四十五中二模数学几何讲解

今天张老师带你一个视频，讲明白引元问题。我们以四十五中二模卷的第十题为例，在正式开讲之前，张老师先给大家出一个思考题。在这个思考题当中， a、 b 是 一条固定的线段，长度是六， p 点是个动点，并且满足角 a、 p、 b 是 一百二十度。请问 p 的 轨迹是什么？我们都可以猜啊，它的轨迹是个圆。那么后面的问题更为关键， p 的 轨迹到底是一个以谁为圆心，半径如何的圆呢？大家可以思考一下。呃，这个视频点赞多，张老师下个视频来讲解， 好让我们回到这个四十五中按摩卷第十题。这道题呢，给了一个平行四边形， a、 d 的 长度是四， c、 d 的 长度是六，并且角 c 是 六十度。他告诉我们 p 点是个动点，并且角一加角二是九十度。 哎，角一加角二九十度，就可以得到角三加角四也是九十度吗？那么在同一个三角当中，角 dpa 就是 九十度。 换句话来说，在这个图形当中，它其实会有一个定边对定角，定边为 a， d， 它是四，定角为 d， p a 是 九十度。我们都知道定边对定角会带来引缘，那么九十度的引缘是好找的，我们只需要连接，取 a、 d 中点 o 连接 o p， 因为只有三角形斜边中线的原因啊， o p 的 长度是等于 a、 d 的 一半，等于三，所以 p 的 轨迹一定是一个以 o 为圆心，半径为二，这是二，刚才是手误 半径为二的一个圆。好，我们继续往后看， f 点在 a、 b 上是一个动点，那我们要计算的是 p f 加 e， f 的 长度， f 点在动，这不就是一个将军一马模型吗？所以我们需要去过 a b 直线去做 p 的 对称点， p 的 对称点看成是 p 一 撇，但有问题，我们都知道 p f 加 e f 是 等于 p 一 撇 f 加 e f 的， 可是 p 一 撇在动呀，它对称之后怎么动呢？对称前， p 的 轨迹是个圆，对称后， p 的 轨迹也仍旧是个圆，所以我们就要去找 p 一 撇这个圆，它的这个怎么样的圆？ o 点对称过来是 o 一 撇，半径不变，所以 p 的 轨迹应该是一个以 o 撇为圆，心，以二为半径的一个心圆。 好，那么这个问题就等于变成了，我们要计算一屁撇的最小值。屁撇的轨迹不是个圆吗？你动点到圆上一点的距离最小值是什么呢？大家都知道，那就是连接圆心，再减去半径，所以我们只需要去计算 o 撇 e 的 长度， 再减去半径二就可以了。计算 o 撇 e 的 长度，那显然是用勾股定律嘛，因为这个 e 点和 o 点他们是等高的，可以连接一样高吗？点连接，我们也连接 o 撇， 因为是对称，这里是垂直，所以 o 撇的长度非常好计算。 a o 是 二嘛，那么 o 撇的长度就是二倍，根号三， o e 的 长度是平行，四边形是六，我们可以很轻松的算出来， o 撇一的长度是根号下十二，加上三十六，等于根号下四十八，所以一点到圆心的长度是是四倍，根号三，再减去半径。最后的答案选择 d 选项， 大家看看啊，这就是四十五中二模卷的第十题，难度总体不大，但是呢，张老师留下的引援问题不算简单，大家可以亲，大家可以自己去思考一下，有任何问题都欢迎后台来私信我。

这是近期山东泰安二模中选择题的最后一道题。先看题目，矩形 a b c d 中长是四，宽是三，一点是宽， ab 上的动点 e f 和 b d 平行， f g 又和 e f 垂直。让我们求线段 e g 的 最小值， 分享两种方法。方法一，有已知的平行和垂直，我们知道这也是个垂直，而且 f t 比上 b e 是 四比五的关系，因为小白三角形的三边刚好是三四五的比例关系。同时你还会发现橙色三角形也是个三四五，所以 b t 比上 b g 也是四比五， 所以这两个直角三角形相似。那么 b f 垂直对角线 a c 时，最小口算是五分之十二，此时 e g 也最小， 用五分之十二乘以四分之五，刚好等于三。方法二，延长 e f 与 a d 相交，因为这两个都是等幺三角形，所以 e f 和 f k 相等，由三线合一，我们知道橙色的也是个等幺三角形， 所以 e g 和 k g 相等。虽然这两点都是动点，但是我们知道 k g 永远是大于等于矩形的宽，也就是三的。

来，我们看一下这道题，这道题是刚刚结束的沈阳市的一个呃，二模的一个数学的压轴题，几何二十三题，来我们看一下啊。 嗯，在四边形 a、 b、 c、 d 中， a、 b 大 于 bc， a、 d 等于 c， d， a、 d 等于 c、 d， 那 么就是等腰对，等角。所以如果这是 r 的 法，它这也是 r 的 法，这应该是一百八减一个二 r 的 法，对吧？ 然后接着 a、 b、 c， a、 b、 c 加上 a、 d、 c 等于一百八，那我的 a、 d、 c 是 一百八减二二法，那我的 a、 b、 c 就 应该是二二的法，对吧？然后将 a、 d、 c 沿 c 的 翻折，那翻折的话，那我的 d、 c、 d 啊， f、 a、 d 就 都应该相等，那么这个角也是阿尔法，这也是阿尔法，那么我的 a、 c 应该等于 c、 f， 对 吧？ 那好了，那接下来他又给了什么？我的 a、 b 等于 b、 e 啊？然后第一问，他说求证， a、 b， a、 c、 b、 a、 c， 那 么就是这个角，对吧？与 e、 c、 f 相等， e、 c， 那 这个角对吧？那这个东西就很简单了， 如果二 r 的 法加一个圈，对吧？假设这是叉，那么等于一百八十度，一百八十度，那我叉加二 r 的 法，那这个角显然也是圈。所以第一问，我们用等补刀角基本就可以解决了啊，没有什么压力，对吧？ 但是我们刚呃看了这些条件之后呢，如果是周老师的学生的话，一定会很容易的发现，我们这叫什么？这叫一线穿角，对吧？ 一线穿角，并且有等腰，那我们这是什么？这叫一线三等角的一个条件标志， 所以我们之后可以呃，往这个方向去思考，对吧？来，我们继续看第二个角， a、 b、 c 等于九十度，那这是一个直角，对吧？然后主条件还在， a、 d 等于 c， d， 对吧？翻折等于的 f， 对 吧？呃，角互补，那这也是直角，所以这就应该四十五，这也是四十五，那这也是四十五，所以这也是直角。那么一线三等角的话，那我一线穿直，对吧？ 然后象限做等角，对吧？这直角，那我做这边也是做一个直角，然后他说什么玩意 啊？他要求证 b、 g 等于一个 b、 e， 言外之意，他就想求一个什么等腰值呗，对吧？那我们看一看啊。呃，条件给了 b、 e 等于 ab， 那 如果这是 x， 那 这就是 y， 对 吧？那我的 ab 就 应该是 x， 加一个什么 y， 对 吧？ 因为一线三锥直，我的 a、 b、 c 和啊，再来一个 h， 呃， a， b、 c 和我的 c、 h、 f 是 全等的，对吧？所以我的 a、 b 应该等于 c h， c， e 是 y， e， h 就 应该是 x， 对 吧？我的 b、 c 应该等于什么？ f h， 那 这就是 x， 那 我的 e、 h、 f 应该是什么？等腰值，所以这是四十五度，那么对顶角相等，那我这也是四十五度，所以很容易挣出我的什么。呃， b、 g、 e 这个三角形是等腰直角三角形，所以我的什么 b、 g 就 应该等于 b、 e 啊，也不难，是吧？来，我们继续往下看啊。 如图三当角， a、 b、 c 是 一百二十度，一百二十度，对吧？嗯，那我互补，那这就应该是六十度。我们之前的主条件， a、 d 等于 d， c 翻折之后等于 d、 f， 对 吧？那我等腰含六十度，那就是应该什么 叫等边，那这也是六十，那这就是六十，这也是六十，所以我这个角是多少？一百二十度，所以，那我就可以怎么办？叫一线穿角、 象线造，等角造完等角之后，这就是一百二十度，对吗？ 好了，那我们继续啊，他说什么？我要求 b g、 e 的 度数， b g e 也就这个角，对吧？那我应该怎么办呢？我继续。如果这是 x， 那 这就是一个 y， 对 吧？因为从前面我们正过来，如果这是个圈，这就是个叉，这也是个圈，对吧？角相等嘛，对吧？所以，呃，我就会得到什么一线 三等角的一个全等，那么这就应该是，呃， ab 等于 b e， 那 这是 x 加 y， 那 这就应该是 x， 这也是 x， 所以 我这个位置应该多少？三十度，那这就应该是三十度， 那这是三十度，这是一百二十度，它的补角应该是六十度。六十三十，那这就应该是九十，所以我们这个地方多少？九十，对吧？ 那我的呃， b e， b e 等于 ab， 那 就 x 加 y， 应该是等于一个八，所以我可以直接把 y 替换成一个 x， 对 吧？那我的 y 就 应该是什么？呃，八减去一个 x， 对 吧？ 然后我们继续来啊，因为我们在之前已经证出来了，这是一个什么？三十、六十、九十的 一个三角形，对吧？我 b e 等于八，等于 a b 嘛？所以我的 b g 就 应该是个四，我的 g e 就 应该是四倍，根号三，对吧？然后它要求的是什么？它要求 b c， 那 刚好就是我们设的未知数 x， 对 吧？ 那这个时候我们应该办呢？含有特殊角，我们就做垂，这有六十度，那我们做一个垂，如果这是一个 h 的 话，这是直角，那我们很容易可以表述出 b h 就是 二分之 x， 那 我的 c h 就是 二分之根号三 x， 对 吧？ 呃，这个比较简单，然后到这的时候，我们基本上这道题已经结束了，对吧？是不是 来我们再再再做一下啊？圈叉应该等于多少度？是不应该等于一个？呃， 六十度，对吧？圈叉等于六十度，然后我们的 f c g， 也就说我条件给的 f c g， 它有 f c g， 应该是多少度？ f c g 是 一百五十度，对吗？那如果我这是一个 r 的 法，那我这就应该是六十减 r 的 法，对吧？那我这就应该是 r 的 法，对吗？那我这个位置就应该什么一百五十减 r 的 法，对吧？那我这呢？这就应该什么三十度减加上一个 art 法，对吧？这是三十加 art 法，这是六十减 art 法，那么我这就是一个直角，对吧？我角 c 这个位置应该是一个直角，那很容易我们就可以得到。什么？这是直角，这也是直角， 这是一个 r 了法，对吗？那么我会就可以得到什么相似形，对吧？我的三角形，什么？呃， a h c， 它就应该相似于三角形。什么？呃， c h g， 对 吧？那我的 h g 也比较好算，它应该是四减二 x， 那 么我就可以得到比例式，也就是什么 a h 比上 c h 等于 h， c 比上 h g 等于一个 a c 比上 c g， 我 们把条件往里标一下，对吧？我的 a h 应该等多少？是不八加上二分之 x 比上 c h c h 有 吧？ c h 是 一个二分之根号三的 x， 对 吧？它就应该等于。 呃，我的 c h， 那 就是二分之根号三 x 比上一个 h g h g 在 这个位置，那就四减去二分之 x， 到这儿我就可以通过呃方程解决问题，对吧？ 那我应该是八加上二分之 x， 括号乘以四，减去二分之 x 就 等于一个 什么四分之三 x 平方。那下面我们就解一个方程，关于 x 方程刚好 bc 就 等于 x， 所以 我们这道题很轻松的就可以解决了。 来计算，留给学生作为作业。

大家好，今天在白天的时候给大家讲评完了我们三到八分钟党题，这三个题目的话，能拿到满分的学生一定是数学非常扎实的孩子， 那么接下来时间呢，我就将其他的我们同学应该普遍会犯错误的题目像比如说最后一题，倒数第二题以及多解填空给大家说清楚。选择题的话，我们也过一下第六题， 这个题目的话是延续了咱们去年的新定义，不难填空题的话，其实学生出错的话是在一十一题和一十二题，那就这两个题目的话和大家讲评一下 十一题的话，呃，非常的有亲切感。对于我们南昌考生来讲啊，蜜雪冰城的话已经这个笑晕在了店里了哈，给他免费打了一波广告。 题目说某团体中购买茉莉奶绿的人数是蜜桃四季春的两倍，那我假设蜜桃四季春是 x， 那 么奶绿那就是二 x， 而购买冰淇淋的人数是蜜桃四季春的一半，那么说明这个是二分之一 x， 一 共花费了八十元。在第十一题的图当中，在上面我们就有标价， 冰激凌两块钱，确实是两块哈，然后的话，蜜桃四季春七块，这个我没喝过，不能评价哈，我不知道是不是七块，然后的话，中间这个茉莉奶绿六块， 所以加起来等于八十 x， 加七 x， 加上一十二 x， 等于八十 x， 等于一个四。 但是我们这里有些孩子非常激动，就把这个四写上去了，不对，他问的是团体的总人数， 那么应该是买这个奶绿的蜜桃四季春的和冰激凌的全部加一块，那么应该是八加四，加上一个二，总共是一十四个人。 第十二题对我们同学的审题能力要求非常的高，其实很多时候我们的学生经常会漏看题，看错题。好，同学们请看到一十二题 在平面直角坐标系当中已知了这两个点，并且点 p， 它用了，下面用了一个点，特别圈起来，让我们去重点关注的。 首先是坐标轴，这个词是关键词，大家一定要画出来。经常有同学会问我，他说老师，怎么样才能够这个避免这种低级错误呢？他说审题啊，经常看错。我说你要去圈画， 他说我圈化了呀，但是好像也没有效果。我告诉你，你没有真真正正的做到这个圈化的话，是圈到你心里去了，你只是在走一个这样的流程， 所以走心才能够得到好结果。好正半轴有一个点，又来关键词射线，我相信我们同学应该很快的就可以找到这个点题。 这个 o p 的 话是二不难，那么这个地方他也能找到对称过来的。 o p 等于四。有一部分学生他找不到这个四的原因是什么呢？ 他没有看到坐标轴，他觉得以他平时的做题习惯来讲，应该是 x 轴，那你自然得不到三个减好这两个答案的话，应该来讲是非常简单的。还有一个我们同学啊，始终找不到， 因为他没有想到，没有关注到这个射线，你想啊，如果是 哎，这个时候的话， ap 是 我们角 b a o 的 角平分线，它不是一个轴对称吗？显然是啊，好， a b 等于二， o a 等于多少两倍的根号啊？ 我们要去求求这个 o p 的 长度，那当然咱们可以用勾股定理见角平分线做两边的垂线，这个已经垂直了，你再做一个 pm 垂直于 o v， 肯定可以把 o p 求出来。 之前的话，老师教过大家角平分线定理还记得吗？我们假设 o p 是 x， 那 么 p b 的 话是二减 x， 所以 的话我们马上有这样的一个结论，二比上二减 x 等于两倍的根号二比上 x， 这里抵消掉了， 所以呢，应该是 x 等于两倍的根号二减根号二 x， 所以 一加上根号二， x 等于两倍的根号二， x 等于根号二加一分之两倍的根号二， 分子分母同时乘以根号二减一，所以呢等于四减两倍的根号二。好，这个角平分线定理的话，我给同学们写一下，如果说在三角形 a、 b、 c 当中， 我们第一 a、 d 是 它的角平分线，那么有 a b 比上 b， d 等于 a， c 比上 c、 d， 请大家也把这个结论记下来。接下来的话，简答题应该来讲前面都是送分， 所以的话，这张二模试卷，为什么说他比一模要来的简单一点？因为二模前面的送分题是非常到位的，一模的两道选择题和一道除一十二题以外的那道数形结合的题目，其实为难了很多学生， 那么这次的话中规中矩，包括我们的第十七题，当然这个题目的话，你需要知道它的外心是什么？钟垂线的焦点。好，所以的话前半步就这样结束了。 那么今天在白天的时候，我已经给大家讲评了十八、十九和二十题， 那么统计题的话，一般来讲是我们的九分题，这个九分题的话，我是希望大家能够成功拿下的， 而二十一题我也想讲一下，因为我希望中等及其以上的学生在这个题目不要丢分，中下的学生我们也要争取满分，因为一般来讲，第二题这个可能涉及到是函数或者几何，那么难度尚会大一点。 他取的是咱们这个南昌市举办的首届滕王阁杯青少年模拟联合国大会， 从六百名学生中抽取了五十个代表进行问卷调查，那么显然 a 的 话，他占比应该是十，除以五十等于百分之二十。这里的话我特别想强调一个细节， 有的时候他会写出百分之 a， 这个时候我们学生还会写 a 等于百分之二十，那这个答案就是错的， 所以一定要仔细的审题。好，接下来他还得求 b， b 在 哪里呢？在这里 b 是 占百分之十的，所以咱们知道 b 等于五。 好，接下来估计六百名参会学生当中，参会后志平非常了解联合国会议流程、意识规则的人数为多少， 参会以后有二十一个人是更加了解了，所以的话我们算个比例就可以，二十一除以五十乘以六百等于二百五十二人。那么单位答第三问， 与参会前相比，参会后不了解人数占比下降了多少？请同学们一定要关注，这个叫做下降了多少。好，那么应该是总共是减少了二十二个人， 二十二个人的话多少个学生，五十个学生，所以的话是零点四四，那么也就是说下降了百分之四十四。好，第四小题，第四小题的话，咱们可以理解为这也是一道新定义的题目， 为什么这样说，你看他给了我们一个综合得分的计算公式，这个得分的话，他是说满意度平均分乘以七啊，零点七， 再加上参与度得分乘以零点三，而参与度得分等于什么呢？等于参与该委员会人数除以总人数，但是乘以十，所以我们来看一下哈 fao 他 参与的人数是多少？是八个人， 然后的话，他的满意度是八点三分，也就是说八点三乘以一个零点七，加上参与度的话应该是八除以五十，但是要乘以十，这他参与度得分再乘以零点三，所以算出来是六点二九分。 接下来我们来计算这个组织是 u n w 这个委员会，他的参与度满意度平均分的话是八点六，那就是八点六乘以一个零点七， 再加上参与他的是九个人，参会人数是多少呀？是五十， 再乘以一个十，再乘以零点三。所以的话，这个题目纯粹的就是考察我们同学的计算和简单的文本理解阅读能力， 所以最终得到的答案是六点五六分，谁家一目了然，应该是 u n w 这个委员会。 好，接下来二十二题。二十二题的话，这个题目啊，其实他的背景稍微换了一下，这种乒乓球的我们其实在平时是做过的，只不过呢，他今年是以我们南昌市的一个新增的体育项目为背景，他说间隙 乒乓球台是二点八米，球网的高度是零点一五米。他说 y 和 x 满足这样的一个关系式， v 等于七，那也就是说 y 等于 h 减去 四十九分之五乘以 x 平方，他说乒乓球恰好经过点屁，也就是说当 x 等于一的时候， y 值等于四十九分之一十五，这个应该是很好理解的， 也就是说，四十九分之一十五等于 h， 减去四十九分之五， 所以 h 等于四十九分之二十。好，第一问，两分是很轻松的就到手了。第二问，求反弹后抛物线的解析式，题目说的很清楚，反弹后的运动轨迹也是抛物线， 并且顶点位于第一次落地点正前方。二点四换零点四，换句话来讲，我只要把这个点的坐标求出来，加上零点四，就是我们新的抛物线的顶点坐标的横坐标。 好，那么这个点怎么求？他是前面这条抛物线与 x 轴的交点，所以我把 h 带进去， y 等于四十九分之二十，减去四十九分之五 x 平方， 当 y 等于零的时候， x 等于正负二，那么小于零舍掉，所以这个点的坐标是二斗零，那么我知道顶点坐标，那就是二点四斗 最高数零点二，所以 y 等于 a 倍的，我设顶点，顶点是减二点四括号的平方，再加上零点二， 那么这个二次函数也是经过二度零八，所以我把它带进去 a 得到负一点二五，所以解析式，负一点二五被 x 减二点四括号的平方加上零点二，你看到这一问的话，五分得起来也是轻轻松松。 第三，小问判定此时学生在距离底线外零点二米不低于桌面处是否能接住球，并说明理由。 那么同学们，这个反弹的抛物线咱们已经求出来了，我们来看一下它和 x 轴的另外一个焦点到底是多少？ 首先它是关于直线 x 等于二点四对称的，现在其中有一个焦点是二斗零，那说明另外一个焦点的话， 距离这个对称轴的距离还是零点四吧，所以我们知道它的焦点坐标是二点八斗零， 二点八在哪里？题目有一句这样的话，乒乓球台长二点八，所以也就是说其实 这个图的话，它是一个示意图啊，你千万别被它诱惑到了，好像飞出去了，没有，它应该是长这个样子，也就是说反弹后刚好是落在咱们的底线上， 而这个时候学生距离底线多少？零点二米，所以的话不低于桌面处，能否接触球肯定是不能的。最后第四小问 保持 v 等于七，也就是说 y 的 话依然还是好，这个 h 减去四十九分之五 x 平方，它现在的话是改变发球的高度， 落乒乓球既要过网还擦网，又要落在桌面上，那么其实我们就是去找两个临界的点，第一个点 就是咱们这个球网的这个点，它的横坐标，因为它正好是在居中一半吗？十一点四 纵坐标是多少？是高？是零点一五。我们把这个数据带进去，就是说 x 等于零一点四的时候，它一点四多少一有五分之二就是五分之七，那么就是二十五分之 四十九，所以的话是 h 减五分之一等于零点一五，一百分之一十五。 好，这里的话化减一下应该是二十分之三，这个是二十分之四，所以的话第一个 h 等于二十分之七，这个的话也可以写成小数零点三五米。 那么还有一种非常特殊的情况，就是咱们这个 h 的 话，再高一点，恰好他打到底线， 是吧？落在桌面上的话含底线，他说的很清楚了，这样的话就不会产生任何歧义。就是有同学会想，哎，我擦边对吧？我这个擦网算不算呢？他说的很清楚了。好，那么这个时候的话，也就是说咱们这个函数经过的是 二点八逗零，二点八的话是二又十分之八，二又五分之四逗零，那么应该是五分之一十四逗零，好，把它带进去， h 减去四十九分之五乘以一个二十五分之一十四，再乘以一十四等于零，所以的话这个五约掉了，那么 h 又等于五乘以四十九分之一十四的平方， 一十四的平方的话，这个是一九六。自己去算一下答案的话是零点八，那么这两个邻界条件咱们都算出来了，所以 h 的 取值范围应该是 零点三五，小于等于 h 小 于等于零点八，注意细节单位米好。最后一题的话， 他回到了我们几年前的这个几何压轴题的新定义问题，其实这个等级现场啊，在我们今年广州的一道这个模拟题当中出现过，应该是根据那个题案进行了一个深度的改编。 好，他题目说的很清楚了，路过四边形的一个顶点直线，把四边形的面积平分，这条直线叫做等级线，那么直线是不能测量的， 对吧？但是呢，他等级线截四边形所得的线段的长度，他称为等级线长。那以这个矩形为例的话，其实就是我们对角线 a、 c 的 长度，或者说 b、 d 的 长度。 第一问五，应该来讲如同探囊取物，两分到手。好。第二组， 在四边形 a、 b、 c、 d 当中， a、 d 平行于 b、 c、 m 点是中点，那么我们看到这个平行，看到中点的话，其实就会去背长中线，或者说在这个题目当中的话，我们应该是去延长 am 交 bc 于 f， 这个时候的话，其实背长中线的模型就出现了，我们可以确定以及肯定的说， am 和 mb 必然相等，因为平行，所以的话这个角相等，这两个角也相等， 咱们再加一条 dm 和 bcmc 相等。题目说 m 是 终点嘛，所以 am 等于 m。 哦，这里看错了，应该是 mf， 哈，刚说成了 mb， 因为这个 b 的 话是在我们图三当中，我先把它清掉， 好得到了 am 和 m、 f 相等。现在你要回到我们等级线的概念，也就是说 a 一 的话，将我们这个四边形的面积等分了， 也就是三角形 a、 b、 e 的 面积等于四边形 a、 e、 c、 d 的 面积。 同学们请看这两个三角形全等，那自然 a、 d、 m 和 m、 c、 f 的 面积是相等的。原来咱们这个四边形 a、 c、 d 的 话，是这一部分，加上 a、 m、 d， 那 就成了这一部分，加上什么 m、 c、 f， 也就是说三角形 a、 b、 e 的 面积和三角形 a、 e、 f 的 面积相等吧。你马上就能想到 b、 e 和 e、 f 相等，其实 a、 e 就是 咱们 b、 f 边上的中线。 好，现在题目告诉我们一些数据还没用， a、 d 等于二，那说明 c、 f 等于二，并且有 bc 等于四。我假设这段是 x， ec 是 x， 那 么 b 一 是多少？ b 一 的话就是应该是四减 x。 好，那么我们知道 b 和 e、 f 相等，就四减 x 等于 x 加上二，所以二 x 等于二， x 等于一。好嘞，那就是 b 和 e、 f 都等于三。 题目还有一个非常重要的条件一直没用，现在派上用场了， am 和 ab 垂直 好，那么这个是九十度，是九十度的话，那么斜边的中线不就等于斜边的一半吗？所以 a 一 就会等于三。好。第一问的特例感知哈，这个我们这两小问都做出来了，到这里的话是五分拿到手，余下的第三问其实也还好，我们来分析一下 第三问，如图三所示，在四边形 a、 b、 c、 d 当中， m 点是 b， d 的 中点，说明 b m 等于 m， d， m， e 又和 a、 c 是 平行的。 接下来连接 a 一， 证明 a 一 是我们四边形的一个等级线，说白了就是证明这左右两边两个图形的面积是相等的，是这样吧，那么你看啊， 题目有一个平行，然后的话又有终点，所以我很自然的会去想，如果说咱们过点 d 做 d， f 平行于 m， e， 交上 b， c 于点 f， 当然这里前面用了 f 点，那就不能再用了，我们的话就用一个 呃， a， b， c， d， e， f， g 吧，用 g 点，那么显然 m 一 因为平行于 d g， 根据平行线分线段成比例，我们知道 b 呀，会等于 e g 的， 而且同学们 m 一 又和 a c 平行，也就是说 a、 c 又平行于 d g， 那 么接下来我要去证明 a、 e 是 我们四边形 a、 b、 c、 d 的 等级线，其实我们就是要去证明三角形 a、 b、 e 的 面积和四边形 a、 e、 c、 d 的 面积相等，是不是现在我给他打一个问好好 a、 e、 c、 d 的 话，我可以把它看成两个三角形 a、 e、 c 和三角形 a、 d、 c 的 面积之合。 刚开始我们已经证明得到 a、 c 和 d、 g 是 平行的，我单独把这个图形拿出来，同学们有印象吗？叫做两条平行线之间的距离处处相等，所以呢， a、 c、 d 的 面积其实和 a、 g、 c 是 一模一样的， 因为底边 a、 c 相等，高度相等呐， a、 c 的 话是共一条边，确切来讲，所以 我三角形 a、 e、 c 保留下来，那么 a、 d、 c 可以 转化为三角形 a、 c 句，那么同学们请看 a、 e、 c 加上 a、 c 句是什么？是三角形 a、 e 句。 刚开始我们已经证明到了 b、 e 和 e、 g 是 相等的， a、 e 是 中线，中线等分面积，那不就说明了这个问号我们可以把它 pass 掉了， 确确实实左边和右边相等，那么就说明了 a 一 就是咱们的等极限。 好，最后一问的话难度比较大，但是我想请同学们先看到图四和图三的话，确切来说图形非常的相似， 是吧？所以的话，我们第三问的结论呢，也可以拿过来用。好的，接下来我们 b， 其共于一亿。看到第四小问，首先题目说 a、 c 和 b、 d 相交于点 o， 若 a、 c， b 和 b d， c 是 等于六十度的，那么这个时候的话应该可以发现有子母相似，因为这个是公共角，所以呢，三角形 c、 b、 o、 r 应该是相距于三角形 d， b、 c 好， 那么 b、 c 比上 b、 d 会等于 b o 比上 bc， 所以 bc 的 平方等于 b， d 乘以一个 b o。 题目告诉我们 o、 d 等于八， o， b 等于三十二，所以呢， b、 d 是 四十， b、 o 是 三十二， 是这样吧，所以 bc 求出来的话，应该是一十六倍的根号五， 题目又已知了 a c 的 长度是九倍的根号，那么同学们想一想， 我们讲前面的第三问，应该来讲对我们第四问有非常重要的指导性作用，而且图形又非常的像，现在唯一缺的就是那个点 m 吧，所以呢，我们不妨取 b d 的 中点， 在这个时候的话，我们就换一个字母叫做 h 吧。好，那么取了终点 h 以后，咱们呢，不妨把 e h 一 连好， e h 一 连的话，那么根据， 那么同学们请看，他已经说了，这个 a 一 的话就是咱们 abcd 的 等级线，所以根据前面的探索发现，其实我们很清楚 e h 的 话就会平行于 a c， 否则的话你得不到这个结论呢，是这样的吧，那么这一点非常非常的重要，如果说你能想到这一条的话，那么这个题目应该来讲是破解了百分之八十了，好，接下来哦，我有 e h 和 a c 平行， 那么我就会想到平行线分线段成比例，因为 b d 是 四十的， h 点是中点，那说明这个多少，这个是二十，那 o h 的 话就是三十二减二十是一十啊， 所以 b h 比上 h o 啊，他应该是二十，比上一十二，好，应该是五比上一个三。而我们刚开始前面求出来 b c 是 一十六倍的根号五，那现在的话是八份，一份的话是在两倍的根号五，是这样的吧。

今天我们来看一下合肥市四十五中二模数学的倒数第二题，也就是几何压轴题。主要来讲一下第二问和第三问。 我们已知在这个正方形 a、 b、 c、 d 中， a、 c 与 b d 交于点 o， 那 么这个 a、 c 和 b d 应该是垂直的， e 点是 bc 上的一个点。然后第二问说角 b a， e 是 阿尔法 角 c， o e 是 四十五度加阿尔法，求证 o e 乘 b， e 等于 c， e 乘 e f， 那 么显然是证明相似。我们先来看一下这四条边能组成哪两个三角形 o e 乘 b， e 等于 c， e 乘 e f， 那 么显然是三角形 c o、 e 和三角形 b f、 e。 我们来找一下条件，这里面最容易看出来的应该是角 o、 c、 b， 它等于四十五度，角 o、 b， c 也等于四十五度，那么就已经有一个角了，然后还有个角呢？这里面题目提示了是这个角 c o、 e， 它是四十五度加尔法， 而这个 alpha 呢，它是角 b a、 e， 那 么这里我们发现角 a、 b、 f， 它也是四十五度的，所以说角 b、 f、 e 就是 四十五度加 alpha， 那 这样角角就能正相似了。 第三问，在二的条件下， o e 等于四，求 af 的 长度，这里说的是在二的条件下。那么第二小题呢，我们是推出了一对相似，那是不是用这个相似能去求这个 af 的 长呢？我们可以把这个比例先写一下 好，那么写出来之后呢，我们发现只有一个 o e 长是知道的，其他都不知道，条件太少了， 但是求长度常用的方法还是相似和勾股，那这时候我们就要去图中看看是不是还有其他的相似能够应用跟这个 o e 相关的，那么 o e 呢？除了在这个三角形里面，那么它还在这个 o e f， 或者是在这个 o b e 这个三角形中， 然后如果是看这个三角形的话，那么这里面有一个角我们应该是知道的，这个角 e o f， 它应该是九十度减这个四十五度加 r 法是四十五度减 r 法， 那么它就跟这个角是相等的角 oaf， 它也是用这个四十五度减这个 alpha， 所以 这时候我们就发现了三角形 oef 和这个三角形 ae o 这里是一对母子形相似， 然后比例我们来写一下，就是 e f 比 o e 等于 o e 比 a e 等于 o f 比 a o， 写出比例之后呢，那么 o e 是 四，然后这个 o e 也是四，但其他边呢？还是算不出来， 但这时候你要记得就是题目说的是在二的条件下，所以这个比例我们也是可以用的，我们可以来看一下这两个比例之间可以有什么联系。那观察一下发现啊，上面有 e f 比 o e， 下面也有 e f 比 o e， 所以 这六对 比都是相等的。然后继续来找关联，我们发现这个分母是 c o， 这个分母是 a o c o 和 a o 是 相等的，所以我们就推出了 b f 等于 o f， 然后接下来回到这个图中，我们看一下这个 b f 等于 o f 有 什么用？相当于这个 f 点是 b o 的 中点，那么 o f 它就是 o b 的 一半，那么 o f 不 就是 o a 的 一半吗？ 所以这里的 o f 比 a o 我 们不就知道了是一比二吗？那么接下来是不就能求出这个 a e 了， a e 就 等于八，然后，呃， 这个继续用，那这个 e f 不 就是二了吗？所以这个 a f 长就是 a e 减 e f 就是 六。好，那么这道题我们就讲到这。

这个四十五中的二十二题啊，真的是非常非常棒啊，上个视频我说大家一定要做一做，那这里呢，我来带大家梳理一下他的一个做题思路。 首先第一题他让正角分线，那正角分线就是两大途径，第一个通过直接倒角得出两个小角相等，这是一个方式。第二个呢，角分线的判定定律，在角分线上找一个边向两角两边做垂线，如果说能出现全等也是可以的，对不对？哎，那这个题目两个方法都是合理的 好吗？无论你是通过互余来倒角，还是通过直接算角度来倒角，都是可以的，然后都就是做垂线，做垂线正全能也行。好吧，咱们自己看啊， 这个第二小题呢，就是一个线段乘积的证明，线段乘积往往是通过相似得来的， 如果说题目难一点呢，他可能会涉及到等线段转换，等积转换，等比转换，对不对？只不过这里比较简单，他考察你一个是比较简单的倒角 正相似啊，证明三角形 oc 和 b、 e、 f 相似。这个呢，其实也是很普通的，关键是这个第三问啊，第三问真的是非常好，我一再强调，咱们做几何题啊，一定要敢于尝试， 只要你的辅助线结构是合理的，对吧？即使不行，他也是你的思路，你的想法，不行的话，就是就换位，是不是？这个第一个方法啊，应该也是答案的方法。 首先通过倒角呀，我们可以证明三角形 a、 e、 c 相似于三角形 o、 e、 b， 进而用相似的性质对应边比值相等， o、 e 比上 a e 等于 o， b 比上 a c， o b 和 a c 比值一比二，所以可以得知 a e 的 长度啊，应该是等于 等于这个八的，对吧？呃， b e 和 ec 呢，比值也是一比二好，然后再结合 b e、 f 和 a d、 f 相似，可以得出 b f 和 a d 比值是一比三，那么 a a、 f 呢，应该是占 a、 e 的 三分，这是一个思路。 第二个思路，注意看啊，点 o 是 什么？点 o 是 a c 边的中点， a d 和 bc 呢？是平行线， 延长 b o 交 a d 于点 g， 这里很明显可以得出全等三角形全等的话呢，呃，也就是这个 b e， o 和 d o g 全等，这是一个对吧？还有就是 e c， o 和 a i o g 全等，然后这个全等呢，还不是整个题目的精髓，精髓是 通过角度相等得出 e g 和 e i 是 什么关系啊？是等腰三角形，看到等腰，想到三线合一，过点 e 向 h 边做垂线，所以可以得知 a h 等于 h， g 等于 b， e 等于 d g， 对 吧？这里也是可以去写的。再往后的话呢，哎，我们还可以去做平行线，因为点 o 本身是 a c 边的终点，看到终点可以尝试。 呃，做平行线，勾到相似，过点 o 做 a 一 边的平行线，那么这个点 m 应该就是 c 一 边的中点了，对不对？接下来通过相似啊，我这个地方写的很详细啊，过的很详细，通过相似可以推导出 b e， e， m 和 c e 相等，这也是一个方式。再往后，呃，这个法四呢？法四和后面的法五啊，本质上相同的。 做垂线，做垂线构造相似，要么是 o e n 和 a b e 相似，要么是 o e n 和这个 e b m 相似，这两个你怎么写都可以。好吧， 然后呢，他还是需要借助到什么呀？ o 是 中点构造一个中微线， o n 和 ab 边是一比二，所以 n e 和 b e 呢，也是一比二，然后通过比值设参数，这也是可以的。 再往后这一题啊，这一题的话主要是什么？主要是构造全等了，这个角和这个角相等，延长过点 c 做 c g 和 ab 平行，既能够产生全等三角形，又能够产生 o f 和 c g 边的中微线的关系，对吧？呃， o e 和 c g 啊，和这个 e g 相等，然后呢，你再去推导啊，我这个地方写的很详细好吧，过的很详细啊，推导出来哦，我发现这个 e g 和 e f 和 eg 啊，比值是一比二，所以这个是二呗，再结合 f g 和 if 相等，那这个 if 不 就是六吗？对不对？这是这又是一个方法。然后呢，这个，这个，哦，这个少了东西啊，这应该是 o h 和 a d 平行的好吧，这个做平行线，也会产生中微线，也会产生这种 a 字形的相似，这个过程写的也很详细啊，两组相似，进行等线段的转换也非常好。 再往后第八题，第八题呢，我们想到什么呀？想到翻折啊，把这个 a b e 沿着 a b 翻折，翻折到 a b 继续。 嗯，然后再结合什么呀？再结合，哦，这个角和这个角和这个角相等，相等之后可以得出 o e 和 a g 边平行，又是中微线，对吧？又是笔直啊，也非常好。 呃，法九呢？是正呃，通过倒角，通过倒角，我们发现啊，这个角 e o f 和这个角 o i e 角度相等，进而可以得出一个 e o f 和 e f o 字母形相似，对吧？相似的话呢，关系也有了呀，再结合前面的呃 结论可以得知这个 e a e 啊，应该等于八的，进而呢就可以求出这个 e f 以及 i f 了，对不对？这些方法都是非常好的啊，咱们可以根据自己的一些思路啊，根据自己的想法可以去尝试啊。

今天我们继续来讲这道流量明星，就说这个正方形呢，在全国各地市的考试中呢，出现的次数比较多，所以呢，我最近呢非常非常想跟同学们说一下，这个分是很容易拿到手的，网上那些说这个分多么多么难打的，全是在妖言惑众， 那我今天呢就带同学们来证一下啊，就说我把这个题目读完之后，我的答案就自然浮现在眼前，同学们跟我一起来浮一下啊， 这两个角相等的，右边相等，所以角相等，所以这个角也相等。找这个时候让我们证明是平分的，也就是角一等于角，二 角一等于角，很简单呀，你找跟他相关的，什么叫相关的？你东西被偷了，那你首先想的是不是我周边的人呢？我的邻居啊，是吧，谁谁谁谁谁，是不是？所以你就找跟他相关的互鱼的互补的，我找到了互鱼，所以这两个角相等，同角的与角相等没了。 第二步的时候也极其的简单，说这个 b a e 是 等于阿尔法，那就这个角是等于阿尔法，这个角是四十五度，所以这个角就是四十五度加阿尔法。五角星， 他呢也是等于四十五度加阿尔法，也就这个角四十五度加阿尔法，这个角是四十五度，这个角也四十五度，所以这两个三有相似，他就必须有的啦。很简单， 那最后一问的时候说这个 o e 是 等于四的，我们要给同学们解决什么要要领先的思想啊，不要说那些七的八的没有用的，就同学们的用起来的最简单的极简的想法，就从第二问的时候，我们已经证明了这两个角相等的对不对，所以这个大角跟这个大角也是相等的。同学们，为什么想不到？我告诉你们，你看 我在这个图里面我就做了很多的标记，是吧？我平时都跟同学们说过很多遍，你自己要善于做标记，你不要什么都等着我，好像看着我写很开心的样子，等到考试你就傻眼了。那么到了这个时候呢，你就要发现啊，为什么我标了这个你没发现吗？它对的是它，它对的是它， 这两个角又相等，所以这个三角形就是三角形 o、 e、 b。 同学们写的时候注意啊，三角形 啊， a、 c、 e 这两个三角形是相似的，并且他们的相似比是一比二。结束收工了，我可以拜拜，再见了。为什么 就说明这个边是等于几的？等于八的哇，我已经得到它等于八了，你说我都知道它等于八了，对我来说是不是小意思了？没有了，彻底结束了。为什么这么说？因为 b、 e 比上一个 c 一 等于一个一比二，它们相似在这个地方已经证明了，所以我就把它八 求什么 a f， a f 也就等于个八，乘以个三分之二等于个六。你看我这道题目从头到尾写的有那么多吗？啥也没写呀，你说你跟学生说多难多难多难， 我觉得不对的，我们把思路给理理，就是很简单，你就把一些已知角标一标，什么结论啥的，就上一问这名的结论，标一标彻底解决了， 你是不是觉得神清气爽？哇，你的自信又回来了。好了，同学们，我们今天就到这里了，可以在评论区告诉我，你想让我帮你解决什么样的问题？散会。

在刚结束的营口二模的这套试卷当中，他的几何题的第二问涉及到了逆等线的最值问题，而在真正的中考，每一个学生你只需要掌握好将军引马就可以了。而在这个几何的最后一问呢，涉及到了二倍角解型的思想， 二倍角解形对辅助线也是有要求的，所以中考大概率也是不会出现的，但是中考前每一个同学值得学习一下二倍角解形的思想，那么这道题我们应该如何用二倍角解形来轻松解决它呢？这个视频老李告诉你， 我们在讲这个二倍角三角形之前，我们先要知道我们所看到的这样的一幅图，它其实属于解三角形当中的一种，为什么呢？如果说我给你其中一条边是六，另一条边是十，并且这个三角形当中两个角的关系还是二倍的关系，这个时候的这个三角形它就相当于之三了， 那之三的时候那这个三角形就可以解，说白了，这个三角形无论是边长、周长还是面积，我们都能把它解出来，其实它属于解三角形当中的一种高级的解法。 除此之外，我们要知道的是，这个二倍角三角形不仅仅是在初三可以解，初二的同学也可以解，通过做垂直双勾股就可以解决。 那么当我们看到这种二倍角三角形的时候，我们应该如何去构造辅助线来解这个三角形呢？首先我们可以把这个二倍角进行减半，那减半的方式有很多，比如说我们可以把 bc 延长 延长，使这两条线段相等，那这个时候这个三角形就是个等腰三角形，而且它的外角是个 r， 所以 说这两个角就一定都等于 r， 而你构造完这个等腰之后，你会发现这个是 r， 这个也是 r 呀，所以这个大三角形它也是个等腰三角形，也就是说你构一个等腰，又能出一个等腰，并且你所看到的三角形 a、 c、 h 和 abh 又是一个子母的相似， 当然我们也可以在它的里面构造一个等腰三角形，这样的话右边是 r r， 左边也是一个 r r 的 一个外角了， 所以说这个角一定也是 r， 说明三角形 a、 b、 h， 他 还是一个等腰三角形。我们够一个等腰，又能得到一个等腰， 当然我们也可以向外侧延长，使得这两条线段相等啊。那这样的话，我们也可以完成把二倍角减半的一个作用，这个时候这两个角也都是 r， 那 这个时候你所看到的三角形 abc 和三角形这里的 a、 b、 h 也会出现一个子母的相似。 当然我们也可以选择在中间构造一个角平分线，构造角平分线也可以将这个二 r 减半， 那这个时候有角平分线，这个时候这个三角形又成了一个等腰。所以说把二倍角减半的方法就是我们 很快能想到的一个思路。老师随便选择了两种情况，简单的讲解一下，并且这个是 r， 这个也是 r， 这两个边也都相等， 所以这条边长度也就应该是十了。那么接下来作为初三的学生，你就可以用子母相似来解决问题，也就是说图当中的三角形 a、 c、 h， 它是相似于三角形 a、 b、 h 的， 这是一个子母相似，那么子母相似当中，我们会发现小等腰的底，也就是 a h 比上这个大等腰的这个底， 他就一定等于这个小等腰的腰比上这个大等腰的腰。当然这个 ab 和 a h 都是相等的，对不对？所以这个 ab 你 也可以把它写成 a h， 那 这个时候如果我们交叉相乘的话，我们就会发现 a h 的 平方就等于 ac 乘以 b h， 所以最终你通过子母相似，一定能得到一个类似于摄影的一个结论，也就是这个三角形跟这个三角形如果相似的话，公共边的平方一定就等于这个点所引出的两条线段的乘积。 比如说这里的 a c 是 十，那也就说明十的平方一定就等于六乘以六加 bc 了，那这样的话，我们就可以把 bc 这条边求出来，完成解三角形之三推所有的这样的一个能力。 当然如果你是一个初二的学生的话，坐到这的时候，你可以选择三线合一，因为等腰三角形非常多，你可以在中间做一个垂直，你做完这个垂直之后呢？如果说你设这条边是 x 的 话，那你会发现根据三线合一，左边就应该是六加 x， 对 不对？你会发现在这个直角三角形当中， 六的平方减去六加 x 的 平方也是 a h 的 平方， 那么双钩股表示的都是 a h 的 平方，你就能列出一个方程，也就是说这里 a h 的 平方，它既等于六的平方减 x 方，它也等于十的平方减去六加 x 的 平方，那你解这个方程就能求出 x 的 值，也能满足之三解这个三角形。 当然如果按照子母的这个结论出发的话，其实我们会发现 a h 的 平方其实也就相当于是 ab 的 平方， ac 的 话就是 ac， 而这个 bh 就 相当于 ac 加上 bc， 对 不对？所以说如果我们把它还原一下这个图形，你会发现，当你看到这个二倍角三角形的时候，那就说明这个二倍角所对的这条边的平方一定等于 ac， 乘以 ac 加 bc， 对 不对？你可以这样去理解， 当然他只能用在天空选择。如果作为初二的学生，你也可以向内侧去构造这样的一个等腰，如果向内侧构造等腰的话，那这个时候你会发现这个是 r r， 那 这个是 r， r， 这个也是 r r， 说明这个是六，这个是六，那这条边一定也是六。 那么我们仍然利用三线合一做一个垂直，你会发现设这个边是 x， 那 这个边一定也是 x， 你 会发现这里 a h 的 平方 等于六的平方减 x 方，他还等于十的平方，减去六加 x 的 平方，我们仍然可以通过双勾股求出 x 的 值来解决问题。然后我们来看营口二模的这道题， 首先题当中告诉我们这个角是 r， 这个角是二 r， 它们俩是二倍的关系，所以我们设个圆，并且这个是九十，那这个角也就是九十减 r， 这个角是一百八减二 r。 首先左边这个三角形是一个二倍角的三角形，右边这个三角形呢，也是一个二倍角三角形，并且又给了我们这个边是六。我们难免就会想到解二倍角三角形，但是左边这个三角形他只知道两个条件之二，他是没法去解的，右边这个三角形也是同样的，只知道 两个条件，没法解这个三角形。所以我们难免就会想到的是，如果我们把 b、 d 当做一个已知的边， 它如果是确定的边，那么根据 bc 的 长度等于十六，那这条边就应该是十六减 x， 对 不对？那么左边这个三角形是不是这个时候也就知三了？ 我们也就可以用 x 把 ab 表示出来，同样右边这个三角形是不是也知三了？所以说 a、 c 这条边我们也可以通过 x 把它表示出来。那么首先我们可以想象一下二倍角三角形，我们如果往外， 对吧把二倍角减半，那这个时候这个是一个等腰三角形，那这条边是 x 也能得到这个三角形，也是一个等腰三角形，所以我们把 ab 这条边就可以转移到 bh 这条边的身上，那你会发现，在通过子母相似 bh 的 平方等于 x 乘以 x 加六， 所以最终也就能把 ab 这条边的平方表示出来，刚好等于 x 乘以 x 加六啊。同样的，在右侧的这个二倍角三角形当中，我们也可以把这个二倍角减半啊，向外构造等腰啊，对不对？这条边十六减 x， 这个点是点 p， 同理我们也可以确定 这个大的三角形也是一个等腰三角形，对不对？所以说 a c 转移到了这个 cp 的 身上，再根据字母相似 cp 的 平方就等于十六减 x 乘以十六减 x 再加六。 当然这个证明过程，你可以看我前面的讲解的过程，所以我们最后就可以得到 a c 的 平方就等于十六减 x 乘以十六减 x 再加六了， 你会发现我们把这里的 ab 方和 ac 方都表示出来了，而 ab 和 ac 刚好在一个直角三角形当中，我们是不是也就可以勾股定律了？ 最终我们列完这个勾股定律之后，同学们你会发现化简之后 x 就 能求出来。这个计算我就不说了，我们最终可以求出来， x 一 等于的是十二， x 二呢，等于的是四。而这道题要求 b d 是 一定要小于 c d 的， 所以舍掉一个最后答案， 这道题 b d 的 长度也就是四。同学们，二倍角解三角形，你学会了吗？点赞收藏，加个小关注，让你的学习少走弯路！

这是合肥四十五中奥数试卷，如果你还没一百四的话，我现在教你，你很有可能是选择题最后几题不会，或者压缩了很多时间，让后面大题没有时间做。那我去年的话，有学生的话从来没有一次一百一，在初三的话，最后中考几个月没有一次上一百一，结果中考的时候能够考一百四多，就是因为他每次考试 选择题最后几题的方法的话，都可以用打点的方法进去做，我们把它叫学笔技巧，越难越好，用到高中更加普遍，因为难题比较多。那我们现在提前就告诉你这样的方法，就提前练，反正你不会，反正你是本来也是准备浪费时间的，你还不如用这个方法。就是我们通通用打点，像这个第九题的话，它就是分三个点，三个点就分三种情况，第一个就是这种情况， 第二种就是这种情况，第三个就是这样子的情况，三种情况 abc 是 不能形成一个函数的，所以然后 a 加 b 加 c 的 话就打点，打 e 进去的时候的结果，所以 e 进去的时候谁最高就是最大值，因此答案就选 b。 然后我们再来看一下第十题，仍然是打点，打点就是指的不同的情况下所对应的结果。那我们这边呢，有一个动点屁，他画的这个情况，你不知道这个屁下一次动动到哪里，他们有什么规律，我在我的那个课程里面讲过，就是讲的近几年， 近七年的中考题里面都是一样的情况，就是你这个动解的话，多动他几次，他要么直线，要么是圆，你看一下啊，就是你多动几次，当然你可以直接看出来上下这个两个角相等，这个角相等的话九十度，但是有的同学没看出来，没看出来的话就用我刚刚讲的这个方法就是最合适的。 就是你多动几次的话，你仍然能看得出来他其实是一个圆，你仍然能看出来他是圆，就说你不能够转化这个关系的情况下，就是有的同学他的几何可能底子好，他可能立马能看出来，这不就是中间画一条线，然后发现了这个 两脚相等，这两脚相等，这不就说明他是九十度吗？这是九十度的话，你就多画几个九十度，对不对？多画几个九十度，那不就也是一样的发现了很多洞点，洞点合起来不就是一个圆吗？所以他仍然是一样的。这种方法是一个圆的以后，那就变成了这两个点之间的这个距离，那肯定就是镜面了，镜面的话把它一连就可以了，一连的话跟这边一连， 然后连完的话，这个点就是 p 点，就这那减去这个半径就是减二，然后他这个总共的这个距离的话，就可以直接把它构造，这样算就直接出来了。当然你不构造的话，也仍然能够立马看出这 d， 因为只有 d 选项是减二。 这个试卷的话，他比较简单，所以你没有感觉到他太大的优越性。如果这个题目非常的难，或者是前面的话六七八的话，就开始变难的话，这个方法的话就会有很大的优越性。这个我用一节课把另一个的重考题都用这一个方法把它做出来，你如果想系统的学的话，直接找我。

哈喽，各位小伙伴大家好，欢迎来到朱老师的线上课堂。来，我们看一下呼市按摩的这个十七题，看最后一问，到底难还是不难啊？来看十七题是咋回事？他说在这个二七三角形 abc 中角 abc 等于九十度，这个角是九十度，对不对？ 然后这里点 d 在 啥呢？在这个 bc 边上，然后将三角形 a、 c、 d 绕着点 a 旋转九十度，得到 a、 c 撇 d 撇，这是一道旋转的问题， 转九十度，哎，那你这个旋转角是不在这呢，对不对？哎，这是直角，那你转过来之后，你原本这是直角，那转过来这是不也是直角？哎，对吧？哎，那我这也是直角，这也是直角，对吧？ 然后这时候让你连接谁呢？ d、 d 撇交 a、 b 于点 e 啊，然后延长 d 撇， c 撇交谁交 b、 c 啊？分别交 a、 b、 c、 b 于点 f、 h。 这个我们从图上都能看出来，然后看一下这里第一问，第一问让你求证四边形 a、 c 撇 h c， a、 c 撇 h、 c 啊，求他是一个啥？是一个正方形， 这，这不出来了吗？求大正方形，因为这三个角是啥角？是不是直角，对不对？然后你这里这个 a、 c 边跟 a、 c 撇边还相等，对不对？三个角是直角的啥呀？四边形是矩形，矩形加邻边相等。第一问搞定，第二问来，我们看一下，他说 a、 c 等于二，那我们就往上标一下啊， a、 c 等于二，这里 bc 等于四，对吧？那这个时候我就知道 ab 等于多少？二倍根号五，哎，我要知道它， 然后 c、 d 等于一， c、 d 等于一，这里 d、 h 是 不也等于因为变成正方形了嘛？然后你这里什么 c 撇 h 等于二，你这里还有谁？ a c 也等于二，然后你这个 d 是 不就变成啥点了？是不就变成中点了？它俩相等对吧？ 呃，然后让我们求谁？求 b h 和 h f 的 数量关系， b h 在 哪呢？在这呢， 对不对？ h f 在 这呢？他俩之间数量关系对不对？二倍对吧？能看出来吧？因为啥？你正方形，这是啥？这是不是直角？那刚才这块是不是也是直角？也就说你这个角的正切值是不等于这个二比成这个四， 那这个角正切值是不等于他比成这个二，对不对？所以他应该是一，他是他的二倍，对不对？或者你用相似也可以，也就说你弹进他对不对？ 它念 b 等于谁？等于这里？ h f 比上 h b 等于谁？等于 a， c 比上个谁比上一个 b， c 等于谁？等于一比二，对不对？所以你这里 h b 就 等于二倍的 h f， 这过程不行了啊。 然后我们看一下这里的第三问，让你求 e f 长，第三问，那一比二，这是一，哎，这也是一，对吧？哎，让我们求第三问，是求谁呢？第三问，求 e f， e f 的 话在哪？ e f 是 不是在这呢？ 求线断长对不对？你只要是零距正平四边形对不对？通常在压轴题求线断长，那肯定会有啥，有 a 八相似，对吧？ 然后我们再看一下这 e f 叉怎么求？求他？你要把他往啥里放？是不得往三角形里放，这这这里。很显然，你看，你要求他，那这里，你看 c f 是 一，这是二，那也就说我这时候 a f 是 不就等于多少？等于根号，根号五吧，是不？ a f 是 根号五， 然后你要求的是这个叉，求这个叉，这是不相当于求这个叉，那很显然，你看，我要知道他俩的比 是不是我就出来了，我要知道 a e 比上 e f 是 不就出来了？但是你看平行加比例，你看你要求这个比例， 是不是把它捅出去，然后这里这块还有个啥？还有个中点，对吧？哎，你看他俩这还有个中点，是不相当于平行线加中点，我要干啥？是不把它捅出去看看啊？平行，这是中点，我要把它捅出去之后是不是有这个 八字形啥相似，哎，这个又用到我们啥呀？哎，就是平行加中点，我要给他捅出去， 对吧？我要捅出去之后，你看啊，我这往外一捅，哎， 这块到这，那捅出去的目的是不正？这两个三角形咋的？是不全等啊？哎，全等的话来看，假设这是一个屁点，那你这是一，这是一，转过来这块也是一，整个，你的 h d 撇是几？是不就三？也就说你的 cp 是 不也是三， 对吧？哎，那这个时候我就把它放在啥里了？放在这个八字形相似里了，你看你捅完之后，你要求的这 e f 是 不在这呢？我看用这个蓝色的。看，好啊，这里是不是有八字形相似了？ 看，好，哎，只要你往外一捅看，这个图形 是不就出来了？八字形相似对不对？也就说，那我这个时候我要求谁？你看你这是几，这是二，也就说你 h d 撇 a 啊， f d 撇， f d 撇等于几？等于二，然后你的 ap 等于几？等于五， 看好，这是二，这是几，这是五，他俩是不是二比五，那也就说他跟他是不是也是二比五，那这占两份，对不对？这占五份，也就说你这个 e f 占整个 a f 的 多少？ 是不是七分之二？看能不能理解啊？就是你捅出去之后这是二，这是五，因为捅出去之后有，有啥？有这个全能，对不对？因为这是三，这块也是三， 对吧？哎，那这样的话，其实他就占整个 a f 的 七分之二，那刚才 a f 是 几了？是多少？根号五吧。那这块占七分之二，是不是七分之二倍根号五，这时候你的 e f 长就是七分之二倍根号五， 对吧？哎，这是用辅助线，其实这个题我们不用辅助线也很容易把它的做出来，你看啊，还是一样，我把它擦掉啊，把它擦掉， 哎，来重新来。我们刚才这是二，这是一，这是一，然后这也是二，这是一，这是一，对不对？这也是二，对吧？我们要求他这个场，求这个场，我就把它放在这个八字形相似里边 看好，因为你要习惯好的话，看这八字形，看没看到，哎，就是这个八字形相似里边， 你要习惯好的话，也就说你看你这块也是一，你这个长，看这是一，比上几，是不比三，是不相当，一比三。也就说你这个假设这个点是一个，是一个啥点？是一个 q 点吧。你这个 c 撇 q 等于多少？ 这个长度是不就等于三分之一？看能不能理解，哎，就是啊，你用啥呢？用这个这个角的啥？哎，正切值也行，在这直角三角形里，对吧？他跟他是一比三，他跟他也一比三，这是三分之一。整个 a c 长是减，是 二，所以我们这个谁，这个谁的长， a q 的 长， a q 的 长，是不是就变成二减三分之一，是不是变成三分之五了？ 三分之五，你看这是三分之五，那这是几？这是三，对不对？哎，那相当于三分之五比三，是不是五比九，对吧？那也就说你他跟他是不是也是五比九， 对吧？哎，也就说你的 a e 比上谁比上你的 b e 也是五比九， a e 比 b e 五比九。那我把 ab 求出来就完事了呗？他占，你看 a e 啊， ab， ab 是 多少？二四二倍根号五， 对吧？ ab 是 二倍根号五，那也就说我 a e 占多少， a e 是 不就占多少？十 啊？占五份，这是十四分之五吧。十四分之五倍的乘 a f， 那 就等于多少？十四分之五乘一个二倍根号五就相当于多少？相当于七分之五倍根号五， 对吧？哎，那你 a f 等于多少了？是不等于根号五啊？所以谁呀？你的 e f 是 不就是根号五？减去一个七分之五倍的根号五，就变成 七分之二倍的根号五，是不也求出来，对吧？哎，就是你要习惯好的话，往出一标，不用做辅助线，对吧？如果你记住平行加钟点，呼哧捅出去就完事啊。那我们这道压轴题就到这里，拜拜。

有同学问这个道理，二模这个无刻度纸画图啊，如何来进行理解啊？好，那我们老师领着来看一下啊。 首先呢，他说做一个四十五度角，那我们知道构一个 m 型啊，那么从这这是一个，还有这是一个，那可以构造一个等腰直啊，这样就有四十五度了。第二个 函数 a、 c、 d 要等于一比二，那么这是三角比，那这道题出的还是不错的，我们通常在做这种啊，无刻度画值，画图要的是构型，也就是转化，那么三角比是个比例，能转化成什么？相似比， 那么我们就需要找一块比例，一个相似比是一比二的，那么是沿这个三角形看，我这个比，这个三角形和这个三角形比例是一比二，那正好是这个焦点了。 ab 这个线的什么焦点啊？那这样的话就得到了一比二， 那下面呢？是要垂直还是转化？那么垂直，我们知道这等号直，这里有个立导，有人管这个叫双高图啊，我们叫立导啊，那立导这个点是怎么确定呢？你说老师我不能画这样的，叫立导，直接立导了。这个这这多长？ 那要我们需要找一个从这到这的距离，等于从这到这还是够一个，这个三角形全等在这延长，全等这俩三角形全等就完事了啊，然后一连接啊，这就是一延长，这就是垂直啊。 啊，那么其他部分呢？比如说像这需要的，他说让你画什么的地方用实线，那其他地方用虚线， 那像这类题呢啊，这个考的现在无刻度尺画图，跟以前那个画图不一样了，考的就是逻辑啊，也就比如说这里的转化思想是不是一种逻辑啊？对吧？好，加油。

hello， 大家好，杨老师。深度剖析四十五中二模试卷， 没法客观，只能主观的去给大家分析一下这一张试卷好与不好，仅供参考。整体来说与中考的难度，我觉得这张试卷和中考难度是相当的，如果说非要去匹配的话，我觉得二次函数压轴题还是比中考要稍微简单那么一丢丢的。 我们近两年四十五中一模、二模甚至是三模的试卷难度都不是很大，都没有偏题和怪题出现，也没有超纲的题型出现。但我们评价一份试卷， 它的好与坏绝不能只看难易程度，绝不能仅看难易程度，你要看它的命题是否符合中考的趋势，这是奇异。 以下要看这张试卷能给复习带来哪些启发和收获，这是比较重要的，有哪些启发与收获。 而且最终我们要把一个学校一模、二模甚至是三模、四模的卷子放在一起去评估，去对比分析三四次考试中的命题特征和考法，这样才能看出门道， 因为一次考试很难面面俱到，很难覆盖到所有的考点。好，我们简单的挑几题跟大家去分析分析，讲一讲这张试卷我觉得好的地方。好吧，前面的就不说了。 好，首先我们来看一下这个第九题，第九题的考法还是比较新的，但是这种类似的题其实在中考当中就出现过了， 中考当中有出现过了就是一个函数图像经过四个点，对不对？那这题我们采用画图的方法，其实就可以去做了。十题，这道题我觉得考的是比较接近我们上去年的 中考第十题的这个难易程度的，去年中考第十题，选择 a， 那 个 a 选项是极其简单的， b、 c、 d 稍微要去判断一下引直线，但是呢，他没有，你不会都没有关系，你都能把 a 选项选出来，对不对？傻瓜式选项，去年那道中考题，那我觉得这道题其实考的还是可以， 对吧？你首先要去处理一下这个角度的关系，然后再用将军印码去处理，我觉得这道题的考法考的还是非常匹配我们中考的难度的。 然后第十四题，这个新定义的题啊，去年考了新定义，今年那新定义题成为各个区和各个学校的热门考点，热门考法，那这种题杨老师用四个字来把它总结到位，就是什么？分类讨论， 那分类讨论考察我们学生什么样的能力呢？考察我们学生的严谨性， 就你必须要很全面，思考的很全面。分类讨论，杨老师经常跟学生讲四个字叫不重复讨论， 不漏讨论不重，叫不重不漏，对不对？不重不漏，你能不能把方方面面照顾到，方方面面考虑到要很严谨对不对？然后最后把这个结果算出来， 是不是？所以它考核心是分类讨论思想，你去看去年那道题，十四题，其实它也是分类讨论的一个思想，对吧？是个十四题，好好研究。然后下面讲一下缘这道题 圆，这道题杨老师跟学生讲的最多的一句话就是什么圆的辅助线，全部在题目当中， 第一个以 b、 c 为直径，那它大概率会考直径所对的圆度角是多少？九十度对不对？切线，那你肯定要练半径，只不过我们四十五中这道题怎么样呀？它考察的是相似，一到一小问，考察三线合一。第二问，考察是什么相似？ 那这个题杨老师想给你们传递的信息是什么？圆的辅助线都在题目当中，记住这句话，好吧？小黑板， 然后这一道新定义的题型规律题型，难度不是很大，杨老师不想讲太多，好吧，难度不是很大， 比去年那道中考题难度是要小的，比去年那道中考题难度是要小的。你要是二十二题这道题，那去年没有考相似啊？去年二十二题没有考相似，但这道题 他考了相似。那第二问，他考察我们的什么啊？导角的能力跟去年那道题的导角还是很像的， 他通过射角，只不过这一次他把这个角已经射出来了，实际上在无形当中降低我们这个难度，但是他就是这样去设置的。 那你带着这个字母去倒角，把所有知道的条件都标出来。小黑板，把所有知道的条件都标出来， 对不对？几何的体就是你标着标着标着往往就出来了。我经常跟学生说的是，一生二，二生三，三生万物，对不对？你标着标着，结果就出来了。那第三问也是一样的，你把所有的条件都标出来，你就能够去发现相似。 你发现两个相似，第一个是这个相似，母子型相似，但是没有用。那你再观察一下，你会发现这个三角形，它和这个三角形是相似，那这个时候就有用了，第三条纹就能解决了。所以它的核心是什么？把所有的条件标上去，包括它的延伸条件。 二十三题，这个题第二条纹我觉得是不是特别的严谨的，它应该交代一下 b 和 c 是 不同的两个点， 否则你怎么去取舍呢？对不对？然后第二问，第二问的话，我觉得按照答案的那种思路呢，可以，当然是可以的，答案不可能错，对不对？参考答案。但是我更加提倡 学生用校园的思想去构造一个函数出来，构造一个什么一次函数出来，最后把这个一次函数的什么资源量的范围求出来，再去求它的函数值的范围，这样我觉得可能会更加合理一点。这个题对比去年的 二十三题，我觉得是略微简单一些的。整张卷子前面的小题考的跟中考是非常的契合的，题型跟中考是非常的契合的，但是二三数的难度会略微低一点点。好吧，供大家参考。时间不多了，一起加油！一起加油！

这次 rio 二模的数学卷，很多同学因为卡在我们几何压轴题，就是二十四题的第二小问，究其原因呢，就是面对几何的压轴题，辅助线不知道怎么添加，那么下面呢，我整理了一些关于添加辅助线的一些模型，希望对大家有帮助。 i love you too。

太夯了呀朋友们，夯爆了好吗？这道题全都给我去学好不好？这道题目如果说你只是把答案算出来就结束了，那太可惜了，你又错过了一次锻炼自己的机会。 这道题目无论是第一题还是第三题，方法特别特别多，只要你敢想，只要你敢试，都是有可能写出来的。 如果说第三题你只是讲到了用相似的话，那么还不够，还有很多很多方法，我们可以借助平行线啊，借助中点做平行线，勾到中位线，去做翻折去勾到全等，去用笔直转换等等等等，各种各样的方式，你都可以尝试。 好吧，我把这个答案放评论区，大家自己看一看。刘老师只是破传隐喻，如果说你有更好的方法的话，你也可以发在评论区。