数学必修二立体几何垂直关系思维导图

今日分享高中数学必修第二册第八张，立体几何初步全套高清思维导图，知识点公式全部整理，高一学生老师自取，家长可转发给孩子点赞关注不迷路！持续更新期末考点高考解析大招，学习干货不断更新！

立底几颗，如果体干上粗线，面面垂直，你这辈子也用不上。面面垂直永远是线线线面相互进行一个转化，证明线线垂直，一定会用线面垂直来正，证明线面垂直一定会用到线线垂直来正。当然里边泼乎 正线垂直有一些粗重的方法，什么三线合一，菱形角线，以及一些用平面向量解决的一些垂直。但是在高中立底几何里，证明垂直卡住你的永远是他两个之间的相互转化。那首先说，看到线线垂直， 同学们无脑去思考，这地方一定是一个什么呢？线面垂直，那具体一点就是 l 垂直一个面， 或者是 m 垂直一个面，这两个你只要证明出来一个，哎，你就成功了。那问题在于这个面如何去找？而线面垂直在高中里的判定力，我刚刚说，除了题概念你有面面垂直，否则你永远用不上。而这个地方线面垂直永远就是 l 垂直于这个面里的两条相交直线， 那证明这个线垂直，这个线垂直。绝大多数情况下，这两个线线有一个是非常简单的，比如说菱形对角线勾股定律，三线合一，也就是说往往会有一个什么呢？初衷方法能挣出来的。 然而另外一个线线垂直的话，这个地方百分之九十都是一个新的线面垂直， 那这个新的片面垂直的话，是 l 垂直一个面，还是 b 垂直一个面？对这个题来说已经就全了，为啥绝对不可能是 l 垂直一个面，你不能自己去正自己。所以在这个地方中，一定是 b 垂直一个面， 那正这个线垂直面 e 再怎么去正呢？朋友们，继续去想。想要证明线面垂直，又回到了线面垂直的判定定里，你只要正 b 垂直于这个面里的两条相交直线就可以。 那同样道理，这两条线绝大多数情况下有一个是初中可以做的，有一个呢，稍微难一点的。那这个稍微难点的线线的话，再使用一次线面垂直，也就是说证明一个什么东西呢？证明一个 d 垂直于一个 b 所包含的一个面嘎嘛，就可以一直反推到提杆上出现了为止啊，有提杆有了，不需要你再去转化了为止，否则的话，这个地方一直能转化下去。 那这就是重要的垂直线线线面的转化思路。那为什么还是很多同学还是不会呢？卡住你的地方在哪？一定要听后，后边才是最重要的。第一个这个面同学，我找不到，那这个面找不到怎么办？同学们，记住，这个面是不是就是 l 的 垂面？那你必须要借助 l 的 垂线 去找，也就是说什么意思呢？你必须要分析体干，分析体干去找 l 的 垂线去，你只要找到了 l 的 垂线，那他俩相交形成的面就是他。那问题来了，这个线没有怎么办？这就是我们做辅助线的根源，我可以做辅助线的方法，把这个 l 垂线必须要找出来。 那第二个问题，他俩不相交怎么办？那他俩不相交，你必须要平移的方法，找 n 的 平行线 n 撇或者 m 平行线， m 撇将你平移的线相交形成这个面二法， 也就是必须要通过 l 的 两条垂线才能找出这个垂面来。那解决完问题之后，这个问题实际上是不需要解决的，这个的话面中的线一般有三条， 三条的话我们目标挣，他肯定挣不出来，你把剩下两条填上就可以了。所以线面垂直比较少做辅助线，大多数的辅助线你都是卡在什么呢？线线找线面上，绝大多数的辅助线都是在这个地方卡着。 所以同学们记住啊，所有证明立体几何的垂直一定要从这地方多去使劲，你只要体会出来了线线如何去找线面，所有的垂直题，可以说百分之九十以上的垂直题你都能解决。

平行如果是三级难度的话，有辅助线的垂直一定是六级难度。很多同学力的技巧学不好都是从辅助线开始的， 但是这个辅助线到底怎么做出来的？答案还是老师也罢，往往都是一笔带过。既然郑老师利用正推法和反推法两个方面分析辅助线到底该怎么去做，郑老师先给结论， 所有的辅助线都是什么呢？推出来的，而不是看出来的这一点哈，反直觉，很多同学觉着立体几何我没有学好，是原因，是我的空间感不好，我这个图根本想象不出来他长什么样。错，很多同学做不出来的原因都是因为你的推理能力的问题。 那什么是推理能力？怎么去推？咱来看一下，常见的推理方法就是两个，一个是正推法，一个是倒推法。什么是正推法？这个题的关键信息是什么呢？这个消息正推里边最有用的条件就这一个，为什么是这个是最有用的一个条件？ 同学们想，两个面垂直往往有一个什么呢？唯一的结论，但凡带上唯一这两个字的都是重点。这个推论是这样说的，两个面如果垂直，有一条交线，其中一个面里头一条线如果和 bc 垂直，那么这个线就和另一个面垂直， 也就是说两个面垂直，先找交线，那这两面的交线就是谁啊？就是 bc。 那 第二步你就思考一个问题，在 pbc 或者在 a、 b、 c、 d 中，哪条线适合交线？ bc 垂直的， 那很多同学说，我看到这地方就已经看不明白了，这个 bc 的 垂线我找不到，那找不到正常的，如果找不到的时候，这就是我们做垂线的原因了，我们就把它干什么做出来，因为两个面垂直，刚才说这个结论是一个唯一结论， 也就是说题干给了这两个面垂直，它就是想让你用上刚才这个定律，你必须要找到交线的垂线， 必须要找到交线的垂线，在心里默念三遍，所以我必须要找到 b、 c 的 垂线，那么怎么找？要么在 p、 b、 c 中找，要么在 a、 b、 c、 d 里找，找不到怎么办？找不到你就画上。 那这个地方，咱做 b、 c 的 垂线的时候，首先考虑一下 p b 和 p c 是 否相等，如果这两边相等的话，咱只要取一个中点，哎，连起来 这个 p o 就 和 b c 垂直，但是你找来其他条件，你仔细观察会发现你并没有找到这个 p b 和 p c 是 相等的，也就是说这个中点和这个 p o 啊和 b c 垂不垂直不一定不知道，那怎么办呢？ 那不知道我们也必须要找到 bc 的 垂线，那我干脆啊就直接做好了，直接做 bc 的 垂线， 那至于这这个垂线是不是终点，对不起，不知道，因为这个地方题干上并没有给我们一些 pbc 这个三角形的一些有用信息，关于 pbc 这个三角形，它只告诉我们了这是四，这是六十度，其他都没有这个长度啊什么的，这个长度都不知道，那所以这个地方我们就直接强行的做 p o 垂直于 bc， 那这样话，根据我们的分析哈，这两个面垂直，我们就通过自己的做辅助线的方法找到了 p o 和什么呢？和 b c 垂直，继而又推出来了 p o 和底面 abcd， 哎，是垂直的，这就是我们的推理， 那这样的话，我们推出这个 p u 和底面 a b c d 垂直来之后呢？干什么用呢？再怎么用呢？后边又陷入了沉思，这个题又不知道怎么做了，那后面的方法我们就使用的这个题的什么呢？反推思路。那什么是反推思路呢？ 我们的目标是证明 ab 垂直于 pd 啊， ab 和 pd 垂直，那证明两条线线垂直。我们在高中里使用的方法可以说也是唯一的方法，就是说在线线垂直里边就是正线面啊，这样同学说你线面平行线垂直方法很多呀，什么菱形、对角线，勾股定力。 强调一下，咱说在高中里你学的这个力线线主要就是通过线面来挣的啊，可以说就是用线面来挣的，也就是说，根据我们的推理思路，我们证明的就是什么呢？要么证明 ab 垂直一个面，要么你去证明一个什么呢？ p d， 哎，垂直于一个面，这两个都是可以的，要么正 a b 垂直于一个面，要么正 p d 垂直于一个面。至于其他方法呢？没有哎，没有。好了，那到底是 a b 垂直于一个面，还是 p d 垂直于一个面？我们再去想， 你想要找 a b 垂直于一个面，这个面就是 a b 的 垂面，对吧？那你就需要什么呢？需要找 ab 的 垂线，因为只有 ab 的 垂直于两条线 啊，只有 a b 垂直于两条线，你 a b 才有可能垂直于一个面。所以同学们根据这个思路去想，你必须要找到 a b 的 什么呢？垂线，而这个地方同学们看 已经就出来了，为啥呢？ p u 垂直于这个 a、 b、 c、 d。 那 这样的话， p u 是 不是就和 a、 b、 c、 d 里所有的线都垂直啊？也就是说这个 p u 就 肯定是垂直于谁啊？是不是垂直于 ab 啊？正好和我们前面呼应上了，哎，我们需要 ab 的 垂线，因为你只要找到了 ab 的 垂线，你才能找到这个垂面。 所以基于这个思想， ab 垂直于 p o， 哎，我们把它写在这个地方哈，就是说 ab 垂直于 p o， 那 好了， ab 垂直于两条线，看见没？有一个是 p o， 目标是 pd， 那 ab 就 必然垂直于 p o d 啊， p o pd 所在的平面，也就是 p o d。 然后我们只要证明什么呢？ ab 垂直于 p o d 就 可以了。那我们看图， p o d， 哎，需要把它该连的把它给连起来，自然而然这条边你就做出来了。所以很多同学辅助线，辅助面怎么做到底怎么去想的，我怎么不知道？同学们体会出第二个这个 p o， 我 刚才怎么做出来的？同学体会出来没有？ 第二个我，这个 o、 d， 我 为什么要连起来？同学们体会出来没有。所以同学们一定记住，立体几何垂直最难，最难的就是要把这个 p o d 找出来，真正当你找出这个面来之后，你去证明，哎，你会发现简单很多。那这样的话， ab 垂直 p o d， 我 只要证明 ab 垂直 p o d 的 两条线就行，对吧？然后这个地方我们稍微换一下策略， ab 啊，底面是一个平行四边形哈， ab 的 话，我换成 c d， 为什么换成 c d 呢？因为底面 ab 和 c d 首先说是平行的，第二个 c d 和这个面啊，它更近一些，它这地方夹角啊，或者这长度 包括长度一些东西，它更什么更多一些，所以换句话说，这个地方哈， c d 和这个面它的联系啊更密切一些， 所以你把这个 ab 转化成 c d 垂直于 p o d， 哎，这样就简单很多，那这样的话，只要正 c d 垂直于这个面里了，是吧？是不是两条线就行了？那两条相交直线一条是谁？ c d 垂直于 p o， 对 吧？ 原因是不还是这个原因啊？哎， p o 和这个面垂直另一个 c d 要想垂直这个面是不是另一个，是不是只要证明什么，这个 o d 就 可以了？哎， c d 垂直于 o d， 这个刚才已经通过这个地方挣出来了。那 c d 垂直 o d 的 原因，我们来分析一下， c d o d 他 两个为什么会垂直呢？就说这个角为什么是个直角， 那么一下，现在好多的时候长度还没有啥，那这个是四，我们自己做了个垂直，那这是六十，这是三十，哎，这个是六十度，对吧？这是六十，这也是六十。一二六十能不能算出来？这个边是跟三 对吧？一二六十度是不是能用余弦定律算出来叫根三，这是根三，这是一，符合勾股定律吧，所以这个长度的证明使用的是什么呢？是不是勾股定律啊？啊，这是用勾股定律啊，挣出来的，最后别忘了加上 p o 加 o d 等于 o 啊，这个答案就出来了， 也就是说这个题同学们思考一下哈，例题，几何最难的，咱讲就是如何去做这个辅助线， 那这个辅助线的话，首先说，不是说简简单单看出来的，也不是说答案给了之后我一看答案就会， 也不是说老师说，哎，你就应该在这个地方做，你是看到他你就做个垂线，做个重点，并不是这样，都是靠一步一步的推理 逻辑把他给推出来的。由于时长有限，关于立体几何常见的推理思路包括什么？内切球、外接球的一些推理方法，这老师的十七节视频里边都已经有了，有需要的同学评论六六六，拿回去下载打一关注，我带你看更多更好方法。

高中的例题，几何答题第一问，线线垂直。当我们遇见这样的一个问题的时候，往往会想，哦，线线垂直，那不就是勾股定律吗？ 如果说大家只会单纯的勾股定律，这个问题在平面图形当中是没有问题的。可惜啊，我们现在的问题是什么？是立体几何，那么在立体几何当中，线线垂直，我可以告诉大家，百分之九十九题目都是通过线面垂直的判定来证明的。 简单来说，你想正 b 倒垂直 a c 两个方向，方向一， b 倒垂直 a c 所在面，第二个方向 a c 垂直于 b 倒所在面。 好，这就是今天我想表达的核心内容。大家在往往遇见线线垂直证明的时候，我们往往可以通过这样的手段，利用线面垂直的星直定力来解决问题。我们一起来书写一下线面垂直定力，当我们想证明一个线 他要垂直一个面的时候，这个过程呢叫做判定。我们假设这条线已经垂直这个面了，这个呢叫做性质， a 已经垂直 alpha 了，那么我们能推出来什么东西？很简单， a 垂直 alpha， 一 条线在面内， 我们就可以推出来 a 垂直于 b。 换句话说，一个线垂直面，我们就可以推出来线垂直面内的任何一条直线，这就是我今天想表达的这个性质的一个应用。 甚至在题干当中，只要出现线面垂直，百分之九十九会用到这个东西。当然二四年高考，他用的是另外的一个性质，这个我们称之为性质一。在我们高一目前的学习当中啊，这个性质我可以说用的是最多的。 好，我们接下来不妨来尝试一下啊。既然让我正 b 倒垂直 a c， 那 么有两种方向，是 b 倒垂直于 a c 所在面，还是 a c 垂直于 b 倒所在面，这就是问题。那你说老师每个题都两个方向，那我每个题的两个方向都要都要去想吗？ 那我这里教大家另外一个方法，线面垂直，线线垂直。这里面其实是有一个 小小的 bug， 好， 这个 bug 呢，我先把这个图画好之后我再跟大家讲，我们先把 abbc 等一，我很自然的想到了中线，它是垂直的，换句话说呢，我好像发现了一些东西。第二个方法论叫做 通过线线垂直，其实它有一个技巧，线线垂直，我认为是最简单的。什么叫做反推，让我正它垂直， 我问一下，它实际上垂不垂直？它实际上是不是一定是垂直？所以 b 导一定是垂直 a c 的， 那我们又得到了这个 b h 垂直 a c， 看懂了吗？也就是说，实际上 a c 是 不是它一定又要垂直 b 导，那么 a c 是 不是一定又要垂直于 b h 呢？那是不是 ac 就是 垂直这个面的呀？大家听懂了吗？但是我们证明的时候是不是不能用哪一条？是不是不能用这一条？因为这一条是我通过结论来反推出来的东西。因此我们换一个方向， 我们要再找一根线，这个线已经很明显了吧，所以这个线是谁？这个线是不是就倒 h？ 我 们在正常书写的时候，不要拿结果来用啊，这结果不可能能用的呀。所以我们就写 ac 垂直于倒 h， a c 垂直于 b h， 是 不是线线，这两条线相交于一点，再写这个线在面内一个五推一，我们就可以判定出来 a c 是 垂直这个面的，那么自然垂直这个面的话，我们再次用这个性质底是不就可以推出来 a c 是 垂直于 b 道的，我完整的书写下过程。 那么接下来的话呢，就是我要表达的第二个事情， b h 交导 h 等于一点， h 导 h 在 b， h 在 面， b 导 h 中，所以推导出来 a c 垂直于面， b 导 h， 在这样的一个基础下的话呢，我就可以用性质定比了，因为这个叫线面垂直，所以它垂直面内所有直线既 a c 垂直于 b 道，这就是我想表达的两条方法论，大家可以把对应的笔记进行整理，第一个是课本给出的这个性质定理无比的重要， 第二个给的是我们在做线线垂直的题目的时候，我们可以把这个对吧要正的当做已知来反面的去找到这个面， 找到这个面之后呢，我们又不能用这个，所以我们在这个面内再找第三根线就可以了。以上的话呢，是我想表达的今天的对于线线垂直的证明的核心思路。关注我，我是数学沈老师，通过本质讲数学。

本期视频来搞定立体几何证明。第二部分，线线垂直四大核心第一，特殊图形的直角常见有矩形、菱形、直角、三角形和我们的直角梯形。 图中所示的是我们常考到的会用于作为底面或者侧面的一些特殊图形。还需记住部分引直角，例如矩形中的十字架结构。这里需要用到我们的相似三角形辅助证明。 半圆或直径所对的圆周角是直角，最后圆的直径垂直于过切点半径的所在直线。 第二，本腰等边三角形三线合一，即角平分线、垂线中线三线合一。 第三，三角形边角定力、勾股定力力和直角所对正于学。第四，线面垂直的性质，记住两个口诀，线垂直，面则垂面类所有直线。第二，面面垂直找交线垂直于面。 以上就是线线垂直证明的所有内容，希望各位同学结合上期内容建立知识体系，接下来老师会带着你把立体几何变成自己的东西，高考拿下满分！

好，我们今天来看一下直棱柱，还有一些特殊的棱锥的外接球的公式。我们第一个以三棱柱为例，当我的这个侧棱垂直于底面的时候，我们要找到它的球 的半径。我们首先第一步先把底面放在一个圆面上，那么底面三个点必然会同时在一个圆面上，那么它的高 a 撇点肯定也在另一个圆面上。所以我们考虑一个问题，我们既然要找球心，那其实就是要满足这个点 o 到 a 撇点到 a 点距离相等，而且要让他到 a 点到 b 点到 c 点距离相等，那么无外乎其实就是说点 o 的正投影，其实应该是 abc 的 外接圆的圆心，因为在底面的时候它只能满足，只有当它是圆外接圆心的时候，才能满足到三点距离相等。其次还又要满足 o a 撇等于 o a， 那 其实就是要满足它正好在 高的垂直平分线上，那所以两个条件放在一起，那么它就是高的垂直平分线与底面 外接圆心这条线的焦点。那么我们外接圆的半径，外接球的半径其实就是， 而等于根号下 o o 一 是二分之 h 的 平方，再加上 o e a o e a 就是 我们底面外接圆的半径，那么外接圆半径我们可能需要通过正弦定力、余弦定力以及一些别的条件去求它。 two hours later。 第二种就是我们有一条侧轮垂直于底面的一些三轮锥，那么这种题的求法和上种是一样的，首先既然要求外接球，那么 abc 必然得同时出现在一个圆面上。其次点 p 也要在另一个圆面上， 而且要垂直于底面，那么 p a 其实就是我们棱锥的高。依旧上道题要让它在 底面外接圆圆心这条线，还要让他在 p a 的 垂直平分线，所以点 o 就是 依旧用二分之高和外接圆半径去求，那么这的公式依旧等于二分之 h 的 平方加 r 的 平方 a few moments later 下一种就是对于一些正楞锥或者侧楞长相等的楞锥，那么都代表着我的顶点 的头引就是底面外接圆的圆心。那么对于这种题的求法就不能再用上述的二分之高，而要转化一下思路，首先我们要满足的是球心一定会在底面外接圆圆心这条线上。 其次还有一个点屁，那就是它的顶点也就代表着我的球心到点屁的距离和球心到 a 的 距离 一定得相等，他们都是 r， 那 么我们就需要先求出来整个棱锥的高， 也就是 p o 一 的距离，然后再用高减去半径表示 o o 一 的距离，再用 o o 一 a 这个直角三角形去列勾固定里， 所以我们的公式可以表示为 r 等于根号下 h 减 r 的 平方，再加上 r 的 平方，其中这个 h 为高，记得关注再走哦！

同学们好，今天咱们来看一道有关立体几何中线线垂直证明问题。一般情况下，在立体几何里面， 线线垂直的证明伴随着线面垂直，也就是说给其中一条线要构造，要面出来，证明我这条线和你另外一条线所对应的面垂直就行， 所以这时候构造面是很关键的。简单一点，题中你一看这个线和另外一条线，它本身有的一个面就能垂直，难点得做辅助线。正常来说，你就按照 正常的要求去走，比如说正常的条件去走做辅助线。像咱们这道题，底面是个矩形，并非正方形，侧面 abc 垂直于底面，咱们只要有两个面，垂直的时候 不能说明两个面中的线怎么样垂直只能干什么事情？找胶线，胶线大家发现是 bc， 你 就相当于给胶线做垂线，其中一个面里面给胶线做垂线，你就能垂直于另外一个面。所以咱们来看看 abc， ab， 它是等于 ac 的 等腰，那不用说了，等腰肯定做什么线是做中线，中线是垂直于边的，也说中线垂直于交线，既然是这样的话，垂直于交线的话，咱们做这条线，咱们假设成 a o 吧， a o 就 垂直于底面了。 此时大家有没有发现，咱们这个 a o 是 和 ad 首尾相接的，那也就意味着必然是给 ad 构造的面，叫做 a o d。 大家一定要记下来这个事情，你做辅助线，你就常规做，见到等腰，做中线，等腰等边、做中线、菱形连对角线等等这些常规的去做。你做的辅助线和你要证明的两条线里面和谁首尾相接，就是给谁构造面。其实这个题就很明确了， 咱们只需要证明 c e 垂直于谁， a o d 就 行，只要 c e 垂直于 a o d 了， c e 肯定和 ad 垂直。那如果是这样的话，咱们只需要证明 c e 和谁垂直， 是不是和 o a o d 垂直就行， ad 就 不用考虑了，因为如果我但凡和 ad 能直接找到证据说明垂直的话，我就没必要构造面了。那咱们再看， 咱们现在来看看，咱们现在是 c e， 现在肯定和 ao 垂直，为啥呢？ ao 是 垂直于底面的， 然后咱们再来看看现在是 c e 和这个 o d 垂直。不是不是，咱们发现在 相当于你 o d 和 c e 是 满足这么一个三角形了，那我就可以算三角形的长度，看，验证下勾股定律，看是否是垂直的就可以了。那这个题中是不是告诉了 一些长度，比如说，呃， bc 是 二，那这个长度就是一了，然后 c d 是 根二，这如果是根二的话，那也就意味着 o d 是 谁了， o d 是 根三了。那如果是这样的话，咱们再来看看咱们现在这个小红色的三角形和另外一个小红色的三角形，它是相似关系，而且长度是一比二的关系。那如果是这样的话，咱们就很容易得到谁 就是 o d 的 长度， o d 的 长度是根三，那我占了什么？三分之一？三分之根三，那同理同理，咱们可以把 c e 的 长度算出来，这根二，这是二根二，二的话，这就是根六，那他占了三分之一。三分之根六， 也就说咱们发现什么三分之根六的平方加三分之根三的平方就等于一，所以这个角是直角，也就是说 c e 与 o d 是 垂直的， 这也就找到了，这就结束了，也就说有的模型你一眼就能看出来他是否是垂直的。好，这道题咱们也算是结束了，具体过程就不写了，分析过程给大家说到了一定注意。第一线线垂直往往伴随着线面垂直，也说构造面，构造面的话， 中等的题型就是你先做一条常规辅助线，辅助线和你要证明的两条线谁首尾相接，就是给谁构造面，面构造出来之后，你就可以证明这这个线和这个面中的另外两条线垂直了， 慢慢去找原因。如果题中长度量告诉比较多的话，要考虑勾股定律。如果题中出现了句型中类似的一堆对角线，就像刚刚这个 c e 和 o d 一 般，他都要大胆怀疑垂直去验证就行。 如果接到面面垂直，肯定是要找交线，谁垂直于交线，谁就垂直于另外一个面。好，这道题咱们就先说到。

高中数学最难的立体几何全部吃透！逆袭最强黑马立体几何的向量方法，利用向量球空间距离、向量球空间角、向量球夹角、意面直线所成的角学习误区。

同学们大家好，欢迎来到肖老师课堂，今天我们讲空间的线线垂直，线面垂直和面面垂直的证明。首先我们看线线垂直，第一个线线平行的性质定律。 在这幅图中，首先我们看如果直线 a 平行于直线 b， 然后直线 a 垂直于直线 c， 那 么 b 也垂直于 c 啊，这是通过我们 ab 两个直线，如果说有其中一条直线垂直于这个直线 c， 那 么另一条直线也是垂直于这条直线的啊，这是线线平直的平行的性质定律。好，接下来我们看到线面垂直的性质定律 啊，如果这个直线 a 垂直于这个平面阿尔法，那么这个直线 a 垂直于平面内的任意一条直线啊，因为 a 垂直于阿尔法，所以 a 垂直于 c 啊。同学们，这两个线线垂直在空间中的定律，大家一定要注意 好，接下来我们看到线面垂直，线面垂直。首先我们看到第一个线面垂直的判定定律，这个定律是非常非常重要的，我们看 l 这个直线垂直于这个平面内的两条相交直线，那么我们这个 l 和这个平面就垂直。 老师再讲一遍， l 垂直于这个平面内的两条相交直线，那么这个 l 和这个平面就垂直啊，同学们一定要注意，一定是两条相交直线，如果说是两个平行直线是不行的， 嗯， l 垂直于 a， l 垂直于 b， 然后呢？ a 和 b 相交于点 p， 然后这两个直线都是属于这个阿尔法平面内的，所以说这个 l 垂直于平面阿尔法。 好。接下来我们看到线面平行的性质，这里这个是什么样子的呢？这个是如果 这两个直线平行，其中有一个直线垂直于这个平面，那么另外一个直线也是垂直于这个平面的啊。如果 a 平行于 b， a 垂直于平面二法，那么 b 也垂直于平面二法。 接下来我们看到第三个线面垂直的性质定律，这个也很简单啊，如果说这两个平面平行， 有一个直线垂直于某一个平面，那么这个直线也是垂直于另外一个平面的啊。看这个，这里阿尔法平行于贝塔，那么 l 垂直于阿尔法，那么这个 l 也是垂直于贝塔的。 好，然后我们看到最后一个面面垂直的心之力啊，同学们，这个也要注意，你看这两个平面相交于 m， 这个 l 垂在这个平面贝塔内， 这两个平面是垂直的，然后呢， l 垂直于 m， 那 我们就能够推出来这个 l 和这个平面是垂直的啊，这个是面面垂直的限制定律 啊，就是说什么呢？两个垂直平面其中某一条直线垂直于他们相交线，那么这个直线就垂直于另外一个平面 啊。在线面垂直中，这里的第一个和第四个是比较重要的，同学们务必要谨记 好。最后我们看到面面垂直，首先我们看到面面垂直的判定定律 啊，跟刚刚那个差不多。好，我们看一下，如果说这个 l 垂直于这个阿尔法的一个直线垂直于这个平面，那么 这个直线又属于另外一个平面贝塔，我们就能够测出来阿尔法和贝塔垂直就是什么呢？这个直线垂直于这个平面，那么这个直线所在的平面和另外一个平面是垂直的 啊，这是面面垂直的判定定律，我们在做立体结合的基本上都会用这个，但是我们面面垂直还会有有一种方法，那就用什么呢？我们用向量的方法来证明空间的垂直，这个我们后面学了向量之后，我们就知道怎么来求。 首先我们知道阿尔法和贝塔平面，然后求出阿尔法和贝塔平面的法向量，那么法向量他们的乘积是等于零的，那么能够说明他们法向量垂直，从而来推出面面垂直。 这个是我们后面学了下面的方法之后来证明空间的面面垂直。好的，今天老师的课程就讲到这里，谢谢大家。

斜修立体几何到底有多强？他能让立体几何的大题瞬间变成小学计算口算题啊？ 那很多同学听完胡老师讲立体几何的垂直，都说以前所有的垂直问题都白学了，那么今天胡老师给大家讲透垂直问题，听完之后我们再也不丢分好不好？好，期不期待，期待好。所有的垂直问题一共分为几大方向？我们来先来看一下，第一个叫什么？ 让你证明的什么垂直？第一个叫做让你证明线线垂直，还有呢，线面垂直很好，让你证明线面垂直，当然这些经常融合在一块，考你啊。还有一个面面叫做面面垂直，咱一个一个来说，我们先来说线线垂直， 只要你把这个模型学好了，那么另外两个学起来就很轻松，跟他一样套模型就可以了。好吧，好，那么线线垂直里面总结过吗？一共有多少种模型？常见的第一个叫做三垂线， 也就是三垂线定律，非常重要，很重要，而且很实用，所以今天我们要把它先讲透的啊。第二个还有什么？ 还有正形模型，第三个，这全是给大家总结出来的啊，勾股模型，还有第四个长方形，对，叫巨型模型。还有第五个就是用面面垂直去证明线线垂直的模型，五大种， 所以咱们先来看第一个叫做三垂线，三垂线就是三垂线定力，大家注意对于这个定力熟悉吗？熟悉，这个叫做三垂线定力，这个定力主要是用来干嘛的？ 告诉我，在老教材里面是直接有的，新教材稍微弱化了一下它。嗯，这个定力主要是用大，让你来证明意面意面垂直的。 对啊，哎，什么 i o 垂直于 m， 但是你俩在不同的面上叫异面垂直，明白没有？来，我说一下三垂线定律是什么？画个图。首先比如说这是阿尔法面， 然后呢？阿尔法面，这，这是一根线，这不是面内的线啊，这叫 l。 然后呢，阿尔法面内有一根线叫做 m， 让你证明 l 垂直， m 是 不？或者 m 垂直于 l， 这叫做意面垂直，没问题吧？没有， 所以三垂线定。你说的是啥呢？两句核心的话，第一句话叫做记下来，垂射臂垂斜， 第二句话叫做垂斜臂垂射。啥意思？ 这根线叫做翘起来的线，与平面有一个交点，这个点我们把它叫斜足，行不行？可以我们过线上的一个点给面打垂线 垂直的吗？这个线是垂直于面的哦，比如说这个点叫做 m 点，这个叫什么？足垂足，这个叫斜足连接，垂足和斜足连完之后，这个黄线就是他在面上的投影。对，摄影 ok 吗？ ok， ok。 所以 什么叫做垂射必垂斜？就是如果我发现啊，这个 m 是 垂直于他的摄影的，把它叫做 l 一 撇吧，行不行？可以垂直于 l 一 撇，我立马能够推出来 m 垂直于 l l， 或者说我如果能够知道 m 垂直于斜线， l 是 不叫垂斜，他一定垂直于他的摄影，这就叫做三垂线定律。需要我证我就来证。需要证吗？需要。那我们来简单证明一下。来证明。 我先给你证明。第一个，为什么要证他？因为证明他的过程就是你大体里面的过程，你大体要写这个过程呢？你不能由这直接到这，为什么？这个过程要写的当模板化操作了，明白没有？明白好，我写的是思路啊，我现在不写过程，我先带你们写一下思路来。 m 垂直于 l 一 撇，垂直于它。为什么能够证明垂直于 l 呢？线和线垂直，核心是证明线和这个面垂直，对吧？我只要和这个面是不是垂直就可以了，因为我 m 还垂直于，比如说这个叫 p 吧，叫做 pm， m 和一个面中的两根相交线垂直，我就能够得到 m 垂直于平面。 p n m， 因为你是平面内的线，所以 m 垂直于 l， l l 是 你中的线吗？我写的是思路， 对，没有问题吧？没有这个为什么垂直？理由是什么？因为 pm 垂直面对了，因为 pm 是 垂直于底面的，这个底面是什么？你写一下 是吧？是理由，就是因为 pm 垂直于他，因为 m 小， m 是 你中的线，所以他垂直，对不对？对，因为因为他，所以他又因为你俩退出，他 能理解不理解，然后你需要把这个过程给他润色一下，加一些关键性的语言。又因为 l 是 这个面中的线，所以你垂直是这个意思，必须先学会写这个思路，然后再去润色。思路成过程没问题吧？没有。好，第一个会了，那第二个是不是也是一样的？ 垂斜臂垂设？比如说 m 垂直于 l， 是 不是又因为 m 还垂直于 pm 了？ m 和一个面中的两根相交线垂直，所以说 m 垂直于平面。 p n m 思路是一样的吗？对，嗯，又因为线在面内，哎， l 一 撇是你面内的线吗？所以 m 垂直于 l 一 撇， 这两个理由是一样的。会了吗？会了，这叫做三垂线定律。接下来我们看一看三垂线定律在我们考试中，包括高考中是怎么考大家题目的来看这道二零二一年新高考卷的真题，考察的就是我们的意面垂直问题。来读题 说下列正方体当中 o 全都是正方形的中点，这 p 都是什么点？ 他的楼上的终点没问题吧？没有说 m n 为正方体的顶点，你看到 m n 都为顶点，然后说，哎呀，满足 m n 垂直于 o p， 这是两个蓝线垂直的事，问哪一个满足？是不是叫意面垂直啊？好， 回顾一下，意面垂直最经典的第一个考法是三垂线。对，三垂线法，你看 m 点是不在面内呢？ 这个，哎呦，是不是翘起来的线啊？对不对？我们垂蛇垂射必垂斜，垂斜必垂射，说的是给翘起来的这根线，说找他对应的 投影摄影，摄影，谁翘起来找谁的摄影，是不是？是。所以对于这种意面垂直问题，以第一个为例，你告诉我找谁的摄影， m n 是 不是就在面上？对，相当于在正方体的那个外面的表面上，我肯定不管 m n 嘛， o p 相当于就是翘起来的线嘛，是不是找他对应的摄影是不就可以了？那 o p 对 应的摄影你会找吗？嗯，会找，给给谁找摄影？找看。 你是不是要证明的是这两个意面垂直吗？是不是这个翘起来的线往这个 m 所在的面是不是去打摄影呀？是的，所以说 o p 是 不是就是这里的？哎呦，该没问题吧？没有打摄影，往哪个面打摄影？想一想，往上面，往 m n 所在的面，对不对？上面下面都可以， 因为 m n 也可以移到下面来，对，是不是往下面打比较容易啊？垂射臂垂斜。看过他给他打垂直，是不是就这玩意？对， 就这玩意，打完就是他吗？对吧？你说 m n 跟他的摄影能垂直吗？不，垂直不可能，所以说第一个排除掉，甚至你都可以不用打垂直。你把 m n 移下来吧。 你把 m n 往这一移，来，我们把 m n 往这一移，我都不用找投影的。你看他俩之间是不是有夹角呀？是啊，这显然不是垂直关系吗？所以我也能把 a 排除掉，是不是？是啊，都可以。来下一个，告诉我 哪个是斜线。我们这个叫 i o 叫斜线。看 m 是 面内的线，哪个叫？这像充当了这根红线来。哪一根线？ 是 m n 还是 o p？ 两个都翘起来了， m n 明明在面内啊。哦， m a 是 不是在面内啊？是啊，对啊，这个 o p 是 不是穿这个？是不是跟侧面？是不是相当于是翘起来了？这是不是相当于是侧面了？懂了，能理解了，不？可以懂了吧。哎，是不是过 o 点给侧面找 什么？摄影打垂线对不对？对，来过 o 点给他打投影，打到了，怎么打过 o 点，是不是？哎呀，给侧面打 是不是垂到这来了？对，这个叫斜足，这个叫垂足。一连是不？这个叫摄影？是的，红线叫摄影，是不是？我只要证明 m n 和红线是否垂直就完了。来，他和红线是否垂直？垂直，这是终点吧？对，对吧，这是终点吗？ m n 跟谁是垂直的？ m n 跟他是垂直的， 你不是中位线吗？对，你俩是不平行关系吗？是的，所以跟他垂直不垂直。 m n 垂射必垂斜，这就是斜线 图像相对翻了一下能看来吗？可以，所以说 b 选项正确。下一个告诉我谁相当于我这里的斜线？一个是意面吗？一个是 l， 一个是 m， 哪个相当于我这里翘起来的 l 来哪一个？ o p？ o p。 为什么？因为 m n 在 右侧面上吗？是的。在面上吗？你是不在体内穿来穿去的吗？面上的线好研究吗？是不是过 o p 是 不给这个面打垂线呀？对，给这个面打也可以，我是不是打到这个面也可以？对，距离哪个近？往那边打都可以吧。可以，因为 m n 是 不是相当于这个吗？ 是不跟这个是平行的吗？是的，可以移到这边来。所以说过 o p 给这个面打可不可以？可以，咋打过 o 做垂线细点是不是就是你与面的 焦点相当于是这里的点，这是不是相当于是屁点了？没有，没问题吧？没有，来吧，给面打垂线是不跟刚才一样的。噔噔噔噔，这个叫做垂足，这个叫做斜足，打完之后垂足和斜足一连，你的摄影是不是就出来了？他的摄影不就这个吗？ 是还是不是？是垂直吗？嗯，这个也垂直。为什么垂直？他刚好也是个终点，哎，很好。这个点是不是应该是终点啊？对，对吧，也是终点。 m n 不 就这个吗？这个跟谁本来是垂直的。 来，告诉老胡，他本来跟对角线是不跟这个对角线垂直的？是的，你是不是对角线相当于一半吗？看到没有，对中位线吗？所以他是垂直关系 没问题吧？没有，没有问题，来下一个。哪个相当于斜线？哎呦，告诉我 p o o 还是 o p？ 为什么？因为艾蒙在背面的面上来？对，也可以认为在前面的面上是不都可以？是的，艾蒙也可以是这条线一样的。对， 哎，对，你相当于翘起来的线。那么你跟我面的焦点是 p， 是 不是就这个点 p， 对， 对吧？过哪个点给给谁打垂线呢？来告诉我。能看来吗？把这个关系要捋清楚啊。 过这个点往面上打垂线，过藕点往前面这个面上是不是打垂线？是的，对了，过藕点给前面的面上打垂线，是不是打到这来了？这叫斜足，这叫垂足。把你俩一连 是不是叫摄影呀？是的，这个就是 p o 在 前面这个面上的摄影，你不断的把这个模型要往这个上面去套嘞，相当于这个 p 点相当于这里哪个点？ o 点相当于这里哪个点跟它要对起来嘞，能理解这个事吧？可以能理解啊，然后人家问 m n 是 否和它垂直， m n 是 这， 这是重点吗？对吧？你说 m n 跟它垂直吗？不垂直咋可能垂直呢？所以说排除掉 叫意面垂直。三垂线定力好用不？好用，真好用。所以说你的脑子里面只要有模型，你没有发现辅助线你就知道怎么打了，是不是就瞬间出来就可以直接秒杀了？是的，很爽吧？爽，但是大家要注意哈，意面的垂直 不仅仅有三垂线模型啊，你只会他，你其他的遇到你不就不会了吗？对不对？你要把线线垂直玩转的很六六六。那么剩余的其他的模型对你的题型你要练习的非常透彻，所以说只有这五大模型全都凑齐，你都整会，你做题才能够做到游刃有余。 那么今天因为时间原因，我们没有办法一个一个带着大家去做，但是胡老师把这五大题型对应的所有的高拿考的真题以及辨识训练全都给大家梳理出来了，所以大家抓紧时间打印，跟着我们的课程训练起来，我相信垂直对于你而言不在话下，行不行？行，好，下课。

好的同学们，大家好，我们来看一下正常我们在做的高一下期涉及到的立体几何的几何法来证明夹角关系啊。在求夹角关系的时候，我们最基本的一个问题，还求长度关系吗？后面 基本上我们从最开始的一个基础都是我们的最正规的一个图形，就是我们很容易看得出来的一些垂直平行关系。 那比如说像我们在这来做的时候，正方体里面告诉你， e f 是 它的终点，要找的是我们的 a 大 于与我们的大 e b， 它们两个是否垂直，那垂不垂直的话，我们要怎么去证？那大家想想 有没有想到一个东西，如果线垂直于面，那是不是就垂直于面上？扔一根，那这两根是不是就垂直了？就说如果我们要去找他，我们能不能找到一个面与我们某一根线垂直呢？ 这就是我们在做的一个方式。那这哪一个好看一些？想一想嘛， a 一 搭是最容易看的，为啥？因为 a 一 搭是在正方形的，是对角线，那正方形的对角线在作为表示，我们知道对角线相互 垂直，就说如果我们把 a 搭一连起来，那 a 搭一和 a 一 搭怎么样？是一定垂直的。然后我们又知道 正方体在作为每一条人都与对应的那个面怎么样？是不是可以垂直？那什么意思呢？就说我们的 ab 这条线就肯定是垂直于左边的这个面的 是不是？那这样子在做的时候，我们就相当于来几根线呢？相当于 a 一 搭和两根红色的线垂直，那两根红色的线所围成的这一个图形 是不是正好就数剩下的一条边？ b 大 e， 所以 说蓝色这根线垂直红色这个面之后，那蓝色这根线就垂直于红色这个面所到所在的什么？是不是任意一根线面上所在的任意一根线？好，所以说我们现在在做的时候就要找到这个问题， 那我们就来看，先第一问，在作为表示的时候，我们需要找到什么东西呢？我们需要先把它一个一个来冒，好吧，所以证明先 连接啊，我们把辅助线连好，连接我们的 a 搭一，那因为它是一个正方体，那是可以得到我们的侧面是一个正方形，所以说我们得到我们的这一个正方形 a 一， a 搭搭一， 那正方形就可以得到对角线相互垂直嘛。所以说 a 大 就垂直于 a 大 一，那同样的， 同样的，又因为我们是正方体的一个关系。哎，我来写一下吧，每一个都分开写，让大家理清楚。因为正方体的关系，我们可以得到啥所在的 a， b 这根线是垂直于我们的平面， 是不是 a 一， a 哒哒一的？那因为我们的 a 哒是在平面上， 所以说我们的这根线 a b 是 不是垂直于平面上任意一根是不是 a 哒？那现在我们就可以找到一些东西了，什么东西呢？ 是不是 a 一 搭垂直于 a 搭一， a 搭也垂直于 ab， 那 ab 和 a 搭一所在的平面是不是垂直？所以说我们将它理完关系求啥呢？你看， 因为 ab 与 a 搭一相交于 a， 然后 ab a 搭一，在我们的这一个 平面 a b 搭一上，那所以我们就可以得到什么呢？得到我们的这一个 a 搭是不就垂直于这个红色的平面 a b 搭一，那这样子我们就知道再把最后一个来，因为 b 搭一是不是属于平面 a b 搭一，那就得到第一问，要找的 a 一 搭就垂直于我们这个平面上的这根线 b 搭一了啊，第一个就搞定， 第一个就搞定，这是我们在做的这个方式啊，去理解清楚它的一个类型，那现在我们要找到这一个意面直线所成角的余弦值，那现在我们来看一下。好，我把这插了第一问，大家前面可以暂停去把它理解好， 那来看一下第二问，如果我们要找到这两根意面直线呢？那再看一下 e f 这根线，在这儿 和我们本身的 a 搭这根线啊，前面我们说了意面直线最好的方式让它怎么样平移之后是不相交， 那这样子围成的图形就容易去找，那怎么平移相交呢？大家想清楚啊， a 一 搭在左边的这条线，那当我们给它平移过来，所表示的是不就是 bc？ 而 bc 要和我们本身的什么 是 ef 要相交，交到不，这肯定交不到，但是 c 往一， c 往 bc 的 终点一上走的话，那说明是不是三角形的 中位线是不是就可以了？移过来是不是就中点？所以说我们相当于如果取了这一个点 m， 那 a 一 搭是平行于 bc 的， bc 是 平行于 m 一 的，那 a 一 搭是不是就和 m 一 平行？ 那相当于把 a 一 哒移过来，到 m e 和 e f 就 相交了。所以首先我们肯定要找到蓝色这一节，理解它的一个关系，得到它的一个意思啊，得到它的一个意思， 那我们现在就来做，现在怎么样呢？取 b、 b、 e 中点啊，我们给它标成 m， 然后连接 m、 e， 还有我们的 bc 嘛，是连接这两个，那现在我们来一个一个来上，先把它理过去，是不是把平移过去，我们就来， 因为正方体我们所所在这个关系，我们是可以得到。先把 a 一 搭平行于 b、 c。 说清楚啊，没有对角线相互平行这个意思啊， 但是我们可以得到什么？我画一下嘛， a， b， e 和 c 一 搭一，是不是就和 c 搭，是不是就平行且相等这两个？好，所以说我们来看啊，那就可以得到关系，就是啥呢？就是我们的 c 搭和我们的 a、 e、 b、 e 是 平行且相等的， 那说明这是一个什么？是平行四边形？说平行四边形， a， e， b e c 大， 那平行四边形的对边是不是平行的？所以说，哎，怎么写成因为了 那，所以说我们这个 a、 e 大 是不是就平行于 bc， 然后又因为 m 是 终点，是我们刚刚自己取的啊？ m 是 终点，是我们自己取的，然后再把一点是终点是不是找出来？又因为 一是 bc 终点，那 m 也是终点，那说明 m 意为三角形， bcbe 的是中位线， 那这样为中位线，那就可以得到我们的 m e 是 不是也平行？于是 b c， 然后再等量是带换关系，这样理解，那就得到我们的 a e 大， 就平行于 me， 那 现在我要找的这个角，当平移过来之后，我要找的这个角，那就变成哪个角了， 那大家就可以看出来了噻，相当于变成的是不是就是 me 和我们的 e、 f 的 是不是这个角？ me 和 e f 的 这个角， 那现在就开始就要去想了，那 m e 和 e f 怎么找呢？我们说了给它围成两根线了嘛，这把连起来就围成个三角形，把三角形的任意边角关系，我们知道正弦定你的时候 是不知道三个条件，可以求出任意条件，那我们把 f m 给它连起来，那现在大家相当于想到的最终一个目的就是啥呢？就是我现在有一个三角形，哪一个是不是 f m e 是 有这个我把 m e 算出来，把 m f 算出来，把 e f 算出来就 ok 了。那说明就一个一个来嘛。首先第一个 m e 是 很容易找到， m e 是 很容易找到，好，说明一个来啊，我在旁边给大家来找 m e 的 话，我们如果在旁边的这个三角形， 是不是右边这个三角形，是不就是 m b e 这个三角形？这是垂直的，那所以说我们来看一下，比如说我们另 正方形的棱长，我们另个长度啊，棱长为二的话，那我们因为一点和 m 点是不是中点，所以说我们折可以得到 b e 是 等于一的，也是等于你的这一个。什么是 b m 的 是不是中点，那就在这个三角形中的话，我们就能够得到它长度数编号二。我写一下嘛，大家可以不用写啊，在三角形 b e m 中，所以说我们就可以得到 我们这一个 m e 是 等于一，一根号二了，所以相当于 m e 出来了，是根号二，是不是？那 m e 出来了之后的话，那先怎么查成这个了？ 好， m e 出来了啊？相当于一一根号二，那我们再找另外一个三，比如说 m f， 那 m f 怎么找？ m f 怎么找呢？那 m f 我 们给大家画一下黑色，大家看的清楚不？画一下啊？画一下 m f， 那 相当于在 这是不是直线函数形？因为 m b e 是 不是垂直于 f b e 线垂直于面上的一根，是不是？所以说我们在做的时候就要看清楚，那我们在作为构造的时候就给它理出来啊。同样的，先给大家画一个嘛。好吧， 所以说我们找的 m f， 那 相当于有一个 f b e 和 m b e 是 不是垂直，那这个长度是多少？那 m b e 大家知道是一了，因为刚刚是中点，那 f b e 呢？ f b e 呢？就想到 f b e 是 不可以看这一个三角形，哪一个呢？来 f c e b e 上面啊，上面 f c e b e 是 不可以看这一个三角形也是一个直角， 所以说 f c 终点嘛，一嘛， b c 是 等于二，那说明这边是根号五，那就花把它放回去是根号五，那一根号五，结果是根号六，你这个 m f 算出来了。所以说我们在做的时候来看一下啊， 因为 f 为 c 一 搭一中点，把刚刚长度理进去，所以说 f c 一 是等于一的，那在我们这一个三角形 f c e b e 中， 是不是？那我们知道 f c 一 等于一，并且也知道 b c 一 等于二，这是你念的啊，所以说你就肯定知道 f b 一 是不等于根号五，然后我们把它理完， 在我们的三角形 m f b 一 中，那现在就有了 f b 一 有了，然后 m b 一 是不等于根号五，所以说我们可以得到 m f 是 等于是根号六的，那 m f 有 了，我们还差一个是 e f， 那 e f 又是多少呢？来，现在同样的去看， e f f c 一 垂不垂直于 e c e f c e 是 不是垂直于右边这个面？是垂直这根线，那所以说这个三角形是不是该找出来？好，所以说我们来看啊，同样的 最后一个，我看一下写哪个位置啊？大家好看的出来一点，给大家换个颜色，写到这边，好吧，写到最右边，换颜色，我们把这个三角画出来，所以说 f c e 还有 e 是垂直的 f c e e 嘛？ c e e 和刚刚一样的，这个地方是不是可以看 e f， 哦，不是 e c c e， 所以 说一二是不是根号五？和，相当于和刚刚第二个那个图形是不一样的，去那个边，那得到的结果是不是根号六？就说我们刚刚看到哪一个呢？ 所以给大家说了，我们去看， 你要 e c e c 这垂直，这是二，这是一，这是不是有根号五？是这个关系好，所以说我们写到这边啊，大家看一下， 相当于在三角形 c c e e 中，相当于就可以得到 e c e 是 不是等于根号五的？再在三角形 f e c e 中，我们是不是就可以得到 e f 是 不是等于根号六？是这样关系来，现在就最后一个了噻， 就哪一个好，这样就可以看了啊，我把这个图像就画到旁边，画到旁边啊，最后一个就是你们的 f e 和 e m 是 不是？那前面我们知道了， m e m f 这都有了， m e 根号二， m f 根号六， e f 也根号六，而你要求的夹角平移过来是在 f e m 这个位置， 那现在的话，我们就可以在这个三角形中噻，是不是余弦定点？所以就知道在三角形 m e f 中，那就可以有球的这个角，用 c 它表示。好吧，好看一点， 就有 m f 的 平方等于 m e 的 平方，加上 e f 的 平方，减去二倍 m e e f 再 cosine 是 不是它？ 那现在就代值求减，好红色这个位置就 ok 了啊，那就代值求减，说带进去得到的关系就可以来了。这是六等于二加六减二乘根号二乘根号六，再乘以 q 三， 所以说你算出来这个 q 三影就出来了。再看一下，二等于二乘二，它就四倍，根号三可乘，所以说 q 三也是四倍，根号三分之二， 再乘个根号三，三嘛，约一个二，所以结果六分之根号三。所以这就是我们在做的最后一个问， 因为正好求到最后再带个，所以是把它答一下，因为找的是谁？找的是 a e 大 和 e f 所剩角的余弦值，而我们现在写的是 m e 和 ef 所成角的余弦值，但是 m e 和 a 大 数平行，那就得到最后我们算的这个余弦值。是，就是我们要求的这个角的余弦值。这个是我们在做的时候去思考的这个问题，他可能觉得大了不好看，我给你放小一点点 啊，因为把它写完嘛，漏到一个屏幕里面好了，所以大家截图之后就可以去看一下这一个意面直线夹角怎么去求的。好，这就和我分享到这，下次再见。

请坐，那今天我们把空间中线跟面这些垂直的问题我们再理理，但首先是 垂直，线跟线垂直，怎么判断线跟线垂直啊？你可以根据定义是吧？假小九十度，对吧？也可以，怎么样 深格考虑什么线和面垂直？那这个面我们往往去找的是什么面？ 空间中两条线要垂直，那要把意面的垂直转化为雾面的垂直，怎么转化为雾面垂直啊？把一条摄影到另外一个所在平面吧， 那实质上我们就证明线跟这个面垂直，这个办法叫做三垂线，是不是三垂线定律，所以线线垂直我们常见呢？这两招，那我怎么来判定线跟面垂直啊？ 根面里面任一条是地狱，但是好操作呢？ 每一条理都要去验证一遍，所以我们采取的办法是啊， 我们用两条线来代表这整个平面，所以他必须是这个平面的什么机机理， 所以通过线线垂直可以得到什么呀？线面垂直，那这个就是他的判定力，判定力。哎，那两个面垂直呢？ 什么叫两个面垂直啊？二面角，二面角，二面角是直的二面角，所以我们可以用定义来判断，我们去计算到二面角九十度，所以它们就垂直了。 或者呢判定定律，那就是线面垂直得到什么呀？面面垂直，一个面或另外一个面的 垂线，一个面过另外一个面去，那么这两个面就垂死了，所以我们要判断一下，直观判断，哪个面的垂线都好找，要找出来 啊。那么也可以由面面垂矢得到什么线面垂矢，所以可以用面面垂矢的。面面垂矢的怎么样性质定律来判断线和面垂矢 啊？当然，那面面垂直，他的判定定律是什么？垂直，对啊，那就一个面过另外一个面的垂线判定定，对吧？ 那当然这就是垂直。那我们还可以有用垂直来证明什么呀？平行，用垂直来证明平行怎么证啊？ 垂直一平面的两直线是平行的。垂直一直线的两平面呢？啊，也是平行的，对吧？所以由垂直来证明平行关系，这说明垂直跟平行之间有内在的联系。 好，大家，对吧？那我们先来看一下第一个问题，图图，这是一个三棱锥， 这两个面垂直，还告诉我们这一刻是垂直的， a 和 a b 是 垂直的。有这样线线垂直 来，弟兄们怎么选？ 也就你的车链是过屁座。这个啊，我们具体的车轮呢？车链上面 要线线垂直啊？线面垂直，哪个线？哪个面？到底是 a c 垂直， a b 锁在平面还是 ab 垂直？ a c 锁在平面，为什么是 ab？ 因为这一条要我们挣的，是吧？这条是已经有了，那你如果 都跟他垂直的，那叫 ab， 就 会跟谁垂直啊？啊？跟哪个平面？ p a 跟 o c 所在平面吧，那就是谁 p a c， 对 吧？所以你刚才你说的是什么？ 由面面垂直是吧？正面找一条跟 a b 垂直的吧。怎么找一条跟 a b 垂直的啊？过平做 a c 的 垂线，垂出记为 n， 那面面垂直可以得到什么啊？线面垂直，它就 p n 垂直于一面， a b c， 那 这样子 p n 就 会垂直谁啊？ a d， 所以，所以 a b 就 会垂直谁？ b a c， 所以 线线就平行了。好，所以两线垂直，把一条线分隔为一个面，分隔一个面，这个面往往找的是投影面， 但是，但是，各位，哎，我们这 a p 怎么样？跟 a b 是 已经共面了，我们找同一面，经常是把异面的变成共面，他已经是共面了吧？他已经是共面了，所以我们目标很明确，就是证明这对应的这个平面啊。嘴巴线伸折为面。 来，继续来看一下，底乘四轮锥，它的底是一个直角梯形，这两个角是直角。再来三段， c、 d 是 一个单位的话，那其他呢？ a b， b c， p， b c 都是两个单位 啊，把条件可设外，对吧？标起来啊。再来，这里还有两个面垂直，标注一下，那 pa 跟 b d 是 否垂直？请证明你的结论。 来来，我们承载了你 意面随形是吧？这两个是意面之间，那怎么办？ 摄影是吧，那这个把谁摄影啊？是 b d 摄影是在啊， pa 水上平面还是 pa 摄影呢？怎么做摄影啊？做 p 点去做垂线。垂线在哪里做啊？ 垂线在垂面里面，做交线的垂线。那我这里数有面面垂线，所以怎么做？ a b、 c 是 什么概念？ 等腰，所以我们取 b c 的 中点 m， 然后这坐下来以后， pm 是 垂的底面，所以 pa 在 底面摄影是谁啊？ am， 所以 我们目标，目标去证明谁 来目标证明 b d 垂直平面， a m 是 吧？朋友们， 那我只需 b d 跟谁垂直？ a m 这样 b d 跟 a m 垂直怎么测啊？那这个直观读不好看，我们把它的平面图还原出来，这个是 b d， 这个是 a m， 这看起来像九十度哈，怎么整？哎，别扔像，对吗？可以，还有什么办法？可以什么计算？计算哪个量？哎？正切哪个角？正切值？ 哎， b 啊， b a m 等于几？哎， 二分之一是吧？这个角正切出来二分之一，然后呢？再去算哪个角？正切这个角好算吗？ 不好算，不好算。这个角算哪个角啊？算哪个角？ d b c d， b c 也等于几，说明啥？ 说明这两个角是相等的，这两个角相等搞定了没啊？所以这个角跟他九十，那这两个角加起来垂直。垂线吗？搞定了，或者呢 两条线垂直，什么？项链？是不是项链啊？你说这样系行吗？ 总之可以利用几何三四全等，也可以用什么计算？计算什么？三角的或者呢项链的是不都行？请做。 那我个人比较偏好计算它的正确值，不是直角算一定。哎，这不很多直角吧，正确如何算？ 那么你如果算这个正切时呢？ a b d 呢？那应该他的正切跟他的正切相乘要等于几？ 以相乘等于一，是不是就赋予了把三角改为面？什么面 射影，射影面？对，把这个图影面，那其实就是叫做三垂线定力。是不是三垂线定力？ 好，接下来我们来看一下。面面垂直，那你要面面垂直，那就价格考虑。什么？线跟面垂直，那就一个平面要过另外一个平面的 啊？垂线就一个面过另外一个面的垂线。好，我们省题，这是一个四人柱 自然做那个底边是四边形哈，并斜差是正方形，圈出来第二个 a e a b d 和 a e b d 是 相等呢？角相等。求证，这两个面是垂直的。来思考一下。 uhh， 各位，我们的逻辑线条要面面垂直，那就面跟面垂直，而要线跟面垂直 啊，所以它最终的核心是线跟线的垂直，那我们要评估一下这两个平面谁的垂线好找？ a， b d a b d a， b d 往往是体对角线，是吧？ 这里好像不是那么好正的，是吧？还有那一个平面啊， a， e， a， c， c， 这是一个对角面，是一个对角面，好像它是站着的啊，好像它是不是站着的？ 那哪一条是它的垂线？一次是 b、 d， 对 吧？几何直观上面和线外一次是 b d， b、 d 有 垂矢的吗？啊？ b、 d 垂心， a、 c 的 一条还不够，对吧？那线段哪个条件粗啊？这个角你也可以怎么解读？ a， e， a 相对底面来讲叫它的什么线？ 斜线？哎，这个斜线的话，我们在上一次做了好多心投影，是什么心的问题，对吧？ 那今天这个斜线有什么特性？斜线跟面里面两条线所成角相等，与面中两条线所成角相等。 那有什么结论呢？则他在里面的摄影是什么啊？摄影是角平分线是吧？摄影是角平分线， 哎，怎么证明他摄影是角平分线？那这个角放在哪个三角形里面研究？ 而前面的是个 a， e， a、 d， 然后左边的是谁啊？ a e， a， d 这两个三角形 相等，那这两个数还相等完以后呢？啊，这两段是不是相等的啊？所以由这个相等可以得到的是 a， e， d 等于谁？ a， e， d， 对 吧？ 啊？利用群的得到这两个相等，这两个相等有什么用啊？啊？三线合一，那我们的 o 是 b、 d 的 中点，所以呢， a、 e、 o 垂直于 b、 d， 对 吧？ a， e， o 垂直于 b、 d 以后怎么样？ 那我这个臂力是不跟正面就垂直了，臂力跟正面的垂直了，所以呢，所以这束中线也是高，因此是他的绳线 来。三线和一是也是角边线，角边线，对吧？那好，那我 b d 跟正面里面是不是有两条线都垂直了，所以 b d 是 不是垂直？正面了， 所以得到 b d 垂直于平面， a c d， 对 吧？然后你一个面过另外面的垂线，所以面面就垂直了。 好，那这里面有三角形，我们是不是利用三角形来？如果没有三角形，咱们咱们怎么办啊？ 那就去过 a 一 哎，做正面的垂线是吧？ a h， 然后呢， 然后过 a e， 再做 ab 的 垂线和 ab 的 垂线，我们垂足即为 e f， 那 么 a e a e a e f 出全等呢？所以 a e 就 会等于谁？ a f 做 a e 等于 a f， 或者 a e 等于 a f， 那 a e 跟 a f 是 不是两条斜线？ 两条斜线相的折什么也相等，这也相等，所以 h e 等于谁？ h e 等于谁？ h f。 而 h e f f 是 不跟两边相垂直的， 所以这两段就叫做这个点到两边呢，距离，距离，如果相等到两边，距离相等，所以平行在它的什么线上？角平分线上，角平分线上， 所以它在角平分线上，所以勾上，勾上三角形来啊，勾上三角， 所以面面垂直，这样可考虑线面垂直，核心是线线垂直，而要线线垂直，又是线面垂直，是这种啊，循环的逻辑上面来啊， 第一次如果引入动点呢？那我们要去探讨跟垂直关系的动点问题，那怎么来想啊？好，我们看题，这是一个正的三楞柱， 底是正下弦没有歪掉，是直的楞柱，那叫正三楞柱。再来 a e a 四个单位， a b 两个单位， m 是 中点， m 是 a b 的 中点，证明两个面垂直 一周喽。看完图形，谁的垂线好找哎， 是 b m c e 的 好找，还是 a b e 的 好找呢？ ab e 的 ab e 是 我们前面的面，那它的垂线去哪里找啊？ 那找一个面的垂线，要得到线跟这面垂直，去他的啊，垂面，这前面，这个面跟哪个面是垂直的？已经垂直的 上里面，什么上里面就垂直了，所以他的垂线就是 再算里面根交线垂直的，那就是谁啊？ c e m c e m 垂直于平面， a b e 搞定对吧就好了啊，那这正三柱 底是一个正三角形，这个证明垂直线面垂直是不是好正？搞定了，所以面面垂直，那就有价格考虑。怎么样线面垂直，而线面垂直呢？ 又深，更考虑什么面面垂直，把这不好证的面转化为好证的这个面里面去转化的曲线啊。看第二个 b b 上面有没一点 q， 使得 a e q 跟 b m c e 垂直，如果有，把这个比值算出来， 哈哈哈哈 哈哈哈哈。 哎，王思凯，你怎么想 要找面的垂线？只要在垂面里面找 交线的垂线，而我 neq 竖在了垂面里面，所以要垂直，我只要找交线 bm 的 垂线，那请问 q 点在什么位置，我会有垂直呢？ 哎，跟刚才一样的，那就去算这个角的什么值，它的正确值是等于 q b 比去谁二？说 q b 比去二，这是 q a b 的 正确值。 来，这个角多少钱？我们去取这个角，那这两个角应该要干嘛？相等？相等，那这个角的正确等于几啊？ 啊？这个角的正弦 m b d e 是 四分之一啊，那你要相等，那就不要等了，那这样等的话， q b 就 等于几？ q b 等于二分之， q b 等于二分之一，那 b e q 跟它的比值呢？上面就二分之几，所以它的比值为几？ 一直为七啊，那我们写的上应该怎么写？当哎， b e q 除以勾 b 等于几的上七的时候， a q 就 会垂直于里面 b c e m， 然后呢，证明 如下是吧？先证什么？先证？这两个证先相等，所以呢，所以角角 q a b 是 吧？加上角加上角 m b， a 等于几度 九十，所以，所以 a q 垂直于 mb， 对 吧？ 为什么谁他这个线就谁的面？又因为两个面垂直出第一步已经正了 面，面垂直，然后再加个什么在面内，是吧？然后垂直交线，所以这边强调一下， a q 在 平面 a e b 里面，所以呢，截得出来没？ 所以我要线面垂直，我就去他的垂面里面找交线的垂线就行了。这垂面已经第一步证明完了，那我就用第一步的结论，马上就正第二步。 好，我们继续来看一下这个动点的问题。这是一个几何体长什么样呢？ e a 跟底面是垂直的，然后 e a 跟 dc 是 平行的， 那这个平行等于告诉我们什么？ dc 也跟底面怎么样垂直的？再来， ab 跟 ac 是 垂直的，所以这是一个什么模型？哦，这边是一个墙角， 这边是一个墙角，再来长度 d c 一个单位，那 e a 呢？两个单位， ab 两个单位， ac 两个单位。原来这个墙角也可以看作是 正方，而正方体的一部分，是吧？也可以看作是指三棱柱是切削下来的正方体切下来的部分。 好，那搞清楚几何体的结构以后， m 是 它上面的什么呀？中点，因为当 m 是 终点的时候，要这 bc 跟这个减面是垂直的，当 m 是 b d 的 终点时，求证 bc 跟这面是垂直的。 it's just it's just。 各位，这个面 e a m 长的有什么特点啊？ 不完整啊？有什么不完整？什么局部的？局部的什么？ 把这洁面给补齐了是吧？怎么补？不不不，不，做垂直，我们一般做中间做垂直不好做。你看几点连线是吧？几成点？ d c 的 终点 n， 然后连起来则 m a 跟 d c 平行，所以 m n 跟 e a， 所以 这四点是共面的，所以我的整个结面都长这样， 整个结面长这样，而且这个结面又长了什么特点？是站着的，是不是站着的跟底面是垂直的，然后我必须要跟他面垂直的，然后我必须要跟他面垂直。 那我只要去他的全面里面找交线，全面是吧？我的全面是谁啊？就你是谁呀？啊？ 我的前面说 a b c 啊，只要在 a b c 里面掉线是谁啊？ a n b c 跟 a n 垂直就行了。 b c 跟 a n 会垂直吗？所以 b c 垂直 a n， 而 e a 垂直谁？ b c， 所以 b c 会不会垂直？整个平面 搞定，这是一问，这局部不好看怎么办？延展对吧？对于几何体来讲，延展一下就看的好太多了。 哎，朋友们，继续看。第二问，现在问的是是否有点 m m 是 动呢？ 这不是终点吧，使得 e a m 和和 e b d 怎么样垂直？ e a m 跟 e b d 垂直。 如果有，把这个 m 点的位置找出来是吧？ 我要面面俱至，我只需 线和面垂直，只需线和面垂直，谁的垂线好走，谁的垂线好走？第一个 a m 是 这样子的 图，它的垂线如何走？ 但只需在底面里面跟谁垂直就好了 啊？就是 m 点现在动了啊，那我这个 n 撇吧， n 撇是不是也动了？那我只需在平面里面跟谁垂直？ a m 撇垂直，那行，那我就这条跟 a m 撇垂直吧。那跟你这边数一个焦点，我把这个焦点记做 f 吧， 我们只要找到 cf 跟 a n 点，随时搞定了，对吧？但很可惜 cf 在 不在 ebd 里面？不在什么 哦，要移到面里面去是吧？那就是要把 cf 移到上。怎么移上去？把 c 点移到谁 d 点，那把 f 点往上往上移到 g 点来就行了吧。那现在呢？要能移上去，刚好移到里面去，所以 g f 跟 d c 要什么相等？也是一个单位，所以我这个 g 点是什么点？ g 点是终点， 从下反推回来，你要能移回去，所以 g 点必须是什么点？终点，那 f 点呢？终点，那 f 点是终点？ f c 要跟 a 与 n 垂直，那 a 你 的位置确定了没？ 好，那我们把它平面图形还原出来，是吧？这两个单位这边中点，这不一个单位一个单位，然后连起来啊，然后呢？ f c 要跟谁垂直？ a n a n 是 不是垂直？ n 撇时候跑到这里来？这里要垂直， 怎么来？算？ n 点的位置正确啊？正确，是吧？正确，那应该是这个角的正确。跟谁啊？ 跟这个脚是要负来这个脚，跟这个脚要本来就得负于的，是不是啊？这个负于，那这个这个脚呢？ 啊？这个角跟这个角应该要干嘛相等，所以它应该是二比一，这个是不是二比一的？哎，那怎么算？我们做一个高下来吧。 那这个这个角跟这角是不是二比一的？所以我设这段为 x， 那 这段呢？二 s， 那 这段是二 s， 这段呢？啊，这段数也是二 s， 所以呢，整个就出来， x 三 x 三， x 等于二，所以 x 等于几？三分之二啊？ s 等于三分之二，那这边就等于三分之四，所以这点是什么点？三等分点，所以说 n 点也是几等分点？ 三等分，那 m 点呢？三等分点，用 b m 比 b m 去比啊，啊， 当这个上，那我们证明的，那怎么这样？当 dm 等于 b m 的 比为二的时候，然后我们取 m 点，使得这也是比值为二，所以是不是延展下来，是不是？ 然后啊，然后我们去证明这条线跟谁跟 f c 是 垂直的，所以 f c 垂直，这个面，对吧？ 右它是终点，所以取终点。这段跟这段平行，所以 f c 平行，谁 g d 啊？所以 g d 数也垂直面，所以面面就垂直了， 所以我们要线面垂直，那就线跟面垂直啊，在全面里面找交线的垂线，如果能一步到位，当然就好了，如果一步到不了位，那我们就两步，先把垂线找出来，然后再 平移，再平移进去。啊，这是动点，能这么来看究啊，这么来看究，去找它的充分条件。好，那同学们再把它跟方折结合在一起。 已知梯形中 a b 跟 p c 图形，这是底，再来 pa 等于 a， b 等于 bc， 然后 pc 是 pa 的 两倍， p c 是 pa 的 两倍啊，这一份这段呢？两份 a b 一 份 b c 一 份，这是一个什么图形？等腰梯形下底是上底的两倍， 然后 d 是 终点， d 是 终点，那么连起来呢 啊？这边是什么原因？等边？那这边是什么菱形？这菱形长的什么特点？六十度的菱形，是不是六十度的这个菱形？ 所以你先把这个平面图形的系数根据这些条件是不足够推出来了，所以因为这些条件你抄一遍，所以呢，三角形 a、 d 为等边呢？ 然后呢？ a、 b、 c、 d 为菱形，这菱形还有什么特点？且叫 b、 a、 d 等于这平面的问题，直接下结论。 好，那现在呢，我们把 p、 a、 d 翻起来， a、 d 是 不是它的轴？ a、 b 是 它的轴，在轴的轴的同侧，这图形有没有改变？翻起来以后构成四轮锥，所以翻起来的 p、 a、 b 是 什么图形？ 还是等边？ a、 b、 c、 d 呢？还是菱形？有没有改变？没有，但是 p 点到 b、 c 的 距离改变了，没？翻起来就改变了。那我们继续来往下看，使得它体积最大。求证 b、 g 跟 b， a、 d 求次， 体积最大啥意思？点 p 要跑到最高点去是吧？ 点 p 什么时候会跑到最高点去啊？他应该是值得，就值得 n 米小，所以他要体积最大则会怎么样啊？ 里面 p、 a、 d， p、 a、 d 垂直，谁？里面 a、 b、 c、 d 是 不是啊？他情绪上就告诉我们，这个面，这底面是垂直的，弯道垂直，弯道垂直，第一步既是终点。求证 b、 g 跟 p、 a、 d 垂直，那这个 b、 g 跟 a d 垂直， 那就 b、 g 跟 a、 d 垂直，那就 b、 g 跟 a d 垂直。 你怎么来说 b 七跟 a、 d 垂直啊？那你刚才说你是六十度，是什么菱形？所以呢？三角形 a、 b、 d 是 而等边三角形，所以呢？ b 七垂直，谁？ a、 d 因为体积最大，两个面垂直，所以在面对垂直交线则有线跟面垂直，所以第一步是不证明好了。 第二， e 是 bc 的 终点，在 p c 上是否有一点 f， 使得使得 d， e， f， p， f 和 a、 b， c、 d 垂直呢？ 钥匙的面面垂直充分线横， 谁的垂线好找啊？说 a、 b、 c、 d 的 垂线好找， a、 b、 c、 d 的 垂线在哪里啊？来一条啊。 那就去找 a、 b、 c、 d 全面里面找交线的垂线吧。它的全面是谁啊？它的垂线是谁啊？啊？ p g 是 吧？ 很遗憾 p g 不 在你那个面里面啊，平移过来是不是要找它？平移线 要过一条线跟正面平行，过线做面找用什么来投影这条线？所以我们把谁连起来？连起来， 连起来这点是什么点？中点？那你这个 f o 要跟 b 线平行，所以 f 点？是 啊，我们是不是已经来了？首先最终结论， f 点四啊， f 点四终点的时候是不是可以做得到了？ 那我们可以用平底把这一条 p 气换成谁，换成 f o， 而 f o 数在这平面里面呢？搞定。 所以我们判刑的时候还是按照找他的充分条件啊，把线把面面垂直问题这样个考虑线面垂直，而要线面垂直又深个考虑面面垂直， 然后我们就可以找到这条我们相应的线了啊，那今天就到这帅哥吗？

垂直这个模块相对来说对好多孩子都感觉比较难，他们好多说我的空间想象力不行，所以说我垂直就想不明白。 实际上你记住，垂直真的和大部分和咱们的空间想象能力真没有关系，不要一有问题就想，哎呀，我家孩子空间想象力不行，我家孩子学不会。记住，那就说明你根本就没有学明白垂直，他的本质是什么， 你把它本质掌握明白。第二个，不要去记那么多模型知道哎，证明垂直到底需要什么东西，以及什么东西是最重要的，你把这些东西掌握了，你自然而然垂直都掌握了，可不敢一有垂直做不出来就说，哎呀，我家孩子，这那那。 不要去找理由，咱们今天一个视频就可以把垂直你搞明白。你看咱们目前证明垂直有几种方法，咱们经常考垂直，就考线线垂直、线面垂直，面面垂直。来，我先问你，他的核心是谁？ 记住，核心是线面垂直。不管证明任何一个垂直题，你记住，题中必须出现线面垂直，如果没有出现线面垂直，我告诉你，百分之九十九的题都是你写错了。所以说他是通过线面垂直往两边扩散，扩散到线线垂直，扩散到面面垂直。 你要想到这，那就说明咱们未来做题时， a 必须出现线面垂直。第二个，当咱们题中告诉了线面垂直，告诉到面面垂直，咱们该如何去处理呢？ 记住，当咱们题中告诉了面面垂直和线面垂直，一定要得到的是什么？得到的线线垂直 就是题中如果告诉咱们一个线面垂直，咱们的目的肯定是要得到线线垂直的，题中如果告诉咱们面面垂直，咱们也要是得到了线线垂直，那如何能得到线线垂直呢？ 那第一步就要找交线，第二步就找什么交线的垂线，第三步咱们又得到了线面垂直，第四步咱们得到了线线，那这才是一步呢，你把这一步流程走完，那咱们的面面垂直就用完了。 所以说一定要去这么去理解，你的垂直，肯定能学会。好多人说，哎呀，我们老师讲的时候给我弄了好多模型，这个是一个什么平行四边形模型，那个是一个菱形模型，那个是一个矩形模型，一比 k 二 是不是？那你要去想的，你把这三个条件会去见到，这些条件会运用， 知道吧？会运用，运用了之后你说老师我还是证明不出来的。你记住一个问题，咱们再下来再说。证明线面垂直的定义是如何来证明线面垂直呢？哦，一条直线垂直平面，两条相交直线 是不是相交直线？那就说明我要证明这一条直线垂直，另一个平面两条相交直线是不是得到了线面垂直？ 你看，一般来说这个题稍微难点，一般来说他证明两条相交直线，肯定是这条直线证明垂直，另一条直线一般来说非常简单，另一条来证明这条直线垂直，另一条直线相对说比较难， 是不是比较难？因为你要证明另一条直线，肯定是证明证明这两条相交直线了呗。那怎么去证明呢？你看他俩相交不相交，如果爱不爱的，哎，咱们想想能不能用勾股定力呢？ 如果不挨，那你不挨干嘛呢？咱们看一下能不能通过平移呢？如果不能平移咱们要想挨能能不能？他是不是还让我再去证明另一个线面垂直？证明出来了之后，我把这个线放在另一个面里面， 是不是放在另一个面里面咱们才得到了什么？哎？线面垂直是不是你要去这么去想？那你说我最终如果，哎呀我这个题中告诉了好多好多，就是哎呀这个条件，这个边长都相等，但是我又想不到其他的方法呢？记住在这个时候咱们就要想到勾股定律， 你记住你只要把我说的方法能掌握了，我敢，你保证你立体几何的垂直干嘛肯定都能学会。你咱们学立体几何的时候千万千万不要是干嘛呢？ 东一下西一下，然后今天是这，明天是那，那个条件，提供的哪个条件都不知道该如何去处理。那咱们学立体几何的垂直，我告诉你，非常非常难，我见过好多现在高三的孩子立体几何证明垂直真的一塌糊涂，说实话那都都那都不能，人人都不能看， 咱们现在高一千万千万不要出现这种结果，你只要按照我刚才的思路去想，我我敢保证百分之九十以上的题都能去写出来，只要能写出来，那咱们干嘛肯定都能成功。 咱们下次讲面面面角或者馅面夹角的该如何去学？记住立体几何真的没有那么难，立体几何咱们每一个学生高考这个大题必须拿全分，十五分或者十七分，相信自己肯定能行。

hello， 同学们好，我们来看一下我们今天的一个打卡题目。首先我们来读一图题，它如图，在这个四棱锥 p， a， b， c， d 当中， p a 是 垂直于底面 a， b， c， d 的， 读到这里呢，我们就知道，如果说待会儿我们去见习的话，一定是从 p a 去为 z 轴序性见的。好，继续，他说 a， b 是 平行于 c， d 的， 嗯， ad 等于 cd 等于 a， a， d 等于 c， d 等于 a， 这地方先标一下，这等于 a 角， b， a， d 是 一百二十度，这个角说 a、 c， b 是 九十度，这是直角。好，我们来看看它，这个让我们去求什么呢？第一个是求证，说这个 bc 去垂直于这个平面， p a， c， 它让我们去证明 bc 垂直于面， p， a， c 线面平行线面垂直的话，我们要去证明 bc 只要垂直于其中当中两条相交的直线就可以了，对吧？那么根据题上的条件，首先第一个，我们知道 pa 是 垂直于底面的，所以说我们先得到第一个条件， pa 垂直于 bc， 然后还需要一条，第二个从哪里得来呢？我们还有个条件是角， a， c， b 是 等于九十度，所以说我们第二个也找到了 bc 是 垂直于 ac 的， 对吧？那现在的话我们知道了，嗯， pa 和 ac 都是属于平面 p a， c 的， 并且呢，他们两个相交于一点， 而 bc 又不属于这个平面，所以说我们直接正得 bc 垂直于平面， p a， c， ok， 到这里我们就得正了哈， 这就是我们的第一小问，这是我们的第一小问的证明过程哈，好，这个题第一问没问题的话，我们先把第一问给擦掉，然后我们来看一看第二问。 好，我们来看一下第二问。第一问我们去证明了一个，我们先把这个标上 bc 垂直于面，那么人家说没有无缘无故的爱与恨，也没有无缘无故的第一小问，所以说我们的第二问一定是建立在第一问的基础之上的。我们来看第二问，让我们去求什么？第二问他说 p a， 如果说我们等于根三 a， p a 在 这根号三 a， 然后说我们去求二面角 d， p， c， a 的 余弦值，那进入去间隙吗？间隙完了之后，我们把这两个面的发向量给求出来就可以了，那我们看到其中一个面是 p a， c， 对 吧？那么 p a c 面，它的发向量是不是在第一问已经求出来了？也就是我们的 bc 是不是？所以说我们现在只用去间隙，然后找到 bc 的 一个坐标就可以了，然后剩下的我们再去求 dpc 它的一个发行量。好，我们看间隙的话，我们从哪里去进行间隙？首先 pa 一定是 z 轴，那之后呢？ ab， 它这不就 y 轴了吗？那 x 轴应该在哪里呢？ x 轴应该在哪？我们来看一看 这个地方有 ad 和 dc， 等于就是互相相等，等于 a， 这个条件我们还没有用，我们先把这个底面给摘出来，看一看底面它是一个什么情况？我把底面给画出来哈， 可以稍等一下。好，嗯，这个是底面，那我们这个地方是 a， 然后这个地方是 b， 然后次置为 c， d， a， d， c， d 都等于 a， 它这个地方全部用 a 来表示的话，我把 a 设为一吧。第二位，首先我设 a 为一。 好，那剩下的就比较划算了啊，我们来根据条件， a、 c、 b 是 九十度，然后这个地方是一百二十度，那么这个地方为六六十度，这个地方又是一一，所以说 a、 d、 c 为等边三角形，是等边三角形， 我，我是画的这个图形，但是大家记得去写三角形啊。好，那这个地方我们已经知道了，那我只用从 a 点去做垂直就可以了，是不是去做垂直刚好在 d、 c 的 一个中点嘛？所以这个地方就为我们的 s 轴。 好，大家记得去说去证明这个地方的一个过程哈，证明他们是两面互相垂直的。好，那现在我们就去进行间隙了，我们以 a、 b 为 y 轴，以这地方做个垂直，叫做称作 e 点吧。

啊，同学们大家好啊，张老师呢，今天借这道题啊，给大家讲一下子咱们现在立体几何这一块啊，线面垂直的证明思路，咱们证证明线面垂直的这个题很多，是吧？ 借着这道题咱们证明讲一下这种线面垂直的证明思路，还有一个什么，我们线面求线面角的时候，或者做线面角，或者找线面角的这个流程应该是什么样子的啊？来我们看一下这个题，借着这个题 提这个东西，千变万化，借着一道题，学明白我们解决一类问题的思路，这是一道 线面垂直证明线面角的计算，这属于一类现实问题，是吧？我们要学明白如何去解决这些问题。借着这一道题啊来 说，这个是一个啥呀？ a， b、 c、 d 是 一个平行四边形啊，这个平行四边形，然后呢？ a、 d 等于 b， d 等于二， a， d 垂直于 b、 d 啊，然后 b、 f 呢？是这个中 b、 c、 d 的 中线，然后把干啥折叠使 c 点， 把这个 b、 c、 f 啊，把这个 b、 c、 f 折叠，哎，跨折上去， c 点到 e 点，然后把 a， e， d， e， c， e 连上啊，然后 c、 e 呢？等于二，然后问你第一个证明，第二个求证正确值。做这种题的时候，我们的第一步要干啥呢？哈， 条件太多太乱啊，那么这种时候记记住了啊，做例题，几何的问题，尤其是不管是证明题还是计算题啊，第一步干啥 来，老师写这第一步是干什么东西啊？ 已知条件，还有一个啥？ 隐性的已知条件啥意思？我拿这些已知条件我能推出来的东西干啥？给你边角，我能推出来其他的边角，因为一个三角形，像这种我能推出来其他的东西， 图形的性质啊，这个这个它等于它，它又垂直于它，等腰直角有角，是不是这些？这叫啥？隐性的已知条件，由我们给定的已知条件，我们能推出来的，把它全都推出来啊。 就是就是，啥意思？在图形中把它标出来，能标的都标出来，该有的垂直标出来啊，给你边长了，但是没给你角度干啥？可能有勾定逆定律，能做出垂直来的，把它标出来， 明白了吗？第一步，先干这个事去。为啥？因为。否则你到时候在证明的时候，如果你没标出来，你没有把它完整的刨出来的时候，需要的时候你想不起来 他需要的，比如需要的垂直，需要的角的时候，原明明这个条件是有的，但是你做的时候，你可能你大脑里边你没有把它刨出来，你就当成没有， 明白了吗？先把这些条件给我刨出来啊，这些都不难，很简单，有已知条件，我们能刨出题里边的能给定的东西。先刨出来啊，先干这个事啊。很简单，来， 先刨这个已知条件啊。 a、 d 等于 b， d 等于二，二垂直标出来，然后这个能不 能，能不能算？没毛病吧？二倍根号二是吧？ ab 来， b、 f 为 abcd， 中线来这个三，这个是垂直，这个是不是也是垂直？这是平行四边形，是不是？ b、 d 可以 垂直于谁啊？ bc 是 不是？然后这个是啥？也是等腰值，这个也是二，那这个也是几？也是二，是不是？中线？是不是啊？ b、 f 知道是多少不？这是二多少？ 中线又是啥？高，是不是来有垂直没能标的全标出来，知道吧？然后这个多少已知条件的二是不是来？ 这个是根号二？这多少根号二来还能标出来，还能标出啥来？这个也是根号二是吧？这边 b f， c f 这都根号二，这块 c f 和 b f 垂直是不是标出来了？是不是还有啥 折叠？是不是？我折叠这两？那折叠意味着啥？我这个 bcf 和这个 bef 这两个三角形是啥？全等三角形是不是？我是把 bcf a 轴上去的是不是？所以 ef 是 多少 根号二是不是啊？对吧？ 然后呢？还有啥？ 这个我不知道，但是来根号二，根号二，二勾股定，你一定 是不是又做出来了啊？但是这些东西是不是都得算一下？就是你要这这种的话，我们能， 我们是能标出来或者一眼直观看出来的，或者算出来的勾股数很简单嘛，但是这个东西如果你真你需要用到的时候，你是不是还得自己再算一遍？为啥让你那个是证明的过程要严谨，但是你们自咱们自己在刨出来这些隐性条件的时候，看见没？你要先标出来 知道吧？因为这些东西到时候你你在做题的时候你就会发现，哎，这些已知条件都在这，大不了我再做 你写流程的时候你要把它再多写一遍啊。这个流程怎刨出隐形证？你这个隐形隐着条件其实由他不是还是往出算的吗？是吧，对不对？来，先弄完之后行了吧？差不多了吧。行，大概先这些，然后干啥？ e f 垂直于平面 a b c d 下边，我们该到刨出所有的这些条件和隐性已知条件都已经先差不多刨差不多了，是吧？然后紧接着下一步干啥啊？证明线面垂直的证明 第一步是干啥？我要正 e、 f 垂直于平面 a、 b、 c、 d 是 吧？ 有人说啊，老师，对，我知道线面垂直的判定定律是一垂二，是吧？就是 e、 f 垂直于平面 a、 b、 c、 d 里边的两条线是吧？ 那么这两条线我到底 e、 f 到底是垂哪两条线是吧？首先第一个我知道了，咱们看这里头刨出来的隐形条线里面有谁有谁 有 e、 f 垂直于 cd 是 吧？这个里边有。然后我还再找另外一个呗，就谁 e f 和谁相交线嘛，就是和 cd 相交的这和 c、 d 相交的这条线，那很直观的应该是找 b f 是 吧？或者是啥？那我可我可以，也可以找其他，那我看一下，我说可能，可能是找 b f 是 不是更方便一点，是不是啊？ b f， 然后这是啥？在这个三角形什么 b e、 f 里头。哦，对了，我们刚才刨条件说 b e 是 啥，我说了 b e、 f 和 b c 和这个 b c、 f 三角形全等的 b e 和 b c 这个是几？ b e 等于等于二是吧？ 然后剩下我看一下啊，根号二，根号二，二啊，这有一个垂直 ef 和是 ef 和 b f 又有一个垂直， 是吧？找一锤二。如果有人说老师这个条件这个题目好找，如果不好找的时候怎么找？我们要干啥？ 把结论当条件记住了啊？证明题的时候，例题结合证明的时候给我记住了，我们要推第一步，我要证什么东西的时候，如果不好找的时候，那这时候干啥？ 把证明的把这个结论要证明的东西，你要知道让你证明他一定是对的，把这个条件和题目中以这条件结合，再去看能推出来其他的条件不啊？明白了， 比如这里头如果让你挣个现线的，就比如说咱说让你挣现线的，现线的和这个题目条件里有的现线的，或者我们刨出的以这条件里的现线的结合出来，可能会结合出来什么？ 线面是吧？线面垂直是不是？然后那线面垂直之后对应的又性质又有哪些？这样的一步步往前推，我们需要证明什么东西是吧？你看这个题，那我就是说我是由证明一垂二，我由什么 判定？这里我直接得到，我要证明 e f 和这个面的两条线好了。那 e f， 首先 e f c d e f 和 b f 是 吧？那剩下的就是干啥？我要写什么？写证明流程了是不是？ 写证明流程的时候就是啥？我要先证 e f 和 c d e f 和 b f 是 不是啊？ 然后这样子就干啥？把这个条件已知条件和跑往往出挖隐性的已知条件的这个流程是不是你这个计算流程你是不是得挨个写上啊？是不是啊？ 那证明的时候咱们怎么写？那你看我证明的时候，因为 ef 是 多少？ ef 等于谁啊？ e f 等于 c f 是 吧？然后呢？ b e 等于谁？ b c 等于几二是吧？然后呢？ c f 等于啥？嗯？ c f 等于二分之一谁？ c d 是 吧？等于二分之一 ab 是 吧？等于谁？ 二分之一乘以二乘以根号二是吧？等于谁？等于根号二，没毛病吧？因为我这是直角嘛， 这块的话，你要 a b 直接你自己算一步也行。就是说我这是啥？ a b 等于二乘以， 这倒也没毛病，我就直接直接它勾股数算就行了呗，就一样这么写就行了，也，也也不算不严谨，没毛病。 cf 是 它，然后啥？所以 这块写个 e f 等于 cf 吧，等于二分之一， c d 来 e f 和 cf 有 了， e f 有 了来， b f 呢？有了吧， b f 等于啥？一样的，是不是啊？ 斜边中线等于斜边一半， b f 等于二分之一， c d 等于谁？ 根号二，所以在三角形 c e f 是 不是 因为谁？我 p f 方加上 e f 方等于 b e 方，是不是所以角谁？ b f e 等于多少？二分之派，所以 e f 垂直于 b f 又 e f 方加上 c f 方等于谁？ c e 方嘛，所以 e f 垂直于 c d， 因为 b f c d 包含于平面 a b c d， 所以 e f 垂直于平面 a b c d 是 吧？ 你也可以加上你去写不平行，这都可以，是吧？就这个流程倒是很简单，我们说了，我们线面垂直，就是要找啥？一垂二，然后我们找线面垂，由线面 变成谁啊？变成找什么？两个线线，是不是啊？ 两个线线是不是， 对吧？ 然后找这两个线线垂直的时候，我们有各种方法了。我，咱们这个里头用的都是啥？勾股定力，逆定力是吧？ 这种是啥？社交什么？给我们编长的时候让我们去找，用勾股定逆定理的时候，用勾股的逆定理去找垂直，还有那种垂直线线，单个的线线垂直我还可以用谁？线面垂直的性质是不是？我再继续找去是吧？ 这种是啥？我，我要找这个线面垂直，我要找两条线线垂直。好了，我找到需要的两条线线的时候，这两个线线怎么证明呢？我可以用勾股定型理论，然后我单独的正这个线线垂直。你要知道看一看 证明题是一步一步往下探的，我其实就是此时变成了证明两个单个的线线垂直了，然后我要正线线垂直的时候，我有的时候咱们得怎么找？我说除了勾股定型理论还有什么找？还有怎么找啊？ 我要用线面垂直的性质，就是我再正一个线，这个线所在哪个面上有线面垂直，是不是？所以就推出来反推出线线垂直来，是不是？那我再正线面垂直，我再要找什么东西啊？我要正线面垂直的时候，我下边再再找什么东西？我还是反过来再找另外两个 线线垂直，是吧？看见没？这是所谓的逻辑推断，立体几何，所谓的逻辑证明啊，看见没有？ 就这体体图形是千变万化的，但是你要知道我们要处理的几何关系是就那么几种， 那么要处理这些几何关系需要的条件也就那几种，然后这些条件他所谓大家觉得又是题型特殊，都在哪里头？哎？这图形千变万化吧，是吧？你像这个题是折叠，那么折叠的时候有哪些对应边和对应角的关系啊？对吧？ 大家要搞清楚这个事情，是吧？ 就是借着一道题顺道给大家说说啊，有折叠问题的时候，大家怎么样去对应边边对应角是吧？这个题其实这个角和这个角也是对应的，是吧？对吧？ b c d 和谁？ b e f 是 不是？ 是吧？这个证明过程怎么去溯源，去找到我们需要的条件都听懂了吧？然后紧接着下一块该着谁了？来计算了，是不是 计算陷面角？其实吧，就是大家在计算陷面角的时候，很多人迷糊的点在哪呢？很多人迷糊的点。老师，这个投影在哪里头？我找不到 是吧？你要垂线在哪里头？我不好找是吧？图太图太复杂了，我，我空间想，那不行，大家想一下子，你无论如何，无论什么样子的图形，我线面角一定是啥？这是一条线，这是一个面，是吧？ 顶点，线面角的顶点一定是线面的焦点。 先把线面的交点找到，它就是七十点，然后剩下的干啥？我一条直线，咱们一般情况下你取两点吧，你比如这个题是 a e 那 么一个题，这个交线是谁？ a e 和谁？ b e f 是 吧？ 和 b e f 嘛？面， b e f 其实找焦点特别好找来，这个有异，这个也有异，线面转交上去就一个点，你找它们两个相同的那个点就行了。异点先找线面焦点，然后找啥， 第二个找，就我现在是啥另外一个点啊，在平面的投影。 哎，这个题大，这个要大家要注意一下子啊，找这个另外一个点，咱们对于这个题来说，我是找 a 点 在 b e、 f 上的投影，记住了啊，是，此时你不要把一点给我看进去，就找 a 点和这个平面，也就是说我只看谁是 a 和 b e f， 这就 a 和这个面， 不看这个点啊，此时不看这个点啊，你会看乱套的啊，我就找 a 点在这个面上的投影，也就是啥意思，我要找过 a 点的直线， 或者是啥，平面与这个平面垂直， 直接找直线的话有垂直的线，那此时呢？这个投影就投影就直接找到了，是吧？但是大多数时候没有人 给你那么清楚的东西，是吧？所以大多数时候都是干啥？我要直接先找到过这个点，比如说这个题来过，我要找谁过 a 点 且与谁我要的这个平面， b、 e、 f 垂直的平面，哎。第一步，先找它， 然后确定啥 交线，然后大家是不是就想明白了啊？我有垂面的时候，我往垂面上做垂线，是不是就交点？这样子，如果有，直接做好了就更好，如果没有的话，干啥？我有点有确定的交线之后，我往上做一步垂线，这就是所谓的找辅助线吗？ 是吧？那我此时啥意思？我这个线就有了，是不是 没毛病吧？ 确定交线，然后要么是找或者过 a 点向交线做垂，是吧 是吧？这样子的话，我这个这条线是不是就做出来了？这是完整的流程啊，计算线的角是我怎么去找这个流程啊？大家一定要看清楚，看明白了吧啊？这个流程看明白了吧？然后来我实操一下子。 第三个来找陷面角的流程，在图里边找啊， 来，第一步，焦点是谁？陷面焦点是谁？ e， 找到了吧。第二个来，我就直接盯着 a 点了，过 a 点和 b， e、 f 垂直的平面。 上上个条件来， e、 f 垂直于谁 a， b， c， d， 所以 谁 b e f 面， b， e f 垂直于面谁 a b c d， 这没毛病吧？直接找就行了，我 e f a b c d 来， b e f a b c， d， 看见没？直接找相同字母，这就特别好瞅，用这种东西去找我们的线，线和线面去扩展，去明白，没有相同字母，它就一定是一块嘛？是不是就这种它好拼接 啊，然后这样子找到之后，我有面面之后来就确定谁交线是谁交线是谁 b f， 然后啥找？我直直接过 a 点 往 b f 上面做垂线，是不是在绳上头来过一点，往 b f 上做垂线来，这个是四十五度，是不是？这个多少？四十五度 ab 就 垂直于 b f， 是 不是找到了？是不是其实就是谁 ab 就 垂直于了 b f？ 这个题是找到的，是不是？如果不找到，我们直接做出来之后，然后干啥？解三角形计算就行了，是不是啊？这个题是找到了，那行 a 点带 b， e、 f 的 投影就是谁就是 b。 好 了， a e b 就是所谓的什么所成的角，是不是啊？对吧？这是投影吧，这是 a 点在 b、 b、 e、 f 平面上的投影吧，这是焦点吧，把三个一连是不是啊，对吧？角 a e、 f 就是 角，角 a， e b 就是 谁啊？就是那个 线面角，人家问你求正切值，也就是切 这个是啥子垂直的，是不是啊？ 所以弹性的角谁 a e b 就 等于谁啊，对比谁 邻是不是邻是谁啊？ b e 是 吧？ a b 比上 b e， 我 们刚才都刨出来了，是吧？是二倍根号，二比上谁二等于谁根号看见没有？这个找线面角这个流程看明白了吧？啊？ 这一道完整的题啊，证明证明流程怎么找条件？我们这道题里边用的是啥？构建模型，但也可以用啥？用线面 把线面垂直，我要证明的拆成两个线线垂直，然后再每一个线线垂直，我要再去找两个线线垂直用啥？再用其他的线面垂直的性质去反推出来我想要的线线垂直，是不是？然后结合起来找 拼成我需要的条件就是我要证明的这个东西是不是判定定力，对吧？啊，听懂了吧？然后线面角的证明，线面角的找的过程哈，让他自己去看去啊，都给你们写上了，是不是完整的第一步，第二步，第三步，干啥？是不是给你们实操了一下？是不是啊？ 这个题是啥？直接找剩下，如果找不到就干啥，直接往交线上做垂就行了，是不是？这就所谓的啥？做辅助线是不是？找投影对不对？啊？听明白了吗？ 一步一步来就行了。第一步，定点，然后干啥？找这个的时候定定这个和这个面的时候记住了，先别瞅其他的，其他的都不瞅，明白了吗？啊？ 听懂了吗？好。

本期我们学这个学会就是满分 一个视频搞定立体几何垂直证明。我是小树老师，今天我将会用二十四分钟时间带你系统梳理立体几何垂直证明的四大常考题型。首先我们来看一下我们今天要给大家讲的第一种题型，如何证明线面垂直。 那么我们要搞清楚线面垂直的基本方法呢？我们首先需要知道它的基本原理是什么？我在屏幕当中呢已经给大家写出来了，他是这样说的，他说如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直的话，我们就说这条直线呢，与此平面垂直。具体这个原理应该如何使用呢？我们来看看下面这道题啊，他给了你这样一个四棱锥， 然后告诉你 pa 和底面垂直，底面是菱形， e 为 c、 d 中点。最后让你证明 b、 d 和 p、 a、 c 垂直，就让你证明什么呀？让你证明这条直线 b、 d 和这个平面 p、 a、 c 呢？垂直。 根据我们刚刚所讲的线面垂直的基本原理，我们要去证明 b、 d 垂直于面 p、 a、 c 的 话，只用证明什么？只用证明 b、 d 垂直于这个面 d、 a、 c 中两相交直线。那么这时候大家就会有问题了，那么请问应该是哪两条线呢？有没有一些什么样的基本方法？其实是有的啊，就是我们要去关注题干当中已有的垂直关系。 我们回过头来看一下题干啊，他有这样的一个条件，他是这样说的，他说 pa 呢和 abcd 垂直，就是这条数值的直线 pa， 他 和这个平面 abcd 呢是垂直的。这有个知识点大家需要知道啊，就是若 pa 垂直于这个面 a、 b、 c、 d 的 话，那么则这个 p、 a 呢？它就垂直于这个面 a、 b、 c、 d 中所有直线。大家看这个图啊，很明显这个 b、 d 怎么样？它就在这个平面 a、 b、 c、 d 当中， 所以说因为 b、 d 呢，它是包含于这个面 a、 b、 c、 d 的。 哎，所以说我们就可以得到 pa， 怎么样他就和我们的 b、 d 垂直，这不就是大家所找到的第一组垂直关系吗？ b、 d 垂直于 pa， 因为我们刚才讲了过要 b、 d 怎么样垂直于这个平面当中的两条相交直线，一条是不是还不够啊？我们需要再找一条， 那么另外一条在哪呢？你不是还有一个条件没有用吗？他是这样说的，他说底面 a、 b、 c、 d 呢，是菱形。朋友们，你们回顾一下你在初中学到的关于菱形的知识点里面有个什么知识点就是菱形啊， 他的这个对角线呢，是互相垂直的，是这样吧，就这个底面 a、 b、 c、 d 怎么样是个菱形， b、 d 和 ac 呢，刚好是他的两条对角线， 所以说自然它是怎么样是垂直的，所以说已经拥有了我们的第二组垂直关系，就这个 b、 d 呢，怎么样和 ac 也是垂直的，所以说你看这个是不是就符合我们刚刚所讲到的线面垂直的基本定律？就是 b、 d 垂直于 pa， b、 d 垂直于 ac， 这个 pa 呢？和 ac 怎么样还交于我们的 a 点，所以说我们就可以得到 b、 d 呢？它就垂直于我们的这个面 p、 a、 c 就 完事了。 基于刚刚给大家讲到的这个线面垂直证明方法，大家可以趁热答题呢，来做一下下面这道题，他是这样说的，他给了你这样的一个正三能柱， 大家知道什么叫正三能柱吧，我把他的基本性质呢给大家写到这，他有两个性质，第一个就是底面呢是正三角形，第二个特点呢是侧能与底面垂直啊，这次关系后面肯定都用得上啊。然后呢他又说了，第一呢分别是这个两条能的中点， 并且呢告诉你 a、 e、 a 和 a、 e、 b、 e 呢是相等的。最后让你证明这个 a、 e、 b 和这个平面 c、 e、 d、 e 垂直，就是哪条线就这条线 a、 e、 b 和哪个平面垂直，就是和这个红色的平面 c、 e、 d、 e 垂直。我们刚刚是不是讲到过了，你要证明这个 a、 e、 b 和这个平面 c、 e、 d、 e 垂直的话，只用证明什么呀？只用证明这个 a、 e、 b 垂直于这个面 c 一、 d、 e 中两相交直线。那么这个时候大家同样会有一个问题啊，就是请问是这个平面当中的哪两条相交直线呢？这个找直线的技巧是什么？这确实是有一个统一的解析技巧啊，叫做先找 相交垂直，再找意面垂直。可能有同学不太能够理解这两句话什么意思啊？我们来给大家解释一下。我们回到左边这个图，我们来观察一下，你会发现这个红色平面当中你能够看得见的线条是不是有三条， c、 e、 d， c、 e 还有 d、 e 这一共这三条线吧，那么你会发现这三条线当中有没有哪条线和我们的 a、 e、 b 是 相交的呀？有没有？有吗？哪条线和 a、 e、 b 是 相交的？ d、 e， 你 发现这个 d、 e 呢，和我们的这个 a、 e、 b 呢是相交的， 那么如果他们俩垂直的话，我们就把称之为香蕉垂直。之所以要先找香蕉垂直呢，是因为这种垂直是最好正的。我们回到我们的题干了，他给了你这样的一些条件，首先呢，他说了这是一个正三棱柱，我们都知道棱柱的侧面都是平四吧， 又因为它是一个正三能柱，侧能与底面垂直，所以它不仅是一个平四，它还是个什么形？是个矩形。再加上题干当中还有这么一个条件，叫 a 一 a 和 a 一 b 一 相等，就是这条线和这条线相等，所以它是个什么呀？它是个平四，是个矩形还是一个正方形。 所以说这个四边形 a e a b b e， 它是个什么形啊？是个正方形，那正方形的话，它的对角线肯定是互相垂直的呀，那这个是 a、 e、 b， 这个呢是 a、 b、 e， 然后我们这个 d、 e 呢，它和 a、 b、 e 呢是平行的， 所以说我们就可以得到 a 一 b 垂直于 a、 b 一， 然后这个 d、 e 呢，他又是平行于 a、 b 一 的，所以说我们就可以得到 a 一 b 呢，他就是垂直于我们的 d、 e 的， 这不我们就得到了第一组垂直吗？就是 a 一 b 垂直于 d、 e 就 完事了。那么找完了香蕉垂直之后，你会发现剩下的线条都没有和 a、 e、 b 怎么样相交了，这个时候我们就要怎么样去找意面垂直。这时候大家还是回到我们左边这个图案，你会发现这个红色平面当中，除了 d、 e 之外，还有两条线，一条是 c e d， 一 条是 c e、 e， 那 么这两条线当中很有可能有一条和 a、 e、 b 垂直，那么请问我们是优先选择 c、 e、 d 呢？还是选择我们的 c、 e 啊？ 选择哪一个？大家觉得我们是不是应该选择 cad？ 为什么我们这道题到了这个时候要优先选择去证明 cad 和这个 ab 垂直呢？理由是什么？理由是题干当中所给到你的条件是有利于你用 cad 去找垂直关系的。哪个条件？他不是一个正三能柱吗？我们说到过正三能柱怎么样？底面是一个正三角形啊，正三角形怎么样？三线合一。 所以说我们要优先去证明什么呀？我们要去证明这个 a 一 b 垂直于我们的 c 一 d 就是 我们的第三个图。 但是意面垂直呢？这也有一个技巧，叫做你要怎么正？你直接正，正不了啊，他那没挨着叫做反过来正。哎，这有个同学不太能够理解什么叫反过来正，就是我本来要证明 a 一 b 和 c 一 d 垂直对不对？但是你要反过来证明什么呀？ 你要反过来证明 cad 垂直于 aeb 所在的面，因为如果 cad 和 ab 所在的面都垂直了，那他不就和 ab 垂直吗？ 那么问题来了，我要证明这个 cad 和这个 ab 所在的平面垂直的话，他应该是哪个平面呢？很明显就是这个蓝色的平面，即你要证明什么呀？即你要证明这个 cad 垂直于这个面 a、 a、 e、 b、 e。 所以 说你得怎么样？你得再证明一次线面垂直。那么根据我们刚所讲的基本原理，你要证明 c、 e、 d 和这个面 a、 a、 e、 b、 e、 b 垂直的话，只用证明什么呀？只用证 c、 e、 d 垂直于这个面 a、 a、 e、 b、 e、 b 中两相交线，那么请问是哪两条线呢？不又来了吗？第一课就是 c、 e、 d， 它是垂直于 a、 e、 b、 e 的， 为什么这个 c 一 d 和这个 a 一 b 一 垂直呀？是因为这个三角形 a 一 b 一 c 一 是一个正三角形，三线合一嘛，我把这个图给大家画出来，正三角形的特点呢？比如这是 c 一， 这是 a 一， 这是 b 一， 这是 d， 这不就垂直吗？所以第一个垂直关系咱们是不是有了？那么第二个垂直关系是什么呢？就是这个 c 一 d 呢？它就垂直于这个 a、 a 一。 那么为什么 cad 和 a 一 垂直呢？那是因为因为什么呀？是因为它是一个正三楞柱啊，这个侧能 a、 a 一， 它是垂直于这个面 a 一 b 一 c 一 的呀，正三楞柱的性质吧，侧能与底面垂直啊，你看这不就连上了吗？侧能和底面垂直，所以说侧能就和底面所有的直线垂直。 a、 a、 e 和底面垂直，那么 a、 a、 e 就 和底面的 c、 e、 d 垂直。那由此的话，我们 c、 e、 d 是 不是就垂直于这个面当中？两条相交直线，那么 c、 e、 d 呢？它就和 a、 e、 b 垂直，整个逻辑链条呢，就清晰了。 如果大家没有听得很明白的话，我建议大家倒回去再听一遍，这道题背后的方法呢，非常重要。讲完了线面垂直之后呢，紧接着我们来给大家讲第二种题型，就是如何证明线线垂直。同样的，我们先把线线垂直的基本原理告诉大家，就是如果一条直线呢，与一个平面垂直，那么该直线呢？与这个平面当中的所有直线都垂直， 所以说如果我们要证明线线垂直的话，我们最终都需要把它转化成什么呀？转化成线面垂直来证。这个时候大家其实是有两个选择的，第一个选择呢，就是我要去证明 b、 f 垂直于 a、 d 所在的面，或者是呢，我们就要去证明 a、 d 垂直于 b、 f 所在的面，那么我们具体应该选择哪一个呢？我们先在图当中把这两条直线给大家找着啊，一个呢是我们的 b、 f， 一个呢是我们的 a、 d， 你 看这个图啊朋友们，你觉得是 a、 d 垂直于 b、 f 所在的面好找呢？还是 b、 f 垂直 a、 d 所在的面好找？很明显是这个 a、 d 垂直于 b、 f 所在的面更好找一些， 就是我们 a、 b、 f 这个面，如果说你实在是无法一下子就判断出来的话，你可以都尝试一下啊，所以这个基本逻辑就很清晰了，就是如果你要去证明这个 b、 f 和 a、 d 垂直，只需要证明什么呀？只用证明 a、 d 垂直于这个面 a、 b、 f。 所以 他又回到了我们刚刚所讲的线面垂直的问题啊，那所以就怎么样只用证明 a、 d 垂直于这个面？ a、 b、 f 中两相交直线 哪两条？第一条 a、 d 和 af 是 垂直的，这是已知的呀，题干里面是不是说了呀，这不用你去证，直接用就好了。那么第二个是什么呢？第二个是这个 a、 d 呢？垂直于我们的 ab， 为什么呀？因为底面这个 a、 b、 c、 d 是 个什么东西？它是个矩形啊，题干当中不是说了吗，矩形的邻边是不是垂直的？所说 a、 d 和 ab 垂直是因为什么呀？是因为这个 a、 b、 c、 d 是 矩形，这不就完事了吗？ 因为 ad 和 af ab 垂直，所以 ad 就 垂直于平面 abf， 而这个 bf 呢，恰巧又在这个平面里头，所以说 ad 和 bf 垂直就完事了。我们再来做一道题，让大家巩固一下，大家可以先自己暂停一下，自己做一做，然后再来听我讲啊， 我来带大家读一下题啊，他是这样说的，他给了你这样的一个多面体，然后呢告诉你 d、 e 和 a、 f 平行，然后又是垂直，并且呢这个四边形 a、 b、 c、 d 是 菱形，最后让你证明 b、 d 和 c、 f 垂直。 根据我们刚刚所讲的原理啊，就是我们要证明 b、 d 和 c、 f 垂直的话，其实你就两个选择，要么你就证明 b、 d 垂直于 c、 f 所在的面， 要么你就去证明 cf 呢垂直于 b、 d 所在的面。那么我们应该是选择上面这个呢还是下面这个呢？我们其实需要看一下 b、 d 和 cf 的 相对位置啊，我们在图当中呢，先把这两条线呢给它找着啊，这是我们的 b、 d， 这是我们的 cf。 初学的同学呢，可能确实不知道应该选择这两个当中哪一个，那么如果说你不知道应该选择哪个的话，你就读读题，他会给你一些提示， 比如说这个地方，他告诉你这个四边形 a、 b、 c、 d 呢是菱形，那你想菱形有什么特点呢？对角线互相垂直啊，那你把这个 b、 d 和 a、 c 呢对过来连起来之后，哎，你把这个图一画，你不大概就能看出来那个面的图形了吗？那不就是我们的 afc 吗？是吧？至少他是你的首选吧， 它有可能是证明别的线和面啊，但是这个一定是第一选择，那所以说我们会考虑啊，证明什么呢？证明 b、 d 垂直于这个面 afc。 那 么根据我们刚刚讲完的线面垂直证明方法，我们要证明 b、 d 和 afc 垂直的话，只用证明什么呀？只用证明 b、 d 垂直于这个面 afc 中 两相交线。那么其实我们刚刚在找面的过程当中，不是已经找着一条了吗？哪一条呢？就是 b、 d 和 a、 c 垂直，那么 b、 d 为什么和 a、 c 垂直？我们刚讲到过这个四边形是个什么形啊？这个四边形 abcd 呢？是个菱形啊，菱形的对角线 是垂直的，所以这组垂直关系呢，是比较好判断的，这是菱形的性质。那么另外一条呢？ b、 d 应该和谁垂直呀？ 那自然和我们的 af 垂直了，那为什么会想到 af 这条线呢？你肯定不能选择 cf 呀，因为 cf 本来就是你要去正的呀，是吧？我们就要去证明 bd 和 af 垂直，我们在图当中把这个 bd 找着，把这个 af 找着， 发现什么问题了吗？这个是不是就是咱们刚刚所讲到的这是什么垂直啊？这是一个意面垂直，就这两条线怎么样不相交啊？意面垂直，咱们刚刚说了，应该怎么正，应该反过来正， 怎么反过来，就是你本来要证明的 b、 d 和 af 垂直，是不是？但是因为它两不相交，你没法直接证，所以你要反过来证明什么呀？证明 af 垂直于 b、 d 所在的面，反过来证明 af 垂直于 b、 d 所在的面，那么应该是哪个面呢？那 b、 d 在 哪个面上？ b、 d 很 明显在这个底面上啊，所以其实就证明什么呀？就是证明我们的 af 垂直于这个面， a、 b、 c、 d。 那 为什么面 a、 f 和 a、 b、 c、 d 垂直呢？你得读读题，题干当中说了 d、 e 看见了吧？和这个 a、 f 怎么样是平行的， 然后这个 d、 e 呢？它又是和底面垂直的，那如果两条直线平行，其中一条和底面垂直，那么另外一条肯定也垂直呗，所以就两个条件，第一个， 第一垂直于面 abcd， 第二个，第一和 af 平行，有他们俩你就可以得到 af 呢和 abcd 垂直。你看这个逻辑链条呢，就完整了， 也就是我们在思考的时候，肯定是从结论往条件上去推啊，我们在写步骤的时候呢，就倒着写回去不就得了吗？从这种题一定要大家自己去做一做，自己去体会一下，就题不在多，一定在于大家有没有掌握它的基本逻辑，因为发现我们讲的这几道题都是一个基本的规律，都是一个套路。 讲完了线面垂直和线线垂直之后呢，就是我们的第三种题型，面面垂直。这个面面垂直很像他最终都是需要转化成线面垂直来正的， 具体的转化原理是什么呢？我们来看一下。他是这样说的，他说如果一个平面经过另外一个平面的垂线的话，那么这两个平面是垂直的。我再给大家读一下这句话啊， 就是如果一个平面经过另外一个平面的垂线，那么这两个平面呢？就是垂直的。那所以说我们要去证明两个面垂直应该怎么证明？我们应该证明 其中一个面上一直线垂直于另外一个面。比如说这道题，你要去证明这个 abc 和 pop 垂直的话，这个时候你也有两个选择，要么你就证明这个面 abc 中一直线 垂直于这个面 pop， 你 要么呢就是另一个选择，就是证明面 p o、 b 中一直线垂直于这个面 abc。 那 么同样的问题来了，我应该选那一个呀？具体的话还是一样，你需要先在图当中把这两个面找着，看谁更像一点，谁的垂直关系更多一点，你就选谁。 我们先在图当中把这两面给它画出来吧，一个是 abc， 就 这个底面，一个呢是我们竖着这个 p o b 看了这个图之后呢，如果有经验的同学确实能一眼瞪出来啊。如果是初学的同学呢，也不用着急，如果你实在是不会选了，我们说了，你就看一看题干当中有哪些已经知道的垂直关系呗。 你先把它在图当中给它标记出来，你比如说他说了 p a、 c 这个三角形是个什么三角形？是个等边三角形啊。等边三角形有什么性质呀？三线合一就是角平分线，中线和高是同一条线， 那么这个 p a、 c 是 等边三角形， o 又是 a c 中点，所说哪个角是直角？这个角是直角，没问题吧？这不就是一组垂直关系了吗？然后呢？他这还说了个条件，说个什么条件？ ab 和 bc 相等啊，所以这个三角形它不是一个正三角形，但它是个什么三角形？这个等腰三角形，等腰三角形也满足三线合一的这个性质， 所以这个角也是直角，那么由此我们就可以知道什么呀，我们就可以知道 a c 它和 o p 垂直， a c 呢？它和这个 o b 呢也垂直，又因为这个 o b 和这个 o p 怎么样？它是相交的呀，所以我们就可以知道什么呀，我们就可以知道这个 a c 呢，它就垂直于这个面 p o b， 然后又因为什么呀？又因为 a c， 它在另外一个面 a b c 上，所以这个面 abc 它就垂直于这个面 p o b。 这不就是我们刚刚所说到的 abc 当中的一条直线和 p o b 垂直吗？我们选的是哪条线，选的是 a c 啊？ 那这个 ac 这条线是怎么找出来的？是我们根据题干当中已有的垂直关系给他判定出来的，就如果你有经验，你看到这个图形，你可以快速的给他蹬出来，如果说你没有经验呢，你就可以先把题干当中已有的这些垂直关系怎么样都给他标出来，你一放，你会发现他就一目了然了。 这道题呢，我们就给大家留成练习题，大家可以先自己暂停做一做，然后呢把你的答案呢发到我们的评论区里面，我来帮助大家看一下，如果大家有什么疑问的话，我们欢迎大家随时来讨论。 然后呢我们来看一下今天要讲的最后一种题型，就是面面垂直的性质定律。那么什么叫做面面垂直的性质定律呢？具体的使用场景又是什么呢？就大家在以后做题的时候，你会发现有的时候这个题干当中的条件呢，是两个面垂直， 那么如果遇到两个面垂直这样的条件，我们应该如何翻译？我们先来看一下他的基本原理是什么？他是这样说的，他说如果两个面垂直，其中一个平面内有一条直线垂直于这两个面的交线，我们就说这条直线呢，和另外一个面垂直，是不是乍一读不知道他什么意思啊？我给你画个图，你大概理解一下，你就明白了。 比如说我这有个平面的 alpha， 然后呢，我这还有一个平面 beta， 这个 alpha 和这个 beta 有 什么特点呢？哎，他俩是垂直的，并且呢，这两条直线怎么样？还相交了一条交线 m， 即我们的 alpha 和 beta 相交交于这个直线 m。 现在呢，我有另外这条直线 l， 这个 l 有 什么特点呢？它是包含于这个平面阿尔法的，就是它整个在这个平面阿尔法里头，并且呢，它还和这个直线 m 呢，是怎么样是垂直的？那么如果说同时满足这四个条件的话，我们就可以得到 这个 l 呢，它就是垂直于这个贝塔的。那么进一步呢，这个 l 呢，它就垂直于这个面贝塔中 左右直线。你看这个链条，我们可以把面面垂直转化成线面垂直，进一步转化成线线垂直。那么具体这个原理应该如何使用呢？我们肯定就要就题论题了，我们来看下这道题啊，他跟你说这个正方形 a， b， c， d 和这个正三角形 a d， p 所在的平面呢？怎么样是互相垂直的， 然后呢， q 呢？是 a d 中点，让你去证明 p q 垂直于 b q。 你 这道题首先应该先把条前面这个条件给它翻译一下，就是这个平面 p a、 d， 它和这个底面 a、 b、 c、 d 怎么样是垂直的？根据我们刚刚所讲到的这个原理，我们是不是要去找着它的交线？很明显这个交线是谁啊？是我们的 a、 d 呗， 所以我们照着左边这个原理就可以直接来翻译它了，因为这个面 a、 b、 c、 d 垂直于这个面 a、 d、 p， 然后这个面 a、 b、 c、 d 怎么样？它是不是和我们的这个面 a、 d、 p 相交了？交线刚是不是画出来了，就是我们的 a、 d 呗。 那么是不是应该要找到怎么样一条和交线垂直？直线？那么哪条线和交线是垂直的？你看题干当中他不是说了这是一个什么形？这是一个正三角形啊，正三角形有什么特点？三线合一啊，所说哪条线和交线是垂直的？这条蓝色的线 p q， 因为 q 是 终点吧， 所以很明显这个 p q 呢？它是不是又包含于我们的那个红色的面 p a、 d 的？ 那所以说根据我们刚刚所讲的这个基本性质，我们就可以得到这个 p q 呢？它是垂直于我们的这个面 a、 b、 c、 d 的， 对吧？ 我们不是讲到过，如果这个 p q 垂直这个面的话，它是不是就应该垂直这个面当中所有的直线？所以因为这个 b、 q 它是包含于这个面 a、 b、 c、 d 的， 所以说 p q 他 不就垂直于 b q 了吗？你看就这完了，就这么简单。我们再来看一个是一样的做法，他给了你这样的一个三等锥，然后呢告诉你，三角形 p、 b、 c 呢？是等边三角形，你看等边三角形很有可能就会用到三线合一的那个性质啊，然后 a c 垂直于 p b， 然后这两个面又垂直，就让你证明 a c 和 p b c 垂直。 看着好像各种乱七八糟，条件一大堆吧，你就记住了，你就一步一步来，按部就班的做，你就能做出来。首先应该怎么样？你首先应该先把这个条件翻译一下，因为面面垂直作为条件是没法直接用的 啊。先找着这个平面 pbc 好， 找着它，然后找着这个平面 abc， 通过这个图能看出来这个交线是谁，就是我们的 bc 吧，所以我们来写一下这个基本步骤，你看因为面 pbc 垂直于面 abc， 然后这个面 pbc 是 不是和我们的这个面 abc 怎么样 相交了吧？有一条交线是不是就是 bc？ 那 么紧接着应该怎么样找到一条和 bc 垂直的直线啊？那谁和 bc 垂直？你读读题，这不有一个条件吗？看见没有？ pbc 是 等边三角形， o 又是中点，这不就是我们所说的了，什么东西啊，三线合一啊，说哪是个直角， 这是个直角啊，等边三角形的性质吧。好，所以说我们就可以知道哦，这个 p o 它是垂直于我们的交线 b c 的， 又因为这个 po 呢？它在这个面 p b c 上吧，在那个蓝色面上，所以根据我们刚所讲到的面面垂直的性质，我们就可以得到这个 po 呢，它就垂直于面 abc， 那 它垂直于面 abc 的 话，那么所以说这个 po 它就垂直于这个面 abc 中所有直线，这不就翻译完了吗？这个条件就到此为止了啊。 然后我们再回到我们这道题的结论，你看你要证明的是什么？你不是要证明 a c 垂直面 p b c 吗？跟我们今天所讲的第一种题一样，我们要证明 a c 和 p b c 垂直的话，只用证明 a c 垂直于这个面， p b c 中两相交线，那么哪两条相交线第一条就是 a c 是 垂直于谁的呀？ p b 的 呀？这个是已知的呀，这不用你去证。那么第二个是 a c 垂直于谁呢？ a c 呢？垂直于 po， 这个是因为什么呀？是因为 po 垂直于 abc 这个平面当中所有的直线呗。你看这不就完事了吗？就做完了呀， 因为 ac 垂直于 p o， ac 垂直于 pb， 所以 ac 垂直于这个平面当中。两条相交之前他就和这个平面垂直了，就和我们的今天讲的第一种题型不就连起来了吗？ 所以说大家如果把这几道题放在一块看的话，你会发现其实立体几何的垂直证明呢，并不复杂，关键点在于大家有没有掌握一套基本的解析逻辑和思路，如果纯平感觉肯定不太行。 以上呢，就是我们关于立体结合数学证明的所有知识解读，希望对于大家的学习会有帮助。我是小树老师，关注我带你掌握更多的高中数学知识。