数学必修二立体几何三垂线定理

同学们好，今天给你们分享三垂线定律。如图，在平面阿尔法与直线 l 交于点 o 过直线 l 上一点 p 作平面阿尔法的垂线垂足为 a， 连接 o a， 则 o a 为直线 l 在 平面阿尔法上的射影即为直线 a。 在 平面阿尔法取任意一条直线 b， 使 a 垂直于 b， 则能得到如下结论， 一、 a 垂直于 b， 推出 b 垂直于 l。 二、 b 垂直于 l， 推出 a 垂直于 b。 记忆口诀，垂影必垂斜，垂斜必垂影。 掌握三垂线定律，有助于提高同学们解决线面垂直和面面垂直问题的能力。拜拜！

好了，同学们现在要教教的是二面角的第二种手法，三垂线定理也是考的比较多的一种考法。呃，这个定理呢，文字比较长， 你看完之后可能也不是很懂什么意思，我大家介绍一下，大家介绍一下。呃，为什么要学这个呢？因为定义法当中呢，有时候找一个点求垂线，找不到是不是？那得就是得换另外一种形式， 名字叫做什么叫做三垂线定理。我之前是不是给大家提过一下的，让你们看看这个图可以吗？他说平面内的一条直线如果和平面内的一条斜线的什么， 是吧？是不是摄影垂直，那么他跟这道线也垂直，是不是？是不是？那可能大家不是特别的能理解是什么意思啊？我们我们来看下这个地方， 呃，带你们看这个这个平面，我带你们看这两个平面，一个黄色一个绿色的平面可以吗？题目要求 p 一杠 abc 的什么的，二边角可不可以？我首先再 p 一点，这里是不是做一条垂线， 这个 n 是什么组？是不是锤组？哎，这条是什么线？是不是胶线？那我可不可以把这里垂做一条什么线？做胶线的什么线？是不是垂线？所以你看我，我这里是不是标一个九十度的符号可以吗？然后把这里连起来可以吗？ 这个角就是你要求了什么二面角，为什么会这样子呢？哦，我大概来解释一下好不好？ pn 是不是垂直于地面？是不是？所以我们是不可以推出 pn 是垂直于谁的 ab 行不行？那么反过来写的话就是谁就是 ab， 垂直写是 pn， 你刚刚是不是做这个 bm 垂直于 ab， 那么是不是也有 ab 垂直于谁？ 是不是？ m n？ 是不是？是不是？所以就可以推出什么东西 ab 垂直于谁了？是 pmn， 是不是？明白吗？明白吗？所以 ab， 所以这个地方 ab 跟谁？跟谁，跟 pm 是不是也是垂直的？是不是？那符不符合我们的定义法？在胶线上找一点，然后分别做垂线，是不是这个角度是二面角，是不是？明白了吗？所以呢？ 这三九线定理啊，这个定义用起来是不好用，所以我们专门为大家重新编了个口诀，是我自己编的口诀，方便大家找角，就是这个二面角如何快速找角？ 我帮他编了个口诀，大家先抄个笔记，先把这个图画一画，把这个找二边角，二锤一连线。先抄完我再给你解释什么意思？刚刚为什么这个角是二边角？理解了吧？我，我刚才这绿色的部分是给你做解释的， 前面线面角的口诀是一锤一连线，二面角的口诀是二锤一连线。 好，那我来解一下这二垂点是什么意思？就是首先过其中一个平面的一个点，比方说黄色平面一个点是哪个点？是不是点劈？是不是做另外一个平面的？什么线？是不是垂线？是不是线垂直什么 是另外一个面？但是这个最好是什么？最好是什么东西？是不是椅子的？可以吗？因为椅子的话可以承认的麻烦，一般第一问可能会让你证明线垂的一面，可以吗？可以吗？那么第二条垂线呢？过什么竹？过什么竹？过垂竹，做胶线的什么线？ 是不是垂线？这是不是第二条垂线？所以我把它简称叫二垂，第一垂是线垂直一面，第二垂呢？是不是线垂直一线可以吗？然后把垂足，呃啊，不是，就是这里这里这里， 我是不是垂下来，然后又垂下来，然后再把这里连起来，可以吗？可不可以？可以吗？然后靠近胶线上的角就是二面角，哪个角是靠近胶线的？ 这是 pmn， 对不对？所以这个角就是你要求了什么后面角，明白吗？然后一定要记住这个三角形一定是什么三角形。 知道三角形，所以这个方法的优点是什么？他能确保这个三角形你是什么造型？是不是知道三角形？为什么能确保？因为你第一条的时候是不是线垂直于面？是 pn 垂直于底面？ 是不是？是不是学习里面所有直线？所以他一定会形成一个指导账号型，明白了没有？所以他的口诀就是二锤一连线，然后最关键的是这一条 一定要是好球的，或者是已知的，明白没有？明白没有。然后呢？实际考试不会给你这么平稳的脚，就是你看我们这，我们这 是不是正，很很正，很正正经经的一个角，是不是？但是考试那个角是不是？是不是扭来扭去？所以每次考试的时候呢，你要先回想这个东西，你再来找角就很容易了。我等下给你三个例子，等下我会出三个例子，帮助你快速找到二面角，明白了吗？先抄好笔记，先 二锤一连线。这个口诀本质上就是上学上学性定理，但是上学定理的那个定义用起来很不好用，我们把它编成个口诀会更好用一点。 好的，再来看下这道题啊，我们来训练一下怎么去找角。第一问，我不用你写，你当成把第一问当成条件也可以，可以吗？好，然后这个点我重新点一下，有点乱啊。重新点一点， 呃，这个地方是点滴，这个点滴哈，这个是点一，可不可以？可以上吗？反正这个就不要了。可不可以？那我们再看第二问， 我教你们怎么找角。呃，把一些条件先看一看啊。 ab 等于谁？是不是 cd？ 平行 cd 可以吗？然后 dab 有多少度？是不是六十度？可不可以啊？然后呢，这个地方是不是有个线垂直一面呢？ 可不可以？然后他还告诉我们什么东西 a e， 锤子于谁？谁是 b d？ 这可能是对第一关有关有关注啊，然后告诉我们什么 cb， 这条边等于这条边，然后等于谁，是不是 zf 行不行？然后要求他了什么，后面找了什么？注意选择，老习惯把胶线干嘛？是不是加出啊？胶线我用红笔加出行不行？然后 呢？把另外两个点点一点，一个点是哪里？是不是这个点，一个点是哪里？是不是这个点？所以大家可以看出是哪个是哪两个平面的吧？一个，一个是面谁面谁 f 谁就 bt， 一个是面谁， 是不是这个 cbd 行不行？好，用，我们刚才的口诀是不是二锤一连线？第一锤是什么？ 在其中一个面上找一个点做线面垂直，是不是？有没有现成的？有没有？哪里哪里？哪里是 fc？ 所以呢？第一锤是哪个锤？ 这 fcfc 锤子于谁？平面写是不是 cbd 可以吗？ 请问第二锤是哪个锤？笔记里面怎么说的过这个锤竹干嘛做胶线的？什么线？是不是锤线，明白吗？所以呢？这个是第一锤，第二锤是不是往这里做？什么线 是垂线，那么是第二锤，是不是？这个给个字母看可以吗？这是 c， 多少？ c？ h 吧， 可不可以？然后呢？然后到什么了？是不是连线？是不是连接谁 f 谁 h？ 跟不跟得上， 明白吗？然后为了方便我刚才说的他是不是一定是个造型？垂竹是哪个点？是不是西点？垂竹是哪个点？谁就是九十度，明白了吗？ 所以这是不是 c， 这是 f， 可以吗？这是 h， 这是九十度，所以哪个角是我们要求的是不是这个角？所以角谁 f h c， 为什么索求二面角？ 跟不跟得上？所以我们该说这是不是只好三角形？那我们是不是求出其中两条边就可以了？就可以求任何的几个，是不是？好，我们看下题目，他有没有给我们编厂？没有给我们怎么办？可不可以设个编厂？我，可不可以设他为多少 多少？说社会二可以吗？行不行？所以呢？这条边是不解决了是不是？那是现在还差两条边， 我们可不可以去求些曲？可不可以？好？底面可不可以单独画出来？我，我们是不是底面是不是要单独画出来？养成个习惯，可以吗？来，我们把底面单独画一画， 哎呀，太丑了，再来一次可以吗？这个是 a， 然后 这个是 b， 这个是 d， 这个是 c， 他说这里多少度？是不是六十度，明白吗？然后呢？这个地方， 呃， dc 跟 c， 跟这个跟这个 cb， 我们刚才是不是设为谁？设为谁？是设为二，是不是？那把自己连接起来可以吗？你， 你能不能求出这一条高？能不能对你来说能不能做到？能不能做到就很好理解了。这个角度多少度？ 六十，但我发现这个是不是等腰梯形六十度，然后这个角为多少度？是一百二？这是，这是什么三角形？是不是等腰三角形？是不是对半开？是不是对半开？所以这里多少度？ 是不是六十？跟得上吗？跟得上吗？那么理解，这里呢？是不是三十度？那边？姐，所以这条边我多少？ 是不是一跟不上？哎。所以 c h 有了没有？是不是有了，所以 h f 呢？ 根号谁？是不是根号？五，明不明白？明不明白。这个角的什么值？什么值？是不是余选值？谁比谁？他的余选值为多少？是不是 c h 比谁？ h f 等于谁？一比根号为多少？是五分之根号五，是不是很简单？这个二锤一连线口诀方不方便？一锤是什么？是什么锤？是不是线面锤？二锤是锤子，一锤是锤子，一胶线，明白吗？然后就一连在一起， 这个角就是所求的二面角，而且他一定是个指导三角形。听懂我意思了吗？请大家做好脾气，举一反三，顺着打铁。第一问不用你选用把，第二问，快 把脚找找出来。二锤一连线啊，我们一起来这里交线是谁？这 pc 把 pc 加出， 这是个习惯来的，习惯比比比这个啊，习惯很重要啊。然后这是哪两个面？ 是 a 点，这个面跟谁？那也就是说一个是面谁？ apc 可以吗？一个是面谁？ d e p c 行不行？行不行上，好，我们说的二锤一连线，第一锤是不是线？锤里面有没有现成的？谁是 pa？ 哪里？ 吹吹吹？ abcd 可以吗？那我们来，我们来看一下他，他指是哪， 哪个面，一个是谁？这个我看行不行啊？ pa 是不是好像不行哦？ pa 不能直接用我们我们来看一下哈，题目说的是不是这个平面，这个黄色的平面 跟什么？跟这个 dac 是不是？有没有？ 我们看一下这个平面上的点是谁？是不是点滴？他？有没有哪条线看起来像垂直这个面谁？这个 adad 有没有垂直于这个黄色的面？ 有没有？为什么？为什么？因为 pa 是不是垂直于里面，所以 ad 又垂直于谁？ pay 谁是谁？是不是 da？ 那放 反过来记记什么？是不是 da 锤死你，谁锤谁？谁是 pa？ 跟得上吗？跟得上吗？哎？然后呢？ dda 还锤死你谁？题目是不是给了 是不是？所以是不是能证得 da 锤子一锤是我们要求这个平面谁是 pac， 所以一锤找到了没有？这个才是我要的一锤， 明白了吗？明白了吗？啊？那么二锤是哪里？也就是说一锤，一锤已经找到了，是不是 da， 锤子于谁是 pac？ 二锤是怎么锤？是不是在锤足的这个地方 往谁做胶做垂直？是不是？胶线做垂直 可以吗？行不行？跟得上吗？然后呢？把什么连起来？把这里连起来可以吗？把这个连起来可以吗？ 能不能理解老师一次？能不能理解老师一次？但是这里不要出乱哦。垂竹在哪个地方？ 是不是在一锤的地方？所以这个点是不是垂竹？是不是？所以等下我们把这个图掰正的时候看看，把这个图掰正出来的时候他是这么画的， 这里是 d， 这里是 a， 这里是谁？是不是 h， 明白吗？哪个角是要求的二面角？笔记里面怎么说的？靠近胶线的角为二面角，胶线是哪里？是不是 h？

你看你这个思维只要贯通了同学们说实话就是非常过瘾知道吧，做这个题就是太过瘾了。话不多说啊，选几何法的比较多。呃但是，呃在选几何法啊，在讲几何法之前啊，我给他们补一下这个知识点， 因为很多同学都是我们人教 a 版的地区的同学所以一些定律啊他并没有作为一个重点在教材上给你呈现出来。这是一个阿尔法。 呃怎么说？呃现在有一条直线啊，我画了一条直线过来这条直线看样是与平面阿尔法交于一点 a 吧。好，呃直线 l 与阿尔法交于一点， 那么直线 l 会在这个平面阿尔法内产生一个摄影直线我们来说这个待会就摄影直线一个是它的定义是什么第二个怎么用？咱把摄影直线啊打在评论区。 好，我也把 l 在 阿尔法内的摄影直线啊，我给它画出来。呃在阿尔法的摄影直线。哦找到了我平面内啊，我再画一条直线比如说 m 好 了。呃这是情形是吧，怎么说？好我把定的内容啊我给它默写一遍。呃我能表述清楚不来。呃平面内 垂直于垂直于摄影的 直线 也垂直于斜线是吧。是这么说的吧。 有印象吗？啊没印象。我继续给你说这个这定律的内涵是吧，我给他写一下这叫三垂线定律。 呃这是图形语言、文字语言该符号语言了。那就是因为 l 撇是 l 在 平面二分阿尔法内的 摄影啊。我看着这个怎么干巴巴的啊没人说话了我把它放这来啊。 l 撇是 l 在 平面阿尔法内的呃摄影， 呃。且 m 垂直于 l 撇所以 m 垂直于 l。 呃但是呢啊我们这个呃现在出这个解答题他从来不跟你说哪条线是谁的摄影 好。呃我刚才说一个问题啊这个问题主要在产明一个什么东西呢呃就是说你见没见过我们某个题目当中上来就跟你说谁谁谁是谁的摄影见过吗没见过没见过的话所以这个 l 撇你是不是应该指出 是吧应该先判断某条线是不是他的摄影那么怎么说明这条线是他的摄影呢怎么说哎朋友们再引入一个东西 如果你在 l 上找一点啊同时呢你又能够在平面二维码内 啊找到点的摄影能明白不啊也是我们这个解决几何问题的一个主要思路是吧通过点啊的关系来确定线的关系如果我 l 上有一点和这个 l 撇上一提一点屁撇哎他恰好叫屁撇啊。 哎如果连下去之后屁撇在 l 撇上并且呢屁屁撇垂直于 l 撇并且还垂直于这个平面的话 怎么说啊要说明屁撇在 l 撇上且啊同时 l 撇也得在阿尔法上且屁屁撇它还垂直于 m 阿尔法来这是补充的。 怎么说明一条直线啊是这个某条直线在这个平面内的摄影哎。呃说再多啊咱都不如实践一遍我们来看啊这个三垂线定律啊它的作用它的巨大作用 啊他说 e 杠 a 啊 e 杠 b 坏了又是二面角的问题我现在需不需要给同学们再回顾一下二面角的定义 你看了吗我们学例题几何啊无论是定义啊还是定理是吧咱是必须烂熟于心，必须理解啊，必须理解你不然的话啊，没讲一个问题啊。哎，这个阿，面角为什么要这样去处理？这个三垂线的定律为什么要这样使用？哎， 你不理解的情况下是吧？你这个给你讲两遍，三遍，十遍八遍，我觉得你记不到心里去，听明白我说的意思吗？哎，同学们，我第一位是不是证明了一个 a、 o 垂直于平面 b、 c、 d 是 不是证明了一个 a o 垂直于平面 b、 c、 d。 哎，那我又知道了，你看这个一点是什么？是什么？是 ad 的 三等分点，那么能不能利用三角形的等位线 是吧，也就说平行线分线段成比例逆定理是吧？这个定理挺长，那前面你看，我用这个线给它一点，哎， 哎，这个一撇，这个一撇一，一撇一一撇和底面什么关系？ 有没有关系？ 有关系不？哎， a o， a o。 听我说话了吗？ a o 和底面垂不垂直呀？ 啊？垂不垂直？我现在画这个一一撇到底想干什么？我是为什么从一点入手了？ 好，有的同学说了，和底面垂直是吧，不光垂直于 b、 d 这条直线，还垂直于平面， b、 c、 d 怎么说？ 线面垂直的性质定律那句话怎么说来叫啊，垂直于同一条直线的两直线平行，反过来 啊，如果一条直线与一个平面垂直，那么，呃，它的平行直线也与这个平面垂直，这是线面垂直的啊，性质定理的推论。 我刚才提到啊，平行线分线段成比例逆定理意味着我取点是在这里取，我取的是 o、 d， o， d 靠近点 o 的 三等分点，我连接 e 一 撇会怎么样？我连接 e 一 撇是不是平行于 a、 o， 而 a、 o 已经和 b、 c、 d 垂直了？那这条平行线一一撇一定也垂直于平面 b、 c、 d 啊，继续看。哎，我要往这引了。呃，这个是再用一次啊，平行线分线段成比例逆定律。我这个是几等分点来着？这个是。 呃，这边，呃，这边是啊，这边是一比二，这边是个三，能看明白不？那么也就意味着一撇他是 b、 d 的 六等分点当中的其中一个啊。说白了啊，说白了我在这边啊，找一点 h， 这个 h 还躺下了对不对？找一个 h， 呃使什么？呃。 bh 比上 hc， 它是一个四比二的关系是吧？也就是二比一的关系。 能能能明白我的意图不？我要干什么了啊？我要干什么了？我现在啊，我现在，我要连了啊，我连过来连过来了， 各位注意看啊，性质一定要用上。刚才不光说了这个线段比例的问题啊，你这个 b、 o、 b、 o 谁懂？ b o 和 o d， b o 和 o d 相等对不对？ b o 和 o d 相等，然后 o、 c 又和 o、 d 相等， 对吧？为什么？因为是正三角形吗？所以啊，所以三角形 b、 c、 d， 你 看中线是斜边啊，是边的一半 啊，中线是边了一半，能不能说明他是一个直角三角形？或者说这边六十度，这边是不是一百二十度啊？这个是不是三十度？这个也三十度，为什么等腰三角形？这边本来是一个正三角形啊，所以这个地方是九十度，有问题不 啊？这个地方我说了是九十度，没有问题吧？角 b、 c、 d 是 一个直角，那根据啊，平行线分线段成比例啊，我选的这个位置是不是也是垂直于 b c 的？ 那么 b c。 哎，我连接 e h， e h 是 什么东西？ e h 是 什么东西？ e h 就是 斜线。发现没有啊？发现没有 啊，连贯起来就行。来，我给你耐心的说一下啊，当你把一撇点找到并且说明了 e 一 撇和底面垂直的那一刻 你就已经建立了一组什么直线和摄影直线它就相当于 l 呃这个东西 它就相当于 l 撇。你 bc 啊， bc 和 l 撇垂直就说明 bc 也和 l 垂直，那 bc 是 什么？ bc 是 什么？ bc 是 二面角的交线， 那么 bc 既垂直于射影直线，又垂直于。呃， l 本身那么角 e h 一 撇它就是二面角的平面角。 太痛了，思维马上就要啊提升一个台阶的时候，哎，这时候啊，远处这个坐标法在旁边给你招了招手，哎，还有我在呢对吧？那你又想了，哎，我有这个坐标法，我怕什么对吧？我，我不听你在这边叨叨了对不对？没办法， 好。呃，我的思路啊，我的思维反正已经建立完了对不对？我的思维已经建立完了。呃，我写一下，你也跟着看一下对吧？好，我写一下过程，对，看我怎么写。 呃，先写一个解，咱不用解，已经写完了是吧，就不浪费时间。我怎么说？呃，取 o d 上一点一撇使。 这个条件怎么说的啊？咱给写作文似的，咱给它对偶上，它是使 d e 等于二倍 e a 哎我就使 d e 撇等于二倍一撇 o 怎么样？ 呃因为 d e 等于二倍 e a 所以 啊，这个逻辑关系，初中的知识点咱直接带过去，直接 e 一 撇就平行于 a o 没问题对吧？由一之，你看你这个思维，只要贯通了，同学们说实话就是非常过瘾，知道吧，做这个题就是太过瘾了。由一之， a o 啊，垂直于面 b c d。 呃，他是几年前？这是二一年五年前考的，我不可能到现在啊，我还记得他的答案啊，他几何法怎么做的，他坐标法怎么做的，对吧？因为这个思维在啊，这个思路在，所以啊，一看到答， 那我这个思路整个就贯通了。一贯通，我这个过程还不好写吗？对不对？所以 b 一 撇也垂直于平面 b c， d 再取啊，因为一撇为 b d 上一点，结合已知， 咱明确一下，一撇啊，在整个 b d 上的位置。呃，结合已知，有 b e 撇等于二倍的一撇 d， 我再取 b c 上一点 h， 使 b h 也等于二倍的 h c 啊，刚才忘了一件事情啊，这边我应该得说一下，连接 一一撇，对吧？呃，和这边我要连接谁了？连一撇 h 则 一撇 h， 它就平行于 c d。 重点来了啊，又该用题目条件了，因为三角形 o c， d 为正三角形， 对吧？ o 为 b d 中点， 或者直接说 b o 等于 o， d 等于 o c。 哎，咱就直接说吧，因为前面也铺垫的差不多了， b o 啊，咱不如用 o 开头了， o b 等于 o， c 等于 o d， 所以一只或者说可正角 bcd 等于九十度，或者直接可正。什么 dc 垂直于 bc。 那么这边怎么说啊，一定要加加上一句话，因为一撇 h 啊， d c 也好， cd 也好，我这个给它改一下啊，省得看着这个线段啊，这个直线显得挺多的。呃，一撇 h， cd， bc， 它都在平面，都在同一平面内，所以我可以确定的是，一撇 h 垂直于 bc 啊，关键得水点啊。 老师是徐州的吗？啊，徐州附近啊，淮海省的啊。到了这一点啊，第一个关键点已经出现第一个关键点已经出现啊，我接着说第二个关键点啊。呃，我要么重复这个三垂线定律的内容是吧？或者说，你看我怎么说。我要用线面垂直的话， 哎，应该不扣分是吧？但是我要用线面垂直来说。呃， e 一 撇前面提到了啊， e 一 撇它垂直于 bcd 是 吧？ e 一 撇垂直于面 bcd 且啊， bc 垂直于 e 撇 h。 结合我用三垂线定理 啊，因为我看了人教 b 版的教材，他就这么说的。这是省略过程啊。结合三垂线定理得到什么呢？得到啊， bc 垂直于 h， e 中不中？同学们给我看看这是什么 bc bc 现在成了焦点。成了什么焦点呢？成了二面角的，它就是二面角 e 杠 bc 杠 d 的。 什么交线 怎么说？因为 e 灭灭 e c d 浇灭啊，不是 e c d 啊，是 e b c 哎，你看， e b c 浇灭。呃， b c d 与 bc 重点不谈是吧？我不再说这个一撇 h 和 bc， 呃，这个 he 分 别在这两个平面内啊，由二面角定义之角一撇啊，一 h 一 撇 就是四十五度行了吧，来，截止到目前为止，看懂的来，给我扣个一看懂的扣一 捋一下啊。我在你看不到的地方啊，默默地注视着你。 这就简单了。呃，那么先说 h e 撇多长？呃，因为因为这个呃 b h 等于二倍 h c 啊 b 一 撇二等于二倍一撇 d， 所以 h 一 撇它就等于三分之二倍的 cd 等于三分之二。所以在二 t 三角形 e 一 撇 h 中 e 一 撇也等于三分之二 啊。同理， a o 就 等于一，明白不？因为 e 一 撇也是 a o 的 三分之二。好了，现在万事俱备啊，只差东风了。 呃，所以 v a 杠 b c d， 它就等于三分之一乘以 s。 三角形 b， c， d 乘以 a o， 因为已经证明了 a o 啊，是它的高。 呃， a o 的 长度也求出来了，对吧？呃，三角形 b c 的 面积它还是二倍的啊。那个等边三角形的面积再乘以 a o 那 边长为一的 正三角形的面积，那就是四分之三。 a 方再乘以一 行不行？乘啊，等于多少？等于二分二六六六分之三。

正在高一下饱受立体几何大题折磨的同学们快点看过来，如果说线面角你还不会用定义法去找二面角，搞不懂如何用三垂线法，只会去用搜题软件寻求帮助的话，你会发现那些答案全部都是一些坐标系、 间隙、空间向量的方法，而这种方法我们根本不会遇到，这种纯几何的问题我们几何法又搞不拎清的时候，别着急，我们认真看完这条视频，今天宋老师一条视频带你双考点通关，吃透定义法求线面角，掌握三垂线法求二面角， 两大必考几何法解决立体几何大题，一口气讲清楚，看完直接套用刷题，立体几何基础分，稳稳拿捏。首先我们开始第一个板块，叫做定义法求线面角，那么这是我们三大角里面的啊， 第二个，第一个其实应该是意面直线所成角啊，但那个在大体里面的话呢，考的比较少，我们在大体里面考的最多的就是线面角和 二面角，那什么叫做线面角呢？既然要用定义法，我们先把定义给它搞清楚啊，其实它的过程是这样的啊，这里是一个平面阿尔法，然后呢，有一条直线 l， 它和我们的阿尔法交于 a 点，紧接着我做了一条紫色的垂线，要注意啊，其实这个 p 点是很随意的， 就在这条直线上，除了 a 点的位置啊，随便选择一个点就是 p 点过 p 点做底下这个平面的垂线啊，也就这里的 p h 是 垂直于底面 r 法的，那么这个时候啊，垂直为 h， 我 再去把刚刚 p a， 也就是直线 l 啊，与 r 法的交点 a 点，还有我们的 h 点连接即可啊， 这个我们用黑色的线来表示，那么这条线就像一根影子一样，它也确实是影子，它被称之为叫做直线。 l 在 平面 r 法上的摄影， 那么教材上的概念就告诉了我们，此时的角 p a h 就是 我们的线，面角定义在右边啊，大家可以快速的浏览一下。紧接着啊，我把这个三角形给它拎出来之后， 想要在题目中求解出现面角这个 theta 的 所有信息，比如说什么余弦值啊， 正弦值啊啊，更有甚者啊，这个角就比较的特殊，或者说比较的好求，就是三十度或者六十度的话，那我就可以求这个角的大小，但一般啊，在高中为止啊，我们现在求题目的角度的时候啊，很多都只是用三角函数来代表了，对不对？所以我们可以求余弦值或者正弦值， 想求什么余弦值，我就只需要把 a h 的 长度给它搞出来，然后再把 a p 的 长度再求出来，是不是就直接用零边比斜边即可？ 那如果说求正弦值是不是也就是 p h 的 长度，也就是紫色线段的长度，再除以红色线段的长度即可？ 这些呢，其实都不是很困难，因为我们这个直角三角形，说实话，从初中开始一直到高中，已经玩的非常非常的明白了，我只要能在这三条边里面知其二就可以，但是核心是如何能把这个三角形 给它做出来。那我们来看一些题目啊，我都没有放题干，我就直接告诉各位啊，这是一个广东的月考题，他呢说这是一个正三楞柱啊，正三楞柱的意思就是 上下两个面都是正三角形，然后呢侧棱还都垂直于底面，这样的一个什么是不是直棱柱？那这样的棱柱里，它让我们求什么呢？啊？让我们求这条红色的线 b c 撇啊，或者 b c 一 和我们底下这个平面 a c c 一 a 一 的线面角，那就非常简单了，我只需要把这里的 b e 当成是我们刚刚的这个子线面角，那就非常简单了，我只需要把这里的 b e 当成是我们刚刚的线面角，那就非常简单了，我只需要把这里的 b e a c e a e 就是 垂直的， 这样的话呢，我们就可以把我们的摄影，也就是 c e 再给它连起来。根据刚刚我们的定义，其实 b c e 和 c e e 就是 我们的线本身，还有我们的线的摄影，那他们之间的夹角其实就应该是我们的。什么是线面角， 所以这种题目是比较简单的，我连题干都没有放，我就直接给大家稍微看一下这个图就可以了，因为他现在的这个垂线 b e 是 题目里面怎么样，在图里面就自带的， 所以我一眼就能看到，那它的投影呢，我也就可以顺势画出，那线面角呢，也就不再有难处啊。那紧接着云南这道题目有什么样的一个问题呢？ 云南这道题目的话，它是这样的，它告诉你的条件是 a b c 这个平面啊，这是一道高二的期末考试题，它说是 a b c 这个平面垂直于底面 b c 岛，然后让你去求的是这条红色线 a e 和底面 b c 岛的夹角有这个线面角问题， 你告诉了我， a b c 垂直于 b c 岛， b c 就是 这两个垂直平面的交线，而垂直平面的交线有一个非常特殊的性质，就是我们的第八个性质啊，叫做 面面垂直的性质定律。其实我们只需要把这里的我做辅助线的时候，只需要过 a 点做 b c 的 垂线，它就定然会和底下的 b c 岛应该是垂直的。 所以我现在把这个点如果标为 h 点的话， a h 就 可以充当起我们刚刚在定义里面模型中的那条紫色线段，它呢，应该就是 a 往底面做的垂线，自然而然 h 和 e 连在一块的这条线就可以被称之为我们刚刚的黑色线段，也就是 a e 这条红色线段在底面的投影。 所以现在的线与投影之间的夹角，也就是此时的 a e h 这个角就应该是我们的目标线面角啊，这个 c 塔，那这是云南的一道高二的期末题啊，其实难度也不是很高啊，都可以比较丝滑的或者很简单的做出这样的辅助线啊。 但紧接着呢，这是一个最近啊我的学生在问我的这样一个作业题啊，这道题其实最近在一次比较正式的考试里面也有出现过，是北京的一模考试啊，二六年的北京一模考试好像也考了这个类似的一个问题啊，这道题目 它让我们求的是啊，右边一个楞柱嘛，左边拼了一个楞锥啊，让我们求的是 b c e 在 a b 一 岛这个平面上的一个所谓的夹角，或者说它的线面角，那我就比较懵了啊，尤其是对于我们高一的孩子而言啊，那这个问题还是相对有一些难度的，因为现在的 c、 e、 b 上来就和刚刚的模型不一样， 它呢，和 a、 b 一 岛没有一个非常明确的焦点，对不对？所以我没有办法过另一个点啊，虽然另一点比较随意嘛， 但是刚刚这题都很明确，就另一个点就是 b 点啊，就是 a 点上面这个，广东的就是 b 点上面这个，云南就是 a 点，做底面的垂线即可。而这里呢， c 一 b 和平面 a、 b 一 岛都没有交点，另一个点更加不知道该从哪里去找了，对不对？题目变难的逻辑呢，就可以从这些角度来让它变难， 比如说啊，他可以搞来一些动点让你去研究，也可以让这里的线和我们的目标面，就目标线和目标面看起来八竿子打不着，那我们就需要通过一些以前学习过的内容啊，去进行一定的 转移。比如说啊，第一个比较丝滑的方式就是我们刚刚有微微提到一点点的意面直线所成角，意面直线所成角的问题就是所有的直线啊，其实我都可以通过平移把它挪到我想要去的位置， 当我把它挪到想要的位置的时候，我就可以通过我比较熟悉的形式去求线与线的夹角，那线面角也是一样啊，线面角里的线也可以去挪到，或者说平移到我们希望他在的位置，那就做平行线就好了，能够做出合理的平行线，我们就可以 像我们刚刚那样一样啊，去做这样的辅助线，并且把这种题目转换成跟刚刚那种啊，云南还有广东这样的题目啊，一样难度的这样一些题， 我们来讲两道可能稍微复杂一点点的题目啊，大家一起来感受一下。首先第一个在棱长均为二的正三棱柱， a b c a e b c e 中，这个正三棱柱啊，那我们简单画一下这个草图， 正三棱柱的长相也是相对比较规整的啊，所有的底面都是正三角形，然后呢，侧面也都是矩形了，然后侧棱也都垂直于底面。 m 的 话呢，是 a b 的 中点啊，我们标一下啊，比如说这里是 a， 这里是 b， 这是 c， 那 下方就是 a e b e c e 没有图，那我们就要自己画，所以这里是 a b 的 中点，我们把它标出来，这应该是我们的 m 点， n 点是侧面 a c c e a e 内任意一点， 这就是我刚刚讲的第一个逻辑，把题目变难的第一个定点，那么此时我们的 n 点在侧面乱动，问你 m n 与平面 a c c e， a e， 它的所乘角的取值范围是怎么样的？那么现在 n 点在边界还有这个平面外都有它所带的一个位置，那现在我们来看一下，如果说我们取出 a c 的 中点的话， 它会有一个点是不叫做 o 点，为什么这么来做呢？你仔细想一下，因为我们现在的 m n 随便画一个，比如说 n 点在这个位置，那么 m n 和这个面的夹角我应该要干嘛？应该是要去做所谓的 a c c e a e 的 垂线。再说呀， 因为你现在的 n 点不知道在哪，但好歹也是一个什么，是不是好歹也是一个我们这里和平面 a c c e a e 的 一个 交点，所以呢，可以为之一用啊。但是呢， m 点是一定是面外一点，所以我需要去过它做什么？ 就是做我们的这个平面的垂线。那么为什么选出了 o 点这个中点呢？我选完中点是要选四等分点的， 为什么这么选呢？因为作为正三棱柱而言，我如果把 a c 的 中点 o 点选出来，再把 a o 的 中点，比如说 h 点给它选出来的话，那么 m h 这条线可不简单， 它是垂直于 a c 的 上方的 a b c 这个平面，作为一个正三棱柱而言，它一定是垂直于 a e c e c a 的。 垂直于 a e c e c e 之后的话呢，我现在的 m h 又是我人为的去做的什么？是不是垂直于 a c 的 一条线？ a c 什么身份呀？ a c 啊，其实是我们的 abc 这个平面和那个平面 a e c e c a 的 一个交线， 所以现在面面垂直，我又做了它们两个交线的垂线，那得到的结果一定是我们的 m h。 怎么样，它待在我们的 a b c 里的一条直线，它就一定会垂直于 a e c e c a 是 不是这个平面？所以啊， 这个 h m 不是 别人呀，它是谁呀？它是老紫呀，刚刚那个模型里面的紫色线段呀，它是那个垂线，所以 h 点就是 m 点在这个平面上的投影，那么 h m 就是 老黑啊，就是我们刚刚所说的投影。所以 n m 是 我们的目标线啊。平面 a c a c e a e 是 我们的目标面，而目标线在目标面里的投影就是 h n， 所以 这个角我找到了，就是 m n h 这个 c 塔就应该是我们的线面角，那么如果说 m n h 是 我们的线面角的话，那我们现在的这个正弦值的取值范围应该 有了一个小小的眉目，为什么呢？因为所谓的 sine theta， 它应该是等于 m h， 对 边就是 m h 嘛，那么斜边就是 m n 啊， m h 其实是个定值哦，因为我们上方是一个人长均为二的三楞柱，所以上方是一个人长或者说边长为二的一个正三角形。 b o 就 应该是根号三，所以呢， m h 就 应该是二分之根号三，这上方是一个定值啊，就是二分之根号三。而下方的 m n 呢？ 开始乱动了啊， m n 是 真的不知道了， m n 是 一个会动的长度，所以我们现在想求 sin c 的 取值范围就已经非常明确了，我只需要把 m n 的 取值范围给它求出来就可以了。那 m n 等于多少呢？ m n 其实就应该等于根号下 m h 的 平方，再加上我们的 h n 的 平方， mh 的 平方，加上 h n 的 平方，里面的 m h 就 应该是一个定值，就是二分杠三，所以平方完就是四分之三，再加上 h n 的 平方， h n 最短最短应该是多少？ 最短最短最短其实应该是零哈，因为它现在这个 n 点确实可以跑到是不是 h 点的位置啊，所以最短应该是零，所以此时加上了这个 h n 的 范围呢？我们稍微的书写一下， h n 最小最小应该是零，最大最大呢？ 其实最大的时候啊，这个 n 点应该要跑到哪里？应该是跑到是不是我们的 c 一 点的时候，此时的 h n 可以 取到真正的最大值。 那么 h n 多长呢啊？这里的长度应该是二分之三，这边的长度这个棱应该是所谓的二，所以此时我们的 h c e， 也就是我们 h n 的 最大值，应该等于根号下二分之三的平方，再加上我们的二的平方， 所以得到的结果应该是四分之九，再加上四啊，也就根号下四分之九，再加四啊，这稍微算一下就是四分之二十五，所以开出来过以后就应该是二分之五。 所以这里的 h n 的 长度啊，最小最小应该是零，最大最大呢，应该是二分之五。 那这样求完之后啊，我们 h n 的 长度出来了，那么 m n 的 长度的范围应该是多少呢？那最小是不是也就是二分之二三啊？因为 h n 最小是零嘛，加四分之三的开根号就是二分之二三，那最长的话呢，应该是四分之三，再加上 h n 的 平方 就是四分之三，再加上四分之二十五，也就是四分之二十八，四分之二八，开出来应该是二分之二倍，根号七，也就是根号七哦，所以这样我们求出来的结果啊，就应该是 m 的 长度是在二分之，根号三 到根号七，于是把这个 m n 的 长度丢带到我们最开始的这个式子里面来，终于终于可以出结果了啊， m n 取最小值的时候，反而我们的算它应该取最大值，刚好就是一啊，这也顶天了啊。 确实，这个时候我们的 m n 就 应该和底面是垂直的，所以九十度的正弦值也就是一啊，所以算出来的结果就应该是十四分之，根号二十一，那答案 应该就已经出来了，应该是十四分之二一到一。实际上我们就还是通过定义法，把线面角找到，把线面角的正弦值给它，怎么样 凸显出来之后啊，我们再去明确这个取的范围到底是因为谁在动，我发现是由 m n 在 动，而 m n 的 长度呢，又是由 h n 来决定，所以我求出 h n 的 范围，一步一步的回推到我们的 m n 的 范围，那这个问题就已经解决掉了。 话不多说啊，我们直接来看一下这里的第二题，就是我刚刚啊放的那个图。这道题目是我这几周啊，刚好有个同学问我的一道题， 他作业帮一搜啊，小圆搜题一搜，搜出来嘛，就是间隙。这道题间隙确实还可以啊，但错就错在我是个高一下学期的学生，我还没有学过间隙，你给我来个间隙是不是害我们 啊？如果我偷个懒，抄个答案上去的话，老师一眼就知道我是不是在搜题了。所以我们现在还是要去学习这个几何法。 几何法永远是我们通往间隙或者通往立体几何大成之上的必不可少的一个步骤。好，我们来看一下这个。这个题目有个第一小题，我略讲一下，不是今天的重点，这里什么三棱柱啊， abc 又是正三角形， ab 呢，又是等于二啊， c c 一 垂直于平面， abc， c c 一 呢是根号三，捯是 c b 延长线上一点延长过去啊，而且捯 b 呢，又等于 bc， 就 延长了一倍啊。 他说，假设 a c 的 中点为 e， 让我们证明 c e e 平行于 a b e 岛。 好的，那么这个问题其实并不是非常的难啊，因为现在我只需要去把这边这个中点再点出来啊，然后连接连接 b e 啊，再连接，假设中点是 m， 我 把这个 m e c e b e 给它连出来之后啊，就完事了啊， 因为现在下面这个长度是延长一倍的，所以 m e 和倒 c 之间应该是中位线的关系，那就应该是长度等于 b c， 但是又平行于 b c， 总而言之啊， m e 就 会平行于 b e c e 啊，当然，其实平行等于 b e c e 啊， 从长度上来说，它等于下方的倒 c 一 半，那就等于 b c 用于三棱柱，它就会等于是不是上方的 b e c e。 所以 这里简讲一下，就是构造这样的一个平行四边形即可啊，我就可以证明出，此时 b e m 和我们的 c e e 是 平行的， b e m 和 c e e 平行就可以推出啊， c e e 应该是平行于 a b e 岛的。这是这样的第一小问，但是第二小问，不少学生啊，都比较痛苦，它这里应该是 b e c e 与平面 a b e 岛夹角的正弦值。来，我们来看一下啊， 各位，写完第一题不要忘记啊，写第二题的时候，往往可能还有点帮助的啊，或者说可能会突破啊，我们那些思维的定式，第一小题的这个结论可能也会得给我们一点提醒， b e c e 在 这个位置 与平面 a b e 倒的夹角，我该怎么办呢？其实这道题目啊，当时我在思考的过程里面是这样来想的，如果我直接去做垂线的话，我都不知道做哪去了， b e 确实在 a b e 倒上，那 c e 我 往这个面做垂线，我做哪去了？ 根本就搞不清楚啊，所以现在就非常的难受啊，但现在我可以干嘛？我是不是可以进行一个转化？就像刚刚我们所讲的一样啊，你既然已经说出了这里是一个什么， 是不是一个平行四边形，所以现在呢，我们的这里的 m 点，还有这里的 e 点 m e 是 不就平行于 b e c e， 所以 b e c e 和平面 a b e 倒的夹角，这就等价于 m e。 有 些人说 m e 还不够好，那非常非常好啊， m e 其实还是不够好啊， me 这个身份其实完全可以再换成谁，是不是换成左侧的蚯蚓？如果你换成了蚯蚓的话，那么这个问题就相对会变得比较简单了。 首先啊，我现在过 b 点往这个面去做，垂线就是目标线是蚯蚓，目标面是 a b e 蚯红线就是蚯蚓，那我现在子线就是垂线段啊，这里的 b h， 我 完全可以过 b 点直接去做这个 a b e 蚯蚓垂线， 虽然我有一点点不太清楚啊，你会垂到哪里去，但是呢，至少是垂在，是不是我现在目力所及这个面内的啊，比刚刚一定是要好不少。所以这就是我们简化题目的一个逻辑，我可以把这里的线 移移到我想要的位置，然后再去用我们定义里面交的那个模型去画图，你的算力，你的这个计算的难度以及成本一定会降低，所以我们过 b 点做这个垂线，会得到这个 h 点，那么接下来这个三角形 b d h 就是 我此生要去 钻研的，是不是这样的一个三角形？嗯， b d h 这个三角形呢？它其实应该是一个什么样的？应该说是直角三角形， 而 b d 的 长度我是知道的啊， b d 的 长度其实就应该也是几啊，是不是也就是二？因为 ab 是 二嘛， bc 也是二啊，这边也是二，你言传一倍，那 b d 是 不是也是二？ b d 是 二过以后，那 b h 呢？ b h 呢？ b h 不 清楚，但是我可以用等体积法，我用回忆起来一个非常重要的知识点啊，叫等体积法，其实 b h 就是 什么？是不就是 b 点到哪里啊？ 就是到我们的 a b 一 岛这个三角形的面积。当我这样写过以后啊，我会知道，第二小问的突破口已经出来了， 它就应该用等底积法 v b 杠 a b 一 岛这个体积来进行转化。因为 v b 杠 a b 一 岛啊，就应该等于三分之一倍的 s 三角形啊， a b e d 啊， 就应该等于三分之一倍的 s 三角形 a b e、 d， 再去乘上我们现在的目标是不就是 b h 三角形 a b、 e、 d 的 面积啊，我是可以去给它求出来的，这个我马上再说， b h 是 我想要的东西。 紧接着啊，这个三棱锥的体积除了可以这样写以外，是不还可以写成 v b 一 杠 a b 倒，那它的体积是不可以等于三分之一倍的 s 三角形 a b 倒啊， v b 一 杠 a b d， 这个三棱锥的体积是不还可以写成三分之一倍的 s 三角形 a b d， 然后再去乘上我们的 此时的高啊，那此时的高其实就是 b b 一 啊，这我也不啰嗦了啊，因为你 b 一 作为顶点的话，它往下做垂线不就是 b 一 b， 好 吧，所以这样的话呢，两者一划等号，我只需要去把这个，这个还有这个给它求出来，那 b、 h 的 长度是不也就直接啊， 出现了那么一个人来解决就好了呀？像 s 三角形 a、 b、 e 倒这种东西啊，有点难度啊，但是我今天也写的不会很详细了啊，我就直接把这些边稍微标一标，这里就应该是二，这里也是二，而这边应该是一百二十度啊，应该是一百二十度啊， 好，那我这里稍微擦一下啊，或者说我拿蓝色的笔啊，绿色的笔啊，稍微给大家标一下啊，这里是二，这里也是二，这边是一百二十度，所以 a、 d 长度应该是二倍根号三。那么 a、 b 一 的长度呢，应该是二 根号三，对吧？它说 c、 c 一 等于根号三啊，所以应该是二根号三的勾股数啊，应该是四加三开，根号应该是根号七，所以 a、 b 一 是根号七，而 b、 e、 d 呢， b、 e、 d 的 长度应该是多少呀？哎，这里是垂直，是根号三，这边也是二，所以这里也是根号七啊。这个三角形 a、 b、 e、 d 这个三角形， 它在我们的心中就已经很明确了，应该是两条边都是根号七，谁啊？ b、 e、 d 还有我们的 b、 e、 a 啊，都是根号七，然后呢， a、 d 之间是二倍 根号三，所以这个高呢，就应该是根号七减根号三啊，或者说根号七的平方，减根号三的平方，也就是开个根号，也就是二，所以它的面积啊，就应该是二分之一，再乘上二倍根号三，再乘上一个二，就应该是二倍根号三喽， 所以 s 三角形 a、 b、 d 的 面积就是二倍根号三，而 s 三角形 a、 b、 d 呢？ 这已经搞定了啊， b h 放一放啊， a b d 呢，很简单吧，应该是二二二倍根号三的一个等腰钝角三角形，所以它的面积的话呢，应该是 根号三啊，这个我就简讲了啊，大家都会求的啊，因为它的形状是二二二倍根号三啊，这样的一个等腰钝角， 那最后一个 b b 一， 我也是知道的啊，就应该是根号三，所以上式全部给它累下来，就应该是三分之一乘上二倍根号三，再乘上我们的 b h， 再去等于啥呢？等于下面这个二号式子，也就是三分之一再乘上 s 三角形 a b d 啊， a b d 的 话呢，就是根号三，所以再乘上一个 b b 一， 于是我就非常清楚了啊，此时的 b h 的 长度应该会等于多少，是不是等于 b b 一 的一半，也就是二分之根号三， 所以我刚刚说此生要去研究这个三角形啊，搞定了啊，这里是 d， 这里是 b， 这里是 h 啊， b h 的 长度是二分之根号三啊， 那么 b d 的 长度就是二的情况下，我们就可以正确的得到这个结果啊，它的正弦值就应该是二分之根号三，再除以二，就应该等于四分之 根号三啊，所以右边的一切全部都是在为什么我们这个所谓的 b h， 也就是这个直角三角形里面的啊，这个 b 点到底面或者说到目标面的距离 啊，就刚刚那个紫色线的长度在服务啊，所以这些过程等体积法就是这样来用的。好，那还有一道题目也可以快速的说一下啊，就是这个第三题，这其实是非常新的武汉三调啊，就是高三的武汉的 一道模考题啊，完三道的质量也是非常非常高的啊，这道题目前在网上吹的也很厉害，那么实际上我觉得他做的确实不错，他把解三角形还有我们所谓的立体几何啊，都放在了一起去考，但是我们今天只看一问，就是这里啊，这个第三小问， 这个第三小问是让我们求的就是限面积，如果说你在高三的时候学会了间隙，就疯狂在间隙的话，当然是可以的，你现在上网搜的很多答案应该都是在间隙，然后说就比较难，比较难点，也比较难算，对不对？但其实这道题目啊，如果你熟练掌握几何法的话，你会写的非常非常的顺利， 因为他现在在前面两问里面啊，尤其是第二问，他让你算了一个东西，叫做 p 杠 abc 的 体积。 好吧，那这里啊，我默认各位是会的。好吧，我就直接把这个体积的公式或者说体积的结果告诉你啊， v p 杠 abc 啊，就是四分之根号十五。那么问题来了，它现在的 p 杠 abc 的 体积是四分之根号十五，让我求的是 b c 到什么，是不是与平面 p a b 的 夹角。那么我们现在根据刚刚的定义的话，应该是过 c 点做什么？是去做这个平面的垂线，这是刚刚的垂线段，紫色线段，那么这个垂足即为 h 的 话， 紧接着我们的 h b 就 应该是我们刚刚的黑色线段，也就是 c b 这个线段在 p a b 目标线在目标面上的投影。所以说我们现在的线面角已经出来了，就是这个 c， 它 bc 长的已知啊，因为这里是直角，那现在想要求这个 c， 它的正弦值的话，斜边就是 bc， 而 bc 长的已知就是根号六。 所以这道题目在第三小问里只有一个问题，就是把谁求出来，就是把 c h 求出来啊，为什么？因为 sin theta 等于 c h 比上 bc， bc 等于根号六，所以只有一个东西不知道就是 c h， 那 么 c h 到底是多长呢？第二小问告诉了我 p 杠 abc 的 体积， p 杠 a p c 的 体积恰好又是什么？根据我对于三棱锥如此之深厚的了解，它就应该等于是不是 c 杠 p a b 啊？ v p 杠 a b c 就 等于 v c 杠 p a b， 而 v c 杠 p a b 就 等于三分之一倍的 s 三角形 p a b 再乘上我们的 c h c h 就是 c 到 p a b 的 距离，也就是以 p a b 为底面， c 为顶点时候，这个三棱锥的高。所以问题再一次的减化为去求什么？是求三角形 p a b 的 面积，那么紧接着我就只要求三角形 p a b 的 面积就可以了，它告诉我 p a 等于一，这题目说的， 然后呢？ ab 等于三啊，这也是题目说的，然后 p b 呢？等于二倍根号三，所以 p a b 这三角形是一三 二倍根号三啊，是这个样子啊，所以 p a b 这三角形是一三二倍根号三，是这样的一个形式啊，那我们再不记是不是也能把它的面积给它求出来，只需要稍微调用一点点我对于解三角形的了解即可。此时对于这个东西而言，我们假设这个角为 r 法 啊，假设这个角为 r 法，那么 cosine r 法就应该等于多少？ ok， 这地方稍微差一小嘴儿啊。我觉得这个 r 法我选的不好， 因为我发现啊，这三条边里面有一有三啊，有二倍根号三，所以我会选择这个角为 r 法啊，因为这是 a 嘛，这是 p 嘛，然后这边是 b 啊，我会选角 a， 或者说角 p a b 为 r 法。那么此时的 cosine r 法就会等于啊，一的平方加上三的平方，再减去二倍根号三的平方，也就是减去一个十二，再除以二乘以一乘以三啊。 上面是十减十二就是负二啊，下面就是六，所以 cosine r 法等于负的三分之一，那么 sine r 法其实就应该等于正的三分之 二倍根号二啊。这是利用 cosine 加 cosine 等于一即可。于是现在的 s 三角形 p a b， 利用减角形里面的三角形面积公式，就应该等于二分之一乘以一，再乘以三，再乘上三分之二倍根号二。所以这样得到的结果啊，应该就是，呃，削掉一个二， 再写了一个三，应该就是根号二，于是四分之根号十五啊。左边这两坨是一样的。第二小问告诉我，等于四分之根号十五，那就应该等于三分之一再乘以根号二，再乘上 c h， 所以 c h 的 话，应该等于 三倍根号十五，再除以四倍根号二，也就是八分之三倍根号三十。 我刚刚最开始说的 sine theta 等于多少？ sine theta 是 不是应该等于 c h， 再去比上我们的根号六， c h 是 八分之三倍根号三十啊。所以这样除上一个根号六过以后，这个 sine theta 就 应该是等于 八分之三倍根号，所以这道题目的答案一定是正确的啊，你可能间系得到结果也一定是匹配的。但是如果我去用的是几何法，就是我们高一下期刚学立体几何的这一套方法。用的是定义法的话，你会发现你的步骤会非常非常的少 啊，会在前三道大题里面为你节省下来非常多的时间啊，这是一件非常好的事情。 所以定义法求解我们的先面角，大家一定一定要学明白啊，或者说一定一定不可以去， 既希望于间隙解决所有的问题，而应该在这个阶段去把这个方法也学扎实，这是第一步，第二步，再去学间隙之后两条腿都学好了，你才能在立体几何的世界里面走得比较安稳，走得比较顺利啊。 好，那么接下来我们来看第二块啊，在大体里例题几个最喜欢考的三大角之三就是我们的二面角，那么今天我主要讲的方法叫做三垂线法， 他也有定义法啊，但定义法有些时候可能没有那么的好用了啊。三垂线法呢，我认为是非常好用的，还 有一些更快的方法，比如说投影面积法，那今天我们可能提不太到啊，如果需要的同学可以啊，联系我的后台，然后我们再去聊这个问题， 再去分享，共同探讨这样的问题就好。那三垂线法求二面角是什么呢？我们先把二面角了解一下啊，这个定义我觉得还是比较简单的，有笔记本电脑一样的啊，这样掀开过一个状态，其实就是一个线 l 啊，然后呢，向两边出发，是不是有两个半平面 r 法和贝塔，那么这个形状就叫做二面角啊，这个两半平面就叫做二面角的面啊，这个没有问题。紧接着我现在如果选择了啊，一个点 p， 就是棱上选个点 p， 然后以 p 为垂足，这样做，这样做啊，就全部是垂线做了 p a 还有 p b 啊，其实都是射线喽，那我们现在做了射线 p a 还有 p b 啊，它们之间夹这个角，叫做二面角的平面角 啊。其实到最后啊，大家说话都已经开始模棱两可了，或者说的没有那么严谨，其实我们最终在求二面角的时候啊，很多时候都是在求二面角的平面角，二面角这个三个字，其实只代表上方的那个图形，仅此而已 啊，他其实并没有那么那么重要啊，重要的大小其实是附托于或者说赋予我们的二面角的平面角。所以其实我们讲的定义法呀，或者说三垂线法，都是在两个平面中啊，去寻找我们的二面角的平面角。那什么叫三垂线法啊？这是今天的重点。三垂线法是这样的啊， 我们现在已经有了这样的两个平面，阿尔法还有贝塔啊，然后上面呢，却有着所谓的比较糟糕的 p 点和 q 点啊， 为什么这么说啊？因为如果说是比较好的 a 点和 b 点，它应该是这样的一个效果啊，就我选择了一个 o 点之后啊，做了一条垂线， ok， 就是 垂线，再做一条垂线，这边就是 b 点，那么这样的话， a o b 就是 二面角的平面角，这没有问题。 但实际上呢，我们现在的 p 点和 q 点，或者说大多数想把题目变得稍微难一点的题目，他都会去把这里的 p 点和 q 点给它错开。 也就是说，如果我过自己的 p 点啊，去做这个棱的垂线，哎，会垂到这里的 m 点，我过这里的 q 点去做这条棱的垂线，会垂到这里的 n 点。怎么说？错位了？ 那错位其实也有方法去解决啊，就比如说我可以去做平行线嘛，把 q n 平移到左边这个位置，是不是也行 啊？但这就比较麻烦嘛，我要画好多条线啊，但我可以用稍微简单一点的方法啊，或者说更加直接的方法去解决这个问题。怎么做的呢？是这样的啊，先过这里的屁点，直接一条擎天柱就立在下方的 背它上啊，就 r 放的屁，直接做一条垂线，垂直于背它。 r 放的屁做一条垂线， p h 垂直于背它。 h 为垂足的话，这是第一条垂线。三垂线，第一条垂线先 垂面，紧接着我过这个 h 点，再做一个 h o 垂直于谁？垂直于我们的交线，也就是我们的棱 l 啊， 做这个交线 l 的 垂线，这样垂完之后得到了 o 点之后再相连。连什么？连？最开始的 p 点和 o 点，那么现在的这个角就是我们的 p o h， 这个角就是一定是我们的二面角的平面角。 为什么这么说呢？因为我们的 p h 垂直于底面贝塔，而 l 呢，又在我们的贝塔里，所以 p h 包怎么样的包和我们的 l 是 垂直的，而我们的 h o 呢，又是我自己做的，垂直于 l， 这说明什么啊？当然还要补充一些啊，就是 p h o 相交于 h 点，并且我们的 p h 和 h o 呢啊，又都在我们的 p o h 这个平面里，所以我就可以证明 l 应该是垂直于平面， p o h 的 l 垂直于平面 p o h 之后的话，我们现在的啊， p o 和 o h 都在这个平面内啊， 那就可以说明我们现在的 p o h， 它应该是和我们的 l 垂直，之后就可以说明我们的 p o h， p o 和 o h 就是 都垂直于我们的。什么 是不是我们的这个公共线，或者说我们这个棱啊，公共棱，于是 p o h 啊，就应该是我们现在的这个二面角的平面角 好吧，所以我们现在就可以非常了解三垂线法的做法，它应该是这样的一个步骤，一垂面，二垂棱，三相连角 b 线啊，那么第一个就是我们的红线啊， 一垂面，第二个就是我们的绿线，就是二垂棱。垂完过以后啊，我们就会把最开始的 p 点和我们最终的这个垂足 o 点啊给它相连，那么角 p o h 就 应该是我们的什么二面角的这样的一个平面角啊。 那么学会了这个方法之后啊，我们来看一道题，这道题没记错的话，应该是宁波市啊，宁波九校这个非常著名的联盟的一道期末考试的题目啊，在三轮锥 p 杠 abc 里面， pa 等于 bc 啊，都等于一 ab 等于根号三 好数字标完了啊， p a 垂直底面， abc 平面， p a b 只垂直于 p b c， 那 么 m 是 pc 的 中点，求证 ab 垂直于 bc， 这个其实应该并不是很难啊，也不是我们今天的重点啊，我们就稍微说一下就好啊，其实我现在只需要去做这里的 a h 的 这样一条线就好，为什么？因为题目里面出现了 p a b 垂直于 p b c， 这是一个面面垂直，看到面面垂直，找交线去做交线垂线，这是一个雷打不动的切入点啊。当我把 a h 做出来之后，这条线一定会怎么样？根据面面垂直性质定律，它会垂直于 p b c， 那 么它垂直于 p b c 的 话， b c 这条线就会垂直于 a h 啊。 bc 垂直于 a h， 这是第一点，而 bc 还会垂直于谁？还会垂直于 pa？ 所以 简写就只要这样写就好了啊啊，让大家感受一下即可。 为什么还垂直于 pa？ 因为 pa 垂直于 abc， 所以 pa 还会垂直于 abc 的 所有的线，包括 bc， bc 垂直于 a h， bc 也垂直于 pa， 再结合它们俩相交，它们俩都在哪？是不是都在 pa 里？就可以推出我们现在的这个 bc 应该会垂直于左边这个平面，是不是 pa b， 那么 b c 垂直于 p a b， p b c 就 会垂直于 p a b 里面所有的线包括什么？是不是包括我们的 ab 啊？ 这不是今天重点啊，我们稍微说一下就行，就可以证明出 b c 垂直于 ab 啊，证明线线垂直，实际上是要证明线面垂直。 ok， 那 么接下来看一下今天的重点是这个。第二小问，让我们去求解的是 p a b 和 m a b 的 夹角，那如果说我要间隙的话，当然可以间啊，你去搜一下，你就会发现怎么去间隙的。那现在我们来看一下啊，如何去用三垂线法去解决。为什么要用三垂线法？因为你现在的 p a b， 如果你去过 p 点做这个公共弦的垂线，会垂到 a 点。如果你去过 m 点做这个公共弦的垂线，你会垂到 a b 的 啊，某一个位置啊，可能是中点，对吧？我没有详细的去探究啊，但归根结底，它和 p 点做的垂线，它不再交于同一个点，所以这个二面角的平面角没有那么那么的好找。那怎么办呢？那我们就可以开始使用三垂线法 来。我当然可以去使用 p 点，也可以使用 m 点，但如果我要过 p 点做 m a b 的 垂线的话，来一垂面嘛。 如果选择了 p 点，你就要往着另一个面，就是 m a b 去做垂线，你会垂到外面去。但是如果你过 m 点，你选 m a b 的 步桨去垂直于 p a b 的 话，很简单，你只需要去做 p b 的 垂线就可以了， 这个非常好做。因为第一小问证明了 bc 垂直于 a b p 这个平面， 所以现在其实你只需要去做 b c 的 平行线，就会得到 p a b 的 是不是垂线。 于是我会把这里的 p b 的 中点 o 点给它点出来，那么 m o 就 会垂直于 p a b 这个平面， m o 垂直于 p a b 这个平面， 这就是 e 垂面已经到位了。紧接着我只需要再去做这里的 a b 的 垂线， 谁会垂直于 a b 啊？ p a 不 就垂直于 a b 吗？所以现在 o 点是中点，我只要再把下面的这个 h 点，也就是 a b 的 中点再点出来，这条线是不是就会垂直于底下的 a b c？ 那 当然也会垂直于 a b 喽。所以一垂面是做出了 m o， 二垂棱是做出了 o h 三相连，就是连接这里的 m h。 于是现在的二面角的平面角被我找到了啊，就应该是这里的 m h o 这个平面啊， ok， 本来看不到线，应该用虚线来画啊，怕各位看不清，所以我画成了一个实线。那么这里就应该是我们的二面角的平面角，是不是 c 塔？ 于是你现在让我求这个夹角的大小啊，我就把这里的 m o 啊， o h 啊， m h 啊啊，反正三个里面搞清楚，两个不就行了吗？那他告诉我， bc 等于一啊， 那 bc 等于一的话，中位线 m o 的 长度是不是就应该等于二分之一来， o h 也是中位线啊，你告诉我 pa 也是一，所以 o h 它不就也应该是二分之一吗？而且这里还应该是垂直的，所以这个图画出来 我都画丑了，它应该是一个什么？是不是等腰直角三角形？也就是说，此时的 m h o 应该是一个二分之一，二分之一等腰直角三角形。那 c 塔在这个位置啊，不是四十五度，也得是四十五度了啊，所以这道题目的结果应该是四分 之派。所以这就是所谓的三垂线法啊，本来是 p 杠 a， b 杠 m， 那 p 点不好用，直接被我排除在外，我就用 m 点，一垂面，二垂棱，三相连，那我们的二面角的平面角就直接浮出水面。 好的，那么今天的视频到这里就结束了，数学想提分，关注宋老师，点赞收藏视频，高中三年，我将陪大家一起冲刺高中数学，记住哦，关注宋老师每个视频，送大家一个解题小妙招。

哈喽，同学们大家好，来到了 b q 二第八章立体几何初步八点六点三，平面与平面垂直。好，来到了我们的本章的最后的一节课哈，也是我们的这个垂直的最后的一节课哈，面面垂直的关系 好，我们通过呢。跟之前一样，我们说除了线面垂直是一个特例，他得单独定义之外，别的都是先定义角。我们这里看一下哈，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。同学们说，哎，没看懂什么意思？ 从一条直线出发两个半平面，什么叫半平面？我这个地方这条直线截了这一边，你就不要去延伸了，平面是往四周 无限延伸的，对吧？那这边不要延伸了，往这边延伸一半的平面叫半平面，这个东西哈，半平面和平面不要觉得它很复杂，我们只需要去类比半平面是什么射线， 那么平面呢？就是直线好不好？那么我们的这个另外一个呢？你看这边被塔这个整体所形成的图形，它就叫做二面角， 那么平面呢，会有两个角，也跟我们的直线是一样的，直线我们会有什么？平面角？它实质上是两条什么两条射线组成的角，它是有 零度到一百八十度的，对吧？那么另外一个呢？我们两边延伸，它又变成了什么？变成了直线，它的范围就是零到九十度，这个叫直线与直线所成角。所以其实我们的直线也有两个，我们就可以完全类比。 说很多时候哈，我们在画图的时候，我们都可以这样画啊，这个是非常重要的一个技巧好吧，比如说我们画这个角度的一个侧面，他就是什么，如果是平面，我们就画成什么，画成直线，如果是二面角就是半平面，我们就画成这个射线啊，就这样子。 好，这个叫二面角，那么这条直线呢？叫做二面角的棱，那两个半平面呢？叫做二面角的面哈，整体的整个东西叫做二面角。好，棱为 a、 b， 面，分别为阿法和贝塔。棱是什么？ a 和 b， 记作什么呢？记作阿法 a， b， b， 就是 说 我用这边的一个面，然后呢这个 a、 b 这条棱再加上另外一个面来做命名啊，这是一个命名的规则。那么有时为了方便，也可以在阿法和贝塔里面 棱以外的半平面的部分分别取点 p 和 q， 然后将这个二面角记作二面角 p， a， b， q， 那 同学们说为了方便它不方便呢？我，原来阿法 a、 b 那 个贝塔不挺好的，我还得找两个点，找两个点之后，这两个东西有啥区别吗？对吧？那么这里问题来了哈， 我们为什么要这么做呢？我们要有背景的，比方说我们看一下我们的正方体，那么比方说我们要去形容这个二面角，绿色的两个组成的一个二面角，好吧，那假如我们要使用平面的方式，我们就要写成这样子，对吧？ a， e， d， e， d， a， 一 杠 a， d， c， d， 然后呢，我们如果取点的话呢，就 a， e， a， d， b。 所以我们会发现什么问题啊？我们是要看上下文的，刚才我们要找这个点 p、 q， 我 们当然不去找了，对吧？对吧？而且刚才呢，我们有个面，这个阿法、贝塔现在没有嘛， 所以呢，当我们有这个点，然后这个面也没有做一个命名阿法、贝塔干嘛的时候，我们使用这样的方式是会方便简洁很多的，这个呢就是关于二面角的这个命名的法则的问题，对吧？ ok， 接着呢，我们来看刚才我们是定义了什么东西是二面角，我们还没有讲这个二面角多大，接下来我们看生活当中我们常说把门 开大一点，那这个是什么大呢？我们会知道哈，刚才定义了之后，会知道这个门跟我们的这个平面可以形成一个，比如说这里截住半平面，那这个就能形成什么？门面和墙面的一半就能形成一个二面角，那么这个二面角多大呢？就会涉及到这里的问题。我们来看一下 在二面角阿法 l 贝塔当中的棱上面任取一点，又哪任取一点，哪个都不重要， o 以点 o 为垂足，在半平面阿法和贝塔内分别做垂直于棱 l 的 这个射线 o a、 o b 好 垂直于这个垂直哈，不是 o a 跟 o b 垂直啊，这个不一定，我是 o a 和这个 l 垂直， o b 和这个 l 垂直啊，对吧？那么则射线 o a 和 o b 构成的这个角 a、 o b 就 叫做二面角的平面角，这个东西是不是就 跟我们的什么跟我们的这个平面角很像，呃，一样的，对吧？这样子二面角的大小呢？可以用它的平面角来做度量，好吧，所以呢，我们的这个平面角就是来量这个二面角的 二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。平面角是直角的二面角，叫做直二面角，你看我们先花很长的时间来定义什么是面面所成角，然后呢九十度就是 直二面角呗，就这样子，二面角的平面角的取直范围是零到一百八十度，零可以取，就是他们闭起来啊，像嘴巴闭起来这样子，一百八十度像，像我说的，其实就跟我们的这个平面角一样的，如果我们从侧面图去看，就是一样的东西啊，对吧？好， 接着我们说平面与平面所成角，这个呢，课本在我们的下一本书选 b 一 那里才定义呢？很多同这很多老师，包括很多教材编辑教材的人都表示不理解，那我其实我就直接在这个地方讲了，因为其实关联度很大，我觉得没必要 平面阿法和贝塔相交，我们刚才是干嘛？半平面就这里是没有的，这里是没有的，那现在我们形成了四个二面角，如果是平面的就形成了四个二面角，我们把这四个二面角当中不大于九十度的二面角 称为平面阿法和平面贝塔的夹角，所以我们说干嘛用直线去类比就可以了，一模一样。那么这个地方呢，我就先做一个我们现在所接触到的所有所成角的定义， 因为呢，我们并不需要通过背这个角度的定义来记住以下五种，其实一共是六种，但是呢，我们的六种在我们的选 b 一 那里呢，我们做一个定义，因为还缺了一个。好吧，那么这个地方为什么在这个地方我们先讲一次，后面又总结一次呢？因为就真的太多同学在记这个东西了，这个鬼东西了， 永远选举所成角当中的叫小指，我今天提一个点哈，就无论你们学数学也好，学英语也好，你一定要相信别人是有规则的， 对吧？不要认为数学家闲着没事干，是不是他是正常人，而且科学家最喜欢偷懒啊。数学，科学，学科。直线与直线所成角范围是零到九十度，为什么呀？因为我们说一条直线，一条直线 会形成一个角，两个角，那我肯定是不要这个大的角，我贪麻烦吗？是吧？所以我要所成的角是小的，所以是零到九十度，这个不用记。 接着，如果，如果是向量与向量呢？向量是有这个点的，就是不是两边延伸的，他们的定义是拖到同一个起点，那此时是不是也可以这样子，所以他是可以零到一百八十度，那同样的，其实他也有一个大于一百八十度的，肯定不要大的，就这样子。 然后呢？直线与平面直线与平面，我们怎么定义的？我们的上一节课直线，我们的有一个摄影，对吧？投影，然后接着呢，这次也形成两个度，那我为什么，对吧？又是小的那个角度吗？简单的那个，然后就到了我们的这节课的半平面，对吧？半平面，我们说什么呢？我们就通过我们的平面角来做理解，对吧？ 射线，射线啊，这个是 o 啊，这个射线是一样的，这个就是半平面，而我们的平平面的整一个平面呢，就是直线啊，两个是可以完全对照的啊，这个地方呢，也是一个小的角，一个大的角， 平面一个小的角，一个大的角，所以这个东西呢，我从来一个都不可能背的哈，但我看到有些同学背的很辛苦啊，这个锁上角，这个锁上角背完之后呢，还会错啊，太夸张了，这个东西背来干什么呢？对吧？不，不要浪费这么多时间在这些东西上面所找到它的规律 啊，对吧？就是你们一定要知道，找不到规律是一定是你的问题。就像以前我们工作的时候就是在大公司，你如果觉得大公司的流程全都是很麻烦，很繁琐，都是有问题的，那一定是你的问题， 对吧？你一定要有这样的精神。很多同学看我的课，像我说的，如果我的课一百个人里面有五十个，有六十个没看懂，那么一定是我的问题。但如果有九十九个没看懂，有一个没看懂，那你就要知道，那一定是你的问题啊，对吧？这个是一个很简单的一个东西，我们一定要去理解对方啊，不要去这样死背， 所以这些东西节省很多的一些功夫，不要浪费时间在这些上面，这样子， ok， 我 们看一下利益。下列命题当中是真命题的，有两个相交平面组成的图形叫二面角呢，这个当然是错的， 一面直线 a、 b 分 别和一个二面角的两个半平面垂直，你看我们怎么画？这样的问题，我们要处理的时候怎么画两个半平面，还要去画平面，太难画了，对吧？太耗费时间了，用射线来表明就是这样子的，对吧？这个阿法， 这个贝塔，那我们会换另外一个颜色的笔，或者说画粗一点来表达，然后一面直线 a、 b 呢？分别跟它们垂直，这个是，哎，这个画细一点，对吧？这个是 b 啊，这个是直线，好吧，这个就清晰了，这个垂直，这个垂直则 a b 所成的角与这个二面角的平面角相等或者互补， 我们来看一下是不是的他们相等的相乘的角是这样子，这个，那这个是什么关系？互补，那有没有可能是那个什么？有没有可能是相等啊？有，比方说这个情况下小的，对吧？那这个时候，这个这个， 那这个时候呢？这个角和这个角就是相等的关系，所以我们怎么找他关系？怎么画，这样用剪图来画就可以了，明白吗？然后呢？所以这个是对的，这个是错的。 二面角的平面角呢？是从棱上的一点出发，分别在两个半平面内做射线所成角的 啊？半平面内所做射线，刚说做射线所成角的最小的角啊，那当然不是啊，这棱上出发干嘛要垂直，对吧？不是所成角的最小角是一定是垂直，那个是确定的，对不对？垂直，所以这个是错错的。二面角的大小与其平面角的顶点 在棱上的位置没有关系啊，这个是对的，对吧？我们说这个顶点是可以任意取的，哪里都可以，所以这题选二和四。然后接着呢，就是我们面面垂直的判定，那其实这个就是我们说的，我们定义了二面角，我们只要是九十度就可以了。那我们这个地方说一下有些什么样的情景呢？比方说 教室里面的墙面，墙面所在的这个平面与地面所在的平面相交，他们所成的这个二面角是直二面角，我们常说墙面直立于地面上，那么一般的两个平面相交，如果他们所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面互相垂直 啊，记作 r 法垂直于北塔，对吧？那么这个地方同学们说啊，半平面，半平面已经不重要了，因为它如果是垂直的状态呢，形成的两个半平面它都是九十度，对吧？那么画两个互相垂直的平面的时候呢？通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直。我们来看一下 什么意思啊？画两个互相垂直的平面的时候，这个就会比较有立体感，对吧？这个是我们的画法。 ok， 然后接着我们看建筑工人呢，在砌墙的时候，常用铅锤来检测锁器的墙面与地面是否垂直，如果系有铅锤的系绳紧贴墙面，什么意思啊？就说如果我们的这个，呃，木工师傅，我们要检测这个墙面 是否垂直于地面，他怎么做的？他垂下来一个这样子的，如果我们说右边的这个面，如果这条红色的绳子贴紧了这个墙， 那么我们就能认为这个墙面是什么是垂直的哈，这个方法我们说明了什么样的问题？因为我们刚才说我们定义了二面角，是啊，那个垂直是二面角，当二面角为九十度的时候，但是如果我每个场景都要去计算二面角等于九十度，就太麻烦了，所以我们有一个特别的判定方式， 那么这种方法告诉我们，如果墙面经过地面的垂线，因为铅垂下来，这一个红色的线一定是垂线， 那么如果墙面经过他的垂线，如果他紧贴的时候，就说明他经过，那么墙面就可以判定与地面垂直，这个是这样子的一个应用，类似的结论呢，在长方体当中可以发现，比方说在右图的长方体当中， 我们的平面 a d、 d e、 a e 啊，也就是说我们左手边紫色的这个经过了平面下面的这个绿色的垂线 a a、 e， 对 吧？这个 a a、 e 是 底面的垂线，而左边的这个面经过了它，我们就已经可以判定它垂直啊这样子的东西。所以 一般的我们有下面判定两个平面互相垂直的定律，如果一个平面过另外一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 符号语言表示为，对吧？这个就比较简单直接写出来。好，我们看。第二，在正方体当中求证 我们的平面 a 撇 b d a 撇 b d， 紫色的这个和平面绿色框的这个是垂直的关系，所以我们要很灵敏的看到哪些直线，我们是最好找的，应该能看到什么 b d， 我 们只需要去证明 b、 d 是垂直于什么？垂直于我的这个面 a c c 撇 a 撇的，而我的 b、 d 是 在这个平面 a 撇 b d 上的，那么这两个条件就足以让我去证明这两个平面是垂直的关系，所以这里其实只有两个，两个条件就能推反，而这个地方要五个，对吧？ 它垂直于两条相交的，而这个垂直这个 a a 一 撇呢？又垂直于它， a a 一 撇垂直于它呢？又要多一个步骤，我们要说明， a a 一 撇垂直于底面，它是底面的一圆，对吧？然后呢？这两条相交于点 a， 然后都属于这个平面，对吧？好，那这个地方在正方体当中， 然后呢，所以这个在正方体的对角线的关系， a、 c、 b、 d， 又因为 a、 a 撇和这个 a、 c 相交于 a， 而这两个呢，都在这个平面上五个条件，所以 b、 d 垂直于这个绿色的这个平面，而又因为又因 b、 d， 它在这个面 a 撇， b、 d 上面，所以这两个平面 垂直。看一下我们的表述哈，基本上这个表述是没有问题的，那么这个表述的语言它是精简的，怎么样去减少我们的书写？这个很关键，不要密密麻麻写一堆文章，然后还有一些点去是遗漏的，没有用的哈，数学不要嫌字多，一定要去精准、严谨、简洁就 ok 了，好吧， 然后看第三，如图，已知 p、 d 垂直于正方形 a、 b、 c、 d 所在的这个平面连接这些啊， p、 d 是 垂直的，它是一个 则一定垂互相垂直的平面。有几对？这里面就很考察我们有没有掌握到我们刚才的这个定律，我们怎么去找，我们怎么去找？我们一定要去有这个条理的去找。怎么样有条理去找呢？我们通过什么？因为 b、 d 垂直于这个里面，我们先通过线面，你看，我们通过线垂直于面， 然后呢，我们去找所有过 p、 d 的 平面来垂直于这个面， a、 b、 c、 d， 这样子我们就能做到不重不漏，对吧？过 p d 有 什么？有 p a， d， 有 p b d， 有 p c、 d， 所以 这个地方呢，我们找到了三个面的垂直关系，接着我们来看，同理 我们的 c、 d 和 ab， 它都会垂直于 p a、 d， 所以 那我们的 c、 d 和 a b， c、 d 和 a b 啊，这两条对吧？是平行的，它都会垂直于旁边的这个 p a、 d， 那 这里具体我们就不做证明了，对吧？这个也比较简单的证明，这个是直角，这个是直角，那么这个呢，我们就通过这组作为第二组 来找经过 c d 和 a、 b 的 都行，有什么有 p a、 b c， 有 a b、 c、 d 重复的，我们最后再排除掉它，我们最后再排除掉它。 第三组我们的什么呢？ a d 和 b c 啊， a d 和 b c 平行的两，这两个它会垂直于这个 p d、 c 的 这个面，那么这个时候呢，我们又找过 a d 和 b c 的 面，有三个，最后呢我们看 a c 垂直于 p d， b 啊，这个是很多同学可能会遗漏掉的啊，这个 p d、 b 和这个 a c， 那 么这个时候呢，过 a、 c 的 面会有两个，对吧？底面以及 p a c， 那 么所以这个地方怎么一共七对呢？三三三二，一共十一，那我们看一下重复的 p a， 这里出现了一个重复， 是吧？然后接着呢，这里出现了这三个都是重复的，然后我们来看一下还有什么啊？ pdc 啊，这个 pdc 和 a p d， 那 么和这个 p c、 d 这两个是重复的，所以 一二三四是重复的，所以十一减四等于七，我们就找出重复的部分就可以了。 所以这道题呢，关键要看我们是怎么样去把它分成四组的。如果我们要做穷举，我之前我说穷举也是有技巧的，同学们穷举也是有技巧的，所以我们要知道这个东西，我们在选 b 三就会特地的去讲这个点啊。 ok， 我 们的例四继续是课本的立体，如图， a b 呢是我们圆 o 的 直径， pa 呢？垂直于圆 o 所在的这个平面 啊？ pa 又是一个 pa， 是 垂直的 c 呢？是圆圆周上不同于 a b 的 任意一个点哈，随便的一个点，没有规则求证。我们的平面就是绿色的这个平面， 垂直于平面， b c p b c 啊，红色的这个平面，我们来想，当然，我们很容易能想到一定是跟什么相关，既然它任意，一定是跟我们初中所学的，我们直径所对的圆周角是九十度， 这个是相关的，对吧？那接着呢，肯定又跟 pa 平行于这个平面，那我们可以干嘛啊？ p 垂直于 pa， 垂直于这个平面，它就会垂直于 bc， 所以呢，我们就会知道这个是垂直的，就 bc， 它会垂直于 ac， 而 bc 呢，也会垂直于 pa， 那 这个地方呢？要去单独说明啊，在这个这个地方要有个证明，在这个地方，对吧？然后我们这两个相交 于点 a， 对 吧？然后这个和 pa 都在我们的 p a， c 上， 对吧？所有的这些，我们就能推动五个条件哈，这里两个哈，我们就能推出来 b c 垂直于这个面， p a c， 然后再加多一个什么，再加多一个 p c， 它包含于这个平面 p b c， 所以 得到 p a c， p b c。 平行 整个思维的脉络。你看，先这里拿整个思维导图，先从这里推出我们的这个这个结合这四个条件，我们得到了平行于平面，平行平面，再加多一个 b c， 得到了最终的，你看这个层级要很清晰，好吧，所以是这样子的一个东西，我们看一下， 直径所对圆珠角为直角，所以又因为，然后相交于 a， 所以 b c 垂直，平行垂直于这个平面 b b a c 又因为 p c 包含于这个面， p b c， 所以 这个很清晰很简洁的这个表达的过程，对吧？ 面面垂直的性质定律，面面垂直，我们来看它有什么样的性质定律。我们有以下平面与平面垂直的性质定律。第一， 两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另外一个平面垂直，两个平面是垂直的关系。如果有一条直线 l 它垂直于谁？垂直于交线， 那么这条线呢，就会跟另外一个平面垂直。好吧，符号语言表达为这四个条件啊，同学们啊，再次提醒，不要被这些会发现，好多好多，是吧？我们说理解就可以了， ok， 面面垂直呢，还有以下的这个性质定律，我们去拓通一下。第一个呢，垂直于同一个直线的两个平面平行， 如果一条直线垂直于一个平面，那么其所有平行线也都垂直于这个平面。我们来看一下模型。首先我们来看一下第二个结论，如果一条直线垂直于个平面啊，这个是跟这个平面是垂直的关系，其所有的平行线，所有的平行线都垂直于这个平面， 好吧。第二个呢，是垂直于同一条直线的两个平面垂直于同一条直线，这个或者这个都一样，两个平面是平行的， 那么所以这两个结论呢，告诉我们很重要很重要的一个东西就是什么呢？这些性质，我们会发现一个一些一件事， 相对比线和面的平行关系，我这样也行，这样也行，这样也行，对吧？我的课桌我拿着一支笔，这样子也是平行，这样子也行，这样转都可以，所以没有办法，去干嘛呢？去锁定 啊，用了一个很通俗的词语，虽然一个平面的平行线和垂直线两者都是无数条的，但是垂直线的方向是确定的， 这个很多时候像我们玩的套圈圈，对，套圈圈啊，或者那些积木啊，对吧？一根棍子，然后套进去，我这根棍子我可以放在这里，可以放在这里，可以放在其他地方，但是只要是这样放它上面套的圈圈的这个方向就是 固定的，所以这个呢，我们有锁定的意义。这个给到后续我们解决平面的问题提供了重要的思路， 就是我们在后续的呃，那个选 b 一 的第一章，我们就会知道怎么去做平面的问题呢？我们要用法向量，就是不是用它平行的向量，而是用一条法向量，到时候就会讲这个问题，所以这些呢，都是我们一些理论的基础，好吧， 接着我们看例五，如图，已知平面 alpha 垂直于平面 beta， 直线 a 呢，也会垂直于 beta， 那 这个 a 呢，是不在平面 alpha 上的，判断 a 与 alpha 的 位置关系，当然我们从感官上面来说，从空间感来说，就知道它是平行的关系，那么我们怎么证明呢？我们来看一下，设 ar 加贝塔等于 m 啊，我们这个地方，因为在题目当中上面没有讲在阿法当中呢，做直线 b 垂直于 m 啊，我们做一个 b 垂直于 m， 那 此时因为阿法垂直于贝塔，而且呢 b 包含于阿法，我们哪里的结论就是前面我们说一个平面内垂直于它们相交的棱 的这条直线啊，它会垂直于另外一个平面呢？前提是两个平面垂直，所以我们就会得到 b 会跟 beta 垂直，而我们知道 a 跟 beta 也垂直。那前面又有结论，垂直于同一平面的两条直线相互平行， a 平行于 b， 然后接着我们就知道了 b 在 阿法里面，然后呢， a 不 在阿法里面，是吧？那么我们就能得到 a 会平行于阿法，简单的一个证明，对吧？我们会知道这个结论，然后是我们的例六，如图，已知 p a 呢，垂直于平面 abc， 底面 平面 a p a b， 就 绿色的这个面垂直于平面 p b c。 求证 b， c 垂直于平面 p a b。 当然我们这个条件，两个条件，这个条件应该一眼就知道 p a 垂直于 b， c 是 这样去使用这个条件的，那这个呢？我们要想一想。 那么从感官上来讲，我们是很希望能找到 a b 和 bc 垂直的，我们非常希望找这个，对吧？但事实上，我们没有条件能做到这样子的事情，我们就要用什么样的心智。我们就要过 a 做一条垂线， 那么这条垂线就会垂直于这个，能，这个时候我们就能运用这个条件，那么比方说这个是 d， 那 么 a， d 就 会垂直于这个平面 p b c， 那么进而 a d 就 会垂直于 bc， 那 么我们 bc 用哪两条直线来证明这个垂直的关系？用 a d 和 ap 啊，这两个相交的直线，对吧？我们要搞清楚。所以呢，过点 a 做 a， d 垂直于 p b， 垂足为 d 啊，这应该要加多一个垂足为 d， 对 吧？因为平面 p a b 加平面 p b c 等于 pp 啊，这是它们相交的一条能，然后呢？ a d 呢？又在这个平面 p a b 上面，所以 a d 呢？呃，会 垂直于我们的 p a p b c， p b c 啊，那接着呢？我们的 b c 在 这个里面，所以 ad 会垂直于它， 好吧，那这个就很好使用了。 pa 和 pc 的 关系，所以这里一个条件，两个条件，加多三个条件，三个条件，四个条件，五个条件，一共五个条件，我们就能证明，对吧？这个 b c 和这个平面的垂直关系。 好，这个就是我们的这节课，我们做一个总结，我们前面说了，我们的线线垂直，线面垂直，对吧？然后呢？面面垂直，两个平面所成角为直，二面角， 然后呢，如果一个平面过另外一个平面的垂线，这个是判定的方式，对吧？我们通过线面垂直来判定面面垂直，这本身 特殊，这本身也是一个判定方式，我们可以通过求得他们所称的角是指二面角，但这个东西呢，它更麻烦，比起这个要麻烦的多啊，对吧？所以我们一般用这个， 然后它的性质会有什么呢？线面垂直，两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，就他们的能，那么这条直线与另外一个平面垂直，我们会得到这个性质是关于什么？线面垂直，所以这是不是又有一个路径？ 我们想要知道线面垂直的时候不一定要通过线线垂直，我们这个路径他也走得通，对吧？像我们之前的立体，所以这个网络也是要慢慢去搭建，去搭建起来哈，这个就是我们的这节课，也是结束了我们的第八章的一个学习啊，我们下节课再见，同学们，拜拜。

十分钟带你拿下考试必考的垂直，证明所有题型！一个万种方法带你解决线面垂直、线线垂直到面面垂直的所有题型。听完我这节课啊，考试全是人齐分数，嘎嘎齐！首先是线线垂直问题， 咱核心就是找一个线面垂直，比如说我要证这个直线 l 与 bc 垂直，那 l 和 bc 这个异面直线题目一般不会告诉你它很坏。咱们通过证明 l 垂直 ab 以及 l 垂直 ac， 这样整个 l 是 不是就垂垂平面 r 法了，从而得到了 l 垂直另外一个直线 bc。 那如何正线面垂直呢？咱就是要找两个线线垂直，特别好找，比如我要正 l 垂垂平面 r 法，那咱就在 r 法里面找两个相交直线 m 和 n， 它们分别和 l 垂直 l 垂垂 m， l 垂垂 n。 然后呢，大体你再稍微说一下， m、 n 都在 r 法里面，同时 m 和 n 呀，是相交直线的，这样直接得到了 l 垂垂 r 法。 而最后这个面面垂直啊，更简单了，咱直接找一个线面垂直，在其中一个面里面找一条线和另外一个平面垂直。比如咱找到了哎， a 垂直阿尔法，然后这个直线 a 又在贝塔里面，那直接阿尔法垂直贝塔 这些方法适用于所有的考试真题以及高考真题。那接下来我们实操一下，赶紧截图呀，愣着干嘛嘞！ 首先是线面垂直套路，就是找两个线线垂直，所有的题啊，都是套路，我只要在平面里面找两个交线都和这个直线垂直，那就线面垂直了。好，直接看题，第一题给了个四棱锥，然后底面 a、 b、 c， d 是 菱形，菱形什么垂直？请扣在弹幕里，对角线垂直，所以赶紧先连接下 b d， 还告诉了你 p a 是 垂直底面的，那 p a 是 不是和底面任意一个线都垂直了呀？相当于 p a 就是 我这个几何体的定海神针了。然后 e f 入中点，让你证明 b d 垂直平面， p a， c， p c 这个平面给它画一下哦，证明这个蓝线和红面垂直，我只需要在这个红面里面找两个线和它垂直，两个线垂直即可了。哎，题目已经告诉了 p a 垂直底面 a， b， c， d， 那 所以第一个线就是 p a 垂直于 b d， nice， 而第二个线呢，是菱形哎，菱形咱是不是又可以得到了啊？这个 b、 d 是 垂直于 a c 的 哎，我一不小心这道题就拿满分了。你看这个 b， d 啊，已经垂直于两个 a c 和 p k 了，那是不是已经找到两个线平行了？然后你再说明一下，两个直线是相交的，所以直接 b、 d 垂直于平面， p a， c 满分到手。这些题啊，所有详细的过程我会放在本节课的最后，咱们先讲方法。 ok， 接着赶紧看第二个题，还是一个线面垂直 四棱锥这玩意 p a 垂直，这，哎，又是一个 p a 垂直平面了。 ok， p a 是 一个定海神针，那说明 p a 和平面的任何一个直线都垂直。然后给了这么多条件，说白了， a d 平行 bc， 然后底面的 b a， d 九十度哦，底面是一个直角梯形，它的这些直角边眼分别是一一一二。 好，最后让我正这个 dc 垂直平面 p a， c， 哎，线面垂直还是找两个线垂直在哪个平面呢？ p a c 里面找两个线和 d c 都垂直，来，咱看一下嘛， d c 在 这， 而 p a c 呢，是我的这个弧面，这个弧面里面是不是已经有了一个 p a 垂直 c d 啊？啊？因为根据线面垂直的性质，所以第一个线垂直已经找到啦， 而第二个，各位小小们，大家猜一下，这个 c d 它是和 pc 垂直呢？还是和 ac 垂直呀？底面是个直角梯形咱都知道了，所以底面这个垂直肯定是能正出来的。那所以第二个条件其实就是，哎， cd 垂直于 ac 了。 ok， 这个其实是一个垂直的小妙招，在这种一一二的直角梯形里面，它的对角线和这个斜边是垂直的，我给大家简简简单正 来，先把它的平面图形画出来，把一个立体几何问题转化成平面几何问题，它是直角，然后这个是一一二。我家猫都看出来 c d 怎么算呀，它是不是就等于 啊，这里再做一个平行， ok， 这个是一，这个是一，那一一根二， c d 就是 根号二，漂亮。 然后我们连接 ac， 小 子看好了，这一笔会很帅，那这个 ac 一 一，哎，又是一个根号二了， ok， 在 三角形 cad 中哇，根号二，根号二，这是个勾股书眼那所以直接角 a c d 就是 九十度了，请把 nice 扣在单位里。 这个其实是一个必须要掌握的二一结论啊，相当于垂直模型了。在 b c r 系统课中呢，我给大家讲了垂直模型的至少五种，这五种是考试常考的一些小垂直，你只要能找到，那么答案很快就出来了。 ok， 结合这两个，那我家猫都会正了， c d 也不就垂直于平面 p a c 了，直接 nice， 这两个题呢，也记录在必须要系统课中是讲一六十五页题型二，线线垂直。刚也讲了线线垂直，万能的办法就是找线面垂直的， 因为一般题目出题老师比较坏，他会让你证明两个异面直线垂直。比如说，我想证这个 a p 和 b c 垂直，哎，它都没有焦点哎，所以咱通过构造这么一个平面， 哎，我能证出来 pa 是 垂直于 a c 的， 同时 pa 还垂直于 ab， 那 这样 pa 是 不是就垂直于平面 abc 了？然后再根据线面垂直的性质得到了线线垂直， 所以是通过另外两个线线垂直来证这个异面直线垂直。好，直接。看题给了一个四棱锥，底面是平行，然后 abc 呢？是个一百二十度啊，这个一百二十度我知道了， 噢耶， ab 是 一 bc 是 四号， m 是 中点 pd 垂直 bc。 哦，有一个小垂直了。好，现在让你证明 ab 垂直于 pm， ab 是 在这呢， pm 是 在这呢。哇，这两个八杆子打不着呀。 但是呢，我家猫看出来了， ab 是 平行 bc 的， 所以我其实是让证这个 bc 垂直 pm 好 找吗？太好找了呀，你看，这里是 bc， 然后咱刚已经知道了这个 dc 啊，垂直 pd， 题目告诉你了呦。哎，我想证明 dc 垂直 pm， 你 说我再证明 dc 垂直哪个线就行了呀？请在弹幕里扣出来。不就是这个线段 dm 吗？直线 dm， 所以 我只要证 dc 垂直 dm 是 不就完事了？好，思路有了， 问题来了，这个 dc 垂直 dm 如何正呢？哎呦， dc 和 dm 不 就在这个平行边形 a， b， c， d 中吗？肯定是利用平面几何知识啊，所以根据这么多条件，咱肯定可以把这个 dc 垂直 dm 给它正出来来试一试。 你看，我知道在平行边形这个 a b， c d 中， mc 是 二的，而 dc 是 等于一的，你想证明这个垂直是不是直接勾五点零，一点零就完事了？所以咱把 dm 求一下，如果它等于根三，这个事就成了。 哎，如何正呢？这是个解三角形问题啊，别忘了，题目还告诉你 abc 一 百二十度，那根据平行 c 边形这个平行的关系啊，这里是不是就是六十度了呀？ 好，平面图形提取出来之后，相当于我知道这么多条件，一二六十度，然后只需要正这个角 m d， c 是 九十度，这不是易如反掌吗？ 我女朋友都会证，先用 cosine 六十度算出来这个 dm 呀，是一个根号三的，然后根据勾股定律逆推理，哎， dc 方加 dm 方等于 cm 方，那咱直接就得到了这个角 mdc 是 九十度，所以 md 垂直 dc 了， ok， 正比 好，这两个连理下，你会非常惊奇的发现哦， c d 和这个 p d 垂直哦， c d 还和这个 m d 垂直，那自然这个 c d 是 不是就和整个这个红色的面 p d m 垂直了？从而间接的挣出来了这个 c d 和另外一个 e 面直线 p m 它是垂直的。 请把 nice 扣在弹幕里呀呼，那拿下了，线面垂直，还有线线垂直。最后再来一个二零二二年全国一卷高考真题的面面垂直问题。 另外，本节课的知识点啊，全都在必修，系统课是讲过的，在这个八点六的垂直专题，包含了线线线面面它的垂直证明以及垂直性的利用，以及还有这个线线线面二面角空间角问题。 好，回顾到这个题目必须要系统课呢，在我的主页即可获取面面垂直。刚刚说了，就是找一个线面垂直，比如我想证阿尔法垂直贝塔，如果贝塔里面有个直线 a 和阿尔法垂直，那直接就证出来面面垂直。所以你需要去找一个线和面垂直，而线面垂直是不是又需要去找线线垂直啊？ 所以其实我要告诉大家哦，三花猫金句，所有的垂直问题啊，都给它翻译成线线垂直，线线垂直，垂直啊，是所有垂直问题的一个根基，核心是桥梁。 哎，如图，在这个四面体这玩意中， a、 d 垂直于 c， d。 赶紧标一下这里小垂直， ok， a， d 又等于 c d？ 我 的天呀， oh my god， a d， c 呢？是个等腰值的 nice， 然后角 a， d， b 等于角 b， d， c， 呃， a， d， b 和 b d， c， 哎，没毛病吧？好，接着啊，说了，这个 e 为 a c 的 终点，让你证明 b， e， d 和 a c， d 垂直，来找一下吧， b， e、 d 呢，是这个平面， 而 a、 c， d 啊，就是刚刚的等腰直角三角形了。好想证明这个弧面和子面垂直，那我需要在弧面和或者说子面里面找这么一个线与另外一个面垂直即可了。而想这线面垂直，又需要回归到线线垂直了。所以你先去找这个题目中已知的垂直条件，有没有线线垂直呢？ 哎，有呀，你看这个，因为它是等腰三角形， d， a 等于 d， c 又是一个中点，那所以这个 a、 c 是 不是垂直于 d 啊？ 好，各位猜一下，我已经有一个 a、 c 垂直 d 了，然后我现在想证明这个 a、 c 与子面垂直，是不是我再来一个 a、 c 垂直于 e、 b 就 好了呀？哎，如果能指出它，那这个题就可以得到 a、 c 垂直平面 b e、 d， 那 平面 b， e、 d 就 垂直平面 a、 c d 了， nice， 所以问题在于这个 a、 c 垂直 e、 b 能不能找到呢？哎，别忘了这个 e 还是一个重点，所以 a、 c 垂直 b e。 咱还是利用这个等幺三角形的三线合一，我只需要能证出来这个 c、 b 是 等于 ab 的， 那这道题就犹如探囊取物呀！好，现在问题又简化了，相当于给了这么多条件，我只需要证明这个 c、 d 等于 ab 即可。那如何挣嘞？ 这个两个角向的条件怎么用呀？咱高中也没有学过这种角向的转换呢，但咱再观察一下 c、 b 和 a b。 呃，这儿， 哦，这儿噢！而别忘了，刚刚咱们得到了 a、 d 等于 c、 d， 以及这两个角相等，哎， d、 b 又是个公共线，哇哦，这不就是三角形全等吗？ s a s 呀！各位同志们， 在两个三角形中，咱这把这个条件一列，你发现它就是 i c s 了，所以，这不是一个高中数学问题，还高考题呢，这不就是个初中数学题吗？哎呦，然后接下来我就得到这两个三角形全等了，是不是得到 c、 b 等于 a、 b 了？漂亮！ 好了，回到梦开始的起点， c、 b 等于 a、 b 了，我是不是得到了 a、 c 等于 e b 了？哎，这两个条件都有了呀，那么 a、 c 呢？就垂直于平面 d e、 b 了， 也就是咱的这个，哎，紫色平面，那 a、 c 垂直平面第一 b， 我 要证明 b、 d 和 a、 c、 d 垂直了， a、 c 又在这个 a、 c、 d 里面了，所以直接 a、 c、 d 垂直平面比 amazing 全部拿下了高考题不过如此。那么最后撒谎猫再把这个垂直方法给大家总结一下，线面垂直，说白了是找哎，线面垂直，间接的去挣了， 说白了找两个线线垂直啊，然后再证明另外一个，一面直线垂直，而线面垂直，找两个线线垂直面垂直呢？只需要找一个线线线面垂直，但其实所有问题啊，你想找这个线面垂直，想找线面垂直，是不是还是要回归到线线垂直了？所以说，其实所有垂直问题都是线线 垂直问题，以及下面这种特殊梯形的，这都是些垂直的小模型了，这是两个模型，总共有五六种的。 ok， 再到这个线线线垂直了， 我们通过证明 dc 垂直平面 pdm， 从而间接的证出来 dc 垂直 pm 以及呢这个高考正题面面垂直用了一个小小的全等。那接下来啊，就是非常套足了，一个线线推线面，再用线面推面面了，全部拿下数学七栋必需要系统课呢，也在我的主页 这里展示了系统课这个立体几何的板块，以及它所包含的题型啊，那我们下个视频再见！

这个分析逻辑其实就是判定定的会背的熟一点。我们先说平行啊，比如说我想先正线面平行，那我们判定定理是平面外一条直线与平面内一条直线平行，那比如说就是 a 平行于 b， 那我要说明平面外跟平面内，所以 a 必须在平面外， b 呢，是需要在平面内啊，严格来讲是需要三个条件得到线平行于面。但很多时候提醒你这个线在面内，比如说举个例子，我说 a b 在 平面， p a b 这个你看点在面内，这点已经在了，那这两个点都在这个面里面，这条直线是必然在的，所以像这种条件，这个是可以不用写的。但如果是 a e 在 平面， p a b 这种就必须要写，因为一点，如果你不写，是我看不出来他在面内的，所以这个要写，所以具体问题具体分析，但他不作为一个呃，扣分点。但是这里边非常非常重要的就是一定要说明我的线在面外 啊，这是三个条件，你可以备注。我想正线面，这是需要三个条件， 好吧？然后呢？从线面入手，我可以得啥呢？线平行于这个面，然后呢？这条线如果还在平面，比如 beta 内 啊，然后呢？阿尔法跟 beta 有 一个交线是 l， 那 么这三个条件可以得到 a 平行于 l， 这是什么？这叫性质定律。 也就是说题目中如果告知了我们线跟面平行，我要找啥呢？我要找是交线啊，就是有一个平面跟交线，他跟交线平行。 好，那我们一般找是证明黑色是判定定力啊，我紫色写就形成定力。好，这是线面平行的，那如果我想得面面平行是需要五个条件的，就是我要正一个平面内两条相交直线，所以就是 a， 我 要平行于阿尔法， b 呢也平行于阿尔法，然后呢，它是相交直线，所以 a 跟 b 相交有一个交点，然后同时呢， a 呢是在杯塔内，我的 b 呢也在杯塔内。五个条件才能得到两个平面平行， 而每一个面面平都需要两个线面，所以它过程是非常非常长的啊。好，这是这个，那你还是一样，如果我有面面，我能得到啥呢？得到第一个啊，如果两个平面平行，其中一条直线在这个平面内，那么两个条件就可以得到 a 就 平行于另外一个平面 啊，这是很显然，两个平面内就其中一个平面的所有直线都会跟另外一个平面平行。好，那第二个就是如果这两个平面平行，有第三个平面 啊，第三个平面有个交线啊，第三个平面跟这两个都有相交，那么两条直线是平行的，所以我是可以从面面得到线面。好后面的这一部分 啊。注意啊，这一部分是性质定律啊，这一部分是性质定律。好，那我们继续往后说，这是。呃，线线面跟面面平行一般比较简单，那重点是垂直垂直，先说线面， 那线面还是我就需要正一条直线跟平面内两条相交。直线啊，垂直，那所以就是 a 垂直于 m， a 还垂直于 n 啊，相交直线它俩还相交，那么同时 m 在 阿尔法内， n 也在阿尔法内，那么五个条件得到我的 a 就 垂直于阿尔法。就线面垂直，这是需要五个条件的， 那还是线在面内的话，你具体问，具体分析，面面平行的话，这也是五个条件 好，你得到线面垂直之后，这也很好办。你还是第一个性质定律是啥？第一个性质定律是 a 只要垂直于阿尔法 啊。另外比如 b 在 阿尔法内，那么就一定得到 a， 就 垂直于 b， 就 线垂直于面内所有直线啊，这是用最多的一个。那还有就是如果有 a 垂直于阿尔法， b 呢，也垂直于阿尔法，那么我的 a 跟 b 就 平行，有两个 线面垂直，得到线线平行，这也会用到这性质顶点好。那面面垂直是啥呢？我想得面面垂直非常简单，因为我只需要 a 垂直于阿尔法，再说明 a 在 贝塔内两个条件就可以得垂直， 所以它的核心就在哪，核心就在线面垂直上，对不对？那问题又来了，如果题目中告诉我了阿尔法垂直于贝塔， 那我能得到什么呢？阿尔法垂直于贝塔之后要找交线。怎么找交线呢？找到阿尔法跟贝塔交线，比如说是 l 啊，你在平面内， a 呢，他是在阿尔法内的，同时你还发现了 a 是 垂直于这条交线的，那么我就可以得到 a 就 垂直于另外一个平面， 所以叫有面面垂直找交线，谁跟交线垂直，他就垂直于另外一个平面。好，这是面面垂直核心来点，肯定还是线面垂直核心 好的。最后一个可能他们正线线，对吧？正线线往往都是用线面垂直的信任定律，就你要正 a 跟 b 垂直，怎么办呢？你就正 a 垂直于 b 所在那个平面得到的啊。我们判定定律背最多的，其实就就这么多，没了。

这是一个重点班的学生发给我的题啊，题的大则一，是这样的一个边长为二的立方体，然后呢，有一个洁面，阿法垂直于 a， c， e， 大致有四个选项，问你阿法的一个形状和阿法的面积最大值，那这也是考察什么呢？其实搞到的是三垂线定理，比如说我过 c 点做个解面，那么 a c 呢？在我这，这个 b c c b 的投影一个谁啊？ 应该是这条吧，所以过 c 应该怎么样？诶，应该是这样才垂直的好吧。然后呢，这个 a c 在我的 d， c， c， d 的投影呢？应该是 d c 一吧。好，此时此刻呢，过 c 要做到的垂直应该是这条，对不对？好了，所以过 c 的洁面啊，垂直于 a c 的洁面应该是这条， 所以这个三角形应该是个等边三角形，对不对？好，接下来呢，我这个面呢，往这里移动的时候也还是等边，因为他的三个边长的变化是一样的，对吧？面积慢慢变小。我们说正方体 是关于这个 o 对称的，所以移到哪里才是极限呢？很明显，十秒应该是这个面。移到哪里啊？当和这里终点，这里终点啊，我用红色线啊，这里终点，然后呢？这呢？因为这移过来终点，所以这也是终点吧，终点，然后呢？终点，对吧？终点这呢？再取个终点 好，然后连在一起，好，所以这个红色的六边形应该是个正六边形。好，这就是他的极限，那面积大致很明显就是这个正六边形好吧。