黄金分割比是什么意思

黄金分割零点六一八背后的美学密码，你有没有想过一个问题，为什么有些脸看起来就是顺眼？不是因为眼睛大，也不是下巴尖，而是因为星星比例对了。 古希腊人发现了一个神奇的比例，零点六一八。他们把一条线段分成两段，使较长段与全长的比等于较短段与较长段的比。 这个比值大约是一比一点六一八，或者反过来，零点六一八比一。它们管它叫黄金分割，用希腊字母斐斐来表示。然后奇怪的事情发生了， 帕特农神庙的正面宽和高的比例是一点六一八比一。达芬奇的蒙娜丽莎脸部的比例也接近黄金分割。苹果公司的 logo， 那 个被咬了一口的苹果叶片和果身的比例正好是黄金分割。 甚至你手里的 iphone， 它的长宽比也接近这个数。这是巧合吗？还是设计师们都被洗脑了？答案是，人类大脑天生就偏好这个比例。 心理学家做过实验，让一群人从一堆长方形里选出最舒服的那个。绝大多数人选了长宽比接近一点六一八的， 但最浪漫的地方不在这里。还记得上周说的斐波纳契数列吗？一一二三五八十三，二十一，三十四，五十五。 你猜相邻的两个斐波纳契数相除，越往后会怎样？五除以三，约等于一点六六六。八除以五等于一点六 十三除以八等于一点六二五。二十一除以十三，约等于一点六一五，三十四除以二十一，约等于一点六一九。他们越来越接近一点六一八。 一个从兔子生娃问题里蹦出来的数列和古希腊人从建筑里发现的黄金比例，最终指向了同一个数。数学的魅力就是把看似毫不相关的东西用一条线串起来。

什么叫黄金分割？黄金分割其实就是一个特殊的比例嘛，啊？就是你把一个东西分成两段，嗯，然后较长的那段跟整体的比，就等于较短的那段跟较长的那段的比，哦， 就听起来就是好像是一个两段之间的一个很巧妙的平衡。没错没错，对，就是这个，这个比例呢，它就是一个五厘数，嗯，然后它约等于零点六一八， 哦，对，它还有一个就是用希腊字母 p i 来表示，它是一个在数学还有艺术啊，建筑当中都特别有意思的一个数字。这黄金分割这个数到底是怎么算出来的呢？其实你就是假设有一个线段，嗯，然后你把它分成两段， 长的那段是 x， 短的那段是一减 x， 嗯，那你要满足黄金分割，就是 x 比上一等于一减 x 比上 x 就 满足这个比例关系。哦，所以就会有一个这样的方程，对，然后你去解这个方程，就会得到一个一元二次方程， x 方加 x 减一等于零， 它的正根就是二分之根号五减一，它就是一个五厘数，约等于零点六一八。它还有一个奇妙的性质，就是它的倒数正好比它本身多一，哎，那黄金分割这个东西是怎么来的？就这个东西是怎么被发现的，然后又是怎么 一步一步的在历史上被大家不断的去关注，其实这个故事就非常的呃，渊源很深了，就是这个最早的话可以追溯到 古希腊，嗯，这毕达格拉斯他们就研究这个正五边形啊什么的，就发现了这个。后来欧基里德在他的几何原本里面就有非常详细的论述， 那他的这个名字的话其实是从文艺复兴时期才开始流行起来。哦，那，呃，还有就是说这个中世纪的一些学者就觉得这个是一个非常神圣的比例，然后他就有很多这种 怎么说，无论是在艺术领域还是在自然界当中，你都能看到他的身影，他其实是一个 贯穿了整个数学和美学的一个非常经典的一个主题。哎，那我们来聊一聊这个黄金密码在自然界当中的一些体现吧。嗯，这个我觉得特别好奇，就是有哪些你意想不到的地方会出现黄金分割。其实你会很惊讶，就是在向日葵的花盘上面，他的这个种子的这个螺旋的排列 就是一组一组的斐波纳奇树列，然后他的这个相邻的两圈的这个直径的比就是非常接近黄金分割。还有就是松果的这个鳞片，他的这个螺旋的树木也是斐波纳奇树，他的这个结构也是 遵循这个黄金的这个比例在生长的。听起来好像植物界对黄金分割还挺偏爱。对啊，不光是这样哦，你看这个 鹦鹉螺的这个壳，他的这个螺旋的这个枪式，他每长大一圈，他的这个直径的增加也是按照黄金分割来的，包括蜻蜓的这个身体的分段，蝴蝶的这个翅膀的比例， 都是跟这个黄金树很接近，甚至连我们人体的这个肚脐的位置，还有我们的这个手指的关节都是黄金分割的。这个杰作 就是大自然好像在很多很多地方都用了这把尺子。哎，那我觉得很很神奇的是，就这个黄金分割在艺术和建筑领域有哪些让人惊叹的经典的应用？比如说古希腊的这个帕特农神庙， 他的这个正面的这个比例就是黄金分割。然后包括埃及的这个金字塔，他的这个高度和他的这个底边的长度也是很接近。黄金分割，那这些都是 古代的一些奇迹吗？嗯，那包括我们现在的一些建筑，比如说东方明珠塔，他的这个球体的位置也是按照黄金分割来确定的。广州塔他的这个腰身 也是在黄金分割的这个位置。所以这些都是为什么这些建筑让你觉得那么赏心悦目？所以说这个黄金分割在绘画和音乐当中也会出现吗？当然比如说达芬奇的这个蒙娜丽莎，他的这个构图就是一个黄金分割，然后包括米开朗吉罗的这个创世纪， 他的这个人物的这个布局也是黄金分割。你知道吗？就是连这个最后的晚餐，他的这个餐桌的位置和人物的这个位置都是按照黄金分割来的。 包括在音乐里面，比如说这个巴托克的一些作品，他的这个高潮的部分也是在黄金分割的这个时间点上。对，还有很多很多的这个乐器的设计也都是用到了黄金分割，所以 艺术和建筑其实都很很依赖这一把这个美学的尺子。因为什么黄金分割会在自然和艺术当中都这么常见？他背后到底有什么？其实这个黄金分割他之所以这么常见，是因为他可以让一个结构最有效率的去生长， 比如说这个植物的这个叶子的排列，他是按照黄金分割来的话，他就可以最大面积的去吸收阳光。 然后这个贝壳它的这个螺旋的这个形状也是按照黄金分割来的话，它可以用最少的材料获得最大的空间。 包括这个动物的这个身体的比例，也是按照黄金分割来的话，它会最适合运动，所以它其实是一种优化的选择。对，没错没错，然后包括在艺术和建筑当中，它也是一种视觉的和谐， 就他会让这个东西看起来更舒服。对，他其实背后就是一个大自然和我们的这个审美都在追求一个极致的平衡。对，就是一个数学和 这个宇宙的一个深层的规律。我们来进入我们的第三部分啊，我们要来聊一聊黄金分割是不是被神话了啊？就是这一部分呢？我特别想知道，就是说这个东西这么多关于黄金分割的说法到底靠不靠谱？嗯，其实这个东西这么多关于黄金分割呢，他是确实有很多很多的 传说，就被很多人称为是这个美学的这个密码呀什么的。但是其实他最早被提出来的时候，欧几里德提出来的时候，他只是一个呃，怎么说？ 几何问题？就是一个中末比，就他当时根本就没有提到任何关于美或者是艺术上面的应用，所以他其实一开始跟美学没有什么关系。对，没错，然后包括后来呃，文艺复兴时期，这个被帕乔利 包装成了一个好像是很神圣的东西，他其实也没有什么证据说当时的艺术家是真的很严格的在使用这个东西，包括我们现在呃去测量这个帕特农神庙啊什么的，也都没有找到很准确的这个黄金分割的比例。 包括很多的这个所谓的黄金分割的举行啊什么的，很多都是后人呃，硬往上套的，包括在自然界当中，也不是处处都是黄金分割，其实很多都是因为我们的这个大脑喜欢找规律，嗯，所以我们就会经常会自己脑补出一些黄金分割出来。对，所以这个东西 就被神话了。其实是一个误会比较多，那就是说，呃，黄金分割和我们说的这个美到底是不是一回事呢？对，其实这个心理学的实验也发现，就是人们其实喜欢的这个举行啊，并不是只有黄金举行这一种，就很多比例其实大家都是觉得好看的， 包括这个所谓的黄金分割脸，其实也没有什么科学依据说他是最漂亮的。就是 啊，所以说就是漂亮，其实没有这么这么绝对的标准。没错，对，就是美。其实是一个非常复杂的东西，它跟很多东西有关， 它跟比例有关，跟对称有关，跟这个东西的整体的和谐有关，甚至跟文化也有关。那黄金分割可能是在某些地方会帮你提升一些美感，但是绝对不是说唯一的标准，甚至有的时候一些 很独特的东西反而更美。那你觉得就我们现在很多人把黄金分割当成一个几乎是一个万能的一个美学的答案， 你觉得这种东西会带来什么麻烦？其实就是这个黄金分割它确实有一些独特的数学的性质，然后在一些自然的结构当中会出现。嗯，但是你如果说把它夸大成一个就是 放之四海而接准的一个美的标准的话，那就是一个误区了，就会让你忽略掉很多其他的同样很重要的一些设计的因素，也会让你陷入一种对数据的强行的解释和对一些伪科学的说法的 盲目的相信。所以我们更需要的是用一种比较理性的眼光去看待它。嗯，把它的这个真实的价值和它的局限性都看清楚。对，今天我们聊了黄金分割，从它的神秘的历史 到他在自然和艺术当中的一些踪影，然后到最后我们发现其实他的这个真正的魅力可能并不在于他是一个唯一的美的标准，而在于他是一个引发我们不断的去探索和发现的一个气息。对，感谢大家的收听，咱们下期节目再见。拜拜。

两千 多年前，古希腊的数学家和哲学家必达哥拉斯有一天走在街上，在经过铁匠铺的时候，他听见铁匠打铁的声音，一长一短，非常悦耳动听，就像音乐一样，于是就停下来听了好一会，他发现铁匠打铁的节奏非常有规律， 由于天生的数学敏感性，这个声音比例就被必达格拉斯用数学的方式表达了出来。他把一根绳子分成一长一短的两段，如果较短的一段和较长的一段的比例正好等于较长一段和整根绳子的比例 就是约零点六一八，那么这种比例就会带来特殊的美感，这就是后来人们所说的黄金比例，这在当时是一个伟大发现。断臂维纳斯被称为世界上最美的雕像，之所以最美，是因为雕 方向运用了黄金分割比例。在那个时候，人们就发现了人体的黄金分割点就在肚脐，如果肚脐以上和肚脐以下两部分的比例为零点六一八，比一就构成了黄金分割。众所周知，这样的比例会给人以舒服优美之感，但是一般人的身高是达不到这个比例的， 所以这些著名的雕像都被故意延长了双腿，使之以身高的比之为零点六一八。所以芭蕾舞演员在跳芭蕾舞的时候都很美，因为他们踮起脚尖，让这个比例接近了黄金比例。 埃及金字塔仅从外形上就给人以震撼和美感，大部分的金字塔不论大小，他们的底部边长和高度的比例都接近于零点六一八，这也就造就了金字塔的美感。最早的金字塔估计修建于公元前三千年，这比必达格拉斯发现黄金分割还要早一千多年。这是否说明 在很早以前，人类就已经发现了这些黄金比例？如果一个举行的长宽之笔是一比零点六一八，那么这个就是一个黄金。举行 黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦。如果我们把这个黄金矩形切出一个正方形，你就会发现右边这个矩形的长宽笔依然是一个黄金矩形，我们再切出一个正方形来， 剩下的依然是黄金矩形，然后再切，再切，再切。如果你把里面的正方形相对的两个角用弧线连起来，就可以得到一个螺旋线，这个就是黄金螺旋线，也叫做匪不拉器螺旋线，因为他是意大利中世纪数学家匪不拉器发现的。 后来人们就发现，在很多领域，只要运用这个黄金分割和黄金螺旋线就特别的美，是一种极度舒适的美。后来 建筑师对数字零点六一八特别偏爱，但凡称得上是伟大的建筑，都隐藏着黄金分割的秘密。雅典卫城的主体建筑帕特龙神殿是供奉雅典娜女神的最大神殿， 代表了当时全世界建筑艺术的最高水平，直到现在也是世界建筑艺术中的瑰宝级作品。如果把帕特隆神殿的轮廓抽象为矩形 abcd， 我们在这个矩形 abcd 里切出一个红色的正方形，就可以得到另一个绿色的矩形。 在这个绿色的矩形中切出一个黄色的正方形，就可以发现中间这个相交的机的距离正好是 ab 和 cd 的黄金分割点。 举行 abcd 的宽以长之比正好是黄金比，比之为零点六一八，基点开始也是大殿柱子的高度，这样整个建筑就给人以特别的美感，而这个建筑也是完全符合黄金螺旋。 印度的太极名，是印度知名度最高的古建筑，被称为世界新七大奇迹。整个建筑采用白色的大理石组成， 他的正面轮廓可以说是把黄金分割运用到了极致。正面黄金矩形的交叉点完美呈现出了主体轮廓， 正面大门的黄金交叉点又呈现出了完美的结构。甚至有人把整个镜头拉到广场上，对比广场上的立柱，依然发现这个结构符合黄金矩形，整个建筑也完美符合黄金螺旋线，所以泰基尼不愧是人类建筑史上的奇迹。 梵蒂冈博物馆最著名的旋转楼梯，被誉为世界最美的旋转楼梯，也是设计师运用黄金分割的代表作。此外，法国巴黎的圣母院埃菲尔铁塔、中国上海的东方明珠塔。之所以这些建筑都给人留下了深刻的印象，就是因为建筑师运用了黄金分割理论。 除了建筑，绘画中对黄金分割的运用也更为明显。画家们发现，按照零点六一八比一来设计画出的比例，画出的画就最美。 世界最著名的绘画蒙娜丽莎，除了画作中女人迷人的微笑，还有就是整副画作传达出来的一种空前的美感， 就是因为他的作者达芬奇就是对黄金分割极度崇拜的人。首先，蒙娜丽莎的主体轮廓是一个黄金矩形，头宽和肩宽的比例接近于黄金比例。 如果我们画一条黄金螺旋线，这条黄金螺旋可以经过蒙娜丽莎的鼻孔、下巴、头顶和手等重要部位，这种极致的美感就是由这些黄金分割点构成的。达芬奇的另一巨作最后的晚餐，处处都是黄金举行的杰作，任何一个微小的细节你都能发现黄金分割的存在不止达芬奇 画个最后的晚餐，另一幅由达利绘制的最后的晚餐，同样少不了黄金分割。荷兰画家维尼尔的戴珍珠耳环的少女黄金分割，达利的记忆的永恒黄金分割，乔治休拉的阿尼尔的御者黄金分割，米开朗基罗的创造亚当黄金分割。 历史上著名的画作几乎都运用了黄金分割比例。当然，不排除有些画家对美感有极高的造异，不是刻意而为之，但画出来的画作也符合或者接近于黄金比例。 在摄影中，黄金分割点的运用也极其明显。大家都知道相机有个九宫格功能，就是打开以后其实就是一个黄金矩形，这 abcd 四个点就是黄金分割点，也叫做人的兴趣点。如果你拍摄的主体位于这四个点之上，就会让画面显得自然好看。所以 如果是拍女生，就可以让人物的眼睛位于这上面两个点，这样女生就会被拍的很漂亮。看到这，各位男士再也不用纠结不会给女朋友拍照了。在工业设计，特别是 logo 的设计中，你觉得好看的、规整的 logo 都是符合这个黄金比例的。比如最出名的苹果的 logo， 首先这个 logo 的主体是符合黄金曲线的， 带着苹果的叶子和咬带的缺口之间的比例正好是零点六一八，所以才会让这个缺口看起来不大不小，非常舒服。除此之外，苹果的 iphone 设计也处处体现了黄金分割，这就是为什么不管你喜不喜欢 iphone， 你都不得不承认它是一部非凡的手机。 看到这，可能大家会觉得这个黄金比例应该就是存在于建筑和艺术中，但其实他在很多领域都有运用。比如艺术家认为，弦乐器的琴码放在琴弦的零点六一八处，就 使琴声更加柔和甜美。莫扎特的第一大叫奏鸣曲，他的第一乐章全长一百六十小节，若用小节数乘以黄金分割比例记，一百六乘以零点六一八，等于九十八点八八。曲子的在线部位恰恰位于第九十九小节，正好处于黄金分割点之上。 也许是有意为之，莫扎特的大部分钢琴曲中都运用了这个方法。莫扎特是懂得黄金分割，并且有意识的运用他的那许多优秀歌曲的副歌，也就是高潮部分一般也会出现的黄金分割点之上。许多歌曲的主歌和副歌部分都落在这个神秘的顶上。 人们发现，大自然中所有美丽的动植物在形体构造上都接近零点六一八这一笔直，比如树叶的叶笔和叶片的长度支笔，人的耳朵也是符合这一比例的。耳朵的构造可以帮助人类 更好的接收声波。达芬奇发现，人的肚脐位于身长的零点六一八处，咽喉位于肚脐和头顶长度的零点六一八处，肘关节位于肩关节和指头长度的零点六一八处， 鼻子位于头顶和下巴长度的零点六一八处。人体存在的肚脐、咽喉、膝盖、肘关节、鼻子等五个黄金分割点。他们也是人赖以生存的五出要汗。在冬季，人体感觉最舒服的温度是二十三度，这个和人体温度三十七点二度正好也是零点六一八的比值。 将鹦鹉螺对半破开，其内枪壁的螺旋结构完美符合黄金螺旋线。松果的种子、罗马花椰菜、孔雀开屏时的羽毛都是符合黄金螺旋线。更神奇的是，将台风的卫星云图放到螺旋线上也是完美符合。再大一点，我们的银河系包含四条主旋臂，每条旋臂分 开大概十二度。银河系的形状也和黄金螺旋完全一致，而且我们很容易在任何螺旋星系上画出黄金螺旋线。那地球有没有黄金分割线呢？有， 就是这个北回归线。在北回归线上有埃及的金字塔，墨西哥的玛雅金字塔，大西洋的百亩大三角。同时，历史上的古文明，像巴比伦文明、亚素文明、古玛雅文明以及苏美尔文明，还有古埃及文明都出现在这条北回归线上。 那么传说中沉没于大西洋的史前文明亚特兰蒂斯文明是否也在这条北纬线上？ 如果这不是一种巧合，而是一种必然，那么我们的银河系是由几千亿颗恒星及行星组成。从概率角度讲，具备生物生存条件的行星肯定还有很多。那么我们是否可以这样认为，在银河系 黄金分割带上的某些行星是可以诞生出高等文明的。如果我们放眼这些区域去寻找外星生命，也许真的会有意想不到的发现， 那为什么这么多东西都按照这个黄金比例结合在一起呢？大自然好像在用同样的数字来创造这些东西，这是 是否说明这个零点六一八的出现并不是巧合？这个数字真的是万物的密码，可以称得上是上帝密码，他是否是世间万物在诞生和创造之初就被写好的密码？那真的表明整个宇宙都是被设计好的吗？ 宇宙中也许有更深的规律有待我们发现，比如银河系的黄金分割点也许就蕴藏着一个巨大的秘密。你是怎么认为的呢？在留言区留下你的评论，我们一起来讨论这个伟大的数字。

黄金分割是人们津津乐道的美学问题，他的数学原理早在公元前四世纪的古希腊就被发现了。 如果把一条线段 ab 分割为两部分，较长部分与全长的比值和较短部分与较长部分的比值是相等的，这个比值约为零点六一八比一。如果反过来相比，比值则约为一点六一八比一。 把黄金分割引申到平面图形上，就产生了黄金比例。一个长方形长度减去宽度后，形成一个新的长方形，那么原来长方形长与宽的比例等于新的长方形长与宽的比例，这个比例就是黄 黄金分割的比例。一点六一八比一。这是一个神奇的比例，因为符合这一比例的物体会给人天然的美感，这种美感不因人是否了解数学原理而存在。 比如蒙娜丽莎脸的宽度与长度，额头到眼睛以及眼睛到下巴的笔都符合黄金比例。十六比九，屏幕的电视机比四比三的看的更舒服，那是因为更接近黄金比例。 雅典帕特农神庙、巴黎圣母院的长宽比、小提琴的长宽比。五角星中所有线段之间的长度关系都符合黄金分割比。具体到女孩穿多高的高跟鞋，才能让自己符合黄金比例？ 臂呢，就是让全身与下半身，也就是肚脐到脚底的高度具有一点六一八的比例，而雕塑断臂的维纳斯正好符合这一比例。 当我们拍出一张自我感觉良好的照片，这种良好的感觉，也许正是因为照片的构图符合黄金分割比例。 这便是数学对人潜移默化的影响。 我就是数学。

大家好，今天我们来讲黄金分割点的问题，听了我的讲解，一定能够熟练掌握这个知识点。讲黄金分割点之前呢，我们先来回顾一下比例现在的知识点。比例现在呢，指的是四条线段， abcd， 如果满足 ab 上 b 等于 cbd， 那么这四条线段就成为比例。现在 这个 a 到 d 呢，一共是四项，我们从左至右啊，分为第一比例向，第二比例向，第三第四比例向。那么 b 和 c 呢，我们也叫做内向。 a 和 d 呢，我们叫做外向， 内向之机等于外向之机。如果这个 b 和 c 是相等的两个项，我们就成为比例中项， 那比例中向的定义呢？就是如果三条线段 abc 满足 ab 上 b 等于 bb 上 c， 那么 b 呢，就叫做 a 和是 c 的比例中向。那当然了，这个公式我们还可以隐身出 b 的平方等于 ac， 也就是内向之机等于外向之机啊，得到 b 方等于 ac 啊，我们还可以转化成另一种形式， b 分之 a 等于 c 分之 b， 我们的黄金分克点呢，其实就是由比例中向啊隐身出来的。 接下来呢，我们来讲黄金分割点的问题。 ab 是一条线段，如果 p 是这条线段上的黄金分割点， 那么这个图形里面一共有三条线段，为了方便我们研究呢，我把这三条线段呢，取上各自名称，这个 ap 我们称作较长， bp 呢，我们称作较短， ab 呢，我们称作全长 好。 p 是黄金分的点，那就必须要满足一定的等量关系，这个关系呢，其实就是我们前面所涉及到的比例中相的问题。当 bp 比成 ap 等于 ap 比成 ab 的时候， 这个时候 p 就是黄金分割点，而且 ap 呢，就是较长的。那么同样呢，我们还可以得到其他的这个 等量关系，也就是 ap 的平方应该等于 bp 乘以 b， 也就是说这个内向之机等于外向之机啊，得到了这第二个公式。当然了，我们还可以用分式的形式来表示他们的关系，这三个式的其实都表示的同一个意思，都可以得到 p 为黄金分割链，且 ap 为较长的线段。 我们观察一下这三个式子， ap 啊，其实都出现了两次，所以呢，出现了两次的线段，我们可以得到他是较长的线段。这个结论。 好，现在我们来探究一下这个 p 具体是在 ab 的什么位置，那为了旁边研究，我们假设 ab 这个全长呢，等于一好，我们要求出 ap 这个较长和 bp 较短，他们各自的长度，那我们先设 ap 的长度呢为 x， 那此时 bp 的长度呢，就为一减 x。 好，这三条线段呢，他要满足相应的关系，这三个式子其实都可以。第二个式子呢，要方便我们去得到这个等待关系，我们带入第二个公式， 也就是得到 x 平方等于一减 x， 因为 ap 是 x， 所以 x 平方等于一减 x， 那么这个就变成了一个二次方程了，我们进行求减， 嗯，对他进行整理，得到了这个阿司方程。然后呢，应该有两个根，但是呢，我们的 x 是线段，他必须是大于零的，所以呢，我们得出 x 呢是二分之根，号五减一。 接着我们进一步呢，计算出一减 x 的值是二分之三减跟二五。这样的话，我们的 p 点具体的位置呢就可以得到，当全长 ab 等 等于一的时候，较长的 ap 呢，就等于二分之二五减一，约等于零点六一八，这个数十呢是要记住的。 那此时的 bp 呢，就是二分之三点根号五约等于零点三八，这个零点三八呢，你可以不用记得好这个二分之根号五减一啊，大家一定要记住，它是一个笔直的问题， 千万不要只认为他是一个长度，这是谁的笔直呢？就是 bp 比上 apap 比上 ab 的黄金分割笔，他是等于二分之杠五减一，也就是较短的比上较长，以及较长比上全长，他们的笔直都是二分之杠五减一。 好，接着的话，我们来找出这三条线段他们之间的这个比例问题，那这个较长的 ap 呢，就等于二分之个五减一倍的全长 ab， 这个较短的 bp 呢，就 就等于二分之三减根号五倍的全长 ab。 接着第三个呢，也就是较短和较长之间的关系，也就是较短的 bp 应该等于二分之高五减一倍的 ap， 所以呢，二分之高五减一倍啊，这里面是存在两个笔直 都是二分高五减一啊。如果我们用这个较短较长全长来进行这个描述的话，就可以得到啊，这个三个大量关系都是一个意思， 三条线在里面，当题目告诉你其中任意一条边，你都可以得到另外两条边，比如说我告诉你较短的 bp 让你求较长的 ap， 那你用第三个公式，当我告诉你较短的 bp 让你求全长 ab， 那你可以用第二个公式啊，所以呢，之一就可以求二。 还有一点呢，就是我们要注意一条线段啊，他有两个黄金分割点，一个是靠近点 a， 一个是靠近点 b， 所以呢，有的时候做题目啊，他 在多解的问题，记得有一年期末考试呢，就遇到一道题目，他说 ab 呢，是一个舞台主持人呢，在点 a 处问向右要走多远，可以使视觉达到最佳。很多同学呢，只计算了一个靠右的答案，其实靠 所的答案呢，他没有计算在内，所以导致出错啊，所以的话，大家一定要记住，一条线段有两个黄金方个点。好，接下来呢，我们来看一道中考真题，他说线段 ab 上呢，有一个点 c， 且满足 ac 比上 ab， 等于 bc 比上 ac， 则 ac 与 ab 的笔直让我们求出来，那我们观察一下这个点亮关系， ac 啊，出现两次，根据我们前面的经验，我们就可以得到 c 点为黄金分割点，而且 ac 为较长边。好，那他让我们求的这个是较长比上全长， 那不就是黄金分割比二分之根号五减一吗？后面第二个小文，他说若 ab 的长度呢，与中央电视台这个舞台的长度一样，那么节目组成应该站在哪个点最好？ 这个实际上就是 abc 三个点让我们选，那很很明显就是 c 点啊，他站在 c 点，肯定是这个观看的效果是最佳的。好，今天的内容呢，就讲到这啊，如果有不懂的可以问我，初三的孩子加油！

这个点是 a、 b 的 中点， 现在分成两条线段，一个是 a、 c、 b、 c。 那 么我们知道 a、 c 和 b、 c 的 数量关系 分两个线段，什么数量关系？ a、 c 等于 b、 c， 所以 我们完整这两条线段的比等于 等于一比一，比值就是一，这两条线段之比由近于 一比二。好，一比二， 你伟大发现腰坐下。 n 这边，这上面有一点 c， 还有一点， 这边三个点啊，两个点，将这个分成三条线段，分割成三条线段，这三条线段是相等的， 我们把这个点称之为叫三等分点。 三个问题有几个？一个，其中较短的是这条线段， a、 c 较长的是这条线段， b、 c。 这个很明显吧，好，较短，比较长。 a、 c 比 b、 c 两秒， a、 c 比 b、 c 多少 击杀人比值二分之一 b c b a d 三分之二，请坐下，请坐下。对， 在这条线段上也有一点， c 分 割成两条线段，这两条线段不等， 其中 a、 c。 较长， b、 c。 较短啊，这个较短， 这个较长。现在较短的 a、 c 比 b、 c。 比较长的，较长的比圆长。 我们不知道具体的比值，但是我们知道这两个比值是相等的， 这个点一定是一个特殊的点， 既不是终点，因为他这个终点，这两个是不等的，三档分点，这个两个也不等的，所以这个点既不是三档分点，也不是终点，一定是一个特殊的点。这个点是今天要跟大家研究的， 前任给他取了一个很好听的名字， golden points。 什么意思啊？黄金，黄金，黄金。 那什么叫黄金分割点呢？我们这几个研究了一个重要的概念，黄金 分割金，黄金分割点， 做一个点，将一条线段分成两条线段，前提这两条线段不等，其中 较长的线段，较长的线段是较短线段， 与圆线段 等比例相等。 假如记这个图啊，那也就是说 啊，哪个叫长啊？ b c b c， 那 就是 b c 平方，哪个叫短呢？ a c 圆长谁啊？ a c 啊，也可以写成 较短线段，比上较长线段等于较长线段，比较短线段，是不是这个意思啊？啊， 不就知道吗？你等起来，我说这个点是特殊的点呢，懂吗？哎，那么小朋友，我们圈 线段 这个这个这个 a b 被点 c， 黄金分割 点 c 成为黄金分割点， 小朋友，小朋友，这个终点啊，你知道这个中间位置，你还可以量化对不对？这个跟这个相等 对不对？三等分点，你也可以量化，这个比整个三分之一对不对？还是黄金分割点可以量化吗？ 不知道，带着大家一起研究来看，随便 鲁鲁。线段 a 等于一点 c 是 a b 的 黄金， 来，各位摇一摇，哪个是焦糖的呀？ a c 焦糖的哈。 那么既然是黄金不和，你是不是满足这个关系啊，或者满足这个成绩，是啊，对不对？那么现在还要求 ac， 这我怎么办呢？ ac 真不知道， 不知道这个也不知道了，这个知道他也就知道了，这整个是一吗？那不知道，我们就跟他四个位置住整一下哈。来，小朋友，我是，他是哎，那他就知道了，一起来， 对吧？那么既然是黄金分割点，就是黄金分割，那么就满足这个等量关系，对吧？这个就是方程的等量关系吗？好的，那小朋友你们在下面快速完成解 设， a c 等于 x， 则 b c 等于一减 x 等于还 来上黑白在这个地方工工整整的把方程运用这个等量关系再做它呢 姑娘这次漂亮啊。等量关系但是这个等量关系不好直接用。因为图不一样了对吧。 因为看图一样吗。这个是交的现在他比什么交长了所以你要根据定义的描述。关键在这里定义描述什么呢。交长线段是交的大家读一遍哈 较长线段是较短线段与原线段的比例中项是不是。那我们来读一下较长线段较短线段原线段 你你去哪了。你试试看啊来看看哎字母没变但是关系发生了变化 咳 就比比比比 所以我看不懂哈我认得错哈你表现真好哈对不对啊我看瞄瞄瞄看一眼猫看一眼好像对了哈 x 减是谁啊。较短线段 x 呢较长线段这个 x 是 较长线段比原线段大对 不错啊来开始解方程说这方程怎么解。 这是比利时昨天不是把比利时画成了吗。 哦 x 减一等于 x 平方再把它画成一般式保持相吸的地方真的 x 减 x 加一等于六。坐下用最快的方式你给我四种解法最快的方式快把方程解出来。 小伙子你把根解两个根写出来 基本功能平时训练出来的人没说呢他已经解出来了。 学到了下面往左边写哎。对再往左边写写两个啊 x 一 哎学步子了啊。 嗯哇你今天写的很好啊这基本公式啊它减对不对啊。这个啊咱们一个是二分子跟二五减二分子一一个是负二分子跟二五减二分子一对吧。 那么我们所以我们的 a c 等于多少啊？所以 a c 等于多少？ 老师，这三个理解啊，那我们哪能解出来啊？ 数据没错，被我们周玉凡临时给没改了啊，可以解啊， 我们这么多同学很尊重你的，以为这个地方对的，没指望，那地方错了是吧？哎呦，死人了，这个就是一减 x 那 个，这个就减一对吧， 但是你他的话在下面他按照自己的方式解决了，他肯定方方面对的，对不对？这个舍了对吧？先检验这个舍了。为什么舍呀？ 所以 a c 是 二分子跟二五减一，这样减一点，二分子跟二五减一，对吧？一个分子一个分母啊，那么红心呢？来了， 我们不是说想量化这里的关系吗？这个笔都清楚了，这个笔是多少呢？你看上面的笔，你看这两个笔相等，这笔是多少？ 得？本题要一点，较长线段是它对吧？二分之根号五减一对吧？原线段是一对吧，那么较长线段比较短线段比值多少啊？ 二分之根号五减一比一嘛，那就是二分之根号五减一对吧。初步得出较长线段比根卷段这个比值是定值。二分子根号五减一 粗，那又为啥老是你的特殊，哎，那我们可以一般化吗？那小朋友，假如 a b 不是 a 是 a， 那 么 a， c 是 x， 这个就变成什么 a 减 x， 这个方程就变成什么 a 减 x 比 x 等于 x 比什么比 a， 对 不对？小朋友，那这个方程这一化简是不是 x 平方减去它是加 加 a， x 减 a 平方对不对？是不是 把 a 看成已知数嘛？ a 本来就表示已知数，对不对？表示线段长嘛，对不对？只会用字母表示。那么这个一解解出来 x 一 等于二分子根号五减一倍 a x r 解出来是二分子负根号五减一倍 a， 这个公式对不对？ 那这个就是 a c， 所以 a c 等于二分子根号五减一倍 a， 这个是较长线段，对吧？嗯，原线段是 a 吧，那么较长线段比原线段的比值是多少？ 二分子跟二五减，原来这个比的比值竟然是个定值， 是二分子跟二五减一，所以前人把这个重要的比值也给他一个语文数学的 黄金比 黄金品 啊。那么这个黄金饼干在生活当中，在艺术当中，在建筑当中，在很多的领域都有相关的用途。 有人到过上海去爬过东方明珠电视塔， 那个东方明珠电视塔在照片上看起来还挺舒服的啊，有两个球，上面一个，下面一个，结果有人发现上面那个球的位置看怎么看都挺舒服的，原来它是按照一定比例构成的， 上面这个球到塔顶的距离跟上面这个球到下面这个球之间的距离较短，比较长，正好是黄金 黄金，这是在建筑领域的一个应用， 数学上有几个黄金图形跟大家分享一下。第一个黄金图形叫黄金图形，它的定义是 宽比长等于二分之根号减一的矩形，我们称为叫黄金矩形。 宽比长宽交短了长交长了交短的比交长的比黄金三角形 b 比幺等于二分子根号五减一的等腰三角形，它是黄金三角形。 前任还进一步进行推，而他一推就发现 这个黄金三角形底底腰是二十个 o 型，他发现这个顶角是三十六度。 原来黄金三角形就是顶角三十六度的，等高三角 都是人家研究出来的。你到时候女的你，你回家，你空的时候，你闲的时候，你坐马桶上思考人生的时候，你可以思考思考他， 嘿，他为什么就三十六的，他怎么就不是三十的呢？你一想有一天你想回没了， 说不定你在这个领域也能做出巨大贡献。好，下面黄金 王金生上半身比下半身等于二分之三号， 知道吧？你看你妈妈去相亲的时候特地穿了一个高跟鞋，为什么是我妈妈去相亲，知道为什么吗？她穿了高跟鞋以后呢，下半身会变长一点，整个身高比较长一点， 就它的比例接近于二分之二五 g。 呦，好，未来的节目。你看节目未来的主节目。这身材真好哇我去。哈哈哈。 他们在生活当中呢，说跟老五他们不懂的，后来 老五约等于二点二三六，所以这个约等于零点。下面我们开始简单应用 零。已知线段 a b 等于四厘米点， c 是 a b 的 黄金分割。 求 a c 的 长。 王一新啊，你这算吗？哼，你告诉我你准备怎么算呢？ 然后那个比例式是吧，那座方程对吧？同学们，他准备回归的，用定义来算的 四四个方法对吧？那你打算怎么算呢？ 你打算怎么算呢？好的，第一次你打算怎么算呢？呵呵， 小朋友，我们现在换个换个频道，用黄金笔，用黄金笔，求献关。 因为他就是黄金分割点嘛。那么较长的比原线段就是多少啊，二分之根号五减一嘛，对不对？ 我较长的线段比原线段长就是二分之根号五减一我现在知道了呀，那么我这次算的不是快了吗？ 都做些。那问题来了，哪个是教场？不知道，不知道怎么就就要干什么，所以孩子们做吧。所以， 哎，用黄金笔求线段长的一般步骤。第一步就是定长短，你分割了吗？有一长一短吗？所以第一步定长短， 哪个是叫长的哪个是叫短的？你不知道的嘞？我不知道，没说清，那么就是分情况， 总共分分割成两条线段，它又不是终点，终点是两个一样长的嘛。现在肯定不一样长啊，肯定一个长一个短对不对？哪个长哪个短你知道不？我知道，所以减 洛 a c 大 于 b c 对 不对？那么用定义来小朋友折黄金笔呢？ 你要算哪？算 a c？ 那 a c 正好是交长的，那用哪个？用两个比当中哪一个比合算？用 a c 交长的比上 圆长， a b 等于二分之二角形 u a b 等于什么？四，小朋友往那一带再一算， a c 是 吧？二倍 好， 小男生爬过去 好了好了啊。哦呃，你是啥意思啊？哦哦，这个就是，这个就是叫什么的对吧？则 b c 就是 奥奥奥，倍根号为零奥，对吧。哦， 这什么意思？你们知道？本来说 a c 是 二倍根号无极号对不对？二倍根号无极号，它这里代表最底层的属性，应该是较长的对不对？那么现在在第二种情况里较长的是谁啊？就是 bc 对 吧？ bc 较长，那就说明 bc 等于二倍根号无极号是吧。 那么 a c 叫什么呢？那它总长减去交长的就叫什么？那么这个意思啊告诉我们，所以中上 a c 等于二倍根号五减二，或者六减二倍根号五，这告诉我们答案有两种，对不对？ 对吧？为什么会有两种的呢？花个头看呢，怎么来也没事，搞不清楚来。 a， a c 二倍刚好五减幺， c 大 概在这里，对吧？然后 b， c 二倍刚好五减幺， c 跑到这里来了，对吧？ 有，咦， c 什么点？大？ c 是 ab 的 黄金扑克点，现在看算了一下，竟然算出来它有几个。 什么什么？说吧，一条线段 有几个黄金分割点？黄金分割点有两个， 一个偏左，一个偏右， 上面叫偏左偏右，中间那个是中点，一个偏左边，一个偏右边。好了好，小朋友，现在来了 一个黄金分割点，记 c 一， 一个记着 c 二。这两个黄金分割点之间距离多少呢？九九 c 一 c 二的长度。 好的， 我没有舞蹈，我今天教大家一个舞蹈。 你刚才说出来了，说出来了。来，小伙子，你去做四倍根号五减八转向，你不说了啊，来，小朋友 说，我现在要干一件事了，干什么事呢？我的重点用什么做？你可以找到啊，怎么做啊？ 做垂制品危险，做垂制品危险就可以找到终点，对吧？那么三个分点你怎么找？ 老子你也不会走，我教大家一下三等问题，今天我初略的告诉大家说一条线段，说我要做这个线段，三等问题，我先怎么做？我给你看啊，我先做一条射线， 请现在开始开始。你看好了啊，我不是要做他三个点吗？我先过这个 a 点做一条色线，然后截取一段， 你要达到这个可以吗？这个我就可以接的，对不对？我接香的吧，我随便接三段香的，这个不是问题吧？这个是三段。然后我干一件事， 做平移线，死鬼可以做的，对不对？那么我们先实践一下来，我做过，我现在这个干一个什么事呢？我把它连起来， 这个线可以连的吧？然后我过这点做平移线，做平移线跟这边肯定有交界，这三个，这两个点一定是 三等问题。好，这个分享完毕。现在那这个方法就是做射线，做一根射线，三等分，这么多问题对不对？再加平行线就完蛋了，对不对？ 就这个往下看，那么下面黄金分割点怎么用尺规做呢？你看过来完了啊，线段 a b， 我 过 b 点，我也简化一下啊，其实用这个不可以看， 我过臂先做这条直线的，这条线端的，垂线端，这个可不可以啊？垂线，垂线可以吧？垂线他是圆规做的，这个都简化了一个时间快，然后然后还在， 我再用圆规把他的重点找到，可以吧？现在我也不找了，不行吧？我来取他的重点， 四十五，四十五的一般，对吧？二十二点五，对吧？我取他的终点， 这个终点不是黄金的问题，是吧？然后呢？我在这个垂线上截取一段，跟这个一半相等，这个没问题吧？没有问题，好，走着走着就走过来了，我把它连起来， 然后我以它为圆心，以这个长为半径画一个弧， 这边有个焦点，对吧？然后我再以 a 为圆心，这个长为半径画弧，这边有个东西焦点吧，这边有个点 c。 说点 c 就是 爱迪的黄金之吻。 下课请证明。用各种证据就完全可以证明了， 只要我们证明这个长比这个长是二分子根号五减，他不就是黄金分割顶了吗？哎，只要证 a c 比 a d 等于二分子根号五减， 然后就说明 c 是 黄金分割。 好，这几个学的主要内容来概括一下黄金分割接黄金分割点核心的定义，在这里一起读一遍。 较长线段是较短线段，与连线段的比例相等，这是定义的核心，知道吧？所有的问题都是以此展开的。 然后这个这个怎么玩是吧？定长短不知道分情况。然后用黄金品算线段用黄金的 就刚才几个小朋友站起来，他们都说用第一，我现在可以用黄金品算。

好啊，初三同学们。好啊，我们复习一下这个黄金分割啊，这个在这个中考过程当中的话我会发现，哎很多同学一旦考到这个黄金分割他会愣一下 啊，这个到底是几来着，我怎么给他忘了啊，很容易忽视的一个地方啊。啊他这个是零点六一八 啊，就是是怎么来的呢？哎就是这个二分之根五减一 啊，二分之根五减一哈。呃原理是什么呢？就是这个短的，短的和这个长的，短的比上长的啊，短的比上长的等于啊长的比上 总的。哎可以假设一个未知数，到时候如果说考场里边已经忘了啊，这个太紧张，忘了咱们就给他什么给他再重新再算一遍。短的我们可以给他假设成 x， 长的是一减 x 啊，长的是一减 x， 总长度是一对吧，这样的话我们把这个式子给它解出来就可以了啊，或者是直接直接假设长的无所谓啊，这个时候无所谓了。 呃重新重新假设吧重新假设更好一点。我们假设长的，我们假设长的是 x 啊，总长度是一那么短的是一减 x 比上长的，这样的话会好算一点好算一点点啊，重新假设，只要把 x 的 求出来 我们就得到了。哎二分之根五减一减出来就可以了哈。这是他的原理。那他的作图是怎么做出来的呢？就是我能不能啊做出他的这样的一个黄金分割的一个比值呢啊中考的时候考的少啊，但不代表这种几率为零。咱们怎么做呢 做图的话我们取取一个中点然后取一个。什么呀？取一个取一个啊，比如说它长度是一吧，总长度是一，取个中点，二分之一，二分之一，那么做一个垂直，做一个二分之一，然后给它连接一下，哎，给它连接一下， 然后给它，哎，二分之一和一斜边，是不是二分之根尾啊？对吧？然后我做了一个， 就是做一个弧，以这个点为圆心，以二分之一为半径，做一个弧，这个是二分之一，那么余的这一半自然就是二分之根五。减去二分之一，那么就出现了二分之根五减一吧，二分之根五减一，那怎么能在这个一上体现出来呢？哎，以这个点为圆心，再做一个， 再做一个半径，这个点就是它的黄金分割点，明白什么意思吗？哎，就是我们只需要做个垂直，然后做两条弧 啊，我们就可以得到它的黄金分割点，也就是说在一比二比啊，根号五的这样的一个三角形当中，是非常容易出现黄金分割点啊。好，我们来看一下这个题目，说这个点是个终点啊，呃，如图， 如图啊，点 h 呢？是个黄金分割点，点 h 是 个黄金分割点，然后呃，做了一个正方形啊，做了一个正方形， 对吧？这个 a、 d、 c、 b 是 一个正方形，然后取了个中点，然后以中点为圆心，以中点和 b 为半径，画了一条弧， 哎，交点在点 f， 然后做了一个矩形啊，然后又做了一个，又做了一个这样的一个矩形，对吧？这个同学，这个时候有些有些同学已经这个采用上特殊指法了，哎，上面是不是个正方形啊？ 下边是不是个这个，这个什么特殊的什么矩形啊？能不能给他取个什么特殊值，给他带一带？哎，问题来了，上面是个正方形吗？ 上边还真是个正方形。这个题使用这个特殊值法是可以的。我举个例子啊，那 h 是 个黄金分割点，我们明知道这个黄金分割是二分之根减一，是吧？ 啊，也就是说这个短的比上这一个长的是不是就是二分之根五减一啊？那我们可不可以假设这个短的是根五减一，可不可以？ 可以吧，那长的是多少？长的是二吗？短的比长的不是不是二分之根五减一吗？我直接也比一下，那么这个这个正方形的边长是多少根五加一吧， 根五加一吧，对吧？啊，那，哎，要是这是个正方形就好了，要这正方形这个边上就是二。我说要是啊，我没说是啊，他如果是个正方形，那么边上是二，那么他的面积就是四，他的面积是几？ 根五减一乘根五加一，好巧不巧也是四，对吧？那么这样的话，他们的比值就是一比一，哎，一比一，那他是个正方形吗？ 他还真是个正方形。这个题的话，就这么巧妙哈，黄金分割就是这么巧妙的。你看啊，他为什么是个正方形呢？我给给大家这个演示一下。咱们先不假设他让他等于跟五跟五，这个 跟五加一减一啊，他是正方形，肯定是一比一哈，没问题吧？好，我假设什么呢？我假设这是一，这个长度是二，可不可以总长度是二， 对吧？总长度是二，那总长度是二的话，那个根据我们的黄金分割 a h 是 几？ a h 比上二是不是等于二分之根五减一，那么它就是根五减一吧， 总长度如果是二的话，对吧？好，那么总长度是二，那么中点到 b 的 距离是几？是根号五， 对吧？一比二比根号五，那么根号五给它做一个弧，那么这个 a h 的 长 a f 的 长度也是根号五， 这是一啊， a f 自然是根五减一，和这个 a h 啊是一模一样的，所以啊，它确实是一个正方形。这个时候有些 不能说投机取巧啊，就是使用特殊指法，但是没有什么道理的同学就猜对了，就可以迅速的出结果，这种方法的话就变成了一种特殊指法，但是实际上还是要中规中矩，踏踏实实的，明白了吗？ 当然了，答案当然是一比一啊，我们取用特殊指法或者其他方法都可以得到这个结果。 ok， 黄金分割。讲到这里，我们下期再见。

同学们大家好，我是数学杨老师，我们今天接着分享我们中考数学几何模型，今天需要分享的呢是黄金分割点，黄金分割模型，这也是呢，我们安徽中考啊，几何压轴题，喜欢常考的 呃，一种比较重要的模型，一般呢都是设参数啊，然后进行计算，那么黄金分割点呢，主要的知识点相对比较简单，就是我们也是初中阶段里面 比较重要的一个，讲相似之前的比较重要的一个点，就是有一个线段 bc， 上面有点 e 满足呢， b e 比上 c， e 等于 c， e 比上 bc， 或者是 c e 的 平方等于 b e 乘 bc 啊这两个式子，那么这种点 e 呢，就叫做 bc 的 黄金分割点啊， 这样的模型也是黄金分割最常考的，那么这个黄金分割点呢，主要我们第一个讲就是设参数计算，我们可以设 c， e 是 x， 整个 bc 呢，它都到一，那么 b e 呢，就是一减 x， 用这个 平方式乘积式啊，那就 c e 的 平方就是 x 平方等于 b， e 乘以 b c， 那 就是 x 平方的一减 x 乘以，这样求出一个一二的方程， x 加 x 减一等于 x 呢等于二的高减一， 然后呢根号五是二点二三六，所以它的结果就是约等于零点六一八，这个零点六一八呢，也叫黄金分割数，黄金数啊， 那么首先我们要明确的是一个线段上有两个黄金分割点啊，左边一个，右边一个，大家注意，那么跟黄金分割点结合的模型呢，就是黄金三角形， 这里面主要讲一个啊，黄金三角形指的是什么呢？顶角是三十六度，底角是七十二度等腰三角形，然后呢， bc 和腰的比是黄金分割，那么你做角 abc 的 角平行 b e 的 话，你会发现 b e 和 a e 是 相等的一对 bc， 那 么会有 a e 的 平方，就是 bc 的 平方 等于 c e 乘以 a c， 这里面有个母子形相似，所以黄金分割经常和母子形相似相结合啊，那么还有个模型呢，就是这里面提一下，就是正五边形，正五边形呢，把它所有的对角线连起来，回到个五角星，那么五角星的每个线段上面都是黄金分割点，这个了解一下就可以了。 那么我们为什么讲这个呢？最近合肥的二模题啊，大部分考察了这个黄金分割点，我们看这样的一个二十三题啊，简单讲一下，他说在等腰三角形，等腰直角三角形 a、 b、 c 中，然后 a、 c、 b 等于九十度， 等腰直角呢，随 a、 c 的 中点 e 点呢，为 a b c 上 e 点， a e、 b g 呢交于 f 点，然后 b、 g 呢是垂直 c b 的 第一个题目，他说当 a e 垂直 c g 的 时候，这是垂直的时候啊，那这时候呢？我们前面讲过的很熟悉的同学，大家也知道了，这是一个十字架模型， 对吧？ a e 和 c g 垂直，那么很容易能证出三角形， a、 c e 和 c， b g 是 全等的啊，那第一个问，他证明 c e 的 b g， c e 的 b g 是 全等三角形，对应边相等，第一问就可以证出来。第二问呢，是让我们求证 c e 的 平方等于 b e 乘以 b c a， 那 这个呢，是让我们求证 c e 的 平方等于 b e 乘以 b c a， 那 这个呢，肯定是黄金 参加黄金这个分割点的应用，那么在这题怎么去正啊？我们说这个黄金分割点呢，一般跟母子相似相结合，所以我们在图形中啊找母子相似先转化，由第一问的全的，我们可以把 c e 转化成 bg 啊，所以我们就要证明 bg 是 吧，平方等于 b e 乘以 bc， 那 这里面找找黄金找母子相似不太好找是不是？那么再看题目中有没有母子相似。 由于这个直角三角形 a f， c， d 点是斜边 a c 中点，我们会得到这个 a， d 等于 d， f 等于 d c， 所以 角一等于角二，角三等于角四，这是一个中点模型，我们前面讲的就直角三角形，斜边中线，斜边一半，然后呢角二和角五相等，角一和角六相等，所以我们会在这里发现角五等角六，然后这边这个角 角 f， b、 e 啊，是公共角，我们会得到三角形 f， b e 和 c， b f 是 一个母子形相似，会得到 b f 的 平方等于 b， e 乘 bc， 就是 母子形相似，特点就是公共边的平方等于相邻，短边乘长边。那这时候我们再看 b f 和 b g 的 关系， 还是有上面的那个中点模型，我们会得到这个角 g 啊， a c 和 b g 平行，角 g 和角三是邻错角，然后角七和角四呢，是对顶角，角三等于角四是因为 dc 的 d f， 那 角七就等于角 g， 那 等角对等边，所以 g b 等于 b f 是 吧？哎，那我这个 b f 的 平方等于 b e 乘 bc， b f 和 c e 相等，那所以 d r 我 就得这了， 那么这个黄金分割点是吧，证明就出来了。然后第三问呢，也是我们安徽中考以前考过这种类型，把它的条件还结论反过来，然后缺少了个什么条件呢？缺少了个垂直的条件啊，就是他没告诉你 a e 和 c g 是 垂直的，你不能直接用十字架模型去做了。 然后呢，他告诉条件是什么呢？是把这个乘积式是吧， c e 的 平方等于 b e 乘 bc， 先告诉你，然后又告诉你 a c 呢，等于。二，让我们求 b g 的 长， 那同样的思路，我们是不是仍然找 bg 跟 bg 相同的线段去做呢？啊，你要按照常规的思路去做， 那么怎么去做呢？我们首先啊，看到成绩，是呢，我们一般的同学大吧大概都会了，会转化成比例式，就是 c e 做外向， 同样的是吧，两个 c 做外向，那 b e 和 bc 呢？分别做内向，就是外向之积的内向之积啊，这样呢，你会得到这样式子。然后呢，又因为 a c 呢，乘以 a c 和这个 g b 是 平行的，我我们这里面做的辅助线是构造了个八字形的模型，就是分别延长 a e 和 g b 交于 m 点，然后这边会出现一个 c e 比 b e 等于 a， c 比上 b m， 然后呢， a c 和 b c 是 相等的，这两个相等，那左边相等等是右边相等，那所以它这两个分母相等的，这样把 c e 转化成 b m 了，转掉了啊，把 c e 转化成 b m， 看这个，这样 c e 等于 b m 了，那我这个 b m 和 bg 又有什么关系呢？ 是吧？ b m 和 bg， 我 们接着去看，那 b m 和 bg 的 关系怎么来呢？正面看着八，还有个八字形啊， b m 比上 ad 等于 b f 比上 d f， 同时这个 b f 比上 d f 等于 bg 比上 cd， 哎，那就有这样的式子， a d 比 b m 的 d f 比 b f 等于 c， d 比 bg， 然后呢， a d 和 c d 有 什么关系呢？在 d 点是中点， a d 和 c d 是 相等的，是吧？那所以就有这个 转化了， b m 又转化成 b g， 哎，那 b m 就 等于 b g， 那 所以就由 c e 等于 b m 等于 b g。 那 我这时候把 c e 解出来， b g 又出来，那 c e 怎么解呢？黄金分割点还是刚一开始讲的解法，设参数，对吧？我们可以设 c e 是 x， 然后 b e 呢？就是 呃，二减 x， bc 的 二嘛， b 一 的二减 x， 然后用这个完全平方公式，对吧？就是 x 平方啊，不是完全平方， x 平方等于二减 x 乘二，这个 u r 乘方乘，然后求出 x 的 根号不减一，所以 b g 就 等于 c e 等于啊的根号不减一 这个黄金分割点。那么这题呢，就是简单的利用黄金分割点的应用会设参数，然后去求会构造母子型相似，在题目中找母子型。那第二个呢？是构造的八字型相似，做等边的代换去解决问题。好，感谢同学们的聆听，再见。