郑州一模数学最后一题21种解法

今天我们来讲一下省实验二模的二十三题最后一问。我们知道郑州市二模的最后一题考察了背长中线，那么省实验二模的最后一题也是背长中线。我们来看一下题目。题目说 一个半直三角形的新定义是平行四边形，一组邻边的两个中点。比如说对于这个图来说， f 的 和 f、 b 是 一组邻边，那么一组邻边的两个中点 a 和 b 与不在这组邻边上的顶点 顺次连接所得的三角形。不在这组邻边上的顶点是点 c， 连接的三角形是 abc。 如果中点 a 或者中点 b 内角是九十度，这个三角形就称为平行四边形的半指三角形。它的第三问是这样说的，在直角三角形 a、 b、 c 中角 b， a、 c 是 九十度，那么给了 a、 c 比上 a、 b 等于一比二。如果三角形 a、 b、 c 是 半直三角形，那么这一组邻边呢？记作 a 和 b， 让我们求出 a 比 b 的 值。 好，我们就想，如果说我们遇见中点有三种做辅助线的方法，要么是斜中线，要么是中位线，要么是背长中线。一般我们求比值的题，用背长中线构造八字形全等比较多。 延长 b、 a 使得 a、 n 等于 ab， 中点加平行线，得到了蓝色的三角形和红色的三角形全等。 那么在左边，因为点 b 是 终点，所以我们同样的延长 a、 b， 使 b、 m 等于 ab， 这个蓝色的三角形和这边这个红色的三角形也是全等。那么现在我们就开始用条件来做题。 我们设 a， f 是 m， 根据八字形全等， a 的 就是 m。 我 们设 b， f 是 n， 根据八字形全等，咱们的的 n 就是 n， 因为 a， c 比上 ab 等于一比二，所以我们设 a， c 是 x， 那 么 ab 就是 二 x 左边这个八字形全等 b， f 是 n， 那 么 b， e 也是 n， b m 的 长度是二 x m， e 的 长度是 m， 我们把能标的条件都给它标上去，因为 e、 f 的 长度是二 n 平行四边形对边相等，那么咱们 c 的 长度也是二 n。 于是在二 t 三角形 a c n 中，我们就可以得到勾股定律。 x 的 平方加上 a， n 的 长度是二 x， 加上二 x 的 平方就等于斜边 c， n 是 三 n 的 平方。 在二 t 三角形 a c m 中，那么 a， c 的 平方 加上 am 的 平方，就等于 c m 的 平方。 ac 的 平方是 x 方，加上 am 的 平方， 就是四 x 括号的平方，就等于 c m 的 平方。那我们看 c m， 因为 ec 的 对边是 f 的， 所以 ec 的 长度是二 m， 那么 c m 的 平方就是三 m 括号的平方。咱们来进一步去解一下这个，我们就得到 x 方就等于五分之九 n 方。 这个方程，我们就得到 x 方等于十七分之九 m 方。那我们看一下 x 方等于 x 方，咱们就得到五分之九 n 方，就等于十七分之九 m 方。那么因此咱们 m 的 平方比上 n 的 平方就等于五分之九，乘以九分之十七，就是 五分之十七，那么 m 比上 n 就 等于根号下五分之十七，也就是等于五分之根号八十五。 f 的 比上 e， f 等于 a 比上 b， a 的 长度是二 m， b 的 长度是二 n， 那 么实际上 a 比 b 就是 m， 比上 nb 值就是五分之根号八十五。 接着它给我们一个备用图，那么给了这个半直角 a、 b、 c， 那么此时呢，需要我们把半直三角形的平行四边形补充完整，那么从这个备用图我们可以看出点， b 是 那个不在邻边上的顶点， 所以我们去补全图形。咱们知道第二种情况通常和第一种情况用的方法是一样的，于是我们也按照第一种情况做题的背长中线方法，把第二种情况补全图形。 补全图形之后，得到了蓝色的三角形和绿色的三角形八字形全等。蓝色的三角形和这个绿色的三角形八字形全等。好。第一问，咱们设了 a、 f 的 长度是 m， c， f 的 长度是 n， 那么根据八字形全等，我们 a 的 长度是 m， m 的 长度是 n， 这边这个八字形全等 c， e 的 长度是 n， af 的 长度是 m。 由于 ac 比上 ab 等于一比二，那么 ac 设为 x， ab 就是 二 x。 好。 这里边还有哪些等量关系呢？ ef 的 长度等于 b 的是等于二 n 的， 我们 c、 n 的 长度是 x， 然后 be 的 长度是二 m 仍然是在二 t 三角形 abm 中，我们就得到了 am 的 平方，加上 ab 的 平方等于 bm 的 平方。 我们看 am 就是 x， 所以 x 的 平方加上二 x 括号的平方，就得到了 bm 是 三 n 的 平方。 好。化简之后，我们就得到 x 方等于五分之九 n 方。在直角三角形 a、 b、 n 中，我们得到 a、 n 方，加上 a、 b 方等于斜边 b、 n 方，我们就得到二 x 括号，加上二 x 括号方，就等于 b， n 是 三 m 括号方， 那么咱们的 x 方就等于八分之九 m 方，所以 x 方等于 x 方，我们就得到了 五分之九 n 方就等于八分之九 m 方，那么我们 m 方比上 n 方，就等于五分之九，乘以九分之八，也就是五分之八。 好，那么此时我们 m 比上 n 就 等于根号下五分之八，那么实际上就是五分之二倍的根号十。 好。接着我们的 a 比上 b， 实际上就是二 m 比上二 n 约去二之后，也就是 m 比上 n 就 等于五分之二倍的根号时。所以整个的答案是 五分之根号八十五，或者是五分之二倍的根号时。

今天我们来一起学习 二零二六年郑州市中考一模数学试卷压轴题。 大家好，很高兴又与大家见面了啊，接着我们近期的分享，今天我们来分享一个啊，这个今天上午刚考的啊，郑州市的一模二模，当然是合并的一个中考试卷数学试卷的一个压轴题啊， 试卷出的，呃，相对于往年的这个这个题，这个这个出题的模式啊，其实呢，还是有一点变化的啊，他更加侧重于这个什么呢，从探讨题当中去寻找规律啊，你像这个第 五题啊，还有这个第七题啊，求解答题的问题，我不知道是不是命题老师换了啊，对不对，包括这个第九题，新定义的题啊，但其实出的都都挺好的，都挺好的。 嗯，其实呢，郑州的这个试卷的话，也看不出来他与这个河南省这个真题啊有有多大的联系，但是我们不能说啊，这样去否决他，对吧，好，不用做过多的评论啊，我们还是以题为主吧。好吧， 我们讲一下两道题啊，第十五题和第二十三题啊，特别是第二十三题，可能很多同学看到之后啊，做到第二问就会卡住啊， 好，十五题啊，如果在矩形 a、 b、 c、 d 当中啊，角 a、 c、 b 等于六十度， b c 等于八，那么这是一个非常特殊的一个矩形啊，这个角是六十啊，嗯，但这是一道老题啊，点 p 为对角线 a c 上的一点 p 是 对角线 a c 的 一点，将线段 a p 绕着点 p 逆时针，逆时针方向朝这个方向啊 旋转，得到一个 p q。 好， 我们首先思考，读到这先思考啊，我们要一边读题一边思考啊，读到这，那这个时候三角形 a p q 是 不是一个等腰三角形呢？那很明显是的啊，因为 a p 始终等于什么呢？ q p 对 不对？ a p 这个线段得到 p q 啊，那么这个时候它就出现了一个非常特殊的一个三角形，三十度的一个，一个等腰三角形，底角是三十度的一个等腰三角形，对不对？好，继续读题啊，点 q 在 射线， 在射线 ab 上，那么点 q 所能够存在的一个最大位置啊，那一定是怎么了，做出来这么一个啊，对吧？我们能够想到它并不是无限长的啊，好，当 p q 的 垂直平分线 m n 经过矩形一边的重点矩形四个边啊，对吧，那我们就分类讨论就可以了嘛，对吧？好，根据其中要求啊，我画了图形，好在画在在画图形之前的话，我们先把这个图做一个研究啊，这个，这个时候等一下我们会用到这个结论啊， 我们先看图中做出来这个啊，就是这个图形啊，既然是垂直平分线，那么垂直平分线上的点是不到线段，两个端点距离相等啊，那我们把 pm 线连下， 那这个小的是不是也是一个顶角是一百二十度的一个零二三型呢？哎，答案是肯定的啊，因为这个角是三十度啊，刚说顶角一百二十度，那意味着这边是不是始终是一个垂直关系啊？所以说，无论我 m n 啊， 啊，无论我，无论我 m n 交到什么地方，比如说我来做这个 m n 的 一个平行线啊，平行线，那这时候这个点我直接做垂线的话，是不是就找到了这个点 p 的 位置， 对吧？这点大家应该能够搞清楚啊，因为他这边是一个对称关系啊，对吧？但是你逆向思维也可以啊，我现在直接找到啊，对不对？那么我这样做出来这个的话，也一定是一个啊，等腰三角形 p 在 这个位置，这个大家能够搞清楚啊。好， 那我们就锁定这个什么呢？锁定这个这个终点啊，第一个第一用，但是它肯定不可能交到这个 a d 边上的啊，我们直接找到 c d 的 终点吧，好吧，但这个边是一个八啊，那么这个边就是四倍根三和四倍根三啊， 这个边就是八倍根三啊，我们先写着，然后我直接做什么呢？ m n 的 平行线啊，因为它这个 p q 是 以无论何种情况 p q 是 平行的，那么它的垂直平分线也一定是平行的啊， 好，这个时候我们做出了 m n 的 一个平行线啊，平行线，平行线，那这个时候我们交到这个点，就是对应的 m 点，对不对？交到这个 m 点，那这个时候我们直接啊，嗯，我们刚说了，怎么了啊？直接啊，过这个 m 来做它的一个垂直啊， 可能图形有点小啊，图形有点小，做他做这个 a a p 的 一个垂直，然后呢？那么这边的话就会呈现出来一个等腰三角形，也就是说 q 在 这个位置， q 一 啊， p 一 在这个位置啊，图形有点小， 对不对？就是说我们其实不用取完整的画图，我们刚得到这边是一个三十度的一个直角三角形了，之后我们只需要求出 a q 就 可以了， a p 其中要求 a p 的 长，那么 a q 怎么去求呢？ 我们观察一下， a q 怎么求呢？ a q 我 们可以借助于上面这个图形啊，这个时候我过点 q， 做出来一个数值的一条线啊， 做出来数值一条线，对不对？那么 a q 我 能不能说就等于上面这一段，而上面这一段又等于什么呢？是不等于四倍高三， 再减去啊？再减这一段，而这一段又是一个八，对吧？我这边画不太合理啊，我看的不是很清楚，这个边是八，那这个边是不是就可以求了？因为这个角始终是一个多少度呢？始终是一个六十度角，我们就不再说为什么是六十度啊， 对吧？嗯，好，那这个八的话，我们直接来算啊，直接直接计算啊，有八来除一个杠三，那就取出上面这一段，然后呢，我再用四倍杠三减它来四倍杠三来减它，那就取出来这一小段，那就意味着下面这下面这一小段， 下面这一小段就是这个直角三角形的一个斜边啊，直接用它再乘以多少呢？再乘以二分之一杠三，这就是第一种情况啊，然后口算一下，呃，直接乘以二分之一杠三，这就是第一个，那就是一个六，对不对？ 六六，再减去四啊？六减四，所以第一个答案就是二啊。好，第二种情况在哪呢？第二种情况我们也来画一画啊。第二种情况，我们假设他按照这个 m n 的 一个平移轨迹的话，首先会经过这个 q 点啊，经过 q 点来，我们先就这样画啊，就经过什么呢？ ab 的 一个重点啊，我们假设就经过 ab 的 重点。 好，那我就接下来就不用画那么多的线了啊，我做出来这个什么呢？做出来这个 m 点的位置之后啊，就是 m m 在 这个位置又是 ab 的 中点，那么这一段长就是多少呢？四倍杠三，那我 ap 怎么找呢？那我直接做这个 ac 的 一个垂线，那就确确定出来这个 p 的 位置啊，这就是 p 二， 这个 ap 我 直接答案就是四倍杠三，直接来乘以二分之杠三就可以了，所以答案就是一个六啊，答案是六，对不对？好，第三种情况，我先把这个图形先擦下，要不然看着不是很清楚了啊。 第三种情况，那就是我们随着这个这个 m n 的 不断平移啊，这个时候你会发现是不是交到哪了？交到这个 b c 的 一个终点啊，交到 b c 终点来，交到 b c， 我 们先找到 b c 的 终点，找到 b c 终点，然后直接还是做这个 m n 的 一个平行线，好吗？ 做 m n 平行线，比如说这个时候也是一个非常特殊的一个三角形啊，三十度的一个直角三角形，这个边是一个四啊， 啊，那么这个边是我们刚说要直接直接直接锁定出来这个线段就可以啊，就是 a n a m a m 直接来乘一个二分之高三，那就求出来什么呢？求出来这个 p 的 位置啊， 这边这个 p 啊，因为这边的话就仍然是一个比较特殊的啊，两个，一个九十度的，一个这样三十度，一个这样三角形，还有一个顶角是一百二十度的一个等腰三角形啊，好 好，那这个边是四的话，那么下面的一段那就是四来除以杠三啊，对吧？我们直接写答案啊，四除以杠三啊，然后我再用什么呢？我再用八倍杠三来检测啊，八倍杠三，然后减去四除以杠三，就求出来这一段长，那么这一段长怎么弄呢？是，我再扩注，乘一个二分之二就可以了， 二分之二三，所以说这个题有三个答案啊，三分对应应该是一个答案，一分啊，好，我们还是乘法分配律计算啊。第一个就是十二，对不对？ 六啊？三，哎哎，四十二就是十二，十二，再减什么呢？再减去一个二啊，所以答案是个十啊，这三个答案二六十啊。好，接下来我们来看一下这个试卷的一个最后一题啊，试卷我只粗略浏览一下，具体的话就是粗略看一看啊， 然后圆的题，二次函数对不对？当然也是一个二次函数和几何的一个综合啊。好，来，二十三题，我们只看二十三题啊， 他说也是一个新定义的题啊，一个三角形的一边是另一边的二倍，那么这个三角形就称之为和谐三角形啊。好，我们先往上移动一下啊， 第一问啊，第一问，第一问，他是一个具体的例子啊， bc 等于二倍的 ab 啊，然后这边是一个角平分线，我们一定要学会去利用其中的条件。这边是一个中线，那中线的话，是不是就出现什么呢？就出现了， 就出现了什么呢？这个线段啊，是不是就等于这个线段，对不对？因为本来是在二倍，那这时候这三个线段都是相等的啊，这三个点都相等。 好，第一位，让我们猜想 b、 d 和 a、 e 的 位置关系，所以说等腰三角形顶点就变成线，是不就一定是垂直且平分几边的，对吧？所以说啊，这个题的这个题位置关系，我们只需要位置关系啊，位置关系，当然位置关系就是垂直关系，对不对？ 垂直平分当然也可以啊。好，第一问啊，这是第，接下来我们看第二问啊，第二问在第一问的权下啊， bc 等于二十六，我们直接在其中去标记一下这个信息啊， bc 是 二十六，那就是十三，那就是十三，对不对？ 那这一问，第二问，可能很多同学都会卡住啊，这个卡住的并不是说少部分的学生啊，而是大部分的学生啊，可能你平时啊，呃，一百一百多分啊，可能在这个地方也会卡住啊，这个时候就要去，好，我们先分析吧，好吧， a e 是 一个十，那意味着这个边是五，这个边也是五，对吧？ 然后让我们求 b d， 很 明显我们很轻松可以求出来什么呢？可以求出来这一段是一个十二，对吧？五十二，十三啊，但是，但是这一小段怎么求呢？哎，可能同学觉得啊，没有办法去做啊，这个时候我们就需要去从题中去发掘问题啊，去，去找到这个问题。 好，呃，我们经过了一番的尝试，我就不再呃讲我的一个思考的一个过程了啊，嗯，对吧，我们首先啊，能够找到什么呢？找到啊，找到平，我们根据什么呢？根据角平分线分析段成比例啊，这还是用到这个我之前分享过的一个结论啊， 因为什么呢？因为这个边是十三，下面这两个边这个边是一个二十六啊，所以说这个时候你会发现 a d 来比上 c、 d 是 不是也是一个一边有关系，对不对？ 也是一笔的关系？好，在结合题中告诉我们的信息的话，其实我们这个三角形可以来解，哪个三角形呢？非常重要，三角形 a、 b， e， a， b， e 这个三角形可以来解了，怎么解呢？我们需要做出来这么一条，这么一条高线啊，这么一条高线， 对不对？哎，我们可以用等级法来，等级法来求啊，那就是这个高的话，比如这个点是 m 的 情况下吧，好吧，那么这个 am 就 应该等于多少呢？ am 就 等于啊，嗯， 哎，十乘十二十啊，直接写吧，十乘十二直接来除一个十三，对不对？这个高啊？但这个时候我们刚说了啊，因为 a、 d、 b、 c、 d 是 一个这个一边有关系啊，那这个时候我们可以借助啊，要求 b、 d 的 长的话，我们可以把它放在这个三角形中进行求解，对吧？把 b、 d 放在这个 一个一个，一个一个，只要三角形中利用固定力来进行求解，所以说这个线段是不也一致了，对不对？这个线段也一致了，没问题吧， 所以这个线段也一致了啊，那么这个线段一致之后啊，我们再借助于这个三角形的一个相似啊，就是三边比仍然是一个五十二十三啊，比如这个点是一个 n 吧，好吧，这时候我们先求出 d n 啊，那么 d n 怎么求呢？ d n 啊，因为 d n 比 am 是 不是就等于二比三关系啊， 对吧？所以说我们就可以求出 d n 啊，来，求出来，求出来吧，所以 d n 就 等于啊，呃，那就是前面这个是十三分的一百二十啊，来换颜色啊， 就是十三分之一百二十，再乘以什么呢？再乘一个三分之二，对不对？好，由 a m 求出 d n 啊，由 d n 之后，我们再利用这个三角形啊， 这个 b d n， 这个三角形，这是一个直角三角形啊，这个三角形满足五比十二比三，对不对？所以说啊，这个时候我们就得到了 b d 直接就等于啊， 嗯，是不是五分之十三，再来乘一个什么呢？再来乘一个 d n 就 可以了，对不对？ d n 来乘以五分之十三啊，因为 d n 比 b， d 等于五比十三啊，对吧？我们不用去算出来就最后的数啊，前面不用去算出来啊，等下最后回余分啊。十三分之一百二十啊， 乘一个三分之二，然后呢？再乘一个五分之十三，对不对？好，十三十三可以约分了啊，那然后呢，这个三和这边可以约个三四十，然后再约分八，对不对？所以说八一十六啊，所以说这个边就是一个十六啊，好，这是第二问啊，所以说第二问很多同学都会卡住啊， 一百一百多分啊，就是一百一十分以下的同学可能都会卡住啊。来，我们接下来看第三问啊，那就更不用说第三问了啊，第三问可能更加有难度啊，这个数据要求我们的，虽然题看起来并不难啊，就这个数据要求我们的知识储备啊，非常的充足跟扎实啊。 来，我们一会看一下啊，拓展延伸啊。嗯，呃，和弦三角形 a b c， b c 等于二倍的 a b 啊，仍然和 d a， 那 前面的图是一样的啊，并且 a b 等于二倍的 b m， 这个时候你会发现啊， 是不是出现了一个呃，两次的一个呃，相似啊，两边乘 b 的 加角线的，因为 ab 等于啊，等于它的二倍，对不对？而这个边也是也是这个边的二倍啊，所以说再加上这个夹角相等等，这时候这俩三角形就是一个相似的关系啊，相似关系对不对？肯定相似的啊。 啊，那还有什么条件吗？还有角 abc 的 屏幕线，我们把这个角标记啊，这个时候其实角非常的关键啊，我们等一下要找到一个非常重要的一个信息啊，这是一个角屏幕线，然后呢，与这边这个角屏幕线啊，然后相交于点 o 啊， 好，通过观察读到这我们就不再说了啊，然后让我们求的是三角形啊，这三个边分别是 a、 b、 c 之间的关系啊，这个边是 a， 这个边是一个 b， 然后这个边是一个 c 啊，好，看起来是非常新颖一道题啊，其实还是还是要从这个两个最基础的信息边和角去出发啊。 好，我们先观察这个图形，首先我们刚说了啊，第一个，我们能得到这个三角形 abm， 然后相似于三角形 abm， 相似于 c b 啊， cba， 对 不对？ cba 啊，所以说这个时候我们就得到了这边的这个角 c 是 不是就等于这边的角 a 啊，我在图中标记一下啊，就是这个角，这个大角， 那就等于这个角，对不对？好，接下来啊，接下来我把 a o 延长一下吧，好吧，把 a o 延长一下啊， 我把 a o 延长一下，延长这个点，假设是一个点 n 吧，假设是一个点 n 啊，那这个时候你会发现啊，你会发现，嗯，是不是它是一个等腰三角形呢，你看一个红角加一个绿角，一个红角加一个绿角，比如说角谁呢？ b a n， 一个红角加一个绿角，那这边的话这个角是不是也是一个红角加一个绿角，外角对不对？外角对吧？我再标一。那么多啊，我写出来 就等于角 bna 啊，这个时候就出现什么呢？就出现一个等幺三角形啊，也就是说啊， b a 就 等于啊 b n， 对 吧？他其实就和前面这个题啊，前面这个图非常类似啊，这个地方是垂直关系，对不对？垂直关系啊，所以说这个时候我们要能够发现这一点啊，他其实就是相似，达到一个角度相等， 好得到这个相等之后啊，再结合题中告诉我们的一个什么呢？等腰三角形其中一个角平分线，那就意味着这边一硬也是一个垂直关系啊，三线合一啊，垂直垂直，并且我们能发现这个 a 就 可以转移到下面来了，对不对？那这个时候这个问题就变得比较简单了啊 啊，接下来我刚我自己尝试的方法是硬算啊，硬算，硬算什么意思呢？我，嗯，抢就是呃，非常非常僵硬的去把它算出来，我并没有啊，取巧的去找到他们之间的关系啊，我接下来还是硬算啊，因为我没有过多的去，没有很多很多的时间去研究他啊， 对吧？包括录视频的话也有时间啊，大家下去可以自己研究一下。我硬算的目的是什么呢？硬算，因为接下来就出现了一个直角三角形和还有这边这个 c， 那 怎么去硬算呢啊？这个里面我们所以说我要求呃，这个知识储备就比较多啊，我假设我再做出来一个高线，好吧，做出一个高线， 就这个点是一个点 e 吧，好吧，这个点是一个点 e， 首先我们能知道，嗯， n e 是 不可以求出来，对不对？我们先把这个求出来， b n 边，那就是一个根号下 a 方加 b 方，对不对？ a 方加 b 方啊，好，接下来我用到这个直角三角形，斜边形的高出现了一个三个相似啊，里面的设设计的一些结论啊，就是摄影定律，对吧？摄影定律啊，就是什么呢？ a 的 平方，我们首先第一个尺子， a 的 平方，就等于啊，恩 e 来乘一个啊，根号下 a 方加 b 方啊，这是第一个尺子，我们得到了恩 e， 对 吧？得到恩 e， 我 等会要把这个 c 还有 a 和 b 放在一个直角三角形中进行求解，当然，那么这个时候的 o e 啊，我也我也可以求出来， o e 就是 什么呢？ o e， 那 是不是就等于啊 a 再来乘一个什么呢？ a 再乘一个 sin 啊， sin 这个角，对不对？再乘以 sin 这个角，而 sin 这个角又等于什么呢？啊， sin 这个角是不就等于啊， 啊， sin 这个角，对吧？ sin 这个角，角角，我们写个角 n 吧，好吧，那就等于啊 a 再乘一个 啊 c c 我 这个角的话，我们把它放在这个大三角形中，那就是一个 b 来除以一个根号下 a 方加 b 方啊，我这是硬算的方法啊，可能这个方法并不是很好，但是 这个题的话，呃，他把它转换成代数问题也是没有问题的啊，对吧，因为我短时间内并没有想到更好的一个方法，好， o e 也求出来了，然后呢， a e 也求出来了，对不对？那这时候 c 呢？ c n 是 不是也知道了对不对？ c n 就是 一个刚下 a 方加 b 方，这样的话，我强迫用购物定底，是不是就可以得到一个证明啊？来，也就说 c 的 平方，我们接下来写下 c 的 平方就等于 o e 的 平方。 o e o e 的 平方，那这个时候就是 根号下 a 方加 b 方分之 a 乘以 b 括住的平方啊，这是 o e 的 平方，对吧？没问题啊。然后呢，我再来加上一个什么呢？再加上一个 c n 再加 an e， 对 吧？ c n 我 先写，上面是一个根号下 a 方加 b 方， 而 n e， 我 们刚刚说是一个根号下 a 方加 b 方分之 a 方，对不对？ a 方来除以它啊，它们两个相加，先整理下这个尺子吧，分母有理化，相当于是啊，分母通分一下， 钢化 a 方加 b 方。分子啊，那这个数分母原来是一分子，分母都乘以钢化， a 方加 b 方，那就出现一个 a 方加 b 方，再加 a 方，是不是出现个二、 a 方加 b 方，对不对？那么这就是，这就是什么呢？这就是 c e 啊， c e， 然后我们再平方来 c e 的 平方啊， c e 的 平方，也就是说 o e 平方加 c e 平方，就等于 c 的 平方， 那那就是根号下 a 方加 b 方，分值啊。二、 a 方再加 b 方或者的平方啊。好，当然这个尺子我们最后肯定能化进去了， a b c 之间的关系啊，我们也一块化减下。好吧， 但这个方法其实并不太提倡啊，这是没有办法的办法，对不对？好，仍然就是 c 方这边保持不变，分母的话仍然是一个 a 方加 b 方啊，通分，直接通分啊。第一个就是 a 方出现了一个 a 方 b 方啊，然后呢？再加上后面是一个三 a 四 a 方啊， 四 a 方啊，然后呢？再加上四啊，四 a 的 四次方啊，四 a 的 四次方，对不对啊？没，没问题啊，四 a 的 四次方啊，四 a 四次方，没问题啊。哎，这个有没有问题？没问题吧，为什么会出现一个二次方呢？我们再检查一下有没有问题啊？ 没问题，对吧？嗯，没问题。刚刚下 a 方加 b 方啊，嗯， a 方啊，等于 n e 来乘一个它啊，也没问题啊，对吧？好，那就是四 a 方再加上一个什么呢？再加上四 a 方 b 方啊， 然后我再加上一个 b 的 四次方啊，加 b 的 四次方。好，这个尺子怎么去化解它呢啊？我们分子，我们观察一下分子，我们看一下能不能对它进行一个因子分解啊，当然我刚也是 想到这一点，之后啊，我就没有再往下做了，然后直接给大家分享了。来，我们看一下啊，就是四 a 的 四次方啊，然后再加上一个五 a 方 b 方啊，然后再加上一个什么呢？再加上一个 b 的 四方，这个数大家看一下是不是可以因式分解啊？一四，对不对？一一。那这样的话就出现一个 a 方加 b 方啊，对吧？所以说就出现一个，我们直接写这个答案吧，所以说 c 方就应该等于约到一个 a 方加 b 方，那就出现一个四 a 方再加上 b 方啊，好，正确答案， 这是没有办法的办法啊，当然大家也可以再尝试一下，看看有没有更加取巧的几何的关系找到这个关系啊。好，这个试卷其实并不是很难啊，如果说考的不好的话，记得 啊，多去存最基础的知识，去找到原因啊。好，这个试卷我们就分享这么多啊，如果说觉得我的分享对你有所帮助的话，记得点点关注，点点爱心，下载观看我们下个视频，不见不散啊，分享永不止步，我所能给，远超你所能见。

今天我们来讲一下最新高新区九校联考的第二十三题，题目是这样说的，在直角三角形 abc 中，角 abc 是 九十度，那么将三角形 abc 绕着点 a 逆时针旋转，得到三角形 a m n， 但是这个旋转有一个范围是 r 反大于零，小于九十度，然后延长 m n 交 bc 于点的。我们直接来讲第二问，在旋转的过程中，当 a n 平行于 bc 时，那我们看一下它旋转的这样一个轨迹， 我们三角形 abc 绕着点 a 逆时针旋转的时候，当 a n 平行于 bc 时，那么大概就是现在这个位置 连接 c n b m 延长 b m 交 c n 于点 e。 第一问，求证 n e 等于 c e， 我 们来观察一下 n e 和 c e 在 这里，那么一般有平行有终点，我们马上就想到终点加平行线得八字形全等。 所以如果咱们把 a e、 c e 放在八字形里边，如果能够证明全等，那么我们圈一就能够得出 a e 等于 c e。 我 们来看一下这个构造的八字形全等， 咱们可以延长 a n 与 b e 相交于点 f， 这个时候呢，就避免了 a n f 不 在同一条直线的情况。 那我们看第一问，咱们 b 的 等于的 m， 我 们就可以得到角的 b m 等于角的 m b， 而咱们角的 m b 的 对顶角是角一，而我们角的 b m 的 内错角是角二，那所以我们就得到了角二等于角一，于是我们就可以得到边 n f 等于 m n， 而在旋转之前， m n 的 对应边是 bc， 于是两个红色三角形的相等的边，我们就找到了加上对顶角，再加上 我们角的 b m 和角二相等，这两个红色三角形就全等了，那么全等之后，我们就可以得到 n e 等于 c e。 接着我们来看一下第三问，第三问说直角三角形 a、 b、 c 两直角边的比是三比四，那么在这里就埋下了一个分类讨论的伏笔，到底哪两条直角边之比是三比四？是 a b 比上 bc 是 三比四？还是说 bc 比上 ab 是 三比四？那么注定这道题是要复利讨论的好。首先我们看它让我们求的结论是 a n 减去 a b 比上 c e， 那 我们看一下啊。如果是第一种情况， a、 b 比上 bc 是 三比四，我们就设 a b 是 三 k， bc 是 四 k， a c 是 五 k， 那 么由于旋转 an 的 对应边就是 ac， 那 么 an 也是五 k， 现在我们的分子 an 是 五 k， 而 a、 b 是 三 k， 对 于这个比值来说，我们的分子已经确定是二 k 了。 那么看一下分母 c e 怎么求？既然点 e 是 c n 的 中点，那么我们就去求 c n 就 可以了。求线段，一般来说，我们会把它放在直角三角形中，那么如果我们过点 c 去做垂线， 咱们这个交垂足是点 p， 那 么实际上我们四边形 a b c p 就是 矩形，那么 c p 的 长度就是三 k， 而 a、 n 的 长度是五 k， a p 的 长度是四 k， 那 么咱们 p n 就是 k。 在 这个三角形当中，斜边 c n 就 等于根号下三 k 方 加上可以放，那么就等于根号十 k， c n 是 根号十 k， 那 么我们的 c e 等于二分之一， c n 就是 二分之根号十 k， 那 么此时我们的分母 c e 也确定了，就是二分之根号十 k， 那 么二 k 比上二分之根号十 k， 结果就是五分之二倍的根号十。这是咱们的第一种情况， 那么接下来我们看第二种情况，如果 bc 比上 ab 是 三比四，那么我们的 bc 就是 三 k， 我 们不再换图形了啊。 然后 ab 就是 四 k， 那 我们的斜边 ac 仍然是五 k， a n 是 ac 的 对应边，那么 a n 也是五 k， 我们此时 a n 减 ab 的 长度就出来了，分子就是五 k 减去四 k， 那 么接着我们看求 c e 用和第一种情况的同样方法，那么我们也是过点 c 做 c p 垂直 a n， c p 的 长度就是四 k， 那么 ap 的 对应边就是 bc 三 k， 那 么 p n 呢？就是二 k， 此时 c n 就 等于 二倍的根号五 k， 那 么咱们 c e 的 长度就是 c n 的 一半，根号五 k， 所以 此时它的比值就是 k， 比上根号五 k， 就 等于五分之根号五，那么 叉三就是两种情况，一个是五分之二倍的根号十，一个是五分之根号五。

今天我们来讲一下陀罗密定律。陀罗密定律主要是在圆当中存在的一个定律，那么如果没有，在圆中也是指对角互补的四边形具有的结论， 那么今天先来证明一下。首先我们在 b 的 上取一点 e， 使得角一等于角二， 那么因为角一等于角二，弧 a 的 所对的圆周角角三等于角四， 那么两个蓝色的三角形就相似。我们把相似比写出来， a、 b 比上 a、 c 就 等于 b， e 比上 c 得，咱们把比例式换成乘积式，就得到了这样一个式子，标为圈一。那么第二组相似呢？是咱们这个 紫色的三角形和红色的三角形。因为刚才我们已经知道角一是等于角二，那么角二加上这个公共角角三就等于角一加上公共角角三，于是我们就得到角 b， a、 c 等于角的 a、 e。 根据咱们同弧所对的圆周角相等，那么咱们角四就等于角五。因此紫色的三角形和红色的三角形就相似，那么咱们也把相似三角形的对应边之笔写出来，把比例式转化成乘积式，就得到了圈二这个等式。 然后我们让圈一加上圈二，左边加左边就得到了它，那么右边 a c 乘以 b， e 加上得 e， 而 b e 加上得 e 就是 咱们 b、 d 的 长度。 那所以陀罗密定律它的结论实际上就是对角互补的四边形对边乘积之和，那么 a 的 和 b， c 加上 a， b 乘以 c 的 对边乘积之合，就等于对角线之积。 那么在今年二零二六年郑州市一摸当中的第二十题也用陀罗密定律去解决了线段的长度。

今天带来的是郑州市异模数学难题解析选择题第八题，难点在于将零和点转化为函数，有焦点转化成方程。有十根。选择题第十题，难点在于从 e、 p、 f 三点 分别做垂线计算，得出 y、 y 不 变。填空题第十三题，这道题是反比例函数知识点填空题十四题可以直接看出圆心小格子全都是正方形。填空题十五题三种情况，关键点在于 pm 垂直于 ap， 所有直角三角形都有三十度的锐角。解答题二十一题第一问，用垂直平分线的做法。第二问，运用正弦函数。解答题二十二题。难点在于第三问，根据直线 y 等于 x 减二设顶点坐标，代入函数顶点式转化成 y， y。 关于 q 的 函数， 求极值。解答题二十三题第二问，角 c、 d 的 终点记连接 e， g 计算 x。 第三问，求 abc 数量关系转化成直角三角形内三边数量关系。关键点在于证明 a o 垂直于 o， b 延长 a， o 做 c， e 垂直于 a， o 延长线。

年河南郑州市一模的二十三题，我们来一起来看一下。一个三角形，一边是另一边的二倍，乘这个三角形为和谐三角形，一个新定义的三角形，在如图一的和谐三角形中， b、 c 呢是等于二倍的 ab， b、 d 呢是三角形 a、 b、 c 的 角平分线，那看通过图像我们可以看出来这两个角是相等的，同时 a、 e 是 三角形 a、 b、 c 的 中线，这句话其实告诉我们， e 为 bc 终点，那 b、 e 和 bc 的 关系也就是也是清楚的。二倍的 b、 e 等于 bc， 那猜想 b、 d 和 a、 e 的 位置关系，我们看到图像很很容易能猜到它是垂直关系啊，所以我们回答的时候第一问呢，它的关系就是 b、 d 垂直 a、 e 证明的时候，我们看一下 b、 c 等于二倍的 b、 e， b、 c 也等于二倍的 ab。 有 这两个条件，我们可以推出来 b、 e， 它是等于 ab 的， 那这就是个等腰三角形，那三角形 a、 b、 e 呢，为等腰 再加上一个角平分线， b、 d 是 平分角 a、 b、 e 的， 所以它就是垂直的，是根据等腰三角形三线合一的性质，那就挣出来我们想要的第一个结论了 啊。第二段尝试在一的条件下，一的条件也就是角平分线和中线都存在，然后让求解 b、 d 的 长度，其中给到了 bc 是 二十六， bc 是 二十六，那这里是十三， a、 e 是 十。根据刚才我们正的过程中发现它是等腰直角的话啊，等腰三角形的话，加上一个垂角平分线，三线合一，它也是中点，所以这两个是五。那么很容易用勾股定律能够求出 b、 f 是 十二， 然后求的是 b、 d 上 b d， 还有个 f d 代求解。那发现 e 是 中点的话，中点呢？我们之前学习的过程中学过这个背长中线法，但这个呢，背长中线的目的呢，是把一个三角形， 它的边通过一个全等的方式转移到另一个位置。这里我们不用对长中线，我们直接让过点 c 做 a， e 所在直线的垂线垂足。假如是 m， 这很容易得到的是对顶角相等，然后直角以及 b、 e 和 e、 c 相等， 我们有两个三角全等，也就是三角形 b， e， f 全等于三角形 c， e， m 这两个三角全等。 全等以后，我们可以得到的是 e， m 等于五， mc 呢，我们也能得到它等于十二，这是五和十二。所以要求 f、 d 的 时候，我们发现 f、 d 和 mc 是 平行的，平行线所截对应线的乘比例，我们就可以得到 af 比上总长 am 等于 f d 比上 m c 啊，这里我们甚至可以用三角函数来处理啊，就是这个角，它的对边比邻边，在这个三角形中等于大三角形中的对边比邻边。通过这个比值呢，我们很容易求出 f、 d 的 场是等于四的， 那最终答案呢？是 b d 场是十二加四等于十六啊，推出 b、 d 呢等于十六。好，第三问，我们来看下第三问。 第三个 bc 的 长呢，是等于二倍的 ab， bc 的 长是二倍的 ab 的， 它也是一个满足上面这个条件的一个三角形 m， 在 这个 bc 上写 ab 等于二倍的 bm。 注意，两个二倍啊， ab 等于二倍的 bm。 然后角平分线呢？是这里一个角平分线，这里又一个角平分线啊，交于点 o、 o 点与 a、 bc 的 距离分别是 a 和 b 和 c， 它们的距离有什么样的等量关系 啊？这个等的关系呢，我们看一下啊，不好猜测，但是根据我们上一问我们做的那个辅助线呢，我们可以再去复刻一下，这个注意啊，我们要延长这个 a o 过点 c 呢？还是做它的垂线， 写个点 q 吧。这个时候我们感受到啊，如果这个位置假如我们还是一点，那根据刚才我们写的那些数字呢，这是 a， 这也是 a， 那 这个就是 b， 所以 关系呢，我们可以在这里看到啊，只要你做个垂直的话，那就是二 a 扩起来的平方加上 b 方等于 c 方，也就是四 a 方加上 b 方等于 c 方的。 还有几个问题，第一个问题是，就是这个两个三角形为什么能全等啊？这里有垂直，那这里为什么是垂直？这是个问题。另外第二个问题呢，是这个一点，为什么是中点啊？因为在第二个这个图二中呢，没有这些。我们解决这个问题的话，这个题答案就是这个。我们先解决这个垂直的问题 啊，由这个 ab 等于二倍的 abm 加上这个 bc 呢，等于二倍的 ab， 其实我们可以看到啊，这两个是一个比例关系， ab 比上 bm 等于了这个 bc 比上 ab， 大家都把它除过来，都是等于二的， ab 比上 bm 和 bc 比上 ab 比之相同，而且这个角 abm 是 公共角，加上这个公共角就是角， abm 等于角 cba， 这两个加在一起呢，我们可以得到的是相似三角形 abm 相似于三角形 cba 啊，这个位置有个相似的目的啊，是这个角角一等于角 acm， 然后我们为啥要去搞这两角相等呢？是因为我们想证的是 a b e 呢，是一个等腰三角形啊。那这个角角二，我们发现角二呢，它是等于角 c a o 加上角 a c m 的， 然后 c o 就 这个 这个位置，加上这个是外角，对吧？咱们的角 b a e， 它是等于角一，加上角 m a o 的 c o 和 m a o 用角平分线是相等的，角一和这个角 a c m 是 相等的，所以这两个可以得到角二，就等于角 b a c b a e 了。角二等角 b a e， 我 们就得到一个等角三角形，其实就是三角形 b a e 呢，是等腰 啊，这是最关键的一个正等的过程。这个等腰正出来之后啊，加上这本身 b o 是 平分了角 abc 的 啊。 当我们有这个等腰之后，那 b o 呢，它就垂直于 a e 了，根据三角合一的性质，又垂直而且平分啊，而且是 a o 还等于 o， e 就 等于 a 了， 那刚才的 b e 呢，它就等于二分之一的 b c 了，那也同时 e 是 终点。所以后面呢，就简单了啊，我们知道这里垂直，知道终点，那我就可以用类似于上面那一个的全等来去往下推导，又推导出 o。

来，我们看一下正宗一摸这个压轴题。如果一个三角形的一边是另一边的二倍，那么乘这个三角形为和谐三角形 abc 中 bc 等于二倍的 abbd 是 三角形 abc 的 假平衡线， ae 是 三角形 abc 的 中线。猜想 bd 和 ae 的 位置关系，并说明理由。根据和谐三角形这个定义，这里边 bc 等于二倍的 ab， 而 a、 e 是 中线，也就 b、 e 等于 bc 的 一半，也就等于 ab， a、 b、 e 是 等 l 三角形， b、 d 是 角平分线，等 l 三角形三线合一，顶点平行，与 d、 b 的 高互相重合，所以呢， b、 d 和 a、 e 的 位置关系是垂直的。 第二问，尝试应用在一的条件下， b、 c 等于二十六， a、 e 等于十，求 b、 d 的 长，这里面 b、 c 等于二十六，那 b、 e 就 等于十三，也就 ab 也等于十三， a、 e 是 十， abe 是 等 l 三角形。刚才咱说了，这个 b、 d 是 顶点的平分线，三线合一，这个 f 是 a、 e 的 终点，所以呢， ab 等于十三， af 等于五，有勾股定力可以得，这个 bf 的 长是十二，现在让求的是 bd 的 长，咱需要求 fd 的 长， 求 fd 的 长，这个 fd 是 谁确定， fd 是 谁确定的？就是这个角平分线啊。这个点 d， 关键是看一下这个 fd 如何求要求这个 fd， 我 因为这个三角形 a、 b、 c、 b、 d 是 角平分线，角平分线本身它有个性质，内分对边成和这个角的两条加边对应成比例，也就是说 ab 比上 bc 等于 ad 比上 cd。 但是这个定的向量没有了，我简单的证明一下， 过点 a 做 a， r 平行于 bc， 交 b、 d 的 延长线与点 l， 这时这个角 abd 和角 l， 它两个都等于角 dbc， 一个是内错角，一个是角平面的定义。所以呢，这两个角相等，所以 ab 它是等于 a、 l 的 这两段相等。 ab 与 bc 的 比是一比二，那 a、 al 与 bc 的 比，他也应该是一比二。这时做这个平行线之后，他有一对八字形相似，有这个八字形相似，咱可以看到，这个 a、 d 比上 c、 d， 他 就等于 a、 l 比上 bc， 也就等于一比二。所以呢， a、 d 比上 c、 d 也等于一比二。 这点 d 在 a、 c 上的位置咱知道了。这时我再过点 d 做 d， k 平行于 a， e 有平行于三角形一边的直线的性质， d， k 平行于 a、 e 可以 知，这个 a、 d 比上 dc， 它就等于 e， k 比上 k， c 等于一比二， e， k 比上 k， c 等于一比二。所以呢， e、 k 比上 e、 c 等于一比三，也就 e、 k 比上 b， e 就 等于一比三。 再一个看三角形 b、 k、 d 这个三角形平行于三角，这个 f、 e 和 d、 k 是 平行的，平行于三角 e 变成直线截其它两边所得的对应线段成比例可以得这个 d， f 比上 b， f 等于 e， k 比上 e， b 一 k 比上一， b 是 一比三，所以 f、 d 比上 f， b 也是一比三。 f、 b 是 十二，所以呢，这个 f、 d 它就是四， f、 d 是 四了，加上这个十二，所以 b、 d 值长就是十六。第二问结束， 第三问，咱看一下拓展延伸，如图二，和谐三角形 abc 中，这个 bc 等于二倍的 ab， 点 m 在 bc 上，且 ab 等于二倍的 bm 角 abm 的 平分线相交于点 o， 点 abc 的 点 o 与点 abc 的 距离分别是 abc 写出 abc 之间的数量关系，并证明 这里边有一个很关键的条件，就是 ab 等于二倍的 bm。 咱看在三角形 abm 和三角形 cba 这两个三角形里边， bm 比上 ab 是 一比二， ab 比上 bc 也是一比二，加个公共角。所以呢，这个三角形 bma， 这个三角形跟三角形 b、 c、 a 这两个三角它是相似的，两边对应成比例一些，加角相等，两三角也相似。这两个三角相似之后，咱可以得这个角 b、 a、 m 等于角 b、 c a、 b、 c a 这个这两个角相等很关键，因为这里边他这个条件主要是为了正这两个角而设置的。有两个角平面，这两个角平面有什么用？咱看一下啊。这里面，在这个图里边，角一等于角二，角三等于角四，我便于叙数这标上这个号，这个角五就等于这个角 a、 c、 b 三角形 abc， 他 这个内角和是三个角三个大角的和，其实也就是一、二、三、四、五，再加上这个角 a、 c、 b， 这这六个角合在一块是一百八。这六个角里边，角三等于角四，角一等于角二，角五等于角 a、 c、 b， 所以呢，这个角一、三、五分别和二、四、六相和二、四，还有角 a、 c、 b 相等， 所以呢，角一加角三加角五，它等于九十度，也就是角 a、 b、 o 等于九十度， a、 b、 o 等于九十度，那这个咱正宗这个角是九十度了。实际上，那这这时呢，我 找 bc 的 终点一连接 o e， 这个 o e 和 a o， 它两个是相等的，其实这个 a、 b、 o 和这个 e、 b、 o 这两个三角是全等的，因为呃 be 它等于 ab， 加上角中间，这个角中间公共边啊，边角边，它两个是相等的， 这时候我就把这个 a o， 把这个 a o 转成这个 o e， a o 就 等于了 o e， o e o b o c。 这三个线段我都转移到一个三角形里边，我背缠一下 o e， 背缠一下 o e， 我 延长 o e 到点 f， 然后呢，连接一下 b f， 这时这个三角形 o c e 和这个三角形 b e f， 它两个是全等的。全等之后呢，我就把这个 o c 变成 b f， b f 变成 b f 之后，这时这个 o b f 就是 一个直角三角形。在这个直角三角形中， o b 的 平方加 o f 的 平方就等于 b f 的 平方 o b 也就是 b， 这个 o f 就是 二 a b f b f 也就是 o c， 也就是 c。 所以呢，这个 b 方加上二 a 方就等于 c 方，也就是结论就是四个 a 方加上 b 方等于 c 方。好。

同学们好，今天我们就刚考过的郑州市一检数学试卷来做一个简单分析。那这里呢，我首先列出了一检试卷中个体考察的一个知识点。 从知识点来看呢，我们发现今年一检数学啊，与河南中考以及往年的一模二模整体是保持一致的。 百分之七十啊，都还是基础题，比如说选择的一到七，哎，填空的十一到十三，以及解答的十六到二十题，他都是更侧重于对基础知识以及基本能力的一个考察。但是啊，我们也发现他在考法上是略微有一些变化的， 哎，什么意思啊？也就是我看这个题，哎，怎么跟我平时练的题不太一样哎，比如说第二题，他就是把洁面三式图跟展开图放到一起来进行考了。 那第三题呢？科学计数法，以往的话，我们是直接给你一个数，让你把它写成科学计数法的形式，那这里呢，他是给出了科学计数法的一个形式，让你倒推这个数。 还有第十三题和第十七题，都是开放性的题目。第十三题呢，他是给了三个条件，让你写满足这些条件的函数表达式。按道理啊，这个题啊，同学们平时是经常做的对吧？ 但是考试的时候，有的同学被第一个条件和第二个条件限制住了，他没有看到第三个条件，关于原点对阵，导致做的时候就被卡住了。那第十七题呢，他是给了啊图表信息，对吧？哎，结合给出的问题呢，我们就需要用 规范的数学语言来描述我们看到的统计结论。那我们发现，虽然说形式上略微是有些变化的，但是他考察的知识点还都是我们熟悉的内容。 那么同时，哎，通过猎取的这个知识点，我们容易发现，在这张卷子中啊，新定义他出现的频率是比较高的。 哎，比如说第八题出了一个零和点，第九题出了一个接近度，第二十三题还有一个和谐三角形。 那新定义啊，它本质上考察的是同学们阅读理解和知识迁移的一个能力，也就是说，你要能够理解新的一个概念是什么， 然后把它转化成我们熟悉的一个知识来解决。那这里咱们举一个简单的例子来看一下，哎，比如说第八题，在平面直角坐标系中， 横坐标和纵坐标之和为零的点称为零和点。下列函数的图像中，不存在零和点的是。那通过读题，什么是零和点呢？哎，把这个点 写作 x y 的 话，横坐标和纵坐标之和为零，那就是 x， y 等于零。那解决这个题啊，其实很好做，对吧？大多数同学都是采用的这个办法，什么办法呢啊？ x y 等于零，那么 y 就 等于负 x 了。 把 y 等于负 x 带到每个选项里边，看方程有没有解，没有解就说明不存在零和点，对吧？那这里呢，我想分享另一种方法啊，这个 y 等于负 x， 我 们还可以怎么看呢？哎，我们可以把它看作是 直线， y 等于负 x。 哎，那这个图像我们是非常容易画的，是吧？ 他就是二四象限的角平分线。画出图像之后，你有没有什么想法呢？哎，这个时候我再来判断函数图像不存在零和点的话，那我就考虑把四个选项中的函数图像画出来，如果与这个 y 等于负 x 没有焦点，是不是就说明它不存在零和点啊？哎，那我们发现在解决这个题目中呢，首先是第一步最重要的，我们要理解新概念， 哎，理解新概念，横纵坐标之和为零，那我们首先设出点坐标，然后表达，接下来把它转化为我们熟悉的知识来解决。哎，你可以把 y 等于负 x 带进去，看方程有没有解，也可以画出函数图像，看图像有没有交点。 而且做完整套试卷，我们发现整体的计算量并不大，更侧重于对同学们核心素养以及能力的一个考察。比如说十七题统计，他考察的就是你有没有数据分析的一个观念。 第二十二题的第三个呢，他考察的就是有没有函数建模的一个能力。第二十三题呢，除了考察同学们的一个几何直观呀，他还进一步考察了逻辑推理的一个能力。 那整个一检考试完，有很多同学反馈，感觉一检的数学是稍微有些难的，那咱往年历年中考啊，他的数学的难度啊，一般是保持在零点六五到零点七五之间的。今年一检的数学啊，他的难度属于说是中等偏上的， 那他作为中考前的模拟呢，一方面呢，是帮助我们检查知识我们有没有掌握，哎，方便我们下一步备考中的查漏补缺。另一方面的话，可以帮助我们演练考场的一个策略， 也就是说，哎，我在整个考试的过程中，时间分配是否合理，那遇到不会的题的时候，你的做法是否是正确的呢？哎，因为下来的时候有的同学说了十七题，老师我觉着我会，但是我写过程用的时间很长，导致我后面的时间 哎，就没有了，后边的题就没法做了。那这个时候反应出来的就有两个问题，一个问题是时间分配上的一个理性，另一个问题呢，就说明你在这块是存在卡点的，对吧？那接下来在 复习的时候你就要多多注意了，多练习用规范的数学语言来描述统计的一个结论。

考一模数学试题，这一题的话，考察是一个圆的综合，第一问证明，第二问计算这个相对长度。这种圆的综合呢，往往会跟我们的相似或者勾股去结合啊，去求这个相对长。首先我们看一下这个题的背景啊， 它圆 o 与边 a、 c 相切于点 e， 那 如果相切的话，首先我们要连接圆心和切点的垂直啊，那与边 b c， a、 b 分 别交于 d 和 f， 已知 d， e 等于 ef， 这两个线段长是相等的。第一问里面让我们求角， c 是 九十，那我们怎么分析呢？你会发现啊，我连接完 o e 以后， o e 是 垂直于 a c 的， 那如果要正角 c 是 九十，那我很显然，如果我能正出来 o e 和 bc 平行，那这个问题也就解决了， 对不对？那根据这个题里面的条件啊，我们能得到的是什么呢？就是这两个角是相等的， 我只给大家分析一下，不给大家写具体的过程啊。 o e 等于 o b 啊，所以这两个角是相等的，那又因为 e f 和 d e 相等，这两个弦相等，弦所对的圆周角，哎，这个角 和这个角它也是相等的啊，所以这时候我们就能得出来这个角 o e b 等于角， e b c 内错角相等，两直线平行，就能得出来这个 o e 平行于 b c， 那 么这个地方垂直，从而得出来角 c 是 直角，那么第一问也就解答清楚，第二问的话， b c 等于三， ac 等于四，求圆 o 的 半径。那这个题的话，我们可以用什么方法用相似来解？当然我们也可以用勾股定律来做一个非常典型的相似模型，三角形 a、 e、 o 相似于三角形 a、 c、 b， 典型的 a 字模型相似。那这样的话，我们的 o， e 的 长比上 bc 的 长，它就等于 a o 的 长比上 ab 的 长， 那我们的 o、 e 是 半径，我们可以用一个小 r 来表示，那 bc 的 长呢？是三，它就等于 a o， a， o 的 话，它是一个五减一个半径。 r 啊，就是五减 r， ab 的 长又是一个五，这样的话我们就可以把 r 直接给它求出来就可以了。 那这样的话， r 求完以后呢？我们得出来答案是八分之十五，那这个圆 o 的 半径也就给它算出来了。

二六年最新的咱郑州教师出的模拟卷，这个试卷出的就是极其标准的，每一道题就是这个位置最为典型的题。 呃，这个题目的难度的设置也很合理啊，就是第十五题仍然是一个很有区分度的题，第二十三题也是一个很有区分度的，但第二十三题的前两问倒是一个送分的，也就说这个试卷的话，应该是要考到一百一十三分以上，算是一个达标的分数。 最近分析的几套试卷，发现第二十二道题这二次函数都会考一个。呃，这个比较传统的考法，而不再是应用型的。应用型的考法，这也就说这个各个。呃，名校也好，我们椒盐市也好，都保留了这种传统考法的可能。这个大家一定要掌握啊，一定要掌握。

二六年风洋外国语的亚洲题憨爆了！这道题是一个手拉手的相似模型，三层层层递进，非常好，好开始读题。在正方形 a、 b、 c、 d 中， ab 是 四， a、 d 上取一点 e， 使 a、 e 等于根。三、以 a、 e 为边作正方形 a、 e、 f、 g。 好， 这个时候关键点就来了，共顶点 a 处有两个正方形， 当在共顶点处有两个等边三角形、等腰三角形、正方形、菱形的时候，很有可能就会出现手拉手模型， 手拉手全等或者相似的核心就是基于 s、 a、 s 的 全等或相似。好，那这就这道题的核心切入点。 第一问，人家问 b 比 c、 f 的 比值，那这个时候就构造出来了手拉手的相似模型， 哪两个呢？是三角形 a、 f、 c 相似于三角形 a、 e、 b。 为什么相似呢？我们发现哦， a、 f 作为小正方形的对角线，那么它是 它自己边长 a、 e 的 根号二倍。而 a、 c 呢，作为大三角形的对角线，是它这个正方形的边长的根号二倍。 那么这个角呢？是因为是正方形，所以这是四十五，这是四十五，这是四十五。正方形的对角线平分对角，那么所以说这个角 f、 a、 c 跟这个角 b、 a、 e 都相等。那这时候我们就发现了哦， a、 f 比 a、 e 等于 a， c 比 ab 等于根号二，而且夹角是九十度，那用的就是 s、 a、 s 的 相似判定两边乘比例，夹角相等， 那所以说就得到相似。相似之后，这个 b、 e 与 c、 f 就 对应边的比值，那 b、 e 比 c、 f 啊，小三角形的这个边比上大三角形的这个边就应该等于 ab， 比上 ac 等于相似 b， 那 就是一比根号二，化简完之后是二分之根号二。好，第一问的 笔直，我们再来看假角，假角是一个八字模型，或者是一个蝴蝶模型，我们刚刚证明完相似，相似完之后，这个角就应该等于这个角，这叫相似。三角形的对应角相等，那这个角呢？又等于这个角是因为对顶角相等，那么剩下的这个角就应该等于这个角。 好，这个角四十五度，那么这个角也是四十五度。好，第一问的核心就是手拉手相似模型， 我们再来看第二问，正方形 a e， f g 绕点 a 逆这个顺时针旋转啊，就是往这边旋转。上述结论是否成立？若成立，结合图二进行证明，不成立，说明理由。那么我们答题的节奏就是先告诉他是成立的，再进行证明。 证明的过程中，我们仍然需要连接 af 和 ac， 那 这个时候就把这个辅助线交界交代出来，连接 af 和 ac， 证明的逻辑跟刚刚完全一样哦， af 是 a e 的 根号二倍， ac 是 ab 的 根号二倍。哎，这个角是四十五度，这个也是四十五度，那这两个加起来就九十， 那所以说 f a， c 就是 九十度加上这个小角，而 e a， b 呢？哦，这边是九十加上这个小角，所以说 f a c 就 等于 e a b 了。 那所以说这两个三角形仍然是通过两边乘比例夹角相等判定相似。好，那么这个角度的证明也是一样的啊，这个这个角呢，等于这个角是相似之后对应角相等，这个角跟这角对顶角相等，所以说这个角仍然等于这个角。 所以说从这里我们就看出来了哦，解答题往往都是这样，先给一个最特殊的情况，再从特殊到一般。 但是这个过程中，辅助线的做法，核心逻辑，谁跟谁相似，谁跟谁全等，基本上是完全一样的。也就说第二问不会做，我只需要看第一问做什么辅助线，第二问仍然做什么辅助线。第一问证明谁跟谁全，等谁跟谁相似，第二问仍然证明谁跟谁全，等谁跟谁相似。 好，再看第三问。在旋转的过程中，点 e 到 ab 的 距离是根号二，请直接写出 c f 的 长。好，这里要求直接写出，那我们就可以直接写答案啊，然后人家说点到直线的距离，什么叫点到直线的距离？那就是垂线短， 那么旋转的过程中，哎，那这时候我们就知道哦，以 ab 为分界，应该有一种情况是 e 在 ab 下方，而另一种情况是 e 在 ab 上方，那我们就要分两种情况啊。那么先来看人家图中给的这个情况，那这种情况 e 在 ab 下方， 那这个时候要表示距离，我就需要过 e 做 a b 的 垂线，这时候是交在 b a 的 延长线上，我们记作点 m， 那 这个距离就是根号二，那 e m 就是 根号二，而 a e 呢，其中告诉我是根三，那么根据勾股定律， a m 就 应该是一啊一， a b 是 四。也说了，那么在这个大三角形 b m e 中，那就可以得到哦，这个边长呢是五，这个边长呢是，呃，这个边长是五，这个边长是根号二，五的平方二十五加根号二的平方二，那这个边长就应该是根号二十七， 三倍根三，人家长写四 f， 那 么我们刚刚已经在第二问证明过了，在旋转的过程中， c f 应该永远是 b 的 根号二倍，那所以说第一种情况就应该是三倍根三乘以根号二，那就是三倍根六。 第二种情况当 e 在 上方的时候也是一样的啊，我过 e 做 e m 垂直于 a b， 那 这个时候 e m 就 代表这个距离，根号二， a e 是 根号三，那 a m 就 剩应该是一了，那这个时候 b m 就 变成了四减一了，刚刚是四加一，这就四减一，往往都是对称的， 那这个时候这个是三，这是根号二倍，那就是根号十一乘以根号二，那么第二种情况就是根号二十二。 所以说大题都这样，一层一层层层递进，把第一问最为特殊的情况研究透，这道题基本上就通了。

来看一下二六年郑州模考的压轴题二十三题啊！第一，先来读题啊，一个三角形的一边是另一边的两倍，称为和斜三角形。看第一问，和斜三角形中， bc 啊，这个边是 ab 的 两倍， bd 是 角 角平分线，然后 a e 是 中线，让猜测 b d 与 a e 的 位置关系。两个直线的位置关系只有两种啊，要么平行，要么相交，相交里边更为特殊的是垂直。所以说第一问很好得到结论， b d 垂直于 a e， 那 么如何证明呢？哦，因为 a e 是 中线，那箭是中线，那说明 e 是 中点，那得到 b， e 等于 c， e 等于二分之一 bc， 那人家题中告诉了 bc 等于二 ab， 那 所以说 ab 也等于二分之一 bc， ab 跟 be 都等于二分之一 bc， 那 通过等量代换得到 ab 等于 be。 哦， ab 等于 be， 说明 ab 是 个等腰三角形，又告诉了 bc 是 角平分线，那么立马可以通过三线合一证明 bc 垂直平分 ae 啊，好，第一问就证明了，到这里三分。 第二问，我们只需要做个平行线就可以了。好，我们来看一下具体怎么做啊？好，那，因为 ab 等于 b e， 我 们刚刚已经证明过了。因为第二问，人家已经说了，在一的条件下。好，那所以说 ab 等于 b e， b d 平分角 abc， 那 所以可以得到这个角 b f 一 是九十度，而且 a f 等于 e， f 等于二分之一， a e 等于五。这个用的就是刚刚说的三线合一啊，因为 bc 是 二十六，那 e 又是。呃，这个 b c 的 中点，那虽说 b e 跟 c e 都是十三啊，都是十三，那么在这个三角形中，这是直角三角形，这是五，这是十三，那勾股数五十二，十三，那就可以得到 b f 呢？是等于十二啊。好，第一个关键点，求出 b f 是 十二， 那我们再来看啊，我们做的是平行线，那既然 d f 跟 em 平行，那么这里就有个 a f， d 跟 a e m 是 个 a 字模型的相似， 那相似比就是 a f 比 a e 应该等于 df 比 e m， 那 因为 f 是 a e 的 中点，刚刚证明过的，那所以说 df 比 e m 就 应该等于一比二，那我们就得到了 e m 应该等于二倍的 d f 啊， e m 等于二倍的 d f， 那 这个跟这个平行，除了刚刚的 a 字模型，我们还可以得到 c， e m 跟 cbd 也是个 a 字模型的相似， 那相似比就是 c e 比 cb 应该等于 em 比 b d， 那 c e 比 cb 呢？因为 e 是 中点，那虽说 c e 比 c， cb 也是一比二，那虽说 em 比 b d 也是一比二，那我们就可以得到啊， em 呢是二倍的 df， 而 b d 呢是十二加 df， 那 就可以求出 df 是 四了啊， 好，等于说，呃，这个是四，这个是八啊，这个十二，总共就十六。也就说第二问，我们用了两次 a 字模型的相似啊，用了两次 a 字模型的相似，好，再来看第三问啊， 好，第三问相对麻烦一些啊。然后人家告诉了核心三角形，告诉了 bc 等于二 ab， 然后告诉了 ab 等于二倍的 bm， 然后告诉了角 abc 的 角平分线， 角 c， a， m 的 角平分线交一点 o， 然后，然后这个 o， a， o， b， o， c 分 别是小写的字母 a， b， c 让判断之间的关系啊，先说结论啊，结论是四， a 方加 b 方等于 c 方， 那么这个辅助线怎么做呢？这个辅助线是过延长 a o， 然后过 c 做 a o 的 垂线交，这个垂在外边啊，垂足，我们记作 n。 好， 那么第一个关键点是我们证明 哦，这个是一个垂直，证明，这个是终点啊，那怎么证明呢？好，那我们来看啊，因为 b、 o 是 角平分线，那我们这里标为阿尔法，这里标为阿尔法。那因为 a、 o 是 角 c a、 m 的 角平分线，这里标为贝塔，这里标为贝塔。好，我们来看啊， b、 a、 m 这个三角形跟 b、 c、 a， 这，这个三角形什么是什么关系？是一个相似啊，为什么相似？因为这两个三角形有个公共角角 abc， 而且 b a、 b、 c 等于 b m 比 ab 都等于一比二，那我们可以通过两边乘比例夹角相等证明相似。相似完了之后就可以得到角 b a、 m 等于角 b、 c a。 好， 那么这个时候我们就得到了哦，这个角呢？因为这个角是三角形 a、 p、 c 的 外角，所以这个角就应该等于被它加上角 a、 c、 b， 而这个角呢，就等于贝塔加上角 b a、 m， 那 b a、 m 又等于角 a、 c、 b， 那 所以说这个大角就等于这个大角了，那所以说三角形 b、 a、 o 跟三角形 b、 p、 o 就 全等了。 好，全等的判定是 a a、 s， 那 这两个三角形呢？那 b、 o、 p 跟 c n、 p 也是全等，为什么全等呢？因为这里是这个等于这个对顶角，然后，然后这个， 呃，这里垂直，这里也是垂直，这里为什么垂直呢？因为刚刚全等证明完了之后，这里这两个角相等，那这个都是九十度啊， 那 b p 等于 c p 啊啊，因为我们已经证明完 b p 等于 ab 了，而 b c 又等于二 ab， 那 所以说 b p 就 等于 c p， 那 这两个三角形全等也是 a s。 好， 那就知道了，这是 a， 这是 a， 这是 b， 这是 b， 那 这两个全等，这是 a， 这也是 a， 那 么这是 在这个直角三角形中就有了四二 a 括号的平方加 b 方等于 c 方，那就是四 a 方加 b 方等于 c 方。所以说第三位来说，这个相似是隐藏的比较深的一个相似啊，用的是两边乘比例加角相等来判定。好看一下。

好，同学们，大家好啊，接下来我们来看一看今天上午刚刚考过的啊，郑州市中考的一模，也是可能唯一的一次模拟考试了，然后这个试卷，嗯，刚刚考完，答案还没有出来，然后我把其中的几道题给大家讲一讲啊，有几道题还是挺有变化的， 来看第十四题啊，这个第十四题其实难度并不算很大哈，只要你知道这个垂心定力就可以了，只要根据垂心定力确定圆心，这个圆心应该在弦 啊， ab 的 垂直平分线上，也在 bc 的 垂直平分线上，弦 ab 的 垂直平分线就是外轴弦， bc 的 垂直平分线我们也很容易找到，对吧？把这个一连就可以了，你看一连正好是斜对角线嘛，是不是好，正好在这个地方， 原形就在这。然后呢，我们再连接 m、 c， 对 吧？然后如果 cd 跟它相切的话，那肯定也是垂直的嘛，我们根据一线三垂直，立马可以找到 d， 在 这个地方，这个地方就是垂直的啊，跟半径相垂直就是切线。好，这个 d 点度标是四豆零， 这个应该很快可以搞定。读完题答案，你看这可立刻知道方法，然后去做题就可以了。然后第十五题比较特殊，因为第十五题这个题他的答案不是两个，而是三个。 好，我们来简单分一下这个题啊，三角形 a、 c、 b 等于六十度，这说明啊，这三角形 a、 b、 c 应该是一个三十度，六十度、九十度的三角形，对吧？然后 pa 绕着点 p， 然后旋转至 p q， p q 正好在 ab 上用 pa， q 是 一个等腰三角形，而且这个角 a 是 三十度啊，所以 pa q 是 个什么样的三角形？ 是不是这样的一个三角形？呃， p， 我 画的有点不太像了。好，我画像一点，这个顶角是一百二十度，这三角形我们以前做过好多这样的三角形，对吧？这是 p q， 这个顶角是一百二十度， 然后底角呢？是三十度，它下面的笔是一比一，笔根号三，而且这个 p q 的 垂直平分线是 m n， 那 我们也可以把这个 m n 给画出来， 大概是这样的啊，相当于这个就是 m， 这遥远地方有个 n， 然后这个地方是垂直的，对吧？垂直的话，那么我们连接 pm 之后，那这个角是三十度，那角 pmpq 也是三十度，对吧？那所以这个 ap 就 和 mq 是 a p 啊，和 m p 就是 垂直的，所以根据这个我们就可以确定这个 p 的 位置。那他说了，将当这个线，然后经过矩形的一条中点，一个一条边的中点的时候，然后让你求一 p 的 长。当这个中点有三种情况，一个是 ab 中点，一个是 cd 中点，还有一个是 bc 中点， 所以这个题有三个答案。好，我们一起来看一看。那既然我们知道这个图了，那这个角看这个角 q 就是 b， m n， 这个角一定等于六十度，对吧？所以 m n 与直线 ab 的 这个夹角 永远是六十度，那我们就可以平移了嘛？好，你看我们把它给平移一下，是这样的，假如平移到这个地方来吧，然后恰好在，呃，终点 啊，恰好在这个终点啊，相当于这个地方他就是 m 了，对吧？这个地方就是 n n 正好在 cd 终点，没有问题吧？然后这个里面告诉我们 bc 等于八，所以这个整个 a， 整个 c， 整个 cd 啊， cd 和 ab 就是 八倍根号三，对吧？ 这个整个就是八倍根号三，对不对啊？那所以 c n 是 不是就是四倍根号三啊？这个角是一百二十度，所以三角形啊，这个三角形，我们把这个三角形给画出来之后啊，现在这个屁还没有画出来，对不对？那个刚才我们说的这个， 那这个地方是不是应该是垂直的？ p 是 不是就应该在这个地方，对吧？还应该 m p 和 a p 应该是垂直的，确定了 p 的 位置，然后呢，我们再来找这个， 找这个 a p 的 长，好，然后我们试这个点吧。啊？假如这个点，这个点是点 e 啊，如果这个点是点 e 的 话，那三角形 c n e 就是 一个三十度，三十度一百二十度的等腰三角形，根据三边的比，是一比跟一比，一比根号三，所以就可以知道 c e 这一段， 就这一段。哈。 c e 这一段啊，我给大家画一画 c e 这一段，它应该是等于十二的，既然 c e 等于十二，那我们就很容易知道这一段，你看，我们就很容易知道这一段啊，就是 a e 这一段，应该是十六减十二，应该是等于四的。好，我们再结合着这个图，我们可以观察一下啊，我们可以观察一下，他让我求的是这个 a p 的 长，那我们可以观察一下三角形，三角形，这个， 嗯， a m e 三角形 a m 也是一个三十度，三十度一百二十度，等于三角形，对吧？所以根据这个你看这个角不是一，这个角不是六十度吗？这个角 a 是 三十度，那这个角角 m a e 是 三十度角， a e m 也是三十度，对吧？那所以这个三角形 a e m 就是 一个三十度，三十度，一百二十度，等于三角形。根据三线合一，这个 p 应该是 a e 中点，所以就很容易知道这个 a p 是 等于二分之一的， a， e 的 等于二分之一的， a， e 的 也等于二。好，这是第一个答案。然后接下来我们是不是把这个继续往这边平移，然后这个图它不太好看，我把这个图重新画一下。哈，我把这个图重新画一下。啊， a， b， c， d， 好， 好，我把这个图挪这边来，好，然后相当于这个地方，这是 a， 这是 b， 这是 c， 这是 d， 好， 然后还有一条线，这个 m n， 我 把 m n 给挪过来，因为这个线呢，它是跟它一定是夹角，是六十度， 那它在这个地方我们可以看一看，重新来画一下，在这，对吧？相当于这个 m， 现在我们就让这个 m， 啊，是它终点了，然后我们再连接 ac， 连接 ac， 然后再往这做垂线， 然后这个点就是 p， 刚才我们已经分析过了，如果 m 中点的话，这是八，那这是四倍根三，这是四倍根三，对吧？好，那所以这个 pm 就是 二倍根号三嘛。然后三角形 apm 是 一比根号三比二的，所以 ap 等于六，这是第二个答案， ap 等于六， 所以第一个答案是二，第二个答案是六。那刚才我们说了，这个题还有另外一个答案，另外一个答案是什么样子的好，还是这个图，把这个图擦一下，我擦了吧，我重新画一下吧。好吧， 还是这个图好，我还是把这个图给复制一下， 那是什么样子的呢？这个图，然后这个 m n 到哪个地方来了，可以看一看， 它正好经过的应该是这个 经过的是这个啊，然后我们还跟他一样标一下，这是 a、 b、 c、 d， 那 这个地方是 m， 对 不对？好，然后我们再连接一下 a、 c， 然后从 m 往 a、 c 做垂线是不就可以了？做垂线，那这个点就是点 p。 好， 那这个时候我们就知道了，你看这个地方是终点，那这是四，对吧？ 这是四，然后这个地方也是四。好，这是没有什么问题的，然后就可以求出来这个角是六十度，然后这角是三十度，很容易求出来这个 b m b m 是 四比根号三， 也就是三分之四倍根号三，然后这个 am 应该是八倍根号三，减三分之四倍根号三，也就是三分之二十倍的根号三， 那那这一个也就很容易求来这个 pm 了，这个 pm 是 三分之十倍的根号三，没问题吧？好，然后再乘个根号三，就是这个 ap 了，答案是十， 所以这个题应该是有三个答案，二、六或十有这三种情况。第一个图你可能看的不是特别清楚啊啊，如果不清楚的话，你自己在自己的旁边重新画一下，然后一定要注意，一定要注意我们先分析的这个三角形， 我们可以看一看我们先分析的三角形 ap q， 知道 mp 一定是与 ap 垂直的，来确定 p 的 位置 就比较好做了，这是第十五题。好，接下来我们再看最后一个题吧，然后最后一个题，这个题确实有难度啊，就是有的同学可能会想不到这题该怎么去做 啊？当然这个题的第一题还是送分的啊，你看，这里面他给我们起了一个名字，什么叫和谐三角形，这是无所谓的，之前上课的时候跟大家都说过，管他叫什么三角形呢，他就无非就是给我们一个条件而已 啊。那这个里面说一个三角形的一个边是另外一条边的两倍，那看如图，一，在三角形 a、 b、 c 中， b c 等于二倍的 ab， 然后 b、 d 是 角平分线啊，角平分线，我们立刻点上两个点在角平分线，然后嘞，又告诉我们 a、 e 是 中线。好，那可以了， b e 等于 c e， 然后 b c 还等于二倍的 a b， 那 立刻连到。哎，这是是不也等于 a b， 然后猜想 b、 d 和 a、 e 的 关系，这还用猜想吗？等腰三角形，角平分线，三线合一，一步搞定。这个不需要正， 如果这个你还不会的话，那你正常考试可能就很难办了。好，然后接下来看，在一的条件下，请尝试计算啊。 那 bc 等于二十六，二十六的话，这就是十三，十三，然后 a e 等于十， a e 等于十的话，这就是五，这就是五，哎，这也是十三，哎，五十二十三，对吧，这是立刻可以写到的。然后呢，再让我们求谁的场？求 b、 d 的 场， 那这个求 b、 d 的 场的方法我猛一看好像不太好做。那这个题里面给我们呢，有个条件哈，这里面有条件，一个是角平分线，一个是中线，那我们通过这两条路都可以走， 如果通过角平分线来走的话，这个图应该这样来处理，我来给大家画一下啊，这个图是这样的，如果通过角平分线的话，我们可以这样来思考，那我们知道角平分线是呃，角 a、 b、 d 等于角 e、 b、 d， 那 然后如果我过 a 做一个平行线的话，啊，做一个 bc 的 平行线，然后再延长它， 哎，假如交于这个点 f、 e、 f、 g， 假如交于这个点 f、 g 吧，那么当角平分线和平行线一起出现的时候，那么就一定会出现等三角形，对不对？很容易知道这个角 g 看见了没？角 g 与角 a、 b、 g 和角 e、 b、 g 是 相等的，所以这个是不是也是十三？ 哎，到这就完了吧。所以这里面有沙漏形的全等，是三角形 a、 f、 g 和三角形 e、 f、 b 全等啊，全等的话，这个 e、 g 是 不是也应该等于十二，对吧？我，我换一个 b， 这个是不是也等于十二？那我们很容易求来，这个 b g 就 等于二十四了，但是他让我们求的是哪一个？让我们求的是这个 b、 d， 那 b、 d 好 求吗？好求啊，这里面还有一个沙漏形的相似呢，还有一个沙漏形的相似。同学， 相似是哪一个呢？是三角形 a、 d、 g。 相似于三角形 c、 d、 b， 它俩是三角形的相似吗？相似比是十三比二十六，是不是正好是一比二的相似，比对不对？那可以知道 d g 和 b、 d 的 比是不是也是一比二？那于是我就知道了，嗯，这个 b、 d 应该就等于三分之二倍的 b g， 也就等于二十四乘三分之二，对吧？十六啊，又等于十六，好，这是，这是这样一个题，你可以通过这种方法来思考。那罗老师，这个方法我有可能考场上想不起来，我还看到了一个条件叫终点，那这个题如果通过终点来做，可不可以做呢？可以 通过终点，我们想到的方法更多的是，更多的是什么方法呢？是背长中线， 那这个题的方法变成中线，我们可以去延长，嗯，可以倍长 a e， 也可以倍长 f e。 那 这个题里面我首选的是什么呢？首选的是倍长 f e， 为什么倍长 f e 是 因为在这是因为这个地方它有一个垂直， 它有一个垂直。好，我把这个图还补完整，同学们可以对照着看一下啊，如果我延长的话，可能会出现直角三角形，好，我把它给延长一下。同学们，看一看，把它这个 f e 给背长一下， 把这个给背长一下。好，如果背长一下的话，我们再去连接这一个，加这个是 h 吧。那这个这两个三角形是不就是全等的啊？这个太简单了，同学们，是不是这两个一定是全等的？那这个相当于也是五，对吧？这个是不是也是十二？ 好，那让我们求这个 b d 的 话，我们只要能把 f d 求出来是不是就可以了？那这个里面是不是也出来了？这有一个看见了没？有一个鸟头形的相似。好，我写一下啊，鸟头 有一个鸟头形的相似，是三角形 a， f d 相似于三角形 a， h c。 啊， h 在 这里啊，这个地方是 h ahc， 他 俩是相似的。相似比是几比几呢？相似比就是 af 比 ah 应该是 af 是 五吧， ah 应该是三个五，是不是十五？应该是一比三， 对不对？通过这个就可以知道，推出来这个 f d 比上 h c 是 不是也是一比三，然后再有 h c 是 等于十二的，然后推出来这个 f d 等于四， f d 等于四之后，然后进而就出来了这个 b、 d 是 不是还是十六？ 这种方法也是可以的，那这两个方法你考场上能想起来哪个就用哪一个啊，反正都要用相似。但是这个题 如果你要能把第三问说出来的话，那这个题可能第二种方法会更好一点。好，我们来看看第三问，这个题的难点就在第三问好，我把这个图，咱们来看看这个第三问的题怎么做的哈。好，来，我把这个图往这边拉一拉， 我重新插入一个，这样会清楚一些。啊，我重新插入一个啊，抛开刚才那个题好来看，这一个他也是一个， 也是一个。这个和谐三角形，然后当然还有这个 ab 等于 ab 等于二倍的 bm， 然后还有这个 ab 才等于二倍的 bm 的， 对吧？啊，这是一份，这就是两份，对不对？然后还有 bc 是 等于二倍的 ab 的， 这个 bc 等于二倍的 ab 啊，这是它的原始条件。 bc 等于二倍的 ab， 然后 ab 等于二倍的 bm， 然后三角形 a、 b、 c 的 角平分线 a， b、 c 的 角平分线， a、 b、 c 的 角平分线，对吧？我标一下啊，这个角等于这个角与三角形 c， a、 m 的 角平分线 a， 我 用个圈来代替这个角，等于这个角相交于点 o， 然后它到 abc 的 距离分别是小 a、 小 b 和小 c。 好， 然后让我们写出 abc 之间的关系。那我们验这种题的话，往往会猜对吧？猜什么 a 加 b 等于 c 啊， a 方加 b 方等于 c 方啊，等等啊，你都可以挨个去试一下啊。我试了啊，都不对 啊，这都不对，那这个题的结论是什么呢？啊？我们一起来看一看。先找啊，它为什么要给我们这个 a b 等于二倍的 b m？ 同学们，这个就是有公共边的相似呀。你看，那我们可以知道 b m 比上 ab 等于一比二，我们再看 ab 又比上 bc， 是 不是也是一比二， 对吧？而且他们两个有个公共的角啊。公共角是谁啊？你看见没？假角，还有个什么角？ abm 是 等于角 cba 的， 那这三个条件的共同作用下，我们是可以推出来三角形 abm 是 相似于三角形 cba， 也就是说这是一个有公共边的相似啊，对不对？同学，这是相似的这两个三角形。那相似完之后，我们还可以得到什么嘞？这个角等于这个角，我标全写标一个角一和角二吧，是可以得到角一等于角二的。对哎，不是这个角，是这个角，是角二。 好，我就全全线这样标一下。为了方便你看啊，因为这个题不需要过程啊，需要过程啊，需要你证明一下哈。我们先分析一下啊，一会再整理过程。你先看一看这个里面角一等于角二，那这有啥用啊？感觉好像没法做， 是吧？好，那我就观察一下这里面有没有可以相等的角。那看，我来现在标一下。然后这个这个角三好像等于角四吧，你看角一加角三与角二加角四，是不是应该是相等的？那这个时候我怎么办？我可以延长 a o， 延长 a o， 假设延长 a o 到点 d 吧。好，到点 d， 延长 a o 到点 d 了。哎，那我就可以得到 d， 写外面到点 d， 那 就可以得到这个角，看就可以一得 角 b、 d， a 应该是等于角 b、 a、 d 的， 因为角 b、 d， a， 它是谁？ b、 d， a， 它是角二加角四，而 b、 a、 d 呢？它是角一加角三， 因为角一等于角三啊，角一等于角二，角三等于角四，所以这两个角相等，那也就是说我可以知道这个三角形 b、 a、 d 是 一个等腰三，角三等于角四，所以这两个角相等，那也就是说我可以知道这个地方是不是还是垂直的， 这个地方是不是也是垂直的？没有问题吧？好，那我就可以得到这个 o、 d 也应该是等于 a。 哎，这个时候 ab 是 在一个直角三角形里面了，对不对？它在一个直角三角形里面，但是 abc 并不在一个直角三角形里面啊？好，这个时候我们回过头来看刚才这一个， 你看刚才这个，我们是不是在这一部分我们给背长了 f e， 背长了 f e。 好， 然后回到这个题面，回到这个题里面，我们这个时候我们背长一下 o、 d， 背长一下 o、 d。 假如说到这个点点 e 吧，这个时候我们再连接 c、 e， 那这个地方是不是应该也是垂直的被长一部分？这个是不是 a？ 因为我们很容易得到这个三角形和这个三角形是全等的，利用被长中间法来正就可以了，特别简单，对不对？哎，那这个地方是不是就是 b？ 哎，我发现了，在 rt 三角形 oc 一 中，好， rt 三角形 oc 一 中， 那我们就得到了这个 o、 e 的 平方加上 e、 c 的 平方就等于 o、 c 的 平方，那就是啥？ 二、 a 的 平方加上 b 的 平方就等于 c 的 平方，所以这个题答案是不是就出来了？等于四 a 方加 b 方等于 c 方。哎，这个题还是挺有难度的，你需要对知识的理解和应用比较好才行 啊。当然，这个题的前两问你做出来这二十三题啊，咱们说过，中考考试的时候，我们只要不失误，前两问做出来是没有问题的。第三问我们能做多少就多少，能做出来更好，做不出来的话不影响你考一百一十五以上。 但是还是希望同学们能在二十三题的最后一问拿到分，或者是在十五题的填空题中拿到分，这样的话你的数学能到一百一十八左右，就是一个相对来讲比较理想的成绩了。 好，这个过程我就不再给大家梳理了啊，因为这个详细答案马上就会出来，大家看一看标准答案上的详细过程就可以了，还会有评分标准，然后同学们好好看一看啊，咱们今天就讲这三道题，等到咱们五一假期上课的时候，如果有问题的话，咱们再一起碰撞一下思路。 好，今天的内容就是这样，朋友们好好调整一下，然后二模过后，无论你的成绩怎么样，还有一个多月的冲刺时间，好好努力就可以了。好了，今天内容就是这样，朋友们再见！

今天跟大家推荐一套试卷，周末两天做完一摸都考二十分。这个试卷是二五年去年万维的最后一套卷，叫黑白卷，黑白卷中的黑卷 难度会略高于中考，但是对于考纲的契合简直就是中考硬踢人出的一样，很好，而且每年都会猜中一些题。 这个试卷的第十五题还有第二十一题啊，这两道题还有二十三题，这三道题含金量极高，好好琢磨。

现在我们来看一下二零二六年郑州市一摸二十三题的第二问，这道题呢，我总共想出了四种方法，那么接下来呢，把四种方法的图形画出来，主要的思路说一下，然后剩下的大家可以自己去想 好。第一种方法就是过点 a 做 a， m 平行于 b、 c， 并且与 b、 f 的 延长线交于点 m。 那 么这种方法主要是用的是双八 相似。好，第一个八字形呢，是 a、 f， m 和 e f、 b 这俩三角形是全等的，是中点加平行线得八字形全等。那么第二个八字形呢？是在这里， 这个八字形就是相似了，那所以一个八字形全等，一个八字形相似。第一种方法就可以求出来我们 b 的 长度。 第二种方法呢，是过点 e 做 e、 g 平行于比得，并且求 a c 与点 g。 那 么这种方法呢，用双 a 相似。第一个 a 字形是在这里， 画的有点丑，二个 a 字形是在这里。 好，双 a 相似，就把我们比得的长度求出来了。第三种方法呢，也是双 a， 那 么第一个 a 字形是在这里 啊，这是第一个 a 字形，第二个 a 字形是在这里。那么利用这两个 a 字形，我们也可以求出 b 的 长度。第四种方法呢，是过点 c 做 c， f 撇，平行 b， f， 并且交 a， e 于点 f 撇。那么实际上我们也可以理解成是类似于 b 场中线 这个两条边相等，然后这俩三角形是八字形全等。接着我们再用一个 a 字形相似，那么这个 a 字形呢，是在这里， 我们就可以求出 b 的 长度了。

好，同学们，今天呢，我们就先来说一下一模考试的第二十一题，有圆的这道题，那我们来看这道题给我们的条件，这道题告诉我们，嗯，第一个 ab 为圆 o 的 直径，然后我们能得到这个角是九度， 然后点 c 的 话是 ab 上方圆上的一点 ab 等于十，然后 ac 等于六，所以我能求出来 bc 等于八，这是我目前能得到的一个条件。那第一位尺规作图，在 ab 的 下方确圆 o 上确定一个点 d， 使得弧 a、 d 等于弧 b、 d， 又要找到弧 a、 b 的 中点，那怎么找中点呢？因为它是直径嘛，所以我们根据垂径定律，所以我们可以做 a、 b 的 垂垂线，那第一问的话，老师就省略了，所以我们找到点 d 以后，那我们来看第二问，他说在一中得到的图形中连接 c、 d， 好， 我们连一下， 连接一下 cd， 连接完 cd 的 话，它让我们做的是求角 a、 c、 d 的 度数，那我们在圆里面要求角看是什么角，比如像角 a、 c、 d 的 话，它是弧 a、 d 所对的圆周角， 所以我们找到这个弧 a、 d， 那 我们看弧 a、 d 所对的圆心角。角 a、 o、 d 等于九十度，所以我们能够得到同弧所对的圆心角。角 a、 o、 d 等于九十度，所以角 a、 c、 d 就 等于二分之一的角 a、 o、 d 等于四十五度，所以找圆里面找一定要找弧。后来那第二个的话呢，就是求角的度数，然后第二个就是求 cd 的 长度，那这里面求 cd 的 长度，你要知道 cd 它表示的是弦， cd 求的是弦的话，那我们来看这里面，尤其是要借助我们上一位，也就他让我们求的这个角的度数，这个角等于四十五度。 好，那我们说四十五度什么时候才能充分利用呢？只有我把四十五度放到一个直角三角形里面，我的四十五度才能发挥充分的作用，所以我要保留这个四十五度。那我怎么样做垂线器？这里面我们知道 ac 的 长度等于六，要求 cd 的 长度，那我们可以先过点 a 做 cd 的 垂线。好，那我做完垂线以后，假如说这是 e， 那 我能求出来 c、 e 和 a， e 的 长度就是三倍根号二， 三倍根号。因为 c、 e 等于 a， e 等于二分之根号，二倍的 a、 c 就 等于三倍根号二。好，那这里面三倍根号的话，那你会发现我要求的 c、 d 的 长度，它分成了两部分，一个是 c、 e， 一个是 ed， 其中 c、 e 的 长度是三倍根号，我们求出来，所以我们就要求的就是 ed 的 长度。 那 e、 d 的 长度该怎么去求呢？因为 e、 d 的 话，这个角也是直角，所以我们要在圆里面看看我怎么把 e、 d 通过。相似也好，全等也好，或者勾股这个也好，那我们会发现， 因为它这里面是弧 a、 d， 所以 我们能够得到弦 a、 d 的 话，它的长度就在三角形 a、 o、 d， 它也是一个等腰直角三角形啊。因为 ab 的 长度是十，所以这是五，这也是五，所以我能求出来 a、 d 的 长度就是五倍根号二。 这里也是一个关键点， a、 d 的 长度就等于根号，二倍的 a、 o 就 等于五倍根号二。好了，那这个长度是五倍根号二。以后，那我要求了 d、 e， 我 就可以放在一个 r、 t 三角形 a， e、 d 中 好了，那我就能得到 e， d 就 等于根号下 a， d 的 平方减去 a， e 的 平方，最后大家算出来是个根号下 五倍根号二的平方，减去三倍根号二的平方，求出来答案是四倍根号二，等于说这段长度是四倍根号二，所以它俩加一块，最后答案就七倍根号二。所以这道题的关关键就在于我知道 走到它们以后互相等那个，所以你不能对应的弦相等，以及它是一个半圆，那我们就能得到它会有圆形角，就会出现九十度，所以一定要把四十五度充分的利用，所以一定要把四十五度放到一个 直角三角形里面，那它就变成一个等腰直角三角形。在这等腰直角三角形里面，我知道一条边的长度，剩下两条边的长度都可以求解出来，所以这是这道题的一个整体方。

好，我们来看二六年郑州中考二模的二十二题，二次函数这道题啊。好，我们先来读题啊。 y 等于 a， x 方加 b， x 加三，对称轴为 x 等于一，这个点在二次函数上。那我们来看，这里面有 a、 b 两个未知数， 两个未知数就需要两个条件以给了对称轴 a 呢？说明对称轴是 x 等于负二分之 b， 那 就得到了负二分之 b 等于一，那得到 b 等于负二， a 又有 a， 负一都六，我们只要把这两个带到原函数里面，就可以求出 a 是 一， b 是 负二，就求出来了。好，两个未知数，两个条件带入，就可以求出来。好，第一问三分啊。 第二问，二次函数的图像有一个点， p 向左平移八个单位长度之后，所得 p 漂也在图像上求 p 的 坐标。这个也很简单， 我们如果设原来的点 p 是 x 都 y， 那 么因为往左平移，左右平移，只改变 x， 往左是 x 减小，那就是 p 小 的坐标就是 x 减八都 y， 两个点的纵坐标一样。那说，说明这两个点是关于对称轴对称的，那说明这两个点到对称轴的距离一样，那这两个点总共距离是八， 那说明一个在对称轴左侧四个单位，一个在对称轴右侧四个单位。那所以说我们就知道了， p 点是在对称轴右侧四个单位，那它的横坐标就应该是五啊五，那再把 x 等于五带到函数里面，就可以求出 p 的 坐标是五到十八。 好看。第三问啊，人家说该将该二次函数图像平移，使其顶点始终在这条线上。好，平移后的二次函数图像与外轴交点的纵坐标是否存在最值？ 那我们来看啊，我们设平移后的二次函数的顶点是 m 到 m 减二，那因为人家已经告诉我们了，顶点在这个线上，我只要设出横坐标是 m， 那 纵坐标就可以算出来是 m 减二， 那我就可以把这个平移后的函数表达式设出来，设成顶点式。为什么可以设成这样子呢？因为平移不改变抛线形状，虽说这里的系数是一啊，我们把顶点带进去就可以了， 因为人家求的是抛物线与外周的交点。我定 x 等于零，那就得到了焦点的纵坐标。应该是这个东西 通过配方我们就得到了哦，焦点是关于 m 的 开口向上的二次函数，那就有最小值啊。所以说当 m 等于负二分之一的时候，纵坐标有最小值负四分之九。这三文都不是特别难啊，只要理解了，对这个二次函数性质理解还可以的情况下，应该都能拿满分啊。