必修一下册数学师大版立体几何

就你还没学会立体几何的证明啊！一分钟我教会你学不会，我打死你！来看立体几何的证明。先来线线平行，线线平行，一万能平，平顺排平 或者三角形中线两个渠道，线线垂直，弓骨定米三四五或者特殊三角形，遇见终点，三线合一，自然就垂直了。再来看线面平行怎么来着？在平面上找到一条线和它平行就可以了。再来线面垂直，要让这条线垂直，平面内两条相交直线才可以 面面平行。在 a 面上找到两条相交直线和 b 面平行，证明面面垂直。在 a 面上找到一条直线垂直于另一个平面，或者这个平面找到一条直线垂直这个平面。 学会这么点玩意，高考能得分了，想啥呢？看例题来看题，在直角处， abcd、 abcd 中 ab 和 bc 平行， ab 垂直， abd 得二， abd 得三， bc 等于四。想证明 ab 平行于平面， abd 平行于平面， abd 会不会？不会？不会跟我学。 我们来看 ab 平行，杠子的二标上 ab， 三标上 dc， 四标上，想证明 a、 b 和面平行所有的证这条线平行面上的一条直线，那么取 dc 中点，比如边边 s， 然后直接连接 d， e、 f， 再连接 f， 观察终点 f， 所以 这块本来是四，一半就是二，那么 a、 b、 f、 d 就是 个平四，所以 a、 e 和 b、 f 平行且相等， 那么 b、 f 和 a、 d、 e 平行且相等，所以 a、 b 和 b、 e、 f 就 平行了。线和线平行，线和面就平行了。再学不会，我打死你。

就你还不会立即集合啊？一分钟我教会你学不会我打死你！二十看着点，圆锥的侧面等于 pi 二， l 体积等于三分之一 s h， 圆柱的侧面就等于二。 pi 二乘以 h， 体积等于 pi 二康乘以 h， 圆台的侧面等于 pi 二一加二乘以 l， 体积等于三分之一 h 乘 s 一加 x 二加的高下 x x 二球的表面等于四百二十方球的体积等于三分之四百二的立方。就这么简单的玩意，学校老师教一招你还觉得简单了？给我看这题。 一个圆柱和一个圆台的高和体积都相等，圆柱的底盘半径根号七，圆台的上底盘半径一，则圆台的下底盘半径是多少？会吗？不会不会，你还装看着圆柱的体积等于 pi 乘以根号七或者平方乘以 h 等于圆台的体积三分之一 h 括号， pi 乘上一的平方加上 pi 乘上二二的平方，加上根号下 pi 乘一乘 pi 乘以二二的平方 h 约为二二等于四。再不会我打死你。

宿迁的各位同学们大家好，我是你们的数学张老师，上一期呢，老师带你们去验证了咱们的第一小问，线面平行对吧？那今天我们就来带你去 证明线面垂直对不对？那根据我们上一期来讲，我们是不是取 b、 c 的 中点为 h， 然后连接 d h f h 可以得到的是什么？ g f 是 平行且等于 d h 吧？ 那现在让我们证明 g、 f 是 垂直于 p b、 c 的， 那是不是可以转化成是什么？让我们去证 d、 h 垂直面 p b、 c 就 可以了， 是不是？那根据看一下什么有已有的条件中怎么去证明 p d 是 不是垂直于面？ a、 b、 c、 d 好 c、 d， 那 是不是就可以得到 p d 是 和什么？ b、 c、 c、 d 以及 ad 是 垂直的？ p d 是 垂直于 a d。 同理， p d 也垂直于 d c， p d 垂直于 b、 c。 那 我们再来看，告诉我们，哎， p d 垂直于 d c 的 时候， 这里的 p d 是 不是等于 dc？ 也就是说三角形 p d、 c， 它是一个什么三角形？ 等腰直角三角形 h 点是 pc 的 什么中点吧，从而可以推出来 d h 是 垂直于 pc 的， 也就是说我们已经知道了一个垂直了吧。那现在来讲，我还想要证明出什么？ 证明出啊，我的 d、 h 和这个平面内 p、 b、 c 的 任意条直线都垂线都垂直吧。那我们再来看 这里的 bc 跟 dc 是 垂直的，又因为 pd 跟 bc 也是垂直的吧，那我们是不是就有 dc 是 垂直于 bc？ 根据这个条件，我们可以得到 bc 是 垂直于面 pdc 的 从从，还可以推出 bc 是 垂直于 d h， 那 根据 b、 c 垂直于 d h， 我 们的 p c 是 垂直于 d h， 从而可以推出我们 d h 是 垂直于面 p b c 又因为 d h 是 不是跟我们的 g f 是 平行的，从而可以直接证明出 g f 是 垂直于面 p b c 的， 这就是线面平行的去证明。那本期老师就讲到这儿，咱们下期见。

大家好，我是井哥，高考数学一百二十九，我一整的时候数学只考了九十分，没人比我更知道怎么逆袭了。你是不是一看到立体几何大题就发抖？我告诉你，其实立体几何大题是最简单的，因为它的流程相对固定，只要你会这个步骤，你就能拿到步骤分。今天一个视频让你从学渣变学霸，拿下立体几何大题。 好，同学们，我们来看这个题，这个是二四年甲卷的题目，现在读题吧。如图，在以 a、 b、 c、 d、 e、 f 为顶点的五面体中，四边形 a、 b、 c、 d， a、 b、 c、 d、 e、 f， 也就是这个底面，对吧？这个 a、 b、 c、 d、 e、 f 就是 这个背面， 均为等腰梯形。等腰梯形是特别特殊的哈。然后 ef 平行于 ad， bc 平行于 ad， ad 是 等于四的， ab 和 bc 和 ef 都是等于二的， 那其实我们知道这个 cd 肯定也是等于二的，因为它是等腰梯形嘛。好，然后 m 点是中点， e、 d 是 等于根号十的，所以这个 fa 肯定也是根号十，对不对？ 因为它是等腰梯形，然后 b、 f 是 等于二倍根号三的。 ok， 题目信息就搞清楚了。第一个证明， b、 m 平行于平面， c、 d、 e。 那 我们如果要正线面平行来推线面平行，或者通过面面平行来推线面平行， 这里我们可以看到比较直观的可能是什么呀？可能是通过线线平行来正这个线面平行。为什么？因为我们一看就发现这个 bm 和 cd 它可能是平行的。好，我们把它这个底面画出来看一下， 这个 a、 b、 c、 d， 这是 m， 这是二，这也是二。哎，你看，其实我们一眼就可以看得出来，为什么因为 ad， 大家注意这个规范啊，立即结合这个书写规范是很重要的，写全面 ad 等于四， m 为 ad 中点， 所以 md 它是等于什么呀？它是等于二，然后又因为什么？等腰梯形 a， b， c、 d， 它这个 md 是 平行于 bc 的， 又 b， 又因为 bc 是 等于二的，所以我们就发现这个 md， 它其实它是不仅平行，而且是等于 bc 的， 都等于二。那么由这个我们就可以推出什么平行四边形 bc、 dm， 那 么由此我们就可以得到 bm， 它是平行于 cd 的。 好，然后接下来如何又由这个线圈平行去推出现面平行的？大家看我的书写啊，由于这个什么 cd， 它是包含于平面 cde 的， 而且这个 bm 它是不包含于平面 cd， 所以 就可以推出这个 bm 是 平行于平面 c、 d、 e 的。 好，这个题目就证出来了。好，那么第二问，求二面角的正弦值，这个立体几何？哈，我们假如这个图案不是特别复杂，能间隙就间隙，无脑间隙，懂吧？间隙，那么间隙呢？首先就要去找垂直，就是去找你能够搞出这种三垂直的东西，能够做出 z 轴、 x 轴、 y 轴的东西来。 那么这里呢？我打算找的是什么？因为我感觉我感觉如果说在这个 a、 d、 e、 f 这个面上面去做一个 z 轴，就是靠这个面做一个 z 轴，我感觉它好像就是跟这个地地面，跟这个底面是平行的，但是我要来试一下，那么我这里打算从这里入手， 我打算从这个 f 去做一个垂线，我想去验证一下它是不是垂直这个底面的， 假如说这个点叫 n 吧，那么我的书写这样的就是过 f 做 fn 垂直，什么垂直 a d 与 n， 好， 这个是我做出来的，然后如果说哈，如果说我能够挣到这个 fn 还垂直于 b、 n 的 话，那么其实就可以进一步的得到这个 fn 是 垂直于底面的了，对吧？因为我可以有这两个， 两个线线垂直去推出这个线面垂直吗？那我接下来就要看一下这个 f、 n， 它到底垂不垂？垂这个 b、 n 呢？我们把这个三角形给它画出来，就是 f b n， 这个三角形画出来， 这是 f， 这是 n， 这是 b， 这个 b n 呢？这个 b n 实际上就是这个东西，大家要注意一个东西啊，就是因为这个 a、 d， e、 f 是 一个等腰梯形，然后 m 是 中点， 那么所以说这个 m， 大家看一下这个 af 是 等于多少的？ af 等于根号十，然后 an 是 等于多少？ an， 我 们把这个图案画一下吧，画一下好好说一点， f、 e a m、 d， 这是二，这是根号十，然后这也是多少，这也是二。然后这样的一个图案， 我们可以发现一个什么东西啊？这个 e、 f 是 不是也是平行且等于这个 an 的 am 的， 所以这个东西也是一个平行四边形，对不对？所以这个东西等于这个东西， 然后同样的道理，这个东西等于这个东西，但是这个东西又等于这个东西，所以所以这四条边都是相等的，所以这是一个等腰，这是一个等腰的话，那么它的垂线段，这个垂点肯定也是这个底边的中点，然后所以说这一段就是一，那么可以求这一个就是三， 这个其实是你刚开始可以看出来的，为什么？因为你的这个大家想一下啊，这为什么我这个思路能够这么给他流畅的说出来？ 因为我的 f 一 a d 他 本来就是一个等腰梯形，那么等腰梯形他本来都是就是有一个这对称性在里面的，然后 m 又是终点，他天然就带有对称性，那么其实我们很容易感觉出来，这这个东西等于这个东西，然后这个东西等于这个东西，而且我们其实是能够正出来 就这个东西它是等于这个东西的，因为你这里是二，这个也是二， e f 平行且等于 a m， 所以 这是一个平行四边形，那么就这四条边就全部都相等了，那么所以我过 f 做的一个 f n 的 话，这个 n 肯定就是 a m 三角形的性质嘛，对吧？那么所以这个 a b n 肯定就是 啊，所以这个 a n 肯定就是一，然后 a f 是 刚好十，所以 n f 是 三，然后这个下面这个 b n 也是同样的道理， 这个 n 肯定是 a m 的 中点，这里是一，然后 ab 等于二的话，然后 b n 肯定是等于根号三的， b f 是 多少？ b f 是 二倍，根号三。然后由勾股定律我们可以发现这个东西它这里就确实是垂直的，所以我们就可以得到 b n， 它就是垂直于 n f 的， 从而就可以发现这个 n f 就 可以用来做 z 轴，它就垂直于底面。然后我把刚才这个过程给它书写一下， 大家看一下怎么书写啊？做 n， 然后呢？因为 e f 它是等于二， 然后 am 也是等于二，同时又 e f 还平行于 am， 所以 就有平行四边形 f e m a， 所以 就可以得到 a f 是 等于 e m 的， 对吧？那么又因为什么？ 又因为 m 是 a d 中点嘛？然后这个 f e d a 是 等腰梯形，对不对？那根据对称性， 我们可以知道 f m 肯定是等于 e m 的， 那么 a f 又等于 e m， 所以 就可以得到 a f 是 等于 f m 的。 那么又因为什么？又因为 f n 它是垂直于 a m 的， 所以 n 肯定是根据等腰三角形的性质嘛。所以 n 肯定是什么 m a m 的 中点， 所以这个 a n 呢？肯定就是等于一的。那么又因为这个，因为这个 a f 是 等于根号十的。根据勾股定律，我们就可以求出来这个 n f 是 等于三的，对吧？好，我把这边先擦掉了， 那么 n f 等于三，接下来我们再看，就同理，因为下面你就可以写同理就行了。同理我们可以知道这个 b n 也是可以求得出来是根号三的。因为 a n 是 一嘛，然后 ab 是 二嘛，那 b n 是 根号三，那么又因为什么？又因为 f b 是 等于二倍，根号三。那么根据什么？根据余弦定，或者根据勾定就可以知道什么，就可以知道 b n 它就是垂直于 f n 的。 那么又因为这个 b， 又因为这个 f n， 它是垂直于 a d 的， 而且这个 b n 交 a d 与 n 嘛，那么所以这个 f n 就是 垂直于底面的。 那所以就可以什么以 n 为圆点， n f 为 z 轴，以 n d 为 x 轴， n b 为 y 轴 建立。如图所示，立体坐标系，空间直角坐标系。 好，接下来我们就可以去求坐标了。那么首先这个 n 点肯定就是零斗零，对不对？ f 点是多少啊？ f 点就是零斗零斗，因为这个 f n 是 等于三的嘛，所以就这样，然后 b 点呢？你看 b 点是不是刚好 b 点就是在 y 轴上的呀， 所以 b 点应该是什么？零斗？根号三斗零，对不对？那么这个 e 点呢？ 你看我们 e 点，其实是不是因为 e f 是 平行于这个 x 轴的呀？所以 e 相当于 a， 相对于 f 的 话，就是这个 x 的 坐标变了一下，所以 e 点应该是多少？应该是二斗零斗三，对不对？应该是二斗零斗三。 好，接下来我们就可以去求两个面的这个二面角的正弦值，那么你两个正弦值去怎么求呢？可能就是求法向量，所以我就可以分别去设什么？好，我把这边就擦了哈， 我就可以去设分别设平面 fbm 和平面 bm 一 的法向量 v n 一 和 n 二。那么你首先来看这个平面 f b m， 那 么因为我设置这个法向量，所以肯定也可以得到这个东西，就是 n 一， 这个法向量肯定是垂直于这个什么 f b f b m， 我 们看一下哪几个坐标？ f b m m 的 坐标可以写一下， m 的 坐标应该是 一斗零斗零，因为是它是在 x 轴上，上面的一斗零斗零。好，然后我们可以看到 fbm 这几个坐标差不多，那就这样吧，追追 fm， 我 们就选定这两个，因为不在根号嘛。 好，然后这个就可以推出什么，我们把这个设为 x 一 y 一 z 一， 这个坐标设为 x 二 y 二 z 二。 哎，其实我们这里可以不用求了，对不对？我们这里可以不用求了。为什么？因为 m n 是 垂直于， 呃，还是要求还是要求？ 那么 fm 是 等于多少啊？ 就是 m 坐标减 f 的 坐标嘛，那就是一斗零斗负三，对不对？那么 b m 的 坐标是多少？ 密的左边就是一逗负，根号三逗零，那么所以就可以得到方程是什么？就是 x 一 减三倍的 z 一 等于零， x 一 减根号三倍的 y 一 等于零吗？那可取什么？可取 n 一 等于。假如说 y 一 取为一吧， y 取为一的话，那么 x 等于根号三，那么 z 一 就应该是多少？三分之二三，为了避免有分数，我们就这样吧，同时乘一个三，同时乘一个根号三， ok， 这样就没问题了。好，然后接下来同样的道理， n 二，我们选举哪几名？我看一下。 b m 一 b m 一， 你肯定要选好算一点的，其实差不多，对吧？ 那就选一个 b m， 然后垂直于一个 e m， 那 么 b m 的 坐标是多少？ m 减 b 就是 一斗负，刚好三斗零，我们这写了 e m 的 作，然后 e m 的 坐标是 负一斗零斗负三。好，然后同样就可以推出关于 n 二的一些信息，就是 x 二减根号三倍的 y 二等于零，然后负 x 二减三倍的 z 二等于零，然后就可以取。什么 可取 n 二等于多少， 对不对？可以去可以带进去验算一下嘛。这个带进去，这里是三，对吧？负三加三就零，然后这个乘减三没问题。好，然后我们就可以取到这两个法向量了，然后接下来就简单了，就是这个正弦值怎么算？大家看一下啊，你两个 平面这样画吧，这样画就是这两个面， 然后这是他们的法向量，你看他们法向量的这个夹角，是不是肯定这个正弦值是等于他刚好等于他这个二面角的正弦值的呀？来想一下，因为他要么相等，要么 他应该是互补的嘛，对不对？这个角肯定是互补的嘛，然后互补的话，那么正弦值应该是怎么样？相等的，对不对？所以我们直接去求什么他的两个法向量的正弦值就行了，然后这个东西是等于多少？这个不好求，对不对？但是这个好求 用像这样的加角公式对不对？好，上面做一个内积，那么这个三乘三是多少啊？九九加刚好，三乘刚好三是三，然后减一，然后下面除以它们的周长相乘， 那么这个 n 一 的魔长就是多少啊？就是九加三，加一嘛，就是根号十三，然后 n 二呢？也是九加三，加一嘛，也是根号十三，那下面就是十三，对不对？那所以就是十三分之十一，对不对？那么所以他们的这个 加角的正弦值应该是多少？应该是十三分之根号下幺六九减幺二幺是多少啊？ 应该是这个数，对吧？那么这个数我们化简一下，求有多少？四倍根号三，对不对？那么所以他们的这个二倍角的正弦值就应该是多少？十三分之四倍根号三。 好，这个题我们来总结一下，我们来总结一下， 其实这个题就算是比较难的了，但是总体上来说立体几何就分这么几个步骤。他一般情况下第一问就是去证一个什么线面平行啊，或者是呃，线面垂直啊，一般都是去证这样一个东西，那么在这一问的时候，我们会用到，嗯，这个一些判定定理或者性质定理， 比如说线面平行的判定定律啊，面面平行的性质定律啊，这种好。然后我们在第二问的时候，他一般会去求什么？求一些二面角，或者说一些什么线与面的线面乘角， 那么这种我们的思路就是去见系，对吧？就是见系，然后用坐标法去解决问题。那么见系的第一步就是什么？找到那个什么？找 x、 y、 z 轴，就是去找垂直的关系，然后去建立 x、 y、 z 轴，然后就去 找坐标，对不对？把坐标啊，把所有的信息，所有的线点全部给它坐标化。然后如果说我们是求二面角的话，我们就用什么用法向量 去刻画我们的面，对吧？你就把这个法向量当做这个面的这种代理人的感觉，然后关于面的一些信息就用法向量去求， 然后关于如何求这个法向量呢？就是因为法向量肯定是垂直这个面的，那么你就去找这个面上的两条线，比如说我刚才这个求法向量，它是不是就垂直？比如说一个 b m， 我 取一个 b m， 然后它还垂直个 b f， 当然你也可以去找它垂直 f m， 你 就随便找，然后找到之后去取把法向量取出来，因为向量它长度不固定吗？所以是你取出来的，但是要满足这种关系， 然后用法向量去求它们的夹角，然后如果是线面乘角的话，我们还是面，还是用法向量去刻画，但是线呢？就是用方向向量去刻画，那么这个以后我们会讲到。

大家好，我是小彭老师，这一课我们来一起看一道线面平行的证明题中的折叠问题，那么其实折叠问题呢，我们就可以把它看 做常规的立体几何中的线面平行问题去进行证明，所以说大家碰到折叠题也不要慌乱哈，他也是比较常规的一类问题。 那么我们先对这个题目进行一个分析哈，在四棱锥 p a b c d 中，让我们去证明 a p 平行平面 e f g。 好， 那么也就是让我们去证明线面平行。那么前两节课其实也有强调过线面平行，要 用线面平行的判定定理去进行证明。那么线面平行的判定定理，大家有没有把内容熟记在心呢？ 具体内容应该是什么？假设直线 a 不 属于平面阿尔法，直线 b 属于平面阿尔法，并且 a 平行 b， 那 么就可以推出 a 平行平面阿尔法。 好，那我们回到这道题，他让我们去证明 a p 平行平面 e f g， 也就是让我们在平面 e f g 中找到一条直线与 a p 平行，那么就可以得到这个结论了。那我们来观察一下哈，我们图中的平面 e f g e f g 的 话，首先 e f 肯定不和 a p 平行，这个倒不用说了，我们看 e g， e g 和 a p 平行吗？ 显然不平行，为什么？因为 e 和 p 都在同一条直线上，他们两个应该是一个一面直线，所以说不平行。那么 f g 和 a p 平行吗？ 更不平行了，对吧？直接肉眼就能看出来的不平行，因为 f 和 p 也是在同一条直线上，他们两个也是一面直线。 好，那我们该如何找到平面 e f g 中与 a p 平行的直线呢？那么小鹏老师这节课就给大家一个比较简单的方法，就是找中位线法，其实也叫找终点法。 首先我们可以取这个 a d 的 中点。哎，假设为 h， 那 么我们连接 f h 和 g h。 哎， h 是 a d 的 中点， f 是 pd 的 中点， 那么 f h 其实就是三角形 pa 边上所对应的中位线，那么 f h 就 与 a p 平行了，我们只需要去确定 f h 也在平面 e f g 中， 就可以得到 pa 平行平面 e f g 了。好，那我们现在问题又转化成了，如何去证明 f h 确实是在平面 e f g 中， 这块呢？其实就可以用什么来证明了，用平行来证明，如果 e f 平行 g h， 那 么显然 e f 和 g h 就 在同一个平面内，那么 f h 也就在平面 e f 这中了。好，那我们现在 来具体写一下这道题。首先证明，我们可以直接说怎么样取 f a， d 中点 h 连接 f h g h， 那 么我们就可以直接证明，因为 f 为 p， d 中点， h 为 a， d 中点，直接证出 f h 平行 p a。 好， 接下来就要证明 f h 在 平面 e f g 中就可以怎么样得到 ap 平行平面 e f g 了。好，这块我 我还是写成 ap 吧，和咱们题中相对应吧。 好，如果证明 f h 在 平面 e f g 中，我们只需要证明什么？只需要证明 e f 平行 g h 就 可以了，因为两条平行的线是在同一个平面内的。好， 因为 e 也是 p c 的 中点。 那么前面其实我们也提到 f 是 pd 的 中点，那么 e f 就是 平面 p c d c d 边上所对应的中位线，所以说 e f 是 平行 c d 的， 那么我们还知道 这是 bc 的 中点 h 是 a d 的 中点，所以说 g h 它其实也是平行 c d 的， 没问题吧？那么 g h 和 e f 都平行 c d 就 能推出 e f 和 g h 是 平行的了，所以说 f h 它是在平面 e f g 中的，那又因为谁不在平面 e f g 中啊？ pa 不 在平面 e， f g 中，所以 pa 平行平面 e f g。 好， 这就是这道题，我们总结一下哈。其实这个题呢，我们用到的是找中位线段， 或者也可以叫找终点法，那么我个人其实也喜欢称它为补全平面法或者是平面延展法。其实这道题我们就是将 e f g 这个平面进行了一个延展，使它和 a d 能有一个交点，那么这个交点呢？其实就是 a d 的 终点 h， 大家观察一下对不对？那我们延展之后的平面就多了一条可以和 ap 平行的线段 f h， 那 这样就可以非常清晰的证明出 ap 是 平行平面 e， f g 的 了。但是这个题他的始终， 但这个题他始终是围绕着谁来进行的，是围绕线面平行的判定定来进行的，所以说线面平行的判定定，希望同学们回去之后可以再进行一个复习和巩固哈。

今天呢，我们来讲一下立体几何，有的同学反映，第一问正垂直平行，他只会用间隙的方法，但有的题呢，他垂直不好找，导致他一整道题都得不到分。今天我们就来讲一下不见隙的话，第一问应该怎么办。如果你只会用间隙的方法来解题，可能你初中的平面几何学的就不太好，空间立体感差一点，或者是没有掌握正确的立体几何的方法。 我们先说一下垂直，不论是正线垂直，线面垂直还是正面面垂直，它的底层逻辑其实都是正线垂直。那常用的方法有哪些呢？比如说我们初中提到的三线合一、角平分线、高线、中线、三线合一等三角形的性质，还有常见的是勾股定律的逆定律， 能照其中斜边的平方等于两个直角边平方的和，那就证明那个角斜边所对的那个角是九十度。如果你是间隙倒的话，那你可能就是两个向量相等等于零，包括出现正方形啊，还有矩形啊，这些都会出现九度倒角，都是用来证明垂直的常见方法。 说到平行，其实也一样，它的底层逻辑还是证明线平行，那当题中出现，比如说中点有两个中点的时候，我们是不是能想到中位线，中位线有平行了，如果给你平行四边形，那是不是有很多对边平行，或者是出现了像棱柱这些长方体正方体。 再一个就是平行的传递性，平行线传递或者是间隙党常用的向量法。 但是可能有个同学会说啊，你说的这些我都了解，基础定义呢，我也背的滚瓜烂熟了，但是一具体做题，我还是不知道该怎么办，今天呢，我们就通过一道题教你如何实战。首先我们先看问题，正面面垂，那也就是先正线面垂，证明一条线垂直于一个平面的两个交线即可。 那么如果是大神呢，他可能看到题之后， aef 和 pa 对， 他就能直接找到哪条线垂直于哪条线。那我们普通人应该怎么办呢？第一步呢，我们可以把这两个涉及到平面上的所有线段都列出来，比如说这个平面 aef， 他 有的线段是 a， e， a， f 还有 e， f， 然后 pa 对 的线段是有 pa， a 对， 还有 p 对。 我们要证明垂直，无外乎就是这些线段之间呢会发生垂直。 那么结合题干，第一条给的是 p a 垂直平面 a， b， c 对， 还是啊给你下面垂直？你这面上有好多线，我也不知道我具体需要用到哪条线垂直于哪条线，那么还是老样子，我们把平面 a、 b、 c 对 里面的所有线都列出来，这里有一个 a、 c， 那 有可能我这辅助线需要连一下 a， c， 我 先不管它， 先分析一下，你得到的这么多垂直，哪一条跟题的关联性更大一点，能进一步推导。比如说我们看一下这里有一个 p a 垂直 ab， 这是不是说明这个平面 p a， b 是 一个直角三角形？同理， p a， c 垂直 a， d 这些是不是都会得到直角三角形？那么再回到题里， 题中给了你 p、 b， c 长二倍，根号六，哎，这是不说明三角形的话，很可能会用三线合一，三线合一是不是有垂直了？那继续看题，他又给了 p a 等于 b， c 等于二倍的 a 对 等于二倍的 c 对 等于四，这些长处都能表示出来，哎，刚好下一个条件是 e 为 b， c 的 中点，那是不是就可以用三线合一了？ 那有可能我们会想到要用连辅助线连 pe， 也还是先不着急啊，没想马上连接 pe 的 原因呢？是这个 pe 这条线段呢，跟我们刚才要证的这两个平面没什么太大的关联，所以可以先放一放。那已知条件给了这么多线段，再结合这么多只有三角形，我们应该还能求很多条件。利用勾股定律， 首先， p b 等于二倍根号六， p a 等于四，那这个勾股定力是不是能把 ab 长出来？ ab 求完之后应该是二倍根号二， 那么同理，这个直角三角形 p a， c 是 不是也一样？ p c 是 二倍根号六， p a 是 四，那么 a c 是 不是也是二倍根号二？哎，这时候我们就可以把 a c 连上了。刚才没连， 连上之后你会发现一个问题啊， ab 和 ac 是 不是都是二倍根号二？ bc 长四，哎，那这个边数会出现比例了呀，有点像直角三角形。那你算一下 ab 方 ac 方 bc 方是不是刚好是用了勾股定律的逆定律？ bc 方等于 ab 方加 ac 方，那么这个 bc 是 不是用九十度了？ 那这样你会意识到一个问题，如果题盖上给你很多线段的话，又让你挣垂直，那么很可能是想让你用勾股定律的逆定律来找垂直。 我们把刚刚找到的新的条件还是写在超值上， a b 垂直 a c， 那 你看，这里是一个直角三角形， e 又是斜边 b c 的 中点，你能想到什么？我们初中讲了直角三角形，斜边中线等于斜边一半，哎，那 a、 e 长是不是等于 b、 c 的 一半，也等于二，那就是 a、 e 等于二， 而且 ab 跟 ac 它又是相等的三角形， a、 b、 c 是 一个等腰直角三角形，那么是不是还是可以用三线合一？那我们就又得到了一个垂直 a、 e 垂直 b、 c。 在 这里我们求的这两个垂直跟我要正的这些关系不是很大啊。出现了一个 a、 e， 那 离我正的还差很远，那我就还需要回到题干，看哪些条件我没有用到。比如说这里，你会发现这个 c、 d， 那 c、 d 我 没标 c、 d 长是不是也等于二？ 那这个四边形 a、 e、 c、 d， 哎，它边长全是二啊。而且又有一个，我们刚才正的这个 a、 e 垂直 b、 c 四边相等，菱形有一个角是九十度，那就说明这个 a、 e、 c、 d 是 什么？是正方形，对吧？ 得到四边形 a、 e、 c、 d 是 正方形，你又能得到很多垂直，那还是你可以把这个几个垂直全都列出来。这里我不列了，因为我会发现哦，你这个 a、 e 垂直 a、 d， 我 选这个，刚好这个 a、 e 有了， a， 对， 有了，那刚好分别是在两个平面内，那我就选 a、 e 垂直 a， 对， 当然，如果你不熟练看不出来的话，还是可以像我刚才一样，把这四个垂直全写出来，然后我再来找一下他跟我要证的有没有相关联的线段， 那么距离我证的线面垂直只差一步了，已经有一个垂直了。再来一个垂直，是不是刚才这个条件呢？刚才这条件这么多，我还没选到底要哪个，那你就观察一下这些线段 是不是有一个这个 pa 垂直 a e， 然后 pa 在 这里， a e 在 这里，刚好是在两个平面内，那我选它的时候正好 pa 垂直于 a e， 哎，到这里你会发现 a d 和 pa 它们怎么样 刚好交于点 a， 这样呢，就满足了我们正面垂直的条件。那既然面面垂直，是不是也就搞定了？其实证明平行的方法你同样可以接线，你找不到它平行的情况下，可以拿一个直尺 在途中，那你平移一下，然后结合一致条件，这样就更容易想到辅助线这第一问，然后第二问呢？他是要正直线到平面的距离，跟我们常见的那种二面角相面角不太一样啊。那其实这个也是这几年的热点啊，你要注意的是，他正的是直线到平面的距离，不是点到平面的距离。我们书上给的公式是点到平面的距离。 我们先来复习一下，点到一个平面的距离，那是不是过这个点做这个平面的发向量？嗯，然后在这个斜面上再任取一点，连接这个点和平面上这个点，然后再连接这两个点，这是垂直的把发向垂直平面，那么点到面的距离公式就是这里，我设一个点 p 点 a， 这点是 a 点到面的距离，就等于就这公式，怎么记呢？就斜法法，乘法量斜法。那么这个线到面的距离呢？其实你还是可以用这个公式的，只不过呢，在这个前提下，你要证明一下， 这条直线同我这个平面是平行的，这样的直线到平面的距离就可以转化成这上面点到直线的距离，这有点像咱初中的这个公式，哎呀，画的有点斜，两条平行线之间的距离对吧？ 那这道题就转换成了，我要先正 e f 平行平面 p c d 了。那么我们刚才讲那个平行的方法，你可以拿一个指放在这，当 e f 平移一下，找一下这个 p c d 这个平面里有没有跟 e f 平行的直线，这看起来 p c 是 不是就跟 e f 平行？那么 再看一下题干，它新给了一个条件， f 为 p b 的 终点，哎，刚才题里还有一个终点， e 为 p b 的 终点， f 又为 p b 的 终点，哎，两个终点是不在三角形 p b c 里， 刚好 e f 就 平行 p c 了，那是不是 e f 平行这个平面 p c？ 对。 那么整完了，我们就直接可以用公式了，把坐标点写一下，带到公式里，这题就搞定了，然后详细答案呢？在这。如果这个题呢，首先是假角问题的话，有意错点，比如说的话，你要注意一下这个角是锐角还是钝角，加不加绝对值，如果是线面角的话，正弦值等于弦值。 然后这道题的详细过程在这我也会同步到每日一练上。如果那个考试出现夹角问题，比如说像那个相面角，你要注意正弦值等于余弦值。面面角和相面角的话，你都要注意一下解压角是锐角还是钝角，加加绝对值。 由于时间有限呢？如果呢，你自己试了一下，觉得这个方法你没问题的话，那就用，不行的话咱就还是用间歇的方法解。第一问，正在复习的高二学生呢，可以参考一下这个视频，希望对你有帮助，我们下期见。

大家好，应粉丝的要求呢，我们讲一讲线线成角，线面成角和面面成角，也就是立体几何部分的内容啊。 首先呢，我们先来讲一面直线的成角，大家看这有一个长方体， a b c d a e b c d e 是 这个角啊， a b c d a 一 b 一 c 一 d 是 这样的一个长方体。那在这个长方体中呢，我想给大家找一找两条直线的位置关系。 第一种是平行，有哪条呢？ ab 和 cd， 第二个呢是香蕉，香蕉有哪些呢？我们找了一条 aed 和 a d 一， 没问题吧？还有就是我们新学的意面，我们找的是谁呢？ a e d 和 c c 一， 也就是说这个长方体中呢，能够感受到平行相交意面三种位置关系。 那么好看下一道题啊，同样这还是 a b c d a e b e c e d e。 我 们来看直线 ab， 也就是绿色的和红色的 c c 一， 以及这个蓝色的 a d 一 和 c c 一。 这两组直线有什么共同点和不同点？ 大家看他的共同点是什么？他们都是意面直线，那他们的不同点是什么呢？我们好像直观的一种感觉啊，好像咱们所成的角度好像有些偏差，有些不同， 这是一种直观的感觉。那么好，我们继续看还是 abcd， 大家看这个题啊，我希望大家呢，通过直观的感觉，你找一找 与 ab 和 cce 所成的角度相同的两条直线，还有没有？你就凭着直观的感觉去找啊， 那其实我们可以找到谁呢？ a 一 比一，好像感觉角度一样，其实你感觉 d c 和 d e， c e 的 角度呢， 也有点一样，对吧？那么好，那这三组呢，有什么区别呢？第一组也就是 a b 一 和 c c 一 是异面的，而后两个呢？ d c 和 d c 一 与 c c 一 呢，好像是相交的。 那好，我现在希望大家呢能够记住这样的一个感觉啊。那么提出这样一个问题，如何规定两个一面直线的夹角呢？你有什么困难？ 我想同学们，首先的困难是这个意面之线，它不同在一个平面内啊，不同在一个平面内，那也就是说这是一个立体几何的问题， 怎么解决呢？我们一般情况下会把立体的问题把它平面化， 大家想想刚才那道题，好像是不是有点感觉了啊？那这样呢？我们是不是能够帮助处理这样的问题？ 大家想一想，那其中蕴涵的数学思想是什么呢？是种转化的思想，将立体的问题转化为平面问题。好，大家带着感觉，咱们来看定义 一面直线所成角的定义，已知两条一面直线， a 和 b， 注意经过空间中的任何一个点 o， 我 分别做 a 撇和 a 平行， b 撇和 b 平行， 那么此时这个是一个立体图形，现在我们就把它平面了，对吧？ 那么我们把 a 撇和 b 撇所成的角叫做一面直线所成的角，或者说加角。 那这所中的角有一二三四四个角，我们取哪个呢？我们要取的是什么？取的是它的锐角或者直角，也就是这里头的一，或者说是四一四是相等的，对吧？ 好，下面继续追问，如何定义两条线段的取值范围又是什么呢？ 那两条一面直线所成角呢？为九十度的时候，我们认为它是垂直的，那取之范围呢？就是零度到九十度，那如果阿尔法等于零度，说明这两条直线是什么？这两条直线是什么样的？应该是平行的，对吧？ 好，下面我们根据所学做几道课堂例题。 那么我们来看第一道题啊， 我取 a、 c 的 中点， n 在 这里啊，连接 c， e、 n， 那 我们很显然知道，因为 m 它也是中点，所以 a， n 和 m c， e 是 平行且相等，那因此 a、 n， c， e， m 就是 一个平行四边形， 所以就得到了 am 和 c， e， n 是 平行的，那也就是相当于我们把 am 平移到了 c， e、 n 这个位置。这里 c， e 呢，就是我们规定中的那个什么 o 点，我们去把 o 点放在 c、 e 上， 那么角，所以 b， c， e， n 或其补角就是意面直线所成角。这里为什么要加一补角呢？因为我们并不能直接看出来这个角它到底是锐角还是钝角， 所以呢，有可能它的补角是它的意面直线所成角。第一步，这步我们叫做什么呢？叫做定位，我们一定要先定位， 定位完了以后，我们可以计算了，因为呢，我们可以所有棱长都相等，我们就可以设这个是二了，设它的棱长为二， 那不难得到。 c， e， n 是 根号五 bc， 一 是二倍根二， b， n 是 根三、 b， n 怎么算？ b， n 可以 在三角形 a， b， c 里算，对吧？ 那根据余弦定律，我们就可以算出来，它加角的余弦值是四分之。根号十。一定要注意，是在哪个三角形呢？在 b， n， c， e 里， 因此一面直线所剩角的余弦值为四倍，根号十。那第二步，这是干嘛呢？叫计算，我们一定要先定位再计算， 这是一类题，这类题呢，我们看一看平移是怎么过来的， a m 平移到了 c n， 我 们可能叫做什么呢？等长平移好看。第二道题， 同样，我们来看取 a c 的 中点 p 在 这里连接 pm 和 pin， 因为 n 和 m， 根据已知条件哈，它都是中点， 对吧？所以 pm 是 平行且等于二分之一。 abpn 平行且等于二分之一的 cd， 相当于我们把 ab 平移到这来了， cd 平移到这里来了，那这个 p 点就是我们 在规定中的那个 o 点，所以角 mpn 为 ab 与 cd 所成角，这样我们也得到了 p m， n 为 ab 和 m n 所成的角，就是这个角。 由于已知条件中， ab 与 cd 所同角是六十度。这块有一个易错点啊，它是六十度，但是 mpn 有 可能是六十度，也有可能是一百二十度，这是一个重点啊，这是一个重点。 那又因为 ab 和 c d 相等，所以 pm 和 p n 是 相等的。那么我们研究下这个三角形，假如 m p n 是 六十度，那这个三角形就是一个等边三角形， p m， n 呢，也是六十度， 那这两条直线的成点也是六十度。还有一种可能呢，就是 m p n 是 一百二十度，但是呢，我们当他知道 pm 和 p n 是 相等的，所以它是一个等腰三角形， 那因此呢， p m n 就 可以等于三十度，那它的成点就是三十度。因此呢，答案有两个，一个是六十，另外一个是三十。那这种做法，我们发现是将两条边 采用了中位线给平移过来的，对不？那我们一道中位线平移法。当然，这里有一个易错点，一定要记住，大家注意啊，一定是乘甲或齐补甲，有两种可能。 好，下面我们来看第三题。 根据直棱柱的特征，大家看啊，人家本来是一个 a 一 b 一 c 一 是一个直棱柱， a、 a 是 垂直下底面的，注意看啊，这里头，也就是这里也是一，这里是一，这里是一， 所以呢，我把它补成了，其实这里应该有一个 d， 补成了一个图形，这是一，这是一，这是一，这也是一，那这就变成了一个什么 正方体，我把它补出一块来，对不？那补完了以后，我们就可以得到 a、 b， 很 显然和 d、 c、 e 这两条边是平行的， 那因此 a、 c、 e、 d 这个角就是这两个异面直线所成角或其补角，对不？这块应该加一个或其补角啊， 然后再连接 a、 d， 那 很显然知道，你看 a、 d， d， c、 e 和 a、 c、 e， 这都是面对角线，因此它是一个正三角形，所以这个角是三分之八，那它的大小也是三分之八， 那这种做法呢？我们把它叫做补行平移法。大体上呢，如果用立地几何的方法来做，求一面直线呢？就是上面三种方法。 随后呢，我给大家补一个小方法啊，用第一道题再给大家补一个小方法，大家来看啊， 依据基本公里四以及向量相等的定义，其实我们可以利用向量来求解这个直线的夹角，大家看怎么操作。我们可以知道 am 这个向量，可以把它拆成 a、 a 一 和二分之一的 a c 一 b c 一 这个向量，我们可以拆成 bc 和 bb 一 这个向量。 如果我们设它的边长为二，因为人家说所有棱长都相等，我们就设它的边长为二， 很容易得到。 am 是 根号五， bc 一 是模，长是二倍根二。那么我们怎么用求向量加角呢？还需要一个什么它的点乘， 那我们把这两个向量点成完了，就是 a a 一 和 b c， a a 一 和 b 比一，二分之一的 a c 一 和 b c 啊，二分之一的 a c 和 bc， 二分之一的 ac 和 b 比一，我用后面乘啊。那再看图， a a 一 和 bc， 这是垂直的，所以这应该是得零。 a a 一 和 b b 一 呢，这俩是相等向量，就可以写成它的平方。 a c 和 b b 一， 这也是垂直的，也就这项也是零。那也就只需要算一下这项，我们继续看 ac 和 bc 的 数量积。怎么算呢？是哎，它俩的模，它们的夹角是六十度， ac 和 bc 的 夹角是六十度啊，那 ac 和 bc 的 长度也知也知道了。那因此我们可以算出数量积为五， 然后我们去算它的余弦值，就等于它们的数量积与它们的模，它们的数量积除以它们的模相乘， 代入相关数据，得到四分之根十。因此呢，我们也可以得到两条直线的所称的余弦值为四分之根十。这是利用向量的做法。我觉得呢，利用向量的做法有一个核心的， 或者说是很重要的一个方向，我用一个词就是拆，也就是说把你所需要的项链向哪拆呢？向已知多的地去拆，向边上去拆。 这样呢，我们可以解决这样的啊，求一面直线加小的这种题，这是补的一个小方法啊。好的，以上呢，就是本节课的内容，谢谢大家收看。

今天我们来最后一课系列之例题几何第一课，熟练运用综合法和坐标法，高考多拿十分。好，各位同学，今天我们来最后通关 例题几何第一节课啊。好，我们大家自己读题，他在这上面 都是正方形，然后这个垂直于下底面，然后 a b 是 二 a a a 一 a 一 比，一是一 a 一 a， 二是 a a 一 是二啊，棱呢？是 e 是 棱 c c e 的 中点。好，其实告诉我们这个呢，哎，我们以前说过，说看到台要把它补成什么， 看到台要把它补成这个锥啊。但是呢，这道题目呢，比较的特殊，因为它底面下底面，上下底面都是正方形，且有一条侧棱，是垂直下底面的。这道题目就其实非常好做的，其实就不用把台补成锥啊 啊，其实不需要。当然如果底面是比较的不规则一点，比如说不规则，但不是说那种不规则，就是比如他是平行四边形，然后他侧能取，没有垂直于下底面的啊，那我们直接开始做题， 他第一题让我们说 a c e 平行于平面 b 多一。好，我看到这个又因为这个条件啊，我就直接连接 a c 这个记作 f 吧。好，连接 ef 啊，好，我先写连接 a c 交 b 到于一点， f 连接 e f。 好， 因为面 abc 到为正方形，所以。所以什么呢？ 所以 f 为 a c 中点，又因为 e 为棱 c c e 的 中点， 所以 ef 是 什么？平行于 a c e 的 平等于不用写，因为不需要啊。好，又，因为 ef 属于面 b 多 f 呃， b 多 e a c e 不 属于面 b 多 e， 所以 a c e 就 平行于面 b 到 e 用到了线面平行的判定。定啊。好，我们来做第二题。第二题其实就非常的简单了， 因为它侧棱已经垂直于下底面了，底面又是个正方形，是不是就有两两垂直，是不是 啊？如图间隙。那大家记住，在考试的时候，坐标系一定要写在答题纸上 啊。好，我们来写点 a， 呃，呃，长度先标一下，二一二。好， a， b 向量是二零零， a， c 一 向量是等于多少呢？它是不是一一二啊，对不对？ b， 呃，然后多点是这个零二零， 所以 b 多向量是等于负二二零。好， 这个 e 呢？我们要写出 c， c 一 的坐标已经写出来，这 c 的 话就是二二零，所以这个 e 点的坐标就是什么？就是 这个二分之三，二分之三一，所以 b， e 向量就是负二分之一，二分之三。好， 我射，呃，这里可能不够写了，我就写到下面来吧。射面面 a， b， c， e 的 法向量 为 n 向量等于 x、 y、 z。 我 说过向法向量的速算啊。抄两遍， 掐头去尾，零负四二，所以 n 向量就等于零负二，一， 好，同理啊，同，里面的这个 b 到 e 的 法向量，我设为 m 向量等于 x、 y、 z。 好， 依旧抄两遍， 掐头去尾， 二二，这是负三，这是加一，就是负二，所以 m 向量就等于一一负一。没有算错啊，检验一下， 没有算错啊，好，那这个 cosine 就 等于二，根号五，根号三 等于根号十五分之二，他让我们求这个正弦值嘛，所以 sine 它就等于根号十五， 十五减九就是六，就根号六了嘛，对不对？那就约个根号三，根号三的话，下面是根号五分之，根号二等于五分之，根号十。 啊，好，下结论就可以了啊，好，我们来看 第二题。第二题呢啊，图在下面啊，我们先来看一下题目先，大家先读一下题目里面是矩形啊，矩形侧棱垂直下，里面 a 到是二，我写在这里啊，把这个数据都标过了， a 到是二， 这个是四，这个也是四啊， a b 是 四吗？因为矩形的话， c 道也是四，所以 amn 分 别是这个 pbc 道的中点啊，好，我们来直接， 他说让我们证明 m n 平行于面 p a 度。好，我们说过，看到这个中点，我们一定要想到中位线啊，有可能用中位线中位线定啊， 那我就在这里取一点，取一点 e 吧，连接这个 e m 和 e 动好，取 pa 中点即为 e。 连接 连接 e m e d 好， 因为 m 为 p b 中点，所以 e m 首先会平行等平行且等于二分之一的 ab， 这个时候一定要写这个长度了，因为我们一直看，其实它像这个平行四边形了吧，对不对？好， 又，因为面 abc 为矩形 呃，矩形，所以 ab 平行且等于 c 道，所以 e m 平行且等于二分之一的 c 道。而又因为 n 为 c 道中点， 所以 e m 就 平行且等于道 n， 所以 面 d e m n 为平行四边形。我就用图图像来表示大家，当然我为了 更方便一点啊，所以 d e 就 平行于 m n 好， 还是线面平行的判定定律？因为 d e 属于面 p a 的， m n 不 属于面 p a 动，所以，呃， m n 就 平行于面 p a 动啊， 好，第一题结束了，第二题还是间隙，因为这个太规则了啊，全国卷基本上不会出比较难的题目啊，就例题几何应该会比较好，容易间隙一点，当然他如果放到压轴题的话，可能就不太好做了啊。 好，我们来写点先，如图间隙，如图间隙 p 点是零零四， b 点是二四零， c 点是零零四， a 点是二零零，所以 m 点是什么？ 一二二嘛， n 就是 零二零嘛，对不对？那 pm 向量就等于一二负二， pm 向量就等于负一二二 a， n 向量就等于 负二二零。好，依旧射，我就不射了，我就这样简单略过。第一个是这个 n， 反向量是 n， 这个反向量是 m 向量啊，大家自己要去完成补充起来啊。 抄两遍，一二负二，一二负二啊，不对，这个后面不是吧，这是零二负四，零二负四，好，掐头去尾，这是负八，负八加四 是这个负四，这零这正四，这个就是二嘛，所以 n 向量就是 负二二一，好，依旧抄两遍，负一二二，负二二零，负二二零，好，掐头去尾， 这个是负四，这个是负四，这个是负二，这是加四就是二嘛，所以 m 向量就是负二负二一 啊，所以 cosine 它就是四减四加一， 好，这是四加四加三嘛，这刚好三啊，开出来嘛，三乘三嘛，就是九分之一嘛，对不对？大家自己下结论就可以了。好，我们来总结一下，其实拿到 这例题，几何的题目啊，九九跟十是一样的啊。第一题基本上是用什么综合法去做 啊，他让你正平行的话，那我们就用线面平行的判定定理，如果正垂直的话，比如线面垂直，就线面垂直的判定定理啊，有些时候会用到一些判定一些线面平行的性质定理啊，或者面面垂直的性质定理啊，或者线面垂直的性质定理啊。 然后第二题的话基本上都是间隙去做，因为他基本上两种方法去做的嘛，第一道综合法，第二道，奥，这个坐标法啊系比较好建的，就去把它间隙建出来去做就可以了。好，今天我们就讲到这里。

同学们好，本期视频就来为大家讲解一下我们高中数学的什么立体几何的当中圆柱、圆锥、圆台的他们一些 议题，那么关于圆柱，圆锥，圆台的体积表面积，还有我们的什么，还有我们的侧面几何公式呢？老师呢，有在上节课讲过，那么如果关于这些部分知识点有不了解的同学呢？老师建议大家啊， 去看一下那个视频。那么我们先看一下这个题组一的圆锥，它说设加一两个圆柱的底面积分别为 s 一、 s 二，体积分别为 v 一、 v 二，如果它们的侧面相等，且 s 一 比上 s 二等于九 比四，则 v 一 比一 v 二的值是多少？那么现在搞清楚一下，我们第一步是干嘛？因为他说他说他的什么，他的面积比是九比四，对不对？那么我们面积的展开 是吗？是 s 一 s 一 比上 s 二的平方比较，比较是不是等于什么？ r 一 的平方比上 r 二的平方是不是 等于什么呢？等于九比四，那么 r 一 比上 r 二是不是就等于什么？等于我们的三比二是不是就等于我们的什么？二分之三，对不对？好，这个时候我们的第二步下来分析一下， 他说侧面积相等，那不就是吗？你看我们侧面积公式是二 pi r l， 是 不是 二派 r l， 这是测面积公式。好，那不就是二派 r 一 l 一 加上二派 r 二 l 二吗？对不对？这是我们的测面积来约调约调，它不就是等于 r 一 l 一， 什么 是等于什么？等于二派，哎，就等于什么？等于 r 二 l 二的对不对？它就等于什么是互相等对不对？ 然后我们给他比一个值出来，我们是不是 l 一 比上 l 二等于什么？等于我们的交叉上的是 r 二比上 r 一， 对不对？你看 r 二比上 r 一 为多少为多少呢？我们上，我们上面是不是有求出来？ 求出来，我们 r 一 比上 r r 二是二分之三，对不对？那么 r 二比上 r 一 不就是数字改变就是吗？就是三分之二吗？所以说他这个就等于什么？等于三分之二？好，我们看一下最后一步， 这一步是什么？是让我们求 v 一 比上 v 二的值，那么 v 一 比上 v 二的值，不就是什么底面积乘以高 l 对 不对？当然这个时候用用 l 来表示一下吧，好比上我们的啊，下面的底面积，底的底面积啊，比上 底的对不对？然后呢等于什么？等于这个时候我们题目当中 s 一 比 s 二是不等于乘以我们这一坨，对不对？乘以我们这一坨求出来的什么？ 他是乘以这一坨 l 一， 哎，比上 l 二的值对不对？就等于啥嘞？就等于我们的就乘以我们的三分之二，一约掉约掉二三一，是不是就等于我们的二分之三？所以说这道题目他答案就是 二分之三。好，来圆锥，圆锥呢，这边呢，给给出了三个立体，也就是说我们圆锥呢，它是比较重要的啊，比较重要的，我们来看一下，他说已知一个圆锥的底面半径为六，其体积为三十排，那你求侧面积有多少？ 半球侧面积。来，我们圆锥先画一下，是不是圆锥，先来给他大概画一下，他大概长这样子吧，花草啊，潦草一点，草草一点。好的，不要潦草啊，看看一下就行了啊，大概长这样子，他说他的半径为六对不对？好，这个时候 都是我们 h 是 个未知数，那么关于它的 h 我 们是不是应该用？第一步要用体积退出来对不对？第一步要用体积把它 h 来干嘛？给它求出来对不对？ h 给它求出来。第一步， h v 等于什么？他的题是不是三分之一乘以底面积，是不是？底面积是不是 pi r 的 平方乘以高对不对？来看一下我们三分之一乘以 pi r， r 是 多少？ r 是 六对不对？ r 是 六，这个是 r 的 平方，乘以 h 等于三十 pi， 好， 这个，这个约调，这是有多少嘞？ 就是什么？就是我们的十二 pi， h 等于三十 pi， 那 么 h 就 等于多少？ h 等于二分之五。那么第二步， 第二步，这个时候我们 h 等于 h 的 值，我们就求出来为二分之五，对不对？这个时候我们这个母线长为多少多少我们是不是不知道？ 那么根据勾股定力关系就得到二分之五的平方，加上什么六的平方开根，就等于我们的什么，等于我们的 m 线等于我们的二分之十三。所以说最后一步是干嘛？最后一步是， 最后一步是什么？是侧面积，他说让我们求侧面积对不对？侧面积就是我们的二， pi r l 乘以二分之一，那么首先二乘以 pi r 是 多少？ r 不是 我们题目当中给我们的六对不对？乘以 l l l 是 多少？二分之三对不对？二分之十三，干嘛？再乘以一个二分之一来约掉这个根，二约掉对不对？ 好？约掉这个约掉，约掉三，对不对？所以说是三十九派，所以说这道题目的答案就是什么？就是我们的三十九派。 好，第三题，他说已知圆锥的底面半径为根号二，其展开图为一个半圆，来展开图，我们先画一下 一个半圆，对不对？半圆嘛？这个是 r 对 不对？那么由这个可以得到什么？得到我们 r 就 等于 pi， 对 不对？因为一个 pi 等于一个八十度嘛，对不对？好，我们来把圆锥也画一下， 圆锥长这个样子对不对？这个时候他说我们的半径是为什么？半径为根号二的半径为根号二，他让我们求这个母线长为多少？ 那么在此呢，我们第一步干嘛？我们第一步先把我们的上节课拓展的一个公式给它写在这边，这什么公式呢？哎，大家上一课自己看一下啊，就给你们看一下这个怎么写的好。第二步是干嘛？ 要不你看我们这个图片对不对？可以看我们刚画的图，是不是派等于 r 法，对不对？也就是说我们这个 r 法可以跟派什么平替，对不对？就是派等于二派 r 比上，比上 l 比上 l 啊，比上 l 好， 就说派跟派约调 是不等于二？ r 比上 l 对 不对？是不是？也就说我们推到 l 等于二 r 知道吧？ l 就 等于二 r， 那 么 r 为多少？ r 不 就是根号二吗？对不对？所以说我们的 l 的 值就是什么？就是等于二乘以根号二等于我们的。 哦，背个好答案，选的 b 选项。好，我们看第四题。第四题呢？他比较难啊，他是我们一个往年高考的一个真题，他是一个，他是一个中南版，中南的是属于那个什么男的？这个题目，那么看一下这个图啊，这个图呢？给你们，这个给你们了哈，给你们了。 来看一下，他说一次圆锥 p o 的 底面半径也是我们 o a， 对 不对？ o a 是 为根号三， o b 也是，为什么为根号三的？他说，啊， pa、 pa 和 p b 对 不对？为什么？为母线？他说，角 a、 o、 b 等于一百二十度，若三角形 p a、 b 的 面积等于四分之九倍根号三，则该圆锥的体积为多少？这个时候 我们先把这个 a、 o、 b 给它画在旁边，对不对？ 这是不是我们的 a、 o、 b， 这是我们的什么？一百二十度，这是我们的根号三，根号三，对不对？好，我们看下第一步， 第一步，什么呢？第一步，哎，我们的第一步是第一步， 我们这些公式，三角形 a、 p、 a、 b、 p a b 等于什么？因为他说，他说什么 p、 a、 b 的 面积为多少，对不对？肯定是让我们求什么求，是这样 p e 的 对不对？好， 等于二分之一乘以 a b 乘以 p e， 那 么这个 a、 b 我 们是不是好像不知道得多少，对不对？ ab 等于多少呢？来， ab 等于多少？ a b、 a、 b， 有 些，有些人说，哎，有些同学说，数字等于什么？根号六，根号六吗？是吗？是不是根号六？那肯定不是根号六啊，对不对？ 是不是？那肯定不是，刚好六万，那是为多少嘞？哎，这个呢，就是关系到你们初中的一个掌握点了，你看我们是干嘛？我们是垂直下来，是为 c， 是 不是平分的，对不对？那么这个时候你想一下，我们根据我们的什么，我们的勾股关系可以得到他， 他这个的话是什么？是一个什么是二分之三的，对不对？是一个二分之三的，根据我们的，什么根据我们的。哎，初中知识是什么？对立角关系对不对？对，立角关系当中可以得到 我们这个是二分之三，二分之三，那么中间这个呢？这个中间这个就勾股可以得到什么？得到我们是二分之根号三的。所以说我们这个呢，就是涉及到你们初中的知识掌握点，那么我们高中就不提初中的知识了，所以说如果对这部分有我现在同学呢，可以看一下啊， 可以自己去回顾一下初中的那些知识点。好，我们继续。到底。什么二分之一乘以 a b a b， 什么 a b？ 不 就是二分之三加上二分之三吗？对不对？为什么？乘以 p e a 二分之一乘以三 乘以 p e 等于四分之九倍根号三，那么这个时候等于四分之九倍根号三呢？ 那也就是说我们是二分之三乘以 p e 等于四分之九倍根号三的，对不对？那么则 p e 等于多少？ p e 不 就是等于二分之三倍根号三吗？对不对？ 二分三倍根号三，是不是很很简单？好，第二步干嘛嘞？是求 h h 等于多少？ h， 不 就是什么 p o， 对 不对？ h 就是 p o， 你看，要不我们直接这边写 h 是 p o， 且刚刚求出来的 pc 啊，这是 pc， 这是 pc 啊。这个题目当中它是提 pc， 可是呢，原题当中它什么？它是它是什么？它是一个 pe 的 啊，它是一个 pe 的， 这个呢？可能是打出来它有点问题啊，这不可以啊，也也没有什么影响，这个是 e， 这是 e e。 好， 这时候让你让你什么？ p e 刚刚求出来。什么？ p e 求出来？是我们的二分之三倍号三，对不对？ p e 等于二分之三倍根号三好， p e 是 二分之三倍根号三，二分之三倍根号三。然后是什么？是让你求出 现在让你求它的高高，什么？ p o h 对 不对？它的 h 为多少？那这个时候该怎么求呢？同学们该怎么求？该怎么求呢？ 首先我们刚刚是不是在这边有讲到过我们这个对不对？ 那就对写一下，是不是？这边是不是等于二分之根号二分之根号三，对不对？也就是说我们 o o e， 这个时候，这个时候是 o e 啊？你看这个是 e 对 不对？这个时候我们的 o e， 它是不等于什么？等于我们的二分之根号三。 那么他们这个关系不就是一个狗骨关系且垂直的关系吗？对不对？也就是说，哎，也就是说，我这个 h， 他 不就是等于啥嘞？ 有啥等于我们的什么？有，我们的 p o 是 不是等于我们的 p o？ 那 么这是我们的开根码， h 等于什么？ p o 等于什么？等于我们这个，这个斜就斜边对不对？减去我们的什么？减去我们的。对扁好 大不就是啥嘞？二分之三被根号三的平方，减去我们的什么？减去我们的二分之根号三的平方。记住，这个二分之根号三不是我，不是我，什么不是平数的？是我们求出来的二分 之根号三。好，求下来之后等于什么？等于根号六，这是我们的第二步，那么第三步呢？ 第三步，哎，体积直接求出来对不对？微等于什么？三分之一乘以 s， 这个 s 是 我们的底面积，是不是乘以 pi r 的 平方乘以我们的 h， 对 不对？ 为什么等于三分之一乘以 pi 乘以我们的 r 半径，是不是？题目当中你告诉我们是根号三，对不对？根号三的平方乘以根号六，根号六，根号六。所以说，哎，他这个多少？ 他这个是什么？他这个就是三分之一乘以三，乘以根号六，乘以派 a 调是不是等于根号六派，然后六派对不对？所以答案是吗？答案就是选择我们的 b 选项。好，我们看最后一题，最后一题他是原台的一个题目，他说已知某原台的高为一，上半 上底面半截为一，下底面半截为二，则侧面展开图的面积。那么他这个侧面展开图的面积呢？老师上节课讲过，他就类似于我们的什么某一个什么梯形，对不对？他就类似于我们那个梯形的。好，我们现在把它的原图给它画一下 原图，哎，上面的半径是不是一，是不是？他们大概是长，他们大概是，这关系对不对？好，他说侧面展开图，侧面展开图的面积是什么？长这个样子的，对不对？ 这样子的，他让你求什么？让你求这个的面积，是不是？他就让你求这个的面积吗？那么这个的面积不就是什么？不就是我们上底是不是 pi r， 我 们给他定义为什么 pi r 二，是不是的平方，加上我们的 pi r 的 平方，那么 pi r pi r 一 的平方是这一坨 pi r 一 的平方，这是我们的什么 pi 二二的平方。来，首先我们来看一下，这个时候我们有一个位质量是 l， 对 不对？我们 l 什么 l？ 是 不是老师讲过 l 呢？在上个视频我讲过，他们是不是一个勾股关系，对不对？ 那也就是说，哎，我们这个是为一的，这个这个呢？它是为二的，对不对？那么我们就移过来，是不是？这个数字也是为一？这个这个也是为一，对不对？好，这个一一之后呢？ 我们这个 l 是 根号求，那么他的 l 不 就是等于一的平方加上一的平方，不就是等于什么？等于根号二吗？对不对？好，这个时候我们 l 等于根号二，求出来了之后，我们直接带入到我们的测面积，那么 s 测面积呢？ s 测就等于什么？上底加下 上底加下底的，下底的和乘以高除以二，那么他的他的这个高不就是我们的母线 l 吗？对不对？他他这个高可以理解为我们的什么母线 l， 知道吧？可以理解我们的母母线 l， 因为这是类比我们的一个梯形啊，这是类比的我们的一个梯形。好，我们我们继续。 所以说，哎，我们上底的加上下底的和乘以高除以二，也就是说我们二分之一乘以我们上底是什么？ pi？ r 二的平方加上我们的什么 pi， 呸呸，是，哎，是 pi r 二，对不对？派 r， 派 r 二，派 r 二 r 一， 对不对？加上派 r 一 乘以我们的 l， 对 不对？乘以我们的 l， 也就是我们乘以我们的什么 乘以我们的这个相当于得比他的高，对不对？好，继续乘二分之一 a， 我 们的 r 一 是多少？ r 一 是不是为一，对不对？ r 二是为二，对不对？也就是说乘以二，派加上什么？加上我们的派乘以 l， 那 不就是等于什么？ 这什么嘞？这个时候你要搞清楚我们这个 l 是 什么？是根号二了，对不对？ l 是 根号二了。所以说，哎，我们这边的他们都什么？你看他 跟他之间为多少，对不对？这个时候你看一下我这个二分之一，二分之一我们是不是可以干嘛？ 我们是不是可以直接少了一个关系啊？是要乘以二，对不对？乘以二来月掉月掉是不是？月掉？月掉月掉是不是？所以说它这个的话就是什么？就是我们的 pi r pi r l 加上我们的 pi r l 加上我们的 pi 二 l 就 等于什么？对，就等于我们的 pi 乘以根号二，加上我们的什么？我们 r 二为多少，我们 r 二为多少呢？是不是？ 二倍根号二派就等于什么？就等于我们的三倍根号二派？所以说这道题目答案他就选的是我们的四 d 选项。那么关于我们圆柱、圆锥、圆台啊，他们的 五道典型例题就讲完了，那么这题目的来源都是来，来源于我们往年当中的高考整体，以及各省真正的模拟题，模拟真题。好，那么我们下期视频再见。

本视频纯手工打造，耗时四百六十六分钟，带你一口气学会二面角外接球模型，记住口诀，球心垂直交外心能的半场找勾股，先收藏再观看，下次遇到直接秒杀！不废话，我们直接开始 今天的内容，他的难度是非常高的，因为这样的一个命题，如果大家从网上看到一些公式，比如说二面角万能公式，好在我的观念当中，这个公式就是 不太好的一个公式，因为我们本质上是要理解这个方法为什么行，比如说当你理解了这个方法为什么行之后，二零二五年的那个高考例题几何题就可以快速做掉， 用几何法可以做到，那是不是相当于举一反三的一个过程？大家认真听我说，那首先这个模型它的应用场景是面面垂直，包含给二面角，我想求到外界球直径或者外界球半径，我就用这个方法就可以了。 那我们从头来，那首先我先边标边 p a、 b、 c， 这里面发现 p a c 侧面和底面是垂直的，我们快速的给他找到一下他的球心的位置， 那我们先画一个外接球，球心我就标定在这里，其实我也不知道他在哪，但是我知道一件事情，这个球心投在面上投影叫什么？叫做三角形的外心，他一定会投在三角形的外心，这个外心就是外接圆心。换句话说，比如说我想投在上面，这个 o e 大 概投在什么位置上呢？我们先画一下， 哎，大概就在这个位置上。那么 o 二投在底面投在什么位置呢？大概投在这个位置上。你说老师我不知道他在什么位置上，我告诉大家这个 o 一 o 二就在这个圆面给大家稍微画一下，就在这个圆面 他的一个什么上，他的一个外心上面，那他也在这个圆面的这个圆形上，这个圆形就是三角形的外心。那这个我在后续讲练习题的时候，再跟大家具体的做描述。那继续呢？我就可以找到二，找到二之后，我们接下来要向交线做垂直， 上交线做垂直之后呢？根据叫什么叫垂径定律，这个垂直垂完之后一定是它的终点，所以 o e 二做这个 a c 的 垂线，它也会在终点，所以它们一定会垂一点，那这样的话有什么好处？是不是二面角就暴露出来了？那最后一步我们连接这个 o h， 换句话说，整个 这个题目当中，我们只要把 o h 算出来，这题就完事了，为什么呢？因为大家可以想象 o c 是 什么，那么 o c， o c 是 不是整个求的 r？ 那 我是不是可以用 h c 和 o h 做一个勾股定律，就可以直接得到 r 是 谁？ 好，那么入座时我们列一个勾股定律，这个勾股定律其实它就是在这个面当中的一个勾股定律，我们只要把这个面给它搞透彻是不就可以了？ 那关键的难点来了，我们要解什么？要解 o h o h 怎么解？我们来把这个面给它画出来，是不是这样？那这个体头于它的这个二面角是九十度啊，所以它画起来非常简单，它是一个正方形， 为什么正方形？因为 o 一 h 和这个 o 二 h 它是什么？它是定值，对不对？它俩是相等的，因为它两个面是全等的，它两面都是正三角形，对不对？ 那我们简单来算一下 o h 吧，我们发现题干当中所给的这个二面角，它其实是九十度，就是我标的 o e h 和 o。 那 么大家呢，如果对这二面角不理解的话，可以进我的粉丝群，我给大家之前录过视频，也可以看我往期作品二面角的讲解， 那继续，那么 o h 可以 简单的代数运算，这里给大家稍微说一下，其实它的难度就在于我所有的题目在算 o h， 其实都是通过 o e h 和 o 二 h 来计算出来的。 那有同学说，老师，那你为什么不算 o o 一， 因为 o o 一 本身是球心到面的距离，这个过程是难以表述的，包括 o o 二，他也是难以表述的，但是 o e h 是 定的，因为你的外心到你棱的距离是不是一定好求的一个问题。那这里就是沈老师给大家讲的方法， 还是由我给大家来高度的总结一下该模型的应用。这个模型我管它叫做二面角模型，在任何题目当中，大家但凡遇见二面角，直接去找他球心的位置，当我们找到铰定好球心的位置之后，我们向两个面分别做线面垂直， 垂到的地方我们标为 o 一 和 o 二，向棱做垂直，那么这样我们设这个点为 h， 就 一定会有一个非常好看的三角形， 这个三角形呢，其实是一个两个直角三角形拼成一块的这么一个图形，我们来一起勾勒一下。好在这样的一个小小的 图形当中，我们管这个形状叫做正形，因为它两个角度都是直角，在这样的一个形状当中，我们可以快速的求解出哪些变量呢？这里给大家标注一下。首先 o 一 h 是 非常好求的， o 二 h 也是非常好求的，那么这两个为什么他好求？因为他是头在面上到棱的距离， 外心到棱的距离，大家记住了吗？第二件事情还有什么东西？就是 o 一 h o 二，它是二面角，所以我们所有的题目只知道这三个信息就足够了，但我们知道这三个变量的时候，大家只需要去求解 o h 就 可以了。 当我们无论你用什么手段，当你解除 o h 之后，你回头再和我们的边一连，也就是这条边，那么在我这里的 oc 是 什么？大家可以发现 oc 其实它就是半径， 那么 oc 和 o h 做一个勾股定律，就一定可以把 oc 给它计算出来，也就是说 o c 的 平方，它就一定等于 o h 的 平方加二分之 l 的 平方，也就是在这个三角形当中，这里面是直角，我们只要通过这个边和这个边的勾股定律就可以说 o c， 那 o c 是 什么？ o c 其实它就是 r， 所以 公式来了。 这里陈老师给大家打了三个感叹号，希望大家一定要理解整个的做题过程，并且了解到 o e h 和 o r h 他 到底怎么算的，然后再知道为什么 o r h o e 他 是二面角。最后这个勾股定律，那一定要把它背下来好不好？ 好的以上的二面模型给大家讲到这里，我来大家练习一道题目来具体实战一下。好图呢，陈老师给大家讲解一下，首先 你说老师你叽里咕噜画了这么多图形是干什么的？那沈老师逐个给大家破解开来。首先在三角形 a、 b、 c、 d 当中，我们仔细读题，读到了一个叫做二面角的条件，那么在这二面角的条件下，他就一定是用沈老师刚才教大家这个模型 好，那模型有两个关键点，第一个关键点大家一定要快速的理解出来 o e 是 谁，这个球心，他到楞的距离。那你说老师你画的这个图形到底是什么意思？接下来我给大家解释一下我画的这个图形。 第一步先找球心，球心向两个面做垂直，那么垂足，再到这个棱的距离，那这个三角形你把它解出来，你将来去算 o e， 你 把 o e 算出来。接下来用我们老师教的这个核心公式叫 o e 的 平方，加上一个半边的 平方等于什么？等于 r 的 平方，这个就是核心公式。换句话说，在整个题目当中，大家只需要把 o e 解出来，这个题呢应该就结束了。那关键是在这个算术当中，哪些可解，哪些不可解呢？根据沈老师的笔记， m e 可解， n e 可解， 还有什么课题？是不是他给的这个二面角好？ m e n 六十度好以上的沈老师认为是非常好求解的东西，那沈老师大家一步一步求解，那先在这个 ab 岛的这个三角形当中，我们来做一些文章，沈老师把它平移一下，好在 ab 岛当中， 我们发现 o 点投在这个面的 ab 道当中，他投的是什么位置呢？大家会发现他投的位置应该叫做外心对不对？那外心就是 m 点，那 m 点到底在图像当中哪了哪里？我们把 ab 道的边标一标，这个边是根三， 这个边呢是三，这个边呢是二倍根三，所以他是个直角三型，那么这个外心 m 点就在斜边中线上，那接下来我要算外心到棱的距离，到谁的距离，那简单来说就是 b 道的距离， 这个距离呢？我们来一起来算一下。那 b 岛简单列一个勾股定律，那 m e 算出来应该是等于个二分之根号三。 继续，那我们有了 m e 之后，相当于在这个图形当中的这条边算出来了，那么接下来是不是还缺这颗边？ 那么还是同样的道理，我们先投在这个 b c 岛上的 n 点， n 点到棱的距离是多少？那是不是就是个正三角形？那么正三角形我们知道边长乘上二分之三，乘上一个三分之一就可以了，所以 a 的 长度等于二分之二三。 我们发现这个题是一个非常有意思的图形，在这个题当中它是一个标准的对称的图形，那换句话说，这个半角应该是三十度，那我们想求到 o e 是 不是直接就秒掉了？那么 o e 等于二分之二十三，除以一个 cosine 三十度， 这样的结果就可以直接秒掉 o e， o e 算出结果等于一，那因此当我有了 o e 之后，我再用我刚才教大家的半边长公式，是不就可以快速秒掉结果？我们一起来列一个勾股定律，所以 r 就 等于根号加 o e 的 平方，加 e 的 平方是沈老师刚才给大家总结那个核心关键公式， 所以可以算出来 r 等于二分之根号十三。综上我们算一下 s， s 等于四派二方，所以它等于十三派。那么这个题沈老师给大家讲到这里， 希望大家把该搞懂的问题搞懂，尤其这个方法背景下的这个模型。关注我一键三连，沈老师会在粉丝群当中给大家带来更多的练习题，以及相应的标准过程的笔记解答，大家有任何问题呢可以跟我沟通，我是数学沈老师，带大家快速通关数学。

高考数学解难题共五道，立体结合综合题是必考核心题型，这些题型看似复杂，实质是区分八类核心题型，把握以下命题方向，并分类吃透，备考就能精准发力，少走弯路。 第一类是空间线面平行垂直关系的证明，主要围绕两大方向命题，也是空间几何体各类平行关系推证，熟练掌握判定以性质定律即可破解。二是空间几何体各类垂直关系认证， 理清线线线面面的推导逻辑，是立体几何最基础的核心考点。第二类是空间几何体中空间角问题，区分三大考察重点，包含线线角、线面角以及面面角的求解， 灵活运用几何法、空间向量法与空间坐标法，就能从容应对各类角度计算考题。第三类是空间几何体的距离体积计算问题， 聚焦三大命题维度，还盖点到直线、点到平面的距离求解， 以及各类几何体体积计算，重在公式，活用于空间转化思想，属于试卷中的基础别得分题型。 第四类是立体几何中的探索与追驰问题，分为两大命题方向，也是几何量相关的追驰求解，常结合函数与不等式综合分析。二是立体几何中的存在性探索性思维， 这种空间逻辑推理属于中等拉分难点。第五类是空间几何体的支点与展开问题，这种考察空间想象素养， 把握这题展开前后边长角度等不变量与变化关系，是破解此类题型的关键所在。第六类是立体几何的前面问题，这种空间图形直观辨识，与前面做图 相关计算，专门考察抽象空间认知与图形分析能力。第七类是与球相关的立体几何创新问题，围绕球的体面、立体球、外界球等核心性质命题， 结合近几年高考创新命题趋势，重在几何综合素养的灵活运用。 第八类是多面体与球的切击综合问题，系统考察人助、人、追、人抬等结合体的外界球、内切球，以及人切球的球心定位与半径计算， 将空间几何与球的性质深度融合，是今年立体几何压轴热门方向。这八类子题型几乎覆盖了立体几何解答题所有考法， 无论题目如何变化，一般都逃不出这些命题框架，同学们针对性逐一突破，就能稳稳抓住这道解答题的分数。

哈喽，艾瑞巴蒂，我是神奇小猪。立体几何的解答题无非就问三件事，证明平行、垂直、求角度以及求距离。那么这三件事用我们学的空间向量全都能解决。那么这个视频我们重点来研究空间向量是如何证明平行跟垂直的。 本节课是空间向量解答题的最关键的基础课，一定要认认真真把每一个知识点都搞清楚，快点开始吧！ 今天我们来研究平行跟垂直，这可是老生常谈的问题了，平行无非就是线线平行、线面平行，还有面面平行、 垂直，分别是线线垂直、线面垂直和面面垂直。虽然这里面大家看起来好像有六种不同的情况，但实际上这六种不同的情况就两件事，一个叫线，一个叫面。所以如果想用空间向量研究平行关系的时候，咱得先知道线和面怎么用空间向量来表示， 我们一个一个来看。首先如何用空间向量来表示一条线呢？比如说 a、 e、 c 这条直线，这条直线怎么确定的？我们知道两点就能确定一条直线，而且我们还知道，如果把其中一个点看成起点，另一个看成终点，我们还能由这两点确定一个向量， 这个向量的方向就能代表这条直线的方向向量。我们把直线上两点确定的向量叫这条直线的方向。向量 怎么求？很简单，先把起点终点的坐标写出来， a 点坐标，随便举例子了，这个这长宽高 b 分 别是一比二比一，那么 a 一 点就是一零一， c 点就是零二零，那么 a、 e、 c 就是 终点减起点，终点减起点，终点减起点，得到负一二负一。 所以用空间向量表示线太简单了，我们只需要在线上找两个点，坐标一剪就行。但是如果想用空间向量表示面的话，可没有那么简单，难道咱能随便在面上找两个点，这形成的向量能代表这个面吗？ 不能，因为经过这个向量的有无数个面，你咋知道这个向量表示的是哪个面啊？所以用一个向量不行。有的宝贝就想，哎，那我用两个向量呗，两个不共线的向量，那不就能确定一个面了吗？ 但是吧，咱选两个向量表示一个面有点麻烦，最好能选一个向量。实际上这个向量我们不在这个面上选，我们去选跟这个面垂直的一个向量，用这个向量的方向来代表这个平面，跟面垂直的向量叫这个面的法向量。 注意哦，对于同一个面来说，法向量可能有无数个可能，有的长一点，有的短一点，有的是朝上，有的是朝下。不过没关系，他们都叫法向量。原理很简单，因为只要法向量所代表的一条直线的方向确定，面的方向一定也是跟着一起确定的。比如说这个例子里面，法向量如果是竖直的，那么跟他垂直的面 必然是水平的，不论这个面如何平移。所以我们知道了用方向向量表示线，用法向量表示面。有了这个基础，所有的线面平行跟垂直的问题全都能解决。不信来看。 在以前我们想证明两条线平行，我们用的是平面几何或者立体几何方法，但是今天我们只需要见完系之后，找到两条直线的方向向量， 想证明线线平行，我们只需要去证两个向量是平行的就可以了，是不是很简单？那如果想证明线面平行，我们用方向向量表示线，用法向量表示面，我们不需要直接证明线面怎么怎么样，我们只需要证明这两个向量之间是垂直的就行了。 因为如果法向量跟这条直线是垂直的，那跟法向量垂直的这个面跟直线一定是平行关系啊。但这不是最简形式，我们用向量的方法去表示垂直的时候，我们经常用的应该是数量积，向量垂直就等价于它们的数量积为零， 如果你这个都听懂了，那下一个简直就是小菜一碟。想证明面面平行，我们并不直接去看面，而应该分别去看两个面的法向量。只要两个法向量是平行关系，那两面肯定也是平行关系。 有了平行作为基础，我相信垂直对大家来说也是瓮中捉鳖。证明线线垂直，我们只需要挣两条线的方向向量，让向量 a 和向量 b 的 数量积为零，他俩垂直就可以了。 想证明线面垂直，我们并不直接去挣，而分别找线的方向向量和面的法向量。如果方向向量和法向量是平行关系， 最后两个面相垂直，那么只要让他们的法向量相互垂直就可以了，两个法向量数量积必然为零。 那我相信宝贝们肯定都有一个问题啊，只要涉及到面，咱就找法向量，但是你还没教我法向量怎么求呢呀！所以接下来我们重点讲法向量如何求。 找法向量其实就是找这个面的垂线，那根据垂线的判定定律，我们知道他想成为垂线，只要他能跟这个面上两个相交的直线都垂直就可以了。 那面上的两条相交直线，想确定方向也很简单，用方向向量喽，分别记为向量 a 还有向量 b。 所以 第一步，在面上找两个方向向量 a 和 b， 然后让法向量都跟它们垂直，要想跟它们垂直，那数量基就是零，我们得到两个方程去解这个法向量就可以了。 当然讲完思路，咱得实际来操作一下。比如说咱们就举一个非常古老的例子，这个图我们看过太多次了，这边长比，比如说是二比一，现在我问 a、 c、 e、 b 这面的法向量怎么求？ 第一步，在这面上选两条线，那选的线呢？那无非这面就是由三个点确定的。所以想找面上的向量，咱得先把这三个点的坐标写出来。我直接写了 a 一 点一零一， b 点一二零， c 点零二一，找到起点终点坐标，那随意选两个向量，比如我就选 b、 c 一 向量，还有 b a 一 向量， b， c 一 钟点减起点，钟点减起点，钟点减起点。第一个零减一是负一二减二是零，一减零是一类似的， b a 一 我也能算，一减一，零减二，一减零。所以这个面上两个方向向量都找到了。我们最后想求法向量向量，向量空间向量得有三个坐标啊， 三个坐标都不知道，没关系，就设成 x、 y、 z。 那 怎么求 x、 y、 z？ 刚才都说了，只需要让法向量和另外两个向量数量级为零就可以了， 和这两条直线垂直的向量一定是法向量，所以把所有问题变成一个代数运算。第一个方程， n 和 b， c， e 算数两积， x 乘 x， y 乘 y， z 乘 z， 负 x 加零， y 加 z 等于零。 第二个方程还是两个向量， x 乘 x 加 y 乘 y， z 乘 z， 零倍的 x， 负二倍的 y 加一倍的 z 等于零。 按理来说，两个方程是解不出来三个未知数的，不过没关系，因为我们知道法向量也不是唯一确定的，你只要在众多有长有短的法向量里面选求出来其中一个就够了。所以我们就强行解啊，列其中，比如说列 x 等于一，那解一下，那很显然， z 就是 等于 x 的。 等于一， z 等于一， y 等于几？第二个方程告诉你了， y 应该等于二分之， z 等于二分之一，所以法向量就如探囊取物， x， y， z， 这就是求法向量的标准。过程第一步，必不可少的，你得先找到面上的两个方向向量。第二步，列两个数量积等于零的方程。第三步，解出来。 当然肯定有宝贝觉得这个过程太麻烦了，我太不想算了。别慌，我们对于法向量是有简易算法的，而且他在网上随便一搜法向量，大家肯定能搜到各种各样的速算技巧，那么今天就给大家介绍众多速算技巧当中的一个。举个例子，现在已知向量 a 和向量 b， 那由这两个向量确定的法向量，他一定是能求的。究竟怎么求？这法向量最后只跟谁有关？那只跟一二三四五六这六个数有关。想速算，我们第一步把每个向量抄两遍， a 向量一二一，再抄一遍，一二一， b 向量负一零三，再抄一遍，负一零三。 这第一步我们叫每个向量写两遍。第二步，这一共有六列，我们第一列还有最后一列，不要只保留中间四列，我们称之为叫掐头去尾留中间。 最后重点来了，咱们想求的法线呢，其实无非就是得到三个数，分别是 x、 y 和 z 三个坐标， x 坐标我们要交叉相乘再相减。 具体操作一下，那就是二乘三再减去零乘一算的答案放在 x 坐标的位置，六减零就是六，很简单很好算。那 y 坐标也一样，我还是交叉相乘，一乘负一，三乘一再相减，算的答案是负四。 最后 z 坐标我不说，大家也会了，交叉相乘再相减，一乘零减二乘负一，算完是二，最后得到的答案就是法向量 这个运算过程，呃，其实就是大家以后在大学里面学习的限性代数的差乘运算，没有那么神秘，大家把这个运算过程记下来就好了。第一步，每个向量写两遍，掐头去尾留中间。第二步，交叉相乘再相减的顺序一定是一致的。 很多同学可能会问，是谁减谁呀？我们一般是用这个方向相乘，减去这个方向相乘。有的老师可能给大家总结成什么撇和奈，但是有的宝贝就像我分不清哪个是奈哪个是撇，语文学的没那么好， 所以你怎么记呢？大家就画叉看好了，你叉是怎么画的，就用谁再减谁画叉，先他俩乘，再减去他俩乘，不信的话你可以验算一下吗？ 最后我们得到答案跟原来你看数量级是不是零啊，一乘六，六减八加二，正好是零吗？答案绝对没错。但是一般情况下呢，我们算完这个发现量，其实并不一定是一个最简结果。因为我们知道向量是可以来回伸缩的，这个六四二其实都是二的倍数，所以我可以把它整体 除以二，得到一个好看且好算的法向量，写成三负二一，这样比较好，但练一道题肯定不够，我们可以验算一下刚才用普通方法做这题的结果，两项量，负一零一写两遍，零，负二一写两遍，掐头去尾，留中间交叉相乘再相减零乘一减负二乘一，零减负二应该等于二。 交叉相乘再相减零减负一应该是一，交叉相乘再相减二减零等于二。你看看，你看看，二一二跟原来的一二分之一，那是不是一个方向的向量呢？咱把它每一项都乘二，那不就是二一二吗？完全没错，不信就再来练一道 求法向量。两个向量分别是一根号三，零根负二根号三三。每个向量写两遍，开始了掐头去尾，留中间交叉相乘再相减。 第一个数是三倍根号三，减零就是三倍根号三。第二个数交叉相乘再相减零减三就是负三，直接口算第三个数，交叉相乘再相减根号三，减负二倍根号三应该是三倍根号三， 那每项都有三。哎，所以我们求得的发现量都出一个，三根号三，负一根号三。验证一下发现量，他俩对应相乘一下，一乘根号三，减根号三，加零等于零，没问题。 第二项呢，再来验算一下，负二倍根号三减根号三呢？负三倍根号三，那再加上三倍根号三也是零，完全没问题，这就是答案。当然光会速算可不行， 因为考试的时候例题几何是考大题的，这个书写过程那是必须要写的，所以还是建议大家，我们第一开始讲的原始方法，你必须得会在会算算对，而且算到快的基础上， 大家再去用速算的方法对最后你刚才算的答案进行验证，这在考试里面是最稳妥的，因为一旦法项量大家算错了，那基本上立提及格可就得不了几分了。

开始啊，咱们来讲一下立体几何的相关大题，然后今天咱们解决这道呢，是第一道题，它包含了面面垂直的证明。二、面角计算是高考立体几何的高明考点，然后咱们来一步步拆解。 首先咱们来看一下题目，他说在四棱锥 p a， b， c， d 中， p a 呢，怎么垂直于这个平面？ p a 垂直于这个平面 a， b， c， d， 然后呢， p a 是 等于这个角等于一百二十度， 然后还告诉咱们什么 a c 垂直于 b 的， 就是这个是垂直的，对吧？然后呢，还有条件就是三角形 b， c 的是个什么三角形？是个等边三角形，就是这个三角形 b c 的。 那第一问，第一问的话，你想咱们要证明两个面垂直合一方法是不是证明一个面内的一条直线垂直另一平面，也就是找什么线面垂直，对吧？那这道题咱们来简单写下步骤，首先写个紧，然后证明 因为什么，根据已知条件咱们要找什么，找垂直吧，对吧？所以题目告诉我们 pa 垂直平面 pa 怎么的？垂直于平面 a， b， c 的， 对吧？然后 c 的 是不是也在这个平面内啊？ 在平面什么 a， b， c 的 之内，所以说怎么的 pa 是 不是就垂直于 c 的 呀？对吧？然后呢，又告诉咱们 a、 c 垂直于 b 的， 是不是写因为 a c 垂直于 b 的， 然后还因为什么呀？还因为这个三角形 bc 的 呀？它是个什么等腰三角形，咱们为什么要这么写？咱们要找什么导角度？ 那所以说是不是 a b 等于 a 的， 且什么角 b 的 c 是 不是六十度啊？那你说角 b 的 c 是 六十度，你说角 b a 的是多少度？ b a 的 还是怎么的？它又是一百二十度， 是不是？所以说怎么的？是不是角 a 的 b 是 不是等于角 a b 的 等于一百二十二十三十度？是不是因为顶角是一百二十度的一个等腰三角形？所以说咱们能推出角 a 的 c 是 不是等于九十度？也就是 说明 c 的是怎么的垂直于 a 的， 然后 pa 啊，你看啊， pa 是 不是在平面？怎么的？咱们现在已经正完了什么？ 已经马上要证出来什么？是不是证明出现面垂直，对吧？所以说咱们写 pa 属于平，在平面 pa 得上， a 得呢？也在平面 pa 得上，然后 pa 呢？交 a 得还等于 a， 所以 说 c 得这条线是不是就垂直于平面 p a 的 呀？然后咱们要正这两个面垂直，对吧？所以说因为什么呢？ c 的 在这个平面 p c 的 上，所以说这个平面啊， p a 的 是不是就垂直于平面 p c 的 呀？这第一问咱们解决了，第二问，第二问，让他们求二面角的正弦值， 对吧？二面角正弦值的话，咱们要空间向量法解决，对吧？首先咱们来找一个合适的圆点，间距要细，题目里给咱们的 a c 垂直于 b 的， 那咱们把这个点它的焦点设为什么设为 o， 那咱们以向量 o b 方向为正方向啊，为什么 x 轴正方向以 o c？ 为什么 y 轴的正方向再怎么呢？平行于怎么呢？ p a 向上键这个 y 轴 z 轴， 对吧？咱们一般是键右手系，所以说咱们键完了。然后接下来计算作表， a b 是 不是等于 a 的 等于二角 b， a 的 还等于多少？等于一百二十度，所以说什么呢？ b 的 是不是等于二倍刚好三呢？那 o b 是 不是就等于 o 的 等于刚好三呢？那等边三角形 bc 的 中，你想高， o c 等于三，又因为什么？ a o 是 等腰三角形 ab 的 底面的高？所以说怎么的 o a o 等于一，哎，等下这个 o c 啊， o 看啊， o c 是 等于什么？ o c 应该等于三倍杠三，对吧？ a o 等于一， o c 等于什么？三倍杠三对不对？所以说个人坐标咱们现在就能找出来 b 点是杠三都零都零， c 是 零都四都零， 个是负杠三斗零斗零， p 的 话，是不是零斗负一斗二啊？对吧？然后咱们接下来就要找反向量了，找反向量，首先你要找 p、 c 向量，是不是给它算出来是零斗四斗负二， p b 向量呢？是不是杠三？逗一逗负二？那这一块步骤其实可以简单点写，如果写过程的话，那我就直接跳过前面那些步骤就是，但是你们写的时候要写，所以说咱们正常接下来步骤就是设法向量，对吧？设法向量， n 向量是不是等于 x y， z 呀？然后所以说咱们能列什么？是不是 n 向量乘上 p， c 向量等于零， n 向量乘 p， b 向量等于零，然后咱们代入，代入之后呢，咱们要怎么的？ 是不是得到一个式子，是不是二 y 减二四， y 减二， z 等于零，杠二三， x 加 y 减二， z 等于零，那咱们是不得负值啊？咱们另 y 等于一，接着什么？ 是不是 z 等于二， x 等于杠二三？所以 n 限量是不是就是杠二三到一到啊？到二，对吧？那接下来还得找什么？找另一个平面 p 到 c 的 一个反向量， 那 p 到 c 的 反向量咱们也是一样的步骤我就不写了。那最后咱们能解得这个它的反向量是多少？是不是负？高三到一到二， 然后你看啊，咱们是不得先咱们要求什么？正弦值？正弦值的话在零到派内是不是都是正的？咱们不需要考虑它正负的问题。 那所以说咱们先来算一下它的余弦值，余弦值的话是不是等于它俩点的夹角对不对？是不是就等于多少？是不是二比上二倍，根号二乘二倍，根号二等于四分之一吧。 然后跟接下来求正弦值，就利用什么同角三角函数平方关系，就是塞 n， n 向量 m 向量夹角等于什么？根号下一减 cos 方，这个 对不对？是不是就等于根号下一减去四分之一的平方就等于多少？四分之根号十五吧。 然后这里要注意二面角的大小要反映在内角可能是怎么相等或互补的，但正弦值是不是都是相同的？就像我刚才说的，是不是他们在零到派上的话，你看正弦的图像，他都是正的，对吧？而且是关于什么？关于二分之派是对称的，但是余弦的话他他怎么的？零到派他是有正有负的这个分解点，二分之派， 那所以说你就要考虑这二米角的正负了，但正弦值就不需要考虑。那今天这道题咱们就讲今天这个第一问啊，咱们讲的一个是什么？是不是通过正面面垂直？咱们要想到什么？正线面垂直，线面垂直之后 再来正面面垂直，对吧？线面垂直怎么找？线面就是在这两个平面中找一条线，你看哪个线和另一个平面好，正垂直你就用哪个，然后你就基本上没有什么问题。那今天咱们讲到这。

警告！高中数学立体几何板块还不会的看过来，本期视频带你一口气吃透对棱相等的外接球模型，学会直接秒杀题目，先收藏再观看！不废话，我们直接来看题目 有一类题就是三棱锥的个个边长都是相等的，让我们去求外接球的半径，这个时候我们怎么理解？其实沈老师告诉大家，在三个 三对棱他都相等的情况下，其实这样的三棱锥他是可以放进一个长方体当中的，我们不妨先假设他们的每个边长都是 a、 c、 b， 把它假设好，这个时候能发现他一定是能够放进长方体的 这个长方体的。那如果说大家对于这个长方体的这个画法有什么疑惑，大家不妨拿个长方体出来试一试。你把每一个对角线斜着画，比如说 上面这个对角线左下到右上的，下面这个对角线就是右下到左上的，这样都连起来之后，这个长方体里边一定会存在一个对龙相等的这么一个三棱锥。 那继续我们不妨去设这个长方体的每个边长为 x、 y、 z， 那 这样我会发现，如果我能算出来整个长方体的体对角线是不是这样的，红色的这个三棱锥，他的外力球直径就可以算出来了，没错的，那我们继续，我们这里面发现这个 abc 其实隐藏了一些关系，比如说 a 方其实就等于 x 方加 y 方，对不对？比如 b 方就等于 y 方加这方，那比如说 c 方就等于 x 方加这方，那我们把这些关系写好，那写好之后我们把它整理一下， 我们就可以得到 a 方加 b 方加 c 方，把上面设置两两相加就可以得 a 方加 b 方加 c 方，等于二倍的 x 方加 y 方加这方。 那有了这个东西干嘛呢？因为大家不难发现，整个三棱锥的外接球的二 r 和长方体的外接球的二 r 应该是一致的。好，所以我们把长方体的二 r 写出来，它就是二 r 等于根号下 x 方加外方加 z 方， 那么我们再把这个 x 方加外方加 z 方，换成二分之 a 方加 b 方加 c 方，我就可以得到结果了，那我的结果就这个， 那这个公式就是一个经验公式，大家务必要把它背下来，以及我们在什么时候会用它呢？那自然而然就是 我们在这个三棱锥他对棱相等的时候，或者说四面体他对棱相等的时候就可以用。对棱是谁？对棱是 abc， 因为六个棱相等，他有三组 abc， 你 直接用就行了。 那沈老师再给予大家一定的总结。三棱锥对棱相等模型，首先你要读题有没有三组对棱相等模型，首先你要读题有没有三组对棱相等，如果有，你把它标出来，那么你的二啊，注意是二啊，他就一定等于根号下 二分之 a 方加 b 方加 c 方。细节注意一下，这个二在根式里面，这个二 r 算出来是提掉线，所以这里面他是有二的， 当然有很多可能会把这个二给他放进去，或者把这个二给他拿出来油理化一下，这都问题不大，只要大家能记住就可以了。好，这里弹一下 abc， abc 就是 三组相当的。对了， 话不多说，我们一起来用公式来验证一下我们这个公式的效果，能不能达到一个直接秒提的效果，我们一起来试一试。二 r 等于根号下 二分之五的平方加上一个二倍，根号五的平方，加上一个根号十三的平方，结果是不就直接出现了，大家不妨计算一下，那所以二 r 等于根号二十九， 这里面我们要算的是表面积记四 pi r 方是不是直接平方成个 pi 就 可以了，所以秒杀。这里大家可以发现沈老师对于这个题的理解是我们学会秒杀就可以了吗？ 不是这样的，我还是希望大家能够像我一样手动的画出一个长方体的里面存在的这么一个 对棱相等的三棱锥，这件事情我觉得比背公式更有意义。石老师给大家画一下，首先我画了一个非常特殊的长方体啊，如任何一个长方体都可以，那接下来看我操作，随便连一条， 底边连一条，这两边连一条，当然实际上看不见的线大家是要用虚线来表达的， 继续相连，在这个位置，我们再把这个面对角形相连在这个位置再一相连， ok， 成了，也就说每一个长方体当中都可以画出这样的一个对龙相等的四面体。希望大家把这个技巧理解好，先扭一扭， 一边扭一扭，第二边连线，第三边连线，那么三组对边相等就出现了。今天的课程给大家讲到这里，大家可以关注我，有很多比较有意思的数学模型， 我都会总结好发到我的粉丝群里面，希望大家一箭三连，关注沈老师，沈老师手把手带你通关数学。

这是一道二四年新高考一卷的立体几何，它的这个第二问据说是用这个间隙法，不是很好解决，但是其实我还是比较推荐用间隙去解决这种高考整体的。呃，比如说我们先看一下这个第一问吧。 第一问，第一问，首先我们看一下它的条件，四轮锥 p a、 b、 c、 d， 然后 p a 呢，是垂直于底面 a、 b、 c、 d 的， 然后给了两条边的长度是什么呢？ pa 等于 ac 等于二， pa 这个是二， ac 也等于二。那我们读到这，我们是不是可以知道 paac 就是 一个等腰直角三角形啊？ paac 等腰直角三角形，那接下来又给了两条边的长度， bc 等于一，呃， ab 等于根号三。那读到之后，我们很显然就可以知道 ab 是 垂直 bc 的， 或者说角 abc 是 直角嘛，因为是一根号三二，所以它是一个直角。那接下来给一下第一问的条件。 第一问，若 a、 d 垂直 p、 d 让你证明给的是什么呢？给的是 a、 d 这条边垂直于 p、 d 这条边啊？给的这条边也就是是一个意面，直线垂直，让你证明 a、 d 这条边平行于 p、 b、 c 这个平面。 那我们首先要思考一下，我们要运用这个什么知识，比方说我要证明 a、 d 垂直于平面 p、 b、 c 理论上它是不是要证明一个线平行面？ 那我们要证明线面平行，是不是要找一个线平行线，对吧？这是我们的核心内容嘛，先分析出来，我要证明线平行面，我本质是要证明线平行线。 那接下来呢？我 a、 d 肯定要证明平行平面 p、 b、 c 中的一条直线，那我们观察一下嘛， a、 d 比方说平行过来，很显然，我如果说 a、 d 证明了平行 bc， 我 就可以了， 那我怎么证明 a、 d 平行于这个 bc 呢？因为我这里是直角，如果说我反过来推 a、 d 平行 bc， 那 我这个也是直角，也就是说我 a、 d 要证明垂直于 ab， 那我如果 ad 垂直了 ab， ad 又垂直了， ad 垂直了 ab， ad 又垂直了 p b， 那 我是不是 ad 要垂直于平面 p a b 啊？ 那我能不能证明 ad 垂直于平面 p a、 b 呢？是可以的。为什么呢？我们再推他题目给了一个 pa 垂直于 ab cd， 那 我 pa 是 不是应该垂直于 ad？ 又因为 a、 d 垂直于 p b， 那 我 a d 是 不是垂直于平面 p a b 了？哎，所以说它整个我们前后都推的话，都可以推出它这个逻辑了。嗯，稍微写一下，因为我这个 p a 垂直于面 a、 b、 c、 d， 我 们第一步证明 a、 d 垂直于平面 p a、 b， 这是我们的第一步，因为 a、 d 垂直于平面 a、 b、 c、 d， 那 我是不是可以得到 a d？ 呃， pa 垂直于这个 a、 d， 这是第一第一个条件。又因为我什么呢？题目给了 a、 d 垂直于 p b， 然后这里一定要注意啊，这个 p a 交 p b 等于 p。 哎，这就代表了你一条直线垂直于平面中的两条相交直线嘛，这个就代表了 相交直线， ok， 所以 说我是不是可以证明了 a、 d 垂直于平面 p a b， 所以 说我 a d 是 不是垂直于 a b 啊？ a d 是 不是就垂直于 a b， 这是一个直角？那我们再证明 a、 b、 c 是 直角就可以了吧。那，那就是用勾股定律证吧，因为 a、 b 的 平方再加 b、 c 的 平方等于 ac 的 平方，所以说 bc 是 垂直于 ab 的， 所以说我是不是可以得到 a、 d 是 平行于 bc 的？ 那写到这，我这样写，又因为我 a、 d 是 不属于平面 bbc， bc 属于平面 bbc， 所以 说我就证明了 ad 平行于平面 p b、 c， 哎，就是我这个一定要写清楚，就是直线外的一条直线啊，平面外的一条直线，平行于平面内的一条直线，这一步是比较重要的，那这个就是第一问，再看一下第二问， 第二问给了。若 a、 d 垂直 d， c， 也是说它给了是这个直角，那我们这个第一问的条件是用不了的，这个直角就没有。也就是说， 嗯，他现在给的条件是这个是直角，又给了一个二面角。二面角有哪个二面角的 a c p a c p d， 这个二面角的正弦值是七分之，根号四十二，让你求 a、 d 的 长度，那我们可能看起来这个题目不太好解析，为什么呢？因为我们要求 ad 的 长度，那我是未知的，对吧？ cd 也是未知，我们只是给了这个二面角的正弦值是七分之，根号四十号。那跟我们一般做的那种比较常见的题目不太一样，那我这里也可以解析，为什么呢？ 我虽然不知道 ad 的 长， cd 的 长，但是 ad 和 cd 这两条边长是满足一个勾股定律的。 ad 的 平方 加上 c、 d 的 平方，是不是应该等于二的平方等于四， a、 d 的 方加 c、 d 的 方等于四嘛？那我在这边你就不要怕，你就设它为这个，比方说，我设 a， d 为这个 m， 长度为 m， c， d 为 n， 因为我 c， 嗯， a， d 垂直 c， d， 我 就可以这么解析，以 d a 为 x 轴，以 d c 为 y 轴， 然后再做一个垂直的，这个直线为 z 轴，以这个地点为圆点进行间隙，那我地点为圆点进行间隙，我就用 m、 n 来表示这个二面角来给它表示一下。那我在这边是不是就可以写这个点的 坐标，把点的坐标给它写完整。那点的坐标怎么写呢？首先 d 点是不是原点，那就是零零零嘛？零零零，呃，我换一个笔吧， d 点是不是就零逗号零，逗号零。那我 a 点的坐标是不是应该写成 m 逗号零，逗号零。 c 点的坐标，那就是零逗号 n， 逗号零。因为我已经设了 d， a， d， c 的 长度分别为 m、 n 了，那我 p 点的坐标是不是 m 逗号零，逗号二， 那我是不是把这几个点 a， c， p， d， a， c， p， d 的 点的坐标全部写完了，那我要求它的正弦值，我这边再设一下吧。令啊，设这个二面角 a 括号 a， 杠 c， p， d 为这个 c 塔，我们先因为我这个是不是可以得到三，以 c 塔 等于七分之根号四十二，那我是不是可以推出它的余弦值是不是七分之根号七啊？我们最终算的一定是余弦值。利用这个解析， 那我们先写一个法向量吧。比方说，我们先写平面 a， c， p 的 法向量，平面 a， c， p 这个法向量，那我要写出 a， c 的 向量， ap 的 向量吧，那写一下吧。比方说， a、 c 的 向量 用 c 的 坐标减 a 的 坐标，那就是负 m 逗号 n， 逗号零。然后 ap， a， p 的 向量比较好写吧，那就是零零二。我 a、 c 的 向量， a、 p 的 向量都有了，我要写平面 a、 c、 p 的 法向量，那就很好写，所以说我就可以直接写。 为什么就可以直接写啊？因为我这个法向量一定是垂直于 a、 c， 垂直于 ap 的， 那我要满足垂直于 ap， 我 这个都是零。零，我只要满足我这个 z 是 零就可以， z 就 写个零， 我要再满足这个乘起来等于零，那我这里就写一个 n， 这里就写个 m 就 可以了，这个是可以直接写出来的。那接下来同理，我是不是再写一个平面这个 c p d c p d c d c 向量就是 c 的 坐标了，零 n 零，再来一个 d p dp 的是 m， 逗号零，逗号二。所以说平面 d， c， p 的 法向量 m， 这不也可以，我用刚刚那个方法给它写出来。 我这里很明显是零啊， y 肯定是零。我这边，呃，这两个向量如果相乘要等于零的话，我这里很明显来一个二，这边来个 m， 但是我这样相乘，我是不能得到零的，我要填一个符号，我不管是在二这边听还是在 m 这边听都可以。我选择这样，是不是验证一下这两个相乘等于零，同时呢，这两个相乘刚好也是零。那所以说我是不是可以先串出 cosine m 和 n 的 夹角，两个法向量的夹角利用公式的余弦，分子是这样，分母是两个模，给它带进去，两个相乘，就这个向量和这个向量相乘， 那就是负啊，我们直接加绝对值吧，那是不是就二 n 的 绝对值， 分子就是 n 方再加 m 方开根号，再乘以这个四加 m 的 平方。 又因为什么呢？我是不是满足这个勾股定律， m 方再加 n 方应该等于四，所以说我给它带进去嘛，这里是四，再开根号是不是就是二？那分子还有个二，那是不是抵消掉又因为 n 大 于零，那我整个式子 是不是就可以写成 n 除以谁呢？呃， n 除以这个二抵消了，就是根号下四加 m 的 平方，就是这这个式子算出来应该是二。二，这个抵消 抵消完了之后，上面是绝对是 n， n 因为大于零，绝对是可以直接去掉，就是直接变成一个 n 了嘛，它应该等于谁啊？它应该等于这个七分之根号七， 对吧？七分之根号七，也就是根号七分之一。那写到这，那很明显啊，那还要满足什么？勾股定律， m 方再加 n 方等于四，这个 m n 很好解， m n 非常好解。那第一种方法，你给他平方嘛，这边平方，然后把 m 方 n 方带进去给解。那你可以观察一下嘛，这个 n 如果等于一，右边，也就是说，嗯， 四加 m 的 平方开根号如果等于根号七，同时呢？ n 等于一，这样解出来是不是 n 等于一， m 应该等于 四，加 m 的 平方等于七， m 的 平方等于三， m 是 不是等于根号三， m 等于根号三，那满不满足？这个 m 方加 n 方等于四啊？刚好满足呀，一个是根号三，一个是一，正好等于四。所以说这个解出来刚好就是分子相等，分母相等嘛。那这里我就可以解出 m 等于根号三， n 又等于这个 e， 那 m 就是 谁啊？我们要求的这个 a d 的 长嘛。所以 a d 就 等于根号三嘛。 所以这题其实就是第二问。我个人还是推荐间隙系数，因为虽然它没有给天然的 x 轴、 y 轴、 z 轴三个轴，但它给了一个平面中的一个垂直， 相当于它只是给了 x 轴、 y 轴，那你天然的你去构建一个 z 轴也是可以间隙的，也是可以把所有的 p， a， c， d， 所有的点表示出来，你再把它的余弦值用这些点的坐标表示出来，还是可以做出来的。但是如果说你通过这个 几何法的话，就需要对这个图形有更深入的这个了解，所以说考试的时候还是推荐用这个间隙的方法。

立体几何外接球，掌握这十一种模型，期末直接得满分！ 立体几何外接球呢？是高一下期末考试以及高考的一个重点考试内容，很多同学到高三都没搞清楚，那么谢老师这里给同学们啊归类一下，那么这里我们掌握几个常见的模型，比如说墙角模型， 那么模型怎么我们怎么去记？我们不是去记他的一个结论，而是记他的原理条件和我们的一个啊，怎么一个解法？比如说 墙角模型有什么特征呢？三条棱，两两垂直，只要看到三条棱有两两垂直的对不对？我们不可以不找球心，直接可以把它补成一个什么长方体， 对吧？这叫补乘法。还有看见这种类型什么呢？比如说对棱相等模型，他也是补成长方体，什么条件呢？三条对棱分别相等，你马上去把它补成长方体，然后根据长方体的一个思路去做就可以了 啊。比如说还有一个重点的模型，就是垂面模型，只要看见一个线垂直，这个面， 对吧？线面垂直球外接球的半径对不对？我们首先在底面标出我们的圆心，然后球心必然是连在一起垂直底面，对吧？然后把它补成一个直径，弄出来，直径和这个顶点连起来，绝对就是我们大圆大球的直径，球的直径 我们就可以用勾股定律来解了，而 o o e p o 呢？就是 pa 的 中位线，是不是可以这样去做，那么可以根据详细的根据一二三这三步去完成就可以了。还有一个比较重点的是什么？如果出现三条侧能相等， 有什么特征呢？有三条侧能相等，这些都是，对吧？那么必有什么呢？圆心、球心和顶点三点共线必然在同一根直线，可以用勾股定力去答题，这就是我们常考的一种方式，对吧？其实后面还有很多很多啊，感兴趣的同学或者是老师 啊，可以进行一个自学啊。那么习老师把这个链接放在下方了啊，可以去了解一下。

嗨，宝子们，今天我们来做一道立体几何里面的一些动点问题，还有锥子问题啊，这道题大家来看呢，嗯，它是在一个正方体里面啊，然后能长为二，然后嗯， q， 它是这个的中点啊，动点 p 在 这个侧面上运动，然后满足 b p 等于 lamba 的 b， c 和 lamba 等于零到一， lamba 等于零到一，然后再把香料里面的一些字放到这里面来了。第一问，当 lamba 和 lamba 的 二分之一的时候，求这个的嗯，四面体 q， 嗯， p b， c 的 体积。那么对于第一问来说的话呢，我们 啊很容易可以知道，因为你的 number 等于 u 等于二分之一的话，那我们的这个 p 就 应该是在 b b， c 上，对吧？呃，对不对啊？所以呢， p 是 这个线段 充电啊，那么我们这个，嗯，体积，这个 v q p b c， 它就等于嗯，三分之一的 s 三角形 p b， c， 对 吧？乘以一个 h h 这个高的话，那么高起来是 q 点这个到这个 p b， c 的 这个距离， q 点到这个面 p e， c 的 距离，对吧？那这个距离的话呢，实际上就是 h， 它就应该是等于我们写的分析过程啊，步骤大家自己去写啊。那么这个 h 就是 等于我们的这个啊， 它这一点到这个对面面的距离相就是这个轮长 h 就是 等于二的，所以这个就等于三分之一啊，乘以一个，乘以一个，这个二分之一的 b， c 是 二， 嗯，再乘以这个高，高是一，再乘以 h， h 是 等于二的，所以等于三分之二。那第一问的话还是比较简单的好，第二问，里面他说是否存在一个点 p 啊，使得这个 p q 它平行这个平面叫 b e a d e 这个三角啊，三角形，这个面 要 p q 平行这个面，那么如果存在的话呢，我们要求出它的这个长度最小是不成，说明理由。那现在我需要找这样的一个把点 b 点 p， 在 这个侧面上找到合适点，让这个 p q 平行这个面，那这里涉及到这个线面平行啊，线面平行，其实我们就有两种思路，第一个我要得到这个线面平行，我就一个是在这个面上找一根线跟 p q 平行， 找根线跟它平行，如果我找到一个面平行的时候，那么另外一个面上任意一条线就跟这个面平行的， 那我们稍微看一下这个图形，我们稍作思考，我们会发现什么呢？发现的话，我实际上是比较容易做出，因为这个 p 点只要在这面就可以了， q 点是定的，我过这个 q 的 话，我在这面找点，很容易做出这个 a、 b、 e 的 平行平面的。为什么这么说？因为 q 点是中点，我只要取怎么样呢？取这个 b、 b、 e 的 中点，假设这个中点是 r， 把这个连起来。 好，那么我们可以知道在这个 d b、 b、 d 上，我的这个 q r 是 平行这个的，所以我的这个 q r 就 平行这个三角面。好。那么接下来的话呢，我要做出一个平行这个面的，那我还要再做一个线，而 a、 d、 e 它是平行 b、 c、 e 的， 对吧？平行 b c、 e， 所以 我只需要再找这个的终点，假设是 s， 我 们连接 q， 连接 s r， 那 么 s r 是 平行于 b、 c、 e 的 这条线呢？而 b c 又平行 a、 d、 e 又平行于 a、 d、 e 的。 好，我们把这个思路啊写一下啊，我们得到 s、 r 是 平行于 a、 d、 e 的， 好，我们把这个 q、 r 它是平行 b、 d 的， 所以我们可以推出，怎么样呢？我们的这个 q、 r 是 平行于这个平面 a、 b、 d 的 啊，过程大家自己去完善啊。然后我们的 s、 r 它是平行于这个 a、 d 的， 对吧？那也一样的，可以推出 s、 r 是 平行平面 a、 b、 d 的， 所以我们有这个啊，联合起来可以推导出我们的平面 s、 q、 r 是 平行平面 a、 b、 d 的， 也是在这里的话，我们这个面，这个面画出来这个面它是平行于这个三角面的，那么我们的这个 q 点，它在这个在这个侧面上，那么 q 点它所存在的位置就应该在 sr 上，那么 q 点在 sr 任意一个地方，对吧？ q 点在这上面任意一个地方，那么我们的这个 这个 p 点呢？ p 点在在这个任意上， p 点说错了，然后这个 q、 p 是 一定是平行这个平面，因为两个平面平行的话，那我一个平面上任意一条线，对吧？任意一条线，那么我们的这个 p、 q， 它平行平面 a、 b、 d， 那 p 点是什么呀？ p 点 p 在 哪个上面？在 s、 r 上，对吧？ p 点就在 s、 r 上了。好，接下来的话，那么对 s、 r， 像他接下来说，我们 p 点是存在的，对吧？存在 p 点，嗯，存在了，好，帮他求出 pr 长度的最小值，这个时候在做立体几何的时候，把这个平面呢？我们可以放出来，对吧？我们把这个平面放出来看一下啊，这个是 q， 这个是我们的 r， 这是 s， 那 我们 p 点在这上面运动，那么他说是求 p q 的 长度，最小的 p q 长度，那就应该是过 q 点了，往这里做垂线，那么这个地方 p 点就应该是最小的。好，我们来研究一下长度。首先这个 q r， 这个 q r 的， 它是等于 b d 的， 等于 b d， 所以 它就等于根号二。 s r s r， 它就等于二分之一的 b 是 一的，所以它就等于根号二。那么这个 q s 怎么做呢？ q s， 你 相当把这里连起来，然后你先算出 d s， 对 吧？这个地方是二，这个地方是一，那么这个地方是根号五，根号五的话，这个地方是一，然后所以勾股，所以它是根号六 啊，你会发现呢？这是根号六，根号二，这个地方是二倍，根号二，我们发现这个角就是直角的，满足勾股数，所以的话，我们的这个啊，当 p 在 哪里？当 p 就 在这个 s 点的时候，在 s， 嗯时，我们的 p q， 它是最小的，最小，对吧？它的最小是等于多少呢？就是我们的这个根号六， 这是第二个第二个题啊，我们把它分析一下，找到了这个啊，动点的这个 p， 它的存在，存在的它的轨迹，像它的轨迹就是这这个线段上的，它的轨迹是在这个 sr 的 这个线段上。好，接下来第三问。第三问说，若这个 number 加 m 等于一啊， number 加 m 等于一，这是我们向量里面的，对吧？那么这个 b p， 它等于这个 b c 加这个 b b， 它的在前面相加，等于，说明什么呢？说明三点共线，对吧？所以的话，我们的 p 点在哪里啊？哎，我们的 p 在 线段 c b 上，对吧？ p 就 在这个线段 c p 上好，也就是 p 在 这个 c b 这个线段上，好，接下来他说求 a p 加 p q 啊， a p 加 p q 的 这样的一个啊最小值，那么相当于在这里的话，我们大家可以看到这个， 我们把这个看起来，这 a b c 是 一个平面， q b e c 也是另外一个平面，然后这样的两个平面上呢，找到一个 p 点，对吧？在这个上面找一个 p 点，然后使得距离最小，那么这是一个这个折叠问题，对不对啊？这是一个折叠展开图问题，所以我们把在这里我们把这个 a b c 和这个 q b c 进行展开，我们去画一个图，嗯， 这个地方是 a， 这个地方是这个 c， 然后这个是 b 一， 这个就是中间的这根线，对吧？ b c p 就 在这上面活动，然后这个是 q 这两面，那么我们要求在这上面这个 p 点 a p 加 p q 最小呢？也就是当它这个地方，是吧？呈直线的时候展开，呈直线的时候那么是最小的，也就是我们将这两个面将平面 a c b 一 a c b 于平面这个 q b c 展开啊，展开展开的话，接下来我们来看一下啊，然后我们要求这个最小值，就是 a q 嘛 a q 的 最小值，那么来看一下已经知道的信息，在这里的话，我们的 q b 一 啊，在这里 q b 一 这个长度我们之前是有求过的， 是等于怎么样呢啊？是等于这个三的，这个是等于三啊，然后还有 q c q c 的 话啊， q c 我 们也是可以求的这个 q c 啊，借助下面的这个直角三角形 q c 我 们是等于根号五的， 然后然后这个 b 一 b 一 c， b 一 c 啊， b c， 那 么很容易得到，它是等于二倍的根号二的。好，接下来我们知道这三边，然后我们要求这个 a q， 这个时候我们的思路啊，大家就要就要开阔一点，因为我们在这里使用这个平面的几何的这样一个问题，像我要求 a q， 那 么我们将这个解三角形的方法放到这里，那么我们在三角形 q， b， e， c 中啊， 我们有可算角 q b， e， c 啊，我们通过这个余弦定律啊， 加比一 c 的 平方减 q， c 的 平方除以二比一 q 乘以一比一 c， 等于我们把它算出来是等于二分之根号二的，所以我们可以推出我们的角 q b， e c 啊， q b c， 这个角是等于四分之派的 四分之派，然后呢这个角是四分之派，而我们的这个 a c， 我 们的 a c， b e 啊， a c， b e， 在 这个里面我们可以很容易知道他们这个三边全部是面的对角线，所以呢，它是一个等边三角形啊，画个圆圈笔啊，没墨了， a b、 c 为等边三角形， 等边三角形，所以的话我们的角 a， b、 e、 q， 它就是等于四分之派，三分之派，对吧？加三分派有这个角我们知道 最小知道我要求 a q 的 话，然后这个边也知道，那我们就这个 ab 也知道，对吧？ ab 一 我们也是知道的，它叫做二嘛，对吧？所以的话我们需要用个余弦定律就可以知道，那么当然我们这个扩散扩散角 a， b， e， q 啊，等于四分之，这个是这个七十五的话，那么是四分之根号减六啊，这个大家可以学记的，然后在 三角形 a b e q 里面我们用余弦定零，对吧？余弦定零我们就可以求出 a q a q 的 平方是等于 b e q 方加 b e a 方减二啊，把余弦定写圆 b e a 再乘以口上 角 a b e q， 对 吧？嗯，所以我们可以得到它是等于十一加六倍的平方三，这样去算一下啊，所以我们的这个 a q 就是 等于根号下十一加六倍的平方三，这个就是它就是等于这个 a p 加 p q， 它的这个最小是什么？ 那这个这个第三位呢？啊，结合了这一个我们的解三角形，对吧？解三角形的这工艺，这道题的话综合性还是比较强的，好，懂了吗宝子们？