函数必过点题型

不管你考几分，现在立刻停下来看亮亮的二次函数最热门八大类常考题型的总结，因为这很有可能是你考前最后一次完整复习我们二次函数题型的机会了。我们今天会从简单的图像性质到平移，以及我们选填压轴图像与系数方程不等式。 当然我们整个中考里面有一类应用题特别喜欢考，就是二次函数轨迹类的应用。那最后呢，我们会有三道压轴题，分别包括我们二次函数的含餐临界值问题，含餐区间问题、含餐定级了问题，以及我们二次函数最值问题和存在性的问题。 最常见的给出一个抛物线，对吧？哎，下的系数正确的是问什么呢？什么顶点呀，焦点呀，最值呀，增减性呀，巴拉巴拉的。那么通过图像，我们知道它是一个开口向上，并且顶点坐标呢？是三负四， 哎，这样的一个二次函数，那我们知道它的对应轴呢？很明显就是 x 等于三，对吧？好，当我们了解这一点之后呢，接下来我们就可以判断了， 好，顶点坐标是负三负四，不对，顶点坐标是三负四，所以 a 不 对。好， b 选项。说什么呢？说与 y 轴的焦点坐标是零负四。哎，我觉得这个比较容易错啊，很多人一看，哎，亮亮，哎，当然你看这后面是负四，对吧？所以肯定是零负四，那是一般式， 这是顶点式，所以你要把这个零，你把它给带进去。那我想问一下你， x 等于零的数， y 等于几呢？ 零带进去，零减三，负三平方九乘以二十八，十八减四 十四，对吧？所以也就是你与 y 轴的交点应该是零十四，而不是零负四，因此我们这个 b 选项呢，它是错的。嗯， 当 x 大 于等于三的时候，大于等于三就是在对正轴的右边了， y 数 x 增大而减小。胡说，这不是增大而增大吗？所以 c 也是错的。你会发现 唯独谁呢？ d 选项是正确的，最小值负四没有问题。为什么呢？我们这个开口向上的抛物线，所以在顶点处取得最小值，最小值呢，就是顶点纵坐标，也就是负四了，搞定。 那么函数的平移，大家记住八个字，叫做左加右减，上加下减。但是这个加减它是有一定要求的，比方说左加右减，这个加减呢，是在 x 上来进行加减的， 那么上加下减呢？这个加减是在我们表达式上面，你可以理解为整个函数的屁股上面，对吧？哎，在我们这个表达式上面 来进行加减。我们举个例子，比方说现在我们给出一个二次函数啊，就是它如何平移得到我们另外一个二次函数呢？那你会发现它是怎么变的？首先， 嗯，你这里加二了，对吧？左加右减，你只有往左移，你的 x 才会对应的加二。然后你又发现，你本来背平方的是 x 吗？ 现在背平方呢，是 x 加二，从这个 x 到 x 加二，它是不是加了两个单位？那既然你加了两个单位，左加，对吧？啊，就是往左移了两个单位，我们对应就加 好。然后加完之后，女伴在屁股上面，在外的这个表达式，屁股上面直接减二，上加下减，所以就是往左移两个单位，并且往下移两个单位，因此选哪个？因此我们选择 a 选项搞定。 其实在我们中考里面，你所遇到的有可能比这个更难，但因为我们之前跟大家讲过了所有的二三数魔鬼序号题的一个合集，所以今天我们就直接拿出一个比较具有代表性的，比方说像他了。 好，我们给出一个二三式外，对于 a x 方加 b x 加 c， 那 图像呢？如图所示。哎，你自己发现它有什么特点？好，下个结论，错误的是哪一个啊？也就是说有三个是对的，我们一个一个的判断啊。 首先第一个东西，那我们知道，嗯，开口向上，因此我们知道 a 大 于零，没有问题吧？好，接下来这个 b 怎么判断呢？那如果你知道左同右异，那就好了， 但如果你说这样的，我根本就不知道，对吧？怎么办？没关系， b 的 判断用什么呢？用对正轴。我们知道负的二 a 分 之比就是对正轴嘛，对，正轴在外轴的左边，对吧？所以也就是小于零了。好，接下来我们左右两边同时乘以二 a， 因为你 a 大 于零， 所以二 a 呢，是正的，对吧？你左边乘一个正数，右边乘一个正数，零乘以正数还是零嘛？乘以正数不变号。所以最终我们知道 b 大 于零， o， b 呢，也是大于零的。那最终 c 怎么判断呢？ 看它与外周交点，与外周交于负半周，所以我们知道 c 小 于零，因此你会发现 abc 的 乘积呢？是负的，对不对？完全正确啊， a 选项，这个是成立的，所以我们不选它。好，接下来我们再看。那 b 选项怎么去处理呢？你只要在整个函数里面遇到什么几 a 几 b 加 c 呀，那包括几 a 几 b 加 c 呀？ 啊，一般就是把 x 等于某一个数带进去，那带谁呢？带一带二带三，随便猜。不是的，我们其实一般看 b 的 系数就可以了， 你 b 前面系数是不是一，其实它指的就是 x 等于一所对应的函数值，不信你带进去 x， 一 带进去，你不就是 a 吗？一带进去不就是 b 吗？对吧？所以 a 加 b 加 c 就是 一所对应函数值，那一对应的函数值等于二吗？ 一对应的函数值，哎哎，真的等于二，对吧？那题目中你告诉你这个点坐标是一二，所以 b 选项完全正确好， c 一 样的，你看 b 前面的系数多少，是不是负一啊？所以其实它就是 x 等于负一所对应函数值，不信把负一你带进去。 好，当 x 等于负一的时候，你等于几？是不是 a， x 等于负一，你不就减 b 吗？后面加 c， 所以 它的确等于什么呢？等于负一所对应的函数值， a 减 b 加 c， 那 负一所对应函数之小于零吗？负一在哪？哦，负一在这，对吧，能不能看到这个是负一吗？ 那你这个负一所对的函数值。哒哒哒哒哒哒哒。哎，的确怎么样的哎，他的重做比较小零，所以小零怎么样也是对的啊。注意啊，我这里说的是 b 是 对的， c 是 对的，但这个要选择错误的，对吧？所以你会发现 abc 都是对的，那谁错？ d 选项一定错了， 也是，我们选的百分百是 d， 可是问题来了， d 怎么判定呢？哎嘿，你说这个 b 小 一，这咋弄？其实大家有没有这种序号题的时候， 他永远能够蹦出一个让我们摸不着头脑的，对吧？从来没有见过的，对不对？大家注意啊，你要知道，世界上没有无缘无故的爱恨，也没有不明不白的。第二、三小问， 举个例子啊，你要知道，我们知道 bc 是 成立的，对吧？其实很多这种陌生的选项都可以由我们前面的正确选项来推导组合出来。比方说，孬，你想想这个东西等于几？这个东西等于二吗？哦，就是你等于二 成立的。这个东西它怎么样呢？它是小于零的，所以我们知道它是个负数，也没有问题吧？好，接下来你想想， 这里面有 a、 有 b、 有 c、 有 a、 有 b、 有 c， 而你这里面我只需要 b， 说明什么？如果我能够把这两个式子里面的 a、 c 给它消掉， 那是不是九只剩下 b 了，那怎么样消掉呢？挠你。比方把这个式子标做一式，把这个式子标做二式，一和二相减就可以了。你用一减去二，那么它等于什么呀？ 它不就是这个式子减去它吗？我的 a 跟你的 a 咔嚓是不是没了？我的 c 跟你的 c 咔嚓是不是没了？剩下你用这个正 b 减去一个负 b， 正 b 减去负 b， 其实就是二 b， 对 吧？好，那问题来了，嗯，那你要知道一是什么？哎，他是二呀，减去你是个什么？你是个负数，对吧？二减去一个负数怎么样？ 用二减去负数，他一定是大于二的，没问题吧？所以我们推出 b 大 于一，那你说 b 小 一，那肯定错了。搞定 好第四个二次函数与方程不等式，我们很多选择填空题就喜欢考它，包括我们很多大题里面的某些关键步骤呢，它的核心思路就源自于这里面的一些方法。好，这个题我觉得极其重要。 首先给出一个抛物线，嗯，好。当然 a、 b、 c 的 常数，我告诉你， a 小 于零，就是它是个开口向下的，对吧？好，它经过 a 点、 b 点，那你会发现这两个点的纵坐标小于零， 所以也就是怎么样呢？他是开口向下的，并且怎么样呢？并且与 x 轴交于怎么样？交于二零，负零，哎，就是一个横坐标是二，对吧？ 另外与 x 轴的一个焦点呢？横坐标是负四。好，现在下面有四个结论，一二三四，问，其中正确的有几个？那我们就一个一个来看了。首先第一个，他说这个一元二次方程，它的根是 x 一 等于二， x 二等于负四，这个怎么去处理呢？其实这个就是非常具有代表性的 函数与方程之间的联系。我们举个例子啊，比方说，我们随便给出个二次函数，好不好？比方说，哎，就比方开口向上吧，我们画个草图，就是 y 等于 a， x 方加上 b， x 加上 c， 好 吧， 好，现在有这么一个，怎么样呢？啊？ x 轴。那现在我想问一下，你如何求一个二次函数与 x 轴，对吧？哎，它的焦点呢？也就这两个焦点，你怎么求？ 首先这两个焦点的横坐标你知道吗？你不知道，对吧？但你知道 x 轴上所有点，他的纵坐标一定是零的，所以横坐标是几不知道。纵坐标是零， 横坐标是几呢？不知道，但我们知道纵坐标零，对吧？好，现在有一个问题，既然我知道这两个点的纵坐标都等于零，都等于零，而这两个点还在整个抛物线上吗？也就是我知道抛物线上有两个点的纵坐标是零，那如果求横坐标， 已知纵坐标，求横坐标，所以你只要把这个零带到 y 里面去就可以了，对吧？所以也就是整个东西等于零就行了。那你可以得到什么？你令它等于零，就是 a x 方加上 b， x 加上 c 等于零嘛？哦，你可以得到一个方程，对吧？ 你只要把这个方程解出来，那你解出来之后，我们焦点的横坐标不就出来了吗？举个例子，如果你这方求着 x 一 等于二呀， x 二等于五呀，那你会发现，那那二和五就是我们这里的横坐标，你这个就是二，你这个就是五，理解没有， 所以你会发现，喏，那我们这个方程跟你这个二次函数，大家观察一下有没有联系，你会发现二次函数的表达式和方程左边的表达式是完全一样的。也就是说， 如果以后你只要给出一个二次函数，你会发现，如果某个方程的表达式跟它完全一样，那你会发现，喏，这个方程的解就是你这个函数与 x 轴交点的横坐标，交点的横坐标一样的， 你这个函数与 x 轴交点的横坐标反过来就是我们这个方程的解。方程的解，你会发现，与 x 轴交点横坐标二，与 x 轴交点横坐标负四，所以你这个方程的解就是二和负四， 搞定，也就是一呢，它是正确的。好，接下来我们看第二个，也是告诉两点的横坐标啊，说在这个抛物线上啊，让我们判断 y 小 于 y， 其实这个是什么？这个就考察我们二函数的增减性了，只要什么什么 y 大 于 y， 大 于 y 小 于 y 的， 对吧？哎，增减性， 你这个开口向下的抛物线。哦。开口向下的抛物线对不对？对，准轴是几对准轴能告诉我吗？ 因为你要知道与 x 轴交点横坐标二，与 x 轴交点横坐标负四，所以把这两个交点横坐标相加除以二。这个我不用说了吧？所以我们知道对称轴是等于负一的，那如果你不知道，你打个草稿好了，对吧？ 哎，一个交点横坐标二，一个交点横坐标负四，因为这两个点是关于对称的嘛，所以把这两个交点横坐标相加除以二，明白了没有？哎， 好了，那么接下来呢？我把它画出来。当我们知道对称轴是负一之后，那现在我怎么去判断二的重坐标的大小呢？其实很简单，除了开口，除了对称轴，那接下来我们就要判断距离就行了，你塞点横坐标负五， 负五是不在对称轴左边，距离四个单位，对吧？你要知道，开口向下的抛物线，你离对称轴越远，你的函数值越小，你离对称轴越近，你会发现你的函数值越大。 我在对正轴左边几个单位，你发现是四个单位，对吧？负五到负一是不是四个单位？好，那我们知道派是几啊？派是三点，你可以理解为三点一四，好吧，三点一四很明显在对正轴的右边，而且距对正轴呢？多少个单位？ 三点一四减去负一吗？是不是四点一四？这个就是派对不对，横坐标是派， 所以你会发现哪一个？你这个父，我所对的这个高度是 y 一 吗？你这个派所对的这个高度怎么样呢？是 y 二，对吧？所以 y 一 大于 y 二，你说小于，那不对啊，所以我们知道二是错的。好，接下来看我们的第三个啊，其实第三个它跟我们上一个有一点类似啊， 他说对于任意的实数 t， 总有这个东西成立，哎，大家说亮亮这咋弄呀？对吧？乌七八糟的，都没有任何的思路。好，其实你会发现，你只要左右两边同时加上某一个东西就可以了。什么呢？你看到我们刚才遇到解几 b 加 c， 他 往往是把某个数带进去所对应的函数值，对吧？这里也是一样的， 几 a 几 b。 呃，没有 c， 没有 c， 我 就补，比方，我把左边加上一个 c， 它是什么呢？它是 a， t 方加上 b， t 加上 c， 对 吧？右边我也加上 c， 嗯，也就是小于等于 a 减 b 加上 c， 对 吧？你让我去判断这个不等式，我不，我只要判断这个不等式是否乘以就可以了。而这个东西呢，我们上一题讲到了，它是 x 等于负一所对应的函数值，对吧？ 而它是什么呢？其实大家有没有发现我们这个式子相对于这个式子它发生了什么变化？它无非就是把你这里的 x 变成了 t 吧，把你的 x 变成了 t 吧，你怎么样去把 x 变成 t 呢？也就是当 x 等于 t 的 时候，把 t 带到横坐标 x 里面去吗？ 那你这个式子不就变成它了吗？对吧？所以它就是 x 等于 t 所对应的函数值，你是 x 等于一所对应的函数值。那这个大招怎么比较呢？一般跟我们的顶点会有关系，比方说我们刚才说了，大家记不记得 它是个开口向下，并且对准轴是几呢？那二和负四相加的一半，也就是我们的对准轴是 x， 等于负一，对吧？你想想， 对称轴是负一，所以我们知道顶点的横坐标一定就是负一了，所以你把负一带进去，负一在整个抛物线里面，你所对应的一定是什么呢？这个一定是顶点所对应的纵坐标，明白了没有？哎，你是顶点纵坐标， 那顶点纵坐标怎么样？一定是最大的吧，也是最大值。那 t 呢？ t 等于几？任意实数 t 给正的负的就是提取任何数，对吧？也就是你随便带入一些数进去，所对的函数值一定小于等于我们顶点所对的这个纵坐标，对不对？ 肯定对呀，我顶点对吧？这是整个函数的最大值吗？你随便代入一个数，要么等于我的最大值，要么小于我的最大值，小于等于完全正确，所以三呢是对的。好，接下来我们再来看第四个，他说对于 a 的 每一个确定值啊，就是 a， 你 可以取正的负的啊，当你 a 确定之后呢？ 如果这个一二次方程，哎，此时不等于零，等于屁了。我告诉你，屁是个常数，但是屁大于零啊，像这个方程，我要要求你的根是整数， 那像这样的屁的值只有两个，我们看到脑袋都大了，对吧？哎，什么一个两个，我都不知道怎么去确定它。好，其实我跟大家说一下啊， 我们在迭问里面，大家都应该有这种思维，在我们遇到整个抛线的题型的时候，如果题干中出现了方程，那么往往就是怎么样呢？哎， 涉及到求焦点，你一般函数求焦点，他就会构造方程吗？其实这里也不例外，你看在整个函数的题型中，如果出现了方程，那这个方程是怎么得到的呢？举个例子，你看左边 a x 方加 b x 加 c， 这个不就是一个二次函数吗？没问题吧？ 那二三十五如何等于一个具体的数呢？我举个例子，比方说，呐，这是个抛物线好不好？这是 y 等于 a x 方加上 b x 加上 c， 对 吧？ 好，现在有这么一条线哎，这条线是 y 等于二，这是一条水平线，上面所有点的纵坐标呢，都等于二。现在我让你求这两个焦点，求这两个焦点怎么求？一样的吧，这两个焦点横坐标是几呢？我不知道，但我知道纵坐标一定是。 横坐标是几呢？我不知道，但我知道纵坐标一定是二，对吧？好，那现在问题来了，我已经知道抛物线上两个点，他的纵坐标呢？是二，我已知纵坐标，如何求横坐标？ 把重坐标等于二把它带进去嘛，对吧？所以你会发现，喏，那此时你可以得到 a x 方加上 b x 加上 c 等于几等于重坐标，这个二有没有问题？所以其实你有发现，如果左边是二三数，右边是一个固定的数， 其实就是求二三数和一条水平线的交点一样的。那如果我这个是五呢？那你这个不就变成五吗？这个不就变成五吗？对吧？ 你这不也变成五吗？这不也变成五吗？所以一看就知道是一个二三数和一条水平线 y 等于五产生交点，对吧？ 现在你这个屁指的是什么？那很明显，那么这个就不是五了，而是怎么样，而是屁嘛，对吧？一样的，这里所有的数字都换成屁，都换成屁，都换成屁是不可以了，所以它表示的是什么？它表示的就是一个二三数，我们重新画一下好不好？ 他指的就是一个二三数，干嘛呢？和我们水平线 y 等于 p， 二者的交点，我要求交点，怎么求呢？构造这个方程，所以你这个方程的解就是我们这个焦点的横坐标，对吧？好，你看看这个题，说我方程的解根是整数， 所以我只要保证整个图形相交之后，这个焦点，这个焦点是整数，不就可以了吗？好，那问题来了，我如何保证这些焦点是整数？这个该怎么处理呢？大家不要忘了， 我们整个抛物线，它与 x 轴，它与 x 轴，对吧？焦点是二零和负四零，就这个呢？是横坐标负四零，那这个呢？是怎么样呢？是二零。我突然想起一个问题，我前面是不是画了一个抛物线，我的左边是二，右边是负四， 哎，我去求对中轴，对吧？哈哈，这让人怪不好意思的同学们，哈哈，这其实什么都没有发生，对吧？看这里啊。嗯，对，就是这样的。嗯，好， 那接下来你会发现呢？呃，也就是你会发现，如果我这个直线，对吧？如果我这个直线，直线与抛线，它会产生交点，一个横坐标负四，一个横坐标二。那你想我再往上移，那这里面会产生什么呢？举个例子，我们会产生什么呢？ 我横坐标是负三，我横坐标这个解，因为你要知道整个对称轴是负一嘛，对吧？你这个往右边去了一个单位，这个就怎么样呢？哎，就是一了，能不能理解 这两个相加除以二等于整个对称轴负一嘛？好，所以你会发现，哦，那这个屁要求出来吗？其实不需要，对吧？哎，我 y 等于屁，在这里面，你只要知道屁可以取到一个数就可以了。 好，你屁在这里，比方就在这里，你这是不可以负二呀，你这是不可以等于零啊？负二和零这两个交点是不也是 整数？那你整个方程的根不也是整数吗？你再往上行不行？比方我再往上，再往上，你这个负二，再大一个单位负一，零呢？再小一个单位负一。哦，这两个一样， 这两个一样意味着什么？就意味着啊，你的屁在尖尖的，在这里，理解了没有，对吧？我们知道整个顶点的横坐标是负一吗？所以说整个直线呢，经过抛线的顶点啊，产生焦点，这个焦点横坐标负一。 那有时候练了这个不行吧。为啥不行？这个题有没有说这个方程一定得两个不相等实数根，你只要解出来根是整数，我只要相交交点横坐标是整数就可以了。所有几个有这样的一条线，看到没有？哎，我们交点是负三一。 好，所以你这个方程的解呢，就是负三一，还有这样的一条直线，对吧？哎，焦点横坐标负二零，所以我们知道怎么样呢？我们这个根呢，就是负二零，还有这样的第三条直线，喏， 嗯，此时你会发现我们焦点的横坐标呢？负一，所以你这个方程的根怎么描述呢？它是 x 一 等于 x 二等于几等于负一，对吧？是不是也是整数？ 所以这里有几条？一条、两条、三条。所以你对应的屁应该有一个、两个，三个不同的屁，对吧？你的屁值怎么只有两个呢？不对，所以整个题目正确的就是一三，也就是有两个了，搞定。 那像我们以前二次函数的应用呢，特别喜欢考我们利润呢，成本呀，它的最值问题。但是我们近几年像这种 诡计类的应用题越来越多了，我们把这个题放大，大概长这个样子。那接下来呢，我们就把这里面的很多话把它清掉，比方说，哎，是一座彩虹门的喷船啊，对吧？ 啊，各安装一个喷船就叽里呱啦。为了避免游客被淋湿，设计团队我们把整个题目呢稍微精简一下，它就大概长这个样子。所以你会发现很多难度的假象呢，都是命题人造成的。那我告诉你，如图是一座彩虹门 喷泉景观啊，就是喷出来，对吧？可能用这个光在上面一打，形成一个这个水形的彩虹。嗯，好，然后圈起来收费。喷泉场地宽度呢？ ab 等于十六米。呃，就什么意思？整个 ab 是 十六的 啊，就是这段长度，对吧？好，现在 a m 等于 b n 等于零点八米，就是 a m 这个高跟 b n 这个高，对吧？它分别是零点八， 其实就是这一条红边，能看到吗？跟这条红边，它的高度呢？都是零点八。哦，零点八对吧？嗯，比较短。 好，当然我告诉你啊， a m 垂直 ab， 它是垂直底边的，同样 b n 也是垂直 ab 怎么样呢？它也是垂直底边的。嗯， 好，现在这个抛物线的顶点 c 到地面的距离是四点八米， o 就 它是个抛物线，因为 m 点和 n 点它的纵坐标，纵坐标是完全一样的， 抛物线上的两个点，如果纵坐标一样，那么这两个点一定关于抛物线的对称轴对称，因为整个 a b 等于十六，所以我们知道 c 的 横坐标呢，一定就是八。 那纵坐标呢？因为你到地面的距离是四点八，所以我们知道 c 的 纵坐标呢，也就是四点八。好，接下来第一个让我们求这个抛线的表达式，这个太简单，因为我知道顶点我肯定这么设，对吧？也就 y 等于 a 倍的 x 减八的平方，加上四点八。那接下来你随便带入一个数呢？ 比方说，我们肯定带这个嘛，你这个 m 点横坐标是零，纵坐标呢？零点八对不对？把这个点带进去， 横坐标是零啊，零减八，负八也是六十四倍的 a 加上四点八，等于几？等于零点八，对吧？哦，等于零点八，所以我们知道六十四。 a 呢，等于负四，所以 a 等于几？ a 等于负的 十六分之一。其实我们把 a 求出来，你整个抛线表达式我们就搞定了。嗯，也就是 y 等于负的十六分之一倍的 x 减八的平方，再加上什么呢？加上四点八。 好，接下来第二个，在 a b 上安装六个挡雨伞啊，一二三四五六，干嘛呢？就有人在下面看，那万一这个水溅到身上，那填感就不好了。 伞的顶端离地面的距离是三米啊，就每个伞的顶端对吧？到地面距离就整个高度呢，哎，一致都是三米，并且雨伞的间距相等啊，就每个雨伞呢，你们之间的距离都相等啊，要保证美观了啊。如果最外侧 最外侧两个挡雨伞顶端与水柱间的数值高度是零点三六，最外侧就是这两个伞，对吧？它的顶端 到水柱。水柱是什么？你水柱是怎么样？抛线型的吗？啊？就是到你这个水柱的距离多少？就这个数值高度多少？零点三六啊，就这一段是零点三六，对吧？零点三六。那其实我们知道，因为你整个整个伞的高度级呢？整个伞的高度是 三，对吧？所以你会发现其实这个点他的纵坐标知不知道你伞高是六？你这个伞的顶端到这个抛线的这个数值高度零点三六，所以我们知道这个点的横坐标不知道纵坐标呢？三点三六的是不是一样的？你这个点对吧？ 你的横坐标不知道纵坐标是不是也是三点三六呀？嗯，好，问题来了，那现在让我们求相邻两个挡雨伞的间距，求什么呢？也就是求我们，哎哎哎，对吧？他们之间的距离好怎么处理呢？其实你会发现，我知道纵坐标可不可以求横坐标？一定可以。 那我们整个抛线表达式知道了，负十六分之一倍的 x 减八的平方加上四点八等于多少？等于你的纵坐标三点三六，对吧？三点三六，所以也就是接下来它等于什么呢？嗯， 负的十六分之一 x 减八的平方等于挪过来负的一点。 你这么麻烦我们移过去啊，一点四四，对吧？那最终也就是你发现左右两边同时乘以十六吧，左边乘以十六呢？ x 减八的平方，对吧？右边这个东西乘以十六，这怎么弄 啊？乘以负十六，对吧？其实我一般我跟大家说下，如果是我，我会怎么算啊？呃，我，我一般会口算，怎么弄的？ 就是你把这个负的一点四四，你要知道一点四四是什么？哎，我把我平常这个口算的小技巧跟你们剧透一下，就是你要知道一点四四它是等于多少呢？它是等于一点二的平方，这个大家知道吧？一点二就是怎么样？一点二就是五分之六，对吧？所以你平方一下呢？也就是怎么样呢？ 二十五分之三十六，没有问题吧？所以你要知道这个玩意呢，它等于二十五分之三十六，你看看你自己想想一点二的平方，五分之六的平方，脑里面能不能算出来，我觉得没有问题吧，所以也就是它等于二十五分之三十六，你乘以什么呢？左边乘以负十六，右边乘以负十六， 你乘完之后不就符号这个变成正的吗？所以乘以十六，你不要算出来啊。为什么不要算出来呢？此时我们知道 x 减八等于多少，我把它清掉，你的平方等于这么多，那 x 减八等于多少呢？注意啊，正负 分母是二十五，嗯，谁的平方等于二十五呢？五吧，那剩下的谁的平方等于三十六六吧？谁的平方等于十六呢？ 四吧，所以也是等于多少？正负五分之二十四，那最终我们可以求出来 x 一 呢等于多少？五分之十六。那么 x 二等于多少呢？五分之六十四啊，就是我们知道一个横坐标呢？ 五分之六，对吧？一个横坐标呢？五分之六十四，那你会发现那整个的跨度，我们知不知道用你的横坐标减去他的横坐标嘛，所以也就接下来我们把它清掉了， 那你的横坐标减他的横坐标，用五分之六十四减去五分之十六，你换等于多少？等于五分之四十八，对吧？啊？这有几个距离？六八三一二三四五五个距离嘛，所以用它除以五就可以了啊。所以等于多少？ 我都不想写了，我都想直接写我们最终答案，二十五分之四十八，这个就是每两个相邻等于三的距离。搞定 好，接下来来到我们的压住部分。首先我们来讲二次函数含参零减值问题。哎呀，什么叫参数呀？啊的天，我举个例子啊，比方说 x 加上一等于八，你能不能求出这个方程？一定给求出来，对吧？一种 x 等于七，对不对？好，现在如果把其中某个数字变一下，比方我把这个八呢？变成小 m， 好， 那我想问一下， 你还能求出我们这个 x 等于具体的哪个数字吗？你求不出来了，对吧？所以像这种阻碍我们解方程的这种字母呢，我们就把它叫做参数。嗯， 那最终这个，我们把这个方程叫含参方程，那最终呢？我们算出了 x 等于 m 减一，你可以用参数也用字母来表示我们最终的解。那什么叫含参的函数呢？举个例子，比如 y 等于二， x 加上三，这个一次函数呢？ 它与 x 轴交点，它的草图你可以完整的画出来，对吧？但如果把后面这个三变一下，比方说加上什么呢？加上小 a， 请问那这个 e 函数，它与 x 轴、 y 轴的具体交点，你还求得出来吗？ 扯不出来了，对吧？你阻碍我去画整个一次函数的草图，你阻碍我去研究整个一次函数的怎么样呢？具体的性质，求焦点等等，像这种，我们就把它叫做参数，明白了吧？那对于参数呢，不管是方程呀，还是函数呀，在整个初中阶段，你都把它当做一个 数字来对待，只不过这个数字呢，你暂时不知道，那这里面的参数是谁呢？很明显就是我们的字母 a 了，对吧？ 那字母 a 一 旦知道整个抛线与 x 轴的交点， y 轴的交点对准轴位啊，对吧？我们都能求出来，那么这个呢，就属于含餐的二次函数，它所带来了一系列问题呢，我们就把它叫做二次函数的含餐问题，那么其中一种呢，就是我们要今天所讲到的零界值问题。 好，当 a 等于一的时候呢，求这个二三角图像的顶点坐标，这是不是太简单了？你比如把一带进去，所以整个抛物线 y 等于 x 方加上三， x 加上二，对吧？那最终我们可以把它配方下，也就是 x 加上二分之三的平方四分之九减四分之一， 那所以我们知道它的顶点呢？很明显，也就是负二分之三，负四分之一。搞定好，接下来我们看第二个，你不要看它很长，其实超简单啊，是否存在实数 a， 使得对于任意的实数 t， 你 看又来一个参数 t， 对 吧？ 当 x 取二加 t 和二减 t 的 时候呢？它对应的函数值始终相等，有吗？如果有，求出 a 的 值，如果没有，请说明理由。我如何保证我的函数值始终相等的？我问大家个问题啊，其实这个题说白了，考察我们的对称性， 你想想，给出一个抛物线啊，我首先想问大家问题，如果做一条水平线，他与这个水平线横坐标，哎，这个焦点呢，一个是三， 一个是七，大家能告诉我对中轴是几？画一条水平线交的横坐标三七，你把这两个交点横坐标相加除以二吗？对吧？所以也是对中轴一定是五，没问题吧？ 相加除以二啊。好，再画这个抛物线的草图。我告诉你，二加 t 和二减 t， 他 所对应的函数值相等，函数值相等，那就表明他们的纵坐标一样，就是二加 t 的 时候呢。哎，你的纵坐标在这里， 二减 t 的 时候呢？你的纵坐标也在这里，好不好？因为这两个点的纵坐标是一样的嘛，所以你因此二者的连线一定是水平的吧。水平意味着什么？就意味着这两个点一定关于我们的对称轴对称，对吧？你一个横坐标是二加 t， 另外横坐标呢？二减 t， 哦，我们知道。那这个对称轴怎么表示呢？把这两个点的横坐标相加除以二，你和我相加 t 抵消了吗？二加二等于四，所以我们知道，也就是我只要对称轴等于二就可以了。好，那问题来了，也就是我要使得整个抛线的对称轴等于二，它就成立了。那对称轴呢？我们知道，对称轴等于 x 等于负的二 a 分 之 b， 那 么等于几呢？ 负的二 a 呢？那就是二 a， 对 吧？嗯， b 等于多少？ b 就 等于二 a 加一了哦，也就是二 a 加上一，那么等于几呢？等于二哦，等于二。好，接下来我们左右两边同时乘以负二 a， 左边乘以负二 a 呢？剩下分子二 a 加一，右边乘以负二 a 呢，也就是负四 a， 所以 我们可以求出来，六 a 等于负的六分之一。 搞定好，接下来我们看第三问，也就是最难的一问，当 x 在 一到二之间的时候， y 大 于 x， 这个结论呢？始终成立，让我们求 a 的 取值范围， 只要是含有参数，并且让我们求参数取值范围的，它都是考我们临界值的问题，在这里我们需要数形结合，那什么意思呢？比方说，我们首先看这个 y 大 于 x， 始终成立， 进去随便取一个点，我的纵坐标一定要比横坐标更大，对吧？那如果我们取一个点，横坐标是 x， 那 纵坐标呢？把这个 s 带到整个抛物线里面，我们可以得到纵坐标是 a x 方加上二， a 加一倍的 x， 再加上二。 好，我们知道这个纵坐标呢，要永远大于我。对，你的横坐标也是，我只要大于 x 就 可以了，说白了也是我只要使的这个不等式始终成立就可以了。好，那接下来我们把这个不等式呢 稍微的化解一下，也就 a x 方，我们加上二， a x 加上 x， 我 们再加上二，我要大于 x， 对 吧？ 那你会发现，喏，这两个它可以抵消掉，是吧？也是最终我只要使的 a x 方加上二， a x 加上二大于零就可以了，也就什么， 也就是当一小于 x 小 于二的数，这个不等式它是始终成立的，对吧？啊，在这种情况下，我们求 a 的 趋势范围，那可是问题来了，那这个不等式如何始终成立呢？其实你会发现，你只要遇到像这种类似的形式，你都可以把它当做二次函数的表达式， 它不就是 y 等于 a， x 方加二， a x 加上二，一个抛线的表达式吗？也就是对于这个二次函数，它在一到二这个范围里面，我的纵坐标永远是大于零的，就可以了。 当问题来了，那整个抛物线它的开口朝上还是朝下，你知不知道？你不知道，但我们可以推出来，你会发现前面是 a， 这里是二 a， 也就是我们知道整个抛物线它的对称轴是几呢？哎，我的对称轴一定等于负的二 a 分 之 b， 也就是等于负的二 a 呢，它就是二 a， 对 吧？ 它的 b 呢，也是二 a， 对 不对？所以我们求它整个抛线的对中轴呢，一定是负一，好，那么接下来我们开始分类讨论啊。第一种情况，我们考虑 a 大 于零，也就是开口向上，你要在这个范围里面，函数值永远大于零，那我首先把这个范围在我们整个竖轴上画出来，这个呢，是一，这个是二，好不好？ 一到这个范围，函数值大于零，你的对等轴是负一，也就是对正轴大概在这个位置，对吧？哎，负一，好，现在呢，你要知道，我们把这个 x 等于负一，这个线画出来，你这开口向上的对应轴负一，所以你把你整个抛线呢，你可以长这个样子，对吧？哎，行不行？ 那此时你会发现，一和二所对应函数值大概是这一段， 那他是不是永远是大于零的？没有问题，所以他是满足题的。好，那么接下来如果我把整个抛线变得越来越宽呢？比方说晋国赋一，我整个抛线可以长这个样子呀，对吧？满不满足题也可以长这个样子，对吧？ 满不满足题还满足？如果我整个开口箱上我变得更宽一些呢？此时你会发现喏，他还满足题吗？你会发现一到二这一段范围里面就是塌了，对吧？那么此时这一段 我的纵坐标永远大于零吗？就不是的。所以也就是如果窄的话，满足宽宽宽宽宽，它会逐渐的不满足。那请问什么时候会出现我们的 临界情况呢？也就是你整个图像刚好经过我们横坐标一零的时候，对吧？哎，经过我们这个点的时候，此时出现临界情况， 你整个抛物线在蓝色里面呢，可以，在蓝色的外面呢，它就变得不可以了。如果你比外面这个更宽，那就更不可以，它就大概长这个样子了，对吧？ 甚至呢，它会把整个二给包进去，是不是它就更不符合提议了？那问题来，我如何去求 a 的 取值范围呢？有两种方法。第一个就是你直接划入我们刚才的临界情况，也就是经过一零的时候，整个抛物线，你把一零直接带进去， 抛物线的 a 一定可以求出来，知道 a 我 们就可以斜取出方位了。还有另外一种怎么样呢？你想想，我如何保证我的纵坐标永远大于零呢？其实很简单，我只要像这个样子不就可以了吗？对吧？也如我这个直线呢， 你不能从一二之间穿过，你也不能从二旁边呢穿过，你只能在一的左边，怎么样呢？你这是一个地面嘛，你能在一的左边，你只要在一的左边这个地面穿过去就可以了，对吧？我如果在一的左边这个穿过去呢，其实很简单， 你只要保证一所对应的函数值怎么样呢？是大于零的，是不就可以了？那么此时你会发现呢？哎，我们在一到二这个范围里面，他永远总坐标呢？哎，是大于零的，所以你只要把一带进去，是不是？把一带进去， 我们可以得到什么？横坐标是一，那么你就是 a， 加上横坐标是一，那么你就可以得到怎么样呢？二， a， 对 吧？再加上二，干嘛一带进去？哎，你可以在一的左边穿过去，在一的右边穿过去。不行，哎，我想问一下，如果我们整个抛线告从一上面穿过去呢？ 从这里穿过去，请问符不符合 t 呢？就是一代数，如果等于零的话，那你会发现，喏，一到二之间是不是这一部分呀？这一部分我是不是注意啊，一到二我是取不到一，我取不到二，对吧？也就是喏，这个空心圈，这个空心圈在两个空心圈之间，我的纵坐标是不是永远大于零？是的， 一的纵坐标等于零，但是我这一段我取不到一嘛，所以我的纵坐标永远是正的，符合吗？符合，也就是经过一零的时候也可以，因此我是大于等于零了，对吧？一所对应的函数值可以是正的， 一所对应的函数值可以等于零，所以呢，我们最终求出来三， a 大 于等于负，二，也就 a 呢，大于等于负的三分之二，难道在这种情况下，我们 a 的 取的范围就是它吗？不是，为什么呢？因为我们有个前提条件， a 大 于零， 你在 a 大 于零的时候，你求出来这个取值范围，对吧？你把这两个结合起来，同大，你取大嘛？所以也就是在我们第一种情况下，我们求出来 a 的 取值范围呢？ o 是 a 大 于零的。好，那么接下来我们再来考虑第二种情况也是怎么样呢？ a 小 于零， 那 a 小 零呢？一样的，你在一到二这个范围里面还怎么样啊？你整个所有的函数值你都得是正的，对吧？而且我们知道对正轴呢，它是固定的负一，好，我们把整个对正轴把它画出来， 也就经过这条直线，并且在一二这一段里面，我的纵坐标永远大于零，你想想我能像这样画吗？这样画你一二一定取到下面的，对吧？那我也就是我需要怎么样？我需要你窄一点行不行？你要是变窄一点， 那更不行了，对吧？那一二取到更下面了，所以你整个抛线要变宽，你宽成这样的，哎，不行，你宽成这样的， 哎，你发现一到二之间，他只有一部分，对吧？他就这一部分是正的，所以你要继续宽，宽到什么程度，你会发现你宽到，哎，经过二的时候是不可以了，你在一二之间不行吗？在二的时候就可以了，你会发现一到二之间，你就是哪一段，就是这一段，对吧？他是不是永远怎么样呢？ 哎，大于零的对不对？好一样的，有量量，那二的时候不是等于零吗？注意啊，这个 x 他 取不到一，也取不到二，所以你这一段呢？他这两个端点永远是空心圈，永远是空心圈。理解。没有， 我取不到端点，在这两个空心圈之间，你会发现 y 永远大于零。那如果再宽一点，宽成什么样？我宽成这个样子行不行？那更行了，对吧？因为一二呢？哎，他们每一段对应的全都是 y 大 于零的， 也就怎么样。哎，我们的临界情况是什么呢？临界情况就是你窄了，不行，你得宽，对吧？最起码得宽到什么程度？最起码得宽到经过二零的时候 才可以。那问题呢，我怎么去求这个 a 对 应的曲值范围呢？有两种，第一个就是你把整个抛线呢，令它经过二零，也就是把二零呢直接带进去，你可以求出 a， 进而推出它的曲值范围。第二种，干嘛？ 就是你直接去用我们的代数来表示，你想想我如何经过二零，或者把这个二零把它给包进去呢？就像我们刚才所说的，对吧？你像这样的在一到二之间是不行的， 对吧？你经过二零呢？可以吧？因为你会发现一这一段空心圈，二这个空圈中间呢，的确总数比较大一点，或者你把这个二把它给包进去，是不也可以，对吧？那你会发现一二之间呢？ 哎，我这个图像有点夸张，对吧？也是满足的。那我直接画一个草图来辅助大家理解，比方大概长这个样子， 也就是你只要使得二所对应的函数值大于等于零就可以了。当二所对应函数值等于零，我就是经过二的，可以，对吧？当二所对应函数值大于零，那我一定是怎么样呢？在二的右边钻下去的，对不对？所以说，你只要把二 带进去，使得我对应的函数值这个点呢，大于等于零就可以了。好，二带进我们可以得到什么呢？把它带到这里面去，也就是四 a 加上把二带到这里面去，依然是四 a 再加上二，我怎么样？我大于等于零就行了。 好，所以我们求出来也就是怎么样八、 a 大 于等于负二也是怎么样？ a 大 于等于负的四分之一，难道我们求出来 a 就 等于这么多吗？不是的，因为我们是在 a 小 于零的前提下求出来的，所以我们最终取之范围呢，就是 负四分之一小于等于 a 小 于零。好，这是我们求的第二个方位，所以你可以这么说， a 大 于零，或者呢，负四分之一小于等于 a 小 于零。当然了，你会发现这两个方位你可以稍微合并一下，比方说，我可以把它写成 a 大 于等于负四分之一，且 a 不 等于零，这两个范围其实指的是同一个范围。好，那么接下来我们来搞定二次函数含餐的区间最值问题，以及二次函数含餐的定结论的问题，也如我们预期了，那我们首先来看前两位，他不需要图，所以我把这个图呢给去掉了。 那么首先给出一个抛物线，它与 x 轴只有一个交点，怎么样呢？二零与 y 轴交于点零二。其实这个题特别有意思，因为你不需要这个点的坐标，你单凭这一个条件，你就可以求出抛物线的表达式，但你给到了，那我就直接写了好不好？ 因为你告诉我交点是二零，所以也就是 y 等于，我口算一下，二分之一 x 方负二， a 分 之 b， 也就是减二， x 与 y 轴交于零二，对吧？加二就可以了。好，第一问我们就直接快速过了。好，接下来第二问，也就是当 x 在 这个取值范围里面， y 的 最大，这个最小值的差十二，那让我们求 m 的 值该怎么办呢？他给出了某一个范围，也就是在某一个区间里面涉及到我们的最值问题，像这种问题，咱们就把它叫做区间最值问题。对于所有的区间最值问题，我们只需要做一件事，也就是开火车就可以了。比方说呢， 我们整个抛物线的最值跟什么有关？只有两个东西，第一个开口方向，第二个对正轴，然后这里面开口方向向上，对吧？哎，我们知道整个抛物线开口向上，那这个对称轴可以求出来吗？啊？大家口算一下，对称轴呢，我们知道负的二十一分之一，也就对正轴是几， 哎，对正轴我们知道等于二，对吧？我们把整个抛线的轨迹呢，当做过山车的轨道，你把这段曲直范围呢，当做我们的过山车，我们分四种情况，第一种情况，当你这个曲直范围完全在对正轴的左边，比方说呢，就像这样的一段，对吧？哎，曲直范围在这里， 你会发现这个呢就是小 m， 这个呢就是 m 加一，那么此时我们整个方位里面它的最大，这个最小值呢？很明显在这取的最大值，在这取的最小值，对吧？好，一样的，我们这个过山车呢，接着往前走走走。第二种情况，它就会刚经过对正轴， 好，这是我们第二种情况，对吧？刚经过对称轴，你这个横坐标小 m， 这个横坐标呢？ m 加一。好，此时你会发现，在哪取得最大值？在这取得最大值，在哪取得最小值呢？千万不要觉得在这啊， 它经过了抛物线的顶点，所以在顶点处取得最小值。好，第三种情况就是我即将离开对称轴，就大概像这个样子，哎，我这个过山车呢？ 我这个火车呢，马上离开对正轴了。你这个顶点横坐标小 m， 这个顶点横坐标 m 加一，所以你看在哪取的最大值？在这取的最大值，反过来呢？在这，哎，不对，在这，对吧？在顶点这里取的最小值。好，最后一种情况， 我们怎么样？我们已经脱离对正轴了，就跑到完全跑在对正轴的右边了，对吧？这个呢，就是小 m， 这个呢，就是 m 加上 e， 所以 很明显，在这取的最大值在哪？在这取的最小值，所有的区间最值。问题，你只要分这么四种情况讨论，百分百可以全部都搞定，甚至你会发现 有些特殊类的区间最值，你只需要分三种甚至两种情况就可以搞定了。我们知道整个抛物线的开口向上也就大概长这个样子，那对准轴，我们求出整个抛物线对准轴，也就是 x 等于二。好，接下来我们来求第一种， 那你想想最大值和最小值，它的差是二吗？我们把 m 带进去，我们可以得到它的最大值二分之 m 方减二， m 加上二。好，然后我们再减去什么呢？ m 加一，它对应的是最小值，你说减去怎么样呢？哎，我们二分之一 把 m 加一带到 x 里面去。哎，我们可以得到这么多，对吧？我们知道最大值和最小值的差呢？等于二，也就是令他等于二就可以了。那么最终我们求出 m 呢？等于负二分之一，那这个负二分之一可不可以呢？你不要觉得求出来我们就直接拿走。不是的，你需要验证， 也是，当 m 等于负二分之一的时候，你整个的过山车是不是完全在对称轴的左边？你需要验证负二分之一，那你这个呢？就是负的二分之一，对吧？ 负二分之一加一呢，也是等于二分之一，那我想问一下，负二分之一到二分之一这个范围，它是不是完全在对称轴 x 等于二的左边完全符合？因此呢？哎，这个 m 求出来是 可以的。好，我们把 m 呢放在这里，接下来我们考虑第二种情况，我们知道整个对中轴呢，依然是 x 等于二，我把它写在下面啊，你是最大值，所以把 m 带进去，也就是二分之一 m 的 平方减二， m 加上二，对吧？最大值我减去谁呢？减去最小值， 最小值在顶点这里取到吗？那顶点的横坐标呢？是二，所以把二带进去，对吧？哎，等于几呢？把二带进去，呃，这个就是我们求出来 二减四加二，哎，你有发现整个纵坐标就是零，对吧？哎，所以我们知道它等于多少，它等于二，那最终我们求出来呢？ m 一 等于零， m 二呢？等于四， 那这两个 m 是 不都可以呢？还是说需要舍掉一个一样的，我们需要验证，当 m 等于零或者 m 等于四的时候，你整个取值范围是不是刚经过对正轴的时候，你整个取值是不是在顶点这里取？比方说当 m 等于零呢？你把零带进去，你是零吗？ 你这个是几？你这一对吧？我想问一下，零到一，他会穿过我们的对中轴二吗？ 你这个在对中轴的左边没有问题，一，他怎么可能跑到对中轴的右边呢？所以行不行？那不行，对吧？哎，是不可以的。那四行不行呢？如果 m 等于四，你会发现，那你这个就是四了， 你这个 m 加一呢，就等于五，你想想，五在二的右边可以，四在二的左边，怎么可能，对吧？如果 m 等于四，我就是四到五之间的，我就应该完全在对称轴的右边吧， 对吧？那我的最大最小值的取法跟这个图就完全不一样了，所以你可反，他也不可以，也就这种情况下呢，他是不成立的。 没有答案的。好，接下来我们再来考虑第三种情况。嗯，一样的啊，我们知道在 m 加一这里取的最大值，把 m 加一带进去，也就是二分之一倍的 m 加上一的平方，减去二倍的 m 加一， 对吧，我们再加上，我们减去最小值呢？在顶点这里取到，也就是把二带进去，当横坐标是二的时候，你带进，我们刚才算出来是零的啊。最大值减最小值，我们求出来等于几呢？喏，告诉你，差是二， 那么最终我们求出来呢？ m 一 等于负一， m 二等于三，一样的，我们需要验证这两个 m 可不可以。当 m 等于负一的时候，你把负一带进去，你这个就是负一嘛。把负一带进去，这个是零，你觉得可能吗？ 负一到零这个范围会不会经过的对称轴？零，他根本就不在二的右边，对吧？所以不符合 t。 好， 那如果 m 等于三呢？如果 m 等于三，那么你这个东西呢？它就会变成三，你这个东西就会变成四，对吧？ 那三可不可能在二的左边，如果我是三到四的这个范围，我会不会经过对称轴？不会，我会跑到这边去，对吧？所以你发现跟这个图形呢， 展示的它是相矛盾的，所以你发现它呢，也不存在 m， 那 么接下来就只剩下我们最后种情况了。一样的，我们知道对称轴呢？哎，是 x 等于二， 最大值是 m 加一，所以把 m 加一呢带进去，也就是我们二分之一的 m 加上一的平方，减去二倍的 m 加一，对吧？我们加上二，我减去什么呢？最小值是 m 所对应的函数值，那你把这个 m 呢，我们把它给带进去， 也就减去二分之一 m 的 平方减二 m 怎么样？加上二，我们知道他们的最大值减最小值等于几？等于二，所以因此呢，等于二。好，我们最终求出符合条件的 m 等于几。 m 等于二分之七， 那我们验证一下， m 等于二分之七，你整个图像长得是不是这个样子呢？ m 等于二分之七，就是你这个呢，是二分之七，对吧？你这个呢，等于二分之九啊， 三点五到四点五之间，它是不是在对准轴二的右边呢？哎，是的，完全符合，所以我们最终 m 有 两个，一个就是前面求的负二分之一，一个呢就是我们刚求的二分之七。搞定好，接下来我们看第三问。 好，现在告诉你，抛线的对正轴上有一个点屁二，二分之一，我们知道整个抛线的对正轴，我们第二位已经求出来，也是 x 等于二，对吧？好，上面有个屁点，屁点大概在哪？哎，比方说差不多在这个位置吧，可以吗？哎，放个红色的屁， 哎，臭子。那听半天不关注我的各位同学们好像这个样子。好，那接下来你会发现过点 n 的 直线， n 点在哪？ n 点在这，他是什么点？哦？他以 y 轴交于 n 点，零二抛线以外轴的交点就这个点的坐标是固定的，他多少呢？他是零 二，对吧？好，我们继续往后了，过这个零二呢，发现一条线，哎，如果你这个直线外的 k x 加与抛线只有一个交点，哎，不能没有，不能两个，只能一个。好，让我们证明这条直线平分什么？平分角？ o n p o n p 就 平分这个角，对吧？我把 n p 连接起来，就说白了，干嘛让我们求证这个角等于这个角，对不对？那你说这个咋证呀？其实首先我们知道啊，因为你这条直线干嘛呢？你这条直线是经过 n 点，经过零二的，对吧？哎，你经过零 二这个点，所以你整个直线相对于 k x 加上二，也就怎么样呢？我们这条直线 跟我们这个抛线，它只有一个焦点，那怎么去求焦点？很明显，我把这个抛线拿出来，也就二分之一 x 平方减二， x 加上二，我等于什么呢？ 等于你这个已知数，对吧？表达是 k x 加上二，我把这个 k x 移过来，也就是二分之一 x 的 平方减去二加 k 倍的 x 等于。那你想想， 我们整个直线和抛线干嘛呢？他只有一个焦点，那么也就意味着整个方程里求出来只能有一个数，对吧？哎，你不能有两个，不然就两个焦点。那如果只有一个数呢？很明显 d r t 等于零嘛， 也就是我们的 d r 等于 b 方， b 方不就是你的平方吗？你的平方前面带负号，负号要不要管？因为你前面带负号，负号也得平方嘛，是吧？所以最终 b 方应该等于我们这个也就二加 k 的 平方减去四倍的 a 是 多少呢？我不管为什么，因为 c 等于几， 这里有没有 c， 没 c， 没 c， 它是 c 为零，懂了没有？懂了吧， a 和 c 的 乘积，它就是零嘛？啊？就是减去四乘以 a 二分之一， c 呢？零，其实你会发现，这个东西是不是就直接消失了呀？就像那没减，对吧？我直接去掉好不好？ 哎，所以 b 方减 c， c 就 等于这么多，它等于几？它等于零。哎，你等于零， k 能等于几啊？所以你往 k 里面求出来，我就懒得写什么 k 一 等于 k 二等于巴拉巴拉的，对吧？我们觉得 k 它就等于负二， 明白没有？所以也就是你整个直线就是 y 等于负二， x 加上二的理解没有？整个直线的表达是知道了， o 点固定， n 点固定， p 点也固定。那接下来我们求证角平分线是不是要简单一点？那可是问题来了，哎，这个咋求呢？比方说这个是多少？这个是 y 等于负二， x 加上二，对吧？其实你会发现，那我想问一下啊，你平分 o n p o n p， 也就说白了，我们这个红角一定等于这个红角，对吧？没有问题吧？两个红角相等， 但你要知道我们有对称轴，它是平行外周的两只线皮，内错角是不是相等，也说你这个角它是不是又等于这个角呀？对吧？这两个角相等，能理解吗？啊？我标下你这个角呢， 哎，要等于这个角对吧？你这个角呢，还要等于它的内错角，还要等于这个角，其实本质上我们接下来只需要干嘛，我只要证明这两个角相等是不可以了，说白了也如我只要求证什么呢？求证 p n 一， 这怎么样呢？呃，这来一个焦点没有说，对吧？ 啊，就是 x 轴交点啊。那你这个，你差点忽悠我，那这个叫 q 点行不行，对吧？哎，我只要求证 p n q 它这个等腰三角形就可以了。说白了，我只要求证 p q 这个线段等于 n p 这个线段是不可以了。 那这个 p 点呢？坐标知道 n 点，坐标知道怎么求？你可以通过两点间的距离公式或者通过怎么样的？哎，勾股定律，我把它放在一个横平竖直的直角三角形中，行吧， 你的横坐标二，你的横坐标零，横坐标相差两个单位。纵坐标二，纵坐标二分之一，纵坐标相差怎么样呢？二分之三个单位，所以你发现你通过勾股定律，对吧？你可以求出 n p 等于几？等于二分之五，也就这条线段呢，是二分之五的，也是怎么样？二点五我写哪比较好？我写这吧。 哎，你这个线段二分组能看到。好，一样道理，你会发现，那现在我要求 p m p q 这个边怎么求 q 点？你可以把 q 点坐标求出来，咱们知道 q 点的横坐标已经是对称轴，对吧？横坐标是二，纵坐标呢？把二带进去， 哎，你会发现纵坐标是负二吧。好，接下来你会发现 p q 也是我们想要的。嗯 啊，你纵坐标二分之一，我的纵坐标负二，二者相减呢，你会发现我们这条线段我们算出来的长度呢，也等于二分之五，对吧？好，所以剩下你会发现，那这个边和这个边相呢？等腰三角形， 所以你这个角就等于我这个角，这个角等于他的内错角，因此你会发现，那这两个小角我们就正出相等了，因此角平分线推的完毕，搞定。 它的图呢，大概长这个样子。那我们首先来看一下它的前两小。问，那我们给出一个抛物线，你会发现这个抛物线呢？ a 已经知道了，但是 b 和 c 不知道有几个未知的字母，我们就需要几个坐标，那告诉你呢，经过 a 点，经过 b 点，那 a 点呢，也是这个点的坐标，它是负一零， 还经过 b 点，也就这个点坐标呢，三零。所以你只要把这两个点带到抛物线里面去，那么整个抛物线的表达式我们就会求出来，也是 y 等于负 x 方，加上二， x 加三，好，计算过程我就省略了。好，接下来我们再继续往后啊，好，与 y 轴交于 c 点，那整个抛物线表达式求出来，那其实 c 点坐标呢，也是我后面的 c， 对 吧？也就交零三的 好，现在点 d 和点 c。 关于抛物线的对称轴对称，其实整个抛物线的对称轴，我们也知道啊，整个抛物线的对称轴， 对吧？你可以把这两个点的横坐标呢，把三和这个负一相加除以二。所以我们求出对称轴呢，是 x 等于一， 或者你用这个负二分之 b 呢，也可以求出来，对，正轴呢，是 x 等于一。那既然对称的话，所以我们知道这个地点呢？哎，你到我们的对正轴一个单位，再走一个单位，所以是二纵坐标呢，一样的。嗯， 好，接下来第一问，让我们求直线 a d， 就是 这条直线。那你想想，我知道 a 点坐标，知道 d 点坐标，所以整个 e 函数呢，就是 y 等于 x 加上 e。 那 求解过程省略了，抛物线表达式呢？我们刚才也已经求出来。好，接下来我们看第二问 好，他说在整个直线 a、 d 的 上方有一点 f， 我 要在直线 a d 的 上方，要在整个抛物线上， 所以引入怎么样呢？我只要在这段曲线上怎么样呢？放给 f 就 可以了。那不管 f 在 哪，我永远过 f 点做垂线啊，过 f 点直接做一条垂线垂足呢，是 g 点。好，现在让我们求什么呢？求这条线段 f， g 也就是它的最大值。很多同学都会说，亮亮，哎呀，你这个这样这样的垂线段斜着的我没见过，但你要竖直的我就会了，对吧？但我告诉你啊，像这种垂线段和竖直的线段，它的处理方式是完全一样的，只不过呢，我们稍微做一个转化就可以了。比方说， 那首先我想问大家一个问题，你能告诉我这个角多少度吗？哎，就这个小角。其实我们知道 e 函数的 k， 你 的 k 是 一吗？ 只要一个一次函数，它的 k 是 一，那么它与 x 轴夹角一定四十五度。这个结论在我们中考里面可以直接使用。除此之外呢，你还可以求这条一次函数，它与 y 轴的交点，对吧？这个是不是零一啊？所以你会发现这个长度是 这个长度呢，也是一，对吧，所以它是个等腰直角三角形，所以这个角四十五度，因此这个角也是四十五度的。好，那么接下来我想过 f 点往下做一条铅垂线，也是平行于外周， 比方说呢，在这里没有屁，行，那我就在这里我放个屁了，这个焦点呢，就是屁点，对吧？一样的，你这个角四十五度，所以我这个小小小小的等腰直角三角形，因此我这个角跟这个角是不是都等于四十五度，对吧？你这个小小的尖尖角， 哎，跟我这个减减都等于四十五度，所以你会发现，我就是一个等腰直角三角形。等腰直角三角形。我的直角边和斜边什么关系呢？斜边是直角边的根号二倍，所以你整个 f g 一定等于什么呢？等于斜边除以根号，也就是二分之根号二倍的 f， 对 吧？所以接下来我只要求线段 f， 怎么求呢？这个太简单了， f 点，我们知道， 横坐标小 m 好 不好？纵坐标呢？把 m 带进去，也说 f 的 纵坐标是负 m 的 平方加上二 m 再加上三的，对吧？把它带进去， 好，那你这个 p 的 横坐标也是小 m， 纵坐标呢？把 m 带到一次函数里面去，它在一次函数上面吧，所以纵坐标是 m 加上一，因此最终你会发现，喏，我们只需要用二者的纵坐标做差，用你这个纵坐标，对吧？减去我这个纵坐标就可以了，所以也就是等于多少？ 等于二分之根号二倍的，你减去它，计算过程呢，我省略就是负 m 的 平方加上 m， 再怎么样，再加上二，对吧？好，那么整个函数的表达式，你会发现， 我最终结果不就是一个关于 m 的 二次函数吗？所以我们化解一下，等于负的二分之根号二，对吧？ m 的 平方加上二分之根号二倍的啊 m， 然后呢，我们再 加上根号二，那么最终配方的过程我就省略了，等于负二分之根号二倍的，嗯， m 减 m， 也就是 m 减去二分之一倍的 m， 平方四分之一，八分之一，也就是加上 八分之九倍的根号，所以我们知道，那当 m 等于二分之一的时候，我们能够取得最大值，那么整个 f g， 对 吧？线段的最大值呢？也就是我们这里的八分之九倍的根号搞定。 所以我们知道，当 m 等于二分之一的时候，此时我们整个线段 f g， 它的最大值呢，可以取到八分之九倍的根号。搞定。好，接下来我们看第三位，也就是存在性的问题，现在我告诉你， m 是 整个抛线的顶点， 那其实这个抛物线我们可以写出来，对吧？它等于负的 x 减一的平方，再加上四，所以我们知道顶点坐标呢，也就是一四。好，我们继续往后了。嗯， 屁点是外轴上一点啊，就屁点在整个外轴上动来动去，在哪呢？我不知道，比如我随便放一个点屁点在这，好， q 点是整个坐标平面那一点啊，可以在这在这，在这，任意位置都可以，对吧？好，现在以 a m p q 为顶点的四边形，它是一个以 a m 为边的矩形，说白了四个点围成一个长方形了。让我们求什么？求 q 点的坐标，求哪个点？ 求在整个平面内运动这个点的坐标。那该怎么处理呢？其实很多同学说的呢，什么矩形，菱形、正方形，那存在性问题，我觉得好难，对吧？我告诉你，越特殊的四边形，它越好处理。举个例子，比方说四个点， 他想围成一个长方形，哎，就大概长这个样。那请问如果我构成一个长方形，我随便取其中的三个点，他一定给围成什么？比方你取这三个点好不好？他能够围成什么东西？ 他一定围成一个直角三角形，对吧？同样的，那如果我取其他的三个点呢？比方我取这个三个点，他会围成什么？是不是也是直角三角形？又或者说我取什么呢？我取其他的，对吧？哎，我取这边的三个点，我取这边三个点，你会发现 no， 是 不是也可以形成一个直角三角形？所以你要注意啊， 矩形的存在性问题，永远把它变成直角三角形的问题来进处理，也就是你随便取三个点，你最起码先得保证是个直角三角形， 你剩下一个点加入进来，对吧？你这个点再加进来，你才有可能形成一个矩形嘛。所以在这里面你要选三个点，那我们选哪三个点呢？首先你要知道，喏， a 点坐标是固定的，我肯定优先考虑它，以及你会发 m 点，坐标也是固定的，我也会考虑它，对吧？所以把这两个点固定下来。固定下来。好，剩下的你会发两个动点， 一个呢？屁是外轴上一点在哪不知道，它相当于是动点，另外一个在整个平面内运动，它也是个动点，我们优先考虑哪个呢？注意啊，优先考虑半动点。 什么叫半动点？就是有一个点，虽然它动来动去，但是它的横坐标或者纵坐标有一个永远不变的，像这种点，它叫半动点，对吧？你会发现屁点呢？ 它的横坐标是零吧？纵坐标不知道，所以你就发现它的横坐标是固定的，你是个半动点，所以我们选择 p 点 o， 有 人把 p 点加入进来，说白了，你说我要使的怎么样呢？三角形 a m p 干嘛？它永远是个直角三角形就可以了。 好，那也就是我们把矩形的存在性问题呢？把它变成一个直角三角形的存在性问题。那问题来了，你是个直角三角形，谁是直角边，谁是斜边，你知道吗？不知道，所以因此我们需要做的就是分类讨论，我们把直角顶点当做分类讨论的对象，比方说，我们首先考虑 a 为直角顶点， a 为直角顶点呢？那你怎么样？你直接过 a 点做垂线就好了，对吧？哎，就像这个样子，是不是？所以你这个 p 点大概在哪？ p 点大概在这里啊？好，接下来我告诉你，你去求这个 p 点的方式有很多很多，相似一三数，对吧？ 包括我们用两点间的距离公式也可以，比如我令 p 点的横坐标呢？哎，我们知道是零纵坐标啊，那就小 m 好 不好？嗯，好，那接下来你会发现你这个直角三角形，我连一下， 哦，你说这个屁点好不好？求，太好求了，对吧？为什么呢？你比方说你用两点间的距离公式，我们之前讲过很多次啊，对吧？横坐标就是，你要知道啊，你的平方能表示出来吗？整个斜边的平方能不能表示横坐标减横坐标，我用 m 减四吧，就是 m 减四的平方，对吧？ 加上纵坐标减纵坐标，用一减零吧。啊，就是两个点之间距离呢？一减零就是一， 我跟大家说一下两点间距离公式，两个点，把纵坐标相减平方，再把横坐标相减平方，对吧？如果你开方， 对吧？你加上一个根号，那么它指的就是这条线段。但因为你是直角三角形，我要满足过古定律， a 方加 b 方等于 c 方吧，所以把整个斜边的平方表示出来等于这么多，好，接下来那么这一条直角边的平方表示出来等于这么多，好，接下来那么这一条直角边的平方，对吧？加上 纵坐标减纵坐标 m 的 平方，是不是 m 的 平方？好，你指的是这条线段的平方，我再加上什么呢？加上剩下这条直角边，那一样的横坐标减横坐标呢？相差两个单位 二的平方，加上纵坐标减纵坐标啊，四的平方。所以其实你会发现，那我跟大家说一下，它指的是什么呢？指的是 o a 的 平方，对吧？它指的是 o a 的 平方， 它指的是什么？指的是我们 a m 的 平方。两点间距离公式，在我们整个量的各种视频里面出现的次数太多了。好吧，你直角三角形满足勾股定律吗？ 理解了没有，所以剩下我们需要做的就是把整个方程解出来。求解方程，过程呢？哎，交个量量。那最后你会发现，也就是 m 的 平方减去八 m， 加上十六，加上一等于一，加上 m 的 平方，加上加四加十六，我索性加二十，可以吧？ 所以你会发现，喏喏，也就是我们知道负八 m 等于多少，等于移过来，等于四 c m 等于几 m， 等于负的二分之一。好，也就是我们求出来这个 p 的 坐标多少？也就是零 负二分之一，对吧？好，有量量。你去构造一个直角三角形，但是我要一个矩形的矩形在哪呢？其实你要知道，你再加上一个 q 点， q 点，它就大概在 这个位置嘛，这个位置嘛，对吧？你三个点围成了一个，呃，直角三角形之后，那 q 点在这，他不就变成一个矩形了吗？这题让我们求什么？求 q 点坐标，对吧？好，那么此时会用到平行四边形的坐标公式，什么意思呢？矩形是不是也是个平行四边形，对吧？ 哎，你这个 m 点跟我们这个 p 点是相对的点，你这两个点横坐标相加是零，你这两个点横坐标相加是一，所以这两个点的横坐标相加一定也是一。你的横坐标负一，所以我的横坐标一定是二。一样的， 你这两个相对点，纵坐标，纵坐标相加几四加负二分之一，二分之七，对吧？所以我们这两个点纵坐标相加也等于二分之七，你是零，所以我的纵坐标呢？二分之七，这个就是我们求出的第一个 q 点。好，接下来我们考虑第二种情况，也就是我们的 m 呢，它是个直角顶点， 那 m 是 直角顶点，所以我们知道。注意啊， p 在 外轴上，所以你要过 m 做垂线与外轴相交，对吧？这个焦点就是我们的 p 点，是不是一样的道理？ p 点坐标呢？我们还是令它是零小 m， 好 不好？一样的，我们用勾股定律，你连接 ap 嘛， 我是一个直角三角形，是不是？所以你要知道，你的平方加我的平方等于 ap 的 平方。好，那你的平方可以表示出来吗？其实你用勾股定，你也可以求，对吧？好，嗯，我们用两点间距离公式啊，横坐标减横坐标啊，横坐标的平方加上纵坐标减纵坐标 啊，纵坐标的平方，它指的是什么？指的是我们这条线段啊，也是 am 的 平方。好，接下来我再加上你这个 pm 的 平方，一样的横坐标减横坐标 一的平方，再加上怎么样呢？纵坐标啊，减纵坐标。哎，我们就用 m 减四好不好？哎，我们用 m 减四的平方，那么一定等于什么呢？等于整个斜边的平方。喏，横坐标减横坐标相差一个单位， 嗯，以及纵坐标减纵坐标呢？相差 m 个单位。好，这里我就不再写了啊，最终你算出来这个东西等于多少？二十加上一加上 m 平方减八。 m 加上十六等于多少？等于 一加 m 方，对吧？一样道理，你会发现一咔嚓没了， m 方咔嚓没了，对吧？所以也就是我们得到负八 m 二十加十六，三十六移过去负的三十六，所以 m 等于几呢？八分之三十六，也就是 多少？二分之九。哎，我们就说 m 等于二分之九，也就是 p 点的坐标呢，是零 二分之九的。好，那么接下来当我们求出 p 点坐标处，你 q 点在哪？你都是一个直角三角形，所以 q 点只要参与进来，对吧？就大概在这个位置，对不对？我不就是一个大大大大的长方形了吗？好，那问题来怎么求？一样的 矩形也是个平行四边形，只要是平行四边形一定满足我们的坐标公式还有什么意思呢？也就是这两个点的坐标值和你的横坐标零，我的横坐标负一， 横坐标相加等于负一，所以我们横坐标相加也等于负一，你是一嘛？所以我等于几？我等于负二，对吧？哎，我的横坐标负二，那纵坐标呢？ 纵坐标相加二分之九，所以我们纵坐标相加也是二分之九，你是四四就二分之八嘛，所以我等于二分之一。哎，这是我们求出来第二个 q 点。 好，接下来我们再考虑。屁为直角顶点，其实这种情况你不需要再讨论的。为什么呢？比方说屁点，呃为直角顶点，差不多在这，对吧？哎，就是你这个角呢，是个直角， 是不是在这里？那你这个 a m p 呢？对，它的确是个直角三角形，屁股直角顶点，但你要知道，此时如果你构造一个矩形，如果你构造一个矩形，对吧？ 哎，就你这个 q 点，差不多在哪呢？哎，差不多，我不一定在外轴上啊，我这画了一个草图，可能在外轴左边，对吧？好，那你会发现它是不是一个长方形矩形呢？是的，但这个题目有要求， 就是你的 am 只能作为矩形的边，此时你这个 am 呢，是整个矩形的对角线，对吧？哎，所以你会发现，哎，不需要再考虑了。是不是因此我们这里的 q 点只有两个， 搞定。那顺便说一下，如果违边这个条件，去掉 a m， 可以 作为对角线，怎么处理呢？一样的嘛， 你令它的横坐标零，纵坐标 m， 用两点间距离公式把这个边这个边表示出来，像我们刚才一样构造勾股方程来进行求解就可以了。那么以上就是亮亮今天跟大家讲的八类二次函数的必考题型了。那问题来了，哎，亮亮你去年也讲了二次函数大盘点，跟今天有什么区别呢？ 这个去年我们所讲的知识点非常多，也非常全，我们的面积最值问题啊，等腰三角形存在性问题啊，相似存在性问题啊，几何的临界值问题啊。而我们今年呢，会在去年的基础上做了一些补充，比方说呢，我们的图像与系数， 我们的方程与不等式，我们的轨迹应用包括呢？含餐代数临界值问题，包括区间最值定结论啊，包括我们的线段最值问题和我们举行的存在性问题。 另外呢，就是我们今年的内容更加倾向于我们这两年中考的新题型，所以建议大家这两个视频都不要错过了， 如果你的时间非常充分，那这两个一起看当然更好了。如果你说亮亮我时间很紧，我就想快速的突破一下， 冲刺下我们的中考，怎么办呢？那就建议直接看我们最新的这个视频就可以了，亮亮还给大家准备了练习题，配合使用，相信你的二次中考高分跟着亮亮无脑学习。

如果你能在六月高考前刷到这条视频，恭喜你真的找到数学快速提分的捷径，就从这个五月开始，只要用对方法，你的数学成绩完全能实现跨越式上涨。先给你们说个大实话，数学提分从来不是靠盲目刷题，那靠什么？ 核心就一个就是高考高频解析模型。你们好好听学长接下来讲的题，不用复杂计算，你能稳稳拿分。其中最常用最好用的就是零点模型， 直接上高考整体。举例，普通同学一上来就数形结合，常规解法至少十分钟吧，但学霸根本不这么玩，看题目，函数只有唯一零点，学校都是具体数值式子里面有 e， 但没有复杂指数结构，这说明啥？ e 必须消掉，只有 e 的 零次方等于一才能消掉。所以直接锁定 x 等于一把， x 等于带入原式，很快就算出 a 等于二分之一，直接秒出答案，选 c 肯定有人杠你，这就是碰巧，换一道题就 没用了。行，再给你们来一道不等式题，照样描写题目里有 log x 选项，又是固定短点，说明 log x 必须消失，大 x 只能是 e， 把 x 等于一带入不等式，简单化解，直接求出 a 的 范围， 选 b， 全程几乎不用动笔学会了。没？像这样高考直接能用的解题模型还有一大堆，比如鳄鱼模型、胶笔模型、三四尾答模型，一共五十多个学生，都整理好了，需要的同学告诉我你的年纪，希望能帮 帮到你们一起提分。最后，其实你和学霸的差距就在于这些解题模型和方法，掌握这些高级工具，数学考一百二一百三十分根本不难，高考就像从深圳到北京还在走路，学霸早已坐上解题火箭。

数学想上一百三，那就只好作弊了，哎呦，小声点就坐牢的 哎，我说的是合法作弊，分数蹭蹭蹭往上涨的那种。真正的高考数学有一套书上不讲，老师不敢提，但考试的时候能稳到一百二十加的作弊机打法， 刷到这个视频，说明你的命里该翻盘了。今天啊，学姐就给你分享一个秒杀函数必考题的万能作弊技巧，用过的同学都说好，学会它，分分钟找练习吧。 比如这套湖南十八校联考题啊，很多老师教你的解析方法都非常的麻烦，我教你一个最快的方法，你只要看到这种函数的年份题呢，直接令他要考的这个年份等于 n， 那 么 n 就 等于二零二五， 那么 a 选项六千零七十二，就等于三乘二零二五减三，也就是三 n 减三， b， c、 d 也都像这样用 n 替代。 我们看题目中呢，还给出了 f 二等于三，那就再令 n 等于二，所以 f 二也就等于三， n 减三，三乘二减三也就等于三。所以这道题直接选择 a， 题目给的已知函数根本就不用看，直接秒选 怎么样？有没有感觉到满满的含金量？我们再来一道往年的高考真题，还是不用看题目，直接开始解题， 继续先加二零二三，写作 n， 然后呢，将答案全部替换，那么四个选项就成了这样。因为 a， n 的 前文项和为 s， n， 但是 a 一 等于二，所以我们就能判断出 s 一 等于 a， 一 等于二， 再将 n 等于一呢，代入四个选项，看谁等于二，结果就是 c 选项等于二，对不对？所以选 c。 好 了，那现在你预测一下今年的高考题 会怎么考呢？肯定就和二零二六相关啦，我就结合这两年大火的 ai 出一道题。怎么做呢？还是不看题目？还是直接令 n 等于二零二六？那么 a、 b、 c、 d 四个选项还是用 n 替换一下。 根据题目已知， x 一 等于一， a n 满足这个条件，且前 n 项和为 s n， 那 我们就再令 n 等于一，可得 a 一 等于一， s 一 也等于一。再将 n 等于一带入四个选项，看谁等于一，结果就是 b 选项等于一，所以选 b。 我 去， 这么简单！当然了，这就是这类题的万能解法，不管高考怎么考啊，用这个方法你都可以 轻松秒杀。当然啊，除了这个绝招呢，我们九八五椒盐团队还给你挑出了过去五年高考常考的六十八个万能解题模型，并且啊，录制成了视频课。这样的同学呢，不要犹豫了，告诉我你的年级，高二高三，现在距离高考不到一百五十天，我来帮你数学提分逆袭！

开始单招押题小课堂来，今天押的是函数选择题，小定域是直接让 x 加八大于等于零， x 大 于等于负八。选四 d 第二个 根号里面 x 减二大于等于零， x 大 于等于二，别忘了有一个分母，我们从小就知道分母是不能为谁的。答，分母不为零，所以 x 减二不能等于零， x 不 能等于二，所以你这个位置你要把二去掉，也就是 x 大 于二大于二选择二 b 正确。 与他相同的是三次方与三次根号直接去掉就等于一个 s， 直接选 c 没问题。来下一个。这种复合型的函数，你先从里面往外求， 你先求这个 f 负二， f 负二直接带入，哎，带入这里面负二的平方减一个一等于一个三，所以 f 三等于多少？ f 三在这里负三乘一个三等于负九。答，负九， ok， 来下一个。最后函数图像的是教你个方法，直接画垂线，画垂线有两个焦点以上的不好使，两个焦点以上不好使，一个一个焦点这个可以，这个两个焦点不好使。 c， ok， 你 拿捏了吗？

同学们，咱们这条视频呢，用秒杀大招啊，讲一下函数的最值这种题型该怎么去解啊？解这种函数最值的这种题型呢，咱们就记住这两个性质啊，当求的是最小值的时候，你就拿系数的负数啊，加上常数 啊，如果是求最大值的话，就拿系数的正数啊，加上常数。好，那有同学问了，系数是什么呀？那系数呢？就是看这最前面的数啊，就系数啊，最前面的数就系数。好吧？好，常数什么呀？常数就是最末端啊这个数字，好吧，就这么去理解它。 好，来，我们先看第一题，第一题让我们求这个函数的最小值是什么，对吧？那最小值的话，咱们就看第一个性质，那系数的负数加上常数，那系数负数， 那这前面是系数吧，五呗，那五的负数就是负五呗，负五加上常数，那常数就它嘛，对吧？好，加上三就等于什么呀？等于二啊，等于负二，答案就是负二。第一题。好，第二题让我们求这个函数的最大值，对吧？那最大值的话，咱们就看第二个性质， 系数的正数加上常数，那系数的正数，那就会看最前面的呗，系数，对吧？那前面这个数的正数，那就是六呗，对吧？啊？他是负六吗？那正正的话，那就是反过来六，对吧？好，加上常数， 那加上这个就常数吗？负二，对吧？好，加上负二就等于四呗，对不对？好，答案就解出来了啊，就把答案写在评论区里。好的，拜拜。

来看一道求函数解析式的问题啊，已知函数 f x 等于 x 方加四， x 加 c， c 的 话呢，是常数，且函数过的定点的话呢，是一二啊。第一问，让你去求函数 f x 解析式啊，碰到这种过定点的问题，这个是不是 x？ 这是不是 f x？ 所以 直接往里带就可以了？带进来的话呢，是不是就是二 等于个？你看这是 x 是 不是一得平方，然后加上个四乘一加个 c 啊？然后他的话呢，来简单化简一下，等于什么？是不是二等一个一加四加 c 啊？然后所以的话呢，来看一下，这是不是二等于五加 c c 的 话呢？是不是就等于几？是不是就等于负三？所以 f x 是 不是就出来了？是不就等于 x 方加上个四 x 再减个三呢？啊？这个就是我们的第一问啊。第二问的话呢，让你去求这个不等是 f x 小 于等于它啊，所以直接代数就可以了。 f x 求出来了，是 x 方加上个四 x 减三，你告诉你，小于等于二 x 加个五， 然后是不是把它都挪过来就可以了？它挪过来的话呢，这是不是 x 方加个四 x 然后干嘛？是不是减二 x 减三再减五啊？小于等于几？是不是小于等于零，对吧？然后再化简一下，是不是 x 方减加四 x 减二 x 啊？那是不是就是加上二 x 减三减五，是不是减八啊？减八小于等于个零来 干嘛？这边剩什么？是不是 x 方 x 方，这呢是不是剩个四，剩个负二啊？所以的话呢，是不是就是 x 加加上个四乘上个 x 减个二，小于等于零啊， 对吧？算到这的话呢，你说这个老师我知道这种情况，对吧？它的话呢，直接是不是大于大根，小于小根来 x 一 等于几？是不是负四？ x 二是不是等于个二，对吧？那这种的话呢，其实老师还是建议你给我简单画个图，开口向上的，这是不是负四？这是不是二？然后你要的是不是小于等于零的部分，是不是这部分？ 这部分的话呢，是不是你要注意一下啊？这是 x， 它是不是可以大于等于个负四，然后也小于等于个二啊？因为你这是等于零，可以等于这个零点啊，然后写成我们假设，写成集合形式的话呢，是不是负四 到二啊？左边是 b， 右边也是 b 的 啊。就这种函数解析式的问题，你就永远记住一点，别乱给你什么条件，就给我往里带什么条件。然后下边呢，你就按部就班，他要什么你给他什么，不要慌啊，这种题的话呢，就是送分题。

一只二字鼾鼠一动。

大家好，我们今天来看一下这道题，直线 y 等于 kx 减二，可以加三，必过哪个点？ 那么对于这种类型的题，他其实还有另外一种说法，怎么说呢？不管 k 为何止， 只限这个 y 等于 k， x 减二， k 加三，一定不点什么，当然这边这个 k 肯定不为零了， 那么为了说清楚这种类型题，我们可以先举两个例子。第一个，对于直线 why 等于 cax 来讲，我们知道这是 正比例函数的图像，而且知道正比例函数的图像一定过远点，那怎么解释他一定过远点？也就是说当 x 等于零的时候，我们看一下，这时候外也等于零，也就是说这个含 k 的这一项 一定为零。好的，我们再举个例子，直线 y 等于 kx 加三，这条直线我们知道，当然都知道这个 k 不为零，对于这条直线来说，他一定过哪一点， 那么也就是说，甭管这个 k 取啥，这条直线一定贵一点。那么和 k 的取 直关系，取直范围，取直大小有没有关系？没有关系。如何才能让他没有关系呢？我们让这一项为零即可，所以这时候 s 等于零， kx 这一下结果就为零了，所以和 k 没有任何关系，对应的 y 就等于三，所以这条直线它过零到三。 如果把这两个例子听明白，那这道题就好做。我们说，对于直线 kx 减二， k 加三来说， 我们只要让韩 k 的像他的结果为零即可。有同学说，这韩 k 的 两项呀，我们可以对这两项提出一个 k 来，那么这条直线它就变成了 y 等于 k 背的 x 减二加三。 ok， 这时候我们让这个韩 k 的这一项为零，要想让他为零，此时 x 减二应该等于零，也就是说 x 应该等于二， 那么这一项就为零了，所以甭管可以去上他都为零，和他没任何关系，对应的字时外等于三， 那么我们就得出结果来了，对于这条直线来讲，甭管可以取啥啊，必过二斗三这一点， ok， 你听明白了吗？加油。

如果你能在高考前刷到这条视频，恭喜你真的找到了数学逆袭的捷径，这又是一条你看完就想让我删掉的视频， 绝对不想让竞争对手看到，因为从五月开始，你的数学成绩将迎来飞跃式的提升，不用在此刻刷题，轻松摆脱不及格的空境。先跟你们说句大实话，数学真不是死刷题就能学好的，掌握我这套独家方法，只要能听懂学会，就是你数学一步到位的最快路径。其实你只 要熟练掌握高考常考模型，做题不动笔也能轻松拿满分。其中最常用最好用的就是零点模型，直接上高考正题，让你们感受下什么叫秒题。比如这道题， 你们的思路肯定是数形结合吧，常规做法没十分钟根本解不出来，但学霸根本不这么玩。看好了，题目说函数只有唯一零点选项都是具体数值，而且没有自然底数 e， 这就说明 e 必须消失，不能让它见到明天的太阳。 e 只有零次方才等于一才能消失，所以 x 等于一，把， x 等于一，带入圆式答案秒出， 是不是巨简单？肯定有同学说，你这瞎猫碰上死耗子，换题就废。行，再给你们来一道上道题，是零点问题，这道题 直接换成不等式，学霸思路照样能用。还是先观察题目，有 log x， 选项是端点值，都是确定数字，说明 log x 也得消失。 log 一 等于零，所以 x 直接取一，但若不等式化简完，就能求出 a 的 取值范围，全程不用动笔，一步到位。除了零点模型，还有泰勒模型，每年高考都考，你们可以自己去试一试，用我这方法做题，速度直 直接翻倍，省下来的时间用来检查，多拿几份不香吗？最后，如果你的数学尝试了很多方法，还是没有及格，别慌，我已经把所有了解技巧直接成了五十五条，秒杀视频盘开函数、图像、平面向量、立体几何、外接球等等。 需要的同学后台告诉我，你的年纪，比如高三加数学学霸都在偷偷用，你却不知道，这就太亏了。建议你好好学，跟着练，数学逆袭真的不难。

各位，这两个函数啊，说必过哪个点啊？他说必过哪个点？有同学一看 啊，这谁知道他必过哪个点啊？啊，不会方法是一点办法都没有啊，你说他必过哪个点？不知道呀，这 m 是 个变化的，这个 m 是 个啊，不知道等于几啊？这 m 啊，但是会的方法很简单啊，我们分析一下啊，先看这个函数， 他说 b 过哪个点，意思是什么意思？就说这个 m， 不 管它等于几啊，等于一也好，等于二也好，任何值啊，它等于任何值，它一定过某一个点， 某一个点 x y 是 不是也？也就是说这个函数啊，跟 m 没有半毛钱关系这个道理那么远就说跟 m 是 没有关系的，所以你应该怎么想？这个负 m， 我想办法让这个 m 啊给它消掉不就行了吗？也就说当 x 平方。各位，当 x 平方等于一的时候，大家想象一下， x 平方等于一的时候，这个 m 和这个 m 是 不是消掉了？也就是说， x 等于正负一的时候， 这个 m 是 不是就消掉了呀？那 m 等于正一的时候，你看不是当 x 啊，做题要认真啊，当 x 等于正一的时候，你看它等于多少？ 带进去，这个消掉了，对不对？当 x 等于一的时候，一带进去是不是二加二是不是等于四呀？也就是说 x 等于一的时候， y 一定是等于四的，所以他就过哪个点是不过一四这个点好。当 x 等于负一的时候，各位， 这个是不是也给消掉了？负一是不是他也能消掉？当 x 等于负一的时候，带进去二二减啊，是不是等于零啊？是不是负一零啊， 对不对？所以说它必过这两个点，这个函数它必过这两个点，这个道理能不明白？跟 m 没有关系。好，那同样的方法呢？这个函数必过哪个点？有同学说我会了呀，啊， 跟 m 没有关系是不是？这个 m 是 系数，是负的二分之一，对不对？这个 m 系数是负的二分之一，我想想办法，让这个 m 它的系数是二分之一不就行了吗？ 也就是当 x 平方，当 x 平方等于二分之一的时候，是不是 m 能消掉它？所以 x 等于多少啊？ x 是 不是等于正负 啊？二分之根号二啊，它开方呀， x 等于正的二分之根号二，带进去， m 也给消掉了， 当 x 等于负的二分之根号二的时候啊， m 是 不是也给消掉了啊？然后算一下 y 等于多少不就行了？所以说会了，方法很简单啊，最后给大家介绍一套书啊， 这套书呢，叫初中数学压轴题，里面有几何的，有函数的啊，还有应用题，全部都是中考常见的难题。压轴题啊，但是有视频讲解，你不怕啊，会了，方法很简单，所以说平常这些难题啊，一定要多练啊，各位。

辽宁的高一的同学们和家长啊，期末数学必考的零点的十六种题型，咱们来一个一遍过挑战！期末零点，你必考满分！这道题你会吗？零点的定义清晰吗？带直就行吗？这个呢， 基础送分关键在于因子分解。这道题你有思路吗？三兄弟的本质就是互相转换，你转换的核心就是一项助行结合。这道题呢？ 开口 der 的 判别式对称轴端点的函数值四反辅，这道题怎么处理呢？树形结合花草图，抓住临界位置， z 是 one， 本质是区间 b 进。我们的口诀就是一号取中间，这道怎么做？连续加一号必定存在，难点在于找端点的值。这道题挺难， 由外向内一层一层，像扒洋葱一样。这道题你会吗？两个函数一定是关于某一个轴对称。新类型题，你可以吗？ 题眼就是它俩有共同的零点连力消元，答案你 ok 吗？ 结构一模一样的整体代换消圆，这道题该如何处理？ f x 等于 t， 有 多个结，利用对称轴或反根直击等于一进行消圆。这道题你有思路吗？ 同意，子表坐标系画出函数图像，零点一目了然。这道呢， 解析的核心和关键一定是在直线 y 等于 x 上。这道题好难，你会吗？ 单调性加零点存在定力，两步走格式一定要严谨。这道题更难，你还好吧？ 零点求不出来，色耳不求，整体带入硝元，挑战结束，你还好吧？别让函数零点成为你数学高分的最后一块绊脚石！点关注，加入粉丝群，加绿泡泡，领取零点期末复习资料！

大家好，我是乌鲁木齐数学思维胡老师。初三的同学们，我们是不是每一次几乎都会在考试卷上看到这道题，他不是出在我们选择的最后，就是填空的最后。那我们今天呢，一个视频讲透他， 首先他会给你给这样的一个图，让你来判断对不对，他会判断哪些值呢？老师随手一写， a 呀， b 呀， c， 德尔塔二 a 加减 b， 或者是 a 加 b 加 c， a 减 b 加 c， 四 a 加二， b 加 c， 四 a 减二， b 加 c 等等，甚至还会让你判断八 a 加 c 啊，八 a 减 c 啊等等一系列。是不是？今天呢，我们就反推他，不管这道题考的有多难，多简单，我们都把这个他的分呢拿下。 好，那么谷老师要教给你的呢，就是他，其实啊，图中都会告诉你对不对？首先你看到这个题，你是不是感觉他缺一点啊？谷老师，线下呢，把他都会叫一个名字，叫欠连体， 我会说他欠一点，那我们就把它连起来呗。哎，我们先考虑，既然二函数它是一个对称图形，说明这段距离 和这段距离是相等的，那我们看这段距离一一是不是就是两个单位，所以说明这段距离也是两个单位，负一往左走两个单位，说明这个点点是不是负三， 对吧？好了，我们现在看二函数这个图，它想告诉我们什么，它的心声是什么？首先呢，第一个看它开口是不是向下的呀？同学们，它开口向下，说明它的 a 值就是一个小于零的数，这个最好判断了，开口向上 a 大 于零，开口向下 a 小 于零。 好，继续。他还想告诉我们啥嘞？我们看一看他的这个与 y 轴的焦点，你发现是不是在上方？我们看与 y 轴的焦点，他的横坐标是不是零呀？ y 轴上的点横标为零啊，那我把零如果带到二次函数里面去，看得到什么？ a 乘以零，方加 b 乘以零，发现没？就剩 c 了，那我就知道了，这个点是零 c， 它既然与 y 轴的交点在上方，说明 c 是 不是就是一个正数啊？那这道题中的 c 是 正数，我们判断它呢，就是看与 y 轴的交点在哪里， 在上方就正数，如果交于下方，它不就是负数了？好，我们再看这个二次函数，还想告诉我们啥嘞？刚刚看了与 y 轴的交点，我们再看它与 x 轴的交点，有两个，一个啊，是这里的一零，一个是这里的负三零， 有两个，有一个或者没有，这个是和谁有关呢？和根的判别式，也就是德尔塔有关，对不对？ 我们考虑这两个点，它的纵标都为零，它的纵标是谁？纵标不就是 y 吗？所以说我们就让 a， x 方加 b， x 加 c 等于零 a， 那 你会说，老师，这个不就是我们第一单元学一二次方程吗？对不对？那我们就知道了， a 这个函数啊，与 x 轴如果有两个交点，说明它的德尔塔是不是就大于零啊？那就是有两个根，如果这个二次函数， 老师画一下与 x 轴，哎，这样看，你是不是发现有一个交点，那说明此时它的单调就会是等于零。 如果这个二函数与 x 轴没有交点，像这样，它是不是没有交点，那此时单调就小于零，没有交点。那所以说啊，这道题它告诉我有两个交点，一个一，一个负三，所以它就告诉我们了，它的单调是大于零的。 好，我们在这标好，它是看与 x 轴的交点个数对不对？判断方法如下，好，我们再看，它还想告诉我们什么呢？ 它发现没，它经过了一零啊，一零这个点，是不是有点冲动，想带进去，我们看一看。如果我把一零带进去， x 换成一 a 乘以一的方， b 乘以一再加 c， a 发现它等于的就是 y， y 就是 零吗？是不是？那我就知道了， a 加 b 加 c， 是 如何判断出来的呢？是不是我把 x 等于一带进去之后，它所对应的 y， 对 吧？那这道题，它的 y 很 凑巧，刚刚好就是零，那老师给你画一下， 如果我给你画一个函数一在这里，那你会发现它所对应的 y 是 不是在上方？它在上方的时候，此时它的 y 就是 个正值。那你看，如果我的这个值是零点一，我把一画到这， 那你看一，此时它所对呢值是不在下方，那此时的这个 y 就是 负值。所以说啊，我们要判断 a 加 b 加 c， 就 看 x 等于一的时候在哪。如果在下方的 y， 那 么它就小于零。如果我的一在这， 那么它此时的 a 加 b 加 c 就 大于零。如果刚刚好在 x 轴上， a 加 b 加 c 就 会等于零。好了，那么由这个你就可以判断出往下的所有了。好比如说，老师说 x 等于负一，它能代表什么呢？我们来看， 如果 x 等于负一，你把它带进去，就会发现它是 a 乘以负一的方，加 b 乘以负一，不就是减 b 吗？然后再加 c， 对 不对？所以说啊，我们就知道了， x 等于负一，我把它带进去，能判断的是 a 减 b 加 c， 对 不对？ 好，我们再看，如果 x 等于二呢？我把 x 等于二，老师也带到这个里面去，会得到的是二的平方。四 a 加上二 b 再加 c， 哎，也就知道了， x 等于二，能判断的是四 a、 二 b 和 c 的 和对不对。那同理，负二的时候，你是不是就知道了，四 a 减二， b 加 c， 哎，我们往下走，相信屏幕前的你肯定已经会了，比如说，老师现在说一个九， a 加三， b 加 c， 你 就知道是 x 等于三， 九， a 减三， b 加 c， x 等于负三，对不对？那有些同学呢，可能在这里说，老师，那我怎么判断呢？你看你已经把它怎么判断写在这里了，我们就看图可以了，就可以了。 a 加 b 加 c， 是 看 x 等于一，那么在这，它的一所对应的 y 是 零，所以我们就可以直接写它等于 零。 a 减 b 加 c， 看 x 等于负一，看这里是负一，那它所对的 y 是 不是在这啊？明显它是个正数，所以它就大于零 二的时候呢？那你看这个是一，那说明二肯定在它的右边，二在右边，它所对应的 y 是 不是在下方？在下方说明 c 加二， b 加 c 就是 小于零，那 x 等于负二呢？ 你看这个是负一，这个是负三，说明负二是在中间，那负二的时候，他所对应的 y 在 上方啊，在上方，所以说 c 减二， b 加 c 大 于零，好，相信呢，这个你是不是会看了？好，我们再看。如果这道题再变态一点，再难一点，会怎么考呢？会这样考，你看啊，我们的对称轴告诉我们是不是负一了？ 哎，我们在这要回忆对称轴的方程，在二函数中有一个非常重要的点叫顶点，顶点坐标呢，是负的二 a 分 之 b 代表对称轴纵坐标 c， a 分 之 c， c 减 b 方代表的是不是最值呀？所以说在这他告诉我，对称轴是负一，说明负的二 a 分 之 b 是 不是等于负一， 所以 b 就 等于的是二 a。 好 了，那你说老师 b 等于二 a 能说明啥？说明 b 减二 a 是 不等于零啊？ 甚至你也可以写二 a 减 b 是 不是要等于零？我们是不是经常会在选项中看到这个呀？对不对？所以说如果让你判断它，你就考虑对称轴是几就可以了啊？好，我们再考虑，如果它再难一点，比如说最后这个八 a 加减 c 怎么办？甚至老师可以给你随便出，比如说老师出一个啊， 啊，我给你出一个，是九 a 加十八 b 减七十一 c， 我 给你出一个，别贼变态的。那这个怎么办呢？也非常简单，首先我们的 b 是 不是把它换成某某 a 了？那所说明 c， 我 也要换成某某 a， 我 们用一个口诀就是都换成某倍的 a， 那我们怎么换 c 呢？首先它经过了一零，它经过一零，我把一零带到这个二函数里面去，得到的是不是叫 a 加 b 加 c 等于零？我们的 b 刚刚已经得到是二 a 了，所以说咱们把 b 啊换成的是二 a， a 加二 a， 再加 c 等于零，那是不是就说明 c 等于负三 a？ 那 你看在这里这个式子就好判断了。九 a 加上十八倍的 b， b 在 这已经知道是二 a 减去七十一倍的 c， c 是 负三 a， 好， 整理一下，它是九 a 加上三十六 a 加上七十一，乘以三 a， 对 不对？这个好多，肯定是个正数嘛，对不对？ a， a 是 个啥数？来，我们知道开口向下，所以 a 是 个负数，那正负得什么呢？是不是得负？所以说他不管出的有多变态，你都小儿科。比如说像这个 八 a 加 c， 那 这不太简单了，八 a 加上 c， c 换成的是负三 a， 是 不是就是五 a 开口向下， a 小 于零，所以五 a 也小于零，对不对？就是这样判断。所以说啊，这个题我们已经讲透了， 不要害怕他所对应的这个我们如何判断？你可以逆向做题。给你给个图，你先不要看他的一二三四五六，你先通过图把他所有想告诉你的信息罗列下来，你再去回看题，你会发现非常简单。 希望呢？这个视频对同学们有所帮助，关注谷老师数学不迷路，记得点赞关注呦！