初中三角函数练习题无人机

今天来讲三角函数方法，一、函数计算已知信息，二三等于六十米，三四等于一百米，角一等于一百三十度。我们从一点向上做一条垂直辅助线得到角 a 等于九十度，角 b 等于一百三十度，减九十度等于四十度， 角 c 等于九十度，减四十度等于五十度。我们将角 abc 所对的边命名为边 abc， 此时我们要运用到正弦定米公式。我们已知边 c 等于二三等于六十米，角 c 等于五十度。 所以 c 除以塞硬， c 就 等于六十除以塞硬五十度。通过计算得知，塞硬五十度约等于零点七六六十除以零点七六，约等于七十八点三米，角 a 等于九十度，塞硬九十度等于一。 a 等于七十八点三，乘以一等于七十八点三米，角 b 等于四十度， 对应四十度约等于零点六四。 b 等于七十八点三，乘以零点六四，约等于五十点三米。已知三四等于一百米。那么三 a 等于二，一等于一百米，减五十点三米等于四十九点七米。此时一到二二百七十度，四十九点七米，二到三三百六十度，六十米， 三到四九十度，一百米，四到五九十度。加外角一百三十度等于二百二十度，七十八点三米。双击声称，航点一一到二二百七十度，一百米，二到三三百六十度，六十米，三到四九十度，一百米，四到五二百二十度，距离还是一百米。 此时航线四、五与航线一二有一个交叉点，将航点一与航点五拉到交叉点的位置即可，但这样会有一定的误差，简单但危险，谨慎使用。想学习更多，欢迎加入我的飞行编队！

三角函数来了，你准备好没有？最近全国无人机地面站考试难度越来越大，三角函数都搬出来了，一月六号内蒙古考场真题，这没数学底子怎么做？没事，底角有两种方案， 第二种方案我们用交叉点，第一种方案我们就按数学的角度去解决它。首先我们来看第一种，先看条件，二到三等于六十米， 三到四一百米，一到二的边长没给角，一为一百三十度，栽就栽在这里了。 一百三十度平常一百二十度，一百三十五度坐惯了，现在一百三十度不会了。来看解题思路，拿到梯形第一件事情做垂直辅助线， 垂直辅助线做下来过后，一百三十度，左边为垂直角，右边就还剩四十度，这里为垂直角，角四就还剩五十度，三角形的腰总和一百八十度，一到二的边长没给，但凡他给了就没那么难了。来看怎么解，二到三为六十米， 是不是等于 x 到一也为六十米？我们来看 x 到一这条边，六十米是哪个角度所对应的？角是五十度所对应的。这个时候我们就要有请三角函数表当中的三阴五十度， 三阴五十度开出来等于零点七六六，已知 x 到一为六十米，要找它的对边这条斜边我们该怎么计算？说 a a 就 等于六十米， 除以三阴五十度，结果我已经算好了，一到四为七十八点 三米，同样的三一五十度扩成四十度，开出来都是这么多啊，也可以借用扩成四十度去算这条边。那么现在我们还需要算一条边，一到二 边长，我们不知道啊，不知道怎么去找，我们就利用三到四，三到四，总长度一百米，我们把 x 到四求出来之后，我们就知道一到二的边长是多少了，那么 x 到四这条边怎么求？ x 到四是四十度所对应的，那么这个时候我们就要借用三英四十度，就不能是扩成四十度了啊，是三英四十度。三英四十度等于多少？零点六四二， 我们用一到四的长边，七十八点三，直接乘以零点六四二，那么 x 到四就为五十点二米， 然后呢，一百米减去五十点二米，就等于一到二的边长。好，现在边长我们给它算完了，剩余的呢？这些条件就很简单了，这些不做过多解读。接着我们来看第二种办法，也就是你们所说的斜修， 我们先把原始图给他画下来，一到二的边长，虽然我不知道是多少米，待会我的原理就是 因为角四这个角度五十度，我们知道外角是一百三十度，我们先把原始图给他画下来，一到二我们稍微给他放长一点，不知道条件我们就给他放长，待会方便他俩交叉。好，一到二，例如我就放个九十米，一百米， 二到三，零度，六十米我知道，三到四，一百米， 九十度方向我知道。好，现在到了这里，那我就顺时针转一百三十度，四到一就为二百二十度。边长竖多长呢？尽量的竖长一点，以方便他俩进行交叉。 好，放手出来过后，他俩是不是交叉了？交叉了过后，在这里把地图放大，放大，再放大就防止他有误差，然后再再再在这里点一个点， 把这个点删掉，最终的一点，把它平移过去，直接解决问题，这就是斜修。但是我个人觉得 咱们能够走数学的方式就走数学的方式，玩这种办法他肯定是会有误差的，就看考官他针不针对了啊，认真检查这种玩法。怎么说呢， 痘印的话你是肯定行不通的，能走数学咱们就走数学。以上呢就是该题的答题方式，下课。

今天给大家带来一道关于三角函数的难题，让我们一起来看看图形。首先我们进入图形还是第一步，把数据全部给他带入进去，但他已经给我们写出来了，一到二等于六十米，三到四等于一百四十米，角二等于角，三等于九十度，角四等于六十度， 所以它的数据已经出来了，我们再去看其他的条件，它又是一个关于夹角的问题，横向为角 h 一 二的一百三十度，夹角朝向图形外侧，所以说我们 h 点大概位置我们要把它找到， 我们 h 点大概位置也是在这里，这个夹角为一百三十度，然后再根据它给的条件，它给的是二点到起飞点为三百一十五度，方向为八十米处，所以我们把这个三角形给连起来， 距离为八十米，所以我们第一眼看上去他并不符合我们之前所有学到的特殊的三角形，所以我们只能用三角函数去解。如果我们用三角函数去算，我们能算出这个角度为三十五点一，三十五点一度，那我们这里的距离是二十六点九米， 我们就把这个图形给做出来了，因为我他给的是我们二到 h 的 横向也就为一百三十五度， 那么 h 到一就直接加一个三十五点一度，所以每 h 到一也就是一个一百七十点一度，距离为二十六点九米， 我们就能把这个图形给做出来了，其余的图形就没有任何难点了，这个是六十度，同样做垂线，它就会分为三六九的三角形，也就没有任何难点， 所以说我们主要就要去找到我们 h 到一的距离跟这个角度，但是这个三角函数是很难算的，我们其实可以用我们的相对坐标编辑器去斜修去拖，我们怎么去拖？我们可以假设我们已知的是一到二为六十米，我们可以把它画出来，我们直接把一点画到二点 是六十米，然后这个假角我们也知道，那我们能找到一到 h 的 横向，我们一到 h 再把它画出来，画的稍微长一点，我们并不知道这段的距离画的长一点之后，然后我们去点这个点去拖，拖到这里为八十米， 航向为一百四十度，我们假设一到二为二百七十度嘛，那我们一到 h 就是 一百四十度，我们只要沿着一百四十度去拖，拖到这条线为八十米，我们也能把这个假角这个三角形给画出来，然后去通过三点去改点，就能把这个图形给做出来了。

大家好，这里是只讲地面站干货的王教，今天带大家来看一下在我们地面站考试中，如果遇到三角函数的考题如何去解，下面直接带大家来看解析。 大家拿到题目第一时间依旧是先做出我们的图形，我这边把边长还有角度关系已经标好了， 直角梯形永远是从短边往长边做垂直的辅助线啊，做出来之后找到我们的特殊三角形，三十六十九十 啊，然后一到我们辅助线的距离，就可以用三四，长度一百四减去一二，长度六十 可以得到八十米，然后对应到我们的特殊三角，三角形里面八十米是三十度角所对的边长，那么我们一四就是他的两倍，一百六一到啊，这条辅助线的长度就是八十乘一点七三二，也就是二三的长度。好，这个图形就画出来了， 下面我们来看下重点三角函数，我们有假角，优先做假角，假角做完之后再去做航线的旋转。好，下面我们直接来看一下，我把图形往上挪一挪， 这边角度关系我已经标好了，还有边长一二，长度目前六十角一一百三十度， 然后 h 到二八十米。好，现在我们怎么做？这是一个 钝角的一个三角形啊，不是直角三角形，所以我们不能用三角函数，需要用到正弦定理，正弦定理可以适用于所有三角形，不局限于这个直角三角形。正弦定理是这样子的 假设啊， abc， 大 的 abc 为角度，度数为多少，小的 abc 是 它们对应的边的边长。正弦定的公式就是，小的 a 除以塞音 a 等于小的 b 除以塞音 b， 等于小的 c 除以塞音 c。 带入到我们已有的条件里面，看一下我们有角一的度数，还有他的对边长度以及一二的长度，然后现在我们差一个他的对角的一个度数 文，直接求角 h， 也就是一二边对角的一个度数，带入到公式里面，八十除以他的对角， 塞以一百三十度，等于六十一二的边长，再除以一二边的对角，也就是角 h。 我 们假设为 x 等于六十除以塞以 x， 然后 分式的等式两边啊，等式两边的分式分子分母交叉相乘，等式依然成立，分解出来就是八十乘三 x 等于六十乘三一百三十度， 然后再把三 x 单独摘出来，就需要两边同时除八十，最终的等式就是三 x 等于六十乘三一百三十度，再除以八十，就可以得到三 x 的 度数。下面带大家来看一下这个计算器怎么使用啊， 直接六十乘一百三。好，完成之后点三角学， 点击三 e 好， 直接点等于就得到了，然后再继续除以八十度哦，除以八十米，得到零点五七四五。 好，这个就是三 x 的 度数，然后用这个度数怎么求到角 h 的 角度为多少呢？直接点三角学，点下这个二 n d， 这个是反三角函数好，然后再点三 x 就可以得到角 h， 度数约等于三十五点零六度好，然后我们已知角 h 和角一， 就可以求角二三角形的内角和一百八十度，减去角 h 和角一，最终角二的度数就为十四点九四。那么我们就可以以二号点为极准点去做 h 点了，用 这个夹角给大家讲一下怎么做，首先找到顶点二号点，然后找一下另外另外一个点位于顶点多少度，现在一号点位于二号点九十度方向， 然后顺加逆减夹角的度数，看一下一号点往 h 点移动，是顺时针移动还是逆时针移动，现在一往 h 走是顺时针走走角二，这个夹角度数十四点九四，也就是用九十去 加十四点九四就可以得到 h 的 位置。一百一十四点九四，以二号点为极准点啊 啊，一百零四点九，直接以二号电为基准点，一百零四点九度方向八十米做 h 点，给大家验证一下啊。 好，现在 h 到二八十米同时满足角 h 一 二等于一百 三十度。好，现在两个条件都满足。好，做完之后，夹角做完之后我们就去做航向的旋转，二到起飞点为三百一十五度方向，直接设置旋转就可以了，二到起飞点三百一十五度， 二点到起飞点三幺五旋转， ok， 最终的图形就是这样的。 好，另外给大家说一下啊，王校这边和全国各地的培训机构都有合作，大家如果想要了解培训相关的业务，可以直接滴滴我可以帮大家拿到最低价 啊。然后不知道解析思路或者说不知道三角函数如何去运用的也可以在评论区留言啊，留言无人机王教就可以了。 这边可以把文档免费发送给大家，文档里面包含了一些地面站的基础解析啊，比如说什么勾股定律，三角函数，正弦定律，余弦定律，还有每个图形它的一个特点以及解析的思路，每一步做什么？ 嗯，好，以及一些特殊条件，比如说什么夹角、经纬度、风向、时钟、空域限制这种题目怎么去做？这里面都有，还有它们配套的例题。好，大家有需要的话可以在评论区留言就行了。

欢迎同学们来到阿特老师数学课堂，我是数学老师，阿特老师正式开始之前呢，还是希望同学们给老师点点赞，点点关注可以吧？好，我们看这道题，这道三角函数的题已经知道呢， 哎， cosine alfa 加上二倍贝特等于六分之五，然后呢，天然的 alfa 加贝特，再乘一个天然贝特等于负四？让我们去求 cosine alfa 等于什么？我们这种题该怎么做呢？同学们，我们这种题该怎么做？我们得先思考一下它给我们的已知条件是什么，是不也就是 cosine alfa 加二贝特，还有一个是天然的 alfa 加 beta， 还有一个单独一个 beta， 对 不对？然后呢，我们就会想，哎，我们思考一下这个 alfa 加二 beta 和 alfa 加 beta 和 beta 之间是什么关系来，我们是不是可以得到这个 alfa 加上这个二 beta， 是 不是恰好等于 alfa 加上 beta， 再加上一个 beta 呀？ 我这么说没问题吧，是不是？好，那我就先写一下啊，那我能不能先把它拆开，行不行？我不知道，但我可以先试一下，对不对？这是我跟同学们说的一个做题思路，只要是有思路，我们就先试着写一下，没准写着写着就出来了。好，你看这个式，左右写成 cosine alfa 加上一个 beta， 再加上一个 beta， 可以吗？同学们，对不对？然后呢，哎，这看着一个整体，这看着一个整体，它是不是变成 coco 减，再再也就是 cosine alfa 加 beta， 然后呢，再乘一个 cosine beta 减去 sine alfa 加 beta， 再乘一个 sine beta， 我这么说没问题吧，对不对？那我能不能应用到天然的阿尔法加贝特，再乘一个天然贝特，可以吧？可以啊，好，这个式子，这个式子， 我能不能给它提出一个 cosin 阿尔法？嗯？加贝特再乘一个 cosin 贝特来？可以啊，是不是也就是 cosin 阿尔法加上贝特再乘一个 cosin 贝特，是不是好写个括号，也就是一减去 sine alfa 加贝特是不是好写个括号，也就是一减去 sine alfa 加贝特，是不是好写个括号，也减去 sine alfa 加贝特 乘以一个 sine beta 好， 然后再除以一个 cosine alpha 加 beta， 然后呢？再乘以一个 cosine beta 其中这个式子看这部分 sine 除以 cosine 的 alpha 加 beta， 这也是 sine 除以 cosine 是 不是也是 tintine 的 啊？ beta， 对 不对？它是不是又变成了 cosine alfa 加 beta 乘一个 cosine beta， 然后呢？括号也就是一减去 tangent alfa 加 beta 乘一个 tangent beta， 我 这么说没问题吧？而这个式子，它的结构是什么呀？这个式子是不是也就是 cosine alfa 加 beta 加上一个 beta， 它就等于六分之五它等于六分之五。 我正说没错吧，而这个式等于多少啊？天震的 alfa 加 b 乘以天震 b， 它是不是负四啊，对不对？所以说，哎，这不，这是六分之五。所以说，是不是可以得到六分之五是不是等于 cosine alfa 加 b 再乘以个 cosine b 一 减去负四，一加四，哎，是不是相当于乘以五啊？ 我这么说没问题吧？来，两边同时除以五，我是不是也可以得到 cosine alpha 加 beta 再乘一个 cosine beta 是 不是又等于六分之一？欸？得到这个式子有问题吗？ 我们得到这个式子有问题吗？同学们，没有问题吧？好，那就想。欸，那我接下来该怎么做呢？同学们，靠，是不是让我们去求这个 cosine alpha 啊？这个 cosine alpha 能不能由这个 alpha 和 beta 结合一下啊？ cosine alfa 它是不是也就是 cosine 看好了啊？ alfa 加上 beta 再减去一个 beta 呀？ 是不是还是 coco 可以 写加赛赛？它是不是就可以写成 cosine alfa 加 beta， 然后呢？称一个 cosine beta， 然后再加上一个什么呀？ sine alfa 加 beta， 再称一个 sine beta 吧， 是不是？然后我提出一个 cosine alfa 乘一个 cosine beta 来？ cosine alfa 加 beta 乘一个 cosine beta， 它是有变成了 cosine alfa 加 beta 乘一个 cosine beta。 好， 括号一加上 sine alfa 加 beta 乘一个 sine beta 除以一个 cos 阿拉巴加贝特乘以一个 cos 贝特，是不是来塞除以扣 t 塞除以扣是不是 t？ 它是不是又变成了 cos 阿拉巴加贝特乘以一个 cos 贝特，对不对？里面什么呀？好，这个式子是不是有天震特？阿拉巴加贝特乘以一个天震贝特呀？它是不是也就是一加上负四，是不是一减去四啊？ 对，同学们，好。而前面这个 cosine alpha 加 beta， cosine beta 也算着是六分之一，它是不是又变成六分之一乘以一个一减四负三，是不是又等于负的二分之一啊？而这个式子是不是就是 cosine alpha？ 所以 说 cosine alpha 是 不是等于负的二分之一啊？可以吧？同学们，这就是我们这道题啊，这是这道题，这是这道题。

欢迎同学们来到阿特老师的数学课堂，我是数学老师，阿特老师正式开始之前呢，还是希望同学们给老师点点赞，点点关注可以吧？好，我们看这道题啊。已知函数 f s 等于 s， 三次方减去 s 平方乘以一个 sine 派 x， 再加四分之派， 它的零点分别是 x 一， x 二 x n 一 共有多少个？我不知道啊，它指的是什么？就是把数的零点乘以表出来，有可能是 s 一 到 s 三，有可能只有 s 一， 有可能是 s 一 s 二到 s， 问，就是它这些根的平方和是什么？这道题怎么做？ 零点说白了是不是就是 f x 等于零啊？我们先把这个 f x 等于 x 的 一个平方乘以一个 sine x， 加上四分之 x 等于零，是不是？然后这个式子是不是可以提出一个 x 来？提出一个 x 来，是不是也就是可以得到 s 平方减去 x 倍的 sine 派 x， 然后呢，再加上一个四分之一，括起来是不等于零，对不对？第一种情况 是不是有外面这个 x 是 不是等于零啊？这是第一个根，对不对？相当于 x 一 已经搞定了，就是零。我们再去看有没有 s 二 s 三呢？是不是又可以让内层等于零啊？哎。第二种情况，也就是让 s 平方减去一个 x 倍的 sine sine x， 然后呢，再加上一个四分之一，是不是又等于零？ 可以吧？然后这个式子两侧是不是可以同时除以 x 来？它是不是变成了 x？ 减去一个 sin 派 x， 再加上一个四 x 分 之一是不是等于零？把这个 sin 派 x 放在等号的右边，是不是又变成了 x 加上四 x 分 之一，是不是等于一个 sin 派 x？ 我这么说没问题吧？同学们，好划一个弧线，这个式子是不是 x 加上四 x 分 之一啊？对不对？我就可以得到 x 加上四 x 分 之一，它是不是大于等于二倍的根号下， x 乘一个四 x 分 之一， x 约了四分之一，开根号二分之一，它是不是也就是二乘以二分之一，是不是等于一啊？对不对？同学们，是不是好，我们就可以知道啊？就根据中项不等式， 我们就可以得到，当 x 大 于零的时候，这个 x， 然后呢？加上四 x 分 之一，它是不是也就是大于等于一？然后呢？当且仅当 x 等于四 x 分 之一的时候，是不是成立？ 是不是也就变成了四 x 平方是不等于一？对不对？都说 x 大 于零了，所以说最终可以得到，是不是这个可以得到 x 是 不是等于二分之一啊？对，把四移过来， x 平方等于四分之一，所以说 x 是 不是等于二分之一，对吧？然后另外， 当 x 小 于零的时候，是不是可以得到 x 加上四 x 分 之一，是不是就是小于等于负一啊？也是，在 x 等于四 x 分 之一的时候，是不是成立， 对吧？这样的话，是不是可以得到四 s 的 平方等于可以得到 x， 因为小零是不是只能等于负的二分之一啊？ 我这么说没问题吧，对不对？好，我们看啊，为什么我要分别是一的情况，因为我们知道这个 sine 派 x 它最大是不是就是一，是不是？而大于零的时候，是不是才有可能和 sine 派 x 相等？ 然后上一撇是最小值是负一来小于零的时候，因为肯定都比负一小，所以说只有在 s 等于负二分之一时候，是不是恰好等于负一啊， 对不对？所以说我们就看一下，当 s 等于二分之一时，然后我们看这个等号的左边就变成了二分之一，加上一个四乘二分之一分之一，也就二分之一加二分之一，是不是得一， 对不对？然后右边呢？是不是就是 sin pi 乘以二分之一， sin 二分之 pi， 哎，等于一，哎，你发现这两个式子是不是相等？所以说 s 等于二分之一， 我们看一下 s 等于二分之一，符合对号。好，我们再看第二种情况，当 x 等于负的二分之一时，你看这个 s 是 不是有负的二分之一啊，对不对？四乘以负二分之一，也就是负的二分之一，它是不是得负一啊， 对不对？而把这个 s 等于负二分之一代入等号又变中，是不是又变成了 sin 负的二分之派， 是不是也是负一啊？哎，左右两侧是不是相等？所以说这个二分之一和负二分之一是不是也是他的两根？一共就这三种情况吧，对不对？所以说第二根就是二分之一，第三个根是负的二分之一，他们的平方和，也就是零的平方，加上二分之一的平方就是四分之一，再加上负的二分之一的平方，哎，再加四分之一， 四分之加四分之一，是不是四分之二是二分之一，所以说他们的平方和是二分之一。选二 b， 可以 吧？好，同学们有什么问题可以提问呢？行吧，直接在评论区提问就行。这就是这道题，这道题。

这两天网上炒的比较火热的一道题，我先给你们说，这不是真题，不要被去乱带节奏。那天条件真正给的是角 h 二一的话，那么起飞点就位于二点， 角 h 一 二的话，起飞点就位于一点，如果他这样反着给的话，当中那个隐藏的角度我们是不知道的，不知道咱们就只有去开三角函数， 网上说的用斜修放两个点出来手托三角函数开出来是有小数点的，你只要托的够准，我算你本事大。这个题比较比较喜欢，已经被我纳入到咱们鹰眼奥数地面站题目当中了，既然喜欢上了，来看做题思路。首先看图形条件， 二到三等于一到二六十五米，三到四一百三十米，角是四十五度，六十五，六十五，一百三十米，然后四十五度 拿到梯形做垂线，九十度，三角形内角总和一百八十度，那么这里还剩四十五度，一个等腰直角三角形边长，我们来看一下，三到二等于 x 到一为六十五米，好，等腰相等，那么这里也是六十五米。 接着就是长边等腰直角三角形短边算长边，乘以根号二一点四一四，那么一到四就为大约九十一米左右啊。 好，图形的边长角度我们已确认了，接着来嘛，准备开始烧脑。 起飞点位于一点 s w 方向八十米，我们来结合下边的条件，一块来做角 h 二一等于一百三十度，这个角一百三十度有个一百三十度，然后起飞点还位于一点 s w 方向八十米，那么大致 h 点的位置就在这里。 好，这里用虚线把它连接起来构建模拟三角形，待会方便我们计算。然后一到 h 为八十米， 然后呢？这个角，这个角我们不知道，但是现在我们已知两条边长，一到二这条边我们知道六十五米，然后一到 h 八十米，现在少两个角度，还少条边来看怎么计算。这个时候 你无规律可找，我们就只有用到正弦定力。 首先我们看正弦定的公式，例如 三音 a 比大 a， 等于 三音 b 比上大 b， 为什么这样的公式啊？这里我就不解释了，去翻你的初中数学课本。好，接着我们来看 一到 h 这条边，我们知道，我们就把它设为大 a， 然后小 a 就是 三角形当中的角度，那我们就把它设在 角二，小 a 对 比大 a， 因为一百三十度对比八十米。好。接着我们来看 一到二的边长，我们知道六十五米，六十五米是哪个角所对应的，是这个角所对应的，那我们就把一到二边长设为大 b， 把这个小角，把这个角我们设为小 b。 好， 我们就得出什么 三一，一百三十度对比八十米，然后就等于 三阴小臂对比六十五米。 好，我们来看三阴一百三十度已经超过了三阴九十度，那我们就直接轮回一百八十度，减去三阴一百三十度，那么就等于三阴五十度。 然后我们继续往上看三英五十度等于多少？零点七六六，然后对比八十米，这边 三英币对比六十五米。哦，刚刚这里对，没问题啊，来三英六十度对比六十五米。接着待会计算过程，我直接丢在评论区，最终我们求的就是这个三英币 三 a b， 最终等出来是零点六二二，零点六二二，你们直接去对找三角函数表当中自己去找零点六二二所对应的角度是多少，是三十八点五度， 那么这个角就是这个对比，对比到这条边，这个角三十八点五度， 三角形内角总和一百八十度，去掉一百三十度，再去掉三十八点五度，那么这个角就只能是多少十一点五度。 最终我们来看 h 点位于一点 s w 方向，一到 h 也就是二百二十五度，然后顺时针加一百一十一点五度，就等于一到二的横向二百二十五，加上十一点五，一到二的横向就为 二百三十六点五度，这就是它的横向条件。以上呢，就是这个题的解析思路， 不要去骚扰。真正如果考场出到这种题，你就直接举双手投降，没数学基础，丢下四百六直接走人，这种题拿来拓展一下思维就行了，下课。

假如有一天地面站与毛反给大家两次机会，你们会觉得怎么样呢？不可能， 绝对不可能，今天给大家带来的是五月二十三号新疆的题目啊，最近的题型出现的比较频繁的是空余，如果说大家对自己某一项题型有短板的时候，一定要去多加的练习，防止在考试中 出现的啊。短板的题目题目是一个等腰直角三角形，它的边长是三十米，现在我们来画出这个图形，首先打开我们的定位站一点随便点，因为我们知道它是一个边长为三十米的等腰直角三角形，所以我们可以先画出一个正方形，然后 用利用删点法，由于图形的是逆时针走向，所以啊，我们是负九十度三十米，然后我们删除的三点，点击三点， 然后删除当前点啊，这样子我们的图形就已经画出来了，画出来之后我们看条件，我们的条件是图形二点的精准度，这一个我们一定要去仔细的看清楚，到时候平移的时候不能平移错。 然后我们看起飞点条件，我们的起飞点位置是在一二边的延长线上，但不与二一二边重叠，然后呢，起飞点到三点的正东面啊，旋转条件他是直接给我们的，二点到三点为 九十度。现在我们来分析个起飞点的位置，因为条件说起飞点是在一二边的延长线上啊，并且不与一二边重叠，它就只可能是在左侧，并且 一三垂直于 h 到二这条线上，所以 h 一 三也是九十度啊，并且 三到 h 是 五十米，这很明显这是一个特殊的三角形，边长为三四五的倍数啊，直角三角形是三七度五十三度，这个三角形，如果说学员们不知道这个是一个特殊三角形的话，那就只能用勾股定底去啊去减，所以一到 h 他 就是四十米， 通过图形可知道我们是二点到一点的横向等于一点到 h 点的横向， 这样子我们的起飞点他这个位置啊以及横向就已经出来了。首先我们先对图进行旋转，因为是二点到三为九十度，通过旋转后知道我们二点到一点的横向为四十五度，所以一点到 h 点也是四十五度， 距离为八十米，我们的记准点选择一点，距离选择四十米， 角度选择四十五度，然后确定这样子我们的图形就已经画出来了，然后去修改我们的这个高度啊，速度啊，并且平移的时候啊，一定要记住是我们的图形的二点。

今天给大家带来一道特别有意思的三角函数题，让我们一起进入图形。首先我们进入图形，同样第一步把他的所有数据给他观察一遍，二三边长为一百二十米，我们把他数据给他带入进去，三四边长为一百八十米， 一到三等于一到四，所以马上就想起来把这里连接起来，一到三刚好等于一到四，然后再去看横向， h 点位于三到四的行线上，且 h 到一等于 h 到四，所以我们 h 点大概应该是在这个位置。 然后再去看横向，它给的是我们的图形的横向，也是我们图形里面二到三的横向。等一下我们再来讲这个横向，我们先把图形的数据给它算出来，这个题难就难在它的数据其实并没有那么好算。 然后再去观察它的，我们首先要观察是一到三等于一到四，首先我们想的是找找角四的角度，找角四的角度同样是做垂线， 且它一到三等于一到四，所以说这条垂线其实是一条中垂线，所以说这边这个三角形一三 x 这个三角形，它是全等于一 x 四这个三角形的，所以我们的角四其实等于角三，所以我们的 三到 x 等于 x 到四，所以我们 x 到四的距离其实出来了， h 到四的距离是九十米， 然后我们再去看我们二到三的距离是一百二十米，就是我们这条垂线的距离是一百二十米，所以说我们马上去观察这个三角形，九十米的一百二十米，会马上去想到我们那个三四五的三角形，也就是三 是勾，三五是选五的这个三角形，所以我们四到一的长度也就出来了，也就是一百五十米，那我们角四的长角四的度数也就出来了，等于五十三度， 这个角等于三十七度，所以说我们三一到四这条边已经找出来，然后再去看 h 点这个条件， h 到四等于 h 到一，所以它又会分成一个三角形， 它又会分成了一个等腰三角形，也就是我们的 h 四一， 我们的 h 到一是等于我们的 h 到四的，所以说这个是一个等腰三角形，且我们四到一的距离又求出来为一百五十米，角四也求出来为五十三度，所以这里为五十三度， 那这里就是七十四度。我们根据三角函数去算，我们能算出 h 到一的距离也就等于一百二十四点八米， 所以我们 h 到一的距离也就是一百二十四点八米，这个假角也就是为五十三度。啊，七十四度，说错了，所以我们就能把假角跟距离求出来，我们就能去求出我们 h 到一的航向，我们再去根据我们第六个条件， 风向为西南风，首先我们把风向给斜跨出来， 西南风向也是从西北往东北吹的风，二到三为逆向来风，说明我们二到三的横向，也就是我们的一个 sw， 也就是我们的西南，所以我们二到三也就为二百二十五度。 我们再把这个二百二十五度带入到图形去推，就能推出所有的横向， h 到 e 的 横向也能推出来，图形的横向也能推出来，数据也全部出来了，那么这个图形就完成了。 接下来呢，就是我们去改我们的条件返航经纬度，只要把它带入进去我们就能完成这个图形，难就难在我们第一眼其实并不能去发现我们的 h 跟我们图形有什么关系，但是他并没有给我们 h 到任何点的横向，我们要用图形的横向去推出我们这个里面的三角形的关系，才能把这个图形给做出来。

大家好，我是彭教，前面我们用了一个视频教大家如何去理解三角函数中的正弦、余弦和正切。那么今现在我们用具体的一个案例 给大家再重新捋一下具体是如何应用的。首先我们看条件，一二和一四都等于四百米，角三等于七十度，我们从四往下做垂线，四五垂直于二三，那么左边是一个正方形，右边是一个 非特殊的直角三角形。已知我们的角三等于七十度，他所对应的这个对边等于四百米。前面我们说了，已知对边和对角可以通过正弦三七十度 去求出我们的三到四的这个长度，也就是说三七十度，他是正弦 比上斜边啊，或者是说摊成了七十度等于对边四百除以三到五的边长，可以求出三到五的长度。好，接下来我们教大家如何用电脑计算器来算出我们的正弦 值和余弦正切值。那么首先打开电脑计算器，显示的是标准计算器，点击左上角这个，打开导航，然后点击科学计算器， 确保是在第一之一格式下进行计算。那么三七十度正弦值等于对边比斜边，那么四百比斜边，所以斜边的长度等于四百除以三七十度。 首先我们计算三七十度等于多少？七十点左上角这个三角角，点击三，这个就是等于零点九三九七，对吧？然后用四百出除四百除以零点 九三九七等于四百二十五点六七米。 然后碳七十度等于四百除以对边比上零边，所以零边等于四百除以碳七十度，碳七十度。同样的先输七十三角形碳等于二点七四七， 那么就是四百除以二点七，四七除以二点七，四七等于一百四十五点六， 对吧？所以三到五就是一百四十五点六，那么所以二到三的边长是不是就等于五百四十五点六米，对吧？然后三到四是不是就等于四百二十五点六七米？好，一到二一百八十度， 然后除以四百 二三九十，然后五百四十五点六三到四，这个长度可以不用看，其实算了这个长度，这一到四的长度 看一下，确认一下是不是这个四到三到四是不是就等于四百二十五点一，是吧？好，然后四再做回来，是不是它条件是要去闭合嘛？所以这个地方四料做五点一，一点四，五点 好缩回来了，缩回来以后我们再看一下条件，横向是二点到一点为 s 一， 我们先旋转图形，点击长点规划，二点到一点是 s 一， 一百三十 五，然后直角点长点垂直，直角点位于二点，直角点相对于二点北偏东六十度，距离三百八， 起飞点位于二点水平中六十度，然后三百八十度斜线高度一百米，起飞点高度没有外压线，默认高度一百米， 然后水平水二垂三垂三垂 二点停留五秒，静止于斜转弯，斜转弯二点三度来就行了，二点停留五秒， 然后闭合返航。给我们再点一下，一到二，一到四四百米，对吧？这基础条件一到二，一到四等于四百米， 然后我们前面把这个角度长度都看出来， ok， 匹配点位于二点的北平中，匹配点位于二点的北平中，这个数， 先把一点把它删掉，这个直接就是北偏东六十度 h 点，相当于一点六十度，刚好是差一百八十度。好，然后长线高度一百米， 走一百米，然后水平速度二，垂直速度三，然后二点一点转弯，停两秒，停五秒，对吧？然后闭合，闭合完成后闭合并反方，二到一好看，二到一 再反方， ok， 全部做完了， 接就接，你学会了吗？

大家好，我是彭教，今天给大家用学习的方式再详细讲解一下湖南临沂这道题型。 首先我们看一下二到三为七十五米，三到四为一百四十米角，四为四十五度，那么 从一点做垂线下来，这条垂线也等于七十五米，右边是一个等腰直角三角形，所以三四的右边为七十五米，左边为六十五米，所对应的一二的这条平行线也为六十五米。那么我们看 h 点的条件， h 点位于一点的 n w 方向，这个方向就是实际的一个图形横向。在图形里面我们只知道 一和 h 的 横向是远远不够的，还需要一和二的一个横向，或者是图形的某一点的横向才知道怎么样旋转图形，那么现在欠缺这一点，所以这个条件的话往后 再说，那么距离的话是八十，角度是 h 二一的角度是一百三十度，假角在图形外侧，所以我们现在先要利用原有的图形的一个方位来确定 h 点的一个大概位置。 我们知道未旋转之前，二到一为九十度， h 二一为一百三十度，那么所以 a 二到 h 就 为二百二十度。我们只需要做一条辅助线，在二百二十度的这个 角度上面，然后做一个点拨动，这个点在二百二十度的这个线上面打开航线的一个自动闭合，那么我们观察这个点距离我们的这个一点是不是为八十米，那么就知道我们这个 h 点的一个具体位置了。 好的，我们以领克地面站为例，首先我们把图形做出来以后，最后一点为一点上面的五号点， 由于我们需要以二点为基准做二百二十度方向的一条直线，那么首先要做六号点，以二点为基准，做六号点，插入序号六点零米， 然后以六点基础上面做二百二十度方向的八十米，随便都可以，因为这个长度它的三角形最长的斜边才八十米，我选个最长的长度或者是几十米都可以。 再打开我们的自动闭合观察，七号点到一号点的这个距离等于八十米即可。那么如果我们调整这个距离的时候呢，它的这个 角度六七的角度也会跟着变化，这样子改也行，稍微要求要高一点，我以六七这条线以六点为基准点，对吧？插入需要八，然后方位角同样的距离，哎，缩短一点，搞个四十对吧？然后再去把它拉大一点， 我把八去挪，这样子的话，我可以并着这条六七的这条二百二十度的线，然后再看这个距离是不是等于八十米，差不多，哎，那就可以了， 哎，看一下是不是可以了，可以了的话我把七号点把它删掉， 删掉以后一看，哎，这个地方还差一点点，我们往外面挪一点点， 二百二十度，这边距离又少了一点了，再往后挪一点，好，可以了，二百二十度，对吧？然后七到一的距离为八十， 然后我们把七号点和起飞点通过航点设置点一下，起飞点距离七点零度零米， ok， 再把七号点把它删掉， 六号点也要记得删掉，删除以后我们的 h 点就确定好。 最后我们把航点规划工具里面的旋转工具打开一点到起飞点三百一十五度旋转所得的图形就是我们最终的这个图形了， 那么我们的华科尔和灵动定位站来说，它除了利用我们上述的条件，还可以通过覆盖的方式将七点进行平移，精准点选择六号点， 方位角是一样的，那么距离可以依次递减来进行推测。八十米多了，四十米还多，那么继续减半，二十、 二十的又少了二十五，二十三，二十三的还少了，还多了二十二、二十一，再减一点，二十点八， 这个时候我们的七号点就已经出来了，角度是二百二十度，距离是八十米，此时我们只需要基于七点距离选择零米覆盖起飞点， 此时起飞点就落到七点来了，把七号点删掉，六号点也记得把它删掉， 此时这个 h 点就确定好，然后再进行旋转， 一到起飞点为三百一十五度两转弯 a， 这个图形就做完了。

此的确是有点难度啊，估计百分之九十的人会挂，不信你来试试来。大家好，我是酷吧鸡蛋，我们今天继续做挑战十一题来看题目。条件一，一五等于一，二等于五十米，四五等于三十五点三五米， 二三等于一百米。加条件二，角一等于角二等于角四等于九十度。条件三， h 点在一点的九十五度方向，距离九十米。条件四，一到五的横向一百三十五度。 条件五，高度三十米，转向速度五米，每秒停留两秒。大家可以把答案发在评论区，我们一起来讨论啊！答案的解析呢，我们会放在下期视频，关注我不迷路，我们下期见！

好，今天咱们来讲一道三角函数的题，也是有同学问的，我们看题，他说是在地面上 e 处水平放置了一个平面镜，也就是说 e 这个点，它相当于找一个平面镜， 呃，站在 d 处时，眼睛 c 恰好能在镜子中看到礼堂顶部 a， 啊，这是一个里塘，他想测量里塘的高度啊，呃，且点 b、 e 正好在同一水平线上，此时测得里塘顶部 a 的 阳角为阿尔法， 呃，测量 c、 d 及 d， e 的 长，阿尔法是五十一度， c， d 是 一点六， d， e 是 一啊，我们标一下， c， d 是 一点六， 第一是一问 ab 的 长，然后呢，给了一些三角函数的数据， 就这种类型的题，那我们来看这个题怎么做啊？首先呢，目前来讲，这个阿尔法目前是用不了的，对吧？因为这儿好像它什么什么边都没有，是吧？然后呢，我们给它延长之后， 呃，底下肯定还是一点六，上头呢？嗯，不知道是吧？不过我们只要把上头这给求出来，那这个事就搞定了。那么想求这个边啊，标个字母吧， 这个是 f， 嗯嗯，这一个一点六，这一个一，那说这个怎么用啊？这个 我们应该就得利用这个平面镜，因为 e 他 这也是放了一个镜子啊。那么我们物理学过，就是那个光的反射嘛，中间这条线应该是法线，是不是 中间这条线是法线，然后呢，就是反射角等于入射角，对不对啊？那么如果这样的话，嗯，这边这个角他肯定也等于这边这个角，那么如果我这我做一条垂线啊， 比如说这是 g 吧，那么这样的话，这两个三角形，它是不是就是全等三角形啊， 因为它角的话肯定是勾的边的话，这条边肯定等于这条边，因为它这是水平的线吗？是吧？这是垂线啊，这么一个意思，那如果这样的话，这个也是一点六，这个也是一对吧？嗯， 这个也给他标个字母吧。 h 啊，继续怎么做？嗯，这有个想法啊，就是说这个大三角形 和这个小三角形，它们肯定是相似的关系，对不对？它俩是相似三角形嘛，因为你这是平行线，对吧？啊，那么如果这样的话啊，我们这个 e g 跟 g h 它相当于是一比一点六， 那么这个 e b 跟 ab 他 是不是也是一比一点六啊？对吧？相似线段成比例嘛。所以这样的话啊，我就设这个 e b 是 x， e b 是 x， 然后呢？ ab 呢？就是一点六 x， 因为是一个一点一比一点六的比啊，如果这样的话， af， af 是 不是就是这个大的一点六 x 减掉这个小的减掉这个一点六，是吧？那 af 我 都有了啊，就是一点六 x 减一点六，那么这样的话，我就跟这个三角形 就搭上边了，因为这个三角形这不是有一个阿尔法吗？这个阿尔法我们有它的三角函数值可以用，对吧？呃，那么 cf 啊， cf 因为它是等于 b d 的 bd 呢，就是 x 加这边这个一对吧，注意， e b 是 x 啊，然后这个是一嘛，所以 c f 我 也有了， c f 就是 x 加一啊，这样的话就好办了， 我们这个阿尔法这个角啊，对边我也有了，这个邻边我也有了， 那我用它的哪个三角函数呢？是不是应该用它这个正切啊？因为正切不就是对边比邻边吗？所以我这样就可以用它这个正切了啊，那么我们写一下啊，那就是这个贪婪，他五十一度， 那个一点二是吧？约等于一点二，然后等于。呃，注意啊，是等于它的对边比邻边，对吧？对边就是 af 嘛， af 邻边就是 c f， 对 边是这个一点六 x 减一点六啊， 邻边是 x 加一，那我们就来解一下这个方程啊，那就是一点二等于 一点六， x 减一点六 x 加一，然后交叉相乘一下，就是一点二 x 加一点二等于一点六 x 减一点六。一项负的零点四， x 等于负的 二点八， x 等于七。哎，这个数挺好的，是吧，说明应该是算对了啊，那么 x 等于七，嗯， 我们不是要求这个礼堂的高吗？也就是 ab， 那 么 ab 是 一点六 x， 我 们就用一点六乘七就可以了，等于十一点二啊，这个就是答案十一点二 说保留什么几位了吗？啊？保留一位小数，我们这个正好是算到一位小数啊。好，嗯，这写个单位吧，米是吧。嗯， 这一问就是这个方案二啊。方案二那个，那个同学问的时候没截第二问啊，但是我也讲一下啊，这个方案二是这么一个意思，就是说这些角他也不给你多少度了，他就给你字母啊，然后呢，他测量了一个 b d， 当然 b d 也没告诉你是几啊，就光测量了啊，那 b d 我 就设它是 x 吧。当然第二问它可能告诉你 b d 是 哪个字母啊，然后还是问你 ab 啊，这个其实比较简单，就是可能稍微抽象一点，因为它没有数字，我们首先这给他这样一下，延长一下啊， 那么 ab 还是被分成两部分了，那一部分是底下这部分，底下这部分，当然了，这条边是不是它也是 x， 这条边也是 x， 那 么我们就可以把底下这部分表示出来。 呃，底下这部分，它相当于是这个角的对边这个呢，是邻边，那么对边邻边那是不是还是用正切啊？用那个贪占它吗？那这还是给他标一个点吧。这个是 e 吧，我们就可以这么写，就是这个贪占它 嘎嘛，这个等于对边比邻边嘛，等于 b e 比上这个 c e， b e 是 我们要求的啊。 c e 呢，就是那个字母，是那个字母 x， 那 么 b e 它就等于这个 tangent 伽 玛乘以 x， 就 这么一个意思是吧？啊，那么这个 b e 我 就写完了啊， a e 呢，是不是也可以这么写？ a e 就上头这个对吧？ a e 它就是跟这个贝特角是对应的，跟它对应的话，那 a e 还是正切呗，因为它是对边嗲，这个是邻边，那还是那么写，就是按正它 贝特等于 a e 比上这个比上 x， 我 就直接写 x 了啊。所以 a e 就 等于贪占它，被它乘以 x， 然后 a e 加 b e 不 就是 ab 了吗？那我就把这个和这个是不是加起来，加起来的话其实应该这么写好一点是吧？就是贪占它贝特加上这个贪占它，干嘛 乘以 x 这么写啊。然后啊，还有一道题也是有同学问的啊，但是这道题啊，我这想了半天， 呃，其实能做出来，但是呢，如果再讲一遍的话，就太复杂了。呃，我感觉我可能做的 不对啊，就是不是用最简单的方法做的，那么这道题我就放在评论区了。呃，因为上一次有一道题就是评论区有同学他们就能用更简单的方法做出来，所以这个我也看看有没有同学能用更简单的方法做出来啊？那当然了， 那个不能用高中的知识啊，你比如说什么鱼线定律那些，你要让我用那个，那我也会做啊。那行，那这个咱们就说到这啊。

图形就画好了，这里肯定有同学说，能不能不用三角函数把这个图形画出来呢？现在我就要给大家再讲一个邪修的办法，牛逼！大家好，我是言笑。 四月七日江苏零二考点考的这道真题通过率又非常低，最主要的原因这道题又涉及到三角函数，许多同学啊一看到三角函数就犯晕， 就觉得做不出来。以前三角函数的题出的非常少，但是没想到这次江苏零二又出了这种题型。今天主要讲一下这道题的两种解法，我们看一下题目的条件， 其中最主要的就是这里涉及到航线规划五步法的第一步，画出航线需要使用多少条件。 我们把这个条件画在图形上，对应的就是我们知道两个边一二边一四边四百米，然后角一角，二是直角，角三是七十度，然后就没有其他条件了。 很多同学在这里看到这个图形就犯晕了，那我又不知道三四的长度，又不知道二三的长度，怎么做这个题呢？这里我们要么就是算出来三四的长度， 要么就是算出来二三的长度。我之前讲过做梯形就是把它分解为一个方形与一个三角形，所以我们做一个辅助线， 做好辅助线之后，我们可以看出来这个辅助线的长度就是四百，然后我们可以用正弦定你 这条斜边，其实就是四百除以三七十。然后我们可以利用计算器来计算七十三角函数，选择三就可以得出来是零点九三九七四位数就好了， 然后再用四百除以零点九三九七，就可以得到它的长度是四百二十五点六七，我们把它填上去，这样我们的条件就充分了，就可以开始作图了。 毛线规划五步法，第一步做图，我们先把这个图形画出来，一百八十度四百米，然后因为三点我们不知道条件，所以我们要先做四点，利用坐标一， 方位角九十度四百米。做好四点之后，我们再做三四的边，三四的边朝着下面，因为角三是七十度，所以这个三角形的上角是二十度，所以三四边的方位角其实就是一百八十度，减去二十度 一百六十度四二五点六七，点击添加，然后我们把三四边，然后我们把三四行点的顺序兑换一下，最后做一个闭合点，图形就画好了。这里肯定有同学说，能不能不用三角函数 把这个图形画出来呢？现在我就要给大家再讲一个斜修的办法。我们重新画图，依然是先画出一号点，然后 二号点一百八十度四百米，然后三号点角度是九十度，但是距离我们不知道，我们直接选六百长一点，这个你可以再长一千米，也没有关系啊，但是尽量长一些， 然后利用相对坐标编辑器坐标一，然后方位角九十度四百米，做出四号点，做出四号点之后，然后我们再用四号点去推原来三号点的位置，相对的方位是一百六十度， 然后距离我们选长一些，也选六百米，然后插入在四号点后面，这条线才是我们三四边所在的线，然后我们拉大，把它尽量拉到最大，然后在他们的交接处双击六号点， 这个六号点就是我们三号点需要在的位置，然后利用相对坐标编辑器，用六号点相对距离零米把三号点覆盖过去，然后我们删除多余的横点， 三号点移过来之后，我们怎么知道自己做的对不对呢？我们可以看这两个角度，一个九十度，一个三百四十度，角度对的话就没有问题。 再做一个闭合图形就画好了，我们再根据条件进行旋转，然后定位 h 点， 正确的图形就是这个样子。最后输入各个参数，这道题就完成了。点关注不迷路。

大家好，这道题呢，昨天发了个段子啊，就是说我，我统招初中毕业的高材生，已经不适合，不是不适合，已经不配去考 cas 了 是吧？但是后来大家说初中已经学了三角函数了，那什么赛，考赛什么什么这些东西你都学过了？但是我觉得我初中没学这个东西，应该是八零后，八零后的初中好像没这东西，都是高中以后才学的。 那咱今天就用三角函数对吧？呃，把它做一下，做完了以后再教大家用那个什么斜修的方法再做一下。好吧，那看题吧。 t 这题题就是个这题就是个这啊。角一等于一百三十度，梯形嘛，对不对？直接做辅助线直角对不对？这个地方比方说是 a 点，那一到 a 是 不等于二到三，也是六十米，对吧？一百三十度，这是九十度，这边多少四十， 这边多少五十是吧？那咱现在要求哪个边长？求四到一嘛，对吧？咱是不是要把四到一的边长给求出来？四到一的偏值边长我看啊，就是 sin 四十度和 cosine 五十度都可以求出来。那你就这 sin 四十度等于 a 到四， 不对， sin 这个要用 sin 五十度出啊，你或者用 cosine 四十度也行。 cosine 四十度，对吧？就这个。哎，我还要给大家讲一下啊，什么是 sin 什么 cosine， 就 带大家回顾一下啊。不是说我教大家带大家回顾，可能你忘了，比方说这个直角三角形啊，四十五十， sin 四十度 等于的是他所对的这个边的弦长和这个斜边的长，对吧？等于 a 到四， a 到四除以这个四到一或者一到四啊，就是对的这个所对的直角边和斜边的比值，然后考三四十是什么？ 是它的邻边，就是这个一到 a， a 到一，是不是和斜边的比值和四到一的比值，然后还有个什么？这叫什么？ 泰坦尼克，是不是？泰坦尼克就等于 a 到四，就是它的对边和它的邻边的比值，就是 a 到四。 比上 a 到一啊，这个基本，这个基本你想用一想就是这三个式子，你用哪一个你都能把它算出来，对不对？因为直角三角形，你只要知道一个角了，那另外一个角你也知道吗？对吧？那你比方说这道题， 咱以角四是五十度，是吧？那就是三五十三五十度 等于这是六十米吧？他的，他的，他的对对边是不是六十米，除上一个四到一的距离，那这玩意咋算？来，教大家，一步一步教大家算是吧？ 你看啊，咱们把这个电脑里面自带的这个计算器打开，这有个标准，咱咱们从这点一下，有个科学，是不是？你比方说五十，然后点个啥？点个塞塞， 零点七六六，记住了啊，哎，点错了，来， 对吧？这个三五十刚才算了，是零点七六六，从计算器上得出来的，等于六十米除以斜边的长斜边，咱就暂时把它当成 x 吧，对不对啊？两边一对角，那就是六十除以零点七六六 来算，六十除以零点七六六等于多少？六十，哎，哪个清空？六十除以零点七六六， 等于一个数是七十八点三二 就是 x， 等于七十八点三二八。你反正你往里数，你只能数小数点后一位，对吧？那二到，呃，一到二这个距离怎么算？一到二这个距离是不是一百米减去 a 到四， 你既然已经能把这条边算出来了，那就是三四十度等于这个数除以七十八点三二八。 那这我就不给大家详细的去算了。好吧，就是把这个解析的怎么说呢？就是解析的办法给大家说一下。那接下来给大家说一下这题邪修怎么做？好吧，邪修怎么做？ 对，还是这样，你知道这个角是五十度了，是吧？那你直接画图吧，啊，从一开始画一到二，一到二不知道多少米，对吧？来画图，把图在这 随便点一下啊，一到二不知道多少米，你画长一点，二百七十度，比方说是一百米吧，对吧？然后二到三是直上零度六十米，对吧？ 然后三到四等一下啊，三到四一百米，那题题上给的嘛，对吧？九十度，一百米， 一百米，然后四到五看一下啊，四到一，这是二百七减五十，二百二十度距离不知道画就行了。 二百二十度，然后一百米够了，他只要能越过这个线就行，对吧？那这个地方就是一点了，是吧？ 这个地方就是一点了，来，放大看没？鼠标滚轮一直滚，滚滚滚滚，一直滚，滚到，哎，好，你滚不动为止。这个地方看啊，哎，放到中间这双击一下，是吧？他现在是个六点，是个六点的话我看啊， 五点不要了，删除，是吧？然后一点不要了，这个地方应该是一点，我先删一下看看啊。 哦，那就是把四点和一点换个位，哎，这个地方是一点，这个地方是一点，对吧？那就是四四点这个位置四点跟一点不能换吧？ 高级添加对不对？四，积分点为四，插入序号是几点？一点，然后距离零米直接生成， 看是不是一二三四五。有没有五点啊？有五点，五点在这呢。哎， 点哪去了啊？五点在这呢嘛，对吧？所以说你看这个是七十八点三，刚才我我算了一下那个是多少？刚才是我没算，刚才开开个赛，后来没算。是吧， 七十八点三，记住了啊，来。 哎，放小一点，放小一点大家就看一下就完了。这种这种题。说真的啊，出这种题 完全没必要，你考个烂怂地面站弄得跟造火箭一样是不是？你让我这种统招初中学历的人怎么去考这个题？嗯，就这么回事吧。那么请问像这样的题大家都学废了吗？

大家好，我是彭教，前天发了二月二十六号河北临沂的这套真题，我看了一下，大家都做了，然后发到评论区，非常感谢大家的支持。然后，嗯，很多朋友的话 做了图形基本上做出来了，但是呢，有的呢，可能就是这个 h 一 二，他这个角度，他不是朝外， 像我这个其实已经画出来，关于这个图形，对吧？你 h 一 二，他必须要在图形外侧，这个夹角要朝向图形外侧，而不是图形内侧。虽然他是一百三十度，但是你要注意他的题目要求， 如果他是图形内侧的话，那就是在上面，因为一到二他是固定的是二百七十度，那你这边可以顺时针加一百三十度，但是他的这个夹角所包含的就是在里面的， 那么剩下就是二百七十度，减去一百三十度，那就是一到 h 这个角度，对吧？这样子才对，那么 这个是一种情况。第二种情况就是二到 h， 题目要求是三百一十五度，方向八十米，有的粉丝的话就是一到 h 他 是八十米的距离， 还有的呢，就是二到 h 明明就是八十米的距离，结果他是斜边钝角，一个斜边才八十米，结果一到 h 都去到一百多米了，所以就是 做的更加不对啊。那么，呃，接下来怎么做这个题目？其实呢，这个题目跟我们 我之前发的有一个湖南临沂的这个考试真题其实是一模一样的题型，就这两个，这两个视频，湖南临沂这两个解析，这个是三角函数的正常计算，这个是学校版，这两个视频大家都可以去看一下。 ok， 好， 现在回归正题，这题目，首先从题目上面来说的话呢，一二三四他是个正角梯形，然后一二是六十米，三四是一百四，那么从一点做垂线下来， 三四的左边就是六十米，右边的话是八十米，而右边这个角四的话是个六十度的一个角，所以的话这个三角形他是个三六九的三角形，三十度对应的这个边是斜边的一半，所以斜边一四是 一百六十米，然后呢垂直边也就是二三的边长等于八十，乘以一点七三二。如果你不想麻烦，然后其实你也可以换种思路，比如说 你不想算一点七三二，对吧？那你这个是不是可以反着来，因为你这边从一点化十坐标往上是三十度，那么一到四是不是三十度，四到三是不是二百七十度， 这个是一百六，这个一百四对吧？三到二你不算，一到二是不是直到二百七十度，然后六十米不也可以把它做出来吗？就是说你的顺序是一二三四五，对吧？然后你再把横点反序一下，一样的把这个图形就做出来了。 主要的话就是 h 一 二这个角度的问题，那么我们来看一下， 画一个连线， ok， h 到二到 h 是 三百一十五度八十米，然后二到一是六十米。在这个三角形 h e 二中，我们已知 h e 二这个角度 和 h 到二边长 等于八十角， h 一 二一百三，一到二等于六十， 说白了就是已知。在一个三角形中，已知一边 两条边和其中一边的对角，那么就需要用到正弦命令。正弦命令 什么是正弦的理？就是两条边和一条对角正弦的理，说白了就是对边比上对角的正弦 相等，这个不管是直角还是还是锐角还是正角都适合啊。对边和对角的正弦值相等， 那么在这个三角形图形中，八十哎，二到 h 是 八十，对吧？八十 以上散 h 一 二等于六十，就是一到二所对应的角以上三 h， 对 吧？就这样子，已知三个定值，求一个变量，是不是三 h 就 可以求出来，对吧？所以说三 h 算 h 就 可以等于六十乘以一百三十除以八十， ok， 那 这样子怎么算？我们可以算一下， 打开我们的计算器 这个标准计算器，点一下左边，对吧？科学计算器在第一追格式下，它这里有好几种格式啊，要在第一追格式下 进行计算，然后先算正弦输入度数，然后再点击算，然后再乘以六十除以八十， 就求出了零点五七四五，对吧？三 h 等于零点五七四五， 然后怎么样求出这个 h 的 这个角度呢？很简单，直接点反函数，点三角形，点这个二 n d 次幂，然后三的负一次幂就反，推出相对应的这个角度等于三十五度，所以说推出 h 等于三十五度， 那 h 角 h 出来了，在这个三角形 h 一 二中已知两个角，是不是 h 二一就出来了？ h 二一一出来，你二到 h 是 不是知道，那顺加逆减二到一是不是就知道横向了？横向一出来，直接一旋转，这个图形就是，是不是就做出来了。所以说，那么就可以推出 角 h 二 e 等于一百八十度，减去一百三十度，减去三十五度， 哎，等于多少？等于十五度，对吧？再继续 h 二一一直到那就可以得到由二到 h 等于三百一十五度， 所以二到一就等于怎么样？这里是逆时针减，对不对？就三百一十五，减去十五度 等于三百度， ok， 就 这样子，这图形一转完不就做出来了吗？二到二到一就三百度了，然后我们看一下图形做出来的一个情况， 是不是这样子，对吧？你刚开始的时候这个二到一是不是一百二，对吧？然后相对于等一到二是不是就是三百？然后二到 h 是 要三百一十五度，然后这个距离是一百七十度左右， 因为他的夹角是要一百三吗？对吧？然后一百七十度左右，距离是二百七二十七米左右， 他可能有一点点出入，零点几的这个出入问题不大。然后这个距离三到四一百四，然后这个是一百六十米六十度，就这样子。

我们接着来看中职数学基础模块上册零基础的讲解，这一节我们来学习第四章三角函数，先来看一下他的知识结构，三角函数这一章内容是比较多的，这一章也是非常重要的一个章节，可以说是我们考试必考的题目， 在很多省份考试的大题中也会出现。这一章我们主要讲解七个内容，第一个内容，角的概念推广，第二个就是弧度值，第三个任意角的三角函数。前三个内容呢就是我们基础的讲解，这里面如果考试出题，基本上都是选择题或者是填空题。 第四个内容，同角三角函数间的基本关系。第五个诱导公式，这个知识点超级重要，可以说是我们考试必考的题目，他不但可以自己出题，还可以和其他题目相结合。 第六个三角函数的图像和性质，这里呢主要就涉及到正弦函数和余弦函数，它的图像以及性质。最后已知三角函数求指定范围内的角，后面这几个内容呢是非常重要的，大家一定要掌握。当然了，学好前面的几个是为后面这几个内容做基础的， 我们来看具体内容的讲解，我们先来看第一个内容，角的概念的推广，第一个内容，任意角，那我们看到这个名字任意角，那么在我们以往的学习过程中，我们所学到的角度大部分都是锐角、直角、钝角、平角、皱角等等， 这些角度呢，它都是在零到三百六十度范围内的，那我们如果遇到超过三百六十度这样的角度，或者是负的角度，比如三百九或者是负的六十度， 这些我们应该如何来表示呢？这里我们就统一做一下规定，如果一条射线绕其端点，按照逆时针的方向旋转形成的角度呢，我们就称为正角。 相反，如果这条射线呢，按照顺时针的方向旋转所成的角度呢，我们称为负角。那我们这里呢，就可以记四个字，逆、正、顺、负。 比如呢，我们就可以看下面两个图片。先来看第一个，如果我们把这条射线围绕起端点，按照逆时针的方向，也就是这样的一个方向进行旋转，得到的角度，我们就称它为正角。比如这个射线围绕着圆点 o， 他 转到这里，那就是这样的一个旋转，这样得到一个角度呢，我们就称它为正角。 同样呢，如果他按照顺时针旋转得到角度，我们就称它为正 负角。如果一条射线没有做任何的旋转，那这里呢，我们也认为它形成了一个角，这个角呢，我们称它为菱角，也没有任何角度。 比如我们在教室里面悬挂的钟表，如果这个钟表按照逆时针的方向旋转两周所形成的角呢，我们称它为正角，那是多少度呢？两周就是七百二十度。比如我们这个下面的图页，它是按照逆时针的方向旋转， 如果按照顺时针的方向旋转两周呢，我们称它为负角，它所形成的角度呢，是负的七百二十度。比如我们可以看到第二个图，它顺时针的方向进行旋转， 这样呢，我们就得到了有七百二十度和负的七百二十度，我们看到它呢，不在零到三百六十度这个范围内，所以呢，我们就把角的概念呢推广到了任意角，接着我们来看一下这角呢应该如何来表示呢？ 那我们通常使用角的顶点，或者是顶点的矢边中边上的字母来表示角，比如我们第一个图，我们就可以表示为角 a、 o、 b， 或者是呢，我们直接可以表示为角 o， 这个同样也是可以表示为角 a、 o、 b， 或者是角 o， 也可以用小写的希腊字母阿法贝纳伽玛来表示，我们直接可以记住角阿法，如果不出现字母混角的情况下呢？哎，我们这个角也可以省略掉，可以直接描述为阿法，那我们就默认为呢，它是角阿法，比如我们阿法呢，它等于三百八十度，或者是贝塔呢，等于负的一百八十度。 那我们在学习的过程中，通常呢都是在平面直角坐标系中来讨论这个角，我们将角的顶点与圆点进行重合，那这个圆点呢？比如我们在直角坐标系中，就是这个圆点 o 角的矢边呢，它是与 x 的 非负半，也是我们 x 的 正半中进行重合，一直在我们 x 轴上面， 那最终角的中边在第几象限，我们就称这个角呢为第几象限角。比如我们下面给的角阿法呢，是等于四百二十度，它呢就是我们这个射线通过 逆时针旋转得到的，我们可以看到他是逆时针到这里，那得到的这个角呢，这个就是四百二十度，我们看到他是在第一相线，那我们就称他为呢第一相线角。再比如背叛了他，等于负的一百三十五度，那我们看到他呢是顺时针到这里， 这里呢他刚好是在第三象限，我们就称他为第三象限角，这里技术比较差的同学大家熟悉下，那这里呢，就是第一象限，第二、第三、 第四象限，这是四个象限。大家有个印象，如果一个角的中边在坐标轴上面，也就是说他可以在 x 轴的正半轴，或者是 x 轴的负半轴， y 的 正半轴， y 的 负半轴。那这个角呢，无论停在这个 x 轴还是 y 轴上面呢？ 我就认为这个角呢，它是不属于任何一个象限，那我们称它为界限角，比如它是零度，那就是 x 轴的正半轴。九十度，那就是在外轴上面一百八十度，那就是 x 轴的负半轴啊，三百六十度呢，就是外轴的负半轴上面， 后面还有很多，那这里界限角 r 呢，我们就可以表示为它是等于 k 乘以九十度的， 这里呢， k 呢，他是属于整数的，这里大家有个印象，这是他的概念，这内容主要还是让大家进行理解。接着我们来通过具体的题目来看一看。先来看例题，四点一判断下列各角是第几向前角。先来看第一个四百九十度是第几向前角。 我们这里呢，首先你要知道它是怎么来的，那我们这里统一让这个角的矢边呢，以 x 轴的正半轴也这里呢，它重合，那我们看到这个四百九十度，如果是四百九十度减去三百六十度的话呢，它还等于一百三十度，对吧？ 这里呢，我们可以看到他是一个正角，正角呢就是逆时针，你说我们这里旋转三百六十度，再到这里一百三十度，大概就是这里，如果我们画出来的话呢就是这样的一个角度，这就是他大概的结果，那他呢是通过逆时针，因为我们到这里，哎， 这里呢我们可以看到他是呢在第二项线，所以呢这个就是第二项线角。接着我们再来看第二个负六百五十度是第几项线角，那么这个负六百五十度呢？他有一个负的三百六和一个负的二百九十度，那么在坐标上来表示 就是顺时针转一圈，这个呢就是三百六，再转两百九，哎大概呢就是到这里，所以呢我们就可以画出来他是在这里，这就是他的一个大概图像，那我们表述出来呢就是哎转一圈他是顺时针的，我们可以看到他呢是在第一象限，所以呢他是一个第一象限角。 接着我们再来看第三个三百二十度是第几象限角，这个呢就比较简单了，我们直接来表示他是逆时针转三百二十度，大概呢就是在这里，那这个角呢大概的也就是这样， 我们如果描述出来的他就是这样哎得到这个角度，那这个角呢他是在第四象限，所以呢他是一个第四象限角。 接着再来看第四个负的一百七十度是第几相交角，那我们描述就是他是顺时针转一百七十度，那我们顺时针转一百七，到这里， 他的大概图像呢就是这样的，我们描述出来他就是这样的一个转一百七十度，那他呢是在第三相沿，所以呢他是一个第三相沿角。那这些题呢是比较基础的，如果我们后面学完中边相同的角，这样做起来会更加简单，接着我们就来看第二个中边相同的角， 首先我们可以先看一下下面那个图片，我们就可以看到三十度角，三百九十度角，负三百三十度角，我们可以看到这几个角的中边呢，哎，都在这里，那我们这里呢就会发现，在平面直角坐标系中，三十度负三百三十度，三百九十度或者是 七百五十度等等，还有很多这一角的中边呢，都是相同的，而且呢，这些角都可以表示为三十度与 k 个三百六十度的和，这 k 呢是属于整数的。比如三十度呢，我们就可以写成三十度加上零乘以三百六十度， 负三百三十度呢，我们就可以三十度负一乘以三百六十度，三百九十度呢，就可以写成三十多加上一乘以三百六十度。如果是七百五十度呢，我们就可以写成三十多加二乘以三百六十度。从上述角的描述形成过程中，我们就可以看出，与三十度角中间相同的角呢，它是有无数多个的， 这一角，他们与三十度角均相差三百六十度的整数倍，因此呢，与三十度角中间相同的所有角，我们就可以表示为比特，它就等于三十度加 k 乘以三百六十度， k 呢是属于整数的。 这里细心的同学可能就会发现，这个三十度呢是可以替换的，也就是说如果我们把它替换成 r 法，哎，这个就变成了 r 法， 那我们看下面的一般来说与角 r 法中边相同所有的角组成的集合呢，就为 s 的， 大家看到这里呢就变成了 r 法，加上 k 乘以三百六十度， k 呢是属于整数的，它呢，也就是所有与角 r 法中边相同的角都可以表示为角， r 法与三百六十度整数倍数的和， 这是它的概念。接着我们来看一下具体的题目。先来看第一个 a t 四点二，写出与负九百五十度角中边相同的所有角组成的集合，并且呢，在零到三百六十度范围内找出与其中边相同的角， 这里我们只需要把这个公式记下来就可以了，我们直接套用公式，那它的集合呢，就是 s， 它等于这里就是 beta， beta 呢，等于这个 alpha 呢，就是负九百五十度， 加上 k 乘以三百六十度，其中这里的 k 呢，它是属于整数的，这就是它的集合。接着呢，我们来看一下，在零到三百六十度范围内找出与它中边相同的角，这里呢，它给了一个范围零到三百六十度，也就是说这个贝塔呢，它要大于零度， 小于三百六十度。那我们看到 t 杠里面呢，是负九百五十度，那我们就可以判断出 k 的 大概率呢，它是等于三的，那我们假设令 k 等于三，我们代入一下， 悲叹完就等于负的九百五十度加三乘一个三百六，那这个呢，就是一零八零，就等于负九百五十度加一零八零度，最终结果呢，就是一百三十度，那这个一百三十度呢，刚好是 在这个范围内。所以呢，在零到三百六十度范围内，中间相同的角呢，是一百三十度，这是第一个离体。接着我们再来看第二个离体，写出中间在射线 y 等于 x， 这里面要求了 x 呢是大于等于零的，这个上面他的角所组成的集合。那我们呢，首先给他的图像画一下， 那我们知道 y 等于 x， 它出现的大概就是这样的，我们要求 x 大 于等于零，所以呢，我们只需要取它的第一项线位置就可以了。接着我们直接套入公式就可以， s 呢，它就等于被它， 被它，这里大家就可以发现这个角度呢是四十五度，所以呢它就等于四十五度，加 k 乘以三百六十度， k 呢是属于整数的，这是这题的答案。接着我们再来看例题，四点四写出中间在外轴上的角组成的集合，我们把它图像呢画在右边。 这题呢要求是外轴上面他没有说是正半轴或者是负半轴，那也就是他在我们整个外轴，如果在外的正半轴，那就是九十度，如果在外的负半轴，那就是两百七十度，也就是这样的。 接着我们直接代入公式，那我们分成两种情况，第一种情况呢，就是它是等于九十度的时候，那 s 一 呢，它就等于 贝塔，贝塔等于九十度，加 k 乘以三百六十度， k 呢它是属于 z 的。 第二种情况，两百七十度，那我们把它记为 s 二，它就等于贝塔，贝塔等于两百七十度，加上 k 乘以三百六十度，其中呢 k 它也是属于整数的， 当它等于九十度的时候，也就是我们在外的正半轴，当它等于两百七十度的时候，它在外的负半轴，那我们要的是整个外轴上面的，所以呢，就取一下并集就可以了， 把它们两个合并在一起，这里呢我们可以观察一下，从这个九十度到这个两百七十度，它们中间呢其实就差了一百八十度，那它最终的集合呢，就等于 s 一， 并上 s 二， 那么就直接可以写为这个悲惨了，它是等于九十度加上 n 倍的一百八十度， n 呢，它是属于整数的，那这里有同学可能看到这个答案，哎，这个中间过程怎么来的？或者是就感到有点迷惑，其实呢这里很简单，就是我们这个 九十度，这个大家好理解，那我们这个两百七十度呢，它就等于九十度加上一百八十度， 当那个角在正半轴的时候，那只要他转一百八十度，就来到了一个负半轴，当他在负半轴的时候，只需要转一百八十度，他就回到了正半轴， 所以呢我们就可以统一写为九十度加上 n 倍的一百八十度，最终呢就是他的答案。这是我们第一节的内容，这节内容呢是比较简单的，如果这个视频对你有帮助的话呢，大家可以多多点赞转发分享一下，我们下个视频见，拜拜。

大家好，我是彭教。近期随着地面上的难度越来越大，三角函数的题型也逐渐增多，很多同学对于这类题型都比较头疼， 那么所以说出了这期视频，希望能够跟大家一起回顾一下我们初中所涉及到的关于直角三角形里面的正弦与弦和正切，他们的关系和定义是怎样子的。 首先，为了让大家更加能够容易理解，我们以 o 为圆心，画一个直径为一米的圆，那么圆上所对应的任意两点的连线称为弦线。同样的，我们做 a、 c、 b、 c 和 ab 它们的三者的一个连接，其中 a、 b 它是连接圆心的一条最长的弦，称为圆的直径。直径所对应的这个角就是圆周角，它是个直角，那么所以说 a、 b、 c， 它实际上组成的就是一个直角三角形。 在直角三角形中，我们把对应的这个要算的这个角称为正角，那么余下的这个角称为余角，而正弦呢，它是我们正角所对应的这个弦就称为正弦，同样的余角所对应的这个弦呢，就称为余弦。 那正弦值三 a， 它实际上就是我们正弦和圆直径的一个比值，也就是相当于在直角三角形中，角 a， 它的对边和斜边的一个比值，就是我们的三 a。 而余弦值 cosa 就是 余角所对应的余弦和直径的比值，也就是角 a 的 余零边和我们的斜边的一个比值。 而探针的 a 就是 我们的正切，他就是正角所对应的正弦和余弦的一个比值，也就是三角形的对边和零边的一个比值，就是角 a 的 正切值。 那么最后我们总结一下，在直角三角形中，我们的扇 a 就是 对边比上斜边，而 cosa 就是 零边比上斜边，贪婪的 a 呢？就是对边比上零边，你学会了没？