八年级下册一次函数湛江廉实卷

一次函数这章节是我们八下数学最有难度的一个章节，因为它涉及的知识面比较广，既涉及到几何，也涉及到代数，而且它衔接了我们初三的二次函数，它也会出现在压轴题里面，所以接下来的话，我会为大家陆续的去制作 从一次函数从基础的综合题到压轴的综合题，并且像以前一样制作成合集，大家可以持续的关注 啊。如果说大家在县级段学习一次函数，有什么样的疑问都可以在评论区留言，我会一一的回复大家。那今天的话我们来讲解讲解。第一个啊，就是一次函数的解析式求解，加上去判断这个点是否在图像上，我们现在看一下题目， 他说已知一次函数的图像呢，经过 a 点和 b 点两个点，第一问要求这个一次函数的解析，那这是我们呃包，无论你是 我们一呃八下数学期末考试的压轴题的第一问，还是我们中考的呃函数压轴题的第一问都是求结式，那这个结式呢，是一定要会的， 那求这个结式呢？我们用的方法叫待定系数法啊，它的步骤呢，接下来我会为大家一一展示啊。首先第一步要设结式，设结式呢，它是一函数的话，我们就可以设为呃 y 等于 k 加 b， 这里加个小括号， k 等于零。 接下来呢就是如果我要求的是 k 或者是 b 其中一个，我们只需要带入一个点的坐标就可以了，那如果说这 k 和 b 都不知道有两个参数的话，我们需要带入两个点的坐标去建立方程组啊，比如说这个我们就两个都不知道，那么就分别把这两个点带进去， 接下来呢，就把每一个点里面的，比如说这个是 x， 这是 y 分 别带进去啊，那这个看到 x 呢，就换成零，零乘 k 等于零，加上 b， 那 就相当于零加上 b 啊，它等于多少呢？ y 是 一。 第二个呢，就是看到 x 就 换成一啊，一乘 k 就是 k， k 加 b 等于多少呢？ y 是 对的，是零，那么就建立了一个二元次方程组，接下来我们就把 k 和 b 解出来， 这地方 k 的 话啊， b 知道是等于一的， k 的 话就是负一，那求出来 k 和 b 之后，我们就可以下结论了，一次函数就是 y 等于，看到 k 就 换成什么样的负一，那 k 就是 负的 x 一 要省略掉，加上我们的 b 是 一啊，这是我们的待定系数法的一个解答过程。 好，第二个问，判断这个点 p 是 否在一次函数图像上，我们可以怎么办呢？我们可以把这里的 x 带进去，就是当 x 等于负一时啊，我们指出 y 等于多少呢？可以把它带进去啊，就是负的负一加上一等于多少呢？一加一等于二。 好，那这时候我们来对比一下，这个对求出来的二和这里坐标的一相不相等呢？不相等，因为二不等于一，所以呢，我们下个结论，这个点 p 呢啊，负一到一不在图像上，不在图像上 啊，不在图像上，所以这个地方呢啊，如果它相等的话，就是在图像上，不不相等，那就不在啊。那这是我们今天讲的第一个技术知识点啊，用待定系数法求结式判断这个点是否在函数图像上。

好，再来看依次函数的复习题，先看它的复习巩固。第一个，王芳现有存款一千五百元，他计划今后三年每个月都存五十元，他的存款总金额是 y 元， 随着时间 x 的 变化而变化，这个 x 呢，单位是 y 啊，写出 y 关于 x 的 函数解析式， 那么他已经有一千五百元了，然后每个月都往这个存款当中再存五十元，对不对？你一个月存五十元，那么加进去两个月，那就一共存了一百元，再加进去，就这个意思，知道吧？那你想一下， 它这里是三年，一年是十二个月，三年就是三十六个月，所以呢，它这个时间也就是 x 月份，它的取值范围一定是零到三十六，知道吗？好，这里我们简单写一下，它的总存款 会等于现存款， 加上每月存款 乘上月份，对吧？每月存五十元，一个月就乘一，两个月就乘二，对吧？好，然后呢，他说这里是三年，对不对？三年等于三十六个月， 等于啊，这是等于不是二三年等于三十六个月，所以呢，这个 x 的 取值范围小于等于三十六，大于等于零，然后我们再根据它的关系式写出来， 总存款是 y 元，对应写 y， 现存款是一千五百元，我们对应写一千五百， 然后每个月的存款呢，是五十元，对应五十乘上月份，他的月份呢，用时间 x 来表示，所以就乘 x， 所以 这个解析是 y 就 等于 五十， x 加上一千五。那么这样写的话呢，就是方便我们对应依次函数的，一般是 y 等于 k， x 加 b， 知道吧？然后呢，你再把它的取值范围写过来，就是 x 小 于等于三十六，大于等于零，那么 关 y 关于 x 的 函数解析式咱们就写出来了，因为这是一个实际问题，所以你一定要把它 x 的 取值范围写出来，知道吗？实际问题一般都是有取值范围的啊，千万不要忘记了。 再看第二题，判断下列各点是否在直线， y 等于二 x 加六上，并且求出这条直线与坐标轴的交点。那么首先判断下列各点是否在直线上，那么你就把它的横坐标当做 x 带进去， 看它算出来的 y 是 否等于它的重坐标就可以了。我这里写一下它的判定标准， 判断点是否在直线 y 等于二 x 加六上面我们就将这个点的横坐标当做 x 带入解析式当中进行计算，算出来的 y 值，看看这个算出来的 y 值是否等于这个点的纵坐标， 如果相等的话，那么这个点就在直线上，如果不相等的话，这个点就不在直线上， 当然你反过来也是可以的。什么叫反过来？就是你把它的重坐标替换掉 y 值，看看它的 x 是 否等于它的横坐标，如果等于也是在这个点上的，就是你无论把 x 带进去还是把这个 y 带进去，都可以，知道吗？啊， 只要你不要带错了就行了，记住，重坐标替换 y， 横坐标替换的是 x 啊。如果你带入的是重坐标，替换掉 y 之后，你就看 x 是 否等于负五。如果你带入的是横坐标，就替换掉 x， 看它的 y 值是否等于负四就可以了。我们来把这四个都算一下就可以了。好吧，来 先看这个点点负五负四啊，带入这个 x 等于负五，咱们得到 这个 y 就 等于二乘负五再加六，二乘负五加六等于几啊？等于负四，你看和它的重坐标是不是相等啊？那既然和它的重坐标相等，是不是说明这个点在直线上啊？对不对啊？我们就写它的判定与重坐标 相等，所以是在直线上。 好，再看第二个，第二个点是负七二十，那我们就代入谁啊？代入 x 等于负七，对不对？就可以得到 y 等于二乘负七再加六，它等于几啊？等于负八，对不对？这里是负十四加六等于负八，而你看负八和这个二十相等吗？它并不等于它的重坐标并不等于二十，所以我们就说不在直线上， 可以了。再看第三个点，第三个点呢，是负二分之七一。 好，咱们就代入 x 等于负二分之七，就可以得到这个 y 等于二乘负二分之七，再加上六，那这个一层的话，它约掉等于负七，负七加六等于负一， 那你看一下负一会等于一吗？负一和一并不相等，对不对啊？所以呢，不在子线上。 好，再看最后一个点，这个点是三分之二，七又三分之一，那么你就代入 x 等于三分之二，你就可以得到 y 等于二乘三分之二再加六， 那这里一层的话，等于三分之四加六，三分之四加六，而这个六呢，等于三分之十八，对不对？三分之十八加上四等于三分之二十二， 然后写成带分数，写成带分数就是七又三分之一，没有问题，对吧？啊？就是拿二十二除以三，二十二除以三等于七于一，那么就是七又三分之一，好，那么是和它的重坐标相等的，所以呢，这个点它在直线上 就 ok 了。那这四个点呢，咱们就判断完了，它还有一个要求，叫我们求出这条直线与坐标轴的交点， 对不对？焦点坐标，那么你看一下坐标轴有几条啊？有 x 轴对不对？还有 y 轴， 那么在 x 轴上，什么坐标为零呢？它的纵坐标为零，如果在 y 轴上呢？在 y 轴上的话，就是横坐标为零，对不对？你要搞清楚。那么这里呢，我们要求这个 y 轴的话， 求与 y 轴的交点，那我们就当 x 等于零的时候，那么这个 y 就 等于二乘零加六等于六，所以 与 y 轴交点 为零六，对吧？你想要求与 x 的 交点，那么与 x 轴交点，它是纵坐标为零，所以你就当 y 等于零的时候， y 等于零，就零等于二， x 加六，一项一项，那么这个二 x 就 等于负六啊，然后这个 x 就 等于负三，所以呢，与 x 轴交点 为负三零，好，那么它这里的两个要求咱们就都算完了，对吧？判断这四个点是否在直线上，再求出这条直线与坐标轴的两个交点，因为有两个轴啊， x 轴和 y 轴，那么你就要求这两个点就 ok 了。 第三题考察的是依次函数的图像性质，也就是看 k 值和 b 值，那么 k 值大于零， y 随 x 增大而增大， k 小 于零， y 随 x 增大而减小，对不对？ b 大 于零呢？那就交于 y 轴的正半轴，如果 b 小 于零的话，就交于 y 轴的负半轴就可以了。好，那我们根据这四个性质 去判断直线经过哪些象限对不对？好，先看第一个， 第一个 y 等于三分之二， x 加上二分之一，那我们要知道，一般式是 y 等于 k， x 加 b， k 不 等于零，那对应的这个 k 值是不是就是负三分之二啊？对不对？所以这里我们写，因为这个 k 等于负三分之二，是正数还是负数？ 它是负数，是小于零的，所以 y 随 x 增大而减小，对不对？所以 y 随 x 增大而减小。 然后呢，再看它的 b 值， b 值是等于正的二分之一啊，因为 b 值等于二分之一，而这个二分之一是正数，是大于零的。所以呢，怎么样与 y 轴交于正半轴，与 y 轴交于正半轴。 好，那我们可以先把它的大致图像画出来，这里你不要先画 y 随 x 增大而减小，不要直接先这样画，你先看它与 y 轴的交点是正半轴，先把这个点 好大致画一下，然后你再经过这个点， y 随 x 增大而减小，那么它经过的象限就是一、二四象限，这是第三象限嘛，对不对？所以它经过的是什么？一二四象限？ 好，那么 y 随 x 的 增大而减小就可以了啊。再看第二个 直线， y 等于三， x 减二， y 等于三， x 减二，当中它的 k 值是什么？它的 k 值对应的是几啊？ k 值对应的是三嘛，对不对？好，它的 k 值对应的是三，因为 k 等于三，是正数还是负数？是正数大于零，对吧？所以我们就说 y 随 x 的 增大 而增大 啊。再看，那因为它的 b 值是等于负二的，而负二呢？是小于零的，所以我们知道 与 y 轴的交点在负半轴。交于负半轴， 那我们也可以把它的大致图像画出来，先画直角坐标系 与 y 轴交于负半轴，就在这个位置，对不对？然后 y 随 x 的 增大而增大，斜着向上画好了，那么它经过的是一三四象限， 所以我们这里就写一三四象限， y 随 x 的 增大而增大 就可以了。再看第四题，根据下列条件，分别确定函数 y 等于 k， x 加 b 的 解析式。 第一个， y 与 x 成正比例，当 x 等于五的时候， y 等于六，那我们就要知道正比例函数的一般式是什么，对不对？好，我们这里就写，因为 y 与 x 成正比例， 所以呢，我们设比例系数为 k， 并且 k 不 等于零，所以 y 比上 x 就 等于 k， 你 就可以得到 y 等于 k， 乘 x 比号其实就相当于是除法的计算，对不对？你除以 x， 那 移过去就变成了乘 x， 这也是为什么正比的函数可以写成这个样子的原因。好，那么他说，当 x 等于五， y 等于六，因为当 x 等于五的时候， y 等于六，所以我们可以得到啊，你把这个 y 换成六，把这个 x 换成五，所以六等于 k 乘五， 那么这个 k 那 就五， k 就 等于六， k 就 等于六除以五，六除以五，就直接写成六分之五啊，五分之六就可以了，所以 y 等于六，五分之六， x 就 完事了啊。再看第二个直线， y 等于 k， x 加 b， 经过点三六与二负二分之一，那么这个就是一个非常标准的经过两个点，确定直线解析式对不对？好，那么这里直接用待定系数法啊，将 三六与二分之一、负二分之一带入解析式， y 等于 k， x 加 b 当中，我们就可以得到啊， 一个二元一次方程组，注意你不要带错了啊。这个 x 是 可以用横坐标替换的，这个 y 呢，是用重坐标替换的，所以我们把这个六和三替换进去，就变成了这个样子，所以是六等于 三 k 加 b， 那 这里把二分之一和负二分之带进去的话，那 y 就 等于负二分之一， x 就 等于二分之一，所以是负二分之一等于二分之一 k 加 b， 两式一减，你就可以求出来了，一式减二式， 六减负二分之一就等于加二分之一等于六，又二分之一三 k 减二分之一等于二分之五，所以是二分之五 k， 那这个 b 值减 b 值就抵消掉了，就不用写出来了。然后这里通分一下，二分之二六十二加一等于十三等于二分之五 k， 所以 二分之五 k 就 等于二分之十三，除以二分之五，除以二分之五呢？怎么样呢？ 等于乘以五分之十三 k 算出来了，等于五分之十三。你再带入任意一个式子，就可以把 b 算出来了。将 a 等于五分之十三带入到一式当中，那么六就等于三乘五分之十三，加上 b， 那 么六就会等于五，这里三三得九，一三得三，三十九加上 b， 那 么这个 b 就 等于六，减去五分之三十九。通分，这个是 六的话，是五分之三十，五分之三十减去五分之三十九，三十减三十九就等于负九，所以 b 就 等于负的五分之九，那么这个 k b 值我们就求出来了。 k 等于五分之十三， b 等于负五分之九，所以这个解析式就是， y 等于五分之三，五分之十三， x 减去五分之九就 ok 了，那么这个两个解析式我们就都求出来了。 再看第五题，根据函数 y 等于三 x 减十五的性质，或者是图像确定 x 取和值的时候， y 会大于零，和值的时候 y 会小于零，那么这种题目如果是填空题的话， 你如果实在不会看，你就直接算对不对？因为这里的 y 呢，是等于三 x 减十五的啊，这里呢，我先把这种方法给大家讲一下，如果他已经告诉你解析式了，那么叫你求 y 大 于零的时候， x 的 取值范围， 那么这里因为 y 等于三 x 减十五，对不对？所以 y 大 于零就可以变成什么，就可以变成三 x 减十五大于零，那么三 x 就 大于十五， x 就 大于五，那么这个就第一位 啊，那第二个的话呢？一样的啊，因为这个 y 是 等于三 x 减十五的，所以 y 小 于零，你就可以得到是三 x 减十五小于零，那么三 x 就 小于十五， x 就 小于五，那么 x 小 于五啊，就求完了啊，这两个就是它的答案 啊，这个是纯计算，但是有些题目他不会告诉你解析式的，他只会画个图像，而且这个图像呢，一般不会告诉你两个点啊，他就只告诉你一个点，那这样的话，你就求不出来解析式了，对不对？那这个时候怎么办呢？这个时候才是用图像的时候，不过这道题主要是考察我们对图像的理解，那么我们呢， 就先把这个图像画出来，好吧，这种呢是选择填空题的做法，那如果这是解答题的话，你还是老老实实的画图对不对？好，那么这里我们要求与 x 轴的交点，那么你就让 y 等于零。如果要求与 y 轴的交点，就让 x 等于零，那我们先求 x 的 交点， 先求与 x 轴的交点，当这个 y 等于零的时候，这个零就会等于三 x 减十五，一项算一下，你就会得到三 x 等于十五，就会得到 x 等于五，所以与 x 轴的交点 就是五零，所以它会过五零这个点。如果你要求与 y 轴的交点，那么就是当 x 等于零，那么这个 y 就 等于三乘零减十五，那么 y 就 等于负十五， 所以它就会过零负十五这个点。好，现在我们把图像大致画一下， 这里是 x 轴，这里是 y 轴，这是圆点，零啊，然后过我们这里画小一点，这里是五零这个点，然后还有一个是零负十五，我们放在这个位置，然后把这两个点连起来， 好，把这个点连起来，他说要 y 大 于零，那 y 大 于零在哪个上面呢？那 y 大 于零，好，这里我写一下啊。 y 大 于零，那么翻译成这个什么？翻译成图形语言的话，就是必须在 x 轴上，因为在 x 轴上， x 轴上方的这个图像的所有点的 重坐标是不是都大于零？好，我这里写一下。 y 大 于零，其实对应的就是点的重坐标 大于零，那么这个点的这个图像上的点，它的重坐标要大于零，就在 x 轴的上方，则在 x 轴上方。 在 x 轴上方的话，你再看这个在 x 轴上方的这些点的横坐标是不是都比五大呀？你看这个点的横坐标是不是比这个五要大， 这个点的横坐标是不是也要比五啊？对不对？所以它的结果从从图像上去看的话，就是 x 大 于五，就是跟我们计算的结果是一样的，知道吧？好， 这些在 x 轴上方的点，这些点则在 x 轴上方的点，横坐标 都大于五，所以 x 大 于五。当然你自己写的时候是不需要把这里写出来的，你只需要写因为 x 大 于零，然后由图可知，所以 x 大 于五就可以了，你可以直接这么写，知道吧？ 好，那么第二个通过图像来看，它是要 y 小 于零， y 小 于零对应的就是点的纵坐标小于零， 那么如果一个点的纵坐标小于零，并且在这条直线上，那么只能是在 x 轴下方的部分，在 x 轴下方的这个图像上的所有的点对应横坐标是不是都比这个五要小啊，对不对？这个点的横坐标是不是都比五小，对不对？这些点，所以 则在 x 轴下方的点，横坐标 小于五，所以 x 小 于五啊。然后呢，像这种话啊，如果你看答案，他也是不会告诉你的啊，他也不会写出来，他一般都是 因为 y 大 于零，由图可知，所以 x 大 于五就可以了，他一般都这么写的，所以我们自己写的时候呢，这些你如果描述不清楚，干脆不要写，你把图画出来，你会。

这种意思，函数与等腰三角形存在性结合的问题，一定会在我们期末当中出一道压轴大题，那其实这种存在性问题咱们解析是有技巧的，今天依依老师教大家三步轻松搞定。 那有关于我们一次函数这里常考的题型，老师给大家做了一个系统的总结，一共有十大类，如果咱们孩子对于这种复杂的函数压轴题还经常没有思路，不知道该从何入手的话，家长们一定要先带着孩子学方法，然后同源精练 学透一类题，就相当于让我们的孩子少刷一千题啊。下面咱们就来一起看一看这道题目。 在平面直角坐标系当中， ab 的 解析式告诉你了，与 x 轴交于点 b。 好 了，现在啊，第一个让你求 ab 的 表达式和 a 点与 y 轴交点的坐标白给你分了，因为点有了坐标，这个解析式有了，直接代入就可以求出解析式了， 所以这里 ab 的 解析式我们直接就可以求了，直接咱们对答案是负的三分之一， x 再加一， 那直接令我们对应的啊， x 等于零，就可以求出它与 y 轴的交点了，哎，与 y 轴的交点不就是哎对应零逗号一吗？对不对？ 那 a 点和 b 点对应的坐标咱们都已知了，咱们主要看第二个问，当 a p b 为等腰直角三角形的时候，哎，直接写出点 p 的 坐标，那他是等腰值，他说没说，谁是那个直角， 他没说。所以你必须讨论当 a 为直角， b 为直角， p 为直角的三种情况，那根据我们讨论出的三种情况，可以分别画图，哎，这个是 p 为直角， a 为直角，同样在这里 b 为直角的情况，如果是 a 为直角，因为它是等腰值，等腰值一定出什么一线三垂直啊，对不对？所以有了对应的等腰值在这咱们就可以找到左右两侧的三垂直全等， 对不对？ a 点是零逗号一，这是一，这是三，所以这就是三，这是一，这个屁点的坐标画出图直接就可以求答案，是多少啊？ 一四，对不对？同样这里也比较容易，因为这还是一个三垂直模型，这是一，那这就是一，这是三，这就是三，那屁点的坐标不就是四逗号三了吗？ 主要是第一种情况，这个时候他是怎么来的啊？咱们这两种情况都可以根据两垂直来去 去做那个直角的顶点，但这种情况直角怎么来的？他其实是应用了我们圆的性质，叫做直径所对的角为直角啊，直径所对角为直角， 所以在这里面，咱们把 p 点画出来之后，求 p 点的坐标就容易了。还是一样，我们可以构造三垂直，向 p 点左右两边 x 轴、 y 轴做垂线。由于我们在这个图当中啊，三垂直在哪呢？ 是不在底下呀，对不对？所以我完全啊就可以把这一段的长度给设出来，假设它是 a， 可不可以？那由于这一段的长度是三，所以这一小段的长度咱们就可以做出来啊，是多少呢？是三减 a， 看没看见 好了，那这是 a， 这是三减 a， 这是三垂直，对应边相等，这两边相等，这是不是就是 a 呀，对不对？所以你会发现，哎，这段的长度咱们就可以表示出来了，因为这是三减 a， 这也是三减 a， 这是一呀。 所以你会发现这道题的等量关系就出来了，我们想要求 a 的 值，是不是可以利用？嗯，对应这两边相等去求啊。左边这一边它的长度就是三减 a， 再加一嘛， 对吧？右边这一边的长度不就是 a 嘛，所以求 a 的 值就行了。二， a 等于四， a 的 值不就等于二了嘛。 a 等于二，那屁点的坐标就有了，不就是二了嘛。 所以像这种题目咱们一定要注意啊，分情况讨论之后，遇到我们对应的等腰值出三，垂直构造全等，利用边角关系相等，就可以快速的求出答案。

我们再来看一个经典的城乡运输问题，这是一次函数的经典的一个分析啊，我们这种问题呢，先进行一个分析呢，用表格来整理一下数据，这个很重要，一般遇到这种城乡运输问题呢，我们画一个三行三列的表格 啊，这里比如说是 a 城和 b 城往 c、 d 两个乡镇去运物品，对吧？ a 城的物品呢，我们是二百吨， b 城呢是三百吨，到 c 的是二百六十吨。把数据写到这儿， 这时候选择一个突破口，也就是 a 往 c， 假如说是运输了 x 吨，那 a 往 d 呢？只能是二百减 x 吨，因为它总共才二百吨的弧，那 c 呢？ b 往 c 运输的时候就是二百四十减 x， 因为它总共需要二百四十吨。那 d 呢？无论是你竖着看还是横着看，都能够找到 d 的 这个 表达式，就是 b 往 d 运送的时候，可以竖着看，是二百六十减，去二百减 x， 那 化简完之后就是 x 加六十，当然你同时也可以横着来看，就是三百减二百四十减 x 这个东西，所以也是 x 加六十。好，这个折叠出来后面就简单了，我们来解答这道题。前面是分析过程，我们设 a 乘 往 c 相运 x 顿啊，运费 x 顿，那剩下的我们不再去一一列了，然后再把它的运费设出来，这个变量出来，运费为外元， 那 y 直接列式就等了啊， y 这个式子呢，我们在列的时候呢，是它是等于二十，是 a 往 c 的 运费是二十元每吨，二十 x 加上 a 往 d 是 二十五乘以二百减 x， 再加上 b 往 c 是 十五乘以二百四十减 x， 最后是 b 往 d 是 二十四乘以 x 加六十。好，最后我们再来进行化简，化简的结果呢，应该是四 x 加上一零零四零，好这样一个关键词，那么发现 y x 之间也是一个一次函数，而且是四大于零， y x x 大 增大的，那我们找到 x 的 值范围就行，这个 x 的 值范围呢，需要保证你每一个运输的结果是 这个 a 往 c， a 往 d， b 往 c， b 往 d， 它这个运送的物品呢，都是大于等于零的，所以它需要列出四个不等式 啊。大家不要觉得这个很麻烦，其实接起来很简单，这个解对五等式组呢，就能得到的结果是 x 大 于等于零，小于等于二百的啊。所以呢，我们根据上面这个分析，就是接着上面分析时，因为四大于零，所以 y 随 x 的 增大而增大，所以这个增减性分析还是非常重要的，所以当 x 就 等于零的时候， y 是 有最小值的，直接算出来一零零四零就可以了 啊。最后我们再总结怎样调运的问题，因为你 x 等于了，对吧？所以我们可以依次写出总结的东西。这个答案稍微长一点，也就是从 a 乘到 d 乘运送二百吨， 从 b 乘到 c 乘运送二百四十吨，再从 b 乘到 d 乘呢，运送六十吨，也就说白了，这个 a 到 c 呢是零吨，对吧？他就不用再写了，这是运送方案，这个时候呢，费用最小为啊， 费用最小最少为一零零四零元就行了啊。整个这个题目呢，分析的起点就是我们要把 a 到 c， a 到 d， b 到 c， b 到 d 呢这些用一个字母来表示，然后列出它的一次函数，然后利用函数的增减性来分析。

八校的宝子们，期末复习别慌，针对一次函数这块的难点，我整理了几个典型的解析思路，需要完整版的同学可以进我粉丝群领取。

依次函数的应用题，是我们八下期末必考的应用题啊，今天我们来讲利润最大问题，哎，这一道题也是之前的一个期末考试真题，你看，他也是结合了当年的一个热点啊，冰墩墩，雪融融。哎，上一个我们讲的是 另外一个热点啊，荔枝，那今年大家也要关注一下，今年我们有没有后续有没有一些热点的新闻啊，也有可能结合来考，然后看一下啊，这道题， 他说啊，在三月呢，购进一批冰墩墩，雪绒绒，已知呢，一个冰墩墩啊，进价比一个雪绒绒要多七十块钱啊，这是一个关系。然后购买八个冰墩墩和十五个雪绒绒，金额一样啊，这是一个等量关系。那下面看第一问啊，第一问， 选啊，第一问，他说求冰墩墩和雪融融两种玩具的进价分别是多少？按道理来讲呢，我们可以算 x， y 也是可以的，但这个地方呢，我们实际上用一元方程会更简单，因为他题目当中明确了这个啊，冰墩墩、雪融融之间是有关系的。而且呢，你看啊，这里 说冰墩墩进价比这个什么样啊？雪绒绒多七十块钱，那我们可以选择设其中一个为未知数，而且通常我们设的是后面那个量为 x， 比如这里面我们设的是雪绒绒为 x， 那 这时候我们的冰墩墩呢，就是 x 加上七十。 好，这里是未知数啊，接下来我们就列方程啊，未知数呢，只有一个，我们只需要一个方程就可以解决了，所以这里有一个关系式可以列方程啊，八个冰墩墩，八个冰墩墩，就是八乘以多少呢？ x 加上七十等于十五个，雪绒绒就十五 x， 那这个呢，很好解决啊， x 就 等于八十啊，这是我们的雪绒绒的啊，八十，那所以呢，这个八十加上七十呢，等于一百五啊，这是我们什么样呢？这是我们冰墩墩的钱，对吧？一百五十 啊，答，我们要答啊，冰墩墩一百五十块啊，雪绒绒八十块啊。第二问，我们的最大利润啊，来了， 那依然是啊，我们第一步设未知数，列关系式啊，列不等式，求范围，我们现在设未知数，他说两者完全共四十只，哎，这比上一个题呢，哎，就上上题要简单一些啊，我们就可以设其中一个啊，我们可以设冰墩墩 m o， 许蓉蓉呢，四十减去 m o， 依然要设未知数啊 啊，四十减 m 个，然后还要还要特别要设一个。什么样呢？设它的利润啊，利润，设它的利润为 w 元啊，设利润为 w 元。好，接下来我们就先列这个关系式， 这个总的利润应该等于怎么样呢？两个部分啊，冰墩墩的钱，雪绒绒的钱。冰墩墩，他的进价是多少呢？哎，是一百五，卖多少钱呢？卖两百块，所以他一个的利润就是两百元，一百五就是五十块钱，有 m 个五十 m， 再加上呢雪绒绒，哎，卖呢一百块，进呢八十块，每一个就是二十块钱的利润，四十减去 m， 最终化简一下啊，化简一下应该是三十 m 加上八百，哎，不等这个关系式呢，我们就列出来了啊，接下来我们去找不等式，求 啊，范围不等式哪里呢？你看这里有不超过这个字样？没有哎，不超过就是小于等于的意思，但是够进这个，那就是进价喽啊，总共不能超过三千五， 那么看啊，冰墩墩进价是一百五，那是一百五十， m 加上，哎，雪绒八十块钱的进价有四十，减去 m 个，最终要小于等于三千五，那最终 m 算出来应该是怎么样子的呢？ 小于等于七分之三十，好，有了关系式，有了范围，接下来我们就要通过函数的性质求对值，那么因为 m 什么样呢？ 呃，这个地方啊，因为我们的三十是怎么样呢？大于零的，而且 m 为什么啊？为整数啊，为整数。 那所以呢，我这个当怎么样呢？当 m 等于多少的时候啊，我这个 w 会有最大值啊，它有最大利润嘛，对吧？那么要知道，当这个前面这个系数啊，我们 y 等于 x 加 b 里面啊， 我这个系数大于零的时候， y 随 x 增大而增大吗？那在这个题里面，就是 w 会随会随着 m 的 增大而增大，所以 m 越大，我的利润越大，那所以在这个范围内，我要取到的 m 应该是这个范围内的最大值， 那么呢，先估一下，七分之三十应该是多少呢？应该是四点几，对吧？四点几的话，在这个范围内的最大值应该是谁呢？是四啊，所以当 m 等于四的时候呢，我这个 w 就 什么样呢？有最大值啦 啊，有最大值，那最大值的话，他并没有让我们求这个最大率是多少，所以在这里就可以结束了啊，所以打打这时候我们的 m 是 谁呢？ m 是 冰墩墩啊，等于四个，那雪绒绒呢，一减就到了三十六个的时候 啊，那我们的这个利润就会最大，哎，所以依然是这个格式啊，就先列关系式啊，求范围，然后通过函数的性质来探讨最值。

一次函数的应用题，是我们八下期末必考的应用题，今天我们来学习它其中内容费用最低的问题， 下面来看一下这个题目啊，这是我们珠海去年的期末考试题，那他说去年有个热播电视剧长安的荔枝啊，你看这个东西就每年都会出现一些与热点的内容相结合的题目啊，这个这题出的挺好的啊，这个珠海， 那么现在看一下，他现在要运荔枝啊，运这个荔枝，现在呢有两种的方式，一种是走水路，一种呢是路路， 那走水路的时候呢，有百分之三的损耗，走路路的时候呢，有百分之五的损耗来，他现在说如果要用五艘船，十辆马车来运输这两百筐的荔枝，中间不改不改变这个运输方式，最终的损耗是八，呃，八筐， 我们看第一问啊，他说问每艘大船是多少筐啊？每辆马车可以运多少筐。那看到这个问题呢，那就是问什么就设什么就可以了啊， x 筐， y 筐啊，我们要设未知数啊，设， 那接下来呢，我们就列方程啊，那有两个未知数就要列什么样呢？两个方程啊，我们要找到两种关系，这种关系呢就是要总共要运两百筐啊，五辆的这个五艘船，那就是五 x， 加上十辆车，十 y， 最终等于两百筐。 第二个呢就是它的损耗，总共损耗了八筐哎，那这个水路呢，损耗百分之三，那就在这个基础上乘以百分之三。 那露露呢，损耗百分之五，那就在这个的框数基础上乘以百分之五，最终刚好等于八框。损耗。好，方程列出来，了解得 最终减出来 x 和 y 分 别等于多少呢？你像这种啊，非常大的时候，我们在运算的时候，我们可以有点小技巧，我们可以怎么样啊？两边同时乘以一百，把它改变一下，里面乘以一百啊，那就是这里剩三三五就是十五， x 加上啊，五乘十就是五十，等于多少呢？等于八百对不对？ 然后我们再同时呃约小一点，同时除以多少乘以五，呃，大家去算一下对吧？ 应该是一百六，对不对？好，那接下来你看这个和这个就可以直接相减相加，对吧？所以这地方我们就过程就不再详细讲啊，最终啊， x 等于二十， y 呢？是等于十的啊，等于十的。 好，那接下来呢，我们来看一下啊，打这个自己去打啊，那就说我们每辆大，每艘大船呢，能够运二十筐，每辆马车呢可以运十筐啊，这我们的第一问，那第二问就是我们今天重点了啊， 他说水路运输啊，每艘大船需要一千两百文，山路运输呢，每辆马车的费用是八百文，为了控制成本， 总的运输费用不能超过一万四。看到这个不能超过，要注意啊，我们给他标注一下啊，不能超过的意思怎么样啊？就是小于等于的意思，小于等于一万四千文，而且大船的数量不超过，你看又有不超过了，这又是一个不等关系啊，就小于等于 吸收啊，那么恰好运完了这两百筐的荔枝啊，而且不考虑损耗的情况下，该如何安排大船和马车的数量才能使得这个费用最低。 那这个时候呢，我们一定要有函数的思维啊，既然有函数，我们就要去，怎么样呢？就要去列关系式了啊，然后列了关系式，要探讨最值的话，那也求范围呀，所以第一步我们先去啊，设未知数啊，列关系式，那设谁呢？既然安排大车大船和马车的数量，我们肯定要设未知数啊， 那么可以设大船，大船是多少呢？因为前面用了 x y 啊，我们用 m 啊，然后这个马车呢？ 马车这个地方要注意啊，因为他这个题稍微的哎，难度增加了一点，他不像以前啊，说这两个相加总共有多少多少收，对吧？多少量，他没有这样子，他什么都没给，只是给了一个， 给了一个怎么样呢？恰好是两百筐，给了一个总的筐数，所以这个地方我们必须得通过这个筐数要再去表示我们马车的数量。这马车数量怎么表达呢？就是我总共两百筐， 我马这个大船呢，有 m 艘，它运了多少筐呢？我们知道大船一艘是二十筐嘛，所以它运了二十 m 筐一剪呢，剩下的就是马车的这个运的筐数，那再用这个总的马车的筐数除以它每一车能运的 啊，运的是多少呢？是十筐。那这个时候呢，我们就可以表示出马车的数量了，我们可以化简一下，它得多少呢？就是二十，减去二 m 啊，我们可以要打上这个小框，哎，这个是量对吧？ 那个是收，那还有一个呢，就是费用啊，说他的费用为多少元呢？费用为 w 元，一般是这样啊，收尾数我们就收完了啊，这个地方相对于他增加的一个难点，我们要注意一下啊， 那接下来呢，我们叫列关系式， w 等于什么样呢？费用分成了两个部分啊，大船的费用和马车的费用。呃，每收呢是一千二，那就是一千二百 m， 这个马车呢，每每一辆是八百八百乘以二十减去二 m。 那 么接下来化简一下啊， 一千二啊，我们这里减去一千六，对不对？负的四百啊，四百 m， 再加上一个一万六 啊，一万六。好，这个关系式出来之后呢，我们探讨他的最大值或者最小值得求范围范围在哪里呢？就是刚刚我们标出来的这两个啊， 那接下来求范围范围的话，有两个，一个是他的费用，费用实际上就是这个啊，负的四百 m 加上一千啊，一万六，要小于等于一万四。还有一个呢，这个大船的数量，大船就是我们的 m 啊， m 要小于等于七。 好，那接下来呢，我们就把这边擦一下啊， 那接下来我们就解得把这个解出来， 解得我们的 m 呢应该在哪里呢？是大于等于五，小于等于七的。好，有了不等关系，接下来我们就要通过函数的性质来求对值啊。接下来我们要这是一个固定的模板，因为怎么样呢？先说一下这个前面的系数， 负的四百是小于零的，所以当我们的 m 等于多少呢？那么要知道啊，在这个一算数里面，我们这个系数小于零的时候，那这个 w， 也就是我们的 y 会随 x 的 增大而减小，对吧？那在这个里面就相当于说是 w 随着 m 的 增大而减小， 你想啊，增大而减小，我 m 取多少的时候他会最小呢？肯定是取的是最大的那个，对吧？在这个范围内最大的那一个，那么就肯定取是七啊，当 m 等于七的时候，这个 w 啊，有怎么样呢？有最大值 啊，最大值，那既然要求最低费用是多少，我们就得为多少呢？那么就需要把这个 m 等于七啊，带到我们这个表达式里面去，那这个求出来的就是负的四百乘以七，哎，再加上我们的一万六，最终是一万三千两百。 好，那接下来我们就要打，对吧？他说怎么运输啊？啊，怎么安排啊？就是当这个大船有多少收嘞啊？为七收 啊，为七收，那我们的马车有多少呢？多少辆啊？相当于是二十，减去二乘七啊，就是六辆，对不对？有六辆是费用呢？最低啊，有最低费用， 有最低的费用，费用多少呢？一万三千二百文啊，这里是文， ok， 所以 这里的话我们要，哎有怎么样呢？依次函数的这种探讨的意识啊，要知道是怎么探讨的，大家反复看一下这个过程和解析的一个思路。

一次函数的共乘问题是我们每年期末几乎是必考的题型啊，是必考的一个压轴题，他要求呢，我们对正比例和一次函数的图像要非常的熟练，还要求我们能够清晰的探讨他们这样的关系，特别像这种题目，他给你一个双重 buff， 给你叠加 buff 啊， 那又怎么样呢啊？原本定义当中 y 点 k 加 b， 那 我给你个解释，也有 k 也有 b， 那 这 k 和 b 之间到底是什么关系啊？很多同学就搞不清楚，那今天的话，我们一步一步给大家讲清楚，那在讲之前的话，我们现在回顾一下这个正比例和一次函数的图像， 那总的来说，我们正比例和一次函数呢？总共有六种图像，正比例呢有两个，一次函数呢有四个， 那这里呢？影响他们这个图像不一样的一个因素在哪里呢？就是两个字母，一个是 k， 一个是 b。 我 们先来看一下 k， k 无论是在正比例还是在异次函数，他们影响的东西都是一样的，就是趋势。 什么叫趋势呢？就这么从左往右来看，像这种呢就是上坡啊，上坡，像这种呢就是下坡，下坡，下坡。那这个呢，就 k 来解决啊， k 来决定。那上坡的时候呢， k 统一都是大于零的啊， k 都是大于零的， 下坡的时候呢， k 都是小于零的，这只 k 都是小于零的。好，那这个 b 这个字母决定的是什么东西呢？这个决定的是与 y 轴的交点位置 啊，交点位置，那如果说我这个图像与 y 轴交在这个地方，这是 y 的 正半轴，那你比如说这个也交在正半轴，那 b 也是大于零的， 那像这种呢，它交在这个地方是 y 的 负半轴，那就是 b 小 于零啊，这个呢，也是交在 y 的 负半轴， b 也是小于零的，那你看啊， k 和 b 共同就影响到了我们的六个图形。 哎，那你说，哎，我知道你的 b 去哪里了，那也就说它经过原点，相当于歪着胶带的这个零这个地方，说明此时 b 是 等于零的，所以我们的正比例里面没有这个 b 字母啊，所以我们要弄清楚啊，这两个图形， k 和 b 是 怎么影响的？好，接下来我们回到这个题啊， 来看一看。那要解决这个问题呢，首先我们要弄清楚 k 啊，我们这里我特意用红色来标出来的啊，我们定义当中的 k 是 决定了它的趋势的，定义当中红色的这个 b 决定了它是与 y 轴的交点位置的， 那他现在给出来的这个黑色的 k 呢？哎，也是我们这个 x 前面的，所以这里的红色 k 和这个黑色的 k 是 一样的道理 是等同的啊。但是呢，后面我这个红色的 b 在 这个地方表达式里面对应的应该是负 b， 比如说这个表达式里面，负 b 这个整体决定的与 y 轴的交点位置 啊，好，来到这里，正比例呢，也是这样，我红色的这个 k 啊，就是我们定义当中的 k， 它决定的是趋势，那在这个表达式里面，它等同于负的 k 分 之 b 这个整体，那这个整体决定的趋势好弄明白的这个东西呢，接下来我们要采取两步， 我们就用假设法，哎，我们从 a 答案开始，那假设其中一条，那是正确的，我们可以得到 k 和 b 的 一个取的范围。然后第二步呢，我们就把它带入到另一个函数里面，去验证它是否是正确的。那比如说，我们看从 a 答案出发，我就假设依次函数啊， y 等于 k， x 减去 b， 它是正确的。我们从它的图像上来阅读一下啊。你看，首先看趋势，它是上坡的，说明我这里的 k 是 大于零的。 然后其次看到与 y 轴的交点，哎，很明显交在负半轴。我们说了这里的影响与 y 轴的交点是我们的负 b 啊，所以此时应该是负 b 小 于零， 那么 b 呢？就是怎么样啊？就是大于零的。好，我们知道了 k 大 于零， b 也大于零，那么就验证一下此时我的这个正比例，它的图像对不对？ 那你看啊，啊，我 k 大 于零， b 大 于零，说明 k b 同号，同号为正，再添加一个负号，说明我这个整体是怎么样呢？是小于零的。那小于零的话，那个趋势应该是怎么样？下坡， 那你很明显啊，这个证明就是上坡的，所以怎么样啊？不符合，不能共存，那就是去掉。我们再看一个 b 答案，我们依然假设这个 依次函数，它是正确的。那首先看趋势，从左往右是下坡，说明 k 是 怎么样呢？小于零的交点在正半轴，我们交点是由负 b 决定的，负 b 大 于零，反过来 b 就 怎么样呢？小于零。 好，那么现在来验证这个正比例啊， y 等于负的 k 分 之 b x， 那 你看 k 小 于零啊， k 小 于零， b 也小于零，同号哎，同号为正，再加上一个符号就是负啦，小于零，小于零的话，它应该是下坡，结果它还是上坡，还是不行， 我们再看 c 答案， c 答案呢？我们假设一次函数正确， y 等于 k， x 减 b， 首先看趋势，下坡 k 是 小于零的，看焦点， 焦点负 b 是 怎么样呢？就在正半轴大于零，那 b 就 怎么样呢？小于零。好，那这个时候我们来验证一下这个一次函数啊， y 等于多少呢？负的 k 分 之 b x。 那现在我们知道 b 小 于零， k 也小于零，也就说 k b 同号，同号为正，加上一个负号，整体是小于零的。小于零就意味着我这个正比例啊，应该是下坡的趋势，哎，好，哎，很明显啊，这就是下坡的，你看就符合要求啦， 符合要求说明它是什么呢？能够共存，能够共存，那就正确了。所以这个题选择啊， c 答案，大家自己去验证一下。

好，我们再来看依次函数概念的复习巩固。先看第一题，问我们下列函数当中，哪些是依次函数，哪些又是正比例函数？ 那这里你要知道，正比例函数是形容 y 等于 k， x 的 k 不 等于零，对不对？依次函数呢，是 y 等于 k， x 加 b 的 k 也不等于零，对吧？好，那么这个时候就看下面这几个式子当中， 他们 x 的 指数是否都是一，并且是否都满足胚不等于零就可以了，对吧？这里呢，正比例函数是特殊的一次函数，所以是正比例函数的话，他一定也是一次函数。我们先来判断第一个， 第一个是 y 等于负的零点二， x 对 不对？这里对应的是什么呢？这里对应的就是它的 k 是 等于负零点二的，它没有等于零吧，对不对？并且呢，它有没有这个 b 值啊？没有这个 b 值，所以它是正比例函数啊，所以我们就说是 正比例函数， 那同时呢，它也是一次函数，因为正比的函数就是特殊的一次函数，对吧？好，再看第二个，第二个我们要怎么样？先进行化简， 把它化简，负三去乘这个框就等于负三， x 减三，那么这里对应的呢，就是前面这个 y 等于 k， x 加 b 对 应的也是负三，这里对应的就是 k 等于负三，它这里的 b 也等于负三，是不是符合第一种形式啊？所以呢，它是不是正比例函数呢？它不是，它有 b 值，对不对？所以它不是 这个正比例函数，但是呢，它是什么？它是依次函数就 ok 了。再看第三个，第三个是 s 等于 pi r 平方，这个是面积，对不对？ 这里其实不容易看出来，因为你不知道哪个是 s 啊，但是呢，你分析一下你就知道了，这个半径呢，是会发生变化的啊，而这个派呢，是一个定值，所以呢，这个派就是 k 值，所以 k 就 等于派啊。而这里的 r 的 平方，它对应的是什么呢？如果我们把它写成 y 和 x 的 形式，你可以理解为 y 等于太 x 的 平方，这个 x 它是一次吗？它是不是一次，对不对？这里的自变量 r 为二次，这里写一下自变量 r 的 平方是二次的，它不是一次的，对不对？所以它就不是一次函数，那也不是正比例函数，所以我们就说 它这个不是正比例函数，怎么样也不是一次函数。再看这个，把它化简一下，可以把它写成二分之一 x， 好了，那这里呢，这个 k 就 对应的呢，是二分之一了，对不对？好，这个 k 对 应的就是二分之一，好，那么这个呢？没有尾巴，没有这个 b 值，所以它是正比例函数啊，所以它既是正比例函数，也是依次函数，所以它这里 是正比例函数，也是依次函数，就 ok 了。再看第二题， 用函数解析式表示下列问题当中的 y 与 x 的 关系。先看第一个，一个长方体的长为两厘米，宽为一点五厘米， 高为 x 厘米，它的体积是 y 立方厘米，那么这里就要让我们找到这个 y， 也就是体积和高的关系。那我们知道长方体的体积公式是什么？是长层宽层高，对不对？长方体的体积 等于长乘宽乘高，对吧？那么对应呢，这个体积 y 就 等于它的长二乘上的宽一点五，再乘上它的高 x， 对 吧？好，那么 y 就 等于三 x 就 算出来了啊，当然了，这个高必须要怎么样？大于零，这个 x 必须要大于零， 为什么呀？你如果高小于零或者是负数是负数，那肯定是不可能的，对不对？那如果说是零的话，那么会怎么样？他就没有长体积了，对不对？所以呢，他就不满足长方体这个要求，所以如果是长方体，他的高一定必须是正数，对吧？好， 再看第二个，某水箱里面有水，十升，以零点五升每分钟的速度往外开始放水， 放水的时间为 x 分 钟，问我们剩余水量 y 是 多少升，对吧？好，那么这里呢，它的关系也比较好找，就是水箱里面剩余的水量等于原有的水量减去放出去的水，对吧？好，我们这里写一下剩余 水量，它是等于原有水量 减去放出的水量。 好，这个剩余水量呢，就是 y， 原油水量呢？是十升，那这里写了原油水量十升，对吧？好，你零点五升每分钟，那么你放水的时间是 x 分 钟，那么每分钟零点五升，那么放出去的水就是零点五， x 同时写上它的自变量取值范围，那么十升水最多能放多少分钟呢？你就用十怎么样去除以零点五十，除以零点五，等于二十分钟，对吧？ 好，我们这里写一下，十升水需要多少时间呢？需要二十分钟，怎么样？可以放完， 那么放完就没有水了，对吧？那这个计算呢，就不用写了。所以呢，我们这里 x 的 取值范围必须要怎么样呢？必须控制在二十分钟以内，要小于等于二十，同时大于等于零就 ok 了，对吧？好，当然我们这里重新再写一下， 我们把它写成 y 等于负零点五 x 加上十 x 的 取值范围小于等于二十大于等于零。 好，再看第三题，若 y 与 x 成正比例关系，并且 x 等于二的时候， y 等于八， 写出 y 关于 x 的 函数解析式，并且求出 x 为和值的时候， y 会等于负四。好，你看这里是正比例关系，对不对？ 正比例关系的话，那么我们把这个 k 当做正比例系数，那么 y 比上 x 等于 k， 那 么我们就可以把它写成 y 等于 k， x 啊，这里再写一步，因为这个比号的计算就相当于是除号的计算，我们把除以 x 移过去，就变成了乘以 x， 对 不对？好，那么这个就是正比例函数的一般式吧，对吧？好，那我们把它写出来之后，把它带进去算就可以了。 因为当 x 等于二的时候， y 等于八，所以我们这个 y 等于 k， x 就 可以写成八等于 k 乘上二，那么八就等于二 k， 那 么 k 二 k 就 等于八， k 就 等于四，对不对？好， k 等于四，所以这个函数解析式就是 y 等于四 x， 好 了，这个算出来了，我们再把这个往里面带，对吧？好，当这个 y 等于负四的时候， 这个 y 等于四， x 就 可以写成负四等于四 x， 那 么四 x 等于负四， x 等于负四，除以四， x 就 等于负负一，所以呢，当 x 等于负一的时候， y 它就等于负四了，对吧？好，那这样的话呢，咱们就回答完了再看综合运用第四题。某银行一年期的存款利率为百分之一点五，即存入的本金为 x 元， 一年到期的时候，那这个本息和为 y 元。那么首先你要知道什么叫本息和。本息和呢？就是连同本金在内，加上利息一共多少钱，就叫本息和，知道吧。啊？而利息的计算呢， 它等于本金乘上年利率，再乘以七数，乘上年利率， 再乘上七数。 好，那么我们知道了这个之后再去写，你先把利息算明白啊，它的利息等于什么呢？本金设为 x， 年利率是零啊，百分之一点五，对不对？然后再乘期数，它这几年一年是不就可以了，对吧？所以呢， 这个本息和 y 就 等于本金，本金是 x， 加上利息，这个利息呢，等于本金，也就是 x 乘上什么呢？乘上年利率百分之一点五， 再乘上什么？再乘上期数。一。好，这个是 x 啊，不要把 x 和乘号弄混了，就把 x 写大一点 乘好，那么这个 y 就 等于 x， 加上零点零一五 x， 那 么 y 就 等于一点零一五 x， 好， 这个就是它的函数解析式。 然后呢，它自变量值的范围呢？必须大于零，对吧？你存的钱不可能等于零吧，对不对？那零元还叫存钱吗？是不是？或者是你是负数的话，那就不叫存钱了，那叫借钱了，对不对？ 再看第二个，他说存入多少钱？存入一万元的时候，一年到期之后，本息和是多少？我们这里就写，当 x 等于一万的时候， 那么这个 y 等于一点零一五 x， 咱们就可以把它写成一点零一五，乘上一万，那么这个 y 就 等于一万零一百五十啊，所以他的本息和是多少钱呢？ 本息和就是一万零一百五十元就可以了。 再看拓展探索第五题，学校发起为福利院儿童捐书包的活动，每个书包六十元，张华有零花钱四百八十元， 即他用零花钱捐献的书包个数为 x 个，剩余的钱为 y 元。那么第一个叫我们求 y 关于 x 的 函数解析式， 以及自变量 x 的 取值范围。好，那么这里呢，我们可以先把它的关系写出来，对不对？好，这个剩余的钱等于什么？剩余的钱等他已经有的钱减去买书包花的钱就可以了，对吧？好，我们先写一下 剩余的钱 等于什么？等于总共有的零花钱 减去买书包的钱。 买书包六十元，怎么样？一个，那么这里有 x 个，那就是减六十 x， 剩余的钱呢？是 y， 对 吧？总零花钱呢是四百八，减去买书包的钱减去六十 x。 所以 这个解析式咱们就可以写成 y 等于负六十 x 加上四百八。然后他教我们求自变量值范围，首先要大于等于零嘛，对不对啊？ 那还有什么呢？还有你看他这么多钱最多能买几个，我们算一下他最多 能买多少个呢？你就拿他的总共的钱去除以他的单价，你会发现最多能买八个， 最多就能买八个。所以这个解析式，他这个 x 呢，就是小于等于八的，对吧？不能超过八，所以 y 等于负六十 x 加上四十八啊，四百八会得到 x 取的范围是 x 大 于等于零， 小于等于八啊，第一位就搞定了，对吧？好，第二个，若他至少留下一百八十元购买课外书，那么他最多能捐献多少个书包呢？ 那这里的是，这里的意思呢，就是让剩下的钱一定要大于等于一百八，对不对？至少要留下嘛，对不对？所以剩下的钱余下的钱要 大于等于一百八，也就是 y 要大于等于一百八，而这个 y 呢，是等于负啊，这里是负六十， x 就是负六十， x 加上四百八要大于等于一百八，然后呢，咱们把这个移过去一百八减去四百八，就会等于负三百， 然后两边同时除以负一百六啊，除以负六十就要编号 大于等于就要变成小于等于，所以呢， x 就 小于等于几个呀？五个，所以它最多能捐献五个书包，所以我们这里写 它最多能捐献 五个书包就可以了。

依次函数的应用题是我们八下期末常考的题型，而且像这个数形结合的应用题是我们依次函数的应用题中最有难度的题型。他要求我们对这个运动的状态和图形要能够一一匹配，而且又要求我们从这个复杂的图形里面去探讨多种的情况， 所以今天的话，我们通过一个视频把它完全搞清楚。现在读一下题目，他说这里有两个人约好去爬山，那么甲和乙呢？他们攀爬的高度就是距离地面的高度和他们攀爬的时间的图像是这样子的，那一看这个图像就非常的复杂啊， 那么现在初步的分析一下，这个甲和乙他分别是怎么爬的啊？可以看到这一条已经标出来了，他是甲的一个呃，图像，甲的图像呢？他一开始这里从一百开始的，说明了什么？他一开始爬的时候就已经距离地面是一百米了， 他整个过程当中都是一条直线，说明他的速度啊，都是保持一致的。然后呢，我们可以看啊， 以呢就分成两段了，一开始 o a 这一段他是从零开始爬的，就说距离地面从最底下开始爬的啊，爬到这个地方他的速度啊，你看这个图像啊，变抖了，说明他的速度变快了。 哎，这是第二段，他有两段的一个过程啊，而且这两条 ab 这段和 cd 这段有交点，说明此时啊，他们在统一高度上啊，同样的一个高度上。 好，这是大概的我们图形的一个解答啊，接下来我们看一下，第一问他求什么呢？ t t 在 哪里呢？是 a 点对应的时间，就说我的这个乙啊，从零走到了三十米的地方，然后他用了多少时间？ 那这个很简单啊，我们知道在一段上他的这个变化啊，速度变化是一样的，所以他们速度一样，速度怎么求呢？速度是通过路程除以时间得到的，所以我们可以看到这里有一个标了，一和十五的啊，一个点， 也就说他从零走到十五用了多少分钟啊？用了一分钟，所以他的速度就可以怎么样呢？用十五除以一就等于十五 米每分钟，这是他的速度。那现在我要求这段里面，他走了三十米的情况下，用了多少时间呢？就用三十这个这个路程除以他的速度就三十除以啊，十五就等于两分钟了，所以说 t 等于二。好，第二个问的第一个呢，他说 如果一提速之后，乙提速就是指 a、 b 这一段他的速度将是谁呢？甲的三倍，他就会问甲的上升速度是多少？ 那甲的这段只有一个数据，要算他的速度还是比较难的啊。那我们可以通过先算乙这段的速度来求，对吧？那乙这段怎么办呢？依然是用怎么样啊？速度等于路程除以时间，路程是怎么样看的呢？ a 点到 b 点，从三十到三百，他走了多远呢？走到二百七十米， 然后他用了多少时间呢？这里是二刚我们已经算出来的，两分钟的时候，到十一分钟的时候，一共用了十一减二，用了九分钟，那就用二百七除以九等于三十米每分钟， 这是谁呢？这是乙的速度，那乙呢？又是甲的三倍，那除以三，那甲的速度就是十米每分钟。好，第二问他求什么样呢？甲，在登山的过程当中，他的这个函数表达式，这个也很简单啊，我们已经知道了什么样呢？ 知道他是一条一次函数，而且没有过圆点，所以他是啊，一次函数，我们可以设来解数， y 等于多少呢啊？ y 等于 k， x 加上 b， 接下来我们代入两个点的坐标就可以了，就是零到一百和我们这个点到三百，但这个点呢，没有，我们可以也可以计算啊， 因为我们已经知道假的速度了，速度就是三百减一百，这个路程除以这里的时间就是这个减去零嘛，就是这个 t 啊， 那我们速度已经知道十了，他走的路程是两百，那我们就可以求出他的时间啊，就是两百 除以十就等于二十，比如说用了二十分钟，所以这个地方就是二十啊。现在我们就可以把这两个点啊，二十到三百，零到一百带进去，就可以求出他截式，这个求出来是多少呢？ y 就 等于呃，十， x 加上一百加一百， 那你说这个有没有更快的方法呢？有，首先我们要知道啊，这个 b 是 什么？是函数与 y 值的焦点，它已经是一百了，所以我们直接可以得到 b 是 等于一百的。第二个呢，这个 k 是 什么？是变化的趋势，在这个图形里面，变化的趋势就是速度的变化， 这个速度是等同于 k 的， 我们已经算出速度是十，所以它 k 就是 等于十的，直接可以得出它几个式也是可以的啊。好，第三问 啊，这是 y 甲的，然后现在他说甲乙两个啊，距离高度差为五十米，那么请写出满足条件的这个时间 x 的 值。那这个是我们这个题当中最有难度的部分， 那怎么来探讨是最好呢？他的情况到底有多少种？我们通常是找到这个拐点和交点，比如说这个是拐点，这是交点，这也是拐点，用线啊，把它画下来。整个过程呢，我们就分成了四个部分，这条线左边的，两条线之间，两条线之间，这条线右边的。 那每一种，每一个区域呢，都有可能相差五十，那这个五十，所有的五十，就是说要么假在前面啊，假在上边或者移在上边，他们一减就等于多少呢？等于五十在图像上表示。为什么样呢？在这个区域内，上面的这个 y 减去下面的这个 y， 刚好等于五十啊。 那么先初步从左边这个部分开始出发，看判断一下他否不符合要求啊。那很明显第一个阶段是不符合要求的，为什么呢？ 第一个阶段，我的这个乙啊，爬到最高的地方才是三十，这个甲一开始就是一百了，所以说我的最高和他的最低都相差七十了，所以在后面的过程当中肯定会越来越大啊，所以不可能相差五十。第一个阶段呢就排除掉。 那第二个阶段呢，那就是甲是在上面的，也就是说甲还是爬爬的比较高的，乙呢，要矮一点，他们两个一减呢，等于五十是有可能的啊，有可能。所以这个时候我们怎么来列式呢？就用甲的这个，呃， 我们的这个结式减去怎么样呢？乙的结式，那这个时候呢？乙的结式我们要去求啊，乙的结式呢，这里有两段啊， 第一段我们就判断它已经不成立，我们就不用求了，我们求出啊， a y a b 这一段， y b 呢，两个点都知道了，我们就直接设结式啊，带两个点的坐标进去就可以了啊，这个算出来呢，就是 y 等于三十， x 减去三百啊，三百 啊，减去三十啊，这个等于三十。好，接下来我们就可以探讨这种情况了啊，哎，上面减，下面就属于呢，甲减去乙，哎，甲的在这里啊，十 x 加上一百，减去我们的三十， x 减三十，最终相差五十， 哎，相差五十，这个是可以算出来的， x 等于多少呢？ x 等于四啊，这是一种情况。第二种呢，哎，他跑到哪里呢？经过这个交点处啊，他们相等了，然后已跑到前面去了，这个时候也有可能已减角是可能的啊，已减角就反过来了， 哎，三十 x 减三十，减去十， x 加一百，哎，加一百等于五十，最终算出来 x 呢，是等于九的，这也可以， 还有一种呢，是怎么样呢啊，来到这里呢，这个乙呀，已经爬到三百米，他就不爬了，接下来就是甲一直在爬，对吧， 哎，一直在爬呢，他们的距离啊，逐步在缩小，也有可能是相差五十的情况，那这时候呢，我们就怎么列式呢啊？第三个式子啊，我们写这里就是用上面的三百，哎，减去我们甲的这个关系式啊，就是 十 x 加上一百等于五十，那这个也能算出来是等于多少呢啊，这个 y 是 等于 x 等于十五的，那所以总的来讲呢，我们这里啊，所有的 x 的 值呢，就有三个 x 就 等于四或者九或者是十五。

好，再来看依次函数的综合运用。第六题，某快递公司省内寄件的收费标准呢？是不超过一千克的物品就需要付十三块钱， 如果超过一千克呢？那么超过的部分每增加一千克，那不足一千克的就按一千克来算，就需要增加快递费两块钱， 设记出 x 千克， x 为大于一的整数，这里不考虑小数的情况啊，他的物品的快递费用为 y 元，写出 y 关于 x 的 函数解析式，这个呢是一个实际问题，那么我们就对 x 的 这个取值范围一定要写出来，知道吧？好， 那么它的收费标准分为两部分，哪两部分呢？一个是不超过一千克的时候，费用是十三元，然后第二个是超出的费用，对不对？好，分两个部分，第一个部分 我们这里就写，当这个 x 怎么样，小于等于一大于等于零的时候 啊，小于等于一大于等于零零的时候，这个 y 就 等于十三，对吧？他说只要不超过一千克，就只需要付十三块钱，你哪怕是半千克也是十三块钱， ok 吧？好，所以这个十三是一个固定的值，然后当 这个重量超过了一千克，也就是 x 大 于一的时候，那么这个收费就分两段了， 第一段，前面的一千克十三块钱是固定要收的，对不对？然后呢，超出的部分怎么去理解呢？ 那么假如说我们这里有三千克，那超出了几千克，超出了两千克怎么算呢？三减一，对不对，他就说明他超出了两千克，那如果这里是 x 千克呢？那超出的部分就是 x 减一就可以了，知道吧？所以这里用 x 减去一，表示超出的重量， 然后这个超出的重量呢？要乘什么呢？要乘上这个二，因为每增加一千克，也就是每超出一千克，它就会增加两块钱的快递费，所以再乘上一个二， 你就可以化简了。那么这个 y 就 等于十三，加上二， x 减二， y 就 等于二， x 加上十三减二，十三减二等于十一，那么这里我们就可以把它写成一个分段函数，知道吗？分段函数，所以呢，这个 y 就 等于十三，等于十三的时候是这个 x 必须小于等于一，大于等于零。第二段是 y 等于二 x 加上十一， 这个时候呢， x 取值范围是大于一的就可以了，这就是一个分段函数的形式啊，咱们把它写出来就 ok 了，记得实际问题一般都要考虑什么，都要考虑这个 x 的 取值范围，你不写出来的话，是会扣分的啊。 再看第七题，甲骑自行车与骑摩托车沿着相同的路线，由 a d 到 b d， 行驶路程 y 千米与行驶的时间七小时之间的关系，如图所示， 叫我们根据下面的图像回答下列问题，这里总共有五个问题。第一个问题，它是说 a、 b 两地的路程是多少千米？那我们先看一下这个图像，对吧？这是假的，这是乙的假呢，它对应的时间是从 t 等于零 开始的啊，然后呢？乙呢？对呢，是 t 等于三开始的，什么意思呢？就是说甲先出发啊，他是以甲出发的时间为准的啊，甲出发的时候就开始算时间了，然后你看甲出发了三个小时之后，乙是不是在发生 这个移动，对不对？所以是甲先出发，然后过了三个小时之后，乙再出发，不过因为这个乙呢骑的是摩托车，所以他骑的非常的快，对不对？你看 他从五小时这个三小时到这个五小时，你看他就行驶到了八十千米的地方，而甲呢，是从零小时到八小时 骑行了八十千米，对不对？所以呢，就可以看得出来，他们都是到达了八十千米就停止了，说明 ab 两地的路程就是这个八十千米啊，八十千米。 再看第二个出发较早的是谁？你看甲这条线对不对？从零就开始了，所以出发的早出发的就是这个甲，然后早了几小时呢？甲的话他是比乙早了三个小时的，从图上就可以看出来了，对吧？ 那么到达比较早的是谁啊？谁先到？你看甲是不是过了八小时才到八十千米的地方，而这个乙呢，到在五小时的这个地方就到了八十千米的地方，那是谁先到啊？是不是乙先到啊，对不对？好，这是乙先到， 那么他找到了多少时间呢？你看这个八减去五就是比他找到的时间，八减五等于几啊？我们这里写一下，八减五是等于三的，所以是找了三个小时啊，而上面的这个找三个小时呢，是用谁减谁啊？ 就用以后出发的三个小时减去它零开始的时间，所以是三减零等于三小时，对吧？自己写的时候只需要写三都可以了啊，写三就可以了，我这样写出来的目的是让你区分这个三，它的意义是不一样的啊，不是同一个意思。 然后甲的速度是多少？你看甲对应的是什么？八个小时骑行了八十千米，所以它的速度我们这里写一下啊。甲呢，是什么？八小时骑行了 八十千米，所以甲的这个速度就是八十除以八等于十千米每小时，所以它的速度是十千米 每小时。那乙的速度呢？乙的速度就是，你看他的时间和路程，他用了多久？他是五三小时到五小时，是不是用了两小时？两小时骑行了八十千米，对不对？好，这里写一下。乙对应的是什么？五减三等于两小时 骑行了 二，所以这个乙的速度呢，就是八十除以二， 所以是四十千米每小时啊，果然这个骑摩托车是要快一点，对不对？好， 再看第五个，你在距离 a、 d 多少千米的地方追上甲，此时甲行驶了多少个小时，对吧？那这个呢，就要用函数去算了，我们只需要求出它的焦点， 这两条直线的焦点，就可以知道它们在什么时候行驶了相同的路程，对不对？那么怎么求呢？好，我们这里呢， 同样呢，把这两条直线都设，为什么？都设为 y 等于 k x 加 b， 我 们这里设这个 y 夹， 它等于 k 一， x 加上 b 一， 然后这里设呢，这个 y 以等 k 二， x 加 b 二。好， 那么这样的话呢？甲，我们就带入这两个点，其中一个点是原点零零，他过零零，这个点呢是八八十，我们将这两个点带进去，将零零以及八十啊八八十带入 y， 甲， 你可以得到一个方程组，那第一个就是零等于 k 一 乘零加上 b， 那 么零乘任何数都得零，所以你可以得到的就是 b 等于零，因为它是正比例函数，所以它的 b 肯定是零的，对吧？ 然后另外一个就是八十等于 k 一 乘上八加上 b， 那 么 b 是 零，你把它带进去算，那么八十就等于八倍的 k 一 加上零，那么 八倍的 k 一 就等于八十， k 一 就等于八十，除以八 k 一 就等于十，你看这个 k 一 和它的速度是不是相等的呀？对不对？其实就它的增长速度，我们就可以得到 这个 k 一 等于十， b 一 等于零，所以 y 假的解析式就是十， x 就 完事了。而另外一个呢，这个呢，你就把这个点带进去，这个点是三零， 这个点呢是五八十。我们将这两个点带进去，将三零和五八十 带入 y， 以这条直线，那么可以得到一个方程组，就是零等于三 k 二加上 b 二，这里是八十等于五 k 二加上 b 二，两式一减，用二式减一式， 二式减一式，八十减零剩八十，五 k 减三 k， 还剩二 k， b 减 b 没了，所以这个二 k 二就等于八十， k 二就等于八十，除以二 就等于四十。然后你再把这个四十带进去，零等于三乘四十加上 b 二，所以零等于一百二十加 b 二， b 二呢，就等于负一百二，所以这里算出来的 这个 k 二就等于四十， b 二就等于负一百二，所以这个 y 以的解析式就等于四十， x 减去一百二啊。当然了，我们要把它的曲值范围写上啊， 由于这里的时间呢，它是用小 t 来表示的，所以我们刚才这里所有的 x 全部换成 t， 全部把它换成 t， 这是题目要求的啊，所以我们就全部把它换成 t 就 可以了。好，再把它的 t 的 曲子范围假，这一段是零到八，所以 t 的 曲子范围 t 小 于等于八，大于等于零。 然后乙呢，是三到五，所以它的取值范围呢，就是这个 t 小 于等于五，大于等于三啊，一定要写清楚，好吧，然后呢，我们把这两条直线的解析式都求出来了，那求焦点，就把这两个解析式连立成一个方程组计算啊， 我这里写一下啊，连立方程组求 y 夹与 y 一 的交点， 那么 y 就 等于十 t， 另外一个就是四十 t 减一百二，然后这两个式子它里面的 t 和 y 都是相等的，那么就可以直接让右边的相等，因为左边的 y 是 一样的，那右边的式子肯定也相等，你就可以得到 四十 t 减一百二，那么三十 t 就等于二，一百二 t 就 等于一百二，除以三十 t 就 等于四，所以这个相遇的时间就是甲骑行了四个小时的时候，就被乙追上了，对吧？好，我们这里写一下， 然后这个 t 呢，也带进去算啊， y 角就等于十乘四等于四十，那么这个交点呢，就是四四十， 对吧？啊，他问我们这个乙在距离 a d 多少千米的地方， 对吧？追上甲，那 a d 出发点 b d 在 这里对不对？所以是距离四十千米的时候，此时甲行驶了多少个小时？那么甲就行驶了四个小时嘛，对不对？好，我们就说 你在距 a d 四十千米处追上甲， 此时假行驶了四小时 就可以了。再看第八题，这里有一个容器，这个容器当中呢，有进水管和出水管，前四分钟只进水不出水，随后的八分钟之内 既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是一个常数，也就是固定的 容器内的水量。 y 单位是升与时间， x 单位是分钟之间的关系，如图所示，前四分钟灌了多少水？灌了二十升，对不对？后面呢？八分钟增加了十升水，到了三十升，对吧？好。第一个，当 x， 也就是时间 在零到四分钟的时候，求 y 关于 x 的 函数解析式，那么由于它这个这条线段，它是不过了原点了，对不对？好，我们就把它设为正比例函数，知道吧？好，我们这里就直接写了啊，先一个一个求下去， 当这个 x 小 于等于四大于等于零的时候，对吧？函数为什么为正比例函数？ 因为它过圆点了，对不对啊？所以我们这里设 y 等于 k 一 x k 一 不等于零， 那为什么要设成这个样子呢？为什么设 k 一 呢？因为后面还一段呢，对吧？后面这条直线解集式的 k 值就是 k 二了，你都可你直接设了 k， 那 后面怎么表示呢？对不对？所以我们就设为 k 一， 然后你现在把这个点带进去就可以了，从这里你就可以看出来，这里有一个点是四二十吧，对不对？好，我们将 四二十这个点带入，那么二十就等于 k 一 乘上四，所以 k 一 就等于五了，就可以得到 y 等于五 x， x 的 取值范围小于等于四大于等于零就 ok 了。好，这个是第一问啊，第一问。 第二个，当这个时间来到四分钟到十二分钟的时候，求 y 关于 x 的 函数解析式，那么这个点呢？你也可以看得出来，它是十二三十，你把这两个点带入解析式当中，对吧？好，第二问， 当这个 x 取值范围在四到十二的时候，对吧？啊？函数为依次函数 设为什么呢？设解析式 为， y 等于 k 二 x 加上 b， k 二不能等于零，对吧？好，将 四二十这个点与十二三十这个点代入，那么你就会得到两个式子，一个是二十等于四， k 二加 b， 另外一个是三十等于十二 k 二加 b， 两个式子咱们进行相减， 你二四减一，四一四减二四都可以看你喜欢三十减二十还剩十，十，二减四还剩八，所以八 k 二等于十，对不对？好，那我们这里除一下 k 二就等于十，除以八， k 二就等于四分之五，然后再把四分之五带入一式当中，哎，你就可以得到，二十等于四乘四分之五加上 b， 所以 二十就等于二十减五， b 就 等于 十五，对不对？好，所以这个解析式 y 就 等于四分之五 x 加上十五 x 取之范围小，小于等于十二大于四。 好，那么这个第二问也搞定了。第三问，每分钟进水和出水各多少深？ 那前面一段是比较好求的，对不对啊？怎么求呢？你看，这就写第三问了啊，他前四分钟是不是只有进水口，对吧？前四分钟只有进水口，四分钟进了 二十升，所以每分钟就是五升吧，其实跟这个系数五有关，对不对？好，所以我们这里写一下元音啊，前四分钟 只进水啊，水量从零到二十升，水量从零升增加到 二十升，所以每分钟进水 就是二十，除就是二十除以四等于五升，这是每分钟进的，知道吧？好， 那出水呢？出水绝对不是这个四分之五升啊，绝对不要这样去写，为什么呢？它是进水和出水是同时进行的，你看后面的这个八分钟是进水和出水同时进行的。那假设啊，你可以这样去想一下， 他如果在后面还是继续只开进水口，不开出水口，那么他到了十二分钟的时候， 他会有多少水？前四分钟每分钟是五升水，对不对？如果继续往后加，是不继续往后加，那么你看我们这里直接拿五升乘上十二，是不是？正常来讲，如果你不开出水口，是不是得到六十升？但现在实际上有只有多少升？ 现在实际上只有三十升，那么你想一下，相比于不开出水口是不是少了三十升？ 那少了三十针是什么原因呢？是不是因为他打开了出水口啊？他打开出水口把这个三十针给流走了吧？是不是给流出去了吧？那么你看他花了多少时间？他是不是后面的八分钟才打开的？ 所以八分钟你可以理解为 low， 出去了三十升水，你就拿三十除以八就可以得到，对吧？三十点七五升，所以它每分钟这个出水口每分钟可以出三点七五升水啊， 这个是根据实际情况去考虑，那如果你要列式去计算的话，我觉得可以用什么呢？可以用方程去做，我们这里设一下啊，设一下，设 浮水口，每分钟 浮水 m 毫 m 升，对吧？好，那么根据这个时间是不是十二分钟，对不对？十二分钟，那就是十二乘上五， 就是如果你打开进水口十二分钟，正常来讲是十二乘五，就是六十升，对吧？然后减去出水的量，出水是不是只有后面的八分钟才打开的出水口，所以减去八乘 m 等于剩三十升，剩下呢？就只剩三十升了， o 不 ok？ 好， 那么这里再讲一下啊，前面的这个 每分钟进水是五升，这个情况下是只有只打开进水的，只打开进水口，不打开出水口，那如果全程不打开的话， 不打开这个出水口，他会进水十二乘五，就会有这么多水，对不对？好，但是他打开了出水口，我们这里设每分钟出水 m 升，对吧？他打开出水口打开了八分钟，所以每分钟就是 m 升，那八分钟就是八 m， 要减去 这个流出去的水，剩下多少呢？还剩三十升，对应还剩三十升，所以我们这里把这个方程解出来就可以了，对吧？那就六十减八 m 等于三十，负八 m 就 等于三十减六十，负八 m 就 等于负三十 m 就 等于负三十，除以负八， 所以这个 m 呢，就等于三点七五啊， m 就 等于三点七五，所以我们就可以得到啊。这个进水口是每分钟进五升水，出水口是每分钟流出三点七五升水。好吧，我们答一下， 中上 每分钟 进水五升， 每分钟出水三点七五升就 ok 了。好，再整体看一下吧。 再看第九题。甲乙两家体育用品的商店以同样的价格出售相同的乒乓球拍 和乒乓球，乒乓球拍每副定价是三十元，乒乓球每盒定价是五元。现在两家商店展开促销活动，在假店每购买一副球拍就赠送一盒乒乓球。 在已店购买一副球拍或者是一盒乒乓球，他都按定价的九折进行优惠，某班需要购买球拍四幅乒乓球若干盒， 就是不，但是不能少于四盒，什么意思呢？乒乓球买几盒咱们是不知道的啊，但是他一定会大于四盒，这样的话呢，他就可以满足假店买一副球拍赠一盒乒乓球的这个情况啊。 第一问，这里设这个班购买兵乓球 x 和在甲店付款的金额为 y 甲，在乙店付款的金额为 y 乙，分别写出在这两家店付款金额 y 甲和 y 乙与兵乓球这个 和数 x 之间的函数解析式，那这里也是分类讨论的，对不对？好，注意啊，这里的球拍四幅是固定的，他不会增加，也不会减少，知道吧？好，那么这里呢，我们先说假电， 假电是买一副球拍就送一盒乒乓球，那么也就是说他买了四副球拍就会送四盒乒乓球， 那么如果他就正好买四盒乒乓球，那么乒乓球就不用给钱了，知道吧？好，那超出的呢？比如说他，他要买八盒，那么他就只需要付四盒钱，对不对？好，我们先说假电 y 夹怎么表示呢？前面四盒它是不打折的，你看就是它只是送兵乓球这个球拍呢，它不打折对不对？三十块钱一副，它要买四副，那就是三乘就三十乘上四，加上 送的送的咱们就不用算了，知道吧？四盒乒乓球送的咱们就不用算了，但是超出的部分啊，这里我们四盒写上这个是赠送的，不用给钱，然后超出四盒的部分呢？假如说他买八盒，他超出了四盒对不对？他买十盒是不是超出了六盒，超出的部分还是要按原价给的， 乘上这个五，所以 y 假的解析式就是一百二十加上零，再加上五 x 减去二十，那么这个 y 假的解析式就是五 x 加一百啊。当然了，你这个 x 怎么样？必须大于等于四，同时呢， x 为整数， x 为整数。好，这是 y 假，那 y e 呢？哦，对了，这里要打上括号啊， 那 y e 呢？那不管你买的是兵乓球还是这个球拍，它都会给你打九折，对不对？那打九折的话，那我们就怎么样乘上零点九就可以了， 球拍三十块钱一幅，它有买四幅，四乘三十打九折乘零点九，对不对？然后呢， 这个兵乓球的和数是 x， 兵乓球的和数是 x， 然后每和呢是五块钱，然后他也打九折，那就是五 x 乘上零点九，那么 y 也就等于这里一乘就等于一百零八 加上四点五 x， 所以 y e 的 解析式，四点五 x 加上一百零八，当然这个 x 也是必须大于等于四，并且 x 为整数啊。好了，那么第一问就搞定了。 再看第二个，购买几盒兵乓球的时候，在假两家商店付款的金额是一样的，那么这个对应呢？就是 y 假要等于 y， 一 对不对？金额一样，那就是 y 相等嘛，对不对？ y 相等的话，把这两个式子拎出来单独算，那就是五 x 加上一百等于四点五， x 加上一百零八，一下五 x 减四点五 x 等于一百零八减一百，所以零点五 x 就 等于八， x 就 等于八，除以零点五， 那除以零点五就是除以二分之一，除以二分之一就乘以二，所以 x 等于十六，对不对？好？因此呢，我们就写，购买十六和 乒乓球十在两家 商店付款金额一样。 好，这是第二问，再看第三问， 如何根据购买乒乓球的数量选择在哪家商店购买呢？那就看谁更便宜对不对？好，第一种是假更便宜，那么就是分情况讨论。第一种， y 假小于 y， 那 么其实计算呢，跟这里的计算是几乎一样的啊。第一种情况 就在这里，就是五 x 加上十一百小于四点五 x 加一百零八，对吧？这里算出来的是什么呢？这里算出来的是 x 小 于十六， x 小 于十六。所以我们这里就写，当兵乓球 和数 不少于四盒且少于十六盒的时候， 假商店更便宜， 假店更划算。 第二个就是这个假店的费用大于乙店的费用的时候， 那这个时候你代入就是五 x 加上一百大于四点五 x 加上一百零八，这里算出来的是 x 大 于十六啊，所以呢，我们这里就写，当 乒乓球 核数 多于十六核的时候， 以电更划算。 好。第三个，那就是两个店的价格收费一样的时候， 那就是五 x 加上一百等于四点，五 x 加上一百零八， x 等于十六啊，所以呢，我们就说啊，两家一样啊，当兵乓球 和数 为十六和十两加一样， 划算就可以了。 再来看拓广探索第十题， a 层有肥料两百吨， b 层有肥料三百吨，现在要把这些肥料全部运往 c、 d 两个箱，从 a 层往 c、 d 两个箱运送肥料的费用是二十元每吨和二十五元每吨。那我们这里写一下， a 往 c 运是二十元每吨， a 往低运是二十五元每吨， 从 b 层往 c、 d 两个箱运送肥料的费用分别是十五元每吨和二十四元每吨。好， b 往 c 运怎么样？是十五元每吨，写上十五元每吨， e 往 d 运是二十四元每吨， 你会发现这里所有的肥料加起来是五百吨，而这里需要的肥料加起来也正好是五百吨，所以我们这要全部都运出去，对不对？那怎样调配呢？我们就可以设一下，咱们这里呢，就设 a 往 c 运 x 吨，然后总费用 为 y 圆，那就可以了，我们可以通过这个 a 往 c 运 x 蹲，把其他的三种全部表示出来，对不对？好，这里我们写一下。那你看， 如果我这里 a 层运这个 x 蹲到这个 c 箱去，那这里运 x 蹲，换一个笔，这里运 x 蹲， 那么剩下的往哪里运呢？剩下的只能往低这里运，对不对？假如说它从这里运了七十吨过去，那么剩下的一百三十吨就要往低运就可以了，因为 这里有的肥料和需要的肥料是一样的，所以这里两百吨和三百吨都要全部运出去，所以他这个 c， 这个 a 往 d 就 要运两百减 x 吨，剩下的就全部给 d 了，对不对？好，再来看。 那么你这里想一下， c 箱需要两百四十吨，它这里已经有 x 吨了，那还需要多少吨呢？对不对？我们就用两百四减去 x。 假设，举个例子啊，假设它从这里运来了一百吨，运来了一百吨， 这里需要两百四十吨，那还需要多少吨？是不还需要一百四十吨？这一百四十吨是不是从 b 层运，对不对？这里我举个例子啊， 不是实际的，那么这样的话呢，我们就需要拿这里已经有的而需要的吨数减去已经运来的吨数，那么剩下的就是还需要的吨数，所以我们就拿两百四 减去 x 吨，这里就需要两百四减去 x 吨。好，那最后一个就是这一个，那 b 层要往低相运多少呢？那你看一下，我们前面已经推算出 b 层往 c 箱需要运二百四十减 x 吨，对吧？那么三百吨已经运走了这么多，那剩下的就要全部给 d 箱，那剩下的怎么表示呢？这个也是最难表示的一个，我们就需要拿已经有的 减去运往 c 箱的，那剩下的就要运往 d 箱，对吧？所以这里就拿三百 减去二百四十减 x， 这里需要化解一下，就等于三百减去二百四十加 x， 所以 这里就可以表示为是 x 加六十，三百减二十等于六十，那么这样的话呢，这几个数据我们就全部表示出来了，对不对？一一对应，在同一条线上， 就表示他需要的吨数，运的吨数和每吨的价格，对吧？这样的话我们就可以串起来了，那么这个总费用呢？咱们就可以直接算了，对不对？总费用 y， 先看 a 往 c 运，运了 x 吨，每吨运费是二十元，所以这里表示的就是二十 x， 再看这个 a 箱， a 层往低箱运，运了两百减 x 吨，然后呢是每吨二十五元，所以我们这里就写二十五乘上两百减 x， 再看 b 往 c 箱运，那么运了两百四减 x 吨，每吨是十五元，那就是十五乘 上二百四十减 x， 最后再加上 b 层往低箱运的 b 乘往低相运了， x 加六十吨，每吨是二十四元，所以我们这里就写出来是二十四乘上 x 加六十，那么所有的运费就是这么多了，对吧？好，我们这里再把它化简出来， 这里乘等于五千减去二十五 x 加上十五，乘以三千减十五， x 加上二十四， x 加上二十四乘六十，等于一千四百四十。好，然后最后我们再把 x 全部合并一下，二十 x 减二十五， x 再减十五， x 再加二十四 x， 那 就等于四 x， 然后这个五千加上加上三千六，再加上一千四百四十，它就等于一万零四十。这里注意啊，这个注意 x 怎么样？ 必须大于等于零，小于等于两百，因为它这个总共 才两百吨，对吧？那你运出去了肯定不能超过两百吨噻，是不是？好，所以就要小于等于两百，但是也不能说他运的是负数，那不可能是负数，所以呢，就大于等于零就 ok 了。好，那么这个函数解析式表示出来了，你再看，这是一个一次函数， 它的 k 值是等于四的， k 值是等于四是大于零的，那么说明这个一次函数是 y 随 x 增大而增大，也就是说 x 越大， y 越大。翻译成这里就是 a 层往 c 层运的越多，这个钱总费用就越高， 所以我们要让这个 a 层往 c 相运的尽可能的少， 那最少是多少呢？它这个 x 取的范围最小，是不是零呢？所以 a 层的肥料，那就不要往 c 箱运，就是一吨都不运，全部往哪里？全部往低箱运 啊，那你说，哎，不是从这里运过去更贵吗？对不对？但是你会发现，如果你把 b 层的这个三百吨肥料 拿两百吨移到运到 c 箱，那你看它的费用十五元每吨，是不是更少啊，对不对？好，所以呢，我们就让 a x 最小就可以了。 当啊，这里先写一下，这里对应的是 y 等于 k， x 加 b 啊，对应的是 y 等于 k， x 加 b， 依次函数 k 不 等于零，而这里的 k 呢？对应是等于四的四是大于零的，对不对？所以 y 随 x 增大而增大， y 随 x 增大 而增大， 所以我们要 x 越小，知道吗？所以 y 值 y 的 y 取最小值时，最小值时 取 x 取最小值， 那么因为 x 的 最小值 为零，所以 y 的 最小值 就等于就为多少，就为 带进去算，把零带进去算零，待到这里面去算，就等于四乘零加上一万零四十，所以 y 的 最小值 就等于四乘零，加上一万零四十，就等于一万零四十，所以他的费用最少是一万零四十就可以了，知道吗？好，这里我们把这个答也答好一点，那你知道了， 他往这个 x 为最小值的时候，就是 a 往 c 相运的是零吨，对不对？所以我们这里答的话，就答完整一点，就写， 当 a 乘往 c 箱运零吨， a 乘往 d 箱运两百减零就两百吨， b 乘往 c 箱运两百四减零，那就两百四， 然后 b 乘往 d 箱运，这里是 x 加六十，那么就是零加六十，就是六十吨， 这个时候，对吧？总费用最少， 最少总费用 为一万零四十元就 ok 了。那所以答的时候你要答这个方案是怎么运的，你不能光说 x 等于零的时候，知道吧？啊，你要说清楚是怎么调运的才行。

八年级家长看过来，孩子学一次函数，图像和性质是不是总栽跟头？画图错性质混，做题没思路，错题盯着半天也摸不着头脑。别愁 这套二零二六年人教八年级下册数学，一次函数专项试卷，七十三页，全是考点精编，每道题都配详细解析，不会的题看解析秒懂，不用等老师 想要随时练拍电子版不懂下单问客服，嫌打印麻烦，拍打印版直接邮寄到家。左下方小黄车赶紧抢，部分地区不包邮，早刷提早提分，一次函数轻松拿下。

要想写题会方法要选对，欢迎收看宋老师的方法课。来看这道题，已知一次，函数 y 等于二， m 加三， x 加 m 减一。 第一问，若该函数的值 y 随自变量 x 的 增大而减小，求 m 的 取值范围。好，这道题我们来解一下。 那它的一般形式是， y 等于 k， x 加 b。 如果如题中所说， y 随 x 增大而减小，则让 k 小于零，即这道题里面的 k 就是 二 m 加三，让二， m 加三小于零，求得 m 小 于负二分之三。 由于这道题跟 b 没有关系，所以 m 减一我们不需要问，所以这道题最终结果是 m 小 于负二分之三。 第二问，若该函数图像不经过第二象限，求 m 的 取值范围。好，我们先画个图， 第二象限在这个部分，如果这个函数不经过第二象限，我们的画法看一下。 也就是说，我们画的所有的图像，这个 k 应该是大于零的，即这道题里面的二 m 加三大于零， 那求得 m 大 于负二分之三。好，这是我们关于 k 的 求解。那想想，如果 b 这一点，或者说 y 等于 k， x 加 b， 我 们都知道它与 y 轴的交点是零。 b 如果 b 大 于零的话，它就会经过外轴的正半轴，而一旦经过外轴的正半轴，这个图像一定就会经过第二象限。你看一下，所以说我们让 b 干嘛 小于等于零，那在这道题里面， m 减一就是 b， 所以 让 m 减一，小于等于零，我们求得 m 小 于等于一。好， 那综合来看， m 最终的取值范围就是小于等于一大于负二分之三，那这道题我们就求出来了。

利用一次函数的性质来求参数的值，是我们八下期末常考的题型，而这道题是这种类型题目的一种进阶版。如果你把这道题弄清楚了，那说明你对一次函数的图像性质以及 k 值、 b 值和它图像之间的关系就非常熟练了。 那么今天来看一下这道题啊，它是一个一次函数， y 点 k 加 b， 给出了 x 的 范围，也给出了 y 对 应的一个范围，要求我们这个 b 的 值， 那按照常常规来讲，我要求这个 b 的 值，它只给这个结式，那相当于说我们要把这个结式求出来，把 b 子给求出来，对吧？那要求这个的话，必须要带入 x 值 y 的 值啊，作为一组一组的带进去，对吧？建立二元方程组，但是这个地方它难就难在哪里呢？ 他给的是范围，并不是给具体的一个说 x 等于多少， y 等于多少，这样子好带入，所以这个地方我们应该怎么切入呢？哎，这个题呢，他难点就在这个地方了啊， 那我们怎么来做呢？首先第一步要根据 x 和 y 的 对应关系，得出他的图像性质啊，那而且呢，但在这个地方呢，他不像我们上一个视频讲的，他这个地方这个趋势啊， k 值已经给到了，说大于零，小于零，这个地方没有， 那没有的话就要注意了，这个 k 就 可能有两种情况啊，一种呢是上坡的趋势， k 大 于零。一种是下坡的趋势， k 小 于零。 那所以这得探讨。第一个呢，就是我们首先要分类啊， k 大 于零的时候啊， k 大 于零的时候呢，我们就看啊，我们要知道它是什么样呢？图像就是上坡，哎，上坡呢？ y 会随着怎么样呢？ x 的 增大而增大啊， y 随 x 增大而增大， 那也就说，当我的 x 等于负三的时候，在这个范围内，我的 y 啊，也会取得这个范围内的最小值。 当我在 x 在 这个范围内取到一这个最大值的时候呢，我的 y 也会在这个范围内取到最大值。所以这个时候我们就得到了一个关系，就是 x 等于负三的时候， y 是 等于 负一的， x 呢，等于一的时候， y 呢是等于八的。好，那有了两组 x y， 我 们就可以求这个啊， b 值了，我们可以建立方程，把它带进去，就是 负三， k 加上 b 等于负一，那 k 加 b 呢等于八，因为这个题目里面只需要求 b 的 值，所以我们直接把 k 给消掉啊。这个第二个式子呢，我们就乘以三啊， 三 k 加上三 b 等于多少呢？三八二十四。第三个式子，然后两式一加一加三，那么就得到了四 b 啊，四 b 等于二十三， b 的 话就等于四分之二三，这是我们的第一个答案 啊，算出来之后呢，我们还得看第二种情况啊，那这时候如果说 k 小 于零的时候，我们知道 k 小 于零的时候，图像是从左往右是下坡的， 下坡呢， y 会随着 x 的 增大反而怎么样呢？变小了啊，反而变小了，那说明它怎么样呢？当我这个 x 取得最小的时候啊，我的 y 就 会取得最大， x 取得最大的时候， y 就 会取得最小啊，就刚好反过来，那所以这个时候 x 等于负三， 那么 y 就 等于多少呢？负一啊，等于八，那 x 等于一的时候呢？ y 就 等于多少呢？等于负一，那么也把它带进去啊，那就是负的三 k 加上 b 等于八，那么 k 加 b 呢？等于 负一，那么解出来啊，这个时候解出来应该等于多少呢？是等于四分之五的啊，所以总的来讲呢，我们总的两种情况啊，就是四分之五或者是四分之二十三啊，所以这个题呢，应该有两个答案。

某学校在计划总费用不超过两千三百元的情况下，租用客车送这么多学生和老师呢，去完成活动，现在要求每辆客车上至少有一名教师，然后载客量以及租金。那第一问到的是共需要租多少辆客车？ 首先这里边体现了一些数据呢，都是不等式关系，什么不超过是吧至少，所以咱们先第一问解决的时候呢，就利用不等式来解决。呃，设共需要租 x 辆客车， 那么首先满足不等式要求就是每辆客车至少一名老师，所以这个客车的总数量呢，肯定是小于等于六的，因为只有六个老师。然后载客量这一块加客车呢，载客量比较高的，四十五乘以它这个总量数，它应该是大于等于总人数的，也就是二百三十四加六是二百四十。 我们通过这个不等式组来解出 x 的 值范围大于等于五六三分之一，小于等于六的，在这里 x 呢肯定是取整数， 所以我们就能够锁定这个 x 呢， x 只能等于六，再打一下就行了，共有六辆啊，主要一个这个不是咱们常规的方程来解决的，是一个不等式来锁定这个整数解的问题。 然后第二个是给出最省钱的租车方案，我们首先要分析有哪些租车方案了，这里还有一个要求就是总费用它是不超过两千三百元的，那这里再重新设计一下是假呢，这个车呢有 m 辆， 那乙对应的就是六减 m 量。好，那我们在这里呢列出它的这个不等式的一个 m 的 距离范围。首先还是载客量，四十五 m 加上三十乘以六减 m， 它应该是大于等于二百四十的， 然后呢，费用四百 m 加上二百八十六减 m， 它是小于等于两千三百的 啊。我们解这个不等式组呢，解出来 m 是 大于等于四，小于等于五又六分之一啊。我一直在这里写的是一个代分数，目标是看出整数。解啊，因为 m 也取整数， 所以 m 可以 取呢，是四或五。然后分析哪一种更省钱呢？我们第一种方法是可以把这个具体的甲四辆，那乙就是两辆，甲是五辆，乙就是一辆，分别带你求出两种租车的费用。 然后比较一下啊，因为我们学了一次函数呢，这个时候我们可以把这个费用设出来，假如 w 圆，我们再结合一个一次函数来分析一下，最后的费用其实是四百 m 加上二百八十六减 m， 这个结果最后换的结果是一百二十 m 加上一六八零。 然后我们要选择最优的最省钱的方案，就先分析这个函数的增减性，一百二十是大于零的，所以 w 随 m 的 增大而增大 这句话非常重要啊。所以当 m 取它的最小值的时候，它的费用是最低的，最小值是等于四的时候， w 是 由最小值而等于二一六零元， 所以给出最优惠的最省钱的注册方案的时候，就是这个时候，我们再把六减四等于二算出来，是吧？这是以车的量数最后写答就行了。 总结一下，应该假四辆，以呢两辆，对吧？两辆最优惠的最省钱的方案就是这样的，然后费用是二一六零元就可以了啊，这是结合了不等式这个取舍的一个分析，也是我们中考挺常考的一类题型了。

这个视频我们来讲一道八下，同学在学一次函数单元一定会碰到的一个难点题型，是一次函数跟实际应用的结合，像这种题型的话呢，百分之九十五的同学思路都是不清晰的，但其实这种题型只要三步核心思路就可以非常轻松的解出来了， 那这个视频花三分钟来带大家梳理这三步核心思路，像以后这类型的实际应用都能够轻松解出来。好，那还有更多一次函数单元的一个重点题型， 我都整理到了这份一三二四的专项练习里面，可以拿去练习巩固好。我们来看一下这个题目特征哈。题目特征的话呢，首先会给出一些信息 啊，通常来说都会有 ab 两款呢，或者加一两 d 啊之类的这种信息哈。然后的话呢，是给出了一些进价跟售价给出表格的信息，并且设出了这个书包的个数是 x， 并且后面一堆东西好。然后最后的话呢，就问 怎么样才能获得最大利润，然后去求最大利润。如果是像运费那些的话呢，就是最低运费，然后去求最低运费。好，那这种的话，其实相当于是一次函数跟实际应用结合中的最值问题，也就是要用一次函数，然后去结合到实际应用去求最值 好。这边来看一下这个核心解析思路哈，其实解析思路非常的简单，就是三步，第一步的话呢，是要先去求自变量，也就是 x 啊，通常是 x 的 一个取值范围， 然后第二步的话去求函数解析式，第三步去根据自量取值范围去求对值就可以。为什么是这样子哈？我们来看到去掉这个实际应用之外，我们来看到一次函数什么时候是有对值的呀？一次函数，比方说哈，如果是这样子，一个 k 大 于零的一个 函数的话，那它是没有最大最小值的，对吧？因为是一条直线吗？然后是没有最大最小值的，所以如果说要取入这个函数的最值的话，其实这个 x 的 话，它就需要有一个取值范围，比方说这个 x， 这个是 x 一， 这个是 x 二， 是这个取值范围是在 x 一 到 x 二之间，那对应的话，也就是图像就是这段， 那什么时候有最值啊？很明显就是这个点嘛，对吧？也就是 x 等于 x 二的时候是有最值的， ok， 所以 为什么需要有这个 x 的 取值范围？就是为了取到直线变成一个线段，这样子才能够去求最值。那同样的，当这个，呃，一次函数它是 k 小 于零的情况下， 它也是一条直线，所以的话呢，也是需要说，哎，这个有一个曲值范围在这里，它才能变成一个线段， 然后才能有最大值和最小值。所以的话呢，套到实际应用里面，那我们需要找到的元素就是第一个是 x 的 曲值范围。曲值范围的话呢，会根据题意会有实际意义跟题目限定两种。什么是实际意义呢？比方说书包，书包它个数 它是要大于等于零的，对吧？这个就实际意义嘛，然后题目限定是什么意思呢？比方说题目中这里的话，能看到哈，如果勾进这两种书包的总费用不超过 一万八千元，也就是小于等于嘛？这里的话就会出现一个不等式， ok， 那 这里的话就会得出，综合去得出 x 的 一个取值范围 好了。第二个呢，求函数的解析式，那也就是根据题意去得出，我们看到哈要获取最大利润，也就是去找这个最大利润跟这个 x 之间的关系嘛。这边题目已经设了是 w， 哈利润是 w， 那 也就是去找 w 跟 x 之间的函数关系， 那然后再在这个取值范围内去求最值就可以了啊，就是这样子的思路。那我们结合到这道题来讲解好。第一步的话呢，先去求这个数量的取值范围，首先实际意义，实际意义的话就是这个书包的个数是 x， 那 这个 a 是 x 的 话， b， 也就是我们看到哈一共是四百个吗？ b 的 话就是四百减 x 吗？ ok， 实际 e 的 话，也就是 s 代等于零，四百减 s 代等于零，对吧？然后再看到题目限定，题目限定的话，也就是刚才说了购进两种书包的总费用不超过一万八，总费用在哪里啊？也就这一项嘛，就进价嘛，对吧？所以的话就是 a 的 费用加上 b 的 费用 小于等于一万八就可以了。所以第三个不等式，也就是四十七 x 加上三十七乘上书包的，呃，那个 b 书包的个数也四百减 x， 然后是小于等于一万八， 那就可以了。好，那这里的话就可以去列出这个不等式组，然后去解出来，那解出来的 x 是 大于等于零，然后是小于等于三百二十。好，第一步就做完了， 就求这个自变量取这个方面吗？第二步是求这个函数解析式，我们看到哈，最后是要求这个利润最大，所以的话呢，是要去找利润跟 x 之间的关系。题目已经设出来了，利润是 w 了，所以的话，也就是要去求 w 跟 x 的 关系嘛， 总利润，总利润也就是 a 的 利润加上 b 的 利润， a 的 利润是什么呢？也就是 a 的 个数乘上它一个的利润就可以了吗？ a 一个的利润，也就是它售价减去进价六十五减四十七，这是 a 一个的利润，再乘上 a 的 个数，也就是乘上 x 好， 然后再加上 b 的 利润， b 一个的利润是五十，减去三十七，然后再乘上 b 的 个数，也就是四百减 x， 好，那这个就是 b 的 利润， a 利润加 b 的 利润就是总利润，然后化简这个函数。解析式，等于五 x 加五千二， 好，那第三步的话，就是根据这个取值范围，然后去呃求这个最值就可以了吗？来，我们看到这个函数，它的图像大概是怎么样的？大概是这样子一个图像，对吧？所以的话呢， 它 k 是 大于零的，所以是一个，呃，就是倾斜向上的这样子一个图像， k 大 于零的情况下，所以是 w 是 随着 x 的 一个增大而增大了，所以我们看到也就是零到三百二十， 是这一段，对吧？那什么时候 w 最大值啊？很明显，这个 w 最大值就是当这 x 等于三百二十的时候吗？ 所以带进去，带进这个解析式里面去，就可以求出 w 最大值六千八百，那就可以了， 好，同学们可以做好笔记，像这种一函数求最值，问题都是这三步。核心解析思路可以点赞，保存，反复学习，那像这些属于课内的重难点内容以及课外的拓展内容，我都整理到了我的系统视频里面，如果说有需要了解和试听，可以在下方留下这三版本。