运气不好方式还是这个样子，我先过 s 做哎，做出来垂足在这里，然后我过 a 向他去做垂线垂出来在这里。但当你两个面都向胶线去做垂线在实际做的时候，如果没有垂直在同一个位置， 接下来咋操作？所以说做的本质不是过胶线上一点做，而是找到这个面，看一下在这个面胶线在哪里。胶线外的这一个点，一般向他去做垂线，一般向他去做垂线 做，不在一个点，属于正常情况，你知道他的位置，知道他的位置，然后平移，比如说我在过这个点做他的什么平行线就行了，那么平移完之后这个角就是， 所以这是我们一般去找二面角真实的计，合法的找的思路。那么带着这个我们今天要做的综合题，很多都跟二面角有关。 我们先来找一个在九章算数，也就是古代咱们的数学中有四个面都为直角三角形的面，称之，为什么啊？别闹，然后如图 啊，就是首先 p a 是 垂直底面，那 p a b 直角， p a c 是 直角，然后呢，同时这里是垂直底面，是个直角三角形，这里也是垂直啊，就是你把这个长度算完之后，这里也是垂直， 整个呢四个面都是直角三角形。那么在这道题里边，他还告诉我们这是一，这是一，根据所有面都是直角三角形，就得到这根二，这根二，这根三，所以所有棱长都是知道的。最后要求这两个面所成的二面角的大小， 那大家来算算看。实际上我们再去用几何法的时候，把刚才在单拎出来这个图，对吧？刚才带大家看的时候，比如说我们就是单独的图，会说这个怎么去做，那我们回到正正奇里边去做的时候，看每一步实际操作。 比如说这道题要的是这两个面，一个是背面这个面，一个是正面这个面两个面所成的二面角。那二面角的话，咱们用的是今天专注于几何法。首先找到交线，交线就是 pc， 那么盯着第一个面是 a p c， 那 一定是过 a 向它做垂线，对吧？然后第二个是 b p c 肯定是过 p 向它去做垂线，所以做垂线的时候是分别向什么交线去做垂线，做好垂线之后看一下这个垂足在哪， 再看一下这个垂足在哪。在一个地方最完美，最好不在一个地方。那你看他俩相差多少，再去平移。那我一个一个来，我先过点 a， 向他做个垂线，做完之后再 m， 那 做完之后是 m， 你 发现这个直角三角形三边是一根号二，根号三， 你做完这个直角三角形的话，和它相似，你要知道点 m 在 哪里，关键得看 pm 的 长度是多少。那我们发现在这个小的这个三角形中，你设它是 x， 对 应的斜边是一， 在大的三角形中，它是一斜边是根号三，刚好是相似的， x 比一等于一比根三， 所以 x 等于多少？三分之根号三，那么整个这个长度是多少？根号三。那这样我们就知道点 m 作为垂足 在靠近 p 的 三等分点。所以第一步是做垂线，并且确定它的位置，确定它位置就是看它到这个交线一个端点的距离是多少。 ok， 那 这是第一步，第二步 继续，那这回过点 b 来做，哎，也做一个，那我得确定 n 在 哪里，但是你如果细心的话，你就发现这个 n 也是三等分点。为啥？你看啊， 刚才这个直角三角形是一跟二向这里做，这回的话，这个三角形也是一跟二跟三。其实两个三角形是全等的，这边做过去是三等分，那这边做过去肯定是靠近他的三等分点， 只是一个错位放的全等的两个三角形，你要去算的话，算出来也是一样的。所以呢，这两个点不在一个位置上，他俩都在三等分点处，那要找到二面角平移一下，比如说我把他平移到他，那平移到他，你就会发现啊， 这个三等分点相当来说就是这个的什么中点，你这里一平移点 d 呢？其实也是 p b 的 中点，这样的话我们就找到了这个角，这是第一步，就是咱们通过把空间角利用咱们 对这个定义的理解操作，在途中找到它所对应的平面角，那第一次是做垂线，第二个不在一起是做平移。好，接下来计算， 计算的时候呢，就是放在一个三角形当中，那这角两边有了，你把这一连就是直角三角形，哎，一连就是个三角形，连完之后你会发现这里也是垂直的，为啥？因为这是个等腰直角三角形，这是中点，对吧？好，接下来的话，我们 在这个三角形中要去判断啊，首先三个可能长度分别是多少？还有它的形状是什么？ 那么首先判断的话，可能优先还是会去判断一下它的形状，这个形状啊其实还比较好判断，直接就能判断出它是一个什么直角三角形。为什么？因为这里的 a d， 你 发现刚才垂直了这个线，它也垂直 bc 这个线，所以 a d 呢，就会垂直这个面儿， 所以这里的话就是个直角三角形，然后它是直角三角形，你要去算它的角，看长度，这个长度的话，这个或是中位线刚好等于它的一半，然后你要知道这个长度，就得知道这，那你设这是 x， 这就是二分之 x， 然后你得去再看这个长度，这个长度是多少呢？你会发现这个长度和刚才这个长度，我们说过它是同一个全等的三角形，相对边做垂线是相等的，所以这是 x， 那 这个角度就一目了然了。 斜边是他的二倍，所以他对应的是三十度，这里自然就是多少六十度。当然这是计算长度的一个方式，如果说你没有发现他，你就把这每一个长度其实你都能算出来，因为这算过了三分之根三，对吧？你这个 am 也能算出来， 你这个知道，这个也知道，这个 a、 d 呢？都不用算二分之根号二，所以说你如果把三边长度都算出来，你一样能算出来， 只是这个棋里边这个三角形比较特殊，既有垂直关系，又有什么特殊角的关系？所以最终呢，我们说你算出来他就是六十度，所以这道棋用几何法还算是一个怎么样比较复杂的。 作为一个例题，你刚好就是用几何法去感受的话，能把常考的几个点都感受到。我们首先去复盘一下，第一个就是做垂线，对吧？正常你看到二面角向交线做垂线，你要有这个意识，然后做完垂线之后还要 定位置啊，就是垂足的位置，做完之后一定要确定，因为你做的两个在不在一起很关键，然后不在一起怎么样平移，然后平移完之后就是解三角形， 这就是我们用几何法一般去处理一个什么角最复杂不过二面角嘛，就是这样的流程。好了，这个就说完了，接下来我们继续向下看，我们刚才所说的是第一类咱们去找二面角的，就是比如说要这两个面就分别去做垂线， 在一起就有了，不在一起平移就有了，那这是一般情况下，那如果说有些情况下也求这两个面的二面角，但是 他知道了其中一个顶点到另外一个面的什么垂线。假如这个垂足是 o， 在 这个时候我们去找二面角的时候，一般咋做辅助线，哎，对三垂线定力啊，非常好。 三垂线定力其实就是过这个点，你只要向谁啊？那就是过这个垂足，向交线去做个垂线就行了。 你在这里做一个垂直，如果你这里是垂直的，你只要连接一下这个 p， 假如这个点是 q， 这个点是 o， 你 只要连接一下 p q， 这一定是垂直的，为啥呢？就是三垂线定律。三垂线定律的本质是他垂直于这个线，垂直这个线，他垂直这个面吗？他一定会垂直这个线，所以 它就是 c 塔。所以说如果有一个面上的点到这个面上的垂线的时候，做法和咱们刚才过每个面的顶点相交线的做法会有些区别，所以说这是第二个有线垂面的时候的做法啊。好了， 那有了这个意识之后，接下来咱们看真正的这道题，它告诉我们一个三棱锥 p abc， 然后说这个 abc 啊，它是一个边长为三四五直角三角形，而且奇基还告诉我们等于什么啊？四倍根号。二， 说点 p， 正投影在三角形 abc 的 内部，就是它在三角形内部的投影点啊，就 正向，就，就咱们普通的那个垂足就在这个三角形的内部，并且 p 点到 a、 b、 b、 c， a、 c， 就是 它到这三个边的距离是相等的，则二面角 p a、 b、 c 正弦值是多少？这道题其实最大的难点在哪个？就是在这个条件点， p 到这三个的距离相等， 把它翻译成一个直接的实用的条件是什么？比如说那我在这做一个垂线，我在这也做一个垂线， 我在这也做一个垂线，这三个距离是相等的，那说明什么？说明点屁在底面上的投影。点屁在底面上的投影，假设是 o， 这个 o 是 内切圆的，圆心叫内心， 为啥呢？因为你假如屁在底面是 o， 你 连接一下它，对吧？它也根据啊三垂线定律，它也垂直于这个货，然后你连接这里，这也垂直，你连接这里，这也垂直。 这三个三角形肯定是什么全等的吗？因为斜边都相等，然后 p o 是 公共边，所以下边这三个都相，所以它本质上在说 p 在 底面上的投影是这个三角形的内心。 这个点如果明白了，那接下来就简单了，我们要求的是这两个面的什么啊？所成的二面角有了一个点到这个面的距离。我们说二面角咋做呢？就是从这个垂直线先去做个垂线，然后你连接一下这个角，就是二面角了。 所以接下来你要求就看一下这三个长度中你知道哪些，知道点就够求出这个角的三角函数值了。那下边是一个谁啊？ 下边是一个三四五的啊，三四五的这样一个直角三角形，我们说他的内心是多少？根据等面积法， 内切圆的半径等于什么？二倍的面积比上周长吗？二倍面积三乘四周长，三加四加五，这个你熟的话，你就知道它等于一，所以在这里呢，底面的这个内切圆半径是等于一。 好，那么知道一了，还知道啥条件呢？你知道体积，体积咋来的呢？这个四倍根哈二就等于三分之一乘以底面积， 三乘四除以二就是六，再乘以 h， 那 这个一算 h 就 等于二倍根号二。所以也很简单， 高知道了 r， 知道了，我们就知道了这个角的什么，你想知道他的正弦就知道正弦，正弦就正弦，要的啥正弦？那咱就把斜边算出来，勾股定律一，它的平方是八 开根号三，对吧，所以它的正弦值三分之二倍根号二就结束了。所以这道题的话，最关键的就是第一个条件，点 p 到三个底面，三个边的距离相等，本质上是 p o， o 是 它的什么投影， 它是 o 垂直于底面的内心啊，所以把这个条件翻译明白，这个棋一下就好处理了很多。第二个，当你两个面求二面角已经有什么点到面的距离的时候，根据三三垂线定力，这个谁啊？垂足先向 交线做垂线，然后这一点啊，首先找到这个面，找到这个角 r 法，这就是我们找平面角的什么 啊方法。第三个啊，永远解三角形，在这个解三角形中，每个都有自己扮演的角色，内切圆半径，你按照内切圆半径 r 等于 r， s 比 c 去算就 ok 了。比如说这个叫做整个三棱锥的高 等起积法，或者说按照起积公式，总之你可以求出高啊，等起积求 h 就 结束了。这也是咱们在几何法中反复在用的几个性质。 好了，这道题就梳理到这里，那咱们下一个这道题的话，哎，又有一点复杂，他跟咱们的学过三角函数有综合，他跟咱们学过的什么啊？我看一下提到了啊，线面角 啊，两个线面角， s b 与这个面， s c 与这个面所成的线面角，当然了，他还还有其他一些有用的东西，那我帮大家把题梳理一遍吧，一个四棱锥啊， 然后告诉我们底面是个平行四边形，但是这个 s a 这个线呢，和底面是垂直的啊，所以这个线很 重要，垂直于底面了。然后又告诉我们啥呀，说 b d 等于二 ab 这个或等于这个或二倍，那就是设这个是 a 的 话，这个是二 a， 然后他告诉我们这里是三十度，这个直角出现的有点早了啊，动画有点问题， 那我们根据什么正弦定里，我们就会推出这个角的正弦值等于多少，就是 a b 三十 等于二 a 比上三引阿尔法，我们能得到三引阿尔法等于一，所以根据正弦定律就能推出这里是多少九十度。所以说这两个条件合起来再告诉我们这个角是直角啊，我直接给大家划到这了，也就是说 底面这个平行四边形是矩形，有了这个矩形之后呀，说 s c 于底面所成的角 和 s b 于底面所成的角啊，就是阿尔法和贝塔的和的正切值等于负三。 最后要求的是两个长度之比是 s a 比上 s b， 这是整个题目给的条件，就梳理到这里，它首先最关键的前边这些条件咱们梳理完了，就是有一条线垂直的底面，底面是个矩形，对吧？ 底面是个矩形，然后说 s c 于底面所成的角和 s b 于它所成的角，那对咱来说啊，空间角最关键的第一步是干什么？对，找平面角，管他要干啥。我到图里把你画出来，你必须在我的眼睛里，对吧？来，走你。 那我们就看一下线与面嘛，那线与面核心要找什么？垂线？哎，这个题 s a 直接给了，所以 s a 给了。那你想， s c 于底面所成的角不就是这个吗？ s b 于底面所成的角不就是它吗？对吧？关键是线与面所成的角要找垂直于面的线，然后一连，这是投影，这是一个，这两个角找到好了，来，走你，这是阿尔法，这是贝塔。那我把这个条件两个角找到，他告诉我， 阿尔法加贝塔的正切值等于负三，那正切值等于负三，它要求的是谁啊？ s a 比上 ab， 那 我知道这两个肯定要展开，那关键是我要看这两个角的三角函数值，和这 s a 啊 ab 有 啥关系？我一看，嗯，在这个 r t 三角形中， 阿尔法的正切值不就刚好等于 s a 比上 ab 吗？但是贝塔的正切值是等于 s a 比上 c a， 所以 本来你说这个条件如果全部能转化成 s a 比 ab， 然后我不就把它求出来了吗？但是这个贝塔对应的是 s a 等于 ac， 所以 这个 ac 不要， 我就要去找一下 a c 和 a b 或者 s a 的 关系。那我们回到这个图里边，看一下 a c 和咱们的目标线段这两个中谁有关系，是不是和 ab？ 刚刚我们说过， 底面是一个矩形，然后对角线 b d 等于 ab 的 二倍，那对角线是相等的， a c 也是对角线，它也等于 ab 的 二倍，所以把这写成二 ab 就 行了， 所以它等于 s a 比二 ab， 那 简单了来，两角合公是展开，如果你为了清晰起点，也可以换元，你把 s a 比 ab 定成 t， 对 吧？反正咱这 t 也是大于零的，所以就相当于贪定塔阿尔法等于 t， 贪定塔贝塔呢？等于二分之 t， 然后你求 t 的 值展开就行了。贪定塔阿尔法加贪定塔贝塔二分之三， t 比上一减，它两个相乘，它两相乘是二分之三， t 比上一减，它两个相乘是二分之三负三， 所以直接就列出了这样的一个方程。然后这个关于 t 的 二次方程我不解了啊，解出来 t 等于二，或者 t 等于负一，那我们这个 t 是 一个什么长度的比值？他肯定是正的，所以负的一舍去 t 等于二，那他就等于二。结束 整个题目的思路还是比较顺的啊。首先他给你的这些条件，关于底面的，我们要确定就是底面 这个图形，对吧？第一步就是底面图形，你对他要认识清楚，你不能把这种比例关系和角度就标在那里，没有深入去思考，这就相当于一个三角形，给三个条件，他基本上就能判定了，对吧？好。 然后第二步的话，只要先面角，先找角面，空间角你得找到，找到它对应的平面角，那找到它平面角，我们找到之后要求的是线段之比，你就要看这个角的三角函数。所以本质上就是指什么计算角嘛？ 计算角的时候你表示出来，我们把阿尔法用咱们要求的目标表示了，但是贝塔离目标差一点，差一点就要朝我们所求去转化。 你遇到的问题就是 a c 和 ab 之间的关系，回到底面找到二倍关系，剩下的就是非常牵强的和三角函数，两角和的什么啊，结合你只要公式会都没有其他计算的压力啊。 这是这道题，接下来再继续看。这道题就是属于啊，咱们空间角和三角函数，还有一些就是解三角形，包括当然了解方程，对吧？的一些小小综合，就要你每一个细节都特别熟练，每一步去干什么要特别的坚定。那接下来再换一个啊，这道题 可能啊，跟咱们的一些几何最值有关系，它告诉我们两个面的二面角就是 p a b q 两个面的二面角是多少？六分之派，还告诉我们 p q 于 q a b 底面的什么线面角，你看 既有线面角又有二面角，然后告诉我们 p a、 b 的 面积要求的是 q a b 面积的最小值， 那么这道题你会发现他有二面角，也有线面角，所以接下来咱还是要去老老实实把这个面做出来，那么既有线面角又有二面角的时候，我们知道这都是跟这两个面有关，对吧？一个是这个线与底面，一个是这个面与底面，那我们优先做的话，一定要做 哪个线？今天我们讲二面角有两种做法啊，二面角，一个是啊，过两个顶点，分别向交线去做垂线，第二个呢，是过某一个顶点，先向另外一个面去做一个垂线， 那这道题对，是不是先做垂线？因为线面角要做这个垂线，找投影，二面角做垂线也可以，所以两个都有的话，那我们肯定聚焦于先这个点向底面做一个垂线， 那么垂在哪里？因为这两个三角形的形状，也没说，咱肯定不知道，不知道不要紧，你就这么标着，标完之后呢，咱接下来这边一连，哎，这是线，这是他在这个面上的投影，那这个角呢？就是这个四分之派，所以线面角有了。 好了，那么接下来要求这两个面所成的二面角有这个垂线，只需要这个垂线向这个面 交线做什么？垂线？然后接下来这一连，根据咱们所说的三垂线定力也好，根据本质上是这个线垂直了，他又垂直了，他，他一定垂直这个面， 所以你一连肯定是垂直的，对吧？所以这也就找到了这个六分之派，所以这个垂线一做一举两得，两个你要的都找到了。 所以说只要出现线面二面角这种问题，咱要用几何法？第一步必然是去找角，当这道棋里边既有线面又有二面的时候，优先做垂线， 这是这道棋对思路上的选择，你只要看到这些角，你必然就要找他平面角，要找的本质是做辅助线，那对于辅助线的选择就结束了。好了，选择结束了，接下来那这个棋里边没有长度，只有一个面积， 咱们要去证明这些跟角度呀、长度呀面积有关的，你就得从长度出发，咱去设。那在这道题里边，我们觉得去设哪一个线段会比较好呢？你比如说这个三角形，它是一个特殊的 rt 三角形，设一个其他表示出来了， 这个也是设一个其他表示出来，设谁会比较好？你一画你就看到 po 了，对吧？啊？ po 是 公共的，所以设 po 肯定会更好，刚好它还有它的什么意义？叫做 h， 那 我设它是 h， 这个 o q 也是 h， 这里是根三 h， 这里是六十度，这里是六十度，六十度所对应是三十度， 做对应的根三倍啊，虽然图画的不标准，但是他就是三十度，那在这种情况下，我们该标的长度都有了，这个是根三 h， 这个就是多少二 h， 然后接下来再和题目中给的面积建立起联系，题目给的是 p a b 的 面积，那这样的话我们就可以表示出谁了。我们发现我们知道的这个就是 p a b 这个三角形的高，它的高是二 h， 它的 s 是 多少二，那面积等于什么？二分之一乘 ab 乘以二 h， 所以 这样的话我们就可以得到 ab 等于 h 分 之二，那 底面上这个三角形 ab q， 这是咱们目标三角形，我现在知道这个边等于 h 分 之二， 在这个题目中，我知道 o 向它的垂线是根三 h， 然后 o q 又等于 h， 那 我要去求它面积，只有这个边有条件，我肯定坐它上边高，所以 q 再向 a b 做高， 要求面积最小值，就是求 q e 的 最小值，来看一下 q e 的 最小值是多少？画出来相当于你单独看啊。如果变成一个平面问题，大家在平时处理的时候没那么清晰，就相当于在底面 a b q 中， 我现在知道的 ab 是 多少？ h 分 之二，然后这里有个 o 点，使得 o q 是 h， 使得这个线段呢？是根三 h， 然后我现在要求谁啊？ q e 的 最小值， 那啥时候呢？就是这两个线共线的时候，因为它始终小于等于这两个的和，所以 q e 小 于等于根三加一倍的 h， 那 q e 的 最大值也就是根三加一倍的 h 就是 它的最大值，那这个高的最大值知道了底，知道了那面积最大值不就它俩相乘吗？相乘 h e 约，那么就是二分之一乘二，乘以根三加一啊， 所以最后面积的最大值根三加一这道题也就结束了。最后我们拆解分析一下，其实这道题的话 也是和几何最值，主要就是他没有完全把这些长度告诉我们，给我们的很多都是一些比例关系，或者说角的关系。那第一个只要给了二面角线面角，咱们一般情况下在小棋中肯定优先选几何法， 并且这个棋你想去见戏，你也发现这个戏太难见了，根本没有垂直关系，对吧？所以只要走几何法，角必须怎么样？ 找角就是你要把这个平面角找到，找到之后你会发现不管是线面角还是二面角，你在找到的时候大多数都处于垂直关系的这种三角形中。所以第二个 你要去计算也好，你要去运用它也好，就是在 r t 三角形中解边角的关系，然后在这个棋里边如果没有长度，你就设一个，然后把所有的都表示出来。然后第三步其实就很简单了，那你要求这个面积，你已知的这个三角形有关的只有什么啊？ a b 这个边，你就去找他的什么高表示边找高的关系，这个高的关系一看是咱们初中的一个什么几何最值模型，就是一个点到线的距离和折线段和之间的大小关系啊，这都是属于初中的 几何最值模型，你一眼只要能看出这个高的最值，就是这两个折线共线的时候，而他俩的和是根三加一，这个问题就全部解决了啊。 设 ab 的 话，你理论上也可以啊，你设 ab 可能就是计算起来会复杂，因为你设个 ab， 假如你设成 x， 你 同样能表示出它，能表示出它，能表示出它，能表示出它。 其实设哪一个都能把最后的表示出来，没有任何问题的，只是设的时候，在你有这么多直角三角形中，你肯定设一个跟两个直角三角形都有关系的公共量，去表示的时候比较简单，但是你要说这里边有就是咱们用到的这些线段，你设哪一个肯定都可以。 好了，这个也过了啊，下去之后你自己要重做复盘，把这些细节好好的再去想一下。我觉得今天对咱们来说最重要的依然是 看到空间角，你是否能坚定不移的去找角，找到角之后，你是不是能够快速的在一些特殊三角形， 或者说在三角形中建立起长度与角度之间的关系，然后接下来是看他跟啥结合了，有些时候跟不等式，有些时候跟三角函数，有些时候跟几何最值，因为求最值无非就是函数法、几何法基本不等式法嘛， 你看他最后落脚在哪一个，你要用哪一个，这就在于你之前的知识有没有学扎实啊。换一个最直的再带大家感受一下，比如这道题，这道题本来说是有个四边形，其实最后跟这个四边形一点都没有关系， 因为他折了一下，变成了一个三棱锥，那我们就看他折完之后，这个三棱锥是啥啊？折完之后呢，这个三棱锥呢是 a、 b、 c、 d， 然后在这个图中呢， b、 c、 d 是 一个等腰三角形，两腰是二， a、 b、 d 呢，是个等边三角形，三个边都等于多少？二倍？根号三。现在呢说 二面角， a、 b、 d、 c 啊，就是两个面，就是这个面和底面所成的二面角是有范围的，但是它最后要求的是谁啊？ 两个异面直线所成角的余弦值的最大值。所以在告诉我们一个等边三角形和底面为等腰三角形的这样一个楞锥之后，也给了我们二面角的范围，但最后要求的是这个线和这个线所成角余弦值的 范围。那这道题你可以先找第一个他给的二面角，你也可以去找我们要求的这个角，看个人爱好，我呢喜欢从问题出发， 我看到 a、 b 和 c、 d 两个异面直线所成的角，要找到它的平面角，核心操作两个字叫什么？平行过谁座呢？直接过 b 座。那咋不过 a 座呢？那你发现过 a 座出来在哪都不知道， 但是过 b 的 话，它在底面上做出来，大不了放在一个平行四边形当中，所以接下来我过 b 做一个和它平行且相等的， 然后那这个角就是我们要找的什么角，那么这个角和我们要找的角是什么关系？千万不敢说相等，因为咱们找到的这个角，你不知道他是锐角 还是钝角，而线线所成的角必须是小于等于九十度的，所以这个贝塔和我们真正要求的这个角也有可能是他补角，待会得求出来看正负， 对吧？好，那咱继续整。然后这个角找到了，放在三角形中。那放哪个三角形中呢？那这个三角形是唯一确定的呀，它两个边你找到了，那必然要放在谁啊？ a、 f、 b 当中，然后赶快来看一下条件，知道几个？你只知道两个边， 你不知道 a、 f， 当然你也不可能知道，你要知道你会吓到自己，人家让你求最大值，这个三角形三边都知道，你直接求出了它的值，那肯定也错了，对吧？所以现在的问题就聚焦于 那我要把 af 给表示出来，那 af 咋表示？得看条件。这道题你要表示 af， 肯定得用谁，把 af 表示出来，就是要用这个角，要用这个二面角， 你肯定因为题目给了你一个变量，题目给了你一个角的范围，说明你要表示 af， 肯定是用这个二面角，对吧？所以接下来咱要去找二面角，二面角咋找呢？ 这两个面，这咱太熟了，一个等边，一个等腰共底，等腰一定会找到它。垂线一坐一连，这垂直，这垂直，这直接就是二面角了。接下来我们就要把这个 c 塔先给它表示出来，那么这个 c 塔要表示它也要放在一个三角形中，确定的 a、 f、 e， 看一下长度分别是多少。这个等边三角形，这根三之二，这就是一，所以两边是三和一，这个角是 c 塔， 那说明我们能表示出谁啊？ a、 c 这个角是要用的这道题的核心变量，这两个是已知的，所以只能表示出 a、 c， a、 c 的 平方就等于两邻边的平方，三的平方加一的平方减二倍的邻边之积六 cosine sine theta， 这叫啥？于弦定律， 所以咱把 a c 表示出来了。好， a c 表示出来，但是这个 a c 不是 我要的呀，我要的线是谁？我们不是表示的 a f 吗？我们要表示这个角需要 a f， 那 么现在我知道了 a c， 这里又要求的是 a f， 是 不是放这个三角形当中就 ok 了，对吧？然后在这个三角形，这个三角形是个啥？三角形啊？直角啊，为啥呢？因为这条线垂直这个面， c f 和它平行的，它也垂直这个绿色的面，所以这个是个直角。 那 a f 方不就等于它两个的平方相加吗？这个平方十二， a c 方是它，所以 a f 方就是二十二减六 cos 它。 好了，那么接下来咱这 cosine beta 就 表示出来了。但是因为不知道阿尔法和贝塔是什么关系，咱直接给 cosine beta 带个绝对值，相等也好，互补也罢， 你的绝对值肯定和 cosine alpha 是 相等的。然后用余弦定理一表示，就是这个样子了啊。余弦定理的话，零边的平方减对边的平方， 这是对边的平方。另外两个边，一个是等于二倍根号三，一个是等于 b f， 对 吧？等于二我就不写了，三个边都知道了，带进去，写完之后就是它。我们现在呢，要求 cosine 贝塔的最大值， 要求它最大值就要分母的绝对值最大，分母的绝对值最大。你看 cosine c 塔的范围是多少？ c 塔的范围是四分之派到三分之派，那 cosine c 塔的范围就是多少，二分之一到二分之根号二。所以 cosine c 塔取多少的时候，整体有最大值， 取二分之一，还取二分之根二，取二分之一，对吧？因为这个整体肯定是负的了，但是最终带绝对值，你要他绝对值更大，你就要这个正的越小，那取二分之一的时候，负六加三等于多少？负三负三的绝对值等于三，所以他等于八根号，三分之三的绝对值也是八分之根号三结束了， 所以最大值八分之根号三。好了，这道题整个思路就结束了，然后你接下来理一理，讲完了，带大家顺一遍，你也会发现，其实它是虽然有一定的综合度，但是整个思路还是比较丝滑的。首先第一个我们上来之后，起眼就是 空间角线线所成的面面所成的都是我们需要的，所以我们说只要看到空间角，必须去找角，所以你看我们第一步做平行，先找到谁啊？先找到贝塔，所以找角，找到贝塔。我们说第二步 一定要把它放在一个三角形当中，放在哪里啊？放在三角形 a、 b、 f 中去 使用，因为有些时候是条件你要用，有些时候是问题你要解，但是这里你会发现它缺谁呢？它缺 a、 f， 缺 a、 f， 我 们继续去看条件，我们又看到了谁啊？这个角就是这个二面角， 假设我把它设为伽马吧，那么这个伽马你也得找，所以继续找伽马，所以两个面是共底等腰的。找到伽马，伽马是不是也得放在一个三角形？放在谁啊？ a、 f、 c 中， 因为任何一个角在三角形中才有它实际的使用意义，在三角形中通过这个导出了谁啊？ ac， 通过 ac 导出 af， 整个就结束了，所以再用了两次余弦定律，所以这就是思路，你会发现最核心的依然是 找角，放入三角形中去使用，最后这道题就会水到渠成。当然三角形的使用你得对于弦定律熟。这道题用了两次余弦定律。

嗯，今天说一下高中数学立体几何中的 a 面角和 b 面角。很多同学学到立体几何这里的时候都会有同一个困扰，嗯，就是看着图形不知道从哪里下手，画图全凭感觉，其实不是大家空间想象能力差，而是你没有掌握固定的通隐套路 啊，一直在盲目画图，凭直觉做题。那么今天我就把谢面角和 a 面角的完整思路梳理清楚啊，以后遇到同类题型的时候，按步骤来，就能往外拿分。 首先我们先来说先面角，先面角有着非常清晰的电影啊，就是一条直线和他在平面里的摄影所形成的那个锐角 啊。大家只要记住一个核心逻辑，想求先面角，先找垂线，再找摄影，最后放到直角扇形里面去计算啊。如果图形里垂线不好直接看出来啊，也不用着急，我们还有万能的层级一法，嗯，就是先利用三棱锥体积相等，取出点到平面的距离 啊，再用高度除以斜线的长度，就能直接算出线面角的正全值啊。这个方法不管简单计算是复杂期都通用好用，不容易出错。 嗯，接下来我们再说高考必考的 a 面角，很多同学害怕 a 面角，其实它一点都不难， a 面角的关键就是盯住棱就可以了啊。首先可以用定义法在棱上任意取一点，然后在两个平面内分别做棱的垂线啊，两条垂线形成的角就是 a 面角的平面角 啊，也可以用三垂线法啊，向往平面做垂线，再向棱做垂线，连接两点，自然垂直于棱角度，直接用勾刀出来 啊，如果几何风法实在反应不过来，也完全不用为难自己，直接用空间向量法就很稳妥。建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量啊，带入公式计算与全值，再结合图形判断时，锐角还是断角啊？波主规范，思路清晰，考试也不容易扣分。 嗯，其实高中力气几何从来不是靠天赋、靠想象，更多的是靠方法，靠套路。只要你把线面角、 a 面角到这一套，苦苦听思路理解透彻啊！平时做起按摩板练习，慢慢就会发现力气几何不再是难点，反而变成很容易拿分的题型。

老师好，请坐好，那今天我们来看一下空间几何体的外接球跟内接球的问题， 那么第一类像这种怎么办？在三人追中， s， a 跟 abc 垂直， ab 跟 bc 垂直， 我们重新画一下 s， a 跟 abc 垂直，然后 a、 e 跟 b、 c 垂直，现在这三段的长度知道，请问外接球， 各位这是什么模型啊？啊？变老模型，哪里来的长方体来了？那长方体的外锥球跟这个三轮球外锥球一样吗？一样，所以我们第一种 第一种类型的问题就是把几何体给它组成什么长方体或者正方体这种 补完了以后我们就去学长八里正八里的外接球啊，那这一补的话是一个长八里 外接球的直径是啥东西？长八里外接球直径 底的对角线，所以我们这个二二会等于根号，说 a 方加 b 方加 c 方，所以它等于二根号二的平方再加二平方再加二平方，这边是十六， 随便记搞定，对吧？所以第一章就是补体啊，第一章就用补体的方法来，那我们再看这个几，已知这个四面体怎么样？ p a， b c 等于 等于根号十， p a 跟 b、 c 相等，等于根号十。 好了， p b 跟 a、 c 是 相等的，还有呢， p c 跟 ab 是 相等的， 这有垂直吗？没有啊，它特殊在哪里啊？对人相等对吧？那对人相等它有多特殊啊？哎， 对人相等，他是长方体的对角面的对角线围起来的，所以如果碰到这种，那咋办？补一下是一个长方底，补一下是长方底。 那长方里的外切球跟这的外切球是同一个球吗？是同一个球 啊，所以我这个 p a， 那 我这十二，这三边数 abc， abc， 那 我们这三条 面的对角线那面的对，那对应的不就 a 方加 b 方等于十，然后呢？ b 方加 c 方等于十二，然后 c 方加 a 方等于十四，你看这条是不是？然后我们几这条线是什么？ 哎，平方相加，那怎么得到平方相加？全部都加起来数两倍的几对角线的平方， 对吧？等于这三个相加，这边是等于三十六，三十六，所以，所以十八 k 二就三个二， 所以他的直性是不等于几秒就等于三倍的，三倍的话，那这块地球搞定了，所以对人相对没有这样子的信心， 那咱们那如果这个三人对人垂直呢？又有什么表现？对人垂直，哎，地面垂直怎么办？转化为共面怎么转化？ 异面垂直，转化为共面的垂直常用的是哪一张？各位是摄影，那你斜线跟它垂直折什么呀？摄影要不要跟它垂直？ 所以这个 a o 是 垂直， b c， 那 同样呢？ c o 呢？垂直谁 ab， 那 这个摄影是什么心啊？ 高的焦点是不垂心啊，高的焦点就垂心了啊，所以这个结尾的结构大家很清楚啊。三人追，三人追好，那如果不好补体，那我们又用什么办法来呢？比如说柱体，它的外追求问题怎么处理？ 已知已知值三人柱顶点均在球上，侧人二根号三 底的话，有一个角度三十度， b c 是 一，请问该求的表面怎么求？ 那对球来讲，如果用一个面去截球呢？那得到的是一个圆，是一个圆，那如果他没有过球心，那这样就是小圆了。 那小圆的圆心跟球心是与这个面什么关系啊？哎，谁吃的是谁吃的， 所以我们反过来呢，我要找球心的位置，那我就把小圆圆心找出来，那球心是在他的上方，就在他的垂线上 过小圆圆心的垂线上面，我们就用这一招反过来取。大家们，那我们这个这个图形是不是长这样子的？ a b c 有 没有个小圆啊？那球心跟弦连起来，跟这面是垂直的，那 o o 二呢？是跟上里面是垂直的，而上下底面是平行呢，可见这三点什么关系？ 哎，这三点是共线的，三点是共线的，并且根据对称性，那我的球心在哪里？哎，这个助理呢？中间，所以我这个高是等于二分之 h， 球心到面的距离是等于二分之 h， 那 我二是什么？二是到这点的距离是不是二？ 可见我 o a o e， 这是一个什么原因？直线而言，那我只要把小二求出来，问题就解决了。 小二是啥东西？底的外接圆的半径，外接圆半径，想到哪个定律？正弦，所以我二 r 除以 a b 去三， 那这里的 a 数等于一，上 a 数等于二分之几，所以这等于几？所以我的小二就等于一了，那我的高呢？高数等于高三，所以大二就等于几啊，啊，大二就等于二，所以表面积四 pi 平方搞定啊， 所以我们就可以这样来赌。那边呢，那如果我是是一个这样的三轮锥呢？不是编到的三轮锥呢？那怎么办？我是这样的三轮锥怎么办？ 这三轮锥的外接球跟这铸的一样不一样哎，那么古人铸，那他的外接球跟你铸的外接球一样不一样。 所以如果车轮跟底下里面是垂直的，那这样的三轮锥我们就可以把它补成。什么呀？补成 啊，这个直的能柱是不直的能柱，把这种就补成直能柱。那用直能柱的话，就用这办法，大小啊，二分之 h 构成直角三角形，那我们就可以解决啊。 好，那刚才讲，如果侧棱跟底下垂直的这种锥是这样子的，那如果是不垂直的，那怎么办呢？ 如同在三棱锥 a、 b、 c、 d 中， a、 b、 c、 d 跟 b、 c、 d 都是边长为根号三的等边三角形， 那这个图形我就可以看作是把 b、 c、 d 掀起来，是吧？绕着 b、 c 翻起来的，如果翻到二面角刚好是九十度，则这一刻的外接球表面积是多少？ 这好补体吗？哎，不好补，成长方体，正方体这种是吧？那怎么办？关键就是球心的位置是吧？怎么找球心？ 把两个面的小圆圆心都给他找出来，他们的焦点是不是你的球心啊？ 那么 b、 c、 d 是 等边呢？是一个小圆圆心，是 o、 e， abc， abc 小 圆圆心，我给他记做 o 二， 那球心呢？哎，球心连起来，则 o、 o、 e 就 会垂直。谁 啊？垂直于平面 b、 c、 d、 o、 o 二呢？垂直于平面，哎，垂直于平面， a、 b、 c， 对 吧？都垂直，都垂直，那怎么样？ 这两个面都垂直，那我把这面给。哎，我们把这个平面 o、 o 一、 o 二给它延展一下，会怎么样呢？哎， 延展一下跟个 b、 c 什么关系？哎， 跟 bc 是 不是就要垂直了？因为因为你 l 是 不是垂直 o 一 o 后一也垂直 o 二，所以这个 l bc 是 不是跟这个面是不是，是不是就垂直了？ 那垂直的话，所以这一点应该是 bc 的 什么点？那这都垂直的垂，这个角是什么角？ 这个角就是在二面角的平面角，这个角就是二面角的平面角，那么它是先成几度， 而且 a、 o、 r、 e， 你 是等边的，这三点应该是空隙，这三点呢？也是空隙，对吧？ 所以这三点都是空隙的。因此我们的球心的位置是在这样一个三角形 a、 e、 d 里面，而且 a、 e、 d 是 直角，三角 看见没？那哪一个是半径啊？到 a 点，到 b 点，到 c， 点数都是啊，那么这个点是中心，那你边长是根号三，二分之，根号三乘以高三，所以高是几？ 然后是二分之三，所以上面那段是，这段是一，这段是二分之一，这段是二分之一，那这个 e、 c 就 等于几？ e c 是 等于二分之根号三，那你 o c 怎么求？所以 o c 的 话是求的半径， o c 就 等于谁 啊？那就是 c e 的 平方加谁啊？ e o e 的 平方，这是 c o e 的 平方，那 c o e 呢？再加谁？ o e o 的 平方是不是零 c 了？ 那相当于这边是一个编码的模型啊，这里就有一个编码的模型。所以我们把这三段平方一下，二分之二，二分之一是不是一再加这段是多少？二分之一，所以应该是一加四分之一，所以二方等于四分之， 所以它的表面积就等于五块了啊，五块了。 所以如果是一些啊，普通的三轮锥，那我们关键就是球形位置，球形位置搞定了，那这个就可以找出来了来。刚才是弯成九十度，是吧？现在我弯弯成这样子的 平面四边形， a、 b、 bc 还有 a、 c 是 相等的， a b bc 也就它这个等边呢？等边呢？边长是二，边长是二的等边， 然后还有一个是 c， a d 角 a 六十度，再来 a b 跟 b c 是 垂直的，那现在呢？沿着 a c 把它翻起来， 翻起来翻到什么程度？翻到它的外切球半径刚好是二，请问你这个翻的多大啊？这个二面角是正弦值是多少呢？ 关键就是要把球星给定位出来，是吧？怎么找球星？ 小圆圆心？把它给找出来，是不是小圆？两个小圆圆心这样子对对接起来，是不是球心就找出来了？ b c a c b 是 直角三角形 小月月星，这是 o， 是 a c 的 终点，所以球心是不是在那个垂线上面？再来， abc 是 一个等边等边呢？所以我后移是不是连起来 只有 o o 二？ o 一 是连起来，那因为它是等边的，所以 b o 一 o 二三点是共线呢？啊，三点是共线的啊。 大家们，现在我这个外接球的半径是二，哪个东西是二零点，距离是二，那它是二，这条边是几一， 而我 o o 二是其的底面呢？所以这条就等于几啊？ o o 二就等于几？根号三，根号三， o o 二等于根号三，那 o 一 o 二等于几啊？啊？ o 一 o 二是等于高的三分之一， 高是不等于根号三，谁最大等于几？三分之根号三，那这里有没有一个角度二百， 所以，所以我的口三二百就等于几？就等于 o 一 o 二除以谁？ o 五 o 二，那就等于三分之一。口三二百是不是等于三分之一？哎，那这口三二百跟我二根角什么关系啊？ 人上去一点，分别引垂线，对吧？这里数已经是垂丝的，那我就过 o 二去做一条 o 一 跟他垂丝，所以这整个数二面角，平面角，对吧？ 啊？那这二面角跟我 r 什么关系？说这边数还要再加一部分，而 o o 二数跟底面弦加了几十度，加了九十度，所以我这个二面角，那就等于 r 加几 九十就二百加九十，那我的正弦值呢？啊？那我的正弦值是不等于三二百加九十，那就等于谁啊？可三二百，那可三二百零几三分之，所以他的正弦值是三分之对，三分之 好，所以，所以你折腾什么程度？那关键是我们连起来把 o o 一 o 二这面延展完以后，跟你的折痕什么关系啊？垂直的，那你这个面一切进去，刚好是二面角和平面角， 也就是我们是用垂棱法来做这二面角，平面角，对吧？做一个面跟你的棱垂直，那得到的交线，得到的就是二面角的平面角，我们就放在这个三角形里面来取线 啊，这是这一题。在台底的外接球怎么写呢？已知圆台的上下比半径是一样，体积是这么多，请问该圆台的外接球表面写 球心在哪里啊？圆台球心在哪里？ 上下圆心跟球心三点共线，三点共线， 那么我的球心可能在这角你的外面，你这个台体比较扁一点的下垂在外面啊，那也可能是他两个面之间啊，那总之这三点一定是什么呀？共线啊， 那我上下底的半径是一二，这个到前面的距离数都是二，所以关键就是要把谁给的位高高，那体积跟高什么关系 啊？底级是等一个三分之一的高，再乘以谁上底，再加下底，再加上下底的等比中下已知它等于三分之四十八，所以 h 点几来？ h 是 等于二方程，方程根号 r 方减一是不是 o e o 再加谁？根号 r 方减四是不 o o 二，所以它加起来等于几？加二点二，对吧？那你如果在外面减一样不一样， 不管是加还是减，是都是减。加方程都是同解的方程啊，移过去平方根都是同解的方程啊，所以不管是加还是减，也就是 o 点在外面，这里面是都是这个方程啊，都是这个方程。哎，那这个有两个根号的怎么办？ 把一边给他移的过来，然后再给他移一个过来平方，那按平方就可以解出来了。所以这是抬体的时候，我们啊跟柱体一样的球心位置定出来就行了。 第五课的话是内切球，内切球，那常见几何体的，我们要明白正四面体的那个们， 哎，正四面体的 我要求那些求的半径，我用什么来求那些求半径啊？经常是利用等几级来算，对比一下，在初中我们六七元的半径是等面积，所以这里是等几级。 那我这里总共几个面？四个面，所以我是可以割成几个三棱锥。四个三棱锥，每个三棱锥面积是不等于 s 乘以二， 加在一起加一等于谁啊？哎，等于三分之的 s 乘以，所以我的二呢？ 我的二是零几，是不是四分之一 h 啊？所以球心就在这里的，对吧？所以这个二是四分之一的高，那射四分之三是谁啊？ 那你是四分之一 h 是 外接球是多少？是不是四分之二 h？ 四分之二 h 啊，那 h 又等于谁啊？再等于 a， 这段是多少啊？ 二分之根号三 a 的 三分之啊，三分之二谁知道？应该三分之根号三 a 一 减三分之一，所以高等于几啊？三分之二开根号三分之根号六， 三分之二的四分之一是不是四分之二 a 是 不是它的高啊？内切啊，外切球，内切球，应该是啊，再乘以四分之一，是不是十二分之根号六 a 啊？所以这个大家很清楚的话，它是它的三倍， 那外切圆的半径是内切圆的几倍？来？ 外星人逆行逆行，人啊，两倍，这里几倍，三倍啊，那边是两倍，这边三倍，对吧？啊，那我们再来看一下，逆行正是人追，各条人肠都为二。 请问他的内切球的表面积是多少？ 那第一种当然是等几级来，是吧？等几级， 所以他应该是三分之一的内切球半径乘以谁表面积？表面积，其中有四个是， 四个是等边三角形，对吧？还有呢？还有一个是正方形啊，正方形是不是？ 而体积又怎么算？三分之一底面积再乘以高，这高怎么写 那么高？我们是可以放在三角形 p e c 里面，而 e c 是 底下外接圆的半径， 外外接圆半径，所以这条是等于根号二，然后这里二，所以高点几根号二，高点根号二，那这样二是不可以取出来了，所以内些圆半径，那应该是二分之根号六件根号二， 当然我们第二种也可以直接来。大圆在哪里啊？哎，那跟这些同心，大圆肯定是在高高上面，那个底面的缺点是谁啊？是底的中心， 那个圈面的缺点在哪里？是等边的中心，所以它大圆在哪里？ 是不是在沿着高中间切进来的？是不是这个图形？所以我的，我的内切球的大圆是不是就是这个圆？ 这三边是几？这等于二，这条根号三，根号三啊，那不就是这个等腰三角形的内切圆的问题吗？啊，所以我们去找大圆的位置啊，大圆的位置 好，这是内切球，那一般来讲，我们都用整体球会居多一些。第六人切球的问题怎么来考虑？ 如果一个正三轮锥里面的边长是二根号三啊，侧轮长是二根号二，如果一个球跟这个 轮锥呢？所有的人都相切，所有的人都相切，则这个球的表面上是多的。 let's do it， let's go to the。 关键是什么？关键是缺点的位置以及球心的位置。 那如果它跟 b、 c 边有一个缺点是 a， 那 跟 a、 b 有 一个缺点， a、 c 是 不是有一个缺点？这三个缺点构成什么 啊？这三个斜点构成的是一个小圆，是一个小圆，对吧？然后呢，跟 p a、 p b、 p c 是 不是也有三个斜点？ 那这三个斜点的位置呢？然后对应的是不是也有一个小圆啊？ 而且这个小圆刚好是不是它的外接圆啊？是不是这三个点的外接圆， 然后呢，这 m 点 n 点呢？你是正三菱形，那我球心在哪里啊？哎，那球心的位置跟这个三点应该是在一个啊，这个界面上 是不是这里相切的？这边过来是不是这样？大概是这样子的，对吧。各位 来，那我求外的一点，引流求的切切呢？ 从圆外一点与圆的切线切线长什么关系？相等，那我求外一点呢？哎，那我球心跟它连起来，是不是跟这切线应该是什么？垂直的？那这垂直的 ph 是 公共呢？所以这三条切线长应该是相等的， 所以我说这三段都为 a， 那 这三段是不是都为 a 了？那一样呢？我 a 点出发呢，你是不是跟我这三个人是不是都相切了？所以我这三段都为谁啊？都为 b 对 不对？都为 b， 大哥们，那你这个 pa 跟 pb 是 不是相等呢？那你前面 a 去掉的谁？这底下这段也是谁？ b？ 那 如果这段等于 b， 那 这三段都等于几？都等于 b， 那 其他的是不是也都等于 b 啊？ 对吧？可见 b 就 等于根号三， b 是 不是等于根号三？ 那 b 零根号三， a 等于几啊？二根号二减去根号三，对吧？ 那如果不是这三人追这种，我们是不是就得到一个方程组？你有几条人长，我就得到方程组。那一般来讲就是啊，这个对人这边的两段，他们之间长度是有关系的啊。对人的两段长度是有关系的， 所以我们只要你摸清楚了，那接下来我们就要去什么呀？求解。是不是用什么来求解呢？用什么来求解呢？ 是不是找方程啊？找方程？那你这边是小圆，所以，所以球心跟它连起来，跟中心连起来，这应该是中心嘛，说跟这底面是垂直的，可是 p h o 三点就要 啊， ph 二三点是要贡献我这个能切球的球心跟底面中心连起来是跟底面垂直的，而 p 点跟底面中心是不是也跟这个底面垂直的贡献？ 那我这个里面的边长是二，根号三，所以里面的高是零三啊，里面的高零三，所以 a o 是 不是等于二？ o n 呢？ o n 等于一， 然后，然后这 h 到 a 里的距离是不是能切出半径是二？ h a h m 呢？数也是能切，求半径，数也是二， 那利用什么来列方者搞出来？那我 p h 等于谁啊？ p h 等于谁？根号二方加谁？ a 方是不是二方加 a 方？ a 方二根号二键根号三的平方， 这是 p h， 那 h o 等于谁啊？ h 加球形啊， h o 等于谁啊？根号二平方减去这两个加起来是什么？是不是整条高？ 那这个是二根二数，整个高点几数，整个高数点二，这个方程能把二取出来啊，那我们这二就可以取出来了。 那你回过头把之前做的人切球那个屏幕再去研究一下看啊，之前是给过的人切球的问题， 所以人切球的问题，关键你就抓住这个取决于外的点做球的切线，切线长一定是相等的，切线长一定是相等的啊，所以每个顶点出发的三条跟切点的连线长都是相等的， 所以这个我们就是计算一下。 第七，跟这些有关的坠石问题怎么来处理呢？来让我们看一下第九题。已知求 o 的 半径是一 轮锥的顶点刚好是 o， 轮锥的顶点刚好是 o 里面那四个点。在求 o 上求 o 的 球面上，则该四人锥体积最大的时候，它的高是多少？ let's do it， let's do it。 有没有想是什么？是能追？没有没有，但是我们自己可以创造条件是吧？应该是什么时候他最大？正四能追，正四能追，所以我们就按照正四能追什么叫体积最大来数是吧？ 正四能追，什么叫体积最大？那如果底是正的是能追，那怎么样？我们高跟底的神秘有关系？ 哎。高跟底的小圆是不是有关系？用小圆是不是有关系？那我们先如果高确定呢？高确定，那这个小圆半径定了没？ 小圆半径高什么关系？那就 r 方加 h 方等于， r 方加 h 方等于一。对于每一个确定的高，那它的体积是什么？ 哎，体积的最大值是什么？那就三分之一高再乘以。谁说底面积最大？对于每个 h 大 底面积最大，它都最大了，请问这底面积怎么求啊？ 里面这四边形的面积怎么求啊？哎，里面四边形 abcd， 我们是不是可以靠直线来说它是正方形的最大？为什么？ 这四边形我们可以用什么办法来？就用正角线来，是不是面积的二等于谁？嗯，二等于 a、 c 乘 b、 d 再乘以角角的啊？正弦值是不是它面积啊？ 对吧？四边形的面积，如果两条棱是啊，两个对角形垂直的，那不就两个乘起来吗？那如果不垂直，如果加了一个角度，塞阿法， 塞阿法来塞阿法，取多少下才最大？ e 最大，而你这 a、 c 跟 b、 d 取到什么的下角最大，是不是直径的下数最大？ 所以它在零二二乘二，二乘一，那就等于二。什么二呢？所以它的面积啊，体积最大，那应该是这个整数最大， 然后，然后这 h 在 变化，这 h 在 变化里面这最大的有没有最大的？这个最大的是不是所有的体积里面最大的那一个？ 那双变量怎么办？哎，那三分之一 h 乘以谁二，二二就等于谁 二，二就等于二，哎，减二 h 平方，所以它等于三分之二 h， 然后呢？一减 h 平方，哎，这怎么求这值啊？哎， g 是 和是定值，只有最大值，但是这两个加在一起会是定值吗？它有平方，它没平方咋办？ 平方一下，所以这个量的平方它就等于九分之四 h 平方，然后这边写成一选 h 平方，然后呢？一选 h 平方，但是这三个加起来是定值吗？啊？要一个二，那这里一个二，它前面就设计九分之二 a， b， c， a， b， c 和为定值极就有最大值。什么叫取得 啊？那三个数相等的时候，所以单写平方 h 平方等于几的时候，三分之一的时候就取得，所以它的高低点几？三分之六乘三，对吧？ 我们是三次函数的，我们可以用最棒的啊，都在笔试定式啊，那这是高考题啊，这是高考题， 所以你看起来很简单，跟平常训练的也差不多，但是它新的地方在哪里？它不是外界，外界球，而是什么球形，杠是什么零点，但是内容是不是都是一样的？ 关键就是我的前面小圆圆心跟他连起来是垂直的，然后构造构造这个，哎，直来求解决问题啊，那我们今天要讲的是这些。

今天我们专门来讲立体几何怎么证明线线平行？全程干货，把这四种方法记牢，考试这类题直接轻松拿捏！第一种，基础传递法，这是初中延续下来的知识点，也就是平行线传递性。两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行 最简单，也最容易被忽略。第二种，线面平行，推线线平行。如果一条直线平行于一个平面，或这条直线做平面，与已知平面产生交线，这条直线就平行于交线。立体几何必考逻辑。第三种，面面平行，推线线平行。当两个平面互相平行，同时被第三个平面所截，得到的两条交线一定平行， 条件找对，直接秒杀。第四种，空间向量法计算万能法，只要证明两条直线的方向向量共线，也就是存在实数 round 的， 使得一个向量等于 round 的 倍的另一个向量，我们就可以判定两直线平行。 传递性，线面推线线面面推线、向量共线四种方法吃透全部题型，立体几何证明再也不丢分！关注逐梦动画数学，让你轻松搞定高中数学！

高考数学题分必会二五年一卷十七题例题，几何第一视角讲解第一视角沉浸式带你完整拆解高考真题！ 粉丝宝宝想听主播讲什么题型，直接私信可以加粉丝群讨论数学题，有想线上一 v 一 的宝宝私信主播，如果觉得主播讲的还可以的，点个关注不迷路，动动考高分的小手点两下屏幕，你们的支持是主播更新的动力！ 主播祝大家考上理想的大学，成功上岸！哈喽，宝宝们大家好，今天为大家带来二零二五年全国一卷的第十七题，这是一道呢立体几何题，我们先看第一问，他说如图所示的四棱锥 p a， b， c， d 中 p a。 垂直面 a， b， c， d 而且 b c 平行 a d， a， b 垂直 a， d。 第一问，他让咱们证面 p a， b 垂直面 p a， d 那我们根据面面垂直，首先呢，我们得找出来一个线面垂直，看看是 p a、 b 面的一条直线垂直平面 p a、 d 还是平面 p a、 d 的 一条直线垂直平面 p a、 b。 那 我们根据已知看一下， 由于 pa 垂直平面 a、 b， c、 d， 这个 a、 d 又在平面 a， b， c、 d 内，则 pa 我 们可以得到 pa 垂直，我们可以得到 pa 垂直 a、 d。 同时 a、 b 又垂直 a、 d， 那 我们我们就可以找到 a、 d 垂直了。 平面 p a、 b。 平面 p a、 b 内的两条直线写出来呢，就是由于 p a。 垂直面 a， b， c， d， a、 d 包含于面 a， b， c， d， 则呢， a、 d 垂直 p a。 同时我们还有这个 ab 垂直了 ab， 那 就有呢， 由于 pa 包含于面 pa， b， a、 b 包含于面 pa b， 且 pa 交 ab 有 公共点，等于点 a， 则呢，我们就有 a、 d 垂直面 p a、 b。 那 现在根据面面平行的定理，由于 a、 d 包含于面 p a、 d， 则就有面 p a、 d 垂直面 p a、 b。 这个是我们的第一问，接下来呢，我们看第二问，第二问，它的第一小问说，若 p a 等于 a、 b 等于等于根号二， a、 d 等于根号三加一， b， c 等于二点 p、 b、 c、 d 在 同一个球面上设这个球面的球心为 o， 正第一问，他说证明 o 在 平面 abcd 上， 那这个 o 在 平面 abcd 上，首先的话，那就是我们要想怎么证明呢？那我们就可以利用这个 球心的性质，球心到 p、 b、 c、 d 四个点的距离相等，因为都是半径， 那根据这个性质，我们去间隙。然后呢，算出来这个 o， 看看他的，看看这个 o 的 性质，看看这个 o 的 坐标是不是在平面 abcd 内。由于我们知道这个 pa 垂直面 abcd， 同时呢， ab 还垂直 abd， 那 我们就可以进 借以 ab 这条直线为 x 轴 ad， 这条线为 y 轴 ad， 这条线为 z 轴，就有呢，以 a 为圆点。第二题的第一问， 以 a 为圆点， 建立空间直角坐标系， 那咱们因为要求的这个 o 具体的坐标是多少，我们不知道，是要带求的，所以呢，我们设 设 o、 x、 y、 z， 那 现在我们算一下 p、 b、 c、 d 的 它们的坐标都是多少？首先呢， p 就是 因为它在 z 轴上就是零零，根号二， b 呢，就是根号二，因为它在 x 轴上根号二零零， c 呢，就是是根号二 二零， d 呢，它在 y 轴上零，根号三加一零，则呢则有这个 o、 p 等 o、 p 的 长等于 o b 的 长，等于 o c 的 长等于 o d 的 长， 那根据两点间坐标公式就有根号下，根号下这个 x 方，再加 y 方，加上再减根号二的平方等于 根号下什么什么？那我们就直接可以给他平方就是呢？ o p 的 平方等于 o b 的 平方等于 o c 的 平方等于 o d 的 平方 g 呢？我们先看 o p 的 平方是多少，就是 x 方加 y 方， 加上 z 减根号二的平方等于 o b 的 平方就是 x 减根号二的平方。加 y 方加 z 方 等于 o c 的 平方就是 x 减根号二的平方，加 y 减二的平方，加 z 方等于 o d 的 平方就是 x 方加 y 减根号三加一的 平方，再加上 z 方，这个式子两两相等， 那接下来我们就要去连利，然后那接下来我们就要去连利，求得 x、 y、 z 究竟是多少？那我们可以先让这个前。嗯， 那我们可以先让前两个式子连立，我们给它编个号吧，一二三四，一二连立一下 就有，因为一二共同有 y 方，所以说那 y 方就约掉了，就有 x 方加上 z 方减去二倍根号二， z 加二等于 x 方减二倍根号二， x 加 z 方，那这里呢？我们 x 方和 z 方都约掉了， 这有呢？还有二二也都约掉了，就有负二倍根号二， z 等于负二倍根号二， x 得出来 x 等于 z 就是 一二连立， 那我们再连立一下二三呢？因为二三这里面都有 x 减根号二的平方和 z 方，那我们就直接得到 y 方等于 y 方减四， z 再加上四，得呢啊，不是等于我们就得到这个 y 方等于 y 方减四， y 加四就得到零等于负四， y 加四，我们得出来 y 等于一， 那接下来我们再来再另再连立一下，三四 三四连立呦，因为这里面我们都共同的含有 z 方，所以呢， z 方就可以约掉了。 我们代入 x 三呢，就是 x 方减二倍，根号二， x 加二，再加上 y 等于一，我们代入代入，这里边就是一减二的平方，还是一等于 x 方，再加上 y 等于一，代入一，减去根号三加一，就是根号三的平方就是三，我们就能得到 x 方加三减二倍，根号二， x 等于 x 方加三，则呢，负二倍，根号 x 等于零， x 等于零， 所以呢，同理我们也能得出来，因为 x 等于 z， 则呢， z 等于零，所以说 o 的 坐标就是 零一零。所以呢，我们知道看一下这个图，我们看零一零，他在 y 轴上，那这个，而且，但是这个同时呢， a d 的 长是根号三加一，肯定是把这个一给他包含在内了。所以呢，这一问，我们证明了 求出来了球弦的坐标，它确实是在平面 a、 b、 c， d 上。那第二问，求直线 a c 与直线 p o 所成角的余弦值。我们知道意面直线所成角的余弦值等于两方向向量夹角余弦的绝对值。 那我们先求出来这个向量 a c 和向量 p o 都是多少？向量 a 呢，是零零零，不是 a 点 a 呢，是零零零，则向量 a c 就是 根号二二零， 向量 p o 呢，就是用 o 的 坐标零一零，再减去 p 的 坐标就是零一负根号二 则呢，我我们计算一下这个 cosine c， 它就等于 向量 a c 乘上向量 p o 的 绝对值，比上 a c 的 膜，乘上 p o 的 膜就等于 根号二乘零，再加上二乘一，再加上零乘负，根号二分子呢就是二。然后分母呢是根号下，根号二的平方就是二，再加二的平方四乘上 根号下一的平方一，再加上根号二，加二的平方就是二，等于二。比上 分母是根号六乘上根号三就是根号十八。根号十八呢是三倍，根号二等于六分之二倍，根号二就等于三分之根号二。那这道题呢，我们就算到这里，感谢大家收看，我们下期再见。

今天我用一个视频呢给大家来梳理一下外接球的常见的类型。那么首先我们从五个方面来梳理，第一个是长方起，即补图的类型。第二个是外接球的斗笠类型，那么他一共呢常见的就是有三种，有圆锥的，有正三棱锥的，有侧棱长相等的锥起。 第三个就是外接球的所谓汉堡模型，主要指的是圆柱、直棱柱、垂棱锥的外接球，侧面垂直于底面的四棱锥的外接球。接下来就是抬起的外接球，比如说圆台的呀，正三棱台呀，正四棱台呀， 这些都是过去挺喜欢考的。接下来就是万能公式，那关于万能公式，我在之前的视频里面给同学们推导过，今天我只梳理不推导。那么首先我们来看一下长方体 及其补图的类型。首先长方起，它的外接球的半径是起对角线的一半，这个大部分同学都没有任何问题。那么一说起补图，同学们头疼的是，当我们有人告诉我们这个题要补图的时候，同学们是会做的。但是我们如果在考场上自己能不能想到补图，我大概觉得第一个是 涉及到两种级以上的垂直，我们就要想到补图。那么常见的补图有哪些？我给大家在这里梳理一下。 第一个比如说墙角起，比如说我们这样一个图形，我们就可以适合于补图，这就是墙角起。第二种情况，那我们的挖墙角起，它也是适合补图的。第三个补图的类型呢，叫做别闹起，这个是大家教材上有过的图形啊，别闹起。 接下来呢就是对棱相等的题目，我们也要去补图。以上这四种情况，我们一般要补在一个长方起，它所有的顶点都和长方起的顶点完全重合了， 尤其是最后一个这种情况，我们同学要记住了，对棱相等，我们就可以补成长方起的对角线，这个时候每一个顶点和长方起的顶点完全重合，所以这个四棱锥的外接球就是长方起的外接球， 这是第一种。第二个就是外接球的斗笠模型，那外接球的斗笠模型常见的有哪些呢？第一个我们就说的是圆锥，那圆锥放在一个图形里面，实际上我们同学在做题的时候是不用画出这样的图的，可是我们在学习的时候，画这样图的目的是为了让同学们理解深刻一些。 那么如果是圆锥的，它的外接球怎么做？首先呢，我们在这里都是构建直角三角形，大 r、 小 r 和 h， 我 们构建这样的直角三角形就行了。第二种情况，比如说它是一个三棱锥，四棱锥， 它是一个棱锥的样子，不管是正三棱锥还是正四棱锥，其实本质都是一样的。比如说我在这里画的是一个三棱锥，它仍然是我们要找一下大 r、 小 r 和 h 的 情况， 所以呢，你把它放在这个图形里面去。同样我们来构建一个直角三角形，这里是我们的球形 o， 这是我们的 o 一 大二、小二和 h， 这个 h 是 整个的高减去一个半径。其实外界球的核心是找球心的问题，如果这个球心找到了，我觉得计算同学们应该问题不大。 接下来就是测能查相等的锥起，就这个锥起，它只要是侧能查相等的，甚至一个是更复杂的图形，其实我们做其思路是完全一致的， 我们的核心都是找到这个面的外接圆，比如说这是一个正四棱锥，正三棱锥的外接圆的圆心，然后求出它的小 r， 找到大 r， 接下来找到它的 h， 就是 整个的高 减去大 r 就 应该等于小 h， 这就是我们所有的侧棱长相等的锥起，它都是这个类型。 所以测棱长相等的锥体，如果我们把它画成一个平面图形，它应该是长成这个样子的，应该是一个等腰三角形，在这个等腰三角形里面，我们构建直角三角形，这里就是我们的 o 一， 那么这段长就是我们的小 h， 我 们构建的直角三角形就是大 r、 小 r 和 h 的 问题，这里就是我们的大 r， 这里就是我们的小 r， 这里就是 h， 所以这是外接球的斗笠模型。那么接下来来看一下外接球的汉堡模型都有哪些类型呢？首先会想到的就是关于圆柱，圆柱它放在一个球体里面，它长成这个样子，所以我们要找它的外接球，我们这里连起来， 然后它的球心是在正中间的，我们仍然是构建直角三角形，大 r、 小 r 和 h， 这就是我们的小 r， 我 们的 h 就是 二分之 h 是 它的一半， 这是第一个他的汉堡模型。那么接下来就是直棱柱的，比如说直三棱柱，直四棱柱其实本质是完全一样的， 我们只需要模拟一个就够了，所以放在了这个图形里面，我给大家画一下，比如说这个地方有个直三棱柱， 这就相当于是这个值三棱柱的外接球。所以我们做棋的时候需不需要画出这样的图？不需要啊，我们只要理解深刻了，我们做棋的时候，其实只画前面这个图就够了。比如说还有一些追棋，他可能补图可以补全以后，他就补成一个柱体了， 比如说一些锥起。举个例子吧，我这个锥起，比如说我是一个四棱锥，我底面这个四边形就在底面红色这个圆上，现在我有一条侧棱呢，是垂直的 p a、 b、 c。 所以 它的外接球本质是什么呢？本质就是你可以把它补成一个柱起。那什么时候会想到补成一个柱起呢？比如说 你是个锥起，但是你的侧能垂直于底面。再比如说你侧面有一个面垂直于底下这个平面，类似这样的图形，我们都可以把它补成一个柱起。那么接下来看圆台的外接球公式，这个圆台有可能是在球的半球上，也有可能跨越了最大圆， 但不管怎样，你最后那个公式都是加了平方的，相当于加了绝对值，所以它的答案是一样的，就不用纠结。举个例子啊，比如说一个圆台的它可能长这样，然后呢，我们就写出这个地方是大 r， 这个是 r 一， 这里是 h 一， 这里是大 r， 这里是 h 二，这里是 r 二。所以我们就构建了两个直角三角形，大 r 方等于 h 一 的平方加 r 一 的平方， 大 r 方等于 h 二的平方加 r 二的平方。而且我们的 h 是 等于 h 一 加 h 二，构成的最后一个 外接球的万能公式。那外接球的万能公式之前给大家推导过，我给大家说一下解论，什么意思呢？在这个三棱锥 a， b， c， d 中，我如果今天告诉你说这个角 a， b， c、 d 这个二面角为角 r 法， 那我们就让大家来求一下外界球的半径是多少？那我们知道我们这个公式是什么呢？我们的大 r 方就等于四分之 l 方，再加 m 方，加 n 方减二 m n 乘以 cosine r 法，再比上一个 cosine r 的 平方， 这里的小 m 就 应该等于 o e m m 为中点啊，也就说这个三角形 abc 的 外接圆的圆心到公共棱的中点的距离是 o e m， 那 小 n 就 等于 o 二 m， 也就说第二个外接圆的圆心到公共棱的中点的距离。如果我们这些三角形，我们的 o 一 o 二都在三角形的内部，那我们的 r 法就是二面角。 那有的时候，如果我这个三角形有一个三角形，是一个钝角三角形，那我这个 o 一 可能跑到这个三角形的外面，那有可能我这个而法是什么呢？是二面角的补角 l 就是 我们的公共棱 bc， 这就是我们的万能公式。好了，那我们就用最快的速度给大家梳理了一下外接球的常见的五种模型。

好，我们看第三题，第三题，像我们这种第二问题波段，主要看第三位如何处理我们的 c d 与平面 a c m 成角的角的余弦值，那什么呢？它是我们的线面角的夹角，我们又可以比如说画一个平面出来，假如这是我们的平面，阿尔法上一条直线， 假如只取线段啊，我们只取线段交点，它交点为交于 m， 它交于 n 的 话，那么它是假角与线段是什么？我们是不是可以过点 n 做阿尔法的垂线？那这时候我们的 所成角度是不是我们的 c 塔，那它的正弦则是什么？假设这个点为 p， 是 不是三 c 塔？是不是就等于我们的 n p 比上 m n 有 什么？我们的线段长 分我是我们线段长分着什么？我们线段另一个端点到我们平面的高，对吗？我们的 h n 比上我们的 m n 距离，对吧？就把它转这个形式了，有什么什么我们就要去比高和线段之比，那到我们这题的话，我们 cd 是 不是这个位置？我们 acm 是 这个面，那我们要求的什么？是不点 d 到 acm 的 距离除以我们的 cd 长，对吧？就要求它，那好， 那求他的话，我们有什么东西？我们是不是要求主要是求我们的 h d 和我们的 a c m 的 场面积，对吧？那我们 h d a c m， 它不是构成了三轮锥 amd c， 对 吧？那么微变求这种我们要求高的话，我们一般怎么处理？是不是？我们体积法无非换一点我们对于我们的理解，我们的微 d a m c 是 不是等于我们的 v m a c d？ 我 们为什么要换到 m 上？因为你发现首先有一点，我们点 m 在 顶点的时候，我们的 a、 c、 d 它底面是不是很好求？而且我们的 m 是 不是我们的 p d 中点，我们的 p a 垂直我们的底面 a c d， 那 我们的点 m 到 a c、 d 的 高是不是其实就等于我们的 二分之一的 pa 场，对吧？这就可以把我们的点 m 的 a、 c、 d 的 高也给求出来，那我们的 a、 c、 d 面积还好求，那无非就要求什么处理我们的 amc 这个面积了。那我们首先注意一点什么？我们 d 用我们已知的什么？我们用我们的 a d 垂直我们的 c d， 对 吧？这条边和这条边垂直，以我们的 pa 也垂直我们的 c d， 对 吧？那么 c d 是 不是垂直我们侧面 p a d， 那 么是不是又可以得到什么？我们是不是 c d 垂直？ p a d 的 话，我们有 c d 垂直我们的 am， 对 吧？用全这样得来的同时，有什么？我们 c d 垂直 p d， 我 们叫什么？ p c d 等于九十度， 那这时我们可以当什么？ c d 垂直我们的 am， 对 吧？ c d 垂直 am， 又因为我们的 ap 等于 adm 为我们的 pd 中点，我们是不是可以求出我们什么 am？ 是 不是垂直平分我们的 pd， 那 么 am 垂直 pd a m 垂直 c d， 我 们 a m 是 不是垂直平面？ c a c d 所以 我们有什么？我们是不是有我们的 a m 垂直我们的 mc？ 我 们角 a m c 是 不是一个角三角形？那 a m 长度很好求了， a m 是 斜边中点一半，是的，我们 a m 就 等于二分之一的 p d 等于我们的二分之根号。我们非要求 m c m c， 那 么求我们是可以把这个三角形画出来， 这是我们的 c d， p m， 那 我们的 p d 等于四倍根号，这个很好瞧吧？因为我们的 a p 等于 a d 才知道，那我们的 p d 四倍根号，那我们的 m d 是 不是二倍根号？二， c d 就 等于我们的二，那我们 c m 是 不是就我们的 二倍根号？三，那么 i 三角形 a， m， c 就 很好求出来，那把它带入我们的体积变换模式中，那么的 h d 乘以我们的 i 三角形 a， m， c 是 不等于我们的 h m 乘以 i 三角形 a， d， c， 那 把带的时候把它除过去， 我们的 h d 就 出来，对吧？这是难点，主要难点，第一点就是我们的如何转点，第二方面就是求我们的高对应的三角形的面积。

朋友们好，今天这节课我们来学习第八章立体几何初步第一节，基本立体图形。本节会涉及两个知识点，第一个知识点是七种简单几何体的结构特征，第二种是简单几何体的洁面。 对于空间中实际存在的物体，如果我们只考虑它的大小和形状，忽略掉其他因素，比如说忽略颜色，忽略位置等等，那我们就可以把实际的物体抽象成一个空间几何体。 我们按照空间几何体的形成方式，可以把空间几何体分为多面体和旋转体两类，那其中多面体是由若干个平面多边形围成的几何体，它的关键词是围。 那围成多面体的各个多边形啊，都叫这个多面体的面。这里同学们注意，这个面只能是平面，不能是曲面， 那面和面之间的公共边，我们叫多面体的棱，那棱和棱的公共点，我们叫多面体的顶点。我们这节课要学的棱柱、棱锥、棱台都是属于多面体 那一条平面曲线或者直线。比如说我们这里的 o 一 撇 a 一 撇 a o 绕它所在平面内的一条固定的直线，我们这里的 o o 一 撇所在直线， 那绕这条直线旋转所形成的曲面，我们叫旋转面，那这个旋转面是封闭的，那封闭的旋转曲面以及内部空间所构成几何体就叫旋转体， 那这条固定的直线，我们叫旋转体的轴，所以旋转体的关键词是旋转。我们这节课要学的圆柱、圆锥、圆台球都是属于旋转体， 那这里有个知识点同学们要注意一下，就是多面体的特殊情况，正多面体。正多面体是指各个面都是全等的图形的多面体。正多面体只有五种，正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体。 我们先来看第一种多面体，叫棱柱。当我们研究多面体结构特征的时候，我们会关注四个方面，底面、侧面、侧棱和顶点。 那棱柱有两个底面，上下底面是全等且平行的，棱柱的侧面都是平行四边形，而棱柱的侧棱也就是相邻侧面的公共边，都是互相平行且相等的， 那棱柱的顶点就是侧棱与底面的交点。那我们怎么写棱柱呢？我们就是先把一个底面的顶点的字母顺时针或者逆时针写在一起，表示一个底面， 再打个横杠，再把另外一个底面顶点的字母顺时针或者逆时针写在一起，表示另外一个底面。 对于棱柱而言，它的底面边数和侧面数量以及棱数三个数字是相等的。比如说图一，它底面就是四条边，是个四边形，那它就有四个侧面，那它就有四条棱， 那因此啊，底面有几条边，我们就把这个楞柱叫做几楞柱。那图一底面有四条边，我们就把它叫做四楞柱。那四楞柱有四个侧面，再加上上下两个底面，那他总共就有六个面，因此四楞柱又叫六面体。 如果一个六面体，它的底面是平行四边形的话，它的侧面本来就是平行四边形的，现在底面还是平行四边形，所以这个四棱柱又叫平行六面体。 如果棱柱的侧棱是垂直于底面的，那这样的棱柱我们叫直棱柱，那侧棱垂直底面，所以侧面全部是矩形。 那如果有一个直楞柱，他的底面是正多边形，那我把这样的直楞柱叫做正楞柱， 所以正楞柱是直楞柱的一种特殊情况。正楞柱的底面是正多边形，每条边的边长都相等，所以侧面此时就是全等的矩形，那与之相对应，侧楞不垂直于底面，那这样的楞柱我们叫斜楞柱。 接下来我们来看几种四棱柱，也就是六面体，他们之间的关系。对一个普通四棱柱来说，如果他的底面是平行四边形的话，那这个四棱柱他的六个面都是平行四边形，那他就叫平行六面体。如果这个平行六面体，他的侧轮与底面是垂直的， 那这个平行六面体就叫直平行六面体。此时他四个侧面都是矩形， 那如果它的底面也是矩形的话，那这个六面体此时就是长方形。那更进一步，如果底面是正方形的话，那就叫正四棱柱，此时它的四个侧面都是全等的矩形，它的上下两个底面是正方形， 那如果侧棱和底面边长相等，那就是一个正方体，六个面是全等的正方形。 接下来我们来看个例题，三棱柱的底面是三角形，那第一种说法是正确的，底面边数以及侧面数量以及侧棱数量这三个数字是相等的。 第二，一个棱柱至少有五个面也是正确的。那底面要是一个封闭图形的话，它至少要是三角形， 那三角形就有三个侧面，三个侧面加两个底面就是五个面。第三，五棱柱有五条侧棱，五个侧面侧面为平四边形，我们说这种说法是正确的。 五棱柱有五条侧棱，底面是五边形，有五个侧面，那棱柱的侧面都是平四边形。 第四，若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等。 我们以六面体为例，如果底面边长相等，那它的四个侧面、四个平行四边形，它的边长是相等的。但是如果它是一个斜棱柱的话，四个平行四边形的内角是不一样的， 所以各个侧面有可能不全等。所以第四种说法是错误的。那第四种说法怎么修改是正确的呢？ 如果我们再加个条件，如果棱柱的底面变长相等，而且它是一个直棱柱，那么它的各个侧面就全等了。因为直棱柱侧面都是矩形，内角度数也是相等的，都是九十度。 接下来我们看第二种多边体，人椎，人椎的顶面是一个多边形，它的侧面都是三角形，而且这些三角形有个特征，就是它们有公共顶点，那这个公共点我们就叫人椎的顶点 轮锥。还有另一种顶点叫底面顶点，它是指侧轮与底面的交点。那一般情况下，如果不加说明，我们只说顶点的话，我们就是指轮锥的顶点。 那棱锥的侧棱就是相邻侧面的公共边，它也是交于一点的，这个点就是棱锥的顶点。我们在书写棱锥的时候，我们先写 s， 就是 棱锥的顶点，再写这个底面 a、 b、 c、 d 与棱柱相似。棱锥的底面有几条边，它就叫几棱锥。那三棱锥就是一个底面加三个侧面，总共有四个面，所以三棱锥又叫四面体。如果一个棱锥，它的底面是正多边形， 这是第一个条件，而且顶点与底面中心的连线是垂直于底面的，那满足这两个条件的人追就叫正人追。这第二个条件很容易被忽略，朋友们要注意 那底面的中心，这个中心就是指正多边形，它的四心的焦点。 我们说三连锥，又叫四面体，但是正三连锥和正四面体是两个不同的概念。 正三连锥，它的底面是等边三角形，它的侧面是等腰三角形。 但正四面体，我们说正四面体是四个面，都是全等的图形，因此他的底面和侧面都是等边三角形。因此正三菱锥和正四面体，他们最主要的区别是，侧面是等腰三角形还是等边三角形。 或者我们可以这样说，正四面体是正三轮锥的一种特殊情况，那下一种多面体叫棱台，我们用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，那底面和截面之间的部分就叫棱台。 所以轮胎是有上下两个底面的，上下两个底面是平行且相似的，那底面有几条边，这个轮胎就叫几轮胎。 那轮胎的侧面肯定都是梯形，因为轮胎是轮锥截去部分之后得到的，所以轮胎的侧轮延长之后肯定会交于一点啊，这个点就是原先的轮锥的顶点。 那测人的这个性质非常重要，它是判断一个空间几何体是不是轮胎的重要依据。那轮胎的顶点就是底面与测人的焦点。我们写轮胎的时候，也是先写一个底面，再打横杠，再写另一个底面。 我们看这个图形，它是轮胎吗？虽然它上下两个底面是平行的且相似的，但是它不是轮胎，那这两个线是平行的，所以各条侧轮延长之后不可能交汇点，所以它不是轮胎。 接下来我们开始看旋转体。讨论旋转体的时候，我们往往关注轴、底面和侧面三种特征。我们以矩形 o， 一 撇 a， 一 撇 a o， 他的一条边所在的直线为旋转轴，另外三边旋转而成的面以及内部空间所构成图形就叫圆柱。所以圆柱的轴就是这个矩形的一边， 而他的底面是由垂直于轴的边旋转而成的，因此他的两个底面是两个全等的圆， 而它的侧面是由平行于轴的边旋转而成的，那这条平行于轴的边我们就叫母线。母线就是旋转以后形成侧面的线， 那这个侧面展开之后是一个矩形。我们在写圆柱的时候，我们先写一个底面的圆心，再写另一个底面的圆心。 第二种选择题叫圆锥，它是由直角三角形 s o a 以一条直角边所在的直线为轴 旋转而成的面以及内部空间所构成的图形。因此轴是直角三角形的一条直角边所在的直线， 而圆锥的底面是由另一条直角边旋转而成的，底面就是一个圆。而且旋转轴是垂直于底面的，那它的侧面就是由斜边，就是母线旋转而成。 侧面展开之后是扇形，那顶点到圆底面圆周任意点的连线其实都是母线。那我们在书写圆锥的时候，我们就写顶点 s， 再写底面的圆心 o。 我 们说以直角三角形的直角边为旋转轴旋转的话，我就得到了圆锥，那我以直角三角形的斜边为轴我旋转，我能得到什么图形呢？ 我们假设 a、 b 是 斜边角， c 是 直角，那我过 c 点做 a、 b 的 垂线，假设垂足是 d， 那 三角形 a、 b、 c 以 a、 b 为轴旋转的话，我就可以看成三角形 a、 d、 c 以 a、 d 为轴旋转，加上三角形 b、 d、 c 以 b、 d 为轴旋转的话， 形成的就是一个圆锥。那三角形 b、 d、 c 以 b、 d 为轴旋转的话，我得到的是另外一个圆锥， 那因此三角形 a、 b、 c 以 a、 b 为轴旋转的话，得到的是这两个三角形旋转以后形成的一个组合，那从中可知，也就是两个圆锥的组合体， 那下一种旋转体叫圆台。如果我用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，那底面和截面之间的部分就叫做圆台。或者我们也可以这样理解，圆台是一个直角梯形， 以直角腰为轴旋转得到的， 那他的轴就是直角梯形的直角腰。那直角梯形的上下底边旋转而成的就是两个底面，所以这两个底面是两个平行而且半径不同的圆， 把直角梯形的斜腰旋转而成侧面，因此斜腰就是母线，那侧面展开之后是一个上环。我们在写圆台的时候，我们就用上下两个底面圆的圆心写在一起表示圆台。 那下一种旋转体就是球半圆绕直径所在的直线旋转形成球面，那球面和内部空间所形成的图形就叫做球体，简称球。 所以轴就是直径所在的直径，那球心就是这个半圆的圆心，而半径是指球心到球表面任意点的距离， 而直径是指连接球面上任意的两点，而且经过球心的线段，那我们在书写的时候，我们就写求 o。 那简单几何体经过拼接，经过切挖之后，就得到一些简单的组合体，比如说我们这里的螺帽，它就是一个六棱柱挖掉中间的圆柱所得到的。 好，那我们来总结一下基本立体图形的结构特征。我们把棱柱和圆柱统称为柱体， 把轮锥和圆锥统称为锥体，把轮台和圆台统称为台体。柱体的上下两个面是平行且相等的，如果把柱体的上底面缩为一个点的话，就形成了锥体。 如果我们用平行于底面的平面去截锥体的话，我们就得到了台体。 如果我们让台体的上底面和下底面相等的话，我们就能得到柱体， 这就是他们之间的联系。那这一多面体的底面、侧面、侧轮、顶点以及旋转体的母线轴侧面以及底面有什么特征？朋友们不需要去列表格，去背画图看一看就知道了。 接下来我们来看空间几何体的结面，先看圆柱、圆锥和圆台。那第一种结的方法叫横结，就是用平行于底面的结面去结这个旋转体， 那对圆柱来说，结面和上下底面都是平行且相等的，那对圆锥和圆台来说，结面和底面是平行且相似的哦，看图就一目了然。 那第二种结的方法叫轴结，就是旋转轴在结面上，那因此啊，每一个结面都包含了形成旋转体的这个旋转图形， 而且这个结面有一条边的边长，就是底面的直径，还有一条边的边长就是母线的长度， 那另外两种结的方法就是旋转轴不在结面上，那又分两种小情况，第一种情况是母线在结面上，这里是圆柱的母线，这个是圆锥的母线，这个是圆台的母线。 那第二种小情况就是母线不在结面上，也就是我们通常说的斜结。 那如果我用一个平面去结球的话，它的结面一定是一个圆，这是第一个结论。第二个结论，球的球心与结面圆的圆心， 它俩的连线一定是垂直于这个结面的。那我假设小 r 是 结面圆的半径，大 r 是 球的半径， d 是 球心到截面圆心的距离，那我由勾股定律我就可以得到一个式子，小儿等于根号下大，而平方减 d 平方，这在计算题中经常考。 如果用空间平面去截一个多面体的话，那这种情况就很复杂。我用正方体为例，给大家做一个说明。 空间平面截正方体的话，截面有可能是三角形，但是只是锐角三角形，截面不可能是直角三角形或者钝角三角形。 这个结论是可以用空间直角坐标系去证明的。截面也有可能是四边形，截面有可能是五边形，那截面还有可能是六边形。 好，那这里的只可能是锐角三角形，以及不可能是正五边形。这两个特殊结论。同学们要记一下， 那这个截面的边数是不可能超过多面体的面数的。也就是说，我截正方体的话，我最多只能产生六边形的截面，不可能产生七边形的截面。我给大家说明一下原因。 面和面相结，就是面和面相交，就会产生一个边，那正方体最多只有六个面，所以结面和这六个面相交，最多只会产生六个边，也就是说结面最多只能是六边形。 我们来看道例题，将一个圆锥截成圆台，已知截的圆台上下底面面积之比是一比四，截去的小。圆锥的母线长是二， 则截得的圆台的母线长度是多少，就是求这一段的长度。假设它是 x， 那 圆锥是由直角三角形的直角边旋转得到的， 所以圆锥的顶点和圆台上下底面圆的圆心肯定是在一条直线上的，而且这两个角都是九十度。 我们假设圆台上底面的半径是小 r， 下底面的半径是大 r， 那 pi 小 r 的 平方比上 pi 大 r 的 平方就等于一比四， 所以小儿比上大儿就等于一比二。那途中上下圆台我们画的这两个半径是平行的，那根据相似的知识我们能得到，小儿比上大儿就等于二比上二加 x， 所以 x 就 等于二，也就是圆台的母线长是二。 好，那本节课我们学习了七种简单几何体的结构特征。对于多面体，也就是轮柱、轮锥、轮台，我们要关注底面、侧面、侧轮顶点， 那对于旋转体，也就是圆柱、圆锥、圆台和球，我们要关注轴底面侧面以及母线。我们又看了简单几何体的截图，对于圆柱、圆锥、圆台有红结、轴结以及其他三种情况， 那对于球体来说，结面就是圆，而且结面圆的圆心和球心的连线是垂直于这个结面的。 那对于多面体来说，就有多种情况，比较复杂，要各地来讨论好，本节课就到此结束了，我们下节课再见。

距离高考还有二十天，今天给大家讲一下立体几何的大题。立体几何这块，在辅导学生的时候，我发现一个规律，说完全不会的同学其实很少，大多数同学的状态是理解了这个知识点，也知道如何计算，但最后总是差几分，或者就是在某一步会卡住。 这和我之前讲过的解析几何一样啊，问题不是不懂，而是在步骤上有一些固定的坑，而你每次都精准的踩到了立体几何的大题呢，一般十五分，第一问，一般六分点啊，你踩对了就给分，你 漏掉了这个点就得不到分。今天我就把最常见的几个丢分点给大家讲清楚。第一个是在建坐标系之前的一件事，我们必须要说明正交依据，也就是间隙的依据，说明是最高平的十分点啊，也是最容易被大家所忽略的。 我们建立空间直角坐标系呢，前提是找到三条两两互相垂直的线，以它们的焦点为圆点，建立 x、 y、 z 轴，这些条件在题目里面必须是已知的，或者是你能够证明的。 很多同学是这样写的啊，他说建立如图所示的空间直角坐标系，然后直接开始写 a 点、 b 点、 c 点的坐标， 这一步你就跳过了正交关系的说明。阅卷时见坐标系那一步就没有依据，会扣分的。正确的写法是怎么写呢？在见坐标系之前，我们写一句话，比如说因为 ab 垂直于一个底面，然后 ac 又垂直于 ad， 然后我们以 a 为圆点，以 a、 b、 a、 c、 a、 d 所在方向 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正方向建立空间直角坐标系。看这句话里面，我就有正交的依据，也就是比如说 a b 垂直于某个面， 然后 a、 c 又垂直于 a d， 这是依据，这是圆点的位置，这是坐标轴的方向。 三件事我都交代清楚了，这里我绝对不会扣分。第二个问题是，第一问，我们经常是一个证明题嘛，优先用几何法例题。几何的大题呢，一般是两问，第一问大多是证明平行或者垂直关系，第二问才是求角度或者距离。 很多同学在做第一问的时候呢，就想去间系，用向量法来证明这个方法理论上没问题啊，但实际操作上会有两个坑。 第一个见坐标系的正交条件极有可能要依赖我们第一问的结论的。如果你第一问就间系的话，你在逻辑上形成了一个循环，也就是你在间系的时候， 其实是基于我们第一问的结论来做的，现在你结论还没正，你就已经间系了，你就会造成这样一个循环。第二个是向量法，证明面面垂直或者线面垂直，计算量是很大的，步骤一多就更容易写错啊。 那几何法在证明题里面呢，通常更为简洁，证明线面平行，我们找平面内一条和目标线平行的线，说明他们平行且不过面就可以了。 如果要证明线面垂直呢，在平面内找两条相交的线，然后证明他们分别与这个目标线垂直，再利用定力得出结论。这个逻辑链条是非常清楚的，步骤也短，不容易出错。 到第二问的时候，我们再来间隙，用向量法，这时间隙的正交条件一般就由题目或者第一问给出了，我们可以直接用了。第三个问题呢，是向量法求角的时候，我们要看求的是 哪种角，有些角它的取值范围是在零到九十度之间，有些是零到一百八十度之间。比如说我们用向量法数量级求角度，这个步骤啊，就是 a 向量和 b 向量做数量级，然后再除以 a 向量周长乘以 b 向量周长，会得到一个扩散 c 塔。 这个 c 塔角指代的到底是哪个角落，你要想清楚啊。比如说，题目让我们求的是两直线所成的角，两直线所成的角定义是这个锐角， 所以 cosine theta 一定是一个正值。好，同理，如果我们求的是直线与平面所成的角，面与面所成的角，这从定义上来说都是一个锐角啊。但是如果我们求的是二面角的， 你要看清楚，这个二面角是有两个角的，他让你求的是哪个二面角，他有可能就是一个钝角，然后扩散 c， 它是一个复制。不同的情况，我们要对应不同的处理逻辑啊。做题之前先判断我们到底要求的是哪种角，对应哪个公式，想清楚再动笔，不要做完了再发现 取错了，算错了。第四个问题就是我们的结论句，这里的结论句呢，和我们解析几何讲过的是一样的问题啊。很多同学算出来答案，写完数字就停了， 比如说我们算了 cosine theta 等于负二分之根号二就不写了，实际上我们要多写一句，所以二面角的余弦值为多少多少，二面角为 一百三十五度，或者说四分之三派，你要写这个结论啊，我们只写数字，而没有这个结论的话，可能就差这个给分点了。一分的 最后呢，给我们即将高考的同学们一个建议，现在距离高考还有二十天的时间，你花三到四天的时间，把我上面说的这四个点一一的去对照你自己解析的方法，专门过一遍你 做过的那些模拟题里面立体几何的大题，这个时间是很值得的，比你现在去刷新题会性价比更高。还是第一问证明就不知道如何下手，还是最后计算错了呢？评论区里面和老师聊一聊。

本期我们学这个学会就是满分 一个视频搞定立体几何垂直证明。我是小树老师，今天我将会用二十四分钟时间带你系统梳理立体几何垂直证明的四大常考题型。首先我们来看一下我们今天要给大家讲的第一种题型，如何证明线面垂直。 那么我们要搞清楚线面垂直的基本方法呢？我们首先需要知道它的基本原理是什么？我在屏幕当中呢已经给大家写出来了，他是这样说的，他说如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直的话，我们就说这条直线呢，与此平面垂直。具体这个原理应该如何使用呢？我们来看看下面这道题啊，他给了你这样一个四棱锥， 然后告诉你 pa 和底面垂直，底面是菱形， e 为 c、 d 中点。最后让你证明 b、 d 和 p、 a、 c 垂直，就让你证明什么呀？让你证明这条直线 b、 d 和这个平面 p、 a、 c 呢？垂直。 根据我们刚刚所讲的线面垂直的基本原理，我们要去证明 b、 d 垂直于面 p、 a、 c 的 话，只用证明什么？只用证明 b、 d 垂直于这个面 d、 a、 c 中两相交直线。那么这时候大家就会有问题了，那么请问应该是哪两条线呢？有没有一些什么样的基本方法？其实是有的啊，就是我们要去关注题干当中已有的垂直关系。 我们回过头来看一下题干啊，他有这样的一个条件，他是这样说的，他说 pa 呢和 abcd 垂直，就是这条数值的直线 pa， 他 和这个平面 abcd 呢是垂直的。这有个知识点大家需要知道啊，就是若 pa 垂直于这个面 a、 b、 c、 d 的 话，那么则这个 p、 a 呢？它就垂直于这个面 a、 b、 c、 d 中所有直线。大家看这个图啊，很明显这个 b、 d 怎么样？它就在这个平面 a、 b、 c、 d 当中， 所以说因为 b、 d 呢，它是包含于这个面 a、 b、 c、 d 的。 哎，所以说我们就可以得到 pa， 怎么样他就和我们的 b、 d 垂直，这不就是大家所找到的第一组垂直关系吗？ b、 d 垂直于 pa， 因为我们刚才讲了过要 b、 d 怎么样垂直于这个平面当中的两条相交直线，一条是不是还不够啊？我们需要再找一条， 那么另外一条在哪呢？你不是还有一个条件没有用吗？他是这样说的，他说底面 a、 b、 c、 d 呢，是菱形。朋友们，你们回顾一下你在初中学到的关于菱形的知识点里面有个什么知识点就是菱形啊， 他的这个对角线呢，是互相垂直的，是这样吧，就这个底面 a、 b、 c、 d 怎么样是个菱形， b、 d 和 ac 呢，刚好是他的两条对角线， 所以说自然它是怎么样是垂直的，所以说已经拥有了我们的第二组垂直关系，就这个 b、 d 呢，怎么样和 ac 也是垂直的，所以说你看这个是不是就符合我们刚刚所讲到的线面垂直的基本定律？就是 b、 d 垂直于 pa， b、 d 垂直于 ac， 这个 pa 呢？和 ac 怎么样还交于我们的 a 点，所以说我们就可以得到 b、 d 呢？它就垂直于我们的这个面 p、 a、 c 就 完事了。 基于刚刚给大家讲到的这个线面垂直证明方法，大家可以趁热答题呢，来做一下下面这道题，他是这样说的，他给了你这样的一个正三能柱， 大家知道什么叫正三能柱吧，我把他的基本性质呢给大家写到这，他有两个性质，第一个就是底面呢是正三角形，第二个特点呢是侧能与底面垂直啊，这次关系后面肯定都用得上啊。然后呢他又说了，第一呢分别是这个两条能的中点， 并且呢告诉你 a、 e、 a 和 a、 e、 b、 e 呢是相等的。最后让你证明这个 a、 e、 b 和这个平面 c、 e、 d、 e 垂直，就是哪条线就这条线 a、 e、 b 和哪个平面垂直，就是和这个红色的平面 c、 e、 d、 e 垂直。我们刚刚是不是讲到过了，你要证明这个 a、 e、 b 和这个平面 c、 e、 d、 e 垂直的话，只用证明什么呀？只用证明这个 a、 e、 b 垂直于这个面 c 一、 d、 e 中两相交直线。那么这个时候大家同样会有一个问题啊，就是请问是这个平面当中的哪两条相交直线呢？这个找直线的技巧是什么？这确实是有一个统一的解析技巧啊，叫做先找 相交垂直，再找意面垂直。可能有同学不太能够理解这两句话什么意思啊？我们来给大家解释一下。我们回到左边这个图，我们来观察一下，你会发现这个红色平面当中你能够看得见的线条是不是有三条， c、 e、 d， c、 e 还有 d、 e 这一共这三条线吧，那么你会发现这三条线当中有没有哪条线和我们的 a、 e、 b 是 相交的呀？有没有？有吗？哪条线和 a、 e、 b 是 相交的？ d、 e， 你 发现这个 d、 e 呢，和我们的这个 a、 e、 b 呢是相交的， 那么如果他们俩垂直的话，我们就把称之为香蕉垂直。之所以要先找香蕉垂直呢，是因为这种垂直是最好正的。我们回到我们的题干了，他给了你这样的一些条件，首先呢，他说了这是一个正三棱柱，我们都知道棱柱的侧面都是平四吧， 又因为它是一个正三能柱，侧能与底面垂直，所以它不仅是一个平四，它还是个什么形？是个矩形。再加上题干当中还有这么一个条件，叫 a 一 a 和 a 一 b 一 相等，就是这条线和这条线相等，所以它是个什么呀？它是个平四，是个矩形还是一个正方形。 所以说这个四边形 a e a b b e， 它是个什么形啊？是个正方形，那正方形的话，它的对角线肯定是互相垂直的呀，那这个是 a、 e、 b， 这个呢是 a、 b、 e， 然后我们这个 d、 e 呢，它和 a、 b、 e 呢是平行的， 所以说我们就可以得到 a 一 b 垂直于 a、 b 一， 然后这个 d、 e 呢，他又是平行于 a、 b 一 的，所以说我们就可以得到 a 一 b 呢，他就是垂直于我们的 d、 e 的， 这不我们就得到了第一组垂直吗？就是 a 一 b 垂直于 d、 e 就 完事了。那么找完了香蕉垂直之后，你会发现剩下的线条都没有和 a、 e、 b 怎么样相交了，这个时候我们就要怎么样去找意面垂直。这时候大家还是回到我们左边这个图案，你会发现这个红色平面当中，除了 d、 e 之外，还有两条线，一条是 c e d， 一 条是 c e、 e， 那 么这两条线当中很有可能有一条和 a、 e、 b 垂直，那么请问我们是优先选择 c、 e、 d 呢？还是选择我们的 c、 e 啊？ 选择哪一个？大家觉得我们是不是应该选择 cad？ 为什么我们这道题到了这个时候要优先选择去证明 cad 和这个 ab 垂直呢？理由是什么？理由是题干当中所给到你的条件是有利于你用 cad 去找垂直关系的。哪个条件？他不是一个正三能柱吗？我们说到过正三能柱怎么样？底面是一个正三角形啊，正三角形怎么样？三线合一。 所以说我们要优先去证明什么呀？我们要去证明这个 a 一 b 垂直于我们的 c 一 d 就是 我们的第三个图。 但是意面垂直呢？这也有一个技巧，叫做你要怎么正？你直接正，正不了啊，他那没挨着叫做反过来正。哎，这有个同学不太能够理解什么叫反过来正，就是我本来要证明 a 一 b 和 c 一 d 垂直对不对？但是你要反过来证明什么呀？ 你要反过来证明 cad 垂直于 aeb 所在的面，因为如果 cad 和 ab 所在的面都垂直了，那他不就和 ab 垂直吗？ 那么问题来了，我要证明这个 cad 和这个 ab 所在的平面垂直的话，他应该是哪个平面呢？很明显就是这个蓝色的平面，即你要证明什么呀？即你要证明这个 cad 垂直于这个面 a、 a、 e、 b、 e。 所以 说你得怎么样？你得再证明一次线面垂直。那么根据我们刚所讲的基本原理，你要证明 c、 e、 d 和这个面 a、 a、 e、 b、 e、 b 垂直的话，只用证明什么呀？只用证 c、 e、 d 垂直于这个面 a、 a、 e、 b、 e、 b 中两相交线，那么请问是哪两条线呢？不又来了吗？第一课就是 c、 e、 d， 它是垂直于 a、 e、 b、 e 的， 为什么这个 c 一 d 和这个 a 一 b 一 垂直呀？是因为这个三角形 a 一 b 一 c 一 是一个正三角形，三线合一嘛，我把这个图给大家画出来，正三角形的特点呢？比如这是 c 一， 这是 a 一， 这是 b 一， 这是 d， 这不就垂直吗？所以第一个垂直关系咱们是不是有了？那么第二个垂直关系是什么呢？就是这个 c 一 d 呢？它就垂直于这个 a、 a 一。 那么为什么 cad 和 a 一 垂直呢？那是因为因为什么呀？是因为它是一个正三楞柱啊，这个侧能 a、 a 一， 它是垂直于这个面 a 一 b 一 c 一 的呀，正三楞柱的性质吧，侧能与底面垂直啊，你看这不就连上了吗？侧能和底面垂直，所以说侧能就和底面所有的直线垂直。 a、 a、 e 和底面垂直，那么 a、 a、 e 就 和底面的 c、 e、 d 垂直。那由此的话，我们 c、 e、 d 是 不是就垂直于这个面当中？两条相交直线，那么 c、 e、 d 呢？它就和 a、 e、 b 垂直，整个逻辑链条呢，就清晰了。 如果大家没有听得很明白的话，我建议大家倒回去再听一遍，这道题背后的方法呢，非常重要。讲完了线面垂直之后呢，紧接着我们来给大家讲第二种题型，就是如何证明线线垂直。同样的，我们先把线线垂直的基本原理告诉大家，就是如果一条直线呢，与一个平面垂直，那么该直线呢？与这个平面当中的所有直线都垂直， 所以说如果我们要证明线线垂直的话，我们最终都需要把它转化成什么呀？转化成线面垂直来证。这个时候大家其实是有两个选择的，第一个选择呢，就是我要去证明 b、 f 垂直于 a、 d 所在的面，或者是呢，我们就要去证明 a、 d 垂直于 b、 f 所在的面，那么我们具体应该选择哪一个呢？我们先在图当中把这两条直线给大家找着啊，一个呢是我们的 b、 f， 一个呢是我们的 a、 d， 你 看这个图啊朋友们，你觉得是 a、 d 垂直于 b、 f 所在的面好找呢？还是 b、 f 垂直 a、 d 所在的面好找？很明显是这个 a、 d 垂直于 b、 f 所在的面更好找一些， 就是我们 a、 b、 f 这个面，如果说你实在是无法一下子就判断出来的话，你可以都尝试一下啊，所以这个基本逻辑就很清晰了，就是如果你要去证明这个 b、 f 和 a、 d 垂直，只需要证明什么呀？只用证明 a、 d 垂直于这个面 a、 b、 f。 所以 他又回到了我们刚刚所讲的线面垂直的问题啊，那所以就怎么样只用证明 a、 d 垂直于这个面？ a、 b、 f 中两相交直线 哪两条？第一条 a、 d 和 af 是 垂直的，这是已知的呀，题干里面是不是说了呀，这不用你去证，直接用就好了。那么第二个是什么呢？第二个是这个 a、 d 呢？垂直于我们的 ab， 为什么呀？因为底面这个 a、 b、 c、 d 是 个什么东西？它是个矩形啊，题干当中不是说了吗，矩形的邻边是不是垂直的？所说 a、 d 和 ab 垂直是因为什么呀？是因为这个 a、 b、 c、 d 是 矩形，这不就完事了吗？ 因为 ad 和 af ab 垂直，所以 ad 就 垂直于平面 abf， 而这个 bf 呢，恰巧又在这个平面里头，所以说 ad 和 bf 垂直就完事了。我们再来做一道题，让大家巩固一下，大家可以先自己暂停一下，自己做一做，然后再来听我讲啊， 我来带大家读一下题啊，他是这样说的，他给了你这样的一个多面体，然后呢告诉你 d、 e 和 a、 f 平行，然后又是垂直，并且呢这个四边形 a、 b、 c、 d 是 菱形，最后让你证明 b、 d 和 c、 f 垂直。 根据我们刚刚所讲的原理啊，就是我们要证明 b、 d 和 c、 f 垂直的话，其实你就两个选择，要么你就证明 b、 d 垂直于 c、 f 所在的面， 要么你就去证明 cf 呢垂直于 b、 d 所在的面。那么我们应该是选择上面这个呢还是下面这个呢？我们其实需要看一下 b、 d 和 cf 的 相对位置啊，我们在图当中呢，先把这两条线呢给它找着啊，这是我们的 b、 d， 这是我们的 cf。 初学的同学呢，可能确实不知道应该选择这两个当中哪一个，那么如果说你不知道应该选择哪个的话，你就读读题，他会给你一些提示， 比如说这个地方，他告诉你这个四边形 a、 b、 c、 d 呢是菱形，那你想菱形有什么特点呢？对角线互相垂直啊，那你把这个 b、 d 和 a、 c 呢对过来连起来之后，哎，你把这个图一画，你不大概就能看出来那个面的图形了吗？那不就是我们的 afc 吗？是吧？至少他是你的首选吧， 它有可能是证明别的线和面啊，但是这个一定是第一选择，那所以说我们会考虑啊，证明什么呢？证明 b、 d 垂直于这个面 afc。 那 么根据我们刚刚讲完的线面垂直证明方法，我们要证明 b、 d 和 afc 垂直的话，只用证明什么呀？只用证明 b、 d 垂直于这个面 afc 中 两相交线。那么其实我们刚刚在找面的过程当中，不是已经找着一条了吗？哪一条呢？就是 b、 d 和 a、 c 垂直，那么 b、 d 为什么和 a、 c 垂直？我们刚讲到过这个四边形是个什么形啊？这个四边形 abcd 呢？是个菱形啊，菱形的对角线 是垂直的，所以这组垂直关系呢，是比较好判断的，这是菱形的性质。那么另外一条呢？ b、 d 应该和谁垂直呀？ 那自然和我们的 af 垂直了，那为什么会想到 af 这条线呢？你肯定不能选择 cf 呀，因为 cf 本来就是你要去正的呀，是吧？我们就要去证明 bd 和 af 垂直，我们在图当中把这个 bd 找着，把这个 af 找着， 发现什么问题了吗？这个是不是就是咱们刚刚所讲到的这是什么垂直啊？这是一个意面垂直，就这两条线怎么样不相交啊？意面垂直，咱们刚刚说了，应该怎么正，应该反过来正， 怎么反过来，就是你本来要证明的 b、 d 和 af 垂直，是不是？但是因为它两不相交，你没法直接证，所以你要反过来证明什么呀？证明 af 垂直于 b、 d 所在的面，反过来证明 af 垂直于 b、 d 所在的面，那么应该是哪个面呢？那 b、 d 在 哪个面上？ b、 d 很 明显在这个底面上啊，所以其实就证明什么呀？就是证明我们的 af 垂直于这个面， a、 b、 c、 d。 那 为什么面 a、 f 和 a、 b、 c、 d 垂直呢？你得读读题，题干当中说了 d、 e 看见了吧？和这个 a、 f 怎么样是平行的， 然后这个 d、 e 呢？它又是和底面垂直的，那如果两条直线平行，其中一条和底面垂直，那么另外一条肯定也垂直呗，所以就两个条件，第一个， 第一垂直于面 abcd， 第二个，第一和 af 平行，有他们俩你就可以得到 af 呢和 abcd 垂直。你看这个逻辑链条呢，就完整了， 也就是我们在思考的时候，肯定是从结论往条件上去推啊，我们在写步骤的时候呢，就倒着写回去不就得了吗？从这种题一定要大家自己去做一做，自己去体会一下，就题不在多，一定在于大家有没有掌握它的基本逻辑，因为发现我们讲的这几道题都是一个基本的规律，都是一个套路。 讲完了线面垂直和线线垂直之后呢，就是我们的第三种题型，面面垂直。这个面面垂直很像他最终都是需要转化成线面垂直来正的， 具体的转化原理是什么呢？我们来看一下。他是这样说的，他说如果一个平面经过另外一个平面的垂线的话，那么这两个平面是垂直的。我再给大家读一下这句话啊， 就是如果一个平面经过另外一个平面的垂线，那么这两个平面呢？就是垂直的。那所以说我们要去证明两个面垂直应该怎么证明？我们应该证明 其中一个面上一直线垂直于另外一个面。比如说这道题，你要去证明这个 abc 和 pop 垂直的话，这个时候你也有两个选择，要么你就证明这个面 abc 中一直线 垂直于这个面 pop， 你 要么呢就是另一个选择，就是证明面 p o、 b 中一直线垂直于这个面 abc。 那 么同样的问题来了，我应该选那一个呀？具体的话还是一样，你需要先在图当中把这两个面找着，看谁更像一点，谁的垂直关系更多一点，你就选谁。 我们先在图当中把这两面给它画出来吧，一个是 abc， 就 这个底面，一个呢是我们竖着这个 p o b 看了这个图之后呢，如果有经验的同学确实能一眼瞪出来啊。如果是初学的同学呢，也不用着急，如果你实在是不会选了，我们说了，你就看一看题干当中有哪些已经知道的垂直关系呗。 你先把它在图当中给它标记出来，你比如说他说了 p a、 c 这个三角形是个什么三角形？是个等边三角形啊。等边三角形有什么性质呀？三线合一就是角平分线，中线和高是同一条线， 那么这个 p a、 c 是 等边三角形， o 又是 a c 中点，所说哪个角是直角？这个角是直角，没问题吧？这不就是一组垂直关系了吗？然后呢？他这还说了个条件，说个什么条件？ ab 和 bc 相等啊，所以这个三角形它不是一个正三角形，但它是个什么三角形？这个等腰三角形，等腰三角形也满足三线合一的这个性质， 所以这个角也是直角，那么由此我们就可以知道什么呀，我们就可以知道 a c 它和 o p 垂直， a c 呢？它和这个 o b 呢也垂直，又因为这个 o b 和这个 o p 怎么样？它是相交的呀，所以我们就可以知道什么呀，我们就可以知道这个 a c 呢，它就垂直于这个面 p o b， 然后又因为什么呀？又因为 a c， 它在另外一个面 a b c 上，所以这个面 abc 它就垂直于这个面 p o b。 这不就是我们刚刚所说到的 abc 当中的一条直线和 p o b 垂直吗？我们选的是哪条线，选的是 a c 啊？ 那这个 ac 这条线是怎么找出来的？是我们根据题干当中已有的垂直关系给他判定出来的，就如果你有经验，你看到这个图形，你可以快速的给他蹬出来，如果说你没有经验呢，你就可以先把题干当中已有的这些垂直关系怎么样都给他标出来，你一放，你会发现他就一目了然了。 这道题呢，我们就给大家留成练习题，大家可以先自己暂停做一做，然后呢把你的答案呢发到我们的评论区里面，我来帮助大家看一下，如果大家有什么疑问的话，我们欢迎大家随时来讨论。 然后呢我们来看一下今天要讲的最后一种题型，就是面面垂直的性质定律。那么什么叫做面面垂直的性质定律呢？具体的使用场景又是什么呢？就大家在以后做题的时候，你会发现有的时候这个题干当中的条件呢，是两个面垂直， 那么如果遇到两个面垂直这样的条件，我们应该如何翻译？我们先来看一下他的基本原理是什么？他是这样说的，他说如果两个面垂直，其中一个平面内有一条直线垂直于这两个面的交线，我们就说这条直线呢，和另外一个面垂直，是不是乍一读不知道他什么意思啊？我给你画个图，你大概理解一下，你就明白了。 比如说我这有个平面的 alpha， 然后呢，我这还有一个平面 beta， 这个 alpha 和这个 beta 有 什么特点呢？哎，他俩是垂直的，并且呢，这两条直线怎么样？还相交了一条交线 m， 即我们的 alpha 和 beta 相交交于这个直线 m。 现在呢，我有另外这条直线 l， 这个 l 有 什么特点呢？它是包含于这个平面阿尔法的，就是它整个在这个平面阿尔法里头，并且呢，它还和这个直线 m 呢，是怎么样是垂直的？那么如果说同时满足这四个条件的话，我们就可以得到 这个 l 呢，它就是垂直于这个贝塔的。那么进一步呢，这个 l 呢，它就垂直于这个面贝塔中 左右直线。你看这个链条，我们可以把面面垂直转化成线面垂直，进一步转化成线线垂直。那么具体这个原理应该如何使用呢？我们肯定就要就题论题了，我们来看下这道题啊，他跟你说这个正方形 a， b， c， d 和这个正三角形 a d， p 所在的平面呢？怎么样是互相垂直的， 然后呢， q 呢？是 a d 中点，让你去证明 p q 垂直于 b q。 你 这道题首先应该先把条前面这个条件给它翻译一下，就是这个平面 p a、 d， 它和这个底面 a、 b、 c、 d 怎么样是垂直的？根据我们刚刚所讲到的这个原理，我们是不是要去找着它的交线？很明显这个交线是谁啊？是我们的 a、 d 呗， 所以我们照着左边这个原理就可以直接来翻译它了，因为这个面 a、 b、 c、 d 垂直于这个面 a、 d、 p， 然后这个面 a、 b、 c、 d 怎么样？它是不是和我们的这个面 a、 d、 p 相交了？交线刚是不是画出来了，就是我们的 a、 d 呗。 那么是不是应该要找到怎么样一条和交线垂直？直线？那么哪条线和交线是垂直的？你看题干当中他不是说了这是一个什么形？这是一个正三角形啊，正三角形有什么特点？三线合一啊，所说哪条线和交线是垂直的？这条蓝色的线 p q， 因为 q 是 终点吧， 所以很明显这个 p q 呢？它是不是又包含于我们的那个红色的面 p a、 d 的？ 那所以说根据我们刚刚所讲的这个基本性质，我们就可以得到这个 p q 呢？它是垂直于我们的这个面 a、 b、 c、 d 的， 对吧？ 我们不是讲到过，如果这个 p q 垂直这个面的话，它是不是就应该垂直这个面当中所有的直线？所以因为这个 b、 q 它是包含于这个面 a、 b、 c、 d 的， 所以说 p q 他 不就垂直于 b q 了吗？你看就这完了，就这么简单。我们再来看一个是一样的做法，他给了你这样的一个三等锥，然后呢告诉你，三角形 p、 b、 c 呢？是等边三角形，你看等边三角形很有可能就会用到三线合一的那个性质啊，然后 a c 垂直于 p b， 然后这两个面又垂直，就让你证明 a c 和 p b c 垂直。 看着好像各种乱七八糟，条件一大堆吧，你就记住了，你就一步一步来，按部就班的做，你就能做出来。首先应该怎么样？你首先应该先把这个条件翻译一下，因为面面垂直作为条件是没法直接用的 啊。先找着这个平面 pbc 好， 找着它，然后找着这个平面 abc， 通过这个图能看出来这个交线是谁，就是我们的 bc 吧，所以我们来写一下这个基本步骤，你看因为面 pbc 垂直于面 abc， 然后这个面 pbc 是 不是和我们的这个面 abc 怎么样 相交了吧？有一条交线是不是就是 bc？ 那 么紧接着应该怎么样找到一条和 bc 垂直的直线啊？那谁和 bc 垂直？你读读题，这不有一个条件吗？看见没有？ pbc 是 等边三角形， o 又是中点，这不就是我们所说的了，什么东西啊，三线合一啊，说哪是个直角， 这是个直角啊，等边三角形的性质吧。好，所以说我们就可以知道哦，这个 p o 它是垂直于我们的交线 b c 的， 又因为这个 po 呢？它在这个面 p b c 上吧，在那个蓝色面上，所以根据我们刚所讲到的面面垂直的性质，我们就可以得到这个 po 呢，它就垂直于面 abc， 那 它垂直于面 abc 的 话，那么所以说这个 po 它就垂直于这个面 abc 中所有直线，这不就翻译完了吗？这个条件就到此为止了啊。 然后我们再回到我们这道题的结论，你看你要证明的是什么？你不是要证明 a c 垂直面 p b c 吗？跟我们今天所讲的第一种题一样，我们要证明 a c 和 p b c 垂直的话，只用证明 a c 垂直于这个面， p b c 中两相交线，那么哪两条相交线第一条就是 a c 是 垂直于谁的呀？ p b 的 呀？这个是已知的呀，这不用你去证。那么第二个是 a c 垂直于谁呢？ a c 呢？垂直于 po， 这个是因为什么呀？是因为 po 垂直于 abc 这个平面当中所有的直线呗。你看这不就完事了吗？就做完了呀， 因为 ac 垂直于 p o， ac 垂直于 pb， 所以 ac 垂直于这个平面当中。两条相交之前他就和这个平面垂直了，就和我们的今天讲的第一种题型不就连起来了吗？ 所以说大家如果把这几道题放在一块看的话，你会发现其实立体几何的垂直证明呢，并不复杂，关键点在于大家有没有掌握一套基本的解析逻辑和思路，如果纯平感觉肯定不太行。 以上呢，就是我们关于立体结合数学证明的所有知识解读，希望对于大家的学习会有帮助。我是小树老师，关注我带你掌握更多的高中数学知识。