湘教版数学初一几何动点问题

将军驿马一定是我们初一下册考生最高但得分极低的一类几何动点压轴题，他的难点之处就在于模型种类多，很多同学看到这例题完全无从下手来。同学们，今天徐老师带你用一个视频，彻底通透我们初中阶段常考的将军驿马六大模型， 学完这个视频，将军一马所有辨识题轻松拿下。徐老师已经把初中阶段将军一马涉及到的所有必考九大经典模型当中，每个模型辅助线的构造方法技巧以及证明过程，同时再结合往年考试经典专题， 优中选优，讲练结合整理成了将军一马专题电子版，需要的家长我发领一份，好来，同学们，我们先来看将军一马里面最简单的一个模型，叫做两定一动模型， 这个模型呢，是这样去描述的哈， a 点和 b 点呢，是两个定点， p 点是定直线 l 上的一个 动点，对吧？所以是两定一动。好题目，求什么呢？问的这个 p 点动点在什么地方？我的 a p 加 b p 这两个动线段之和呢？正好有最小值。来，我们先来观察一下哈，这两条线段有什么样的位置关系。 那么首先这个是定直线 l， 那 我们的 a p 和 b p 呢，正好在定直线的上方，对吧？在同一个方向。所以呢，我们说这两条线段呢，叫同侧 线段之和，求最小来什么？只要初中阶段我们遇到求同侧线段之和最小，方法呢？特别简单哈，通过做轴对称，把我们的同侧线段呢转化为我们的 预测线段。那么怎么做呢？哎，过定点向定直线做对称点来定点呢，一个是 a 点，一个是我们的 b 点，那我们都可以哈，随便选一个，那么我们就先选择 b 点做吧，那选 a 这个定点，向定直线 l 做对称点来，这个点呢，就是我们的 s 点，你看 a 和 s 是 关于直线 l 是 对称的，对吧？那么这个时候呢，我的 ap 边就可以什么把它等量的转移到了我的 c s， 那 么这两个边是相等的，没问题吧，因为 a 和 s 对 称的好。你看，这个时候呢，我们就把同侧两个线段转化为了一个上方一个下方 a， 不 就是什么首尾相连的异侧 折线段值和最小吗？那么对啊，我们要求折线段值和最小。方法呢，也只有一个，把折线转化为直线，当 s 点， p 点以及我们的 b 点，三点共线呢，正好有我们的最小值，对吧？来，所以最后一步，两点之间线段 最短，我连接 b s， 那 么这个交点就是我们的 p e 点，那么 p e 点呢，就是我们的最小值点，所以呢，我们最短路径就出来了哈，哎，从 a 点先到我们的 p e 点，好，再从我们的，哎，再从我们的这个 p e 点呢，哎，回到我们的 b 点来，这个 黄色的，哎，实线就是我们的最短路径啊，就是我们的第一个最简单的两定一动，好吧，好，我们再看我们的第二个哈，来，第二个呢，他是一定两动啊，由一个动点呢变成了两个动点，我们先去看图哈， 席木告诉 m 点和 n 点呢，分别是这两条直线上的两个动点，那么 a 点呢，是一个定点，对吧？两动一定好，这个时候呢，他求什么呢？求 amn 和 n 这三个边所围成的三角形周长 最小，那就是这三个边之和最小。我们的 m 点和 n 点应该在什么地方呢？来，一样的哈，先去观察下线段有什么特点，我们的 a， m 和 n 都在这个定直线的下方， 是不同侧。好，同样 m， n 和 a n 呢，也在这个定直线的上方，也是同侧。我们说只要遇到求同侧线段之和最小，来，立马是过定点向定直线做对称点。来这里，定点是 a 点 定直线，一个是上方的 l 一， 一个是下方的 l 二，对吧？那我到底应该关于谁做对称点呢？哎，我们的口诀就是定点连接谁，我们就应该关于谁做对称点。看，首先我的 a 点连接 m 点， 对吧？那么 m 点在 l 一 上，所以呢，如果我要转移 am， 我 就应该过定点 a 向定直线 l 一 做对称点，没问题吧？好，来，下面呢，我先去转移 am， 那 我就应该过 a 点向 l 一 做对称。好，这个点是我们的 系列，那么这个时候呢，我的 am 就 转化为了我们的 m p， 看到没有，把 am 转化为 m p。 好， 记住哈， 定点连接谁，就关于谁做对称点。好，第二个，再去转移 a n， n 点在我们的 l 二上，所以呢，我这个时候应该过 a 点向 l 二， 再做一次对称点，这是我们的 q 点，那么同样，那我的 a n 呢？就转化为了 n q， 对 吧？看好，把中间这三条线段转移成了这样的，首尾顺次连接的折线段是和。注意下， 那什么是最小呢？那要把折线转化为直线，那就是 p、 m、 n 和 q 四点共线，应该有我们的 最小值，对吧？那所以最后一步，连接我们的 p q 两点之间线段最短，好交点，这就是我们的 m 一 点，这个点呢，就是我们的 n 一 点到我们的最短路径就出来了哈，从 a 点先到 n 一 点，再从 n 一 点 啊，从 a 点到 m 一 点，再从 m 一 点到 n 一 点，对吧？好，再从 n 一 点呢，回到 a 点，看，这个时候呢，这个三角形它的周长就应该是最小的。 ok， 好， 这是我们的第二个模型。再来看第三个模型 来，第三个模型呢，跟第二个模型呢有一点像哈，它是一定两动，但是什么是做垂线？我们先看一下哈，它是这样说的， a 点呢？ 来，他是一个定点， m 点是直线上的动点， n 点呢，也是直线上的动点，对吧？都是两个动点，一个定点。但是第二个模型是什么？还要从 n 点到 a 点组成这个三角形周长最小。但第三个模型呢，他没有从 n 到 a 啊，只求 am 在 到 n 点， a m 再加上 mn， 这两个边之合最小。求 m 点和 n 点这两个动点在什么地方？来一样的，先观察啊，这两条线段都在这个定直线的下方， 我们说是什么同侧线段，只要遇到同侧线段来，立马做轴对称，把它转化为异侧。那这里有两个线段哈，一个是 a m， 一个是 mn 啊，我们到底应该转移谁呢？大家思考一下 哎，来，首先呢，我们说是什么过定点向定直线做对称点，所以呢，我们优先去什么选择定点所在直线定点是 a 点， a 点在 am 上，所以呢，我先去什么转移 am， 那 么过定点向定直线，这个是定直线，看到没有？好，所以呢，我应该过 a 点，哎，向这个定直线 做对称啊， a m 呢，给它进行一个转移。好，这是我们的 p 点，转移之后再来下面第二步，哎，我们就可以转一边了，哎，连接 m p， 哎，你看， a m 等于 m p。 好， 现在呢，就变成了我们的异侧的首尾相连的两条折线段之和，最小，对吧？一样的，要让 p 点来， m 点， n 点三点共线， 我们应该有最小值，什么时候能够共线呢？大家思考一下哈。我说，那么说两点之间线段最短吗？我直接来连接 p n， 对 不对呢？大家思考一下来，这个模型最难的地方哈，就是最后一步，到底是不是连接呢？肯定不是哈，为什么呢？因为它是个动点，对吗？ n 点是不确定的，它可以在这， 他也可以在这，如果是两点之间线段最短，那我可以连他呀，也可以连他呀，对吧？我就有无数个点可以连接，那到底谁最短呢？ 你确定不了？所以呢，最后一步哈，这个模型肯定不是连接，应该什么，应该是做垂线，怎么去做呢？大家看一下哈。首先你看，哎，最后这个模型就转换成了一个定点到一条定直线上动吗？ 一个点到一个直线最短，很简单，垂线段最短，对吧？好，来，所以呢，最后一步应该是过定点 p 向这个定直线做 垂线啊，把这个叉留好啊，对称以后，我们就直接可以什么做垂线了，连接过 p 点向它做垂线， 垂足点就是我们的 n 点。好，这个焦点呢，就是我们的 m 一 点，看到没有，那我们最大路径也就出来了哈，从 a 点来，从 a 点到我们的 m 一 点啊，再从 m 一 点到我们的 n 一 点，哎，这两条实线就是我们的最短路径，听懂了吗？啊，这个模型，哈，最后一步一定要搞懂。好，好，下面我们来看下一个模型，哎，下个模型呢，是我们的两定两动啊。第四个模型，哎，它是这样说的，首先 a 点是定点， b 点也是定点。好，我们的 m 点呢和 n 点呢，分别是这两个直线上的两个洞点，对吧？两定两洞好，求的就是什么这个四边形， 它的周长最小应该为多少？那么换句话就说，这四条边里面有谁是定值？什么叫定值呢？就这个线段不会有任何变化的， 很明显应该是 ab 这条线段，因为 ab 这两个点呢是定点，所以呢，这条线段肯定不会变化，所以呢，我要求四条线段之和最小，我只要让这三条线段之和有最小就可以了，对吧，这个呢，我就不用管了，好，怎么求呢？一样的，你看，我要把这三条线段 通过轴对称啊进行转移，转移成这样的，叫做首尾顺次连接的折线段啊，这是异侧的，这个是同侧的，来看哈，我们来怎么转移，哎，一样的，过定点向定直线做对称点，这是我们的核心思想。 那么这里面有两个定点，两条定直线，到底谁关于谁做呢？还记得我们口诀吗？定点连接谁，就关于谁做对称点来定点 a 连接 m 点， m 点正好在这条直线上， 所以呢，哎，我要转移 am， 我 就应该过 a 点来向这条直线做对称，好吧，好，这是我们的 p 点，那么你看我的 am， 哎，就转移成了 m， p 是 不是出来了，好，再去转移 b n， 那 么 n 点在这条直线上，那么所以呢，我应该过 b 点向这条直线作对称。 好，这个是我们的 s 点，看到没有 n b 就 转移成了 n s。 好， 你看这个不用管吧。好，我要求 这三条线段之和转移之后呢，变成了这样，首尾顺次连接的折线段之和最小。好，当什么 p m， n s 四点共线，正好有最小值，那么最后一步就出来哈，两点之间线段 最短，直接连接 ps 啊，来，直接连接 ps， 连接之后呢，来，这个点就是我们的 m 一 点，这个点呢就是我们的 n 一 点， 那最短路径就出来了，我们去连一下哈。哎，把几个点连起来，第一个，先从 a 点到 m 一 点啊，再从 m 一 点到我们的 n 一 点。 好，再从 n 一 点呢，到我们的 b 点啊，再从 b 点回到 a 点。哎，这个四边形，它的周长就应该是最小的。 好吧，这是我们的两并两动，其实很简单哈。好，再来下一个模型，下个模型呢，叫做将军架桥模型，大家看一下，它是这样去说的，首先 ab 两个点呢，是两个定点来，它是定点，它呢也是定点。好， m 点和 n 点呢，分别是两条直线上的 动点，这个也是动点，但是呢，这两个动点，什么叫做联动点，什么叫做联动点呢？就说这两个点，虽然动，它是一起动的啊，一起动，它们俩什么一定是垂直于 这两条直线的，它们俩是平行的嘛，所以一起动，一起往右，一起往左，它们始终是垂直的，对吧？来，所以呢，哎，这里面问哈，这两个联动点， m 点和 n 点在什么地方？ 这三条线段之河正好有最小值，来，让他先去观察一下这三条线段里面有没有定长线段， 一定是有的，正好是这个什么，这个联动点的距离正好等于这两个平行线的距离，对吧？好，所以呢，这个既然是个定值，那我就不用看了，我只用去求这两条线段，因为它是动的嘛，求这两条线段之河最小，再加上这个定值，三条之河也是最小的。 好，那么我们再来看哈，这个时候我们的 am 和我们的 n b 这两条线段，你会发现哈，他们俩要求最小，那么这两条线段它是分开的，哎，我们之前求的这种将军一马的这个 最基本的模型，看到没有？这两条线段是什么共顶点的啊？共顶点的，哎，他们俩是什么 连在一起的？但是呢，这两条线段他是分开的，对吧？那怎么办呢？那我首先第一步要把这两个分开的线段通过转移，让他共顶点连接在一起，对吧？怎么去连接呢？大家看一下哈。首先这两个动点， m 点和 n 点，他们的距离是一个定值， 对吧？有定值要让它共顶点，想要什么呢？平移，来，我把 n 点往上平移 m n 个单位，这个时候 n 点和 m 点不就可以重合吗？对吧？同样，我不能指 n 点移吧，我 b 点呢，也要 往上平移 m n 个单位，哎，一起移啊。好，你看这个时候呢，这个点就是我们的 s 点， n 点和 m 点重合，往上平移 m 跟大位， b 点往上平移 m 跟大位到 s 点，所以这两个线段平行且相等，对吧？好，来，那我再连接 ms， 来连接 ms， 哎，你就会发现什么这两条线段 也是平行且相等，因为呢，它是一个平行四边形，对吧？所以呢，我就把这个线段整体平移到了 m s， 求它们两个最小就变成。求 am 再加 ms， 这两个共顶点的 线段是和最小就达到我们的目的了，对吧？好，什么是最小呢？当 ams 三点共线，那最后一步，两点之间线段最短，连接 a s， 好， 这个点就是我们的 m e 点，对吧？三点共线，那 m 点出来了， n 点呢？也出来了，再过 m 点向下做垂线，这个焦点就是我们的 n e 点。那我们来画下最短路型哈，先从 a 点到 m 点，好，再从 m 点到 n 点，再从 n 点呢到我们的 b 点来，这个 实线的路径就是我们的最短值，听懂了吗？好，这个模型呢，我们总结一下哈，当我们什么遇到这种什么不共端点的线段之和要求最小，而且这两个动点之间呢，又是定长的时候来，我们选择平移，让它共端点， 听懂了吗？好，来最后一个模型哈，叫做将军六马模型。来， a 点和 b 点是两个定点， 这两个是定点好， m 点和 n 点呢？是两个动点，一样的哈，这两个动点是什么？叫做连动点，它们俩一起在这个线段上运动，所以呢，我要保证什么？保证 m n， 它应该是一个 定值啊，定长，对吧？求什么呢？求的是 am， 再加 m n， 再加 b n， 这三条线段之和的最小值应该得多少？来一样的，首先 我们看哈，这个是一个定长线段，不会有任何变化，所以呢，我只要让 a m 和 b n 这两段之合最小就可以了，对吧？啊，又回到刚才一个问题了，那大家看一下 a m 和 b n 它们俩有没有共端点？ 没有哎，因为它们俩是分开的，是不是分开的，但是呢，这两个动点之间的长度呢？又是定长， 怎么办呢呀？平移，对吧？来，我们前面这个模型是上下平移。好，这个呢，就应该是左右平移，让它共断点好来，所以呢，我可以把 a m 往右移，我也可以把 b n 呢往左移啊，只要让这两个点共端点就可以了。好吧，随便你选择。好，那我就选择把 a m 往右移，那么所以 m 点往右移动 m n 的 单位，使 m 点和 n 点重合，那同样我的 a 点来，也要往右拼一 m n 的 单位来，这是我们的 s 点，对吧？好，在连接我们的 s n， 大家看一下，又出来了吗？啊，你看这个边整体移到这来了，哎，就变成了求他加他的最小值， 就变成我们将军印码的第一个模型了，对吧？好，那过定点向定直线做对称点。哎，因为这两条线段是什么？同侧要转化为异侧，所以呢，我可以选择 s 点做，也可以选择过 b 点做，都可以哈。哎，我选择过 s 做 啊，过 s 座啊，过 s 座之后呢？哎，这是我们的 p 列 p 和 s 关于定直线对称，那么这个时候呢，来就把我们的 n s 转换到了我们的 n p， 哎，就变成它 加它最小了，对吧？又是两条首尾相连的折线段之合最小，那么当 p n b 三点共线应该有最小值，所以最后一步，两点之间线段最短，来连接这个连接我们的 b p， 这个交点就是我们的 n e 点， 那么 n 一 点出来了， m 点又出来了呀， n 点再往左平移 m n 的 单位来，这个点就是我们的 m 一 点，对吧？好，来，那么我们的这段路径最后来画一下，从 a 点到 m 一， 好，再从 m 一 到我们的 n 一， 再从 n 一 回到 b 点，这个实线的 路径就是我们的最小值。来，这是我们将军一马常考的六个模型的作图方法，你听懂了吗？来关注徐老师，数学满分不迷路。

很多同学一看到双动点压轴题就感到头疼不已，不过在双动点问题，有一类特殊的问题被大家称作刮豆模型。这个模型特别神奇，他的结论具有很强的规律性，一旦你掌握了刮豆模型，面对压轴题就能轻松秒杀。 在刮斗模型里，依据两个洞点之间的不同关系，可细分为放缩型、旋转型以及旋转放缩型，难度呈现出由易到难的梯度。今天咱们就先来探讨一下其中最为简单的放缩型刮斗。刮斗模型中存在两个洞点， 一个动点的运动轨迹由另一个动点决定，如图，点 q 运动依赖于点 p， 我 们把点 q 叫从动点，点 p 叫主动点。刮豆原理就像种瓜得瓜，种豆得豆。在数学中，主动点运动轨迹决定从动点轨迹，主动点走出瓜轨迹，从 动点类似瓜，主动点走出斗轨迹，从动点也跟着走出斗轨迹。初中数学里，主动点的刮豆 模型一般分直线型和圆型，规律是主动点轨迹为直线，从动点轨迹也是直线，主动点轨迹为圆，从动点轨迹同样是圆，从主动点在直线上运动的情况出发，开启从动点轨迹为直线的证明。 本图从动点 q 是 由主动点 p 关于点 a 位次，位次比为一比三，连接 a、 b、 b 点为主动点运动的某个特殊位置，本题可以看成是主动点的起点，那么从动点 q 的 起点应该在 a、 b 上，与 b 的 位次比也是一比三，也就是 a、 b 三等分。点 b 已撇出， 连接 b 一 撇 q， 可得三角形 a、 b 一 撇 q 与三角形 a、 b、 p 相似，进而可得角 a b 一 撇 q 等于角 b b 一 撇 q 与 b p 的 比等于 a q 和 a p 的 比，也就是等于位四比一比三。 从而我们得到从动点 q 的 轨迹为从 b 一 撇出发与 b p 平行的射线上 q 点运动的路径长即为线段。 b 一 撇 q 的 长，主动点 p 的 路径长和主动点 p 的 路径长的比等于位四比一比三。 复盘一下刚刚得到的结论，主动点 p 沿着直线进行运动，与此同时，从动点 q 同样在直线上运动，并且从动点 q 与主动点 p 的 轨迹长度之比恰好等于位次比，为一比三。 如果主动点在一个半径为三个圆 o 上运动，你们猜从动点 q 的 轨迹是啥？ 对了，从动点的轨迹也是圆。在具体的题目中，我们该如何准确画出从动点 q 的 轨迹圆呢？回顾一下，确定圆有两个要素，一个是圆心，确定圆的位置，二是半径，确定圆的大小。 所以，从动点 q 的 轨迹圆的圆心在哪？半径多大？解决这个问题的关键就是始终把握好从动点 q 关于 a 做了一个缩放缩了三分之一得到的 主动点 p 是 圆 o 上的任意一点，因此，把圆 o 上的每一个点都关于 a 缩三分之一，就得到了 q 点轨迹圆上的每一个点了。 所以，从动点的轨迹圆就是主动点轨迹圆圆 o 关于点 a 缩了三分之一得到的图形，那么圆心也应该按照这样的方式放缩。连接 a o， 取 a o 靠近 a 点的三等分点 o 一 撇， o 一 撇，就是点 q 轨迹圆的圆心。怎么证明呢？下面只要证明 o 一 撇 q 的 长是定值就可以了。连接 o 一 撇 q， 不 难证得，三角形 a o e p， q 相似于三角形 a o p， 从而 o 一 撇 q 比 a q 比 a p 等于位四比一比三，进而得到 o 一 撇 q 的 长为定值一。 根据圆的定义可知，从动点 q 的 轨迹为以 o 一 撇的圆半径为一的圆。复盘一下，主动点的轨迹是圆， 从动点的轨迹也是圆，主从动点轨迹。圆的长度比也等于半径，都等于主从动点的位次比。关键的圆心也关于 a 点位次。 最后放缩形。瓜豆记住两个结论，主从动点的轨迹相似，主动点轨迹是直线，从动点轨迹也是直线。主动点在圆上动，从动点的轨迹也是圆弧，主从动点的轨迹长的比等于位次比。

同样是在正方形里求最小值，别人用坐标法算半天，你用一个隐形圆三步就能出答案。今天我们就来看这道题的关键到底藏在哪？题目告诉我们，正方形 a、 b、 c、 d 的 边长为八， e、 f 分 别是 b、 c 和 ab 边上的动点， 且 b、 f 等于 c、 e、 d、 e 与 c、 f 相交于点 p， 求 b、 p 的 最小值。读完题，我们很容易发现点 p 是 不是跟着 e、 f 在 动啊，所以说最关键的我们需要找到点 p 的 运动轨迹。我们观察到 b、 f 等于 c、 e， 正方形的边长又都相等，四个角都是九十度， 所以这里是不是很容易就能够发现三角形 c、 d、 f 和三角形 c、 d、 e 是 边角边全等啊？它告诉我们全等，就是要告诉我们它们的对应边相等，对应角相等，但是这两组对边相等对这道题没啥用， 所以我们就从角度出发来观察全等后角 b、 c、 f 等于角 c、 d、 e， 它让我们挣出这个有什么用？哎，眼睛的同学是不是能发现了， 这两个角相加是等于九十度的，然后角 b、 c、 f 又等于角 c、 d、 e， 所以 说这两个角相加也等于九十度，这就说明了角 c、 p、 d 是 个定角，等于九十度， c、 d 又是定长等于八，定角加定弦，是不是就是隐形元啊？ 所以点 p 是 在以 c、 d 为直径的圆上运动，我们把这个圆画出来，圆心就是 c、 d 的 中点，记作点 o， 半径就是 c、 d 的 一半，等于四轨迹，找出来就简单了， b、 p 的 最小值，一箭穿圆心，这都没问题吧？有不会的同学自己去把三角形的三边关系理清楚哦， 也就是当点 p 在 这个圆上运动到 d、 p、 o 三点共线，并且是在靠近点 b 这一端时取到它的最小值。那我们接下来就开始计算， c o 等于 c， d 的 一半也就等于四， b c 等于八。通过勾股定律我们就能算出 b o 等于根号下八的平方，加上四的平方等于四倍，根号五。哎，这个时候很多同学就算到这里就说这就是最小值，它不是一定要注意细节，我们要求的是 b p 这条线段， 所以说还得减掉个 o p， 也就是减掉半径，所以说最终结果 b p 的 最小值就等于四倍，根号五减四。评论区告诉我你有没有听懂？

一个视频讲透七年级最短路径问题。哈喽，大家好，我是博教教育数学张老师，今天我们来看一看初中平面几何最短路径七年级做对称 啊。我们先来看看了解一些的在七年级上下册都有哪些点是有关最值的问题， 就这三点，没有第四个，就这三个，第一个啊，基本四十一，哎，我们就常见两点之间线段最短。上体育课，哎，肯定有小孩看到视频的小孩肯定有啊，就是上体育课，老师说让你去跑圈，趁着老师不注意，人家直接穿过去了。这这这是一个 第二个，基本四十叫什么呢？垂线段最短，哎，就这跑完圈热身吧，热完身了，老师说来开始跳圆了，或者是要撇铅球啊， 那你说有些同学从 a 这点跳到这边来了，有些同学跳到这边来，哎，无论是跳到哪侧取得有效成绩，体育老师一量，哎，脚后跟这个水平距离到这个你的起跳点就叫垂线段最 短。第三个什么呢？叫基本是在三角形的三边关系，两边之隔大于第三边，两边之差小于第三边啊。然后我们来看看这里边，我们在整个初中平面卷，尤其在期下我们正在学的小伙伴。第五张走对称当中有一个 还有名的典故，将军印马的问题啊，他不就是主要是针对什么哎，对称，然后去求最短路径问题，那我们看看，我们这里边将军印马就第一个，哎，我们叫两个定点，一个动点，两定一动，这是一个最最基本的啊，你要分清这个定点 a， 定点 b 在 这个 固定直线的同一侧，你想要去求 ap 加 pb， 这个路径最短的时候需要做一个做对称，这里边你看我写的定点，定点，定点，那我改用这个 基本四十一，就是因为两点之间，你这个两点必须得是两个定点，两点之间线长最短啊，这是这个。然后呢，我们看第二个有关垂线段最短，当中这里边除了这个以外，还有一个也是两点之间两，一定两动，比如说这个啊，这个一定两动，这里边比如说这个 将军呐，哎，这个千张马到这边，让马先吃点草，吃完草有点口渴了，到这边河岸先去喝点水啊， 所以我们要找的是 a p 加上 p q 这样的一个锯短路径，那这时候我还是选择了这个 a 点的，这是一个定点均赢嘛，定点 去做了一个对称点， b， 它还是一个定点，所以这时候 a p 加 p q 就 转成了 b， p 加 p q， 但是现在还是只有一个点， b 是 固定点，而 p 和 q 依然为动点，好在这个 q 是 在这个线上，所以这时候我们就可以利用。什么，哎，垂线短、锯短， 那除了这点以外，还有就是那他吃完草，喝完水又怎的回到了均为变成一个三角形周长最小的问题，那这个时候我就需要做两次对称， a 对 称到 b， 同时关于这个和弦再对称到这边，所以这时候我们就是定点，定点就回到这个问题了，两点之间线段最短，就相当于把这个三角形啊掰开，让它变成直线，变成两点之间线段最短， ok 吧？ 啊，就是这个，还有一个这个我们，哎，这个三角形 a b c 当中有一个三动点，这个三动点我只能透露一点，叫三垂足三角形，你看到视频的小伙伴，如果说你想了解这个，下方私信我啊，好了，就是这几个方面，哎，就这三点，没有第四个啊，好了，我们往下看例题啊， 那比如说第一个，我们垂线段最短，哎，七年级有关。第四张三角形啊，虽然我们没有学勾股定律，但是我们要如果要解三角形，现在有一个什么面积方法好看题，三角形 abc 典型的五五六， 那这个时候没学过五六，我只能给你说高 a 对， 是四分三线和一分成三个三好了， p 和 q 分 别是两个动点，这时候要求的是 p q 加上 b q 最小值的问题，哎，此时此刻我是不是 把这个 a 对 啊，以为分界线 p q 和 b q， p q 和 b q 是 不是在这个 a 对 里同一侧啊？那我这时候我就可以选择什么，哎，将这个什么 p q 给它进行什么 对称，对称到哪了？哎，对称到 c， 这是不是就可以了？让 c p q 三点共线，那你 p 和 q 都在动，是不是我们刚才所说的这个问题，什么时候垂线段，所以这点得是什么？那现在这个 c p 相当于 ab 边上的高了，要求高，我们就想到了什么 面积，此时此刻我们叫等面积解法。三角形 a b c 的 面积既可以是四乘六除以 二，也可以是 c p 乘 ab， ab 是 五就是五倍的 c p 除以二，然后我们就会解得 c p 的 长度就是五分之二十四，那这就是什么刚刚的 b q 加 p q 最小值啊，这是这个。再来往下，你看我们这个，如果我给了一个定角三十度，那这个时候 p 是 在内部，虽然它是动点，但是给了一个定长， o p 是 二。好了， e 和 f 在 射线 o m o o n 上是两个双动点。 好，这时候我们看第一个问，如果要求三角形周长 p e、 f 最小的时候要求这个角多少度，那通过我刚才的分析，我是不是可以做双对称？双对称那就在哪了？哎，是不是下对口，我把 p 对 称到 b， 再把 p 对 称到 c 字，这个知道你要找的 p、 e、 f， 我 又把这三角形掰开了，掰成了 b、 c 的 长度，对不对？ 好，那你说我要求这度数在这，你也没求来呀，是不是咋整呢？哎，这里边我们说对称，考虑到对称的完整性，我就可以把谁呢？把 o b， o c 连上，同时这个 o p 我 给它还原出来，你会发现 o p 是 不是通过 e 这个对称到这边以后， o p 和 o b 是 相等的，同时你如果要以这条线翻折条 o p 还和 o c 也怎的相等，那此时此刻这个角是三十度，我 o p 分 成，比如说一个 r 发，一个比特，这 r 发是不是翻这边来了？比特是不是翻到下边来了，你会发现这个角原来的 m n 三十度变成了多少度？ 六十，他要是六十度，哎，那你这个角你要求的 e、 t， f 的 度数， e t f 度数，如果把这个画上一个圈， 这边换了右侧，下边换了个叉，这个圈是不是也看我这手型是翻到哪去了？翻到了 b 字，这个叉呢？翻到了下面这个什么 c 字，我会发现在这样的一个三角形里边，我已经知道了顶角六十度，我是不知道他俩相加得一百二啊啊，那就说明了此时此刻角 e p、 f 度数为一百二十度，当然了，这里边此时此刻圈叉还怎的相等？ 最后一个，那你说要求周长最小值的时候，我现在就要求 b c， 我 给的这个特定的三角角是有用的，这时候 o b c 已经为什么三角形了， 六十度的等腰，那么他就是等边三角形，所以 b c 是 能够等于 o b 的， 当然也就等于 o p。 告诉你条件的 o p 等于二，所以它的周长最小值即为二 啊。这是我们这个整个期上你所能碰到的当中比较常见的几个啊，基本四十一，两点之间线段最短。基本四十二，全线段最短啊，还有这个三角形三边关系，这个问题咱们继续保留。我还有一个两边之差求最大值的问题，也是，如果你想了解，下方私信。

下数学全等三角形必考模行动点问题，一个视频帮大家轻松搞定。另外全等三角形十六大经典模型全部给大家整理好了，电子版取件码一二三直接找我理全等三角形动点的问题，他的核心呢，依然是分类讨论，我们来看一下这个题， 它说如图， ab 是 等于四厘米，那么 bc 呢，是等于六厘米，角 b 是 等于角 c。 如果说点 p 呢，在线段 bc 上运动，每秒钟呢，走两个单位，也就是 b p 应该是二 t 的 长度。 好，那么同时呢，点 q 是 从 c 点出发，沿着射线 c d 来进行运动，那么经过 t 秒之后，三角形 a b p 和三角形 c q p 全等，那么则 t 的 值为多少？那这个题为什么会涉及到分类讨论？ 首先大家要明确一个点啊，两个三角形全等我们已经找到了一个对应角，叫角 b 是 等于角 c， 那 我们根据边的关系 s a s 证明全等既然是两个边以及它的夹角，那么两个边的对应关系，这里面呢，就有两种情况，那第一种情况呢， 就是我们三角形 a b p 的 a b 呢，是对应 c p 的， 那么也就意味着剩下的 b p 呢，应该是对应 c q， 这是第一种三角形的全等。那第二种全等呢，就是 a b 对 应 c q， 那 么 b p 呢，应该是 对应 c p 的 长度。那么根据边角边两种情况，我们来分类讨论。那第一种情况， ab 等于 c p， 那 么 ab 是 等于四 c p 呢，应该是等于一个六减二 t， 那 这个时候呢，我们可以解出来啊，题目中 t 是 等于一的，我们这个时候要去验证哈， b p 等于 c q 是 否成立， 那 b p 呢？应该是这个题中呢假设哈，我们认为 q 点运动的速度呢，是为 厘米每秒，那么他走了 t 秒，就应该是 v t， 也就是二 t 等于 v t， 那 这个时候呢， v 应该是等于二，那么 t 经过了一秒，那经过了一秒， b p 长度是两个，可以满足我们的要求。那接下来第二种情况， ab 等于 c q， 也就是四，是等一个 v t 的， 那么 b p 等于 c p， b p 的 长度呢，是二 t， 那 么 c p 的 长度应该是六减二 t， 我 们能解出来， t 的 值是等于二分之三，那 t 的 值等于二分之三， 那 b p 的 长度二 t 呢，就应该是二乘以二分之三，它的长度呢？左边是等于三个，那右边的 c p 呢，应该也是等于三个， 那四等于 v t， 实际上这个时候呢，应该是等一个二分之三倍的 v， 那 v 呢？我们可以求出来，它等于四乘以三分之二， 那么等于三分之八厘米每秒。当然这个题呢，没有让我们求这个速度 v， 如果说求速度 v 的 话，我们应该能求出来 v 呢，应该是二厘米每秒，或者说呢三分之八厘米每秒，那么它所题目中对应的 t 的 值呢， 应该是为一，或者是二分之三，你学会了吗？

这道经典的动点三角形周长最小值问题，初二初三都在考，今天我们一起吃透它！题目说，三角形 a、 b、 c 的 面积为四十二， a、 c 等于十角， a、 b、 c 等于六十度点 d、 e、 f 分 别是这三条边上的动点。求当三角形 e、 d、 f 周长最小时，点 b 到 e、 f 的 距离。 肯定还有人不知道这个距离是什么意思，记住了，就是点 b 到 e、 f 的 这条垂线就叫做距离。咱们先理清解析思路，题目已经告诉了我们 a、 c 的 长度，我们先假设把点 d 固定在 a、 c 上，先当做定点来看，不去动它，只把 e、 f 当成动点来处理。看见动点在直线上运动，是不是一般都要做对称啊？ 所以我们要以 a、 b 为对称轴，做点 d 的 对称，点 p 连接 p、 f， 根据对称的性质就有 h、 e 等于 e、 d、 d、 f 等于 f p， 那 三角形 e、 d、 f 的 周长就可以等加转换成这三条线段的总长。那什么时候这三条线段相加最短？是不是就是两点之间线段最短，直接连接 h、 p 这条线段的长度就是最小值。 也就是说，在点 d 固定不动，当做定点的前提下， e、 f 这两个动点刚好落在 h、 p 这条直线上的时候，三角形 e、 d、 f 的 周长就取到了当前的最小值。 然后根据对称的性质， a、 b 垂直平分线段 h、 d。 点 b 在 h、 d 的 垂直平分线上，垂直平分线上任意一点到线段，两段的距离相等。所以我们要想到连接 b、 h 和 b、 d， 就 能得到 b、 h 等于 b、 d， 同时还有这两个角相等，这都是轴对称自带的性质，没问题吧？ 同理，另一边 b、 c 垂直平分线段 d p 连接 d p， 同样可以得到 b p 等于 b、 d， 还有这两个角相等，那这样一来，我们就能推出 b、 h 等于 b、 d 等于 b p。 再来看角度关系。题目里角 a、 b、 c 本身等于六十度，也就是这两个角相加等于六十度，而角 h、 d、 a 等于角 abd， 角 p d、 c 等于角 c、 b、 d， 所以 相等的这两组角加起来同样也是六十度，那整个大小就等于一百二十度。这就说明三角形 b、 p、 h 是 一个顶角为一百二十度的等腰三角都是三十度， 三边比例是一比一比根号三。哎，有同学不知道这个比例怎么来的，我再推一遍，过点 b 做底边， h p 的 高垂足设为 g， 我 们设 b h 为 x， 那 b、 p 也等于 x， 比角都是三十度。在直角三角形中，三十度所在的直角边等于斜边的一半，所以高 b g 就 等于二分之一 x。 再根据勾股定律算出 g h 就 等于二分之根号三 x。 同理， p g 也等于二分之根号三 x 合起来，线段 h p 就 等于根号三倍的 x， 所以 这个以一百二十度为顶角的等腰三角形三边比例关系自然就是一比一比根号三。想求周长最小，实际上就是求 h p 的 长度。 h p 又等于根号三倍的 x， 实际上本质就是求 x 的 最小值，而 x 和这三条线段都相等。这个时候大家能想起来了吧？点 d 并不是真正的定点哦，它是 a、 c 上的动点，所以只要线段 b、 d 最短， x 就 取得了最小值。 根据点到直线垂线段最短，我们现在让点 d 动起来，当运动到 b、 d 垂直于 a、 c 时， b、 d 就 取到了最小值，这时候再让 e、 f 重新落到 p、 h 这条线段上，就取到了三角形 e、 d、 f 周长的最小值。 题目又告诉了我们，三角形的面积是四十二， a、 c 等于十，我们就可以求出 b、 d 等于五分之四十二，也就是 x 的 最小值等于五分之四十二。题目求此时点 b 到 e、 f 的 距离，也就是 b、 g 这条垂线的长度就等于二分之一 x， 也就是二分之一乘以五分之四十二，等于五分之二十一。那如果题目让我们求出这个三角形周长的最小值，照样也就是五分之四十二倍。根号三。

好，我们今天讲动点问题的一个入门啊，那我们来看一下，嗯，动点最终问题，我们其实目前为止我们只学过两个，也只会考这两个。第一就是 a 点到 b 点怎么样线段最短？ 好，还有就是 a 点到这条直线垂线段最短。好，好，我们今天上完了，开玩笑的啊，这就是我们为什么我们说老师给我们一把出门装，叫我们去打 boss 呢？我们来看一下为什么要 不有什么区别呢？那 boss 是 怎么出现的，我们看一下啊。那我们以这三道题先随便讲了一道，我们先看一个稍微简单一点的，就这个，那你看这个是三角形 a b c 是 一个正三角形，那我们看一下它说什么呢？ c e 啊， c e， c e 等于 d 啊， c e 等于 d 啊，具体怎么样不晓得，他说求 c e 的 最小啊，就完了吗？哎，一看好像有点奇怪，条件比较少，那我们来看一下这个 e 点呢，也是一个动点问题对不对？ e 点动点，这个 d 点动点，那 c 点是定点吗？ 然后呢？你们看 e 点到 ab 的 最小值，你看他说既然 c e 等于 ab， 那 你看也就叫 e d 最小的， e d 最小的，是不是就垂直的时候吗？就垂线段吗？对不对？ 为什么这里取要一定要先看这个一点到这儿取垂线段呢？因为 c e 是 等于这个的嘛，我们就去看这个 e d 就 好了，也就说你看我们这里的核心就是怎么样，我们要求 c e 的 最小值， 呃，这里是我们不会，但是我们求这个 e d 的 最小值，我们是不是就会了呀？那这里 e d 是 最小值，如果这里是 x， 那 这里是不是也是 x？ 那 同理，这里是六十度，那这里是不是可以得到？嗯， 呃，这就是三分之根号三啊，这边就三分之二倍根号三，然后这两个加起来又是等于这个直角三角形的一个斜边，但这里我没有把题抄完啊，就这里核心就是什么呢？其实我们核心的思路就是什么？就是要把这一个 边转化到其他地方去，也就说这里要找他和相等的边，因为 ec 直接求，不好求。如果他问 e d， 那 其实就好简单了， e d 好 垂点到直线，直线等最短，那他都偏偏要问 ec， 那 这道题和这道题是一样的，我们再来看一下啊，这道题这里 等我们来看一下就知道了。那你看，这里 bc 等于三， ac 等于四啊，那这个斜边是五吗？每下就求出来，这个是直角吗？这是直角吗？这就是个矩形吗？它相当于是在 b、 a 上任意取一点 p， 然后分别做 b、 c 和 a、 c 的 垂线，相当于是过点 p 做一个矩形嘛，就这样做一个矩形，然后他求这个 e、 f 的 最小值。哇，一看有点难哦，这个 e 点也是动点， f 点也是动点，好，两个点都动点，我们会不会做？我们说我们只学过这一个，对不对？ 只学过这个，那就肯定只会考这两个，那我们要求最小值怎么办？我们就找和 e、 f 相等的边有没有，你看一下这里是不是有直接有现成的，这里没有现成的。我们 如果带着这个思维去想，应该是比较容易发现这个 c p 和这个 e、 f 相等的吧，因为这个是矩形吗？这个相对来说是比较简单的， 就容易发现你看到没有，如果你没有思路的话，这道题就非常难哦。没有思路的话，我们可能会想到的办法是什么呢？是你要么就间隙啊，间隙这个是个万能大法，但是计算量相对会高一点啊。 我们看一下，那我们一连接这个 c p 之后，我们发现 c p 和 e f 是 不是？嗯，就是相等的的嘛，那相等的，我们刚刚求 e f 的 最小值，现在是不是求 c p 的 最小值？你看到没有？这个核心的思路都是一样的，我们要把求最小值的这一个边给转换出去，看到没有？给转换出去， 你这里也是一样的，我们他问的是 c e， 那 我们其实上我们是求的是 e d， 他 如果直接问 e d 就 太简单了。这里一道题也是一样，他如果直接问 c p， 那 是不是太简单了？他要给你绕个弯子。那这这里的话就是我们呃，最简单的两个例子啊，也就是说怎么样？ 它是稍微隐藏了一下条件。那我们看一下这里呢，这种呢懒一点的核心的原理又是什么呢？其实啊，它就是结合到其他的考点一起考，那结合到什么呢？这里就是结合到旋转嘛，他说旋转了多少度呢？旋转六十度啊，旋转六十度的话，这里我这画的不够好啊，旋转六十度，我重 重等一下。好，刚刚那个图画的不太好啊，我们先重新画了一个，然后你看一下， 我们看一下，这里就是旋转的六十度啊，旋转六十度肯定是考了旋转的吗？旋转的话你看啊，这里这个是六十度吗？旋转的六十度啊，说原题，这里又是六十度，你看是不是非常经典的旋转问题啊，就是两个同样的角重叠之后，然后这两边剩下的这一个部分也是相等的哈， 这个其实我们不管做题这个问的什么，就是我在读题的过程中，我就要应该去想到这个角一是等于这边的角二了啊，具，具体等了有没有用，我们再说嘛， 我们再说，那这里是九十度连起来嘛，这里六十度嘛，这拉，这自然就是三十度嘛，大概标一下嘛，就是我们做我们读题的时候就应该这么去读，你看看这个六十度，三十度啊，这里啊，这里他说 a c 是 等于一，那我们大概就可以把这些边度大概求一下嘛，对不对？ 对吧？也就是说我们读题就是要这么去读嘛，他说得到线段 a e 啊， 旋转六十度得到 a e 啊，然后，对，再连接 c e 嘛，然后这旋转六十度还比较特殊，还可以得到一个正三角形。虽然这个正三角形这道题没有用啊，但是我们做题的时候，你肯定要思考这个方向，思考得到一个正三角形 a e 等于这里的 e d 嘛，嗯，对吧？这是一个正三角形嘛，旋转六十度比较特殊，然后 我们再连接 c e， 连接 c e， 好， 连接 c e 了，然后我们来求 c e 的 最小值，好，我们一看求 c e 的 最小值是个 c， c 点是定点，一点是动点，但是我不知道它怎么动的，如果它正正好在一条直线上，那是不是就好求，但这里确实是在这条直线上，我们看不出来，那我们就要去找和 c e 相同的边喽， 有没有呢？然后如果这里一看，哦，这里 a、 c、 e 和这个 a、 d、 b 好 像大概率也有一点像相似啊，那实际上仔细去观察之后就不相似，因为没得不到这个边等于三十度，没有这个说法，因为这个， 因为这个角度还是在不停的改变的。然后我们就继续想，啊，没有相似，那就有没有全等相似嘛？那我们看一下，嗯，这里一般的话，我们做旋转的话，看这里就是 a、 e、 c 和这边的 a、 d， 什么 b 啊？或者是怎么样要全等，那我们看这里 没有全等，我们去找全等的话怎么办？因为我们核心就是要把这个 c、 e 转换出去嘛，那我们看一下已经有哪些条件呢？这里有有一个 a e 等于 a、 d， 它一一定是和这两和这个角有关的，选全等啊，因为旋转必得全等嘛，也不说必得，就是说它大概就是得全等。相似的嘛，我们看这里 a e 等于 a、 d， 那 你看这里的 a c 和 a b， 哎，不相等，那不慌吗？咱们看这角角一等于角二，你看， 你看边角，哎，边角边，哎，如果这个边如果是相等的就好了，你看这个边是等于一，但是他这个边是等于二，哎，我们能不能上面截取点一呢？为什么会想到这个截取点一哈，你看一下，我们之所以做题的话，他会想到这些辅助线是很有原因的，因为你看这里还是直角三角形， 当我们再想到直角三角形，又想到斜边，那这里正好又需要一，那这个斜边正好是二，正好是中点。我们要知道直角三角形斜边的中点，斜边的中线是等于斜边的一半，也就是说当直角三角形的时候，那如果说以这个 a b 所在的一个圆，那它的 abc 所在的一个圆，它的圆心就在 ab 上，而且是中点。你看这里，你说我们通过很多很多个都可以来确定这个中点是比较重要，既然中点比较重要，那我们来截取一点再连接， 就是不是就把这一个刚刚这个 c e 全在外面的边转化到了我们这个图形内部来了呀？你看 转化到图形内部，把这个标为一一撇吧，你看这个 d 一 一撇和 c e 是 不是相等的呀？那如果相等了，这里是不是很简单呢？你看相当于是转化成了这个，嗯，一点是一个什么呀？定点没有动，对吧？因为我们就是解体去了一点到这个 c b， 这是个地点，是个动点，它的一个最小值，是不是就这样 是不就可以了？然后这里的话也比较简单，用相似等于 a c 的 一半嘛？二分之一，对不对？所以说，嗯，这里就很容易 来了解，也是核心的思路，就是说他会结合到其他知识点来考，像这种就比较单纯，考的就是考个矩形，矩形的话这个知识点大家可能都会嘛。然后这里的话就考什么都没考完，就考了一个， 把这个 x 带进去，然后用这个勾股定律和这个特殊的三角函数来算。然后当然还有其他的一些题啊，我们这里就只讲了一个 旋转来结合的题，那以后我们再讲吧，就今天是第一课，就相当于是一个我们的一个什么我们的一个动点问题入门，好吧。

同学们大家好，今天呢，我们就来复习记忆和重点问题，这个问题啊，让大家又爱又恨，恨之多，你们不用说我都知道你们最讨厌这个问题， 其实老师呢，也不是很愿意讲这个，讲起来又麻烦，大家还听不懂。今天呢，我们就讲一道例题，稍微的再讲一些知识点。另外就是提一嘴我们的五月十号万维的黑白卷， 它的含金量就不用我说了吧，卖的又贵，而且卷题数张数也都少，虽然它的题含金量很高，但是它卖的太贵， 大家如果不想买的话，就五月十号准时来我这里听课就行了，我会把它的卷子拆解，然后发给大家，就就以这样 ppt 的 形式。 好，我们来进行一个知识点讲解，什么是几何动点？化动为静，以静制动。 听起来文绉绉的什么是几何动点呢？在几何图形的边上，线上或者区域内，点的位置随时间或者参数的变化而变化，这类问题就叫做几何动点的问题。它变的是什么？变的是位置， 变的是图形的形状。什么不变呢？定点？定点，它定在哪呢？它都会存在一个不变的量， 或者说是一个关系式，这个关系式是不变的，然后他就会去问，什么存在啦，什么最值啦，什么定值啦，一堆，反正就听讨人厌。那我们怎么去解这类题呢？ 口诀就是多点联动找关系，临界位置 定范围。 这两句话什么意思？题做多了就知道它是什么问题了啊，就知道它是什么意思了。我们之前常见的那种什么将军引马了，名字起的文绉绉的啊，它就是最值问题，最值问题就是动点问题，还有一些轴对称， 甚至还有一些相似三角形， 说白了它都是动点问题。来，我们拿一道题目来练练手， 在平面直角坐标系中给出来一个抛物线，经过了点 o 和点 a， 求 c 的 值，那你就把 o 带进来。 代入 y 等于 a， x 方加上 b， x 加上 c， x 等于零，零等于 c， c 等于零。用含 a 的 式子表示 b， 那 把 a 三三 a 代入 y 等 a， x 方，加上 b x， c 等于零，没了三三得九九， a 加三 b 等三， a 推出来 b 就 等于个负二 a。 第一问，把分儿拿住啊。 来第二问的第一小问，说 a 等于一， t 等于四，求 m n 的 长。他又给出来了一致条件，过点 p， t 零做 x 轴的垂线，交抛物线于点 m 来 m 点的坐标是不是 t 一个数？交直线 y 等于 ax 于 n， n 的 坐标是不是 t 一个数？ 那让求 m n 的 长，你把它两个 y 都求出来不就好了吗？来求 y 怎么求？把它往里面带。第一问，我们求出来的是个啥？ y 等于 a， x 方加 b x b x b 等于啥？ b 等于负二， a 负二 a x， 然后把 a 等于 x 方减二 x， 然后 t 又等于四，把 x 等四，带入 y 等 x 方减二 x 四四于十六，十六减八， y 就 等于八，这里就是八了。然后呢？再把 x 等四，带入 y 等 x， y 等 x 哪来的？这儿 a 等于一 tim 给的，然后 y 就 等于四，这儿就是四，让求 m n 的 长， 八减四，等四出来了。第二问，第二问，难啊！ 大家做出来之后，把你的解题过程发到我们的评论区，大家共同商议啊！老师，这道题讲起来可费劲，得两页 ppt， 又得画辅助线，又得分类讨论。 好，这节课就到这结束了。记得五月十号黑白卷 这是给你们白嫖的啊，它的含金量杠杠的， 我们到时候把黑白卷里面的每一题涉及到的知识点以及它的考法全都给大家揉碎讲透！好，五月十号，不见不散！

利用垂直找相似三角形，根据相似三角形列出等式，再根据二次函数求最大值。

将军驿马一定是我们初一下册考频最高但得分极低的一类几何动点压轴题，尤其将军驿马当中的求最大值问题模型， 可以说百分之九十五的孩子都拿不到分来。同学们，今天徐老师带你用一道题彻底通透这类模型的解决方法和技巧。好吧，来，我们先来一起读下题。 题目是这样说的，首先告诉我们， ab 等于 ac 等于五啊，这两边等于五。然后呢， b a c 这个大小等于一百一十度，好小角， b a d 呢，它等于二十五度，那么 p 点呢？正好又为 a d 上的一个 动点。好题目最后求的是这两边 p b 减去 p c 这两个边相减的绝对值的最大值应该等于多少？ 徐老师已经把初中阶段将军一马涉及到的所有必考九大经典模型当中，每个模型辅助线的构造方法技巧以及证明过程，同时再结合往年考试经典真题，优中选优奖练结合整理成了将军一马专题电子白，需要的家长我发给你一份。 好来，同学们，哎，我们一起来分析下这道题。好，那么这道题呢，主要考察了我们将军一马所有模型当中最特殊的一类模型， 叫做最大值问题模型。来，我们先来简单回顾下这个模型的构造方法和技巧。好吧，大家看第二个图哈，它是这样去说的， a 点和 b 点呢，是两个定点， p 点在定直线 l 上动，那么这个模型问的是什么？ 当 p 点这个动点在什么地方？我们的 a p 减 b p 两个边之差的绝对值呢？正好有最大值。那这个模型呢，其实非常简单哈，我们来构造一下， 首先你去连接 b 点和 a 点这两个定点，并且给他延长，延长之后呢，和这个定直线交于我们的 p e 点，那么这个时候 p e 点就是我们的最大值，那为什么呢？我们来证明一下哈，我们知道 p 点是直线 l 上的动点，我们先去假设，如果 p 点不在 p e 点，它会怎么样呢？那我们随便选个点，就说 p 点在这个地方来，它会怎么样呢？大家看一下哈，这个时候你看 最开始 b a、 p 三点共线，如果 p 点选在这个位置，我们的 b、 a、 p 三个点不共线，正好构成一个三角形来，有了三角形两边之差， 想要什么？三角形的三边关系，两边之合大于第三边，两边之差小于第三边，对吧？你看，当如果我们的 a、 b p 三点不共线，这两个边之差，我们的 a p 减去 b p， 它的绝对值呢？哎，应该什么是小于我们的第三边 ab 的， 那能不能够等于 ab 呢？大家思考一下，可以正好当这三个点共线，你看大边减去。小编，如果三点共线正好呢，就等于我们的 ab， 等于这两个定点的距离，对吧？所以呢，这两个边相减的绝对值呢，应该是小于或 等于 ab 的， 那么它的最大值呢，就应该正好等于 ab， 哎，就等于这两个定点的距离，大家听懂了吗？好，有了这个模型做铺垫之后来看这道题，那就非常简单了，好，我们说，哎，看题目说 p 点正好在 a d 上动啊， p 点是动点 好，求 b p 减去 p c 这两个边之差的绝对值，它的最大值 应该为多少？那么我们先去观察一下这个奇和这个模型之间有什么关联度，好吧，那么这个模型呢，看我们的 p a 减 p b， 这两个边都在定直线 l 的 上方，所以呢，我说这两个边应该是同侧线段，对吧？但是这个题呢，你看，这个是定直线 c， b 在 左边， c， c 在 右边，哎，你会发现哈，哎，他们俩什么应该是异侧的，哎，这个是同侧，这个是异侧，那怎么办呢？我应该把异侧转化为我们的同侧，怎么转化呢？ 做轴对称，对吧？过定点向定直线做对称点。来，这里的定点是两个，一个是 b 点，一个是我们的 c 点，那我们到底应该选择谁呢？啊？这道题都可以两个方法，好吧，你选 b 也可以，你选 c 也可以，那我就选 b 吧。好，选 b 来，我过 b 点向它做 对称点来，过 b 点向它做对称点。 好，这个点是我们的 s 点，看 b 和 s 关于 a d 是 什么对称的，那么这个时候呢，我就会把 p b 给它对应到的 ps， 所以 接下来连接 ps， 哎，就变成这两个边之差的 最大值，哎，而且这两个边呢，都在定直线 a d 的 右侧，同侧嘛，对吧？所以接下来就非常简单了，根据这个模型，接下来我们连接这两个 定点，对吧？和这个定直线相交，那么这里面是连接 cs 和 ad 相交，没问题吧？好，我把这个叉了哈，我们下面要写过程了，哎，我连接 cs 和定直线相交，哎，再把定直线延延长， 哎，我们的焦点，哎，这个焦点就是我们的最大值点 p 点，你看到没有？好，那么这个时候呢？呃，我们的 p b 就 等于我们的 ps， 对 吧？你看，那就是哪个就是我们的大边，哎，减去我们的小编， 剩下呢，就等于我们这两个定点的距离是不就出来了吗？好，你看，所以呢，我们就得到，哎，我们的最大值就等于 c s， 那 怎么去求这个 c s 呢？ 大家思考一下啊，怎么去求这个 c s， 那 么我们要求边，一定是要把这个边放到我们的特殊三角形当中，利用我们的特殊角去解三角形。 那么现在 c s 在 p s c 当中，很明显这个三角形不是我们的特殊三角形，对吧？它没有三十度，六十度，也没有十五度，那怎么办呢？来，回到我们的已知条件，题目告诉我们，这个边为五，这个边也是为五。来，角度出来了啊，那么 b a d 这个角是等于 二十五度，这个角 b a c 呢？等于一百一，那这个角就是一百一，减去二十五度，对吧？等于是八十五度，你看，没有，那么我要把这个边包含在一个特殊三角形当中。哎，我的 b 和 s 又是关于 a p 是 对称的， 而且你还会发现这两个角相减正好有一个特殊角，是不是六十度，那怎么办呢？我需要在八十五度里面去截取一个二十五度，所以呢，来，接下来哈，我连接 s， 连接 s， 你 看它们俩对称的，它是二十五，它也是二十五，八十五减二十五，哎，这个角正好为 六十度，是不是算了来，所以角我们的 s a c 就 应该等于六十度。好，接下来看，这个时候我的 c s 正好包含在了 a s c 当中，大家可以猜测一下，这个三角形应该是个什么特殊三角形， 非常明显了吗？正三角形我们证明一下。首先已经有个六十度了，还需要证明一个等腰三角形来，那么证明这个边和这个边相等非常好。正啊，你看这个边为五，这个边为五，因为它们俩是对称的，所以我的 ab 就 等于 a， s 也是为几也是为五，这个边也是为五，所以呢，等腰加六十度应该就是我们的等边三角形，所以来三角形 a s， c 应该。为什么正 三角形数出来了，那么 c s 正好是正三角形的一条边，所以来我们的 c s 就 应该等于五，所以最终答案应该等于五。这道将军一马的最大正分题，你听懂了吗？来关注徐老师，数学满分不迷路！

假如这是中考题，估计又有很多人不会，因为它是一个双动点问题。题目很简单，正方形 a、 b， c， d 边长是十二 b， e 等于 c f， q 是 e f 中点求 p、 q 最小值。如果我们不熟悉几何模型的话，我们肯定第一时间会想到间隙，然后建立 p 点和 q 的 距离， 根据二次函数的性质取最值。直接设 b 一 等于 c， f 等于 m， 这样 b 点设为坐标原点， a 点坐标就是零到十二， e 点坐标就是 m 到零， f 点坐标就是十二到 m。 要求出 p 点坐标， 就必须得到直线 a 一 和直线 b、 f 的 解析式。这个也很好写，因为涉及的四个点坐标已经标注好了，此时你就会发现不需要连立这两个方程，因为这两条直线的斜率成绩就是负一，说明这两条直线永远垂直，其实这个就是十字架模型。 如果你非常熟悉这些几何模型，那么你就会在很短的时间内发现隐含条件和解析思路。这样 p、 e、 f 就是 直角三角形，那么这三点就会在一个圆上，而圆心就是 q 点，因为直径所对圆周角是九十度， e、 f 是 直径， p、 q 是 半径，所以 p、 q 等于二分之一的 e、 f。 我们只要求出 e、 f 的 最小值就可以了。根据勾股定律，我们可以得知， e、 f 的 平方就等于 e c 的 平方加 c f 的 平方化简整理一下，很明显就是一个开口向上的抛物线，直接凑配就可以得到 e、 f 平方的最小值就是七十二， 所以当 m 等于六的时候， e、 f 有 最小值为六倍根号二，所以 p、 q 的 最小值就是三倍根号二。

好，来看一下刮豆原理的引原理，那刮豆原理种瓜得瓜，种豆得豆，也就是说有两个点的运动轨迹是类似的，如果一个点的运动轨迹是圆，那么另外一个点的运动轨迹也是圆，就叫刮豆。好，那大概的一个类型呢？分两种，一种是主动点、从动点和定点三点攻陷的这种类型， 这是定点啊，这是我们的主动点，这是我们的从动点好，然后主动点它是绕着这一个圆运动的，我们称为叫主心，它的运动轨迹是这样的一个圆。 好，那此时我们的从动点运动轨迹是什么呢？也是一个圆，那这个圆，它的一个圆心在哪里？连接定点和主心， 看主动点，从动点和定点之间那个关系是什么？如果就按这个图画的这个样子，有点像从动点是主动点和定点的中点，那这个时候我们要找的从心就是定点和主心的中点，比如说这个点就是我们的从心。好，那此时我们从动点的运动轨迹这样子一个圆 好，他的一个依据，他靠的就是什么？相似三角形。找主心的依据靠的就是相似三角形，我们这个小的这个三角形 和大的这个主动点的三角形，它是相似的，相似比是一比二，和这个三角形是相似的。 ok， 好， 我们带着这个 基础的一个理论理论来看一下这个题，他说点 a 是 二多少零，点， b 是 零多少二点， c 是 平面内一个点，并且告诉你 bc 等于一， 那我们读到这之后，他说点 c 是 平面内一个点，那到底在哪里呢？不知道，他只知道到点 b 的 距离等于一，那这个题就用到了定点定长引联体， 也就是说点 c 的 运动轨迹是以点 b 为圆心， bc 为半径的圆。好，然后接下来看 m 是 线段 a c 的 中点，连接 o m， 问 o m 的 最大值为多少？那一个题拿到手之后，怎么去判定它是能用刮豆原理的？第一步，这个题当中一定会有两个动点， 并且这两个动点它是有关系的，它是有关系的。就比如说这个题 a c m 这三点点 a 是 定点， 点 m 是 a c 的 中点，点 c 在 运动的过程当中，点 m 也在运动，并且它们一定是中点两倍的一个关系，那这个我们大致就能确定下来，它是一个刮豆原理题。那当然下次说我这个点 m 是 一个三等分点，四等分点同样也是刮豆原理题，无非你的相似三角形相似，比就不是一比二了，可能就是一比三，一比四了。 好，那这个时候我们就找到了定点和主动点，还有从动点，那接下去一步就是要去找主心，主动点运动的圆心，这个题当中就是我们的点 b。 好，下一步连接定点和主心，连接定点和主心，去找从动点、主动点、定点之间的一个关系。哦，那它是一个终点，那这个时候我们就去找定点和主心的终点，称之为叫从心点的运动轨迹，是这样子的，运动轨迹设 ab 的 终点为点 n， 那这个时候点 n 就是 我们这个从动点的圆心。好问， o m 的 最大值，点 m 在 这个从动点所运动的圆上运动，那它的一个最大值就是连接 o n b 反向延长， 此时的点 m 就是 最大值。好，那这个时候我们就知道了， o m 的 一个最大值，它应该等于 o n 的 长度，再再加上从动点的运动半径， 那这个时候看我们从动的运动半径的一个长度怎么求？用相似比去求。好，那这个时候你看我们的一个定点，主动点、主心这三点会构成一个三角形， 下一个我们的定点从动点，还有从心这三个点也会构成一个三角形。好，那此时这两三角形是相似的，并且相似比为 一比二主动点的半径。题目当中说了， bc 等于一哦，那么从动点的半径就应该等于二分之一，也就是这段长等于二分之一， 这段长等于二分之一。那接下来要求 o n 的 一个长度就可以了。点 n 是 ab 的 中点，点 a 坐标都给你了，那么点 n 这个中点坐标，中点坐标等于二分之横坐标加横坐标。逗号，二分之纵坐标加纵坐标。那对于这个题来说，就是二加零除以二一，零加二除以二一，哦，那么 o n 的 一个长度就等于根号二，所以最终就是根号二加二分之一。 好，来看一个例题，同样用刮豆原理的方式去找引元，重题一定要去找它的一个步骤啊，第一步就去找 定点、找主动点、找从动点，这三点找到了之后，找主心，找从心，确定从动元的按键。 ok， 尝试做一下。

大家好，今天呢给大家讲解一下做标轴动点周期性平移这一类题目的解法。这类题目它对应的一个知识点呢，其实还是平移，但是呢它会经过啊多次平移。 在做这类题目的当中呢，我们首先要观察我们原始图形，要在这个复杂的图形当中找出啊，它原始图形是哪一部分。 然后呢再观察这个图形当中一些特征值，特征点啊，他的坐标的一个特征。 观察好之后呢，我们啊再给他进行我们题目当中要求的平移来进行一个计算就可以了。那咱们现在呢来看这道题目， 如图动点 p 呢，在平面直角坐标系中，按图是箭头所示的方向运动，第一次呢是从原点运动到一一点啊，就是我们第一个， 第二次呢是接着运动到二零点，就是一上啊，一下这种运动，第三次接着运动到三二啊，接着往下运动，又回来到四零，按这样的运动规律，经过二零二五次运动后，动点屁啊，他的一个坐标情况， 因为他求的是二零二五次，这个我们肯定是没有办法实际一次一次给他去平移下去啊，然后我们需要找到这个规律，在这道题目当中，大家观察一下啊，我们 平移的原始图形应该到哪里啊？他会到几个点之后啊？如果我们不考虑坐标， 只是考虑这个图形它的一个形状啊，几个点之后啊，这个形状呢，它会再出现一次， 再出现一次呢，这就是它周期性的一个变化。在这道题目当中，我们啊四个点就是一个运动周期啊，你看我们五啊，到五一这个点啊，它再往后运动呢，其实就和这个一 这个运动情况是一样的。所以呢，我们首先要确定它的周期呢是四。 第二步呢，我们需要还需要观察啊，需要观察，比如说他四个四个点啊，就是一个一个周期，那我二零二五次这个点啊，他经过了多少个周期？ 我只需要除以四，对不对？除以四呢？他会余个一，我们主要是看这个余数啊，看余数，这个余数呢是一，也就是说他对应这个点的位置呢，和第一个点啊，他这种纵坐标是一样的， 对不对？纵坐标是一样的，它横坐标是什么样子的呢？横坐标，我们通过观察这个第一个图像啊，它的横坐标呢，就是运动几下啊，这个横坐标就是多少。所以这个题目呢，就是 经过二零二五次运动呢，它的点呢就是二零二五一啊，也就是咱们的这个 c 选项。 那做到这里还没结束啊，因为大家有没有想过这个二零二五是什么意思？有可能这一年考试他就在二零二五年，那今年比如说我们考二零二六年，现在这个二零二六年，他的点的坐标是多少？ 首先二零二六啊，我们给他除以四或余二余二就是个偶数。但这道题当中呢，它会非常的简单，因为偶数的坐标呢，横坐标呢就是它本身。 然后呢他的一个纵坐标呢，就全部是零，是坐标轴上的点，等于说如果是二零二六次呢，他就是一个 二零二六零这样的一个点。但是呢，假如说我后年考二零二七年，二零二七除以四，他余数是 是三对不对？余数是三对的，我们的就是第三个点，他的横坐标呢是二零二七，他的纵坐标呢就是我们的二， 大家一定要把这个周期性啊，原始图形给他找出来啊，周期性的特征点有什么样的一个变化规律？给他找出来啊，这道题目呢就可以解决。但是有一些图形呢，他这个原始的周期啊，可能不太好找，我们来看一下下面这道题目啊， 这道题目是在平面直角坐标系中呢，移动点，从圆点 o 出发，按向上向右、向下向右的方向不断的移动，每次移动一个单位长度得到点呢， a 一 就是零一， a 二就是一一， a 三呢就是一零 a 四呢就是二零，现在要推断的呢是 a 二零二四的一个坐标， 这个时候呢，我啊需要大家呢需要，首先呢就是看这个图形，它还是一个周期性的图形，周期性的图形呢，我们首先需要判断它的周期啊，这个周期呢怎么判断？ 比如说从第一个点啊，第一个点就是 o 点啊，我们到第几个点会出现循环呢？其实是啊，第四个点，它这个周期的判断啊，判断的一个标准就是说我从下一个点再移动，是不是和我原始图形形成的形状啊，是一模一样的， 这个判断呢，周期为四，周期为四呢，然后我们这些对应的点，比如说啊，我这个 a 二零二四啊， a 二零二四呢，除一个四 啊，除一个四，它呢应该是能啊，余数就是余数就是零，它可以被整除，它对应的点呢，就和我们这个 o 点啊， o 点是位置是一样的，所以这个时候呢，我们可以确定什么呢？确定它的纵坐标是零， 对不对？纵坐标是零，然后他这个我们再观察啊，他这个零啊，和 a 四、 a 八这些点有什么关系啊？有什么特征？如果他能整除的话啊， 我 a 四的点，那坐标是二零 a 八的点呢？坐标是四零，所以我二零二四这个点的横坐标呢，就是二零二四 除以二，也就是一零一二零是这个样子，那这道题我们当然也要变一下，对不对？因为今年是二零二六年，那我如果变成二零二六啊，这个时候我对应的坐标是哪一个点呢？ 啊？我这二零二六对应的位置大概就是我 a 二这个点，对不对？它的坐标是多少呢？请大家打在我们的评论区， 我任意再给你一个值啊，我任意再给你一个值，你其实应该也是能够求出来的。以上呢讲的就是我们这个坐标轴动点啊，他容易出现的周期性动点的一个解法，这次讲解就到这里，谢谢大家。

今天老师带大家做一道圆中洞点最值的经典题，很多同学容易在寻找从洞点轨迹这一步卡住 题目。已知线段 a、 b 等于四点 o 是 中点，点 p 是 半径为一的圆 o 上的一个洞点， 并且三角形 p b、 c 是 以角 b、 p、 c 为直角的等腰直角三角形，要求的是线段 a、 c 长度的曲直范围，你注意到了吗？点 p 在 圆上不停地转圈，而点 c 跟着点 p 一 起动，这种主子怎么动，影子就怎么动的特征是不是非常明显？ 我们来仔细观察题目条件。主动点 c 与点 p 之间存在着一个定点 b， 因为三角形 p、 b、 c 是 等腰直角三角形，所以角 b、 c 永远是四十五度，且线段 b、 c 与线段 b p 的 比值恒为根号。二、定点定角定比例，这正好触发了我们熟悉的刮动模型。 既然满足刮动模型的触发条件，缺的只是从动点 c 的 运动轨迹，所以我们要对主动点 c 的 圆心 o 进行同样的旋转和放缩。也就是以点 b 为定点， 将线段 b、 o 按照从线段 b p 到线段 b、 c 的 相同方向旋转四十五度，并放大根号二倍，找到新圆心 o 撇。 这样做完之后，我们就能构造出等腰直角三角形 o、 b、 o 撇。新轨迹的原心 o 撇和新半径就彻底暴露了原问题，成功转化为定点 a 到已知圆 o 撇上动点 c 的 距离最值问题。 我们来理一下推导过程。已知线段 a、 b 等于四，且点 o 是 中点，所以线段 o、 b 等于二。 根据刚才的构造，三角形 o、 b、 o 撇也是等腰直角三角形角 b、 o、 o 撇等于九十度。利用勾股定律可以算出现断 o o 撇等于二，且线段 o、 o 撇垂直于线段 a、 b。 接着在直角三角形 a o o 中，线段 a o 等于二，线段 o o 撇等于二。再次利用勾股定律就能算出定点 a 到心圆心 o 撇的距离，也就是线段 a、 o 撇等于二倍，根号二。 现在点 c， 再以 o 撇为圆，心根号二为半径的心圆上运动，线段 a、 c 的 最大值和最小值就在连心线上取得。大家课后可以自己把具体的数值加减算出来 以后，看到主动点在圆或直线上运动，且与从动点存在共定点、定夹角、定比例关系，就立刻考虑刮豆模型，抓住定点对圆心进行同等旋转放松，就能轻松搞定轨迹转化。答案请截图保存。后面还有二道练习题， 思路理清了，接下来趁热打铁，老师在屏幕上给大家留了两道核心概念题，考的都是这道题最容易踩坑的底层逻辑，大家可以按一下暂停键在脑子里过一遍。想清楚了， 把你的答案留在评论区，稍后我会在评论区置顶公布正确答案和解析，看看你是不是真的把这个模型吃透了。关注老师，每天教你一个题分大招，让你的数学少走弯路，我们下期见！

如果我们听完了这个系列课程，都掌握了中考时这个板块，最少可以拿下四十分。今天是七上系列的第二课，数轴上的三种动点问题，分别是求时间、求距离的问题、求对应点问题，还一个就是求定值问题。好了，话不多说，现在开例，好，我们来讲一下这个系列的最后一道题， 它是属于比较复杂的，因为它整个题它是在做往返运动的这么一个题目。呃，我现在一点一点的数表示为 a 好， b 点呢？表示为 b。 首先 b 点是最大的负整数， a c 的 关系是， a 是 等于负三， c 是 等于九好，然后把 p 点表示出来。 p 点是从 b 出发，以每秒三个单位向左好到达 a 点之后呢，立即返回 c 这样过去，然后返回 c， 到达 c 之后呢，再返回 a 点。简单来说， p 的 过程就是过去，回来， 再过去。那么遇到这种往返的动点问题，就肯定要涉及到一个换坐标的知识点。好，一会我们再详细讲，我们先看一下第一题，把这个负三和负一填进来，好，没有问题了。好，第二个题，他说 p 点离开 b 之后再 p， 第二次到达 b 的 过程中就说过去，然后过来，到这再到这，大概就这么一段啊，只有这么一段，经过 x 秒钟， pa 加 pb 加 pc 等于十三， pa 加 pb 加 pc 等于十三。求 x 的 值，你要注意下这么一个问题，就是 p 点你不管在哪，你 pa 加上 pc， 它都一定是个定值，横定是十二，你发现了没有？ pa 加 pc 看见了吗？横定是十二不动的。那其实你考究的只有 p b 这个点， p b 这个点呢？也就是等于一才对， pa 加 p b， 这是等于。 pa 加 p c 是 等于十二，那 p b 就 一定等于一了。好，我们把它写一下，你观察 ab， 这是等于二， bc 是 等于十除以九，很简单吧， ac 这个地方是十二，整体是十二，他说 p a 加 p b 加 p c 等于十三，整体一共等于十三，那么我们知道了 p 点不管你在什么位置，他都能得到。 p a 加 p c 等于恒定的十二，那么 p b 就 等于一， p b 等于一，说明什么问题呢？说明 p 点要么在这个位置，也就是负二这个位置此时可以等于一， 要么在零这个位置此时也能等于一，所以说 p 点的位置就刚好在 这点，或是这点，也就是负二或零。明白了，好，我们继续说。那我们来分析一下他几个状态，有几个状态呢？第一个状态过去，第二个状态过来，仔细给你划清楚，过去到这的时候是经过负二， 回来还要经过一次负二，到这经过一次零，好过去，过去，回来，回来，回来到这还要经过一次零。所以说一定是四个形态的，我们来分别说一下。好，我们来仔细观察一下，这个形态 就是 p 点过去的时候，也就是 b 到 a， 我 们称之为第一形态。第一形态的时候，在走了一个档位的时候，刚好能够经过负二这个点。那么我们怎么去理解这个事儿呢？ 你可以这样想，一个单位的长度除以他的速度，他速度不是三吗？刚好是三分之一秒， x 等于三分之一秒的时候，哎，过去了一次。第二个形态是怎样的呢？过去之后，哎，要回来，对吧？那么他是怎么回来的呢？他是走了一个两个单位的长度，再回来一个单位，也就是说是三个单位， 他的速度就是这个时间就是一，三个单位的路程 除以三这个速度，那么时间就是一秒。好。第三个形态，当他过去回来到达 b 之后，再继续过去的时候，是不是还要经过一个零点？此时就是我们的第三个阶段，我们想想，他过去是两个单位，回来两个单位，再经过一个单位，是不是一共是五个单位， 那么五个单位除以速度五，除以三等于三分之五，这是他的第三个时间，三分之五。好，我们来观察一下，我们的第四个时间 就是 p 点，从这过去两个单位回来，回到这两个单位，从 b 点到这一共是十个单位，从九回到零，这又有九个单位，那么一共就是二十三个单位， 二十三个单位除以他的速度三，恰好这个时间就是三分之二十三。那么给你总结一下，什么时候能够得到十三的距离，恰好就是 p b 等于一的时候能得到十三的距离。 p b 什么时候能等于一呢？过去的时候 对，此时等于一。好，过去回来之后这又能等于一。过去，回来穿过 b 之后，这又能等于好。然后呢？过去回来之后到达 c 点，回来的时候，在这个时候又能等于一。所以说一共是四个形态， 四个形态对应四个时间，分别是使得整体等于十三。好吧，这就第二个需要你去全面的去考虑这个问题， 你不能单一的去去，去猜，去想，你要把所有的形态全给它分析完成。 ok， 好， 那么这就是第二问。好，我们现在开始说第三问，第三问稍微难一点，我们把图重新画了一下，他说点 p， 从 b 出发的同时过去，回来再过去，数轴上有动点， m 和 n 分 别从 a、 c 两个点 同时出发，相向而行，速度分别是每秒四个档位。我们看一下， m 从 a 点出发，往这边走，四个档位因为相向而行，两个就对着走。 n 点从 c 出发，每秒是五个档位。假设 t 秒钟的时候，就说它们行进到某一时刻的时候 会出现的 p， m， n 三点中恰好有一个点是另外两个点的中点。这个东西就不好说，它有可能 p 点在中间， m， n 在 两边，也有可能 m 在 中间， p， n 在 两边，还有可能是这个 n 点在中间， m， p 在 两边，这个东西都不好说，所以我们统一考虑，用方程去解决它。首先在考虑这种情况的时候，你必须把它们的对应的动态坐标给画出来。好，这是最难的，我一个一个讲。先讲最简单的， m 点的动态坐标， m 点的动态坐标，其实坐标是负三，然后呢？每秒是四个单位，所以是负三加四 t， 然后是 n 点的动态坐标，其实坐标是九，每秒向左边走五个单位，那就是负 t 加九。 好， m、 n 的 这个坐标是不是就搞定了？让我们来说，这个 p 点坐标一定是三个形态，过去的时候一个形态好，注意，过去的时候这段 p 点是从负一开始的， 负一减三， t 是 它的第一形态的动态坐标，而这个时间段只能有 t 在 零的三分之二才行，因为到了 a 点就必须返回来了，而这段距离是二，除以它的速度。三，恰好这段时间是三分之二，所以这是第一形态。好了，我们开始看第二形态，第二形态的 p 点，因为刚才在这个位置，相当于是从 a 点向右边走走到 c 点，那么这个动态坐标该怎么写呢？ 首先我们要注意一下，在 a 这个位置，其实坐标是负三，就是 p 二形态的时候，负三加上三 t。 好， 这注意，如果你写三 t， 这就一定是错了。要怎么写？因为前面已经行进了三 t， 这就一定是错了。要怎么写？因为前面已经行进了三分之二的时间，你在第二形态的时候，必须把三分之二这个时间给他 减出来，也就是说 p 点从这到这的时候，他的一个正确的动态坐标应该是从负三开始向右边走，每秒走三个档位，他的一个 t 呢，是要减掉前面的三分之二才是一个完整的。好，把这个打开括号合并，打开括号合并，就得到了 p 二的一个正确的 动态坐标，是三 t 减五，注意一下，此时的时间一定是三分之二到三分之十四，为什么呢？因为刚才从零走到这，刚好是三分之二，三分之二一直走，走走走走，走到这个位置，因为这长度是十二个单位，每秒是三个单位，所以说要走四秒，走四秒的话，三分之二加上四秒，恰好是三分之十四，也就是说 从这个地方开始零走到这是三分之二，然后三分之二开始走，一直走到 c 点，此时是三分之十四，所以这个是他的第二形态的动态坐标。好，我们现在给你讲第三形态的动态坐标怎么画。 第三形态的时候， p 点应该是在这个位置，从这往左边走，那么这个时候该怎么写？首先我们要把它起始坐标给它写出来，是九减，它的速度是三乘 t。 好， 注意， 前面在两个形态的过程中已经用掉了三分之十四秒，所以你在第三形态的时候，必须要把前面的三分之十四秒给剪掉，才能写出正确的动态坐标。好，你这个时候把它打开合并化简，你就会发现 p 三的一个 动态坐标是负三 t 加二十三，但是你注意一下，这个时候他的时间是从三分之十四一直到这个位置第八秒的时候结束，明白了吧？这个时候我们把他的一个动态坐标写出来之后， 这五个点的动态坐标都有了，记住了是五个点，因为 p 点他有三个形态，我们现在开始逐个的进行分析。 第一个 p 一 阶段，也就是 p 一 往左边走的时候，我不确定 m 点和 n 点在哪，于是我把它三种情况全写下来， p 一 在中间的时候等于二分之 m 加二， m 在 中间的时候等于二分之 p 一 加 n， n 点在中间的时候等于二分之 p 一 加 m。 注意，这整个 p 一 阶段 t 你 解出来的值只能是在零到三分之二的时候，怎么解呢？我来教你，待会你自己下来解一下。第一个 p 一 等于负三加 t， 把它放到这来， m 等于负三加四， t 放到这来， n 等于负五加九， t 放到这来，然后解方程解出来一个 t， 同样的道理，把这三个放到这个里边，解出来一个 t， 然后放到第三个，解出来一个 t， 你 所有解出来的 t 必须满足 t 在 零到三分之二之间，为什么呢？因为此时我们考虑的只是 p 一 阶段，你解出来是其他阶段的 t， 你 必须把它舍掉好，然后是第二阶段，第二阶段同样的 依次放每个在它中间，然后把第二阶段的和 mn 的 坐标全带进来。注意，第二阶段解出来的 t 一定是在三分之二到三分之十四之间，因为过去的过程中只能是这个阶段。我们来看一下我们的第三阶段。 第三阶段依旧是一样的考虑， p 三在中间， m 在 中间， n 在 中间，然后分别把 p 三的 一个动态坐标， m、 n 的 动态坐标分别带进去，解出来的值一定要确保它在三分之十四到八之间，因为这几个九个方程解出来全是一元一次方程，我就不跟你讲怎么解了。然后你解出来的最后的正确答案只有四个符合，分别是这四个符合。 具体过程你一定下来解一下，因为这是时间关系，我在这上面解的很慢，解的方法很简单，但是这个题总体来说他有难度的，需要你不停的去考究三种情况， 就是 p 一 过去， p 二过来， p 三再过去这三种情况。好，这个题我总体就说到这，你再仔细看一下，下去算一下，然后呢，题目也给你发放出来了，你自己去把它认认真真的想一遍。今天我就说到这，跟着李老师轻松学好数学。

好，来，我们来看几何动点最值刮斗轨迹哎，圆形刮斗轨迹的另一道题目，来，我们一起读题。 来，等腰直角三角形 a、 b、 c 看什么呀？左边这个图啊， a、 b、 c 是 一个等腰直角三角形 a、 c 等于 b， c 等于二倍的根号二。哎，那么这个等腰直角三角形什么呀？被唯一的确定喽。 点 p 在 以斜边 ab 为直径的半圆上来，以 ab 为直径做这样一个半圆，点 p 就 在这个半圆上这样移动，它是移动的哦，点 p 是 一个动点， m 是 pc 的 终点，注意， m 是 pc 的 终点。想要给你传达一个什么意思呢？ 哎，是不是传达一个线段的比例关系啊？你们看啊，问，当半圆，也就是当这个点屁啊，从 a 运动到 b 点时，问 m 点的路径长度是多少？ 路径长度是多少？哎，那你看啊，你看，首先我们看看这个题目，他满足不满足我们说的瓜豆轨迹呢？我们想，哦，瓜豆轨迹是不是要满足两个条件呀？第一个，你先找到定点是谁，这个点 c 是 不是定点呀？ 谁是主动点？这个点屁，是不是主动点啊？那这个点 m 呢？是不是从动点啊？因为点 m 是 c p 的 中点哦，点 p 在 动，会牵引着这个点 m 在 动， 那满足第一个条件叫什么呀？刮了轨迹定点，主动点到定点的距离和从动点到定点的距离之比是一个定值， pc 比 mc 等于几？往题里看了， m 是 什么呀？ pc 的 中点呀，所以 pc 比 mc 就 等于二比一，或者就直接写成二 来。第二个，再看主动点和定点这条线段与从动点到定点这条线段的夹角是不是定值呢？我们看一眼，这个角是谁啊？注意往图里看，是不是就是角 pcm 呀？ 哎，这个点我一看，哦，原来是零度三点共线哦，所以是零度。好，那么根据这两个条件，我们就能够推出什么样 p m 构成的是瓜豆轨迹或者叫什么呀？主从联动，我们讲了，只要满足这两个条件，就能够找出它是瓜豆轨迹。 好，那我们知道刮动轨迹，主动点的轨迹是什么样子的？从动点的轨迹也是一个什么样的图形？好，那我们来找一找，看右边这个图，看右边这个图， 主动点的轨迹，题目里面告诉你了，他是从什么呀？半圆什么呀？从点 a 运动到点 b， 那 么点 p 的 轨迹是不是这样一个半圆呀？那我问你，这个点 m 作为 pc 的 终点，它的轨迹是不是也是一个半圆呀？ 哎，也是一个半圆，那这个半圆我要找怎么来画出来呢？也非常简单啊，找两个特殊的点来，当你看啊， 当点屁位于哪啊？位于点 a 的 时候，位于点 b 的 时候，是不是两个特殊点呀？哎，我找到这两个特殊点，你看看点屁再点 a 的 时候， p c 的 中点点 e， 是不是就是这个 m 的 歧视点呀？当这个点 p 运动到点 b 的 时候， bc 的 中点是 f 点，是不是也是一个 m 点的轨迹？哦，所以呢，所以呢， 它的直径是不是就是 ef 呀？点 p 在 ab 的 时候构成的 ab， 看到以 ab 为直径，是不是那么此时的 ef 就是 直径？ 好，那么我现在要求什么呀？求 m 点的路径长度，这个长度是什么呀？就是这个半圆 e f 这个半圆我标蓝的这块啊，那么这个 e f 半圆怎么求啊？我们知道了，你要求半圆的什么呀？长度，你先把这个圆的整个长，这个周长求出来就行了，对不对？周长求出来除以二，那我就需要知道它的半径，那我们又知道 半径之比等于几比几呢？我令这个小圆的半径是 r， 这个什么呀？大圆的半径，这个大圆的半径是大二。小二比大二是不是就等于之前的这个比值啊？ mc 比 pc 是 等于一比二，对不对啊？我们这样写下，大家更好理解啊我们这样写下，大家更好理解。大二比小二是不是就等于 pc 比 mc 等于二？ 哎，那你看我的大二等于几呢？大二等于几啊？嗨，你看题目是不是告诉我们， ac 和 bc 都等于二倍的根号二， 那么因为 ab 等于多少呀？ ab 等于根号二倍的 a c 或者 b c， a， c 或者 b c 都等于二倍的根号二，二倍的根号二乘以根号二，是不是等于几啊？哎，是不是等于四呀？ 所以呢，这个小二就等于二分之一的谁啊？ ab 是 不是，是不是等于二啊？ 哎，是这个大 r， 是 这个大 r， 注意看，这个大 r 等于二分之一的 ab， 那 么我问你，这个小 r 等于几啊？所以小 r 是 不等于二分之一的大 r 等于一啊？ 好，这个小 r 等于一。然后呢，求这段弧长 e f 怎么求啊？不就是 pi r 吗？二， pi r 是 什么呀？是圆的周长，我再给他乘一个二分之一，不就是半圆的长度吗？ 二等于一，最后算下来等于多少呀？等于派。所以呢，这个题目答案就是派。 好来，这就是我们讲的这道什么呀？瓜豆轨迹啊？圆形瓜豆轨迹的。哎，咱们大招书上的这道题目。

一招不够，多法来凑，用两种思路带你彻底吃透这道几何题。今天老师带大家做一道矩形中动点球最值的经典题。很多同学容易在寻找变量关系这一步卡住。 这是一道矩形中的动点问题，边长分别是四和八。点屁在对角线 b、 d 上运动，并且始终保持线段 a p 垂直于线段 p q。 题目要求的是线段 p q 的 最小值，你注意到了吗？点 p 在 对角线上滑动时，线段 p q 的 长度一直在变化，直接求它的最小值非常困难。这里缺的那块拼图是什么呢？ 我们来看题目里的特殊条件。矩形自带了一个直角，也就是角 a b q 等于九十度。而已知条件又给了一个直角，也就是角 a p q 等于九十度。 这两个直角的顶点 p 和 b 都在线段 a q 的 同侧，两个直角同对一条线段，这让你想到了什么模型？ 没错，这正好满足了四点共圆模型的触发条件。所以我们以线段 a q 为直径，做一个经过 a b q p 四点的辅助圆。 做完这个圆之后，我们就能利用同弧所对的圆周角相等，把未知的角屁 a q 转移到已知的角屁 b q 上，从而建立起线段之间的固定比例关系。 因为点屁在线段 b d 上，点 q 在 线段 b c 上，所以角屁 b q 其实就是对角线与边的夹角，也就是角 d b c。 在直角三角形 d b c 中，角 d b c 的 正确值等于线段 c d 除以线段 b c， 也就是八分之四化简等于二分之一。 既然角 p a q 等于角 d b c， 那 么在直角三角形 a p q 中，线段 p q 除以线段 ap 的 值，也等于二分之一，也就是说，线段 p q 始终等于二分之一的线段 ap。 既然线段 p q 等于二分之一的线段 a p， 那 么求线段 p q 的 最小值就等价于求线段 a p 的 最小值。根据垂线段最短，大家自己动手算一下当线段 a p 垂直于线段 b、 d 时的长度吧。 最后记住我们的口诀，看到两个直角同对一条线段，就考虑四点共圆模型。利用共圆转移角度，就能把动态线段转化为固定比例关系。 接下来我们看第二个思路，你注意到了吗？这里的点屁是一个在直线上运动的动点，而且它身上还背着一个九十度的动直角。 看到直角顶点在直线上运动，而且还伴随着垂直关系，这正好满足了我们熟悉的那个经典模型的触发条件。没错，就是一线三垂直模型的触发条件，没错，就是 k 型相似。 注意到题目条件中出现了动直角，且直角顶点在直线上运动，这正好触发了一线三垂直模型的构造思路。所以我们需要过点 p 做垂直于线段 b c。 的 直线。向上交线段 a、 d。 于点 m， 向下交线段 b c 于点 n。 做完垂线后，我们就能利用平角一百八十度和角 a p、 q 等于九十度，在直角三角形 a m、 p 和直角三角形 p n、 q 中构造出同角的与角相等了。 角 a m、 p 是 九十度，角 p a m 等于角 n p q。 根据 a a。 相似判定三角形 a、 m、 p 相似于三角形 p n、 q。 根据相似三角形对应编程比例，线段 p q 比上线段 a p 等于线段 p n。 比上线段 a m， 而线段 a m 又等于线段 b n， 所以 比例就变成了线段 p n 比上线段 b n。 线段 p n 平行于线段 c d。 三角形 p b n 相似于三角形 d b c。 这个比例刚好等于线段 c d 比上限段 b c， 也就是八分之四化简等于二分之一。这就把求线段 p q。 的 最值转化为了求线段 a p。 的 最值。 接下来，根据点到直线的距离，垂线段最短，当线段 a p 垂直于对角线 b d 时，线段 a p 取得最小值，大家可以自己用等面积法算一下，再乘以二分之一，就能得到最终答案了。 以后看到动直角且顶点在直线上运动，就考虑一线三垂直模型。通过做垂线构造互与角，利用相似三角形将未知的动线段转化为已知线段的固定比例。 思路理清，做题轻松，觉得有收获，关注我，下期更精彩！