高一必修二数学立体几何线面距

正在高一下饱受立体几何大题折磨的同学们快点看过来，如果说线面角你还不会用定义法去找二面角，搞不懂如何用三垂线法，只会去用搜题软件寻求帮助的话，你会发现那些答案全部都是一些坐标系、 间隙、空间向量的方法，而这种方法我们根本不会遇到，这种纯几何的问题我们几何法又搞不拎清的时候，别着急，我们认真看完这条视频，今天宋老师一条视频带你双考点通关，吃透定义法求线面角，掌握三垂线法求二面角， 两大必考几何法解决立体几何大题，一口气讲清楚，看完直接套用刷题，立体几何基础分，稳稳拿捏。首先我们开始第一个板块，叫做定义法求线面角，那么这是我们三大角里面的啊， 第二个，第一个其实应该是意面直线所成角啊，但那个在大体里面的话呢，考的比较少，我们在大体里面考的最多的就是线面角和 二面角，那什么叫做线面角呢？既然要用定义法，我们先把定义给它搞清楚啊，其实它的过程是这样的啊，这里是一个平面阿尔法，然后呢，有一条直线 l， 它和我们的阿尔法交于 a 点，紧接着我做了一条紫色的垂线，要注意啊，其实这个 p 点是很随意的， 就在这条直线上，除了 a 点的位置啊，随便选择一个点就是 p 点过 p 点做底下这个平面的垂线啊，也就这里的 p h 是 垂直于底面 r 法的，那么这个时候啊，垂直为 h， 我 再去把刚刚 p a， 也就是直线 l 啊，与 r 法的交点 a 点，还有我们的 h 点连接即可啊， 这个我们用黑色的线来表示，那么这条线就像一根影子一样，它也确实是影子，它被称之为叫做直线。 l 在 平面 r 法上的摄影， 那么教材上的概念就告诉了我们，此时的角 p a h 就是 我们的线，面角定义在右边啊，大家可以快速的浏览一下。紧接着啊，我把这个三角形给它拎出来之后， 想要在题目中求解出现面角这个 theta 的 所有信息，比如说什么余弦值啊， 正弦值啊啊，更有甚者啊，这个角就比较的特殊，或者说比较的好求，就是三十度或者六十度的话，那我就可以求这个角的大小，但一般啊，在高中为止啊，我们现在求题目的角度的时候啊，很多都只是用三角函数来代表了，对不对？所以我们可以求余弦值或者正弦值， 想求什么余弦值，我就只需要把 a h 的 长度给它搞出来，然后再把 a p 的 长度再求出来，是不是就直接用零边比斜边即可？ 那如果说求正弦值是不是也就是 p h 的 长度，也就是紫色线段的长度，再除以红色线段的长度即可？ 这些呢，其实都不是很困难，因为我们这个直角三角形，说实话，从初中开始一直到高中，已经玩的非常非常的明白了，我只要能在这三条边里面知其二就可以，但是核心是如何能把这个三角形 给它做出来。那我们来看一些题目啊，我都没有放题干，我就直接告诉各位啊，这是一个广东的月考题，他呢说这是一个正三楞柱啊，正三楞柱的意思就是 上下两个面都是正三角形，然后呢侧棱还都垂直于底面，这样的一个什么是不是直棱柱？那这样的棱柱里，它让我们求什么呢？啊？让我们求这条红色的线 b c 撇啊，或者 b c 一 和我们底下这个平面 a c c 一 a 一 的线面角，那就非常简单了，我只需要把这里的 b e 当成是我们刚刚的这个子线面角，那就非常简单了，我只需要把这里的 b e 当成是我们刚刚的线面角，那就非常简单了，我只需要把这里的 b e a c e a e 就是 垂直的， 这样的话呢，我们就可以把我们的摄影，也就是 c e 再给它连起来。根据刚刚我们的定义，其实 b c e 和 c e e 就是 我们的线本身，还有我们的线的摄影，那他们之间的夹角其实就应该是我们的。什么是线面角， 所以这种题目是比较简单的，我连题干都没有放，我就直接给大家稍微看一下这个图就可以了，因为他现在的这个垂线 b e 是 题目里面怎么样，在图里面就自带的， 所以我一眼就能看到，那它的投影呢，我也就可以顺势画出，那线面角呢，也就不再有难处啊。那紧接着云南这道题目有什么样的一个问题呢？ 云南这道题目的话，它是这样的，它告诉你的条件是 a b c 这个平面啊，这是一道高二的期末考试题，它说是 a b c 这个平面垂直于底面 b c 岛，然后让你去求的是这条红色线 a e 和底面 b c 岛的夹角有这个线面角问题， 你告诉了我， a b c 垂直于 b c 岛， b c 就是 这两个垂直平面的交线，而垂直平面的交线有一个非常特殊的性质，就是我们的第八个性质啊，叫做 面面垂直的性质定律。其实我们只需要把这里的我做辅助线的时候，只需要过 a 点做 b c 的 垂线，它就定然会和底下的 b c 岛应该是垂直的。 所以我现在把这个点如果标为 h 点的话， a h 就 可以充当起我们刚刚在定义里面模型中的那条紫色线段，它呢，应该就是 a 往底面做的垂线，自然而然 h 和 e 连在一块的这条线就可以被称之为我们刚刚的黑色线段，也就是 a e 这条红色线段在底面的投影。 所以现在的线与投影之间的夹角，也就是此时的 a e h 这个角就应该是我们的目标线面角啊，这个 c 塔，那这是云南的一道高二的期末题啊，其实难度也不是很高啊，都可以比较丝滑的或者很简单的做出这样的辅助线啊。 但紧接着呢，这是一个最近啊我的学生在问我的这样一个作业题啊，这道题其实最近在一次比较正式的考试里面也有出现过，是北京的一模考试啊，二六年的北京一模考试好像也考了这个类似的一个问题啊，这道题目 它让我们求的是啊，右边一个楞柱嘛，左边拼了一个楞锥啊，让我们求的是 b c e 在 a b 一 岛这个平面上的一个所谓的夹角，或者说它的线面角，那我就比较懵了啊，尤其是对于我们高一的孩子而言啊，那这个问题还是相对有一些难度的，因为现在的 c、 e、 b 上来就和刚刚的模型不一样， 它呢，和 a、 b 一 岛没有一个非常明确的焦点，对不对？所以我没有办法过另一个点啊，虽然另一点比较随意嘛， 但是刚刚这题都很明确，就另一个点就是 b 点啊，就是 a 点上面这个，广东的就是 b 点上面这个，云南就是 a 点，做底面的垂线即可。而这里呢， c 一 b 和平面 a、 b 一 岛都没有交点，另一个点更加不知道该从哪里去找了，对不对？题目变难的逻辑呢，就可以从这些角度来让它变难， 比如说啊，他可以搞来一些动点让你去研究，也可以让这里的线和我们的目标面，就目标线和目标面看起来八竿子打不着，那我们就需要通过一些以前学习过的内容啊，去进行一定的 转移。比如说啊，第一个比较丝滑的方式就是我们刚刚有微微提到一点点的意面直线所成角，意面直线所成角的问题就是所有的直线啊，其实我都可以通过平移把它挪到我想要去的位置， 当我把它挪到想要的位置的时候，我就可以通过我比较熟悉的形式去求线与线的夹角，那线面角也是一样啊，线面角里的线也可以去挪到，或者说平移到我们希望他在的位置，那就做平行线就好了，能够做出合理的平行线，我们就可以 像我们刚刚那样一样啊，去做这样的辅助线，并且把这种题目转换成跟刚刚那种啊，云南还有广东这样的题目啊，一样难度的这样一些题， 我们来讲两道可能稍微复杂一点点的题目啊，大家一起来感受一下。首先第一个在棱长均为二的正三棱柱， a b c a e b c e 中，这个正三棱柱啊，那我们简单画一下这个草图， 正三棱柱的长相也是相对比较规整的啊，所有的底面都是正三角形，然后呢，侧面也都是矩形了，然后侧棱也都垂直于底面。 m 的 话呢，是 a b 的 中点啊，我们标一下啊，比如说这里是 a， 这里是 b， 这是 c， 那 下方就是 a e b e c e 没有图，那我们就要自己画，所以这里是 a b 的 中点，我们把它标出来，这应该是我们的 m 点， n 点是侧面 a c c e a e 内任意一点， 这就是我刚刚讲的第一个逻辑，把题目变难的第一个定点，那么此时我们的 n 点在侧面乱动，问你 m n 与平面 a c c e， a e， 它的所乘角的取值范围是怎么样的？那么现在 n 点在边界还有这个平面外都有它所带的一个位置，那现在我们来看一下，如果说我们取出 a c 的 中点的话， 它会有一个点是不叫做 o 点，为什么这么来做呢？你仔细想一下，因为我们现在的 m n 随便画一个，比如说 n 点在这个位置，那么 m n 和这个面的夹角我应该要干嘛？应该是要去做所谓的 a c c e a e 的 垂线。再说呀， 因为你现在的 n 点不知道在哪，但好歹也是一个什么，是不是好歹也是一个我们这里和平面 a c c e a e 的 一个 交点，所以呢，可以为之一用啊。但是呢， m 点是一定是面外一点，所以我需要去过它做什么？ 就是做我们的这个平面的垂线。那么为什么选出了 o 点这个中点呢？我选完中点是要选四等分点的， 为什么这么选呢？因为作为正三棱柱而言，我如果把 a c 的 中点 o 点选出来，再把 a o 的 中点，比如说 h 点给它选出来的话，那么 m h 这条线可不简单， 它是垂直于 a c 的 上方的 a b c 这个平面，作为一个正三棱柱而言，它一定是垂直于 a e c e c a 的。 垂直于 a e c e c e 之后的话呢，我现在的 m h 又是我人为的去做的什么？是不是垂直于 a c 的 一条线？ a c 什么身份呀？ a c 啊，其实是我们的 abc 这个平面和那个平面 a e c e c a 的 一个交线， 所以现在面面垂直，我又做了它们两个交线的垂线，那得到的结果一定是我们的 m h。 怎么样，它待在我们的 a b c 里的一条直线，它就一定会垂直于 a e c e c a 是 不是这个平面？所以啊， 这个 h m 不是 别人呀，它是谁呀？它是老紫呀，刚刚那个模型里面的紫色线段呀，它是那个垂线，所以 h 点就是 m 点在这个平面上的投影，那么 h m 就是 老黑啊，就是我们刚刚所说的投影。所以 n m 是 我们的目标线啊。平面 a c a c e a e 是 我们的目标面，而目标线在目标面里的投影就是 h n， 所以 这个角我找到了，就是 m n h 这个 c 塔就应该是我们的线面角，那么如果说 m n h 是 我们的线面角的话，那我们现在的这个正弦值的取值范围应该 有了一个小小的眉目，为什么呢？因为所谓的 sine theta， 它应该是等于 m h， 对 边就是 m h 嘛，那么斜边就是 m n 啊， m h 其实是个定值哦，因为我们上方是一个人长均为二的三楞柱，所以上方是一个人长或者说边长为二的一个正三角形。 b o 就 应该是根号三，所以呢， m h 就 应该是二分之根号三，这上方是一个定值啊，就是二分之根号三。而下方的 m n 呢？ 开始乱动了啊， m n 是 真的不知道了， m n 是 一个会动的长度，所以我们现在想求 sin c 的 取值范围就已经非常明确了，我只需要把 m n 的 取值范围给它求出来就可以了。那 m n 等于多少呢？ m n 其实就应该等于根号下 m h 的 平方，再加上我们的 h n 的 平方， mh 的 平方，加上 h n 的 平方，里面的 m h 就 应该是一个定值，就是二分杠三，所以平方完就是四分之三，再加上 h n 的 平方， h n 最短最短应该是多少？ 最短最短最短其实应该是零哈，因为它现在这个 n 点确实可以跑到是不是 h 点的位置啊，所以最短应该是零，所以此时加上了这个 h n 的 范围呢？我们稍微的书写一下， h n 最小最小应该是零，最大最大呢？ 其实最大的时候啊，这个 n 点应该要跑到哪里？应该是跑到是不是我们的 c 一 点的时候，此时的 h n 可以 取到真正的最大值。 那么 h n 多长呢啊？这里的长度应该是二分之三，这边的长度这个棱应该是所谓的二，所以此时我们的 h c e， 也就是我们 h n 的 最大值，应该等于根号下二分之三的平方，再加上我们的二的平方， 所以得到的结果应该是四分之九，再加上四啊，也就根号下四分之九，再加四啊，这稍微算一下就是四分之二十五，所以开出来过以后就应该是二分之五。 所以这里的 h n 的 长度啊，最小最小应该是零，最大最大呢，应该是二分之五。 那这样求完之后啊，我们 h n 的 长度出来了，那么 m n 的 长度的范围应该是多少呢？那最小是不是也就是二分之二三啊？因为 h n 最小是零嘛，加四分之三的开根号就是二分之二三，那最长的话呢，应该是四分之三，再加上 h n 的 平方 就是四分之三，再加上四分之二十五，也就是四分之二十八，四分之二八，开出来应该是二分之二倍，根号七，也就是根号七哦，所以这样我们求出来的结果啊，就应该是 m 的 长度是在二分之，根号三 到根号七，于是把这个 m n 的 长度丢带到我们最开始的这个式子里面来，终于终于可以出结果了啊， m n 取最小值的时候，反而我们的算它应该取最大值，刚好就是一啊，这也顶天了啊。 确实，这个时候我们的 m n 就 应该和底面是垂直的，所以九十度的正弦值也就是一啊，所以算出来的结果就应该是十四分之，根号二十一，那答案 应该就已经出来了，应该是十四分之二一到一。实际上我们就还是通过定义法，把线面角找到，把线面角的正弦值给它，怎么样 凸显出来之后啊，我们再去明确这个取的范围到底是因为谁在动，我发现是由 m n 在 动，而 m n 的 长度呢，又是由 h n 来决定，所以我求出 h n 的 范围，一步一步的回推到我们的 m n 的 范围，那这个问题就已经解决掉了。 话不多说啊，我们直接来看一下这里的第二题，就是我刚刚啊放的那个图。这道题目是我这几周啊，刚好有个同学问我的一道题， 他作业帮一搜啊，小圆搜题一搜，搜出来嘛，就是间隙。这道题间隙确实还可以啊，但错就错在我是个高一下学期的学生，我还没有学过间隙，你给我来个间隙是不是害我们 啊？如果我偷个懒，抄个答案上去的话，老师一眼就知道我是不是在搜题了。所以我们现在还是要去学习这个几何法。 几何法永远是我们通往间隙或者通往立体几何大成之上的必不可少的一个步骤。好，我们来看一下这个。这个题目有个第一小题，我略讲一下，不是今天的重点，这里什么三棱柱啊， abc 又是正三角形， ab 呢，又是等于二啊， c c 一 垂直于平面， abc， c c 一 呢是根号三，捯是 c b 延长线上一点延长过去啊，而且捯 b 呢，又等于 bc， 就 延长了一倍啊。 他说，假设 a c 的 中点为 e， 让我们证明 c e e 平行于 a b e 岛。 好的，那么这个问题其实并不是非常的难啊，因为现在我只需要去把这边这个中点再点出来啊，然后连接连接 b e 啊，再连接，假设中点是 m， 我 把这个 m e c e b e 给它连出来之后啊，就完事了啊， 因为现在下面这个长度是延长一倍的，所以 m e 和倒 c 之间应该是中位线的关系，那就应该是长度等于 b c， 但是又平行于 b c， 总而言之啊， m e 就 会平行于 b e c e 啊，当然，其实平行等于 b e c e 啊， 从长度上来说，它等于下方的倒 c 一 半，那就等于 b c 用于三棱柱，它就会等于是不是上方的 b e c e。 所以 这里简讲一下，就是构造这样的一个平行四边形即可啊，我就可以证明出，此时 b e m 和我们的 c e e 是 平行的， b e m 和 c e e 平行就可以推出啊， c e e 应该是平行于 a b e 岛的。这是这样的第一小问，但是第二小问，不少学生啊，都比较痛苦，它这里应该是 b e c e 与平面 a b e 岛夹角的正弦值。来，我们来看一下啊， 各位，写完第一题不要忘记啊，写第二题的时候，往往可能还有点帮助的啊，或者说可能会突破啊，我们那些思维的定式，第一小题的这个结论可能也会得给我们一点提醒， b e c e 在 这个位置 与平面 a b e 倒的夹角，我该怎么办呢？其实这道题目啊，当时我在思考的过程里面是这样来想的，如果我直接去做垂线的话，我都不知道做哪去了， b e 确实在 a b e 倒上，那 c e 我 往这个面做垂线，我做哪去了？ 根本就搞不清楚啊，所以现在就非常的难受啊，但现在我可以干嘛？我是不是可以进行一个转化？就像刚刚我们所讲的一样啊，你既然已经说出了这里是一个什么， 是不是一个平行四边形，所以现在呢，我们的这里的 m 点，还有这里的 e 点 m e 是 不就平行于 b e c e， 所以 b e c e 和平面 a b e 倒的夹角，这就等价于 m e。 有 些人说 m e 还不够好，那非常非常好啊， m e 其实还是不够好啊， me 这个身份其实完全可以再换成谁，是不是换成左侧的蚯蚓？如果你换成了蚯蚓的话，那么这个问题就相对会变得比较简单了。 首先啊，我现在过 b 点往这个面去做，垂线就是目标线是蚯蚓，目标面是 a b e 蚯红线就是蚯蚓，那我现在子线就是垂线段啊，这里的 b h， 我 完全可以过 b 点直接去做这个 a b e 蚯蚓垂线， 虽然我有一点点不太清楚啊，你会垂到哪里去，但是呢，至少是垂在，是不是我现在目力所及这个面内的啊，比刚刚一定是要好不少。所以这就是我们简化题目的一个逻辑，我可以把这里的线 移移到我想要的位置，然后再去用我们定义里面交的那个模型去画图，你的算力，你的这个计算的难度以及成本一定会降低，所以我们过 b 点做这个垂线，会得到这个 h 点，那么接下来这个三角形 b d h 就是 我此生要去 钻研的，是不是这样的一个三角形？嗯， b d h 这个三角形呢？它其实应该是一个什么样的？应该说是直角三角形， 而 b d 的 长度我是知道的啊， b d 的 长度其实就应该也是几啊，是不是也就是二？因为 ab 是 二嘛， bc 也是二啊，这边也是二，你言传一倍，那 b d 是 不是也是二？ b d 是 二过以后，那 b h 呢？ b h 呢？ b h 不 清楚，但是我可以用等体积法，我用回忆起来一个非常重要的知识点啊，叫等体积法，其实 b h 就是 什么？是不就是 b 点到哪里啊？ 就是到我们的 a b 一 岛这个三角形的面积。当我这样写过以后啊，我会知道，第二小问的突破口已经出来了， 它就应该用等底积法 v b 杠 a b 一 岛这个体积来进行转化。因为 v b 杠 a b 一 岛啊，就应该等于三分之一倍的 s 三角形啊， a b e d 啊， 就应该等于三分之一倍的 s 三角形 a b e、 d， 再去乘上我们现在的目标是不就是 b h 三角形 a b、 e、 d 的 面积啊，我是可以去给它求出来的，这个我马上再说， b h 是 我想要的东西。 紧接着啊，这个三棱锥的体积除了可以这样写以外，是不还可以写成 v b 一 杠 a b 倒，那它的体积是不可以等于三分之一倍的 s 三角形 a b 倒啊， v b 一 杠 a b d， 这个三棱锥的体积是不还可以写成三分之一倍的 s 三角形 a b d， 然后再去乘上我们的 此时的高啊，那此时的高其实就是 b b 一 啊，这我也不啰嗦了啊，因为你 b 一 作为顶点的话，它往下做垂线不就是 b 一 b， 好 吧，所以这样的话呢，两者一划等号，我只需要去把这个，这个还有这个给它求出来，那 b、 h 的 长度是不也就直接啊， 出现了那么一个人来解决就好了呀？像 s 三角形 a、 b、 e 倒这种东西啊，有点难度啊，但是我今天也写的不会很详细了啊，我就直接把这些边稍微标一标，这里就应该是二，这里也是二，而这边应该是一百二十度啊，应该是一百二十度啊， 好，那我这里稍微擦一下啊，或者说我拿蓝色的笔啊，绿色的笔啊，稍微给大家标一下啊，这里是二，这里也是二，这边是一百二十度，所以 a、 d 长度应该是二倍根号三。那么 a、 b 一 的长度呢，应该是二 根号三，对吧？它说 c、 c 一 等于根号三啊，所以应该是二根号三的勾股数啊，应该是四加三开，根号应该是根号七，所以 a、 b 一 是根号七，而 b、 e、 d 呢， b、 e、 d 的 长度应该是多少呀？哎，这里是垂直，是根号三，这边也是二，所以这里也是根号七啊。这个三角形 a、 b、 e、 d 这个三角形， 它在我们的心中就已经很明确了，应该是两条边都是根号七，谁啊？ b、 e、 d 还有我们的 b、 e、 a 啊，都是根号七，然后呢， a、 d 之间是二倍 根号三，所以这个高呢，就应该是根号七减根号三啊，或者说根号七的平方，减根号三的平方，也就是开个根号，也就是二，所以它的面积啊，就应该是二分之一，再乘上二倍根号三，再乘上一个二，就应该是二倍根号三喽， 所以 s 三角形 a、 b、 d 的 面积就是二倍根号三，而 s 三角形 a、 b、 d 呢？ 这已经搞定了啊， b h 放一放啊， a b d 呢，很简单吧，应该是二二二倍根号三的一个等腰钝角三角形，所以它的面积的话呢，应该是 根号三啊，这个我就简讲了啊，大家都会求的啊，因为它的形状是二二二倍根号三啊，这样的一个等腰钝角， 那最后一个 b b 一， 我也是知道的啊，就应该是根号三，所以上式全部给它累下来，就应该是三分之一乘上二倍根号三，再乘上我们的 b h， 再去等于啥呢？等于下面这个二号式子，也就是三分之一再乘上 s 三角形 a b d 啊， a b d 的 话呢，就是根号三，所以再乘上一个 b b 一， 于是我就非常清楚了啊，此时的 b h 的 长度应该会等于多少，是不是等于 b b 一 的一半，也就是二分之根号三， 所以我刚刚说此生要去研究这个三角形啊，搞定了啊，这里是 d， 这里是 b， 这里是 h 啊， b h 的 长度是二分之根号三啊， 那么 b d 的 长度就是二的情况下，我们就可以正确的得到这个结果啊，它的正弦值就应该是二分之根号三，再除以二，就应该等于四分之 根号三啊，所以右边的一切全部都是在为什么我们这个所谓的 b h， 也就是这个直角三角形里面的啊，这个 b 点到底面或者说到目标面的距离 啊，就刚刚那个紫色线的长度在服务啊，所以这些过程等体积法就是这样来用的。好，那还有一道题目也可以快速的说一下啊，就是这个第三题，这其实是非常新的武汉三调啊，就是高三的武汉的 一道模考题啊，完三道的质量也是非常非常高的啊，这道题目前在网上吹的也很厉害，那么实际上我觉得他做的确实不错，他把解三角形还有我们所谓的立体几何啊，都放在了一起去考，但是我们今天只看一问，就是这里啊，这个第三小问， 这个第三小问是让我们求的就是限面积，如果说你在高三的时候学会了间隙，就疯狂在间隙的话，当然是可以的，你现在上网搜的很多答案应该都是在间隙，然后说就比较难，比较难点，也比较难算，对不对？但其实这道题目啊，如果你熟练掌握几何法的话，你会写的非常非常的顺利， 因为他现在在前面两问里面啊，尤其是第二问，他让你算了一个东西，叫做 p 杠 abc 的 体积。 好吧，那这里啊，我默认各位是会的。好吧，我就直接把这个体积的公式或者说体积的结果告诉你啊， v p 杠 abc 啊，就是四分之根号十五。那么问题来了，它现在的 p 杠 abc 的 体积是四分之根号十五，让我求的是 b c 到什么，是不是与平面 p a b 的 夹角。那么我们现在根据刚刚的定义的话，应该是过 c 点做什么？是去做这个平面的垂线，这是刚刚的垂线段，紫色线段，那么这个垂足即为 h 的 话， 紧接着我们的 h b 就 应该是我们刚刚的黑色线段，也就是 c b 这个线段在 p a b 目标线在目标面上的投影。所以说我们现在的线面角已经出来了，就是这个 c， 它 bc 长的已知啊，因为这里是直角，那现在想要求这个 c， 它的正弦值的话，斜边就是 bc， 而 bc 长的已知就是根号六。 所以这道题目在第三小问里只有一个问题，就是把谁求出来，就是把 c h 求出来啊，为什么？因为 sin theta 等于 c h 比上 bc， bc 等于根号六，所以只有一个东西不知道就是 c h， 那 么 c h 到底是多长呢？第二小问告诉了我 p 杠 abc 的 体积， p 杠 a p c 的 体积恰好又是什么？根据我对于三棱锥如此之深厚的了解，它就应该等于是不是 c 杠 p a b 啊？ v p 杠 a b c 就 等于 v c 杠 p a b， 而 v c 杠 p a b 就 等于三分之一倍的 s 三角形 p a b 再乘上我们的 c h c h 就是 c 到 p a b 的 距离，也就是以 p a b 为底面， c 为顶点时候，这个三棱锥的高。所以问题再一次的减化为去求什么？是求三角形 p a b 的 面积，那么紧接着我就只要求三角形 p a b 的 面积就可以了，它告诉我 p a 等于一，这题目说的， 然后呢？ ab 等于三啊，这也是题目说的，然后 p b 呢？等于二倍根号三，所以 p a b 这三角形是一三 二倍根号三啊，是这个样子啊，所以 p a b 这三角形是一三二倍根号三，是这样的一个形式啊，那我们再不记是不是也能把它的面积给它求出来，只需要稍微调用一点点我对于解三角形的了解即可。此时对于这个东西而言，我们假设这个角为 r 法 啊，假设这个角为 r 法，那么 cosine r 法就应该等于多少？ ok， 这地方稍微差一小嘴儿啊。我觉得这个 r 法我选的不好， 因为我发现啊，这三条边里面有一有三啊，有二倍根号三，所以我会选择这个角为 r 法啊，因为这是 a 嘛，这是 p 嘛，然后这边是 b 啊，我会选角 a， 或者说角 p a b 为 r 法。那么此时的 cosine r 法就会等于啊，一的平方加上三的平方，再减去二倍根号三的平方，也就是减去一个十二，再除以二乘以一乘以三啊。 上面是十减十二就是负二啊，下面就是六，所以 cosine r 法等于负的三分之一，那么 sine r 法其实就应该等于正的三分之 二倍根号二啊。这是利用 cosine 加 cosine 等于一即可。于是现在的 s 三角形 p a b， 利用减角形里面的三角形面积公式，就应该等于二分之一乘以一，再乘以三，再乘上三分之二倍根号二。所以这样得到的结果啊，应该就是，呃，削掉一个二， 再写了一个三，应该就是根号二，于是四分之根号十五啊。左边这两坨是一样的。第二小问告诉我，等于四分之根号十五，那就应该等于三分之一再乘以根号二，再乘上 c h， 所以 c h 的 话，应该等于 三倍根号十五，再除以四倍根号二，也就是八分之三倍根号三十。 我刚刚最开始说的 sine theta 等于多少？ sine theta 是 不是应该等于 c h， 再去比上我们的根号六， c h 是 八分之三倍根号三十啊。所以这样除上一个根号六过以后，这个 sine theta 就 应该是等于 八分之三倍根号，所以这道题目的答案一定是正确的啊，你可能间系得到结果也一定是匹配的。但是如果我去用的是几何法，就是我们高一下期刚学立体几何的这一套方法。用的是定义法的话，你会发现你的步骤会非常非常的少 啊，会在前三道大题里面为你节省下来非常多的时间啊，这是一件非常好的事情。 所以定义法求解我们的先面角，大家一定一定要学明白啊，或者说一定一定不可以去， 既希望于间隙解决所有的问题，而应该在这个阶段去把这个方法也学扎实，这是第一步，第二步，再去学间隙之后两条腿都学好了，你才能在立体几何的世界里面走得比较安稳，走得比较顺利啊。 好，那么接下来我们来看第二块啊，在大体里例题几个最喜欢考的三大角之三就是我们的二面角，那么今天我主要讲的方法叫做三垂线法， 他也有定义法啊，但定义法有些时候可能没有那么的好用了啊。三垂线法呢，我认为是非常好用的，还 有一些更快的方法，比如说投影面积法，那今天我们可能提不太到啊，如果需要的同学可以啊，联系我的后台，然后我们再去聊这个问题， 再去分享，共同探讨这样的问题就好。那三垂线法求二面角是什么呢？我们先把二面角了解一下啊，这个定义我觉得还是比较简单的，有笔记本电脑一样的啊，这样掀开过一个状态，其实就是一个线 l 啊，然后呢，向两边出发，是不是有两个半平面 r 法和贝塔，那么这个形状就叫做二面角啊，这个两半平面就叫做二面角的面啊，这个没有问题。紧接着我现在如果选择了啊，一个点 p， 就是棱上选个点 p， 然后以 p 为垂足，这样做，这样做啊，就全部是垂线做了 p a 还有 p b 啊，其实都是射线喽，那我们现在做了射线 p a 还有 p b 啊，它们之间夹这个角，叫做二面角的平面角 啊。其实到最后啊，大家说话都已经开始模棱两可了，或者说的没有那么严谨，其实我们最终在求二面角的时候啊，很多时候都是在求二面角的平面角，二面角这个三个字，其实只代表上方的那个图形，仅此而已 啊，他其实并没有那么那么重要啊，重要的大小其实是附托于或者说赋予我们的二面角的平面角。所以其实我们讲的定义法呀，或者说三垂线法，都是在两个平面中啊，去寻找我们的二面角的平面角。那什么叫三垂线法啊？这是今天的重点。三垂线法是这样的啊， 我们现在已经有了这样的两个平面，阿尔法还有贝塔啊，然后上面呢，却有着所谓的比较糟糕的 p 点和 q 点啊， 为什么这么说啊？因为如果说是比较好的 a 点和 b 点，它应该是这样的一个效果啊，就我选择了一个 o 点之后啊，做了一条垂线， ok， 就是 垂线，再做一条垂线，这边就是 b 点，那么这样的话， a o b 就是 二面角的平面角，这没有问题。 但实际上呢，我们现在的 p 点和 q 点，或者说大多数想把题目变得稍微难一点的题目，他都会去把这里的 p 点和 q 点给它错开。 也就是说，如果我过自己的 p 点啊，去做这个棱的垂线，哎，会垂到这里的 m 点，我过这里的 q 点去做这条棱的垂线，会垂到这里的 n 点。怎么说？错位了？ 那错位其实也有方法去解决啊，就比如说我可以去做平行线嘛，把 q n 平移到左边这个位置，是不是也行 啊？但这就比较麻烦嘛，我要画好多条线啊，但我可以用稍微简单一点的方法啊，或者说更加直接的方法去解决这个问题。怎么做的呢？是这样的啊，先过这里的屁点，直接一条擎天柱就立在下方的 背它上啊，就 r 放的屁，直接做一条垂线，垂直于背它。 r 放的屁做一条垂线， p h 垂直于背它。 h 为垂足的话，这是第一条垂线。三垂线，第一条垂线先 垂面，紧接着我过这个 h 点，再做一个 h o 垂直于谁？垂直于我们的交线，也就是我们的棱 l 啊， 做这个交线 l 的 垂线，这样垂完之后得到了 o 点之后再相连。连什么？连？最开始的 p 点和 o 点，那么现在的这个角就是我们的 p o h， 这个角就是一定是我们的二面角的平面角。 为什么这么说呢？因为我们的 p h 垂直于底面贝塔，而 l 呢，又在我们的贝塔里，所以 p h 包怎么样的包和我们的 l 是 垂直的，而我们的 h o 呢，又是我自己做的，垂直于 l， 这说明什么啊？当然还要补充一些啊，就是 p h o 相交于 h 点，并且我们的 p h 和 h o 呢啊，又都在我们的 p o h 这个平面里，所以我就可以证明 l 应该是垂直于平面， p o h 的 l 垂直于平面 p o h 之后的话，我们现在的啊， p o 和 o h 都在这个平面内啊， 那就可以说明我们现在的 p o h， 它应该是和我们的 l 垂直，之后就可以说明我们的 p o h， p o 和 o h 就是 都垂直于我们的。什么 是不是我们的这个公共线，或者说我们这个棱啊，公共棱，于是 p o h 啊，就应该是我们现在的这个二面角的平面角 好吧，所以我们现在就可以非常了解三垂线法的做法，它应该是这样的一个步骤，一垂面，二垂棱，三相连角 b 线啊，那么第一个就是我们的红线啊， 一垂面，第二个就是我们的绿线，就是二垂棱。垂完过以后啊，我们就会把最开始的 p 点和我们最终的这个垂足 o 点啊给它相连，那么角 p o h 就 应该是我们的什么二面角的这样的一个平面角啊。 那么学会了这个方法之后啊，我们来看一道题，这道题没记错的话，应该是宁波市啊，宁波九校这个非常著名的联盟的一道期末考试的题目啊，在三轮锥 p 杠 abc 里面， pa 等于 bc 啊，都等于一 ab 等于根号三 好数字标完了啊， p a 垂直底面， abc 平面， p a b 只垂直于 p b c， 那 么 m 是 pc 的 中点，求证 ab 垂直于 bc， 这个其实应该并不是很难啊，也不是我们今天的重点啊，我们就稍微说一下就好啊，其实我现在只需要去做这里的 a h 的 这样一条线就好，为什么？因为题目里面出现了 p a b 垂直于 p b c， 这是一个面面垂直，看到面面垂直，找交线去做交线垂线，这是一个雷打不动的切入点啊。当我把 a h 做出来之后，这条线一定会怎么样？根据面面垂直性质定律，它会垂直于 p b c， 那 么它垂直于 p b c 的 话， b c 这条线就会垂直于 a h 啊。 bc 垂直于 a h， 这是第一点，而 bc 还会垂直于谁？还会垂直于 pa？ 所以 简写就只要这样写就好了啊啊，让大家感受一下即可。 为什么还垂直于 pa？ 因为 pa 垂直于 abc， 所以 pa 还会垂直于 abc 的 所有的线，包括 bc， bc 垂直于 a h， bc 也垂直于 pa， 再结合它们俩相交，它们俩都在哪？是不是都在 pa 里？就可以推出我们现在的这个 bc 应该会垂直于左边这个平面，是不是 pa b， 那么 b c 垂直于 p a b， p b c 就 会垂直于 p a b 里面所有的线包括什么？是不是包括我们的 ab 啊？ 这不是今天重点啊，我们稍微说一下就行，就可以证明出 b c 垂直于 ab 啊，证明线线垂直，实际上是要证明线面垂直。 ok， 那 么接下来看一下今天的重点是这个。第二小问，让我们去求解的是 p a b 和 m a b 的 夹角，那如果说我要间隙的话，当然可以间啊，你去搜一下，你就会发现怎么去间隙的。那现在我们来看一下啊，如何去用三垂线法去解决。为什么要用三垂线法？因为你现在的 p a b， 如果你去过 p 点做这个公共弦的垂线，会垂到 a 点。如果你去过 m 点做这个公共弦的垂线，你会垂到 a b 的 啊，某一个位置啊，可能是中点，对吧？我没有详细的去探究啊，但归根结底，它和 p 点做的垂线，它不再交于同一个点，所以这个二面角的平面角没有那么那么的好找。那怎么办呢？那我们就可以开始使用三垂线法 来。我当然可以去使用 p 点，也可以使用 m 点，但如果我要过 p 点做 m a b 的 垂线的话，来一垂面嘛。 如果选择了 p 点，你就要往着另一个面，就是 m a b 去做垂线，你会垂到外面去。但是如果你过 m 点，你选 m a b 的 步桨去垂直于 p a b 的 话，很简单，你只需要去做 p b 的 垂线就可以了， 这个非常好做。因为第一小问证明了 bc 垂直于 a b p 这个平面， 所以现在其实你只需要去做 b c 的 平行线，就会得到 p a b 的 是不是垂线。 于是我会把这里的 p b 的 中点 o 点给它点出来，那么 m o 就 会垂直于 p a b 这个平面， m o 垂直于 p a b 这个平面， 这就是 e 垂面已经到位了。紧接着我只需要再去做这里的 a b 的 垂线， 谁会垂直于 a b 啊？ p a 不 就垂直于 a b 吗？所以现在 o 点是中点，我只要再把下面的这个 h 点，也就是 a b 的 中点再点出来，这条线是不是就会垂直于底下的 a b c？ 那 当然也会垂直于 a b 喽。所以一垂面是做出了 m o， 二垂棱是做出了 o h 三相连，就是连接这里的 m h。 于是现在的二面角的平面角被我找到了啊，就应该是这里的 m h o 这个平面啊， ok， 本来看不到线，应该用虚线来画啊，怕各位看不清，所以我画成了一个实线。那么这里就应该是我们的二面角的平面角，是不是 c 塔？ 于是你现在让我求这个夹角的大小啊，我就把这里的 m o 啊， o h 啊， m h 啊啊，反正三个里面搞清楚，两个不就行了吗？那他告诉我， bc 等于一啊， 那 bc 等于一的话，中位线 m o 的 长度是不是就应该等于二分之一来， o h 也是中位线啊，你告诉我 pa 也是一，所以 o h 它不就也应该是二分之一吗？而且这里还应该是垂直的，所以这个图画出来 我都画丑了，它应该是一个什么？是不是等腰直角三角形？也就是说，此时的 m h o 应该是一个二分之一，二分之一等腰直角三角形。那 c 塔在这个位置啊，不是四十五度，也得是四十五度了啊，所以这道题目的结果应该是四分 之派。所以这就是所谓的三垂线法啊，本来是 p 杠 a， b 杠 m， 那 p 点不好用，直接被我排除在外，我就用 m 点，一垂面，二垂棱，三相连，那我们的二面角的平面角就直接浮出水面。 好的，那么今天的视频到这里就结束了，数学想提分，关注宋老师，点赞收藏视频，高中三年，我将陪大家一起冲刺高中数学，记住哦，关注宋老师每个视频，送大家一个解题小妙招。

一个视频学会点线面，之前呢，我们学习了一些简单的空间几何体，为了进一步认识立体图形的结构特征，今天我们学习空间点直线平面之间的位置关系。好的话不多说，让我们进入到今天的学习吧， 听说全屏观看可以拿招分哦！好在我们开始之前呢，我们首先要知道我们的点线面在立体几何里面的语言表述。 先看到我们的一个点，一般的呢，我们用大写字母，大 a， 大 b， 大 c 等等来表示我们的一个点 线呢，我们一般用我们的小写字母小 a， 小 b， 小 c 等等来表示我们的一个线。同样的呢，比如说这条直线 l 上面啊，有两个点，点 a 和点 b， 我 们也可以称之为是直线 ab。 那么面呢，我们一般用我们的希腊小写字母阿尔法、贝塔、伽马等等来表示我们的一个面。同样的呢，比如说这个面上啊，有三个点，比如说我们有一个点 a， 点 b 和点 c， 我 们也可以称之为是平面 abc。 我 们当中学习了点线面在立体几何里面的语言表达，那么它们之间的关系要怎么去表达呢？常言道，点动成线，线动成面， 我们知道这个点动成线，这个线呢，是有无数个点构成的一个集合，所以说点在直线上是不是就有这个点 a 是 属于这个直线 l 的， 那么点在直线外是不是就不属于这个集合了，所以说就有点 p 呢，是不属于直线 l 的。 一样的，这个点在平面上啊，我们就可以表示为点 a 是 属于平面而法的，以此类推呢，这个点在平面外就有这个点 c 是 不属于平面而法的。 总结一下，这个点与线还有面之间的关系是不是就只有两个，分别是属于还有不属于？ 我们刚刚有说啊，这个线是由无数个点构成的集合，然后呢，线动成面，是不是我们的一个平面，也是一个集合，在我们的书籍里面呢？我们表示集合与集合之间的关系会用这么一个符号 子极符号来表示它，然后呢，在我们的一个立体几何里面表示线，在平面上，我们就会把下面这一横给去掉，就比如说这里线在平面上有这个直线 l， 在 这个平面而法上表示为这个样子， 下一个，那么如图啊，这个线不在平面上，但是呢，它与这个平面有一个交点点 p， 我 们怎么来写？是不是就有这个直线 l， 然后呢，交我们的一个平面而法是交的一个点 p， 那 么线面平行呢，我们就直接写为直线 l， 平行于我们的一个平面而法。 同理呢，这个面面相交啊，我们看图是不是交的一个直线 l， 我 们就写为平面阿尔法交，平面贝塔等于一个直线 l， 面面平行也很简单，是不是就是平面阿尔法平行于平面贝塔，那么面面垂直是不是就有这个平面阿尔法垂直于平面贝塔，同样呢，这个面面垂直是不是也是面面相交的一个情况？ 好的，刚刚我们学习了点线面以及它们之间关系的一个语言表达，那么我们一个一个来看，首先什么是平面？ 一般的呢？我们会用平行四边形来表示这个平面，然后啊，我们常见的两种样子，这个是水平放置的时候，这个呢，是数值放置的时候。 我们呢，用平行四边形的四个顶点，按顺时针来表示，比如说，这的平面阿尔法呢，也可以表示为平面 a、 b、 c、 d， 或者说呢，用它的对角顶点，但是不是很常见啊，我们表示为这的平面 a、 c， 或者表示为这的平面 b、 d。 再者呢，就是我们当中提到的用希腊字母来表示，表示为平面阿尔法，平面 beta 平面伽马等等。 那么我们直接来看题理一，这是一道多选择题，下列说法正确的是。 a 选项，平面是处处平的，面是正确的，因为呢，平面就是平的，这是用来区分平面与曲面的重要依据。 b 选项，他说平面是无限延伸的，这也正确，因为呢，平面无边界，他可以向四周无限延展，这是区别平面与平面图形的一个重要依据。 c 选项，他说平面的形状是平行四边形，这肯定是不正确的，我们只是用平行四边形来表示这个平面，但是呢，平面是一个无边界，向四周延伸的一个东西。 我们刚才说了，这个平行四边形呢，是一个平面图形，但是平面呢，是无限延展的一个东西，所以说呢，它们两个不能混为一谈。 d 选项，它说一个平面的厚度可以是零点零零一 cm 厘米，这正确吗？也不正确， 要记住啊，这个平面无限延展，它没有大小、形状以及厚度之说。所以说呢，这道题选 a、 b， 继续平面的基本事实，基本事实一过不在一条直线上的三个点，尤其只有一个平面，如图，这个 a、 b、 c 三点是不动线的肉呢，存在有唯一的一个平面阿尔法是点 a， 点 b， 点 c， 是 属于平面阿尔法的 基本式。十二、如果一条直线上的两个点都在这的平面内，那么这条直线也在这的平面内。如图，有这个点 a 是 属于直线 l 的， 点 b 呢，也是属 于这的平面 r 法，点 b 呢，也属于这平面 r 法。所以说呢，这个直线 l 也是属于这的平面 r 法的 基本式是。三、如果两个不重合的平面有一个中重点，那么它尤其只有一条过该点的中中直线，如图，是不是面面相交了。然后呢，有这个点 p 是 属于阿尔法的，且这个点 p 呢，也属于这个平面贝塔，且有呢这个阿尔法交贝塔交的一个 直线 l， 所以 说呢，就可以得出这个点 p 也是属于这的直线 l 的。 同样呢，也有一些推论需要大家掌握。推论一，经过一条直线和这条直线 y， 一 点尤且只有一个平面。推论二，经过两条相交直线，尤且只有一个平面。 推论三，经过两条平行直线，尤其只有一个平面。好的，由我们刚学的三个基本事实和三个推论，我们从不同角度来看一下题。第一个，在例题几何中三种语言的相互转化。例题 第二，用符号表示下列语句，并画出图形。第一个，平面阿尔法与贝塔相交于直线 l， 然后呢，直线 a 与阿尔法贝塔分别相交于点 a 和点 b。 然后呢，这个图一啊，就是我们第一问的一个图形了。然后呢，我们还要用符号表示，它怎么表示？是不是首先呢，这个平面阿尔法与贝塔呢，是相交于我们一个直线 l 的， 然后呢，还有一个直线 a 是 不是分别交我们的这个平面？首先交我们平面阿尔法呢，交于点 a， 然后呢，这个直线 a 将我们的平面贝塔交于一个点 b， 这样呢，就完成了第一问。 第二问，点 a， 点 b 在 平面阿尔法内，且有呢这道直线 a 与平面阿尔法相交于点 c， 然后点 c 啊，不在这道直线 ab 上， 这只图像呢，就如我们这的图二所示，我们还要用符号表示一下它。首先呢，这个点 a， 点 b 在 平面阿尔法内，是不是就有这点 a 属于平面阿尔法，同时呢，这点 b 也是属于平面阿尔法的。 然后呢，直线 a 与这个平面交于点 c， 是 不是就有这个 a 交阿尔法等于我们一个点 c， 同时呢，这个点 c 啊，还要不在这个直线 a b 上，所以说呢，就有这个点 c 不 属于直线 a b。 下一个角度点线重面的问题的例题。例三呢，已知这个直线 a 是 平行于直线 b 的 直线 l 啊，与这个 a b 都相交，求证过 a、 b、 l， 尤其只有一个平面。 根据题设啊，我们的这个图像就长这个样子，我们来证明一下，首先先写证明二字， 如图所示，我们根据这个题设里呢，画出来了一个大致的图像。然后呢，我们可以看到啊，这个题设里，是不是因为呢，我们这的直线 a 是 平行于直线 b 的， 所以说呢，根据我们的一个推论三，我们当然的推论，回忆一下，是不是过一个平行直线呢，尤其只有一个平面 r 法，然后啊，我们设 因为呢，这个直线啊，与这个 ab 我 们都相交，是不是？首先呢，我们就设这个直线 a 交我们的直线 l 交于我们的一个点 b， 所以说呢，我们就可以得到一个点 a， 是 不是属于一个阿尔法的，然后点 b 也是属于我们的一个平面阿尔法的。回忆一下，这个是什么？是不是我们的一个基本式十二， 因为呢，这两条直线都在这个平面里面，所以说呢，它这个直线里面的点也肯定在这个平面里面了。然后呢，且有什么？且有这个点 a 也是属于这个直线 l， 同时呢，这个点 b 也是属于这个直线 l 的， 是不是继续是我们的一个基本式十二，我们刚刚是反着用了我们的基本式十二，是这样呢，我们再正着用这个基本式十二就可以得到什么？是不是 a 和 b 都是属于这个直线 l 的， 所以说呢，这个直线 l 也属于我们的这个平面阿尔法， 所以说呢，是不是就可以证明了过我们的一个 a、 b、 l 有 且只有一个平面？ ok， 下一个角度共线重点问题的例题。第四，如图所示，在正方体 a、 b、 c、 d 杠 a、 e、 b、 c、 e、 d， e 中， e、 f 呢，分别为 ab、 a、 a、 e 上的一点，然后且有 d、 e、 f 交 c， e 交了一个点 m， 求证点 d、 a、 m 三点共线，好的，我们来做一下，先写证明二字， 我们提这里的条件啊，告诉了我们这个因为 d e、 f 交 c、 e 交的一个点 m， 那 我们根据这个图像啊，我们知道又因为这个 d、 e、 f 是 属于什么平面的，是不是属于我们这个平面 a、 d、 d、 e 的 就是在这只平面上的， 所以说呢，我们提的到什么？是不是这个点 m 是 不是也要属于这个平面 a， d， d， e， a， e， 然后呢又因为啊，这个我们知道这个 c、 e 是 不是属于这个平面 a、 b、 c、 d 的， 所以说呢，我们是不是知道这个点 m 也属于这个平面 a、 b、 c、 d， 哎，是不是我们就知道了这个点 m 啊，是不是属于同时属于两个平面，它既属于这个平面 a、 d， d， a、 e， 又属于这个平面 abcd， 所以 说啊，我们可以得到这个点 m 是 在这两个平面的交线上的， 然后呢，我们又根据这个图像啊，我们可以看出来，又因为呢，这个平面 a、 d、 d 一 a 一 交，我们的平面 a、 b、 c、 d 是 不是交的一个我们的交线呢？等于的 ad， 根据我们的一个这个基本式是三，是不是我们知道啊，这个点 m 其实就是在这个 ad 上的， 所以有呢，这个点 m 是 属于这个 ad 的， 那么我们要证明的东西是不是就出来了？所以说呢，这个 d、 a、 m 三点共线， 好下一个空间中两直线的位置关系。首先呢，我们要知道什么是意面直线，它的定义呢，是不同在任何一个平面内的两条直线，然后呢，它一般有这三种情况，分别是一、二、三， 这三种不同的情况呢，都能表示我们的一个意面直线。然后啊，我们这个空间中两直线的位置关系一共是有三种的， 第一种呢，就是它的一个动面直线中的相交直线，它们两个直线呢，都在同一个平面内，尤其只有一个公众点， 大致呢就长这个样子，这条直线和这条直线都在一个平面内，然后交于一个公共的点，是相交的一个直线。那第二种情况啊，它是一个同一平面内的一个平行直线，这种时候呢，它就是没有中重点的， 就是在我们这一个同一个平面内呢，有两个直线在这个平面内相互平行。第三种呢，就是意面直线，就是我们刚刚提到的不同在任何一个平面内没有公共点的两条直线，大致呢就可以分为我们这张规范的三种情况。 那么我们张张学完定义，我们来一道例题呗。例五，如图，在长方体 a、 b、 c、 d 杠 a、 e、 b、 c、 e、 d 中，第一个呢，直线 a、 e、 b 与直线 d、 e、 c 的 位置关系。我们看一下这个 a、 e、 b 和 d、 e、 c 是 不是这条和这一条它们两个位置关系呢？是不是就是我们的一个平行？ 第二个是直线 a、 e、 b 与直线 b、 e、 c 的 一个关系。我们看到了这个 a、 e、 b 还是我们刚刚的这个 a、 e、 b。 然后呢， b、 e、 c 是 不是就跑到了右边的这个面上，就是 b、 c、 c、 e、 b、 e 上面是这一条， 然后呢，它们两个关系什么？是不是我们想一下，它们不在同一个面上，是不是我们就可以写上以面 第三个，直线 d、 e、 d 与直线 d、 e、 c 的 一个位置关系，我们看到啊，这个 d、 e、 d 是 在这的位置，然后呢，这个 d、 e、 c 是 在这的位置，它们都在这个平面 d、 c、 c、 d、 e 里面。其有呢，这个 d、 e、 d 是 不是交我们的这个 d、 e、 c 交于一个点 d、 e， 所以 说呢，它们两个位置关系就是一个相交。 第四个，直线 a、 b 与直线 b、 e、 c 的 位置关系。我们可以看到啊，这个直线 a、 b 是 在这面 a、 b、 b、 e、 a、 e 里面的，然后呢，这这直线 b、 e、 c 是 不是在我们的这张平面 b、 c， c， e， b， e 里面，它们在两张不同的平面里面，是不是它们的关系就是 e 面？写上去这道题呢，就 ok 啦， 继续直线与平面的位置关系，它的位置关系呢，首先是有一个直线 a 在 平面阿尔法内的，然后呢，它的公共点就有无数个，我们符号表示为这个直线 a 在 平面阿尔法上，图形呢，表示为这个样子。还有呢，下一种情况呢，是直线 a 在 平面阿尔法外。 然后啊，又可以分为两种情况。第一种情况呢，是这个直线 a 与平面阿尔法相交，然后呢，他们就有且只有一个公众点，我们记作这个直线 a 交平面阿尔法于一个点，我们记作点 a， 它的图像呢，表示为这个样子。 第二种情况啊，就是直线 a 与这个平面阿尔法平行，这种时候呢，它就是没有中重点的，我们就记作直线小 a 平行于平面阿尔法，图像呢，记作这个样子。 好的，我们刚刚学习的一些概念，我们来看直线与平面的位置关系的例题。例六，下列命题中正确的个数是？ 对于这种文字性的面用题啊，我们可以画一个正方题来帮助我们理解。首先第一个面用题，如果直线 a 和直线 b 是 两条直线，且有呢，这个直线 a 平行于直线 b， 那 么有直线 a 平行于经过直线 b 的 任何一个平面。 好的，我们看到这个图像啊，我们设置的直线 a 呢，是我们的一个这个正方题里面的一个 ab， 然后呢，这个直线 b 啊，是我们的这个正方体里面的 a 一 撇 b 一 撇。行，那我们看到啊，这在这个面 a b b 一 撇 a 撇里面，确实啊，这个 ab 是 平行于 a 一 撇 b 一 撇的， 那么他最后一句话对吗？ a 平行于经过 b 的 任何一个平面，这种说法，他们 a 和 b， 他 们两个同时啊，都是在这个平面 a b b 撇 a 撇里面的， 还平行于这只平面吗？没有，所以说这只命题不正确。下一个命题二，如果直线 a 和平面二法满足于 a 是 平行于二法的，那么直线 a 与平面二法内的任何一条直线平行 一样的，我们设置着直线 a 呢，在我们这个正方题里面，是我们的 a a 一 撇， 然后啊，这种时候呢，这个 a 啊，是平行于这个平面，我们右边的这个侧面呗，就是 b c c 一 撇 b 一 撇，对吧？然后呢，任何一条直线平行，这对吗？就比如说这个直线 b c， 我 们发现什么有这个 a a 一 撇是垂直于 b c 的， 并不平行，所以说呢，这个命题也不一定正确。 然后呢，最后一个命题三，如果直线 a 和直线 b 和平面阿尔法满足于直线 a 平行于直线 b， 其有呢？这只直线 a 是 平行于平面阿尔法的，且这只直线 b 呢，不在阿尔法上，那么有这只 b 平行于平面阿尔法。 哎，两个直线，这个是直线 a， 这个是直线 b， 它们俩互相平行，然后呢，有这个直线 a， 是 不是平行于我们的这个平面 r 法，然后呢，这 b 啊，又不在这个平面上，那么是不是看起来就确实是有这个 b 平行于 r 法？ 那一样的，我们假设这个 b 与这个 r 法是相交的， 又因为呢，我们这个题设里的条件有这个直线 a 和直线 b 相互平行，那么这个时候啊，是不是根据这个条件，是不是我们可以知道啊，这个直线 a 肯定要和我们的这个而法相交了，那么就与我们的直线 a 平行于平面而法矛盾了。 又因为呢，这个 b 啊，不在这个平面而法上，所以说呢，是不是就能证明我们的一个直线 b 是 平行于平面而法的？所以说呢，命题三正确，那只有一个正确的，所以说呢，这道题就选 b 了， 继续平面与平面的位置关系，他们的位置关系呢，有两种，分别是平行与相交，平行的时候是没有中重点的，相交的时候有无数的中重点 交出来一根交线，所有的中重点都在一条直线上面。两平面平行，比如说阿尔法和贝塔，他们的表示为这个样子。 平面阿尔法平行于平面贝塔，然后呢，两平面相交交的一根直线 l， 那 么就有阿尔法交贝塔等于直线 l， 它们的图形呢，表示为这个样子，这个呢，就是我们两平面平行的一个图形表示，然后呢，两平面相交，其中呢，这个直线 l 就是 它们的一个交界。 好，最后来看这例题，平面与平面的位置关系。例题例七，如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是 我们看到这边的图啊，是不是有两种情况，分别呢？是第一种情况，是不是这两个平面相互平行的时候， 第二种呢，是这两个平面相互相交的时候，也可以满足这个两条直线互相平行，所以说呢，这道题就选 c 平行或相交。好的，谢谢同学们的观看，我们今天的课程呢就到此结束了，让我们在下期课程再见。拜拜。

立体几何中的角度求解问题？喜欢在选择填空，尤其是填空的第二第三题，这种中档次压轴位置出现在结合大体第二问中必有的角度求解分值占比高，而且足够稳定， 无论大家有没有提前掌握间隙的外挂，今天关于线线角和线面角的通用解法，相信你学完之后会有收获与提升。 这是一条线，这也是一条线，两条线的夹角大小是 theta。 假如我把其中一条直线平移一下，你认为它俩的夹角还是 theta 吗？没错，当然是的， 所以直线的平移不改变夹角大小。哎，那线的伸长缩短改不改变线线夹角啊？是的，同样不改变。那他做的这么短了呢？ 没有关系，咱们给他做条辅助线就回来了。所以啊，平移和伸缩永远不改变线线夹角， 并且平面和空间都是适用的。那只要了解了这样一个点，我们便可以解决几乎所有的立体空间线线夹角问题。就比如呀，在这样一个正方题中， 他说要求红线 a、 d、 e 和黄线 e、 f 所成的角度，我们是不是可以放心的把 b、 d、 e 连接起来呀？ 在蓝色三角形中， ef 是 底边的中位线，那么 ef 也就平行于底边第一 b。 换句话说，第一 b 一定能够由 ef 平移伸缩得到，而平移伸缩完全不改变夹角大小， 所以红线和黄线的夹角就等于红线和蓝线的夹角 共面。直线夹角可以直接标出在黄色三角形中，正方体能长为一，另外两边根二根三，这是一个直角三角形，夹角与弦值等于根号三分之。根号二 化简之后选择 c 选项。正是因为平移和伸缩完全不改变夹角大小， 所以只要题目来一句求红黄两线的夹角，我们就可以在伸缩和平移的范围内，不择一切手段，让红黄两线进入同一个平面直接接触。题目就变成了最基础的求解面内夹角于弦值。 再比如这样一道题，他说要求 am cn 红蓝两线夹角分别记作 l 一、 l 二， 根据原则不择一切手段给他俩平移到直接接触共享平面的位置，这样平移稀奇古怪，不行。 那这样呢？千万注意，这里不是焦点，也不好搞，所以光有平移是不够的，还得伸缩。再次借助中位线神力连接 md 做出 l 三， 在红色三角形 amd 中，黄色的 l 三又是中位线， 红线通过平移伸缩能够得到黄线。那么题目要求蓝线和红线的夹角就是蓝线和黄线的夹角， 咱们把 c、 q 连接起来， c、 n、 q 便是对应的角度大小。剩下的重点便是找出黄色三角形的个边长度了。那题目也说了，空间四边形 a、 b、 c、 d 的四条边以及对角线，也就是 b、 d、 a、 c 长度都是一样的。那你说这 abcd 到底是个啥呀？没错，正四面体。 所以这个绿色侧面 a、 c、 d 是 个等边三角形，中线 c、 n 长度为根号三。 再看这个终结面， amd a、 m 也是根号三， nq， 它又是中位线，长度为底边的一半。 最后看底面 bcd 点， q 是 中点，非常典型的等边三角形， cq 等于根号三。像这样咱们便算出了最后 等会儿点， q 是 m、 d 的 中点 哦，等边三角形中线上的中点，它不是几何中心， 终点，在更加靠上的位置标定长度，再由勾股定律可以算出真正的 c q 大 小等于二分之。根号奇。放回原本的三 d 视角中， 三边长度都有，再想求 c 塔，咱们只看黄色的三角形， 那么现在聪明的你知道应该怎么求了吗？ cosine theta 余弦定里等于三分之二，作为本题答案。 接着进入第二部分，这是一条线，这是一个面，交点为 t， 他 说要求线和面的夹角，线面夹角，咱们引入实物平面， 当我们把组合体视角压缩到合适位置的时候，这个线面夹角特别的直观， 但是具体咋求呢？思考一下，你看呀，在线上随便取个点 n， 向平面引一条垂线，垂足为 r， 那 么在这个黄色直角三角形 ntr 中， 线面夹角 c 塔特别的好求。所以啊，咱们以后尤其是在小题中看到线面夹角的时候，就在线上随便取个点 n 向平面引一条垂线， n r 垂直蓝色平面，也就垂直于蓝色底边，再标记好线面夹角 c 塔， 最后只用在黄色的 ntr 中标定长度，这个 c 叉角就没得问题了。就比如这样一道题，在正方题中要求蓝色平面和黄色直线的夹角，怎么操作嘞？ 没错，在线上随便找个点，比如 a 向平面引一条垂线，垂足是 q， 构成直角三角形，角 a， d， e， q 等于 c， 它正好对应这个线面夹角的大小。咱们聚焦黄色三角形，题目不给长度，咱们就设它的棱长等于二， 那么 a、 q 和 d， e、 q 都不难求。而在这个黄色直角三角形中 c， 它角的正切值便等于根号六分之根号二，三分之根号三。选择 b 选项。 并且呀，这个辅助线的做法不是什么邪修秒杀，就是最最简单纯粹的基本定义。咱们最后看这样一个正四面体 p 杠， a， b、 c、 d 为中点，要求黄线 b、 d 和蓝色平面的夹角。聪明的你一定有了想法，在线上随便取个点，比如 d 向平面引一条垂线 d q 垂直蓝色平面，也就垂直蓝色底边构成直角三角形，线面夹角正是 d b q。 再来聚焦黄色的直角三角形，棱长随便射绿色侧面 b p a 中 b、 d 作为等边三角形的中线，等于根号三。但是要求余弦的话，这个 b、 q 应该咋算呢？我发现呀，点 d 投影到底面是 q， 点 p 投影到底面是 n， 这个 n 呢，他才是正儿八经的几何中心。点 q 是 a n 的 终点，这里要千万注意 n 和 q 的 位置，咱给它铺平， 边长为二， a， n 就是 边长，除以根号三 q， 它又是中点 a q 取一半长度， 这个 b、 a、 q 正好三十度角。所以啊，在这个蓝色三角形 b、 a、 q 中， cosine 三十度，利用余弦定力，等于二分之根号三， b、 q 的 长度，可以很快算出等于根号三分之根号七。 再回到三 d 视角， b q 等于根号三分之根号七。那这个 cosine c 塔，咱们只看黄色的直角三角形 cosine c 塔便是三分之根号七。 那么以上内容便是线面角的求解方法。在视频的最后，咱们就线线角和线面角各选定了一道强化练习，供各位同学巩固提升。这是第一道题，这是第二道。

高一下学期来学这本教材，其中的第三个章节，也就是类体几何，是我们下学期的重头戏，也是大家开学来之后拿分的分水岭。 那这个章节核心抓什么？我们这节课给大家全部梳理一遍，你寒假预科是有方向的，不会走弯路，你才能够节约时间，高效率，行不行？行，我们一节一节给大家去说，你拿笔记下来。首先第八章立体几何，我写到这啊， 第一节叫八点一，八点一是基本立体图形，这里主要大家需要掌握的叫什么？什么叫做多面体 对吧？什么叫做旋转体，了解概念即可，不用做深度的，这个停流行不行？行，然后开始看八点二，八点二叫做直观图， 这里考你什么呢？只要考你一个东西，你会就可以了。就是高考考的也比较少，主要是在我们的月考期中考，考一道小题，明白没有？明白这个小题考什么？ 考邪二策画法主要考这个， 第一个就是你得会用斜二侧画法去画他的直观图，然后第二个就是画完之后你得知道，哎，完了，那个图形和没之前的原图之间的周长面积的关系就欧了，掌握到这个程度就结束了，所以寒假不需要浪费太多的时间， 真正要命的立体几何是从我们的八点三开始的，叫做简单几何体的什么体积？对了，与表面积，高考热点题型考试必考， 所以这里要求大家要死抓一个核心，你不仅要会算算，对公式得背对，你还不能出错，很多人丢分丢在不会计算上，或者说计算容易出错上， 粗心上，所以要刻意去训练行不行？行，现在高考已经不考，这种老掉牙的三十图都还原了，以前是还原完之后让你求体积表面积，现在不还原了。所以大家如果在其他的教辅上有看到，哎呀，一个三十图让你还原回去，让你去搞体积表面积这种题，直接划掉跳过，不要浪费太多时间好不好？好， 你要抓的是教材背后的拓展模型，这里主要拓展什么呢？来，拿笔给我记下来。第一个叫什么问题？叫做球的问题，球里面分为第一个结面， 高考考过很多次了。第二个跟球有关的外接球，外接球模型以及内切球模型，比如说外接球里面 哪些方法，哪些模型，一个一个给我去攻克啊。第一个叫什么模型？长方体模型， 简单的直接考你难一点的就是给你隐藏，最后发现，哦，原来如此，是个长方体，高考考过，考过很多回了。第二个叫圆柱模型，还有圆锥模型， 还有扇子模型，基本能力考九十分以上，这些是必须得会的，要冲到一百二一百三，把高问题来了，尤其是最后两个双半径单交线， 还有下一个双距离，对吧？单交线 拔高的，经常出现在亚洲体的位置。有模型的模型研究透，直接拿结果 ok 不 ok？ 然后内切球里面，比如说我们主要是一些 注体啊，常见的注体锥体都怎么去切的，需要大家喊着去好好去研究一下，也是高考的重点行不行？行，强调一下，除了球的问题之外，这里跟他有关的一些二级结论还有什么？比如说正四面体， 正四面体一些体积呀，表面积呀，高啊，必须要去做总结。你看，这就是为什么很多孩子把教材我都看了，为什么做题不会做，我提不了分。就是因为教材只给你底层的公式，或者只给你推导，他不给你模型。 你寒假如果能把这些模型直接练透，那你的能力跟别人就能够直接拉开差距了，明白没有？明白了好，再来说下一个叫做八点四， 呃，叫八点四点线面的位置关系。这个主要考什么？ 主要就是以概念定律为主，最多考试考一个辨析题，我们在高考当中考的直接考他也很少，所以大家的核心一定是放到哪里？放到接下来的八点五 以及八点六。一个是平行，一个是垂直，这两个才是立体几何里面的灵魂，因为你看到的所有立体几何的问题都是垂直的问题， 你包括体积、表面积里面的一些分析全都用到垂直。所以如果你的垂直学不好，你类地结合的第一问你，第二问，很多就没有办法去做的，不是吓唬大家的，所以你得知道你类地结合的核心重点是在哪里。 嗯，很多孩子这本题苦啊，不知道辅助线为什么这么做呀，这么画呀。所以说大家一定要去听胡老师一句劝， 类地结合不要一上来就去给我看答案。你要做的一定是根据我这些模型，先去总结模型，然后拿模型去刻意训练，能理解不？可以？你比如说平行垂直里面常见的什么矩形模型， 对吧？还有很多正形模型，这都是经典的勾股模型。三垂线模型， 先把这些模型吃透，然后后面你去做题辅助线，一眼就能够看出来他怎么画了。 最后胡老师必须要提醒大家一个点，就是你在教材里面，你翻过来，哎，八点六之后没有了，目录里面根本就没有写加角问题，但是加角这个问题出现在教材皱纹里面，有出现加角的定义，藏着的 夹角问题，这才是核心。写到这啊，夹角不要只单看目录， 线线角，线面角二面角，高大考必考题，而且还考你大题，教材没给大家方法，考试要考呀！所以大家必须掌握，比如说线线角 三大方法，比如说线面角四大方法，面面角对吧？五大方法，几何法怎么做，甚至直接过渡到空间向量里面怎么去做，寒假把它搞透。大家不要只去看教材表面 开学如果你只看表面，你开学发现教材背的滚瓜烂熟，题不会做，一个都不会做。这就是为什么很多孩子预习了发现没效果， 因为高中就是基础都在课本，但是模型都在数外，你缺的是实战演练，实战的模型。胡老师把教材背后的考点教材深挖，全给大家浓缩成了立体几何里面大家必会的三十二大模型满分攻略， 别在教辅书里面各种盲目去刷题了，就把这三十二大题型满分攻略给他练透，顶你盲目刷三百道题， 你只要寒假想拿下立体结合这个大的块，高考里面起码占二十五分左右了，对吧？你就留立体结合三十二大模型，胡老师把这些都给大家安排的明明白白的好不好？好好下课！

立体几何的线面关系证明已经不能叫做高频考点了，它是纯粹的必考内容，年年高考，张张试卷，几乎无一幸免。但是大家在第一次学习的时候，可能连线面垂直是个啥意思都不一定知道， 所以今天咱们从纯零基础视角一起来拆解线面关系到底是个啥？ 首先呀，是线面垂直，说直线垂直平面啥意思？大家在生活中有没有见过相关的例子呀？哦，电线杆笔直的插入平坦地面， 咱们引入实物来进行观察，当我们把视角放平、放平再放平的时候，最终平面又被压缩成了一条地平线， 而 l 一 正好垂直于它，这个就是线面垂直的本质。好的了解了基本定义，这时候如果在平面内随便放两条直线，你认为红黄两线之间会是什么关系呢？ 就比如这个 l 一 和 l 二，既然 l 二在平面内，那么当平面也被压缩成地平线的时候， l 二就和地平线重合，红线垂直平面， 红线就垂直平面内的线，而且并非个例。像这样一个更没有特点的 l 三，它也和 l 一 垂直吗？ 还是一样的步骤，在我们的视角给平面不断压缩，直到成为一条地平线，红线垂直平面就垂直平面里边的线。 任何平面中的线压缩后都一定和这个压缩线重合，被红线 l 一 垂直贯穿。 那么简单总结就是，只要红线垂直黄色平面，红线就垂直平面内的任何一条线。当然一定要交代黄线包含于黄色平面，这是已知线面垂直可以推的玩意，记作定里一 接着，如果这个定律反过来说，红线同时垂直于两条黄线 l 二和 l 三，并且两条黄线同属于黄色平面，您认为是否一定能够推出红线垂直黄色平面呢？ 还是老规矩，咱们引入实物平面，先看这种红线只垂直于一条平面内黄线的情况。那么不妨认真思考一下红线和平面之间的角度，它定死了吗？ 显然，在 l 一 和 l 二垂直的情况下，平面完全可以以 l 二为转轴 随意转动，并且这对 l 一 和 l 二的相互垂直不造成任何影响。换个视角看也是同样的道理，平面绕轴转动不影响黄色轴线和红线的相互垂直， 所以这个平面他不是固定的，和 l 一 不必然形成九十度的垂直角度。但是呀，如果我再引入一条 l 三也在平面阿尔法内和红线垂直了，咱们仔细观察一下， l 二和 l 三卡在一块，同时包含他俩的平面，是不是有且仅有这唯一的一个呀？他这下就真的转动不了了， l 一 必然像电线杆一样，从完全竖直的方向狠狠插入这个唯一的平面 l 一 垂直平面阿尔法。 呃，但是，如果 l 二和 l 三不相交，两个是平行关系呢？上边还一定能够推出下边吗？思考一下。 首先，平移是完全不改变几何关系的，而当我们将 l 二和 l 三平移到重合位置时，同时垂直 l 二、 l 三 仅仅相当于垂直平面里边的一条直线，而红线只垂直于平面里边的一条直线，根本推不出红线垂直平面。这是咱们前边最开始就推理过的，平行不行， l 二 l 三就得互不平行。但是试卷上更规范的表达是， l 二交 l 三等于 p， 有焦点就是不平行，直接给他替换掉。那么整个推导过程简单来说就是红线同时垂直于两条黄线，两条黄线互不平行，有焦点 属于同一平面，那么红线就一定垂直于这个平面。以后凡是碰到线面垂直，都需要这样的步骤才能把分数拿全。 就比如这样一道二三年的高考真题，要证明红线垂直黄色平面。根据刚刚的经验，只需要在黄色平面里边找出两条不平行的黄线，被红线垂直，黄色平面也就被红线垂直。 但是这两条黄线分别取谁？好嘞， p a a b 还是 p b？ 咱们先标数据 提杆，右手 pa 垂直，底面 abc 线垂直于平面，就垂直于平面内的所有线。比如面内的 b、 c 就 被 pa 垂直， ac 也被垂直， ab 还被垂直。 哎，这个 pa 和 bc 是 不是刚好就是咱们所需要的红色黄色垂直？对啊，哎，已经找到了一组垂直了。 接着咱们看棱锥的蓝色背面直角三角形底边长度根号二。 再看棱锥底面等腰直角三角形直角边 bc 垂直 b a 又得到了一个红黄垂直对。 接着就是标准的书写流程了，红色 bc 同时垂直于黄色的 pa 和 b a、 pa 互不平行，交于点 a， 而 pa、 ba 又都包含于平面 pa b， 所以 红线 bc 就 垂直于平面 pa b。 再看这样一道二三年的全国二卷实体，要证明红线 bc 垂直于黄线 da， 这线线垂直不应该初中就会了吗？ 但是呀，这俩是异面直线。咱们研究一下红色 l 一， 黄色 l 二，要证明红线垂直黄线，咱们是不是可以引入一个平面阿尔法， 黄线 l 二包含其中？只要我能证明红线垂直面内的黄线呀， 简单过一遍，要证明线线垂直，就得给黄线找个面，红线垂直，这个面红线就垂直黄线。 以上是意面直线的垂直证明方法，大家可以借助这道全国二卷的证明题来应用练习。 再比如，大家碰到这种更坏事了，要证明平面和平面面面垂直，好像又是一个新的知识点，红色平面阿尔法，黄色平面贝塔。如果说这两面相互垂直， 会是啥情况呀？咱们引入实物图一探究竟。凡是涉及平面的几何关系，方法非常明确，把平面都旋转到压缩成线的视角， 压缩线之间的关系就是平面之间的关系。好的，了解了面面垂直的本质之后，咱们得想个办法证明它。比如咱们引入一条 l 一 包含于平面阿尔法， 同时垂直平面贝特，就这两条，能推理出平面阿尔法垂直平面贝特吗？思考一下， 咱们还是引入实物图来加以研究。首先，红线 l 一 垂直这个平面 l 一， 就一定垂直这个平面的压缩线， 这是线面垂直的本质。现在说 l 一 包含于平面阿尔法，比如长这个样子。 这里请大家认真思考。当我以 l e 为转轴去转动这两个平面镶嵌而成的组合体时，不管这个平面阿尔法有多大，他也总有被压缩成线的那一天。 此时的红线 l 一 正好和平面阿尔法的压缩线重合，俩平面的压缩线相互垂直，就等效为面面垂直。 好的整体简单梳理一遍，只要红线 l 一 垂直，平面贝塔 l 一 就一定垂直。平面贝塔的压缩线 l 一 又是平面阿尔法里边的线， 整体以 l 一 为转轴，就百分之一万能够转到这个两个平面都被压缩成线的时刻，而平面阿尔法最终被压缩到和转轴共线，他的压缩线也和贝塔的压缩线相互垂直， 而压缩线相互垂直正是面面垂直的本质。大家同样可以借助一道经典例题来强化理解。 再接着进入第二部分，一条红线 l 一， 一个平面阿尔法。但这一次我说红线 l 一 平行于平面阿尔法，你能想到它的本质是啥不？ 咱们引入实物图，根据前面的经验，只要有平面，就得给他压缩成线，线平行于面，线就平行于面的压缩线，这是线面平行的本质。 那么在更多的考场环境下，如果需要证明线面平行，应该怎么做呀？ 比如在黄色平面内放置一条黄色直线 l 二，通过红线平行黄线来证明红线平行黄色平面，你认为这合理吗？ 当然一定要交代 l 二包含于平面阿尔法，思考一下好，还是引入实物图，凡是有平面，又要找几何关系，第一时间给它压缩成线。 红黄两线相互平行，而黄线又在平面阿尔法内，所以平面阿尔法被压缩成线之后，必然和 l 二位置重合，和 l 一 相互平行， 而线和面的压缩线平行，就是线面平行的本质。综合来讲，定律的大概流程就是，红线平行于黄线，而黄线又在这个面内，红线就一定平行于这个面， 这是线面平行的判，好像还有点瑕疵。这个 l 一 平行于 l 二，好像从来没说过 l 一 不能在 l 二这个平面内吧， 所以他当然是错的。一个平面内的线不可能平行于这个面本身，所以为了简单粗暴的切断这种可能性，我们直接在条件中加一句红线 l e 不 可以包含于平面阿尔法， 这样就百分百隔绝了。而线面平行这样一个判定定律，大家同样可以用一道高考真题来加以巩固。

高中的例题，几何答题第一问，线线垂直。当我们遇见这样的一个问题的时候，往往会想，哦，线线垂直，那不就是勾股定律吗？ 如果说大家只会单纯的勾股定律，这个问题在平面图形当中是没有问题的。可惜啊，我们现在的问题是什么？是立体几何，那么在立体几何当中，线线垂直，我可以告诉大家，百分之九十九题目都是通过线面垂直的判定来证明的。 简单来说，你想正 b 倒垂直 a c 两个方向，方向一， b 倒垂直 a c 所在面，第二个方向 a c 垂直于 b 倒所在面。 好，这就是今天我想表达的核心内容。大家在往往遇见线线垂直证明的时候，我们往往可以通过这样的手段，利用线面垂直的星直定力来解决问题。我们一起来书写一下线面垂直定力，当我们想证明一个线 他要垂直一个面的时候，这个过程呢叫做判定。我们假设这条线已经垂直这个面了，这个呢叫做性质， a 已经垂直 alpha 了，那么我们能推出来什么东西？很简单， a 垂直 alpha， 一 条线在面内， 我们就可以推出来 a 垂直于 b。 换句话说，一个线垂直面，我们就可以推出来线垂直面内的任何一条直线，这就是我今天想表达的这个性质的一个应用。 甚至在题干当中，只要出现线面垂直，百分之九十九会用到这个东西。当然二四年高考，他用的是另外的一个性质，这个我们称之为性质一。在我们高一目前的学习当中啊，这个性质我可以说用的是最多的。 好，我们接下来不妨来尝试一下啊。既然让我正 b 倒垂直 a c， 那 么有两种方向，是 b 倒垂直于 a c 所在面，还是 a c 垂直于 b 倒所在面，这就是问题。那你说老师每个题都两个方向，那我每个题的两个方向都要都要去想吗？ 那我这里教大家另外一个方法，线面垂直，线线垂直。这里面其实是有一个 小小的 bug， 好， 这个 bug 呢，我先把这个图画好之后我再跟大家讲，我们先把 abbc 等一，我很自然的想到了中线，它是垂直的，换句话说呢，我好像发现了一些东西。第二个方法论叫做 通过线线垂直，其实它有一个技巧，线线垂直，我认为是最简单的。什么叫做反推，让我正它垂直， 我问一下，它实际上垂不垂直？它实际上是不是一定是垂直？所以 b 导一定是垂直 a c 的， 那我们又得到了这个 b h 垂直 a c， 看懂了吗？也就是说，实际上 a c 是 不是它一定又要垂直 b 导，那么 a c 是 不是一定又要垂直于 b h 呢？那是不是 ac 就是 垂直这个面的呀？大家听懂了吗？但是我们证明的时候是不是不能用哪一条？是不是不能用这一条？因为这一条是我通过结论来反推出来的东西。因此我们换一个方向， 我们要再找一根线，这个线已经很明显了吧，所以这个线是谁？这个线是不是就倒 h？ 我 们在正常书写的时候，不要拿结果来用啊，这结果不可能能用的呀。所以我们就写 ac 垂直于倒 h， a c 垂直于 b h， 是 不是线线，这两条线相交于一点，再写这个线在面内一个五推一，我们就可以判定出来 a c 是 垂直这个面的，那么自然垂直这个面的话，我们再次用这个性质底是不就可以推出来 a c 是 垂直于 b 道的，我完整的书写下过程。 那么接下来的话呢，就是我要表达的第二个事情， b h 交导 h 等于一点， h 导 h 在 b， h 在 面， b 导 h 中，所以推导出来 a c 垂直于面， b 导 h， 在这样的一个基础下的话呢，我就可以用性质定比了，因为这个叫线面垂直，所以它垂直面内所有直线既 a c 垂直于 b 道，这就是我想表达的两条方法论，大家可以把对应的笔记进行整理，第一个是课本给出的这个性质定理无比的重要， 第二个给的是我们在做线线垂直的题目的时候，我们可以把这个对吧要正的当做已知来反面的去找到这个面， 找到这个面之后呢，我们又不能用这个，所以我们在这个面内再找第三根线就可以了。以上的话呢，是我想表达的今天的对于线线垂直的证明的核心思路。关注我，我是数学沈老师，通过本质讲数学。

立体几何是不是学的很痛苦啊？别慌，咱的宠粉活动来了，事先声明，全程不会收取任何费用，让你零基础也能通关。立体几何帮你补充一些二级结论，填空选择的秒杀技巧，大题的通法通解。我们将系统讲解，体积问题， 球的切接问题，平行关系的证明，垂直关系的证明，结面问题，一面直线所成角线面角二面角，快来参与吧！

一个视频带你搞定立体几何的线面角问题，五种方法一网打尽，尤其是高一的宝子们，你们还没有学空间向量，不能无脑间隙，那你一定要看完这个视频，详细讲解基本原理，教你怎样做辅助线，怎么写证明过程。 看完这个视频，你就是掌管线面角的神。好了，点击全屏观看，开始你的成神之路，来吧！先来研究一下定义，那什么叫做线面角呢？平面上的一条斜线。什么叫斜线啊？这个线与这个平面斜交，它不垂直，这条斜线和它在平面上的适应 当形成的这个角呢，就叫做线面角了。所以说我想把线面角做出来，必须干啥？是不必须做一条线面垂直啊，做一条腿线，好，这样我才能得到垂足啊。 垂足与斜足之间的这个线段长度就叫做射影。我们看一看这个直线与平面所成角的个曲折范围， 它是大于等于零度，小于等于九十度的，注意它和意面直线所成角这个范围的区别。好，那我们就应用这一个线面角的定义，来看看这一个最简单的入门级别的题目啊。先热热身，大家先看看这个题目，一个正方体当中， 这个直线 a、 b 与 a、 b、 c、 d 所形成角的大小是多少？那我先要找到这个角是谁。好， a、 b 在 这里， a、 b、 c、 d 是 这个底面，那我会发现，哎，这条线和这个面是不是有一个交点啊？但这个交点是什么？ 通过定义，我们会发现，这个焦点是不是就是斜阻？那我在 a、 e、 b 这条线上我又找到一个点，干啥玩意做这一个面？ a、 b、 c、 d 的 垂线，那么这不太简单了吗？当然是过 a、 e 点做这个 a、 b、 c、 d 的 垂线啊，它就是谁？ a、 e、 a 是 不是这条侧棱啊？好把它给找到了，那 a 是 不是就是垂足啊？ b 是 斜足，那说所以说摄影就是谁？ ab， 那 么 a、 e、 b 是 斜线，摄影是 ab， 那 么它们的夹角 a、 b、 a、 e 是 不是我们要找的角啊？那这个角 a、 b、 a、 e 是 多大小啊？ 我一下就发现了，那是不是应该是一个四十五度啊？来，快点看一看这第二个题目，先找到这个角是谁，然后再去确定它的大小。 a、 e、 b 和谁的夹角啊？和 a、 b、 c、 d、 e 的 夹角同样呢，是有一个交点，是谁呢？是不 b 点？ b 点？是不所谓的斜足啊？ 那我要在 a、 e、 b 上找一个点是不？干啥垂直于这一个面儿， a、 b、 c、 d、 e 这个是正方体， 它每一个面都是正方形，那正方形的对角线是什么样的？是不是互相垂直的？也就是说你能不能得到这个 a、 e、 o？ 它就是垂直于这个面 a、 b、 c、 d 的 垂足，就是 o 啊， b、 o 就是 矢量呢？斜线是 a、 e、 b， 那 么它假角应该是哪一个角？ 是不是这一个角 a、 e、 b、 o 啊？那我们具体看看怎么操作，我带大家具体写一下步骤好不好？就是怎么能发现用定义法的呢？这个东西是不大家非常关心的事啊，你怎么就知道我要做哪条线呢？辅助线咋做呢？好处啊，对吧？我们直接给他搞。第二问，他说这个 c、 e、 g 与这个平面 bc， c、 e、 b、 e 所形成的这个角的正弦值是多少？求这个正弦值。 好了，我们先要把这个角给做出来呗。你怎么知道该用定义法了呢？我们对于这种题啊，用定义法就一定有什么出现前提啊？大家把这个东西做做笔记好不好？如果不知道什么时候他就该用定义法，什么时候用等体积，什么时候用垂面。哎呀，这些东西我都会提前告诉大家我是怎么做到的， 那是不是成功就可以复制了？我能做出来，你们也肯定能做出来，那它有一个什么前提呢？我们先找这个平面啊，哪条线和哪一个平面的左乘角，先找平面，找到这个平面，那我一定要有一个平面，有一个平面 或者是一条线和这一个所求平面 和所求平面儿。对于这个题来说，所求平面儿就是谁呀？这不就是 b c c e b 呀，和这个所求平面儿要干什么呢？垂直，也就是说我要么有面面垂直，要么有线面垂直， 能懂不？如果你找不到已知啊，你是从已知当中，或者是从隐藏条件当中去找，而不是你做辅助线做出来的，听听明白没？这一个是已知条件给我们的，是已知条件给我们的，不是我们做辅助线做出来的。 当我发现有这么一个玩意出现，那么它大概率就可以用定义法。这个概率多大呢？百分之九十，所以几乎考试的时候你发现这种情况就可以直接想定义法了。那我这个定义法该怎么去用呢？该怎么去用？ 那一二三步咱开始啊，一看一二三步，第一步干什么呢？找焦点，找这一个斜线 与这一个所求平面儿。焦点 找这个焦点是干啥玩意儿？这个焦点是不就是斜足啊？对吧？对于这个题来说，焦点就是谁？ c e g 和这个面儿 b c c e b e， 你 就不看这个题，你是不是也能马上找到它就是 c e， 对 不对？ c e 就是 斜足， 那我们有很大的可能性就是过另外一个端点，这条斜线上的另外一个端点是点 g， 过这个点 g 做面的垂线呀，我们根据定义法是不要在这条斜线上找一个点垂直于这个面啊， 对不对？好，那么我们就有很大的概率是过另外一个端点，过这个斜线 另一端点的话，它也得是某一个特殊点，就比如说等分点， 为啥呢？因为我们把它给做出来，并不是说我只得到这个角就行了，我才要把这个角的余弦之后某一个三角函数直接给求出来，所以我就要能求这种边，对吧？那做出来的边没法求，那是我没有用啊。所以我一定是过这个斜线 它的另外一个端点，或者是说这个端点上的这条线段上的中点，或者是某一个等分点。什么过它去做面的垂线，过这个斜线的另外一个端点呢？做面的垂线， 但是呢，我们肯定要坐在这个面，这个面是不是用可，可能是用三角形去表示的，可能用细边形去表示的，那我这个面我坐在面上肯定好难受啊，我做不了啊，那我想干什么？垂直于某一条边就能得到线面，垂直行不行？ 好，就比如说这个面儿，它是不是用这个四边形去表示的？是这个面儿表示的是 b c c b， 是 不是一个四边形去表示的？那我想的是什么呢？我过这个特殊点做的这条垂线是不垂直于我，这条垂线是垂直于 b、 c、 c 一 b 一 的某一条边，从哪实现线面垂直的呢？这不一定是往它某一条边做垂线得到线面垂直，这就是这一个前提的重要性了。 因为我们有一个面或者有一条线垂直于这一个平面的，这不就可以先得到一个什么了？从这一个面面垂直或者线面垂直也好，我们最终的目的是不是得到线线垂直？ 大家说是不是这样？以这样这么一个线圈垂直，我再给它干出，另外我是不是做出另外一个线圈垂直？那你说我垂不垂于面啊？我能不能得到线面垂直了呢？对不对？ 好，这就是前提的重要性啊，为什么要有这个前提好，一定是垂直于某一条边啊？垂直于这个面上，因为这个面肯定用三角形或者四边形去表示的，我去垂直于这一个图形的某一条边，从而实现了线面垂直，从而实现线面垂直。 那么我们就可以直接去得到这个线面角是哪一个，明白不？就是用这种操作啊，得到线面角是哪一个？那我们看看这个题该咋整吧，好不好？ 现在读读题啊，他说是一个剩三楞柱来了，剩三楞柱提供了什么？提供了这个侧面是不与剩下两个底面是垂直关系？有没有线面垂直啊？朋友们， 这个出三棱柱是不是又隐藏了一个向量垂直给我们？然后他说所有棱长都是二 e、 f、 g， 分 别是这三条棱的中点，是谁的中点？我们直接看图就行了，这就不用读题了，那么直接看第二问， 现在我们找到了它的这个焦点，也就是说斜足是 c 一， 那么我们要过 g 点另外一个端点，是不是所谓的 g 点？我是不是要过 g 点做 b c c 一 b 一， 它某一条边，是吧？它总四条边，我从哪条边的垂线就可以实现线面垂直呢？ 大家看你坐哪一条边儿？我当然是坐 b、 c 这条边儿了，对不对？ b c 这条边儿，因为我要看这点在哪一个面儿上是不？这点可以是在 a、 b、 c 上，也可以是在 a e a b b 一 上，对不对？ 好，那很明显，它这一个 j 或这点想做 b b、 e 垂线是不是很难啊？ 是不是有点扯淡了？所以说我们就直接干什么过 g 点做 b、 c 的 垂线，好直接实现第二条啊，第二条是什么呢？过这个 g 点做这一个 g h 吧， g h 垂直于 b c， 好 吧， g h 垂直于 b c， 咱把它给画出来啊， j h 垂直于 bc， 然后我们马上的连接这一个 c、 e、 h， 好， 连起来，大家看看啊，我就想请问大家，这个 j、 h 是 不是垂直于这个面？ b c c e b e 的 是不是这个样子？它就是吧，一定是，为什么呢？因为是不是有一个线面垂直啦， 对吧？我面面垂直啊，我们得到这个面面垂直，那这个面面垂直，我也给大家记一个顺口溜好不好？就是我上学那会啊，因为我比较笨嘛，我就想了一些办法，怎么能弥补我和学霸之间的差距呢？我就记一些结论呢， 这就是一个什么比方呢？就比如说我们去加工一堆零件，哎呦，这一堆零件我要组合组成一个什么样的玩具， 是吧？就和我们拼乐高一样，我把它拼成一个什么样的玩具，那我如果从单一零件开始去拼，是不是很复杂，很难？但是如果我们把它拼成某一个一个又一个的小单元，我再去组装的时候是不是就会快的多？ 那我们现在去记这种结论，或者是记这个方法的过程当中是干了一件什么事，是不是提前做一个半成品出来？那我以后看见这一这一个结构，我就可以拿这个半成品出来用，是不是他就会很快，那我和学霸之间的差距就会越来越少，甚至他还没有我做的快。 那这就实现了，我打败了他。好，来吧，那咱看一看，该咋证明呢？朋友们，该咋证明？是不？我们再从已知条件当中搞一个线面垂直出来是不就可以了， 对不对？来了吗？顺口溜啊，大家记一记。顺口溜，对于垂直来说的，对于垂直来说好用啊。有面面， 有面面，有面面是啥意思啊？有面面的意思啊，就是面面垂直，有面面找交线做垂值得线面， 那有线得到这个线面，我有时候就到这就停，还有些时候干什么呢？我要从这个线面是个得线线。 好，这就是我们经常会用到的一个东西，你如果遇到面面垂直有很大的可能性，你就得用这句话，对吧？好，现在我们就看了它有一个什么事， 刚才有没有发现？好，我们看它从已知条件这个正三棱柱，我们得到了这一个 a、 b、 c 和这一个侧面 b、 e、 b、 c、 c、 e 是 不是互相垂直的？互相垂直，它们两个交线是不是 b、 c？ 那么这个 c、 e、 c 或者是 b、 e、 b 是 不都是垂直于这个 bc 的？ 都是垂直于交界的？所以我这个 c、 e、 c 是 不是垂直于底面 a、 b、 c 的？ 那垂直于这个底面 a、 b、 c， 我 们会得到什么有用的东西？ 会得到什么有用的东西？是不是这个 c、 e、 c 就是 垂直于 g、 h 的？ 当然有同学会说，老师，你这不，你你，你这么做，这不费劲吗？对对对对，是费劲，但是我想要给大家稍微解释一下啊，稍微解释一下 是费劲的啊，那，那我们如果直接用的话会是什么样？那我现在是不是干出一件什么事来了？我做了一个线线垂直，是吧？ 我做了一个线线垂直，就是做了 j、 h 垂直于 b、 c。 刚才不也说了吗？那算了，我写下来好不好？我写下来啊，把这个过程给大家写一写，那我从这一个正三楞柱 是不是垂直于这个面 b、 c、 c 一 b 的 呢？对吧？是垂直的，那这个线面垂直，我们刚说了有面面，呃，有面面垂直，有面面找胶线，那么它们的胶线是谁呢？我们发现它的胶线是不是 b、 c 啊？那我又干什么做垂线？做这一个胶线的垂线，我现在做没做，我做的这一次是不是垂直于 b、 c？ 那也就是说我们有了这一个谁呢？垂直于交线，那我这个 j h 垂直于 bc， 那 我们能不能得到一个什么东西啊？这个 j h 就是 干啥玩意的？就是垂直于这个面 bc、 cb 的， 有没有毛病？是不是可以给它搞定啊？对不对？是不是很开心的就解决到这个问题了？那我是不是得到线面垂直了？这一个面是不是所求的面是我们要求的这个面， 对不对？线面垂直有了，那你还不知道是哪个角吗？ h 是 不是就是垂足？ c e 是 斜足，那么顺呢？就是 c h， 它有这个斜线 c e j 的 夹角，那我这一个角 j c e h 是 不是我们要找的斜面角啊？ 是不是就搞定了？好，斜面角就搞定了，现在他想干什么？求做之前值做这个 c 角 j c e h 想去求它，是不就老鼻子简单了？为什么说陷面角比较简单呢？因为我做出这个陷面角来，必定伴随这一个直角三角形。那直角三角形的正弦怎么去求？ 是不？它太简单了，我都不用什么余弦定力啊，什么正弦定力？这这一坨东西是不直接出动知识搞定，那它就什么 g h 比上谁？ c e g c e g 就 斜边啊，斜线就是斜边。好吧，那我现在干啥玩意就行了，把 g h 给出出来，再把 c e g 给搞定，是不就完事大吉了？ 好，那么朋友们啊，这一个 jh 是 不太简单了，它说了是一个正三棱柱，那底面 a b c 就是 一个什么图形，咱把它给画一画呗。大家看一看啊， a b c 就是 什么玩意呢？是不是一个等边三角形啊？ a b c， 那 这个 j 是 不是它的终点啊？我做了这么一条垂线，大家看，这个 h 就 应该是什么是 b c 的， 什么，是不是四等分点啊？朋友们，如果你直接看不出来，我再给你画一条线，你能不能看出来呢？ 这一个 k 吧，这一个 k 是 不是 b c 的 终点？有没有毛病？没问题吧？那么现在你垂直，你也垂直，你说我这个 h 是 不是 b k 的 终点？是不是就是 b c 的 四等分点？那么这个小玩意简不简单呢？ 是吧？这就很简单。我为什么一定要强调 h 是 什么呢？因为我想还得把 c h 给求出来啊。为什么要求 c h？ 因为我要求 c j c e j c e j， 我 必须要勾股才能勾股出来，明白不？所以这么一环套一环啊， 很快的，我们就会得到一个比较好的事情了。这个 g h 你 能不能直接搞定啊？这个 a k， 因为它的边上都是二二， 所以 a k 是 个根三，那么 g h 是 不是二分之根三？中位线嘛，很容易搞定了。 c h 就是 什么？我们说 h 是 靠近 b 点的四分点，所以说 c h 就是 什么二分之三嘛，对不对？这不很快嘛？ 好，我们还知道测棱是啥呢，它每条棱长都是二啊，那也就是说这个测棱长 c e c 是 不也是二啊？你说 c e c 也知道了， c h 也知道了，我想求啥呀？我当然是想去去求 c e h 了，对不对？ c e h， 咱一勾股，咱勾股不了吗？ 它是斜边，对吧？那我这个二分之三，这个二就是多少，这个二是二分之四啊，那你说这个 c e h 就是 多少，是不是二分之五？你建勾股，你千万不要硬上，一定不要平方，不要直接平方，你要看看它们几个数之间有没有满足勾股数啊， 尤其是这种一个是整数，一个是分数的，你敢不敢把它通分一下，把整数变成分数，你看一看分子满不满足勾股数呢，对不对？做题不要硬上你，要不然你为什么做题慢呢？人一歪眼，能做出来的又快又对，你还在平方开平方 干啥呢？这是对不对？好，那么 c e h 有 了，我们再去整什么？这个 g h 也有了，那 c e g 我 还勾股不了是咋地，对不对？好， c e g 再给他勾股一下吧。 好，用。这一个数和这个数现在就完蛋了吗？是不是他一个根三，一个一个五，我是不是用不了了？完犊子了，用不了了，那这个 c e g 就 老老实实的平方去求吧，是吧，他应该是什么呢？根号下二分之根三的平方，然后再加上这个二分之五的平方等于几啊？ 这小数还挺好的嘞，什么根七啊？好了，那咱把它给搞上吧。它就应该等于什么？二分之根三比上根七应该等于什么？ 哎呀，不是什么好玩意啊，十四分之刚好二十一，搞定了没？这一题。唰，这个流程就出出现了，我们第一个题讲的慢，是为了给大家试用条件，什么时候用定义法，我定义法怎么做，然后具体一步一步，然后我带大家做了，做这个 怎么去求值啊？通过这个流程，我希望能带给大家的是什么呢？希望能带给大家的是做题的通法，解题，通法。那我们用这个通去做一做第二题，看看它好不好用。那我再做后面题目，我就不给大家详细求了好不好？我们就做辅助线，咔咔，做几个辅助线就行了，好不好？看看这个通数能不能用啊。 来，我撕掉了啊，需要截图就截图吧。好，不需要截图，那我们就继续搞了。好吧，搞第二个题啦。第二个题，刚才说什么呢？已知这个三角形 a、 b、 c 与这一个三角形 d、 b、 c 所在的这个平面呢？互相垂直，来吧， 面面垂直有没有啊？朋友们？面面垂直是我们想要的，我想要，然后再有了什么呢？ a、 b 等于 b、 c 等 b、 d。 哎呦，标一标 a、 b 等于 b、 c 等于 b、 d。 哦，这三条边相等，然后呢？这一个 说这个 a、 b。 呃，角儿 c、 b、 a、 c、 b、 a 是 这个小角儿啊，然后 d、 b、 c、 d， b、 c 是 这个角儿啊，都是六十度。哎呀，他整的这么费劲，我看见这两个条件，他是不是就想跟我们说，这个三角形 a、 b、 c 呀，和这一个三角形 b、 c、 d 啊，它是全等的， 两个正三角形是不就这么个意思，整了半天整了，这么玩意儿？好，第一问，咱也是不做，直接搞。第二问啊， a、 d 与这个 b、 c、 d 所成角的大小。那第一步干什么来着？第一步， 找焦点对不对？找焦点，这焦点是谁啊？ a、 d 和 b、 c、 d 的 焦点是不点 d？ 好， 第一步，找到点 d 了，它就是什么斜足， 你怕我痛苦不好用啊。然后第二步干啥？是，不过 a 点做什么？做 b、 c、 d 的 垂线，我现在 b、 c、 d 有 没有一个面和它垂直是不？有啊，有，怎么整？找胶线是不就行了？那紧胶线直接做胶线的垂线是不就线要垂直了？朋友们， 所以第二步干什么？有线有面面垂直的太香了。这种题就是送分的，直接连点都不要了，直接就送给我们分是吧？有面面找交线，交线是谁？咔就找到了。 bc 是 交线对吧？那我现在干什么？不就是过 a 点做 b、 c、 d 的 垂线，那我直接过 a 点做 bc 的 垂线不就行了吗？对不对？ 那我做 a、 e 垂直于 b、 c 是 不就行了？那我当然，我这个 e 点就是什么玩意啊？我这个 e 点是不就是 b、 c 的 终点？为啥？因为它是一个正三角形啊。 a、 b、 c 是 不是正三角形？我要利用三线合一嘛，有条件我不用，我大傻子对不对啊？这个 e 点 它就垂直的吧，我取 b、 c 的 中点，直接连接 a、 e 是 不就行了？你做辅助线有很多种描述方式，你爱咋描述咋描述，你自己用起来爽就行了好不好。 嗯，当然了，你一点是终点，你也得用三线合一，是不是正垂直？你这个垂直，你是不是反过来也得正？这个一点是终点，你反正你都得用，你怎么去做弧线，爱咋咋地呗。那我通过这一个线线垂直，那我得到了什么呢？我说就得到了，你这个 a、 e 是 垂直于这个面 b、 c、 d 的， 我为什么同垂直于交线就垂直于面？是不必须有面面垂直在里头啊？我没有面面垂直，我直接得什么？一得一个错啊，是不是啊？我得到这一个垂直了，那这不就完事了吗？干啥玩意，一点是不就是垂足了对不对？一不就垂足吗？ 那我这个二面角，我呸，我这个线面角就是谁，我们把这一个 d、 e 给连起来吧。我都没画虚线啊，大家在做图的时候要画虚线好不好？我在店铺上我画虚线不好画啊，画出来歪歪扭扭的，比这个扭的更重，我怕大家看不清楚啊，所以没画虚线， 原谅我啊。啊，那我们现在就会得到了，摄影就是谁啊？斜线 a d 的 夹角是不就是我们要找的线面角？所以第三步直接得线面角就是谁交 a d e 就是线面角啊，你再去求的话，那我们去求这种，不管是你看，尤其是他让我们去求所乘角的大小，这个题是不是有点过分了？比较简单是吧？所乘角大小几角求百分之一万，他是个特殊角对吧？你一万你怎么整？ 你是求它角，我能画它，我能求出它是多少度来吗？是不一定是个特殊角，所以你不管是求它的成弦值也好，余弦值也好，是不都行，或者甚至正切值是不也行？你这个题我甚至都不用求，为啥呢？它两个是全等的正三角形，你说这个 d e 和 a e 这两条勾 是吧？因为一点是终点吗？是不是它是分别是这两个正三角形的高，那你说这两条高相不相等？全等了，它对应高能不相等吗？是不是 a e 等于 d e 等于直角三角形？你说多少度？我还算。算个屁，是不是直接四十五度搞定了 对不对？开心不是很简单啊，好用啊，随便找题啊，随便找题，通通好用。好这个第三个啊，再看这第三个，第三个巴拉巴拉，说这么多咱不做了，留给你们了啊，自己去看一看我说的好不好用。好吧，这一个题他倒是没给你啥，没给你面面垂直还是给你啥了？ 谢面垂直对不对？是不给我们谢面垂直了？那我再去做的话，哦，这个题我稍微说一说啊。稍微说一说， 大家可能从这个题当中得到什么隐藏条件？请问大家，请问一下大家，我有一个线面垂直，我这个 p a 是 垂直于底面的 a、 b， c 的， 而且我这个 a b， c 是 一个直角三角形，那你能得到啥玩意儿？朋友们， 通过这两条件啊？我划线的这两个条件，大家能得到什么有用的信息，好心里有数了吗？那我给大家说，如果你想的跟我想的不一样，那你做笔记以后，碰见这种东西，你就可以直接得这个结论，肯定好用，明白不好，我们就会得到这一个，是不是？它是一个三棱锥啊， 对不对？这一个三棱锥，三棱锥总共几个面？是不是四个面？好，太好了，四个面全是 二 t 三角形，那这对这个题来说非常有用啊，我全是二 t 三角形，那么你去求边长的时候也好，求你得到其他的线面垂直，也很简单，明白不好，那我们通过这个条件进一步的结论，还可以得到新的 线面垂直，不止一个，明白不？不止一个， 好，就是这些隐藏条件啊，那么第三题大家就能做了，尝试一下好不好？尝试一下啊，留给大家当练习去用了啊，练习好，我们翻页再继续看，要不要再做几个呀？ 这种要不要再做了？我感觉做两个差不多吧，再做一个好，第四个排着来了啊，第四个，看看它是个什么活， 一次能追 a 杠， b， c， d， e， 它又有一个面面垂直来，你看面 a， b， c 垂直于面上， b， c， d， e 啊， 现在又知道了这一个 c， d， e， 找到它， c， d， e 九十度，然后 b， e， d 九十度，哦，这是一个直角梯形对不对？这个底面 b， c， d， e 是 不是个直角梯形啊？ 现在知道了， a、 b 等于 c， d， a， b 等于 c， d 很 重要啊，等于二好， d e 这一个 d， e 等于 b， e 都等于一标上它 a、 c 呢？等于根二。好了，我们现在第一问也是不做了，直接做第二问，求这一个直线 a、 d 与这一个 a、 b、 c 所成角的正弦值。 好，来吧，第一步怎么办？第一步是找公共点，对不对？找公共点？哪个点？公共点 是吧？ a 点，那 a 就是 斜足了呗。第一步是不搞定了，那么第二步是我过要过 e 点做什么？做 a、 b、 c 的 垂线，我是不是要利用面面垂直啊？我怎么利用面面垂直？有面面找交线，交线是谁？ b、 c， 那 我赶快的过一点，做 b、 c 的 垂线是不是就搞定了？我说哎呦，这个玩意是不是又把 c、 d 去延长一下？这个破东西 还整的这么花花，对吧？把它给延长一下是，不过 e 点做这个 e、 f 吧，做 e、 f 啊，哎呦，写不好了， e、 f 垂直于这个 b、 c 是 不就行了？找到角线，我马上的过另外一个端点是不？ e、 f 垂直于 b、 c 与点 f 是 不就搞定了， 对不对？这不就完事了吗？垂直，那这个 e、 f 就 百分之一万是干啥呢？这个 e f， 我 这个 e、 f 是 不就肯定是垂直于这个面 a、 b、 c 的？ 为啥？是不又是通过这个面面垂直得到的？面面垂直，我又垂直于交线了，那你说我这个 e、 f 垂不垂直于这个 a、 b、 c 这个面啊， 对吧？垂直，现在垂直有了，那么现在干啥就行了。那我就需要把谁给连接起来了？朋友们是不把这个 a、 f 给连接起来就行了，对不对？ a f 给连接起来来了，快速的连接一下，那么我们知道这个 f 是 个啥玩意儿？是不是垂足 好，现在矢尾就是谁了？矢尾就是 a f， 那 斜线是 a e， 所以 我这个角是哪一个角找到了，是角 e， a f 就是 现在角 找到了。再求值是不就简单了？不，无非就是求三条边儿，当然不用非得求三条边儿，是不求，求出这个 e f， 求出 a e 来就行了。用个求值哦，正切值。天呐，嘴瓢啦，说得不对啊，正切值呢，就是 tangent 角 e a f， 它应该是谁呢？当然就是 e f 比上谁了，比上 af 了。那你把 ef 给求出来，把 af 给求出来是不就行了？那我怎么去求线的长度呢？之前是大家光看我操作了，那我怎么去求线段长度？给大家说一说啊？你不要用立体几何的思维，听见没？我去求线段长度，把它放在平面图形当中。 所以说大家要有一个非常重要的想法啊，我要把线所求的这条线放在平面中， 那哪个平面它运行起来简单，我放在哪个平面当中？我最好的平面是不就有直角的平面，对不对？我可以勾股定力啊，实在不行是不？我再去用什么余弦定力再去求，对吧？所以它想做出来是不也蛮简单的对不对？ 好，大家就可以自己求一求了好不好？自己求一求吧啊，还是比较简单的 好。呃，第五题，再做一个，再练，再练一个，看看通法好不好用啊？说，我从来就没用多余的东西啊，有没有用多余的东西？你有时候会质疑说，老师，你这个题是你找的，你肯定要找对你有利的呀。 我真没有啊，我这是瞎找的，来再看一看吧。啊，这一个第五个啊，那说如图，等腰直角三角形 a、 b、 d 这一个角 b、 a、 d 呢？是一个九十度哦，它是一个等腰直角三角形，这一个角 b、 a、 d 九十度。并且呢，这个等腰直角三角形 a、 b、 d 和这一底面底面，这个 c、 b、 d 是 吧？它还是一个等边三角形啊，互相垂直来，又有面面垂直了有没有？那我想去求界面角，我该不该直接用定义法就搞定了呢？这不肯定行啊， 好，这个 e 点说是 b、 c 的 中点，然后 a、 e 与面 b、 c、 d 做成角大小，来看看 a、 e 与 b、 c、 d 它们的这个假角。呸，它们公共，它们的公共点是哪个点？这不一下就找到了，是点 e， 是 不是这个 e 点，它是不是就是斜足了？ 那我赶快的干什么？什么？过 a 点做 b、 c、 d 的 垂线，我过 a 点做 b、 c、 d 的 垂线，我要干啥啊？朋友们？我是不是？你好有面面垂直，我照交线。交线是谁呀？ b、 d 呀，你做 b、 d 的 垂线，能不能很迅速啊？ 你过 a 点做 b 的 垂线，我这个直接找 b、 d 的 中点就行了，我们让它点 f 吧。那我直接连接 a、 f， 这里垂不垂直是不？百分之百垂直啊，对不对？我直接过 a 点做这个 a、 f 垂直于 b、 d 什么就会得到什么呢？就会得到这个 a、 f 是 垂直于这个面 b、 c、 d 的 线面垂直。搞定了，那么 f 是 不是垂足啊？ 咱赶快的把 e、 f 给连接起来，那么我们就会得到了。把 e、 f 给连接起来，那么 e 点斜足， f 点垂足是不摄影啊，就是 e f 啊，摄影与斜线 a e 的 夹角角， a e f 是 斜面角。 不知道你们有没有笑话，我就说老师你为什么每一次还得再判断一下你为什么这么慢。其实我能一眼看出来， 但是我真怕错，因为以前犯错真的就是挨揍的，你们现在肯定没有这个体验，是不是？这么痛并快乐的体验已经失去了我们那时候，哎，你找不对你会做，做不对那等着挨对上讲台挨揍啊。 现在能有这个想法不？你们肯定经历不经历不着，你可以问问自己比自己大多少岁的一些哥哥姐姐们啊，或者是自己的父母，看看有没有这种痛并快乐的体验。所以说现在你们的生活还缺少一点乐趣啊，是吧。 啊，这个线面角我找到了，找到了再去做的话是不又就去求这些长度啊，是不很简单呐？去求线的长度是不一定要把它放在面当中，各个面当中再去做才能简单起来对不对 啊？画辅助线是不是很容易理解很好做，所以数学很难吗？找到方法而已啊，是不？你现在缺少的是什么？一个人给你把这个方法给你总结下来，那我再去做题，我是不是瞪眼？瞪大眼珠子瞅就能瞅出来这就是所谓的学霸用瞪眼法，学渣跑断腿啊是不是？ 那我们怎么能成为学霸。复制我呀对不对？复制黏贴还不行吗？ 你再不记也能考过这个分啊。我说实话我我当时高考考一百四十多分，但是现在再让我去考现在的新高考我不行，我真不行，考一百四我也考不上。说实话我也考不上，除非他不考新定义了。除非他不考新定义，那我还有可能考上一百四。那我要不然就一百三十多分吧。 那对你们来说够不够？差不多够了是吧？那你复制我完全可以啊，我跟你说，我也是个大傻子呀， 我为什么后来也能可可能考这么好，甚至我现在都能当老师，我也可以把这个方法都给教给你们。你看我的思路好不好，是不是也很好啊？你们也可以的，千万不要否定自己啊，我们都很厉害。来，后边的题不做了，我们看下一种方法好不好？等体积 来吧。够等体积了。那等体积？他为啥我这个定义法这么好用？我不全都用定义法呢？他也有解决不了的问题啊，就比如说这个前提条件他实现不了，那我怎么用？你说呢？对不对？前提条件都用不？都没有，都满足不了，那我咋用？ 我神了，我用不了对不对？所以说它就衍生出了等体积。那我们说一说等体积法什么时候用？呃，这个前提满足不了了就是什么呢？你也是找这个面， a e f 这个面对吧？ a e f 有 没有一个面或者是有一条线垂直于 a e f 呢？ 就是从已知条件当中找啊，你找有没有吗？包括隐藏条件啊。已知条件包括隐藏条件，有没有能找到任何一条线或者一个面垂直于 a e f 能，是不是找不到？找不到怎么办？等体积，明白不？等体积就是为了弥补定义法而存在的。其实我说到这呢，有同学就会研究了，老师你你要讲五种方法呢？我们铁了这一个间隙还有两种缝缝呢， 你丁一凡和等体积都可以把这些事全都干完了。那你后面两种方法是干啥用的？当然是为了我们做题快了对不对？你方法有的是啊，我这两种方法虽然可以解决所有问题，但是 限定有局限性，他就慢呗。那我做选择填空，或者是说有一个题，哎，他给我了一些奇奇怪怪的一些结论，比如说角度问题，给了我很多角度。那我去求线段长度的时候很费劲。那你说我为什么要费劲巴拉的再去求线段长度？我干嘛不用三余弦 对不对？这就是三余弦它的价值。那除了三余弦之外还有一个纯面法，纯面法是对等体积的补充， 对等体积的补充一会说好不好，大家慢慢期待一下啊。哎呀，我这个人比较坏是吧，我讲着讲着就会把后边的一些东西跟大家说一说，是干啥呢？大家别走神啊，你上这么一节课，你不跟在学校里一样啊，你在学校里刷就交那么点学费就学了，你上我这你得不得交钱呀？ 你花这个钱你别花，冤枉了我们，花完这个钱我要学到东西啊，我马上。哎，这节课我收获挺多的。那这才是开心加愉快的事对不对？ 所以我希望大家每一堂课都有收获，所以别走神好不好？有疑问可以提出来啊，好不好？来， 我们还是拿第一个题打个样好不好？我就把它的步骤写一写，思路写一写，思路是啥呢？我们一定是干什么呢？前提条件不满足了，也就是说找不到一条线或一个面 为值于这个面， a、 e、 f 这个面 a、 e、 f 哪来的？是不就是问题啊？就让我们去求的这个面，求证的这个面。好，它就是求证的这个面我找不到，那马上先想等体积， 那什么时候如果你逮着一个等体积，你就会做，那么我们再把垂面法给搞定， 题目就会越做越简单。那这个题是不？我们通过刚才很容易就发现了，没有任何一条线或者是面与 a、 e、 f 垂直，那咋整呢？你说前面的过程也都是一样啊，我们第一步也是找焦点， 找焦点，焦点就是 b、 c 与这个面的焦点。完了没有啊？没有焦点怎么办？平移就是不平行。现在我们遇见了第一个大问题了，我天呐，它没有焦点怎么办？给它搞一个焦点出来，没焦点 做平行啊，做谁的平行啊？当然是做 b、 c 的 平行，接了看看 b、 c 平行于谁，马上地发现它平行于 a、 d， 对 不对？看看四边形， a、 b、 c、 d 是 个正方形嘛，对不对？对边平行， b、 c 平行于 a、 d。 现在告诉我有没有焦点了， a 是 不就是焦点？是不？马上找到了焦点就是 a 啦， a 是 不就是斜足啦？第一步搞定了，那么第二步干啥玩意？第二步是不？这一条斜线上面还有另外一点点 d？ 什么？我过点地做这个面 a、 e、 f 的 垂线？完犊子，为啥呢？因为这个地点，什么做这个 a、 e、 f 每一条边我都垂直不了，是不是就是因为它第一个条件满足不了？那所以说我一做，我能把这个垂足给搞到，但是我就不知道它具体位置在哪，你说呢？什么垂足的具体位置？我不知道在哪， 我就过这个点，这一做 a、 e、 f 的 垂线，是吧？那么我这一个点 d 做 a、 e、 f 的 垂线实际上是什么？是不是地点到 a、 e、 f 的 距离？也就是说我们现在既然， 既然我们找不到这一个线面垂直，是吧？我们要做这个线面垂直，我找不到垂足是不？我们现在面临第二个问题啦，我过地点做这一个 a、 e、 f 做这个面 a e、 f 的 垂线， 回族确定不了在哪儿， 不跟我们做线线垂直一样，我们能直接做出垂足来，那我做这一个过一个点，做一个面的垂线，完了，是不？我们具体画不出来啊，我又不是个机器，对不对？我不是个机器啊，我画不出具体位置啊，我确定不了具体位置，那我就转明白吧，就是第二步，我们就来一个转化， 来个转化，怎么转化？是我们就把这一个垂线就是谁呢？我们就转化成地点到面 a、 e、 f 的 距离。 所以说这第二步就是射距离，我们就是射这一个点 d 到 a、 e、 f 的 距离是啥玩意？是 h 好 不好？我们射它为 h 啊， 这就是第二步，射它的距离为 h。 那 么现在朋友们，我们得没得到一个 三棱锥，注意，我说的是三棱锥，一定是三棱锥，如果这一个面，就比如说 a、 e、 f 这个面，现在它是用三角形去表示的，万一它是用四边形去表示呢？我当然要取四边形的某一部分呢？取三个点是吧？取。正在举手是什么意思？有问题吗？是 你有问题就开麦问啊，反正也没多少个人，好吧。啊，我先继续说啊，我继续说，我把这个东西给补充完整啊，把它说完， 那我们现在一定要注意啊，我要得到一个三棱锥，一定要得到一个三棱锥啊，第三步是我们一定要得到的是一个三棱锥。为啥要得到的是三棱锥？因为它可以用等体积啊，三棱锥是个四面，我任何一个面都可以作为底面出现，对不对？你可以用等体积法去做， 所以这个 h 就 一定能求啊，你说呢？好，我们这个三菱锥啊，而且啊，而且我发现一个特点，朋友们，我发现一个特点不是很准确，不是很准确啊，但是这个特点大部分的题目都有， 如果你是用等体积，如果他是想让你用等体积去求，那么最终求的一定是一个减值，大家看这么减值 那就有见多少，你去求线面角的正弦值就有很大概率超过百分之五十了，也就是说概率是百分之六十多，百分之六十五到七十左右。我没有具体统计啊，我不可能每一个题我都研究研究，因为我现在已经过了这个阶段了哈，就是我，我重点大部分的用等体积法的题，他一定是 用一定不对啊，是大部分用求这个线面角的正弦值啊，我有点打乱同学们的思路了啊，不好意思啊， 呃，我们这个三棱锥一定是搞到一个三棱锥，对吧？就像我刚才说的，哎，我现在如果这个底面或者是所正的这个面 aef 它是一个四连线的面，干什么？我是取三个点啊，是不也要给它强行的搞出一个什么来？搞出一个三角形面来，明白不？那我就可以给它搞出一个三棱锥来了。那这三棱锥就是什么？ 闭眼看就行了，什么过地点，做这个 aef 的 垂线肯定是哪一个三棱锥地方。 aef 是不是 d 杠 a e f d 杠 a、 e、 f？ 那 么我们用等体积的目的是干什么？什么？求 h？ 求 h？ 所以 说等体积是不是现在变成了求体积问题？求这一个三棱锥 d 杠 a、 e、 f 体积问题， 把它变成体积问题了吧。来呗，我们肯定得用到的是哪一个呢？用到它的体积啊，是不是换一个颜色啊？那我肯定要求 v， 哎呦，没换成好，肯定 v， 第一个 a、 e、 f， 我 要给它换一个底面是比较好求的。这个底面那就是谁啦？朋友们，谁你换成谁？它简单。 f 杠什么玩意？ a， d、 e 对 不对？ f 杠 a、 d、 e 是 不就行了？好， f 杠 a、 d、 e。 现在我们就来求 h 了，求 h， 那 么表示一下，它是一个三棱锥对不对？我的公式能不能带？所以它就是三分之一这一个 a、 e、 f 的 面积，对吧？乘上什么？乘上 h 等于啥玩意？三分之一这一个三角形 a、 d、 e 的 面积乘上谁？这笔高是谁？朋友们，高是不是 ab 啊？ 这个等体积咱就不讲了吧。这不，我之前的课已经讲过了，咱就不讲了哈，它就是 ab， 那 么 ab 的 长度是多少？是不是二啊？把它拉掉了换成二。现在我们是不是就求三角形 a、 e、 f 的 面积和三角形 a、 d、 e 的 面积啊？来吧，求一。求 a、 d、 e 的 面积，该咋求呢？哎呦，这个 a、 d、 e 简不简单，好不好求啊？是不比较好求啊？哎呦，我天呐，真是开心啊！三角形 a d e 的 面积，因为它是什么？它是不是一个直角三角形啊？它是直角三角形，那它就应该是什么？ 这个三角形面积 a d e， 大家有没有发现 a d 是 多少？底面是不是一个正方形啊？也就是 a d 是 不是二啊？ 哦， e d 是 不是二啊？所以它的面积二分之一乘二乘二，对不对？等于二。好，这一个我把拉掉了，也是二，那么现在就换成了求这个三角形 a e f 的 面积了，它就难求了。 a e f 是 不是挺坏的？这个角，这个三角形，是吧？这个三角形挺坏的，再把它求一求吧。 那我们去求的话，哎呀，还还好吧，是不可以直接先得到 a e 是 多少？勾股是二根二， 我们是不是还可以得到这一个 a f 多少？勾股，对不对？当然了，我们用勾股的时候，是不是这个 f b 就是 一啊，这里是二，那么 a f 等于多少？是不是根五？好了，那么我们还会得到什么呢？ e f 啊，是不还缺个 e f 了？ e f 咋求呢？ e f， 大家看 e f 的 球，哼，它是不是一个直角三角形？朋友们，是不是，是不是一个直角三角形啊？ 呃，前面应该会用到啊，前面应该会用到，那我直接给大家这一个是一个直角三角形啊，那这个 e f 应该是什么？ 不是不是，呸，我说说的不对啊，不是说它是一个直角三角形，我们要得到的是谁呢？那你去去得，我，我给大家画一画啊。我的问题，我给大家画啊，那我现在把这个 b d 给连接起来好不好？ b d 啊，给连接起来。来吧，会有这么一个图形出现啊。 这一个，这个点是谁呢？ e， 这个点是 d， 这是 b， 这是 f。 来，现在有谱了没有？有没有谱？它是不是二？它是二，它是不是一？你去求它，能不能求？朋友们，能不能啊？不不不，它不是，它不是二，它是 b， d 是 不是应该是二跟二啊？ 啊？能不能求啊？朋友们，你看这个 e、 f， 我 往上做这么一条线，你看我们在求线段长度的时候，我是不是都是附着于平，把它给搞到平面里头了？ 我啥也去搞别的东西了吗？是吧？别的东西我没搞啊，我都是想去求线段长度，我去给他找平面，我最好找的就是有直角，对不对？找有直角的，因为某一条线他可能属于很多平面， 那这是我允许的吗？我当然不想了，对吧？我要给他找他所在的某一个平面，哎，这一个平面的图形是一个什么样？它就是图形，它里面有垂直风气，你因为直接有垂直，你要么三线合一有垂直，你要么菱形对角线会像垂直。说你。总而言之，你不直接告诉我，你也得间接告诉我， 对不对？好，这就是我们能得到的，它应该是多少？它是不是就二分二？二的根，二这一块长度是不是就一？所以你能不能勾股一下根号？下啥玩意？二根二平方加上一的平方。哎呀，太好了，这不得 里面是九啊，什么开根号？就是三， e、 f 也有了。那你看啊，我因为我们发现这个 a、 e、 f， 它不是特殊三角形的，它不是特殊三角形。那怎么办？你不是特殊三角形，你怎么去求面积？ 这用不用到我们前面学的解三角形的题，解三角形的思维，四条边都有了，朋友们，怎么去求面积？我当然先用余弦定力，将余弦值给求出来，再把余弦值换成正弦值。我可不可以用公式了？这不就可以了， 现在苦哈哈的又上线了，什么要求口算用余弦定力啊，这是我最不爱干的事。代数运算，我不行啊，我水平不够啊。 a e 的 平方加上 e f 的 平方，减去 a f 的 平方，比上啥玩意二倍的 a e 乘上 e f 吧，代数呗，好不好，代数我代数总该比我快吧， 八加九减五，对吧，比上什么呢？二乘二跟二再乘三，那么它应该等于多少？呦，这个数还挺好嘞哈，二分之二，哎呀，太好了，那我们就可以得到这个 c 音了，是吧？ c 音减 e f 就是 多少也是二分之二啊，速度嘛，人家对不对？好， 太开心了，我们搞到了，那它的面积能求了不？这一个面积是不就可以求了？二分之一的这一个 a e 呀，乘上 e f 啊，再乘上乘音加 a， e f 啊， 代数呗，它应该是多少？二分之一，哎呀，二分之一乘上二根二，再乘三，再乘谁呢？再乘这一个，二分之根二等于多少？算一算， 咔咔约掉了，然后二二约掉了，剩下个三了，对吧？面积是三，那现在代数吧，把它咔搞里头，它是三，那么现在能不能得 h 啊，通过这一个 h 是 不是就显身了？ h 等于多少啊？朋友们？ 嗯，三分之一，三分之一，咱先约角啊， h 是 不就三分之四？太好了， h 三分之四，那么现在比较劲爆的东西就来了啊，那求且值是谁？我这上面这个角就是 c 塔，我是这个角是 c 塔，那这一个色音 c 塔就应该等于什么呢？等不等于这个 h？ 这个 hr 比谁啊？比斜线，比这条斜线，斜线是谁？是不是 a d 啊？朋友们，是不是 a d？ 现在我们是不是只要知道 a d 是 多少，这活完成了好，是不是？知道的，一定要记住这个这个东西啊， 是不是你只要能把这个这个垂线给做出来，你说我这一个线段角的正弦值是不是 h？ 比斜线对不对？呸，我这个余弦值是不是点比斜线？ 我今天晚上嘴老不好用啊，大家听见错误帮我改一改啊。好什么，就这么一个玩意，代数率算得三分之四等于什么？二等于十三分之二，搞定， 学会呢，好了，整理一下啊，看这第二个啊，第二个题啊，还有这还是全国假卷的，呃，四棱锥 p 杠， a， b， c， d， 呃，趁这个话头啊，跟大家稍微说一说啊，我们这个立体几何，你甭管平常做的多么费劲，多么难，高考， 反正 b 题几何高考题没出现一次难题。哦，也不能这么说，都见过两三次啊，很难的题目出现过两三次，其他的题目都是很平常的题目，就和解三角形一样，它是一个常规题， 都是怎么做呢？很容易得分，第一问肯定正平行或者垂直，第二问干什么呢？去求角度三大角问题。但是一面直线所成角一般不求，一般是斜面角或者是二面角，考二面角角的角的可能性更大，或者是已知二面角是多少度。去求斜面角的这种题目，或者是出现动点的这种题目， 他可能考察的是这个样式，那但是这种题呢，你现在用几何法可能做起来费劲，但是我们慢慢的，如果有学到空间向量的朋友们呢，就会觉着，哎呀，不就是代数运算吗？ 所以说我们假期里讲的这个空间向量就是非常好的一个工具了。那高考的第二问，第三问可能都是间隙去做， 所以说大家现在几何法先好好学一学，我们把这种通法给学到，那么有一些比较复杂的题目，比如说重点问题，轨迹问题，我们就可以用空间向量去做了，所以大家不要害怕。好吧，不要害怕，我们高考肯定考的是常规题 你，当然你现在学的是立体几何，他当然会有很难的题目给我们做了，肯定会有很难的题目。 那这些东西我实在学不会怎么办？先放弃也不丢人嘛，那我们到后来学了更好的方法，再去回过头来再解决这个题，是不也行啊？反正能解决掉就可以，不要在乎是哪一个阶段我能学会。好吧，眼光放长远一点， 那我们就开始喽。这个第二问啊，全国假卷这个第二问啊，呃，四棱锥 p 杠 a b c d， p d 是 垂直于这个底面 a b c d 的， 然后有了一个什么玩意呢？ c d 是 平行于 ab， ab 等于 dc 等于 cd 等于一。哎呦，这是个啥玩意？朋友们，这是个什么东西啊？ ad 等于 cd 等于 cd， 然后它和 bc 是 这么一个关系。那我请问你们看我画波浪线的这个东西讲到的是什么？ 朋友们想到的是什么东西？等腰梯形，而且它们的上底线和腰之间的关系，满足一比一比二，那么它就是一个什么东西呢？百分之百会出现垂直关系， 这个东西百分之百会出现垂直，这就是我们的垂直模型里面有的东西，对不对？垂直模型有的，如果你看见这个已知条件，马上想不到这个事，那你做做起题来就费劲了。 那这一个东西呢？垂直模型可能有有新同学没没上过我的课，或者是说有些他没领过这个资料的，你可以看一看这一个，这个等腰梯形，它满足一个什么关系呢？你看 它们之间的关系，等腰梯形的话，它满足一比一比一比二，那我就一定会得到这一个玩意儿。 b d 是 垂直于 c b 的 是不是？为什么？自己去挣，能不能挣出来， 对吧？自己去挣一挣啊。好，如果你得不到这个东西，说明你这些常见的一些模型你心里做不到，心中有数，那咋办？你做题还能很快吗？隐藏条件你都找不到，你还做个屁，对不对？所以你就要干什么？停下来，反过头来去干，干这些线线垂直的常 见的，那么其他的都是用什么干呢？其他的在这里面没有的就是相似，他有些题目可以用相似去做。 好，你再回过来了啊。所以说大家看见这种条件一定马上想是什么样的结论啊？马上想结论，好吧，马上要想结论呐，来吧，再继续看啊，它让我们去求什么呢？这个 d p 和这个 p a b 所形成这个角的正弦值，来吧， 焊几个标志，一个标志是正弦是不？有可能是等体积。再有就是这一个 p a b 这个面有任何一个面和它垂直吗？有没有有线或者是面能与它垂直 的是不？不行啊，对不对？找不到已知条件当中有这种隐藏条件，找不到，那怎么办？ 等体积喽，对不对？等体积了啊？等体积，那我们第一步怎么搞？是不？找到谁焦点？什么焦点？就是 p 点， p 点就是斜足了呗。 好，第二步干啥？是不过地点做这个面的垂线，我当然就是设了，是吧？设这个 d 到 p a b 这个面啊，我没写面面 p a b 的 距离 是什么玩意儿？为 h 是 吧？下面儿第三步就是干什么了？等体积就上呗，那我肯定会得到。那从第二步就会得到 g 到这个面儿距离当然是哪一个面积啦， 哪一个的体积啦？ d 杠 p a b， 是 吧？然后等体积法就上，干啥玩意是不？我给它换呀，我看底面用谁比较合适？这不就很简单吗？观察一下就发现了， p 点是零点，底面是谁？ a b d？ 喏，完事了，朋友们，搞定了，是不是很简单？ 来吧，第三个题，第三个题目，看一看，他说这一个四棱锥 p 杠 a d c d a d c d 这个矩形呢？ p a 是 垂直于这个底面的。来又有啥了？ 看这两个条件，你得到的隐藏条件是什么？这一个某一条线垂直于了底面，我们之前在前面的时候说过，是吧？定义法的时候说过，一个线和一个面垂直，我这个面是个直角三角形，那我会得到的面，所有的面都是什么？都是直角三角形，那么对于这个来说，它底面是个矩形。哦， 那我得到的结论还能出现很多不一样，呵呵呵，是不？不会啊，它是不？我四个侧面全都是直角三角形对不对？四个侧面是不全都是直角三角形？ 好，这个条件就是什么呢？我通过那个定义法，那个第三题是吧？隐身出来的是不？它的这个四棱锥，它的四个侧面 均为二 t 三角形，那当然了，它也有很多线面垂直喽，对不对？ 然后 e 点是中点，他叭叭的说了这么多东西啊， e 点是中点，然后已知这个 ab 等于二，写上 ab 等于二， a d 等于二，根二 pa 也等于二。让我们去求这个线 a， e 和这个面 p c、 d 所成角的大小。我们看 p、 c、 d 有 哪一条线和 p c、 d 是 垂直的吗？没有吧，或者是面是不是也没有？有没有？有面有没有面？好像是有的哈，面是有的 哦，这个题还可以用别的方法去做，但是我们这题我们用等体积吧，好不好？我假设我没，没瞅见，我没发现，好吧，我是眼有点瘸，我，我有点没发现，那我就用等体积去做啊。那现在第一步干啥玩意儿？是不找焦点？焦点是谁？ a e 和这个 p c、 d 当然是一点喽，一点是不就斜足 下一步干啥？说过点 a， 设这个 a 到这一个 p c、 d 的 距离 v h， 对 吧？然后第三步，然后就是第三步喽，第三步干啥玩意儿啊？ 我现在，哎呀我天呐，我去找这一个面儿，那我跟这个是不？我要看这个第二步啊，你不用去干啥？不要去，你非得跟跟 e 扯上关系，不要这么头铁好不好， 不要非得这么刚啊，对吧？所以我们找的是谁啊？是不是这一个 a 杠 p c、 d 是 不是他一定要出现，那么要给他转换？那 a 杠 p、 c、 d， 那 你转换的话，你该不该连接 ac 啊？对不对？好，连接 ac， 那 就会出现啥玩意呢？朋友们， 好，就会出现了啊？屁，是顶点，那么底边就是 a、 c、 d， 简单了不就搞定了？有没有疑问说你这个对 e 都没有关系了，咋为啥跟 e 点都没有关系呢？你要看嘛，你这个 e 在 哪个面上啊？这不 p、 c、 d 面上你 a 到 p、 c、 d 的 距离， 你或者是说你 a 到 p、 c、 d 的 距离和 a 到 t、 e、 d 的 距离不是一回事吗？啊？过一个点到某一个面的距离还会出现两个？不可能吧？所以你干嘛要难为自己呢？你为什么要非得用上 e 点呢？对不对？我不用啊，那我就不能求了，也能搞定对不对？ 好，也能搞定啊，当然了，你最后要去求它正弦值的时候，你是不是又用到要去求 a 一 啊？是不是？你这时候再用一点就行了对不对？好，学会等体接吗？学没学会，朋友们，学会了我们再继续进行下一种方法了啊。 后面的题目我们就不做了，这些题目我留给大家自己做做研究一下吧，好不好？有题可做。老师，你这个方法到底同不通用呢？你是不是研究一下啊？ 说你老师你讲这标东西你都不好不通用，你给我讲它干啥？他不会的啊，我一定会让它通用的，所以大家试一试好吗？然后下一个就是垂面法了，朋友们，垂面法。但是垂面法是什么意思呢？ 这个垂面法我们之前我刚才说了，就是之前说过这个垂面法是个啥玩意？是不是对这一个等体积法的一个补充？我们为什么忘了等体积法？是不是尽是因为这个垂足我不知道在什么位置？那如果我知道垂足在什么位置了，一幕是不是又变得简单起来？ ok， 好， 那我们就看一看怎么去找垂足在什么位置。这就是所谓的垂面法了啊。找垂足在什么位置？来读读这个题啊，读一读这个题，当然了啊， 能以垂面法的全部可以用等体积，明白不？也就说垂面法要死活学不会，那你不用会，我用等体积能做好不好？它不是说多么漂亮的方法。对对，你就这个方法多牛，它不是， 那你学不会无所谓。好吧，等体积能学会就行，但是我建议大家尽量能学会这个垂面法，因为等体积运算量可能是有点大，对吧？ 所以呢，我们才衍生出了锤面法，就是有一些学霸，他说成了一个事，你这个方法太笨了，我有一个更好的方法，所以就出现了锤面法，这就是什么？原来没有路是吧？走着走着是不就有了？这就是后人走出来的路。锤面法， 你有没有发现有很多的方法，你在学校里没有学，没有听，其实并不一定是你老师不会，而是他觉着不用讲也行，他觉着不用所有人都会。 我，我觉着我不用把话说的特别明白，大家也能知道是这种什么状态，对吧？好，咱详细的把这个题做一做，那这个第一题我们也是当做例题去讲了好不好？ 四棱锥 p 杠 a b c d， 这个 p d 是 垂直于底面的， c d 和 a b 平行，然后又有这么一个东西呢？ 等腰梯形是吧？满足这么一个比例关系，而它和前面这题是不一样的，对不对？是一样的。好，那这个题用回面法该怎么做呢？ p d 我 们就不用等体积了，我直接用回面法是什么意思呢？我们垂足法是什么意思呢？我做出一面和 p a、 d 垂直。 好，我们就是过 p d 的 面儿，我们要做啊，肯定没有，是我们要做一个过 p d 的 面儿， 它同时垂直于 p a、 b， 我 要实现这么一步操作，就叫做垂面儿了，也就是说我要做所求至这个面儿的垂面儿， 能懂不？那我怎么去做这个水面呢？我当然得利用已知条件这个线面垂直了，对不对？我要借助线面垂直啊，也就是已知条件，他一定得给我线面垂直，他不给我线面垂直，我做不了啊， 能懂不？好？也就是说我以前我们研究的是面，现在我们研究的是线，这条线， b d 这条线啊， p d 这条线是垂直于哪个面了？是不是？它肯定得垂直于某一面？那我再去做线面垂直， 那么我去通过这个线上垂直，我去做这一个面面垂直，得到一个垂面。好，具体操作过程啊，我们现在过地点做 a、 b 的 垂线， 我来了哦，过地点做 a、 b 的 垂线，让它是点 h 好 不好？这一个就是垂直的啊，好，具体写一写过程，要不然大家到后来忘了怎么办呢？是吧？因为这一个方法在学校里可能很多的地方都不讲的， 我们做了这个 d h 垂直 ab， 我 就其他的字我就不写了，巴巴的叫 ab 与点 h， 这种话就不写了。好吧，那第一步操作为什么要这样操作呢？因为这个 p、 d 是 不垂直于这个面儿 a、 b、 c、 d 的。 大家这个过程写一写啊，因为你在网上找这个方法，你就用作业帮用所有的搜题软件，你搜出来的都不可能是这种方法，明白不？所以说大家这个题要上点心啊，你用搜题软件搜不到啊，其他的我们强调的可能能搜到 啊，可能因为它大部分可能也是用的间隙的方法去做的，所以说你一搜搜出来的是间隙是非常有可能的。那我给你们的方法步骤就很重要，对吧？ 你在网上搜不到啊，我这个 p、 d 垂直这个面 a、 b、 c、 d， 那 我能得到什么呢？这个 a、 b 是 不是属属于这一个 a、 b、 c、 d 这个面啊，对不对？所以我们能从通过它得到什么？是不是得到这个 dp？ 哎呦，写 dp， dp 垂直于 a、 b 啊， 对不对？所以说你看看嘛，我们做了一个线线推直啊，我们又得到了一个线线推直是不？从线面得线线，那我两个线线，我能通过这两个东西得到啥玩意呢？我能不能得到这一个 ab 是垂直于这个面谁的？我把这个 ph 给连起来啊？朋友们，连起来，那我们就会得到这个 a、 b 呢？是不是垂直于这个面 p、 d、 h 的 呢？是不是？朋友们，是吧？ 那我们还会发现一个事情，还会发现一个事情，是什么呢？这个 a、 b 呢？是属于这个面贴 a、 b 的，是吧？我们现在这么些垂直。哦呦，是不有这么多垂直？现在我能不能得到通过这个线面垂直我再得到， 得到啥呢？能不能得到这个面 p、 a、 b 是 垂直于这个面 p、 d、 h 的 呢？什么通过线面垂直直接得面面垂直？因为面什么？ a、 b 这个 p a、 b， 过这个面，过这条线，过 a、 b 这条线，对不对？ 是不是这样？那我得到我想要的垂面了，得没得到。所以说大家看，我们一定要有的条件是哪一个？做这种垂面法一定一定要有的条件是哪一个？是这个绿色的，这个绿色的条件 g、 d 垂直于这个面 a、 b、 c。 是不是？我通过线面垂直是不可以得到线线垂直两个线线是不得线面得线面是不通过线面得面面。搞定了，我想要的东西就有了。那你说我费劲巴拉的搞出这么一个东西是为了啥呀？我为啥就一定要做一个面面垂直呢？就是因为下边这句话啊。 下面这句话注意，那我用一个黑色，黑色的字体去写吧。哈，那就是什么？我，我现在写这个斜足，是不是点 p？ 我 该干什么？过这个地点，是不是做垂线，做这一个 p a、 b 的 垂线？所以说我过这一个地点做这一个面儿 p a、 b 的 垂线。 维族在这一个面儿 p a、 b， 我 就写的详细一点儿了啊。面儿 p a、 p a、 b 与这一个面儿 p d、 h 的 交线上，对不对？这是一个什么？是不是基本值对不对？你看我过地点做 p a、 b 的 垂线，过地点做 p a、 b 的 垂线，这个垂足 回路是不是既在 p a、 b 这个面上，也在 p d、 h 这个面上，对不对？是不是一定得是这样？那么它既然一定是这样的话，那它是不是在这两个面的交线上呢？朋友们， 是不是？所以说你就要记住了，如我为什么要做这个线面垂呃，面面垂直，是不是？我再去做垂线的话，我就知道垂足在什么地方了，对不对？垂足在什么地方？那我们这个垂足我让它是谁呢？是点 j 好 不好？ 我这 g 没有用啊，我这举重没有用，我就给大家演示一下。好吧，那我们既然知道它在 p h 上，我随便点一个点就是 h， 你 说我这 h 点它在哪？影响我线面角是谁吗？影不影响我线面角是谁？ 是不是影不影响我这个 g 点？你在 p h 上的哪个位置影响我的线面角是谁吗？是不永远不影响，因为我的线面角就是谁啊？ 就是这个 d p g 是 吧？ d p g 也就是谁呀？ d p h 是 不是就是角？ d p h 它和这个垂足有关系吗？是，我们就找到这条交线就行了呀， 是不是我做界面垂直，面面垂直想要找的是谁交线？那我这一个夹角就是谁呢？这个交线与斜线的夹角 对不对？交线与斜线也不能说是假角交啊，就是假角。交线与斜线的假角是不是交线与这个斜线的假角是不就是这一个线面角了？好，就是谁呢？交线与斜线 线面角 好，这种做法就一定会比什么快，就一定会比等面积等等体积法要快，对不对？就一定要快。为啥呢？你现在是不是直接求什么这个角的正弦值？那我写 步骤补充完整了啊？步骤补充完整了，那我先要看看我求的是谁？是我用正弦，对吧？他要求正弦值嘛？求求正弦值，正弦 c 角 dph 就 应该等于谁？就等于 p， 不 对不对。什么 d h， d h 比上 ph 是 不是？那我是不是只要把 d h 给求出来， ph 给求出来就行了， 对不对？那我看已知条件吧，从已知条件当中找 d p 是 不是等于根三？我知道了，那么 d h 呢？ d h 又是多少？朋友们具体看看应该等于多少？ 我很快就可以求出来。 d p 等于根三，这个 d h 我 简单算一下啊，它是二分之根三，那这个 p h 我 们用勾股定律就会得到，它应该是二分之多少？二分之九，然后应该是二分之根号十五啊， 得到了这些东西呢，要往里代数就行了，你看是不会比等体积要算的快一点。二分之根三比上二分之根号十五，那它就应该等于多少了呢？五分之根号五是吧。 你就用这种做法，比间隙做的也要快的，比间隙法做的也要快，懂了没？垂面法有没有看懂？有没有看懂啊朋友们， 看懂了不好，那我们再做一个吧。垂面法再做一个好不好？来，我们把。要截图吗？截图就往上截啊。 那我们看下边这个东西，下边这个东西呢？挺好的。这个题我为什么非常想讲一讲呢？因为我们在做立体几何的题目当中，是吧会遇到这种折叠问题啊，一个平面图形哎，我经过折叠 会得到哦，就做他不太好啊。这二面角咱还没讲哈。二面角还没讲，那这个题咱先保留着吧，好不好？先保留着啊，先保留着，等我们 呃，学完二面角大家再回来过头来用这个纯面法再做做好不好？但是这种题非常好啊，这种题真的非常好，折叠问题非常好，因为折叠问题我们一定要找不变量，对吧？一定要找不变量，在折叠的过程当中它永恒不变， 对不对？或者是说我们折完了之后还用折到哪个点？在折叠过程当中变成了哪个点呢？对不对？哪个点进行变化了？要知道，那这一个平面图形当中的平行关系， 呃，不能这么说，垂直关系会不会发生改变？它某两条线的垂直关系会不会发生改变呢？ 是吧？不会啊，不会发生改变啊。好，后边的题目咱就不做了，吹面法就讲这么一个就行了。讲的太完了， 大家把这个吹面法的过程步骤给整理了吗？整理了啊，如果，如果实在没有听明白吹面法是怎么个东西，那你就用等体积法去做就行了好不好？别难为自己啊，没有必要是不是， 它又不是多么优秀的个方法。三与弦，三与弦，这个方法我建议大家听一听行吗？我建议大家一定要听一听啊， 三与弦，三与弦定律呢？为方便我们去做题，它会提供很多帮助的啊。这个三与弦定律指的是一个什么事呢？我现在是吧，做了一个线面垂直得到了一个摄影，然后呢？我这个摄影所在这个面阿尔法还有这么一条线， 他过了这个斜足是吧？过了这个斜足和射影形成一个假角，那我们就会得到三种角了。第一种角是什么呢？线面角 o、 a、 b 这个线面角。那第二种角是谁呢？第二种角是这一个射影与射影所在平面 当中的某一条线形成的夹角，最后一个角是这条斜线与阿尔法平面当中这个线所形成的夹角，那么他们三个存在这么一个关系，我刚才叭叭这么说你有没有人敢说？哎呀，老师，这个东西真难记啊，我天呐，哪个角是哪个角，好乱呀， 那我给大家来一个节奏好不好？那我们以线定角，然后用这一个结构呢？去记公式，那我这个结构是什么呢？第一条线先写线啊，三条线定三个角，三条线分别是斜线， 就是说平面的这条斜线，这条斜线是不是对于这个图来说就是 o a 啊？对于这个图来说就是 o a， 那 这条斜线，然后嘞？第二条就是射影， 我写上啊， o a， 那 射影是不是就是 a b 啊？第三条线就是和射影在同一个平面并且过斜线的这条线 就是这条线，就是奇奇怪怪的一条线，我也不知道给他起个什么名。好吧，你自己用语言描述一下吧。啊？就是什么呢？和这个摄影所在的平面是同一个面，是不？然后呢？ 当然了，就是在哪个平面内，是不在阿尔法这个平面内啊，并且他过斜线。呃，过斜竹，过斜竹啊，过斜竹是不是与摄影形成夹角的这个这条线 啊？这条线对我们来说就是 a c， 对 吧？三条线写出来了，那么我们就可以斜角了啊，给大家画这两个之间的夹角就是 theta 一， 这个两个之间的夹角就是 theta 二，这两个之间的夹角就是 theta。 看像不像一个笑脸啊？它笑了吗？有没有笑？ 不光笑了，还吐舌头了呢，对吧？有画画天赋，还行，哈哈，能弄不用三条线定三个角，斜线是这样，然后阿尔法平面内的另外一条线， 那要过斜线，要过这个斜足啊，过斜足。那这 c 叉一就是什么？记住了，我这个 c 叉一呢？就是斜面角啊。 c 叉一就是斜面角，记住这个东西就行了。 陷面角，当然你不记也无所谓，这个斜线与射影的夹角你能不知道是陷面角吗？是吧？是我有问题还是你有问题？ 你肯定会知道的，对吧？所以肯定是我有问题了。那我们肯定是什么呢？这个最跨度最长的这一个 cosine theta 等于什么呢？等于这两个小人相乘， cosine theta 一， 乘上 cosine theta 二。看出这个结构了吗？通过这一个图，是不是这个结构我就出现了。看懂了，不？ 看懂了，那我们做这个第一个题啊。第一个题，我不让你用别的方法，就用三鱼弦啊，他用别的方法也能做，不是不能做，而且也挺快的，但是我就我就挺坏的，我非得让你用三鱼弦，我们尝试一下好不好？那么遇见题目不要慌什么，先写三条线，第一条线是什么？斜线着斜线说 ab， a， b， 然后找射影是吧？现在是一个这样四面体，他是不是已经帮我们把回族嘿，是不是已经帮我们把这个线面垂直给搞定了，对吧？线面垂直已经给搞定了，是吧？ ah， 垂直好，也就是说什么呢？我们知道了第二条线射影是什么？是不是 b h， b h， 然后第三条线就是和 b h 过斜轴，有，有这种角的这种， 那么我们用谁用谁都行啊。用 b c， b d 是 不都行啊？我用 b c 吧，好不好？随便啊，是随便，你用 b、 c 和 b、 d 都行，只要他给我协助和这个摄影是在同一条线上，满足这点条件就行，不用纠结是谁，懂不？不用纠结是谁，好，现在画笑脸了。 他两个之间是我要求的 c 塔一，他两个之间是 c 塔二，他两个之间是不 c 塔。然后我们去标这些角度好不好？ 但他既然想让我们去求线面角，我肯定肯定得不到 c 叉一了，对吧？然后我们看 c 叉二是多少？ c 叉二是 b、 h 与 bc 的 夹角。来吧，它是一个正四面体。 朋友们，什么叫做正四面体？什么所有长均相等的三棱锥，所有长均相等的三棱锥，对不对？就是正四面体，所以底面这个 b、 c、 d 是 不是等边三角形啊？那这个 b、 h 通过这个三线合一，咱可以得到。那这个角 c、 b、 d 是 多少度啊？ 说三十度啊，搞定一个。说他三十度，那我再看 c， 他 再看 c， 他 就是谁呢？ a、 b 与 b、 c 的 夹角对不对？ a、 b 与 b、 c 的 夹角，你说这个角是多少？那么 a、 b、 c 当然也是同边三角形了， 那你说 c， 它是多少？六十啊，对吧？那现在用公式，口塞音六十度等于口塞音 c 塔一，是不？这是我们要求的，再乘上口塞音三十度，你说口塞音 c 塔一能不能求？然后反过来求塞音 c 塔一，能不能得了？简不简单？ 当然了，你用定义法是不是也很简单呀，对吧？也很简单，没毛病吧，是不是？用啊，用这一个用定义法是不是也很简单？但是我，我不说了吗？我比较坏，我非得让你们用三鱼弦吗？那三鱼弦学会了没有？ 明白了吗？然后我们做一个浙江卷，好吧，浙江卷比较难啊，比较难。那我们看一看，也是看第二本啊， 这么一个三棱台，我要把它擦掉了啊，要截图的，赶快截好不好？要截图赶快截啊，我要干第二。问了第二题了啊，这个第二题我想给大家补充结论，所以必须你看大家，我必须要把它擦掉，因为地方不够，我要给大家记结论了啊 啊，朋友们，搞定了吗？好，擦掉啦，我们看第二个。呃，第二个题目在这个三棱台 a、 b、 c 杠 d， e、 f 当中，这个平面儿呢？呃， a， c， f d， a， c， f， d 是 垂直于底面 a、 b、 c 的， 然后告诉我，四十五度，四十五度谁呢？ a、 c、 d 标一标吧。 a， c、 d 是 这个角，四十五度，还有哪个角呢？ a， c、 d 这个角， 这个角也是四十五度。好，这两角看到了吗？我用点啦，我点点是不？这两个点点就是都是四十五度的啊。 d， c 等于二倍的 bc， d， c 等于二倍的 bc 啊， bc 呀，等于二倍的 bc。 注意看这个结论，这个条件有什么用啊？ bc， 划错，天呐，我这个眼珠子不好用呢，为什么呢？ d、 c 等于二倍的 bc 有 什么用？咱借助它第一问吧，好不好？咱第一问，它不正了啊，借助它的第一问 d， 呃，这个 e、 f 垂直于 d， b 垂直于 d， b， 那 么，那么 e、 f， 因为它是一个三棱台，对吧？那这个 e、 f 是 不是平行于 bc 的？ 那我们能不能得到这一个 bc 是 垂直于 db 的？ 那我再结合这一个条件，我能不能得到这一个三角形是一个什么样的直角三角形？ dbc， 这里是不是垂直的？是不是？它是二，它是一，它是不是跟三？这只是关系啊，并不是说它具体的值啊，只是说它的关系是不是这样的。多少度？有没有谱？ 六十度，三十度，这不有这么一个结论好。然后这个题不知道大家看见了这两四十五度的想法是什么？ 我不知道大家的想法是什么？看见了这一个 a、 c、 b 和 a、 c、 d 都是四十五度，哎，从一个点分出来的三条线对吧？ c、 d， c， a、 c、 b 两两就是相邻两个的，呸，也不能这么说，就是 a、 c 和 c、 d 的 夹角四十五度， a、 c 和 b、 c 的 夹角也是四十五度。你通过这个蓝色的东西，你能想到的结论是什么？你在心里有没有一个什么样的结论？如果没有，回去弄你的数学老师啊， 他不给你们记是不行的啊。我们有这么一个结论啊，点在平面内摄影的常见结论是什么？ 第一个自己看一看啊，我们用到的是第二个，第一个自己看不是说他没有用啊，你需要看好。那我们用到的结论是什么呢？经过一个角的顶点，引这个角在平面的斜线，如果这个斜线与这个角的两边 假角都相等，那么该斜线在平面内的射影是这一个角角平分线所在直线。你看看我们这个题满不满足这一条线 斜线与这个角两边的夹角相等，有没有？ a、 c 和这个 d c 四十五度， a， c 和 b c 四十五度。那我 a、 c 上有一点，我在 b、 c、 d 上的投影应不应该在这个角 b、 c、 d 的 角平分线上？应不应该， 是不是就应该了？那这一条好不好用？你在学校里老师给记了吗？ 那这会我为什么一定要问？你看见这种这两个等角，那 a、 c、 b， a、 c、 d？ 那 a、 c 什么？ a、 c 什么， 是吧？一定问你这个东西的原因，你如果知道这条，那这个题有很多缝线，如果你不知道，你老老实实地用定义法去用，用，用间隙法去做吧。间隙没有，我这个方法要简单啊， 啊，几何一般，比极限还要简单，一般只是说一般啊，那我们现在它不就是 d、 f 和这一个 d、 b、 c 所成的角吗？ d、 f 我 平不平行于 a、 c 啊？那我们看啊，这个 d、 f 这个标东西是不是平行于这个 a、 c 的？ 我强调这事干啥？我想做辅助线啦，朋友们，我现在咔过这个 d 点做，这个 d、 o 垂直于 a、 c 是 吧？它垂直于 a、 c， 哇，我现在做了这么一条线，那你说我这个 d、 f 与这一个面所形成的角等，不等于这个 c、 o 与这一个面形成的角呢？也就是说啊，我们实现了一步转化啊，是什么样的转化？这个 d、 f 与平面 d、 b、 c 所成角，就等于这个 c、 o 与这一个平面 d、 b、 c 缩成角，是吧？因为它平行。那么现在我们可不可以用这个第二条这个结论呢？那我这个 o 点，我 o 点在这个 d、 b、 c 这个面儿上的 垂线，呸，它的射影是谁呢？是谁在什么位置？ 是不？我们就一定会有这么一个东西出现啊，我们就一定会得到这一个点 o 在 面 d、 b、 c 在 这个面 d、 b、 c 的 摄影，呃，这个摄影，我们说是点 g 吧，好不好？摄影 g 就 一定在这一个角 d、 c、 b 的 角平分线上 就得到它了，明白不？就一定在这个角平分线上？ 好了，那在角平分线上咱把它画出来呗，是吧？搞出来，把角平线给做出来，那这个 g 点就一定在哪啊？ 随便给它来一个位置吧。好吧，我们就假设在这吧。现在，那我们能不能得到这个 o、 g 就是 垂直于这个面儿啊，是不是？我们是不是就可以得到了？噢， o g 呀，你这个标东西就是垂直于这个面儿 b、 c、 d 的， 对不对？好，我写成这个破玩意来，是为了干啥？是为了干啥呢？朋友们，三鱼弦再用一用呗，好不好？三鱼弦用一用啊，来 用线得角，第一条线是什么？斜线？斜线是谁？ c、 o？ 第二条线是谁？摄影啊，摄影是谁？斜足垂足是 j， 斜足是 c， 所以 说它是 c、 g。 第三条线是和过这一个过，这在这个 b、 c、 d 当中找一条线是，不过这个斜足啊，那当然可以是 b， c 是 不也可以是 d、 c 啊？那我们要它是谁，你爱是谁是谁，我就 d c 吧，好不好？ d、 c。 现在来找角，找角第一个是不？这就是线面角，我要求的我动不了，然后这个 c 它是不也能找？来吧，挨着找 c， 它二、 c、 t、 c、 g 和 dc 的 夹角 c、 g 和 dc 的 夹角。来吧，这个 dc， 这个 c、 g 是 什么？是不是减分线？这个角 d、 c、 b 是 多少度？注意看这里 d、 c、 b 多少度？六十度，它的减分线说明它是多少度？三十度， 对吧？好，然后再看 c、 t、 a， 也就是 co 和这个 dc 的 夹角 c、 o 和 dc 的 夹角，是不是？ c 和 dc 的 夹角多少度？四十五度， 能不能做了？简单不？你这个题，你说你用别的方法，你用什么方法能比这个快？我真不信。不服啊。 我是不服的。那我直接代数了。口塞音四十五度等于这个口塞音 c 塔一，乘上口塞音三十度，能不能得口塞音 c 塔一了？能不能得？能得口塞音 c 塔一？它现在要求正弦值塞音 c 塔一搞定了没？ 完事了朋友们，简单不？当然你会说，老师，我用等体积，我能不能做？我能做。我知道你能做不快呀，是吧。

高中地理几何证明，垂直、中线型垂直才是最关键的，但是很多同学找不到垂直，那别慌，今天直接给你压箱底的八个秒杀技巧，那么从初中到高中全部覆盖，看完直接拿分！那么第一招， 找自带垂直的平面图形，比如等腰等边三角形，一定要三线合一，棱形、正方形、曾形、对角线 b 垂直圆中直径所角的圆周角为九十度。 第二招，棱形带六十或者一百二十角拆成等边三角形，三角合一就出来了。那么第三招，高古定律的逆定律，如果题干中有长度或者长度的关系，购物定律一定不能忘。还有个隐藏的技巧， 如果一条边是他的中线的两倍，那么这就是直角三角形，初中的结论直接用。第四招，三、垂线定律，平面这个线如果垂直于斜线的摄影就垂直于斜线的本身，那空间题超级好用。第五招，题干告诉你线面垂直或者面边垂直，那么垂直性质的定律得用起来。 第六招，找特殊直角图形，比如等腰梯形、直角梯形、正方形、长方形里都隐藏着很多现成的直角，一定不能忽略了啊！那么第七招，点的投影点 p 在 平面， a、 b、 c 的 投影是 p 撇，那么 p 一 撇就垂直于平面内所有直线。最后一招，第八招，正三人追，对人垂直 在正三轮锥内侧，人和对人永远垂直，直接记结论，这八招，初中到高中的线线垂直全部覆盖，点赞收藏，下次做题直接用，你学会了没有？

给长度了容易用什么勾股定律？是不是容易用勾股定律 知道垂直啊？这我也不太知道。来，同学们，你有什么思路啊？你要你要理解老师想说的话， 你这不 p a b 吗？同学们，你这是不是要么就是 p a ok 吧，要么就是 p b， 要么就是 ab？ 用 ad 垂直它垂直，它垂直。三个里的两个，对不对？同学们， ok 吧。啊，两个垂直找呗。首先同学们，我为了讲课方便啊，我把已知条件标记一下。已知条件，同学们，这个是一行不行？底面 a， b， c， d 是 矩形可以吧？一系列长度是二行不行，一系列长度可以吧。 然后就 pa 等于 pb 来没了。 pa 等于 pb 像什么？像 等腰三角形是不是？但是 pa 等于 pb， 如果有中点型啊，如果有中点啊，才能垂直，没有中点不垂直对不对？而且显然这个正的是 p， 这垂直吗？不是啊， a d 随着 p a b 啊，所以找 a d 随着 p a b， 你 们懂吗？我慢慢说啊。 来，同学们，我先讲思路，等会写过程先讲思路啊，思路写的乱一点啊，过程写的细一点啊。啊，思路怎么写呢？你这个 e 条件是不是有垂直了？你能不能发现和它这相关的？ a d 和 p a b 相关的有没有？ 有吧，和谁垂直啊？有没有？因为是矩形就得到了 a d 垂直 ab 有 没有？有吧， 哎，这个就搞定了是吧？那然后我们还要干什么？还要挣其他的垂直？这个是一般题。这么考啊，考，同学们想一想，要么是 pa， 要么是 pb， 你 要找 pa， pb， 哎，证明一个就行吧。是同学们，一个就可以吧。证明哪一个？老师建议 pa， 为什么？ pa 给你长度呗？ 二二二倍根号二是不勾股定力？是不勾啊？是不是 a d 是 不二？ pa 是 不二，这是不是二倍根号二是不勾股定力符合不一根号二吗？垂直吗？ 哦，我们现在由这个二条件他也知道了。呃， pa 垂直 ad a 呀，那不就完了吗？不转了， 这个简单是不是？呃，我们再写个过程，写细一点啊，之后就同学们自己来啊。首先 啊，同学们，你看啊，这个老师，这个也写啊，有已知可得。你说老师，这个为什么有已知可得？已知可得 ab 垂直 ad 不用讲。那不矩形吗？你只说矩形，可以直接说啊。然后在三角形 p a d 中， 同学们，你想用勾股定力，你把哪个三角形给它交代清楚啊？你是不是想用勾股定力？嗯，把三角形交代交代清楚了，然后，呃， a d 等。哎呦，不好意思不好意思啊， p d 方等于 p a 方加 a d 方， 你说 g 也行，折也行， g p a 垂直 a d 是 这样吧？哎，标记没，这是不是一，这是不是二？我现在是不是加三四五谁跟谁相交啊？ 又因为 p a 交 a b 等于 a， 是 吧？然后 p a 是 不是在平面 p a b 里面？ 然后啊， a b 是 不是也在平面 p a b 里面？所以这是不是三，这是不是四，这是不是五？所以这是 a d 垂直平面 p a b ok 不？

学，学个屁，好同学们，咱们今天继续来看一下线面左乘角的问题。这道题第一问他让我们去证明的是 a e a 一 垂直于平面， b c b e。 题目的条件给我们给了 这条边垂直于底面，然后 b b 一 垂直于底面，原因是因为这地方平行，转化一下就可以了，然后告诉我们了三个长度，其实在第一问他没有什么用，那么第一问我们简单来看一下，那么如果我们要证明一面垂直，我们就要证明的是一个面的垂线在另一个面内，那么两个面就垂直了， 所以我们需要找一找啊，这个地方 ab 等于 ac， 所以 底面应该是一个等腰三角形， 里面是等腰，他又告诉我们 bc 长度是二倍根号二，这两个边的关系正好是一比一比根号二，所以他不光是等腰，而且还是个直角， abc 为等腰直角三角形。我们先来写出来第一个条件，然后我们继续看一下点 e， 他 说是 bc 边的中点，那么我们根据三线合一，可以很快的得到 a e 是 垂直于 bc 的 好， a e 垂直于 b c a e 又在我们这个面内，所以我们只需要找到 a e 再垂直于这个面的任何一条线就可以了。那么题目中的一个条件， b b e 平行于 a a e 经过我们的平行转化以后，是不可以得到 a e 垂直于 b b e， 那 么只要 a e 既垂直于 b c a e 又垂直于 b b e， 那 么 a e 是 不是就会垂直 b c b e 这个平面？ 然后又因为 a e 在 这个平面内，那么所以两个平面平行。第一问的证明方式比较简单，我们着重来看一下第二问，第二问他让我们找的是直线 a、 b 与平面 b、 c、 b、 e 所成角的大小，所以我们要求的其实就是余弦值， 那么要求线面角，我们继续复习一下，要求线面角的余弦值，其实要求的就是直线与它的投影所成的角， 那么要找投影就必须得知道过点 a 做一条垂线的这个垂足会落在 b、 c、 b、 e 的 哪个位置。我们第一问的条件 是两个面垂直，如果两个面垂直，我们可以通过面面垂直的性质得到什么东西？是不是可以得到在面内任何一个点？只要做交线的垂线，那么它就一定会垂直于另一个平面。 所以这种题目的思路就是要先找到 a、 a、 e、 e 与 b b、 e、 c 这两个面的交线，其中有一个点肯定是 e， 那 么另一个点在哪个位置？我们只需要过点 e 做 a、 a、 e 的 平行线， 相当于说我把这个面补全，大家应该能看出来，我把这个面补全以后，这个面和旁边这个面肯定是会交在这个点，所以我们做一条 e， 一 做 e， e， e 平行于 a、 a、 e， 然后我们再连接一下 a、 e， 我 们就可以得到 e、 e、 e 为 两个面的交线。那么下一步我们就要去证明的是 a、 e、 e 如何去垂直于 b、 e、 c， 因为它告诉我们 b、 c 是 二倍根号二， b、 b 一 是四，所以可以得到 b， e、 c 等于二倍根号六。要因为他说 a、 a 一 是二， a、 c 等于 ab 等于二， 所以 a、 e、 c 等于二倍根号二。我们因为做了平行，又知道 a、 e， a 平行于 e、 e， 所以 这个这个四边形应该是一个平行四边形，所以我可以得到 a e e 一 应该是等于 a e 的， 那 a e 又是我们第一问求出来的根号二，所以我们研究一下三角形 a e e c， 他 是不是一个直角三角形，只需要看他满不满足。勾股定律，这个边的平方是二， e c 的 平方是六， 二加六正好是我们的八，所以由勾股定律得三角形 a e e c 为 r t 三角形。 那么这个题目的最后一步就是要去证明这个角的余弦值。 cosine 角 a 一 b 一 e 是 等于 b 一 e 比上 a 一 b 一， 我们只需要再去求 a 一 b 一 就可以了。 a 一 b 一， 我们同理求出来应该是二倍根号二，那就是根号六比一，二倍根号二应该是二分之根号三，所以这个角为六分之派。

好，同学们，咱们今天来看下一个模型，也就是我们的要求一些相关的距离问题。这个距离问题包括了点面距离、线面距离，还有面面距离。我们今天先来看第一种 这道题，它让我们求的是长方体 a、 b c d a b c d e 中第一问是 b 一 点到 这个面的距离，第二问是 b 一、 c 一 到这个面的距离。那么其实这两问我们其实可以发现，不论是第一问还是第二问， b 一、 c 一 到该面的距离和这个点到这个面的距离其实是一样的。原因是因为我 b 一 c 一 它肯定是平行 bc 的， 所以我这个 b 一、 c 一 肯定是平行这个面的， 那么线面如果平行，我们知道，比如说这条这个面与这个线平行，那么线上某个点到面的距离肯定是处处相等。所以我们这个题的本质其实就是只求一个东西，就是要求 b 一 这个点 到这个面的距离，那我们过点 a 或者过点 b 一， 这样做一条垂直于 a 一 b 一 的垂线，我们就可以发现 b、 e、 e 是 垂直于 a b 的， 然后 b、 c 又是垂直于这个正面的，所以我们可以知道 b、 c 一定会垂直于 b e、 e， 那 么 b e、 e 既垂直于 b c b e e 又垂直于 a e b， 那 是不是代表着 b e、 e 垂直于我们的这个已知平面？那也就代表着我的点 e 其实就是点 b e 的 投影点， 那既然是投影的话，它们的长度就是距离。所以我们第一问其实就是在求 b e 的 长度，那 b、 e 的 长度我们利用等面积法 就很简单可以求出来，它应该是五乘以十二，再除以十三，它就应该等于十三分之六十。

本视频时长二十八分钟，带你搞定立体几何基础，求几何量，通过等体积法解决点到面距离问题。从原理出发，讲透底层逻辑，回复立体几何，领取视频讲义。 继续咱们立体几何的基础。上一个视频，咱们聊到了求体积中啥时候用公式法，什么时候去割，什么时候补哪些，老赵带大家感受了很多， 那么最后呢，我们也围绕一些复杂的多面起，可能多角度，多维度把这三个方法都要用上去解决它们，也带大家练了一些如果有这块的问题，你看上一节回放在这个视频要讲啥呢？讲等体积法去解决点到面的距离问题。 那么这道题这个知识点本身很简单，但是唯一的考点就是有些时候没有明确的题道要求点到面的距离，你也要能发现他是这类问题。 那具体的咱们来感受一些题来看。第一个引力，首先引力，咱就用最简单的模型告诉大家这是一个什么墙角， 两两垂直嘛，它们都垂直，然后对应的三个直角楞幺幺二长度就知道了。然后接下来要求什么呢？你看它要求点 d 到这个面 abc 的 什么距离， 这就是以后直接用等体积的标志。那么为啥能用等体积呢？因为你发现这个整体刚好可以看作一个以 d 为顶点，以 abc 为底面的什么高， 那你高知道了三分之一底面积乘高就能列出这个式子，如果你再知道它的体积，那这个不就求出来了吗？ 所以说只要求点到面的距离，往往都可以用等体积去求解。好了，那接下来我们看这边表示出是为了表示出这个目标，那体积咋求呢？我们选一个比较简单的，比如说，哎，这道题以底面 为底面，对吧？你看底面面积，直角三角形很好求高高好是谁呀？ b、 d， 所以 以 b 为底点，以 a、 d、 c 为底面。然后你写的时候两边都是三棱锥嘛，三分之一就不写了，底面积乘高等于底，面积乘高，代值就完了。来，先看这边， s、 a、 d、 c 两个一乘二乘以二分之一是一， b、 d 呢，刚好是一，所以说明体积是一，然后你要求 s、 abc， 哎呦，这 abc 啥都不知道。当你去求一个三角形面积，在咱们例题集合中关注，首先看边都能不能求出来，能求出来了就一定可以解， 比如说啊，这里一二，根号五，这里一二，这也根号五，根号五一一，这就是根号二，所以它三个长度都知道，三个长度都知道的话，还是个等腰三角形。要求面积也简单了，直接做什么？三线合一， 这二分之根号二，然后勾股定律，五减二分之一，二分之九开根号二分之三倍根号二，所以这个高二分之三倍根号面积也就很简单，二分之一乘以底是根号二乘以高是二分之三倍，根号二 乘以 h。 刚才我们说起筋是多少一根二乘根二是二，和这个约掉了，所以二分之三 h 等于一， h 等于多少三分之二。这就是咱们所说的什么 等体积求点到面的距离，不管是他的原理还是他为啥可以求，就这么简单。那么这个知识呢？接下来我们要明确他有哪些用法。第一个，有些时候求的并不是点到面的距离，可能求的高， 那本质上还是在求这个东西。有些时候呢，咱们在用几何法要求空间角的时候也能用得到，所以你总之你知道求点到面的距离等体积法都可以求，要学活。 好了，接下来我们看例题，这道题呢，你看它就告诉我们有个三棱柱， a b c a e b e c e 就是 由这两个为底面的三棱柱横着放，告诉我们底面是个菱形，然后这里 底面的中心是 o a o 连线，他刚好和底面是怎么样垂直的关系，还告诉我们这里是一个什么直角三角形啊， c a b e 是 垂直的，然后还告诉底面是一个有六十度边长为一的这个菱形 要求啥呢？他要求的是三楞柱的高，我们一看啊，三楞柱的高不是追棋的高，不是追棋的高，好像不能等奇迹，那你注意啊，你这道棋要是想成三楞柱的高，你可能就走远了。 三楞柱的高本质上是这两个面之间的距离，我们说两个面之间的距离，在他们平行的时候一定就会转化成谁啊？点到面的距离，那么点到面的距离的话，那不就是 等起记法可以求吗？所以接下来关键是我要看作是哪个点到哪个面的，那不能说随便看，哎，我就一 a 一 到这个面的距离，然后你画完之后，你发现，哎呦，没有条件不好处理，对吧？所以在这要用等起记法的时候，一定要找到合适的点和合适面。 关注什么？关注已知条件，哪里已知条件最多？这都是已知条件，这个面里边这两个面所对应的已知条件最多，这里是个等边，这里是个等腰直角。那你告诉我，我们要看作哪个锥体？是不是看作以这四个点 构成的锥体，那对应的点不就是 b 一 到这个面的距离，要选择好几何体， 那在这咱就选择到这个蓝色的几何体 b 一 点到它的距离。那么接下来就要写成两组起级，第一个肯定是以 b 一 为顶点，以它为底面的锥起。第二个， 那要能求几？以谁啊？你发现在这道题里边， a、 o 是 高，所以以 b、 b、 c、 b、 e 为底面的是不是比较好求？ 底面是个正三角形，这个高是 a、 o， 所以 要选一个好球的，所以写出来一个是肯定是以 b、 e 为顶点，另外一个就是以 a 为顶点。好了，写完之后，一个一个来表示先看好球的这个底面积呢？正三角形边长为一，那 四分之根号三， a 方面积就是四分之根号三。再看高，因为是等边三角形，这是一，这又是一个什么啊？等腰直角，为啥是等腰直角呢？ o 是 底面的中心，说明这个线呀，他既是高，也是什么中线，所以他就是等腰的，这是一，那斜边上的中线二分之一，所以高是二分。 至于这边的底面积和高都知道。好，接下来要求这边的高，你就得知道这个底面积，这是这道题里边唯一要计算的。我说看到这个三角形只有一个边，知道咋求它的底面积呢？尽可能的利用勾股定律，咱们去把它的边长都求出来，比如说这个，哎， 刚才说它是等腰三角形，斜边是一直角边，就是多少二分之根号二，你看两个边知道。然后接下来我要再能求出 a、 b 的 话，不就搞定了吗？那关键是你得看一下 a b 放在哪里去求解， 我们说尽可能的放在什么啊？直角三角形，那这个直角三角形是什么？你发现 a o 是 垂直底面的，对吧？所以你连接一下 b、 o 的 话，这里也是一个直角三角形，然后这个斜边 a o 刚说过斜边的，呃，就是中线，它是二分之一， 然后这个是底面正三角形，什么三线合一，它是二分之根三，直角三角形，这二分之一，这二分之根号三，这是多少一？ 所以你发现 abc 这个三角形啊，是以 b 为顶点，以 a、 c 为两底角的，什么等腰三角形，这都是一， 然后这个长度是二分之根号二，所以你要去求它的表面积也就简单了，等腰三角形嘛，做个高，这个是四分之根号二，那这个是四分之根号二，这个是一，它的平方十六分之二是十六分之十四， 根号根号分之多少？四分之根号十四。所以你底知道了底是二分之根号二， 高是多少？四分之根号十四，上边一乘二倍，根号七，下边一乘十六，所以八分之根号七。 这样我们就知道谁啊？咱这 abc 所对应的面积是八分之根号七啊。所以说你看你明白方法了，在做的时候，有些时候第一个是转化，第二个就是这种计算的细节，永远不要忽视细节。 好了，那这个底面积和高，知道了这要求的，就说明它两相乘，等于这两相乘八分之根三， 八和八一约 h 等于根七分之根三，也就是七分之根号二十一拿下，对吧？所以说这就是整个细节。 好了，最后简单复盘一下，就是真正考的时候，并不是说每次都考点到面的距离，有些时候考什么台体的高呀，有些时候考柱体的高呀。你不好求的时候，你记住， 但凡在例题几何中，本质上求的是个距离，有些时候是点到点，有些时候是点到线，有些时候是面到面，有些时候是点到面。总之，当它整体是个距离的时候，都看能不能转化成谁啊，点到面啊， 只要能转化到点到面，那它本质上都可以用什么等起击法去处理，然后等起击法，第一个起击肯定就是你这个点和那个三角形面构成的，另外一个就看怎么好球，用一个好球的方式把它的起击表示出来就行了。 然后在所有的计算细节中啊，你转换完了。最后就是计算细节，你就记住你算面积的时候算不出来，要关注这个三角形，就是关注它每一个边的什么长度， 那么每一个长度怎么算呢？把每一个长度都放在一个 r t 三角形中，你就要关注垂直，比如说这个 ab 放哪里呢？你没有，你要关注已有的 a o 式垂直，放在已有的 r t 三角形。 所以这种细节往往才是你决定你最终能不能得分的关键，永远不要光注意一个什么大方向。哎，我知道登喜记法什么时候用呢？点到面的时候，然后一算，算的一塌糊涂， 学数学要全面啊。好了，继续练，接下来看这道题，这道题又告诉我们一个什么三楞柱， 然后说测棱呢，都是垂直底面的，然后底面又是个直角三角形，还是等腰的高，也是，测棱也是二。然后说点 m 呀，现在是这个棱 a b 上的一个点，问这个点到这个面的距离 是不是一个定值？但凡问点到面，你就看点所在的什么轨迹，点在哪里啊？点在 ab 上，那你就看它的轨迹和这个面是什么关系啊？你发现 ab 和这个面很显然是怎么样的平行的， 那么它所在的轨迹和这个面平行，不管它在这个线上的哪一个点，它到面的距离都是怎么样相等的，那所以这个距离肯定是个定值。好了，这个好回答， 那关键是人家说啊，让你求出定值，那求出定值不就是求点 m 到这个面的距离吗？所以走到这里我们就说，哎，点的 m 到面的距离也简单，等体积。那么接下来一个 v m a 一 b 一 c， 那 另外一个是奇基是谁呢？你如果盯着现在的图，你发现我不管以哪一个面为底面，我都求不出来，所以既然它在这个上边的每一点对应的奇基都是定值，或者说这个距离都是定值，那你就不要用任意点， 一定要用什么特殊点。所以当 m 在 哪里的时候好算呢？你发现要么放在 b 点这个端点，要么放在 a 点这种端点肯定是 最特殊的位置，最特殊的位置肯定往往最好算。比如说我把 m 放在 a 点，那你看我现在第一个要求就是谁啊？ v m a 一 b 一 c 一， 我就是求它，对吧？那么然后接下来我要有一个已知的奇值， 有一个已知的体积，我们还是要横竖面做侧面看一下以谁做底面会好求呢？哎，你发现这个里边 a c a e 这个面是不是竖面垂直底面的？ 然后它对应的点是 b e b e 到这个面的距离是谁啊？不就是 b c e 吗？底知道高知道，所以就是 b e a e a c， 这就非常的什么简单，所以把它放在啊特殊的位置，然后再选择合适的面就写出来了。那这是已知的答，先求来这二，这二底面积是多少二嘛？二乘二乘二分之一 高呢？刚说过了， bc 等于多少二，所以这边都知道了。然后这边我们要先求面积，那要先求面积就要看它的边长二二，这二倍根号二二二，这二倍根号二 二二，这二倍根号，你发现它是个什么？等边三角形，等边三角形的面积就是四分之根号三乘以边长的平方，那就是二倍根号三呗。所以它的面积二倍根号三乘以 h 等于上边两个相乘 h 等于多少根？三分之二，也就是三分之二倍根号三，直接拿下， 所以说也会非常的怎么样简单。所以关键是首先你遇到这种看点到他的距离是否为定值，看的是诡计和面的关系，这是特别喜欢考的平行线上的点到面的距离怎么样相等好， 当接下来让你去求值的时候，看似是对任意点，那他们都相等的肯定要选什么特殊点啊？ m 一定要放在最特殊的位置， 然后接下来你要去解一切都会什么，会非常的丝滑。好了，这第二个咱也就结束了，接下来咱再练两道啊，接下来这两道他是完整的题，第一问也有，第二问也有，正平行也有，可能正垂直也有，然后再求一个几何量，我们一起感受一下。 比如说这个题告诉我们个台体，第一问啊，说这是一个四棱台下，底面是个菱形了，其实就是两个等边三角形构成的。 然后呢， ab 等于二 a 一 a 二等于啊，那就是这里是多少？如果这里是二 x， 这是 x， 这是 x， 再告诉我们他们的关系， 还告诉我们 a、 e、 a 是 垂直什么底面的，最喜欢这种线垂面。然后第一问要证啥呀？他要让我们证明这两个线是垂直的，那我们说看线垂线看两点，第一个共面不共面，如果共面，看一下用 平面内能不能证明，如果不共面，一定要转化成谁啊？线垂面，那到底是哪个线垂直一些面呢？看这两个线谁有明显的垂直，那我们发现底面是菱形， b、 d 很 明显是垂直，谁啊？ a、 e、 c 的， 这是它垂直的第一条线。 题目还告诉我们 a、 e、 a 也垂直底面，那也和它垂直，这是它垂直第二条线，它垂直这两条线，它肯定垂直它们所在的平面。好了，它们所在的平面就是 a、 e、 a、 c、 c、 e， 结束，对吧？这个第一问呢，非常的简单，直接就送分了。然后接下来看第二问。 第二问是先告诉我们四棱台的起基，然后接下来要求谁啊？点 a 到这个面的距离，看到点到面的距离，马上就想到了等起基，但是等起基的话，你对这道题里面的一些长度首先要知道， 那这道题告诉我们的是啥呀？这里是一比一比二的关系，结合这个起基，我们是不是先得把 a 求出来啊？那么这个咋求呢？我们说棱台求起基有他自己的公式，三分之一 h 括号里边什么面积加面积，加根号加面积啊，反正这个公式还挺复杂，我一般情况下也可以选择另外一个方式啊，我把它补成一个什么能追？那么在这道题，你看这里的相似比是一比二， 所以这里一份啊，这里也是 a， 所以 你只要求出整个大的锥体，然后怎么样减去小的，你发现这个小的锥体和大的锥体的能长比是多少？能长比，或者说高之比和底面积之比都是一比二， 所以上边小的其实占整个体积的八分之一，所以我只要求出整个锥体的体积乘以八分之七，就是这个什么 抬起的奇迹。所以说你要是习惯公式，套公式一模一样，你要是习惯割补法，像我一样割补一下，补成个锥起，咱就用锥起的方法好了。那么首先我先算底面积，这是二 a， 这是二 a， 这是多少？这是六十度， 所以底面的面积应该是两个正三角形，四分之根号三乘以正三角形边长的平方就是四 a 方，因为有两个，再乘以二， 所以它就等于二倍根。三 a 方啊。好，所以体积就是三分之一乘以底面积是二倍根号三 a 方，再乘以高。高的话，我们说相似比是一比二的话是二 a， 再乘以八分之七，就是这个抬起， 所以我把它列在这里，你看三分之一，三分之一乘以底面积乘以高，乘以八分之七，等于它三分之一，三分之一约一下， 然后这里的话呢，四七二十八倍根号三。好了，二十八倍根号三和这七都约了，所以就是 a 地方除以八等于一， a 地方等于八， a 等于二。所以到这道题他告诉这么多，其实就是让你根据奇极公式先知道这个题目中对应的这些什么 长度好了，那上下都是菱形，就知道上边是边长为二的菱形，下边是边长为四的菱形，然后这里等于多少， 这里等于二。那这道题最后要让我们求的是啥呀？他要求的是点到这个面的距离，你兴冲冲的啊，那就是等起级来求一下这个追起。等起级是对任意追起都可以吗？你发现是不可以的，你看做这个是底面，这个是高，接下来你随便一个底面都没法看了。 所以咱们等起级是针对什么三能追，任意面都可以做底面， 你这四棱锥，它的底面是唯一确定的，你就没办法写成什么啊，不同的底面产生的两个等体积公式。所以接下来啊，那我们还要把它改成三棱锥， 改成三棱锥的话也简单啊，那我给这取一半，对吧？啊，画一下。所以我就相当于要求的是地点到这个半个面的什么距离， 对应的就是以 a 一 为顶点，它为底面的这个锥体的高。那么转化到这里终于可以用等体积了。第一个就是 v a， 然后对应的底面是 c， d， d， e， 然后关键是第二个啊，咱看一下， 咱接下来要求体积的话，以哪个呢？我们说横竖面定底面，往往关键是看高，这道题 a a 一 是高的话，那说明 你以原来的底面 a、 c、 d 为底面，第一到它的距离和 a、 a、 e 到它的距离是怎么样的？肯定是一样的嘛，就是高是确定的是二，所以就很简单好了，所以写成以第一为顶点的这个锥起和以咱们这个。然后这个的话，先求底面， 底面积是个正三角形，对吧？那么底面积就是四倍根号三，高呢？就是 a a 一 等于个二。然后介这边的话，重点要看这个面积，这个面积咋求呢？在这里要去求这个面积的话，首先 我们要知道这个图是个梯形，对吧？你对于这个梯形，你知道上底是二，下底是四，然后接下来你要求高，你就得知道两个腰的什么长度，那我们分别来求一下，你看你在这里做一个垂线， 做 a、 e、 a 的 垂线做下来之后，那这里就是多少二，这里也是二，这就是二倍根号二。然后你要求这里的话，你在这里过 c 一， 在这再做一个，因为下边的这个长度呢，也是个四， 然后上边这是二，这是二，所以你会发现这也是二，这也是二倍根号。所以这个面刚好是一个什么等腰七型，所以我们单独把它画出来，它是个等腰七型。那第一到底面的这个距离向下一坐，这一段是二，这俩一样的，这是一，这是一， 这二倍根号二，这一，这就是多少根号七。所以你看又到了咱们初衷方法求高度，你要把它做成一个平面的图形， 算在这这个三角形对应的高是根号七，这个长是多少四。所以你要求它面积也很简单，二倍根号七，它乘以 h 等于这两相乘 八倍，根号三，那 h 等于多少呢？根七分之四倍，根号三，七分之四倍的多少？二，根号二十一，也就结束了。所以这是这道题整个的转化过程啊。我们说这道题在处理的时候，唯一的考点看似点到面，但是你真的去求的时候，一定要知道， 等体积的使用条件是三棱锥，但是遇到的是什么？四棱锥也不要怂，四棱锥一切就切成三棱锥了，切成三棱锥之后，点到面的还是点到面，所以只要把底面缩小成三棱锥就 ok 了， 这是这道题给我们的一些有用的东西。好了，那这个也就结束了，接下来我们再看一道球最值的，我们先看这道题，告诉我们啥？这道题告诉我们呀，说这是一个四轮锥，点 p 为顶点， a d 和谁啊？ bc， 他 俩是平行的，底面就是个七型，这是一个 放倒的四棱锥。还告诉咱啥呀， a b 和 a p 这两线是相等的，然后说平面 p a b 啊，就是底面和这个侧面是垂直的，然后还告诉我们 p c、 d 和这个侧面也是垂直的， 哎呦，这两个都是垂直的，面面垂直。老赵告诉大家，它往往是一道题的什么题眼，你把它没用好，你解不了题，你把它一用，题往往迎刃而解。具体来看一下， 第一题告诉我们点 e 是 终点，然后让我们证明一下， a e 是 平行这个面的啊，给的都是垂直，现在要正平行，那咋正呢？我们说看到面面垂直，你把它当废物， 因为你直接盯着它没用，必须转化到什么线垂面那线垂面得找胶线呀，所以我们就看一下 pbc 和底面的胶线是谁啊？胶线是 p b。 如果一个平面内有一条线垂直于胶线，那么它垂直这个平面。你看第一问告诉我们这两个线是 相等的点， e 是 终点，那所以这三线合一，它肯定垂直谁啊？ p b， 而 p b 又是两个面的交界， 所以我就得到了 a e 垂直平面谁啊？ p b c 嘛，因为垂直交界，所以垂直这个面。好了，你看第一个面面垂直就处理完了。 那第二个面面垂直对应的交线是谁呢？一个是 pdc， 一个是 pbc， 交线不就是谁啊？ pc 吗？那交线是 pc， 还是得有线去垂直 pc， 那 咱过点 d， 只要做一条垂线就行了。因为两个面只要垂直， 只要找到了交线，点 d 肯定能做出它的垂线，管它垂在哪里。你在夹页上只要写，你在卷子上只要写过点 d 做 df， 垂直谁啊？ pc 与 f 点就 ok 了，因为他们在一个平面内肯定能做出来。好，那么做完之后， d f 垂直交界， d f 肯定也垂直平面谁啊？ p b c， 那 么两个平面内垂直同一个平面的两个线是什么？平行的，所以你最终就能知道 a e 和 d f 是 平行的，一个在 平面外，一个在平面内，所以线平面就处理完了。所以这道题比较好的就是告诉你一堆面垂面，你就记住告诉面垂面，只要你没转化到线垂面这个条件等于对你来说还没用， 但你只要把它转化到线垂面了，往往这道题也已经就解决了，所以他既是废物条件也是什么。一道题解决的关键核心就是看你有没有废物在利用， 对吧？好了，那这个就过了，然后第二个呢？这两个相等，他还告诉我们两个都是二倍根号二，然后也告诉我们 b， c 等于二倍根号二，还告诉这里一个角等于多少？一百三十五度。然后最后他要求啥？他要求 c， b， d， p， 这个追起的起积的什么啊？最大值。 哎，这道题也不用等起积了，他要求起积，那么要求起积。我们前面学过，横竖面定底面，一个三能追，那这道题里边有没有哪一个面 和底面是垂直的？或者说这个面有没有底面？横面呢？你发现横面就是 a， b， p 没有，但是题目告诉我们这个面和底面是什么垂直的， 所以这就叫做竖面。那这道题我们就可以以 d 为顶点，以 p， b， c 为什么底面？那这样的话，你竖面确定了高，就很好确定， d 点到这个面的距离就是高。 又因为 ad 是 平行于这个面的嘛，因为 ad 平行于 bc， 所以 ad 到这个面的距离就是它的什么高，所以这道题最后就是 a， e 是 高三分之一， a， e 乘以 s 三角形 pbc 就 行了。 所以这就是咱们上一周讲到的里边的最关键的一个点，横竖面定底面，你把这个定清楚了，那这个题就很简单了啊，我们表示出来之后呢，写成了，它要求的是 vc， 我 们写成以 d 为顶点， pbc 为底面， 不要受它影响，对吧？然后 p、 b、 c 这个底面呢？我们要求的话，我们知道这个是二倍根号二，还知道加角，那我们就要把这个边长设出来，因为它分成两段，设的时候设最小段为 x， 再看整个是多少二 x 好 了，那底面面积就很好表示，二分之一乘以二 x 乘以二倍根号二，对吧？ 啊，这是二 x 啊，再乘以二倍根号二，底面积等于二分之一乘以两边乘以夹角正弦值二分之根号二，这俩一或一乘没了啊，这一乘刚好是二 x， 所，所以底面是二 x， 高呢？根据勾股定律， 这是八，这是 x 方，根号下八减 x 方，所以高是根号下八减 x 方，面积是二 x， 两个一乘，再乘以三分之一，咱写完就是它，写完是它，你把里边就可以看作一个什么二次函数，你可以令 x 方等于 t， 这里就相当于是三分之二根号下 负 t 方加八 t， 那 么这个是开口朝下的对称轴是多少？负二 a 分 之 b 就是 四， 所以在 t 等于多少等于四的时候取得最大值，那我们带进去负十六加上三十二开根号，那这是多少？十六嘛？十六开根号四，所以它在整个 t 等于四，也就是 x 等于二的时候取得最大值是八， 那很明显， x 等于二，取出来之后它是有意义的，对吧？这个是四，刚好这里是直角三角形的时候，满足其意，能取到就结束了。好吧，那么这个视频呢，主要就是带大家 把咱们最后一个跟几何量有关的点到面的距离，这个原理和他常考的这种棋形带大家过一下。最后呢，也带大家过了几个完整的棋，把球体积也好，还有转换球距离也好，都过一下，练一练，练一下大家的熟练度， 因为他作为高考中也比较重要，也比较热点的一个知识点，我们要学就要学的非常扎实和熟练啊，当然了也都属于基础内容，大家一定要非常的熟练，好了就到这里，拜拜了。

本视频时长三十四分钟，带你搞定立体几何基础洁面问题，从原理出发，结合题型带你通透底层逻辑，掌握剪题思路，回复立体几何，领取视频讲义。 我们今天要处理的就是去把一个洁面给它扩充补全完整。我们经常会遇到的题，就是比如说像这道题过 a 点、 f 点、 e 点做一个这个正方形的洁面，但你发现这三点连完之后做出来这个洁面没有完全做出来，不通透。 所以在这种情况下，我们就得去扩平面，把它最终这个完整的 a、 f、 g、 e、 h 这个五边形围成的这个结面给它扩出来。所以我们今天要做的事叫做扩平面。那扩平面呢？主要有两个不同的角度，一个是通过平行去扩平面， 这个就跟咱们讲到锐角三角形背景下去求一些最直的时候，你用角的角度去处理，属于你们比较擅长的。 那么接下来还有另外一个就是相交扩平面，这个就是你们好多人相对会比较弱的。所以今天我们在做很多棋的话，咱不追求说你把它光做出来，咱们叫做要追求平衡，平行扩平面，咱要会相交扩平面咱也要熟练，所以今天我们就是以这些棋为载棋，带大家 从原理上去感受一下，为什么平行可以扩平面，为什么香蕉也可以扩平面。然后第二个就是从它具体的操作上一定要非常熟练，因为各自有各自的优势。有些棋它用平行去扩非常简单，用香蕉去扩就有一点麻烦了，但是有些棋它用平行扩不了， 或者说要扩，你得把力立即几何这个图再给他先扩大再去扩，那你如果还要用平行的话，有些时候可能就会出问题，所以那在那种其中啊，很多情况下相交就比较好处理，这是这两个方法各自的优势。 然后接下来我们先说一下原理，功力一和它的三个推论的本质就是在说相交可以确定一个平面，平行可以确定一个平面，所以当我们平常去看到这种结面比较小，那大致看起来就像它用一个三角形来表示了一个平面，那我想把它去扩大， 那我哎过其中一个点做另外对应的这个边的什么一个平行线就行了。比如说我做到点 d 平行定平面，那 a、 b 和 c、 d 肯定还是同一个平面，你再连接一下 b、 d， 你 就会发现啊， 从一个用三角形表示的面，现在变成了用四边形表示的面，所以通过做平行，你会把它扩大，而且它们依然共面。那么接下来到你们比较软肋的，那比如还是这个或怎么用相交去扩呢？ 相交呢？往往也是看作一个点和一个边，你把这个边延长一下，那你延长一下，你想这个肯定还在这个面里边，然后你 把 c 和你延长到这个点，第一点从一个小的三角形面扩大到了一个大的三角形表示面，所以从面积的角度是把它扩大了，所以说 两个都能实现。对原来小小的一个面进行再扩一扩，扩一扩，那变大一点，从我们这个样子上来看，其实说白了就是面积变大了，就算扩大了，虽然说面其实是无限延伸的，对吧？好，那么本质上他用的就是咱们宫里，也就是基本事实中的相交 确定平面和平行确定平面。那么接下来这个这么说，说完之后你说你在其中能不能做出其其实是做不出来的。香蕉扩平面，真正在其中要去做的时候， 其实我们是要经历五步才能够把它扩出来。所以接下来我就把你们软肋的相对薄弱的这个点拿出来，咱们细细的看一下，我们真的用香蕉把它扩大的过程中走哪五步啊？ 接下来把这个理解清楚，掌握扎实。第一个我们说刚才说了，你把这个三角形表示面还是要看作一个点和一个线，那么看作一个点一个线的话，你延长，你延长到哪去呢？你说，哎，有人延长到这，有人延长到这，有人延长，是不是都行呢？ 那放在具体其中肯定就不行了，所以真正在具体题当中呢，找到对应的点和线了，把它俩各自放在一个平面里边。比如说我把这个线放在了阿尔法平面里边，其实在图中往往这个线本身就在一个平面里边，然后我把这个点放在贝塔平面中， 真正在其中去做的时候，就是你要看这个点在哪个面里边，这个线在哪个面里边。好，然后接下来那我说我把他延长一下，再过他做一个，最终这两个要相交， 你要对他们焦点在哪里要有个预判，焦点在哪里，这是这里的精髓和关键啊。我把这个线在这个面里边，要做个线跟他要相交，交点在哪里？这个焦点肯定 在这条线上，交点在这个线上，交点也在这个线上，交点一定在对交线上，对吧？啊？所以说你要 找到真正他们的交点，那个交点不是随便延伸的，这就是为啥你要把一个放在阿尔法，一个放贝塔内，是要找到这个线所在的面和这个点所在面的两个面的交线。 你找到这个交线，你只要把这个线延长到根交线，找到一个点，然后接下来你把这个点和这个交点一连，肯定还是这个平面，而且扩大了，这才是真正我们在棋木中通过相交扩平面的原理和本质方法。好了，总结一下， 所以说刚才说五步，你想第一个就是你记住看到的这个小三角形面呢，看作一个点与一个什么一个线啊，你首先把这个面看作一个点和一个面啊，在真正的棋里边各放一个面， 各放一个面。之后第三步是找什么？找交线，找两个面的交线，你一定要先找到这个交线， 然后第四步你的线延长一下，与什么交线？找焦点，然后最后第五步就会实现啊，扩平面了，你把你原有的点与这个焦点一连就 ok， 所以 你不用说把这个死背下来，你就通过刚才我们思考的原理脑海中过一下，看你 消化了，通过相交扩平面整个这个思路和原理。整明白原理了，咱来看题啊，来看第一道题，第一道题呢，告诉我们一个棱长为六的正方体，然后说点 e 是 c， e， d， e 的 中点 f 点在线段这个霍上， 他说这一段等于四，那这一段等于二，说白了他就是个谁啊，三等分点啊，离 b 一 近，然后说过这三个点截正方起截面的这个面积， 要求这个截面截得正方起这个截面的面积，那说白了你就是要把这个截面给他补完整，找到，看他是个什么图形，求出他的面积。我们说虽然咱们会的比较多啊，又会相交又会平行， 但经验告诉我们，但凡一道题能用平行的时候，往往平行会比用香蕉扩平面简单一点， 那除非他用不了平行，你硬要用的时候，那就难了，对吧？我先说一下，我先选择的方法是平行扩平面，为啥呢？因为只有这一条线在几何棋的表面，其他的都在内部，所以我看表面的这个线，然后再关注这个点，那么我就看过这个点能不能做这个点 线的。什么平行线，能的话不就平行可以扩平面了？那我就关注他俩各自所在的面来，线在的面刚好在正面这个面里边点在的面刚好可以在反面，这个面点和线所在的面是平行的，那就一定可以做出平行 线，对吧？你想嘛，假如一个点在我手上，拿这个讲义上，那要做地面上任何一个线的平行线，他都能做出来，因为两个面是平行的， 所以在这的话呢，我就过这个点 e 做一个跟它平行的线，那么做出来，你看它与这个侧能有一个交点，假设 h 那 a h 再一连的话，那这个线不就是在侧面里边的交线吗？所以这半边我做好了，我发现这个线还在内部，还要扩出来。那接下来的话，我你们看一下，我如果还要做平行过哪个点还可以做平行，就 我继续选择平行，一平行到底啊，这个是棋木告诉的，棋木告诉所有能长都等于六啊，所有能长正方体嘛。然后他又告诉这个 b f 等于四的话，那这是二，这就三等分 点对过 f， 你 发现这个线在这个侧面里边，哎，这个点在这个侧面里边，两个面平行过，它是不是就可以做它的？再做出来，再一点，那整个这个五边形就做出来了， 这个是用啥呀？就是他能用平行，你快速的用平行画起来会非常的快，然后画出来之后这个或就是个五边形， 这就是他整个洁面。来看一下第一个方法用平行扩平面，讲明白了吗？然后接下来老赵也不是那种选择简单方法的人，咱也没苦硬吃，用香蕉的也做一下。好了，那接下来先把这道题做完吧，人家要的是洁面面积， 来一起求一下，因为在做平行的时候还要注意一点，你做了这个平行呢？这个焦点在哪里，对吧？那么这个在处理的时候呢？因为这里往往会有对应相似的三角形啊，这是个直角三角形，他会和他对应面上的这个直角三角形，两个是什么啊？ 相似关系，这是六比四，对吧？六比四，说白三比二，然后这里是中点的话，这是三，这个点就是多少二，所以这个 h 呢，其实也刚好在 d d 一 的三等分点处， 然后接下来你知道这个长度了，那这就是四，这就是六，根据勾股定律，这个测能也就求出来了啊，所以求完之后呢，这个和这个一样的四六对应的这个长度是二倍，根号十三。然后接下来 f 点和 h 点 在同样的位置，所以这条线和对角线一样长，也就是六倍根号二。然后这个呢，我们说这里是二，这里是三，这里是中点嘛，这是三等分点，这就是根号十三，这是根号十三，这是三，这三倍根号二。所以 整个这个结面的所有长度，你要去求就求出来了。但是这道题要的是结面的什么啊？面积，面积的话，出现这种图了，我们一般会用割补。首先我连了 h f 之后，下边就是一个什么啊等腰三角形， 那么这个上边呢，本身是一个梯形，你按梯形做好像也不太好做，所以再延伸一下，也把它延伸成一个三角形， 然后你会发现这两个点，哎，刚好也是这个边的什么啊中点，然后上边延伸出来的这个三角形和下边这个三角形的面积是相等的，我假设下边是 s 撇，那上边这个七行占三份，上边这个小的占一份，根据什么？根据相似， 所以上边这个梯形就是四分之三 s 撇，所以整个大 s 就 等于四分之七 s 撇。然后你只要求出下边这个等腰三角形的什么面积就行了。 简单的这画一下啊，这都变成了初中指示二倍根号十三，然后你在这做个高，他就是三倍根号二，你就能求出这个是根号三十四，所以高和底都知道，底乘高除以二，这个面积也就求出来了，所以这个面积呢，最后不难，二分之二十一倍的根号十七啊。好了， 这是计算的过程，包括确定点位置的方式。接下来我们说同样一个方式，咱不以把它解出来为目的，咱们以总共给了大家两个方向，我一道题能不能通过不同的方向去感受一下， 那么在这道题能不能通过相交扩平面呢？刚才大家给的答案都说自己选择是相交，那我们就一起去感受一下，比如说这次我还是选择把它看作线，把它看作点，那这次 我要把他们分别放在第二步，是不是要分别放在一个面里边？那这个现在的面肯定就在这个面里边， 那么这个点现在你必须把它看作在哪个面里边？如果用香蕉扩平面的话，此时这个点必须看作他在 上下左右前后哪个面里边。对，你要虽然说他这个点既在上边这个面，也在后边这个面里边，但是我们用香蕉扩平面的话， 线所在的面确定之后，这个点必须在跟他相交的面里边，是不是才能继续去相交扩平面？所以你现在只能看作他在上平面里边。 好了。点在上平面线在正面两个面的交线是谁啊？这条线，然后你把线延长一下，跟他交于一点，找到这个交点之后，那这个交点呢？跟点 e 也在一个平面里边，连一下就 ok 了，这样的话你就会找到这个线与他所在面边界的交点一下就 ok 了，这样的话你就会找到这个线与他所在面边界的交点， 然后根据相似算出这个在哪里就行了。那这里咋算呢？其实也很简单，因为这里是谁啊？三等分点， 所以这里是两份，这是一比二，直接可以得到，这里是三啊，直接最简单的方式应该在这个相似里边。好，这里三，这里六，这里是多少？一比二，这里得到，这里是三的话，因为这个也是三，所以在这里根据这两相似你看就确定了，你最终要确定的就是 他与这个边界交点的位置啊，所以我们就确定了这个点，这在这里，这里是中点啊。那这样的话，我们就找到了这边上边面里边扩出的这部分，然后这两个一叠，那我们这边你看从刚才的三角形面就扩到了四边形面，但是你这边还没扩出来，对吧？ 这边还没扩出来的话，那比如说我现在把这个看作线，把这个看作点，朝着就往这边去扩，那线所在的面在哪里？在上边， 那这个点呢？它可以在侧面，它也可以在下面，它可以在正面，对吧？它因为是一个端点，它同时在三个面里边，你要跟它相交，扩平面，反正你要看做跟它相交的一个面里边， 比如说我就看作哎，在这个面里边，在这个面两个交线就是这个线，然后我把这个线延伸，先跟他怎么样相交，然后接下来这两个一连接，哎，你会发现你也就找到了在这个里边的什么，这一段交线，你也就把它括出来了。所以当我们找到这一段，这两个再一连 整个就 ok 了。所以说这就是用相交，那你看平行我们做了，相交也做了，在这道能用平行的问题中，你发现用相交的话，你走过的过程， 包括它的细节肯定是要比平行复杂一些。所以说香蕉与平行在能用平行的时候，往往平行会作为我们的优选，因为简单。这也是为啥我说大家在平行这块会更熟一些， 因为它更简单，更容易学会，香蕉这块的话更复杂啊。然后接下来的话，第一个我们说我们用香蕉和用平行都把它处理过了，然后接下来我们看第二个， 接下来这些棋，两个方法具体的其中都展示过了。所以说你以后看到一个平面，它是一个什么 不完整的结面，需要你去把它哎扩充一下。在这个过程中，首先你要想到第一个，我有两种方法，我可以通过平行去扩，我也可以通过香蕉去扩， 那么优先看平行，因为平行确实会更简单一些，但是平行用不了的时候，咱们再去选择香蕉，然后香蕉一定要按照香蕉的流程去做啊。好了，接下来我们看第二题， 还是个正方体，然后这回它告诉我们的是 e 点呢？是 ab 的 中点， f 点呢？是 b、 c 的 中点能长还是六？然后说过三点 d、 e、 f 把这个正方体切成了什么两块，要求这个结面的 周长。来这个你扩一下试试看。首先说一下还是结面问题，一看啊，你看这个 d、 e、 e 还在整个几何体内部， d、 e、 f 也在内部，这种面就是没切透啊，你得把它补出来。那么你脑海中就得想啊，我有两个方法，第一个平行，平行不行了我再用香蕉，那么要平行的话选线，你只能选面上的线，选谁呢？ e、 f 是 这道题里边唯一在面上的线， 那你要就要过点 d 做 e、 f 的 平行线，但是你发现你过点 e 做出来的平行线在不在现有的这个几何体里边？不在，你想用它把它做出来怎么做？你下去可以试一下啊，再把它扩大一下， 现在给你是一个小的正方体，你把这个正方体再给他复制个一二三四，扩成一个大的长方体，然后你再去做，一样可以做出来。只是说在现有的途中你要做个平行，好像画不出来， ok， 不 听明白。用平行其实可以，但是需要把这个几何体再去给他扩大扩大， 但是在这种情况下我们就觉得没必要。那么接下来用相交的话，那我还是把它看作线，我把它看作点，那我们说用相交就是把线所在的面确定出来在底面， 那这个点现在你要让它在哪个面呢？它同时在这个面，在上边面，在后边面，因为它是个顶点，肯定同时在三个面。但不管怎么样，你必须放在和线所在的面的什么 相交平面，你选这个也可以，选后边这个也可以，比如说我就选的是后边这个。那么选好之后，第三步最关键找两个面的交界，就是它延长，然后让 e f 先与它相交好了，交于假设这个点是个点 p， 然后接下来再连接这个点与他，那这样的话，你看这个点所在背面里边，这个平面里边的线就扩出来了，就是绿色的部分，然后你只要找到这个点一连，那这一部分啊，你看从三角形的这里边的一个面，现在我就把它扩成了一个什么四边形的面，那一样。 写到这一步的话，你说你把它完全解出来了吗？没有，那这边还没漏出来，所以呢这个点呢，我也可以把它看到这个面里边， 那这样的话，线所在的面和点所在面的交线是 a d， 那 我再连接 ef 与它交于一个点，然后再连一下它，那它在这个面里边的交线也就找出来了。假设这个点 g 你 一连，这就是我们整个找出来的这个结面， 也就是个五边形，看一下能过了四啊。这就是这道题，用相交就是以这个为点，然后看这个点，在这个面和在这个面两边都去扩一下，最终把整个图扩出来了，它就是个五边形， 那求周长的时候，还是得去看具体的比例。刚才说这里是中点的话，这两个小三角形就是什么关系啊？它就是全等的吗？边长为三，这里也就是三，对吧？ 这里是三的话，那我们这个小三角形和这个大三角形的相似比就是多少。这个相似比的话，你看这里是三，这里是九， 就是一比三吗？那在这个情况下，那我们看这个，或者说看这个小的，每次看这相似的时候，你知道了这里是三之后，也可以看这里这个八字相似，三六一比二， 那这两个也是什么一比二长度就知道了。所以我们在这标一下，这里就是二，这里就是四，从下到底啊，这一模一样，这里是二，这里是四， 所以这里是三，那你求这个长度，这个长度根号十三，然后接下来你求这个长度，这是四六二倍，根号十三，对应的这边是一样的，然后这三，这三，这三倍根号二，你把五个边 加起来就行了啊。所以说这是这种情况下，找出来之后，要确定这个与边界交点的位置，位置的话一般都是靠这八字相似啊，你看上下是一个初中学过的八字相似，把这个比例整出来就行了。好了，那这个咱也就结束了啊。这是这道题， 你会发现如果他给的你这个图形中没有直接的平行，那你没有办法，你要再用平行去做可能要做的事，比这更复杂，那此时相交扩平面的优势就出现了。你看咱们从学这学期学几何以来，平面、向量， 我们学个数量积，给大家讲间隙、基底、投影、极化很等式啊，四种方法你每个都要学会，因为各有各的优势，对吧？然后我们学到解三角形的时候，很多题又给大家，比如说一个比例线出来了， 那他又有哪些方式可以用向量的方式，可以用倍长的方式，可以用找关系的方式。我们学到了解三角形的时候也是一样，不同的题型下，有些可以用角，有些可以用边，所以他各自有各自肯定，更高效、更简洁的题型中有他的体现。所以学的时候一定 不要光注重啊。这类题我会不会做？我这道题有没有做出结果，而是对于这类题，他用不同的角度去思考，他有哪些角度去思考，要整明白。 好了，接下来我们再列第三个啊，这道题再补充一句，刚才我们比如说先相交扩平面，扩到这边之后呢？比如说你扩成这个样子了，也不是说我今天用相交扩平面，我就要相交到底， 因为咱啥都会，你发现你扩了一边之后，哎，你发现可能又可以用平行了，为啥呢？因为这还有个面上的点，哎，过点地可以做他的什么平行线， 所以在有些时候背面有一个线在正面过点 e 也可以做他的平行线，做完之后这两一连啊，整个面也就出现了。所以说在这种情况，你发现第一下你平行做不了，你就相交去扩一部分， 扩出来之后，你当这个面变得大一些的时候，又可以用平行了，所以相交结合平行两个方法一起用，也可以把它解决，也不用一条道走到黑，关键是你把两个方法都学透，学明白了， 好吧，那么因为大家相对擅长的是平行，所以我今天选的前几道棋就是引导着大家朝相交去做，为啥呢？比如说在立方棋或者长方棋里边，有太多的对面都是什么平行的， 所以你做平行也比较好做。但是这种结面问题如果出现在三棱柱呀，甚至有些时候可能出现在三棱锥里边，或者说在一些台棋里边， 你要去扩平面的话，就没有平行就很不好做了。因为没有那么多对应平行的面，所以那大部分题就只能用香蕉，所以咱好好练一下香蕉。那看这道题，这道题告诉我们所有棱长都是二，那就说明上边是一个什么 边长为二的正三角形，下边也是高线，也是二这样的一个棱柱，然后说过这个棱的中点，还有这个棱的中点以及 a 点这三个点结这个三棱柱，那么接下来要求这个结面周长。如果三个点的连线都不在表面上 的本质，你要想清楚，是三个点都在内部，或者说大部分点，好像是所有点都得在内部，大部分点的内部也可以所有线不在啊，就你有一个点，比如说你有一个点在外部，其他点都还在这个几何体的内部，所以你画出的线都不在表面上，那不都都不在表面上， 只要延长，因为这些点都还在内部，比如说在这里，在这里你先要把这两个线延长， 把这两个点也先延长，你延长完之后再去看。所以当这些线没有在表面上的时候更简单。那这道题你会，你会发现你要过平行。做平面，你首先得关注什么在表面上的线， 这个线在表面上，你说你过这个点，要做这个线的平行线，那这个点所在的平面要先和这个线所在的面平行，有吗？没找着对吧？ 行不通。那同样道理，换一个过这个线，那过这个点要做他的，你做出来也不在这个几何体内部，所以在这种情况下，特别是三棱柱的话， 平行你要做又得去把几何体扩大、扩大、再扩大，那没必要。在这种情况下，当我们知道咱们的做法又不是指一个，咱们还会相交，所以接下来这道题我们依然选择相交。扩平面， 香蕉阔平面，你就定一个线，我让他扮演线，我让他扮演点，先点线分离，接下来确定各自所在的面，线所在的面只能在这个面里边，点所在的面只要和线所在的面相交就行了，那你会发在这个面，这个面也行，在这个面也行 啊，随便选一个，我就选这个点在这个面里边。好了，选好之后找两个面的交线，就是他们延长来延长一下，让这个线先和交线交于一点，然后接下来你把这个点在他的面里边连交线就行了， 那你很明显就扩除了这个面里边的这一一连，找到了这个面就是我们通过相交扩出来的。那 这里的话完了之后，你也要去算一下，那这个点的位置在哪里啊？咱们会画了，这个点是终点，这个点是终点，这个点是终点。这道题你扩出来之后要想算值，最关键就是这个点在哪里？来大家看一下这个点在这个线的什么位置， 我们说算这个点的位置主要是根据相似吗？你看这里是中点，所以这里的话这两段是一样的，因为这个你坐上去之后，就相当于这是一比二的两部分，对吧？所以这个长度是二吗？那么这个长度是二了，然后接下来你要算的是 这两个永远关注这个八字相似，在这个点在这延长，这是个八字相，这是二，这个长度是一，一比二，所以这一比二点，这是靠近 b 一 的三等分点， 三等分整个是二的话，那两份三分之四，对吧？一份的三分之二，然后这里是一勾股定律，就可以算出它，然后这里的话勾股定律二，一根号五，这里一二根号五，就剩下这个了。这个长度咋算呢？也非常的简单，这里的话 长度是一，这个长度是三分之四。两个边知道了，要求对边看这个夹角，因为上面是个等边三角形，你用余弦定，你就可以求出 f g 啊， 值稍微冲下一点，三分之根号十三，然后呢都知道了，加起来就是咱们对应的这个结面的周长。刚才有朋友又问他，比如说找的是另外一个的，其实就是你看作一个线， 我刚才说我在看这个点的时候，我把这个点看作在背面这个面，对吧？线一定在这个面，但是这个点的话，他不一定，他还可以在什么上边这个面啊？可以在上边这个面，只要他所在的面和线所在的面是相交的就行了， 所以你发现它上面这个面的话也是相交的，只不过交线是谁啊？ a 一 b 一， 你只要这个线跟它能相交，然后这个点连一下，交点你一样找出来。是，所以刚才有个朋友问，这么做行不行？ 你学明白了就直接画出来，画出来肯定行啊。好，当然到这里的话，我们说为什么要反复练相交？你看在这种三棱柱，包括以后的台体，包括以后的甚至一些锥体当中，你真正去做的时候没有那么多相对平行的面，所以平行就 很难操作，所以相教学扎实之后，相对万能，平行式的能做的时候相对简单，所以你两个方式都要掌握扎实。好了，接下来练一些啊，不一样的来看下边这道题，这道题的话告诉我们的又是正方题了，能长为二，然后点 e、 f 呢？是这两个的什么啊？ 中点，然后过 b、 e、 f 啊？过这三个点，做个结面，结面面积是多少？这道题拿出来，那你还是要选一选， 你看这道题面上的线有他有他，我过这个做这个，这个点所在的面和线所在面都不平行，不好做。然后我接下来以这个线看做一个线，以他看做个点，这个线在的面在这里，这个点在，哎，这个点可以在这个面，两个面平行，肯定可以做平行， 所以一平行来一连一连结束。所以说你看这个用平行它就很简单，所以当咱方法多了，也不要照着一个方法拿起来就用，对吧？可以选择一下，选择那个最优级，这是咱们的追求，对吧？好了， 那你要求洁面面积，这个也就很简单了，首先它整个就是个梯形，上底下底，这腰都知道，你要扩一下去球也没有问题，看做一个三角形，然后接下来梯形占四分之三，也会非常简单啊。好了，当然了，香蕉也给大家说一下啊， 我们要用香蕉去做的话，一样的，你先定一个线，比如说我就定这个线，他在底面里边，那我就要看这个点在哪里，这个点所在的面在这个面也在这个面，不管这两个面哪一个面，反正都跟他是相交的，随便选一个都行。比如说我选背面 点所在的面啊，是这个线所在的面，是下两个交线是什么？两个交线是 c d， 你 把 c d 延长一下，线先跟它交于一点，然后你让你的 f 再跟它一连，刚好是过 c e 啊，所以最后就找到在这个面里边线也是它，你再一连也就 出来了。所以说相交是相对万能的方式，那能用平行的时候，平行会简单很多啊。好了，这个也过了， 接下来的话，我们再看例五这道题的话，他还有点不一样，他说这个点，这个点，这个点啊，这个叫做你熟悉的话一笔就画出来了。那么今天呢，我们就认真的说一下，他为什么是个正六边形啊？你就用咱们今天所讲的相交也好、平行也好合适的方法把它括出来。 这道题就是按理来说学到例题几何，大家在学学校应该都见过，这他就是把对应的这几个棱上的中点点起来，连完之后整个图形刚好截出了一个什么正六边形，这在正面，这个线在底面，这个线在侧面，这个线在背面， 所以他截完之后刚好是这个熟练的话，你就一把画出来了。但是没关系，我们今天把它放在这里，就一起去感受一下，我也要去扩它，我到底用怎样的方法去扩？ 那首先你看表面上的面，我把它看作一个线，那这个点所在的面都不平行，平行不好处理。我把它看作一个线，这个点所在的面跟他也不平行，也不好处理，所以平行不处理，不好处理的时候咱就怎么样，咱就可以用胶线， 我把这个线看做一个线，它所在面是上底面，我肯定要把它看做一个点，这个点所在的面在哪里呢？它可以在正面跟它是相交的，它也可以在侧面跟上面也是相交的，所以随便选一个，比如说我就选到了侧面，那它俩的交线就是 b 一、 c 一 延长一下，首先线交交线与一个 点肯定是确定的。然后接下来把这个定点和这个点再一叠，你整个延伸，因为这里的话这两个是什么全等的，所以这两也是全等的，这是终点嘛， 所以这也就是终点。这样的话，我们把它在这个结面里边的线就找出来了。找完之后呢，你看这一个，这一个从刚才的三边形把它变成了四边形，那你变到这一步的时候，接下来咋做呢？我们说咱们会的方法比较多，刚才是没办法用平行， 那我用香蕉扩了之后，接下来看能不能用平行。你发现过这个点，这回可以做他的平行线了，做一个。过这个点呢？接下来可以做他的平行线了，做一个。 过这个点呢？接下来可以做他的平行线了，做一个。所以说当你两个方法都学熟练的时候呢，你就相交平行结合着用，对吧？因为有些时候他不能用平行，也就把它串起来了， 这样的话用平行效率会更高一些。用香蕉的话，毕竟他还是做，虽然他通用，但是做起来会更慢一些啊。这应该是在正方棋的结面中会经常见到的一个结面啊。 这道棋跟刚才有点不一样了啊，他不再是阔平面了，就是我们说平行啊，香蕉有些时候除了阔平面，就是过点座椅之面的平行平面或者垂直平面。 那这道题告诉我们个什么呢？说一个棱长为三的正方体，当中点 e 为 a、 e、 d， e 上靠近它的三等分别一比二，过点 e 做垂直于这个线的 平面。其实你要去过一个点，记住啊，我们讲了过点做平行平面，你要过点去做垂直平面，其实非常难的，所以过点做垂直平面啊，记住，点做垂直平面 要转化成什么点？做平行平面，那咋转化呢？往往就是基于这个图，你就看一下 b、 e、 d 有 没有和它已知的垂直的面。如果你在题目中能找到和 b、 e、 d 已经是垂直的面，那我只要过点 e 做这个面的什么平行平面？你想你做平行平面，现在对你来说是不是非常的简单？但是做垂直平面不会的时候转成平行平面， 所以这道题主要是要找到一个和其对角线怎么样垂直的，那这个就很简单了，在这个途中，我们说有两个等边三角形和其对角线一定是垂直的，一个是 a e b c， 一个是谁啊？ d e a c 这两个面呢，都和体对角线垂直，而且它两个与体对角线的交点刚好吧，体对角线分成了什么？三等分。那么所以这就是以后你可能还会遇到的一类奇，就是做垂直平面啊，不要吓到， 本质上还是做平行平面，关键是已知的线，先找一个他一定垂直的面。那这道题就随便，我只要过点 e 做这个紫色面的什么平行平面就行了， 所以说垂直的就是转化成平行的，这是这道题唯一一个咱们不会的点啊。你知道了，做这个题就很简单快速过了啊，就是做平行呗，你过点 e 首先能做谁啊？你发现，哎，我能做 a 一 c 一 的平行， 然后做完之后还能做谁的呢？你发现你过这个点呢，你还可以做谁啊？这个因为它的背面你一定可以做这个起对角线的什么平行， 然后你过这个点呢，就一定可以不是起对角线啊，面对角线，你过这个点呢，一定就可以做这个面对角线的平行线随便做。有了这个点又可以做谁啊？ a e b 的 平行线，所以啊，最终连一下， 他画出来之后呢，是个五边形啊。那到这里呢？那咱们今天不管是平行还是相交扩平面是咱们今天要讲的，最重要的 还是基于咱们所讲的公里一二三四的基础下，结面为什么可以通过平行去扩？本质上就是平行定平面，平面为什么可以通过什么相交去扩？一样的本质上还是相交定平面， 对吧？所以接下来最重要的就是在扩的时候他的细节操作是什么？明白了原理，每次能操作清楚就搞定了。第二个就是有以后你除了扩平面还会去做平行平面或者去做垂直平面， 你记住本质上都是做平行平面，垂直的话就是你找到已知的垂直平面，然后做他的平行平面就行了啊。

数学是思维的体操，来，同学们啊，跟着老师一起来做运动。上节课我们看了一面直线的夹角，这节课呢，我们接着上节课内容啊，下下一个板块就是线面角。首先什么是个线面角啊？我们如图所示哎，有一个阿法面，然后呢，又有一个 ab 这条直线， 我们的线面角指的是 a b 在 我们阿尔法内的投影和 a b 所成的角， a a b 的 投影就是这个 o b 了，是吧，我们做 a o 呢，垂直于我们的平面啊，也就说我们的 a b o 这个 c t 就是 我们的线面角。 好找到之后，这里经常用两种办法，这种办法呢，就是我们在这个面里头呢，哎，我们 a 点的垂足是好找的啊，垂足好找的时候，我们直接哎做垂直找到这个二面角。另一种方法呢，我们往往这个垂足呢，不好找啊，不好找， 那我们就怎么办呢？在我们的斜线里边哈找，先求得我们这个 a o 啊，用我们的等极极法啊。下面我们通过一道题目，具体来看一下线面角的求解。好这个题呢，说有一个圆锥， a e 为底面圆的直径， b 为终点。 ok， 那 我们的 b 是 终点哦，那我们图在这里， b 是 终点， c 是 圆心，底面圆的圆心， d 是 bc 的 终点，哎，这个点 d 也是个终点哦，不过呢，我们的目标就是要求得 e 啊，得 e 和我们的底面所成的角，那我们首先怎么办哎，要找到这个角在哪里，对吧？啊，辅助线，这样呢，老师给大家做好了，我们取 c g 的 中点啊，为 h。 好， 我们在这儿取这个 c g 啊的中点为 h， 连接 d h， 这个时候我们的 d e 和我们的 e a 是 不是就是我们这个线面角？为什么呢？我们简单证明一下哈，我们因为 h 是 中点啊， 我们的 d 呢？哎，也是终点啊，因为我们的 p c 是 垂直于我们的 e a 的， 那 p c 和我们的 d h 是 怎么样的？ 哎，它俩是平行的，是吧？这三条线其实都是平行的，所以说我们的 d h 也垂直于我们的底面。好，我们看到我们还有一个关键的条件是 abc 的 边长为二，那么我们的 b j 的 长度就可以支撑了，对吧？啊？ ab 是 个二，那 aj 是 个一，那 b j 就是 一个根号三， 对吧？ d h 就是 二分之根号三，最后一个值就是 e h， e h 怎么算呢？那 e c 是 我们的圆的半径啊，是个二， c h 呢？又等于 c g 的 一半，它是个二分之一，所以说它是个二分之五，那么我们最终要求的是弹性切的，哎，分子是 d h， 分 母是我们的 一 h， 那 就是，哎， d h 二分之三比二分之五，就是跟三比一个五。好，我们这道题呢就搞定了啊，这道题呢，我们再回过头来看一下啊，第一步就是找我们的线面角，找到之后，我们根据我们三角形的边的关系式，这个平面几何问题，对吧？ ok， 我 们这节课就到这。

立体几何老简单了，只要找对辅助线就可以轻松拿捏。就像这道强积题， p a 垂直于底面，而告诉 p b 等于 p c， 这两条边都等于十五，还告诉了这一个角阿尔法摊进了阿尔法等于三分之四， 求的是 a 点到面的一个距离，那你只要找对辅助线就可以轻松拿捏。辅助线怎么去找呢？核心的是你看到等腰就要想到终点找高，所以我们取这一点为 n， 连接 p n 就 可以轻松拿捏。 找到这一条线会发现 pa 这条线垂直于底面，怎么用？由于 pa 垂直于底面，垂直于 ab， 也垂直于 ac， 所以 这两个三角形 pa 和 paac 它们是全等的，所以这两条边也是相等的，也就是 ab 等于 ac 们有了这个之后，底边儿也是等腰三角形，所以只需连接 a n 即可，它的高不就是过这一点做它的垂足吗？记着，你为 t， 我 们只需要求出 其他的条件，就可以求出它的高。接下来我们把这个上面的两个条件先用上去，由于它这里告诉了贪心的阿尔法等于三分之四，还告诉 p b 等于十五，根据这儿可以求出三英阿尔法 等于五分之四，所以我们就可以根据这里的是不是三英阿尔法等于五分之四，所以 p n 就 等于十二。那轻松拿捏这一段是十二。那我们想一下，什么时候点到面的距离最大呢？我们根据这儿找他的中点，这些中点为 f， 连接 a f 这儿连上之后，利用斜中半的一个知识点，所以 a f 一定等于 二分之一， p n 这一段就等于六，也就是说刚好 p f 垂直于 p n 的 时候，就是它的最大值，所以我们的这儿最大值就是六。

好，同学们，咱们今天继续来看空间角的第二种类型，也就是线面角。那么咱们要清楚线面角 的余弦值是怎么求，就得先知道线面角是哪个角。线面角必须要求的是直线与它的投影所成的角，那么以这个题为例，它告诉我们让我们求的是 c、 d 与 a、 c、 m 的 线面角，那么我们就必须得找到 c、 d 这个边在 a、 c、 m 这个平面内的投影。也就是说，我必须要知道点 d 坐下来垂直以后，会坐在 a、 c、 m 这个面的哪一个点，那么我们就要根据题目的信息去拆解一下。题目中说这是一个四棱锥，底面是一个长方形， 而且 pa 垂直于 a、 b、 c、 d， 然后告诉我们了几条边的长度，告诉我们点 m 是 中点，那么我们要看一看。根据这些信息，我们要找到点 d 的 投影点在 a、 c、 m 的 什么位置，怎么找？首先 pa 是 垂直于底面的，所以我一定可以得到 p a 是 垂直于 c、 d 的， 因为我们可以通过线面垂直推出来。线线垂直又因为底面是个矩形，那我是不是依然可以推出来 a、 d 也是垂直于 cd 的？ 那么通过这两个条线，我们又知道了 pa 和 ad 是 有交线的，是交在点 a 的， 所以是不可以推出来我们的 cd 这个线一定垂直于面 pad， 那 么如果 cd 垂直于 pad， cd 是 不是就一定会垂直于面内的一条线，也就是 am？ 好 了，然后我们继续来看， 既然 c、 d 垂直 am， 点 m 又是 p、 d 的 中点，这个地方又是一个等压直角三角形，那么是不是可以得到 am 一定垂直于 p d， 那 么我们根据这两个信息，是不是就可以得到新的一个线？面垂直，也就是我们的 am 会垂直于面 p c d 然后我们要观察一下，题目中让我们求的 am 其实已经出现了，它就在 a c m 内，那既然 a m 垂直于面 p c d a c m 内又包含了这个面的垂线，那是不是代表着我们的这两个面就会垂直？好了， 快到最后一步的时候，大家一定要找到面面垂直。我们要推出来线面垂直的话，就必须得找到交线 p c d 与 a c m 的 交线是不是正好是我们的 c m？ 那 么所以我要去找点 d 在 acm 面上的投影点，我只需要过 d 做 d q 垂直于 c m 就 可以得到 d q， 这条线一定垂直于面 acm， 那 所以点 q 就是 它的投影点，这是为什么呢？因为这是我们利用了面面垂直的一个性质，若面垂直面，则 在一个面内找一个点垂直于交线，那么它就会这条线就会垂直于另一个平面。我们继续这个题目，到 d q 垂直于面 a c m 后，我们只需要求的东西其实就变成了抛散角 d c m 的 余弦值，那这个角的余弦值，我们两种思路，你可以去求这个 d q， 也可以直接去用我们的 d m 和 c m， 因为这个 d dmc， 它一定也是一个直角三角形。我们在第一步就证明了 cd 是 垂直于面 p a d 的， 所以 cd 一定会垂直于 md， 那 这就是个直角。所以我们为了简单，我们直接用 cd 比 cm， cd 的 长度是一 cm 的 长度就是 cd 的 方加 md 的 方， cd 的 方是一的平方，再加上 md， md 的 长度是根号二，那就是根号二的平方，再开根号，那就是三分之刚好三。 所以这个题目选到 b 选项，大家在做这种线面角的余弦值的时候一定要注意，我们要先根据已知条件先推出来一条线，这条斜线在平面内的投影才能去求线面角的余弦值。