八下一次函数智慧作业

一次函数这章节是我们八下数学最有难度的一个章节，因为它涉及的知识面比较广，既涉及到几何，也涉及到代数，而且它衔接了我们初三的二次函数，它也会出现在压轴题里面，所以接下来的话，我会为大家陆续的去制作 从一次函数从基础的综合题到压轴的综合题，并且像以前一样制作成合集，大家可以持续的关注 啊。如果说大家在县级段学习一次函数，有什么样的疑问都可以在评论区留言，我会一一的回复大家。那今天的话我们来讲解讲解。第一个啊，就是一次函数的解析式求解，加上去判断这个点是否在图像上，我们现在看一下题目， 他说已知一次函数的图像呢，经过 a 点和 b 点两个点，第一问要求这个一次函数的解析，那这是我们呃包，无论你是 我们一呃八下数学期末考试的压轴题的第一问，还是我们中考的呃函数压轴题的第一问都是求结式，那这个结式呢，是一定要会的， 那求这个结式呢？我们用的方法叫待定系数法啊，它的步骤呢，接下来我会为大家一一展示啊。首先第一步要设结式，设结式呢，它是一函数的话，我们就可以设为呃 y 等于 k 加 b， 这里加个小括号， k 等于零。 接下来呢就是如果我要求的是 k 或者是 b 其中一个，我们只需要带入一个点的坐标就可以了，那如果说这 k 和 b 都不知道有两个参数的话，我们需要带入两个点的坐标去建立方程组啊，比如说这个我们就两个都不知道，那么就分别把这两个点带进去， 接下来呢，就把每一个点里面的，比如说这个是 x， 这是 y 分 别带进去啊，那这个看到 x 呢，就换成零，零乘 k 等于零，加上 b， 那 就相当于零加上 b 啊，它等于多少呢？ y 是 一。 第二个呢，就是看到 x 就 换成一啊，一乘 k 就是 k， k 加 b 等于多少呢？ y 是 对的，是零，那么就建立了一个二元次方程组，接下来我们就把 k 和 b 解出来， 这地方 k 的 话啊， b 知道是等于一的， k 的 话就是负一，那求出来 k 和 b 之后，我们就可以下结论了，一次函数就是 y 等于，看到 k 就 换成什么样的负一，那 k 就是 负的 x 一 要省略掉，加上我们的 b 是 一啊，这是我们的待定系数法的一个解答过程。 好，第二个问，判断这个点 p 是 否在一次函数图像上，我们可以怎么办呢？我们可以把这里的 x 带进去，就是当 x 等于负一时啊，我们指出 y 等于多少呢？可以把它带进去啊，就是负的负一加上一等于多少呢？一加一等于二。 好，那这时候我们来对比一下，这个对求出来的二和这里坐标的一相不相等呢？不相等，因为二不等于一，所以呢，我们下个结论，这个点 p 呢啊，负一到一不在图像上，不在图像上 啊，不在图像上，所以这个地方呢啊，如果它相等的话，就是在图像上，不不相等，那就不在啊。那这是我们今天讲的第一个技术知识点啊，用待定系数法求结式判断这个点是否在函数图像上。

一次函数的应用题，是我们八下期末必考的应用题，今天我们来学习它其中内容费用最低的问题， 下面来看一下这个题目啊，这是我们珠海去年的期末考试题，那他说去年有个热播电视剧长安的荔枝啊，你看这个东西就每年都会出现一些与热点的内容相结合的题目啊，这个这题出的挺好的啊，这个珠海， 那么现在看一下，他现在要运荔枝啊，运这个荔枝，现在呢有两种的方式，一种是走水路，一种呢是路路， 那走水路的时候呢，有百分之三的损耗，走路路的时候呢，有百分之五的损耗来，他现在说如果要用五艘船，十辆马车来运输这两百筐的荔枝，中间不改不改变这个运输方式，最终的损耗是八，呃，八筐， 我们看第一问啊，他说问每艘大船是多少筐啊？每辆马车可以运多少筐。那看到这个问题呢，那就是问什么就设什么就可以了啊， x 筐， y 筐啊，我们要设未知数啊，设， 那接下来呢，我们就列方程啊，那有两个未知数就要列什么样呢？两个方程啊，我们要找到两种关系，这种关系呢就是要总共要运两百筐啊，五辆的这个五艘船，那就是五 x， 加上十辆车，十 y， 最终等于两百筐。 第二个呢就是它的损耗，总共损耗了八筐哎，那这个水路呢，损耗百分之三，那就在这个基础上乘以百分之三。 那露露呢，损耗百分之五，那就在这个的框数基础上乘以百分之五，最终刚好等于八框。损耗。好，方程列出来，了解得 最终减出来 x 和 y 分 别等于多少呢？你像这种啊，非常大的时候，我们在运算的时候，我们可以有点小技巧，我们可以怎么样啊？两边同时乘以一百，把它改变一下，里面乘以一百啊，那就是这里剩三三五就是十五， x 加上啊，五乘十就是五十，等于多少呢？等于八百对不对？ 然后我们再同时呃约小一点，同时除以多少乘以五，呃，大家去算一下对吧？ 应该是一百六，对不对？好，那接下来你看这个和这个就可以直接相减相加，对吧？所以这地方我们就过程就不再详细讲啊，最终啊， x 等于二十， y 呢？是等于十的啊，等于十的。 好，那接下来呢，我们来看一下啊，打这个自己去打啊，那就说我们每辆大，每艘大船呢，能够运二十筐，每辆马车呢可以运十筐啊，这我们的第一问，那第二问就是我们今天重点了啊， 他说水路运输啊，每艘大船需要一千两百文，山路运输呢，每辆马车的费用是八百文，为了控制成本， 总的运输费用不能超过一万四。看到这个不能超过，要注意啊，我们给他标注一下啊，不能超过的意思怎么样啊？就是小于等于的意思，小于等于一万四千文，而且大船的数量不超过，你看又有不超过了，这又是一个不等关系啊，就小于等于 吸收啊，那么恰好运完了这两百筐的荔枝啊，而且不考虑损耗的情况下，该如何安排大船和马车的数量才能使得这个费用最低。 那这个时候呢，我们一定要有函数的思维啊，既然有函数，我们就要去，怎么样呢？就要去列关系式了啊，然后列了关系式，要探讨最值的话，那也求范围呀，所以第一步我们先去啊，设未知数啊，列关系式，那设谁呢？既然安排大车大船和马车的数量，我们肯定要设未知数啊， 那么可以设大船，大船是多少呢？因为前面用了 x y 啊，我们用 m 啊，然后这个马车呢？ 马车这个地方要注意啊，因为他这个题稍微的哎，难度增加了一点，他不像以前啊，说这两个相加总共有多少多少收，对吧？多少量，他没有这样子，他什么都没给，只是给了一个， 给了一个怎么样呢？恰好是两百筐，给了一个总的筐数，所以这个地方我们必须得通过这个筐数要再去表示我们马车的数量。这马车数量怎么表达呢？就是我总共两百筐， 我马这个大船呢，有 m 艘，它运了多少筐呢？我们知道大船一艘是二十筐嘛，所以它运了二十 m 筐一剪呢，剩下的就是马车的这个运的筐数，那再用这个总的马车的筐数除以它每一车能运的 啊，运的是多少呢？是十筐。那这个时候呢，我们就可以表示出马车的数量了，我们可以化简一下，它得多少呢？就是二十，减去二 m 啊，我们可以要打上这个小框，哎，这个是量对吧？ 那个是收，那还有一个呢，就是费用啊，说他的费用为多少元呢？费用为 w 元，一般是这样啊，收尾数我们就收完了啊，这个地方相对于他增加的一个难点，我们要注意一下啊， 那接下来呢，我们叫列关系式， w 等于什么样呢？费用分成了两个部分啊，大船的费用和马车的费用。呃，每收呢是一千二，那就是一千二百 m， 这个马车呢，每每一辆是八百八百乘以二十减去二 m。 那 么接下来化简一下啊， 一千二啊，我们这里减去一千六，对不对？负的四百啊，四百 m， 再加上一个一万六 啊，一万六。好，这个关系式出来之后呢，我们探讨他的最大值或者最小值得求范围范围在哪里呢？就是刚刚我们标出来的这两个啊， 那接下来求范围范围的话，有两个，一个是他的费用，费用实际上就是这个啊，负的四百 m 加上一千啊，一万六，要小于等于一万四。还有一个呢，这个大船的数量，大船就是我们的 m 啊， m 要小于等于七。 好，那接下来呢，我们就把这边擦一下啊， 那接下来我们就解得把这个解出来， 解得我们的 m 呢应该在哪里呢？是大于等于五，小于等于七的。好，有了不等关系，接下来我们就要通过函数的性质来求对值啊。接下来我们要这是一个固定的模板，因为怎么样呢？先说一下这个前面的系数， 负的四百是小于零的，所以当我们的 m 等于多少呢？那么要知道啊，在这个一算数里面，我们这个系数小于零的时候，那这个 w， 也就是我们的 y 会随 x 的 增大而减小，对吧？那在这个里面就相当于说是 w 随着 m 的 增大而减小， 你想啊，增大而减小，我 m 取多少的时候他会最小呢？肯定是取的是最大的那个，对吧？在这个范围内最大的那一个，那么就肯定取是七啊，当 m 等于七的时候，这个 w 啊，有怎么样呢？有最大值 啊，最大值，那既然要求最低费用是多少，我们就得为多少呢？那么就需要把这个 m 等于七啊，带到我们这个表达式里面去，那这个求出来的就是负的四百乘以七，哎，再加上我们的一万六，最终是一万三千两百。 好，那接下来我们就要打，对吧？他说怎么运输啊？啊，怎么安排啊？就是当这个大船有多少收嘞啊？为七收 啊，为七收，那我们的马车有多少呢？多少辆啊？相当于是二十，减去二乘七啊，就是六辆，对不对？有六辆是费用呢？最低啊，有最低费用， 有最低的费用，费用多少呢？一万三千二百文啊，这里是文， ok， 所以 这里的话我们要，哎有怎么样呢？依次函数的这种探讨的意识啊，要知道是怎么探讨的，大家反复看一下这个过程和解析的一个思路。

球参数的值，某体育用品厂采购员要到厂家批发购买来球和排球，共一百个 来球，来球的个数不少于排球个数，付款总额不得超过一万一千二。以这两种球的批发价和零售价，如下表，设该材场，该商场采购 x 个来球， 那么牌球就是一百减 x 个球。商场采购费用 y 与 x 函数关系式，并写出自变量的数值范围啊，直接写 y 就 等于 排扣费。来球是一百二十个，所以是一百二十 x 加上排球是一百个，所以是一百倍的，多少呢？一百减 x 啊，所以最后算出来等于二十 x 加上这个一万。 呃，且我们还会知道什么呢？ x 肯定得大于零，然后一百减 x 也得大于零。 这个地方能不能区的，就比如说另外一个不买，好吧， 啊，这个其实可以不用考虑好吧，这个肯定都得是正的。我们其实主要考虑的是什么呢？主要考虑的，其实这这里两个信息，这两个信息其实就够用了。其实如果你把刚才那两个加上也可以九， x 得比零大，一百减 x 也得比零大， 这两个加进去，加进去其实不影响结果。为什么不影响结果啊？因为你把后面两个向量一起发现了。好吧，所以我们其实可以不用不用写那个前两个，所以且来球的个数 不少于排球个数啊。所以应该得大于等于什么呢？一百减 x， 所以 x 得大于等于五十。好，且付款总额。付款总额是什么呢？那就是二十 x 加上 一万不得超过，所以得小于等于一万一千二，所以 x 得大于等于五十。小于等于六十，小于等于六十，且 x 为整数， 你看刚才一个是大于零，一个是小于一百，好吧，那不影响结果，因为最后我们去公共部分还是五十到六十啊，所以主要抓住这两个部分确定范围。 好，第二个，商场，把这一百个来球全部以零售价售出，求商场能获得最大利润。好，这个和前面的内容是一样的好吧，所以设这个 利润为 w， 则 w 应该就等于来球的利润，一百五减去一百二， 一百五减去一百二，乘以 x 加上这个排球的利润一百二减去一百，然后乘以排球是一百减 x。 好， 所以最终算出来等于十 x 加上两千啊，这它的利润。因为 a 等于十大于零，所以 w 随着 x 的 增大而 增大，前面有范围是不五十到六十，所以当 x 等于六十时， w 最大等于六百，加两千就是两千六百元， 对，最大的利润就是两千六百元。这个跟前面的一样，就是写出它的利润和自变量 x 的 异函数关系式，根据增减性确定 x 取最大值的时候利润最大，还没有涉及到参数啊。那么第三问， 受原材料和工艺调整等影响，采购员实际采购时发现来球的批发价上调了三 m， 台球的批发价下调了二 m， 而该体育用品商场决定不调整商场零售价， 也说零售价不变，但是它原本呢，一个进价涨了，一个进价下调了，进价涨了，利润就少了，进价少了，利润就高了。 好，那么现在把这一百个钱一百个球全部卖出去，获得的最低利润是两千三，求 m 的 值。刚才第一题是让我们分析它 什么时候能够取得最小最小值，最低利润，但现在是明确告诉了我们，这个最低利润是两千两千三。反过来求 m。 好， 我们先写 w 接 w 就 应该等于好。注意一件事情，原来排球的利用是一百五，减去一百二是三十，它一个的利用是一个，来球的利用是三十，但现在因为批发价上涨了三十， 所以你的利润就要减少三十。好，乘以 x， 再加上排球原本的利润是二十， 但是因为现在进价跌了，进价跌了价，调了二 m 元，所以你的利润就要上涨二 m 元。因为我不改变我的售价， 我售价不变，但是我买把这个东西买回来的时候便宜了二 m， 所以 我卖出去能多赚二 m。 它的利润所以是一百减 x。 好，简单整理之后就应该是等于，这里是三十减三 m， 这里是二十加上二 m， 所以 应该就是等于五十。呃，三十减二十啊，所以应该是十十减去五 m 啊， 减去三 m， 然后再减去个二 m 嘛。好吧，所以十减五 m 倍的 x， 然后再加上一个两百 m， 加上两千，加上两千， 这是合并之后的结果啊。合并之后的结果是十减五 m 倍的 x 加上两百 m， 加上两千。好，接下来你会发现我们还知道 x 是 大于等于六十 范围呢，五十到六十啊， x 是 大于等于五十，小于等于六十的， 那现在告诉我们最低利润是两千三，我们就要知道到底什么时候取得这个最低利润， 那么我们就要分析这个增减性。所以第一种情况，当十减五 m 大 于零，即 m 小 于二十， 直接五。 m 大 于零，也就是 m 小 于二十， w 随 x 的 增大而增大，所以当增大而增大嘛。所以当 x 等于五十时， w 最小等于两千三。这个数是求的是最小的时候取的，所以带进去， 所以就可以得到十减五， m 乘以五十，加上两百乘以五十，加上两千等于两千三四十。得 先把 m 这个算出来。呃，算出三百，这是一千，负的应该是七百，对吧？负的七百除以三十五，三十五的话应该是等于， 我看算一下。呃，一千加两千三千，这应该负的七百，负的七十除。呃，七十除以五，七十除以五的话，应该是。咳， 十四啊，所以就是十减五 m 应该等于负的十四，所以五 m 应该是等于这个 二十四吗？ x 等于五十时，最小是两千三，两百乘以。哦，这个地方不是 m 啊，念错式子了，我说怎么算出来，答案不对了， 只有 x 是 等于五十啊，只有 x 等于五十，所以是把这个面的 x 换成五十，所以十减五， m 乘以这个五十，加上两百乘以 m 是 个，这个是不动的啊。这个 m 加上这个两千等于这个两千三 啊。应该是这样做，这样的话应该就是前面这里应该你看算出来应该就是五百， 再减去二百五十 m 再加上两百 m 就 等于三百啊，就等于三百，所以负的五十 m 就 等于负的两百，所以 m 等于四啊，没问题 啊，算出 m 等于四了之后，你会发现它是比二大的，不成立， 因为我们这么选择有个前提， m 得比二小，结果我却算出来一个 m 是 比四比二大的数，前后矛盾，所以这种情况是不成立的啊。第二种情况， 当十减五， m 等于零，即 m 等于二十， m 等于二的时候，你会发现 w 就 等于零，加上四百，加上两千等于两千四，不等于两千三，也不成立。 第三种情况，当十减五， m 小 于零，即 m 大 于二十，这个时候你会发现变成了 w 随 x 的 增大而减小， g a w 随 x 的 增大而减小，所以就是 x 越大， w 越小，所以当 x 等于六十时， w 反而最小等于两千三，所以再把六十带进去啊，那就是十减五 m 乘以六十，再加上两百 m 加上两千，就是我需要知道 x 取多少，再带进去求 m 啊，知道 x 取多少，得到这个两千三，带进去求 m， 所以 等于这个两千三， 你看就是把这个 x 换成六十了，得到一个关于 m 的 方程，得到 m 等于三，这个时候是成立的。 得 m 等于三，这个时候是大于二的，它是成立的。也说 m 比三大的时候，它是 y 数 x 增大而减小，所以应该在六十的时候带进去，发现刚好最低利用是两千三，满足条件。所以综上 啊，我们得到 m 值就应该是三。第二种情况呢，直接不成立啊啊！第二种情况下，你会发现就是 m 取二的时候啊，它的最终的这个利用是个定值，始终等于两千四啊，就不会变啊，不会产生什么两千三。然后第一种情况 啊，第一种情况，那么他要想这个取得这个最小值，应该是在 x 等于五十的时候，我把 x 等于五十，带进去等于两千三，发现此时的 m 应该要等于四，那他就和题目的原本的提示条件不符啊，所以排除掉只有最后一种情况成立 这类题的这个做法思路基本上是固定的好吧，做法思路基本上是固定的，这个关键就是就这三种情况，好吧，讨论这个比例系数， k 比零大比零小和等于零啊三种情况。然后像例题一，它是只需要你分析什么时候取得这个最值啊，例题二就是告诉了你得到了最值，反过来去算这个参数的值 啊。最后通过一个 e x 方程去反向去把参数的值算出来，还要根据前面的提设去验证成不成立。

这类题的一个做法，今天给大家讲的呢，是我们依次函数里面它图像的位置关系。那么大家在学依次函数的时候，肯定都遇到过这样的题， 他说直线 y 等于 k x 减 k 与直线 y 等于负 k x 在 同一个直角坐标系中的大致图像，可能是，对吧？那也有种另外一种题型是什么呢？它是给你一个已知的图像 带上这个参数，然后给你另一个已知函数，让你去找他的大致图像，对吧？那么我们来说一下这类题该如何去做的问题， 这类题呢稍微要复杂一点点，为什么呢？因为我们要去确定，就说他为什么问两个函数在同一个直角坐标系里面的大致图像可能是什么呢？就说明在同一个直角坐标系里面，他的参数的取值范围肯定是要相同的。那遇到这种的题呢，我们的方法是什么呢？ 是以其中一条直线，或者说以其中一个解析式为准，然后呢，以我们确定的参数的大小去推理我们另一个解析式，它在直角坐标线里面的图像，它是否正确啊？就是这么一个方法。 那么来看一下这道题是一个呢，是直线 y 等于 k x 减 k， 一个呢是 y 等于负 k x， 那 么我们看得出来一个是什么？一个是一次函数，一个是正比函数，那我们肯定是以这个正比函数为准来去判断 k 的 大小，会比较好判断，对吧？因为它的参数也相对比较简单，解析式也比较简单。 那所以我们来看，假设在 a 选项里面，我们以这个正比例函数这个为准，那就是说正比例函数肯定过圆点，所以这条直线它过圆点，所以这个是 y 等于什么？这个是 y 等于负 k， x 这一条就应该是 y 等于 k， s 减 k 啊，到底对与不对？我们要看一下，那它的正比点函数是从左往右是在下降，所以它是增大而减小，或者说我们过了二次项线，它也是 y x 增大减小，那 y x 增大减小看的是什么？看的是我们 整个依次就是 x 前面的系数，记住是系数，所以是负 k 的 位置，但它 y x 那 减小，那就是负 k 小 于零，所以这里得到什么？负 k 应该是小于零呢？所以得到我的 k 大 于零。好，那么就说以我们的这个整数为准， 那么来判断出我的 k 大 于零，然后以这个 k k 大 于零这样的一个 k 的 大小，去判断我的 y 等于 k， x 减 k 的 图像是否跟图 里面一致啊？那么 k 大 于零以后，我们放进去看，那是 y 等于 k， x 减 k， 那 这个 x 的 前面的系数是 k 大 于零，所以应该是过一三项线，对吧？ 然后呢，是看清楚这里的符号是减 k， 对 吧？所以我的 k 大 于零减 k， 那 么负 k 就 应该是小于零，得向下平移，对不对？所以过了一三，然后向下平移，是不是刚好就是这样子过了一三四项线，所以我的 a 选项其实就是对的，对不对？ 然后呢，我们来看一下 b 选项， b 选项它的正比例函数是不是和 a 选项的正比例函数是一样的？所以其分析下来，肯定 k 还是大于零，然后呢，它是向上平移了，那但是我们的负 k 是 小零的，所以向下平移，所以我们的 b 选项自然就错，对吧？然后我们来看一下 c 和 d 选项， 那么 c 和 d 选项呢？它其实正比例函数，这比如说这个是 y 等于负 k， x 啊，那么它是过了一三项线，说明我的 x 前面这个系数是怎么样？ 是不是大于零的，对吧？负 k 是 大于零的啊，这个负 k 肯定是大于零的。推出我们的 k 小 零，那么 k 小 于零以后，我们来看一下这条直线是 y 等于 k， x 减 k， 那 么它是既然我的 k 是 小于零的，它必须得过什么？必须得过二四象限啊。这个 k 我们推出来，比如说这放到这个一次函数里面去，那么他的 k 是 小零的，他必须过二次项线来看一下他是不是都只过了一三二项线，没过这道这个也是一样的，他过了一三，他没有过二四，所以这两个 c 和 d 其实直接都可以判断他是个错误啊。 所以那么这类题就是给大家讲，肯定还会出现一些比这道题更复杂的题型，所以我们就以比较简单那个的图像 为准，然后呢去判断出我们参数的大小，然后再以这个大小去推论我们另一个解析式，它的图像是否正确，就可以判断出我们正确的答案来。那么这就是我们。

要想写题会方法要选对，欢迎收看宋老师的方法课。我们来看这道题后，科技研发中心有五十名工作人员，其中技术员二十名，操作员三十名。 现将这五十名工作人员派往 ab 两个公司去研发产品。两个公司的月工资情况如下， 这是一个表格，分别是 a 公司和 b 公司的技术员和操作员的月工资。我们来看第一问，若派往 a 公司 x 名技术员以下的工作人员全部派往 b 公司， 求出这五十名工作人员的月工资总额， y 与 x 之间的函数表达式，并写出 x 去的范围。在这里 y 单位万元和表格里面的单位万元都一样，所以我们不需要担心。我们接下来看这道题， 他让求五十名工作人员的月工资总额， y 与 x 之间的函数表达式。那我们都知道月工资总额是所有人加到一起的， 但是在这里我们要分别对应技术员的工资和操作员的工资，或者说 a 公司和 b 公司每一类工作人员的工资。所以说我们让 y 等于 等于什么？等于 a 公司的工资总和和 b 公司的公司总和。但是 a 又包含两个部分，技术员工资和操作员工资。同理， b 也是包括技术员工资和操作员工资， 就是分为这四个小类。下面我们把这四个小类表示出来，我们就可以求出 y 与 x 之间的函数表达式。现在我们来求一下公司 x 名技术员。公司的技术员对应的工资是一点八万，所以是一点八 x， a 公司操作员的工资是一点六万。那 a 公司的操作员有多少人呢？我们来看一下 题目中说派往 a 公司 x 名技术员，其余的工作人员。工作人员包含两个部分，也就是剩下的所有人全部派往 b， 所以 派往 a 公司的 工作人员只有 x 名技术员，所以说这个操作员的工资是为零的。我们再来看公司的技术员的工资，一共有二十名技术员，其中有 x 名派往了 a， 所以 还剩下二十减 x 名技术工作人员。 那 b 公司的技术员工资是一点六万，所以乘一点六。接下来我们再看一下，一共五十名工作人员，有 x 名派往了 a 公司， 还剩下五十减 x 人，剩下的这些人，其中有二十是减 x 名工作人员，所以说我们要减去工作人员就可以求出操作人员的 就是三十人，所以说这三十名操作人员全部派往了 b 公司。好，最终我们求出来了， 我们化简一下， y 等于一点八， x 加上一点六乘二十，减 x 加上一点二乘三十， 最终我们化简为零点二， x 加六十八。第一问，我们求出来 y 与 x 之间的函数表达式是， y 等于零点二， x 加上六十八。 好，我们再来看一下写出 x 的 取值范围。我们都知道 x 是 技术员，技术员一共有二十名，所以说你派往 a 公司的技术员最多不能超过二十名，所以 x 的 取值范围就是 x 大 于等于零，小于等于二十。好，第一问，我们就求出来了，我们再来看一下第二问，根据研发需要，五十名工作人员派往 a 公司四十名派往 b 公司十名请求出 月工资总额的最小值。同样的道理，要想求出月工资最小值，我们必须知道月工资总额是多少。同理，月工资总额和第一问一样，也是这四类人员的工资总和，我们来求一下，要想求出 四类工作人员的工资总和，我们必须用对应的单价乘数量，也就是他们的工资乘以对应的数量。但是这一问里面他说了派往 a 公司四十名，派往 b 公司十名。 这四十名说实话，我们不知道具体有多少技术人员，有多少操作人员，很多同学就不会了。 所以说这里我要提醒一点，你要大胆的去设未知数。比如说我设派往 a 公司技术人员 m 名， 一共有技术人员二十名，所以你派往 b 公司的技术人员就是二十减 m。 好， 已知派往 a 公司的技术人员 m 名， 派往 a 公司呢，总共人员是四十名，那剩下的就是操作人员，所以说操作人员呢，数量就是四十减 m 公里。我们推一下 b 派往 b 公司十名， 但是其中有技术人员二十减 m， 那 剩下的就是操作人员，用总数减去技术人员，也就是十减去二十减 m， 我 们化简之后是 m 减十。 所以说我们现在已经求出来了对应的公司技术人员、操作人员和 b 公司对应的技术人员人数和操作人员人数，我们分别去乘以他们对应的工资，然后再把他们加起来就行了。我们设总的工资为 w， 这里 w 就 等于一点八 m， 一 点八乘以 m 和一点六乘以四十减 m， 以及 b 公司的一点六乘二十减 m 和 b 公司的一点二乘 m 减十。这里我们基本上就把月工资总额表示出来了，下面我们也需要化简一下， 最终结果是 w 等于负零点二， m 加上十四。好！学过一次函数的我们都知道，过一次函数里面的 y 等于 k， x 加 b， b 如果大于零， y 就 会随 x 的 增加而增加， b 如果小于零， y 就 会随 x 的 增加而减少。 在这里 k 是 负零点二，所以说 m 越大， w 就 会越小，那想求 w 的 最小值，所以在这里 m 我 们就要取最大值。我们求一下 m 的 取值范围， 派往 a 公司的技术人员 m 名，在这里 a 公司一共有四十人，所以 m 理论上可以达到最大，也就是二十名技术人员全部派往 a 公司，所以 m 的 取值范围是大于等于 零，小于等于十。如果我们要参考操作人员三十名的话，其实 m 在 这里的取值范围可以更精确，要大于等于十，小于等于二十。 因为如果你不派技术人员的话，只派操作员， a 公司四十名人员将达不到要求。我们要想使 w 达到最小值，在这里 m 要取最大值二十。所以说我们把 m 等于二十去代入这个解析式，所以我们求得 w 的 最小值 是等于负零点二乘二十，加上八十四等于八十万元。到这里我们这个题就求出来了。

依次函数的应用题，是我们八下期末必考的应用题啊，今天我们来讲利润最大问题，哎，这一道题也是之前的一个期末考试真题，你看，他也是结合了当年的一个热点啊，冰墩墩，雪融融。哎，上一个我们讲的是 另外一个热点啊，荔枝，那今年大家也要关注一下，今年我们有没有后续有没有一些热点的新闻啊，也有可能结合来考，然后看一下啊，这道题， 他说啊，在三月呢，购进一批冰墩墩，雪绒绒，已知呢，一个冰墩墩啊，进价比一个雪绒绒要多七十块钱啊，这是一个关系。然后购买八个冰墩墩和十五个雪绒绒，金额一样啊，这是一个等量关系。那下面看第一问啊，第一问， 选啊，第一问，他说求冰墩墩和雪融融两种玩具的进价分别是多少？按道理来讲呢，我们可以算 x， y 也是可以的，但这个地方呢，我们实际上用一元方程会更简单，因为他题目当中明确了这个啊，冰墩墩、雪融融之间是有关系的。而且呢，你看啊，这里 说冰墩墩进价比这个什么样啊？雪绒绒多七十块钱，那我们可以选择设其中一个为未知数，而且通常我们设的是后面那个量为 x， 比如这里面我们设的是雪绒绒为 x， 那 这时候我们的冰墩墩呢，就是 x 加上七十。 好，这里是未知数啊，接下来我们就列方程啊，未知数呢，只有一个，我们只需要一个方程就可以解决了，所以这里有一个关系式可以列方程啊，八个冰墩墩，八个冰墩墩，就是八乘以多少呢？ x 加上七十等于十五个，雪绒绒就十五 x， 那这个呢，很好解决啊， x 就 等于八十啊，这是我们的雪绒绒的啊，八十，那所以呢，这个八十加上七十呢，等于一百五啊，这是我们什么样呢？这是我们冰墩墩的钱，对吧？一百五十 啊，答，我们要答啊，冰墩墩一百五十块啊，雪绒绒八十块啊。第二问，我们的最大利润啊，来了， 那依然是啊，我们第一步设未知数，列关系式啊，列不等式，求范围，我们现在设未知数，他说两者完全共四十只，哎，这比上一个题呢，哎，就上上题要简单一些啊，我们就可以设其中一个啊，我们可以设冰墩墩 m o， 许蓉蓉呢，四十减去 m o， 依然要设未知数啊 啊，四十减 m 个，然后还要还要特别要设一个。什么样呢？设它的利润啊，利润，设它的利润为 w 元啊，设利润为 w 元。好，接下来我们就先列这个关系式， 这个总的利润应该等于怎么样呢？两个部分啊，冰墩墩的钱，雪绒绒的钱。冰墩墩，他的进价是多少呢？哎，是一百五，卖多少钱呢？卖两百块，所以他一个的利润就是两百元，一百五就是五十块钱，有 m 个五十 m， 再加上呢雪绒绒，哎，卖呢一百块，进呢八十块，每一个就是二十块钱的利润，四十减去 m， 最终化简一下啊，化简一下应该是三十 m 加上八百，哎，不等这个关系式呢，我们就列出来了啊，接下来我们去找不等式，求 啊，范围不等式哪里呢？你看这里有不超过这个字样？没有哎，不超过就是小于等于的意思，但是够进这个，那就是进价喽啊，总共不能超过三千五， 那么看啊，冰墩墩进价是一百五，那是一百五十， m 加上，哎，雪绒八十块钱的进价有四十，减去 m 个，最终要小于等于三千五，那最终 m 算出来应该是怎么样子的呢？ 小于等于七分之三十，好，有了关系式，有了范围，接下来我们就要通过函数的性质求对值，那么因为 m 什么样呢？ 呃，这个地方啊，因为我们的三十是怎么样呢？大于零的，而且 m 为什么啊？为整数啊，为整数。 那所以呢，我这个当怎么样呢？当 m 等于多少的时候啊，我这个 w 会有最大值啊，它有最大利润嘛，对吧？那么要知道，当这个前面这个系数啊，我们 y 等于 x 加 b 里面啊， 我这个系数大于零的时候， y 随 x 增大而增大吗？那在这个题里面，就是 w 会随会随着 m 的 增大而增大，所以 m 越大，我的利润越大，那所以在这个范围内，我要取到的 m 应该是这个范围内的最大值， 那么呢，先估一下，七分之三十应该是多少呢？应该是四点几，对吧？四点几的话，在这个范围内的最大值应该是谁呢？是四啊，所以当 m 等于四的时候呢，我这个 w 就 什么样呢？有最大值啦 啊，有最大值，那最大值的话，他并没有让我们求这个最大率是多少，所以在这里就可以结束了啊，所以打打这时候我们的 m 是 谁呢？ m 是 冰墩墩啊，等于四个，那雪绒绒呢，一减就到了三十六个的时候 啊，那我们的这个利润就会最大，哎，所以依然是这个格式啊，就先列关系式啊，求范围，然后通过函数的性质来探讨最值。

利用一次函数的性质求参数的范围，是我们八下数学常考的填空题，那这种题呢，需要我们对于函数的趋势以及两点坐标，或者是多个点坐标之间的一个关系要非常的熟练。 那今天我们来看一下这种题怎么做。现在看一下题目，这里有两个点， a b 两个点是关于我们这个函数图像上的两个点，而且当 x 一 小于 x 二的时候，对应的 y 一 也会小于 y 二，让我们求 m 的 取值范围。 那解决这种问题呢？首先第一步要通过他给出来的两个点， x 和 y 之间的关系，得出他这个图像的一个趋势。 那么现在看一下啊，回顾一下这个依次函数的图像趋势是什么东西呢？实际上就两种，一种呢，从左往右就是上坡的趋势，像这样子呢，就是 y 会随着 x 的 增大而增大， 那这个时候是有什么决定的呢？就是我们前面我们依次函数里面的 y 等于 k， x 加 b， 这里面的 k 就是 x 前面的系数决定的 啊，那这个时候 k 就是 大于零的好。第二种呢，就是从左往右是下坡的趋势啊，这个时候呢， y 会随着 x 的 增大反而变得越来越小，那这个时候我们的 k 啊，它是小于零的 好，那所以通过这个我们就可以得到啊，哎，这个它的趋势是怎样子的，我们来看一下啊。他说 x 一 小于 x 二，那那就是 x 一 到 x 二的时候变大了， 那对应的 y 一 也小于 y 二，那也就说我的 y 一 从 y 啊，从 y 一 变到了 y 二，它也变大了，那也就说 x 变大的同时， y 也变大了，那就是 y 随 x 增大而增大。 哎，那我们就得到了这个趋势啊，增大二，增大就意味着 k 大 于零，那在我们这个节制里面啊，啊， y 等于 k x， 我 这个 k 是 什么东西呢？对应的就是这里的 m 加上一， 那也就意味着我 k 大 于零， m 加一这个整体呢，也是大于零的， m 就 会怎么样呢？大于负一，所以我们这个的范围啊，就是 m 大 于负一就可以了。

九霄仙界的流光天梯是神仙往返人间的必经通道， 仙界工匠发现天梯的升降高度与运行时间满足标准的一次函数关系。 可近日，仙界系统更新，先测数据丢失，只留下了两组关键的运行数据。正在修炼的哪吒发现天梯测算失灵， 无法精准操控天梯往返人间，立刻拿出鸿蒙先机，拨通了八年级同学的视频连线，想要求助聪慧的同学们破解难题。 哈喽，各位同学大家好，我是哪吒，现在仙界天梯没有了函数公式，没办法精准控制升降轨迹，太不方便了。 我只找到了两组真实的运行数据，目前只知道这个轨迹是一次函数，但是我不知道怎么根据仅有的两组数据算出这个一次函数的完整解析式。 听说大家已经学会了一次函数的相关知识，请大家教教我如何算出这个一次函数解析式吧！

今天给大家讲的是我们一次函数里面有参数，然后又有取值的问题，就是含餐取值问题。那么这类题相信大家都见过，就说已知关于 x 的 一次函数， y 等于 k， x 减 d， 然后呢？当 x 大 于等于一，小于等于二时，那我的 y 是 大于等于四，小于等于六，让你去求 k 和 b 的 值。 那有些孩子呢，拿到这个题的时候呢，他第一反应就是啊，我的一和四对应，二和六对应，那我直接就是 x 等于一， 然后 y 等于四， x 等于二， y 等于六，然后带到这个解析式里面去，我就不能，能就把 k 和 b 求出来了吗？对不对？那可能第一反应是这样想，但这道题 x 最小值，它对应的就是 y 的 最小值吗？ x 最大值，它对应的就是 y 的 最大值吗？这道题的核心是要去怎么办？要去讨论对不对？因为我们要去讨论 k 的 大小，为什么呢？因为 k 这个参数它管着什么？管着我们一次函数的增减性，对不对？比如说 y 随 x 增大而增大，那就是 y 取最大， x 取最大，或者说 x 取最小，那么 y 就 取最小，因为它是随着 x 的 增大而增大，那 y 要取最大， x 就 取最大，那 y 要取最小， y x 取最小， 那反过来，如果 y 随 x 的 增大而减小，那我 y 要取最大，那么我的 x 就 要取最小，那么 y 要取最小， x 就 要取最大，对不对？这道题的增减性他确定吗？不确定，为什么？因为我的 k 他 没有给什么限制，对吧？ 所以那我们就应该要怎么样分类去讨论啊？所以刚才我说那种思考的一个方向呢？他只能做出一种答案来，那么我们要去讨论啊 啊减，第一种情况应该是当 k 怎么样大于零时，对吧？那大于零的时候，我们要考虑它的增减性，就是 y 随 x 的 增大而增大， 那么增大而增大是为了说明什么呢？为了说明我们是 x 等于一的时候， y 就是 等于四，那么 x 等于二的时候， y 就 等于六啊，所以呢，应该是 x 等于一十，那么 y 等于四，那么 x 等于什么二的时候呢？我的 y 应该是等于六，对吧？那么所以我们就可以把这个带进去，那就是我们 x 等于一的时候带进去，那就是 k 减 b 等于什么？等于四以及我的二 k 怎么样解？ b 等于六，对吧？那我直接可以写解得了哈，解得，那么这个过程呢，大家自己去算一下，这个是我们之前学的一个呃，二元 一次方程组，对吧？那我们直接用下减上，那么就是 k 就 等于二，对不对？ k 等于二，然后呢，我们这个 k 等于二代进去呢？就是二，应该是减掉负二才等于四，所以 b 应该等于负二，是不是？这就是我们的第一种情况？当然我这里给大家提个醒啊，有些题他会比较刁钻，是什么呢？我们算出来的 k 的 值，如果算出来是个负数， 如果算出来是个负数，那么就不行，为什么？因为我们得到的前提条件是 k 大 零哦，如果你求出 k 是 负的，那么这种情况是不存在的啊。那我们来看一下第二种情况，第二种情况是不是就是当 你看我们绕葫芦画瓢，是不是跟着顺着这个写，只是说他是增大而减小吗？是吧？那就是 y 随 x 的 增大而 减小，那么 x 等于几？等于一的时候，我的 y 应该是取到最大值六啊，那么 x 等于二的时候呢？ y 应该取到最小值等于四，那么可以列出是怎样的是吧？那我的 k 减 b 呢？等于六，然后我的二 k 减 b 呢？等于四，那么直接写解得，那么解得什么呢？解得我们一样的用下减上吧。二 k 减 k， 是 不是？ k 负 b 减去负 b， 那 就是负 b 加 b， 那 等于零，那所以 k 应该等于负二，是吧？ k 等于负二加进去，那么负二减 b 等于六，那么我们这个负 b 应该就等于八，是吧？ b 应该等于负八， 所以这就是我们的第二种情况。所以那么我们看一下 k 等于负二，他满不满足？ k 小 于 unk 大 于呢？是满足的，所以我们这道题的答案 k 和 b 的 值，其实他就有两个答案，对不对？这个是可以的，这个也是可以的， 那么所以这种题大家一定要记住去讨论他的 k 值的大小，也就是我们管着他的增减性的这个值的大小，才能够把这道题做全掉啊。

依次函数的应用题是我们八下期末常考的题型，而且像这个数形结合的应用题是我们依次函数的应用题中最有难度的题型。他要求我们对这个运动的状态和图形要能够一一匹配，而且又要求我们从这个复杂的图形里面去探讨多种的情况， 所以今天的话，我们通过一个视频把它完全搞清楚。现在读一下题目，他说这里有两个人约好去爬山，那么甲和乙呢？他们攀爬的高度就是距离地面的高度和他们攀爬的时间的图像是这样子的，那一看这个图像就非常的复杂啊， 那么现在初步的分析一下，这个甲和乙他分别是怎么爬的啊？可以看到这一条已经标出来了，他是甲的一个呃，图像，甲的图像呢？他一开始这里从一百开始的，说明了什么？他一开始爬的时候就已经距离地面是一百米了， 他整个过程当中都是一条直线，说明他的速度啊，都是保持一致的。然后呢，我们可以看啊， 以呢就分成两段了，一开始 o a 这一段他是从零开始爬的，就说距离地面从最底下开始爬的啊，爬到这个地方他的速度啊，你看这个图像啊，变抖了，说明他的速度变快了。 哎，这是第二段，他有两段的一个过程啊，而且这两条 ab 这段和 cd 这段有交点，说明此时啊，他们在统一高度上啊，同样的一个高度上。 好，这是大概的我们图形的一个解答啊，接下来我们看一下，第一问他求什么呢？ t t 在 哪里呢？是 a 点对应的时间，就说我的这个乙啊，从零走到了三十米的地方，然后他用了多少时间？ 那这个很简单啊，我们知道在一段上他的这个变化啊，速度变化是一样的，所以他们速度一样，速度怎么求呢？速度是通过路程除以时间得到的，所以我们可以看到这里有一个标了，一和十五的啊，一个点， 也就说他从零走到十五用了多少分钟啊？用了一分钟，所以他的速度就可以怎么样呢？用十五除以一就等于十五 米每分钟，这是他的速度。那现在我要求这段里面，他走了三十米的情况下，用了多少时间呢？就用三十这个这个路程除以他的速度就三十除以啊，十五就等于两分钟了，所以说 t 等于二。好，第二个问的第一个呢，他说 如果一提速之后，乙提速就是指 a、 b 这一段他的速度将是谁呢？甲的三倍，他就会问甲的上升速度是多少？ 那甲的这段只有一个数据，要算他的速度还是比较难的啊。那我们可以通过先算乙这段的速度来求，对吧？那乙这段怎么办呢？依然是用怎么样啊？速度等于路程除以时间，路程是怎么样看的呢？ a 点到 b 点，从三十到三百，他走了多远呢？走到二百七十米， 然后他用了多少时间呢？这里是二刚我们已经算出来的，两分钟的时候，到十一分钟的时候，一共用了十一减二，用了九分钟，那就用二百七除以九等于三十米每分钟， 这是谁呢？这是乙的速度，那乙呢？又是甲的三倍，那除以三，那甲的速度就是十米每分钟。好，第二问他求什么样呢？甲，在登山的过程当中，他的这个函数表达式，这个也很简单啊，我们已经知道了什么样呢？ 知道他是一条一次函数，而且没有过圆点，所以他是啊，一次函数，我们可以设来解数， y 等于多少呢啊？ y 等于 k， x 加上 b， 接下来我们代入两个点的坐标就可以了，就是零到一百和我们这个点到三百，但这个点呢，没有，我们可以也可以计算啊， 因为我们已经知道假的速度了，速度就是三百减一百，这个路程除以这里的时间就是这个减去零嘛，就是这个 t 啊， 那我们速度已经知道十了，他走的路程是两百，那我们就可以求出他的时间啊，就是两百 除以十就等于二十，比如说用了二十分钟，所以这个地方就是二十啊。现在我们就可以把这两个点啊，二十到三百，零到一百带进去，就可以求出他截式，这个求出来是多少呢？ y 就 等于呃，十， x 加上一百加一百， 那你说这个有没有更快的方法呢？有，首先我们要知道啊，这个 b 是 什么？是函数与 y 值的焦点，它已经是一百了，所以我们直接可以得到 b 是 等于一百的。第二个呢，这个 k 是 什么？是变化的趋势，在这个图形里面，变化的趋势就是速度的变化， 这个速度是等同于 k 的， 我们已经算出速度是十，所以它 k 就是 等于十的，直接可以得出它几个式也是可以的啊。好，第三问 啊，这是 y 甲的，然后现在他说甲乙两个啊，距离高度差为五十米，那么请写出满足条件的这个时间 x 的 值。那这个是我们这个题当中最有难度的部分， 那怎么来探讨是最好呢？他的情况到底有多少种？我们通常是找到这个拐点和交点，比如说这个是拐点，这是交点，这也是拐点，用线啊，把它画下来。整个过程呢，我们就分成了四个部分，这条线左边的，两条线之间，两条线之间，这条线右边的。 那每一种，每一个区域呢，都有可能相差五十，那这个五十，所有的五十，就是说要么假在前面啊，假在上边或者移在上边，他们一减就等于多少呢？等于五十在图像上表示。为什么样呢？在这个区域内，上面的这个 y 减去下面的这个 y， 刚好等于五十啊。 那么先初步从左边这个部分开始出发，看判断一下他否不符合要求啊。那很明显第一个阶段是不符合要求的，为什么呢？ 第一个阶段，我的这个乙啊，爬到最高的地方才是三十，这个甲一开始就是一百了，所以说我的最高和他的最低都相差七十了，所以在后面的过程当中肯定会越来越大啊，所以不可能相差五十。第一个阶段呢就排除掉。 那第二个阶段呢，那就是甲是在上面的，也就是说甲还是爬爬的比较高的，乙呢，要矮一点，他们两个一减呢，等于五十是有可能的啊，有可能。所以这个时候我们怎么来列式呢？就用甲的这个，呃， 我们的这个结式减去怎么样呢？乙的结式，那这个时候呢？乙的结式我们要去求啊，乙的结式呢，这里有两段啊， 第一段我们就判断它已经不成立，我们就不用求了，我们求出啊， a y a b 这一段， y b 呢，两个点都知道了，我们就直接设结式啊，带两个点的坐标进去就可以了啊，这个算出来呢，就是 y 等于三十， x 减去三百啊，三百 啊，减去三十啊，这个等于三十。好，接下来我们就可以探讨这种情况了啊，哎，上面减，下面就属于呢，甲减去乙，哎，甲的在这里啊，十 x 加上一百，减去我们的三十， x 减三十，最终相差五十， 哎，相差五十，这个是可以算出来的， x 等于多少呢？ x 等于四啊，这是一种情况。第二种呢，哎，他跑到哪里呢？经过这个交点处啊，他们相等了，然后已跑到前面去了，这个时候也有可能已减角是可能的啊，已减角就反过来了， 哎，三十 x 减三十，减去十， x 加一百，哎，加一百等于五十，最终算出来 x 呢，是等于九的，这也可以， 还有一种呢，是怎么样呢啊，来到这里呢，这个乙呀，已经爬到三百米，他就不爬了，接下来就是甲一直在爬，对吧， 哎，一直在爬呢，他们的距离啊，逐步在缩小，也有可能是相差五十的情况，那这时候呢，我们就怎么列式呢啊？第三个式子啊，我们写这里就是用上面的三百，哎，减去我们甲的这个关系式啊，就是 十 x 加上一百等于五十，那这个也能算出来是等于多少呢啊，这个 y 是 等于 x 等于十五的，那所以总的来讲呢，我们这里啊，所有的 x 的 值呢，就有三个 x 就 等于四或者九或者是十五。

这个视频我们来讲一道八下，同学在学一次函数单元一定会碰到的一个难点题型，是一次函数跟实际应用的结合，像这种题型的话呢，百分之九十五的同学思路都是不清晰的，但其实这种题型只要三步核心思路就可以非常轻松的解出来了， 那这个视频花三分钟来带大家梳理这三步核心思路，像以后这类型的实际应用都能够轻松解出来。好，那还有更多一次函数单元的一个重点题型， 我都整理到了这份一三二四的专项练习里面，可以拿去练习巩固好。我们来看一下这个题目特征哈。题目特征的话呢，首先会给出一些信息 啊，通常来说都会有 ab 两款呢，或者加一两 d 啊之类的这种信息哈。然后的话呢，是给出了一些进价跟售价给出表格的信息，并且设出了这个书包的个数是 x， 并且后面一堆东西好。然后最后的话呢，就问 怎么样才能获得最大利润，然后去求最大利润。如果是像运费那些的话呢，就是最低运费，然后去求最低运费。好，那这种的话，其实相当于是一次函数跟实际应用结合中的最值问题，也就是要用一次函数，然后去结合到实际应用去求最值 好。这边来看一下这个核心解析思路哈，其实解析思路非常的简单，就是三步，第一步的话呢，是要先去求自变量，也就是 x 啊，通常是 x 的 一个取值范围， 然后第二步的话去求函数解析式，第三步去根据自量取值范围去求对值就可以。为什么是这样子哈？我们来看到去掉这个实际应用之外，我们来看到一次函数什么时候是有对值的呀？一次函数，比方说哈，如果是这样子，一个 k 大 于零的一个 函数的话，那它是没有最大最小值的，对吧？因为是一条直线吗？然后是没有最大最小值的，所以如果说要取入这个函数的最值的话，其实这个 x 的 话，它就需要有一个取值范围，比方说这个 x， 这个是 x 一， 这个是 x 二， 是这个取值范围是在 x 一 到 x 二之间，那对应的话，也就是图像就是这段， 那什么时候有最值啊？很明显就是这个点嘛，对吧？也就是 x 等于 x 二的时候是有最值的， ok， 所以 为什么需要有这个 x 的 取值范围？就是为了取到直线变成一个线段，这样子才能够去求最值。那同样的，当这个，呃，一次函数它是 k 小 于零的情况下， 它也是一条直线，所以的话呢，也是需要说，哎，这个有一个曲值范围在这里，它才能变成一个线段， 然后才能有最大值和最小值。所以的话呢，套到实际应用里面，那我们需要找到的元素就是第一个是 x 的 曲值范围。曲值范围的话呢，会根据题意会有实际意义跟题目限定两种。什么是实际意义呢？比方说书包，书包它个数 它是要大于等于零的，对吧？这个就实际意义嘛，然后题目限定是什么意思呢？比方说题目中这里的话，能看到哈，如果勾进这两种书包的总费用不超过 一万八千元，也就是小于等于嘛？这里的话就会出现一个不等式， ok， 那 这里的话就会得出，综合去得出 x 的 一个取值范围 好了。第二个呢，求函数的解析式，那也就是根据题意去得出，我们看到哈要获取最大利润，也就是去找这个最大利润跟这个 x 之间的关系嘛。这边题目已经设了是 w， 哈利润是 w， 那 也就是去找 w 跟 x 之间的函数关系， 那然后再在这个取值范围内去求最值就可以了啊，就是这样子的思路。那我们结合到这道题来讲解好。第一步的话呢，先去求这个数量的取值范围，首先实际意义，实际意义的话就是这个书包的个数是 x， 那 这个 a 是 x 的 话， b， 也就是我们看到哈一共是四百个吗？ b 的 话就是四百减 x 吗？ ok， 实际 e 的 话，也就是 s 代等于零，四百减 s 代等于零，对吧？然后再看到题目限定，题目限定的话，也就是刚才说了购进两种书包的总费用不超过一万八，总费用在哪里啊？也就这一项嘛，就进价嘛，对吧？所以的话就是 a 的 费用加上 b 的 费用 小于等于一万八就可以了。所以第三个不等式，也就是四十七 x 加上三十七乘上书包的，呃，那个 b 书包的个数也四百减 x， 然后是小于等于一万八， 那就可以了。好，那这里的话就可以去列出这个不等式组，然后去解出来，那解出来的 x 是 大于等于零，然后是小于等于三百二十。好，第一步就做完了， 就求这个自变量取这个方面吗？第二步是求这个函数解析式，我们看到哈，最后是要求这个利润最大，所以的话呢，是要去找利润跟 x 之间的关系。题目已经设出来了，利润是 w 了，所以的话，也就是要去求 w 跟 x 的 关系嘛， 总利润，总利润也就是 a 的 利润加上 b 的 利润， a 的 利润是什么呢？也就是 a 的 个数乘上它一个的利润就可以了吗？ a 一个的利润，也就是它售价减去进价六十五减四十七，这是 a 一个的利润，再乘上 a 的 个数，也就是乘上 x 好， 然后再加上 b 的 利润， b 一个的利润是五十，减去三十七，然后再乘上 b 的 个数，也就是四百减 x， 好，那这个就是 b 的 利润， a 利润加 b 的 利润就是总利润，然后化简这个函数。解析式，等于五 x 加五千二， 好，那第三步的话，就是根据这个取值范围，然后去呃求这个最值就可以了吗？来，我们看到这个函数，它的图像大概是怎么样的？大概是这样子一个图像，对吧？所以的话呢， 它 k 是 大于零的，所以是一个，呃，就是倾斜向上的这样子一个图像， k 大 于零的情况下，所以是 w 是 随着 x 的 一个增大而增大了，所以我们看到也就是零到三百二十， 是这一段，对吧？那什么时候 w 最大值啊？很明显，这个 w 最大值就是当这 x 等于三百二十的时候吗？ 所以带进去，带进这个解析式里面去，就可以求出 w 最大值六千八百，那就可以了， 好，同学们可以做好笔记，像这种一函数求最值，问题都是这三步。核心解析思路可以点赞，保存，反复学习，那像这些属于课内的重难点内容以及课外的拓展内容，我都整理到了我的系统视频里面，如果说有需要了解和试听，可以在下方留下这三版本。

这种一次函数和几何综合的大题，一定会在我们八下期末出一道压轴题，那这种题目他解析的方法非常固定，今天啊，依依老师就教大家三步法，轻松搞定这类题目的答案。 那有关于一次函数的综合大题啊，我们常见一共有十大类题型，老师都给大家总结出来了，而且每一类题型它的方法都非常固定， 所以我们现在学题不应该是单单的刷题了，而是应该养成题目题型化的思维，逐个突破，你后面在考试当中遇见这类题目，才能举一反三好不好？下面咱们就来一起看看这道题。 说已知函数，它的图像与 y 轴交于 a 点，这是 y 等于 x 加一啊，那 a 点不就是零一了，对不对？这就是零负一了。好了，依次函数 y 等于 k， x 加 b 过点， b 零负一，哦，这是零负一呗。标图 与 x 轴以及 y 等于 x 加一的图像哦，交于 c 和 d 两点。好了，现在说 d 点的坐标告诉你了，是 e， n， 让你求 n 的 值 来看地点，地点是两个函数图像的焦点。第一个问很简单，由于它既在 y 等于 x 加一上，又在 y 等于 k， x 加 b 上，所以我直接把它带入这个已知的解析式去求 n 就 行了。 所以带进去咱们就有 n 等于一加一也就等于二，所以地点的坐标就是一二了，对不对？哎，第一个问白给分的，咱们就求出来了， 求出来之后呢，咱们去看第二个问，让你求 y 等于 k， x 加 b 的 解析式。由于我们想求这个解析式，得知道两点的坐标，咱在这已知了一个地点，在这已知了一个 b 点，所以直接代入，我们就可以求第二个的函数解析式了， 求出 y 等于三， x 减一就是这个函数的解析式了。接下来我们来看第三个问，也是我这个视频要主要讲解的求四边形 a、 o、 c、 d 的 面积。这个四边形是个不规则的四边形，那该怎么求呢？ 所以在这我们要借助一个方法，叫做割补的方法。哎，咱们要把它分成两部分去求面积，那怎么分呢？你会发现啊，在这这一段已知是一对吧？这一段我能求出来，因为它就是这个函数图像与 x 轴的焦点嘛， 所以我得分三角形的时候，分成两个面积已知的三角形，所以在这啊，我就连接 o、 d 这么去分。 所以第三个问啊， s 四边形 a、 o、 c、 d 的 面积就等于三角形 a、 o、 d 的 面积， a、 o、 d 的 面积是啥呀？二分之一以 a、 o 为底，以谁为高啊？ 以地点横坐标的绝对值为高，是一对不对。同样 c、 o、 d 的 面积怎么求呢？二分之一底乘高，我们可以选择 c、 o 为底。 哎，以地点纵坐标的绝对值为高，那 c、 o 的 长度是多少啊？来在这求一下。哎，我们直接令什么 y 等于零，那三 x 减一等于零， x 求出来，不就等于三分之一了吗？ 所以这一段的长度，它就是三分之一，也就是二分之一乘三分之一，再乘以它的高高，不就是二吗？ 所以我们很容易可以求出最终的答案，就是六分之五，它的面积也就求出来了。所以遇到这种题，咱们一定要巧用面积公式，选择合适的方法再来求解。

初中阶段一共有三大函数，一次函数，二次函数，反比例函数，而其中我们最早接触的就是一次函数，可以说，一次函数学的好不好，会直接影响另外两个函数的学习，最后直接影响中考分数。 所以啊，一次函数我们一定要学的扎实，明白，那孩子们刚开始接触一次函数的时候呢，碰到的第一个坑就是这种平移的题目了。 很多时候呢，孩子一看到题目里面啊，说图像去进行平移，然后就开始吭哧吭哧的画图了。但是这种题啊，恰不是用画图的方法做的，而是用一个方法大招，哎，今天我会把这个大招教给你，并且带着你把这道题给他搞定。 学完这道题之后，再把林老师给你整理的依次函数的八大题型拿去练习巩固一下。平时做题没有思路，你只要对着老师给你的解析，一步一步按步就把它练习，考试能多拿二十分。好，那我们来看题， 将 y 等于三， x 减二的图像向左平移五个单位，再向下平移三个单位，然后求平移之后的图像解析式是多少。 那这种题呢，千万不要去画图解决，因为我们有方法大招啊，叫做左加右减自变量，上加下减常数项，老师来教你怎么操作。咱们呢，先把这个原式给他写下来， y 等于三， x 减二， 好来第一个左加右减自变量啊，那他这里是左五对不对啊？所以呢，我们要进行一个左五的变形，我们呢，就对自变量向左进行加五 啊，那就是 y 等于三，自变量是谁？自变量就是这个 x， 所以呢，我们给它括个号啊，变成 x 加五，其他照抄啊，其他照抄。这样子呢，我们的左五就变形完毕了， 接下来再来变这个向下移三。哎，那么这个口诀的后半句，上加下减长竖项，我们呢长竖项就是这个，后面这个减二，所以呢，我们只要给它变成一个啊，下三啊，那就是 y 等于三， 其他不变啊， x 加五，然后呢，减二的基础上，我们再来减个三啊，那最后把这个答案给它化简一下就出来了，我们来化简一下啊， 三， x 加上十五，然后呢再减二减三，也就是减五，那加十五减五，最后就变成了加十啊，这个也就从最后的答案 y 等于三， x 加十。好，你学会了吗？

一次函数的一个基本的图像，它的性质，今天给大家讲一次函数的图像和性质，那么一次函数它的一般式呢？是 y 等于 k， x 加 b kb 为常数，且 k 不 能等于零。 那么我们一次函数呢？其实是由正比例函数怎么样平移得到的，对吧？我们的正比例函数是 y 等于 k x， 然后呢，我们的一次函数是在这个基础上加 b， 那 b 可能为正，可能为负， 那么就说如果 b 为正数，那就是由正比例数向上平移得到的。如果 b 为负数，那么就是由正比例函数 y 等于 k， x 向下平移得到的。那我们来看一下给大家分的四种情况，我们的大致图像以及它的性质。有些什么性质？我们给大家讲一下 啊。如果第一种情况是 k 大 于零， b 也大于零的情况，它就是这样子的，那就说我们过哪些象限呢？ 来，首先我们来看一下它过哪些象限。首先我们 k x 就是 y 等于 k， x 是 一个正比的函数，它 k 如果大于零，它 b 过一三， 对吧？那就是对于正比的来说，那现在加 b， b 也是大于零的，我们要向上平移，你想一下，就是过了一三，然后我们要向上平移，是不是就会过二，所以它的象限是应该是过一二三象限啊，大致图像是这样，然后呢，我们再去看一下它的增减性， 那增减性呢？我这里教给大家一个方法，就说不管现在学正比量数还是一函数，还是后面会学二函数和反比量数，那我就教给大家一个去通过图像就可以观察出它增减性的一个方法，那就说我们从左往右看， 如果我们的函数的图像再向上走就是上升，那他就是增大而减小就是我们通过图像很直观都能够看得出它的增减性。好吧， 那么我们应该是你看，从左往右看，它在上升，所以是 y、 x 增大，而怎么样增大？如果没有图像，我们是如何去判断增减性呢？ 我们的增减性依次函数中的增减性，它只和哪个值有关？只和我们 k 的 值有关，所以去看 k 的 值，如果 k 大 于零，那它就是增大而增大，如果 k 小 于零，它就是增大而减小。所以这就是我们通过解析式来判断它增减性，以及通过它图像来判断增减性这两种方法。 那么 k 大 零是不是也是增大而增大？刚才给大家讲了，然后观察图像，它也是从左往右看，是在上升，它也是增大而增大啊，所以呢，它是 y 随 x 的 增大而增大，当然它和坐标轴的焦点，这些坐标， x 轴的焦点，那它的纵坐标为零，对吧？带进去就可以把它的这个横坐标求出来， 它和 y 求的焦点是横坐标为零，带进去也可以把它的纵坐标求出来。这是我们在坐标系里面比较一个常规的一个知识点。好，那么接着看第二种情况，它是 k 大 于零， b 小 于零， k 大 于零，我们想象一下， y 等于 k， x 里面 k 大 于零的时候，它是会过一三，然后现在 b 小 于零，我们应该是把 y 等于 k， x 向下平移，向下平移以后，你看先过一三，然后向下平移，它就会过四，所以它过的象限应该是一三四。 它的增减性呢？是不是根据刚才讲的，看图像从左往右再上升，是增大而增大，然后看 k 值，它也是大于零，也是增大而增大啊，这里所以 y 随 x 的 增大而增大，所以呢，我们这里会发现它的增减性只和什么有关？只和 k 值有关啊， k 值有关，也就是我们 x 前面这个系数，它的大小有关。 好，我们来看一下。第三种是 k 小 零， b 大 于零这种情况，那 k 小 零呢？是 y x 在 那儿减小了，或者看图像从左往右看，它在下降，对不对？然后呢， k 小 零的时候，它 b 过二次，然后呢， b 大 于零就要向上平移， 向上平移二四，向上平移的过程中会过第一项线，所以它应该是过一二四项线，那么它的睁眼性，刚才给大家讲了，看 k 可以， 看图像都可以，对吧？那所以都是 y 随 x 的 增大而减小 好。第四种情况呢，是 k 小 于零， b 也小于零， k 小 于零过二四，然后我们 b 小 零是向下平移，那么二四向下平移的过程中就会把三象限过掉，所以他就应该过的是二三四， 那么过二三四象限，然后呢，是 y x 那 增大还是 y x x 增大减小？只看 k， 看图像也可以啊，记住啊，就说大家要在依次函数里面就看 k 的 值的大小， 以及如果解析式里面看不出 k 大 零还是小零，如果有图像，那就看图像是从左往右看，上升就是增大而增大，下降就是增大而减小， 就用这两种方法，那所以看哪个 k 小 零，对吧？或者说图像它是从左往右是在下降，所以 y 随 x 的 增大而减小啊，那这就是我们。

最近有不少家长找林老师吐槽，说孩子八下数学学到一次函数之后就突然跟不上了。 原因呢是一次函数的图像变化多端，课本没有讲透，考试的题目却很灵活，孩子呢，是靠死记硬背记知识点的，结果呢，越学越懵。其实啊，这真不过孩子不够努力，而是他用错了方法。 今天这期视频呢，林老师将做一期盘点视频，帮助孩子们把依次函数的各种图像性质做一期盘点，帮助孩子们理解并记住依次函数的每一种图像的由来。只要把这个方法学会了，以后这种题就是送分题。 学完之后，再把林老师给大家整理的一次函数的十大题型拿去巩固练习一下，只要把里面的题型搞定啊，期末轻松多拿二十分。好，我们来看一下这个表格。首先，我们得认识一下，所有的一次函数都可以写成 y 等于 k， x 加 b， 这个叫做标准式。 然后里面的这个 k 和这个 b 呢，它对图像是起到决定性的作用的。首先先来看一下 k 啊， 那么 k 在 一次函数里面呢，又叫做斜率，它决定了这个直线的倾斜程度。 什么意思呢？就是如果当 k 是 大于零的话，它这个图像一定是往右上方走的，也就说，它的变化趋势一定是这样子的一个形状啊，只要 k 大 于零，它就是往上走的。 然后呢，如果这个 k 是 小于零的啊，那它的图像一定是这样子的一个下降的趋势，明白吗？所以呢，你看， k 决定了上升或者是下降，然后呢， k 还决定了它的增减，是什么意思呢？你看我们作为一个平面直角坐标系， 往这边是不是 x 在 变大呀？对不对？然后你发现这个图像它是往上走的，所以越往右你会发现这个 y 它是不是往上走了呀？所以呢，我们这就叫做 y 会随着 x 的 增大而增大，这个就叫做增函数的性质。然后再来看下面这个还是一样，咱们往右看，会发现这个 x 在 变大的时候，这个 y 呢，它在往下掉，对不对？所以这个 y 呢，它会变小， 我们这种情况就叫做 y 随 x 的 增大而减小，所以现在大家有感觉了吧，就是这个 k 呢，它直接决定了它的倾斜的方向，变化的趋势，还有它的增减性。那接下来我们来看一下，这个 b 又决定了什么？ b 呢？在我们的一次函数里面，它有个专门的名字叫做截距，那么截距指的就是这个图像和 y 轴的交点，是什么意思呢？我来给大家讲一讲啊。 就像咱们以这个 k 大 于零，而且 b 大 于零的这个示意图，我们一画你就知道了。首先因为 k 是 大于零的，我们前面讨论过，它是往上走的，而且这个 b 呢，它是跟 y 轴的焦点啊，也就说它 b 大 于零的话，它的焦点一定就在这上面，所以我们就可以画出这种情况的这个大致的示意图， 又要往上走，又要过这个 b 点啊，这就是它的示意图了。好，那么经过什么象限呢？你看一二三，它经过了一二三象限，你看接下来再看这个题， b 是 小于零的，那么它与 y 轴的交点呢？就小于零，也就是它交 y 轴在下面， 我们又要往上走，又要交这里，所以它的图像呢，画出来是大概这样子的，对吧？所以它交一三四象限。好，再来看下面两种情况， k 小 于零，那它就往下走的喽，对不对？然后 b 是 大于零， b 大 于零的话，与 y 轴交点在上方，所以它的图像就会变成这个样子啊。经过一二四象限，再来看最后一种情况， k 小 于零 b a 小 于零，说明，首先你要往下走，而且你的焦点呢，要在下面啊，所以你只能怎么画，你只能这么画 好，那经过二三四象限，所以这就是我们全部的性质，你看，你学会了它的底层逻辑之后，根本就不需要死记硬背。 接下来，为了帮助大家理解，我再拿一道例题出来，请看这道题，若直线 y 等于 k 加 b， 经过了一二四象限，则这个直线是下列的哪个图呢？ 首先呢，咱们来画图解决，它说经过一二四象限，那么一二四它的图是长这样子的，对不对？那么根据我们前面学的性质，我们可以知道它是往下走的，那么 k 就 小于零，没毛病吧？然后呢，焦点在这里，说明这个 b 怎么样？ 是大于零的，是不是？好？再来看我的问题，现在的斜率变成了负 b， 然后呢，这个截距变成了负 k， 那 根据我们这里的 b 大 于零，那你的负 b 就 得干嘛？就得小于零，对不对？说明你的直线是得要 往下走的啊，往下走的，那是不是瞬间排除了这个 b， 它是往上的吗？还有这个 d 它也往上的吗？两个排除了。 再来看这个负 k， 我 们前面已经有了这个 k 是 小于零的，那么负 k 自然就是大于零了，所以负 k 大 于零，说明我们的这个焦点是不得在上面呢， 对不对？你看他这个焦点在下面，那他就不对了啊。所以你看这么一顿分析，答案是不是轻松选出来 a 啊？所以你看，只要有了方法技巧，这种题啊，秒变送分题，你学会了吗？

八下数学一共有两大亚洲难点，一个是平行四边形，一个就是一次函数。这道题好了，他把平行四边形和函数结合在了一起，下面我将会用两句口诀，轻松的带着大家秒出这类选填亚洲题的答案。 那有 v i p 向量数与几何图形这类综合题，老师特别给大家做了一个专题，就是考验大家知识综合和复合压轴题型答题能力。如果咱们孩子现在做这种题目，还经常有困难， 没有思路，家长们一定要打印出来，逐个题型的，咱们来进行练习。下面呢，咱们就来一起看看这道题啊！说平行四边形的一边在坐标轴上， b 的 坐标已经知道了是哪个二 直线 f n 呢？它是 y 的 k x 加 b， 把平行四边形的面积分成相等的两部分，这是不是考察平行四边形的基础性质？什么性质啊？之前老师就给大家总结过，哎，过平行四边形 对角线交点的直线，可以任意把平行四边形分成面积相等的两部分，无论你怎么分怎么分，左右两边都是相等的。 所以你明白这个道理，你就知道，他既然能把平行四边形面积分成相等两部分，那就说明这条线一定过一点，这一点就是什么。 对了，平行四边形对角线的焦点了，而对角线的焦点是什么？是不是两条对角线互相平分呢？ 他是不是一定是任意一条对角线的终点呀？所以求出我们对应这一点的坐标就比较容易了。这是六二，这是零零 终点坐标公式，终点求平距，我们很容易可以求出终点坐标为三 e 终点的坐标已经有了，你又知道他与 x 轴的交汇点，这点是六零，已知两点。想求直线的解析式容不容易？ 非常容易，叫做待定系数法，直接待定就可以了。设 y 等于 k， x 加 b 一 就等于三 k 再加 b 了。来，同样零就等于六 k 再加 b 了。哎，我们解这个关于 k 和 b 的 方程就可以求出答案了。 在这里啊，我们可以解出来 k 啊，不是负的三分之一，当然 b 点呢？求出来 a 的 二，而这道题直接问你 k 的 值，那你就可以直接求答案了，也就是负的三分之一。

一次函数的共乘问题是我们每年期末几乎是必考的题型啊，是必考的一个压轴题，他要求呢，我们对正比例和一次函数的图像要非常的熟练，还要求我们能够清晰的探讨他们这样的关系，特别像这种题目，他给你一个双重 buff， 给你叠加 buff 啊， 那又怎么样呢啊？原本定义当中 y 点 k 加 b， 那 我给你个解释，也有 k 也有 b， 那 这 k 和 b 之间到底是什么关系啊？很多同学就搞不清楚，那今天的话，我们一步一步给大家讲清楚，那在讲之前的话，我们现在回顾一下这个正比例和一次函数的图像， 那总的来说，我们正比例和一次函数呢？总共有六种图像，正比例呢有两个，一次函数呢有四个， 那这里呢？影响他们这个图像不一样的一个因素在哪里呢？就是两个字母，一个是 k， 一个是 b。 我 们先来看一下 k， k 无论是在正比例还是在异次函数，他们影响的东西都是一样的，就是趋势。 什么叫趋势呢？就这么从左往右来看，像这种呢就是上坡啊，上坡，像这种呢就是下坡，下坡，下坡。那这个呢，就 k 来解决啊， k 来决定。那上坡的时候呢， k 统一都是大于零的啊， k 都是大于零的， 下坡的时候呢， k 都是小于零的，这只 k 都是小于零的。好，那这个 b 这个字母决定的是什么东西呢？这个决定的是与 y 轴的交点位置 啊，交点位置，那如果说我这个图像与 y 轴交在这个地方，这是 y 的 正半轴，那你比如说这个也交在正半轴，那 b 也是大于零的， 那像这种呢，它交在这个地方是 y 的 负半轴，那就是 b 小 于零啊，这个呢，也是交在 y 的 负半轴， b 也是小于零的，那你看啊， k 和 b 共同就影响到了我们的六个图形。 哎，那你说，哎，我知道你的 b 去哪里了，那也就说它经过原点，相当于歪着胶带的这个零这个地方，说明此时 b 是 等于零的，所以我们的正比例里面没有这个 b 字母啊，所以我们要弄清楚啊，这两个图形， k 和 b 是 怎么影响的？好，接下来我们回到这个题啊， 来看一看。那要解决这个问题呢，首先我们要弄清楚 k 啊，我们这里我特意用红色来标出来的啊，我们定义当中的 k 是 决定了它的趋势的，定义当中红色的这个 b 决定了它是与 y 轴的交点位置的， 那他现在给出来的这个黑色的 k 呢？哎，也是我们这个 x 前面的，所以这里的红色 k 和这个黑色的 k 是 一样的道理 是等同的啊。但是呢，后面我这个红色的 b 在 这个地方表达式里面对应的应该是负 b， 比如说这个表达式里面，负 b 这个整体决定的与 y 轴的交点位置 啊，好，来到这里，正比例呢，也是这样，我红色的这个 k 啊，就是我们定义当中的 k， 它决定的是趋势，那在这个表达式里面，它等同于负的 k 分 之 b 这个整体，那这个整体决定的趋势好弄明白的这个东西呢，接下来我们要采取两步， 我们就用假设法，哎，我们从 a 答案开始，那假设其中一条，那是正确的，我们可以得到 k 和 b 的 一个取的范围。然后第二步呢，我们就把它带入到另一个函数里面，去验证它是否是正确的。那比如说，我们看从 a 答案出发，我就假设依次函数啊， y 等于 k， x 减去 b， 它是正确的。我们从它的图像上来阅读一下啊。你看，首先看趋势，它是上坡的，说明我这里的 k 是 大于零的。 然后其次看到与 y 轴的交点，哎，很明显交在负半轴。我们说了这里的影响与 y 轴的交点是我们的负 b 啊，所以此时应该是负 b 小 于零， 那么 b 呢？就是怎么样啊？就是大于零的。好，我们知道了 k 大 于零， b 也大于零，那么就验证一下此时我的这个正比例，它的图像对不对？ 那你看啊，啊，我 k 大 于零， b 大 于零，说明 k b 同号，同号为正，再添加一个负号，说明我这个整体是怎么样呢？是小于零的。那小于零的话，那个趋势应该是怎么样？下坡， 那你很明显啊，这个证明就是上坡的，所以怎么样啊？不符合，不能共存，那就是去掉。我们再看一个 b 答案，我们依然假设这个 依次函数，它是正确的。那首先看趋势，从左往右是下坡，说明 k 是 怎么样呢？小于零的交点在正半轴，我们交点是由负 b 决定的，负 b 大 于零，反过来 b 就 怎么样呢？小于零。 好，那么现在来验证这个正比例啊， y 等于负的 k 分 之 b x， 那 你看 k 小 于零啊， k 小 于零， b 也小于零，同号哎，同号为正，再加上一个符号就是负啦，小于零，小于零的话，它应该是下坡，结果它还是上坡，还是不行， 我们再看 c 答案， c 答案呢？我们假设一次函数正确， y 等于 k， x 减 b， 首先看趋势，下坡 k 是 小于零的，看焦点， 焦点负 b 是 怎么样呢？就在正半轴大于零，那 b 就 怎么样呢？小于零。好，那这个时候我们来验证一下这个一次函数啊， y 等于多少呢？负的 k 分 之 b x。 那现在我们知道 b 小 于零， k 也小于零，也就说 k b 同号，同号为正，加上一个负号，整体是小于零的。小于零就意味着我这个正比例啊，应该是下坡的趋势，哎，好，哎，很明显啊，这就是下坡的，你看就符合要求啦， 符合要求说明它是什么呢？能够共存，能够共存，那就正确了。所以这个题选择啊， c 答案，大家自己去验证一下。

八年级期末复习这次选举的是二四到二五年桥西区第二十二题。如图，在平面直角坐标系里中，依次函数 y 等于 k， x 加 b， 图像与 x 轴相交于 a， 负三斗零， b 与 y 轴相交于点， b 与正比例函数 y 等于三分之四， x 相交于点 c， 求 m 的 值。 第一问，因为点 c 第一问点 c 在 外等于三分之四 x 上，所以我们就可以得到三分之四， m 等于四，即 m 等于三嘛。 好，那 m 等于三，所以点 c 的 坐标就是三斗四。好，然后将 a 点坐标负三斗零， c 点坐标三斗四代入 y 等于 k， x 加 b， 我 们可以得到负三， k 加 b 等于零， 三 k 加 b 等于四，所以我们可以解得 k 等于 b 等于，两者相加，是不是就二 b 等于四， b 就 等于二呀？ b 等于二， k 呢？ b 等于二的话， k 是 不是等于三分之二呀？也就是 y 等于三分之二 x 加二，这个考的挺，第一问挺基础的。 好，然后第二本这个，那就 好，第二本让我们求三角形 o、 b， c 的 面积，好，我们可以求出来一提一得，对吧？通过提议我可以得到 这个 b 点坐标应该是一个它，这个是，这个是 y 等于， 这是 y 等于三分之四 x， 这个是 y 等于三分之二， x 加二，所以 b 点坐标就是零到二嘛。 s 三角形 o， b， c 就是 o， b 的 长度乘上 c 的 横坐标，所以就是二分之一 乘二，再乘三，也就是二，也就是三。对不起，对不起，也就是三。好，第一问，第二问，前两问的话，考的挺基础的，对吧？带电系数法求解解式。然后来看这个第三问，重点是第三问， 说点 d 在 x 轴上，并且呢，这个三角形 a、 b、 d 呢？还得是等腰三角形，哎，那让我们直接写出点 d 的 坐标， 所以这考到了什么呀？我们要找等腰，所以我们就看哪条边是等腰呗，哪条边以哪条边为腰。所以这个要用到什么呀？用到两圆，一中垂。 好，我们可以第一个，我们可以以 a 为圆心， ab 的 长为半径，然后画弧， 画圆。哎，这个时候跟 x 轴相交于两个点，嗯， d， 我 把这个叫第一，这个叫第二。好，第二种情况，我以 b 为圆心， b 为圆心， ab 的 长为半径画弧， 我这个时候跟 b 为圆心，然后这个时候我是不是还会 跟 x 轴相交于两点？我把这个角 第三第四。好，接下来我应该是做 a、 b 的 垂直平分线，然后跟 x 轴 做 a， b 的 垂直平分线，然后跟 x 轴相交于一点，称之为是 d。 五，哎，这里边的话，这里边的话，这个 a 点，这不是重复了吗？对不对？所以我们不记它啊，所以它应该有四个答案，至少应该是四个答案， 一二三四， 这是第三。 好，我们来求一下啊。啊，我们知道 a 点坐标就是它的，应该是以 a 为圆心，这样去找 ab 长为半径， 应该是有两个嘛。然后第二种情况就是以 b 为圆心， a， b 长为半径，应该也是两个，但是这个跟 a， 这不是重复了吗？ 所以以 a 为圆心， a 点坐标，我们知道它是负三到零， b 点坐标也知道零到二，那这个时候 a、 b 的 长，咱是不是就可以求出来勾股定律吗？ 四加九应该是根号十三，嗯，所以第一他应该是在负三的左侧，负三减根号十三，然后到零第一，第二， 第二在它的右侧，所以它应该是负三加根号十三，然后逗，零。好，然后第三，第三的话它是在这个。嗯，第三的话来看啊，圆心 可以求一下。 第三的话，第三跟这个点 a 是 不是应该是对称的呀？所以第三应该是一个三斗零， 然后还有一个是这个中垂线上这个点，中垂线上这个点，它这是一个垂直， 是一个垂直。 嗯，这个点可以怎么求呢？中垂线上的点到线段两端点都相等， ab 的 中点可以找一下， a 的 坐标有， b 的 坐标有，所以 ab 的 中点 中点坐标负二分之三到负二分之三到二分之一， 所以这个点的坐标就应该是一个负二分之三到一。嗯，然后呢？没有学相似呢？ a b 的 解析式，我们可以求出来， y a b， 它是一个。呃， a b 的 解析式就是三分之二 x 加二嘛。 所以那它的垂直平分线它是三分之二， x 加二，那它的垂直平分线应该是 y 等于负二分之三 x， 然后把这个点对它带进去， 负二分之三， x 负一嘛，然后这应该是减个四分之五， 负二分之三，应该是负四分之六，对不对？嗯，解出来它之后，那我们令 y 等于零， y 等于零的时候，可以解出来， x 应该等于负的六分之五，其实就它稍微不不太好减，第四的话就应该是负六分之五。逗，零， 啥意思？就是我们知道这个，他这是个垂直，所以可以求出来的学率，这个点可以出来，然后这个一次函数可以求出来，求出来之后找焦点，这是两元一中垂在期末里面的考法。