七下数学华师大版几何尺规画图

好，第一个视频我一定要非常认真的给大家解释一下，啥子叫尺规作图，括号七项。 你别看我这只放六个字啊，它分为三个部分，第一，什么叫尺规？第二，做图是做什么图？在哪做图？第三， 七下要做什么？先介绍尺规，在七下这个阶段，我们就用了一个工具，叫 无刻度尺尺。这个规是啥？是圆规，等到八年级和九年级会用到啊，所以七下就是一个东西。那无刻度尺尺，这是我们第一次碰到这个说法啊，你一定要明白 无刻度是啥意思，直尺是啥意思啊？他们都有潜台词的，无刻度的潜台词是无长度， 你再也不能像小学的时候一样，你画一个长五厘米的线段了，没有了，你也不能用你的尺子去量一根线，然后告诉别人他有多长。不行，我们是借助网格的数量来去算他的长度了啊，所以尺子 画不出来长度，也量不出来长度了啊。第二个，直尺，明明我们买了一套，里面除了有直尺，还有三角板呢，为什么只让你用直尺？他的潜台词是 无角度，你不能再用三角板做出一个三十度，六十度或者是四十五度了啊，当然你更不能画九十度了啊，因为有些同学很激贼啊！老师，直尺我太擅长了呀，虽然无刻度，但是我自己买的尺子上面有刻度啊， 我拿那刻度一对齐，这边一竖，不就是画了垂直吗？不行，你画的那个是你假想的，我们不认可。 那这无刻度尺尺又量不了长度，又给不了角度，那它到底能干什么呢？ 他就干一件事，画直线。有人心里肯定笑了，画直线还用你来说？不是的，画直线也分两种，你有没有注意到这个事情？你去查你的题目里边，他会有两种线，实线和虚线。那什么时候画实线，什么时候画虚线？我们只有一个原则， 对于结果用实线表示，所有你辅助得到结果的过程，用虚线表示啊。 当然，实际做的过程中我已经发现了啊，由于大家刚开始接触尺规，做图东西又很杂，往往很多老师在过程中并没有严格要求说必须画实线，必须画虚线啊。 所以稍后我们在具体讲题的过程中在解释啊，怎么去判断画哪种线啊？好，我们知道了无刻度支持，不能干什么，能干什么。但这些话并不能劝服大家，因为实际答题过程中出现了大量的伪证， 这是在其他类型知识里边很少出现的，计算题也没法伪证。当然选择题会有人会猜了，几何证明题大家限阶段要么算不出来，要么也做不出辅助线啊。简单题也不需要你伪证了。但是在此规作图里边大量存在， 我称他为马良派神笔。马良嘛，你画什么就成什么啊。这其实都叫伪正，伪正就两个特点，第一，无作图痕迹。举个例子，这是一个边长为一的最小的正方形方格。 哎，真的会有人突然点一个点，他说，老师，这就是我找的终点，上面是零点五，下面也是零点五，请问 你都没有刻度，量不出长度来了，你凭啥说这就是终点啊，所以没有做出痕迹。第二，无几何逻辑。举一个例子，以这一条线段让你过 p 做 ab 的 垂线，哎呀，你偷偷的拿出你的那个有刻度直尺， 非常像模像样的，感觉上是个垂直，而且你还非常贴心的标了一个直角符号，告诉老师，你可一定要相信我哦，这是个垂直。 不行，你没有证明你这个垂直是怎么得到的呀，所以这些 伪证都会导致你的分全扣了。刚才第一个关键词是尺规，第二个关键词叫做图，我有把它分为两部分，第一，在哪做图？ 第二，做什么图？我给了一个典型的图啊，这种图我们称它叫网格图啊，当然你会发现我这里边没有给什么 坐标系，当然加一个坐标系很简单， x y 轴一画就变成坐标系了。网格图里边有两个重要的词汇，你得明白啊。第一， 这些虚线叫什么呢？它叫隔线，网格里边的线叫隔线，然后两条隔线的这些焦点，它的名称叫隔点啊。 而且绝大部分时候它是用单位长度为一的小正方形组合起来的，所以我能够自带它的横竖方向的长度，你只用去数格子就 ok 了。 同时由于它是正方形，你确实能得到这里边的九十度啊。这是隔线和隔点的介绍等等。差点忘了，一种天才型，马良选手，他嫌题目给的网格图不够大， 自己手动人工扩大了，真是个天才。第二个， 做什么图？这我们就主要说七下了啊，因为尺规做图会从七下开始，伴随你到八上八下，九上九下一直到中考，所以它是一个非常庞杂的一个知识体系啊， 在这我会把知识结构做个介绍啊。第一种最简单的能做平移，它也是我们在坐标系里边学了点和线段的平移的知识过来的。 而平移是有两个考察方式，第一，平移扫过的面积，不管是线段扫过还是很容易错的一个三角形扫过的面积啊，还有一个小小的坑。平移的线段之间到底是什么样的关系啊？这是第一个，第二个， 有平移就能够做平行啊，因为平移就能产生平行，而平行又分为两种难度，最简单的大家最擅长就是做格点线段的平移，比如说 我的线段 ab， 两个点都在格点上过， c 做 ab 的 平行线就非常简单。但是还有一种很怪的叫非格点线段，比如说 图中给了我 a 和 b 这条线段过这一个 p 做 ab 的 平行线，此时你会感觉到很麻烦，因为这个 p 不 在隔点上，它在隔线上。 如果说平行和平行是比较基础的东西，那么到垂直这块就有一点超纲了啊，严格来说，它属于八年级上学期的一个东西，因为它用到了全等三角形的背后逻辑啊。 但是在期下确实有些题目超纲让你去做某一条线段的垂线啊，我稍后会详细解释这背后的逻辑啊。 还有做角度，做角度其实是从平行延伸出来的，因为我们说过，你的指尺你画不出来度数，你只能靠什么？靠平行能得到那三线八角的关系啊？ 所以一看到角度，我们就要想到利用平行关系。同时麻烦的是，很多同学看到刚才的网格图之后，他把平行里边两个最重要的东西忘了啥呢？ 拐点和射参就是单独让你去正平行或做平行的推理的时候，你都会一旦放到尺规做图里边，这两个东西你就感觉失忆了一样。 最后的最后是尺规作图里边最难的一类做面积，它又分为两类，第一类叫平行等积，让你去找一个特殊的点，满足 s 一 等于我的已知三角形的面积到底有多少个这样的点，你应该见过这样的题。第二类 是让你补一个点，满足特定的值，比如 s 三角形等于四点五啊，这里边的花样非常多， 好简单做个总结。后面的视频我会用各种经典题型把这五种知识讲透，同时在讲题过程中把各种马良派的风格错误案例做一个展示， 来解释为什么会扣掉你的分啊。关注梳理黑板，现在下课！

为什么高斯能手搓正西七边形，而你却不会三等分一个角？你有没有想过，早在初中，我们就学习了数形结合，但老习从没解析过为何代数和几何之间可以一一对应。 例如，我们用尺子画一条直线，实际相当于解一次方程，而用圆规画一个圆，等于解二次方程。为什么会这样？早在一八三零年，伽罗瓦就已经发现，取规作图其实只包含了三种操作， 过两点，画一条极限和给定半径、做一个圆，以及确定极限或圆之间的各种焦点。而这些看似简单的几何操作，恰好对应了五种基本的代数运算。例如，加法和减法， 就是截取极限以圆的焦点，然后拼接在一起。而乘法和除法是利用平行线和相似三角形之间的比例关系，最后细开平方根，它来自于圆与相似三角形之间的几何关系。 至此，我们就找到了代数与几何之间的对应关系。这意味着，起规作图所能构造的数字，仅能通过加、减、乘、除和开平方得到。例如，起规可以画出根号二， 却永远标不出三次根号二。对此，伽罗瓦敏锐地意识到，一元二次方程的求根公式只包含开平方。也就是说，起规作图的象限仅能减二次方程， 对于三次方程就无法解决。例如，三等分角的数形结合，就是求解一个一元三次方程。具体而言，三等分一个六十度角，等于要做出二十度的角，这等价于用起规作图构造 cos 二十度的线段， b x 等于 cos 二十度。根据三倍角公式就可以得到一个三次方程。 问题在于起规作图不能解。三次方程我们根本画不出 cos 二细度的线段，因此我们永远不可能通过起规作图三等分任意角。这也揭晓了一个深刻的问题，人类细图通过理想化的工具去探索一个理想化的世界，注定不可能完成每一个理想化的操作。

各位同学，今天我们讲解一下角平分线的尺规做图法。近几年中考基本上百分之一百，会考也非常重要，很多同学不知道如何去解决这种问题，所以呢，刚子老师今天抽时间给大家讲一下 尺规做图法，它是没有刻度的尺，它指的是尺规，指的是圆规，尺用来连接两点之间做直线的，圆规用来丈量尺 寸的，所以呢，我们通常用尺规做图法，可以做出很多的图形。那角平分线如何去用尺规做图法？首先比如我告诉你一个角，它是 a、 o、 b， 现在没有刻度尺，也没有其他的工具，要你去做出角 a、 o、 b 的 角平分线。那怎么做呢？通常我们会用圆规通过顶点去做一条符与直线的交点，分别是 c 和 d 两点， 再用圆规去取大于 cd 长度的一半，也就是说大于二分之一 cd。 比如说我取到这里，然后以 d 点为圆心作符， 相同长度，以 c 点为圆心作辅，有一个交点，此时连接的交点，比如说这个是 l， 那 么 o l 就是 角 a、 o、 b 的 角平分线，这是角平分线。用此规律作法使用的方法，给大家一个口诀，可以做比较。顶点一弧截，两边 大半交点做弧线，什么意思啊？解释一下啊。顶点一弧截，两边，就是以角 a、 o、 b 顶点为圆心做一个弧截，取我们角的两边就会有交点。那大半交点是什么意思呢？就是大于交点距离，这里是 c、 d 啊，也就是大于 c d 距离 一半，然后再作辅，分别以 d 和 c 为圆形，以相同的长度，那么下面你也取这个长度去作辅，有个焦点连接这个焦点，那此时就会出现角平分线，这一个口诀非常重要，全网你找不到，这是我们讲到角平分线如何去做。

大家好，今天我们就来讲中考数学最后十讲这样一个系列课程的收官之作。最后一讲尺规作图精讲尺规作图可以说是中考数学必考的内容了，还是老规矩，我呢已经把全套的资料给大家备齐了， 大家只需要先获得资料以后再来学习，这样的话学习效率才是最高的。本讲内容啊，分成两部分，第一部分就是尺规作图的基本方法，这个我说一下，一共是讲多少种呢？讲七种基本的方法， 那么中考考到的都是这七种的排列组合。那么第二部分就是尺规作图在中考中的考察了，就是去年的中考原题。 好了，我们先来看第一部分，那么接下来我们看这个基础篇啊，基础篇的话，第一个就是做一条线段，等于已知的线段 a b， 那 么怎么做呢？你要注意的是尺规作图里边这把尺子呢，你要当成没有刻度的尺子，它只能用来连线。 那么画完之后的话，咱们可以点一个点，比如说左边这个点叫点 c， 当然你做的时候一定要用铅笔啊，我找不到铅笔了，那么我们只需要怎么办呢？你截取长度的话，用的是谁？用的是圆规啊？看好了， 圆规是吧，那么就这么长。然后呢到 c 点这保留作图痕迹。好了，这个点 d 啊，就是刚刚画的这条直线上的交点，这样的话不就保证了 c d 等于 ab 吗？好了，做完了， 那么来看另外一个，另外一个的话就是做一个角，等于已知的这个角我先告诉你原理，原理是什么呢？原理事实上就是边边边的三角形全等怎么画？我画到右边吧，右边呢，先画一条边， 没问题。那么画完这条边以后的话，咱们还是比如说这是 abc， 这就写成 c 吧，然后继续哈，现在注意了，我用圆规它这个半径，它是不变的哈，我没有动过它， 这来一下，这来一下，然后焦点分别是多少呢？那左边的焦点你就写成 a m、 a n 呗。那么显然你可以截取这个 a n 的 长度，是不是 a n 的 长度等于接下来的 谁的长度？等于接下来的 cd 的 长度？好，此时 c d 和谁一样长？和我们的 a n 是 一样长的。然后接下来干嘛呀？然后你首先你把这个弧给做出来不就可以了吗？你可以把完整的弧给做出来的，你画长一些没关系的。 那做完这一条之后，咱们再比比长度 m n 吧，左边这个长度看好了啊，这个是 m， 这个是 n， 咱们比一下。哎，长度正好是这么长，哎，稍微有点手抖了，那行吧，点到这不要动，然后呢，它呀， 稍微长一点点， ok 了。那么接下来咱们以点 d 为圆心，以刚才 m n 的 长度为半径，做一条弧，跟原来的弧 是交于哪的？是交于点点 e 的。 那么现在我们就只需要做什么了，只需要 延长 c e 就 可以了。那么在刚才做图的过程中，其实咱们都是保证了什么呢？当然了，这个给他显眼一点，刚才在做图的过程中，我们已经保证了 a n 等于 cd。 然后呢，你再顺便连接一下 d e， d e 的 长度和左边这个图里头 他这个 m n 的 长度其实是怎么样的？是一样长的，然后他也一样长， 是不是？然后根据边边边的三角形全懂，你说此时的角 a 是 否等于角 c？ 当然等于了，好了，做完了，那么再来看，一定要把基础的先学好。那么接下来就是第三个， 你能不能做出来 ab 的 中垂线啊？能呀，其实你找中点和做中垂线，它的方法是完完全全一模一样的，你只需要以点 a 为圆心，以点 b 为圆心，然后以大于二分之一的 ab 的 长度为半径 做弧，或者说你把完整的圆做出来也行，咱们就做弧就行了，然后你看半径是没有变的。 好，上面这个焦点，咱们比如说就写成 m 点，然后下边这个焦点呢，就写成 n 点，因为刚才半径没有变，所以 m a 等于 mb， 然后 na 等于 nb， 所以 点 m 点 n 都在 ab 的 重垂线上，两个不同点，当然就把这个唯一的重垂线给做出来了，你看这不就结束了吗？这就是保留做错痕迹。那么我们继续来看哪一个呢？ 第四个，第四个的话是谁是做出已知角的角平分线？他的道理我也告诉你，是边边边的全等，来吧，做出已知角的角平分线需要怎么处理啊？看好了，看好了，我们只需要这样 来，半径始终都是没有变的啊，继续好，半径也是始终没有变，从始至终都是一个半径， 长度是没有改变过的，当然了，这一边咱们再画的长一些。好，那么刚才的过程中啊，咱们标一下点，比如说这是 a， 这是 b， 这是 c， 然后呢，这个焦点咱们写成点 p 吧。那么连接 ap 之后，其实你要想拿满分，你这个时候只用做出 ap 这条射线来，你告诉他，如图， ap 就是 角平分线了，但原因的话，咱们也大概说一下，为什么呀？ 原因很简单呀，因为刚才你半径都没有变的，半径没有变不就代表 a c 还有 a， b 还有 b， p 还有 c， p 的 长度都一样，中间还是个公边，你说边边边上下 a， c， p 和 ab p 是 不是全等？所以角一都就等于角二了，清楚了吧。好，这就没什么问题了。那么继续再来看接下来的哪个图呢？ 好，看到了吧，这个图他说的是过已知直线上的一个点，做出垂线。来吧，来吧，看好了，咱们以点 a 为圆心做一个圆， 其实你只用做圆的一部分，左边有个交点，右边根直线也有一个交点，然后左边这个交点，比如说咱们既为点 b， 右边这个交点既为点 c， 那 接下来做中垂线不就够了吗？是吧？你做出 bc 的 中垂线，那剩下应该就不用多说什么了吧？我直接把这个作图痕迹给大家 表示出来看好了。这这然后呢？以点 b 为圆心，半径不变的啊。 那么此时，比如说上边这个焦点是 m 点，然后下面这个焦点是点 n， 那 么你的直尺没有刻度的直尺就有用了。那只需要干嘛了？只需要连接 m n。 好 了，这不就是过点 a 把这条垂线做出来了吗？那么还有，如果点 a 在 哪？ 如果点 a 在 外部呢？看第六个，如果点 a 在 外部的话，就会形成这样一个情况。呃，哦，现在是点屁啊，过直线 l y 的 点屁做他的垂线怎么做？来吧，我就先不提示了，我直接告诉你，这样， 你以点 p 为圆心做弧，左边跟直线 l 交于一点，右边跟直线 l 呢？也交于一点，是不是？那继续保持不变啊？左边这个焦点继续了，搬进我从始至终其实都没有变过的， 然后左边这个焦点以它为圆来，刚才一不小心啊，我把这个做出来有点好，对，现在可以了。 好，然后呢，半径千万不要变，手不要抖，那不就做完了吗？因为刚才在做的过程中，你半径始终不变，你可以保证 p a 是 等于 p b 的， 然后并且都等于 a q 和 b q， 那 么此时 p q 是 不是就是 ab 的 中垂线？实际上 p q 就是 垂直于直线 l 的？ 那最后一步的话，你只需要保留做错痕迹，连接 p q 这条直线，告诉他 p q 这条垂线就做出来了。那当然了，还是跟垂直有关的，还是用了一下小小的中垂线的这样一个性质。那么最后一个的话，就跟平行有关了，咱们不要光会做这样一个垂线，还得会做平行线。 那么平行线怎么去做呢？考虑一下最后一个，我们可以这么来处理，方法很多啊，因为什么呢？平行线它可以内错角相等，所以平行互补不好做啊。那就用相等也可以同位角是吧？要么同位角，要么内错角。 来吧，咱们随便寻找一个点 n 在 原来的直线 l 上，比如说寻找完这个点 n 之后的话，此时我们这个角一， 它是不是一个固定的呀？那肯定是一个固定的，值嘛？那于是呢，我们只需要过点屁哎，把它另外一个方向上的内错角给画出来就行了，这个套路是固定的，所以我就给大家说了，好，这是有的，没问题吧？ 好，这也是有的，那我们过点屁，半径不变做出来， 那么做完之后还有一条，你还是利用边边边吧。其实刚才我写到这的话，大家应该都清楚了，比如说这是 a， 这是 b， 然后你还得怎么样，你还得让，哎，我知道了，所以我接下来我量一下这个 a b 的 长度，这不就是圆规的作用了吗？ 对，就是这么长了，那么接下来我就做好了。刚才在画的过程中啊， 我们已经能够保证什么 ab 是 等于 qm 了。对啊，你连接一下 qm， 其实连不连 qm 都行，你要是想得满分的话，这个时候你直接保留作图痕迹，然后 做出直线 pm 来就行。因为刚才的话，你根据边边边已经能够保证谁了，已经能够保证角一等于角二了，角一等等于角二啊，你说图中的 pm 是 不是平行于 l 的？ 好了，这不就把平行线做出来了吗？ 那么接下来咱们做一个中考原题吧，是关于作图的啊，这个尺规作图真的很重要，做一下哪道题呢？看一下这道题，这是去年的哪的青岛的原题，他怎么说的？他说如图， 点 d 他 是在哪的？看清楚了，点 d 是 在角 a o b 的 内部，他挺有意思，他是做一个等腰三角形， o c 等于 o e， 但是啊，你还得怎么样？点 c 是 在射线 o e 上， 然后点 e 呢？是在射线 o b 上，你还必须保证谁点 d 在 什么上面，点 d 必须正好在这个 c e 上面，这就有难度了，你要只做等腰三角形，特别简单，但是怎样能够保证这个点 d 在 c e 上面呢？ 这个时候它的综合性就很强了。这道题我相信去年应该有不少同学丢了分，我告诉你怎么做，我们这么来处理，首先，反正是个等腰三角形， o c 等于 o e 嘛，我做不出来。等腰三角形，我做不出来这个 o c 等于 o e。 但是呢，我可以做一个 o m 等于 o n 啊， 这个还是相当轻松的，对吧？那么这种情况下，我就直接连接了，看好了，连接这个 m n， 好， 这个是 m， 这个是 n， 反正这个 o m 是 等于 o n 的， o m 等于 o n， o c 等于 o e。 嗨，你应该知道我的意思了吧？事实上，我想说的是，这个 c e 你 做完之后是平行于 m n 的， 因为都是等腰三角形嘛， 所以它俩是平行的啊，它的底角相等，对不对？你比如说这个地方，你把 c e 做出来，是吧？那平行怎么做？平行的话我跟你说呀，来吧，我们只需要连接一下 m d， 当然你要非要连接这个 n d 也行，没问题。 那么接下来我们只需要构造这个角一等于另外一个内错角，角二就行了。过点地向上做一个角二，跟角一相等，那样的话，平行线不就做出来了吗？所以，于是呢，怎么做？来吧，就是做相等的角这样一个固定的套路了， 这个就不多说了，直接来，咱们是以 m 点为圆心， 做了这一段弧，是吧？然后我以点 d 为圆心呢，我也把这段弧给做出来。那么做完之后的话，行了，那么接下来的话，咱们就需要让这个 p q 的 长度正好等于图中的这个 h i 的 长度了，是吧？你看啊，这个 i 点怎么确定下来？就是这样确定下来的呀， 来，继续做弧，做完了，这就是我们要的这样一个点 i， 是 不是那么点 i 有 了？哎，那么我们只需要连接做出这个直线 d i 来就可以了吧？ 好了，上边就是点 e， 下边呢就是点 f。 刚才你看咱们第一步是什么？先做出等腰三角形 o m 等于 o n 来， 然后再做出 m n 平行于 e f 来。哎，连接 m d， 通过角一角二内错角相等，做完平行就够了。所以你看，你不仅要会做垂直，还得会做平行才可以啊， 这是利益行。刚刚讲的题呢，都是告诉你怎么去保留作图痕迹，用尺规作图的方法把这个具体的图形给画出来。 那么现在变了，就是先告诉你尺规作图的过程，然后问一些问题，比如说这道题它是怎么回事的呢？首先告诉你图中这个 b a c 这样一个角度是三十度， b a c 这三个点都在同一个圆圆 o 上， o 点是圆心。 然后又怎么说？他说分别以点 a 点 b 为圆心，以大于二分之一的 a b。 呃，它的长度为半径作弧，两弧交于 m n， 那 么此时直线 m n 是 谁呀？ 直线 m n 实际上它就是 ab 的 垂直平分线，或者叫中垂线，这是一个意思。那既然做完这个的话，接下来他问什么？他说的是让你求一下图中谁的角度啊？让你求一下图中 a o e 的 角度， 那 a o e 的 话，也许不太好求，但是 a b e 很好求，为什么？因为 a o e 他是圆心角啊，同弧所对的圆周角，那你说是不是存在这样一个二倍的关系？所以我们只需要求出来 a、 b、 e 就 行了。 a、 b、 e 请你告诉我是等于多长的？这个太好算了啊，我们只需要怎么算？你看，因为 d、 a 是 等于什么的？是等于 谁的等于 d、 b 的 吗？为什么 d、 a 等于 d、 b 啊？因为你点 d 是 在中垂线上的，所以中垂线上的点到两个端点距离相等，它俩相等的话，所以就可以得出来角 b、 a、 d 是 等于角 d、 b、 a 的， 它都是等于多少度啊？ 它都是等于三十度的。哎，原来最终答案等于二乘三十度啊，是不是 a、 b、 e 和谁呢？ a、 b， e 和 d b a 这不同一个角吗？所以最终答案是六十度，选 c 就 可以了。 那么再来看一道题，济南去年的中考卷题也是吃亏作图，你先看第一部分是干嘛呢？第一部分是在 c、 a、 c、 b 上分别截取 c、 m， 它，然后 c m 等于 c n 啊，好，然后呢，以 m 和 n 为圆心，大于二分之一的 m， n 为半径作弧，这不就是做角盆盆线吗？然后延长 co 之后啊，跟 ab 交于点 d， 所以 图中我们的角一和角二是相等的，所以它是告诉你什么圈一，这个步骤就是告诉你 cd 平分角 a、 c、 b。 行了，我们看圈二，圈二的话，它是分别以点 c 和点 d 为圆心，以大于二分之一的 c、 d 为半径。这不就是哦，交于 p、 q 两点，那此时 p、 q 不 就是中垂线吗？咱们说清楚谁是中垂线啊？ p、 q 它就是 c、 d 这条线段的中垂线。然后呢，这个中垂线分别交于什么点啊？这个中垂线跟 c、 b 交于 f， 然后呢？跟 c a 交于点 e， 那 么现在好了，既然有中垂线，你说中垂线最重要的是什么？中垂线最重要的特点就是中垂线上的点到 线段，两段点距离相等啊，所以当我连接这个 d e 之后的话，它只需要连接 d e 啊。对于这道题，那么此时根据中垂线的点到线段，两段点距离相等， 那么做完这些之后够了吗？还不够，角一等于角二吧？对啊，然后那继续了，角一等于角三吧。所以为什么角一等于角三啊？因为等边对等角啊，然后继续， 又因为角一等于角二，这是圈一做图的过程得出来的，所以传递一下我们图中角谁，这个角二是等于角三的？角二等于角三，角二，角三是什么角？它是内错角相等吧，内错角相等， 两直线平行吧，所以图中就得出来了， d e 是 平行于 bc 的， 平行不就是得相似吗？三角形 a d e， 它是相似于三角形 abc 的， 那么接下来就肯定可以出答案了。那行吧，我们先来看什么？ 先来看一下此时咱们的 a d 比上 ab， 一个是四，一个是六啊， 因为这个题目中是告诉你的嘛，这个长度，那么继续了，它还等，这其实就是相似比啊，四比六，它还等于 d e 再比上 bc 吧。那 bc 的 长度知道吗？知道的啊，实际上就是四比六等于 bc。 bc 是 谁？ bc 是 三倍根号二。那太好了，所以我们可以很快算出来 d e 的 长度，它是等于多少的？它是等于二倍根号二的。行，把 d e 算出来了。 那么算完 d e 之后的话，我想告诉你的是，你这个 c e 和 d e 不是 相等啊，他就都等于二倍根号二倍。那于是最终结果已经出来了，谁还是等于四比六啊？其实还有什么？还有 a e 比上 a c， 它也是等于四比六的。二比三嘛，其实也就相当于 a e。 再来一个 a e 加上 c e 吧。但是 c e 长度咱们已经知道了，咱们直接把这个 c e 写成二倍根号二，它等于 四比六，所以最终咱们 a e 可以 算出来 a e 等于多少，它是等于四倍根号二的。所以这道题的答案就是四倍根号二。那么应该学会了啊，一定要记得领取资料之后，然后再来学习，这样效率最高。分享课堂知识，感受数学之美。我是安范老师，下节课再见！

无刻度直尺作图可是近几年数学里的重难点，很多同学都在这上面犯了难。别担心，今天我用六十秒把用无刻度直尺做垂线的方法掰开了，揉碎了， 给大家讲得明明白白。第一步，找到线段 a、 b 所在的直角三角形，数出竖着直角边的长度，将这个长度平放在这条边对面顶点 a 所在的水平线上，得到左侧的红点 d。 第二步，数出另一条直角边的长度， 将这个长度放在 d 点的正上方，得到点 e， 连接 a t 两点，构造这两个粉色三角形。因为边角边全等，对应角相等，所以线段 a e 就 垂直 ab 了。现在解决了过点 a 做 ab 垂线的问题。过途中任意点 m 做垂线呢？ 其实就是将 a e 平移到 m 处，让 e 点对应 m， 找 a 的 对应点 a 相对于一点向下平移了 b 格 m 也是同样操作， a 相对于一点向右平移了 a 格 m 也是同样操作。得到红点 n 连接 m n， m n 平行于 a， e 自然也就垂直于 a b 了。擦出多余的丝路线条，你再看看只用了几条辅助线。

好，这个这道题，那么放在这是一道二十八题的压轴题，他考的知识点其实只有一个东西叫尺规作图啊，尺规作图内容啊，但是这个尺规作图肯定是不是一般的尺规作图了，它能放在二十八，它就是很重要了啊，来看一下啊啊，那么前面的概念就不再说了，第一个 啊，细节的东西一定要看清楚啊，这个长方形纸片翻完之后来关键词出现了，翻的要求只有一个， a p 得落在 p d 上， 这个 a p 得落在 p d 上，也就是说这条边你得跑到这条边上才行。那么咱在想，如果这条边能跑到这条边，所以是不是就做角平分线是不就可以了？所以这道题的宗旨其实就是角平分线。那么想明白这个问题，是不是有一条边要落在这条边上？哎，就像在这条边翻到这条边上是不是做角平分线， 那我 a p 要翻到 p d 上，不就是完整的相当于做这个角不就是做垂线吗？因为这是个平角呀，所以是不是过点 p 是 不是做垂线就可以了？还记得怎么做垂线吧， 我们是不是专门录了一个详细的视频，非常详细的啊，那我今天呢就开始手搓了，我就不开始圆规了啊，手搓就是圆规扎在点 p 的 位置画弧， 圆规呢，创造两个焦点，圆规继续扎这两个点上画弧，所以这个垂线就可以画出来了啊，其实相当于过点 p 做垂字目标。好啊，这个道题是 p 什么？ pm 是 不是？哎，所以这个点就是 m 啊。 好，然后呢，第二个来看一下啊，能听完你考试别这样搓啊，你考试得持规作图啊。听到了啊，哎，来，我们不耽搁这个时间，因为你持规作图要花很长时间，来，我们看第二个。 好，第二个的要求来考试的时候关键词要标注好 p 跟 q。 这次不是线了啊，是点重合上去了，这个点能到这个点上做垂直平分线是不就可以了， 是不是啊，这个点重合到它上面，所以垂直平分线不要太好做呀，是不是啊，对吧。哎，垂直平分线，所以两个焦点啊，分别是 e 和 f， 标标反了，标反依旧是要全扣的， 字母一定要标好，做垂直平分线就可以了。垂直平分都会画吧，哎，以 p、 q 为圆心分别去画这个弧啊，好，那么第三个来看啊，第三个我 a、 b 落在 b、 c 上， 是不是然后我 c、 d 落在 a、 d 上，挨个来看啊， a、 b 落在 b、 c 上，刚刚才讲了是不做角平分线就能落上去了，是不是角平分线应该都会画啊，是不是来角平分线以 b 为圆心画弧，再分别这样画弧，所以这条线就画出来了，是不是？哎，这是几点？ 那同样的 c、 d 要落在 a、 d 上，是不是做角 d 的 角平分线对不对？好角 d 的 角平分线画弧，画弧，画弧，哎，交点就可以了啊啊，所以这个点呢？是呃， h 点啊，字母要标清楚啊，字母一定要标清楚了， 考试要用尺规作图啊，咱们就手搓了啊，来最后一个，最后一个 啊，呃，然后呢，他让你这块大家稍微看清楚，这块让你判断一下 b、 g 和 d、 h 的 位置关系，不要忽略的啊啊，但是你画完之后这两条是不是看出来了吗？什么位置关系，是不是平行啊？对不对啊？这个平行线会不会正呀？ 哎，来，我们仔细看一下，向正平行，只需要正出来，这俩角相等是不是就可以了？是不是？那么仔细来看，这是一个矩形，哎，同学，这是做角平行，所以这是不是四十五度的角啊，对不对？好，那这块你俩不是也都是四十五吗？那我这边是不是也是四十五了？因为我这块有九十度，或者你用内错角都行， 对不对？因为呢，咱俩平行，你四十五是不是就正出来了，对不对？好，所以啊，这个平行，哎，这个毕竟 它平行于 d h 啊，平行于 d h 考试这道题就呃告诉大家就是什么呢？不要忘了，中间还有这么一部证明题呢，它不是全程的一个作图题，你不要做着做着漏了一问，想给你送分都送不到手，是不是来最后一问啊？ 好，最后一问，说，这个边呢，要落在哎，这个 p q 上，哎，也就说要求它要落在它上面，边要落在是不是要做角平分线？我，首先这两个边我连焦点都没有，我谈何角平分线？ 所以立马想到，你延长不就有角了吗？对不对？有交点了呀，对吧？好，所以我们将这个 p q 延长跟 b c 的 延长线呢？交于某一个点，是不是？然后做这个角，角平面就出来那角平面来，随便做个角平面就行了，是不是来把角平面做出来就行了啊？ 好，那么焦点分别字母标标反了啊，这边是 n， 这边是 m 啊，我们就做出来，完美的到使规作图就做出来了。这是去年的二十八题的压轴题的位置的题啊，非常重要啊。

好的，我们来看一下旗下最基础的尺规作图之一，作一线段，等于已知线段，已知如图，线段 a b 作线段， a 撇 b 撇，使 a 撇 b 撇等于 a b。 这个时候呢，这个时候呢，我们可以先用直尺作一射线， a 撇 p。 然后再拿出圆规，以 a 为圆心， 截取 ab 的 长度，再以 a 撇为圆心，以 ab 的 长为半径，做一个小圆弧，这个时候与 a 撇 b 交于一点，就是 b 撇， 这个时候，我们就做出了 a 撇 b， 使它等于 ab。 已知如图，角 aob 做角 a 撇， o 撇 b 撇，使角 a 撇 o 撇 b 撇等于角 aob。 首先我们要知道，两个角的相等并不是它们射线的长度，而是角度的大小。那么我们做这道题的时候，可以先做一条射线， a 撇， o 撇、 b 撇。 然后呢，我们再拿出圆规，以 o 为圆心，任意长度为半径，做一条弧， 得到的这个点为 m 点，这个点为 n 点。然后我们再拿出圆规，以相同的 o 撇为圆心， 相同的长度就是 m o n o m 的 长度做一条弧， 做完这条弧之后，再用圆规截取，截取出 m n 的 长度， 在这里以 m 为圆心，嗯， m n 为半径做一条弧，这个点就是 n， 这个点就是 m。 连接 o 撇， 连接 o 撇 m 就 可以得到射线 o a。 那 么我们就做出了 a 撇 o 撇， b 撇等于角 a o b。 做完相等角之后，我们再来做平分线，已知角 aob， 求角 aob 的 平分线 o p。 我 们这个时候呢，拿出圆规， 以 o 为圆心，任意长度为半径画弧。这时相交于 o， a 和 o， b 于 m 和 n。 这个时候呢，再以 m 为圆心，任意长度为半径，做一个小弧， 再以 n 为圆心相等的长度做一个弧。 这个时候呢，我们就可以得到一点 p 连接 o p 就是 这个角 a o b 的 平分线。 我们再来看一下这种题型做已知线段的垂直平分线。首先要懂得垂直平分线的概念，就是一就是过这个线段 的垂直线，二这个垂直线把 ab 分 为两个完全相，长度完全相等的部分。好，我们来看一下这道题目 还要做 ab 的 垂直平分线，那么我们可以先以 b 为圆，以 b 为圆心 任意半径，注意这里的半径千万不能小于小于这个 ab 的 一半，要稍微大一点，在这里差不多。然后下面也来画一条， 再以 a 为圆心与刚相等的半径，则再画一条小圆弧，下面也是，这时就会出现两个点连接两个点， 这个就是 m n， 就 做出了 ab 的 垂直平分线， m n 已知直线 l， 直线 y 一 点 p 做过点 p 做做 l 的 垂线。首先我们以 p 为圆心，任意长度 为半径，做两个圆。还有这里注意，这里的半径一定要稍微大一点，确保他能在与 l 有 两个相交点，这样我们才能做出来接下来的这过 p 的 l 的 垂线。 我们设这两个与 l 相交的点为 m 和 n 的 点为圆心， 随机的半长度为半径，做做两个圆弧。注意这两个圆弧的半径要是相等的。然后呢，又可以得到一点 q， 设它为 q， 这时连接 p q， 就 做出了过点 p l 的 垂线。 我们再来看下这道题啊，这道题目跟刚不同的地方在于，这个点 p 位于直线 l 内，我们这个时候就可以直接拿出圆规，以 p 为圆心，任意 任意本长度为半径，做两个小圆弧交于 l， 这时就可以出出出现两个点 m n， 再以这两个点 m 和 n 为圆心，任任意长度为半径，做两个小圆弧交于一点，设这个点为 q， 连接 p q， 我 们就可以得到过 p l 的 垂线， 记得关注再走哦！

同学们好，利用这个视频我给大家讲解一下七年级下册涉及到的一些取规作图的方法，希望大家看了这个视频之后，在期中考试期间取规作图能够不失分。 好，第三个是画相等角，这种呢一般都会给你一个角，比如说这个给你一个角移，同时呢在这个角的外面又给你一条直线， 好，我需要在这条直线上做一个角，让这个角呢等于角一，比如说我们要做的就是角二，好，怎么办呢？这种叫做照葫芦画瓢，照猫画虎，先以这个为圆心好画个弧， 交两个点，那怎么办呢？在这个地方也画一个弧，这个时候我可以先确定一个点，比如说这个点是我们要画的这个 a 点啊，这个角就是我们要画的角 a 好， 还是画一个弧好？第二步怎么办呢？ 以这个交点为圆心好，这个交点呢，和这两个交点之间的这个距离作为半径， 好画一个弧，这个时候呢，如法炮制，在这边还是画一个弧焦点，那这个时候我们连接 a 点和这个点，就能够确定 我们要画的这个角二了。好，这个就是我们要画的角二，角一和角二大小是一样的，你看是不是左边画一下，右边画一下，左边画一下，就是如法炮制，照葫芦画瓢就可以。 好，第三个呢是画平行线，平行线的话一般会给你一条直线，比如这条直线 l， 那 你要在这个直线外一点，比如说这个点，我们设为这个 b 点 好，要过 b 点画一条直线平行于 l， 那 怎么办呢？我们连接圆这个 b 点和这条直线上某一个点，这个点你可以任意的一个点啊，然后连接之后 把这条直线画的稍微长一点。这个时候咱们想一下，假如咱们需要画一条平行线，画出来大概是长这个样子， 这个时候这个角和这个角有什么关系啊？因为这两个是平行线，所以说他们这个同位角是相等的，所以说我们这个时候就转换成什么了。 这里边比如说这个角是角一，我们画一个角二，让角二等于角一不就行了吗？所以说怎么画呢？跟咱们刚才画的这个相同角是一样的一个道理。还是照葫芦画瓢，先以 这个地方作为圆心画一个弧 好，再以这个 b 作为圆心，还是画一个弧，画弧画大一点好，然后再以这个焦点作为圆心，另外一个焦点和这两这个焦点之间的这个距离作为半径， 同样呢，在这个地方以它为焦点为圆心，再画一个弧， 那这个时候我们连接这个 b 点，和刚才咱们这个圆弧的焦点一连，哎，你会发现这个角它是等于这个角一的， 这两个角相等，角 b 是 等于角一的，所以说我们画的这个直线 l 一 就平行于我们已知的这条直线 l 好。 以上的话，这四种线就是我们期中考试，一般期中考试要考到的这四种画法， 考前的时候再稍微回顾一下这个视频，不要把这个画法给忘掉了。

来，今天来给大家总结一下七下常见的几何模型。首先是这个 a 字模型，什么叫 a 字模型，其实顾名思义就是这个字面意思，像这个字母 a 的 这样的一个图形，那么它有什么结论呢？我们是可以用上的呢？ 假设这个图形，它的结论是这里的两个外角，这两个外角等于假设是角一角二吧，角一加角二，它就等于一百八十度，再加这个顶角 一百八加角 a， 这就是它的结论。那么怎么证明的？其实就是一个外角定律，连续使用两次外角定律，你看角一 是三角形 aef 的 外角好，角二同样也是三角形 aef 的 外角好。很多版本旗下没讲到外角这个概念啊，但是一定要去 提前去学一下，这个外角非常有用，求角度。我们一般是优先考虑外角的 啊，那么外角三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和，所以这个角一，它要等于角 a， 与它不，这个是相邻的，与它不相邻，就要这个加这个角 a， 加上角 a f e， 那 么同样的角二，它也要等于角 a， 加上角 a e f， 好，那么角一加角啊，它是不是要等于角 a 加上角 a f 一 加上角 aef， 再加一个角 a 啊？好，这三个是不是正好这是这个三角形 aef 的 内角和啊，内角和是不是就一百八， 所以他是一百八，再加一个顶角好，这个结论在选择填空题的时候我们可以直接使用，但是在解答题的时候不能用，一定要写证明过程。 所以什么叫学霸，学霸就是总结了很多的这样的一个规律，选择填空题，他直接使用，速度就非常快，又快又准。然后解答题，该写证明过程的时候，他写的非常严谨，一步不落。然后我们来看一下这个例题， 如图，在三角形 abc 中， ef 是 abac 上的点，那么角一加角二等于两百一十四度。好，刚才 a 字模型也分析过了，那么角一角二是什么角一角二是三角形 aef 的 外角，对不对？求角 a 的 度数。角 a 是 什么？角 a 是 不是顶角啊？ 在 a 字模型里，角 a 就 可以视作三角形 aef 的 顶角了。好，要你求度数，能看出是 a 字模型的同学，瞬间是不是就跟这个对上号了？ 看不出来的，其实你分析一下也 ok。 求角度是我们四大基础题型，一、求角度，求正角相等这样的一个题型，那么求角度，求正角相等两种方法全等等量代换，等量代换底下又有五个定律好。求角度是优先考虑外角定律和内角和定律。 所以题我们不是做出来的，我们是分析出来的，就是解这道题的所有要用到的所有的知识点以及方法，全都已经提前在我们的知识库里面了，你只要给你的知识库去分分类，搭建成体系，做题的时候就会非常通畅。 好，外角定律，你看角一角二是三角形 a、 e、 f 的 外角，所以连续分两次去写一下就 ok 了。你看角一等于角 a 加上角 a f e， 角二等于角 a 加上角 aef， 所以 角一加角二应该等于角 a 加角 aef， 加角 a f、 e， 再加一个角 a， 也就是一百八十度加角 a， 那 么一百八加角 a 等于两百一十四度，角 a 是 不是口算都能口算出来啊？三十四度。好，我们来书写一下过程。 书写过程之前，我们同样先来分一分模块，这个地方分模块其实很简单了，就是你看一个连续两次外角和定力 带进去求一下就行了。好，求，那我们写解好，连出两个外角的理，角一、角二，我们分开写一下，因为角一是三角形 a、 e、 f 的 外角，你看如图，图上看出来的， 所以角一等于角 a 加上角 a、 f、 e， 这是外角定律。好，下面两个是不是跟上面一样的？同理好，两组等量关系有了，直接加起来是不是就角一角二了？ 你看这个食指跟这个食指相加，得到了它等量代换。那么看一下这个是什么？这个是不是就三角形 aef 的 内角和，所以它应该等于一百八十度，对不对？好，到这里为止，你看简单五个步骤， 这个一外角定，你是不是结束了？好，接下来模块二内角和定力来看，这里 这三个角之和是不是就三角形 a、 e、 f 的 内角和，所以它是不是等于一百八十度？那因为这三角之和等于一百八。如图，你要写内角和定义也可以 啊，所以角一加角二等于一百八十度，加角 a 等量代换，把一百八十度替换掉这三个角之和。好，接下来把角一加角二等于两百一十四度带进去是不就可以了？好，因为角一加角二等于两百一十四度。你看这里已知条件给的 好，所以一百八十度加角 a 等于两百一十四，等量代换两百一十四，替换了角一加角二。好，然后计算一下就行了。一百八加角 a 等于两百一十四，那么角 a 就 等于两百一十四，减一百八三十四度 设计计算等量代换。好简单，五个步骤，第二个模块也结束了，你看到这里为止，整个题目就出来了，因为所以上下对对齐，你看这样是不是非常清晰？好， a 字模型利用外角定力以及内角和定力的证明，搞明白了吧？

来，就这一组模型用的太多了，我们说角平分线，这里一共有四大名辅助线，今天依依老师用一个视频就带着大家全部讲清楚， 那有关于初中这里的几何模型辅助线，老师给大家做了一个系统的梳理哦，如果咱们孩子现在还没有几何模型思维，证明题还经常写不清楚，过程没有思路，家长们一定要打印出来，逐个题型，逐个模型，配合着老师的视频来带孩子学习。 下面呢，咱们一起来看一看角平分线相关的辅助线该怎么做。老师啊，下面要教给大家一个条件反射的思维，就是遇到题目看到什么样的图，什么样的条件，立马辅助线的想法就出来了，不需要哎去做过多的思考啊。 举个例子啊，比如说这里面遇到角平分线，遇到有一条线垂直于角的另边另外一边，那这个时候立马反应辅助线的做法是干嘛呀？做双垂直，我们直接啊在这里过这一点，再向另外一边做出垂线就行了。 两个三角形全等，而且角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，所以这里有很多条件可以为我们使用了。这个叫做什么？叫做有一锤，干嘛叫做做双锤？继续第二种， 第二种，当给你角平分线没有垂直，这个时候垂的是什么？没有垂边，垂的是中间，叫做角平分线怎么样？垂中间，垂中间怎么样？直接做延长啊，做延长，这个时候延长下来之后，两个三角形又是全等的， 所以通过一和二你会发现，我无论是做双垂还是做圆长，本质上我是要构造上下两个一模一样的三角形，像照镜子一样把小镜子摆在这折下来，就是我们辅助线的做法。 哎，按照这个道理，你能不能看看第三个？如果这个时候没有垂直，既不垂两边，又不垂中间，这个时候辅助线该怎么做呢？ 哦，这里面我们叫做无垂直，怎么样叫做做截取啊？怎么截取呢？我们只需要截一段线段的长度，它俩相等就可以了。 这是角平分线吗？对不对？它俩相等是不是？所以在这儿我们就有这两个三角形，怎么样？是全等的 s a s 就 可以判断出来了，所以本质上还是一样，照镜子翻折轴对称形的全等就出来了。 最后一种角平分线的辅助线叫做角分平等，腰成角平分线，再加上平行线有两线平行，内错角相等，所以这出等腰三角形对应边角关系就可以为我们使用了。 所以有关角平分线常见的四大辅助线，咱们今天就都总结出来了。那你所有的结论和原理记清楚了吗？

同学们好，今天咱们来讲解一下三角形的十二个模型， 在这十二个模型中呢，有几个常考大体，而有一些呢，常考选择和填空，咱们挨个来看一下，咱们先看第一个飞镖模型，这个飞镖模型也叫燕尾模型，它里边包括了一个基本模型和两个扩展模型， 通常这个基本模型是第一位，然后第一个扩展模型是第二位，第三个扩展模型是第三位。所以说这个飞镖模型呢，常考大体它比较重要啊。咱们先看一下它的基本模型， 它基本模型的形状，哎像一个飞镖，哎是一个凹的四边形。 题目当中会给你条件如图，哎，一个凹四边形 a、 b、 c、 d。 它有两个结论，第一个结论是角 b、 c、 d 等于角 a 加角 b 加角 d。 第二个结论是 ab 加 ad 大 于 bc 加 cd。 如果说出现选择填空题的话，这两个结论咱们直接套就可以了，就是说这个角等于这个角加这个角加这个角。 那第二个结论就是说这个边加这个变，大于这个变加这个变。那如果说出大题呢？出大题的话，咱们就得把过程摆上了。那如何去证明圈一和圈二呢？ 咱们就要用构造三角形的方法，因为在这个四边形中呢，没有三角形，所以咱们要构造一个三角形，才能利用三角形的内角、外角以及边的关系去求证。 那咱们来复习一下，三角形的内角和是一百八十度，三角形的外角和呢是三百六十度，并且呢三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和 边的不等关系呢，三角形的两边之和大于第三边，而三角形的两边之差小于第三边。好，那咱们利用这几个知识点来证明一下。圈一， 咱们要勾到三角形的话，你看在这个四边形中，我可以连接 a、 c 并延长至点 p， 那 此时 a、 p 这条线就把这个四边形分成了两个三角形了。 那么在这两个三角形中，我就可以利用内角和或者外角或者三角形的不等关系去求证了。咱们先看最左边的这个三角形 a、 b、 c 吧。但你看，在三角形 a、 b、 c 中， 咱们要求证角 b、 c、 d 与角 a、 角 b、 角 d 的 关系，咱们应该怎么找呢？那你看一下 a、 p 把角 b、 c、 d 分 成了两个小角吧。哎，咱们可以挨个看这个小角，但你看这个小角正好是这个三角形 a、 b、 c 的 外角吧。咱们知道三角形的外角等于它不相邻的两个内角的和。 但所以我就能得出结论，角 b、 c、 p， 它就等于角 b、 a、 c 加上角 b。 那咱们紧接着看右边这个三角形 a、 c、 d。 那 在右边这个三角形中， 这个角 d、 c、 p 这个小角它等于什么呀？它是不是等于这个角加这个角啊？那所以说我能得出结论，角 d、 c、 p， 它应该等于角 d、 a、 c 加角 d 吧。 咱们最后要求角 b、 c、 d 与角 a、 角 b、 角 d 的 关系，那你看一下它俩相加刚好是角 b、 c、 d 呀，那这个时候我让它俩相加就可以了。角 b、 c、 p 加上角 d、 c、 p 加上角 d a、 c 加角 d 吧。 那这个时候我看一下这个角 b、 a、 c 和这个角 d、 a、 c 刚好得角 a 一 吧。这俩角相加刚好得角 a， 所以 说圈一我证明出来了，角 b、 c、 d 等于角 a 加角 b 加角 d 了，是吧？ 大家看一下啊，整整理一下思路， 圈一咱就证明完了，对吧？但是这个圈一还有别的证明方法，之前也考过，这是第一种证明方法，咱们叫法一。 好，咱们继续看一下证明圈一的第二个方法。法二， 这个时候咱们就不要这个 a、 p 了，咱们离延长 bc 交 a、 d， 余点 q， 哎，图我已经画好了， 那么在这个图中的 b、 q 把这个四边形分成了这两个三角形了，一个是三角形 a、 b、 q、 d。 咱们先看一下三角形 a、 p、 q。 在 这个三角形 a、 p、 q 中，咱们发现了这个 c、 q、 d 好 像是三角形 ab、 q 的 外角吧， 那此时我就可以写成角 c、 q、 d。 等于角 b， 加上角 b、 a、 q。 紧接着咱们看右边这个角，右边这个三角形 c、 q、 d。 在 这个三角形中，咱会发现角 b、 c、 d 是 一个外角吧，它等于谁加谁呀？它等于角 d， 加上角 c、 q、 d。 那此时这个角 b、 c、 d 我 就可以表示了，可以写成角 d 加上。咱们可以把这个 c、 q、 d 换成角 b， 加上角 b、 q 吧。 哎，那此时角 b、 c、 d 与角 a、 角 b、 角 d 的 关系咱们就证明出来了啊，这两种方法啊， 紧接着咱们看一下证明圈二，那如何证明圈二呢？圈二是边的关系，那边的关系咱们也得勾造在三角形，咱们就紧接着 按照这个法二来。这个法二呢，这个 bc， 这个 b、 q， 将这个三角，将这个四边形分成了两个三角形了，咱们还是先看左边这个三角形，在三角形 a、 b、 q 中， 三角形两边之长大于第三边吧。那我是在这个三角形中，我就可以说 a b 加上 a q 肯定大于这个 b q 吧。哎，所以我这么写，我写 a b 加上 a q， 它大于。你看这个 b q 是 由 bc 加 c q 组组成的。哎，那我就这么写。 紧接着咱们看右边这个三二三二形 c d q， 那 它的任意两边之长也应该大于第三边，所以我可以写 c q 加 q d 一定是大于 c d 的。 这个时候咱们将这两个式子相加，即 左边进加左边 a b 加 a q 加 c q 加 q d 应该是大于 bc 加 c q 加 cd 的。 那么此时我把这个式子我稍微化简一下， 这个 c q 和这个 c q 一 项就消没了。 并且你看这个 a q 加上这个 q d， 它不刚好是 a d 嘛。 所以说现在 ab 落下来， a q 加 q d 就是 a d 了，大于号落下来是不大于 bc 加 cd 啊。那所以说这个圈二咱也证明出来了啊。 所以说证明圈一有这两个方法可以选择，然后呢，证明圈二呢？咱们就按照这个方法，按照圈二的，按照法二的这个方法去做就可以了啊。

来吧，看一下师大这次刚刚结束的七下第二次月考啊，这次的压轴题我觉得考的很有水平，整个视频应该时间不会很长，六分钟左右就能搞定。 这次的题呢，其实很像后续的考题的方向就是它给你的模型，不是说你直接能发现能完全套进去的啊，它会更加考察这个模型背后本质的逻辑。你像将军一马，无外乎就是线段和线段差了最小，和线段差了最大。什么时候取得呢？ 一定是两条线共线的时候，所以这个是他取到最取这个最值的最底层的逻辑，所以这个题底层在共线，哎，因此我们去研究一下这个题。 好吧，老规矩啊，这个题呢，先暂停啊，先暂停啊，自己去尝试着做一下。主要是这个第三问值得一做一二问比较 easy 啊。第三问 暂停好，回来之后看一下这次的押注题呢，他考了两个知识点啊，这个被长中线就是一个客串啊，重点其实是将军一马的一个进阶。也就说呢，你看不到传统意义上这个两定一动啊，对吧，两动一定这种东西你更多看到的是，哎，这两条线段好像 感觉不太像将军印吗？你得自己去研究，你记住一个点，就是你的动点要想学的好，核心就是在模型学完之后，你要知道模型背后的逻辑是在什么情况情况下会发生的，要知道背后的逻辑以及说呢，不要被这个模型所陷住而限制住就发。发现好像 处理动点的时候，我只能套模型，不是你自己要尝试去学会研究动点的变化过程啊，所以这个题会体现的很明显。好到这个时候已经做完了，大概率的，你会画出这么一个图来啊，就是我这个第一个图应该是能画出来的， 那这个图你发现哦，这个 d n 减掉这个 am 好 像没啥感受啊，但这个时候你发现啊，你把条件 标清楚， c 是 不是个中点，这一条边是不是相等，然后这条直线下来了，所以又一个对顶角，又一个什么直角，我会发现，我是可以在这边构造一个跟它全等的三角形，把 d n 进行条件转移，对吧？因为我们在被长中线这个环节，其实就会出现这两个三角形全等， 对吧？同样，那在被唱中线这个百合，这两三角形全呢，也是意料之中的。所以呢，我就将看似有点遥远的 d n 和 a m 的 差值变成了谁 a m 与 b p 的 差值。好，那这个时候我就研究啊， a m 和 b p， a 跟 b 都是个定点，然后呢，它呢的差值，貌似我做一条垂线下来，应该是这段长， 对吧？那这段长咋求呢？不知道，那这个时候咋办？那你再画一个嘛，因为这个过程 e 是 个动点，这一动 e， 这个叫 e p， 这条线是不是也在动？那你就换一个嘛，你换到右边，我把 e 再往上移， e 往上移，画一条线，发现之后呢，再做个垂线，啊，啊，他好像是这段是不是相比这段变短了，对吧？因为我求了，是不是相比这段变短了，对吧？因为我就不敢把 e 再往上移了呗， 是吧？因此我就往下移，那我移到最下面，我发现移到这个吧，先看这个，我移到这发现哦， 当这个 c m 垂直的时候哦，你会发现哦， d e 是 跑到这个位置了，然后呢？ am 又是这个位置，好，此时此刻是不是这段长，这段长肯定比这两段长要大吧， 对吧？再去演，你说老师，这个我感觉是不好巧合啊，不太放心怎么办？研究第四个，我把它再往下移，我移到这个时候，我会发现呢，此时此刻 d n 是 不是变成这一段了？都跑 n 都跑到这个角落外面去了，好，然后呢？这个 b， 这个应该是 b m 吧， b m 是 不在这，对吧？然后此时此刻 a a a 谁来着啊？ b p 这是 b p 啊， a m 在 这 am 轴，你发现它一剪，它是不是还是这个叫直角三角形的这个直角边，它并非这个斜边，也就是说这个边依旧是没有这个边长的，对吧？到这我就知道了，此时此刻这个状态下，它们两个差的最大值应该是它 应该在这，这也好理解，你想想，我们在将军印码这个板块去处理差的这个叫最大值的时候，什么情况下发生啊？回顾一下将军印码看， 比如说给一条线段啊，这个是 a， 这个是 b， 对 吧？那这是一个 p 点， pa 和 pb 差到最大的是什么时候取得？什么时候取得？想一想，其实就把 b 对 称过去嘛，对吧？ b 是 应该在这，然后呢，是这样取得的， 哎，不够长了啊，这个在这画的，再长一点，是不是在这取的， 对吧？ b 撇，然后 p 在 这的时候，它此时最大的事就是这段，对吧？也就说在处理将军把这个板块，你知道啊，核心是它两个极致都在共线的时候发生的，那跟这个也是正好能解释了，这两条线在共线的时候发生，那这个就 easy 了。你看 这个是一百一十度，那这个，这是个等腰三角形嘛？他就是三十五，对吧？三十五的话，那作为一个直角三角形，这个是不是五十五？然后作为一个平角，这就是一百二十五？出答案结束 啊，就是这个题，所以这个题其实还是比较反套路的，这大概是后续考题这个方向。因此对于几何题，你很想把压轴题给他解明白了。核心是什么？ 核心是第一个，你的模型要熟啊，而且你不要局限说这个模型计结论，你要知道这个结论到底是怎么去来了，这个很重要，要搞明白这其一 其二，对吧？对于这个动点的状态处理，你不要被模型所束缚住，你要干的事就是自己得有去研究动点这个运动过程变化的意识 啊，这才能把知识学扎实。当然了，除此之外还有更前面还有更基础的没有讲，就是你的条件上图，对吧？你把这个条件充分的给他用干净啊，这就是我这个，呃， 是这个叫抖音名称的来源，为什么叫三刀老师？因为其实你的条件看全了，条件这个看正确，条件用干净，就这三把刀决定了你的几何的基础，好吧？ ok 啊，这就是这个题，下来之后可以再好好去回顾一下。

今天我们来讲一讲如何用圆规做已知角的等角。咱们先画一个已知角，角 a、 o、 b。 角画好之后，咱们来注意看做图的步骤，你准备好了吗？ 第一步，以 o 为圆心，画弧，交 o， a 于 c 点，勾 b 于 d 点，先描上弧与角的两条射线这两个交点，第一步咱们就搞定了，接着第二步，咱们来画一下射线 o 一 撇， b 一 撇， 以 o 一 撇为圆，同半径画弧交 o 一 撇， b 一 撇，于 d 一 撇， 然后画弧，找到弧与射线 o 一 撇， b 一 撇的交点， d 一 撇点，以 d 一 撇为圆心， c， d 长为半径，画弧交前弧于 c 一 撇， 这样咱们就得到两个弧的交点是 c 撇点，得到角四一撇， o 一 撇， d 一 撇，即为角 o b 的 等角，你学会了吗？

尺规做角的平分线，那现在我们尝试一下用这俩工具来画一个已知角的角平分线吧。在角 a、 o、 b 中，以其顶点 o 为圆心，适当长为半径画弧， 可以看到与角的两边相交，交点分别为点 c 和点 d， 再分别以 c、 d 为圆心，以相同且大于二分之一 c、 d 的 长为半径画弧，两弧在角 a、 o、 b 内交于点 e， 最后用直尺做射线 o、 e。 那 这时呢，就可以得到角 a、 o、 b 的 角平分线了。是不是很想知道为什么呢？ 其实并不难，一起来探究一下吧。这里我们使用圆规构造了一些相等的线段，那不妨标注一下， 首先， o c 等于 o d， c， e 等于 d e， 再加上公共边 o e， 怎么样看出点门道来了吧？三角形 e、 o、 c 和三角形 e、 o、 d 不 就是全等的吗？那角一自然就是等于角二的了， 所以 o、 e 就是 角平分线了。没想到这里的幕后大 boss 居然是边边边全等，真不愧是全等的 y y d s。 在 刚才的操作中，还有一个问题你发现了吗？为什么在第二步的时候，咱们要以大于二分之一 c、 d 的 长为半径画弧呢？如果半径过小，会出现什么情况？ 此时会发现两个圆根本没有交点，所以不行。那半径要多大，两个圆才能够有交点呢？ 现在让两个圆慢慢的变大，直到有公共点。那此时呢，连接 cd 可以 看到两个圆的半径之合啊，正好等于 cd， 也就是 r 等于二分之一 cd。 但咱们实际作图中没有测量工具的情况下，很难正好取到二分之一 cd， 所以呢，再把半径继续扩大，发现焦点会更好找。因此为了作图方便，把半径控制在大于二分之一 c、 d 是 最合适的，当然也不用太大导致焦点太远。那到时候呢？连射线不方便，吃亏的可是咱自己。

各位同学，我是大刘老师，今天给大家讲解一道七年级下册角度计算压轴大题，只讲思路，不写标准过程 我们先来审一下题，对于平面内的角 m 和角 n， 若存在一个常数 k 大 于一，使得 角 m 加 k 倍，角 n 等于三百六十度，则称角 n 是 角 m 的 k 倍。补充周角。 如，若角 m 等于九十度，角 n 等于四十五度，则角 m 加六倍，角 n 等于三百六十度，角 n 是 角 m 的 六倍。补充周角。 第一个问，若角 m 等于一百二十度，则角 m 的 三倍补充周角的度数。为此题解一个方程就可以出来了，比较简单，就不过多赘数了，答案是八十度。 第二问，在平面内， ab 平行于 cd 点 e 为直线 ab 上的一点，点， f 为直线 cd 上的一点，如图一点 p 在 直线 ab 的 上方， 角 p f c 等于六十度，连接 p e p f。 当角 e p f 是 角 p e a 的 切倍，补充周角时，求角 e p f 的 度数。我们假设角 e p f 是 被它， 角 pea 是 r 法，角 e p f 是 角 pea 的 七倍，补充周角，那也就是 r 法加七倍的贝塔等于三百六十度。 我们的已知条件是， p e、 c 等于六十度。两直线平行，同位角相等同位角，这个同位角呢，又刚好是三角形的外角，所以阿尔法加贝塔的和就是六十度。 第一个式子减第二个式子小于六倍的贝塔就等于三百度， 所以贝塔等于五十度，也就是我们的角 e、 p f 等于五十度。 第二题，如图二，若点 p 为平行线 abcd 之间的一个动点，连接 p e p f e f 角 efp 和角 fep 的 角平分线交于点 q， 若角 aep 等于 m 度，角 cfp 等于 n 度，角 q 是 角 g 的 二倍补充周角。请直接写出角 g 的 度数， 用含 m 和 n 的 代数式表示这个题 p 有 可能在 e f 的 左边，也有可能在 e f 的 右边，所以我们要分两种情况讨论。但是不管是哪一个图，我们都有 角 g 加上二倍的角 q 等于三百六十度，因为他说角 q 是 角 g 的 二倍补充周角。那么左边的这个图， 角 a e p 等于 m 度，角 c e p 也是等于 n 度。我们现在要表示角 g 的 度数，就需要把角 q 的 度数求出来。 根据两直线平行同旁内角互补，我们能知道角 p f 加角 p f e 的 和会等于一百八十度减 m 减 n， 而我们已知这两边都是角平分线，所以我们能知道角 qef 加角 qfe 会是二分之一的角 pef 加角 pfe， 也就是二分之一的一百八十度减 m 减 n， 也就是九十度减二分之一 m 减二分之一 n， 而我们所求的角 q 就 等于一百八十度减角 q e f 与角 q f e 的 和。因为三角形的内角和是一百八十度，所以角 q 等于一百八十度减角 q e f 加角 q f e 的 和， 也就是一百八十度减九十度减二分之一 m 减二分之一 n。 打开括号就是九十度加二分之一 m， 加上二分之一 n， 而角 g 加二倍，角 q 是 三百六，所以角 g 应该是三百六减二倍的角 q， 也就是三百六减二倍的九十度，加二分之一 m， 加二分之一 n， 也就是一百八十度减 m 减 n。 如果当 p 在 e f 的 右边的时候，我们角 p f 加角 p f e 的 和的表达式需要改一下，因为现在 m 在 这， n 在 这， 那么现在角 p e f 加角 p f e 的 和应该是等于 m 加 n 的 和减一百八。因为现在的同旁内角在这， 也就是 m 加 n 的 和里面包含了这一组同旁内角， 所以我们需要把这个位置改成角 p e f 加角 p f 一 的和应该是 m 加 n 减 一百八十度。后面的推导和老师书写的过程长得一样，只不过说位置换了一下，所以最终化简之后我们能得到角记应该是等于 m 加 n 减一百八十度。所以最后写一句，综上，角积等于一百八十度，减 m 减 n 或者角积等于 m 加 n 减一百八十度。如果觉得老师讲的清楚的话，可以点个关注。

弧线是七年级下册期末必考点，利用直角乘以倒角。昨天我们分享的是在长方形里边倒角，那今天的话三道题都是关于三角形进行倒角的题。 好，首先我们看第一题里边二零二五年南阳期末的一个考题， b、 c 是 直角九十度，那在这我们可以标上一个直角，然后角 b 是 五十五度，那它是五十五的话，加上直角马上可以到角 c， 这的话，它应该是一个 五十五的余角，是一个三十五度，九十减去五十五啊。然后 a、 d 垂直 bc 于点 d， 所以 这个直角两边都是九十度。 把 a、 d、 b 沿 a、 d 进行一个翻折，那翻折以后的话，我们知道翻折前后对应角 b 和 b 撇位置的话， b 这是五十五度，那右边这的话对应也是一个五十五度，所以我们可以对应的也标上五十五度啊。然后要求这个 c、 a、 b 撇的度数，那求角的话， c、 b 撇要求的是这个角度数。那么利用对应角的话，刚才我们分析出来，这是一个五十五度，这个五十五度角的话，它刚好是我们三角形 a、 b 撇 c 的 一个外角，所以说我们由此的话就可以快速得到，我们要求这个角的话，它就等于 五十五度减去这个三十五度，结果是一个二十度，答案选 c 好。 第二题的话，是二零二四年徽县期末统考的一个第十五题， 还是有一定难度，一个填空压轴题啊。来看题目里面，第一是三角形上面两边上点，然后把它沿第一进行翻折，点一恰好落落在了这个这条边上面，对应点是 a 撇，然后已知角 a 是 一个四十四度， 要求角一加角二度数。那在解这个之前的话，我们先认识一个几何模型， 名字叫征信，就像这样，他长得像风筝一样，那这边固定有一个结论， 在风筝两个翅膀左右两边的位置，两个角，角一加角二，他一定等于风筝头上面的角 a 和风筝头下边这个角 b， 两个角就是角一加上角二等于角 a 加上角 b。 要证明这个结论的话，也很简单，需要用到我们的膝下里边新学的这个外角定力， 我们辅助线直接连接一下 ab， 因为 ab 以后的话，角一是左边三角形的一个外角等于它的和，角二的话是右边三角形的外角等于这两个的和，所以说角加角二的话，就等于上面角加上下边角到这个结论了。 所以由此的话，我们回头来看这道题的话，要求角一加角二，直接可以知道角一加上角二等于我们的角 a 加角 a p， 而 a 和 a p 相等呢，所以说等于二倍的角 a， 那 a 是 一个四十四，所以说等于二乘以四十四度，结果是一个八十八度，直接秒杀答案。 好，那这是第一种解法，就是我们用模型来解啊，那当然对于很多同学来讲的话，可能这个模型比较难一点，那接下来我们用常规的方法就正常来导角，我们再推导一下试试看。 既然题目里边要求的是与角相角相关的，那所以说我们来解这个题的话，一定要找折叠前后里边的对应角， 求边的话就找对应边了。对应角我们来看折叠前后角 a 和 a 撇是有对应角，它是四十四，这个也是四十四啊。那除此以外的话，因为我们翻折的话，翻折是一个三角形，所以对应角的话应该有三组，除了角 a 以外的话，我们图放大一点啊， a、 d， e 则跟这边 a 撇 d， e 它俩也是对应角，所以我们可以设都是 r 啊，方便一会推倒。那下面 a、 e、 d 的 话，我们给它写一个 beta， 右边对应的话， a 撇 e、 d 它也是一个 beta。 好， 那我们找角一角二跟它之间的关系，我们发现角一的话跟二 r 法 它俩是一个互补的关系，角二跟二倍，它也是互补的关系，所以由此的话，我们暂时求不出来角一角二具体读数，但是我们可以知道角一加二阿尔法，然后它是一个一百八十度，对吧？ 角二加上二倍，它也是一个一百八十度，好，由此的话，我们可以知道把它们两个加到一块的话， 这样写啊半是不是有点问题？两个一百八加一的话，一共是一个三百六十度啊。由此的话，我们要求角一角二我们不知道等于多少，但是我们发现题目里面出现了二 alpha 二 beta， 所以 可以把 alpha beta 的 话，它们俩当做一个整体来看待。 alpha beta 有 什么关系呢？它在同一个三角形里边， 它们和 a， 这是加弦的角和是一百八十度，减去我们的角 a 也是一百八度，减去一个四十四度，结果一共是一个一百三十六度，所以可以得到二倍的阿尔法，加上二倍的比特的话，就应该等于一百三十六度，乘以一个二，结果是一个二百七十二度，好，那由此的话， 我们刚才分析出来，角一角二加上二倍的比特的话，一共是一个三百六，那要求角一角二的话，用三百六减去这个二百七十二就可以了， 减去二百七十二度，结果可以分析出来应该是一个，哎，八十八度，好，这是我们第二题啊，现在来讲这个题有一定的难度， 还是要用核心思想，就是我们要求对，要求角度的话，折叠里边求角度就用对应角去解，那后期包括平移问题，包括旋转问题也是一样的，求角就用对应角，求边就找对应边，然后一步步推，推倒啊，好，往第三题，二零二五年南阳期末的一个 在四边形里边，角臂一百二十度，那有角度的话，我们快速给它标上角臂，这是一个一百二十度， 然后 b 和 a、 d、 c 是 互补的，那这样的话我们可以得到 a、 d、 c 的 话，整个大角马放大一点啊，这个角的话应该是一个六十度，然后完了以后沿这个 d、 e 的 话，把它进行一个翻折，哎，翻折的话就出现一个走对称了，好， ab 又平行于 c、 p、 c、 e， 那 有平行线的话，我们马上想到这里边，对应的话，平行线里边三列角，同一列角，同方列角，所以可以得到这的话，同一列角是个六十度，然后同一列的话，这整体是一个一百二，然后又因为折叠前后这两角是相等的，所以我们可以得到 它是一个六十度，这边也是一个六十度。好，问题里边让我们求角 a 的 度数，那我们看要求角 a 的 话，角 a 是 在整个这个四边形 a、 b、 c、 d 里边的，我们已经知道角 b 了，也知道角 d 了啊，那就差这个角 c 了，所以知道角 c 就 可以推出来它了。那角 c 的 话，我们来看题目里边还有一个条件， 这个 dc 撇平分 a、 d、 e， 比如说在这的话，这两角是相等的，而 这个 c 撇 d、 e 的 话，跟这个 c、 d、 e 它们俩的前后对应角差也是相等的，所以看到这三角度都是相等的，那整体是六十度的话，我们可以得到他们三个都是一个二十度，这样的话我们要求角 c 就 可以来求了。角 c 的 话，把它放在这个三角形 d、 c、 e 里边， 一个六十，一个二十，哎，内角和一百八，所以可以推出来我们角 c 度数的话，在这角 c 就 可以得到角 c 是 一个一百度了。那由此的话，求角 a 的 话，在整个四边形里面，内角和三百六 减去我们的角 b 是 幺二零，角 c 的 话是一个一百，再减去 d， 这的话是一个六十度。在我们最终可以得到结果，它度数的话，结果是一个八十度，所以答案是八十。