写平面向量定理要抓住什么

一面向量板块中有很多定律，各有各的用途，而今天我从中选择了奔驰定力，为大家带来其详细解读。掌握它之后，很多复杂的向量小题都可以有更好的思路。我神农学数学小课堂，我们直接开始 奔驰定律名字的由来是因为它的图形甚似某品牌车标。注意看，我们把外面这个圆形给它变换成一个新的三角形 a、 b、 c。 然后中间的点我们分别定三个小三角形的面积为 s a、 s b、 s、 c。 接下来就可以引入奔驰定底的核心公式了， s a 乘 o a 向量加 s， b 乘 o b 向量加 s c 乘 o c 向量等于零向量。接下来我为大家带来一期详细推导。 首先第一步，我们做线段 o， a 的 反向延长线，交 b、 c 于 d 点。然后我们若将三角形 a、 o、 b 和三角形 a、 o、 c 面积计算，以 a、 o 为底，那么它们的高之比为 b d 比 c、 d， 所以 它们的面积之比也是 b、 d 比 c、 d。 接着我们由向量的定比分点公式可以推导出 o、 d 向量是等于 s b 乘上 o b 向量加上 s c 乘 o c 向量比上 s， b 加 s c。 接着我们由三角形 a、 o、 b 加三角形 a、 o、 c 的 面积与这个三角形 b、 o、 c 的 面积相比，它们是同高的，所以它们的面积之比就等于它们的底之比，也就是 o， a 向量的长度比上 o、 d 向量的长度。 那又由于 o、 a、 d 三点是共线的，并且 o a 向量和 o， d 向量是反向的，我们就可以推导出 o、 d 向量是等于负的， s a 比上 s b 加 s c， 再乘上 o a 向量。然后我们将这两个式子连立消去 o、 d 向量，就可以得到最后的奔驰定义公式了。 接下来我们来看两道实战演练，来更加熟悉这个奔驰定义。首先第一道题已知点 p 在 三角形 a、 b、 c 向量来更加熟悉这个奔驰定义。首先第一道题已知点 p 向量等于三分之一 a、 b 向量加四分之一 a、 c 向量。 让我们求三角形 p a、 b 比上三角形 p、 b、 c 比上三角形 p、 c， a 的 面积之比为多少。那首先第一步呢？我们考虑逆向配凑，我们以这个 p 点为前面奔驰定律中的 o 点，去凑出这个奔驰定律的形式。 首先我们对其中这个式子两边同乘十二，然后我们把 ab 向量， ac 向量还有 ap 向量统一化成 p、 a 向量、 p、 b 向量和 pc 向量的形式， 最后就可以得到如上这个式子，五倍的 pa 向量加四倍的 p， b 向量加三倍的 pc 向量等于零向量。接着第二步我们带入奔驰定律，由于这个形式是恰好满足奔驰定律形式的，所以它们的面积之比就等于 pa 向量、 pp 向量、 pc 向量前面的系数之比，也就是三比五比四。那第一题我们就做完了。 接着我们来看第二道题，已知三角形 a、 b、 c 的 边长为 a 等于四， b 等于五， c 等于六。然后点 o 为内心，让我们求向量 a、 o。 关于 a、 b 向量和 a、 c 向量的表达式，那我们都知道内心的焦点是三个角的角平分线，焦点也就是内奇缘的圆形，那么点 o 到三边的距离 就是相等的，都是这个内奇缘的半径，所以三角形 o， a， b， o， b c 和 o， a， c 它们的面积之比就等于它们的底边之比， 也就是 a b 比 b c 比 a c。 那 我们代入奔驰定律就可以得到如下形式，四倍的 o， a 向量加五倍的 o， b 向量加六倍的 o， c 向量等于零向量。那由于题中让我们求 a u 向量关于 a b 向量和 a c 向量的表达式， 我们接着把 o a 项链和 o， b 项链还有 o， c 项链画成 a o 项链， a b 项链和 a， c 项链的形式。那最后我们经过一系列化解，又可以求出 a o 项链等于三分之一倍的 a， b 项链加五分之二倍的 a， c 项链。于此，第二题就做完了，这就是今天视频的全部内容了，奔驰定律及其相关应用，你学会了吗？

各位高一的家长们，大家好啊，就之前赵老师给你们发了，说是这个基础知识应该怎么学，我们应该怎么样去避免这个学基础知识的时候 我死记硬背，然后发现我做不了题，一听就懂，一做就废，这种状态就是没有办法把基础知识应用到解题中，是吧？ 告诉过你们这个三步从哪来？公式内部的方式，然后他能解决什么问题，我们要从这个思路上面去做，是吧？但是呢，没给你们举具体的实力。那么从今天开始呢，张老师开始领着你们去 复盘，怎么样去复盘？基础知识我们要怎么样去学？咱们从平平相量开始说啊，今天呢，张老师领你们复盘，哪个平平相量基本定律啊？ 平面向量基本定律，它的描述是什么啊？它的描述特别的简单，就是说这句话是什么呢？平面上的任意一个向量 都可以用什么呢？ 都可以用平面上的一组应该是两个就行，两个不共线的向量表示， 都可以用平面上两个不共线的向量表示。那么这句话的意思是啥呢？我任意的一个向量， 任意的一个向量 e 三，那么我现在平面上有不共线的一组向量 e 一 和 e 二，我可以把 e 三写成什么呢？ e 一 和 e 二的一个向量组合。 这句话是啥意思？这个是重要的哈，这句话是啥意思？这句话是告诉我们向量是啥？我说了之前我给你们讲过，我说向量是工具，它是处理几何问题的工具， 你要知道向量如果在几何图形图形中，它呈现的形式是什么？是两条线是吧？是线是吧？这是三个向量的话，在几何图形它是三条线，我们自己给它标个方向，是不是？是吧？那实际上它表征的是什么？ 我在几何图形里头，我现在，我以前我给我咱们初中的时候，你给我两条线，让我求第三条线找他们的关系，我们只有什么方方法？我们只有几何方法， 现在我们有另外一种方法了，我们可以把这个几何图形，我把它加把线段给个方向，我用向量方式去表征他们的关系。 我以前是不是？我以前只能说我用几何证明，是吧？如果我几何方法证明不出来，我就没办法去 把我已知的两条线和未知的线给他建立联系，对不对？啊？现在我有了一个新的招了 啊？你这个象平面向量基本定律告诉我，你任意给我两条不共线的象，那我在图形中不到处都是吗？是不是我图形里头这不到处都是不共线的？ 哎？这边我图形里头不到处都是不共线的象，这个这这个线段吗？啊？你给我意思是说你给我任意两条， 你给我两条，然后加上这这种这个比例关系啥的，我可以。哦，另这个项链是可以用这任意的其他两个来表示的， 就是说我不管我能不能算出来，如果我几盒，我，我已经几盒搞不定了。哦，那我现在其实是有另外一条路去表示的， 然后有的说，老师那下一步是啥？那下一步是怎么算？是不是因为我最终咱们处理几何图形，我目标是要得到什么？边和角的长度，是吧？啊？然后是包括怎么去计算它怎么去计算？这是啥？ 我们说先是向量的计算，那是什么？向量加减法，是不是啊？ 对吧？然后再往后说，我要得到具体的边角长度的话，我把向量加减法和边角长度结合在一起，就是啥向量的什么数量积，是不是啊？ 那也就是说我要得到完整的计算的话，我要得到几个呀？我不光，我要知道基底基向量，还有一个什么他们的夹角， 是不是这样子我就解决了一个几何问题。什么几何问题？你给我两条已知的边，给我一个夹角啊，我就可以通过这个向量基基本定律，我可以搞定什么 任意一条边和我这两个的关系，我搞定完关系之后，我把它用它表示之后，然后怎么算呢？嗯，它的平方等于它的平方，然后干啥？哦？数量机去计算 这玩意，这样子我就解决了一个什么几何问题，就是我之前说的什么平面向量是啥？ 是解决几何问题的工具，它是一个引入的工具，是吧？我们在几何图形里头，我们给向给一个线段加上了个方向，是吧？然后再往后加啊？有垂直关系，或者我做垂直关系，然后再往后干啥啊？向量还可以用坐标的方式去计算， 看这是不是整个我的章节的问题，是不是就开始从头到尾，哎，一步一步去学了，是不是看见没有？ 然后这是你看，但是为啥我们老师举它，它是一个开头啊？它是一个开头啊？ 听明白了吧？看见没有？这样子去学基础知识。你想我们做题的时候啊，做题的时候都是啥呀？是不是包括我们的推论项量贡献定律？是不是啊？我这个一个项，这个项量怎么用这俩项量来表示？这个喇嘛它加妙是啥关系是吧？咱们说哎，喇嘛它加妙等于一，是吧？ 然后具体的这个数值是根据这个这个比例来的，是吧？定比分点是不是？你看这不就他的推论吗？ 是不是？怎么算？对不对？你看这像一步一步是不是就联系起来了？然后我到题里边做的时候，给我一个图形，让我去给我两个向量，让我去求第三个，我首先得干啥？我脑子就得想到啊，我要用他去建立他们的联系去，或者说甚至都不给你项链，我就给你个图形， 我几何关系做不出来，那怎么办？好，我把它变成向量。哪个两个是给我已知条件？两个已知条件啊，有基底了。 然后另外一个向量让我另外一个线段让我求行，我把它变成向量，我找这个向量之间的关系，向量之间关系，它不用几何求是吧？我们用向量加减法，哎，画图形是不是 这种联系的方式更简单？所有的工具有人都说越学越难，并不是，他越学是因为面对的问题越来越难，我们处理的工具实际上是为了简化问题的，明白了吧？啊？ 听懂了没？行，听懂了。看见没有？就这么样子去学技术知识。我要先问问问题他，你看他能解决什么样的问题，他的形式是什么样子，他是解他表征的是什么样的问题， 然后他和什么结合才能处理这种几何问题？你这么去学，一个一个的去问问题，你不会都无所谓，但是你得会问问题， 明白了没啊？这样子，你看咱们题的话，有人说这有动点这个东西拉这个东西它是一个动点，那么这个东西它的长度怎么变化？动点无非就是啥这里头拉磨的和妙发生变化是不是？ 那不是啥函数关系吗？对不对？嗯？是不是看见没有？还用分题型吗？ 听老师这么一说完，你看你们还用分题型吗？分什么题型啊？你没抓住本质啊？同学们听懂了吗？啊？

咱们高一的家长们哈，马上到寒假了哈，现在这个咱们很多，这个寒假课什么的也都开始了是吧？ 之前上过初升高了，不要再走之前的老路了是吧？现在到高一下了，我们开始学这个向量了。咱指人教 a 的 这一帮子啊，那个人教 b 的 这块不是三角函数嘛，是吧？咱们先说人教 a 的 这一帮子。平面向量这些东西，平面向量我们要搞定哪些东西 啊？首先就是平面向量，这里头我们看了，哎呀，向量加减法平平面向量法则是不学习啥都很简单是吧？但是这里这块你要搞定的是啥？是 记住这句话啊，利用平面向量去处理图形里头 任意两条肌底边和任意一边的关系，也就是什么在平面向量里头用任意两个肌组肌底向量去表示什么？ 表示另外一个向量是吧？咱这个咱们有那个上过预科，是不是现在都在做这种题是吧？然后有的说，老师，这种题好简单啊，就也不算难是吧？把这块搞定了之后是干啥？ 不要说是，就光看见那堆题，那堆题是不都长一个模样？这种题的核心是要干什么东西？想一想向量是不是就是啥有长度，有方向，实际上就是干啥？把图形里的其中两条给定的已知边和什么任意的一条边， 可能就是说我们在图形里头我们找不出来他们的关系，但用向量我们可以找出来，是吧？我们把它建立了一个联系， 然后有的说，老师，那这个东西还算不了啊。那紧接着还有啥？下一块是啥？向量的数量积，向量的数量积是干嘛用的？向量的数量积我们计算的时候是干啥？ a 点乘 b 等于摩 a， 摩 b cosine c， 它 干啥用？它把向量又重新和模 a 模 b， 那 是啥？是不是图形里的线段长度？ cosine c 的是啥？夹角，这是图形的性质吧，我又把向量和图形性质给结合起来了， 那么这样子之后，我再通过数量机的计算，我是不是就把基底向量 和任意一和我图形里边的任意一个向量就是咱们求的这种？我原本只有个向量的关系，我算不了，现在结合着数量机干啥？平方以后是不是就能算了？ 是吧？我就是利用向量干啥？我把图形里边任意三条边之间的关系我都给搞定了， 边角关系是不是，对吧？这是向量的作用，你把这个东西搞定了啊，然后在这个中间图形里头还穿插了一个什么向量基本定律，是不是？平面向量基本定律就是所谓的贡献定律？鸡爪子模型是不是？鸡爪子模型实际上是不是就是 一个渐变的这种？因为鸡爪子模型那个形，那个形形是不是特别简单？一个三角形中间画条线，是不是？这是属于最简单的这种图形单元了？是不是在这种最简单的图形单元里头啊？ 我找找到两个基础箱底箱量的话，我可以通过定比分点，是吧？我可以表示出另外一个箱量来，是吧？我也可以。然后结合着数量机，我是不是也可以求另外一个箱量了？ 是不是就是所谓的什么另外一个那个什么边长是不是？这就把什么呀？你看 利用平面向量的这个工具去解决咱们啥平面几何里边的边角问题，你看它是一个工具，有说老师它是唯一的工具吗？不是啊，我们后边这块啥？咱们向量后边这块有一些应用，叫啥正弦定力，余弦定力，是不是这俩一样？是什么 正弦定律？余弦定律的话咱们正常情况下是单独放出来是啥的？解三角形是吧？ 因为他还要结合是什么三角恒等变换的东西是吧？三角恒等变换的东西给我们角的知识，然后有正弦定律，余弦定律，他们自己有单独的处理边角问题的方法是吧？然后纯用向量的是我刚才说的前面这一块，是不是？然后这里头 为什么是先是向量，后是鱼线定律啊？有一年考试都考了鱼线定律，用什么证明的？用向量的什么数量机来证明？ 很简单啊，自己也可以去尝试一下。你看这叫把知识学透了，这叫把这一块知识学透了。任何一数学的任何一个知识点，他都是拿来解决的。就是什么 用函数的思想，用向量的思，用向量这个工具，用三角函数这个工具去解决什么问题呢？去解决 几何问题？咱不能说平面几何立体几何里也有空间向量是吧？就是去解决几何问题，因为几何问题是现实问题，几何是不是咱们，咱们这个大千世界里头是不是 要么就是咱们小学、初中学的应用题是吧？这个买多少东西，是不是？你看具体到抽，具体到抽象，这是函数的，然后再利用函数向量，再利用这些东西解决现实中的什么问题？我们眼睛能看到各种几何图形，是不是解决几何问题？ 你看你从这个角度出发，再去看知点，你再去看待实际问，再去看待这个题。那题这东西就啥，是不就是实际问题的一个抽象出来的玩意，是吧？ 这么去看待他，这叫学习，明白了吗？啊？

十分钟速通平面向量必考小题，一共五大题型，从线面表示讲到向量共线，从基本定律讲到坐标表示，看到就是赚到。 我们现在看到平面向量最常考的概念变式题哈，会难倒非常多的人。向量说法中正确的是，首先 a 选项，他说单位向量都相等，大错特错。同学们， 你们一定要记住，向量相等指的是两个属性都要相等，一个是方向，一个是大小，也就是咱们的魔长。 而咱们的单位向量，他专指的就是说咱们俩的大小和魔长是相等的，但是我没有说方向啊，所以说跟这个选项类似一个考点哈，就是咱们的相反向量。汤老师，相反向量就是咱们俩的方向相反喽，大错特错，他 指的是咱们的大小必须要相等，而方向同时是一个相反的，它是两个属性，必须要满足 b 选项，它说平行向量啊，不一定是共向量，咱们的平行和共向量在这是一个意思，所以说它肯定也是错的。 我们再来看到 c 选项哈，对于任意的向量， a、 b b 有 a 加 b 的 魔长小于等于 a 的 魔长，加上 b 的 魔长，肯定是对的，这就是向量不等式哈。 那么怎么证明呢？我给大家讲两边同时平方哈，同时平方就会得到什么来，左边是什么来，就是 a 的 平方再加上 b 的 平方，再加上二 a 点乘 b 的 魔长这个样子。 而右边呢，是 a 的 魔长的平方加上 b 的 魔长的平方，再加上两倍的 a 的 魔长乘上 b 的 魔长的哈，这是右边， 你看左边和右边，他究竟缺了什么东西啊？哎，两边的 a 方 b 方肯定都是消可以消掉的哈，这个平方其实就是魔长的平方， 那么你看，其实最后得到的是说左边的二倍的 a 点乘 b， 他 是小于等于右边的二倍 a 的 魔长点乘 b 的 魔长的。 如果说你学过数量积哈，你知道说 a 点乘 b， 它是什么东西啊？同学们，它是等于 a 的 模长乘上 b 的 模长乘上它们俩的夹角 cosine c 它的。 那你们来看哈，我这个扩散以及它是属于负一到一之间的，对吧？我外面再加一个绝对值的话，那么此时这一整坨东西，它一定是要小于 a 点乘 b 的 魔长的，对不对？所以说这个不等式就得证了呀，所以 c 一定是对的。那我们再来看 d 选项， 它是，若 ab 满足 a 的 模长大于 b 的 模长，且 ab 同向，则我告诉你们，这就是概念的错误，这两个向量是不能这样直接比较大小的，你只能对模长进行比较大小，所以这道题选 c。 我们来看到第二个题型还现象表示，在三角形中点 d 类为中点，所以说这里这里你都写成是二分之一，而点 e 类是在 b c 上的，且 b 等于二倍的 e c， 也就是说这里为一，这里为二嘛，所以说比例关系，这里就是三分之一，这里就是三分之二嘛，对吧？ 然后呢，他现在说记，咱们的 ab 等于 a， 这一条为 a 向量，而 a c 等于 b 这一条为 b 向量。他最后问 ed 为多少？我告诉大家，咱们的 a 向量和 b 向量，他们俩的起点都是谁？都是 a 的， 所以说 a 被称作是这类型题的首领。 那么你后续无论要表示什么向量，都是用首领来领导的，那你看咱们的 e d 怎么写成是首领领导嘞？是不是用 a d 减 a e 就 可以了呀？这就是向量的减法哈，如果你不了解减法的，那你就用一下加法，就是用 a 来破开嘛，对吧？就这个样子。 而咱们前面来可以写成是负 a e 嘛，所以跟上面也是一模一样的。那么我们现在写成了 a d 减 a e 之后，该怎么办呢？同学们，你们看哈，我的 a d， 它是不是等于二分之一倍的 a c 的， 其实也就是二分之一倍的 向量的，对不对？然后我们再来看 a e a e 的 话嘞，它必须要这样走过来，所以 a e， 它其实是等于 ab 再加上一个 b e 的， ok， 那 我们知道了，咱们的 ab 啊，它是等于 a 向量的，而 b e 嘞，这是需要思考的哈，我们单拎出来写 b e， 它是等于三分之二倍的 bc 的， 而 bc 嘞，你还是要组合一下，写成是什么嘞？ bc 就 等于 ac， 再减去一个 a b 的， ok， 所以 说 a c 是 多少是 b 向量，而 a b 嘞是什么向量？是咱们的 a 向量的，所以说你再给他带回到这个式子里面来哈。所以最后呢，咱们求出来就是为负三分之 a 再减六分之 b 的， 选咱们的 b 选项的。 我们来看到向量共线的应用哈，考的非常的多，如图呢，在三角形 a b c 中， m 点是一个中点。同学们看到这句话，马上好戏又出现了， 因为咱们的 am 这条项链，它是不是等于二分之一倍的 ab， 再加上二分之一倍的 a c 啊？这个要牢记了哈。然后我们再来看 g 为一点，然后 a g 等于二倍 g m， 就是 说 a g 的 在这， g m 在 这，也就是说一，这里为二，对不对？所以说比例关系，这里是三分之一，这里是三分之二的， ok 了。然后他说过， g 点的直线呢，分别交 ab 和 ac 于 p q 两点， 此时来 ab 是 等于 x 倍的 ap 的 ac 呢？等于 y 倍的 a q， 你 不用去管它后面问的是什么东西。同学们，因为我们现在又可以得到另外一个贡献也这是咱们的 p g q 贡献呢， 所以说，你想方设法的得把这个式子给它化成 p g q 的 关系式哈，你看啊，咱们的 am， 它等于多 多少倍的 a g 啊？它是不是等于二分之三倍的 a g 啊，对吧？而咱们的 ab 嘞，它等于多少？它是不是等于？哎，在这的是 x 倍的 ap 的， 而咱们的 a c 嘞，在这里，它是不是等于二分之一 y 倍的 a q 的， ok， 就 这个样子。 然后此时嘞，我们再把二分之三哈，给它两边都除一下，除过去就会得到 a g， 它是等于多少？三分之 x 倍的 a q 的。 而由向量贡献定律哈，咱们三点贡献，那么此时咱们的系数之和三分之 x 加三分之 y 应该是等于一的， 所以我们就得到了咱们的关系是 x 加 y 等于三的， ok， 那 么此时我们的向量部分的知识已经结束了哈，后面一句话问的是什么来？是咱们不等式的内容哈，带着大家复习一次， 此时呢，咱们 x 分 之四，再加上 y 加一分之一，此时应该咋整呢？同学们，我应该在外面乘一个分母，对不对？就是我们在这乘一个 x， 加上 y 加一，哎，为什么要这么乘呢？因为乘了之后哈，这里相乘可以约掉为四， 这相乘可以约掉为一的，而这两个异相乘为 y 加一分之 x， 这两个相乘为 x 分 之四倍， y 加一。那你看这两个东西是不可以用一次基本不等式啊，就把它答案做出来了哈。 但是你思考一下，我们在外边儿，我如果乘上一个 x 加 y 加一，我是不是乘上了一个系数啊，对吧？ x 加 y 等于三的，那么 x 加 y 加一，它就等于多少等于四的，所以在这儿它本质上是一个四，那么我乘了一个四，我还要再去乘一个四分之一呀，才能把这一个给它削平哈。 所以此时呢，我们把这个四分之一提前里边东西相乘一下，这里相乘就是为四，这里相乘呢，就是为一的，再加上一个 y 加一分之 x， 再加上一个 x 分 之四倍 y 加一。 ok， 此时的话呢，我就大于等于四分之一， 然后里面五保持不动，加上二倍根号下这两坨东西哈，相约我们来约一下哈， 约约约约约约约，所以里边嘞还剩下一个二倍根号，四一至二等，所以此时就等于四分之一乘上五加二乘二就是四等。所以最后答案是四分之九的选咱们的 b 选项，你当然也可以去检验一下它的驱动条件哈，肯定是存在的，否则他不可能是填写哈 爷爷呢，也就是说，这坨柿子等于这一坨柿子时，此时咱们可以取得这个最小值。视频的最后，我给大家准备了三份非常重磅的干货，分别是四十页的逆袭，北大解题一百招，还有两万字梳理我为什么从五十分进不到一百四十六分的数学底层学习方法。 最后来是为前五十名同学赠送一个免费的数学成绩分析和规划。点击我的主页这里群聊，就可以免费领取。数学想要考年级第一，从来不是天赋，而是执行程序。我是北大堂，我们下期再见！

高一的平面向量你不会做题，真的要注意了，不是说你不用功，是因为你把平面向量里面的模型方法就根本没有学透，也不知道有哪些模型方法。所以说胡老师把整个平面向量里面核心考点全给大家总结成了六大模型。 我们先来看第一个。第一个叫投影向量速算数量积的问题，这个在高大考里面考过很多回了， 尤其是以小题的形式出现，可以帮大家大量的去减少计算，所以投影法你得会 ok 吗？ ok。 第二个即化恒等式， 那他们俩解决的都是共起点的训练机问题，你发现你解决不了的，他就能解决。然后这个也是在高考的考场里面出现过很多回的，要求大家必会的。我们同步的考试的过程中，小题和大题都会出现，那么小题直接用 大题稍微做一下基本的推导没问题吧？没有来。第三个叫肌底转化，肌底转化是所有向量模型最核心最底层的方法，一旦你其他的方法不会，起码你得学会肌底转化，把不会的转化成会的。 这个在我们接下来的月考和期中考试中会考到大题的第一问，但是在高考里面考小题 明白没有明白好。第四个方法叫做爪子定力，爪子定力也叫做三点共线定力，这在月考当中属于非常重要的题型。你的大题的第三问， 通常把爪子定律、三点贡献和最值结合在一起，然后结合君子不懂事去考你所有的，你发现有的难题，最后都是转化成三点贡献了，没有问题吧？没有。第五个叫等和线求系数和， 这个方法是由他衍生出来的三点贡献，我没有方法，那一旦这三个点不贡献的时候应该怎么办呢？ 那我是不是要求，哎，通过把它转化成贡献，那这个过程其实最后总结成的模型叫系数和问题，等和线解决系数和。还有第六个叫奔驰定律，奔驰定律里面最核心的结论在这里， 但是没完，咱们平时月考期中考怎么考？大家就是奔驰定，里面的屁是随便给的，你们考试的考过程中会把屁点换成什么？ 重型、垂型、内型、外型？屁比较特殊，当屁比较特殊的时候，前面的这些系数，哎，会发生什么改变呢？对应的二级结论大家要非常熟悉， 所以说你把每一个模型它的变化，细节，陷阱，通过不同难度的题目把它练透， 比你刷十套试卷要管用的多，同意吗？同意。所以说胡老师把这六大模型给大家核心梳理出来，让你脑海里面有个体系，并且每一个模型都给大家配套了经典的训练题型， 每一个模型练到大家彻底掌握，所以只要你吃透这六大模型，向量题目对于你而言就是送分题。你可以 六大模型我给大家直接去安排，或者你后台直接替胡胡老师全部给他安排好，赶紧打印训练起来。项链冲刺高分不是梦，行不行？行好。

期末考完了，我不管你们给我考多少分，放假回去，这个寒假所有人必须给我预科。 预科什么？就是我们必修二的这本书，趁放假之前讲一讲这本书核心要抓持吗？行不行？行，胡老师，一千书科，十二年了，我带了上万名差生跟着我逆袭。 所以呢，每个章节，每一个小节里面，你要抓哪些重点对吧？哪些坑爱踩？我们根据教材一节一节带着大家提前过一下，这样的话你寒假才能不走弯路，行不行？行，好，来，认真听。我们先来说平面向量，六点一 这节学的是什么？平面向量的概念主要是概念，所以只需要大家知道什么叫做向量，以及四种常见的特殊向量，你能够区分就可以了。考试这一节主要考的是一些 辨析类的，什么题，小题过关就可以，如果你概念区分不清楚，就来十道题训练一下就够了，行不行？行，好，再来看第二节，真正的较量是从六点二的运算开始的。 运算六点二的运算里面需要大家掌握什么？第一个叫做加法运算，第二个叫做减法运算，第三个叫数乘。比较简单，我围绕加减法来说一下加法运算核心， 你得知道什么时候用加法，比如说你在学的过程中，你是不得关注首尾相接，我加法的规则是什么？ 如果是共起点，我加法的规则是什么？就游戏规则怎么去加的问题吗？对不对？对。然后再来说减法，减法的规则是共起点 什么？起点消失后之前，首先这是最基本的，你把这些搞会，你都不至于考五十分，三十分 明白没有？明白，所以加减法的考法考什么？主要考的是让你把一个未知的向量能够用已知的向量通过加减法给他表示出来，所以这是基本功。 不管是大家开学之后的月考、期中还是高考，这都是大题的第一步，你这步如果跨不出去，后面全丢分。所以这个是寒假大量的题型需要去训练的综合题目，没有问题吧？没有？好，接下来我们再来看六点三。第三节叫 基本定例及其坐标表示，坐标写到这， 这是整个平面向量的灵魂，他把几何问题用坐标表示叫什么化了？代数化了。所以大家在预习的过程中，你要抓什么核心题型呢？抓 第一个就是我加减法在表示的过程中，我不一定硬是给他上加减法呀，我什么时候能用坐标，就啥时候 我可以转化为坐标运算，一定得具备这个能力很重要，直接影响你立体几何以及圆锥曲线的学习， ok 吗？ ok。 第二个很重要的点，在这里大家会学到数量积的问题， 对吧？没有坐标数量机怎么做？有坐标数量机怎么做？更重要的是数量机的多样化的求结，这才是你们拉开差距的地方，因为除了课本上的定义，数量机你还必须得额外掌握的。我写到这大招，思路 即划横等式，对吧？高大考特别爱考的投影法， 很多题目用这些方法，这两个方法可以直接做到秒解的。但是很可惜啊，咱很多同学寒假预习预习不到这个点上，开学之后老师不讲，他也不干，结果别人学霸全是用这些题目去快速解题的， 考卷上你只要想拉开差距，这两个方法是必须得会的，行不行？行来剩最后相当于一节，六点四节。哎呀，六点四节写的是应用， 大家千万不要被应用这两个词给迷惑了，给骗了，觉得呀，应用好像不怎么重要。其实你知道这节在学什么吗？ 在学一个非常重要的点叫做解三角形，以前老高大考里面把它作为一个单独的章节出现，现在把它融入到平面向量里面去了，你们是不是以为它不重要？ 这就是新教材难的地方，以前作为一个章节单独去学，现在我给他融进去，作为一个小结，是不是变得更难了？需要你自己挖的东西更多了，该考的题型一个都没变。解直角形，这里大家需要抓注意 五个核心题型，五个核心考法，记下来，就按照这些去训练行不行？ 只有这样子才不会走弯路，你的时间才不会被浪费掉，不做无用功是不是？第一个叫什么？第一个叫做正余弦的选择问题，笔记记好， 你会学正弦，学余弦，什么时候用正弦，什么时候用余弦，你不要预科了半天连这个问题都搞不清楚，白搭。第二个叫什么边角互化问题，这就是小题大题都爱考的问题， 什么时候边画角，什么时候角画边？唇边怎么画成唇角，唇角怎么画成平唇边，要非常清楚明白没有。第三个叫做面积问题， 以及面积拓展出来的一些海伦公式去做拓展。第四个叫最值，经常把最值和面积结合在一块去考，你这里也有二级结论去总结，还有第五个叫什么 叫多三角形问题，这考大题的啊，多三角形高大考这里直接会出大题的， 所以必修二的向量和最后一节的减三角形 基础教材上都有，但是你能拿分的模型全部都在数外，你需要教材上吗？ 是不是？是啊，大家如果不知道每个模块抓哪些核心重点，不知道对应哪些方法，你就不要自己瞎弄了，浪费时间。胡老师把这些全部给大家总结成了作战地图， 包括我们刚刚所说什么集划横等式啊，解散我行里面的二级结论你要掌握哪些？全在上面给大家标记清楚了， 把这个地图打印下来挂你家墙上。我们寒假就一个一个对着往过坐，明年开学你现在考七十分，照样刷到一百二十分以上去行不行？行，找我给你安排。

咱们看下鸡爪定啊，到底谁比谁怎么永远整不明白呢？咱们看一下啊，哎，这个 a b c 贡献，哎， pb 等于多少倍的 p？ a 加多少倍的 pc， 这个系数相加得一。没毛病啊，因为贡献是吧，但是多少份占比多少份，怎么永远整不准呢？来，咱们今天最后推导一下啊。 首先呢，我们这个 a b c 贡献了，所以说 ab 向量是吧？所以说 ab 等于 m 加上 n 分 之 m 倍的 ac 向量，没毛病吧？ 来，我都用 pa pbpc 去表示，所以说 ab 向量不就是 pb， 哎，减去一个 p 谁啊？ a 啊，等于什么 ac 是 吧？ ac 什么 ac 不 就是那个 pc 减去 pa 吗？ 来，咱们先展开啊，合并就妥了啊。所以 pb 向量等于什么？来 m 加 n 分 之 m 倍的 pc， 把它移过来，是不就是加上这是一倍的啊，一倍的就减去 m 加 n 分 之 m， 那 就 m 加 n 分 之 n， 哎，背的 p a 呗。啊，自己整不明白自己合并一下子啊。好，你看，这不就是我们要证了他吗？是吗？ 哎， pc 前面谁 pc， 哎，前面谁是 m 是 m 加 n 分 之 m pa 呢？啊？对着 n， m 加 n 分 之 n， 不 就这么点事吗？鸡爪定力是吧？嗯。

欢迎来到零基础急救班，我是小张老师，今天给大家带来平面向量讲解，我们直接开始开始他的学习吧。什么叫平面向量啊？那么重点在于什么啊？在于这两个字，向量。那向量是什么东西呢？首先向量 啊，什么叫单一的量啊？单一的量就是标量， 哎，大家可以简单理解什么叫标量。标量就比如标价，我们去商场买东西，他上面有个标价，对不对？有个标签，他会告诉你三十元，五十元，这是一个单一的一个价格。比如说我们今天跑了一个， 哎，跑了一个就是说校园跑，我跑了多少米？这个八百米，这个八百米也叫做什么呀？标量，单一的量，比如说你今天，哎，呃，你刚才向哪边转了？你向左转，你向向左转，这个左也是个单一的量，是你的方向， 但是我们项量他是不一样的，就是项量。啥意思？项量，他是个复合的量，哎，复合的量，那你说这个名字你就能理解了，第一个字叫项， 而且他还是个复合的量，那就相当于什么呢？他既有大小，他有长度， 这个大小就指这个向量的长度。这个方向呢？就好比他往哪往哪指，他如果往哎，右上方的右上方啊，这比如往右，我也可以说他向北向南， 这是指他的方向啊。所以说项链我理解了啊，就是一个既有大小也有方向的量，不用死记硬背，就大概我们了解了啊，那你说，那比如说我既有大小又有方向，我要理解这个项链是什么意思，就比如说项链 ab 是 指什么呀？ 从 a， 哎走到 b， 我 们把向量理解为一种什么呢？哎，走路，一个人走路，我从 a 走到 b， 那 这么一下子，这个 这个学习直接就生动起来了，在我们脑海中直接就呈现了这个动作，从 a 走到 b， 你 说是不是向量，我们直接就理解了，哎，所以我简写为向量 ab 啊，那你说我向量 ab 加 b h 呢？有的同学，你不会这种题，但是你走路，你会想明白，比如说， a 是 咱哪家，咱哪家，咱先去咱哪家，然后去 b 家， b 家是你朋友家，然后 h 家最后是你家，那你实现了什么？你怎么走的路啊？ 先去咱奶家，再去咱朋友家，路过咱朋友家，紧接着又回了家，所以应该等于什么呀？直接等于 a h， 我 们项链我们只取最开始的以及最后的，所以说这个项链相当于等于 a h， 也就是从 a 从咱奶家 到 h， 咱回了家，对不对？这就是项链，其实项链就是什么，项链就是走路。那好，那我知道项链走路了，那我知道他有什么好处？有一种题，咱直接就会做了， 项链的化解，你化为走路的问题，那简单的 so， so easy。 那 我们直接看来这种题， 从 a 走到 e， 再从 e 走到 b， 直接相当于什么？来？从 a 走到 b， 那 从 a 走到 b， 又从 b 走到 c， 直接相当于什么？路过了 b 相当于从 a 走到 c， 我 选四 d， 没有问题。好，那这个题，嗯，有的同学可能说，老师我是不是应该先画图啊？什么二三四 不需要化，我们先化解后面的东西，我看它到底要干什么。 哎，从 a 走到 b， 再从 b 走到 c， b 是 路过的，消没了，从 a 走到 c， 哎，又加了一个 c， a， 这是啥意思呢？这就好比是画蛇添足，我从 a 走到了 c 家，我上 c 家串门了，我又从 c 家返回了我自己家。我走没走？ 我没走，那就是什么项链啊？那我没动，对不对？那是，我就是，哎，那我就是零项链。 哎，那我就会了。来，咱们再练两个小题，继续实战啊。老师，那如果我碰到负号怎么办呢？那我负号，老师，我不会了，我什么手弦尾尾尖手，我总容易击昏，怎么办呢？来，教给大家一个方法， 当负号你去搞不定它的时候，你想负是不是就是反着来啊？你有三块钱，那负三是不是你就欠三块啊？负和正是反着来的。那好，那我问你， a， c 是 从 a 走到 c， 那 负的 a c 呢？ 那是不是就从 c 走到 a 啊？哎，这样我们一下就明白了，原来负的 a， c 是 ca， 那 我就重新给它写一下， 那减那负的 c d 呢？那就是 dc 喽！ 妈呀，我舒服极了，为什么我看到了希望啊？ 从 b 走到 d， 再从 d 走到 c， 相当于从 b 走到了 c 啊。哎，那这个呢？从 c 走到了 a， 那 我写在这来 ca 加上一个 ab， 从 a 从 c 走到 a， 又从 a 走到 b， 是 不是相当于 cb 啊？ 我乐爆了，为啥呀？太开心了！从 c 走到 b， 又从 b 返回自己家中，相当于原地踏步，零零向量。来吧，四 d， 相信你已经学会了，来，咱们一起做，你可以暂停一分钟，去把这两个小题做出来，好不好？来，回来， 反着的 b 走到 a， 反着的 b， a 负 b， a 就是 ab。 开开心心从 a 走到 b， 又从 b 走到 c， 相当于什么呀？从 a 走到 c， 在 前面加上一个 pa 来跟我一起读 pa 走到 a， 又从 a 走到 c， 相当于 pa 走到 c， 答案就是 pc 选四 d ok 不 ok？ 那 下面题也是如此来。负的 c， d 等于正的 d， c， b， e 超下来负的 d， e 等于什么呀？正的 e， d 来跟我一起看，从 b 走到 e， 再从 e 走到 d， 就是 b， d， 再加上前面的 dc， 从 b 走到 c， 从 b 走到 d， 再从 d 走到 c， 就是 从 b 走到 c。 别忘了再加一个 a， b， a， b 加 bc， 从 a 走到 b， 再从 b 走到 c 来 ac 好 了吗？是不一点问题都没有啊，相信你已经完全搞懂了，过了，好，那我们继续。 那你说，老师，哎，项链这个东西，我回过来看，嗯，项链是啥呀？项链是走路。那么提到了走路呢，我就能想到 走路的人是行人。我们每一个人，其实在生活中我们都是一个，我们都是一个在走人生道路上的一个行人，行人，那么每一个人和我们之间的关系是什么呢？有的人，就比如说我们的同学， 我们的家人，是我们同行的人，我们可以这样理解，哎，那如果有的人跟我们不同行，我们相当于，哎， 我们是不是这样错过去了，那我们就可以这样的人。嗯，就理解为我们生命中的过客，对不对？所以向量他也是如此。如果说向量是平行的，那他是不是则同路啊？跟我们走的是同一条道路，那就什么呀？ 我们同路的人有一句口诀叫里应外合。什么叫里应外合呀？来，直接看题型教给大家什么叫里应外合。哎，咱俩平行，咱俩同路，咱俩同心同德，里应外合是不理所当然呢，来， 这就是里，大家都在里边，里边来，负二乘以三减 k， 这叫里边相乘。外和是什么意思？外边相乘，这是圈，这是圈。外面一相乘，一乘 k 来负六加 k 乘以二，二 k 啊，等于 k， k 等于六选 c， 就是 这么做，里应外合，里面的这俩小东西 等于外面。这俩小东西相乘是不很简单呀，来，这个， a 平行于 b， 则 a b 里应外合，里应 里应就是三乘一，外和就是负二乘负 k， 负二乘负 k， 三等于二 k 同时除以二 k 等于二分之三，检查一下， 没有问题，选择 c。 来，咱们再练一下，继续实战。 平行来，里应外合，它乘它等于 m， 它乘它等于四 m 直接选二 b 没问题了，平行是吧？里相乘，里应外合，二 x 等于外合， 六乘负一等于负六，同时除以二 x 等于一个负三选 a， 那 我们就搞定。哎，向量平行原来就是用一个小故事我们就能记得，就像人生中同路的人，里应外合这四个字送给大家。 那好，那向量除了平行呢？很多题还有另一种题型，大家应该猜到的，那就是什么呀？那就是垂直， 那垂直。大家想一下，如果一个人在人行马路上，你看咱们经常会过红绿灯，你往 东西走的时候，其实还有一个什么南北的红绿灯，哎，你们两个人是正好错开的，是不是会这种行为啊？你们两个人就像人生中的什么，就像过客一样， 你们只是相遇，但是你们没有什么交集。所以说我们说项链也也是易燃也是如此，项链如果垂直，那就像一个小人生哲理似的。那小程老师说，项链垂直，那就好比两个过客， 过客与过客之间只能是一场空，那我说项链就是，什么叫相成为零 好，什么意思啊？老师，你说的这么玄乎，什么叫相乘为零？简单点说，就是横坐标乘横坐标加纵坐标乘纵坐标等于零，非常简单的这个东西，记笔记好，直接做两个向量相乘，则一场空来， 这是横，这是横来。三乘以负二加上 m 乘以五，这叫横乘横加重，乘重等于多少？负六加五， m 等于零。好，把负六移过来，五 m 等于 六， m 等于五分之六，选择 c， 相信你就掌握了。来，咱们再来练一下这四个小题最后的练习来，两个向量相乘来，相乘一场空，它乘它 负三加上纵坐标相乘二乘以 m 加二， m 等于零，二 m 等于三， m 等于二分之三。 ok， 二分之三选四， b 来这个题，相乘为零来，他差相乘三 k 减负，一乘二等于减二等于零，三 k 减二等于零， k 等于二 k 等于三分之二， ok， 三分之二选 a， 它与它相乘来，横坐标相乘三乘三等于九，纵坐标相乘 减四 x 等于零，没问题吧？四 x 等于九， x 同时除以四 x 等于四分之九，选择 c。 那 么 ok， 我 们看最后一个题，是不是也直接一相乘啊？是不是直接一相乘？什么二乘一加一个， x 乘一等于零，然后 x 等于负二，你会发现没有答案，哎，为什么没有答案呢？ 大家看清楚这个题，他说的是二， b 加 a 和 a 垂直， 那前面是 a 向量和 b 向量，这是同一个事吗？这不是同一个东西。那我们得怎么办呢？我们得先把 a 加二 b 是 不是得算出来啊？然后再跟 a 垂直，是不是应该这个理啊？对了， 来，咱们擦掉。那 a 加二 b， 咱们怎么算呢？咱们就正常算，加法就用加法，乘法就用乘法。这个很简单，向量的加减乘除，跟咱们实数没有啥区别。哎，没有啥区别。所以 a 我 写在这里是二都一， b 是 一。逗 x， 二 b 呢？不就同时乘以二吗？对吗？横坐标也乘二，纵坐标也乘二，对不对？来，一乘以二，来 x 是 不是也乘二啊？那等于什么？二逗，二 x， 好， 这是 a， 这是二 b， 那 a 加二 b 是 不是就把它们加起来啊？我是不是讲的已经很细致了？ 所以 a 加二 b 等于什么？就加起来来，他加他。横坐标加横坐标是等多少？二加二等于四， 来，纵坐标加纵坐标，这是一，这是二 x， 纵坐标相加就是二 x 加一，相信同学都跟上了。 那么与 a 垂直， a 垂直，我再写一遍， a， a 是 多少呢？ a 是 二，都一垂直则一场空，则横坐标乘横坐标等于纵坐标，乘纵坐标等于零。来，横坐标相乘是谁？ 二乘以四，这是横坐标加上纵坐标相乘来，它乘以它，二 x 加一乘以一，是不？还是二 x 加一 等于零，我再把它合起来来。二乘四等于八，八加一等于九，也就是二 x 加九等于零。 好，也就是二 x 等于负九 x 同时两边除以二等于多少？负的二分之九选择四 d。

有时候我们学习啊，也是在学一个信息差，就是爪形定力已经考烂了，在出题老师眼里，这种爪形定力不是平时练了很多次了吗？都不想考了，但是有些同学依旧还是不会。那么这个省实验这个题的话就非常好，放在一个多选题里边， 随便一个拿出来一个问，都可以作为一个填空题出。那这个题他说在三角形 a、 b， c 中， c， d 等于 d 是 一个三等分点， p 为现在 b、 d 上的一个点。那我们看到这个结构之后，立马就想到，哎，这不有个爪子吗？爪形结构 起点相同，中点在一条线上，那么系数相加是不是一定为一啊？那这样的话，他题干给了这么一个， ap 等于 lamb 的 ab 加 m 倍的 ac， 我 们把它写下来啊， ap 向量等于 lamb 的 ab 加上 m 倍的 ac， 那 仔细观察，你会发现它符合转成定力的第一条，起点都是 a， 但是它不符合第二条，终点一定要在一条线上。现在你仔细看，有 p 了，有 b 了，而这个 c 其实是不对的，谁不对你就去换谁，把这个 ac 换了， 那 a、 c 是 不得三个 a， d 啊？三个 a d 好 了，现在你看依然符合起点相同终点的话， p、 b， d， p， b， d 三点是不是在一条线上，所以系数相加为一， lambot 加上三缪等于一。哎，所以这个题答案选 b， 那 a 肯定就是错的， 那看 c 和 d， 那 c 和 d 的 话， lambot 最大值以及后边这个最大值，这种题是不是有一个基本不等式的题目啊？所以 到了这一步，说实话和这个题就没有关系了。剩下的就是考察你高一上学期的基本不等式，那所以关于这个 c 的 话，它两项乘和 g 基本不等式，大等于二倍的根号下它两项乘三倍的 luma， 那 这个数的话是等于一大等于二倍的根号下三 luma 左右两边同时平个方就行了哈， 它的四乘以三，那么的命，所以那么小等于十二分之一，然后这就是它的最大值，所以对的，然后驱动条件你随便去验证哈，当前仅当它俩相等的时候，绝对没问题的哈，都是可以的。 那到这个式子哈，同学们仔细看，这个结构不用说了吧，这在基本不等式里边是不是做烂了一个题型啊？就是一的没有用，所以的话 number 分 之一加上 number 加上三，命成开就行了。他乘他的一，他乘他加他乘他， 它乘它等于三，因为进不等于十，反正都是正的嘛。它加它大等于二倍的根号下它两乘一，约最后一加三是四，所以是四加二乘三，所以这个呢，少挑了个二。那答案就是 b 和 c， 那 这个爪形令例，同学们一定要引起重视，它的难度其实并不算很大， 你一定要往这个结构上去凑，两个结构起点相同，终点共线。如果最近你每天刷题的时候都会遇见这个题型，那你一定要引起重视了，这就是在出题，老师在告诉你，这个题非常重要，这个题期中必考， 这个题期末必考，这个题高考必考。所以明白这个逻辑的话哈，你跟着老师的思路去学，你绝对会轻松很多。

好了，我们今天来说平面向量必用的小知识点叫平面向量的爪形图，为什么叫爪形图呢？因为它跟个小爪子一样啊，那么我们看给条件，就这样给的三角形 a、 b、 c 当中 b、 d 比 c、 d， 它俩的之比是 m、 b、 n， 那 么向量 a、 d。 向量 a、 b。 向量 a、 c， 它有这样的一个倍数关系，那么这个倍数关系是怎么来的？我们来说一下，那就是等于多少倍的向量 a、 b 过 c 点做 ab 的 平行线，平行线比 ab 就 等于 c、 d 比 c、 b， 那 么 c、 d 比 c、 b 就是 n 比上 m 加，那么等于多少倍的向量 ac， 我 们就过 d 点做 ac 的 平行线，平行线比 ac 是 几比 几，那么平行线比 ac 是 b， d 比 b c， b、 d 比 b， c 是 整个的 m 比上 m 加，所以那么这个就是转形图的结论。接下来呢，我们来看一个例题， 那在三角形 a、 b、 c 当中，这个 d 是 个靠近 d 的 一个三等分点，向量 b、 d 和向量 c、 d 的 关系，它不成二分之一倍的，那么向量 a、 d 等于几倍的向量 a、 d。 我 们过 d 点做平行线，平行线比 a、 b 等于 c、 d 比 c、 d， 那 么它等于二比三，所以它前面的斜角是三个二，等于二倍的 a、 c。 我 们做 a、 c 的 平行线。平行线，平行线比 a、 c 等于 b、 d 比 d、 c， 那 么它等于三分之一倍的向量 a、 c。

hello， 各位同学，大家好，我是胖丁老师啊，今天呢，我们来讲一个非常实用的项链里面的定律叫鸡爪定律。 鸡爪定律是怎么样子的呢？我们可以来看到这个题目哈， a， b 是 a 向量， a， c 是 b 向量， b， d 呢，等于两倍的 d， c 这是一份，这是两份，它让我们来用 a 向量和 b 向量来表示 a， d 向量。 好鸡爪，这里是这样子的，这是两份，这是一份，总共是三份，对不对？这边呢，两份多一点我们就少出一点，我们只出三分之一，这边少一点呢，我们就多出一点，出三分之二啊，把它加起来就是最后的答案，所以答案应该选 抖感。 ok， 我 们用常规的方法来验证一下这个鸡爪定律是否成立哈， a， d 向量等于什么东西呢？等于 ab 加 b d 对 不对？等于 ab 加 b d， ab 呢，就是 a 向量啊，把它擦掉啊， 而 b， d 呢，是两份， bc 是 三份对不对？所以是三分之二个 bc 向量等于 a 向量加三分之二个，我们再用减法，减法是后值前的，所以是 a， c 减 ab 等于 a 向量加三分之二个 a， c 就是 b， a， b 就是 a 啊，把它括起来， ok， a 向量减去三分之二个 a 向量，三分之一个 a 向量，还有三分之二个 b 向量，所以答案也是选多项， ok 吧。

今天我们来讲一下向量里面的第一网红知识点，奔驰定律。先讲结论，再讲推导过程。 在一个三角形里面， o 是 内部的一点，这个时候如果满足这样一个向量关系式，那么 s 一， s 二， s 三，它们的面积之比就是 x 比 y 比 z。 这个结论很多老师都讲过，关键问题是它是怎么得来的？ 要想研究面积，我们得考虑 o 的 位置在哪里，要想找到 o 的 位置，我们可以这样思考， 我们可以想象一下，这个向量 b o， 他 到得到底等于多少倍的向量 bc， 加上多少倍的向量 b a， 我 们只要能够表示出来，那就能找到位置了。于是我们对上一个式子做一下处理， 我们把这里面所有的向量全部改成以 b 为起点的，请看 x 倍的 o a， 就 可以写成是 x 倍的 b a， 减去向量 b o， y 倍的 o b， 其实相当于是减 y 倍的 b o 向量。再看后面 这一倍的向量 oc， 相当于是向量 bc 减向量 b o， 那 等于零向量。我们把这式子展开整理一下来，我们先来看 b o， 这里面是负 x 倍的 b o， 负 y 倍的 b o， 这是负 z 倍的 b o， 那 我可以移到右侧去，相当于是 x y 加 z 倍的 b o。 这个时候我们再来看那左侧还剩下 x 倍的向量 b a， 再加上 z 倍的向量 bc。 这个时候我把 x y 加 z 给除过去，我就会得到向量 b o， 等于。请看啊，那是 x 加 y 加 z 分 之 x 倍的 b a， 加上 x 加 y 加 z 分 之 z 倍的向量 bc。 好， 现在呢，我表示出来了，那我们看一看咋回事。其实啊，向量 b o， 我 们可以这么去看，我去做这个 平行四边形，我过这个点啊，做 b a 的 平行线，哎，我这么做，我过这个点呢，再做 b c 的 平行线，哎，这么来平行四边形法则对不对？好，那既然这样的话， 这个向量是由这两个向量相加得来的，那我大概明白了，你看啊， b o 等于这么多倍的 b a， 那 就意味着这一段比上 ab， 其实就是 x 比上 x 加 y 加 z， 同样的道理， 它等于这么多倍的 bc 向量。来，你看哈，其实这一段，那就意味着这一段比上 bc， 就是 z 比 x 加 y 加 z。 想清楚了这些以后，啊，我们来去研究面积，我们先看看 s 一 比上整个三角形的面积，我假设为大 s， 它应该等于什么？ 都是同样的底 bc， 那 我们主要研究高，对吧？那它的高其实是这一个，而这个高就相当于是这一段， 而这一段，大家注意，他比上总高就相当于是这一段比上他，而这一段比上他其实就是 x 比上 x 加 y 加 z， 对吧？那当我们明白了这一切以后，那接着我们再来分析，那 s 三比上总面积呢？请看啊， s 三比上总面积， s 三比上总面积。依然从高的角度来出发，请看 这个高比上总高，它相当于是谁？相当于是这个高比上总高，相当于是这一段比上 bc 的 长度，实际上啊，它就是谁啊，它就是 z 比上 x 加 y 加 z 好，现在 s 一 比 s， s 三比 s 都出来了，那光剩 s 二了，那 s 二比上总面积，当然是 y 比上 x 加 y 加 z 了，那所以 s 一 比 s 二比上 s 三，就是这个关系式。各位爱徒，现在奔驰定律你想明白了吗？

这节课我们一起来学习利用项链证明平面结合定理。先来看一下有关平面结合中的项链方法有四种，线平行，点供线三角形相似， 项链要平行条件来做这样的体。如果项链 a 和项链 b 是平行的，那么项链 a 是等于南无打背的项链 b。 如果已知项链 a 的坐标是 x 一 y 一，项链 b 的坐标是 s 二和 y 二，那么项链 a 和项链 b 平行，我们可以用坐标来表示， s 一乘上 y 二减去 s 二乘上 y 一是等于零的，这两个都是可以。那么这个式子是怎么样来的呢？我们再来回忆一下。 因为项链 a 和项链 b 他们平行的，那么这个等式是成立，所以 x 一是等于那么大背的 x 二， y 一呢，是等于那么 大背的 y 二。两式一相处，那么打就约去，然后呢，交叉相乘， a x 一 y 二是等于 x 二， y 一把它剪到左边，就得到这个十字。 第二个呢，我们遇到了垂直问题，通常会用项链数量机的运算。如果项链 a 和项链 b 垂直，那么得出项链 a 和项链 b 的数量机是等于零。如果已知项链 a 和项链 b 的坐标，用坐标表示，是横坐标与横坐标相乘，加上重坐标与重坐标相乘，他们是等于零的。 如果遇到有关平面结合中的长度问题，我们也会利用项链数量期的定义。项链 a 的膜是等于项链 a 的膜的平方，当然也是等于项链 a， 他的平方等于 s 平方加上 y 的平方， 其中 a 坐标呢，是 x 和 y。 第三个呢？如果我们遇到夹角问题，依旧利用销量数量级的一些相关数字 可在于其他，是等于项链 a 点成项链 b， 笔上项链 a 的膜，呈上项链 b 的膜，项链 a 乘上项链 b。 利用上边这个式子，项链 a 乘上项链 b， 用他这个式子来戴，而项链 a 的膜乘上项链 b 的膜呢？用这个公式来看， 所以可在 inc， 他既可以表示两个限量数量机比上他们的摩长，也可以用他们的一个坐标来表示。这是有关平面几何中的限量方法，主要掌握这四点， 接下来我们看一下用项链指使证明平面几何有关的定理。用项链方法证明直径所对的圆周角是直角。怎么样 要用销量方法来证明平面几何有关定理呢？我们给出三步，第一步，摄像量。第二步，做运算。第三步，还原程结合问题。 平面结合问题。如果我们想用项链方法来解决第一步呢，我们要设项链，把平面结合问题转化为项链问题。然后呢，根据项链的数量，机的运算以及贡献等等的一些运算呢，我们解决这个项链问题， 最后把这个线的问题还原成平面几何问题，然后得出答案。接下来看一下这个题。直径所对的圆周角是直角，我们用数学语言和图形把它表露出来， 如下图， ab 是圆 o 的直径， ab 是圆 o 的直径， p 一点呢是圆 o 上任意一点，但是呢，不能与 ab 重合。现在 求证的是 a p b 这个角等于九十度，是这个角等于九十度，也就说直径所在圆周角是直角。 先做一下分析，来看一下将我们要把这个平面积和问题转化为项链问题，而我们要求证的是，是他是一个直角，他是一个直角，是不是要求项链 pa 乘上项链 pb， 他们俩的数量基是等于零，看这个是不是成立的。 这两个项链，看他们俩是不是垂直，垂直那必定这个角就是直角。那么 pa 我们用其他项链来表示呢？ pa 我们连接，假设连接项链 po， 那么是等于项链 po 加上项链 o a 的 p b 呢？ p b 也是等于项链 p o 再加上项链 o b， 这是我们所做的 分析。接下来我们具体来做一下。首先呢，我们设项链，把这些项链给画出来，刚才用到这个项链，我们已经画出来了， 那么我们假设销量 po， 它是等于销量 a， 销量 oa 呢，是等于销量 b， 那么项链 oa 等于项链 b， 那么项链 ob 呢？是与项链 oa 的，它是它的相反项链。那么项链 ob 呢？ 大小相等，都是半径，但是呢，方向相法，所以是负 b 向量，我们以向量 a 和向量 b 作为基底，来看一下这个题，这是摄像量。 然后呢，第二步，我们做运算，做运算来看一下项链 pa 乘上项链 pb， 我们验证一下是不是等于零。项链 p a， 它是 p o 加上项链 o a， p o 是项链 a， 项链 o a 呢，是项链 b， 好点成项链 p b 呢，项链 p b 是 p o 也是项链 a， 再减去项链 a， 那么它是等于项链 a 的平方，加减去项链 b 的 平方，项链 a 的平方是等于项链 a 的磨的平方，项链 b 的平方呢，是等于项链 b 的磨的平方，因为这里他是项链 a， 他是项链 b， 他们都是半径，所以磨长相等，磨长相等，磨长的平方也相等。减了以后呢，他是等于零。 既然这里等于零，项链的数量计等于零，最后呢，我们还原成解决几何问题，所以得出 a p b 他是等于九十度，这两个项链相乘是等于零，所以说明这两个项链是垂直的， 那么这个题我们就得正了。根据项量、垂直数量及等于零，然后得出这个角是等于九十度。利用三步摄像量，第二呢运算，第三步呢，还原成几何问题。

今天我们来讲一下平面向量的等和线。在讲等和线之前呢，首先我们来讲一下平面向量里面的三点共线这个知识点，它指的是说如果 ap 向量等于 number 倍的 ab 向量，加是一个缪倍的 a c 向量， 如果 number 加缪是等于一的，那我们能够互相推出 b、 c、 p 三点共线。然后呢，我们画一个图来快速的看一下，这是 a， 这是 p， 这是 b， 这是 a。 如果这个地方占了 m 份，这个地方占了 n 份，它们的比例关系是 n 比 m 的 关系，这个我们在学校里面老师都已经给大家推导过了，我们也就知道， a p 向量就等于 m 加 n 分 之 m 倍的 ab 向量，再加上一个 m 加 n 分 之 n 倍的 a c 向量，这是我们之前学过的，那这叫做等一线，那什么叫做等和线呢？在看等和线之前，我们首先来说一下 a p 向量等 等于 m 倍的 a b 相等，加上一个 n 倍的 a c 相等点 p 在 与 b c 平行的直线 l e 上， 他问我们说，则小 m 加 n 都有可能等于多少，大概是这个意思，那首先我们来画一个图，第一种情况，我们假如他在这个上面，现在他就问我们他们的比例关系是多少？ a p 一 向量，它应该等于 x 倍的 ab 向量，加上一个 y 倍的 ac 向量， x 加 y 应该是等于一的 a p 向量，它等于 number 倍的 a p 一 向量。 那通过这个式子可以知道我们的 number 是 大于一的。我们来分解一下， a p 一， 所以 a p 一 向量等于 number 分 之一倍的 a p 向量往上面带， 也就说 number 分 之一倍的 ap 向量等于 x 倍的 ab 向量加 y 倍的 ac 向量， ap 向量，它就等于 number。 x 倍的 ab 向量加上一个 number 倍的 ac 向量，所以 number 倍的 x 再加 y， 它就应该等于 number。 那 又因为我们说了 ap 向量又等于 m 倍的 ab 向量加 n 倍的 ac 向量，所以 m 加 n 就 等于 number 倍的 x 加 y 就 等于 number， 所以 m 加 n 等于 number。 number 是 大于一的。好，这是第一种情况。我们的第二种情况就应该是什么样子的呢？ p 在 这条线上以后，那么现在来看，这条线也是和 bc 平行的， 这是我们的 abc， 这是我们的 p 一， 我们真正的 p 在 这个地方，也就是 ap 等于 m 倍的 ab 向量加上一个 n 倍的 ac 向量。 好，除了知道这个东西以外，那么接下来再来看， ap 一 向量应该等于 x 倍的 ab 向量加上一个 y 倍的 ape 向量。同理， x 加 y 是 等于一的 number 的 ape 向量，所以这个 number 的 范围在零到一之间， 所以我们把这个式子来再替换一次。所以 a p 一 向量，它就等于 number。 分 之一倍的 ap 向量， 它等于 x 倍的 ab 向量加 y 倍的 ac 向量，所以 ap 向量就等于 number 倍的 ab 向量加 number 倍的 ac 向量。又因为 ap 向量等于 m 倍的 ab 向量加 n 倍的 ac 向量， 所以 m 加 n 就 等于 number 倍的 x 加 y 就 等于 number。 还有一种情况， p 在 这条线上仍然和 b c 是 平行的关系。我们很快能知道的是， a p 一 向量等于 x 倍的 ab 向量加 y 倍的 ac 向量。 x 加 y 是 等于一的，而 a p 一 和 a p 又有关系， a p 向量等于 number 倍的 a p 一 向量，所以 number 是 小于零的， 所以我们再反解一下，也就说 ap 一 向量就等于 number 分 之一倍的 ap 向量，它就等于 x 倍的 ab 向量加 y 倍的 ac 向量，所以我们能得到 ap 向量等于 number x 倍的 ab 向量加 y 乘以 x 倍的 ac 向量， 所以 number x 加上一个 number y， 它就等于 m 加 n 等于 number。 好 了，对于等和线而言，如果 ap 向量等于 number 倍的 ap 一 向量， p 就是 我们等一线啊， 所以我们就能知道， ap 向量如果等于 m 倍的 ab 向量加 n 倍的 a、 c 向量，那所以 m 加 n 就 一定等于 number， 这就是等和线。好，那我们快速看一道高考题，这道高考题说，已知矩形 abcd 中， a、 b 是 等于一的 a， d 是 等于二的 p 点。在以 c 为圆心且与 b、 d 相切的圆上， p 点在这个上面。若 a p 向量等于 number 倍的 a、 b 向量加六倍的 a、 d 向量，完全和这个等一线这个思路是一样的， 就是我们首先看到了等一线，我们先随便画一个啊，我们假如 p 在 这个位置，如果这是 p 点的话，它和这个地方的交点我们记为 p 一 点，那它们的比例关系 p 点应该在这条线上，所以它应该 p 点应该在这条线上。 那我们就知道了，你现在要让我求一下它的最大值， m 加缪的最大值就是 ap 比 ap 一 的最大值，要 ap 比上一个 ap 要最大，所以我们要把这条线往后挪， 因为 p 点要在圆上，所以挪挪挪挪，我们发现挪到这个位置的时候其实是最大的，这就是我们的 p 点，那么这是我们真正的 p 点，这是我们想要的红色的 p 一 在这个位置， 所以题目说 number 加 num 等于多少？那么此刻 a p 比上一个 a p 一， 它首先都是同向的，所以它就等于 m， m 显然是大于零的，那 m 也等于 number 再加 num。 那 么要求 a p 比 a p 一， 我不太好做，但是什么我好做呢？ 我用比例关系，我做一下垂线，这几条线都是平行的关系，如果这个地方是垂直的，我们把这个地方记为 h， 把这个地方记为 n， 那 么在这个三角形里面， ap 比上一个 ap 一， 不就是 a n 比上一个 a h 吗？我们要求 a h， a h 不 就是 a 点到这里的距离吗？就相当于这个圆的半径是一样的，所以 a 点到这里的距离 a h。 我 们用等面积法是非常好算的。 a h 就 等于 根号五分之二 h， n 是 圆的两条切线，这的距离它应该等于二， r， 它就应该等于根号五分之四。所以 a n 比上一个 a h 就等于根号五分之六。比上一个根号五分之二，就等于三，所以它也就等于 m， 它也就等于 number 再加妙，所以 number 加妙的最大值就是三。我们用等和线就快速把这个题目给解决了，这就是等和线部分的知识点。

这条视频你可以直接划走，但我怕你的竞争对手悄悄。数学上一百三主播高中数学常年一百四十加讲课，七年历史，清华带过无数学生，数学上一百三十加 大数据，把这条视频推给你，你就是那最幸运的前百分之一，点赞加关注，接下来主播将手把手带你搞定高中数学，把我的提分秘籍全盘托出，基础越差越好用， 不管你是高一高二还是高三，不管你是数学零分还是一百分，都可以用，超级好用，可以说是全网最牛逼的课程，没有之一。今天我们要讲解平面向量进阶篇三角形的重心。首先我们来看到三角形的重心，那么关于重心呢啊，你要搞清楚第一个问题，它是三角形什么线的焦点？ 哎，注意重心，它是三角形各边上中线的焦点，那中线也就意味着这个 d 点， e 点、 f 点都是三角形三条边的中点，对吧？这个得明白，也是最关键的点，也是它的核心。 那么下面有四个 b g 的 结论，一二三四，这四个结论怎么来的？都是由他这个定义中线的焦点而形成的啊，我们这四个结论，同学们一定要把它记牢啊！第一个就是重心，到边的终点和到顶点的距离之比是一比二，也就是说，如果这 g 是 重心， 那么 a g 比上 g， d 是 二比一， b g 比上 g， e 是 二比一， c g 比上 g， f 也是二比一。好，这是第一个结论，也是最重要的结论，用了我们用最多的一个结论啊，明白吧？好，那我们来简单证明一下啊，那我们首先呢，把这个 a d 给它延长 好，延长，那么过 b 点呢？做这个 a d 的 延长线，比如说于 f 点 于这个啊， h 点嘛？ h 点， ok， 好， 那么我们得到这个 bh 是 平行于 ac 的， 对吧？好，那同学们看，这里有两组相，三角形，一个是 a g e 相似于这个三角形，而且它们的相似比， 看一下是多少？是这个 a e 比上这个 b h， 而我们的 b h 等于 ac， 所以 相似比是一比二，对不对？好，那我们就可以列出两个式子啊，第一个式子就是 ag 比上我们的 g h 等于一比二好。第二个就是这个 d h， 它是等于 ad 的， 对吧？好，我们写一下 d h， 它是等于 ad 的， ok， 好， 那么这两个式子我们把它综合一下就可以做出来了。那这里啊， a g 比上 g h， 它可以写成 a g g h， 我 们知道是 g d 加上 d h 好， 等于一比二 好，而这个 dh 呢，是等于 ad 的， ad 是 等于 ad 的， 那我们把这个 ad 呢写成 ag 和 gd， 也就是 ag 比上 gd 加上，因为这个 dh 等于 ad， ad 等于 ag 加 gd， 那 就是 gd 加 ag， 这么回事，等于一比二，好，我们把它展开，这是两倍哈，那就得到两倍的 gd 加上 ag 等于两倍的 ag， 那么有的就得到 a g 等于两倍的 g d， 哎，得到这个结论，得到这个结论，其实就说明这个 a g 比 g d 是 二比一嘛。那同理，其他的 b g 比 g h， c g 比 g f 都等于二比一啊，这个是最最最重要的结论，同学们把它记清楚，好吧，好， 那么第二个点就是重心了啊，与三个顶点相连，形成了三个三角形，这三个三角形的面相等啊，这个三角形，这个三角形和这三角形，这个三角三角形面相等。呃，这个呢，其实同学们可以理解一下，你想一下，如果有个三角形的木板，你想要把它支起来，顶起来， 那么那个点其实就是重心，那想一下怎么样才能保持这样的一个平衡，是不是这三块的面积一样，也就是所谓的三块的质量一样，能理解吧。 好了，第三个呢，是 o a 向量加上 o b 向量加上 o c 向量等于零向量。同学们看到这个向量的表达形式，就要知道我们的 o 点为重心。 好吧，我们简单推一下，你看这个 o a 加 o b 哈，这个 o 和 g 是 一个点啊， o a 加 o b 好， o 和 g 是 一个点，那么 c 在 这。好，我们首先看这个 o b 加 o c， 那 么 o b 加 o c， 这两个相加，我们根据中线，这个是中点， d 点是中点，所以 o b 加 o c 其实等于两倍的 g d， 对 不对？ 好，两倍的 g d， 哎，加上 o a， o a 是 这一个，它们两个是不是抵消了，所以等于零向量，所以说 o 点是它的重心，同学们能理解吧？其实它本质上就是我们第一个结论 啊。好，那么第四个就是重心的坐标公式，那么在向量的这个间隙过程当中，有可能会涉及到重心，那么写坐标的时候，同学们可以啊，这么写，那这里的 x 一， x 二啊， x 三分别代表 a、 b、 c 三个顶点的坐标，分别是 x 一， y 一， x 二， y 二和 x 三， y 三，能理解吗？好，这第一块接着， 那么紧接着看第二个叫三角形重心的必推结论，这四个向量的形式，同学们看到了一定要把它推出来，哎，是我们的重心。好了，我们依次来给同学们推一下。首先第一个 a o 向量等于三分之一 ab 向量加上 ac 向量啊。首先我们画一个图， 好，这是个三角形， a b c， 好， 那么他说 ab 向量加上 ac 向量， ab 向量加上，我们取一个 bc 的 中点为 m 点，那么是不是等于两倍的 am 向量？好，那也就说 ab 向量加上 ac 向量，其实等于两倍的 am 向量，对吧？好了，所以 a o 向量也就是等于三分之二倍的 am 向量，对吧？好了，所以 a o 向量也就是等于三分 之二倍的 am 向量，对吧？好了，所以 a o 向量也就是等于三分之二倍的 am 向量。 哎，那相当于什么？相当于把 m 向量划分成三份，其中它取两份，那它这个点不就是在这块吗？你看，取三份这个点在这，这就是 o 点，对不对？哎，这就是 o 点，说明 o 点，是这个结论，说明 o 点为重心吧， 理解吧。好，这第一个。第二个，他说 p o 向量等于三分之一 pa 向量加 pb 向量加 pc 向量啊，我先把第一个擦了， 那我们看能得出什么结论。第二个，哎，我们把这个三乘过来，就是三倍的 p o 向量，是不是等于 p a 向量加上 p b 向量，再加上 p c 向量。哎，我们把三倍的 p o 向量分配给它们三个， 一人一个，那就得到 p a 向量减上 p o 向量，加上 p b 向量，减上 p o 向量，再加上 p c 向量减上 p o 向量。哎，这个地方是等于 零，对吧？好，那么这里我们就都不用画图， p a 向量减 p o 向量不就等于 o a 向量吗？再加上 o b 向量，哎，这个呢？ o c 向量等于零向量， 哎，这个不就是我们前面刚才讲的这个 b g 结论的 o 点是重心的一个向量形式吗？ 对不对？好，那么关于 c 这个二，第二个啊，第二个，这个 p o 啊，这 o 点是重心， p 点是三角形平面内的任意点。好，同学们可以自己标注一下，我们这个叫啊 p 为三角形 平面任意点。好， o 为中心。 那么我们重点来看第三个，第三个来，同学们看啊，第三个，这个是 a p 向量等于 lambta 的 ab 向量加 ac 向量，或者叫 o p 向量等于 o， a 向量加 lambta 向量加 ac 向量，那这两个其实是一样的，因为我们把这个 o a 向量移过来，它就是我们的 a p 向量，是吧？ 好，他说 p 点是一定经过重心啊，为什么？你同学们想啊，这个 ab 向量加 ac 向量，如果你画一个图，你就明白了，来，这是 a， 这是 b， 这是 c， 如果我们取一个中点啊， m 点， m 点是中点， 那么其实这个 ab 向量加 ac 向量就是两倍的 am 向量，那么再乘上一个 lambda， 整个是 lambda， 也就是等于二 lambda am 向量。那你想一下， ap 向量等于两倍的 am 向量，说明 apm 三点共线，那么 p 点是不是一定在这条线上， 对不对？所以他说 p 点的轨迹一定经过重心嘛，因为这 m 点是中点， m 点是中点，中线啊，重心一定在其上，对吧？好，大家看看，这个非常重要，说明它代表中线的方向 啊，能理解吧？好，这个非常重要。 ok， 好， 那么接着我们看第四个，第四个可能有的同学看到，哎，感觉麻了，这个数字怎么这么复杂啊，怎么分析啊？来，我们来仔细观察一下 ap 向量，对于 number pad 的， 哎，这个东西加上这个东西，哎，说这个 p 点啊，是啊，它的轨迹经过重心 p 点轨迹，那怎么办呢？其实我们可以由第三位来看，你看这个第三位，如果第三位就是 ab 向量加 ac 向量， 那第四位有 ab 向量加 a c 啊，但是呢，这里有下面有一坨我们不认识的东西， 那如果我们说我们把这个变成固定的数，是不是有可能和它相关？好，那我们具体来想啊，后面给同学们推导来，我们来想一下下面这个东西，一个是 sine b， 一个是 sine c。 在 三角形里面，我们画一幅图来， 这是 a， 这是 b， 这是 c sign b 是 这个角， sign c 是 这个角，而 ab 是 哪个边？ ab 是 这个边， ac 是 这个边。哎，我们发现一个是这个边，一个是这个角，一个是这个边，一个是这个角，还是 sign。 同学们会想到什么？想到政权定力，对不对？ 好，你想到正确例题，那你就可以写了，叫 a b 向量的模比上撒引 c 等于 a， c 向量的模等于比上撒引 b。 哎，我们整理一下，得到 a b 向量的模乘上撒引 b 啊，等于 a c 向量的模乘上三 a c。 哎，这个写出来，发现它就是上面的分母啊，刚好上面分母，说明它们分母相等，那不可以提出来吗？所以这个式子， a p 向量等于莱姆塔倍的，这个 ab 向量比上 ab 向量的模乘上撒引 b， 加上 a c 向量，它是比上 a c 向量乘上这个撒引 c， 我 们直接给它换成 ab 向量， 乘上三 n b， 哎，这样，那么都有，我们给它提出来叫 lambot， 除以 ab 向量的模乘上 lambot 好， 乘上 lambot， 然后这里就变成了 ab 向量加上 ac 向量。好，那同学们现在看。 哎，这个其实是一个值，因为 ab 向量的模乘上三 n b， 它是一个值，除以分之 lambot 也是个值，其实这是一个数， 这是一个向量。这个向量代表什么方向？我们刚刚说了叫中线的方向，对不对？那所以 p 点是不是一定经过重心，能听懂吗？ p 经过重心， 哎，推导完了，听懂了噻，好，这个向量形式和它是一样的，因为你把它移过来就是 o p 向量减上 o a 向量 等于 ap 向量。啊，其实是一样的啊，同学们，下次看到这种啊，两个在一起的，你可以把它合并一下就可以了。那么这个题呢，我觉得你要把第三个把这个结论记住，就是中线 的方向，它代表中线的方向，对吧？那么一个数乘它说明它们共线，说明 p 点，哎，和那个 a 点，还有那个中点共线，从 p 点进入中线。 哎，这怎么想到了呢？我们画一幅图啊，哎，把这个边一标，把脚一标，你能想到的只有正确的你，没有其他的了，在你脑海里面能调出来的东西，只有他听懂了吧？ 我们下面来看一下这个题。这个题说三角形 a b， c 中过重心计的直线，交 a b 于 p， 交 a c 于 q， 那 么这个三角形的面积 s。 一， 这个 a b， c 的 面积 s 二，那么 a p 等于 lambot 的 ab 向量 a q 等于 mu 倍的 a c 向量 s 一 比 s 二的范围。诶，这个题 好，首先拿到这个题，你肯定要画图啊，来画个小图，好，这个是 a 点，这个是 b 点，这是 c 点，那么 g 点在，比如说在这，哈，那么他说过 g 点画一条直线，那我们画一条直线， 比如说，这样，好，这是几点？交 a b 于 p 啊，这是 p， 交 a c 于 q， 这是 q， ok， 这是 g， 好， 他说哪个三角形面积是 s 一 啊？ a p q 上面这个，整个这个 s 二，哎，这两个面积比的范围，我们先把面积比比一下啊， s 一 比 s 二，好，这个面积比上这个面积， 那我觉得用面积公式一定会用这个角，因为这有这个角的话，他们会消掉，你想，当然会这么写，对不对？好了，我们就写二分之一 ap 乘上 a q， 再乘上三 a， 你 一定会这么写， 因为他们有个公共角，大家都会这么写，都会觉得把这个三 a 约掉啊，这一步都能想得到，所以就二分之一 ab 乘上 ac， 再乘上个三 a， 好，你发现这两个约调约，调约调得到，就是 a p 乘 a q 比上 a b 乘 a c。 好， 那你现在想，这个题目当中，这是一个 lambantha， 这是一个缪， a p 比 ab 的 长度，这个不就是 lambantha 吗？ lambantha 分 之一哈， lambantha 分 这呢？缪嘛，那出来了，那说明这个就是 lambantha 啊，这个 a a p， 哈， a p 比上 ab 是 lambantha 啊，这个是 mu 啊， mu 出来了，发现啊，这两个比值就跟 lambda 和 mu 有 关， 对不对？好，写到这了，那么下，接下来我们就接着想啊，再想怎么去把这个 lambda 和 mu 用在这个题目当中，题目还有个什么条件没用？同学们看，还有个既是重心没用， 对吧？而且他说是过 g 点的一条直线交于 p q， 这这句话是完全没用到的。没用到的？好，那同学们想， 我是不是应该把这个 a g 给它稍微表示表示，因为 p 和 q 是 跟 g 点有关，它是 g 是 定点啊，这条直线它是定点，它是旋转导致 p 和 q 不 一样的， 对不对？所以跟 g 有 关。那我们写一下，我们可以这么写，叫 a g 向量，哎，等于等于 a g 向量，同学们知道啊，等于三分之一倍的 ab 向量加上 ac 向量。哈，前面我们这个刚讲的结论啊，同学们如果不记结论，可以自己推一下啊，这个 a g 向量等于这个整个长的三分三分之二 倍的，假如这是 m 点，那就是 am 向量，对不对？好，那，那这个 am 向量又等于二分之一倍的 ab 向量加上 ac 向量。 好，那么一综合不就是三分之一倍的 ab 向量加 ac 向量。好，那我们把 ab 和 ac 带进去， 好，那么这个得到等于三分之一。好，这是 lambot 分 之一 ap 加上 mu 分 之一 ac 啊， a q 好， 怎么回事？好，整理一下， 得到等于三 lambot 分 之一 ap 向量加三 mu 分 之一 a q 向量。 a， 这个条件好像可以用了， a p g 向量等于这个东西，哎，这个东西 你发现这个条件可以用了， g 点你用了，对不对？这个一条直线没用，这条直线说明什么？ p q g 三点共线，三点共线，我们说这两个系数之合一定是一吧？那所以你得到三两塔分之一加三缪分之一一定等于一呗。 哎，那 lambata 和 mu 的 关系？知道了，题目让你求 lambata 乘 mu 的 一个范围，那不就是一个函数了吗？好了，我，哎，来分解一下，得到我们把这个 mu 换掉哈。那这个地方是这个叫 mu 分 之一等于三减 lambata 分 之一，也就是 lambata 分 之三啊， 六分之一等于三减上一个 lambata 分 之一啊，对吧？等于这个 lambata 分 之三， lambata 减一好了，所以 lambata 等于这个三， lambata 减一分之 lambata 怎么回事？ 我们写一下 lamb 等于三， lambata 减一分之 lambata 怎么回事？好了，所以我们的这个 s 一 比 s 二， s 一 比 s 二等于 lambot 方分之三， lambot 分 之啊， lambot 减一， ok， 好， 那么现在你确定一下 lambot 的 范围，去算一下它值域即可。好，那我们看一下啊， miu 和 lambot 的 范围怎么确定？题目当中说这是交于 p， 交于 q， 据 a， c 和 ab 交于。那你想一下，这个 lambot 没有在这，那 lambot 一定是在零到一之间， miu 也是在零到一之间，对不对？好，所以这个范围我们就写一下叫 lambot 属于零到一 啊。 miui 属于零到一。好，那 miui 既然属于零了，那 lambta 除以三， lambta 减一也一定属于零到一， ok， 没错吧？ 好了，你想一下， lambta 除以三， lambta 大 于零， lambta 也大于零，所以 lambta 减一一定大于零，对吧？那所以 lambta 除以三， lambta 减一小于等于一，那就是 lambta 小 于等于三， lambta 减一，所以二， lambta 大 于等于一， lambta 大 于等于二分之一，还有小于一，那这里我们就写上 lambata 是 属于二分之一到一的。好，现在就分解它的值域即可。那分解它值域大家知道，就把这个三 lambata 减一，就给它整体换元嘛。好了，我们就写一下，把它 把它设成这个 t 吧。 t 等于三， lambata 减一哈，那同学们算一下，都是 t。 好， 上面 lambata lambata 等于 t 加一除以三，也就是九分之一 啊，这个地方是 t 加一除以三哈，然后括号的平方嘛，也就是九分之， t 方加上一个二 t 加一。好， 也就是九分之一， t 方加上一个九分之二， t 再加上九分之一。 来整理一下，得到等于九分之一， t 加上九， t 分 之一，再加上九分之二。好，那么这里现在就是一个什么函数，对勾函数吗？好，对勾函数画一下图像啊，而且，呃，这个 t 的 范围你写一下， t 属于 这等于三，连它减一，等于二分之一的时候，二分之三减一，二分之一 一就是二分之一啊，等于一的时候三减一十二啊，怎么回事？好，你画一个图，对勾函数。这样啊，这个是，呃，我们把这个九分之一提出来啊，你可以这么看， 九分之一，然后 t 加 t 分 之一。好，我们只看这个 t 加 t 分 之一啊，这个地方取最小值是一嘛，它在二分之一到二之间啊，这是二分之一，这是二，大概就是这么一段， 对吧？好了，最小值不就在这吗？最大值要么在二分之一，要么在二，你带进去算一下即可。好，那我们算一下，我们先把最小值算出来，最小值在这也就是等于一的时候，一，一二啊，九分之二，九分之四， 最大值。来，我们把二代进去算二加二分之一，这两个应该相等的，对吧？好，这是二分之五，二分之五啊，乘上九分之二啊，乘上九分之一 就是十八分之五，加上这个九分之二，十八分之四，也就是这个十八分之九，所以就是二分之一，最大值是二分之一啊，同学们， 好，那么整个他的范围就出来了，所以答案就是九分之四到二分之一，讲完了，听懂吗？听懂吗？那么这个题呢？有一定难度，但是没那么难，因为思维的形成其实比较简单 啊，那我们把整体思路处理一下啊。来，首先你得到 s 一 比 s 二，这个同学们都能想到，因为跟三也有关，所以你会想到把它约掉，所以你会这么写，那么既然写成这个式子，结合题目这个条件，你就可以化成 themata 比 mu， 那 么现在就算 themata 和 mu 的 一个范围。 好，紧接着看题目条件，还有谁你没有用，还有谁你没有翻译，就它。首先重心 p q， 其实你应当能想到 p q g 三点攻陷，这个题目在平时练习题当中经常讲， 对不对？所以我们想当然把它变成 a g 等于三分之一这个东西，进而把它带进来。哎，找到莱姆塔和米的关系就找到了啊，最后把它带过来算这个值域就好了。好吧，那么整个题我觉得思维是没有太大的难度的啊。好，那么今天这个题就讲到这。

hello， 各位同学，我是胖丁老师。今天呢，我们来讲项链里面一个非常重要的定律，叫等和线定律。 好，我们先交代一下，什么东西叫等和线定律。这是一根直线，上面呢有 a、 b、 c 三个点，直线外呢有一点 p 啊， p b 向量可以用 pa 和 pc 来为一表示，对不对啊？ p b 向量会等于 x 倍的 pa 加 y 倍的 pc。 好， 我们知道，当 a、 b、 c 三点共线的时候呢， x 加 y 就 可以得出等于几啊，一对不对啊，其实这根线我们就叫什么线呢，就叫等一线 好。那么当 b 点并不在这根直线上面动，而是在一根平行于它的直线上面动的时候呢，我们来考虑一下，假设 b 点现在延长到这来了， b 点在这里，那么啊，大家猜一下，此时 x 加 y 又会等于几呢啊？因为 这个 b 点在这的时候是一对不对？现在呢， p b 呢，要比这个刚才的那个 p b 要更长一点，所以此时 x 加 y 是 一定会大于一的，那到底等于几呢啊？有一个这样的结论，就是我们要看这个 p b 比上 p b 撇是多少。我假设 p b 的 长度比上 p b 撇的长度，如果等于二，我们就可以得出 x 加 y 一定是等于二的， ok 吧，所以这根线呢，又叫等二线，对不对？所以他会有很多平行这样的线啊，如果是三倍就加起来等于三，如果在这边呢，就是加起来小于一，如果在这边呢，加起来就是个负数， ok， 有 了这个等和线，我们就可以来做这个题目了。 如图， ab 呢是圆 o 上的两个点， aob 呢是一百二十度啊， d 呢是上面圆周上面溢于 ab 的 任意点线段， o d 跟 ab 呢？交于点 c， 两个线段要相交，那么地点呢？就只能在 ab 这一段弧上面动了， ok 吧？好， o d 等于 number 倍的这个 o a 加缪倍的 o b， 那 么很明显我们可以看得出来，这个情况的话， 如果 d 点是在 c 点的话，此时的 number 加 m 一定会等于一对呗。但是很明显，现在 o d 比 oc 长，所以这个 number 加 m 一定是比一大的。 ok， 所以 我们要把这两个先排掉。 好，那我们来考虑一下当 d 点，其实我们就是要考虑这个 o d 比上 oc 的 取值范围喽。 当 d 点运动到 a 点，当然它不可能运动到 a 点，我们只是假设它而已。如果当 d 点运动到 a 点的时候，那此时三点是不是就贡献了啊？此时 number 加 mu 就 一定会等于一对不对，所以咱们的 number 加 mu 是 大于一的。 好，那什么时候 o d 比 o c 最长呢？当 d 点运动到 a b 的 什么点啊？中点的时候， c 点在这儿，此时的 o d 比 o c 是 多少呢？是二，所以呢， number 加 num 的 最大值就是二，所以答案选 dog。 ok。

平面向量啊，是很多同学心中的痛，我们今天选择一个题，然后用三种方法给大家讲解一下。首先我们来看啊，第一种方法叫公式法， 什么是公式法？套公式吧，套公式可以啊，那我们首先看一下两倍的 p c 加 p d 等于什么？ 我们可以 p c， p c 呢？呃，是 p b 加 b c， 然后 p d 呢？是 p a 加 ad， 然后再来。呃，就是我们为什么要换成这样？同学们一定是这样问的，为什么换呢？换的逻辑是什么？是垂直， 我们这里面 p b， b c 垂直， pa， ad 垂直， 因为换垂直之后再相乘垂直就是零，然后共线呢？相乘夹角要么是零，要么是 pi 啊，这方便我们计算啊。所以我们来看一下 p b， 呃 b， 大家看一下这个 bc 啊，看到 bc 了吗？看到 a d 了吗？ 两倍的 bc 和 ad 啊，它可以等于两倍的 ad， 然后再加上两倍的 p b 加 pa， 同学们一定要理解， p b 的 向量是向右的， pa 的 向量是向左的。然后我们现在的问题呢，是问的模的最小值， 那膜的最小值，大家想一下， a d 是 真实存在的，对吧？然后我们这两个向量是什么情况它才能最小呢？那就是相加等于零呗， 所以就大于等于二倍的 a d， a d 是 等于等于二，等于四，最小值是四。 所以第一种方法的特点是公式法的转化里面要用到垂直啊。然后如果你要把 p c 换成 p d， 呃，加 d c 可能就麻烦了啊。来，我们看第二种办法。 第二种办法呢，就是我们间系法，我们有个小口诀，不会就间系嘛，就是比如这个题，我不会，那我间系间系啊，尽量在原图上间系啊，这样会方便一点。 那很显然， a 点是零，零呃，到个点是零，二呃， b 点是也 b 不知道，那就假设吧，就是 b 零， c 点坐标是 b 一， 然后 p 点坐标呢，就成 x 零吧， 一次代入就好了。首先两倍的 p c， 呃， p c 呢，就是二倍的 b 减 x， 然后是二， 然后向量 p d 呢？呃，就是负 x 二， 那他们的膜呢？哈哈，这膜两倍 p c 加 p d 的 膜。那我们就把横坐标纵坐标代入，求模公式嘛。然后是二 b 减三， x 的 平方加四的平方， 求什么值？最小值？那平方的最小值它是大于等于零的， 所以最终这个题大于等于四间隙呢，比较直白啊，你用间隙的方法直接来啊，会，呃，思路上会清晰一些啊。那我们看第三种方法。第三种方法呢，是老师比较推崇的啊，就是画图法。 画图法呢？呃，可能更快，如果你对向量理解得好，那用画图法做这题就很轻松啊。那大家来看一下我怎么画图。这里的重点是处理两倍的 p c， 所以呢，我找出这个一点 e， 让我们 p e 等于两倍的 p c， 然后两倍的 p c 加 p d 的 膜，就等于 p e 加 p d 的 膜， 然后我们就用平行四边形法则或者三角形法则来处理这个加法的膜。大家会发现一个细节，什么细节呢？我把它先延长。 大家可否发现，我说 d e 呀，和 a b 是 平行的，原因是什么呢？我线上做垂线啊， g e 等于 p c 啊，一组垂直是一组，而且啊，这是二，这是一，这也是一，所以它就垂全等了啊，那这样的话呢，全等就知道我们互相都平行啊，都没问题的啊。 呃，全等式，这个角，呃角角 d e c 等于角 b p c， 所以 就是平行了吧。那这呢好做了，大家想一下啊，他问的是呃 p d 加 p 的 最小值， 最小值呢？我们做平行四边形呗，假设如果引入一点，假设引入一点 f， 那它是不是等于二倍的 p f？ 这样写吧， 二倍的 p f p f 最小值多少啊？那点 p 是 固定的，然后 f 这个线上，所以当 p f 它垂直的时候最准，所以它是大于等于死的。

好，同学们，我们今天来看一下二零二二年新高考一卷的题目，在三角形 a， b， c 中点， d 在 边， ab 上， b， d 等于二倍 d， a， c， a 为 m 向量， cd 为 n 向量，问你 c、 b 向量为多少？ 那我们在一般做题的时候，就会把 c、 b 向量啊，用 c、 d 向量和 c、 a 向量这两个基体把它展开就能够做出来，然后通过啊， c， a 等于 ab， 然后 ab 转化，转化到 a， c， c， d， 然后 c、 b 又转化到这，然后最后转化成 c、 a 向量和 c、 d 向量，最后做出来。 那这个题目假如你这样去做的话，我，呃，不多说嘛，你最少要花五分钟嘛，对吧？五分钟应该是要的啊，因为你要去找他们之间的一些关系， 但是其实很多时候啊，有些人是做不出来的，我们不看这个答案，我们今天给大家讲一个鸡爪定律。鸡爪定律是什么呢？就是，呃，我们首先给大家介绍一下三点共线定律啊，三点共线是假如我的这个 a、 d 向量等于 x 倍的 ab 向量加上外倍的 ac 向量， 如果他们三点共线，那就有 x 加 y 等于一，反之，如果 x 加 y 等于一则三点共线这个证证明的话，大家有不会的可以私信我，我给大家讲一下啊。今天我给大家主要讲一下鸡爪定律， 那鸡爪定律是什么呢？在这个三点共线定的基础上更进一步，假如你的 b、 d 比上 c、 d 等于 m 比 n， 就是 它们之间的这个比值啊，你能够把它找出来的话，那么我的 a、 d 向量就等于 n 占 bc 啊，之间的比值乘以 ab， 然后加上 m 占 bc 之间的比值乘以 ac 相加。 好，我们有了这个结论了。之后，我们再回过头来看这个题。你看啊，他说 b、 d 等于二倍 d， a， 那 就是二，这是一。他说 c， a， m， c、 d 等于求 cd， 那 就是说三分之一 c、 b 向量加上三分之二的 c， a 向量等于了 c、 d 向量，对吧？然后就是三分之一 c、 b 向量加上三分之二的 m 等于 n。 好， 那我的 c、 b 向量就等于了 负二 m 加三 n， 所以 我们直接选 b 了。假如这样来做的话，你可能就只要花三十秒就把它做出来了。很快啊，我们高考的时候就必须得争分夺秒，为后面的大题做基础。 好，我们再来做一个练习题，做这个鸡爪经典的练习题。他说，在三角形 b、 c 中点 d 满足 a， d 向量等于四倍的 d， b 向量，则 c、 d 向量为多少？大家可以在草稿纸上把这个图形画出来，然后找到他们的笔直关系， 然后把 a、 b、 c、 d 四个选项做出来。啊。我们把答案打在评论区，有用去评论区解答啊。同学们，今天有关平面向量的鸡爪定律我就讲了这么多了，有需要这方面高考题的同学私信我，我把今天的奖励发给你。

贺兰高日的家长，你家的孩子呢，是不是在学习到平面向量对应的数量机以及平面向量基本定律的这一块呢，出现了问题，公式也背了，题也做了不少，但是呢，以考试呢，还是不会越学越闷的状态。 我在贺兰呢，做了六年的初高中数学，今年呢，对于高日的孩子呢，几乎一半的孩子呢，都卡在了这里， 平面下面呢，整体来说不是很难，是入门就错了啊，方法错了，后面呢，全错，不会因式，不会分解，不会看图，不会转化，越学越乱，越学越怕，导致呢，这一章节呢，直接放弃。家长呢，越看越着急，却不知道如从下手如何帮忙。 不是孩子笨，也不是孩子不用功，是思维呢，没有转换过来。很多孩子呢，还是沿用初中的方式呢，应学高中的内容，结果呢，听懂一点，但是呢，做题呢，完全是懵的状态。 我专门帮贺兰本地的孩子呢，梳理了项链的解析逻辑，打通思维卡点，用最简单最接地的方法呢，讲透，让孩子听得懂，听得上，学得稳，把抽象的项链呢，变成拿分的内容。 我在银川，河南，专注初高中学习的指导，孩子呢，向量学不通，学不明白的家长呢，可私信回复向量，我帮孩子呢，梳理问题，找到方向。

我们高一的同学呢，最近在学平面向量啊，平面向量这一部分内容呢，是和我们解三角形是放在一起的，刚刚学大部分的题，相对来说呢，还是比较简单的， 当然也有一些难点内容，下面我对这些难点内容总结一下啊，平时上课的时候呢，刷题的时候可以重点关注一下这些难点内容啊。首先第一个就是三点贡献定律及其推论啊，也就是系数和唯一的那个推论， 其中比较常见的问题就是双三点共线问题，三角形内部一个点，然后让你去用 g 底向量去表示求对应魔长的比值。 第二个难点呢，就是学会用 g 底法和平面直角坐标系的方法去解决向量的一个综合性问题。然后第三个就是向量的拓展定律啊，比如说等和线定律啊，矩形向量定律啊，向量对角线定律， 奔驰定律和三角形四星的内容啊，这一块属于拓展定律啊。第四个就是向量机的五大求解方法，包括定义法、几何投影法、肌底法、间隙法、极化恒等式。 最后一个超级大的难点就是向量当中的一个最值和范围问题啊。这个做题思路呢，主要分为两种啊，第一种是用几何法的思路，第二个呢就是用函数最直方法的思路， 当然同时这一块你要结合项链的综合质点进行转化，总的来说呢，项链质点简单，但是综合题倒是真的不简单。