八下数学第116页一次函数的概念

在我们日常生活中，处处都存在着数量变化的规律，一总量发生改变，另一总量也会随之有序变化。放学啦，我们去前面奶茶店买饮品喝吧。这家奶茶店的奶茶单价固定不变， 买的数量不同，最后花费的总钱数也就不同。同学您好，本店奶茶价格一致，请问你们需要购买几杯？ 那我们先买一杯尝尝吧。单价保持不变，购买数量增加，总消费金额便会均匀增加，变化规律清晰明确，味道很不错，我们再买一杯吧。好嘞，请稍等。这种一个量不变，另一个量随之均匀变化的数量关系，就是我们今天要学习的一次函数。 同学们，视频中奶茶的单价是固定不变的，购买的杯数越多，总共花的钱也就越多，而且变化十分有规律，我们用字母表示出数量与总价，就能列出对应的关系式。接下来就让我们一起探求一次函数的相关知识。

在浩瀚无垠的宇宙中，中国天宫空间站正沿着既定轨道平稳运行，它与地球的相对位置会随着每一分每一秒的时间流逝，不断发生着有规律的改变。这就是我们身边最直观的变化现象。 我们脚下的大地春去秋来，四季更迭，街边的草木从抽芽到落叶，空气中的气温从温暖到寒凉，这些我们每天都能感受到的变化背后，都藏着量与量之间的关联。 其实不止宇宙和自然，在我们的日常生活中，这样一个量随着另一个量的变化而变化的现象随处可见，比如行驶的路程随时间变化，购物的总价随数量变化、水龙头的出水量随放水时间变化。 这些看似毫无关联的变化现象，在数学中有着统一的描述方式，那么，我们究竟该用怎样精准的数学语言去捕捉和描述这些变化背后的规律呢？ 今天，我们就从这些变化中的数量关系入手，一同走进函数的世界，探索变化背后隐藏的数学奥秘，学会用数学的眼光看待身边的每一种变化。 现实世界中，一个量随另一个量变化而变化的现象大量存在，为了研究这些变化规律，数学中形成了函数的概念。下面我们从认识变化过程中的量开始，开启对函数的探索。

大家好，我是讲数学的小红老师，今天我来讲解新版八年级下册数学一百二十四页啊，习题，二十三点二的一二三四五题啊。 第一小题，一列货车以九十千米每时的速度匀速前进，求它的行驶路程 s， 关于行驶时间 t 的 函数解析式，并画出函数图像。那么 这里边呢，你观察啊，它是路程与时间之间的管函数关系式，那么路程等于什么呀？速度乘以时间，而速度是九十，所以它是一个正比例函数啊。第一小题，那么函数关系式应该是 s 等于九十 t 啊，那取取值范围呢？你的 t 应该是大于零的啊，大于等于零，那么函数图像来，那个函数图像 如图，然后再画一个啊， 哎，不对，这是 s， 这是 t 啊，这是圆点，然后呢，他说了这个啊， t 是 大于等于零的，那你说当 t 等于零时，他应该在这，那么第二个咱取，再取一个点，是不是就能确定直线了？当 x 等于一十， y 得九十， 一十 y 得九十，它只能在第一项线里啊，它不可能为负值，所以这就是它的图像。这是第一小题，那么第二小题说函数 y 等于负五， x 的 图像经过了几项线，那么你看，它是一个正比例， k 呢，决定了它经过的象限和增减性。所以当 k 小 于零时，经过二四象限 啊，然后经过了零度几啊？零，当 x 等于零时， y 等于零，零度零与当 x 等于一时， y 得负五，那么 y 随 x 增大，而什么那个 k 小 于零时，增大而减小 啊。那么第三题是分别画出下列函数的图像，呃，这个图像咱们给他画到这里啊，因为两点就能确定一条直线嘛， 一条直线，所以咱们就不用那个在纸上了啊。小点画着， x 零，当 x 等于零时， y 等于四。 看看啊，取二点五个单位，这是一，然后一厘米代表四个格 在这，所以这条直线就是 y 等于四， x 啊，这是第一个，那么第二个 x， 嗯，这是四， x 也是咱们二点五个单位取一，然后。 哎呀妈呀，有点取巧了，好像当 x 等于零时， y 得零，当 x 等于一时， y 得五， x 等于一时， y 得五，这样的，这 当 x 等于零时， y 得一啊，取，取反了这边。这，所以两点确定一条直线， 这个就是 y 等于四， x 加一啊，这是第二个来第三个就搁这。哎呀妈呀，画不下了又。 y x 原点，当 x 等于零时， y 得一， 二点五个单位在这，当 y 等于零时。哎呀，我这个画错了，没有当 x 等于一时， y 得负三啊，对，吓死我了， 一是 y 的 负三负三是负的七点五，这 来两点确定一条直线，这就是 y 等于负四， x 加一，这是第三个，那么第四个画在这吧， y x 原点，当 x 等于零时， y 的 负一，负的二点五在这儿，然后当 x 等于正一时， y 的 负五， 正一是 y 的 负，负的二点五在这，然后两点确定一条直线，所以这个是 y 等于负四， x 减一，这是第四个啊，然后我们第四题， 第四题他说如图啊，求图中直线所对应的函数解析式，那这个呢，就应该是待定系数法 啊，他不就是让我们求函数解析式吗？从图像上来看呢，咱们知道他没过原点，那么应该是一个一次函数啊，然后经过了两个点，一个是 y 轴的零到六，一个是 x 轴的负三到零，那我们就将这两个点代入函数解析式，是不就可以来第四题解 设啊？这个一次函数解析式为， 这个 y 等于 k， x 加 b， 然后 k 不 等于零，然后我们可以说，因为图像 经过零逗六，还有一个负三逗零 啊，所以代入这个解式就是，呃， x 等于零时， b 等于六，然后 x 等于负三是负三加 b 等于零，解得 b 等于六， k 应该等于正二。所以呢，你的一次函数 解析式为， y 等于二， x 加六 啊，二 x 加六，那你看这个，当 x 等于零时， y 等于六时候就这样了，当 y 等于零时， x 等于负三，这个可以，是不是你可以检验一下啊？这是第四小题。那我们看第五 说一个一次函数的图像经过了负四度九和六到四，让我们求这个一次函数解一式，那你说这个一次函数解一式是不是也得用待定系数啊？那我们来求一下待定系数，哎呀妈，这个空好像有点小啊。 来解设，这个一次函数 解析式为， y 等于 k， x 加 b， k 不 等于零啊， k 不 等于零，放大一点，然后呢，因为图像 经过负四逗九和六逗四，所以代入啊，负四， k 加九，呃，加 b 等于九， 然后六 k 加 b 等于四，然后解得 k 等于 b 等于啊，用一式减二式，二式减一式啊， 二是减一是，那就是十， k 等于负五，那 k 应该等于十 k 负二分之一，然后 b 呢？这是三，然后三负三，然后的七啊，所以 这个一次函数解析式为 啊， y 等于负二分之一， x 加七啊，这是第一问，第二问是要求我们画出这个函数图像来，咱们搁这个空里画一下啊。 x 零，那么当 x 等于零时， y 的 七 二七一十四，搁这两个小格，一小一个单位啊。然后当 y， 当 x 等于二十， x 等于二十， y 得六， x 等于二十，那就是四， 然后他得六二六一十二搁这啊，哎呦，我的妈呀，这有点画不下了，这也这样的， 这个，哎呀妈呀， x 啊。当 x 零时， y 得七，当 y 等于零时， x 等于正十四，这个焦点应该是十四，这应该是七啊， 所以这个就是函数图像。那么第三个是当 x， 当那个二，判断点二到五，是否在这函数图像上说明理由来。第三个，当 x 等于二十，你把这二带进去呗，是不是？那就是负二分之一乘以二，再加七，它等于 六啊，它等于六啊，不等于几五。所以你的二逗五不在 这个函数图像上 啊，不在这个函数图像上。

大家好，我是讲数学的小红老师，今天我来讲解新版八年级下册数学第一百一十九页练习， 这页的练习呢，主要是学习一次函数它的图像和性质。那这里的函数图像和性质呢？我给你规划出这样几点啊。第一呢，你的正比例函数啊，在这在这写啊， 这个里边画的是正比例，是不是啊，下一课时才叫一次函数，所以呢，这一课时呢，主要选的是正比例函数啊，正比例函数它的性质啊，首先说正比例函数的图像啊，正比例 函数图像 是一条纸经过圆点 的直线 啊，这是第一条，就是你必须会的。第二条呢，就是它的性质。性质一共有两句啊，第一小句呢，是当 k 大 于零时啊，图像 经过一三象限， 然后 y 随 x 的 增大而增大， 然后第二小句是 k 小 于零时啊，图像经过 二四象限， 然后 y 随 x 的 增大而减小。 第三小句就是当你 k 的 绝对值越大时 啊，直线离 y 轴越近 啊，反之就是离你的 x 轴越远啊，也就是说你的图像记，记住这四个啊，就是正比例还是图像性质，就记住这四条 啊，记住这四条，让我们看一下。第一个啊，就是你的图像经过一三象线，不是不是经过原点的一条直线啊，那你看他的例题当中，这都是正比例，那你看 都是经过原点的一条直线，看这是不是经过原点啊，都是经过原点的一条直线，你看这个也是啊，然后你第三条呢， k 的 绝对是越大，你看这个 负四的绝对值是不大于负一点五的绝对值，那么你的绝对值越大，离 y 轴就越近啊，那你看这个也是二 x 和你的三分之一，你看二的绝对值越大，离 y 轴越近啊，所以这一条也是非常重要的。然后再就是呢，你中间这个性质，这块啊， k 大 于零，经过象限和增减项，这三句啊，必须得是知一得二。什么叫知一得二？当你知道 k 大 于零时，图像就经过一三象限来，你看这这两个 他都是经过一三相减的， k 都是大于零的，然后呢，图像从左往右是 y 随 x 的， 你看 x 越大，那 y 的 值就越大，看见吗？那你看这，当 x 在 增大时，你的 y 是 不是也在增大， 对吗？所以说叫从左往右啊， y 随 x 的 增大是什么？那反过来呢，你的 k 小 于零 也是三条，必须得是知一得三，那知一，知一得二啊，也就是说你的 k 如果小于零，经过二十四相减，然后呢，图像从左往右看，是 x 越往右取，你的 y 的 值越低，看见了吗？ y 的 值越往下，所以呢，这叫 y 随 x 的 增大而显现， 那也算我这三条。我知道增减项，我就能说出 k 是 小于零的，图像是经过二四象限的，我要是给你图像经过一三象限，你就得知道它是 k 大 于零，增减项是增大，而增大就是这三个啊，你必须得是啊，知一得二。 然后再说一下这个图像，第一小题，他说认为你，你认为最简单的方法来画这个图像，那么我们知道了这个正比例函数图像呢，是一定经过原点的，并且它是一条直线，那我们知道两点，是不就能确定一条直线？ 所以说这道题就是画正比例函数的图像，你只需要再取一个点的坐标即可，那你就随便取呗，是不是？那咱们立表格来第一题 列表，那这时候列表还用不用取一大串的数了？不用了啊，不用，你就取两个点的坐标，然后呢？并且有一个点的坐标是谁？是零？逗，零 特殊吗？经过原点吗？然后你这个，你看二分之三 x， 我 取个二，那 x y 不 就得三了吗？是不是？那来秒点 连线两点是不是就能确定一条直线？ 二斗三这样的一二三一二二斗三， 两点确定一条直线， 嗯，这就是 y 等于二分之三 x 啊，那么第二个呢？是啊， y 等于负六， x 来，咱取。呃，列表来 也只列几个就行，两个对不对？一个是零对零 x y， 然后第二个呢？咱取点特殊的，比如说 x 等于二分之一， y 等于负三啊， x 等于二分之一， y 等于负三，那得这样的，那你看你的 k 是 小于零的，所以图像一定是经过二四相线的， y x 零，当 x 等于二分之一时来， 这是哪二分之一，然后 y 等于负三，一二三 搁这，然后两点是不是确定一条直线？好嘞，这是 y 等于负六 x 啊，来秒点 连线啊，这是第一题，那我们看第二题，说若点二动 m 和点负三动 n 都在函数 y 等于 k x k 小 于零的图像上，是来比较 m 和 n 的 大小。 那么这道题实际上让我们考察了我们的就是正点性啊，再回答两个 y 的 值啊，你看这不重坐标吗？重坐标不对应的是 y 吗？那比较这两个值的大小的时候啊，首先第一步，我们看你的 k 增减性，不就 k 决定吗？ k 大 于零是 y 随 x 增大而增大， k 小 于零，是 y 随 x 的 增大而减小，那这里的 k 是 小于零的，所以你的自变量的系数范围不是，就是你的那个增减性，应该是 y 随 x 的 增大而减小， 也就是说，什么你的 x 越大， y 就 对应的越小， x 越小，对应的 y 就 越大，这个能当能懂吧？所以呢，你的 m 应该是小于 n 的 啊， m 应该是小圆的，这就是利用这个增减性啊来回答的啊。你记得，增大而减小，就是你越大， x 越大， y 就 对应越小， x 越小， y 对 应的越大啊，这就是用增减性来答的。那我要是想代入呢？可不可以？可以啊，当 x 等于二十， 你的 y 应该等于二 k， 当 x 等于负三时，你的 y 应该等于负三 k， 因为你的 k 是 小于零的，所以你的二 k 是 小于三 k 负三 k 的。 所以呢，你的啊，不对不对，这不应该是那个 y， 这应该是你的 n m， 这 y 不 应该等 m 吗？这个是 y 等于 n 吗？所以你的 m 是 小于 n 的， 这就是你的代入的方法。做这个就是直接用增减性来判断。

大家好，我是讲数学的小红老师，今天我来讲解新版八年级下册数学第一百二十四页习题二十三点二的六、七八九十题。 第六题，将一次函数 y 等于负二， x 加一的图像向上平移两个单位，能得到哪个函数图像？那向下平移三个单位长度呢？这个，嗯，平移啊， 上下平移，他就是在这个 b 这个位置加减，向上为加，向下为减，所以他第一次呢，是向上平移两个单位，那也是你的正一要加二，那么你的函数解一式就应该是负二 x 加三， 那么第二个呢，他是向下平移，那就在正一这减三。所以呢，他得到的解一式应该是 y 等于负二， x 减二 啊，这个是平移，记得上下平移是那个 b 上加减啊， b 上加减，因为 b 决定了与 y 轴的交点位置 啊。那么第七小题说，已知负一点三，负 y 一 负三，负 y 二二负 y 三是直线， y 等于负十三， x 加 b， b 为常数的三个点 啊，是比较 y 一 y 二 y 三的大小。那这道题考察什么呢？考察的是增减性啊，也就判断你的 y 的 值是谁大谁小。 那么你的增减性由谁决定？由你的 k 决定啊。所以说呢，因为你的 k 等于负十三，它是小于零的，那我们可以判断出你的 y 是 随 x 的 增大而怎么的而减小， 是这意思吧。然后呢，又因为你的这个，呃，这三个 x 值看啊，是负三小于负一点三，又小于二， 那你看 y 随 x 的 增大而减小，你 x 越大， y 反而越小，你的 y 越小， x 反而越，怎么样 越大。所以你负三对应的 y 二应该是最大的啊，越小的越大，他应该大于 y 一， 然后大于 y 三 啊，这就是你的第七题。那么第八题说，当 b 大 于零时，函数 y 等于 x 加 b 的 图像应该经过哪几个象限？哎，这个经过象限呢？咱们说了，他一共有这么两个点，第一，你的 k， 你的这里的 k 是 一，一是不大于零。一大于零的话，他就应该是经过一、三相线， 那你的 b 也大于零，那么你想他得往上平移，在 y 等于 x 基础上往上平移，平移他往上，那你想上面除了一，是不还有二，所以他经过 一、二、三。或者你用我们的顺口溜，这个是正的，他大于零，这也是正的。大于零，大于零是正的吧，那叫大，大不过四，所以经过一、二、三。 那我们看第二个，他说 b 小 于零时， y 等于负， x 加 b 的 图像经过几，那我们可以用顺口溜啊，这个 k 是 小于零的， 小于零，这是小，那 b 也是小于零的啊，他，呃， b 不 小于零的吗？也是小于零的，他也叫小，那叫小，小不过几啊。小，小不过一，不过一就过几啊， 二三四啊，你看顺口溜对不对？那么你这个 k 小 于零， k 小 于零的正比例是 k 小 于零数二、四，然后你 b 小 于零往下走， 那么下面除了四，还有三，所以是过二、三、四。那我们看第三个，当 k 大 于零时， y 等于 k， x 加一的函数图像经过哪几个象限？那你想 k 如果大于零，那就经过一、三了，这个也大于零，那你想上面除了一，还有几啊？ 还有二，所以它经过一、二、三，那么也可以用顺口溜，这叫大，大不过四。哎，那小于零的，这个是经过二、四，正的往上， b 大 于零是往上，上面除了二还有一，所以应该经过一、二四。 那用顺口溜也行啊，小大不过三啊。这个是第八题， 然后第九题，某自来水公司啊，为了鼓励市民节约用水，采取了分段收费的标准，居民每月应缴 缴水费 y 与用水量 x 的 函数，其图像如图所示。哎，你看这里边分段计费，你看见没？前面啊，零到十五这段是一个，然后比十五大的又是一段，所以这叫分段计费。 那么第一个叫分别求出当 x 大 于等于零，小于等于十五时和 x 大 于十五时， y 关于 x 的 函数解一式， 那咱们都知道它是经过，它是有两段的，对不对？所以我们在设解一式的时候啊，一定要分两段来设，那我们观察第一段，零到十五这段，它是经过原点的，所以它应该是一个正比例函数。 那么第二段呢，它不经过原点，你看到吗？所以呢，它应该是一个一次函数。所以说这个地方呢，你设的时候要注意啊， 来，咱们在这写啊，第一个，嗯，我们来设一下啊，当 x 大 于等于零，小于等于十五时，设函数解析式为 y 等于 k 一 x， 那 么为啥写 k 一， 因为这里头有两个 k， k 是 不相等的啊，所以呢，设 y 等于 k 一 x k 一 不等于零。然后呢，我们找一组点的坐标，你看这里就一个系数 k 一， 所以只需要一个点的坐标往里带就可啊，那你的这个端点是不是十五到六十，对吧？那么我们就可以说，嗯 嗯，当 x 等于十五时， y 等于六十，代入得， 那么也就是十五， k 一 等于六十，所以 k 一 应该等于四啊。所以你的这个函数 曲折范围跟上，当 x 大 于等于零，小于等于十五时，函数 解析式为， y 等于四， x 啊， y 等于四 x， 这是第一段。那么第二段，当 x 大 于十五时，我们来设这个函数 解析式为， y 等于 k 二， x 加 b， 其中 k 二不等于零。那这时候呢，我们得选两个点的坐标往里带了，因为它是要两个系数，一个 k 二，一个 b， 所以 两组点的坐标往里带啊。那我们可以说，因为图像经过 这个十五到六十，还有二十到九十啊，所以你的十五 k 二加 b 等于六十二十， k 二加 b 等于九十，皆得 k 二等于 b 等于二是减一是五， k 二等于三十， k 二等于六， k 二等于六，这个是九十，所以它是负三十啊，负三十，嗯，所以我们最后 那个，当 x 大 于十五时，这个函数解析式为， y 等于六， x 减三十啊。这是第一小题。那么第二小题说，若某用户某月用水九吨，应该缴纳多少钱？九吨是不是 x？ 所以呢，你就写，当你的 x 等于九十，你的 y 应该等于的是， 嗯，九是不应该在零到十五之内，所以代入到你的 y 等于四， x 也是四乘九等于三十六啊。那么第二个呢，说当某月的缴纳水费一百零二元时，那不就是当你的 y 等于一百零二十吗？ 那你的 y 等于一百零二呢，就是六， x 减三十等于一百零二，所以呢，你的 x 应该等于，嗯，加三十一百三十二，那就是二十二呗，二十二吨。然后你就可以答了，答啊，应缴水费 三十六元，然后用水二十二吨啊，这个是第九题，那我们看第十， 第十题他说已知 y 等于 x 啊，不是 y 与 x 加 b 成正比例关系，然后并且呢，你的 x 等于负三十， y 的 零， 你的这个 x 等于二十， y 等于负十，然后让我们求 y 与 x 的 函数解一式，那么这里边他已经说了他与 y 与 x 加 b 是 正比例，对不对？所以我们设就应该设正比例函数解一式来，我们写括号一解， 设这个函数解析 式为 y 等于它与谁呀？与 x 加 b 成正比例对吗？那么我得代比例系数，这个 x 加 b 属于自变量啊，其中 k 是 不等于零的， 然后将你的 x 等于负三， y 等于零， x 等于二， y 等于负十，代入得两组啊， 负三，那就是，嗯， k 括号负三加 b， 然后等于零，然后那就是 k 二加 b 扩回等于负十，然后解得 k 等于 b 等于。那我们来求一下啊，拿个验钞纸纸呢？ 乘法分配率负三， k 加 kb 等于零，二， k 加 kb 等于负十，然后用一四减二是负五， k 等于十， k 应该等于负二， k 等于负二的话，那么你的二加 b 就 等于五，所以 b 应该等于三啊，所以呢，你的函数 解析式为 y 等于负二，括号 x 加三啊，即 y 等于负二， x 减六啊， y 等于负二， x 减六，这是最后的那个函数解一式啊 啊，第二问，他说若负四啊， y 大 于负四小于二，求 x 的 曲值范围， 求 x 垂直范围，那么我就那你想这个是 y， y 是 不等于负二 x 减六啊？那我把直接把它带进去呗，是不是因为 y 是 大于负四小于二的，所以呢？你的负二 x 减六大于负四小于二会解不等式。不 啊，左右两边同时加六负二， x 大 于二小于八，然后三面同时除以负二，那就是 x 这头过来大于负四小于负一，所以最后你的自变量 x 取出范围就是它。

水库的水位随着时间的推移不断上升，这是一个动态变化的过程。如果我们想把这种变化记录下来，或者更清晰地表达出来，你能想到哪些方法 非常好？无论是用表格记录、图画展示还是解析式，都是描述变化的有效方式。今天我们就一同学习这些函数的表示方法。用专业的数学方式精准捕捉和呈现这类动态变化现象。 表示函数时，要根据具体情况选择适当的方法。有时为了全面的认识问题，需要同时使用几种方法。

同学们，上节课我们认识了函数，谁能说说什么是函数？ 一辆车正在路上行驶，随着车轮转动，里程数在一点点增加，而仪表盘上的油量却在一点点减少， 这里面藏着两个在电话的量，谁能快速找出来？没错，一个是行驶的路程，一个是油箱里剩下的油量。那问题来了，这两个量之间是不是我们上节课学过的函数关系？ 如果我想知道这辆车开了任意一段路程后，油箱里还剩多少油，能不能用一个数学式子一次性把这种变化规律写出来？这就是我们今天要解决的问题，用解析式表示函数关系。

好，我们看专题时期依次函数与线段的倍分关系啊，这就是求线段跟线段有关的。第一题。如图，在平面直角作为 c 中依次函数 y 等于负二分之一 s 加二的图像交 as 轴， y 轴分别点 a、 点 b， 那么点 a， 我们看一下。首先点 b 这个地方坐标是二， 点 a 呢，点 a 就是四，四乘以它等于 fort， fort 对的四啊，点 a 是四交直线 y 等于 k， s 交一次函啊，正比的函数与点 p， 且 ob 等于 pa， ob 等于 pa 的话，那么三角形 opa 是个等腰三角形，等腰三角形，那么点 p 所在的点 p 所在的这个横坐标就等于 oa 的一半，所以它这等于二啊，这等于二，这等于二， 求点 p 的坐标及 k 的值啊，这个简单啊，这个简单。嗯，我们说因为啊，因为 a， 因为 a 为零四啊，四零 b 为零二，所以 p 为多少 p 为二啊，二，带进去二一啊， p 为二一，所以点 p 啊，点 p 坐标为二一 k 呢， k 直接带进去啊， k 直接就是它的纵坐标，比上它的横坐标就等于，所以 k 等于二分之一啊，理解简单啊，过程省略啊。第二题， c 是直线 b， p 上一点 c 是直线 b， p 上一点 直线 bp 啊，它可以到处变，到处变动。 c， e 垂直于 s 轴于点 e 交直线 o， p 与点 b 交直线，直线 o p 啊，这是直线，都是直线，看好。若 c， d 等于二倍的 e， d， 求点 c 的坐标啊，求点 c 的坐标。好，来，这个时候，这个时候啊，我们来第二，这个要解一下啊，设 设点 c 坐标为括号 a 括号，因为点 c 是在直线 a， b 上啊，直线 a， b 是它，所以它就等于负啊，二分之一 a 加二啊，所以 点 d 点 d 为，那么它们的横作为都相同啊。 a， 点 d 是二分之一 x， 二分之一 x， 那就是二分之一 a， 点 e 呢？点 e 就是 a 零 a， 逗号零。所以我们的 c， d 啊 c， d， 因为它是这个 c， d， e 啊，这条这条垂线呢，它是，它是动的，它是在动动，所以 c， d 的 c， d 啊，这个线段的长度是不太好，不太好确定的啊，不太好确，那么 c 我看一下啊 d， 呃， c， d， d， e， 那也就是我们这这个时候我们的点 c 啊，这个是可以确定一点，就是我们的 c 一定在 d 的上方， c 一定在最上方， c 一定在 d 的最上方。为什么？因为如果到这里来的话，如果到这里来的话， c 在这里， b 在这里， e 在这里，那么 d 明显长于 c， e 啊，明显长于 c， e， 那无论到哪里，它都是长于 c， e 的，所以我们的 c 啊 c 肯定只能在 点 p 的左边，在点 p 的左侧，那点 p 左呢？ c 点在最高最高的地方，但是 d， e 并不知道啊 d， e 不知道啊，是 c d， 它就等于 y， c 减去 y， d 好点 c 的坐标减去它坐标，那么就等于它减，它就等于二减 a， 二减 a， 对的二减 a， 而 d 呢？ d， e 就不清楚了。 d， 它的坐标就可能就是就直接啊，就是或等于 y d 的总坐标的绝对值，等于啊，二分之一的 a 的绝对值。好，因为 c， d 等于三倍的 e， d， 所以，所以二减 a， 它等于二分之三倍的 a 的绝对值啊， a 的绝对值。那我们在这个式子里面我们隐含的什么？隐含的 a 是小于二的， a 小于等于二啊，这个是隐含的啊，隐含的来，我们来结下，所以我们来结下啊。第一个二分之呃，我们先乘一下，两边 同时乘以二啊。四减二， a 等于三倍的 a 的值，所以第一个减三， a 等于四，减二 a， 第二个减三， a 等于二， a 减四，所以这个得出 a 等于负四，这个得出五， a 等于四，所以 a 等于五分之四啊，所以 a 等于五分之四或 复四。还有这首求点 c 的坐标啊，求减点 c 的坐标。点 c 坐标，所以点 c 位。 当 a 是五分之四的时候，来五分之四逗号，然后二分之一就是五分之二。五分之二，然后二减五分之二等于五分之十，减五分之二等于五分之八， 或括好负四负四，那就是正二。正二加二等于四啊，等于四，所以这是点 c 的坐标啊。五分之四逗号五分之八或。

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警告，函数板块是整个高中数学的基础核心，本期视频耗时八百六十三小时打造，带你一口气吃透函数的单调性和极偶性，学会基础直接涨个十几分。上期视频我们学习了函数的单调性，本条视频沈老师带你学会所有函数极偶性问题。 视频制作不易，先点赞收藏再观看，如果有任何的疑问和不懂，找到沈老师，我会带你看清数学的本质。话不多说，我们来看题。大家好，我是数学老师，该视频来自于课本的必修一的第八十四页，我们讲到了函数的三个性质， 第二个性质叫做奇偶性。那为什么会有奇偶性？相信大家学过幂函数的同学们应该理解这么一个道理，我给大家稍微书写一下。比如说对于幂函数来说， x 的 一次方，它就是个奇函数， x 二次方就是个偶函数， x 三次方就是一个 奇函数， x 四次方就是偶函数。因为 x 的 一次方是中心对称图形， x 的 二次方是轴对称，中心对称、 轴对称，就这么个道理。我们来看一下定义啊，大家仔细研读之后，我们要抓住以上三个特征，第一个特征在这个位置叫做 x 属于 i， 负 x 属于 i。 第二件事情，这个方程， 第三件事情推出奇函数。我们怎么来理解这个问题呢？那肖老师给大家画一幅图像，我们先从第二条开始， 什么叫做 f 负 x 等于负的 f x 呢？可以我们看一看。我们画了一个中心对称的图形，我们刚才谈到了中心对称，它就是奇函数，但是我们再加一条关于原点中心对称， 我们发现这个第二条描述的意思呢？是 f 负 x 等于负 f x 到底什么意思？标两个点，比如说大家可以很清晰看见，对于这个 f x 来说， f 二和 f 负二什么关系？ 是不是叫做负的 f 二等于 f 负二，是不是很显然负的 f 一， 它也是等于 f 负一的？那么因此类推，是不是所有的点都应该是这样子的？所以大家可以上升到归纳总结就变成这样子了。 所以这句话是不是要背下来，这是第一条，第二个的话呢？我们回顾定义里面的第一句话什么意思？ x 在 定义内， 负 x 也在定义内，这个要求定义必须是对称的。你说老师不对称会有什么效果吗？大家可以想象一下啊。这幅图，比如说在这个位置是个空心的， 在这个位置是个实心的，这个图他是中心对称吗？他说不是中心对称，那换句话说，比如这块我给他掏一个圈出来，那这个图他是不就不可能是中心对称的？大家能理解吗？ 换句话说，如果说，比如说这一侧我再稍微画长一点，这一侧我就不画了，那他是不是就不是一个中间对称函数？他自然也不是奇函数了。所以第二句话其实他想表述的是， 我们这里面一定是一个定律是对称的，比如说这个什么负二到一，这就不对，负二到二，这就对了。比如说 负 a 到 a 这样的一个定律没毛病，它是对称的。再比如说负无穷到一，再比如说负无穷到负，一 并上一个一到中无穷，这就是我们所谓的对称的定律。但实际上课本给出是把第二条放在了第一个位置，先说定律，然后再看中音对称，这也是我们平时做题的逻辑，我们应该把这两个逻辑给它反一反，先看定律第二步，我们再去验证 这个定义就可以了。当然我不知道大家有没有了解过，其实很多他这个题目含餐的问题的话，我们往往不太喜欢去把这个这么老老实实的全给他写出来，可以拿一些特殊值去把这个参数算出来，在说明我们其实可以再通过这个证明一下，往往都是这么个做题的形式，不过问题倒不是很大，大家从定义出发也是 ok 的， 也是没有问题的。 好，以上就是奇函数，那大家其实可以快速的搞一个偶函数的这么一个模型，是不是上是给大家画一下，那第一个我就不再做过多的赘数了，我按照课本的定义来，你这个 f s 属于哎，它必须得对称， last 定域必须得写成对称的。第二步的话，再来后面这个理解，我们还是标两个点，那是不是说，就比如说这个 f 二，它应该等于 f 负二， f 一 等于 f 负一，那所以是不是可以推出来这个就是我想表达的偶函数的定义了，也是两条定域对称，再加上这个东西。因此 沈老师告诉大家，有些偶函数其实我一眼就能看出来，比如说我们来一起判断下下面的函数的酒精，这里沈老师带大家稍微过一下，比如说第四个，这个一定不是偶函数，那不是偶函数的时候，我们怎么描述它？它是不是即函数？不是， 它可以称之为叫做非基非偶函数。第三个，沈老师给大家稍微梳理一下证明过程来。第一步，先说明定义是对称的， 其实你只要书写出来就可以了，你这个 s 不 等于零，大家都能看得出来是对称的。然后验证式子，我们先猜它是什么函数，我们猜出来它是一个极函数，我们再去写， 我们发现 f 负 x 里贴完符号之后，这个负的就进去了，对不对？那它是不是在形式上是完全等于， 所以它是一个妥妥的记函数？那这个时候有同学可能说了，老师，那我是不是要判断的时候，我要证明的时候，我是不是得先判断对不对？这个判断有什么技巧吗？当然有，比如说这个一大家能判断出来吗？我是能够一眼就能看出来的。那如果大家不能，大家跟着石老师把这个笔记记好， 有一些相关资料大家可以进群领取，希望大家的点赞收藏，回头多去看一看。肖老师给大家记这些笔记，我觉得对于大家帮助是非常的大的，有些东西的话是后人的一些二级结论，所以这东西如果你花太多时间去 遗忘，再捡起来，再遗忘，再捡起来，那么这个过程就会消耗你大量的时间。高中呢比较紧张，希望大家就一遍给他 清楚，搞会我们来 g p g， 为了像沈老师一样，稍微瞄一眼这个函数，大家就能知道它是什么基友性的话，这里面沈老师给大家稍微总结下面几个方法啊。第一个，大家要会一些叫组合函数的基友性。什么叫组合函数基友性呢？比如说我知道两个函数的基友，我给它加在一块，它是什么函数？比如说 我们对一些基本初等函数的记性是要知道的，比如说 y 等于 x 呢，它是一个妥妥的奇函数， y 等于 x 分 之一呢，也是个妥妥的奇函数。所以 g 加 g 还是 g 函数好，你说那沈老师有没有什么证明的方案呢？沈老师给大家稍微书写下证明。我们不妨假设一个函数由两个奇函数构成， 在后续的话，我主要想验证一件事情，就是它的定域是对称的，因为 f x 的 定域和 g x 定域它俩要取且会得到一个最后的定域，会得到 h x 的 定域。那么很显然， f x g x 的 定域一定是对称的，对称的在取且之后还是对称的，所以定域这个事没必要太过于纠结。接下来先来给大家证明 h 负 x 为什么等于负的 h x。 首先的话， h f x 先把符号添进去，我们发现后面两个函数其实都是奇函数，那接下来我的符号就可以抽出来，我们还是随手再列一下负的 h x 大 功告成，很显然它俩是一个相等的关系，所以 h x 确确实实是一个奇函数。 后续的每一条沈老师就给大家逐个证明了，我希望大家可以怎么去记这个结论，可以拿一些特殊的函数去尝试，比如说沈老师是不是教大家了一些常见的函数，比如说 这些是不是都是具体的？ x 一 次方就是个 g 函数， x 平方就是个偶函数？其实你拿前面两个就可以验证大量的函数的奇偶性了，听懂我的意思吗？比如说 g 加 g， 那 你很显然你一个函数是 x， 另一个函数是还是 x， 两个一加就可以看出它的奇偶性好不好。 下面我还是给大家来一个思路上的，就比如说我平时怎么想的这种方法可以用于验证，但是实际上怎么想，大家可以这么想，就是说 g 函数这个符号是可以抽出来的，那么偶函数那个符号就平庸消除掉了，你理解这个概念就可以了。那我下去给大家先把这个总结写好， 还剩最后一个了，那么就是加法呢？当然减法我就不说了，减法其实效果是一样的，除法这里面是一样的，那这里面还剩一个，那是什么？我们这里写个乘，写个除，就乘除，这个问题不大，都是一样。好，那还剩一个是什么？还剩一个是积，乘、积。大家来分辨一下这个什么函数，很显然它是一个偶函数。 我刚给大家讲的思路就是说这个符号，他仿佛这个 g 函数，这个符号仿佛就可以拿出来，你这里面拿出来一个符号，这里面拿出来一个符号，两个符号是不是抵消了，那他自然没有符号了。和原来相同，其实就是复刻，快速的脑海当中过一遍这个证明过程，这里面就是组合函数的久性。 再来下面第二个知识点，复合函数的奇偶性，所谓复合函数的奇偶性，这里面大家记住一句口诀，叫做内偶则偶，内积同外。简单来说就是如果你这个函数，它内层是一个偶函数，外层我不管你什么函数，你一定是偶函数，内层函数，如果是奇函数，外层函数是什么函数，就决定了这个函数的奇偶性。 举个例子好，那比如这个函数它的内层函数，其实大家可以拆成这样，拆开 t 等于 x 的 绝对值，就决定了这个函数的奇偶性。举个例子好，那比如这个函数它的内层函数，其实大家可以拆开 t 的 对数， 那么这两个函数很显然它内层是一个偶函数，外层是一个对数函数，非基非偶，那么内偶它就是偶，所以这个函数它一定是偶函数结束， 这就是我想表达的意思，当然也给大家来一个通法的证明，比如说我想证明一下，内层是 g， 外层是 g 函数，它到底是什么函数？那书写的话，大家知道 g s 是 g 函数， f s 是 g 函数，那我们是不是想干一件事情？ h 函数 f s 是 g 函数，那我们是不是想干一件事情？ h 函数发现这个符号是可以从这个 g 里面偷出来的， 透出来之后，它又可以从这个 f 里面拖出来，所以它就等于，那我们再看一下负 h x 结束。这就说明 在我内层为 g， 外层也为 g 的 时候，内外都为 g 函数的时候，这里面它是完全相等的，就 h 负 x 和负 x 相等，所以它就是一个 g 函数。好，所以这句口诀可以帮大家省掉很多时间，希望大家把它牢记逾期。 第三个，有些函数我们实在是不想挣了，那这个时候怎么办？这个时候大家可以去背一些常见的旧函数，比如看，我也不想看了，因为这些函数希望大家把它记到心里，我给大家总结一下，第一类是指数相关的，指数相关有这个函数，大家背一背。第二个是这个， 很明显，大家稍微看一看，发现第一个函数里面天赋号之后，它会出现一个交换位置的情况，即天赋号之后，它会变成这个 a 的 负 x 加上一个 a 的 x， 那 所以它天不天赋号没有影响。下面这个天赋号它会出现一个交换位置的情况，相当于它整体会变成负的， 所以下面它是一个妥妥的奇函数，上面是个妥妥的偶函数。你说沈老师那有没有更强一点的总结？沈老师给大家教一招。如果说大家阶阶段，比如说遇见这样的一个函数， 其实这个函数为什么会产生这样的效果，主要是因为上面这两个函数是一个非常好理解的最基本的模型， 这里对 g x 没有任何的要求， f x 只要由 g 负 x 加上 g x g x 你 爱是什么函数，什么函数，但是它有个限制，说你这定义得对称，你不对称，你这个负 x 和 x 往里带的时候，它不卡 bug 了吗？对不对？ 所以说只要满足你，这个函数是有意义的，所以 f s 就 一定是一个，前面这个一定是个偶函数，大家可以自行验证一下，因为你发现你符号带进去之后，这两个函数是不会产生一个交换位置，但是由于是加法，他又没有变化，所以他就是偶函数。后面这哥们，你把这个符号带进去，他会交换位置，但是交换位置之后，他会产生一个符号的效果， 所以这个是一个记函数。比如说其实由此产生的模型有很多，一会给大家练习一道，那么指数相关的话，大家重点记这两个，剩下的一些东西，对它的形式一个变形。比如说 那大家快速告诉我这个函数的基偶性喽，那它很显然是一个基函数，因为它分母是偶函数，分子是基函数 g 除以偶等于 g， 这个就是指数相关的。其实还有更多，我在后面再讲 对称中心的时候，教大家一下，因为有些指数函数它在化简过程中很麻烦，所以有些二级结论可以快速判断类值函数的对称中心，这个回头给大家说，当然这个给大家稍稍微拓展一下，比如说这个函数 以上，希望大家把这些记好。那对于这一条，有空我给大家做拓展的时候会告诉大家，这种就类似于这样的函数，到底怎么看对称中心，它是不是记函数？这个就稍微难一点，我们今天把课本的内容给它说穿， 下一个指数总结完了，剩啥了？是不是剩下一些对数函数？对数函数大家额外的记两类其实就可以了。第一类 与对数函数相关的基有函数，那第一个其实一直在考，包括同学们到高三之后，他也是很常见的一种形式。第二种形式是这个， 这里面他这一块的减法和加法都是可以的，包括这里面也是他这个换成减就换成加，他也是可以的。呃，所以说大家有点印象就可以了。为什么？比如说你觉得这个东西像是一个记函数，你去验证一下吗？就证明一下，后面我们要教证明了，证明的过程其实并不复杂，稍微一书写就可以了。 比如说我建议大家在证明对数的对准中心的时候，你选择你别带符号了，看不出来，有点你去对数的话，因为他有个乘法公式，所以他经常证明的时候是这么写的， 那这个是不是也是一个奇函数？定义对称之后，你证明这个式子它是不是就是奇函数？那我来给大家书写一下第一个题的证明，那这样之后我想证明他俩是不是相加等于零就可以了，这打上一个括号，别看错了， 那么相加等于零，我把它们的对数相加等于整数相乘，所以直接写相乘形式。大家发现写好之后，它是不是里面用了个平方差公式？我们用平方差公式相当于 a 加 b 乘 a 减 b 等于 a 方减 b 方，这里面就等于，那这个 log 减 m 底 e 的 对数，它就等于零了，其实是不是就正好了？ 下面这个形式，大家可以在课本上写一写，笔记本上写一写，写好之后可以拍照发到评论区。沈老师检查一下，上述常见就有函数，沈老师给大家总结到这里稍微回顾一下，我给大家总结了三三个东西，第一个话就是组合函数加加减，减成成除除。第二个就是说负函数，这个负函数是嵌套形式的。 第三个指数相关的和对数相关，有些东西大家熟练之后是可以把它背下来的，甚至你看到之后，你觉得他好像考的是均有性，你可以自己现证一下，是没有问题的好不好？那么接下来的话呢？我们来一起看一看相关的练习题，比如这个题，沈老师一眼瞄过去， c 怎么秒掉的呢？因为沈老师背了，说这个函数呢，他妥妥的是一个基函数，这里有个结论就是严格的，严格的基函数。其实呢，我不知道大家能不能接受一件事啊，就是这个世界上的函数呢，应该是分为四种基函数，偶函数，非基非偶，还有一种叫既基又偶， 这个既基又这个函数呢，它比较特殊，就这个函数呢，它大概是什么样子，大家画一下，就是你们想想生活当中有没有既是中心对称又是轴对称的函数呢？有没有？ 有一类，有一类就是只要他在轴上的这些对不对，比如我这个函数呢，就这一段和这一段，那你看看他是不是既是中心对称，又是轴对称，对不对？这类函数就是基基偶函数啊，我所谓的基函数就是严格的基函数，就不包含这类既基又偶的函数，那么这个结论呢，叫做基函数加偶函数， 他一定是飞机费，我的就一定是不是对称的，那这个前提是他一定是严格的，他别别别是那种不严格的，不严格的就是比如说这种 g 函数，那就完蛋了，所以我知道这是个严格的，这函数图像我大家都能画出来了，哈哈，所以那么这里面对于前面这个东西的话呢，他肯定是不存在的，他如果存在，他不可能是个 g 函数，所以 a 一定等于零。 那这有点邪乎了，大家呢还是老老实实看一看，我们想想想办法怎么证明这件事情。证明这件事情的话，我比较喜欢用这样的一个二级结论 叫做接函数，这里我们在笔记区给大家记一下，接下来稍稍给大家说一下含餐问题的处理手段。有一个大家形成共识的事情，就是接函数的话， f 零等于零，但是呢，这个方法有个前提，就是你这个函数呢， f 零必须得有定义，比如说没有定义的话呢，他这个零也带不进去，所以这个方法就用不了了。 所以说要么是 f 零等于零，如果没有定义的话呢，大家把参数算出来，算出参数之后呢，大家回头， 如果是大题的话呢，大家添加一些证明，过程好不好？就是你得写一下，如果小题的话，直接就秒掉就完事了，你也不用管了。那如果大题的话呢，大家添加证明，如果小题的话呢，建议大家就是稍微的看一看，我们去验证一下它，如果大题的话，你就证明，因为这个证明其实也包含验证了是不是？ 这里面给大家稍微解释一下，为什么奇函数的，如果说它有定义的话呢，它的 f 零一定等于零呢？因为呢，大家可以想象这么一个问题，我现在呢手里有个函数，大家看一下这个函数是不是中心对称的，那很显然它是中心对称的，中心对称的含义呢，是旋转一百八十度之后和原图像重合，绕着原点旋转一百八十度，重合不重合。 你说老师，那现在的 f 零，它也不是零，这不是有定义吗？那你想象一下，这是不是出现一对多了，它就不可能是函数？这个问题呢，是很严峻的，就是说只要你 f 零有定义，你还是个基函数， 那么它就必须在原点，如果不在原点的话，就会出现这种一对多的情况，所以我们说基函数它这个自身自恰的，为了避免这个 bug， 所以 f 零必得。零有定义的情况下，听懂我意思吧， 那没定义的话就反比例函数，它没定义了，没定义呢？没定义它就对 f 零的话，我们就没有什么限制了，没有定义的话就没没有说法了，这是第一条，第二条的话呢，有时候我们很喜欢带些常数，我是非常喜欢带常数的，因为我觉得没有必要非得要去证明这个式子，这个式子相对来说看起来就不 太好算，因为它要体现出 x 的 任意性，所以在确定参数的时候稍微有点麻烦。偶函数呢，我就不给大家解释了。偶函数的话呢，其实我们对于偶函数求参数的手段呢，基本上就是带一些值去看就可以了。 好，同样的大题添加证明，小题验证一下。以上的话呢，就是总结了，那我们来一起看看刚才的练习题。 那么到这里的话呢，接函数，我发现他的定域为 r， 那 么我很开心，我就把零往里带一下，他的定域不是这里重新减一下，那么回到这个题目来说，我们看发现这里面他的定域是多少，我们先算下定域， 我建议所有的题目大家先看定域，那么一减 x 除一个 x 加一呢？它要大于零，相除变相乘 x 减一乘上一个 x 加一，它要小于零，所以 x 呢，应该是属于个负一到一的这么一个范围，那么 可以发现它的定域是包含零点的，所以我们带入 f 等于零也是结束了，那这个题呢，我们说这么多奇函数结束之后呢，我们同大家一起来看一下偶函数， 那么这个偶函数的话呢，大家其实可以完全带一个特殊值去验证一下，但是呢石老师呢，来给大家通过一个标准的做法来给大家呃，来书写一下，就是我们怎么在大题当中直接一步到位，证明它是个偶函数。好，第一步我们书写 f 负 x， 第二步呢，我们 令它和 f x 相等，我们看能不能把 a 给它算出来。两个式子列好之后呢，它俩相等的话，我们一般来说呢，选择把方程整理好， 一般来说我们把参数放在一侧，然后把这些 x 放在一侧，这样的话会很会很清洗，整理一下变成这样子之后呢，这也没什么办法了，我们把一般来说在分母里面的这种负指数就分明，分母里面的负指数的含义就是它是分数再分数，我一般来说不喜欢这样， 就是像油理化一样，不喜欢这样，我们给它分子分母同乘二的 x 方通分一下，很惊喜的发现呢，这里面是可以稍作整理的，它是可以约掉的，我把 x 出来，它就是留个 x 了。 那我们现在这个式呢，要对于任何情况都成立，其实呢我们对比 s 的 系数就可以了，因为你 x 取啥我都得成立的话，那么这个 a 的 话呢，显然就等于负二分之一了，所以我们这题答案就选出来了，那么 a 等于负二分之一的话呢， f 二 a 的 话呢，其实就等于 f 负一，大家带进去计算就可以了，这里我就不解释了， 计算量是有一点的，大家也可以根据奇偶函数的，这个叫什么对称性 f 负一的话呢，大家直接去算 f 一， 应该比较方便一点，会好算一些。如果说大家真正自己在做的时候呢，其实完全可以这么的就 f 负一 等于 f 一， 其实呢你是可以直接把 a 算出来的， a 如果有两个值的话呢，注意一般来说呢，有一个值会被舍掉，那大家要验证一下，我这个题就算出一个解，如果我这个解还不对的话，那这个题就没解了呀，所以不可能的， 这里是我的标准做法。那这个题呢，就给大家讲这么多，下面这个题的话呢，我相信大家做这种题应该是还是比较轻松的。首先注意到 line 二分之一，它呢是等于负的 line 二的，所以我们其实要带进去的是个负数，但是它给我们大于零的解析式，那这个时候我们要怎么办呢？那我们不妨直接去变形一下，比如在带入数的时候，我们上来直接用一下这个性质及函数的这个特点， 那我们发现我们是不是只要说带入这个 line 二，其实有这个结果就可以了，那 line 二呢，其实是大于零的 line 二，大家可以背一下，是零点六九三， line 三一点零九八， line 五一点六零九，是吧？像沈老师这样背一下， ok， 然后你这个 line 二的话呢，你就往里带就可以了，往里带一下，这里面整理一下这个位置呢，用到了叫纸对绘画核心公式，如果大家呢不会的话呢，后面可以听我讲纸对绘画核心公式呢和 只对运算呢，我觉得是非常非常重要的，比如说他有一些同构，未来你们学到同构基础就是这个东西，我们整理一下这个位置呢，就是二，那答案我算出来了，这个题呢选择 a 选项， 我相信大家呢肯定见过类似于这种题目，就是它不仅让你求值，它让你整个把 s 小 于零的解析式都算出来， 会有这种情况的，比如说这个题我给大家稍作一下子修改，就是说我们给它改成我求这个，这个呢也是大家必会的一个方法。那这个题呢，沈老师先给大家讲，讲完之后呢一起做一下过大总结。第一步，我要求 x 小 于零的，我们就令 x 小 于零。第二步， 那么你会发现你只有 x 大 于零的解析式，那么什么时候 x 小 于零是不允许往里带的，什么时候能往里带呢？那就是负 x， 这个负 x， 它是大于零，它就有资格往这里面带了，所以能把它往里带进去。这样的话呢，我们就得到了 x 小 于零时候满足的一个方程， 但这个方程的左边不对劲，我要求的是 f x， 我 们在这里面利用奇偶性，这是个奇函数，所以 f 负 x 等于负的 f x， 所以 进而我的 f x 是 不是就出来了？ 那是不是当我有了这个样的一个结果之后，他其实就是 x 小 微型的解析式，我是先到这，然后再到这。沈老师还是给大家稍微规范总结一下，比如说我们到底这个过程怎么样能行之有效的给他每个题都做出来，包括奇偶函数这一块对不对？万一是偶函数呢？是吧？ 来沈老师给大家总结一下这个呢，沈老师给它总结为叫做已知奇偶性求区间解析式的方法。第一步， 我们求哪个范围，就假定哪个范围，比如说你想求 s 大 于零呢，你缺的是 s 大 于零呢，你就设 s 大 于零。 第二步，第二步呢，我们把这负 s 带入已知解析式，比如说你，你想求 s 大 于零，你肯定知道 s 小 于零呢，这是基偶性的一个基本。当然有一些比如说夸张一点的，它可能是某一段，就是由下一段求， 比如说，比如说由这个二到三的求三到四的，这个我们后面再说，我们的逻辑呢，就是填负 x， 然后带入已知解析式就可以了。 第三步，这里面很关键，一定要利用奇偶性将左边的那个 f 负 x 变掉好了，以上的话呢，就利用奇偶性将左边这个 f 负 x 变掉了，你是奇函数的话呢，你就变成这个负的 f x， 如果是偶函数嘞，大家把它变成 f x， 这就可以了，那这就完事了。最后我再提一点吧，就是最后大家如果让你写出完整的解析式，他就他没说说让你写是哪块的解析式，那最终我们一定要把所有的解析式都写好。听懂我的意思吧， 他有的题就这么抽象，他比如说他虽然告诉你 s 大 于零的，他让你求的是 s 小 于零，但你把 s 小 于零求出来之后，他问的是整个的解析式，你要把 s 大 于零的抄一遍，把 s 小 于零的抄一遍， x 等于零的，你自己还要再算一下，就这么个意思，注意这个细节吧，我不希望大家能够理解，之后呢还从在这个地方丢分，那就太恐怖了。 那以上的话呢，沈老师给大家总结的话呢，就到这里，相信大家呢已经搞定了，那沈老师呢，给大家把这个解析式写一下，就 f 负三肯定好，算了，我们再把解析式再给大家再算一遍，我们先令 x 小 于零，那么负 x 大 于零，负 x 有 资格往里面带，我们把它带进去，就得到这样的式子。 第三步，利用奇偶性把它转掉，它是一个奇函数。好，那比如说这个题的话，我就写好了，如果说他问我解析式的话，大家看我这么写，我这样写对不对？那这样写很显然是不对的，为什么？因为你漏掉了零定义在 r 上的奇函数，奇函数 f 零等于几？是不是 f 零等于零，所以再写一个等于零，那这就是我想表达的一个意思。那么 再给大家细画一下这幅图像吗？我们来感受一下它到底为什么是奇函数，或者我们算这个对不对呀？验证一下，大家可以发现呢，大于零的时候，我们取的是 x 方减四 x 小 于零的时候呢，我们画的是负 x 方减 四 x， 对 不对称？对称的吧，当然二次函数的话呢，我们就直接画就行了，就是相当于分段函数大于零的，你画这段，小于零的话，你画这段等于零的话，你就画个零就可以，那我们发现这妥妥的是个中心对称函数，那所以它就是一个奇函数， 也就是说其实这个题呢，你，你说老师我这个人呢，就是不想用这个方法，我就想画图。 ok， 其实你完全可以自己画出来，就比如说你去画一个关于它对称中心的这个二次函数，应该是没压力的，画好之后你就把这个写到这里，其实也可以，那当然的话， 比如说前面这道题目，那你想画这个图像的话呢？对于有些同学来说就不太好画，那我就说到这里，这个纸我就不具体去带了，大家会求解析式就好了。那同学们呢？今天的课程就讲到这里，大家还有什么相关的问题的话呢？可以一键三连向我去要一些相关的资料， 也可以加入我的粉丝群，我的粉丝群里面会定期的发一些最近讲的一些内容的练习题。那我是沈老师，关注我，带你快速通关数学。

这部分的数学容易拿满分的，八年级数学下册课本的一百一十六页纸。我们看到 c 的 练习，把下列各式因式分解，我们看到这里有 a 加 b。 好， 咱们把这个 a 加 b 直接提出来 啊，留下来的就是 x 加 y。 好， 这里有 x 减 y， 咱们提出来，这里有三 a， 三 a 减一，不要忘掉三 a 减一。 好，这里呢，有数字六，然后有 p 加 q， 这里也可以立，就是 p 加 q 啊，括号 p 加 q。 六，括号 p 加 q， 那 么这个贴出来之后留下来的这还有一个 p 加 q， 然后这里呢，这个六提完了，我们就六乘以负二。呃， q 加 p 也是 p 加 q， 负二。好，下一个括号 p 加 q 减二。我们看到第四个 m 减二，这里我们也可以立，就是 m 减二， 所以可以等于 m 减二，这里就是 a 减 b， 因为 m 减二，这二减 m， 我 们离点 m 减二的时候，我们把符号放前面，这样不就有公式 m 减二了吗？所以注意，这里慢一点啊，慢一点，这里 b 要写成负 b。 好，下面我们看到这里呢，是 x 减 y， 这里 y 减 x 的 平方啊。呃，可以理解是 x 减 y 的 平方，当然你不懂的同学，你可以写慢一点，我这里就直接写 x 减 y， x 减 y 呢，那么这里留下来就是二倍的， 对吧？呃，二倍的，所以我们写二 x 减二 y， 然后这里还有三放在那里。二， x 减二， y 加三。所以这里你要是不明白的话，你就多写两步。 好，我们看到第六股有共用式 m， 有 共用式 m 减 n。 哎，我们通常保留这个 g 次方 啊，按着记，因为偶次方的话，它可以换个换个部分写啊， n 减 m 的 平方，那些 m 减 n 的 平方可以，但是 g 次方呢，叫小心一点。好， m， m 减 n， 这也可以立的是 m 减 n， 好， 现在我们留下来啊，我们看一下括号里面，这里还留写个 m， 呃，这里留下了什么呢？ m， 刚才我们说这是 m 减 n 的 意思，所以减去这个 m 减 n， 因为这 m 我 们就提出来了，对吧？这里 m 减 n， 提出来一个，还留下一个，所以这里我们打中国号啊，慢一点啊，这 m 减 m 的 负负的加 n， 所以 我们还得往下写啊，有时一步没有写完整， r n 减 m， 哎，这个稍微麻烦一点。 好，看看下面的音式分解。好，这里有 a， 有 x， 有 y 啊，最低一次面，那留下来，这有 a， x 减 y， x 减 y， 好， 下面这个呢，应该是 有数字三有 x， 好， 我们看到这还有个 x 平方，留下来的三 x， 还留下一个负一 x 负 x， 三 x， 还留下一个什么呢？留下一个三 啊，看清楚，写慢一点。好，下面这个地方呢，那我们看呢，就等于，嗯，负的多少呢？ 好，如果你要不明白的话，那我们可以采取这样的一种办法，你看啊，二十四，一十二，二十八，采取小学的分解，二一十二，二六，二一十四， 好，再用二六二三二七，好，现在不行了，那就说是四数字部分，首先有符号的要提出来啊，刚才跟你说了，注意这点，你听清楚了吗？首先有符号的要先提出来，然后呢，分三步找系数的最大公因子，我们找完了，这样来找，然后找相同的字母，有 y。 好，对于相同字母，我们来找他的几次方，这里，哦，这里是一次方。好，这样公式就找完了。好，把其他的都抄到括号里面。负四乘以六， x 还没拿出来，是吧？好，现在这里负四乘以三，又 x 还没拿出来， y 呢，拿了一个出来，还留下一个 y， 哎，负二十八，负四呢，乘一个七， y 的 立方，说明这 y 拿出来，还有 y 的 平方没拿出来。 好，这里一下，我们仍然也是先把符号提出来，然后呢来找数字，二四六二，这就比较容易，口算就可以了啊，口算不会的话，你就列式子。好吧，你就打彩稿。 负二 ab， 这里还有一个二 a 的 三字旁，那还有 a 的 平方， b 的 三字旁还有 b 的 平方六，负二呢，还有个负三，在这里面有一个 a 没拿走，负二 ab 有 的时候先拿走，我们就打跨，行不？不行，这里加一， 不然你反过来，你就漏掉了一项啊。所以大家你看了我的答案，你跟着我一起来练。好，我们看到第五题，第五题，我们当然也是要把负号先给它提出来， 等于负的，然后有二，有 x， x 最低是一。好看，括号负二 x， 这还有一个 x， 嗯，现在是什么呢？负二乘以那个正六吧， 负二这个真六， y 的 平方，嗯，负二乘以负四， x 拿出来，还有个 y 的 立方， x 加六， y 的 平方减四， y 的 立方。好看，下面也是把符号先提出来，我在这等吧，在哪等呢？在这 等于负三 m a， 负三 m a， 我 们看括号里面负三 m a， 这个 a 的 立方啊，那还有一个 a 的 平方，负三呢，还有一个负二了，因为这里是正六嘛， m a， 那 还有一个 a， 负三呢，就成正四了， m a 呢？拿完了，那就这么写呗。 我们看到第二题利用因式分解来做，那么这个呢，我们就要等于 m 括号，然后 r 一 的平方加 r 二的平方加 r 三的平方， 对吧？咱们然后再把这个 i 给它带进去，三点一四乘以那个，这就是二十的平方加十六的平方加十二的平方，哎，二百五十六加一百四十四，就是四百四百加四百等于这个八百，所以三点一四乘以八百，哎，那就等于二千五百一十二。 好，下面这个呢？呃，有一个 z 提出来， z 括号 x 减 y， 呃， z 等于一十一分之七乘以 x 减 y 一 十七点八，减去二十八点八，那么这个等于负一十一 啊，负一十一，所以一十一月份这个七负七。好，这个呢，就等于 a b 括号留下有 a 加 b， 呃，一个是七，一个是六，就等于四十二。记得点赞关注哦。

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